Calcul dans IR

Ensembles de nombres (ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ), calcul fractionnaire, proportionnalité et pourcentages, identités remarquables (carrés et cubes), comparaison de a, a², √a et 1/a, encadrements, inégalités classiques (2xy ≤ x² + y², moyennes arithmétique et géométrique, inégalité triangulaire), radicaux et conjugué, formule de Héron, développement et factorisation, valeur absolue et distance, valeurs approchées, écriture scientifique et ordre de grandeur.

16 sections · 102 exercices

Calcul dans IR

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre ouvre l'année par le calcul : savoir où vit un nombre, le transformer, le comparer, l'encadrer, l'approcher.

On y apprend surtout en travaillant : des fractions aux ordres de grandeur, chaque section part d'exemples concrets et en dégage la règle qu'ils mettent en œuvre.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Situer un nombre dans les ensembles N,\mathbb{N}, Z,\mathbb{Z}, D,\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}

  • Calculer avec des fractions, des pourcentages et des identités remarquables

  • Comparer et encadrer des réels, et démontrer des inégalités

  • Simplifier des expressions avec radicaux, développer et factoriser

  • Utiliser la valeur absolue, les valeurs approchées et l'ordre de grandeur

Activité

Les ensembles de nombres

On note N\mathbb{N} l'ensemble des entiers naturels, Z\mathbb{Z} celui des entiers relatifs, D\mathbb{D} celui des décimaux, Q\mathbb{Q} celui des nombres rationnels et R\mathbb{R} celui des nombres réels.

On rappelle qu'un décimal s'écrit a10n\dfrac{a}{10^{n}} avec a∈Za \in \mathbb{Z} et n∈N,n \in \mathbb{N}, et qu'un rationnel s'écrit ab\dfrac{a}{b} avec a∈Za \in \mathbb{Z} et b∈N∗.b \in \mathbb{N}^{*}. Chaque ensemble est contenu dans le suivant.

La réciproque est fausse à chaque étage : −23∈Z-23 \in \mathbb{Z} mais −23∉N-23 \notin \mathbb{N} ; 29∈Q\dfrac{2}{9} \in \mathbb{Q} mais 29∉D\dfrac{2}{9} \notin \mathbb{D} ; et un réel comme 5,\sqrt{5}, 7\sqrt{7} ou π\pi n'est pas rationnel. Avant de classer un nombre, on le simplifie : 36=6\sqrt{36} = 6 et 273=9\dfrac{27}{3} = 9 sont des entiers naturels.

les inclusionsN⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Ce qu’on observe

Pour chacun des nombres −637,-\dfrac{63}{7}, 58,\dfrac{5}{8}, −23-\dfrac{2}{3} et 5,\sqrt{5}, donne le plus petit des ensembles N,\mathbb{N}, Z,\mathbb{Z}, D,\mathbb{D}, Q,\mathbb{Q}, R\mathbb{R} qui le contient.

  1. 1

    Simplifier

    La fraction tombe juste : un entier négatif.

    −637=−9∈Z-\frac{63}{7} = -9 \in \mathbb{Z}
  2. 2

    Un décimal

    Le dénominateur 8=238 = 2^{3} : la division s'arrête.

    58=0,625=6251000∈D\frac{5}{8} = 0{,}625 = \frac{625}{1000} \in \mathbb{D}
  3. 3

    Un rationnel

    Le dénominateur 33 n'est fait ni de 22 ni de 55 : l'écriture décimale ne s'arrête jamais.

    −23=−0,666…∈Q-\frac{2}{3} = -0{,}666\ldots \in \mathbb{Q}
  4. 4

    Un réel

    55 n'est pas un carré parfait : 5\sqrt{5} est irrationnel.

    5∈R\sqrt{5} \in \mathbb{R}
−637∈Z;-\frac{63}{7} \in \mathbb{Z} \quad ; \quad58∈D;\frac{5}{8} \in \mathbb{D} \quad ; \quad−23∈Q;-\frac{2}{3} \in \mathbb{Q} \quad ; \quad5∈R\sqrt{5} \in \mathbb{R}

L’erreur à ne pas faire

  • 36∉N\sqrt{36} \notin \mathbb{N}36=6∈N\sqrt{36} = 6 \in \mathbb{N}
    Une racine carrée n'est pas forcément irrationnelle : on la calcule avant de classer le nombre.
  • 29∈D\dfrac{2}{9} \in \mathbb{D}29=0,222…∉D\dfrac{2}{9} = 0{,}222\ldots \notin \mathbb{D}
    Un rationnel n'est décimal que si sa forme irréductible a un dénominateur fait de 22 et de 55 seulement.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna cinq ensembles, koll wa7ed dekhel elli ba3dou : les naturels, les relatifs, les décimaux, les rationnels w les réels. Entier naturel houwa relatif, relatif houwa décimal, décimal houwa rationnel, w rationnel houwa réel. Ama el 3aks mouch dima sa7i7 : racine carrée de cinq réel, ama mouch rationnel. W 9bal ma tsanef nombre, bassatou : racine carrée de trente-six hiya six, entier naturel. »

Méthode

Calculer avec des fractions : chercher la structure

Un calcul long se fait rarement terme à terme : on cherche d'abord sa structure.

  • Une égalité connue en donne d'autres sans calcul : de 12+13+16=1,\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1, on tire, en divisant par 2,2, 14+16+112=12.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{2}.
  • Un produit de facteurs 1+1k1 + \dfrac{1}{k} se simplifie en chaîne : chaque numérateur s'en va avec le dénominateur du facteur suivant.
  • Une fraction « étagée » se calcule de l'intérieur vers l'extérieur, en gardant les fractions irréductibles.
un facteur1+1k=k+1k1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}

Exemple traité

Calcule le produit P=(1+12)(1+13)×…×(1+19).P = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3}\right) \times \ldots \times \left(1 + \dfrac{1}{9}\right).

  1. 1

    Chaque facteur

    On met chaque facteur sous la forme d'une seule fraction.

    P=32×43×54×…×109P = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \ldots \times \frac{10}{9}
  2. 2

    La chaîne

    Le 33 du haut s'en va avec le 33 du bas, le 44 avec le 4,4, et ainsi de suite.

    P=102P = \frac{10}{2}
  3. 3
    P=5P = 5
P=5P = 5

L’erreur à ne pas faire

  • 12+13=25\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}12+13=36+26=56\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}
    On n'ajoute pas les dénominateurs : on réduit d'abord au même dénominateur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki tal9a calcul twil, ma t7sbouch terme par terme : 9alleb 3la la structure mte3ou. Produit fih des facteurs un plus un sur k : koll facteur nektbouh (k plus un) sur k, w le numérateur mta3 koll facteur yemchi m3a le dénominateur mta3 elli ba3dou. Ma yo93ed ken le dernier numérateur w le premier dénominateur. »

Propriété

Proportionnalité et pourcentages

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité : pour un ressort qui s'allonge de 99 mm quand on y suspend une masse de 1515 g, l'allongement (en mm) vaut 915=0,6\dfrac{9}{15} = 0{,}6 fois la masse (en g).

Augmenter une quantité de t %,t\,\%, c'est la multiplier par 1+t1001 + \dfrac{t}{100} ; la diminuer de t %,t\,\%, c'est la multiplier par 1−t100.1 - \dfrac{t}{100}. Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : on n'ajoute pas les pourcentages.

Pour la T.V.A. au taux de 17 %17\,\% : prix T.T.C. == prix H.T. ×1,17,\times 1{,}17, et donc prix H.T. == prix T.T.C. ÷1,17.\div 1{,}17.

coefficient multiplicateuraugmenter de t %:×(1+t100)t\,\% : \times \left(1 + \frac{t}{100}\right) diminuer de t %:×(1−t100)t\,\% : \times \left(1 - \frac{t}{100}\right)
deux évolutions successives(1+t1100)×(1+t2100)\left(1 + \frac{t_{1}}{100}\right) \times \left(1 + \frac{t_{2}}{100}\right)

Exemple traité

Un article de 1010 dinars subit une augmentation de 10 %10\,\% puis une de 20 %.20\,\%. Quel est le pourcentage global d'augmentation ? Et si un article augmente de 10 %10\,\% puis revient à son prix initial, quel est le taux de la réduction ?

  1. 1

    Les coefficients

    Chaque augmentation multiplie le prix.

    1,1×1,2=1,321{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32
  2. 2

    Le prix final est 10×1,32=13,210 \times 1{,}32 = 13{,}2 dinars : le prix est multiplié par 1,32.1{,}32.

    1,32=1+321001{,}32 = 1 + \frac{32}{100}
  3. 3

    Le retour au prix initial

    On cherche le coefficient de réduction 1−r1 - r qui annule l'augmentation.

    1,1×(1−r)=1  ⟺  1−r=1011  ⟺  r=1111{,}1 \times (1 - r) = 1 \iff 1 - r = \frac{10}{11} \iff r = \frac{1}{11}
  4. 4

    En pourcentage, 111≈0,0909.\dfrac{1}{11} \approx 0{,}0909.

    r≈9,09 %r \approx 9{,}09\,\%
augmentation globale : 32 %;32\,\% \quad ; réduction : environ 9,09 %9{,}09\,\%

L’erreur à ne pas faire

  • +10 %+10\,\% puis +20 %+20\,\% font +30 %+30\,\%1,1×1,2=1,321{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32 : +32 %+32\,\%
    Le second pourcentage s'applique au prix déjà augmenté : les coefficients se multiplient.
  • +10 %+10\,\% puis −10 %-10\,\% ramènent au prix initial1,1×0,9=0,991{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99 : une baisse de 1 %1\,\%
    La baisse porte sur un prix plus grand : elle retire plus que la hausse n'a ajouté.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tzid t pour cent ma3neha todhrob fi un plus t sur cent, w tna99es t pour cent ma3neha todhrob fi un moins t sur cent. W ki yjiw zouz augmentations wra ba3dhhom, les coefficients nodhorbouhom, ma nzidouch les pourcentages : dix pour cent w ba3d vingt pour cent ya3tiw un virgule un fois un virgule deux, ya3ni trente-deux pour cent, mouch trente. »

Propriété

Les identités remarquables

Pour tous réels aa et b,b, les sept identités ci-dessous servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.

Elles font aussi calculer de tête : 292=(30−1)2=900−60+1=841,29^{2} = (30 - 1)^{2} = 900 - 60 + 1 = 841, et n2−(n−1)(n+1)=1n^{2} - (n - 1)(n + 1) = 1 donne sans calcul 758954782−75895477×75895479=175895478^{2} - 75895477 \times 75895479 = 1 ; de même, n2+n=(n+1)2−(n+1)n^{2} + n = (n + 1)^{2} - (n + 1) généralise 72+7=82−8.7^{2} + 7 = 8^{2} - 8.

Elles démontrent enfin des conjectures. Prenons, pour un entier naturel n,n, le nombre x=n(n+1)(n+2)(n+3)+1x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 : il vaut 25,25, 121,121, 361,361, 841841 pour n=1,n = 1, 2,2, 3,3, 44, qui sont tous des carrés. En posant u=n2+3n,u = n^{2} + 3n, on a n(n+3)=un(n + 3) = u et (n+1)(n+2)=u+2,(n + 1)(n + 2) = u + 2, donc x=u(u+2)+1=(u+1)2=(n2+3n+1)2.x = u(u + 2) + 1 = (u + 1)^{2} = (n^{2} + 3n + 1)^{2}.

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \qquad (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}
(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \qquad (a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) \qquad a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})

Exemple traité

Calcule (3−5)2(3 - \sqrt{5})^{2} et (1−5)3,(1 - \sqrt{5})^{3}, puis écris 14−65\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} sous la forme a+bc.a + b\sqrt{c}.

  1. 1

    Le carré

    Avec (a−b)2,(a - b)^{2}, et (5)2=5.(\sqrt{5})^{2} = 5.

    (3−5)2=9−65+5=14−65(3 - \sqrt{5})^{2} = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}
  2. 2

    Le cube

    Avec (a−b)3,(a - b)^{3}, et (5)3=55.(\sqrt{5})^{3} = 5\sqrt{5}.

    (1−5)3=1−35+15−55=16−85(1 - \sqrt{5})^{3} = 1 - 3\sqrt{5} + 15 - 5\sqrt{5} = 16 - 8\sqrt{5}
  3. 3

    La racine

    La racine carrée d'un carré est la valeur absolue ; or 5<3,\sqrt{5} < 3, donc 3−5>0.3 - \sqrt{5} > 0.

    14−65=(3−5)2=3−5\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^{2}} = 3 - \sqrt{5}
14−65=3−5\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}

L’erreur à ne pas faire

  • (a+b)2=a2+b2(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}
    Le double produit est la moitié du travail : avec a=b=1,a = b = 1, on aurait 4=2.4 = 2.
  • (2+a)3=8+a3(2 + a)^{3} = 8 + a^{3}(2+a)3=8+12a+6a2+a3(2 + a)^{3} = 8 + 12a + 6a^{2} + a^{3}
    Le cube d'une somme a quatre termes, avec les coefficients 1,1, 3,3, 3,3, 1.1.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Les identités remarquables tekhdem fel zouz jihat : mel isar lel imin bech tdévelopper, w mel imin lel isar bech tfactoriser. a plus b le tout au carré égale a au carré plus deux a b plus b au carré : ma tensech le double produit. W zid les cubes : a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré). »

Propriété

Comparer a, a² et √a

Sur la figure, 0<a<10 < a < 1 : le carré ABCDABCD a pour aire a2,a^{2}, le rectangle ABEFABEF a pour aire a×1=a.a \times 1 = a. Le carré est une partie du rectangle, donc a2<a.a^{2} < a.

Par le calcul : a−a2=a(1−a)a - a^{2} = a(1 - a) est un produit de deux nombres strictement positifs quand 0<a<1.0 < a < 1. Appliqué au nombre a,\sqrt{a}, lui aussi entre 00 et 1,1, le même résultat donne a=(a)2<a.a = (\sqrt{a})^{2} < \sqrt{a}.

Quand a>1,a > 1, tout s'inverse ; et pour a=1,a = 1, les trois nombres sont égaux.

aa1ABCDEF
Le carré ABCD est une partie du rectangle ABEF.
entre 0 et 10<a<1  ⟹  a2<a<a0 < a < 1 \;\Longrightarrow\; a^{2} < a < \sqrt{a}
au-delà de 1a>1  ⟹  a<a<a2a > 1 \;\Longrightarrow\; \sqrt{a} < a < a^{2}

Exemple traité

Compare 2−1\sqrt{2} - 1 et (2−1)2,(\sqrt{2} - 1)^{2}, puis 0,340{,}34 et 0,34,\sqrt{0{,}34}, puis 73\sqrt{\dfrac{7}{3}} et 73.\dfrac{7}{3}.

  1. 1

    Situer le nombre

    Comme 1<2<2,1 < \sqrt{2} < 2, le nombre 2−1\sqrt{2} - 1 est entre 00 et 1.1.

    0<2−1<1  ⟹  (2−1)2<2−10 < \sqrt{2} - 1 < 1 \;\Longrightarrow\; (\sqrt{2} - 1)^{2} < \sqrt{2} - 1
  2. 2

    0,340{,}34 est entre 00 et 11 : sa racine est plus grande que lui.

    0,34<0,340{,}34 < \sqrt{0{,}34}
  3. 3

    73>1\dfrac{7}{3} > 1 : sa racine est plus petite que lui.

    73<73\sqrt{\frac{7}{3}} < \frac{7}{3}
(2−1)2<2−1;(\sqrt{2} - 1)^{2} < \sqrt{2} - 1 \quad ; \quad0,34<0,34;0{,}34 < \sqrt{0{,}34} \quad ; \quad73<73\sqrt{\frac{7}{3}} < \frac{7}{3}

L’erreur à ne pas faire

  • a2>aa^{2} > a pour tout réel a>0a > 0(0,3)2=0,09<0,3(0{,}3)^{2} = 0{,}09 < 0{,}3
    Un nombre entre 00 et 11 rapetisse quand on l'élève au carré : on multiplie par un nombre plus petit que 1.1.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki a bin zéro w un, a au carré asghar men a, w a asghar men racine carrée de a. El figure tbayyenha : le carré mta3 l'aire a au carré dekhel le rectangle mta3 l'aire a. W ki a akbar men un, koll chay yetbaddel : racine carrée de a asghar men a, w a asghar men a au carré. »

Propriété

Comparer a et 1/a

Sur la figure, (BI)(BI) et (AJ)(AJ) sont parallèles, OI=OJ=1OI = OJ = 1 et OA=a>1.OA = a > 1. Le théorème de Thalès dans le triangle OAJOAJ donne OBOJ=OIOA,\dfrac{OB}{OJ} = \dfrac{OI}{OA}, donc OB=1a.OB = \dfrac{1}{a}. Comme BB est entre OO et J,J, on lit 1a<1<a.\dfrac{1}{a} < 1 < a.

Quand 0<a<1,0 < a < 1, la même construction place l'inverse au-delà de 1.1. Plus généralement, pour deux réels strictement positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre.

D'où une comparaison sans calcul : un quotient de positifs est plus grand que 11 quand son numérateur dépasse son dénominateur, et plus petit sinon.

1a1OIAJB
(BI) et (AJ) sont parallèles ; OI = OJ = 1 et OA = a > 1.
a>1  ⟹  1a<1<a0<a<1  ⟹  a<1<1aa > 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{a} < 1 < a \qquad 0 < a < 1 \;\Longrightarrow\; a < 1 < \frac{1}{a}
l'inverse renverse l'ordre0<a<b  ⟹  1a>1b0 < a < b \;\Longrightarrow\; \frac{1}{a} > \frac{1}{b}

Exemple traité

Compare sans calcul 2321\dfrac{23}{21} et 8688,\dfrac{86}{88}, puis 0,0620,07\dfrac{0{,}062}{0{,}07} et 5,344,29.\dfrac{5{,}34}{4{,}29}.

  1. 1

    23>2123 > 21 : le premier quotient dépasse 11 ; 86<8886 < 88 : le second est sous 1.1.

    8688<1<2321\frac{86}{88} < 1 < \frac{23}{21}
  2. 2

    0,062<0,070{,}062 < 0{,}07 et 5,34>4,295{,}34 > 4{,}29 : le nombre 11 les sépare encore.

    0,0620,07<1<5,344,29\frac{0{,}062}{0{,}07} < 1 < \frac{5{,}34}{4{,}29}
8688<2321;\frac{86}{88} < \frac{23}{21} \quad ; \quad0,0620,07<5,344,29\frac{0{,}062}{0{,}07} < \frac{5{,}34}{4{,}29}

L’erreur à ne pas faire

  • 2<3⟹12<132 < 3 \Longrightarrow \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}2<3⟹12>132 < 3 \Longrightarrow \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}
    Pour deux nombres strictement positifs, le plus grand a le plus petit inverse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki a akbar men un, un sur a asghar men un, w asghar men a. El figure tbayyenha b Thalès : O B tsewi un sur a. W ki a bin zéro w un, l'inverse ywalli akbar men un. El 9a3da elli tjma3hom : zouz nombres strictement positifs, ki te5ou l'inverse, l'ordre yetbaddel. »

Méthode

Encadrer une expression

Pour encadrer une expression à partir d'un encadrement de a,a, on n'utilise que des opérations qui ont une règle :

  • ajouter un même nombre à tous les membres garde le sens ;
  • multiplier par un nombre positif garde le sens, par un nombre négatif le renverse ;
  • deux encadrements s'ajoutent membre à membre ; deux encadrements de nombres positifs se multiplient membre à membre ;
  • l'inverse d'un encadrement de positifs se renverse.

On ne soustrait jamais, on ne divise jamais deux encadrements membre à membre : on passe par l'opposé ou par l'inverse.

l'opposéa≤x≤b  ⟹  −b≤−x≤−aa \le x \le b \;\Longrightarrow\; -b \le -x \le -a
l'inverse0<a≤x≤b  ⟹  1b≤1x≤1a0 < a \le x \le b \;\Longrightarrow\; \frac{1}{b} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a}

Exemple traité

Soit aa un réel tel que −2≤a≤3.-2 \le a \le 3. Encadre a+4,a + 4, 2a,2a, −a-a et −3a+5.-3a + 5.

  1. 1

    Ajouter 4

    2≤a+4≤72 \le a + 4 \le 7
  2. 2

    Multiplier par 2

    22 est positif : le sens est gardé.

    −4≤2a≤6-4 \le 2a \le 6
  3. 3

    L'opposé

    Multiplier par −1-1 renverse le sens.

    −3≤−a≤2-3 \le -a \le 2
  4. 4

    Multiplier par −3, puis ajouter 5

    −3-3 est négatif : on renverse, puis on ajoute 55 partout.

    −9≤−3a≤6  ⟹  −4≤−3a+5≤11-9 \le -3a \le 6 \;\Longrightarrow\; -4 \le -3a + 5 \le 11
2≤a+4≤7;2 \le a + 4 \le 7 \quad ; \quad−4≤2a≤6;-4 \le 2a \le 6 \quad ; \quad−3≤−a≤2;-3 \le -a \le 2 \quad ; \quad−4≤−3a+5≤11-4 \le -3a + 5 \le 11

L’erreur à ne pas faire

  • −2≤a≤3⟹6≤−3a≤−9-2 \le a \le 3 \Longrightarrow 6 \le -3a \le -9−9≤−3a≤6-9 \le -3a \le 6
    Multiplier par un négatif renverse les inégalités : le plus petit membre devient le plus grand.
  • 16,125,2≤ℓ≤16,965,3\dfrac{16{,}12}{5{,}2} \le \ell \le \dfrac{16{,}96}{5{,}3}16,125,3≤ℓ≤16,965,2\dfrac{16{,}12}{5{,}3} \le \ell \le \dfrac{16{,}96}{5{,}2}
    Diviser par la longueur, c'est multiplier par son inverse, dont l'encadrement se renverse : la plus petite largeur vient de la plus grande longueur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech ta3mel encadrement, esta3mel ken el 9awa3ed elli ta3refhom : tzid nafs el nombre lel koll, l'ordre yo93ed. Todhrob fi nombre positif, yo93ed, ama fi nombre négatif, yetbaddel. W ma tatra7ch zouz encadrements, w ma ta3melch division membre à membre : t3addi bel opposé walla bel inverse. »

Propriété

Deux carrés et un double produit

Sur la figure, le grand carré ABCDABCD a pour côté x+y.x + y. Le carré incliné LKJILKJI a pour côté x2+y2,\sqrt{x^{2} + y^{2}}, donc pour aire x2+y2x^{2} + y^{2} ; les pointillés montrent qu'il contient quatre triangles rectangles de côtés xx et y,y, d'aire totale 2xy,2xy, et un petit carré de côté x−y.x - y. D'où 2xy≤x2+y2.2xy \le x^{2} + y^{2}.

Le calcul le dit pour tous réels : x2+y2−2xy=(x−y)2≥0,x^{2} + y^{2} - 2xy = (x - y)^{2} \ge 0, avec égalité seulement si x=y.x = y.

Pour des réels strictement positifs, on en tire x+1x≥2,x + \dfrac{1}{x} \ge 2, xy+yx≥2,\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2, (x+y)(1x+1y)≥4(x + y)\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \ge 4 et (a+b+c)(1a+1b+1c)≥9(a + b + c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \ge 9 ; et pour a,a, bb strictement positifs, 1a+b<1a+1b\dfrac{1}{a + b} < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} et a+b<a+b.\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}.

yxyxyxyxABCDLKJI
L'aire du carré incliné LKJI : x² + y² = 2xy + (x − y)².
pour tous réels x et y2xy≤x2+y22xy \le x^{2} + y^{2}
pour tout réel x > 0x+1x≥2x + \frac{1}{x} \ge 2

Exemple traité

Montre que 2003+2005<22004.\sqrt{2003} + \sqrt{2005} < 2\sqrt{2004}.

  1. 1

    Comparer les carrés

    Les deux membres sont positifs : il suffit de comparer leurs carrés.

    (2003+2005)2=4008+22003×2005(\sqrt{2003} + \sqrt{2005})^{2} = 4008 + 2\sqrt{2003 \times 2005}
  2. 2
    (22004)2=4×2004=4008+2×2004(2\sqrt{2004})^{2} = 4 \times 2004 = 4008 + 2 \times 2004
  3. 3

    L'identité

    2003×2005=(2004−1)(2004+1).2003 \times 2005 = (2004 - 1)(2004 + 1).

    2003×2005=20042−1<200422003 \times 2005 = 2004^{2} - 1 < 2004^{2}
  4. 4

    Donc 2003×2005<2004\sqrt{2003 \times 2005} < 2004 : le premier carré est le plus petit.

    (2003+2005)2<(22004)2(\sqrt{2003} + \sqrt{2005})^{2} < (2\sqrt{2004})^{2}
2003+2005<22004\sqrt{2003} + \sqrt{2005} < 2\sqrt{2004}

L’erreur à ne pas faire

  • a+b=a+b\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}a+b<a+b\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} pour a,a, b>0b > 0
    En élevant au carré, le membre de droite a un double produit 2ab2\sqrt{ab} de plus : 9+16=5,\sqrt{9 + 16} = 5, alors que 9+16=7.\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« x au carré plus y au carré moins deux x y égale x moins y le tout au carré, w carré dima positif walla nul. Donc deux x y inférieur ou égal à x au carré plus y au carré, l koll x w y. W menha to5rej barcha inégalités : x plus un sur x supérieur ou égal à deux, ki x strictement positif. »

Propriété

Moyenne arithmétique et moyenne géométrique

Pour deux réels positifs aa et b,b, la moyenne arithmétique est a+b2\dfrac{a + b}{2} et la moyenne géométrique est ab.\sqrt{ab}.

Sur la figure, AH=aAH = a et HB=b,HB = b, donc AB=a+bAB = a + b et le rayon OCOC vaut a+b2.\dfrac{a + b}{2}. Quand a<b,a < b, OH=OA−AH=b−a2.OH = OA - AH = \dfrac{b - a}{2}. Dans le triangle OHCOHC rectangle en H,H, CH2=OC2−OH2=(a+b)2−(b−a)24=ab,CH^{2} = OC^{2} - OH^{2} = \dfrac{(a + b)^{2} - (b - a)^{2}}{4} = ab, donc CH=ab.CH = \sqrt{ab}. Un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse : ab≤a+b2.\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}.

Par le calcul : a+b2−ab=(a−b)22≥0.\dfrac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} \ge 0.

abAHOBC
AH = a, HB = b : OC = (a + b)/2 et CH = √(ab).
pour tous réels a, b ≥ 0a+b2≥ab\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}

Exemple traité

Soient a,a, bb et cc trois réels positifs. Montre que (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc.

  1. 1

    Trois fois la même inégalité

    Chaque somme dépasse deux fois la racine du produit.

    a+b≥2ab;a + b \ge 2\sqrt{ab} \quad ; \quadb+c≥2bc;b + c \ge 2\sqrt{bc} \quad ; \quadc+a≥2cac + a \ge 2\sqrt{ca}
  2. 2

    Multiplier

    Tous les membres sont positifs : on peut multiplier membre à membre.

    (a+b)(b+c)(c+a)≥8ab×bc×ca=8(abc)2(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8\sqrt{ab \times bc \times ca} = 8\sqrt{(abc)^{2}}
  3. 3

    abc≥0,abc \ge 0, donc (abc)2=abc.\sqrt{(abc)^{2}} = abc.

    (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz nombres positifs a w b : la moyenne arithmétique hiya a plus b, le tout sur deux, w la moyenne géométrique hiya racine carrée de a b. El géométrique dima asghar walla kif kif. Fel figure, le rayon O C houwa a plus b, le tout sur deux, w C H hiya racine carrée de a b : edhdhla3 a9sar men l'hypoténuse. »

Activité

L'inégalité triangulaire au travail

L'inégalité triangulaire dit que, pour trois points A,A, B,B, CC du plan, AB≤AC+CBAB \le AC + CB : le chemin direct est le plus court.

Prenons un point MM à l'intérieur d'un triangle ABCABC et (BM)(BM) coupe (AC)(AC) en I.I. Deux inégalités triangulaires, ajoutées, montrent que MB+MC≤AB+ACMB + MC \le AB + AC ; de même MA+MB≤CA+CBMA + MB \le CA + CB et MA+MC≤BA+BC.MA + MC \le BA + BC.

Autre usage : dans un quadrilatère ABCDABCD de demi-périmètre p,p, on encadre la somme des diagonales : p≤AC+BD≤2p.p \le AC + BD \le 2p. Les triangles AOBAOB et COD,COD, où OO est l'intersection des diagonales, donnent AC+BD≥AB+DCAC + BD \ge AB + DC ; de même, AODAOD et BOCBOC donnent AC+BD≥AD+BCAC + BD \ge AD + BC ; en ajoutant, p≤AC+BD.p \le AC + BD. Les triangles ABC,ABC, ADC,ADC, ABDABD et CBDCBD donnent AC+BD≤2p.AC + BD \le 2p.

ABCMI
M est à l'intérieur du triangle ABC ; (BM) coupe (AC) en I.
inégalité triangulaireAB≤AC+CBAB \le AC + CB

Ce qu’on observe

MM est à l'intérieur du triangle ABCABC et II est le point d'intersection de (BM)(BM) et (AC).(AC). Montre que MB+MC≤AB+AC.MB + MC \le AB + AC.

  1. 1

    Dans le triangle ABI

    MM est sur [BI],[BI], donc BI=BM+MI.BI = BM + MI.

    BM+MI≤AB+AIBM + MI \le AB + AI
  2. 2

    Dans le triangle MIC

    MC≤MI+ICMC \le MI + IC
  3. 3

    Ajouter

    On ajoute membre à membre, puis on retire MIMI des deux côtés.

    BM+MI+MC≤AB+AI+MI+ICBM + MI + MC \le AB + AI + MI + IC
  4. 4

    II est sur [AC],[AC], donc AI+IC=AC.AI + IC = AC.

    MB+MC≤AB+ACMB + MC \le AB + AC
MB+MC≤AB+ACMB + MC \le AB + AC

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'inégalité triangulaire t9oul elli ettri9 el moubecher houwa el a9sar : A B inférieur ou égal à A C plus C B. Fel mithel hedha, nesta3mlouha zouz marrat : marra fi le triangle A B I w marra fi le triangle M I C, w njam3ouhom. Nal9aw M B plus M C inférieur ou égal à A B plus A C. »

Méthode

Les radicaux : conjugué et racines imbriquées

Trois outils reviennent sans cesse.

  • Le conjugué. (a−b)(a+b)=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b : multiplier le haut et le bas d'une fraction par le conjugué de son dénominateur fait disparaître les radicaux du dénominateur. C'est aussi pourquoi a+1−a\sqrt{a + 1} - \sqrt{a} est l'inverse de a+1+a.\sqrt{a + 1} + \sqrt{a}.
  • Le carré d'abord. Pour simplifier une somme de racines imbriquées A,A, on calcule A2,A^{2}, puis A=A2A = \sqrt{A^{2}} si A≥0.A \ge 0.
  • Extraire les carrés. 48=43,\sqrt{48} = 4\sqrt{3}, 75=53,\sqrt{75} = 5\sqrt{3}, 243=93\sqrt{243} = 9\sqrt{3} : écrits ainsi, ils se comparent et s'ajoutent. Si AB=48,AB = \sqrt{48}, AC=75AC = \sqrt{75} et BC=243,BC = \sqrt{243}, alors AB+AC=BCAB + AC = BC : les points A,A, B,B, CC sont alignés.
le conjugué(a−b)(a+b)=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b
x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|

Exemple traité

Soit A=9−45+9+45.A = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}. Calcule A2A^{2} et déduis-en une écriture plus simple de A.A.

  1. 1

    Développer le carré

    Avec (u+v)2=u2+2uv+v2.(u + v)^{2} = u^{2} + 2uv + v^{2}.

    A2=(9−45)+(9+45)+2(9−45)(9+45)A^{2} = (9 - 4\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) + 2\sqrt{(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5})}
  2. 2

    Le conjugué

    (9−45)(9+45)=81−80=1(9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 81 - 80 = 1
  3. 3
    A2=18+2=20A^{2} = 18 + 2 = 20
  4. 4

    Revenir à A

    AA est une somme de racines, donc positif.

    A=20=25A = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
A=25A = 2\sqrt{5}

L’erreur à ne pas faire

  • x2=x\sqrt{x^{2}} = x pour tout réel xxx2=∣x∣,\sqrt{x^{2}} = |x|, par exemple (2−5)2=5−2\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = \sqrt{5} - 2
    Une racine carrée est toujours positive : il faut connaître le signe de x.x.
  • 13+2=3−29+2\dfrac{1}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{9 + 2}13+2=3−29−2=3−27\dfrac{1}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{7}
    Le conjugué donne une différence de deux carrés : (3+2)(3−2)=9−2.(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 9 - 2.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech tna77i racine men le dénominateur, odhrob el fou9 w el louta fi le conjugué : racine de a moins racine de b fois racine de a plus racine de b égale a moins b. W ki tal9a des racines imbriquées, a7seb le carré 9bal : A au carré yotla3 sehel, w ba3d A hiya racine de A au carré, ki A positif. »

Propriété

La formule de Héron

La formule attribuée à Héron d'Alexandrie (Iᵉʳ siècle) donne l'aire A\mathcal{A} d'un triangle à partir des seules longueurs a,a, b,b, cc de ses côtés, où pp désigne le demi-périmètre.

Elle n'a besoin d'aucune hauteur. Quand le triangle est dans un rectangle dont on connaît les dimensions, on peut aussi retrancher à l'aire du rectangle celles des triangles rectangles des coins.

formule de HéronA=p(p−a)(p−b)(p−c)\mathcal{A} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
demi-périmètrep=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}

Exemple traité

Calcule l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent 18,18, 2424 et 3030 cm, puis retrouve-la par la formule de Héron.

  1. 1

    Un triangle rectangle

    La réciproque de Pythagore : le triangle est rectangle, d'hypoténuse 30.30.

    182+242=324+576=900=30218^{2} + 24^{2} = 324 + 576 = 900 = 30^{2}
  2. 2
    aire=18×242=216\text{aire} = \frac{18 \times 24}{2} = 216
  3. 3

    Par Héron

    Le demi-périmètre vaut p=18+24+302=36.p = \dfrac{18 + 24 + 30}{2} = 36.

    A=36×18×12×6=46656=216\mathcal{A} = \sqrt{36 \times 18 \times 12 \times 6} = \sqrt{46656} = 216
aire=216 cm2\text{aire} = 216 \text{ cm}^{2}

L’erreur à ne pas faire

  • p=18+24+30=72p = 18 + 24 + 30 = 72p=18+24+302=36p = \dfrac{18 + 24 + 30}{2} = 36
    Dans la formule, pp est le demi-périmètre : avec le périmètre entier, p−cp - c n'a plus de sens.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La formule de Héron ta3tik l'aire mta3 triangle men les longueurs mta3 les côtés berk, blech hauteur : l'aire égale racine carrée du produit p fois (p moins a) fois (p moins b) fois (p moins c). W rodd belek : p houwa le demi-périmètre, a plus b plus c, le tout sur deux, mouch le périmètre. »

Méthode

Développer, factoriser, comparer deux expressions

Développer, c'est transformer un produit en somme, puis réduire en regroupant les termes de même degré. Factoriser, c'est l'inverse : on cherche un facteur commun, sinon une identité remarquable.

Un même calcul se fait souvent dans les deux sens : dans l'exemple ci-dessous, la forme factorisée de A−BA - B permet de factoriser 7x2+33x−10,7x^{2} + 33x - 10, qui en est la forme développée.

Deux expressions égales pour quelques valeurs ne sont pas égales pour autant. Par exemple, A(x)=x3−x∣x∣+2x+2A(x) = x^{3} - x|x| + 2x + 2 et B(x)=(x+1)(x2−x+2)B(x) = (x + 1)(x^{2} - x + 2) coïncident en −1,-1, 00 et 11 ; mais A(x)−B(x)=x(1−∣x∣),A(x) - B(x) = x(1 - |x|), qui n'est nul que pour x∈{−1;0;1}x \in \{-1 ; 0 ; 1\} : en 2,2, A(2)=10A(2) = 10 et B(2)=12.B(2) = 12. Pour prouver une égalité « pour tout réel xx », on transforme l'une des expressions jusqu'à l'autre.

facteur communka+kb=k(a+b)ka + kb = k(a + b)

Exemple traité

Soient A=(4x−1)2−(4x−1)(3x−6)A = (4x - 1)^{2} - (4x - 1)(3x - 6) et B=1−9x2+2(x−2)(3x−1).B = 1 - 9x^{2} + 2(x - 2)(3x - 1). Factorise A,A, BB et A−B,A - B, puis déduis-en une factorisation de 7x2+33x−10.7x^{2} + 33x - 10.

  1. 1

    Factoriser A

    Le facteur commun est 4x−14x - 1 ; attention au signe devant la seconde parenthèse.

    A=(4x−1)[(4x−1)−(3x−6)]=(4x−1)(x+5)A = (4x - 1)\big[(4x - 1) - (3x - 6)\big] = (4x - 1)(x + 5)
  2. 2

    Factoriser B

    1−9x2=(1−3x)(1+3x)=−(3x−1)(3x+1)1 - 9x^{2} = (1 - 3x)(1 + 3x) = -(3x - 1)(3x + 1) : le facteur commun est 3x−1.3x - 1.

    B=(3x−1)[−(3x+1)+2(x−2)]=(3x−1)(−x−5)=−(3x−1)(x+5)B = (3x - 1)\big[-(3x + 1) + 2(x - 2)\big] = (3x - 1)(-x - 5) = -(3x - 1)(x + 5)
  3. 3

    Factoriser A − B

    Le facteur commun est maintenant x+5.x + 5.

    A−B=(x+5)[(4x−1)+(3x−1)]=(x+5)(7x−2)A - B = (x + 5)\big[(4x - 1) + (3x - 1)\big] = (x + 5)(7x - 2)
  4. 4

    Développer A − B

    A=4x2+19x−5A = 4x^{2} + 19x - 5 et B=−3x2−14x+5.B = -3x^{2} - 14x + 5.

    A−B=7x2+33x−10A - B = 7x^{2} + 33x - 10
7x2+33x−10=(x+5)(7x−2)7x^{2} + 33x - 10 = (x + 5)(7x - 2)

L’erreur à ne pas faire

  • (4x−1)−(3x−6)=x−7(4x - 1) - (3x - 6) = x - 7(4x−1)−(3x−6)=4x−1−3x+6=x+5(4x - 1) - (3x - 6) = 4x - 1 - 3x + 6 = x + 5
    Le signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes.
  • A(0)=B(0),A(0) = B(0), A(1)=B(1),A(1) = B(1), A(−1)=B(−1),A(-1) = B(-1), donc A=BA = BA(2)=10≠B(2)=12A(2) = 10 \ne B(2) = 12
    Quelques valeurs ne prouvent rien : une égalité pour tout xx se démontre par le calcul.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Développer ma3neha produit ywalli somme, w ba3d nréduire. Factoriser houwa el 3aks : nlawjou 3la facteur commun, w ken ma fammech, 3la identité remarquable. W rodd belek : zouz expressions yetsewew fi trois valeurs, ma ma3nehech elli houma égales pour tout x. Bech tethbet égalité, 7awwel expression lin toussel lel o5ra. »

Propriété

La valeur absolue et la distance

La valeur absolue d'un réel xx est ∣x∣=x|x| = x si x≥0,x \ge 0, et ∣x∣=−x|x| = -x si x≤0.x \le 0. Pour l'enlever, on cherche donc d'abord le signe de ce qu'elle contient : ∣5−2∣=5−2,|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2, mais ∣3−2∣=2−3.|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}.

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère (O,I),(O, I), si AA et BB ont pour abscisses aa et b,b, alors AB=∣b−a∣.AB = |b - a|. Résoudre ∣x−a∣=r,|x - a| = r, c'est chercher les points à la distance rr du point d'abscisse aa : il y en a deux si r>0,r > 0, un si r=0,r = 0, aucun si r<0.r < 0.

Pour r>0r > 0 : ∣x−a∣<r|x - a| < r décrit l'intervalle ouvert ]a−r;a+r[,]a - r ; a + r[, et ∣x−a∣>r|x - a| > r son extérieur. Enfin, ∣X∣=∣Y∣|X| = |Y| équivaut à X=YX = Y ou X=−Y.X = -Y.

55B (−3)OIA (2)M (7)
Sur Δ, AM = |x − 2| : les points à distance 5 de A ont pour abscisses −3 et 7.
distance sur une droite graduéeAB=∣b−a∣AB = |b - a|
∣x−a∣=r  ⟺  x=a−r|x - a| = r \iff x = a - r ou x=a+r(r>0)x = a + r \quad (r > 0)
∣x−a∣<r  ⟺  a−r<x<a+r|x - a| < r \iff a - r < x < a + r

Exemple traité

Résous ∣x+2∣=3,|x + 2| = 3, puis ∣2x+1∣=∣3−x∣.|2x + 1| = |3 - x|.

  1. 1

    Une distance

    ∣x+2∣=∣x−(−2)∣|x + 2| = |x - (-2)| : la distance de xx à −2-2 vaut 3.3.

    x=−2+3=1x = -2 + 3 = 1 ou x=−2−3=−5x = -2 - 3 = -5
  2. 2

    Deux valeurs absolues égales

    Les deux nombres sont égaux ou opposés.

    2x+1=3−x  ⟺  3x=2  ⟺  x=232x + 1 = 3 - x \iff 3x = 2 \iff x = \frac{2}{3}
  3. 3
    2x+1=−(3−x)  ⟺  2x+1=x−3  ⟺  x=−42x + 1 = -(3 - x) \iff 2x + 1 = x - 3 \iff x = -4
x=−5x = -5 ou x=1;x = 1 \quad ; \quadx=−4x = -4 ou x=23x = \frac{2}{3}

L’erreur à ne pas faire

  • ∣3−2∣=3−2|\sqrt{3} - 2| = \sqrt{3} - 2∣3−2∣=2−3|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}
    3<2\sqrt{3} < 2 : le nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé.
  • ∣4x−1∣=1−2  ⟺  4x−1=1−2|4x - 1| = 1 - \sqrt{2} \iff 4x - 1 = 1 - \sqrt{2} ou 4x−1=2−14x - 1 = \sqrt{2} - 11−2<01 - \sqrt{2} < 0 : pas de solution
    Une valeur absolue est une distance, donc jamais négative : on regarde le signe du second membre avant tout.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La valeur absolue mta3 x hiya x ken x positif, w moins x ken x négatif. Bech tna77iha, chouf le signe 9bal. W 3la droite graduée, valeur absolue de b moins a hiya la distance A B. Donc valeur absolue de x moins a égale r ma3neha ennou9at elli 3la distance r men a : zouz ken r strictement positif, wa7da berk ken r nul, w 7atta wa7da ken r négatif. »

Définition

Valeurs approchées

On retient la définition suivante :

Soit nn un entier. On dit que le nombre décimal aa est une valeur approchée à 10n10^{n} près du réel bb si ∣b−a∣≤10n.|b - a| \le 10^{n}. Si a<b,a < b, on dit que aa est une valeur approchée de bb à 10n10^{n} près par défaut. Si a>b,a > b, on dit que aa est une valeur approchée de bb à 10n10^{n} près par excès.

En pratique, nn est négatif : 10−210^{-2} veut dire « au centième près ». La calculatrice affiche 7517≈4,411764705\dfrac{75}{17} \approx 4{,}411764705 : à 10−210^{-2} près, 4,414{,}41 par défaut, 4,424{,}42 par excès, et l'arrondi — la plus proche des deux — est 4,41.4{,}41. À 10−310^{-3} près : 4,411,4{,}411, 4,412,4{,}412, et l'arrondi 4,412,4{,}412, car le chiffre suivant, 7,7, est au moins 5.5.

a valeur approchée de b à 10ⁿ près∣b−a∣≤10n|b - a| \le 10^{n}

Exemple traité

La calculatrice affiche 5≈2,236067977.\sqrt{5} \approx 2{,}236067977. Donne ses valeurs approchées à 10−210^{-2} et à 10−310^{-3} près, par défaut et par excès, puis ses arrondis.

  1. 1

    À 10⁻² près

    On garde deux décimales, puis on ajoute un centième.

    2,23<5<2,242{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24
  2. 2

    Le chiffre suivant est 6,6, au moins 55 : on arrondit vers le haut.

    arrondi à 10−2:2,2410^{-2} : 2{,}24
  3. 3

    À 10⁻³ près

    2,236<5<2,2372{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}237
  4. 4

    Le chiffre suivant est 00 : on arrondit vers le bas.

    arrondi à 10−3:2,23610^{-3} : 2{,}236
5:2,23\sqrt{5} : 2{,}23 et 2,242{,}24 à 10−210^{-2} près ;; \quad2,2362{,}236 et 2,2372{,}237 à 10−310^{-3} près

L’erreur à ne pas faire

  • La valeur approchée par défaut de 5\sqrt{5} à 10−210^{-2} près est 2,242{,}24Par défaut : 2,23.2{,}23. 2,242{,}24 est la valeur par excès, et aussi l'arrondi
    Par défaut, on reste en dessous du nombre : on tronque, on n'arrondit pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« a valeur approchée de b à dix puissance n près, ma3neha valeur absolue de b moins a inférieure ou égale à dix puissance n. Ki a asghar men b, n9oulou par défaut, w ki a akbar, par excès. W l'arrondi houwa el a9rab fihom : tchouf le chiffre elli ba3dou, ken cinq walla akther, totla3. »

Remarque

Écriture scientifique et ordre de grandeur

L'écriture scientifique d'un nombre non nul est a×10n,a \times 10^{n}, où nn est un entier relatif et aa un décimal tel que 1≤∣a∣<101 \le |a| < 10 : 35 215 000=3,5215×107.35\,215\,000 = 3{,}5215 \times 10^{7}.

Remarque. Si a×10na \times 10^{n} est l'écriture scientifique d'un nombre, l'ordre de grandeur de ce nombre est b×10n,b \times 10^{n}, où bb est l'arrondi de aa à l'unité : celui de 35 215 00035\,215\,000 est 4×107.4 \times 10^{7}.

L'ordre de grandeur sert à estimer sans calculer exactement : nombre de grains de sable du Sahara, nombre de « Tunisie » pour couvrir la Terre, temps que met la lumière du Soleil pour nous parvenir.

écriture scientifiquea×10na \times 10^{n} avec 1≤∣a∣<101 \le |a| < 10

Exemple traité

Donne l'écriture scientifique et l'ordre de grandeur de 78,3548,78{,}3548, de −425 462,12-425\,462{,}12 et de 0,0007845.0{,}0007845.

  1. 1

    La virgule recule d'un rang : exposant 1.1.

    78,3548=7,83548×10178{,}3548 = 7{,}83548 \times 10^{1}
  2. 2

    L'arrondi de 7,835487{,}83548 à l'unité est 8.8.

    ordre de grandeur :8×101: 8 \times 10^{1}
  3. 3

    La virgule recule de cinq rangs ; le signe reste.

    −425 462,12=−4,2546212×105-425\,462{,}12 = -4{,}2546212 \times 10^{5}
  4. 4
    ordre de grandeur :−4×105: -4 \times 10^{5}
  5. 5

    La virgule avance de quatre rangs : exposant −4.-4.

    0,0007845=7,845×10−40{,}0007845 = 7{,}845 \times 10^{-4}
  6. 6
    ordre de grandeur :8×10−4: 8 \times 10^{-4}
8×101;8 \times 10^{1} \quad ; \quad−4×105;-4 \times 10^{5} \quad ; \quad8×10−48 \times 10^{-4}

L’erreur à ne pas faire

  • 78,3548=78,3548×10078{,}3548 = 78{,}3548 \times 10^{0} est son écriture scientifique78,3548=7,83548×10178{,}3548 = 7{,}83548 \times 10^{1}
    Dans l'écriture scientifique, le nombre aa n'a qu'un seul chiffre, non nul, avant la virgule : 1≤∣a∣<10.1 \le |a| < 10.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'écriture scientifique hiya a fois dix puissance n, w a bin un w dix, fih chiffre wa7ed non nul 9bal la virgule. W l'ordre de grandeur, narrondir a à l'unité w n5alliw nafs dix puissance n. Trente-cinq millions deux cent quinze mille, l'ordre de grandeur mte3ou quatre fois dix puissance sept. »

À retenir

  • 1.

    N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} ; 5\sqrt{5} et π\pi sont irrationnels.

  • 2.

    Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : +10 %+10\,\% puis +20 %+20\,\% font +32 %.+32\,\%.

  • 3.

    Sept identités remarquables, dont a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) et a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2).a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}).

  • 4.

    Si 0<a<10 < a < 1 : a2<a<aa^{2} < a < \sqrt{a} et a<1<1a.a < 1 < \dfrac{1}{a}. Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse renverse l'ordre.

  • 5.

    2xy≤x2+y22xy \le x^{2} + y^{2} et a+b2≥ab\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} pour a,a, b≥0b \ge 0.

  • 6.

    Le conjugué : (a−b)(a+b)=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b ; Héron : A=p(p−a)(p−b)(p−c).\mathcal{A} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.

  • 7.

    AB=∣b−a∣AB = |b - a| ; ∣x−a∣<r  ⟺  a−r<x<a+r.|x - a| < r \iff a - r < x < a + r.

  • 8.

    aa est une valeur approchée de bb à 10n10^{n} près si ∣b−a∣≤10n|b - a| \le 10^{n} ; l'ordre de grandeur de a×10na \times 10^{n} est b×10n,b \times 10^{n}, bb arrondi de aa à l'unité.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/35

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

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Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Calcul dans IR

2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Situer un nombre dans les ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}
  • Calculer avec des fractions, des pourcentages et des identités remarquables
  • Comparer et encadrer des réels, et démontrer des inégalités
  • Simplifier des expressions avec radicaux, développer et factoriser
  • Utiliser la valeur absolue, les valeurs approchées et l'ordre de grandeur

Les ensembles de nombres

On note N\mathbb{N} l'ensemble des entiers naturels, Z\mathbb{Z} celui des entiers relatifs, D\mathbb{D} celui des décimaux, Q\mathbb{Q} celui des nombres rationnels et R\mathbb{R} celui des nombres réels.

On rappelle qu'un décimal s'écrit a10n\dfrac{a}{10^{n}} avec a∈Za \in \mathbb{Z} et n∈Nn \in \mathbb{N}, et qu'un rationnel s'écrit ab\dfrac{a}{b} avec a∈Za \in \mathbb{Z} et b∈N∗b \in \mathbb{N}^{*}. Chaque ensemble est contenu dans le suivant.

La réciproque est fausse à chaque étage : −23∈Z-23 \in \mathbb{Z} mais −23∉N-23 \notin \mathbb{N} ; 29∈Q\dfrac{2}{9} \in \mathbb{Q} mais 29∉D\dfrac{2}{9} \notin \mathbb{D} ; et un réel comme 5\sqrt{5}, 7\sqrt{7} ou π\pi n'est pas rationnel. Avant de classer un nombre, on le simplifie : 36=6\sqrt{36} = 6 et 273=9\dfrac{27}{3} = 9 sont des entiers naturels.

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Le piège

36∉N\sqrt{36} \notin \mathbb{N}

36=6∈N\sqrt{36} = 6 \in \mathbb{N}

Une racine carrée n'est pas forcément irrationnelle : on la calcule avant de classer le nombre.

Le piège

29∈D\dfrac{2}{9} \in \mathbb{D}

29=0,222…∉D\dfrac{2}{9} = 0{,}222\ldots \notin \mathbb{D}

Un rationnel n'est décimal que si sa forme irréductible a un dénominateur fait de 22 et de 55 seulement.

Calculer avec des fractions : chercher la structure

Un calcul long se fait rarement terme à terme : on cherche d'abord sa structure.

  • Une égalité connue en donne d'autres sans calcul : de 12+13+16=1\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1, on tire, en divisant par 22, 14+16+112=12\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{2}.
  • Un produit de facteurs 1+1k1 + \dfrac{1}{k} se simplifie en chaîne : chaque numérateur s'en va avec le dénominateur du facteur suivant.
  • Une fraction « étagée » se calcule de l'intérieur vers l'extérieur, en gardant les fractions irréductibles.
1+1k=k+1k1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}

Le piège

12+13=25\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}

12+13=36+26=56\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}

On n'ajoute pas les dénominateurs : on réduit d'abord au même dénominateur.

Proportionnalité et pourcentages

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité : pour un ressort qui s'allonge de 99 mm quand on y suspend une masse de 1515 g, l'allongement (en mm) vaut 915=0,6\dfrac{9}{15} = 0{,}6 fois la masse (en g).

Augmenter une quantité de t %t\,\%, c'est la multiplier par 1+t1001 + \dfrac{t}{100} ; la diminuer de t %t\,\%, c'est la multiplier par 1−t1001 - \dfrac{t}{100}. Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : on n'ajoute pas les pourcentages.

Pour la T.V.A. au taux de 17 %17\,\% : prix T.T.C. == prix H.T. ×1,17\times 1{,}17, et donc prix H.T. == prix T.T.C. ÷1,17\div 1{,}17.

augmenter de t %:×(1+t100)diminuer de t %:×(1−t100)\text{augmenter de } t\,\% : \times \left(1 + \frac{t}{100}\right) \qquad \text{diminuer de } t\,\% : \times \left(1 - \frac{t}{100}\right)
(1+t1100)×(1+t2100)\left(1 + \frac{t_{1}}{100}\right) \times \left(1 + \frac{t_{2}}{100}\right)

Le piège

+10 %+10\,\% puis +20 %+20\,\% font +30 %+30\,\%

1,1×1,2=1,321{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32 : +32 %+32\,\%

Le second pourcentage s'applique au prix déjà augmenté : les coefficients se multiplient.

Le piège

+10 %+10\,\% puis −10 %-10\,\% ramènent au prix initial

1,1×0,9=0,991{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99 : une baisse de 1 %1\,\%

La baisse porte sur un prix plus grand : elle retire plus que la hausse n'a ajouté.

Les identités remarquables

Pour tous réels aa et bb, les sept identités ci-dessous servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.

Elles font aussi calculer de tête : 292=(30−1)2=900−60+1=84129^{2} = (30 - 1)^{2} = 900 - 60 + 1 = 841, et n2−(n−1)(n+1)=1n^{2} - (n - 1)(n + 1) = 1 donne sans calcul 758954782−75895477×75895479=175895478^{2} - 75895477 \times 75895479 = 1 ; de même, n2+n=(n+1)2−(n+1)n^{2} + n = (n + 1)^{2} - (n + 1) généralise 72+7=82−87^{2} + 7 = 8^{2} - 8.

Elles démontrent enfin des conjectures. Prenons, pour un entier naturel nn, le nombre x=n(n+1)(n+2)(n+3)+1x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 : il vaut 2525, 121121, 361361, 841841 pour n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4, qui sont tous des carrés. En posant u=n2+3nu = n^{2} + 3n, on a n(n+3)=un(n + 3) = u et (n+1)(n+2)=u+2(n + 1)(n + 2) = u + 2, donc x=u(u+2)+1=(u+1)2=(n2+3n+1)2x = u(u + 2) + 1 = (u + 1)^{2} = (n^{2} + 3n + 1)^{2}.

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \qquad (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}
(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \qquad (a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) \qquad a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})

Le piège

(a+b)2=a2+b2(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

Le double produit est la moitié du travail : avec a=b=1a = b = 1, on aurait 4=24 = 2.

Le piège

(2+a)3=8+a3(2 + a)^{3} = 8 + a^{3}

(2+a)3=8+12a+6a2+a3(2 + a)^{3} = 8 + 12a + 6a^{2} + a^{3}

Le cube d'une somme a quatre termes, avec les coefficients 11, 33, 33, 11.

Comparer a, a² et √a

Sur la figure, 0<a<10 < a < 1 : le carré ABCDABCD a pour aire a2a^{2}, le rectangle ABEFABEF a pour aire a×1=aa \times 1 = a. Le carré est une partie du rectangle, donc a2<aa^{2} < a.

Par le calcul : a−a2=a(1−a)a - a^{2} = a(1 - a) est un produit de deux nombres strictement positifs quand 0<a<10 < a < 1. Appliqué au nombre a\sqrt{a}, lui aussi entre 00 et 11, le même résultat donne a=(a)2<aa = (\sqrt{a})^{2} < \sqrt{a}.

Quand a>1a > 1, tout s'inverse ; et pour a=1a = 1, les trois nombres sont égaux.

aa1ABCDEF
Le carré ABCD est une partie du rectangle ABEF.
0<a<1  ⟹  a2<a<a0 < a < 1 \;\Longrightarrow\; a^{2} < a < \sqrt{a}
a>1  ⟹  a<a<a2a > 1 \;\Longrightarrow\; \sqrt{a} < a < a^{2}

Le piège

a2>aa^{2} > a pour tout réel a>0a > 0

(0,3)2=0,09<0,3(0{,}3)^{2} = 0{,}09 < 0{,}3

Un nombre entre 00 et 11 rapetisse quand on l'élève au carré : on multiplie par un nombre plus petit que 11.

Comparer a et 1/a

Sur la figure, (BI)(BI) et (AJ)(AJ) sont parallèles, OI=OJ=1OI = OJ = 1 et OA=a>1OA = a > 1. Le théorème de Thalès dans le triangle OAJOAJ donne OBOJ=OIOA\dfrac{OB}{OJ} = \dfrac{OI}{OA}, donc OB=1aOB = \dfrac{1}{a}. Comme BB est entre OO et JJ, on lit 1a<1<a\dfrac{1}{a} < 1 < a.

Quand 0<a<10 < a < 1, la même construction place l'inverse au-delà de 11. Plus généralement, pour deux réels strictement positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre.

D'où une comparaison sans calcul : un quotient de positifs est plus grand que 11 quand son numérateur dépasse son dénominateur, et plus petit sinon.

1a1OIAJB
(BI) et (AJ) sont parallèles ; OI = OJ = 1 et OA = a > 1.
a>1  ⟹  1a<1<a0<a<1  ⟹  a<1<1aa > 1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{a} < 1 < a \qquad 0 < a < 1 \;\Longrightarrow\; a < 1 < \frac{1}{a}
0<a<b  ⟹  1a>1b0 < a < b \;\Longrightarrow\; \frac{1}{a} > \frac{1}{b}

Le piège

2<3⟹12<132 < 3 \Longrightarrow \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}

2<3⟹12>132 < 3 \Longrightarrow \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}

Pour deux nombres strictement positifs, le plus grand a le plus petit inverse.

Encadrer une expression

Pour encadrer une expression à partir d'un encadrement de aa, on n'utilise que des opérations qui ont une règle :

  • ajouter un même nombre à tous les membres garde le sens ;
  • multiplier par un nombre positif garde le sens, par un nombre négatif le renverse ;
  • deux encadrements s'ajoutent membre à membre ; deux encadrements de nombres positifs se multiplient membre à membre ;
  • l'inverse d'un encadrement de positifs se renverse.

On ne soustrait jamais, on ne divise jamais deux encadrements membre à membre : on passe par l'opposé ou par l'inverse.

a≤x≤b  ⟹  −b≤−x≤−aa \le x \le b \;\Longrightarrow\; -b \le -x \le -a
0<a≤x≤b  ⟹  1b≤1x≤1a0 < a \le x \le b \;\Longrightarrow\; \frac{1}{b} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a}

Le piège

−2≤a≤3⟹6≤−3a≤−9-2 \le a \le 3 \Longrightarrow 6 \le -3a \le -9

−9≤−3a≤6-9 \le -3a \le 6

Multiplier par un négatif renverse les inégalités : le plus petit membre devient le plus grand.

Le piège

16,125,2≤ℓ≤16,965,3\dfrac{16{,}12}{5{,}2} \le \ell \le \dfrac{16{,}96}{5{,}3}

16,125,3≤ℓ≤16,965,2\dfrac{16{,}12}{5{,}3} \le \ell \le \dfrac{16{,}96}{5{,}2}

Diviser par la longueur, c'est multiplier par son inverse, dont l'encadrement se renverse : la plus petite largeur vient de la plus grande longueur.

Deux carrés et un double produit

Sur la figure, le grand carré ABCDABCD a pour côté x+yx + y. Le carré incliné LKJILKJI a pour côté x2+y2\sqrt{x^{2} + y^{2}}, donc pour aire x2+y2x^{2} + y^{2} ; les pointillés montrent qu'il contient quatre triangles rectangles de côtés xx et yy, d'aire totale 2xy2xy, et un petit carré de côté x−yx - y. D'où 2xy≤x2+y22xy \le x^{2} + y^{2}.

Le calcul le dit pour tous réels : x2+y2−2xy=(x−y)2≥0x^{2} + y^{2} - 2xy = (x - y)^{2} \ge 0, avec égalité seulement si x=yx = y.

Pour des réels strictement positifs, on en tire x+1x≥2x + \dfrac{1}{x} \ge 2, xy+yx≥2\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2, (x+y)(1x+1y)≥4(x + y)\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \ge 4 et (a+b+c)(1a+1b+1c)≥9(a + b + c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \ge 9 ; et pour aa, bb strictement positifs, 1a+b<1a+1b\dfrac{1}{a + b} < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} et a+b<a+b\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}.

yxyxyxyxABCDLKJI
L'aire du carré incliné LKJI : x² + y² = 2xy + (x − y)².
2xy≤x2+y22xy \le x^{2} + y^{2}
x+1x≥2x + \frac{1}{x} \ge 2

Le piège

a+b=a+b\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

a+b<a+b\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} pour a,b>0a, b > 0

En élevant au carré, le membre de droite a un double produit 2ab2\sqrt{ab} de plus : 9+16=5\sqrt{9 + 16} = 5, alors que 9+16=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7.

Moyenne arithmétique et moyenne géométrique

Pour deux réels positifs aa et bb, la moyenne arithmétique est a+b2\dfrac{a + b}{2} et la moyenne géométrique est ab\sqrt{ab}.

Sur la figure, AH=aAH = a et HB=bHB = b, donc AB=a+bAB = a + b et le rayon OCOC vaut a+b2\dfrac{a + b}{2}. Quand a<ba < b, OH=OA−AH=b−a2OH = OA - AH = \dfrac{b - a}{2}. Dans le triangle OHCOHC rectangle en HH, CH2=OC2−OH2=(a+b)2−(b−a)24=abCH^{2} = OC^{2} - OH^{2} = \dfrac{(a + b)^{2} - (b - a)^{2}}{4} = ab, donc CH=abCH = \sqrt{ab}. Un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse : ab≤a+b2\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}.

Par le calcul : a+b2−ab=(a−b)22≥0\dfrac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2} \ge 0.

abAHOBC
AH = a, HB = b : OC = (a + b)/2 et CH = √(ab).
a+b2≥ab\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}

L'inégalité triangulaire au travail

L'inégalité triangulaire dit que, pour trois points AA, BB, CC du plan, AB≤AC+CBAB \le AC + CB : le chemin direct est le plus court.

Prenons un point MM à l'intérieur d'un triangle ABCABC et (BM)(BM) coupe (AC)(AC) en II. Deux inégalités triangulaires, ajoutées, montrent que MB+MC≤AB+ACMB + MC \le AB + AC ; de même MA+MB≤CA+CBMA + MB \le CA + CB et MA+MC≤BA+BCMA + MC \le BA + BC.

Autre usage : dans un quadrilatère ABCDABCD de demi-périmètre pp, on encadre la somme des diagonales : p≤AC+BD≤2pp \le AC + BD \le 2p. Les triangles AOBAOB et CODCOD, où OO est l'intersection des diagonales, donnent AC+BD≥AB+DCAC + BD \ge AB + DC ; de même, AODAOD et BOCBOC donnent AC+BD≥AD+BCAC + BD \ge AD + BC ; en ajoutant, p≤AC+BDp \le AC + BD. Les triangles ABCABC, ADCADC, ABDABD et CBDCBD donnent AC+BD≤2pAC + BD \le 2p.

ABCMI
M est à l'intérieur du triangle ABC ; (BM) coupe (AC) en I.
AB≤AC+CBAB \le AC + CB

Les radicaux : conjugué et racines imbriquées

Trois outils reviennent sans cesse.

  • Le conjugué. (a−b)(a+b)=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b : multiplier le haut et le bas d'une fraction par le conjugué de son dénominateur fait disparaître les radicaux du dénominateur. C'est aussi pourquoi a+1−a\sqrt{a + 1} - \sqrt{a} est l'inverse de a+1+a\sqrt{a + 1} + \sqrt{a}.
  • Le carré d'abord. Pour simplifier une somme de racines imbriquées AA, on calcule A2A^{2}, puis A=A2A = \sqrt{A^{2}} si A≥0A \ge 0.
  • Extraire les carrés. 48=43\sqrt{48} = 4\sqrt{3}, 75=53\sqrt{75} = 5\sqrt{3}, 243=93\sqrt{243} = 9\sqrt{3} : écrits ainsi, ils se comparent et s'ajoutent. Si AB=48AB = \sqrt{48}, AC=75AC = \sqrt{75} et BC=243BC = \sqrt{243}, alors AB+AC=BCAB + AC = BC : les points AA, BB, CC sont alignés.
(a−b)(a+b)=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b
x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|

Le piège

x2=x\sqrt{x^{2}} = x pour tout réel xx

x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|, par exemple (2−5)2=5−2\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = \sqrt{5} - 2

Une racine carrée est toujours positive : il faut connaître le signe de xx.

Le piège

13+2=3−29+2\dfrac{1}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{9 + 2}

13+2=3−29−2=3−27\dfrac{1}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \dfrac{3 - \sqrt{2}}{7}

Le conjugué donne une différence de deux carrés : (3+2)(3−2)=9−2(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 9 - 2.

La formule de Héron

La formule attribuée à Héron d'Alexandrie (Iᵉʳ siècle) donne l'aire A\mathcal{A} d'un triangle à partir des seules longueurs aa, bb, cc de ses côtés, où pp désigne le demi-périmètre.

Elle n'a besoin d'aucune hauteur. Quand le triangle est dans un rectangle dont on connaît les dimensions, on peut aussi retrancher à l'aire du rectangle celles des triangles rectangles des coins.

A=p(p−a)(p−b)(p−c)\mathcal{A} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}

Le piège

p=18+24+30=72p = 18 + 24 + 30 = 72

p=18+24+302=36p = \dfrac{18 + 24 + 30}{2} = 36

Dans la formule, pp est le demi-périmètre : avec le périmètre entier, p−cp - c n'a plus de sens.

Développer, factoriser, comparer deux expressions

Développer, c'est transformer un produit en somme, puis réduire en regroupant les termes de même degré. Factoriser, c'est l'inverse : on cherche un facteur commun, sinon une identité remarquable.

Un même calcul se fait souvent dans les deux sens : dans l'exemple ci-dessous, la forme factorisée de A−BA - B permet de factoriser 7x2+33x−107x^{2} + 33x - 10, qui en est la forme développée.

Deux expressions égales pour quelques valeurs ne sont pas égales pour autant. Par exemple, A(x)=x3−x∣x∣+2x+2A(x) = x^{3} - x|x| + 2x + 2 et B(x)=(x+1)(x2−x+2)B(x) = (x + 1)(x^{2} - x + 2) coïncident en −1-1, 00 et 11 ; mais A(x)−B(x)=x(1−∣x∣)A(x) - B(x) = x(1 - |x|), qui n'est nul que pour x∈{−1;0;1}x \in \{-1 ; 0 ; 1\} : en 22, A(2)=10A(2) = 10 et B(2)=12B(2) = 12. Pour prouver une égalité « pour tout réel xx », on transforme l'une des expressions jusqu'à l'autre.

ka+kb=k(a+b)ka + kb = k(a + b)

Le piège

(4x−1)−(3x−6)=x−7(4x - 1) - (3x - 6) = x - 7

(4x−1)−(3x−6)=4x−1−3x+6=x+5(4x - 1) - (3x - 6) = 4x - 1 - 3x + 6 = x + 5

Le signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes.

Le piège

A(0)=B(0)A(0) = B(0), A(1)=B(1)A(1) = B(1), A(−1)=B(−1)A(-1) = B(-1), donc A=BA = B

A(2)=10≠B(2)=12A(2) = 10 \ne B(2) = 12

Quelques valeurs ne prouvent rien : une égalité pour tout xx se démontre par le calcul.

La valeur absolue et la distance

La valeur absolue d'un réel xx est ∣x∣=x|x| = x si x≥0x \ge 0, et ∣x∣=−x|x| = -x si x≤0x \le 0. Pour l'enlever, on cherche donc d'abord le signe de ce qu'elle contient : ∣5−2∣=5−2|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2, mais ∣3−2∣=2−3|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}.

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère (O,I)(O, I), si AA et BB ont pour abscisses aa et bb, alors AB=∣b−a∣AB = |b - a|. Résoudre ∣x−a∣=r|x - a| = r, c'est chercher les points à la distance rr du point d'abscisse aa : il y en a deux si r>0r > 0, un si r=0r = 0, aucun si r<0r < 0.

Pour r>0r > 0 : ∣x−a∣<r|x - a| < r décrit l'intervalle ouvert ]a−r;a+r[]a - r ; a + r[, et ∣x−a∣>r|x - a| > r son extérieur. Enfin, ∣X∣=∣Y∣|X| = |Y| équivaut à X=YX = Y ou X=−YX = -Y.

55B (−3)OIA (2)M (7)
Sur Δ, AM = |x − 2| : les points à distance 5 de A ont pour abscisses −3 et 7.
AB=∣b−a∣AB = |b - a|
∣x−a∣=r  ⟺  x=a−r ou x=a+r(r>0)|x - a| = r \iff x = a - r \text{ ou } x = a + r \quad (r > 0)
∣x−a∣<r  ⟺  a−r<x<a+r|x - a| < r \iff a - r < x < a + r

Le piège

∣3−2∣=3−2|\sqrt{3} - 2| = \sqrt{3} - 2

∣3−2∣=2−3|\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}

3<2\sqrt{3} < 2 : le nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé.

Le piège

∣4x−1∣=1−2  ⟺  4x−1=1−2|4x - 1| = 1 - \sqrt{2} \iff 4x - 1 = 1 - \sqrt{2} ou 4x−1=2−14x - 1 = \sqrt{2} - 1

1−2<01 - \sqrt{2} < 0 : pas de solution

Une valeur absolue est une distance, donc jamais négative : on regarde le signe du second membre avant tout.

Valeurs approchées

On retient la définition suivante :

Soit nn un entier. On dit que le nombre décimal aa est une valeur approchée à 10n10^{n} près du réel bb si ∣b−a∣≤10n|b - a| \le 10^{n}. Si a<ba < b, on dit que aa est une valeur approchée de bb à 10n10^{n} près par défaut. Si a>ba > b, on dit que aa est une valeur approchée de bb à 10n10^{n} près par excès.

En pratique, nn est négatif : 10−210^{-2} veut dire « au centième près ». La calculatrice affiche 7517≈4,411764705\dfrac{75}{17} \approx 4{,}411764705 : à 10−210^{-2} près, 4,414{,}41 par défaut, 4,424{,}42 par excès, et l'arrondi — la plus proche des deux — est 4,414{,}41. À 10−310^{-3} près : 4,4114{,}411, 4,4124{,}412, et l'arrondi 4,4124{,}412, car le chiffre suivant, 77, est au moins 55.

∣b−a∣≤10n|b - a| \le 10^{n}

Le piège

La valeur approchée par défaut de 5\sqrt{5} à 10−210^{-2} près est 2,242{,}24

Par défaut : 2,232{,}23. 2,242{,}24 est la valeur par excès, et aussi l'arrondi

Par défaut, on reste en dessous du nombre : on tronque, on n'arrondit pas.

Écriture scientifique et ordre de grandeur

L'écriture scientifique d'un nombre non nul est a×10na \times 10^{n}, où nn est un entier relatif et aa un décimal tel que 1≤∣a∣<101 \le |a| < 10 : 35 215 000=3,5215×10735\,215\,000 = 3{,}5215 \times 10^{7}.

Remarque. Si a×10na \times 10^{n} est l'écriture scientifique d'un nombre, l'ordre de grandeur de ce nombre est b×10nb \times 10^{n}, où bb est l'arrondi de aa à l'unité : celui de 35 215 00035\,215\,000 est 4×1074 \times 10^{7}.

L'ordre de grandeur sert à estimer sans calculer exactement : nombre de grains de sable du Sahara, nombre de « Tunisie » pour couvrir la Terre, temps que met la lumière du Soleil pour nous parvenir.

a×10navec1≤∣a∣<10a \times 10^{n} \quad \text{avec} \quad 1 \le |a| < 10

Le piège

78,3548=78,3548×10078{,}3548 = 78{,}3548 \times 10^{0} est son écriture scientifique

78,3548=7,83548×10178{,}3548 = 7{,}83548 \times 10^{1}

Dans l'écriture scientifique, le nombre aa n'a qu'un seul chiffre, non nul, avant la virgule : 1≤∣a∣<101 \le |a| < 10.

À retenir

  • N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} ; 5\sqrt{5} et π\pi sont irrationnels.
  • Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : +10 %+10\,\% puis +20 %+20\,\% font +32 %+32\,\%.
  • Sept identités remarquables, dont a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) et a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}).
  • Si 0<a<10 < a < 1 : a2<a<aa^{2} < a < \sqrt{a} et a<1<1aa < 1 < \dfrac{1}{a}. Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse renverse l'ordre.
  • 2xy≤x2+y22xy \le x^{2} + y^{2} et a+b2≥ab\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} pour a,b≥0a, b \ge 0.
  • Le conjugué : (a−b)(a+b)=a−b(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b ; Héron : A=p(p−a)(p−b)(p−c)\mathcal{A} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.
  • AB=∣b−a∣AB = |b - a| ; ∣x−a∣<r  ⟺  a−r<x<a+r|x - a| < r \iff a - r < x < a + r.
  • aa est une valeur approchée de bb à 10n10^{n} près si ∣b−a∣≤10n|b - a| \le 10^{n} ; l'ordre de grandeur de a×10na \times 10^{n} est b×10nb \times 10^{n}, bb arrondi de aa à l'unité.