Angles

Angles et figures de base, angles égaux et droites parallèles, angle inscrit et angle au centre.

10 sections · 103 exercices

Angles

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Un angle, tu sais déjà le mesurer. Ce chapitre sert à autre chose : s'en servir pour démontrer.

Trois outils, et ce sont ceux de toute l'année de géométrie. Le premier lit un angle dans une figure de base — triangle, carré, parallélogramme. Le deuxième fait le lien entre angles égaux et droites parallèles, dans les deux sens : des parallèles donnent des angles égaux, et des angles égaux prouvent que deux droites sont parallèles. Le troisième vit dans le cercle : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre, et c'est lui qui fait apparaître des angles droits là où on ne les attendait pas.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Calculer un angle d'une figure de base : triangle, carré, triangle équilatéral, parallélogramme

  • Reconnaître deux angles alternes-internes, correspondants, ou intérieurs d'un même côté

  • Passer des droites parallèles aux angles égaux, et des angles égaux aux droites parallèles

  • Utiliser le cercle de diamètre [AB][AB] pour produire un angle droit

  • Relier un angle inscrit à l'angle au centre qui intercepte le même arc

Activité

Un angle qui sort du triangle

On considère un triangle ABC.ABC. On prolonge le côté [BC][BC] au-delà de C,C, jusqu'à un point D.D.

L'angle ACD^\widehat{ACD} n'est pas un angle du triangle : il est à l'extérieur. Et pourtant il se calcule sans rien mesurer.

  1. 1.Que vaut ACB^+ACD^\widehat{ACB} + \widehat{ACD} ? Pourquoi ?
  2. 2.Que vaut CAB^+ABC^+ACB^\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} ?
  3. 3.Déduis-en une expression de ACD^\widehat{ACD} qui n'utilise que CAB^\widehat{CAB} et ABC^.\widehat{ABC}.
ABCD
L'angle extérieur en C.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf mlih : les angles ACB w ACD supplémentaires, khater B, C, D alignés. El majmou3 180 degrés. W fi triangle, les trois angles zeda ya3tiw 180. N9assahom men b3adhhom, w yeb9a el résultat. »

Propriété

L'angle extérieur d'un triangle

Dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents.

angle extérieur en CACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}

Exemple traité

Dans le triangle ABC,ABC, CAB^=80∘\widehat{CAB} = 80^\circ et ABC^=50∘.\widehat{ABC} = 50^\circ. On prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'à D.D. Que vaut ACD^\widehat{ACD} ?

  1. 1

    La propriété

    L'angle extérieur en CC est la somme des deux angles non adjacents, c'est-à-dire ceux en AA et en B.B.

    ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}
  2. 2

    On remplace par les mesures données.

    ACD^=80∘+50∘\widehat{ACD} = 80^\circ + 50^\circ
ACD^=130∘\widehat{ACD} = 130^\circ

L’erreur à ne pas faire

  • ACD^=180∘−80∘−50∘\widehat{ACD} = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circACD^=80∘+50∘\widehat{ACD} = 80^\circ + 50^\circ
    Ce calcul-là donne ACB^,\widehat{ACB}, l'angle intérieur en C.C. L'angle extérieur est son supplémentaire.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Activité

Deux parallèles, une sécante

Deux droites parallèles (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont coupées par une même droite, la sécante, en AA et en B.B.

Trois couples d'angles ont un nom, et il faut savoir les reconnaître avant de savoir les calculer :

  • les angles intérieurs d'un même côté sont entre les deux parallèles, du même côté de la sécante ;
  • les angles alternes-internes sont entre les deux parallèles, de part et d'autre de la sécante ;
  • les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les parallèles et l'autre à l'extérieur.
  1. 1.Sur la figure, les deux angles marqués sont-ils intérieurs d'un même côté, alternes-internes, ou correspondants ?
  2. 2.Mesure-les au rapporteur. Que remarques-tu ?
xx'Ayy'B
Les angles alternes-internes xAB et y'BA.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« El deux angles hedhouma alternes-internes : wahed lehna w wahed lehna men la sécante, w ezzouz bin les deux parallèles. 9ishom : kif kif. Hedha houwa le théorème elli jey. »

Théorème

Des parallèles vers les angles

Deux droites parallèles forment avec une sécante :

  1. 1.deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires ;
  2. 2.deux angles alternes-internes égaux ;
  3. 3.deux angles correspondants égaux.
intérieurs d'un même côtéxAB^+yBA^=180∘\widehat{xAB} + \widehat{yBA} = 180^\circ
alternes-internesxAB^=y′BA^\widehat{xAB} = \widehat{y'BA}

Exemple traité

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. L'un des angles intérieurs d'un même côté mesure 131,2∘.131{,}2^\circ. Que vaut l'autre ?

  1. 1

    La bonne famille

    Intérieurs d'un même côté : ils sont supplémentaires, pas égaux.

  2. 2
    yBA^=180∘−131,2∘\widehat{yBA} = 180^\circ - 131{,}2^\circ
yBA^=48,8∘\widehat{yBA} = 48{,}8^\circ

L’erreur à ne pas faire

  • Deux angles intérieurs d'un même côté sont égaux.Deux angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.
    Sur les trois couples, c'est le seul qui donne 180∘180^\circ et non l'égalité. Repère toujours la famille avant de calculer.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Théorème

Des angles vers les parallèles

Les trois réciproques sont vraies, et ce sont elles qui servent à démontrer un parallélisme.

Si deux droites forment avec une sécante :

  1. 1.deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires, alors elles sont parallèles ;
  2. 2.deux angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles ;
  3. 3.deux angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.

L’erreur à ne pas faire

  • Les droites sont parallèles, donc les angles sont égaux — donc les droites sont parallèles.On part des angles, on conclut sur les droites.
    Le sens direct suppose le parallélisme ; la réciproque le prouve. Dans un exercice qui demande de montrer que deux droites sont parallèles, seule la réciproque est utilisable.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Activité

Un angle droit qui apparaît tout seul

AA et BB sont deux points distincts et (C)(C) est le cercle de diamètre [AB].[AB]. Soit PP un point de (C),(C), distinct de AA et de B.B.

  1. 1.Compare OA,OA, OBOB et OP.OP. Que peux-tu dire des triangles OAPOAP et OBPOBP ?
  2. 2.En notant OAP^=α\widehat{OAP} = \alpha et OBP^=β,\widehat{OBP} = \beta, écris APB^\widehat{APB} en fonction de α\alpha et β.\beta.
  3. 3.Écris la somme des angles du triangle APB,APB, puis conclus sur APB^.\widehat{APB}.
  4. 4.Déplace PP sur le cercle. Que remarques-tu ?
OABP
P est sur le cercle de diamètre [AB] : l'angle en P est droit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« OA, OB w OP koll wahed rayon, ma3neha kif kif. Zouz triangles isocèles. Nekteb la somme des angles mte3 le triangle APB, w nel9aw l'angle APB ysewi 90 degrés. W hedha yemchi win ma hattit P 3al cercle. »

Théorème

Le cercle de diamètre [AB]

Si le côté [BC][BC] d'un triangle ABCABC est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle en A.A.

Réciproquement, AA et BB étant deux points distincts, les points PP tels que APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ sont exactement les points du cercle de diamètre [AB],[AB], privé de AA et de BB.

APB^=90∘  ⟺  P∈(C)∖{A,B}\widehat{APB} = 90^\circ \iff P \in (C) \setminus \{A, B\}

L’erreur à ne pas faire

  • L'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB].[AB].C'est ce cercle privé des points AA et B.B.
    En AA et en B,B, l'angle APB^\widehat{APB} n'existe pas : deux de ses sommets seraient confondus.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Définition

Angle inscrit, angle au centre

Un angle qui a son sommet sur un cercle et ses côtés qui recoupent le cercle est appelé angle inscrit dans ce cercle.

Un angle dont le sommet est le centre du cercle est appelé angle au centre de ce cercle.

Sur la figure, l'angle AMB^\widehat{AMB} est inscrit dans (C)(C) et intercepte l'arc AB.AB. L'angle AOB^\widehat{AOB} est l'angle au centre associé : il intercepte le même arc.

60°120°OABM
L'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre associé.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Théorème

Angle inscrit et angle au centre

Un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Conséquence immédiate, et c'est celle qui sert le plus souvent : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

inscrit et centreAMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}
même arc interceptéAMB^=AM′B^\widehat{AMB} = \widehat{AM'B}

Exemple traité

Dans un cercle de centre O,O, l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 100∘.100^\circ. Le point MM est sur le cercle, sur l'arc qui ne contient ni AA ni BB du côté opposé. Que vaut AMB^\widehat{AMB} ?

  1. 1

    Qui est qui

    AMB^\widehat{AMB} a son sommet sur le cercle : c'est l'angle inscrit. AOB^\widehat{AOB} a son sommet au centre.

  2. 2

    L'inscrit vaut la moitié du centre.

    AMB^=12×100∘\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2} \times 100^\circ
AMB^=50∘\widehat{AMB} = 50^\circ

L’erreur à ne pas faire

  • AMB^=2×AOB^\widehat{AMB} = 2 \times \widehat{AOB}AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}
    C'est l'angle au centre qui est le double. Le sommet au centre voit plus grand ; le sommet sur le cercle voit deux fois moins.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

Méthode

Quel outil, devant quelle figure

Trois réflexes, dans cet ordre :

  1. 1.Un cercle avec un angle dont le sommet est sur le cercle ? Cherche l'angle au centre associé, ou un autre angle inscrit sur le même arc.
  2. 2.Un côté qui est un diamètre ? Tu as un angle droit gratuit, sans rien calculer.
  3. 3.Deux droites et une sécante ? Nomme d'abord la famille — intérieurs d'un même côté, alternes-internes, correspondants — avant d'écrire quoi que ce soit. La famille décide si c'est une égalité ou un 180∘.180^\circ.

Et pour démontrer un parallélisme, c'est toujours une réciproque : on part des angles, on conclut sur les droites.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

À retenir

  • 1.

    Angle extérieur d'un triangle = somme des deux angles non adjacents.

  • 2.

    Parallèles + sécante : intérieurs d'un même côté supplémentaires, alternes-internes égaux, correspondants égaux.

  • 3.

    Les trois réciproques prouvent le parallélisme : on part des angles.

  • 4.

    [BC][BC] diamètre du cercle circonscrit   ⟺  \iff triangle rectangle en A.A.

  • 5.

    Angle inscrit =12×=\tfrac{1}{2}\times angle au centre qui intercepte le même arc.

  • 6.

    Deux angles inscrits sur le même arc sont égaux.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %
0/10
Cours lu
0/103
Entraînement
—
Séance
0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Angles

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Calculer un angle d'une figure de base : triangle, carré, triangle équilatéral, parallélogramme
  • Reconnaître deux angles alternes-internes, correspondants, ou intérieurs d'un même côté
  • Passer des droites parallèles aux angles égaux, et des angles égaux aux droites parallèles
  • Utiliser le cercle de diamètre [AB][AB] pour produire un angle droit
  • Relier un angle inscrit à l'angle au centre qui intercepte le même arc

Un angle qui sort du triangle

On considère un triangle ABCABC. On prolonge le côté [BC][BC] au-delà de CC, jusqu'à un point DD.

L'angle ACD^\widehat{ACD} n'est pas un angle du triangle : il est à l'extérieur. Et pourtant il se calcule sans rien mesurer.

  1. Que vaut ACB^+ACD^\widehat{ACB} + \widehat{ACD} ? Pourquoi ?
  2. Que vaut CAB^+ABC^+ACB^\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} ?
  3. Déduis-en une expression de ACD^\widehat{ACD} qui n'utilise que CAB^\widehat{CAB} et ABC^\widehat{ABC}.
ABCD
L'angle extérieur en C.

L'angle extérieur d'un triangle

Dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents.

ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}

Le piège

ACD^=180∘−80∘−50∘\widehat{ACD} = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ

ACD^=80∘+50∘\widehat{ACD} = 80^\circ + 50^\circ

Ce calcul-là donne ACB^\widehat{ACB}, l'angle intérieur en CC. L'angle extérieur est son supplémentaire.

Deux parallèles, une sécante

Deux droites parallèles (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont coupées par une même droite, la sécante, en AA et en BB.

Trois couples d'angles ont un nom, et il faut savoir les reconnaître avant de savoir les calculer :

  • les angles intérieurs d'un même côté sont entre les deux parallèles, du même côté de la sécante ;
  • les angles alternes-internes sont entre les deux parallèles, de part et d'autre de la sécante ;
  • les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les parallèles et l'autre à l'extérieur.
  1. Sur la figure, les deux angles marqués sont-ils intérieurs d'un même côté, alternes-internes, ou correspondants ?
  2. Mesure-les au rapporteur. Que remarques-tu ?
xx'Ayy'B
Les angles alternes-internes xAB et y'BA.

Des parallèles vers les angles

Deux droites parallèles forment avec une sécante :

  1. deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires ;
  2. deux angles alternes-internes égaux ;
  3. deux angles correspondants égaux.
xAB^+yBA^=180∘\widehat{xAB} + \widehat{yBA} = 180^\circ
xAB^=y′BA^\widehat{xAB} = \widehat{y'BA}

Le piège

Deux angles intérieurs d'un même côté sont égaux.

Deux angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.

Sur les trois couples, c'est le seul qui donne 180∘180^\circ et non l'égalité. Repère toujours la famille avant de calculer.

Des angles vers les parallèles

Les trois réciproques sont vraies, et ce sont elles qui servent à démontrer un parallélisme.

Si deux droites forment avec une sécante :

  1. deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires, alors elles sont parallèles ;
  2. deux angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles ;
  3. deux angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.

Le piège

Les droites sont parallèles, donc les angles sont égaux — donc les droites sont parallèles.

On part des angles, on conclut sur les droites.

Le sens direct suppose le parallélisme ; la réciproque le prouve. Dans un exercice qui demande de montrer que deux droites sont parallèles, seule la réciproque est utilisable.

Un angle droit qui apparaît tout seul

AA et BB sont deux points distincts et (C)(C) est le cercle de diamètre [AB][AB]. Soit PP un point de (C)(C), distinct de AA et de BB.

  1. Compare OAOA, OBOB et OPOP. Que peux-tu dire des triangles OAPOAP et OBPOBP ?
  2. En notant OAP^=α\widehat{OAP} = \alpha et OBP^=β\widehat{OBP} = \beta, écris APB^\widehat{APB} en fonction de α\alpha et β\beta.
  3. Écris la somme des angles du triangle APBAPB, puis conclus sur APB^\widehat{APB}.
  4. Déplace PP sur le cercle. Que remarques-tu ?
OABP
P est sur le cercle de diamètre [AB] : l'angle en P est droit.

Le cercle de diamètre [AB]

Si le côté [BC][BC] d'un triangle ABCABC est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle en AA.

Réciproquement, AA et BB étant deux points distincts, les points PP tels que APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ sont exactement les points du cercle de diamètre [AB][AB], privé de AA et de BB.

APB^=90∘  ⟺  P∈(C)∖{A,B}\widehat{APB} = 90^\circ \iff P \in (C) \setminus \{A, B\}

Le piège

L'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB][AB].

C'est ce cercle privé des points AA et BB.

En AA et en BB, l'angle APB^\widehat{APB} n'existe pas : deux de ses sommets seraient confondus.

Angle inscrit, angle au centre

Un angle qui a son sommet sur un cercle et ses côtés qui recoupent le cercle est appelé angle inscrit dans ce cercle.

Un angle dont le sommet est le centre du cercle est appelé angle au centre de ce cercle.

Sur la figure, l'angle AMB^\widehat{AMB} est inscrit dans (C)(C) et intercepte l'arc ABAB. L'angle AOB^\widehat{AOB} est l'angle au centre associé : il intercepte le même arc.

60°120°OABM
L'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre associé.

Angle inscrit et angle au centre

Un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Conséquence immédiate, et c'est celle qui sert le plus souvent : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}
AMB^=AM′B^\widehat{AMB} = \widehat{AM'B}

Le piège

AMB^=2×AOB^\widehat{AMB} = 2 \times \widehat{AOB}

AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}

C'est l'angle au centre qui est le double. Le sommet au centre voit plus grand ; le sommet sur le cercle voit deux fois moins.

Quel outil, devant quelle figure

Trois réflexes, dans cet ordre :

  1. Un cercle avec un angle dont le sommet est sur le cercle ? Cherche l'angle au centre associé, ou un autre angle inscrit sur le même arc.
  2. Un côté qui est un diamètre ? Tu as un angle droit gratuit, sans rien calculer.
  3. Deux droites et une sécante ? Nomme d'abord la famille — intérieurs d'un même côté, alternes-internes, correspondants — avant d'écrire quoi que ce soit. La famille décide si c'est une égalité ou un 180∘180^\circ.

Et pour démontrer un parallélisme, c'est toujours une réciproque : on part des angles, on conclut sur les droites.

À retenir

  • Angle extérieur d'un triangle = somme des deux angles non adjacents.
  • Parallèles + sécante : intérieurs d'un même côté supplémentaires, alternes-internes égaux, correspondants égaux.
  • Les trois réciproques prouvent le parallélisme : on part des angles.
  • [BC][BC] diamètre du cercle circonscrit   ⟺  \iff triangle rectangle en AA.
  • Angle inscrit =12×=\tfrac{1}{2}\times angle au centre qui intercepte le même arc.
  • Deux angles inscrits sur le même arc sont égaux.