Arithmétique

Division euclidienne (dividende, diviseur, quotient, reste, 0 ≤ r < b), reste à la calculatrice ; divisibilité, somme et différence de multiples, rappels PGCD, PPCM, premiers entre eux ; critères de divisibilité et restes par 2, 5, 4, 25, 8, 3, 9 et 11 (d = S1 − S2, cas d < 0) ; chiffres inconnus ; raisonnement sur les restes possibles ; chiffre des unités des puissances de 3 ; code-barre et nombres amiables.

18 sections · 100 exercices

Arithmétique

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre part d'une question simple — quel jour serons-nous dans $234$ jours ? — pour poser la division euclidienne : $a = bq + r$ avec $0 \le r < b.$ Il en tire la divisibilité, puis les critères de divisibilité par $2,$ $5,$ $4,$ $25,$ $8,$ $3,$ $9$ et $11,$ qui donnent aussi le reste sans poser la division.

On s'en sert ensuite pour retrouver des chiffres inconnus et résoudre des problèmes, et termine par le code-barre et les nombres amiables.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Effectuer la division euclidienne d'un entier naturel par un entier naturel non nul, et reconnaître une égalité qui la traduit
Utiliser la divisibilité d'une somme et d'une différence
Appliquer les critères de divisibilité par $2,$ $5,$ $4,$ $25,$ $8,$ $3$ et $9,$ et trouver un reste sans poser la division
Appliquer le critère de divisibilité par $11,$ que $d$ soit positif ou négatif
Résoudre des problèmes : chiffre inconnu, restes possibles, jours de la semaine

Activité

Quel jour serons-nous ?

Une semaine compte $7$ jours : tous les $7$ jours, on retombe sur le même jour. Pour savoir quel jour nous serons après un certain nombre de jours, on cherche combien de semaines complètes il contient, et ce qui reste :

$77 = 7 \times 11 + 0$ : après $77$ jours, c'est le même jour qu'aujourd'hui ;
$155 = 7 \times 22 + 1$ : un jour plus loin ;
$234 = 7 \times 33 + 3$ : trois jours plus loin.

Seul le reste compte : c'est l'idée de la division euclidienne.

33 semaines et 3 jours

234 = 7 \times 33 + 3

Ce qu’on observe

Aujourd'hui, c'est lundi. Quel jour serons-nous après $234$ jours ? Et après $123$ jours ?

1
Semaines complètes
On écrit $234$ avec des semaines de $7$ jours.
$234 = 7 \times 33 + 3$
2
Le reste
$33$ semaines ramènent au lundi ; il reste $3$ jours : mardi, mercredi, jeudi.
$\text{lundi} + 3 \text{ jours} = \text{jeudi}$
3
Après 123 jours
$7 \times 17 = 119,$ donc il reste $4$ jours : mardi, mercredi, jeudi, vendredi.
$123 = 7 \times 17 + 4$

234

jours : jeudi

; \quad

123

jours : vendredi

L’erreur à ne pas faire

$155 \div 7 \approx 22{,}14,$ donc on avance de $14$ jours $155 = 7 \times 22 + 1$ : on avance d'un seul jour
Les chiffres après la virgule ne sont pas le reste : le reste est $155 - 7 \times 22 = 1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b so2al sghir : lyoum el thnin, chnowa ennhar ba3d 234 nhar ? La semaine fiha sab3a ayyem, donc koll sab3a ayyem nerj3ou l nafs ennhar. Ya3ni lezemna na3rfou 9addech men semaine kemla fi 234, w 9addech yfadhel. 234 égale 7 fois 33 plus 3 : 33 semaines kemlin yrajj3ouna lel thnin, w ba3d trois jours zeydin : le jeudi. W 77 égale 7 fois 11 plus zéro : nafs ennhar. Ya3ni elli yhemmna houwa le reste bark. »

Définition

La division euclidienne

Définition. $a$ et $b$ désignent deux entiers naturels tels que $b$ est différent de zéro. On admet l'existence d'un couple unique $(q, r)$ d'entiers naturels tels que :

$\displaystyle a = bq + r$ avec $\displaystyle 0 \le r < b.$

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b,$ c'est trouver ce couple $(q, r).$ $a$ est le dividende, $b$ est le diviseur, $q$ est le quotient et $r$ est le reste.

Attention : une égalité $a = bq + r$ ne traduit une division euclidienne que si le reste est strictement inférieur au diviseur.

$73 = 20 \times 3 + 13$ : $13 < 20,$ c'est la division de $73$ par $20$ (quotient $3,$ reste $13$ ) ; ce n'est pas la division par $3,$ car $13 \ge 3.$
$155 = 17 \times 8 + 19$ : $19 > 17$ et $19 > 8,$ ce n'est pas une division euclidienne.
$189 = 12 \times 15 + 9$ : $9 < 12$ et $9 < 15,$ c'est à la fois la division de $189$ par $12$ et celle de $189$ par $15.$
$252 = 14 \times 18$ : le reste est nul, par $14$ comme par $18.$

dividende = diviseur × quotient + reste

a = bq + r

la condition sur le reste

0 \le r < b

Exemple traité

L'égalité $155 = 17 \times 8 + 19$ ne traduit pas une division euclidienne. Effectuer la division euclidienne de $155$ par $17.$

1
Le reste est trop grand
$19 \ge 17$ : on peut encore retirer $17$ une fois.
$19 = 17 + 2$
2
Réécrire
$155 = 17 \times 8 + 17 + 2 = 17 \times 9 + 2$
3
Vérifier
Cette fois $0 \le 2 < 17.$
$17 \times 9 + 2 = 153 + 2 = 155$

q = 9 \quad ; \quad

r = 2

L’erreur à ne pas faire

$155 = 17 \times 8 + 19$ : le reste de $155$ par $17$ est $19$ $155 = 17 \times 9 + 2$ : le reste est $2$
Le reste doit vérifier $0 \le r < b$ ; ici $19 \ge 17.$
$73 = 20 \times 3 + 13$ est la division de $73$ par $3$ C'est la division de $73$ par $20$ ; par $3,$ on a $73 = 3 \times 24 + 1$
Le reste $13$ n'est pas inférieur à $3$ : il ne peut pas être le reste d'une division par $3.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa el définition. a w b deux entiers naturels, w b mouch zéro. Famma couple wa7ed bark q, r men entiers naturels, elli a égale b q plus r, w r supérieur ou égal à zéro w strictement inférieur à b. a houwa le dividende, b le diviseur, q le quotient, w r le reste. Rodd belek mel condition : r lezem asghar mel diviseur. Mathalan 155 égale 17 fois 8 plus 19 : hedhi mouch division euclidienne, 5ater 19 akbar men 17 w men 8. Ama 189 égale 12 fois 15 plus 9 : 9 asghar men 12 w men 15, donc hiya division euclidienne de 189 par 12, w zeda de 189 par 15. »

Méthode

Le quotient et le reste à la calculatrice

Un élève a obtenu sur sa calculatrice $327 \div 54 = 6{,}055555556.$ La calculatrice ne donne pas directement le reste, mais elle donne le quotient :

1.le quotient $q$ est la partie entière du résultat : ici $q = 6$ ;
2.le reste se calcule ensuite : $r = a - bq.$

Ici $r = 327 - 54 \times 6 = 327 - 324 = 3,$ et l'on vérifie que $0 \le 3 < 54.$

Les chiffres après la virgule ne sont pas le reste : $0{,}0555\ldots$ est seulement $\dfrac{3}{54}.$

le quotient

q =

partie entière de

\frac{a}{b}

le reste

r = a - bq

Exemple traité

La calculatrice affiche $5002 \div 35 = 142{,}9142857.$ Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $5002$ par $35.$

1
Le quotient
On garde la partie entière.
$q = 142$
2
Le reste
$r = 5002 - 35 \times 142 = 5002 - 4970 = 32$
3
Vérifier
$0 \le 32 < 35$ : c'est bien le reste.
$5002 = 35 \times 142 + 32$

q = 142 \quad ; \quad

r = 32

L’erreur à ne pas faire

$327 \div 54 = 6{,}0555\ldots,$ donc le reste est $0555$ $r = 327 - 54 \times 6 = 3$
La partie décimale est le reste divisé par le diviseur, pas le reste lui-même.
On arrondit : $q = 143,$ $r = 5002 - 35 \times 143 = -3$ $q = 142$ et $r = 32$
Le quotient est la partie entière, jamais l’arrondi au-dessus : un reste ne peut pas être négatif.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nal9aw le quotient w le reste bel calculatrice ? Na3mlou a sur b. Le quotient q houwa la partie entière : el chiffres 9bal el virgule. W ba3d na7sbou le reste : r égale a moins b fois q. Mathalan 327 sur 54 ta3tina 6,0555. Donc q égale 6, w r égale 327 moins 54 fois 6, ya3ni 327 moins 324, égale 3. Rodd belek : el chiffres ba3d el virgule mahomch le reste. »

Activité

Des flèches qui se répètent

Un problème du Kangourou des Mathématiques. Les entiers naturels de $0$ à $1000$ ont été reliés par des flèches comme l'indique la figure. Quelle succession de flèches relie $527$ à $530$ ?

Le dessin se répète tous les six nombres : de $6$ à $12,$ on retrouve exactement les flèches de $0$ à $6.$ La flèche qui part d'un entier $n$ ne dépend donc que du reste de $n$ dans la division par $6$ :

reste de $n$ par $6$	place de $n$
$0$	en haut
$1$	en haut
$2$	en bas
$3$	en haut
$4$	en bas
$5$	en bas

Or $527 = 6 \times 87 + 5$ : $527$ est placé comme $5,$ en bas ; $528$ comme $0,$ en haut ; $529$ comme $1,$ en haut ; $530$ comme $2,$ en bas. Le chemin de $527$ à $530$ est donc : on monte, on va à droite, puis on descend.

Les entiers reliés par des flèches ; le dessin se répète tous les six nombres.

527 se place comme 5

527 = 6 \times 87 + 5

Ce qu’on observe

Où est placé l'entier $1000$ : en haut ou en bas ?

1
Le reste par 6
$6 \times 166 = 996.$
$1000 = 6 \times 166 + 4$
2
Comparer
$1000$ se place comme $4,$ qui est en bas.

1000

est en bas

L’erreur à ne pas faire

$527$ se place comme $7,$ son chiffre des unités $527$ se place comme $5,$ car $527 = 6 \times 87 + 5$
Le motif se répète tous les six nombres : c’est le reste par 6 qui compte, pas le reste par 10.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fi el problème hedha, les entiers men zéro l mille marboutin b des flèches. Chouf el figure : men 6 l 7 l 8, nal9aw nafs ech-chakl elli men 0 l 1 l 2. El dessin yet3awed koll six nombres. Donc la flèche elli to5rej men n, ta3refha b le reste de n par 6. 527 égale 6 fois 87 plus 5 : 527 fi blasset 5, louta. Men louta, la flèche tatla3 l 528, ba3d temchi 3al imin l 529, w ba3d tahbet l 530. Hedha houwa el chemin elli yorbot 527 b 530. »

Propriété

Divisibilité : somme et différence

Soient $a$ un entier naturel et $n$ un entier naturel non nul. $n$ divise $a$ signifie qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = kn$ ; on dit aussi que $a$ est un multiple de $n,$ ou que $a$ est divisible par $n.$ Cela revient à dire que le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$ est zéro.

Propriété. Soient $n,$ $x$ et $y$ trois entiers naturels tels que $n$ divise $x$ et $n$ divise $y.$ Alors :

$n$ divise $px$ et $n$ divise $py,$ pour tout entier naturel $p$ ;
$n$ divise $x + y$ ;
$n$ divise $x - y,$ lorsque $x \ge y.$

On s'en sert pour montrer que deux entiers sont premiers entre eux : un diviseur commun à $118$ et $225$ divise leur somme $343 = 7^{3},$ donc c'est $1,$ $7,$ $49$ ou $343$ ; or $7$ ne divise pas $118 = 7 \times 16 + 6,$ donc ce diviseur commun est $1.$

De même, si $n$ divise $n + 15,$ alors $n$ divise $(n + 15) - n = 15,$ donc $n$ vaut $1,$ $3,$ $5$ ou $15.$

n divise a

a = kn

la somme

x = kn

y = k'n \ \Rightarrow \ x + y = (k + k')n

Exemple traité

Montrer que si un entier naturel divise $328$ et divise $299,$ alors il divise $29.$ En déduire que $328$ et $299$ sont premiers entre eux.

1
La différence
Un diviseur commun $d$ divise la différence.
$328 - 299 = 29$
2
Les diviseurs de 29
$29$ est premier : $d = 1$ ou $d = 29.$
3
Écarter 29
$29$ ne divise pas $328.$
$328 = 29 \times 11 + 9$
4
Conclure
Le seul diviseur commun est $1.$
$\mathrm{PGCD}(328, 299) = 1$

328

299

sont premiers entre eux

L’erreur à ne pas faire

$n$ divise $x + y,$ donc $n$ divise $x$ et $n$ divise $y$ $6$ divise $2 + 4,$ mais $6$ ne divise ni $2$ ni $4$
La propriété va dans un seul sens : la réciproque est fausse.
Si $n$ divise $a,$ alors $\mathrm{PPCM}(a, n) = na$ Si $n$ divise $a,$ alors $\mathrm{PPCM}(a, n) = a$ et $\mathrm{PGCD}(a, n) = n$
$a$ est déjà un multiple de $n$ : le reste de $a$ par $n$ est zéro.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« n divise a, ya3ni a égale k fois n, w k entier naturel. Kif kif ki n9oulou a multiple de n, walla le reste de a par n égale zéro. W hedhi propriété mohemma : ken n divise x w n divise y, alors n divise p fois x, n divise x plus y, w n divise x moins y. 3lech ? x égale k n w y égale k prime n, donc x plus y égale, k plus k prime, le tout fois n. Biha nwarriw elli 328 w 299 premiers entre eux : koll diviseur commun divise 328 moins 299, ya3ni 29. W 29 premier, w 29 ne divise pas 328 : donc le seul diviseur commun houwa 1. »

Vocabulaire

Rappels : PGCD, PPCM, premiers entre eux

Un rappel de la première année. On décompose chaque entier en produit de facteurs premiers, puis :

le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant ;
le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers, chacun avec son plus grand exposant ;
deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est $1.$

Avec $245 = 5 \times 7^{2},$ $252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7$ et $600 = 2^{3} \times 3 \times 5^{2}$ :

	PGCD	PPCM
$245$ et $252$	$7$	$2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7^{2} = 8820$
$252$ et $600$	$2^{2} \times 3 = 12$	$2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7 = 12600$
$245$ et $600$	$5$	$2^{3} \times 3 \times 5^{2} \times 7^{2} = 29400$

	$245$ et $252$	$252$ et $600$	$245$ et $600$
PGCD	$7$	$2^{2} \times 3 = 12$	$5$
PPCM	$2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7^{2} = 8820$	$2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7 = 12600$	$2^{3} \times 3 \times 5^{2} \times 7^{2} = 29400$

rappel de première année

\mathrm{PGCD}(a, b) \times \mathrm{PPCM}(a, b) = ab

Exemple traité

Calculer $\mathrm{PGCD}(245, 252)$ et $\mathrm{PPCM}(245, 252),$ puis vérifier que leur produit vaut $245 \times 252.$

1
Décomposer
$245 = 5 \times 7^{2} \quad ; \quad$ $252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7$
2
Le PGCD
Seul $7$ est commun, avec le plus petit exposant $1.$
$\mathrm{PGCD}(245, 252) = 7$
3
Le PPCM
$\mathrm{PPCM}(245, 252) = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7^{2} = 8820$
4
Vérifier
$7 \times 8820 = 61740 = 245 \times 252$

\mathrm{PGCD} = 7 \quad ; \quad

\mathrm{PPCM} = 8820

L’erreur à ne pas faire

$\mathrm{PGCD}(252, 600) = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7$ $\mathrm{PGCD}(252, 600) = 2^{2} \times 3 = 12$
Pour le PGCD, on ne garde que les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant ; l’autre produit est le PPCM.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Rappel mel première année : bech na7sbou le PGCD w le PPCM, nfakkou koll nombre en produit de facteurs premiers. Le PGCD : nekhdhou les facteurs communs, koll wa7ed b a9al exposant. Le PPCM : nekhdhou les facteurs el koll, koll wa7ed b akbar exposant. Mathalan 252 égale 2 au carré fois 3 au carré fois 7, w 600 égale 2 au cube fois 3 fois 5 au carré. Le PGCD égale 2 au carré fois 3, ya3ni 12, w le PPCM égale 12600. W ki le PGCD égale 1, n9oulou elli les deux nombres premiers entre eux. »

Propriété

Divisibilité par 2 et par 5

Les restes de la division par $10$ de $8,$ $37,$ $175,$ $18159,$ $350600$ et $8587325$ sont $8,$ $7,$ $5,$ $9,$ $0$ et $5$ : c'est le chiffre des unités. Si $u$ est le chiffre des unités de $n,$ on écrit donc $n = 10q + u,$ avec $q$ entier naturel ; et comme $10 = 2 \times 5,$ le terme $10q$ est divisible par $2$ et par $5.$

Propriété.

Un entier est divisible par $2$ (respectivement par $5$ ) si et seulement si son chiffre des unités est divisible par $2$ (respectivement par $5$ ).
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $2$ (respectivement par $5$ ) est égal au reste de la division euclidienne de son chiffre des unités par $2$ (respectivement par $5$ ).

u : le chiffre des unités

n = 10q + u

Exemple traité

Déterminer le reste de la division euclidienne de $69137$ par $2,$ puis par $5.$

1
Le chiffre des unités
$u = 7$
2
Par 2
$7 = 2 \times 3 + 1$
3
Par 5
$7 = 5 \times 1 + 2$
4
Vérifier
$69137 = 5 \times 13827 + 2$

reste par 2 :

1 \quad ;

reste par 5 :

2

L’erreur à ne pas faire

Le reste de $69137$ par $5$ est $7$ C'est $2,$ le reste de $7$ par $5$
On prend le reste du chiffre des unités ; $7$ n'est pas un reste possible par $5.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Koll entier naturel n nektbouh n égale 10 q plus u, w u le chiffre des unités. W 10 q divisible par 2 w par 5, 5ater 10 égale 2 fois 5. Donc n w u 3andhom nafs le reste par 2 w par 5. Ya3ni : n divisible par 2 ken le chiffre des unités pair, w divisible par 5 ken le chiffre des unités zéro walla cinq. W bech tal9a le reste, ta7seb le reste mta3 u. Mathalan 69137 : u égale 7, le reste par 2 houwa 1, w le reste par 5 houwa 2, mouch 7. »

Propriété

Divisibilité par 4 et par 25

Les restes de la division par $100$ de $12,$ $50,$ $133,$ $984,$ $4500$ et $79375$ sont $12,$ $50,$ $33,$ $84,$ $0$ et $75$ : c'est le nombre formé par les deux derniers chiffres. Si $n \ge 10$ et si $b$ est ce nombre, on écrit $n = 100a + b,$ avec $a$ entier naturel ; et comme $100 = 4 \times 25,$ le terme $100a$ est divisible par $4$ et par $25.$

Propriété.

Un entier est divisible par $4$ (respectivement par $25$ ) si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$ (respectivement par $25$ ).
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $4$ (respectivement par $25$ ) est égal au reste de la division euclidienne par $4$ (respectivement par $25$ ) du nombre formé par ses deux derniers chiffres.

b : les deux derniers chiffres

n = 100a + b

Exemple traité

$27960$ et $131675$ sont-ils divisibles par $4$ ? par $25$ ? Donner chaque fois le reste.

1
27960 par 4
On regarde $60.$
$60 = 4 \times 15$
2
27960 par 25
$60 = 25 \times 2 + 10$
3
131675 par 4
On regarde $75.$
$75 = 4 \times 18 + 3$
4
131675 par 25
$75 = 25 \times 3$

27960 :

divisible par 4, reste 10 par 25

; \quad

131675 :

reste 3 par 4, divisible par 25

L’erreur à ne pas faire

$1050$ est divisible par $4,$ car $50$ est pair $50 = 4 \times 12 + 2$ : $1050$ n'est pas divisible par $4$
Pour 4, il faut que le nombre formé par les deux derniers chiffres soit divisible par 4 ; être pair ne suffit pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nafs el fekra m3a 4 w 25. 100 égale 4 fois 25, donc ki nektbou n égale 100 a plus b, w b le nombre formé par les deux derniers chiffres, 100 a divisible par 4 w par 25. Donc n w b 3andhom nafs le reste par 4 w par 25. Mathalan 27960 : les deux derniers chiffres 60, w 60 égale 4 fois 15 : 27960 divisible par 4. Ama par 25, 60 égale 25 fois 2 plus 10 : le reste 10. Rodd belek : par 4, mouch yekfi elli le chiffre des unités pair. »

Propriété

Divisibilité par 8

Les restes de la division par $1000$ de $23,$ $96,$ $249,$ $1672,$ $3502$ et $19456$ sont $23,$ $96,$ $249,$ $672,$ $502$ et $456$ : le nombre formé par les trois derniers chiffres. Leurs restes par $8$ sont $7,$ $0,$ $1,$ $0,$ $6$ et $0.$ Si $n \ge 100$ et si $b$ est le nombre formé par ses trois derniers chiffres, $n = 1000a + b$ ; et $1000 = 8 \times 125$ est divisible par $8$ — alors que $100$ ne l'est pas.

Propriété.

Un entier, supérieur ou égal à $100,$ est divisible par $8$ si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par $8.$
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $8$ est égal au reste de la division euclidienne par $8$ du nombre formé par ses trois derniers chiffres.

b : les trois derniers chiffres

n = 1000a + b

Exemple traité

Déterminer le reste de la division euclidienne de $2613$ par $8.$

1
Les trois derniers chiffres
$b = 613$
2
Diviser 613 par 8
$613 = 8 \times 76 + 5$
3
Vérifier
$2613 = 8 \times 326 + 5$

le reste de

2613

par

8

est

5

L’erreur à ne pas faire

Pour $234105,$ on regarde $05$ : le reste par $8$ est $5$ On regarde $105 = 8 \times 13 + 1$ : le reste est $1$
Par $8,$ il faut les trois derniers chiffres : $100$ n'est pas un multiple de $8.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W par 8 ? 100 mouch multiple de 8, ama 1000 égale 8 fois 125. Donc lezemna les trois derniers chiffres : n égale 1000 a plus b, w b le nombre formé par les trois derniers chiffres. n w b 3andhom nafs le reste par 8. Mathalan 2613 : nekhdhou 613, w 613 égale 8 fois 76 plus 5 : le reste 5. Rodd belek, ken te5ou zouz chiffres bark, toghlot : 234105, el 05 ya3tik 5, ama 105 égale 8 fois 13 plus 1, w le reste houwa 1. »

Propriété

Divisibilité par 3 et par 9

Soit $n$ un entier naturel à quatre chiffres $a,$ $b,$ $c$ et $d$ (milliers, centaines, dizaines, unités), et $S = a + b + c + d$ la somme de ses chiffres. Alors

$n = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + 99b + 9c + S.$

Comme $999,$ $99$ et $9$ sont des multiples de $9$ (donc de $3$ ), $n - S$ est divisible par $9$ et par $3.$

Propriété.

Un entier est divisible par $3$ (respectivement par $9$ ) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (respectivement par $9$ ).
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $3$ (respectivement par $9$ ) est égal au reste de la division euclidienne de la somme de ses chiffres par $3$ (respectivement par $9$ ).

Avec aussi les critères de $2$ et de $5$ :

	par $2$	par $3$	par $5$	par $9$
$72531$ ( $S = 18$ )	non	oui	non	oui
$923864$ ( $S = 32$ )	oui	non	non	non
$1231105$ ( $S = 13$ )	non	non	oui	non
$7843621$ ( $S = 31$ )	non	non	non	non
$813543210$ ( $S = 27$ )	oui	oui	oui	oui

	$72531$ ( $S = 18$ )	$923864$ ( $S = 32$ )	$1231105$ ( $S = 13$ )	$7843621$ ( $S = 31$ )	$813543210$ ( $S = 27$ )
par $2$	non	oui	non	non	oui
par $3$	oui	non	non	non	oui
par $5$	non	non	oui	non	oui
par $9$	oui	non	non	non	oui

un multiple de 9

n - S = 999a + 99b + 9c

Exemple traité

Déterminer le reste de la division euclidienne de $2851961$ par $3,$ puis par $9.$

1
La somme des chiffres
$S = 2 + 8 + 5 + 1 + 9 + 6 + 1 = 32$
2
Par 3
$32 = 3 \times 10 + 2$
3
Par 9
$32 = 9 \times 3 + 5$

reste par 3 :

2 \quad ;

reste par 9 :

5

L’erreur à ne pas faire

$2325$ est divisible par $3,$ donc par $9$ $S = 12$ : $2325$ est divisible par $3,$ mais pas par $9$
$12$ est un multiple de $3,$ pas de $9$ ; c'est l'inverse qui est vrai : divisible par $9$ entraîne divisible par $3.$
Le reste de $1359$ par $9$ est $18,$ la somme de ses chiffres $18 = 9 \times 2$ : le reste est $0,$ et $1359$ est divisible par $9$
On prend le reste de la somme des chiffres, et un reste par 9 est toujours inférieur à 9.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Par 3 w par 9, nchoufou la somme des chiffres. 3lech ? Ken n 3andou arba3a chiffres a, b, c, d, n égale 1000 a plus 100 b plus 10 c plus d, ya3ni 999 a plus 99 b plus 9 c plus S, w S la somme des chiffres. W 999, 99 w 9 multiples de 9. Donc n moins S divisible par 9 w par 3, w n w S 3andhom nafs le reste. Mathalan 2851961 : la somme des chiffres 32. 32 égale 9 fois 3 plus 5 : le reste par 9 houwa 5, w par 3 houwa 2. Rodd belek : divisible par 3 mouch dima divisible par 9 : 2325, la somme 12. »

Application

Du lait, de l’huile et du pétrole

Un problème tiré de Oh les maths, de P. Yakov. Un paysan dispose de neuf récipients de contenances $3$ ; $6$ ; $10$ ; $11$ ; $15$ ; $17$ ; $23$ ; $25$ et $30$ litres. Il revient du marché avec deux fois plus de lait que d'huile et trois fois plus de pétrole que de lait. Tous ses récipients sont pleins, sauf un qui est vide. Lequel ?

Si $h$ est la quantité d'huile, il a $2h$ litres de lait et $6h$ litres de pétrole : en tout $9h$ litres. Le volume rempli est donc un multiple de $9$ . On retrouvera la même idée dans l'exercice des boîtes de boules, où le nombre de boules restantes doit être un multiple de $3.$

huile, lait, pétrole

h + 2h + 6h = 9h

Exemple traité

Trouver le récipient vide et le contenu de chaque récipient.

1
Le volume total
$3 + 6 + 10 + 11 + 15 + 17 + 23 + 25 + 30 = 140$
2
Le reste par 9
$140 - v$ doit être un multiple de $9$ : le récipient vide $v$ a le même reste que $140$ par $9.$
$140 = 9 \times 15 + 5$
3
Le seul possible
Les restes par $9$ des contenances sont $3,$ $6,$ $1,$ $2,$ $6,$ $8,$ $5,$ $7,$ $3$ : seul $23$ donne $5.$
$140 - 23 = 117 = 9 \times 13$
4
Les quantités
$h = 13$ : $13$ litres d'huile, $26$ de lait, $78$ de pétrole.
$13 = 3 + 10 \quad ; \quad$ $26 = 11 + 15 \quad ; \quad$ $78 = 6 + 17 + 25 + 30$

le récipient vide est celui de

23

litres

L’erreur à ne pas faire

On essaie les récipients un par un, au hasardLe volume rempli est $9h$ : on cherche le récipient qui a le même reste que $140$ par $9$
Le reste par 9 désigne d’un coup le seul récipient possible.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha problème mezyen. El fellè7 3andou tes3a récipients, la somme mte3hom 140 litres. Ezzit h, el 7lib deux fois h, w le pétrole trois fois el 7lib, ya3ni six fois h. Donc el koll neuf fois h : el litres el m3abbyin multiple de 9. 140 égale 9 fois 15 plus 5, donc le récipient el fergh lezem le reste mte3ou par 9 houwa 5 : ma famma ken 23. Yo93ed 117, ya3ni 9 fois 13 : 13 litres zit, 26 7lib, w 78 pétrole. »

Activité

Les puissances de 10 et le nombre 11

On vérifie que $10^{2} - 1 = 99 = 11 \times 9$ et que $10^{3} + 1 = 1001 = 11 \times 91.$

Si $11$ divise $N - 1,$ alors $11$ divise $10^{2}N - 1 = 100(N - 1) + 99.$ On en déduit de proche en proche que $10^{4} - 1,$ $10^{6} - 1,$ $10^{8} - 1$ et $10^{10} - 1$ sont divisibles par $11.$
Si $11$ divise $N + 1,$ alors $11$ divise $10^{2}N + 1 = 100(N + 1) - 99.$ Donc $10^{5} + 1,$ $10^{7} + 1$ et $10^{9} + 1$ sont divisibles par $11.$

En écrivant un entier avec ces nombres, tout est multiple de $11$ sauf une parenthèse finale :

$75429 = 7 \times (10^{4} - 1) + 5 \times (10^{3} + 1) + 4 \times (10^{2} - 1) + 2 \times (10^{1} + 1) + 9 \times (10^{0} - 1) + (9 - 2 + 4 - 5 + 7).$

$75429$ et $d = 9 - 2 + 4 - 5 + 7 = 13$ ont donc le même reste par $11$ : $13 = 11 + 2,$ le reste est $2.$ Les chiffres sont pris à partir des unités, avec des signes alternés.

exposant pair : moins 1

10^{2} - 1 = 99 = 11 \times 9

exposant impair : plus 1

10^{3} + 1 = 1001 = 11 \times 91

Ce qu’on observe

Écrire $2765$ comme on a écrit $75429,$ avec les nombres $10^{k} - 1$ et $10^{k} + 1,$ et en déduire si $2765$ est divisible par $11.$

1
Écrire 2765
$2765 = 2 \times (10^{3} + 1) + 7 \times (10^{2} - 1) + 6 \times (10^{1} + 1) + 5 \times (10^{0} - 1) + (5 - 6 + 7 - 2)$
2
Vérifier
$2002 + 693 + 66 + 0 + 4 = 2765$
3
Conclure
Les quatre premiers termes sont des multiples de $11,$ et $5 - 6 + 7 - 2 = 4.$
$2765 = 11 \times 251 + 4$

2765

n'est pas divisible par

11

; son reste est

4

L’erreur à ne pas faire

$10^{3} - 1 = 999$ est divisible par $11$ $999 = 11 \times 90 + 9$ ; c'est $10^{3} + 1 = 1001$ qui est divisible par $11$
Exposant pair : $10^{k} - 1$ ; exposant impair : $10^{k} + 1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou le critère mta3 11, nchoufou les puissances de 10. 10 au carré moins 1 égale 99, w 99 égale 11 fois 9. W 10 au cube plus 1 égale 1001, ya3ni 11 fois 91. W hakka : 10 puissance un nombre pair, moins 1, divisible par 11 ; w 10 puissance un nombre impair, plus 1, divisible par 11. Donc ki nektbou 2765 b les puissances de 10, koll chay divisible par 11 ken el parenthèse elli fel e5er : 5 moins 6 plus 7 moins 2, égale 4. Donc 2765 w 4 3andhom nafs le reste par 11. »

Propriété

Divisibilité par 11

Propriété. Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $S_{1}$ la somme de ses chiffres de rang impair et par $S_{2}$ la somme de ses chiffres de rang pair, les rangs étant comptés de droite à gauche (le chiffre des unités est de rang $1$ ). Soit $d = S_{1} - S_{2}.$

1er cas : $d \ge 0.$

$n$ est divisible par $11$ si et seulement si $d$ est divisible par $11.$
Le reste de la division euclidienne de $n$ par $11$ est égal au reste de la division euclidienne de $d$ par $11.$

Exemples :

$n$	$d$	$n$ divisible par $11$
$2765$	$5 - 6 + 7 - 2 = 4$	non
$473$	$3 - 7 + 4 = 0$	oui
$1738$	$8 - 3 + 7 - 1 = 11$	oui
$80916$	$6 - 1 + 9 - 0 + 8 = 22$	oui
$91827$	$7 - 2 + 8 - 1 + 9 = 21$	non
$9081919$	$9 - 1 + 9 - 1 + 8 - 0 + 9 = 33$	oui

$n$	$2765$	$473$	$1738$	$80916$	$91827$	$9081919$
$d$	$5 - 6 + 7 - 2 = 4$	$3 - 7 + 4 = 0$	$8 - 3 + 7 - 1 = 11$	$6 - 1 + 9 - 0 + 8 = 22$	$7 - 2 + 8 - 1 + 9 = 21$	$9 - 1 + 9 - 1 + 8 - 0 + 9 = 33$
$n$ divisible par $11$	non	oui	oui	oui	non	oui

Et pour $743,$ $d = 3 - 4 + 7 = 6,$ et le reste de $743$ par $11$ est bien $6$ ( $743 = 11 \times 67 + 6$ ).

rangs comptés depuis les unités

d = S_{1} - S_{2}

Exemple traité

Déterminer le reste de la division euclidienne de $2731$ par $11.$

1
Les rangs
De droite à gauche : $1$ (rang $1$ ), $3$ (rang $2$ ), $7$ (rang $3$ ), $2$ (rang $4$ ).
2
Les deux sommes
$S_{1} = 1 + 7 = 8 \quad ; \quad$ $S_{2} = 3 + 2 = 5$
3
Le nombre d
$d = 8 - 5 = 3$
4
Vérifier
$2731 = 11 \times 248 + 3$

le reste de

2731

par

11

est

3

L’erreur à ne pas faire

Pour $2731,$ on compte de gauche à droite : $S_{1} = 2 + 3,$ $S_{2} = 7 + 1$ De droite à gauche : $S_{1} = 1 + 7 = 8$ et $S_{2} = 3 + 2 = 5$
Le chiffre des unités est toujours de rang 1 ; avec un nombre pair de chiffres, compter dans l’autre sens change le signe de d.
Pour $91827,$ $d = 21$ : le reste par $11$ est $21$ $21 = 11 + 10$ : le reste est $10$
Un reste par 11 est inférieur à 11 : on prend le reste de d.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa le critère mta3 11. N3addou les rangs men limin l lisar : le chiffre des unités rang un. S un la somme des chiffres de rang impair, w S deux la somme des chiffres de rang pair, w d égale S un moins S deux. Ki d positif walla nul : n divisible par 11 ken d divisible par 11, w le reste de n houwa le reste de d. Mathalan 2731 : S un égale 1 plus 7, 8, w S deux égale 3 plus 2, 5. d égale 3, donc le reste de 2731 par 11 houwa 3. »

Propriété

Divisibilité par 11 : quand d est négatif

2ème cas : $d < 0$ . Soit $p$ le plus petit entier naturel tel que $d + 11p$ soit positif ou nul.

$n$ est divisible par $11$ si et seulement si $d + 11p$ est divisible par $11.$
Le reste de la division euclidienne de $n$ par $11$ est $d + 11p.$

Les multiples de $11$ inférieurs à $100$ sont $0,$ $11,$ $22,$ $33,$ $44,$ $55,$ $66,$ $77,$ $88,$ $99$ . Pour $d = -5,$ $-13,$ $-22,$ $-27$ et $-93,$ le plus petit multiple $m$ de $11$ tel que $d + m \ge 0$ est $11,$ $22,$ $22,$ $33$ et $99.$

$n$	$8291$	$190$	$581$	$5071$	$8370$	$709180$
$d$	$1 - 9 + 2 - 8 = -14$	$0 - 9 + 1 = -8$	$1 - 8 + 5 = -2$	$1 - 7 + 0 - 5 = -11$	$0 - 7 + 3 - 8 = -12$	$0 - 8 + 1 - 9 + 0 - 7 = -23$
$m$	$22$	$11$	$11$	$11$	$22$	$33$
$d + m$ = reste	$8$	$3$	$9$	$0$	$10$	$10$

$5071$ est donc divisible par $11$ ( $5071 = 11 \times 461$ ).

p : le plus petit possible

d < 0 : \quad r = d + 11p

Exemple traité

Déterminer le reste de la division euclidienne de $9391$ par $11.$

1
Les deux sommes
De droite à gauche : $1,$ $9,$ $3,$ $9.$
$S_{1} = 1 + 3 = 4 \quad ; \quad$ $S_{2} = 9 + 9 = 18$
2
d est négatif
$d = 4 - 18 = -14$
3
Ajouter 22
$-14 + 11 < 0,$ mais $-14 + 22 \ge 0$ : $p = 2.$
$d + 22 = 8$
4
Vérifier
$9391 = 11 \times 853 + 8$

le reste de

9391

par

11

est

8

L’erreur à ne pas faire

Pour $8291,$ $d = -14$ : le reste est $14$ On ajoute $22$ : le reste est $-14 + 22 = 8$
On ne change pas le signe de d ; on lui ajoute le plus petit multiple de 11 qui le rend positif ou nul.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W ki d négatif ? Nzidou 3lih le plus petit multiple de 11 elli yrajj3ou positif walla nul. Mathalan 8291 : S un égale 1 plus 2, 3, w S deux égale 9 plus 8, 17. d égale moins 14. Nzidou 22, w nal9aw 8 : le reste de 8291 par 11 houwa 8. W ki d plus 11 p ywalli zéro, n divisible par 11, kima 5071. Rodd belek : le reste 3omrou ma ykoun négatif, w ma tna77ich le signe moins bark. »

Méthode

Trouver un chiffre inconnu

Pour trouver un chiffre inconnu d'un nombre divisible par $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $8,$ $9,$ $11$ ou $25$ :

1.on traduit le critère en une condition sur le chiffre inconnu ;
2.on utilise qu'un chiffre est un entier compris entre $0$ et $9$ ;
3.avec deux chiffres inconnus et deux critères, on commence par le critère qui ne fait intervenir qu'un seul chiffre — en général celui des derniers chiffres ( $2,$ $5,$ $4,$ $25,$ $8$ ).

Exemple : $n = 4a68$ divisible par $11.$ De droite à gauche : $8,$ $6,$ $a,$ $4,$ donc $S_{1} = 8 + a,$ $S_{2} = 6 + 4 = 10$ et $d = a - 2.$ Comme $-2 \le a - 2 \le 7,$ le seul multiple de $11$ possible est $0$ : $a = 2,$ et $4268 = 11 \times 388.$

un chiffre

0 \le a \le 9

Exemple traité

Déterminer le chiffre $a$ pour que le nombre $n = 8291a$ soit divisible par $11.$

1
Les deux sommes
De droite à gauche : $a,$ $1,$ $9,$ $2,$ $8.$
$S_{1} = a + 9 + 8 = a + 17 \quad ; \quad$ $S_{2} = 1 + 2 = 3$
2
Le nombre d
$d = a + 14$
3
Encadrer
Comme $0 \le a \le 9,$ $d$ est entre $14$ et $23$ : le seul multiple de $11$ est $22.$
$a + 14 = 22$
4
Vérifier
$82918 = 11 \times 7538$

a = 8

L’erreur à ne pas faire

$d = a + 14$ ne peut pas valoir $0$ : il n'y a pas de solution $d$ peut valoir $11,$ $22,$ $33$ … : ici $a + 14 = 22,$ donc $a = 8$
« $d$ divisible par $11$ » ne veut pas dire « $d = 0$ ».

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki famma chiffre ma na3rfouhch, nektbou le critère bel chiffre hedha, w ba3d nesta3mlou elli chiffre dima bin 0 w 9. Mathalan 8291a divisible par 11 : S un égale a plus 9 plus 8, w S deux égale 1 plus 2, donc d égale a plus 14. a bin 0 w 9, donc d bin 14 w 23, w le seul multiple de 11 houwa 22 : a égale 8. W ki famma zouz chiffres, nabdew b le critère elli fih chiffre wa7ed. »

Méthode

Raisonner sur les restes possibles

Pour montrer qu'une expression en $n$ est divisible par $3$ pour tout entier naturel $n,$ on ne peut pas essayer tous les entiers. Mais le reste de $n$ par $3$ ne peut valoir que $0,$ $1$ ou $2$ : il suffit donc de traiter trois cas,

$\displaystyle n = 3k, \qquad$ $\displaystyle n = 3k + 1, \qquad$ $\displaystyle n = 3k + 2 \qquad (k \text{ entier naturel}).$

Avec $4,$ $5$ … à la place de $3,$ il y a autant de cas que de restes possibles.

les trois restes par 3

n = 3k

n = 3k + 1

n = 3k + 2

Exemple traité

Soit $n$ un entier naturel. Montrer que l'entier $A = n(n^{2} + 5)$ est divisible par $3.$

1
Si $n = 3k$
Le facteur $n$ est divisible par $3,$ donc $A$ aussi.
2
Si $n = 3k + 1$
$n^{2} + 5 = 9k^{2} + 6k + 6 = 3(3k^{2} + 2k + 2)$
3
Si $n = 3k + 2$
$n^{2} + 5 = 9k^{2} + 12k + 9 = 3(3k^{2} + 4k + 3)$
4
Conclure
Dans les trois cas, un des facteurs de $A$ est divisible par $3.$

3

divise

n(n^{2} + 5)

pour tout entier naturel

n

L’erreur à ne pas faire

On vérifie pour $n = 1,$ $2$ et $3$ : c'est donc vrai pour tout $n$ On traite les trois cas $n = 3k,$ $n = 3k + 1$ et $n = 3k + 2$
Quelques exemples ne démontrent rien ; les trois cas, eux, couvrent tous les entiers.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nwarriw elli n fois, n au carré plus 5, divisible par 3 l koll entier n ? Ma najjmouch njarbou les nombres el koll. Ama koll entier, le reste mte3ou par 3 ya zéro, ya un, ya deux. Donc 3andna trois cas bark : n égale 3 k, n égale 3 k plus 1, w n égale 3 k plus 2. Ki n égale 3 k, n divisible par 3. Ki n égale 3 k plus 1, n au carré plus 5 égale 3 fois, 3 k au carré plus 2 k plus 2. W ki n égale 3 k plus 2, n au carré plus 5 égale 3 fois, 3 k au carré plus 4 k plus 3. Fel trois cas, divisible par 3. »

Activité

Le chiffre des unités de 3 puissance n

Sur un tableur, la colonne A affiche $n = 0,$ $1,$ $2,$ $\ldots$ , la colonne B les puissances $3^{n},$ et la colonne C le chiffre des unités, donné par la formule $\text{MOD}(\text{B2} ; 10)$ : le reste de la division euclidienne par $10.$

On lit $1,$ $3,$ $9,$ $7,$ $1,$ $3,$ $9,$ $7,$ $\ldots$ pour $3^{0},$ $3^{1},$ $3^{2},$ $3^{3},$ $3^{4},$ $\ldots$ : on conjecture que les chiffres des unités se répètent tous les $4.$ Le chiffre des unités de $3^{n}$ est alors celui de $3^{r},$ où $r$ est le reste de $n$ par $4$ . (On peut l'expliquer : $3^{4} = 81$ se termine par $1,$ et le chiffre des unités d'un produit ne dépend que des chiffres des unités des facteurs.)

reste de $n$ par $4$	chiffre des unités de $3^{n}$
$0$	$1$
$1$	$3$
$2$	$9$
$3$	$7$

le motif 1, 3, 9, 7

3^{0} = 1, \quad

3^{1} = 3, \quad

3^{2} = 9, \quad

3^{3} = 27, \quad

3^{4} = 81

Ce qu’on observe

Quel est le chiffre des unités de $3^{41},$ de $3^{175}$ et de $3^{1000}$ ?

1
3 puissance 41
Comme $3^{1}$ : le chiffre des unités est $3.$
$41 = 4 \times 10 + 1$
2
3 puissance 175
Comme $3^{3} = 27$ : le chiffre des unités est $7.$
$175 = 4 \times 43 + 3$
3
3 puissance 1000
Comme $3^{0} = 1$ : le chiffre des unités est $1.$
$1000 = 4 \times 250$

3 \quad ; \quad

7 \quad ; \quad

1

L’erreur à ne pas faire

Le chiffre des unités de $3^{175}$ est celui de $3^{5},$ car $175$ se termine par $5$ $175 = 4 \times 43 + 3$ : c'est celui de $3^{3},$ soit $7$
Le motif se répète tous les 4 : c’est le reste par 4 qui compte, pas le chiffre des unités de l’exposant.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bel tableur, n7ottou n, 3 puissance n, w le chiffre des unités b MOD de 10. Nal9aw 1, 3, 9, 7, w ba3d 1, 3, 9, 7 marra o5ra. El chiffres yet3awdou koll arba3a. Donc bech na3rfou le chiffre des unités de 3 puissance n, na7sbou le reste de n par 4. Mathalan 175 égale 4 fois 43 plus 3 : le chiffre des unités de 3 puissance 175 houwa nafsou mta3 3 au cube, 27 : ya3ni 7. »

Remarque

Code-barre et nombres amiables

Le code-barre. Le code UPC d'un produit est formé de $13$ chiffres : les douze premiers désignent le pays, le fabricant et le produit, le dernier est la clé de contrôle. Si on ajoute les sept chiffres de rang impair du code et le triple de la somme des chiffres de rang pair, le résultat doit être divisible par $10$ .

Les nombres amiables. Deux entiers sont amiables si la somme des diviseurs propres de chacun est égale à l'autre. Ainsi $220$ et $284$ : $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$ et $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.$ Dès le IXᵉ siècle, le mathématicien arabe Thabit Ibn Qurra (836 – 901, Bagdad) énonce : si $p = 3 \times 2^{n-1} - 1,$ $q = (3 \times 2^{n}) - 1$ et $r = 9 \times 2^{2n-1} - 1$ sont tous trois premiers, alors $a = 2^{n} \times p \times q$ et $b = 2^{n} \times r$ sont amiables. Pour $n = 2$ : $p = 5,$ $q = 11,$ $r = 71,$ et l'on retrouve $220$ et $284.$ Pour $n = 4$ et $n = 7,$ on obtient les couples découverts par Al Farissi, $(17296, 18416),$ et par Al Yazdi, $(9363584, 9437056).$

Thabit Ibn Qurra

a = 2^{n} \times p \times q \quad ; \quad

b = 2^{n} \times r

Exemple traité

Les douze premiers chiffres d'un code-barre sont $619220260141.$ Déterminer la clé de contrôle $k.$

1
Les rangs impairs
Rangs $1,$ $3,$ $5,$ $7,$ $9,$ $11$ et $13$ : $6,$ $9,$ $2,$ $2,$ $0,$ $4$ et la clé $k.$
$6 + 9 + 2 + 2 + 0 + 4 + k = 23 + k$
2
Les rangs pairs
Rangs $2,$ $4,$ $\ldots,$ $12$ : $1,$ $2,$ $0,$ $6,$ $1,$ $1$ .
$3 \times (1 + 2 + 0 + 6 + 1 + 1) = 33$
3
Divisible par 10
$23 + k + 33 = 56 + k$
4
La clé
$k$ est un chiffre et $56 + k$ doit se terminer par $0.$
$56 + 4 = 60$

k = 4

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chwaya culture : le code-barre. El code fih 13 chiffres, w le chiffre elli fel e5er houwa la clé de contrôle. Nejm3ou les chiffres de rang impair, w nzidou trois fois la somme des chiffres de rang pair : lezem le résultat ykoun divisible par 10. W les nombres amiables : 220 w 284. La somme des diviseurs propres de 220 égale 284, w la somme mta3 284 égale 220. W Thabit Ibn Qurra, mathématicien 3arbi mel neuvième siècle, 3tana formule bech nal9aw o5rin. »

À retenir

1.
$a = bq + r$ avec $0 \le r < b$ : $a$ dividende, $b$ diviseur, $q$ quotient, $r$ reste ; le couple $(q, r)$ est unique.
2.
$n$ divise $a$ : $a = kn,$ autrement dit le reste de $a$ par $n$ est nul.
3.
Si $n$ divise $x$ et $y,$ alors $n$ divise $px,$ $x + y$ et $x - y$ (pour $x \ge y$ ).
4.
Par $2$ et $5$ : le chiffre des unités ; par $4$ et $25$ : les deux derniers chiffres ; par $8$ : les trois derniers.
5.
Par $3$ et $9$ : la somme des chiffres, qui a le même reste que le nombre.
6.
Par $11$ : $d = S_{1} - S_{2},$ rangs comptés depuis les unités ; si $d \ge 0,$ $n$ et $d$ ont le même reste.
7.
Si $d < 0$ : le reste est $d + 11p,$ avec $p$ le plus petit entier qui rend $d + 11p \ge 0.$
8.
Pour une expression en $n$ : on distingue les restes possibles de $n.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

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S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

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Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

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Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

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Ce que tu dois savoir faire

Effectuer la division euclidienne d'un entier naturel par un entier naturel non nul, et reconnaître une égalité qui la traduit
Utiliser la divisibilité d'une somme et d'une différence
Appliquer les critères de divisibilité par $2$ , $5$ , $4$ , $25$ , $8$ , $3$ et $9$ , et trouver un reste sans poser la division
Appliquer le critère de divisibilité par $11$ , que $d$ soit positif ou négatif
Résoudre des problèmes : chiffre inconnu, restes possibles, jours de la semaine

Quel jour serons-nous ?

Une semaine compte $7$ jours : tous les $7$ jours, on retombe sur le même jour. Pour savoir quel jour nous serons après un certain nombre de jours, on cherche combien de semaines complètes il contient, et ce qui reste :

$77 = 7 \times 11 + 0$ : après $77$ jours, c'est le même jour qu'aujourd'hui ;
$155 = 7 \times 22 + 1$ : un jour plus loin ;
$234 = 7 \times 33 + 3$ : trois jours plus loin.

Seul le reste compte : c'est l'idée de la division euclidienne.

234 = 7 \times 33 + 3

Le piège

$155 \div 7 \approx 22{,}14$ , donc on avance de $14$ jours

$155 = 7 \times 22 + 1$ : on avance d'un seul jour

Les chiffres après la virgule ne sont pas le reste : le reste est $155 - 7 \times 22 = 1$ .

La division euclidienne

Définition. $a$ et $b$ désignent deux entiers naturels tels que $b$ est différent de zéro. On admet l'existence d'un couple unique $(q, r)$ d'entiers naturels tels que :

a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b.

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ , c'est trouver ce couple $(q, r)$ . $a$ est le dividende, $b$ est le diviseur, $q$ est le quotient et $r$ est le reste.

Attention : une égalité $a = bq + r$ ne traduit une division euclidienne que si le reste est strictement inférieur au diviseur.

$73 = 20 \times 3 + 13$ : $13 < 20$ , c'est la division de $73$ par $20$ (quotient $3$ , reste $13$ ) ; ce n'est pas la division par $3$ , car $13 \ge 3$ .
$155 = 17 \times 8 + 19$ : $19 > 17$ et $19 > 8$ , ce n'est pas une division euclidienne.
$189 = 12 \times 15 + 9$ : $9 < 12$ et $9 < 15$ , c'est à la fois la division de $189$ par $12$ et celle de $189$ par $15$ .
$252 = 14 \times 18$ : le reste est nul, par $14$ comme par $18$ .

a = bq + r

0 \le r < b

Le piège

$155 = 17 \times 8 + 19$ : le reste de $155$ par $17$ est $19$

$155 = 17 \times 9 + 2$ : le reste est $2$

Le reste doit vérifier $0 \le r < b$ ; ici $19 \ge 17$ .

Le piège

$73 = 20 \times 3 + 13$ est la division de $73$ par $3$

C'est la division de $73$ par $20$ ; par $3$ , on a $73 = 3 \times 24 + 1$

Le reste $13$ n'est pas inférieur à $3$ : il ne peut pas être le reste d'une division par $3$ .

Le quotient et le reste à la calculatrice

Un élève a obtenu sur sa calculatrice $327 \div 54 = 6{,}055555556$ . La calculatrice ne donne pas directement le reste, mais elle donne le quotient :

le quotient $q$ est la partie entière du résultat : ici $q = 6$ ;
le reste se calcule ensuite : $r = a - bq$ .

Ici $r = 327 - 54 \times 6 = 327 - 324 = 3$ , et l'on vérifie que $0 \le 3 < 54$ .

Les chiffres après la virgule ne sont pas le reste : $0{,}0555\ldots$ est seulement $\dfrac{3}{54}$ .

q = \text{partie entière de } \frac{a}{b}

r = a - bq

Le piège

$327 \div 54 = 6{,}0555\ldots$ , donc le reste est $0555$

$r = 327 - 54 \times 6 = 3$

La partie décimale est le reste divisé par le diviseur, pas le reste lui-même.

Le piège

On arrondit : $q = 143$ , $r = 5002 - 35 \times 143 = -3$

$q = 142$ et $r = 32$

Le quotient est la partie entière, jamais l’arrondi au-dessus : un reste ne peut pas être négatif.

Des flèches qui se répètent

Un problème du Kangourou des Mathématiques. Les entiers naturels de $0$ à $1000$ ont été reliés par des flèches comme l'indique la figure. Quelle succession de flèches relie $527$ à $530$ ?

Le dessin se répète tous les six nombres : de $6$ à $12$ , on retrouve exactement les flèches de $0$ à $6$ . La flèche qui part d'un entier $n$ ne dépend donc que du reste de $n$ dans la division par $6$ :

reste de $n$ par $6$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
place de $n$	en haut	en haut	en bas	en haut	en bas	en bas

Or $527 = 6 \times 87 + 5$ : $527$ est placé comme $5$ , en bas ; $528$ comme $0$ , en haut ; $529$ comme $1$ , en haut ; $530$ comme $2$ , en bas. Le chemin de $527$ à $530$ est donc : on monte, on va à droite, puis on descend.

Les entiers reliés par des flèches ; le dessin se répète tous les six nombres.

527 = 6 \times 87 + 5

Le piège

$527$ se place comme $7$ , son chiffre des unités

$527$ se place comme $5$ , car $527 = 6 \times 87 + 5$

Le motif se répète tous les six nombres : c’est le reste par 6 qui compte, pas le reste par 10.

Divisibilité : somme et différence

Soient $a$ un entier naturel et $n$ un entier naturel non nul. $n$ divise $a$ signifie qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = kn$ ; on dit aussi que $a$ est un multiple de $n$ , ou que $a$ est divisible par $n$ . Cela revient à dire que le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$ est zéro.

Propriété. Soient $n$ , $x$ et $y$ trois entiers naturels tels que $n$ divise $x$ et $n$ divise $y$ . Alors :

$n$ divise $px$ et $n$ divise $py$ , pour tout entier naturel $p$ ;
$n$ divise $x + y$ ;
$n$ divise $x - y$ , lorsque $x \ge y$ .

On s'en sert pour montrer que deux entiers sont premiers entre eux : un diviseur commun à $118$ et $225$ divise leur somme $343 = 7^{3}$ , donc c'est $1$ , $7$ , $49$ ou $343$ ; or $7$ ne divise pas $118 = 7 \times 16 + 6$ , donc ce diviseur commun est $1$ .

De même, si $n$ divise $n + 15$ , alors $n$ divise $(n + 15) - n = 15$ , donc $n$ vaut $1$ , $3$ , $5$ ou $15$ .

a = kn

x = kn \ \text{ et } \ y = k'n \ \Rightarrow \ x + y = (k + k')n

Le piège

$n$ divise $x + y$ , donc $n$ divise $x$ et $n$ divise $y$

$6$ divise $2 + 4$ , mais $6$ ne divise ni $2$ ni $4$

La propriété va dans un seul sens : la réciproque est fausse.

Le piège

Si $n$ divise $a$ , alors $\mathrm{PPCM}(a, n) = na$

Si $n$ divise $a$ , alors $\mathrm{PPCM}(a, n) = a$ et $\mathrm{PGCD}(a, n) = n$

$a$ est déjà un multiple de $n$ : le reste de $a$ par $n$ est zéro.

Rappels : PGCD, PPCM, premiers entre eux

Un rappel de la première année. On décompose chaque entier en produit de facteurs premiers, puis :

le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant ;
le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers, chacun avec son plus grand exposant ;
deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est $1$ .

Avec $245 = 5 \times 7^{2}$ , $252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7$ et $600 = 2^{3} \times 3 \times 5^{2}$ :

	PGCD	PPCM
$245$ et $252$	$7$	$2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7^{2} = 8820$
$252$ et $600$	$2^{2} \times 3 = 12$	$2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7 = 12600$
$245$ et $600$	$5$	$2^{3} \times 3 \times 5^{2} \times 7^{2} = 29400$

\mathrm{PGCD}(a, b) \times \mathrm{PPCM}(a, b) = ab

Le piège

$\mathrm{PGCD}(252, 600) = 2^{3} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7$

$\mathrm{PGCD}(252, 600) = 2^{2} \times 3 = 12$

Pour le PGCD, on ne garde que les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant ; l’autre produit est le PPCM.

Divisibilité par 2 et par 5

Les restes de la division par $10$ de $8$ , $37$ , $175$ , $18159$ , $350600$ et $8587325$ sont $8$ , $7$ , $5$ , $9$ , $0$ et $5$ : c'est le chiffre des unités. Si $u$ est le chiffre des unités de $n$ , on écrit donc $n = 10q + u$ , avec $q$ entier naturel ; et comme $10 = 2 \times 5$ , le terme $10q$ est divisible par $2$ et par $5$ .

Propriété.

Un entier est divisible par $2$ (respectivement par $5$ ) si et seulement si son chiffre des unités est divisible par $2$ (respectivement par $5$ ).
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $2$ (respectivement par $5$ ) est égal au reste de la division euclidienne de son chiffre des unités par $2$ (respectivement par $5$ ).

n = 10q + u

Le piège

Le reste de $69137$ par $5$ est $7$

C'est $2$ , le reste de $7$ par $5$

On prend le reste du chiffre des unités ; $7$ n'est pas un reste possible par $5$ .

Divisibilité par 4 et par 25

Les restes de la division par $100$ de $12$ , $50$ , $133$ , $984$ , $4500$ et $79375$ sont $12$ , $50$ , $33$ , $84$ , $0$ et $75$ : c'est le nombre formé par les deux derniers chiffres. Si $n \ge 10$ et si $b$ est ce nombre, on écrit $n = 100a + b$ , avec $a$ entier naturel ; et comme $100 = 4 \times 25$ , le terme $100a$ est divisible par $4$ et par $25$ .

Propriété.

Un entier est divisible par $4$ (respectivement par $25$ ) si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$ (respectivement par $25$ ).
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $4$ (respectivement par $25$ ) est égal au reste de la division euclidienne par $4$ (respectivement par $25$ ) du nombre formé par ses deux derniers chiffres.

n = 100a + b

Le piège

$1050$ est divisible par $4$ , car $50$ est pair

$50 = 4 \times 12 + 2$ : $1050$ n'est pas divisible par $4$

Pour 4, il faut que le nombre formé par les deux derniers chiffres soit divisible par 4 ; être pair ne suffit pas.

Divisibilité par 8

Les restes de la division par $1000$ de $23$ , $96$ , $249$ , $1672$ , $3502$ et $19456$ sont $23$ , $96$ , $249$ , $672$ , $502$ et $456$ : le nombre formé par les trois derniers chiffres. Leurs restes par $8$ sont $7$ , $0$ , $1$ , $0$ , $6$ et $0$ . Si $n \ge 100$ et si $b$ est le nombre formé par ses trois derniers chiffres, $n = 1000a + b$ ; et $1000 = 8 \times 125$ est divisible par $8$ — alors que $100$ ne l'est pas.

Propriété.

Un entier, supérieur ou égal à $100$ , est divisible par $8$ si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par $8$ .
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $8$ est égal au reste de la division euclidienne par $8$ du nombre formé par ses trois derniers chiffres.

n = 1000a + b

Le piège

Pour $234105$ , on regarde $05$ : le reste par $8$ est $5$

On regarde $105 = 8 \times 13 + 1$ : le reste est $1$

Par $8$ , il faut les trois derniers chiffres : $100$ n'est pas un multiple de $8$ .

Divisibilité par 3 et par 9

Soit $n$ un entier naturel à quatre chiffres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ (milliers, centaines, dizaines, unités), et $S = a + b + c + d$ la somme de ses chiffres. Alors

n = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + 99b + 9c + S.

Comme $999$ , $99$ et $9$ sont des multiples de $9$ (donc de $3$ ), $n - S$ est divisible par $9$ et par $3$ .

Propriété.

Un entier est divisible par $3$ (respectivement par $9$ ) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (respectivement par $9$ ).
Le reste de la division euclidienne d'un entier par $3$ (respectivement par $9$ ) est égal au reste de la division euclidienne de la somme de ses chiffres par $3$ (respectivement par $9$ ).

Avec aussi les critères de $2$ et de $5$ :

	par $2$	par $3$	par $5$	par $9$
$72531$ ( $S = 18$ )	non	oui	non	oui
$923864$ ( $S = 32$ )	oui	non	non	non
$1231105$ ( $S = 13$ )	non	non	oui	non
$7843621$ ( $S = 31$ )	non	non	non	non
$813543210$ ( $S = 27$ )	oui	oui	oui	oui

n - S = 999a + 99b + 9c

Le piège

$2325$ est divisible par $3$ , donc par $9$

$S = 12$ : $2325$ est divisible par $3$ , mais pas par $9$

$12$ est un multiple de $3$ , pas de $9$ ; c'est l'inverse qui est vrai : divisible par $9$ entraîne divisible par $3$ .

Le piège

Le reste de $1359$ par $9$ est $18$ , la somme de ses chiffres

$18 = 9 \times 2$ : le reste est $0$ , et $1359$ est divisible par $9$

On prend le reste de la somme des chiffres, et un reste par 9 est toujours inférieur à 9.

Du lait, de l’huile et du pétrole

Un problème tiré de *Oh les maths*, de P. Yakov. Un paysan dispose de neuf récipients de contenances $3$ ; $6$ ; $10$ ; $11$ ; $15$ ; $17$ ; $23$ ; $25$ et $30$ litres. Il revient du marché avec deux fois plus de lait que d'huile et trois fois plus de pétrole que de lait. Tous ses récipients sont pleins, sauf un qui est vide. Lequel ?

Si $h$ est la quantité d'huile, il a $2h$ litres de lait et $6h$ litres de pétrole : en tout $9h$ litres. Le volume rempli est donc un multiple de $9$ . On retrouvera la même idée dans l'exercice des boîtes de boules, où le nombre de boules restantes doit être un multiple de $3$ .

h + 2h + 6h = 9h

Le piège

On essaie les récipients un par un, au hasard

Le volume rempli est $9h$ : on cherche le récipient qui a le même reste que $140$ par $9$

Le reste par 9 désigne d’un coup le seul récipient possible.

Les puissances de 10 et le nombre 11

On vérifie que $10^{2} - 1 = 99 = 11 \times 9$ et que $10^{3} + 1 = 1001 = 11 \times 91$ .

Si $11$ divise $N - 1$ , alors $11$ divise $10^{2}N - 1 = 100(N - 1) + 99$ . On en déduit de proche en proche que $10^{4} - 1$ , $10^{6} - 1$ , $10^{8} - 1$ et $10^{10} - 1$ sont divisibles par $11$ .
Si $11$ divise $N + 1$ , alors $11$ divise $10^{2}N + 1 = 100(N + 1) - 99$ . Donc $10^{5} + 1$ , $10^{7} + 1$ et $10^{9} + 1$ sont divisibles par $11$ .

En écrivant un entier avec ces nombres, tout est multiple de $11$ sauf une parenthèse finale :

75429 = 7 \times (10^{4} - 1) + 5 \times (10^{3} + 1) + 4 \times (10^{2} - 1) + 2 \times (10^{1} + 1) + 9 \times (10^{0} - 1) + (9 - 2 + 4 - 5 + 7).

$75429$ et $d = 9 - 2 + 4 - 5 + 7 = 13$ ont donc le même reste par $11$ : $13 = 11 + 2$ , le reste est $2$ . Les chiffres sont pris à partir des unités, avec des signes alternés.

10^{2} - 1 = 99 = 11 \times 9

10^{3} + 1 = 1001 = 11 \times 91

Le piège

$10^{3} - 1 = 999$ est divisible par $11$

$999 = 11 \times 90 + 9$ ; c'est $10^{3} + 1 = 1001$ qui est divisible par $11$

Exposant pair : $10^{k} - 1$ ; exposant impair : $10^{k} + 1$ .

Divisibilité par 11

Propriété. Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $S_{1}$ la somme de ses chiffres de rang impair et par $S_{2}$ la somme de ses chiffres de rang pair, les rangs étant comptés de droite à gauche (le chiffre des unités est de rang $1$ ). Soit $d = S_{1} - S_{2}$ .

1er cas : $d \ge 0$ .

$n$ est divisible par $11$ si et seulement si $d$ est divisible par $11$ .
Le reste de la division euclidienne de $n$ par $11$ est égal au reste de la division euclidienne de $d$ par $11$ .

Exemples :

$n$	$d$	$n$ divisible par $11$
$2765$	$5 - 6 + 7 - 2 = 4$	non
$473$	$3 - 7 + 4 = 0$	oui
$1738$	$8 - 3 + 7 - 1 = 11$	oui
$80916$	$6 - 1 + 9 - 0 + 8 = 22$	oui
$91827$	$7 - 2 + 8 - 1 + 9 = 21$	non
$9081919$	$9 - 1 + 9 - 1 + 8 - 0 + 9 = 33$	oui

Et pour $743$ , $d = 3 - 4 + 7 = 6$ , et le reste de $743$ par $11$ est bien $6$ ( $743 = 11 \times 67 + 6$ ).

d = S_{1} - S_{2}

Le piège

Pour $2731$ , on compte de gauche à droite : $S_{1} = 2 + 3$ , $S_{2} = 7 + 1$

De droite à gauche : $S_{1} = 1 + 7 = 8$ et $S_{2} = 3 + 2 = 5$

Le chiffre des unités est toujours de rang 1 ; avec un nombre pair de chiffres, compter dans l’autre sens change le signe de d.

Le piège

Pour $91827$ , $d = 21$ : le reste par $11$ est $21$

$21 = 11 + 10$ : le reste est $10$

Un reste par 11 est inférieur à 11 : on prend le reste de d.

Divisibilité par 11 : quand d est négatif

2ème cas : $d < 0$ . Soit $p$ le plus petit entier naturel tel que $d + 11p$ soit positif ou nul.

$n$ est divisible par $11$ si et seulement si $d + 11p$ est divisible par $11$ .
Le reste de la division euclidienne de $n$ par $11$ est $d + 11p$ .

Les multiples de $11$ inférieurs à $100$ sont $0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$ . Pour $d = -5$ , $-13$ , $-22$ , $-27$ et $-93$ , le plus petit multiple $m$ de $11$ tel que $d + m \ge 0$ est $11$ , $22$ , $22$ , $33$ et $99$ .

$n$	$d$	$m$	$d + m$ = reste
$8291$	$1 - 9 + 2 - 8 = -14$	$22$	$8$
$190$	$0 - 9 + 1 = -8$	$11$	$3$
$581$	$1 - 8 + 5 = -2$	$11$	$9$
$5071$	$1 - 7 + 0 - 5 = -11$	$11$	$0$
$8370$	$0 - 7 + 3 - 8 = -12$	$22$	$10$
$709180$	$0 - 8 + 1 - 9 + 0 - 7 = -23$	$33$	$10$

$5071$ est donc divisible par $11$ ( $5071 = 11 \times 461$ ).

d < 0 : \quad r = d + 11p

Le piège

Pour $8291$ , $d = -14$ : le reste est $14$

On ajoute $22$ : le reste est $-14 + 22 = 8$

On ne change pas le signe de d ; on lui ajoute le plus petit multiple de 11 qui le rend positif ou nul.

Trouver un chiffre inconnu

Pour trouver un chiffre inconnu d'un nombre divisible par $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $8$ , $9$ , $11$ ou $25$ :

on traduit le critère en une condition sur le chiffre inconnu ;
on utilise qu'un chiffre est un entier compris entre $0$ et $9$ ;
avec deux chiffres inconnus et deux critères, on commence par le critère qui ne fait intervenir qu'un seul chiffre — en général celui des derniers chiffres ( $2$ , $5$ , $4$ , $25$ , $8$ ).

Exemple : $n = 4a68$ divisible par $11$ . De droite à gauche : $8$ , $6$ , $a$ , $4$ , donc $S_{1} = 8 + a$ , $S_{2} = 6 + 4 = 10$ et $d = a - 2$ . Comme $-2 \le a - 2 \le 7$ , le seul multiple de $11$ possible est $0$ : $a = 2$ , et $4268 = 11 \times 388$ .

0 \le a \le 9

Le piège

$d = a + 14$ ne peut pas valoir $0$ : il n'y a pas de solution

$d$ peut valoir $11$ , $22$ , $33$ … : ici $a + 14 = 22$ , donc $a = 8$

« $d$ divisible par $11$ » ne veut pas dire « $d = 0$ ».

Raisonner sur les restes possibles

Pour montrer qu'une expression en $n$ est divisible par $3$ pour tout entier naturel $n$ , on ne peut pas essayer tous les entiers. Mais le reste de $n$ par $3$ ne peut valoir que $0$ , $1$ ou $2$ : il suffit donc de traiter trois cas,

n = 3k, \qquad n = 3k + 1, \qquad n = 3k + 2 \qquad (k \text{ entier naturel}).

Avec $4$ , $5$ … à la place de $3$ , il y a autant de cas que de restes possibles.

n = 3k \quad \text{ou} \quad n = 3k + 1 \quad \text{ou} \quad n = 3k + 2

Le piège

On vérifie pour $n = 1$ , $2$ et $3$ : c'est donc vrai pour tout $n$

On traite les trois cas $n = 3k$ , $n = 3k + 1$ et $n = 3k + 2$

Quelques exemples ne démontrent rien ; les trois cas, eux, couvrent tous les entiers.

Le chiffre des unités de 3 puissance n

Sur un tableur, la colonne A affiche $n = 0, 1, 2, \ldots$ , la colonne B les puissances $3^{n}$ , et la colonne C le chiffre des unités, donné par la formule $\text{MOD}(\text{B2} ; 10)$ : le reste de la division euclidienne par $10$ .

On lit $1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, \ldots$ pour $3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, 3^{3}, 3^{4}, \ldots$ : on conjecture que les chiffres des unités se répètent tous les $4$ . Le chiffre des unités de $3^{n}$ est alors celui de $3^{r}$ , où $r$ est le reste de $n$ par $4$ . (On peut l'expliquer : $3^{4} = 81$ se termine par $1$ , et le chiffre des unités d'un produit ne dépend que des chiffres des unités des facteurs.)

reste de $n$ par $4$	$0$	$1$	$2$	$3$
chiffre des unités de $3^{n}$	$1$	$3$	$9$	$7$

3^{0} = 1, \quad 3^{1} = 3, \quad 3^{2} = 9, \quad 3^{3} = 27, \quad 3^{4} = 81

Le piège

Le chiffre des unités de $3^{175}$ est celui de $3^{5}$ , car $175$ se termine par $5$

$175 = 4 \times 43 + 3$ : c'est celui de $3^{3}$ , soit $7$

Le motif se répète tous les 4 : c’est le reste par 4 qui compte, pas le chiffre des unités de l’exposant.

Code-barre et nombres amiables

Le code-barre. Le code UPC d'un produit est formé de $13$ chiffres : les douze premiers désignent le pays, le fabricant et le produit, le dernier est la clé de contrôle. Si on ajoute les sept chiffres de rang impair du code et le triple de la somme des chiffres de rang pair, le résultat doit être divisible par $10$ .

Les nombres amiables. Deux entiers sont amiables si la somme des diviseurs propres de chacun est égale à l'autre. Ainsi $220$ et $284$ : $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$ et $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$ . Dès le IXᵉ siècle, le mathématicien arabe Thabit Ibn Qurra (836 – 901, Bagdad) énonce : si $p = 3 \times 2^{n-1} - 1$ , $q = (3 \times 2^{n}) - 1$ et $r = 9 \times 2^{2n-1} - 1$ sont tous trois premiers, alors $a = 2^{n} \times p \times q$ et $b = 2^{n} \times r$ sont amiables. Pour $n = 2$ : $p = 5$ , $q = 11$ , $r = 71$ , et l'on retrouve $220$ et $284$ . Pour $n = 4$ et $n = 7$ , on obtient les couples découverts par Al Farissi, $(17296, 18416)$ , et par Al Yazdi, $(9363584, 9437056)$ .

a = 2^{n} \times p \times q \quad ; \quad b = 2^{n} \times r

À retenir

$a = bq + r$ avec $0 \le r < b$ : $a$ dividende, $b$ diviseur, $q$ quotient, $r$ reste ; le couple $(q, r)$ est unique.
$n$ divise $a$ : $a = kn$ , autrement dit le reste de $a$ par $n$ est nul.
Si $n$ divise $x$ et $y$ , alors $n$ divise $px$ , $x + y$ et $x - y$ (pour $x \ge y$ ).
Par $2$ et $5$ : le chiffre des unités ; par $4$ et $25$ : les deux derniers chiffres ; par $8$ : les trois derniers.
Par $3$ et $9$ : la somme des chiffres, qui a le même reste que le nombre.
Par $11$ : $d = S_{1} - S_{2}$ , rangs comptés depuis les unités ; si $d \ge 0$ , $n$ et $d$ ont le même reste.
Si $d < 0$ : le reste est $d + 11p$ , avec $p$ le plus petit entier qui rend $d + 11p \ge 0$ .
Pour une expression en $n$ : on distingue les restes possibles de $n$ .

Ce qu’il t’explique

Quel jour serons-nous ?

La division euclidienne

Le quotient et le reste à la calculatrice

Des flèches qui se répètent

Divisibilité : somme et différence

Rappels : PGCD, PPCM, premiers entre eux

Divisibilité par 2 et par 5

Divisibilité par 4 et par 25

Divisibilité par 8

Divisibilité par 3 et par 9

Du lait, de l’huile et du pétrole

Les puissances de 10 et le nombre 11

Divisibilité par 11

Divisibilité par 11 : quand d est négatif

Trouver un chiffre inconnu

Raisonner sur les restes possibles

Le chiffre des unités de 3 puissance n

Code-barre et nombres amiables

À toi, au tableau

Le reste à la calculatrice

Un reste trop grand

Quel jour serons-nous ?

Reste par 8

Reste par 25

Reste par 9

Un reste imposé par 9

Reste par 11, d négatif

Un chiffre pour 11

Un reste imposé par 11

Divisible par 2 et par 9

Reste égal au quotient

Divisible par 4 et par 3

Divisible par 8 et par 9

Divisible par 11 et par 25

Deux divisions par le même entier

Reste égal au carré du quotient

Un quotient entier

Divisible par 9 et par 11

La combinaison du coffre

Thabit Ibn Qurra

Trois ans plus tard

Combien en haut ?

Par 8 et par 11

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Quel jour serons-nous ?

La division euclidienne

Le quotient et le reste à la calculatrice

Des flèches qui se répètent

Divisibilité : somme et différence

Rappels : PGCD, PPCM, premiers entre eux

Divisibilité par 2 et par 5

Divisibilité par 4 et par 25

Divisibilité par 8

Divisibilité par 3 et par 9

Du lait, de l’huile et du pétrole

Les puissances de 10 et le nombre 11

Divisibilité par 11

Divisibilité par 11 : quand d est négatif

Trouver un chiffre inconnu

Raisonner sur les restes possibles

Le chiffre des unités de 3 puissance n

Code-barre et nombres amiables

À retenir