Fonctions affines

Fonction affine, coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation, signe.

6 sections · 102 exercices

Fonctions affines

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Une fonction affine, c'est une fonction linéaire à laquelle on ajoute une constante : $f(x) = ax + b.$

Ce $b$ change tout dans la lecture concrète. Un taxi qui facture $2$ dinars de prise en charge plus $1{,}5$ dinar du kilomètre n'est pas une situation de proportionnalité : à zéro kilomètre, on paie déjà $2$ dinars. Graphiquement, la droite ne passe plus par l'origine.

Deux nombres, deux rôles : $a$ dit comment la droite penche, $b$ dit où elle coupe l'axe des ordonnées.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître une fonction affine et identifier $a$ et $b$
Tracer et lire la représentation graphique d'une fonction affine
Déterminer $a$ et $b$ à partir de deux couples de valeurs ou de deux points
Donner le sens de variation d'une fonction affine selon le signe de $a$
Étudier le signe de $ax + b$ et dresser son tableau de signes

Activité

Deux taxis, deux tarifs

Deux taxis proposent des tarifs différents :

Taxi A : $1{,}5$ dinar par kilomètre, sans autre frais ;
Taxi B : $2$ dinars de prise en charge, puis $1$ dinar par kilomètre.

1.Calcule le prix de chaque taxi pour $0,$ $2,$ $4$ et $6$ kilomètres.
2.Lequel des deux tarifs est une situation de proportionnalité ? Justifie par la ligne « $0$ km ».
3.À partir de combien de kilomètres le taxi B devient-il plus intéressant ?

La question 2 est le cœur du chapitre : ce qui sépare une fonction linéaire d'une fonction affine tient dans ce qu'on paie avant d'avoir avancé.

Ce qu’on observe

Ce que donne le tableau.

1
Taxi A
$0 \ ; \$ $3 \ ; \$ $6 \ ; \$ $9$
2
Taxi B
$2 \ ; \$ $4 \ ; \$ $6 \ ; \$ $8$
3
À zéro kilomètre, A ne coûte rien et B coûte déjà $2$ dinars : seul A est proportionnel.
$A(x) = 1{,}5x \quad ; \quad$ $B(x) = x + 2$
4
Le point de bascule
Les deux tarifs se croisent, puis B passe devant.
$1{,}5x = x + 2 \iff 0{,}5x = 2 \iff x = 4$

Au-delà de

4

km, le taxi B est moins cher

L’erreur à ne pas faire

Le taxi B est proportionnel car son prix augmente régulièrementLe taxi B n'est pas proportionnel : $B(0) = 2 \ne 0$
Augmenter régulièrement ne suffit pas. Il faut aussi qu'à zéro corresponde zéro.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Deux taxis, deux ta3rifet. Taxi A : 1 virgule 5 dinar bel kilomètre, bla 7aja o5ra. Taxi B : 2 dinars en prise en charge, baad dinar bel kilomètre. A7seb le prix mte3 koll wa7ed l zéro, 2, 4 w 6 kilomètres. Anhi wa7ed fihom une situation de proportionnalité ? »

Définition

Définition, coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Soient $a$ et $b$ deux réels fixés. La fonction affine associée est

$f : x \longmapsto ax + b$

$a$ s'appelle le coefficient directeur : c'est ce que $f(x)$ gagne quand $x$ augmente de $1$ ;
$b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $f(0).$

Deux cas particuliers valent la peine d'être nommés : si $b = 0,$ la fonction est linéaire ; si $a = 0,$ elle est constante. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, l'inverse est faux.

La forme

f(x) = ax + b

Ordonnée à l'origine

f(0) = b

Exemple traité

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = -2x + 7.$ Calculer $f(3)$ et donner son ordonnée à l'origine.

1
Image de 3
On remplace $x$ par $3,$ en respectant l'ordre des opérations : la multiplication d'abord.
$f(3) = -2 \times 3 + 7 = -6 + 7$
2
$f(3) = 1$
3
Ordonnée à l'origine
$f(0) = -2 \times 0 + 7 = 7$

f(3) = 1 \quad ; \quad

b = 7

L’erreur à ne pas faire

$f(3) = -2 + 7 \times 3 = 19$ $f(3) = -2 \times 3 + 7 = 1$
C'est $x$ qui est multiplié par $a,$ pas $b.$ On remplace $x$ et on respecte les priorités.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La fonction affine hiya f de x égale ax plus b. A houwa le coefficient directeur : houwa elli yerb7ou f de x ki x yzid b 1. W b houwa l'ordonnée à l'origine : houwa f de zéro. Deux 7alat 5asa : ki b égale zéro, terja3 fonction linéaire ; w ki a égale zéro, twalli fonction constante. »

Propriété

La représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite, et toute droite non verticale représente une fonction affine.

Deux lectures immédiates sur le graphique :

$b$ se lit directement : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées ;
$a$ se lit sur le déplacement : on avance de $1$ vers la droite, et on regarde de combien on monte (ou descend).

Pour tracer, deux points suffisent. Le plus commode est de prendre $x = 0,$ qui donne $b$ gratuitement, puis un second $x$ simple.

Lecture de a

a = \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \quad (x_{1} \ne x_{2})

Exemple traité

Tracer la droite représentative de $f(x) = -2x + 7.$

1
Premier point
L'ordonnée à l'origine se lit dans l'expression.
$f(0) = 7 \ \Rightarrow \ A(0\,;7)$
2
Second point
$f(3) = 1 \ \Rightarrow \ B(3\,;1)$
3
On trace la droite $(AB).$ Comme $a = -2 < 0,$ la droite descend.
$a = -2 < 0$

L’erreur à ne pas faire

La droite d'une fonction affine passe par l'origineElle passe par $(0\,;b)$
Elle ne passe par l'origine que si $b = 0,$ c'est-à-dire dans le cas linéaire.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La représentation graphique d'une fonction affine hiya une droite, w koll droite non verticale tmathel une fonction affine. Deux 9ira2at mobechra : b tet9ra directement — hiya l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. W a tet9ra 3ala le déplacement : ki tet9addem b 1 fi l'horizontale, 9adech tetla3 walla tohbat. »

Méthode

Déterminer une fonction affine

Deux inconnues, $a$ et $b,$ donc deux informations nécessaires : deux couples de valeurs, ou deux points de la droite.

La méthode se fait toujours dans cet ordre :

1.calculer $a$ par le quotient des écarts ;
2.reporter $a$ dans l'une des deux égalités pour trouver $b$ ;
3.vérifier avec l'autre égalité — celle qu'on n'a pas utilisée.

Cette troisième étape n'est pas décorative : elle est le seul contrôle qui détecte une erreur de signe dans le calcul de $a.$

Écarts

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Puis b

b = y_{1} - a x_{1}

Exemple traité

$f$ est affine, $f(1) = 5$ et $f(4) = -1.$ Déterminer $f.$

1
Le coefficient
On divise l'écart des images par l'écart des antécédents, dans le même ordre.
$a = \frac{-1 - 5}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$
2
L'ordonnée à l'origine
On reporte dans $f(1) = 5.$
$a \times 1 + b = 5 \iff -2 + b = 5 \iff b = 7$
3
Vérification
On contrôle avec l'égalité non utilisée.
$f(4) = -2 \times 4 + 7 = -1 \quad \checkmark$

f(x) = -2x + 7

L’erreur à ne pas faire

$a = \dfrac{4 - 1}{-1 - 5}$ $a = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1}$
Les images vont au numérateur, les antécédents au dénominateur, et dans le même ordre en haut et en bas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Deux inconnues, a w b : lezemna deux informations. D'abord na7esbou a bel écarts, baad n7otouha fi une men les deux égalités bech nal9aw b. W fi lekher netthabtou b la seconde. »

Propriété

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction affine ne dépend que du signe de $a$ . La valeur de $b$ n'y change rien : elle déplace la droite vers le haut ou vers le bas, sans modifier sa pente.

$a > 0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ — quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente ;
$a < 0$ : $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
$a = 0$ : $f$ est constante.

Une fonction affine est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier : elle ne change jamais de sens en cours de route.

Croissante

a > 0 \ \Rightarrow \ f

croissante sur

\mathbb{R}

Décroissante

a < 0 \ \Rightarrow \ f

décroissante sur

\mathbb{R}

Exemple traité

Donner le sens de variation de $f(x) = -2x + 7$ et de $g(x) = \dfrac{1}{3}x - 5.$

1
Pour $f,$ le coefficient directeur est négatif.
$a_{f} = -2 < 0 \ \Rightarrow \ f$ décroissante
2
Pour $g,$ il est positif. Le $-5$ n'intervient pas.
$a_{g} = \frac{1}{3} > 0 \ \Rightarrow \ g$ croissante

L’erreur à ne pas faire

$g(x) = \dfrac{1}{3}x - 5$ est décroissante car il y a un $-5$ $g$ est croissante car $a = \dfrac{1}{3} > 0$
Seul le coefficient devant $x$ décide du sens. La constante translate la droite, elle ne l'incline pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le sens de variation mte3 une fonction affine yet3alle9 b le signe de a berk. B ma ybaddel walou : y7arrek la droite l fou9 walla l ta7t, amma ma ybaddelch la pente. A supérieur à zéro : f croissante. A inférieur à zéro : f décroissante. A égale zéro : constante. »

Propriété

Le signe de ax + b

Étudier le signe de $ax + b,$ c'est répondre à : pour quels $x$ cette expression est-elle positive, nulle, négative ?

La méthode tient en trois temps :

1.chercher la valeur qui annule l'expression : $ax + b = 0$ donne $x = -\dfrac{b}{a}$ ;
2.de part et d'autre de cette valeur, le signe est constant ;
3.lequel de chaque côté ? Celui donné par le sens de variation : après la racine, l'expression a le signe de $a$ .

On résume dans un tableau de signes. C'est l'outil qui servira dans toute la scolarité, pour les inéquations produit et quotient.

La racine

ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

La règleAprès

-\frac{b}{a} \ :

signe de

a

Exemple traité

Étudie le signe de $g(x) = -3x + 12.$

1
La racine
$-3x + 12 = 0 \iff x = \frac{-12}{-3} = 4$
2
Le signe après
$a = -3 < 0$ : après $4,$ l'expression est négative. Avant, elle est donc positive.
$a = -3 < 0$
3
Contrôle
On teste une valeur : $g(0) = 12 > 0,$ et $0 < 4.$ Cohérent.
$g(0) = 12 > 0$

g(x) > 0 \iff x \in \,]-\infty\,;4[

L’erreur à ne pas faire

$-3x + 12 = 0 \ \Rightarrow \ x = -4$ $-3x + 12 = 0 \ \Rightarrow \ x = 4$
$-3x = -12,$ et en divisant par $-3$ les deux signes moins disparaissent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tadres le signe de ax plus b ma3neha tjaweb : l ay x hal expression positive, nulle, walla négative ? Trois 5otwet : tlawwej 3ala la valeur qui annule l'expression, ma3neha x égale moins b sur a ; w baad 3ala koll jiha, le signe constant ; w fel e5er t7ott el koll fi un tableau de signes. »

À retenir

1.
$f(x) = ax + b$ : $a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.
2.
La droite passe par $(0\,;b)$ — par l'origine seulement si $b = 0.$
3.
$a = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ : images en haut, antécédents en bas, même ordre.
4.
Le sens de variation ne dépend que du signe de $a$ : positif croissante, négatif décroissante.
5.
La racine de $ax + b$ est $-\dfrac{b}{a}$ ; après elle, l'expression a le signe de $a.$
6.
On vérifie toujours un tableau de signes en testant une valeur.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/16

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/6
Cours lu: 0/102
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître une fonction affine et identifier $a$ et $b$
Tracer et lire la représentation graphique d'une fonction affine
Déterminer $a$ et $b$ à partir de deux couples de valeurs ou de deux points
Donner le sens de variation d'une fonction affine selon le signe de $a$
Étudier le signe de $ax + b$ et dresser son tableau de signes

Deux taxis, deux tarifs

Deux taxis proposent des tarifs différents :

Taxi A : $1{,}5$ dinar par kilomètre, sans autre frais ;
Taxi B : $2$ dinars de prise en charge, puis $1$ dinar par kilomètre.

Calcule le prix de chaque taxi pour $0$ , $2$ , $4$ et $6$ kilomètres.
Lequel des deux tarifs est une situation de proportionnalité ? Justifie par la ligne « $0$ km ».
À partir de combien de kilomètres le taxi B devient-il plus intéressant ?

La question 2 est le cœur du chapitre : ce qui sépare une fonction linéaire d'une fonction affine tient dans ce qu'on paie avant d'avoir avancé.

Le piège

Le taxi B est proportionnel car son prix augmente régulièrement

Le taxi B n'est pas proportionnel : $B(0) = 2 \ne 0$

Augmenter régulièrement ne suffit pas. Il faut aussi qu'à zéro corresponde zéro.

Définition, coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Soient $a$ et $b$ deux réels fixés. La fonction affine associée est

f : x \longmapsto ax + b

$a$ s'appelle le coefficient directeur : c'est ce que $f(x)$ gagne quand $x$ augmente de $1$ ;
$b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $f(0)$ .

Deux cas particuliers valent la peine d'être nommés : si $b = 0$ , la fonction est linéaire ; si $a = 0$ , elle est constante. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, l'inverse est faux.

f(x) = ax + b

f(0) = b

Le piège

$f(3) = -2 + 7 \times 3 = 19$

$f(3) = -2 \times 3 + 7 = 1$

C'est $x$ qui est multiplié par $a$ , pas $b$ . On remplace $x$ et on respecte les priorités.

La représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite, et toute droite non verticale représente une fonction affine.

Deux lectures immédiates sur le graphique :

$b$ se lit directement : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées ;
$a$ se lit sur le déplacement : on avance de $1$ vers la droite, et on regarde de combien on monte (ou descend).

Pour tracer, deux points suffisent. Le plus commode est de prendre $x = 0$ , qui donne $b$ gratuitement, puis un second $x$ simple.

a = \frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} \quad (x_{1} \ne x_{2})

Le piège

La droite d'une fonction affine passe par l'origine

Elle passe par $(0\,;b)$

Elle ne passe par l'origine que si $b = 0$ , c'est-à-dire dans le cas linéaire.

Déterminer une fonction affine

Deux inconnues, $a$ et $b$ , donc deux informations nécessaires : deux couples de valeurs, ou deux points de la droite.

La méthode se fait toujours dans cet ordre :

calculer $a$ par le quotient des écarts ;
reporter $a$ dans l'une des deux égalités pour trouver $b$ ;
vérifier avec l'autre égalité — celle qu'on n'a pas utilisée.

Cette troisième étape n'est pas décorative : elle est le seul contrôle qui détecte une erreur de signe dans le calcul de $a$ .

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

b = y_{1} - a x_{1}

Le piège

$a = \dfrac{4 - 1}{-1 - 5}$

$a = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1}$

Les images vont au numérateur, les antécédents au dénominateur, et dans le même ordre en haut et en bas.

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction affine ne dépend que du signe de $a$ . La valeur de $b$ n'y change rien : elle déplace la droite vers le haut ou vers le bas, sans modifier sa pente.

$a > 0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ — quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente ;
$a < 0$ : $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
$a = 0$ : $f$ est constante.

Une fonction affine est monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier : elle ne change jamais de sens en cours de route.

a > 0 \ \Rightarrow \ f \text{ croissante sur } \mathbb{R}

a < 0 \ \Rightarrow \ f \text{ décroissante sur } \mathbb{R}

Le piège

$g(x) = \dfrac{1}{3}x - 5$ est décroissante car il y a un $-5$

$g$ est croissante car $a = \dfrac{1}{3} > 0$

Seul le coefficient devant $x$ décide du sens. La constante translate la droite, elle ne l'incline pas.

Le signe de ax + b

Étudier le signe de $ax + b$ , c'est répondre à : pour quels $x$ cette expression est-elle positive, nulle, négative ?

La méthode tient en trois temps :

chercher la valeur qui annule l'expression : $ax + b = 0$ donne $x = -\dfrac{b}{a}$ ;
de part et d'autre de cette valeur, le signe est constant ;
lequel de chaque côté ? Celui donné par le sens de variation : après la racine, l'expression a le signe de $a$ .

On résume dans un tableau de signes. C'est l'outil qui servira dans toute la scolarité, pour les inéquations produit et quotient.

ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

\text{Après } -\frac{b}{a} \ : \ \text{signe de } a

Le piège

$-3x + 12 = 0 \ \Rightarrow \ x = -4$

$-3x + 12 = 0 \ \Rightarrow \ x = 4$

$-3x = -12$ , et en divisant par $-3$ les deux signes moins disparaissent.

À retenir

$f(x) = ax + b$ : $a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.
La droite passe par $(0\,;b)$ — par l'origine seulement si $b = 0$ .
$a = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ : images en haut, antécédents en bas, même ordre.
Le sens de variation ne dépend que du signe de $a$ : positif croissante, négatif décroissante.
La racine de $ax + b$ est $-\dfrac{b}{a}$ ; après elle, l'expression a le signe de $a$ .
On vérifie toujours un tableau de signes en testant une valeur.

Ce qu’il t’explique

Deux taxis, deux tarifs

Définition, coefficient directeur et ordonnée à l'origine

La représentation graphique

Déterminer une fonction affine

Sens de variation

Le signe de ax + b

À toi, au tableau

Image par une fonction affine

Lire l'ordonnée à l'origine

Le prix d'une course

L'abonnement au club

La valeur en zéro

Le débit d'un robinet

Le coefficient directeur par les écarts

Terminer la détermination

Écrire le modèle

La facture d'électricité

Le salaire du représentant

Combien de séances ?

Le signe d'une expression affine

Quand les deux taxis se valent

La formule la plus avantageuse

L'aire d'un trapèze

Le prix de la salle

Rendre une fonction constante

Deux droites qui se croisent

Deux réservoirs

Trois offres de téléphone

Un paramètre à retrouver

L'image d'une image

Le triangle de deux droites

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Deux taxis, deux tarifs

Définition, coefficient directeur et ordonnée à l'origine

La représentation graphique

Déterminer une fonction affine

Sens de variation

Le signe de ax + b

À retenir