Fonctions de références

Parabole et trinômes, forme canonique, fonction racine carrée, hyperbole et fonctions (ax + b)/(cx + d), translation d'une courbe, résolutions graphiques.

34 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Trois fonctions simples — $x \mapsto x^{2},$ $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ — servent de références : on apprend leur courbe une fois pour toutes.

Toutes les autres fonctions du chapitre s'en déduisent en déplaçant la courbe : les trinômes donnent des paraboles, les quotients $\dfrac{ax + b}{cx + d}$ des hyperboles.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître une parabole : son sommet, son axe et son équation
Écrire un trinôme sous la forme $a(x - \alpha)^{2} + \beta$
Tracer la courbe de $x \mapsto \sqrt{x + b}$
Reconnaître une hyperbole : son centre et ses asymptotes
Passer d'une courbe à une autre par une translation
Résoudre graphiquement et par le calcul des équations et des inéquations

Activité

Pour comprendre : la fonction carré

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^{2}.$ Sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est la courbe de la figure.

1.À l'aide du graphique, émets une conjecture sur la parité de $f,$ puis décris ses variations sur $\mathbb{R}.$
2.Montre que la fonction $f$ est paire, puis qu'elle est croissante sur $[0 ; +\infty[.$
3.Complète le tableau ci-dessous. Comment peut-on choisir $x$ positif pour que $f(x)$ soit strictement supérieur à $10^{30}$ ? Et à un réel $A$ strictement positif ?

$x$	$f(x)$
$10^{3}$
$10^{4}$
$10^{7}$
$10^{10}$
$10^{15}$

La courbe de la fonction x ↦ x².

Ce qu’on observe

Montre que $f$ est paire et croissante sur $[0 ; +\infty[,$ puis dis à partir de quelle valeur de $x$ positif on a $f(x) > A.$

1
La parité
Pour tout réel $x,$ $-x$ est aussi un réel, et son image est la même que celle de $x.$
$f(-x) = (-x)^{2} = x^{2} = f(x)$
2
Les variations
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \le a \le b.$ Les deux facteurs $b - a$ et $b + a$ sont positifs ou nuls.
$f(b) - f(a) = b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a) \ge 0$
3
Le tableau
Pour élever une puissance de $10$ au carré, on double l'exposant.
$f(10^{3}) = 10^{6} \quad ; \quad$ $f(10^{4}) = 10^{8} \quad ; \quad$ $f(10^{7}) = 10^{14}$
4
$f(10^{10}) = 10^{20} \quad ; \quad$ $f(10^{15}) = 10^{30}$
5
Dépasser A
Pour $x$ positif, $x^{2} > A$ équivaut à $x > \sqrt{A}$ : pour dépasser $10^{30},$ il suffit de prendre $x > 10^{15}.$
$x > \sqrt{A} \Rightarrow f(x) > A$

pour

x

positif :

f(x) > A \iff x > \sqrt{A}

L’erreur à ne pas faire

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$
Pour deux réels négatifs, le carré renverse l'ordre : $-3$ est plus petit que $-2,$ mais son carré, $9,$ est plus grand que $4.$
$(-x)^{2} = -x^{2}$ $(-x)^{2} = x^{2}$
Le carré d'un nombre négatif est positif : c'est pour cela que $f$ est paire.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew bel fonction el absat : f de x égale x au carré. Chouf la courbe mte3ha : tahbet 7atta l O, w ba3d tatla3. W les points M w N, elli les abscisses mte3hom deux w moins deux, 3andhom nafs l'ordonnée : quatre. 5ater nombre w l'opposé mte3ou 3andhom nafs le carré, ya3ni f de moins x égale f de x : f paire, w la courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. W 7aja o5ra : ki x yekber, x au carré yekber barcha. Dix puissance quinze au carré ya3ti dix puissance trente. Mahma ykoun le nombre A, f de x yfoutou ki x yfout racine carrée de A. »

Vocabulaire

La parabole d'équation y = x²

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$

La courbe $P$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2}$ est appelée parabole. Le point $O$ est appelé le sommet de la parabole $P,$ et la droite d'équation $x = 0$ est appelée l'axe de la parabole $P.$

L'équation $y = x^{2}$ est appelée l'équation de la parabole $P.$

Remarques. Pour tout réel $A$ strictement positif, on peut trouver des valeurs positives de $x$ telles que $f(x)$ soit supérieur à $A.$ Autrement dit, $f(x)$ est supérieur à n'importe quel réel $A$ positif, aussi grand que l'on veut, en choisissant des valeurs positives de $x.$ On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

On a aussi : $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty.$

La parabole P, son sommet et son axe.

équation de la parabole P

P : y = x^{2}

sommet :

O

axe :

x = 0

Exemple traité

Le point $A(-3 ; 9)$ est-il sur la parabole $P$ ? Et le point $B(2 ; -4)$ ? Quel est le point de $P$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ ?

1
Le point A
Un point est sur $P$ quand son ordonnée est le carré de son abscisse. Ici, c'est le cas.
$(-3)^{2} = 9$
2
Le point B
Le carré de $2$ est $4,$ et non $-4$ : le point $B$ n'est pas sur $P.$
$2^{2} = 4 \ne -4$
3
Une abscisse donnée
L'ordonnée est le carré de l'abscisse.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$

A \in P \quad ; \quad

B \notin P \quad ; \quad

D\left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{4}\right) \in P

L’erreur à ne pas faire

L'axe de la parabole $P$ est l'axe des abscissesL'axe de $P$ est la droite d'équation $x = 0,$ c'est-à-dire l'axe des ordonnées
L'axe d'une parabole est son axe de symétrie : il passe par le sommet.
$f(x)$ tend vers $+\infty$ : $f(x)$ finit par valoir $+\infty$ $f(x)$ dépasse n'importe quel réel $A$ dès que $x$ est assez grand
Plus l'infini n'est pas un nombre : aucune valeur de $f(x)$ ne lui est égale.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi el asemi elli lezmek ta7fedhhom. La courbe P mta3 la fonction x au carré nsammiwha parabole. Le point O houwa le sommet mte3ha : houni houwa el point el awta fi la courbe. W la droite d'équation x égale zéro, ya3ni l'axe des ordonnées, hiya l'axe de la parabole : la courbe symétrique par rapport liha. W y égale x au carré hiya l'équation de la parabole P. W zid : ki f de x yfout ay nombre A, mahma ken kbir, n9oulou f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. W nafs echay quand x tend vers moins l'infini. »

Activité

Pour comprendre : la courbe de 2x²

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $P$ la parabole d'équation $y = x^{2},$ et $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{2}.$

1.Soit $M(x ; y)$ un point de la parabole $P$ et $M'(x' ; y')$ son image par l'homothétie $h.$ Exprime $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y.$
2.Montre que le point $M'$ est sur la courbe représentative $C$ de la fonction $g : x \mapsto 2x^{2}.$
3.Montre que tout point $N$ de $C$ est l'image par l'homothétie $h$ d'un point $M$ de $P.$ Quelle est alors l'image de la parabole $P$ par $h$ ?

M′ est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 1/2.

Ce qu’on observe

Exprime les coordonnées de l'image d'un point de $P$ par $h,$ puis trouve l'image de la parabole $P.$

1
L'homothétie
Le vecteur $\overrightarrow{OM'}$ est la moitié du vecteur $\overrightarrow{OM}$ : chaque coordonnée est divisée par $2.$
$x' = \frac{x}{2} \quad ; \quad$ $y' = \frac{y}{2}$
2
L'image est sur C
Le point $M$ est sur $P,$ donc $y = x^{2}.$ On remplace $x$ par $2x'$ et $y$ par $2y'.$
$2y' = (2x')^{2} = 4x'^{2}$ donc $y' = 2x'^{2}$
3
La réciproque
Si un point $N$ d'abscisse $u$ et d'ordonnée $v$ est sur $C,$ alors $v = 2u^{2}.$ Le point d'abscisse $2u$ et d'ordonnée $2v$ est alors sur $P,$ et son image par $h$ est $N.$
$2v = 4u^{2} = (2u)^{2}$

l'image de

P

par

h

est la courbe

C

d'équation

y = 2x^{2}

L’erreur à ne pas faire

L'homothétie de rapport $\dfrac{1}{2}$ transforme $y = x^{2}$ en $y = \dfrac{x^{2}}{2}$ Elle transforme $y = x^{2}$ en $y = 2x^{2}$
Les deux coordonnées sont divisées par $2,$ pas seulement l'ordonnée : la moitié du carré de $2x'$ est $2x'^{2}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nemchiw men la parabole P lel courbe mta3 deux x au carré ? B homothétie. Ne5dhou h, l'homothétie de centre O et de rapport un demi. Koll point M de coordonnées x et y men P, l'image mte3ou M prime 3andou les coordonnées x sur deux et y sur deux. W 5ater y égale x au carré, nal9aw y prime égale deux fois x prime au carré : M prime 3la la courbe C mta3 g. W bel 3aks, koll point men C houwa image mta3 point men P. Idhan l'image de la parabole P par h hiya la courbe C. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = ax²

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $a$ un réel non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^{2}$ est une parabole de sommet $O$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = 0$ .

Si $a > 0,$ la parabole est tournée vers le haut ; si $a < 0,$ elle est tournée vers le bas.

f(x) = ax² : la parabole selon le signe de a.

f(x) = ax^{2} \quad (a \ne 0)

parabole de sommet

O,

d'axe

x = 0

Exemple traité

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^{2}.$ Étudie ses variations. Puis, pour un réel $A$ strictement positif, montre que si $x > \sqrt{\dfrac{A}{3}},$ alors $f(x) < -A.$

1
Pour x positif
Si $0 \le u \le v,$ alors $u^{2} \le v^{2}$ ; multiplier par $-3$ renverse l'ordre. Donc $f$ est décroissante sur $[0 ; +\infty[.$
$0 \le u \le v \Rightarrow -3u^{2} \ge -3v^{2}$
2
Pour x négatif
La fonction $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty ; 0].$
3
Passer sous −A
Si $x > \sqrt{\dfrac{A}{3}},$ alors $x^{2} > \dfrac{A}{3}.$ On multiplie par $-3,$ qui est négatif :
$-3x^{2} < -A$
4
La conclusion
$f(x)$ devient inférieur à n'importe quel réel négatif, pourvu que $x$ soit assez grand.

f(x)

tend vers

-\infty

quand

x

tend vers

+\infty

L’erreur à ne pas faire

$f(x) = -3x^{2}$ est croissante sur $[0 ; +\infty[,$ comme $x^{2}$ Elle est décroissante sur $[0 ; +\infty[$ et croissante sur $]-\infty ; 0]$
Multiplier par un nombre négatif renverse l'ordre : le sommet $O$ devient le point le plus haut de la parabole.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. a réel non nul. La courbe mta3 f de x égale a x au carré hiya parabole, le sommet mte3ha O, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale zéro. Ken a positif, la parabole ma7loula lel fou9, w O houwa el point el awta. Ken a négatif, ma7loula lel wta, w O houwa el point el a3la. Mithel : f de x égale moins trois x au carré. 3la les positifs, hiya décroissante, w f de x tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini. »

Application

Exemple : lire le coefficient

Chaque parabole de la figure représente une fonction du type $f(x) = mx^{2},$ où $m$ est une constante réelle. Détermine, pour chaque parabole, la valeur de $m$ correspondante.

On lit sur la figure que $C_{1}$ passe par $A(1 ; 1),$ $C_{2}$ par $B(1 ; 2),$ $C_{3}$ par $D(2 ; -2)$ et $C_{4}$ par $E(1 ; -2).$

Quatre paraboles du type y = mx².

Exemple traité

Trouve la valeur de $m$ pour chacune des quatre paraboles.

1
La méthode
Si $f(x) = mx^{2},$ alors $f(1) = m$ : le coefficient $m$ est l'ordonnée du point d'abscisse $1.$
$f(1) = m \times 1^{2} = m$
2
Les deux premières
La première passe par $A(1 ; 1)$ et la deuxième par $B(1 ; 2).$
$m_{1} = 1 \quad ; \quad$ $m_{2} = 2$
3
La troisième
Elle passe par $D(2 ; -2)$ : l'abscisse n'est pas $1,$ on résout $m \times 2^{2} = -2.$
$4m = -2$ donc $m_{3} = -\frac{1}{2}$
4
La quatrième
Elle passe par $E(1 ; -2).$
$m_{4} = -2$

m_{1} = 1 \quad ; \quad

m_{2} = 2 \quad ; \quad

m_{3} = -\frac{1}{2} \quad ; \quad

m_{4} = -2

L’erreur à ne pas faire

$C_{3}$ passe par $D(2 ; -2),$ donc $m = -2$ $m \times 2^{2} = -2,$ donc $m = -\dfrac{1}{2}$
L'ordonnée ne donne $m$ directement qu'au point d'abscisse $1$ ; ailleurs, il faut diviser par le carré de l'abscisse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna quatre paraboles, w koll wa7da la courbe mta3 fonction m x au carré. Kifech nal9aw m ? El 7ila : f de un égale m. Ya3ni m houwa l'ordonnée mta3 le point d'abscisse un. C un tet3adda men le point A de coordonnées un et un : m égale un. C deux tet3adda men B de coordonnées un et deux : m égale deux. C trois tet3adda men D de coordonnées deux et moins deux : quatre m égale moins deux, idhan m égale moins un demi. W C quatre tet3adda men E de coordonnées un et moins deux : m égale moins deux. »

Activité

Pour comprendre : la courbe de (x − 2)²

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 2)^{2}.$ On désigne par $C$ sa courbe représentative et par $P$ la parabole d'équation $y = x^{2}.$

1.Soit $M(x ; y)$ un point du plan. Montre que $M(x ; y)$ appartient à $C$ équivaut à $N(x - 2 ; y)$ appartient à $P.$
2.Déduis-en que $C$ est l'image de $P$ par une translation dont tu préciseras le vecteur.
3.Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x - \alpha)^{2},$ où $\alpha$ est un réel donné, et $P'$ sa courbe. Montre que $P'$ est l'image de la parabole $P$ par la translation de vecteur $\alpha\vec{i}.$ On admet que $P'$ est une parabole : détermine son sommet et son axe.

C est l'image de P par la translation de vecteur 2i.

Ce qu’on observe

Montre que la courbe $C$ de $f$ est l'image de la parabole $P$ par une translation, et donne son vecteur.

1
Un point de C
Le point $M$ appartient à $C$ quand son ordonnée $y$ est l'image de son abscisse $x.$
$M(x ; y) \in C \iff y = (x - 2)^{2}$
2
Un point de P
Le point $N$ a pour abscisse $x - 2$ et pour ordonnée $y$ : il est sur $P$ quand son ordonnée est le carré de son abscisse. C'est la même condition.
$N(x - 2 ; y) \in P \iff y = (x - 2)^{2}$
3
La translation
De $N$ à $M,$ l'abscisse augmente de $2$ et l'ordonnée ne change pas : le point $M$ est l'image de $N$ par la translation de vecteur $2\vec{i}.$
$\overrightarrow{NM} = 2\vec{i}$
4
Le cas général
Avec $\alpha$ à la place de $2,$ le même calcul donne la translation de vecteur $\alpha\vec{i}$ : le sommet de $P'$ est l'image de $O,$ et son axe est la droite d'équation $x = \alpha.$

C

est l'image de

P

par la translation de vecteur

2\vec{i}

L’erreur à ne pas faire

La courbe de $(x - 2)^{2}$ est la parabole $P$ décalée de $2$ vers la gaucheElle est décalée de $2$ vers la droite : translation de vecteur $2\vec{i}$
Le sommet est le point où $(x - 2)^{2}$ s'annule, c'est-à-dire en $x = 2,$ et non en $x = -2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa nbaddlou chwaya : f de x égale (x moins deux) au carré, w la courbe mte3ha C. Ne5dhou point M de coordonnées x et y. M 3la C ma3neha y égale (x moins deux) au carré. W hedha bedhabt ma3neh el point N, elli l'abscisse mte3ou x moins deux w l'ordonnée mte3ou y, 3la la parabole P. W men N l M, nzidou deux lel abscisse berk : M houwa l'image de N par la translation de vecteur deux i. Idhan C hiya l'image de P par la translation hedhi : nafs la parabole, m7arrka b deux lel imin. W b nafs ettari9a, la courbe mta3 la parenthèse x moins alpha, au carré hiya l'image de P par la translation de vecteur alpha i. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = a(x − α)²

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $a$ un réel non nul et $\alpha$ un réel.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a(x - \alpha)^{2}$ est une parabole de sommet $S(\alpha ; 0)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ .

Quatre paraboles y = a(x − 1)² : même sommet, même axe.

f(x) = a(x - \alpha)^{2} \quad (a \ne 0)

sommet :

S(\alpha ; 0)

axe :

x = \alpha

Exemple traité

Détermine le sommet et l'axe de la parabole $P_{1}$ d'équation $y = (x - 1)^{2}.$ Puis fais de même pour $P_{2} : y = 3(x - 1)^{2},$ $P_{3} : y = -2(x - 1)^{2}$ et $P_{4} : y = \dfrac{(x - 1)^{2}}{2}.$

1
La première parabole
Ici $a = 1$ et $\alpha = 1$ : le sommet est le point $S(1 ; 0),$ et l'axe est la droite d'équation $x = 1.$
$S(1 ; 0) \quad ;$ axe : $x = 1$
2
Les trois autres
Seul $a$ change : les quatre paraboles ont le même sommet et le même axe. La troisième, où $a$ est négatif, est tournée vers le bas.
3
Un point de chacune
Pour les tracer, on calcule l'ordonnée du point d'abscisse $2$ : elle vaut $a.$
$1 \quad ; \quad$ $3 \quad ; \quad$ $-2 \quad ; \quad$ $\frac{1}{2}$

S(1 ; 0) \quad ;

axe :

x = 1

L’erreur à ne pas faire

$y = (x + 2)^{2}$ : sommet $S(2 ; 0)$ $y = (x + 2)^{2}$ : sommet $S(-2 ; 0),$ axe $x = -2$
On lit $\alpha$ dans $(x - \alpha)^{2}$ : $x + 2,$ c'est $x$ moins l'opposé de $2,$ donc $\alpha = -2.$
$y = x^{2} + 6x + 9$ n'est pas de ce type $x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$ : sommet $S(-3 ; 0),$ axe $x = -3$
Une identité remarquable peut cacher la forme $a(x - \alpha)^{2}$ : on factorise avant de conclure.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. a réel non nul, w alpha réel. La courbe mta3 f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré hiya parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées alpha et zéro, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale alpha. Chouf el figure : quatre paraboles, el koll (x moins un) au carré madhrouba fi un, trois, moins deux, w un demi. 3andhom el koll nafs le sommet, de coordonnées un et zéro, w nafs l'axe, x égale un. a ybaddel el fat7a berk : lel fou9 walla lel wta, dhay9a walla wes3a. »

Activité

Pour comprendre : la courbe de x² + 3/2

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + \dfrac{3}{2}.$ On désigne par $C$ sa courbe représentative et par $P$ la parabole d'équation $y = x^{2}.$

1.Soit $M(x ; y)$ un point du plan. Montre que $M(x ; y)$ appartient à $C$ équivaut à $N\left(x ; y - \dfrac{3}{2}\right)$ appartient à $P.$
2.Déduis-en que $C$ est l'image de $P$ par une translation dont tu préciseras le vecteur.
3.Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^{2} + \beta,$ où $\beta$ est un réel donné, et $P'$ sa courbe. Montre que $P'$ est l'image de la parabole $P$ par la translation de vecteur $\beta\vec{j}.$ On admet que $P'$ est une parabole : détermine son sommet et son axe.

C est l'image de P par la translation de vecteur (3/2)j.

Ce qu’on observe

Montre que la courbe $C$ de $f$ est l'image de la parabole $P$ par une translation, et donne son vecteur.

1
Un point de C
Le point $M$ appartient à $C$ quand son ordonnée est l'image de son abscisse. On retranche $\dfrac{3}{2}$ aux deux membres.
$y = x^{2} + \frac{3}{2} \iff y - \frac{3}{2} = x^{2}$
2
Un point de P
La dernière égalité dit que le point $N,$ de même abscisse $x$ et d'ordonnée $y - \dfrac{3}{2},$ est sur $P.$
$M(x ; y) \in C \iff N\left(x ; y - \frac{3}{2}\right) \in P$
3
La translation
De $N$ à $M,$ l'abscisse ne change pas et l'ordonnée augmente de $\dfrac{3}{2}$ : le point $M$ est l'image de $N$ par la translation de vecteur $\dfrac{3}{2}\vec{j}.$
$\overrightarrow{NM} = \frac{3}{2}\vec{j}$
4
Le cas général
Avec $\beta$ à la place de $\dfrac{3}{2},$ le même calcul donne la translation de vecteur $\beta\vec{j}$ : le sommet de $P'$ est l'image de $O,$ et son axe reste la droite d'équation $x = 0.$

C

est l'image de

P

par la translation de vecteur

\frac{3}{2}\vec{j}

L’erreur à ne pas faire

La courbe de $x^{2} + \dfrac{3}{2}$ est la parabole $P$ décalée vers la droiteElle est décalée vers le haut : translation de vecteur $\dfrac{3}{2}\vec{j}$
Ajouter un nombre à $f(x)$ change l'ordonnée de chaque point, pas son abscisse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W ken nzidou nombre ? f de x égale x au carré plus trois demis, w la courbe mte3ha C. M de coordonnées x et y 3la C ma3neha y égale x au carré plus trois demis, ya3ni y moins trois demis égale x au carré. W hedha ma3neh el point N, elli l'abscisse mte3ou x w l'ordonnée mte3ou y moins trois demis, 3la la parabole P. Men N l M, nzidou trois demis lel ordonnée berk : C hiya l'image de P par la translation de vecteur trois demis j. Nafs la parabole, tal3a b trois demis. W b nafs ettari9a, la courbe mta3 x au carré plus bêta hiya l'image de P par la translation de vecteur bêta j. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = x² + β

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $\beta$ un réel.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + \beta$ est une parabole de sommet $S(0 ; \beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = 0$ .

y = x² + β : le sommet glisse sur l’axe des ordonnées.

f(x) = x^{2} + \beta

sommet :

S(0 ; \beta)

axe :

x = 0

Exemple traité

Dans chacun des cas, détermine le sommet et l'axe de la parabole : a) $y = x^{2} + 3$ ; b) $y = x^{2} - 2$ ; c) $y = x^{2} - \dfrac{9}{4}.$

1
Premier cas
On lit $\beta = 3$ : la parabole est celle de $x^{2},$ montée de $3.$ Son sommet est le point $A(0 ; 3).$
$A(0 ; 3)$
2
Deuxième cas
On lit $\beta = -2$ : la parabole est descendue de $2.$ Son sommet est le point $B(0 ; -2).$
$B(0 ; -2)$
3
Troisième cas
On lit $\beta = -\dfrac{9}{4}.$ Cette parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{3}{2},$ car le carré de $\dfrac{3}{2}$ est $\dfrac{9}{4}.$
$D\left(0 ; -\frac{9}{4}\right)$
4
L'axe
Dans les trois cas, l'axe de symétrie est la droite d'équation $x = 0,$ c'est-à-dire l'axe des ordonnées.

sommets :

A(0 ; 3), \

B(0 ; -2), \

D\left(0 ; -\frac{9}{4}\right) \quad ;

axe :

x = 0

L’erreur à ne pas faire

$y = x^{2} - 2$ : sommet $S(-2 ; 0)$ $y = x^{2} - 2$ : sommet $S(0 ; -2)$
$\beta$ s'ajoute à l'ordonnée : c'est $y$ qui change, et le sommet reste sur l'axe des ordonnées.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. bêta réel. La courbe mta3 f de x égale x au carré plus bêta hiya parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées zéro et bêta, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale zéro. Ya3ni le sommet yo93od 3la l'axe des ordonnées, w yatla3 walla yahbet b bêta. Mithel : y égale x au carré plus trois, le sommet mte3ha de coordonnées zéro et trois. W y égale x au carré moins deux, le sommet mte3ha de coordonnées zéro et moins deux. »

Activité

Pour comprendre : la courbe de 2x² + 4x − 1

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1.$ On désigne par $C$ sa courbe représentative.

1.Vérifie que, pour tout réel $x,$ $2x^{2} + 4x - 1 = 2(x + 1)^{2} - 3.$
2.Construis la parabole $P$ d'équation $y = 2(x + 1)^{2},$ puis la courbe $C.$
3.Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^{2} + bx + c,$ où $a,$ $b$ et $c$ sont des réels avec $a \ne 0.$ Écris $f(x)$ sous la forme $f(x) = a(x - p)^{2} + q,$ où $p$ et $q$ sont deux réels que tu détermineras en fonction de $a,$ $b$ et $c.$ On admet que la courbe représentative de $f$ est une parabole : détermine son sommet et son axe.

De P à C : la translation de vecteur −3j.

Ce qu’on observe

Vérifie l'égalité, explique comment passer de $P$ à $C,$ puis écris $ax^{2} + bx + c$ sous la forme $a(x - p)^{2} + q.$

1
Développer
On développe le second membre, et on retrouve le trinôme.
$2(x + 1)^{2} - 3 = 2(x^{2} + 2x + 1) - 3 = 2x^{2} + 4x - 1$
2
Les deux courbes
La parabole $P$ a pour sommet le point $A(-1 ; 0).$ On passe de $P$ à $C$ en retranchant $3$ à chaque ordonnée : c'est la translation de vecteur $-3\vec{j},$ et le sommet de $C$ est le point $S(-1 ; -3).$
3
Le cas général
On met $a$ en facteur dans les deux premiers termes, puis on complète le carré.
$ax^{2} + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + c - \frac{b^{2}}{4a}$
4
$p = -\frac{b}{2a} \quad ; \quad$ $q = c - \frac{b^{2}}{4a}$
5
Sommet et axe
La courbe de $f$ est une parabole dont le sommet a pour abscisse $p$ et pour ordonnée $q,$ et dont l'axe est la droite d'équation $x = p.$ On remarque que $q$ est l'image de $p.$

f(x) = a(x - p)^{2} + q

avec

p = -\frac{b}{2a}

q = f(p)

L’erreur à ne pas faire

$2x^{2} + 4x - 1 = 2(x + 2)^{2} - 1$ $2x^{2} + 4x - 1 = 2(x + 1)^{2} - 3$
On met d'abord $2$ en facteur : $2x^{2} + 4x$ est le double de $x^{2} + 2x,$ et c'est $x^{2} + 2x$ qui est le début du carré de $x + 1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa trinôme kemel : g de x égale deux x au carré plus quatre x moins un. El 7ila : nektbouh b tari9a o5ra. Deux fois (x plus un) au carré moins trois : ken tdévelopper, tal9a nafs el trinôme. Idhan nabdew men la parabole P d'équation y égale deux fois (x plus un) au carré, w nna9sou trois men koll ordonnée : la courbe C hiya l'image de P par la translation de vecteur moins trois j. W hedha yemchi m3a koll trinôme : a x au carré plus b x plus c yetkteb a fois (x moins p) au carré plus q, b p égale moins b sur deux a. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c

Soit $a,$ $b$ et $c$ trois réels, avec $a \ne 0.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^{2} + bx + c.$ Alors $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta,$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha ; \beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ .

En pratique, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha).$ L'écriture $a(x - \alpha)^{2} + \beta$ est la forme canonique du trinôme.

La parabole y = −(1/2)x² + x + 2.

ax^{2} + bx + c = a(x - \alpha)^{2} + \beta

sommet :

S(\alpha ; \beta)

axe :

x = \alpha

\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \beta = f(\alpha)

Exemple traité

Construis la parabole d'équation $y = -\dfrac{x^{2}}{2} + x + 2.$

1
L'abscisse du sommet
Ici $a = -\dfrac{1}{2}$ et $b = 1,$ donc $2a = -1.$
$\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{-1} = 1$
2
L'ordonnée du sommet
C'est l'image de $1.$
$\beta = -\frac{1}{2} + 1 + 2 = \frac{5}{2}$
3
La forme canonique
On peut vérifier en développant le second membre.
$-\frac{x^{2}}{2} + x + 2 = \frac{5}{2} - \frac{(x - 1)^{2}}{2}$
4
Des points
Comme $a$ est négatif, la parabole est tournée vers le bas. Elle passe par les points $A$ et $B,$ d'abscisses $-1$ et $3$ et de même ordonnée $\dfrac{1}{2},$ symétriques par rapport à l'axe.

S\left(1 ; \frac{5}{2}\right) \quad ;

axe :

x = 1

L’erreur à ne pas faire

$\alpha = \dfrac{b}{2a}$ $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$
En développant $a(x - \alpha)^{2},$ le terme en $x$ a pour coefficient $-2a\alpha$ : il doit être égal à $b,$ d'où le signe moins.
$y = -x^{2} + 4x - 2$ : l'ordonnée du sommet est $c = -2$ $\alpha = 2$ et $\beta = f(2) = 2$ : le sommet est $S(2 ; 2)$
$c$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0,$ pas celle du sommet : $\beta$ se calcule, c'est l'image de $\alpha.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété el kbira mta3 el chapitre. a w b w c réels, w a non nul. f de x égale a x au carré plus b x plus c dima tetkteb a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta. W la courbe mte3ha parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées alpha et bêta, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale alpha. Bech tal9ahom : alpha égale moins b sur deux a, w bêta égale f de alpha. W le signe de a y9ollek la parabole ma7loula lel fou9 walla lel wta. »

Application

Exemple : à chaque fonction sa parabole

Les trois paraboles $C_{1},$ $C_{2}$ et $C_{3}$ de la figure sont les courbes représentatives de trois fonctions trinômes $f,$ $g$ et $h$ telles que $f(x) = (x - 1)^{2} + 2,$ $g(x) = x^{2} + 2$ et $h(x) = -x^{2} + 2x + 3.$

Associe chaque fonction à sa courbe représentative.

Trois paraboles, trois fonctions trinômes.

Exemple traité

Associe chacune des fonctions $f,$ $g$ et $h$ à sa parabole.

1
Deux sommets
La fonction $f$ est déjà sous forme canonique : sa parabole a pour sommet le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $2.$ Celle de $g$ a pour sommet le point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $2.$
2
Le trinôme h
On complète le carré : le sommet a pour abscisse $1$ et pour ordonnée $4,$ et $a = -1$ est négatif.
$h(x) = -(x^{2} - 2x) + 3 = -(x - 1)^{2} + 4$
3
Les courbes
La seule parabole tournée vers le bas est celle de $h.$ Celle dont le sommet est sur l'axe des ordonnées est celle de $g.$ La dernière est celle de $f.$

C_{2}

est la courbe de

f \quad ; \quad

C_{3}

celle de

g \quad ; \quad

C_{1}

celle de

h

L’erreur à ne pas faire

$h(x) = -x^{2} + 2x + 3$ : $c = 3,$ donc le sommet a pour ordonnée $3$ $h(x) = -(x - 1)^{2} + 4$ : le sommet est le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $4$
$3$ est l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des ordonnées, car l'image de $0$ est $3.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Trois paraboles, w trois fonctions : f de x égale (x moins un) au carré plus deux, g de x égale x au carré plus deux, w h de x égale moins x au carré plus deux x plus trois. Kifech na3rfou ana courbe mta3 ana fonction ? Nlawjou 3la les sommets. f : le sommet de coordonnées un et deux. g : le sommet de coordonnées zéro et deux, 3la l'axe des ordonnées. W h tetkteb moins (x moins un) au carré plus quatre : le sommet de coordonnées un et quatre, w a négatif, idhan ma7loula lel wta. C un hiya el wa7ida el ma7loula lel wta : mta3 h. C trois le sommet mte3ha 3la l'axe des ordonnées : mta3 g. W teb9a C deux mta3 f. »

Application

Exemple : lire sommet, axe et équation

Dans la figure, $P_{1},$ $P_{2},$ $P_{3}$ et $P_{4}$ sont quatre paraboles. Pour chacune d'elles, précise le sommet, l'axe et l'équation.

On lit sur la figure : $P_{1}$ a pour sommet $S(-2 ; -2)$ et passe par $A(0 ; 2)$ ; $P_{2}$ a pour sommet $T(2 ; 1)$ et passe par $B(1 ; 2)$ ; $P_{3}$ a pour sommet $U(2 ; 3)$ et passe aussi par $B(1 ; 2)$ ; $P_{4}$ a pour sommet $V\left(0 ; -\dfrac{1}{2}\right)$ et passe par $D\left(1 ; -\dfrac{3}{2}\right).$

Quatre paraboles à identifier.

Exemple traité

Donne le sommet, l'axe et l'équation de chacune des quatre paraboles.

1
La méthode
On écrit $y = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ avec les coordonnées du sommet, puis on trouve $a$ grâce à un autre point de la parabole.
2
Première parabole
Sommet $S(-2 ; -2),$ axe $x = -2.$ Avec le point $A(0 ; 2)$ : $4a - 2 = 2,$ donc $a = 1.$
$P_{1} : y = (x + 2)^{2} - 2$
3
Deuxième parabole
Sommet $T(2 ; 1),$ axe $x = 2.$ Avec le point $B(1 ; 2)$ : $a + 1 = 2,$ donc $a = 1.$
$P_{2} : y = (x - 2)^{2} + 1$
4
Troisième parabole
Sommet $U(2 ; 3),$ axe $x = 2.$ Avec le point $B(1 ; 2)$ : $a + 3 = 2,$ donc $a = -1.$
$P_{3} : y = -(x - 2)^{2} + 3$
5
Quatrième parabole
Sommet $V\left(0 ; -\dfrac{1}{2}\right),$ axe $x = 0.$ Avec le point $D\left(1 ; -\dfrac{3}{2}\right)$ : $a - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2},$ donc $a = -1.$
$P_{4} : y = -x^{2} - \frac{1}{2}$

L’erreur à ne pas faire

Le sommet suffit pour écrire l'équation d'une paraboleIl faut aussi un autre point, pour trouver $a$
Toutes les paraboles d'équation $y = a(x - 2)^{2} + 1$ ont le même sommet $T(2 ; 1)$ : c'est le point $B$ qui fixe $a = 1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa bel 3aks : 3andna les paraboles, w nlawjou 3la les équations. Ettari9a dima hiya hiya : na9raw le sommet de coordonnées alpha et bêta, nektbou y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, w nal9aw a b point e5er men la parabole. Mithel : la première parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées moins deux et moins deux, w tet3adda men A de coordonnées zéro et deux. Quatre a moins deux égale deux, idhan a égale un. L'équation : y égale (x plus deux) au carré moins deux. »

Méthode

Trouver l'équation d'une parabole

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $P$ la parabole de sommet $S,$ d'axe $D$ et passant par le point $A.$

Méthode. Si le sommet est $S(\alpha ; \beta),$ l'axe est la droite $D$ d'équation $x = \alpha,$ et l'équation de $P$ est de la forme $y = a(x - \alpha)^{2} + \beta.$ On trouve $a$ en écrivant que les coordonnées de $A$ vérifient cette équation.

Détermine l'équation de la parabole $P$ dans chacun des cas suivants :

a) $S(0 ; 2),$ $D : x = 0$ et $A(1 ; 3)$ ;
b) $S(3 ; 0),$ $D : x = 3$ et $A(4 ; 1)$ ;
c) $S(-1 ; 1),$ $D : x = -1$ et $A(-3 ; 9)$ ;
d) $S(2 ; -3),$ $D : x = 2$ et $A(0 ; -1).$

La parabole de sommet S(−1 ; 1) passant par A(−3 ; 9).

parabole de sommet S(α ; β)

y = a(x - \alpha)^{2} + \beta

Exemple traité

Détermine l'équation de la parabole $P$ dans les quatre cas.

1
Premier cas
La forme est $y = ax^{2} + 2,$ et le point $A$ donne $a + 2 = 3.$
$a = 1 \quad ; \quad$ $y = x^{2} + 2$
2
Deuxième cas
La forme est $y = a(x - 3)^{2},$ et le point $A$ donne $a = 1.$
$a = 1 \quad ; \quad$ $y = (x - 3)^{2}$
3
Troisième cas
La forme est $y = a(x + 1)^{2} + 1.$ Pour $x = -3,$ on a $x + 1 = -2,$ dont le carré est $4.$
$9 = 4a + 1 \iff a = 2 \quad ; \quad$ $y = 2(x + 1)^{2} + 1$
4
Quatrième cas
La forme est $y = a(x - 2)^{2} - 3.$ Pour $x = 0,$ on a $x - 2 = -2,$ dont le carré est $4.$
$-1 = 4a - 3 \iff a = \frac{1}{2} \quad ; \quad$ $y = \frac{(x - 2)^{2}}{2} - 3$

L’erreur à ne pas faire

Cas c) : $9 = a(-3 - 1)^{2} + 1$ $9 = a(-3 + 1)^{2} + 1$
Ici $\alpha = -1,$ donc $x - \alpha$ s'écrit $x + 1$ : pour $x = -3,$ cela fait $-2,$ et non $-4.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la méthode, 5oudhha m3ak. Bech tal9a l'équation mta3 parabole, yelzmek zouz 7ajet : le sommet S de coordonnées alpha et bêta, w point A men la parabole. Le sommet ya3tik la forme : y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, w l'axe : x égale alpha. W el point A ya3tik a : tbaddel x w y b les coordonnées mte3ou, w t7ell l'équation. Mithel : S de coordonnées moins un et un, w A de coordonnées moins trois et neuf. Neuf égale quatre a plus un, idhan a égale deux. »

Application

Exemple : la hauteur d'une balle

Une balle est propulsée verticalement du sol. Elle est alors animée d'un mouvement rectiligne dont la loi horaire est donnée approximativement par $d(t) = -4{,}9t^{2} + 14{,}7t,$ jusqu'à ce qu'elle touche à nouveau le sol en retombant. Le temps $t$ est en secondes et la hauteur $d(t)$ en mètres.

1.Montre qu'au bout de $1{,}5$ seconde après son lancement, la balle atteint une hauteur maximale. Quelle est cette hauteur ?
2.Combien de temps dure la descente ?

La hauteur de la balle en fonction du temps.

Exemple traité

Trouve la hauteur maximale de la balle, puis la durée de sa descente.

1
La forme canonique
On met $-4{,}9$ en facteur, car $14{,}7$ est le triple de $4{,}9,$ puis on complète le carré.
$d(t) = -4{,}9(t^{2} - 3t) = -4{,}9(t - 1{,}5)^{2} + 11{,}025$
2
Le maximum
Un carré est positif ou nul : la hauteur ne dépasse jamais $11{,}025$ mètres, et elle l'atteint pour $t = 1{,}5.$
$d(1{,}5) = 11{,}025$
3
Le retour au sol
La balle touche le sol quand sa hauteur est nulle, c'est-à-dire pour $t = 0,$ au départ, et pour $t = 3.$
$-4{,}9t(t - 3) = 0 \iff t = 0$ ou $t = 3$
4
La descente
La balle monte de l'instant $0$ à l'instant $1{,}5,$ puis descend de l'instant $1{,}5$ à l'instant $3.$
$3 - 1{,}5 = 1{,}5$

hauteur maximale :

11{,}025

mètres

;

descente :

1{,}5

seconde

L’erreur à ne pas faire

La descente dure $3$ secondesElle dure $3 - 1{,}5 = 1{,}5$ seconde
$3$ secondes, c'est tout le vol : la montée et la descente durent chacune $1{,}5$ seconde, par symétrie de la parabole.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La parabole nal9awha fi la physique zeda. Koura narmiwha lel fou9 mel 9a3a, w la hauteur mte3ha d de t égale moins quatre virgule neuf t au carré plus quatorze virgule sept t. Nektbouha moins quatre virgule neuf fois la parenthèse t moins un virgule cinq, au carré plus onze virgule zéro vingt-cinq. a négatif : la parabole ma7loula lel wta, w le sommet houwa el point el a3la. Idhan ba3d un virgule cinq seconde, el koura tousel l la hauteur maximale : onze virgule zéro vingt-cinq mètres. W tarja3 lel 9a3a ki t égale trois : el hbout ydoum un virgule cinq seconde. »

Application

Exemple : deux mobiles

Deux mobiles $A$ et $B$ se déplacent durant trois heures sur un axe d'origine $O$ (unité : $1$ km). Les positions des deux mobiles sont données par les abscisses $x_{A}$ et $x_{B}$ des points $M_{A}$ et $M_{B}.$ Les lois horaires des mouvements de $A$ et de $B$ sont données respectivement par $x_{A}(t) = 8t^{2} - 12t - 3{,}5$ et $x_{B}(t) = 4t^{2} - 4t - 6{,}5,$ où $t$ est exprimé en heures et $t \in [0 ; 3].$

1.Où se trouve le mobile $A$ à l'instant $t = 0$ ? Pour quelles valeurs de $t$ le mobile $A$ se trouve-t-il en $O$ ? À gauche du point $O$ ? À droite du point $O$ ?
2.À quel instant les mobiles $A$ et $B$ sont-ils au même endroit ?
3.À quel instant le mobile $B$ se trouve-t-il en $O$ ? Où se trouve alors le mobile $A$ ?

Le mobile M sur l'axe, repéré par son abscisse x(t).

Exemple traité

Réponds aux trois questions sur les mobiles $A$ et $B.$

1
Au départ
À l'instant $0,$ l'abscisse de $A$ est $-3{,}5$ : le mobile $A$ est à $3{,}5$ km à gauche de $O.$
$x_{A}(0) = -3{,}5$
2
Le mobile A en O
On résout $8t^{2} - 12t - 3{,}5 = 0,$ c'est-à-dire $16t^{2} - 24t - 7 = 0.$ Le discriminant vaut $1024,$ le carré de $32.$
$t = \frac{24 + 32}{32} = 1{,}75$ ou $t = \frac{24 - 32}{32} = -0{,}25$
3
À gauche, à droite
Seule la racine $1{,}75$ est dans $[0 ; 3].$ Le trinôme est négatif entre ses racines : le mobile $A$ est à gauche de $O$ avant l'instant $1{,}75,$ et à droite après.
4
Au même endroit
On écrit que les deux abscisses sont égales : l'équation se réduit à $4t^{2} - 8t + 3 = 0,$ de discriminant $16.$
$t = \frac{8 - 4}{8} = 0{,}5$ ou $t = \frac{8 + 4}{8} = 1{,}5$
5
Le mobile B en O
On résout $4t^{2} - 4t - 6{,}5 = 0,$ c'est-à-dire $8t^{2} - 8t - 13 = 0,$ de discriminant $480.$ Seule la racine positive convient.
$t = \frac{8 + \sqrt{480}}{16} = \frac{2 + \sqrt{30}}{4} \approx 1{,}87$
6
Où est A alors
À cet instant, $4t^{2} = 4t + 6{,}5.$ En remplaçant dans l'abscisse de $A,$ on trouve $9{,}5 - 4t$ : le mobile $A$ est à environ $2{,}02$ km à droite de $O.$
$x_{A} = 9{,}5 - (2 + \sqrt{30}) = 7{,}5 - \sqrt{30} \approx 2{,}02$

L’erreur à ne pas faire

$t = -0{,}25$ est aussi un instant où le mobile $A$ est en $O$ Seul $t = 1{,}75$ convient
Le temps $t$ varie dans $[0 ; 3]$ : une racine négative n'a pas de sens ici.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz mobiles A w B yemchiw 3la axe, trois heures. Les abscisses mte3hom trinômes fi t. Koll so2al ywalli équation walla inéquation du second degré. A fi O : n7ellou x A de t égale zéro, nal9aw t égale un virgule soixante-quinze, w la racine lo5ra négative n5alliwha : t bin zéro w trois. A w B fi nafs el blasa : n7ellou x A de t égale x B de t, ya3ni quatre t au carré moins huit t plus trois égale zéro, w nal9aw t égale zéro virgule cinq w t égale un virgule cinq. »

Application

Exemple : deux paraboles

Dans la figure, les paraboles $P_{1}$ et $P_{2}$ sont les courbes représentatives de deux fonctions trinômes $f$ et $g.$ On lit : $P_{1}$ a pour sommet $S(2 ; 4)$ et passe par l'origine $O$ ; $P_{2}$ a pour sommet $T(-1 ; -1)$ et passe par $A(1 ; 1).$

1.À l'aide du graphique, donne l'expression de $f$ et de $g$ en fonction de $x.$
2.Calcule les coordonnées des points d'intersection des deux paraboles.
3.Résous l'inéquation $f(x) < g(x).$

Les paraboles P₁ et P₂ des fonctions f et g.

Exemple traité

Trouve les expressions de $f(x)$ et de $g(x),$ les points d'intersection des deux paraboles, puis résous $f(x) < g(x).$

1
La fonction f
Sommet $S(2 ; 4)$ : la forme est $a(x - 2)^{2} + 4.$ La parabole passe par $O$ : $4a + 4 = 0,$ donc $a = -1.$
$f(x) = -(x - 2)^{2} + 4 = -x^{2} + 4x$
2
La fonction g
Sommet $T(-1 ; -1)$ : la forme est $a(x + 1)^{2} - 1.$ La parabole passe par $A(1 ; 1)$ : $4a - 1 = 1,$ donc $a = \dfrac{1}{2}.$
$g(x) = \frac{(x + 1)^{2}}{2} - 1 = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{1}{2}$
3
L'intersection
On écrit que les deux expressions sont égales. En multipliant par $2,$ l'équation devient $3x^{2} - 6x - 1 = 0,$ de discriminant $48.$
$x = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ou $x = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$
4
Les ordonnées
On remplace dans $-x^{2} + 4x$ : ce sont les ordonnées des points $E$ et $F.$
$y = \frac{5}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$ et $y = \frac{5}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$
5
L'inéquation
$f(x) < g(x)$ équivaut à $3x^{2} - 6x - 1 > 0$ : le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines. Sur la figure, c'est là où la première parabole est au-dessous de la seconde.

x < 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}

x > 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}

L’erreur à ne pas faire

Les points d'intersection se lisent exactement sur la figureOn les calcule : leurs abscisses sont $1 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ et $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
La lecture donne environ $-0{,}15$ et $2{,}15$ : seule l'équation donne les valeurs exactes.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz paraboles fi nafs le repère. Nabdew b les équations : P un, le sommet mte3ha S de coordonnées deux et quatre, w tet3adda men O : f de x égale moins x au carré plus quatre x. P deux, le sommet mte3ha T de coordonnées moins un et moins un, w tet3adda men A de coordonnées un et un : g de x égale un demi fois (x plus un) au carré moins un. Bech nal9aw les points d'intersection, n7ellou f de x égale g de x : trois x au carré moins six x moins un égale zéro. La lecture ta3ti valeurs approchées berk ; le calcul ya3ti les valeurs exactes. »

Méthode

Lire les signes de a, b et c

Une parabole est la courbe représentative d'une fonction trinôme définie par $f(x) = ax^{2} + bx + c.$ Sans connaître $a,$ $b$ et $c,$ la figure donne leurs signes :

le signe de $a$ : la parabole est tournée vers le haut si $a > 0,$ vers le bas si $a < 0$ ;
le nombre de racines du trinôme : c'est le nombre de points où la parabole rencontre l'axe des abscisses ;
le signe de $c$ : $c = f(0)$ est l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées ;
le signe de $b$ : l'abscisse du sommet est $-\dfrac{b}{2a}$ ; son signe et celui de $a$ donnent celui de $b.$

La parabole $P$ de la figure est tournée vers le haut ; son sommet $S$ a une abscisse négative ; elle coupe l'axe des abscisses en deux points, et l'axe des ordonnées au-dessous de $O.$

Lire les signes de a, b et c.

Exemple traité

Pour la parabole $P$ de la figure, indique le signe de $a,$ le nombre de racines du trinôme, le signe de $c$ et le signe de $b.$

1
Le signe de a
La parabole est tournée vers le haut : $a$ est positif.
$a > 0$
2
Les racines
Elle coupe l'axe des abscisses en deux points : le trinôme a deux racines.
3
Le signe de c
Elle coupe l'axe des ordonnées au-dessous de $O$ : l'image de $0$ est négative.
$c = f(0) < 0$
4
Le signe de b
Le sommet a une abscisse négative : $-\dfrac{b}{2a}$ est négatif, donc $\dfrac{b}{2a}$ est positif. Comme $a$ est positif, $b$ l'est aussi.
$b > 0$

a > 0 \quad ;

deux racines

; \quad

c < 0 \quad ; \quad

b > 0

L’erreur à ne pas faire

Le sommet est à gauche de l'axe des ordonnées, donc $b < 0$ $-\dfrac{b}{2a} < 0$ avec $a > 0$ donne $b > 0$
C'est $-\dfrac{b}{2a}$ qui est négatif, pas $b$ : il y a un signe moins, et il faut tenir compte du signe de $a.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La parabole ta7kilek 3la a w b w c blech ma ta3rafhom. Le signe de a : ma7loula lel fou9, a positif ; lel wta, a négatif. Le nombre de racines : 9addech men marra la parabole t9oss l'axe des abscisses. Le signe de c : c houwa f de zéro, ya3ni win la parabole t9oss l'axe des ordonnées. W le signe de b : l'abscisse du sommet hiya moins b sur deux a. Fel figure : a positif, deux racines, c négatif, w le sommet 3al isar, idhan moins b sur deux a négatif, w b positif. »

Activité

Pour comprendre : la fonction racine carrée

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}.$

1.Montre que $f$ est croissante sur $[0 ; +\infty[.$
2.Complète le tableau ci-dessous. Soit $A$ un réel strictement positif : comment choisir $x$ dans $[0 ; +\infty[$ pour que $f(x) > A$ ? Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

$x$	$f(x)$
$10^{4}$
$10^{6}$
$10^{10}$
$10^{16}$

1.Le plan est rapporté à un repère orthonormé ; la courbe $C$ de la fonction $f$ est donnée par la figure. À l'aide du graphique, détermine un encadrement d'amplitude $0{,}25$ de $f(2{,}5),$ $f(4{,}5),$ $f(6)$ et $f(7).$

La courbe C de la fonction x ↦ √x.

Ce qu’on observe

Montre que $f$ est croissante, complète le tableau, puis encadre $f(6)$ avec une amplitude de $0{,}25.$

1
Croissante
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \le a < b.$ On multiplie et on divise par la somme des deux racines : le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs.
$\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0$
2
Le tableau
Pour prendre la racine carrée d'une puissance de $10,$ on divise l'exposant par $2.$
$f(10^{4}) = 10^{2} \quad ; \quad$ $f(10^{6}) = 10^{3} \quad ; \quad$ $f(10^{10}) = 10^{5} \quad ; \quad$ $f(10^{16}) = 10^{8}$
3
Dépasser A
Pour $x$ positif, $\sqrt{x} > A$ équivaut à $x > A^{2}$ : il suffit de choisir $x$ plus grand que $A^{2}.$ Donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty.$
$x > A^{2} \Rightarrow \sqrt{x} > A$
4
La lecture
Sur la courbe, le point d'abscisse $6$ a une ordonnée comprise entre $2{,}25$ et $2{,}5.$ Le calcul le confirme : le carré de $2{,}25$ est $5{,}0625$ et celui de $2{,}5$ est $6{,}25.$
$1{,}5 < f(2{,}5) < 1{,}75 \quad ; \quad$ $2 < f(4{,}5) < 2{,}25$
5
$2{,}25 < f(6) < 2{,}5 \quad ; \quad$ $2{,}5 < f(7) < 2{,}75$

f(x)

tend vers

+\infty

quand

x

tend vers

+\infty

L’erreur à ne pas faire

$\sqrt{x}$ est définie pour tout réel $x$ $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x \ge 0$ : $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$
Aucun réel n'a un carré négatif : un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée.
$\sqrt{x}$ monte si lentement qu'elle ne dépasse jamais une certaine valeur $\sqrt{x}$ dépasse tout réel $A$ dès que $x > A^{2}$
Elle monte lentement, mais sans s'arrêter : la racine carrée de $10^{16}$ vaut déjà $10^{8}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Net3addew l la deuxième famille : la racine carrée. f de x égale racine carrée de x, w hiya définie ken 3la les positifs : l'intervalle de zéro à plus l'infini. Hiya croissante : ki x yekber, racine carrée de x tekber. Ama bechwaya : racine carrée de dix puissance seize hiya dix puissance huit berk. W m3a hedha, tfout ay nombre A : yekfi x yfout A au carré. Idhan f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. Chouf la courbe : tabda men O, w tatla3 bechwaya, dima. »

Application

Exemple : racine carrée et droite

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit $C$ la courbe de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ et $D$ la droite d'équation $y = \dfrac{1}{4}x + 1.$

1.Trace la droite $D$ dans le même repère que $C.$
2.Résous graphiquement l'équation $\sqrt{x} = \dfrac{1}{4}x + 1,$ puis l'inéquation $\sqrt{x} < \dfrac{1}{4}x + 1.$
3.Retrouve, par le calcul, les résultats de la question précédente.

La droite D touche la courbe C au point A(4 ; 2).

Exemple traité

Résous l'équation $\sqrt{x} = \dfrac{x}{4} + 1$ et l'inéquation $\sqrt{x} < \dfrac{x}{4} + 1,$ par lecture puis par le calcul.

1
La lecture
La droite $D$ passe par les points d'abscisses $0$ et $4,$ d'ordonnées $1$ et $2.$ Elle touche la courbe $C$ en un seul point, $A(4 ; 2),$ et partout ailleurs elle est au-dessus de $C.$
2
Le calcul
Pour $x \ge 0,$ on pose $t = \sqrt{x},$ donc $x = t^{2}.$ L'équation devient $t = \dfrac{t^{2}}{4} + 1$ ; on multiplie par $4.$
$t^{2} - 4t + 4 = 0 \iff (t - 2)^{2} = 0 \iff t = 2$
3
La solution
On revient à $x$ : si sa racine carrée vaut $2,$ alors $x$ vaut $4.$
$\sqrt{x} = 2 \iff x = 4$
4
L'inéquation
Elle équivaut à dire que le carré de $t - 2$ est strictement positif, c'est-à-dire que $t$ est différent de $2$ : tous les réels positifs conviennent, sauf $4.$

S = \{4\} \quad ; \quad

S' = [0 ; 4[ \,\cup\, ]4 ; +\infty[

L’erreur à ne pas faire

L'inéquation $\sqrt{x} < \dfrac{x}{4} + 1$ a pour solutions tous les réels positifsTous les réels positifs sauf $4$ : $[0 ; 4[ \,\cup\, ]4 ; +\infty[$
En $x = 4,$ la courbe et la droite se touchent : il y a égalité, et l'inégalité stricte est fausse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fi nafs le repère, nrasmou la courbe C mta3 la racine carrée, w la droite D d'équation y égale un quart de x plus un. Nchoufou : D tmess C fi point wa7ed berk, le point A de coordonnées quatre et deux, w fel b9iya el koll, D fou9 C. Idhan l'équation racine carrée de x égale un quart de x plus un 3andha solution wa7da : quatre. W l'inéquation racine carrée de x inférieur à un quart de x plus un s7i7a l koll les positifs, illa quatre. W bel calcul nthabbtou : n7ottou t égale racine carrée de x, w nal9aw (t moins deux) au carré égale zéro. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = √(x + b)

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ On note $g$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}.$

La courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x + b}$ est l'image, par la translation de vecteur $-b\vec{i}$ , de la courbe de la fonction $g.$

La fonction $f$ est définie quand $x + b \ge 0,$ c'est-à-dire sur $[-b ; +\infty[,$ et elle est croissante sur cet intervalle.

C′ est l'image de C par la translation de vecteur −2i.

f(x) = \sqrt{x + b}

image de la courbe de

x \mapsto \sqrt{x}

par la translation de vecteur

-b\vec{i}

Exemple traité

Soit $f$ et $g$ les fonctions telles que $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = \sqrt{x + 2},$ de courbes $C$ et $C'.$ Détermine l'ensemble de définition $D$ de $g,$ étudie ses variations, puis montre que $C'$ est l'image de $C$ par la translation $T$ de vecteur $-2\vec{i}.$

1
L'ensemble de définition
Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
$x + 2 \ge 0 \iff x \ge -2 \quad ; \quad$ $D = [-2 ; +\infty[$
2
Les variations
Si $-2 \le a \le b,$ alors $0 \le a + 2 \le b + 2,$ et la racine carrée garde l'ordre : $g$ est croissante sur $D.$
$\sqrt{a + 2} \le \sqrt{b + 2}$
3
La translation
L'image d'un point $M(x ; y)$ par $T$ a pour abscisse $x - 2$ et pour ordonnée $y.$
$x' = x - 2 \quad ; \quad$ $y' = y$
4
L'équivalence
Le point $M$ est sur $C$ quand $y = \sqrt{x}.$ Comme $x = x' + 2$ et $y = y',$ cela revient à dire que son image est sur la seconde courbe.
$y = \sqrt{x} \iff y' = \sqrt{x' + 2}$

D = [-2 ; +\infty[ \quad ; \quad

C'

est l'image de

C

par la translation de vecteur

-2\vec{i}

L’erreur à ne pas faire

La courbe de $\sqrt{x + 2}$ est celle de $\sqrt{x}$ décalée de $2$ vers la droiteElle est décalée de $2$ vers la gauche : translation de vecteur $-2\vec{i}$
La courbe part du point où $x + 2$ s'annule, c'est-à-dire du point d'abscisse $-2.$
$\sqrt{x + 4}$ est définie sur $[4 ; +\infty[$ Elle est définie sur $[-4 ; +\infty[$
La condition est $x + 4 \ge 0,$ c'est-à-dire $x \ge -4.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. La courbe mta3 f de x égale racine carrée de (x plus b) hiya l'image, par la translation de vecteur moins b i, mta3 la courbe mta3 la racine carrée. Mithel : racine carrée de (x plus deux). Hiya définie ki x plus deux positif, ya3ni 3la l'intervalle de moins deux à plus l'infini, w croissante 3lih. W la courbe mte3ha hiya mta3 la racine carrée, m7arrka b deux lel isar : tabda men le point d'abscisse moins deux. Rodd belek : plus deux dekhel la racine, w la courbe temchi lel isar, mouch lel imin. »

Activité

Pour comprendre : la fonction inverse

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}.$ Sa courbe dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est donnée par la figure.

1.À l'aide du graphique, émets une conjecture sur la parité de $f,$ puis décris ses variations.
2.Complète le premier tableau. Si $x > 10^{15},$ que peut-on dire de $f(x)$ ? Comment choisir $x$ positif pour que $f(x) < 10^{-25}$ ? Pour que $0 < f(x) < a,$ où $a > 0$ ? Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

$x$	$f(x)$
$10^{3}$
$10^{4}$
$10^{7}$
$10^{10}$
$10^{15}$

1.Complète le second tableau. Si $0 < x < 10^{-17},$ que peut-on dire de $f(x)$ ? Comment choisir $x$ positif pour que $f(x) > 10^{40}$ ? Pour que $f(x) > A,$ où $A > 0$ ? Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ et $x$ plus grand que $0$ ?

$x$	$f(x)$
$10^{-2}$
$10^{-5}$
$10^{-8}$
$10^{-12}$
$10^{-17}$

La courbe de la fonction x ↦ 1/x.

Ce qu’on observe

Étudie la parité et les variations de $f,$ puis ce que devient $f(x)$ quand $x$ est très grand, et quand $x$ positif est proche de $0.$

1
La parité
Pour tout réel $x$ non nul, $-x$ est non nul, et l'image de $-x$ est l'opposée de celle de $x$ : la fonction $f$ est impaire.
$f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$
2
Les variations
Si $0 < a < b,$ la différence des images est négative : $f$ est décroissante sur $]0 ; +\infty[.$ Par symétrie, elle l'est aussi sur $]-\infty ; 0[.$
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab} < 0$
3
Quand x est très grand
L'inverse de $10^{15}$ est $10^{-15}$ : si $x > 10^{15},$ alors $f(x)$ est entre $0$ et $10^{-15}.$ Et $f(x)$ est entre $0$ et $a$ dès que $x$ dépasse l'inverse de $a.$
$x > \frac{1}{a} \Rightarrow 0 < \frac{1}{x} < a$
4
Quand x est très petit
L'inverse de $10^{-17}$ est $10^{17}$ : si $x$ est entre $0$ et $10^{-17},$ alors $f(x)$ dépasse $10^{17}.$ Et $f(x)$ dépasse $A$ dès que $x$ est entre $0$ et l'inverse de $A.$
$0 < x < \frac{1}{A} \Rightarrow \frac{1}{x} > A$
5
La conclusion
$f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty,$ et $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$ en restant positif.

L’erreur à ne pas faire

$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ privé de $0$ $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$
L'image de $-1$ est $-1$ et celle de $1$ est $1$ : d'un négatif à un positif, l'ordre n'est pas renversé.
$\dfrac{1}{0} = 0$ $0$ n'a pas d'inverse : $f$ n'est pas définie en $0$
Aucun nombre multiplié par $0$ ne donne $1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La troisième famille tabda b f de x égale un sur x. Hiya définie l koll x non nul : zéro ma 3andouch inverse. Chouf la courbe : zouz 9ta3, wa7da l x positif w wa7da l x négatif. f impaire : f de moins x égale moins f de x, w la courbe symétrique par rapport à l'origine. W f décroissante 3la koll intervalle wa7dou. Ki x yekber barcha, un sur x ya9reb l zéro : f de x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini. W ki x positif ya9reb l zéro, un sur x yekber barcha : f de x tend vers plus l'infini. »

Vocabulaire

L'hyperbole d'équation y = 1/x

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$

La courbe $H$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est appelée hyperbole. Le point $O$ est appelé le centre de l'hyperbole, et les droites d'équations $x = 0$ et $y = 0$ sont appelées les asymptotes de l'hyperbole.

L'équation $y = \dfrac{1}{x}$ est une équation de l'hyperbole $H.$

Remarque. Une hyperbole est formée de deux branches, appelées branches de l'hyperbole.

L'hyperbole H, son centre et ses asymptotes.

équation de l'hyperbole H

H : y = \frac{1}{x}

centre :

O

asymptotes :

x = 0

y = 0

Exemple traité

Le point $A\left(4 ; \dfrac{1}{4}\right)$ est-il sur l'hyperbole $H$ ? Et le point $B(-2 ; 2)$ ? Quel est le point de $H$ d'ordonnée $-5$ ?

1
Le point A
Un point est sur $H$ quand son ordonnée est l'inverse de son abscisse. L'inverse de $4$ est bien $\dfrac{1}{4}.$
l'inverse de $4$ est $\frac{1}{4}$
2
Le point B
L'inverse de $-2$ est $-\dfrac{1}{2},$ et non $2$ : le point $B$ n'est pas sur $H.$
$\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \ne 2$
3
Une ordonnée donnée
On cherche le nombre dont l'inverse est $-5.$
$\frac{1}{x} = -5 \iff x = -\frac{1}{5}$

A \in H \quad ; \quad

B \notin H \quad ; \quad

D\left(-\frac{1}{5} ; -5\right) \in H

L’erreur à ne pas faire

L'hyperbole $H$ finit par toucher ses asymptotesElle s'en approche autant qu'on veut, sans jamais les toucher
L'inverse d'un nombre n'est jamais nul, et $x$ ne peut pas valoir $0$ : aucun point de $H$ n'est sur l'un des axes.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi el asemi. La courbe H mta3 la fonction un sur x nsammiwha hyperbole. Le point O houwa le centre mte3ha. W les droites d'équations x égale zéro w y égale zéro, ya3ni les deux axes, houma les asymptotes : la courbe ta9reb menhom barcha, w ma tmesshomch. y égale un sur x hiya équation de l'hyperbole H. W mola7dha : l'hyperbole fiha zouz 9ta3, nsammiwhom les branches de l'hyperbole. »

Application

Exemple : comparer x, x², 1/x et √x

Dans la figure sont représentées la parabole $P$ d'équation $y = x^{2},$ l'hyperbole $H$ d'équation $y = \dfrac{1}{x},$ la courbe $C$ d'équation $y = \sqrt{x}$ et la droite $D$ d'équation $y = x.$

Par une lecture graphique :

1.range dans l'ordre croissant $x,$ $x^{2},$ $\dfrac{1}{x}$ et $\sqrt{x},$ pour $x > 0$ ;
2.compare $x$ et $\dfrac{1}{x},$ pour $x < 0.$

P, H, C et D dans un même repère.

Exemple traité

Range dans l'ordre croissant $x,$ $x^{2},$ $\dfrac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ pour $x > 0,$ puis compare $x$ et $\dfrac{1}{x}$ pour $x < 0.$

1
Le point commun
Les quatre courbes passent par le point $A(1 ; 1)$ : pour $x = 1,$ les quatre nombres sont égaux à $1.$
2
Entre 0 et 1
De bas en haut, on rencontre la parabole, puis la droite, puis la courbe de la racine carrée, puis l'hyperbole.
$0 < x < 1 : \quad x^{2} < x < \sqrt{x} < \frac{1}{x}$
3
Après 1
L'ordre se renverse : de bas en haut, l'hyperbole, puis la courbe de la racine carrée, puis la droite, puis la parabole.
$x > 1 : \quad \frac{1}{x} < \sqrt{x} < x < x^{2}$
4
Pour x négatif
La droite et l'hyperbole se coupent au point $B(-1 ; -1).$ Avant $-1,$ la droite est au-dessous de l'hyperbole ; entre $-1$ et $0,$ elle est au-dessus.
$x < -1 : \ x < \frac{1}{x} \quad ; \quad$ $-1 < x < 0 : \ \frac{1}{x} < x$

L’erreur à ne pas faire

Un nombre positif est toujours plus petit que son carréC'est vrai pour $x > 1$ ; pour $0 < x < 1,$ on a $x^{2} < x$
Par exemple, le carré de $\dfrac{1}{2}$ est $\dfrac{1}{4},$ qui est plus petit que $\dfrac{1}{2}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Quatre courbes fi nafs le repère : la parabole P, l'hyperbole H, la courbe C mta3 la racine carrée, w la droite D d'équation y égale x. El koll yet3addew men le point A de coordonnées un et un. Bin zéro w un, men ta7t lel fou9 : P, D, C, H. Ya3ni x au carré asghar men x, asghar men racine carrée de x, asghar men un sur x. Ba3d un, l'ordre yetbaddel : un sur x asghar men racine carrée de x, asghar men x, asghar men x au carré. W l x négatif, ncompariw x w un sur x : D w H yetle9aw fi le point B de coordonnées moins un et moins un. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = a/x

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $a$ un réel non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{a}{x}$ est une hyperbole de centre $O$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = 0$ et $y = 0$ .

Si $a > 0,$ les branches sont dans les quarts de plan où $x$ et $y$ ont le même signe ; si $a < 0,$ elles sont dans les deux autres.

H (a = 1) et C (a = −1) : symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

f(x) = \frac{a}{x} \quad (a \ne 0)

hyperbole de centre

O,

d'asymptotes

x = 0

y = 0

Exemple traité

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x) = \dfrac{-1}{x},$ de courbe $C,$ et $H$ l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{1}{x}.$ Montre que $C$ et $H$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Puis donne le centre et les asymptotes de la courbe de la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2}{x}.$

1
Un point et son symétrique
Le point $M(x ; y)$ est sur $C$ quand $y = -\dfrac{1}{x},$ c'est-à-dire quand $-y = \dfrac{1}{x}$ : cela veut dire que le point $N(x ; -y)$ est sur $H.$
$M(x ; y) \in C \iff N(x ; -y) \in H$
2
La symétrie
Les points $M$ et $N$ ont la même abscisse et des ordonnées opposées : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes le sont donc aussi.
3
La courbe de g
Quand $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty,$ $\dfrac{2}{x}$ tend vers $0.$ La courbe est une hyperbole de centre $O,$ dont les asymptotes sont les deux axes.
asymptotes : $x = 0$ et $y = 0$

centre :

O \quad ;

asymptotes :

x = 0

y = 0

L’erreur à ne pas faire

$y = \dfrac{3}{2x}$ n'est pas du type $\dfrac{a}{x}$ $\dfrac{3}{2x} = \dfrac{1{,}5}{x}$ : c'est le type $\dfrac{a}{x}$ avec $a = \dfrac{3}{2}$
On peut toujours ramener le coefficient de $x$ à $1,$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. a réel non nul. La courbe mta3 f de x égale a sur x hiya hyperbole, le centre mte3ha O, w les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale zéro w y égale zéro. Ken a positif, les branches fel arba3 win x w y 3andhom nafs le signe. Ken a négatif, fel arba3 lo5rin. Mithel : la courbe mta3 moins un sur x hiya le symétrique mta3 H par rapport à l'axe des abscisses, 5ater les ordonnées yetbaddlou l l'opposé. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = 1/x + β

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $\beta$ un réel non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} + \beta$ est une hyperbole de centre $I(0 ; \beta)$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = 0$ et $y = \beta$ .

C'est l'image de l'hyperbole $H$ d'équation $y = \dfrac{1}{x}$ par la translation de vecteur $\beta\vec{j}.$

C est l'image de H par la translation de vecteur −2j.

f(x) = \frac{1}{x} + \beta

centre :

I(0 ; \beta)

asymptotes :

x = 0

y = \beta

Exemple traité

On désigne par $H$ l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{1}{x}.$ Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x) = -2 + \dfrac{1}{x},$ de courbe $C.$ Montre que $C$ est l'image de $H$ par la translation de vecteur $-2\vec{j},$ puis précise le centre et les asymptotes de $C.$

1
Un point et son image
Un point $M(x ; y)$ est sur $H$ quand $y = \dfrac{1}{x}.$ Son image par la translation a la même abscisse $x,$ et pour ordonnée $y - 2.$
$y - 2 = -2 + \frac{1}{x} = f(x)$
2
La conclusion
L'image de $M$ est donc sur $C,$ et tout point de $C$ s'obtient ainsi : la courbe $C$ est l'image de $H$ par cette translation.
3
Centre et asymptotes
La translation envoie $O$ sur le point $I(0 ; -2),$ l'axe des ordonnées sur lui-même, et l'axe des abscisses sur la droite d'équation $y = -2.$
$I(0 ; -2) \quad ; \quad$ $x = 0$ et $y = -2$

centre :

I(0 ; -2) \quad ;

asymptotes :

x = 0

y = -2

L’erreur à ne pas faire

$y = -2 + \dfrac{1}{x}$ : asymptotes $x = -2$ et $y = 0$ $y = -2 + \dfrac{1}{x}$ : asymptotes $x = 0$ et $y = -2$
$-2$ s'ajoute à l'ordonnée : c'est l'asymptote horizontale qui se déplace, pas la verticale.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. bêta réel non nul. La courbe mta3 f de x égale un sur x, plus bêta, hiya hyperbole, le centre mte3ha I de coordonnées zéro et bêta, w les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale zéro w y égale bêta. 3lech ? 5ater hiya l'image de H par la translation de vecteur bêta j : koll chay yatla3 walla yahbet b bêta, le centre w l'asymptote horizontale m3ah. Mithel : un sur x, moins deux. Le centre de coordonnées zéro et moins deux, w les asymptotes x égale zéro w y égale moins deux. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = a/(x + α)

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $a$ un réel non nul et $\alpha$ un réel.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ privé de $-\alpha$ par $f(x) = \dfrac{a}{x + \alpha}$ est une hyperbole de centre $I(-\alpha ; 0)$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = -\alpha$ et $y = 0$ .

C'est l'image de l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{a}{x}$ par la translation de vecteur $-\alpha\vec{i}.$

Près des asymptotes. Pour $f(x) = \dfrac{3}{x - 1},$ on lit sur la courbe : $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et quand $x$ tend vers $-\infty$ ; $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $1$ et $x$ est supérieur à $1$ ; $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $1$ et $x$ est inférieur à $1.$

C est l'image de H par la translation de vecteur 3i.

f(x) = \frac{a}{x + \alpha} \quad (a \ne 0)

centre :

I(-\alpha ; 0)

asymptotes :

x = -\alpha

y = 0

Exemple traité

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2}{x - 3},$ de courbe $C,$ et $H$ l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{2}{x}.$ Détermine l'ensemble de définition de $f.$ Montre que $C$ est l'image de $H$ par la translation $T$ de vecteur $3\vec{i},$ puis précise les asymptotes de $C.$

1
L'ensemble de définition
Le dénominateur ne doit pas être nul.
$x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3 \quad ; \quad$ $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$
2
La translation
L'image d'un point $M(x ; y)$ par $T$ a pour abscisse $x + 3$ et pour ordonnée $y.$
$x' = x + 3 \quad ; \quad$ $y' = y$
3
L'équivalence
Le point $M$ est sur $H$ quand $y = \dfrac{2}{x}.$ Comme $x = x' - 3$ et $y = y',$ cela revient à dire que son image est sur $C.$
$y = \frac{2}{x} \iff y' = \frac{2}{x' - 3}$
4
Les asymptotes
La translation envoie $O$ sur le point $I(3 ; 0)$ : c'est le centre de $C.$ L'asymptote verticale devient la droite d'équation $x = 3,$ et l'axe des abscisses reste asymptote.
$x = 3$ et $y = 0$

D = \mathbb{R} \setminus \{3\} \quad ;

asymptotes :

x = 3

y = 0

L’erreur à ne pas faire

$y = \dfrac{1}{x + 2}$ : centre $I(2 ; 0)$ $y = \dfrac{1}{x + 2}$ : centre $I(-2 ; 0),$ asymptotes $x = -2$ et $y = 0$
L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule : $x + 2 = 0$ donne $x = -2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété. a réel non nul, w alpha réel. La courbe mta3 f de x égale a sur la parenthèse x plus alpha, hiya hyperbole, le centre mte3ha I de coordonnées moins alpha et zéro, w les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale moins alpha w y égale zéro. f mouch définie fi moins alpha : le dénominateur ywalli zéro. Mithel : deux sur (x moins trois). La courbe hiya l'image mta3 l'hyperbole y égale deux sur x par la translation de vecteur trois i. Le centre de coordonnées trois et zéro, w l'asymptote verticale x égale trois. »

Activité

Pour comprendre : la courbe de (x + 3)/(x + 2)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x + 3}{x + 2}.$ On note $C$ sa courbe représentative.

1.Détermine l'ensemble de définition $D$ de $f.$ Vérifie que $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 2}$ pour tout $x$ de $D.$ Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ? Quand $x$ tend vers $-\infty$ ?
2.Soit $I(-2 ; 1).$ On considère le repère $(I, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $M$ un point du plan : on note $(x ; y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ et $(X ; Y)$ ses coordonnées dans le repère $(I, \vec{i}, \vec{j}).$ Exprime $x$ et $y$ en fonction de $X$ et $Y,$ puis montre que $M$ appartient à $C$ si et seulement si $Y = \dfrac{1}{X}.$
3.Déduis-en la nature de la courbe $C.$ Donne son centre et ses asymptotes dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}).$

Dans le repère d'origine I, la courbe C a pour équation Y = 1/X.

Ce qu’on observe

Écris $f(x)$ autrement, change de repère, puis donne la nature de la courbe $C,$ son centre et ses asymptotes.

1
L'ensemble de définition
Le dénominateur ne doit pas être nul : il faut $x$ différent de $-2.$
$D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$
2
L'autre écriture
On réduit au même dénominateur, et on retrouve $f(x).$ Quand $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty,$ la fraction tend vers $0,$ donc $f(x)$ tend vers $1.$
$1 + \frac{1}{x + 2} = \frac{x + 2 + 1}{x + 2} = \frac{x + 3}{x + 2}$
3
Le nouveau repère
Pour aller de $O$ à $M,$ on va de $O$ à $I,$ puis de $I$ à $M$ : les anciennes coordonnées sont les nouvelles, augmentées de celles de $I.$
$x = X - 2 \quad ; \quad$ $y = Y + 1$
4
L'équation
On remplace dans l'égalité qui dit que $M$ est sur $C,$ et on simplifie.
$Y + 1 = 1 + \frac{1}{X} \iff Y = \frac{1}{X}$
5
La nature de la courbe
Dans le nouveau repère, $C$ est l'hyperbole de référence : son centre est $I,$ et ses asymptotes sont les deux nouveaux axes.

hyperbole de centre

I(-2 ; 1),

d'asymptotes

x = -2

y = 1

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{x + 3}{x + 2} = \dfrac{3}{2},$ en simplifiant par $x$ $\dfrac{x + 3}{x + 2} = 1 + \dfrac{1}{x + 2}$
On ne simplifie que des facteurs, jamais les termes d'une somme : on écrit le numérateur comme $x + 2$ plus $1,$ puis on sépare.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W ken le numérateur fih x zeda ? f de x égale (x plus trois) sur (x plus deux). Hiya définie l koll x différent de moins deux. El 7ila : x plus trois houwa (x plus deux) plus un, idhan f de x égale un plus un sur (x plus deux). Tawa nbaddlou le repère : ne5dhou le point I de coordonnées moins deux et un k origine jdida. Fel repère ejdid, l'équation mta3 la courbe twalli grand Y égale un sur grand X : hiya l'hyperbole de référence ! Idhan C hyperbole, le centre mte3ha I, w les asymptotes mte3ha x égale moins deux w y égale un. »

Propriété

Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $a,$ $b,$ $c$ et $d$ quatre réels, avec $c$ non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ privé de $-\dfrac{d}{c}$ par $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ est une hyperbole de centre $I\left(-\dfrac{d}{c} ; \dfrac{a}{c}\right)$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = -\dfrac{d}{c}$ et $y = \dfrac{a}{c}$ .

L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule ; l'asymptote horizontale se lit avec les coefficients de $x.$

L'hyperbole C, son centre I et ses asymptotes.

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad (c \ne 0)

centre :

I\left(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}\right)

asymptotes :

x = -\frac{d}{c}

y = \frac{a}{c}

Exemple traité

Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \dfrac{4x - 7}{2x - 5},$ de courbe $C.$ Détermine son ensemble de définition $D,$ vérifie que $g(x) = 2 + \dfrac{3}{2x - 5}$ sur $D,$ étudie ses variations, donne le centre et les asymptotes de $C,$ puis résous $g(x) = 3$ et $g(x) = 2.$

1
L'ensemble de définition
Le dénominateur s'annule pour $x = \dfrac{5}{2}.$
$D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{5}{2}\right\}$
2
L'autre écriture
On réduit au même dénominateur, et on retrouve $g(x).$ Quand $x$ tend vers $+\infty,$ la fraction tend vers $0$ et $g(x)$ tend vers $2.$
$2 + \frac{3}{2x - 5} = \frac{2(2x - 5) + 3}{2x - 5} = \frac{4x - 7}{2x - 5}$
3
Les variations
Après $\dfrac{5}{2},$ quand $x$ augmente, $2x - 5$ augmente en restant positif, donc son inverse diminue : $g$ est décroissante. Il en va de même avant $\dfrac{5}{2}$ : $g$ est décroissante sur chacun des deux intervalles où elle est définie.
4
Centre et asymptotes
Ici $a = 4,$ $c = 2$ et $d = -5.$
$I\left(\frac{5}{2} ; 2\right) \quad ; \quad$ $x = \frac{5}{2}$ et $y = 2$
5
Deux équations
$g(x) = 3$ demande que la fraction vaille $1,$ donc que $2x - 5 = 3$ : la solution est $4.$ Et $g(x) = 2$ demanderait que la fraction soit nulle, ce qui est impossible.
$g(x) = 3 \iff x = 4 \quad ; \quad$ $g(x) = 2 :$ pas de solution

L’erreur à ne pas faire

$g(x) = 2$ a une solution, puisque la droite $y = 2$ est une asymptote $g(x) = 2$ n'a pas de solution
La courbe s'approche de son asymptote sans jamais la couper : la fraction qui s'ajoute à $2$ n'est jamais nulle.
L'asymptote horizontale de $y = \dfrac{3x + 1}{2x - 4}$ est $y = 3$ C'est $y = \dfrac{3}{2}$
L'asymptote horizontale est $y = \dfrac{a}{c}$ : on divise le coefficient de $x$ du numérateur par celui du dénominateur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété el 3amma. a w b w c w d réels, w c non nul. La courbe mta3 f de x égale (a x plus b) sur (c x plus d) hiya hyperbole. Le centre mte3ha I de coordonnées moins d sur c et a sur c. W les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale moins d sur c w y égale a sur c. Tfakkarhom hakka : l'asymptote verticale win le dénominateur égale zéro, w l'asymptote horizontale hiya le quotient mta3 les coefficients de x. Mithel : (quatre x moins sept) sur (deux x moins cinq). Les asymptotes : x égale cinq demis w y égale deux. »

Application

Exemple : parabole et hyperbole

Dans la figure sont représentées la parabole $P : y = x^{2} - 4$ et l'hyperbole $H : y = \dfrac{-x + 2}{x},$ courbes représentatives, respectivement, des fonctions $f$ et $g.$

1.Résous graphiquement : a) $f(x) = g(x)$ ; b) $x^{3} - 4x = 2 - x$ ; c) $f(x) \ge g(x).$
2.Factorise $x^{3} - 4x,$ puis retrouve les résultats de la première question par le calcul.

La parabole P et l’hyperbole H.

Exemple traité

Résous graphiquement $f(x) = g(x),$ puis $x^{3} - 4x = 2 - x,$ puis $f(x) \ge g(x),$ et retrouve ces résultats par le calcul.

1
La lecture
Les deux courbes se touchent au point $A(-1 ; -3)$ et se coupent au point $B(2 ; 0)$ : les solutions de la première équation sont $-1$ et $2.$
2
La deuxième équation
Pour $x$ non nul, on divise les deux membres par $x$ et on retrouve la première équation. Et $0$ n'est pas solution : elle a donc les mêmes solutions, $-1$ et $2.$
$x(x^{2} - 4) = 2 - x \iff x^{2} - 4 = \frac{-x + 2}{x}$
3
L'inéquation
La parabole est au-dessus de l'hyperbole pour tous les $x$ strictement négatifs, et pour $x$ supérieur ou égal à $2.$
$S = \,]-\infty ; 0[ \,\cup\, [2 ; +\infty[$
4
La factorisation
On met $x$ en facteur, puis on reconnaît une différence de deux carrés.
$x^{3} - 4x = x(x^{2} - 4) = x(x - 2)(x + 2)$
5
Par le calcul
On ramène tout dans le premier membre, et on met $x - 2$ en facteur : on retrouve les solutions $2$ et $-1.$
$x(x - 2)(x + 2) + (x - 2) = (x - 2)(x^{2} + 2x + 1) = (x - 2)(x + 1)^{2}$
6
Le signe
Pour $x$ non nul, la différence des deux fonctions a le signe du quotient de $x - 2$ par $x,$ sauf en $-1$ où elle s'annule : elle est positive pour $x$ négatif et pour $x$ supérieur à $2.$
$f(x) - g(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)^{2}}{x}$

L’erreur à ne pas faire

Les courbes se touchent en $A$ sans se traverser, donc $-1$ n'est pas une solution de $f(x) = g(x)$ $-1$ est une solution : $f(-1) = g(-1) = -3$
Un point commun aux deux courbes donne une solution, que les courbes se croisent ou qu'elles se touchent seulement.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Parabole w hyperbole fi nafs le repère : P d'équation y égale x au carré moins quatre, w H d'équation y égale la parenthèse moins x plus deux, sur x. Bech n7ellou f de x égale g de x, na9raw les abscisses mta3 les points communs : yetle9aw fi le point B de coordonnées deux et zéro, w yetmessou fi le point A de coordonnées moins un et moins trois. Idhan les solutions : moins un w deux. W f de x supérieur ou égal à g de x win P fou9 H : l koll les x strictement négatifs, w l x supérieur ou égal à deux. Rodd belek : zéro ma yed5elch, g mouch définie fih. »

Application

Un problème pour aller plus loin : cordes parallèles

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ On désigne par $H$ l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{2}{x}.$ Soit $A,$ $B,$ $C$ et $D$ quatre points distincts de $H,$ d'abscisses respectives $a,$ $b,$ $c$ et $d.$

1.Montre que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $ab = cd.$
2.On prend $a = 1$ et $b = 2.$ Soit $M$ un point de $H$ d'abscisse $x.$ La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ recoupe l'hyperbole $H$ en un point $N.$ On note $I$ le milieu du segment $[MN].$ Montre que le point $I$ varie sur une droite, lorsque le point $M$ varie sur l'hyperbole $H.$

Deux cordes parallèles de H, et le milieu I de [MN].

Exemple traité

Montre que deux cordes de $H$ sont parallèles si et seulement si $ab = cd,$ puis trouve la droite sur laquelle varie le milieu $I.$

1
Un coefficient directeur
Les points $A$ et $B$ ont pour ordonnées $\dfrac{2}{a}$ et $\dfrac{2}{b}.$ On calcule le coefficient directeur de la droite $(AB).$
$\frac{\frac{2}{b} - \frac{2}{a}}{b - a} = \frac{2(a - b)}{ab(b - a)} = -\frac{2}{ab}$
2
Le parallélisme
De même, la droite $(CD)$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{2}{cd}.$ Deux droites sont parallèles quand leurs coefficients directeurs sont égaux.
$-\frac{2}{ab} = -\frac{2}{cd} \iff ab = cd$
3
Le point N
Avec $a = 1$ et $b = 2,$ le produit vaut $2.$ Si $n$ est l'abscisse de $N,$ le parallélisme donne $x \times n = 2$ : l'abscisse de $N$ est $\dfrac{2}{x},$ et son ordonnée est $x.$
$N\left(\frac{2}{x} ; x\right)$
4
Le milieu
Les coordonnées de $I$ sont les demi-sommes de celles de $M$ et de $N$ : elles sont égales.
$x_{I} = \frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right) = y_{I}$

I

varie sur la droite d'équation

y = x

L’erreur à ne pas faire

Le coefficient directeur de $(AB)$ est $\dfrac{2}{ab}$ Il vaut $-\dfrac{2}{ab}$
En réduisant au même dénominateur, le numérateur est $2(a - b),$ et $a - b$ est l'opposé de $b - a$ : il reste un signe moins.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème bech nemchiw ab3ed. 3la l'hyperbole H d'équation y égale deux sur x, ne5dhou zouz points A w B, les abscisses mte3hom a w b. Le coefficient directeur mta3 la droite AB houwa moins deux sur a b. Idhan zouz cordes, AB w CD, parallèles si et seulement si a b égale c d. Tawa a égale un w b égale deux : le produit deux. Ken M 3andou l'abscisse x, la parallèle t9oss H fi N, elli l'abscisse mte3ou deux sur x. W le milieu I mta3 MN 3andou les deux coordonnées kif kif : I yet7arrek 3la la droite d'équation y égale x. »

Application

Un problème pour aller plus loin : parabole et droite

Dans la figure, $P$ est une parabole et $D$ est une droite. Détermine les coordonnées des points $A$ et $B,$ intersection de $P$ et $D.$

On lit sur la figure des points sûrs : $P$ a pour sommet $S(2 ; 1)$ et passe par $E(1 ; 0)$ ; $D$ passe par $F(2 ; -3)$ et coupe l'axe des ordonnées au point $G(0 ; -1{,}5).$

Indications. Utilise ces points pour déterminer une équation de $P$ et une équation de $D,$ puis calcule les coordonnées des points $A$ et $B.$

La parabole P, la droite D et leurs points communs A et B.

Exemple traité

Trouve une équation de $P$ et une équation de $D,$ puis calcule les coordonnées de leurs points d'intersection $A$ et $B.$

1
La parabole
Sommet $S(2 ; 1)$ : la forme est $y = a(x - 2)^{2} + 1.$ Elle passe par $E(1 ; 0)$ : $a + 1 = 0,$ donc $a = -1.$
$P : y = -(x - 2)^{2} + 1 = -x^{2} + 4x - 3$
2
La droite
De $G$ à $F,$ l'abscisse augmente de $2$ et l'ordonnée diminue de $1{,}5$ : le coefficient directeur est $-\dfrac{3}{4},$ et l'ordonnée à l'origine $-\dfrac{3}{2}.$
$D : y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$
3
L'équation
On écrit que les deux ordonnées sont égales, on multiplie par $4,$ puis on regroupe dans un seul membre.
$-4x^{2} + 16x - 12 = -3x - 6 \iff 4x^{2} - 19x + 6 = 0$
4
Les abscisses
Le discriminant vaut $361 - 96,$ c'est-à-dire $265$ : l'équation a deux racines.
$x_{A} = \frac{19 - \sqrt{265}}{8} \approx 0{,}34 \quad ; \quad$ $x_{B} = \frac{19 + \sqrt{265}}{8} \approx 4{,}41$
5
Les ordonnées
On remplace dans l'équation de la droite.
$y_{A} = \frac{-105 + 3\sqrt{265}}{32} \approx -1{,}76 \quad ; \quad$ $y_{B} = \frac{-105 - 3\sqrt{265}}{32} \approx -4{,}81$

L’erreur à ne pas faire

On lit sur la figure que $A$ a pour abscisse $0{,}3$ : c'est la réponseLa lecture donne une valeur approchée ; le calcul donne $x_{A} = \dfrac{19 - \sqrt{265}}{8}$
Les points $A$ et $B$ ne tombent pas sur les graduations : on lit des points sûrs pour trouver les équations, puis on calcule.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème e5er : parabole P w droite D, w nlawjou 3la les points d'intersection A w B. Les points hedhom mouch 3la les graduations, idhan ma na9rawhomch : na7sbouhom. Na9raw les points el wadh7in berk. P : le sommet mte3ha S de coordonnées deux et un, w tet3adda men E de coordonnées un et zéro : y égale moins (x moins deux) au carré plus un. D : tet3adda men F de coordonnées deux et moins trois, w t9oss l'axe des ordonnées fi moins un virgule cinq : y égale moins trois quarts de x moins trois demis. W ba3d n7ellou l'équation : quatre x au carré moins dix-neuf x plus six égale zéro. »

Application

Un problème pour aller plus loin : un lieu de points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $D$ la droite d'équation $y = -2$ et $M$ un point variable de $D.$ La perpendiculaire à $D$ en $M$ et la perpendiculaire à la droite $(OM)$ en $O$ se coupent en un point $N.$

On se propose de déterminer le lieu du point $N,$ c'est-à-dire la ligne qu'il décrit, lorsque le point $M$ varie sur la droite $D.$

Quand M parcourt D, le point N décrit une parabole.

Exemple traité

Détermine le lieu du point $N$ lorsque le point $M$ varie sur la droite $D.$

1
Les coordonnées
On note $m$ l'abscisse de $M$ : son ordonnée est $-2.$ La perpendiculaire à $D$ en $M$ est la droite verticale d'équation $x = m$ : le point $N$ a pour abscisse $m,$ et on note $y$ son ordonnée.
2
L'angle droit
Le triangle $OMN$ est rectangle en $O.$ Le repère est orthonormé : on applique le théorème de Pythagore.
$OM^{2} + ON^{2} = MN^{2}$
3
Les trois carrés
On calcule chaque carré avec les coordonnées ; les points $M$ et $N$ sont sur la même verticale.
$(m^{2} + 4) + (m^{2} + y^{2}) = (y + 2)^{2}$
4
Simplifier
On développe le second membre, et il ne reste que deux termes de chaque côté.
$2m^{2} = 4y \iff y = \frac{m^{2}}{2}$
5
Le lieu
Le point $N$ a pour abscisse $m$ et pour ordonnée la moitié du carré de $m$ : quand $M$ parcourt $D,$ le point $N$ parcourt une parabole de sommet $O.$

le lieu de

N

est la parabole d'équation

y = \frac{x^{2}}{2}

L’erreur à ne pas faire

$MN = y - 2$ $MN = y + 2$
Le point $M$ a pour ordonnée $-2$ : sur la même verticale, la distance de $M$ à $N$ est l'écart entre $y$ et $-2,$ donc $y + 2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème e5ir : lieu de points. 3andna la droite D d'équation y égale moins deux, w point M yet7arrek 3liha. Nrasmou la perpendiculaire à D fi M, w la perpendiculaire à la droite OM fi O : yetle9aw fi point N. Esso2al : ki M yet7arrek, N win yemchi ? N7ottou m l'abscisse mta3 M. N 3andou nafs l'abscisse m. W le triangle OMN rectangle en O : b Pythagore nal9aw l'ordonnée mta3 N : m au carré sur deux. Idhan N yet7arrek 3la la parabole d'équation y égale un demi de x au carré. »

Remarque

Pour la culture : phares et antennes

La trajectoire d'un projectile, tel qu'une balle ou un ballon, est une parabole si l'on néglige la résistance de l'air.

En faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie, on obtient la forme des miroirs paraboliques. Ces miroirs réfléchissent, sous la forme de rayons parallèles, les rayons émis par une source lumineuse située au foyer de la parabole : on utilise ce genre de réflecteurs pour les phares des automobiles et pour les projecteurs.

À l'inverse, des rayons qui arrivent parallèlement à l'axe convergent tous, en se reflétant, en un même point, le foyer. C'est le principe des télescopes, des antennes paraboliques — le récepteur est placé au foyer — et du four solaire, qui permet d'atteindre des températures de l'ordre de $3500$ degrés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W fel e5er, la parabole fi 7yetna. El koura elli tarmiha tarsem parabole, ken nensew la résistance de l'air. W ken ndawrou parabole 7awl l'axe mte3ha, nal9aw miroir parabolique. Edhaw elli yo5rej men le foyer yet3akes w yo5rej fi rayons parallèles : hakka ye5dmou les phares mta3 el karhba. W bel 3aks, les rayons parallèles elli yjiw yetlammou el koll fi le foyer : hakka te5dem l'antenne parabolique, w les télescopes, w le four solaire elli yousel l trois mille cinq cents degrés. »

À retenir

1.
La courbe de $x \mapsto x^{2}$ est la parabole $P$ de sommet $O$ et d'axe la droite d'équation $x = 0.$
2.
$f(x) = ax^{2}$ avec $a \ne 0$ : parabole de sommet $O,$ tournée vers le haut si $a > 0,$ vers le bas si $a < 0.$
3.
$f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ : parabole de sommet $S(\alpha ; \beta)$ et d'axe $x = \alpha.$
4.
$ax^{2} + bx + c = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha).$
5.
La courbe de $x \mapsto \sqrt{x + b}$ est l'image de celle de $x \mapsto \sqrt{x}$ par la translation de vecteur $-b\vec{i}.$
6.
La courbe de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est l'hyperbole $H$ de centre $O$ et d'asymptotes $x = 0$ et $y = 0.$
7.
$f(x) = \dfrac{a}{x + \alpha}$ : hyperbole de centre $I(-\alpha ; 0).$ $f(x) = \dfrac{1}{x} + \beta$ : hyperbole de centre $I(0 ; \beta).$
8.
$f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ avec $c \ne 0$ : hyperbole de centre $I\left(-\dfrac{d}{c} ; \dfrac{a}{c}\right),$ d'asymptotes $x = -\dfrac{d}{c}$ et $y = \dfrac{a}{c}.$
9.
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points communs aux deux courbes ; $f(x) < g(x)$ là où la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître une parabole : son sommet, son axe et son équation
Écrire un trinôme sous la forme $a(x - \alpha)^{2} + \beta$
Tracer la courbe de $x \mapsto \sqrt{x + b}$
Reconnaître une hyperbole : son centre et ses asymptotes
Passer d'une courbe à une autre par une translation
Résoudre graphiquement et par le calcul des équations et des inéquations

Pour comprendre : la fonction carré

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^{2}$ . Sa représentation graphique dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est la courbe de la figure.

À l'aide du graphique, émets une conjecture sur la parité de $f$ , puis décris ses variations sur $\mathbb{R}$ .
Montre que la fonction $f$ est paire, puis qu'elle est croissante sur $[0 ; +\infty[$ .
Complète le tableau ci-dessous. Comment peut-on choisir $x$ positif pour que $f(x)$ soit strictement supérieur à $10^{30}$ ? Et à un réel $A$ strictement positif ?

$x$	$10^{3}$	$10^{4}$	$10^{7}$	$10^{10}$	$10^{15}$
$f(x)$

La courbe de la fonction x ↦ x².

Le piège

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$

$f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$

Pour deux réels négatifs, le carré renverse l'ordre : $-3$ est plus petit que $-2$ , mais son carré, $9$ , est plus grand que $4$ .

Le piège

$(-x)^{2} = -x^{2}$

$(-x)^{2} = x^{2}$

Le carré d'un nombre négatif est positif : c'est pour cela que $f$ est paire.

La parabole d'équation y = x²

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

La courbe $P$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2}$ est appelée parabole. Le point $O$ est appelé le sommet de la parabole $P$ , et la droite d'équation $x = 0$ est appelée l'axe de la parabole $P$ .

L'équation $y = x^{2}$ est appelée l'équation de la parabole $P$ .

Remarques. Pour tout réel $A$ strictement positif, on peut trouver des valeurs positives de $x$ telles que $f(x)$ soit supérieur à $A$ . Autrement dit, $f(x)$ est supérieur à n'importe quel réel $A$ positif, aussi grand que l'on veut, en choisissant des valeurs positives de $x$ . On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

On a aussi : $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$ .

La parabole P, son sommet et son axe.

P : y = x^{2}

\text{sommet : } O \qquad \text{axe : } x = 0

Le piège

L'axe de la parabole $P$ est l'axe des abscisses

L'axe de $P$ est la droite d'équation $x = 0$ , c'est-à-dire l'axe des ordonnées

L'axe d'une parabole est son axe de symétrie : il passe par le sommet.

Le piège

$f(x)$ tend vers $+\infty$ : $f(x)$ finit par valoir $+\infty$

$f(x)$ dépasse n'importe quel réel $A$ dès que $x$ est assez grand

Plus l'infini n'est pas un nombre : aucune valeur de $f(x)$ ne lui est égale.

Pour comprendre : la courbe de 2x²

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $P$ la parabole d'équation $y = x^{2}$ , et $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ .

Soit $M(x ; y)$ un point de la parabole $P$ et $M'(x' ; y')$ son image par l'homothétie $h$ . Exprime $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$ .
Montre que le point $M'$ est sur la courbe représentative $C$ de la fonction $g : x \mapsto 2x^{2}$ .
Montre que tout point $N$ de $C$ est l'image par l'homothétie $h$ d'un point $M$ de $P$ . Quelle est alors l'image de la parabole $P$ par $h$ ?

M′ est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 1/2.

Le piège

L'homothétie de rapport $\dfrac{1}{2}$ transforme $y = x^{2}$ en $y = \dfrac{x^{2}}{2}$

Elle transforme $y = x^{2}$ en $y = 2x^{2}$

Les deux coordonnées sont divisées par $2$ , pas seulement l'ordonnée : la moitié du carré de $2x'$ est $2x'^{2}$ .

Fonctions du type f(x) = ax²

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $a$ un réel non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^{2}$ est une parabole de sommet $O$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = 0$ .

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut ; si $a < 0$ , elle est tournée vers le bas.

f(x) = ax² : la parabole selon le signe de a.

f(x) = ax^{2} \quad (a \ne 0)

\text{parabole de sommet } O, \text{ d'axe } x = 0

Le piège

$f(x) = -3x^{2}$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$ , comme $x^{2}$

Elle est décroissante sur $[0 ; +\infty[$ et croissante sur $]-\infty ; 0]$

Multiplier par un nombre négatif renverse l'ordre : le sommet $O$ devient le point le plus haut de la parabole.

Exemple : lire le coefficient

Chaque parabole de la figure représente une fonction du type $f(x) = mx^{2}$ , où $m$ est une constante réelle. Détermine, pour chaque parabole, la valeur de $m$ correspondante.

On lit sur la figure que $C_{1}$ passe par $A(1 ; 1)$ , $C_{2}$ par $B(1 ; 2)$ , $C_{3}$ par $D(2 ; -2)$ et $C_{4}$ par $E(1 ; -2)$ .

Quatre paraboles du type y = mx².

Le piège

$C_{3}$ passe par $D(2 ; -2)$ , donc $m = -2$

$m \times 2^{2} = -2$ , donc $m = -\dfrac{1}{2}$

L'ordonnée ne donne $m$ directement qu'au point d'abscisse $1$ ; ailleurs, il faut diviser par le carré de l'abscisse.

Pour comprendre : la courbe de (x − 2)²

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 2)^{2}$ . On désigne par $C$ sa courbe représentative et par $P$ la parabole d'équation $y = x^{2}$ .

Soit $M(x ; y)$ un point du plan. Montre que $M(x ; y)$ appartient à $C$ équivaut à $N(x - 2 ; y)$ appartient à $P$ .
Déduis-en que $C$ est l'image de $P$ par une translation dont tu préciseras le vecteur.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x - \alpha)^{2}$ , où $\alpha$ est un réel donné, et $P'$ sa courbe. Montre que $P'$ est l'image de la parabole $P$ par la translation de vecteur $\alpha\vec{i}$ . On admet que $P'$ est une parabole : détermine son sommet et son axe.

C est l'image de P par la translation de vecteur 2i.

Le piège

La courbe de $(x - 2)^{2}$ est la parabole $P$ décalée de $2$ vers la gauche

Elle est décalée de $2$ vers la droite : translation de vecteur $2\vec{i}$

Le sommet est le point où $(x - 2)^{2}$ s'annule, c'est-à-dire en $x = 2$ , et non en $x = -2$ .

Fonctions du type f(x) = a(x − α)²

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $a$ un réel non nul et $\alpha$ un réel.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a(x - \alpha)^{2}$ est une parabole de sommet $S(\alpha ; 0)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ .

Quatre paraboles y = a(x − 1)² : même sommet, même axe.

f(x) = a(x - \alpha)^{2} \quad (a \ne 0)

\text{sommet : } S(\alpha ; 0) \qquad \text{axe : } x = \alpha

Le piège

$y = (x + 2)^{2}$ : sommet $S(2 ; 0)$

$y = (x + 2)^{2}$ : sommet $S(-2 ; 0)$ , axe $x = -2$

On lit $\alpha$ dans $(x - \alpha)^{2}$ : $x + 2$ , c'est $x$ moins l'opposé de $2$ , donc $\alpha = -2$ .

Le piège

$y = x^{2} + 6x + 9$ n'est pas de ce type

$x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$ : sommet $S(-3 ; 0)$ , axe $x = -3$

Une identité remarquable peut cacher la forme $a(x - \alpha)^{2}$ : on factorise avant de conclure.

Pour comprendre : la courbe de x² + 3/2

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + \dfrac{3}{2}$ . On désigne par $C$ sa courbe représentative et par $P$ la parabole d'équation $y = x^{2}$ .

Soit $M(x ; y)$ un point du plan. Montre que $M(x ; y)$ appartient à $C$ équivaut à $N\left(x ; y - \dfrac{3}{2}\right)$ appartient à $P$ .
Déduis-en que $C$ est l'image de $P$ par une translation dont tu préciseras le vecteur.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^{2} + \beta$ , où $\beta$ est un réel donné, et $P'$ sa courbe. Montre que $P'$ est l'image de la parabole $P$ par la translation de vecteur $\beta\vec{j}$ . On admet que $P'$ est une parabole : détermine son sommet et son axe.

C est l'image de P par la translation de vecteur (3/2)j.

Le piège

La courbe de $x^{2} + \dfrac{3}{2}$ est la parabole $P$ décalée vers la droite

Elle est décalée vers le haut : translation de vecteur $\dfrac{3}{2}\vec{j}$

Ajouter un nombre à $f(x)$ change l'ordonnée de chaque point, pas son abscisse.

Fonctions du type f(x) = x² + β

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $\beta$ un réel.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + \beta$ est une parabole de sommet $S(0 ; \beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = 0$ .

y = x² + β : le sommet glisse sur l’axe des ordonnées.

f(x) = x^{2} + \beta

\text{sommet : } S(0 ; \beta) \qquad \text{axe : } x = 0

Le piège

$y = x^{2} - 2$ : sommet $S(-2 ; 0)$

$y = x^{2} - 2$ : sommet $S(0 ; -2)$

$\beta$ s'ajoute à l'ordonnée : c'est $y$ qui change, et le sommet reste sur l'axe des ordonnées.

Pour comprendre : la courbe de 2x² + 4x − 1

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ . On désigne par $C$ sa courbe représentative.

Vérifie que, pour tout réel $x$ , $2x^{2} + 4x - 1 = 2(x + 1)^{2} - 3$ .
Construis la parabole $P$ d'équation $y = 2(x + 1)^{2}$ , puis la courbe $C$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^{2} + bx + c$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a \ne 0$ . Écris $f(x)$ sous la forme $f(x) = a(x - p)^{2} + q$ , où $p$ et $q$ sont deux réels que tu détermineras en fonction de $a$ , $b$ et $c$ . On admet que la courbe représentative de $f$ est une parabole : détermine son sommet et son axe.

De P à C : la translation de vecteur −3j.

Le piège

$2x^{2} + 4x - 1 = 2(x + 2)^{2} - 1$

$2x^{2} + 4x - 1 = 2(x + 1)^{2} - 3$

On met d'abord $2$ en facteur : $2x^{2} + 4x$ est le double de $x^{2} + 2x$ , et c'est $x^{2} + 2x$ qui est le début du carré de $x + 1$ .

Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c

Soit $a$ , $b$ et $c$ trois réels, avec $a \ne 0$ .

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^{2} + bx + c$ . Alors $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ , où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha ; \beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ .

En pratique, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ . L'écriture $a(x - \alpha)^{2} + \beta$ est la forme canonique du trinôme.

La parabole y = −(1/2)x² + x + 2.

ax^{2} + bx + c = a(x - \alpha)^{2} + \beta

\text{sommet : } S(\alpha ; \beta) \qquad \text{axe : } x = \alpha

\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \beta = f(\alpha)

Le piège

$\alpha = \dfrac{b}{2a}$

$\alpha = -\dfrac{b}{2a}$

En développant $a(x - \alpha)^{2}$ , le terme en $x$ a pour coefficient $-2a\alpha$ : il doit être égal à $b$ , d'où le signe moins.

Le piège

$y = -x^{2} + 4x - 2$ : l'ordonnée du sommet est $c = -2$

$\alpha = 2$ et $\beta = f(2) = 2$ : le sommet est $S(2 ; 2)$

$c$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$ , pas celle du sommet : $\beta$ se calcule, c'est l'image de $\alpha$ .

Exemple : à chaque fonction sa parabole

Les trois paraboles $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ de la figure sont les courbes représentatives de trois fonctions trinômes $f$ , $g$ et $h$ telles que $f(x) = (x - 1)^{2} + 2$ , $g(x) = x^{2} + 2$ et $h(x) = -x^{2} + 2x + 3$ .

Associe chaque fonction à sa courbe représentative.

Trois paraboles, trois fonctions trinômes.

Le piège

$h(x) = -x^{2} + 2x + 3$ : $c = 3$ , donc le sommet a pour ordonnée $3$

$h(x) = -(x - 1)^{2} + 4$ : le sommet est le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $4$

$3$ est l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des ordonnées, car l'image de $0$ est $3$ .

Exemple : lire sommet, axe et équation

Dans la figure, $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ et $P_{4}$ sont quatre paraboles. Pour chacune d'elles, précise le sommet, l'axe et l'équation.

Quatre paraboles à identifier.

Le piège

Le sommet suffit pour écrire l'équation d'une parabole

Il faut aussi un autre point, pour trouver $a$

Toutes les paraboles d'équation $y = a(x - 2)^{2} + 1$ ont le même sommet $T(2 ; 1)$ : c'est le point $B$ qui fixe $a = 1$ .

Trouver l'équation d'une parabole

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $P$ la parabole de sommet $S$ , d'axe $D$ et passant par le point $A$ .

Méthode. Si le sommet est $S(\alpha ; \beta)$ , l'axe est la droite $D$ d'équation $x = \alpha$ , et l'équation de $P$ est de la forme $y = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ . On trouve $a$ en écrivant que les coordonnées de $A$ vérifient cette équation.

Détermine l'équation de la parabole $P$ dans chacun des cas suivants :

a) $S(0 ; 2)$ , $D : x = 0$ et $A(1 ; 3)$ ;
b) $S(3 ; 0)$ , $D : x = 3$ et $A(4 ; 1)$ ;
c) $S(-1 ; 1)$ , $D : x = -1$ et $A(-3 ; 9)$ ;
d) $S(2 ; -3)$ , $D : x = 2$ et $A(0 ; -1)$ .

La parabole de sommet S(−1 ; 1) passant par A(−3 ; 9).

y = a(x - \alpha)^{2} + \beta

Le piège

Cas c) : $9 = a(-3 - 1)^{2} + 1$

$9 = a(-3 + 1)^{2} + 1$

Ici $\alpha = -1$ , donc $x - \alpha$ s'écrit $x + 1$ : pour $x = -3$ , cela fait $-2$ , et non $-4$ .

Exemple : la hauteur d'une balle

Une balle est propulsée verticalement du sol. Elle est alors animée d'un mouvement rectiligne dont la loi horaire est donnée approximativement par $d(t) = -4{,}9t^{2} + 14{,}7t$ , jusqu'à ce qu'elle touche à nouveau le sol en retombant. Le temps $t$ est en secondes et la hauteur $d(t)$ en mètres.

Montre qu'au bout de $1{,}5$ seconde après son lancement, la balle atteint une hauteur maximale. Quelle est cette hauteur ?
Combien de temps dure la descente ?

La hauteur de la balle en fonction du temps.

Le piège

La descente dure $3$ secondes

Elle dure $3 - 1{,}5 = 1{,}5$ seconde

$3$ secondes, c'est tout le vol : la montée et la descente durent chacune $1{,}5$ seconde, par symétrie de la parabole.

Exemple : deux mobiles

Deux mobiles $A$ et $B$ se déplacent durant trois heures sur un axe d'origine $O$ (unité : $1$ km). Les positions des deux mobiles sont données par les abscisses $x_{A}$ et $x_{B}$ des points $M_{A}$ et $M_{B}$ . Les lois horaires des mouvements de $A$ et de $B$ sont données respectivement par $x_{A}(t) = 8t^{2} - 12t - 3{,}5$ et $x_{B}(t) = 4t^{2} - 4t - 6{,}5$ , où $t$ est exprimé en heures et $t \in [0 ; 3]$ .

Où se trouve le mobile $A$ à l'instant $t = 0$ ? Pour quelles valeurs de $t$ le mobile $A$ se trouve-t-il en $O$ ? À gauche du point $O$ ? À droite du point $O$ ?
À quel instant les mobiles $A$ et $B$ sont-ils au même endroit ?
À quel instant le mobile $B$ se trouve-t-il en $O$ ? Où se trouve alors le mobile $A$ ?

Le mobile M sur l'axe, repéré par son abscisse x(t).

Le piège

$t = -0{,}25$ est aussi un instant où le mobile $A$ est en $O$

Seul $t = 1{,}75$ convient

Le temps $t$ varie dans $[0 ; 3]$ : une racine négative n'a pas de sens ici.

Exemple : deux paraboles

Dans la figure, les paraboles $P_{1}$ et $P_{2}$ sont les courbes représentatives de deux fonctions trinômes $f$ et $g$ . On lit : $P_{1}$ a pour sommet $S(2 ; 4)$ et passe par l'origine $O$ ; $P_{2}$ a pour sommet $T(-1 ; -1)$ et passe par $A(1 ; 1)$ .

À l'aide du graphique, donne l'expression de $f$ et de $g$ en fonction de $x$ .
Calcule les coordonnées des points d'intersection des deux paraboles.
Résous l'inéquation $f(x) < g(x)$ .

Les paraboles P₁ et P₂ des fonctions f et g.

Le piège

Les points d'intersection se lisent exactement sur la figure

On les calcule : leurs abscisses sont $1 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ et $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

La lecture donne environ $-0{,}15$ et $2{,}15$ : seule l'équation donne les valeurs exactes.

Lire les signes de a, b et c

Une parabole est la courbe représentative d'une fonction trinôme définie par $f(x) = ax^{2} + bx + c$ . Sans connaître $a$ , $b$ et $c$ , la figure donne leurs signes :

le signe de $a$ : la parabole est tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ ;
le nombre de racines du trinôme : c'est le nombre de points où la parabole rencontre l'axe des abscisses ;
le signe de $c$ : $c = f(0)$ est l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées ;
le signe de $b$ : l'abscisse du sommet est $-\dfrac{b}{2a}$ ; son signe et celui de $a$ donnent celui de $b$ .

La parabole $P$ de la figure est tournée vers le haut ; son sommet $S$ a une abscisse négative ; elle coupe l'axe des abscisses en deux points, et l'axe des ordonnées au-dessous de $O$ .

Lire les signes de a, b et c.

Le piège

Le sommet est à gauche de l'axe des ordonnées, donc $b < 0$

$-\dfrac{b}{2a} < 0$ avec $a > 0$ donne $b > 0$

C'est $-\dfrac{b}{2a}$ qui est négatif, pas $b$ : il y a un signe moins, et il faut tenir compte du signe de $a$ .

Pour comprendre : la fonction racine carrée

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$ .

Montre que $f$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$ .
Complète le tableau ci-dessous. Soit $A$ un réel strictement positif : comment choisir $x$ dans $[0 ; +\infty[$ pour que $f(x) > A$ ? Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

$x$	$10^{4}$	$10^{6}$	$10^{10}$	$10^{16}$
$f(x)$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ; la courbe $C$ de la fonction $f$ est donnée par la figure. À l'aide du graphique, détermine un encadrement d'amplitude $0{,}25$ de $f(2{,}5)$ , $f(4{,}5)$ , $f(6)$ et $f(7)$ .

La courbe C de la fonction x ↦ √x.

Le piège

$\sqrt{x}$ est définie pour tout réel $x$

$\sqrt{x}$ n'existe que pour $x \ge 0$ : $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$

Aucun réel n'a un carré négatif : un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée.

Le piège

$\sqrt{x}$ monte si lentement qu'elle ne dépasse jamais une certaine valeur

$\sqrt{x}$ dépasse tout réel $A$ dès que $x > A^{2}$

Elle monte lentement, mais sans s'arrêter : la racine carrée de $10^{16}$ vaut déjà $10^{8}$ .

Exemple : racine carrée et droite

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit $C$ la courbe de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ et $D$ la droite d'équation $y = \dfrac{1}{4}x + 1$ .

Trace la droite $D$ dans le même repère que $C$ .
Résous graphiquement l'équation $\sqrt{x} = \dfrac{1}{4}x + 1$ , puis l'inéquation $\sqrt{x} < \dfrac{1}{4}x + 1$ .
Retrouve, par le calcul, les résultats de la question précédente.

La droite D touche la courbe C au point A(4 ; 2).

Le piège

L'inéquation $\sqrt{x} < \dfrac{x}{4} + 1$ a pour solutions tous les réels positifs

Tous les réels positifs sauf $4$ : $[0 ; 4[ \,\cup\, ]4 ; +\infty[$

En $x = 4$ , la courbe et la droite se touchent : il y a égalité, et l'inégalité stricte est fausse.

Fonctions du type f(x) = √(x + b)

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . On note $g$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ .

La courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x + b}$ est l'image, par la translation de vecteur $-b\vec{i}$ , de la courbe de la fonction $g$ .

La fonction $f$ est définie quand $x + b \ge 0$ , c'est-à-dire sur $[-b ; +\infty[$ , et elle est croissante sur cet intervalle.

C′ est l'image de C par la translation de vecteur −2i.

f(x) = \sqrt{x + b}

\text{image de la courbe de } x \mapsto \sqrt{x} \text{ par la translation de vecteur } -b\vec{i}

Le piège

La courbe de $\sqrt{x + 2}$ est celle de $\sqrt{x}$ décalée de $2$ vers la droite

Elle est décalée de $2$ vers la gauche : translation de vecteur $-2\vec{i}$

La courbe part du point où $x + 2$ s'annule, c'est-à-dire du point d'abscisse $-2$ .

Le piège

$\sqrt{x + 4}$ est définie sur $[4 ; +\infty[$

Elle est définie sur $[-4 ; +\infty[$

La condition est $x + 4 \ge 0$ , c'est-à-dire $x \ge -4$ .

Pour comprendre : la fonction inverse

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Sa courbe dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est donnée par la figure.

À l'aide du graphique, émets une conjecture sur la parité de $f$ , puis décris ses variations.
Complète le premier tableau. Si $x > 10^{15}$ , que peut-on dire de $f(x)$ ? Comment choisir $x$ positif pour que $f(x) < 10^{-25}$ ? Pour que $0 < f(x) < a$ , où $a > 0$ ? Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

$x$	$10^{3}$	$10^{4}$	$10^{7}$	$10^{10}$	$10^{15}$
$f(x)$

Complète le second tableau. Si $0 < x < 10^{-17}$ , que peut-on dire de $f(x)$ ? Comment choisir $x$ positif pour que $f(x) > 10^{40}$ ? Pour que $f(x) > A$ , où $A > 0$ ? Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ et $x$ plus grand que $0$ ?

$x$	$10^{-2}$	$10^{-5}$	$10^{-8}$	$10^{-12}$	$10^{-17}$
$f(x)$

La courbe de la fonction x ↦ 1/x.

Le piège

$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ privé de $0$

$f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$

L'image de $-1$ est $-1$ et celle de $1$ est $1$ : d'un négatif à un positif, l'ordre n'est pas renversé.

Le piège

$\dfrac{1}{0} = 0$

$0$ n'a pas d'inverse : $f$ n'est pas définie en $0$

Aucun nombre multiplié par $0$ ne donne $1$ .

L'hyperbole d'équation y = 1/x

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

La courbe $H$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est appelée hyperbole. Le point $O$ est appelé le centre de l'hyperbole, et les droites d'équations $x = 0$ et $y = 0$ sont appelées les asymptotes de l'hyperbole.

L'équation $y = \dfrac{1}{x}$ est une équation de l'hyperbole $H$ .

Remarque. Une hyperbole est formée de deux branches, appelées branches de l'hyperbole.

L'hyperbole H, son centre et ses asymptotes.

H : y = \frac{1}{x}

\text{centre : } O \qquad \text{asymptotes : } x = 0 \text{ et } y = 0

Le piège

L'hyperbole $H$ finit par toucher ses asymptotes

Elle s'en approche autant qu'on veut, sans jamais les toucher

L'inverse d'un nombre n'est jamais nul, et $x$ ne peut pas valoir $0$ : aucun point de $H$ n'est sur l'un des axes.

Exemple : comparer x, x², 1/x et √x

Dans la figure sont représentées la parabole $P$ d'équation $y = x^{2}$ , l'hyperbole $H$ d'équation $y = \dfrac{1}{x}$ , la courbe $C$ d'équation $y = \sqrt{x}$ et la droite $D$ d'équation $y = x$ .

Par une lecture graphique :

range dans l'ordre croissant $x$ , $x^{2}$ , $\dfrac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ , pour $x > 0$ ;
compare $x$ et $\dfrac{1}{x}$ , pour $x < 0$ .

P, H, C et D dans un même repère.

Le piège

Un nombre positif est toujours plus petit que son carré

C'est vrai pour $x > 1$ ; pour $0 < x < 1$ , on a $x^{2} < x$

Par exemple, le carré de $\dfrac{1}{2}$ est $\dfrac{1}{4}$ , qui est plus petit que $\dfrac{1}{2}$ .

Fonctions du type f(x) = a/x

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $a$ un réel non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{a}{x}$ est une hyperbole de centre $O$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = 0$ et $y = 0$ .

Si $a > 0$ , les branches sont dans les quarts de plan où $x$ et $y$ ont le même signe ; si $a < 0$ , elles sont dans les deux autres.

H (a = 1) et C (a = −1) : symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

f(x) = \frac{a}{x} \quad (a \ne 0)

\text{hyperbole de centre } O, \text{ d'asymptotes } x = 0 \text{ et } y = 0

Le piège

$y = \dfrac{3}{2x}$ n'est pas du type $\dfrac{a}{x}$

$\dfrac{3}{2x} = \dfrac{1{,}5}{x}$ : c'est le type $\dfrac{a}{x}$ avec $a = \dfrac{3}{2}$

On peut toujours ramener le coefficient de $x$ à $1$ , en divisant le numérateur et le dénominateur par $2$ .

Fonctions du type f(x) = 1/x + β

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $\beta$ un réel non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} + \beta$ est une hyperbole de centre $I(0 ; \beta)$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = 0$ et $y = \beta$ .

C'est l'image de l'hyperbole $H$ d'équation $y = \dfrac{1}{x}$ par la translation de vecteur $\beta\vec{j}$ .

C est l'image de H par la translation de vecteur −2j.

f(x) = \frac{1}{x} + \beta

\text{centre : } I(0 ; \beta) \qquad \text{asymptotes : } x = 0 \text{ et } y = \beta

Le piège

$y = -2 + \dfrac{1}{x}$ : asymptotes $x = -2$ et $y = 0$

$y = -2 + \dfrac{1}{x}$ : asymptotes $x = 0$ et $y = -2$

$-2$ s'ajoute à l'ordonnée : c'est l'asymptote horizontale qui se déplace, pas la verticale.

Fonctions du type f(x) = a/(x + α)

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $a$ un réel non nul et $\alpha$ un réel.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ privé de $-\alpha$ par $f(x) = \dfrac{a}{x + \alpha}$ est une hyperbole de centre $I(-\alpha ; 0)$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = -\alpha$ et $y = 0$ .

C'est l'image de l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{a}{x}$ par la translation de vecteur $-\alpha\vec{i}$ .

Près des asymptotes. Pour $f(x) = \dfrac{3}{x - 1}$ , on lit sur la courbe : $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et quand $x$ tend vers $-\infty$ ; $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $1$ et $x$ est supérieur à $1$ ; $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $1$ et $x$ est inférieur à $1$ .

C est l'image de H par la translation de vecteur 3i.

f(x) = \frac{a}{x + \alpha} \quad (a \ne 0)

\text{centre : } I(-\alpha ; 0) \qquad \text{asymptotes : } x = -\alpha \text{ et } y = 0

Le piège

$y = \dfrac{1}{x + 2}$ : centre $I(2 ; 0)$

$y = \dfrac{1}{x + 2}$ : centre $I(-2 ; 0)$ , asymptotes $x = -2$ et $y = 0$

L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule : $x + 2 = 0$ donne $x = -2$ .

Pour comprendre : la courbe de (x + 3)/(x + 2)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x + 3}{x + 2}$ . On note $C$ sa courbe représentative.

Détermine l'ensemble de définition $D$ de $f$ . Vérifie que $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 2}$ pour tout $x$ de $D$ . Que peut-on dire de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ? Quand $x$ tend vers $-\infty$ ?
Soit $I(-2 ; 1)$ . On considère le repère $(I, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $M$ un point du plan : on note $(x ; y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ et $(X ; Y)$ ses coordonnées dans le repère $(I, \vec{i}, \vec{j})$ . Exprime $x$ et $y$ en fonction de $X$ et $Y$ , puis montre que $M$ appartient à $C$ si et seulement si $Y = \dfrac{1}{X}$ .
Déduis-en la nature de la courbe $C$ . Donne son centre et ses asymptotes dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Dans le repère d'origine I, la courbe C a pour équation Y = 1/X.

Le piège

$\dfrac{x + 3}{x + 2} = \dfrac{3}{2}$ , en simplifiant par $x$

$\dfrac{x + 3}{x + 2} = 1 + \dfrac{1}{x + 2}$

On ne simplifie que des facteurs, jamais les termes d'une somme : on écrit le numérateur comme $x + 2$ plus $1$ , puis on sépare.

Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre réels, avec $c$ non nul.

La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ privé de $-\dfrac{d}{c}$ par $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ est une hyperbole de centre $I\left(-\dfrac{d}{c} ; \dfrac{a}{c}\right)$ et d'asymptotes les droites d'équations $x = -\dfrac{d}{c}$ et $y = \dfrac{a}{c}$ .

L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule ; l'asymptote horizontale se lit avec les coefficients de $x$ .

L'hyperbole C, son centre I et ses asymptotes.

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad (c \ne 0)

\text{centre : } I\left(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}\right)

\text{asymptotes : } x = -\frac{d}{c} \ \text{ et } \ y = \frac{a}{c}

Le piège

$g(x) = 2$ a une solution, puisque la droite $y = 2$ est une asymptote

$g(x) = 2$ n'a pas de solution

La courbe s'approche de son asymptote sans jamais la couper : la fraction qui s'ajoute à $2$ n'est jamais nulle.

Le piège

L'asymptote horizontale de $y = \dfrac{3x + 1}{2x - 4}$ est $y = 3$

C'est $y = \dfrac{3}{2}$

L'asymptote horizontale est $y = \dfrac{a}{c}$ : on divise le coefficient de $x$ du numérateur par celui du dénominateur.

Exemple : parabole et hyperbole

Dans la figure sont représentées la parabole $P : y = x^{2} - 4$ et l'hyperbole $H : y = \dfrac{-x + 2}{x}$ , courbes représentatives, respectivement, des fonctions $f$ et $g$ .

Résous graphiquement : a) $f(x) = g(x)$ ; b) $x^{3} - 4x = 2 - x$ ; c) $f(x) \ge g(x)$ .
Factorise $x^{3} - 4x$ , puis retrouve les résultats de la première question par le calcul.

La parabole P et l’hyperbole H.

Le piège

Les courbes se touchent en $A$ sans se traverser, donc $-1$ n'est pas une solution de $f(x) = g(x)$

$-1$ est une solution : $f(-1) = g(-1) = -3$

Un point commun aux deux courbes donne une solution, que les courbes se croisent ou qu'elles se touchent seulement.

Un problème pour aller plus loin : cordes parallèles

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . On désigne par $H$ l'hyperbole d'équation $y = \dfrac{2}{x}$ . Soit $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points distincts de $H$ , d'abscisses respectives $a$ , $b$ , $c$ et $d$ .

Montre que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $ab = cd$ .
On prend $a = 1$ et $b = 2$ . Soit $M$ un point de $H$ d'abscisse $x$ . La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ recoupe l'hyperbole $H$ en un point $N$ . On note $I$ le milieu du segment $[MN]$ . Montre que le point $I$ varie sur une droite, lorsque le point $M$ varie sur l'hyperbole $H$ .

Deux cordes parallèles de H, et le milieu I de [MN].

Le piège

Le coefficient directeur de $(AB)$ est $\dfrac{2}{ab}$

Il vaut $-\dfrac{2}{ab}$

En réduisant au même dénominateur, le numérateur est $2(a - b)$ , et $a - b$ est l'opposé de $b - a$ : il reste un signe moins.

Un problème pour aller plus loin : parabole et droite

Dans la figure, $P$ est une parabole et $D$ est une droite. Détermine les coordonnées des points $A$ et $B$ , intersection de $P$ et $D$ .

On lit sur la figure des points sûrs : $P$ a pour sommet $S(2 ; 1)$ et passe par $E(1 ; 0)$ ; $D$ passe par $F(2 ; -3)$ et coupe l'axe des ordonnées au point $G(0 ; -1{,}5)$ .

Indications. Utilise ces points pour déterminer une équation de $P$ et une équation de $D$ , puis calcule les coordonnées des points $A$ et $B$ .

La parabole P, la droite D et leurs points communs A et B.

Le piège

On lit sur la figure que $A$ a pour abscisse $0{,}3$ : c'est la réponse

La lecture donne une valeur approchée ; le calcul donne $x_{A} = \dfrac{19 - \sqrt{265}}{8}$

Les points $A$ et $B$ ne tombent pas sur les graduations : on lit des points sûrs pour trouver les équations, puis on calcule.

Un problème pour aller plus loin : un lieu de points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $D$ la droite d'équation $y = -2$ et $M$ un point variable de $D$ . La perpendiculaire à $D$ en $M$ et la perpendiculaire à la droite $(OM)$ en $O$ se coupent en un point $N$ .

On se propose de déterminer le lieu du point $N$ , c'est-à-dire la ligne qu'il décrit, lorsque le point $M$ varie sur la droite $D$ .

Quand M parcourt D, le point N décrit une parabole.

Le piège

$MN = y - 2$

$MN = y + 2$

Le point $M$ a pour ordonnée $-2$ : sur la même verticale, la distance de $M$ à $N$ est l'écart entre $y$ et $-2$ , donc $y + 2$ .

Pour la culture : phares et antennes

La trajectoire d'un projectile, tel qu'une balle ou un ballon, est une parabole si l'on néglige la résistance de l'air.

En faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie, on obtient la forme des miroirs paraboliques. Ces miroirs réfléchissent, sous la forme de rayons parallèles, les rayons émis par une source lumineuse située au foyer de la parabole : on utilise ce genre de réflecteurs pour les phares des automobiles et pour les projecteurs.

À retenir

La courbe de $x \mapsto x^{2}$ est la parabole $P$ de sommet $O$ et d'axe la droite d'équation $x = 0$ .
$f(x) = ax^{2}$ avec $a \ne 0$ : parabole de sommet $O$ , tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .
$f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ : parabole de sommet $S(\alpha ; \beta)$ et d'axe $x = \alpha$ .
$ax^{2} + bx + c = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .
La courbe de $x \mapsto \sqrt{x + b}$ est l'image de celle de $x \mapsto \sqrt{x}$ par la translation de vecteur $-b\vec{i}$ .
La courbe de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est l'hyperbole $H$ de centre $O$ et d'asymptotes $x = 0$ et $y = 0$ .
$f(x) = \dfrac{a}{x + \alpha}$ : hyperbole de centre $I(-\alpha ; 0)$ . $f(x) = \dfrac{1}{x} + \beta$ : hyperbole de centre $I(0 ; \beta)$ .
$f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ avec $c \ne 0$ : hyperbole de centre $I\left(-\dfrac{d}{c} ; \dfrac{a}{c}\right)$ , d'asymptotes $x = -\dfrac{d}{c}$ et $y = \dfrac{a}{c}$ .
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points communs aux deux courbes ; $f(x) < g(x)$ là où la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ .

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : la fonction carré

La parabole d'équation y = x²

Pour comprendre : la courbe de 2x²

Fonctions du type f(x) = ax²

Exemple : lire le coefficient

Pour comprendre : la courbe de (x − 2)²

Fonctions du type f(x) = a(x − α)²

Pour comprendre : la courbe de x² + 3/2

Fonctions du type f(x) = x² + β

Pour comprendre : la courbe de 2x² + 4x − 1

Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c

Exemple : à chaque fonction sa parabole

Exemple : lire sommet, axe et équation

Trouver l'équation d'une parabole

Exemple : la hauteur d'une balle

Exemple : deux mobiles

Exemple : deux paraboles

Lire les signes de a, b et c

Pour comprendre : la fonction racine carrée

Exemple : racine carrée et droite

Fonctions du type f(x) = √(x + b)

Pour comprendre : la fonction inverse

L'hyperbole d'équation y = 1/x

Exemple : comparer x, x², 1/x et √x

Fonctions du type f(x) = a/x

Fonctions du type f(x) = 1/x + β

Fonctions du type f(x) = a/(x + α)

Pour comprendre : la courbe de (x + 3)/(x + 2)

Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)

Exemple : parabole et hyperbole

Un problème pour aller plus loin : cordes parallèles

Un problème pour aller plus loin : parabole et droite

Un problème pour aller plus loin : un lieu de points

Pour la culture : phares et antennes

À toi, au tableau

Paire ou impaire ?

Dépasser dix puissance trente

Lire le coefficient

Une identité qui cache le sommet

Un ensemble de définition

Un inverse très petit

Le sommet d'un trinôme

L'ordonnée du sommet

Le minimum d'un trinôme

Le coefficient d'une parabole

L'équation développée

La hauteur maximale de la balle

Lire l'expression d'un trinôme

Le rectangle dans le triangle

Presque tous les réels positifs

Deux branches, deux réponses

Une équation sans solution

L'ordonnée du point N

Encadrer une solution

Cordes parallèles

Un carré entre deux bornes

Deux points de l'axe des abscisses

Un enclos contre un mur

Une racine au-dessus d'une droite

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : la fonction carré

La parabole d'équation y = x²

Pour comprendre : la courbe de 2x²

Fonctions du type f(x) = ax²

Exemple : lire le coefficient

Pour comprendre : la courbe de (x − 2)²

Fonctions du type f(x) = a(x − α)²

Pour comprendre : la courbe de x² + 3/2

Fonctions du type f(x) = x² + β

Pour comprendre : la courbe de 2x² + 4x − 1

Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c

Exemple : à chaque fonction sa parabole

Exemple : lire sommet, axe et équation

Trouver l'équation d'une parabole

Exemple : la hauteur d'une balle

Exemple : deux mobiles

Exemple : deux paraboles