Homothéties

Homothétie de centre I et de rapport k ; image et antécédent d'un point ; propriété caractéristique ; images d'une droite, d'un segment, d'un cercle et d'un polygone ; ce que l'homothétie conserve ; figures homothétiques ; périmètres et aires ; problèmes de construction et de lieux.

31 sections · 103 exercices

Homothéties

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Agrandir ou réduire une figure sans la déformer, à partir d'un point fixe : c'est une homothétie. Chaque point s'éloigne ou se rapproche du centre dans le même rapport.

On définit l'homothétie de centre II et de rapport kk par l'égalité IM′→=k IM→,\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}, puis on étudie sa propriété caractéristique, les images des figures usuelles et ce qu'elle conserve. Elle devient alors un outil pour prouver des alignements, construire des figures et chercher des lieux géométriques.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Construire l'image et l'antécédent d'un point par une homothétie de centre II et de rapport kk

  • Reconnaître une homothétie, trouver son centre et son rapport

  • Utiliser la propriété caractéristique M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN} et ses conséquences

  • Déterminer l'image d'une droite, d'un segment et d'un cercle, et utiliser ce que l'homothétie conserve

  • Calculer des périmètres et des aires de figures homothétiques, résoudre des problèmes de construction et de lieu

Activité

Rappels

Soient AA et BB deux points distincts d'une droite, kk un réel et MM le point défini par AM→=k AB→.\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}. Le point MM est sur la droite (AB),(AB), et la valeur de kk dit où :

  • si k<0,k < 0, MM est sur la demi-droite d'origine AA qui ne contient pas BB ;
  • si 0≤k≤1,0 \le k \le 1, MM est sur le segment [AB][AB] ;
  • si k>1,k > 1, MM est sur la demi-droite [AB),[AB), au-delà de B.B.

Dans tous les cas, AM=∣k∣×AB.AM = |k| \times AB.

On rappelle aussi que trois points A,A, BB et CC sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

k = −1/2k = 1/4k = 3/2ABEFG
Le signe et la taille du coefficient placent le point sur la droite (AB).
M est sur la droite (AB)AM→=k AB→\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}

Ce qu’on observe

Soient AA et BB deux points tels que AB=4.AB = 4. On place les points E,E, FF et GG tels que le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est égal à −12-\dfrac{1}{2} fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, le vecteur AF→\overrightarrow{AF} à 14\dfrac{1}{4} fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le vecteur AG→\overrightarrow{AG} à 32\dfrac{3}{2} fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Situer ces trois points et calculer les distances AE,AE, AFAF et AG.AG.

  1. 1

    Le point E

    Le coefficient est négatif : EE est de l'autre côté de AA par rapport à B.B. Sa distance à AA est la moitié de AB.AB.

    AE=12×4=2AE = \dfrac{1}{2} \times 4 = 2
  2. 2

    Le point F

    Le coefficient est entre 00 et 11 : FF est sur le segment [AB],[AB], au quart à partir de A.A.

    AF=14×4=1AF = \dfrac{1}{4} \times 4 = 1
  3. 3

    Le point G

    Le coefficient est plus grand que 11 : GG est au-delà de B.B.

    AG=32×4=6AG = \dfrac{3}{2} \times 4 = 6
AE=2;AE = 2 \quad ; \quadAF=1;AF = 1 \quad ; \quadAG=6AG = 6

L’erreur à ne pas faire

  • AM→=32 AB→,\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}, donc MM est entre AA et BBMM est au-delà de B,B, sur la demi-droite [AB)[AB)
    Le coefficient est plus grand que 11 : la distance AMAM dépasse la distance AB.AB.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b tadhkir. 3andna zouz points A w B, w réel k, w el point M elli y7a99e9 : le vecteur AM égale k fois le vecteur AB. M dima 3la la droite AB. Ken k négatif, M yji fej-jiha lo5ra mta3 A, mouch jihet B. Ken k bin zéro w un, M 3la le segment AB. W ken k akbar men un, M yfout B. W fel 7alet el koll, la distance AM égale la valeur absolue de k fois AB. Chedd es-soura hedhi fi belek : biha bech n3arrfou l'homothétie. »

Activité

Pour comprendre : agrandir une figure

Dans un quadrillage, ABCDABCD est un trapèze rectangle en AA : AB=4,AB = 4, AD=2AD = 2 et DC=2,DC = 2, l'unité étant le côté d'un carreau. II est un point du plan. On construit les points A′,A', B′,B', C′C' et D′D' tels que

IA′→=2 IA→,\displaystyle \overrightarrow{IA'} = 2\,\overrightarrow{IA}, \quadIB′→=2 IB→,\displaystyle \overrightarrow{IB'} = 2\,\overrightarrow{IB}, \quadIC′→=2 IC→,\displaystyle \overrightarrow{IC'} = 2\,\overrightarrow{IC}, \quadID′→=2 ID→\displaystyle \overrightarrow{ID'} = 2\,\overrightarrow{ID}

On compare alors ABCDABCD et A′B′C′D′A'B'C'D' :

  • chaque côté de A′B′C′D′A'B'C'D' est parallèle au côté correspondant de ABCDABCD ;
  • chaque longueur est multipliée par 2,2, donc le périmètre aussi ;
  • l'aire est multipliée par 4.4.

Une translation aurait donné un trapèze de mêmes dimensions que ABCD.ABCD. Ici la figure est agrandie, sans être déformée.

IABCDA'B'C'D'
Chaque sommet est envoyé deux fois plus loin de I.
de même pour B, C et DIA′→=2 IA→\overrightarrow{IA'} = 2\,\overrightarrow{IA}

Ce qu’on observe

Avec les données de la figure, montrer que le côté [A′B′][A'B'] est parallèle au côté [AB][AB] et deux fois plus long, puis comparer les périmètres et les aires des deux trapèzes.

  1. 1

    Un côté

    Par la relation de Chasles, le vecteur A′B′→\overrightarrow{A'B'} est la somme du vecteur A′I→\overrightarrow{A'I} et du vecteur IB′→\overrightarrow{IB'} : on trouve 22 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Les deux côtés sont parallèles, et A′B′=8.A'B' = 8.

    A′B′→=−2 IA→+2 IB→=2 AB→\overrightarrow{A'B'} = -2\,\overrightarrow{IA} + 2\,\overrightarrow{IB} = 2\,\overrightarrow{AB}
  2. 2

    Les périmètres

    Dans ABCD,ABCD, le côté [BC][BC] mesure 22.2\sqrt{2}. Chaque côté est doublé, donc le périmètre est doublé.

    8+228 + 2\sqrt{2} devient 16+4216 + 4\sqrt{2}
  3. 3

    Les aires

    L'aire du trapèze ABCDABCD vaut 6.6. Dans A′B′C′D′,A'B'C'D', les bases mesurent 88 et 4,4, et la hauteur 44 : l'aire vaut 24.24.

    (8+4)×42=24=4×6\dfrac{(8 + 4) \times 4}{2} = 24 = 4 \times 6
peˊrimeˋtre×2;\text{périmètre} \times 2 \quad ; \quadaire×4\text{aire} \times 4

L’erreur à ne pas faire

  • Les longueurs sont multipliées par 2,2, donc l'aire est multipliée par 22L'aire est multipliée par 22=42^{2} = 4
    Une aire est un produit de deux longueurs : chacune est multipliée par 2,2, donc le produit est multiplié par 4.4.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou, ne5dhou trapèze ABCD fi quadrillage, w point I. L koll sommet, nadhrbou fi deux el vecteur elli yo5rej men I : le vecteur IA prime égale deux fois le vecteur IA, w kif kif l B w C w D. Chouf el trapèze ej-jdid A prime B prime C prime D prime. Les côtés mte3ou parallèles l les côtés mta3 ABCD. Koll longueur tetdhrab fi deux, donc le périmètre zeda. Ama l'aire, tetdhrab fi quatre. El figure kebret, men ghir ma yetbaddel ech-chakl mte3ha : hedha elli bech nsammiweh homothétie. »

Activité

Pour comprendre : un coefficient négatif

Soient O,O, A,A, BB et CC quatre points distincts du plan. On construit les points A′,A', B′B' et C′C' tels que

OA′→=−12 OA→,\displaystyle \overrightarrow{OA'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}, \quadOB′→=−12 OB→,\displaystyle \overrightarrow{OB'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OB}, \quadOC′→=−12 OC→\displaystyle \overrightarrow{OC'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OC}

Cette fois le coefficient est négatif, et l'on observe que :

  • les points O,O, AA et A′A' sont alignés, et OO est entre AA et A′A' ; de même pour BB et B′,B', pour CC et C′C' ;
  • les droites (BC)(BC) et (B′C′)(B'C') sont parallèles ;
  • A′C′=12 AC.A'C' = \dfrac{1}{2}\,AC.

Le triangle A′B′C′A'B'C' est une réduction du triangle ABC,ABC, placée de l'autre côté de O.O.

OABCA'B'C'
Le point O est entre chaque point et son image.
de même pour B et COA′→=−12 OA→\overrightarrow{OA'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}

Ce qu’on observe

Avec ces données, justifier que les points O,O, AA et A′A' sont alignés, que les droites (BC)(BC) et (B′C′)(B'C') sont parallèles, et que B′C′=12×BC.B'C' = \dfrac{1}{2} \times BC.

  1. 1

    L'alignement

    Le vecteur OA′→\overrightarrow{OA'} est égal à −12-\dfrac{1}{2} fois le vecteur OA→\overrightarrow{OA} : ces deux vecteurs sont colinéaires et ont la même origine. Les points O,O, AA et A′A' sont alignés.

    OA′→=−12 OA→\overrightarrow{OA'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}
  2. 2

    Chasles

    On décompose le vecteur B′C′→\overrightarrow{B'C'} en passant par O,O, puis on met −12-\dfrac{1}{2} en facteur.

    B′C′→=B′O→+OC′→=12 OB→−12 OC→=−12 BC→\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{B'O} + \overrightarrow{OC'} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OB} - \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OC} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}
  3. 3

    Conclure

    Les vecteurs B′C′→\overrightarrow{B'C'} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires : les droites sont parallèles. Et la longueur B′C′B'C' est la moitié de la longueur BC.BC.

    (BC)∥(B′C′);(BC) \parallel (B'C') \quad ; \quadB′C′=12 BCB'C' = \dfrac{1}{2}\,BC
(BC)∥(B′C′);(BC) \parallel (B'C') \quad ; \quadB′C′=12 BCB'C' = \dfrac{1}{2}\,BC

L’erreur à ne pas faire

  • Le coefficient −12-\dfrac{1}{2} est négatif, donc A′A' n'est pas sur la droite (OA)(OA)A′A' est sur la droite (OA),(OA), de l'autre côté de OO
    Deux vecteurs colinéaires de même origine donnent des points alignés, quel que soit le signe du coefficient.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa nbaddlou le coefficient : ne5dhou moins un demi. 3andna point O, w triangle ABC. N7ottou A prime b7ith le vecteur OA prime égale moins un demi fois le vecteur OA, w kif kif l B w C. Chnowa nle7dhou ? O w A w A prime alignés, ama O yji bin A w A prime, 5ater le coefficient négatif. La droite BC w la droite B prime C prime parallèles. W koll longueur twalli ennoss. El triangle ej-jdid asghar marrtin, w ma9loub fej-jiha lo5ra mta3 O. »

Définition

Homothétie de centre I et de rapport k

Soit II un point et kk un réel non nul. L'application qui à tout point MM du plan associe l'unique point M′M' tel que IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM} est appelée homothétie de centre II et de rapport k.k. Elle est notée h(I,k).h_{(I, k)}.

On a ainsi :

h(I,k)(M)=M′\displaystyle h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→\displaystyle \overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

M′M' est appelé l'image du point MM par l'homothétie h(I,k),h_{(I, k)}, et MM est appelé l'antécédent de M′M' par l'homothétie h(I,k).h_{(I, k)}.

IMNM'N'
Ici k = 2 : chaque image est deux fois plus loin du centre.
la définitionh(I,k)(M)=M′  ⟺  IM′→=k IM→h_{(I, k)}(M) = M' \iff \overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Exemple traité

Traduire par une égalité vectorielle chacun des énoncés suivants. Premier énoncé : l'homothétie de centre II et de rapport −2-2 transforme AA en B.B. Deuxième énoncé : le point CC est l'image du point DD par l'homothétie de centre AA et de rapport 34.\dfrac{3}{4}. Troisième énoncé : le point QQ est l'antécédent du point PP par l'homothétie de centre II et de rapport 2.\sqrt{2}.

  1. 1

    De A vers B

    Le centre est I,I, le point de départ est A,A, son image est BB : le vecteur qui va du centre à l'image est égal à −2-2 fois le vecteur qui va du centre au point.

    IB→=−2 IA→\overrightarrow{IB} = -2\,\overrightarrow{IA}
  2. 2

    Le centre A

    Ici le centre est AA et l'image est CC : les deux vecteurs partent toujours du centre.

    AC→=34 AD→\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AD}
  3. 3

    L'antécédent

    QQ est l'antécédent de PP : c'est PP qui est l'image de Q.Q.

    IP→=2 IQ→\overrightarrow{IP} = \sqrt{2}\,\overrightarrow{IQ}

L’erreur à ne pas faire

  • h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à MM′→=k IM→\overrightarrow{MM'} = k\,\overrightarrow{IM}h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}
    Les deux vecteurs partent du centre II : l'un va vers le point, l'autre vers son image.
  • On peut prendre k=0k = 0 comme rapport d'une homothétieLe rapport d'une homothétie est un réel non nul
    Avec un coefficient nul, tous les points auraient pour image le centre I,I, et un point autre que II n'aurait aucun antécédent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa el définition. 3andna point I, w réel k non nul. L'application elli ta3ti l koll point M, el point el wa7id M prime elli y7a99e9 le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM, nsammiwha l'homothétie de centre I et de rapport k, w nektbouha h indice I k. M prime houwa l'image mta3 M, w M houwa l'antécédent mta3 M prime. Rodd belek : ez-zouz vecteurs yo5rjou men le centre I. Ken k positif, M w M prime fi nafs ej-jiha mta3 I. W ken k négatif, I yji binethom. »

Propriété

Conséquences de la définition

  • Un point et son image sont alignés avec le centre de l'homothétie.
  • h(I,k)(I)=Ih_{(I, k)}(I) = I : on dit que II est un point invariant par h.h.
  • h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→,\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}, qui équivaut à IM→=1k IM′→.\overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}.

Tout point du plan admet donc un unique antécédent par une homothétie : l'antécédent de M′M' par h(I,k)h_{(I, k)} est l'image de M′M' par l'homothétie de centre II et de rapport 1k.\dfrac{1}{k}.

IMM'
De M à M' : rapport 3. De M' à M : rapport un tiers.
le centre est invarianth(I,k)(I)=Ih_{(I, k)}(I) = I
l'antécédentIM′→=k IM→  ⟺  IM→=1k IM′→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM} \iff \overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}

Exemple traité

Donner une interprétation de chacune des égalités suivantes au moyen d'une homothétie. Première égalité : le vecteur MD→\overrightarrow{MD} est égal à −52-\dfrac{5}{2} fois le vecteur MN→.\overrightarrow{MN}. Deuxième égalité : 74\dfrac{7}{4} fois le vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} est égal au vecteur PR→.\overrightarrow{PR}.

  1. 1

    Le centre M

    Les deux vecteurs partent de MM : le centre est M.M. Le point DD est l'image de NN par l'homothétie de centre MM et de rapport −52.-\dfrac{5}{2}.

    MD→=−52 MN→\overrightarrow{MD} = -\dfrac{5}{2}\,\overrightarrow{MN}
  2. 2

    Le centre P

    Les deux vecteurs partent de PP : le centre est P.P. Le point RR est l'image de QQ par l'homothétie de centre PP et de rapport 74.\dfrac{7}{4}.

    PR→=74 PQ→\overrightarrow{PR} = \dfrac{7}{4}\,\overrightarrow{PQ}
  3. 3

    Dans l'autre sens

    On peut aussi lire chaque égalité à l'envers, avec le rapport inverse : QQ est l'image de RR par l'homothétie de centre PP et de rapport 47.\dfrac{4}{7}.

    PQ→=47 PR→\overrightarrow{PQ} = \dfrac{4}{7}\,\overrightarrow{PR}

L’erreur à ne pas faire

  • L'antécédent de M′M' par h(I,k)h_{(I, k)} s'obtient avec le rapport −k-kIl s'obtient avec le rapport 1k\dfrac{1}{k} : IM→=1k IM′→\overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}
    Pour revenir en arrière, on divise par kk : on prend l'inverse du rapport, pas son opposé.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Men el définition ntalla3ou trois conséquences. Numéro un : el point, w l'image mte3ou, w le centre, dima alignés, 5ater ez-zouz vecteurs colinéaires. Numéro deux : l'image mta3 le centre I hiya I : n9oulou I point invariant. Numéro trois : le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM, équivaut à le vecteur IM égale un sur k fois le vecteur IM prime. Ya3ni bech traja3 men M prime l M, testa3mel le rapport un sur k. W hakka koll point 3andou antécédent wa7ed bark. »

Méthode

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image A′A' d'un point AA par l'homothétie de centre II et de rapport kk :

  1. 1.on trace la droite (IA)(IA) : l'image est sur cette droite ;
  2. 2.on reporte à partir de II la distance IA′=∣k∣×IAIA' = |k| \times IA ;
  3. 3.on choisit le côté : du même côté que AA si k>0,k > 0, de l'autre côté de II si k<0.k < 0.

Si ∣k∣>1,|k| > 1, l'image est plus loin du centre que le point ; si ∣k∣<1,|k| < 1, elle en est plus près.

k = 3k = 1/2k = −2IAEFG
Trois images du même point A : rapports 3, un demi et −2.
la distance au centreIA′=∣k∣×IAIA' = |k| \times IA

Exemple traité

Soient II et AA deux points tels que IA=2.IA = 2. Construire l'image du point AA par l'homothétie de centre II dans chacun des cas suivants : on note EE l'image quand le rapport est 3,3, FF l'image quand le rapport est 12,\dfrac{1}{2}, et GG l'image quand le rapport est −2.-2.

  1. 1

    Agrandir

    Le rapport 33 est positif et plus grand que 11 : EE est du côté de A,A, trois fois plus loin de I.I.

    IE→=3 IA→,\overrightarrow{IE} = 3\,\overrightarrow{IA}, \quadIE=6IE = 6
  2. 2

    Réduire

    Le rapport 12\dfrac{1}{2} est positif et plus petit que 11 : FF est le milieu du segment [IA].[IA].

    IF→=12 IA→,\overrightarrow{IF} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{IA}, \quadIF=1IF = 1
  3. 3

    Rapport négatif

    Le rapport −2-2 est négatif : GG est de l'autre côté de I,I, à une distance double de IA.IA.

    IG→=−2 IA→,\overrightarrow{IG} = -2\,\overrightarrow{IA}, \quadIG=4IG = 4

L’erreur à ne pas faire

  • Pour le rapport −2,-2, on place A′A' du côté de A,A, à la distance 2×IA2 \times IAOn place A′A' de l'autre côté de I,I, à la distance 2×IA2 \times IA
    Un rapport négatif change le sens du vecteur : le centre II se retrouve entre le point et son image.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech narsmou l'image mta3 point A ? Et-tari9a fiha trois étapes. Numéro un : arsem la droite IA, 5ater l'image dima 3liha. Numéro deux : a7seb la distance : IA prime égale la valeur absolue de k fois IA. Numéro trois : e5tar ej-jiha. Ken k positif, A prime fi nafs ej-jiha mta3 A. Ken k négatif, A prime fej-jiha lo5ra mta3 I. W zid tfakker : ken la valeur absolue de k akbar men un, l'image teb3ed 3la le centre, w ken asghar men un, ta9reb lih. »

Méthode

Trouver le centre

On connaît le rapport kk d'une homothétie h,h, avec k≠1,k \neq 1, un point AA et son image B.B. Où est le centre II ?

L'égalité IB→=k IA→\overrightarrow{IB} = k\,\overrightarrow{IA} s'écrit k IA→−IB→=0⃗k\,\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \vec{0} : le centre II est le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients kk et −1.-1.

Par exemple, si BB est l'image de AA par l'homothétie de centre II et de rapport 23,\dfrac{2}{3}, alors 3 IB→=2 IA→,3\,\overrightarrow{IB} = 2\,\overrightarrow{IA}, donc −2 IA→+3 IB→=0⃗-2\,\overrightarrow{IA} + 3\,\overrightarrow{IB} = \vec{0} : II est le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients −2-2 et 3.3.

k = 2k = −4ABIJ
I pour le rapport 2, J pour le rapport −4.
le centre est un barycentreIB→=k IA→  ⟺  k IA→−IB→=0⃗\overrightarrow{IB} = k\,\overrightarrow{IA} \iff k\,\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \vec{0}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points distincts. Construire le centre de l'homothétie qui transforme AA en BB : on note II ce centre quand le rapport est 2,2, et JJ ce centre quand le rapport est −4.-4.

  1. 1

    Chasles

    Dans les deux cas, on écrit le vecteur qui va du centre à BB comme une somme passant par A,A, pour ne garder qu'un vecteur d'origine A.A.

    IB→=IA→+AB→\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB}
  2. 2

    Rapport positif

    Le vecteur IB→\overrightarrow{IB} est égal à 22 fois le vecteur IA→\overrightarrow{IA} : il reste que le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur IA→.\overrightarrow{IA}. Le point AA est le milieu du segment [IB][IB] : II est le symétrique de BB par rapport à A.A.

    AI→=−AB→\overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{AB}
  3. 3

    Rapport négatif

    Le vecteur JB→\overrightarrow{JB} est égal à −4-4 fois le vecteur JA→\overrightarrow{JA} : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal à −5-5 fois le vecteur JA→.\overrightarrow{JA}. Le point JJ est sur le segment [AB],[AB], au cinquième à partir de A.A.

    AJ→=15 AB→\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{5}\,\overrightarrow{AB}

L’erreur à ne pas faire

  • L'homothétie de rapport 22 qui transforme AA en BB a pour centre le milieu de [AB][AB]Son centre est le symétrique de BB par rapport à AA
    Avec un rapport positif, AA et BB sont du même côté du centre : le centre ne peut pas être entre eux.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W bel 3aks : na3rfou le rapport k, w point A, w l'image mte3ou B. Win le centre I ? Nektbou el définition : le vecteur IB égale k fois le vecteur IA. N7ottou el koll fi jiha wa7da : k fois le vecteur IA moins le vecteur IB égale le vecteur nul. Hedhi relation mta3 barycentre : I houwa le barycentre des points A et B, affectés des coefficients k et moins un. Mathalan, ken le rapport deux tiers, nal9aw I barycentre de A et B, affectés des coefficients moins deux et trois. W ma tensech : ken k positif, le centre 5arej le segment AB, w ken k négatif, le centre bin A w B. »

Méthode

Reconnaître une homothétie

Pour montrer qu'une application f,f, qui à tout point MM associe un point M′,M', est une homothétie, on cherche un point fixe II et un réel non nul kk tels que, pour tout point MM :

IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Le plus souvent, l'énoncé donne le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} : on passe au vecteur IM′→\overrightarrow{IM'} par la relation de Chasles, IM′→=IM→+MM′→.\overrightarrow{IM'} = \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MM'}.

ABIMM'
I est entre M et M', et IM' = 4 IM.
pour tout point M, avec I fixeIM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points distincts et II le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients 11 et 4.4. À tout point MM du plan, on associe le point M′M' tel que le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} est égal à la somme du vecteur MA→\overrightarrow{MA} et de 44 fois le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}. Reconnaître l'application ff qui associe au point MM le point M′.M'.

  1. 1

    Réduire la somme

    II est le barycentre : pour tout point M,M, la somme se réduit à 55 fois le vecteur MI→.\overrightarrow{MI}.

    MM′→=MA→+4 MB→=5 MI→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MA} + 4\,\overrightarrow{MB} = 5\,\overrightarrow{MI}
  2. 2

    Partir du centre

    On écrit le vecteur IM′→\overrightarrow{IM'} avec la relation de Chasles, en passant par M.M.

    IM′→=IM→+MM′→=IM→+5 MI→\overrightarrow{IM'} = \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{IM} + 5\,\overrightarrow{MI}
  3. 3

    Conclure

    Le vecteur MI→\overrightarrow{MI} est l'opposé du vecteur IM→\overrightarrow{IM} : il reste −4-4 fois le vecteur IM→.\overrightarrow{IM}. Le point II est fixe et le coefficient ne dépend pas de M.M.

    IM′→=−4 IM→\overrightarrow{IM'} = -4\,\overrightarrow{IM}
ff est l'homothétie de centre II et de rapport −4-4

L’erreur à ne pas faire

  • MM′→=5 MI→,\overrightarrow{MM'} = 5\,\overrightarrow{MI}, donc ff est l'homothétie de centre II et de rapport 55IM′→=−4 IM→\overrightarrow{IM'} = -4\,\overrightarrow{IM} : le rapport est −4-4
    Le rapport se lit sur les deux vecteurs qui partent du centre, pas sur le vecteur qui va du point à son image.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech na3rfou elli application hiya homothétie ? Nlawwjou 3la point fixe I, w réel k non nul, b7ith l koll point M : le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM. Barcha marrat l'énoncé ya3tik le vecteur MM prime. Wa9tha esta3mel Chasles : le vecteur IM prime égale le vecteur IM plus le vecteur MM prime. W rodd belek : le rapport na9raweh 3la ez-zouz vecteurs elli yo5rjou men le centre, mouch 3la le vecteur MM prime. »

Théorème

Propriété caractéristique

Soit hh une homothétie de centre OO et de rapport k.k. Soient MM et NN deux points du plan et M′M' et N′N' leurs images respectives par h.h. On a :

M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}

Une homothétie multiplie donc tous les vecteurs par son rapport, pas seulement ceux qui partent du centre.

k > 0k < 0OMNM'N'OMNM'N'
Le vecteur M'N' est égal à k fois le vecteur MN : même sens si k > 0, sens contraire si k < 0.
pour tous points M et NM′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}

Exemple traité

Soit ABCABC un triangle. On désigne par hh l'homothétie de centre AA et de rapport 13.\dfrac{1}{3}. On note II l'image de BB par h,h, et JJ le point tel que le vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} est égal à 33 fois le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Montrer que les droites (IC)(IC) et (BJ)(BJ) sont parallèles et que IC=13×BJ.IC = \dfrac{1}{3} \times BJ.

  1. 1

    L'image de J

    Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est égal à un tiers du vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} : le point CC est l'image de JJ par h.h.

    AC→=13 AJ→\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AJ}
  2. 2

    La propriété

    II et CC sont les images de BB et de JJ : le vecteur qui joint les images est égal à un tiers du vecteur qui joint les points.

    IC→=13 BJ→\overrightarrow{IC} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{BJ}
  3. 3

    Conclure

    Les deux vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles ; et la longueur ICIC est le tiers de la longueur BJ.BJ.

    (IC)∥(BJ);(IC) \parallel (BJ) \quad ; \quadIC=13 BJIC = \dfrac{1}{3}\,BJ
(IC)∥(BJ);(IC) \parallel (BJ) \quad ; \quadIC=13 BJIC = \dfrac{1}{3}\,BJ

L’erreur à ne pas faire

  • M′N′→=MN→,\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}, comme pour une translationM′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}
    Une translation ne change pas les vecteurs ; une homothétie les multiplie tous par son rapport.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété caractéristique. Ne5dhou homothétie h de centre O et de rapport k, w zouz points M w N, w les images mte3hom M prime w N prime. Wa9tha le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur MN. 3lech ? B Chasles : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M prime O plus le vecteur ON prime, ya3ni moins k fois le vecteur OM, plus k fois le vecteur ON. N5arrjou k en facteur, w nal9aw k fois le vecteur MN. Tfakker : l'homothétie todhrob les vecteurs el koll fi k, mouch ken elli yo5rjou men le centre. »

Propriété

Conséquences : droites parallèles, longueurs multipliées

Si A′A' et B′B' sont les images respectives de deux points distincts AA et BB par une homothétie de rapport k,k, alors :

  • la droite (AB)(AB) est parallèle à la droite (A′B′)(A'B') ;
  • A′B′=∣k∣×AB.A'B' = |k| \times AB.

Une homothétie multiplie donc toutes les distances par ∣k∣|k| : elle agrandit si ∣k∣>1,|k| > 1, elle réduit si ∣k∣<1.|k| < 1.

ABICD
Les droites (AD) et (BC) se coupent en I, avec ID = 2 IA.
(AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B')
les distancesA′B′=∣k∣ ABA'B' = |k|\,AB

Exemple traité

Dans la figure, les droites (AD)(AD) et (BC)(BC) se coupent en I,I, ID=2×IA,ID = 2 \times IA, et les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles. Montrer que DD et CC sont les images respectives de AA et de BB par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

  1. 1

    Le point D

    II est entre AA et D,D, et ID=2×IAID = 2 \times IA : les deux vecteurs sont de sens contraires. L'homothétie hh de centre II et de rapport −2-2 transforme AA en D.D.

    ID→=−2 IA→\overrightarrow{ID} = -2\,\overrightarrow{IA}
  2. 2

    L'image de B

    On note EE l'image de BB par h.h. La droite (DE)(DE) est parallèle à la droite (AB)(AB) : EE est sur la droite (CD).(CD). Et EE est aligné avec II et BB : c'est le point C.C.

    h(B)=Ch(B) = C
  3. 3

    Conclure

    L'homothétie de centre II et de rapport −2-2 transforme AA en DD et BB en C.C. On en déduit que la longueur CDCD est le double de la longueur AB.AB.

    CD=∣−2∣×AB=2 ABCD = |-2| \times AB = 2\,AB
CD=∣−2∣×AB=2 ABCD = |-2| \times AB = 2\,AB

L’erreur à ne pas faire

  • Les droites (AB)(AB) et (A′B′)(A'B') sont parallèles, donc A′B′=ABA'B' = ABA′B′→=k AB→,\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{AB}, donc A′B′=∣k∣×ABA'B' = |k| \times AB
    Deux droites parallèles ne portent pas forcément des vecteurs égaux. L'égalité des vecteurs, c'est la translation ; l'homothétie, elle, multiplie le vecteur par son rapport.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Men la propriété caractéristique ntalla3ou zouz conséquences. Ken A prime w B prime houma les images mta3 A w B par une homothétie de rapport k, wa9tha la droite AB parallèle à la droite A prime B prime, 5ater ez-zouz vecteurs colinéaires. W la distance A prime B prime égale la valeur absolue de k fois AB. Ya3ni l'homothétie todhrob les distances el koll fi la valeur absolue de k : tkabber ken hiya akbar men un, w tsaghghar ken hiya asghar men un. »

Propriété

Conservation de l'alignement

Les images, par une homothétie, de trois points alignés sont trois points alignés.

Autrement dit : si A,A, BB et CC sont alignés et si A′,A', B′B' et C′C' sont leurs images par une homothétie, alors A′,A', B′B' et C′C' sont alignés.

MNIABCA'B'C'
A', B' et C' sont les centres de gravité des triangles AMN, BMN et CMN.
AC→=t AB→  ⟹  A′C′→=t A′B′→\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB} \implies \overrightarrow{A'C'} = t\,\overrightarrow{A'B'}

Exemple traité

Dans la figure, AMN,AMN, BMNBMN et CMNCMN sont des triangles tels que A,A, BB et CC soient alignés. On note II le milieu du segment [MN],[MN], et A′,A', B′B' et C′C' les centres de gravité respectifs de ces trois triangles. Montrer que A′,A', B′B' et C′C' sont alignés.

  1. 1

    Le centre de gravité

    Dans le triangle AMN,AMN, la droite (AI)(AI) est une médiane, et le centre de gravité est au tiers de la médiane à partir du milieu I.I.

    IA′→=13 IA→\overrightarrow{IA'} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}
  2. 2

    Une homothétie

    A′A' est donc l'image de AA par l'homothétie hh de centre II et de rapport 13.\dfrac{1}{3}. Les trois triangles ont le même côté [MN][MN] : de même, B′B' et C′C' sont les images de BB et de C.C.

    h(A)=A′;h(A) = A' \quad ; \quadh(B)=B′;h(B) = B' \quad ; \quadh(C)=C′h(C) = C'
  3. 3

    Conclure

    A,A, BB et CC sont alignés, et une homothétie conserve l'alignement.

    A′, A',\ B′, B',\ C′C' sont alignés
A′, A',\ B′, B',\ C′C' sont alignés

L’erreur à ne pas faire

  • Le centre de gravité est au tiers de la médiane à partir du sommet : AA′→=13 AI→\overrightarrow{AA'} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AI}IA′→=13 IA→,\overrightarrow{IA'} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}, c'est-à-dire AA′→=23 AI→\overrightarrow{AA'} = \dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AI}
    Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir du sommet, donc au tiers à partir du milieu du côté.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie t7afedh 3la l'alignement. Ken trois points A w B w C alignés, les images mte3hom A prime w B prime w C prime zeda alignés. Es-sbab sehel : le vecteur AC égale réel t fois le vecteur AB. Nadhrbou ez-zouz fi k, nal9aw : le vecteur A prime C prime égale t fois le vecteur A prime B prime. Donc les images alignés. W hedhi tari9a behya bech tthabbet elli trois points alignés : twarri elli houma les images mta3 trois points alignés. »

Théorème

Image d'une droite, image d'un segment

L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.

Plus précisément : si AA et BB sont deux points distincts d'images A′A' et B′,B', l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (A′B′).(A'B').

L'image d'un segment par une homothétie est un segment : l'image du segment [AB][AB] est le segment [A′B′].[A'B'].

En pratique. Pour préciser l'image d'une droite DD par une homothétie hh :

  • si l'on connaît les images A′A' et B′B' de deux points de D,D, l'image de DD est la droite (A′B′)(A'B') ;
  • si l'on connaît l'image A′A' d'un seul point de D,D, l'image de DD est la parallèle à DD passant par A′A' ;
  • si DD passe par le centre de h,h, l'image de DD est DD elle-même.
DD'IABA'B'
L'image de D par l'homothétie de centre I et de rapport 2 est la parallèle D'.
une droite parallèleh((AB))=(A′B′)h\big((AB)\big) = (A'B')
un segmenth([AB])=[A′B′]h\big([AB]\big) = [A'B']

Exemple traité

Soient DD une droite et II un point qui n'est pas sur D.D. Construire l'image de la droite DD par l'homothétie hh de centre II et de rapport 2.2.

  1. 1

    Un point

    On choisit un point AA sur DD et on construit son image A′A' : le vecteur IA′→\overrightarrow{IA'} est égal à 22 fois le vecteur IA→,\overrightarrow{IA}, donc AA est le milieu du segment [IA′].[IA'].

    IA′→=2 IA→\overrightarrow{IA'} = 2\,\overrightarrow{IA}
  2. 2

    La parallèle

    L'image de DD est une droite parallèle à D,D, et elle passe par A′A' : on trace la parallèle à DD passant par A′.A'. On la note D′.D'.

    D′∥D,D' \parallel D, \quadA′∈D′A' \in D'
  3. 3

    Vérifier

    Si on prend un autre point BB de D,D, son image B′B' est le point où la droite (IB)(IB) coupe D′.D'.

    h(B)=B′h(B) = B'
D′D' est la parallèle à DD passant par A′A'

L’erreur à ne pas faire

  • L'image de la droite DD est la droite qui passe par II et par A′A'C'est la parallèle à DD passant par A′A'
    La droite qui joint le centre à l'image d'un point contient ce point et son image, mais ce n'est pas l'image de la droite de départ : l'image d'une droite lui est parallèle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chnowa l'image mta3 droite ? Hiya droite parallèle liha. Ken A w B zouz points 3la la droite, w les images mte3hom A prime w B prime, l'image de la droite AB hiya la droite A prime B prime. W l'image du segment AB hiya le segment A prime B prime. Pratiquement, yekfik l'image mta3 point wa7ed : arsem men l'image hedhi la parallèle à la droite elli bdit biha. W 7ala 5assa : la droite elli tet3adda men le centre mta3 l'homothétie, l'image mte3ha hiya bidha. »

Méthode

Une homothétie donnée par son centre, un point et son image

Soient O,O, AA et A′A' trois points alignés, avec AA et A′A' distincts de O.O. Il existe une seule homothétie de centre OO qui transforme AA en A′A' : son rapport est le réel kk tel que OA′→=k OA→.\overrightarrow{OA'} = k\,\overrightarrow{OA}.

On construit alors l'image M′M' de n'importe quel point MM sans calculer kk :

  • si MM n'est pas sur la droite (OA)(OA) : M′M' est le point d'intersection de la droite (OM)(OM) et de la parallèle à (AM)(AM) passant par A′A' ;
  • si MM est sur la droite (OA)(OA) : on construit d'abord l'image N′N' d'un point NN hors de cette droite, puis M′M' est le point d'intersection de (OA)(OA) et de la parallèle à (NM)(NM) passant par N′.N'.

Inversement, le centre d'une homothétie est sur chaque droite qui joint un point à son image.

SABCA'B'C'
Le centre S est sur la droite (AA') et sur la droite (CC').
le rapport est fixé par A et A'OA′→=k OA→\overrightarrow{OA'} = k\,\overrightarrow{OA}

Exemple traité

Dans la figure, ABCABC et A′B′C′A'B'C' sont deux triangles équilatéraux, les points A,A, B,B, A′A' et B′B' sont alignés dans cet ordre, et CC et C′C' sont du même côté de la droite (AB).(AB). Une homothétie hh transforme AA en A′A' et BB en B′.B'. Montrer que h(C)=C′,h(C) = C', puis construire le centre de h.h.

  1. 1

    Deux parallèles

    L'angle BAC^\widehat{BAC} et l'angle B′A′C′^\widehat{B'A'C'} mesurent chacun 60∘,60^\circ, et ils sont correspondants : la droite (AC)(AC) est parallèle à la droite (A′C′).(A'C'). De même, la droite (BC)(BC) est parallèle à la droite (B′C′).(B'C').

    (AC)∥(A′C′);(AC) \parallel (A'C') \quad ; \quad(BC)∥(B′C′)(BC) \parallel (B'C')
  2. 2

    L'image de C

    L'image de la droite (AC)(AC) est la parallèle à (AC)(AC) passant par A′A' : c'est (A′C′).(A'C'). De même, l'image de (BC)(BC) est (B′C′).(B'C'). Le point CC est sur les deux droites, donc son image est sur les deux images.

    h(C)=C′h(C) = C'
  3. 3

    Le centre

    Un point, son image et le centre sont alignés : le centre est sur la droite (AA′)(AA') et sur la droite (CC′).(CC'). On le note S.S.

    SS est le point d'intersection de (AA′)(AA') et (CC′)(CC')
SS est le point d'intersection de (AA′)(AA') et (CC′)(CC')

L’erreur à ne pas faire

  • Pour construire M′,M', on trace par A′A' la parallèle à la droite (OM)(OM)On trace par A′A' la parallèle à la droite (AM)(AM) ; elle coupe (OM)(OM) en M′M'
    C'est la droite qui joint AA à MM qui a pour image la droite qui joint leurs images : ces deux droites sont parallèles.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie na3rfouha el koll ki ykoun 3andna le centre O, w point A, w l'image mte3ou A prime : el trois points alignés, w le rapport houwa el réel k elli y7a99e9 le vecteur OA prime égale k fois le vecteur OA. Bech tarsem l'image mta3 point e5er M, ma test7a99ech ta7seb k. Ken M mouch 3la la droite OA, arsem la droite OM, w ba3d la parallèle à la droite AM elli tet3adda men A prime : yetla9aw fi M prime. W ken M 3la la droite OA, arsem 9bal l'image mta3 point N 5arej la droite hedhi, w 3awed nafs el 5edma b N w N prime. »

Propriété

Conservation du milieu

Une homothétie conserve le milieu : si PP est le milieu d'un segment [MN][MN] et si M′,M', N′N' et P′P' sont les images de M,M, NN et PP par une homothétie, alors P′P' est le milieu du segment [M′N′].[M'N'].

IABCDOA'B'C'D'O'
L'image du centre O est le centre O' du parallélogramme image.
PP milieu de [MN]  ⟹  P′[MN] \implies P' milieu de [M′N′][M'N']

Exemple traité

Soit ABCDABCD un parallélogramme de centre O.O. On désigne par A′,A', B′,B', C′,C', D′D' et O′O' les images respectives de A,A, B,B, C,C, DD et OO par une homothétie h.h. Quelle est la nature du quadrilatère A′B′C′D′A'B'C'D' ?

  1. 1

    Le centre O

    Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : OO est le milieu du segment [AC][AC] et du segment [BD].[BD].

    OO milieu de [AC][AC] et de [BD][BD]
  2. 2

    Les images

    Une homothétie conserve le milieu : O′O' est le milieu du segment [A′C′][A'C'] et du segment [B′D′].[B'D'].

    O′O' milieu de [A′C′][A'C'] et de [B′D′][B'D']
  3. 3

    Conclure

    Les diagonales du quadrilatère A′B′C′D′A'B'C'D' se coupent en leur milieu.

    A′B′C′D′A'B'C'D' est un parallélogramme de centre O′O'
A′B′C′D′A'B'C'D' est un parallélogramme de centre O′O'

L’erreur à ne pas faire

  • L'image du milieu de [MN][MN] est le milieu de [MM′][MM']L'image du milieu de [MN][MN] est le milieu de [M′N′][M'N']
    On prend le milieu du segment image, celui qui joint les images des deux extrémités.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie t7afedh 3la le milieu. Ken P houwa le milieu du segment MN, l'image mte3ou P prime hiya le milieu du segment M prime N prime. 3lech ? Le vecteur MP égale le vecteur PN. Nadhrbou ez-zouz fi k : le vecteur M prime P prime égale le vecteur P prime N prime. Donc P prime houwa le milieu. W menha ntalla3ou : l'image mta3 parallélogramme hiya parallélogramme, 5ater les diagonales mte3ou yetla9aw dima fi le milieu mte3hom. »

Propriété

Conservation du barycentre

Une homothétie conserve le barycentre : soient α\alpha et β\beta deux réels tels que α+β≠0,\alpha + \beta \neq 0, et PP le barycentre des points pondérés (M,α)(M, \alpha) et (N,β).(N, \beta). Si M′,M', N′N' et P′P' sont les images de M,M, NN et PP par une homothétie, alors P′P' est le barycentre des points pondérés (M′,α)(M', \alpha) et (N′,β).(N', \beta).

Il en est de même pour le barycentre de trois points pondérés. En particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

ABCIJKG
Le triangle des milieux IJK est l'image de ABC par l'homothétie de centre G et de rapport −1/2.
α PM→+β PN→=0⃗  ⟹  α P′M′→+β P′N′→=0⃗\alpha\,\overrightarrow{PM} + \beta\,\overrightarrow{PN} = \vec{0} \implies \alpha\,\overrightarrow{P'M'} + \beta\,\overrightarrow{P'N'} = \vec{0}

Exemple traité

Soit ABCABC un triangle et GG son centre de gravité. On note I,I, JJ et KK les milieux respectifs des côtés [BC],[BC], [CA][CA] et [AB].[AB]. Montrer que les triangles ABCABC et IJKIJK ont le même centre de gravité.

  1. 1

    Sur une médiane

    Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane [AI][AI] à partir de AA : le vecteur GI→\overrightarrow{GI} est égal à −12-\dfrac{1}{2} fois le vecteur GA→.\overrightarrow{GA}.

    GI→=−12 GA→\overrightarrow{GI} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{GA}
  2. 2

    Les trois sommets

    L'homothétie hh de centre GG et de rapport −12-\dfrac{1}{2} transforme donc AA en I.I. De même, elle transforme BB en JJ et CC en KK : le triangle IJKIJK est l'image du triangle ABC.ABC.

    h(A)=I;h(A) = I \quad ; \quadh(B)=J;h(B) = J \quad ; \quadh(C)=Kh(C) = K
  3. 3

    Le barycentre

    L'image du centre de gravité de ABCABC est le centre de gravité de IJK.IJK. Or GG est le centre de h,h, donc il est sa propre image.

    h(G)=Gh(G) = G
GG est le centre de gravité de IJKIJK

L’erreur à ne pas faire

  • L'homothétie de centre GG qui transforme AA en II a pour rapport 12\dfrac{1}{2}Son rapport est −12-\dfrac{1}{2}
    Le point GG est entre AA et II : les deux vecteurs qui partent de GG sont de sens contraires.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie t7afedh zeda 3la le barycentre. Ken P houwa le barycentre des points M et N, affectés des coefficients alpha et bêta, wa9tha P prime houwa le barycentre de M prime et N prime, b nafs les coefficients. Yekfi nadhrbou la relation vectorielle fi k. W nafs el 7keya m3a trois points. W bel 5sous : l'image mta3 le centre de gravité mta3 triangle, hiya le centre de gravité mta3 el triangle image. »

Application

La configuration du trapèze

Dans un trapèze ABCDABCD de bases [AB][AB] et [CD],[CD], on note II le milieu de [AB],[AB], JJ le milieu de [CD],[CD], OO le point d'intersection des droites (AD)(AD) et (BC),(BC), et O′O' le point d'intersection des diagonales (AC)(AC) et (BD).(BD).

Alors les quatre points O,O, I,I, O′O' et JJ sont alignés.

On le prouve avec deux homothéties : h,h, de centre O,O, qui transforme AA en D,D, et g,g, de centre O′,O', qui transforme AA en C.C.

ABCDOIJO'
Les points O, I, O' et J sont sur une même droite.
O, O,\ I, I,\ O′, O',\ JJ sont alignés

Exemple traité

Avec les notations de la figure, montrer que hh transforme BB en C,C, puis que les points O,O, I,I, O′O' et JJ sont alignés.

  1. 1

    L'image de B

    L'image de la droite (AB)(AB) par hh est la parallèle à (AB)(AB) passant par DD : c'est la droite (DC).(DC). L'image de BB est sur (DC)(DC) et sur la droite (OB)(OB) : c'est C.C.

    h(A)=D;h(A) = D \quad ; \quadh(B)=Ch(B) = C
  2. 2

    Le milieu

    hh transforme le segment [AB][AB] en le segment [DC],[DC], et une homothétie conserve le milieu : l'image de II est J.J.

    h(I)=Jh(I) = J
  3. 3

    Un alignement

    Un point, son image et le centre sont alignés : O,O, II et JJ sont alignés.

    O, O,\ I, I,\ JJ sont alignés
  4. 4

    Avec les diagonales

    De la même façon, gg transforme AA en CC et BB en D,D, donc II en JJ : les points O′,O', II et JJ sont alignés. Les quatre points sont sur la droite (IJ).(IJ).

    O, O,\ I, I,\ O′, O',\ JJ sont alignés
O, O,\ I, I,\ O′, O',\ JJ sont alignés

L’erreur à ne pas faire

  • Les homothéties hh et gg ont le même rapportLe rapport de hh est DCAB,\dfrac{DC}{AB}, celui de gg est −DCAB-\dfrac{DC}{AB}
    Le centre OO est à l'extérieur du segment [AD],[AD], alors que O′O' est entre AA et CC : les deux rapports sont opposés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Mithel ma3rouf : la configuration du trapèze. Fi trapèze ABCD, les bases mte3ou AB w CD, nsammiw I le milieu de AB, w J le milieu de CD, w O el point elli yetla9aw fih la droite AD w la droite BC, w O prime el point elli yetla9aw fih les diagonales. Wa9tha el quatre points O w I w O prime w J alignés. Nthabtouha b zouz homothéties : h, de centre O, teb3ath A l D, w g, de centre O prime, teb3ath A l C. W koll wa7da teb3ath le milieu I l le milieu J. »

Application

Un problème de construction

Le problème. Soient D1D_1 et D2D_2 deux droites sécantes et II un point qui n'appartient ni à D1D_1 ni à D2.D_2. Construire un point AA de D1D_1 et un point BB de D2D_2 tels que IB→=3 IA→.\overrightarrow{IB} = 3\,\overrightarrow{IA}.

L'idée. L'égalité dit que BB est l'image de AA par l'homothétie hh de centre II et de rapport 3.3. Comme AA est sur D1,D_1, son image BB est sur l'image de D1D_1 ; et BB doit aussi être sur D2.D_2.

La construction. On construit la droite D3,D_3, image de D1D_1 par hh : elle est parallèle à D1.D_1. Elle coupe D2D_2 en B.B. Le point AA est l'antécédent de BB : c'est le point d'intersection de la droite (IB)(IB) et de D1.D_1.

D₁D₂D₃IEFAB
D₃ est l'image de D₁ : elle coupe D₂ en B, et la droite (IB) coupe D₁ en A.
B est l'image de AIB→=3 IA→\overrightarrow{IB} = 3\,\overrightarrow{IA}

Exemple traité

Réaliser cette construction, et justifier que les points AA et BB obtenus conviennent.

  1. 1

    L'image de la droite

    On choisit un point EE de D1D_1 et on construit son image FF : le vecteur IF→\overrightarrow{IF} est égal à 33 fois le vecteur IE→.\overrightarrow{IE}. La droite D3D_3 est la parallèle à D1D_1 passant par F.F.

    IF→=3 IE→\overrightarrow{IF} = 3\,\overrightarrow{IE}
  2. 2

    Le point B

    Les droites D1D_1 et D2D_2 sont sécantes, donc D3,D_3, qui est parallèle à D1,D_1, coupe D2D_2 : on note BB leur point d'intersection.

    B∈D3∩D2B \in D_3 \cap D_2
  3. 3

    Le point A

    BB est sur D3,D_3, image de D1D_1 : son antécédent AA est sur D1.D_1. On l'obtient en coupant D1D_1 par la droite (IB).(IB).

    IB→=3 IA→\overrightarrow{IB} = 3\,\overrightarrow{IA}
IB→=3 IA→\overrightarrow{IB} = 3\,\overrightarrow{IA}

L’erreur à ne pas faire

  • On construit l'image de D2D_2 par hh et on la coupe avec D1D_1On construit l'image de D1D_1 par hh et on la coupe avec D2D_2
    C'est le point A,A, sur la première droite, qui a pour image BB : c'est donc l'image de la première droite qui contient B.B.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa problème de construction. 3andna zouz droites sécantes D un w D deux, w point I mouch 3la 7atta wa7da fihom. N7ebbou point A 3la D un, w point B 3la D deux, b7ith le vecteur IB égale trois fois le vecteur IA. El fekra : B houwa l'image de A par l'homothétie h de centre I et de rapport trois. W 5ater A 3la D un, B lezem ykoun 3la l'image mta3 D un. Narsmou l'image hedhi, la droite D trois : t9oss D deux fi B. W ba3d A houwa l'antécédent mta3 B : el point elli la droite IB t9oss fih D un. »

Application

Un problème d'alignement

ABCDABCD est un trapèze de bases [AB][AB] et [DC].[DC]. Les droites (AD)(AD) et (BC)(BC) se coupent en un point E.E. Soit FF un point intérieur au triangle ABE.ABE. La parallèle à (AF)(AF) passant par DD et la parallèle à (BF)(BF) passant par CC se coupent en un point G.G.

Alors les points E,E, FF et GG sont alignés.

L'idée. Pour prouver que trois points sont alignés, on cherche une homothétie dont l'un est le centre et qui transforme le deuxième en le troisième. Ici : l'homothétie hh de centre EE qui transforme AA en D.D.

EABDCFG
G est l'image de F par l'homothétie de centre E qui transforme A en D.
h(F)=G  ⟹  E, h(F) = G \implies E,\ F, F,\ GG alignés

Exemple traité

Avec les données de la figure, on considère l'homothétie hh de centre EE qui transforme AA en D.D. Déterminer l'image de la droite (AF),(AF), montrer que h(B)=C,h(B) = C, puis en déduire que E,E, FF et GG sont alignés.

  1. 1

    Une première droite

    L'image de la droite (AF)(AF) est la parallèle à (AF)(AF) passant par l'image de A,A, c'est-à-dire par DD : c'est la droite (DG).(DG).

    h((AF))=(DG)h\big((AF)\big) = (DG)
  2. 2

    L'image de B

    L'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) passant par DD : c'est (DC).(DC). L'image de BB est sur (DC)(DC) et sur la droite (EB)(EB) : c'est C.C. L'image de la droite (BF)(BF) est donc la parallèle à (BF)(BF) passant par CC : la droite (CG).(CG).

    h(B)=C;h(B) = C \quad ; \quadh((BF))=(CG)h\big((BF)\big) = (CG)
  3. 3

    L'image de F

    FF est sur les droites (AF)(AF) et (BF)(BF) : son image est sur leurs deux images, (DG)(DG) et (CG).(CG). C'est le point G.G.

    h(F)=Gh(F) = G
  4. 4

    Conclure

    Un point, son image et le centre d'une homothétie sont alignés.

    E, E,\ F, F,\ GG sont alignés
E, E,\ F, F,\ GG sont alignés

L’erreur à ne pas faire

  • La droite (DG)(DG) est parallèle à (AF),(AF), donc GG est l'image de FFGG est l'image de FF parce qu'il est sur les images des deux droites (AF)(AF) et (BF)(BF)
    Une seule droite ne suffit pas à repérer un point : il faut deux droites qui se coupent en ce point, et leurs deux images.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha problème d'alignement. ABCD trapèze, les bases mte3ou AB w DC, w la droite AD w la droite BC yetla9aw fi E. Ne5dhou point F de5el le triangle ABE. La parallèle à la droite AF elli tet3adda men D, w la parallèle à la droite BF elli tet3adda men C, yetla9aw fi G. N7ebbou nthabtou elli E w F w G alignés. El mefte7 : l'homothétie h de centre E elli teb3ath A l D. Ken nwarriw elli G houwa l'image mta3 F, kammelna, 5ater el point w l'image mte3ou w le centre dima alignés. »

Définition

Figures homothétiques

Deux figures sont dites homothétiques si l'une est l'image de l'autre par une homothétie.

Un agrandissement ou une réduction d'une figure n'en est pas toujours une image par une homothétie. Il faut en plus que chaque côté de l'image soit parallèle au côté correspondant, et que les droites qui joignent chaque point à son image passent toutes par un même point : le centre.

OABCA'B'C'
Deux triangles homothétiques : mêmes directions, même centre O.

Exemple traité

Dans la figure, les points O,O, AA et A′A' sont alignés, ainsi que O,O, BB et B′,B', et O,O, CC et C′.C'. Les droites (AB)(AB) et (A′B′)(A'B') sont parallèles, et les droites (BC)(BC) et (B′C′)(B'C') aussi. Quelle est la position relative des droites (AC)(AC) et (A′C′)(A'C') ?

  1. 1

    Une homothétie

    O,O, BB et B′B' sont alignés : on note hh l'homothétie de centre OO qui transforme BB en B′.B'.

    h(B)=B′h(B) = B'
  2. 2

    L'image de A

    L'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) passant par B′B' : c'est (A′B′).(A'B'). L'image de AA est sur (A′B′)(A'B') et sur la droite (OA)(OA) : c'est A′.A'.

    h(A)=A′h(A) = A'
  3. 3

    L'image de C

    De même, l'image de la droite (BC)(BC) est (B′C′),(B'C'), et l'image de CC est C′.C'.

    h(C)=C′h(C) = C'
  4. 4

    Conclure

    La droite (AC)(AC) a pour image la droite (A′C′)(A'C') : elles sont parallèles. Les triangles ABCABC et A′B′C′A'B'C' sont homothétiques.

    (AC)∥(A′C′)(AC) \parallel (A'C')
(AC)∥(A′C′)(AC) \parallel (A'C')

L’erreur à ne pas faire

  • Deux carrés sont toujours homothétiquesDeux carrés ne sont homothétiques que si leurs côtés sont parallèles
    Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : si l'un des carrés est tourné par rapport à l'autre, aucune homothétie n'envoie l'un sur l'autre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Définition : zouz figures n9oulou 3lihom homothétiques, ken wa7da fihom hiya l'image mta3 lo5ra par une homothétie. Rodd belek : agrandissement walla réduction ma ya3tich dima zouz figures homothétiques. Lezem koll côté mta3 l'image ykoun parallèle lel côté elli y9ablou, w les droites elli torbot koll point b l'image mte3ou lezem yet3addew el koll men nafs el point, houwa le centre. »

Propriété

Conservation des angles

Une homothétie conserve les angles : si A′,A', B′B' et C′C' sont les images de A,A, BB et CC par une homothétie, alors

B′A′C′^=BAC^\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}

L'image d'un triangle est donc un triangle qui a les mêmes angles : une homothétie change la taille d'une figure, pas sa forme.

OABCA'B'C'B''C''
Le triangle translaté A'B''C'' montre que l'angle en A' est égal à l'angle en A.
B′A′C′^=BAC^\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}

Exemple traité

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA tel que ABC^=35∘.\widehat{ABC} = 35^\circ. On note A′B′C′A'B'C' son image par une homothétie de rapport −3.-3. Donner la nature du triangle A′B′C′A'B'C' et la mesure de ses angles.

  1. 1

    L'angle droit

    L'angle en A′A' est égal à l'angle en AA : le triangle image est rectangle en A′.A'.

    B′A′C′^=BAC^=90∘\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 90^\circ
  2. 2

    Les autres angles

    L'angle en B′B' mesure 35∘,35^\circ, comme l'angle en BB ; le troisième se calcule par la somme des angles d'un triangle.

    A′C′B′^=180∘−90∘−35∘=55∘\widehat{A'C'B'} = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ
A′B′C′A'B'C' est rectangle en A′,A', avec des angles de 35∘35^\circ et 55∘55^\circ

L’erreur à ne pas faire

  • Par une homothétie de rapport 3,3, un angle de 40∘40^\circ devient un angle de 120∘120^\circIl reste un angle de 40∘40^\circ
    Le rapport multiplie les longueurs, pas les angles.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie t7afedh 3la les angles. Ken A prime w B prime w C prime houma les images mta3 A w B w C, wa9tha l'angle B prime A prime C prime égale l'angle BAC. El fekra mta3 la preuve : nzall9ou le triangle ABC b la translation elli teb3ath A l A prime. El triangle elli nal9aweh isométrique l ABC, w les côtés mte3ou elli yo5rjou men A prime 3la nafs les droites mta3 les côtés mta3 A prime B prime C prime. Tfakker : l'homothétie tbaddel el 9add mta3 el figure, mouch ech-chakl mte3ha. »

Propriété

Parallélisme et orthogonalité

Soit hh une homothétie, D1D_1 et D2D_2 deux droites, et D1′D'_1 et D2′D'_2 leurs images respectives par h.h.

  • Si D1D_1 et D2D_2 sont parallèles, alors D1′D'_1 et D2′D'_2 sont parallèles.
  • Si D1D_1 et D2D_2 sont perpendiculaires, alors D1′D'_1 et D2′D'_2 sont perpendiculaires.

On dit qu'une homothétie conserve le parallélisme et l'orthogonalité.

OABCHA'B'C'H'
L'image du pied H de la hauteur est le pied H' de la hauteur du triangle image.
D1∥D2  ⟹  D1′∥D2′D_1 \parallel D_2 \implies D'_1 \parallel D'_2
D1⊥D2  ⟹  D1′⊥D2′D_1 \perp D_2 \implies D'_1 \perp D'_2

Exemple traité

Soit ABCABC un triangle et A′B′C′A'B'C' son image par une homothétie h.h. On note HH le pied de la hauteur du triangle ABCABC issue de A,A, et H′H' le pied de la hauteur du triangle A′B′C′A'B'C' issue de A′.A'. Montrer que H′H' est l'image de HH par cette homothétie.

  1. 1

    Sur le côté

    HH est sur la droite (BC)(BC) : son image est sur la droite image, (B′C′).(B'C').

    h(H)∈(B′C′)h(H) \in (B'C')
  2. 2

    La perpendiculaire

    La droite (AH)(AH) est perpendiculaire à (BC)(BC) : son image, qui passe par A′A' et par l'image de H,H, est perpendiculaire à (B′C′).(B'C').

    h((AH))⊥(B′C′)h\big((AH)\big) \perp (B'C')
  3. 3

    Conclure

    L'image de HH est le point de (B′C′)(B'C') où arrive la perpendiculaire issue de A′A' : c'est le pied de la hauteur, H′.H'.

    h(H)=H′h(H) = H'
h(H)=H′h(H) = H'

L’erreur à ne pas faire

  • D1D_1 et D2D_2 sont perpendiculaires, donc D1′D'_1 est perpendiculaire à D1D_1D1′D'_1 est parallèle à D1,D_1, et perpendiculaire à D2′D'_2
    Chaque droite a pour image une droite qui lui est parallèle ; c'est entre les deux images que l'angle droit se retrouve.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie t7afedh 3la le parallélisme w l'orthogonalité. Ken zouz droites parallèles, les images mte3hom parallèles. W ken zouz droites perpendiculaires, les images mte3hom perpendiculaires. Es-sbab : koll droite l'image mte3ha droite parallèle liha, donc ez-zouz images ya3mlou binethom nafs l'angle mta3 ez-zouz droites elli bdina bihom. W menha : l'image mta3 rectangle hiya rectangle, l'image mta3 carré hiya carré, w l'image mta3 hauteur fi triangle hiya hauteur fel triangle image. »

Théorème

Image d'un cercle

L'image d'un cercle de centre OO et de rayon RR par une homothétie hh de rapport kk est le cercle de centre O′=h(O)O' = h(O) et de rayon R′=∣k∣ R.R' = |k|\,R.

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre, puis on multiplie le rayon par ∣k∣|k| — ou bien on construit l'image d'un point du cercle : le cercle image passe par ce point.

(C)(C')AOB
Par l'homothétie de centre A et de rapport 2, le centre O devient B et le rayon double.
centre h(O), rayon |k| RC(O,R)⟼C′(O′,∣k∣ R)\mathscr{C}(O, R) \longmapsto \mathscr{C}'(O', |k|\,R)

Exemple traité

On considère un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 3,3, et un diamètre [AB][AB] de ce cercle. Construire l'image (C′)(C') du cercle (C)(C) par l'homothétie hh de centre AA qui transforme OO en B.B.

  1. 1

    Le rapport

    OO est le milieu du segment [AB][AB] : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal à 22 fois le vecteur AO→.\overrightarrow{AO}. Le rapport de hh est 2.2.

    AB→=2 AO→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AO}
  2. 2

    Le centre et le rayon

    L'image du centre OO est B,B, et le rayon est multiplié par 2.2.

    R′=2×3=6R' = 2 \times 3 = 6
  3. 3

    Le cercle image

    (C′)(C') est le cercle de centre BB et de rayon 6.6. Il passe par A,A, car BA=6BA = 6 : le point AA est le centre de l'homothétie et il est sur (C),(C), donc il est aussi sur l'image.

    (C′)(C') est le cercle de centre BB passant par AA
(C′)(C') est le cercle de centre BB passant par AA

L’erreur à ne pas faire

  • Par une homothétie de rapport −12,-\dfrac{1}{2}, le rayon devient −12 R-\dfrac{1}{2}\,RLe rayon devient 12 R\dfrac{1}{2}\,R
    Un rayon est une longueur : on le multiplie par la valeur absolue du rapport. Le signe ne joue que sur la position du centre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W le cercle ? L'image mta3 cercle de centre O et de rayon R par une homothétie de rapport k, hiya le cercle de centre O prime, l'image mta3 O, w le rayon mte3ou R prime égale la valeur absolue de k fois R. 3lech ? Ken M 3la le cercle, OM égale R, w l'homothétie todhrob les distances fi la valeur absolue de k : O prime M prime égale la valeur absolue de k fois R. Bech tarsem l'image mta3 cercle, arsem l'image mta3 le centre, w ba3d odhrob le rayon. »

Propriété

Conservation du contact

Une homothétie conserve le contact : soit C\mathscr{C} un cercle et DD une droite tangente à ce cercle en un point A.A. On note A′,A', C′\mathscr{C}' et D′D' les images respectives de A,A, de C\mathscr{C} et de DD par une homothétie. Alors la droite D′D' est tangente au cercle C′\mathscr{C}' au point A′.A'.

De même, deux cercles tangents ont pour images deux cercles tangents.

(C₁)(C₂)ITJ
L'homothétie de centre T qui transforme I en J transforme (C₁) en (C₂).

Exemple traité

On considère deux cercles (C1)(C_1) et (C2),(C_2), de centres respectifs II et J,J, tangents en un point T.T. Soit hh l'homothétie de centre TT qui transforme II en J.J. Montrer que hh transforme (C1)(C_1) en (C2).(C_2).

  1. 1

    Le centre

    L'image de (C1)(C_1) est un cercle dont le centre est l'image de I,I, c'est-à-dire J.J.

    h(I)=Jh(I) = J
  2. 2

    Un point

    TT est le centre de h,h, donc il est sa propre image. Comme TT est sur (C1),(C_1), le cercle image passe par T.T.

    h(T)=Th(T) = T
  3. 3

    Conclure

    Le cercle de centre JJ qui passe par TT est (C2).(C_2).

    h((C1))=(C2)h\big((C_1)\big) = (C_2)
  4. 4

    La tangente

    La tangente à (C1)(C_1) en TT passe par le centre de hh : elle est sa propre image. Par conservation du contact, elle est tangente à (C2)(C_2) en TT : les deux cercles ont la même tangente en T.T.

h((C1))=(C2)h\big((C_1)\big) = (C_2)

L’erreur à ne pas faire

  • L'image d'une tangente à C\mathscr{C} est encore tangente à C\mathscr{C}L'image d'une tangente à C\mathscr{C} est tangente au cercle image C′\mathscr{C}'
    On transforme la droite et le cercle en même temps : le contact se conserve entre les deux images, au point image.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'homothétie t7afedh 3la le contact. Ken droite D tangente l cercle fi point A, wa9tha l'image mta3 D tangente l l'image mta3 le cercle, fel point A prime, l'image mta3 A. Es-sbab : la tangente perpendiculaire 3la le rayon, w l'homothétie t7afedh 3la l'orthogonalité. W kif kif, zouz cercles tangents, les images mte3hom zouz cercles tangents. Dima n7awwlou la droite w le cercle m3a b3adhhom. »

Application

Deux cercles de rayons différents

Soient C\mathscr{C} et C′\mathscr{C}' deux cercles de centres respectifs OO et O′O' et de rayons respectifs RR et R′R' tels que R≠R′.R \neq R'.

  • Il existe une seule homothétie de rapport positif qui transforme C\mathscr{C} en C′\mathscr{C}' : son rapport est R′R,\dfrac{R'}{R}, et son centre II vérifie IO′→=R′R IO→.\overrightarrow{IO'} = \dfrac{R'}{R}\,\overrightarrow{IO}.
  • Il existe une seule homothétie de rapport négatif qui transforme C\mathscr{C} en C′\mathscr{C}' : son rapport est −R′R,-\dfrac{R'}{R}, et son centre JJ vérifie JO′→=−R′R JO→.\overrightarrow{JO'} = -\dfrac{R'}{R}\,\overrightarrow{JO}.

Tangentes communes. Quand les deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre, les tangentes à C\mathscr{C} issues de II et celles issues de JJ sont tangentes aux deux cercles : ce sont leurs tangentes communes.

IOJO'
I est le centre de l'homothétie de rapport positif, J celui de l'homothétie de rapport négatif.
deux homothétiesk=R′Rk = \dfrac{R'}{R} ou k=−R′Rk = -\dfrac{R'}{R}

Exemple traité

On considère un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 1,1, et un cercle (C′)(C') de centre O′O' et de rayon 2,2, avec OO′=6.OO' = 6. Déterminer le rapport et la position du centre de chacune des deux homothéties qui transforment (C)(C) en (C′).(C').

  1. 1

    Les rapports

    Le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport : elle vaut 2.2. Le rapport est 22 ou −2.-2.

    ∣k∣=R′R=2|k| = \dfrac{R'}{R} = 2
  2. 2

    Rapport positif

    Le centre II vérifie que le vecteur IO′→\overrightarrow{IO'} est égal à 22 fois le vecteur IO→\overrightarrow{IO} : OO est le milieu du segment [IO′].[IO']. Le point II est le symétrique de O′O' par rapport à O.O.

    IO′→=2 IO→,\overrightarrow{IO'} = 2\,\overrightarrow{IO}, \quadIO=6IO = 6
  3. 3

    Rapport négatif

    Le centre JJ vérifie que le vecteur JO′→\overrightarrow{JO'} est égal à −2-2 fois le vecteur JO→\overrightarrow{JO} : JJ est sur le segment [OO′],[OO'], au tiers à partir de O.O.

    JO′→=−2 JO→,\overrightarrow{JO'} = -2\,\overrightarrow{JO}, \quadOJ=2OJ = 2
  4. 4

    Les tangentes

    Une tangente à (C)(C) issue de II passe par le centre de la première homothétie : elle est sa propre image, donc elle est tangente à (C′).(C'). Les deux tangentes issues de II et les deux tangentes issues de JJ sont les quatre tangentes communes.

rapport 22 et centre I;I \quad ; rapport −2-2 et centre JJ

L’erreur à ne pas faire

  • Une seule homothétie transforme C\mathscr{C} en C′\mathscr{C}'Il y en a deux quand R≠R′R \neq R' : l'une de rapport R′R,\dfrac{R'}{R}, l'autre de rapport −R′R-\dfrac{R'}{R}
    Le rayon ne donne que la valeur absolue du rapport : les deux signes sont possibles, avec deux centres différents.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa ne5dhou zouz cercles 3andhom rayons mo5talfin, R w R prime. 9addech men homothétie teb3ath el cercle numéro un lel cercle numéro deux ? Zouz. Le rayon yetdhrab fi la valeur absolue de k, donc k égale R prime sur R, walla moins R prime sur R. B le rapport positif, le centre I 5arej le segment elli yorbot ez-zouz centres. W b le rapport négatif, le centre J bin ez-zouz centres. W ez-zouz points hedhouma nesta3mlouhom bech narsmou les tangentes communes lez-zouz cercles : yet3addew men I walla men J. »

Application

Cercles tangents

Le problème. On donne un cercle (C1),(C_1), une droite D1D_1 et un point AA de D1D_1 qui n'appartient pas à (C1).(C_1). Construire un cercle tangent à (C1)(C_1) et tangent à D1D_1 au point A.A.

La configuration. Soit [BC][BC] un diamètre de (C1)(C_1) tel que la droite (BC)(BC) soit perpendiculaire à D1,D_1, et D2D_2 la tangente à (C1)(C_1) en B.B. La droite (AB)(AB) recoupe le cercle (C1)(C_1) en I.I. On note hh l'homothétie de centre II qui transforme BB en A,A, et (C2)(C_2) l'image de (C1)(C_1) par h.h.

Alors le cercle (C2)(C_2) est tangent à (C1)(C_1) en II et tangent à D1D_1 en A.A.

L'idée. Une homothétie conserve le contact : on transforme en même temps le cercle (C1)(C_1) et sa tangente D2.D_2.

(C₁)D₁D₂(C₂)BCAI
(C₂) est l'image de (C₁) par l'homothétie de centre I qui transforme B en A.
h(B)=A;h(B) = A \quad ; \quadh(D2)=D1h(D_2) = D_1

Exemple traité

Avec ces notations, montrer que l'homothétie hh transforme la droite D2D_2 en la droite D1,D_1, puis que le cercle (C2)(C_2) est tangent à la droite D1D_1 en AA et tangent au cercle (C1)(C_1) en I.I.

  1. 1

    Deux parallèles

    La tangente D2D_2 est perpendiculaire au diamètre [BC],[BC], et la droite D1D_1 est perpendiculaire à la droite (BC)(BC) : les droites D1D_1 et D2D_2 sont parallèles.

    D2∥D1D_2 \parallel D_1
  2. 2

    L'image de la tangente

    L'image de la droite D2D_2 est la parallèle à D2D_2 passant par l'image de B,B, c'est-à-dire par AA : c'est la droite D1.D_1.

    h(D2)=D1h(D_2) = D_1
  3. 3

    Le contact avec la droite

    La droite D2D_2 est tangente au cercle (C1)(C_1) en B.B. Par conservation du contact, son image D1D_1 est tangente au cercle image (C2)(C_2) au point A,A, image de B.B.

  4. 4

    Le contact avec le cercle

    Le point II est le centre de l'homothétie : il est sa propre image, et comme il est sur le cercle (C1),(C_1), il est aussi sur le cercle (C2).(C_2). La tangente au cercle (C1)(C_1) en II passe par le centre de l'homothétie : elle est sa propre image. Par conservation du contact, elle est donc tangente au cercle (C2)(C_2) en I.I. Les deux cercles ont la même tangente en II : ils sont tangents en I.I.

    h(I)=Ih(I) = I
  5. 5

    L'autre cercle

    En recommençant avec l'autre extrémité du diamètre, le point C,C, on obtient de la même façon un second cercle, tangent lui aussi au cercle (C1)(C_1) et à la droite D1D_1 en A.A.

le cercle (C2)(C_2) est tangent au cercle (C1)(C_1) en II et à la droite D1D_1 en AA

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedha problème de construction b cercles tangents. 3andna cercle numéro un, w droite D un, w point A 3la D un, mouch 3la le cercle. N7ebbou narsmou cercle tangent l le cercle numéro un, w tangent l D un fel point A. Ne5dhou le diamètre BC mta3 le cercle, perpendiculaire 3la D un, w la tangente fi B : nsammiwha D deux, w hiya parallèle à D un. La droite AB t9oss le cercle marra o5ra fi I. El mefte7 : l'homothétie h de centre I elli teb3ath B l A. Teb3ath la tangente D deux l D un, w teb3ath le cercle numéro un l cercle numéro deux. W 5ater l'homothétie t7afedh 3la le contact, le cercle numéro deux tangent l D un fi A. W houwa zeda tangent l le cercle numéro un fi I, le centre mta3 l'homothétie. »

Propriété

Périmètres et aires

L'image d'un polygone de périmètre pp et d'aire aa par une homothétie de rapport kk est un polygone de périmètre ∣k∣ p|k|\,p et d'aire k2 a.k^{2}\,a.

Il en est de même pour un cercle : l'image d'un cercle de rayon RR a pour périmètre ∣k∣×2πR|k| \times 2\pi R et pour aire k2×πR2.k^{2} \times \pi R^{2}.

IADBCA'D'B'C'
F' est l'image de F par l'homothétie de centre I et de rapport −1,5.
le périmètrep′=∣k∣ pp' = |k|\,p
l'airea′=k2 aa' = k^{2}\,a

Exemple traité

La figure FF est formée d'un trapèze ABCDABCD et d'un demi-disque de diamètre [AD].[AD]. On donne AD=4,AD = 4, BC=2,BC = 2, la hauteur du trapèze vaut 2,2, et AB=CD,AB = CD, l'unité étant le centimètre. On note F′F' l'image de FF par une homothétie de rapport −1,5,-1{,}5, puis pp et ss le périmètre et l'aire de F,F, et p′p' et s′s' ceux de F′.F'. Calculer pp et s,s, puis les quotients p′p\dfrac{p'}{p} et s′s.\dfrac{s'}{s}.

  1. 1

    Le périmètre de F

    Le contour est fait du demi-cercle de rayon 2,2, des côtés [AB][AB] et [CD],[CD], qui mesurent chacun 5,\sqrt{5}, et du côté [BC].[BC].

    p=2π+25+2p = 2\pi + 2\sqrt{5} + 2
  2. 2

    L'aire de F

    On ajoute l'aire du demi-disque, qui vaut 2π,2\pi, et l'aire du trapèze, qui vaut 6.6.

    s=2π+6s = 2\pi + 6
  3. 3

    Les quotients

    Inutile de recalculer pour F′F' : le périmètre est multiplié par la valeur absolue du rapport, et l'aire par son carré.

    p′p=1,5;\dfrac{p'}{p} = 1{,}5 \quad ; \quads′s=1,52=2,25\dfrac{s'}{s} = 1{,}5^{2} = 2{,}25
p′p=1,5;\dfrac{p'}{p} = 1{,}5 \quad ; \quads′s=1,52=2,25\dfrac{s'}{s} = 1{,}5^{2} = 2{,}25

L’erreur à ne pas faire

  • Le rapport est −1,5,-1{,}5, donc l'aire est multipliée par −1,5-1{,}5L'aire est multipliée par (−1,5)2=2,25(-1{,}5)^{2} = 2{,}25
    Une aire est positive, et elle dépend de deux dimensions : on multiplie par le carré du rapport.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chnowa ysir l les périmètres w les aires ? Par une homothétie de rapport k, koll longueur tetdhrab fi la valeur absolue de k. Donc le périmètre mta3 polygone yetdhrab fi la valeur absolue de k. Ama l'aire tetdhrab fi k au carré, 5ater l'aire hiya produit mta3 zouz longueurs. W nafs el 7keya l le cercle : le périmètre mte3ou yetdhrab fi la valeur absolue de k, w l'aire mte3ou fi k au carré. »

Méthode

Problèmes de lieu

Quand un point MM décrit une ligne et que M′M' est son image par une homothétie h,h, le point M′M' décrit l'image de cette ligne par hh :

  • si MM décrit une droite D,D, M′M' décrit la droite image, parallèle à DD ;
  • si MM décrit un cercle de centre OO et de rayon R,R, M′M' décrit le cercle de centre h(O)h(O) et de rayon ∣k∣ R.|k|\,R.

Méthode. On repère les éléments fixes ; on cherche une homothétie de centre fixe et de rapport constant qui transforme le point variable connu en le point cherché ; puis on prend l'image de la ligne qu'il décrit.

AOMIO'
Quand M décrit le grand cercle, I décrit le petit cercle de centre O'.
M′=h(M)M' = h(M) et M∈C  ⟹  M′∈h(C)M \in \mathscr{C} \implies M' \in h(\mathscr{C})

Exemple traité

On considère un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon R,R, et un point AA qui n'appartient pas à (C).(C). Soit MM un point du cercle (C),(C), et II le barycentre des points AA et MM affectés des coefficients 22 et 3.3. Déterminer le lieu du point II lorsque le point MM décrit le cercle (C).(C).

  1. 1

    Fixe ou variable

    Le cercle (C),(C), son centre OO et le point AA sont fixes. Le point MM varie sur (C),(C), et II varie avec lui.

  2. 2

    Le barycentre

    II est le barycentre des points AA et MM affectés des coefficients 22 et 33 : le vecteur AI→\overrightarrow{AI} est égal à trois cinquièmes du vecteur AM→.\overrightarrow{AM}.

    AI→=35 AM→\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AM}
  3. 3

    Une homothétie

    II est l'image de MM par l'homothétie hh de centre AA et de rapport 35\dfrac{3}{5} : le centre est fixe et le rapport est constant.

    I=h(M)I = h(M)
  4. 4

    Le lieu

    Quand MM décrit (C),(C), II décrit l'image de (C)(C) : le cercle de centre O′,O', image de O,O, et de rayon trois cinquièmes de R.R.

    AO′→=35 AO→,\overrightarrow{AO'} = \dfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AO}, \quadR′=35 RR' = \dfrac{3}{5}\,R
le lieu de II est le cercle de centre O′O' et de rayon 35 R\dfrac{3}{5}\,R

L’erreur à ne pas faire

  • MM décrit un cercle de rayon R,R, donc II décrit un cercle de même rayon RRII décrit un cercle de rayon 35 R\dfrac{3}{5}\,R
    Une homothétie multiplie le rayon par la valeur absolue de son rapport ; seule une translation le conserverait.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa les problèmes de lieu. Point M yet7arrek 3la ligne, w point e5er M prime marbout bih. Ken M prime houwa l'image mta3 M par une homothétie, el centre mte3ha fixe w le rapport mte3ha constant, wa9tha M prime yet7arrek 3la l'image mta3 el ligne. Ken M yet7arrek 3la droite, M prime yet7arrek 3la droite parallèle. W ken M yet7arrek 3la cercle de rayon R, M prime yet7arrek 3la cercle, le rayon mte3ou la valeur absolue de k fois R. Et-tari9a : chouf chnowa fixe, lawwej 3la l'homothétie, w ba3d 5oudh l'image mta3 el ligne. »

Application

Un lieu avec deux diamètres

Soit C\mathscr{C} un cercle de diamètre [AB][AB] et SS un point de la droite (AB),(AB), distinct de AA et de B.B. Pour chaque point MM du cercle, distinct de AA et de B,B, on trace le diamètre [PM],[PM], puis on note M′M' le point d'intersection des droites (SM)(SM) et (AP).(AP). Quel est le lieu du point M′M' lorsque MM décrit le cercle ?

L'idée. [AB][AB] et [PM][PM] sont deux diamètres : APBMAPBM est un rectangle, donc (AP)(AP) est parallèle à (BM).(BM). L'homothétie hh de centre SS qui transforme BB en AA transforme alors la droite (BM)(BM) en la droite (AP),(AP), et le point MM en le point M′.M'.

Le lieu de M′M' est donc l'image du cercle C\mathscr{C} par h,h, privée des images des points AA et B.B.

SABOMPM'O'
M' est l'image de M par l'homothétie de centre S qui transforme B en A.
h de centre Sh(B)=A  ⟹  h(M)=M′h(B) = A \implies h(M) = M'

Exemple traité

Avec ces données, on note (C)(C) le cercle et hh l'homothétie de centre SS qui transforme BB en A.A. Montrer que M′M' est l'image de MM par h,h, puis conclure.

  1. 1

    Un rectangle

    Les segments [AB][AB] et [PM][PM] sont deux diamètres du cercle : ils ont le même milieu et la même longueur. Le quadrilatère APBMAPBM est un rectangle, donc la droite (AP)(AP) est parallèle à la droite (BM).(BM).

    (AP)∥(BM)(AP) \parallel (BM)
  2. 2

    L'image d'une droite

    L'image de la droite (BM)(BM) par hh est la parallèle à (BM)(BM) passant par l'image de B,B, c'est-à-dire par AA : c'est la droite (AP).(AP).

    h((BM))=(AP)h\big((BM)\big) = (AP)
  3. 3

    L'image de M

    L'image de MM est sur la droite (AP),(AP), et elle est alignée avec SS et MM : c'est le point M′.M'.

    h(M)=M′h(M) = M'
  4. 4

    Le lieu

    Quand MM décrit le cercle (C),(C), son image M′M' décrit l'image de (C)(C) par hh : un cercle (C′),(C'), dont le centre est l'image de OO et qui passe par A,A, image de B.B.

    M′∈(C′)M' \in (C')
le lieu de M′M' est le cercle (C′),(C'), privé des images de AA et de BB

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème de lieu, b cercle de diamètre AB. Ne5dhou point S 3la la droite AB. L koll point M 3la le cercle, narsmou le diamètre PM, w ba3d el point M prime elli yetla9aw fih la droite SM w la droite AP. Win yet7arrek M prime ? Zouz diamètres ya3tiw rectangle : APBM. Donc la droite AP parallèle à la droite BM. L'homothétie h de centre S elli teb3ath B l A, teb3ath la droite BM l la droite AP, w teb3ath M l M prime. Donc le lieu mta3 M prime houwa l'image mta3 le cercle : cercle. »

Application

Un problème pour aller plus loin : un carré dans un triangle

Le problème. Construire un carré inscrit dans un triangle ABCABC : deux sommets sur le côté [AB],[AB], un sommet sur le côté [AC][AC] et un sommet sur le côté [BC].[BC].

L'idée. On commence par un carré plus petit, MPQR,MPQR, qui ne remplit que trois des quatre conditions : PP et QQ sont sur [AB],[AB], MM est sur [AC],[AC], et RR est à l'intérieur du triangle. Puis on l'agrandit à partir du sommet A,A, jusqu'à ce que le quatrième sommet arrive sur le côté [BC].[BC].

La construction. La droite (AR)(AR) coupe (BC)(BC) en R′.R'. On note hh l'homothétie de centre AA qui transforme RR en R′,R', et M′P′Q′R′M'P'Q'R' l'image de MPQRMPQR par h.h. Les points P′P' et Q′Q' sont sur (AB),(AB), le point M′M' est sur (AC)(AC) et R′R' est sur (BC)(BC) : M′P′Q′R′M'P'Q'R' est le carré cherché.

ABCPQRMR'P'Q'M'
Le grand carré est l'image du petit par l'homothétie de centre A qui transforme R en R'.
h de centre Ah(R)=R′h(R) = R'

Exemple traité

Justifier que M′P′Q′R′M'P'Q'R' est bien un carré dont les quatre sommets sont sur les côtés du triangle ABC,ABC, et dire comment le tracer.

  1. 1

    Sur les côtés

    Les droites (AB)(AB) et (AC)(AC) passent par le centre AA : chacune est sa propre image. Les images P′P' et Q′Q' sont donc sur (AB),(AB), et l'image M′M' est sur (AC).(AC). Le point R′R' est sur (BC)(BC) par construction.

    P′, P',\ Q′∈(AB);Q' \in (AB) \quad ; \quadM′∈(AC);M' \in (AC) \quad ; \quadR′∈(BC)R' \in (BC)
  2. 2

    Un carré

    Une homothétie conserve l'orthogonalité et multiplie toutes les longueurs par le même nombre : l'image du carré MPQRMPQR a quatre angles droits et quatre côtés égaux.

    M′P′Q′R′M'P'Q'R' est un carré
  3. 3

    Tracer

    On trace par R′R' la parallèle à (RQ),(RQ), qui coupe (AB)(AB) en Q′,Q', et la parallèle à (RM),(RM), qui coupe (AC)(AC) en M′.M'. Puis P′P' est le point de (AB)(AB) tel que (M′P′)(M'P') soit parallèle à (MP).(MP).

M′P′Q′R′M'P'Q'R' est un carré inscrit dans le triangle ABCABC

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème pour aller plus loin : narsmou carré de5el triangle ABC, zouz sommets 3la le côté AB, w wa7ed 3la AC, w wa7ed 3la BC. El fekra mezyena. Narsmou 9bal carré sghir MPQR, P w Q 3la AB, w M 3la AC : le quatrième sommet R yo93od de5el el triangle. W ba3d nkabbrou el carré hedha men A, b homothétie de centre A, 7atta yousel R lel côté BC, fel point R prime. L'image mta3 carré hiya carré, w les sommets mte3ou 3la el trois côtés. »

Application

Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler

Soit ABCABC un triangle. On désigne par OO le centre de son cercle circonscrit, par GG son centre de gravité et par HH son orthocentre. Soient A′,A', B′B' et C′C' les milieux respectifs de [BC],[BC], [AC][AC] et [AB],[AB], et hh l'homothétie de centre GG et de rapport −12.-\dfrac{1}{2}.

Alors les points O,O, GG et HH sont alignés, et OH→=3 OG→.\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}. La droite qui contient O,O, GG et HH s'appelle la droite d'Euler du triangle ABC.ABC.

Le cercle circonscrit au triangle A′B′C′A'B'C' est appelé cercle d'Euler du triangle ABCABC : son centre est le milieu du segment [OH],[OH], et son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit à ABC.ABC.

ABCA'B'C'OGHK
O, G et H sont alignés ; le cercle d'Euler passe par les trois milieux.
la droite d'EulerOH→=3 OG→\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}

Exemple traité

Avec ces notations, montrer que l'image de la hauteur (AH)(AH) par cette homothétie est la médiatrice du segment [BC],[BC], puis que O,O, GG et HH sont alignés et que le vecteur OH→\overrightarrow{OH} est égal à 33 fois le vecteur OG→.\overrightarrow{OG}.

  1. 1

    Les milieux

    Le centre de gravité est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet : l'homothétie hh transforme AA en A′,A', BB en B′B' et CC en C′.C'.

    GA′→=−12 GA→\overrightarrow{GA'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{GA}
  2. 2

    Une hauteur

    L'image de la hauteur (AH)(AH) est la parallèle à (AH)(AH) passant par A′.A'. Elle est perpendiculaire à (BC)(BC) et passe par le milieu de [BC][BC] : c'est la médiatrice de [BC].[BC]. De même pour les deux autres hauteurs.

  3. 3

    L'orthocentre

    HH est sur les trois hauteurs : son image est sur les trois médiatrices. C'est le point O.O.

    h(H)=Oh(H) = O
  4. 4

    La droite d'Euler

    Le vecteur GO→\overrightarrow{GO} est égal à −12-\dfrac{1}{2} fois le vecteur GH→\overrightarrow{GH} : les points O,O, GG et HH sont alignés. Par Chasles, le vecteur OH→\overrightarrow{OH} est la somme du vecteur OG→\overrightarrow{OG} et du vecteur GH→,\overrightarrow{GH}, qui vaut 22 fois le vecteur OG→.\overrightarrow{OG}.

    OH→=OG→+2 OG→=3 OG→\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OG} + 2\,\overrightarrow{OG} = 3\,\overrightarrow{OG}
  5. 5

    Le cercle d'Euler

    L'homothétie hh transforme le cercle circonscrit à ABCABC en le cercle qui passe par A′,A', B′B' et C′C' : son centre KK est l'image de O,O, et son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit. On vérifie que KK est le milieu du segment [OH].[OH].

    r=R2r = \dfrac{R}{2}
OH→=3 OG→;\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG} \quad ; rayon du cercle d'Euler =R2= \dfrac{R}{2}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème pour aller plus loin : la droite d'Euler. Fi triangle ABC, nsammiw O le centre du cercle circonscrit, w G le centre de gravité, w H l'orthocentre. Ne5dhou l'homothétie h de centre G et de rapport moins un demi : teb3ath koll sommet l le milieu mta3 le côté elli y9ablou. Donc teb3ath koll hauteur l médiatrice, w teb3ath l'orthocentre H lel point O. En-natija : O w G w H alignés, w le vecteur OH égale trois fois le vecteur OG. La droite hedhi nsammiwha la droite d'Euler. W le cercle elli yet3adda men el trois milieux nsammiweh le cercle d'Euler : le rayon mte3ou houwa ennoss mta3 le rayon du cercle circonscrit. »

Remarque

Le pantographe

Le pantographe est un instrument comportant un parallélogramme articulé et permettant de reproduire mécaniquement un dessin en agrandissant ou en réduisant les dimensions du modèle.

Il fut employé pour la première fois vers la fin du XVIᵉ siècle. En 1743, Langlois lui donna à peu près sa forme actuelle.

Sur l'instrument, quatre tiges forment un parallélogramme articulé BCDMBCDM : on a AC=CN,AC = CN, AB=CD=BMAB = CD = BM et ND=MD=BC,ND = MD = BC, de sorte que les points A,A, MM et NN restent alignés. Le point AA est fixe. Quand le point NN suit une courbe, le point MM en trace une réduction ; et si c'est MM qui suit une courbe, NN en trace un agrandissement.

Le rapport k=ABACk = \dfrac{AB}{AC} dépend de la position de BB sur [AC][AC] : le point MM est l'image du point NN par l'homothétie de centre AA et de rapport k.k.

ACNBDM
A est fixe ; A, M et N restent alignés, et AM = k AN avec k = AB / AC.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kelma 3al culture : le pantographe. Houwa instrument ma3moul men tiges articulées, ya3mlou parallélogramme, w nesta3mlouh bech n3awdou dessin w nkabbrouh walla nsaghgharouh. Famma point A fixe. Ki la pointe N ttabba3 el dessin, le crayon elli fi M yarsem nafs el dessin, ama asghar. W ken nbaddlou la pointe w le crayon, el dessin yekber. 3lech ? 5ater A w M w N yo93dou dima alignés, b nafs le rapport : hedhi homothétie de centre A. W nesta3mlou fih men akther men quatre siècles. »

À retenir

  • 1.

    h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→,\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}, où kk est un réel non nul.

  • 2.

    Un point, son image et le centre sont alignés ; le centre est invariant ; l'antécédent s'obtient avec le rapport 1k.\dfrac{1}{k}.

  • 3.

    Propriété caractéristique : M′N′→=k MN→.\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}. Conséquence : (MN)∥(M′N′)(MN) \parallel (M'N') et M′N′=∣k∣ MN.M'N' = |k|\,MN.

  • 4.

    L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment.

  • 5.

    L'image d'un cercle de centre OO et de rayon RR est le cercle de centre h(O)h(O) et de rayon ∣k∣ R.|k|\,R.

  • 6.

    L'image d'un polygone de périmètre pp et d'aire aa est un polygone de périmètre ∣k∣ p|k|\,p et d'aire k2 a.k^{2}\,a.

  • 7.

    Une homothétie conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité et le contact.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %
0/31
Cours lu
0/103
Entraînement
—
Séance
0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Homothéties

2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Construire l'image et l'antécédent d'un point par une homothétie de centre II et de rapport kk
  • Reconnaître une homothétie, trouver son centre et son rapport
  • Utiliser la propriété caractéristique M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN} et ses conséquences
  • Déterminer l'image d'une droite, d'un segment et d'un cercle, et utiliser ce que l'homothétie conserve
  • Calculer des périmètres et des aires de figures homothétiques, résoudre des problèmes de construction et de lieu

Rappels

Soient AA et BB deux points distincts d'une droite, kk un réel et MM le point défini par AM→=k AB→\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}. Le point MM est sur la droite (AB)(AB), et la valeur de kk dit où :

  • si k<0k < 0, MM est sur la demi-droite d'origine AA qui ne contient pas BB ;
  • si 0≤k≤10 \le k \le 1, MM est sur le segment [AB][AB] ;
  • si k>1k > 1, MM est sur la demi-droite [AB)[AB), au-delà de BB.

Dans tous les cas, AM=∣k∣×ABAM = |k| \times AB.

On rappelle aussi que trois points AA, BB et CC sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

k = −1/2k = 1/4k = 3/2ABEFG
Le signe et la taille du coefficient placent le point sur la droite (AB).
AM→=k AB→\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}

Le piège

AM→=32 AB→\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}, donc MM est entre AA et BB

MM est au-delà de BB, sur la demi-droite [AB)[AB)

Le coefficient est plus grand que 11 : la distance AMAM dépasse la distance ABAB.

Pour comprendre : agrandir une figure

Dans un quadrillage, ABCDABCD est un trapèze rectangle en AA : AB=4AB = 4, AD=2AD = 2 et DC=2DC = 2, l'unité étant le côté d'un carreau. II est un point du plan. On construit les points A′A', B′B', C′C' et D′D' tels que

IA′→=2 IA→,IB′→=2 IB→,IC′→=2 IC→,ID′→=2 ID→\overrightarrow{IA'} = 2\,\overrightarrow{IA}, \quad \overrightarrow{IB'} = 2\,\overrightarrow{IB}, \quad \overrightarrow{IC'} = 2\,\overrightarrow{IC}, \quad \overrightarrow{ID'} = 2\,\overrightarrow{ID}

On compare alors ABCDABCD et A′B′C′D′A'B'C'D' :

  • chaque côté de A′B′C′D′A'B'C'D' est parallèle au côté correspondant de ABCDABCD ;
  • chaque longueur est multipliée par 22, donc le périmètre aussi ;
  • l'aire est multipliée par 44.

Une translation aurait donné un trapèze de mêmes dimensions que ABCDABCD. Ici la figure est agrandie, sans être déformée.

IABCDA'B'C'D'
Chaque sommet est envoyé deux fois plus loin de I.
IA′→=2 IA→\overrightarrow{IA'} = 2\,\overrightarrow{IA}

Le piège

Les longueurs sont multipliées par 22, donc l'aire est multipliée par 22

L'aire est multipliée par 22=42^{2} = 4

Une aire est un produit de deux longueurs : chacune est multipliée par 22, donc le produit est multiplié par 44.

Pour comprendre : un coefficient négatif

Soient OO, AA, BB et CC quatre points distincts du plan. On construit les points A′A', B′B' et C′C' tels que

OA′→=−12 OA→,OB′→=−12 OB→,OC′→=−12 OC→\overrightarrow{OA'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{OB'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{OC'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OC}

Cette fois le coefficient est négatif, et l'on observe que :

  • les points OO, AA et A′A' sont alignés, et OO est entre AA et A′A' ; de même pour BB et B′B', pour CC et C′C' ;
  • les droites (BC)(BC) et (B′C′)(B'C') sont parallèles ;
  • A′C′=12 ACA'C' = \dfrac{1}{2}\,AC.

Le triangle A′B′C′A'B'C' est une réduction du triangle ABCABC, placée de l'autre côté de OO.

OABCA'B'C'
Le point O est entre chaque point et son image.
OA′→=−12 OA→\overrightarrow{OA'} = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}

Le piège

Le coefficient −12-\dfrac{1}{2} est négatif, donc A′A' n'est pas sur la droite (OA)(OA)

A′A' est sur la droite (OA)(OA), de l'autre côté de OO

Deux vecteurs colinéaires de même origine donnent des points alignés, quel que soit le signe du coefficient.

Homothétie de centre I et de rapport k

Soit II un point et kk un réel non nul. L'application qui à tout point MM du plan associe l'unique point M′M' tel que IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM} est appelée homothétie de centre II et de rapport kk. Elle est notée h(I,k)h_{(I, k)}.

On a ainsi :

h(I,k)(M)=M′eˊquivaut aˋIM′→=k IM→h_{(I, k)}(M) = M' \quad \text{équivaut à} \quad \overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

M′M' est appelé l'image du point MM par l'homothétie h(I,k)h_{(I, k)}, et MM est appelé l'antécédent de M′M' par l'homothétie h(I,k)h_{(I, k)}.

IMNM'N'
Ici k = 2 : chaque image est deux fois plus loin du centre.
h(I,k)(M)=M′  ⟺  IM′→=k IM→h_{(I, k)}(M) = M' \iff \overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Le piège

h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à MM′→=k IM→\overrightarrow{MM'} = k\,\overrightarrow{IM}

h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Les deux vecteurs partent du centre II : l'un va vers le point, l'autre vers son image.

Le piège

On peut prendre k=0k = 0 comme rapport d'une homothétie

Le rapport d'une homothétie est un réel non nul

Avec un coefficient nul, tous les points auraient pour image le centre II, et un point autre que II n'aurait aucun antécédent.

Conséquences de la définition

  • Un point et son image sont alignés avec le centre de l'homothétie.
  • h(I,k)(I)=Ih_{(I, k)}(I) = I : on dit que II est un point invariant par hh.
  • h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}, qui équivaut à IM→=1k IM′→\overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}.

Tout point du plan admet donc un unique antécédent par une homothétie : l'antécédent de M′M' par h(I,k)h_{(I, k)} est l'image de M′M' par l'homothétie de centre II et de rapport 1k\dfrac{1}{k}.

IMM'
De M à M' : rapport 3. De M' à M : rapport un tiers.
h(I,k)(I)=Ih_{(I, k)}(I) = I
IM′→=k IM→  ⟺  IM→=1k IM′→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM} \iff \overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}

Le piège

L'antécédent de M′M' par h(I,k)h_{(I, k)} s'obtient avec le rapport −k-k

Il s'obtient avec le rapport 1k\dfrac{1}{k} : IM→=1k IM′→\overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}

Pour revenir en arrière, on divise par kk : on prend l'inverse du rapport, pas son opposé.

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image A′A' d'un point AA par l'homothétie de centre II et de rapport kk :

  1. on trace la droite (IA)(IA) : l'image est sur cette droite ;
  2. on reporte à partir de II la distance IA′=∣k∣×IAIA' = |k| \times IA ;
  3. on choisit le côté : du même côté que AA si k>0k > 0, de l'autre côté de II si k<0k < 0.

Si ∣k∣>1|k| > 1, l'image est plus loin du centre que le point ; si ∣k∣<1|k| < 1, elle en est plus près.

k = 3k = 1/2k = −2IAEFG
Trois images du même point A : rapports 3, un demi et −2.
IA′=∣k∣×IAIA' = |k| \times IA

Le piège

Pour le rapport −2-2, on place A′A' du côté de AA, à la distance 2×IA2 \times IA

On place A′A' de l'autre côté de II, à la distance 2×IA2 \times IA

Un rapport négatif change le sens du vecteur : le centre II se retrouve entre le point et son image.

Trouver le centre

On connaît le rapport kk d'une homothétie hh, avec k≠1k \neq 1, un point AA et son image BB. Où est le centre II ?

L'égalité IB→=k IA→\overrightarrow{IB} = k\,\overrightarrow{IA} s'écrit k IA→−IB→=0⃗k\,\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \vec{0} : le centre II est le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients kk et −1-1.

Par exemple, si BB est l'image de AA par l'homothétie de centre II et de rapport 23\dfrac{2}{3}, alors 3 IB→=2 IA→3\,\overrightarrow{IB} = 2\,\overrightarrow{IA}, donc −2 IA→+3 IB→=0⃗-2\,\overrightarrow{IA} + 3\,\overrightarrow{IB} = \vec{0} : II est le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients −2-2 et 33.

k = 2k = −4ABIJ
I pour le rapport 2, J pour le rapport −4.
IB→=k IA→  ⟺  k IA→−IB→=0⃗\overrightarrow{IB} = k\,\overrightarrow{IA} \iff k\,\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \vec{0}

Le piège

L'homothétie de rapport 22 qui transforme AA en BB a pour centre le milieu de [AB][AB]

Son centre est le symétrique de BB par rapport à AA

Avec un rapport positif, AA et BB sont du même côté du centre : le centre ne peut pas être entre eux.

Reconnaître une homothétie

Pour montrer qu'une application ff, qui à tout point MM associe un point M′M', est une homothétie, on cherche un point fixe II et un réel non nul kk tels que, pour tout point MM :

IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Le plus souvent, l'énoncé donne le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} : on passe au vecteur IM′→\overrightarrow{IM'} par la relation de Chasles, IM′→=IM→+MM′→\overrightarrow{IM'} = \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MM'}.

ABIMM'
I est entre M et M', et IM' = 4 IM.
IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}

Le piège

MM′→=5 MI→\overrightarrow{MM'} = 5\,\overrightarrow{MI}, donc ff est l'homothétie de centre II et de rapport 55

IM′→=−4 IM→\overrightarrow{IM'} = -4\,\overrightarrow{IM} : le rapport est −4-4

Le rapport se lit sur les deux vecteurs qui partent du centre, pas sur le vecteur qui va du point à son image.

Propriété caractéristique

Soit hh une homothétie de centre OO et de rapport kk. Soient MM et NN deux points du plan et M′M' et N′N' leurs images respectives par hh. On a :

M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}

Une homothétie multiplie donc tous les vecteurs par son rapport, pas seulement ceux qui partent du centre.

k > 0k < 0OMNM'N'OMNM'N'
Le vecteur M'N' est égal à k fois le vecteur MN : même sens si k > 0, sens contraire si k < 0.
M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}

Le piège

M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}, comme pour une translation

M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}

Une translation ne change pas les vecteurs ; une homothétie les multiplie tous par son rapport.

Conséquences : droites parallèles, longueurs multipliées

Si A′A' et B′B' sont les images respectives de deux points distincts AA et BB par une homothétie de rapport kk, alors :

  • la droite (AB)(AB) est parallèle à la droite (A′B′)(A'B') ;
  • A′B′=∣k∣×ABA'B' = |k| \times AB.

Une homothétie multiplie donc toutes les distances par ∣k∣|k| : elle agrandit si ∣k∣>1|k| > 1, elle réduit si ∣k∣<1|k| < 1.

ABICD
Les droites (AD) et (BC) se coupent en I, avec ID = 2 IA.
(AB)∥(A′B′)(AB) \parallel (A'B')
A′B′=∣k∣ ABA'B' = |k|\,AB

Le piège

Les droites (AB)(AB) et (A′B′)(A'B') sont parallèles, donc A′B′=ABA'B' = AB

A′B′→=k AB→\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{AB}, donc A′B′=∣k∣×ABA'B' = |k| \times AB

Deux droites parallèles ne portent pas forcément des vecteurs égaux. L'égalité des vecteurs, c'est la translation ; l'homothétie, elle, multiplie le vecteur par son rapport.

Conservation de l'alignement

Les images, par une homothétie, de trois points alignés sont trois points alignés.

Autrement dit : si AA, BB et CC sont alignés et si A′A', B′B' et C′C' sont leurs images par une homothétie, alors A′A', B′B' et C′C' sont alignés.

MNIABCA'B'C'
A', B' et C' sont les centres de gravité des triangles AMN, BMN et CMN.
AC→=t AB→  ⟹  A′C′→=t A′B′→\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB} \implies \overrightarrow{A'C'} = t\,\overrightarrow{A'B'}

Le piège

Le centre de gravité est au tiers de la médiane à partir du sommet : AA′→=13 AI→\overrightarrow{AA'} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AI}

IA′→=13 IA→\overrightarrow{IA'} = \dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}, c'est-à-dire AA′→=23 AI→\overrightarrow{AA'} = \dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AI}

Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir du sommet, donc au tiers à partir du milieu du côté.

Image d'une droite, image d'un segment

L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.

Plus précisément : si AA et BB sont deux points distincts d'images A′A' et B′B', l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (A′B′)(A'B').

L'image d'un segment par une homothétie est un segment : l'image du segment [AB][AB] est le segment [A′B′][A'B'].

En pratique. Pour préciser l'image d'une droite DD par une homothétie hh :

  • si l'on connaît les images A′A' et B′B' de deux points de DD, l'image de DD est la droite (A′B′)(A'B') ;
  • si l'on connaît l'image A′A' d'un seul point de DD, l'image de DD est la parallèle à DD passant par A′A' ;
  • si DD passe par le centre de hh, l'image de DD est DD elle-même.
DD'IABA'B'
L'image de D par l'homothétie de centre I et de rapport 2 est la parallèle D'.
h((AB))=(A′B′)h\big((AB)\big) = (A'B')
h([AB])=[A′B′]h\big([AB]\big) = [A'B']

Le piège

L'image de la droite DD est la droite qui passe par II et par A′A'

C'est la parallèle à DD passant par A′A'

La droite qui joint le centre à l'image d'un point contient ce point et son image, mais ce n'est pas l'image de la droite de départ : l'image d'une droite lui est parallèle.

Une homothétie donnée par son centre, un point et son image

Soient OO, AA et A′A' trois points alignés, avec AA et A′A' distincts de OO. Il existe une seule homothétie de centre OO qui transforme AA en A′A' : son rapport est le réel kk tel que OA′→=k OA→\overrightarrow{OA'} = k\,\overrightarrow{OA}.

On construit alors l'image M′M' de n'importe quel point MM sans calculer kk :

  • si MM n'est pas sur la droite (OA)(OA) : M′M' est le point d'intersection de la droite (OM)(OM) et de la parallèle à (AM)(AM) passant par A′A' ;
  • si MM est sur la droite (OA)(OA) : on construit d'abord l'image N′N' d'un point NN hors de cette droite, puis M′M' est le point d'intersection de (OA)(OA) et de la parallèle à (NM)(NM) passant par N′N'.

Inversement, le centre d'une homothétie est sur chaque droite qui joint un point à son image.

SABCA'B'C'
Le centre S est sur la droite (AA') et sur la droite (CC').
OA′→=k OA→\overrightarrow{OA'} = k\,\overrightarrow{OA}

Le piège

Pour construire M′M', on trace par A′A' la parallèle à la droite (OM)(OM)

On trace par A′A' la parallèle à la droite (AM)(AM) ; elle coupe (OM)(OM) en M′M'

C'est la droite qui joint AA à MM qui a pour image la droite qui joint leurs images : ces deux droites sont parallèles.

Conservation du milieu

Une homothétie conserve le milieu : si PP est le milieu d'un segment [MN][MN] et si M′M', N′N' et P′P' sont les images de MM, NN et PP par une homothétie, alors P′P' est le milieu du segment [M′N′][M'N'].

IABCDOA'B'C'D'O'
L'image du centre O est le centre O' du parallélogramme image.
P milieu de [MN]  ⟹  P′ milieu de [M′N′]P \text{ milieu de } [MN] \implies P' \text{ milieu de } [M'N']

Le piège

L'image du milieu de [MN][MN] est le milieu de [MM′][MM']

L'image du milieu de [MN][MN] est le milieu de [M′N′][M'N']

On prend le milieu du segment image, celui qui joint les images des deux extrémités.

Conservation du barycentre

Une homothétie conserve le barycentre : soient α\alpha et β\beta deux réels tels que α+β≠0\alpha + \beta \neq 0, et PP le barycentre des points pondérés (M,α)(M, \alpha) et (N,β)(N, \beta). Si M′M', N′N' et P′P' sont les images de MM, NN et PP par une homothétie, alors P′P' est le barycentre des points pondérés (M′,α)(M', \alpha) et (N′,β)(N', \beta).

Il en est de même pour le barycentre de trois points pondérés. En particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

ABCIJKG
Le triangle des milieux IJK est l'image de ABC par l'homothétie de centre G et de rapport −1/2.
α PM→+β PN→=0⃗  ⟹  α P′M′→+β P′N′→=0⃗\alpha\,\overrightarrow{PM} + \beta\,\overrightarrow{PN} = \vec{0} \implies \alpha\,\overrightarrow{P'M'} + \beta\,\overrightarrow{P'N'} = \vec{0}

Le piège

L'homothétie de centre GG qui transforme AA en II a pour rapport 12\dfrac{1}{2}

Son rapport est −12-\dfrac{1}{2}

Le point GG est entre AA et II : les deux vecteurs qui partent de GG sont de sens contraires.

La configuration du trapèze

Dans un trapèze ABCDABCD de bases [AB][AB] et [CD][CD], on note II le milieu de [AB][AB], JJ le milieu de [CD][CD], OO le point d'intersection des droites (AD)(AD) et (BC)(BC), et O′O' le point d'intersection des diagonales (AC)(AC) et (BD)(BD).

Alors les quatre points OO, II, O′O' et JJ sont alignés.

On le prouve avec deux homothéties : hh, de centre OO, qui transforme AA en DD, et gg, de centre O′O', qui transforme AA en CC.

ABCDOIJO'
Les points O, I, O' et J sont sur une même droite.
O, I, O′, J sont aligneˊsO,\ I,\ O',\ J \text{ sont alignés}

Le piège

Les homothéties hh et gg ont le même rapport

Le rapport de hh est DCAB\dfrac{DC}{AB}, celui de gg est −DCAB-\dfrac{DC}{AB}

Le centre OO est à l'extérieur du segment [AD][AD], alors que O′O' est entre AA et CC : les deux rapports sont opposés.

Un problème de construction

Le problème. Soient D1D_1 et D2D_2 deux droites sécantes et II un point qui n'appartient ni à D1D_1 ni à D2D_2. Construire un point AA de D1D_1 et un point BB de D2D_2 tels que IB→=3 IA→\overrightarrow{IB} = 3\,\overrightarrow{IA}.

L'idée. L'égalité dit que BB est l'image de AA par l'homothétie hh de centre II et de rapport 33. Comme AA est sur D1D_1, son image BB est sur l'image de D1D_1 ; et BB doit aussi être sur D2D_2.

La construction. On construit la droite D3D_3, image de D1D_1 par hh : elle est parallèle à D1D_1. Elle coupe D2D_2 en BB. Le point AA est l'antécédent de BB : c'est le point d'intersection de la droite (IB)(IB) et de D1D_1.

D₁D₂D₃IEFAB
D₃ est l'image de D₁ : elle coupe D₂ en B, et la droite (IB) coupe D₁ en A.
IB→=3 IA→\overrightarrow{IB} = 3\,\overrightarrow{IA}

Le piège

On construit l'image de D2D_2 par hh et on la coupe avec D1D_1

On construit l'image de D1D_1 par hh et on la coupe avec D2D_2

C'est le point AA, sur la première droite, qui a pour image BB : c'est donc l'image de la première droite qui contient BB.

Un problème d'alignement

ABCDABCD est un trapèze de bases [AB][AB] et [DC][DC]. Les droites (AD)(AD) et (BC)(BC) se coupent en un point EE. Soit FF un point intérieur au triangle ABEABE. La parallèle à (AF)(AF) passant par DD et la parallèle à (BF)(BF) passant par CC se coupent en un point GG.

Alors les points EE, FF et GG sont alignés.

L'idée. Pour prouver que trois points sont alignés, on cherche une homothétie dont l'un est le centre et qui transforme le deuxième en le troisième. Ici : l'homothétie hh de centre EE qui transforme AA en DD.

EABDCFG
G est l'image de F par l'homothétie de centre E qui transforme A en D.
h(F)=G  ⟹  E, F, G aligneˊsh(F) = G \implies E,\ F,\ G \text{ alignés}

Le piège

La droite (DG)(DG) est parallèle à (AF)(AF), donc GG est l'image de FF

GG est l'image de FF parce qu'il est sur les images des deux droites (AF)(AF) et (BF)(BF)

Une seule droite ne suffit pas à repérer un point : il faut deux droites qui se coupent en ce point, et leurs deux images.

Figures homothétiques

Deux figures sont dites homothétiques si l'une est l'image de l'autre par une homothétie.

Un agrandissement ou une réduction d'une figure n'en est pas toujours une image par une homothétie. Il faut en plus que chaque côté de l'image soit parallèle au côté correspondant, et que les droites qui joignent chaque point à son image passent toutes par un même point : le centre.

OABCA'B'C'
Deux triangles homothétiques : mêmes directions, même centre O.

Le piège

Deux carrés sont toujours homothétiques

Deux carrés ne sont homothétiques que si leurs côtés sont parallèles

Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : si l'un des carrés est tourné par rapport à l'autre, aucune homothétie n'envoie l'un sur l'autre.

Conservation des angles

Une homothétie conserve les angles : si A′A', B′B' et C′C' sont les images de AA, BB et CC par une homothétie, alors

B′A′C′^=BAC^\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}

L'image d'un triangle est donc un triangle qui a les mêmes angles : une homothétie change la taille d'une figure, pas sa forme.

OABCA'B'C'B''C''
Le triangle translaté A'B''C'' montre que l'angle en A' est égal à l'angle en A.
B′A′C′^=BAC^\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}

Le piège

Par une homothétie de rapport 33, un angle de 40∘40^\circ devient un angle de 120∘120^\circ

Il reste un angle de 40∘40^\circ

Le rapport multiplie les longueurs, pas les angles.

Parallélisme et orthogonalité

Soit hh une homothétie, D1D_1 et D2D_2 deux droites, et D1′D'_1 et D2′D'_2 leurs images respectives par hh.

  • Si D1D_1 et D2D_2 sont parallèles, alors D1′D'_1 et D2′D'_2 sont parallèles.
  • Si D1D_1 et D2D_2 sont perpendiculaires, alors D1′D'_1 et D2′D'_2 sont perpendiculaires.

On dit qu'une homothétie conserve le parallélisme et l'orthogonalité.

OABCHA'B'C'H'
L'image du pied H de la hauteur est le pied H' de la hauteur du triangle image.
D1∥D2  ⟹  D1′∥D2′D_1 \parallel D_2 \implies D'_1 \parallel D'_2
D1⊥D2  ⟹  D1′⊥D2′D_1 \perp D_2 \implies D'_1 \perp D'_2

Le piège

D1D_1 et D2D_2 sont perpendiculaires, donc D1′D'_1 est perpendiculaire à D1D_1

D1′D'_1 est parallèle à D1D_1, et perpendiculaire à D2′D'_2

Chaque droite a pour image une droite qui lui est parallèle ; c'est entre les deux images que l'angle droit se retrouve.

Image d'un cercle

L'image d'un cercle de centre OO et de rayon RR par une homothétie hh de rapport kk est le cercle de centre O′=h(O)O' = h(O) et de rayon R′=∣k∣ RR' = |k|\,R.

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre, puis on multiplie le rayon par ∣k∣|k| — ou bien on construit l'image d'un point du cercle : le cercle image passe par ce point.

(C)(C')AOB
Par l'homothétie de centre A et de rapport 2, le centre O devient B et le rayon double.
C(O,R)⟼C′(O′,∣k∣ R)\mathscr{C}(O, R) \longmapsto \mathscr{C}'(O', |k|\,R)

Le piège

Par une homothétie de rapport −12-\dfrac{1}{2}, le rayon devient −12 R-\dfrac{1}{2}\,R

Le rayon devient 12 R\dfrac{1}{2}\,R

Un rayon est une longueur : on le multiplie par la valeur absolue du rapport. Le signe ne joue que sur la position du centre.

Conservation du contact

Une homothétie conserve le contact : soit C\mathscr{C} un cercle et DD une droite tangente à ce cercle en un point AA. On note A′A', C′\mathscr{C}' et D′D' les images respectives de AA, de C\mathscr{C} et de DD par une homothétie. Alors la droite D′D' est tangente au cercle C′\mathscr{C}' au point A′A'.

De même, deux cercles tangents ont pour images deux cercles tangents.

(C₁)(C₂)ITJ
L'homothétie de centre T qui transforme I en J transforme (C₁) en (C₂).

Le piège

L'image d'une tangente à C\mathscr{C} est encore tangente à C\mathscr{C}

L'image d'une tangente à C\mathscr{C} est tangente au cercle image C′\mathscr{C}'

On transforme la droite et le cercle en même temps : le contact se conserve entre les deux images, au point image.

Deux cercles de rayons différents

Soient C\mathscr{C} et C′\mathscr{C}' deux cercles de centres respectifs OO et O′O' et de rayons respectifs RR et R′R' tels que R≠R′R \neq R'.

  • Il existe une seule homothétie de rapport positif qui transforme C\mathscr{C} en C′\mathscr{C}' : son rapport est R′R\dfrac{R'}{R}, et son centre II vérifie IO′→=R′R IO→\overrightarrow{IO'} = \dfrac{R'}{R}\,\overrightarrow{IO}.
  • Il existe une seule homothétie de rapport négatif qui transforme C\mathscr{C} en C′\mathscr{C}' : son rapport est −R′R-\dfrac{R'}{R}, et son centre JJ vérifie JO′→=−R′R JO→\overrightarrow{JO'} = -\dfrac{R'}{R}\,\overrightarrow{JO}.

Tangentes communes. Quand les deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre, les tangentes à C\mathscr{C} issues de II et celles issues de JJ sont tangentes aux deux cercles : ce sont leurs tangentes communes.

IOJO'
I est le centre de l'homothétie de rapport positif, J celui de l'homothétie de rapport négatif.
k=R′Rouk=−R′Rk = \dfrac{R'}{R} \quad \text{ou} \quad k = -\dfrac{R'}{R}

Le piège

Une seule homothétie transforme C\mathscr{C} en C′\mathscr{C}'

Il y en a deux quand R≠R′R \neq R' : l'une de rapport R′R\dfrac{R'}{R}, l'autre de rapport −R′R-\dfrac{R'}{R}

Le rayon ne donne que la valeur absolue du rapport : les deux signes sont possibles, avec deux centres différents.

Cercles tangents

Le problème. On donne un cercle (C1)(C_1), une droite D1D_1 et un point AA de D1D_1 qui n'appartient pas à (C1)(C_1). Construire un cercle tangent à (C1)(C_1) et tangent à D1D_1 au point AA.

La configuration. Soit [BC][BC] un diamètre de (C1)(C_1) tel que la droite (BC)(BC) soit perpendiculaire à D1D_1, et D2D_2 la tangente à (C1)(C_1) en BB. La droite (AB)(AB) recoupe le cercle (C1)(C_1) en II. On note hh l'homothétie de centre II qui transforme BB en AA, et (C2)(C_2) l'image de (C1)(C_1) par hh.

Alors le cercle (C2)(C_2) est tangent à (C1)(C_1) en II et tangent à D1D_1 en AA.

L'idée. Une homothétie conserve le contact : on transforme en même temps le cercle (C1)(C_1) et sa tangente D2D_2.

(C₁)D₁D₂(C₂)BCAI
(C₂) est l'image de (C₁) par l'homothétie de centre I qui transforme B en A.
h(B)=A;h(D2)=D1h(B) = A \quad ; \quad h(D_2) = D_1

Périmètres et aires

L'image d'un polygone de périmètre pp et d'aire aa par une homothétie de rapport kk est un polygone de périmètre ∣k∣ p|k|\,p et d'aire k2 ak^{2}\,a.

Il en est de même pour un cercle : l'image d'un cercle de rayon RR a pour périmètre ∣k∣×2πR|k| \times 2\pi R et pour aire k2×πR2k^{2} \times \pi R^{2}.

IADBCA'D'B'C'
F' est l'image de F par l'homothétie de centre I et de rapport −1,5.
p′=∣k∣ pp' = |k|\,p
a′=k2 aa' = k^{2}\,a

Le piège

Le rapport est −1,5-1{,}5, donc l'aire est multipliée par −1,5-1{,}5

L'aire est multipliée par (−1,5)2=2,25(-1{,}5)^{2} = 2{,}25

Une aire est positive, et elle dépend de deux dimensions : on multiplie par le carré du rapport.

Problèmes de lieu

Quand un point MM décrit une ligne et que M′M' est son image par une homothétie hh, le point M′M' décrit l'image de cette ligne par hh :

  • si MM décrit une droite DD, M′M' décrit la droite image, parallèle à DD ;
  • si MM décrit un cercle de centre OO et de rayon RR, M′M' décrit le cercle de centre h(O)h(O) et de rayon ∣k∣ R|k|\,R.

Méthode. On repère les éléments fixes ; on cherche une homothétie de centre fixe et de rapport constant qui transforme le point variable connu en le point cherché ; puis on prend l'image de la ligne qu'il décrit.

AOMIO'
Quand M décrit le grand cercle, I décrit le petit cercle de centre O'.
M′=h(M) et M∈C  ⟹  M′∈h(C)M' = h(M) \ \text{et} \ M \in \mathscr{C} \implies M' \in h(\mathscr{C})

Le piège

MM décrit un cercle de rayon RR, donc II décrit un cercle de même rayon RR

II décrit un cercle de rayon 35 R\dfrac{3}{5}\,R

Une homothétie multiplie le rayon par la valeur absolue de son rapport ; seule une translation le conserverait.

Un lieu avec deux diamètres

Soit C\mathscr{C} un cercle de diamètre [AB][AB] et SS un point de la droite (AB)(AB), distinct de AA et de BB. Pour chaque point MM du cercle, distinct de AA et de BB, on trace le diamètre [PM][PM], puis on note M′M' le point d'intersection des droites (SM)(SM) et (AP)(AP). Quel est le lieu du point M′M' lorsque MM décrit le cercle ?

L'idée. [AB][AB] et [PM][PM] sont deux diamètres : APBMAPBM est un rectangle, donc (AP)(AP) est parallèle à (BM)(BM). L'homothétie hh de centre SS qui transforme BB en AA transforme alors la droite (BM)(BM) en la droite (AP)(AP), et le point MM en le point M′M'.

Le lieu de M′M' est donc l'image du cercle C\mathscr{C} par hh, privée des images des points AA et BB.

SABOMPM'O'
M' est l'image de M par l'homothétie de centre S qui transforme B en A.
h(B)=A  ⟹  h(M)=M′h(B) = A \implies h(M) = M'

Un problème pour aller plus loin : un carré dans un triangle

Le problème. Construire un carré inscrit dans un triangle ABCABC : deux sommets sur le côté [AB][AB], un sommet sur le côté [AC][AC] et un sommet sur le côté [BC][BC].

L'idée. On commence par un carré plus petit, MPQRMPQR, qui ne remplit que trois des quatre conditions : PP et QQ sont sur [AB][AB], MM est sur [AC][AC], et RR est à l'intérieur du triangle. Puis on l'agrandit à partir du sommet AA, jusqu'à ce que le quatrième sommet arrive sur le côté [BC][BC].

La construction. La droite (AR)(AR) coupe (BC)(BC) en R′R'. On note hh l'homothétie de centre AA qui transforme RR en R′R', et M′P′Q′R′M'P'Q'R' l'image de MPQRMPQR par hh. Les points P′P' et Q′Q' sont sur (AB)(AB), le point M′M' est sur (AC)(AC) et R′R' est sur (BC)(BC) : M′P′Q′R′M'P'Q'R' est le carré cherché.

ABCPQRMR'P'Q'M'
Le grand carré est l'image du petit par l'homothétie de centre A qui transforme R en R'.
h(R)=R′h(R) = R'

Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler

Soit ABCABC un triangle. On désigne par OO le centre de son cercle circonscrit, par GG son centre de gravité et par HH son orthocentre. Soient A′A', B′B' et C′C' les milieux respectifs de [BC][BC], [AC][AC] et [AB][AB], et hh l'homothétie de centre GG et de rapport −12-\dfrac{1}{2}.

Alors les points OO, GG et HH sont alignés, et OH→=3 OG→\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}. La droite qui contient OO, GG et HH s'appelle la droite d'Euler du triangle ABCABC.

Le cercle circonscrit au triangle A′B′C′A'B'C' est appelé cercle d'Euler du triangle ABCABC : son centre est le milieu du segment [OH][OH], et son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit à ABCABC.

ABCA'B'C'OGHK
O, G et H sont alignés ; le cercle d'Euler passe par les trois milieux.
OH→=3 OG→\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}

Le pantographe

Le pantographe est un instrument comportant un parallélogramme articulé et permettant de reproduire mécaniquement un dessin en agrandissant ou en réduisant les dimensions du modèle.

Il fut employé pour la première fois vers la fin du XVIᵉ siècle. En 1743, Langlois lui donna à peu près sa forme actuelle.

Sur l'instrument, quatre tiges forment un parallélogramme articulé BCDMBCDM : on a AC=CNAC = CN, AB=CD=BMAB = CD = BM et ND=MD=BCND = MD = BC, de sorte que les points AA, MM et NN restent alignés. Le point AA est fixe. Quand le point NN suit une courbe, le point MM en trace une réduction ; et si c'est MM qui suit une courbe, NN en trace un agrandissement.

Le rapport k=ABACk = \dfrac{AB}{AC} dépend de la position de BB sur [AC][AC] : le point MM est l'image du point NN par l'homothétie de centre AA et de rapport kk.

ACNBDM
A est fixe ; A, M et N restent alignés, et AM = k AN avec k = AB / AC.

À retenir

  • h(I,k)(M)=M′h_{(I, k)}(M) = M' équivaut à IM′→=k IM→\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}, où kk est un réel non nul.
  • Un point, son image et le centre sont alignés ; le centre est invariant ; l'antécédent s'obtient avec le rapport 1k\dfrac{1}{k}.
  • Propriété caractéristique : M′N′→=k MN→\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}. Conséquence : (MN)∥(M′N′)(MN) \parallel (M'N') et M′N′=∣k∣ MNM'N' = |k|\,MN.
  • L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment.
  • L'image d'un cercle de centre OO et de rayon RR est le cercle de centre h(O)h(O) et de rayon ∣k∣ R|k|\,R.
  • L'image d'un polygone de périmètre pp et d'aire aa est un polygone de périmètre ∣k∣ p|k|\,p et d'aire k2 ak^{2}\,a.
  • Une homothétie conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité et le contact.