Somme, Chasles, opposé ; produit par un réel ; colinéarité, base, composantes, déterminant ; repère, norme, distance, orthogonalité ; milieu, centre de gravité, Thalès, projection.
27 sections · 101 exercices
Calcul vectoriel
Le tableau est vide…
Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.
Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.
Tu peux aussi répondre à la voix 🎤
Le cours
Ce qu’il t’explique
Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.
Ce chapitre reprend les vecteurs de la première année et en fait un outil de calcul. On définit la somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un réel, puis on calcule avec eux comme avec des lettres.
Deux vecteurs non colinéaires forment une base : chaque vecteur y a des composantes, et le déterminantxy′−x′y dit si deux vecteurs sont colinéaires. Dans un repère orthonormé viennent la norme, la distance et l'orthogonalité (xx′+yy′=0). Le chapitre se termine en traduisant la géométrie — alignement, parallélisme, milieu, centre de gravité, Thalès — en égalités vectorielles.
À la fin de ce chapitre, tu sais
Additionner des vecteurs : Chasles, opposé, différence
Multiplier un vecteur par un réel
Reconnaître des vecteurs colinéaires, par le déterminant xy′−x′y
Utiliser une base, un repère : composantes, coordonnées
Calculer norme et distance ; tester l'orthogonalité par xx′+yy′=0
Traduire la géométrie en égalités vectorielles
Activité
Rappels
Parmi ces égalités, lesquelles caractérisent le milieu I du segment [AB] ?
IA=IB : non, elle impose A=B ;
IA+IB=0 : oui ;
AB=2AI : non, c'est une égalité de longueurs ; I peut être hors de la droite (AB) ;
AB=2AI : oui ;
AI+IB=AB : non, c'est la relation de Chasles, vraie pour tout point I.
Soit ABC un triangle, G son centre de gravité et I le milieu de [BC]. « G∈[AI] et GA=2GI », « GA=−2GI » et « AG=32AI » caractérisent G ; « GA=GB=GC » caractérise le centre du cercle circonscrit, pas G.
G est aux deux tiers de la médiane [AI], en partant de A.
I milieu de [AB]IA+IB=0
G centre de gravité, I milieu de [BC]AG=32AI
Ce qu’on observe
A,B et C sont trois points alignés, D et E les points tels que AD=BC et AE=BA. Montrer que [AD] et [EC] ont le même milieu.
1
Le critère
Les segments [AD] et [EC] ont le même milieu si et seulement si AE=CD : c'est le critère du parallélogramme AEDC.
[AD] et [EC] ont le même milieu ⟺AE=CD
2
Chasles
On décompose le vecteur CD en passant par A, puis on remplace AD par BC.
CD=CA+AD=BC+CA=BA
3
Conclure
Or BA=AE par définition de E : les deux segments ont donc le même milieu.
CD=BA=AE
AE=CD
L’erreur à ne pas faire
✗AI+IB=AB, donc I est le milieu de [AB]✓IA+IB=0 caractérise le milieu I
La relation de Chasles est vraie pour n'importe quel point I : elle ne dit rien du milieu.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Bech nabdew, nrajj3ou 7ajtin chefnehom fel première année. I le milieu de AB : chnowa el égalité elli t3arrfou ? Le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul, walla le vecteur AB égale deux fois le vecteur AI. Ama le vecteur AI plus le vecteur IB égale le vecteur AB, hedhi la relation de Chasles, sa7i7a l ay point I, donc ma t3arrfouch le milieu. W G le centre de gravité du triangle ABC, w I le milieu de BC : le vecteur GA égale moins deux fois le vecteur GI, walla le vecteur AG égale deux tiers du vecteur AI. »
Définition
Somme de deux vecteurs
Soit A un point du plan et soient u et v deux vecteurs. On désigne par B et C les points tels que AB=u et AC=v. Soit D le point tel que [BC] et [AD] aient le même milieu.
On appelle vecteur somme de u et v le vecteur w tel que w=AD. Il est noté u+v.
Pour un point A et un vecteur u donnés, il existe un seul point M tel que AM=u. Et comme ABDC est un parallélogramme, AC=BD : on retrouve la relation de Chasles AB+BD=AD.
ABDC est un parallélogramme : u + v = AD.
règle du parallélogrammeAB+AC=AD
Exemple traité
ABCD est un quadrilatère, E et F les points tels que DE=DA+DB et DF=DB+DC. Montrer que AEFC est un parallélogramme.
1
Le vecteur AE
On passe par D dans le vecteur AE, puis on remplace DE.
AE=AD+DE=AD+DA+DB=DB
2
Le vecteur CF
De même, on passe par D dans le vecteur CF.
CF=CD+DF=CD+DB+DC=DB
3
Conclure
Les vecteurs AE et CF sont égaux : le quadrilatère AEFC est un parallélogramme.
AE=CF
AE=CF=DB
L’erreur à ne pas faire
✗AB+AC=BC✓AB+AC=AD, où ABDC est un parallélogramme
Deux vecteurs de même origine s'ajoutent par la diagonale du parallélogramme, celle qui part de leur origine commune.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tawa n3arrfou la somme de deux vecteurs. 3andna point A, w zouz vecteurs u w v. N7ottou B w C, elli le vecteur AB égale u, w le vecteur AC égale v. Men ba3d nlawjou 3la D, elli BC w AD 3andhom nafs le milieu : ya3ni ABDC parallélogramme. Le vecteur AD, houwa elli nsammiweh u plus v. Hedhi hiya la règle du parallélogramme : le vecteur AB plus le vecteur AC égale le vecteur AD. »
Propriété
Propriétés de l'addition
Pour tous vecteurs u,v et w :
u+v=v+u : l'addition est commutative ;
u+(v+w)=(u+v)+w : elle est associative, et l'on écrit simplement u+v+w ;
u+0=u : le vecteur nul ne change rien.
Ces règles permettent de regrouper les vecteurs dans l'ordre qui arrange, en particulier pour appliquer la relation de Chasles AB+BC=AC.
u+v=v+u
u+(v+w)=(u+v)+w
u+0=u
Exemple traité
Simplifier MA+BC+AB.
1
Réordonner
L'addition est commutative : on met les vecteurs dans l'ordre où l'extrémité de l'un est l'origine du suivant.
MA+BC+AB=MA+AB+BC
2
Chasles
On applique deux fois la relation de Chasles, de gauche à droite.
=MB+BC=MC
MA+BC+AB=MC
L’erreur à ne pas faire
✗AB+CB=AC✓AB+BC=AC
Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« El addition des vecteurs 3andha nafs les règles mta3 el addition des nombres. u plus v égale v plus u : commutative. u plus la parenthèse v plus w, hiya bidha la parenthèse u plus v, plus w : associative, donc nekteb u plus v plus w blech parenthèses. W u plus le vecteur nul égale u. Hedha y5allina nrattbou les vecteurs kima n7ebbou, bech ntab9ou Chasles : l'extrémité mta3 vecteur tkoun l'origine mta3 elli ba3dou. »
Définition
Opposé, différence
Soit u un vecteur du plan. L'unique vecteur v tel que u+v=0 s'appelle l'opposé de u. Il est noté −u. Ainsi u+(−u)=(−u)+u=0.
Notation. La somme u+(−v) est notée u−v.
Remarque. Pour deux points A et B : AB+BA=AA=0. L'opposé du vecteur AB est donc le vecteur BA : on écrit BA=−AB.
De même, l'opposé de u+v est −u−v, et −(−u)=u.
u+(−u)=0
BA=−AB
−(u+v)=−u−v
Exemple traité
Écrire sans parenthèses u−(v−w) et −(u+v)+(u−v).
1
Premier calcul
L'opposé de v−w est −v+w : chaque signe change.
u−(v−w)=u−v+w
2
Second calcul
On enlève les deux parenthèses, puis u et −u s'annulent.
−(u+v)+(u−v)=−u−v+u−v=−v−v
u−v+w;−v−v
L’erreur à ne pas faire
✗u−(v−w)=u−v−w✓u−(v−w)=u−v+w
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun des vecteurs qu'elle contient.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« u vecteur. El vecteur el wa7id elli ki nzidouh l u ya3tina le vecteur nul, nsammiweh l'opposé de u, w nektbouh moins u. W u moins v, ma3neha u plus l'opposé de v. Mithel mohemm : le vecteur AB plus le vecteur BA égale le vecteur AA, ya3ni le vecteur nul. Donc l'opposé du vecteur AB houwa le vecteur BA. W rodd belek : moins la parenthèse u plus v, twalli moins u moins v, koll signe yetbaddel. »
Définition
Produit par un réel
Soient A un point du plan, u un vecteur non nul et B le point tel que u=AB. Soit α un réel et M le point de (AB) d'abscisse α dans le repère (A,B). On appelle vecteur produit de u par α le vecteur v tel que v=AM. Il est noté α.u ou αu.
Le produit du vecteur nul par le réel α est le vecteur nul : α.0=0.
Remarque. Pour tout vecteur u, on a 1.u=u.
Par exemple, dans le repère (A,B), le point C tel que u+u=AC a pour abscisse 2, et le point D tel que −u−u=AD a pour abscisse −2.
Ici α = 2,5 : le vecteur AM est 2,5 fois u.
αu=AM où M a pour abscisse α dans le repère (A,B)
Exemple traité
Avec u=AB, placer les points M,N et P d'abscisses respectives −2,3 et 21 dans le repère (A,B), et écrire les vecteurs AM,AN et AP à l'aide de u.
1
Le point M
M est du côté opposé à B, à deux unités de A : le vecteur AM est le produit de u par −2.
AM=−2u
2
Les points N et P
N est à trois unités de A du côté de B, et P est le milieu de [AB].
AN=3u;AP=21u
AM=−2u;AN=3u;AP=21u
L’erreur à ne pas faire
✗−2u est un vecteur de longueur −2 fois celle de u✓−2u a la direction de u, le sens contraire, et une longueur double
Le signe du réel donne le sens ; une longueur n'est jamais négative.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Kifech nedherbou vecteur fi réel ? u vecteur mouch nul, w B elli le vecteur AB égale u. Na5dhou la droite AB bel repère A, B : A hiya zéro, w B hiya un. Alpha réel, w M le point elli l'abscisse mte3ou alpha. Alpha u, houwa le vecteur AM. Mathalan deux u : M fi l'abscisse deux. Moins deux u : M fi l'abscisse moins deux, fel jiha lo5ra. W alpha fois le vecteur nul égale le vecteur nul, w un fois u égale u. »
Propriété
Propriétés du produit
Pour tout vecteur u : (−1)u=−u.
Pour tout vecteur u et pour tous réels a et b : a.u+b.u=(a+b).u et a.(b.u)=(ab).u.
Pour tout réel a et pour tous vecteurs u et v : a.(u+v)=a.u+a.v.
On calcule donc avec les vecteurs comme avec des lettres en algèbre : on développe, on regroupe les termes en u et les termes en v.
au+bu=(a+b)u
a(bu)=(ab)u
a(u+v)=au+av
Exemple traité
Simplifier a=2(u−3v)−(5u−6v) et b=3u+v−[7u−21(8u+2v)].
1
Le vecteur a
On développe, sans oublier que le signe moins change les deux signes de la seconde parenthèse.
a=2u−6v−5u+6v=−3u
2
Le crochet de b
On commence par l'intérieur du crochet : la moitié de huit u plus deux v, c'est quatre u plus v.
7u−21(8u+2v)=7u−4u−v=3u−v
3
Le vecteur b
On retire ce crochet : ses deux signes changent, et les termes en u s'annulent.
b=3u+v−3u+v=2v
a=−3u;b=2v
L’erreur à ne pas faire
✗2(u−3v)=2u−3v✓2(u−3v)=2u−6v
Le réel multiplie chacun des vecteurs de la parenthèse, pas seulement le premier.
✗−4(23u)=−25u✓−4(23u)=−6u
On multiplie les deux réels entre eux : la règle est a(bu)=(ab)u, pas (a+b)u.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Les règles mta3 el produit par un réel : moins un fois u égale moins u. a u plus b u égale la parenthèse a plus b, fois u. a fois la parenthèse b u, égale a b fois u. W a fois la parenthèse u plus v, égale a u plus a v. Ya3ni n7esbou bel vecteurs kif ma n7esbou bel lettres fel algèbre : nfekkou les parenthèses, w njamm3ou les u m3a b3adhhom w les v m3a b3adhhom. Mathalan deux fois la parenthèse u moins trois v, moins la parenthèse cinq u moins six v : ta3ti moins trois u. »
Propriété
Produit nul
Pour tout vecteur u et pour tout réel α :
αu=0⟺(α=0 ou u=0).
En particulier, si αu=0 et α=0, alors u=0 : on multiplie les deux membres par α1.
αu=0⟺(α=0 ou u=0)
Exemple traité
u est un vecteur non nul et x un réel tel que (2x−6)u=0. Déterminer x.
1
Appliquer la propriété
Le vecteur u n'est pas nul : c'est donc le réel qui est nul.
2x−6=0
2
Résoudre
On ajoute 6 puis on divise par 2.
x=3
x=3
L’erreur à ne pas faire
✗αu=0, donc α=0✓αu=0, donc α=0 ou u=0
Le produit est aussi nul quand le vecteur est nul, quel que soit le réel.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Alpha u égale le vecteur nul, waqtech ? Ken alpha égale zéro, walla u houwa le vecteur nul. Ezzouz bark. W ken alpha mouch zéro, nedherbou fi un sur alpha, w nal9aw u égale le vecteur nul. Mathalan ken u mouch nul, w la parenthèse deux x moins six, fois u, égale le vecteur nul, donc deux x moins six égale zéro, w x égale trois. »
Définition
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, puisque 0=0.u.
Soit A un point et B,C les points tels que u=AB et v=AC. Alors les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si les points A,B et C sont alignés.
Remarque. Si A,B,C et D sont alignés, il existe un réel α tel que AB=αCD. Si α>0, les vecteurs sont colinéaires et de même sens ; si α<0, ils sont colinéaires et de sens contraires.
A, B et C alignés : le vecteur AC est 3 fois le vecteur AB.
colinéairesv=ku
A,B,C alignés ⟺AB et AC colinéaires
Exemple traité
Soient a=2(u+v)−3v et b=3(v−4u)+6u. Simplifier a et b, puis exprimer a en fonction de b.
1
Simplifier a
On développe puis on regroupe les termes en v : deux v moins trois v.
a=2u+2v−3v=2u−v
2
Simplifier b
On développe puis on regroupe les termes en u : moins douze u plus six u.
b=3v−12u+6u=−6u+3v
3
Comparer
On met −3 en facteur dans b : on retrouve a. Les vecteurs a et b sont donc colinéaires, et de sens contraires.
b=−3(2u−v)=−3a donc a=−31b
a=−31b
L’erreur à ne pas faire
✗AB et CD sont colinéaires, donc A,B,C et D sont alignés✓AB et CD colinéaires : les droites (AB) et (CD) sont parallèles
L'alignement se lit sur deux vecteurs qui ont une origine commune, comme AB et AC.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Zouz vecteurs colinéaires, ki wa7ed menhom houwa le5er madhroub fi réel : v égale k u. Le vecteur nul colinéaire m3a el koll, 5ater le vecteur nul égale zéro fois u. W hedhi mohemma barcha : A, B w C alignés, ki le vecteur AB w le vecteur AC colinéaires. W ken le vecteur AB égale alpha fois le vecteur CD : ken alpha positif, nafs le sens ; ken alpha négatif, sens contraires. »
Définition
Base et composantes
On appelle base de l'ensemble des vecteurs du plan tout couple (i,j) de vecteurs non colinéaires.
Soit (i,j) une base et u un vecteur. Il existe un unique couple (x,y) de réels tel que u=xi+yj. Ce couple est appelé couple de composantes du vecteur u dans la base (i,j).
Notation. On note u(xy).
Ainsi, le vecteur nul a pour composantes (0,0) ; i a pour composantes (1,0) et j a pour composantes (0,1). Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes composantes : u=v⟺(x=x′ et y=y′).
Le vecteur AM se décompose en x fois i plus y fois j.
u=xi+yj⟺u(xy)
Exemple traité
Dans une base (i,j), donner les composantes des vecteurs 2i+3j,−4i et −53j.
1
Lire les coefficients
Le coefficient de i est la première composante, celui de j la seconde.
2i+3j:(23)
2
Un coefficient absent
Quand j n'apparaît pas, sa composante est nulle ; de même pour i.
−4i:(−40)−53j:(0−53)
(2,3);(−4,0);(0,−53)
L’erreur à ne pas faire
✗−4i a pour composantes (−4)✓−4i=−4i+0j a pour composantes (−4,0)
Un vecteur du plan a toujours deux composantes : celle qui manque vaut zéro.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Zouz vecteurs i w j mouch colinéaires, ya3mlou base. W koll vecteur u, najmou nektbouh b tari9a wa7da bark : u égale x i plus y j. Le couple x, y, houma les composantes de u dans la base i, j, w nektbouhom fi colonne : x el fou9 w y el louta. Mathalan le vecteur i 3andou les composantes un, zéro, w le vecteur j 3andou zéro, un. W zouz vecteurs égaux ki ykounou 3andhom nafs les composantes. »
Propriété
Calcul sur les composantes
Soit (i,j) une base, u(xy) et v(x′y′) deux vecteurs et α un réel. Alors :
u+v(x+x′y+y′)αu(αxαy)
On additionne composante par composante, et on multiplie chaque composante par le réel.
u+v(x+x′y+y′)
αu(αxαy)
Exemple traité
On considère les vecteurs u de composantes −3 et 2, et v de composantes 1 et 4. Déterminer les composantes du vecteur w=2u−5v.
1
Les produits
On multiplie chaque composante de u par 2, et chaque composante de v par −5.
2u(−64)−5v(−5−20)
2
La somme
On additionne composante par composante : moins six moins cinq, puis quatre moins vingt.
w(−6−54−20)=(−11−16)
w(−11,−16)
L’erreur à ne pas faire
✗2u−5v a pour composantes (2×(−3)−5×1,2+4)✓(2×(−3)−5×1,2×2−5×4)=(−11,−16)
Le réel multiplie les deux composantes du vecteur, la seconde comme la première.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Bel composantes, el 7seb sehel. u x, y w v x prime, y prime : u plus v, les composantes mte3ou x plus x prime, w y plus y prime. W alpha u, les composantes mte3ou alpha x, w alpha y. Ya3ni njam3ou composante m3a composante, w el réel yedhreb ezzouz composantes. Mathalan u moins trois, deux w v un, quatre : deux u moins cinq v, ya3ti moins onze, moins seize. »
Théorème
Le déterminant
Soient u(xy) et v(x′y′) dans une base (i,j).
Le réel xy′−x′y est appelé le déterminant des vecteurs u et v dans la base (i,j) ; on le note xyx′y′.
Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
u et v colinéaires ⟺xyx′y′=0⟺xy′−x′y=0.
Par exemple, u(3,2) et v(−6,−4) sont colinéaires (−12+12=0).
le déterminantxyx′y′=xy′−x′y
u,v colineˊaires⟺xy′−x′y=0
Exemple traité
Les vecteurs u de composantes 2 et 1−5, et v de composantes 5+1 et −2, sont-ils colinéaires ?
1
Le déterminant
On calcule x fois y′, moins x′ fois y : la première composante de u par la seconde de v, moins l'inverse.
xy′−x′y=2×(−2)−(5+1)(1−5)
2
Le produit
Le produit (1+5)(1−5) est une identité remarquable : un moins cinq.
(5+1)(1−5)=1−5=−4
3
Conclure
Le déterminant vaut moins quatre moins moins quatre, donc zéro : les vecteurs sont colinéaires.
xy′−x′y=−4−(−4)=0
u et v sont colinéaires
L’erreur à ne pas faire
✗xy′−x′y=3×(−6)−2×(−4) pour u(3,2) et v(−6,−4)✓xy′−x′y=3×(−4)−(−6)×2=0
On croise : la première composante de u avec la seconde de v, moins la première de v avec la seconde de u.
✗xy′+x′y=0, donc u et v sont colinéaires✓xy′−x′y=0, donc u et v sont colinéaires
Le déterminant est une différence de produits en croix ; la somme xx′+yy′ sert à autre chose, à l'orthogonalité.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Kifech na3rfou zouz vecteurs colinéaires bel composantes ? u x, y w v x prime, y prime. N7esbou le déterminant : x y prime moins x prime y. Nektbouh fi tableau : x w x prime el fou9, y w y prime el louta, w nedherbou en croix. El théorème : u w v colinéaires, ki le déterminant égale zéro. Mathalan u trois, deux w v moins six, moins quatre : trois fois moins quatre, moins moins six fois deux, égale moins douze plus douze, égale zéro : colinéaires. »
Définition
Repère cartésien
Soit O un point du plan et (i,j) une base de l'ensemble des vecteurs du plan.
(O,i,j) est appelé repère cartésien du plan.
Soit M un point du plan. Le couple de coordonnées du point M dans ce repère est l'unique couple (x,y) de réels tel que OM=xi+yj. Le réel x est l'abscisse de M et le réel y son ordonnée. On note M(x,y).
Le point O est l'origine du repère ; (O,i) est l'axe des abscisses et (O,j) l'axe des ordonnées.
Les coordonnées du point M sont les composantes du vecteur OM.
Les coordonnées de M sont les composantes du vecteur OM.
M(x,y)⟺OM=xi+yj
Exemple traité
Dans un repère (O,i,j), on donne OM=−2i+5j et ON=3j. Donner les coordonnées de M et de N.
1
Le point M
Les coordonnées de M sont les coefficients de i et de j dans le vecteur OM.
M(−2,5)
2
Le point N
Le vecteur i n'apparaît pas dans ON : l'abscisse de N est nulle, N est sur l'axe des ordonnées.
N(0,3)
M(−2,5);N(0,3)
L’erreur à ne pas faire
✗ON=3j, donc N(3,0)✓ON=0i+3j, donc N(0,3)
L'abscisse est toujours le coefficient de i, écrite en premier.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« O point, w i, j base : O, i, j, nsammiweh repère cartésien. W koll point M, 3andou couple wa7id x, y, elli le vecteur OM égale x i plus y j. x hiya l'abscisse w y hiya l'ordonnée, w nektbou M x, y. O hiya l'origine. Ya3ni les coordonnées du point M, houma bedhabt les composantes du vecteur OM. W rodd belek : fi repère cartésien, les axes mouch lezem ykounou perpendiculaires. »
Propriété
Composantes du vecteur AB
Le plan est muni d'un repère cartésien (O,i,j). Soient A(xA,yA) et B(xB,yB) deux points. Par Chasles, AB=AO+OB=OB−OA, donc :
AB(xB−xAyB−yA).
Par exemple, pour A(−1,2) et B(3,4),AB(42) ; pour A(−5,3) et B(−2,3),AB(30).
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB=DC : on traduit cette égalité composante par composante.
extrémité moins origineAB(xB−xAyB−yA)
Exemple traité
On donne A(5,4),B(−6,1) et C(2,2). Calculer les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
1
Traduire
ABCD est un parallélogramme si et seulement si les vecteurs AB et DC sont égaux. On note D(x,y).
AB(−6−51−4)=(−11−3)DC(2−x2−y)
2
Égaler les composantes
Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes : deux moins x égale moins onze, et deux moins y égale moins trois.
2−x=−11 et 2−y=−3
3
Résoudre
On isole x puis y dans chacune des deux équations.
x=13;y=5
D(13,5)
L’erreur à ne pas faire
✗AB(xA−xByA−yB)✓AB(xB−xAyB−yA)
On retranche toujours l'origine à l'extrémité : les coordonnées de B moins celles de A.
✗ABCD parallélogramme, donc AB=CD✓ABCD parallélogramme, donc AB=DC
Dans ABCD, le côté [AB] et le côté [DC] sont parcourus dans le même sens.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« A x A, y A w B x B, y B. Les composantes du vecteur AB : x B moins x A, w y B moins y A. Dima l'extrémité moins l'origine : B moins A. Mathalan A moins un, deux w B trois, quatre : le vecteur AB 3andou quatre, deux. W ken n7ebbou ABCD parallélogramme, nektbou le vecteur AB égale le vecteur DC, w nsawiw les composantes wa7da b wa7da. »
Méthode
Alignement, parallélisme
Dans un repère cartésien :
Trois pointsA,B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.
Deux droites(AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Méthode : calculer les composantes des deux vecteurs, puis leur déterminant xy′−x′y.
Par exemple, pour A(1,2),B(−3,4),C(0,1) et D(2,−2),AB(−42) et CD(2−3) ; le déterminant vaut (−4)(−3)−2×2=8 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
(AB)∥(CD)⟺AB et CD colinéaires
Exemple traité
Les points A(−4,2),B(−3,5) et C(−2,8) sont-ils alignés ?
1
Les vecteurs
On calcule les composantes de AB et de AC : extrémité moins origine.
AB(−3+45−2)=(13)AC(−2+48−2)=(26)
2
Le déterminant
Un fois six, moins deux fois trois : le déterminant est nul.
1×6−2×3=0
3
Conclure
Les vecteurs AB et AC sont colinéaires, d'ailleurs AC=2AB : les points sont alignés.
AC=2AB
A,B,C sont alignés
L’erreur à ne pas faire
✗AB et CD colinéaires, donc A,B et C sont alignés✓AB et AC colinéaires, donc A,B et C sont alignés
Pour un alignement, les deux vecteurs doivent partir du même point.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Etari9a : A, B w C alignés, ki le vecteur AB w le vecteur AC colinéaires. W la droite AB parallèle à la droite CD, ki le vecteur AB w le vecteur CD colinéaires. Donc n7esbou les composantes, w men ba3d le déterminant. Mathalan A moins quatre, deux, B moins trois, cinq, w C moins deux, huit : le vecteur AB un, trois, w le vecteur AC deux, six. Un fois six moins deux fois trois égale zéro : alignés. »
Application
Un trapèze
ABCD est un trapèze tel que DC=3AB.I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [CD], et O est le point défini par DO=23DA. On considère le repère (D,DC,DA).
Dans ce repère, D(0,0),C(1,0) et A(0,1). Comme AB=31DC, on a B(31,1) ; puis O(0,23),J(21,0) et I(61,1).
Le choix du repère, porté par la figure elle-même, rend tous les calculs simples.
O, B, C sont alignés ; O, I, J aussi.
Exemple traité
Montrer que les points O,B et C d'une part, et les points O,I et J d'autre part, sont alignés.
1
O, B et C
On calcule les composantes des vecteurs OB et OC, puis leur déterminant.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tatbi9 : trapèze ABCD, w le vecteur DC égale trois fois le vecteur AB. I w J les milieux de AB w CD, w O elli le vecteur DO égale trois demis du vecteur DA. El fekra : na5dhou repère mel figure rou7ha : D, le vecteur DC, le vecteur DA. Tawa D zéro, zéro, C un, zéro, A zéro, un, w B un tiers, un. W bech nthabtou elli O, B, C alignés, n7esbou le déterminant mta3 le vecteur OB w le vecteur OC : nal9aweh zéro. »
Définition
Norme d'un vecteur
Soient A un point du plan, u un vecteur et B le point tel que u=AB. On appelle norme du vecteur u le réel noté ∥u∥ et qui est égal à AB. Lorsque ∥u∥=1, on dit que u est un vecteur unitaire ou normé.
∥u∥=0⟺u=0 ;
pour tout réel α : ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥.
Par exemple, si ∥u∥=3, alors ∥−u∥=3,∥2u∥=6 et ∥−3u∥=9.
En général ∥u+v∥=∥u∥+∥v∥ ; dans le triangle formé par u,v et leur somme, on a ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥.
∥u∥=AB où u=AB
∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥
Exemple traité
u est un vecteur de norme 3. Calculer la norme de chacun des vecteurs −u,2u et −3u.
1
La règle
La norme du produit est la valeur absolue du réel multipliée par la norme du vecteur : le signe disparaît.
∥αu∥=∣α∣×3
2
Les trois normes
On multiplie trois par un, par deux, puis par trois, les valeurs absolues de moins un, deux et moins trois.
∥−u∥=3;∥2u∥=6;∥−3u∥=9
3;6;9
L’erreur à ne pas faire
✗∥−3u∥=−3∥u∥=−9✓∥−3u∥=∣−3∣⋅∥u∥=9
Une norme est une longueur : elle n'est jamais négative, c'est pourquoi on prend la valeur absolue du réel.
✗∥u+v∥=∥u∥+∥v∥✓∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥
Dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres : les normes ne s'additionnent pas.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« La norme du vecteur u : ken u égale le vecteur AB, la norme de u hiya la longueur AB. Nektbouha u bin zouz barres doubles. Ken la norme égale un, n9oulou u unitaire, walla normé. La norme égale zéro ken u houwa le vecteur nul bark. W la norme de alpha u, égale la valeur absolue de alpha, fois la norme de u. Mathalan ken la norme de u égale trois, la norme de moins trois u égale neuf, mouch moins neuf. W rodd belek : la norme de u plus v, mouch dima la somme des normes. »
Définition
Vecteurs orthogonaux
Soit A un point du plan et soient u et v deux vecteurs non nuls. Soient B et C les points tels que u=AB et v=AC.
On dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. On écrit u⊥v.
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Par exemple, si u et v sont non nuls et de même norme, u+v et u−v sont orthogonaux — ce sont les diagonales d'un losange. Si u⊥v, alors au⊥bv pour tous réels a et b.
Une base (i,j) est orthonormée si i et j sont orthogonaux et normés : i⊥j et ∥i∥=∥j∥=1.
Le repère (O,i,j) est un repère orthonormé si la base (i,j) est orthonormée.
u et v de même norme : u + v et u − v sont orthogonaux.
u⊥v⟺(AB)⊥(AC)
(i,j) orthonormée ⟺i⊥j et ∥i∥=∥j∥=1
Exemple traité
u et v sont deux vecteurs non nuls de même norme. Montrer que u+v et u−v sont orthogonaux.
1
La figure
On place B et C tels que u=AB et v=AC, puis D tel que ABDC soit un parallélogramme. Comme AB=AC, ce parallélogramme est un losange.
u+v=AD
2
La différence
La différence u moins v s'écrit avec Chasles : c'est le vecteur qui va de C à B.
u−v=AB−AC=CA+AB=CB
3
Conclure
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : les vecteurs u plus v et u moins v sont donc orthogonaux.
(AD)⊥(CB)
u+v et u−v sont orthogonaux
L’erreur à ne pas faire
✗(O,i,j) avec i⊥j est un repère orthonormé✓(O,i,j) est orthonormé si i⊥j et ∥i∥=∥j∥=1
Orthonormé, c'est orthogonal et normé : les deux vecteurs de la base doivent aussi avoir pour norme un.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« u w v vecteurs mouch nuls, u égale le vecteur AB w v égale le vecteur AC. u w v orthogonaux, ki la droite AB w la droite AC perpendiculaires. W par convention, le vecteur nul orthogonal m3a ay vecteur. Base i, j orthonormée, ki i w j orthogonaux, w ezzouz la norme mte3hom un. W repère orthonormé, ki la base mte3ou orthonormée. Mithel : u w v 3andhom nafs la norme : u plus v w u moins v, houma les diagonales mta3 losange, donc orthogonaux. »
Application
Un rectangle
ABCD est un rectangle tel que AB=2AD ; I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD] ; F est le point d'intersection des segments [JB] et [AC]. On considère le repère (A,AI,AD).
Dans ce repère : A(0,0),I(1,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1) et J(1,1).
Le point E est défini par DE=32DI. Comme DI(1−1), on obtient E(32,31).
E est sur [DI] et sur [AC] ; F est sur [JB] et sur [AC].
Exemple traité
Montrer que A,E et C sont alignés, puis déterminer les coordonnées de F sachant que CF=21CE.
1
A, E et C alignés
On calcule le déterminant des vecteurs AE et AC : deux tiers fois un, moins deux fois un tiers.
AE3231AC(21)32×1−2×31=0
2
Le vecteur CE
On calcule les composantes du vecteur CE, puis on en prend la moitié.
CE32−231−1=−34−32CF−32−31
3
Le point F
On ajoute les composantes du vecteur CF aux coordonnées de C.
xF=2−32=34;yF=1−31=32
F(34,32)
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tatbi9 e5or : rectangle ABCD, w AB égale deux fois AD. Na5dhou le repère A, le vecteur AI, le vecteur AD. Bima elli AI égale AD, el points 3andhom coordonnées sehla : B deux, zéro, C deux, un, D zéro, un. E elli le vecteur DE égale deux tiers du vecteur DI : E deux tiers, un tiers. W le déterminant mta3 le vecteur AE w le vecteur AC yotla3 zéro : A, E w C alignés. »
Théorème
Distance et norme
Le plan est muni d'un repère orthonormé(O,i,j).
Pour M(x,y) et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses, le théorème de Pythagore dans le triangle OHM donne OM2=x2+y2.
Soient A(xA,yA) et B(xB,yB) deux points du plan :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Soit u(xy) dans une base orthonormée : ∥u∥=x2+y2.
Par exemple, u(3−4) a pour norme 5 ; u(2321) a pour norme 1 : il est unitaire.
Ces formules supposent le repère orthonormé : elles reposent sur Pythagore.
Pythagore dans OHM : OM² = x² + y².
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
∥u∥=x2+y2
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, calculer la distance AB pour A(−2,−4) et B(3,5).
1
Les différences
On calcule les composantes du vecteur AB : trois moins moins deux, puis cinq moins moins quatre.
xB−xA=3+2=5;yB−yA=5+4=9
2
La formule
On additionne les carrés, puis on prend la racine carrée : vingt-cinq plus quatre-vingt-un.
AB=52+92=25+81=106
AB=106
L’erreur à ne pas faire
✗AB=52+92=5+9=14✓AB=25+81=106
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
✗yB−yA=5−4=1 pour A(−2,−4) et B(3,5)✓yB−yA=5−(−4)=9
On retranche une coordonnée négative : moins moins quatre, c'est plus quatre.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Fi repère orthonormé bark : M x, y, w H le projeté orthogonal mte3ou 3la l'axe des abscisses. Pythagore fi le triangle OHM : OM au carré égale x au carré plus y au carré. W zouz points A w B : AB égale racine carrée de la parenthèse x B moins x A, au carré, plus la parenthèse y B moins y A, au carré. W la norme de u x, y : racine carrée de x au carré plus y au carré. Mathalan u trois, moins quatre : racine carrée de neuf plus seize, égale cinq. »
Théorème
Orthogonalité analytique
Soient u(xy) et v(x′y′) dans une base orthonormée(i,j). Alors :
u⊥v⟺xx′+yy′=0.
Pourquoi ? Avec OA=u et OB=v, le triangle OAB est rectangle en O si et seulement si OA2+OB2=AB2 ; en développant avec la formule de la distance, cette égalité se ramène à xx′+yy′=0.
Par exemple, u(4−2) et v(24) sont orthogonaux (8−8=0) ; u(−13) et v(80) ne le sont pas (−8=0).
en base orthonorméeu⊥v⟺xx′+yy′=0
Exemple traité
Déterminer le réel m pour que les vecteurs u de composantes m et 9, et v de composantes −6 et m+1, soient orthogonaux.
1
La condition
On écrit que x fois x′ plus y fois y′ est nul : m fois moins six, plus neuf fois la parenthèse m plus un.
m×(−6)+9(m+1)=0
2
Développer
On développe et on réduit le membre de gauche, puis on résout.
3m+9=0
3
Conclure
On isole m : moins neuf divisé par trois.
m=−3
m=−3
L’erreur à ne pas faire
✗u⊥v⟺xy′−x′y=0✓u⊥v⟺xx′+yy′=0
Le déterminant teste la colinéarité ; pour l'orthogonalité, on multiplie les composantes de même rang et on additionne.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Fi base orthonormée, u x, y w v x prime, y prime : u w v orthogonaux, ki x x prime plus y y prime égale zéro. Ya3ni nedherbou el composantes elli fi nafs el blasa, w njam3ou. Ma t5allatech m3a le déterminant : le déterminant, x y prime moins x prime y, houwa mta3 colinéarité. Mathalan u quatre, moins deux w v deux, quatre : quatre fois deux plus moins deux fois quatre, égale huit moins huit, égale zéro : orthogonaux. »
Application
Un carré
ABCD est un carré de côté 1 ; APQR est un rectangle tel que P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré, et AP=DR. On veut montrer que les droites (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.
On choisit le repère orthonormé(A,AB,AD) et on pose x=AP. Alors A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,0) ; comme DR=x, on a AR=1−x, donc R(0,1−x) et Q(x,1−x).
AP = DR : les droites (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.
Exemple traité
Calculer les composantes des vecteurs PR et CQ, et montrer qu'ils sont orthogonaux.
1
Les composantes
Extrémité moins origine, pour chacun des deux vecteurs, avec les coordonnées trouvées en fonction de x.
PR(−x1−x)CQ(x−1−x)
2
La condition
Le repère est orthonormé : on calcule xx′+yy′ et on développe les deux produits.
(−x)(x−1)+(1−x)(−x)=−x2+x−x+x2=0
3
Conclure
Les vecteurs sont orthogonaux pour toute valeur de x : les droites (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.
(PR)⊥(CQ)
(PR) et (CQ) sont perpendiculaires
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tatbi9 : carré ABCD, le côté mte3ou un, w rectangle APQR, w AP égale DR. N7ebbou nthabtou elli la droite PR w la droite CQ perpendiculaires. Na5dhou le repère orthonormé A, le vecteur AB, le vecteur AD, w nsammiw x égale AP. P x, zéro, R zéro, un moins x, w Q x, un moins x. N7esbou x x prime plus y y prime lel vecteur PR w le vecteur CQ : yotla3 zéro, mahma ken x. »
Propriété
Vecteurs et configurations
Soient A,B,C et D quatre points du plan.
Si AB+AC=AD, alors AB=CD et AC=BD.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs AB et CD sont orthogonaux.
Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement s'il existe un réel x tel que AM=xAB.
Si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M du plan : MA+MB=2MI.
Par exemple, si AM=AB−2AC et AN=AC−2AB, alors MN=3BC.
EG + HF = AC.
M∈(AB)⟺AM=xAB
I milieu de [AB]MA+MB=2MI
Exemple traité
ABCD est un parallélogramme, (EF) est parallèle à (AD) et (HG) est parallèle à (AB), ces deux droites se coupant en M. Montrer que EG+HF=AC.
1
Passer par M
On décompose chacun des deux vecteurs en passant par le point M, puis on regroupe autrement.
EG+HF=EM+MG+HM+MF=(HM+MG)+(EM+MF)
2
Chasles
Chaque parenthèse se simplifie par la relation de Chasles.
=HG+EF
3
Les parallélogrammes
ABGH et AEFD sont des parallélogrammes, donc le vecteur HG égale le vecteur AB, et le vecteur EF égale le vecteur AD ; on conclut par la règle du parallélogramme.
=AB+AD=AC
EG+HF=AC
L’erreur à ne pas faire
✗MA+MB=MI pour I milieu de [AB]✓MA+MB=2MI
Le vecteur MI est la moitié de la somme : le facteur deux ne doit pas disparaître.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« El vecteurs y3abbrou 3al géométrie. La droite AB parallèle à la droite CD, ki le vecteur AB w le vecteur CD colinéaires. Perpendiculaires, ki orthogonaux. M 3la la droite AB, ki le vecteur AM égale x fois le vecteur AB. W ken I le milieu de AB, l ay point M : le vecteur MA plus le vecteur MB égale deux fois le vecteur MI. El ithbet b Chasles : net3addew b I, w le vecteur IA plus le vecteur IB ya3ti le vecteur nul. »
Théorème
Centre de gravité
Soit ABC un triangle, G son centre de gravité et I le milieu de [BC]. On a GA=−2GI, et :
G est le centre de gravité du triangle ABC⟺GA+GB+GC=0.
Réciproquement, si un point M vérifie MA+MB+MC=0, alors M est confondu avec G.
La somme des vecteurs GA, GB et GC est nulle.
GA+GB+GC=0
Exemple traité
ABC est un triangle, I le milieu de [AB] et M le point tel que MA+MB+2MC=0. Montrer que M est le milieu de [IC].
1
Le milieu I
I est le milieu de [AB] : on remplace la somme des vecteurs MA et MB par deux fois le vecteur MI.
MA+MB=2MI
2
Simplifier
L'égalité devient deux fois la somme des vecteurs MI et MC, égale au vecteur nul ; on divise par deux.
2MI+2MC=0⟺MI+MC=0
3
Conclure
C'est exactement la caractérisation du milieu du segment d'extrémités I et C.
M est le milieu de [IC]
M milieu de [IC]
L’erreur à ne pas faire
✗AG=31AI✓AG=32AI, ou GA=−2GI
G est au tiers de la médiane en partant du milieu I, donc aux deux tiers en partant du sommet A.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« G le centre de gravité du triangle ABC, w I le milieu de BC. Le vecteur GA égale moins deux fois le vecteur GI. W el théorème : G centre de gravité, ki le vecteur GA plus le vecteur GB plus le vecteur GC égale le vecteur nul. 3lech ? Le vecteur GB plus le vecteur GC égale deux fois le vecteur GI, w le vecteur GA égale moins deux fois le vecteur GI : el majmou3 zéro. W el 3aks sa7i7 : ken point M y7a99e9 nafs el égalité, M houwa G. »
Théorème
Thalès vectoriel
Soit ABC un triangle et M un point de (AB), distinct de A. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.
Si AM=xAB alors AN=xAC et MN=xBC.
En effet, on place P tel que AP=xAC ; alors MP=AP−AM=xBC, donc (MP) est parallèle à (BC), et P est le point N. Si M est le milieu de [AB], on retrouve AN=21AC et MN=21BC : c'est la droite des milieux.
Si AM = x AB, alors AN = x AC et MN = x BC.
AM=xAB⇒AN=xAC et MN=xBC
Exemple traité
Dans le triangle ABC,M est le point de [AB] tel que AM=52AB, et la parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. On donne BC=10 cm. Exprimer AN et MN, puis calculer MN.
1
Thalès vectoriel
Le coefficient deux cinquièmes passe tel quel aux deux autres égalités.
AN=52AC;MN=52BC
2
La longueur
On passe aux longueurs : la longueur MN est les deux cinquièmes de dix centimètres.
MN=52×10=4
MN=4 cm
L’erreur à ne pas faire
✗AM=xAB, donc MN=xCB✓MN=xBC
Le vecteur MN va dans le même sens que le vecteur BC, comme M va vers N quand B va vers C.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Thalès bel vecteurs. ABC triangle, M 3la la droite AB, w la parallèle à BC elli tet3adda b M t9oss la droite AC fi N. Ken le vecteur AM égale x fois le vecteur AB, ywalli le vecteur AN égale x fois le vecteur AC, w le vecteur MN égale x fois le vecteur BC. Nafs el réel x fel thletha. W ken M le milieu de AB, x égale un demi : hedhi la droite des milieux. »
Théorème
Théorème de la projection
Les points A,B et C sont alignés, et les droites (AA′),(BB′) et (CC′) sont parallèles ; A′,B′ et C′ sont sur une droite D. La parallèle à D passant par A coupe (BB′) en M et (CC′) en N.
Si AB=xAC alors A′B′=xA′C′.
Le coefficient se conserve par projection parallèle : par Thalès dans le triangle ACN,AM=xAN ; or AMB′A′ et ANC′A′ sont des parallélogrammes, donc A′B′=AM et A′C′=AN.
On projette parallèlement : le coefficient x se conserve.
AB=xAC⇒A′B′=xA′C′
Exemple traité
ABCD est un parallélogramme, E le point tel que BE=45BC, et les droites (AE) et (DC) se coupent en F. Exprimer AE en fonction de AF, puis DC en fonction de DF.
1
Un repère
Dans le repère (A,AB,AD), on a B(1,0),C(1,1),D(0,1), et E s'obtient en ajoutant cinq quarts du vecteur BC au point B.
E(1,45)
2
Le point F
F est sur la droite (AE), donc le vecteur AF est t fois le vecteur AE, et sur la droite (DC), d'ordonnée un : cinq quarts de t égale un.
45t=1⟺t=54F(54,1)
3
Conclure
On compare les composantes : le vecteur AE est cinq quarts du vecteur AF, et le vecteur DC est cinq quarts du vecteur DF, de composantes quatre cinquièmes et zéro.
AE=45AF;DC=45DF
AE=45AF;DC=45DF
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« El théorème de la projection : A, B, C alignés, w na3mloulhom projection 3la la droite D b des droites parallèles : ya3tiwna A prime, B prime w C prime. Ken le vecteur AB égale x fois le vecteur AC, ywalli le vecteur A prime B prime égale x fois le vecteur A prime C prime. Ya3ni el coefficient x ma yetbaddelch bel projection. El ithbet : nersmou la parallèle à D men A, w ntab9ou Thalès, w men ba3d les parallélogrammes. »
Méthode
Problème d'alignement
ABC est un triangle, I le milieu de [AC],D et E les points tels que 3DB=DC et EA+3EB=0. Montrer que I,D et E sont alignés.
Deux stratégies sont possibles :
1.Méthode vectorielle : établir une relation vectorielle qui ne fait intervenir que les points I,D et E, du type ID=kIE.
2.Méthode analytique : choisir le repère cartésien (A,AB,AC), calculer les coordonnées des trois points, puis un déterminant.
I, E et D sont sur une même droite.
Exemple traité
Résoudre ce problème par la méthode analytique, dans le repère (A,AB,AC).
1
Le point D
On écrit trois fois le vecteur DB égale le vecteur DC en passant par A : deux fois le vecteur AD égale trois fois le vecteur AB moins le vecteur AC.
3(AB−AD)=AC−AD⟺AD=23AB−21AC
2
Le point E
De même, le vecteur EA plus trois fois le vecteur EB égale le vecteur nul donne quatre fois le vecteur AE égale trois fois le vecteur AB.
AE=43ABI(0,21)D(23,−21)E(43,0)
3
Le déterminant
On calcule les composantes des vecteurs ID et IE, puis leur déterminant : il est nul.
ID(23−1)IE43−2123×(−21)−43×(−1)=0
ID=2IE
L’erreur à ne pas faire
✗EA+3EB=0, donc AE=3AB✓EA+3(EA+AB)=0, donc AE=43AB
On ramène tous les vecteurs à la même origine avec Chasles avant de les regrouper.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Mochkel alignement : bech nthabtou elli I, D w E alignés, 3andna zouz torq. Tari9a vectorielle : nlawjou 3la relation fiha I, D w E bark, kima le vecteur ID égale k fois le vecteur IE. W tari9a analytique : na5dhou le repère A, le vecteur AB, le vecteur AC, n7esbou les coordonnées, w men ba3d le déterminant. Houni nal9aw le vecteur ID égale deux fois le vecteur IE. »
Remarque
Les figures en poésie
D'après le magazine Tangente n° 92 : nombre d'écrivains ont écrit sur les mathématiques ; certains en ont chanté la beauté. Eugène Guillevic (1907-1997), dans ses Euclidiennes (Gallimard, 1967), fait parler les figures elles-mêmes : un triangle qui se dit « ce qu'il y a de plus élémentaire », et un parallélogramme inquiet, qu'on pourrait « aplatir » ou « redresser » et qui a peur de devenir, un instant, rectangle.
Un parallélogramme, c'est exactement ce que décrit l'égalité AB=DC : quelle que soit sa forme, la relation reste vraie.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Kelma 3al culture : ech-che3er Eugène Guillevic kteb des poèmes 3al géométrie, y7ki fihom el triangle w el parallélogramme kif ma y7kiw el bachar. El parallélogramme y9oul elli najmou nta77ouh walla nwa99fouh, w y5af ywalli rectangle. W bel vecteurs, el parallélogramme ABCD houwa jomla wa7da : le vecteur AB égale le vecteur DC, mahma ken echakl mte3ou. »
À retenir
1.
u+v=AD où ABDC est un parallélogramme ; Chasles : AB+BC=AC.
2.
L'opposé de AB est BA ; u−v=u+(−v).
3.
au+bu=(a+b)u,a(bu)=(ab)u,a(u+v)=au+av.
4.
αu=0 si et seulement si α=0 ou u=0.
5.
u et v colinéaires : l'un est le produit de l'autre par un réel, ou xy′−x′y=0.
6.
Une base est un couple de vecteurs non colinéaires ; u=xi+yj donne les composantes (x,y).
7.
Dans un repère : AB a pour composantes xB−xA et yB−yA.
8.
∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥ ; en repère orthonormé, ∥u∥=x2+y2 et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
9.
En base orthonormée : u⊥v si et seulement si xx′+yy′=0.
10.
A,B,C alignés si et seulement si AB et AC colinéaires ; (AB)∥(CD) si et seulement si AB et CD colinéaires.
11.
I milieu de [AB] : MA+MB=2MI ; G centre de gravité : GA+GB+GC=0.
12.
Thalès : si AM=xAB, alors AN=xAC et MN=xBC.
Les exercices
À toi, au tableau
Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.
Comprendre
Application directe du cours, une seule idée à la fois.
0/25
S'entraîner
Les exercices classiques du programme.
0/37
Raisonner
Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.
0/24
Aller plus loin
On combine plusieurs notions du chapitre.
0/15
Où tu en es
Ta progression
Gardée sur cet appareil, sans compte.
Ta progression
0 %
0/27
Cours lu
0/101
Entraînement
—
Séance
0
Erreurs
Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.
Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.
Maths à la carte — Calcul vectoriel · Pr Abdelkader Hammami
Calcul vectoriel
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Ce que tu dois savoir faire
Additionner des vecteurs : Chasles, opposé, différence
Multiplier un vecteur par un réel
Reconnaître des vecteurs colinéaires, par le déterminant xy′−x′y
Utiliser une base, un repère : composantes, coordonnées
Calculer norme et distance ; tester l'orthogonalité par xx′+yy′=0
Traduire la géométrie en égalités vectorielles
Rappels
Parmi ces égalités, lesquelles caractérisent le milieu I du segment [AB] ?
IA=IB : non, elle impose A=B ;
IA+IB=0 : oui ;
AB=2AI : non, c'est une égalité de longueurs ; I peut être hors de la droite (AB) ;
AB=2AI : oui ;
AI+IB=AB : non, c'est la relation de Chasles, vraie pour tout point I.
Soit ABC un triangle, G son centre de gravité et I le milieu de [BC]. « G∈[AI] et GA=2GI », « GA=−2GI » et « AG=32AI » caractérisent G ; « GA=GB=GC » caractérise le centre du cercle circonscrit, pas G.
G est aux deux tiers de la médiane [AI], en partant de A.
IA+IB=0
AG=32AI
Le piège
✗AI+IB=AB, donc I est le milieu de [AB]
✓IA+IB=0 caractérise le milieu I
La relation de Chasles est vraie pour n'importe quel point I : elle ne dit rien du milieu.
Somme de deux vecteurs
Soit A un point du plan et soient u et v deux vecteurs. On désigne par B et C les points tels que AB=u et AC=v. Soit D le point tel que [BC] et [AD] aient le même milieu.
On appelle vecteur somme de u et v le vecteur w tel que w=AD. Il est noté u+v.
Pour un point A et un vecteur u donnés, il existe un seul point M tel que AM=u. Et comme ABDC est un parallélogramme, AC=BD : on retrouve la relation de Chasles AB+BD=AD.
ABDC est un parallélogramme : u + v = AD.
AB+AC=AD
Le piège
✗AB+AC=BC
✓AB+AC=AD, où ABDC est un parallélogramme
Deux vecteurs de même origine s'ajoutent par la diagonale du parallélogramme, celle qui part de leur origine commune.
Propriétés de l'addition
Pour tous vecteurs u, v et w :
u+v=v+u : l'addition est commutative ;
u+(v+w)=(u+v)+w : elle est associative, et l'on écrit simplement u+v+w ;
u+0=u : le vecteur nul ne change rien.
Ces règles permettent de regrouper les vecteurs dans l'ordre qui arrange, en particulier pour appliquer la relation de Chasles AB+BC=AC.
u+v=v+u
u+(v+w)=(u+v)+w
u+0=u
Le piège
✗AB+CB=AC
✓AB+BC=AC
Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.
Opposé, différence
Soit u un vecteur du plan. L'unique vecteur v tel que u+v=0 s'appelle l'opposé de u. Il est noté −u. Ainsi u+(−u)=(−u)+u=0.
Notation. La somme u+(−v) est notée u−v.
Remarque. Pour deux points A et B : AB+BA=AA=0. L'opposé du vecteur AB est donc le vecteur BA : on écrit BA=−AB.
De même, l'opposé de u+v est −u−v, et −(−u)=u.
u+(−u)=0
BA=−AB
−(u+v)=−u−v
Le piège
✗u−(v−w)=u−v−w
✓u−(v−w)=u−v+w
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun des vecteurs qu'elle contient.
Produit par un réel
Soient A un point du plan, u un vecteur non nul et B le point tel que u=AB. Soit α un réel et M le point de (AB) d'abscisse α dans le repère (A,B). On appelle vecteur produit de u par α le vecteur v tel que v=AM. Il est noté α.u ou αu.
Le produit du vecteur nul par le réel α est le vecteur nul : α.0=0.
Remarque. Pour tout vecteur u, on a 1.u=u.
Par exemple, dans le repère (A,B), le point C tel que u+u=AC a pour abscisse 2, et le point D tel que −u−u=AD a pour abscisse −2.
Ici α = 2,5 : le vecteur AM est 2,5 fois u.
αu=AMouˋM a pour abscisse α dans le repeˋre (A,B)
Le piège
✗−2u est un vecteur de longueur −2 fois celle de u
✓−2u a la direction de u, le sens contraire, et une longueur double
Le signe du réel donne le sens ; une longueur n'est jamais négative.
Propriétés du produit
Pour tout vecteur u : (−1)u=−u.
Pour tout vecteur u et pour tous réels a et b : a.u+b.u=(a+b).u et a.(b.u)=(ab).u.
Pour tout réel a et pour tous vecteurs u et v : a.(u+v)=a.u+a.v.
On calcule donc avec les vecteurs comme avec des lettres en algèbre : on développe, on regroupe les termes en u et les termes en v.
au+bu=(a+b)u
a(bu)=(ab)u
a(u+v)=au+av
Le piège
✗2(u−3v)=2u−3v
✓2(u−3v)=2u−6v
Le réel multiplie chacun des vecteurs de la parenthèse, pas seulement le premier.
Le piège
✗−4(23u)=−25u
✓−4(23u)=−6u
On multiplie les deux réels entre eux : la règle est a(bu)=(ab)u, pas (a+b)u.
Produit nul
Pour tout vecteur u et pour tout réel α :
αu=0⟺(α=0 ou u=0).
En particulier, si αu=0 et α=0, alors u=0 : on multiplie les deux membres par α1.
αu=0⟺(α=0 ou u=0)
Le piège
✗αu=0, donc α=0
✓αu=0, donc α=0 ou u=0
Le produit est aussi nul quand le vecteur est nul, quel que soit le réel.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, puisque 0=0.u.
Soit A un point et B, C les points tels que u=AB et v=AC. Alors les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si les points A, B et C sont alignés.
Remarque. Si A, B, C et D sont alignés, il existe un réel α tel que AB=αCD. Si α>0, les vecteurs sont colinéaires et de même sens ; si α<0, ils sont colinéaires et de sens contraires.
A, B et C alignés : le vecteur AC est 3 fois le vecteur AB.
v=ku
A,B,C aligneˊs⟺AB et AC colineˊaires
Le piège
✗AB et CD sont colinéaires, donc A, B, C et D sont alignés
✓AB et CD colinéaires : les droites (AB) et (CD) sont parallèles
L'alignement se lit sur deux vecteurs qui ont une origine commune, comme AB et AC.
Base et composantes
On appelle base de l'ensemble des vecteurs du plan tout couple (i,j) de vecteurs non colinéaires.
Soit (i,j) une base et u un vecteur. Il existe un unique couple (x,y) de réels tel que u=xi+yj. Ce couple est appelé couple de composantes du vecteur u dans la base (i,j).
Notation. On note u(xy).
Ainsi, le vecteur nul a pour composantes (0,0) ; i a pour composantes (1,0) et j a pour composantes (0,1). Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes composantes : u=v⟺(x=x′ et y=y′).
Le vecteur AM se décompose en x fois i plus y fois j.
u=xi+yj⟺u(xy)
Le piège
✗−4i a pour composantes (−4)
✓−4i=−4i+0j a pour composantes (−4,0)
Un vecteur du plan a toujours deux composantes : celle qui manque vaut zéro.
Calcul sur les composantes
Soit (i,j) une base, u(xy) et v(x′y′) deux vecteurs et α un réel. Alors :
u+v(x+x′y+y′)αu(αxαy)
On additionne composante par composante, et on multiplie chaque composante par le réel.
u+v(x+x′y+y′)
αu(αxαy)
Le piège
✗2u−5v a pour composantes (2×(−3)−5×1,2+4)
✓(2×(−3)−5×1,2×2−5×4)=(−11,−16)
Le réel multiplie les deux composantes du vecteur, la seconde comme la première.
Le déterminant
Soient u(xy) et v(x′y′) dans une base (i,j).
Le réel xy′−x′y est appelé le déterminant des vecteurs u et v dans la base (i,j) ; on le note xyx′y′.
Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
u et v colineˊaires⟺xyx′y′=0⟺xy′−x′y=0.
Par exemple, u(3,2) et v(−6,−4) sont colinéaires (−12+12=0).
xyx′y′=xy′−x′y
u,v colineˊaires⟺xy′−x′y=0
Le piège
✗xy′−x′y=3×(−6)−2×(−4) pour u(3,2) et v(−6,−4)
✓xy′−x′y=3×(−4)−(−6)×2=0
On croise : la première composante de u avec la seconde de v, moins la première de v avec la seconde de u.
Le piège
✗xy′+x′y=0, donc u et v sont colinéaires
✓xy′−x′y=0, donc u et v sont colinéaires
Le déterminant est une différence de produits en croix ; la somme xx′+yy′ sert à autre chose, à l'orthogonalité.
Repère cartésien
Soit O un point du plan et (i,j) une base de l'ensemble des vecteurs du plan.
(O,i,j) est appelé repère cartésien du plan.
Soit M un point du plan. Le couple de coordonnées du point M dans ce repère est l'unique couple (x,y) de réels tel que OM=xi+yj. Le réel x est l'abscisse de M et le réel y son ordonnée. On note M(x,y).
Le point O est l'origine du repère ; (O,i) est l'axe des abscisses et (O,j) l'axe des ordonnées.
Les coordonnées du point M sont les composantes du vecteur OM.
Les coordonnées de M sont les composantes du vecteur OM.
M(x,y)⟺OM=xi+yj
Le piège
✗ON=3j, donc N(3,0)
✓ON=0i+3j, donc N(0,3)
L'abscisse est toujours le coefficient de i, écrite en premier.
Composantes du vecteur AB
Le plan est muni d'un repère cartésien (O,i,j). Soient A(xA,yA) et B(xB,yB) deux points. Par Chasles, AB=AO+OB=OB−OA, donc :
AB(xB−xAyB−yA).
Par exemple, pour A(−1,2) et B(3,4), AB(42) ; pour A(−5,3) et B(−2,3), AB(30).
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB=DC : on traduit cette égalité composante par composante.
AB(xB−xAyB−yA)
Le piège
✗AB(xA−xByA−yB)
✓AB(xB−xAyB−yA)
On retranche toujours l'origine à l'extrémité : les coordonnées de B moins celles de A.
Le piège
✗ABCD parallélogramme, donc AB=CD
✓ABCD parallélogramme, donc AB=DC
Dans ABCD, le côté [AB] et le côté [DC] sont parcourus dans le même sens.
Alignement, parallélisme
Dans un repère cartésien :
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Méthode : calculer les composantes des deux vecteurs, puis leur déterminant xy′−x′y.
Par exemple, pour A(1,2), B(−3,4), C(0,1) et D(2,−2), AB(−42) et CD(2−3) ; le déterminant vaut (−4)(−3)−2×2=8 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
(AB)∥(CD)⟺AB et CD colineˊaires
Le piège
✗AB et CD colinéaires, donc A, B et C sont alignés
✓AB et AC colinéaires, donc A, B et C sont alignés
Pour un alignement, les deux vecteurs doivent partir du même point.
Un trapèze
ABCD est un trapèze tel que DC=3AB. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [CD], et O est le point défini par DO=23DA. On considère le repère (D,DC,DA).
Dans ce repère, D(0,0), C(1,0) et A(0,1). Comme AB=31DC, on a B(31,1) ; puis O(0,23), J(21,0) et I(61,1).
Le choix du repère, porté par la figure elle-même, rend tous les calculs simples.
O, B, C sont alignés ; O, I, J aussi.
Norme d'un vecteur
Soient A un point du plan, u un vecteur et B le point tel que u=AB. On appelle norme du vecteur u le réel noté ∥u∥ et qui est égal à AB. Lorsque ∥u∥=1, on dit que u est un vecteur unitaire ou normé.
∥u∥=0⟺u=0 ;
pour tout réel α : ∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥.
Par exemple, si ∥u∥=3, alors ∥−u∥=3, ∥2u∥=6 et ∥−3u∥=9.
En général ∥u+v∥=∥u∥+∥v∥ ; dans le triangle formé par u, v et leur somme, on a ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥.
∥u∥=ABouˋu=AB
∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥
Le piège
✗∥−3u∥=−3∥u∥=−9
✓∥−3u∥=∣−3∣⋅∥u∥=9
Une norme est une longueur : elle n'est jamais négative, c'est pourquoi on prend la valeur absolue du réel.
Le piège
✗∥u+v∥=∥u∥+∥v∥
✓∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥
Dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres : les normes ne s'additionnent pas.
Vecteurs orthogonaux
Soit A un point du plan et soient u et v deux vecteurs non nuls. Soient B et C les points tels que u=AB et v=AC.
On dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. On écrit u⊥v.
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Par exemple, si u et v sont non nuls et de même norme, u+v et u−v sont orthogonaux — ce sont les diagonales d'un losange. Si u⊥v, alors au⊥bv pour tous réels a et b.
Une base (i,j) est orthonormée si i et j sont orthogonaux et normés : i⊥j et ∥i∥=∥j∥=1.
Le repère (O,i,j) est un repère orthonormé si la base (i,j) est orthonormée.
u et v de même norme : u + v et u − v sont orthogonaux.
u⊥v⟺(AB)⊥(AC)
(i,j) orthonormeˊe⟺i⊥j et ∥i∥=∥j∥=1
Le piège
✗(O,i,j) avec i⊥j est un repère orthonormé
✓(O,i,j) est orthonormé si i⊥j et ∥i∥=∥j∥=1
Orthonormé, c'est orthogonal et normé : les deux vecteurs de la base doivent aussi avoir pour norme un.
Un rectangle
ABCD est un rectangle tel que AB=2AD ; I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD] ; F est le point d'intersection des segments [JB] et [AC]. On considère le repère (A,AI,AD).
Dans ce repère : A(0,0), I(1,0), B(2,0), D(0,1), C(2,1) et J(1,1).
Le point E est défini par DE=32DI. Comme DI(1−1), on obtient E(32,31).
E est sur [DI] et sur [AC] ; F est sur [JB] et sur [AC].
Distance et norme
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j).
Pour M(x,y) et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses, le théorème de Pythagore dans le triangle OHM donne OM2=x2+y2.
Soient A(xA,yA) et B(xB,yB) deux points du plan :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Soit u(xy) dans une base orthonormée : ∥u∥=x2+y2.
Par exemple, u(3−4) a pour norme 5 ; u(2321) a pour norme 1 : il est unitaire.
Ces formules supposent le repère orthonormé : elles reposent sur Pythagore.
Pythagore dans OHM : OM² = x² + y².
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
∥u∥=x2+y2
Le piège
✗AB=52+92=5+9=14
✓AB=25+81=106
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
Le piège
✗yB−yA=5−4=1 pour A(−2,−4) et B(3,5)
✓yB−yA=5−(−4)=9
On retranche une coordonnée négative : moins moins quatre, c'est plus quatre.
Orthogonalité analytique
Soient u(xy) et v(x′y′) dans une base orthonormée (i,j). Alors :
u⊥v⟺xx′+yy′=0.
Pourquoi ? Avec OA=u et OB=v, le triangle OAB est rectangle en O si et seulement si OA2+OB2=AB2 ; en développant avec la formule de la distance, cette égalité se ramène à xx′+yy′=0.
Par exemple, u(4−2) et v(24) sont orthogonaux (8−8=0) ; u(−13) et v(80) ne le sont pas (−8=0).
u⊥v⟺xx′+yy′=0
Le piège
✗u⊥v⟺xy′−x′y=0
✓u⊥v⟺xx′+yy′=0
Le déterminant teste la colinéarité ; pour l'orthogonalité, on multiplie les composantes de même rang et on additionne.
Un carré
ABCD est un carré de côté 1 ; APQR est un rectangle tel que P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré, et AP=DR. On veut montrer que les droites (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.
On choisit le repère orthonormé (A,AB,AD) et on pose x=AP. Alors A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1), P(x,0) ; comme DR=x, on a AR=1−x, donc R(0,1−x) et Q(x,1−x).
AP = DR : les droites (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.
Vecteurs et configurations
Soient A, B, C et D quatre points du plan.
Si AB+AC=AD, alors AB=CD et AC=BD.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs AB et CD sont orthogonaux.
Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement s'il existe un réel x tel que AM=xAB.
Si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M du plan : MA+MB=2MI.
Par exemple, si AM=AB−2AC et AN=AC−2AB, alors MN=3BC.
EG + HF = AC.
M∈(AB)⟺AM=xAB
MA+MB=2MI
Le piège
✗MA+MB=MI pour I milieu de [AB]
✓MA+MB=2MI
Le vecteur MI est la moitié de la somme : le facteur deux ne doit pas disparaître.
Centre de gravité
Soit ABC un triangle, G son centre de gravité et I le milieu de [BC]. On a GA=−2GI, et :
G est le centre de graviteˊ du triangle ABC⟺GA+GB+GC=0.
Réciproquement, si un point M vérifie MA+MB+MC=0, alors M est confondu avec G.
La somme des vecteurs GA, GB et GC est nulle.
GA+GB+GC=0
Le piège
✗AG=31AI
✓AG=32AI, ou GA=−2GI
G est au tiers de la médiane en partant du milieu I, donc aux deux tiers en partant du sommet A.
Thalès vectoriel
Soit ABC un triangle et M un point de (AB), distinct de A. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.
Si AM=xAB alors AN=xAC et MN=xBC.
En effet, on place P tel que AP=xAC ; alors MP=AP−AM=xBC, donc (MP) est parallèle à (BC), et P est le point N. Si M est le milieu de [AB], on retrouve AN=21AC et MN=21BC : c'est la droite des milieux.
Si AM = x AB, alors AN = x AC et MN = x BC.
AM=xAB⇒AN=xAC et MN=xBC
Le piège
✗AM=xAB, donc MN=xCB
✓MN=xBC
Le vecteur MN va dans le même sens que le vecteur BC, comme M va vers N quand B va vers C.
Théorème de la projection
Les points A, B et C sont alignés, et les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont parallèles ; A′, B′ et C′ sont sur une droite D. La parallèle à D passant par A coupe (BB′) en M et (CC′) en N.
Si AB=xAC alors A′B′=xA′C′.
Le coefficient se conserve par projection parallèle : par Thalès dans le triangle ACN, AM=xAN ; or AMB′A′ et ANC′A′ sont des parallélogrammes, donc A′B′=AM et A′C′=AN.
On projette parallèlement : le coefficient x se conserve.
AB=xAC⇒A′B′=xA′C′
Problème d'alignement
ABC est un triangle, I le milieu de [AC], D et E les points tels que 3DB=DC et EA+3EB=0. Montrer que I, D et E sont alignés.
Deux stratégies sont possibles :
Méthode vectorielle : établir une relation vectorielle qui ne fait intervenir que les points I, D et E, du type ID=kIE.
Méthode analytique : choisir le repère cartésien (A,AB,AC), calculer les coordonnées des trois points, puis un déterminant.
I, E et D sont sur une même droite.
Le piège
✗EA+3EB=0, donc AE=3AB
✓EA+3(EA+AB)=0, donc AE=43AB
On ramène tous les vecteurs à la même origine avec Chasles avant de les regrouper.
Les figures en poésie
D'après le magazine *Tangente* n° 92 : nombre d'écrivains ont écrit sur les mathématiques ; certains en ont chanté la beauté. Eugène Guillevic (1907-1997), dans ses *Euclidiennes* (Gallimard, 1967), fait parler les figures elles-mêmes : un triangle qui se dit « ce qu'il y a de plus élémentaire », et un parallélogramme inquiet, qu'on pourrait « aplatir » ou « redresser » et qui a peur de devenir, un instant, rectangle.
Un parallélogramme, c'est exactement ce que décrit l'égalité AB=DC : quelle que soit sa forme, la relation reste vraie.
À retenir
u+v=AD où ABDC est un parallélogramme ; Chasles : AB+BC=AC.
L'opposé de AB est BA ; u−v=u+(−v).
au+bu=(a+b)u, a(bu)=(ab)u, a(u+v)=au+av.
αu=0 si et seulement si α=0 ou u=0.
u et v colinéaires : l'un est le produit de l'autre par un réel, ou xy′−x′y=0.
Une base est un couple de vecteurs non colinéaires ; u=xi+yj donne les composantes (x,y).
Dans un repère : AB a pour composantes xB−xA et yB−yA.
∥αu∥=∣α∣⋅∥u∥ ; en repère orthonormé, ∥u∥=x2+y2 et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
En base orthonormée : u⊥v si et seulement si xx′+yy′=0.
A, B, C alignés si et seulement si AB et AC colinéaires ; (AB)∥(CD) si et seulement si AB et CD colinéaires.
I milieu de [AB] : MA+MB=2MI ; G centre de gravité : GA+GB+GC=0.