Activités numériques I

Ensembles de nombres, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM, entiers premiers entre eux, ordre dans R, intervalles, encadrement, valeur absolue.

10 sections · 104 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Tout le chapitre tient dans une idée : avant de calculer avec un nombre, il faut savoir quel nombre c'est. Est-ce un entier ? Un décimal ? Une fraction qui ne tombe pas juste ? Un nombre qu'on ne peut écrire qu'avec un symbole, comme $\sqrt{2}$ ?

On apprend ensuite à les ranger — comparer, encadrer — et à mesurer la distance qui les sépare, avec la valeur absolue. Ce sont les outils de toute l'année : on s'en sert dans chaque chapitre qui suit.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître à quel ensemble appartient un nombre : $\mathbb{N},$ $\mathbb{Z},$ $\mathbb{D},$ $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers, et en déduire la liste de ses diviseurs
Déterminer le PGCD et le PPCM de deux entiers à partir de leurs décompositions
Utiliser $\mathrm{PPCM}(a,b) \times \mathrm{PGCD}(a,b) = a \times b$
Reconnaître deux entiers premiers entre eux, et rendre une fraction irréductible
Comparer deux réels en étudiant le signe de leur différence
Traduire une inégalité par un intervalle, et calculer une intersection ou une réunion
Encadrer une somme, un produit, une différence à partir d'encadrements donnés
Calculer une valeur absolue, l'interpréter comme une distance, et résoudre $|A| = k$

Activité

Toutes les fractions se ressemblent-elles ?

On considère les quatre nombres suivants :

$\displaystyle A = \frac{12}{4} \quad ; \quad$ $\displaystyle B = \frac{7}{2} \quad ; \quad$ $\displaystyle C = \frac{1}{7} \quad ; \quad$ $\displaystyle D = \sqrt{16}$

1.Donne l'écriture décimale de chacun d'eux.
2.Lesquelles de ces écritures s'arrêtent ? Laquelle ne s'arrête jamais ?
3.Que remarques-tu à propos de $A$ et de $D$ ?

Cherche avant de lire la suite : c'est ce que tu vas observer qui justifie tout le vocabulaire du chapitre.

Ce qu’on observe

Ce que donnent les quatre calculs.

1
A et D
Les deux tombent sur un entier, malgré des écritures très différentes.
$A = \frac{12}{4} = 3 \quad ; \quad$ $D = \sqrt{16} = 4$
2
B
L'écriture décimale s'arrête après un chiffre.
$B = \frac{7}{2} = 3{,}5$
3
C
Ici l'écriture ne s'arrête pas : elle répète indéfiniment le même groupe de chiffres.
$C = \frac{1}{7} = 0{,}142857\,142857\dots$

Quatre écritures, trois comportements différents

L’erreur à ne pas faire

Une fraction n'est jamais un entier $\dfrac{12}{4} = 3$ est un entier
L'écriture d'un nombre ne dit pas à quelle famille il appartient. Il faut d'abord calculer.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Barra nabdaw b une activité. 3andna quatre nombres : A, B, C et D. A7seb l'écriture décimale mte3 koll wa7ed. W chouf anhi écriture tekmel, w anhi ma tekmelch. Elli bech tlé7edh, houwa elli bech yfassarelna les ensembles el koll. »

Définition

Les ensembles de nombres

Les nombres se rangent dans des familles emboîtées : chaque famille contient toutes les précédentes.

$\mathbb{N}$ — les entiers naturels : $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $\dots$
$\mathbb{Z}$ — les entiers relatifs : on ajoute les négatifs, $\dots,$ $-2,$ $-1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $\dots$
$\mathbb{D}$ — les décimaux : ceux qui s'écrivent $\dfrac{a}{10^{n}}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N},$ c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres après la virgule
$\mathbb{Q}$ — les rationnels : ceux qui s'écrivent $\dfrac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^{*}$
$\mathbb{R}$ — les réels : tous les précédents, plus les irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$

Retiens le sens de lecture : un entier est toujours un décimal, mais un décimal n'est pas toujours un entier.

L'emboîtement

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Exemple traité

Ranger chacun de ces nombres dans le plus petit ensemble qui le contient : $-4 \ ; \$ $2{,}75 \ ; \$ $\dfrac{1}{3} \ ; \$ $\sqrt{9} \ ; \$ $\pi$

1
On calcule d'abord
$\sqrt{9}$ n'est pas irrationnel : c'est un entier déguisé.
$\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$
2
$-4$ est entier mais négatif.
$-4 \in \mathbb{Z}$
3
$2{,}75$ a deux chiffres après la virgule : il s'écrit sur une puissance de 10.
$2{,}75 = \frac{275}{100} \in \mathbb{D}$
4
$\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots$ ne s'arrête jamais : c'est une fraction, mais pas un décimal.
$\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ et $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$
5
$\pi$ ne s'écrit sous forme de fraction d'aucune manière.
$\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

L’erreur à ne pas faire

$\sqrt{9}$ est irrationnel $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$
Le symbole racine ne rend pas un nombre irrationnel. On calcule d'abord, on classe ensuite.
$\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}$ $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ seulement
Un décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule. $0{,}333\dots$ n'en a pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma ta7seb, rodd belek : chaque nombre 3andou 3a2iltou. 3andna les entiers naturels, les entiers relatifs, les décimaux, les rationnels et les réels. W hedhouma dekhlin fi ba3dhhom. »

Activité

Remplir une caisse sans rien couper

Un magasinier veut ranger des boîtes cubiques d'arête $a$ (en centimètres, $a$ entier) dans une caisse en forme de parallélépipède rectangle, de dimensions $105$ cm, $105$ cm et $165$ cm.

1.On suppose $a = 21.$ Peut-on remplir entièrement la caisse ?
2.Quelle condition $a$ doit-il vérifier pour que la caisse soit entièrement remplie ?
3.On veut que la caisse soit entièrement remplie avec le moins de boîtes possible. Détermine $a.$

La question 2 est celle qui compte : elle ne demande pas un calcul mais une condition. Et cette condition porte un nom, qu'on va lui donner juste après.

Ce qu’on observe

Répondre à la question 1, puis dégager la condition sur $a.$

1
Avec a égal à 21
On regarde si $21$ tombe juste dans chaque dimension.
$105 = 21 \times 5 \quad ; \quad$ $165 = 21 \times 7 + 18$
2
$165$ n'est pas un multiple de $21$ : il resterait une bande de $18$ cm. La caisse ne peut pas être entièrement remplie.
3
La condition
Pour que rien ne reste, $a$ doit tomber juste dans les trois dimensions : $a$ doit être un diviseur commun de $105$ et de $165.$
4
Et pour avoir le moins de boîtes possible, il faut les prendre les plus grosses : $a$ doit être le plus grand de ces diviseurs communs.

a

divise

105

165

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Rodd belek 3al question numéro 2. Ma fihech calcul, fiha condition. Lezem a ydiviser 105 w ydiviser 165, ma3neha un diviseur commun. W ken t7ebb a9all ma yomken men boîtes, tekhou el akbar : le plus grand diviseur commun. Hedha houwa le PGCD. »

Définition

Décomposition en produit de facteurs premiers

Un entier naturel est premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers sont $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19,$ $23,$ $\dots$

Tout entier naturel non nul et différent de $1$ se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est la carte d'identité du nombre : elle donne d'un coup tous ses diviseurs, son PGCD avec un autre, son PPCM.

Pour décomposer, on divise par les nombres premiers dans l'ordre croissant, aussi longtemps que possible.

décomposition de 126

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

décomposition de 210

210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7

Exemple traité

Décompose $126$ en produit de facteurs premiers, puis donner la liste de tous ses diviseurs.

1
On divise, dans l'ordre
$126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7$
2
On regroupe les facteurs égaux en puissances.
$126 = 2 \times 3^{2} \times 7$
3
Les diviseurs
Un diviseur de $126$ s'obtient en prenant $2$ au plus une fois, $3$ zéro, une ou deux fois, et $7$ au plus une fois.
4
$1,\$ $2,\$ $3,\$ $6,\$ $7,\$ $9,\$ $14,\$ $18,\$ $21,\$ $42,\$ $63,\$ $126$

126 = 2 \times 3^{2} \times 7 \quad (12 \text{ diviseurs})

L’erreur à ne pas faire

$1$ est un nombre premier. $1$ n'est pas premier.
Un premier a exactement deux diviseurs. $1$ n'en a qu'un, lui-même. C'est aussi pourquoi l'énoncé exclut $1$ de la décomposition.
$126 = 2 \times 63,$ c'est décomposé. $126 = 2 \times 3^{2} \times 7$
$63$ n'est pas premier : la décomposition n'est finie que quand tous les facteurs sont premiers.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Koll entier naturel akbar men 1 najjmou nektbouh produit de facteurs premiers. W hedhi el décomposition hiya bta9et et ta3rif mte3ou : ta3tik les diviseurs, le PGCD et le PPCM. Tdiviser par 2, men ba3d par 3, men ba3d par 5, 7atta ma yeb9a ken des nombres premiers. »

Propriété

PGCD et PPCM

Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

Le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$ s'appelle le plus grand commun diviseur, noté $\mathrm{PGCD}(a,b)$ ;
le plus petit multiple commun non nul à $a$ et $b$ s'appelle le plus petit commun multiple, noté $\mathrm{PPCM}(a,b).$

Les deux se lisent directement sur les décompositions : pour le PGCD on garde les facteurs communs, avec le plus petit exposant ; pour le PPCM on garde tous les facteurs, avec le plus grand exposant.

Deux résultats à connaître, et le second est un outil de calcul :

a

est un multiple non nul de

b,

alors

\mathrm{PPCM}(a,b) = a

le produit

\mathrm{PPCM}(a,b) \times \mathrm{PGCD}(a,b) = a \times b

Exemple traité

Déterminer $\mathrm{PGCD}(126,210)$ et $\mathrm{PPCM}(126,210),$ puis vérifier la relation du produit.

1
Les décompositions
$126 = 2 \times 3^{2} \times 7 \quad ; \quad$ $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$
2
PGCD : plus petit exposant
Communs : $2,$ $3$ et $7.$ L'exposant de $3$ est $2$ d'un côté, $1$ de l'autre : on garde $1.$ Le facteur $5$ n'est pas commun.
$\mathrm{PGCD}(126,210) = 2 \times 3 \times 7 = 42$
3
PPCM : plus grand exposant
$\mathrm{PPCM}(126,210) = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 7 = 630$
4
La vérification
$42 \times 630 = 26\,460$ et $126 \times 210 = 26\,460$

\mathrm{PGCD} = 42 \quad ; \quad

\mathrm{PPCM} = 630

L’erreur à ne pas faire

$\mathrm{PGCD}(126,210) = 2 \times 3^{2} \times 7$ $\mathrm{PGCD}(126,210) = 2 \times 3 \times 7$
Pour le PGCD on prend le plus petit exposant de chaque facteur commun. $3^{2}$ ne divise pas $210.$
Le PPCM est plus petit que le PGCD. $\mathrm{PGCD}(a,b) \le a \le \mathrm{PPCM}(a,b)$
Un diviseur commun ne dépasse pas les nombres, un multiple commun ne leur est pas inférieur. Si tu trouves l'inverse, tu les as échangés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3ala el décompositions, ezzouz na9rawhom direct. Le PGCD : les facteurs communs, au plus petit exposant. Le PPCM : tous les facteurs, au plus grand exposant. W tfakker la relation : le PPCM fois le PGCD égale a fois b. Hedhi tokhdmek ki ta3ref wa7ed menhom w t7ebb tal9a el e5er. »

Définition

Entiers premiers entre eux, fraction irréductible

Si deux entiers naturels ont pour seul diviseur commun $1,$ on dit qu'ils sont premiers entre eux. Autrement dit : $a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1.$

Attention au vocabulaire : $25$ et $28$ sont premiers entre eux, et pourtant ni l'un ni l'autre n'est un nombre premier. « Premier » et « premiers entre eux » sont deux notions différentes.

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux. C'est à cela que sert le PGCD : diviser le numérateur et le dénominateur une seule fois par $\mathrm{PGCD}(a,b)$ rend la fraction irréductible d'un coup, sans tâtonner.

\frac{a}{b} \text{ irréductible} \iff \mathrm{PGCD}(a,b) = 1

Exemple traité

Rends la fraction $\dfrac{175}{196}$ irréductible.

1
Les décompositions
$175 = 5^{2} \times 7 \quad ; \quad$ $196 = 2^{2} \times 7^{2}$
2
Le PGCD
Le seul facteur commun est $7,$ avec l'exposant $1.$
$\mathrm{PGCD}(175,196) = 7$
3
On divise haut et bas par $7,$ une seule fois.
$\frac{175}{196} = \frac{175 \div 7}{196 \div 7} = \frac{25}{28}$
4
Contrôle : $25 = 5^{2}$ et $28 = 2^{2} \times 7$ n'ont aucun facteur commun, donc $\mathrm{PGCD}(25,28) = 1.$ La fraction est bien irréductible.

\frac{175}{196} = \frac{25}{28}

L’erreur à ne pas faire

$25$ et $28$ ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils ne sont pas premiers. $\mathrm{PGCD}(25,28) = 1,$ donc ils sont premiers entre eux.
« Premier entre eux » ne parle pas de chaque nombre mais du couple : on regarde seulement leurs diviseurs communs.
$\dfrac{126}{210} = \dfrac{63}{105},$ c'est irréductible. $\dfrac{126}{210} = \dfrac{3}{5}$
Diviser par $2$ simplifie, mais ne termine pas : $63$ et $105$ ont encore $21$ en diviseur commun. Diviser par le PGCD, lui, termine du premier coup.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz entiers premiers entre eux ma3neha le seul diviseur commun mte3hom houwa 1. Ya3ni le PGCD égale 1. Rodd belek : 25 w 28 premiers entre eux, ama la 25 la 28 mahoumech premiers. Zouz hkayet mokhtalfa. W hedha houwa elli yokhdem fraction irréductible : tdiviser marra wa7da par le PGCD. »

Propriété

Comparer deux réels

Comparer $a$ et $b,$ ce n'est pas les regarder : c'est étudier le signe de $a - b$ . C'est la seule méthode qui marche toujours, même quand les deux nombres se ressemblent.

Ensuite, trois règles gouvernent tout le chapitre :

on peut ajouter le même nombre aux deux membres, le sens ne change pas ;
on peut multiplier par un nombre strictement positif, le sens ne change pas ;
si on multiplie par un nombre strictement négatif, le sens change.

Cette dernière règle est celle qui coûte le plus de points dans l'année. Elle reviendra au chapitre des inéquations.

Le principe

a < b \iff a - b < 0

Addition

a < b \ \Rightarrow \ a + c < b + c

Par un positif

a < b

c > 0 \ \Rightarrow \ ac < bc

Par un négatif

a < b

c < 0 \ \Rightarrow \ ac > bc

Exemple traité

Comparer $A = \dfrac{5}{7}$ et $B = \dfrac{7}{9}.$

1
Même dénominateur
On choisit $7 \times 9 = 63.$
$A = \frac{45}{63} \quad ; \quad$ $B = \frac{49}{63}$
2
On calcule la différence.
$A - B = \frac{45 - 49}{63} = -\frac{4}{63}$
3
Cette différence est négative.
$A - B < 0$

A < B

L’erreur à ne pas faire

$-2x < 6 \ \Rightarrow \ x < -3$ $-2x < 6 \ \Rightarrow \ x > -3$
On a divisé par $-2,$ qui est négatif : le sens de l'inégalité s'inverse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech ncomparer deux réels, ma n7akmouch bel 3in : na7sbou le signe de a moins b. Hedhi hiya la seule méthode elli tekhdem dima, 7atta ki les deux nombres yetchebhou. W ba3d 3andna trois règles. L'addition ma tbaddelch le sens. La multiplication par un nombre positif zeda ma tbaddelch. Amma par un nombre négatif, le sens yetbaddel. »

Définition

Les intervalles de R

Un intervalle est un morceau de la droite des réels, sans trou. On l'écrit avec deux bornes et deux crochets, et le crochet dit tout :

crochet fermé $[\ ]$ : la borne est prise ;
crochet ouvert $]\ [$ : la borne n'est pas prise.

Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert : $+\infty$ n'est pas un nombre, on ne peut pas l'atteindre.

Pour l'intersection $I \cap J,$ on garde ce qui est dans les deux ; pour la réunion $I \cup J,$ ce qui est dans au moins un des deux. Trace toujours les deux intervalles l'un sous l'autre avant de conclure — c'est plus sûr que de le faire de tête.

Fermé

[a\,;b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}

Ouvert

]a\,;b[ \ = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}

Non borné

]-\infty\,;a] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \le a \}

Exemple traité

Soient $I = [-3\,;5[$ et $J = \,]1\,;7].$ Déterminer $I \cap J$ puis $I \cup J.$

1
Bornes de gauche
Pour l'intersection, on garde la plus grande : entre $-3$ et $1,$ c'est $1,$ et il est exclu de $J.$
$1 \notin J \ \Rightarrow \ 1 \notin I \cap J$
2
Pour l'intersection, on garde la plus petite borne de droite : entre $5$ et $7,$ c'est $5,$ exclu de $I.$
$I \cap J = \,]1\,;5[$
3
Pour la réunion, les deux morceaux se recouvrent : on va de la plus petite borne à la plus grande.
$I \cup J = [-3\,;7]$

L’erreur à ne pas faire

$]-\infty\,;3]$ s'écrit $[-\infty\,;3]$ $]-\infty\,;3]$
$-\infty$ n'est pas un nombre : il n'appartient à aucun intervalle, donc son crochet est toujours ouvert.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'intervalle houwa 9et3a mel droite réelle, ma fihech 7atta trou. W le crochet houwa elli y9oul el koll : crochet fermé ma3neha la borne mettekhdha, crochet ouvert ma3neha la borne mahich mettekhdha. W men na7yet l'infini, le crochet dima ouvert. 5ater l'infini n'est pas un nombre : on ne peut pas l'atteindre. »

Méthode

Encadrer et approcher

Encadrer un nombre $x,$ c'est trouver deux nombres connus $a$ et $b$ tels que $a \le x \le b.$ La différence $b - a$ s'appelle l'amplitude de l'encadrement : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.

Pour combiner deux encadrements :

somme : on ajoute les bornes de gauche entre elles, et celles de droite entre elles ;
différence : on n'a pas le droit de soustraire membre à membre. On encadre d'abord $-y$ — les bornes s'échangent et changent de signe — puis on additionne ;
produit de nombres positifs : on multiplie les bornes de gauche entre elles, et celles de droite entre elles.

Somme

a \le x \le b

c \le y \le d \ \Rightarrow \ a + c \le x + y \le b + d

Opposé

c \le y \le d \ \Rightarrow \ -d \le -y \le -c

Exemple traité

On sait que $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$ et $1{,}73 < \sqrt{3} < 1{,}74.$ Encadrer $\sqrt{2} + \sqrt{3},$ puis $\sqrt{2} - \sqrt{3}.$

1
Somme
On additionne les bornes de gauche, puis celles de droite.
$1{,}41 + 1{,}73 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1{,}42 + 1{,}74$
2
$3{,}14 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3{,}16$
3
Différence
On encadre d'abord $-\sqrt{3}$ : les bornes s'échangent et changent de signe.
$-1{,}74 < -\sqrt{3} < -1{,}73$
4
Puis on additionne, comme pour une somme.
$1{,}41 - 1{,}74 < \sqrt{2} - \sqrt{3} < 1{,}42 - 1{,}73$
5
$-0{,}33 < \sqrt{2} - \sqrt{3} < -0{,}31$

L’erreur à ne pas faire

$1{,}41 - 1{,}73 < \sqrt{2} - \sqrt{3} < 1{,}42 - 1{,}74$ $1{,}41 - 1{,}74 < \sqrt{2} - \sqrt{3} < 1{,}42 - 1{,}73$
On ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre. On passe par l'opposé, dont les bornes s'échangent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Encadrer un nombre ma3neha tal9a deux nombres ta3refhom : un en dessous, w un au-dessus. W l'amplitude hiya la différence binethom : koll ma ton9os, koll ma l'encadrement ywalli ada9. Rodd belek mel ghalta. La somme, nejem3ou les bornes normalement. Amma la différence, ma 3andnach le droit de soustraire membre à membre. Lezem nesta3mlou l'opposé. »

Définition

La valeur absolue

La valeur absolue de $x,$ notée $|x|,$ c'est $x$ débarrassé de son signe. Autrement dit : la distance de $x$ à $0$ sur la droite des réels.

C'est pour ça qu'une valeur absolue n'est jamais négative : une distance ne l'est jamais.

Plus généralement, $|x - y|$ est la distance entre $x$ et $y.$ Cette lecture est souvent plus rapide que le calcul : $|x - 3| = 5$ se lit « les nombres situés à la distance $5$ de $3$ », et on les voit tout de suite.

Définition

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Toujours

|x| \ge 0

|x| = |-x|

Racine d'un carré

\sqrt{x^{2}} = |x|

Produit

|x \times y| = |x| \times |y|

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|x - 3| = 5.$

1
Lecture en distance
On cherche les nombres situés à la distance $5$ de $3.$
$|x - 3| = 5 \iff x - 3 = 5$ ou $x - 3 = -5$
2
Premier cas.
$x - 3 = 5 \iff x = 8$
3
Second cas.
$x - 3 = -5 \iff x = -2$

S = \{-2\,;8\}

L’erreur à ne pas faire

$\sqrt{x^{2}} = x$ $\sqrt{x^{2}} = |x|$
Si $x = -4,$ alors $\sqrt{x^{2}} = \sqrt{16} = 4,$ et non $-4.$ La racine carrée rend toujours un résultat positif.
$|A| = k$ donne une seule solution $|A| = k$ avec $k > 0$ donne $A = k$ ou $A = -k$
Deux nombres opposés sont à la même distance de $0$ : il y a donc deux cas à traiter.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La valeur absolue ma3neha une distance. W une distance 3omrha ma tkoun négative. W ki tal9a une équation avec valeur absolue, lezem ta3mel deux cas. »

À retenir

1.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — on calcule avant de classer.
2.
Tout entier naturel non nul et différent de $1$ se décompose en produit de facteurs premiers.
3.
PGCD : les facteurs communs, au plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs, au plus grand exposant.
4.
$\mathrm{PPCM}(a,b) \times \mathrm{PGCD}(a,b) = a \times b$ — et si $a$ est un multiple de $b,$ alors $\mathrm{PPCM}(a,b) = a.$
5.
Premiers entre eux $\iff \mathrm{PGCD} = 1.$ Ce n'est pas la même chose qu'être premiers.
6.
Diviser par le PGCD rend une fraction irréductible du premier coup.
7.
Comparer $a$ et $b,$ c'est étudier le signe de $a - b.$
8.
Multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse son sens.
9.
Un crochet fermé prend la borne, un crochet ouvert ne la prend pas. Du côté de l'infini, toujours ouvert.
10.
Pour encadrer une différence, on passe par l'opposé : les bornes s'échangent et changent de signe.
11.
$|x|$ est une distance : jamais négative, et $\sqrt{x^{2}} = |x|.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/28

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/24

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/16

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/10
Cours lu: 0/104
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître à quel ensemble appartient un nombre : $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers, et en déduire la liste de ses diviseurs
Déterminer le PGCD et le PPCM de deux entiers à partir de leurs décompositions
Utiliser $\mathrm{PPCM}(a,b) \times \mathrm{PGCD}(a,b) = a \times b$
Reconnaître deux entiers premiers entre eux, et rendre une fraction irréductible
Comparer deux réels en étudiant le signe de leur différence
Traduire une inégalité par un intervalle, et calculer une intersection ou une réunion
Encadrer une somme, un produit, une différence à partir d'encadrements donnés
Calculer une valeur absolue, l'interpréter comme une distance, et résoudre $|A| = k$

Toutes les fractions se ressemblent-elles ?

On considère les quatre nombres suivants :

A = \frac{12}{4} \quad ; \quad B = \frac{7}{2} \quad ; \quad C = \frac{1}{7} \quad ; \quad D = \sqrt{16}

Donne l'écriture décimale de chacun d'eux.
Lesquelles de ces écritures s'arrêtent ? Laquelle ne s'arrête jamais ?
Que remarques-tu à propos de $A$ et de $D$ ?

Cherche avant de lire la suite : c'est ce que tu vas observer qui justifie tout le vocabulaire du chapitre.

Le piège

Une fraction n'est jamais un entier

$\dfrac{12}{4} = 3$ est un entier

L'écriture d'un nombre ne dit pas à quelle famille il appartient. Il faut d'abord calculer.

Les ensembles de nombres

Les nombres se rangent dans des familles emboîtées : chaque famille contient toutes les précédentes.

$\mathbb{N}$ — les entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$
$\mathbb{Z}$ — les entiers relatifs : on ajoute les négatifs, $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\mathbb{D}$ — les décimaux : ceux qui s'écrivent $\dfrac{a}{10^{n}}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ , c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres après la virgule
$\mathbb{Q}$ — les rationnels : ceux qui s'écrivent $\dfrac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^{*}$
$\mathbb{R}$ — les réels : tous les précédents, plus les irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$

Retiens le sens de lecture : un entier est toujours un décimal, mais un décimal n'est pas toujours un entier.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Le piège

$\sqrt{9}$ est irrationnel

$\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$

Le symbole racine ne rend pas un nombre irrationnel. On calcule d'abord, on classe ensuite.

Le piège

$\dfrac{1}{3} \in \mathbb{D}$

$\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ seulement

Un décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule. $0{,}333\dots$ n'en a pas.

Remplir une caisse sans rien couper

Un magasinier veut ranger des boîtes cubiques d'arête $a$ (en centimètres, $a$ entier) dans une caisse en forme de parallélépipède rectangle, de dimensions $105$ cm, $105$ cm et $165$ cm.

On suppose $a = 21$ . Peut-on remplir entièrement la caisse ?
Quelle condition $a$ doit-il vérifier pour que la caisse soit entièrement remplie ?
On veut que la caisse soit entièrement remplie avec le moins de boîtes possible. Détermine $a$ .

La question 2 est celle qui compte : elle ne demande pas un calcul mais une condition. Et cette condition porte un nom, qu'on va lui donner juste après.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Un entier naturel est premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots$

Tout entier naturel non nul et différent de $1$ se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est la carte d'identité du nombre : elle donne d'un coup tous ses diviseurs, son PGCD avec un autre, son PPCM.

Pour décomposer, on divise par les nombres premiers dans l'ordre croissant, aussi longtemps que possible.

126 = 2 \times 3^{2} \times 7

210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7

Le piège

$1$ est un nombre premier.

$1$ n'est pas premier.

Un premier a exactement deux diviseurs. $1$ n'en a qu'un, lui-même. C'est aussi pourquoi l'énoncé exclut $1$ de la décomposition.

Le piège

$126 = 2 \times 63$ , c'est décomposé.

$126 = 2 \times 3^{2} \times 7$

$63$ n'est pas premier : la décomposition n'est finie que quand tous les facteurs sont premiers.

PGCD et PPCM

Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

Le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$ s'appelle le plus grand commun diviseur, noté $\mathrm{PGCD}(a,b)$ ;
le plus petit multiple commun non nul à $a$ et $b$ s'appelle le plus petit commun multiple, noté $\mathrm{PPCM}(a,b)$ .

Les deux se lisent directement sur les décompositions : pour le PGCD on garde les facteurs communs, avec le plus petit exposant ; pour le PPCM on garde tous les facteurs, avec le plus grand exposant.

Deux résultats à connaître, et le second est un outil de calcul :

\text{si } a \text{ est un multiple non nul de } b, \text{ alors } \mathrm{PPCM}(a,b) = a

\mathrm{PPCM}(a,b) \times \mathrm{PGCD}(a,b) = a \times b

Le piège

$\mathrm{PGCD}(126,210) = 2 \times 3^{2} \times 7$

$\mathrm{PGCD}(126,210) = 2 \times 3 \times 7$

Pour le PGCD on prend le plus petit exposant de chaque facteur commun. $3^{2}$ ne divise pas $210$ .

Le piège

Le PPCM est plus petit que le PGCD.

$\mathrm{PGCD}(a,b) \le a \le \mathrm{PPCM}(a,b)$

Un diviseur commun ne dépasse pas les nombres, un multiple commun ne leur est pas inférieur. Si tu trouves l'inverse, tu les as échangés.

Entiers premiers entre eux, fraction irréductible

Si deux entiers naturels ont pour seul diviseur commun $1$ , on dit qu'ils sont premiers entre eux. Autrement dit : $a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque $\mathrm{PGCD}(a,b) = 1$ .

Attention au vocabulaire : $25$ et $28$ sont premiers entre eux, et pourtant ni l'un ni l'autre n'est un nombre premier. « Premier » et « premiers entre eux » sont deux notions différentes.

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux. C'est à cela que sert le PGCD : diviser le numérateur et le dénominateur une seule fois par $\mathrm{PGCD}(a,b)$ rend la fraction irréductible d'un coup, sans tâtonner.

\frac{a}{b} \text{ irréductible} \iff \mathrm{PGCD}(a,b) = 1

Le piège

$25$ et $28$ ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils ne sont pas premiers.

$\mathrm{PGCD}(25,28) = 1$ , donc ils sont premiers entre eux.

« Premier entre eux » ne parle pas de chaque nombre mais du couple : on regarde seulement leurs diviseurs communs.

Le piège

$\dfrac{126}{210} = \dfrac{63}{105}$ , c'est irréductible.

$\dfrac{126}{210} = \dfrac{3}{5}$

Diviser par $2$ simplifie, mais ne termine pas : $63$ et $105$ ont encore $21$ en diviseur commun. Diviser par le PGCD, lui, termine du premier coup.

Comparer deux réels

Comparer $a$ et $b$ , ce n'est pas les regarder : c'est étudier le signe de $a - b$ . C'est la seule méthode qui marche toujours, même quand les deux nombres se ressemblent.

Ensuite, trois règles gouvernent tout le chapitre :

on peut ajouter le même nombre aux deux membres, le sens ne change pas ;
on peut multiplier par un nombre strictement positif, le sens ne change pas ;
si on multiplie par un nombre strictement négatif, le sens change.

Cette dernière règle est celle qui coûte le plus de points dans l'année. Elle reviendra au chapitre des inéquations.

a < b \iff a - b < 0

a < b \ \Rightarrow \ a + c < b + c

a < b \ \text{et} \ c > 0 \ \Rightarrow \ ac < bc

a < b \ \text{et} \ c < 0 \ \Rightarrow \ ac > bc

Le piège

$-2x < 6 \ \Rightarrow \ x < -3$

$-2x < 6 \ \Rightarrow \ x > -3$

On a divisé par $-2$ , qui est négatif : le sens de l'inégalité s'inverse.

Les intervalles de R

Un intervalle est un morceau de la droite des réels, sans trou. On l'écrit avec deux bornes et deux crochets, et le crochet dit tout :

crochet fermé $[\ ]$ : la borne est prise ;
crochet ouvert $]\ [$ : la borne n'est pas prise.

Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert : $+\infty$ n'est pas un nombre, on ne peut pas l'atteindre.

Pour l'intersection $I \cap J$ , on garde ce qui est dans les deux ; pour la réunion $I \cup J$ , ce qui est dans au moins un des deux. Trace toujours les deux intervalles l'un sous l'autre avant de conclure — c'est plus sûr que de le faire de tête.

[a\,;b] = \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \}

]a\,;b[ \ = \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \}

]-\infty\,;a] = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \le a \}

Le piège

$]-\infty\,;3]$ s'écrit $[-\infty\,;3]$

$]-\infty\,;3]$

$-\infty$ n'est pas un nombre : il n'appartient à aucun intervalle, donc son crochet est toujours ouvert.

Encadrer et approcher

Encadrer un nombre $x$ , c'est trouver deux nombres connus $a$ et $b$ tels que $a \le x \le b$ . La différence $b - a$ s'appelle l'amplitude de l'encadrement : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.

Pour combiner deux encadrements :

somme : on ajoute les bornes de gauche entre elles, et celles de droite entre elles ;
différence : on n'a pas le droit de soustraire membre à membre. On encadre d'abord $-y$ — les bornes s'échangent et changent de signe — puis on additionne ;
produit de nombres positifs : on multiplie les bornes de gauche entre elles, et celles de droite entre elles.

a \le x \le b \ \text{et} \ c \le y \le d \ \Rightarrow \ a + c \le x + y \le b + d

c \le y \le d \ \Rightarrow \ -d \le -y \le -c

Le piège

$1{,}41 - 1{,}73 < \sqrt{2} - \sqrt{3} < 1{,}42 - 1{,}74$

$1{,}41 - 1{,}74 < \sqrt{2} - \sqrt{3} < 1{,}42 - 1{,}73$

On ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre. On passe par l'opposé, dont les bornes s'échangent.

La valeur absolue

La valeur absolue de $x$ , notée $|x|$ , c'est $x$ débarrassé de son signe. Autrement dit : la distance de $x$ à $0$ sur la droite des réels.

C'est pour ça qu'une valeur absolue n'est jamais négative : une distance ne l'est jamais.

Plus généralement, $|x - y|$ est la distance entre $x$ et $y$ . Cette lecture est souvent plus rapide que le calcul : $|x - 3| = 5$ se lit « les nombres situés à la distance $5$ de $3$ », et on les voit tout de suite.

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

|x| \ge 0 \quad \text{et} \quad |x| = |-x|

\sqrt{x^{2}} = |x|

|x \times y| = |x| \times |y|

Le piège

$\sqrt{x^{2}} = x$

$\sqrt{x^{2}} = |x|$

Si $x = -4$ , alors $\sqrt{x^{2}} = \sqrt{16} = 4$ , et non $-4$ . La racine carrée rend toujours un résultat positif.

Le piège

$|A| = k$ donne une seule solution

$|A| = k$ avec $k > 0$ donne $A = k$ ou $A = -k$

Deux nombres opposés sont à la même distance de $0$ : il y a donc deux cas à traiter.

À retenir

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — on calcule avant de classer.
Tout entier naturel non nul et différent de $1$ se décompose en produit de facteurs premiers.
PGCD : les facteurs communs, au plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs, au plus grand exposant.
$\mathrm{PPCM}(a,b) \times \mathrm{PGCD}(a,b) = a \times b$ — et si $a$ est un multiple de $b$ , alors $\mathrm{PPCM}(a,b) = a$ .
Premiers entre eux $\iff \mathrm{PGCD} = 1$ . Ce n'est pas la même chose qu'être premiers.
Diviser par le PGCD rend une fraction irréductible du premier coup.
Comparer $a$ et $b$ , c'est étudier le signe de $a - b$ .
Multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse son sens.
Un crochet fermé prend la borne, un crochet ouvert ne la prend pas. Du côté de l'infini, toujours ouvert.
Pour encadrer une différence, on passe par l'opposé : les bornes s'échangent et changent de signe.
$|x|$ est une distance : jamais négative, et $\sqrt{x^{2}} = |x|$ .

Ce qu’il t’explique

Toutes les fractions se ressemblent-elles ?

Les ensembles de nombres

Remplir une caisse sans rien couper

Décomposition en produit de facteurs premiers

PGCD et PPCM

Entiers premiers entre eux, fraction irréductible

Comparer deux réels

Les intervalles de R

Encadrer et approcher

La valeur absolue

À toi, au tableau

Deux valeurs absolues

D'une inégalité à un intervalle

Le plus grand diviseur commun

Le plus petit multiple commun

Repérer les entiers relatifs

Le plus petit ensemble

Comparer deux fractions

Encadrer une expression

Rendre une fraction irréductible

Un décimal sous la forme a/10ⁿ

Passer au dénominateur 100

Un carré et un hexagone

Intersection de deux intervalles

Le PPCM sans les décompositions

Décimal ou pas ?

Une grande fraction décimale

Le centième chiffre

Cinq affirmations

Une équation avec valeur absolue

La caisse et les boîtes cubiques

Rendre une fraction décimale

Exactement dix diviseurs

Le secret de 1001

Trois coureurs sur une piste

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Toutes les fractions se ressemblent-elles ?

Les ensembles de nombres

Remplir une caisse sans rien couper

Décomposition en produit de facteurs premiers

PGCD et PPCM

Entiers premiers entre eux, fraction irréductible

Comparer deux réels

Les intervalles de R

Encadrer et approcher

La valeur absolue

À retenir