Activités numériques II

Calcul sur les quotients, puissances entières, écriture scientifique, racines carrées, calcul sur les radicaux, règles de comparaison.

8 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre est un chapitre d'écriture. Le même nombre peut s'écrire $\sqrt{50},$ $5\sqrt{2}$ ou $7{,}071\dots$ : ce sont trois façons de dire la même chose, et chacune sert à quelque chose de différent.

Apprendre à passer de l'une à l'autre — puissances, écriture scientifique, radicaux — c'est ce qui permet ensuite de calculer vite et sans calculatrice.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Utiliser le produit en croix, additionner, multiplier et diviser des quotients
Appliquer les règles de calcul sur les puissances à exposant entier relatif
Écrire un nombre en écriture scientifique $a \times 10^{n}$ avec $1 \le |a| < 10$
Simplifier une racine carrée en extrayant le plus grand carré parfait
Réduire une somme de radicaux de même radicande
Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient en utilisant l'expression conjuguée
Savoir ce qui conserve une inégalité et ce qui la renverse
Ranger $a,$ $a^{2}$ et $\sqrt{a}$ selon que $a \ge 1$ ou $0 \le a \le 1$

Activité

Compter les facteurs plutôt qu'apprendre par cœur

1.Écris $2^{3}$ et $2^{4}$ en développant tous leurs facteurs, puis écris leur produit et compte combien de fois le facteur $2$ apparaît.
2.Recommence avec $\dfrac{10^{5}}{10^{2}}$ : écris les facteurs en haut et en bas, puis simplifie.
3.D'après ce que tu obtiens, que se passe-t-il pour les exposants dans un produit ? dans un quotient ?

Les règles de ce chapitre ne s'apprennent pas : elles se recomptent. Une règle oubliée se retrouve en dix secondes par ce procédé.

Ce qu’on observe

Ce que donne le comptage.

1
Le produit
Trois facteurs, puis quatre : sept en tout.
$2^{3} \times 2^{4} = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^{7}$
2
Le quotient
Deux facteurs du haut se simplifient avec les deux du bas.
$\frac{10^{5}}{10^{2}} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}{10 \times 10} = 10^{3}$
3
Dans un produit les exposants s'ajoutent, dans un quotient ils se retranchent.
$3 + 4 = 7 \quad ; \quad$ $5 - 2 = 3$

a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \quad ; \quad

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

L’erreur à ne pas faire

$2^{3} \times 2^{4} = 4^{7}$ $2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}$
Le comptage le montre : on compte des facteurs $2,$ on n'en fabrique pas de nouveaux.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma na7fdhou les règles, barra n3addouhom. Ekteb 2 puissance 3 w 2 puissance 4 bel facteurs el koll, w 3edd 9adech marra yodhher le facteur 2. 3awed nafs el 7aja m3a 10 puissance 5 sur 10 puissance 2. Elli bech tal9ah houwa elli bech ykhallik ma ta7fedh walou. »

Propriété

Le calcul sur les quotients

Premier bloc du Retenir du chapitre, et celui dont tout le reste de l'année se sert. Soient $a,$ $b,$ $c,$ $d$ et $k$ des réels, avec $b \ne 0$ et $d \ne 0$ ; pour l'inverse de $\dfrac{a}{b},$ il faut en plus $a \ne 0,$ et pour diviser par $\dfrac{c}{d},$ il faut $c \ne 0.$

Le produit en croix transforme une égalité de quotients en une égalité de produits — c'est lui qui permet de résoudre une équation où l'inconnue est au numérateur ou au dénominateur.

Pour la somme, il faut un dénominateur commun, et $bd$ en est toujours un. Pour le produit, rien à mettre au même dénominateur : on multiplie en ligne.

Et diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : c'est la règle qu'on oublie le plus souvent.

produit en croix

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc

somme

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

produit

k \times \frac{a}{b} = \frac{ka}{b} \quad ; \quad

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

inverse

\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

quotient

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \quad (c \ne 0)

Exemple traité

Calculer $A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6},$ puis $B = \dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{7}}.$ Déterminer ensuite $x$ tel que $\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{4}.$

1
La somme
$bd = 24$ convient toujours. Ici $12$ suffirait, mais la formule ne demande pas de chercher le plus petit.
$A = \frac{3 \times 6 + 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{18 + 20}{24} = \frac{38}{24}$
2
On rend irréductible en divisant par $2.$
$A = \frac{19}{12}$
3
Le quotient de quotients
Diviser par $\dfrac{5}{7},$ c'est multiplier par $\dfrac{7}{5}.$
$B = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$
4
Le produit en croix
$\frac{x}{6} = \frac{10}{4} \iff 4x = 60 \iff x = 15$

A = \frac{19}{12} \quad ; \quad

B = \frac{14}{15} \quad ; \quad

x = 15

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{10}$ $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{19}{12}$
On n'additionne ni les numérateurs ni les dénominateurs. Contrôle d'ordre de grandeur : $\dfrac{3}{4}$ vaut déjà $0{,}75,$ la somme dépasse donc $1$ — alors que $\dfrac{8}{10}$ vaut $0{,}8.$
$\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{7}} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$ $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{15}$
C'est la règle du produit appliquée à une division. Diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : le second quotient se retourne.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3 règles tokhdmek essena el koll. Le produit en croix : a sur b égale c sur d ma3neha a d égale b c. La somme : lezem dénominateur commun, w b d dima yemchi. W la division : te9sem 3ala quotient ma3neha tmultiplier bel inverse mte3ou — hedhi hiya elli tetnsa. »

Propriété

Les puissances à exposant entier

Pour $a \ne 0$ et $n$ entier naturel non nul :

$a^{n} = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$
$a^{0} = 1$ — quel que soit $a$ non nul
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ — un exposant négatif, c'est un inverse, pas un nombre négatif

Les cinq règles ci-dessous se démontrent toutes en comptant les facteurs. Ne les apprends pas par cœur sans les avoir vérifiées une fois sur un exemple : c'est ce qui évite de les confondre.

Produit

a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}

Quotient

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

Puissance de puissance

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

Produit élevé

(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}

Exposant négatif

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

Exemple traité

Écrire $A = \dfrac{2^{3} \times 2^{-5}}{2^{-4}}$ sous la forme $2^{n},$ puis calculer $A.$

1
Au numérateur
Produit de puissances de même base : on ajoute les exposants.
$2^{3} \times 2^{-5} = 2^{3 + (-5)} = 2^{-2}$
2
Le quotient
On retire l'exposant du dénominateur.
$A = \frac{2^{-2}}{2^{-4}} = 2^{-2 - (-4)} = 2^{2}$
3
$A = 4$

A = 2^{2} = 4

L’erreur à ne pas faire

$2^{3} \times 2^{4} = 4^{7}$ $2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}$
On ajoute les exposants, mais la base ne change pas. Elle n'est jamais multipliée par elle-même.
$2^{-3}$ est négatif $2^{-3} = \dfrac{1}{8} > 0$
Un exposant négatif fabrique un inverse, pas un nombre négatif.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« El oss essaleb ma ya3nich ennatija salba : ma3neha l'inverse. 2 puissance moins 3 égale un sur 8, w houwa positif. »

Méthode

L'écriture scientifique

L'écriture scientifique d'un nombre non nul est son écriture sous la forme

$\displaystyle a \times 10^{n}$ avec $\displaystyle 1 \le |a| < 10$ et $\displaystyle n \in \mathbb{Z}$

La condition sur $a$ est ce qui rend l'écriture unique : sans elle, $342$ pourrait s'écrire $3{,}42 \times 10^{2},$ $34{,}2 \times 10^{1}$ ou $0{,}342 \times 10^{3},$ et on ne pourrait plus comparer deux nombres d'un coup d'œil.

Méthode : place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs tu l'as déplacée. Vers la gauche, $n$ est positif ; vers la droite, $n$ est négatif.

La forme

a \times 10^{n}, \quad

1 \le |a| < 10

Exemple traité

Donner l'écriture scientifique de $25\,400$ puis de $0{,}000\,342.$

1
$25\,400$ : la virgule passe de la fin à après le $2,$ soit $4$ rangs vers la gauche.
$25\,400 = 2{,}54 \times 10^{4}$
2
$0{,}000\,342$ : la virgule avance de $4$ rangs vers la droite pour atteindre le $3.$
$0{,}000\,342 = 3{,}42 \times 10^{-4}$
3
Vérification
Dans les deux cas, le nombre devant est bien compris entre $1$ et $10.$
$1 \le 2{,}54 < 10$ et $1 \le 3{,}42 < 10$

L’erreur à ne pas faire

$0{,}000\,342 = 34{,}2 \times 10^{-5}$ $0{,}000\,342 = 3{,}42 \times 10^{-4}$
L'égalité est vraie, mais ce n'est pas une écriture scientifique : $34{,}2$ n'est pas compris entre $1$ et $10.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'écriture scientifique hiya a fois 10 puissance n, b chart un : 1 inférieur ou égal à la valeur absolue de a, w la valeur absolue de a strictement inférieure à 10. Hal chart houwa elli y5alli l'écriture unique. Bleh, 342 najjmou nektbouh b trois tor9at, w ma na3rfouch anhi essa7i7a. »

Définition

La racine carrée

Pour tout réel $a \ge 0,$ $\sqrt{a}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ . Deux mots comptent dans cette phrase : positif, et $a \ge 0$ . La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}.$

Les deux règles utiles portent sur le produit et le quotient — et seulement sur eux. Il n'existe aucune règle pour la somme : $\sqrt{a+b}$ ne se simplifie pas.

Définition

(\sqrt{a})^{2} = a \quad (a \ge 0)

Racine d'un carré

\sqrt{a^{2}} = |a|

Produit

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (a \ge 0,\ b \ge 0)

Quotient

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0,\ b > 0)

Exemple traité

Simplifier $\sqrt{50},$ puis calculer $\sqrt{12} \times \sqrt{3}.$

1
Carré parfait
On cherche le plus grand carré parfait qui divise $50$ : c'est $25.$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}$
2
$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
3
Produit
On regroupe sous une seule racine avant de simplifier.
$\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$

L’erreur à ne pas faire

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
La racine carrée ne se distribue pas sur une somme. Elle ne se distribue que sur un produit ou un quotient.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Racine carrée de a houwa l'unique nombre positif dont le carré vaut a. Deux kelmet mohimmin fel jomla hedhi : positif, w a supérieur ou égal à zéro. La racine carrée d'un nombre négatif ma tetwjedch fi ℝ. W rodd belek : les règles tekhdem 3ala le produit w le quotient berk — ma thammech règle 3ala la somme. »

Méthode

Réduire une somme de radicaux

On ne peut additionner deux radicaux que s'ils ont le même radicande — le même nombre sous la racine. C'est exactement comme pour les termes en $x$ : $2x + 3x = 5x,$ mais $2x + 3y$ ne se réduit pas.

La méthode tient donc en deux temps :

1.simplifier chaque radical en extrayant son plus grand carré parfait ;
2.regrouper ceux qui ont le même radicande, en additionnant leurs coefficients.

Regroupement

a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}

Exemple traité

Simplifier $A = \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75}.$

1
Extraire
Chaque nombre contient un carré parfait multiplié par $3.$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
2
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
3
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
4
Regrouper
Les trois radicandes sont identiques : on additionne les coefficients.
$A = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3}$

A = 0

L’erreur à ne pas faire

$\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{39}$ $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}$
On n'additionne pas les radicandes. On simplifie d'abord, puis on regroupe les coefficients.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ma tnajjamch tejma3 deux radicaux ken idha ken 3andhom nafs le radicande — nafs el nombre ta7t la racine. Bel dhabt kif les termes en x : 2 x plus 3 x égale 5 x, amma 2 x plus 3 y ma tetjma3ch. Etari9a deux 5otwet : tbassat koll radical b le plus grand carré parfait, w baad tejma3 elli wallaw kif b3adhhom. »

Méthode

Rendre un dénominateur rationnel

Un résultat ne se laisse pas avec une racine au dénominateur : on ne peut ni le comparer ni l'encadrer facilement. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée.

L'expression conjuguée de $a - b$ est $a + b,$ et réciproquement. Le produit des deux fait disparaître les racines grâce à l'identité $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}.$

Attention : multiplier seulement le dénominateur change la valeur du quotient. Les deux doivent être multipliés.

L'outil

(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

Cas simple

\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad (a > 0)

Exemple traité

Rends rationnel le dénominateur de $B = \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}.$

1
Le conjugué
Celui de $\sqrt{3} - 1$ est $\sqrt{3} + 1.$ On multiplie en haut et en bas.
$B = \frac{1 \times (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$
2
Le dénominateur devient une différence de deux carrés.
$(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2$

B = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}

L’erreur à ne pas faire

On multiplie seulement le dénominateur par le conjuguéOn multiplie le numérateur et le dénominateur
Multiplier le haut et le bas par la même quantité ne change pas le quotient. Multiplier un seul des deux le change.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ma nkhalliwch natija b une racine au dénominateur : ma tnajjamch t9arenha w la ta3melha encadrement. Nodhorbou le numérateur et le dénominateur b l'expression conjuguée. L'expression conjuguée de a moins b hiya a plus b, w el 3aks. Le produit mte3hom ytayyar les racines b fadhl l'identité a au carré moins b au carré. »

Propriété

Les règles de comparaison

Dernier bloc du Retenir, et le plus long. Comparer, ce n'est pas seulement savoir lequel est le plus grand : c'est savoir ce que deviennent deux nombres rangés quand on leur fait subir la même opération.

Le signe d'un produit ou d'un quotient suit une seule règle : même signe donne un résultat positif, signes contraires un résultat négatif.

Ce qui conserve l'ordre : ajouter un même réel aux deux membres ; multiplier par un réel positif ; élever au carré ou prendre la racine, quand les deux sont positifs.

Ce qui le renverse : multiplier par un réel négatif, et passer aux inverses quand les deux sont de même signe.

Deux encadrements enfin, qui surprennent toujours et qui se retiennent ensemble : selon que le nombre est plus grand ou plus petit que $1,$ la racine et le carré changent de côté.

la méthode de base

a \ge b \iff a - b \ge 0

positif : conserve

a \le b

c \ge 0 \;\Longrightarrow\; ac \le bc

négatif : renverse

a \le b

c \le 0 \;\Longrightarrow\; ac \ge bc

a \ge 1 \;\Longrightarrow\; \sqrt{a} \le a \le a^{2}

0 \le a \le 1 \;\Longrightarrow\; a^{2} \le a \le \sqrt{a}

Exemple traité

Ranger dans l'ordre croissant $a,$ $a^{2}$ et $\sqrt{a},$ d'abord pour $a = 4,$ puis pour $a = 0{,}25.$

1
Pour a égal à 4
$4 \ge 1$ : on est dans le premier cas.
$\sqrt{4} = 2 \quad ; \quad$ $a = 4 \quad ; \quad$ $a^{2} = 16$
2
$\sqrt{a} \le a \le a^{2}$
3
Pour a égal à 0,25
$0 \le 0{,}25 \le 1$ : tout s'inverse.
$a^{2} = 0{,}0625 \quad ; \quad$ $a = 0{,}25 \quad ; \quad$ $\sqrt{a} = 0{,}5$
4
$a^{2} \le a \le \sqrt{a}$
5
La bascule se comprend d'une phrase : multiplier par un nombre plus petit que 1 fait diminuer. Élever au carré, c'est multiplier par soi-même ; si $a < 1,$ cela rapetisse.

a \ge 1 : \sqrt{a} \le a \le a^{2} \quad ; \quad

0 \le a \le 1 : a^{2} \le a \le \sqrt{a}

L’erreur à ne pas faire

$x \le 3$ donc $-2x \le -6$ $x \le 3$ donc $-2x \ge -6$
Multiplier par un négatif renverse l'inégalité. Contrôle avec $x = 0$ : $-2x = 0,$ et $0 \ge -6$ est bien vrai.
Le carré d'un nombre est toujours plus grand que lui.Seulement si $a \ge 1$ (ou $a \le 0$ ).
Pour $a = 0{,}25$ on a $a^{2} = 0{,}0625,$ plus petit. C'est exactement la seconde règle d'encadrement.
$a \ge b$ donc $\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{1}{b}$ $\dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b},$ si $a$ et $b$ sont de même signe
Passer aux inverses renverse l'ordre. Et la condition compte : $2 \ge -1,$ mais $\dfrac{1}{2}$ n'est pas inférieur à $-1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Elli yhafedh 3al ordre : tzid nafs echay lzouz, walla tmultiplier b positif. Elli ye9elbou : tmultiplier b négatif, walla temchi l les inverses. W tfakker el bascule : ken a akbar men 1, racine de a asghar men a asghar men a carré. W ken a bin zéro w 1, el koll yet9leb. »

À retenir

1.
$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ : on ajoute les exposants, la base ne bouge pas.
2.
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ : un exposant négatif donne un inverse, pas un négatif.
3.
Écriture scientifique : $a \times 10^{n}$ avec $1 \le |a| < 10.$ La condition sur $a$ la rend unique.
4.
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},$ mais $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}.$
5.
Pour additionner des radicaux, il faut le même radicande : on simplifie d'abord.
6.
Pour supprimer une racine au dénominateur, on multiplie en haut et en bas par le conjugué.
7.
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc,$ et diviser par un quotient c'est multiplier par son inverse.
8.
Multiplier une inégalité par un négatif la renverse. Passer aux inverses aussi, si les deux nombres sont non nuls et de même signe.
9.
$a \ge 1 \Rightarrow \sqrt{a} \le a \le a^{2}$ ; $0 \le a \le 1 \Rightarrow a^{2} \le a \le \sqrt{a}.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/27

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/24

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/8
Cours lu: 0/102
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Utiliser le produit en croix, additionner, multiplier et diviser des quotients
Appliquer les règles de calcul sur les puissances à exposant entier relatif
Écrire un nombre en écriture scientifique $a \times 10^{n}$ avec $1 \le |a| < 10$
Simplifier une racine carrée en extrayant le plus grand carré parfait
Réduire une somme de radicaux de même radicande
Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient en utilisant l'expression conjuguée
Savoir ce qui conserve une inégalité et ce qui la renverse
Ranger $a$ , $a^{2}$ et $\sqrt{a}$ selon que $a \ge 1$ ou $0 \le a \le 1$

Compter les facteurs plutôt qu'apprendre par cœur

Écris $2^{3}$ et $2^{4}$ en développant tous leurs facteurs, puis écris leur produit et compte combien de fois le facteur $2$ apparaît.
Recommence avec $\dfrac{10^{5}}{10^{2}}$ : écris les facteurs en haut et en bas, puis simplifie.
D'après ce que tu obtiens, que se passe-t-il pour les exposants dans un produit ? dans un quotient ?

Les règles de ce chapitre ne s'apprennent pas : elles se recomptent. Une règle oubliée se retrouve en dix secondes par ce procédé.

Le piège

$2^{3} \times 2^{4} = 4^{7}$

$2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}$

Le comptage le montre : on compte des facteurs $2$ , on n'en fabrique pas de nouveaux.

Le calcul sur les quotients

Premier bloc du Retenir du chapitre, et celui dont tout le reste de l'année se sert. Soient $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $k$ des réels, avec $b \ne 0$ et $d \ne 0$ ; pour l'inverse de $\dfrac{a}{b}$ , il faut en plus $a \ne 0$ , et pour diviser par $\dfrac{c}{d}$ , il faut $c \ne 0$ .

Le produit en croix transforme une égalité de quotients en une égalité de produits — c'est lui qui permet de résoudre une équation où l'inconnue est au numérateur ou au dénominateur.

Pour la somme, il faut un dénominateur commun, et $bd$ en est toujours un. Pour le produit, rien à mettre au même dénominateur : on multiplie en ligne.

Et diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : c'est la règle qu'on oublie le plus souvent.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

k \times \frac{a}{b} = \frac{ka}{b} \quad ; \quad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \quad (c \ne 0)

Le piège

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{10}$

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{19}{12}$

On n'additionne ni les numérateurs ni les dénominateurs. Contrôle d'ordre de grandeur : $\dfrac{3}{4}$ vaut déjà $0{,}75$ , la somme dépasse donc $1$ — alors que $\dfrac{8}{10}$ vaut $0{,}8$ .

Le piège

$\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{7}} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}$

$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{15}$

C'est la règle du produit appliquée à une division. Diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : le second quotient se retourne.

Les puissances à exposant entier

Pour $a \ne 0$ et $n$ entier naturel non nul :

$a^{n} = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$
$a^{0} = 1$ — quel que soit $a$ non nul
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ — un exposant négatif, c'est un inverse, pas un nombre négatif

Les cinq règles ci-dessous se démontrent toutes en comptant les facteurs. Ne les apprends pas par cœur sans les avoir vérifiées une fois sur un exemple : c'est ce qui évite de les confondre.

a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}

Le piège

$2^{3} \times 2^{4} = 4^{7}$

$2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}$

On ajoute les exposants, mais la base ne change pas. Elle n'est jamais multipliée par elle-même.

Le piège

$2^{-3}$ est négatif

$2^{-3} = \dfrac{1}{8} > 0$

Un exposant négatif fabrique un inverse, pas un nombre négatif.

L'écriture scientifique

L'écriture scientifique d'un nombre non nul est son écriture sous la forme

a \times 10^{n} \quad \text{avec} \quad 1 \le |a| < 10 \quad \text{et} \quad n \in \mathbb{Z}

La condition sur $a$ est ce qui rend l'écriture unique : sans elle, $342$ pourrait s'écrire $3{,}42 \times 10^{2}$ , $34{,}2 \times 10^{1}$ ou $0{,}342 \times 10^{3}$ , et on ne pourrait plus comparer deux nombres d'un coup d'œil.

Méthode : place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs tu l'as déplacée. Vers la gauche, $n$ est positif ; vers la droite, $n$ est négatif.

a \times 10^{n}, \quad 1 \le |a| < 10

Le piège

$0{,}000\,342 = 34{,}2 \times 10^{-5}$

$0{,}000\,342 = 3{,}42 \times 10^{-4}$

L'égalité est vraie, mais ce n'est pas une écriture scientifique : $34{,}2$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ .

La racine carrée

Pour tout réel $a \ge 0$ , $\sqrt{a}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ . Deux mots comptent dans cette phrase : *positif*, et * $a \ge 0$ *. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$ .

Les deux règles utiles portent sur le produit et le quotient — et seulement sur eux. Il n'existe aucune règle pour la somme : $\sqrt{a+b}$ ne se simplifie pas.

(\sqrt{a})^{2} = a \quad (a \ge 0)

\sqrt{a^{2}} = |a|

\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (a \ge 0,\ b \ge 0)

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0,\ b > 0)

Le piège

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$

$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

La racine carrée ne se distribue pas sur une somme. Elle ne se distribue que sur un produit ou un quotient.

Réduire une somme de radicaux

On ne peut additionner deux radicaux que s'ils ont le même radicande — le même nombre sous la racine. C'est exactement comme pour les termes en $x$ : $2x + 3x = 5x$ , mais $2x + 3y$ ne se réduit pas.

La méthode tient donc en deux temps :

simplifier chaque radical en extrayant son plus grand carré parfait ;
regrouper ceux qui ont le même radicande, en additionnant leurs coefficients.

a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}

Le piège

$\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{39}$

$\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}$

On n'additionne pas les radicandes. On simplifie d'abord, puis on regroupe les coefficients.

Rendre un dénominateur rationnel

Un résultat ne se laisse pas avec une racine au dénominateur : on ne peut ni le comparer ni l'encadrer facilement. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée.

L'expression conjuguée de $a - b$ est $a + b$ , et réciproquement. Le produit des deux fait disparaître les racines grâce à l'identité $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$ .

Attention : multiplier seulement le dénominateur change la valeur du quotient. Les deux doivent être multipliés.

(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad (a > 0)

Le piège

On multiplie seulement le dénominateur par le conjugué

On multiplie le numérateur et le dénominateur

Multiplier le haut et le bas par la même quantité ne change pas le quotient. Multiplier un seul des deux le change.

Les règles de comparaison

Le signe d'un produit ou d'un quotient suit une seule règle : même signe donne un résultat positif, signes contraires un résultat négatif.

Ce qui conserve l'ordre : ajouter un même réel aux deux membres ; multiplier par un réel positif ; élever au carré ou prendre la racine, quand les deux sont positifs.

Ce qui le renverse : multiplier par un réel négatif, et passer aux inverses quand les deux sont de même signe.

Deux encadrements enfin, qui surprennent toujours et qui se retiennent ensemble : selon que le nombre est plus grand ou plus petit que $1$ , la racine et le carré changent de côté.

a \ge b \iff a - b \ge 0

a \le b \text{ et } c \ge 0 \;\Longrightarrow\; ac \le bc

a \le b \text{ et } c \le 0 \;\Longrightarrow\; ac \ge bc

a \ge 1 \;\Longrightarrow\; \sqrt{a} \le a \le a^{2}

0 \le a \le 1 \;\Longrightarrow\; a^{2} \le a \le \sqrt{a}

Le piège

$x \le 3$ donc $-2x \le -6$

$x \le 3$ donc $-2x \ge -6$

Multiplier par un négatif renverse l'inégalité. Contrôle avec $x = 0$ : $-2x = 0$ , et $0 \ge -6$ est bien vrai.

Le piège

Le carré d'un nombre est toujours plus grand que lui.

Seulement si $a \ge 1$ (ou $a \le 0$ ).

Pour $a = 0{,}25$ on a $a^{2} = 0{,}0625$ , plus petit. C'est exactement la seconde règle d'encadrement.

Le piège

$a \ge b$ donc $\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{1}{b}$

$\dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b}$ , si $a$ et $b$ sont de même signe

Passer aux inverses renverse l'ordre. Et la condition compte : $2 \ge -1$ , mais $\dfrac{1}{2}$ n'est pas inférieur à $-1$ .

À retenir

$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ : on ajoute les exposants, la base ne bouge pas.
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ : un exposant négatif donne un inverse, pas un négatif.
Écriture scientifique : $a \times 10^{n}$ avec $1 \le |a| < 10$ . La condition sur $a$ la rend unique.
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ , mais $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .
Pour additionner des radicaux, il faut le même radicande : on simplifie d'abord.
Pour supprimer une racine au dénominateur, on multiplie en haut et en bas par le conjugué.
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc$ , et diviser par un quotient c'est multiplier par son inverse.
Multiplier une inégalité par un négatif la renverse. Passer aux inverses aussi, si les deux nombres sont non nuls et de même signe.
$a \ge 1 \Rightarrow \sqrt{a} \le a \le a^{2}$ ; $0 \le a \le 1 \Rightarrow a^{2} \le a \le \sqrt{a}$ .

Ce qu’il t’explique

Compter les facteurs plutôt qu'apprendre par cœur

Le calcul sur les quotients

Les puissances à exposant entier

L'écriture scientifique

La racine carrée

Réduire une somme de radicaux

Rendre un dénominateur rationnel

Les règles de comparaison

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