Activités dans un repère

Repère d'une droite : abscisse, milieu, mesure algébrique, distance. Repère du plan : coordonnées d'un point, composantes d'un vecteur, vecteurs égaux et colinéaires, milieu, alignement. Distance dans un repère orthonormé, nature d'une figure. Lecture graphique, droites parallèles et fonctions affines, choix d'un repère.

13 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Un repère, c'est une adresse. Sur une droite, un point reçoit un nombre, son abscisse ; dans le plan, il en reçoit deux, ses coordonnées.

Ce chapitre apprend à calculer avec ces adresses. Un milieu devient une moyenne, un vecteur devient deux différences, deux vecteurs colinéaires deviennent des composantes proportionnelles. Dans un repère orthonormé, le théorème de Pythagore donne même les distances. Et un graphique se lit comme un repère : un trajet, une vitesse, deux droites parallèles.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Utiliser l'abscisse d'un point dans le repère $(O, \overrightarrow{OI})$ d'une droite
Calculer une mesure algébrique $\overline{AB},$ une distance et un milieu sur une droite
Lire les coordonnées d'un point et calculer les composantes d'un vecteur dans un repère du plan
Prouver avec les composantes que deux vecteurs sont égaux ou colinéaires, et que trois points sont alignés
Calculer une distance dans un repère orthonormé et reconnaître la nature d'une figure
Lire un graphique, et reconnaître deux droites parallèles au coefficient de deux fonctions affines

Activité

Un point, un nombre

Sur une droite $\Delta,$ on choisit deux points distincts $O$ et $I.$ On dit que $(O, \overrightarrow{OI})$ est un repère cartésien de $\Delta$ : $O$ est l'origine, et le vecteur $\overrightarrow{OI}$ donne à la fois le sens et l'unité.

Sur la figure, les points $A,$ $B$ et $C$ ont pour abscisses respectives $-2,$ $1{,}5$ et $3.$

1.Écris les vecteurs $\overrightarrow{OA},$ $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}.$
2.Place le point $D$ tel que $\overrightarrow{OD} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OI}.$ Quelle est son abscisse ?
3.Soit $M$ un point de $\Delta$ d'abscisse $x.$ Écris $\overrightarrow{OM}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}.$

Chaque point de la droite reçoit un nombre : son abscisse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna droite, ne5tarou zouz points : O, l'origine, w I. Le vecteur OI ya3tina le sens w l'unité : hedha houwa le repère. Tawa koll point 3al droite 3andou nombre mte3ou, l'abscisse mte3ou. A 3al isar mte3 O, b deux unités : le vecteur OA égale moins 2 fois le vecteur OI. W l'ay point M d'abscisse x : le vecteur OM égale x fois le vecteur OI. »

Définition

Abscisse d'un point, milieu d'un segment

Soit $\Delta$ une droite munie d'un repère cartésien $(O, \overrightarrow{OI})$ et $M$ un point de $\Delta.$ L'abscisse de $M$ est l'unique réel $x_M$ tel que

$\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}.$

Le point $O$ a pour abscisse $0$ et le point $I$ a pour abscisse $1.$

Si $A$ et $B$ sont deux points de $\Delta,$ le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour abscisse la moyenne des deux abscisses.

abscisse de M

\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}

milieu de [AB]

x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}

Exemple traité

Sur une droite munie d'un repère $(O, \overrightarrow{OI}),$ l'abscisse du point $A$ est $-3$ et celle du point $B$ est $7.$ Quelle est l'abscisse du milieu $K$ de $[AB]$ ?

1
La moyenne
On additionne les deux abscisses, puis on divise par deux : $x_K = 2.$
$x_K = \dfrac{-3 + 7}{2} = \dfrac{4}{2}$
2
$x_K = 2$

x_K = 2

L’erreur à ne pas faire

$x_K = \dfrac{x_B - x_A}{2} = \dfrac{7 - (-3)}{2} = 5$ $x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2} = 2$
La demi-différence donne la moitié de la longueur $AB$ : c'est la distance de $K$ à chaque extrémité, pas sa position sur la droite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'abscisse de M, houwa le nombre x elli le vecteur OM égale x fois le vecteur OI. W le milieu d'un segment ? Na3mlou la moyenne mte3 les deux abscisses : x A plus x B, le tout sur 2. Kima la moyenne mte3 zouz notes, bidhabt. »

Définition

Mesure algébrique et distance sur une droite

Soient $A$ et $B$ deux points de $\Delta,$ d'abscisses $x_A$ et $x_B.$ Alors

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI}.$

Le réel $x_B - x_A$ s'appelle la mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{AB},$ et on la note $\overline{AB}.$ Elle se lit « de $A$ vers $B$ » : abscisse d'arrivée moins abscisse de départ. Son signe dit le sens : positif si l'on va dans le sens de $\overrightarrow{OI},$ négatif sinon.

Quand $OI = 1,$ on dit que le vecteur $\overrightarrow{OI}$ est unitaire ; la distance $AB$ est alors la mesure algébrique sans son signe : $AB = |x_B - x_A|.$

Inversement, pour un réel $d > 0,$ il y a deux points $M$ de $\Delta$ tels que $AM = d,$ un de chaque côté de $A$ : leurs abscisses sont $x_A + d$ et $x_A - d.$ Et les points $M$ tels que $AM < d$ sont ceux du segment entre ces deux points : $|x_M - x_A| < d$ équivaut à $x_A - d < x_M < x_A + d.$

Deux conséquences servent tout le temps :

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ équivaut à $x_B - x_A = x_D - x_C$ ;
$\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$ équivaut à $x_B - x_A = k\,(x_D - x_C).$

mesure algébrique

\overline{AB} = x_B - x_A

distance, quand OI = 1

AB = |x_B - x_A|

vecteurs colinéaires

\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} \iff \overline{AB} = k\,\overline{CD}

Exemple traité

Sur une droite munie d'un repère $(O, \overrightarrow{OI})$ avec $OI = 1,$ l'abscisse du point $A$ est $-2$ et celle du point $B$ est $3{,}5.$ Calculer $\overline{AB},$ $\overline{BA}$ et la distance $AB.$ Quels sont les points $M$ de la droite tels que $AM = 2$ ?

1
De A vers B
On arrive en $B,$ on part de $A.$
$\overline{AB} = 3{,}5 - (-2) = 5{,}5$
2
De B vers A
On échange les rôles : le signe change.
$\overline{BA} = -2 - 3{,}5 = -5{,}5$
3
La distance
Une distance n'a pas de signe.
$AB = |5{,}5| = 5{,}5$
4
Deux points
$AM = |x_M - (-2)| = |x_M + 2|$ : la mesure algébrique $\overline{AM}$ vaut donc $2$ ou $-2.$ Il y a un point de chaque côté de $A.$
$x_M + 2 = 2$ ou $x_M + 2 = -2 \iff x_M = 0$ ou $x_M = -4$

\overline{AB} = 5{,}5 \ ; \

\overline{BA} = -5{,}5 \ ; \

AB = 5{,}5 \ ; \

x_M = 0

x_M = -4

L’erreur à ne pas faire

$\overline{AB} = x_A - x_B$ $\overline{AB} = x_B - x_A$
On part de $A$ pour arriver en $B$ : c'est l'abscisse d'arrivée moins celle de départ. Inverser l'ordre change le signe, donc le sens du vecteur.
$A$ d'abscisse $3,$ $B$ d'abscisse $-2$ : $AB = -2 - 3 = -5$ $AB = |-2 - 3| = 5$
Une distance est toujours positive. La mesure algébrique porte un signe ; la distance l'efface, avec la valeur absolue.
$AM = 2$ et $x_A = -2$ : $x_M = -2 + 2 = 0,$ un seul point. $x_M = 0$ ou $x_M = -4$ : deux points, un de chaque côté de $A.$
Une distance ne dit pas de quel côté on va. Sur la droite, on s'éloigne de $A$ de $2$ unités vers la droite ou vers la gauche : il y a deux points.
$x_B = 3$ et $BM < 1$ : $x_M - 3 < 1,$ donc $x_M < 4.$ $|x_M - 3| < 1,$ donc $2 < x_M < 4.$
Une distance se lit dans les deux sens : $M$ peut être à gauche ou à droite de $B.$ La valeur absolue donne deux inégalités, et les points cherchés forment un segment autour de $B,$ pas une demi-droite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz points A w B 3al droite. Le vecteur AB égale x B moins x A, fois le vecteur OI. El nombre hedha, x B moins x A, houwa la mesure algébrique de AB : nektbou AB barre. Rod belek mel ordre : l'arrivée moins le départ. W ki OI égale 1, la distance AB hiya la valeur absolue de (x B moins x A). W les points à une distance donnée de A ? Zouz, wa7ed men koll jiha. »

Activité

Deux axes, deux nombres

Trois points $O,$ $I$ et $J$ non alignés donnent un repère cartésien du plan, noté $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}).$ La droite $(OI)$ est l'axe des abscisses, la droite $(OJ)$ l'axe des ordonnées.

Soit $M$ un point du plan. La parallèle à $(OJ)$ passant par $M$ coupe $(OI)$ en $N$ ; la parallèle à $(OI)$ passant par $M$ coupe $(OJ)$ en $P.$

1.Quelle est la nature du quadrilatère $ONMP$ ? Justifie l'égalité $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP}.$
2.Sur la figure, $\overrightarrow{ON} = 3\,\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OP} = 2\,\overrightarrow{OJ}.$ Écris $\overrightarrow{OM}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}$ et de $\overrightarrow{OJ}.$
3.Les axes de la figure ne sont pas perpendiculaires. La construction marche-t-elle quand même ?

Deux parallèles aux axes, et le point M se lit : 3 et 2.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fil plan, yelzemna zouz axes : OI w OJ, mouch lezem perpendiculaires. Bech n9raw le point M, nersmou zouz parallèles lel axes, w nousslou l N w l P. ONMP parallélogramme, donc le vecteur OM égale le vecteur ON plus le vecteur OP. Hna le vecteur ON égale 3 fois le vecteur OI, w le vecteur OP égale 2 fois le vecteur OJ. Donc le vecteur OM égale 3 fois OI plus 2 fois OJ : les coordonnées de M houma 3 w 2. »

Définition

Coordonnées d'un point

Soit $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ un repère cartésien du plan et $M$ un point du plan. Le couple de coordonnées de $M$ est l'unique couple de réels $(x\,;y)$ tel que

$\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}.$

Le réel $x$ est l'abscisse de $M,$ le réel $y$ son ordonnée. On écrit $M(x\,;y),$ l'abscisse toujours en premier.

coordonnées de M

\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ} \iff M(x\,;y)

Exemple traité

Dans un repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}),$ on sait que le vecteur $\overrightarrow{OA}$ est égal à $-2\,\overrightarrow{OI} + 5\,\overrightarrow{OJ}$ et que le vecteur $\overrightarrow{OB}$ est égal à $4\,\overrightarrow{OJ}.$ Donner les coordonnées de $A$ et de $B.$

1
Le point A
Le coefficient du vecteur $\overrightarrow{OI}$ donne l'abscisse, celui du vecteur $\overrightarrow{OJ}$ donne l'ordonnée.
$A(-2\,;5)$
2
Le coefficient absent
Dans l'écriture du vecteur $\overrightarrow{OB},$ le vecteur $\overrightarrow{OI}$ n'apparaît pas : son coefficient est $0,$ donc l'abscisse de $B$ est nulle.
$\overrightarrow{OB} = 0\,\overrightarrow{OI} + 4\,\overrightarrow{OJ}$
3
$B(0\,;4)$

A(-2\,;5) \quad ; \quad

B(0\,;4)

L’erreur à ne pas faire

$B(4\,;0)$ $B(0\,;4)$
Le $4$ multiplie le vecteur $\overrightarrow{OJ}$ : c'est l'ordonnée. Le point $B$ est sur l'axe des ordonnées, et son abscisse, absente de l'écriture, vaut $0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fil plan, el point 3andou zouz nombres : l'abscisse x w l'ordonnée y. Le vecteur OM égale x fois le vecteur OI plus y fois le vecteur OJ. Nektbou M de coordonnées x w y, w dima l'abscisse 9bal l'ordonnée. Point 3al axe des ordonnées, l'abscisse mte3ou nulle. »

Définition

Composantes d'un vecteur

Soient $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ deux points du plan. Alors

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI} + (y_B - y_A)\,\overrightarrow{OJ}.$

Le couple $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ est le couple de composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}.$ On l'écrit en colonne, à côté du vecteur.

Comme sur la droite, c'est arrivée moins départ, une ligne pour chaque axe. Et deux vecteurs sont égaux exactement quand ils ont les mêmes composantes.

De A à B : 3 vers la droite, 2 vers le haut.

composantes de AB

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

vecteurs égaux

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}

Exemple traité

Dans un repère, on donne $A(-1\,;4),$ $B(3\,;1)$ et $E(2\,;-2).$ Calculer les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB},$ puis les coordonnées du point $F$ tel que les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient égaux.

1
Arrivée moins départ
On retranche les coordonnées de $A$ : $3 - (-1) = 4$ en abscisse, $1 - 4 = -3$ en ordonnée.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
2
Mêmes composantes
Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont égaux : leurs composantes le sont aussi, ligne par ligne.
$x_F - 2 = 4 \quad ; \quad$ $y_F - (-2) = -3$
3
$x_F = 6 \quad ; \quad$ $y_F = -5$

F(6\,;-5)

L’erreur à ne pas faire

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$
Ce serait le vecteur $\overrightarrow{BA},$ de sens contraire. On retranche toujours les coordonnées du point de départ.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le vecteur AB, na3mlou l'arrivée moins le départ, ligne l koll axe : x B moins x A el fou9, y B moins y A el louta. Hedhouma les composantes mte3ou. Fil figure, men A l B, nemchiw 3 lel imin w ntal3ou 2 : le vecteur AB 3andou les composantes 3 w 2. W deux vecteurs égaux 3andhom nafs les composantes. »

Propriété

Coordonnées du milieu d'un segment

Dans un repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}),$ le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de $A$ et de $B$ :

$\displaystyle x_K = \frac{x_A + x_B}{2} \quad ; \quad$ $\displaystyle y_K = \frac{y_A + y_B}{2}.$

C'est la règle de la droite, appliquée à chacun des deux axes.

La même égalité se lit dans l'autre sens. Si $K$ est le milieu de $[AB],$ c'est-à-dire si $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $K,$ alors $x_B = 2\,x_K - x_A$ et $y_B = 2\,y_K - y_A.$

milieu de [AB]

K\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Exemple traité

On donne $A(2\,;5)$ et $B(-4\,;1).$ Quelles sont les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$ ?

1
L'abscisse
$x_K = \dfrac{2 + (-4)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$
2
L'ordonnée
$y_K = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

K(-1\,;3)

L’erreur à ne pas faire

$K(-2\,;3)$ $K(-1\,;3)$
La somme $2 + (-4) = -2$ n'est que la moitié du travail : il faut la diviser par $2,$ pour l'abscisse comme pour l'ordonnée.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le milieu d'un segment fil plan : na3mlou la moyenne 3la koll axe. x K égale x A plus x B, le tout sur 2, w y K égale y A plus y B, le tout sur 2. Hiya nafs la règle mte3 la droite, marrtin. »

Propriété

Vecteurs colinéaires, points alignés

Pour un réel $k,$ les composantes de $k\,\overrightarrow{AB}$ sont celles de $\overrightarrow{AB}$ multipliées par $k.$ Donc $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$ équivaut à $x_B - x_A = k\,(x_D - x_C)$ et $y_B - y_A = k\,(y_D - y_C).$

Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires quand leurs composantes sont proportionnelles. On le vérifie comme dans un tableau de proportionnalité, par le produit en croix : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires lorsque $x\,y' = x'\,y.$

Enfin, trois points $A,$ $B$ et $C$ sont alignés exactement quand les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

De même, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement quand les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

composantes proportionnelles

\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = k\,(x_D - x_C) \\ y_B - y_A = k\,(y_D - y_C) \end{cases}

produit en croix

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}

colinéaires

\iff x\,y' = x'\,y

Exemple traité

On donne $A(2\,;3),$ $E(-2\,;1)$ et $C(3\,;2).$ Les points $A,$ $E$ et $C$ sont-ils alignés ? Soit $B(1\,;y)$ : pour quelle valeur de $y$ les points $A,$ $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

1
Les composantes
Le vecteur $\overrightarrow{AE}$ a pour composantes $-4$ et $-2$ ; le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour composantes $1$ et $-1.$
$\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} \quad ; \quad$ $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
2
Le produit en croix
$(-4) \times (-1) = 4$ et $1 \times (-2) = -2$ : les produits diffèrent. Les composantes ne sont pas proportionnelles, donc $A,$ $E$ et $C$ ne sont pas alignés.
$(-4) \times (-1) \ne 1 \times (-2)$
3
Le point B
Il faut que le vecteur $\overrightarrow{AB},$ de composantes $-1$ et $y - 3,$ soit colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AC}.$
$(-1) \times (-1) = 1 \times (y - 3)$
4
$1 = y - 3 \iff y = 4$

A,

E,

C

ne sont pas alignés

; \

y = 4

L’erreur à ne pas faire

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ sont colinéaires : on ajoute $2$ à chaque composante. $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont colinéaires : on multiplie chaque composante par $2.$
Colinéaire veut dire proportionnel : on multiplie par un même réel $k,$ on n'ajoute pas. Le produit en croix le montre : $2 \times 5 = 10$ et $4 \times 3 = 12.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Deux vecteurs colinéaires, les composantes mte3hom proportionnelles : n3addiw men vecteur l vecteur ki nodhorbou fi nafs le nombre k. Bech net2akkdou, le produit en croix, kima fi tableau de proportionnalité. W trois points A, B, C alignés ki les vecteurs AB w AC colinéaires. W les droites AB w CD parallèles ki les vecteurs AB w CD colinéaires. »

Théorème

Distance dans un repère orthonormé

Le repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ est dit orthogonal si les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, et orthonormé si, de plus, $OI = OJ = 1.$

Dans un repère orthonormé, la distance des points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ est

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$

En particulier, la distance d'un point $M(x_M\,;y_M)$ à l'origine est $OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}.$

Le triangle rectangle caché derrière la formule de la distance.

repère orthonormé

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

distance à l'origine

OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}

Exemple traité

Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1\,;2)$ et $B(3\,;-4).$ Calculer la distance $AB.$

1
Les écarts
$x_B - x_A = 3 - (-1) = 4 \quad ; \quad$ $y_B - y_A = -4 - 2 = -6$
2
La formule
Le carré efface le signe : $(-6)^2 = 36.$
$AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$
3
On simplifie
On sort le carré parfait : $52 = 4 \times 13,$ donc $AB = 2\sqrt{13}.$
$AB = 2\sqrt{13}$

AB = 2\sqrt{13}

L’erreur à ne pas faire

$AB = \sqrt{4^2} + \sqrt{(-6)^2} = 4 + 6 = 10$ $AB = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$
La racine d'une somme n'est pas la somme des racines. On additionne les carrés sous la racine, et seulement après on prend la racine.
$AB = 4^2 + (-6)^2 = 52$ $AB^2 = 52,$ donc $AB = \sqrt{52}$
La somme des carrés donne $AB^2,$ pas $AB$ : il reste à prendre la racine carrée.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Repère orthonormé : les axes perpendiculaires, w OI égale OJ égale 1. Wa9tha la distance AB, hiya Pythagore. Nersmou le triangle rectangle : côté horizontal, la valeur absolue de (x B moins x A), w côté vertical, la valeur absolue de (y B moins y A). AB égale la racine carrée de la somme des deux carrés. Ama ken fi repère orthonormé. »

Méthode

Reconnaître une figure par le calcul

Les coordonnées transforment une question de géométrie en calculs. Trois réflexes :

1.Un parallélogramme ? Compare deux vecteurs : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC},$ ou lorsque ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
2.Un triangle rectangle ? Dans un repère orthonormé, calcule les carrés des trois côtés et teste la réciproque du théorème de Pythagore sur le plus grand.
3.Isocèle, losange, rectangle, carré ? Compare des longueurs. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange ; un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur est un rectangle ; les deux à la fois : un carré.

Et avant tout calcul, une figure : c'est elle qui dit quoi vérifier.

Deux angles droits qui regardent le même segment [AB].

parallélogramme

ABCD \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

Exemple traité

Dans un repère orthonormé, on donne $A(3\,;1),$ $B(0\,;2),$ $C(3\,;2)$ et $D(1\,;3).$ Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ sont-ils sur un même cercle ?

1
Les trois côtés
$AC^2 = 0^2 + 1^2 = 1 \quad ; \quad$ $BC^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \quad ; \quad$ $AB^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10$
2
Pythagore
Le plus grand carré, $AB^2,$ est la somme des deux autres : le triangle $ABC$ est rectangle en $C,$ en face de $[AB].$
$AC^2 + BC^2 = 1 + 9 = 10 = AB^2$
3
L'autre triangle
Même démarche pour le triangle $ABD$ : $AD^2 = (-2)^2 + 2^2 = 8$ et $BD^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$
$AD^2 + BD^2 = 8 + 2 = 10 = AB^2$
4
Le cercle
Les triangles $ABC$ et $ABD$ sont rectangles, en $C$ et en $D,$ d'hypoténuse commune $[AB].$ Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : $A,$ $B,$ $C$ et $D$ sont sur le cercle de diamètre $[AB],$ de centre $K,$ milieu de $[AB].$

ABC

est rectangle en

C \ ; \

A,

B,

C,

D

sont sur le cercle de diamètre

[AB]

L’erreur à ne pas faire

$AB^2 + AC^2 = 10 + 1 = 11 \ne BC^2,$ donc $ABC$ n'est pas rectangle.On teste le plus grand carré : $AC^2 + BC^2 = 10 = AB^2.$
La réciproque de Pythagore compare le plus long côté à la somme des deux autres. Additionner deux carrés pris au hasard ne prouve rien.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« B les coordonnées, na3rfou la figure bel 7sab. Parallélogramme : deux vecteurs égaux, walla des diagonales 3andhom nafs le milieu. Triangle rectangle : les carrés des trois côtés, w la réciproque de Pythagore 3la akbar wa7ed. Ama 9bal koll chay, figure : hiya elli t9ollek chnouwa tthabbet. »

Activité

Lire un trajet sur un graphique

Un cycliste et une voiture partent du même endroit, sur la même route. Le graphique donne la distance $d$ parcourue, en kilomètres, en fonction du temps $t,$ en heures, compté depuis le départ du cycliste.

1.À quel instant part chacun des deux ?
2.Le cycliste parcourt $60$ km en $3$ heures ; la voiture parcourt $90$ km entre $t = 1$ et $t = 2{,}5.$ Calcule la vitesse de chacun, en km/h.
3.Lis sur le graphique l'instant et la position de leur rencontre, puis vérifie-les par le calcul.

Sur ce graphique, un segment de droite, c'est une vitesse constante : la distance parcourue est alors une fonction affine du temps.

Le cycliste en bleu, la voiture en rouge.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fil graphique hedha, n9raw zouz trajets. El cycliste yo5rej fi l'instant zéro, w el karhba une heure ba3dou, men nafs el blasa. El cycliste ya3mel 60 kilomètres fi 3 heures : 20 kilomètres par heure. El karhba ta3mel 90 kilomètres fi une heure et demie : 60 kilomètres par heure. Les deux segments yetla9aw fi R : hedhi la rencontre, ba3d une heure et demie, b 30 kilomètres mel départ. »

Propriété

Droites parallèles et fonctions affines

Dans un repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}),$ soient $f$ et $g$ deux fonctions affines de même coefficient $a$ : $f(x) = ax + b$ et $g(x) = ax + c.$

Leurs représentations graphiques $D$ et $D'$ sont parallèles. Le coefficient $a$ fixe la direction de la droite ; la constante ne fait que la glisser vers le haut ou vers le bas.

À l'inverse, si les coefficients de $f$ et de $g$ sont différents, leurs représentations graphiques ont deux directions différentes : les droites sont sécantes.

Même coefficient −2 : même direction, droites parallèles.

même coefficient

f(x) = ax + b,\

g(x) = ax + c \ \Rightarrow\ D

D'

sont parallèles

Exemple traité

Dans un repère, $D$ représente $f(x) = -2x$ et $D'$ représente $g(x) = -2x + 1.$ Sur quelle droite se trouve le point $A(1\,;-1)$ ? Comparer les vecteurs $\overrightarrow{JA}$ et $\overrightarrow{OC},$ où $J(0\,;1)$ et $C(1\,;-2).$

1
Le point A
$g(1) = -2 \times 1 + 1 = -1$ : c'est l'ordonnée de $A,$ donc $A$ est sur $D'.$ De même $g(0) = 1$ : $J$ est sur $D'.$ Et $f(1) = -2$ : $C$ est sur $D.$
$g(1) = -1 \quad ; \quad$ $g(0) = 1 \quad ; \quad$ $f(1) = -2$
2
Les vecteurs
Le vecteur $\overrightarrow{JA}$ a pour composantes $1 - 0 = 1$ et $-1 - 1 = -2$ ; le vecteur $\overrightarrow{OC}$ a pour composantes $1$ et $-2.$
$\overrightarrow{JA}\begin{pmatrix} 1 - 0 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \quad ; \quad$ $\overrightarrow{OC}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$
3
La conclusion
Mêmes composantes : les vecteurs $\overrightarrow{JA}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont égaux. Les droites $D'$ et $D$ ont donc la même direction : elles sont parallèles.
$A \in D' \ ; \$ $\overrightarrow{JA} = \overrightarrow{OC} \ ; \$ $D \parallel D'$

A \in D' \ ; \

\overrightarrow{JA} = \overrightarrow{OC} \ ; \

D \parallel D'

L’erreur à ne pas faire

$f(x) = 2x + 3$ et $g(x) = 3x + 2$ : mêmes nombres, donc droites parallèles.Seul le coefficient de $x$ compte : $2 \ne 3,$ les droites sont sécantes.
Le coefficient fixe la direction ; la constante ne fait que déplacer la droite. Deux coefficients différents donnent deux directions différentes.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz fonctions affines 3andhom nafs le coefficient a : les droites mte3hom parallèles. 3lech ? Bin x égale 0 w x égale 1, koll wa7da tzid 1 w tatla3 b a. Nafs les composantes, vecteurs égaux, droites parallèles. W la constante, ma ta3mel ken t7arrek la droite lel fou9 walla lel louta. »

Méthode

Choisir son repère

Un repère n'est pas toujours donné : on peut le choisir dans la figure, pour démontrer par le calcul.

Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC].$ Prenons le repère $(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$ : il n'est, en général, ni orthogonal ni normé, mais il suffit pour les milieux et les vecteurs. On y lit $A(0\,;0),$ $C(1\,;0)$ et $B(0\,;1),$ donc $I\left(0\,;\tfrac{1}{2}\right)$ et $J\left(\tfrac{1}{2}\,;0\right).$

Alors $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ : les composantes de $\overrightarrow{IJ}$ sont la moitié de celles de $\overrightarrow{BC}.$ Donc $\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC},$ et l'on retrouve la droite des milieux : $(IJ)$ est parallèle à $(BC),$ et $IJ = \tfrac{1}{2}\,BC.$

Le repère (A, AC, AB), pris dans la figure elle-même.

la droite des milieux, par le calcul

\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}

Exemple traité

Dans le repère $(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$ ci-dessus, soit $K$ le milieu de $[BC].$ Montrer que $AIKJ$ est un parallélogramme.

1
Le point K
$K\left(\dfrac{0 + 1}{2}\,;\dfrac{1 + 0}{2}\right) = K\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$
2
Deux vecteurs
Le vecteur $\overrightarrow{AI}$ a pour composantes $0$ et $\tfrac{1}{2}$ ; le vecteur $\overrightarrow{JK}$ a pour composantes $\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0$ et $\tfrac{1}{2} - 0 = \tfrac{1}{2}.$
$\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \quad ; \quad$ $\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
3
La conclusion
Mêmes composantes : les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{JK}$ sont égaux, donc $AIKJ$ est un parallélogramme.

AIKJ

est un parallélogramme

L’erreur à ne pas faire

Dans le repère $(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$ : $BC = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$ Ce repère sert aux milieux, aux vecteurs, à l'alignement — pas à la formule de la distance. Le rapport de deux vecteurs colinéaires, oui : c'est ainsi qu'on obtient $IJ = \tfrac{1}{2}\,BC.$
La formule de la distance suppose un repère orthonormé. Sur la figure, $AB$ et $AC$ n'ont pas la même longueur, et l'angle en $A$ n'est pas droit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Sa3at le repère mouch mo3ti : ne5tarouh a7na fil figure. Hna, I w J les milieux de AB w de AC, w na5dhou le repère A, AC, AB. A de coordonnées 0 w 0, C 1 w 0, B 0 w 1. Les milieux yet7asbou wa7adhom, w nel9aw le vecteur IJ égale un demi fois le vecteur BC : hedhi la droite des milieux, démontrée bel 7sab. Rod belek : le repère hedha, en général, mouch orthonormé : la formule de la distance ma temchich fih. »

À retenir

1.
Sur une droite de repère $(O, \overrightarrow{OI})$ : $\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}$ et $\overline{AB} = x_B - x_A.$
2.
Si $OI = 1,$ la distance est $AB = |x_B - x_A|.$
3.
Dans le plan : $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$ s'écrit $M(x\,;y),$ l'abscisse d'abord.
4.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ : arrivée moins départ. Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes.
5.
Le milieu : la moyenne des abscisses, la moyenne des ordonnées.
6.
Vecteurs colinéaires : composantes proportionnelles. $A,$ $B,$ $C$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.
7.
Dans un repère orthonormé seulement : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$
8.
Deux fonctions affines de même coefficient ont des représentations graphiques parallèles.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Utiliser l'abscisse d'un point dans le repère $(O, \overrightarrow{OI})$ d'une droite
Calculer une mesure algébrique $\overline{AB}$ , une distance et un milieu sur une droite
Lire les coordonnées d'un point et calculer les composantes d'un vecteur dans un repère du plan
Prouver avec les composantes que deux vecteurs sont égaux ou colinéaires, et que trois points sont alignés
Calculer une distance dans un repère orthonormé et reconnaître la nature d'une figure
Lire un graphique, et reconnaître deux droites parallèles au coefficient de deux fonctions affines

Un point, un nombre

Sur une droite $\Delta$ , on choisit deux points distincts $O$ et $I$ . On dit que $(O, \overrightarrow{OI})$ est un repère cartésien de $\Delta$ : $O$ est l'origine, et le vecteur $\overrightarrow{OI}$ donne à la fois le sens et l'unité.

Sur la figure, les points $A$ , $B$ et $C$ ont pour abscisses respectives $-2$ , $1{,}5$ et $3$ .

Écris les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}$ .
Place le point $D$ tel que $\overrightarrow{OD} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OI}$ . Quelle est son abscisse ?
Soit $M$ un point de $\Delta$ d'abscisse $x$ . Écris $\overrightarrow{OM}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}$ .

Chaque point de la droite reçoit un nombre : son abscisse.

Abscisse d'un point, milieu d'un segment

Soit $\Delta$ une droite munie d'un repère cartésien $(O, \overrightarrow{OI})$ et $M$ un point de $\Delta$ . L'abscisse de $M$ est l'unique réel $x_M$ tel que

\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}.

Le point $O$ a pour abscisse $0$ et le point $I$ a pour abscisse $1$ .

Si $A$ et $B$ sont deux points de $\Delta$ , le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour abscisse la moyenne des deux abscisses.

\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}

x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}

Le piège

$x_K = \dfrac{x_B - x_A}{2} = \dfrac{7 - (-3)}{2} = 5$

$x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2} = 2$

La demi-différence donne la moitié de la longueur $AB$ : c'est la distance de $K$ à chaque extrémité, pas sa position sur la droite.

Mesure algébrique et distance sur une droite

Soient $A$ et $B$ deux points de $\Delta$ , d'abscisses $x_A$ et $x_B$ . Alors

\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI}.

Le réel $x_B - x_A$ s'appelle la mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{AB}$ , et on la note $\overline{AB}$ . Elle se lit « de $A$ vers $B$ » : abscisse d'arrivée moins abscisse de départ. Son signe dit le sens : positif si l'on va dans le sens de $\overrightarrow{OI}$ , négatif sinon.

Quand $OI = 1$ , on dit que le vecteur $\overrightarrow{OI}$ est unitaire ; la distance $AB$ est alors la mesure algébrique sans son signe : $AB = |x_B - x_A|$ .

Inversement, pour un réel $d > 0$ , il y a deux points $M$ de $\Delta$ tels que $AM = d$ , un de chaque côté de $A$ : leurs abscisses sont $x_A + d$ et $x_A - d$ . Et les points $M$ tels que $AM < d$ sont ceux du segment entre ces deux points : $|x_M - x_A| < d$ équivaut à $x_A - d < x_M < x_A + d$ .

Deux conséquences servent tout le temps :

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ équivaut à $x_B - x_A = x_D - x_C$ ;
$\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$ équivaut à $x_B - x_A = k\,(x_D - x_C)$ .

\overline{AB} = x_B - x_A

AB = |x_B - x_A|

\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} \iff \overline{AB} = k\,\overline{CD}

Le piège

$\overline{AB} = x_A - x_B$

$\overline{AB} = x_B - x_A$

On part de $A$ pour arriver en $B$ : c'est l'abscisse d'arrivée moins celle de départ. Inverser l'ordre change le signe, donc le sens du vecteur.

Le piège

$A$ d'abscisse $3$ , $B$ d'abscisse $-2$ : $AB = -2 - 3 = -5$

$AB = |-2 - 3| = 5$

Une distance est toujours positive. La mesure algébrique porte un signe ; la distance l'efface, avec la valeur absolue.

Le piège

$AM = 2$ et $x_A = -2$ : $x_M = -2 + 2 = 0$ , un seul point.

$x_M = 0$ ou $x_M = -4$ : deux points, un de chaque côté de $A$ .

Une distance ne dit pas de quel côté on va. Sur la droite, on s'éloigne de $A$ de $2$ unités vers la droite ou vers la gauche : il y a deux points.

Le piège

$x_B = 3$ et $BM < 1$ : $x_M - 3 < 1$ , donc $x_M < 4$ .

$|x_M - 3| < 1$ , donc $2 < x_M < 4$ .

Une distance se lit dans les deux sens : $M$ peut être à gauche ou à droite de $B$ . La valeur absolue donne deux inégalités, et les points cherchés forment un segment autour de $B$ , pas une demi-droite.

Deux axes, deux nombres

Trois points $O$ , $I$ et $J$ non alignés donnent un repère cartésien du plan, noté $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ . La droite $(OI)$ est l'axe des abscisses, la droite $(OJ)$ l'axe des ordonnées.

Soit $M$ un point du plan. La parallèle à $(OJ)$ passant par $M$ coupe $(OI)$ en $N$ ; la parallèle à $(OI)$ passant par $M$ coupe $(OJ)$ en $P$ .

Quelle est la nature du quadrilatère $ONMP$ ? Justifie l'égalité $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP}$ .
Sur la figure, $\overrightarrow{ON} = 3\,\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OP} = 2\,\overrightarrow{OJ}$ . Écris $\overrightarrow{OM}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}$ et de $\overrightarrow{OJ}$ .
Les axes de la figure ne sont pas perpendiculaires. La construction marche-t-elle quand même ?

Deux parallèles aux axes, et le point M se lit : 3 et 2.

Coordonnées d'un point

Soit $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ un repère cartésien du plan et $M$ un point du plan. Le couple de coordonnées de $M$ est l'unique couple de réels $(x\,;y)$ tel que

\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}.

Le réel $x$ est l'abscisse de $M$ , le réel $y$ son ordonnée. On écrit $M(x\,;y)$ , l'abscisse toujours en premier.

\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ} \iff M(x\,;y)

Le piège

$B(4\,;0)$

$B(0\,;4)$

Le $4$ multiplie le vecteur $\overrightarrow{OJ}$ : c'est l'ordonnée. Le point $B$ est sur l'axe des ordonnées, et son abscisse, absente de l'écriture, vaut $0$ .

Composantes d'un vecteur

Soient $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ deux points du plan. Alors

\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI} + (y_B - y_A)\,\overrightarrow{OJ}.

Le couple $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ est le couple de composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$ . On l'écrit en colonne, à côté du vecteur.

Comme sur la droite, c'est arrivée moins départ, une ligne pour chaque axe. Et deux vecteurs sont égaux exactement quand ils ont les mêmes composantes.

De A à B : 3 vers la droite, 2 vers le haut.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}

Le piège

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Ce serait le vecteur $\overrightarrow{BA}$ , de sens contraire. On retranche toujours les coordonnées du point de départ.

Coordonnées du milieu d'un segment

Dans un repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ , le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de $A$ et de $B$ :

x_K = \frac{x_A + x_B}{2} \quad ; \quad y_K = \frac{y_A + y_B}{2}.

C'est la règle de la droite, appliquée à chacun des deux axes.

La même égalité se lit dans l'autre sens. Si $K$ est le milieu de $[AB]$ , c'est-à-dire si $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $K$ , alors $x_B = 2\,x_K - x_A$ et $y_B = 2\,y_K - y_A$ .

K\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Le piège

$K(-2\,;3)$

$K(-1\,;3)$

La somme $2 + (-4) = -2$ n'est que la moitié du travail : il faut la diviser par $2$ , pour l'abscisse comme pour l'ordonnée.

Vecteurs colinéaires, points alignés

Pour un réel $k$ , les composantes de $k\,\overrightarrow{AB}$ sont celles de $\overrightarrow{AB}$ multipliées par $k$ . Donc $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$ équivaut à $x_B - x_A = k\,(x_D - x_C)$ et $y_B - y_A = k\,(y_D - y_C)$ .

Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires quand leurs composantes sont proportionnelles. On le vérifie comme dans un tableau de proportionnalité, par le produit en croix : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires lorsque $x\,y' = x'\,y$ .

Enfin, trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés exactement quand les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

De même, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement quand les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = k\,(x_D - x_C) \\ y_B - y_A = k\,(y_D - y_C) \end{cases}

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \text{ et } \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \text{ colinéaires} \iff x\,y' = x'\,y

Le piège

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ sont colinéaires : on ajoute $2$ à chaque composante.

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont colinéaires : on multiplie chaque composante par $2$ .

Colinéaire veut dire proportionnel : on multiplie par un même réel $k$ , on n'ajoute pas. Le produit en croix le montre : $2 \times 5 = 10$ et $4 \times 3 = 12$ .

Distance dans un repère orthonormé

Le repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ est dit orthogonal si les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, et orthonormé si, de plus, $OI = OJ = 1$ .

Dans un repère orthonormé, la distance des points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ est

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

En particulier, la distance d'un point $M(x_M\,;y_M)$ à l'origine est $OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}$ .

Le triangle rectangle caché derrière la formule de la distance.

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}

Le piège

$AB = \sqrt{4^2} + \sqrt{(-6)^2} = 4 + 6 = 10$

$AB = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$

La racine d'une somme n'est pas la somme des racines. On additionne les carrés sous la racine, et seulement après on prend la racine.

Le piège

$AB = 4^2 + (-6)^2 = 52$

$AB^2 = 52$ , donc $AB = \sqrt{52}$

La somme des carrés donne $AB^2$ , pas $AB$ : il reste à prendre la racine carrée.

Reconnaître une figure par le calcul

Les coordonnées transforment une question de géométrie en calculs. Trois réflexes :

Un parallélogramme ? Compare deux vecteurs : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , ou lorsque ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
Un triangle rectangle ? Dans un repère orthonormé, calcule les carrés des trois côtés et teste la réciproque du théorème de Pythagore sur le plus grand.
Isocèle, losange, rectangle, carré ? Compare des longueurs. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange ; un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur est un rectangle ; les deux à la fois : un carré.

Et avant tout calcul, une figure : c'est elle qui dit quoi vérifier.

Deux angles droits qui regardent le même segment [AB].

ABCD \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

Le piège

$AB^2 + AC^2 = 10 + 1 = 11 \ne BC^2$ , donc $ABC$ n'est pas rectangle.

On teste le plus grand carré : $AC^2 + BC^2 = 10 = AB^2$ .

La réciproque de Pythagore compare le plus long côté à la somme des deux autres. Additionner deux carrés pris au hasard ne prouve rien.

Lire un trajet sur un graphique

Un cycliste et une voiture partent du même endroit, sur la même route. Le graphique donne la distance $d$ parcourue, en kilomètres, en fonction du temps $t$ , en heures, compté depuis le départ du cycliste.

À quel instant part chacun des deux ?
Le cycliste parcourt $60$ km en $3$ heures ; la voiture parcourt $90$ km entre $t = 1$ et $t = 2{,}5$ . Calcule la vitesse de chacun, en km/h.
Lis sur le graphique l'instant et la position de leur rencontre, puis vérifie-les par le calcul.

Sur ce graphique, un segment de droite, c'est une vitesse constante : la distance parcourue est alors une fonction affine du temps.

Le cycliste en bleu, la voiture en rouge.

Droites parallèles et fonctions affines

Dans un repère $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$ , soient $f$ et $g$ deux fonctions affines de même coefficient $a$ : $f(x) = ax + b$ et $g(x) = ax + c$ .

Leurs représentations graphiques $D$ et $D'$ sont parallèles. Le coefficient $a$ fixe la direction de la droite ; la constante ne fait que la glisser vers le haut ou vers le bas.

À l'inverse, si les coefficients de $f$ et de $g$ sont différents, leurs représentations graphiques ont deux directions différentes : les droites sont sécantes.

Même coefficient −2 : même direction, droites parallèles.

f(x) = ax + b,\ g(x) = ax + c \ \Rightarrow\ D \text{ et } D' \text{ sont parallèles}

Le piège

$f(x) = 2x + 3$ et $g(x) = 3x + 2$ : mêmes nombres, donc droites parallèles.

Seul le coefficient de $x$ compte : $2 \ne 3$ , les droites sont sécantes.

Le coefficient fixe la direction ; la constante ne fait que déplacer la droite. Deux coefficients différents donnent deux directions différentes.

Choisir son repère

Un repère n'est pas toujours donné : on peut le choisir dans la figure, pour démontrer par le calcul.

Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ . Prenons le repère $(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$ : il n'est, en général, ni orthogonal ni normé, mais il suffit pour les milieux et les vecteurs. On y lit $A(0\,;0)$ , $C(1\,;0)$ et $B(0\,;1)$ , donc $I\left(0\,;\tfrac{1}{2}\right)$ et $J\left(\tfrac{1}{2}\,;0\right)$ .

Alors $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ : les composantes de $\overrightarrow{IJ}$ sont la moitié de celles de $\overrightarrow{BC}$ . Donc $\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}$ , et l'on retrouve la droite des milieux : $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ , et $IJ = \tfrac{1}{2}\,BC$ .

Le repère (A, AC, AB), pris dans la figure elle-même.

\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}

Le piège

Dans le repère $(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$ : $BC = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ .

Ce repère sert aux milieux, aux vecteurs, à l'alignement — pas à la formule de la distance. Le rapport de deux vecteurs colinéaires, oui : c'est ainsi qu'on obtient $IJ = \tfrac{1}{2}\,BC$ .

La formule de la distance suppose un repère orthonormé. Sur la figure, $AB$ et $AC$ n'ont pas la même longueur, et l'angle en $A$ n'est pas droit.

À retenir

Sur une droite de repère $(O, \overrightarrow{OI})$ : $\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}$ et $\overline{AB} = x_B - x_A$ .
Si $OI = 1$ , la distance est $AB = |x_B - x_A|$ .
Dans le plan : $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$ s'écrit $M(x\,;y)$ , l'abscisse d'abord.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ : arrivée moins départ. Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes.
Le milieu : la moyenne des abscisses, la moyenne des ordonnées.
Vecteurs colinéaires : composantes proportionnelles. $A$ , $B$ , $C$ alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires.
Dans un repère orthonormé seulement : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
Deux fonctions affines de même coefficient ont des représentations graphiques parallèles.

Ce qu’il t’explique

Un point, un nombre

Abscisse d'un point, milieu d'un segment

Mesure algébrique et distance sur une droite

Deux axes, deux nombres

Coordonnées d'un point

Composantes d'un vecteur

Coordonnées du milieu d'un segment

Vecteurs colinéaires, points alignés

Distance dans un repère orthonormé

Reconnaître une figure par le calcul

Lire un trajet sur un graphique

Droites parallèles et fonctions affines

Choisir son repère

À toi, au tableau

De B vers A

Le milieu

Lire une abscisse

Un vecteur à l'envers

Le milieu sur une droite

L'autre extrémité

Une distance

Trois points alignés

Une droite parallèle

Le symétrique d'un point

Un autre repère

Une abscisse négative

Le quatrième sommet

L'aire d'un triangle

Une égalité de vecteurs

Nouvelle origine, nouvelle unité

Même milieu

Du milieu aux extrémités

À égale distance

Deux fois plus loin

Changer de repère

Trois vecteurs de somme nulle

Des milieux sur les axes

Un paramètre au carré

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Un point, un nombre

Abscisse d'un point, milieu d'un segment

Mesure algébrique et distance sur une droite

Deux axes, deux nombres

Coordonnées d'un point

Composantes d'un vecteur

Coordonnées du milieu d'un segment

Vecteurs colinéaires, points alignés

Distance dans un repère orthonormé

Reconnaître une figure par le calcul

Lire un trajet sur un graphique

Droites parallèles et fonctions affines

Choisir son repère

À retenir