Notion de polynômes

Notion de fonction ; fonction polynôme, coefficients, égalité de deux polynômes et identification ; degré, monôme, binôme, trinôme ; opérations et degré d'un produit ; racines, factorisation par (x − α), identification et division ; au plus n racines ; équations et inéquations de degré 3 ou 4 ; polynômes symétriques ; fonctions rationnelles.

22 sections · 104 exercices

Notion de polynômes

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre étudie les polynômes : des fonctions de la forme $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}.$ Après un retour sur la notion de fonction, il définit le degré, les opérations, l'égalité de deux polynômes, puis l'outil central : si $\alpha$ est une racine de $P,$ alors $P$ est factorisable par $(x - \alpha)$ .

On s'en sert pour résoudre des équations et des inéquations de degré $3$ ou $4,$ et termine par les fonctions rationnelles $\dfrac{f(x)}{g(x)}.$

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître un polynôme, lire ses coefficients et son degré
Additionner, multiplier des polynômes et prévoir le degré d'un produit
Utiliser l'égalité de deux polynômes pour identifier des coefficients
Factoriser un polynôme par $(x - \alpha)$ quand $\alpha$ est une racine
Résoudre des équations et inéquations de degré $3$ ou $4,$ et étudier une fonction rationnelle

Définition

Notion de fonction

Définition. Soit $E$ une partie non vide de $\mathbb{R}.$ Lorsqu'à tout réel $x$ de $E$ on associe au plus un réel $y,$ on dit qu'on a défini une fonction de $E$ vers $\mathbb{R}.$ Si on la note $f,$ on écrit $y = f(x)$ et $f : E \to \mathbb{R}, \$ $x \mapsto f(x)$ .

L'ensemble $D$ des réels $x$ de $E$ tels que $f(x)$ existe est l'ensemble de définition de $f$ : on dit que $f$ est définie sur $D.$

Vocabulaire. Pour $x \in D$ et $y = f(x)$ : le réel $y$ est l'image de $x$ par $f$ ; $x$ est un antécédent de $y$ par $f.$

Exemple : le rectangle $AMNP$ est inscrit dans le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $3,$ $AM = x$ avec $x \in \,]0 ; 3[,$ et Pythagore dans le triangle $AMN$ donne $MN = \sqrt{9 - x^{2}}.$ L'aire du rectangle est donc $S(x) = x\sqrt{9 - x^{2}}$ : $S\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{35}{4}} = \dfrac{\sqrt{35}}{4},$ $S(1) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ et $S(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{7} = \sqrt{14}.$

AMNP est un rectangle inscrit dans le quart de cercle de centre A et de rayon 3, et AM = x.

une fonction

f : E \to \mathbb{R}, \quad

x \mapsto f(x)

ensemble de définition

D = \{x \in E \,;\, f(x) \text{ existe}\}

Exemple traité

La distance de freinage $d$ (en mètres) d'une voiture qui roule à $v$ km/h est modélisée par $d = 0{,}2\,v + \dfrac{v^{2}}{150}.$ Quelle distance parcourt après le freinage une voiture qui roule à $90$ km/h ? Quelles vitesses permettent de s'arrêter en moins de $12$ mètres ?

1
À 90 km/h
On calcule l'image de $90.$
$d = 0{,}2 \times 90 + \frac{90^{2}}{150} = 18 + 54 = 72$
2
Moins de 12 m
On multiplie par $150$ et on regroupe tout dans un membre.
$0{,}2\,v + \frac{v^{2}}{150} < 12 \iff v^{2} + 30v - 1800 < 0$
3
Factoriser
Le discriminant vaut $900 + 7200 = 8100 = 90^{2}$ : les racines sont $30$ et $-60.$
$v^{2} + 30v - 1800 = (v - 30)(v + 60)$
4
Conclure
$v + 60 > 0$ pour une vitesse : le produit est négatif si et seulement si $v < 30.$
$0 \le v < 30$

d = 72

; \

v < 30

km/h

L’erreur à ne pas faire

$z \mapsto \sqrt{z - 2}$ est définie sur $\mathbb{R}$ Elle est définie sur $[2 ; +\infty[$
$\sqrt{z - 2}$ n'existe que si $z - 2 \ge 0.$
$-2$ a pour antécédent $f(-2)$ $f(-2)$ est l'image de $-2$ ; $-2$ est un antécédent de $f(-2)$
L'image se calcule à partir du réel de départ ; l'antécédent est le réel de départ.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b la notion de fonction. E partie non vide de IR, w koll réel x men E nrabtouh b au plus un réel y : hedhi fonction, w nektbou y égale f de x. Les réels x elli f de x mawjouda fihom, houma l'ensemble de définition D. W y nsammiwh l'image de x, w x nsammiwh un antécédent de y. Mathalan, le rectangle AMNP fi quart de cercle de rayon trois : AM égale x, w Pythagore ya3tina MN égale racine de, neuf moins x carré. Donc S de x égale x fois racine de, neuf moins x carré, w x lezem bin zéro w trois. »

Définition

Fonction polynôme

Définition. Soient $a_{0},$ $a_{1},$ $\dots,$ $a_{n-1}$ et $a_{n}$ des réels. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$

est appelée fonction polynôme. Les réels $a_{n},$ $a_{n-1},$ $\dots,$ $a_{1}$ et $a_{0}$ sont ses coefficients.

Remarque. Au lieu de dire « la fonction polynôme $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par… », on dit souvent « le polynôme $f$ défini par… ». Si $a_{0} = a_{1} = \dots = a_{n} = 0,$ le polynôme $f$ est appelé polynôme nul.

Exemple : dans une plaque carrée de $60$ cm de côté, on découpe à chaque coin un carré de côté $x,$ puis on replie les bords. La boîte a pour base un carré de côté $60 - 2x$ et pour hauteur $x,$ avec $x \in \,]0 ; 30[$ : son volume $V(x) = x(60 - 2x)^{2} = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x$ est un polynôme.

On découpe un carré de côté x à chaque coin de la plaque de 60 cm, puis on replie les bords.

fonction polynôme

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Exemple traité

Avec $V(x) = x(60 - 2x)^{2}$ pour $x \in \,]0 ; 30[,$ calculer $V(10),$ vérifier que $V(x) - V(10) = 4(x - 10)(x^{2} - 50x + 400),$ puis trouver $x$ pour que le volume soit maximal.

1
Calculer
$V(10) = 10 \times 40^{2} = 16000$
2
Développer
On développe $V(x),$ puis le produit proposé.
$V(x) = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x$
3
$4(x - 10)(x^{2} - 50x + 400) = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x - 16000 = V(x) - V(10)$
4
Signe
$x^{2} - 50x + 400 = (x - 10)(x - 40),$ et $x - 40 < 0$ sur $]0 ; 30[.$
$V(x) - V(10) = 4(x - 10)^{2}(x - 40) \le 0$
5
Conclure
Pour tout $x$ de $]0 ; 30[,$ $V(x) \le V(10)$ : le volume est maximal pour $x = 10.$
$V_{\max} = V(10) = 16000 \text{ cm}^{3}$

x = 10

L’erreur à ne pas faire

$V(x) = x(60 - x)^{2}$ $V(x) = x(60 - 2x)^{2}$
On découpe un carré de côté $x$ à chaque coin : le côté de la base perd $2x.$
$f(x) = 0$ pour $x = 2$ et $x = 3,$ donc $f$ est le polynôme nulLe polynôme nul s'annule pour tout réel $x$
$x^{2} - 5x + 6$ s'annule en $2$ et en $3,$ mais vaut $6$ en $0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fonction polynôme, hiya fonction mo3arrfa 3la IR kemel, b ech-chakl hedha : f de x égale a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un, w hakka, 7atta a un x plus a zéro. Les réels a n, ..., a zéro nsammiwhom les coefficients. W 3ada n9oulou le polynôme f bark. W ken el coefficients el kol nuls, hedha le polynôme nul. Mathalan, n9os carré de côté x men koll coin mta3 plaque de soixante : la base twalli soixante moins deux x, w le volume V de x égale x fois, soixante moins deux x, le tout au carré. Hedha polynôme, w yousel lel maximum ki x égale dix. »

Application

Reconnaître un polynôme

Une fonction est un polynôme si, pour tout réel $x,$ elle s'écrit $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ : une somme de termes $a_{k}x^{k},$ avec des exposants entiers naturels et des coefficients réels — $\sqrt{2}$ ou $\dfrac{2}{3}$ sont des coefficients permis.

$F(x) = -2x^{3} - 5x^{2} - 1$ et $G(t) = 1 + 3t + \dfrac{2}{3}t^{2} - 6t^{3}$ sont des polynômes ; le nom de la variable ne compte pas.
$x \mapsto -2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x$ en est un : en développant, on trouve $-2x^{3} - x^{2} - 10x - 2.$
$x \mapsto 3\sqrt{2}$ est un polynôme constant : $a_{0} = 3\sqrt{2}.$
$x \mapsto |x|,$ $x \mapsto x^{2} + 5|x|$ ou $x \mapsto 3x^{5} - 2\sqrt{3}\,x + \dfrac{1}{x^{2} + 1}$ ne s'écrivent pas sous cette forme : ce ne sont pas des polynômes.

développer pour reconnaître

-2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x = -2x^{3} - x^{2} - 10x - 2

Exemple traité

$P(x) = 5x^{2} - \dfrac{1}{6}x$ est-il un polynôme ? Si oui, donner ses coefficients.

1
Forme
C'est une somme de termes $a_{k}x^{k}$ à exposants entiers : oui, c'est un polynôme.
2
Coefficients
Le terme constant manque : il vaut $0.$
$a_{2} = 5, \quad$ $a_{1} = -\frac{1}{6}, \quad$ $a_{0} = 0$

P

est un polynôme de coefficients

5, \

-\tfrac{1}{6}, \

0

L’erreur à ne pas faire

$x \mapsto 3\sqrt{2}$ n'est pas un polynôme, il n'y a pas de $x$ C'est un polynôme constant, avec $a_{0} = 3\sqrt{2}$
Tous les coefficients autres que $a_{0}$ sont nuls : c'est permis.
$x^{2} - \sqrt{2}\,x$ n'est pas un polynôme à cause de $\sqrt{2}$ C'est un polynôme : $\sqrt{2}$ est un coefficient réel
La racine porte sur un nombre, pas sur $x$ ; avec $\sqrt{x},$ ce ne serait plus un polynôme.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech na3rfou elli fonction hiya polynôme ? Lezem tetekteb somme mta3 termes a fois x puissance un entier naturel. El coefficients ynajmou ykounou ay réels : racine de deux, deux tiers, ma famma 7atta mochkla. Mathalan moins deux fois, x plus un, le tout au cube, plus cinq x carré moins quatre x, ki ndévelopper, nal9aw moins deux x cube moins x carré moins dix x moins deux : polynôme. W trois racine de deux, polynôme constant. Ama valeur absolue de x, walla un sur, x carré plus un, ma yetektbouch hakka : mouch polynômes. »

Théorème

Égalité de deux polynômes

Un polynôme est nul (pour tout réel $x$ ) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Deux polynômes sont égaux (pour tout réel $x$ ) si et seulement s'ils ont même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Attention : deux polynômes peuvent prendre la même valeur en quelques points sans être égaux. Par exemple, $f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ vérifient $f(1) = g(1) = 5$ et $f(4) = g(4) = 47,$ mais $f(0) = 3$ et $g(0) = -1$ : la phrase « $f(x) = g(x)$ pour tout réel $x$ » est fausse.

C'est ce résultat qui fonde la méthode d'identification : si, pour tout réel $x,$ $a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 2x^{2} - 10x + 11,$ alors $a_{2} = 2,$ $a_{1} = -10$ et $a_{0} = 11.$

polynôme nul

a_{n}x^{n} + \dots + a_{0} = 0

pour tout

x \iff a_{n} = \dots = a_{0} = 0

polynômes égaux

\sum a_{k}x^{k} = \sum b_{k}x^{k}

pour tout

x \iff a_{k} = b_{k}

pour tout

k

Exemple traité

Existe-t-il un réel $a$ tel que, pour tout réel $x,$ $a^{2}x^{2} + (a^{2} + a)x + a = 9x^{2} + 6x - 3$ ?

1
Identifier
Les coefficients des termes de même degré doivent être égaux.
$a^{2} = 9, \quad$ $a^{2} + a = 6, \quad$ $a = -3$
2
Vérifier
$a = -3$ donne $a^{2} = 9$ et $a^{2} + a = 9 - 3 = 6$ : les trois conditions sont satisfaites.
$a = -3$

a = -3

L’erreur à ne pas faire

$f(1) = g(1)$ et $f(4) = g(4),$ donc $f = g$ Il faut l'égalité pour tout réel $x,$ c'est-à-dire des coefficients égaux
Avec $f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ : $f(0) = 3$ mais $g(0) = -1.$
$ax^{2} + bx + 4 = 0$ pour tout $x$ avec $a = b = 0$ Impossible : le terme constant $4$ n'est pas nul
Un polynôme nul a tous ses coefficients nuls, y compris $a_{0}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Polynôme nul pour tout réel x, ma3neha el coefficients el kol nuls. W zouz polynômes égaux, ken 3andhom nafs le degré w nafs les coefficients, terme par terme. Rodd belek : zouz polynômes ynajmou ye5dhou nafs la valeur fi no9ta walla zouz, w ma ykounouch égaux. Mathalan, f de x égale trois x carré moins x plus trois, w g de x égale deux x carré plus quatre x moins un : f de un égale g de un, w f de quatre égale g de quatre, ama f de zéro trois w g de zéro moins un. W men houni tji la méthode d'identification : ki zouz polynômes égaux, nsawiw les coefficients mta3 nafs le degré. »

Définition

Degré d'un polynôme

Définition. On admet que tout polynôme non nul $P$ a une écriture unique de la forme

$\displaystyle P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0},$ avec $\displaystyle a_{n} \ne 0.$

L'entier $n$ est appelé le degré du polynôme $P$ ; on écrit $d°(P) = n.$ On convient que le polynôme nul n'a pas de degré. Le degré d'un polynôme constant (non nul) est égal à zéro.

Exemples : $P(x) = 3x^{4} - 7x^{2} + x$ est de degré $4$ ; $Q(x) = 2 - x + x^{3} + x^{5} + x^{7}$ de degré $7$ ; $R(x) = (x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$ de degré $2$ ; $V(x) = (2x + 1)(2x^{3} + 8x - 1)$ de degré $4.$ Mais $K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3} = -3x^{2} + 3x - 1$ est de degré $2$ : les termes en $x^{3}$ se sont annulés.

degré

P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}, \

a_{n} \ne 0 \Rightarrow d°(P) = n

Exemple traité

Déterminer le degré et le coefficient du terme du plus haut degré de $P(x) = 6x^{3} - 5x^{2} + (2x^{2} + x - 1)(2 - 3x).$

1
Développer
On développe le produit.
$(2x^{2} + x - 1)(2 - 3x) = -6x^{3} + x^{2} + 5x - 2$
2
Réduire
Les termes en $x^{3}$ s'annulent.
$P(x) = 6x^{3} - 5x^{2} - 6x^{3} + x^{2} + 5x - 2 = -4x^{2} + 5x - 2$
3
Conclure
Le degré de $P$ est $2,$ et le coefficient de son terme du plus haut degré est $-4.$
$d°(P) = 2, \quad$ $a_{2} = -4$

degré

2

, coefficient du terme du plus haut degré :

-4

L’erreur à ne pas faire

$K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3}$ est de degré $3$ $K(x) = -3x^{2} + 3x - 1$ est de degré $2$
On réduit avant de lire le degré : les termes de plus haut degré peuvent s'annuler.
Le polynôme nul est de degré $0$ Le polynôme nul n'a pas de degré ; un polynôme constant non nul est de degré $0$
C'est la convention : le degré exige $a_{n} \ne 0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Koll polynôme non nul yetekteb b tari9a wa7da : a n x puissance n plus ... plus a zéro, avec a n différent de zéro. L'entier n houwa le degré mta3 P, w nektbou degré de P égale n. Le polynôme nul ma 3andouch degré, w polynôme constant non nul, le degré mte3ou zéro. Ama rodd belek : dima réduire 9bal ma te9ra le degré. Mathalan K de x égale, x moins un, le tout au cube, moins x cube : les x cube yemchiw, w yo93ed moins trois x carré plus trois x moins un, degré deux, mouch trois. »

Vocabulaire

Terme constant, monôme, binôme, trinôme

Vocabulaire. Pour $P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ avec $a_{n} \ne 0$ :

$a_{0}$ s'appelle le terme constant ;
$a_{1}x$ s'appelle le terme du premier degré, ou le terme en $x$ ;
$a_{n}x^{n}$ s'appelle le terme de degré $n$ , ou le terme en $x^{n}$ : c'est aussi le terme du plus haut degré ;
chacun des termes $a_{0},$ $a_{1}x,$ $\dots,$ $a_{n-1}x^{n-1}$ et $a_{n}x^{n}$ est appelé monôme ;
tout polynôme du premier degré est appelé binôme (du premier degré) ;
tout polynôme du second degré est appelé trinôme (du second degré).

Exemple : dans $T(x) = \dfrac{3}{4}x^{2} - x + x^{6} + 1,$ le terme du plus haut degré est $x^{6}$ — il n'est pas écrit en premier —, le terme en $x$ est $-x$ et le terme constant est $1.$

les termes

\underbrace{a_{n}x^{n}}_{\text{plus haut degré}} + \dots + \underbrace{a_{1}x}_{\text{terme en } x} + \underbrace{a_{0}}_{\text{terme constant}}

Exemple traité

Ordonner $T(x) = \dfrac{3}{4}x^{2} - x + x^{6} + 1$ et lire son degré, son terme du plus haut degré et son terme constant.

1
Ordonner
On écrit les termes par degrés décroissants.
$T(x) = x^{6} + \frac{3}{4}x^{2} - x + 1$
2
Lire
Le degré est $6,$ le terme du plus haut degré est $x^{6}$ et le terme constant est $1.$
$d°(T) = 6,$ terme du plus haut degré : $x^{6},$ terme constant : $1$

T

est de degré

6

L’erreur à ne pas faire

Le terme du plus haut degré de $2 - x + x^{3}$ est $2$ C'est $x^{3}$
On cherche le plus grand exposant, pas le premier terme écrit : on ordonne d'abord.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chwaya vocabulaire. A zéro houwa le terme constant. A un x houwa le terme du premier degré, walla le terme en x. W a n x puissance n houwa le terme du plus haut degré. Koll terme wa7dou nsammiwh monôme. Polynôme du premier degré nsammiwh binôme, w polynôme du second degré nsammiwh trinôme. Rodd belek, le terme du plus haut degré mouch dima houwa elli mekteb loul fi l'écriture : ordonner, w chouf akbar puissance. »

Définition

Opérations sur les polynômes

Définition. Soient $f$ et $g$ deux polynômes et $\alpha$ un réel.

La somme de $f$ et $g$ est le polynôme $f + g$ défini pour tout réel $x$ par $(f + g)(x) = f(x) + g(x).$
Le produit du polynôme $f$ par le réel $\alpha$ est le polynôme $\alpha f$ défini par $(\alpha f)(x) = \alpha f(x).$
Le produit des polynômes $f$ et $g$ est le polynôme $fg$ défini par $(fg)(x) = f(x) \times g(x).$

« Réduire et ordonner », c'est regrouper les termes de même degré, puis les écrire par degrés décroissants. Par exemple, avec $f(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + x - 1$ et $q(x) = x - 2$ :

$f(x)\,q(x) = 2x^{4} - 4x^{3} - 5x^{3} + 10x^{2} + x^{2} - 2x - x + 2 = 2x^{4} - 9x^{3} + 11x^{2} - 3x + 2.$

les trois opérations

(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad

(\alpha f)(x) = \alpha f(x), \quad

(fg)(x) = f(x) \times g(x)

Exemple traité

$P(x) = 2x^{3} - x^{2} + 2x - 1$ et $Q(x) = 3x^{3} - x.$ Réduire et ordonner $P + Q$ et $3P - 2Q.$

1
La somme
On regroupe les termes de même degré.
$(P + Q)(x) = 5x^{3} - x^{2} + x - 1$
2
La combinaison
$3P(x) - 2Q(x) = 6x^{3} - 3x^{2} + 6x - 3 - 6x^{3} + 2x$
3
Les termes en $x^{3}$ s'annulent.
$(3P - 2Q)(x) = -3x^{2} + 8x - 3$

P + Q = 5x^{3} - x^{2} + x - 1

; et

3P - 2Q = -3x^{2} + 8x - 3

L’erreur à ne pas faire

$g(x) - p(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5} - 3x^{2} - x - 1$ $g(x) - p(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5} - 3x^{2} + x + 1$
Le signe moins devant $p(x)$ change le signe de tous ses termes : on met des parenthèses.
$(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 1$ $(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$
Le double produit $2 \times 2x \times 1$ ne disparaît pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« F w g zouz polynômes w alpha réel. La somme f plus g, hiya f de x plus g de x. Le produit alpha f, houwa alpha fois f de x. W le produit f g, houwa f de x fois g de x. W ki y9oulou lek réduire et ordonner : tjamma3 les termes mta3 nafs le degré, w tektebhom men akbar puissance l asghar wa7da. W ki tatra7 polynôme, 7ottou bin parenthèses : le moins ybaddel le signe mta3 les termes el kol. »

Propriété

Degré d'une somme, d'un produit

Remarque. Si $f$ et $g$ sont deux polynômes non nuls et $\alpha$ un réel non nul :

$f + g$ est un polynôme ;
$fg$ est un polynôme, et le degré de $fg$ est égal à la somme des degrés de $f$ et de $g$ ;
$\alpha f$ est un polynôme, de même degré que $f.$

Le degré d'une somme, lui, peut baisser : par exemple, $g(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5}$ et $p(x) = 3x^{2} - x - 1$ sont de degré $2,$ mais $g(x) + p(x) = 6x - \sqrt{5} - 1$ est de degré $1.$

Sans développer : $A(x) = (x^{2} + x - 5)(2x^{5} - 2x^{3} + 1)$ est de degré $2 + 5 = 7$ ; $B(x) = (x^{2} + 3)^{5}$ de degré $5 \times 2 = 10.$

degré d'un produit

d°(fg) = d°(f) + d°(g), \qquad

d°(\alpha f) = d°(f) \ \ (\alpha \ne 0)

Exemple traité

Déterminer, sans développer complètement, le degré de $C(x) = (x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x - 7)(x - 1) - (x^{5} + 1).$

1
Le produit
Il est de degré $4 + 1 = 5,$ de terme du plus haut degré $x^{4} \times x = x^{5}.$
$x^{4} \times x = x^{5}$
2
La différence
Les termes en $x^{5}$ s'annulent : on cherche le coefficient de $x^{4}.$
$x^{4} \times (-1) + (-2x^{3}) \times x = -3x^{4}$
3
Conclure
Le coefficient de $x^{4}$ n'est pas nul : $C$ est de degré $4.$
$d°(C) = 4$

C

est de degré

4

L’erreur à ne pas faire

$d°(fg) = d°(f) \times d°(g)$ $d°(fg) = d°(f) + d°(g)$
On multiplie les termes de plus haut degré : $x^{n} \times x^{p} = x^{n + p},$ les exposants s'ajoutent.
$d°(f + g)$ est toujours le plus grand des deux degrésIl peut être plus petit, quand les termes de plus haut degré s'annulent
$(-3x^{2} + 7x - \sqrt{5}) + (3x^{2} - x - 1)$ est de degré $1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le degré mta3 le produit f g, houwa la somme des degrés : x puissance n fois x puissance p ta3ti x puissance, n plus p. W alpha f, ki alpha non nul, 3andou nafs le degré mta3 f. Ama la somme, rodd belek : le degré ynajjem yahbet, ki les termes du plus haut degré yetna77aw. Mathalan moins trois x carré w trois x carré, ki njam3ouhom yemchiw, w yo93ed polynôme de degré un. »

Définition

Racine d'un polynôme

Définition. On dit qu'un réel $\alpha$ est une racine ou un zéro d'un polynôme $f$ si $f(\alpha) = 0.$

Pour montrer que $\alpha$ est une racine, on calcule $f(\alpha)$ et on trouve $0.$ Par exemple, pour $f(x) = x^{2} + 2x - 3,$ $f(-1) = -4,$ $f(1) = 0$ et $f(-3) = 0$ : $1$ et $-3$ sont des racines de $f,$ $-1$ n'en est pas une. Pour $h(x) = 3x^{3} - x^{2} - 6x + 2,$ $h\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9} - 2 + 2 = 0.$

Autre exemple : $g(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$ et $\alpha = -2$ :

$g(-2) = 64 - 40 - 56 + 18 + 14 = 0.$

racine (ou zéro)

\alpha

racine de

f \iff f(\alpha) = 0

Exemple traité

Montrer que $\alpha = \dfrac{1}{2}$ est une racine de $h(x) = 8x^{5} + 3x^{2} - 1.$

1
Puissances
$\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32}, \quad$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$
2
Calculer
$h\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{8}{32} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = 0$

h\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 0

L’erreur à ne pas faire

$(-2)^{4} = -16$ $(-2)^{4} = 16$
Une puissance paire d'un négatif est positive ; on garde les parenthèses autour de $-2.$
$1$ est racine de $f$ car $f(0) = 1$ $\alpha$ est racine si $f(\alpha) = 0$
La racine est le réel qu'on remplace, pas la valeur obtenue.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Alpha réel, n9oulou alpha racine, walla zéro, mta3 polynôme f, ken f de alpha égale zéro. Bech tthabbet, 3awedh x b alpha w a7seb : lezem tal9a zéro. Mathalan f de x égale x carré plus deux x moins trois : f de un égale un plus deux moins trois, ya3ni zéro, donc un racine. W rodd belek lel puissances : moins deux puissance quatre égale seize, positive, 5ater l'exposant pair. »

Application

Trouver des coefficients à partir de racines

Quand un polynôme dépend de paramètres, chaque racine connue donne une équation sur ces paramètres.

$P(x) = ax^{4} + (a + 1)x^{3} - (b + 9)x^{2} - (2b - 1)x + 14,$ et l'on sait que $1$ et $-2$ sont des racines :

$P(1) = 2a - 3b + 7 = 0 \qquad P(-2) = 8a - 32 = 0.$

D'où $a = 4,$ puis $b = 5$ : $P(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$ — on retrouve le polynôme $g$ vu plus haut, dont $-2$ est bien une racine.

Ensuite, $P(x) = (x^{2} + x - 2)\,Q(x)$ avec $Q$ de degré $2$ : par identification, $Q(x) = 4x^{2} + x - 7.$

un système

P(1) = 0

P(-2) = 0 \iff \begin{cases} 2a - 3b + 7 = 0 \\ 8a - 32 = 0 \end{cases}

Exemple traité

Avec $a = 4$ et $b = 5,$ déterminer $Q$ tel que $4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14 = (x^{2} + x - 2)\,Q(x)$ pour tout réel $x.$

1
Forme de Q
Le degré de $Q$ est $4 - 2 = 2,$ et le terme du plus haut degré de $Q$ est $4x^{2}.$
$Q(x) = 4x^{2} + bx + c$
2
Développer
$(x^{2} + x - 2)(4x^{2} + bx + c) = 4x^{4} + (b + 4)x^{3} + (c + b - 8)x^{2} + (c - 2b)x - 2c$
3
Identifier
$b + 4 = 5, \quad$ $-2c = 14 \iff b = 1, \quad$ $c = -7$
4
Contrôler
Les deux autres coefficients concordent.
$c + b - 8 = -14, \quad$ $c - 2b = -9$

Q(x) = 4x^{2} + x - 7

L’erreur à ne pas faire

$P(-2)$ : $-(2b - 1) \times (-2) = -4b + 2$ $-(2b - 1) \times (-2) = 4b - 2$
Deux signes moins se multiplient : le produit est positif.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki polynôme fih des paramètres a w b, koll racine na3rfouha ta3tina équation. Mathalan P de x égale a x puissance quatre plus, a plus un, x cube moins, b plus neuf, x carré moins, deux b moins un, x plus quatorze, w un racine, donc P de un égale zéro : deux a moins trois b plus sept égale zéro. W moins deux racine, donc P de moins deux égale zéro : huit a moins trente-deux égale zéro. Nal9aw a égale quatre, w ba3d b égale cinq. W ki na3rfou P, nal9aw Q bel identification. »

Définition

Polynôme factorisable

Définition. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. On dit que $P$ est factorisable par $Q$ s'il existe un polynôme $R$ tel que, pour tout réel $x,$

$P(x) = Q(x) \times R(x).$

Les outils de factorisation déjà connus restent les premiers à essayer — facteur commun, regroupement de termes, identités remarquables.

$A(x) = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} = x^{2}(x^{2} - 3x + 2) = x^{2}(x - 1)(x - 2)$ ;
$C(x) = 2x^{3} + 4x^{2} + 3x + 6 = 2x^{2}(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(2x^{2} + 3)$ ;
$D(x) = x^{4} + 3x^{3} - x - 3 = x^{3}(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(x^{3} - 1) = (x + 3)(x - 1)(x^{2} + x + 1).$

factorisable

P

factorisable par

Q \iff P(x) = Q(x) \times R(x)

pour tout

x

différence de deux cubes

a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})

Exemple traité

Factoriser $G(x) = x^{4} - 64$ et $H(x) = 9(x + 1)^{2} - 4(2x - 1)^{2}.$

1
G
Une différence de deux carrés, puis encore une.
$x^{4} - 64 = (x^{2} - 8)(x^{2} + 8) = (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})(x^{2} + 8)$
2
H
$9(x + 1)^{2} = \left(3(x + 1)\right)^{2}$ et $4(2x - 1)^{2} = \left(2(2x - 1)\right)^{2}.$
$H(x) = (3x + 3 - 4x + 2)(3x + 3 + 4x - 2)$
3
$H(x) = (5 - x)(7x + 1)$

G(x) = (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})(x^{2} + 8), \quad

H(x) = (5 - x)(7x + 1)

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} + 8 = (x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$ $x^{2} + 8$ ne se factorise pas : il est toujours strictement positif
L'identité $a^{2} - b^{2}$ demande une différence ; $x^{2} + 8$ n'a aucune racine.
$\left(3(x + 1)\right)^{2} - \left(2(2x - 1)\right)^{2} = (3x + 3 - 4x - 2)(\dots)$ $3x + 3 - (4x - 2) = -x + 5$
Le moins porte sur tout le second facteur : on garde les parenthèses.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« P factorisable par Q, ma3neha famma polynôme R b 7aythou P de x égale Q de x fois R de x, pour tout réel x. W bech tfactoriser, ebda dima bel 7wayej elli ta3refhom : facteur commun, regroupement, w les identités remarquables. Mathalan x puissance quatre moins trois x cube plus deux x carré : x carré facteur commun, w yo93ed x carré moins trois x plus deux, elli houwa, x moins un, fois, x moins deux. »

Théorème

Racine α et facteur (x − α)

Soit $f$ un polynôme de degré $n \ge 1$ et $\alpha$ un réel.

Si $f$ est factorisable par $(x - \alpha),$ alors $\alpha$ est une racine de $f$ : $f(\alpha) = (\alpha - \alpha)\,g(\alpha) = 0.$
Réciproquement, si $\alpha$ est une racine de $f,$ alors $f$ est factorisable par $(x - \alpha)$ : il existe un polynôme $g$ de degré $n - 1$ tel que, pour tout réel $x,$

$f(x) = (x - \alpha)\,g(x).$

La preuve au degré $3$ (ci-dessous) donne même $g$ : pour $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,$ $P(x) - P(\alpha) = (x - \alpha)\left[ax^{2} + (a\alpha + b)x + (a\alpha^{2} + b\alpha + c)\right].$ Si $P(\alpha) = 0,$ c'est la factorisation cherchée — et ce sont des formules qu'on peut mettre dans un tableur : $b' = a\alpha + b$ et $c' = a\alpha^{2} + b\alpha + c.$

racine et facteur

f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x), \quad

d°(g) = n - 1

Exemple traité

$P(x) = 4x^{3} + 5x^{2} - 2x + 1$ et $\alpha = 1.$ Calculer $P(1),$ puis $b'$ et $c'$ tels que $P(x) - P(1) = (x - 1)(4x^{2} + b'x + c').$

1
Colonne F
$P(1) = 4 + 5 - 2 + 1 = 8$
2
Colonne G
$b' = a\alpha + b = 4 + 5 = 9$
3
Colonne H
$c' = a\alpha^{2} + b\alpha + c = 4 + 5 - 2 = 7$
4
Contrôler
$(x - 1)(4x^{2} + 9x + 7) = 4x^{3} + 5x^{2} - 2x - 7 = P(x) - 8$

P(1) = 8, \quad

b' = 9, \quad

c' = 7

L’erreur à ne pas faire

$-2$ est racine, donc $f(x) = (x - 2)\,g(x)$ $-2$ est racine, donc $f(x) = (x + 2)\,g(x)$
Le facteur est $x - \alpha$ : avec $\alpha = -2,$ c'est $x - (-2) = x + 2.$
$f$ de degré $3$ et $f(x) = (x - \alpha)\,g(x)$ avec $g$ de degré $3$ $g$ est de degré $3 - 1 = 2$
Les degrés s'ajoutent dans un produit : le degré de $g$ vaut $3 - 1 = 2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi ahamm 7aja fel chapitre. Ken alpha racine mta3 f, donc f factorisable par, x moins alpha : f de x égale, x moins alpha, fois g de x, w g de degré n moins un. W el 3aks zeda s7i7 : ken f factorisable par x moins alpha, alpha racine. Rodd belek lel signe : moins deux racine, le facteur houwa x plus deux, mouch x moins deux. »

Méthode

Trouver le quotient par identification

Pour écrire $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ quand $\alpha$ est une racine :

1.vérifier que $P(\alpha) = 0$ ;
2.écrire la forme de $Q$ : son degré est $d°(P) - 1,$ et son terme du plus haut degré est connu ;
3.développer $(x - \alpha)\,Q(x)$ ;
4.identifier les coefficients des termes de même degré avec ceux de $P$ (égalité de deux polynômes) ;
5.contrôler avec le coefficient qui reste.

Exemple : $P(x) = 3x^{3} + x^{2} + 2x - 6,$ $P(1) = 3 + 1 + 2 - 6 = 0.$ On cherche $P(x) = (x - 1)(ax^{2} + bx + c)$ : en développant, $ax^{3} + (b - a)x^{2} + (c - b)x - c,$ d'où $a = 3,$ $b - a = 1,$ $c = 6$ : $b = 4,$ et le contrôle $c - b = 2$ concorde.

$3x^{3} + x^{2} + 2x - 6 = (x - 1)(3x^{2} + 4x + 6).$

le développement à identifier

(x - \alpha)(ax^{2} + bx + c) = ax^{3} + (b - a\alpha)x^{2} + (c - b\alpha)x - c\alpha

Exemple traité

Vérifier que $-2$ est une racine de $P(x) = 2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10$ et écrire $P(x) = (x + 2)\,Q(x).$

1
Vérifier
$P(-2) = -16 - 28 + 34 + 10 = 0$
2
Forme de Q
$Q(x) = 2x^{2} + bx + c$
3
Développer
$(x + 2)(2x^{2} + bx + c) = 2x^{3} + (b + 4)x^{2} + (c + 2b)x + 2c$
4
Identifier
$b + 4 = -7, \quad$ $2c = 10 \iff b = -11, \quad$ $c = 5$
5
Contrôler
$c + 2b = 5 - 22 = -17$

P(x) = (x + 2)(2x^{2} - 11x + 5)

L’erreur à ne pas faire

$Q(x) = x^{2} + bx + c$ pour $P(x) = 2x^{3} - \dots$ $Q(x) = 2x^{2} + bx + c$
Le terme du plus haut degré de $P$ est $x \times 2x^{2}$ : le coefficient $2$ passe dans $Q.$
S'arrêter sans contrôler le dernier coefficientLe coefficient restant doit concorder
S'il ne concorde pas, il y a une erreur de calcul — ou $\alpha$ n'est pas racine.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nal9aw Q ? Loul nthabtou elli P de alpha égale zéro. Ba3d nektbou la forme mta3 Q : le degré mte3ou yon9os b wa7ed, w le terme du plus haut degré ma3rouf. Ndévelopper, x moins alpha, fois Q de x, w nsawiw les coefficients mta3 nafs le degré m3a P. W fel e5er, el coefficient elli 93ed, nesta3mlouh bech nthabtou. Hedhi la méthode d'identification. »

Méthode

La division suivant les puissances décroissantes

Une deuxième méthode pour trouver $Q$ : la division suivant les puissances décroissantes, disposée comme la division des nombres.

Exemple : $P(x) = 6x^{3} + x^{2} + 8x - 5,$ chercher $Q$ tel que $P(x) = (2x - 1)\,Q(x).$

1.On ne s'occupe que des termes de plus haut degré : $6x^{3} \div 2x = 3x^{2}.$ On retranche $(2x - 1) \times 3x^{2} = 6x^{3} - 3x^{2}$ : il reste $4x^{2} + 8x - 5.$
2. $4x^{2} \div 2x = 2x.$ On retranche $(2x - 1) \times 2x = 4x^{2} - 2x$ : il reste $10x - 5.$
3. $10x \div 2x = 5.$ On retranche $(2x - 1) \times 5 = 10x - 5$ : il reste $0.$

$6x^{3} + x^{2} + 8x - 5 = (2x - 1)(3x^{2} + 2x + 5).$

La méthode vue plus haut s'appelle, elle, la méthode d'identification : les deux donnent le même $Q.$

un exemple de division

6x^{3} + x^{2} + 8x - 5 = (2x - 1)(3x^{2} + 2x + 5)

Exemple traité

Par la division suivant les puissances décroissantes, trouver $Q$ tel que $2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10 = (x + 2)\,Q(x).$

1
1er terme
$2x^{3} \div x = 2x^{2}$ ; on retranche $(x + 2) \times 2x^{2} = 2x^{3} + 4x^{2}.$
$2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10 - (2x^{3} + 4x^{2}) = -11x^{2} - 17x + 10$
2
2e terme
$-11x^{2} \div x = -11x$ ; on retranche $(x + 2) \times (-11x) = -11x^{2} - 22x.$
$-11x^{2} - 17x + 10 - (-11x^{2} - 22x) = 5x + 10$
3
3e terme
$5x \div x = 5$ ; on retranche $5x + 10$ : il reste $0.$
$5x + 10 - (5x + 10) = 0$

Q(x) = 2x^{2} - 11x + 5

L’erreur à ne pas faire

$4x^{2} + 8x - 5 - (4x^{2} - 2x) = 6x - 5$ $4x^{2} + 8x - 5 - (4x^{2} - 2x) = 10x - 5$
On retranche chaque produit : tous ses signes changent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Famma tari9a o5ra bech nal9aw Q : la division suivant les puissances décroissantes, kima division mta3 les nombres. Nchoufou ken les termes du plus haut degré : six x cube sur deux x, trois x carré. Natr7ou, deux x moins un, fois trois x carré, w n3awdou bel be9i : quatre x carré sur deux x, deux x. Ba3d dix x sur deux x, cinq. W ki yo93ed zéro, Q égale trois x carré plus deux x plus cinq. »

Théorème

Deux racines, puis k racines

Soit $f$ un polynôme de degré $n.$

Pour $n \ge 2,$ si $\alpha$ et $\beta$ sont deux racines (distinctes) de $f,$ alors $f$ est factorisable par $(x - \alpha)(x - \beta)$ : il existe un polynôme $g$ de degré $n - 2$ tel que $f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\,g(x).$
Plus généralement, pour $n \ge 3,$ on admet que si $\alpha_{1},$ $\alpha_{2},$ $\dots,$ $\alpha_{k}$ (avec $k \le n$ ) sont des racines (distinctes) de $f,$ alors il existe un polynôme $g$ de degré $n - k$ tel que

$f(x) = (x - \alpha_{1})(x - \alpha_{2}) \cdots (x - \alpha_{k})\,g(x).$

Exemple : $P(x) = 3x^{3} - 13x^{2} - 11x + 5,$ avec $P(-1) = -3 - 13 + 11 + 5 = 0$ et $P(5) = 375 - 325 - 55 + 5 = 0.$ Comme $(x + 1)(x - 5) = x^{2} - 4x - 5,$ on cherche $P(x) = (x^{2} - 4x - 5)(3x + c)$ : le terme constant donne $-5c = 5,$ donc $c = -1,$ et $P(x) = (x + 1)(x - 5)(3x - 1).$

deux racines

f(\alpha) = f(\beta) = 0 \Rightarrow f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\,g(x), \quad

d°(g) = n - 2

Exemple traité

Vérifier que $2$ et $-3$ sont des racines de $P(x) = x^{4} + 2x^{3} - 4x^{2} - 5x - 6,$ puis écrire $P(x) = (x - 2)(x + 3)\,Q(x).$

1
Vérifier
$P(2) = 16 + 16 - 16 - 10 - 6 = 0, \quad$ $P(-3) = 81 - 54 - 36 + 15 - 6 = 0$
2
Le produit
$(x - 2)(x + 3) = x^{2} + x - 6$
3
Identifier
$Q(x) = x^{2} + bx + c$ ; le terme en $x^{3}$ donne $b + 1 = 2,$ le terme constant $-6c = -6.$
$b = 1, \quad$ $c = 1$
4
Contrôler
$(x^{2} + x - 6)(x^{2} + x + 1) = x^{4} + 2x^{3} - 4x^{2} - 5x - 6$

P(x) = (x - 2)(x + 3)(x^{2} + x + 1)

L’erreur à ne pas faire

$Q$ est de degré $3$ dans $x^{4} + \dots = (x - 2)(x + 3)\,Q(x)$ $Q$ est de degré $4 - 2 = 2$
Chaque racine connue fait baisser le degré de $1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki ykounou 3andna zouz racines alpha w beta, f factorisable par, x moins alpha, fois, x moins beta, w g ywalli de degré n moins deux. W b sifa 3amma, k racines, g de degré n moins k. Mathalan P de x égale trois x cube moins treize x carré moins onze x plus cinq : moins un w cinq racines, donc P de x égale, x plus un, fois, x moins cinq, fois, trois x moins un. »

Propriété

Au plus n racines

Un polynôme de degré $3$ admet au plus trois racines ; un polynôme de degré $4,$ au plus quatre.
On admet qu'un polynôme de degré $n$ ( $n \ge 2$ ) admet au plus $n$ racines.

Conséquence : si $P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}$ admet $n + 1$ racines distinctes, alors $P$ est le polynôme nul.

Cela permet de prouver une égalité sans développer : soient $a,$ $b$ et $c$ trois réels distincts et

$f(x) = \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)}.$

On a $f(a) = 1 + 0 + 0 = 1,$ et de même $f(b) = f(c) = 1.$ Le polynôme $f - 1,$ de degré au plus $2,$ a trois racines distinctes $a,$ $b,$ $c$ : il est nul, et $f(x) = 1$ pour tout réel $x.$

nombre de racines

d°(P) = n \Rightarrow P

a au plus

n

racines

Exemple traité

$Q(x) = x^{4} + 2x^{3} - x - 2.$ Vérifier que $1$ et $-2$ sont des racines, puis trouver toutes les racines de $Q.$

1
Vérifier
$Q(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0, \quad$ $Q(-2) = 16 - 16 + 2 - 2 = 0$
2
Factoriser
$(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2,$ et l'identification donne le quotient.
$Q(x) = (x - 1)(x + 2)(x^{2} + x + 1)$
3
Le reste
$x^{2} + x + 1$ a pour discriminant $1 - 4 = -3 < 0$ : pas de racine.
$\Delta = -3 < 0$

Les racines de

Q

sont

-2

1

L’erreur à ne pas faire

Un polynôme de degré $4$ a toujours quatre racinesIl en a au plus quatre ; il peut en avoir moins, ou aucune
$x^{4} + 2x^{3} - x - 2$ n'en a que deux, et $x^{4} + 1$ aucune.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Polynôme de degré n, 3andou au plus n racines : degré trois, au plus trois, degré quatre, au plus quatre. Au plus, ya3ni ynajjem ykoun 3andou a9al, walla ma 3andou 7atta racine. W natija mohimma : ken polynôme de degré au plus n 3andou n plus un racines distinctes, ykoun le polynôme nul. Biha nthabtou égalité blech ma ndévelopper. »

Méthode

Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

Pour résoudre $P(x) = 0$ quand $P$ est de degré $3$ (ou plus) :

1.chercher une racine apparente : on essaie les petites valeurs simples, $0,$ $1,$ $-1,$ $2,$ $-2$ … ;
2.factoriser $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ par identification ;
3.résoudre $Q(x) = 0$ — au degré $2,$ avec le discriminant ;
4.réunir les solutions.

Exemple : $x^{3} + x^{2} - 2 = 0.$ On voit que $1 + 1 - 2 = 0$ : $1$ est racine, et $x^{3} + x^{2} - 2 = (x - 1)(x^{2} + 2x + 2).$ Le discriminant de $x^{2} + 2x + 2$ est $4 - 8 = -4 < 0$ : $S = \{1\}.$

Pour résoudre $f(x) = g(x),$ on étudie $h = f - g.$ Avec $f(x) = x^{3} - 5x^{2} + x + 6$ et $g(x) = x^{2} - 2x - 4,$ $f(2) = g(2) = -4,$ donc $2$ est racine de $h(x) = x^{3} - 6x^{2} + 3x + 10 = (x - 2)(x + 1)(x - 5),$ et $f(x) = g(x) \iff x \in \{-1 ; 2 ; 5\}.$

produit nul

P(x) = 0 \iff (x - \alpha)\,Q(x) = 0 \iff x = \alpha

Q(x) = 0

Exemple traité

Résoudre $4x^{3} + x^{2} - 11x + 6 = 0,$ sachant que $1$ et $-2$ en sont des solutions.

1
Vérifier
$4 + 1 - 11 + 6 = 0, \quad$ $-32 + 4 + 22 + 6 = 0$
2
Factoriser
$(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2$ ; le quotient est de degré $1,$ de la forme $4x + c,$ et le terme constant donne $-2c = 6.$
$4x^{3} + x^{2} - 11x + 6 = (x - 1)(x + 2)(4x - 3)$
3
Résoudre
$4x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{4}$

S = \left\{-2 ; \frac{3}{4} ; 1\right\}

L’erreur à ne pas faire

$x^{3} + x^{2} - 2 = 0$ : $S = \{1 ; -1 \pm i\}$ $S = \{1\}$ dans $\mathbb{R}$
Quand son discriminant est négatif, le facteur du second degré n'a aucune racine réelle.
Résoudre $f(x) = g(x)$ en cherchant les racines de $f,$ puis celles de $g$ On cherche les racines de $h = f - g$
Une solution de $f(x) = g(x)$ n'annule ni $f$ ni $g$ en général : $f(2) = g(2) = -4.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech t7ell P de x égale zéro, ki P de degré trois : lawwej 3la racine apparente. Jarreb zéro, un, moins un, deux, moins deux. Ki tal9a alpha, tfactoriser P b x moins alpha, w yo93edlek second degré, t7ellou b delta. Mathalan x cube plus x carré moins deux : un racine, w yo93ed x carré plus deux x plus deux, delta négatif. Donc solution wa7da : un. »

Méthode

Signe d'un polynôme et inéquations

Pour étudier le signe de $P(x),$ ou résoudre $P(x) > 0$ :

1.tout ramener dans un membre : $f(x) > g(x) \iff f(x) - g(x) > 0$ ;
2.factoriser complètement, à l'aide des racines ;
3.dresser le tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes ;
4.lire l'ensemble des solutions, avec les bons crochets.

Exemple : $P(x) = x^{3} - 4x^{2} - 2x + 8,$ $P(4) = 0,$ et $P(x) = (x - 4)(x^{2} - 2) = (x - 4)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}).$ Avec les racines rangées, $-\sqrt{2} < \sqrt{2} < 4$ :

$x$	$P(x)$
$]-\infty ; -\sqrt{2}[$	$-$
$]-\sqrt{2} ; \sqrt{2}[$	$+$
$]\sqrt{2} ; 4[$	$-$
$]4 ; +\infty[$	$+$

Un facteur du second degré sans racine garde le signe de son coefficient de $x^{2}$ : il ne change pas le signe, il se « traverse ».

factorisation complète

x^{3} - 4x^{2} - 2x + 8 = (x - 4)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^{3} - 3x < 2 - 3x^{2}.$

1
Un membre
$2x^{3} - 3x < 2 - 3x^{2} \iff 2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 < 0$
2
Racine
$1$ est une racine apparente : $2 + 3 - 3 - 2 = 0.$
$2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 = (x - 1)(2x^{2} + 5x + 2)$
3
Factoriser
$2x^{2} + 5x + 2$ a pour racines $-2$ et $-\dfrac{1}{2}.$
$2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 = (x - 1)(x + 2)(2x + 1)$
4
Signes
De gauche à droite, avec les racines $-2 < -\dfrac{1}{2} < 1$ : $-,$ $+,$ $-,$ $+.$
$S = \,]-\infty ; -2[ \,\cup\, \left]-\frac{1}{2} ; 1\right[$

S = \,]-\infty ; -2[ \,\cup\, \left]-\tfrac{1}{2} ; 1\right[

L’erreur à ne pas faire

$x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 > 0 \iff x + 1 > 0,$ sans justifier $x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 = (x + 1)(x^{2} + x + 3)$ et $x^{2} + x + 3 > 0$ car $\Delta = -11 < 0$
On n'efface un facteur que si l'on sait qu'il est strictement positif.
$P(x) > 0$ sur $[4 ; +\infty[$ $P(x) > 0$ sur $]4 ; +\infty[$
En $4,$ $P(4) = 0$ : pour une inégalité stricte, le crochet est ouvert.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech ta3ref le signe mta3 polynôme, walla t7ell inéquation : 7ott koll chay fi membre wa7ed, w ba3d factoriser el kol. A3mel tableau de signes, ligne l koll facteur, w el règle des signes. W facteur du second degré ma 3andouch racine, yo93ed dima b nafs le signe mta3 le coefficient de x carré. W fel e5er rodd belek lel crochets : inégalité stricte, les racines ma yod5louch. »

Activité

Somme et produit de trois racines

Supposons que $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) admette trois racines distinctes $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma.$ Alors $P(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma),$ et en développant puis en identifiant :

$\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \qquad$ $\displaystyle \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \qquad$ $\displaystyle \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$

On en tire, sans calculer les racines : $\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ et, si aucune n'est nulle, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}.$

Application : trois réels de somme $5,$ de produit $-1$ et tels que $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ seraient les racines de $x^{3} - 5x^{2} + 3x + 1.$ Or $1$ en est une racine apparente, et $x^{3} - 5x^{2} + 3x + 1 = (x - 1)(x^{2} - 4x - 1)$ : ils existent, ce sont $1,$ $2 - \sqrt{5}$ et $2 + \sqrt{5}.$

développer pour identifier

a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = a\left[x^{3} - (\alpha + \beta + \gamma)x^{2} + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\right]

Ce qu’on observe

$P(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6$ admet trois racines distinctes : $\alpha,$ $\beta$ et une troisième $\gamma.$ Sans les calculer, donner leur somme, leur produit, et la somme de leurs produits deux à deux.

1
Coefficients
$a = 1, \quad$ $b = 2, \quad$ $c = -5, \quad$ $d = -6$
2
Formules
La somme vaut $-\dfrac{b}{a} = -2,$ le produit $-\dfrac{d}{a} = 6,$ et la somme des produits deux à deux $\dfrac{c}{a} = -5.$
$\alpha + \beta + \gamma = -2, \quad$ $\alpha\beta\gamma = 6, \quad$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -5$
3
Contrôle
$-1$ est racine apparente, et $P(x) = (x + 1)(x + 3)(x - 2)$ : les racines $-3,$ $-1,$ $2$ ont bien pour somme $-2$ et pour produit $6.$
$(-3) \times (-1) \times 2 = 6$

somme

-2,

produit

6,

somme des produits deux à deux

-5

L’erreur à ne pas faire

$\alpha\beta\gamma = \dfrac{d}{a}$ $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
Au degré $3,$ en développant, le terme constant vaut $-a$ fois le produit des trois racines : ce produit vaut donc $-\dfrac{d}{a}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki a x cube plus b x carré plus c x plus d 3andou trois racines alpha, beta w gamma, nektbouh a fois, x moins alpha, fois, x moins beta, fois, x moins gamma. Ndévelopper w nidentifier : la somme alpha plus beta plus gamma égale moins b sur a, w le produit alpha beta gamma égale moins d sur a. Hakka na7sbou barcha 7wayej 3la les racines, blech ma nal9awhom. »

Activité

Polynômes symétriques

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients — $a,$ $b,$ $b,$ $a$ au degré $3,$ $2,$ $-9,$ $14,$ $-9,$ $2$ au degré $4$ — se lisent de la même façon dans les deux sens.

Degré 3. $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + bx + a$ ( $a \ne 0$ ) : $f(-1) = -a + b - b + a = 0,$ donc $-1$ est une racine apparente, et

$ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right).$

Le nombre de solutions de $f(x) = 0$ : le trinôme $ax^{2} + (b - a)x + a$ a pour discriminant $(b - a)^{2} - 4a^{2} = (b - 3a)(b + a),$ et il n'admet $-1$ pour racine que si $b = 3a.$

si $(b - 3a)(b + a) < 0$ : une seule solution, $-1$ ;
si $b = 3a$ : $f(x) = a(x + 1)^{3},$ une seule solution, $-1$ ;
si $b = -a$ : le trinôme vaut $a(x - 1)^{2},$ deux solutions, $-1$ et $1$ ;
si $(b - 3a)(b + a) > 0$ : trois solutions distinctes.

Degré 4. Pour $2x^{4} - 9x^{3} + 14x^{2} - 9x + 2 = 0$ : $0$ n'est pas solution, on divise par $x^{2}$ et l'on regroupe :

$2\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 9\left(x + \frac{1}{x}\right) + 14 = 0.$

On pose $X = x + \dfrac{1}{x}$ ; comme $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2,$ l'équation devient $2X^{2} - 9X + 10 = 0,$ de solutions $X = 2$ et $X = \dfrac{5}{2}.$ Puis $x + \dfrac{1}{x} = 2$ donne $x = 1,$ et $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$ donne $x = 2$ ou $x = \dfrac{1}{2}$ : $S = \left\{\dfrac{1}{2} ; 1 ; 2\right\}.$

symétrique de degré 3

ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right)

symétrique de degré 4

X = x + \frac{1}{x} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2

Ce qu’on observe

Résoudre $2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 2 = 0$ et préciser le signe de $f(x) = 2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 2.$

1
Factoriser
$a = 2,$ $b = 5$ : $b - a = 3.$
$f(x) = (x + 1)(2x^{2} + 3x + 2)$
2
Le trinôme
Son discriminant est négatif : il est toujours strictement positif.
$\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$
3
Conclure
$f(x)$ a le signe de $x + 1$ : négatif avant $-1,$ positif après.
$S = \{-1\}$

S = \{-1\}

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2}$ $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2$
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$ : le double produit vaut $2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Polynôme symétrique, les coefficients yet9rew kif kif men ezzouz jhet. Fi degré trois, a x cube plus b x carré plus b x plus a, moins un dima racine apparente : moins a plus b moins b plus a, zéro. W fi degré quatre, nediviser 3la x carré, w n7ottou X égale x plus un sur x : x carré plus un sur x carré twalli X carré moins deux, w yarja3lna second degré. »

Définition

Fonctions rationnelles

Définition. Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes. La fonction $h : x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ est appelée fonction rationnelle.

Elle est définie là où le dénominateur ne s'annule pas : son ensemble de définition est $D = \{x \in \mathbb{R} \,;\, g(x) \ne 0\}.$ On factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie pour $x \in D.$

Exemple : $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - x + 2$ et $g(x) = x^{2} + x - 6.$ $f(2) = 0$ et $f(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)$ ; $g(x) = (x - 2)(x + 3).$ Donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 2\}$ et, pour $x \in D,$

$h(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 3}.$

Autre exemple, sur la figure : $ABC$ est rectangle en $B,$ $AB = h,$ $BC = x,$ et le demi-cercle de centre $O,$ de rayon $1,$ est tangent à $(AC)$ en $H.$ On a $CH = CB = x$ et $\tan\widehat{BAC} = \dfrac{x}{h} = \dfrac{OH}{AH} = \dfrac{1}{AH},$ d'où $AH = \dfrac{h}{x}$ ; Pythagore dans $ABC$ donne $\left(\dfrac{h}{x} + x\right)^{2} = h^{2} + x^{2},$ c'est-à-dire $h = \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - 1}$ — une fonction rationnelle de $x.$

Le demi-cercle de centre O et de rayon 1 est tangent à (AC) en H ; AB = h et BC = x.

fonction rationnelle

h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \qquad

D = \{x \in \mathbb{R} \,;\, g(x) \ne 0\}

la hauteur h en fonction de x

h = \frac{2x^{2}}{x^{2} - 1}

Exemple traité

Dans la figure, avec $h = \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - 1},$ peut-on avoir $h = 2$ ? $h = 3$ ? $h = \dfrac{9}{4}$ ?

1
Premier cas
$\frac{2x^{2}}{x^{2} - 1} = 2 \iff 2x^{2} = 2x^{2} - 2 \iff 0 = -2$
2
Impossible : on ne peut pas avoir $h = 2.$
3
Deuxième cas
$2x^{2} = 3x^{2} - 3 \iff x^{2} = 3 \iff x = \sqrt{3}$
4
Troisième cas
$8x^{2} = 9x^{2} - 9 \iff x^{2} = 9 \iff x = 3$

h = 2

impossible

; \ h = 3

pour

x = \sqrt{3} ; \ h = \tfrac{9}{4}

pour

x = 3

L’erreur à ne pas faire

$h(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 3},$ donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ $D = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 2\}$
L'ensemble de définition se lit sur le dénominateur avant simplification : $g(2) = 0.$
$\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x$ $\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ pour $x \ne 1$
On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes : on factorise d'abord.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« F w g zouz polynômes : x yemchi l f de x sur g de x, hedhi fonction rationnelle. Mo3arrfa ki le dénominateur mouch zéro : D houwa les réels elli g de x différent de zéro fihom. Ba3d nfactoriser el fou9 w el louta, w nsimplifier. Rodd belek : D nal9awh 9bal la simplification, mouch ba3dha. W nsimplifier ken des facteurs, 3omrek ma tsimplifier des termes. »

Activité

Décomposer pour calculer une somme

Une fonction rationnelle se décompose parfois en somme de fractions plus simples, ce qui permet de calculer des sommes « en cascade ».

1) Pour tout réel $x$ différent de $0$ et de $-1$ :

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}.$

(On cherche $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 1} = \dfrac{(a + b)x + a}{x(x + 1)}$ : par identification $a + b = 0$ et $a = 1.$ )

Alors, en écrivant chaque terme ainsi, tout se simplifie sauf le premier et le dernier :

$S_{1} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}.$

2) De même $\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{2(x + 2)},$ ce qui conduit à $S_{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2(n + 1)(n + 2)}.$

3) Enfin $\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)} - \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}\right)$ : la somme se simplifie encore en cascade, et $S_{3} = \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \dots + \dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} = \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{3(n + 1)(n + 2)(n + 3)}.$

la décomposition

\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

la somme S₁

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Ce qu’on observe

Calculer $\dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5}$ avec la décomposition vue ci-dessus.

1
Décomposer
$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)$
2
Simplifier
Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux.
$1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

\frac{4}{5}

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1}$ $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$
Avec le $+,$ on obtiendrait $\dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$ : on vérifie en réduisant au même dénominateur.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Un sur, x fois, x plus un, nektbouha un sur x moins un sur, x plus un : réduis au même dénominateur w tal9aha. W biha na7sbou la somme un sur un fois deux, plus un sur deux fois trois, 7atta un sur n fois, n plus un : koll terme yetna77a m3a elli ba3dou, w ma yo93ed ken un moins un sur, n plus un, ya3ni n sur, n plus un. »

À retenir

1.
Un polynôme : $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ ; avec $a_{n} \ne 0,$ son degré est $n.$ Le polynôme nul n'a pas de degré.
2.
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ; deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients.
3.
$d°(fg) = d°(f) + d°(g)$ ; le degré d'une somme peut baisser.
4.
$\alpha$ est racine de $f$ si $f(\alpha) = 0.$
5.
$f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x),$ avec $d°(g) = n - 1$ ; $g$ s'obtient par identification ou par division.
6.
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
7.
Équation ou inéquation de degré $3$ : racine apparente, factorisation, puis discriminant et tableau de signes.
8.
Fonction rationnelle $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ : définie si $g(x) \ne 0$ ; on factorise, puis on simplifie des facteurs.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/27

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/14

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/22
Cours lu: 0/104
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître un polynôme, lire ses coefficients et son degré
Additionner, multiplier des polynômes et prévoir le degré d'un produit
Utiliser l'égalité de deux polynômes pour identifier des coefficients
Factoriser un polynôme par $(x - \alpha)$ quand $\alpha$ est une racine
Résoudre des équations et inéquations de degré $3$ ou $4$ , et étudier une fonction rationnelle

Notion de fonction

Définition. Soit $E$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ . Lorsqu'à tout réel $x$ de $E$ on associe au plus un réel $y$ , on dit qu'on a défini une fonction de $E$ vers $\mathbb{R}$ . Si on la note $f$ , on écrit $y = f(x)$ et $f : E \to \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x)$ .

L'ensemble $D$ des réels $x$ de $E$ tels que $f(x)$ existe est l'ensemble de définition de $f$ : on dit que $f$ est définie sur $D$ .

Vocabulaire. Pour $x \in D$ et $y = f(x)$ : le réel $y$ est l'image de $x$ par $f$ ; $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Exemple : le rectangle $AMNP$ est inscrit dans le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $3$ , $AM = x$ avec $x \in \,]0 ; 3[$ , et Pythagore dans le triangle $AMN$ donne $MN = \sqrt{9 - x^{2}}$ . L'aire du rectangle est donc $S(x) = x\sqrt{9 - x^{2}}$ : $S\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{35}{4}} = \dfrac{\sqrt{35}}{4}$ , $S(1) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ et $S(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{7} = \sqrt{14}$ .

AMNP est un rectangle inscrit dans le quart de cercle de centre A et de rayon 3, et AM = x.

f : E \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)

D = \{x \in E \,;\, f(x) \text{ existe}\}

Le piège

$z \mapsto \sqrt{z - 2}$ est définie sur $\mathbb{R}$

Elle est définie sur $[2 ; +\infty[$

$\sqrt{z - 2}$ n'existe que si $z - 2 \ge 0$ .

Le piège

$-2$ a pour antécédent $f(-2)$

$f(-2)$ est l'image de $-2$ ; $-2$ est un antécédent de $f(-2)$

L'image se calcule à partir du réel de départ ; l'antécédent est le réel de départ.

Fonction polynôme

Définition. Soient $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}$ et $a_{n}$ des réels. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

est appelée fonction polynôme. Les réels $a_{n}, a_{n-1}, \dots, a_{1}$ et $a_{0}$ sont ses coefficients.

Remarque. Au lieu de dire « la fonction polynôme $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par… », on dit souvent « le polynôme $f$ défini par… ». Si $a_{0} = a_{1} = \dots = a_{n} = 0$ , le polynôme $f$ est appelé polynôme nul.

Exemple : dans une plaque carrée de $60$ cm de côté, on découpe à chaque coin un carré de côté $x$ , puis on replie les bords. La boîte a pour base un carré de côté $60 - 2x$ et pour hauteur $x$ , avec $x \in \,]0 ; 30[$ : son volume $V(x) = x(60 - 2x)^{2} = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x$ est un polynôme.

On découpe un carré de côté x à chaque coin de la plaque de 60 cm, puis on replie les bords.

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Le piège

$V(x) = x(60 - x)^{2}$

$V(x) = x(60 - 2x)^{2}$

On découpe un carré de côté $x$ à chaque coin : le côté de la base perd $2x$ .

Le piège

$f(x) = 0$ pour $x = 2$ et $x = 3$ , donc $f$ est le polynôme nul

Le polynôme nul s'annule pour tout réel $x$

$x^{2} - 5x + 6$ s'annule en $2$ et en $3$ , mais vaut $6$ en $0$ .

Reconnaître un polynôme

Une fonction est un polynôme si, pour tout réel $x$ , elle s'écrit $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ : une somme de termes $a_{k}x^{k}$ , avec des exposants entiers naturels et des coefficients réels — $\sqrt{2}$ ou $\dfrac{2}{3}$ sont des coefficients permis.

$F(x) = -2x^{3} - 5x^{2} - 1$ et $G(t) = 1 + 3t + \dfrac{2}{3}t^{2} - 6t^{3}$ sont des polynômes ; le nom de la variable ne compte pas.
$x \mapsto -2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x$ en est un : en développant, on trouve $-2x^{3} - x^{2} - 10x - 2$ .
$x \mapsto 3\sqrt{2}$ est un polynôme constant : $a_{0} = 3\sqrt{2}$ .
$x \mapsto |x|$ , $x \mapsto x^{2} + 5|x|$ ou $x \mapsto 3x^{5} - 2\sqrt{3}\,x + \dfrac{1}{x^{2} + 1}$ ne s'écrivent pas sous cette forme : ce ne sont pas des polynômes.

-2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x = -2x^{3} - x^{2} - 10x - 2

Le piège

$x \mapsto 3\sqrt{2}$ n'est pas un polynôme, il n'y a pas de $x$

C'est un polynôme constant, avec $a_{0} = 3\sqrt{2}$

Tous les coefficients autres que $a_{0}$ sont nuls : c'est permis.

Le piège

$x^{2} - \sqrt{2}\,x$ n'est pas un polynôme à cause de $\sqrt{2}$

C'est un polynôme : $\sqrt{2}$ est un coefficient réel

La racine porte sur un nombre, pas sur $x$ ; avec $\sqrt{x}$ , ce ne serait plus un polynôme.

Égalité de deux polynômes

Un polynôme est nul (pour tout réel $x$ ) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Deux polynômes sont égaux (pour tout réel $x$ ) si et seulement s'ils ont même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Attention : deux polynômes peuvent prendre la même valeur en quelques points sans être égaux. Par exemple, $f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ vérifient $f(1) = g(1) = 5$ et $f(4) = g(4) = 47$ , mais $f(0) = 3$ et $g(0) = -1$ : la phrase « $f(x) = g(x)$ pour tout réel $x$ » est fausse.

C'est ce résultat qui fonde la méthode d'identification : si, pour tout réel $x$ , $a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 2x^{2} - 10x + 11$ , alors $a_{2} = 2$ , $a_{1} = -10$ et $a_{0} = 11$ .

a_{n}x^{n} + \dots + a_{0} = 0 \ \text{pour tout } x \iff a_{n} = \dots = a_{0} = 0

\sum a_{k}x^{k} = \sum b_{k}x^{k} \ \text{pour tout } x \iff a_{k} = b_{k} \ \text{pour tout } k

Le piège

$f(1) = g(1)$ et $f(4) = g(4)$ , donc $f = g$

Il faut l'égalité pour tout réel $x$ , c'est-à-dire des coefficients égaux

Avec $f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ : $f(0) = 3$ mais $g(0) = -1$ .

Le piège

$ax^{2} + bx + 4 = 0$ pour tout $x$ avec $a = b = 0$

Impossible : le terme constant $4$ n'est pas nul

Un polynôme nul a tous ses coefficients nuls, y compris $a_{0}$ .

Degré d'un polynôme

Définition. On admet que tout polynôme non nul $P$ a une écriture unique de la forme

P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}, \quad \text{avec } a_{n} \ne 0.

L'entier $n$ est appelé le degré du polynôme $P$ ; on écrit $d°(P) = n$ . On convient que le polynôme nul n'a pas de degré. Le degré d'un polynôme constant (non nul) est égal à zéro.

Exemples : $P(x) = 3x^{4} - 7x^{2} + x$ est de degré $4$ ; $Q(x) = 2 - x + x^{3} + x^{5} + x^{7}$ de degré $7$ ; $R(x) = (x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$ de degré $2$ ; $V(x) = (2x + 1)(2x^{3} + 8x - 1)$ de degré $4$ . Mais $K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3} = -3x^{2} + 3x - 1$ est de degré $2$ : les termes en $x^{3}$ se sont annulés.

P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}, \ a_{n} \ne 0 \Rightarrow d°(P) = n

Le piège

$K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3}$ est de degré $3$

$K(x) = -3x^{2} + 3x - 1$ est de degré $2$

On réduit avant de lire le degré : les termes de plus haut degré peuvent s'annuler.

Le piège

Le polynôme nul est de degré $0$

Le polynôme nul n'a pas de degré ; un polynôme constant non nul est de degré $0$

C'est la convention : le degré exige $a_{n} \ne 0$ .

Terme constant, monôme, binôme, trinôme

Vocabulaire. Pour $P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ avec $a_{n} \ne 0$ :

$a_{0}$ s'appelle le terme constant ;
$a_{1}x$ s'appelle le terme du premier degré, ou le terme en $x$ ;
$a_{n}x^{n}$ s'appelle le terme de degré $n$ , ou le terme en $x^{n}$ : c'est aussi le terme du plus haut degré ;
chacun des termes $a_{0}, a_{1}x, \dots, a_{n-1}x^{n-1}$ et $a_{n}x^{n}$ est appelé monôme ;
tout polynôme du premier degré est appelé binôme (du premier degré) ;
tout polynôme du second degré est appelé trinôme (du second degré).

Exemple : dans $T(x) = \dfrac{3}{4}x^{2} - x + x^{6} + 1$ , le terme du plus haut degré est $x^{6}$ — il n'est pas écrit en premier —, le terme en $x$ est $-x$ et le terme constant est $1$ .

\underbrace{a_{n}x^{n}}_{\text{plus haut degré}} + \dots + \underbrace{a_{1}x}_{\text{terme en } x} + \underbrace{a_{0}}_{\text{terme constant}}

Le piège

Le terme du plus haut degré de $2 - x + x^{3}$ est $2$

C'est $x^{3}$

On cherche le plus grand exposant, pas le premier terme écrit : on ordonne d'abord.

Opérations sur les polynômes

Définition. Soient $f$ et $g$ deux polynômes et $\alpha$ un réel.

La somme de $f$ et $g$ est le polynôme $f + g$ défini pour tout réel $x$ par $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ .
Le produit du polynôme $f$ par le réel $\alpha$ est le polynôme $\alpha f$ défini par $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$ .
Le produit des polynômes $f$ et $g$ est le polynôme $fg$ défini par $(fg)(x) = f(x) \times g(x)$ .

« Réduire et ordonner », c'est regrouper les termes de même degré, puis les écrire par degrés décroissants. Par exemple, avec $f(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + x - 1$ et $q(x) = x - 2$ :

f(x)\,q(x) = 2x^{4} - 4x^{3} - 5x^{3} + 10x^{2} + x^{2} - 2x - x + 2 = 2x^{4} - 9x^{3} + 11x^{2} - 3x + 2.

(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad (\alpha f)(x) = \alpha f(x), \quad (fg)(x) = f(x) \times g(x)

Le piège

$g(x) - p(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5} - 3x^{2} - x - 1$

$g(x) - p(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5} - 3x^{2} + x + 1$

Le signe moins devant $p(x)$ change le signe de tous ses termes : on met des parenthèses.

Le piège

$(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 1$

$(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$

Le double produit $2 \times 2x \times 1$ ne disparaît pas.

Degré d'une somme, d'un produit

Remarque. Si $f$ et $g$ sont deux polynômes non nuls et $\alpha$ un réel non nul :

$f + g$ est un polynôme ;
$fg$ est un polynôme, et le degré de $fg$ est égal à la somme des degrés de $f$ et de $g$ ;
$\alpha f$ est un polynôme, de même degré que $f$ .

Le degré d'une somme, lui, peut baisser : par exemple, $g(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5}$ et $p(x) = 3x^{2} - x - 1$ sont de degré $2$ , mais $g(x) + p(x) = 6x - \sqrt{5} - 1$ est de degré $1$ .

Sans développer : $A(x) = (x^{2} + x - 5)(2x^{5} - 2x^{3} + 1)$ est de degré $2 + 5 = 7$ ; $B(x) = (x^{2} + 3)^{5}$ de degré $5 \times 2 = 10$ .

d°(fg) = d°(f) + d°(g), \qquad d°(\alpha f) = d°(f) \ \ (\alpha \ne 0)

Le piège

$d°(fg) = d°(f) \times d°(g)$

$d°(fg) = d°(f) + d°(g)$

On multiplie les termes de plus haut degré : $x^{n} \times x^{p} = x^{n + p}$ , les exposants s'ajoutent.

Le piège

$d°(f + g)$ est toujours le plus grand des deux degrés

Il peut être plus petit, quand les termes de plus haut degré s'annulent

$(-3x^{2} + 7x - \sqrt{5}) + (3x^{2} - x - 1)$ est de degré $1$ .

Racine d'un polynôme

Définition. On dit qu'un réel $\alpha$ est une racine ou un zéro d'un polynôme $f$ si $f(\alpha) = 0$ .

Pour montrer que $\alpha$ est une racine, on calcule $f(\alpha)$ et on trouve $0$ . Par exemple, pour $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ , $f(-1) = -4$ , $f(1) = 0$ et $f(-3) = 0$ : $1$ et $-3$ sont des racines de $f$ , $-1$ n'en est pas une. Pour $h(x) = 3x^{3} - x^{2} - 6x + 2$ , $h\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9} - 2 + 2 = 0$ .

Autre exemple : $g(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$ et $\alpha = -2$ :

g(-2) = 64 - 40 - 56 + 18 + 14 = 0.

\alpha \text{ racine de } f \iff f(\alpha) = 0

Le piège

$(-2)^{4} = -16$

$(-2)^{4} = 16$

Une puissance paire d'un négatif est positive ; on garde les parenthèses autour de $-2$ .

Le piège

$1$ est racine de $f$ car $f(0) = 1$

$\alpha$ est racine si $f(\alpha) = 0$

La racine est le réel qu'on remplace, pas la valeur obtenue.

Trouver des coefficients à partir de racines

Quand un polynôme dépend de paramètres, chaque racine connue donne une équation sur ces paramètres.

$P(x) = ax^{4} + (a + 1)x^{3} - (b + 9)x^{2} - (2b - 1)x + 14$ , et l'on sait que $1$ et $-2$ sont des racines :

P(1) = 2a - 3b + 7 = 0 \qquad P(-2) = 8a - 32 = 0.

D'où $a = 4$ , puis $b = 5$ : $P(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$ — on retrouve le polynôme $g$ vu plus haut, dont $-2$ est bien une racine.

Ensuite, $P(x) = (x^{2} + x - 2)\,Q(x)$ avec $Q$ de degré $2$ : par identification, $Q(x) = 4x^{2} + x - 7$ .

P(1) = 0 \ \text{et} \ P(-2) = 0 \iff \begin{cases} 2a - 3b + 7 = 0 \\ 8a - 32 = 0 \end{cases}

Le piège

$P(-2)$ : $-(2b - 1) \times (-2) = -4b + 2$

$-(2b - 1) \times (-2) = 4b - 2$

Deux signes moins se multiplient : le produit est positif.

Polynôme factorisable

Définition. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. On dit que $P$ est factorisable par $Q$ s'il existe un polynôme $R$ tel que, pour tout réel $x$ ,

P(x) = Q(x) \times R(x).

Les outils de factorisation déjà connus restent les premiers à essayer — facteur commun, regroupement de termes, identités remarquables.

$A(x) = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} = x^{2}(x^{2} - 3x + 2) = x^{2}(x - 1)(x - 2)$ ;
$C(x) = 2x^{3} + 4x^{2} + 3x + 6 = 2x^{2}(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(2x^{2} + 3)$ ;
$D(x) = x^{4} + 3x^{3} - x - 3 = x^{3}(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(x^{3} - 1) = (x + 3)(x - 1)(x^{2} + x + 1)$ .

P \text{ factorisable par } Q \iff P(x) = Q(x) \times R(x) \ \text{pour tout } x

a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})

Le piège

$x^{2} + 8 = (x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$

$x^{2} + 8$ ne se factorise pas : il est toujours strictement positif

L'identité $a^{2} - b^{2}$ demande une différence ; $x^{2} + 8$ n'a aucune racine.

Le piège

$\left(3(x + 1)\right)^{2} - \left(2(2x - 1)\right)^{2} = (3x + 3 - 4x - 2)(\dots)$

$3x + 3 - (4x - 2) = -x + 5$

Le moins porte sur tout le second facteur : on garde les parenthèses.

Racine α et facteur (x − α)

Soit $f$ un polynôme de degré $n \ge 1$ et $\alpha$ un réel.

Si $f$ est factorisable par $(x - \alpha)$ , alors $\alpha$ est une racine de $f$ : $f(\alpha) = (\alpha - \alpha)\,g(\alpha) = 0$ .
Réciproquement, si $\alpha$ est une racine de $f$ , alors $f$ est factorisable par $(x - \alpha)$ : il existe un polynôme $g$ de degré $n - 1$ tel que, pour tout réel $x$ ,

f(x) = (x - \alpha)\,g(x).

La preuve au degré $3$ (ci-dessous) donne même $g$ : pour $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ , $P(x) - P(\alpha) = (x - \alpha)\left[ax^{2} + (a\alpha + b)x + (a\alpha^{2} + b\alpha + c)\right]$ . Si $P(\alpha) = 0$ , c'est la factorisation cherchée — et ce sont des formules qu'on peut mettre dans un tableur : $b' = a\alpha + b$ et $c' = a\alpha^{2} + b\alpha + c$ .

f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x), \quad d°(g) = n - 1

Le piège

$-2$ est racine, donc $f(x) = (x - 2)\,g(x)$

$-2$ est racine, donc $f(x) = (x + 2)\,g(x)$

Le facteur est $x - \alpha$ : avec $\alpha = -2$ , c'est $x - (-2) = x + 2$ .

Le piège

$f$ de degré $3$ et $f(x) = (x - \alpha)\,g(x)$ avec $g$ de degré $3$

$g$ est de degré $3 - 1 = 2$

Les degrés s'ajoutent dans un produit : le degré de $g$ vaut $3 - 1 = 2$ .

Trouver le quotient par identification

Pour écrire $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ quand $\alpha$ est une racine :

vérifier que $P(\alpha) = 0$ ;
écrire la forme de $Q$ : son degré est $d°(P) - 1$ , et son terme du plus haut degré est connu ;
développer $(x - \alpha)\,Q(x)$ ;
identifier les coefficients des termes de même degré avec ceux de $P$ (égalité de deux polynômes) ;
contrôler avec le coefficient qui reste.

Exemple : $P(x) = 3x^{3} + x^{2} + 2x - 6$ , $P(1) = 3 + 1 + 2 - 6 = 0$ . On cherche $P(x) = (x - 1)(ax^{2} + bx + c)$ : en développant, $ax^{3} + (b - a)x^{2} + (c - b)x - c$ , d'où $a = 3$ , $b - a = 1$ , $c = 6$ : $b = 4$ , et le contrôle $c - b = 2$ concorde.

3x^{3} + x^{2} + 2x - 6 = (x - 1)(3x^{2} + 4x + 6).

(x - \alpha)(ax^{2} + bx + c) = ax^{3} + (b - a\alpha)x^{2} + (c - b\alpha)x - c\alpha

Le piège

$Q(x) = x^{2} + bx + c$ pour $P(x) = 2x^{3} - \dots$

$Q(x) = 2x^{2} + bx + c$

Le terme du plus haut degré de $P$ est $x \times 2x^{2}$ : le coefficient $2$ passe dans $Q$ .

Le piège

S'arrêter sans contrôler le dernier coefficient

Le coefficient restant doit concorder

S'il ne concorde pas, il y a une erreur de calcul — ou $\alpha$ n'est pas racine.

La division suivant les puissances décroissantes

Une deuxième méthode pour trouver $Q$ : la division suivant les puissances décroissantes, disposée comme la division des nombres.

Exemple : $P(x) = 6x^{3} + x^{2} + 8x - 5$ , chercher $Q$ tel que $P(x) = (2x - 1)\,Q(x)$ .

On ne s'occupe que des termes de plus haut degré : $6x^{3} \div 2x = 3x^{2}$ . On retranche $(2x - 1) \times 3x^{2} = 6x^{3} - 3x^{2}$ : il reste $4x^{2} + 8x - 5$ .
$4x^{2} \div 2x = 2x$ . On retranche $(2x - 1) \times 2x = 4x^{2} - 2x$ : il reste $10x - 5$ .
$10x \div 2x = 5$ . On retranche $(2x - 1) \times 5 = 10x - 5$ : il reste $0$ .

6x^{3} + x^{2} + 8x - 5 = (2x - 1)(3x^{2} + 2x + 5).

La méthode vue plus haut s'appelle, elle, la méthode d'identification : les deux donnent le même $Q$ .

6x^{3} + x^{2} + 8x - 5 = (2x - 1)(3x^{2} + 2x + 5)

Le piège

$4x^{2} + 8x - 5 - (4x^{2} - 2x) = 6x - 5$

$4x^{2} + 8x - 5 - (4x^{2} - 2x) = 10x - 5$

On retranche chaque produit : tous ses signes changent.

Deux racines, puis k racines

Soit $f$ un polynôme de degré $n$ .

Pour $n \ge 2$ , si $\alpha$ et $\beta$ sont deux racines (distinctes) de $f$ , alors $f$ est factorisable par $(x - \alpha)(x - \beta)$ : il existe un polynôme $g$ de degré $n - 2$ tel que $f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\,g(x)$ .
Plus généralement, pour $n \ge 3$ , on admet que si $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{k}$ (avec $k \le n$ ) sont des racines (distinctes) de $f$ , alors il existe un polynôme $g$ de degré $n - k$ tel que

f(x) = (x - \alpha_{1})(x - \alpha_{2}) \cdots (x - \alpha_{k})\,g(x).

Exemple : $P(x) = 3x^{3} - 13x^{2} - 11x + 5$ , avec $P(-1) = -3 - 13 + 11 + 5 = 0$ et $P(5) = 375 - 325 - 55 + 5 = 0$ . Comme $(x + 1)(x - 5) = x^{2} - 4x - 5$ , on cherche $P(x) = (x^{2} - 4x - 5)(3x + c)$ : le terme constant donne $-5c = 5$ , donc $c = -1$ , et $P(x) = (x + 1)(x - 5)(3x - 1)$ .

f(\alpha) = f(\beta) = 0 \Rightarrow f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\,g(x), \quad d°(g) = n - 2

Le piège

$Q$ est de degré $3$ dans $x^{4} + \dots = (x - 2)(x + 3)\,Q(x)$

$Q$ est de degré $4 - 2 = 2$

Chaque racine connue fait baisser le degré de $1$ .

Au plus n racines

Un polynôme de degré $3$ admet au plus trois racines ; un polynôme de degré $4$ , au plus quatre.
On admet qu'un polynôme de degré $n$ ( $n \ge 2$ ) admet au plus $n$ racines.

Conséquence : si $P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}$ admet $n + 1$ racines distinctes, alors $P$ est le polynôme nul.

Cela permet de prouver une égalité sans développer : soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels distincts et

f(x) = \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)}.

On a $f(a) = 1 + 0 + 0 = 1$ , et de même $f(b) = f(c) = 1$ . Le polynôme $f - 1$ , de degré au plus $2$ , a trois racines distinctes $a$ , $b$ , $c$ : il est nul, et $f(x) = 1$ pour tout réel $x$ .

d°(P) = n \Rightarrow P \text{ a au plus } n \text{ racines}

Le piège

Un polynôme de degré $4$ a toujours quatre racines

Il en a au plus quatre ; il peut en avoir moins, ou aucune

$x^{4} + 2x^{3} - x - 2$ n'en a que deux, et $x^{4} + 1$ aucune.

Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

Pour résoudre $P(x) = 0$ quand $P$ est de degré $3$ (ou plus) :

chercher une racine apparente : on essaie les petites valeurs simples, $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ , $-2$ … ;
factoriser $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ par identification ;
résoudre $Q(x) = 0$ — au degré $2$ , avec le discriminant ;
réunir les solutions.

Exemple : $x^{3} + x^{2} - 2 = 0$ . On voit que $1 + 1 - 2 = 0$ : $1$ est racine, et $x^{3} + x^{2} - 2 = (x - 1)(x^{2} + 2x + 2)$ . Le discriminant de $x^{2} + 2x + 2$ est $4 - 8 = -4 < 0$ : $S = \{1\}$ .

Pour résoudre $f(x) = g(x)$ , on étudie $h = f - g$ . Avec $f(x) = x^{3} - 5x^{2} + x + 6$ et $g(x) = x^{2} - 2x - 4$ , $f(2) = g(2) = -4$ , donc $2$ est racine de $h(x) = x^{3} - 6x^{2} + 3x + 10 = (x - 2)(x + 1)(x - 5)$ , et $f(x) = g(x) \iff x \in \{-1 ; 2 ; 5\}$ .

P(x) = 0 \iff (x - \alpha)\,Q(x) = 0 \iff x = \alpha \ \text{ou} \ Q(x) = 0

Le piège

$x^{3} + x^{2} - 2 = 0$ : $S = \{1 ; -1 \pm i\}$

$S = \{1\}$ dans $\mathbb{R}$

Quand son discriminant est négatif, le facteur du second degré n'a aucune racine réelle.

Le piège

Résoudre $f(x) = g(x)$ en cherchant les racines de $f$ , puis celles de $g$

On cherche les racines de $h = f - g$

Une solution de $f(x) = g(x)$ n'annule ni $f$ ni $g$ en général : $f(2) = g(2) = -4$ .

Signe d'un polynôme et inéquations

Pour étudier le signe de $P(x)$ , ou résoudre $P(x) > 0$ :

tout ramener dans un membre : $f(x) > g(x) \iff f(x) - g(x) > 0$ ;
factoriser complètement, à l'aide des racines ;
dresser le tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes ;
lire l'ensemble des solutions, avec les bons crochets.

Exemple : $P(x) = x^{3} - 4x^{2} - 2x + 8$ , $P(4) = 0$ , et $P(x) = (x - 4)(x^{2} - 2) = (x - 4)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ . Avec les racines rangées, $-\sqrt{2} < \sqrt{2} < 4$ :

$x$	$]-\infty ; -\sqrt{2}[$	$]-\sqrt{2} ; \sqrt{2}[$	$]\sqrt{2} ; 4[$	$]4 ; +\infty[$
$P(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

Un facteur du second degré sans racine garde le signe de son coefficient de $x^{2}$ : il ne change pas le signe, il se « traverse ».

x^{3} - 4x^{2} - 2x + 8 = (x - 4)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})

Le piège

$x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 > 0 \iff x + 1 > 0$ , sans justifier

$x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 = (x + 1)(x^{2} + x + 3)$ et $x^{2} + x + 3 > 0$ car $\Delta = -11 < 0$

On n'efface un facteur que si l'on sait qu'il est strictement positif.

Le piège

$P(x) > 0$ sur $[4 ; +\infty[$

$P(x) > 0$ sur $]4 ; +\infty[$

En $4$ , $P(4) = 0$ : pour une inégalité stricte, le crochet est ouvert.

Somme et produit de trois racines

Supposons que $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) admette trois racines distinctes $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ . Alors $P(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ , et en développant puis en identifiant :

\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.

Application : trois réels de somme $5$ , de produit $-1$ et tels que $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ seraient les racines de $x^{3} - 5x^{2} + 3x + 1$ . Or $1$ en est une racine apparente, et $x^{3} - 5x^{2} + 3x + 1 = (x - 1)(x^{2} - 4x - 1)$ : ils existent, ce sont $1$ , $2 - \sqrt{5}$ et $2 + \sqrt{5}$ .

a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = a\left[x^{3} - (\alpha + \beta + \gamma)x^{2} + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\right]

Le piège

$\alpha\beta\gamma = \dfrac{d}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$

Au degré $3$ , en développant, le terme constant vaut $-a$ fois le produit des trois racines : ce produit vaut donc $-\dfrac{d}{a}$ .

Polynômes symétriques

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients — $a, b, b, a$ au degré $3$ , $2, -9, 14, -9, 2$ au degré $4$ — se lisent de la même façon dans les deux sens.

Degré 3. $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + bx + a$ ( $a \ne 0$ ) : $f(-1) = -a + b - b + a = 0$ , donc $-1$ est une racine apparente, et

ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right).

Le nombre de solutions de $f(x) = 0$ : le trinôme $ax^{2} + (b - a)x + a$ a pour discriminant $(b - a)^{2} - 4a^{2} = (b - 3a)(b + a)$ , et il n'admet $-1$ pour racine que si $b = 3a$ .

si $(b - 3a)(b + a) < 0$ : une seule solution, $-1$ ;
si $b = 3a$ : $f(x) = a(x + 1)^{3}$ , une seule solution, $-1$ ;
si $b = -a$ : le trinôme vaut $a(x - 1)^{2}$ , deux solutions, $-1$ et $1$ ;
si $(b - 3a)(b + a) > 0$ : trois solutions distinctes.

Degré 4. Pour $2x^{4} - 9x^{3} + 14x^{2} - 9x + 2 = 0$ : $0$ n'est pas solution, on divise par $x^{2}$ et l'on regroupe :

2\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 9\left(x + \frac{1}{x}\right) + 14 = 0.

On pose $X = x + \dfrac{1}{x}$ ; comme $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2$ , l'équation devient $2X^{2} - 9X + 10 = 0$ , de solutions $X = 2$ et $X = \dfrac{5}{2}$ . Puis $x + \dfrac{1}{x} = 2$ donne $x = 1$ , et $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$ donne $x = 2$ ou $x = \dfrac{1}{2}$ : $S = \left\{\dfrac{1}{2} ; 1 ; 2\right\}$ .

ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right)

X = x + \frac{1}{x} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2

Le piège

$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2}$

$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2$

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$ : le double produit vaut $2$ .

Fonctions rationnelles

Définition. Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes. La fonction $h : x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ est appelée fonction rationnelle.

Elle est définie là où le dénominateur ne s'annule pas : son ensemble de définition est $D = \{x \in \mathbb{R} \,;\, g(x) \ne 0\}$ . On factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie pour $x \in D$ .

Exemple : $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - x + 2$ et $g(x) = x^{2} + x - 6$ . $f(2) = 0$ et $f(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)$ ; $g(x) = (x - 2)(x + 3)$ . Donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 2\}$ et, pour $x \in D$ ,

h(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 3}.

Autre exemple, sur la figure : $ABC$ est rectangle en $B$ , $AB = h$ , $BC = x$ , et le demi-cercle de centre $O$ , de rayon $1$ , est tangent à $(AC)$ en $H$ . On a $CH = CB = x$ et $\tan\widehat{BAC} = \dfrac{x}{h} = \dfrac{OH}{AH} = \dfrac{1}{AH}$ , d'où $AH = \dfrac{h}{x}$ ; Pythagore dans $ABC$ donne $\left(\dfrac{h}{x} + x\right)^{2} = h^{2} + x^{2}$ , c'est-à-dire $h = \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - 1}$ — une fonction rationnelle de $x$ .

Le demi-cercle de centre O et de rayon 1 est tangent à (AC) en H ; AB = h et BC = x.

h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \qquad D = \{x \in \mathbb{R} \,;\, g(x) \ne 0\}

h = \frac{2x^{2}}{x^{2} - 1}

Le piège

$h(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 3}$ , donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$

$D = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 2\}$

L'ensemble de définition se lit sur le dénominateur avant simplification : $g(2) = 0$ .

Le piège

$\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x$

$\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ pour $x \ne 1$

On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes : on factorise d'abord.

Décomposer pour calculer une somme

Une fonction rationnelle se décompose parfois en somme de fractions plus simples, ce qui permet de calculer des sommes « en cascade ».

1) Pour tout réel $x$ différent de $0$ et de $-1$ :

\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}.

(On cherche $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 1} = \dfrac{(a + b)x + a}{x(x + 1)}$ : par identification $a + b = 0$ et $a = 1$ .)

Alors, en écrivant chaque terme ainsi, tout se simplifie sauf le premier et le dernier :

S_{1} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}.

2) De même $\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{2(x + 2)}$ , ce qui conduit à $S_{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2(n + 1)(n + 2)}$ .

\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Le piège

$\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1}$

$\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$

Avec le $+$ , on obtiendrait $\dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$ : on vérifie en réduisant au même dénominateur.

À retenir

Un polynôme : $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ ; avec $a_{n} \ne 0$ , son degré est $n$ . Le polynôme nul n'a pas de degré.
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ; deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients.
$d°(fg) = d°(f) + d°(g)$ ; le degré d'une somme peut baisser.
$\alpha$ est racine de $f$ si $f(\alpha) = 0$ .
$f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x)$ , avec $d°(g) = n - 1$ ; $g$ s'obtient par identification ou par division.
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
Équation ou inéquation de degré $3$ : racine apparente, factorisation, puis discriminant et tableau de signes.
Fonction rationnelle $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ : définie si $g(x) \ne 0$ ; on factorise, puis on simplifie des facteurs.

Ce qu’il t’explique

Notion de fonction

Fonction polynôme

Reconnaître un polynôme

Égalité de deux polynômes

Degré d'un polynôme

Terme constant, monôme, binôme, trinôme

Opérations sur les polynômes

Degré d'une somme, d'un produit

Racine d'un polynôme

Trouver des coefficients à partir de racines

Polynôme factorisable

Racine α et facteur (x − α)

Trouver le quotient par identification

La division suivant les puissances décroissantes

Deux racines, puis k racines

Au plus n racines

Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

Signe d'un polynôme et inéquations

Somme et produit de trois racines

Polynômes symétriques

Fonctions rationnelles

Décomposer pour calculer une somme

À toi, au tableau

Distance de freinage

L'aire du rectangle

Le volume de la boîte

Développer pour reconnaître

Le degré après réduction

Degré sans développer

Identifier un paramètre

Égaux en deux points seulement

Réduire avant de conclure

Une combinaison de polynômes

Un produit de polynômes

Un degré qui baisse

Deux racines, deux paramètres

Le facteur sans racine

Comparer deux polynômes

Une inéquation de degré 3

Sans calculer les racines

Une inéquation rationnelle

Le problème de Bhaskara

Le polynôme des sommes

La somme des carrés

Un carré parfait

Le degré selon un paramètre

Deux racines opposées

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Notion de fonction

Fonction polynôme

Reconnaître un polynôme

Égalité de deux polynômes

Degré d'un polynôme

Terme constant, monôme, binôme, trinôme

Opérations sur les polynômes

Degré d'une somme, d'un produit

Racine d'un polynôme

Trouver des coefficients à partir de racines

Polynôme factorisable

Racine α et facteur (x − α)

Trouver le quotient par identification

La division suivant les puissances décroissantes

Deux racines, puis k racines

Au plus n racines

Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

Signe d'un polynôme et inéquations

Somme et produit de trois racines

Polynômes symétriques

Fonctions rationnelles

Décomposer pour calculer une somme

À retenir