Sections planes d'un solide

Solides usuels et leurs volumes (prisme droit, pyramide, cylindre, cône de révolution, sphère et boule), patron et aire latérale du cône (πRℓ), deux plans parallèles coupés par un troisième, section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou contenant une arête, section d'une pyramide et d'un cône par un plan parallèle à la base, section d'un cylindre, section d'une sphère par un plan (r² = R² − d², grand cercle), réduction de coefficient k (et agrandissement, k > 1) : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.

17 sections · 103 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Jusqu'ici, un solide se mesurait : une arête, une aire, un volume. Ce chapitre le coupe.

On remet d'abord en place les solides usuels — prisme droit, pyramide, cylindre, cône de révolution, sphère — et le calcul de leur volume. Puis on les tranche par un plan, et une seule question revient : quelle figure plane apparaît sur la tranche ? Un pavé coupé parallèlement à une face donne un rectangle de la taille de cette face ; une pyramide ou un cône coupés parallèlement à la base donnent une réduction de la base ; une sphère coupée par un plan qui passe à moins d'un rayon de son centre donne un cercle. Les calculs, eux, se font dans des figures que tu connais déjà : le triangle rectangle de Pythagore et le triangle de Thalès.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Calculer le volume d'un prisme droit, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône de révolution et d'une boule
Justifier que deux droites sont parallèles quand un plan coupe deux plans parallèles
Reconnaître la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou contenant une arête
Reconnaître et calculer la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base
Calculer le rayon de la section d'une sphère : $r = \sqrt{R^2 - d^2}$
Utiliser le coefficient de réduction $k$ : longueurs multipliées par $k,$ aires par $k^2,$ volumes par $k^3$

Activité

Les solides usuels

Avant de couper un solide, il faut savoir le lire. Pour chacun des trois solides suivants, donne le nombre de faces et de sommets, le volume et l'aire totale.

1.Un cube d'arête $a.$
2.Un parallélépipède rectangle — on dit aussi un pavé droit — de dimensions $a,$ $b$ et $c.$
3.Un cylindre de révolution de rayon $R$ et de hauteur $h.$ Il n'a ni sommet ni arête : deux bases qui sont des disques, et une surface latérale.

Pour l'aire latérale du cylindre, déroule-la à plat : c'est un rectangle de hauteur $h$ dont la longueur est le périmètre $2\pi R$ de la base.

Un parallélépipède rectangle : les arêtes cachées sont en pointillés.

cube : 6 faces, 8 sommets

V = a^3 \quad ; \quad

\text{aire} = 6a^2

parallélépipède rectangle : 6 faces, 8 sommets

V = a \times b \times c \quad ; \quad

\text{aire} = 2(ab + bc + ca)

cylindre de rayon R et de hauteur h

V = \pi R^2 h \quad ; \quad

\text{aire} = 2\pi R h + 2\pi R^2

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdaw b les solides elli ta3refhom. Le cube : 6 faces, 8 sommets, w le volume a³. Le parallélépipède rectangle : zeda 6 faces w 8 sommets, w le volume a × b × c. Le cylindre ma 3andouch sommets, w le volume πR²h : l'aire de la base fois la hauteur. »

Propriété

Prisme droit et pyramide : le volume

Un prisme droit a deux bases superposables, l'une au-dessus de l'autre, et des faces latérales qui sont des rectangles. Le cube et le pavé droit en sont des cas particuliers.

Une pyramide a une base polygonale et un sommet $S$ relié à tous les sommets de la base : ses faces latérales sont des triangles. Sa hauteur est la distance de $S$ au plan de la base. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

En notant $B$ l'aire de la base et $h$ la hauteur :

La hauteur [SO] tombe sur la base ; l’arête [SA] est oblique.

prisme droit

V_{\text{prisme}} = B \times h

pyramide, tétraèdre

V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times B \times h

Exemple traité

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3{,}2$ cm et $1{,}8$ cm. Sa hauteur est $h = 4$ cm. Calculer son volume.

1
L'aire de la base
La base est un triangle rectangle : son aire est la moitié du produit des côtés de l'angle droit.
$B = \dfrac{3{,}2 \times 1{,}8}{2} = 2{,}88 \text{ cm}^2$
2
Le volume
Pour un prisme, c'est l'aire de la base fois la hauteur, sans facteur un tiers.
$V = B \times h = 2{,}88 \times 4$

V = 11{,}52 \text{ cm}^3

L’erreur à ne pas faire

$V_{\text{pyramide}} = B \times h$ $V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times B \times h$
Une pyramide qui a la même base et la même hauteur qu'un prisme n'en remplit que le tiers. Oublier le facteur un tiers triple le volume.
La hauteur d'une pyramide est la longueur d'une arête latérale.La hauteur est la distance du sommet $S$ au plan de la base.
L'arête $[SA]$ est oblique : elle est plus longue que la hauteur $[SO],$ qui tombe perpendiculairement sur la base.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le prisme droit : l'aire de la base fois la hauteur. La pyramide : nafs el 7aja, ama na9smou 3la 3. 3lech ? Khater une pyramide elli 3andha nafs la base w nafs la hauteur mte3 un prisme, t3ammer ken le tiers mte3ou. W la hauteur, hiya la distance du sommet au plan de la base, mouch l'arête. »

Définition

Sphère et boule

La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance $R$ de $O.$ C'est une surface, comme la peau d'un ballon.

La boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à $R$ de $O.$ C'est le solide plein : le ballon avec tout ce qu'il contient.

On calcule donc l'aire d'une sphère et le volume d'une boule.

Tous les points de la sphère sont à la distance R du centre O.

aire de la sphère

= 4\pi R^2

volume de la boule

= \dfrac{4}{3}\pi R^3

Exemple traité

Un ballon a un diamètre de $50$ cm. Calculer l'aire de sa surface et son volume, en fonction de $\pi.$

1
Le rayon d'abord
Les formules demandent le rayon, pas le diamètre.
$R = \dfrac{50}{2} = 25$ cm
2
L'aire
On élève le rayon au carré, puis on multiplie par $4\pi.$
$4\pi R^2 = 4\pi \times 25^2 = 2500\pi \text{ cm}^2$
3
Le volume
On élève le rayon au cube.
$\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 25^3 = \dfrac{62500\pi}{3} \text{ cm}^3$

V = \dfrac{62500\pi}{3} \approx 65450 \text{ cm}^3

L’erreur à ne pas faire

$R = 50$ cm, donc l'aire vaut $4\pi \times 50^2.$ $R = 25$ cm, donc l'aire vaut $4\pi \times 25^2.$
Les formules parlent du rayon. Avec le diamètre, l'aire serait multipliée par $4$ et le volume par $8.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La sphère, hiya la surface, kif la peau mte3 un ballon. La boule, hiya el solide el kol, el ballon bima fih. L'aire de la sphère = 4πR², w le volume de la boule = 4/3 πR³. W radd belek : R houwa le rayon, mouch le diamètre. »

Propriété

Le cône de révolution

Fais tourner un triangle $SOA$ rectangle en $O$ autour de la droite $(SO)$ : il engendre un cône de révolution. Le point $S$ est son sommet, le disque de centre $O$ et de rayon $R = OA$ est sa base, $h = SO$ est sa hauteur, et le segment $[SA]$ est une génératrice.

Le triangle $SOA$ reste rectangle en $O$ : la longueur $\ell = SA$ d'une génératrice se calcule par le théorème de Pythagore.

Mis à plat, la surface latérale du cône est une portion de disque de rayon $\ell$ : la longueur de son arc est le périmètre $2\pi R$ de la base, et son angle mesure $a = 360 \times \dfrac{R}{\ell}$ degrés. Son aire, la fraction $\dfrac{a}{360}$ du disque de rayon $\ell,$ est l'aire latérale du cône : $\dfrac{a}{360} \times \pi \ell^2 = \pi R \ell.$

Le triangle SOA, rectangle en O, engendre le cône en tournant autour de (SO).

volume

V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times B \times h = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h

la génératrice

SA^2 = SO^2 + OA^2

angle du patron, en degrés

a = 360 \times \dfrac{R}{\ell}

le patron mis à plataire latérale

= \pi R \ell

Exemple traité

Un cône de révolution a pour rayon de base $R = 3$ cm et pour hauteur $h = 4$ cm. Calculer la longueur d'une génératrice, l'angle de son patron, puis son volume en fonction de $\pi.$

1
La génératrice
Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$ : théorème de Pythagore.
$SA^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ donc $SA = 5$ cm
2
L'angle du patron
$a = 360 \times \dfrac{3}{5} = 216^\circ$
3
Le volume
Un tiers de l'aire de la base, fois la hauteur.
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4$

V = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3

L’erreur à ne pas faire

La génératrice $SA$ est la hauteur du cône.La hauteur est $SO$ ; la génératrice $SA$ est l'hypoténuse du triangle $SOA.$
Dans le triangle rectangle $SOA,$ l'hypoténuse $[SA]$ est le plus long côté : une génératrice est toujours plus longue que la hauteur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« El cône de révolution, njibouh ki ndawrou un triangle SOA, rectangle en O, 3la la droite (SO). El volume, kif la pyramide : un tiers de l'aire de la base fois la hauteur. W la génératrice [SA], hiya l'hypoténuse mte3 le triangle SOA, na7sbouha b Pythagore. W l'aire latérale mte3ou : π × R × ℓ. »

Activité

Deux plans parallèles et un troisième

Dans l'espace, deux plans sont parallèles quand ils n'ont aucun point commun, ou quand ils sont confondus.

Sur la figure, les plans $P$ et $Q$ sont parallèles et distincts. Un troisième plan $H$ coupe $P$ suivant la droite $D.$

1.Explique pourquoi $H$ coupe aussi $Q,$ suivant une droite qu'on note $D'.$
2.Les droites $D$ et $D'$ sont dans un même plan, $H.$ Peuvent-elles avoir un point commun ? Déduis-en qu'elles sont parallèles.
3.Justifie que la droite $D$ est parallèle au plan $Q.$

Une dernière remarque, qui servira à chaque section : une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan ; et si elle est perpendiculaire à $P,$ elle l'est aussi à tout plan parallèle à $P.$

Le plan H coupe les plans parallèles P et Q suivant deux droites parallèles.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« P w Q parallèles : ma 3andhomch 7atta point commun. Le plan H y9oss P fi la droite D, w y9oss Q fi la droite D'. D w D' fi nafs el plan H, w ma yetla9aouch, khater P w Q ma yetla9aouch. Donc D w D' parallèles. Hedhi hiya el clé mte3 koll section : les côtés elli 3la deux faces parallèles yotl3ou parallèles. »

Propriété

Un plan coupe deux plans parallèles

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe aussi l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.

C'est l'outil de toutes les sections : deux faces opposées d'un pavé, la base d'une pyramide et un plan parallèle à cette base sont des plans parallèles. Le plan de coupe y trace donc des côtés parallèles.

P

parallèle à

Q

H \cap P = D \ \Longrightarrow\ H \cap Q = D'

, parallèle à

D

L’erreur à ne pas faire

Deux droites de l'espace qui ne se coupent pas sont parallèles.Deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles si elles sont dans un même plan.
Dans l'espace, deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles : dans un pavé, l'arête $[AB]$ de la face du dessous et l'arête verticale $[CG]$ en sont un exemple.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« El propriété : ki un plan y9oss deux plans parallèles, ya3tik deux droites parallèles. W radd belek : fi l'espace, deux droites elli ma yetla9aouch, mouch lezem ykounou parallèles. Lezemhom ykounou fi nafs el plan. »

Activité

Trancher un pavé

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle : $ABCD$ est la face du dessous, $EFGH$ celle du dessus, et $[AE],$ $[BF],$ $[CG],$ $[DH]$ sont les arêtes verticales.

Première coupe. Par un point $I$ de l'arête $[DC],$ on mène le plan $P$ parallèle à la face $ADHE.$ Il coupe $[AB]$ en $J,$ $[EF]$ en $K$ et $[HG]$ en $L.$

1.En utilisant les faces opposées du pavé, montre que $IJKL$ est un parallélogramme.
2.Pourquoi l'angle en $J$ est-il droit ? Quelle est la nature de $IJKL$ ?
3.Compare $IJ$ avec $AD,$ et $JK$ avec $AE.$

Deuxième coupe. On coupe maintenant le pavé par le plan qui contient les deux arêtes verticales $[AE]$ et $[CG].$

1.Quelle est la nature de la section $ACGE$ ? Ses côtés $[AE]$ et $[AC]$ ont-ils la même longueur ?

La section IJKL, parallèle à la face ADHE.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf le plan P : parallèle à la face ADHE. Y9oss la face du dessous w la face du dessus, w houma parallèles, donc (IJ) w (KL) parallèles. Nafs el 7aja m3a la face avant w la face arrière : (JK) w (IL) parallèles. Parallélogramme, w fih angle droit, donc rectangle. W zid : IJ = AD, w JK = AE : el section 3andha nafs les dimensions mte3 la face ADHE. »

Propriété

Section d'un parallélépipède rectangle

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle isométrique à cette face : mêmes dimensions, même aire.

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan contenant une arête est un rectangle. Un de ses côtés est cette arête ; l'autre est un segment oblique tracé sur une face, hypoténuse d'un triangle rectangle : on le calcule par le théorème de Pythagore. Quand le plan contient aussi l'arête opposée, ce côté est la diagonale d'une face.

Un plan qui contient l’arête [AE] : la section ACGE est un rectangle.

parallèle à une face

P

parallèle à

(ADHE) \ \Longrightarrow\ IJKL

est un rectangle isométrique à

ADHE

le côté oblique de la section ACGE

AC^2 = AB^2 + BC^2

Exemple traité

Un parallélépipède rectangle a pour face du dessous $ABCD$ et pour face du dessus $EFGH,$ avec $AB = 8$ cm, $AD = 6$ cm et $AE = 5$ cm. On le coupe par le plan qui contient les arêtes verticales $[AE]$ et $[CG].$ Calculer les dimensions et l'aire de la section $ACGE.$

1
La nature
Le plan contient l'arête $[AE]$ : la section $ACGE$ est un rectangle. Un de ses côtés est l'arête $[AE],$ de longueur $5$ cm.
2
Le côté $AC$
$[AC]$ est la diagonale de la face du dessous $ABCD.$ Le triangle $ABC$ est rectangle en $B,$ avec $BC = AD = 6$ cm : le théorème de Pythagore donne sa longueur.
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100$ donc $AC = 10$ cm
3
L'aire
$\text{aire}(ACGE) = AC \times AE = 10 \times 5$

\text{aire}(ACGE) = 50 \text{ cm}^2

L’erreur à ne pas faire

La section par un plan parallèle à une face est un rectangle plus petit que cette face.Elle est isométrique à cette face : mêmes dimensions.
Le pavé a la même épaisseur partout : où que l'on coupe parallèlement à une face, on retrouve exactement cette face. Seules la pyramide et le cône rétrécissent vers leur sommet.
La section $ACGE$ est isométrique à la face $ABFE.$ $ACGE$ a pour côtés l'arête $[AE]$ et la diagonale $[AC]$ de la face $ABCD.$
Un plan qui contient une arête sans être une face coupe le pavé en biais : son côté oblique, $AC = 10$ cm, est plus long que l'arête $AB = 8$ cm.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz 7alet. Ki le plan parallèle à une face, el section rectangle isométrique à la face : nafs les dimensions bedhabt. Ki le plan contient une arête, el section rectangle zeda, ama el côté le5or mayel, marsoum 3la une face, w na7sbouh b Pythagore. »

Activité

Trancher une pyramide

$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ ; sa base $ABCD$ est un carré de côté $12$ cm de centre $O,$ et sa hauteur $SO$ mesure $18$ cm. On la coupe par un plan $P$ parallèle à la base, à $12$ cm du sommet. Le plan $P$ coupe $[SA]$ en $A'$ et $[SO]$ en $O'.$

1.Explique pourquoi $P$ coupe aussi les arêtes $[SB],$ $[SC]$ et $[SD],$ en des points $B',$ $C'$ et $D'.$
2.Pourquoi $(A'O')$ est-elle parallèle à $(AO)$ ? Déduis-en la valeur du rapport $\dfrac{SA'}{SA}.$
3.Justifie que $A'B'C'D'$ est un carré. Quelle est la longueur de son côté ?
4.Quelle fraction de l'aire de la base l'aire de la section représente-t-elle ?

La section A’B’C’D’ est parallèle à la base ABCD.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« El plan P parallèle à la base, donc y9oss koll arête bin S w la base. Fi le triangle SAO, (A'O') parallèle à (AO) : hedha Thalès. SA'/SA = SO'/SO, ya3ni 12/18, 2/3. W nafs el rapport 3la koll côté : el section carré, w le côté mte3ou 12 × 2/3, 8 cm. »

Propriété

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que la base : un triangle pour un tétraèdre, un carré pour une base carrée, un hexagone pour une base hexagonale.

Plus précisément, c'est une réduction de la base. Si le plan coupe la hauteur $[SO]$ en $O',$ le coefficient de réduction est $k = \dfrac{SO'}{SO},$ et chaque côté de la section vaut $k$ fois le côté correspondant de la base. Le rapport se lit depuis le sommet : c'est la distance du sommet au plan de coupe, divisée par la hauteur.

le coefficient de réduction

k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{A'B'}{AB}

Exemple traité

$SABCD$ est une pyramide à base carrée de côté $10$ cm et de hauteur $SO = 15$ cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à $9$ cm du sommet. Calculer le côté de la section, puis son aire.

1
Le coefficient
La distance se compte depuis le sommet : $SO' = 9$ cm.
$k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$
2
Le côté
La section est un carré, réduction de la base.
$A'B' = \dfrac{3}{5} \times 10 = 6$ cm
3
L'aire
$\text{aire}(A'B'C'D') = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$

\text{aire}(A'B'C'D') = 6^2 = 36 \text{ cm}^2

L’erreur à ne pas faire

$k = \dfrac{6}{15},$ avec la distance du plan à la base $k = \dfrac{9}{15}$ : la distance se compte depuis le sommet
La petite pyramide a le même sommet $S$ que la grande : c'est depuis $S$ que tout se réduit. La distance à la base donne la hauteur du tronc, pas celle de la petite pyramide.
La section a la même aire que la base, comme pour le pavé.La section est une réduction de la base, de coefficient $k < 1.$
Les arêtes latérales se rapprochent en montant vers $S$ : plus on coupe près du sommet, plus la section est petite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base : un polygone de même nature que la base. Base carrée, section carrée. Ama asghar : une réduction, w le coefficient k = SO'/SO. Dima tebda men le sommet. »

Activité

Trancher un cône

Un cône de révolution de sommet $S$ et de hauteur $h$ a pour base le cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $R.$ On le coupe par un plan $P$ parallèle à la base, à la distance $d$ du sommet.

1.La droite $(SO)$ est perpendiculaire à la base. Justifie qu'elle est aussi perpendiculaire à $P,$ en un point $O'$ tel que $SO' = d.$
2.Soit $M$ un point de la section. La droite $(SM)$ coupe le cercle $(C)$ en $N.$ Explique pourquoi $(O'M)$ et $(ON)$ sont parallèles.
3.Exprime $O'M$ en fonction de $R,$ $d$ et $h.$
4. $O'M$ dépend-il du point $M$ choisi ? Déduis-en la nature de la section.

Dans le triangle SON, la droite (O’M) est parallèle à (ON).

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« N9ossou le cône b un plan parallèle à la base. Nekhdhou un point M mel section, w la droite (SM) tousel lel cercle fi N. Fi le triangle SON, (O'M) parallèle à (ON), donc Thalès : O'M/ON = SO'/SO. Ya3ni O'M = R × d/h. W hedha ma yetbaddelch ki nbaddlou M : les points el kol 3la nafs el distance men O'. Donc el section cercle. »

Propriété

Section d'un cylindre, section d'un cône

La section d'un cylindre par un plan parallèle à une base est un cercle de même rayon que la base : le cylindre a la même largeur à toutes les hauteurs.

La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un cercle, centré sur l'axe $(SO).$ Si le cône a pour hauteur $h$ et pour rayon de base $R,$ et si le plan est à la distance $d$ du sommet, le rayon de la section est $r = R \times \dfrac{d}{h}.$

La section d’un cylindre parallèle à la base a le même rayon R.

cylindre

r = R

cône, à la distance d du sommet

r = R \times \dfrac{d}{h}

Exemple traité

Un abat-jour a la forme d'un cône de révolution dont on a coupé la pointe par un plan parallèle à la base. Le cercle du haut a pour rayon $O'A' = 15$ cm, celui du bas $OA = 20$ cm, et le côté de l'abat-jour mesure $AA' = 25$ cm, avec $A'$ sur $[SA].$ Calculer la longueur $SA$ de la génératrice du cône entier, puis l'aire du tissu de l'abat-jour en fonction de $\pi.$

1
Des parallèles
Le plan de coupe est parallèle à la base, donc $(O'A')$ est parallèle à $(OA).$ Le théorème de Thalès dans le triangle $SOA,$ lu depuis le sommet $S,$ donne l'égalité des rapports.
$\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{O'A'}{OA} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}$
2
Une équation
Comme $A'$ est sur $[SA],$ on a $SA' = SA - 25.$
$\dfrac{SA - 25}{SA} = \dfrac{3}{4} \iff 4\,(SA - 25) = 3\,SA$
3
$4\,SA - 100 = 3\,SA \iff SA = 100$ cm
4
Le tissu
Le tissu est la surface latérale du grand cône, privée de celle du petit cône de sommet $S$ : rayon $15$ cm et génératrice $SA' = 100 - 25 = 75$ cm. L'aire latérale d'un cône est $\pi$ fois le rayon fois la génératrice.
$\pi \times 20 \times 100 - \pi \times 15 \times 75 = 2000\pi - 1125\pi$

aire du tissu

= 875\pi \approx 2749

^2

L’erreur à ne pas faire

La section d'un cône parallèle à sa base est un cercle de même rayon que la base.C'est un cercle de rayon $r = R \times \dfrac{d}{h},$ plus petit que $R.$
« Même rayon », c'est le cylindre. Le cône se resserre vers son sommet : plus on coupe près de $S,$ plus le cercle est petit.
$\dfrac{25}{SA} = \dfrac{15}{20}$ $\dfrac{SA - 25}{SA} = \dfrac{15}{20}$
$25$ cm, c'est $AA',$ le morceau de génératrice entre les deux cercles. Le rapport de Thalès se lit toujours depuis le sommet $S$ : c'est $SA'$ qu'il faut.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le cylindre, nafs el 3ordh men louta lel fou9 : el section cercle de même rayon. Le cône yedhya9 ki notl3ou lel sommet : el section cercle zeda, ama le rayon = R × d/h, w d hiya la distance du plan au sommet. W Thalès dima men le sommet S : n9arnou les longueurs men S, mouch le morceau elli bin les deux cercles. »

Propriété

Couper parallèlement à la base, c'est réduire

Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, le petit solide du côté du sommet est une réduction du grand, de coefficient $k = \dfrac{SO'}{SO},$ avec $0 < k < 1.$

Dans une réduction de coefficient $k$ : - les longueurs sont multipliées par $k$ ; - les aires sont multipliées par $k^2$ ; - les volumes sont multipliés par $k^3.$

L'autre morceau, entre la section et la base, s'appelle un tronc de pyramide ou de cône : son volume est la différence des deux volumes.

Les mêmes règles valent pour un agrandissement, de coefficient $k > 1$ : doubler toutes les longueurs d'un solide multiplie ses aires par $4$ et son volume par $8$ — pas par $2.$

Le liquide est un cône réduit, de même sommet que le verre.

longueur réduite

= k \times

longueur

aire réduite

= k^2 \times

aire

volume réduit

= k^3 \times

volume

Exemple traité

Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas, et contient $1$ litre, soit $1000 \text{ cm}^3.$ On le remplit jusqu'aux trois cinquièmes de sa hauteur. Quel est le volume du liquide ?

1
Le coefficient
Le liquide forme un petit cône de même sommet que le verre. Sa hauteur est les trois cinquièmes de celle du verre.
$k = \dfrac{3}{5}$
2
Le volume
Un volume se multiplie par $k^3,$ pas par $k.$
$V' = \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 \times 1000 = \dfrac{27}{125} \times 1000$

V' = 216 \text{ cm}^3

L’erreur à ne pas faire

Rempli aux $\dfrac{3}{5}$ de sa hauteur, le verre contient les $\dfrac{3}{5}$ de son volume, soit $600 \text{ cm}^3.$ Il en contient $\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{27}{125},$ soit $216 \text{ cm}^3.$
Le petit cône est réduit dans les trois directions à la fois : en hauteur, mais aussi en largeur et en profondeur. D'où le cube — et un verre qui paraît plus plein qu'il ne l'est.
L'aire de la section vaut $k$ fois l'aire de la base.L'aire de la section vaut $k^2$ fois l'aire de la base.
Une aire a deux dimensions, et chacune est multipliée par $k.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi ahamm 7aja fil chapitre. El petit solide, une réduction de coefficient k. Les longueurs fois k, les aires fois k², les volumes fois k³. Kès m3abbi l 3/5 de sa hauteur ? Mouch 3/5 du volume : (3/5)³, 27/125, ma yousselch 7atta lel moitié ! »

Activité

Trancher une sphère

Une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est coupée par un plan $P$ situé à la distance $d$ de $O,$ avec $d < R.$ On note $O'$ le point de $P$ tel que $(OO')$ est perpendiculaire à $P$ : ainsi $OO' = d.$ Soit $M$ un point de la section.

1.Quelle est la nature du triangle $OO'M$ ? Justifie.
2.Exprime $O'M$ en fonction de $R$ et de $d.$
3.Déduis-en la nature de la section.
4.Application. Une sphère de rayon $25$ cm est coupée par un plan à $20$ cm de son centre. Calcule le rayon $r$ de la section.

Le triangle OO’M est rectangle en O’.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« (OO') perpendiculaire au plan P, donc perpendiculaire à (O'M) : le triangle OO'M rectangle en O'. OM = R, khater M 3la la sphère. Pythagore : O'M² = R² − d². Nafs el distance l koll point M : el section cercle de centre O'. W fil application : 25² − 20², 225, w la racine carrée ta3ti 15. »

Propriété

Section d'une sphère par un plan

La section d'une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan situé à la distance $d$ de $O,$ avec $d < R,$ est un cercle. Son centre est le point $O'$ du plan tel que $(OO')$ est perpendiculaire au plan, et son rayon est $r = \sqrt{R^2 - d^2}.$

Si le plan passe par le centre, $d = 0$ : la section est un cercle de rayon $R,$ qu'on appelle un grand cercle de la sphère. Si $d = R,$ le plan ne touche la sphère qu'en un point ; si $d > R,$ il ne la rencontre pas.

rayon de la section

r = \sqrt{R^2 - d^2}

grand cercle

d = 0 \ \Longrightarrow\ r = R

Exemple traité

Une sphère a pour rayon $R = 10$ cm. On la coupe par un plan à $6$ cm de son centre. Calculer le rayon de la section, puis l'aire du disque de section en fonction de $\pi.$

1
Pythagore
Le triangle $OO'M$ est rectangle en $O',$ et son hypoténuse $[OM]$ est un rayon de la sphère.
$r^2 = R^2 - d^2 = 10^2 - 6^2 = 64$
2
$r = \sqrt{64} = 8$ cm
3
L'aire du disque
$\pi r^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi \text{ cm}^2$

\text{aire} = 64\pi \approx 201 \text{ cm}^2

L’erreur à ne pas faire

$r = R - d = 10 - 6 = 4$ cm $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm
Le rayon de la sphère, la distance au centre et le rayon de la section sont les côtés d'un triangle rectangle : ce ne sont pas les longueurs qui se soustraient, ce sont leurs carrés.
$r^2 = R^2 + d^2$ $r^2 = R^2 - d^2$
L'hypoténuse du triangle $OO'M$ est $[OM],$ un rayon de la sphère : $R$ est le plus grand des trois, et la section n'est jamais plus grande qu'un grand cercle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La section d'une sphère par un plan à la distance d du centre, avec d < R : un cercle. Le centre O', w le rayon r = √(R² − d²). Ki le plan passe par le centre, d = 0, w nal9aw le grand cercle, de rayon R. W radd belek : R − d, ghalet. Na7iw les carrés, mouch les longueurs. »

Application

Cinq boules empilées

Quatre boules de rayon $10$ cm sont posées sur une table, de sorte que leurs centres $A,$ $B,$ $C,$ $D$ forment un carré de côté $20$ cm. Une cinquième boule, de même rayon, est posée sur elles et les touche toutes les quatre. À quelle distance de la table se trouve son centre $S$ ?

Stratégie. Les centres des cinq boules forment une pyramide $SABCD$ : on calcule sa hauteur, puis on ajoute la distance du plan des centres à la table.

Les centres des cinq boules forment une pyramide régulière SABCD.

Exemple traité

Calculer la hauteur $SH$ de la pyramide $SABCD,$ où $H$ est le centre du carré $ABCD,$ puis la distance du centre $S$ à la table.

1
Les arêtes
Deux boules qui se touchent ont leurs centres à $10 + 10 = 20$ cm l'un de l'autre. Donc $SA = SB = SC = SD = 20$ cm : la pyramide est régulière, et son sommet $S$ est au-dessus du centre $H$ du carré.
2
La demi-diagonale
La diagonale d'un carré de côté $20$ cm mesure $20\sqrt{2}$ cm, et $H$ en est le milieu.
$AH = \dfrac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$
3
La hauteur
Le triangle $SHA$ est rectangle en $H$ : théorème de Pythagore.
$SH^2 = SA^2 - AH^2 = 400 - 200 = 200$ donc $SH = 10\sqrt{2}$
4
La table
Les centres $A,$ $B,$ $C,$ $D$ sont à $10$ cm au-dessus de la table : c'est le rayon des boules posées.
$10 + 10\sqrt{2} \approx 24{,}1$ cm

10 + 10\sqrt{2} \approx 24{,}1

L’erreur à ne pas faire

La distance cherchée est la hauteur $SH = 10\sqrt{2}$ cm.Il faut ajouter $10$ cm : la distance est $10 + 10\sqrt{2}$ cm.
$SH$ se mesure depuis le plan des centres $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ qui est à un rayon au-dessus de la table.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz boules ki ymassou b3adhhom, bin les centres 20 cm. Les centres ya3mlou une pyramide régulière. La hauteur b Pythagore fi le triangle SHA : 400 − 200, 200, w la racine carrée ta3ti 10√2. W ma tensech : les centres A, B, C, D fou9 la table b 10 cm. »

Méthode

Devant une section : trois questions

1.Comment le plan est-il placé ? Parallèle à une face ou à la base, contenant une arête, passant par le centre : c'est ce qui décide de la nature de la section. Pavé coupé parallèlement à une face, ou par un plan qui contient une arête : un rectangle. Pyramide coupée parallèlement à la base : le même polygone que la base. Cylindre et cône coupés parallèlement à la base : un cercle. Sphère coupée par un plan à la distance $d < R$ de son centre : un cercle.
2.Dans quel triangle calculer ? On ne calcule jamais dans le solide entier, mais dans un triangle plan. Un triangle rectangle pour Pythagore — diagonale d'une face, rayon de la section d'une sphère. Un triangle issu du sommet pour Thalès — pyramide et cône.
3.Faut-il un coefficient ? Pour une pyramide ou un cône coupés parallèlement à la base, $k = \dfrac{SO'}{SO}$ se lit depuis le sommet ; puis les longueurs se multiplient par $k,$ les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9oddem ay section, 3 questions. Awel 7aja : le plan kifech m7atout ? Hedha ya3tik la nature. Ba3d : fi ama triangle na7sbou ? Triangle rectangle l Pythagore, walla triangle men le sommet l Thalès. W fil le5er : pyramide walla cône ? Jib k men le sommet, w ba3d k, k au carré, k au cube. »

À retenir

1.
Prisme droit : $V = B \times h.$ Cylindre : $V = \pi R^2 h.$ Pyramide et cône : $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h.$ Boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ; sphère : aire $4\pi R^2.$
2.
Un plan qui coupe deux plans parallèles les coupe suivant deux droites parallèles.
3.
Pavé coupé parallèlement à une face : un rectangle isométrique à cette face. Coupé par un plan contenant une arête : un rectangle.
4.
Pyramide coupée parallèlement à la base : un polygone de même nature que la base.
5.
Cylindre coupé parallèlement à une base : un cercle de même rayon. Cône coupé parallèlement à la base, à la distance $d$ du sommet : un cercle de rayon $R \times \dfrac{d}{h}.$
6.
Sphère coupée par un plan à la distance $d < R$ du centre : un cercle de rayon $\sqrt{R^2 - d^2},$ grand cercle si le plan passe par le centre.
7.
Réduction de coefficient $k = \dfrac{SO'}{SO}$ : longueurs $\times\, k,$ aires $\times\, k^2,$ volumes $\times\, k^3.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/27

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Entraînement: —
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Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Calculer le volume d'un prisme droit, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône de révolution et d'une boule
Justifier que deux droites sont parallèles quand un plan coupe deux plans parallèles
Reconnaître la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou contenant une arête
Reconnaître et calculer la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base
Calculer le rayon de la section d'une sphère : $r = \sqrt{R^2 - d^2}$
Utiliser le coefficient de réduction $k$ : longueurs multipliées par $k$ , aires par $k^2$ , volumes par $k^3$

Les solides usuels

Avant de couper un solide, il faut savoir le lire. Pour chacun des trois solides suivants, donne le nombre de faces et de sommets, le volume et l'aire totale.

Un cube d'arête $a$ .
Un parallélépipède rectangle — on dit aussi un pavé droit — de dimensions $a$ , $b$ et $c$ .
Un cylindre de révolution de rayon $R$ et de hauteur $h$ . Il n'a ni sommet ni arête : deux bases qui sont des disques, et une surface latérale.

Pour l'aire latérale du cylindre, déroule-la à plat : c'est un rectangle de hauteur $h$ dont la longueur est le périmètre $2\pi R$ de la base.

Un parallélépipède rectangle : les arêtes cachées sont en pointillés.

V = a^3 \quad ; \quad \text{aire} = 6a^2

V = a \times b \times c \quad ; \quad \text{aire} = 2(ab + bc + ca)

V = \pi R^2 h \quad ; \quad \text{aire} = 2\pi R h + 2\pi R^2

Prisme droit et pyramide : le volume

Un prisme droit a deux bases superposables, l'une au-dessus de l'autre, et des faces latérales qui sont des rectangles. Le cube et le pavé droit en sont des cas particuliers.

Une pyramide a une base polygonale et un sommet $S$ relié à tous les sommets de la base : ses faces latérales sont des triangles. Sa hauteur est la distance de $S$ au plan de la base. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

En notant $B$ l'aire de la base et $h$ la hauteur :

La hauteur [SO] tombe sur la base ; l’arête [SA] est oblique.

V_{\text{prisme}} = B \times h

V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times B \times h

Le piège

$V_{\text{pyramide}} = B \times h$

$V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times B \times h$

Une pyramide qui a la même base et la même hauteur qu'un prisme n'en remplit que le tiers. Oublier le facteur un tiers triple le volume.

Le piège

La hauteur d'une pyramide est la longueur d'une arête latérale.

La hauteur est la distance du sommet $S$ au plan de la base.

L'arête $[SA]$ est oblique : elle est plus longue que la hauteur $[SO]$ , qui tombe perpendiculairement sur la base.

Sphère et boule

La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance $R$ de $O$ . C'est une surface, comme la peau d'un ballon.

La boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à $R$ de $O$ . C'est le solide plein : le ballon avec tout ce qu'il contient.

On calcule donc l'aire d'une sphère et le volume d'une boule.

Tous les points de la sphère sont à la distance R du centre O.

\text{aire de la sphère} = 4\pi R^2

\text{volume de la boule} = \dfrac{4}{3}\pi R^3

Le piège

$R = 50$ cm, donc l'aire vaut $4\pi \times 50^2$ .

$R = 25$ cm, donc l'aire vaut $4\pi \times 25^2$ .

Les formules parlent du rayon. Avec le diamètre, l'aire serait multipliée par $4$ et le volume par $8$ .

Le cône de révolution

Fais tourner un triangle $SOA$ rectangle en $O$ autour de la droite $(SO)$ : il engendre un cône de révolution. Le point $S$ est son sommet, le disque de centre $O$ et de rayon $R = OA$ est sa base, $h = SO$ est sa hauteur, et le segment $[SA]$ est une génératrice.

Le triangle $SOA$ reste rectangle en $O$ : la longueur $\ell = SA$ d'une génératrice se calcule par le théorème de Pythagore.

Mis à plat, la surface latérale du cône est une portion de disque de rayon $\ell$ : la longueur de son arc est le périmètre $2\pi R$ de la base, et son angle mesure $a = 360 \times \dfrac{R}{\ell}$ degrés. Son aire, la fraction $\dfrac{a}{360}$ du disque de rayon $\ell$ , est l'aire latérale du cône : $\dfrac{a}{360} \times \pi \ell^2 = \pi R \ell$ .

Le triangle SOA, rectangle en O, engendre le cône en tournant autour de (SO).

V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times B \times h = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h

SA^2 = SO^2 + OA^2

a = 360 \times \dfrac{R}{\ell}

\text{aire latérale} = \pi R \ell

Le piège

La génératrice $SA$ est la hauteur du cône.

La hauteur est $SO$ ; la génératrice $SA$ est l'hypoténuse du triangle $SOA$ .

Dans le triangle rectangle $SOA$ , l'hypoténuse $[SA]$ est le plus long côté : une génératrice est toujours plus longue que la hauteur.

Deux plans parallèles et un troisième

Dans l'espace, deux plans sont parallèles quand ils n'ont aucun point commun, ou quand ils sont confondus.

Sur la figure, les plans $P$ et $Q$ sont parallèles et distincts. Un troisième plan $H$ coupe $P$ suivant la droite $D$ .

Explique pourquoi $H$ coupe aussi $Q$ , suivant une droite qu'on note $D'$ .
Les droites $D$ et $D'$ sont dans un même plan, $H$ . Peuvent-elles avoir un point commun ? Déduis-en qu'elles sont parallèles.
Justifie que la droite $D$ est parallèle au plan $Q$ .

Une dernière remarque, qui servira à chaque section : une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan ; et si elle est perpendiculaire à $P$ , elle l'est aussi à tout plan parallèle à $P$ .

Le plan H coupe les plans parallèles P et Q suivant deux droites parallèles.

Un plan coupe deux plans parallèles

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe aussi l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.

P \text{ parallèle à } Q \ \text{et} \ H \cap P = D \ \Longrightarrow\ H \cap Q = D' \text{, parallèle à } D

Le piège

Deux droites de l'espace qui ne se coupent pas sont parallèles.

Deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles si elles sont dans un même plan.

Dans l'espace, deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles : dans un pavé, l'arête $[AB]$ de la face du dessous et l'arête verticale $[CG]$ en sont un exemple.

Trancher un pavé

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle : $ABCD$ est la face du dessous, $EFGH$ celle du dessus, et $[AE]$ , $[BF]$ , $[CG]$ , $[DH]$ sont les arêtes verticales.

Première coupe. Par un point $I$ de l'arête $[DC]$ , on mène le plan $P$ parallèle à la face $ADHE$ . Il coupe $[AB]$ en $J$ , $[EF]$ en $K$ et $[HG]$ en $L$ .

En utilisant les faces opposées du pavé, montre que $IJKL$ est un parallélogramme.
Pourquoi l'angle en $J$ est-il droit ? Quelle est la nature de $IJKL$ ?
Compare $IJ$ avec $AD$ , et $JK$ avec $AE$ .

Deuxième coupe. On coupe maintenant le pavé par le plan qui contient les deux arêtes verticales $[AE]$ et $[CG]$ .

Quelle est la nature de la section $ACGE$ ? Ses côtés $[AE]$ et $[AC]$ ont-ils la même longueur ?

La section IJKL, parallèle à la face ADHE.

Section d'un parallélépipède rectangle

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle isométrique à cette face : mêmes dimensions, même aire.

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan contenant une arête est un rectangle. Un de ses côtés est cette arête ; l'autre est un segment oblique tracé sur une face, hypoténuse d'un triangle rectangle : on le calcule par le théorème de Pythagore. Quand le plan contient aussi l'arête opposée, ce côté est la diagonale d'une face.

Un plan qui contient l’arête [AE] : la section ACGE est un rectangle.

P \text{ parallèle à } (ADHE) \ \Longrightarrow\ IJKL \text{ est un rectangle isométrique à } ADHE

AC^2 = AB^2 + BC^2

Le piège

La section par un plan parallèle à une face est un rectangle plus petit que cette face.

Elle est isométrique à cette face : mêmes dimensions.

Le pavé a la même épaisseur partout : où que l'on coupe parallèlement à une face, on retrouve exactement cette face. Seules la pyramide et le cône rétrécissent vers leur sommet.

Le piège

La section $ACGE$ est isométrique à la face $ABFE$ .

$ACGE$ a pour côtés l'arête $[AE]$ et la diagonale $[AC]$ de la face $ABCD$ .

Un plan qui contient une arête sans être une face coupe le pavé en biais : son côté oblique, $AC = 10$ cm, est plus long que l'arête $AB = 8$ cm.

Trancher une pyramide

$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ ; sa base $ABCD$ est un carré de côté $12$ cm de centre $O$ , et sa hauteur $SO$ mesure $18$ cm. On la coupe par un plan $P$ parallèle à la base, à $12$ cm du sommet. Le plan $P$ coupe $[SA]$ en $A'$ et $[SO]$ en $O'$ .

Explique pourquoi $P$ coupe aussi les arêtes $[SB]$ , $[SC]$ et $[SD]$ , en des points $B'$ , $C'$ et $D'$ .
Pourquoi $(A'O')$ est-elle parallèle à $(AO)$ ? Déduis-en la valeur du rapport $\dfrac{SA'}{SA}$ .
Justifie que $A'B'C'D'$ est un carré. Quelle est la longueur de son côté ?
Quelle fraction de l'aire de la base l'aire de la section représente-t-elle ?

La section A’B’C’D’ est parallèle à la base ABCD.

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que la base : un triangle pour un tétraèdre, un carré pour une base carrée, un hexagone pour une base hexagonale.

Plus précisément, c'est une réduction de la base. Si le plan coupe la hauteur $[SO]$ en $O'$ , le coefficient de réduction est $k = \dfrac{SO'}{SO},$ et chaque côté de la section vaut $k$ fois le côté correspondant de la base. Le rapport se lit depuis le sommet : c'est la distance du sommet au plan de coupe, divisée par la hauteur.

k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{A'B'}{AB}

Le piège

$k = \dfrac{6}{15}$ , avec la distance du plan à la base

$k = \dfrac{9}{15}$ : la distance se compte depuis le sommet

La petite pyramide a le même sommet $S$ que la grande : c'est depuis $S$ que tout se réduit. La distance à la base donne la hauteur du tronc, pas celle de la petite pyramide.

Le piège

La section a la même aire que la base, comme pour le pavé.

La section est une réduction de la base, de coefficient $k < 1$ .

Les arêtes latérales se rapprochent en montant vers $S$ : plus on coupe près du sommet, plus la section est petite.

Trancher un cône

Un cône de révolution de sommet $S$ et de hauteur $h$ a pour base le cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $R$ . On le coupe par un plan $P$ parallèle à la base, à la distance $d$ du sommet.

La droite $(SO)$ est perpendiculaire à la base. Justifie qu'elle est aussi perpendiculaire à $P$ , en un point $O'$ tel que $SO' = d$ .
Soit $M$ un point de la section. La droite $(SM)$ coupe le cercle $(C)$ en $N$ . Explique pourquoi $(O'M)$ et $(ON)$ sont parallèles.
Exprime $O'M$ en fonction de $R$ , $d$ et $h$ .
$O'M$ dépend-il du point $M$ choisi ? Déduis-en la nature de la section.

Dans le triangle SON, la droite (O’M) est parallèle à (ON).

Section d'un cylindre, section d'un cône

La section d'un cylindre par un plan parallèle à une base est un cercle de même rayon que la base : le cylindre a la même largeur à toutes les hauteurs.

La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un cercle, centré sur l'axe $(SO)$ . Si le cône a pour hauteur $h$ et pour rayon de base $R$ , et si le plan est à la distance $d$ du sommet, le rayon de la section est $r = R \times \dfrac{d}{h}.$

La section d’un cylindre parallèle à la base a le même rayon R.

r = R

r = R \times \dfrac{d}{h}

Le piège

La section d'un cône parallèle à sa base est un cercle de même rayon que la base.

C'est un cercle de rayon $r = R \times \dfrac{d}{h}$ , plus petit que $R$ .

« Même rayon », c'est le cylindre. Le cône se resserre vers son sommet : plus on coupe près de $S$ , plus le cercle est petit.

Le piège

$\dfrac{25}{SA} = \dfrac{15}{20}$

$\dfrac{SA - 25}{SA} = \dfrac{15}{20}$

$25$ cm, c'est $AA'$ , le morceau de génératrice entre les deux cercles. Le rapport de Thalès se lit toujours depuis le sommet $S$ : c'est $SA'$ qu'il faut.

Couper parallèlement à la base, c'est réduire

Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, le petit solide du côté du sommet est une réduction du grand, de coefficient $k = \dfrac{SO'}{SO}$ , avec $0 < k < 1$ .

Dans une réduction de coefficient $k$ : - les longueurs sont multipliées par $k$ ; - les aires sont multipliées par $k^2$ ; - les volumes sont multipliés par $k^3$ .

L'autre morceau, entre la section et la base, s'appelle un tronc de pyramide ou de cône : son volume est la différence des deux volumes.

Les mêmes règles valent pour un agrandissement, de coefficient $k > 1$ : doubler toutes les longueurs d'un solide multiplie ses aires par $4$ et son volume par $8$ — pas par $2$ .

Le liquide est un cône réduit, de même sommet que le verre.

\text{longueur réduite} = k \times \text{longueur}

\text{aire réduite} = k^2 \times \text{aire}

\text{volume réduit} = k^3 \times \text{volume}

Le piège

Rempli aux $\dfrac{3}{5}$ de sa hauteur, le verre contient les $\dfrac{3}{5}$ de son volume, soit $600 \text{ cm}^3$ .

Il en contient $\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{27}{125}$ , soit $216 \text{ cm}^3$ .

Le petit cône est réduit dans les trois directions à la fois : en hauteur, mais aussi en largeur et en profondeur. D'où le cube — et un verre qui paraît plus plein qu'il ne l'est.

Le piège

L'aire de la section vaut $k$ fois l'aire de la base.

L'aire de la section vaut $k^2$ fois l'aire de la base.

Une aire a deux dimensions, et chacune est multipliée par $k$ .

Trancher une sphère

Une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est coupée par un plan $P$ situé à la distance $d$ de $O$ , avec $d < R$ . On note $O'$ le point de $P$ tel que $(OO')$ est perpendiculaire à $P$ : ainsi $OO' = d$ . Soit $M$ un point de la section.

Quelle est la nature du triangle $OO'M$ ? Justifie.
Exprime $O'M$ en fonction de $R$ et de $d$ .
Déduis-en la nature de la section.
Application. Une sphère de rayon $25$ cm est coupée par un plan à $20$ cm de son centre. Calcule le rayon $r$ de la section.

Le triangle OO’M est rectangle en O’.

Section d'une sphère par un plan

La section d'une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan situé à la distance $d$ de $O$ , avec $d < R$ , est un cercle. Son centre est le point $O'$ du plan tel que $(OO')$ est perpendiculaire au plan, et son rayon est $r = \sqrt{R^2 - d^2}.$

Si le plan passe par le centre, $d = 0$ : la section est un cercle de rayon $R$ , qu'on appelle un grand cercle de la sphère. Si $d = R$ , le plan ne touche la sphère qu'en un point ; si $d > R$ , il ne la rencontre pas.

r = \sqrt{R^2 - d^2}

d = 0 \ \Longrightarrow\ r = R

Le piège

$r = R - d = 10 - 6 = 4$ cm

$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm

Le rayon de la sphère, la distance au centre et le rayon de la section sont les côtés d'un triangle rectangle : ce ne sont pas les longueurs qui se soustraient, ce sont leurs carrés.

Le piège

$r^2 = R^2 + d^2$

$r^2 = R^2 - d^2$

L'hypoténuse du triangle $OO'M$ est $[OM]$ , un rayon de la sphère : $R$ est le plus grand des trois, et la section n'est jamais plus grande qu'un grand cercle.

Cinq boules empilées

Quatre boules de rayon $10$ cm sont posées sur une table, de sorte que leurs centres $A$ , $B$ , $C$ , $D$ forment un carré de côté $20$ cm. Une cinquième boule, de même rayon, est posée sur elles et les touche toutes les quatre. À quelle distance de la table se trouve son centre $S$ ?

Stratégie. Les centres des cinq boules forment une pyramide $SABCD$ : on calcule sa hauteur, puis on ajoute la distance du plan des centres à la table.

Les centres des cinq boules forment une pyramide régulière SABCD.

Le piège

La distance cherchée est la hauteur $SH = 10\sqrt{2}$ cm.

Il faut ajouter $10$ cm : la distance est $10 + 10\sqrt{2}$ cm.

$SH$ se mesure depuis le plan des centres $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , qui est à un rayon au-dessus de la table.

Devant une section : trois questions

Comment le plan est-il placé ? Parallèle à une face ou à la base, contenant une arête, passant par le centre : c'est ce qui décide de la nature de la section. Pavé coupé parallèlement à une face, ou par un plan qui contient une arête : un rectangle. Pyramide coupée parallèlement à la base : le même polygone que la base. Cylindre et cône coupés parallèlement à la base : un cercle. Sphère coupée par un plan à la distance $d < R$ de son centre : un cercle.
Dans quel triangle calculer ? On ne calcule jamais dans le solide entier, mais dans un triangle plan. Un triangle rectangle pour Pythagore — diagonale d'une face, rayon de la section d'une sphère. Un triangle issu du sommet pour Thalès — pyramide et cône.
Faut-il un coefficient ? Pour une pyramide ou un cône coupés parallèlement à la base, $k = \dfrac{SO'}{SO}$ se lit depuis le sommet ; puis les longueurs se multiplient par $k$ , les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ .

À retenir

Prisme droit : $V = B \times h$ . Cylindre : $V = \pi R^2 h$ . Pyramide et cône : $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ . Boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ; sphère : aire $4\pi R^2$ .
Un plan qui coupe deux plans parallèles les coupe suivant deux droites parallèles.
Pavé coupé parallèlement à une face : un rectangle isométrique à cette face. Coupé par un plan contenant une arête : un rectangle.
Pyramide coupée parallèlement à la base : un polygone de même nature que la base.
Cylindre coupé parallèlement à une base : un cercle de même rayon. Cône coupé parallèlement à la base, à la distance $d$ du sommet : un cercle de rayon $R \times \dfrac{d}{h}$ .
Sphère coupée par un plan à la distance $d < R$ du centre : un cercle de rayon $\sqrt{R^2 - d^2}$ , grand cercle si le plan passe par le centre.
Réduction de coefficient $k = \dfrac{SO'}{SO}$ : longueurs $\times\, k$ , aires $\times\, k^2$ , volumes $\times\, k^3$ .

Ce qu’il t’explique

Les solides usuels

Prisme droit et pyramide : le volume

Sphère et boule

Le cône de révolution

Deux plans parallèles et un troisième

Un plan coupe deux plans parallèles

Trancher un pavé

Section d'un parallélépipède rectangle

Trancher une pyramide

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Trancher un cône

Section d'un cylindre, section d'un cône

Couper parallèlement à la base, c'est réduire

Trancher une sphère

Section d'une sphère par un plan

Cinq boules empilées

Devant une section : trois questions

À toi, au tableau

Le volume d'une pyramide

Une tranche de pavé

Le volume d'un cube

L'aire totale d'un pavé

Le volume d'un cylindre

Un prisme à base triangulaire

Le cercle de section d'une sphère

Le cercle de section d'un cône

Le volume d'un cône

Un plan qui contient une arête

Retrouver la hauteur d'une pyramide

La base d'un tétraèdre

Le cube coupé en biais

L'aire d'une section de pyramide

La hauteur d'eau dans un aquarium

De l'aire au volume

Une boule dans une boîte cubique

De l'aire latérale au volume

Le verre aux quatre cinquièmes

Le tronc de pyramide

Le coin du cube

Fondre une boule en billes

Le cornet en demi-disque

Trois sections pour un volume

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Les solides usuels

Prisme droit et pyramide : le volume

Sphère et boule

Le cône de révolution

Deux plans parallèles et un troisième

Un plan coupe deux plans parallèles

Trancher un pavé

Section d'un parallélépipède rectangle

Trancher une pyramide

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Trancher un cône

Section d'un cylindre, section d'un cône

Couper parallèlement à la base, c'est réduire

Trancher une sphère

Section d'une sphère par un plan

Cinq boules empilées

Devant une section : trois questions

À retenir