Généralités sur les fonctions

Courbe représentative d'une fonction, lecture graphique (images, antécédents, équations, inéquations), maximum et minimum sur un intervalle, sens de variation (croissante, décroissante, constante, monotone), fonctions paires et impaires, symétries de la courbe.

26 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Une fonction associe à un réel $x$ au plus un réel $f(x).$ Ce chapitre apprend à la voir : sa courbe représentative, et tout ce qu'on y lit — les images, les antécédents, les solutions d'une équation ou d'une inéquation.

On y nomme ensuite ce que la courbe montre : le maximum et le minimum, le sens de variation, et la parité, qui se traduit par une symétrie de la courbe.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Lire la courbe d'une fonction : images, antécédents, appartenance d'un point
Résoudre graphiquement des équations et des inéquations
Reconnaître et démontrer un maximum ou un minimum sur un intervalle
Étudier le sens de variation, sur une courbe ou par le calcul
Reconnaître une fonction paire ou impaire et la symétrie de sa courbe

Activité

Pour comprendre : l'ensemble de définition

Avant de tracer une courbe, on doit savoir pour quels réels $x$ le nombre $f(x)$ existe : c'est l'ensemble de définition de la fonction.

Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ $x \mapsto x^{2} + 2x.$
2. $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ $x \mapsto \dfrac{x}{x^{2} - 1}.$
3. $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ $x \mapsto \sqrt{x - 4}.$
4. $k : [0 ; 5] \to \mathbb{R},$ $x \mapsto \dfrac{x}{x - 3}.$
5. $l : [0 ; +\infty[ \to \mathbb{R},$ $x \mapsto \sqrt{1 - x^{2}}.$

Ce qu’on observe

Détermine l'ensemble de définition de chacune des cinq fonctions.

1
Un polynôme
$x^{2} + 2x$ se calcule pour tout réel $x.$
$D_{f} = \mathbb{R}$
2
Un quotient
Le dénominateur ne doit pas s'annuler : $x^{2} - 1 = 0$ pour $x = 1$ ou pour $x = -1.$
$D_{g} = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 1\}$
3
Une racine carrée
Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul : $x - 4 \ge 0.$
$D_{h} = [4 ; +\infty[$
4
L'ensemble de départ compte
La fonction $k$ part de l'intervalle $[0 ; 5],$ et il faut encore $x \neq 3.$
$D_{k} = [0 ; 3[ \,\cup\, ]3 ; 5]$
5
Deux conditions
Il faut $x \ge 0$ et $1 - x^{2} \ge 0,$ c'est-à-dire $-1 \le x \le 1.$
$D_{l} = [0 ; 1]$

L’erreur à ne pas faire

$D_{g} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ $D_{g} = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 1\}$
$x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$ s'annule deux fois : en $1$ et en $-1.$
$D_{k} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ $D_{k} = [0 ; 3[ \,\cup\, ]3 ; 5]$
La fonction $k$ part de l'intervalle $[0 ; 5]$ : on ne cherche ses images que pour les réels de cet intervalle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma nrasmou la courbe mta3 fonction, lezem na3rfou ana houma les réels x elli 3andhom image : hedha l'ensemble de définition. Trois 7ajet dima fi belek. Polynôme mo3arref 3la R el koll. Quotient : le dénominateur ma yelzemch ykoun nul, ya3ni nna77iw les valeurs elli ywalli fihom zéro. Racine carrée : elli ta7t la racine lezem ykoun positif walla nul. W rodd belek mel ensemble de départ : ken la fonction tabda men l'intervalle men zéro l cinq, nchoufou ken les réels elli fel intervalle hedha. »

Activité

Pour comprendre : le trajet d'un cycliste

Un cycliste part d'une ville $A$ et se dirige vers une ville $B.$ Le graphique donne, à chaque instant $t$ (en minutes), la distance parcourue $d$ (en kilomètres).

1.Détermine la distance qui sépare les deux villes, la durée totale du trajet, et la distance parcourue après $60$ minutes.
2.Décris le trajet de ce cycliste.

La distance parcourue par le cycliste en fonction du temps.

Ce qu’on observe

Lis le graphique, puis décris le trajet du cycliste.

1
La distance entre les villes
Le dernier point de la courbe a pour ordonnée $20.$
$d = 20$ km
2
La durée du trajet
Ce même point a pour abscisse $100.$
$t = 100$ min
3
Après 60 minutes
Sur le dernier segment, le cycliste parcourt $10$ kilomètres en $50$ minutes, donc $2$ kilomètres en $10$ minutes.
$10 + 2 = 12$ km
4
Le trajet
Il roule $30$ minutes et parcourt $10$ kilomètres, il s'arrête $20$ minutes, puis il parcourt les $10$ kilomètres restants en $50$ minutes : il roule moins vite qu'au départ.

20

kilomètres

; \quad

100

minutes

; \quad

12

kilomètres après

60

minutes

L’erreur à ne pas faire

Entre $30$ et $50$ minutes, le cycliste roule à vitesse constanteEntre $30$ et $50$ minutes, la distance reste égale à $10$ kilomètres : le cycliste est à l'arrêt
Un segment horizontal signifie que la distance parcourue ne change pas : le temps passe, mais le cycliste n'avance pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf le graphique : fi l'axe des abscisses el wa9t bel minutes, w fi l'axe des ordonnées la distance bel kilomètres. Koll instant t 3andou distance d wa7da berk : la distance hiya fonction mta3 el wa9t. La courbe toufa fi le point d'abscisse cent et d'ordonnée vingt : le trajet ydoum cent minutes, w bin ezzouz villes famma vingt kilomètres. Bin trente w cinquante minutes, la courbe horizontale : le cycliste we9ef. W l soixante minutes, natl3ou 7atta lel courbe, w na9raw 3la l'axe des ordonnées : douze kilomètres. »

Activité

Pour comprendre : un rectangle de périmètre 10

Soit $ABCD$ un rectangle de périmètre $10$ et de côté variable $AB = x.$

1.Exprime $AD$ en fonction de $x.$
2.Soit $f$ la fonction telle que $f(x)$ soit égale à l'aire du rectangle $ABCD.$ Donne l'ensemble de définition de $f$ et l'expression de $f(x).$
3.Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, I, J).$ La courbe $\mathcal{C}$ est l'ensemble des points $M(x ; f(x)),$ avec $x \in \,]0 ; 5[.$ Place sur $\mathcal{C}$ les points d'abscisses $0{,}5$ ; $1$ ; $1{,}5$ ; $2$ ; $2{,}5$ ; $3$ ; $3{,}5$ ; $4$ et $4{,}5.$
4.Par une lecture graphique, détermine la valeur maximale de $f(x).$
5.Détermine les dimensions des rectangles dont l'aire est égale à $4.$

La courbe C de l'aire f(x) du rectangle, pour x entre 0 et 5.

Ce qu’on observe

Réponds aux cinq questions.

1
Le côté AD
Le demi-périmètre vaut $5$ : $AB + AD = 5.$
$AD = 5 - x$
2
L'aire
Les deux côtés sont des longueurs strictement positives : $x > 0$ et $5 - x > 0.$
$f(x) = x(5 - x) \quad ; \quad$ $D_{f} = \,]0 ; 5[$
3
Les points
On calcule les images une à une, par exemple $f(1) = 1 \times 4 = 4.$
$f(0{,}5) = 2{,}25 \quad ; \quad$ $f(1{,}5) = 5{,}25 \quad ; \quad$ $f(2) = 6 \quad ; \quad$ $f(2{,}5) = 6{,}25$
4
La valeur maximale
Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse $2{,}5$ et pour ordonnée $6{,}25$ : le rectangle est alors un carré.
$f(2{,}5) = 6{,}25$
5
L'aire 4
La droite horizontale de hauteur $4$ coupe la courbe aux points d'abscisses $1$ et $4$ : les côtés mesurent $1$ et $4.$
$x(5 - x) = 4 \iff x = 1$ ou $x = 4$

L’erreur à ne pas faire

$AD = 10 - x$ $AD = 5 - x$
Le périmètre compte deux fois chaque côté : $2(AB + AD) = 10,$ donc $AB + AD = 5.$
Il y a deux rectangles différents d'aire $4$ Pour $x = 1$ ou pour $x = 4,$ c'est le même rectangle, de côtés $1$ et $4$
Échanger la longueur et la largeur ne change pas le rectangle : les deux points de la courbe donnent les mêmes dimensions.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna rectangle ABCD, le périmètre mte3ou dix, w AB égale x. Le demi-périmètre houwa cinq, idhan AD égale cinq moins x, w l'aire hiya f de x égale x fois (cinq moins x). W 5ater ezzouz côtés strictement positifs, x bin zéro w cinq, w ma youselhomch. L koll x, n7ottou le point d'abscisse x et d'ordonnée f de x : les points hedhom el koll yrasmou la courbe C. 3la la courbe hedhi, le point el a3la 3andou abscisse deux virgule cinq w ordonnée six virgule vingt-cinq : hedhi l'aire maximale. W l'aire quatre nal9awha ki x égale un w ki x égale quatre. »

Définition

Représentation graphique d'une fonction

Le plan est muni d'un repère $(O, \vec{i}, \vec{j}).$ Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E.$

On appelle représentation graphique de $f,$ ou courbe représentative de $f,$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x ; f(x)),$ où $x$ appartient à $E.$

Vocabulaire. Si une fonction $f,$ définie sur un ensemble $E,$ a pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C},$ on dit que $\mathcal{C}$ a pour équation $y = f(x),$ avec $x \in E.$

Un point $M(x ; y)$ appartient donc à $\mathcal{C}$ si et seulement si $x \in E$ et $y = f(x).$

Un point M de la courbe C : son abscisse est x, son ordonnée est f(x).

appartenir à la courbe

M(x ; y) \in \mathcal{C} \iff x \in E

y = f(x)

l'équation de la courbe

\mathcal{C} : \; y = f(x), \quad

x \in E

Exemple traité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^{2} - 3x,$ et sa courbe représentative $\mathcal{C}.$ Parmi les points $A(1 ; -1),$ $B\left(\dfrac{3}{2} ; 0\right),$ $D(-2 ; 2),$ $E(\sqrt{2} ; -0{,}23)$ et $F(-6 ; 90),$ lesquels appartiennent à $\mathcal{C}$ ? Quels sont les points de $\mathcal{C}$ d'ordonnée $5$ ?

1
Le point A
On calcule l'image de l'abscisse, puis on la compare à l'ordonnée.
$f(1) = 2 - 3 = -1$ donc $A \in \mathcal{C}$
2
Les points B et F
Même calcul : chaque ordonnée est bien l'image de l'abscisse.
$f\left(\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{9}{2} - \tfrac{9}{2} = 0 \quad ; \quad$ $f(-6) = 72 + 18 = 90$
3
Le point D
L'image de $-2$ n'est pas $2.$
$f(-2) = 8 + 6 = 14 \neq 2$ donc $D \notin \mathcal{C}$
4
Le point E
$-0{,}23$ n'est qu'une valeur approchée de l'image de $\sqrt{2}.$
$f(\sqrt{2}) = 4 - 3\sqrt{2} \neq -0{,}23$ donc $E \notin \mathcal{C}$
5
L'ordonnée 5
On cherche les abscisses $x$ telles que $f(x) = 5.$
$2x^{2} - 3x - 5 = 0 \iff x = -1$ ou $x = \tfrac{5}{2}$

les points

A, \

B

F

sont sur

\mathcal{C} \quad ;

ordonnée

5 : \ x = -1

x = \tfrac{5}{2}

L’erreur à ne pas faire

$f(\sqrt{2}) \approx -0{,}24,$ donc $E(\sqrt{2} ; -0{,}23)$ est sur $\mathcal{C}$ $f(\sqrt{2}) = 4 - 3\sqrt{2},$ qui n'est pas égal à $-0{,}23$ : $E \notin \mathcal{C}$
Un point est sur la courbe quand son ordonnée est exactement l'image de son abscisse : une valeur approchée ne suffit pas.
$D(-2 ; 2) \in \mathcal{C}$ car $f(2) = 2$ $f(-2) = 14,$ donc $D(-2 ; 2) \notin \mathcal{C}$
On calcule l'image de l'abscisse du point, ici $-2,$ et non celle de son ordonnée.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la définition. Fi repère, la représentation graphique mta3 fonction f, w n9oulou zeda la courbe représentative, hiya l'ensemble des points M de coordonnées x et f de x, ki x yet3adda 3la l'ensemble de définition E el koll. W n9oulou la courbe C 3andha l'équation y égale f de x. Tfakker mli7 : le point de coordonnées x et y appartient à la courbe si et seulement si x est dans E et y égale f de x. Idhan bech na3rfou point 3la la courbe walla le, na7sbou l'image mta3 l'abscisse mte3ou, w nchoufouha tsewi l'ordonnée mte3ou walla le. »

Activité

Pour comprendre : une courbe, une fonction ?

On trace quatre courbes dans un repère : une courbe à deux bosses, qui monte puis redescend, un cercle de centre $O,$ une courbe qui monte de gauche à droite par paliers, et une parabole couchée, ouverte vers la droite.

Parmi ces courbes, lesquelles représentent une fonction ?

Une fonction associe à chaque réel $x$ au plus une image. Sur sa courbe, deux points différents ne peuvent donc pas avoir la même abscisse : toute droite parallèle à l'axe des ordonnées coupe la courbe en un point au plus.

Une verticale coupe le cercle en deux points : le cercle n'est pas la courbe d'une fonction.

Ce qu’on observe

Le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ est-il la courbe d'une fonction ?

1
Une verticale
La droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par l'abscisse $1$ coupe le cercle en deux points $M$ et $N.$
2
Deux ordonnées
Les deux points ont la même abscisse $1,$ mais des ordonnées opposées.
$M(1 ; \sqrt{3}) \quad ; \quad$ $N(1 ; -\sqrt{3})$
3
La conclusion
Le réel $1$ aurait deux images : c'est impossible pour une fonction.
4
Les autres courbes
La courbe à deux bosses et la courbe qui monte par paliers passent ce test : elles représentent une fonction. La parabole couchée, comme le cercle, ne le passe pas.

le cercle n'est pas la courbe d'une fonction

L’erreur à ne pas faire

Toute courbe tracée dans un repère est la courbe d'une fonctionUne courbe représente une fonction quand chaque verticale la coupe en un point au plus
Sur un cercle ou sur une parabole couchée, une même abscisse donne deux points : elle aurait deux images.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Za3ma ay courbe hiya courbe mta3 fonction ? Le. La fonction ta3ti l koll x, image wa7da 3al akthar. Idhan 3la la courbe mte3ha, ma nal9awch zouz points wa7ed fou9 le5er, 3andhom nafs l'abscisse. Le test sehel : nmachiw droite verticale ; ken t9oss la courbe fi zouz points walla akthar, mouch fonction. Chouf le cercle : la verticale elli tet3adda men un t9ossou fi zouz points, M w N. Idhan le cercle ma ymathelch fonction, w la parabole couchée zeda le. »

Méthode

Lire une courbe : images et antécédents

La courbe de la figure est la représentation graphique d'une fonction $f.$

Lis sur ce graphique : 1. les images de $1,$ de $2$ et de $\dfrac{5}{2}$ par $f$ ; 2. les antécédents de $0$ ; 3. la valeur minimale de $f(x)$ ; 4. le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = -\dfrac{1}{2}$ ; 5. l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) < 0.$

La méthode. L'image de $a$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a.$ Les antécédents de $k$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ : ce sont les solutions de l'équation $f(x) = k.$ Les solutions de l'inéquation $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d'équation $y = k.$

La courbe de la fonction f.

image et antécédent

f(a) = b \iff

le point

(a ; b)

est sur la courbe

Exemple traité

Réponds aux cinq questions par lecture graphique.

1
Les images
On part de l'abscisse, on rejoint la courbe, puis on lit l'ordonnée.
$f(1) = -1 \quad ; \quad$ $f(2) = 0 \quad ; \quad$ $f\left(\tfrac{5}{2}\right) = \tfrac{5}{4}$
2
Les antécédents de 0
La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points.
$f(x) = 0 \iff x = -2$ ou $x = 0$ ou $x = 2$
3
La valeur minimale
Les deux points les plus bas ont pour ordonnée $-1$ ; leurs abscisses sont $-1$ et $1.$
$f(-1) = f(1) = -1$
4
Une droite horizontale
La droite d'équation $y = -\dfrac{1}{2}$ coupe la courbe en quatre points : l'équation $f(x) = -\dfrac{1}{2}$ a quatre solutions.
5
L'inéquation
La courbe est au-dessous de l'axe des abscisses entre $-2$ et $2,$ sauf à l'origine, où $f(0) = 0.$
$f(x) < 0 \iff x \in \,]-2 ; 0[ \,\cup\, ]0 ; 2[$

L’erreur à ne pas faire

Les antécédents de $0$ : $f(0) = 0,$ donc il n'y a que $0$ Les antécédents de $0$ sont $-2,$ $0$ et $2$
On ne calcule pas l'image de $0$ : on cherche toutes les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $0.$
$f(x) < 0 \iff x \in \,]-2 ; 2[$ $f(x) < 0 \iff x \in \,]-2 ; 0[ \,\cup\, ]0 ; 2[$
En $0,$ la courbe touche l'axe des abscisses : $f(0) = 0$ n'est pas strictement négatif, il faut donc retirer $0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La courbe tet9ra men zouz jihet. Bech nal9aw image, nabdew men l'axe des abscisses : natl3ou walla nahbtou 7atta lel courbe, w na9raw l'ordonnée. Houni, f de deux virgule cinq égale un virgule vingt-cinq. Bech nal9aw les antécédents, nabdew men l'axe des ordonnées : nrasmou l'horizontale, w na9raw les abscisses mta3 les points el koll elli t9oss fihom la courbe. Les antécédents de zéro houma moins deux, zéro w deux. W ki n7ellou f de x égale k, nlawjou 3la les antécédents de k. W f de x strictement inférieur à zéro, houma les abscisses mta3 les points elli ta7t l'axe des abscisses. »

Application

Exemple : comparer deux fonctions sur un graphique

Dans la figure, on a représenté deux fonctions $f$ et $g$ : $\mathcal{C}_{f}$ en rouge et $\mathcal{C}_{g}$ en bleu.

1.Lis l'image de $-1$ par $f$ et par $g.$
2.Résous graphiquement : a) $f(x) = 2$ ; b) $g(x) = 3$ ; c) $f(x) = g(x)$ ; d) $f(x) < -1.$
3.Compare $f(x)$ et $g(x)$ lorsque $x$ est un réel de l'intervalle $[-3 ; 1].$

Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Là où $\mathcal{C}_{g}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{f},$ on a $g(x) > f(x).$

Les courbes Cf et Cg des fonctions f et g.

Exemple traité

Réponds aux trois questions par lecture graphique.

1
Les images de −1
On lit l'ordonnée du point d'abscisse $-1$ sur chaque courbe.
$f(-1) = -1 \quad ; \quad$ $g(-1) = 2$
2
$f(x) = 2$
La droite horizontale de hauteur $2$ coupe $\mathcal{C}_{f}$ en deux points.
$x = -3$ ou $x = 5$
3
$g(x) = 3$
Le point le plus haut de $\mathcal{C}_{g}$ a pour ordonnée $2{,}5$ : aucun point de cette courbe n'a pour ordonnée $3.$
$S = \varnothing$
4
$f(x) = g(x)$
Les deux courbes se coupent en $A$ et en $B$ : on lit leurs abscisses.
$x = -3$ ou $x = 1$
5
$f(x) < -1$
$\mathcal{C}_{f}$ est au-dessous de la droite de hauteur $-1$ entre les abscisses $-1$ et $3.$
$S = \,]-1 ; 3[$
6
Sur [−3 ; 1]
Entre $A$ et $B,$ la courbe de $g$ est au-dessus de celle de $f.$
$g(x) \ge f(x)$ pour tout $x \in [-3 ; 1]$

L’erreur à ne pas faire

$f(x) = g(x)$ a pour solutions $2$ et $-2$ $f(x) = g(x) \iff x = -3$ ou $x = 1$
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection $A$ et $B,$ pas leurs ordonnées.
$g(x) = 3$ : on lit $x = 3$ sur l'axe des abscissesL'équation $g(x) = 3$ n'a pas de solution
Le nombre $3$ est une ordonnée : on trace l'horizontale de hauteur $3,$ et elle ne rencontre pas $\mathcal{C}_{g}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz courbes fi nafs le repère : C f bel a7mer, w C g bel azra9. Bech n7ellou f de x égale g de x, nlawjou 3la les points win ezzouz courbes yetle9aw, w na9raw les abscisses mte3hom : houni moins trois w un. Bech ncompariw f de x w g de x, nchoufou ana courbe el fou9. Bin moins trois w un, la courbe ezzar9a fou9 el 7amra : g de x supérieur ou égal à f de x. W rodd belek : g de x égale trois ma 3andhech 7atta solution, 5ater la courbe mta3 g ma tatla3ch akthar men deux virgule cinq. »

Activité

Pour comprendre : la plus petite valeur

La figure montre la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-4 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}.$

1.Détermine graphiquement la valeur minimale de $f(x).$ Pour quelle valeur de $x$ cette valeur minimale est-elle atteinte ?
2.Vérifie ce résultat par le calcul.

La courbe de f sur [−4 ; 4].

Ce qu’on observe

Lis la valeur minimale sur la courbe, puis vérifie-la par le calcul.

1
La lecture
Le point le plus bas de la courbe est $A,$ d'abscisse $-1$ et d'ordonnée $-\dfrac{1}{2}.$
$f(-1) = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$
2
Une différence
Pour vérifier, on calcule $f(x) - f(-1),$ c'est-à-dire $f(x) + \dfrac{1}{2}.$
$f(x) + \frac{1}{2} = \frac{2x + x^{2} + 1}{2(x^{2} + 1)} = \frac{(x + 1)^{2}}{2(x^{2} + 1)}$
3
Le signe
Un carré est positif ou nul, et le dénominateur est strictement positif.
$f(x) + \frac{1}{2} \ge 0$ donc $f(x) \ge -\frac{1}{2}$

pour tout

x

[-4 ; 4], \quad

f(x) \ge f(-1) = -\frac{1}{2}

L’erreur à ne pas faire

La valeur minimale de $f(x)$ est $-1$ La valeur minimale est $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$ ; elle est atteinte pour $x = -1$
La valeur minimale se lit sur l'axe des ordonnées ; $-1$ est seulement l'abscisse du point le plus bas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la courbe mta3 f de x égale x sur (x au carré plus un), bin moins quatre w quatre. Le point el awta fiha houwa le point A, l'abscisse mte3ou moins un w l'ordonnée mte3ou moins un demi. Idhan na9raw : asghar valeur mta3 f de x hiya moins un demi, w nal9awha ki x égale moins un. Ama le9raya wa7adha ma tekfich, lezem nthabbtouha bel calcul : f de x plus un demi égale (x plus un) au carré, sur deux fois (x au carré plus un). Hedha positif walla nul, idhan f de x dima supérieur ou égal à moins un demi. »

Définition

Maximum et minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I.$

La fonction $f$ admet un minimum en $a$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout réel $x$ de $I,$ $f(x) \ge f(a).$ Le réel $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I.$

La fonction $f$ admet un maximum en $a$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout réel $x$ de $I,$ $f(x) \le f(a).$ Le réel $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I.$

Sur la courbe, le minimum est l'ordonnée du point le plus bas, le maximum celle du point le plus haut. Pour le prouver par le calcul, on étudie le signe de la différence $f(x) - f(a).$

f(a) est le minimum de f sur I

f(x) \ge f(a)

pour tout

x \in I

f(a) est le maximum de f sur I

f(x) \le f(a)

pour tout

x \in I

Exemple traité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + 2x - 3.$ Calcule $f(-1),$ puis $f(x) - f(-1).$ Déduis-en que $f$ admet un minimum, que l'on précisera.

1
L'image de −1
On remplace $x$ par $-1.$
$f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$
2
La différence
On reconnaît une identité remarquable.
$f(x) - f(-1) = x^{2} + 2x - 3 + 4 = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$
3
Le signe
Un carré est positif ou nul : pour tout réel $x,$ $f(x) - f(-1) \ge 0.$
$f(x) \ge f(-1)$

f

admet un minimum en

-1,

égal à

-4

L’erreur à ne pas faire

Le minimum de $f$ est $-1$ Le minimum de $f$ est $f(-1) = -4$ ; il est atteint en $-1$
Le minimum est une valeur de la fonction, le nombre $f(a)$ ; le réel $a$ est seulement l'endroit où elle est atteinte.
$f(0) = -3 \ge -4$ et $f(1) = 0 \ge -4,$ donc $-4$ est le minimum $f(x) - (-4) = (x + 1)^{2} \ge 0$ pour tout réel $x$
Quelques valeurs ne prouvent rien : l'inégalité $f(x) \ge f(a)$ doit être vraie pour tous les réels $x$ de l'intervalle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la définition. f mo3arrfa 3la intervalle I, w a réel men I. N9oulou f admet un minimum en a sur I, ki l koll x men I, f de x supérieur ou égal à f de a. El minimum houwa le nombre f de a. W kif kif, f admet un maximum en a, ki l koll x men I, f de x inférieur ou égal à f de a. 3la la courbe, el minimum houwa l'ordonnée mta3 le point el awta, w el maximum houwa l'ordonnée mta3 le point el a3la. W bech nbayynouh, na7sbou f de x moins f de a, w nlawjou 3la le signe mte3ou. »

Application

Exemple : un maximum sur un intervalle, pas sur R

La figure montre la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}.$

1.Par une lecture graphique, détermine le maximum $M$ et le minimum $m$ de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{7}{2}\right].$
2.A-t-on $f(x) \le M$ pour tout réel $x$ ? A-t-on $f(x) \ge m$ pour tout réel $x$ ?

La courbe de f, définie sur R.

Exemple traité

Lis le maximum, noté grand $M,$ et le minimum, noté petit $m,$ sur l'intervalle, puis dis si ce sont encore le maximum et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}.$

1
Sur l'intervalle
Entre les abscisses $0$ et $3{,}5,$ le point le plus haut est $S,$ d'ordonnée $2$ ; les points les plus bas sont l'origine et $T,$ d'ordonnée $0.$
$M = f(1) = 2 \quad ; \quad$ $m = f(0) = f(3) = 0$
2
Plus haut que grand M
À droite de l'abscisse $4,$ la courbe monte au-dessus de la hauteur $2$ : l'inégalité $f(x) \le M$ n'est pas vraie pour tout réel $x.$
3
Plus bas que petit m
À gauche de l'origine, la courbe passe au-dessous de l'axe des abscisses : l'inégalité $f(x) \ge m$ n'est pas vraie pour tout réel $x.$

maximum

M = 2

et minimum

m = 0

sur

\left[0 ; \tfrac{7}{2}\right],

mais pas sur

\mathbb{R}

L’erreur à ne pas faire

$2$ est le maximum de $f$ $2$ est le maximum de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{7}{2}\right]$
Un maximum ou un minimum dépend de l'intervalle : sur $\mathbb{R},$ $2$ n'est plus le maximum, puisque la courbe monte plus haut.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Thabbet fel courbe hedhi : la fonction mo3arrfa 3la R, ama nekhdmou 3liha ken 3la l'intervalle men zéro l sept demis. 3la l'intervalle hedha, le point el a3la 3andou ordonnée deux : le maximum houwa grand M égale deux, w nal9awh en un. Les points el awta 3andhom ordonnée zéro : le minimum houwa petit m égale zéro, w nal9awh en zéro w en trois. Ama 3la R el koll, hedha ma 3adech s7i7 : 3la imin quatre, la courbe tatla3 akthar men deux, w 3la isar zéro, tahbet ta7t zéro. El maximum w el minimum dima na3tiwhom m3a l'intervalle mte3hom. »

Activité

Pour comprendre : monter, descendre, rester constante

La courbe de la figure est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-4 ; 7].$

1.Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $[-4 ; -1]$ tels que $a \le b.$ Compare $f(a)$ et $f(b).$
2.Reprends la même question lorsque : a) $a$ et $b$ appartiennent à $[-1 ; 4]$ et $a \le b$ ; b) $a$ et $b$ appartiennent à $[4 ; 7]$ et $a \le b.$

La courbe de f sur [−4 ; 7].

Ce qu’on observe

Compare $f(a)$ et $f(b)$ sur chacun des trois intervalles, avec $a \le b.$

1
Sur [−4 ; −1]
La courbe monte : quand l'abscisse augmente, l'ordonnée augmente aussi.
$a \le b \ \Rightarrow \ f(a) \le f(b)$
2
Sur [−1 ; 4]
La courbe descend : quand l'abscisse augmente, l'ordonnée diminue.
$a \le b \ \Rightarrow \ f(a) \ge f(b)$
3
Sur [4 ; 7]
La courbe est horizontale : tous ses points ont la même ordonnée $-2.$
$f(a) = f(b) = -2$

L’erreur à ne pas faire

Sur $[-1 ; 4],$ $a \le b$ donc $f(a) \le f(b)$ Sur $[-1 ; 4],$ $a \le b$ donne $f(a) \ge f(b)$
Quand la courbe descend, les images sont rangées dans l'ordre contraire de celui des abscisses.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Netabb3ou la courbe hedhi men el isar lel imin. Men moins quatre l moins un, tal3a : ken a asghar men b, f de a asghar men f de b. Les images mrattbin kif les abscisses. Men moins un l quatre, habta : ken a asghar men b, f de a akber men f de b. L'ordre yetbaddel. W men quatre l sept, horizontale : les images el koll égales à moins deux. Tatla3, tahbet, to93od horizontale : hedhom les trois 7alet elli bech nsammiwhom. »

Définition

Sens de variation d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ et $I$ un intervalle inclus dans $E.$

La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b,$ $f(a) \le f(b).$

La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b,$ $f(a) \ge f(b).$

La fonction $f$ est constante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I,$ $f(a) = f(b).$

Vocabulaire. Une fonction est dite monotone sur un intervalle $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I.$

Pour étudier le sens de variation par le calcul, on prend $a \le b$ dans $I$ et on cherche le signe de $f(b) - f(a).$

f croissante sur I

a \le b \ \Rightarrow \ f(a) \le f(b)

f décroissante sur I

a \le b \ \Rightarrow \ f(a) \ge f(b)

f constante sur I

f(a) = f(b)

Exemple traité

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^{2} + 4x + 1.$ Étudie le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]-\infty ; 2],$ puis sur l'intervalle $[2 ; +\infty[.$

1
La différence
On prend deux réels $a \le b$ et on factorise $f(b) - f(a).$
$f(b) - f(a) = -(b^{2} - a^{2}) + 4(b - a) = (b - a)(4 - a - b)$
2
Sur ]−∞ ; 2]
$a \le 2$ et $b \le 2$ donnent $a + b \le 4$ : les deux facteurs sont positifs ou nuls.
$f(b) - f(a) \ge 0$ donc $f(a) \le f(b)$
3
Sur [2 ; +∞[
$a \ge 2$ et $b \ge 2$ donnent $a + b \ge 4$ : le facteur $4 - a - b$ est négatif ou nul.
$f(b) - f(a) \le 0$ donc $f(a) \ge f(b)$

f

est croissante sur

]-\infty ; 2]

et décroissante sur

[2 ; +\infty[

L’erreur à ne pas faire

$f(0) = 1$ et $f(1) = 4$ : $f(0) \le f(1),$ donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ $f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$ seulement : $f(2) = 5$ et $f(3) = 4$
Comparer deux images ne suffit pas : l'inégalité doit être vraie pour tous les réels $a \le b$ de l'intervalle.
$f$ est décroissante sur $[2 ; +\infty[,$ donc $f(x) \le 0$ sur cet intervalle $f(2) = 5 > 0$ : décroissante ne veut pas dire négative
Le sens de variation compare les images entre elles ; il ne dit rien de leur signe.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa el kelmet. f croissante sur intervalle I, ki l koll a w b men I, a inférieur ou égal à b ta3tina f de a inférieur ou égal à f de b : la fonction t5alli l'ordre kima houwa. f décroissante sur I, ki a inférieur ou égal à b ta3tina f de a supérieur ou égal à f de b : la fonction tbaddel l'ordre. W f constante sur I, ki les images el koll yetsewew. Fonction croissante sur I, walla décroissante sur I, n9oulou 3liha monotone sur I. W bech nbayynouha bel calcul, ne5dhou a inférieur ou égal à b, w nlawjou 3la le signe mta3 f de b moins f de a. »

Méthode

Décrire les variations à partir d'une courbe

Décris les variations de la fonction $f$ dont la courbe est tracée sur la figure.

La méthode. On parcourt la courbe de gauche à droite et on repère les abscisses où elle change d'allure. Sur chaque intervalle ainsi délimité, on dit si la fonction est croissante (la courbe monte), décroissante (la courbe descend) ou constante (la courbe est horizontale). On donne toujours des intervalles de l'axe des abscisses.

Deux cas simples : une courbe qui monte sur tout l'ensemble de définition est celle d'une fonction croissante ; une droite parallèle à l'axe des abscisses est la courbe d'une fonction constante.

La courbe d'une fonction f définie sur [−3 ; 3].

Exemple traité

Décris les variations de $f$ sur $[-3 ; 3].$

1
Les changements d'allure
La courbe change de sens aux points d'abscisses $-1$ et $0$ : on découpe en trois intervalles.
$[-3 ; -1] \quad ; \quad$ $[-1 ; 0] \quad ; \quad$ $[0 ; 3]$
2
De −3 à −1
La courbe descend de l'ordonnée $2$ à l'ordonnée $-1$ : $f$ est décroissante sur $[-3 ; -1].$
3
De −1 à 0
La courbe monte de l'ordonnée $-1$ à l'ordonnée $1$ : $f$ est croissante sur $[-1 ; 0].$
4
De 0 à 3
La courbe redescend : $f$ est décroissante sur $[0 ; 3].$

f

décroissante sur

[-3 ; -1],

croissante sur

[-1 ; 0],

décroissante sur

[0 ; 3]

L’erreur à ne pas faire

$f$ est décroissante sur $[-1 ; 2]$ $f$ est décroissante sur $[-3 ; -1]$
L'intervalle se lit sur l'axe des abscisses : de $-1$ à $2,$ ce sont les ordonnées parcourues, pas les abscisses.
$f$ est décroissante sur $[-3 ; -1]$ et sur $[0 ; 3],$ donc $f$ est décroissante sur $[-3 ; 3]$ $f$ n'est pas monotone sur $[-3 ; 3]$ : elle est croissante sur $[-1 ; 0]$
Le sens de variation se donne intervalle par intervalle ; ici $f(-1) = -1$ est plus petit que $f(0) = 1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nousfou les variations mta3 fonction men la courbe mte3ha, netabb3ouha men el isar lel imin, w n9ayydou les abscisses win tbaddel 7alha. Houni, la courbe tahbet men moins trois l moins un, tatla3 men moins un l zéro, w terja3 tahbet men zéro l trois. Idhan nektbou : f décroissante sur l'intervalle men moins trois l moins un, croissante sur l'intervalle men moins un l zéro, w décroissante sur l'intervalle men zéro l trois. Rodd belek, les intervalles hedhom dima na9rawhom 3la l'axe des abscisses, mouch 3la l'axe des ordonnées. »

Activité

Pour comprendre : des aires qui varient dans un triangle

$ABC$ est un triangle isocèle de sommet principal $A,$ tel que $AB = 5$ et $BC = 6.$ Le point $M$ se déplace sur le segment $[AB],$ privé des deux points $A$ et $B.$ $N$ et $Q$ sont deux points, respectivement de $[AC]$ et de $[BC],$ tels que $MNQB$ soit un parallélogramme. On pose $AM = x.$

Lorsque $M$ se déplace de $A$ vers $B,$ comment varient l'aire du triangle $AMN,$ celle du triangle $NCQ,$ celle du triangle $ABC$ et celle du parallélogramme $MNQB$ ?

AB = AC = 5, BC = 6 et AM = x.

Ce qu’on observe

Dis comment varie chacune des quatre aires quand $x$ augmente de $0$ à $5.$

1
Le triangle ABC
Il ne dépend pas de $M.$ Sa hauteur issue de $A$ vaut $4,$ car $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ : son aire est constante.
$\text{aire}(ABC) = \frac{6 \times 4}{2} = 12$
2
Le triangle AMN
Quand $M$ s'éloigne de $A,$ le triangle $AMN$ grandit : son aire est une fonction croissante de $x.$
3
Le triangle NCQ
Dans le même temps, $N$ se rapproche de $C$ et le triangle $NCQ$ rétrécit : son aire est une fonction décroissante de $x.$
4
Le parallélogramme
Il est aplati quand $M$ est près de $A,$ et aussi quand $M$ est près de $B$ : son aire augmente, puis diminue.
$\text{aire}(MNQB) = 12 - \text{aire}(AMN) - \text{aire}(NCQ)$

L’erreur à ne pas faire

Quand $x$ augmente, toutes les aires augmententL'aire de $AMN$ augmente, celle de $NCQ$ diminue, celle de $ABC$ reste égale à $12$
Chaque aire est une fonction différente de $x$ : il faut regarder comment chaque figure se déforme quand $M$ descend vers $B.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna triangle isocèle ABC, w point M yet7arrek 3la le côté AB, men A l B. N7ottou AM égale x : x yzid men zéro l cinq. Nchoufou quatre aires. L'aire mta3 le triangle el kbir ABC ma tetbaddelch : hiya douze, fonction constante. L'aire mta3 le triangle es-sghir AMN tekber ki M yahbet : fonction croissante. L'aire mta3 le triangle NCQ tesgher : fonction décroissante. W l'aire mta3 le parallélogramme MNQB, nulle au début w nulle à la fin : tzid, w ba3d ton9os. Quatre aires, quatre fonctions de x, w koll wa7da 3andha 7alha. »

Application

Exemple : reconnaître la courbe de chaque aire

On reprend le triangle isocèle $ABC$ ( $AB = 5,$ $BC = 6$ ), le point $M$ de $[AB]$ avec $AM = x,$ et le parallélogramme $MNQB.$ Sur le graphique, les courbes $\mathcal{C}_{1},$ $\mathcal{C}_{2},$ $\mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ représentent, en fonction de $x,$ les aires des triangles $AMN,$ $NCQ,$ $ABC$ et celle du parallélogramme $MNQB,$ lorsque $M$ se déplace de $A$ vers $B.$

1.Comment varie l'aire du triangle $AMN$ ? Quelle est la courbe associée à cette aire ? Reprends ces deux questions pour les triangles $NCQ$ et $ABC.$
2.a) Détermine graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du parallélogramme est maximale.
3. b) Dans ce cas, que peut-on dire des aires des triangles $AMN$ et $NCQ$ ? Compare alors l'aire du parallélogramme $MNQB$ à celle du triangle $ABC.$

Les quatre aires en fonction de x.

Exemple traité

Associe chaque aire à sa courbe, puis étudie le parallélogramme d'aire maximale.

1
Les trois triangles
L'aire de $ABC$ est constante : c'est $\mathcal{C}_{1}.$ L'aire de $AMN$ est croissante et part de $0$ : c'est $\mathcal{C}_{3}.$ L'aire de $NCQ$ est décroissante et part de $12$ : c'est $\mathcal{C}_{2}.$
2
Le parallélogramme
Il reste $\mathcal{C}_{4},$ qui monte puis descend. Son point le plus haut a pour abscisse $2{,}5$ et pour ordonnée $6.$
$x = 2{,}5 \quad ;$ aire maximale $= 6$
3
Les deux triangles
Pour $x = 2{,}5,$ les courbes $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ se coupent : les triangles $AMN$ et $NCQ$ ont la même aire, $3.$
$\text{aire}(AMN) = \text{aire}(NCQ) = 3$
4
La moitié
L'aire du parallélogramme est alors la moitié de celle du triangle $ABC.$
$12 - 3 - 3 = 6 = \frac{12}{2}$

L’erreur à ne pas faire

L'aire du parallélogramme est maximale pour $x = 6$ Elle est maximale pour $x = 2{,}5,$ et ce maximum vaut $6$
La valeur de $x$ se lit sur l'axe des abscisses ; $6$ est l'ordonnée du sommet de $\mathcal{C}_{4},$ c'est-à-dire l'aire maximale.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhom el quatre aires marsoumin en fonction de x. Kifech na3rfou koll wa7da ? Le triangle ABC 3andou aire constante, douze : hedhi la courbe horizontale, C un. L'aire mta3 AMN croissante w tabda men zéro : hedhi C trois. L'aire mta3 NCQ décroissante w tabda men douze : hedhi C deux. To93od C quatre lel parallélogramme : tatla3, w ba3d tahbet. Le sommet mte3ha 3andou abscisse deux virgule cinq w ordonnée six. Idhan l'aire mta3 le parallélogramme maximale ki M fi le milieu de AB, w wa9tha tsewi six, ennoss mta3 l'aire du triangle ABC. »

Activité

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Soit $f$ la fonction définie sur $[-4 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 1}.$

1.a) Vérifie que si $x \in [-4 ; 4],$ alors $-x \in [-4 ; 4].$
2. b) Compare $f(-x)$ et $f(x).$
3.On munit le plan d'un repère orthogonal $(O, I, J)$ et on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère. Soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-x.$ Montre que les points $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
4.On a représenté une partie de la courbe $\mathcal{C}.$ Complète la courbe $\mathcal{C}.$

M et N ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Ce qu’on observe

Réponds aux trois questions.

1
L'intervalle
Si $-4 \le x \le 4,$ alors, en multipliant par $-1,$ on obtient $-4 \le -x \le 4.$
$x \in [-4 ; 4] \ \Rightarrow \ -x \in [-4 ; 4]$
2
Les images
Un réel et son opposé ont le même carré.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^{2} + 1} = \frac{1}{x^{2} + 1} = f(x)$
3
Les points M et N
Ils ont des abscisses opposées et la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
$M(x ; f(x)) \quad ; \quad$ $N(-x ; f(x))$
4
La courbe
On complète la partie connue par son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

L’erreur à ne pas faire

$f(-x) = \dfrac{1}{-x^{2} + 1}$ $f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^{2} + 1} = \dfrac{1}{x^{2} + 1}$
On remplace $x$ par $-x$ entre parenthèses : $(-x)^{2} = x^{2},$ alors que $-x^{2}$ est l'opposé de $x^{2}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou f de x égale un sur (x au carré plus un), bin moins quatre w quatre. 9bal koll chay, ken x fel intervalle hedha, moins x zeda fih. W 5ater nombre w l'opposé mte3ou 3andhom nafs le carré, f de moins x égale f de x. Chouf tawa les points M w N men la courbe, les abscisses mte3hom x w moins x : 3andhom nafs l'ordonnée. Idhan houma symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. W 5ater hedha s7i7 l koll x, la courbe el koll symétrique par rapport à l'axe hedha : yekfi nrasmou ennoss, w nkamlou el be9i bel symétrie. »

Définition

Fonction paire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E.$

On dit que $f$ est paire si, pour tout réel $x$ de $E,$ on a $-x \in E$ et $f(-x) = f(x).$

Conséquence. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La définition porte deux conditions : l'ensemble de définition doit contenir l'opposé de chacun de ses éléments, et les images de $x$ et de $-x$ doivent être égales.

f est pairepour tout

x \in E : \quad -x \in E

f(-x) = f(x)

Exemple traité

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}.$ Détermine son ensemble de définition, puis montre que $f$ est paire.

1
L'ensemble de définition
Il faut $1 - x^{2} \ge 0,$ c'est-à-dire $x^{2} \le 1.$
$E = [-1 ; 1]$
2
Première condition
Si $-1 \le x \le 1,$ alors $-1 \le -x \le 1.$
$x \in E \ \Rightarrow \ -x \in E$
3
Deuxième condition
On remplace $x$ par $-x,$ entre parenthèses.
$f(-x) = \sqrt{1 - (-x)^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}} = f(x)$

f

est paire

L’erreur à ne pas faire

La fonction définie sur $[-2 ; 3]$ par $f(x) = x^{2}$ est paire, car $(-x)^{2} = x^{2}$ Elle n'est pas paire : $3$ est dans $[-2 ; 3],$ mais $-3$ n'y est pas
La première condition porte sur l'ensemble de définition : il doit contenir $-x$ chaque fois qu'il contient $x.$
$f(2) = f(-2),$ donc $f$ est paireIl faut $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ de $E$
Une seule égalité ne prouve rien ; en revanche, un seul réel $x$ tel que $f(-x) \neq f(x)$ suffit à prouver que $f$ n'est pas paire.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la définition. f mo3arrfa 3la ensemble E. N9oulou f paire, ki l koll x men E, zouz 7ajet s7a7 : moins x zeda fi E, w f de moins x égale f de x. W la conséquence choftha tawa : fi repère orthogonal, la courbe mta3 fonction paire symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Ma tensech la première condition : ken l'ensemble de définition ma fihech l'opposé mta3 koll élément mennou, la fonction ma tnajjemch tkoun paire. »

Activité

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'origine

Soit $f$ la fonction définie sur $[-1 ; 1]$ par $f(x) = x^{3}.$

1.a) Vérifie que si $x \in [-1 ; 1],$ alors $-x \in [-1 ; 1].$
2. b) Compare $f(-x)$ et $f(x).$
3.On munit le plan d'un repère orthogonal $(O, I, J)$ et on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
4. a) Soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-x.$ Montre que les points $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l'origine $O.$
5. b) On a représenté une partie de la courbe $\mathcal{C}.$ Complète cette courbe.

O est le milieu de [MN] : M et N sont symétriques par rapport à l’origine.

Ce qu’on observe

Réponds aux questions.

1
L'intervalle
Si $-1 \le x \le 1,$ alors $-1 \le -x \le 1.$
$x \in [-1 ; 1] \ \Rightarrow \ -x \in [-1 ; 1]$
2
Les images
Le cube d'un opposé est l'opposé du cube.
$f(-x) = (-x)^{3} = -x^{3} = -f(x)$
3
Les points M et N
Leurs abscisses sont opposées et leurs ordonnées aussi : le milieu du segment $[MN]$ est l'origine $O.$
$M(x ; x^{3}) \quad ; \quad$ $N(-x ; -x^{3})$
4
La courbe
On complète la partie connue par son symétrique par rapport à $O.$

L’erreur à ne pas faire

$(-x)^{3} = x^{3}$ $(-x)^{3} = -x^{3}$
Un exposant impair garde le signe : $(-x)^{3} = (-x) \times (-x) \times (-x) = -x^{3}.$ C'est un exposant pair qui le fait disparaître.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nafs el 5edma m3a f de x égale x au cube, bin moins un w un. Ken x fel intervalle, moins x zeda fih. Ama el marra hedhi, f de moins x égale (moins x) au cube, ya3ni moins x au cube, ya3ni moins f de x : les images opposées. Les points M w N, elli les abscisses mte3hom x w moins x, 3andhom idhan abscisses opposées w ordonnées opposées. Le milieu du segment MN houwa l'origine O : M w N symétriques par rapport à O. Idhan la courbe el koll symétrique par rapport à l'origine du repère. »

Définition

Fonction impaire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E.$

On dit que $f$ est impaire si, pour tout réel $x$ de $E,$ on a $-x \in E$ et $f(-x) = -f(x).$

Conséquence. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

f est impairepour tout

x \in E : \quad -x \in E

f(-x) = -f(x)

Exemple traité

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ : à $x,$ on ajoute son inverse. Détermine son ensemble de définition, puis montre que $f$ est impaire.

1
L'ensemble de définition
Le dénominateur $x$ ne doit pas être nul.
$E = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
2
Première condition
Si $x \neq 0,$ alors $-x \neq 0$ : l'opposé d'un élément de $E$ est dans $E.$
$x \neq 0 \ \Rightarrow \ -x \neq 0$
3
Deuxième condition
On remplace $x$ par $-x,$ puis on met le signe moins en facteur.
$f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -\left(x + \frac{1}{x}\right) = -f(x)$

f

est impaire

L’erreur à ne pas faire

$f$ n'est pas paire, donc $f$ est impaireUne fonction peut n'être ni paire ni impaire, comme $x \mapsto x^{2} + x$
Paire et impaire ne sont pas des contraires : chacune se démontre avec sa propre égalité, $f(-x) = f(x)$ ou bien $f(-x) = -f(x).$
$f(-x) = -f(x)$ signifie que les images sont négatives $f(-x) = -f(x)$ signifie que $x$ et $-x$ ont des images opposées
Avec $f(x) = x + \dfrac{1}{x},$ où l'on ajoute à $x$ son inverse, on trouve $f(2) = 2{,}5$ et $f(-2) = -2{,}5$ : l'une est positive, l'autre négative.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W tawa la deuxième définition. f mo3arrfa 3la ensemble E. N9oulou f impaire, ki l koll x men E, moins x fi E, w f de moins x égale moins f de x. Ya3ni zouz réels opposés 3andhom images opposées. W la conséquence : la courbe mta3 fonction impaire symétrique par rapport à l'origine du repère. W rodd belek : fonction mouch paire, mouch bedharoura impaire. Barcha fonctions ma houma la paires la impaires. »

Méthode

Étudier la parité d'une fonction

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}.$ Dans chacun des cas suivants, détermine l'ensemble de définition de $f,$ puis dis si la fonction est paire, impaire, ou ni paire ni impaire.

a) $f(x) = \dfrac{x}{x - 2}$ ; b) $f(x) = \dfrac{x}{|x| - 2}$ ; c) $f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ; d) $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ ; e) $f(x) = x^{2} + \dfrac{1}{x}.$

Dans le cas d), on ajoute à $x$ son inverse ; dans le cas e), on ajoute à $x^{2}$ l'inverse de $x.$

La méthode. 1. On détermine l'ensemble de définition $E$ et on regarde s'il contient l'opposé de chacun de ses éléments. Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire. 2. On calcule $f(-x)$ et on le compare à $f(x)$ et à $-f(x).$ 3. Pour montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire, on donne un réel $x$ pour lequel $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x).$

Exemple traité

Étudie la parité dans les cas a), b) et e).

1
a) L'ensemble de définition
$E = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ : il contient $-2,$ mais pas son opposé $2.$
$-2 \in E$ et $2 \notin E$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire
2
b) L'ensemble de définition
Le dénominateur s'annule quand $|x| = 2,$ c'est-à-dire pour $x = 2$ ou pour $x = -2$ : $E$ est $\mathbb{R}$ privé de $-2$ et de $2,$ et il contient l'opposé de chacun de ses éléments.
$E = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}$
3
b) Le calcul
Un réel et son opposé ont la même valeur absolue.
$f(-x) = \frac{-x}{|-x| - 2} = -\frac{x}{|x| - 2} = -f(x)$ donc $f$ est impaire
4
e) Un contre-exemple
$E = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ contient l'opposé de chacun de ses éléments, mais les images de $1$ et de $-1$ ne sont ni égales ni opposées.
$f(1) = 2 \quad ; \quad$ $f(-1) = 0$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire

a) ni paire ni impaire

;

b) impaire

;

c) paire

;

d) impaire

;

e) ni paire ni impaire

L’erreur à ne pas faire

a) $f(-x) = \dfrac{-x}{-x - 2}$ : on ne sait pas conclurea) $E = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ ne contient pas l'opposé de $-2$ : $f$ n'est ni paire ni impaire
On commence toujours par l'ensemble de définition : s'il ne contient pas $-x$ pour chaque $x,$ la question est réglée sans calcul.
e) $f(-x) = x^{2} - \dfrac{1}{x}$ ne ressemble pas à $f(x)$ : on ne peut rien diree) $f(1) = 2$ et $f(-1) = 0$ : $f$ n'est ni paire ni impaire
Pour prouver qu'une fonction n'est ni paire ni impaire, un contre-exemple avec des nombres suffit, et il est indiscutable.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nedrsou la parité mta3 fonction, trois étapes. Un : nlawjou 3la l'ensemble de définition, w nthabbtou elli fih moins x koll ma fih x. Ken mouch hakka, wfet : la fonction ni paire ni impaire. Mathalan x sur (x moins deux) : moins deux 3andou image, ama deux le. Deux : na7sbou f de moins x. Ken l9ina f de x, la fonction paire ; ken l9ina moins f de x, hiya impaire. Trois : ken ma l9ina la hedhi la hedhika, na3tiw contre-exemple bel nombres. »

Application

Exemple : compléter une courbe par symétrie

La courbe tracée en bleu est une partie de la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5 ; 5]$ : on la connaît pour les abscisses de $0$ à $5.$

Complète cette représentation graphique dans chacun des cas suivants : a) $f$ est paire ; b) $f$ est impaire.

En bleu la partie donnée ; en rouge si f est paire ; en vert si f est impaire.

Exemple traité

Complète la courbe dans les deux cas, en t'aidant du point $S(2 ; 2).$

1
Si f est paire
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : le point $S$ donne le point d'abscisse $-2$ et de même ordonnée.
$f(-2) = f(2) = 2$
2
Si f est impaire
La courbe est symétrique par rapport à l'origine : le point $S$ donne le point d'abscisse $-2$ et d'ordonnée opposée.
$f(-2) = -f(2) = -2$
3
Toute la courbe
On fait de même pour chaque point de la partie connue : on obtient la courbe rouge si $f$ est paire, la courbe verte si $f$ est impaire.

L’erreur à ne pas faire

$f$ est impaire : on trace le symétrique par rapport à l'axe des abscisses $f$ est impaire : on trace le symétrique par rapport à l'origine $O$
Le symétrique par rapport à l'axe des abscisses garderait les mêmes abscisses que la partie connue : chaque $x$ aurait deux images.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Na3rfou la courbe ken 3al imin, l x bin zéro w cinq, w n7ebbou nkamlouha 3al isar. Ken f paire, nrasmou le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : kif elli natwiw el war9a 3la l'axe. Le point S, elli l'abscisse mte3ou deux w l'ordonnée mte3ou deux, ya3tina le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée deux. Ken f impaire, nrasmou le symétrique par rapport à l'origine : na3mlou demi-tour 7awl O. Wa9tha le point S ya3tina le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée moins deux. »

Activité

Un problème pour aller plus loin : quatre récipients

Quatre récipients $A,$ $B,$ $C$ et $D$ ont la même hauteur et la même capacité de $20$ litres. On les remplit un à un à l'aide d'un robinet à débit constant. On a représenté, pour chaque récipient, la hauteur de l'eau (en centimètres) dans le récipient en fonction du temps de remplissage écoulé (en minutes) : ce sont les courbes $\mathcal{C}_{1},$ $\mathcal{C}_{2},$ $\mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}.$

1.Détermine la hauteur de ces récipients.
2.Quel est le débit du robinet, en litres par minute ?

La hauteur de l’eau dans chaque récipient en fonction du temps.

Ce qu’on observe

Lis sur le graphique la hauteur des récipients, puis calcule le débit du robinet.

1
La hauteur
Les quatre courbes s'arrêtent au même point, d'ordonnée $40$ : quand un récipient est plein, l'eau est à $40$ centimètres.
$h = 40$ cm
2
La durée
Ce point a pour abscisse $5$ : chaque récipient est rempli en $5$ minutes.
$t = 5$ min
3
Le débit
Le robinet verse $20$ litres en $5$ minutes, toujours à la même vitesse.
$\frac{20}{5} = 4$ litres par minute

L’erreur à ne pas faire

Le débit est $\dfrac{40}{5} = 8$ litres par minuteLe débit est $\dfrac{20}{5} = 4$ litres par minute
$40$ est une hauteur en centimètres, pas un volume : le débit compare le volume versé, $20$ litres, à la durée.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha problème. Quatre récipients 3andhom nafs la hauteur w nafs la capacité, vingt litres, w n3abbiwhom b nafs le robinet, b débit constant. L koll wa7ed, rsamna la hauteur mta3 el ma en fonction du temps. El quatre courbes yabdew men l'origine w youfew fi nafs le point, d'abscisse cinq et d'ordonnée quarante. Idhan na9raw elli les récipients toulhom quarante centimètres, w yelzemhom cinq minutes bech yet3abbew. Vingt litres fi cinq minutes : le débit mta3 le robinet houwa quatre litres par minute. Ama bin le début w la fin, el quatre courbes ma yatl3ouch b nafs ettari9a. »

Application

Exemple : à chaque récipient sa courbe

On reprend les quatre récipients de $20$ litres et les courbes $\mathcal{C}_{1}$ à $\mathcal{C}_{4}$ : $\mathcal{C}_{1}$ est un segment de droite ; $\mathcal{C}_{2}$ est faite de deux segments, le premier montant lentement, le second très vite ; $\mathcal{C}_{3}$ monte vite au début, puis de plus en plus lentement ; $\mathcal{C}_{4}$ monte lentement au début, puis de plus en plus vite.

Associe chaque récipient à la courbe qui lui correspond.

Le robinet verse toujours le même volume par minute. Là où le récipient est large, ce volume s'étale : le niveau monte lentement. Là où il est étroit, le niveau monte vite.

Les quatre récipients : même hauteur, même capacité de 20 litres.

Exemple traité

Associe chacun des récipients $A,$ $B,$ $C$ et $D$ à sa courbe.

1
Le récipient B
Il a la même largeur partout : le niveau monte toujours à la même vitesse, la hauteur est proportionnelle au temps.
récipient $B$ : courbe $\mathcal{C}_{1}$
2
Le récipient C
Large en bas, étroit en haut : le niveau monte lentement pendant $4$ minutes, puis vite pendant la dernière minute.
récipient $C$ : courbe $\mathcal{C}_{2}$
3
Le récipient A
Il se resserre vers le haut : le niveau monte de plus en plus vite.
récipient $A$ : courbe $\mathcal{C}_{4}$
4
Le récipient D
Il s'élargit vers le haut : le niveau monte de plus en plus lentement.
récipient $D$ : courbe $\mathcal{C}_{3}$

L’erreur à ne pas faire

Le récipient $D,$ large en haut, va avec $\mathcal{C}_{4},$ la courbe qui monte le plus vite à la finLe récipient $D$ va avec $\mathcal{C}_{3}$ : en haut il est large, donc le niveau monte lentement à la fin
La courbe donne la hauteur de l'eau, pas la largeur du récipient : plus le récipient est large, plus la courbe est plate.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nal9aw le récipient men la courbe mte3ou ? Fekra wa7da : le robinet ysobb dima nafs la quantité mta3 el ma fel minute. Win le récipient wese3, el ma yetfarrech, w le niveau yatla3 bechwaya. Win dhayya9, le niveau yatla3 fisa3. Le cylindre B 3andou nafs la largeur el koll : la courbe mte3ou droite, C un. Le récipient C wese3 louta w dhayya9 el fou9 : bechwaya w ba3d fisa3, hedhi C deux. Le récipient A yedhya9 chwaya chwaya : le niveau yatla3 asra3 w asra3, hedhi C quatre. W le récipient D yousa3 : le niveau yatla3 abta w abta, hedhi C trois. »

Application

Un problème pour aller plus loin : un maximum par le calcul

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}.$ On se propose de déterminer, si elles existent, la valeur maximale et la valeur minimale de $f.$

1.Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a < b.$
2. a) Montre que $f(b) - f(a)$ a le même signe que $1 - ab.$
3. b) Déduis-en le sens de variation de $f$ sur $[0 ; 1]$ et sur $[1 ; +\infty[.$
4. c) Détermine alors la valeur maximale de $f$ sur $[0 ; +\infty[,$ puis sur $\mathbb{R}.$
5.Détermine la valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}.$

la différence, factorisée

f(b) - f(a) = \frac{(b - a)(1 - ab)}{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)}

Exemple traité

Résous le problème, question par question.

1
Factoriser la différence
On réduit au même dénominateur, puis on met $b - a$ en facteur au numérateur.
$b(a^{2} + 1) - a(b^{2} + 1) = (b - a) - ab(b - a) = (b - a)(1 - ab)$
2
Le signe
$b - a > 0$ et le dénominateur $(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)$ est strictement positif : $f(b) - f(a)$ a le signe de $1 - ab.$
3
Sur [0 ; 1]
Si $0 \le a < b \le 1,$ alors $ab < 1$ : la différence est positive, $f$ est croissante sur $[0 ; 1].$
$1 - ab > 0$ donc $f(a) < f(b)$
4
Sur [1 ; +∞[
Si $1 \le a < b,$ alors $ab > 1$ : la différence est négative, $f$ est décroissante sur $[1 ; +\infty[.$
$1 - ab < 0$ donc $f(a) > f(b)$
5
Le maximum
Sur $[0 ; +\infty[,$ $f$ est croissante jusqu'à $1,$ puis décroissante : son maximum est $f(1).$ Et si $x \le 0,$ alors $f(x) \le 0$ : $f(1)$ est aussi le maximum sur $\mathbb{R}.$
$f(1) = \frac{1}{2}$
6
Le minimum
$f$ est impaire : $f(-x) = -f(x).$ Comme $f(x) \le \dfrac{1}{2}$ pour tout réel $x,$ on a $f(-x) \ge -\dfrac{1}{2}$ pour tout réel $x.$
$f(-1) = -\frac{1}{2}$

maximum

\frac{1}{2}

1 \quad ;

minimum

-\frac{1}{2}

-1

L’erreur à ne pas faire

$f$ est croissante sur $[0 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; +\infty[,$ donc $f(1)$ est le maximum sur $\mathbb{R}$ Il faut encore regarder les réels négatifs : si $x \le 0,$ alors $f(x) \le 0,$ qui est plus petit que $\dfrac{1}{2}$
Les variations sur $[0 ; +\infty[$ ne disent rien de ce qui se passe sur $]-\infty ; 0]$ : on traite cet intervalle à part.
$f(b) - f(a)$ a le signe de $1 - ab,$ donc $f$ est croissante dès que $a < 1$ Il faut le signe de $1 - ab$ pour tous les réels $a < b$ de l'intervalle étudié
Le produit $ab$ dépend des deux réels : avec $a = 0{,}5$ et $b = 4,$ on a bien $a < 1,$ mais $ab = 2$ est plus grand que $1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème bech nemchiw ab3ed, w el marra hedhi blech courbe : nlawjou 3la le maximum w le minimum mta3 f de x égale x sur (x au carré plus un), 3la R. Ettari9a : ne5dhou a w b positifs, a inférieur à b, w nfactorisiw f de b moins f de a. Nal9aw nafs le signe mta3 un moins a b. Bin zéro w un, le produit a b asghar men un : f croissante. Ba3d un, a b akber men un : f décroissante. Idhan le maximum houwa f de un, ya3ni un demi. W 5ater f impaire, le minimum houwa f de moins un, ya3ni moins un demi. »

Application

Un problème pour aller plus loin : une aire dans un trapèze

$ABCD$ est un trapèze rectangle de bases $[AB]$ et $[CD],$ tel que $AB = 1,$ $BC = 2$ et $CD = 3$ ; le côté $[BC]$ est perpendiculaire aux bases. $M$ est un point du segment $[BC].$ La parallèle à $(CD)$ passant par $M$ coupe $[AD]$ en $N.$

On se propose d'étudier la variation de l'aire du polygone $MNDC$ lorsque le point $M$ varie sur le segment $[BC].$ On pose $CM = x$ et on note $g(x)$ cette aire.

1.Exprime $MN$ en fonction de $x,$ puis $g(x).$
2.Avec un logiciel de géométrie, on a mesuré $CM = 0{,}66$ et une aire de $1{,}76.$ Vérifie cette mesure.
3.Comment varie $g$ sur $[0 ; 2]$ ? Quelle est sa valeur maximale ?

AB = 1, BC = 2, CD = 3 et CM = x.

Exemple traité

Réponds aux trois questions.

1
La longueur MN
Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ : $DH = 3 - 1 = 2$ et $AH = 2.$ Le triangle $ADH$ est rectangle et isocèle : à la hauteur $x,$ le point $N$ est décalé de $x$ par rapport à $D.$
$MN = 3 - x$
2
L'aire
$MNDC$ est un trapèze de bases $CD = 3$ et $MN = 3 - x,$ et de hauteur $x.$
$g(x) = \frac{(3 + 3 - x) \times x}{2} = \frac{x(6 - x)}{2}$
3
La mesure
Pour $x = 0{,}66,$ on retrouve bien l'aire mesurée, arrondie au centième.
$g(0{,}66) = \frac{0{,}66 \times 5{,}34}{2} \approx 1{,}76$
4
Les variations
Pour $0 \le a < b \le 2,$ on a $a + b < 6$ : la différence est positive, $g$ est croissante sur $[0 ; 2].$
$g(b) - g(a) = \frac{(b - a)(6 - a - b)}{2} > 0$
5
Le maximum
Il est atteint quand $M$ est en $B$ : c'est l'aire du trapèze $ABCD$ tout entier.
$g(2) = \frac{2 \times 4}{2} = 4$

L’erreur à ne pas faire

$g(x) = 3x,$ l'aire d'un rectangle de côtés $3$ et $x$ $g(x) = \dfrac{x(6 - x)}{2}$ : $MNDC$ est un trapèze, et sa petite base $MN$ vaut $3 - x$
Le côté $[AD]$ est oblique : quand $M$ monte, le segment $[MN]$ raccourcit, et l'aire augmente de moins en moins vite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« E5er problème. Trapèze rectangle ABCD, w point M yatla3 3la le côté BC. La parallèle à CD elli tet3adda men M t9oss AD fi N, w nchoufou l'aire mta3 le polygone MNDC. N7ottou CM égale x. La base ellouteniya fiha trois, la base el fou9aniya MN fiha trois moins x, w la hauteur hiya x. Idhan l'aire hiya g de x égale x fois (six moins x), le tout sur deux. Ki M yatla3 men C l B, x yzid men zéro l deux w l'aire tzid : g croissante. Le maximum mte3ha houwa g de deux, ya3ni quatre : l'aire mta3 le trapèze el koll. »

Remarque

Pour la culture : le partage des onze chevaux

Un casse-tête arabe très ancien. Un homme veut qu'à sa mort on partage ses $11$ chevaux entre ses trois héritiers : l'aîné en aura la moitié, le deuxième le quart, le cadet le sixième. Le notaire est bien embarrassé : un cheval ne se coupe pas en morceaux !

Un parent résout le problème en prêtant un de ses chevaux. Les $12$ chevaux sont alors répartis selon le testament : les trois fils reçoivent $6,$ $3$ et $2$ chevaux. Il en reste un : le parent récupère le sien.

L'explication tient dans une addition de fractions de numérateur $1,$ que l'on appelle des fractions égyptiennes : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{12},$ et non $1.$ Le testament ne partageait pas tout l'héritage.

Avec trois héritiers et un cheval prêté, on démontre qu'il n'existe que sept partages de ce genre : ils correspondent à $7,$ $11$ (de deux façons), $17,$ $19,$ $23$ et $41$ chevaux.

le testament ne partage que onze douzièmes

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{11}{12}

Exemple traité

Vérifie le partage des $12$ chevaux, puis fais de même avec $17$ chevaux à partager en une moitié, un tiers et un neuvième.

1
Avec 12 chevaux
La moitié, le quart et le sixième de $12$ tombent juste.
$6 + 3 + 2 = 11$
2
La somme des parts
On réduit au même dénominateur $12.$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{6 + 3 + 2}{12} = \frac{11}{12}$
3
Avec 17 chevaux
On prête un cheval : la moitié, le tiers et le neuvième de $18$ sont $9,$ $6$ et $2,$ et il reste le cheval prêté.
$9 + 6 + 2 = 17 \quad ; \quad$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{17}{18}$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W fel e5er, 7keya. Rajel 5alla onze chevaux l trois wled : la moitié lel kbir, le quart lel wastani, w le sixième les-sghir. Ma tjich : el 7san ma yet9assech ! Wa7ed mel 3ayla sallefhom 7san. B douze chevaux, koll chay yji mrigel : six, trois w deux. El majmou3 onze : yo93od 7san, w moulah yrajj3ou. Esserr ? Un demi plus un quart plus un sixième égale onze douzièmes, mouch un. El wsiya ma farr9etch koll chay. »

À retenir

1.
La courbe $\mathcal{C}$ de $f$ est l'ensemble des points $M(x ; f(x)),$ avec $x \in E$ : $M(x ; y) \in \mathcal{C}$ si et seulement si $x \in E$ et $y = f(x).$
2.
L'image de $a$ est l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$ ; les antécédents de $k$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}$ d'ordonnée $k.$
3.
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points communs à $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ; $f(x) < k$ là où $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessous de la droite d'équation $y = k.$
4.
$f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $f(x) \ge f(a)$ pour tout $x$ de $I$ ; c'est le maximum si $f(x) \le f(a)$ pour tout $x$ de $I.$
5.
$f$ est croissante sur $I$ si $a \le b$ entraîne $f(a) \le f(b)$ ; décroissante si $a \le b$ entraîne $f(a) \ge f(b)$ ; monotone si elle est l'une ou l'autre.
6.
Par le calcul : le signe de $f(x) - f(a)$ pour un maximum ou un minimum, le signe de $f(b) - f(a)$ pour le sens de variation.
7.
$f$ est paire si, pour tout $x$ de $E,$ $-x \in E$ et $f(-x) = f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
8.
$f$ est impaire si, pour tout $x$ de $E,$ $-x \in E$ et $f(-x) = -f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/26
Cours lu: 0/102
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Lire la courbe d'une fonction : images, antécédents, appartenance d'un point
Résoudre graphiquement des équations et des inéquations
Reconnaître et démontrer un maximum ou un minimum sur un intervalle
Étudier le sens de variation, sur une courbe ou par le calcul
Reconnaître une fonction paire ou impaire et la symétrie de sa courbe

Pour comprendre : l'ensemble de définition

Avant de tracer une courbe, on doit savoir pour quels réels $x$ le nombre $f(x)$ existe : c'est l'ensemble de définition de la fonction.

Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto x^{2} + 2x$ .
$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto \dfrac{x}{x^{2} - 1}$ .
$h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto \sqrt{x - 4}$ .
$k : [0 ; 5] \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto \dfrac{x}{x - 3}$ .
$l : [0 ; +\infty[ \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Le piège

$D_{g} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

$D_{g} = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 1\}$

$x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$ s'annule deux fois : en $1$ et en $-1$ .

Le piège

$D_{k} = \mathbb{R} \setminus \{3\}$

$D_{k} = [0 ; 3[ \,\cup\, ]3 ; 5]$

La fonction $k$ part de l'intervalle $[0 ; 5]$ : on ne cherche ses images que pour les réels de cet intervalle.

Pour comprendre : le trajet d'un cycliste

Un cycliste part d'une ville $A$ et se dirige vers une ville $B$ . Le graphique donne, à chaque instant $t$ (en minutes), la distance parcourue $d$ (en kilomètres).

Détermine la distance qui sépare les deux villes, la durée totale du trajet, et la distance parcourue après $60$ minutes.
Décris le trajet de ce cycliste.

La distance parcourue par le cycliste en fonction du temps.

Le piège

Entre $30$ et $50$ minutes, le cycliste roule à vitesse constante

Entre $30$ et $50$ minutes, la distance reste égale à $10$ kilomètres : le cycliste est à l'arrêt

Un segment horizontal signifie que la distance parcourue ne change pas : le temps passe, mais le cycliste n'avance pas.

Pour comprendre : un rectangle de périmètre 10

Soit $ABCD$ un rectangle de périmètre $10$ et de côté variable $AB = x$ .

Exprime $AD$ en fonction de $x$ .
Soit $f$ la fonction telle que $f(x)$ soit égale à l'aire du rectangle $ABCD$ . Donne l'ensemble de définition de $f$ et l'expression de $f(x)$ .
Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, I, J)$ . La courbe $\mathcal{C}$ est l'ensemble des points $M(x ; f(x))$ , avec $x \in \,]0 ; 5[$ . Place sur $\mathcal{C}$ les points d'abscisses $0{,}5$ ; $1$ ; $1{,}5$ ; $2$ ; $2{,}5$ ; $3$ ; $3{,}5$ ; $4$ et $4{,}5$ .
Par une lecture graphique, détermine la valeur maximale de $f(x)$ .
Détermine les dimensions des rectangles dont l'aire est égale à $4$ .

La courbe C de l'aire f(x) du rectangle, pour x entre 0 et 5.

Le piège

$AD = 10 - x$

$AD = 5 - x$

Le périmètre compte deux fois chaque côté : $2(AB + AD) = 10$ , donc $AB + AD = 5$ .

Le piège

Il y a deux rectangles différents d'aire $4$

Pour $x = 1$ ou pour $x = 4$ , c'est le même rectangle, de côtés $1$ et $4$

Échanger la longueur et la largeur ne change pas le rectangle : les deux points de la courbe donnent les mêmes dimensions.

Représentation graphique d'une fonction

Le plan est muni d'un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ . Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ .

On appelle représentation graphique de $f$ , ou courbe représentative de $f$ , l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x ; f(x))$ , où $x$ appartient à $E$ .

Vocabulaire. Si une fonction $f$ , définie sur un ensemble $E$ , a pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}$ , on dit que $\mathcal{C}$ a pour équation $y = f(x)$ , avec $x \in E$ .

Un point $M(x ; y)$ appartient donc à $\mathcal{C}$ si et seulement si $x \in E$ et $y = f(x)$ .

Un point M de la courbe C : son abscisse est x, son ordonnée est f(x).

M(x ; y) \in \mathcal{C} \iff x \in E \ \text{ et } \ y = f(x)

\mathcal{C} : \; y = f(x), \quad x \in E

Le piège

$f(\sqrt{2}) \approx -0{,}24$ , donc $E(\sqrt{2} ; -0{,}23)$ est sur $\mathcal{C}$

$f(\sqrt{2}) = 4 - 3\sqrt{2}$ , qui n'est pas égal à $-0{,}23$ : $E \notin \mathcal{C}$

Un point est sur la courbe quand son ordonnée est exactement l'image de son abscisse : une valeur approchée ne suffit pas.

Le piège

$D(-2 ; 2) \in \mathcal{C}$ car $f(2) = 2$

$f(-2) = 14$ , donc $D(-2 ; 2) \notin \mathcal{C}$

On calcule l'image de l'abscisse du point, ici $-2$ , et non celle de son ordonnée.

Pour comprendre : une courbe, une fonction ?

On trace quatre courbes dans un repère : une courbe à deux bosses, qui monte puis redescend, un cercle de centre $O$ , une courbe qui monte de gauche à droite par paliers, et une parabole couchée, ouverte vers la droite.

Parmi ces courbes, lesquelles représentent une fonction ?

Une fonction associe à chaque réel $x$ au plus une image. Sur sa courbe, deux points différents ne peuvent donc pas avoir la même abscisse : toute droite parallèle à l'axe des ordonnées coupe la courbe en un point au plus.

Une verticale coupe le cercle en deux points : le cercle n'est pas la courbe d'une fonction.

Le piège

Toute courbe tracée dans un repère est la courbe d'une fonction

Une courbe représente une fonction quand chaque verticale la coupe en un point au plus

Sur un cercle ou sur une parabole couchée, une même abscisse donne deux points : elle aurait deux images.

Lire une courbe : images et antécédents

La courbe de la figure est la représentation graphique d'une fonction $f$ .

Lis sur ce graphique : 1. les images de $1$ , de $2$ et de $\dfrac{5}{2}$ par $f$ ; 2. les antécédents de $0$ ; 3. la valeur minimale de $f(x)$ ; 4. le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y = -\dfrac{1}{2}$ ; 5. l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) < 0$ .

La méthode. L'image de $a$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$ . Les antécédents de $k$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ : ce sont les solutions de l'équation $f(x) = k$ . Les solutions de l'inéquation $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d'équation $y = k$ .

La courbe de la fonction f.

f(a) = b \iff \text{le point } (a ; b) \text{ est sur la courbe}

Le piège

Les antécédents de $0$ : $f(0) = 0$ , donc il n'y a que $0$

Les antécédents de $0$ sont $-2$ , $0$ et $2$

On ne calcule pas l'image de $0$ : on cherche toutes les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $0$ .

Le piège

$f(x) < 0 \iff x \in \,]-2 ; 2[$

$f(x) < 0 \iff x \in \,]-2 ; 0[ \,\cup\, ]0 ; 2[$

En $0$ , la courbe touche l'axe des abscisses : $f(0) = 0$ n'est pas strictement négatif, il faut donc retirer $0$ .

Exemple : comparer deux fonctions sur un graphique

Dans la figure, on a représenté deux fonctions $f$ et $g$ : $\mathcal{C}_{f}$ en rouge et $\mathcal{C}_{g}$ en bleu.

Lis l'image de $-1$ par $f$ et par $g$ .
Résous graphiquement : a) $f(x) = 2$ ; b) $g(x) = 3$ ; c) $f(x) = g(x)$ ; d) $f(x) < -1$ .
Compare $f(x)$ et $g(x)$ lorsque $x$ est un réel de l'intervalle $[-3 ; 1]$ .

Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Là où $\mathcal{C}_{g}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{f}$ , on a $g(x) > f(x)$ .

Les courbes Cf et Cg des fonctions f et g.

Le piège

$f(x) = g(x)$ a pour solutions $2$ et $-2$

$f(x) = g(x) \iff x = -3$ ou $x = 1$

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection $A$ et $B$ , pas leurs ordonnées.

Le piège

$g(x) = 3$ : on lit $x = 3$ sur l'axe des abscisses

L'équation $g(x) = 3$ n'a pas de solution

Le nombre $3$ est une ordonnée : on trace l'horizontale de hauteur $3$ , et elle ne rencontre pas $\mathcal{C}_{g}$ .

Pour comprendre : la plus petite valeur

La figure montre la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-4 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}$ .

Détermine graphiquement la valeur minimale de $f(x)$ . Pour quelle valeur de $x$ cette valeur minimale est-elle atteinte ?
Vérifie ce résultat par le calcul.

La courbe de f sur [−4 ; 4].

Le piège

La valeur minimale de $f(x)$ est $-1$

La valeur minimale est $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$ ; elle est atteinte pour $x = -1$

La valeur minimale se lit sur l'axe des ordonnées ; $-1$ est seulement l'abscisse du point le plus bas.

Maximum et minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$ .

La fonction $f$ admet un minimum en $a$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout réel $x$ de $I$ , $f(x) \ge f(a)$ . Le réel $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ .

La fonction $f$ admet un maximum en $a$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout réel $x$ de $I$ , $f(x) \le f(a)$ . Le réel $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ .

Sur la courbe, le minimum est l'ordonnée du point le plus bas, le maximum celle du point le plus haut. Pour le prouver par le calcul, on étudie le signe de la différence $f(x) - f(a)$ .

f(x) \ge f(a) \ \text{ pour tout } x \in I

f(x) \le f(a) \ \text{ pour tout } x \in I

Le piège

Le minimum de $f$ est $-1$

Le minimum de $f$ est $f(-1) = -4$ ; il est atteint en $-1$

Le minimum est une valeur de la fonction, le nombre $f(a)$ ; le réel $a$ est seulement l'endroit où elle est atteinte.

Le piège

$f(0) = -3 \ge -4$ et $f(1) = 0 \ge -4$ , donc $-4$ est le minimum

$f(x) - (-4) = (x + 1)^{2} \ge 0$ pour tout réel $x$

Quelques valeurs ne prouvent rien : l'inégalité $f(x) \ge f(a)$ doit être vraie pour tous les réels $x$ de l'intervalle.

Exemple : un maximum sur un intervalle, pas sur R

La figure montre la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Par une lecture graphique, détermine le maximum $M$ et le minimum $m$ de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{7}{2}\right]$ .
A-t-on $f(x) \le M$ pour tout réel $x$ ? A-t-on $f(x) \ge m$ pour tout réel $x$ ?

La courbe de f, définie sur R.

Le piège

$2$ est le maximum de $f$

$2$ est le maximum de $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{7}{2}\right]$

Un maximum ou un minimum dépend de l'intervalle : sur $\mathbb{R}$ , $2$ n'est plus le maximum, puisque la courbe monte plus haut.

Pour comprendre : monter, descendre, rester constante

La courbe de la figure est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-4 ; 7]$ .

Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $[-4 ; -1]$ tels que $a \le b$ . Compare $f(a)$ et $f(b)$ .
Reprends la même question lorsque : a) $a$ et $b$ appartiennent à $[-1 ; 4]$ et $a \le b$ ; b) $a$ et $b$ appartiennent à $[4 ; 7]$ et $a \le b$ .

La courbe de f sur [−4 ; 7].

Le piège

Sur $[-1 ; 4]$ , $a \le b$ donc $f(a) \le f(b)$

Sur $[-1 ; 4]$ , $a \le b$ donne $f(a) \ge f(b)$

Quand la courbe descend, les images sont rangées dans l'ordre contraire de celui des abscisses.

Sens de variation d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ et $I$ un intervalle inclus dans $E$ .

La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ , $f(a) \le f(b)$ .

La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ , $f(a) \ge f(b)$ .

La fonction $f$ est constante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ , $f(a) = f(b)$ .

Vocabulaire. Une fonction est dite monotone sur un intervalle $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ .

Pour étudier le sens de variation par le calcul, on prend $a \le b$ dans $I$ et on cherche le signe de $f(b) - f(a)$ .

a \le b \ \Rightarrow \ f(a) \le f(b)

a \le b \ \Rightarrow \ f(a) \ge f(b)

f(a) = f(b)

Le piège

$f(0) = 1$ et $f(1) = 4$ : $f(0) \le f(1)$ , donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$

$f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$ seulement : $f(2) = 5$ et $f(3) = 4$

Comparer deux images ne suffit pas : l'inégalité doit être vraie pour tous les réels $a \le b$ de l'intervalle.

Le piège

$f$ est décroissante sur $[2 ; +\infty[$ , donc $f(x) \le 0$ sur cet intervalle

$f(2) = 5 > 0$ : décroissante ne veut pas dire négative

Le sens de variation compare les images entre elles ; il ne dit rien de leur signe.

Décrire les variations à partir d'une courbe

Décris les variations de la fonction $f$ dont la courbe est tracée sur la figure.

La méthode. On parcourt la courbe de gauche à droite et on repère les abscisses où elle change d'allure. Sur chaque intervalle ainsi délimité, on dit si la fonction est croissante (la courbe monte), décroissante (la courbe descend) ou constante (la courbe est horizontale). On donne toujours des intervalles de l'axe des abscisses.

Deux cas simples : une courbe qui monte sur tout l'ensemble de définition est celle d'une fonction croissante ; une droite parallèle à l'axe des abscisses est la courbe d'une fonction constante.

La courbe d'une fonction f définie sur [−3 ; 3].

Le piège

$f$ est décroissante sur $[-1 ; 2]$

$f$ est décroissante sur $[-3 ; -1]$

L'intervalle se lit sur l'axe des abscisses : de $-1$ à $2$ , ce sont les ordonnées parcourues, pas les abscisses.

Le piège

$f$ est décroissante sur $[-3 ; -1]$ et sur $[0 ; 3]$ , donc $f$ est décroissante sur $[-3 ; 3]$

$f$ n'est pas monotone sur $[-3 ; 3]$ : elle est croissante sur $[-1 ; 0]$

Le sens de variation se donne intervalle par intervalle ; ici $f(-1) = -1$ est plus petit que $f(0) = 1$ .

Pour comprendre : des aires qui varient dans un triangle

$ABC$ est un triangle isocèle de sommet principal $A$ , tel que $AB = 5$ et $BC = 6$ . Le point $M$ se déplace sur le segment $[AB]$ , privé des deux points $A$ et $B$ . $N$ et $Q$ sont deux points, respectivement de $[AC]$ et de $[BC]$ , tels que $MNQB$ soit un parallélogramme. On pose $AM = x$ .

Lorsque $M$ se déplace de $A$ vers $B$ , comment varient l'aire du triangle $AMN$ , celle du triangle $NCQ$ , celle du triangle $ABC$ et celle du parallélogramme $MNQB$ ?

AB = AC = 5, BC = 6 et AM = x.

Le piège

Quand $x$ augmente, toutes les aires augmentent

L'aire de $AMN$ augmente, celle de $NCQ$ diminue, celle de $ABC$ reste égale à $12$

Chaque aire est une fonction différente de $x$ : il faut regarder comment chaque figure se déforme quand $M$ descend vers $B$ .

Exemple : reconnaître la courbe de chaque aire

On reprend le triangle isocèle $ABC$ ( $AB = 5$ , $BC = 6$ ), le point $M$ de $[AB]$ avec $AM = x$ , et le parallélogramme $MNQB$ . Sur le graphique, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ , $\mathcal{C}_{2}$ , $\mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ représentent, en fonction de $x$ , les aires des triangles $AMN$ , $NCQ$ , $ABC$ et celle du parallélogramme $MNQB$ , lorsque $M$ se déplace de $A$ vers $B$ .

Comment varie l'aire du triangle $AMN$ ? Quelle est la courbe associée à cette aire ? Reprends ces deux questions pour les triangles $NCQ$ et $ABC$ .
a) Détermine graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du parallélogramme est maximale.
b) Dans ce cas, que peut-on dire des aires des triangles $AMN$ et $NCQ$ ? Compare alors l'aire du parallélogramme $MNQB$ à celle du triangle $ABC$ .

Les quatre aires en fonction de x.

Le piège

L'aire du parallélogramme est maximale pour $x = 6$

Elle est maximale pour $x = 2{,}5$ , et ce maximum vaut $6$

La valeur de $x$ se lit sur l'axe des abscisses ; $6$ est l'ordonnée du sommet de $\mathcal{C}_{4}$ , c'est-à-dire l'aire maximale.

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Soit $f$ la fonction définie sur $[-4 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 1}$ .

a) Vérifie que si $x \in [-4 ; 4]$ , alors $-x \in [-4 ; 4]$ .
b) Compare $f(-x)$ et $f(x)$ .
On munit le plan d'un repère orthogonal $(O, I, J)$ et on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère. Soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-x$ . Montre que les points $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
On a représenté une partie de la courbe $\mathcal{C}$ . Complète la courbe $\mathcal{C}$ .

M et N ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Le piège

$f(-x) = \dfrac{1}{-x^{2} + 1}$

$f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^{2} + 1} = \dfrac{1}{x^{2} + 1}$

On remplace $x$ par $-x$ entre parenthèses : $(-x)^{2} = x^{2}$ , alors que $-x^{2}$ est l'opposé de $x^{2}$ .

Fonction paire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ .

On dit que $f$ est paire si, pour tout réel $x$ de $E$ , on a $-x \in E$ et $f(-x) = f(x)$ .

Conséquence. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La définition porte deux conditions : l'ensemble de définition doit contenir l'opposé de chacun de ses éléments, et les images de $x$ et de $-x$ doivent être égales.

\text{pour tout } x \in E : \quad -x \in E \ \text{ et } \ f(-x) = f(x)

Le piège

La fonction définie sur $[-2 ; 3]$ par $f(x) = x^{2}$ est paire, car $(-x)^{2} = x^{2}$

Elle n'est pas paire : $3$ est dans $[-2 ; 3]$ , mais $-3$ n'y est pas

La première condition porte sur l'ensemble de définition : il doit contenir $-x$ chaque fois qu'il contient $x$ .

Le piège

$f(2) = f(-2)$ , donc $f$ est paire

Il faut $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$ de $E$

Une seule égalité ne prouve rien ; en revanche, un seul réel $x$ tel que $f(-x) \neq f(x)$ suffit à prouver que $f$ n'est pas paire.

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'origine

Soit $f$ la fonction définie sur $[-1 ; 1]$ par $f(x) = x^{3}$ .

a) Vérifie que si $x \in [-1 ; 1]$ , alors $-x \in [-1 ; 1]$ .
b) Compare $f(-x)$ et $f(x)$ .
On munit le plan d'un repère orthogonal $(O, I, J)$ et on désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
a) Soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-x$ . Montre que les points $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à l'origine $O$ .
b) On a représenté une partie de la courbe $\mathcal{C}$ . Complète cette courbe.

O est le milieu de [MN] : M et N sont symétriques par rapport à l’origine.

Le piège

$(-x)^{3} = x^{3}$

$(-x)^{3} = -x^{3}$

Un exposant impair garde le signe : $(-x)^{3} = (-x) \times (-x) \times (-x) = -x^{3}$ . C'est un exposant pair qui le fait disparaître.

Fonction impaire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ .

On dit que $f$ est impaire si, pour tout réel $x$ de $E$ , on a $-x \in E$ et $f(-x) = -f(x)$ .

Conséquence. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

\text{pour tout } x \in E : \quad -x \in E \ \text{ et } \ f(-x) = -f(x)

Le piège

$f$ n'est pas paire, donc $f$ est impaire

Une fonction peut n'être ni paire ni impaire, comme $x \mapsto x^{2} + x$

Paire et impaire ne sont pas des contraires : chacune se démontre avec sa propre égalité, $f(-x) = f(x)$ ou bien $f(-x) = -f(x)$ .

Le piège

$f(-x) = -f(x)$ signifie que les images sont négatives

$f(-x) = -f(x)$ signifie que $x$ et $-x$ ont des images opposées

Avec $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ , où l'on ajoute à $x$ son inverse, on trouve $f(2) = 2{,}5$ et $f(-2) = -2{,}5$ : l'une est positive, l'autre négative.

Étudier la parité d'une fonction

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ . Dans chacun des cas suivants, détermine l'ensemble de définition de $f$ , puis dis si la fonction est paire, impaire, ou ni paire ni impaire.

a) $f(x) = \dfrac{x}{x - 2}$ ; b) $f(x) = \dfrac{x}{|x| - 2}$ ; c) $f(x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ; d) $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ ; e) $f(x) = x^{2} + \dfrac{1}{x}$ .

Dans le cas d), on ajoute à $x$ son inverse ; dans le cas e), on ajoute à $x^{2}$ l'inverse de $x$ .

La méthode. 1. On détermine l'ensemble de définition $E$ et on regarde s'il contient l'opposé de chacun de ses éléments. Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire. 2. On calcule $f(-x)$ et on le compare à $f(x)$ et à $-f(x)$ . 3. Pour montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire, on donne un réel $x$ pour lequel $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$ .

Le piège

a) $f(-x) = \dfrac{-x}{-x - 2}$ : on ne sait pas conclure

a) $E = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ ne contient pas l'opposé de $-2$ : $f$ n'est ni paire ni impaire

On commence toujours par l'ensemble de définition : s'il ne contient pas $-x$ pour chaque $x$ , la question est réglée sans calcul.

Le piège

e) $f(-x) = x^{2} - \dfrac{1}{x}$ ne ressemble pas à $f(x)$ : on ne peut rien dire

e) $f(1) = 2$ et $f(-1) = 0$ : $f$ n'est ni paire ni impaire

Pour prouver qu'une fonction n'est ni paire ni impaire, un contre-exemple avec des nombres suffit, et il est indiscutable.

Exemple : compléter une courbe par symétrie

La courbe tracée en bleu est une partie de la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5 ; 5]$ : on la connaît pour les abscisses de $0$ à $5$ .

Complète cette représentation graphique dans chacun des cas suivants : a) $f$ est paire ; b) $f$ est impaire.

En bleu la partie donnée ; en rouge si f est paire ; en vert si f est impaire.

Le piège

$f$ est impaire : on trace le symétrique par rapport à l'axe des abscisses

$f$ est impaire : on trace le symétrique par rapport à l'origine $O$

Le symétrique par rapport à l'axe des abscisses garderait les mêmes abscisses que la partie connue : chaque $x$ aurait deux images.

Un problème pour aller plus loin : quatre récipients

Quatre récipients $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ont la même hauteur et la même capacité de $20$ litres. On les remplit un à un à l'aide d'un robinet à débit constant. On a représenté, pour chaque récipient, la hauteur de l'eau (en centimètres) dans le récipient en fonction du temps de remplissage écoulé (en minutes) : ce sont les courbes $\mathcal{C}_{1}$ , $\mathcal{C}_{2}$ , $\mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ .

Détermine la hauteur de ces récipients.
Quel est le débit du robinet, en litres par minute ?

La hauteur de l’eau dans chaque récipient en fonction du temps.

Le piège

Le débit est $\dfrac{40}{5} = 8$ litres par minute

Le débit est $\dfrac{20}{5} = 4$ litres par minute

$40$ est une hauteur en centimètres, pas un volume : le débit compare le volume versé, $20$ litres, à la durée.

Exemple : à chaque récipient sa courbe

Associe chaque récipient à la courbe qui lui correspond.

Le robinet verse toujours le même volume par minute. Là où le récipient est large, ce volume s'étale : le niveau monte lentement. Là où il est étroit, le niveau monte vite.

Les quatre récipients : même hauteur, même capacité de 20 litres.

Le piège

Le récipient $D$ , large en haut, va avec $\mathcal{C}_{4}$ , la courbe qui monte le plus vite à la fin

Le récipient $D$ va avec $\mathcal{C}_{3}$ : en haut il est large, donc le niveau monte lentement à la fin

La courbe donne la hauteur de l'eau, pas la largeur du récipient : plus le récipient est large, plus la courbe est plate.

Un problème pour aller plus loin : un maximum par le calcul

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}$ . On se propose de déterminer, si elles existent, la valeur maximale et la valeur minimale de $f$ .

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a < b$ .
a) Montre que $f(b) - f(a)$ a le même signe que $1 - ab$ .
b) Déduis-en le sens de variation de $f$ sur $[0 ; 1]$ et sur $[1 ; +\infty[$ .
c) Détermine alors la valeur maximale de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ , puis sur $\mathbb{R}$ .
Détermine la valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

f(b) - f(a) = \frac{(b - a)(1 - ab)}{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)}

Le piège

$f$ est croissante sur $[0 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; +\infty[$ , donc $f(1)$ est le maximum sur $\mathbb{R}$

Il faut encore regarder les réels négatifs : si $x \le 0$ , alors $f(x) \le 0$ , qui est plus petit que $\dfrac{1}{2}$

Les variations sur $[0 ; +\infty[$ ne disent rien de ce qui se passe sur $]-\infty ; 0]$ : on traite cet intervalle à part.

Le piège

$f(b) - f(a)$ a le signe de $1 - ab$ , donc $f$ est croissante dès que $a < 1$

Il faut le signe de $1 - ab$ pour tous les réels $a < b$ de l'intervalle étudié

Le produit $ab$ dépend des deux réels : avec $a = 0{,}5$ et $b = 4$ , on a bien $a < 1$ , mais $ab = 2$ est plus grand que $1$ .

Un problème pour aller plus loin : une aire dans un trapèze

$ABCD$ est un trapèze rectangle de bases $[AB]$ et $[CD]$ , tel que $AB = 1$ , $BC = 2$ et $CD = 3$ ; le côté $[BC]$ est perpendiculaire aux bases. $M$ est un point du segment $[BC]$ . La parallèle à $(CD)$ passant par $M$ coupe $[AD]$ en $N$ .

On se propose d'étudier la variation de l'aire du polygone $MNDC$ lorsque le point $M$ varie sur le segment $[BC]$ . On pose $CM = x$ et on note $g(x)$ cette aire.

Exprime $MN$ en fonction de $x$ , puis $g(x)$ .
Avec un logiciel de géométrie, on a mesuré $CM = 0{,}66$ et une aire de $1{,}76$ . Vérifie cette mesure.
Comment varie $g$ sur $[0 ; 2]$ ? Quelle est sa valeur maximale ?

AB = 1, BC = 2, CD = 3 et CM = x.

Le piège

$g(x) = 3x$ , l'aire d'un rectangle de côtés $3$ et $x$

$g(x) = \dfrac{x(6 - x)}{2}$ : $MNDC$ est un trapèze, et sa petite base $MN$ vaut $3 - x$

Le côté $[AD]$ est oblique : quand $M$ monte, le segment $[MN]$ raccourcit, et l'aire augmente de moins en moins vite.

Pour la culture : le partage des onze chevaux

Un parent résout le problème en prêtant un de ses chevaux. Les $12$ chevaux sont alors répartis selon le testament : les trois fils reçoivent $6$ , $3$ et $2$ chevaux. Il en reste un : le parent récupère le sien.

L'explication tient dans une addition de fractions de numérateur $1$ , que l'on appelle des fractions égyptiennes : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{12}$ , et non $1$ . Le testament ne partageait pas tout l'héritage.

Avec trois héritiers et un cheval prêté, on démontre qu'il n'existe que sept partages de ce genre : ils correspondent à $7$ , $11$ (de deux façons), $17$ , $19$ , $23$ et $41$ chevaux.

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{11}{12}

À retenir

La courbe $\mathcal{C}$ de $f$ est l'ensemble des points $M(x ; f(x))$ , avec $x \in E$ : $M(x ; y) \in \mathcal{C}$ si et seulement si $x \in E$ et $y = f(x)$ .
L'image de $a$ est l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$ ; les antécédents de $k$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}$ d'ordonnée $k$ .
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points communs à $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ; $f(x) < k$ là où $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessous de la droite d'équation $y = k$ .
$f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si $f(x) \ge f(a)$ pour tout $x$ de $I$ ; c'est le maximum si $f(x) \le f(a)$ pour tout $x$ de $I$ .
$f$ est croissante sur $I$ si $a \le b$ entraîne $f(a) \le f(b)$ ; décroissante si $a \le b$ entraîne $f(a) \ge f(b)$ ; monotone si elle est l'une ou l'autre.
Par le calcul : le signe de $f(x) - f(a)$ pour un maximum ou un minimum, le signe de $f(b) - f(a)$ pour le sens de variation.
$f$ est paire si, pour tout $x$ de $E$ , $-x \in E$ et $f(-x) = f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si, pour tout $x$ de $E$ , $-x \in E$ et $f(-x) = -f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : l'ensemble de définition

Pour comprendre : le trajet d'un cycliste

Pour comprendre : un rectangle de périmètre 10

Représentation graphique d'une fonction

Pour comprendre : une courbe, une fonction ?

Lire une courbe : images et antécédents

Exemple : comparer deux fonctions sur un graphique

Pour comprendre : la plus petite valeur

Maximum et minimum

Exemple : un maximum sur un intervalle, pas sur R

Pour comprendre : monter, descendre, rester constante

Sens de variation d'une fonction

Décrire les variations à partir d'une courbe

Pour comprendre : des aires qui varient dans un triangle

Exemple : reconnaître la courbe de chaque aire

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Fonction paire

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'origine

Fonction impaire

Étudier la parité d'une fonction

Exemple : compléter une courbe par symétrie

Un problème pour aller plus loin : quatre récipients

Exemple : à chaque récipient sa courbe

Un problème pour aller plus loin : un maximum par le calcul

Un problème pour aller plus loin : une aire dans un trapèze

Pour la culture : le partage des onze chevaux

À toi, au tableau

L'ensemble de définition d'une racine

Une valeur interdite

Le cycliste : lire un instant

La distance de freinage

L'image de racine de 3

Lire une image

Deux conditions à la fois

Une racine au numérateur, un dénominateur

Une valeur absolue sous la racine

L'ordonnée d'un point de la courbe

Les antécédents de 2

Combien d'antécédents ?

Une cloche : résoudre f(x) < 0

Deux courbes : résoudre f(x) ≥ g(x)

Deux courbes : un encadrement

Enlever la valeur absolue

Comparer deux images sans les connaître

Le sens de variation par le calcul

La valeur maximale sur R

Le rectangle de plus petit périmètre

Une racine sur un quotient

Retrouver la seconde valeur interdite

La racine d'un quotient

Ne pas simplifier trop vite

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : l'ensemble de définition

Pour comprendre : le trajet d'un cycliste

Pour comprendre : un rectangle de périmètre 10

Représentation graphique d'une fonction

Pour comprendre : une courbe, une fonction ?

Lire une courbe : images et antécédents

Exemple : comparer deux fonctions sur un graphique

Pour comprendre : la plus petite valeur

Maximum et minimum

Exemple : un maximum sur un intervalle, pas sur R

Pour comprendre : monter, descendre, rester constante

Sens de variation d'une fonction

Décrire les variations à partir d'une courbe

Pour comprendre : des aires qui varient dans un triangle

Exemple : reconnaître la courbe de chaque aire

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Fonction paire

Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'origine

Fonction impaire

Étudier la parité d'une fonction

Exemple : compléter une courbe par symétrie

Un problème pour aller plus loin : quatre récipients

Exemple : à chaque récipient sa courbe

Un problème pour aller plus loin : un maximum par le calcul

Un problème pour aller plus loin : une aire dans un trapèze