Activités algébriques

Expressions littérales et valeur numérique, développement, identités remarquables (carrés et cubes), factorisation, égalité de deux expressions, équations produit nul.

13 sections · 101 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Le chapitre s'ouvre sur les expressions littérales : écrire avec une lettre ce qu'un énoncé raconte avec des mots, puis calculer sa valeur numérique quand on donne la lettre.

Vient ensuite le cœur du chapitre : développer et factoriser, deux chemins opposés sur la même route. Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

On développe pour comparer ou pour réduire — c'est ainsi qu'on décide si deux expressions sont égales pour tout réel. On factorise pour résoudre : une équation ne se résout facilement que sous forme de produit. C'est toute l'utilité du chapitre, et c'est ce que fait la dernière section.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Traduire un programme de calcul en expression littérale, et calculer sa valeur numérique
Développer et réduire une expression avec la simple et la double distributivité
Reconnaître et appliquer les identités remarquables : les carrés et les cubes
Factoriser en mettant en évidence un facteur commun, même caché
Factoriser à l'aide d'une identité, y compris une somme ou une différence de cubes
Calculer de tête en reconnaissant une identité remarquable
Distinguer deux expressions égales pour tout réel de deux expressions qui coïncident en quelques points
Résoudre une équation produit nul

Activité

Un programme de calcul devient une expression

On choisit un entier $b$ inférieur à $30,$ puis on lui applique ce programme :

1. multiplier par $11$ ; 2. ajouter $4$ au résultat ; 3. multiplier le dernier résultat par $9$ ; 4. retrancher le double du carré du nombre de départ.

1.Applique le programme à $b = 2,$ étape par étape.
2.Écris l'expression du nombre obtenu, en fonction de $b.$
3.Que vaut le résultat final pour $b = -1$ ? pour $b = 17$ ? pour $b = 0$ ?

La question 3 est la vraie leçon : une fois l'expression écrite, on ne refait plus le programme. On remplace la lettre, et c'est tout.

1. multiplier par 11

11b

2. ajouter 4

11b + 4

3. multiplier le résultat par 9

9(11b + 4)

4. retrancher le double du carré de b

9(11b + 4) - 2b^{2}

Ce qu’on observe

Réduire l'expression obtenue, puis calculer sa valeur pour $b = 0.$

1
On réduit
$99b + 36 - 2b^{2}$
2
Pour $b = 0,$ les deux termes en $b$ disparaissent.
$99 \times 0 + 36 - 2 \times 0^{2} = 36$

-2b^{2} + 99b + 36

L’erreur à ne pas faire

$11b + 4 \times 9$ $9(11b + 4)$
La consigne multiplie le résultat obtenu, donc tout ce qui précède. Sans la parenthèse, le $9$ ne multiplie plus que le $4.$
$9(11b+4) - 2(11b+4)^{2}$ $9(11b+4) - 2b^{2}$
« Le carré du nombre de départ » renvoie à $b,$ pas au dernier résultat. Relis toujours à quel nombre la dernière ligne se réfère.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Netarjmou le programme ligne par ligne, bla ma nréduire. Multiplier par 11 : ya3ti 11 b. Nzidou 4. Men ba3d nmultiplier el koll par 9, ma3neha parenthèse. W el ligne el akhira tna99es le double du carré mte3 le nombre de départ, ma3neha 2 b au carré, mechi mte3 le dernier résultat. Hedha houwa el piège. »

Définition

Expression littérale, valeur numérique

Une expression littérale est une écriture qui mêle des nombres et une ou plusieurs lettres, reliées par des opérations.

La valeur numérique de cette expression, pour une valeur donnée de la lettre, s'obtient en remplaçant la lettre par cette valeur, puis en calculant.

Deux conséquences à garder en tête pour tout le chapitre :

une même quantité s'écrit de plusieurs façons — $9(11b+4) - 2b^{2}$ et $-2b^{2} + 99b + 36$ sont la même expression sous deux formes ;
la forme choisie n'est jamais neutre : l'une se calcule plus vite, l'autre se factorise plus facilement. C'est tout l'objet des sections qui suivent.

une expression littérale

A(x) = 3x^{2} - 2

sa valeur numérique en 2

A(2) = 3 \times 2^{2} - 2 = 10

L’erreur à ne pas faire

$A(-1) = 3 \times -1^{2} - 2 = -5$ $A(-1) = 3 \times (-1)^{2} - 2 = 1$
En remplaçant une lettre par un nombre négatif, on l'entoure de parenthèses. Sans elles, le carré ne porte plus que sur le $1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Une expression littérale hiya écriture fiha des nombres w des lettres, marboutin b des opérations. Mathalan : A de x égale 3 x au carré moins 2. La valeur numérique mte3ha pour x égale 2 : tbaddel x b 2, w ta7seb. A de 2 égale 3 fois 2 au carré moins 2, ya3ni 10. W tfakker : nafs l'expression tnajjem tetkteb b barcha formes, w el forme elli t5tarha 3omrha ma hiya neutre. »

Activité

Le carré d'une somme, sur un exemple

1.Prends $a = 3$ et $b = 4.$ Calcule d'une part $(a+b)^{2},$ d'autre part $a^{2} + b^{2}.$ Les deux résultats sont-ils égaux ?
2.Calcule l'écart entre les deux. Compare-le au nombre $2ab.$
3.Recommence avec $a = 5$ et $b = 2.$ L'écart est-il encore égal à $2ab$ ?

Cette activité répond à la question la plus coûteuse de l'année : pourquoi $(a+b)^{2}$ n'est-il pas $a^{2} + b^{2},$ et que manque-t-il exactement.

Ce qu’on observe

Ce que donnent les deux essais.

1
Premier essai
Avec $a = 3$ et $b = 4.$
$(3+4)^{2} = 7^{2} = 49 \quad ; \quad$ $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$
2
L'écart vaut $24.$ Or le double produit vaut lui aussi $24.$
$49 - 25 = 24 \quad ; \quad$ $2 \times 3 \times 4 = 24$
3
Second essai
Avec $a = 5$ et $b = 2$ : l'écart est encore le double produit.
$49 - 29 = 20 \quad ; \quad$ $2 \times 5 \times 2 = 20$

(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab

L’erreur à ne pas faire

$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
Deux essais numériques suffisent à le voir, et le terme manquant est toujours le même : $2ab.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdaw b une activité, w hiya tjaweb 3ala aghla so2al fel 3am : 3lech (a plus b) au carré mouch a au carré plus b au carré ? 5oudh a égale 3 w b égale 4, a7seb les deux, w chouf el far9 binethom. 9aren el far9 hedheka b 2 a b. »

Méthode

Développer

Développer, c'est transformer un produit en somme. Deux outils, et deux seulement :

la distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$ ;
la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Le seul vrai danger est le signe. Quand un moins précède une parenthèse, il change le signe de tous les termes qu'elle contient, pas seulement du premier.

Simple

k(a + b) = ka + kb

Double

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple traité

Développer et réduire $A = (2x - 3)(x + 5).$

1
Quatre produits
Chaque terme de gauche multiplie chaque terme de droite.
$A = 2x \times x + 2x \times 5 + (-3) \times x + (-3) \times 5$
2
$A = 2x^{2} + 10x - 3x - 15$
3
Réduire
On regroupe les termes en $x.$
$A = 2x^{2} + 7x - 15$

A = 2x^{2} + 7x - 15

L’erreur à ne pas faire

$5 - (x + 1) = 5 - x + 1$ $5 - (x + 1) = 5 - x - 1$
Le signe moins s'applique à toute la parenthèse. Le $+1$ devient $-1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Développer ma3neha t7awwel un produit l une somme. 3andna deux adawet berk : la distributivité simple et la double distributivité. Amma le vrai danger houwa le signe : ki yji un moins 9oddem une parenthèse, ybaddel le signe mte3 el termes el koll, mouch mte3 le premier berk. »

Propriété

Les identités remarquables — les carrés

Il y en a sept au total. Voici les trois qui portent sur les carrés ; les quatre autres, celles des cubes, suivent dans les deux sections d'après.

Toutes se lisent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.

La faute la plus répandue de toute l'année est d'écrire $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}.$ Vérifie-la une fois avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3+4)^{2} = 49,$ alors que $3^{2} + 4^{2} = 25.$ Le terme manquant, $2ab = 24,$ s'appelle le double produit. C'est lui qu'on oublie.

Carré d'une somme

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

Carré d'une différence

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

Différence de carrés

(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

Exemple traité

Développer $B = (3x - 2)^{2}.$

1
Repérer a et b
Ici $a = 3x$ et $b = 2.$
$(3x - 2)^{2} = (3x)^{2} - 2 \times 3x \times 2 + 2^{2}$
2
On calcule chaque morceau. Attention : $(3x)^{2} = 9x^{2},$ le $3$ est aussi au carré.
$(3x)^{2} = 9x^{2} \quad ; \quad$ $2 \times 3x \times 2 = 12x \quad ; \quad$ $2^{2} = 4$

B = 9x^{2} - 12x + 4

L’erreur à ne pas faire

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
Il manque le double produit. Avec $a = 3$ et $b = 4$ : $49 \ne 25.$
$(3x)^{2} = 3x^{2}$ $(3x)^{2} = 9x^{2}$
Le carré porte sur tout le produit, donc aussi sur le coefficient.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna trois identités remarquables mte3 les carrés. a plus b, le tout au carré, égale a au carré plus 2 a b plus b au carré. a moins b, le tout au carré, égale a au carré moins 2 a b plus b au carré. W a moins b, fois a plus b, égale a au carré moins b au carré. Yet9raw fel zouz ittijehet : bech tdévelopper w bech tfactoriser. W rodd belek 3ala le double produit : a plus b, le tout au carré, mahouch a au carré plus b au carré. Jarrabha b 3 w 4 : 49 mahouch 25. »

Propriété

Le cube d'une somme, le cube d'une différence

On les énonce à côté des carrés, et pour la même raison : ce sont des développements qu'on doit reconnaître sans les recalculer.

La structure se retient mieux qu'elle ne s'apprend : quatre termes, l'exposant de $a$ descend de $3$ à $0$ pendant que celui de $b$ monte, et les coefficients sont $1,$ $3,$ $3,$ $1$ . Pour la différence, les signes alternent.

Cube d'une somme

(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

Cube d'une différence

(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}

Exemple traité

Développer et réduire $A = (x + 2)^{3}.$

1
Repérer a et b
Ici $a = x$ et $b = 2.$
$(x+2)^{3} = x^{3} + 3x^{2} \times 2 + 3x \times 2^{2} + 2^{3}$
2
On calcule chaque coefficient. Attention au troisième terme : c'est $2^{2} = 4$ qui est multiplié par $3x,$ donc $12x.$
$3x^{2} \times 2 = 6x^{2} \quad ; \quad$ $3x \times 4 = 12x \quad ; \quad$ $2^{3} = 8$

A = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8

L’erreur à ne pas faire

$(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}$ $(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
Vérifie avec $a = 1$ et $b = 1$ : $(1+1)^{3} = 8,$ alors que $1 + 1 = 2.$ Les deux termes du milieu manquent.
$(a+b)^{3} = a^{3} + 3ab + b^{3}$ $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
Chaque terme du développement est de degré $3.$ Un terme en $ab$ serait de degré $2$ : c'est le signe qu'il manque un facteur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le cube mte3 une somme : 4 termes. Les coefficients 1, 3, 3, 1. A yohbot men 3 lel 0, w b yotla3. W ken a moins b, les signes yetbadlou. Ma t9oulech ken a cube plus b cube, hedha faux : jarrabha b 1 w 1, tel9a 8 mahouch 2. »

Propriété

Somme et différence de deux cubes

Celles-là se lisent surtout de droite à gauche : ce sont des outils de factorisation. Une différence de deux cubes se factorise, et — contrairement aux carrés — une somme de deux cubes se factorise aussi.

Deux détails de signe font toute la difficulté :

le premier facteur porte le même signe que l'énoncé : $a-b$ pour $a^{3}-b^{3},$ $a+b$ pour $a^{3}+b^{3}$ ;
dans le second facteur, le terme du milieu porte le signe opposé, et il n'est pas doublé. C'est $ab,$ jamais $2ab.$

Différence de cubes

a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})

Somme de cubes

a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})

Exemple traité

Factoriser $B = x^{3} - 8.$

1
Reconnaître deux cubes
$x^{3}$ est un cube, et $8 = 2^{3}$ en est un aussi. Donc $a = x$ et $b = 2.$
$B = x^{3} - 2^{3}$
2
On applique l'identité. Le premier facteur garde le moins ; le second a un plus au milieu, sans facteur $2.$
$B = (x - 2)(x^{2} + x \times 2 + 2^{2})$

B = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)

L’erreur à ne pas faire

$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} - 2ab + b^{2})$ $a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$
Confusion avec le carré d'une différence. Ici le terme du milieu n'est pas doublé, et son signe est l'opposé de celui du premier facteur.
$a^{3} + b^{3}$ ne se factorise pas $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$
La règle « seule la différence se factorise » vaut pour les carrés. Pour les cubes, la somme se factorise aussi.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhouma ne9rawhom men el imin lel chmel : outils mte3 factorisation. Le premier facteur nafs le signe mte3 l'énoncé. Le deuxième facteur : le signe mte3 el west bel ma9loub, w mahouch double. A b, mechi 2 a b. W rodd belek : la somme de deux cubes tetfactoriser, 3aks la somme de deux carrés. »

Méthode

Factoriser par un facteur commun

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Le premier réflexe est toujours le même : chercher ce qui se répète dans tous les termes.

Ce facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière. C'est ce dernier cas qui se voit le moins, et c'est le plus fréquent dans les exercices.

Quand un terme est exactement le facteur commun, il ne disparaît pas : il laisse un $1$ derrière lui.

Le principe

ka + kb = k(a + b)

Le 1 qui reste

x^{2} + x = x(x + 1)

Exemple traité

Factoriser $D = (x - 1)(x + 3) + (x - 1)(2x).$

1
Repérer
La parenthèse $(x-1)$ est présente dans les deux termes.
$D = (x - 1)\big[(x + 3) + 2x\big]$
2
Réduire le crochet
$(x + 3) + 2x = 3x + 3$
3
On peut encore factoriser par $3.$
$D = (x - 1) \times 3(x + 1)$

D = 3(x - 1)(x + 1)

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} + x = x(x)$ $x^{2} + x = x(x + 1)$
Le second terme vaut $x \times 1$ : quand on sort le $x,$ le $1$ reste.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Factoriser houwa el 3aks : t7awwel une somme l un produit. W le premier réflexe dima nafsou : lawwej 3ala elli yet3awed fel termes el koll. Le facteur commun ynajjem ykoun un nombre, une lettre, walla une parenthèse kemla — w hedhi hiya elli ma tetchefch. W ki un terme ykoun houwa rou7ou le facteur commun, ma ytayyarch : y5alli 1 wrah. »

Méthode

Factoriser avec une identité

Quand il n'y a pas de facteur commun, on regarde la forme de l'expression :

deux termes, une soustraction, deux carrés → différence de carrés ;
trois termes dont deux carrés → carré d'une somme ou d'une différence, à condition que le terme du milieu soit bien le double produit.

Un point à retenir : une somme de deux carrés, $a^{2} + b^{2},$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}.$ Seule la différence se factorise.

Différence

a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)

Trois termes

a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}

Trois termes

a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}

Exemple traité

Factoriser $C = 9x^{2} - 25,$ puis $E = x^{2} + 6x + 9.$

1
Reconnaître
$9x^{2}$ et $25$ sont deux carrés, séparés par un moins.
$9x^{2} = (3x)^{2} \quad ; \quad$ $25 = 5^{2}$
2
$C = (3x - 5)(3x + 5)$
3
Trois termes
$x^{2}$ et $9 = 3^{2}$ sont les carrés ; on vérifie le double produit : $2 \times x \times 3 = 6x.$ C'est bien lui.
$E = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2}$
4
$E = (x + 3)^{2}$

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} + 4 = (x - 2)(x + 2)$ $x^{2} + 4$ ne se factorise pas
Seule la différence de deux carrés se factorise. $(x-2)(x+2)$ vaut $x^{2} - 4.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki ma thammech facteur commun, nbassou fi la forme. Deux termes, une soustraction, w deux carrés : hedhi une différence de carrés. Trois termes, menhom deux carrés : hedhi un carré d'une somme walla d'une différence, b chart elli fel west ykoun le double produit. W rodd belek : a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans ℝ. Ken la différence berk. »

Méthode

Calculer de tête avec une identité

Une identité ne sert pas qu'à manipuler des lettres : elle remplace un calcul pénible par deux calculs faciles.

Le réflexe : devant un nombre proche d'une puissance de $10,$ écris-le sous la forme $100 \pm$ quelque chose, puis applique l'identité.

Exemple traité

Calculer de tête $101^{2},$ puis $99^{2},$ puis $102^{2} - 98^{2}.$

1
Carré d'une somme
$101 = 100 + 1.$
$101^{2} = 100^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$
2
Carré d'une différence
$99 = 100 - 1.$
$99^{2} = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$
3
Différence de carrés
Ne calcule surtout pas les deux carrés. La forme $a^{2} - b^{2}$ se factorise, et les deux facteurs sont ronds.
$102^{2} - 98^{2} = (102 - 98)(102 + 98) = 4 \times 200$

102^{2} - 98^{2} = 800

L’erreur à ne pas faire

$102^{2} - 98^{2} = 10\,404 - 9\,604$ $102^{2} - 98^{2} = 4 \times 200$
Le résultat est le même, mais le premier chemin demande deux carrés à quatre chiffres. L'identité n'est pas là pour faire savant : elle est là pour aller plus vite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki tchouf nombre 9rib men 100, ektebh 100 plus walla 100 moins. 101 au carré : 10 000 plus 200 plus 1. W 102 au carré moins 98 au carré : ma tehsebch les deux carrés, esta3mel la différence de carrés : 4 fois 200. »

Propriété

Égales partout, ou égales seulement quelque part

Deux expressions peuvent être égales pour tout réel, ou bien coïncider seulement pour certaines valeurs. Ce n'est pas la même chose, et c'est la question la plus mal lue du chapitre.

Pour montrer que $A = B$ pour tout réel : on développe et on réduit les deux, puis on compare les formes réduites. Vérifier sur des valeurs ne prouve rien.
Pour montrer qu'elles ne sont pas égales partout : une seule valeur où elles diffèrent suffit. C'est un contre-exemple, et c'est une preuve complète.

Exemple traité

Soit $A = x^{3} - x^{2}$ et $B = 2x^{2} + 6x - 8.$ Vérifier que $A = B$ pour $x = 1,$ $x = -2$ et $x = 4.$ A-t-on $A = B$ pour tout réel $x$ ?

1
Pour x égal à 1
$A(1) = 1 - 1 = 0 \quad ; \quad$ $B(1) = 2 + 6 - 8 = 0$
2
Pour x égal à −2
$A(-2) = -8 - 4 = -12 \quad ; \quad$ $B(-2) = 8 - 12 - 8 = -12$
3
Pour x égal à 4
$A(4) = 64 - 16 = 48 \quad ; \quad$ $B(4) = 32 + 24 - 8 = 48$
4
Le contre-exemple
Trois valeurs qui marchent, et pourtant il suffit d'en essayer une quatrième.
$A(0) = 0 \quad ; \quad$ $B(0) = -8$

On n'a pas

A = B

pour tout réel

x

L’erreur à ne pas faire

$A$ et $B$ sont égales pour $1,$ $-2$ et $4,$ donc $A = B.$ $A$ et $B$ coïncident en trois points seulement.
Trois valeurs, même bien choisies, ne prouvent jamais une égalité d'expressions. Ici $A(0) = 0$ et $B(0) = -8$ : l'égalité tombe.
Pour montrer que $A \ne B,$ il faut le vérifier sur plusieurs valeurs.Une seule valeur où elles diffèrent suffit.
Les deux sens ne demandent pas le même travail : prouver l'égalité exige un calcul général, la réfuter demande un seul contre-exemple.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Rodd belek 3as so2al : pour tout réel walla pour certaines valeurs ? Ken bech tmontrer l'égalité pour tout réel, lezmek tdévelopper w tréduire ezzouz w tcomparer les formes. Les valeurs ma tprouvent chay. Ama ken bech t9oul mahoumech égales, contre-exemple wahed yekfi. »

Remarque

Ce qu'on a le droit de faire à une égalité

Deux règles à garder en tête, et dont tout le chapitre suivant — les équations — se sert sans arrêt :

1.on ne modifie pas une égalité en ajoutant le même terme à ses deux membres ;
2.on ne modifie pas une égalité en multipliant ses deux membres par un même nombre non nul.

Le « non nul » n'est pas une précaution de style. Multiplier les deux membres par $0$ transforme n'importe quelle égalité fausse en $0 = 0$ : on aurait « démontré » tout et n'importe quoi.

L’erreur à ne pas faire

$2 = 3,$ donc $2 \times 0 = 3 \times 0,$ donc l'égalité est vraie.Multiplier par $0$ ne conserve pas l'information.
L'implication ne marche que dans un sens. Pour revenir en arrière il faudrait diviser par le nombre — et on ne divise pas par $0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Théorème

L'équation produit nul

C'est la raison d'être de la factorisation. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

La conséquence pratique : face à une équation déjà factorisée, on ne développe jamais. On sépare directement en équations du premier degré, qu'on sait résoudre.

Rien de tel n'existe pour une somme : $A + B = 0$ ne dit rien sur $A$ ni sur $B$ pris séparément.

La règle

A \times B = 0 \iff A = 0

B = 0

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(2x - 1)(x + 4) = 0.$

1
Séparer
Le produit est nul, donc l'un des deux facteurs l'est.
$(2x - 1)(x + 4) = 0 \iff 2x - 1 = 0$ ou $x + 4 = 0$
2
$2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}$
3
$x + 4 = 0 \iff x = -4$

S = \left\{-4\,;\dfrac{1}{2}\right\}

L’erreur à ne pas faire

On développe $(2x-1)(x+4)$ avant de résoudreOn garde la forme factorisée
Développer ramène à une équation du second degré, qu'on ne sait pas encore résoudre. La forme factorisée donne les solutions immédiatement.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha houwa 3lech n7ebbou la forme factorisée. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. El ma3na el 3amali : ki tal9a une équation déjà factorisée, ma ta3melch le développement abadan — ofselha directement. Amma une somme, A plus B égale zéro, ma t9oul walou la 3ala A wala 3ala B. »

À retenir

1.
Traduire un programme de calcul : ligne par ligne, avec les parenthèses que l'ordre des opérations impose.
2.
Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse.
3.
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de tous ses termes.
4.
$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$ : ne jamais oublier le double produit.
5.
$(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3a^{2}b + 3ab^{2} \pm b^{3}$ : quatre termes, coefficients $1,$ $3,$ $3,$ $1$ .
6.
$a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b),$ mais $a^{2} + b^{2}$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}.$
7.
$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ et $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ : le terme du milieu n'est pas doublé.
8.
Premier réflexe pour factoriser : chercher un facteur commun, y compris une parenthèse.
9.
Égales en trois points ne veut pas dire égales partout : il faut comparer les formes réduites. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
10.
$A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$ — et on ne développe surtout pas avant.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/35

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Traduire un programme de calcul en expression littérale, et calculer sa valeur numérique
Développer et réduire une expression avec la simple et la double distributivité
Reconnaître et appliquer les identités remarquables : les carrés et les cubes
Factoriser en mettant en évidence un facteur commun, même caché
Factoriser à l'aide d'une identité, y compris une somme ou une différence de cubes
Calculer de tête en reconnaissant une identité remarquable
Distinguer deux expressions égales pour tout réel de deux expressions qui coïncident en quelques points
Résoudre une équation produit nul

Un programme de calcul devient une expression

On choisit un entier $b$ inférieur à $30$ , puis on lui applique ce programme :

1. multiplier par $11$ ; 2. ajouter $4$ au résultat ; 3. multiplier le dernier résultat par $9$ ; 4. retrancher le double du carré du nombre de départ.

Applique le programme à $b = 2$ , étape par étape.
Écris l'expression du nombre obtenu, en fonction de $b$ .
Que vaut le résultat final pour $b = -1$ ? pour $b = 17$ ? pour $b = 0$ ?

La question 3 est la vraie leçon : une fois l'expression écrite, on ne refait plus le programme. On remplace la lettre, et c'est tout.

11b

11b + 4

9(11b + 4)

9(11b + 4) - 2b^{2}

Le piège

$11b + 4 \times 9$

$9(11b + 4)$

La consigne multiplie le résultat obtenu, donc tout ce qui précède. Sans la parenthèse, le $9$ ne multiplie plus que le $4$ .

Le piège

$9(11b+4) - 2(11b+4)^{2}$

$9(11b+4) - 2b^{2}$

« Le carré du nombre de départ » renvoie à $b$ , pas au dernier résultat. Relis toujours à quel nombre la dernière ligne se réfère.

Expression littérale, valeur numérique

Une expression littérale est une écriture qui mêle des nombres et une ou plusieurs lettres, reliées par des opérations.

La valeur numérique de cette expression, pour une valeur donnée de la lettre, s'obtient en remplaçant la lettre par cette valeur, puis en calculant.

Deux conséquences à garder en tête pour tout le chapitre :

une même quantité s'écrit de plusieurs façons — $9(11b+4) - 2b^{2}$ et $-2b^{2} + 99b + 36$ sont la même expression sous deux formes ;
la forme choisie n'est jamais neutre : l'une se calcule plus vite, l'autre se factorise plus facilement. C'est tout l'objet des sections qui suivent.

A(x) = 3x^{2} - 2

A(2) = 3 \times 2^{2} - 2 = 10

Le piège

$A(-1) = 3 \times -1^{2} - 2 = -5$

$A(-1) = 3 \times (-1)^{2} - 2 = 1$

En remplaçant une lettre par un nombre négatif, on l'entoure de parenthèses. Sans elles, le carré ne porte plus que sur le $1$ .

Le carré d'une somme, sur un exemple

Prends $a = 3$ et $b = 4$ . Calcule d'une part $(a+b)^{2}$ , d'autre part $a^{2} + b^{2}$ . Les deux résultats sont-ils égaux ?
Calcule l'écart entre les deux. Compare-le au nombre $2ab$ .
Recommence avec $a = 5$ et $b = 2$ . L'écart est-il encore égal à $2ab$ ?

Cette activité répond à la question la plus coûteuse de l'année : pourquoi $(a+b)^{2}$ n'est-il pas $a^{2} + b^{2}$ , et que manque-t-il exactement.

Le piège

$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

Deux essais numériques suffisent à le voir, et le terme manquant est toujours le même : $2ab$ .

Développer

Développer, c'est transformer un produit en somme. Deux outils, et deux seulement :

la distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$ ;
la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Le seul vrai danger est le signe. Quand un moins précède une parenthèse, il change le signe de tous les termes qu'elle contient, pas seulement du premier.

k(a + b) = ka + kb

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Le piège

$5 - (x + 1) = 5 - x + 1$

$5 - (x + 1) = 5 - x - 1$

Le signe moins s'applique à toute la parenthèse. Le $+1$ devient $-1$ .

Les identités remarquables — les carrés

Il y en a sept au total. Voici les trois qui portent sur les carrés ; les quatre autres, celles des cubes, suivent dans les deux sections d'après.

Toutes se lisent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.

La faute la plus répandue de toute l'année est d'écrire $(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Vérifie-la une fois avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3+4)^{2} = 49$ , alors que $3^{2} + 4^{2} = 25$ . Le terme manquant, $2ab = 24$ , s'appelle le double produit. C'est lui qu'on oublie.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

Le piège

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$

Il manque le double produit. Avec $a = 3$ et $b = 4$ : $49 \ne 25$ .

Le piège

$(3x)^{2} = 3x^{2}$

$(3x)^{2} = 9x^{2}$

Le carré porte sur tout le produit, donc aussi sur le coefficient.

Le cube d'une somme, le cube d'une différence

On les énonce à côté des carrés, et pour la même raison : ce sont des développements qu'on doit reconnaître sans les recalculer.

La structure se retient mieux qu'elle ne s'apprend : quatre termes, l'exposant de $a$ descend de $3$ à $0$ pendant que celui de $b$ monte, et les coefficients sont $1, 3, 3, 1$ . Pour la différence, les signes alternent.

(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}

Le piège

$(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}$

$(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$

Vérifie avec $a = 1$ et $b = 1$ : $(1+1)^{3} = 8$ , alors que $1 + 1 = 2$ . Les deux termes du milieu manquent.

Le piège

$(a+b)^{3} = a^{3} + 3ab + b^{3}$

$a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$

Chaque terme du développement est de degré $3$ . Un terme en $ab$ serait de degré $2$ : c'est le signe qu'il manque un facteur.

Somme et différence de deux cubes

Celles-là se lisent surtout de droite à gauche : ce sont des outils de factorisation. Une différence de deux cubes se factorise, et — contrairement aux carrés — une somme de deux cubes se factorise aussi.

Deux détails de signe font toute la difficulté :

le premier facteur porte le même signe que l'énoncé : $a-b$ pour $a^{3}-b^{3}$ , $a+b$ pour $a^{3}+b^{3}$ ;
dans le second facteur, le terme du milieu porte le signe opposé, et il n'est pas doublé. C'est $ab$ , jamais $2ab$ .

a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})

a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})

Le piège

$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} - 2ab + b^{2})$

$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$

Confusion avec le carré d'une différence. Ici le terme du milieu n'est pas doublé, et son signe est l'opposé de celui du premier facteur.

Le piège

$a^{3} + b^{3}$ ne se factorise pas

$a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

La règle « seule la différence se factorise » vaut pour les carrés. Pour les cubes, la somme se factorise aussi.

Factoriser par un facteur commun

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Le premier réflexe est toujours le même : chercher ce qui se répète dans tous les termes.

Ce facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière. C'est ce dernier cas qui se voit le moins, et c'est le plus fréquent dans les exercices.

Quand un terme est exactement le facteur commun, il ne disparaît pas : il laisse un $1$ derrière lui.

ka + kb = k(a + b)

x^{2} + x = x(x + 1)

Le piège

$x^{2} + x = x(x)$

$x^{2} + x = x(x + 1)$

Le second terme vaut $x \times 1$ : quand on sort le $x$ , le $1$ reste.

Factoriser avec une identité

Quand il n'y a pas de facteur commun, on regarde la forme de l'expression :

deux termes, une soustraction, deux carrés → différence de carrés ;
trois termes dont deux carrés → carré d'une somme ou d'une différence, à condition que le terme du milieu soit bien le double produit.

Un point à retenir : une somme de deux carrés, $a^{2} + b^{2}$ , ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ . Seule la différence se factorise.

a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)

a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}

a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}

Le piège

$x^{2} + 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^{2} + 4$ ne se factorise pas

Seule la différence de deux carrés se factorise. $(x-2)(x+2)$ vaut $x^{2} - 4$ .

Calculer de tête avec une identité

Une identité ne sert pas qu'à manipuler des lettres : elle remplace un calcul pénible par deux calculs faciles.

Le réflexe : devant un nombre proche d'une puissance de $10$ , écris-le sous la forme $100 \pm$ quelque chose, puis applique l'identité.

Le piège

$102^{2} - 98^{2} = 10\,404 - 9\,604$

$102^{2} - 98^{2} = 4 \times 200$

Le résultat est le même, mais le premier chemin demande deux carrés à quatre chiffres. L'identité n'est pas là pour faire savant : elle est là pour aller plus vite.

Égales partout, ou égales seulement quelque part

Deux expressions peuvent être égales pour tout réel, ou bien coïncider seulement pour certaines valeurs. Ce n'est pas la même chose, et c'est la question la plus mal lue du chapitre.

Pour montrer que $A = B$ pour tout réel : on développe et on réduit les deux, puis on compare les formes réduites. Vérifier sur des valeurs ne prouve rien.
Pour montrer qu'elles ne sont pas égales partout : une seule valeur où elles diffèrent suffit. C'est un contre-exemple, et c'est une preuve complète.

Le piège

$A$ et $B$ sont égales pour $1$ , $-2$ et $4$ , donc $A = B$ .

$A$ et $B$ coïncident en trois points seulement.

Trois valeurs, même bien choisies, ne prouvent jamais une égalité d'expressions. Ici $A(0) = 0$ et $B(0) = -8$ : l'égalité tombe.

Le piège

Pour montrer que $A \ne B$ , il faut le vérifier sur plusieurs valeurs.

Une seule valeur où elles diffèrent suffit.

Les deux sens ne demandent pas le même travail : prouver l'égalité exige un calcul général, la réfuter demande un seul contre-exemple.

Ce qu'on a le droit de faire à une égalité

Deux règles à garder en tête, et dont tout le chapitre suivant — les équations — se sert sans arrêt :

on ne modifie pas une égalité en ajoutant le même terme à ses deux membres ;
on ne modifie pas une égalité en multipliant ses deux membres par un même nombre non nul.

Le « non nul » n'est pas une précaution de style. Multiplier les deux membres par $0$ transforme n'importe quelle égalité fausse en $0 = 0$ : on aurait « démontré » tout et n'importe quoi.

Le piège

$2 = 3$ , donc $2 \times 0 = 3 \times 0$ , donc l'égalité est vraie.

Multiplier par $0$ ne conserve pas l'information.

L'implication ne marche que dans un sens. Pour revenir en arrière il faudrait diviser par le nombre — et on ne divise pas par $0$ .

L'équation produit nul

C'est la raison d'être de la factorisation. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

La conséquence pratique : face à une équation déjà factorisée, on ne développe jamais. On sépare directement en équations du premier degré, qu'on sait résoudre.

Rien de tel n'existe pour une somme : $A + B = 0$ ne dit rien sur $A$ ni sur $B$ pris séparément.

A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0

Le piège

On développe $(2x-1)(x+4)$ avant de résoudre

On garde la forme factorisée

Développer ramène à une équation du second degré, qu'on ne sait pas encore résoudre. La forme factorisée donne les solutions immédiatement.

À retenir

Traduire un programme de calcul : ligne par ligne, avec les parenthèses que l'ordre des opérations impose.
Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse.
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de tous ses termes.
$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$ : ne jamais oublier le double produit.
$(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3a^{2}b + 3ab^{2} \pm b^{3}$ : quatre termes, coefficients $1, 3, 3, 1$ .
$a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)$ , mais $a^{2} + b^{2}$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ .
$a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ et $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ : le terme du milieu n'est pas doublé.
Premier réflexe pour factoriser : chercher un facteur commun, y compris une parenthèse.
Égales en trois points ne veut pas dire égales partout : il faut comparer les formes réduites. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
$A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$ — et on ne développe surtout pas avant.

Ce qu’il t’explique

Un programme de calcul devient une expression

Expression littérale, valeur numérique

Le carré d'une somme, sur un exemple

Développer

Les identités remarquables — les carrés

Le cube d'une somme, le cube d'une différence

Somme et différence de deux cubes

Factoriser par un facteur commun

Factoriser avec une identité

Calculer de tête avec une identité

Égales partout, ou égales seulement quelque part

Ce qu'on a le droit de faire à une égalité

L'équation produit nul

À toi, au tableau

Une double distributivité

Le carré d'une différence

Du programme à l'expression

Un programme qui se simplifie

Appliquer un programme à un nombre négatif

Remplacer par un nombre négatif

Une différence de carrés

Un facteur commun caché

Le cube d'une somme

Une différence de cubes

Un carré qui en efface un autre

Une hausse puis une remise

Deux identités enchaînées

De tête, sans poser le calcul

Un programme qui donne toujours le même nombre

Choisir la bonne forme

Retrouver un coefficient

Le carré d'une différence sans connaître a et b

De la factorisation à l'équation

Une expression qui ne dépend pas de x

Deux produits d'entiers voisins

Des fractions et deux identités

Deux trinômes jumeaux

Une somme et son inverse

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Un programme de calcul devient une expression

Expression littérale, valeur numérique

Le carré d'une somme, sur un exemple

Développer

Les identités remarquables — les carrés

Le cube d'une somme, le cube d'une différence

Somme et différence de deux cubes

Factoriser par un facteur commun

Factoriser avec une identité

Calculer de tête avec une identité

Égales partout, ou égales seulement quelque part

Ce qu'on a le droit de faire à une égalité

L'équation produit nul

À retenir