Théorème de Thalès et sa réciproque

Droite des milieux, théorème de Thalès dans un triangle et ses trois configurations, agrandissement et réduction, réciproque du théorème de Thalès, construire et partager un segment.

11 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Deux droites parallèles coupées par deux sécantes : c'est la figure la plus rentable de la géométrie. Elle donne des longueurs sans les mesurer et, dans l'autre sens, elle prouve un parallélisme par un simple calcul.

On part d'un cas que tu connais, la droite des milieux, puis on le généralise : c'est le théorème de Thalès. Sa réciproque fait le chemin inverse. Au passage, on apprend à agrandir, à réduire, à construire une longueur et à partager un segment, avec une règle, un compas et une équerre.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Utiliser la droite des milieux pour prouver un parallélisme ou placer un milieu
Calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangle
Relier agrandissement et réduction : longueurs multipliées par $k,$ aires par $k^2$
Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès
Construire un segment de longueur donnée et partager un segment dans une proportion donnée

Activité

Un parallélogramme, deux milieux

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O,$ et $I$ est le milieu du côté $[AB].$

1.Dans le triangle $ABD,$ que représentent les points $I$ et $O$ ? Explique pourquoi les droites $(OI)$ et $(AD)$ sont parallèles.
2.La droite $(OI)$ coupe le côté $[DC]$ en $J.$ Dans le triangle $ACD,$ que représente le point $O$ ? Quelle est la position de $J$ sur $[DC]$ ? Justifie.

La droite (OI) et le côté [AD].

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf le triangle ABD. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : donc O houwa le milieu de [BD], w I houwa le milieu de [AB]. Zouz milieux fi nafs el triangle : la droite elli tjam3hom parallèle au troisième côté, (AD). Ba3d, fi le triangle ACD, O houwa le milieu de [AC], w la droite (OJ) parallèle à (AD). Donc t9oss [DC] fi westha : J houwa le milieu de [DC]. »

Théorème

La droite des milieux

Deux énoncés, qui vont ensemble.

1.Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
2.Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

De plus, le segment qui joint les deux milieux mesure la moitié du troisième côté : $IJ = \dfrac{BC}{2}.$ Le théorème de Thalès, juste après, le démontre.

Le premier énoncé sert à prouver un parallélisme, le second à placer un milieu.

I et J sont les milieux de [AB] et [AC].

deux milieux

I

milieu de

[AB]

J

milieu de

[AC] \ \Longrightarrow\ (IJ) \parallel (BC)

un milieu, une parallèle

I

milieu de

[AB],\

J \in [AC]

(IJ) \parallel (BC) \ \Longrightarrow\ J

milieu de

[AC]

la longueur

IJ = \dfrac{BC}{2}

Exemple traité

Dans le triangle $ABC,$ $I$ est le milieu de $[AB].$ La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $[AC]$ en $J.$ On sait que $AC = 7$ cm et $BC = 9$ cm. Calculer $AJ$ et $IJ.$

1
Le bon énoncé
On a un milieu et une parallèle : c'est le second énoncé. Le point $J$ est donc le milieu de $[AC].$
$AJ = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$ cm
2
La longueur $IJ$
Maintenant, $I$ et $J$ sont deux milieux : le segment $[IJ]$ mesure la moitié du troisième côté $[BC].$
$IJ = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm

AJ = 3{,}5

; \quad

IJ = 4{,}5

L’erreur à ne pas faire

$I$ est le milieu de $[AB],$ donc $J$ est le milieu de $[AC].$ $I$ est le milieu de $[AB]$ et $(IJ)$ est parallèle à $(BC),$ donc $J$ est le milieu de $[AC].$
Un seul milieu ne suffit pas : sans la parallèle, la droite qui part de $I$ peut couper $[AC]$ n'importe où. Les deux hypothèses sont indispensables.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tfakker les deux sens. Premier énoncé : deux milieux, donc une parallèle. Deuxième énoncé : un milieu w une parallèle, donc un deuxième milieu. W le segment elli yjamma3 les deux milieux mesure la moitié du troisième côté. Le premier ythabbet un parallélisme, w le second y7ott un milieu. »

Activité

Un triangle agrandi

Sur la figure, les points $A,$ $B,$ $D$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A,$ $C,$ $E,$ et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. On donne $AB = 2,$ $AD = 3$ et $AC = 4.$

1.Reproduis la figure et mesure $AE,$ $BC$ et $DE.$
2.Calcule les trois rapports
3. $\displaystyle \frac{AD}{AB}, \quad$ $\displaystyle \frac{AE}{AC}, \quad$ $\displaystyle \frac{DE}{BC}$
4.Que remarques-tu ?
5.Le triangle $ADE$ est un agrandissement du triangle $ABC.$ À quelle échelle ?

(BC) et (DE) sont parallèles.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« N9isou mli7 : nal9aw AE égale 6. W les trois rapports yti7ou 3la nafs el nombre, 3 sur 2 : AD sur AB, AE sur AC, w 7atta DE sur BC. Le triangle ADE, houwa le triangle ABC mkabber marra w nos. Hedha bedhabt elli y9oulou le théorème de Thalès. »

Théorème

Le théorème de Thalès dans un triangle

Soient deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A,$ $M$ un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC).$

Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les trois rapports ci-dessous sont égaux.

Chacun compare une longueur du triangle $AMN$ à la longueur correspondante du triangle $ABC.$ Sur les deux sécantes, les longueurs se mesurent depuis $A$ : $AM$ et $AB,$ $AN$ et $AC.$ Le troisième rapport compare les deux côtés parallèles, $MN$ et $BC.$ Le théorème reste vrai quand $M$ et $N$ sont au-delà de $B$ et de $C,$ ou de l'autre côté de $A$ : les trois figures sont rassemblées plus bas.

(MN) et (BC) sont parallèles.

théorème de Thalès

(MN) \parallel (BC) \ \Longrightarrow\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Exemple traité

Dans le triangle $ABC,$ $M \in [AB],$ $N \in [AC],$ et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 2$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 7{,}5$ cm et $BC = 6$ cm. Calculer $AN$ et $MN.$

1
Les rapports
Les droites sont parallèles : on écrit l'égalité de Thalès, avec les longueurs du triangle $AMN$ au numérateur.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{AN}{7{,}5} = \dfrac{MN}{6}$
2
La longueur $AN$
On garde les deux premiers rapports, et on isole $AN.$
$AN = \dfrac{2 \times 7{,}5}{5} = 3$ cm
3
La longueur $MN$
Le premier et le troisième rapport donnent $MN.$
$MN = \dfrac{2 \times 6}{5} = 2{,}4$ cm

AN = 3

; \quad

MN = 2{,}4

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{MN}{BC}$ $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$
Le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ compare deux côtés entiers de deux triangles. On le met en face de $\dfrac{AM}{AB},$ avec le côté entier $AB,$ et jamais de $\dfrac{AM}{MB},$ qui ne compare que deux morceaux du même côté.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN}$ $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$
Dans chaque rapport, le même triangle en haut et le même en bas. Retourner un rapport sur deux donne une égalité fausse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha houwa le théorème. Deux droites sécantes en A, w deux parallèles, (MN) w (BC). Donc AM sur AB égale AN sur AC égale MN sur BC. Fi koll rapport, nafs el triangle el fou9, w nafs el triangle el louta. W rodd belek : le théorème ma yemchich ken ki les droites parallèles. Hiya l'hypothèse mte3ou. »

Propriété

Agrandir, réduire

Quand $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, les trois côtés du triangle $AMN$ s'obtiennent en multipliant ceux du triangle $ABC$ par le même nombre $k = \frac{AM}{AB}$

si $k < 1,$ le triangle $AMN$ est une réduction de $ABC$ ; si $k > 1,$ c'est un agrandissement ;
les longueurs, donc le périmètre, sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^2.$

longueurs

\text{périmètre}(AMN) = k \times \text{périmètre}(ABC)

aires

\text{aire}(AMN) = k^2 \times \text{aire}(ABC)

Exemple traité

Le triangle $ADE$ est un agrandissement du triangle $ABC$ de rapport $k = \dfrac{3}{2}.$ Le triangle $ABC$ a un périmètre de $10$ cm et une aire de $3$ cm². Calculer le périmètre et l'aire du triangle $ADE.$

1
Le périmètre
Les longueurs sont multipliées par $k,$ le périmètre aussi.
périmètre $(ADE) = \dfrac{3}{2} \times 10 = 15$ cm
2
L'aire
L'aire, elle, est multipliée par $k^2 = \dfrac{9}{4}.$
$\text{aire}(ADE) = \dfrac{9}{4} \times 3 = 6{,}75 \text{ cm}^2$

périmètre

= 15

;

aire

= 6{,}75

^2

L’erreur à ne pas faire

$\text{aire}(ADE) = \dfrac{3}{2} \times \text{aire}(ABC)$ $\text{aire}(ADE) = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \times \text{aire}(ABC)$
Une aire se mesure dans deux directions à la fois. Chacune est multipliée par $k,$ donc l'aire l'est par $k \times k = k^2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki les droites parallèles, el triangle AMN copie mte3 el triangle ABC, bel rapport k égale AM sur AB. Ken k inférieur à 1, hedhi une réduction ; ken k supérieur à 1, un agrandissement. Les longueurs tetdharb fi k, w le périmètre zeda. Ama l'aire, tetdharb fi k au carré. »

Activité

Des rapports égaux, et après ?

Dans le triangle $ABC,$ on place $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC],$ tous deux distincts de $A,$ de sorte que $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles forcément parallèles ?

1.Trace la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ : elle coupe $[AC]$ en un point $N'.$ Que donne le théorème de Thalès pour le rapport $\dfrac{AN'}{AC}$ ?
2.Compare $AN'$ et $AN.$ Les points $N$ et $N'$ sont sur le même segment $[AC]$ : que peux-tu en conclure ?
3.Conclus sur les droites $(MN)$ et $(BC).$

La parallèle à (BC) menée par M.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nrasmou la parallèle à (BC) elli tet3adda men M. T9oss [AC] fi N', w Thalès ya3tina AN' sur AC égale AM sur AB. Ama hedha zeda AN sur AC. Donc AN' égale AN : zouz points fi nafs el segment, 3la nafs la distance men A, houma nafs el point. N' w N confondus, w la droite (MN) parallèle à (BC). Hedhi hiya la réciproque. »

Théorème

La réciproque du théorème de Thalès

Soient deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A,$ $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(AC),$ tous deux distincts de $A$ et placés dans le même ordre : soit $M$ est du même côté de $A$ que $B$ et $N$ du même côté de $A$ que $C,$ soit $M$ et $N$ sont tous les deux de l'autre côté de $A.$

Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},$ alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

À l'inverse, si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles : si elles l'étaient, le théorème de Thalès rendrait les rapports égaux.

points dans le même ordre

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \ \Longrightarrow\ (MN) \parallel (BC)

Exemple traité

On a $M \in [AB]$ et $N \in [AC],$ avec $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $AN = 4{,}2$ cm et $AC = 7$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

1
Premier rapport
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$
2
Second rapport
$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6$
3
Conclusion
Les deux rapports sont égaux, et $M,$ $N$ sont dans le même ordre sur $[AB]$ et $[AC].$ D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles.
$(MN) \parallel (BC)$

(MN) \parallel (BC)

L’erreur à ne pas faire

Les rapports sont égaux, avec $M \in [AB]$ mais $N$ de l'autre côté de $A$ : donc $(MN)$ est parallèle à $(BC).$ Il faut les rapports égaux et $M,$ $N$ placés dans le même ordre par rapport à $A.$
Si $N$ passe de l'autre côté de $A,$ les rapports ne changent pas, mais la droite $(MN)$ bascule et n'est plus parallèle à $(BC).$ L'ordre des points fait partie des hypothèses.
Les droites sont parallèles, donc les rapports sont égaux : c'est la réciproque.Des parallèles vers les rapports : Thalès. Des rapports vers les parallèles : la réciproque.
Pour démontrer un parallélisme, on part des rapports. Partir des parallèles, c'est utiliser le théorème direct : il suppose ce qu'on veut prouver.
$\dfrac{5}{7} \approx 0{,}7$ et $\dfrac{12}{17} \approx 0{,}7,$ donc les rapports sont égaux. $5 \times 17 = 85$ et $7 \times 12 = 84$ : les rapports sont différents.
Deux arrondis égaux ne prouvent pas une égalité. On compare les fractions exactement, par les produits en croix.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa nemchiw bel 3aks. Na7sbou AM sur AB, w na7sbou AN sur AC. Madamhom 9ad 9ad, w les points dans le même ordre, nenjem n9oul elli la droite (MN) parallèle à (BC). Zouz conditions, mouch wa7da : les rapports égaux, w le même ordre. W ken les rapports différents, les droites mouch parallèles. »

Remarque

Les trois figures de Thalès

Le théorème de Thalès et sa réciproque s'appliquent dans trois figures. Dans les trois, $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles et les rapports s'écrivent de la même façon : sur les sécantes, les longueurs se lisent à partir de $A.$

1. $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ : le triangle $AMN$ est à l'intérieur de $ABC$ ;
2. $B \in [AM]$ et $C \in [AN]$ : le triangle $AMN$ est un agrandissement de $ABC$ ;
3. $A \in [BM]$ et $A \in [CN]$ : les deux triangles sont opposés par le sommet $A.$ C'est la figure en papillon, dessinée ci-dessous.

La première figure est celle du théorème, plus haut ; la deuxième est celle de l'activité du triangle agrandi, où $B \in [AD]$ et $C \in [AE].$

Dans le papillon, on lit toujours les longueurs à partir de $A$ : $AM$ et $AB$ sur une droite, $AN$ et $AC$ sur l'autre.

La figure en papillon : A est entre B et M, et entre C et N.

Exemple traité

Dans la figure en papillon, $A$ est entre $B$ et $M,$ et entre $C$ et $N,$ avec $AB = 4,$ $AM = 6,$ $AC = 5$ et $AN = 7{,}5.$ Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parallèles ? Si $BC = 3,$ combien mesure $MN$ ?

1
Les rapports
Les points sont dans le même ordre : $A$ est entre $B$ et $M,$ et entre $C$ et $N.$
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5 \quad ; \quad$ $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$
2
La réciproque
Les deux rapports sont égaux : les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
3
La longueur $MN$
Maintenant qu'elles sont parallèles, le théorème de Thalès donne le troisième rapport.
$MN = 1{,}5 \times BC = 1{,}5 \times 3 = 4{,}5$

MN = 4{,}5

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{BM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$
Dans le papillon, $B$ et $M$ sont de part et d'autre de $A.$ Les longueurs se mesurent depuis $A$ : c'est $AM,$ pas $BM.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Trois figures, w ktiba wa7da. El triangle es-sghir fi west el kbir ; M w N men ba3d B w C : el triangle AMN houwa el kbir ; w le papillon, win les deux triangles opposés par le sommet A. Fi le papillon, dima nabdaw men A : AM w AB 3la droite, AN w AC 3al o5ra. »

Méthode

Construire un segment de longueur donnée

Le théorème de Thalès sert aussi à construire une longueur, avec une règle, un compas et une équerre, sans rien calculer.

Construire un segment de longueur $d$ tel que $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{d}.$

1.On choisit une unité, et on trace deux demi-droites $[Ox)$ et $[Oy)$ de même origine $O,$ qui ne sont pas portées par une même droite.
2.Sur $[Ox),$ on reporte au compas neuf fois l'unité à partir de $O$ : $I$ est le septième point et $J$ le neuvième, donc $OI = 7$ et $OJ = 9.$ Sur $[Oy),$ on place $K$ tel que $OK = 5.$
3.On trace $(JK),$ puis la parallèle à $(JK)$ passant par $I$ : elle coupe $[Oy)$ en $D.$ Le segment $[OD]$ est le segment cherché.

Pourquoi ça marche : dans le triangle $OJK,$ la droite $(ID)$ est parallèle à $(JK),$ donc le théorème de Thalès donne $\dfrac{OI}{OJ} = \dfrac{OD}{OK},$ soit $\dfrac{7}{9} = \dfrac{OD}{5}.$ En renversant les deux rapports, $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{OD}$ : la longueur $OD$ est bien $d.$

La même idée place un point $M$ de la droite $(AB)$ tel que $AM = \dfrac{7}{6}\,AB$ : sur une demi-droite $[Ax)$ d'origine $A,$ non portée par $(AB),$ on reporte sept fois la même longueur ; on relie à $B$ le sixième point, et la parallèle menée par le septième coupe $(AB)$ en $M,$ au-delà de $B.$

La parallèle à (JK) menée par I donne OD = d.

Thalès dans le triangle OJK

\dfrac{OI}{OJ} = \dfrac{OD}{OK}

soit

\dfrac{7}{9} = \dfrac{OD}{5}

Exemple traité

On prend le centimètre pour unité et on construit le point $D$ comme ci-dessus. Calculer $OD,$ puis vérifier que $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{OD}.$

1
Thalès dans le triangle $OJK$
$I \in [OJ],$ $D \in [OK]$ et $(ID)$ est parallèle à $(JK)$ : on écrit l'égalité des deux rapports qui partent de $O.$
$\dfrac{OI}{OJ} = \dfrac{OD}{OK}$ soit $\dfrac{7}{9} = \dfrac{OD}{5}$
2
La longueur $OD$
On isole $OD$ : $\dfrac{35}{9}$ cm, environ $3{,}89$ cm.
$OD = \dfrac{7 \times 5}{9} = \dfrac{35}{9} \approx 3{,}89$ cm
3
Le contrôle
On renverse : $\dfrac{5}{OD} = 5 \times \dfrac{9}{35} = \dfrac{9}{7}.$ C'est bien la longueur $d$ cherchée.
$\dfrac{5}{OD} = \dfrac{45}{35} = \dfrac{9}{7}$

d = OD = \dfrac{35}{9}

\approx 3{,}89

L’erreur à ne pas faire

Pour $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{d},$ on trace la parallèle à $(IK)$ passant par $J.$ On trace la parallèle à $(JK)$ passant par $I$ : on relie le point $9$ au point $5,$ et la parallèle part du point $7.$
La parallèle à $(IK)$ menée par $J$ coupe la demi-droite $[Oy)$ en un point $D'$ tel que $\dfrac{OD'}{5} = \dfrac{9}{7},$ soit $OD' = \dfrac{45}{7}$ : c'est la réponse à une autre égalité, $\dfrac{9}{7} = \dfrac{d}{5}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nebniw une longueur d telle que 9 sur 7 égale 5 sur d, ma na7sbou chay. 3la une première demi-droite, n7ottou 7 unités, ba3d 9 : houma les points I w J. 3la une deuxième demi-droite, 5 unités : houwa le point K. Nrasmou la droite (JK), ba3d la parallèle mte3ha elli tet3adda men I : t9oss la deuxième demi-droite fi D. Thalès ya3tina OI sur OJ égale OD sur OK, donc 7 sur 9 égale OD sur 5 : OD hiya la longueur d. W d égale 35 sur 9, ma tti7ch juste : bel règle graduée nal9aw ken une valeur approchée, ama la construction ta3tiha exactement. »

Méthode

Partager un segment dans une proportion donnée

La même méthode partage un segment, avec une règle, un compas et une équerre, sans rien mesurer d'autre que des parts égales.

Placer $P$ sur $[AB]$ tel que $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{3}{5}.$

1. $PA$ compte $3$ parts et $PB$ en compte $5$ : le segment $[AB]$ en compte $3 + 5 = 8.$
2.On trace une demi-droite $[Ax)$ d'origine $A,$ non portée par $(AB),$ et on y reporte au compas huit fois la même longueur à partir de $A.$ On note $E$ le troisième point et $F$ le huitième.
3.On trace $(FB),$ puis la parallèle à $(FB)$ passant par $E$ : elle coupe $[AB]$ en $P.$

Pourquoi ça marche : dans le triangle $AFB,$ la droite $(EP)$ est parallèle à $(FB),$ donc le théorème de Thalès donne $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{3}{8}.$ Le point $P$ prend $3$ parts sur $8,$ et $PB$ les $5$ autres.

Huit parts égales sur [Ax), et une parallèle.

Thalès dans le triangle AFB

\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{3}{8}

Exemple traité

Le segment $[AB]$ mesure $12$ cm. Où tombe le point $P$ de $[AB]$ tel que $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{3}{5}$ ?

1
Les parts
Le segment $[AB]$ compte $3 + 5 = 8$ parts égales, de $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$ cm chacune, et $AP$ en prend $3.$
$AP = 3 \times 1{,}5 = 4{,}5$ cm
2
Et $PB$ prend les $5$ autres parts.
$PB = 5 \times 1{,}5 = 7{,}5$ cm

AP = 4{,}5

; \quad

PB = 7{,}5

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{3}{5},$ donc je reporte $5$ parts et je relie la troisième.Je reporte $3 + 5 = 8$ parts, et la parallèle part de la troisième.
$\dfrac{3}{5}$ compare les deux morceaux entre eux, pas un morceau au segment entier. Le segment entier compte $3 + 5$ parts.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech n9assmou [AB] bel rapport 3 sur 5, ma n9isou chay. N7ottou 8 parts égales 3la une demi-droite, 3 plus 5. Nrabtou le huitième point b B, w nrasmou la parallèle elli tet3adda mel troisième. Tti7 3la P. Thalès yadhmen elli AP fiha 3 parts men 8. »

Méthode

Quel outil, pour quelle question

Devant deux droites sécantes en $A$ coupées par deux autres droites, trois questions, trois outils :

1.On cherche une longueur, et on sait que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles : théorème de Thalès. On écrit les trois rapports, puis on garde les deux qui contiennent l'inconnue et des longueurs connues.
2.On veut prouver que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles : réciproque. On calcule $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ exactement, et on vérifie que les points sont dans le même ordre. Si $M$ et $N$ sont des milieux, la droite des milieux suffit.
3.On veut prouver qu'elles ne sont pas parallèles : on montre que $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}.$

Dans tous les cas, sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis $A$ , et le même triangle reste au numérateur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Trois questions, trois outils. Nlawjou 3la une longueur w 3andna des parallèles : Thalès. N7ebbou nthabtou des parallèles : la réciproque, walla la droite des milieux ken famma deux milieux. N7ebbou nthabtou elli mouch parallèles : deux rapports différents yekfiw. W dima, 3al sécantes, les longueurs tet9as men A. »

À retenir

1.
Droite des milieux : deux milieux $\Rightarrow$ parallèle au troisième côté ; un milieu et une parallèle $\Rightarrow$ un deuxième milieu.
2.
Thalès : si $(MN) \parallel (BC),$ alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.$
3.
Sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis $A$ ; le troisième rapport compare les côtés parallèles $MN$ et $BC.$ Le même triangle reste au numérateur.
4.
Rapport $k$ : longueurs et périmètre multipliés par $k,$ aires par $k^2.$
5.
Réciproque : rapports égaux et points dans le même ordre $\Rightarrow$ droites parallèles.
6.
Rapports différents $\Rightarrow$ droites non parallèles.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/14

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/11
Cours lu: 0/102
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Utiliser la droite des milieux pour prouver un parallélisme ou placer un milieu
Calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangle
Relier agrandissement et réduction : longueurs multipliées par $k$ , aires par $k^2$
Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès
Construire un segment de longueur donnée et partager un segment dans une proportion donnée

Un parallélogramme, deux milieux

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$ , et $I$ est le milieu du côté $[AB]$ .

Dans le triangle $ABD$ , que représentent les points $I$ et $O$ ? Explique pourquoi les droites $(OI)$ et $(AD)$ sont parallèles.
La droite $(OI)$ coupe le côté $[DC]$ en $J$ . Dans le triangle $ACD$ , que représente le point $O$ ? Quelle est la position de $J$ sur $[DC]$ ? Justifie.

La droite (OI) et le côté [AD].

La droite des milieux

Deux énoncés, qui vont ensemble.

Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

De plus, le segment qui joint les deux milieux mesure la moitié du troisième côté : $IJ = \dfrac{BC}{2}$ . Le théorème de Thalès, juste après, le démontre.

Le premier énoncé sert à prouver un parallélisme, le second à placer un milieu.

I et J sont les milieux de [AB] et [AC].

I \text{ milieu de } [AB] \text{ et } J \text{ milieu de } [AC] \ \Longrightarrow\ (IJ) \parallel (BC)

I \text{ milieu de } [AB],\ J \in [AC] \text{ et } (IJ) \parallel (BC) \ \Longrightarrow\ J \text{ milieu de } [AC]

IJ = \dfrac{BC}{2}

Le piège

$I$ est le milieu de $[AB]$ , donc $J$ est le milieu de $[AC]$ .

$I$ est le milieu de $[AB]$ et $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ , donc $J$ est le milieu de $[AC]$ .

Un seul milieu ne suffit pas : sans la parallèle, la droite qui part de $I$ peut couper $[AC]$ n'importe où. Les deux hypothèses sont indispensables.

Un triangle agrandi

Sur la figure, les points $A$ , $B$ , $D$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$ , $C$ , $E$ , et les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. On donne $AB = 2$ , $AD = 3$ et $AC = 4$ .

Reproduis la figure et mesure $AE$ , $BC$ et $DE$ .
Calcule les trois rapports
$\frac{AD}{AB}, \quad \frac{AE}{AC}, \quad \frac{DE}{BC}$
Que remarques-tu ?
Le triangle $ADE$ est un agrandissement du triangle $ABC$ . À quelle échelle ?

(BC) et (DE) sont parallèles.

Le théorème de Thalès dans un triangle

Soient deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A$ , $M$ un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$ .

Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les trois rapports ci-dessous sont égaux.

Chacun compare une longueur du triangle $AMN$ à la longueur correspondante du triangle $ABC$ . Sur les deux sécantes, les longueurs se mesurent depuis $A$ : $AM$ et $AB$ , $AN$ et $AC$ . Le troisième rapport compare les deux côtés parallèles, $MN$ et $BC$ . Le théorème reste vrai quand $M$ et $N$ sont au-delà de $B$ et de $C$ , ou de l'autre côté de $A$ : les trois figures sont rassemblées plus bas.

(MN) et (BC) sont parallèles.

(MN) \parallel (BC) \ \Longrightarrow\ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Le piège

$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{MN}{BC}$

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$

Le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ compare deux côtés entiers de deux triangles. On le met en face de $\dfrac{AM}{AB}$ , avec le côté entier $AB$ , et jamais de $\dfrac{AM}{MB}$ , qui ne compare que deux morceaux du même côté.

Le piège

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AC}{AN}$

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$

Dans chaque rapport, le même triangle en haut et le même en bas. Retourner un rapport sur deux donne une égalité fausse.

Agrandir, réduire

Quand $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, les trois côtés du triangle $AMN$ s'obtiennent en multipliant ceux du triangle $ABC$ par le même nombre $k = \frac{AM}{AB}$

si $k < 1$ , le triangle $AMN$ est une réduction de $ABC$ ; si $k > 1$ , c'est un agrandissement ;
les longueurs, donc le périmètre, sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^2$ .

\text{périmètre}(AMN) = k \times \text{périmètre}(ABC)

\text{aire}(AMN) = k^2 \times \text{aire}(ABC)

Le piège

$\text{aire}(ADE) = \dfrac{3}{2} \times \text{aire}(ABC)$

$\text{aire}(ADE) = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \times \text{aire}(ABC)$

Une aire se mesure dans deux directions à la fois. Chacune est multipliée par $k$ , donc l'aire l'est par $k \times k = k^2$ .

Des rapports égaux, et après ?

Dans le triangle $ABC$ , on place $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ , tous deux distincts de $A$ , de sorte que $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles forcément parallèles ?

Trace la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ : elle coupe $[AC]$ en un point $N'$ . Que donne le théorème de Thalès pour le rapport $\dfrac{AN'}{AC}$ ?
Compare $AN'$ et $AN$ . Les points $N$ et $N'$ sont sur le même segment $[AC]$ : que peux-tu en conclure ?
Conclus sur les droites $(MN)$ et $(BC)$ .

La parallèle à (BC) menée par M.

La réciproque du théorème de Thalès

Soient deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A$ , $M$ un point de $(AB)$ et $N$ un point de $(AC)$ , tous deux distincts de $A$ et placés dans le même ordre : soit $M$ est du même côté de $A$ que $B$ et $N$ du même côté de $A$ que $C$ , soit $M$ et $N$ sont tous les deux de l'autre côté de $A$ .

Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

À l'inverse, si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles : si elles l'étaient, le théorème de Thalès rendrait les rapports égaux.

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \ \Longrightarrow\ (MN) \parallel (BC)

Le piège

Les rapports sont égaux, avec $M \in [AB]$ mais $N$ de l'autre côté de $A$ : donc $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ .

Il faut les rapports égaux et $M$ , $N$ placés dans le même ordre par rapport à $A$ .

Si $N$ passe de l'autre côté de $A$ , les rapports ne changent pas, mais la droite $(MN)$ bascule et n'est plus parallèle à $(BC)$ . L'ordre des points fait partie des hypothèses.

Le piège

Les droites sont parallèles, donc les rapports sont égaux : c'est la réciproque.

Des parallèles vers les rapports : Thalès. Des rapports vers les parallèles : la réciproque.

Pour démontrer un parallélisme, on part des rapports. Partir des parallèles, c'est utiliser le théorème direct : il suppose ce qu'on veut prouver.

Le piège

$\dfrac{5}{7} \approx 0{,}7$ et $\dfrac{12}{17} \approx 0{,}7$ , donc les rapports sont égaux.

$5 \times 17 = 85$ et $7 \times 12 = 84$ : les rapports sont différents.

Deux arrondis égaux ne prouvent pas une égalité. On compare les fractions exactement, par les produits en croix.

Les trois figures de Thalès

Le théorème de Thalès et sa réciproque s'appliquent dans trois figures. Dans les trois, $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles et les rapports s'écrivent de la même façon : sur les sécantes, les longueurs se lisent à partir de $A$ .

$M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ : le triangle $AMN$ est à l'intérieur de $ABC$ ;
$B \in [AM]$ et $C \in [AN]$ : le triangle $AMN$ est un agrandissement de $ABC$ ;
$A \in [BM]$ et $A \in [CN]$ : les deux triangles sont opposés par le sommet $A$ . C'est la figure en papillon, dessinée ci-dessous.

La première figure est celle du théorème, plus haut ; la deuxième est celle de l'activité du triangle agrandi, où $B \in [AD]$ et $C \in [AE]$ .

Dans le papillon, on lit toujours les longueurs à partir de $A$ : $AM$ et $AB$ sur une droite, $AN$ et $AC$ sur l'autre.

La figure en papillon : A est entre B et M, et entre C et N.

Le piège

$\dfrac{BM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$

Dans le papillon, $B$ et $M$ sont de part et d'autre de $A$ . Les longueurs se mesurent depuis $A$ : c'est $AM$ , pas $BM$ .

Construire un segment de longueur donnée

Le théorème de Thalès sert aussi à construire une longueur, avec une règle, un compas et une équerre, sans rien calculer.

Construire un segment de longueur $d$ tel que $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{d}$ .

On choisit une unité, et on trace deux demi-droites $[Ox)$ et $[Oy)$ de même origine $O$ , qui ne sont pas portées par une même droite.
Sur $[Ox)$ , on reporte au compas neuf fois l'unité à partir de $O$ : $I$ est le septième point et $J$ le neuvième, donc $OI = 7$ et $OJ = 9$ . Sur $[Oy)$ , on place $K$ tel que $OK = 5$ .
On trace $(JK)$ , puis la parallèle à $(JK)$ passant par $I$ : elle coupe $[Oy)$ en $D$ . Le segment $[OD]$ est le segment cherché.

Pourquoi ça marche : dans le triangle $OJK$ , la droite $(ID)$ est parallèle à $(JK)$ , donc le théorème de Thalès donne $\dfrac{OI}{OJ} = \dfrac{OD}{OK}$ , soit $\dfrac{7}{9} = \dfrac{OD}{5}$ . En renversant les deux rapports, $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{OD}$ : la longueur $OD$ est bien $d$ .

La même idée place un point $M$ de la droite $(AB)$ tel que $AM = \dfrac{7}{6}\,AB$ : sur une demi-droite $[Ax)$ d'origine $A$ , non portée par $(AB)$ , on reporte sept fois la même longueur ; on relie à $B$ le sixième point, et la parallèle menée par le septième coupe $(AB)$ en $M$ , au-delà de $B$ .

La parallèle à (JK) menée par I donne OD = d.

\dfrac{OI}{OJ} = \dfrac{OD}{OK} \quad \text{soit} \quad \dfrac{7}{9} = \dfrac{OD}{5}

Le piège

Pour $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{d}$ , on trace la parallèle à $(IK)$ passant par $J$ .

On trace la parallèle à $(JK)$ passant par $I$ : on relie le point $9$ au point $5$ , et la parallèle part du point $7$ .

La parallèle à $(IK)$ menée par $J$ coupe la demi-droite $[Oy)$ en un point $D'$ tel que $\dfrac{OD'}{5} = \dfrac{9}{7}$ , soit $OD' = \dfrac{45}{7}$ : c'est la réponse à une autre égalité, $\dfrac{9}{7} = \dfrac{d}{5}$ .

Partager un segment dans une proportion donnée

La même méthode partage un segment, avec une règle, un compas et une équerre, sans rien mesurer d'autre que des parts égales.

Placer $P$ sur $[AB]$ tel que $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{3}{5}$ .

$PA$ compte $3$ parts et $PB$ en compte $5$ : le segment $[AB]$ en compte $3 + 5 = 8$ .
On trace une demi-droite $[Ax)$ d'origine $A$ , non portée par $(AB)$ , et on y reporte au compas huit fois la même longueur à partir de $A$ . On note $E$ le troisième point et $F$ le huitième.
On trace $(FB)$ , puis la parallèle à $(FB)$ passant par $E$ : elle coupe $[AB]$ en $P$ .

Pourquoi ça marche : dans le triangle $AFB$ , la droite $(EP)$ est parallèle à $(FB)$ , donc le théorème de Thalès donne $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{3}{8}$ . Le point $P$ prend $3$ parts sur $8$ , et $PB$ les $5$ autres.

Huit parts égales sur [Ax), et une parallèle.

\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{3}{8}

Le piège

$\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{3}{5}$ , donc je reporte $5$ parts et je relie la troisième.

Je reporte $3 + 5 = 8$ parts, et la parallèle part de la troisième.

$\dfrac{3}{5}$ compare les deux morceaux entre eux, pas un morceau au segment entier. Le segment entier compte $3 + 5$ parts.

Quel outil, pour quelle question

Devant deux droites sécantes en $A$ coupées par deux autres droites, trois questions, trois outils :

On cherche une longueur, et on sait que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles : théorème de Thalès. On écrit les trois rapports, puis on garde les deux qui contiennent l'inconnue et des longueurs connues.
On veut prouver que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles : réciproque. On calcule $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ exactement, et on vérifie que les points sont dans le même ordre. Si $M$ et $N$ sont des milieux, la droite des milieux suffit.
On veut prouver qu'elles ne sont pas parallèles : on montre que $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$ .

Dans tous les cas, sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis $A$ , et le même triangle reste au numérateur.

À retenir

Droite des milieux : deux milieux $\Rightarrow$ parallèle au troisième côté ; un milieu et une parallèle $\Rightarrow$ un deuxième milieu.
Thalès : si $(MN) \parallel (BC)$ , alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .
Sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis $A$ ; le troisième rapport compare les côtés parallèles $MN$ et $BC$ . Le même triangle reste au numérateur.
Rapport $k$ : longueurs et périmètre multipliés par $k$ , aires par $k^2$ .
Réciproque : rapports égaux et points dans le même ordre $\Rightarrow$ droites parallèles.
Rapports différents $\Rightarrow$ droites non parallèles.

Ce qu’il t’explique

Un parallélogramme, deux milieux

La droite des milieux

Un triangle agrandi

Le théorème de Thalès dans un triangle

Agrandir, réduire

Des rapports égaux, et après ?

La réciproque du théorème de Thalès

Les trois figures de Thalès

Construire un segment de longueur donnée

Partager un segment dans une proportion donnée

Quel outil, pour quelle question

À toi, au tableau

Les milieux d'un triangle équilatéral

Le côté entier, pas le morceau

Deux milieux, un segment

Retrouver le troisième côté

Le triangle des milieux

Un milieu et une parallèle

La hauteur de l'arbre

Parallèles, vraiment ?

Trois parts contre cinq

Le trapèze sous les milieux

Les milieux d'un quadrilatère

Deux parallèles, deux milieux

Un quadrilatère dans le coin

L'aire du grand triangle

Deux parallèles en appellent une troisième

La ligne du milieu d'un trapèze

Une diagonale en trois

Quatre triangles pareils

La parallèle qu'il faut tracer

Des carrés dans le carré

Des diagonales perpendiculaires

Deux longueurs égales

Une coupe dans le triangle isocèle

Le carré posé sur la base

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Un parallélogramme, deux milieux

La droite des milieux

Un triangle agrandi

Le théorème de Thalès dans un triangle

Agrandir, réduire

Des rapports égaux, et après ?

La réciproque du théorème de Thalès

Les trois figures de Thalès

Construire un segment de longueur donnée

Partager un segment dans une proportion donnée

Quel outil, pour quelle question

À retenir