Vecteurs et translations

Vecteurs : bipoints, égalité vectorielle, parallélogramme et milieu. Translations : image d'un point, conservation des distances, image d'une droite, d'un segment, d'un cercle et d'un polygone, translation dans un repère.

13 sections · 101 exercices

Vecteurs et translations

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Un vecteur, c'est un déplacement : une direction, un sens, une longueur. Le mot vient du latin « vehere », transporter.

Ce chapitre en fait deux choses. D'abord un outil de démonstration : une égalité de vecteurs, c'est un parallélogramme ou un milieu écrit en une ligne. Ensuite une transformation, la translation, qui fait glisser toute une figure du même vecteur — sans la tourner, sans la déformer. Tout ce qu'elle touche garde ses longueurs, ses angles et son aire.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Reconnaître deux bipoints qui représentent le même vecteur, par les milieux ou par un parallélogramme

  • Travailler une égalité de vecteurs : échanger les moyens, reconnaître le milieu d'un segment

  • Construire l'image d'un point par une translation, au compas ou dans un repère

  • Construire l'image d'une droite, d'un segment, d'un cercle et d'un polygone

  • Utiliser ce qu'une translation conserve : les distances, les angles, les aires et le parallélisme

  • Démontrer une égalité de vecteurs, un milieu ou un parallélogramme

Activité

Deux segments, un même milieu

Dans la figure, les segments [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu I,I, et les segments [AF][AF] et [BE][BE] ont le même milieu J.J.

  1. 1.Quelle est la nature du quadrilatère ABDCABDC ? Et celle du quadrilatère ABFEABFE ?
  2. 2.Compare les longueurs CDCD et EF,EF, la position des droites (CD)(CD) et (EF),(EF), et le sens de CC vers DD et de EE vers F.F.
  3. 3.Déduis-en que CDFECDFE est un parallélogramme, puis que les segments [CF][CF] et [DE][DE] ont le même milieu.

Les couples de points (A,B),(A, B), (C,D)(C, D) et (E,F)(E, F) décrivent le même déplacement : on va de AA à BB comme on va de CC à D,D, ou de EE à F.F. C'est ce déplacement commun qu'on va appeler un vecteur.

ABCDEFIJ
Les trois couples (A, B), (C, D) et (E, F) font le même déplacement.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf el figure : le segment AD w le segment BC 3andhom le même milieu I, w le segment AF w le segment BE 3andhom le même milieu J. Donc ABDC parallélogramme, w ABFE parallélogramme zeda. Ach bech nel9aw ? CDFE parallélogramme, w ses diagonales 3andhom le même milieu. El trois couples ya3mlou nafs el déplacement : hedha houwa le vecteur. »

Définition

Le vecteur

Soient A,A, B,B, CC et DD quatre points du plan. On dit que les bipoints (A,B)(A, B) et (C,D)(C, D) représentent le même vecteur lorsque les segments [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu. On écrit alors AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Pour s'en souvenir, on lit l'égalité de gauche à droite : AA et DD sont les extrêmes, BB et CC les moyens. Le segment des extrêmes [AD][AD] et le segment des moyens [BC][BC] ont le même milieu.

Dans le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, AA est l'origine et BB l'extrémité : l'ordre des lettres compte : dès que A≠B,A \neq B, BA→\overrightarrow{BA} n'est pas le même vecteur que AB→.\overrightarrow{AB}.

Les bipoints (A,A),(A, A), (B,B),(B, B), … représentent tous un même vecteur, le vecteur nul, noté 0→.\overrightarrow{0}.

ABCDI
Les extrêmes [AD] et les moyens [BC] ont le même milieu : les vecteurs AB et CD sont égaux.
extrêmes et moyensAB→=CD→  ⟺  [AD]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff [AD] et [BC][BC] ont le même milieu

Exemple traité

EFGHEFGH est un parallélogramme de centre O.O. Montrer que le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est égal au vecteur HG→.\overrightarrow{HG}.

  1. 1

    Extrêmes et moyens

    Dans l'égalité des vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et HG→,\overrightarrow{HG}, les extrêmes sont EE et G,G, les moyens sont FF et H.H.

    [EG][EG] et [FH][FH]
  2. 2

    Les diagonales

    [EG][EG] et [FH][FH] sont les diagonales du parallélogramme : elles ont le même milieu, le centre O.O.

    EF→=HG→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}
EF→=HG→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}

L’erreur à ne pas faire

  • AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} car [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} car [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu.
    Si [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu, ABCDABCD est un parallélogramme : c'est le vecteur DC→\overrightarrow{DC} qui est égal au vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} va dans le sens contraire. On croise toujours les extrêmes AA et D,D, puis les moyens BB et C.C.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha ta3rif le vecteur. Le vecteur AB égale le vecteur CD ki le segment AD w le segment BC 3andhom le même milieu. Kifech tetfakkarha ? A w D houma les extrêmes, B w C houma les moyens. W redd belek mel tartib : A houwa l'origine, B houwa l'extrémité, w le vecteur BA mouch le vecteur AB. »

Activité

Même direction, même sens, même longueur

Sur la figure, cinq flèches.

  1. 1.Lesquelles sont portées par des droites parallèles ? On dit qu'elles ont la même direction.
  2. 2.Parmi elles, lesquelles vont dans le même sens ?
  3. 3.Parmi celles-là, lesquelles ont la même longueur ?
  4. 4.Vérifie la définition sur deux flèches bleues : les segments [AD][AD] et [BC][BC] ont-ils le même milieu ?

Deux bipoints représentent le même vecteur quand ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Si une seule de ces trois choses change, le vecteur change. Ici, seules les flèches bleues représentent un même vecteur : AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}

ABCDEFGHKL
Même direction, même sens, même longueur : seules les trois flèches bleues représentent le même vecteur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa chouf el flèches. Awel 7aja : chkoun fihom parallèles ? Ba3d : chkoun fihom mechyin fi nafs el sens ? W fel e5er : chkoun 3andhom nafs el longueur ? Ki yetjamm3ou el trois : même direction, même sens, même longueur, 3andek le même vecteur. W ken wa7da barka tetbaddel, le vecteur yetbaddel. »

Activité

Les milieux d'un triangle

ABCABC est un triangle, et A′,A', B′,B', C′C' sont les milieux respectifs des côtés [BC],[BC], [AC][AC] et [AB].[AB].

  1. 1.Nomme tous les vecteurs de la figure égaux au vecteur B′A′→.\overrightarrow{B'A'}. Justifie.
  2. 2.Nomme tous les vecteurs de la figure égaux au vecteur BA′→.\overrightarrow{BA'}. Justifie.

Le théorème des milieux, vu au collège, donne à la fois la direction et la longueur : il ne reste qu'à regarder le sens.

ABCC'B'A'
En vecteurs : B'A' = AC' = C'B.

Ce qu’on observe

Dans le triangle ABCABC de l'activité, quels vecteurs de la figure sont égaux au vecteur B′A′→\overrightarrow{B'A'} ? Et au vecteur BA′→\overrightarrow{BA'} ?

  1. 1

    Le théorème des milieux

    B′B' et A′A' sont les milieux de [AC][AC] et de [BC][BC] : la droite (B′A′)(B'A') est parallèle à (AB),(AB), et B′A′B'A' vaut la moitié de AB,AB, c'est-à-dire AC′AC' et C′B.C'B.

    B′A′=AC′=C′B=12 ABB'A' = AC' = C'B = \tfrac{1}{2}\,AB
  2. 2

    Le sens

    De B′B' vers A′,A', on va dans le même sens que de AA vers B.B. Même direction, même sens, même longueur : les vecteurs B′A′→,\overrightarrow{B'A'}, AC′→\overrightarrow{AC'} et C′B→\overrightarrow{C'B} sont égaux.

    B′A′→=AC′→=C′B→\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{C'B}
  3. 3

    Même travail pour le vecteur $BA'$

    A′A' est le milieu de [BC],[BC], et (C′B′)(C'B') est parallèle à (BC)(BC) avec C′B′=12 BC.C'B' = \tfrac{1}{2}\,BC. De BB vers A′,A', de A′A' vers CC et de C′C' vers B′,B', on va dans le même sens : les vecteurs BA′→,\overrightarrow{BA'}, A′C→\overrightarrow{A'C} et C′B′→\overrightarrow{C'B'} sont égaux.

    BA′→=A′C→=C′B′→\overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{C'B'}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tba3ni : B prime w A prime houma les milieux du segment AC w du segment BC. Donc la droite B prime A prime parallèle à la droite AB, w B prime A prime égale la moitié de AB. W C prime houwa le milieu de AB. Donc le vecteur B prime A prime égale le vecteur AC prime, w égale le vecteur C prime B : même direction, même sens, même longueur. »

Propriété

Égalité vectorielle et parallélogramme

Soient quatre points A,A, B,B, CC et D.D.

  • AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} : on peut échanger les moyens.
  • Si A,A, BB et CC ne sont pas alignés, AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à : ABDCABDC est un parallélogramme. Attention à l'ordre des sommets : origine et extrémité du premier vecteur, puis extrémité et origine du second.
  • Si les quatre points sont distincts et AB→=CD→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors AB=CDAB = CD et les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles.
  • Si A,A, BB et CC sont alignés et AB→=CD→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors AB=CDAB = CD et les quatre points A,A, B,B, C,C, DD sont alignés : le parallélogramme est « aplati ».
ABCD
On lit A, B, puis D, C : le parallélogramme s'appelle ABDC.
on échange les moyensAB→=CD→  ⟺  AC→=BD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}
A, B, C non alignésAB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC est un parallélogramme

Exemple traité

ABCDABCD est un parallélogramme. Montrer que le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est égal au vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.

  1. 1

    Le motif

    La propriété dit : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur CD→\overrightarrow{CD} exactement quand ABDCABDC est un parallélogramme. On lit les sommets dans l'ordre : origine du premier vecteur, son extrémité, extrémité du second, son origine.

    AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC parallélogramme
  2. 2

    Ici

    Pour l'égalité des vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→,\overrightarrow{BC}, ce même ordre donne le quadrilatère ADCB.ADCB.

    AD→=BC→  ⟺  ADCB\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \iff ADCB parallélogramme
  3. 3

    Conclusion

    ADCB,ADCB, c'est le parallélogramme ABCDABCD parcouru dans l'autre sens. L'égalité est donc vraie.

    AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

L’erreur à ne pas faire

  • AB→=CD→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, donc ABCDABCD est un parallélogramme.AB→=CD→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, donc ABDCABDC est un parallélogramme.
    Dans un parallélogramme ABCD,ABCD, les côtés [AB][AB] et [CD][CD] se parcourent en sens contraires : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur DC→.\overrightarrow{DC}. Si le vecteur AB→\overrightarrow{AB} était égal au vecteur CD→,\overrightarrow{CD}, le quadrilatère ABCDABCD serait croisé.
  • AB=CDAB = CD et (AB)(AB) parallèle à (CD),(CD), donc AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.Il faut aussi le même sens ; sinon, c'est AB→=DC→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.
    La longueur et la direction ne disent rien du sens. Une égalité de vecteurs donne une égalité de longueurs et un parallélisme, mais la réciproque est fausse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi el 9a3da elli bech nesta3mlouha barcha. Ken le vecteur AB égale le vecteur CD, nejmou nbaddlou blayes les moyens : le vecteur AC égale le vecteur BD. W ken A, B, C mouch alignés, ABDC parallélogramme. Redd belek mel tartib : ABDC, mouch ABCD. W zeda, AB égale CD, w la droite AB parallèle à la droite CD. »

Propriété

Le milieu, et un point bien déterminé

Soient trois points distincts A,A, BB et CC : AB→=BC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} équivaut à BB est le milieu du segment [AC].[AC].

Soient deux points AA et BB : AM→=AB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} équivaut à M=B.M = B. Une origine et un vecteur déterminent un seul point.

ABC
le milieuAB→=BC→  ⟺  B\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \iff B est le milieu de [AC][AC]
un seul pointAM→=AB→  ⟺  M=B\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \iff M = B

Exemple traité

II est le milieu du segment [EF].[EF]. Écrire deux égalités de vecteurs qui le disent.

  1. 1

    En enchaînant

    De EE à I,I, puis de II à FF : même direction, même sens, même longueur. Les vecteurs EI→\overrightarrow{EI} et IF→\overrightarrow{IF} sont égaux : les lettres s'enchaînent en I.I.

    EI→=IF→\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{IF}
  2. 2

    Dans l'autre sens

    En partant de FF et en allant vers E,E, les lettres s'enchaînent encore en II : les vecteurs FI→\overrightarrow{FI} et IE→\overrightarrow{IE} sont égaux.

    FI→=IE→\overrightarrow{FI} = \overrightarrow{IE}

L’erreur à ne pas faire

  • II est le milieu de [EF],[EF], donc EI→=FI→.\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{FI}.II est le milieu de [EF],[EF], donc EI→=IF→.\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{IF}.
    Les vecteurs EI→\overrightarrow{EI} et FI→\overrightarrow{FI} ont la même longueur, mais des sens contraires : ils vont tous les deux vers I,I, l'un de chaque côté. Pour le milieu, les lettres s'enchaînent.
  • AB=BC,AB = BC, donc BB est le milieu de [AC].[AC].AB→=BC→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}, donc BB est le milieu de [AC].[AC].
    L'égalité des longueurs place seulement BB sur la médiatrice de [AC][AC] : il faudrait en plus que A,A, BB et CC soient alignés. L'égalité des vecteurs dit les deux à la fois.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le vecteur AB égale le vecteur BC : el 7rouf ytle9aw fi B, w ma3neha B houwa le milieu du segment AC. Ama redd belek : AB égale BC wa7dha ma tekfich, khater B ynajjem ykoun barra la droite AC. W zeda : le vecteur AM égale le vecteur AB, ma3neha M houwa B. Vecteur w origine ya3tiwek un seul point. »

Activité

Faire glisser une équerre

On fait glisser une équerre le long d'une règle T,T, sans la tourner, de la position ACDACD à la position BC′D′BC'D' : le sommet AA vient en B,B, le sommet CC en C′,C', le sommet DD en D′.D'.

  1. 1.Nomme des vecteurs égaux au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. 2.Que peut-on dire des distances CDCD et C′D′C'D' ? Et de ACAC et BC′BC' ?
  3. 3.Un point MM de l'équerre vient en M′.M'. Que peut-on dire du vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} ?

Tous les points de l'équerre se sont déplacés du même vecteur, et aucune distance n'a changé : AB→=CC′→=DD′→=MM′→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{MM'} Ce glissement s'appelle une translation.

TACDBC'D'
Chaque point de l'équerre a glissé du même vecteur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa na3mlou 7aja b yeddina : nzall9ou équerre 3la règle, bla ma ndawrouha. A ywalli B, C ywalli C prime, D ywalli D prime. Koll point yet7arrek b nafs el vecteur, le vecteur AB. W les distances ? Ma tetbaddelch : CD égale C prime D prime. Hedha el glissement 3andou esm : une translation. »

Définition

Image d'un point par une translation

Soient AA et BB deux points distincts et MM un point du plan. L'image du point MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le point M′M' tel que MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB} Ce point existe et il est unique.

Deux cas à connaître par cœur :

  • l'image de AA est BB ;
  • l'image de BB est le point B′B' symétrique de AA par rapport à BB : BB′→=AB→\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB} signifie que BB est le milieu de [AB′].[AB'].

Au compas, quand MM n'est pas sur la droite (AB)(AB) : ABM′MABM'M est un parallélogramme, donc M′M' est à la distance ABAB de MM et à la distance AMAM de B.B.

ABMM'
M' est l'image de M : ABM'M est un parallélogramme.
définitionM′M' image de M  ⟺  MM′→=AB→M \iff \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}
image de BBB′→=AB→  ⟺  B\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB} \iff B est le milieu de [AB′][AB']

Exemple traité

MM n'est pas sur la droite (AB).(AB). Construire au compas l'image M′M' de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

  1. 1

    Premier arc

    On trace l'arc de centre MM et de rayon ABAB : M′M' est dessus, car MM′=AB.MM' = AB.

    MM′=ABMM' = AB
  2. 2

    Second arc

    On trace l'arc de centre BB et de rayon AMAM : M′M' est dessus, car BM′=AM.BM' = AM.

    BM′=AMBM' = AM
  3. 3

    Le bon point

    Les deux arcs se coupent en deux points. On garde celui pour lequel (MM′)(MM') est parallèle à (AB),(AB), dans le même sens que de AA vers BB : ABM′MABM'M est alors un parallélogramme.

    MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}
MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}

L’erreur à ne pas faire

  • L'image de BB par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est A.A.C'est le point B′B' tel que BB soit le milieu de [AB′].[AB'].
    La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} pousse chaque point dans le sens de AA vers BB : elle envoie AA sur B,B, et BB encore plus loin, d'une longueur AB.AB. Revenir en A,A, c'est la translation de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.
  • MM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABMM′ABMM' est un parallélogramme.MM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABM′MABM'M est un parallélogramme.
    Même lecture que pour l'égalité vectorielle : origine et extrémité du premier vecteur, puis extrémité et origine du second. Dans l'ordre ABMM′,ABMM', le quadrilatère serait croisé.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'image de M par la translation de vecteur AB, houwa le point M prime elli ykoun le vecteur MM prime égale le vecteur AB. Un seul point. Lezmek tetfakker deux cas : l'image de A hiya B, w l'image de B hiya le symétrique de A par rapport à B. W bel compas : ABM prime M parallélogramme, donc MM prime égale AB, w BM prime égale AM. »

Propriété

La translation conserve les distances

Soient MM et NN deux points, et M′,M', N′N' leurs images par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Alors M′N′=MNM'N' = MN On dit que la translation conserve les distances. Mieux : elle transforme le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en un vecteur égal, M′N′→=MN→.\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}.

MNM'N'
on échange les moyensMM′→=NN′→  ⟺  MN→=M′N′→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'} \iff \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M'N'}
conservation des distancesM′N′=MNM'N' = MN

Exemple traité

Le triangle MNPMNP a pour côtés MN=5MN = 5 cm, NP=7NP = 7 cm et MP=6MP = 6 cm. Une translation envoie M,M, N,N, PP en M′,M', N′,N', P′.P'. Quel est le périmètre du triangle M′N′P′M'N'P' ?

  1. 1

    Côté par côté

    La translation conserve chaque distance : les côtés du triangle image sont ceux du triangle de départ.

    M′N′=5;M'N' = 5 \quad ; \quadN′P′=7;N'P' = 7 \quad ; \quadM′P′=6M'P' = 6
  2. 2

    Le périmètre

    On additionne les trois côtés.

    M′N′+N′P′+M′P′=5+7+6=18M'N' + N'P' + M'P' = 5 + 7 + 6 = 18 cm
M′N′+N′P′+M′P′=5+7+6=18M'N' + N'P' + M'P' = 5 + 7 + 6 = 18 cm

L’erreur à ne pas faire

  • La figure grandit de la longueur du vecteur : M′N′=MN+AB.M'N' = MN + AB.M′N′=MNM'N' = MN
    Tous les points glissent du même vecteur, donc leurs écarts ne changent pas. La longueur ABAB est le chemin parcouru par chaque point, pas un allongement de la figure.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tba3ni : le vecteur MM prime égale le vecteur AB, w le vecteur NN prime zeda. Donc le vecteur MM prime égale le vecteur NN prime. Nbaddlou blayes les moyens : le vecteur MN égale le vecteur M prime N prime. W deux vecteurs égaux 3andhom nafs el longueur : M prime N prime égale MN. La translation ma tbaddelch les distances. »

Propriété

Image d'une droite, image d'un segment

  • L'image d'une droite Δ\Delta par une translation est une droite Δ′\Delta' parallèle à Δ.\Delta. Pour la tracer, il suffit de construire l'image E′E' d'un seul point EE de Δ,\Delta, puis la parallèle à Δ\Delta qui passe par E′.E'.
  • L'image d'un segment [EF][EF] est le segment [E′F′][E'F'] qui joint les images de ses extrémités. Il lui est isométrique : E′F′=EF.E'F' = EF.

Cas particulier : si Δ\Delta est parallèle à (AB),(AB), chacun de ses points reste sur Δ,\Delta, et son image est Δ\Delta elle-même. Ainsi l'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est (AB).(AB).

ΔΔ'ABEFE'F'
L'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un segment, un segment de même longueur.
image d'une droiteΔ′∥Δ\Delta' \parallel \Delta
image d'un segmentE′F′=EFE'F' = EF

Exemple traité

ABCDABCD est un parallélogramme. Quelle est l'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AD→\overrightarrow{AD} ?

  1. 1

    Un point de la droite

    La translation de vecteur AD→\overrightarrow{AD} envoie le point AA de (AB)(AB) sur D.D.

    A⟼DA \longmapsto D
  2. 2

    La parallèle

    L'image de (AB)(AB) est donc la parallèle à (AB)(AB) qui passe par D.D.

  3. 3

    Qui est-elle ?

    Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, la droite (DC)(DC) est parallèle à (AB)(AB) et passe par DD : c'est elle.

    (AB)⟼(DC)(AB) \longmapsto (DC)
(AB)⟼(DC)(AB) \longmapsto (DC)

L’erreur à ne pas faire

  • L'image de (AB)(AB) par la translation de vecteur DC→\overrightarrow{DC} est (DC).(DC).C'est (AB)(AB) elle-même, car DC→=AB→.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.
    Un vecteur parallèle à la droite la fait glisser sur elle-même : chaque point de (AB)(AB) reste sur (AB).(AB). Pour une droite, « parallèle » comprend aussi « confondue ».

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'image d'une droite, droite parallèle. Kifech nersmouha ? Nekhdhou un point E 3al droite, nebnou l'image mte3ou E prime, w nersmou la parallèle elli tet3adda b E prime. Hakka w barra. W l'image du segment EF, houwa le segment E prime F prime, b nafs el longueur. Ama redd belek : ken el droite parallèle lel vecteur, l'image mte3ha hiya b rou7ha. »

Propriété

Image d'un cercle, image d'un polygone

On admet que :

  • l'image d'un cercle de centre OO et de rayon rr par une translation est le cercle de même rayon rr dont le centre est l'image O′O' de OO ;
  • un polygone et son image par une translation sont superposables : ils ont la même aire, le même périmètre, et leurs angles homologues sont égaux.

Pour reconnaître qu'une figure F′F' est l'image d'une figure FF par une translation, il ne suffit pas qu'elles soient superposables : il faut que tous les points aient glissé du même vecteur, sans tourner ni se retourner.

(C)(C')ABOO'
image d'un cercleO⟼O′;O \longmapsto O' \quad ; \quadr′=rr' = r

Exemple traité

AA et BB sont deux points tels que AB=6AB = 6 cm, et (C)(C) est le cercle de diamètre [AB].[AB]. Décris l'image (C′)(C') de (C)(C) par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

  1. 1

    Le centre

    Le centre de (C)(C) est le milieu OO de [AB].[AB]. Son image est le point O′O' tel que le vecteur OO′→\overrightarrow{OO'} soit égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

    OO′→=AB→\overrightarrow{OO'} = \overrightarrow{AB}
  2. 2

    Le rayon

    Le rayon ne change pas : c'est la moitié du diamètre.

    r=AB2=3r = \dfrac{AB}{2} = 3 cm
  3. 3

    Un point de contrôle

    AA est sur (C)(C) et son image est BB : le cercle (C′)(C') passe par B.B. Les deux cercles se touchent en B.B.

    O′B=3O'B = 3 cm
(C′):(C') : centre O′,O', rayon 33 cm

L’erreur à ne pas faire

  • FF et F′F' sont superposables, donc F′F' est l'image de FF par une translation.Il faut en plus que tous les sommets aient glissé du même vecteur : PP′→=QQ′→=RR′→.\overrightarrow{PP'} = \overrightarrow{QQ'} = \overrightarrow{RR'}.
    Une figure qu'on a tournée ou retournée reste superposable, mais aucune translation ne la produit : une translation fait seulement glisser.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fel cercle, nzall9ou le centre barka : l'image du cercle, cercle de même rayon, w le centre mte3ou l'image du centre. W fel polygone : l'image mte3ou superposable m3ah, nafs l'aire, nafs le périmètre, w les angles homologues égaux. Ama redd belek : ken el figure daret walla t9allbet, ma hiyech translation, 7atta ken superposable. »

Application

Translation dans un repère

Dans un repère (O,I,J),(O, I, J), on place A(2 ;1),A(2\,;1), B(−1 ;2),B(-1\,;2), C(0 ;−4)C(0\,;-4) et A′(5 ;3).A'(5\,;3). On cherche les images B′,B', C′C' et DD de B,B, CC et A′A' par la translation de vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}.

Sur le quadrillage, aller de AA à A′,A', c'est avancer de 33 unités vers la droite et monter de 22 unités. Puisque BB′→=AA′→,\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AA'}, on fait le même déplacement en partant de BB : on ajoute 33 à l'abscisse et 22 à l'ordonnée. De même pour CC et pour A′.A'.

OIJAA'BB'CC'D
Le même déplacement, depuis chaque point.
même déplacementBB′→=CC′→=A′D→=AA′→\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{AA'}

Exemple traité

Calculer les coordonnées des points B′,B', C′C' et D.D.

  1. 1

    Le déplacement

    De AA à A′,A', l'abscisse passe de 22 à 55 : elle gagne 3.3. L'ordonnée passe de 11 à 33 : elle gagne 2.2.

    5−2=3;5 - 2 = 3 \quad ; \quad3−1=23 - 1 = 2
  2. 2

    Image de $B$

    On fait le même déplacement à partir de B,B, d'abscisse −1-1 et d'ordonnée 2.2.

    B′(−1+3 ;2+2)=B′(2 ;4)B'(-1 + 3\,;2 + 2) = B'(2\,;4)
  3. 3

    Image de $C$

    Même geste à partir de C,C, d'abscisse 00 et d'ordonnée −4.-4.

    C′(0+3 ;−4+2)=C′(3 ;−2)C'(0 + 3\,;-4 + 2) = C'(3\,;-2)
  4. 4

    Image de $A'$

    Et à partir de A′A' lui-même : il avance encore du même déplacement, et arrive en D.D.

    D(5+3 ;3+2)=D(8 ;5)D(5 + 3\,;3 + 2) = D(8\,;5)
  5. 5

    Vérification

    On refait le chemin à l'envers, de B′B' vers BB : l'abscisse passe de 22 à −1,-1, elle perd 33 ; l'ordonnée passe de 44 à 2,2, elle perd 2.2. C'est bien le chemin de AA à A′,A', parcouru dans l'autre sens.

B′(2 ;4);B'(2\,;4) \quad ; \quadC′(3 ;−2);C'(3\,;-2) \quad ; \quadD(8 ;5)D(8\,;5)

L’erreur à ne pas faire

  • B′(−1−3 ;2−2)=B′(−4 ;0)B'(-1 - 3\,;2 - 2) = B'(-4\,;0)B′(−1+3 ;2+2)=B′(2 ;4)B'(-1 + 3\,;2 + 2) = B'(2\,;4)
    Soustraire, c'est faire le déplacement de A′A' vers AA : on obtient l'image par la translation de vecteur A′A→.\overrightarrow{A'A}. Le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} se lit de AA vers A′.A'.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fel repère, le vecteur AA prime ya3ni : 3 unités lel imin, w 2 unités lel fou9. Bech nel9aw l'image mte3 ay point, na3mlou nafs el déplacement : nzidou 3 lel abscisse w 2 lel ordonnée. B ywalli B prime de coordonnées 2 et 4, C ywalli C prime de coordonnées 3 et moins 2, w A prime ywalli D de coordonnées 8 et 5. »

Méthode

Démontrer une égalité de vecteurs

Trois outils, selon ce que donne l'énoncé :

  1. 1.Des milieux ? Reviens à la définition : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} dès que le segment des extrêmes [AD][AD] et celui des moyens [BC][BC] ont le même milieu.
  2. 2.Un parallélogramme ? Lis ses sommets dans l'ordre : ABDCABDC parallélogramme donne AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
  3. 3.Une translation ? Traduis « M′M' est l'image de MM » par MM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, puis échange les moyens si besoin.

Dans l'autre sens, une égalité de vecteurs donne gratuitement une égalité de longueurs et un parallélisme — ou un milieu, quand les lettres s'enchaînent.

ABCDE

Exemple traité

ABCABC est un triangle. DD est le symétrique de AA par rapport à B,B, et EE le symétrique de CC par rapport à B.B. Montrer que le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est égal au vecteur ED→.\overrightarrow{ED}.

  1. 1

    Ce qu'on sait

    DD est le symétrique de AA par rapport à BB : BB est le milieu de [AD].[AD]. De même, BB est le milieu de [CE].[CE].

  2. 2

    La définition

    Dans l'égalité des vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et ED→,\overrightarrow{ED}, les extrêmes forment [AD][AD] et les moyens [CE].[CE].

    AC→=ED→  ⟺  [AD]\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{ED} \iff [AD] et [CE][CE] ont le même milieu
  3. 3

    Conclusion

    Ces deux segments ont le même milieu BB : l'égalité est démontrée. Au passage, ACDEACDE est un parallélogramme.

    AC→=ED→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{ED}
AC→=ED→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{ED}

L’erreur à ne pas faire

  • BB est le milieu de [AD][AD] et de [CE],[CE], donc AC→=DE→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DE}.BB est le milieu de [AD][AD] et de [CE],[CE], donc AC→=ED→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{ED}.
    Avec le vecteur DE→,\overrightarrow{DE}, les extrêmes seraient [AE][AE] et les moyens [CD],[CD], qui n'ont aucune raison d'avoir le même milieu. On vérifie les extrêmes et les moyens avant d'écrire l'égalité.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech tthabbet égalité de vecteurs, chouf chnowa 3tak l'énoncé. Ken 3tak des milieux, arja3 lel ta3rif : les extrêmes w les moyens. Ken 3tak parallélogramme, a9ra les sommets bel tartib. W ken 3tak translation, ekteb le vecteur MM prime égale le vecteur AB. W bel 3aks : égalité de vecteurs ta3tik b-blech égalité de longueurs w parallélisme. »

À retenir

  • 1.

    AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à : [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu.

  • 2.

    On peut échanger les moyens : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} ; si A,A, B,B, CC ne sont pas alignés, à ABDCABDC parallélogramme.

  • 3.

    AB→=BC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} équivaut à : BB est le milieu de [AC].[AC].

  • 4.

    M′M' est l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} quand MM′→=AB→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}.

  • 5.

    L'image de AA est BB ; l'image de BB est le symétrique de AA par rapport à B.B.

  • 6.

    Une translation conserve les distances, les angles et les aires : une figure et son image sont superposables.

  • 7.

    Image d'une droite : une droite parallèle. D'un segment : un segment de même longueur. D'un cercle : un cercle de même rayon, centré sur l'image du centre.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/24

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

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Vecteurs et translations

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Reconnaître deux bipoints qui représentent le même vecteur, par les milieux ou par un parallélogramme
  • Travailler une égalité de vecteurs : échanger les moyens, reconnaître le milieu d'un segment
  • Construire l'image d'un point par une translation, au compas ou dans un repère
  • Construire l'image d'une droite, d'un segment, d'un cercle et d'un polygone
  • Utiliser ce qu'une translation conserve : les distances, les angles, les aires et le parallélisme
  • Démontrer une égalité de vecteurs, un milieu ou un parallélogramme

Deux segments, un même milieu

Dans la figure, les segments [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu II, et les segments [AF][AF] et [BE][BE] ont le même milieu JJ.

  1. Quelle est la nature du quadrilatère ABDCABDC ? Et celle du quadrilatère ABFEABFE ?
  2. Compare les longueurs CDCD et EFEF, la position des droites (CD)(CD) et (EF)(EF), et le sens de CC vers DD et de EE vers FF.
  3. Déduis-en que CDFECDFE est un parallélogramme, puis que les segments [CF][CF] et [DE][DE] ont le même milieu.

Les couples de points (A,B)(A, B), (C,D)(C, D) et (E,F)(E, F) décrivent le même déplacement : on va de AA à BB comme on va de CC à DD, ou de EE à FF. C'est ce déplacement commun qu'on va appeler un vecteur.

ABCDEFIJ
Les trois couples (A, B), (C, D) et (E, F) font le même déplacement.

Le vecteur

Soient AA, BB, CC et DD quatre points du plan. On dit que les bipoints (A,B)(A, B) et (C,D)(C, D) représentent le même vecteur lorsque les segments [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu. On écrit alors AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Pour s'en souvenir, on lit l'égalité de gauche à droite : AA et DD sont les extrêmes, BB et CC les moyens. Le segment des extrêmes [AD][AD] et le segment des moyens [BC][BC] ont le même milieu.

Dans le vecteur AB→\overrightarrow{AB}, AA est l'origine et BB l'extrémité : l'ordre des lettres compte : dès que A≠BA \neq B, BA→\overrightarrow{BA} n'est pas le même vecteur que AB→\overrightarrow{AB}.

Les bipoints (A,A)(A, A), (B,B)(B, B), … représentent tous un même vecteur, le vecteur nul, noté 0→\overrightarrow{0}.

ABCDI
Les extrêmes [AD] et les moyens [BC] ont le même milieu : les vecteurs AB et CD sont égaux.
AB→=CD→  ⟺  [AD] et [BC] ont le meˆme milieu\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff [AD] \text{ et } [BC] \text{ ont le même milieu}

Le piège

AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} car [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.

AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} car [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu.

Si [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu, ABCDABCD est un parallélogramme : c'est le vecteur DC→\overrightarrow{DC} qui est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB}, et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} va dans le sens contraire. On croise toujours les extrêmes AA et DD, puis les moyens BB et CC.

Même direction, même sens, même longueur

Sur la figure, cinq flèches.

  1. Lesquelles sont portées par des droites parallèles ? On dit qu'elles ont la même direction.
  2. Parmi elles, lesquelles vont dans le même sens ?
  3. Parmi celles-là, lesquelles ont la même longueur ?
  4. Vérifie la définition sur deux flèches bleues : les segments [AD][AD] et [BC][BC] ont-ils le même milieu ?

Deux bipoints représentent le même vecteur quand ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Si une seule de ces trois choses change, le vecteur change. Ici, seules les flèches bleues représentent un même vecteur : AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}

ABCDEFGHKL
Même direction, même sens, même longueur : seules les trois flèches bleues représentent le même vecteur.

Les milieux d'un triangle

ABCABC est un triangle, et A′A', B′B', C′C' sont les milieux respectifs des côtés [BC][BC], [AC][AC] et [AB][AB].

  1. Nomme tous les vecteurs de la figure égaux au vecteur B′A′→\overrightarrow{B'A'}. Justifie.
  2. Nomme tous les vecteurs de la figure égaux au vecteur BA′→\overrightarrow{BA'}. Justifie.

Le théorème des milieux, vu au collège, donne à la fois la direction et la longueur : il ne reste qu'à regarder le sens.

ABCC'B'A'
En vecteurs : B'A' = AC' = C'B.

Égalité vectorielle et parallélogramme

Soient quatre points AA, BB, CC et DD.

  • AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} : on peut échanger les moyens.
  • Si AA, BB et CC ne sont pas alignés, AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à : ABDCABDC est un parallélogramme. Attention à l'ordre des sommets : origine et extrémité du premier vecteur, puis extrémité et origine du second.
  • Si les quatre points sont distincts et AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors AB=CDAB = CD et les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles.
  • Si AA, BB et CC sont alignés et AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, alors AB=CDAB = CD et les quatre points AA, BB, CC, DD sont alignés : le parallélogramme est « aplati ».
ABCD
On lit A, B, puis D, C : le parallélogramme s'appelle ABDC.
AB→=CD→  ⟺  AC→=BD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}
AB→=CD→  ⟺  ABDC est un paralleˊlogramme\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}

Le piège

AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, donc ABCDABCD est un parallélogramme.

AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, donc ABDCABDC est un parallélogramme.

Dans un parallélogramme ABCDABCD, les côtés [AB][AB] et [CD][CD] se parcourent en sens contraires : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur DC→\overrightarrow{DC}. Si le vecteur AB→\overrightarrow{AB} était égal au vecteur CD→\overrightarrow{CD}, le quadrilatère ABCDABCD serait croisé.

Le piège

AB=CDAB = CD et (AB)(AB) parallèle à (CD)(CD), donc AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Il faut aussi le même sens ; sinon, c'est AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

La longueur et la direction ne disent rien du sens. Une égalité de vecteurs donne une égalité de longueurs et un parallélisme, mais la réciproque est fausse.

Le milieu, et un point bien déterminé

Soient trois points distincts AA, BB et CC : AB→=BC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} équivaut à BB est le milieu du segment [AC][AC].

Soient deux points AA et BB : AM→=AB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} équivaut à M=BM = B. Une origine et un vecteur déterminent un seul point.

ABC
AB→=BC→  ⟺  B est le milieu de [AC]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \iff B \text{ est le milieu de } [AC]
AM→=AB→  ⟺  M=B\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \iff M = B

Le piège

II est le milieu de [EF][EF], donc EI→=FI→\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{FI}.

II est le milieu de [EF][EF], donc EI→=IF→\overrightarrow{EI} = \overrightarrow{IF}.

Les vecteurs EI→\overrightarrow{EI} et FI→\overrightarrow{FI} ont la même longueur, mais des sens contraires : ils vont tous les deux vers II, l'un de chaque côté. Pour le milieu, les lettres s'enchaînent.

Le piège

AB=BCAB = BC, donc BB est le milieu de [AC][AC].

AB→=BC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}, donc BB est le milieu de [AC][AC].

L'égalité des longueurs place seulement BB sur la médiatrice de [AC][AC] : il faudrait en plus que AA, BB et CC soient alignés. L'égalité des vecteurs dit les deux à la fois.

Faire glisser une équerre

On fait glisser une équerre le long d'une règle TT, sans la tourner, de la position ACDACD à la position BC′D′BC'D' : le sommet AA vient en BB, le sommet CC en C′C', le sommet DD en D′D'.

  1. Nomme des vecteurs égaux au vecteur AB→\overrightarrow{AB}.
  2. Que peut-on dire des distances CDCD et C′D′C'D' ? Et de ACAC et BC′BC' ?
  3. Un point MM de l'équerre vient en M′M'. Que peut-on dire du vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} ?

Tous les points de l'équerre se sont déplacés du même vecteur, et aucune distance n'a changé : AB→=CC′→=DD′→=MM′→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{MM'} Ce glissement s'appelle une translation.

TACDBC'D'
Chaque point de l'équerre a glissé du même vecteur.

Image d'un point par une translation

Soient AA et BB deux points distincts et MM un point du plan. L'image du point MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le point M′M' tel que MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB} Ce point existe et il est unique.

Deux cas à connaître par cœur :

  • l'image de AA est BB ;
  • l'image de BB est le point B′B' symétrique de AA par rapport à BB : BB′→=AB→\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB} signifie que BB est le milieu de [AB′][AB'].

Au compas, quand MM n'est pas sur la droite (AB)(AB) : ABM′MABM'M est un parallélogramme, donc M′M' est à la distance ABAB de MM et à la distance AMAM de BB.

ABMM'
M' est l'image de M : ABM'M est un parallélogramme.
M′ image de M  ⟺  MM′→=AB→M' \text{ image de } M \iff \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}
BB′→=AB→  ⟺  B est le milieu de [AB′]\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB} \iff B \text{ est le milieu de } [AB']

Le piège

L'image de BB par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est AA.

C'est le point B′B' tel que BB soit le milieu de [AB′][AB'].

La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} pousse chaque point dans le sens de AA vers BB : elle envoie AA sur BB, et BB encore plus loin, d'une longueur ABAB. Revenir en AA, c'est la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA}.

Le piège

MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABMM′ABMM' est un parallélogramme.

MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABM′MABM'M est un parallélogramme.

Même lecture que pour l'égalité vectorielle : origine et extrémité du premier vecteur, puis extrémité et origine du second. Dans l'ordre ABMM′ABMM', le quadrilatère serait croisé.

La translation conserve les distances

Soient MM et NN deux points, et M′M', N′N' leurs images par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}. Alors M′N′=MNM'N' = MN On dit que la translation conserve les distances. Mieux : elle transforme le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en un vecteur égal, M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}.

MNM'N'
MM′→=NN′→  ⟺  MN→=M′N′→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'} \iff \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M'N'}
M′N′=MNM'N' = MN

Le piège

La figure grandit de la longueur du vecteur : M′N′=MN+ABM'N' = MN + AB.

M′N′=MNM'N' = MN

Tous les points glissent du même vecteur, donc leurs écarts ne changent pas. La longueur ABAB est le chemin parcouru par chaque point, pas un allongement de la figure.

Image d'une droite, image d'un segment

  • L'image d'une droite Δ\Delta par une translation est une droite Δ′\Delta' parallèle à Δ\Delta. Pour la tracer, il suffit de construire l'image E′E' d'un seul point EE de Δ\Delta, puis la parallèle à Δ\Delta qui passe par E′E'.
  • L'image d'un segment [EF][EF] est le segment [E′F′][E'F'] qui joint les images de ses extrémités. Il lui est isométrique : E′F′=EFE'F' = EF.

Cas particulier : si Δ\Delta est parallèle à (AB)(AB), chacun de ses points reste sur Δ\Delta, et son image est Δ\Delta elle-même. Ainsi l'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est (AB)(AB).

ΔΔ'ABEFE'F'
L'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un segment, un segment de même longueur.
Δ′∥Δ\Delta' \parallel \Delta
E′F′=EFE'F' = EF

Le piège

L'image de (AB)(AB) par la translation de vecteur DC→\overrightarrow{DC} est (DC)(DC).

C'est (AB)(AB) elle-même, car DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.

Un vecteur parallèle à la droite la fait glisser sur elle-même : chaque point de (AB)(AB) reste sur (AB)(AB). Pour une droite, « parallèle » comprend aussi « confondue ».

Image d'un cercle, image d'un polygone

On admet que :

  • l'image d'un cercle de centre OO et de rayon rr par une translation est le cercle de même rayon rr dont le centre est l'image O′O' de OO ;
  • un polygone et son image par une translation sont superposables : ils ont la même aire, le même périmètre, et leurs angles homologues sont égaux.

Pour reconnaître qu'une figure F′F' est l'image d'une figure FF par une translation, il ne suffit pas qu'elles soient superposables : il faut que tous les points aient glissé du même vecteur, sans tourner ni se retourner.

(C)(C')ABOO'
O⟼O′;r′=rO \longmapsto O' \quad ; \quad r' = r

Le piège

FF et F′F' sont superposables, donc F′F' est l'image de FF par une translation.

Il faut en plus que tous les sommets aient glissé du même vecteur : PP′→=QQ′→=RR′→\overrightarrow{PP'} = \overrightarrow{QQ'} = \overrightarrow{RR'}.

Une figure qu'on a tournée ou retournée reste superposable, mais aucune translation ne la produit : une translation fait seulement glisser.

Translation dans un repère

Dans un repère (O,I,J)(O, I, J), on place A(2 ;1)A(2\,;1), B(−1 ;2)B(-1\,;2), C(0 ;−4)C(0\,;-4) et A′(5 ;3)A'(5\,;3). On cherche les images B′B', C′C' et DD de BB, CC et A′A' par la translation de vecteur AA′→\overrightarrow{AA'}.

Sur le quadrillage, aller de AA à A′A', c'est avancer de 33 unités vers la droite et monter de 22 unités. Puisque BB′→=AA′→\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AA'}, on fait le même déplacement en partant de BB : on ajoute 33 à l'abscisse et 22 à l'ordonnée. De même pour CC et pour A′A'.

OIJAA'BB'CC'D
Le même déplacement, depuis chaque point.
BB′→=CC′→=A′D→=AA′→\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{AA'}

Le piège

B′(−1−3 ;2−2)=B′(−4 ;0)B'(-1 - 3\,;2 - 2) = B'(-4\,;0)

B′(−1+3 ;2+2)=B′(2 ;4)B'(-1 + 3\,;2 + 2) = B'(2\,;4)

Soustraire, c'est faire le déplacement de A′A' vers AA : on obtient l'image par la translation de vecteur A′A→\overrightarrow{A'A}. Le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} se lit de AA vers A′A'.

Démontrer une égalité de vecteurs

Trois outils, selon ce que donne l'énoncé :

  1. Des milieux ? Reviens à la définition : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} dès que le segment des extrêmes [AD][AD] et celui des moyens [BC][BC] ont le même milieu.
  2. Un parallélogramme ? Lis ses sommets dans l'ordre : ABDCABDC parallélogramme donne AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
  3. Une translation ? Traduis « M′M' est l'image de MM » par MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, puis échange les moyens si besoin.

Dans l'autre sens, une égalité de vecteurs donne gratuitement une égalité de longueurs et un parallélisme — ou un milieu, quand les lettres s'enchaînent.

ABCDE

Le piège

BB est le milieu de [AD][AD] et de [CE][CE], donc AC→=DE→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DE}.

BB est le milieu de [AD][AD] et de [CE][CE], donc AC→=ED→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{ED}.

Avec le vecteur DE→\overrightarrow{DE}, les extrêmes seraient [AE][AE] et les moyens [CD][CD], qui n'ont aucune raison d'avoir le même milieu. On vérifie les extrêmes et les moyens avant d'écrire l'égalité.

À retenir

  • AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à : [AD][AD] et [BC][BC] ont le même milieu.
  • On peut échanger les moyens : AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} ; si AA, BB, CC ne sont pas alignés, à ABDCABDC parallélogramme.
  • AB→=BC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} équivaut à : BB est le milieu de [AC][AC].
  • M′M' est l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} quand MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}.
  • L'image de AA est BB ; l'image de BB est le symétrique de AA par rapport à BB.
  • Une translation conserve les distances, les angles et les aires : une figure et son image sont superposables.
  • Image d'une droite : une droite parallèle. D'un segment : un segment de même longueur. D'un cercle : un cercle de même rayon, centré sur l'image du centre.