Parallélisme dans l’espace

Droites parallèles de l'espace ; droite parallèle à un plan ; propriétés 1 à 6 et théorème du toit ; plans parallèles ; propriétés 7 à 12 ; montrer que deux plans sont parallèles ; sections planes d'un cube et d'une pyramide ; positions relatives de droites et de plans.

25 sections · 103 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre poursuit la géométrie dans l'espace : après les positions relatives de droites et de plans, on étudie le parallélisme.

On y définit deux droites parallèles, une droite parallèle à un plan et deux plans parallèles, avec douze propriétés — dont le théorème du toit — qui permettent de démontrer un parallélisme, de trouver l'intersection de deux plans et de construire la section d'un cube ou d'une pyramide par un plan.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont parallèles
Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan
Utiliser le théorème du toit pour déterminer l'intersection de deux plans
Démontrer que deux plans sont parallèles
Utiliser les propriétés des plans parallèles pour construire la section d'un solide par un plan

Activité

Pour comprendre : des parallèles dans un tétraèdre

Dans le tétraèdre $ABCD$ de la figure, les points $I,$ $J,$ $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB],$ $[CD],$ $[IJ]$ et $[BJ].$

Dans l'espace, avant de dire que deux droites sont parallèles, on cherche un plan qui les contient toutes les deux : c'est dans ce plan qu'on applique la géométrie plane, par exemple le théorème des milieux.

I, J, K et L sont les milieux de [AB], [CD], [IJ] et [BJ].

Ce qu’on observe

1) Les droites $(KL)$ et $(IB)$ sont-elles parallèles ? 2) Les droites $(AJ)$ et $(IL)$ sont-elles parallèles ? 3) Les droites $(IJ)$ et $(AD)$ sont-elles parallèles ?

1
$(KL)$ et $(IB)$
Dans le triangle $IJB,$ $K$ est le milieu de $[IJ]$ et $L$ est le milieu de $[BJ]$ : la droite des milieux $(KL)$ est parallèle à $(IB).$
1) oui
2
$(AJ)$ et $(IL)$
Dans le triangle $ABJ,$ $I$ est le milieu de $[AB]$ et $L$ est le milieu de $[BJ]$ : la droite $(IL)$ est parallèle à $(AJ).$
2) oui
3
$(IJ)$ et $(AD)$
Le seul plan qui contient la droite $(AD)$ et le point $J$ est le plan $(ACD).$ Or $I$ est sur $(AB)$ et distinct de $A$ : il n'est pas dans le plan $(ACD).$ Les droites $(IJ)$ et $(AD)$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont pas parallèles.
3) non

1) oui

;

2) oui

;

3) non

L’erreur à ne pas faire

Les droites $(IJ)$ et $(AD)$ ne se coupent pas, donc elles sont parallèlesLes droites $(IJ)$ et $(AD)$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont ni sécantes ni parallèles
Dans l'espace, deux droites sans point commun ne sont parallèles que si un même plan les contient.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b tétraèdre ABCD. I milieu de [AB], J milieu de [CD], K milieu de [IJ], w L milieu de [BJ]. La droite (KL) w la droite (IB), parallèles walla le ? Chouf le triangle IJB : K w L houma les milieux mta3 [IJ] w [BJ], donc la droite (KL) parallèle à la droite (IB). Kif kif fi le triangle ABJ : la droite (IL) parallèle à la droite (AJ). W la droite (IJ) w la droite (AD) ? Hedhom mouch fi nafs el plan, donc mouch parallèles. Thabbet mli7 : fi l'espace, 9bal ma t9oul parallèles, lawwej 3la plan fih ez-zouz droites. »

Définition

Droites parallèles

Définition. Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont contenues dans un même plan et si elles sont parallèles dans ce plan.

Vocabulaire. Deux droites parallèles sont soit confondues, soit distinctes. Lorsqu'elles sont distinctes, on dit qu'elles sont strictement parallèles.

Remarque. Deux droites $D$ et $D'$ de l'espace telles que $D \cap D' = \varnothing$ ne sont pas forcément parallèles.

Fig. 1 : D et D′ sont parallèles. Fig. 2 : D et D′ n’ont aucun point commun, mais ne sont pas parallèles.

Exemple traité

Dans la figure 2, la droite $D$ perce le plan $P$ au point $A,$ et la droite $D'$ est contenue dans le plan $P$ sans passer par $A.$ Les droites $D$ et $D'$ sont-elles parallèles ?

1
Aucun point commun
La droite $D$ ne rencontre le plan $P$ qu'au point $A,$ et $A$ n'est pas sur $D'$ : les deux droites n'ont aucun point commun.
$D \cap D' = \varnothing$
2
Pas coplanaires
Un plan qui contiendrait $D$ et $D'$ contiendrait la droite $D'$ et le point $A$ : ce serait le plan $P.$ Or la droite $D$ n'est pas contenue dans $P.$
aucun plan ne contient $D$ et $D'$
3
Conclusion
Les droites $D$ et $D'$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont pas parallèles, bien qu'elles n'aient aucun point commun.
non

D

D'

ne sont pas parallèles

L’erreur à ne pas faire

$D \cap D' = \varnothing,$ donc $D$ et $D'$ sont parallèles $D$ et $D'$ sont parallèles si, en plus, elles sont contenues dans un même plan
Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles ; dans l'espace, elles peuvent aussi être non coplanaires.
Deux droites parallèles sont toujours distinctesDeux droites parallèles sont soit confondues, soit strictement parallèles
Une droite est parallèle à elle-même : « strictement » précise que les deux droites sont distinctes.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa la définition. Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont contenues dans un même plan et si elles sont parallèles dans ce plan. Ya3ni lezem zouz 7ajet : ez-zouz droites fi nafs el plan, w fel plan hedha houma parallèles. Deux droites parallèles, ya confondues, ya distinctes. W ken houma distinctes, n9oulou 3lihom strictement parallèles. W thabbet mli7 : zouz droites ma 3andhomch 7atta point commun, mouch dima parallèles. Chouf la figure 2 : la droite D perce le plan en A, w la droite D' fel plan w ma tet3addech men A. Ma yetle9awch, ama mouch parallèles, 5ater mouch fi nafs el plan. »

Théorème

Une parallèle par un point, un plan par deux parallèles

1. Soit $\Delta$ une droite de l'espace et $A$ un point n'appartenant pas à $\Delta.$ Il existe une droite et une seule passant par $A$ et parallèle à la droite $\Delta.$

2. Soient $D$ et $D'$ deux droites strictement parallèles. Il existe un unique plan contenant $D$ et $D'.$

Dans le plan P défini par la droite Δ et le point A, une seule parallèle à Δ passe par A.

Exemple traité

$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC].$ a) Quelle est la parallèle à $(BC)$ passant par $I$ ? b) Quel est le plan déterminé par les droites $(IJ)$ et $(BC)$ ?

1
La parallèle
Dans le triangle $ABC,$ la droite des milieux $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ et passe par $I.$ Comme il n'existe qu'une seule parallèle à $(BC)$ passant par $I,$ c'est elle.
a) la droite $(IJ)$
2
Le plan
Les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont strictement parallèles : un seul plan les contient. Elles sont toutes les deux dans le plan $(ABC).$
b) le plan $(ABC)$

la droite

(IJ)

et le plan

(ABC)

L’erreur à ne pas faire

Par un point de l'espace, il passe une infinité de droites parallèles à une droite donnéePar un point de l'espace, il passe une seule droite parallèle à une droite donnée
Toute parallèle est dans le plan défini par la droite et le point, et dans ce plan la parallèle est unique.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna zouz nata2ej mohemmin. Le premier résultat : ne5dhou droite Δ, w point A elli ma houch 3la Δ. Il existe une droite et une seule passant par A et parallèle à Δ. 3lech ? La droite Δ w le point A y3arrfou plan wa7ed, nsammiwh P. W koll droite tet3adda men A w parallèle à Δ, lezem tkoun fel plan P. W fel plan P, men A tet3adda parallèle wa7da bark. Le deuxième résultat : deux droites strictement parallèles, yet3adda menhom plan wa7ed bark. Ya3ni deux droites strictement parallèles y3arrfou plan, kima trois points non alignés. »

Propriété

Propriétés 1 et 2

On admet les deux propriétés suivantes.

Propriété 1. Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.

Propriété 2. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

(AB) et (DC) sont parallèles, (DC) et (HG) aussi : (AB) et (HG) sont parallèles.

Exemple traité

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède : chacune de ses faces est un parallélogramme. Montrer que les droites $(AB)$ et $(HG)$ sont parallèles.

1
Dans la face ABCD
$ABCD$ est un parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles.
$(AB)$ est parallèle à $(DC)$
2
Dans la face DCGH
$DCGH$ est un parallélogramme.
$(HG)$ est parallèle à $(DC)$
3
Propriété 2
Les droites $(AB)$ et $(HG)$ sont parallèles à une même troisième, la droite $(DC)$ : elles sont parallèles entre elles.
$(AB)$ est parallèle à $(HG)$

(AB)

(HG)

sont parallèles

L’erreur à ne pas faire

$(AB)$ et $(HG)$ ne sont pas dans une même face, donc on ne peut rien dire $(AB)$ et $(HG)$ sont toutes les deux parallèles à $(DC)$ : elles sont parallèles
La propriété 2 remplace la recherche d'un plan commun : il suffit d'une troisième droite parallèle aux deux.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa zouz propriétés na9blouhom men ghir démonstration. La propriété 1 : si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Ya3ni el plan elli y9oss wa7da, y9oss lo5ra zeda. La propriété 2 : si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. Hedhi ta3rafha fi le plan, w hiya s7i7a zeda fi l'espace. Ne5dhou exemple fi parallélépipède ABCDEFGH. La droite (AB) parallèle à la droite (DC), w la droite (HG) parallèle à la droite (DC). Donc la droite (AB) parallèle à la droite (HG). »

Application

Exemple : les milieux des arêtes d’un tétraèdre

On considère un tétraèdre $ABCD$ et on désigne par $I,$ $J,$ $K$ et $L$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],$ $[BC],$ $[CD]$ et $[DA].$ Soit $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[AC]$ et $[BD].$

Dans chaque face, le théorème des milieux donne une parallèle à une arête ; la propriété 2 relie ensuite ces parallèles d'une face à l'autre.

IJKL et IMKN sont deux parallélogrammes : ils ont la même diagonale [IK].

Exemple traité

1) Montrer que $IJKL$ est un parallélogramme. 2) Montrer que $IMKN$ est un parallélogramme. 3) En déduire que, dans un tétraèdre, les trois droites joignant les milieux des arêtes opposées sont concourantes.

1
Dans le triangle ABC
$I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$ : $(IJ)$ est parallèle à $(AC).$
$IJ = \dfrac{1}{2}AC$
2
Dans le triangle ADC
$L$ et $K$ sont les milieux de $[DA]$ et $[CD]$ : $(LK)$ est parallèle à $(AC).$
$LK = \dfrac{1}{2}AC$
3
IJKL
D'après la propriété 2, $(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles ; de plus $IJ = LK.$ Le quadrilatère $IJKL$ a deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
$IJKL$ est un parallélogramme
4
IMKN
De même, dans les triangles $ABC$ et $DBC,$ les droites $(IM)$ et $(NK)$ sont parallèles à $(BC),$ avec $IM$ et $NK$ égaux à la moitié de $BC.$
$IMKN$ est un parallélogramme
5
Les diagonales
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le milieu de $[IK]$ est donc aussi le milieu de $[JL],$ dans $IJKL,$ et le milieu de $[MN],$ dans $IMKN.$
$(IK),\$ $(JL)$ et $(MN)$ sont concourantes

(IK),\

(JL)

(MN)

sont concourantes

L’erreur à ne pas faire

$(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles, donc $IJKL$ est un parallélogramme $(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles et $IJ = LK,$ donc $IJKL$ est un parallélogramme
Deux côtés opposés parallèles donnent seulement un trapèze : il faut aussi l'égalité des longueurs, ou le parallélisme des deux autres côtés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou tétraèdre ABCD, w I, J, K, L houma les milieux mta3 [AB], [BC], [CD] w [DA]. Fi le triangle ABC, la droite (IJ) parallèle à la droite (AC), w IJ égale la moitié de AC. W fi le triangle ADC, la droite (LK) parallèle à la droite (AC), w LK égale la moitié de AC. Donc b la propriété 2, la droite (IJ) parallèle à la droite (LK), w IJ égale LK. El 7asel : IJKL parallélogramme. W b nafs et-tari9a, m3a M milieu de [AC] w N milieu de [BD], nal9aw IMKN parallélogramme. Ez-zouz parallélogrammes 3andhom nafs la diagonale [IK]. Donc les trois droites (IK), (JL) w (MN) yetle9aw fi point wa7ed : le milieu de [IK]. »

Exemple

Exemple : des parallèles dans une pyramide

Dans la figure, $ABCDE$ est une pyramide de sommet $A$ dont la base $BCDE$ est un parallélogramme. Les points $M$ et $N$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AC]$ et $[AD].$

Dans le plan $(ACD),$ on désigne par $I$ le symétrique de $M$ par rapport à $N.$

M et N sont les milieux de [AC] et [AD] ; I est le symétrique de M par rapport à N.

Exemple traité

1) Montrer que les droites $(MN)$ et $(EB)$ sont parallèles. 2) Montrer que les droites $(BM)$ et $(EI)$ sont parallèles.

1
Dans le triangle ACD
$M$ et $N$ sont les milieux de $[AC]$ et $[AD]$ : $(MN)$ est parallèle à $(CD).$
$MN = \dfrac{1}{2}CD$
2
Dans la base
$BCDE$ est un parallélogramme : $(CD)$ est parallèle à $(EB).$ D'après la propriété 2, $(MN)$ est parallèle à $(EB).$
$(MN)$ est parallèle à $(EB)$
3
Le point I
$N$ est le milieu de $[MI]$ : $I$ est sur la droite $(MN)$ et $MI = 2MN = CD.$ Or $CD = EB.$
$MI = EB$
4
Un parallélogramme
Dans le quadrilatère $BMIE,$ les côtés $[MI]$ et $[BE]$ sont parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme. Ses deux autres côtés sont donc parallèles.
$(BM)$ est parallèle à $(EI)$

(MN)

parallèle à

(EB)

(BM)

parallèle à

(EI)

L’erreur à ne pas faire

$(MN)$ est dans la face $ACD$ et $(EB)$ dans la base : elles ne peuvent pas être parallèles $(MN)$ et $(EB)$ sont toutes les deux parallèles à $(CD)$ : elles sont parallèles
Deux droites de deux faces différentes peuvent être parallèles : la propriété 2 le montre sans chercher leur plan commun.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou pyramide ABCDE, le sommet A, w la base BCDE parallélogramme. M milieu de [AC], w N milieu de [AD]. Fi le triangle ACD, la droite (MN) parallèle à la droite (CD). W fi la base, la droite (CD) parallèle à la droite (EB), 5ater BCDE parallélogramme. Donc b la propriété 2, la droite (MN) parallèle à la droite (EB). Tawa I houwa le symétrique de M par rapport à N. Ya3ni MI égale deux fois MN, ya3ni MI égale CD, w CD égale EB. Donc fi le quadrilatère BMIE, zouz côtés parallèles w 3andhom nafs la longueur : houwa parallélogramme. El 7asel : la droite (BM) parallèle à la droite (EI). »

Activité

Pour comprendre : une droite et un plan

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède : $E,$ $F,$ $G$ et $H$ sont au-dessus de $A,$ $B,$ $C$ et $D,$ et chaque face est un parallélogramme.

On regarde comment une droite se place par rapport à un plan : elle peut y être contenue, le percer en un point, ou ne pas le rencontrer du tout.

Le parallélépipède ABCDEFGH : (EG) ne rencontre pas le plan (ABC), (DH) le perce en D.

Ce qu’on observe

1) a) La droite $(AB)$ est-elle sécante au plan $(ABC)$ ? b) La droite $(EG)$ est-elle sécante au plan $(ABC)$ ? c) La droite $(DH)$ est-elle sécante au plan $(ABC)$ ? 2) Nommer des droites parallèles au plan $(BCG).$ 3) Nommer des droites parallèles au plan $(AEC).$

1
(AB)
La droite $(AB)$ est contenue dans le plan $(ABC)$ : leur intersection n'est pas un point, c'est la droite tout entière.
a) non
2
(EG)
$AEGC$ est un parallélogramme, car $[AE]$ et $[CG]$ sont parallèles et de même longueur : $(EG)$ est parallèle à $(AC).$ La droite $(EG)$ ne rencontre pas le plan $(ABC).$
b) non
3
(DH)
La droite $(DH)$ a un seul point commun avec le plan $(ABC)$ : le point $D.$ Elle perce le plan en $D.$
c) oui, en $D$
4
Le plan (BCG)
Les droites $(AD)$ et $(EH)$ sont parallèles à $(BC)$ ; les droites $(AE)$ et $(DH)$ sont parallèles à $(BF).$ Aucune ne rencontre le plan $(BCG).$
$(AD),\$ $(EH),\$ $(AE),\$ $(DH)$
5
Le plan (AEC)
Le plan $(AEC)$ contient la droite $(AE).$ Les droites $(BF)$ et $(DH)$ sont parallèles à $(AE)$ et ne rencontrent pas ce plan.
$(BF),\$ $(DH)$

a) non

;

b) non

;

c) oui, en

D

L’erreur à ne pas faire

La droite $(AB)$ a des points communs avec le plan $(ABC),$ donc elle lui est sécanteLa droite $(AB)$ est contenue dans le plan $(ABC)$ : elle ne lui est pas sécante
Une droite et un plan sont sécants lorsque leur intersection est un seul point.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa nchoufou droite w plan. Ne5dhou parallélépipède ABCDEFGH. La droite (AB), sécante au plan (ABC) ? Le, 5ater hiya el koll fel plan hedha. W la droite (EG) ? Hiya parallèle à la droite (AC), w ma tetle9ach m3a le plan (ABC). W la droite (DH) ? Hedhi 3andha point wa7ed commun m3a le plan (ABC), houwa D : la droite (DH) perce le plan en D. Ya3ni famma trois cas : la droite fel plan, walla perce le plan, walla ma tetle9ach m3ah. W chouf la droite (AD) : hiya parallèle à la droite (BC), elli hiya fi le plan (BCG). N9oulou elli la droite (AD) parallèle au plan (BCG). »

Définition

Droite parallèle à un plan

Définition. On dit qu'une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Vocabulaire. Si une droite $D$ est parallèle à un plan $P,$ on dit aussi que le plan $P$ est parallèle à la droite $D,$ ou que le plan $P$ et la droite $D$ sont parallèles, et on écrit $D \parallel P$ ou $P \parallel D.$

Si, de plus, $D \cap P = \varnothing,$ on dit que $D$ et $P$ sont strictement parallèles.

D est parallèle à une droite L du plan P : D est parallèle à P.

Exemple traité

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH$ : a) la droite $(EF)$ est-elle parallèle au plan $(ABC)$ ? b) La droite $(AB)$ est-elle parallèle au plan $(ABC)$ ? c) La droite $(EF)$ est-elle parallèle à la droite $(BC)$ ?

1
(EF)
$ABFE$ est un parallélogramme : $(EF)$ est parallèle à $(AB),$ qui est une droite du plan $(ABC).$
a) oui
2
(AB)
La droite $(AB)$ est une droite du plan $(ABC),$ et elle est parallèle à elle-même : elle est parallèle au plan, sans lui être strictement parallèle.
b) oui
3
(EF) et (BC)
La parallèle à $(EF)$ passant par $B$ est $(AB),$ et non $(BC).$ Les droites $(EF)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, alors que $(EF)$ est parallèle au plan $(ABC),$ qui contient $(BC).$
c) non

a) oui

;

b) oui

;

c) non

L’erreur à ne pas faire

Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à toute droite de ce planSi une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à une droite de ce plan
Dans le parallélépipède, $(EF)$ est parallèle au plan $(ABC),$ mais elle n'est pas parallèle à $(BC).$
Une droite contenue dans un plan n'est pas parallèle à ce planUne droite contenue dans un plan est parallèle à ce plan, mais pas strictement
Elle est parallèle à une droite du plan : elle-même.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la définition. On dit qu'une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Ya3ni yekfi nal9aw droite wa7da fel plan, parallèle à la droite mte3na. N9oulou zeda : le plan P parallèle à la droite D. W ken zid la droite D w le plan P ma 3andhomch 7atta point commun, n9oulou elli houma strictement parallèles. W thabbet mli7 : la droite parallèle à un plan, mouch parallèle l koll les droites mta3 el plan. Mathalan fi le parallélépipède, la droite (EF) parallèle au plan (ABC), ama mouch parallèle à la droite (BC). »

Théorème

Propriété 3

Propriété 3. Si une droite $D$ et un plan $P$ sont parallèles, alors toute droite parallèle à $D$ et passant par un point de $P$ est incluse dans le plan $P.$

D est parallèle à P ; la parallèle à D passant par le point A de P est incluse dans P.

Exemple traité

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH,$ la droite $(EF)$ est parallèle au plan $(ABC).$ Quelle est la parallèle à $(EF)$ passant par $C$ ? Dans quel plan est-elle ?

1
La parallèle
$(EF)$ est parallèle à $(AB),$ et $(AB)$ est parallèle à $(DC)$ : d'après la propriété 2, $(DC)$ est la parallèle à $(EF)$ passant par $C.$
la droite $(DC)$
2
Propriété 3
$(EF)$ est parallèle au plan $(ABC)$ et $C$ est un point de ce plan : la parallèle à $(EF)$ passant par $C$ est incluse dans le plan $(ABC).$ C'est bien le cas de $(DC).$
$(DC) \subset (ABC)$

(DC) \subset (ABC)

L’erreur à ne pas faire

La parallèle à $D$ passant par un point $A$ de $P$ peut percer le plan $P$ en $A$ Si $D$ est parallèle à $P,$ la parallèle à $D$ passant par $A$ est incluse dans $P$
C'est la propriété 3 : cette parallèle ne sort pas du plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La propriété 3. 3andna droite D parallèle à un plan P, w point A fel plan P. Narsmou men A la droite D', parallèle à D. La propriété t9oul : D' est incluse dans le plan P. Nbayynouha par l'absurde. Nafrdhou elli D' mouch fel plan P. Wa9tha D' coupe le plan P en A bark. D parallèle à P, ya3ni parallèle à une droite Δ mta3 P, w b la propriété 2, D' parallèle à Δ. W b la propriété 1, el plan elli coupe D', coupe Δ zeda. Ama Δ hiya el koll fel plan P : hedha ma yjich. Donc D' est incluse dans le plan P. »

Propriété

Propriétés 4 et 5

Propriété 4. Si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Propriété 5. Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.

D est parallèle aux plans sécants P et P′ : D est parallèle à leur droite d’intersection Δ.

Exemple traité

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH,$ retrouver, avec la propriété 5, que la droite $(AE)$ est parallèle à la droite $(CG).$

1
Le plan (BCG)
$(AE)$ est parallèle à $(BF),$ qui est une droite du plan $(BCG).$
$(AE)$ est parallèle au plan $(BCG)$
2
Le plan (DCG)
$(AE)$ est parallèle à $(DH),$ qui est une droite du plan $(DCG).$
$(AE)$ est parallèle au plan $(DCG)$
3
Propriété 5
Les plans $(BCG)$ et $(DCG)$ sont sécants suivant la droite $(CG).$ La droite $(AE),$ parallèle à ces deux plans, est parallèle à leur droite d'intersection.
$(AE)$ est parallèle à $(CG)$

(AE)

est parallèle à

(CG)

L’erreur à ne pas faire

Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à toutes les droites de ces plansUne droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur droite d'intersection
La seule droite qui soit à la fois dans les deux plans est leur droite d'intersection.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa zouz propriétés o5rin. La propriété 4 : si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre. W la propriété 5 : si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection. Chouf la figure : les deux plans P w P' yetle9aw fi la droite Δ. La droite D parallèle à P w parallèle à P'. Donc D parallèle à Δ. 3lech ? Ne5dhou point A 3la Δ. B la propriété 3, la parallèle à D elli tet3adda men A hiya fel plan P, w hiya zeda fel plan P'. Donc hiya la droite Δ bidha. »

Théorème

Propriété 6 : le théorème du toit

Propriété 6 (théorème du toit). Soit $D$ et $D'$ deux droites parallèles, et $P$ et $P'$ deux plans contenant respectivement $D$ et $D'.$

Si $P$ et $P'$ sont sécants, alors leur droite d'intersection $\Delta$ est parallèle à $D$ et à $D'.$

D est dans P, D′ est dans P′, D et D′ sont parallèles : la droite d’intersection Δ leur est parallèle.

L’erreur à ne pas faire

Deux plans qui contiennent deux droites parallèles sont parallèlesDeux plans qui contiennent deux droites parallèles peuvent être sécants : leur droite d'intersection est alors parallèle à ces deux droites
Les deux pans d'un toit contiennent deux bords parallèles, et pourtant ils se coupent le long du faîte.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi la propriété 6, w tetsamma le théorème du toit. 3andna deux droites parallèles D w D'. La droite D fi plan P, w la droite D' fi plan P'. Ken les deux plans sécants, alors leur droite d'intersection Δ est parallèle à D et à D'. 3lech sammineh théorème du toit ? Chouf la figure : les deux plans kima sa9f ed-dar, w la droite Δ hiya el fou9. D w D' houma les bords mta3 es-sa9f, w les trois droites parallèles. La démonstration sehla : D parallèle à P w parallèle à P', donc b la propriété 5, D parallèle à Δ. W b la propriété 2, D' parallèle à Δ zeda. »

Application

Exemple : le théorème du toit dans une pyramide

Soit $SABCD$ une pyramide de sommet $S$ et de base $ABCD$ telle que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles. Sur la figure, les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en un point $E.$

Deux faces opposées d'une pyramide ont toujours le sommet $S$ en commun : leurs plans sont sécants suivant une droite qui passe par $S.$ Il reste à en trouver un deuxième point, ou la direction.

(SAD) et (SBC) se coupent suivant (SE) ; (SAB) et (SCD) suivant la parallèle à (AB) passant par S.

Exemple traité

1) Construire l'intersection des plans $(SAD)$ et $(SBC).$ 2) Construire l'intersection des plans $(SAB)$ et $(SCD).$

1
Un point commun
Le point $S$ appartient aux quatre plans.
$S \in (SAD)$ et $S \in (SBC)$
2
Le point E
$E$ est sur $(AD),$ contenue dans le plan $(SAD),$ et sur $(BC),$ contenue dans le plan $(SBC).$
$(SAD) \cap (SBC) = (SE)$
3
Deux parallèles
Le plan $(SAB)$ contient $(AB),$ le plan $(SCD)$ contient $(CD),$ et $(AB)$ est parallèle à $(CD).$ Ces deux plans sont sécants, puisqu'ils ont le point $S$ en commun.
$(AB)$ est parallèle à $(CD)$
4
Théorème du toit
Leur droite d'intersection est parallèle à $(AB)$ et à $(CD),$ et elle passe par $S$ : c'est la parallèle à $(AB)$ passant par $S.$
la parallèle à $(AB)$ passant par $S$

(SE) \quad ;

la parallèle à

(AB)

passant par

S

L’erreur à ne pas faire

Les plans $(SAB)$ et $(SCD)$ n'ont que le point $S$ en communLes plans $(SAB)$ et $(SCD)$ ont en commun toute la parallèle à $(AB)$ passant par $S$
Deux plans distincts qui ont un point commun sont sécants suivant une droite ; le théorème du toit en donne la direction.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou pyramide SABCD, w fi la base, la droite (AB) parallèle à la droite (CD). Nlawwjou 3la l'intersection mta3 le plan (SAD) w le plan (SBC). Le point S fez-zouz plans. W la droite (AD) w la droite (BC) yetle9aw fi point E. E 3la la droite (AD), donc fi le plan (SAD), w E 3la la droite (BC), donc fi le plan (SBC). El 7asel : l'intersection hiya la droite (SE). Tawa le plan (SAB) w le plan (SCD). Houni ma 3andnech point e5er, ama 3andna deux droites parallèles : la droite (AB) fi plan, w la droite (CD) fel plan le5er. Donc b le théorème du toit, l'intersection hiya la droite elli tet3adda men S w parallèle à la droite (AB). »

Exemple

Exemple : des droites parallèles à un plan

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède et soit $I,$ $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[EF],$ $[FG]$ et $[GH].$

Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, on cherche dans ce plan une droite qui lui est parallèle.

I, J et K sont les milieux de [EF], [FG] et [GH] : le plan (IJK) est le plan de la face du dessus.

Exemple traité

Montrer que les droites $(BC)$ et $(AC)$ sont parallèles au plan $(IJK).$

1
(IJ) et (EG)
Dans le triangle $EFG,$ $I$ et $J$ sont les milieux de $[EF]$ et $[FG]$ : $(IJ)$ est parallèle à $(EG).$
$(IJ)$ est parallèle à $(EG)$
2
(EG) et (AC)
$[AE]$ et $[CG]$ sont parallèles et de même longueur : $AEGC$ est un parallélogramme, donc $(EG)$ est parallèle à $(AC).$ D'après la propriété 2, $(AC)$ est parallèle à $(IJ).$
$(AC)$ est parallèle au plan $(IJK)$
3
(IK) et (FG)
Dans le parallélogramme $EFGH,$ $I$ et $K$ sont les milieux de deux côtés opposés : $(IK)$ est parallèle à $(FG).$ Or $(FG)$ est parallèle à $(BC).$
$(BC)$ est parallèle au plan $(IJK)$

(AC)

(BC)

sont parallèles au plan

(IJK)

L’erreur à ne pas faire

$(AC)$ ne rencontre pas le triangle $IJK,$ donc elle est parallèle au plan $(IJK)$ $(AC)$ est parallèle à $(IJ),$ une droite du plan $(IJK),$ donc elle est parallèle à ce plan
Un plan est illimité : ne pas rencontrer un triangle tracé dans le plan ne prouve rien. On applique la définition.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou parallélépipède ABCDEFGH, w I, J, K houma les milieux mta3 [EF], [FG] w [GH]. N7ebbou nbayynou elli la droite (AC) parallèle au plan (IJK). La méthode : nlawwjou fel plan 3la droite wa7da parallèle à la droite (AC). Fi le triangle EFG, la droite (IJ) parallèle à la droite (EG). W AEGC parallélogramme, donc la droite (EG) parallèle à la droite (AC). B la propriété 2, la droite (AC) parallèle à la droite (IJ). W la droite (IJ) hiya fi le plan (IJK). Donc la droite (AC) parallèle au plan (IJK). W kif kif : la droite (BC) parallèle à la droite (FG), w la droite (FG) parallèle à la droite (IK). Donc la droite (BC) parallèle au plan (IJK). »

Application

Un plan parallèle à deux droites

1. Soient $D$ et $D'$ deux droites non coplanaires et $A$ un point. On désigne par $\Delta$ la parallèle à la droite $D$ passant par $A$ et par $\Delta'$ la parallèle à la droite $D'$ passant par $A.$

Il existe un plan et un seul passant par $A$ et parallèle à la droite $D$ et à la droite $D'$ : c'est le plan défini par les droites $\Delta$ et $\Delta'.$

2. Soit $ABCD$ un tétraèdre et $M$ un point du segment $[AC]$ distinct de $A$ et de $C.$ Le plan passant par $M$ et parallèle aux droites $(AB)$ et $(CD)$ coupe les droites $(BC),$ $(BD)$ et $(AD)$ en $N,$ $P$ et $Q.$

Le plan passant par M et parallèle à (AB) et à (CD) coupe le tétraèdre suivant MNPQ.

Exemple traité

a) Construire les points $N,$ $P$ et $Q.$ b) Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.

1
Le point N
Le plan passe par $M$ et il est parallèle à $(AB)$ : d'après la propriété 3, il contient la parallèle à $(AB)$ passant par $M.$ Cette droite est dans le plan $(ABC)$ ; elle coupe $(BC)$ en $N.$
$(MN)$ est parallèle à $(AB)$
2
Le point Q
De même, le plan contient la parallèle à $(CD)$ passant par $M.$ Elle est dans le plan $(ACD)$ et coupe $(AD)$ en $Q.$
$(MQ)$ est parallèle à $(CD)$
3
Le point P
Le plan contient aussi la parallèle à $(CD)$ passant par $N.$ Elle est dans le plan $(BCD)$ et coupe $(BD)$ en $P.$
$(NP)$ est parallèle à $(CD)$
4
Le côté [PQ]
Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles ; l'une est dans le plan $(MNP),$ l'autre dans le plan $(ABD),$ et ces deux plans se coupent suivant $(PQ).$ D'après le théorème du toit, $(PQ)$ est parallèle à $(AB),$ donc à $(MN).$
$(PQ)$ est parallèle à $(MN)$
5
Conclusion
$(MQ)$ et $(NP)$ sont toutes les deux parallèles à $(CD)$ : elles sont parallèles. Les côtés opposés de $MNPQ$ sont parallèles deux à deux.
$MNPQ$ est un parallélogramme

MNPQ

est un parallélogramme

L’erreur à ne pas faire

Le plan passant par $M$ et parallèle à $(AB)$ coupe la face $ABC$ suivant une droite quelconque passant par $M$ Il coupe la face $ABC$ suivant la parallèle à $(AB)$ passant par $M$
D'après la propriété 3, la parallèle à (AB) passant par M est incluse dans ce plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou zouz droites D w D' non coplanaires, w point A. Men A narsmou Δ parallèle à D, w Δ' parallèle à D'. Δ w Δ' sécantes en A, donc y3arrfou plan. El plan hedha parallèle à D w parallèle à D', w houwa el wa7id elli yet3adda men A. Tawa exemple : tétraèdre ABCD, w point M 3la le segment [AC]. Ne5dhou el plan elli yet3adda men M w parallèle à la droite (AB) w à la droite (CD). B la propriété 3, fih la parallèle à la droite (AB) elli tet3adda men M : hiya coupe la droite (BC) en N. W fih la parallèle à la droite (CD) elli tet3adda men M : hiya coupe la droite (AD) en Q. W men N, la parallèle à la droite (CD) coupe la droite (BD) en P. El 7asel : la droite (MN) parallèle à la droite (PQ), w la droite (MQ) parallèle à la droite (NP). Donc MNPQ parallélogramme. »

Définition

Plans parallèles

Définition. On dit que deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus.

Ainsi, si $P$ et $Q$ sont deux plans : $P \parallel Q$ équivaut à $P \cap Q = \varnothing$ ou $P = Q.$

Vocabulaire. Si $P$ et $Q$ sont deux plans tels que $P \cap Q = \varnothing,$ on dit qu'ils sont strictement parallèles.

P et Q n’ont aucun point commun : ils sont strictement parallèles.

Exemple traité

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH$ : a) les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont-ils parallèles ? b) Les plans $(ABC)$ et $(ABF)$ sont-ils parallèles ?

1
(ABC) et (EFG)
Ce sont les plans de deux faces opposées, celle du dessous et celle du dessus : ils n'ont aucun point commun. Ils sont strictement parallèles.
a) oui
2
(ABC) et (ABF)
Ces deux plans sont distincts et ils ont en commun la droite $(AB)$ : ils sont sécants.
b) non

a) oui

;

b) non

L’erreur à ne pas faire

Deux faces d'un solide qui ne se touchent pas sont dans deux plans parallèlesDeux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun, même en les prolongeant
Un plan est illimité : deux faces qui ne se touchent pas peuvent être dans deux plans sécants.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa deux plans. La définition : on dit que deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus. Ya3ni P parallèle à Q ma3neha : P inter Q égale l'ensemble vide, walla P égale Q. W ken ma 3andhomch 7atta point commun, n9oulou 3lihom strictement parallèles. Mathalan fi parallélépipède, la face mta3 el louta w la face mta3 el fou9 fi zouz plans strictement parallèles. W thabbet mli7 : el plan ma youfech. Zouz faces elli ma yetle9awch 3la el dessin, les plans mte3hom ynajjmou ykounou sécants. »

Propriété

Propriétés 7, 8 et 9

Propriété 7. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l'un est parallèle à l'autre.

Propriété 8. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Propriété 9. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite qui perce l'un perce l'autre.

P et Q sont parallèles : D, contenue dans P, est parallèle à Q ; Δ, qui perce P en A, perce Q en B.

Exemple traité

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH,$ les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont parallèles. a) La droite $(EG)$ est-elle parallèle au plan $(ABC)$ ? b) La droite $(AE)$ perce le plan $(ABC)$ en $A$ : perce-t-elle le plan $(EFG)$ ? c) Les droites $(EG)$ et $(AB)$ sont-elles parallèles ?

1
Propriété 7
$(EG)$ est une droite du plan $(EFG),$ qui est parallèle au plan $(ABC).$
a) oui
2
Propriété 9
$(AE)$ perce l'un des deux plans parallèles : elle perce l'autre. Elle perce le plan $(EFG)$ au point $E.$
b) oui, en $E$
3
(EG) et (AB)
La parallèle à $(AB)$ passant par $E$ est $(EF),$ et non $(EG)$ : les droites $(EG)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
c) non

a) oui

;

b) oui, en

E \quad ;

c) non

L’erreur à ne pas faire

Si deux plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à toute droite de l'autreSi deux plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à l'autre plan
Dans le parallélépipède, $(EG)$ et $(AB)$ sont dans deux plans parallèles, mais elles ne sont pas parallèles : elles ne sont pas coplanaires.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki ykounou deux plans parallèles, 3andna trois propriétés. La propriété 7 : toute droite de l'un est parallèle à l'autre. La propriété 8 : toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre. W la propriété 9 : toute droite qui perce l'un perce l'autre. Chouf la figure : P w Q parallèles. La droite D fel plan P, donc D parallèle au plan Q. W la droite Δ perce le plan P en A, donc perce le plan Q zeda, en B. Ama thabbet mli7 : la droite D parallèle au plan Q, mouch l koll droite mta3 Q. »

Théorème

Propriété 10 : montrer que deux plans sont parallèles

Propriété 10. Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan $P',$ alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.

Remarque. On utilise souvent la propriété 10 pour montrer que deux plans sont parallèles.

Synthèse. Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un des plans sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. La réciproque vient de la propriété 7 : si les plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à l'autre.

D et Δ sont sécantes dans P, D′ et Δ′ sécantes dans P′, D parallèle à D′ et Δ parallèle à Δ′ : P et P′ sont parallèles.

Exemple traité

$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. Démontrer que les plans $(AFC)$ et $(DEG)$ sont parallèles.

1
(AC) et (EG)
$[AE]$ et $[CG]$ sont parallèles et de même longueur : $AEGC$ est un parallélogramme.
$(AC)$ est parallèle à $(EG)$
2
(AF) et (DG)
$[AD]$ et $[FG]$ sont parallèles et de même longueur : $ADGF$ est un parallélogramme.
$(AF)$ est parallèle à $(DG)$
3
Propriété 10
Les droites $(AC)$ et $(AF),$ sécantes en $A,$ sont deux droites du plan $(AFC).$ Elles sont parallèles aux droites $(EG)$ et $(DG),$ sécantes en $G,$ du plan $(DEG).$
$(AFC)$ est parallèle à $(DEG)$

(AFC)

(DEG)

sont parallèles

L’erreur à ne pas faire

Une droite de $P$ est parallèle à une droite de $P',$ donc $P$ et $P'$ sont parallèlesIl faut deux droites sécantes de $P$ parallèles à deux droites sécantes de $P'$
Avec une seule direction commune, les deux plans peuvent être sécants : c'est la situation du théorème du toit.
Deux droites parallèles de $P$ sont parallèles à deux droites de $P',$ donc $P$ et $P'$ sont parallèlesLes deux droites de $P$ doivent être sécantes
Deux droites parallèles ne donnent qu'une seule direction.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nbayynou elli deux plans parallèles ? B la propriété 10. Si deux droites sécantes d'un plan P sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan P', alors les plans P et P' sont parallèles. Chouf la figure : D w Δ sécantes fel plan P, D' w Δ' sécantes fel plan P'. D parallèle à D', w Δ parallèle à Δ'. Donc P parallèle à P'. Nbayynouha par l'absurde : ken P w P' sécants, l'intersection mte3hom droite δ. B la propriété 5, D parallèle à δ, w Δ parallèle à δ. Donc D parallèle à Δ : hedha ma yjich, 5ater D w Δ sécantes. W thabbet mli7 : lezem zouz droites sécantes. Droite wa7da ma tekfich. »

Théorème

Propriétés 11 et 12

Propriété 11. Par un point donné passe un plan et un seul parallèle à un plan donné.

Propriété 12. Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles.

On retient aussi : deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles.

P et P′ sont parallèles : le plan Q les coupe suivant deux droites parallèles D et D′.

Exemple traité

$P$ et $P'$ sont deux plans parallèles. Une droite $\Delta$ coupe $P$ en $A$ et $P'$ en $B.$ Une droite $\Delta',$ parallèle à $\Delta$ et distincte de $\Delta,$ coupe $P$ en $C$ et $P'$ en $D.$ Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?

1
Un plan
Les droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont strictement parallèles : elles sont contenues dans un plan $Q,$ qui contient les quatre points $A,$ $B,$ $C$ et $D.$
$(AB)$ est parallèle à $(CD)$
2
Propriété 12
Le plan $Q$ coupe le plan $P$ suivant la droite $(AC)$ et le plan $P'$ suivant la droite $(BD).$ Comme $P$ et $P'$ sont parallèles, ces deux droites sont parallèles.
$(AC)$ est parallèle à $(BD)$
3
Conclusion
Les côtés opposés du quadrilatère $ABDC$ sont parallèles deux à deux.
$ABDC$ est un parallélogramme

ABDC

est un parallélogramme

L’erreur à ne pas faire

Par un point, il passe plusieurs plans parallèles à un plan donnéPar un point, il passe un seul plan parallèle à un plan donné
C'est la propriété 11 : elle permet de parler « du » plan passant par un point et parallèle à un plan.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz propriétés o5rin. La propriété 11 : par un point donné passe un plan et un seul parallèle à un plan donné. W la propriété 12 : si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles. Chouf la figure : P w P' parallèles, w el plan Q coupe P suivant la droite D. Donc Q coupe P' zeda, suivant droite D'. W D parallèle à D'. 3lech parallèles ? Ez-zouz fel plan Q, donc coplanaires. W ma 3andhomch 7atta point commun, 5ater P w P' ma yetle9awch. La propriété 12 hedhi nesta3mlouha barcha fi les sections. »

Application

Exemple : un plan parallèle à une face

On considère un tétraèdre $ABCD$ et on désigne par $I$ le point du segment $[AD]$ tel que $DI = \dfrac{1}{4}DA.$ Le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(ABC)$ coupe les droites $(DB)$ et $(DC)$ respectivement en $J$ et $K.$

Chaque face issue de $D$ coupe ces deux plans parallèles : la propriété 12 donne des droites parallèles, et le théorème de Thalès donne les longueurs.

DI = ¼ DA ; le plan passant par I et parallèle à (ABC) coupe (DB) en J et (DC) en K.

Exemple traité

a) Montrer que les droites $(AB)$ et $(IJ)$ sont parallèles. b) Placer les points $J$ et $K.$ c) Montrer que les droites $(BC)$ et $(JK)$ sont parallèles. d) Calculer $\dfrac{JK}{BC}.$

1
(IJ) et (AB)
Le plan $(ABD)$ coupe le plan $(ABC)$ suivant $(AB)$ et le plan $(IJK)$ suivant $(IJ).$ Ces deux plans sont parallèles : d'après la propriété 12, les droites d'intersection sont parallèles.
$(IJ)$ est parallèle à $(AB)$
2
Le point J
Dans le triangle $DAB,$ $(IJ)$ est parallèle à $(AB)$ : d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{DJ}{DB} = \dfrac{DI}{DA}.$
$DJ = \dfrac{1}{4}DB$
3
Le point K
De même, dans le plan $(ACD),$ $(IK)$ est parallèle à $(AC).$
$DK = \dfrac{1}{4}DC$
4
(JK) et (BC)
Le plan $(BCD)$ coupe les deux plans parallèles suivant $(BC)$ et $(JK).$
$(JK)$ est parallèle à $(BC)$
5
Le rapport
Dans le triangle $DBC,$ d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{DJ}{DB}.$
$\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{1}{4}$

\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{1}{4}

L’erreur à ne pas faire

$DI = \dfrac{1}{4}DA,$ donc $\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{3}{4}$ $\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{DJ}{DB} = \dfrac{DI}{DA} = \dfrac{1}{4}$
Le rapport de Thalès se lit à partir du sommet $D$ : $\dfrac{3}{4}$ est le rapport $\dfrac{AI}{AD}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou tétraèdre ABCD, w point I 3la le segment [AD], DI égale un quart de DA. El plan elli yet3adda men I w parallèle au plan (ABC), coupe la droite (DB) en J w la droite (DC) en K. Le plan (ABD) coupe les deux plans parallèles : suivant la droite (AB) w suivant la droite (IJ). Donc b la propriété 12, la droite (IJ) parallèle à la droite (AB). W b le théorème de Thalès fi le triangle DAB, DJ égale un quart de DB. Kif kif, le plan (BCD) coupe les deux plans suivant la droite (BC) w la droite (JK), donc la droite (JK) parallèle à la droite (BC). W b le théorème de Thalès fi le triangle DBC, JK sur BC égale un quart. »

Exemple

Exemple : passer par un plan parallèle

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède et $I,$ $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[AB],$ $[EF]$ et $[GH].$

Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, on peut aussi montrer qu'elle est contenue dans un plan parallèle à ce plan : on conclut par la propriété 7.

I, J et K sont les milieux de [AB], [EF] et [GH]. Le plan (IEH) est parallèle au plan (BCK).

Exemple traité

1) Montrer que les points $B,$ $C,$ $K$ et $J$ sont coplanaires. Soit $P$ le plan qui les contient. 2) Montrer que la droite $(IH)$ est parallèle au plan $P.$

1
(JK) et (FG)
Dans le parallélogramme $EFGH,$ $J$ et $K$ sont les milieux des côtés opposés $[EF]$ et $[GH].$
$(JK)$ est parallèle à $(FG)$
2
Coplanaires
$(FG)$ est parallèle à $(BC)$ : d'après la propriété 2, $(JK)$ est parallèle à $(BC).$ Deux droites parallèles sont contenues dans un même plan.
$B,\$ $C,\$ $K$ et $J$ sont coplanaires
3
(IE) et (BJ)
$[IB]$ et $[EJ]$ sont parallèles et de même longueur, car $I$ et $J$ sont les milieux de deux côtés opposés du parallélogramme $ABFE$ : $IBJE$ est un parallélogramme.
$(IE)$ est parallèle à $(BJ)$
4
(EH) et (BC)
$(EH)$ est parallèle à $(FG),$ elle-même parallèle à $(BC).$
$(EH)$ est parallèle à $(BC)$
5
Propriété 10
Les droites $(IE)$ et $(EH),$ sécantes en $E,$ sont parallèles aux droites $(BJ)$ et $(BC),$ sécantes en $B.$
le plan $(IEH)$ est parallèle au plan $P$
6
Propriété 7
La droite $(IH)$ est une droite du plan $(IEH),$ qui est parallèle au plan $P.$
$(IH)$ est parallèle au plan $P$

(IH)

est parallèle au plan

P

L’erreur à ne pas faire

Pour montrer que $(IH)$ est parallèle à $P,$ il faut absolument trouver dans $P$ une droite parallèle à $(IH)$ On peut aussi montrer que $(IH)$ est contenue dans un plan parallèle à $P$
D'après la propriété 7, toute droite d'un plan est parallèle à tout plan qui lui est parallèle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou parallélépipède ABCDEFGH, w I, J, K houma les milieux mta3 [AB], [EF] w [GH]. La droite (JK) parallèle à la droite (FG), w la droite (FG) parallèle à la droite (BC). Donc B, C, K w J coplanaires : nsammiw el plan mte3hom P. N7ebbou nbayynou elli la droite (IH) parallèle au plan P. Famma tari9a o5ra : nal9aw plan fih la droite (IH), w parallèle au plan P. Ne5dhou le plan (IEH). La droite (IE) parallèle à la droite (BJ), 5ater IBJE parallélogramme. W la droite (EH) parallèle à la droite (BC). Donc b la propriété 10, le plan (IEH) parallèle au plan P. W b la propriété 7, la droite (IH) parallèle au plan P. »

Exemple

Exemple : les milieux des arêtes d’une pyramide

Dans la pyramide $SABCD,$ la base $ABCD$ est un carré. Les points $I,$ $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SA],$ $[SB]$ et $[SC].$

I, J, K et L sont les milieux de [SA], [SB], [SC] et [SD].

Exemple traité

1) Montrer que les plans $(IJK)$ et $(ABC)$ sont parallèles. 2) Justifier que la droite $(SD)$ perce le plan $(IJK)$ en un point $L.$ 3) Montrer que les droites $(IL)$ et $(AD)$ sont parallèles, puis que $L$ est le milieu du segment $[SD].$ 4) Quelle est la nature du quadrilatère $IJKL$ ?

1
Deux droites sécantes
Dans les triangles $SAB$ et $SBC,$ la droite des milieux $(IJ)$ est parallèle à $(AB)$ et la droite des milieux $(JK)$ est parallèle à $(BC).$ On applique la propriété 10.
le plan $(IJK)$ est parallèle au plan $(ABC)$
2
Le point L
La droite $(SD)$ perce le plan $(ABC)$ en $D.$ D'après la propriété 9, elle perce aussi le plan $(IJK),$ en un point $L.$
$(SD) \cap (IJK) = \{L\}$
3
$(IL)$ et $(AD)$
Le plan $(SAD)$ coupe les deux plans parallèles suivant $(AD)$ et $(IL)$ : d'après la propriété 12, ces deux droites sont parallèles.
$(IL)$ est parallèle à $(AD)$
4
Le milieu
Dans le triangle $SAD,$ la droite $(IL)$ passe par le milieu $I$ de $[SA]$ et elle est parallèle à $(AD)$ : elle coupe $[SD]$ en son milieu.
$L$ est le milieu de $[SD]$
5
IJKL
Chaque côté de $IJKL$ mesure la moitié d'un côté du carré $ABCD,$ et ses diagonales mesurent la moitié de celles du carré : $IK$ est la moitié de $AC$ et $JL$ la moitié de $BD.$ Il a donc quatre côtés de même longueur et deux diagonales de même longueur.
$IJKL$ est un carré

IJKL

est un carré

L’erreur à ne pas faire

$I,$ $J$ et $K$ sont des milieux, donc $L$ est le milieu de $[SD]$ $L$ est le milieu de $[SD]$ parce que $(IL)$ est parallèle à $(AD)$ et que $I$ est le milieu de $[SA]$
$L$ est défini comme le point où $(SD)$ perce le plan $(IJK)$ : qu'il soit au milieu se démontre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou pyramide SABCD, la base ABCD carré, w I, J, K houma les milieux mta3 [SA], [SB] w [SC]. La droite (IJ) parallèle à la droite (AB), w la droite (JK) parallèle à la droite (BC). Donc b la propriété 10, le plan (IJK) parallèle au plan (ABC). La droite (SD) perce le plan (ABC) en D, donc b la propriété 9, perce le plan (IJK) zeda, fi point L. Le plan (SAD) coupe les deux plans parallèles suivant la droite (AD) w la droite (IL), donc la droite (IL) parallèle à la droite (AD). W I milieu de [SA], donc L milieu de [SD]. El 7asel : IJKL 3andou quatre côtés égaux w deux diagonales égales : houwa carré. »

Méthode

Sections planes : la section d’un cube

La section d'un solide par un plan est l'intersection de ce plan avec les faces du solide.

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un cube ; les points $I,$ $J$ et $K$ appartiennent respectivement aux arêtes $[EH],$ $[EF]$ et $[CG].$ On se propose de représenter la section du cube par le plan $(IJK).$

Méthode. Sur chaque face, on cherche deux points du plan : on les obtient en prolongeant une droite déjà connue jusqu'à une droite de cette face. Sur deux faces parallèles, les deux segments de la section sont parallèles (propriété 12).

La section du cube par le plan (IJK) est le pentagone IJRKN.

Exemple traité

1) Construire le point $M,$ intersection des droites $(IJ)$ et $(HG).$ 2) Construire l'intersection du plan $(IJK)$ avec la face $CDHG,$ puis avec la face $ADHE.$ 3) Construire les intersections du plan $(IJK)$ avec la face $BCGF$ et avec la face $ABFE.$ 4) Conclure.

1
Le point M
$(IJ)$ et $(HG)$ sont deux droites du plan de la face $EFGH,$ et elles ne sont pas parallèles : on les prolonge jusqu'à leur point d'intersection $M.$
$(IJ) \cap (HG) = \{M\}$
2
Deux plans
$M$ est sur $(IJ),$ donc dans le plan $(IJK)$ ; $M$ est sur $(HG),$ donc dans le plan de la face $CDHG.$ Le point $K$ est lui aussi dans ces deux plans.
$(IJK) \cap (CDH) = (MK)$
3
La face CDHG
La droite $(MK)$ coupe l'arête $[DH]$ en un point $N$ : sur cette face, la section est le segment $[NK].$
$[NK]$
4
La face ADHE
$I$ et $N$ sont dans le plan $(IJK)$ et sur la face $ADHE$ : la section y est le segment $[IN].$
$[IN]$
5
La face BCGF
Les faces $ADHE$ et $BCGF$ sont parallèles : d'après la propriété 12, le plan $(IJK)$ les coupe suivant deux droites parallèles. On trace par $K$ la parallèle à $(IN)$ ; elle coupe $[BF]$ en $R.$
$(KR)$ est parallèle à $(IN)$
6
La face ABFE
$J$ et $R$ sont dans le plan $(IJK)$ et sur la face $ABFE$ : la section y est le segment $[JR],$ parallèle à $(NK).$
$[JR]$

la section est le pentagone

IJRKN

L’erreur à ne pas faire

On joint $K$ à $I$ et à $J$ : la section est le triangle $IJK$ Les segments $[KI]$ et $[KJ]$ traversent l'intérieur du cube : la section est faite de segments tracés sur les faces
Un côté de la section joint deux points d'une même face.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa les sections planes. La section mta3 solide b plan, hiya l'intersection mta3 el plan m3a les faces mta3 el solide. Ne5dhou cube ABCDEFGH, I 3la l'arête [EH], J 3la l'arête [EF] w K 3la l'arête [CG]. Nlawwjou 3la la section b le plan (IJK). Fi la face mta3 el fou9, 3andna le segment [IJ]. Ntawwlou la droite (IJ) 7atta tetle9a m3a la droite (HG) fi point M. M fi le plan (IJK), w M fel plan mta3 la face CDHG. K zeda fez-zouz. Donc la droite (MK) coupe l'arête [DH] en N : 3andna le segment [NK] w le segment [IN]. Tawa la face BCGF parallèle à la face ADHE. B la propriété 12, narsmou men K la parallèle à la droite (IN) : hiya coupe l'arête [BF] en R. W nkammlou b le segment [JR]. El 7asel : la section hiya le pentagone IJRKN. »

Exemple

Exemple : une section parallèle à la base

$SABCD$ est une pyramide dont la base est un trapèze $ABCD,$ de côtés parallèles $[AB]$ et $[CD].$ $M$ est un point de l'arête $[SA].$

On construit la section de cette pyramide par le plan passant par $M$ et parallèle au plan $(ABC).$

Le plan passant par M et parallèle à (ABC) coupe la pyramide suivant MNPQ.

Exemple traité

Construire la section de la pyramide par le plan passant par $M$ et parallèle au plan $(ABC).$

1
Dans la face SAB
Le plan $(SAB)$ coupe le plan $(ABC)$ suivant $(AB).$ D'après la propriété 12, il coupe le plan parallèle suivant la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ ; elle coupe $[SB]$ en $N.$
$(MN)$ est parallèle à $(AB)$
2
Dans la face SBC
On trace par $N$ la parallèle à $(BC)$ ; elle coupe $[SC]$ en $P.$
$(NP)$ est parallèle à $(BC)$
3
Dans la face SCD
On trace par $P$ la parallèle à $(CD)$ ; elle coupe $[SD]$ en $Q.$
$(PQ)$ est parallèle à $(CD)$
4
On ferme
Dans la face $SAD,$ le segment $[QM]$ est parallèle à $(DA).$
$(QM)$ est parallèle à $(DA)$

la section est le quadrilatère

MNPQ

L’erreur à ne pas faire

$(MN)$ est parallèle à $(AB)$ et $(PQ)$ est parallèle à $(CD)$ : on ne peut rien dire de $(MN)$ et $(PQ)$ Comme $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles : la section est un trapèze, comme la base
C'est la propriété 2, appliquée deux fois.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Exemple e5er : pyramide SABCD, la base trapèze, w point M 3la l'arête [SA]. Nlawwjou 3la la section bel plan elli yet3adda men M w parallèle au plan (ABC). B la propriété 12, koll face coupe les deux plans parallèles suivant deux droites parallèles. Fi la face SAB, narsmou men M la parallèle à la droite (AB) : hiya coupe l'arête [SB] en N. Men N, la parallèle à la droite (BC) coupe l'arête [SC] en P. Men P, la parallèle à la droite (CD) coupe l'arête [SD] en Q. W nsakkrou b le segment [QM], parallèle à la droite (DA). La section hiya le quadrilatère MNPQ : trapèze kima la base. »

Propriété

Positions relatives de droites et de plans

Deux droites distinctes de l'espace sont :

soit coplanaires : elles sont alors sécantes en un point, ou strictement parallèles ;
soit non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes les deux.

Une droite et un plan de l'espace sont :

soit sécants : ils ont un point d'intersection ;
soit parallèles : ils sont strictement parallèles, ou la droite est contenue dans le plan.

Deux plans sont :

soit sécants : ils ont une droite d'intersection ;
soit parallèles : ils sont strictement parallèles, ou confondus.

Exemple traité

Dans un cube $ABCDEFGH,$ donner la position relative : a) des droites $(AB)$ et $(CG)$ ; b) de la droite $(AC)$ et du plan $(EFG)$ ; c) des plans $(ABF)$ et $(DCG).$

1
(AB) et (CG)
Le seul plan qui contient $(AB)$ et $C$ est le plan $(ABC),$ et $G$ n'y est pas.
a) non coplanaires
2
(AC) et (EFG)
$(AC)$ est parallèle à $(EG),$ une droite du plan $(EFG),$ et elle n'a aucun point dans ce plan.
b) strictement parallèles
3
(ABF) et (DCG)
$(AB)$ et $(BF),$ sécantes en $B,$ sont parallèles à $(DC)$ et $(CG),$ sécantes en $C$ : d'après la propriété 10, les deux plans sont parallèles. Ce sont deux faces opposées, sans point commun.
c) strictement parallèles

a) non coplanaires

;

b) et c) strictement parallèles

L’erreur à ne pas faire

Deux droites de l'espace sont soit sécantes, soit parallèlesDeux droites de l'espace sont soit sécantes, soit parallèles, soit non coplanaires
Le troisième cas n'existe pas dans le plan : c'est celui qu'on oublie.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nlemmou les positions relatives. Deux droites distinctes de l'espace : ya coplanaires, ya non coplanaires. Ken coplanaires, ya sécantes en un point, ya strictement parallèles. Droite w plan : ya sécants, 3andhom point d'intersection, ya parallèles. W parallèles ma3neha : strictement parallèles, walla la droite fel plan. Deux plans : ya sécants, 3andhom droite d'intersection, ya parallèles. W parallèles ma3neha : strictement parallèles, walla confondus. Thabbet mli7 : fi l'espace, zouz droites ynajjmou ma ykounouch la sécantes la parallèles. »

Application

Un problème pour aller plus loin : le lieu des milieux

Soient $ABCD$ un tétraèdre, $E$ un point variable de la droite $(AB)$ et $F$ un point variable de la droite $(CD).$ On note $G$ le milieu de $[EF].$

On cherche le lieu géométrique des points $G,$ c'est-à-dire l'ensemble des positions de $G$ lorsque le point $E$ décrit la droite $(AB)$ et le point $F$ décrit la droite $(CD).$

On note $I,$ $J,$ $K$ et $L$ les milieux respectifs des arêtes $[AC],$ $[BC],$ $[BD]$ et $[AD].$

I, J, K et L sont les milieux de [AC], [BC], [BD] et [AD] ; G est le milieu de [EF].

Exemple traité

1) Montrer que l'ensemble cherché contient les points $I,$ $J,$ $K$ et $L.$ 2) On suppose que $E$ est fixé en $A.$ Quel est l'ensemble des points $G$ lorsque le point $F$ décrit $(CD)$ ? 3) On construit les points $M$ et $N$ tels que $EBJM$ et $FCJN$ soient des parallélogrammes. Montrer que $M$ et $N$ appartiennent au plan $(IJK),$ puis préciser le milieu de $[MN].$ 4) Conclure.

1
Quatre positions
Quand $E$ est en $A$ et $F$ en $C,$ $G$ est le milieu de $[AC]$ : c'est $I.$ De même, $E$ en $B$ et $F$ en $C$ donnent $J$ ; $E$ en $B$ et $F$ en $D$ donnent $K$ ; $E$ en $A$ et $F$ en $D$ donnent $L.$
$I,\$ $J,\$ $K$ et $L$ sont des positions de $G$
2
E fixé en A
$G$ est le milieu de $[AF],$ où $F$ décrit $(CD).$ Dans le plan $(ACD),$ d'après le théorème des milieux, $G$ décrit la droite parallèle à $(CD)$ qui passe par $I$ et par $L.$
$G$ décrit la droite $(IL)$
3
Le point M
$EBJM$ est un parallélogramme : $(JM)$ est parallèle à $(BE),$ c'est-à-dire à $(AB).$ Or, dans le triangle $ABC,$ la droite $(IJ)$ est la parallèle à $(AB)$ passant par $J.$
$M \in (IJ)$
4
Le point N
$FCJN$ est un parallélogramme : $(JN)$ est parallèle à $(CF),$ c'est-à-dire à $(CD).$ Or, dans le triangle $BCD,$ la droite $(JK)$ est la parallèle à $(CD)$ passant par $J.$
$N \in (JK)$
5
Le milieu de [MN]
Les segments $[EM]$ et $[BJ]$ sont parallèles et de même longueur, ainsi que $[FN]$ et $[CJ].$ Comme $J$ est le milieu de $[BC],$ les segments $[EM]$ et $[NF]$ sont parallèles, de même longueur et de même sens : $EMFN$ est un parallélogramme. Ses diagonales $[EF]$ et $[MN]$ ont le même milieu.
$G$ est le milieu de $[MN]$
6
Conclusion
$M$ et $N$ sont dans le plan $(IJK),$ donc la droite $(MN)$ y est contenue, et le milieu $G$ de $[MN]$ aussi. Inversement, on admet que tout point de ce plan est le milieu d'un tel segment $[EF].$
$G \in (IJK)$

le lieu des points

G

est le plan

(IJK)

L’erreur à ne pas faire

Le lieu des points $G$ est le parallélogramme $IJKL$ Le lieu des points $G$ est le plan $(IJK)$ tout entier
$E$ et $F$ décrivent les droites $(AB)$ et $(CD),$ pas seulement les arêtes : $G$ sort du parallélogramme $IJKL.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5tmou b problème. 3andna tétraèdre ABCD, point E yemchi 3la la droite (AB), w point F yemchi 3la la droite (CD). G houwa le milieu de [EF]. Win yemchi G ? I, J, K w L houma les milieux mta3 [AC], [BC], [BD] w [AD]. Ki E fi A w F fi C, G houwa I. W kif kif nal9aw J, K w L. Donc le lieu fih les quatre points hedhom, w houma el koll fi le plan (IJK). Tawa nebniw M w N, bech EBJM w FCJN ykounou parallélogrammes. M 3la la droite (IJ), w N 3la la droite (JK), donc ez-zouz fi le plan (IJK). W G houwa le milieu de [MN], donc G fi le plan (IJK). El 7asel : le lieu des points G houwa le plan (IJK). »

À retenir

1.
Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont contenues dans un même plan et si elles sont parallèles dans ce plan. Deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires.
2.
Par un point de l'espace passe une unique droite parallèle à une droite donnée. Deux droites strictement parallèles déterminent un unique plan.
3.
Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles.
4.
Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Toute droite qui lui est parallèle et qui passe par un point du plan est alors incluse dans ce plan.
5.
Si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre. Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.
6.
Théorème du toit : si deux droites parallèles sont contenues respectivement dans deux plans sécants, alors elles sont parallèles à la droite d'intersection de ces deux plans.
7.
Deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus. Si deux plans sont parallèles : toute droite de l'un est parallèle à l'autre, toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre, toute droite qui perce l'un perce l'autre.
8.
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre.
9.
Par un point donné passe un unique plan parallèle à un plan donné. Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles.
10.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles : c'est ce qui sert à construire les sections.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/27

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Cours lu: 0/103
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont parallèles
Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan
Utiliser le théorème du toit pour déterminer l'intersection de deux plans
Démontrer que deux plans sont parallèles
Utiliser les propriétés des plans parallèles pour construire la section d'un solide par un plan

Pour comprendre : des parallèles dans un tétraèdre

Dans le tétraèdre $ABCD$ de la figure, les points $I$ , $J$ , $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ , $[CD]$ , $[IJ]$ et $[BJ]$ .

Dans l'espace, avant de dire que deux droites sont parallèles, on cherche un plan qui les contient toutes les deux : c'est dans ce plan qu'on applique la géométrie plane, par exemple le théorème des milieux.

I, J, K et L sont les milieux de [AB], [CD], [IJ] et [BJ].

Le piège

Les droites $(IJ)$ et $(AD)$ ne se coupent pas, donc elles sont parallèles

Les droites $(IJ)$ et $(AD)$ ne sont pas coplanaires : elles ne sont ni sécantes ni parallèles

Dans l'espace, deux droites sans point commun ne sont parallèles que si un même plan les contient.

Droites parallèles

Définition. Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont contenues dans un même plan et si elles sont parallèles dans ce plan.

Vocabulaire. Deux droites parallèles sont soit confondues, soit distinctes. Lorsqu'elles sont distinctes, on dit qu'elles sont strictement parallèles.

Remarque. Deux droites $D$ et $D'$ de l'espace telles que $D \cap D' = \varnothing$ ne sont pas forcément parallèles.

Fig. 1 : D et D′ sont parallèles. Fig. 2 : D et D′ n’ont aucun point commun, mais ne sont pas parallèles.

Le piège

$D \cap D' = \varnothing$ , donc $D$ et $D'$ sont parallèles

$D$ et $D'$ sont parallèles si, en plus, elles sont contenues dans un même plan

Dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles ; dans l'espace, elles peuvent aussi être non coplanaires.

Le piège

Deux droites parallèles sont toujours distinctes

Deux droites parallèles sont soit confondues, soit strictement parallèles

Une droite est parallèle à elle-même : « strictement » précise que les deux droites sont distinctes.

Une parallèle par un point, un plan par deux parallèles

1. Soit $\Delta$ une droite de l'espace et $A$ un point n'appartenant pas à $\Delta$ . Il existe une droite et une seule passant par $A$ et parallèle à la droite $\Delta$ .

2. Soient $D$ et $D'$ deux droites strictement parallèles. Il existe un unique plan contenant $D$ et $D'$ .

Dans le plan P défini par la droite Δ et le point A, une seule parallèle à Δ passe par A.

Le piège

Par un point de l'espace, il passe une infinité de droites parallèles à une droite donnée

Par un point de l'espace, il passe une seule droite parallèle à une droite donnée

Toute parallèle est dans le plan défini par la droite et le point, et dans ce plan la parallèle est unique.

Propriétés 1 et 2

On admet les deux propriétés suivantes.

Propriété 1. Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.

Propriété 2. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

(AB) et (DC) sont parallèles, (DC) et (HG) aussi : (AB) et (HG) sont parallèles.

Le piège

$(AB)$ et $(HG)$ ne sont pas dans une même face, donc on ne peut rien dire

$(AB)$ et $(HG)$ sont toutes les deux parallèles à $(DC)$ : elles sont parallèles

La propriété 2 remplace la recherche d'un plan commun : il suffit d'une troisième droite parallèle aux deux.

Exemple : les milieux des arêtes d’un tétraèdre

On considère un tétraèdre $ABCD$ et on désigne par $I$ , $J$ , $K$ et $L$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ et $[DA]$ . Soit $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[AC]$ et $[BD]$ .

Dans chaque face, le théorème des milieux donne une parallèle à une arête ; la propriété 2 relie ensuite ces parallèles d'une face à l'autre.

IJKL et IMKN sont deux parallélogrammes : ils ont la même diagonale [IK].

Le piège

$(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles, donc $IJKL$ est un parallélogramme

$(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles et $IJ = LK$ , donc $IJKL$ est un parallélogramme

Deux côtés opposés parallèles donnent seulement un trapèze : il faut aussi l'égalité des longueurs, ou le parallélisme des deux autres côtés.

Exemple : des parallèles dans une pyramide

Dans la figure, $ABCDE$ est une pyramide de sommet $A$ dont la base $BCDE$ est un parallélogramme. Les points $M$ et $N$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AC]$ et $[AD]$ .

Dans le plan $(ACD)$ , on désigne par $I$ le symétrique de $M$ par rapport à $N$ .

M et N sont les milieux de [AC] et [AD] ; I est le symétrique de M par rapport à N.

Le piège

$(MN)$ est dans la face $ACD$ et $(EB)$ dans la base : elles ne peuvent pas être parallèles

$(MN)$ et $(EB)$ sont toutes les deux parallèles à $(CD)$ : elles sont parallèles

Deux droites de deux faces différentes peuvent être parallèles : la propriété 2 le montre sans chercher leur plan commun.

Pour comprendre : une droite et un plan

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède : $E$ , $F$ , $G$ et $H$ sont au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , et chaque face est un parallélogramme.

On regarde comment une droite se place par rapport à un plan : elle peut y être contenue, le percer en un point, ou ne pas le rencontrer du tout.

Le parallélépipède ABCDEFGH : (EG) ne rencontre pas le plan (ABC), (DH) le perce en D.

Le piège

La droite $(AB)$ a des points communs avec le plan $(ABC)$ , donc elle lui est sécante

La droite $(AB)$ est contenue dans le plan $(ABC)$ : elle ne lui est pas sécante

Une droite et un plan sont sécants lorsque leur intersection est un seul point.

Droite parallèle à un plan

Définition. On dit qu'une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Vocabulaire. Si une droite $D$ est parallèle à un plan $P$ , on dit aussi que le plan $P$ est parallèle à la droite $D$ , ou que le plan $P$ et la droite $D$ sont parallèles, et on écrit $D \parallel P$ ou $P \parallel D$ .

Si, de plus, $D \cap P = \varnothing$ , on dit que $D$ et $P$ sont strictement parallèles.

D est parallèle à une droite L du plan P : D est parallèle à P.

Le piège

Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à toute droite de ce plan

Si une droite est parallèle à un plan, alors elle est parallèle à une droite de ce plan

Dans le parallélépipède, $(EF)$ est parallèle au plan $(ABC)$ , mais elle n'est pas parallèle à $(BC)$ .

Le piège

Une droite contenue dans un plan n'est pas parallèle à ce plan

Une droite contenue dans un plan est parallèle à ce plan, mais pas strictement

Elle est parallèle à une droite du plan : elle-même.

Propriété 3

Propriété 3. Si une droite $D$ et un plan $P$ sont parallèles, alors toute droite parallèle à $D$ et passant par un point de $P$ est incluse dans le plan $P$ .

D est parallèle à P ; la parallèle à D passant par le point A de P est incluse dans P.

Le piège

La parallèle à $D$ passant par un point $A$ de $P$ peut percer le plan $P$ en $A$

Si $D$ est parallèle à $P$ , la parallèle à $D$ passant par $A$ est incluse dans $P$

C'est la propriété 3 : cette parallèle ne sort pas du plan.

Propriétés 4 et 5

Propriété 4. Si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

Propriété 5. Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.

D est parallèle aux plans sécants P et P′ : D est parallèle à leur droite d’intersection Δ.

Le piège

Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à toutes les droites de ces plans

Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur droite d'intersection

La seule droite qui soit à la fois dans les deux plans est leur droite d'intersection.

Propriété 6 : le théorème du toit

Propriété 6 (théorème du toit). Soit $D$ et $D'$ deux droites parallèles, et $P$ et $P'$ deux plans contenant respectivement $D$ et $D'$ .

Si $P$ et $P'$ sont sécants, alors leur droite d'intersection $\Delta$ est parallèle à $D$ et à $D'$ .

D est dans P, D′ est dans P′, D et D′ sont parallèles : la droite d’intersection Δ leur est parallèle.

Le piège

Deux plans qui contiennent deux droites parallèles sont parallèles

Deux plans qui contiennent deux droites parallèles peuvent être sécants : leur droite d'intersection est alors parallèle à ces deux droites

Les deux pans d'un toit contiennent deux bords parallèles, et pourtant ils se coupent le long du faîte.

Exemple : le théorème du toit dans une pyramide

Soit $SABCD$ une pyramide de sommet $S$ et de base $ABCD$ telle que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles. Sur la figure, les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en un point $E$ .

Deux faces opposées d'une pyramide ont toujours le sommet $S$ en commun : leurs plans sont sécants suivant une droite qui passe par $S$ . Il reste à en trouver un deuxième point, ou la direction.

(SAD) et (SBC) se coupent suivant (SE) ; (SAB) et (SCD) suivant la parallèle à (AB) passant par S.

Le piège

Les plans $(SAB)$ et $(SCD)$ n'ont que le point $S$ en commun

Les plans $(SAB)$ et $(SCD)$ ont en commun toute la parallèle à $(AB)$ passant par $S$

Deux plans distincts qui ont un point commun sont sécants suivant une droite ; le théorème du toit en donne la direction.

Exemple : des droites parallèles à un plan

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède et soit $I$ , $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[EF]$ , $[FG]$ et $[GH]$ .

Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, on cherche dans ce plan une droite qui lui est parallèle.

I, J et K sont les milieux de [EF], [FG] et [GH] : le plan (IJK) est le plan de la face du dessus.

Le piège

$(AC)$ ne rencontre pas le triangle $IJK$ , donc elle est parallèle au plan $(IJK)$

$(AC)$ est parallèle à $(IJ)$ , une droite du plan $(IJK)$ , donc elle est parallèle à ce plan

Un plan est illimité : ne pas rencontrer un triangle tracé dans le plan ne prouve rien. On applique la définition.

Un plan parallèle à deux droites

Il existe un plan et un seul passant par $A$ et parallèle à la droite $D$ et à la droite $D'$ : c'est le plan défini par les droites $\Delta$ et $\Delta'$ .

2. Soit $ABCD$ un tétraèdre et $M$ un point du segment $[AC]$ distinct de $A$ et de $C$ . Le plan passant par $M$ et parallèle aux droites $(AB)$ et $(CD)$ coupe les droites $(BC)$ , $(BD)$ et $(AD)$ en $N$ , $P$ et $Q$ .

Le plan passant par M et parallèle à (AB) et à (CD) coupe le tétraèdre suivant MNPQ.

Le piège

Le plan passant par $M$ et parallèle à $(AB)$ coupe la face $ABC$ suivant une droite quelconque passant par $M$

Il coupe la face $ABC$ suivant la parallèle à $(AB)$ passant par $M$

D'après la propriété 3, la parallèle à (AB) passant par M est incluse dans ce plan.

Plans parallèles

Définition. On dit que deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus.

Ainsi, si $P$ et $Q$ sont deux plans : $P \parallel Q$ équivaut à $P \cap Q = \varnothing$ ou $P = Q$ .

Vocabulaire. Si $P$ et $Q$ sont deux plans tels que $P \cap Q = \varnothing$ , on dit qu'ils sont strictement parallèles.

P et Q n’ont aucun point commun : ils sont strictement parallèles.

Le piège

Deux faces d'un solide qui ne se touchent pas sont dans deux plans parallèles

Deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun, même en les prolongeant

Un plan est illimité : deux faces qui ne se touchent pas peuvent être dans deux plans sécants.

Propriétés 7, 8 et 9

Propriété 7. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l'un est parallèle à l'autre.

Propriété 8. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Propriété 9. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite qui perce l'un perce l'autre.

P et Q sont parallèles : D, contenue dans P, est parallèle à Q ; Δ, qui perce P en A, perce Q en B.

Le piège

Si deux plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à toute droite de l'autre

Si deux plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à l'autre plan

Dans le parallélépipède, $(EG)$ et $(AB)$ sont dans deux plans parallèles, mais elles ne sont pas parallèles : elles ne sont pas coplanaires.

Propriété 10 : montrer que deux plans sont parallèles

Propriété 10. Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan $P'$ , alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles.

Remarque. On utilise souvent la propriété 10 pour montrer que deux plans sont parallèles.

Synthèse. Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un des plans sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. La réciproque vient de la propriété 7 : si les plans sont parallèles, toute droite de l'un est parallèle à l'autre.

D et Δ sont sécantes dans P, D′ et Δ′ sécantes dans P′, D parallèle à D′ et Δ parallèle à Δ′ : P et P′ sont parallèles.

Le piège

Une droite de $P$ est parallèle à une droite de $P'$ , donc $P$ et $P'$ sont parallèles

Il faut deux droites sécantes de $P$ parallèles à deux droites sécantes de $P'$

Avec une seule direction commune, les deux plans peuvent être sécants : c'est la situation du théorème du toit.

Le piège

Deux droites parallèles de $P$ sont parallèles à deux droites de $P'$ , donc $P$ et $P'$ sont parallèles

Les deux droites de $P$ doivent être sécantes

Deux droites parallèles ne donnent qu'une seule direction.

Propriétés 11 et 12

Propriété 11. Par un point donné passe un plan et un seul parallèle à un plan donné.

Propriété 12. Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles.

On retient aussi : deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles.

P et P′ sont parallèles : le plan Q les coupe suivant deux droites parallèles D et D′.

Le piège

Par un point, il passe plusieurs plans parallèles à un plan donné

Par un point, il passe un seul plan parallèle à un plan donné

C'est la propriété 11 : elle permet de parler « du » plan passant par un point et parallèle à un plan.

Exemple : un plan parallèle à une face

On considère un tétraèdre $ABCD$ et on désigne par $I$ le point du segment $[AD]$ tel que $DI = \dfrac{1}{4}DA$ . Le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(ABC)$ coupe les droites $(DB)$ et $(DC)$ respectivement en $J$ et $K$ .

Chaque face issue de $D$ coupe ces deux plans parallèles : la propriété 12 donne des droites parallèles, et le théorème de Thalès donne les longueurs.

DI = ¼ DA ; le plan passant par I et parallèle à (ABC) coupe (DB) en J et (DC) en K.

Le piège

$DI = \dfrac{1}{4}DA$ , donc $\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{JK}{BC} = \dfrac{DJ}{DB} = \dfrac{DI}{DA} = \dfrac{1}{4}$

Le rapport de Thalès se lit à partir du sommet $D$ : $\dfrac{3}{4}$ est le rapport $\dfrac{AI}{AD}$ .

Exemple : passer par un plan parallèle

Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède et $I$ , $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[AB]$ , $[EF]$ et $[GH]$ .

Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, on peut aussi montrer qu'elle est contenue dans un plan parallèle à ce plan : on conclut par la propriété 7.

I, J et K sont les milieux de [AB], [EF] et [GH]. Le plan (IEH) est parallèle au plan (BCK).

Le piège

Pour montrer que $(IH)$ est parallèle à $P$ , il faut absolument trouver dans $P$ une droite parallèle à $(IH)$

On peut aussi montrer que $(IH)$ est contenue dans un plan parallèle à $P$

D'après la propriété 7, toute droite d'un plan est parallèle à tout plan qui lui est parallèle.

Exemple : les milieux des arêtes d’une pyramide

Dans la pyramide $SABCD$ , la base $ABCD$ est un carré. Les points $I$ , $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[SA]$ , $[SB]$ et $[SC]$ .

I, J, K et L sont les milieux de [SA], [SB], [SC] et [SD].

Le piège

$I$ , $J$ et $K$ sont des milieux, donc $L$ est le milieu de $[SD]$

$L$ est le milieu de $[SD]$ parce que $(IL)$ est parallèle à $(AD)$ et que $I$ est le milieu de $[SA]$

$L$ est défini comme le point où $(SD)$ perce le plan $(IJK)$ : qu'il soit au milieu se démontre.

Sections planes : la section d’un cube

La section d'un solide par un plan est l'intersection de ce plan avec les faces du solide.

Dans la figure, $ABCDEFGH$ est un cube ; les points $I$ , $J$ et $K$ appartiennent respectivement aux arêtes $[EH]$ , $[EF]$ et $[CG]$ . On se propose de représenter la section du cube par le plan $(IJK)$ .

Méthode. Sur chaque face, on cherche deux points du plan : on les obtient en prolongeant une droite déjà connue jusqu'à une droite de cette face. Sur deux faces parallèles, les deux segments de la section sont parallèles (propriété 12).

La section du cube par le plan (IJK) est le pentagone IJRKN.

Le piège

On joint $K$ à $I$ et à $J$ : la section est le triangle $IJK$

Les segments $[KI]$ et $[KJ]$ traversent l'intérieur du cube : la section est faite de segments tracés sur les faces

Un côté de la section joint deux points d'une même face.

Exemple : une section parallèle à la base

$SABCD$ est une pyramide dont la base est un trapèze $ABCD$ , de côtés parallèles $[AB]$ et $[CD]$ . $M$ est un point de l'arête $[SA]$ .

On construit la section de cette pyramide par le plan passant par $M$ et parallèle au plan $(ABC)$ .

Le plan passant par M et parallèle à (ABC) coupe la pyramide suivant MNPQ.

Le piège

$(MN)$ est parallèle à $(AB)$ et $(PQ)$ est parallèle à $(CD)$ : on ne peut rien dire de $(MN)$ et $(PQ)$

Comme $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles : la section est un trapèze, comme la base

C'est la propriété 2, appliquée deux fois.

Positions relatives de droites et de plans

Deux droites distinctes de l'espace sont :

soit coplanaires : elles sont alors sécantes en un point, ou strictement parallèles ;
soit non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes les deux.

Une droite et un plan de l'espace sont :

soit sécants : ils ont un point d'intersection ;
soit parallèles : ils sont strictement parallèles, ou la droite est contenue dans le plan.

Deux plans sont :

soit sécants : ils ont une droite d'intersection ;
soit parallèles : ils sont strictement parallèles, ou confondus.

Le piège

Deux droites de l'espace sont soit sécantes, soit parallèles

Deux droites de l'espace sont soit sécantes, soit parallèles, soit non coplanaires

Le troisième cas n'existe pas dans le plan : c'est celui qu'on oublie.

Un problème pour aller plus loin : le lieu des milieux

Soient $ABCD$ un tétraèdre, $E$ un point variable de la droite $(AB)$ et $F$ un point variable de la droite $(CD)$ . On note $G$ le milieu de $[EF]$ .

On cherche le lieu géométrique des points $G$ , c'est-à-dire l'ensemble des positions de $G$ lorsque le point $E$ décrit la droite $(AB)$ et le point $F$ décrit la droite $(CD)$ .

On note $I$ , $J$ , $K$ et $L$ les milieux respectifs des arêtes $[AC]$ , $[BC]$ , $[BD]$ et $[AD]$ .

I, J, K et L sont les milieux de [AC], [BC], [BD] et [AD] ; G est le milieu de [EF].

Le piège

Le lieu des points $G$ est le parallélogramme $IJKL$

Le lieu des points $G$ est le plan $(IJK)$ tout entier

$E$ et $F$ décrivent les droites $(AB)$ et $(CD)$ , pas seulement les arêtes : $G$ sort du parallélogramme $IJKL$ .

À retenir

Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont contenues dans un même plan et si elles sont parallèles dans ce plan. Deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent être non coplanaires.
Par un point de l'espace passe une unique droite parallèle à une droite donnée. Deux droites strictement parallèles déterminent un unique plan.
Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles.
Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Toute droite qui lui est parallèle et qui passe par un point du plan est alors incluse dans ce plan.
Si deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre. Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.
Théorème du toit : si deux droites parallèles sont contenues respectivement dans deux plans sécants, alors elles sont parallèles à la droite d'intersection de ces deux plans.
Deux plans sont parallèles lorsqu'ils n'ont aucun point commun ou lorsqu'ils sont confondus. Si deux plans sont parallèles : toute droite de l'un est parallèle à l'autre, toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre, toute droite qui perce l'un perce l'autre.
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre.
Par un point donné passe un unique plan parallèle à un plan donné. Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles : c'est ce qui sert à construire les sections.

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : des parallèles dans un tétraèdre

Droites parallèles

Une parallèle par un point, un plan par deux parallèles

Propriétés 1 et 2

Exemple : les milieux des arêtes d’un tétraèdre

Exemple : des parallèles dans une pyramide

Pour comprendre : une droite et un plan

Droite parallèle à un plan

Propriété 3

Propriétés 4 et 5

Propriété 6 : le théorème du toit

Exemple : le théorème du toit dans une pyramide

Exemple : des droites parallèles à un plan

Un plan parallèle à deux droites

Plans parallèles

Propriétés 7, 8 et 9

Propriété 10 : montrer que deux plans sont parallèles

Propriétés 11 et 12

Exemple : un plan parallèle à une face

Exemple : passer par un plan parallèle

Exemple : les milieux des arêtes d’une pyramide

Sections planes : la section d’un cube

Exemple : une section parallèle à la base

Positions relatives de droites et de plans

Un problème pour aller plus loin : le lieu des milieux

À toi, au tableau

La droite des milieux dans une face

Deux droites d’une même face

Vrai ou faux : sans point commun

Un côté du quadrilatère des milieux

Sécante au plan ?

Où la droite perce le plan

Sécantes sur le dessin seulement ?

Deux parallélogrammes

Le périmètre du parallélogramme des milieux

Une droite parallèle à un plan diagonal

Vrai ou faux : parallèle à toutes les droites ?

Deux faces opposées d’une pyramide

Parallèles ou non ?

Un parallélogramme dans un tétraèdre

Deux plans parallèles dans un tétraèdre

Une longueur par la réciproque de Thalès

Couper deux plans parallèles

L’aire de la section

Le périmètre de l’hexagone

Le plus court chemin : où passer ?

Le plus court chemin : sa longueur

Le périmètre d’un trapèze du cube

Quand la section est un losange

Le faîte au centre du cube

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : des parallèles dans un tétraèdre

Droites parallèles

Une parallèle par un point, un plan par deux parallèles

Propriétés 1 et 2

Exemple : les milieux des arêtes d’un tétraèdre

Exemple : des parallèles dans une pyramide

Pour comprendre : une droite et un plan

Droite parallèle à un plan

Propriété 3

Propriétés 4 et 5

Propriété 6 : le théorème du toit

Exemple : le théorème du toit dans une pyramide

Exemple : des droites parallèles à un plan

Un plan parallèle à deux droites

Plans parallèles

Propriétés 7, 8 et 9

Propriété 10 : montrer que deux plans sont parallèles

Propriétés 11 et 12

Exemple : un plan parallèle à une face

Exemple : passer par un plan parallèle

Exemple : les milieux des arêtes d’une pyramide

Sections planes : la section d’un cube

Exemple : une section parallèle à la base

Positions relatives de droites et de plans

Un problème pour aller plus loin : le lieu des milieux

À retenir