Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle, relations trigonométriques, angles remarquables, usage de la calculatrice, relations métriques dans un triangle rectangle, constructions et problèmes concrets.

13 sections · 102 exercices

Rapports trigonométriques d'un angle aigu

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Dans un triangle rectangle, deux côtés forment un rapport, et ce rapport ne dépend que de l'angle. C'est toute l'idée du chapitre.

On donne un nom à ces rapports : le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu. Avec eux, un angle et une longueur suffisent pour trouver les autres longueurs, et deux longueurs suffisent pour trouver l'angle : la hauteur d'une tour, l'inclinaison d'une côte, l'écart d'un pendule. On termine par les relations métriques que fait apparaître la hauteur issue de l'angle droit.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle

  • Utiliser tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} et (sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1

  • Connaître le cosinus, le sinus et la tangente de 30∘,30^\circ, 45∘45^\circ et 60∘60^\circ

  • Calculer une longueur ou un angle à la calculatrice, et arrondir

  • Utiliser les relations métriques dans un triangle rectangle

  • Construire un segment de longueur ab,\sqrt{ab}, et un angle dont on connaît un rapport trigonométrique

Activité

Une côte à 20 %

Un panneau annonce une côte de pente 20 % : quand on avance de 100100 m à l'horizontale, on monte de 2020 m. Un cycliste part du point B,B, au pied de la côte, et passe par les points CC puis D.D. On note AA et EE les projetés orthogonaux de CC et de DD sur l'horizontale qui passe par B.B.

  1. 1.Mesure ACAC et ABAB sur la figure, puis calcule ACAB.\dfrac{AC}{AB}. Fais de même pour DEBE.\dfrac{DE}{BE}. Que remarques-tu ?
  2. 2.Les droites (AC)(AC) et (ED)(ED) sont toutes deux perpendiculaires à (BE)(BE) : elles sont donc parallèles. Utilise le théorème de Thalès dans le triangle BEDBED pour démontrer, sans rien mesurer, que
  3. 3.ACAB=DEBE\displaystyle \frac{AC}{AB} = \frac{DE}{BE} et ACBC=DEBD.\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac{DE}{BD}.
  4. 4.Le cycliste est en un point MM quelconque de la côte, et NN est son projeté orthogonal sur (BE).(BE). Que vaut MNBN\dfrac{MN}{BN} ? Fais le lien avec la pente de 2020 %.

Le rapport ne dépend ni de l'endroit où l'on se trouve sur la côte, ni de la distance parcourue : il ne dépend que de l'inclinaison de la côte, c'est-à-dire de l'angle ABC^.\widehat{ABC}.

BACED
Pour 100 m parcourus à l'horizontale, on monte de 20 m.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Une côte à 20 %, ya3ni 100 mètres à l'horizontale, w notla3ou 20 mètres. Fel deux triangles, AC sur AB w DE sur BE, ezzouz ya3tiw un sur cinq. Hedha Thalès, khater les droites (AC) w (DE) parallèles. Donc le rapport ma yetbaddel ken b l'angle mte3 la côte. »

Activité

Deux triangles rectangles, un même angle

ABCABC et EFGEFG sont deux triangles rectangles, le premier en A,A, le second en E,E, qui ont un angle aigu de même mesure : ABC^=EFG^=a.\widehat{ABC} = \widehat{EFG} = a.

On place sur [BA)[BA) le point MM tel que BM=FE,BM = FE, et sur [BC)[BC) le point NN tel que BN=FG.BN = FG.

  1. 1.Montre que les triangles BMNBMN et FEGFEG sont isométriques. Déduis-en que (MN)(MN) est perpendiculaire à (BA),(BA), donc parallèle à (AC).(AC).
  2. 2.Applique le théorème de Thalès dans le triangle BACBAC et montre que
  3. 3.BABC=FEFG,\displaystyle \frac{BA}{BC} = \frac{FE}{FG}, \qquadACBC=EGFG,\displaystyle \frac{AC}{BC} = \frac{EG}{FG}, \qquadACAB=EGEF.\displaystyle \frac{AC}{AB} = \frac{EG}{EF}.

Les deux triangles n'ont pas la même taille, et pourtant leurs rapports de côtés sont les mêmes. Ces trois rapports ne dépendent que de l'angle aa : ils méritent un nom.

aaFEGBACMN
Le triangle BMN est une copie de EFG, posée dans le grand triangle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Deux triangles rectangles, mouch 9ad 9ad, ama 3andhom nafs l'angle a. N3awdou nrasmou es-sghir fi west el kbir : BM égale FE, w BN égale FG. El deux triangles isométriques, donc l'angle en M droit, (MN) parallèle à (AC), w Thalès ya3tina nafs les rapports. Ya3ni les rapports hedhouma ma yetbaddlou ken b l'angle a. »

Définition

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

ABCABC désigne un triangle rectangle en A.A. Par rapport à l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} :

  • l'hypoténuse est [BC],[BC], le côté opposé à l'angle droit ;
  • le côté adjacent est [AB],[AB], le côté de l'angle droit qui touche le sommet BB ;
  • le côté opposé est [AC],[AC], le côté de l'angle droit qui fait face à B.B.

On définit trois rapports :

  • le rapport ABBC\dfrac{AB}{BC} s'appelle le cosinus de l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} ; on le note cos⁡ABC^\cos \widehat{ABC} ;
  • le rapport ACBC\dfrac{AC}{BC} s'appelle le sinus de l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} ; on le note sin⁡ABC^\sin \widehat{ABC} ;
  • le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB} s'appelle la tangente de l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} ; on la note tan⁡ABC^.\tan \widehat{ABC}.

L'hypoténuse est le plus long côté du triangle : le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont donc toujours compris entre 00 et 11. La tangente, elle, peut dépasser 1.1.

hypoténusecôté adjacentcôté opposéABC
Les côtés sont nommés depuis l'angle en B.
adjacent sur hypoténusecos⁡ABC^=ABBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}
opposé sur hypoténusesin⁡ABC^=ACBC\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}
opposé sur adjacenttan⁡ABC^=ACAB\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB}

Exemple traité

Le triangle ABCABC est rectangle en A,A, avec AB=4,AB = 4, AC=3AC = 3 et BC=5.BC = 5. Calculer le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle ABC^.\widehat{ABC}.

  1. 1

    Qui est qui

    Vu de BB : l'hypoténuse est [BC],[BC], le côté adjacent est [AB][AB] et le côté opposé est [AC].[AC].

  2. 2

    Le cosinus : adjacent sur hypoténuse.

    cos⁡ABC^=ABBC=45\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5}
  3. 3

    Le sinus : opposé sur hypoténuse.

    sin⁡ABC^=ACBC=35\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5}
  4. 4

    La tangente : opposé sur adjacent.

    tan⁡ABC^=ACAB=34\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3}{4}
cos⁡ABC^=45;\cos \widehat{ABC} = \dfrac{4}{5} \quad ; \quadsin⁡ABC^=35;\sin \widehat{ABC} = \dfrac{3}{5} \quad ; \quadtan⁡ABC^=34\tan \widehat{ABC} = \dfrac{3}{4}

L’erreur à ne pas faire

  • cos⁡ABC^=ACBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}cos⁡ABC^=ABBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}
    Le côté adjacent est celui qui touche le sommet B,B, en plus de l'hypoténuse : c'est [AB].[AB]. Le côté [AC][AC] fait face à BB : il sert au sinus, pas au cosinus.
  • sin⁡ABC^=BCAC\sin \widehat{ABC} = \dfrac{BC}{AC}sin⁡ABC^=ACBC\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}
    L'hypoténuse va toujours au dénominateur du cosinus et du sinus. Un sinus plus grand que 11 est impossible : c'est le signe qu'on a renversé le rapport.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi hiya la définition. Fel triangle ABC rectangle en A, nchoufou l'angle B. Chkoun l'hypoténuse ? BC, 9oddem l'angle droit. Le côté adjacent houwa AB : ymess B. Le côté opposé houwa AC : 9oddem B. Le cosinus, houwa adjacent sur hypoténuse. Le sinus, opposé sur hypoténuse. W la tangente, opposé sur adjacent. »

Activité

Les deux angles aigus d'un même triangle

ABCABC est un triangle rectangle en A.A. Ses deux angles aigus B^\widehat{B} et C^\widehat{C} sont complémentaires : B^+C^=90∘.\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ.

  1. 1.Écris cos⁡B^\cos \widehat{B} et sin⁡C^\sin \widehat{C} à l'aide des côtés du triangle. Que remarques-tu ? Même question pour sin⁡B^\sin \widehat{B} et cos⁡C^.\cos \widehat{C}.
  2. 2.Calcule sin⁡B^cos⁡B^\dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}} et compare le résultat à tan⁡B^.\tan \widehat{B}.
  3. 3.Calcule (cos⁡B^)2+(sin⁡B^)2(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 en réduisant au même dénominateur, puis utilise le théorème de Pythagore.
ABC
Ce qui est adjacent à B est opposé à C, et inversement.
cos⁡B^=ABBC=sin⁡C^\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \sin \widehat{C}
sin⁡B^cos⁡B^=ACBC×BCAB=ACAB=tan⁡B^\dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}} = \dfrac{AC}{BC} \times \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AC}{AB} = \tan \widehat{B}
(cos⁡B^)2+(sin⁡B^)2=AB2+AC2BC2=1(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = \dfrac{AB^2 + AC^2}{BC^2} = 1

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nafs el triangle, ama tawa nchoufou les deux angles aigus. Le côté adjacent à B, AB, houwa bidou le côté opposé à C. Donc cosinus de B égale sinus de C. Men ba3d, sinus sur cosinus : les BC yetna77aw, w tab9a la tangente. W la somme des carrés, b Pythagore, ta3ti 1. »

Propriété

Les relations trigonométriques

Pour tout angle aigu aa :

  • la tangente de aa est le quotient de son sinus par son cosinus ;
  • la somme des carrés du sinus et du cosinus de aa vaut 1.1.

Et si deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre. Dans un triangle ABCABC rectangle en A,A, c'est le cas des angles B^\widehat{B} et C^.\widehat{C}.

tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}
(sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1
angles complémentairescos⁡B^=sin⁡C^;\cos \widehat{B} = \sin \widehat{C} \quad ; \quadsin⁡B^=cos⁡C^\sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}

Exemple traité

aa est un angle aigu dont le cosinus vaut 0,6.0{,}6. Calculer son sinus, puis sa tangente.

  1. 1

    Le sinus

    On part de la somme des carrés, qui vaut 1.

    (sin⁡a)2=1−(cos⁡a)2=1−0,36=0,64(\sin a)^2 = 1 - (\cos a)^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64
  2. 2

    Le sinus d'un angle aigu est positif : on garde la racine positive.

    sin⁡a=0,64=0,8\sin a = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8
  3. 3

    La tangente

    On divise le sinus par le cosinus.

    tan⁡a=0,80,6=43\tan a = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac{4}{3}
sin⁡a=0,8;\sin a = 0{,}8 \quad ; \quadtan⁡a=43\tan a = \dfrac{4}{3}

L’erreur à ne pas faire

  • sin⁡a+cos⁡a=1\sin a + \cos a = 1(sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1
    Ce sont les carrés qui font 11 : c'est le théorème de Pythagore divisé par BC2.BC^2. Avec un cosinus de 0,6,0{,}6, le sinus vaut 0,8,0{,}8, et 0,6+0,80{,}6 + 0{,}8 ne fait pas 1.1.
  • tan⁡a=cos⁡asin⁡a\tan a = \dfrac{\cos a}{\sin a}tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}
    La tangente, c'est opposé sur adjacent. Le côté opposé est au numérateur du sinus : c'est donc le sinus qui va en haut.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Trois relations lezmek tetfakkarhom. La tangente, hiya le sinus divisé par le cosinus. Le carré du sinus plus le carré du cosinus, dima ya3ti 1 : hedha Pythagore. W deux angles complémentaires, yetbedlou le sinus w le cosinus mte3hom. »

Activité

Les angles de 30°, 45° et 60°

La moitié d'un triangle équilatéral. AICAIC est un triangle rectangle en II tel que ICA^=60∘.\widehat{ICA} = 60^\circ. On place le point B,B, symétrique de CC par rapport à I.I.

  1. 1.Montre que le triangle ABCABC est équilatéral.
  2. 2.On pose AC=a.AC = a. Montre que CI=a2,CI = \dfrac{a}{2}, puis, avec le théorème de Pythagore, que AI=a32.AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
  3. 3.Déduis-en sin⁡60∘,\sin 60^\circ, cos⁡60∘\cos 60^\circ et tan⁡60∘,\tan 60^\circ, puis sin⁡30∘,\sin 30^\circ, cos⁡30∘\cos 30^\circ et tan⁡30∘\tan 30^\circ : l'angle IAC^\widehat{IAC} mesure 30∘.30^\circ.

La moitié d'un carré. ABCABC est un triangle rectangle et isocèle en A,A, avec AB=AC=b.AB = AC = b.

  1. 1.Calcule BCBC en fonction de b,b, puis déduis-en sin⁡45∘,\sin 45^\circ, cos⁡45∘\cos 45^\circ et tan⁡45∘.\tan 45^\circ.
60°aa/2a√3/230°BICA
La hauteur coupe le triangle équilatéral en deux moitiés : 30°, 60°, 90°.
CI=a2CI = \dfrac{a}{2}
AI2=a2−a24=3a24AI^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} donc AI=a32AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}
la moitié d'un carréBC=b2BC = b\sqrt{2}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Triangle équilatéral, ki n9osshou b la hauteur mte3ou, ya3tina triangle rectangle fih 60 degrés w 30 degrés. Ken le côté égale a, la moitié égale a sur 2, w Pythagore ya3tina la hauteur : a racine de 3, le tout sur 2. Ma b9a ken n9raw les rapports. W l 45 degrés, hedhi la moitié d'un carré : l'hypoténuse égale b racine de 2. »

Propriété

Les angles remarquables

À connaître par cœur, ou à retrouver en une minute avec la moitié d'un triangle équilatéral et la moitié d'un carré.

Angle xxsin⁡x\sin xcos⁡x\cos xtan⁡x\tan x
30∘30^\circ12\dfrac{1}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}33\dfrac{\sqrt{3}}{3}
45∘45^\circ22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}11
60∘60^\circ32\dfrac{\sqrt{3}}{2}12\dfrac{1}{2}3\sqrt{3}

Deux repères pour ne pas se tromper. Dans le tableau, de 30∘30^\circ à 60∘,60^\circ, le sinus augmente et le cosinus diminue. Et 30∘30^\circ et 60∘60^\circ sont complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.

sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}
sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡30∘=33;\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \quad ; \quadtan⁡45∘=1;\tan 45^\circ = 1 \quad ; \quadtan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}

Exemple traité

ABCABC est un triangle rectangle en A,A, avec BC=8BC = 8 et ABC^=30∘.\widehat{ABC} = 30^\circ. Calculer ACAC et AB.AB.

  1. 1

    Le côté opposé

    [AC][AC] fait face à l'angle de 30∘30^\circ : on prend le sinus, opposé sur hypoténuse.

    AC=BC×sin⁡30∘=8×12=4AC = BC \times \sin 30^\circ = 8 \times \dfrac{1}{2} = 4
  2. 2

    Le côté adjacent

    [AB][AB] touche l'angle de 30∘30^\circ : on prend le cosinus, adjacent sur hypoténuse.

    AB=BC×cos⁡30∘=8×32=43AB = BC \times \cos 30^\circ = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}
AC=4;AC = 4 \quad ; \quadAB=43AB = 4\sqrt{3}

L’erreur à ne pas faire

  • sin⁡30∘=32\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}
    Dans la moitié du triangle équilatéral, le côté opposé à l'angle de 30∘30^\circ est le plus petit : c'est la moitié de l'hypoténuse. Le sinus de 30∘30^\circ vaut donc un demi.
  • tan⁡45∘=22\tan 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1
    Dans la moitié d'un carré, les deux côtés de l'angle droit sont égaux : opposé sur adjacent fait 1.1.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha houwa le tableau. Sinus de 30 degrés : un demi. Sinus de 45 : racine de 2 sur 2. Sinus de 60 : racine de 3 sur 2. Le cosinus, houwa nafs le tableau bel m9loub, khater 30 w 60 complémentaires. W la tangente : racine de 3 sur 3, men ba3d 1, men ba3d racine de 3. »

Méthode

Avec la calculatrice

L'unité de mesure des angles est ici le degré : avant tout calcul, mets la calculatrice en mode DEG. Un contrôle rapide : sin⁡30∘\sin 30^\circ doit afficher 0,5.0{,}5.

D'un angle vers un rapport. Pour une valeur approchée de cos⁡50∘\cos 50^\circ à 10−210^{-2} près, on tape « cos 50 = ». La calculatrice affiche 0,6427876090{,}642787609 ; on écrit cos⁡50∘≈0,64.\cos 50^\circ \approx 0{,}64.

D'un rapport vers un angle. Pour une valeur approchée à 10−210^{-2} près de l'angle aigu aa tel que cos⁡a=0,4,\cos a = 0{,}4, on passe par la seconde fonction : « 2ndF cos 0.4 = » (la touche s'appelle SHIFT sur certains modèles). La calculatrice affiche 66,4218215266{,}42182152 ; on écrit a≈66,42∘.a \approx 66{,}42^\circ.

Un seul arrondi, à la fin. On garde le calcul entier, par exemple 12×tan⁡35∘,12 \times \tan 35^\circ, et on n'arrondit que le résultat.

À toi. L'exemple ci-dessous calcule BCBC et BDBD sur la figure. Continue : HH est le projeté orthogonal de CC sur (AD)(AD) ; donne une valeur approchée à 10−110^{-1} près de l'aire du triangle ADC,ADC, puis de CH.CH. Pour te contrôler, tu dois trouver environ 45,145{,}1 et 4,5.4{,}5.

1235°18°ABCDH
L'angle BAD mesure 35° + 18° = 53°.
le contrôle du modesin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5
cos⁡50∘≈0,64\cos 50^\circ \approx 0{,}64
seconde fonctioncos⁡a=0,4\cos a = 0{,}4 donne a≈66,42∘a \approx 66{,}42^\circ

Exemple traité

Sur la figure, le triangle ABDABD est rectangle en B,B, le point CC est sur [BD],[BD], AB=12,AB = 12, BAC^=35∘\widehat{BAC} = 35^\circ et CAD^=18∘.\widehat{CAD} = 18^\circ. Donner une valeur approchée à 10−110^{-1} près de BCBC et de BD.BD.

  1. 1

    Le bon rapport

    Vu de A,A, [BC][BC] est le côté opposé et [AB][AB] le côté adjacent : c'est la tangente qui les relie.

    tan⁡BAC^=BCAB\tan \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB}
  2. 2

    On isole BCBC et on garde le calcul entier.

    BC=12×tan⁡35∘BC = 12 \times \tan 35^\circ
  3. 3

    À la calculatrice, en mode degrés, on obtient 8,4024… et on arrondit au dixième.

    BC≈8,4BC \approx 8{,}4
  4. 4

    La longueur $BD$

    Même rapport dans le triangle ABD,ABD, avec un angle en AA de 35∘+18∘=53∘.35^\circ + 18^\circ = 53^\circ.

    BD=12×tan⁡53∘≈15,9BD = 12 \times \tan 53^\circ \approx 15{,}9
BC≈8,4;BC \approx 8{,}4 \quad ; \quadBD≈15,9BD \approx 15{,}9

L’erreur à ne pas faire

  • sin⁡30=−0,988\sin 30 = -0{,}988sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5
    La calculatrice était en radians. En mode degrés, le sinus de 30∘30^\circ affiche bien 0,50{,}5 : c'est le contrôle à faire avant tout calcul.
  • BD≈12×1,3=15,6BD \approx 12 \times 1{,}3 = 15{,}6BD=12×tan⁡53∘≈15,9BD = 12 \times \tan 53^\circ \approx 15{,}9
    En arrondissant la tangente de 53∘53^\circ à 1,3,1{,}3, on commet une erreur que la multiplication par 1212 amplifie. On tape le calcul en entier, et on n'arrondit que le résultat.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal koll calcul, la calculatrice lezemha tkoun en mode degrés : sinus de 30 lezem ya3ti 0,5. Bech nemchiw men angle l rapport, nektbou cosinus 50. W bech nerja3ou men rapport l l'angle, n3addiw b la seconde fonction. W l'arrondi, marra bark, fel e5er. »

Activité

La hauteur issue de l'angle droit

ABCABC est un triangle rectangle en A,A, et [AH][AH] est la hauteur issue de A.A.

  1. 1.Écris l'aire du triangle ABCABC de deux manières : avec les deux côtés de l'angle droit, puis avec la base [BC][BC] et la hauteur [AH].[AH]. Déduis-en que AB×AC=AH×BC.AB \times AC = AH \times BC.
  2. 2.Écris cos⁡ACB^\cos \widehat{ACB} dans le triangle ACH,ACH, puis dans le triangle ABC.ABC. Déduis-en que AC2=CH×CB.AC^2 = CH \times CB.
  3. 3.Vérifie que ACB^=BAH^\widehat{ACB} = \widehat{BAH} : ces deux angles ont le même complémentaire, ABC^.\widehat{ABC}. Écris la tangente de chacun d'eux et déduis-en que AH2=BH×CH.AH^2 = BH \times CH.
BHCA
La hauteur [AH] partage ABC en deux triangles rectangles.
l'aire, de deux manièresAB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC
le cosinus de C, deux foisAC2=CH×CBAC^2 = CH \times CB
deux tangentes égalesAH2=BH×CHAH^2 = BH \times CH

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La hauteur issue de l'angle droit t9oss el triangle l deux petits triangles rectangles. L'aire, ki na7sbouha b tri9tin, ta3tina AB fois AC égale AH fois BC. Le cosinus de l'angle C, mektoub fi zouz triangles, ya3tina AC au carré égale CH fois CB. W les tangentes mte3 deux angles égaux ta3tina AH au carré égale BH fois CH. »

Théorème

Les relations métriques dans un triangle rectangle

Si ABCABC est un triangle rectangle en AA et si [AH][AH] est la hauteur issue de A,A, alors :

  • le produit des côtés de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur ;
  • le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés (Pythagore) ;
  • le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse ;
  • le carré d'un côté de l'angle droit est le produit de sa projection sur l'hypoténuse par l'hypoténuse.
BHCA
l'aire, de deux manièresAB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC
PythagoreAB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2
la hauteurAH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC
les côtés de l'angle droitAB2=BH×BC;AB^2 = BH \times BC \quad ; \quadAC2=CH×CBAC^2 = CH \times CB

Exemple traité

ABCABC est un triangle rectangle en A,A, [AH][AH] est la hauteur issue de A,A, AB=5AB = 5 et BH=4.BH = 4. Calculer AH,AH, BC,BC, HCHC et AC.AC.

  1. 1

    La hauteur

    Le triangle ABHABH est rectangle en HH : on applique le théorème de Pythagore.

    AH2=AB2−BH2=25−16=9AH^2 = AB^2 - BH^2 = 25 - 16 = 9 donc AH=3AH = 3
  2. 2

    L'hypoténuse

    Le côté [AB],[AB], sa projection [BH][BH] et l'hypoténuse entière [BC].[BC].

    AB2=BH×BCAB^2 = BH \times BC soit 25=4×BC25 = 4 \times BC donc BC=254BC = \dfrac{25}{4}
  3. 3

    Le segment $HC$

    HC=BC−BH=254−4=94HC = BC - BH = \dfrac{25}{4} - 4 = \dfrac{9}{4}
  4. 4

    Le côté $AC$

    On contrôle avec la hauteur, puis on calcule ACAC avec sa projection [CH].[CH].

    HB×HC=4×94=9=AH2;HB \times HC = 4 \times \dfrac{9}{4} = 9 = AH^2 \quad ; \quadAC2=CH×CB=94×254=22516AC^2 = CH \times CB = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{25}{4} = \dfrac{225}{16}
  5. 5
    AC=154AC = \dfrac{15}{4}
AH=3;AH = 3 \quad ; \quadBC=254;BC = \dfrac{25}{4} \quad ; \quadHC=94;HC = \dfrac{9}{4} \quad ; \quadAC=154AC = \dfrac{15}{4}

L’erreur à ne pas faire

  • AH2=HB+HCAH^2 = HB + HCAH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC
    C'est un produit : la relation vient de l'égalité de deux rapports, les tangentes de deux angles égaux. Aucune somme n'y apparaît.
  • AB2=BH×HCAB^2 = BH \times HCAB2=BH×BCAB^2 = BH \times BC
    Pour le côté [AB],[AB], on multiplie sa projection [BH][BH] par l'hypoténuse entière [BC].[BC]. Le produit des deux morceaux, HB×HC,HB \times HC, c'est le carré de la hauteur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tfakker les relations hedhi fel triangle rectangle m3a la hauteur mte3ou. AB fois AC égale AH fois BC. Pythagore, tab3an. La hauteur au carré égale le produit des deux morceaux de l'hypoténuse : HB fois HC. W koll côté de l'angle droit, au carré, égale sa projection fois l'hypoténuse entière. »

Méthode

Résoudre un problème concret

Une hauteur qu'on ne peut pas mesurer, un angle qu'on ne peut pas atteindre : la trigonométrie les calcule. Quatre gestes, toujours dans le même ordre.

  1. 1.Modéliser : fais une figure et repère un triangle rectangle qui contient l'inconnue.
  2. 2.Nommer les côtés depuis l'angle connu, ou cherché : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé.
  3. 3.Choisir le rapport qui relie ce que tu connais à ce que tu cherches : adjacent et hypoténuse, c'est le cosinus ; opposé et hypoténuse, le sinus ; opposé et adjacent, la tangente.
  4. 4.Calculer, en gardant le calcul entier et en arrondissant à la fin. Puis relis la question : ce qu'on cherche n'est pas toujours un côté du triangle.
1,70 m40 m38°POTKS
Le triangle OKS est rectangle en K ; la tour mesure TK + KS.

Exemple traité

Un observateur se tient à 4040 mètres du pied TT d'une tour, dont le sommet est S.S. Ses yeux, au point O,O, sont à 1,701{,}70 mètre du sol, et KK est le point de la tour situé à la hauteur de ses yeux. Il voit le sommet de la tour sous un angle KOS^=38∘\widehat{KOS} = 38^\circ au-dessus de l'horizontale. Calculer une valeur approchée à 10−210^{-2} près de la hauteur TSTS de la tour.

  1. 1

    Le triangle rectangle

    Le triangle OKSOKS est rectangle en KK : [OK][OK] est horizontal, la tour est verticale, et OK=40OK = 40 mètres.

  2. 2

    Le bon rapport

    Vu de O,O, on connaît le côté adjacent [OK][OK] et on cherche le côté opposé [KS][KS] : c'est la tangente.

    KS=OK×tan⁡38∘=40×tan⁡38∘KS = OK \times \tan 38^\circ = 40 \times \tan 38^\circ
  3. 3

    La hauteur de la tour

    La tour mesure KS,KS, plus la hauteur des yeux de l'observateur. On n'arrondit qu'à la fin.

    TS=1,70+40×tan⁡38∘≈32,95TS = 1{,}70 + 40 \times \tan 38^\circ \approx 32{,}95
TS≈32,95TS \approx 32{,}95 mètres

L’erreur à ne pas faire

  • TS≈31,25TS \approx 31{,}25 mTS≈32,95TS \approx 32{,}95 m
    L'angle est mesuré depuis les yeux de l'observateur, pas depuis le sol. Le triangle rectangle ne donne que la partie de la tour au-dessus de ses yeux : il faut ajouter 1,701{,}70 mètre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9oddem problème concret, 4 gestes. Figure, fiha triangle rectangle. Les noms des côtés, men l'angle elli na3rfouh. Le bon rapport : cosinus, sinus walla tangente. Fel tour, ach na3rfou ? le côté adjacent. Ach n7ebbou ? l'opposé. Donc la tangente, behi ? Men ba3d le calcul, w l'arrondi fel e5er. W n3awdou n9raw la question : hna, la tour hiya KS plus la hauteur des yeux. »

Méthode

Construire avec un triangle rectangle

Un segment de longueur ab.\sqrt{ab}. On veut construire un segment de longueur 6,\sqrt{6}, avec 6=3×2.6 = 3 \times 2.

  1. 1.Trace un segment [BC][BC] et place le point HH de [BC][BC] tel que BH=3BH = 3 et HC=2.HC = 2.
  2. 2.Trace le cercle de diamètre [BC].[BC].
  3. 3.La perpendiculaire à (BC)(BC) en HH coupe ce cercle en un point A.A.

AA est sur le cercle de diamètre [BC][BC] : le triangle ABCABC est rectangle en A,A, et [AH][AH] est sa hauteur. Donc AH2=HB×HC=6,AH^2 = HB \times HC = 6, et AH=6.AH = \sqrt{6}. Avec deux segments de longueurs aa et b,b, la même construction donne un segment de longueur ab.\sqrt{ab}.

Un angle dont on connaît un rapport. Pour construire un angle aigu dont le sinus vaut 0,38,0{,}38, on écrit 0,38=19500{,}38 = \dfrac{19}{50} et on construit un triangle ABCABC rectangle en AA avec AB=19AB = 19 mm et BC=50BC = 50 mm : on trace [AB],[AB], la perpendiculaire à (AB)(AB) en A,A, puis le cercle de centre BB et de rayon 5050 mm, qui coupe cette perpendiculaire en C.C. L'angle ACB^\widehat{ACB} convient, car sin⁡ACB^=ABBC=0,38.\sin \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = 0{,}38.

  • Pour un cosinus égal à 13\dfrac{1}{3} : un côté de l'angle droit de 22 cm et une hypoténuse de 66 cm ; l'angle cherché est celui que forment ces deux côtés.
  • Pour une tangente égale à 55 : deux côtés de l'angle droit de 11 cm et de 55 cm ; l'angle cherché est en face du côté de 55 cm.
32√6BCOHA
AH² = HB × HC = 3 × 2, donc AH = √6.
la hauteurAH2=HB×HC=3×2=6AH^2 = HB \times HC = 3 \times 2 = 6
AH=6AH = \sqrt{6}
un angle de sinus 0,38sin⁡ACB^=ABBC=1950=0,38\sin \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{19}{50} = 0{,}38

L’erreur à ne pas faire

  • AH=HB×HC=6AH = HB \times HC = 6AH=HB×HC=6AH = \sqrt{HB \times HC} = \sqrt{6}
    La relation porte sur le carré de la hauteur : AH2=6.AH^2 = 6. La hauteur mesure donc 6,\sqrt{6}, environ 2,45,2{,}45, et non 6,6, qui serait plus long que le diamètre [BC][BC] lui-même.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Deux constructions. Bech nabniw segment toulou racine de 6 : n7ottou 3 w 2 wa7da b7dha lo5ra, nrasmou le cercle de diamètre BC, w ntalla3ou la perpendiculaire en H. AH au carré égale 3 fois 2 : ya3ni AH égale racine de 6. W bech nabniw un angle na3rfou le sinus mte3ou, nsan3ou le triangle rectangle elli 3andou bedhabt el rapport hedha. »

Remarque

D'où vient le mot « sinus »

Avant les calculatrices, élèves et ingénieurs lisaient les rapports trigonométriques dans des tables. Comme les astronomes grecs et indiens avant eux, les mathématiciens arabes en ont dressé, pour les besoins de l'astronomie : Al-Khwarizmi fut le premier mathématicien arabe à établir des tables de sinus, Abul-Wafa en calcula les valeurs vers l'an 980,980, et Nasir ad-Din at-Tusi écrivit le premier traité qui fait de la trigonométrie une science à part entière.

Le mot lui-même vient de l'arabe. Pour les astronomes, le sinus était la demi-corde d'un arc de cercle, appelée « jayb » — la poche, le repli du vêtement —, mot que les traducteurs latins ont rendu par « sinus », qui veut dire lui aussi le pli.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kelma mel tari5 bech nkammlou. 9bal les calculatrices, kanou y9raw les sinus fi des tables, w des mathématiciens arabes 5edmou 3lihom barcha : El Khwarizmi, Abou el Wafa, Nasir Eddine et-Tousi. W el kelma sinus bidha jeya mel 3arbiya : el jib, kima jib el 7wayej, w tarjmouha bel latin : sinus. »

À retenir

  • 1.

    Dans ABCABC rectangle en AA : cos⁡B^=ABBC,\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}, sin⁡B^=ACBC,\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}, tan⁡B^=ACAB.\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}.

  • 2.

    Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent.

  • 3.

    tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} et (sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1.(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1.

  • 4.

    Deux angles complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.

  • 5.

    sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} ; sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} ; sin⁡60∘=cos⁡30∘=32.\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

  • 6.

    tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} ; tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 ; tan⁡60∘=3.\tan 60^\circ = \sqrt{3}.

  • 7.

    Calculatrice en mode DEG, et un seul arrondi, à la fin.

  • 8.

    Hauteur [AH][AH] : AB×AC=AH×BC,AB \times AC = AH \times BC, AH2=HB×HC,AH^2 = HB \times HC, AB2=BH×BC,AB^2 = BH \times BC, AC2=CH×CB.AC^2 = CH \times CB.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

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Rapports trigonométriques d'un angle aigu

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle
  • Utiliser tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} et (sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1
  • Connaître le cosinus, le sinus et la tangente de 30∘30^\circ, 45∘45^\circ et 60∘60^\circ
  • Calculer une longueur ou un angle à la calculatrice, et arrondir
  • Utiliser les relations métriques dans un triangle rectangle
  • Construire un segment de longueur ab\sqrt{ab}, et un angle dont on connaît un rapport trigonométrique

Une côte à 20 %

Un panneau annonce une côte de pente 20 % : quand on avance de 100100 m à l'horizontale, on monte de 2020 m. Un cycliste part du point BB, au pied de la côte, et passe par les points CC puis DD. On note AA et EE les projetés orthogonaux de CC et de DD sur l'horizontale qui passe par BB.

  1. Mesure ACAC et ABAB sur la figure, puis calcule ACAB\dfrac{AC}{AB}. Fais de même pour DEBE\dfrac{DE}{BE}. Que remarques-tu ?
  2. Les droites (AC)(AC) et (ED)(ED) sont toutes deux perpendiculaires à (BE)(BE) : elles sont donc parallèles. Utilise le théorème de Thalès dans le triangle BEDBED pour démontrer, sans rien mesurer, que
  3. ACAB=DEBEetACBC=DEBD.\frac{AC}{AB} = \frac{DE}{BE} \qquad \text{et} \qquad \frac{AC}{BC} = \frac{DE}{BD}.
  4. Le cycliste est en un point MM quelconque de la côte, et NN est son projeté orthogonal sur (BE)(BE). Que vaut MNBN\dfrac{MN}{BN} ? Fais le lien avec la pente de 2020 %.

Le rapport ne dépend ni de l'endroit où l'on se trouve sur la côte, ni de la distance parcourue : il ne dépend que de l'inclinaison de la côte, c'est-à-dire de l'angle ABC^\widehat{ABC}.

BACED
Pour 100 m parcourus à l'horizontale, on monte de 20 m.

Deux triangles rectangles, un même angle

ABCABC et EFGEFG sont deux triangles rectangles, le premier en AA, le second en EE, qui ont un angle aigu de même mesure : ABC^=EFG^=a\widehat{ABC} = \widehat{EFG} = a.

On place sur [BA)[BA) le point MM tel que BM=FEBM = FE, et sur [BC)[BC) le point NN tel que BN=FGBN = FG.

  1. Montre que les triangles BMNBMN et FEGFEG sont isométriques. Déduis-en que (MN)(MN) est perpendiculaire à (BA)(BA), donc parallèle à (AC)(AC).
  2. Applique le théorème de Thalès dans le triangle BACBAC et montre que
  3. BABC=FEFG,ACBC=EGFG,ACAB=EGEF.\frac{BA}{BC} = \frac{FE}{FG}, \qquad \frac{AC}{BC} = \frac{EG}{FG}, \qquad \frac{AC}{AB} = \frac{EG}{EF}.

Les deux triangles n'ont pas la même taille, et pourtant leurs rapports de côtés sont les mêmes. Ces trois rapports ne dépendent que de l'angle aa : ils méritent un nom.

aaFEGBACMN
Le triangle BMN est une copie de EFG, posée dans le grand triangle.

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

ABCABC désigne un triangle rectangle en AA. Par rapport à l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} :

  • l'hypoténuse est [BC][BC], le côté opposé à l'angle droit ;
  • le côté adjacent est [AB][AB], le côté de l'angle droit qui touche le sommet BB ;
  • le côté opposé est [AC][AC], le côté de l'angle droit qui fait face à BB.

On définit trois rapports :

  • le rapport ABBC\dfrac{AB}{BC} s'appelle le cosinus de l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} ; on le note cos⁡ABC^\cos \widehat{ABC} ;
  • le rapport ACBC\dfrac{AC}{BC} s'appelle le sinus de l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} ; on le note sin⁡ABC^\sin \widehat{ABC} ;
  • le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB} s'appelle la tangente de l'angle aigu ABC^\widehat{ABC} ; on la note tan⁡ABC^\tan \widehat{ABC}.

L'hypoténuse est le plus long côté du triangle : le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont donc toujours compris entre 00 et 11. La tangente, elle, peut dépasser 11.

hypoténusecôté adjacentcôté opposéABC
Les côtés sont nommés depuis l'angle en B.
cos⁡ABC^=ABBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}
sin⁡ABC^=ACBC\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}
tan⁡ABC^=ACAB\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB}

Le piège

cos⁡ABC^=ACBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}

cos⁡ABC^=ABBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}

Le côté adjacent est celui qui touche le sommet BB, en plus de l'hypoténuse : c'est [AB][AB]. Le côté [AC][AC] fait face à BB : il sert au sinus, pas au cosinus.

Le piège

sin⁡ABC^=BCAC\sin \widehat{ABC} = \dfrac{BC}{AC}

sin⁡ABC^=ACBC\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}

L'hypoténuse va toujours au dénominateur du cosinus et du sinus. Un sinus plus grand que 11 est impossible : c'est le signe qu'on a renversé le rapport.

Les deux angles aigus d'un même triangle

ABCABC est un triangle rectangle en AA. Ses deux angles aigus B^\widehat{B} et C^\widehat{C} sont complémentaires : B^+C^=90∘\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ.

  1. Écris cos⁡B^\cos \widehat{B} et sin⁡C^\sin \widehat{C} à l'aide des côtés du triangle. Que remarques-tu ? Même question pour sin⁡B^\sin \widehat{B} et cos⁡C^\cos \widehat{C}.
  2. Calcule sin⁡B^cos⁡B^\dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}} et compare le résultat à tan⁡B^\tan \widehat{B}.
  3. Calcule (cos⁡B^)2+(sin⁡B^)2(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 en réduisant au même dénominateur, puis utilise le théorème de Pythagore.
ABC
Ce qui est adjacent à B est opposé à C, et inversement.
cos⁡B^=ABBC=sin⁡C^\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \sin \widehat{C}
sin⁡B^cos⁡B^=ACBC×BCAB=ACAB=tan⁡B^\dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}} = \dfrac{AC}{BC} \times \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AC}{AB} = \tan \widehat{B}
(cos⁡B^)2+(sin⁡B^)2=AB2+AC2BC2=1(\cos \widehat{B})^2 + (\sin \widehat{B})^2 = \dfrac{AB^2 + AC^2}{BC^2} = 1

Les relations trigonométriques

Pour tout angle aigu aa :

  • la tangente de aa est le quotient de son sinus par son cosinus ;
  • la somme des carrés du sinus et du cosinus de aa vaut 11.

Et si deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre. Dans un triangle ABCABC rectangle en AA, c'est le cas des angles B^\widehat{B} et C^\widehat{C}.

tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}
(sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1
cos⁡B^=sin⁡C^;sin⁡B^=cos⁡C^\cos \widehat{B} = \sin \widehat{C} \quad ; \quad \sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}

Le piège

sin⁡a+cos⁡a=1\sin a + \cos a = 1

(sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1

Ce sont les carrés qui font 11 : c'est le théorème de Pythagore divisé par BC2BC^2. Avec un cosinus de 0,60{,}6, le sinus vaut 0,80{,}8, et 0,6+0,80{,}6 + 0{,}8 ne fait pas 11.

Le piège

tan⁡a=cos⁡asin⁡a\tan a = \dfrac{\cos a}{\sin a}

tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}

La tangente, c'est opposé sur adjacent. Le côté opposé est au numérateur du sinus : c'est donc le sinus qui va en haut.

Les angles de 30°, 45° et 60°

La moitié d'un triangle équilatéral. AICAIC est un triangle rectangle en II tel que ICA^=60∘\widehat{ICA} = 60^\circ. On place le point BB, symétrique de CC par rapport à II.

  1. Montre que le triangle ABCABC est équilatéral.
  2. On pose AC=aAC = a. Montre que CI=a2CI = \dfrac{a}{2}, puis, avec le théorème de Pythagore, que AI=a32AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.
  3. Déduis-en sin⁡60∘\sin 60^\circ, cos⁡60∘\cos 60^\circ et tan⁡60∘\tan 60^\circ, puis sin⁡30∘\sin 30^\circ, cos⁡30∘\cos 30^\circ et tan⁡30∘\tan 30^\circ : l'angle IAC^\widehat{IAC} mesure 30∘30^\circ.

La moitié d'un carré. ABCABC est un triangle rectangle et isocèle en AA, avec AB=AC=bAB = AC = b.

  1. Calcule BCBC en fonction de bb, puis déduis-en sin⁡45∘\sin 45^\circ, cos⁡45∘\cos 45^\circ et tan⁡45∘\tan 45^\circ.
60°aa/2a√3/230°BICA
La hauteur coupe le triangle équilatéral en deux moitiés : 30°, 60°, 90°.
CI=a2CI = \dfrac{a}{2}
AI2=a2−a24=3a24doncAI=a32AI^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \quad \text{donc} \quad AI = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}
BC=b2BC = b\sqrt{2}

Les angles remarquables

À connaître par cœur, ou à retrouver en une minute avec la moitié d'un triangle équilatéral et la moitié d'un carré.

Angle xx30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ
sin⁡x\sin x12\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡x\cos x32\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}
tan⁡x\tan x33\dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}

Deux repères pour ne pas se tromper. Dans le tableau, de 30∘30^\circ à 60∘60^\circ, le sinus augmente et le cosinus diminue. Et 30∘30^\circ et 60∘60^\circ sont complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.

sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}
sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡30∘=33;tan⁡45∘=1;tan⁡60∘=3\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \quad ; \quad \tan 45^\circ = 1 \quad ; \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}

Le piège

sin⁡30∘=32\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}

Dans la moitié du triangle équilatéral, le côté opposé à l'angle de 30∘30^\circ est le plus petit : c'est la moitié de l'hypoténuse. Le sinus de 30∘30^\circ vaut donc un demi.

Le piège

tan⁡45∘=22\tan 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1

Dans la moitié d'un carré, les deux côtés de l'angle droit sont égaux : opposé sur adjacent fait 11.

Avec la calculatrice

L'unité de mesure des angles est ici le degré : avant tout calcul, mets la calculatrice en mode DEG. Un contrôle rapide : sin⁡30∘\sin 30^\circ doit afficher 0,50{,}5.

D'un angle vers un rapport. Pour une valeur approchée de cos⁡50∘\cos 50^\circ à 10−210^{-2} près, on tape « cos 50 = ». La calculatrice affiche 0,6427876090{,}642787609 ; on écrit cos⁡50∘≈0,64\cos 50^\circ \approx 0{,}64.

D'un rapport vers un angle. Pour une valeur approchée à 10−210^{-2} près de l'angle aigu aa tel que cos⁡a=0,4\cos a = 0{,}4, on passe par la seconde fonction : « 2ndF cos 0.4 = » (la touche s'appelle SHIFT sur certains modèles). La calculatrice affiche 66,4218215266{,}42182152 ; on écrit a≈66,42∘a \approx 66{,}42^\circ.

Un seul arrondi, à la fin. On garde le calcul entier, par exemple 12×tan⁡35∘12 \times \tan 35^\circ, et on n'arrondit que le résultat.

À toi. L'exemple ci-dessous calcule BCBC et BDBD sur la figure. Continue : HH est le projeté orthogonal de CC sur (AD)(AD) ; donne une valeur approchée à 10−110^{-1} près de l'aire du triangle ADCADC, puis de CHCH. Pour te contrôler, tu dois trouver environ 45,145{,}1 et 4,54{,}5.

1235°18°ABCDH
L'angle BAD mesure 35° + 18° = 53°.
sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5
cos⁡50∘≈0,64\cos 50^\circ \approx 0{,}64
cos⁡a=0,4donnea≈66,42∘\cos a = 0{,}4 \quad \text{donne} \quad a \approx 66{,}42^\circ

Le piège

sin⁡30=−0,988\sin 30 = -0{,}988

sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5

La calculatrice était en radians. En mode degrés, le sinus de 30∘30^\circ affiche bien 0,50{,}5 : c'est le contrôle à faire avant tout calcul.

Le piège

BD≈12×1,3=15,6BD \approx 12 \times 1{,}3 = 15{,}6

BD=12×tan⁡53∘≈15,9BD = 12 \times \tan 53^\circ \approx 15{,}9

En arrondissant la tangente de 53∘53^\circ à 1,31{,}3, on commet une erreur que la multiplication par 1212 amplifie. On tape le calcul en entier, et on n'arrondit que le résultat.

La hauteur issue de l'angle droit

ABCABC est un triangle rectangle en AA, et [AH][AH] est la hauteur issue de AA.

  1. Écris l'aire du triangle ABCABC de deux manières : avec les deux côtés de l'angle droit, puis avec la base [BC][BC] et la hauteur [AH][AH]. Déduis-en que AB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC.
  2. Écris cos⁡ACB^\cos \widehat{ACB} dans le triangle ACHACH, puis dans le triangle ABCABC. Déduis-en que AC2=CH×CBAC^2 = CH \times CB.
  3. Vérifie que ACB^=BAH^\widehat{ACB} = \widehat{BAH} : ces deux angles ont le même complémentaire, ABC^\widehat{ABC}. Écris la tangente de chacun d'eux et déduis-en que AH2=BH×CHAH^2 = BH \times CH.
BHCA
La hauteur [AH] partage ABC en deux triangles rectangles.
AB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC
AC2=CH×CBAC^2 = CH \times CB
AH2=BH×CHAH^2 = BH \times CH

Les relations métriques dans un triangle rectangle

Si ABCABC est un triangle rectangle en AA et si [AH][AH] est la hauteur issue de AA, alors :

  • le produit des côtés de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur ;
  • le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés (Pythagore) ;
  • le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse ;
  • le carré d'un côté de l'angle droit est le produit de sa projection sur l'hypoténuse par l'hypoténuse.
BHCA
AB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC
AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2
AH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC
AB2=BH×BC;AC2=CH×CBAB^2 = BH \times BC \quad ; \quad AC^2 = CH \times CB

Le piège

AH2=HB+HCAH^2 = HB + HC

AH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC

C'est un produit : la relation vient de l'égalité de deux rapports, les tangentes de deux angles égaux. Aucune somme n'y apparaît.

Le piège

AB2=BH×HCAB^2 = BH \times HC

AB2=BH×BCAB^2 = BH \times BC

Pour le côté [AB][AB], on multiplie sa projection [BH][BH] par l'hypoténuse entière [BC][BC]. Le produit des deux morceaux, HB×HCHB \times HC, c'est le carré de la hauteur.

Résoudre un problème concret

Une hauteur qu'on ne peut pas mesurer, un angle qu'on ne peut pas atteindre : la trigonométrie les calcule. Quatre gestes, toujours dans le même ordre.

  1. Modéliser : fais une figure et repère un triangle rectangle qui contient l'inconnue.
  2. Nommer les côtés depuis l'angle connu, ou cherché : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé.
  3. Choisir le rapport qui relie ce que tu connais à ce que tu cherches : adjacent et hypoténuse, c'est le cosinus ; opposé et hypoténuse, le sinus ; opposé et adjacent, la tangente.
  4. Calculer, en gardant le calcul entier et en arrondissant à la fin. Puis relis la question : ce qu'on cherche n'est pas toujours un côté du triangle.
1,70 m40 m38°POTKS
Le triangle OKS est rectangle en K ; la tour mesure TK + KS.

Le piège

TS≈31,25 mTS \approx 31{,}25 \text{ m}

TS≈32,95 mTS \approx 32{,}95 \text{ m}

L'angle est mesuré depuis les yeux de l'observateur, pas depuis le sol. Le triangle rectangle ne donne que la partie de la tour au-dessus de ses yeux : il faut ajouter 1,701{,}70 mètre.

Construire avec un triangle rectangle

Un segment de longueur ab\sqrt{ab}. On veut construire un segment de longueur 6\sqrt{6}, avec 6=3×26 = 3 \times 2.

  1. Trace un segment [BC][BC] et place le point HH de [BC][BC] tel que BH=3BH = 3 et HC=2HC = 2.
  2. Trace le cercle de diamètre [BC][BC].
  3. La perpendiculaire à (BC)(BC) en HH coupe ce cercle en un point AA.

AA est sur le cercle de diamètre [BC][BC] : le triangle ABCABC est rectangle en AA, et [AH][AH] est sa hauteur. Donc AH2=HB×HC=6AH^2 = HB \times HC = 6, et AH=6AH = \sqrt{6}. Avec deux segments de longueurs aa et bb, la même construction donne un segment de longueur ab\sqrt{ab}.

Un angle dont on connaît un rapport. Pour construire un angle aigu dont le sinus vaut 0,380{,}38, on écrit 0,38=19500{,}38 = \dfrac{19}{50} et on construit un triangle ABCABC rectangle en AA avec AB=19AB = 19 mm et BC=50BC = 50 mm : on trace [AB][AB], la perpendiculaire à (AB)(AB) en AA, puis le cercle de centre BB et de rayon 5050 mm, qui coupe cette perpendiculaire en CC. L'angle ACB^\widehat{ACB} convient, car sin⁡ACB^=ABBC=0,38\sin \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = 0{,}38.

  • Pour un cosinus égal à 13\dfrac{1}{3} : un côté de l'angle droit de 22 cm et une hypoténuse de 66 cm ; l'angle cherché est celui que forment ces deux côtés.
  • Pour une tangente égale à 55 : deux côtés de l'angle droit de 11 cm et de 55 cm ; l'angle cherché est en face du côté de 55 cm.
32√6BCOHA
AH² = HB × HC = 3 × 2, donc AH = √6.
AH2=HB×HC=3×2=6AH^2 = HB \times HC = 3 \times 2 = 6
AH=6AH = \sqrt{6}
sin⁡ACB^=ABBC=1950=0,38\sin \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{19}{50} = 0{,}38

Le piège

AH=HB×HC=6AH = HB \times HC = 6

AH=HB×HC=6AH = \sqrt{HB \times HC} = \sqrt{6}

La relation porte sur le carré de la hauteur : AH2=6AH^2 = 6. La hauteur mesure donc 6\sqrt{6}, environ 2,452{,}45, et non 66, qui serait plus long que le diamètre [BC][BC] lui-même.

D'où vient le mot « sinus »

Avant les calculatrices, élèves et ingénieurs lisaient les rapports trigonométriques dans des tables. Comme les astronomes grecs et indiens avant eux, les mathématiciens arabes en ont dressé, pour les besoins de l'astronomie : Al-Khwarizmi fut le premier mathématicien arabe à établir des tables de sinus, Abul-Wafa en calcula les valeurs vers l'an 980980, et Nasir ad-Din at-Tusi écrivit le premier traité qui fait de la trigonométrie une science à part entière.

Le mot lui-même vient de l'arabe. Pour les astronomes, le sinus était la demi-corde d'un arc de cercle, appelée « jayb » — la poche, le repli du vêtement —, mot que les traducteurs latins ont rendu par « sinus », qui veut dire lui aussi le pli.

À retenir

  • Dans ABCABC rectangle en AA : cos⁡B^=ABBC\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}, sin⁡B^=ACBC\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}, tan⁡B^=ACAB\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}.
  • Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent.
  • tan⁡a=sin⁡acos⁡a\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} et (sin⁡a)2+(cos⁡a)2=1(\sin a)^2 + (\cos a)^2 = 1.
  • Deux angles complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
  • sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} ; sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} ; sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} ; tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 ; tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}.
  • Calculatrice en mode DEG, et un seul arrondi, à la fin.
  • Hauteur [AH][AH] : AB×AC=AH×BCAB \times AC = AH \times BC, AH2=HB×HCAH^2 = HB \times HC, AB2=BH×BCAB^2 = BH \times BC, AC2=CH×CBAC^2 = CH \times CB.