Géométrie analytique
Ce que tu dois savoir faire
- Calculer les coordonnées d'un milieu ou d'un barycentre
- Écrire l'équation d'une droite et la tracer
- Reconnaître des droites parallèles ou perpendiculaires
- Calculer la distance d'un point à une droite
- Écrire et reconnaître l'équation d'un cercle
- Choisir un repère adapté à un problème
Rappels
Dans un repère cartésien , pour deux points et :
- le vecteur a pour composantes ;
- deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si ;
- trois points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Dans un repère orthonormé, on sait de plus que :
- ;
- les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si .
La courbe d'une fonction affine est une droite de coefficient directeur .
Le piège
et : le vecteur a pour composantes et
Le vecteur a pour composantes et
On calcule toujours les coordonnées de l'extrémité moins celles de l'origine.
Le piège
Dans un repère quelconque, prouve que deux vecteurs sont orthogonaux
Le test ne vaut que dans un repère orthonormé
La colinéarité se teste dans n'importe quel repère cartésien, mais l'orthogonalité et les distances demandent un repère orthonormé.
Pour comprendre : un repère dans la figure
est un triangle, est le milieu du côté et est le point défini par . La parallèle à passant par coupe en , et la parallèle à passant par coupe en . On veut montrer que est le milieu de .
L'idée. Aucun repère n'est donné : on en choisit un, porté par la figure elle-même. On prend le repère . Alors :
- , et ;
- est le milieu de , donc ;
- , donc .
Dans ce repère, une parallèle à est l'ensemble des points qui ont une même ordonnée, et une parallèle à l'ensemble des points qui ont une même abscisse. Il ne reste qu'à calculer.
Le piège
Dans le repère , on calcule la distance avec la formule de la racine carrée
Ce repère n'est pas orthonormé en général : on n'y calcule que des milieux, des alignements et des parallélismes
Les formules de distance et d'orthogonalité demandent un repère orthonormé ; le milieu et la colinéarité, eux, marchent dans tout repère cartésien.
Milieu et barycentre
Le plan est muni d'un repère cartésien .
- Soient et deux points du plan et le milieu du segment . On a . - Soient et deux réels tels que . Le barycentre des points et a pour coordonnées . - Soient , , trois points du plan et , , trois réels tels que . Le barycentre des points , et a pour coordonnées .
Le milieu est le cas ; le centre de gravité d'un triangle, le cas .
Le piège
Pour affecté du coefficient et affecté du coefficient : , parce qu'il y a deux points
: on divise par la somme des coefficients,
Le dénominateur est la somme des coefficients, pas le nombre de points. Dans l'exemple du cours, la somme vaut : ce n'est qu'un hasard.
Le piège
pour affecté du coefficient et affecté du coefficient
Un coefficient négatif garde son signe partout : au numérateur comme dans la somme du dénominateur.
Pour comprendre : une droite, une équation
Le plan est muni d'un repère cartésien . On place les points et et on trace la droite .
Soit un point du plan. Dire que est sur la droite , c'est dire que les vecteurs et sont colinéaires. Or et , donc :
Le point appartient à la droite si et seulement si les coordonnées et du point vérifient l'équation .
La droite est ainsi remplacée par une équation : pour savoir si un point est sur la droite, on n'a plus besoin de la figure, il suffit de remplacer et par ses coordonnées.
Le piège
Sur le dessin, a l'air d'être sur la droite, donc il y est
: n'est pas sur la droite
Un dessin peut tromper d'un demi-carreau ; l'équation, elle, tranche sans hésiter.
Équation cartésienne
Le plan est muni d'un repère cartésien .
- Toute droite admet une équation cartésienne de la forme , où , et sont trois réels avec . - Soient , et trois réels tels que . L'équation est celle d'une droite.
Vocabulaire. L'équation , avec , est appelée équation cartésienne de la droite . On écrit .
La méthode. Pour trouver une équation de la droite , on prend un point quelconque et on écrit que les vecteurs et sont colinéaires :
Une droite a plusieurs équations cartésiennes : en multipliant par ou par , on obtient ou , qui décrivent la même droite.
Le piège
et sont les équations de deux droites différentes
C'est la même droite : la seconde équation est la première multipliée par
Multiplier une équation cartésienne par un réel non nul ne change pas l'ensemble de ses solutions : une droite a une infinité d'équations cartésiennes.
Le piège
est l'équation d'une droite
Il faut : au moins l'un des deux coefficients et n'est pas nul
Si et sont nuls tous les deux, l'équation devient : elle n'est vérifiée par aucun point, ou par tous.
Tracer une droite
Le plan est muni d'un repère cartésien . Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, il suffit d'en connaître deux points : on choisit une valeur de (ou de ) et on calcule l'autre coordonnée avec l'équation.
Pour la droite : avec on trouve , avec on trouve . La droite passe par et .
On trace de même, dans le même repère :
- , qui passe par les points de coordonnées et ;
- , qui passe par l'origine et par le point de coordonnées ;
- , formée des points d'ordonnée : elle est parallèle à l'axe des abscisses.
On retient trois cas faciles à reconnaître : si , la droite passe par l'origine ; si , l'équation s'écrit et la droite est parallèle à l'axe des abscisses ; si , elle s'écrit et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
Le piège
est le seul point de coordonnées
est la droite formée de tous les points d'ordonnée , quelle que soit leur abscisse
Quand n'apparaît pas dans l'équation, il est libre : il peut prendre toutes les valeurs.
Le piège
est une droite parallèle à l'axe des abscisses
est parallèle à l'axe des ordonnées : tous ses points ont pour abscisse
L'équation fixe l'abscisse et laisse l'ordonnée libre : la droite est verticale.
Exemple : la méthode analytique
est un parallélogramme et est le point tel que . On veut montrer que la droite passe par le milieu du segment .
Méthode analytique. On considère le repère . Dans ce repère :
On écrit une équation cartésienne de la droite , puis on vérifie que les coordonnées du milieu de la satisfont.
Géométriquement. On retrouve le résultat sans calcul : les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu , donc est une médiane du triangle , et . Le point est donc le centre de gravité du triangle : la droite est la médiane issue de , elle passe par le milieu de .
Vecteur directeur
Définition. Soit un point du plan et un vecteur non nul. L'ensemble des points du plan tels que les vecteurs et soient colinéaires est une droite, appelée la droite passant par et de vecteur directeur .
Remarque. Soit une droite de vecteur directeur . Tout vecteur non nul colinéaire à est aussi un vecteur directeur de .
Deux conséquences servent tout le temps.
- Soit une droite et , deux points distincts de cette droite. Le vecteur est un vecteur directeur de la droite . - Dans un repère cartésien, soit la droite d'équation . Le vecteur est un vecteur directeur de .
Le piège
Pour , un vecteur directeur a pour composantes et
Un vecteur directeur a pour composantes et , c'est-à-dire et
Le vecteur de composantes et n'est pas directeur : dans un repère orthonormé, il est au contraire perpendiculaire à la droite.
Le piège
Une droite a un seul vecteur directeur
Tout vecteur non nul colinéaire à est aussi directeur : , , …
Ce qui compte, c'est la direction du vecteur, pas sa longueur ni son sens.
Droites parallèles
Le plan est muni d'un repère cartésien .
- Soient et deux droites de vecteurs directeurs respectifs et . Les droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. - Soient et deux droites d'équations respectives et . si et seulement si .
Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes : elles ont un seul point commun.
Le piège
et : , donc c'est la même droite
Elles sont parallèles, mais distinctes : serait la même droite que , pas
La condition ne regarde que et : elle dit que les directions sont les mêmes, elle ne dit rien de .
Le piège
pour tester le parallélisme
C'est un déterminant : un produit en croix, avec un signe moins entre les deux produits.
Droites sécantes
Le plan est muni d'un repère cartésien . Soient et .
- On calcule . S'il n'est pas nul, les droites sont sécantes.
- Leur point d'intersection est le point dont les coordonnées vérifient les deux équations à la fois : on résout le système formé par les deux équations.
Pour résoudre, on peut exprimer en fonction de dans une équation, puis remplacer dans l'autre (substitution).
Le piège
On trouve et on s'arrête là
Un point a deux coordonnées : il faut encore calculer
Le point d'intersection est un point du plan : on donne son abscisse et son ordonnée, puis on vérifie dans l'équation qui n'a pas servi à la fin.
Exemple : deux dépenses, deux droites
Une entreprise fabrique des objets et des objets . Un objet coûte dinars de matière première et dinars de main-d'œuvre ; un objet coûte dinars de matière première et dinars de main-d'œuvre. On note le nombre d'objets et le nombre d'objets fabriqués en une journée.
Deux égalités, deux droites. Si les dépenses de la journée sont exactement de dinars de matière première et de dinars de main-d'œuvre, alors :
Chaque égalité est l'équation d'une droite : et (on a divisé la seconde par ). Le point cherché est sur les deux droites : c'est leur point d'intersection.
Deux contraintes, une région. Pour une bonne gestion, les dépenses ne doivent pas dépasser et dinars : et . Chaque droite partage le plan en deux demi-plans ; l'origine vérifie les deux inégalités, donc on garde, pour chaque droite, le côté qui contient . Comme et sont des entiers naturels, les points qui conviennent sont les points à coordonnées entières du quadrilatère grisé de la figure.
Vecteur normal
Définition. On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
Soit un point du plan et un vecteur non nul. L'ensemble des points du plan tels que les vecteurs et soient orthogonaux est une droite passant par : est un vecteur normal à cette droite. Tout vecteur non nul colinéaire à est encore normal à la même droite.
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Soit une droite d'équation . Le vecteur est un vecteur normal à .
La méthode. La droite passant par et de vecteur normal est l'ensemble des points tels que .
Le piège
Pour , le vecteur de composantes et est un vecteur directeur
Le vecteur de composantes et est normal à ; un vecteur directeur a pour composantes et
Les coefficients et se lisent tels quels pour le vecteur normal ; pour le vecteur directeur, on échange et on change un signe : et .
Le piège
Dans un repère cartésien quelconque, le vecteur de composantes et est normal à
Ce résultat demande un repère orthonormé
L'orthogonalité se teste avec , une formule qui n'est vraie que dans un repère orthonormé.
Droites perpendiculaires
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
- Soient et deux droites de vecteurs directeurs respectifs et . si et seulement si . - Soient et deux droites d'équations respectives et . si et seulement si .
On retient les deux tests côte à côte : pour des droites parallèles, pour des droites perpendiculaires.
Le piège
si et seulement si
si et seulement si
est le test du parallélisme. Pour l'orthogonalité, on multiplie les coefficients de même rang et on additionne.
Le piège
et sont perpendiculaires car les coefficients sont « inversés »
: elles ne sont pas perpendiculaires
On ne juge pas à l'œil : on calcule , et seul le résultat zéro prouve l'orthogonalité.
Exemple : choisir un bon repère
est un triangle rectangle isocèle en , tel que . est un point de la demi-droite et un point de la demi-droite tels que , et est le milieu du segment . On veut montrer que les droites et sont perpendiculaires.
Le choix du repère. Il s'agit de perpendicularité : il faut un repère orthonormé. La figure en offre un : les droites et sont perpendiculaires et , donc est un repère orthonormé.
Dans ce repère, et . On pose , avec : alors et , et le milieu de est .
Le piège
On prend le repère et on teste
On prend , qui est orthonormé car et
Dans le repère , les deux vecteurs de base n'ont pas, en général, la même longueur ( et ) : il n'est pas orthonormé, et le test d'orthogonalité n'y est plus valable.
Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler
Le plan est muni d'un repère orthonormé . On considère les points , et . On désigne par l'orthocentre du triangle , par le centre de son cercle circonscrit et par son centre de gravité.
Le centre de gravité. , soit .
Le centre du cercle circonscrit. On remarque que , et : l'origine est à la même distance des trois sommets. Donc , et .
L'orthocentre. C'est le point d'intersection des hauteurs. La hauteur issue de passe par et a pour vecteur normal ; la hauteur issue de passe par et a pour vecteur normal . On écrit leurs équations et on résout le système : .
On constate alors que : les points , et sont alignés. La droite qui les contient est appelée la droite d'Euler du triangle .
Équation réduite
Le plan est muni d'un repère cartésien . Soit une droite d'équation telle que . En isolant , on voit que cette équation est équivalente à , c'est-à-dire à une équation de la forme .
Vocabulaire. - L'équation est appelée l'équation réduite de la droite . - est appelé le coefficient directeur de la droite , ou la pente de la droite . - est l'ordonnée à l'origine.
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet ainsi une équation réduite, et une seule.
- Si et sont deux points distincts de , alors . - Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation réduite .
Quand augmente de , augmente de : c'est ce que dit le vecteur directeur de composantes et .
Le piège
Pour , le coefficient directeur est
Le coefficient directeur est : il faut d'abord isoler
Le coefficient directeur se lit devant seulement quand l'équation est sous la forme ; sinon .
Le piège
La pente compare la montée à l'avancée : la différence des ordonnées est en haut, celle des abscisses en bas.
Le piège
La droite d'équation a pour coefficient directeur
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées n'a ni équation réduite ni coefficient directeur
Dans , le coefficient de est nul : on ne peut pas isoler .
Parallèles et pentes
Le plan est muni d'un repère cartésien .
- Une droite est parallèle à l'axe des ordonnées si et seulement si a une équation cartésienne de la forme , où est un réel. - Soient et deux droites d'équations réduites respectives et . si et seulement si .
Deux droites parallèles ont donc la même pente. Si de plus , les deux équations sont les mêmes : les droites sont confondues.
Le piège
et ont la même pente, donc c'est la même droite
Elles sont parallèles et distinctes : les ordonnées à l'origine, et , sont différentes
La pente donne la direction, l'ordonnée à l'origine donne la position. Il faut les deux pour que les droites soient confondues.
La pente et l'angle
Le plan est muni d'un repère orthonormé . Soit la droite d'équation , avec , et le point d'intersection de avec l'axe des abscisses. Soit un point de distinct de , et son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
Dans le triangle , rectangle en : .
La pente mesure donc l'inclinaison de la droite : plus est grand, plus la droite est raide. Une pente ou correspond à un angle de avec l'axe des abscisses.
Le piège
Pour la droite , la tangente de l'angle vaut
Elle vaut
L'angle est un angle aigu d'un triangle rectangle : sa tangente est un quotient de longueurs, donc positive. D'où la valeur absolue.
Perpendiculaires et pentes
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
- Soient et deux droites d'équations réduites respectives et . si et seulement si . - Soit la droite d'équation réduite . Le vecteur est un vecteur normal à .
Si a pour pente , toute droite perpendiculaire à a pour pente : l'opposé de l'inverse.
Le piège
Une droite perpendiculaire à a pour pente
Elle a pour pente , car
Changer le signe ne suffit pas : il faut l'opposé de l'inverse. Des droites de pentes et ont des directions symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ; elles ne sont pas perpendiculaires, car .
Le piège
et sont perpendiculaires car les pentes sont de signes contraires
: elles ne sont pas perpendiculaires
Des pentes de signes contraires sont nécessaires, mais c'est le produit égal à qui prouve l'orthogonalité.
Pour comprendre : la fonction x ↦ |ax + b|
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Une courbe en forme de V. La courbe formée des demi-droites et , avec et , représente : ce n'est pas une droite, n'est pas affine.
Le cas général sur un exemple. Soit , de courbe la droite , et , de courbe la droite .
- si et seulement si : au-dessus de l'axe des abscisses, est une demi-droite d'origine .
- Pour tout , : les droites et sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
- La fonction qui vaut si et si est .
La courbe de est formée des deux demi-droites situées au-dessus de l'axe des abscisses. De même, pour , la courbe de la fonction est formée de deux demi-droites d'origine le point d'abscisse de l'axe des abscisses, portées par les droites d'équations et .
Le piège
pour tout réel
seulement si ; sinon
Une valeur absolue n'est jamais négative : là où est négatif, il faut prendre son opposé.
Le piège
La courbe de est une droite
C'est la réunion de deux demi-droites de même origine, en forme de V
La fonction n'est pas affine : elle est affine sur chacun des deux intervalles séparés par , avec deux pentes opposées, et .
Distance d'un point à une droite
Le plan est muni d'un repère orthonormé . On considère la droite d'équation et le point .
Chercher le plus court chemin. Soit un point de d'abscisse : . Alors
La distance est minimale pour , c'est-à-dire au point , et elle vaut alors . On vérifie que la droite est perpendiculaire à : le point est le projeté orthogonal de sur .
Définition. Soit une droite et un point du plan. On appelle distance du point à la droite , et on note , la distance du point au point , projeté orthogonal de sur la droite .
C'est la plus courte distance entre et un point de .
Le piège
La distance de à est la distance de à n'importe quel point de
C'est la distance , où est le projeté orthogonal de sur
Tous les autres points de la droite sont plus loin de : dans le triangle , rectangle en , l'hypoténuse est plus longue que le côté .
La formule de la distance
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Soit la droite d'équation . La distance d'un point à la droite est
Pour l'utiliser, on écrit d'abord la droite sous la forme . Au numérateur, on remplace et par les coordonnées du point dans le premier membre de l'équation, et on prend la valeur absolue ; au dénominateur, on met la longueur du vecteur normal .
Cette formule donne par exemple la hauteur d'un triangle, donc son aire, sans construire le pied de la hauteur.
Le piège
Pour et , on prend ,
On écrit d'abord , donc , et
La formule suppose l'équation sous la forme , avec tout dans le même membre.
Le piège
, donc la distance vaut
La distance vaut
Une distance n'est jamais négative : c'est le rôle de la valeur absolue au numérateur.
Le piège
Au dénominateur, on écrit
Au dénominateur, on écrit
On divise par la longueur du vecteur normal, pas par son carré.
Équation d'un cercle
Le plan est muni d'un repère orthonormé . Soit un point du plan et un réel strictement positif. On considère le cercle de centre et de rayon .
Un point appartient à si et seulement si , c'est-à-dire (les deux nombres sont positifs). Or .
Définition. L'équation est appelée équation cartésienne du cercle de centre et de rayon .
Dans l'autre sens, sur une équation de cette forme, on lit le centre et le rayon : pour , le centre est et le rayon est .
Le piège
: le centre est
Le centre est : on lit et , et
Les coordonnées du centre sont les nombres qui annulent chaque parenthèse : elles ont le signe contraire de celui qu'on voit.
Le piège
: le rayon est
Le rayon est
Le second membre est le carré du rayon, pas le rayon.
Reconnaître un cercle
Le plan est muni d'un repère orthonormé . En développant , on obtient une équation de la forme . Mais, dans l'autre sens, une telle équation n'est pas toujours celle d'un cercle.
La méthode. Soient , et trois réels et l'ensemble des points vérifiant . On utilise la forme canonique d'un trinôme, pour puis pour :
L'équation devient . On discute suivant le signe du second membre :
- si , est le cercle de centre et de rayon ;
- si , est réduit à un seul point ;
- si , est vide : une somme de deux carrés n'est jamais négative.
Le piège
En développant on obtient : il faut retrancher le qu'on a ajouté.
Le piège
Toute équation est l'équation d'un cercle
Seulement si ; sinon l'ensemble est un point ou il est vide
Le second membre de la forme canonique doit être le carré d'un rayon, donc strictement positif.
Exemple : un cercle et deux tangentes
Le plan est muni d'un repère orthonormé . On considère l'ensemble des points du plan vérifiant .
On enchaîne ici trois gestes du chapitre :
- reconnaître le cercle par la forme canonique : centre et rayon ;
- couper le cercle par l'axe des abscisses, en faisant dans l'équation ;
- écrire l'équation de la tangente en un point du cercle : c'est la droite passant par et perpendiculaire au rayon . Le vecteur est donc un vecteur normal à la tangente.
Le piège
Pour la tangente en , on prend le vecteur comme vecteur directeur
Le vecteur est un vecteur normal à la tangente
La tangente est perpendiculaire au rayon : si on prenait le rayon comme direction, on obtiendrait la droite elle-même.
Droite et cercle
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Soit un cercle de centre et de rayon , et une droite. On a : - si et seulement si et sont sécants (deux points communs) ; - si et seulement si est tangente à (un seul point commun) ; - si et seulement si et sont extérieurs (aucun point commun).
Pour étudier la position d'une droite et d'un cercle, on n'a donc pas besoin de chercher leurs points communs : il suffit de comparer la distance du centre à la droite avec le rayon.
Le piège
et : la droite coupe le cercle en deux points
Quand , la droite est tangente : un seul point commun
Deux points communs demandent une distance strictement plus petite que le rayon.
Le piège
On compare avec le second membre de l'équation du cercle
On compare avec le rayon
Une distance se compare à une longueur : dans , le rayon est , pas .
Exemple : les points communs d'une droite et d'un cercle
Le plan est muni d'un repère orthonormé . On considère la droite d'équation et l'ensemble des points du plan vérifiant .
La distance du centre à la droite dit combien il y a de points communs. Pour les trouver, on revient aux équations :
- un point commun est sur : ses coordonnées vérifient ;
- il est aussi sur : on remplace par dans l'équation du cercle ;
- on obtient une équation du second degré en : ses solutions sont les abscisses des points communs, et l'ordonnée de chacun se calcule avec .
Le nombre de solutions confirme la position : deux solutions pour une droite sécante, une seule pour une tangente, aucune pour une droite extérieure.
Le piège
On remplace par dans seulement
On remplace partout : dans et dans
Un point commun vérifie l'équation du cercle tout entière : si on oublie un terme, l'équation obtenue n'est plus celle des points communs.
Points cocycliques
Vocabulaire. Des points du plan sont dits cocycliques lorsqu'ils sont sur un même cercle.
Trois points non alignés sont toujours cocycliques : ils sont sur le cercle circonscrit au triangle qu'ils forment. Pour quatre points, ce n'est plus automatique : il faut le prouver.
La méthode. Dans un repère orthonormé, pour montrer que quatre points sont cocycliques :
- on cherche le centre du cercle passant par trois d'entre eux — c'est le point d'intersection de deux médiatrices ;
- on calcule le carré du rayon ;
- on vérifie que le quatrième point est à la même distance de .
Le piège
Quatre points sont toujours sur un même cercle
Trois points non alignés le sont toujours ; pour le quatrième, il faut vérifier
Par trois points non alignés passe un seul cercle : le quatrième point y est, ou n'y est pas.
Intérieur et extérieur
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Soit un cercle d'équation et un point du plan. - si et seulement si est sur le cercle ; - si et seulement si est à l'intérieur du cercle ; - si et seulement si est à l'extérieur du cercle .
Le premier membre est , le carré de la distance du point au centre : on compare simplement au rayon.
Le piège
et le rayon vaut : on compare et
On compare avec , ou bien avec
Le premier membre est le carré de la distance au centre : on compare des carrés entre eux, ou des longueurs entre elles.
Un problème pour aller plus loin : droites concourantes
et sont deux carrés tels que et : est sur la demi-droite , au-delà de , et est sur le côté . On veut montrer que les droites , et sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles passent par un même point.
Le repère. On considère le repère cartésien . Comme , on lit :
La méthode. On détermine une équation cartésienne de chacune des trois droites, on calcule le point d'intersection de deux d'entre elles, puis on vérifie qu'il appartient à la troisième.
Pour la culture : se repérer autrement
Dès l'Antiquité, les problèmes de repérage se sont posés dans les domaines de l'astronomie et de la navigation. Ératosthène (de à ) a confectionné une carte du monde qui contenait déjà un réseau de coordonnées géographiques.
Les coordonnées polaires. Une demi-droite étant fixée dans le plan, un point peut être repéré par un couple de deux nombres : la distance et l'angle , mesuré en tournant toujours dans le sens direct. Ce couple est appelé couple de coordonnées polaires du point . Par exemple, signifie que et que l'angle mesure .
Le radar. C'est un instrument de détection et de repérage qui utilise les coordonnées polaires. Il tourne autour de lui-même en envoyant un rayon d'ondes : si ce rayon rencontre un obstacle, il est réfléchi vers sa source, ce qui signale l'existence d'un objet et donne sa position. Le temps mis par le rayon pour faire l'aller-retour renseigne sur la distance du radar à l'objet.
Le plan d'une ville. Sur un plan de ville, on se repère autrement encore : par des cases, une lettre pour la colonne et un numéro pour la ligne.
À retenir
- Le barycentre de et : et ; le milieu est le cas .
- Toute droite a une équation cartésienne , avec ; le vecteur la dirige.
- si et seulement si ; sinon les droites sont sécantes, et leur point d'intersection vérifie les deux équations.
- Dans un repère orthonormé, est normal à , et si et seulement si .
- Équation réduite : ; si et seulement si ; dans un repère orthonormé, si et seulement si .
- Distance d'un point à une droite : .
- Le cercle de centre et de rayon a pour équation .
- et sont sécants, tangents ou extérieurs selon que est inférieure, égale ou supérieure à .