Quart de tour

Image d'un point par un quart de tour direct ou indirect, triangle rectangle isocèle et quart de tour, images d'un segment, d'une droite, d'un cercle et d'un polygone, construire dans un quadrillage, reconnaître une transformation, construire avec l'image d'une droite, démontrer avec un quart de tour.

12 sections · 103 exercices

Quart de tour

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Après la symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation, voici une quatrième façon de déplacer une figure sans la déformer : le quart de tour, qui la fait tourner de 90∘90^\circ autour d'un point.

On apprend d'abord à construire l'image d'un point, dans un sens ou dans l'autre. Puis on regarde ce que le quart de tour garde — les longueurs, les aires, les angles — et ce qu'il change : une droite et son image sont perpendiculaires. Enfin on s'en sert pour démontrer : dès qu'un triangle rectangle isocèle apparaît dans une figure, un quart de tour s'y cache, et il prouve des égalités de longueurs et des angles droits presque sans calcul.

Le décor des mosquées et des vieilles maisons de la médina le montre à qui sait regarder : un même motif géométrique s'y répète par symétrie, par translation, ou en tournant autour d'un point.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Construire l'image d'un point par un quart de tour direct ou indirect

  • Reconnaître un quart de tour dans un triangle rectangle isocèle, et l'inverse

  • Utiliser les images d'un segment, d'une droite, d'un cercle et d'un polygone

  • Construire une image dans un quadrillage, en comptant les carreaux

  • Démontrer une égalité de longueurs ou une perpendicularité avec un quart de tour

Activité

Le demi-tour, que tu connais déjà

Tu connais trois façons de déplacer une figure sans la déformer : la symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation.

Sur la figure, le triangle OCDOCD est l'image du triangle OABOAB par la symétrie centrale de centre O.O. Décalque le triangle OAB,OAB, plante la pointe du compas en O,O, et fais tourner le papier calque d'un demi-tour autour de O,O, de sorte que AA vienne sur C.C.

  1. 1.Que devient le point OO pendant le mouvement ?
  2. 2.Où arrive le point BB ?
  3. 3.En quelle figure se transforme le triangle OABOAB ?

Le demi-tour de centre OO est la symétrie centrale de centre O.O. Et si, au lieu d'un demi-tour, on ne faisait qu'un quart de tour ?

OABCD
Le demi-tour de centre O est la symétrie centrale de centre O.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf : n7ottou el papier calque, w ndawrouh un demi-tour 7awl O. A yji 3la C, B yji 3la D, w O ma yet7arrakch. Donc le demi-tour de centre O, houwa bidou la symétrie centrale de centre O. Tawa el so2al : w ken ndawrou ken un quart de tour ? »

Activité

Un quart de tour autour de O

Sur la figure, le triangle OA′B′OA'B' a été obtenu à partir du triangle OAB.OAB.

  1. 1.Peut-on l'obtenir par une symétrie centrale ? par une symétrie axiale ? par une translation ?
  2. 2.Décalque le triangle OAB,OAB, et fais tourner le papier calque d'un quart de tour autour de O,O, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, de sorte que AA vienne sur A′.A'. Que deviennent les points OO et BB ?
  3. 3.Quelle est la nature du triangle OAA′OAA' ? Et celle du triangle OBB′OBB' ?
  4. 4.Refais le mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre. Où arrive le point AA cette fois ?

On convient d'appeler sens direct le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre, et sens indirect le sens de leur mouvement.

OABA'B'
Le quart de tour direct de centre O : A va en A', B va en B'.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Mouch symétrie, mouch translation : el triangle dar un quart de tour 7awl O, 3aks 3a9areb essa3a. O yo93od fi blastou, w B yemchi l B' : OB égale OB', w l'angle BOB' droit. Donc le triangle OBB' rectangle isocèle en O. Hedha houwa le quart de tour direct. »

Définition

L'image d'un point par un quart de tour

Soit OO un point du plan.

  • L'image d'un point MM distinct de OO par le quart de tour direct de centre OO est le point M′M' tel que OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘,\widehat{MOM'} = 90^\circ, en tournant de MM vers M′M' dans le sens direct, contraire des aiguilles d'une montre.
  • L'image d'un point MM distinct de OO par le quart de tour indirect de centre OO est le point NN tel que ON=OMON = OM et MON^=90∘,\widehat{MON} = 90^\circ, en tournant de MM vers NN dans le sens indirect, celui des aiguilles d'une montre.
  • L'image du point OO par un quart de tour de centre OO est le point OO lui-même.

Pour un même point MM distinct de O,O, les deux quarts de tour donnent deux points différents, symétriques par rapport à O.O. C'est pourquoi on précise toujours le sens.

Et deux quarts de tour directs de même centre, faits l'un après l'autre, font un demi-tour : l'image de M′M' par le quart de tour direct de centre OO est le symétrique de MM par rapport à O.O.

sens directsens indirectOMM'N
Le sens décide du point : M' dans le sens direct, N dans le sens indirect.
même distance au centreOM′=OMOM' = OM
un angle droit, dans le sens annoncéMOM′^=90∘\widehat{MOM'} = 90^\circ

Exemple traité

Construire l'image M′M' d'un point MM par le quart de tour direct de centre O,O, avec une équerre et un compas.

  1. 1

    Le rayon

    Trace le segment [OM].[OM].

  2. 2

    L'angle droit

    Avec l'équerre, trace en OO la perpendiculaire à la droite (OM).(OM).

  3. 3

    Le bon côté

    Des deux demi-droites, garde celle qu'on atteint en tournant [OM)[OM) dans le sens contraire des aiguilles d'une montre : quand on regarde de OO vers M,M, elle part vers la gauche.

  4. 4

    La même distance

    Au compas, reporte la longueur OMOM sur cette demi-droite, à partir de O.O. Le point obtenu est M′.M'.

    OM′=OMOM' = OM

L’erreur à ne pas faire

  • OM′=OM,OM' = OM, donc M′M' est l'image de MM par le quart de tour de centre O.O.OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘,\widehat{MOM'} = 90^\circ, dans le sens annoncé.
    Tous les points du cercle de centre OO qui passe par MM vérifient OM′=OM.OM' = OM. C'est l'angle droit, et son sens, qui désignent un seul point.
  • Quart de tour direct : dans le sens des aiguilles d'une montre.Quart de tour direct : dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
    C'est une convention, et elle se retient à l'envers de l'habitude : les aiguilles d'une montre tournent dans le sens indirect.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nal9aw l'image de M, yelzemna zouz 7ajet m3a b3adhhom : OM' égale OM, w l'angle MOM' égale 90 degrés. W ma nensewch el sens : direct, le sens contraire des aiguilles d'une montre ; indirect, le sens des aiguilles d'une montre. W O, houwa wa7dou elli ma yet7arrakch. »

Propriété

Triangle rectangle isocèle et quart de tour

Dire que ABCABC est un triangle rectangle isocèle en AA, c'est dire que CC est l'image de BB par un quart de tour de centre AA.

Les deux phrases disent la même chose : AC=ABAC = AB et BAC^=90∘.\widehat{BAC} = 90^\circ. Le sens du quart de tour — direct ou indirect — se lit sur la figure, en tournant de BB vers CC autour de A.A.

C'est l'outil le plus utile du chapitre : un triangle rectangle isocèle cache toujours un quart de tour, et un carré en cache plusieurs.

ABC
AC = AB et l'angle BAC est droit : C est l'image de B.
par un quart de tour de centre AAC=ABAC = AB et BAC^=90∘  ⟺  C\widehat{BAC} = 90^\circ \iff C image de BB

Exemple traité

M′M' est l'image de MM par le quart de tour direct de centre O,O, et OM=3OM = 3 cm. Calculer la distance MM′.MM'.

  1. 1

    Le triangle caché

    OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘\widehat{MOM'} = 90^\circ : le triangle OMM′OMM' est rectangle isocèle en O.O.

  2. 2

    Pythagore

    Dans le triangle OMM′OMM' rectangle en OO :

    MM′2=OM2+OM′2=9+9=18MM'^{2} = OM^{2} + OM'^{2} = 9 + 9 = 18
  3. 3
    MM′=18=32MM' = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} cm
MM′=32MM' = 3\sqrt{2} cm

L’erreur à ne pas faire

  • MM′=2×OM=6MM' = 2 \times OM = 6 cmMM′=2×OM=32MM' = \sqrt{2} \times OM = 3\sqrt{2} cm
    2×OM,2 \times OM, c'est le demi-tour : le point, le centre et l'image sont alors alignés. Après un quart de tour, ils forment un triangle rectangle en O,O, et c'est Pythagore qui donne MM′.MM'.
  • Dans tout triangle ABCABC rectangle isocèle en A,A, CC est l'image de BB par le quart de tour direct de centre A.A.Direct ou indirect : le sens se lit sur la figure, en tournant de BB vers C.C.
    Si l'on va de BB vers CC dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est le quart de tour indirect. Et BB est alors l'image de CC par le quart de tour direct.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki nchoufou triangle rectangle isocèle en A, na3rfou elli fih quart de tour de centre A : AC égale AB, w l'angle BAC droit. Hedhi bedhabt la définition, w bel 3aks. W dima nthabtou fil sens : men B l C, kif 3a9areb essa3a walla bel 3aks ? Hedheka elli y9ollna direct walla indirect. »

Activité

Deux points, et la distance entre eux

Soit OO un point, et A,A, BB deux points tels que O,O, AA et BB ne soient pas alignés. Le quart de tour direct de centre OO transforme AA en A′A' et BB en B′.B'.

  1. 1.Compare OAOA et OA′,OA', puis OBOB et OB′.OB'.
  2. 2.Sur la figure, la demi-droite [OB)[OB) passe entre [OA)[OA) et [OA′).[OA'). Explique pourquoi AOB^=90∘−BOA′^,\widehat{AOB} = 90^\circ - \widehat{BOA'}, puis pourquoi A′OB′^=90∘−BOA′^.\widehat{A'OB'} = 90^\circ - \widehat{BOA'}.
  3. 3.Déduis-en que les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' sont isométriques. Que peux-tu dire des longueurs ABAB et A′B′A'B' ?
  4. 4.Soit MM un point du segment [AB],[AB], et M′M' son image. Pourquoi a-t-on A′M′+M′B′=A′B′A'M' + M'B' = A'B' ? Où se trouve donc le point M′M' ?
OABA'B'
Deux côtés égaux et l'angle compris égal : les triangles OAB et OA'B' sont isométriques.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« OA égale OA', w OB égale OB'. W el deux angles AOB w A'OB', koll wa7ed fihom 90 degrés moins l'angle BOA', donc kif kif. Deux côtés et l'angle compris : les triangles sont isométriques. Donc A'B' égale AB : le quart de tour ma ybaddelch les distances. »

Propriété

L'image d'un segment, l'image d'une droite

Par un quart de tour :

  • l'image d'un segment [AB][AB] est le segment [A′B′],[A'B'], qui lui est isométrique : A′B′=AB.A'B' = AB. Chaque point de [AB][AB] a son image sur [A′B′],[A'B'], et tout point de [A′B′][A'B'] est l'image d'un point de [AB][AB] : l'image est le segment [A′B′][A'B'] tout entier ;
  • trois points alignés ont des images alignées : l'image d'une droite est une droite ;
  • l'image d'une droite est une droite qui lui est perpendiculaire.

En particulier, l'image du milieu de [AB][AB] est le milieu de [A′B′].[A'B'].

DD'OKK'P
Une droite et son image par un quart de tour sont perpendiculaires.
les longueurs sont conservéesA′B′=ABA'B' = AB
une droite et son image(A′B′)⊥(AB)(A'B') \perp (AB)

Exemple traité

On donne une droite DD et un point O.O. Construire l'image D′D' de DD par le quart de tour direct de centre O.O.

  1. 1

    Un seul point suffit

    Choisis un point AA sur DD et construis son image A′A' : OA′=OAOA' = OA et AOA′^=90∘,\widehat{AOA'} = 90^\circ, dans le sens direct.

    OA′=OAOA' = OA et AOA′^=90∘\widehat{AOA'} = 90^\circ
  2. 2

    La direction

    D′D' passe par A′A' et elle est perpendiculaire à DD : trace la perpendiculaire à DD qui passe par A′.A'. C'est la droite D′.D'.

    D′⊥DD' \perp D et A′∈D′A' \in D'
  3. 3

    Vérifier

    L'image d'un second point de DD doit tomber sur la droite tracée.

L’erreur à ne pas faire

  • L'image d'une droite par un quart de tour lui est parallèle.L'image d'une droite par un quart de tour lui est perpendiculaire.
    Parallèle, c'est la translation et le demi-tour. Le quart de tour fait tourner toutes les directions de 90∘.90^\circ.
  • A′B′=2×ABA'B' = \sqrt{2} \times ABA′B′=ABA'B' = AB
    Le segment image a la même longueur que le segment de départ. Ce qui vaut 2×OA,\sqrt{2} \times OA, c'est la distance AA′AA' entre un point et son image.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le quart de tour ma ybaddelch les longueurs : A'B' égale AB. W les points alignés yo93dou alignés, donc l'image d'une droite hiya droite. Ama redd balek : l'image d'une droite tkoun perpendiculaire liha, mouch parallèle. La translation w le demi-tour ya3tiwek parallèle ; le quart de tour ydawwer la direction b 90 degrés. »

Propriété

L'image d'un cercle

Soit (C)(C) le cercle de centre OO et de rayon r.r. Son image par un quart de tour est le cercle (C′)(C') de même rayon r,r, dont le centre O′O' est l'image de OO.

Pour construire l'image d'un cercle, il suffit donc de construire un seul point : l'image de son centre.

(C)(C')AOO'
Pour construire l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre.
le centre suit, le rayon resteO⟼O′O \longmapsto O' et r′=rr' = r

Exemple traité

(C)(C) est le cercle de centre OO et de rayon 44 cm, et AA est un point tel que OA=6OA = 6 cm. (C′)(C') est l'image de (C)(C) par le quart de tour indirect de centre A.A. Quel est son rayon, et à quelle distance son centre O′O' est-il de OO ?

  1. 1

    Le rayon

    Le rayon est conservé.

    r′=4r' = 4 cm
  2. 2

    Le centre

    O′O' est l'image de OO : AO′=AO=6AO' = AO = 6 cm et OAO′^=90∘.\widehat{OAO'} = 90^\circ. Le triangle OAO′OAO' est rectangle isocèle en A.A.

    OO′2=62+62=72OO'^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 72
  3. 3
    OO′=72=62OO' = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} cm
r′=4r' = 4 cm ;; \quadOO′=62OO' = 6\sqrt{2} cm

L’erreur à ne pas faire

  • Le cercle (C′)(C') a le même centre OO que (C).(C).Le centre de (C′)(C') est O′,O', l'image de O.O.
    Le cercle tourne avec son centre. Il ne reste en place que si le centre du quart de tour est justement le centre du cercle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Un cercle, houwa centre w rayon. Le rayon ma yetbaddelch, w el centre yemchi l l'image mte3ou. Donc bech nebniw l'image d'un cercle, nebniw un seul point : O', l'image de O. W ba3d nrasmou le cercle de centre O' w nafs el rayon. »

Propriété

Des figures superposables

Une figure FF et son image F′F' par un quart de tour sont superposables : on peut poser l'une exactement sur l'autre.

En particulier, un polygone et son image ont :

  • la même aire ;
  • le même périmètre ;
  • des angles homologues isométriques.

Dans un quadrillage, construis l'image d'un polygone par un quart de tour, puis compte les carreaux : l'aire n'a pas bougé.

ABCA'C'
Même forme, mêmes dimensions : les deux triangles sont superposables.
figures superposablesaire de F′=F' = aire de F;F \quad ; \quadA′B′C′^=ABC^\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}

Exemple traité

Le triangle ABCABC est rectangle en A,A, avec AB=4AB = 4 cm et AC=3AC = 3 cm. On note A′B′C′A'B'C' son image par un quart de tour. Calculer l'aire et le périmètre du triangle A′B′C′.A'B'C'.

  1. 1

    L'aire

    Le triangle image a la même aire que ABC.ABC.

    aire=4×32=6 cm2\text{aire} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \ \text{cm}^{2}
  2. 2

    L'hypoténuse

    Par Pythagore dans le triangle ABCABC rectangle en AA :

    BC2=42+32=25BC^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 donc BC=5BC = 5 cm
  3. 3

    Le périmètre

    Le triangle image a aussi le même périmètre.

    4+3+5=124 + 3 + 5 = 12 cm
aire =6= 6 cm 2;^{2} \quad ; périmètre =12= 12 cm

L’erreur à ne pas faire

  • Après un quart de tour, A′B′C′^=ABC^+90∘.\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} + 90^\circ.A′B′C′^=ABC^\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}
    C'est la figure entière qui tourne de 90∘,90^\circ, pas chacun de ses angles. Les angles homologues restent égaux, comme les longueurs.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki figure ta3mel un quart de tour, ma tokborch w ma tosghorch : najmou n7ottouha fou9 l'image mte3ha bedhabt. Donc nafs l'aire, nafs le périmètre, w les angles homologues égaux. El figure hiya elli daret, mouch les angles mte3ha. »

Méthode

Construire dans un quadrillage

Dans un quadrillage, on n'a besoin ni de rapporteur ni de compas : on compte les carreaux. Dans un repère orthonormé tracé sur le quadrillage, un carreau est une unité.

Pour aller de OO à A,A, on fait par exemple 33 carreaux vers la droite, jusqu'au point H,H, puis 11 vers le haut. Le quart de tour direct fait tourner chaque déplacement d'un quart de tour dans le sens direct :

  • « vers la droite » devient « vers le haut » ;
  • « vers le haut » devient « vers la gauche » ;
  • « vers la gauche » devient « vers le bas » ;
  • « vers le bas » devient « vers la droite ».

Pour aller de OO à A′,A', on fait donc 33 carreaux vers le haut, jusqu'au point H′,H', image de H,H, puis 11 vers la gauche. Pour le quart de tour indirect, on tourne dans l'autre sens : « vers la droite » devient « vers le bas ».

Pourquoi ça marche : le triangle OHA,OHA, rectangle en H,H, a pour image le triangle OH′A′,OH'A', rectangle en H′,H', avec OH′=OHOH' = OH et H′A′=HA.H'A' = HA. Le chemin a tourné tout entier, chaque morceau d'un angle droit.

OIJHAH'A'
A(3 ; 1) a pour image A'(−1 ; 3) par le quart de tour direct de centre O.
quart de tour directdroite→haut→gauche→bas→droite\text{droite} \to \text{haut} \to \text{gauche} \to \text{bas} \to \text{droite}

Exemple traité

Dans un repère orthonormé d'origine O,O, on donne le point A(3 ;1).A(3\,;1). Quelles sont les coordonnées de son image A′A' par le quart de tour direct de centre OO ?

  1. 1

    Le chemin vers A

    De OO à AA : 33 carreaux vers la droite, puis 11 vers le haut.

  2. 2

    On tourne le chemin

    « Droite » devient « haut », « haut » devient « gauche » : de OO à A′,A', 33 carreaux vers le haut, puis 11 vers la gauche.

  3. 3

    On lit l'abscisse, puis l'ordonnée : A′A' a pour coordonnées −1-1 et 3.3.

    A′(−1 ;3)A'(-1\,;3)
A′(−1 ;3)A'(-1\,;3)

L’erreur à ne pas faire

  • A′(1 ;−3)A'(1\,;-3)A′(−1 ;3)A'(-1\,;3)
    (1 ;−3)(1\,;-3) est l'image par le quart de tour indirect : on a tourné dans le sens des aiguilles d'une montre.
  • A′(1 ;3)A'(1\,;3)A′(−1 ;3)A'(-1\,;3)
    Échanger les deux coordonnées ne suffit pas : le déplacement « vers le haut » est devenu « vers la gauche », et l'abscisse de A′A' est négative.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fi quadrillage, ma yelzemnech rapporteur : na7sbou les carreaux. Men O l A : 3 carreaux à droite, w 1 en haut. Le quart de tour direct ydawwer koll 7araka : à droite twalli en haut, w en haut twalli à gauche. Donc men O l A' : 3 en haut, w 1 à gauche. »

Méthode

Reconnaître la transformation

Une figure et son image par une symétrie axiale, une translation, un demi-tour ou un quart de tour sont superposables. Quand on sait que la figure F′F' est l'image de FF par l'une de ces quatre transformations, on la reconnaît grâce aux sommets homologues, en se posant les questions dans cet ordre :

  1. 1.L'ordre des sommets est-il inversé ? Si l'on parcourt A,A, B,B, CC dans le sens direct et A′,A', B′,B', C′C' dans le sens indirect, c'est une symétrie axiale. Les trois autres gardent le sens.
  2. 2.Sinon, compare un segment [MN][MN] et son image [M′N′],[M'N'], parcourus de MM vers NN et de M′M' vers N′.N'. Même direction et même sens ? C'est une translation.
  3. 3.Même direction, mais des sens contraires ? C'est un demi-tour, de centre le milieu de chaque segment [MM′].[MM'].
  4. 4.Des directions perpendiculaires ? C'est un quart de tour. Son centre OO est le point tel que chaque triangle OMM′OMM' soit rectangle isocèle en O,O, et son sens se lit en tournant de MM vers M′M' autour de O.O.

Si le centre n'est pas donné, on le trouve : comme OA′=OAOA' = OA et OB′=OB,OB' = OB, le centre est sur la médiatrice de [AA′][AA'] et sur celle de [BB′].[BB']. C'est le point où ces deux médiatrices se coupent. On vérifie ensuite que l'angle AOA′^\widehat{AOA'} est droit, et on y lit le sens.

OABCA'B'C'
A'B'C' est l'image de ABC par le quart de tour direct de centre O.

Exemple traité

Sur la figure, le triangle A′B′C′A'B'C' est l'image du triangle ABCABC par une symétrie axiale, une translation, un demi-tour ou un quart de tour. Reconnais la transformation, puis préciser son centre et son sens.

  1. 1

    L'ordre des sommets

    A,A, B,B, CC se suivent dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, et A′,A', B′,B', C′C' aussi : l'ordre n'est pas inversé, ce n'est pas une symétrie axiale.

  2. 2

    Les directions

    Le segment [AB][AB] est horizontal, et son image [A′B′][A'B'] est verticale : leurs directions sont perpendiculaires. C'est un quart de tour.

  3. 3

    Le centre

    Le centre est à égale distance de AA et de A′,A', et de BB et de B′B' : on trace les médiatrices de [AA′][AA'] et de [BB′],[BB'], elles se coupent en O.O. Au compas et à l'équerre, on vérifie que le triangle OAA′OAA' est rectangle isocèle en O,O, et de même pour BB et pour C.C.

    OA′=OAOA' = OA et AOA′^=90∘\widehat{AOA'} = 90^\circ
  4. 4

    Le sens

    Autour de O,O, on va de AA vers A′A' dans le sens contraire des aiguilles d'une montre : c'est le sens direct.

    quart de tour direct de centre OO
quart de tour direct de centre OO

L’erreur à ne pas faire

  • La figure a l'air « retournée », tête en bas : c'est une symétrie axiale.On regarde l'ordre des sommets. S'il n'est pas inversé, ce n'est pas une symétrie axiale : c'est peut-être un demi-tour.
    Un demi-tour met aussi la figure tête en bas, mais A′,A', B′,B', C′C' se suivent encore dans le même sens que A,A, B,B, C.C. Seule la symétrie axiale retourne la figure comme une page, et inverse l'ordre des sommets.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki na3rfou elli figure hiya l'image d'une autre par une de ces quatre transformations, nchoufou awel 7aja tartib les sommets : ken t9aleb, hedhi symétrie axiale. Ken le, n9arnou segment m3a l'image mte3ou : même direction w même sens, translation ; sens contraires, demi-tour ; w ken perpendiculaires, hedha quart de tour. »

Méthode

Construire avec l'image d'une droite

On donne deux droites DD et D′,D', non perpendiculaires, et un point O.O. On veut construire un triangle OABOAB rectangle isocèle en O,O, avec AA sur DD et BB sur D′.D'.

On suppose le problème résolu. Si OABOAB est rectangle isocèle en O,O, alors BB est l'image de AA par un quart de tour de centre OO — prenons le quart de tour direct. Comme AA est sur D,D, son image BB est sur l'image de D,D, qu'on note Δ.\Delta. Et BB est aussi sur D′.D'.

Donc BB est le point commun de Δ\Delta et de D′.D'. Ces deux droites se coupent bien : Δ\Delta est perpendiculaire à D,D, et D′D' ne l'est pas.

Avec le quart de tour indirect, on trouve en général une seconde solution.

DD'ΔOMM'AB
B est à la fois sur D' et sur Δ, l'image de D.
B est à l'intersectionA∈D ⇒ B∈ΔA \in D \ \Rightarrow\ B \in \Delta et B∈D′B \in D'

Exemple traité

Donner les étapes de construction du triangle OABOAB rectangle isocèle en O,O, avec AA sur DD et BB sur D′.D'.

  1. 1

    L'image de D

    Choisis un point MM de DD et construis son image M′M' par le quart de tour direct de centre O.O. L'image de DD est la perpendiculaire à DD qui passe par M′.M'.

    Δ⊥D\Delta \perp D et M′∈ΔM' \in \Delta
  2. 2

    Le point B

    BB est le point d'intersection de l'image de DD et de D′.D'.

    B∈ΔB \in \Delta et B∈D′B \in D'
  3. 3

    Le point A

    AA est le point de DD dont BB est l'image : c'est l'image de BB par le quart de tour indirect de centre O,O, qui fait le chemin inverse.

  4. 4

    Vérifier

    AA doit tomber sur D,D, et le triangle OABOAB doit être rectangle isocèle en O.O.

    OA=OBOA = OB et AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ

L’erreur à ne pas faire

  • BB est le point commun de DD et de D′.D'.BB est le point commun de Δ,\Delta, l'image de D,D, et de D′.D'.
    C'est AA qui est sur D.D. Son image BB est sur l'image de DD : la droite tourne avec le point.
  • La construction marche aussi quand DD et D′D' sont perpendiculaires.Il faut que DD et D′D' ne soient pas perpendiculaires.
    L'image de DD est perpendiculaire à D.D. Si D′D' l'était aussi, l'image de DD et D′D' seraient parallèles : aucun point commun, ou une infinité si elles sont confondues.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nebniw triangle rectangle isocèle en O, w A 3la D, w B 3la D'. Essir : B houwa l'image de A par le quart de tour de centre O, donc B 3la l'image de D, w zeda 3la D' : B houwa le point d'intersection de l'image de D et de D'. W redd balek : lezem D w D' ma ykounouch perpendiculaires ; w ken le, l'image de D twalli parallèle l D'. »

Méthode

Démontrer avec un quart de tour

Pour montrer que deux segments ont la même longueur, ou que deux droites sont perpendiculaires, on cherche un quart de tour qui envoie l'un des segments sur l'autre.

  1. 1.Repère le centre : un point d'où partent deux triangles rectangles isocèles — le sommet commun de deux carrés, par exemple.
  2. 2.Fixe le sens, direct ou indirect, en tournant autour du centre.
  3. 3.Vérifie les deux extrémités : le même quart de tour, même centre et même sens, doit envoyer chacune d'elles sur une extrémité de l'autre segment.
  4. 4.Conclus avec la conservation : même longueur, et droites perpendiculaires.
ABCDEFG
[DG] est l'image de [BE] par le quart de tour direct de centre A.
même centre, même sens[BE]⟼[DG] ⇒ BE=DG[BE] \longmapsto [DG] \ \Rightarrow\ BE = DG et (BE)⊥(DG)(BE) \perp (DG)

Exemple traité

ABCDABCD et AEFGAEFG sont deux carrés de sommet commun A,A, tous deux nommés dans le sens direct. Montrer que BE=DGBE = DG et que les droites (BE)(BE) et (DG)(DG) sont perpendiculaires.

  1. 1

    Le centre et le sens

    ABCDABCD est un carré : AD=ABAD = AB et BAD^=90∘,\widehat{BAD} = 90^\circ, en tournant de BB vers DD dans le sens direct. Donc DD est l'image de BB par le quart de tour direct de centre A.A.

  2. 2

    La seconde extrémité

    De même, AEFGAEFG est un carré nommé dans le sens direct : GG est l'image de EE par le même quart de tour.

  3. 3

    Le segment image

    Le segment [BE][BE] a donc pour image le segment [DG].[DG].

    [BE]⟼[DG][BE] \longmapsto [DG]
  4. 4

    Conclure

    Un segment et son image ont la même longueur, et les droites qui les portent sont perpendiculaires.

    BE=DGBE = DG
BE=DGBE = DG et (BE)(BE) perpendiculaire à (DG)(DG)

L’erreur à ne pas faire

  • DD est l'image de B,B, et GG celle de EE — sans vérifier le sens de chacun.Un seul quart de tour, même centre et même sens, pour les deux extrémités.
    Si l'un des carrés était nommé dans l'autre sens, GG serait l'image de EE par le quart de tour indirect : [DG][DG] ne serait plus l'image de [BE],[BE], et la conclusion tomberait.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nthabtou elli deux segments de même longueur walla deux droites perpendiculaires, nfattchou 3la quart de tour yab3ath wa7ed 3al le5er. Fi les deux carrés, A houwa le centre. D l'image de B, w G l'image de E, b nafs le quart de tour direct. Donc [BE] yemchi l [DG] : BE égale DG, w les droites perpendiculaires. Behi ? »

À retenir

  • 1.

    Quart de tour direct de centre OO : M↦M′M \mapsto M' avec OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘,\widehat{MOM'} = 90^\circ, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Indirect : dans le sens des aiguilles.

  • 2.

    Le centre OO est sa propre image.

  • 3.

    ABCABC rectangle isocèle en AA   ⟺  \iff CC est l'image de BB par un quart de tour de centre A.A.

  • 4.

    L'image d'un segment est un segment de même longueur.

  • 5.

    L'image d'une droite est une droite qui lui est perpendiculaire.

  • 6.

    L'image du cercle de centre OO et de rayon rr est le cercle de centre O′,O', image de O,O, et de même rayon r.r.

  • 7.

    Un polygone et son image sont superposables : même aire, même périmètre, mêmes angles.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %
0/12
Cours lu
0/103
Entraînement
—
Séance
0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Quart de tour

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Construire l'image d'un point par un quart de tour direct ou indirect
  • Reconnaître un quart de tour dans un triangle rectangle isocèle, et l'inverse
  • Utiliser les images d'un segment, d'une droite, d'un cercle et d'un polygone
  • Construire une image dans un quadrillage, en comptant les carreaux
  • Démontrer une égalité de longueurs ou une perpendicularité avec un quart de tour

Le demi-tour, que tu connais déjà

Tu connais trois façons de déplacer une figure sans la déformer : la symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation.

Sur la figure, le triangle OCDOCD est l'image du triangle OABOAB par la symétrie centrale de centre OO. Décalque le triangle OABOAB, plante la pointe du compas en OO, et fais tourner le papier calque d'un demi-tour autour de OO, de sorte que AA vienne sur CC.

  1. Que devient le point OO pendant le mouvement ?
  2. Où arrive le point BB ?
  3. En quelle figure se transforme le triangle OABOAB ?

Le demi-tour de centre OO est la symétrie centrale de centre OO. Et si, au lieu d'un demi-tour, on ne faisait qu'un quart de tour ?

OABCD
Le demi-tour de centre O est la symétrie centrale de centre O.

Un quart de tour autour de O

Sur la figure, le triangle OA′B′OA'B' a été obtenu à partir du triangle OABOAB.

  1. Peut-on l'obtenir par une symétrie centrale ? par une symétrie axiale ? par une translation ?
  2. Décalque le triangle OABOAB, et fais tourner le papier calque d'un quart de tour autour de OO, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, de sorte que AA vienne sur A′A'. Que deviennent les points OO et BB ?
  3. Quelle est la nature du triangle OAA′OAA' ? Et celle du triangle OBB′OBB' ?
  4. Refais le mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre. Où arrive le point AA cette fois ?

On convient d'appeler sens direct le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre, et sens indirect le sens de leur mouvement.

OABA'B'
Le quart de tour direct de centre O : A va en A', B va en B'.

L'image d'un point par un quart de tour

Soit OO un point du plan.

  • L'image d'un point MM distinct de OO par le quart de tour direct de centre OO est le point M′M' tel que OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘\widehat{MOM'} = 90^\circ, en tournant de MM vers M′M' dans le sens direct, contraire des aiguilles d'une montre.
  • L'image d'un point MM distinct de OO par le quart de tour indirect de centre OO est le point NN tel que ON=OMON = OM et MON^=90∘\widehat{MON} = 90^\circ, en tournant de MM vers NN dans le sens indirect, celui des aiguilles d'une montre.
  • L'image du point OO par un quart de tour de centre OO est le point OO lui-même.

Pour un même point MM distinct de OO, les deux quarts de tour donnent deux points différents, symétriques par rapport à OO. C'est pourquoi on précise toujours le sens.

Et deux quarts de tour directs de même centre, faits l'un après l'autre, font un demi-tour : l'image de M′M' par le quart de tour direct de centre OO est le symétrique de MM par rapport à OO.

sens directsens indirectOMM'N
Le sens décide du point : M' dans le sens direct, N dans le sens indirect.
OM′=OMOM' = OM
MOM′^=90∘\widehat{MOM'} = 90^\circ

Le piège

OM′=OMOM' = OM, donc M′M' est l'image de MM par le quart de tour de centre OO.

OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘\widehat{MOM'} = 90^\circ, dans le sens annoncé.

Tous les points du cercle de centre OO qui passe par MM vérifient OM′=OMOM' = OM. C'est l'angle droit, et son sens, qui désignent un seul point.

Le piège

Quart de tour direct : dans le sens des aiguilles d'une montre.

Quart de tour direct : dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

C'est une convention, et elle se retient à l'envers de l'habitude : les aiguilles d'une montre tournent dans le sens indirect.

Triangle rectangle isocèle et quart de tour

Dire que ABCABC est un triangle rectangle isocèle en AA, c'est dire que CC est l'image de BB par un quart de tour de centre AA.

Les deux phrases disent la même chose : AC=ABAC = AB et BAC^=90∘\widehat{BAC} = 90^\circ. Le sens du quart de tour — direct ou indirect — se lit sur la figure, en tournant de BB vers CC autour de AA.

C'est l'outil le plus utile du chapitre : un triangle rectangle isocèle cache toujours un quart de tour, et un carré en cache plusieurs.

ABC
AC = AB et l'angle BAC est droit : C est l'image de B.
AC=AB et BAC^=90∘  ⟺  C image de BAC = AB \ \text{et}\ \widehat{BAC} = 90^\circ \iff C \text{ image de } B

Le piège

MM′=2×OM=6MM' = 2 \times OM = 6 cm

MM′=2×OM=32MM' = \sqrt{2} \times OM = 3\sqrt{2} cm

2×OM2 \times OM, c'est le demi-tour : le point, le centre et l'image sont alors alignés. Après un quart de tour, ils forment un triangle rectangle en OO, et c'est Pythagore qui donne MM′MM'.

Le piège

Dans tout triangle ABCABC rectangle isocèle en AA, CC est l'image de BB par le quart de tour direct de centre AA.

Direct ou indirect : le sens se lit sur la figure, en tournant de BB vers CC.

Si l'on va de BB vers CC dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est le quart de tour indirect. Et BB est alors l'image de CC par le quart de tour direct.

Deux points, et la distance entre eux

Soit OO un point, et AA, BB deux points tels que OO, AA et BB ne soient pas alignés. Le quart de tour direct de centre OO transforme AA en A′A' et BB en B′B'.

  1. Compare OAOA et OA′OA', puis OBOB et OB′OB'.
  2. Sur la figure, la demi-droite [OB)[OB) passe entre [OA)[OA) et [OA′)[OA'). Explique pourquoi AOB^=90∘−BOA′^\widehat{AOB} = 90^\circ - \widehat{BOA'}, puis pourquoi A′OB′^=90∘−BOA′^\widehat{A'OB'} = 90^\circ - \widehat{BOA'}.
  3. Déduis-en que les triangles OABOAB et OA′B′OA'B' sont isométriques. Que peux-tu dire des longueurs ABAB et A′B′A'B' ?
  4. Soit MM un point du segment [AB][AB], et M′M' son image. Pourquoi a-t-on A′M′+M′B′=A′B′A'M' + M'B' = A'B' ? Où se trouve donc le point M′M' ?
OABA'B'
Deux côtés égaux et l'angle compris égal : les triangles OAB et OA'B' sont isométriques.

L'image d'un segment, l'image d'une droite

Par un quart de tour :

  • l'image d'un segment [AB][AB] est le segment [A′B′][A'B'], qui lui est isométrique : A′B′=ABA'B' = AB. Chaque point de [AB][AB] a son image sur [A′B′][A'B'], et tout point de [A′B′][A'B'] est l'image d'un point de [AB][AB] : l'image est le segment [A′B′][A'B'] tout entier ;
  • trois points alignés ont des images alignées : l'image d'une droite est une droite ;
  • l'image d'une droite est une droite qui lui est perpendiculaire.

En particulier, l'image du milieu de [AB][AB] est le milieu de [A′B′][A'B'].

DD'OKK'P
Une droite et son image par un quart de tour sont perpendiculaires.
A′B′=ABA'B' = AB
(A′B′)⊥(AB)(A'B') \perp (AB)

Le piège

L'image d'une droite par un quart de tour lui est parallèle.

L'image d'une droite par un quart de tour lui est perpendiculaire.

Parallèle, c'est la translation et le demi-tour. Le quart de tour fait tourner toutes les directions de 90∘90^\circ.

Le piège

A′B′=2×ABA'B' = \sqrt{2} \times AB

A′B′=ABA'B' = AB

Le segment image a la même longueur que le segment de départ. Ce qui vaut 2×OA\sqrt{2} \times OA, c'est la distance AA′AA' entre un point et son image.

L'image d'un cercle

Soit (C)(C) le cercle de centre OO et de rayon rr. Son image par un quart de tour est le cercle (C′)(C') de même rayon rr, dont le centre O′O' est l'image de OO.

Pour construire l'image d'un cercle, il suffit donc de construire un seul point : l'image de son centre.

(C)(C')AOO'
Pour construire l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre.
O⟼O′etr′=rO \longmapsto O' \quad \text{et} \quad r' = r

Le piège

Le cercle (C′)(C') a le même centre OO que (C)(C).

Le centre de (C′)(C') est O′O', l'image de OO.

Le cercle tourne avec son centre. Il ne reste en place que si le centre du quart de tour est justement le centre du cercle.

Des figures superposables

Une figure FF et son image F′F' par un quart de tour sont superposables : on peut poser l'une exactement sur l'autre.

En particulier, un polygone et son image ont :

  • la même aire ;
  • le même périmètre ;
  • des angles homologues isométriques.

Dans un quadrillage, construis l'image d'un polygone par un quart de tour, puis compte les carreaux : l'aire n'a pas bougé.

ABCA'C'
Même forme, mêmes dimensions : les deux triangles sont superposables.
aire de F′=aire de F;A′B′C′^=ABC^\text{aire de } F' = \text{aire de } F \quad ; \quad \widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}

Le piège

Après un quart de tour, A′B′C′^=ABC^+90∘\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} + 90^\circ.

A′B′C′^=ABC^\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}

C'est la figure entière qui tourne de 90∘90^\circ, pas chacun de ses angles. Les angles homologues restent égaux, comme les longueurs.

Construire dans un quadrillage

Dans un quadrillage, on n'a besoin ni de rapporteur ni de compas : on compte les carreaux. Dans un repère orthonormé tracé sur le quadrillage, un carreau est une unité.

Pour aller de OO à AA, on fait par exemple 33 carreaux vers la droite, jusqu'au point HH, puis 11 vers le haut. Le quart de tour direct fait tourner chaque déplacement d'un quart de tour dans le sens direct :

  • « vers la droite » devient « vers le haut » ;
  • « vers le haut » devient « vers la gauche » ;
  • « vers la gauche » devient « vers le bas » ;
  • « vers le bas » devient « vers la droite ».

Pour aller de OO à A′A', on fait donc 33 carreaux vers le haut, jusqu'au point H′H', image de HH, puis 11 vers la gauche. Pour le quart de tour indirect, on tourne dans l'autre sens : « vers la droite » devient « vers le bas ».

Pourquoi ça marche : le triangle OHAOHA, rectangle en HH, a pour image le triangle OH′A′OH'A', rectangle en H′H', avec OH′=OHOH' = OH et H′A′=HAH'A' = HA. Le chemin a tourné tout entier, chaque morceau d'un angle droit.

OIJHAH'A'
A(3 ; 1) a pour image A'(−1 ; 3) par le quart de tour direct de centre O.
droite→haut→gauche→bas→droite\text{droite} \to \text{haut} \to \text{gauche} \to \text{bas} \to \text{droite}

Le piège

A′(1 ;−3)A'(1\,;-3)

A′(−1 ;3)A'(-1\,;3)

(1 ;−3)(1\,;-3) est l'image par le quart de tour indirect : on a tourné dans le sens des aiguilles d'une montre.

Le piège

A′(1 ;3)A'(1\,;3)

A′(−1 ;3)A'(-1\,;3)

Échanger les deux coordonnées ne suffit pas : le déplacement « vers le haut » est devenu « vers la gauche », et l'abscisse de A′A' est négative.

Reconnaître la transformation

Une figure et son image par une symétrie axiale, une translation, un demi-tour ou un quart de tour sont superposables. Quand on sait que la figure F′F' est l'image de FF par l'une de ces quatre transformations, on la reconnaît grâce aux sommets homologues, en se posant les questions dans cet ordre :

  1. L'ordre des sommets est-il inversé ? Si l'on parcourt AA, BB, CC dans le sens direct et A′A', B′B', C′C' dans le sens indirect, c'est une symétrie axiale. Les trois autres gardent le sens.
  2. Sinon, compare un segment [MN][MN] et son image [M′N′][M'N'], parcourus de MM vers NN et de M′M' vers N′N'. Même direction et même sens ? C'est une translation.
  3. Même direction, mais des sens contraires ? C'est un demi-tour, de centre le milieu de chaque segment [MM′][MM'].
  4. Des directions perpendiculaires ? C'est un quart de tour. Son centre OO est le point tel que chaque triangle OMM′OMM' soit rectangle isocèle en OO, et son sens se lit en tournant de MM vers M′M' autour de OO.

Si le centre n'est pas donné, on le trouve : comme OA′=OAOA' = OA et OB′=OBOB' = OB, le centre est sur la médiatrice de [AA′][AA'] et sur celle de [BB′][BB']. C'est le point où ces deux médiatrices se coupent. On vérifie ensuite que l'angle AOA′^\widehat{AOA'} est droit, et on y lit le sens.

OABCA'B'C'
A'B'C' est l'image de ABC par le quart de tour direct de centre O.

Le piège

La figure a l'air « retournée », tête en bas : c'est une symétrie axiale.

On regarde l'ordre des sommets. S'il n'est pas inversé, ce n'est pas une symétrie axiale : c'est peut-être un demi-tour.

Un demi-tour met aussi la figure tête en bas, mais A′A', B′B', C′C' se suivent encore dans le même sens que AA, BB, CC. Seule la symétrie axiale retourne la figure comme une page, et inverse l'ordre des sommets.

Construire avec l'image d'une droite

On donne deux droites DD et D′D', non perpendiculaires, et un point OO. On veut construire un triangle OABOAB rectangle isocèle en OO, avec AA sur DD et BB sur D′D'.

On suppose le problème résolu. Si OABOAB est rectangle isocèle en OO, alors BB est l'image de AA par un quart de tour de centre OO — prenons le quart de tour direct. Comme AA est sur DD, son image BB est sur l'image de DD, qu'on note Δ\Delta. Et BB est aussi sur D′D'.

Donc BB est le point commun de Δ\Delta et de D′D'. Ces deux droites se coupent bien : Δ\Delta est perpendiculaire à DD, et D′D' ne l'est pas.

Avec le quart de tour indirect, on trouve en général une seconde solution.

DD'ΔOMM'AB
B est à la fois sur D' et sur Δ, l'image de D.
A∈D ⇒ B∈ΔetB∈D′A \in D \ \Rightarrow\ B \in \Delta \quad \text{et} \quad B \in D'

Le piège

BB est le point commun de DD et de D′D'.

BB est le point commun de Δ\Delta, l'image de DD, et de D′D'.

C'est AA qui est sur DD. Son image BB est sur l'image de DD : la droite tourne avec le point.

Le piège

La construction marche aussi quand DD et D′D' sont perpendiculaires.

Il faut que DD et D′D' ne soient pas perpendiculaires.

L'image de DD est perpendiculaire à DD. Si D′D' l'était aussi, l'image de DD et D′D' seraient parallèles : aucun point commun, ou une infinité si elles sont confondues.

Démontrer avec un quart de tour

Pour montrer que deux segments ont la même longueur, ou que deux droites sont perpendiculaires, on cherche un quart de tour qui envoie l'un des segments sur l'autre.

  1. Repère le centre : un point d'où partent deux triangles rectangles isocèles — le sommet commun de deux carrés, par exemple.
  2. Fixe le sens, direct ou indirect, en tournant autour du centre.
  3. Vérifie les deux extrémités : le même quart de tour, même centre et même sens, doit envoyer chacune d'elles sur une extrémité de l'autre segment.
  4. Conclus avec la conservation : même longueur, et droites perpendiculaires.
ABCDEFG
[DG] est l'image de [BE] par le quart de tour direct de centre A.
[BE]⟼[DG] ⇒ BE=DG et (BE)⊥(DG)[BE] \longmapsto [DG] \ \Rightarrow\ BE = DG \ \text{et}\ (BE) \perp (DG)

Le piège

DD est l'image de BB, et GG celle de EE — sans vérifier le sens de chacun.

Un seul quart de tour, même centre et même sens, pour les deux extrémités.

Si l'un des carrés était nommé dans l'autre sens, GG serait l'image de EE par le quart de tour indirect : [DG][DG] ne serait plus l'image de [BE][BE], et la conclusion tomberait.

À retenir

  • Quart de tour direct de centre OO : M↦M′M \mapsto M' avec OM′=OMOM' = OM et MOM′^=90∘\widehat{MOM'} = 90^\circ, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Indirect : dans le sens des aiguilles.
  • Le centre OO est sa propre image.
  • ABCABC rectangle isocèle en AA   ⟺  \iff CC est l'image de BB par un quart de tour de centre AA.
  • L'image d'un segment est un segment de même longueur.
  • L'image d'une droite est une droite qui lui est perpendiculaire.
  • L'image du cercle de centre OO et de rayon rr est le cercle de centre O′O', image de OO, et de même rayon rr.
  • Un polygone et son image sont superposables : même aire, même périmètre, mêmes angles.