Équations et inéquations

Équations du premier degré, équation x² = a, mise en équation, inéquations, ensemble des solutions.

7 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Une équation, c'est une question : pour quelles valeurs de $x$ cette égalité est-elle vraie ? Résoudre, c'est répondre à cette question, et rien d'autre.

La méthode ne change jamais : on transforme l'équation en une autre qui a exactement les mêmes solutions, jusqu'à isoler $x.$ Les inéquations suivent les mêmes règles, avec une exception qui coûte cher — et qu'on va regarder de près.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Résoudre une équation du premier degré $ax + b = 0$
Résoudre une équation contenant des fractions en réduisant au même dénominateur
Mettre un problème en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier
Résoudre une inéquation du premier degré en maîtrisant le changement de sens
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle
Résoudre $x^{2} = a$ en discutant le signe de $a,$ et n'oublier aucune des deux solutions

Activité

Retrouver le nombre de départ

Voici un programme de calcul :

Choisis un nombre. Multiplie-le par $5.$ Retire $3.$

Un élève applique ce programme et obtient $12.$

1.Teste avec $2,$ puis avec $4.$ Que peux-tu en déduire sur le nombre choisi ?
2.Remonte le programme à l'envers : quelle opération annule « retirer $3$ » ? Et « multiplier par $5$ » ?
3.Appelle $x$ le nombre choisi et écris le programme en une seule ligne.

Le tâtonnement de la question 1 finit parfois par tomber juste. L'écriture de la question 3 tombe juste toujours : c'est tout l'intérêt des équations.

Ce qu’on observe

Ce que donnent les trois démarches.

1
Tâtonnement
Avec $2$ on obtient $7,$ avec $4$ on obtient $17.$ Le nombre cherché est entre les deux.
$5 \times 2 - 3 = 7 \quad ; \quad$ $5 \times 4 - 3 = 17$
2
Remonter
On annule chaque opération, dans l'ordre inverse.
$12 + 3 = 15 \quad ; \quad$ $\frac{15}{5} = 3$
3
Avec une lettre
Le programme s'écrit d'une seule ligne, et se résout sans essayer.
$5x - 3 = 12$

x = 3

L’erreur à ne pas faire

On essaie des valeurs jusqu'à tomber justeOn écrit l'équation, puis on la résout
Le tâtonnement échoue dès que la solution n'est pas un petit entier — et il ne prouve jamais qu'il n'y en a pas d'autre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Barra nabdaw b un programme de calcul. E5tar un nombre, odhorbou fi 5, w na99as 3. Telmidh 3mel hakka w l9a 12. Jarreb b 2, baad b 4. W baad erja3 le programme bel ma9loub : anhi opération telghi « na99as 3 » ? Hedheka bel dhabt houwa elli bech na3mlouh fi l'équation. »

Méthode

Résoudre une équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue s'écrit, après transformation, sous la forme $ax + b = 0$ avec $a \ne 0.$ Elle admet alors une solution et une seule.

Deux transformations sont autorisées, et elles ne changent jamais les solutions :

ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

La méthode est toujours la même : on rassemble les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x.$ Et on vérifie — une vérification prend dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

La solution

ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $5x - 3 = 12.$

1
Isoler le terme en x
On ajoute $3$ aux deux membres.
$5x - 3 + 3 = 12 + 3$
2
$5x = 15$
3
Diviser
On divise les deux membres par $5.$
$x = \frac{15}{5} = 3$
4
Vérification
$5 \times 3 - 3 = 15 - 3 = 12 \quad \checkmark$

S = \{3\}

L’erreur à ne pas faire

$5x - 3 = 12 \ \Rightarrow \ 5x = 12 - 3$ $5x - 3 = 12 \ \Rightarrow \ 5x = 12 + 3$
Le terme $-3$ passe de l'autre côté en changeant de signe : il devient $+3.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'équation du premier degré tetkteb fel e5er ax plus b égale zéro, m3a a différent de zéro. W wa9tha 3andha une solution et une seule. Deux transformations berk masmou7in, w ma ybaddlouch les solutions : tzid walla tna99as nafs el nombre fi les deux membres, walla todhrob walla t9assem 3ala un nombre non nul. »

Propriété

L'équation x² = a

Cette équation n'est pas du premier degré, et pourtant elle a sa place ici : elle se résout sans aucune méthode nouvelle, à condition de discuter le signe de $a$ .

On considère l'équation $x^{2} = a,$ où $a$ est un réel donné. Trois cas, et il n'y en a pas d'autre :

1.si $a > 0,$ elle admet deux solutions, $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$ ;
2.si $a = 0,$ elle admet une solution, $x = 0$ ;
3.si $a < 0,$ elle n'admet aucune solution.

Le troisième cas est celui qu'on oublie, et c'est le plus important : un carré est toujours positif ou nul, donc rien ne peut avoir un carré négatif.

a > 0 \;:\; S = \{-\sqrt{a} \,;\, \sqrt{a}\}

a = 0 \;:\; S = \{0\}

a < 0 \;:\; S = \varnothing

Exemple traité

Résoudre $x^{2} = 49,$ puis $x^{2} = 5,$ puis $x^{2} = -9.$

1
Signe de a : positif
$49 > 0$ : deux solutions, opposées l'une de l'autre. Et $49$ est un carré parfait.
$x = 7$ ou $x = -7$
2
Positif, sans racine entière
$5 > 0$ : deux solutions encore, qu'on laisse sous le radical — les écrire en décimal serait les arrondir.
$x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$
3
Signe de a : négatif
Pour tout réel $x,$ $x^{2} \ge 0.$ Aucun réel n'a donc $-9$ pour carré.
$S = \varnothing$

S = \{-7 \,;\, 7\} \quad ; \quad

S = \{-\sqrt{5} \,;\, \sqrt{5}\} \quad ; \quad

S = \varnothing

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} = 49$ donne $x = 7.$ $x = 7$ ou $x = -7$
La solution négative est aussi valable : $(-7)^{2} = 49.$ Oublier l'opposée fait perdre la moitié des solutions, à chaque fois.
$x^{2} = -9$ donne $x = -3.$ $S = \varnothing$
$(-3)^{2} = 9,$ pas $-9.$ Un carré ne peut pas être négatif : il faut regarder le signe de $a$ avant de prendre une racine.
$\sqrt{x^{2}} = x$ $\sqrt{x^{2}} = |x|$
C'est la même erreur vue de l'autre côté. Pour $x = -7,$ $\sqrt{49} = 7$ et non $-7.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma tekhou la racine, chouf le signe mte3 a. Ken positif : zouz solutions, wahda opposée lel okhra. Ken zéro : solution wahda. W ken négatif : ma thammech solution, khater le carré dima positif walla nul. El hala ethaltha hiya elli tetnsa. »

Méthode

Les équations avec des fractions

Face à une équation qui contient des dénominateurs, le premier geste est toujours de les faire disparaître : on multiplie les deux membres par un dénominateur commun.

Deux précautions, et ce sont les deux erreurs qu'on voit le plus :

il faut multiplier tous les termes, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur, et y compris le membre de droite ;
quand un numérateur est une somme, il porte une parenthèse invisible : $6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x-1),$ et non $2x - 1.$

Le principe

\frac{A}{n} = B \iff A = nB \quad (n \ne 0)

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{x}{2} = 4.$

1
Dénominateur commun
$3$ et $2$ divisent $6$ : on multiplie tout par $6.$
$6 \times \frac{x-1}{3} + 6 \times \frac{x}{2} = 6 \times 4$
2
Chaque numérateur garde sa parenthèse.
$2(x - 1) + 3x = 24$
3
Développer et réduire
$2x - 2 + 3x = 24 \iff 5x = 26$
4
$x = \frac{26}{5}$

S = \left\{\dfrac{26}{5}\right\}

L’erreur à ne pas faire

$6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2x - 1$ $6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x-1) = 2x - 2$
La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : tout le numérateur est multiplié.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki tal9a des dénominateurs, le premier geste dima : tayyarhom. Nodhorbou les deux membres b un dénominateur commun. Deux i7tiyatat, w houma bel dhabt les deux ghaltat elli nchoufouhom akthar : lezmek todhrob el termes el koll, 7atta elli ma 3andhomch dénominateur ; w ki le numérateur ykoun une somme, 7ottlou des parenthèses. »

Méthode

Mettre un problème en équation

C'est la partie qui fait peur, et elle tient en quatre étapes toujours identiques :

1.choisir l'inconnue et l'écrire noir sur blanc : « Soit $x$ la largeur, en cm » ;
2.exprimer les autres grandeurs en fonction de $x$ ;
3.traduire l'énoncé par une équation ;
4.résoudre, puis revenir à la question posée.

La quatrième étape est celle qu'on oublie. Trouver $x = 8$ ne suffit pas : il faut dire ce que vaut $8,$ et vérifier que la réponse a un sens dans le problème — une longueur négative n'en a pas.

Périmètre d'un rectangle

\mathcal{P} = 2(L + \ell)

Exemple traité

Le périmètre d'un rectangle est $46$ cm. Sa longueur dépasse sa largeur de $7$ cm. Quelles sont ses dimensions ?

1
Choisir l'inconnue
Soit $x$ la largeur, en cm. La longueur vaut alors $x + 7.$
$\ell = x \quad ; \quad$ $L = x + 7$
2
Traduire
$2\big(x + (x + 7)\big) = 46$
3
Résoudre
$2(2x + 7) = 46 \iff 4x + 14 = 46 \iff 4x = 32$
4
$x = 8$
5
Revenir à la question
La largeur vaut $8$ cm et la longueur $15$ cm. Vérification : $2(8+15) = 46.$
$\ell = 8$ cm $; \quad$ $L = 15$ cm

L’erreur à ne pas faire

On répond « $x = 8$ »On répond « la largeur mesure $8$ cm et la longueur $15$ cm »
L'énoncé pose une question sur des dimensions, pas sur $x.$ Il faut y revenir explicitement.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma tabda, 9oul chnowa houwa x. Ektebha : « Soit x la largeur ». W fi lekher, rajja3 el jaweb lel so2al : machi x égale 8, ama la largeur mesure 8 centimètres. »

Propriété

Les inéquations

Une inéquation se résout exactement comme une équation, avec une seule exception — mais elle est décisive :

on peut ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres : le sens ne change pas ;
on peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas ;
si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Pour t'en convaincre une fois pour toutes : $2 < 5$ est vrai. Multiplie par $-1$ : $-2$ et $-5.$ Or $-2 > -5.$ Le sens a bien changé.

Positif

a < b

c > 0 \ \Rightarrow \ \frac{a}{c} < \frac{b}{c}

Négatif

a < b

c < 0 \ \Rightarrow \ \frac{a}{c} > \frac{b}{c}

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-2x < 6.$

1
Diviser par −2
Le diviseur est négatif : le sens s'inverse.
$-2x < 6 \iff x > \frac{6}{-2}$
2
$x > -3$
3
Contrôle
On teste une valeur : $x = 0$ convient-il ? $-2 \times 0 = 0 < 6,$ oui. Et $0 > -3$ : cohérent.
$x = 0 \ : \ 0 < 6 \quad \checkmark$

S = \,]-3\,;+\infty[

L’erreur à ne pas faire

$-2x < 6 \ \Rightarrow \ x < -3$ $-2x < 6 \ \Rightarrow \ x > -3$
On a divisé par $-2,$ qui est négatif : le sens de l'inégalité s'inverse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'inéquation tet7all bel dhabt kif l'équation, m3a une seule exception — amma 7asma. Tzid walla tna99as : le sens ma yetbaddelch. Todhrob walla t9assem 3ala un nombre strictement positif : le sens ma yetbaddelch. Amma ki todhrob walla t9assem 3ala un nombre strictement négatif, le sens yet9leb. Hedhi hiya la première erreur fel chapitre. »

Méthode

Écrire l'ensemble des solutions

Une inéquation n'a presque jamais une seule solution : elle en a un intervalle. La réponse ne se termine donc pas à $x > -3,$ mais à l'écriture de cet ensemble.

Les correspondances à connaître :

$x > a$ donne $S = \,]a\,;+\infty[$
$x \ge a$ donne $S = [a\,;+\infty[$
$x < a$ donne $S = \,]-\infty\,;a[$
$x \le a$ donne $S = \,]-\infty\,;a]$

Un dernier réflexe utile : tester une valeur de l'intervalle trouvé dans l'inéquation de départ. Si elle ne convient pas, le sens a été inversé quelque part.

Fermé

x \ge a \iff x \in [a\,;+\infty[

Ouvert

x < a \iff x \in \,]-\infty\,;a[

Exemple traité

Résoudre $\dfrac{3x-1}{2} \ge x + 4$ et donner $S.$

1
Supprimer le dénominateur
On multiplie les deux membres par $2.$
$3x - 1 \ge 2(x + 4)$
2
$3x - 1 \ge 2x + 8$
3
Rassembler
On retire $2x$ et on ajoute $1$ : opérations qui ne changent pas le sens.
$x \ge 9$

S = [9\,;+\infty[

L’erreur à ne pas faire

$x \ge 9$ donne $S = \,]9\,;+\infty[$ $x \ge 9$ donne $S = [9\,;+\infty[$
Le symbole $\ge$ autorise l'égalité : la valeur $9$ appartient à l'ensemble, le crochet se ferme.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'inéquation 3omorha ma 3andha solution une : 3andha un intervalle kemel. El jaweb ma youfach 3and x supérieur à moins 3 — youfa ki tekteb l'ensemble des solutions. W rodd belek lel crochet : ki la borne mettekhdha, crochet fermé ; ki mahich mettekhdha, crochet ouvert. »

À retenir

1.
$ax + b = 0$ avec $a \ne 0$ a une solution et une seule : $x = -\dfrac{b}{a}.$
2.
Un terme change de signe quand il change de membre.
3.
Pour supprimer les dénominateurs, on multiplie tous les termes, des deux côtés.
4.
Un numérateur qui est une somme porte une parenthèse invisible.
5.
Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse son sens.
6.
La réponse à une inéquation est un intervalle : $\ge$ ferme le crochet, $>$ l'ouvre.
7.
$x^{2} = a$ : deux solutions opposées si $a > 0,$ une seule si $a = 0,$ aucune si $a < 0.$
8.
$\sqrt{x^{2}} = |x|,$ jamais $x.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/35

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/7
Cours lu: 0/102
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Résoudre une équation du premier degré $ax + b = 0$
Résoudre une équation contenant des fractions en réduisant au même dénominateur
Mettre un problème en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier
Résoudre une inéquation du premier degré en maîtrisant le changement de sens
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle
Résoudre $x^{2} = a$ en discutant le signe de $a$ , et n'oublier aucune des deux solutions

Retrouver le nombre de départ

Voici un programme de calcul :

Choisis un nombre. Multiplie-le par $5$ . Retire $3$ .

Un élève applique ce programme et obtient $12$ .

Teste avec $2$ , puis avec $4$ . Que peux-tu en déduire sur le nombre choisi ?
Remonte le programme à l'envers : quelle opération annule « retirer $3$ » ? Et « multiplier par $5$ » ?
Appelle $x$ le nombre choisi et écris le programme en une seule ligne.

Le tâtonnement de la question 1 finit parfois par tomber juste. L'écriture de la question 3 tombe juste toujours : c'est tout l'intérêt des équations.

Le piège

On essaie des valeurs jusqu'à tomber juste

On écrit l'équation, puis on la résout

Le tâtonnement échoue dès que la solution n'est pas un petit entier — et il ne prouve jamais qu'il n'y en a pas d'autre.

Résoudre une équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue s'écrit, après transformation, sous la forme $ax + b = 0$ avec $a \ne 0$ . Elle admet alors une solution et une seule.

Deux transformations sont autorisées, et elles ne changent jamais les solutions :

ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

La méthode est toujours la même : on rassemble les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de $x$ . Et on vérifie — une vérification prend dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

Le piège

$5x - 3 = 12 \ \Rightarrow \ 5x = 12 - 3$

$5x - 3 = 12 \ \Rightarrow \ 5x = 12 + 3$

Le terme $-3$ passe de l'autre côté en changeant de signe : il devient $+3$ .

L'équation x² = a

Cette équation n'est pas du premier degré, et pourtant elle a sa place ici : elle se résout sans aucune méthode nouvelle, à condition de discuter le signe de $a$ .

On considère l'équation $x^{2} = a$ , où $a$ est un réel donné. Trois cas, et il n'y en a pas d'autre :

si $a > 0$ , elle admet deux solutions, $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$ ;
si $a = 0$ , elle admet une solution, $x = 0$ ;
si $a < 0$ , elle n'admet aucune solution.

Le troisième cas est celui qu'on oublie, et c'est le plus important : un carré est toujours positif ou nul, donc rien ne peut avoir un carré négatif.

a > 0 \;:\; S = \{-\sqrt{a} \,;\, \sqrt{a}\}

a = 0 \;:\; S = \{0\}

a < 0 \;:\; S = \varnothing

Le piège

$x^{2} = 49$ donne $x = 7$ .

$x = 7$ ou $x = -7$

La solution négative est aussi valable : $(-7)^{2} = 49$ . Oublier l'opposée fait perdre la moitié des solutions, à chaque fois.

Le piège

$x^{2} = -9$ donne $x = -3$ .

$S = \varnothing$

$(-3)^{2} = 9$ , pas $-9$ . Un carré ne peut pas être négatif : il faut regarder le signe de $a$ avant de prendre une racine.

Le piège

$\sqrt{x^{2}} = x$

$\sqrt{x^{2}} = |x|$

C'est la même erreur vue de l'autre côté. Pour $x = -7$ , $\sqrt{49} = 7$ et non $-7$ .

Les équations avec des fractions

Face à une équation qui contient des dénominateurs, le premier geste est toujours de les faire disparaître : on multiplie les deux membres par un dénominateur commun.

Deux précautions, et ce sont les deux erreurs qu'on voit le plus :

il faut multiplier tous les termes, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur, et y compris le membre de droite ;
quand un numérateur est une somme, il porte une parenthèse invisible : $6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x-1)$ , et non $2x - 1$ .

\frac{A}{n} = B \iff A = nB \quad (n \ne 0)

Le piège

$6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2x - 1$

$6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x-1) = 2x - 2$

La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : tout le numérateur est multiplié.

Mettre un problème en équation

C'est la partie qui fait peur, et elle tient en quatre étapes toujours identiques :

choisir l'inconnue et l'écrire noir sur blanc : « Soit $x$ la largeur, en cm » ;
exprimer les autres grandeurs en fonction de $x$ ;
traduire l'énoncé par une équation ;
résoudre, puis revenir à la question posée.

La quatrième étape est celle qu'on oublie. Trouver $x = 8$ ne suffit pas : il faut dire ce que vaut $8$ , et vérifier que la réponse a un sens dans le problème — une longueur négative n'en a pas.

\mathcal{P} = 2(L + \ell)

Le piège

On répond « $x = 8$ »

On répond « la largeur mesure $8$ cm et la longueur $15$ cm »

L'énoncé pose une question sur des dimensions, pas sur $x$ . Il faut y revenir explicitement.

Les inéquations

Une inéquation se résout exactement comme une équation, avec une seule exception — mais elle est décisive :

on peut ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres : le sens ne change pas ;
on peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas ;
si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Pour t'en convaincre une fois pour toutes : $2 < 5$ est vrai. Multiplie par $-1$ : $-2$ et $-5$ . Or $-2 > -5$ . Le sens a bien changé.

a < b \ \text{et} \ c > 0 \ \Rightarrow \ \frac{a}{c} < \frac{b}{c}

a < b \ \text{et} \ c < 0 \ \Rightarrow \ \frac{a}{c} > \frac{b}{c}

Le piège

$-2x < 6 \ \Rightarrow \ x < -3$

$-2x < 6 \ \Rightarrow \ x > -3$

On a divisé par $-2$ , qui est négatif : le sens de l'inégalité s'inverse.

Écrire l'ensemble des solutions

Une inéquation n'a presque jamais une seule solution : elle en a un intervalle. La réponse ne se termine donc pas à $x > -3$ , mais à l'écriture de cet ensemble.

Les correspondances à connaître :

$x > a$ donne $S = \,]a\,;+\infty[$
$x \ge a$ donne $S = [a\,;+\infty[$
$x < a$ donne $S = \,]-\infty\,;a[$
$x \le a$ donne $S = \,]-\infty\,;a]$

Un dernier réflexe utile : tester une valeur de l'intervalle trouvé dans l'inéquation de départ. Si elle ne convient pas, le sens a été inversé quelque part.

x \ge a \iff x \in [a\,;+\infty[

x < a \iff x \in \,]-\infty\,;a[

Le piège

$x \ge 9$ donne $S = \,]9\,;+\infty[$

$x \ge 9$ donne $S = [9\,;+\infty[$

Le symbole $\ge$ autorise l'égalité : la valeur $9$ appartient à l'ensemble, le crochet se ferme.

À retenir

$ax + b = 0$ avec $a \ne 0$ a une solution et une seule : $x = -\dfrac{b}{a}$ .
Un terme change de signe quand il change de membre.
Pour supprimer les dénominateurs, on multiplie tous les termes, des deux côtés.
Un numérateur qui est une somme porte une parenthèse invisible.
Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse son sens.
La réponse à une inéquation est un intervalle : $\ge$ ferme le crochet, $>$ l'ouvre.
$x^{2} = a$ : deux solutions opposées si $a > 0$ , une seule si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .
$\sqrt{x^{2}} = |x|$ , jamais $x$ .

Ce qu’il t’explique

Retrouver le nombre de départ

Résoudre une équation du premier degré

L'équation x² = a

Les équations avec des fractions

Mettre un problème en équation

Les inéquations

Écrire l'ensemble des solutions

À toi, au tableau

Une équation en deux gestes

Le sens qui s'inverse

Deux solutions, pas une

Remonter un programme

La parenthèse du programme

Un programme qui change le signe

Une équation avec des fractions

Un rectangle à retrouver

Quand il n'y a rien à trouver

Deux programmes, un même résultat

Un programme en quatre étapes

Un programme qui donne toujours la même chose

Une inéquation à dénominateur

Le nombre de Karim

Deux programmes qui se rencontrent

Un résultat fractionnaire

Quand x disparaît

Une égalité toujours vraie

Comparer deux expressions

La commerçante et ses deux années

Deux carrés qui se simplifient

Des crochets et des parenthèses

Une identité cachée

Deux carrés côte à côte

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Retrouver le nombre de départ

Résoudre une équation du premier degré

L'équation x² = a

Les équations avec des fractions

Mettre un problème en équation

Les inéquations

Écrire l'ensemble des solutions

À retenir