Droites et plans de l’espace

Solides usuels ; diagonales, aire latérale et volume du cube et du parallélépipède rectangle ; les quatre axiomes ; détermination d'un plan ; points et droites coplanaires ; positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans ; droite qui perce un plan ; intersection de deux plans.

24 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre fait entrer dans la géométrie dans l'espace : des points, des droites et des plans, et la façon dont ils se rencontrent.

On y travaille dans les solides connus — le cube, la pyramide, le tétraèdre — à partir de quatre axiomes. On apprend à déterminer un plan, à dire si des droites sont coplanaires ou sécantes, à trouver où une droite perce un plan et suivant quelle droite deux plans se coupent. Et on apprend à raisonner sans se fier au dessin.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Calculer les diagonales, l'aire latérale et le volume d'un cube et d'un parallélépipède rectangle
Utiliser les quatre axiomes et les trois façons de déterminer un plan
Reconnaître des points coplanaires, des droites coplanaires et des droites sécantes
Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, et de deux plans
Construire l'intersection de deux plans et le point où une droite perce un plan

Activité

Rappels : les solides de l’espace

On retrouve les solides rencontrés les années précédentes. Pour chacun, on compte ses faces et ses sommets :

le cube : $6$ faces, $8$ sommets ;
le parallélépipède rectangle : $6$ faces, $8$ sommets — un cube est un parallélépipède rectangle particulier ;
le tétraèdre : $4$ faces, $4$ sommets ;
le prisme droit à base triangulaire : $5$ faces, $6$ sommets ;
la pyramide à base carrée : $5$ faces, $5$ sommets — un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

Un cube et un parallélépipède rectangle sont aussi des prismes droits. Dans un solide, deux faces voisines ont en commun une arête, et une arête relie deux sommets.

Le prisme droit ABCDEFGH : E, F, G, H sont au-dessus de A, B, C, D.

Ce qu’on observe

$ABCDEFGH$ est un prisme droit de bases $ABCD$ et $EFGH.$ a) Nommer toutes les faces qui contiennent le sommet $A.$ b) Nommer toutes les faces qui contiennent les sommets $A$ et $B.$ c) Nommer la face qui contient les arêtes $[BC]$ et $[CG].$ d) Trouver les points communs aux faces $ABCD$ et $CGHD.$

1
Le sommet A
Trois faces se rejoignent au sommet $A$ : la base et deux faces latérales.
$ABCD,\$ $ABFE$ et $ADHE$
2
Les sommets A et B
Parmi ces trois faces, deux seulement contiennent aussi $B$ : celles qui ont l'arête $[AB]$ en commun.
$ABCD$ et $ABFE$
3
Deux arêtes
Les arêtes $[BC]$ et $[CG]$ partent du sommet $C$ : une seule face les contient toutes les deux.
$BCGF$
4
Deux faces
Les faces $ABCD$ et $CGHD$ sont voisines : leurs points communs sont tous les points de leur arête commune.
$[CD]$

les faces

ABCD

CGHD

ont en commun l'arête

[CD]

L’erreur à ne pas faire

Un cube n'est pas un parallélépipède rectangleUn cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés
Un carré est un rectangle particulier : le cube est donc un cas particulier de parallélépipède rectangle.
Les faces $ABCD$ et $CGHD$ ont seulement deux points communs, $C$ et $D$ Elles ont en commun tous les points du segment $[CD]$
Deux faces voisines partagent toute une arête, pas seulement ses deux extrémités.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b tadhkir 3la les solides. Le cube fih six faces w huit sommets, kif le parallélépipède rectangle. Le tétraèdre fih quatre faces w quatre sommets. La pyramide à base carrée fiha cinq faces w cinq sommets, w le prisme droit à base triangulaire fih cinq faces w six sommets. Fel chapitre hedha el koll, bech nekhdmou fi les solides hedhom : les sommets ya3tiwna des points, les arêtes ya3tiwna des droites, w les faces ya3tiwna des plans. »

Activité

Pour comprendre : mesure de grandeurs

On considère un cube d'arête $a$ , où $a$ est un réel strictement positif.

Une petite diagonale est la diagonale d'une face. Une face est un carré de côté $a$ : par le théorème de Pythagore, elle mesure $a\sqrt{2}.$
Une grande diagonale joint deux sommets opposés du cube. Avec une arête et une petite diagonale, elle forme un triangle rectangle : son carré vaut $a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2},$ donc elle mesure $a\sqrt{3}.$
L'aire latérale est l'aire des quatre faces latérales : $4a^{2}.$
Le volume est $a^{3}.$

Pour un parallélépipède rectangle de dimensions $a,$ $b$ et $c,$ dont la base a pour côtés $a$ et $b$ et dont la hauteur est $c$ : l'aire latérale est $2(a + b)c,$ le volume est $abc$ et une diagonale mesure $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.$

En bleu, une petite diagonale ; en rouge, une grande diagonale.

cube : petite et grande diagonale

a\sqrt{2} \quad ; \quad

a\sqrt{3}

cube : aire latérale et volume

4a^{2} \quad ; \quad

a^{3}

diagonale du parallélépipède rectangle

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Ce qu’on observe

La somme des aires des faces d'un parallélépipède rectangle est $22$ cm². La somme des longueurs de ses arêtes est $24$ cm. Quelle est la longueur d'une diagonale ?

1
Les aires
On note $a,$ $b$ et $c$ les dimensions. Les six faces vont par deux : leur aire totale est $2(ab + bc + ca).$
$2(ab + bc + ca) = 22$ donc $ab + bc + ca = 11$
2
Les arêtes
Il y a douze arêtes : quatre de chaque longueur.
$4(a + b + c) = 24$ donc $a + b + c = 6$
3
Une identité
On développe le carré de la somme : il fait apparaître $a^{2} + b^{2} + c^{2},$ le carré de la diagonale $d.$
$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ca)$
4
La diagonale
On remplace par les valeurs trouvées.
$d^{2} = 6^{2} - 2 \times 11 = 14$

d = \sqrt{14}

L’erreur à ne pas faire

La grande diagonale d'un cube d'arête $a$ mesure $a\sqrt{2}$ La petite diagonale mesure $a\sqrt{2},$ la grande diagonale mesure $a\sqrt{3}$
La diagonale d'une face reste dans cette face ; la grande diagonale traverse le cube : il faut appliquer Pythagore une deuxième fois.
L'aire latérale d'un cube d'arête $a$ est $6a^{2}$ L'aire latérale est $4a^{2}$ ; $6a^{2}$ est l'aire totale
L'aire latérale ne compte que les quatre faces latérales, sans les deux bases.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou, n9isou cube d'arête a. La petite diagonale hiya la diagonale mta3 face : b le théorème de Pythagore, la petite diagonale égale a racine carrée de deux. La grande diagonale tcho99 el cube men sommet lel sommet opposé : la grande diagonale égale a racine carrée de trois. L'aire latérale, ya3ni l'aire mta3 les quatre faces latérales, égale quatre a au carré, w le volume égale a au cube. W fi parallélépipède rectangle de dimensions a, b w c : le volume égale a fois b fois c, w la diagonale égale racine carrée de (a au carré plus b au carré plus c au carré). »

Propriété

Les axiomes de base

En géométrie dans l'espace, on admet les quatre axiomes suivants.

Axiome 1. Par trois points non alignés passe un plan et un seul.
Axiome 2. Si un plan contient deux points distincts, alors il contient toute la droite passant par ces deux points.
Axiome 3. Si deux plans distincts ont un point commun, alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point.
Axiome 4. Tous les résultats de la géométrie plane sont applicables dans chaque plan de l'espace.

Le plan qui passe par trois points non alignés $A,$ $B$ et $C$ se note $(ABC).$

Le plan P passe par A, B et C ; il contient toute la droite (AB).

Exemple traité

$ABCD$ est un tétraèdre et $I$ est un point de l'arête $[AB].$ a) Justifier que la droite $(CI)$ est contenue dans le plan $(ABC).$ b) Déterminer l'intersection des plans $(ABC)$ et $(ABD).$

1
Le point I
Le plan $(ABC)$ contient les points $A$ et $B$ : d'après l'axiome 2, il contient toute la droite $(AB),$ donc le point $I.$
$I \in (ABC)$
2
La droite (CI)
$C$ et $I$ sont deux points distincts du plan $(ABC)$ : d'après l'axiome 2, ce plan contient toute la droite $(CI).$
$(CI) \subset (ABC)$
3
Deux plans
Les plans $(ABC)$ et $(ABD)$ sont distincts, car $D$ n'est pas dans le plan $(ABC),$ et ils ont le point $A$ en commun : d'après l'axiome 3, ils sont sécants suivant une droite.
$A \in (ABC)$ et $A \in (ABD)$
4
La droite
Le point $B$ est lui aussi commun aux deux plans : la droite d'intersection passe par $A$ et par $B.$
$(ABC) \cap (ABD) = (AB)$

la droite

(CI)

est contenue dans le plan

(ABC) \quad ;

les plans

(ABC)

(ABD)

se coupent suivant la droite

(AB)

L’erreur à ne pas faire

Par trois points passe toujours un plan et un seulPar trois points non alignés passe un plan et un seul
Si les trois points sont alignés, une infinité de plans les contiennent : tous ceux qui contiennent leur droite.
Deux plans distincts peuvent avoir un seul point communDeux plans distincts qui ont un point commun ont toute une droite en commun
C'est l'axiome 3 : dès qu'il y a un point commun, l'intersection est une droite passant par ce point.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fi la géométrie dans l'espace, na9blou quatre axiomes men ghir démonstration. Axiome un : par trois points non alignés passe un plan et un seul. Axiome deux : si un plan contient deux points distincts, alors il contient toute la droite passant par ces deux points. Axiome trois : si deux plans distincts ont un point commun, alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point. Axiome quatre : tous les résultats de la géométrie plane sont applicables dans chaque plan de l'espace. Cheddhom mli7 fi belek : el chapitre el koll mebni 3la les quatre axiomes hedhom. »

Application

Pour comprendre : trois points alignés

Soit $ABCD$ un tétraèdre et $I,$ $J,$ $K$ trois points appartenant respectivement aux arêtes $[DA],$ $[DB]$ et $[DC],$ distincts des sommets, tels que :

les droites $(JK)$ et $(BC)$ se coupent en un point $L$ ;
les droites $(KI)$ et $(CA)$ se coupent en un point $M$ ;
les droites $(IJ)$ et $(AB)$ se coupent en un point $N.$

Les points $L,$ $M$ et $N$ appartiennent à la fois au plan $(ABC)$ et au plan $(IJK).$ Ces deux plans sont distincts : d'après l'axiome 3, leur intersection est une droite, et $L,$ $M,$ $N$ sont sur cette droite.

À retenir. Pour montrer que des points de l'espace sont alignés, on montre qu'ils appartiennent à deux plans distincts.

L, M et N sont alignés : ils sont dans le plan (ABC) et dans le plan (IJK).

Exemple traité

Dans la figure, justifier que les points $L,$ $M$ et $N$ sont alignés, puis en déduire que les droites $(BC),$ $(KJ)$ et $(MN)$ sont concourantes.

1
Dans le plan (ABC)
$L$ est sur la droite $(BC),$ $M$ sur la droite $(CA)$ et $N$ sur la droite $(AB).$ Ces trois droites sont contenues dans le plan $(ABC),$ d'après l'axiome 2.
$L,\$ $M,\$ $N \in (ABC)$
2
Dans le plan (IJK)
$L$ est aussi sur la droite $(JK),$ $M$ sur la droite $(KI)$ et $N$ sur la droite $(IJ)$ : ces trois droites sont contenues dans le plan $(IJK).$
$L,\$ $M,\$ $N \in (IJK)$
3
Une droite
Le point $I$ n'est pas dans le plan $(ABC)$ : les plans $(ABC)$ et $(IJK)$ sont distincts. Ils ont un point commun, donc ils sont sécants suivant une droite, et cette droite contient $L,$ $M$ et $N.$
$L,\$ $M$ et $N$ sont alignés
4
Concourantes
Le point $L$ est sur $(BC)$ et sur $(KJ)$ par définition, et il est sur $(MN)$ puisque $L,$ $M,$ $N$ sont alignés : les trois droites passent par $L.$
$L \in (BC),\$ $L \in (KJ)$ et $L \in (MN)$

(BC),\

(KJ)

(MN)

sont concourantes en

L

L’erreur à ne pas faire

$L,$ $M$ et $N$ sont alignés parce qu'on le voit sur la figure $L,$ $M$ et $N$ sont alignés parce qu'ils appartiennent aux deux plans distincts $(ABC)$ et $(IJK)$
Une figure en perspective ne prouve rien : c'est l'axiome 3 qui donne la droite commune aux deux plans.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou les axiomes fi chnowa yenf3ou, ne5dhou tétraèdre ABCD, w trois points I, J w K 3la les arêtes [DA], [DB] w [DC]. La droite (JK) coupe la droite (BC) en L, la droite (KI) coupe la droite (CA) en M, w la droite (IJ) coupe la droite (AB) en N. Les points L, M w N mawjoudin fi le plan (ABC), w mawjoudin zeda fi le plan (IJK). W zouz plans distincts 3andhom point commun, yetle9aw fi droite. Donc L, M w N 3la el droite hedhi : les trois points alignés. Chedd et-tari9a : bech tbayyen elli des points alignés fi l'espace, bayyen elli houma fi zouz plans distincts. »

Théorème

Un plan par une droite et un point

Soit $D$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à cette droite.

Il existe un plan et un seul contenant la droite $D$ et le point $A.$

Le plan (ABC) contient la droite D et le point A.

Exemple traité

Dans un tétraèdre $ABCD,$ nommer le plan déterminé par la droite $(CD)$ et le point $A,$ puis le plan déterminé par la droite $(AB)$ et le point $D.$

1
La droite (CD) et A
Le point $A$ n'est pas sur la droite $(CD)$ : il existe un seul plan qui contient $(CD)$ et $A.$ Ce plan passe par $A,$ $C$ et $D.$
$(ACD)$
2
La droite (AB) et D
De même, $D$ n'est pas sur la droite $(AB)$ : le seul plan qui contient $(AB)$ et $D$ passe par $A,$ $B$ et $D.$
$(ABD)$

(ACD) \quad ; \quad

(ABD)

L’erreur à ne pas faire

Une droite et un point déterminent toujours un seul planUne droite et un point n'appartenant pas à cette droite déterminent un seul plan
Si le point est sur la droite, tous les plans qui contiennent la droite conviennent : il y en a une infinité.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna droite D, w point A elli ma houch 3la el droite hedhi. El théorème y9oul : il existe un plan et un seul contenant la droite D et le point A. 3lech ? Ne5dhou deux points distincts B w C 3la la droite D. A, B w C mouch alignés, donc b l'axiome un, yet3adda menhom plan wa7ed bark. W el plan hedha fih B w C, donc b l'axiome deux, fih la droite D el koll. Thabbet mli7 : el point A lezem ma ykounch 3la la droite D. »

Définition

Points coplanaires, droites coplanaires

On dit que des points de l'espace sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan.
On dit que des droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'elles sont contenues dans un même plan.

Trois points sont toujours coplanaires. Pour quatre points, il faut vérifier : on cherche le plan qui passe par trois d'entre eux, puis on regarde si le quatrième lui appartient.

O est le point d’intersection des diagonales de la base.

Exemple traité

Dans la pyramide $SABCD$ de la figure, $O$ est le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ de la base. a) Les points $A,$ $O,$ $C$ et $S$ sont-ils dans un même plan ? b) Les points $A,$ $O,$ $D$ et $S$ sont-ils dans un même plan ? c) Les droites $(OB)$ et $(AD)$ sont-elles contenues dans un même plan ? d) Les droites $(CS)$ et $(AD)$ sont-elles contenues dans un même plan ?

1
A, O, C et S
Le point $O$ est sur la droite $(AC),$ et la droite $(AC)$ est contenue dans le plan $(SAC)$ : les quatre points sont dans le plan $(SAC).$
a) oui
2
A, O, D et S
Les points $A,$ $O$ et $D$ ne sont pas alignés : le seul plan qui les contient est le plan de la base. Or le sommet $S$ n'est pas dans le plan de la base.
b) non
3
(OB) et (AD)
Les points $O,$ $B,$ $A$ et $D$ sont tous dans le plan de la base : les deux droites y sont contenues, d'après l'axiome 2.
c) oui
4
(CS) et (AD)
Un plan qui contiendrait ces deux droites contiendrait $A,$ $D$ et $C$ : ce serait le plan de la base, et il contiendrait $S.$ C'est impossible.
d) non

a) oui

;

b) non

;

c) oui

;

d) non

L’erreur à ne pas faire

Quatre points sont toujours coplanairesTrois points sont toujours coplanaires ; quatre points ne le sont pas toujours
Les quatre sommets d'un tétraèdre ne sont pas dans un même plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« N9oulou elli des points coplanaires ki ykounou el koll fi nafs el plan. W kif kif, des droites coplanaires ki ykounou el koll fi nafs el plan. Trois points dima coplanaires. Ama quatre points, mouch dima : les quatre sommets mta3 tétraèdre mouch coplanaires. Bech ta3ref, lawwej 3la el plan elli yet3adda men trois points menhom, w chouf le quatrième point mawjoud fih walla le. »

Exemple

Exemple : coplanaires ou non ?

Soient $ABCD$ un tétraèdre, $I$ un point de l'arête $[AB]$ distinct de $A$ et de $B,$ et $J$ un point de l'arête $[CD]$ distinct de $C$ et de $D.$

Pour savoir si deux droites sont coplanaires, on cherche un plan qui contient l'une des deux et un point de l'autre, puis on regarde si l'autre droite est tout entière dans ce plan.

I est sur [AB], J est sur [CD].

Exemple traité

a) Les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont-elles coplanaires ? b) Les droites $(IJ)$ et $(CD)$ sont-elles coplanaires ? c) Les points $I,$ $J,$ $A$ et $C$ sont-ils coplanaires ? d) Les points $I,$ $A,$ $B$ et $D$ sont-ils coplanaires ?

1
(IJ) et (BC)
Le seul plan qui contient la droite $(BC)$ et le point $J$ est le plan $(BCD).$ Or $I$ est sur $(AB)$ et distinct de $B$ : il n'est pas dans le plan $(BCD).$
a) non
2
(IJ) et (CD)
Le point $J$ est sur la droite $(CD)$ : les deux droites se coupent en $J.$ Elles sont contenues dans le plan qui passe par $I,$ $C$ et $D.$
b) oui
3
I, J, A et C
Le plan qui passe par $I,$ $A$ et $C$ est le plan $(ABC).$ Or $J$ est sur $(CD)$ et distinct de $C$ : il n'est pas dans le plan $(ABC).$
c) non
4
I, A, B et D
Le point $I$ est sur la droite $(AB),$ qui est contenue dans le plan $(ABD).$
d) oui

a) non

;

b) oui

;

c) non

;

d) oui

L’erreur à ne pas faire

Sur la figure, $[IJ]$ croise l'arête $[AC]$ : les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont sécantesLes droites $(IJ)$ et $(AC)$ ne sont pas coplanaires : elles n'ont aucun point commun
En perspective, deux droites non coplanaires peuvent se croiser sur le dessin sans se rencontrer dans l'espace.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou exemple. 3andna tétraèdre ABCD, point I 3la l'arête [AB], w point J 3la l'arête [CD]. La droite (IJ) w la droite (BC), coplanaires walla le ? El plan el wa7id elli fih la droite (BC) w le point J houwa le plan (BCD). Ama le point I mouch fi le plan (BCD). Donc la droite (IJ) w la droite (BC) mouch coplanaires. W la droite (IJ) w la droite (CD) ? Hedhom yetle9aw fi J, donc coplanaires. Thabbet mli7 : 3la el dessin, zouz droites ynajjmou ybenou metle9in, w houma fi l'espace ma yetle9awch. »

Activité

Pour comprendre : deux droites dans l’espace

On observe trois figures. Dans chacune, on se demande si les droites $D$ et $D'$ sont coplanaires, et on cherche $D \cap D'.$

Fig. I. La droite $D'$ est dans un plan, et la droite $D$ perce ce plan en un point qui n'est pas sur $D'$ : $D$ et $D'$ ne sont pas coplanaires, et $D \cap D' = \varnothing.$
Fig. II. $D$ et $D'$ sont dans un même plan et se coupent en un point $A$ : elles sont coplanaires, et $D \cap D' = \{A\}.$
Fig. III. $D$ et $D'$ sont dans un même plan et sont parallèles : elles sont coplanaires, et $D \cap D' = \varnothing.$

Dans l'espace, deux droites qui n'ont aucun point commun ne sont donc pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires.

Fig. I : non coplanaires. Fig. II : sécantes. Fig. III : parallèles.

Ce qu’on observe

Pour chacune des trois figures, dire si les droites $D$ et $D'$ sont coplanaires, et déterminer $D \cap D'.$

1
Première figure
Aucun plan ne contient à la fois $D$ et $D'$ : elles ne sont pas coplanaires, et elles n'ont aucun point commun.
$D \cap D' = \varnothing$
2
Deuxième figure
Les deux droites sont dans le même plan et se coupent en $A.$
$D \cap D' = \{A\}$
3
Troisième figure
Les deux droites sont dans le même plan et sont parallèles : aucun point commun.
$D \cap D' = \varnothing$

Première figure : non coplanaires

;

deuxième et troisième figures : coplanaires

L’erreur à ne pas faire

$D \cap D' = \varnothing,$ donc $D$ et $D'$ sont parallèles $D \cap D' = \varnothing,$ donc $D$ et $D'$ sont parallèles ou non coplanaires
Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles ; dans l'espace, il existe un troisième cas : les droites non coplanaires.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou, nchoufou trois figures, w fi koll wa7da 3andna zouz droites D w D prime. Fi la figure un, la droite D prime fi plan, w la droite D tcho99 el plan hedha fi point elli mouch 3la D prime : el deux droites mouch coplanaires, w ma 3andhom 7atta point commun. Fi la figure deux, el deux droites fi nafs el plan w yetle9aw fi point A. W fi la figure trois, el deux droites fi nafs el plan w parallèles. Thabbet mli7 : fi l'espace, zouz droites ma 3andhomch point commun, mouch bedh-dharoura parallèles. Ynajjmou ykounou mouch coplanaires. »

Définition

Droites sécantes

On dit que deux droites coplanaires $D$ et $D'$ sont sécantes lorsque leur intersection est un point.

Deux droites sécantes sont donc toujours coplanaires. Pour montrer que deux droites sont sécantes, on montre qu'elles sont dans un même plan, puis, dans ce plan, qu'elles ne sont pas parallèles.

En bleu, (AB) et (A'B') ; en rouge, (CD) et (CD').

Exemple traité

Dans la figure, $ABCDA'B'C'D'$ est un cube. a) Déterminer la position relative des droites $(AB)$ et $(A'B').$ b) Déterminer la position relative des droites $(CD)$ et $(CD').$ c) Citer deux droites non coplanaires.

1
Deux côtés opposés
Ces deux droites sont dans le plan de la face $ABB'A',$ qui est un carré : elles portent deux côtés opposés. Elles sont coplanaires et parallèles.
a) coplanaires et parallèles
2
Deux droites issues de C
Ces deux droites sont distinctes et passent toutes les deux par $C$ : leur intersection est le point $C.$
b) sécantes en $C$
3
Non coplanaires
La droite $(AB)$ est dans le plan $(ABC).$ La droite $(CC')$ perce ce plan en $C,$ et $C$ n'est pas sur $(AB)$ : aucun plan ne contient ces deux droites.
c) $(AB)$ et $(CC')$

(AB)

(CC')

ne sont pas coplanaires

L’erreur à ne pas faire

Dans le cube, $(AB)$ et $(CC')$ ne se coupent pas : elles sont parallèles $(AB)$ et $(CC')$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont ni sécantes ni parallèles
Deux droites parallèles sont dans un même plan ; or aucun plan ne contient à la fois $(AB)$ et $(CC').$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Et-ta3rif : n9oulou elli deux droites coplanaires D w D prime sécantes, ki l'intersection mte3hom tkoun point wa7ed. Donc deux droites sécantes dima coplanaires. Bech tbayyen elli zouz droites sécantes, bayyen 9bal elli houma fi nafs el plan, w ba3d bayyen elli fel plan hedha mouch parallèles. Mathalan fi le cube, la droite (CD) w la droite (CD') sécantes en C. Ama la droite (AB) w la droite (CC') mouch coplanaires : la sécantes la parallèles. »

Théorème

Un plan par deux droites sécantes

Soient $D$ et $D'$ deux droites sécantes.

Il existe un plan et un seul contenant les droites $D$ et $D'.$

On connaît donc trois façons de déterminer un plan :

par trois points non alignés (Fig. I) ;
par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite (Fig. II) ;
par deux droites sécantes (Fig. III).

Trois façons de déterminer un plan.

L’erreur à ne pas faire

Deux droites quelconques de l'espace déterminent un planDeux droites sécantes déterminent un plan
Deux droites non coplanaires ne sont contenues dans aucun plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna deux droites sécantes D w D prime. El théorème y9oul : il existe un plan et un seul contenant les droites D et D prime. 3lech ? Nsammiw A le point d'intersection, w ne5dhou point B 3la D w point C 3la D prime. A, B w C mouch alignés, donc yet3adda menhom plan wa7ed bark, w b l'axiome deux el plan hedha fih el deux droites. El 7asel, 3andna trois façons bech n3arrfou plan : trois points non alignés, walla droite w point elli mouch 3liha, walla deux droites sécantes. »

Exemple

Exemple : déterminer un plan

Dans la figure, $SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un carré de centre $O.$

Un même plan peut être déterminé de plusieurs façons : on choisit celle qui sert le mieux le problème.

SABCD : la base ABCD est un carré de centre O.

Exemple traité

a) Déterminer le plan de la face $ABCD$ à l'aide de trois points non alignés, puis d'une droite et d'un point n'appartenant pas à cette droite, puis de deux droites sécantes. b) Déterminer le plan $(SAD)$ par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite, puis par deux droites sécantes.

1
Trois points
$A,$ $B$ et $C$ sont trois sommets du carré : ils ne sont pas alignés.
$(ABC)$
2
Une droite et un point
Le point $C$ n'est pas sur la droite $(AB)$ : le plan de la base est le plan qui contient la droite $(AB)$ et le point $C.$
$(AB)$ et $C$
3
Deux droites sécantes
Les diagonales du carré se coupent en son centre : les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O.$
$(AC)$ et $(BD)$
4
Le plan (SAD)
Le point $S$ n'est pas sur la droite $(AD)$ ; et les droites $(SA)$ et $(SD)$ sont sécantes en $S.$
$(AD)$ et $S \quad ; \quad$ $(SA)$ et $(SD)$

(SAD)

: la droite

(AD)

et le point

S,

ou les droites

(SA)

(SD)

L’erreur à ne pas faire

Le plan de la base est déterminé par les points $A,$ $O$ et $C$ Le plan de la base est déterminé par $A,$ $B$ et $C,$ ou par $A,$ $O$ et $B$
$A,$ $O$ et $C$ sont alignés sur la diagonale $(AC)$ : trois points alignés ne déterminent pas un plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou exemple 3la les trois façons. 3andna pyramide SABCD, w la base ABCD carré de centre O. Le plan mta3 la base, nnajjmou n3arrfouh b trois points non alignés : A, B w C. Nnajjmou n3arrfouh b droite w point : la droite (AB) w le point C. W nnajjmou n3arrfouh b deux droites sécantes : la droite (AC) w la droite (BD), elli yetle9aw fi O. Thabbet mli7 : A, O w C ma y3arrfouch plan, 5ater houma alignés. »

Exemple

Exemple : sécantes ou non ?

Soient $SABC$ un tétraèdre, $I$ un point de $[SB]$ distinct de $S$ et de $B,$ $J$ un point de $[BC]$ distinct de $B$ et de $C,$ et $K$ un point de $[AC]$ distinct de $A$ et de $C.$

Deux droites ne peuvent être sécantes que si elles sont coplanaires : c'est la première chose à regarder.

I est sur [SB], J sur [BC] et K sur [AC].

Exemple traité

a) Les droites $(SA)$ et $(BC)$ sont-elles sécantes ? b) Les droites $(IJ)$ et $(SB)$ sont-elles sécantes ? c) Les droites $(IK)$ et $(SC)$ sont-elles sécantes ? d) Les droites $(JK)$ et $(AB)$ sont-elles coplanaires ?

1
(SA) et (BC)
Un plan qui contiendrait ces deux droites contiendrait les quatre sommets $S,$ $A,$ $B$ et $C$ du tétraèdre : c'est impossible. Elles ne sont pas coplanaires.
a) non
2
(IJ) et (SB)
Le point $I$ est sur la droite $(SB)$ et sur la droite $(IJ),$ et ces droites sont distinctes puisque $J$ n'est pas sur $(SB)$ : elles se coupent en $I.$
b) oui, en $I$
3
(IK) et (SC)
Le seul plan qui contient la droite $(SC)$ et le point $I$ est le plan $(SBC).$ Or $K$ est sur $(AC)$ et distinct de $C$ : il n'est pas dans ce plan. Les deux droites ne sont pas coplanaires.
c) non
4
(JK) et (AB)
$J$ est sur $(BC)$ et $K$ sur $(AC)$ : la droite $(JK)$ est contenue dans le plan $(ABC),$ comme la droite $(AB).$ Dans ce plan, elles sont sécantes dès qu'elles ne sont pas parallèles.
d) oui, dans le plan $(ABC)$

a) non

;

b) oui

;

c) non

;

d) oui

L’erreur à ne pas faire

$(SA)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes $(SA)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont ni parallèles ni sécantes
« Non parallèles donc sécantes » n'est vrai que pour deux droites d'un même plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou exemple e5er. 3andna tétraèdre SABC, point I 3la l'arête [SB], point J 3la l'arête [BC], w point K 3la l'arête [AC]. La droite (SA) w la droite (BC), sécantes walla le ? Le : ken famma plan fih el deux droites, ykoun fih les quatre sommets mta3 el tétraèdre, w hedha impossible. La droite (IJ) w la droite (SB) ? Ey, sécantes en I, 5ater I 3la ez-zouz. W la droite (JK) w la droite (AB) ? Ez-zouz fi le plan (ABC), donc coplanaires. Tfakker : 9bal ma t9oul sécantes, chouf 9bal coplanaires walla le. »

Définition

Une droite et un plan

On dit qu'une droite et un plan sont sécants si leur intersection est un point.

Vocabulaire. Lorsqu'une droite et un plan sont sécants, on dit que la droite perce le plan ou que le plan coupe la droite.

Pour une droite $D$ et un plan $P,$ on observe trois cas :

Fig. I. $D$ et $P$ ont un seul point commun $A$ : ils sont sécants, $D \cap P = \{A\}.$
Fig. II. $D$ et $P$ n'ont aucun point commun : $D \cap P = \varnothing.$
Fig. III. $D$ est contenue dans $P$ : $D \cap P = D.$

D'après l'axiome 2, une droite qui a deux points distincts dans un plan est contenue dans ce plan. Une droite qui n'est pas contenue dans un plan a donc au plus un point commun avec lui.

Fig. I : D perce P en A. Fig. II : aucun point commun. Fig. III : D est contenue dans P.

Exemple traité

Pour chacune des trois figures, déterminer $D \cap P.$

1
Première figure
La droite $D$ traverse le plan $P$ au point $A$ : elle perce le plan en $A.$
$D \cap P = \{A\}$
2
Deuxième figure
La droite $D$ ne rencontre pas le plan $P.$
$D \cap P = \varnothing$
3
Troisième figure
Tous les points de $D$ sont dans le plan $P$ : l'intersection est la droite $D$ tout entière.
$D \cap P = D$

le point

A \quad ; \quad

\varnothing \quad ;

la droite

D

L’erreur à ne pas faire

Une droite peut percer un plan en deux pointsUne droite qui a deux points dans un plan est contenue dans ce plan
C'est l'axiome 2 : avec deux points distincts dans le plan, toute la droite y est.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa droite D w plan P. Famma trois cas. Le premier cas : 3andhom point wa7ed commun, nsammiwh A. N9oulou elli la droite w le plan sécants, w n9oulou zeda : la droite perce le plan en A, walla le plan coupe la droite. Le deuxième cas : ma 3andhom 7atta point commun. W le troisième cas : la droite D el koll fi le plan P. W tfakker l'axiome deux : droite 3andha deux points distincts fi plan, hiya el koll fel plan hedha. »

Application

Pour comprendre : une droite qui perce un plan

Soient $ABCD$ un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB],$ $J$ le milieu de $[CD]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ACD.$

Pour trouver le point où la droite $(IG)$ perce le plan $(BCD),$ on cherche une droite du plan $(BCD)$ qui soit coplanaire avec $(IG)$ : ici, la droite $(BJ).$ Leur point d'intersection est le point cherché.

La droite (IG) perce le plan (BCD) au point E de la droite (BJ).

Exemple traité

a) Montrer que les droites $(IG)$ et $(BJ)$ sont sécantes. b) En déduire que la droite $(IG)$ perce le plan $(BCD)$ en un point $E.$

1
Le point G
$J$ est le milieu de $[CD]$ : $[AJ]$ est une médiane du triangle $ACD.$ Le centre de gravité $G$ est sur cette médiane, aux deux tiers à partir de $A.$
$AG = \dfrac{2}{3}AJ$
2
Coplanaires
$I$ est sur $(AB)$ et $G$ sur $(AJ)$ : les droites $(IG)$ et $(BJ)$ sont toutes les deux contenues dans le plan $(ABJ).$
$(IG) \subset (ABJ)$ et $(BJ) \subset (ABJ)$
3
Non parallèles
Dans le triangle $ABJ,$ si $(IG)$ était parallèle à $(BJ),$ le théorème de Thalès donnerait $\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AG}{AJ}.$ Or ces rapports valent $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{3}.$
$\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{AG}{AJ} = \dfrac{2}{3}$
4
Sécantes
Les droites $(IG)$ et $(BJ)$ sont coplanaires et non parallèles : elles sont sécantes en un point $E.$
$(IG) \cap (BJ) = \{E\}$
5
Le plan (BCD)
$E$ est sur $(BJ),$ qui est contenue dans le plan $(BCD).$ Et $(IG)$ n'est pas contenue dans ce plan, car $I$ n'y est pas : elle le perce en $E.$
$(IG) \cap (BCD) = \{E\}$

(IG) \cap (BCD) = \{E\}

L’erreur à ne pas faire

$(IG)$ et $(BJ)$ ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes $(IG)$ et $(BJ)$ sont dans le plan $(ABJ)$ et ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes
Sans le plan commun, « non parallèles » ne suffit pas : les deux droites pourraient être non coplanaires.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou kifech droite perce plan, ne5dhou tétraèdre ABCD. I le milieu de [AB], J le milieu de [CD], w G le centre de gravité du triangle ACD. Nlawwjou win la droite (IG) perce le plan (BCD). G 3la la médiane [AJ], donc la droite (IG) w la droite (BJ) ez-zouz fi le plan (ABJ). W fel plan hedha mouch parallèles, 5ater AI sur AB égale un demi, w AG sur AJ égale deux tiers. Donc yetle9aw fi point E. W E 3la la droite (BJ), elli hiya fi le plan (BCD). El 7asel : la droite (IG) perce le plan (BCD) en E. »

Définition

Deux plans

On dit que deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite.

Pour deux plans $P$ et $Q,$ on observe trois cas :

Fig. I. $P$ et $Q$ ont une droite $D$ en commun : ils sont sécants, $P \cap Q = D.$
Fig. II. $P$ et $Q$ n'ont aucun point commun : $P \cap Q = \varnothing.$
Fig. III. $P$ et $Q$ sont confondus : $P \cap Q = P.$

D'après l'axiome 3, deux plans distincts qui ont un point commun sont toujours sécants.

Fig. I : sécants suivant D. Fig. II : aucun point commun. Fig. III : confondus.

Exemple traité

Pour chacune des trois figures, déterminer l'intersection des plans $P$ et $Q.$

1
Première figure
Les deux plans se coupent : leurs points communs forment la droite $D.$
$P \cap Q = D$
2
Deuxième figure
Les deux plans ne se rencontrent pas.
$P \cap Q = \varnothing$
3
Troisième figure
Les deux plans sont confondus : tous leurs points sont communs.
$P \cap Q = P$

la droite

D \quad ; \quad

\varnothing \quad ;

le plan

P

L’erreur à ne pas faire

Deux plans sécants se coupent en un pointDeux plans sécants se coupent suivant une droite
Deux droites se coupent en un point ; deux plans, eux, ont toute une droite en commun.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa deux plans P w Q. Famma trois cas. Le premier cas : l'intersection mte3hom droite D. N9oulou elli les deux plans sécants. Le deuxième cas : ma 3andhom 7atta point commun. W le troisième cas : les deux plans confondus, ya3ni houma nafs el plan. W tfakker l'axiome trois : deux plans distincts 3andhom point commun, dima sécants, w l'intersection mte3hom droite, mouch point. »

Méthode

Déterminer l’intersection de deux plans

Deux plans distincts qui ont un point commun sont sécants suivant une droite (axiome 3). Une droite est connue dès qu'on en connaît deux points.

Méthode. Pour déterminer l'intersection de deux plans distincts, on cherche deux points distincts communs aux deux plans, $M$ et $N$ : l'intersection est la droite $(MN).$

Un point est commun aux deux plans quand il appartient à une droite contenue dans le premier et à une droite contenue dans le second.

I est sur [BC], J sur [AC] et K sur [AD].

Exemple traité

Soit $ABCD$ un tétraèdre et $I,$ $J,$ $K$ des points des arêtes $[BC],$ $[AC]$ et $[AD],$ comme sur la figure. a) Déterminer l'intersection des plans $(ACI)$ et $(BDJ).$ b) Déterminer l'intersection des plans $(ABK)$ et $(CDJ).$ c) Déterminer l'intersection des plans $(BCK)$ et $(ADI).$

1
(ACI) et (BDJ)
$I$ est sur $(BC)$ : le plan $(ACI)$ est le plan $(ABC),$ il contient $B.$ Et $J$ est sur $(AC)$ : $J$ est dans le plan $(ACI).$ Les points $B$ et $J$ sont donc communs aux deux plans.
$(ACI) \cap (BDJ) = (BJ)$
2
(ABK) et (CDJ)
$K$ est sur $(AD)$ : le plan $(ABK)$ est le plan $(ABD).$ $J$ est sur $(AC)$ : le plan $(CDJ)$ est le plan $(ACD).$ Les points $A$ et $D$ sont communs aux deux plans.
$(ABK) \cap (CDJ) = (AD)$
3
(BCK) et (ADI)
$K$ est dans le plan $(BCK),$ et il est sur $(AD),$ donc dans le plan $(ADI).$ $I$ est dans le plan $(ADI),$ et il est sur $(BC),$ donc dans le plan $(BCK).$
$(BCK) \cap (ADI) = (IK)$

(BJ) \quad ; \quad

(AD) \quad ; \quad

(IK)

L’erreur à ne pas faire

Les plans $(BCK)$ et $(ADI)$ n'ont aucun sommet du tétraèdre en commun, donc ils ne se coupent pasIls ont en commun les points $I$ et $K$ : leur intersection est la droite $(IK)$
Les points communs à deux plans ne sont pas toujours des sommets : on les cherche sur les droites de chaque plan.
L'intersection des plans $(ACI)$ et $(BDJ)$ est le point $J$ L'intersection des plans $(ACI)$ et $(BDJ)$ est la droite $(BJ)$
L'intersection de deux plans sécants est une droite : un seul point commun ne suffit pas, il en faut un deuxième.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nal9aw l'intersection mta3 deux plans ? Na3rfou elli deux plans distincts 3andhom point commun, yetle9aw fi droite. W el droite na3rfouha b deux points. Donc et-tari9a sehla : lawwej 3la deux points distincts communs lez-zouz plans, M w N. L'intersection hiya la droite (MN). W point ykoun commun ki ykoun 3la droite men le premier plan, w 3la droite men le deuxième plan. Ma tlawwejch ken fi les sommets : se3at el points communs ykounou 3la les arêtes. »

Application

Pour comprendre : construire l’intersection

Soient $ABCD$ un tétraèdre et $I$ et $J$ deux points appartenant respectivement aux arêtes $[AD]$ et $[BD],$ tels que les droites $(IJ)$ et $(AB)$ ne soient pas parallèles.

Quand un seul point commun est visible, on construit le second : on prolonge deux droites coplanaires, une dans chaque plan, jusqu'à leur point d'intersection.

K est commun aux deux plans : leur intersection est la droite (CK).

Exemple traité

a) Construire le point $K,$ intersection des droites $(IJ)$ et $(AB).$ b) Déterminer et construire la droite d'intersection des plans $(ABC)$ et $(CIJ).$

1
Le point K
Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont toutes les deux contenues dans le plan $(ABD)$ et ne sont pas parallèles : elles sont sécantes. On les prolonge jusqu'à leur point d'intersection $K.$
$(IJ) \cap (AB) = \{K\}$
2
Un point commun
Le point $C$ appartient aux deux plans.
$C \in (ABC)$ et $C \in (CIJ)$
3
Un autre
$K$ est sur $(AB),$ contenue dans le plan $(ABC)$ ; et $K$ est sur $(IJ),$ contenue dans le plan $(CIJ).$
$K \in (ABC)$ et $K \in (CIJ)$
4
La droite
Les deux plans sont distincts et ont en commun les points $C$ et $K$ : leur intersection est la droite $(CK).$
$(ABC) \cap (CIJ) = (CK)$

(ABC) \cap (CIJ) = (CK)

L’erreur à ne pas faire

Les plans $(ABC)$ et $(CIJ)$ n'ont que le point $C$ en communIls ont aussi en commun le point $K,$ où $(IJ)$ coupe $(AB)$ : leur intersection est $(CK)$
Deux plans distincts qui ont un point commun ont toujours une droite commune : le deuxième point se construit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Se3at ma nchoufou ken point wa7ed commun, w lezem nebniw el point le5er. Ne5dhou tétraèdre ABCD, point I 3la l'arête [AD], w point J 3la l'arête [BD]. Nlawwjou 3la l'intersection mta3 le plan (ABC) w le plan (CIJ). Le point C fez-zouz plans. W le5er ? La droite (IJ) w la droite (AB) ez-zouz fi le plan (ABD) w mouch parallèles, donc yetle9aw fi point K. K 3la la droite (AB), donc fi le plan (ABC). W K 3la la droite (IJ), donc fi le plan (CIJ). El 7asel : l'intersection hiya la droite (CK). »

Exemple

Exemple : un point commun dans une face

Soit $ABCD$ un tétraèdre, $I$ un point de l'arête $[BC]$ et $J$ un point de l'arête $[CD].$ On désigne par $M$ le point d'intersection des droites $(BJ)$ et $(DI).$

Le point $M$ est dans la face $BCD$ : il sert de second point commun aux plans $(AID)$ et $(JAB).$

M est le point d’intersection de (BJ) et (DI).

Exemple traité

Déterminer l'intersection des plans $(AID)$ et $(JAB).$

1
Un point commun
Le point $A$ appartient aux deux plans.
$A \in (AID)$ et $A \in (JAB)$
2
Le point M
$M$ est sur la droite $(DI),$ contenue dans le plan $(AID)$ ; et $M$ est sur la droite $(BJ),$ contenue dans le plan $(JAB).$
$M \in (AID)$ et $M \in (JAB)$
3
La droite
Les deux plans sont distincts et ont en commun les points $A$ et $M.$
$(AID) \cap (JAB) = (AM)$

(AID) \cap (JAB) = (AM)

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou exemple. 3andna tétraèdre ABCD, point I 3la l'arête [BC], w point J 3la l'arête [CD]. La droite (BJ) w la droite (DI) yetle9aw fi point M. Nlawwjou 3la l'intersection mta3 le plan (AID) w le plan (JAB). Le point A fez-zouz plans. W le point M zeda : M 3la la droite (DI), elli hiya fi le plan (AID), w M 3la la droite (BJ), elli hiya fi le plan (JAB). Donc l'intersection hiya la droite (AM). »

Application

Exemple : un plan qui coupe trois arêtes

Dans le tétraèdre $ABCD,$ les points $E,$ $F$ et $G$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB],$ $[AC]$ et $[AD].$ On cherche l'intersection des plans $(BCD)$ et $(EFG).$

Aucun point commun n'est visible : on en construit deux. Sur la figure, la droite $(EF)$ coupe la droite $(BC)$ en $P,$ et la droite $(EG)$ coupe la droite $(BD)$ en $Q.$

La droite rouge est l’intersection des plans (BCD) et (EFG).

Exemple traité

Sur la figure, les droites $(EF)$ et $(BC)$ se coupent en $P,$ et les droites $(EG)$ et $(BD)$ se coupent en $Q.$ Déterminer l'intersection des plans $(BCD)$ et $(EFG).$

1
Le point P
Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont dans le plan $(ABC).$ Leur point d'intersection $P$ est sur $(BC),$ donc dans le plan $(BCD),$ et sur $(EF),$ donc dans le plan $(EFG).$
$P \in (BCD)$ et $P \in (EFG)$
2
Le point Q
De même, les droites $(EG)$ et $(BD)$ sont dans le plan $(ABD)$ : leur point d'intersection $Q$ est commun aux deux plans.
$Q \in (BCD)$ et $Q \in (EFG)$
3
La droite
Les plans $(BCD)$ et $(EFG)$ sont distincts et ont en commun les points $P$ et $Q.$
$(BCD) \cap (EFG) = (PQ)$
4
Une vérification
Le point $R$ où $(FG)$ coupe $(CD)$ est lui aussi commun aux deux plans : il est sur la droite $(PQ).$
$R \in (PQ)$

(BCD) \cap (EFG) = (PQ)

L’erreur à ne pas faire

Les plans $(BCD)$ et $(EFG)$ ne se coupent pas, car le triangle $EFG$ ne touche pas la face $BCD$ Un plan ne s'arrête pas au triangle qui le nomme : les plans $(BCD)$ et $(EFG)$ se coupent suivant la droite $(PQ)$
Un plan est illimité : on prolonge ses droites pour trouver les points communs.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou exemple e5er. Fi le tétraèdre ABCD, 3andna trois points E, F w G 3la les arêtes [AB], [AC] w [AD]. Nlawwjou 3la l'intersection mta3 le plan (BCD) w le plan (EFG). Ma nchoufou 7atta point commun, donc nebniw deux points. La droite (EF) w la droite (BC) ez-zouz fi le plan (ABC), w yetle9aw fi point P. La droite (EG) w la droite (BD) ez-zouz fi le plan (ABD), w yetle9aw fi point Q. P w Q fez-zouz plans, donc l'intersection hiya la droite (PQ). Tfakker : el plan ma youfech fel triangle, houwa ykammel men koll jiha. »

Application

Exemple : autour du centre de gravité

Dans la figure, $ABCD$ est un tétraèdre et le point $K$ est le centre de gravité du triangle $BCD.$ On note $I$ le milieu de $[BD]$ et $J$ le milieu de $[CD].$

Le centre de gravité est le point de concours des médianes : $K$ est sur la médiane $(CI)$ et sur la médiane $(BJ)$ du triangle $BCD.$ Ce sont ces deux droites qui donnent les points cherchés.

K est le centre de gravité du triangle BCD.

Exemple traité

a) En quel point la droite $(CK)$ perce-t-elle le plan $(ABD)$ ? b) En quel point la droite $(BD)$ perce-t-elle le plan $(ACK)$ ? c) Déterminer l'intersection des plans $(ABK)$ et $(ACD).$ d) Déterminer l'intersection des plans $(AKD)$ et $(BCD).$

1
(CK) et (ABD)
La droite $(CK)$ est la médiane issue de $C$ : elle coupe $(BD)$ en son milieu $I.$ Or $(BD)$ est contenue dans le plan $(ABD),$ et $C$ n'est pas dans ce plan.
$(CK) \cap (ABD) = \{I\}$
2
(BD) et (ACK)
$I$ est sur $(CK),$ contenue dans le plan $(ACK),$ et sur $(BD).$ Comme $B$ n'est pas dans le plan $(ACK),$ la droite $(BD)$ perce ce plan en $I.$
$(BD) \cap (ACK) = \{I\}$
3
(ABK) et (ACD)
$A$ est commun aux deux plans. La droite $(BK)$ est la médiane issue de $B$ : elle coupe $(CD)$ en son milieu $J,$ qui est donc commun aux deux plans.
$(ABK) \cap (ACD) = (AJ)$
4
(AKD) et (BCD)
Les points $D$ et $K$ appartiennent aux deux plans.
$(AKD) \cap (BCD) = (DK)$

I \quad ; \quad

I \quad ; \quad

(AJ) \quad ; \quad

(DK)

L’erreur à ne pas faire

La droite $(CK)$ perce le plan $(ABD)$ en $K$ La droite $(CK)$ perce le plan $(ABD)$ en $I,$ le milieu de $[BD]$
$K$ est dans la face $BCD,$ pas dans le plan $(ABD)$ : il faut prolonger $(CK)$ jusqu'à la droite $(BD).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou exemple m3a le centre de gravité. 3andna tétraèdre ABCD, w K le centre de gravité du triangle BCD. Nsammiw I le milieu de [BD], w J le milieu de [CD]. Tfakker : le centre de gravité houwa le point de concours mta3 les médianes. Donc la droite (CK) hiya la médiane elli to5rej men C, w coupe la droite (BD) en I. W la droite (BD) fi le plan (ABD). El 7asel : la droite (CK) perce le plan (ABD) en I. W kif kif, la droite (BK) coupe la droite (CD) en J, donc l'intersection mta3 le plan (ABK) w le plan (ACD) hiya la droite (AJ). »

Méthode

Construire le point où une droite perce un plan

Dans le tétraèdre $ABCD,$ le point $E$ appartient à l'arête $[DC]$ et le point $F$ appartient au plan $(ABE).$ On se propose de construire le point d'intersection de la droite $(CF)$ et du plan $(ABD).$

Méthode. Pour construire le point où une droite perce un plan $P$ :

on choisit un plan auxiliaire qui contient la droite ;
on détermine la droite d'intersection de ce plan auxiliaire avec $P$ ;
le point cherché est le point où la droite donnée coupe cette droite d'intersection.

La droite (CF) perce le plan (ABD) en un point de la droite (BN).

Exemple traité

Dans le plan $(ABE),$ les droites $(BF)$ et $(AE)$ se coupent en $M.$ Dans le plan $(ACD),$ les droites $(CM)$ et $(AD)$ se coupent en $N.$ Justifier que la droite $(CF)$ perce le plan $(ABD)$ en un point de la droite $(BN).$

1
Le plan auxiliaire
$F$ est sur la droite $(BM)$ : la droite $(CF)$ est contenue dans le plan $(BCM).$ C'est le plan auxiliaire.
$(CF) \subset (BCM)$
2
Deux points communs
$B$ est commun aux plans $(BCM)$ et $(ABD).$ $N$ est sur $(CM),$ donc dans le plan $(BCM),$ et sur $(AD),$ donc dans le plan $(ABD).$
$(BCM) \cap (ABD) = (BN)$
3
Conclure
Le point où $(CF)$ perce le plan $(ABD)$ est dans le plan $(BCM)$ et dans le plan $(ABD)$ : il est sur leur droite d'intersection.
$(CF) \cap (ABD) \subset (BN)$

(CF)

perce

(ABD)

au point où elle coupe

(BN)

L’erreur à ne pas faire

La droite $(CF)$ perce le plan $(ABD)$ au point $F$ $(CF)$ perce le plan $(ABD)$ au point où elle coupe la droite $(BN)$
$F$ est un point du plan $(ABE)$ : rien ne dit qu'il est dans le plan $(ABD).$ Il faut passer par le plan auxiliaire $(BCM).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nebniw le point win droite perce plan ? Et-tari9a fiha trois étapes. Ne5dhou plan auxiliaire elli fih el droite. Nal9aw la droite d'intersection mta3 el plan auxiliaire m3a el plan P. W le point elli nlawwjou 3lih houwa win el droite mte3na tetle9a m3a la droite d'intersection hedhi. Mathalan fi le tétraèdre ABCD : la droite (CF) fi le plan (BCM). W l'intersection mta3 le plan (BCM) w le plan (ABD) hiya la droite (BN). Donc la droite (CF) perce le plan (ABD) fi point 3la la droite (BN). »

Application

Un problème pour aller plus loin : le tétraèdre qui bascule

Les faces d'un tétraèdre régulier sont numérotées de $1$ à $4.$ Le tétraèdre est posé sur la table, la face « 1 » contre cette table. Une étape consiste à faire basculer le tétraèdre autour de l'une quelconque des arêtes de sa base. À l'issue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table. On fait la somme $S$ de tous ces nombres après $2006$ étapes, en comptant le « 1 » initial.

Quand le tétraèdre bascule, la face posée change toujours, et chacune des trois autres faces peut venir se poser. Deux numéros notés à la suite sont donc toujours différents, et c'est la seule contrainte.

Exemple traité

Donner la valeur maximale et la valeur minimale que l'on peut obtenir pour la somme $S.$

1
Compter
On note le « 1 » initial, puis $2006$ numéros : on les regroupe en $1003$ paires de numéros consécutifs.
$2006 = 2 \times 1003$
2
Le maximum
Deux numéros consécutifs sont différents : leur somme vaut au plus $4 + 3.$ On atteint ce maximum en alternant les faces « 4 » et « 3 ».
$S_{\max} = 1 + 1003 \times 7 = 7022$
3
Le minimum
De même, la somme de deux numéros consécutifs vaut au moins $2 + 1.$ On atteint ce minimum en alternant les faces « 2 » et « 1 ».
$S_{\min} = 1 + 1003 \times 3 = 3010$

S_{\max} = 7022 \quad ; \quad

S_{\min} = 3010

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa problème bech nemchiw ab3ed. 3andna tétraèdre régulier, les faces mte3ou mra99min men un l quatre, w houwa ma7tout 3la la face un. Fi koll étape, n9albouh 3la arête men la base, w nektbou le numéro mta3 la face elli jet louta. N3awdou deux mille six marrat, w nejm3ou les numéros el koll, m3a el un mta3 el bideya. El fekra : ki yet9leb, la face elli louta dima tetbaddel. Donc deux numéros wra b3adhhom dima différents. Bech la somme tkoun kbira, nbaddlou bin quatre w trois. W bech tkoun sghira, nbaddlou bin deux w un. »

Application

Un problème pour aller plus loin : compter dans un cube

Des mouches dans une boîte. $2050$ mouches sont enfermées dans une boîte cubique d'arête $8.$ On découpe la boîte en $8^{3} = 512$ cubes d'arête $1.$ Si chacun de ces cubes contenait au plus $4$ mouches, il y aurait au plus $4 \times 512 = 2048$ mouches. Or il y en a $2050$ : à tout moment, il y a donc un cube d'arête $1$ où se trouvent au moins $5$ mouches.

Un cube peint. On peint les faces d'un cube en bois, puis on le découpe en $1000$ petits cubes identiques par des traits de scie parallèles aux faces. Pour compter les petits cubes qui ont au moins une face peinte, on compte d'abord ceux qui n'en ont aucune : ce sont les cubes de l'intérieur.

Exemple traité

On peint les faces d'un cube en bois, puis on le découpe en $1000$ cubes identiques à l'aide de traits de scie parallèles aux faces. Combien y a-t-il de petits cubes qui ont au moins une face peinte ?

1
Le découpage
$1000 = 10^{3}$ : il y a $10$ petits cubes le long de chaque arête.
$1000 = 10^{3}$
2
L'intérieur
Les petits cubes sans aucune face peinte forment un cube intérieur : on enlève une couche de chaque côté, il reste $8$ petits cubes le long de chaque arête.
$8^{3} = 512$
3
La différence
Tous les autres ont au moins une face peinte.
$1000 - 512 = 488$

488

L’erreur à ne pas faire

Il y a $6 \times 100 = 600$ petits cubes peints, $100$ par faceIl y a $1000 - 512 = 488$ petits cubes peints
En comptant face par face, les petits cubes des arêtes et des coins sont comptés plusieurs fois.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa deux problèmes 3la le cube. Le premier : 3andna 2050 mouches fi boîte cubique d'arête 8. N9ossou el boîte l cubes d'arête 1 : nal9aw 512 cubes. Ken koll cube fih quatre mouches 3al akthar, ykoun el majmou3 2048 3al akthar. Ama 3andna 2050. Donc famma cube fih cinq mouches 3al a9all. Le deuxième : cube mad-houn, ma9sous l 1000 petits cubes. Bech na7sbou elli fihom face mad-houna, na7sbou elli ma fihomch : huit au cube, ya3ni 512. Donc el be9i 1000 moins 512, ya3ni 488. »

Application

Un problème pour aller plus loin : cubes et carrés

On cherche à écrire le cube d'un entier comme différence de deux carrés. L'outil est l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ : il suffit d'écrire le cube comme un produit de deux facteurs de même parité — par exemple $n \times n^{2}$ — et de résoudre $a - b$ égale le petit facteur, $a + b$ égale le grand.

Géométriquement, un parallélépipède rectangle de dimensions $a,$ $a$ et $1$ a pour volume $a^{2}$ : le volume d'un cube d'arête $13$ est la différence des volumes de deux parallélépipèdes de dimensions $(a, a, 1)$ et $(b, b, 1)$ dès que $a^{2} - b^{2} = 13^{3}.$

C'est toujours possible : pour tout entier naturel $n,$ $n^{3} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} - \left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)^{2}.$

le cube d’un entier, différence de deux carrés

n^{3} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} - \left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)^{2}

Exemple traité

a) Trouver deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a^{2} - b^{2} = 5^{3}.$ b) Écrire $8^{3}$ comme différence des carrés de deux entiers naturels. c) Déterminer deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $a^{2} - b^{2} = 13^{3}.$

1
Factoriser
$5^{3} = 125 = 5 \times 25.$ On cherche $a$ et $b$ tels que $a - b = 5$ et $a + b = 25$ : en ajoutant, $2a = 30.$
$a = 15$ et $b = 10$
2
Vérifier
On calcule la différence des carrés.
$15^{2} - 10^{2} = 225 - 100 = 125$
3
Le cube de 8
$8^{3} = 512 = 8 \times 64$ : $a - b = 8$ et $a + b = 64$ donnent $a = 36$ et $b = 28.$
$36^{2} - 28^{2} = 1296 - 784 = 512$
4
Le cube de 13
$13^{3} = 2197 = 13 \times 169$ : $a - b = 13$ et $a + b = 169$ donnent $a = 91$ et $b = 78.$
$91^{2} - 78^{2} = 8281 - 6084 = 2197$

13^{3} = 91^{2} - 78^{2}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« E5er problème : n7ebbou nektbou le cube mta3 entier k différence de deux carrés. Nesta3mlou l'identité : a au carré moins b au carré égale (a moins b) fois (a plus b). Mathalan cinq au cube égale 125, w 125 égale 5 fois 25. Ne5dhou a moins b égale 5, w a plus b égale 25. Nal9aw a égale 15 w b égale 10. W bel7a99 : quinze au carré moins dix au carré égale 125. W nafs et-tari9a l treize au cube : nal9aw a égale 91 w b égale 78. »

À retenir

1.
Cube d'arête $a$ : petite diagonale $a\sqrt{2},$ grande diagonale $a\sqrt{3},$ aire latérale $4a^{2},$ volume $a^{3}.$ Parallélépipède rectangle : diagonale $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.$
2.
Axiomes : par trois points non alignés passe un plan et un seul ; un plan qui contient deux points distincts contient toute leur droite ; deux plans distincts qui ont un point commun sont sécants suivant une droite ; la géométrie plane s'applique dans chaque plan.
3.
Un plan est déterminé par trois points non alignés, par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite, ou par deux droites sécantes.
4.
Des points, ou des droites, sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan. Quatre points ne sont pas toujours coplanaires.
5.
Deux droites coplanaires sont sécantes lorsque leur intersection est un point. Dans l'espace, deux droites sans point commun sont parallèles ou non coplanaires.
6.
Une droite et un plan sont sécants si leur intersection est un point : la droite perce le plan. Une droite qui a deux points dans un plan y est contenue.
7.
Deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite : on la détermine par deux points communs.
8.
Pour montrer que des points sont alignés, on montre qu'ils appartiennent à deux plans distincts.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Calculer les diagonales, l'aire latérale et le volume d'un cube et d'un parallélépipède rectangle
Utiliser les quatre axiomes et les trois façons de déterminer un plan
Reconnaître des points coplanaires, des droites coplanaires et des droites sécantes
Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, et de deux plans
Construire l'intersection de deux plans et le point où une droite perce un plan

Rappels : les solides de l’espace

On retrouve les solides rencontrés les années précédentes. Pour chacun, on compte ses faces et ses sommets :

le cube : $6$ faces, $8$ sommets ;
le parallélépipède rectangle : $6$ faces, $8$ sommets — un cube est un parallélépipède rectangle particulier ;
le tétraèdre : $4$ faces, $4$ sommets ;
le prisme droit à base triangulaire : $5$ faces, $6$ sommets ;
la pyramide à base carrée : $5$ faces, $5$ sommets — un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

Un cube et un parallélépipède rectangle sont aussi des prismes droits. Dans un solide, deux faces voisines ont en commun une arête, et une arête relie deux sommets.

Le prisme droit ABCDEFGH : E, F, G, H sont au-dessus de A, B, C, D.

Le piège

Un cube n'est pas un parallélépipède rectangle

Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés

Un carré est un rectangle particulier : le cube est donc un cas particulier de parallélépipède rectangle.

Le piège

Les faces $ABCD$ et $CGHD$ ont seulement deux points communs, $C$ et $D$

Elles ont en commun tous les points du segment $[CD]$

Deux faces voisines partagent toute une arête, pas seulement ses deux extrémités.

Pour comprendre : mesure de grandeurs

On considère un cube d'arête $a$ , où $a$ est un réel strictement positif.

Une petite diagonale est la diagonale d'une face. Une face est un carré de côté $a$ : par le théorème de Pythagore, elle mesure $a\sqrt{2}$ .
Une grande diagonale joint deux sommets opposés du cube. Avec une arête et une petite diagonale, elle forme un triangle rectangle : son carré vaut $a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}$ , donc elle mesure $a\sqrt{3}$ .
L'aire latérale est l'aire des quatre faces latérales : $4a^{2}$ .
Le volume est $a^{3}$ .

Pour un parallélépipède rectangle de dimensions $a$ , $b$ et $c$ , dont la base a pour côtés $a$ et $b$ et dont la hauteur est $c$ : l'aire latérale est $2(a + b)c$ , le volume est $abc$ et une diagonale mesure $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

En bleu, une petite diagonale ; en rouge, une grande diagonale.

a\sqrt{2} \quad ; \quad a\sqrt{3}

4a^{2} \quad ; \quad a^{3}

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Le piège

La grande diagonale d'un cube d'arête $a$ mesure $a\sqrt{2}$

La petite diagonale mesure $a\sqrt{2}$ , la grande diagonale mesure $a\sqrt{3}$

La diagonale d'une face reste dans cette face ; la grande diagonale traverse le cube : il faut appliquer Pythagore une deuxième fois.

Le piège

L'aire latérale d'un cube d'arête $a$ est $6a^{2}$

L'aire latérale est $4a^{2}$ ; $6a^{2}$ est l'aire totale

L'aire latérale ne compte que les quatre faces latérales, sans les deux bases.

Les axiomes de base

En géométrie dans l'espace, on admet les quatre axiomes suivants.

Axiome 1. Par trois points non alignés passe un plan et un seul.
Axiome 2. Si un plan contient deux points distincts, alors il contient toute la droite passant par ces deux points.
Axiome 3. Si deux plans distincts ont un point commun, alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point.
Axiome 4. Tous les résultats de la géométrie plane sont applicables dans chaque plan de l'espace.

Le plan qui passe par trois points non alignés $A$ , $B$ et $C$ se note $(ABC)$ .

Le plan P passe par A, B et C ; il contient toute la droite (AB).

Le piège

Par trois points passe toujours un plan et un seul

Par trois points non alignés passe un plan et un seul

Si les trois points sont alignés, une infinité de plans les contiennent : tous ceux qui contiennent leur droite.

Le piège

Deux plans distincts peuvent avoir un seul point commun

Deux plans distincts qui ont un point commun ont toute une droite en commun

C'est l'axiome 3 : dès qu'il y a un point commun, l'intersection est une droite passant par ce point.

Pour comprendre : trois points alignés

Soit $ABCD$ un tétraèdre et $I$ , $J$ , $K$ trois points appartenant respectivement aux arêtes $[DA]$ , $[DB]$ et $[DC]$ , distincts des sommets, tels que :

les droites $(JK)$ et $(BC)$ se coupent en un point $L$ ;
les droites $(KI)$ et $(CA)$ se coupent en un point $M$ ;
les droites $(IJ)$ et $(AB)$ se coupent en un point $N$ .

Les points $L$ , $M$ et $N$ appartiennent à la fois au plan $(ABC)$ et au plan $(IJK)$ . Ces deux plans sont distincts : d'après l'axiome 3, leur intersection est une droite, et $L$ , $M$ , $N$ sont sur cette droite.

À retenir. Pour montrer que des points de l'espace sont alignés, on montre qu'ils appartiennent à deux plans distincts.

L, M et N sont alignés : ils sont dans le plan (ABC) et dans le plan (IJK).

Le piège

$L$ , $M$ et $N$ sont alignés parce qu'on le voit sur la figure

$L$ , $M$ et $N$ sont alignés parce qu'ils appartiennent aux deux plans distincts $(ABC)$ et $(IJK)$

Une figure en perspective ne prouve rien : c'est l'axiome 3 qui donne la droite commune aux deux plans.

Un plan par une droite et un point

Soit $D$ une droite et $A$ un point n'appartenant pas à cette droite.

Il existe un plan et un seul contenant la droite $D$ et le point $A$ .

Le plan (ABC) contient la droite D et le point A.

Le piège

Une droite et un point déterminent toujours un seul plan

Une droite et un point n'appartenant pas à cette droite déterminent un seul plan

Si le point est sur la droite, tous les plans qui contiennent la droite conviennent : il y en a une infinité.

Points coplanaires, droites coplanaires

On dit que des points de l'espace sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan.
On dit que des droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'elles sont contenues dans un même plan.

Trois points sont toujours coplanaires. Pour quatre points, il faut vérifier : on cherche le plan qui passe par trois d'entre eux, puis on regarde si le quatrième lui appartient.

O est le point d’intersection des diagonales de la base.

Le piège

Quatre points sont toujours coplanaires

Trois points sont toujours coplanaires ; quatre points ne le sont pas toujours

Les quatre sommets d'un tétraèdre ne sont pas dans un même plan.

Exemple : coplanaires ou non ?

Soient $ABCD$ un tétraèdre, $I$ un point de l'arête $[AB]$ distinct de $A$ et de $B$ , et $J$ un point de l'arête $[CD]$ distinct de $C$ et de $D$ .

Pour savoir si deux droites sont coplanaires, on cherche un plan qui contient l'une des deux et un point de l'autre, puis on regarde si l'autre droite est tout entière dans ce plan.

I est sur [AB], J est sur [CD].

Le piège

Sur la figure, $[IJ]$ croise l'arête $[AC]$ : les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont sécantes

Les droites $(IJ)$ et $(AC)$ ne sont pas coplanaires : elles n'ont aucun point commun

En perspective, deux droites non coplanaires peuvent se croiser sur le dessin sans se rencontrer dans l'espace.

Pour comprendre : deux droites dans l’espace

On observe trois figures. Dans chacune, on se demande si les droites $D$ et $D'$ sont coplanaires, et on cherche $D \cap D'$ .

Fig. I. La droite $D'$ est dans un plan, et la droite $D$ perce ce plan en un point qui n'est pas sur $D'$ : $D$ et $D'$ ne sont pas coplanaires, et $D \cap D' = \varnothing$ .
Fig. II. $D$ et $D'$ sont dans un même plan et se coupent en un point $A$ : elles sont coplanaires, et $D \cap D' = \{A\}$ .
Fig. III. $D$ et $D'$ sont dans un même plan et sont parallèles : elles sont coplanaires, et $D \cap D' = \varnothing$ .

Dans l'espace, deux droites qui n'ont aucun point commun ne sont donc pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires.

Fig. I : non coplanaires. Fig. II : sécantes. Fig. III : parallèles.

Le piège

$D \cap D' = \varnothing$ , donc $D$ et $D'$ sont parallèles

$D \cap D' = \varnothing$ , donc $D$ et $D'$ sont parallèles ou non coplanaires

Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles ; dans l'espace, il existe un troisième cas : les droites non coplanaires.

Droites sécantes

On dit que deux droites coplanaires $D$ et $D'$ sont sécantes lorsque leur intersection est un point.

Deux droites sécantes sont donc toujours coplanaires. Pour montrer que deux droites sont sécantes, on montre qu'elles sont dans un même plan, puis, dans ce plan, qu'elles ne sont pas parallèles.

En bleu, (AB) et (A'B') ; en rouge, (CD) et (CD').

Le piège

Dans le cube, $(AB)$ et $(CC')$ ne se coupent pas : elles sont parallèles

$(AB)$ et $(CC')$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont ni sécantes ni parallèles

Deux droites parallèles sont dans un même plan ; or aucun plan ne contient à la fois $(AB)$ et $(CC')$ .

Un plan par deux droites sécantes

Soient $D$ et $D'$ deux droites sécantes.

Il existe un plan et un seul contenant les droites $D$ et $D'$ .

On connaît donc trois façons de déterminer un plan :

par trois points non alignés (Fig. I) ;
par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite (Fig. II) ;
par deux droites sécantes (Fig. III).

Trois façons de déterminer un plan.

Le piège

Deux droites quelconques de l'espace déterminent un plan

Deux droites sécantes déterminent un plan

Deux droites non coplanaires ne sont contenues dans aucun plan.

Exemple : déterminer un plan

Dans la figure, $SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un carré de centre $O$ .

Un même plan peut être déterminé de plusieurs façons : on choisit celle qui sert le mieux le problème.

SABCD : la base ABCD est un carré de centre O.

Le piège

Le plan de la base est déterminé par les points $A$ , $O$ et $C$

Le plan de la base est déterminé par $A$ , $B$ et $C$ , ou par $A$ , $O$ et $B$

$A$ , $O$ et $C$ sont alignés sur la diagonale $(AC)$ : trois points alignés ne déterminent pas un plan.

Exemple : sécantes ou non ?

Soient $SABC$ un tétraèdre, $I$ un point de $[SB]$ distinct de $S$ et de $B$ , $J$ un point de $[BC]$ distinct de $B$ et de $C$ , et $K$ un point de $[AC]$ distinct de $A$ et de $C$ .

Deux droites ne peuvent être sécantes que si elles sont coplanaires : c'est la première chose à regarder.

I est sur [SB], J sur [BC] et K sur [AC].

Le piège

$(SA)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes

$(SA)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont ni parallèles ni sécantes

« Non parallèles donc sécantes » n'est vrai que pour deux droites d'un même plan.

Une droite et un plan

On dit qu'une droite et un plan sont sécants si leur intersection est un point.

Vocabulaire. Lorsqu'une droite et un plan sont sécants, on dit que la droite perce le plan ou que le plan coupe la droite.

Pour une droite $D$ et un plan $P$ , on observe trois cas :

Fig. I. $D$ et $P$ ont un seul point commun $A$ : ils sont sécants, $D \cap P = \{A\}$ .
Fig. II. $D$ et $P$ n'ont aucun point commun : $D \cap P = \varnothing$ .
Fig. III. $D$ est contenue dans $P$ : $D \cap P = D$ .

D'après l'axiome 2, une droite qui a deux points distincts dans un plan est contenue dans ce plan. Une droite qui n'est pas contenue dans un plan a donc au plus un point commun avec lui.

Fig. I : D perce P en A. Fig. II : aucun point commun. Fig. III : D est contenue dans P.

Le piège

Une droite peut percer un plan en deux points

Une droite qui a deux points dans un plan est contenue dans ce plan

C'est l'axiome 2 : avec deux points distincts dans le plan, toute la droite y est.

Pour comprendre : une droite qui perce un plan

Soient $ABCD$ un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB]$ , $J$ le milieu de $[CD]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ACD$ .

Pour trouver le point où la droite $(IG)$ perce le plan $(BCD)$ , on cherche une droite du plan $(BCD)$ qui soit coplanaire avec $(IG)$ : ici, la droite $(BJ)$ . Leur point d'intersection est le point cherché.

La droite (IG) perce le plan (BCD) au point E de la droite (BJ).

Le piège

$(IG)$ et $(BJ)$ ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes

$(IG)$ et $(BJ)$ sont dans le plan $(ABJ)$ et ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes

Sans le plan commun, « non parallèles » ne suffit pas : les deux droites pourraient être non coplanaires.

Deux plans

On dit que deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite.

Pour deux plans $P$ et $Q$ , on observe trois cas :

Fig. I. $P$ et $Q$ ont une droite $D$ en commun : ils sont sécants, $P \cap Q = D$ .
Fig. II. $P$ et $Q$ n'ont aucun point commun : $P \cap Q = \varnothing$ .
Fig. III. $P$ et $Q$ sont confondus : $P \cap Q = P$ .

D'après l'axiome 3, deux plans distincts qui ont un point commun sont toujours sécants.

Fig. I : sécants suivant D. Fig. II : aucun point commun. Fig. III : confondus.

Le piège

Deux plans sécants se coupent en un point

Deux plans sécants se coupent suivant une droite

Deux droites se coupent en un point ; deux plans, eux, ont toute une droite en commun.

Déterminer l’intersection de deux plans

Deux plans distincts qui ont un point commun sont sécants suivant une droite (axiome 3). Une droite est connue dès qu'on en connaît deux points.

Méthode. Pour déterminer l'intersection de deux plans distincts, on cherche deux points distincts communs aux deux plans, $M$ et $N$ : l'intersection est la droite $(MN)$ .

Un point est commun aux deux plans quand il appartient à une droite contenue dans le premier et à une droite contenue dans le second.

I est sur [BC], J sur [AC] et K sur [AD].

Le piège

Les plans $(BCK)$ et $(ADI)$ n'ont aucun sommet du tétraèdre en commun, donc ils ne se coupent pas

Ils ont en commun les points $I$ et $K$ : leur intersection est la droite $(IK)$

Les points communs à deux plans ne sont pas toujours des sommets : on les cherche sur les droites de chaque plan.

Le piège

L'intersection des plans $(ACI)$ et $(BDJ)$ est le point $J$

L'intersection des plans $(ACI)$ et $(BDJ)$ est la droite $(BJ)$

L'intersection de deux plans sécants est une droite : un seul point commun ne suffit pas, il en faut un deuxième.

Pour comprendre : construire l’intersection

Soient $ABCD$ un tétraèdre et $I$ et $J$ deux points appartenant respectivement aux arêtes $[AD]$ et $[BD]$ , tels que les droites $(IJ)$ et $(AB)$ ne soient pas parallèles.

Quand un seul point commun est visible, on construit le second : on prolonge deux droites coplanaires, une dans chaque plan, jusqu'à leur point d'intersection.

K est commun aux deux plans : leur intersection est la droite (CK).

Le piège

Les plans $(ABC)$ et $(CIJ)$ n'ont que le point $C$ en commun

Ils ont aussi en commun le point $K$ , où $(IJ)$ coupe $(AB)$ : leur intersection est $(CK)$

Deux plans distincts qui ont un point commun ont toujours une droite commune : le deuxième point se construit.

Exemple : un point commun dans une face

Soit $ABCD$ un tétraèdre, $I$ un point de l'arête $[BC]$ et $J$ un point de l'arête $[CD]$ . On désigne par $M$ le point d'intersection des droites $(BJ)$ et $(DI)$ .

Le point $M$ est dans la face $BCD$ : il sert de second point commun aux plans $(AID)$ et $(JAB)$ .

M est le point d’intersection de (BJ) et (DI).

Exemple : un plan qui coupe trois arêtes

Dans le tétraèdre $ABCD$ , les points $E$ , $F$ et $G$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$ , $[AC]$ et $[AD]$ . On cherche l'intersection des plans $(BCD)$ et $(EFG)$ .

Aucun point commun n'est visible : on en construit deux. Sur la figure, la droite $(EF)$ coupe la droite $(BC)$ en $P$ , et la droite $(EG)$ coupe la droite $(BD)$ en $Q$ .

La droite rouge est l’intersection des plans (BCD) et (EFG).

Le piège

Les plans $(BCD)$ et $(EFG)$ ne se coupent pas, car le triangle $EFG$ ne touche pas la face $BCD$

Un plan ne s'arrête pas au triangle qui le nomme : les plans $(BCD)$ et $(EFG)$ se coupent suivant la droite $(PQ)$

Un plan est illimité : on prolonge ses droites pour trouver les points communs.

Exemple : autour du centre de gravité

Dans la figure, $ABCD$ est un tétraèdre et le point $K$ est le centre de gravité du triangle $BCD$ . On note $I$ le milieu de $[BD]$ et $J$ le milieu de $[CD]$ .

Le centre de gravité est le point de concours des médianes : $K$ est sur la médiane $(CI)$ et sur la médiane $(BJ)$ du triangle $BCD$ . Ce sont ces deux droites qui donnent les points cherchés.

K est le centre de gravité du triangle BCD.

Le piège

La droite $(CK)$ perce le plan $(ABD)$ en $K$

La droite $(CK)$ perce le plan $(ABD)$ en $I$ , le milieu de $[BD]$

$K$ est dans la face $BCD$ , pas dans le plan $(ABD)$ : il faut prolonger $(CK)$ jusqu'à la droite $(BD)$ .

Construire le point où une droite perce un plan

Dans le tétraèdre $ABCD$ , le point $E$ appartient à l'arête $[DC]$ et le point $F$ appartient au plan $(ABE)$ . On se propose de construire le point d'intersection de la droite $(CF)$ et du plan $(ABD)$ .

Méthode. Pour construire le point où une droite perce un plan $P$ :

on choisit un plan auxiliaire qui contient la droite ;
on détermine la droite d'intersection de ce plan auxiliaire avec $P$ ;
le point cherché est le point où la droite donnée coupe cette droite d'intersection.

La droite (CF) perce le plan (ABD) en un point de la droite (BN).

Le piège

La droite $(CF)$ perce le plan $(ABD)$ au point $F$

$(CF)$ perce le plan $(ABD)$ au point où elle coupe la droite $(BN)$

$F$ est un point du plan $(ABE)$ : rien ne dit qu'il est dans le plan $(ABD)$ . Il faut passer par le plan auxiliaire $(BCM)$ .

Un problème pour aller plus loin : le tétraèdre qui bascule

Les faces d'un tétraèdre régulier sont numérotées de $1$ à $4$ . Le tétraèdre est posé sur la table, la face « 1 » contre cette table. Une étape consiste à faire basculer le tétraèdre autour de l'une quelconque des arêtes de sa base. À l'issue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table. On fait la somme $S$ de tous ces nombres après $2006$ étapes, en comptant le « 1 » initial.

Quand le tétraèdre bascule, la face posée change toujours, et chacune des trois autres faces peut venir se poser. Deux numéros notés à la suite sont donc toujours différents, et c'est la seule contrainte.

Un problème pour aller plus loin : compter dans un cube

Des mouches dans une boîte. $2050$ mouches sont enfermées dans une boîte cubique d'arête $8$ . On découpe la boîte en $8^{3} = 512$ cubes d'arête $1$ . Si chacun de ces cubes contenait au plus $4$ mouches, il y aurait au plus $4 \times 512 = 2048$ mouches. Or il y en a $2050$ : à tout moment, il y a donc un cube d'arête $1$ où se trouvent au moins $5$ mouches.

Un cube peint. On peint les faces d'un cube en bois, puis on le découpe en $1000$ petits cubes identiques par des traits de scie parallèles aux faces. Pour compter les petits cubes qui ont au moins une face peinte, on compte d'abord ceux qui n'en ont aucune : ce sont les cubes de l'intérieur.

Le piège

Il y a $6 \times 100 = 600$ petits cubes peints, $100$ par face

Il y a $1000 - 512 = 488$ petits cubes peints

En comptant face par face, les petits cubes des arêtes et des coins sont comptés plusieurs fois.

Un problème pour aller plus loin : cubes et carrés

Géométriquement, un parallélépipède rectangle de dimensions $a$ , $a$ et $1$ a pour volume $a^{2}$ : le volume d'un cube d'arête $13$ est la différence des volumes de deux parallélépipèdes de dimensions $(a, a, 1)$ et $(b, b, 1)$ dès que $a^{2} - b^{2} = 13^{3}$ .

C'est toujours possible : pour tout entier naturel $n$ , $n^{3} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} - \left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)^{2}$ .

n^{3} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} - \left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)^{2}

À retenir

Cube d'arête $a$ : petite diagonale $a\sqrt{2}$ , grande diagonale $a\sqrt{3}$ , aire latérale $4a^{2}$ , volume $a^{3}$ . Parallélépipède rectangle : diagonale $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Axiomes : par trois points non alignés passe un plan et un seul ; un plan qui contient deux points distincts contient toute leur droite ; deux plans distincts qui ont un point commun sont sécants suivant une droite ; la géométrie plane s'applique dans chaque plan.
Un plan est déterminé par trois points non alignés, par une droite et un point n'appartenant pas à cette droite, ou par deux droites sécantes.
Des points, ou des droites, sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan. Quatre points ne sont pas toujours coplanaires.
Deux droites coplanaires sont sécantes lorsque leur intersection est un point. Dans l'espace, deux droites sans point commun sont parallèles ou non coplanaires.
Une droite et un plan sont sécants si leur intersection est un point : la droite perce le plan. Une droite qui a deux points dans un plan y est contenue.
Deux plans sont sécants lorsque leur intersection est une droite : on la détermine par deux points communs.
Pour montrer que des points sont alignés, on montre qu'ils appartiennent à deux plans distincts.

Ce qu’il t’explique

Rappels : les solides de l’espace

Pour comprendre : mesure de grandeurs

Les axiomes de base

Pour comprendre : trois points alignés

Un plan par une droite et un point

Points coplanaires, droites coplanaires

Exemple : coplanaires ou non ?

Pour comprendre : deux droites dans l’espace

Droites sécantes

Un plan par deux droites sécantes

Exemple : déterminer un plan

Exemple : sécantes ou non ?

Une droite et un plan

Pour comprendre : une droite qui perce un plan

Deux plans

Déterminer l’intersection de deux plans

Pour comprendre : construire l’intersection

Exemple : un point commun dans une face

Exemple : un plan qui coupe trois arêtes

Exemple : autour du centre de gravité

Construire le point où une droite perce un plan

Un problème pour aller plus loin : le tétraèdre qui bascule

Un problème pour aller plus loin : compter dans un cube

Un problème pour aller plus loin : cubes et carrés

À toi, au tableau

Les faces d’un tétraèdre

Les sommets d’un prisme

Les faces d’une pyramide

Des faces dans un prisme

Une arête et une base

Une diagonale de la base

La diagonale d’un parallélépipède rectangle

Un point dans un plan ?

Deux droites dans une pyramide

Deux arêtes opposées

Coplanaires dans un tétraèdre

Ni sécantes ni parallèles

Aires, arêtes et diagonale

Une autre diagonale

Aucun sommet en commun

Construire le second point

Deux plans et une médiane

Trois plans et une droite

Où est le point E ?

Le tétraèdre qui bascule : le maximum

Le tétraèdre qui bascule : le minimum

Un sommet et le milieu d’une arête

Le chemin de la fourmi

Trois diagonales de faces

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Rappels : les solides de l’espace

Pour comprendre : mesure de grandeurs

Les axiomes de base

Pour comprendre : trois points alignés

Un plan par une droite et un point

Points coplanaires, droites coplanaires

Exemple : coplanaires ou non ?

Pour comprendre : deux droites dans l’espace

Droites sécantes

Un plan par deux droites sécantes

Exemple : déterminer un plan

Exemple : sécantes ou non ?

Une droite et un plan

Pour comprendre : une droite qui perce un plan

Deux plans

Déterminer l’intersection de deux plans

Pour comprendre : construire l’intersection

Exemple : un point commun dans une face

Exemple : un plan qui coupe trois arêtes

Exemple : autour du centre de gravité

Construire le point où une droite perce un plan

Un problème pour aller plus loin : le tétraèdre qui bascule

Un problème pour aller plus loin : compter dans un cube

Un problème pour aller plus loin : cubes et carrés

À retenir