Somme de deux vecteurs

Somme de deux vecteurs, relation de Chasles, règle du parallélogramme, vecteurs opposés, produit d'un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires, parallélisme, alignement et milieu d'un segment.

13 sections · 103 exercices

Somme de deux vecteurs

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Tu connais déjà le vecteur qui déplace un point : c'est la translation. Ici, on apprend à calculer avec les vecteurs.

Deux opérations, et elles serviront toute l'année. La première additionne deux vecteurs : bout à bout, c'est la relation de Chasles ; depuis un même point, c'est la règle du parallélogramme. La seconde multiplie un vecteur par un réel, et fait naître les vecteurs colinéaires — ceux qui démontrent que des droites sont parallèles, ou que des points sont alignés.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Construire la somme de deux vecteurs, bout à bout ou par la règle du parallélogramme

  • Simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles

  • Reconnaître deux vecteurs opposés, et caractériser le milieu d'un segment par des vecteurs

  • Construire le vecteur α AB→\alpha\,\overrightarrow{AB} et lire l'abscisse d'un point dans le repère (A,B)(A, B)

  • Reconnaître deux vecteurs colinéaires, de même sens ou de sens contraires

  • Démontrer un parallélisme ou un alignement grâce à la colinéarité

Activité

Deux translations de suite

Trois points A,A, B,B, CC et un point MM sont placés comme sur la figure.

  1. 1.Place le point M′,M', image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. 2.Place le point M′′,M'', image de M′M' par la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.
  3. 3.M′′M'' est l'image de MM par une seule translation. Quelle conjecture fais-tu sur son vecteur ?
  4. 4.Montre que AM→=BM′→=CM′′→,\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM'} = \overrightarrow{CM''}, puis compare les vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et MM′′→.\overrightarrow{MM''}.

Deux translations de suite n'en font qu'une : on dit que le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→.\overrightarrow{BC}.

ABCMM'M''
Deux translations de suite : de M à M', puis de M' à M''.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tba3ni : M yet7arrek b le vecteur AB, w ywalli M prime. Men ba3d M prime yet7arrek b le vecteur BC, w ywalli M seconde. Zouz translations wra b3adhhom, ama fel e5er M 3mal 7arka wa7da : le vecteur AC. Ya3ni le vecteur AB plus le vecteur BC égale le vecteur AC. »

Propriété

La relation de Chasles

Pour trois points A,A, BB et CC quelconques du plan, le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} : aller de AA à B,B, puis de BB à C,C, revient à aller directement de AA à C.C. C'est la relation de Chasles.

La règle se lit sur les lettres : l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Elle se lit aussi dans l'autre sens : on peut toujours insérer un point, AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} quel que soit le point B.B.

relation de ChaslesAB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Exemple traité

Simplifier la somme des vecteurs MA→,\overrightarrow{MA}, AB→\overrightarrow{AB} et BN→.\overrightarrow{BN}.

  1. 1

    Deux par deux

    Les deux premiers vecteurs s'enchaînent : l'extrémité AA du premier est l'origine du second.

    MA→+AB→=MB→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB}
  2. 2

    Il reste deux vecteurs qui s'enchaînent, cette fois en B.B.

    MB→+BN→=MN→\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}
  3. 3

    La somme des trois vecteurs se réduit donc au seul vecteur MN→.\overrightarrow{MN}.

    MA→+AB→+BN→=MN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}
MA→+AB→+BN→=MN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}

L’erreur à ne pas faire

  • AB→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} : les lettres s'enchaînent en B.B.
    Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Ici BB et CC sont deux points différents : on ne « colle » pas des lettres qui ne se touchent pas.
  • AB+BC=ACAB + BC = AC pour trois points quelconquesAB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
    La relation de Chasles porte sur les vecteurs, pas sur les longueurs. Pour les longueurs, AB+BC=ACAB + BC = AC n'est vrai que si BB est sur le segment [AC][AC] ; sinon AB+BCAB + BC est plus grand que AC.AC.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi hiya la relation de Chasles. Chouf el 7rouf : le vecteur AB plus le vecteur BC. L'extrémité du premier vecteur hiya l'origine du second : el B. Ki ytle9aw hakka, n7iw el B, w yeb9a le vecteur AC. Ama redd belek : hedha ysa77 fi les vecteurs, mouch fi les longueurs. »

Activité

Deux vecteurs de même origine

Soient AA un point du plan, et u⃗,\vec{u}, v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls. On place les points BB et DD tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD} : les deux vecteurs partent du même point A.A.

  1. 1.Construis le point CC tel que les segments [AC][AC] et [BD][BD] aient le même milieu.
  2. 2.Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ? Déduis-en que BC→=AD→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
  3. 3.Justifie l'égalité AB→+AD→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
uvABDCO
Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O.

Ce qu’on observe

Ce que donne la construction.

  1. 1

    Même milieu

    Les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu : ABCDABCD est un parallélogramme, et ses côtés opposés donnent des vecteurs égaux.

    BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
  2. 2

    Chasles

    On remplace le vecteur AD→\overrightarrow{AD} par le vecteur égal qui part de BB : les lettres s'enchaînent.

    AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
  3. 3

    La somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} est donc le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, porté par la diagonale qui part de A.A.

    AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hna le vecteur AB w le vecteur AD yebdew men nafs le point : A. Nkammlou le parallélogramme ABCD : les diagonales AC w BD 3andhom nafs le milieu. Wa9tha le vecteur AD égale le vecteur BC, w b Chasles, le vecteur AB plus le vecteur BC égale le vecteur AC. Ya3ni la somme des vecteurs AB et AD, hiya le vecteur AC : la diagonale elli to5rej men A. »

Définition

Somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls et AA un point. On place BB et DD tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→.\vec{v} = \overrightarrow{AD}. Le vecteur somme de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, noté u⃗+v⃗,\vec{u} + \vec{v}, est le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, où CC est le point tel que [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.

Mêmes points, autres noms : quand les deux vecteurs s'appellent AB→\overrightarrow{AB} et AC→,\overrightarrow{AC}, le quatrième sommet s'appelle D,D, le parallélogramme s'écrit ABDC,ABDC, et la somme est le vecteur AD→.\overrightarrow{AD}. C'est la règle du parallélogramme : pour trois points A,A, B,B, CC non alignés et un point D,D, ABDCABDC est un parallélogramme si et seulement si AB→+AC→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.

Attention à l'ordre des lettres : dans « ABDCABDC est un parallélogramme », le sommet DD est opposé à A.A. La somme suit la diagonale qui part de l'origine commune.

L'ordre des vecteurs ne compte pas : u⃗+v⃗=v⃗+u⃗.\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.

ABCD
ABDC est un parallélogramme : la somme suit la diagonale issue de A.
règle du parallélogrammeA, A,\ B, B,\ CC non alignés : ABDC:\ ABDC parallélogramme   ⟺  AB→+AC→=AD→\iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}
l'ordre ne compte pasu⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Exemple traité

EFGHEFGH est un parallélogramme. Simplifier la somme des vecteurs FE→\overrightarrow{FE} et FG→.\overrightarrow{FG}.

  1. 1

    Origine commune

    Les deux vecteurs partent de F.F. Dans le parallélogramme EFGH,EFGH, le sommet opposé à FF est H.H.

  2. 2

    La règle du parallélogramme donne la diagonale qui part de F.F.

    FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}
FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}

L’erreur à ne pas faire

  • FE→+FG→=EG→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}
    La somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale qui part de cette origine. [EG][EG] est l'autre diagonale : elle relie les deux extrémités, et ne passe pas par F.F.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki ykounou zouz vecteurs men nafs l'origine, nkammlou le parallélogramme, w la somme hiya la diagonale elli to5rej men l'origine. Pour A, B, C non alignés, ABDC parallélogramme, ma3neha le vecteur AB plus le vecteur AC égale le vecteur AD. Redd belek l tartib el 7rouf : D houwa le sommet opposé à A. »

Activité

Deux vecteurs qui ne se touchent pas

Sur la figure, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} n'ont aucun point commun. Pour construire leur somme, on les met bout à bout.

  1. 1.Construis le point MM tel que BM→=CD→.\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CD}. Pourquoi a-t-on AB→+CD→=AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM} ?
  2. 2.Construis un vecteur égal à CD→+AB→.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}. Que remarques-tu ?
  3. 3.Trois points K,K, LL et NN sont alignés. Construis le point PP tel que KL→+KN→=KP→\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KP} : d'abord quand les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont de même sens, puis quand ils sont de sens contraires.
  4. 4.Montre que (AB→+BC→)+CD→=AD→.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. Que vaut AB→+(BC→+CD→)\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) ?

Bout à bout, la construction marche toujours, même là où la règle du parallélogramme ne s'applique pas. Pour K,K, L,L, NN alignés, on place PP tel que LP→=KN→,\overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KN}, et la relation de Chasles donne KL→+KN→=KL→+LP→=KP→.\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KP}. Le point PP reste sur la droite (KL)(KL) : si les deux vecteurs sont de même sens, les longueurs s'ajoutent, KP=KL+KNKP = KL + KN ; s'ils sont de sens contraires, on retranche la plus courte de la plus longue.

Ni l'ordre des vecteurs ni la place des parenthèses ne changent une somme : on peut donc réordonner une somme pour que les lettres s'enchaînent.

ABCDM
Bout à bout : le vecteur BM est égal au vecteur CD.

Ce qu’on observe

Simplifier la somme des vecteurs AB→,\overrightarrow{AB}, CD→\overrightarrow{CD} et BC→.\overrightarrow{BC}.

  1. 1

    Réordonner

    Telle quelle, la somme ne s'enchaîne pas. On range les vecteurs pour que l'extrémité de chacun soit l'origine du suivant.

    AB→+CD→+BC→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
  2. 2

    Chasles, deux fois

    Les lettres se rejoignent en B,B, puis en C.C.

    AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}
  3. 3

    Les trois vecteurs se réduisent au seul vecteur AD→.\overrightarrow{AD}.

    AB→+CD→+BC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
AB→+CD→+BC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}

L’erreur à ne pas faire

  • AB→+CB→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}On change l'ordre des vecteurs, jamais l'ordre des lettres d'un vecteur.
    Les vecteurs CB→\overrightarrow{CB} et BC→\overrightarrow{BC} ne sont pas égaux : ils sont opposés. Retourner un vecteur pour qu'il s'enchaîne, c'est changer la somme.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le vecteur AB w le vecteur CD ma 3andhom 7atta point commun. El 7all : n7ottouhom bout à bout. Nebniw M bech le vecteur BM égale le vecteur CD. Tawa el 7rouf ytle9aw fi B, w b Chasles : le vecteur AB plus le vecteur BM égale le vecteur AM. W et-tartib ma ybaddel chay : tnajjem tbaddel blasset les vecteurs, bech el 7rouf ytle9aw. W 7atta ki ykounou les points alignés, bout à bout dima yemchi. »

Définition

Vecteur nul, vecteurs opposés

Pour deux points AA et B,B, la relation de Chasles donne AB→+BA→=AA→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}. Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul, noté 0⃗\vec{0} : il ne déplace aucun point.

On dit que AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont des vecteurs opposés, et on écrit BA→=−AB→.\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}. Pour deux points distincts AA et B,B, ces deux vecteurs ont même direction, même longueur, et des sens contraires.

Première conséquence, pour le milieu : II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, c'est-à-dire si IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés.

vecteurs opposésAB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}
BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

Exemple traité

Simplifier la somme des vecteurs AB→,\overrightarrow{AB}, CA→\overrightarrow{CA} et BC→.\overrightarrow{BC}.

  1. 1

    Réordonner

    On range les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent.

    AB→+CA→+BC→=AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}
  2. 2

    Chasles deux fois : on part de A,A, et on revient en A.A.

    AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA}
  3. 3

    Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul : la somme est nulle.

    AB→+CA→+BC→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}, le vecteur nul
AB→+CA→+BC→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}, le vecteur nul

L’erreur à ne pas faire

  • AB→+BA→=0\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 0AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}
    Une somme de vecteurs est un vecteur. Le résultat est le vecteur nul, avec sa flèche, et non le nombre zéro.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nemchiw men A l B, w narj3ou men B l A : rja3na win konna. Ya3ni le vecteur AB plus le vecteur BA égale le vecteur nul. N9oulou elli les vecteurs AB et BA sont opposés : nafs la direction, nafs la longueur, ama le sens bel 3aks. »

Activité

Un repère sur la droite (AB)

AA et BB sont deux points distincts. On munit la droite (AB)(AB) du repère (A,B)(A, B) : AA est l'origine, d'abscisse 0,0, et BB a pour abscisse 1.1. La longueur ABAB sert d'unité.

  1. 1.Place le point CC tel que AC→=AB→+AB→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}. Quelle est son abscisse ?
  2. 2.Place le point DD d'abscisse 3.3. Écris AD→\overrightarrow{AD} en fonction de AB→.\overrightarrow{AB}.
  3. 3.Place le point EE d'abscisse −1.-1. Compare AE→\overrightarrow{AE} et AB→.\overrightarrow{AB}.
0123−1EABCD
Le repère (A, B) de la droite (AB) : la longueur AB sert d'unité.

Ce qu’on observe

Ce que donne la graduation.

  1. 1

    Le point C

    Deux fois le pas de AA vers BB : CC est d'abscisse 2.2.

    AC→=2 AB→\overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AB}
  2. 2

    Le point D

    Trois pas, dans le même sens.

    AD→=3 AB→\overrightarrow{AD} = 3\,\overrightarrow{AB}
  3. 3

    Le point E

    Un seul pas, mais de l'autre côté de AA : même longueur, sens contraire.

    AE→=−AB→\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3la la droite AB, A houwa l'origine, w B 3andou l'abscisse 1. Koll 5atwa men A l B hiya le vecteur AB. C 3la bo3d zouz 5atwet : l'abscisse 2, w le vecteur AC égale 2 fois le vecteur AB. W E, 5atwa wa7da lel jiha lo5ra : l'abscisse moins 1. »

Définition

Produit d'un vecteur par un réel

Soient u⃗\vec{u} un vecteur non nul, AA un point et BB le point tel que u⃗=AB→.\vec{u} = \overrightarrow{AB}. Soient α\alpha un réel et MM le point d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B).(A, B). Le produit de u⃗\vec{u} par α,\alpha, noté αu⃗,\alpha\vec{u}, est le vecteur AM→.\overrightarrow{AM}.

Autrement dit : AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} équivaut à « les points A,A, B,B, MM sont alignés, et MM est d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B)(A, B) ».

  • si α>0,\alpha > 0, les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont de même sens ;
  • si α<0,\alpha < 0, ils sont de sens contraires ;
  • dans tous les cas, les longueurs vérifient AM=∣α∣×AB.AM = |\alpha| \times AB.

Le vecteur (−1) AB→(-1)\,\overrightarrow{AB} se note −AB→-\overrightarrow{AB} : c'est l'opposé de AB→.\overrightarrow{AB}. Et 0 u⃗=0⃗0\,\vec{u} = \vec{0} : le point d'abscisse 00 est AA lui-même.

On calcule avec ces produits comme avec des nombres : 2 AB→+AB→=3 AB→,2\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 3\,\overrightarrow{AB}, α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗,\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}, et α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u} — par exemple 3(12 BC→)=32 BC→.3\left(\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}\right) = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BC}.

la définitionAM→=α AB→  ⟺  M∈(AB)\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \iff M \in (AB) d'abscisse α\alpha dans (A,B)(A, B)
les longueursAM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB
calculer avec les produitsα(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗;\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \quad ; \quadα(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u}

Exemple traité

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B),(A, B), et AB=2AB = 2 centimètres. On place le point PP tel que le vecteur AP→\overrightarrow{AP} vaut les trois demis du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le point QQ tel que le vecteur AQ→\overrightarrow{AQ} vaut −2-2 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Calculer les longueurs APAP et AQ.AQ.

  1. 1

    Le point P

    PP est d'abscisse 32\tfrac{3}{2} : du même côté que B,B, un peu au-delà.

    AP=32×2=3AP = \tfrac{3}{2} \times 2 = 3 cm
  2. 2

    Le point Q

    QQ est d'abscisse −2-2 : de l'autre côté de A.A. La longueur prend la valeur absolue du réel.

    AQ=∣−2∣×2=4AQ = |-2| \times 2 = 4 cm
AP=3AP = 3 centimètres ;; \quadAQ=4AQ = 4 centimètres

L’erreur à ne pas faire

  • AQ→=−2 AB→,\overrightarrow{AQ} = -2\,\overrightarrow{AB}, donc AQ=−4AQ = -4 cmAQ=∣−2∣×AB=4AQ = |-2| \times AB = 4 cm
    Une longueur n'est jamais négative. Le signe de α\alpha dit le sens du vecteur ; la longueur, elle, se multiplie par ∣α∣.|\alpha|.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Alpha fois le vecteur AB, houwa le vecteur AM, win M houwa le point d'abscisse alpha dans le repère (A, B). Ken alpha positif, M ykoun men jihet B : de même sens. Ken alpha négatif, M ykoun mel jiha lo5ra mte3 A : de sens contraires. W la longueur AM, dima la valeur absolue de alpha, fois AB. W na7sbou bihom kima les nombres. »

Définition

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel. Le vecteur nul est donc colinéaire à tout vecteur, puisque 0⃗=0 u⃗.\vec{0} = 0\,\vec{u}.

Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction, et c'est le signe du réel qui dit leur sens :

  • si ce réel est strictement positif, ils sont de même sens ;
  • s'il est strictement négatif, ils sont de sens contraires.

Sur la figure, ABCDABCD est un losange et II est le milieu de [AB].[AB].

ABCDI
ABCD est un losange et I est le milieu de [AB].
colinéairesv⃗=α u⃗\vec{v} = \alpha\,\vec{u}

Exemple traité

ABCDABCD est un losange et II est le milieu de [AB].[AB]. Comparer les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et DC→,\overrightarrow{DC}, puis les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AI→.\overrightarrow{AI}.

  1. 1

    Le parallélogramme

    Un losange est un parallélogramme : ses côtés opposés donnent des vecteurs égaux.

    AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
  2. 2

    Le milieu

    II est au milieu de [AB][AB] : le vecteur AI→\overrightarrow{AI} est la moitié du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, dans le même sens.

    AI→=12 AB→=12 DC→\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC}
  3. 3

    Le réel est positif : même sens. Et en retournant le vecteur DC→,\overrightarrow{DC}, le signe change.

    CD→=−DC→=−2 AI→\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -2\,\overrightarrow{AI}
  4. 4

    Les deux comparaisons, côte à côte : le vecteur AI→\overrightarrow{AI} vaut la moitié du vecteur DC→,\overrightarrow{DC}, et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} vaut −2-2 fois le vecteur AI→.\overrightarrow{AI}.

    AI→=12 DC→;\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC} \quad ; \quadCD→=−2 AI→\overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}
AI→=12 DC→;\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC} \quad ; \quadCD→=−2 AI→\overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}

L’erreur à ne pas faire

  • CD→\overrightarrow{CD} et AI→\overrightarrow{AI} ne sont pas colinéaires, car ils ne vont pas dans le même sens.Ils sont colinéaires et de sens contraires : CD→=−2 AI→.\overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}.
    Colinéaire ne veut pas dire « de même sens ». Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction ; le signe du réel dit ensuite s'ils sont de même sens ou de sens contraires.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz vecteurs colinéaires, ken l'un égale un réel fois l'autre. Fel losange, le vecteur AB égale le vecteur DC, w I le milieu de AB. Ya3ni le vecteur AI égale un demi fois le vecteur DC : el réel positif, ya3ni de même sens. Ama le vecteur CD égale moins 2 fois le vecteur AI : colinéaires zeda, ama de sens contraires. »

Théorème

Colinéarité, parallélisme, alignement

Soient A,A, B,B, C,C, DD quatre points distincts et α\alpha un réel non nul.

  1. 1.Si CD→=α AB→,\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}, alors les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, et CD=∣α∣×AB.CD = |\alpha| \times AB.
  2. 2.Réciproquement, si les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, alors les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Cas particulier, quand les deux vecteurs ont la même origine : les points A,A, BB et MM sont alignés si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires. Deux droites parallèles qui ont un point commun sont en effet confondues.

ABFG
Le vecteur FG vaut 2 fois le vecteur AB : les droites (FG) et (AB) sont parallèles.
vecteurs non nuls colinéaires, donc parallèlesA≠B, A \ne B,\ C≠D: CD→=α AB→⇒(AB)C \ne D :\ \overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow (AB) et (CD)(CD) parallèles
même origine, donc alignésAM→=α AB→⇒A, \overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow A,\ B, B,\ MM alignés

Exemple traité

A,A, BB et FF sont trois points non alignés, et GG est le point tel que le vecteur FG→\overrightarrow{FG} est le double du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Que dire des droites (FG)(FG) et (AB)(AB) ? Si AB=2,5AB = 2{,}5 centimètres, que vaut FGFG ?

  1. 1

    Colinéaires

    Le vecteur FG→\overrightarrow{FG} est le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le réel 22 : ils sont colinéaires, et de même sens.

    FG→=2 AB→\overrightarrow{FG} = 2\,\overrightarrow{AB}
  2. 2

    Parallèles

    Deux vecteurs colinéaires portent des droites parallèles. Comme FF n'est pas sur (AB),(AB), elles ne sont pas confondues.

    (FG)(FG) et (AB)(AB) parallèles
  3. 3

    La longueur

    Les longueurs suivent le même réel, pris en valeur absolue : FGFG vaut deux fois AB.AB.

    FG=∣2∣×AB=2×2,5=5FG = |2| \times AB = 2 \times 2{,}5 = 5 cm
(FG)(FG) et (AB)(AB) parallèles ;; \quadFG=5FG = 5 centimètres

L’erreur à ne pas faire

  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, donc AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.Elles sont parallèles, donc CD→=α AB→\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} pour un certain réel α.\alpha.
    Le parallélisme donne la même direction, pas la même longueur ni le même sens. L'égalité des vecteurs n'est que le cas particulier α=1.\alpha = 1.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ken le vecteur AB w le vecteur CD mahomch nuls, w le vecteur CD égale alpha fois le vecteur AB, ma3neha les droites AB et CD sont parallèles. W bel 3aks, ken les droites sont parallèles, les vecteurs sont colinéaires. W ken zouz vecteurs 3andhom nafs l'origine, les vecteurs AM et AB sont colinéaires, ma3neha A, B et M sont alignés. Hedhi hiya et-tari9a bech nthabtou parallélisme walla alignement. »

Propriété

Le milieu d'un segment

Soient A,A, BB et II trois points. Les trois phrases suivantes disent la même chose :

  • II est le milieu de [AB][AB] ;
  • IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} ;
  • AB→=2 AI→.\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.

Et une conséquence qui sert souvent : si II est le milieu de [AB],[AB], alors pour tout point MM du plan, MA→+MB→=2 MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}.

Réciproquement, s'il existe un point MM tel que MA→+MB→=2 MI→,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}, alors II est le milieu de [AB].[AB].

ABIMN
Le vecteur MN, somme de MA et de MB, vaut deux fois le vecteur MI.
II milieu de [AB]  ⟺  IA→+IB→=0⃗[AB] \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}
II milieu de [AB]  ⟺  AB→=2 AI→[AB] \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}
pour tout point MMA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}

Exemple traité

II est le milieu de [AB],[AB], MM est un point qui n'est pas sur la droite (AB),(AB), et MI=4,5MI = 4{,}5 centimètres. On construit le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est la somme des vecteurs MA→\overrightarrow{MA} et MB→.\overrightarrow{MB}. Calculer la longueur MN.MN.

  1. 1

    La propriété du milieu

    II est le milieu de [AB],[AB], donc la somme vaut deux fois le vecteur MI→.\overrightarrow{MI}.

    MN→=MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}
  2. 2

    La longueur

    NN est sur la demi-droite [MI),[MI), deux fois plus loin de MM que I.I.

    MN=2×MI=2×4,5=9MN = 2 \times MI = 2 \times 4{,}5 = 9 cm
MN=9MN = 9 centimètres

L’erreur à ne pas faire

  • IA=IB,IA = IB, donc II est le milieu de [AB].[AB].IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, donc II est le milieu de [AB].[AB].
    IA=IBIA = IB dit seulement que II est à égale distance de AA et de BB : II est sur la médiatrice de [AB],[AB], pas forcément sur le segment. Il faut l'égalité des vecteurs, ou bien ajouter que A,A, II et BB sont alignés.
  • AB→=2 IA→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{IA}AB→=2 AI→=2 IB→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI} = 2\,\overrightarrow{IB}
    Le vecteur IA→\overrightarrow{IA} va de II vers A,A, dans le sens contraire du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : en fait, le vecteur AB→\overrightarrow{AB} vaut −2-2 fois le vecteur IA→.\overrightarrow{IA}. Avec le réel 2,2, positif, il faut un vecteur de même sens que le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : le vecteur AI→,\overrightarrow{AI}, ou le vecteur IB→.\overrightarrow{IB}.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« I le milieu de AB, ya3ni le vecteur IA et le vecteur IB sont opposés : le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul. W zeda le vecteur AB égale 2 fois le vecteur AI. Ama redd belek : la longueur IA égale la longueur IB, hedha ma yekfich, I tnajjem tkoun 3la la médiatrice barra el segment. W men ay point M : le vecteur MA plus le vecteur MB égale 2 fois le vecteur MI. »

Application

Vecteurs et forces

En physique, une force se représente par un vecteur : sa direction et son sens sont ceux de la force, et sa longueur dit son intensité, mesurée en newtons.

Quand un solide SS est soumis à deux forces F⃗\vec{F} et F′⃗,\vec{F'}, leur effet est celui d'une seule force, la résultante R⃗=F⃗+F′⃗.\vec{R} = \vec{F} + \vec{F'}. On la construit par la règle du parallélogramme.

Un solide reste immobile quand la somme des forces qu'il subit est le vecteur nul : pour le retenir, il faut exercer la force −R⃗,-\vec{R}, opposée à la résultante.

FF'RSABC
Une unité de longueur représente un newton.
la résultanteR⃗=F⃗+F′⃗\vec{R} = \vec{F} + \vec{F'}

Exemple traité

Un solide SS est soumis à deux forces perpendiculaires : la force F⃗,\vec{F}, d'intensité 44 newtons, et la force F′⃗,\vec{F'}, d'intensité 33 newtons. Quelle est l'intensité de leur résultante ? Quelle force faut-il exercer pour que SS reste immobile ?

  1. 1

    La résultante

    On représente la force F⃗\vec{F} par le vecteur SA→\overrightarrow{SA} et la force F′⃗\vec{F'} par le vecteur SB→,\overrightarrow{SB}, puis on complète le rectangle SACB.SACB.

    R⃗=SA→+SB→=SC→\vec{R} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC}
  2. 2

    Pythagore

    Le triangle SACSAC est rectangle en A,A, et AC=SB=3.AC = SB = 3.

    SC2=SA2+AC2=42+32=25SC^2 = SA^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25
  3. 3
    SC=5SC = 5
  4. 4

    Rester immobile

    Il faut exercer la force opposée à la résultante : même direction, même intensité, sens contraire.

    F⃗+F′⃗−R⃗=0⃗\vec{F} + \vec{F'} - \vec{R} = \vec{0}, le vecteur nul
R=5R = 5 newtons ;; on exerce la force opposée à R⃗\vec{R}

L’erreur à ne pas faire

  • R=4+3=7R = 4 + 3 = 7 newtonsR=42+32=5R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 newtons
    On additionne les vecteurs, pas les intensités. Les intensités ne s'ajoutent que si les deux forces ont même direction et même sens.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fi la physique, une force tetresem b vecteur, w la longueur mte3ou hiya l'intensité. Ki ykounou zouz forces 3la nafs le solide, nejm3ouhom kima les vecteurs, b la règle du parallélogramme : hedhi hiya la résultante. W bech le solide yo93od immobile, lezem la somme des forces tkoun le vecteur nul. »

Méthode

Quel outil pour quelle question

Devant un exercice de vecteurs, c'est la question qui donne l'outil :

  1. 1.Simplifier une somme : réordonne les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent, puis applique Chasles. Deux vecteurs de même origine : règle du parallélogramme.
  2. 2.Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme : montre que AB→=DC→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, ou que AB→+AD→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
  3. 3.Montrer un parallélisme : trouve un réel α\alpha tel que CD→=α AB→.\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}.
  4. 4.Montrer que A,A, B,B, MM sont alignés : trouve un réel α\alpha tel que AM→=α AB→.\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}.
  5. 5.Montrer un milieu : IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, ou AB→=2 AI→,\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}, ou encore AI→=IB→.\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}.

Exemple traité

A,A, B,B, CC sont trois points non alignés. DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, et EE est le point tel que le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est la somme des vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et AC→.\overrightarrow{AC}. Montrer que CC est le milieu de [BE].[BE].

  1. 1

    La translation

    DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA} : le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est égal au vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, donc BADCBADC est un parallélogramme.

    AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
  2. 2

    La somme

    Par la règle du parallélogramme, ADECADEC est un parallélogramme.

    CE→=AD→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AD}
  3. 3

    On rassemble

    Les deux égalités donnent l'égalité des vecteurs BC→\overrightarrow{BC} et CE→\overrightarrow{CE} : CC est le milieu de [BE].[BE].

    BC→=AD→=CE→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CE}
CC est le milieu de [BE][BE]

L’erreur à ne pas faire

  • DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, donc DC→=BA→.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}.CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} : le vecteur va de CC vers son image D.D.
    Une translation envoie le point de départ sur son image : le vecteur se lit du point de départ vers l'image, jamais l'inverse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma tebda, a9ra es-so2al mli7 : houwa elli y9ollek l'outil. Simplifier une somme : Chasles. Parallélogramme : deux vecteurs égaux. Parallélisme walla alignement : tal9a le réel alpha. Milieu : le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul. Es-so2al ywajjhek, w ma3adech tdhi3. »

À retenir

  • 1.

    Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

  • 2.

    Règle du parallélogramme : pour A,A, B,B, CC non alignés, ABDCABDC est un parallélogramme   ⟺  AB→+AC→=AD→.\iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.

  • 3.

    AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés.

  • 4.

    AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} : MM est sur (AB),(AB), d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B),(A, B), et AM=∣α∣×AB.AM = |\alpha| \times AB.

  • 5.

    Colinéaires : l'un est un réel fois l'autre — même sens si ce réel est strictement positif, sens contraires s'il est strictement négatif.

  • 6.

    Vecteurs non nuls colinéaires ⇒\Rightarrow droites parallèles ; avec une origine commune, points alignés.

  • 7.

    II milieu de [AB][AB]   ⟺  IA→+IB→=0⃗  ⟺  AB→=2 AI→.\iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

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Somme de deux vecteurs

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Construire la somme de deux vecteurs, bout à bout ou par la règle du parallélogramme
  • Simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles
  • Reconnaître deux vecteurs opposés, et caractériser le milieu d'un segment par des vecteurs
  • Construire le vecteur α AB→\alpha\,\overrightarrow{AB} et lire l'abscisse d'un point dans le repère (A,B)(A, B)
  • Reconnaître deux vecteurs colinéaires, de même sens ou de sens contraires
  • Démontrer un parallélisme ou un alignement grâce à la colinéarité

Deux translations de suite

Trois points AA, BB, CC et un point MM sont placés comme sur la figure.

  1. Place le point M′M', image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Place le point M′′M'', image de M′M' par la translation de vecteur BC→\overrightarrow{BC}.
  3. M′′M'' est l'image de MM par une seule translation. Quelle conjecture fais-tu sur son vecteur ?
  4. Montre que AM→=BM′→=CM′′→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM'} = \overrightarrow{CM''}, puis compare les vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et MM′′→\overrightarrow{MM''}.

Deux translations de suite n'en font qu'une : on dit que le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC}.

ABCMM'M''
Deux translations de suite : de M à M', puis de M' à M''.

La relation de Chasles

Pour trois points AA, BB et CC quelconques du plan, le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} : aller de AA à BB, puis de BB à CC, revient à aller directement de AA à CC. C'est la relation de Chasles.

La règle se lit sur les lettres : l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Elle se lit aussi dans l'autre sens : on peut toujours insérer un point, AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} quel que soit le point BB.

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Le piège

AB→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}

AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} : les lettres s'enchaînent en BB.

Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Ici BB et CC sont deux points différents : on ne « colle » pas des lettres qui ne se touchent pas.

Le piège

AB+BC=ACAB + BC = AC pour trois points quelconques

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

La relation de Chasles porte sur les vecteurs, pas sur les longueurs. Pour les longueurs, AB+BC=ACAB + BC = AC n'est vrai que si BB est sur le segment [AC][AC] ; sinon AB+BCAB + BC est plus grand que ACAC.

Deux vecteurs de même origine

Soient AA un point du plan, et u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls. On place les points BB et DD tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD} : les deux vecteurs partent du même point AA.

  1. Construis le point CC tel que les segments [AC][AC] et [BD][BD] aient le même milieu.
  2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ? Déduis-en que BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
  3. Justifie l'égalité AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
uvABDCO
Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O.

Somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls et AA un point. On place BB et DD tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD}. Le vecteur somme de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, noté u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, est le vecteur AC→\overrightarrow{AC}, où CC est le point tel que [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.

Mêmes points, autres noms : quand les deux vecteurs s'appellent AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, le quatrième sommet s'appelle DD, le parallélogramme s'écrit ABDCABDC, et la somme est le vecteur AD→\overrightarrow{AD}. C'est la règle du parallélogramme : pour trois points AA, BB, CC non alignés et un point DD, ABDCABDC est un parallélogramme si et seulement si AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.

Attention à l'ordre des lettres : dans « ABDCABDC est un parallélogramme », le sommet DD est opposé à AA. La somme suit la diagonale qui part de l'origine commune.

L'ordre des vecteurs ne compte pas : u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.

ABCD
ABDC est un parallélogramme : la somme suit la diagonale issue de A.
A, B, C non aligneˊs: ABDC paralleˊlogramme  ⟺  AB→+AC→=AD→A,\ B,\ C \text{ non alignés} :\ ABDC \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}
u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Le piège

FE→+FG→=EG→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}

FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}

La somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale qui part de cette origine. [EG][EG] est l'autre diagonale : elle relie les deux extrémités, et ne passe pas par FF.

Deux vecteurs qui ne se touchent pas

Sur la figure, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} n'ont aucun point commun. Pour construire leur somme, on les met bout à bout.

  1. Construis le point MM tel que BM→=CD→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CD}. Pourquoi a-t-on AB→+CD→=AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM} ?
  2. Construis un vecteur égal à CD→+AB→\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}. Que remarques-tu ?
  3. Trois points KK, LL et NN sont alignés. Construis le point PP tel que KL→+KN→=KP→\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KP} : d'abord quand les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont de même sens, puis quand ils sont de sens contraires.
  4. Montre que (AB→+BC→)+CD→=AD→(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. Que vaut AB→+(BC→+CD→)\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) ?

Bout à bout, la construction marche toujours, même là où la règle du parallélogramme ne s'applique pas. Pour KK, LL, NN alignés, on place PP tel que LP→=KN→\overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KN}, et la relation de Chasles donne KL→+KN→=KL→+LP→=KP→\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KP}. Le point PP reste sur la droite (KL)(KL) : si les deux vecteurs sont de même sens, les longueurs s'ajoutent, KP=KL+KNKP = KL + KN ; s'ils sont de sens contraires, on retranche la plus courte de la plus longue.

Ni l'ordre des vecteurs ni la place des parenthèses ne changent une somme : on peut donc réordonner une somme pour que les lettres s'enchaînent.

ABCDM
Bout à bout : le vecteur BM est égal au vecteur CD.

Le piège

AB→+CB→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

On change l'ordre des vecteurs, jamais l'ordre des lettres d'un vecteur.

Les vecteurs CB→\overrightarrow{CB} et BC→\overrightarrow{BC} ne sont pas égaux : ils sont opposés. Retourner un vecteur pour qu'il s'enchaîne, c'est changer la somme.

Vecteur nul, vecteurs opposés

Pour deux points AA et BB, la relation de Chasles donne AB→+BA→=AA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}. Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul, noté 0⃗\vec{0} : il ne déplace aucun point.

On dit que AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont des vecteurs opposés, et on écrit BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}. Pour deux points distincts AA et BB, ces deux vecteurs ont même direction, même longueur, et des sens contraires.

Première conséquence, pour le milieu : II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, c'est-à-dire si IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés.

AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}
BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

Le piège

AB→+BA→=0\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 0

AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}

Une somme de vecteurs est un vecteur. Le résultat est le vecteur nul, avec sa flèche, et non le nombre zéro.

Un repère sur la droite (AB)

AA et BB sont deux points distincts. On munit la droite (AB)(AB) du repère (A,B)(A, B) : AA est l'origine, d'abscisse 00, et BB a pour abscisse 11. La longueur ABAB sert d'unité.

  1. Place le point CC tel que AC→=AB→+AB→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}. Quelle est son abscisse ?
  2. Place le point DD d'abscisse 33. Écris AD→\overrightarrow{AD} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
  3. Place le point EE d'abscisse −1-1. Compare AE→\overrightarrow{AE} et AB→\overrightarrow{AB}.
0123−1EABCD
Le repère (A, B) de la droite (AB) : la longueur AB sert d'unité.

Produit d'un vecteur par un réel

Soient u⃗\vec{u} un vecteur non nul, AA un point et BB le point tel que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB}. Soient α\alpha un réel et MM le point d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B)(A, B). Le produit de u⃗\vec{u} par α\alpha, noté αu⃗\alpha\vec{u}, est le vecteur AM→\overrightarrow{AM}.

Autrement dit : AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} équivaut à « les points AA, BB, MM sont alignés, et MM est d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B)(A, B) ».

  • si α>0\alpha > 0, les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont de même sens ;
  • si α<0\alpha < 0, ils sont de sens contraires ;
  • dans tous les cas, les longueurs vérifient AM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB.

Le vecteur (−1) AB→(-1)\,\overrightarrow{AB} se note −AB→-\overrightarrow{AB} : c'est l'opposé de AB→\overrightarrow{AB}. Et 0 u⃗=0⃗0\,\vec{u} = \vec{0} : le point d'abscisse 00 est AA lui-même.

On calcule avec ces produits comme avec des nombres : 2 AB→+AB→=3 AB→2\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 3\,\overrightarrow{AB}, α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}, et α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u} — par exemple 3(12 BC→)=32 BC→3\left(\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}\right) = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BC}.

AM→=α AB→  ⟺  M∈(AB) d’abscisse α dans (A,B)\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \iff M \in (AB) \text{ d'abscisse } \alpha \text{ dans } (A, B)
AM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB
α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗;α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \quad ; \quad \alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u}

Le piège

AQ→=−2 AB→\overrightarrow{AQ} = -2\,\overrightarrow{AB}, donc AQ=−4AQ = -4 cm

AQ=∣−2∣×AB=4AQ = |-2| \times AB = 4 cm

Une longueur n'est jamais négative. Le signe de α\alpha dit le sens du vecteur ; la longueur, elle, se multiplie par ∣α∣|\alpha|.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel. Le vecteur nul est donc colinéaire à tout vecteur, puisque 0⃗=0 u⃗\vec{0} = 0\,\vec{u}.

Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction, et c'est le signe du réel qui dit leur sens :

  • si ce réel est strictement positif, ils sont de même sens ;
  • s'il est strictement négatif, ils sont de sens contraires.

Sur la figure, ABCDABCD est un losange et II est le milieu de [AB][AB].

ABCDI
ABCD est un losange et I est le milieu de [AB].
v⃗=α u⃗\vec{v} = \alpha\,\vec{u}

Le piège

CD→\overrightarrow{CD} et AI→\overrightarrow{AI} ne sont pas colinéaires, car ils ne vont pas dans le même sens.

Ils sont colinéaires et de sens contraires : CD→=−2 AI→\overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}.

Colinéaire ne veut pas dire « de même sens ». Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction ; le signe du réel dit ensuite s'ils sont de même sens ou de sens contraires.

Colinéarité, parallélisme, alignement

Soient AA, BB, CC, DD quatre points distincts et α\alpha un réel non nul.

  1. Si CD→=α AB→\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}, alors les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, et CD=∣α∣×ABCD = |\alpha| \times AB.
  2. Réciproquement, si les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, alors les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Cas particulier, quand les deux vecteurs ont la même origine : les points AA, BB et MM sont alignés si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires. Deux droites parallèles qui ont un point commun sont en effet confondues.

ABFG
Le vecteur FG vaut 2 fois le vecteur AB : les droites (FG) et (AB) sont parallèles.
A≠B, C≠D: CD→=α AB→⇒(AB) et (CD) paralleˋlesA \ne B,\ C \ne D :\ \overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow (AB) \text{ et } (CD) \text{ parallèles}
AM→=α AB→⇒A, B, M aligneˊs\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow A,\ B,\ M \text{ alignés}

Le piège

Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, donc AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Elles sont parallèles, donc CD→=α AB→\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} pour un certain réel α\alpha.

Le parallélisme donne la même direction, pas la même longueur ni le même sens. L'égalité des vecteurs n'est que le cas particulier α=1\alpha = 1.

Le milieu d'un segment

Soient AA, BB et II trois points. Les trois phrases suivantes disent la même chose :

  • II est le milieu de [AB][AB] ;
  • IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} ;
  • AB→=2 AI→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.

Et une conséquence qui sert souvent : si II est le milieu de [AB][AB], alors pour tout point MM du plan, MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}.

Réciproquement, s'il existe un point MM tel que MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}, alors II est le milieu de [AB][AB].

ABIMN
Le vecteur MN, somme de MA et de MB, vaut deux fois le vecteur MI.
I milieu de [AB]  ⟺  IA→+IB→=0⃗I \text{ milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}
I milieu de [AB]  ⟺  AB→=2 AI→I \text{ milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}
MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}

Le piège

IA=IBIA = IB, donc II est le milieu de [AB][AB].

IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, donc II est le milieu de [AB][AB].

IA=IBIA = IB dit seulement que II est à égale distance de AA et de BB : II est sur la médiatrice de [AB][AB], pas forcément sur le segment. Il faut l'égalité des vecteurs, ou bien ajouter que AA, II et BB sont alignés.

Le piège

AB→=2 IA→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{IA}

AB→=2 AI→=2 IB→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI} = 2\,\overrightarrow{IB}

Le vecteur IA→\overrightarrow{IA} va de II vers AA, dans le sens contraire du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : en fait, le vecteur AB→\overrightarrow{AB} vaut −2-2 fois le vecteur IA→\overrightarrow{IA}. Avec le réel 22, positif, il faut un vecteur de même sens que le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : le vecteur AI→\overrightarrow{AI}, ou le vecteur IB→\overrightarrow{IB}.

Vecteurs et forces

En physique, une force se représente par un vecteur : sa direction et son sens sont ceux de la force, et sa longueur dit son intensité, mesurée en newtons.

Quand un solide SS est soumis à deux forces F⃗\vec{F} et F′⃗\vec{F'}, leur effet est celui d'une seule force, la résultante R⃗=F⃗+F′⃗\vec{R} = \vec{F} + \vec{F'}. On la construit par la règle du parallélogramme.

Un solide reste immobile quand la somme des forces qu'il subit est le vecteur nul : pour le retenir, il faut exercer la force −R⃗-\vec{R}, opposée à la résultante.

FF'RSABC
Une unité de longueur représente un newton.
R⃗=F⃗+F′⃗\vec{R} = \vec{F} + \vec{F'}

Le piège

R=4+3=7R = 4 + 3 = 7 newtons

R=42+32=5R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 newtons

On additionne les vecteurs, pas les intensités. Les intensités ne s'ajoutent que si les deux forces ont même direction et même sens.

Quel outil pour quelle question

Devant un exercice de vecteurs, c'est la question qui donne l'outil :

  1. Simplifier une somme : réordonne les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent, puis applique Chasles. Deux vecteurs de même origine : règle du parallélogramme.
  2. Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme : montre que AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, ou que AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
  3. Montrer un parallélisme : trouve un réel α\alpha tel que CD→=α AB→\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}.
  4. Montrer que AA, BB, MM sont alignés : trouve un réel α\alpha tel que AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}.
  5. Montrer un milieu : IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, ou AB→=2 AI→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}, ou encore AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}.

Le piège

DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA}, donc DC→=BA→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}.

CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} : le vecteur va de CC vers son image DD.

Une translation envoie le point de départ sur son image : le vecteur se lit du point de départ vers l'image, jamais l'inverse.

À retenir

  • Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
  • Règle du parallélogramme : pour AA, BB, CC non alignés, ABDCABDC est un parallélogramme   ⟺  AB→+AC→=AD→\iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.
  • AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés.
  • AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} : MM est sur (AB)(AB), d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B)(A, B), et AM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB.
  • Colinéaires : l'un est un réel fois l'autre — même sens si ce réel est strictement positif, sens contraires s'il est strictement négatif.
  • Vecteurs non nuls colinéaires ⇒\Rightarrow droites parallèles ; avec une origine commune, points alignés.
  • II milieu de [AB][AB]   ⟺  IA→+IB→=0⃗  ⟺  AB→=2 AI→\iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.