Exploitation de l'information

Statistiques : vocabulaire, effectifs et fréquences, représentations, moyenne, médiane, étendue, séries regroupées par classes, séries chronologiques et indices base 100.

9 sections · 104 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Les statistiques ne servent pas à calculer : elles servent à résumer. Face à deux cents notes, personne ne peut « voir » la classe. Une moyenne, une médiane et une étendue, si.

Tout le chapitre consiste donc à choisir le bon résumé, et à savoir ce qu'il cache. Une moyenne de $12$ ne dit pas si tout le monde a $12$ ou si la moitié a $4$ et l'autre $20$ — et c'est exactement pour ça qu'on a inventé la médiane et l'étendue.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Employer correctement le vocabulaire : population, individu, caractère, effectif, fréquence
Distinguer un caractère qualitatif d'un caractère quantitatif, discret ou continu
Construire un tableau d'effectifs et de fréquences, et calculer des effectifs cumulés
Lire et construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire, un histogramme
Calculer et interpréter une moyenne pondérée, une médiane, un mode et l'étendue
Déterminer le centre d'une classe, et la classe modale d'une série regroupée
Calculer la moyenne d'une série regroupée par classes à partir des centres et des fréquences
Lire la médiane d'une série regroupée sur la courbe des fréquences cumulées croissantes
Savoir que dans un histogramme, c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif
Calculer un coefficient multiplicateur et un indice base 100 sur une série chronologique

Activité

Vingt notes en vrac

Voici les notes obtenues par une classe à un contrôle :

$\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 6 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 18 \ ; \$ $\displaystyle 11 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 13 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 16 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 12$

1.En regardant seulement cette liste, peux-tu dire comment la classe a travaillé ?
2.Range les notes dans l'ordre croissant, puis compte combien de fois chacune apparaît.
3.Quelle note revient le plus souvent ? Combien d'élèves ont eu au moins $12$ ?

La première question n'a pas de réponse, et c'est voulu. Tout le chapitre consiste à rendre lisible ce qui ne l'est pas.

Ce qu’on observe

Ce que donne le comptage.

1
Effectif total
$N = 20$
2
La note la plus fréquente
Elle apparaît sept fois : c'est le mode de la série.
$12$ apparaît $7$ fois
3
En rangeant, on voit aussi les extrêmes, ce que la liste brute cachait.
$x_{\min} = 6 \quad ; \quad$ $x_{\max} = 18$
4
Au moins 12
On additionne les effectifs des notes supérieures ou égales à $12$ : sept fois $12,$ puis $13,$ deux fois $14,$ $15,$ $16$ et $18.$
$7 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 13$ élèves

\text{Mode} = 12 \quad ; \quad

\text{Étendue} = 18 - 6 = 12

L’erreur à ne pas faire

On lit la série telle qu'elle est donnéeOn la range et on compte les effectifs
Une liste en vrac ne se lit pas. Ranger et compter est le premier geste de toute étude statistique.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna vingt note mte3 classe, ma7toutin fel 5lit. Bass fihom berk : tnajjem t9oul kifech 5edmet el classe ? S3ib. Rattebhom bel tartib ettasa3odi, w baad chouf. Hedhi hiya el mochkla elli bech y7ellha el chapitre el koll. »

Vocabulaire

Le vocabulaire de la statistique

Quatre mots, et il faut les employer exactement :

la population : l'ensemble étudié — les élèves d'une classe, les habitants d'une ville ;
un individu : un élément de cette population ;
le caractère : ce qu'on observe sur chaque individu — la couleur des yeux, la taille, le nombre de frères ;
l'effectif d'une valeur : le nombre d'individus qui la présentent.

Le caractère se classe en deux familles, et ce classement décide de tout ce qui suit :

qualitatif : il ne se mesure pas — couleur, sport pratiqué, moyen de transport ;
quantitatif : il se mesure. Il est discret quand les valeurs sont isolées (nombre de frères : $0,$ $1,$ $2$ …), continu quand elles peuvent prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle (la taille, la masse).

On ne calcule jamais de moyenne sur un caractère qualitatif : la « couleur moyenne » n'existe pas.

Effectif total

N = \sum n_{i}

Exemple traité

Dans une classe de $25$ élèves, on relève la couleur des yeux et le nombre de frères et sœurs.

1
Population
Les $25$ élèves de la classe. Un individu est un élève.
$N = 25$
2
Premier caractère
La couleur des yeux ne se mesure pas : il est qualitatif.
3
Second caractère
Le nombre de frères et sœurs prend des valeurs isolées : il est quantitatif discret.

L’erreur à ne pas faire

On calcule la moyenne des couleurs d'yeuxOn donne le mode : la couleur la plus fréquente
Un caractère qualitatif n'a pas de valeur numérique. Seul le mode a un sens.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Quatre kelmet, w lezmek testa3melhom bel dhabt. La population hiya l'ensemble elli n7ebbou nadrsouh. L'individu houwa un élément menha. Le caractère houwa elli nlé7dhouh 3ala koll individu. W l'effectif houwa 9adech marra tet3awed valeur. Te5let binethom, te5let ejjadwel el koll. »

Méthode

Effectifs, fréquences, cumuls

La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente dans l'ensemble :

$f_{i} = \frac{n_{i}}{N}$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1,$ et la somme de toutes les fréquences vaut toujours $1.$ C'est le contrôle à faire systématiquement : si la somme ne fait pas $1,$ il y a une erreur dans le tableau.

En pourcentage, on multiplie par $100.$ Une fréquence de $0{,}4$ s'annonce donc « $40\,\%$ » — et il faut préciser lequel des deux on donne, car $0{,}4$ et $40$ ne sont pas le même nombre.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre d'individus dont la valeur du caractère est inférieure ou égale à celle-ci. Il sert à trouver la médiane sans tout réécrire.

Fréquence

f_{i} = \frac{n_{i}}{N}

Contrôle

\sum f_{i} = 1

En %

\text{pourcentage} = f_{i} \times 100

Exemple traité

Sur $25$ élèves, $10$ pratiquent le football. Quelle est la fréquence, en pourcentage ?

1
La fréquence
$f = \frac{10}{25} = 0{,}4$
2
En pourcentage
$0{,}4 \times 100 = 40$
3
$40\,\%$ des élèves pratiquent le football.
$f = 40\,\%$

L’erreur à ne pas faire

$f = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$ $f = \dfrac{10}{25} = 0{,}4$
L'effectif de la valeur est au numérateur, l'effectif total au dénominateur. Une fréquence ne dépasse jamais $1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La fréquence hiya l'effectif mte3 valeur ma9soum 3ala l'effectif total. Houwa nombre bin zéro w 1, w la somme des fréquences tsawi dima 1. Hedhi hiya la vérification elli lezmek ta3melha dima : ken la somme ma 3amletch 1, thamma ghalta fel jadwel. B pourcentage, nodhorbou fi 100. »

Méthode

Représenter les données

Le graphique se choisit d'après la nature du caractère — ce n'est pas une question de goût :

diagramme en bâtons : caractère qualitatif ou quantitatif discret. La hauteur du bâton est proportionnelle à l'effectif ;
diagramme circulaire : pour montrer des parts d'un tout. L'angle est proportionnel à l'effectif, sur un tour complet de $360°$ ;
histogramme : caractère quantitatif continu, regroupé en classes. Ce sont les aires des rectangles qui sont proportionnelles aux effectifs, pas leurs hauteurs.

Pour un diagramme circulaire, l'angle se calcule toujours de la même façon : la fréquence multipliée par $360.$

Angle en degrés

\alpha_{i} = \frac{n_{i}}{N} \times 360

Exemple traité

Sur $40$ personnes interrogées, $14$ préfèrent le thé. Quel angle représente le thé sur un diagramme circulaire ?

1
La fréquence
$f = \frac{14}{40} = 0{,}35$
2
L'angle
Le tour complet fait $360°.$
$\alpha = 0{,}35 \times 360$
3
$\alpha = 126°$

\alpha = 126°

L’erreur à ne pas faire

L'angle vaut $\dfrac{14}{40} \times 180 = 63°$ L'angle vaut $\dfrac{14}{40} \times 360 = 126°$
Un disque complet mesure $360°,$ pas $180°.$ Le contrôle : la somme des angles doit faire $360°.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le graphique yet5tar 3ala 7seb tabi3et le caractère — mouch 3ala 7seb edhdhou9. Le diagramme en bâtons l un caractère qualitatif walla quantitatif discret. Le diagramme circulaire bech tbayyen des parts d'un tout : l'angle proportionnel à l'effectif, 3ala 360 degrés. Anhi graphique te5tar, hedhi 7addha fi rou7ha so2al fi l'examen. »

Propriété

La moyenne pondérée

Quand chaque valeur $x_{i}$ est présentée par $n_{i}$ individus, la moyenne se calcule en pondérant : chaque valeur pèse autant que son effectif.

$\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \dots + n_{p}x_{p}}{N}$

L'erreur la plus fréquente du chapitre est de faire la moyenne des valeurs en oubliant les effectifs. Elle donne un résultat faux dès que les effectifs diffèrent : une note obtenue par vingt élèves ne pèse pas comme une note obtenue par un seul.

Contrôle de bon sens : la moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.

Moyenne pondérée

\overline{x} = \frac{\sum n_{i} x_{i}}{N}

Contrôle

x_{\min} \le \overline{x} \le x_{\max}

Exemple traité

Dans un contrôle, $5$ élèves ont eu $8,$ $10$ élèves ont eu $12$ et $5$ élèves ont eu $17.$ Calculer la moyenne de la classe.

1
Effectif total
$N = 5 + 10 + 5 = 20$
2
Somme pondérée
$5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 17 = 40 + 120 + 85 = 245$
3
La moyenne
$\overline{x} = \frac{245}{20} = 12{,}25$
4
Contrôle
Elle est bien comprise entre $8$ et $17.$
$8 \le 12{,}25 \le 17$

\overline{x} = 12{,}25

L’erreur à ne pas faire

$\overline{x} = \dfrac{8 + 12 + 17}{3}$ $\overline{x} = \dfrac{5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 17}{20}$
Sans les effectifs, la note obtenue par dix élèves compterait autant que celle obtenue par cinq.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ma tensech les effectifs. La note elli khdhewha dix élèves ma tzench kif la note elli khdhewha cinq. Hedhi hiya la moyenne pondérée. »

Méthode

Médiane, mode et étendue

Trois indicateurs qui complètent la moyenne, et qui disent autre chose qu'elle.

La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Pour la trouver :

1.ranger les valeurs dans l'ordre croissant — c'est l'étape qu'on oublie, et sans elle tout le reste est faux ;
2.si l'effectif $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ;
3.si $N$ est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Le mode est la valeur de plus grand effectif. C'est le seul indicateur qui a un sens pour un caractère qualitatif.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion : deux classes de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes.

Deux mots qu'il faut savoir lire dans un énoncé : une série qui n'a qu'un seul mode est dite unimodale ; celle qui en a deux est dite bimodale.

Médiane

N

impair

:

rang

\frac{N+1}{2}

Étendue

e = x_{\max} - x_{\min}

Exemple traité

Tailles, en cm, de $9$ élèves : $152 \ ; \$ $158 \ ; \$ $161 \ ; \$ $149 \ ; \$ $170 \ ; \$ $155 \ ; \$ $163 \ ; \$ $158 \ ; \$ $167$ . Déterminer la médiane et l'étendue.

1
Ranger
$149 \ ; \$ $152 \ ; \$ $155 \ ; \$ $158 \ ; \$ $158 \ ; \$ $161 \ ; \$ $163 \ ; \$ $167 \ ; \$ $170$
2
Le rang
$N = 9$ est impair.
$\frac{9+1}{2} = 5$
3
La cinquième valeur de la liste rangée est $158.$
$\text{Médiane} = 158$
4
Étendue
$e = 170 - 149 = 21$

Médiane

= 158

; \quad

e = 21

L’erreur à ne pas faire

On prend la valeur du milieu de la liste donnéeOn range d'abord, puis on prend celle du milieu
Ici la cinquième valeur non rangée est $170,$ alors que la médiane vaut $158.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Trois indicateurs ykammlou la moyenne, w y9oulou 7aja o5ra ghirha. La médiane t9assem la série l deux nossat kif b3adhhom. W el 5otwa elli ynsawha el koll : lezmek trattab les valeurs bel tartib ettasa3odi 9bal. Bla tartib, el be9i el koll ghalet. Le mode houwa la valeur elli tet3awed akthar, w l'étendue hiya la différence bin la plus grande w la plus petite. »

Activité

Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées

On a relevé la durée, en minutes, de $40$ appels téléphoniques. Les durées sont des nombres décimaux quelconques : $3{,}7$ ; $11{,}2$ ; $8{,}05$ … Les lister une par une ne dirait rien. On les regroupe par classes :

Durée d'appel (min)	Nombre d'appels
$[0\,;5[$	$8$
$[5\,;10[$	$12$
$[10\,;15[$	$15$
$[15\,;20[$	$5$

1.Combien d'appels ont duré moins de $10$ minutes ?
2.Peux-tu calculer la durée moyenne d'un appel à partir de ce tableau ? Que te manque-t-il ?
3.Quelle valeur vas-tu faire jouer à la classe $[5\,;10[$ tout entière ?

La question 3 est la difficulté du chapitre : dans une classe, on ne connaît plus les valeurs individuelles. Il faut en choisir une qui représente toute la classe — et ce choix a un nom.

Ce qu’on observe

Répondre aux questions 1 et 3.

1
Moins de 10 minutes
On additionne les deux premières classes.
$8 + 12 = 20$ appels
2
La moyenne exacte est hors d'atteinte : le tableau a perdu les valeurs individuelles. On ne pourra donner qu'une valeur approchée.
3
Le représentant
On fait jouer à toute la classe son milieu : c'est la valeur la moins injuste, puisqu'on ne sait pas comment les appels se répartissent à l'intérieur.
milieu de $[5\,;10[ \;=\; \frac{5 + 10}{2} = 7{,}5$

20

appels

;

on retient

7{,}5

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki les valeurs ywalliw barcha, njamma3ouhom par classes. Ama wa9tha nekhsrou les valeurs individuelles : la moyenne exacte ma tnajjemch tethseb. Na3tiw lkoll classe le milieu mte3ha, w houwa elli ymathelha. Hedha houwa le centre de la classe. »

Propriété

Les paramètres d'une série regroupée par classes

Les quatre paramètres changent de définition dès que la série est regroupée. C'est un second bloc à retenir, et il ne se déduit pas du premier.

le centre d'une classe est le milieu de ses extrémités ;
dans un histogramme, l'aire d'un rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Ce n'est pas la hauteur : quand les classes n'ont pas la même largeur, lire les hauteurs trompe ;
un mode est une classe — la classe d'effectif le plus élevé, qu'on appelle classe modale. Ce n'est plus une valeur ;
la moyenne s'obtient en multipliant chaque centre de classe par la fréquence correspondante, puis en additionnant ;
la médiane est l'abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes dont l'ordonnée est $0{,}5.$

centre d'une classe

c_{i} = \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2}

moyenne par classes

\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}

Exemple traité

Pour la série des $40$ appels ci-dessus, déterminer la classe modale, la durée moyenne, puis la médiane.

1
Les centres
$2{,}5 \quad ; \quad$ $7{,}5 \quad ; \quad$ $12{,}5 \quad ; \quad$ $17{,}5$
2
Les fréquences
On divise chaque effectif par $40.$
$0{,}2 \quad ; \quad$ $0{,}3 \quad ; \quad$ $0{,}375 \quad ; \quad$ $0{,}125$
3
La classe modale
L'effectif le plus élevé est $15.$ Le mode est une classe, pas un nombre.
classe modale $= [10\,;15[$
4
La moyenne
$\overline{x} = 2{,}5(0{,}2) + 7{,}5(0{,}3) + 12{,}5(0{,}375) + 17{,}5(0{,}125)$
5
$\overline{x} = 0{,}5 + 2{,}25 + 4{,}6875 + 2{,}1875 = 9{,}625$
6
La médiane
Fréquences cumulées croissantes : $0{,}2$ puis $0{,}5$ puis $0{,}875$ puis $1.$ La valeur $0{,}5$ est atteinte exactement au bout de la classe $[5\,;10[.$
$\text{médiane} = 10$

\text{mode} = [10\,;15[ \quad ; \quad

\overline{x} = 9{,}625 \quad ; \quad

\text{médiane} = 10

L’erreur à ne pas faire

Le mode de cette série est $15.$ La classe modale est $[10\,;15[.$
$15$ est l'effectif de cette classe, pas une durée. Dans une série regroupée, le mode est une classe.
$\overline{x} = \dfrac{2{,}5 + 7{,}5 + 12{,}5 + 17{,}5}{4} = 10$ $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i} = 9{,}625$
Faire la moyenne des centres revient à donner le même poids à chaque classe. Or elles n'ont pas le même effectif : la moyenne est pondérée.
Dans un histogramme, la hauteur du rectangle donne l'effectif.C'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif.
Les deux se confondent uniquement quand toutes les classes ont la même largeur. Dès qu'une classe est deux fois plus large, sa hauteur doit être deux fois plus basse pour le même effectif.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Rodd belek : le mode walla classe, mechi valeur. W la moyenne tethseb b les centres, koll wahed mesure bel fréquence mte3ou — mechi la moyenne des centres. W fi l'histogramme, l'aire hiya elli proportionnelle à l'effectif, mechi la hauteur. »

Propriété

Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

Une série chronologique suit une même grandeur au fil des années. Deux outils permettent de comparer deux années sans se perdre dans les unités.

Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de l'année $b$ à l'année $n$ est le quotient de la valeur de l'année $n$ par celle de l'année $b.$

L'indice de l'année $n,$ base $100$ en l'année $b$ , est ce même quotient multiplié par $100.$ L'année de référence a donc toujours l'indice $100$ — c'est ce que « base 100 » veut dire.

Les deux disent la même chose, dans deux unités :

coefficient multiplicateur

C = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b}

indice base 100

I = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b} \times 100

le lien entre les deux

I = C \times 100

Exemple traité

Un produit coûtait $40$ dinars en $2020$ et coûte $50$ dinars en $2024.$ Calculer le coefficient multiplicateur de $2020$ à $2024,$ puis l'indice de $2024$ base $100$ en $2020.$

1
Le coefficient
L'année de référence est $2020$ : c'est elle qui va au dénominateur.
$C = \frac{50}{40} = 1{,}25$
2
L'indice
$I = C \times 100 = 1{,}25 \times 100 = 125$
3
On lit l'indice directement : $125$ contre $100,$ c'est une hausse de $25\%$ sur la période.

C = 1{,}25 \quad ; \quad

I = 125

L’erreur à ne pas faire

$I = \dfrac{40}{50} \times 100 = 80$ $I = \dfrac{50}{40} \times 100 = 125$
L'année de référence — celle qui porte la base $100$ — va au dénominateur. Inverser transforme une hausse en baisse.
Un indice de $125$ signifie une hausse de $125\%.$ Une hausse de $25\%.$
L'indice se compare à $100,$ pas à $0.$ La hausse en pourcentage est $I - 100.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'année de référence hiya elli temchi fi le dénominateur, w hiya elli 3andha l'indice 100. Ken te9lebhom, la hausse twalli baisse. W indice 125 ma3neha hausse de vingt-cinq pour cent, mechi cent vingt-cinq : l'indice yet9aren m3a 100, mechi m3a zéro. »

À retenir

1.
Caractère qualitatif : pas de moyenne, seulement un mode.
2.
$f_{i} = \dfrac{n_{i}}{N},$ et la somme des fréquences vaut toujours $1.$
3.
Angle d'un diagramme circulaire : $\dfrac{n_{i}}{N} \times 360.$
4.
Moyenne pondérée : chaque valeur pèse autant que son effectif.
5.
La moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande valeur.
6.
Pour la médiane, on range d'abord. Rang $\dfrac{N+1}{2}$ si $N$ est impair.
7.
Série regroupée : le mode est une classe, et le centre d'une classe est le milieu de ses bornes.
8.
Moyenne par classes : $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}$ — pondérée, jamais la moyenne des centres.
9.
Médiane par classes : l'abscisse du point d'ordonnée $0{,}5$ sur la courbe des fréquences cumulées croissantes.
10.
Histogramme : c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, pas sa hauteur.
11.
$I = C \times 100,$ et l'année de référence — celle de la base $100$ — va au dénominateur.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/16

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/9
Cours lu: 0/104
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Employer correctement le vocabulaire : population, individu, caractère, effectif, fréquence
Distinguer un caractère qualitatif d'un caractère quantitatif, discret ou continu
Construire un tableau d'effectifs et de fréquences, et calculer des effectifs cumulés
Lire et construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire, un histogramme
Calculer et interpréter une moyenne pondérée, une médiane, un mode et l'étendue
Déterminer le centre d'une classe, et la classe modale d'une série regroupée
Calculer la moyenne d'une série regroupée par classes à partir des centres et des fréquences
Lire la médiane d'une série regroupée sur la courbe des fréquences cumulées croissantes
Savoir que dans un histogramme, c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif
Calculer un coefficient multiplicateur et un indice base 100 sur une série chronologique

Vingt notes en vrac

Voici les notes obtenues par une classe à un contrôle :

8 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \ ; \ 6 \ ; \ 12 \ ; \ 14 \ ; \ 9 \ ; \ 12 \ ; \ 18 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 7 \ ; \ 13 \ ; \ 12 \ ; \ 10 \ ; \ 16 \ ; \ 12 \ ; \ 9 \ ; \ 14 \ ; \ 12

En regardant seulement cette liste, peux-tu dire comment la classe a travaillé ?
Range les notes dans l'ordre croissant, puis compte combien de fois chacune apparaît.
Quelle note revient le plus souvent ? Combien d'élèves ont eu au moins $12$ ?

La première question n'a pas de réponse, et c'est voulu. Tout le chapitre consiste à rendre lisible ce qui ne l'est pas.

Le piège

On lit la série telle qu'elle est donnée

On la range et on compte les effectifs

Une liste en vrac ne se lit pas. Ranger et compter est le premier geste de toute étude statistique.

Le vocabulaire de la statistique

Quatre mots, et il faut les employer exactement :

la population : l'ensemble étudié — les élèves d'une classe, les habitants d'une ville ;
un individu : un élément de cette population ;
le caractère : ce qu'on observe sur chaque individu — la couleur des yeux, la taille, le nombre de frères ;
l'effectif d'une valeur : le nombre d'individus qui la présentent.

Le caractère se classe en deux familles, et ce classement décide de tout ce qui suit :

qualitatif : il ne se mesure pas — couleur, sport pratiqué, moyen de transport ;
quantitatif : il se mesure. Il est discret quand les valeurs sont isolées (nombre de frères : $0$ , $1$ , $2$ …), continu quand elles peuvent prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle (la taille, la masse).

On ne calcule jamais de moyenne sur un caractère qualitatif : la « couleur moyenne » n'existe pas.

N = \sum n_{i}

Le piège

On calcule la moyenne des couleurs d'yeux

On donne le mode : la couleur la plus fréquente

Un caractère qualitatif n'a pas de valeur numérique. Seul le mode a un sens.

Effectifs, fréquences, cumuls

La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente dans l'ensemble :

f_{i} = \frac{n_{i}}{N}

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$ , et la somme de toutes les fréquences vaut toujours $1$ . C'est le contrôle à faire systématiquement : si la somme ne fait pas $1$ , il y a une erreur dans le tableau.

En pourcentage, on multiplie par $100$ . Une fréquence de $0{,}4$ s'annonce donc « $40\,\%$ » — et il faut préciser lequel des deux on donne, car $0{,}4$ et $40$ ne sont pas le même nombre.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre d'individus dont la valeur du caractère est inférieure ou égale à celle-ci. Il sert à trouver la médiane sans tout réécrire.

f_{i} = \frac{n_{i}}{N}

\sum f_{i} = 1

\text{pourcentage} = f_{i} \times 100

Le piège

$f = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$

$f = \dfrac{10}{25} = 0{,}4$

L'effectif de la valeur est au numérateur, l'effectif total au dénominateur. Une fréquence ne dépasse jamais $1$ .

Représenter les données

Le graphique se choisit d'après la nature du caractère — ce n'est pas une question de goût :

diagramme en bâtons : caractère qualitatif ou quantitatif discret. La hauteur du bâton est proportionnelle à l'effectif ;
diagramme circulaire : pour montrer des parts d'un tout. L'angle est proportionnel à l'effectif, sur un tour complet de $360°$ ;
histogramme : caractère quantitatif continu, regroupé en classes. Ce sont les aires des rectangles qui sont proportionnelles aux effectifs, pas leurs hauteurs.

Pour un diagramme circulaire, l'angle se calcule toujours de la même façon : la fréquence multipliée par $360$ .

\alpha_{i} = \frac{n_{i}}{N} \times 360

Le piège

L'angle vaut $\dfrac{14}{40} \times 180 = 63°$

L'angle vaut $\dfrac{14}{40} \times 360 = 126°$

Un disque complet mesure $360°$ , pas $180°$ . Le contrôle : la somme des angles doit faire $360°$ .

La moyenne pondérée

Quand chaque valeur $x_{i}$ est présentée par $n_{i}$ individus, la moyenne se calcule en pondérant : chaque valeur pèse autant que son effectif.

\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \dots + n_{p}x_{p}}{N}

L'erreur la plus fréquente du chapitre est de faire la moyenne des valeurs en oubliant les effectifs. Elle donne un résultat faux dès que les effectifs diffèrent : une note obtenue par vingt élèves ne pèse pas comme une note obtenue par un seul.

Contrôle de bon sens : la moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.

\overline{x} = \frac{\sum n_{i} x_{i}}{N}

x_{\min} \le \overline{x} \le x_{\max}

Le piège

$\overline{x} = \dfrac{8 + 12 + 17}{3}$

$\overline{x} = \dfrac{5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 17}{20}$

Sans les effectifs, la note obtenue par dix élèves compterait autant que celle obtenue par cinq.

Médiane, mode et étendue

Trois indicateurs qui complètent la moyenne, et qui disent autre chose qu'elle.

La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Pour la trouver :

ranger les valeurs dans l'ordre croissant — c'est l'étape qu'on oublie, et sans elle tout le reste est faux ;
si l'effectif $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ;
si $N$ est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Le mode est la valeur de plus grand effectif. C'est le seul indicateur qui a un sens pour un caractère qualitatif.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion : deux classes de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes.

Deux mots qu'il faut savoir lire dans un énoncé : une série qui n'a qu'un seul mode est dite unimodale ; celle qui en a deux est dite bimodale.

N \text{ impair} \ : \ \text{rang } \frac{N+1}{2}

e = x_{\max} - x_{\min}

Le piège

On prend la valeur du milieu de la liste donnée

On range d'abord, puis on prend celle du milieu

Ici la cinquième valeur non rangée est $170$ , alors que la médiane vaut $158$ .

Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées

Durée d'appel (min)	$[0\,;5[$	$[5\,;10[$	$[10\,;15[$	$[15\,;20[$
Nombre d'appels	$8$	$12$	$15$	$5$

Combien d'appels ont duré moins de $10$ minutes ?
Peux-tu calculer la durée moyenne d'un appel à partir de ce tableau ? Que te manque-t-il ?
Quelle valeur vas-tu faire jouer à la classe $[5\,;10[$ tout entière ?

La question 3 est la difficulté du chapitre : dans une classe, on ne connaît plus les valeurs individuelles. Il faut en choisir une qui représente toute la classe — et ce choix a un nom.

Les paramètres d'une série regroupée par classes

Les quatre paramètres changent de définition dès que la série est regroupée. C'est un second bloc à retenir, et il ne se déduit pas du premier.

le centre d'une classe est le milieu de ses extrémités ;
dans un histogramme, l'aire d'un rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Ce n'est pas la hauteur : quand les classes n'ont pas la même largeur, lire les hauteurs trompe ;
un mode est une classe — la classe d'effectif le plus élevé, qu'on appelle classe modale. Ce n'est plus une valeur ;
la moyenne s'obtient en multipliant chaque centre de classe par la fréquence correspondante, puis en additionnant ;
la médiane est l'abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes dont l'ordonnée est $0{,}5$ .

c_{i} = \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2}

\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}

Le piège

Le mode de cette série est $15$ .

La classe modale est $[10\,;15[$ .

$15$ est l'effectif de cette classe, pas une durée. Dans une série regroupée, le mode est une classe.

Le piège

$\overline{x} = \dfrac{2{,}5 + 7{,}5 + 12{,}5 + 17{,}5}{4} = 10$

$\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i} = 9{,}625$

Faire la moyenne des centres revient à donner le même poids à chaque classe. Or elles n'ont pas le même effectif : la moyenne est pondérée.

Le piège

Dans un histogramme, la hauteur du rectangle donne l'effectif.

C'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif.

Les deux se confondent uniquement quand toutes les classes ont la même largeur. Dès qu'une classe est deux fois plus large, sa hauteur doit être deux fois plus basse pour le même effectif.

Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

Une série chronologique suit une même grandeur au fil des années. Deux outils permettent de comparer deux années sans se perdre dans les unités.

Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de l'année $b$ à l'année $n$ est le quotient de la valeur de l'année $n$ par celle de l'année $b$ .

L'indice de l'année $n$ , base $100$ en l'année $b$ , est ce même quotient multiplié par $100$ . L'année de référence a donc toujours l'indice $100$ — c'est ce que « base 100 » veut dire.

Les deux disent la même chose, dans deux unités :

C = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b}

I = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b} \times 100

I = C \times 100

Le piège

$I = \dfrac{40}{50} \times 100 = 80$

$I = \dfrac{50}{40} \times 100 = 125$

L'année de référence — celle qui porte la base $100$ — va au dénominateur. Inverser transforme une hausse en baisse.

Le piège

Un indice de $125$ signifie une hausse de $125\%$ .

Une hausse de $25\%$ .

L'indice se compare à $100$ , pas à $0$ . La hausse en pourcentage est $I - 100$ .

À retenir

Caractère qualitatif : pas de moyenne, seulement un mode.
$f_{i} = \dfrac{n_{i}}{N}$ , et la somme des fréquences vaut toujours $1$ .
Angle d'un diagramme circulaire : $\dfrac{n_{i}}{N} \times 360$ .
Moyenne pondérée : chaque valeur pèse autant que son effectif.
La moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande valeur.
Pour la médiane, on range d'abord. Rang $\dfrac{N+1}{2}$ si $N$ est impair.
Série regroupée : le mode est une classe, et le centre d'une classe est le milieu de ses bornes.
Moyenne par classes : $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}$ — pondérée, jamais la moyenne des centres.
Médiane par classes : l'abscisse du point d'ordonnée $0{,}5$ sur la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Histogramme : c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, pas sa hauteur.
$I = C \times 100$ , et l'année de référence — celle de la base $100$ — va au dénominateur.

Ce qu’il t’explique

Vingt notes en vrac

Le vocabulaire de la statistique

Effectifs, fréquences, cumuls

Représenter les données

La moyenne pondérée

Médiane, mode et étendue

Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées

Les paramètres d'une série regroupée par classes

Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

À toi, au tableau

Une fréquence en pourcentage

Reconnaître le type de caractère

Le centre d'une classe

Un indice base 100

Un caractère qui se compte

Un caractère qui se mesure

La moyenne d'une classe

Un angle de diagramme circulaire

La moyenne d'une série par classes

La médiane d'une série par classes

Au moins trois séances

L'effectif manquant

La médiane d'une série

De l'indice au coefficient

Reconstituer l'effectif total

Au moins quatre pièces

Une part d'une part

Retrouver la taille du sondage

Une valeur de plus

Deux effectifs inconnus

Ce que disent deux cumuls

Deux classes réunies

Des effectifs proportionnels

Un secteur et un pourcentage

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Vingt notes en vrac

Le vocabulaire de la statistique

Effectifs, fréquences, cumuls

Représenter les données

La moyenne pondérée

Médiane, mode et étendue

Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées

Les paramètres d'une série regroupée par classes

Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

À retenir