Orthogonalité dans l’espace

Droites orthogonales ; propriétés 13, 14 et 15 ; droite perpendiculaire à un plan et propriété 16 ; propriétés 17, 18 et 19 ; théorème des trois perpendiculaires ; plan médiateur d'un segment ; axe d'un cercle ; sphère circonscrite à un tétraèdre ; plans perpendiculaires et propriétés 20, 21 et 22 ; tétraèdre régulier et tétraèdre trirectangle.

25 sections · 102 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre poursuit la géométrie dans l'espace : après le parallélisme, on étudie l'orthogonalité.

On y définit deux droites orthogonales, une droite perpendiculaire à un plan et deux plans perpendiculaires, avec les propriétés qui permettent de démontrer une orthogonalité, de reconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercle, et de calculer des longueurs dans un cube, un tétraèdre ou une pyramide.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont orthogonales
Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan
Utiliser une droite perpendiculaire à un plan pour démontrer une orthogonalité ou calculer une longueur
Reconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercle
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Activité

Pour comprendre : des droites perpendiculaires dans un cube

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un cube : ses six faces sont des carrés.

Dans une face, on retrouve la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires. Pour passer d'une face à une autre, on utilise les parallèles : par un point, il passe une seule parallèle à une droite donnée.

(AE) et (CG) sont parallèles ; (CG) et (CD) sont perpendiculaires.

Ce qu’on observe

1) Nommer deux droites perpendiculaires du plan $(ABC),$ puis deux droites perpendiculaires du plan $(ADE).$ 2) Quelle est la droite passant par $C$ et parallèle à $(AE)$ ? Celle passant par $C$ et parallèle à $(GH)$ ? Celle passant par $H$ et parallèle à $(AE)$ ? 3) Justifier que les droites $(CG)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

1
Dans une face
$ABCD$ est un carré : $(AB)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires. La face $ADHE$ est un carré du plan $(ADE)$ : $(AD)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires.
1) $(AB)$ et $(AD) \quad ; \quad$ $(AD)$ et $(AE)$
2
Les parallèles
Les arêtes verticales $[AE],$ $[BF],$ $[CG]$ et $[DH]$ sont parallèles ; l'arête $[CD]$ est parallèle à $[GH].$
2) $(CG) \quad ; \quad$ $(CD) \quad ; \quad$ $(HD)$
3
Dans la face CDHG
$CDHG$ est un carré : ses côtés consécutifs $[CG]$ et $[CD]$ sont perpendiculaires.
3) $(CG)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires

(CG)

(CD)

(HD)

L’erreur à ne pas faire

Les droites $(AE)$ et $(CD)$ sont perpendiculairesLes droites $(AE)$ et $(CD)$ n'ont aucun point commun : elles ne sont pas perpendiculaires
Deux droites perpendiculaires se coupent, et elles sont dans un même plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b cube ABCDEFGH. Les faces mte3ou el koll carrés. Fi face wa7da, nraj3ou l la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires. Mathalan fi le carré ABCD, la droite (AB) perpendiculaire à la droite (AD). W bech net3addew men face l face, nesta3mlou les parallèles. La droite qui passe par C et parallèle à la droite (AE), hiya la droite (CG). W la parallèle à la droite (GH) qui passe par C, hiya la droite (CD). W fi le carré CDHG, la droite (CG) perpendiculaire à la droite (CD). »

Définition

Droites orthogonales

Définition. On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires.

Remarque. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Mais deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : elles peuvent ne pas être dans un même plan.

D et T sont orthogonales : leurs parallèles D′ et T′ menées par O sont perpendiculaires.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ montrer que les droites $(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales.

1
Par le point B
La parallèle à $(AE)$ menée par $B$ est $(BF),$ et la parallèle à $(BC)$ menée par $B$ est $(BC)$ elle-même.
$(BF)$ est parallèle à $(AE)$
2
Dans la face BCGF
$BCGF$ est un carré : $(BF)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
$(BF)$ est perpendiculaire à $(BC)$
3
Conclusion
Les parallèles à $(AE)$ et à $(BC)$ menées par $B$ sont perpendiculaires : $(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales, alors qu'elles n'ont aucun point commun.
$(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales

(AE)

(BC)

sont orthogonales

L’erreur à ne pas faire

$(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales, donc elles se coupent $(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales et n'ont aucun point commun
Ce sont leurs parallèles menées par un même point qui sont perpendiculaires : les droites elles-mêmes peuvent être non coplanaires.
$(AE)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires $(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales
On réserve le mot « perpendiculaires » à deux droites orthogonales qui se coupent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa la définition. On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires. Ya3ni ne5dhou point O, nrasmou mennou la parallèle à la première droite w la parallèle à la deuxième. Ken ez-zouz parallèles hedhom perpendiculaires, n9oulou les deux droites sont orthogonales. Thabbet mli7 : deux droites orthogonales mouch lezem yetle9aw. Mithel fi le cube : la droite (AE) w la droite (BC) ma yetle9awch. Ama la parallèle à la droite (AE) qui passe par B hiya la droite (BF), w la droite (BF) perpendiculaire à la droite (BC). Donc la droite (AE) w la droite (BC) sont orthogonales. W kelmet perpendiculaires n5alliwha l deux droites orthogonales elli yetle9aw. »

Propriété

Propriétés 13, 14 et 15

On déduit de la définition les propriétés suivantes.

Propriété 13. Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.

Propriété 14. Si deux droites de l'espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.

Propriété 15. Si $D$ et $T$ sont deux droites orthogonales et si $D'$ et $T'$ sont deux droites parallèles respectivement à $D$ et à $T,$ alors $D'$ et $T'$ sont orthogonales.

(EA) est parallèle à (FB), et (FB) est perpendiculaire à (BC).

Exemple traité

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle : ses faces sont des rectangles. 1) Montrer que les droites $(EA)$ et $(BC)$ sont orthogonales. 2) Montrer que les droites $(DH)$ et $(EF)$ sont orthogonales. 3) Nommer deux droites sécantes orthogonales à la droite $(EF).$

1
(EA) et (BC)
$(FB)$ est perpendiculaire à $(BC)$ dans le rectangle $BCGF,$ donc orthogonale. $(EA)$ est parallèle à $(FB)$ : par la propriété 13, elle est orthogonale à $(BC).$
1) $(EA)$ est orthogonale à $(BC)$
2
(DH) et (EF)
Dans le rectangle $ABFE,$ $(AE)$ est perpendiculaire à $(EF).$ $(DH)$ est parallèle à $(AE)$ : par la propriété 13, $(DH)$ est orthogonale à $(EF).$
2) $(DH)$ est orthogonale à $(EF)$
3
Deux sécantes
$(AE)$ est perpendiculaire à $(EF)$ dans le rectangle $ABFE,$ et $(EH)$ est perpendiculaire à $(EF)$ dans le rectangle $EFGH.$ Les droites $(AE)$ et $(EH)$ se coupent en $E.$
3) $(AE)$ et $(EH)$

(AE)

(EH)

L’erreur à ne pas faire

Deux droites orthogonales à une même troisième sont parallèlesDeux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas forcément parallèles
$(AE)$ et $(EH)$ sont toutes deux orthogonales à $(EF),$ et elles se coupent en $E.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Men la définition nestantjou trois propriétés. La propriété 13 : si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. La propriété 14 : si deux droites de l'espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. W la propriété 15 tjam3hom : ken D w T orthogonales, w D' parallèle à D, w T' parallèle à T, alors D' et T' sont orthogonales. Ya3ni, bech tbayyen deux droites orthogonales, tnajjem tbaddel koll wa7da b parallèle liha. Mithel fi parallélépipède rectangle : la droite (EA) parallèle à la droite (FB), w la droite (FB) perpendiculaire à la droite (BC). Donc la droite (EA) orthogonale à la droite (BC). Thabbet mli7 : deux droites orthogonales à une même troisième, mouch dima parallèles. »

Application

Exemple : une section rectangle dans un tétraèdre

$ABCD$ est un tétraèdre tel que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient orthogonales, et $M$ est un point de l'arête $[BC].$ Le plan qui passe par $M$ et qui est parallèle aux droites $(AB)$ et $(CD)$ coupe $[BD]$ en $N,$ $[AD]$ en $P$ et $[AC]$ en $Q.$

Le plan (MNPQ) est parallèle à (AB) et à (CD).

Exemple traité

1) Montrer que $(MQ)$ est parallèle à $(AB)$ et que $(MN)$ est parallèle à $(CD).$ 2) Montrer que le triangle $QMN$ est rectangle en $M.$ 3) Quelle est la nature du quadrilatère $MNPQ$ ?

1
Deux parallèles
Le plan $(MNPQ)$ est parallèle à la droite $(AB)$ et coupe le plan $(ABC),$ qui contient $(AB),$ suivant la droite $(MQ)$ : $(MQ)$ est parallèle à $(AB).$ De même, il coupe le plan $(BCD)$ suivant $(MN),$ parallèle à $(CD).$
$(MQ)$ est parallèle à $(AB) \quad ; \quad$ $(MN)$ est parallèle à $(CD)$
2
L'angle en M
$(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales, et $(MQ),$ $(MN)$ leur sont parallèles : par la propriété 15, $(MQ)$ et $(MN)$ sont orthogonales. Elles se coupent en $M$ : elles sont perpendiculaires.
$\widehat{QMN} = 90^\circ$
3
La nature
De même, $(PQ)$ est parallèle à $(CD)$ dans le plan $(ACD),$ et $(NP)$ est parallèle à $(AB)$ dans le plan $(ABD)$ : $MNPQ$ a ses côtés opposés parallèles, c'est un parallélogramme. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
$MNPQ$ est un rectangle

MNPQ

est un rectangle

L’erreur à ne pas faire

$(MQ)$ et $(MN)$ sont orthogonales, donc $MNPQ$ est un carré $MNPQ$ est un rectangle ; c'est un carré seulement si $MQ = MN$
L'orthogonalité donne l'angle droit, pas l'égalité des côtés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou tétraèdre ABCD, w la droite (AB) orthogonale à la droite (CD). M point de l'arête [BC]. El plan elli yet3adda men M w parallèle à la droite (AB) w à la droite (CD), y9oss les arêtes fi N, P w Q. El plan hedha parallèle à la droite (AB), w y9oss le plan (ABC) fi la droite (MQ). Donc la droite (MQ) parallèle à la droite (AB). Kif kif, la droite (MN) parallèle à la droite (CD). W 5ater la droite (AB) w la droite (CD) orthogonales, les parallèles mte3hom zeda orthogonales : la droite (MQ) orthogonale à la droite (MN). W houma yetle9aw fi M, donc le triangle QMN rectangle en M. W MNPQ parallélogramme 3andou angle droit, donc houwa rectangle. »

Exemple

Exemple : deux droites orthogonales qui ne se coupent pas

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a.$ $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[FB]$ et $[CD],$ et $K$ est le milieu de $[BE].$ On veut démontrer que les droites $(BE)$ et $(IJ)$ sont orthogonales, alors qu'elles n'ont aucun point commun.

KIJD est un parallélogramme : (IJ) est parallèle à (DK).

Exemple traité

Démontrer que $(KD)$ est parallèle à $(IJ),$ puis que $(IJ)$ et $(BE)$ sont orthogonales.

1
Deux vecteurs égaux
Dans le triangle $BEF,$ $K$ et $I$ sont les milieux de $[BE]$ et $[BF]$ : le vecteur $\overrightarrow{KI}$ est la moitié du vecteur $\overrightarrow{EF}.$ De même, le vecteur $\overrightarrow{DJ}$ est la moitié du vecteur $\overrightarrow{DC},$ et le vecteur $\overrightarrow{DC}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{EF}.$ Donc le vecteur $\overrightarrow{KI}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{DJ}.$
$\overrightarrow{KI} = \overrightarrow{DJ}$
2
Un parallélogramme
$KIJD$ est donc un parallélogramme : ses côtés $[KD]$ et $[IJ]$ sont parallèles.
$(KD)$ est parallèle à $(IJ)$
3
Le triangle EDB
$ED,$ $DB$ et $BE$ sont des diagonales de faces du cube : elles mesurent toutes $a\sqrt{2},$ où $a$ est la longueur de l'arête. Le triangle $EDB$ est équilatéral, et sa médiane $(DK)$ est aussi une hauteur.
$(DK)$ est perpendiculaire à $(EB)$
4
Conclusion
$(IJ)$ est parallèle à $(DK),$ et $(DK)$ est orthogonale à $(BE)$ : par la propriété 13, $(IJ)$ est orthogonale à $(BE).$
$(IJ)$ est orthogonale à $(BE)$

(IJ)

est orthogonale à

(BE)

L’erreur à ne pas faire

$(IJ)$ et $(BE)$ ne se coupent pas, donc on ne peut pas parler d'angle droitOn remplace $(IJ)$ par sa parallèle $(DK),$ qui coupe $(BE)$ en $K$
Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on se ramène à deux droites sécantes grâce aux parallèles.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou cube ABCDEFGH. I milieu de [FB], J milieu de [CD], w K milieu de [BE]. N7ebbou nbayynou elli la droite (BE) w la droite (IJ) orthogonales, w houma ma yetle9awch. El fekra : nbaddlou la droite (IJ) b parallèle liha t9oss la droite (BE). Fi le triangle BEF, le vecteur KI égale un demi du vecteur EF. W le vecteur DJ égale un demi du vecteur DC, w le vecteur DC égale le vecteur EF. Donc KIJD parallélogramme, w la droite (DK) parallèle à la droite (IJ). Tawa le triangle EDB : les côtés mte3ou el koll diagonales de faces, donc houwa équilatéral, w la médiane (DK) hiya zeda hauteur. Donc la droite (DK) perpendiculaire à la droite (EB), w la droite (IJ) orthogonale à la droite (BE). »

Activité

Pour comprendre : une droite orthogonale à tout un plan

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $8,$ et $K$ est le milieu de $[AC].$

La droite $(HD)$ est orthogonale à $(AD)$ et à $(CD),$ puisque les faces $ADHE$ et $DCGH$ sont des carrés. On se demande si elle est aussi orthogonale aux autres droites du plan $(ABC),$ par exemple à la droite $(DK).$

Le triangle HDK est rectangle en D.

Ce qu’on observe

1) Calculer $DK.$ 2) Montrer que le triangle $AHC$ est équilatéral et calculer $HK.$ 3) Montrer que le triangle $HDK$ est rectangle en $D.$ 4) On montre de même que $(CG)$ est orthogonale à $(AC).$ En déduire que $(HD)$ et $(AC)$ sont orthogonales, puis que $(CG)$ et $(DB)$ le sont.

1
DK
$[AC]$ est une diagonale du carré $ABCD$ de côté $8$ : $AC = 8\sqrt{2}.$ Les diagonales du carré ont le même milieu $K$ et la même longueur : $DK = \frac{AC}{2}.$
$DK = 4\sqrt{2}$
2
Le triangle AHC
$[AH],$ $[HC]$ et $[CA]$ sont des diagonales de faces : elles mesurent toutes $8\sqrt{2},$ et le triangle $AHC$ est équilatéral. Sa médiane $(HK)$ est aussi une hauteur.
$HK = 8\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{6}$
3
Pythagore
$HD^2 + DK^2 = HK^2$ : par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $HDK$ est rectangle en $D,$ et $(HD)$ est orthogonale à $(DK).$
$HD^2 + DK^2 = 64 + 32 = 96$
4
Question 4
$(HD)$ est parallèle à $(CG),$ qui est orthogonale à $(AC)$ : par la propriété 14, $(HD)$ est orthogonale à $(AC).$ Et $K$ est sur la diagonale $[BD],$ donc $(DK)$ est la droite $(DB)$ : $(CG),$ parallèle à $(HD),$ est orthogonale à $(DB).$
$(CG)$ est orthogonale à $(DB)$

(HD)

est orthogonale à

(DK)

L’erreur à ne pas faire

$(HD)$ est orthogonale à $(AD),$ donc elle est orthogonale à toutes les droites du plan $(ABC)$ $(HD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(ABC)$ : $(AD)$ et $(CD)$
Une seule droite du plan ne suffit pas : il en faut deux qui se coupent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou cube d'arête 8, w K milieu de [AC]. La droite (HD) orthogonale à la droite (AD) w à la droite (CD), 5ater les faces carrés. Es-so2al : hiya orthogonale zeda l les autres droites du plan (ABC) ? Njarrbou m3a la droite (DK). DK égale la moitié de la diagonale AC, ya3ni DK = 4√2. Le triangle AHC équilatéral, el côtés el koll diagonales de faces, w (HK) hauteur, HK = 4√6. Tawa HD² + DK² = 64 + 32, ya3ni 96, w hedha houwa HK². Donc le triangle HDK rectangle en D. Ya3ni la droite (HD) orthogonale à la droite (DK) zeda. »

Définition

Droite perpendiculaire à un plan

Définition. On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. On dit aussi que la droite est orthogonale au plan.

Propriété 16 (admise). Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

D est orthogonale à D1 et à D2, sécantes en A : elle est orthogonale à toute droite du plan, comme D3.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ montrer que la droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ puis que les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont orthogonales.

1
Deux droites sécantes
Dans le carré $ABFE,$ $(AE)$ est perpendiculaire à $(AB)$ ; dans le carré $ADHE,$ $(AE)$ est perpendiculaire à $(AD).$ Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont sécantes en $A$ et contenues dans le plan $(ABC).$
$(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$
2
Propriété 16
La droite $(BD)$ est contenue dans le plan $(ABC)$ : $(AE)$ lui est orthogonale.
$(AE)$ est orthogonale à $(BD)$

(AE)

est orthogonale à

(BD)

L’erreur à ne pas faire

Une droite orthogonale à deux droites d’un plan est perpendiculaire à ce planUne droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est perpendiculaire à ce plan
Deux droites parallèles ne suffisent pas : $(AB)$ est orthogonale à $(AD)$ et à $(BC),$ et pourtant elle est contenue dans le plan $(ABC).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa la définition. On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. W n9oulou zeda la droite est orthogonale au plan. Thabbet mli7 fi kelmet sécantes : zouz droites parallèles ma yekfiwch. W 3andna la propriété 16, na9blouha : si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Mithel fi le cube : la droite (AE) perpendiculaire à la droite (AB) w à la droite (AD), w hedhom sécantes en A fi le plan (ABC). Donc la droite (AE) perpendiculaire au plan (ABC). W b la propriété 16, hiya orthogonale à la droite (BD). »

Application

Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier

$ABCD$ est un tétraèdre régulier : toutes ses arêtes ont la même longueur. $I$ est le milieu de $[CD].$ On veut montrer que deux arêtes opposées, $[AB]$ et $[CD],$ sont orthogonales.

La méthode. Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on peut montrer que l'une est perpendiculaire à un plan qui contient l'autre.

(CD) est perpendiculaire au plan (ABI).

Exemple traité

1) Montrer que la droite $(CD)$ est perpendiculaire au plan $(ABI).$ 2) En déduire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

1
Dans la face ACD
Le triangle $ACD$ est équilatéral : sa médiane $(AI)$ est aussi une hauteur.
$(CD)$ est perpendiculaire à $(AI)$
2
Dans la face BCD
Le triangle $BCD$ est équilatéral : sa médiane $(BI)$ est aussi une hauteur.
$(CD)$ est perpendiculaire à $(BI)$
3
Le plan (ABI)
$(AI)$ et $(BI)$ sont deux droites du plan $(ABI),$ sécantes en $I.$
$(CD)$ est perpendiculaire au plan $(ABI)$
4
Propriété 16
La droite $(AB)$ est contenue dans le plan $(ABI)$ : $(CD)$ lui est orthogonale. De la même façon, $(AD)$ est orthogonale à $(BC)$ et $(AC)$ est orthogonale à $(BD).$
$(AB)$ est orthogonale à $(CD)$

(AB)

est orthogonale à

(CD)

L’erreur à ne pas faire

On montre que $(CD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ qui contient $(AB)$ On choisit un plan qui contient $(AB)$ et auquel $(CD)$ est vraiment perpendiculaire : le plan $(ABI)$
$(CD)$ coupe le plan $(ABC)$ en $C$ sans lui être perpendiculaire : l'angle $\widehat{ACD}$ mesure $60^\circ.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou tétraèdre régulier ABCD : les arêtes el koll nafs et-toul. I milieu de [CD]. N7ebbou nbayynou elli la droite (AB) orthogonale à la droite (CD). El méthode : bech tbayyen deux droites orthogonales, bayyen elli wa7da menhom perpendiculaire à un plan fih lo5ra. Le triangle ACD équilatéral, donc la médiane (AI) hiya zeda hauteur : la droite (CD) perpendiculaire à la droite (AI). Kif kif fi le triangle BCD : la droite (CD) perpendiculaire à la droite (BI). La droite (AI) w la droite (BI) sécantes en I, donc la droite (CD) perpendiculaire au plan (ABI). W la droite (AB) fel plan hedha, donc la droite (AB) orthogonale à la droite (CD). »

Propriété

Propriété 17

Propriété 17. a) Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

b) Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

D et D′ sont parallèles : le plan P, perpendiculaire à D, est perpendiculaire à D′.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ on sait que $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC).$ Montrer que $(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ puis au plan $(EFG).$

1
Propriété 17 a)
Les droites $(AE)$ et $(CG)$ sont parallèles, et le plan $(ABC)$ est perpendiculaire à $(AE)$ : il est perpendiculaire à $(CG).$
$(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$
2
Propriété 17 b)
Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ des faces opposées sont parallèles : $(CG),$ perpendiculaire à l'un, est perpendiculaire à l'autre.
$(CG)$ est perpendiculaire au plan $(EFG)$

(CG)

est perpendiculaire aux plans

(ABC)

(EFG)

L’erreur à ne pas faire

$(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ parce qu'elle est orthogonale à $(BC)$ $(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ parce qu'elle est orthogonale à $(BC)$ et à $(CD),$ sécantes en $C$
Une droite orthogonale à une seule droite du plan n’est pas forcément perpendiculaire au plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La propriété 17 fiha zouz 7ajet. premièrement : si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. deuxièmement : si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. El démonstration sehla : nraj3ou dima l deux droites sécantes du plan, w nesta3mlou les propriétés 13 w 14. Mithel fi le cube : la droite (AE) perpendiculaire au plan (ABC), w la droite (CG) parallèle à la droite (AE). Donc la droite (CG) perpendiculaire au plan (ABC). W le plan (EFG) parallèle au plan (ABC), donc la droite (CG) perpendiculaire au plan (EFG) zeda. »

Application

Exemple : un tétraèdre trirectangle

$ABCD$ est un tétraèdre dont les trois faces $ABC,$ $ABD$ et $ACD$ sont des triangles rectangles en $A,$ avec $AB = 3,$ $AD = 4$ et $AC = 6.$ On dit que ce tétraèdre est trirectangle en $A.$

$H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC.$

Les trois angles en A sont droits ; H est le pied de la hauteur issue de A dans ABC.

Exemple traité

1) Montrer que $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ et calculer le volume du tétraèdre. 2) Calculer $BC.$ 3) Calculer $AH.$

1
La hauteur
$(AD)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et à $(AC),$ deux droites sécantes du plan $(ABC)$ : elle est perpendiculaire à ce plan, et $AD$ est la hauteur issue de $D.$
$(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$
2
Le volume
Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur. La base $ABC$ est un triangle rectangle en $A.$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{3 \times 6}{2} \times 4 = 12$
3
BC
Le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A.$
$BC = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
4
AH
L'aire du triangle $ABC$ s'écrit de deux façons : $\frac{AB \times AC}{2} = \frac{BC \times AH}{2}.$ On divise donc $3 \times 6 = 18$ par $BC = 3\sqrt{5},$ ce qui donne $\frac{6}{\sqrt{5}}$ :
$AH = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

V = 12 \quad ; \quad

BC = 3\sqrt{5} \quad ; \quad

AH = \frac{6\sqrt{5}}{5}

L’erreur à ne pas faire

Le volume est $3 \times 6 \times 4 = 72$ Le volume est $\frac{1}{3} \times 9 \times 4 = 12$
Un tétraèdre est une pyramide : on multiplie l'aire de la base, ici $9,$ par la hauteur, et on prend le tiers.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa tétraèdre ABCD trirectangle en A : les faces ABC, ABD w ACD rectangles en A. AB = 3, AD = 4, w AC = 6. La droite (AD) perpendiculaire à la droite (AB) w à la droite (AC), w hedhom sécantes, donc la droite (AD) perpendiculaire au plan (ABC), w AD hiya el hauteur. Le volume : un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur. L'aire mta3 ABC égale 3 fois 6 sur 2, ya3ni 9. Donc le volume égale un tiers fois 9 fois 4, ya3ni 12. W BC b Pythagore : √45, ya3ni 3√5. W AH nal9awha b l'aire : AB fois AC égale BC fois AH. »

Propriété

Propriété 18

On admet la propriété suivante.

Propriété 18. a) Par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné.

Projeté orthogonal d'un point sur un plan. La droite passant par un point $A$ et perpendiculaire à un plan $P$ perce ce plan en un point $K$ : le point $K$ est appelé projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $P.$

b) Par un point donné, il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée.

c) Si une droite $D$ est orthogonale à un plan $P,$ alors toute droite orthogonale à la droite $D$ et passant par un point du plan $P$ est contenue dans ce plan.

Toute droite orthogonale à D passant par un point B de P est contenue dans P.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ quel est le plan passant par $A$ et perpendiculaire à la droite $(AE)$ ?

1
Un plan qui convient
$(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ et ce plan passe par $A.$
$A \in (ABC)$
2
Il est unique
Par la propriété 18 b), il n'y a qu'un seul plan passant par $A$ et perpendiculaire à $(AE)$ : c'est donc le plan $(ABC).$
le plan $(ABC)$

le plan

(ABC)

L’erreur à ne pas faire

Par un point, il passe plusieurs droites perpendiculaires à un plan donnéPar un point, il passe une seule droite perpendiculaire à un plan donné
C’est la propriété 18 a). Ce sont les droites orthogonales à une droite donnée qui sont nombreuses : elles remplissent tout un plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa propriété na9blouha, la propriété 18. premièrement : par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné. W ken A point w P plan, la droite qui passe par A w perpendiculaire à P t9oss P fi point K : K nsammiwh le projeté orthogonal de A sur le plan P. deuxièmement : par un point donné, il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée. troisièmement : si une droite D est orthogonale à un plan P, alors toute droite orthogonale à la droite D et passant par un point du plan P est contenue dans ce plan. Mithel : fi le cube, le plan qui passe par A w perpendiculaire à la droite (AE), houwa le plan (ABC), 5ater yet3adda men A, w ma fammech ghirou. »

Application

Exemple : des arêtes opposées deux à deux orthogonales

$ABC$ est un triangle d'orthocentre $H.$ On désigne par $T$ la droite passant par $H$ et perpendiculaire au plan $(ABC),$ et par $M$ un point de $T$ distinct de $H.$

T est perpendiculaire au plan (ABC) en l’orthocentre H.

Exemple traité

1) Montrer que la droite $(AB)$ est perpendiculaire au plan $(MCH).$ 2) En déduire que les droites $(AB)$ et $(MC)$ sont orthogonales.

1
Une hauteur
$H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$ : la droite $(CH)$ est la hauteur issue de $C.$
$(AB)$ est perpendiculaire à $(CH)$
2
Propriété 16
La droite $T = (MH)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ qui contient $(AB).$
$(AB)$ est orthogonale à $(MH)$
3
Le plan (MCH)
$(CH)$ et $(MH)$ sont deux droites du plan $(MCH),$ sécantes en $H.$
$(AB)$ est perpendiculaire au plan $(MCH)$
4
Conclusion
$(MC)$ est contenue dans le plan $(MCH).$ De la même façon, $(CB)$ est orthogonale à $(MA)$ et $(AC)$ à $(MB)$ : les arêtes opposées du tétraèdre $MABC$ sont deux à deux orthogonales.
$(AB)$ est orthogonale à $(MC)$

(AB)

est orthogonale à

(MC)

L’erreur à ne pas faire

$(AB)$ est orthogonale à $(MH),$ donc elle est perpendiculaire au plan $(MCH)$ $(AB)$ est orthogonale à $(MH)$ et à $(CH),$ sécantes en $H$ : elle est perpendiculaire au plan $(MCH)$
Il faut toujours deux droites sécantes du plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou triangle ABC, w H l'orthocentre mte3ou. T la droite qui passe par H w perpendiculaire au plan (ABC), w M point de T. El hauteur mta3 C tet3adda men H, donc la droite (AB) perpendiculaire à la droite (CH). W la droite (MH) perpendiculaire au plan (ABC), donc orthogonale à la droite (AB). La droite (CH) w la droite (MH) sécantes en H, donc la droite (AB) perpendiculaire au plan (MCH), w orthogonale à la droite (MC). W kif kif lel arêtes le5rin : fi le tétraèdre MABC, les arêtes opposées sont deux à deux orthogonales. »

Propriété

Propriété 19

Propriété 19. a) Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

b) Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ les droites $(BF)$ et $(DH)$ sont perpendiculaires au plan $(ABC),$ et les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont perpendiculaires à la droite $(AE).$ Que peut-on en déduire ?

1
Propriété 19 a)
Deux droites perpendiculaires au même plan $(ABC)$ sont parallèles.
$(BF)$ est parallèle à $(DH)$
2
Propriété 19 b)
Deux plans perpendiculaires à la même droite $(AE)$ sont parallèles.
$(ABC)$ est parallèle à $(EFG)$

(BF)

est parallèle à

(DH)

, et

(ABC)

est parallèle à

(EFG)

L’erreur à ne pas faire

Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèlesDeux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles
Dans l'espace, deux droites orthogonales à une même droite peuvent se couper : $(AB)$ et $(AD)$ sont orthogonales à $(AE).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La propriété 19. premièrement : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. deuxièmement : deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles. El démonstration tji men la propriété 18 : mathalan, par un point, ma tet3adda ken droite wa7da perpendiculaire au plan. Mithel fi le cube : la droite (BF) w la droite (DH) perpendiculaires au plan (ABC), donc parallèles. W thabbet mli7 : deux droites orthogonales à une même droite, mouch dima parallèles. La droite (AB) w la droite (AD) ez-zouz orthogonales à la droite (AE), w yetle9aw fi A. »

Théorème

Le théorème des trois perpendiculaires

Soit $T$ une droite perpendiculaire à un plan $P,$ et $A$ le point commun à $T$ et à $P.$ Soit $D$ une droite du plan $P$ ne passant pas par $A,$ et $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $D.$ Soit $M$ un point de $T$ distinct de $A.$

Théorème. La droite $D$ est perpendiculaire au plan $(AHM).$ Par conséquent, les droites $(MH)$ et $D$ sont orthogonales.

(AH) est perpendiculaire à D, et (MH) est orthogonale à D.

Exemple traité

Avec les notations du théorème, on donne $AM = 4$ et $AH = 3.$ Calculer $MH.$

1
Un angle droit en A
$(AM)$ est perpendiculaire au plan $P,$ qui contient $(AH)$ : le triangle $AMH$ est rectangle en $A.$
$\widehat{MAH} = 90^\circ$
2
Pythagore
Le théorème de Pythagore dans le triangle $AMH.$
$MH = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$

MH = 5

L’erreur à ne pas faire

$(MH)$ est orthogonale à $D$ parce que $M$ est au-dessus de $H$ $(MH)$ est orthogonale à $D$ parce que $D$ est perpendiculaire au plan $(AHM)$
Sur la figure, M est au-dessus de A, pas de H : l’orthogonalité se démontre, elle ne se lit pas sur le dessin.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa théorème mach-hour : le théorème des trois perpendiculaires. T droite perpendiculaire à un plan P en A. D droite du plan P ma tet3addech men A, w H le projeté orthogonal de A sur D. W M point de T. El théorème y9oul : la droite D est perpendiculaire au plan (AHM), donc la droite (MH) w la droite D orthogonales. 3lech ? La droite (AH) perpendiculaire à D, 5ater H houwa le projeté orthogonal. W la droite (AM) perpendiculaire au plan P, donc orthogonale à D. Ez-zouz sécantes en A, donc D perpendiculaire au plan (AHM), w orthogonale à la droite (MH). »

Exemple

Exemple : une pyramide dont toutes les arêtes sont égales

$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ et de base un carré $ABCD$ de centre $O.$ Toutes ses arêtes ont pour longueur $6.$

(SO) est perpendiculaire au plan de la base.

Exemple traité

1) Montrer que le triangle $SBD$ est isocèle et rectangle en $S.$ 2) Montrer que $(SO)$ est perpendiculaire au plan $(ABC).$ 3) Calculer $SO,$ puis le volume de la pyramide.

1
Le triangle SBD
$SB = SD = 6,$ et $BD = 6\sqrt{2}$ est la diagonale du carré : par la réciproque du théorème de Pythagore, $SBD$ est isocèle et rectangle en $S.$
$SB^2 + SD^2 = 36 + 36 = 72$
2
Deux médianes
Dans le triangle isocèle $SBD,$ la médiane $(SO)$ est aussi une hauteur : $(SO)$ est perpendiculaire à $(BD).$ De même, dans le triangle isocèle $SAC,$ $(SO)$ est perpendiculaire à $(AC).$ Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O.$
$(SO)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$
3
SO
Dans le triangle $SBD$ rectangle en $S,$ la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
$SO = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
4
Le volume
La base est un carré d'aire $36,$ et $SO$ est la hauteur.
$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$

SO = 3\sqrt{2} \quad ; \quad

V = 36\sqrt{2}

L’erreur à ne pas faire

La hauteur de la pyramide est l'arête $SA = 6$ La hauteur de la pyramide est $SO = 3\sqrt{2}$
La hauteur est la distance du sommet au plan de la base : elle se mesure sur la perpendiculaire à ce plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou pyramide SABCD, la base carré de centre O, w les arêtes el koll ysewiw 6. Le triangle SBD : SB w SD ysewiw 6, w BD = 6√2. 6² + 6² = 72, w hedha houwa BD² : donc SBD rectangle en S. W la médiane (SO) hiya zeda hauteur, donc la droite (SO) perpendiculaire à la droite (BD). Kif kif perpendiculaire à la droite (AC). Donc la droite (SO) perpendiculaire au plan de la base. SO égale la moitié de BD, ya3ni 3√2. W le volume égale un tiers fois 36 fois 3√2, ya3ni 36√2. »

Activité

Pour comprendre : les points équidistants de deux points

$[AB]$ est un segment de milieu $I.$ On cherche l'ensemble $E$ des points $M$ de l'espace tels que $MA = MB.$ On appelle $P$ le plan perpendiculaire à la droite $(AB)$ en $I.$

Un point M du plan P est équidistant de A et de B.

Ce qu’on observe

1) Le point $I$ appartient-il à $E$ ? 2) Soit $M$ un point de $E$ distinct de $I$ : montrer que $M$ appartient au plan $P.$ 3) Soit $N$ un point de $P$ distinct de $I$ : montrer que $N$ appartient à $E.$

1
Le milieu
$IA = IB$ : le point $I$ appartient à $E.$
$I \in E$
2
Un point de E
Dans le plan $(MAB),$ $MA = MB$ : $M$ est sur la médiatrice de $[AB],$ donc $(MI)$ est perpendiculaire à $(AB).$ Or $(AB)$ est orthogonale au plan $P$ : par la propriété 18 c), la droite $(MI),$ orthogonale à $(AB)$ et passant par $I,$ est contenue dans $P.$
$M \in P$
3
Un point de P
$(NI)$ est contenue dans $P,$ donc orthogonale à $(AB)$ (propriété 16). Dans le plan $(NAB),$ la droite $(NI)$ est donc la médiatrice de $[AB]$ : $NA = NB.$
$N \in E$

E = P

L’erreur à ne pas faire

L'ensemble des points de l'espace équidistants de $A$ et de $B$ est la médiatrice de $[AB]$ C'est le plan perpendiculaire à $(AB)$ en $I$
La médiatrice n’est qu’une droite de ce plan : celle qui est dans un plan donné contenant A et B.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou segment [AB], w I le milieu mte3ou. Nlawjou 3la les points M de l'espace elli MA = MB. W ne5dhou P le plan perpendiculaire à la droite (AB) en I. Awwalan, I yesla7 : IA = IB. Tawa ken M yesla7, fi le plan (MAB), M 3la la médiatrice de [AB], donc la droite (MI) perpendiculaire à la droite (AB). W b la propriété 18 c, la droite (MI) fi le plan P. W el 3aks s7i7 : koll point N fi le plan P, la droite (NI) orthogonale à la droite (AB), donc NA = NB. Ya3ni l'ensemble houwa le plan P. »

Théorème

Plan médiateur d’un segment

Définition. On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Théorème. L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment.

A, D et I sont équidistants de B et de C.

Exemple traité

$ABCD$ est un tétraèdre régulier et $I$ est le milieu de $[BC].$ Quel est le plan médiateur de l'arête $[BC]$ ?

1
Trois points équidistants
$AB = AC$ et $DB = DC,$ puisque toutes les arêtes sont égales ; et $IB = IC.$ Les points $A,$ $D$ et $I$ sont équidistants de $B$ et de $C$ : ils sont dans le plan médiateur de $[BC].$
$AB = AC \quad ; \quad$ $DB = DC \quad ; \quad$ $IB = IC$
2
Le plan
Les points $A,$ $D$ et $I$ ne sont pas alignés : ils déterminent ce plan.
le plan $(ADI)$

le plan médiateur de

[BC]

est

(ADI)

L’erreur à ne pas faire

Le plan médiateur de $[BC]$ est le plan $(ABC)$ Le plan médiateur de $[BC]$ est perpendiculaire à $(BC)$ en son milieu : il ne contient ni $B$ ni $C$
Un point du plan médiateur est à égale distance de B et de C : B lui-même ne l’est pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa la définition : on appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu. W el théorème : l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment. Fi l'espace, el médiatrice wallet plan. Mithel fi tétraèdre régulier ABCD, w I milieu de [BC]. AB = AC, w DB = DC, w IB = IC. Donc A, D w I el koll fi le plan médiateur de [BC], w houma mouch alignés. Donc le plan médiateur de [BC] houwa le plan (ADI). »

Application

Un problème pour aller plus loin : la grande diagonale du cube

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a.$ Le triangle $BDG$ a pour côtés trois diagonales de faces : il est équilatéral. On note $I$ son centre de gravité.

E, I et C sont alignés, et (EC) est perpendiculaire au plan (BDG).

Exemple traité

1) Justifier que les points $E,$ $C$ et $I$ appartiennent au plan médiateur de $[BG]$ et au plan médiateur de $[DG].$ 2) En déduire que $E,$ $C$ et $I$ sont alignés et que la droite $(EC)$ est perpendiculaire au plan $(BDG).$

1
Plan médiateur de [BG]
$EB = EG = a\sqrt{2},$ car ce sont des diagonales de faces ; $CB = CG = a,$ la longueur de l'arête ; et $IB = IG,$ car $I$ est le centre du triangle équilatéral $BDG.$
$EB = EG \quad ; \quad$ $CB = CG \quad ; \quad$ $IB = IG$
2
Plan médiateur de [DG]
De même $ED = EG = a\sqrt{2},$ $CD = CG = a,$ la longueur de l'arête, et $ID = IG.$
$ED = EG \quad ; \quad$ $CD = CG \quad ; \quad$ $ID = IG$
3
Alignés
Les deux plans médiateurs sont distincts, puisque $(BG)$ et $(DG)$ ne sont pas parallèles, et ils ont des points communs : leur intersection est une droite, qui contient $E,$ $C$ et $I.$
$E,\$ $C$ et $I$ sont alignés
4
Perpendiculaire
$(EC)$ est contenue dans le plan médiateur de $[BG],$ perpendiculaire à $(BG)$ : par la propriété 16, $(EC)$ est orthogonale à $(BG).$ De même, elle est orthogonale à $(DG).$ Ces deux droites du plan $(BDG)$ sont sécantes en $G.$
$(EC)$ est perpendiculaire au plan $(BDG)$

(EC)

est perpendiculaire au plan

(BDG)

L’erreur à ne pas faire

$C$ est dans le plan médiateur de $[BG]$ car $CB = a$ $C$ est dans le plan médiateur de $[BG]$ car $CB = CG$
Ce qui compte, c’est l’égalité des deux distances aux extrémités du segment.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa problème as3eb chwaya. Cube ABCDEFGH d'arête a. Le triangle BDG, el côtés mte3ou diagonales de faces, donc équilatéral, w I centre de gravité mte3ou. EB = EG, CB = CG, w IB = IG. Donc E, C w I fi le plan médiateur de [BG]. W kif kif fi le plan médiateur de [DG]. Ez-zouz plans hedhom yet9at3ou fi droite, donc E, C w I alignés. W la droite (EC) fi ez-zouz plans médiateurs, donc orthogonale à la droite (BG) w à la droite (DG). Donc la droite (EC) perpendiculaire au plan (BDG). »

Théorème

Axe d’un cercle

Définition. On appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan.

Théorème. L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle.

Tout point N de l’axe est à la même distance de tous les points du cercle.

Exemple traité

Un cercle a pour centre $O$ et pour rayon $3.$ $N$ est un point de son axe tel que $ON = 4.$ Calculer la distance de $N$ à un point $A$ du cercle.

1
Un angle droit
L'axe est perpendiculaire au plan du cercle, qui contient $(OA)$ : le triangle $NOA$ est rectangle en $O.$
$\widehat{NOA} = 90^\circ$
2
Pythagore
Le théorème de Pythagore dans le triangle $NOA.$
$NA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

NA = 5

L’erreur à ne pas faire

L’axe d’un cercle est un de ses diamètresL’axe d’un cercle est la perpendiculaire à son plan, menée par son centre
Un diamètre est dans le plan du cercle ; l’axe n’a qu’un point commun avec ce plan, le centre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa l'axe d'un cercle. La définition : on appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan. W el théorème : l'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle. 3lech ? Ken N 3la l'axe, w A point du cercle, le triangle NOA rectangle en O, donc NA² = r² + ON², nafs el 7aja l koll point du cercle. Mithel : rayon 3, w ON = 4, donc NA = 5. »

Application

Un problème pour aller plus loin : la sphère circonscrite à un tétraèdre

$ABCD$ est un tétraèdre. On cherche un point $O$ équidistant de ses quatre sommets. La sphère de centre $O$ qui passe par $A,$ $B,$ $C$ et $D$ est appelée sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD.$

O est sur l’axe T du cercle circonscrit à BCD et dans le plan médiateur de [AB] : OA = OB = OC = OD.

Exemple traité

Démontrer qu'il existe un point $O$ équidistant de $A,$ $B,$ $C$ et $D.$

1
Équidistant de B, C et D
Les plans médiateurs de $[BC]$ et de $[CD]$ se coupent suivant une droite $T$ orthogonale au plan $(BCD),$ qui perce ce plan en $I,$ centre du cercle circonscrit au triangle $BCD$ : $T$ est l'axe de ce cercle. Les points de $T$ sont exactement les points équidistants de $B,$ $C$ et $D.$
$M \in T \iff MB = MC = MD$
2
Équidistant aussi de A
Soit $J$ le milieu de $[AB].$ La droite $T$ coupe le plan médiateur de $[AB]$ en un point $O$ : sinon, $T$ serait parallèle à ce plan, donc orthogonale à $(AB),$ et $A$ serait dans le plan $(BCD).$
$OA = OB$
3
Conclusion
$O$ est sur $T$ et dans le plan médiateur de $[AB]$ : il est équidistant des quatre sommets. Il appartient donc au plan médiateur de chaque arête du tétraèdre.
$OA = OB = OC = OD$

OA = OB = OC = OD

L’erreur à ne pas faire

Le centre de la sphère circonscrite est le centre de gravité du tétraèdreLe centre de la sphère circonscrite est le point commun aux plans médiateurs des arêtes
Ce qu’on demande au centre, c’est d’être à la même distance des quatre sommets : c’est le rôle des plans médiateurs.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa problème e5er : la sphère circonscrite à un tétraèdre ABCD. Nlawjou 3la point O, b3adou 3la A, B, C w D nafs ech-chay. Les points équidistants de B, C w D, houma l'axe du cercle circonscrit au triangle BCD. W l'axe hedha y9oss le plan médiateur de [AB] fi point O. El point hedha équidistant des quatre sommets, w houwa le centre de la sphère circonscrite. »

Activité

Pour comprendre : des plans perpendiculaires

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle : ses faces sont des rectangles, et chaque arête « verticale » est perpendiculaire aux plans des deux faces qu'elle relie.

On cherche, dans un plan, une droite orthogonale à un autre plan.

(AB) est orthogonale au plan (BCG) ; (CG) est orthogonale au plan (ABC).

Ce qu’on observe

a) Nommer une droite du plan $(ABC)$ qui est orthogonale au plan $(BCG).$ b) Nommer une droite du plan $(BCG)$ qui est orthogonale au plan $(ABC).$ c) Existe-t-il une droite du plan $(ACGE)$ qui est orthogonale au plan $(ADHE)$ ?

1
Question a
$(AB)$ est perpendiculaire à $(BC)$ dans le rectangle $ABCD$ et à $(BF)$ dans le rectangle $ABFE$ ; $(BC)$ et $(BF)$ sont sécantes en $B$ dans le plan $(BCG).$
$(AB)$ est orthogonale au plan $(BCG)$
2
Question b
$(CG)$ est perpendiculaire à $(CB)$ dans le rectangle $BCGF$ et à $(CD)$ dans le rectangle $DCGH,$ sécantes en $C.$
$(CG)$ est orthogonale au plan $(ABC)$
3
Question c
Une telle droite serait orthogonale à $(AE)$ ; dans le rectangle $ACGE,$ elle serait donc parallèle à $(AC),$ et $(AC)$ serait orthogonale au plan $(ADHE),$ donc à $(AD).$ Or l'angle $\widehat{CAD}$ du rectangle $ABCD$ n'est pas droit.
non

question a :

(AB)

; question b :

(CG)

; question c : non

L’erreur à ne pas faire

$(AE)$ est une droite du plan $(ACGE)$ orthogonale au plan $(ADHE)$ $(AE)$ est contenue dans le plan $(ADHE)$ : elle ne lui est pas orthogonale
Une droite contenue dans un plan n’est jamais perpendiculaire à ce plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Nlawjou fi plan 3la droite orthogonale à un autre plan. La droite (AB) perpendiculaire à la droite (BC) w à la droite (BF), w hedhom sécantes en B fi le plan (BCG). Donc la droite (AB), elli hiya fi le plan (ABC), orthogonale au plan (BCG). W kif kif la droite (CG), elli fi le plan (BCG), orthogonale au plan (ABC). Ama fi le plan (ACGE), ma fammech 7atta droite orthogonale au plan (ADHE). Hakka nouslou l la définition mta3 deux plans perpendiculaires. »

Définition

Plans perpendiculaires

Définition. On dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre.

Les plans P et Q sont perpendiculaires ; ils se coupent suivant la droite D.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ montrer que les plans $(ABF)$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires.

1
Une droite orthogonale
$(BF)$ est perpendiculaire à $(BA)$ et à $(BC),$ sécantes en $B$ : elle est orthogonale au plan $(ABC).$
$(BF)$ est orthogonale au plan $(ABC)$
2
Contenue dans l’autre plan
La droite $(BF)$ est contenue dans le plan $(ABF).$
$(ABF)$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires

(ABF)

(ABC)

sont perpendiculaires

L’erreur à ne pas faire

Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l’un est orthogonale à l’autreSeules certaines droites de l’un sont orthogonales à l’autre
Les plans $(ABF)$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires, mais la droite $(AF)$ du plan $(ABF)$ n'est pas orthogonale au plan $(ABC).$
Deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèlesDeux plans perpendiculaires à un même plan peuvent être sécants
Les plans $(ABF)$ et $(BCG)$ sont tous deux perpendiculaires au plan $(ABC),$ et ils se coupent suivant $(BF).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa la définition : on dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Mithel fi le cube : la droite (BF) orthogonale au plan (ABC), w hiya fi le plan (ABF). Donc le plan (ABF) w le plan (ABC) perpendiculaires. Thabbet mli7 fi zouz 7ajet. Awwalan : mouch koll droite fi le plan (ABF) orthogonale au plan (ABC), mathalan la droite (AF). W thenyan : deux plans perpendiculaires à un même plan mouch dima parallèles : le plan (ABF) w le plan (BCG) ez-zouz perpendiculaires au plan (ABC), w yet9at3ou. »

Théorème

Propriétés 20, 21 et 22

Propriété 20. Si $D$ est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires, alors toute droite $D'$ contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à la droite d'intersection $D$ est orthogonale à l'autre.

Propriété 21. Si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

Propriété 22. Si deux plans sécants $P$ et $Q$ sont perpendiculaires à un même plan $R,$ alors leur droite d'intersection $D$ est orthogonale au plan $R.$

Conséquences. La synthèse du manuel (p.158-159) donne aussi les trois énoncés suivants ; ils sont démontrés plus bas.

1) Si deux droites sont orthogonales, alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.

2) Si deux plans $P$ et $Q$ sont perpendiculaires, alors toute droite perpendiculaire à $Q$ menée par un point $A$ de $P$ est contenue dans $P.$

3) Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.

D′ est dans P et perpendiculaire à D : elle est orthogonale au plan Q.

Exemple traité

Dans le cube $ABCDEFGH,$ les plans $(ABF)$ et $(ADH)$ sont tous deux perpendiculaires au plan $(ABC).$ Quelle est leur droite d'intersection, et que peut-on en dire ?

1
L’intersection
Les plans $(ABF)$ et $(ADH)$ sont ceux des faces $ABFE$ et $ADHE$ : ils se coupent suivant l'arête $(AE).$
$(ABF) \cap (ADH) = (AE)$
2
Propriété 22
Deux plans sécants perpendiculaires au plan $(ABC)$ : leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.
$(AE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$

(AE)

est orthogonale au plan

(ABC)

L’erreur à ne pas faire

Toute droite du plan $P$ qui coupe $D$ est orthogonale au plan $Q$ Seule une droite de $P$ perpendiculaire à $D$ est orthogonale au plan $Q$
La propriété 20 exige l’angle droit avec la droite d’intersection.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa trois propriétés. La propriété 20 : si D est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires, alors toute droite D' contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. La propriété 21 : si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. W la propriété 22 : si deux plans sécants P et Q sont perpendiculaires à un même plan R, alors leur droite d'intersection D est orthogonale au plan R. Mithel fi le cube : le plan (ABF) w le plan (ADH) ez-zouz perpendiculaires au plan (ABC), w yet9at3ou fi la droite (AE). Donc la droite (AE) orthogonale au plan (ABC). W men hedhom nestantjou zeda : si deux droites sont orthogonales, alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. W si deux plans P et Q sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à Q menée par un point de P est contenue dans P, w toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre. »

Exemple

Exemple : deux plans diagonaux du cube

$ABCDEFGH$ est un cube. Ses plans diagonaux $(ACGE)$ et $(BDHF)$ coupent le cube suivant deux rectangles.

Les plans (ACGE) et (BDHF) sont perpendiculaires.

Exemple traité

Montrer que le plan $(BDHF)$ est perpendiculaire au plan $(ACGE).$

1
Dans la base
Les diagonales du carré $ABCD$ sont perpendiculaires.
$(AC)$ est perpendiculaire à $(BD)$
2
L’arête (BF)
$(BF)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ qui contient $(AC)$ : par la propriété 16, $(AC)$ est orthogonale à $(BF).$
$(AC)$ est orthogonale à $(BF)$
3
Une droite orthogonale au plan
$(BD)$ et $(BF)$ sont sécantes en $B$ dans le plan $(BDHF)$ : $(AC)$ est orthogonale à ce plan.
$(AC)$ est orthogonale au plan $(BDHF)$
4
Conclusion
Le plan $(ACGE)$ contient la droite $(AC),$ orthogonale au plan $(BDHF).$
$(ACGE)$ et $(BDHF)$ sont perpendiculaires

(ACGE)

(BDHF)

sont perpendiculaires

L’erreur à ne pas faire

$(AC)$ est perpendiculaire à $(BD),$ donc les plans $(ACGE)$ et $(BDHF)$ sont perpendiculaires $(AC)$ est orthogonale à $(BD)$ et à $(BF),$ donc au plan $(BDHF)$ : les deux plans sont perpendiculaires
Il faut une droite d’un plan orthogonale à l’autre plan tout entier, pas à une seule de ses droites.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa exemple fi le cube : le plan (ACGE) w le plan (BDHF). N7ebbou nbayynou elli houma perpendiculaires. Les diagonales du carré ABCD perpendiculaires : la droite (AC) perpendiculaire à la droite (BD). W la droite (BF) perpendiculaire au plan (ABC), donc orthogonale à la droite (AC). Ez-zouz droites (BD) w (BF) sécantes en B fi le plan (BDHF). Donc la droite (AC) orthogonale au plan (BDHF). W la droite (AC) fi le plan (ACGE), donc les deux plans sont perpendiculaires. »

Application

Un problème pour aller plus loin : la hauteur d’un tétraèdre trirectangle

$OABC$ est un tétraèdre trirectangle en $O$ : les triangles $OAB,$ $OAC$ et $OBC$ sont rectangles en $O.$ $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC).$

On rappelle que si $OAB$ est un triangle rectangle en $O$ et $K$ le pied de la hauteur issue de $O,$ alors $\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}.$

H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

Exemple traité

1) Montrer que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC.$ 2) En déduire que $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}.$ 3) Calculer $OH$ lorsque $OA = 3,$ $OB = 6$ et $OC = 6.$

1
Une hauteur
$(OA)$ est orthogonale à $(OB)$ et à $(OC)$ : elle est perpendiculaire au plan $(OBC),$ donc orthogonale à $(BC).$ $(OH)$ est perpendiculaire au plan $(ABC),$ donc orthogonale à $(BC).$ Ainsi $(BC)$ est perpendiculaire au plan $(OAH),$ et orthogonale à $(AH)$ : $(AH)$ est la hauteur issue de $A.$ De même pour $(BH)$ : $H$ est l'orthocentre.
$H$ est l'orthocentre de $ABC$
2
Deux triangles rectangles
$(AH)$ coupe $(BC)$ en $K.$ $(BC)$ est perpendiculaire au plan $(OAK)$ : $(OK)$ est la hauteur du triangle $OBC$ rectangle en $O,$ et $\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}.$ Le triangle $OAK$ est rectangle en $O,$ de hauteur $(OH)$ : $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OK^2}.$
$\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}$
3
Le calcul
Avec $OA = 3,$ $OB = 6$ et $OC = 6$ : $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}.$
$\frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

OH = \sqrt{6}

L’erreur à ne pas faire

$OH^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2$ $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}$
La hauteur est plus courte que chacune des arêtes OA, OB et OC : ce sont les inverses des carrés qui s’ajoutent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa e5er problème : tétraèdre OABC trirectangle en O, w H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Awwalan, la droite (BC) orthogonale à la droite (OA) w à la droite (OH), donc perpendiculaire au plan (OAH), w orthogonale à la droite (AH). Ya3ni (AH) hauteur du triangle ABC, w H houwa l'orthocentre. Ba3d, b zouz triangles rectangles, nal9aw : 1/OH² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC². Mithel : OA = 3, OB w OC ysewiw 6 : 1/OH² = 1/6, donc OH = √6. »

À retenir

1.
Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes ; deux droites orthogonales peuvent ne pas se couper.
2.
Si deux droites sont orthogonales, toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
3.
Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
4.
Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
5.
Par un point passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné, et un unique plan perpendiculaire à une droite donnée.
6.
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
7.
Théorème des trois perpendiculaires : si T est perpendiculaire au plan P en A et si H est le projeté orthogonal de A sur une droite D de P, alors pour tout point M de T, la droite (MH) est orthogonale à D.
8.
L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment : le plan perpendiculaire au segment en son milieu.
9.
L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle : la perpendiculaire à son plan menée par son centre.
10.
Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan, leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.
11.
Si deux plans sont perpendiculaires suivant une droite D, toute droite de l'un perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. Si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
12.
Si deux droites sont orthogonales, tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/24

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/38

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/25

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

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Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont orthogonales
Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan
Utiliser une droite perpendiculaire à un plan pour démontrer une orthogonalité ou calculer une longueur
Reconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercle
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires

Pour comprendre : des droites perpendiculaires dans un cube

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un cube : ses six faces sont des carrés.

Dans une face, on retrouve la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires. Pour passer d'une face à une autre, on utilise les parallèles : par un point, il passe une seule parallèle à une droite donnée.

(AE) et (CG) sont parallèles ; (CG) et (CD) sont perpendiculaires.

Le piège

Les droites $(AE)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires

Les droites $(AE)$ et $(CD)$ n'ont aucun point commun : elles ne sont pas perpendiculaires

Deux droites perpendiculaires se coupent, et elles sont dans un même plan.

Droites orthogonales

Définition. On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires.

Remarque. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Mais deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : elles peuvent ne pas être dans un même plan.

D et T sont orthogonales : leurs parallèles D′ et T′ menées par O sont perpendiculaires.

Le piège

$(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales, donc elles se coupent

$(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales et n'ont aucun point commun

Ce sont leurs parallèles menées par un même point qui sont perpendiculaires : les droites elles-mêmes peuvent être non coplanaires.

Le piège

$(AE)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires

$(AE)$ et $(BC)$ sont orthogonales

On réserve le mot « perpendiculaires » à deux droites orthogonales qui se coupent.

Propriétés 13, 14 et 15

On déduit de la définition les propriétés suivantes.

Propriété 13. Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.

Propriété 14. Si deux droites de l'espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.

Propriété 15. Si $D$ et $T$ sont deux droites orthogonales et si $D'$ et $T'$ sont deux droites parallèles respectivement à $D$ et à $T$ , alors $D'$ et $T'$ sont orthogonales.

(EA) est parallèle à (FB), et (FB) est perpendiculaire à (BC).

Le piège

Deux droites orthogonales à une même troisième sont parallèles

Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas forcément parallèles

$(AE)$ et $(EH)$ sont toutes deux orthogonales à $(EF)$ , et elles se coupent en $E$ .

Exemple : une section rectangle dans un tétraèdre

$ABCD$ est un tétraèdre tel que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient orthogonales, et $M$ est un point de l'arête $[BC]$ . Le plan qui passe par $M$ et qui est parallèle aux droites $(AB)$ et $(CD)$ coupe $[BD]$ en $N$ , $[AD]$ en $P$ et $[AC]$ en $Q$ .

Le plan (MNPQ) est parallèle à (AB) et à (CD).

Le piège

$(MQ)$ et $(MN)$ sont orthogonales, donc $MNPQ$ est un carré

$MNPQ$ est un rectangle ; c'est un carré seulement si $MQ = MN$

L'orthogonalité donne l'angle droit, pas l'égalité des côtés.

Exemple : deux droites orthogonales qui ne se coupent pas

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a$ . $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[FB]$ et $[CD]$ , et $K$ est le milieu de $[BE]$ . On veut démontrer que les droites $(BE)$ et $(IJ)$ sont orthogonales, alors qu'elles n'ont aucun point commun.

KIJD est un parallélogramme : (IJ) est parallèle à (DK).

Le piège

$(IJ)$ et $(BE)$ ne se coupent pas, donc on ne peut pas parler d'angle droit

On remplace $(IJ)$ par sa parallèle $(DK)$ , qui coupe $(BE)$ en $K$

Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on se ramène à deux droites sécantes grâce aux parallèles.

Pour comprendre : une droite orthogonale à tout un plan

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $8$ , et $K$ est le milieu de $[AC]$ .

La droite $(HD)$ est orthogonale à $(AD)$ et à $(CD)$ , puisque les faces $ADHE$ et $DCGH$ sont des carrés. On se demande si elle est aussi orthogonale aux autres droites du plan $(ABC)$ , par exemple à la droite $(DK)$ .

Le triangle HDK est rectangle en D.

Le piège

$(HD)$ est orthogonale à $(AD)$ , donc elle est orthogonale à toutes les droites du plan $(ABC)$

$(HD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(ABC)$ : $(AD)$ et $(CD)$

Une seule droite du plan ne suffit pas : il en faut deux qui se coupent.

Droite perpendiculaire à un plan

Définition. On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. On dit aussi que la droite est orthogonale au plan.

Propriété 16 (admise). Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

D est orthogonale à D1 et à D2, sécantes en A : elle est orthogonale à toute droite du plan, comme D3.

Le piège

Une droite orthogonale à deux droites d’un plan est perpendiculaire à ce plan

Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est perpendiculaire à ce plan

Deux droites parallèles ne suffisent pas : $(AB)$ est orthogonale à $(AD)$ et à $(BC)$ , et pourtant elle est contenue dans le plan $(ABC)$ .

Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier

$ABCD$ est un tétraèdre régulier : toutes ses arêtes ont la même longueur. $I$ est le milieu de $[CD]$ . On veut montrer que deux arêtes opposées, $[AB]$ et $[CD]$ , sont orthogonales.

La méthode. Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on peut montrer que l'une est perpendiculaire à un plan qui contient l'autre.

(CD) est perpendiculaire au plan (ABI).

Le piège

On montre que $(CD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ , qui contient $(AB)$

On choisit un plan qui contient $(AB)$ et auquel $(CD)$ est vraiment perpendiculaire : le plan $(ABI)$

$(CD)$ coupe le plan $(ABC)$ en $C$ sans lui être perpendiculaire : l'angle $\widehat{ACD}$ mesure $60^\circ$ .

Propriété 17

Propriété 17. a) Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

b) Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

D et D′ sont parallèles : le plan P, perpendiculaire à D, est perpendiculaire à D′.

Le piège

$(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ parce qu'elle est orthogonale à $(BC)$

$(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$ parce qu'elle est orthogonale à $(BC)$ et à $(CD)$ , sécantes en $C$

Une droite orthogonale à une seule droite du plan n’est pas forcément perpendiculaire au plan.

Exemple : un tétraèdre trirectangle

$ABCD$ est un tétraèdre dont les trois faces $ABC$ , $ABD$ et $ACD$ sont des triangles rectangles en $A$ , avec $AB = 3$ , $AD = 4$ et $AC = 6$ . On dit que ce tétraèdre est trirectangle en $A$ .

$H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ .

Les trois angles en A sont droits ; H est le pied de la hauteur issue de A dans ABC.

Le piège

Le volume est $3 \times 6 \times 4 = 72$

Le volume est $\frac{1}{3} \times 9 \times 4 = 12$

Un tétraèdre est une pyramide : on multiplie l'aire de la base, ici $9$ , par la hauteur, et on prend le tiers.

Propriété 18

On admet la propriété suivante.

Propriété 18. a) Par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné.

Projeté orthogonal d'un point sur un plan. La droite passant par un point $A$ et perpendiculaire à un plan $P$ perce ce plan en un point $K$ : le point $K$ est appelé projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $P$ .

b) Par un point donné, il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée.

c) Si une droite $D$ est orthogonale à un plan $P$ , alors toute droite orthogonale à la droite $D$ et passant par un point du plan $P$ est contenue dans ce plan.

Toute droite orthogonale à D passant par un point B de P est contenue dans P.

Le piège

Par un point, il passe plusieurs droites perpendiculaires à un plan donné

Par un point, il passe une seule droite perpendiculaire à un plan donné

C’est la propriété 18 a). Ce sont les droites orthogonales à une droite donnée qui sont nombreuses : elles remplissent tout un plan.

Exemple : des arêtes opposées deux à deux orthogonales

$ABC$ est un triangle d'orthocentre $H$ . On désigne par $T$ la droite passant par $H$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$ , et par $M$ un point de $T$ distinct de $H$ .

T est perpendiculaire au plan (ABC) en l’orthocentre H.

Le piège

$(AB)$ est orthogonale à $(MH)$ , donc elle est perpendiculaire au plan $(MCH)$

$(AB)$ est orthogonale à $(MH)$ et à $(CH)$ , sécantes en $H$ : elle est perpendiculaire au plan $(MCH)$

Il faut toujours deux droites sécantes du plan.

Propriété 19

Propriété 19. a) Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

b) Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Le piège

Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles

Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles

Dans l'espace, deux droites orthogonales à une même droite peuvent se couper : $(AB)$ et $(AD)$ sont orthogonales à $(AE)$ .

Le théorème des trois perpendiculaires

Soit $T$ une droite perpendiculaire à un plan $P$ , et $A$ le point commun à $T$ et à $P$ . Soit $D$ une droite du plan $P$ ne passant pas par $A$ , et $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $D$ . Soit $M$ un point de $T$ distinct de $A$ .

Théorème. La droite $D$ est perpendiculaire au plan $(AHM)$ . Par conséquent, les droites $(MH)$ et $D$ sont orthogonales.

(AH) est perpendiculaire à D, et (MH) est orthogonale à D.

Le piège

$(MH)$ est orthogonale à $D$ parce que $M$ est au-dessus de $H$

$(MH)$ est orthogonale à $D$ parce que $D$ est perpendiculaire au plan $(AHM)$

Sur la figure, M est au-dessus de A, pas de H : l’orthogonalité se démontre, elle ne se lit pas sur le dessin.

Exemple : une pyramide dont toutes les arêtes sont égales

$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ et de base un carré $ABCD$ de centre $O$ . Toutes ses arêtes ont pour longueur $6$ .

(SO) est perpendiculaire au plan de la base.

Le piège

La hauteur de la pyramide est l'arête $SA = 6$

La hauteur de la pyramide est $SO = 3\sqrt{2}$

La hauteur est la distance du sommet au plan de la base : elle se mesure sur la perpendiculaire à ce plan.

Pour comprendre : les points équidistants de deux points

$[AB]$ est un segment de milieu $I$ . On cherche l'ensemble $E$ des points $M$ de l'espace tels que $MA = MB$ . On appelle $P$ le plan perpendiculaire à la droite $(AB)$ en $I$ .

Un point M du plan P est équidistant de A et de B.

Le piège

L'ensemble des points de l'espace équidistants de $A$ et de $B$ est la médiatrice de $[AB]$

C'est le plan perpendiculaire à $(AB)$ en $I$

La médiatrice n’est qu’une droite de ce plan : celle qui est dans un plan donné contenant A et B.

Plan médiateur d’un segment

Définition. On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Théorème. L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment.

A, D et I sont équidistants de B et de C.

Le piège

Le plan médiateur de $[BC]$ est le plan $(ABC)$

Le plan médiateur de $[BC]$ est perpendiculaire à $(BC)$ en son milieu : il ne contient ni $B$ ni $C$

Un point du plan médiateur est à égale distance de B et de C : B lui-même ne l’est pas.

Un problème pour aller plus loin : la grande diagonale du cube

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $a$ . Le triangle $BDG$ a pour côtés trois diagonales de faces : il est équilatéral. On note $I$ son centre de gravité.

E, I et C sont alignés, et (EC) est perpendiculaire au plan (BDG).

Le piège

$C$ est dans le plan médiateur de $[BG]$ car $CB = a$

$C$ est dans le plan médiateur de $[BG]$ car $CB = CG$

Ce qui compte, c’est l’égalité des deux distances aux extrémités du segment.

Axe d’un cercle

Définition. On appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan.

Théorème. L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle.

Tout point N de l’axe est à la même distance de tous les points du cercle.

Le piège

L’axe d’un cercle est un de ses diamètres

L’axe d’un cercle est la perpendiculaire à son plan, menée par son centre

Un diamètre est dans le plan du cercle ; l’axe n’a qu’un point commun avec ce plan, le centre.

Un problème pour aller plus loin : la sphère circonscrite à un tétraèdre

$ABCD$ est un tétraèdre. On cherche un point $O$ équidistant de ses quatre sommets. La sphère de centre $O$ qui passe par $A$ , $B$ , $C$ et $D$ est appelée sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ .

O est sur l’axe T du cercle circonscrit à BCD et dans le plan médiateur de [AB] : OA = OB = OC = OD.

Le piège

Le centre de la sphère circonscrite est le centre de gravité du tétraèdre

Le centre de la sphère circonscrite est le point commun aux plans médiateurs des arêtes

Ce qu’on demande au centre, c’est d’être à la même distance des quatre sommets : c’est le rôle des plans médiateurs.

Pour comprendre : des plans perpendiculaires

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle : ses faces sont des rectangles, et chaque arête « verticale » est perpendiculaire aux plans des deux faces qu'elle relie.

On cherche, dans un plan, une droite orthogonale à un autre plan.

(AB) est orthogonale au plan (BCG) ; (CG) est orthogonale au plan (ABC).

Le piège

$(AE)$ est une droite du plan $(ACGE)$ orthogonale au plan $(ADHE)$

$(AE)$ est contenue dans le plan $(ADHE)$ : elle ne lui est pas orthogonale

Une droite contenue dans un plan n’est jamais perpendiculaire à ce plan.

Plans perpendiculaires

Définition. On dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre.

Les plans P et Q sont perpendiculaires ; ils se coupent suivant la droite D.

Le piège

Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l’un est orthogonale à l’autre

Seules certaines droites de l’un sont orthogonales à l’autre

Les plans $(ABF)$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires, mais la droite $(AF)$ du plan $(ABF)$ n'est pas orthogonale au plan $(ABC)$ .

Le piège

Deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèles

Deux plans perpendiculaires à un même plan peuvent être sécants

Les plans $(ABF)$ et $(BCG)$ sont tous deux perpendiculaires au plan $(ABC)$ , et ils se coupent suivant $(BF)$ .

Propriétés 20, 21 et 22

Propriété 20. Si $D$ est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires, alors toute droite $D'$ contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à la droite d'intersection $D$ est orthogonale à l'autre.

Propriété 21. Si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

Propriété 22. Si deux plans sécants $P$ et $Q$ sont perpendiculaires à un même plan $R$ , alors leur droite d'intersection $D$ est orthogonale au plan $R$ .

Conséquences. La synthèse du manuel (p.158-159) donne aussi les trois énoncés suivants ; ils sont démontrés plus bas.

1) Si deux droites sont orthogonales, alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.

2) Si deux plans $P$ et $Q$ sont perpendiculaires, alors toute droite perpendiculaire à $Q$ menée par un point $A$ de $P$ est contenue dans $P$ .

3) Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.

D′ est dans P et perpendiculaire à D : elle est orthogonale au plan Q.

Le piège

Toute droite du plan $P$ qui coupe $D$ est orthogonale au plan $Q$

Seule une droite de $P$ perpendiculaire à $D$ est orthogonale au plan $Q$

La propriété 20 exige l’angle droit avec la droite d’intersection.

Exemple : deux plans diagonaux du cube

$ABCDEFGH$ est un cube. Ses plans diagonaux $(ACGE)$ et $(BDHF)$ coupent le cube suivant deux rectangles.

Les plans (ACGE) et (BDHF) sont perpendiculaires.

Le piège

$(AC)$ est perpendiculaire à $(BD)$ , donc les plans $(ACGE)$ et $(BDHF)$ sont perpendiculaires

$(AC)$ est orthogonale à $(BD)$ et à $(BF)$ , donc au plan $(BDHF)$ : les deux plans sont perpendiculaires

Il faut une droite d’un plan orthogonale à l’autre plan tout entier, pas à une seule de ses droites.

Un problème pour aller plus loin : la hauteur d’un tétraèdre trirectangle

$OABC$ est un tétraèdre trirectangle en $O$ : les triangles $OAB$ , $OAC$ et $OBC$ sont rectangles en $O$ . $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$ .

On rappelle que si $OAB$ est un triangle rectangle en $O$ et $K$ le pied de la hauteur issue de $O$ , alors $\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ .

H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

Le piège

$OH^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2$

$\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}$

La hauteur est plus courte que chacune des arêtes OA, OB et OC : ce sont les inverses des carrés qui s’ajoutent.

À retenir

Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes ; deux droites orthogonales peuvent ne pas se couper.
Si deux droites sont orthogonales, toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Par un point passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné, et un unique plan perpendiculaire à une droite donnée.
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Théorème des trois perpendiculaires : si T est perpendiculaire au plan P en A et si H est le projeté orthogonal de A sur une droite D de P, alors pour tout point M de T, la droite (MH) est orthogonale à D.
L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment : le plan perpendiculaire au segment en son milieu.
L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle : la perpendiculaire à son plan menée par son centre.
Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan, leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.
Si deux plans sont perpendiculaires suivant une droite D, toute droite de l'un perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. Si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Si deux droites sont orthogonales, tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : des droites perpendiculaires dans un cube

Droites orthogonales

Propriétés 13, 14 et 15

Exemple : une section rectangle dans un tétraèdre

Exemple : deux droites orthogonales qui ne se coupent pas

Pour comprendre : une droite orthogonale à tout un plan

Droite perpendiculaire à un plan

Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier

Propriété 17

Exemple : un tétraèdre trirectangle

Propriété 18

Exemple : des arêtes opposées deux à deux orthogonales

Propriété 19

Le théorème des trois perpendiculaires

Exemple : une pyramide dont toutes les arêtes sont égales

Pour comprendre : les points équidistants de deux points

Plan médiateur d’un segment

Un problème pour aller plus loin : la grande diagonale du cube

Axe d’un cercle

Un problème pour aller plus loin : la sphère circonscrite à un tétraèdre

Pour comprendre : des plans perpendiculaires

Plans perpendiculaires

Propriétés 20, 21 et 22

Exemple : deux plans diagonaux du cube

Un problème pour aller plus loin : la hauteur d’un tétraèdre trirectangle

À toi, au tableau

Une arête et une arête du dessus

Une diagonale de face et une arête

La parallèle par un sommet

Une arête perpendiculaire à une face

Un point du plan médiateur

Un point de l’axe

Deux diagonales de faces

Dans un parallélépipède rectangle

Une demi-diagonale

Deux droites parallèles ne suffisent pas

Deux autres arêtes opposées

Le pied de la hauteur

La hauteur du triangle AHC

La distance DH

L’aire de la face BCD

Le pied de la hauteur d’un tétraèdre

Une double pyramide

Trois perpendiculaires et deux Pythagore

La hauteur issue de A

La troisième paire d’arêtes

Trois angles de 60 degrés

L’angle AIC dans un cube

La hauteur d’un tétraèdre régulier

Le volume d’un tétraèdre régulier

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : des droites perpendiculaires dans un cube

Droites orthogonales

Propriétés 13, 14 et 15

Exemple : une section rectangle dans un tétraèdre

Exemple : deux droites orthogonales qui ne se coupent pas

Pour comprendre : une droite orthogonale à tout un plan

Droite perpendiculaire à un plan

Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier

Propriété 17

Exemple : un tétraèdre trirectangle

Propriété 18

Exemple : des arêtes opposées deux à deux orthogonales

Propriété 19

Le théorème des trois perpendiculaires

Exemple : une pyramide dont toutes les arêtes sont égales

Pour comprendre : les points équidistants de deux points

Plan médiateur d’un segment

Un problème pour aller plus loin : la grande diagonale du cube

Axe d’un cercle

Un problème pour aller plus loin : la sphère circonscrite à un tétraèdre

Pour comprendre : des plans perpendiculaires

Plans perpendiculaires

Propriétés 20, 21 et 22

Exemple : deux plans diagonaux du cube

Un problème pour aller plus loin : la hauteur d’un tétraèdre trirectangle

À retenir