Problèmes du 1er degré et problèmes du second degré

Mise en équation de problèmes du premier degré, inéquations du premier degré, valeur absolue et distance, équations et inéquations avec valeur absolue, quotients et racines carrées ; équation du second degré : définition, forme canonique, discriminant, résolution, discriminant réduit, somme et produit des racines, racines évidentes, équations se ramenant au second degré (bicarrées) ; factorisation et signe de ax² + bx + c, inéquations du second degré, signe d'un produit ou d'un quotient, problèmes.

22 sections · 104 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Ce chapitre apprend à mettre un problème en équation, puis à la résoudre : au premier degré d'abord — avec valeurs absolues, quotients et racines carrées —, puis au second degré, avec la forme canonique et le discriminant.

On y avance par problèmes : des aires, des tarifs, une pierre lancée, un astronaute. Tout se résume dans un seul tableau : racines, factorisation et signe de $ax^{2} + bx + c$ selon le signe de $\Delta.$

À la fin de ce chapitre, tu sais

Mettre un problème en équation ou en inéquation, et vérifier que la solution convient
Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue, quotients ou racines carrées
Résoudre une équation du second degré avec $\Delta,$ $\Delta',$ une racine évidente ou la somme et le produit
Factoriser $ax^{2} + bx + c$ et donner son signe
Résoudre des inéquations du second degré et des problèmes qui y mènent

Méthode

Mettre un problème en équation

Pour résoudre un problème, on suit toujours le même chemin :

1.choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente — avec ses conditions (une longueur est positive, un point est sur un segment…) ;
2.traduire l'énoncé par une équation ;
3.résoudre l'équation ;
4.vérifier que la solution convient au problème, puis conclure par une phrase.

Exemple : « je pense un nombre, je lui retranche $5,$ je multiplie le résultat par $2,$ puis j'ajoute $6$ et je divise par $5$ : j'obtiens $2$ ». Si $x$ est le nombre pensé, l'énoncé se traduit par $\dfrac{2(x - 5) + 6}{5} = 2,$ soit $2x - 4 = 10,$ d'où $x = 7.$

Le carré MNPA et le rectangle NQCR, ici pour x = 6/5.

le nombre pensé

\frac{2(x - 5) + 6}{5} = 2 \iff 2x - 4 = 10 \iff x = 7

Exemple traité

$ABCD$ est un rectangle avec $AB = 2$ et $BC = 3.$ $M$ est un point de $[AB]$ ; on construit le carré $MNPA$ et le rectangle $NQCR.$ Où placer $M$ pour que le carré et le rectangle aient la même aire ?

1
L'inconnue
On pose $x = AM$ : comme $M$ est sur $[AB],$ $x$ est entre $0$ et $2.$
$0 \le x \le 2$
2
Les deux aires
Le carré a pour côté $x$ ; le rectangle a pour côtés $NQ = 2 - x$ et $QC = 3 - x.$
$\mathcal{A}(MNPA) = x^{2} \qquad \mathcal{A}(NQCR) = (2 - x)(3 - x)$
3
L'équation
Les deux aires sont égales.
$x^{2} = (2 - x)(3 - x) \iff x^{2} = 6 - 5x + x^{2}$
4
Résoudre
Les $x^{2}$ s'en vont : il reste une équation du premier degré.
$5x = 6 \iff x = \frac{6}{5}$
5
Vérifier
La solution est bien entre $0$ et $2$ : elle convient.
$0 \le \frac{6}{5} \le 2$

AM = \frac{6}{5} = 1{,}2

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} = (2 - x)(3 - x)$ a deux solutions, puisqu'il y a des carrésEn développant, $x^{2} = 6 - 5x + x^{2}$ se réduit à $5x = 6$
On développe et on réduit avant de parler de degré : les $x^{2}$ peuvent s'éliminer.
Conclure par la solution de l'équation sans regarder le problèmeVérifier que la solution respecte les conditions de l'inconnue
Une longueur négative, ou un point hors du segment, ne répond pas au problème.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech n7ellou problème, 3andna quatre étapes : n5tarou l'inconnue w n9oulou chnowa ech-chourout mte3ha, nektbou l'énoncé fi chakl équation, n7ellou l'équation, w fel e5er nthabtou elli la solution tsla7 lel problème. Fi l'exemple du carré w du rectangle, x hiya A M, bin zéro w deux. L'aire du carré x carré, w l'aire du rectangle deux moins x fois trois moins x. Ki ndévelopper, les x carré yemchiw, w yo93ed cinq x égale six : x égale six cinquièmes. »

Application

Comparer deux tarifs

Deux agences louent des voitures identiques. Agence A : un forfait de $36$ dinars par jour, plus $0{,}450$ dinar par kilomètre. Agence B : un forfait de $20$ dinars par jour, plus $0{,}650$ dinar par kilomètre.

Pour $x$ kilomètres dans la journée, les prix sont $p_{A} = 36 + 0{,}45x$ et $p_{B} = 20 + 0{,}65x.$ Comparer les deux tarifs, c'est résoudre une inéquation du premier degré : on étudie le signe de la différence $p_{A} - p_{B}.$

les deux tarifs

p_{A} = 36 + 0{,}45x \qquad p_{B} = 20 + 0{,}65x

Exemple traité

Selon le nombre $x$ de kilomètres parcourus dans la journée, quelle agence est la plus avantageuse ?

1
Deux essais
Pour $50$ km, l'agence B coûte moins cher.
$p_{A}(50) = 58{,}5 \quad ; \quad$ $p_{B}(50) = 52{,}5$
2
Pour $150$ km, c'est l'agence A.
$p_{A}(150) = 103{,}5 \quad ; \quad$ $p_{B}(150) = 117{,}5$
3
L'inéquation
On cherche quand A est moins chère.
$p_{A} < p_{B} \iff 36 + 0{,}45x < 20 + 0{,}65x \iff 16 < 0{,}2x$
4
On divise par $0{,}2,$ qui est positif : le sens ne change pas.
$16 < 0{,}2x \iff x > 80$

x < 80 :

agence B

; \quad

x = 80 :

même prix

; \quad

x > 80 :

agence A

L’erreur à ne pas faire

L'agence B est toujours la moins chère, son forfait est plus petitAu-delà de $80$ km, l'agence A devient moins chère
Le prix au kilomètre de B est plus élevé : sur un long trajet, il finit par l'emporter sur le forfait.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'agence A : trente-six dinars w zéro virgule quatre cent cinquante l koll kilomètre. L'agence B : vingt dinars w zéro virgule six cent cinquante l koll kilomètre. Bech na3rfou chkoun ar5as, n7ellou l'inéquation trente-six plus zéro virgule quarante-cinq x inférieur à vingt plus zéro virgule soixante-cinq x. Ta3tina x supérieur à quatre-vingts. Ya3ni ta7t quatre-vingts kilomètres, B ar5as, w fou9 quatre-vingts, A ar5as. »

Méthode

Inéquations du premier degré

On résout une inéquation comme une équation, avec une seule précaution : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Ajouter ou retrancher un même nombre, multiplier ou diviser par un nombre positif, ne le change pas.

Dans un problème, l'inconnue a souvent déjà une condition (ici $x > 2$ ) : l'ensemble des solutions est la partie commune à cette condition et à la solution de l'inéquation.

Le triangle BMC dans le trapèze ABCD.

on peut ajouter

a < b \iff a + c < b + c

multiplier

k > 0 : \ a < b \iff ka < kb \qquad k < 0 : \ a < b \iff ka > kb

Exemple traité

Un trapèze $ABCD$ de hauteur $h$ a pour bases $AB = 4$ et $CD = x,$ avec $x > 2$ ; $M$ est le point de $[CD]$ tel que $DM = 2.$ Pour quels $x$ l'aire du triangle $BMC$ est-elle inférieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze ? comprise entre le quart et le tiers ?

1
Les aires
La base $MC$ vaut $x - 2,$ et la hauteur est celle du trapèze.
$\mathcal{A}(BMC) = \frac{(x - 2)h}{2} \qquad \mathcal{A}(ABCD) = \frac{(4 + x)h}{2}$
2
La moitié
On multiplie par $\dfrac{4}{h},$ qui est positif.
$\frac{(x - 2)h}{2} \le \frac{(4 + x)h}{4} \iff 2(x - 2) \le 4 + x$
3
Avec $x > 2$ : $x \in \,]2 ; 8].$
$2x - 4 \le 4 + x \iff x \le 8$
4
Entre le quart et le tiers
Après simplification par $\dfrac{h}{2}.$
$\frac{4 + x}{4} \le x - 2 \le \frac{4 + x}{3}$
5
On résout les deux inégalités, puis on garde les deux à la fois.
$4 + x \le 4x - 8 \iff x \ge 4 \qquad 3x - 6 \le 4 + x \iff x \le 5$

x \in \,]2 ; 8] \quad ; \quad

x \in [4 ; 5]

L’erreur à ne pas faire

$-2x < 6 \iff x < -3$ $-2x < 6 \iff x > -3$
On a divisé par $-2,$ un nombre négatif : le sens de l'inégalité change.
Répondre $x \le 8$ au problème $x \in \,]2 ; 8]$
L'énoncé impose $x > 2$ : on garde la partie commune.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'inéquation tet7all kif l'équation, ama b précaution wa7da : ki todhrob walla t9assem ezzouz membres 3la nombre négatif, le sens mta3 l'inégalité yetbaddel. Fi l'exemple du trapèze, l'aire du triangle B M C hiya la parenthèse x moins deux, fois h, le tout sur deux. Ki n7ottouha inférieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze, nal9aw x inférieur ou égal à huit. W 5ater x supérieur à deux, l'ensemble mte3na houwa deux exclu jusqu'à huit inclus. »

Propriété

Valeur absolue et distance

Sur une droite $\Delta$ munie d'un repère $(O, \vec{OI}),$ si $M$ a pour abscisse $x$ et $A$ pour abscisse $a,$ alors $AM = |x - a|.$ Ainsi $|x - 3|$ est la distance de $M$ au point d'abscisse $3,$ et $|x + 2| = |x - (-2)|$ la distance de $M$ au point d'abscisse $-2.$

Pour un réel $r > 0,$ cette lecture donne trois résultats :

$|x - a| = r$ : les deux points à la distance $r$ de $A$ ;
$|x - a| \le r$ : le segment de centre $A$ et de « rayon » $r$ ;
$|x - a| \ge r$ : tout ce qui est à l'extérieur de l'intervalle ouvert $]a - r ; a + r[.$

Sur Δ, |x − 3| est la distance de M au point C : |x − 3| = 2 donne x = 1 ou x = 5.

distance

AM = |x - a|

r > 0

|x - a| = r \iff x = a - r

x = a + r

|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r

|x - a| \ge r \iff x \le a - r

x \ge a + r

Exemple traité

Déterminer les points $M$ de la droite $\Delta$ tels que $|x - 3| = 2,$ puis ceux tels que $|x + 2| \le \dfrac{1}{2},$ puis ceux tels que $|x + 1| \ge 3.$

1
Une égalité
Les points à la distance $2$ du point $C$ d'abscisse $3.$
$|x - 3| = 2 \iff x = 1$ ou $x = 5$
2
Au plus 1/2
Le centre est le point $B$ d'abscisse $-2,$ le rayon $\dfrac{1}{2}.$
$|x + 2| \le \frac{1}{2} \iff -\frac{5}{2} \le x \le -\frac{3}{2}$
3
Au moins 3
Le centre est le point $A$ d'abscisse $-1$ : on va à $3$ de part et d'autre, et on garde l'extérieur.
$|x + 1| \ge 3 \iff x \le -4$ ou $x \ge 2$

\{1 ; 5\} \quad ; \quad

\left[-\frac{5}{2} ; -\frac{3}{2}\right] \quad ; \quad

]-\infty ; -4] \cup [2 ; +\infty[

L’erreur à ne pas faire

$|x + 2|$ est la distance de $M$ au point d'abscisse $2$ $|x + 2| = |x - (-2)|$ : la distance au point d'abscisse $-2$
On écrit toujours $|x - a|$ : avec un $+,$ le centre est l'opposé.
$|x + 1| \ge 3 \iff -4 \le x \le 2$ $|x + 1| \ge 3 \iff x \le -4$ ou $x \ge 2$
« Au moins $3$ » du centre, c'est à l'extérieur, pas entre les deux points.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Valeur absolue de x moins a hiya la distance bin M w le point A elli l'abscisse mte3ou a. Valeur absolue de x moins trois égale deux, ya3ni ennou9at elli 3la distance deux men trois : un w cinq. Inférieur ou égal à r, nob9aw 9rib men A : intervalle fermé. Supérieur ou égal à r, nob3dou : l'extérieur. W redd belek, valeur absolue de x plus deux, le centre mte3ha moins deux, mouch deux. »

Méthode

Équations et inéquations avec valeur absolue

Quatre formes reviennent, pour une expression $A$ et un réel $k$ :

$|A| = k$ : pas de solution si $k < 0$ ; sinon $A = k$ ou $A = -k$ ;
$|A| = |B|$ : $A = B$ ou $A = -B$ (deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés) ;
$|A| < k$ (avec $k > 0$ ) : $-k < A < k$ ;
$|A| > k$ (avec $k \ge 0$ ) : $A < -k$ ou $A > k.$

Quand le coefficient de $x$ est négatif, on peut d'abord écrire $|-x + 3| = |x - 3|$ : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.

|A| = |B| \iff A = B

A = -B

|A| < k \iff -k < A < k \qquad (k > 0)

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $|2x + 3| = 2,$ puis $|3 - 4x| = |x - 2\sqrt{5}|,$ puis $|-x + 3| < 2.$

1
Une valeur absolue égale à un nombre
$2 > 0$ : deux cas.
$2x + 3 = 2$ ou $2x + 3 = -2 \iff x = -\frac{1}{2}$ ou $x = -\frac{5}{2}$
2
Deux valeurs absolues égales
Les deux nombres sont égaux…
$3 - 4x = x - 2\sqrt{5} \iff x = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{5}$
3
… ou opposés.
$3 - 4x = -x + 2\sqrt{5} \iff x = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{3}$
4
Une inéquation
La distance de $x$ à $3$ est inférieure à $2.$
$|-x + 3| = |x - 3| < 2 \iff 1 < x < 5$

S_{1} = \left\{-\frac{5}{2} ; -\frac{1}{2}\right\} \quad ; \quad

S_{2} = \left\{\frac{3 - 2\sqrt{5}}{3} ; \frac{3 + 2\sqrt{5}}{5}\right\} \quad ; \quad

S_{3} = \,]1 ; 5[

L’erreur à ne pas faire

$|2x + 1| = -3 \iff 2x + 1 = -3$ ou $2x + 1 = 3$ $|2x + 1| = -3$ n'a pas de solution
Une valeur absolue est positive ou nulle : elle ne vaut jamais $-3.$
$|A| = |B| \iff A = B$ $|A| = |B| \iff A = B$ ou $A = -B$
On oublie le cas des nombres opposés, et on perd une solution.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Valeur absolue de A égale k : ken k négatif, ma fammech solution ; w ken le, A égale k walla A égale moins k. Valeur absolue de A égale valeur absolue de B : A w B ya égaux ya opposés, zouz cas. Valeur absolue de A inférieure à k, ya3ni moins k inférieur à A inférieur à k. W valeur absolue de A supérieure à k, A ykoun asghar men moins k walla akbar men k. »

Méthode

Équations avec des quotients

Un quotient $\dfrac{A}{B}$ n'est défini que si son dénominateur $B$ n'est pas nul. Avant de résoudre, on écrit donc les valeurs interdites.

Pour $B \ne 0$ et $D \ne 0$ : $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \iff A \times D = B \times C$ (produit en croix). On résout l'équation obtenue, puis on écarte toute solution qui est une valeur interdite.

produit en croix

\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \iff AD = BC \qquad (B \ne 0, \ D \ne 0)

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ $\dfrac{x - 1}{x + 3} = \dfrac{5}{4},$ puis $\dfrac{2x + 3}{x - 1} = \dfrac{4x}{2x + 3}.$

1
Les valeurs interdites
Le premier quotient est défini pour $x + 3 \ne 0.$
$x \ne -3$
2
Produit en croix
Produit en croix ; $-19 \ne -3,$ la solution convient.
$4(x - 1) = 5(x + 3) \iff 4x - 4 = 5x + 15 \iff x = -19$
3
Les valeurs interdites
Pour la seconde équation, les deux dénominateurs doivent être non nuls.
$x \ne 1$ et $x \ne -\frac{3}{2}$
4
Produit en croix
Produit en croix, puis on développe.
$(2x + 3)^{2} = 4x(x - 1) \iff 4x^{2} + 12x + 9 = 4x^{2} - 4x$
5
Les $4x^{2}$ s'en vont ; $-\dfrac{9}{16}$ n'est pas interdit.
$16x = -9 \iff x = -\frac{9}{16}$

S_{1} = \{-19\} \quad ; \quad

S_{2} = \left\{-\frac{9}{16}\right\}

L’erreur à ne pas faire

Résoudre sans écrire les valeurs interditesÉcrire d'abord $x \ne \ldots,$ puis vérifier chaque solution
Une solution qui annule un dénominateur rend l'équation de départ sans sens : elle est à rejeter.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Quotient A sur B ma ykoun défini ken ki B mouch nul. Donc 9bal ma t7ell, ekteb les valeurs interdites. Ba3d, A sur B égale C sur D twalli A fois D égale B fois C : hedha le produit en croix. T7ell, w fel e5er tna77i ay solution hiya valeur interdite. »

Méthode

Équations et inéquations avec des racines carrées

$\sqrt{A}$ n'est définie que si $A \ge 0$ : on commence par ces conditions.

Pour $A \ge 0$ et $B \ge 0,$ deux réels positifs se rangent comme leurs carrés : $\sqrt{A} = \sqrt{B} \iff A = B$ et $\sqrt{A} \le \sqrt{B} \iff A \le B.$ Pour un réel $k \ge 0$ : $\sqrt{A} = k \iff A = k^{2}.$ Et si $k < 0,$ $\sqrt{A} = k$ n'a pas de solution.

\sqrt{A} = k \iff A = k^{2} \qquad (k \ge 0)

\sqrt{A} \le \sqrt{B} \iff A \le B \qquad (A \ge 0, \ B \ge 0)

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sqrt{x - 4} = \sqrt{22 - x},$ puis $\sqrt{1 - 3x} \le \sqrt{2}.$

1
Les conditions
Les deux racines doivent être définies.
$x - 4 \ge 0$ et $22 - x \ge 0 \iff 4 \le x \le 22$
2
On compare les carrés
$13$ est bien entre $4$ et $22.$
$x - 4 = 22 - x \iff 2x = 26 \iff x = 13$
3
La condition
La racine est définie.
$1 - 3x \ge 0 \iff x \le \frac{1}{3}$
4
On compare les carrés
On divise par $-3$ : le sens change.
$1 - 3x \le 2 \iff -3x \le 1 \iff x \ge -\frac{1}{3}$

S_{1} = \{13\} \quad ; \quad

S_{2} = \left[-\frac{1}{3} ; \frac{1}{3}\right]

L’erreur à ne pas faire

$\sqrt{3 - 2x} = 5 \iff 3 - 2x = 5$ $\sqrt{3 - 2x} = 5 \iff 3 - 2x = 25 \iff x = -11$
On élève les deux membres au carré : $5^{2} = 25.$
$\sqrt{1 - 3x} \le \sqrt{2} \iff x \ge -\dfrac{1}{3}$ $-\dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{1}{3}$
On oublie la condition d'existence $1 - 3x \ge 0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Racine carrée de A ma tkoun définie ken ki A positif ou nul : nebdew dima bech-chourout. Ba3d, zouz nombres positifs yetrattbou kif les carrés mte3hom : racine de A égale racine de B ma3neha A égale B. W racine de A égale k, m3a k positif, ma3neha A égale k carré. W fel e5er, nchoufou elli la solution t7tarem les conditions. »

Définition

L'équation du second degré

Définition. Soient $a,$ $b$ et $c$ trois réels avec $a \ne 0.$ L'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ est dite équation du second degré d'inconnue $x.$

Beaucoup de problèmes y mènent. Par exemple, la droite $(BC)$ est parallèle à $(DE),$ avec $AB = x,$ $BD = 9{,}6,$ $AC = 15$ et $CE = x$ ; Thalès donne $\dfrac{x}{x + 9{,}6} = \dfrac{15}{15 + x},$ soit $x(15 + x) = 15(x + 9{,}6),$ c'est-à-dire $x^{2} = 144,$ et $x = 12$ puisque $x$ est une longueur.

(BC) parallèle à (DE), AB = x, BD = 9,6, AC = 15 et CE = x.

équation du second degré

ax^{2} + bx + c = 0 \qquad (a \ne 0)

Exemple traité

$ABC$ est un triangle tel que $AB = x + 3,$ $AC = 3x + 4$ et $BC = 2x + 5,$ où $x$ est un réel positif. Déterminer $x$ pour que ce triangle soit rectangle en $A.$

1
Pythagore
Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si (Pythagore et sa réciproque)…
$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$
2
$(x + 3)^{2} + (3x + 4)^{2} = (2x + 5)^{2}$
3
Développer
On développe, puis on regroupe tout dans un membre : une équation du second degré, avec $c = 0.$
$10x^{2} + 30x + 25 = 4x^{2} + 20x + 25 \iff 6x^{2} + 10x = 0$
4
Factoriser
On factorise par $2x.$
$2x(3x + 5) = 0 \iff x = 0$ ou $x = -\frac{5}{3}$
5
Conclure
$x$ est positif : seule $x = 0$ convient, et l'on retrouve le triangle $3,$ $4,$ $5.$
$x = 0 : \ AB = 3, \$ $AC = 4, \$ $BC = 5$

x = 0

L’erreur à ne pas faire

$2x^{2} - 3 = 0$ n'est pas du second degré, il manque le terme en $x$ C'est une équation du second degré, avec $a = 2,$ $b = 0$ et $c = -3$
Seul $a$ doit être non nul ; $b$ et $c$ peuvent valoir $0.$
$6x^{2} + 10x = 0 \iff 6x + 10 = 0$ $6x^{2} + 10x = 0 \iff 2x(3x + 5) = 0$
Diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$ : on factorise.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« A, b w c trois réels, w a différent de zéro. L'équation a x carré plus b x plus c égale zéro nsammiwha équation du second degré. Ech-chart el wa7id houwa a différent de zéro ; b w c ynajmou ykounou zéro. Fi l'exemple du triangle, Pythagore ya3tina six x carré plus dix x égale zéro. Nfactoriser b deux x : x égale zéro walla moins cinq tiers. X positif, donc x égale zéro, w nal9aw le triangle trois, quatre, cinq. »

Vocabulaire

Forme canonique et discriminant

Pour $a \ne 0,$ on met $a$ en facteur puis on reconnaît le début d'un carré : $x^{2} + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{b^{2}}{4a^{2}}.$ On obtient

$ax^{2} + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}\right].$

Vocabulaire. Le réel $b^{2} - 4ac$ est noté $\Delta$ et appelé le discriminant de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0.$ L'écriture ci-dessus est appelée la forme canonique de $ax^{2} + bx + c.$

forme canonique

ax^{2} + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right]

discriminant

\Delta = b^{2} - 4ac

Exemple traité

Écrire $-3x^{2} + 4x + 7$ et $2x^{2} + x + 5$ sous la forme $a\Big[(x + p)^{2} + q\Big].$

1
Mettre a en facteur
On met $a = -3$ en facteur.
$-3x^{2} + 4x + 7 = -3\left[x^{2} - \frac{4}{3}x - \frac{7}{3}\right]$
2
Le début d'un carré
La moitié de $\dfrac{4}{3}$ est $\dfrac{2}{3}.$
$x^{2} - \frac{4}{3}x = \left(x - \frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{4}{9}$
3
$-\dfrac{4}{9} - \dfrac{21}{9} = -\dfrac{25}{9}.$
$-3x^{2} + 4x + 7 = -3\Big[\left(x - \frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{25}{9}\Big]$
4
Le second
Même méthode avec $a = 2$ : $x^{2} + \dfrac{1}{2}x = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)^{2} - \dfrac{1}{16}.$
$2x^{2} + x + 5 = 2\Big[\left(x + \frac{1}{4}\right)^{2} - \frac{1}{16} + \frac{40}{16}\Big] = 2\Big[\left(x + \frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{39}{16}\Big]$

-3\Big[\left(x - \frac{2}{3}\right)^{2} - \frac{25}{9}\Big] \quad ; \quad

2\Big[\left(x + \frac{1}{4}\right)^{2} + \frac{39}{16}\Big]

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} - 6x = (x - 6)^{2} - 36$ $x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9$
Dans le carré, on met la MOITIÉ du coefficient de $x,$ et l'on retranche son carré.
$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \times 3 \times 7$ pour $-3x^{2} + 4x + 7$ $\Delta = 4^{2} - 4 \times (-3) \times 7 = 16 + 84 = 100$
On garde le signe de $a$ et de $c$ : ici $a = -3.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nal9aw la forme canonique, n5arrjou a en facteur, w x carré plus b sur a x houwa bidayet carré : x plus b sur deux a, le tout au carré, moins b carré sur quatre a carré. Le réel b carré moins quatre a c nsammiwh le discriminant, w nektbouh delta. La forme canonique : a fois, entre crochets, x plus b sur deux a, le tout au carré, moins delta sur quatre a carré. »

Activité

La méthode géométrique d'Al-Khawarizmi

Le mathématicien Al-Khawarizmi (780-850) résolvait les équations du type $x^{2} + bx = c$ par une figure. Pour $x^{2} + 10x = 39$ :

il considère un carré de côté $x,$ bordé de deux rectangles de côtés $x$ et $5$ ;
il exprime de deux façons l'aire de la partie colorée : d'une part $x^{2} + 10x$ ; d'autre part l'aire du grand carré de côté $x + 5$ moins celle du petit carré de côté $5.$ D'où $x^{2} + 10x = (x + 5)^{2} - 25$ ;
il cherche la solution positive de $(x + 5)^{2} - 25 = 39$ : $(x + 5)^{2} = 64,$ $x + 5 = 8,$ $x = 3.$

C'est exactement la forme canonique, lue sur une figure. À son époque, on ne connaissait pas les nombres négatifs : il ne cherchait que les racines positives.

La figure d'Al-Khawarizmi : x² + 10x = (x + 5)² − 25.

la figure

x^{2} + 10x = (x + 5)^{2} - 25

Ce qu’on observe

Utiliser la méthode d'Al-Khawarizmi pour trouver la solution positive de $x^{2} + 4x = 5$ et de $x^{2} + 20x - 156 = 0.$

1
Première équation
On borde le carré de côté $x$ de deux rectangles de côtés $x$ et $2.$
$x^{2} + 4x = (x + 2)^{2} - 4$
2
$x + 2$ est positif.
$(x + 2)^{2} - 4 = 5 \iff (x + 2)^{2} = 9 \iff x + 2 = 3$
3
$x = 1$
4
Seconde équation
Des rectangles de côtés $x$ et $10.$
$x^{2} + 20x = 156 \iff (x + 10)^{2} - 100 = 156 \iff (x + 10)^{2} = 256$
5
$x + 10 = 16 \iff x = 6$

x = 1 \quad ; \quad

x = 6

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Al-Khawarizmi ken y7ell x carré plus dix x égale trente-neuf b figure : carré de côté x, w 7dhah zouz rectangles de côtés x w cinq. L'aire mte3hom x carré plus dix x, w hiya zeda l'aire du grand carré de côté x plus cinq, moins le petit carré de côté cinq. Donc x plus cinq, le tout au carré, égale soixante-quatre, w x égale trois. Hedhi hiya la forme canonique, ama ma9rouya 3la figure. »

Théorème

Résoudre une équation du second degré

Soit l'équation $ax^{2} + bx + c = 0,$ avec $a \ne 0,$ et $\Delta = b^{2} - 4ac$ son discriminant. Grâce à la forme canonique, elle équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} = \dfrac{\Delta}{4a^{2}},$ et tout dépend du signe de $\Delta$ :

si $\Delta < 0,$ l'équation n'a pas de racine ;
si $\Delta = 0,$ elle a une seule racine $x_{0} = -\dfrac{b}{2a}$ ;
si $\Delta > 0,$ elle a deux racines distinctes $x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$

Remarque. Toute solution de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ est aussi appelée racine de cette équation.

pas de racine

\Delta < 0 : \ S = \varnothing

une racine

\Delta = 0 : \ x_{0} = -\frac{b}{2a}

deux racines

\Delta > 0 : \ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad

x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ $x^{2} + 2x - 2 = 0,$ $5y^{2} - 3y + 1 = 0$ et $\dfrac{1}{4}z^{2} - z\sqrt{3} + 3 = 0.$

1
Première équation
Deux racines ; $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$
$\Delta = 2^{2} - 4 \times 1 \times (-2) = 12 > 0$
2
$x_{1} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3} \qquad x_{2} = -1 + \sqrt{3}$
3
Deuxième équation
Pas de racine.
$\Delta = (-3)^{2} - 4 \times 5 \times 1 = -11 < 0$
4
Troisième équation
Une seule racine.
$\Delta = (-\sqrt{3})^{2} - 4 \times \frac{1}{4} \times 3 = 3 - 3 = 0$
5
$z_{0} = -\frac{-\sqrt{3}}{2 \times \frac{1}{4}} = 2\sqrt{3}$

S_{1} = \{-1 - \sqrt{3} ; -1 + \sqrt{3}\} \quad ; \quad

S_{2} = \varnothing \quad ; \quad

S_{3} = \{2\sqrt{3}\}

L’erreur à ne pas faire

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Le dénominateur est $2a$ : on l'oublie dès que $a \ne 1.$
$\Delta = b^{2} - 4ac = -11,$ donc les racines sont $\dfrac{3 \pm \sqrt{-11}}{10}$ $\Delta < 0$ : pas de racine réelle
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}.$
$3t^{2} - 2t = 0$ : calculer $\Delta$ obligatoirement $t(3t - 2) = 0 \iff t = 0$ ou $t = \dfrac{2}{3}$
Quand $c = 0,$ on factorise directement par $t$ : c'est plus court.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech n7ellou a x carré plus b x plus c égale zéro, na7sbou delta égale b carré moins quatre a c. Ken delta négatif, ma fammech racine. Ken delta égale zéro, famma racine wa7da : moins b sur deux a. W ken delta positif, famma zouz racines : moins b moins racine de delta, le tout sur deux a, w moins b plus racine de delta, le tout sur deux a. W redd belek : sur deux a, mouch sur deux. »

Application

Problèmes : aire d'un rectangle, hauteur d'une pierre

Un rectangle de périmètre $20$ cm et de longueur $x$ cm a pour largeur $10 - x,$ donc pour aire $a(x) = x(10 - x).$ L'aire vaut $16$ cm² si $x^{2} - 10x + 16 = 0$ : $\Delta = 36,$ $x = 2$ ou $x = 8$ — le rectangle de $8$ cm sur $2$ cm. Peut-il avoir une aire de $30$ cm² ? $x^{2} - 10x + 30 = 0$ a pour discriminant $100 - 120 = -20 < 0$ : non.

La forme canonique sert aussi à trouver un maximum : $a\left[(x + p)^{2} + q\right]$ avec $a < 0$ est le plus grand quand le carré est nul.

la pierre

h(t) = -\frac{1}{2}t^{2} + 3t + 2 = -\frac{1}{2}\left[(t - 3)^{2} - 13\right]

Exemple traité

Une pierre lancée vers le haut atteint à l'instant $t$ (en secondes) une hauteur $h(t) = -\dfrac{1}{2}t^{2} + 3t + 2$ (en mètres). Écrire $h(t)$ sous forme canonique, trouver la hauteur maximale, puis l'instant où la pierre retombe au sol.

1
Forme canonique
On met $-\dfrac{1}{2}$ en facteur, puis $t^{2} - 6t = (t - 3)^{2} - 9.$
$h(t) = -\frac{1}{2}\left[t^{2} - 6t - 4\right] = -\frac{1}{2}\left[(t - 3)^{2} - 9 - 4\right]$
2
On distribue.
$h(t) = -\frac{1}{2}(t - 3)^{2} + \frac{13}{2}$
3
Le maximum
$-\dfrac{1}{2}(t - 3)^{2}$ est négatif ou nul, et nul pour $t = 3.$
$h(t) \le \frac{13}{2}$ et $h(3) = \frac{13}{2}$
4
Le retour au sol
La pierre est au sol quand $h(t) = 0.$
$h(t) = 0 \iff (t - 3)^{2} = 13 \iff t = 3 - \sqrt{13}$ ou $t = 3 + \sqrt{13}$
5
Le temps est positif : on garde $3 + \sqrt{13}.$
$t = 3 + \sqrt{13} \approx 6{,}61$

h_{\max} = 6{,}5

m pour

t = 3

; \quad

t = 3 + \sqrt{13} \approx 6{,}61

L’erreur à ne pas faire

La hauteur maximale est atteinte pour $t = -3$ Elle est atteinte pour $t = 3$
$(t - 3)^{2}$ s'annule pour $t = 3$ : on lit le signe à l'intérieur de la parenthèse.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La forme canonique tnaf3na bech nal9aw maximum. H de t égale moins un demi fois t moins trois, le tout au carré, plus treize demis. Moins un demi fois carré dima négatif walla nul, donc h de t ma yfoutech treize demis, ya3ni six virgule cinq mètres, w youselha ki t égale trois. W la pierre traja3 lel ardh ki h de t égale zéro : t égale trois plus racine carrée de treize. »

Propriété

Le discriminant réduit

Quand $b$ est pair, il est parfois commode d'utiliser le discriminant réduit $\Delta' = b'^{2} - ac,$ où $b' = \dfrac{b}{2}.$ On a $\Delta = 4\Delta',$ donc $\Delta'$ a le même signe que $\Delta$ :

$\Delta' < 0$ : l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ n'a pas de racine ;
$\Delta' = 0$ : une seule racine $x_{0} = -\dfrac{b'}{a}$ ;
$\Delta' > 0$ : deux racines distinctes $x_{1} = \dfrac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$ et $x_{2} = \dfrac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}.$

discriminant réduit

b' = \frac{b}{2} \qquad \Delta' = b'^{2} - ac \qquad \Delta = 4\Delta'

Δ' > 0

x_{1} = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} \qquad x_{2} = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}

Exemple traité

Résoudre $5x^{2} - 16x + 3 = 0$ à l'aide du discriminant réduit.

1
b prime
$b = -16$ est pair.
$b' = \frac{-16}{2} = -8$
2
Le discriminant réduit
Deux racines, et $\sqrt{49} = 7.$
$\Delta' = (-8)^{2} - 5 \times 3 = 64 - 15 = 49 > 0$
3
Les racines
$-b' = 8,$ et l'on divise par $a = 5,$ pas par $2a.$
$x_{1} = \frac{8 - 7}{5} = \frac{1}{5} \qquad x_{2} = \frac{8 + 7}{5} = 3$

S = \left\{\frac{1}{5} ; 3\right\}

L’erreur à ne pas faire

$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{2a}$ $x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$
Avec le discriminant réduit, le $2$ s'est simplifié : on divise par $a.$
$\Delta' = b'^{2} - 4ac$ $\Delta' = b'^{2} - ac$
Le $4$ est déjà pris en compte : le discriminant vaut quatre fois le discriminant réduit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki b pair, najjmou nesta3mlou le discriminant réduit : b prime égale b sur deux, w delta prime égale b prime carré moins a c. Delta égale quatre delta prime, donc 3andhom nafs le signe. W ki delta prime positif, les racines houma moins b prime moins racine de delta prime, le tout sur a, w moins b prime plus racine de delta prime, le tout sur a. Sur a, mouch sur deux a. »

Propriété

Somme et produit des racines

Lorsque l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2},$ on a

$\displaystyle x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$ et $\displaystyle x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}.$

Usage : quand on connaît une racine, le produit (ou la somme) donne l'autre sans calculer $\Delta.$ Par exemple, pour $A(x) = x^{2} + (\sqrt{3} - 2)x - 2\sqrt{3},$ on calcule $A(2) = 4 + 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = 0$ ; le produit des racines vaut $-2\sqrt{3},$ donc l'autre racine est $-\sqrt{3}.$

somme et produit

x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} \qquad x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}

Exemple traité

Vérifier que $x_{1}$ est une racine, puis trouver l'autre. a) $2x^{2} - 4x - 6 = 0$ et $x_{1} = 3$ ; b) $-4x^{2} + x\sqrt{3} + 9 = 0$ et $x_{1} = \sqrt{3}.$

1
a) Vérifier
$3$ est bien racine.
$2 \times 9 - 4 \times 3 - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$
2
a) L'autre racine
Le produit des racines.
$3 \times x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{-6}{2} = -3 \iff x_{2} = -1$
3
b) Vérifier
$\sqrt{3}$ est bien racine.
$-4 \times 3 + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 9 = -12 + 3 + 9 = 0$
4
b) L'autre racine
On multiplie haut et bas par $\sqrt{3}$ : $\dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}.$
$\sqrt{3} \times x_{2} = \frac{9}{-4} \iff x_{2} = -\frac{9}{4\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

x_{2} = -1 \quad ; \quad

x_{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}

L’erreur à ne pas faire

$x_{1} + x_{2} = \dfrac{b}{a}$ $x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}$
Le signe moins est dans la formule : pour $x^{2} - 5x + 6,$ la somme vaut $5.$
Utiliser $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$ pour une équation sans racineCalculer d'abord $\Delta,$ ou connaître une racine
Les formules valent quand les racines existent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki l'équation 3andha zouz racines x un w x deux : la somme mte3hom moins b sur a, w le produit mte3hom c sur a. Hedha ynaf3na barcha : ki ta3ref racine wa7da, tal9a el o5ra blech ma te7seb delta. Mathalan deux x carré moins quatre x moins six, trois racine, w le produit moins six sur deux, ya3ni moins trois : donc el o5ra moins un. »

Remarque

Racines évidentes : a + b + c = 0, a − b + c = 0

Deux racines évidentes à repérer avant tout calcul :

Si $a + b + c = 0,$ alors $1$ est une racine de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ et l'autre racine est $\dfrac{c}{a}.$
Si $a - b + c = 0,$ alors $-1$ est une racine et l'autre racine est $-\dfrac{c}{a}.$

En effet, $a \times 1^{2} + b \times 1 + c = a + b + c$ et $a \times (-1)^{2} + b \times (-1) + c = a - b + c$ ; l'autre racine vient du produit $\dfrac{c}{a}.$

a + b + c = 0 : \ x_{1} = 1, \

x_{2} = \frac{c}{a}

a - b + c = 0 : \ x_{1} = -1, \

x_{2} = -\frac{c}{a}

Exemple traité

Résoudre $3x^{2} + 5x - 8 = 0$ et $x^{2} + x\sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 0.$

1
Première équation
Donc $1$ est racine.
$a + b + c = 3 + 5 - 8 = 0$
2
$x_{1} = 1 \qquad x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{8}{3}$
3
Seconde équation
Donc $-1$ est racine.
$a - b + c = 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 0$
4
$x_{1} = -1 \qquad x_{2} = -\frac{c}{a} = -(\sqrt{3} - 1) = 1 - \sqrt{3}$

S_{1} = \left\{-\frac{8}{3} ; 1\right\} \quad ; \quad

S_{2} = \{-1 ; 1 - \sqrt{3}\}

L’erreur à ne pas faire

$a - b + c = 0,$ donc les racines sont $-1$ et $\dfrac{c}{a}$ Les racines sont $-1$ et $-\dfrac{c}{a}$
Le produit vaut $\dfrac{c}{a}$ et l'une des racines est $-1$ : l'autre est l'opposé.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma te7seb delta, chouf a plus b plus c : ken zéro, un racine, w el o5ra c sur a. W ken a moins b plus c égale zéro, moins un racine, w el o5ra moins c sur a. Mathalan trois x carré plus cinq x moins huit : trois plus cinq moins huit égale zéro, donc un w moins huit tiers. »

Méthode

Deux nombres dont on connaît la somme et le produit

Chercher deux réels $u$ et $v$ tels que $u + v = S$ et $uv = P$ revient à résoudre l'équation

$X^{2} - SX + P = 0.$

En effet, si $u$ et $v$ conviennent, $(X - u)(X - v) = X^{2} - (u + v)X + uv = X^{2} - SX + P$ : $u$ et $v$ en sont les racines. Si $\Delta = S^{2} - 4P < 0,$ de tels nombres n'existent pas.

u + v = S, \

uv = P \iff u

v

sont les racines de

X^{2} - SX + P = 0

Exemple traité

Déterminer les dimensions d'un terrain rectangulaire de périmètre $122$ m et d'aire $900$ m². Existe-t-il un rectangle de périmètre $100$ m et d'aire $700$ m² ?

1
Somme et produit
Le demi-périmètre est $61.$
$L + \ell = 61 \qquad L\ell = 900$
2
L'équation
$\sqrt{121} = 11.$
$X^{2} - 61X + 900 = 0 \qquad \Delta = 3721 - 3600 = 121$
3
Le terrain mesure $36$ m sur $25$ m.
$X = \frac{61 - 11}{2} = 25$ ou $X = \frac{61 + 11}{2} = 36$
4
Le second rectangle
Somme $50,$ produit $700$ : pas de racine.
$X^{2} - 50X + 700 = 0 \qquad \Delta = 2500 - 2800 = -300 < 0$

36

\times 25

;

pas de rectangle de périmètre

100

m et d'aire

700

^{2}

L’erreur à ne pas faire

$X^{2} + SX + P = 0$ $X^{2} - SX + P = 0$
La somme des racines vaut $-\dfrac{b}{a}$ : le coefficient de $X$ est $-S.$
La somme vaut $122$ pour un périmètre de $122$ m $L + \ell = 61$
Le périmètre est $2(L + \ell).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nal9aw zouz nombres, la somme mte3hom S w le produit mte3hom P, n7ellou X carré moins S X plus P égale zéro : houma les racines mte3ha. Le terrain : périmètre cent vingt-deux, donc L plus l égale soixante et un, w L fois l égale neuf cents. Nal9aw trente-six w vingt-cinq. W ken delta négatif, ezzouz nombres hedhouma ma ywjdouch. »

Méthode

Équations se ramenant au second degré

On commence toujours par chercher pour quelles valeurs de $x$ l'équation est définie (dénominateurs non nuls, expression sous une racine positive ou nulle). Puis on se ramène à une équation du second degré :

avec des quotients, on réduit au même dénominateur ;
avec une racine carrée, $\sqrt{A} = B \iff A = B^{2}$ et $B \ge 0$ ;
une équation bicarrée $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$ devient $aX^{2} + bX + c = 0$ en posant $X = x^{2},$ avec $X \ge 0.$

À la fin, on garde seulement les solutions qui respectent les conditions.

\sqrt{A} = B \iff A = B^{2}

B \ge 0

bicarrée

ax^{4} + bx^{2} + c = 0 \xrightarrow{X = x^{2}} aX^{2} + bX + c = 0

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ $x + \dfrac{1}{x} + 2 = 0,$ $\sqrt{x - 2} = x + 1$ et $3x^{4} - 5x^{2} + 2 = 0.$

1
Un quotient
On multiplie par $x,$ non nul.
$x \ne 0 : \ x + \frac{1}{x} + 2 = 0 \iff x^{2} + 2x + 1 = 0 \iff (x + 1)^{2} = 0$
2
$x = -1$
3
Une racine carrée
Le discriminant vaut $1 - 12 = -11,$ il est négatif : pas de solution.
$x \ge 2 : \ x - 2 = (x + 1)^{2} \iff x^{2} + x + 3 = 0$
4
Une bicarrée
$a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0$ : $X = 1$ ou $X = \dfrac{2}{3},$ tous deux positifs.
$X = x^{2} : \ 3X^{2} - 5X + 2 = 0$
5
$\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
$x^{2} = 1 \iff x = \pm 1 \qquad x^{2} = \frac{2}{3} \iff x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

S_{1} = \{-1\} \quad ; \quad

S_{2} = \varnothing \quad ; \quad

S_{3} = \left\{-1 ; -\frac{\sqrt{6}}{3} ; \frac{\sqrt{6}}{3} ; 1\right\}

L’erreur à ne pas faire

$3x^{4} - 5x^{2} + 2 = 0 \iff x = 1$ ou $x = \dfrac{2}{3}$ $x^{2} = 1$ ou $x^{2} = \dfrac{2}{3},$ soit quatre solutions
On a trouvé $X = x^{2}$ : il reste à revenir à $x.$
$\sqrt{2x + 6} = x - 1 \iff 2x + 6 = (x - 1)^{2}$ Il faut aussi $x - 1 \ge 0$
Élever au carré ajoute des solutions : $-1$ vérifie l'équation au carré, mais pas l'équation de départ.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal koll chay, chouf l'équation définie wa9tech : les dénominateurs mouch nuls, w elli ta7t la racine positif. Ba3d nraj3ouha lel second degré. Racine de A égale B, ma3neha A égale B carré, w B positif ; w ken tensa B positif, tjik solutions zeyda. W l'équation bicarrée, n7ottou X égale x carré, w ki nal9aw X, nraj3ou l x. »

Propriété

Factoriser ax² + bx + c

Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont deux racines de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0,$ alors

$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2}).$

Selon le signe de $\Delta$ (avec $f(x) = ax^{2} + bx + c$ ) :

$\Delta < 0$ : on ne peut pas factoriser $f(x)$ ;
$\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_{0})^{2}$ ;
$\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2}).$

Δ > 0

ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})

Exemple traité

Factoriser $2x^{2} - 14x + 24,$ $-9x^{2} + 12x - 4$ et $x^{2} - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}.$

1
Premier
Les racines de $x^{2} - 7x + 12$ ont pour somme $7$ et pour produit $12$ : ce sont $3$ et $4.$
$2x^{2} - 14x + 24 = 2(x^{2} - 7x + 12)$
2
$2x^{2} - 14x + 24 = 2(x - 3)(x - 4)$
3
Deuxième
$b' = 6$ : une seule racine.
$\Delta' = 6^{2} - (-9) \times (-4) = 36 - 36 = 0 \qquad x_{0} = -\frac{6}{-9} = \frac{2}{3}$
4
$-9x^{2} + 12x - 4 = -9\left(x - \frac{2}{3}\right)^{2} = -(3x - 2)^{2}$
5
Troisième
Donc $1$ est racine, et l'autre vaut $\dfrac{c}{a} = \sqrt{2}.$
$a + b + c = 1 - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$
6
$x^{2} - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = (x - 1)(x - \sqrt{2})$

2(x - 3)(x - 4) \quad ; \quad

-(3x - 2)^{2} \quad ; \;

(x - 1)(x - \sqrt{2})

L’erreur à ne pas faire

$2x^{2} - 14x + 24 = (x - 3)(x - 4)$ $2x^{2} - 14x + 24 = 2(x - 3)(x - 4)$
On oublie le coefficient $a$ devant les facteurs.
$x^{2} - x + 3 = (x - x_{1})(x - x_{2})$ $\Delta = 1 - 12 < 0$ : on ne peut pas factoriser
Sans racine, pas de facteur $(x - x_{1}).$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki l'équation 3andha zouz racines x un w x deux, a x carré plus b x plus c yetekteb a fois x moins x un fois x moins x deux. Ki delta égale zéro, a fois x moins x zéro, le tout au carré. W ki delta négatif, ma najjmouch nfactoriser. W redd belek ma tensech le a elli l9oddem. »

Théorème

Signe de ax² + bx + c

Soit $f(x) = ax^{2} + bx + c,$ avec $a \ne 0,$ et $\Delta$ son discriminant.

$\Delta < 0$ : pour tout réel $x,$ $f(x)$ est du signe de $a$ .
$\Delta = 0$ : pour tout réel $x \ne x_{0},$ $f(x)$ est du signe de $a$ (et $f(x_{0}) = 0$ ).
$\Delta > 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $(-a)$ entre les racines.

$x$	$f(x)$
$-\infty$
	signe de $a$
$x_{1}$	$0$
	signe de $-a$
$x_{2}$	$0$
	signe de $a$
$+\infty$

on lit le signe sur la forme canonique

f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right]

Exemple traité

Déterminer le signe de $B(x) = x^{2} - 5x + 6,$ de $C(x) = -2x^{2} + x + 1$ et de $P(x) = -2x^{2} + x - 1.$

1
B
Racines $2$ et $3$ (somme $5,$ produit $6$ ), et $a = 1 > 0.$
$B(x) = (x - 2)(x - 3)$
2
Signe de $a$ à l'extérieur, signe contraire entre.
$B(x) > 0$ sur $]-\infty ; 2[ \cup ]3 ; +\infty[ \qquad B(x) < 0$ sur $]2 ; 3[$
3
C
L'autre racine est $\dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{2},$ et $a = -2 < 0.$
$a + b + c = -2 + 1 + 1 = 0 : \ x_{1} = -\frac{1}{2}, \$ $x_{2} = 1$
4
Entre les racines, $C(x)$ a le signe de $-a$ : positif.
$C(x) > 0$ sur $\left]-\frac{1}{2} ; 1\right[ \qquad C(x) < 0$ ailleurs, hors des racines
5
P
Pas de racine : $P(x)$ a partout le signe de $a = -2.$
$\Delta = 1 - 8 = -7 < 0$

B(x) > 0

hors de

[2 ; 3], \

B(x) < 0

sur

]2 ; 3[ \quad ; \quad

C(x) > 0

sur

\left]-\frac{1}{2} ; 1\right[, \

C(x) < 0

hors de

\left[-\frac{1}{2} ; 1\right] \quad ; \quad

P(x) < 0

sur

\mathbb{R}

L’erreur à ne pas faire

$\Delta < 0,$ donc $f(x) > 0$ $\Delta < 0,$ donc $f(x)$ a le signe de $a$
Pour $-2x^{2} + x - 1,$ le discriminant est négatif, et $f(x)$ est toujours négatif, du signe de $a = -2.$
$x^{2} - 5x + 6$ est négatif à l'extérieur des racinesIl est négatif entre $2$ et $3$
Entre les racines, c'est le signe de $-a$ ; à l'extérieur, celui de $a.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le signe mta3 a x carré plus b x plus c yet9ra b delta. Ken delta négatif, el trinôme dima b signe de a. Ken delta égale zéro, b signe de a, ella fi x zéro win ywalli zéro. W ken delta positif : b signe de a barra les racines, w b signe de moins a bin les racines. A7fadhha hakka : bin les racines, 3aks a. »

Méthode

Inéquations du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré :

1.on ramène tout dans un membre : $ax^{2} + bx + c > 0$ (ou $<,$ $\ge,$ $\le$ ) ;
2.on cherche les racines ( $\Delta,$ racine évidente, factorisation) ;
3.on lit le signe dans le tableau du signe de $ax^{2} + bx + c,$ et on écrit l'ensemble des solutions — en incluant les racines pour $\ge$ ou $\le.$

Exemple : un rectangle de côtés $x$ et $2,$ surmonté d'un demi-disque de diamètre $x.$ L'aire du rectangle est plus grande que celle du demi-disque si $2x > \dfrac{\pi x^{2}}{8},$ soit $x(16 - \pi x) > 0$ : pour $x > 0,$ cela donne $x < \dfrac{16}{\pi}.$

Δ > 0

ax^{2} + bx + c

du signe de

-a \iff x_{1} < x < x_{2}

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ $x^{2} - 5x + 6 < 0,$ $-x^{2} + 4x - 3 \le 0,$ $4x^{2} - 4x + 1 \le 0$ et $3x^{2} + 8x + 5 < 0.$

1
Premier
Racines $2$ et $3,$ $a > 0$ : négatif entre les racines.
$x^{2} - 5x + 6 < 0 \iff 2 < x < 3$
2
Deuxième
$a + b + c = 0$ : racines $1$ et $3.$ $a < 0$ : négatif à l'extérieur, et nul aux racines.
$-x^{2} + 4x - 3 \le 0 \iff x \le 1$ ou $x \ge 3$
3
Troisième
Un carré n'est jamais négatif : il ne reste que le cas où il est nul.
$4x^{2} - 4x + 1 = (2x - 1)^{2} \le 0 \iff x = \frac{1}{2}$
4
Quatrième
$a - b + c = 3 - 8 + 5 = 0$ : racines $-1$ et $-\dfrac{5}{3}$ ; $a > 0,$ négatif entre.
$3x^{2} + 8x + 5 < 0 \iff -\frac{5}{3} < x < -1$

]2 ; 3[ \quad ; \quad

]-\infty ; 1] \cup [3 ; +\infty[ \quad ; \quad

\left\{\frac{1}{2}\right\} \quad ; \quad

\left]-\frac{5}{3} ; -1\right[

L’erreur à ne pas faire

$x^{2} - 5x + 6 < 0 \iff x < 2$ ou $x > 3$ $x^{2} - 5x + 6 < 0 \iff 2 < x < 3$
$a > 0$ : le trinôme est négatif ENTRE les racines.
$4x^{2} - 4x + 1 \le 0$ n'a pas de solution $S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$
Avec $\le,$ la valeur où le carré est nul convient.
$-x^{2} + 4x - 3 \le 0 \iff x < 1$ ou $x > 3$ $x \le 1$ ou $x \ge 3$
Avec $\le,$ les racines font partie des solutions : crochets fermés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech t7ell inéquation du second degré : 7ott koll chay fi membre wa7ed, lawwej 3la les racines, w ba3d e9ra le signe. X carré moins cinq x plus six, les racines deux w trois, a positif, donc négatif bin deux w trois. W ki l'inéquation fiha inférieur ou égal, les racines yodkhlou : crochets fermés. »

Méthode

Signe d'un produit ou d'un quotient

Pour le signe d'un produit de facteurs du premier ou du second degré, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, rangée dans l'ordre de toutes leurs racines, puis la règle des signes dans chaque colonne.

Exemple : $f(x) = x - 1$ est positif pour $x > 1$ (la droite $D$ est au-dessus de l'axe), $g(x) = -2x + 4$ pour $x < 2$ ; le produit $(x - 1)(-2x + 4)$ est donc positif sur $]1 ; 2[$ et négatif à l'extérieur.

Pour un quotient, même tableau, mais les racines du dénominateur sont des valeurs interdites : on les exclut toujours (double barre).

D est au-dessus de l'axe pour x > 1, D' pour x < 2.

\frac{A}{B}

a le signe de

A \times B, \quad

B \ne 0

Exemple traité

Résoudre $(x - 1)(-x^{2} + 2) < 0.$ Puis étudier le signe de $Q(x) = \dfrac{-3x^{2} + 2x + 1}{x^{2} - x - 2}.$

1
Les racines
On range : $-\sqrt{2} < 1 < \sqrt{2}.$ $-x^{2} + 2$ est positif entre ses racines.
$x - 1 = 0 \iff x = 1 \qquad -x^{2} + 2 = 0 \iff x = -\sqrt{2}$ ou $x = \sqrt{2}$
2
Le tableau
La règle des signes, colonne par colonne.
$+$ sur $]-\infty ; -\sqrt{2}[, \quad$ $-$ sur $]-\sqrt{2} ; 1[, \quad$ $+$ sur $]1 ; \sqrt{2}[, \quad$ $-$ sur $]\sqrt{2} ; +\infty[$
3
$S = \,]-\sqrt{2} ; 1[ \cup ]\sqrt{2} ; +\infty[$
4
Le quotient
$a + b + c = 0$ en haut, $a - b + c = 0$ en bas ; $-1$ et $2$ sont interdites.
$-3x^{2} + 2x + 1 : \ x = -\frac{1}{3}, \$ $x = 1 \qquad x^{2} - x - 2 : \ x = -1, \$ $x = 2$
5
Le numérateur est positif entre $-\dfrac{1}{3}$ et $1,$ le dénominateur négatif entre $-1$ et $2.$
$Q(x) > 0 \iff x \in \,\left]-1 ; -\frac{1}{3}\right[ \cup ]1 ; 2[$

S = \,]-\sqrt{2} ; 1[ \cup ]\sqrt{2} ; +\infty[ \quad ; \quad

Q(x) > 0

sur

\left]-1 ; -\frac{1}{3}\right[ \cup ]1 ; 2[, \quad

Q(x) < 0

sur

]-\infty ; -1[ \cup \left]-\frac{1}{3} ; 1\right[ \cup ]2 ; +\infty[

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{A}{B} \ge 0$ : on ferme les crochets aux racines de $B$ Les racines de $B$ sont toujours exclues
Un quotient n'existe pas quand son dénominateur est nul.
$(x - 1)(-x^{2} + 2) < 0 \iff x - 1 < 0$ et $-x^{2} + 2 < 0$ On fait le tableau de signes
Un produit est négatif quand ses facteurs sont de signes contraires — dans un sens ou dans l'autre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech tal9a le signe mta3 produit, a3mel tableau de signes : ligne l koll facteur, les racines lkoll mratbin, w ba3d la règle des signes fi koll colonne. W le quotient nafs ech-chay, ama les racines mta3 le dénominateur houma valeurs interdites : dima exclues, double barre fel tableau. »

Application

Problèmes : aires et astronaute

Premier problème : dans un rectangle $ABCD$ ( $AB = 2,$ $AD = 3$ ), $I$ milieu de $[AB]$ et $M$ sur $[AD]$ avec $AM = x,$ on trouve $F(x) = IM^{2} + MC^{2} = (1 + x^{2}) + \left((3 - x)^{2} + 4\right) = 2x^{2} - 6x + 14.$ Comme $F(x) - \dfrac{19}{2} = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^{2} \ge 0,$ $F(x)$ est minimal pour $x = \dfrac{3}{2}$ : $M$ au milieu de $[AD].$

Deuxième problème : un astronaute qui pèse $p$ kg sur terre pèse $P(x) = p\left(\dfrac{6400}{6400 + x}\right)^{2}$ à l'altitude $x$ km. Pour $p = 81,$ il pèse $25$ kg quand $\dfrac{6400}{6400 + x} = \dfrac{5}{9},$ soit $x = 5120$ km, et moins de $9$ kg dès que $\dfrac{6400}{6400 + x} < \dfrac{1}{3},$ soit $x > 12800$ km.

La somme des aires des carrés ABCD et BEFG.

le minimum

F(x) = 2x^{2} - 6x + 14 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^{2} + \frac{19}{2}

Exemple traité

$ABCD$ et $BEFG$ sont des carrés, avec $A,$ $B,$ $E$ alignés, $AB = x$ et $AE = 4.$ Déterminer les réels $x$ pour que la somme des aires des deux carrés soit supérieure à $10.$

1
L'inconnue
$B$ est entre $A$ et $E.$
$0 < x < 4 \qquad BE = 4 - x$
2
L'inéquation
On développe et on divise par $2,$ positif.
$x^{2} + (4 - x)^{2} > 10 \iff 2x^{2} - 8x + 6 > 0 \iff x^{2} - 4x + 3 > 0$
3
Le signe
$a + b + c = 0$ : racines $1$ et $3$ ; $a > 0$ : positif à l'extérieur.
$x^{2} - 4x + 3 > 0 \iff x < 1$ ou $x > 3$
4
Conclure
On garde la partie commune avec $]0 ; 4[.$
$x \in \,]0 ; 1[ \cup ]3 ; 4[$

x \in \,]0 ; 1[ \cup ]3 ; 4[

L’erreur à ne pas faire

Répondre $x \in \,]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[$ $x \in \,]0 ; 1[ \cup ]3 ; 4[$
$x$ est une longueur et $B$ est sur $[AE]$ : on intersecte avec $]0 ; 4[.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fel problèmes, l'inéquation mta3 el second degré tji men aire walla poids, w dima 3andha conditions. Fi l'exemple des deux carrés, x carré plus quatre moins x, le tout au carré, supérieur à dix, ta3tina x carré moins quatre x plus trois supérieur à zéro : x asghar men un walla akbar men trois. Ama x bin zéro w quatre, donc n5alliw zéro un w trois quatre, intervalles ouverts. »

À retenir

1.
Un problème : choisir l'inconnue et ses conditions, traduire, résoudre, vérifier.
2.
Multiplier ou diviser une inégalité par un négatif change son sens.
3.
$|x - a|$ est la distance de $x$ à $a$ ; $|A| = |B| \iff A = B$ ou $A = -B.$
4.
Quotient : dénominateur non nul ; racine carrée : $\sqrt{A}$ définie si $A \ge 0,$ et $\sqrt{A} = k \iff A = k^{2}$ pour $k \ge 0.$
5.
$\Delta = b^{2} - 4ac$ : pas de racine si $\Delta < 0$ ; $x_{0} = -\dfrac{b}{2a}$ si $\Delta = 0$ ; $x_{1,2} = \dfrac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta > 0.$
6.
$\Delta' = b'^{2} - ac$ avec $b' = \dfrac{b}{2}$ ; racines $\dfrac{-b' \mp \sqrt{\Delta'}}{a}.$
7.
$x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}$ et $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$ ; si $a + b + c = 0,$ les racines sont $1$ et $\dfrac{c}{a}.$
8.
$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$ ; signe de $a$ à l'extérieur des racines, de $-a$ entre.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/16

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Cours lu: 0/104
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Mettre un problème en équation ou en inéquation, et vérifier que la solution convient
Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue, quotients ou racines carrées
Résoudre une équation du second degré avec $\Delta$ , $\Delta'$ , une racine évidente ou la somme et le produit
Factoriser $ax^{2} + bx + c$ et donner son signe
Résoudre des inéquations du second degré et des problèmes qui y mènent

Mettre un problème en équation

Pour résoudre un problème, on suit toujours le même chemin :

choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente — avec ses conditions (une longueur est positive, un point est sur un segment…) ;
traduire l'énoncé par une équation ;
résoudre l'équation ;
vérifier que la solution convient au problème, puis conclure par une phrase.

Exemple : « je pense un nombre, je lui retranche $5$ , je multiplie le résultat par $2$ , puis j'ajoute $6$ et je divise par $5$ : j'obtiens $2$ ». Si $x$ est le nombre pensé, l'énoncé se traduit par $\dfrac{2(x - 5) + 6}{5} = 2$ , soit $2x - 4 = 10$ , d'où $x = 7$ .

Le carré MNPA et le rectangle NQCR, ici pour x = 6/5.

\frac{2(x - 5) + 6}{5} = 2 \iff 2x - 4 = 10 \iff x = 7

Le piège

$x^{2} = (2 - x)(3 - x)$ a deux solutions, puisqu'il y a des carrés

En développant, $x^{2} = 6 - 5x + x^{2}$ se réduit à $5x = 6$

On développe et on réduit avant de parler de degré : les $x^{2}$ peuvent s'éliminer.

Le piège

Conclure par la solution de l'équation sans regarder le problème

Vérifier que la solution respecte les conditions de l'inconnue

Une longueur négative, ou un point hors du segment, ne répond pas au problème.

Comparer deux tarifs

Pour $x$ kilomètres dans la journée, les prix sont $p_{A} = 36 + 0{,}45x$ et $p_{B} = 20 + 0{,}65x$ . Comparer les deux tarifs, c'est résoudre une inéquation du premier degré : on étudie le signe de la différence $p_{A} - p_{B}$ .

p_{A} = 36 + 0{,}45x \qquad p_{B} = 20 + 0{,}65x

Le piège

L'agence B est toujours la moins chère, son forfait est plus petit

Au-delà de $80$ km, l'agence A devient moins chère

Le prix au kilomètre de B est plus élevé : sur un long trajet, il finit par l'emporter sur le forfait.

Inéquations du premier degré

On résout une inéquation comme une équation, avec une seule précaution : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Ajouter ou retrancher un même nombre, multiplier ou diviser par un nombre positif, ne le change pas.

Dans un problème, l'inconnue a souvent déjà une condition (ici $x > 2$ ) : l'ensemble des solutions est la partie commune à cette condition et à la solution de l'inéquation.

Le triangle BMC dans le trapèze ABCD.

a < b \iff a + c < b + c

k > 0 : \ a < b \iff ka < kb \qquad k < 0 : \ a < b \iff ka > kb

Le piège

$-2x < 6 \iff x < -3$

$-2x < 6 \iff x > -3$

On a divisé par $-2$ , un nombre négatif : le sens de l'inégalité change.

Le piège

Répondre $x \le 8$ au problème

$x \in \,]2 ; 8]$

L'énoncé impose $x > 2$ : on garde la partie commune.

Valeur absolue et distance

Sur une droite $\Delta$ munie d'un repère $(O, \vec{OI})$ , si $M$ a pour abscisse $x$ et $A$ pour abscisse $a$ , alors $AM = |x - a|$ . Ainsi $|x - 3|$ est la distance de $M$ au point d'abscisse $3$ , et $|x + 2| = |x - (-2)|$ la distance de $M$ au point d'abscisse $-2$ .

Pour un réel $r > 0$ , cette lecture donne trois résultats :

$|x - a| = r$ : les deux points à la distance $r$ de $A$ ;
$|x - a| \le r$ : le segment de centre $A$ et de « rayon » $r$ ;
$|x - a| \ge r$ : tout ce qui est à l'extérieur de l'intervalle ouvert $]a - r ; a + r[$ .

Sur Δ, |x − 3| est la distance de M au point C : |x − 3| = 2 donne x = 1 ou x = 5.

AM = |x - a|

|x - a| = r \iff x = a - r \text{ ou } x = a + r

|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r

|x - a| \ge r \iff x \le a - r \text{ ou } x \ge a + r

Le piège

$|x + 2|$ est la distance de $M$ au point d'abscisse $2$

$|x + 2| = |x - (-2)|$ : la distance au point d'abscisse $-2$

On écrit toujours $|x - a|$ : avec un $+$ , le centre est l'opposé.

Le piège

$|x + 1| \ge 3 \iff -4 \le x \le 2$

$|x + 1| \ge 3 \iff x \le -4$ ou $x \ge 2$

« Au moins $3$ » du centre, c'est à l'extérieur, pas entre les deux points.

Équations et inéquations avec valeur absolue

Quatre formes reviennent, pour une expression $A$ et un réel $k$ :

$|A| = k$ : pas de solution si $k < 0$ ; sinon $A = k$ ou $A = -k$ ;
$|A| = |B|$ : $A = B$ ou $A = -B$ (deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés) ;
$|A| < k$ (avec $k > 0$ ) : $-k < A < k$ ;
$|A| > k$ (avec $k \ge 0$ ) : $A < -k$ ou $A > k$ .

Quand le coefficient de $x$ est négatif, on peut d'abord écrire $|-x + 3| = |x - 3|$ : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.

|A| = |B| \iff A = B \text{ ou } A = -B

|A| < k \iff -k < A < k \qquad (k > 0)

Le piège

$|2x + 1| = -3 \iff 2x + 1 = -3$ ou $2x + 1 = 3$

$|2x + 1| = -3$ n'a pas de solution

Une valeur absolue est positive ou nulle : elle ne vaut jamais $-3$ .

Le piège

$|A| = |B| \iff A = B$

$|A| = |B| \iff A = B$ ou $A = -B$

On oublie le cas des nombres opposés, et on perd une solution.

Équations avec des quotients

Un quotient $\dfrac{A}{B}$ n'est défini que si son dénominateur $B$ n'est pas nul. Avant de résoudre, on écrit donc les valeurs interdites.

Pour $B \ne 0$ et $D \ne 0$ : $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \iff A \times D = B \times C$ (produit en croix). On résout l'équation obtenue, puis on écarte toute solution qui est une valeur interdite.

\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \iff AD = BC \qquad (B \ne 0, \ D \ne 0)

Le piège

Résoudre sans écrire les valeurs interdites

Écrire d'abord $x \ne \ldots$ , puis vérifier chaque solution

Une solution qui annule un dénominateur rend l'équation de départ sans sens : elle est à rejeter.

Équations et inéquations avec des racines carrées

$\sqrt{A}$ n'est définie que si $A \ge 0$ : on commence par ces conditions.

Pour $A \ge 0$ et $B \ge 0$ , deux réels positifs se rangent comme leurs carrés : $\sqrt{A} = \sqrt{B} \iff A = B$ et $\sqrt{A} \le \sqrt{B} \iff A \le B$ . Pour un réel $k \ge 0$ : $\sqrt{A} = k \iff A = k^{2}$ . Et si $k < 0$ , $\sqrt{A} = k$ n'a pas de solution.

\sqrt{A} = k \iff A = k^{2} \qquad (k \ge 0)

\sqrt{A} \le \sqrt{B} \iff A \le B \qquad (A \ge 0, \ B \ge 0)

Le piège

$\sqrt{3 - 2x} = 5 \iff 3 - 2x = 5$

$\sqrt{3 - 2x} = 5 \iff 3 - 2x = 25 \iff x = -11$

On élève les deux membres au carré : $5^{2} = 25$ .

Le piège

$\sqrt{1 - 3x} \le \sqrt{2} \iff x \ge -\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{1}{3}$

On oublie la condition d'existence $1 - 3x \ge 0$ .

L'équation du second degré

Définition. Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels avec $a \ne 0$ . L'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ est dite équation du second degré d'inconnue $x$ .

Beaucoup de problèmes y mènent. Par exemple, la droite $(BC)$ est parallèle à $(DE)$ , avec $AB = x$ , $BD = 9{,}6$ , $AC = 15$ et $CE = x$ ; Thalès donne $\dfrac{x}{x + 9{,}6} = \dfrac{15}{15 + x}$ , soit $x(15 + x) = 15(x + 9{,}6)$ , c'est-à-dire $x^{2} = 144$ , et $x = 12$ puisque $x$ est une longueur.

(BC) parallèle à (DE), AB = x, BD = 9,6, AC = 15 et CE = x.

ax^{2} + bx + c = 0 \qquad (a \ne 0)

Le piège

$2x^{2} - 3 = 0$ n'est pas du second degré, il manque le terme en $x$

C'est une équation du second degré, avec $a = 2$ , $b = 0$ et $c = -3$

Seul $a$ doit être non nul ; $b$ et $c$ peuvent valoir $0$ .

Le piège

$6x^{2} + 10x = 0 \iff 6x + 10 = 0$

$6x^{2} + 10x = 0 \iff 2x(3x + 5) = 0$

Diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$ : on factorise.

Forme canonique et discriminant

Pour $a \ne 0$ , on met $a$ en facteur puis on reconnaît le début d'un carré : $x^{2} + \dfrac{b}{a}x = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} - \dfrac{b^{2}}{4a^{2}}$ . On obtient

ax^{2} + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}\right].

Vocabulaire. Le réel $b^{2} - 4ac$ est noté $\Delta$ et appelé le discriminant de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ . L'écriture ci-dessus est appelée la forme canonique de $ax^{2} + bx + c$ .

ax^{2} + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right]

\Delta = b^{2} - 4ac

Le piège

$x^{2} - 6x = (x - 6)^{2} - 36$

$x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9$

Dans le carré, on met la MOITIÉ du coefficient de $x$ , et l'on retranche son carré.

Le piège

$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \times 3 \times 7$ pour $-3x^{2} + 4x + 7$

$\Delta = 4^{2} - 4 \times (-3) \times 7 = 16 + 84 = 100$

On garde le signe de $a$ et de $c$ : ici $a = -3$ .

La méthode géométrique d'Al-Khawarizmi

Le mathématicien Al-Khawarizmi (780-850) résolvait les équations du type $x^{2} + bx = c$ par une figure. Pour $x^{2} + 10x = 39$ :

il considère un carré de côté $x$ , bordé de deux rectangles de côtés $x$ et $5$ ;
il exprime de deux façons l'aire de la partie colorée : d'une part $x^{2} + 10x$ ; d'autre part l'aire du grand carré de côté $x + 5$ moins celle du petit carré de côté $5$ . D'où $x^{2} + 10x = (x + 5)^{2} - 25$ ;
il cherche la solution positive de $(x + 5)^{2} - 25 = 39$ : $(x + 5)^{2} = 64$ , $x + 5 = 8$ , $x = 3$ .

C'est exactement la forme canonique, lue sur une figure. À son époque, on ne connaissait pas les nombres négatifs : il ne cherchait que les racines positives.

La figure d'Al-Khawarizmi : x² + 10x = (x + 5)² − 25.

x^{2} + 10x = (x + 5)^{2} - 25

Résoudre une équation du second degré

Soit l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ , avec $a \ne 0$ , et $\Delta = b^{2} - 4ac$ son discriminant. Grâce à la forme canonique, elle équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} = \dfrac{\Delta}{4a^{2}}$ , et tout dépend du signe de $\Delta$ :

si $\Delta < 0$ , l'équation n'a pas de racine ;
si $\Delta = 0$ , elle a une seule racine $x_{0} = -\dfrac{b}{2a}$ ;
si $\Delta > 0$ , elle a deux racines distinctes $x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Remarque. Toute solution de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ est aussi appelée racine de cette équation.

\Delta < 0 : \ S = \varnothing

\Delta = 0 : \ x_{0} = -\frac{b}{2a}

\Delta > 0 : \ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Le piège

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Le dénominateur est $2a$ : on l'oublie dès que $a \ne 1$ .

Le piège

$\Delta = b^{2} - 4ac = -11$ , donc les racines sont $\dfrac{3 \pm \sqrt{-11}}{10}$

$\Delta < 0$ : pas de racine réelle

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$ .

Le piège

$3t^{2} - 2t = 0$ : calculer $\Delta$ obligatoirement

$t(3t - 2) = 0 \iff t = 0$ ou $t = \dfrac{2}{3}$

Quand $c = 0$ , on factorise directement par $t$ : c'est plus court.

Problèmes : aire d'un rectangle, hauteur d'une pierre

Un rectangle de périmètre $20$ cm et de longueur $x$ cm a pour largeur $10 - x$ , donc pour aire $a(x) = x(10 - x)$ . L'aire vaut $16$ cm² si $x^{2} - 10x + 16 = 0$ : $\Delta = 36$ , $x = 2$ ou $x = 8$ — le rectangle de $8$ cm sur $2$ cm. Peut-il avoir une aire de $30$ cm² ? $x^{2} - 10x + 30 = 0$ a pour discriminant $100 - 120 = -20 < 0$ : non.

La forme canonique sert aussi à trouver un maximum : $a\left[(x + p)^{2} + q\right]$ avec $a < 0$ est le plus grand quand le carré est nul.

h(t) = -\frac{1}{2}t^{2} + 3t + 2 = -\frac{1}{2}\left[(t - 3)^{2} - 13\right]

Le piège

La hauteur maximale est atteinte pour $t = -3$

Elle est atteinte pour $t = 3$

$(t - 3)^{2}$ s'annule pour $t = 3$ : on lit le signe à l'intérieur de la parenthèse.

Le discriminant réduit

Quand $b$ est pair, il est parfois commode d'utiliser le discriminant réduit $\Delta' = b'^{2} - ac$ , où $b' = \dfrac{b}{2}$ . On a $\Delta = 4\Delta'$ , donc $\Delta'$ a le même signe que $\Delta$ :

$\Delta' < 0$ : l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ n'a pas de racine ;
$\Delta' = 0$ : une seule racine $x_{0} = -\dfrac{b'}{a}$ ;
$\Delta' > 0$ : deux racines distinctes $x_{1} = \dfrac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$ et $x_{2} = \dfrac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$ .

b' = \frac{b}{2} \qquad \Delta' = b'^{2} - ac \qquad \Delta = 4\Delta'

x_{1} = \frac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a} \qquad x_{2} = \frac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}

Le piège

$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{2a}$

$x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$

Avec le discriminant réduit, le $2$ s'est simplifié : on divise par $a$ .

Le piège

$\Delta' = b'^{2} - 4ac$

$\Delta' = b'^{2} - ac$

Le $4$ est déjà pris en compte : le discriminant vaut quatre fois le discriminant réduit.

Somme et produit des racines

Lorsque l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ admet deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , on a

x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}.

Usage : quand on connaît une racine, le produit (ou la somme) donne l'autre sans calculer $\Delta$ . Par exemple, pour $A(x) = x^{2} + (\sqrt{3} - 2)x - 2\sqrt{3}$ , on calcule $A(2) = 4 + 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = 0$ ; le produit des racines vaut $-2\sqrt{3}$ , donc l'autre racine est $-\sqrt{3}$ .

x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} \qquad x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}

Le piège

$x_{1} + x_{2} = \dfrac{b}{a}$

$x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}$

Le signe moins est dans la formule : pour $x^{2} - 5x + 6$ , la somme vaut $5$ .

Le piège

Utiliser $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$ pour une équation sans racine

Calculer d'abord $\Delta$ , ou connaître une racine

Les formules valent quand les racines existent.

Racines évidentes : a + b + c = 0, a − b + c = 0

Deux racines évidentes à repérer avant tout calcul :

Si $a + b + c = 0$ , alors $1$ est une racine de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ et l'autre racine est $\dfrac{c}{a}$ .
Si $a - b + c = 0$ , alors $-1$ est une racine et l'autre racine est $-\dfrac{c}{a}$ .

En effet, $a \times 1^{2} + b \times 1 + c = a + b + c$ et $a \times (-1)^{2} + b \times (-1) + c = a - b + c$ ; l'autre racine vient du produit $\dfrac{c}{a}$ .

a + b + c = 0 : \ x_{1} = 1, \ x_{2} = \frac{c}{a}

a - b + c = 0 : \ x_{1} = -1, \ x_{2} = -\frac{c}{a}

Le piège

$a - b + c = 0$ , donc les racines sont $-1$ et $\dfrac{c}{a}$

Les racines sont $-1$ et $-\dfrac{c}{a}$

Le produit vaut $\dfrac{c}{a}$ et l'une des racines est $-1$ : l'autre est l'opposé.

Deux nombres dont on connaît la somme et le produit

Chercher deux réels $u$ et $v$ tels que $u + v = S$ et $uv = P$ revient à résoudre l'équation

X^{2} - SX + P = 0.

En effet, si $u$ et $v$ conviennent, $(X - u)(X - v) = X^{2} - (u + v)X + uv = X^{2} - SX + P$ : $u$ et $v$ en sont les racines. Si $\Delta = S^{2} - 4P < 0$ , de tels nombres n'existent pas.

u + v = S, \ uv = P \iff u \text{ et } v \text{ sont les racines de } X^{2} - SX + P = 0

Le piège

$X^{2} + SX + P = 0$

$X^{2} - SX + P = 0$

La somme des racines vaut $-\dfrac{b}{a}$ : le coefficient de $X$ est $-S$ .

Le piège

La somme vaut $122$ pour un périmètre de $122$ m

$L + \ell = 61$

Le périmètre est $2(L + \ell)$ .

Équations se ramenant au second degré

On commence toujours par chercher pour quelles valeurs de $x$ l'équation est définie (dénominateurs non nuls, expression sous une racine positive ou nulle). Puis on se ramène à une équation du second degré :

avec des quotients, on réduit au même dénominateur ;
avec une racine carrée, $\sqrt{A} = B \iff A = B^{2}$ et $B \ge 0$ ;
une équation bicarrée $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$ devient $aX^{2} + bX + c = 0$ en posant $X = x^{2}$ , avec $X \ge 0$ .

À la fin, on garde seulement les solutions qui respectent les conditions.

\sqrt{A} = B \iff A = B^{2} \text{ et } B \ge 0

ax^{4} + bx^{2} + c = 0 \xrightarrow{X = x^{2}} aX^{2} + bX + c = 0

Le piège

$3x^{4} - 5x^{2} + 2 = 0 \iff x = 1$ ou $x = \dfrac{2}{3}$

$x^{2} = 1$ ou $x^{2} = \dfrac{2}{3}$ , soit quatre solutions

On a trouvé $X = x^{2}$ : il reste à revenir à $x$ .

Le piège

$\sqrt{2x + 6} = x - 1 \iff 2x + 6 = (x - 1)^{2}$

Il faut aussi $x - 1 \ge 0$

Élever au carré ajoute des solutions : $-1$ vérifie l'équation au carré, mais pas l'équation de départ.

Factoriser ax² + bx + c

Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont deux racines de l'équation $ax^{2} + bx + c = 0$ , alors

ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2}).

Selon le signe de $\Delta$ (avec $f(x) = ax^{2} + bx + c$ ) :

$\Delta < 0$ : on ne peut pas factoriser $f(x)$ ;
$\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_{0})^{2}$ ;
$\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})$ .

ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})

Le piège

$2x^{2} - 14x + 24 = (x - 3)(x - 4)$

$2x^{2} - 14x + 24 = 2(x - 3)(x - 4)$

On oublie le coefficient $a$ devant les facteurs.

Le piège

$x^{2} - x + 3 = (x - x_{1})(x - x_{2})$

$\Delta = 1 - 12 < 0$ : on ne peut pas factoriser

Sans racine, pas de facteur $(x - x_{1})$ .

Signe de ax² + bx + c

Soit $f(x) = ax^{2} + bx + c$ , avec $a \ne 0$ , et $\Delta$ son discriminant.

$\Delta < 0$ : pour tout réel $x$ , $f(x)$ est du signe de $a$ .
$\Delta = 0$ : pour tout réel $x \ne x_{0}$ , $f(x)$ est du signe de $a$ (et $f(x_{0}) = 0$ ).
$\Delta > 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $(-a)$ entre les racines.

$x$	$-\infty$		$x_{1}$		$x_{2}$		$+\infty$
$f(x)$		signe de $a$	$0$	signe de $-a$	$0$	signe de $a$

f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right]

Le piège

$\Delta < 0$ , donc $f(x) > 0$

$\Delta < 0$ , donc $f(x)$ a le signe de $a$

Pour $-2x^{2} + x - 1$ , le discriminant est négatif, et $f(x)$ est toujours négatif, du signe de $a = -2$ .

Le piège

$x^{2} - 5x + 6$ est négatif à l'extérieur des racines

Il est négatif entre $2$ et $3$

Entre les racines, c'est le signe de $-a$ ; à l'extérieur, celui de $a$ .

Inéquations du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré :

on ramène tout dans un membre : $ax^{2} + bx + c > 0$ (ou $<$ , $\ge$ , $\le$ ) ;
on cherche les racines ( $\Delta$ , racine évidente, factorisation) ;
on lit le signe dans le tableau du signe de $ax^{2} + bx + c$ , et on écrit l'ensemble des solutions — en incluant les racines pour $\ge$ ou $\le$ .

Exemple : un rectangle de côtés $x$ et $2$ , surmonté d'un demi-disque de diamètre $x$ . L'aire du rectangle est plus grande que celle du demi-disque si $2x > \dfrac{\pi x^{2}}{8}$ , soit $x(16 - \pi x) > 0$ : pour $x > 0$ , cela donne $x < \dfrac{16}{\pi}$ .

ax^{2} + bx + c \ \text{du signe de } -a \iff x_{1} < x < x_{2}

Le piège

$x^{2} - 5x + 6 < 0 \iff x < 2$ ou $x > 3$

$x^{2} - 5x + 6 < 0 \iff 2 < x < 3$

$a > 0$ : le trinôme est négatif ENTRE les racines.

Le piège

$4x^{2} - 4x + 1 \le 0$ n'a pas de solution

$S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$

Avec $\le$ , la valeur où le carré est nul convient.

Le piège

$-x^{2} + 4x - 3 \le 0 \iff x < 1$ ou $x > 3$

$x \le 1$ ou $x \ge 3$

Avec $\le$ , les racines font partie des solutions : crochets fermés.

Signe d'un produit ou d'un quotient

Pour le signe d'un produit de facteurs du premier ou du second degré, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, rangée dans l'ordre de toutes leurs racines, puis la règle des signes dans chaque colonne.

Pour un quotient, même tableau, mais les racines du dénominateur sont des valeurs interdites : on les exclut toujours (double barre).

D est au-dessus de l'axe pour x > 1, D' pour x < 2.

\frac{A}{B} \text{ a le signe de } A \times B, \quad B \ne 0

Le piège

$\dfrac{A}{B} \ge 0$ : on ferme les crochets aux racines de $B$

Les racines de $B$ sont toujours exclues

Un quotient n'existe pas quand son dénominateur est nul.

Le piège

$(x - 1)(-x^{2} + 2) < 0 \iff x - 1 < 0$ et $-x^{2} + 2 < 0$

On fait le tableau de signes

Un produit est négatif quand ses facteurs sont de signes contraires — dans un sens ou dans l'autre.

Problèmes : aires et astronaute

Premier problème : dans un rectangle $ABCD$ ( $AB = 2$ , $AD = 3$ ), $I$ milieu de $[AB]$ et $M$ sur $[AD]$ avec $AM = x$ , on trouve $F(x) = IM^{2} + MC^{2} = (1 + x^{2}) + \left((3 - x)^{2} + 4\right) = 2x^{2} - 6x + 14$ . Comme $F(x) - \dfrac{19}{2} = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^{2} \ge 0$ , $F(x)$ est minimal pour $x = \dfrac{3}{2}$ : $M$ au milieu de $[AD]$ .

Deuxième problème : un astronaute qui pèse $p$ kg sur terre pèse $P(x) = p\left(\dfrac{6400}{6400 + x}\right)^{2}$ à l'altitude $x$ km. Pour $p = 81$ , il pèse $25$ kg quand $\dfrac{6400}{6400 + x} = \dfrac{5}{9}$ , soit $x = 5120$ km, et moins de $9$ kg dès que $\dfrac{6400}{6400 + x} < \dfrac{1}{3}$ , soit $x > 12800$ km.

La somme des aires des carrés ABCD et BEFG.

F(x) = 2x^{2} - 6x + 14 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^{2} + \frac{19}{2}

Le piège

Répondre $x \in \,]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[$

$x \in \,]0 ; 1[ \cup ]3 ; 4[$

$x$ est une longueur et $B$ est sur $[AE]$ : on intersecte avec $]0 ; 4[$ .

À retenir

Un problème : choisir l'inconnue et ses conditions, traduire, résoudre, vérifier.
Multiplier ou diviser une inégalité par un négatif change son sens.
$|x - a|$ est la distance de $x$ à $a$ ; $|A| = |B| \iff A = B$ ou $A = -B$ .
Quotient : dénominateur non nul ; racine carrée : $\sqrt{A}$ définie si $A \ge 0$ , et $\sqrt{A} = k \iff A = k^{2}$ pour $k \ge 0$ .
$\Delta = b^{2} - 4ac$ : pas de racine si $\Delta < 0$ ; $x_{0} = -\dfrac{b}{2a}$ si $\Delta = 0$ ; $x_{1,2} = \dfrac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta > 0$ .
$\Delta' = b'^{2} - ac$ avec $b' = \dfrac{b}{2}$ ; racines $\dfrac{-b' \mp \sqrt{\Delta'}}{a}$ .
$x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}$ et $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$ ; si $a + b + c = 0$ , les racines sont $1$ et $\dfrac{c}{a}$ .
$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$ ; signe de $a$ à l'extérieur des racines, de $-a$ entre.

Ce qu’il t’explique

Mettre un problème en équation

Comparer deux tarifs

Inéquations du premier degré

Valeur absolue et distance

Équations et inéquations avec valeur absolue

Équations avec des quotients

Équations et inéquations avec des racines carrées

L'équation du second degré

Forme canonique et discriminant

La méthode géométrique d'Al-Khawarizmi

Résoudre une équation du second degré

Problèmes : aire d'un rectangle, hauteur d'une pierre

Le discriminant réduit

Somme et produit des racines

Racines évidentes : a + b + c = 0, a − b + c = 0

Deux nombres dont on connaît la somme et le produit

Équations se ramenant au second degré

Factoriser ax² + bx + c

Signe de ax² + bx + c

Inéquations du second degré

Signe d'un produit ou d'un quotient

Problèmes : aires et astronaute

À toi, au tableau

Le nombre pensé

Ajouter le même entier en haut et en bas

Thalès dans un triangle

Un triangle rectangle

Un discriminant nul

Sans calculer le discriminant

Deux agences de location

Entre le quart et le tiers

Une valeur absolue majorée

Une valeur absolue minorée

Deux quotients égaux

Une racine d'une valeur absolue

Comparer deux racines

Les bandes du peintre

Un produit positif

Le cycliste

Un triangle rectangle de périmètre 56

Le carré inscrit

La pierre dans le puits

Un facteur commun caché

Le poids de l'astronaute

Trois tarifs pour imprimer

Une somme de deux distances

Une somme de deux racines

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Mettre un problème en équation

Comparer deux tarifs

Inéquations du premier degré

Valeur absolue et distance

Équations et inéquations avec valeur absolue

Équations avec des quotients

Équations et inéquations avec des racines carrées

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Signe d'un produit ou d'un quotient

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À retenir