Rotations

Radians ; rotation directe et rotation indirecte ; image et antécédent d'un point ; ce que la rotation conserve ; images d'un segment, d'une droite et d'un cercle ; figures superposables ; problèmes d'alignement, de lieu et de construction ; figures globalement invariantes, éléments de symétrie.

28 sections · 103 exercices

Rotations

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Faire tourner une figure autour d'un point, sans la déformer : c'est une rotation. Chaque point tourne du même angle, dans le même sens, en restant à la même distance du centre.

On commence par une nouvelle unité d'angle, le radian. On définit ensuite la rotation directe et la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\alpha,$ puis on étudie ce qu'une rotation conserve et les images des figures usuelles. La rotation devient alors un outil pour prouver des alignements, comparer des aires, construire des figures et chercher des lieux géométriques. On termine par les figures globalement invariantes et leurs éléments de symétrie.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Convertir une mesure d'angle entre degrés et radians
Construire l'image d'un point par une rotation directe ou indirecte
Reconnaître une rotation sur une figure : son centre, son angle et son sens
Déterminer l'image d'un segment, d'une droite et d'un cercle, et utiliser ce que la rotation conserve
Résoudre des problèmes d'alignement, de construction, de lieu et d'aires
Reconnaître une figure globalement invariante, ses axes et son centre de symétrie

Activité

Rappels : le quart de tour

On a rencontré le quart de tour l'année dernière : on tourne autour d'un point $O$ d'un angle droit, dans l'un des deux sens.

Le sens direct est, par convention, le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre.
Le sens indirect est le sens du mouvement des aiguilles d'une montre.

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par le quart de tour direct de centre $O$ lorsque $OM' = OM,$ que l'angle $\widehat{MOM'}$ est droit et que l'on tourne de $M$ vers $M'$ dans le sens direct. Pour le quart de tour indirect, on tourne dans le sens indirect.

De A vers D, on tourne autour de O dans le sens direct.

le quart de tour de centre O

OM' = OM

\widehat{MOM'} = 90^\circ

Ce qu’on observe

Dans la figure, $ABCD$ est un carré de centre $O$ et $I$ est le milieu du côté $[DC].$ Dire si chaque phrase est vraie ou fausse. a) $D$ est l'image de $A$ par le quart de tour direct de centre $O.$ b) $B$ est l'image de $C$ par le quart de tour indirect de centre $O.$ c) $I$ est l'image de $A$ par le quart de tour indirect de centre $D.$

1
Phrase a
Les diagonales d'un carré ont la même longueur, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires : $OA = OD$ et l'angle $\widehat{AOD}$ est droit. Sur la figure, on va de $A$ vers $D$ en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre : c'est le sens direct.
a) vrai
2
Phrase b
$OC = OB$ et l'angle $\widehat{COB}$ est droit, mais pour aller de $C$ vers $B$ on tourne dans le sens direct. Par le quart de tour indirect de centre $O,$ l'image de $C$ est le point $D.$
b) faux
3
Phrase c
L'angle $\widehat{ADI}$ est droit, mais $DI$ est la moitié de $DA$ : un quart de tour conserve la distance au centre. L'image de $A$ par le quart de tour indirect de centre $D$ est le point $C.$
c) faux

a) vrai

;

b) faux

;

c) faux

L’erreur à ne pas faire

Le sens direct est le sens des aiguilles d'une montreLe sens direct est le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre
C'est une convention : dans le sens direct, on tourne à l'inverse des aiguilles d'une montre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b tadhkir mel 3am elli fet : le quart de tour. Ndawwrou 7awl point O b angle droit, w 3andna zouz sens. Le sens direct houwa 3aks 3a9areb es-se3a, w le sens indirect houwa kif 3a9areb es-se3a. M prime houwa l'image mta3 M par le quart de tour direct de centre O, ki OM prime égale OM, w l'angle MOM prime droit, w ndawwrou men M l M prime fi le sens direct. Chedd ez-zouz sens hedhom fi belek : bihom bech n3arrfou la rotation. »

Activité

Pour comprendre : la longueur d'un arc

Soit $\widehat{xOy}$ un angle de mesure $30^\circ$ et $\mathscr{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r,$ qui coupe la demi-droite $[Ox)$ en $A$ et la demi-droite $[Oy)$ en $B.$ Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O.$

L'angle $\widehat{AOD}$ est plat : l'arc $\overset{\frown}{AD}$ est un demi-cercle, de longueur $\pi r.$

On admet que la longueur d'un arc d'un cercle varie proportionnellement à la mesure de l'angle qui l'intercepte. La longueur $L$ de l'arc $\overset{\frown}{AB}$ intercepté par l'angle $\widehat{xOy}$ est donc

$\displaystyle L = \pi r \times \dfrac{30}{180} = \dfrac{\pi r}{6},$ d'où $\displaystyle \dfrac{L}{r} = \dfrac{\pi}{6}.$

Sur un autre cercle de centre $O,$ de rayon $r',$ l'arc $\overset{\frown}{A'B'}$ intercepté par le même angle a pour longueur $L' = \dfrac{\pi r'}{6}$ : le rapport $\dfrac{L'}{r'}$ est encore égal à $\dfrac{\pi}{6}.$

Le rapport de la longueur de l'arc au rayon ne dépend pas du cercle : il ne dépend que de l'angle.

Le même angle intercepte deux arcs : leur longueur est proportionnelle au rayon.

pour un angle de 30°

\dfrac{L}{r} = \dfrac{L'}{r'} = \dfrac{\pi}{6}

Ce qu’on observe

Sur un demi-cercle de centre $O$ et de rayon $r,$ on place deux points $A$ et $B.$ On note $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{AOB}$ et $L$ la longueur de l'arc $AB.$ Calculer $L,$ puis le rapport $\dfrac{L}{r},$ lorsque $\alpha$ vaut $180,$ $90,$ $60,$ $45,$ $30,$ puis $0$ degré.

1
L'angle plat
Pour un angle plat, l'arc est le demi-cercle entier : sa longueur est $\pi r,$ et le rapport vaut $\pi.$
$\alpha = 180^\circ : \quad L = \pi r, \quad$ $\dfrac{L}{r} = \pi$
2
La proportionnalité
Pour un angle de $\alpha$ degrés, on multiplie la longueur du demi-cercle par $\dfrac{\alpha}{180}.$
$L = \pi r \times \dfrac{\alpha}{180}$
3
90 et 60 degrés
Pour $90$ degrés on prend la moitié du demi-cercle, et pour $60$ degrés le tiers.
$\dfrac{L}{r} = \dfrac{\pi}{2} \quad ; \quad$ $\dfrac{L}{r} = \dfrac{\pi}{3}$
4
45 et 30 degrés
Pour $45$ degrés on prend le quart du demi-cercle, et pour $30$ degrés le sixième.
$\dfrac{L}{r} = \dfrac{\pi}{4} \quad ; \quad$ $\dfrac{L}{r} = \dfrac{\pi}{6}$
5
L'angle nul
Pour un angle nul, les points $A$ et $B$ sont confondus : l'arc a une longueur nulle, et le rapport vaut $0.$
$L = 0, \quad$ $\dfrac{L}{r} = 0$

L’erreur à ne pas faire

Sur un cercle deux fois plus grand, le rapport $\dfrac{L}{r}$ doubleLe rapport $\dfrac{L}{r}$ reste le même
Quand le rayon double, la longueur de l'arc double aussi : le rapport ne dépend que de l'angle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma na7kiw 3la la rotation, yelzemna unité jdida lel angles. 3andna cercle de centre O et de rayon r, w angle au centre fih trente degrés. L'angle plat, cent quatre-vingts degrés, ye5ou noss el cercle : la longueur mte3ou pi fois r. W la longueur mta3 l'arc proportionnelle à l'angle : trente degrés hiya un sixième mta3 cent quatre-vingts, donc la longueur mta3 l'arc pi fois r sur six. Tawa na7sbou le rapport L sur r : nal9aw pi sur six. W ken nbaddlou le cercle b cercle akbar, le rayon yekber w l'arc yekber m3ah, ama le rapport yo93ed pi sur six. Ya3ni le rapport hedha ma yetbaddel ken b l'angle. »

Vocabulaire

Le radian

Dans un cercle de centre $O$ et de rayon $r,$ soit $L$ la longueur de l'arc $\overset{\frown}{AB}$ intercepté par l'angle $\widehat{AOB}.$

Le rapport $\dfrac{L}{r}$ est une mesure en radians de l'angle $\widehat{AOB}.$

Exemples.

$\pi$ radians ( $\pi$ rad) est la mesure en radians de l'angle plat.
$\dfrac{\pi}{2}$ est la mesure en radians de l'angle droit.

On écrit souvent $\pi,$ $\dfrac{\pi}{2},$ … au lieu de $\pi$ rad, $\dfrac{\pi}{2}$ rad, …

L'angle alpha intercepte l'arc AB, de longueur L.

le radianmesure de

\widehat{AOB}

en radians

= \dfrac{L}{r}

l'angle plat

\pi \text{ rad} = 180^\circ

Exemple traité

Un cercle de centre $O$ a pour rayon $3.$ a) Un angle au centre $\widehat{AOB}$ intercepte un arc de longueur $2\pi$ : donner sa mesure en radians. b) Quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre droit ?

1
La mesure de l'angle
La mesure en radians est le rapport de la longueur de l'arc au rayon.
$\dfrac{L}{r} = \dfrac{2\pi}{3}$
2
L'arc de l'angle droit
L'angle droit mesure $\dfrac{\pi}{2}$ radians : le rapport de la longueur de l'arc au rayon vaut $\dfrac{\pi}{2}.$ On multiplie donc le rayon par $\dfrac{\pi}{2}.$
$L = 3 \times \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2}$

\widehat{AOB} = \dfrac{2\pi}{3} \quad ; \quad

L = \dfrac{3\pi}{2}

L’erreur à ne pas faire

$\pi$ radians, c'est $3{,}14$ degrés $\pi$ radians, c'est $180$ degrés
$\pi$ est la mesure en radians de l'angle plat. Le nombre $3{,}14$ n'en est qu'une valeur approchée, toujours en radians.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Le rapport hedha 3andou esm. Fi cercle de centre O et de rayon r, ne5dhou l'arc elli y9ossou l'angle AOB, w nsammiw la longueur mte3ou L. Le rapport L sur r, nsammiwh la mesure en radians mta3 l'angle AOB. L'angle plat ye5ou noss el cercle, la longueur mte3ou pi fois r : donc la mesure mte3ou pi radians. W l'angle droit ye5ou er-rbo3 : la mesure mte3ou pi sur deux. W barcha marrat nektbou pi walla pi sur deux wa77adhom, men ghir ma nektbou el kelma radians. »

Méthode

Passer des degrés aux radians

Les mesures d'un même angle en degrés et en radians sont proportionnelles : $180$ degrés correspondent à $\pi$ radians.

Mesure en degrés	Mesure en radians
$0$	$0$
$30$	$\dfrac{\pi}{6}$
$45$	$\dfrac{\pi}{4}$
$60$	$\dfrac{\pi}{3}$
$90$	$\dfrac{\pi}{2}$
$180$	$\pi$

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}.$
Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}.$

des degrés aux radians

\text{radians} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}

des radians aux degrés

\text{degrés} = \text{radians} \times \dfrac{180}{\pi}

Exemple traité

a) Convertir en radians $18$ degrés, $72$ degrés et $150$ degrés. b) Convertir en degrés $\dfrac{\pi}{8},$ $\dfrac{3\pi}{10},$ $\dfrac{4\pi}{5},$ $\dfrac{5\pi}{6}$ et $1$ radian.

1
18 degrés
On multiplie par $\dfrac{\pi}{180},$ puis on simplifie la fraction par $18.$
$18 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{10}$
2
72 et 150 degrés
De même, en simplifiant par $36,$ puis par $30.$
$72 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{5} \quad ; \quad$ $150 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$
3
Vers les degrés
Pour $\dfrac{\pi}{8},$ on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ : cela revient à remplacer $\pi$ par $180.$
$\dfrac{180}{8} = 22{,}5$
4
Les deux suivants
Pour $\dfrac{3\pi}{10}$ et pour $\dfrac{4\pi}{5},$ on remplace encore $\pi$ par $180,$ et on calcule.
$\dfrac{3 \times 180}{10} = 54 \quad ; \quad$ $\dfrac{4 \times 180}{5} = 144$
5
Les deux derniers
Pour $\dfrac{5\pi}{6},$ on remplace encore $\pi$ par $180.$ Pour $1$ radian, il n'y a pas de $\pi$ à remplacer : on multiplie par $\dfrac{180}{\pi},$ et on trouve environ $57{,}3$ degrés.
$\dfrac{5 \times 180}{6} = 150 \quad ; \quad$ $\dfrac{180}{\pi} \approx 57{,}3$

\dfrac{\pi}{10},\

\dfrac{2\pi}{5},\

\dfrac{5\pi}{6} \quad ; \quad

22{,}5^\circ,\

54^\circ,\

144^\circ,\

150^\circ,

environ

57{,}3^\circ

L’erreur à ne pas faire

$30$ degrés font $30 \times \dfrac{180}{\pi}$ radians $30$ degrés font $30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6}$ radians
Un angle de $30$ degrés est plus petit que l'angle plat : sa mesure en radians doit être plus petite que $\pi.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna tawa zouz unités lel angles : le degré w le radian. W les deux mesures proportionnelles : cent quatre-vingts degrés hiya pi radians. Men hna ntalla3ou el be9i : quatre-vingt-dix degrés hiya pi sur deux, soixante hiya pi sur trois, quarante-cinq hiya pi sur quatre, w trente hiya pi sur six. Bech tet3adda men les degrés l les radians, odhrob fi pi sur cent quatre-vingts. W bech traja3 men les radians l les degrés, odhrob fi cent quatre-vingts sur pi, ya3ni baddel pi b cent quatre-vingts. »

Activité

Pour comprendre : faire tourner une figure

Dans la figure, $ABC$ est un triangle équilatéral et $O$ est le centre de son cercle circonscrit. On décalque la figure, on fixe le point $O$ avec la pointe d'un stylo, et on fait tourner le papier calque autour de $O$ dans le sens direct — qui est, par convention, le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre — jusqu'à ce que le point $A$ coïncide avec $B.$

On observe alors où vient chaque point du calque : les sommets, le point $O,$ un point $N$ du cercle et un point $M$ quelconque.

Chaque point tourne autour de $O$ du même angle, dans le même sens, en restant à la même distance de $O.$

Tous les points tournent du même angle autour de O.

Ce qu’on observe

Le triangle $ABC$ est équilatéral, de centre $O.$ On fait tourner le calque autour de $O,$ dans le sens direct, jusqu'à ce que $A$ vienne sur $B.$ a) Où viennent les points $B$ et $C$ ? b) Que devient le point $O$ ? c) On note $N'$ et $M'$ les nouvelles positions de deux points $N$ et $M$ : comparer $ON$ et $ON',$ puis $OM$ et $OM'.$ d) Que valent l'angle $\widehat{AOB},$ l'angle $\widehat{NON'}$ et l'angle $\widehat{MOM'}$ ?

1
Les sommets
Les trois sommets sont sur le cercle de centre $O,$ et les trois angles au centre sont égaux. Quand $A$ vient sur $B,$ le point $B$ vient sur $C$ et le point $C$ vient sur $A.$
$A \longmapsto B \quad ; \quad$ $B \longmapsto C \quad ; \quad$ $C \longmapsto A$
2
Le point O
Le point $O$ est tenu par la pointe du stylo : il reste à sa place.
$O \longmapsto O$
3
Les distances
Le calque ne se déforme pas : chaque point reste à la même distance de $O.$
$ON' = ON \quad ; \quad$ $OM' = OM$
4
Les angles
Les trois angles au centre partagent le tour complet en trois parts égales : chacun mesure $120$ degrés, c'est-à-dire $\dfrac{2\pi}{3}.$ Tous les points du calque ont tourné de ce même angle.
$\widehat{AOB} = \widehat{NON'} = \widehat{MOM'} = \dfrac{2\pi}{3}$

L’erreur à ne pas faire

Plus un point est loin de $O,$ plus il tourne d'un grand angleTous les points tournent du même angle
Un point éloigné parcourt un arc plus long, mais l'angle au centre est le même pour tous les points.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa nabdew la rotation b tajriba. 3andna triangle équilatéral ABC, w O houwa le centre mta3 le cercle circonscrit. N3awdou nrasmou el figure 3la papier calque, nthabbtou O bes-stylo, w ndawwrou el calque 7awl O fi le sens direct, 7atta A yji 3la B. Chnowa ysir ? B yemchi l C, w C yemchi l A, w O yo93ed fi blastou. W koll point N yemchi l point N prime, b7ith ON prime égale ON : el calque ma yetmattatch. W les angles AOB, NON prime w MOM prime, el koll kif kif : deux pi sur trois. Ya3ni les points el koll darou b nafs l'angle, fi nafs le sens, w 9a3dou 3la nafs la distance men O. »

Activité

Pour comprendre : un angle, deux points

Soient $O$ et $M$ deux points distincts, et $\mathscr{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $OM.$

Sur le cercle $\mathscr{C},$ il y a deux points $M'$ tels que $\widehat{MOM'} = \dfrac{\pi}{4}$ : l'un s'obtient en tournant dans le sens direct, l'autre en tournant dans le sens indirect.

Il en est de même si l'on remplace $\dfrac{\pi}{4}$ par un réel $\alpha$ appartenant à $]0\,;\pi[$ : deux points, un pour chaque sens.

En revanche, pour l'angle $0$ il n'y a qu'un point, le point $M$ lui-même ; et pour l'angle $\pi$ il n'y a qu'un point, le symétrique de $M$ par rapport à $O.$

Pour dire où va un point quand il tourne autour de $O,$ il faut donc donner l'angle et le sens.

Le même angle, de part et d’autre de (OM) : deux points.

Ce qu’on observe

Sur le cercle de centre $O$ passant par $M,$ on note $M_1$ et $M_2$ les deux points tels que l'angle $\widehat{MOM_1}$ et l'angle $\widehat{MOM_2}$ mesurent tous deux $\dfrac{\pi}{4}.$ Que vaut l'angle $\widehat{M_1OM_2}$ ? Quelle est la nature du triangle $OM_1M_2$ ?

1
L'angle
Les deux points sont de part et d'autre de la droite $(OM)$ : les deux angles s'ajoutent.
$\widehat{M_1OM_2} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$
2
Les côtés
$M_1$ et $M_2$ sont sur le cercle de centre $O$ : les longueurs $OM_1$ et $OM_2$ sont égales au rayon.
$OM_1 = OM_2 = OM$
3
Conclure
Le triangle a deux côtés égaux et un angle droit en $O.$
$OM_1M_2$ est isocèle et rectangle en $O$

OM_1M_2

est isocèle et rectangle en

O

L’erreur à ne pas faire

Sur le cercle, il y a un seul point $M'$ tel que $\widehat{MOM'} = \dfrac{\pi}{4}$ Il y en a deux, un dans chaque sens
Un angle géométrique ne dit pas de quel côté tourner : c'est le sens, direct ou indirect, qui choisit entre les deux points.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« So2al sghir. 3andna point O w point M, w le cercle de centre O elli yet3adda men M. 9addech men point M prime 3la le cercle, b7ith l'angle MOM prime égale pi sur quatre ? Zouz, mouch wa7ed : wa7ed ki ndawwrou fi le sens direct, w wa7ed ki ndawwrou fi le sens indirect. W hakkeka l koll angle alpha bin zéro w pi. Ama ken l'angle zéro, nal9aw M houwa bidou. W ken l'angle pi, nal9aw point wa7ed : le symétrique mta3 M bennesba l O. Donc bech na3rfou win yemchi el point, yelzemna l'angle w le sens m3a b3adhhom. »

Définition

Rotation directe, rotation indirecte

Soient $O$ un point du plan et $\alpha$ un réel appartenant à $]0\,;\pi[.$

L'application du plan dans le plan qui laisse invariant le point $O$ et qui, à tout point $M$ distinct de $O,$ associe le point $M'$ tel que

$\displaystyle OM' = OM$ et $\displaystyle \widehat{MOM'} = \alpha,$

en tournant de $M$ vers $M'$ dans le sens direct, est appelée la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\alpha.$

L'application du plan dans le plan qui laisse invariant le point $O$ et qui, à tout point $M$ distinct de $O,$ associe le point $M'$ tel que $OM' = OM$ et $\widehat{MOM'} = \alpha,$ en tournant de $M$ vers $M'$ dans le sens indirect, est appelée la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\alpha.$

Dans les deux cas, $M'$ est l'image de $M$ par la rotation. Si $r$ désigne la rotation, on écrit $r(O) = O$ et $r(M) = M'.$

M' : rotation directe d'angle π/6. N : rotation indirecte d'angle π/3.

le centre est invariant

r(O) = O

pour M distinct de O

r(M) = M' \ : \quad OM' = OM

\widehat{MOM'} = \alpha

Exemple traité

Soient $O$ et $M$ deux points distincts. On note $M'$ l'image de $M$ par la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6},$ et $N$ l'image de $M$ par la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$ Quelle est la nature du triangle $OM'N$ ?

1
Les distances
Les deux rotations ont pour centre $O$ : chacune conserve la distance à $O.$
$OM' = OM$ et $ON = OM$
2
L'angle
$M'$ est obtenu en tournant dans le sens direct et $N$ en tournant dans le sens indirect : ils sont de part et d'autre de la droite $(OM),$ et les deux angles s'ajoutent.
$\widehat{M'ON} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$
3
Conclure
Le triangle $OM'N$ a deux côtés égaux et un angle droit en $O.$
$OM'N$ est isocèle et rectangle en $O$

OM'N

est isocèle et rectangle en

O

L’erreur à ne pas faire

Une rotation est connue dès qu'on a son centre et son angleIl faut aussi son sens : rotation directe ou rotation indirecte
Avec le même centre et le même angle, la rotation directe et la rotation indirecte donnent deux images différentes d'un même point.
L'image $M'$ de $M$ par une rotation de centre $O$ vérifie $MM' = OM$ Elle vérifie $OM' = OM$
C'est la distance au centre qui est conservée : $M$ et $M'$ sont sur un même cercle de centre $O.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa el définition. 3andna point O, w réel alpha bin zéro w pi. La rotation directe de centre O et d'angle alpha hiya l'application elli t5alli O fi blastou, w ta3ti l koll point M, ghir O, el point M prime elli y7a99e9 zouz chourout : OM prime égale OM, w l'angle MOM prime égale alpha, w ndawwrou men M l M prime fi le sens direct. W ken ndawwrou fi le sens indirect, nsammiwha la rotation indirecte de centre O et d'angle alpha. M prime houwa l'image mta3 M. Rodd belek : la rotation yelzemha thletha 7ajet, le centre, l'angle w le sens. »

Remarque

Angle π, angle nul, antécédent

La rotation directe ou indirecte de centre $O$ et d'angle $\pi$ est la symétrie centrale de centre $O.$
La rotation directe ou indirecte d'angle nul est l'identité du plan.
Soit $r$ une rotation directe ou indirecte. Étant donné un point $M'$ du plan, il existe un seul point $M$ tel que $r(M) = M'.$ $M$ est l'antécédent de $M'$ par $r.$

On retrouve le vocabulaire déjà connu : le quart de tour direct ou indirect de centre $O$ est la rotation directe ou indirecte de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2},$ et le demi-tour de centre $O$ est la symétrie centrale de centre $O.$

Un demi-tour dans un sens ou dans l'autre mène au même point.

un demi-tour

\alpha = \pi \ :

symétrie centrale de centre

O

aucun point ne bouge

\alpha = 0 \ :

identité du plan

Exemple traité

a) Quelle est l'image d'un point $M$ par la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\pi$ ? Et par la rotation indirecte de même centre et de même angle ? b) Par la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3},$ un point $A$ a pour image $B.$ Par quelle rotation retrouve-t-on $A$ à partir de $B$ ?

1
Un demi-tour
Tourner d'un angle plat dans un sens ou dans l'autre amène au même point : le point $M'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[MM'].$ Les deux rotations sont la symétrie centrale de centre $O.$
$O$ est le milieu de $[MM']$
2
Revenir en arrière
$OA = OB$ et l'angle $\widehat{AOB}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}.$ Pour revenir de $B$ à $A,$ on tourne du même angle dans l'autre sens : $A$ est l'image de $B$ par la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$
$B \longmapsto A$

L’erreur à ne pas faire

La rotation directe et la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\pi$ sont deux applications différentesC'est la même application : la symétrie centrale de centre $O$
Un demi-tour dans un sens ou dans l'autre amène chaque point au même endroit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna trois remarques. Numéro un : ken l'angle pi, la rotation directe w la rotation indirecte ya3tiw nafs el point, 5ater un demi-tour mel jiha hedhi walla mel jiha lo5ra ywassel l nafs el blasa. Donc la rotation de centre O et d'angle pi hiya la symétrie centrale de centre O. Numéro deux : ken l'angle nul, 7atta point ma yet7arrek : hedhi l'identité du plan. Numéro trois : koll point M prime 3andou antécédent wa7ed, ya3ni point wa7ed M elli l'image mte3ou M prime. W le quart de tour elli ta3rfou, houwa la rotation d'angle pi sur deux. »

Propriété

La rotation qui transforme A en B

Étant donné trois points distincts $O,$ $A$ et $B$ tels que $OA = OB,$ il existe une unique rotation $r$ de centre $O$ telle que $r(A) = B.$

Son angle est la mesure de l'angle $\widehat{AOB},$ et son sens est celui dans lequel on tourne autour de $O$ pour aller de $A$ vers $B.$

IA = IB = IC, et la médiane (AI) est perpendiculaire à (BC).

existence et unicité

OA = OB \implies

une seule rotation de centre

O

transforme

A

B

Exemple traité

Dans la figure, $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A,$ et $I$ est le milieu du segment $[BC].$ Quelle est l'image du point $A$ par le quart de tour direct de centre $I$ ?

1
Les distances
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets.
$IA = IB = IC$
2
L'angle
Le triangle est isocèle en $A$ : la médiane $(AI)$ est aussi la hauteur. L'angle $\widehat{AIB}$ est donc droit, comme l'angle $\widehat{AIC}.$
$\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = \dfrac{\pi}{2}$
3
Le sens
Il y a deux candidats, $B$ et $C.$ Sur la figure, on va de $A$ vers $B$ en tournant autour de $I$ dans le sens direct, et de $A$ vers $C$ dans le sens indirect.
$A \longmapsto B$

l'image de

A

est

B

L’erreur à ne pas faire

Il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B,$ quels que soient les points $A$ et $B$ Il faut que $OA = OB$
Une rotation de centre $O$ conserve la distance à $O$ : si $OA$ et $OB$ sont différents, aucune rotation de centre $O$ ne transforme $A$ en $B.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Propriété mouhemma. 3andna trois points O, A w B, w OA égale OB. Thamma rotation wa7da de centre O elli teb3ath A l B. L'angle mte3ha houwa l'angle AOB, w le sens mte3ha houwa ej-jiha elli ndawwrou fiha 7awl O bech nemchiw men A l B. Rodd belek lech-chart : OA égale OB. Ken les deux distances mouch kif kif, ma thamma 7atta rotation de centre O teb3ath A l B, 5ater la rotation t5alli koll point 3la nafs la distance men le centre. »

Exemple

Exemple : lire des rotations

Dans la figure, $AB = AC = AD$ et $BC = BE = CE.$ L'angle $\widehat{BAC}$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$ et l'angle $\widehat{CAD}$ est droit.

Pour lire une rotation sur une figure, on cherche trois choses : deux longueurs égales à partir du centre, l'angle qu'elles forment, et le sens dans lequel on tourne.

AB = AC = AD et BC = BE = CE.

Exemple traité

Sur la figure : a) quelle est l'image de $B$ par la rotation directe de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ ? b) Quelle est l'image de $C$ par la rotation indirecte de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ? c) Quel point a pour image $B$ par la rotation indirecte de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ? d) Quel est l'angle de la rotation indirecte de centre $A$ qui transforme $D$ en $B$ ? e) Quel est le centre de la rotation directe d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ qui transforme $C$ en $D$ ?

1
L'image de B
$AB = AC$ et l'angle $\widehat{BAC}$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$ ; de $B$ vers $C,$ on tourne autour de $A$ dans le sens direct.
$B \longmapsto C$
2
L'image de C
Le triangle $BCE$ est équilatéral : $BC = BE$ et l'angle $\widehat{CBE}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ ; de $C$ vers $E,$ on tourne autour de $B$ dans le sens indirect.
$C \longmapsto E$
3
Un antécédent
$CE = CB$ et l'angle $\widehat{ECB}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ ; de $E$ vers $B,$ on tourne autour de $C$ dans le sens indirect. Le point cherché est $E.$
$E \longmapsto B$
4
Un angle
$AD = AB,$ et l'angle $\widehat{DAB}$ est la somme de l'angle droit $\widehat{DAC}$ et de l'angle $\widehat{CAB}.$
$\widehat{DAB} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$
5
Un centre
Le centre est à la même distance de $C$ et de $D,$ et l'angle de sommet ce centre est droit : c'est le point $A,$ et de $C$ vers $D$ on tourne bien dans le sens direct.
le centre est $A$

L’erreur à ne pas faire

$D$ a pour image $B$ par la rotation indirecte de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ L'angle de cette rotation est $\dfrac{3\pi}{4}$
L'angle d'une rotation se mesure entre le point et son image : de $D$ à $B,$ on traverse l'angle droit, puis l'angle de $\dfrac{\pi}{4}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ntabb9ou el définition 3la figure. 3andna AB égale AC égale AD, w BC égale BE égale CE. L'angle BAC fih pi sur quatre, w l'angle CAD droit. Bech ta9ra rotation 3la figure, 9alleb 3la thletha 7ajet : zouz longueurs kif kif 5arjin men le centre, l'angle elli binethom, w le sens. Mathalan : AB égale AC, w l'angle BAC égale pi sur quatre, w men B l C ndawwrou fi le sens direct. Donc C houwa l'image mta3 B par la rotation directe de centre A et d'angle pi sur quatre. »

Méthode

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ :

1.on trace le cercle de centre $O$ passant par $M$ : le point $M'$ est sur ce cercle, car $OM' = OM$ ;
2.on trace, avec le rapporteur, la demi-droite d'origine $O$ qui fait avec la demi-droite $[OM)$ un angle $\alpha,$ en tournant dans le sens direct pour une rotation directe, dans le sens indirect pour une rotation indirecte ;
3.le point $M'$ est le point d'intersection de cette demi-droite et du cercle.

Pour l'angle $\dfrac{\pi}{3},$ le compas suffit : le triangle $OMM'$ est équilatéral. Pour l'angle $\dfrac{\pi}{2},$ l'équerre et le compas suffisent : le triangle $OMM'$ est rectangle et isocèle en $O.$

E et F sont de part et d’autre de la droite (AB).

Exemple traité

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. On construit le point $E,$ image de $B$ par la rotation directe de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6},$ et le point $F,$ image de $A$ par la rotation directe de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}.$ Quelle est la position relative des droites $(AE)$ et $(BF)$ ? Quelle est la nature du quadrilatère $AEBF$ ?

1
Les longueurs
$E$ est l'image de $B$ par une rotation de centre $A,$ et $F$ est l'image de $A$ par une rotation de centre $B.$
$AE = AB$ et $BF = BA$
2
Les angles
L'angle $\widehat{BAE}$ et l'angle $\widehat{ABF}$ mesurent tous deux $\dfrac{\pi}{6}.$ Comme les deux rotations sont directes, $E$ et $F$ sont de part et d'autre de la droite $(AB)$ : ces deux angles sont alternes-internes.
$\widehat{BAE} = \widehat{ABF} = \dfrac{\pi}{6}$
3
Les droites
Deux angles alternes-internes égaux : les droites $(AE)$ et $(BF)$ sont parallèles.
$(AE)$ est parallèle à $(BF)$
4
Le quadrilatère
Les côtés $[AE]$ et $[FB]$ sont parallèles et de même longueur, et le quadrilatère $AEBF$ n'est pas croisé : c'est un parallélogramme.
$AEBF$ est un parallélogramme

AEBF

est un parallélogramme

L’erreur à ne pas faire

Pour l'image de $M$ par une rotation de centre $O,$ on mesure l'angle au point $M$ On mesure l'angle au centre $O,$ à partir de la demi-droite $[OM)$
C'est l'angle $\widehat{MOM'}$ qui vaut $\alpha$ : son sommet est le centre de la rotation.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech narsmou l'image mta3 point M par une rotation de centre O et d'angle alpha ? Numéro un : bel compas, narsmou le cercle de centre O elli yet3adda men M, 5ater OM prime égale OM. Numéro deux : bel rapporteur, narsmou la demi-droite elli to5rej men O w ta3mel m3a OM el angle alpha, fi le sens direct ken la rotation directe, w fi le sens indirect ken indirecte. Numéro trois : M prime houwa el point win la demi-droite t9oss le cercle. W ken l'angle pi sur trois, le compas wa7dou yekfi : le triangle OMM prime équilatéral. »

Application

De M à M' : plusieurs applications

Dans la figure, $ABCD$ est un rectangle, $L$ est le milieu de $[AD]$ et $I$ est le milieu de $[BC]$ : la droite $(LI)$ est la médiatrice de $[BC].$ Le point $M$ est sur $[AB],$ le point $M'$ est sur $[DC],$ et la droite $(MM')$ est perpendiculaire à la droite $(LI)$ au point $J.$ Le point $K$ est sur le segment $[LJ].$

On lit sur la figure : $\widehat{MLM'} = 45^\circ,$ $\widehat{MKM'} = 120^\circ,$ et l'angle $\widehat{MIM'}$ est droit.

Plusieurs applications du plan transforment $M$ en $M'$ : une translation, une symétrie axiale, une symétrie centrale — et plusieurs rotations.

L, K, J et I sont sur la médiatrice du segment [MM’].

Exemple traité

Sur la figure, nommer : a) une translation qui transforme $M$ en $M'$ ; b) une symétrie axiale qui transforme $M$ en $M'$ ; c) une symétrie centrale qui transforme $M$ en $M'$ ; d) des rotations qui transforment $M$ en $M',$ en donnant leurs angles en radians.

1
La translation
Les droites $(MM')$ et $(AD)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AB),$ et $MM' = AD$ : le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{AD}.$ C'est la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}.$
2
La symétrie axiale
La droite $(LI)$ est perpendiculaire au segment $[MM']$ en son milieu $J$ : c'est sa médiatrice. C'est la symétrie axiale d'axe $(LI).$
3
La symétrie centrale
$J$ est le milieu du segment $[MM']$ : c'est la symétrie centrale de centre $J,$ qui est aussi la rotation de centre $J$ et d'angle $\pi.$
4
Les centres possibles
Le centre d'une rotation qui transforme $M$ en $M'$ est à égale distance de $M$ et de $M'$ : il est sur la médiatrice $(LI).$ Les points $L,$ $K$ et $I$ conviennent.
$LM = LM' \quad ; \quad$ $KM = KM' \quad ; \quad$ $IM = IM'$
5
Les angles et les sens
Autour de $L$ et autour de $K,$ on va de $M$ vers $M'$ dans le sens direct ; autour de $I,$ dans le sens indirect. On convertit : $45$ degrés font $\dfrac{\pi}{4}$ et $120$ degrés font $\dfrac{2\pi}{3}.$
$L : \text{directe, } \dfrac{\pi}{4} \quad ; \quad$ $K : \text{directe, } \dfrac{2\pi}{3} \quad ; \quad$ $I : \text{indirecte, } \dfrac{\pi}{2}$

L’erreur à ne pas faire

Une seule rotation transforme $M$ en $M'$ Il y en a une pour chaque point de la médiatrice de $[MM']$
Dès que le centre est à égale distance de $M$ et de $M',$ il existe une rotation de ce centre qui transforme $M$ en $M'$ ; seul l'angle change.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nchoufou figure fiha barcha applications. 3andna rectangle ABCD, w point M 3la AB, w point M prime 3la DC, w la droite LI hiya la médiatrice mta3 le segment MM prime. Chnowa elli yeb3ath M l M prime ? La translation de vecteur AD. W la symétrie axiale d'axe LI. W la symétrie centrale de centre J, 5ater J houwa le milieu. W zid des rotations : koll point 3la la médiatrice ynajjem ykoun centre, 5ater houwa 3la nafs la distance men M w men M prime. 7awl L, l'angle quarante-cinq degrés, ya3ni pi sur quatre. 7awl K, cent vingt degrés, ya3ni deux pi sur trois. W 7awl I, angle droit, ama fi le sens indirect. »

Propriété

Conservation des distances et des angles

Soit $r$ une rotation directe ou indirecte.

Si $M$ et $N$ sont deux points d'images $M'$ et $N',$ alors $M'N' = MN$ : une rotation conserve les distances.
Si $A,$ $B$ et $C$ sont trois points non alignés d'images $A',$ $B'$ et $C',$ alors $\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}$ : une rotation conserve les angles.

En particulier, une rotation conserve l'orthogonalité.

ABE et ACF sont équilatéraux.

les distances

M'N' = MN

les angles

\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}

Exemple traité

Soit $ABC$ un triangle. On construit à l'extérieur de ce triangle les points $E$ et $F$ tels que $ABE$ et $ACF$ soient deux triangles équilatéraux. Montrer que $EC = BF.$

1
La rotation
On considère la rotation directe $r$ de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3},$ et on cherche les images de $E$ et de $C.$
2
L'image de E
Le triangle $ABE$ est équilatéral : $AE = AB$ et l'angle $\widehat{EAB}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}.$ Sur la figure, on va de $E$ vers $B$ en tournant autour de $A$ dans le sens direct.
$E \longmapsto B$
3
L'image de C
De même, le triangle $ACF$ est équilatéral, et l'on va de $C$ vers $F$ dans le sens direct.
$C \longmapsto F$
4
Conclure
Le segment $[EC]$ a pour image le segment $[BF],$ et une rotation conserve les distances.
$EC = BF$

EC = BF

L’erreur à ne pas faire

Par une rotation, $MM' = NN'$ pour tous les points $M$ et $N$ C'est $M'N' = MN$ qui est vrai
Ce qui est conservé, c'est la distance entre deux points et la distance entre leurs images. La distance d'un point à son image, elle, grandit quand le point s'éloigne du centre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa ahamm propriété fel chapitre. La rotation ma tbaddelch les distances : ken M prime w N prime houma les images mta3 M w N, donc M prime N prime égale MN. 3lech ? Les triangles OMN w OM prime N prime 3andhom zouz côtés kif kif, OM égale OM prime w ON égale ON prime, w l'angle elli binethom kif kif : donc houma isométriques. W menha : la rotation t7afedh 3la les angles. Ken A prime, B prime w C prime houma les images mta3 A, B w C, l'angle A prime B prime C prime égale l'angle ABC. W bel5sous, l'angle droit yo93ed droit : la rotation t7afedh 3la l'orthogonalité. »

Théorème

Image d'un segment, image d'une droite

Soit $r$ une rotation, $A$ et $B$ deux points distincts, $A' = r(A)$ et $B' = r(B).$

L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B'],$ qui lui est isométrique.
L'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B').$

En particulier, une rotation conserve l'alignement : les images de trois points alignés sont trois points alignés.

BP = CQ = AR.

le segment

[AB] \longmapsto [A'B']

A'B' = AB

la droite

(AB) \longmapsto (A'B')

Exemple traité

Dans la figure, $ABC$ est un triangle équilatéral de centre $O.$ Les points $P,$ $Q$ et $R$ sont placés sur les demi-droites $[AB),$ $[BC)$ et $[CA),$ au-delà de $B,$ de $C$ et de $A,$ avec $BP = CQ = AR.$ Soit $f$ la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$ a) Déterminer l'image par $f$ de la droite $(AB).$ b) Montrer que $f(P) = R.$ c) Déterminer les images de $Q$ et de $R.$ d) Comparer l'angle $\widehat{POR},$ l'angle $\widehat{ROQ}$ et l'angle $\widehat{QOP}.$ e) Quelle est la nature du triangle $PQR$ ? f) Comparer les aires des triangles $APR,$ $BPQ$ et $CQR.$

1
Les sommets
Sur la figure, on passe de $A$ à $C,$ de $C$ à $B$ et de $B$ à $A$ en tournant autour de $O$ d'un angle $\dfrac{2\pi}{3}$ dans le sens direct.
$f(A) = C \quad ; \quad$ $f(C) = B \quad ; \quad$ $f(B) = A$
2
L'image de la droite
L'image de la droite $(AB)$ est la droite qui passe par les images de $A$ et de $B$ : c'est la droite $(CA).$
$(AB) \longmapsto (CA)$
3
L'image de P
$P$ est sur la demi-droite $[AB),$ au-delà de $B$ : son image est sur la demi-droite $[CA),$ au-delà de $A,$ qui est l'image de $B.$ Comme une rotation conserve les distances, cette image est à la distance $BP$ de $A$ : c'est le point $R,$ car $AR = BP.$
$f(P) = R$
4
Les deux autres
De la même façon, l'image de la droite $(BC)$ est la droite $(AB),$ et l'image de la droite $(CA)$ est la droite $(BC).$
$f(Q) = P \quad ; \quad$ $f(R) = Q$
5
Les trois angles
$f$ transforme $P$ en $R,$ $R$ en $Q$ et $Q$ en $P$ : chacun de ces trois angles de sommet $O$ est l'angle de la rotation.
$\widehat{POR} = \widehat{ROQ} = \widehat{QOP} = \dfrac{2\pi}{3}$
6
Le triangle PQR
Le segment $[PQ]$ a pour image le segment $[RP],$ et le segment $[RP]$ a pour image le segment $[QR]$ : les trois côtés ont la même longueur.
$PQ = RP = QR$
7
Les aires
$f$ transforme $A$ en $C,$ $P$ en $R$ et $R$ en $Q$ : le triangle $APR$ a pour image le triangle $CRQ,$ qui a lui-même pour image le triangle $BQP.$ Comme une rotation conserve les distances, ces trois triangles ont des côtés de mêmes longueurs : ils sont superposables.
$\text{aire}(APR) = \text{aire}(BPQ) = \text{aire}(CQR)$

PQR

est équilatéral

;

les trois triangles ont la même aire

L’erreur à ne pas faire

L'image d'une droite par une rotation est une droite qui lui est parallèleC'est une droite, qui en général n'est pas parallèle à la première
Une rotation fait tourner les directions. Ce sont la translation et l'homothétie qui transforment une droite en une droite parallèle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chnowa l'image mta3 segment ? 3andna rotation r, w zouz points A w B, w les images mte3hom A prime w B prime. L'image mta3 le segment AB hiya le segment A prime B prime, w 3andhom nafs la longueur. W l'image mta3 la droite AB hiya la droite A prime B prime. 3lech ? Ken M 3la le segment AB, AM plus MB égale AB. La rotation t7afedh 3la les distances, donc A prime M prime plus M prime B prime égale A prime B prime : M prime 3la le segment A prime B prime. W menha : la rotation t7afedh 3la l'alignement. Trois points alignés, les images mte3hom alignés. »

Propriété

Image d'une droite par un quart de tour

L'image d'une droite par un quart de tour est une droite qui lui est perpendiculaire.

Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, il suffit donc de trouver un quart de tour qui transforme l'une en l'autre.

OA = OB et OC = OD, avec deux angles droits en O.

r est un quart de tour, A' = r(A) et B' = r(B)

(AB) \perp (A'B')

Exemple traité

Dans la figure, $OAB$ et $OCD$ sont deux triangles isocèles et rectangles en $O.$ Soit $I$ le milieu de $[BD]$ et $r$ le quart de tour direct de centre $O.$ On note $C'$ l'image de $C$ par $r.$ a) Déterminer les images par $r$ des points $A$ et $D.$ b) Montrer que les droites $(AC)$ et $(BC')$ sont perpendiculaires. c) Montrer que $O$ est le milieu de $[DC'],$ puis que les droites $(OI)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

1
Les images de A et de D
$OA = OB$ et l'angle $\widehat{AOB}$ est droit ; $OD = OC$ et l'angle $\widehat{DOC}$ est droit. Sur la figure, on tourne dans le sens direct de $A$ vers $B$ et de $D$ vers $C.$
$A \longmapsto B \quad ; \quad$ $D \longmapsto C$
2
Deux droites perpendiculaires
L'image de la droite $(AC)$ par $r$ est la droite $(BC'),$ et l'image d'une droite par un quart de tour lui est perpendiculaire.
$(AC) \perp (BC')$
3
Le milieu
$OC' = OC = OD.$ L'angle $\widehat{DOC'}$ est la somme de deux angles droits, l'angle $\widehat{DOC}$ et l'angle $\widehat{COC'}$ : les points $D,$ $O$ et $C'$ sont alignés.
$O$ est le milieu de $[DC']$
4
La droite des milieux
Dans le triangle $DBC',$ $I$ est le milieu de $[DB]$ et $O$ est le milieu de $[DC']$ : la droite $(OI)$ est parallèle à la droite $(BC').$
$(OI) \parallel (BC')$
5
Conclure
La droite $(BC')$ est perpendiculaire à la droite $(AC),$ donc sa parallèle $(OI)$ l'est aussi.
$(OI) \perp (AC)$

(OI) \perp (AC)

L’erreur à ne pas faire

Par un quart de tour, une droite et son image sont parallèlesElles sont perpendiculaires
Un quart de tour fait tourner toutes les directions d'un angle droit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 7ala 5assa te5demna barcha : le quart de tour. L'image mta3 droite par un quart de tour hiya droite perpendiculaire liha. Ya3ni ken r quart de tour, w A prime w B prime houma les images mta3 A w B, la droite AB perpendiculaire à la droite A prime B prime. W hedhi tari9a behya bech nthabtou zouz droites perpendiculaires : nal9aw quart de tour yeb3ath el wa7da lel o5ra. Rodd belek : hedha y5oss le quart de tour bark. Rotation o5ra tdawwer la droite, ama mouch b angle droit. »

Application

Un problème d'alignement

Une rotation conserve l'alignement : pour montrer que trois points sont alignés, on peut montrer qu'ils sont les images de trois points alignés.

Dans la figure, $ABCD$ est un carré, $ABI$ et $BCJ$ sont deux triangles équilatéraux, $I$ étant à l'intérieur du carré et $J$ à l'extérieur. On construit le point $E$ tel que le triangle $DBE$ soit équilatéral, $E$ et $A$ étant du même côté de la droite $(BD).$

ABI, BCJ et DBE sont équilatéraux.

Exemple traité

Avec la figure : a) montrer que les points $E,$ $A$ et $C$ sont alignés ; b) soit $r$ la rotation indirecte de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ : déterminer les images de $E,$ de $A$ et de $C$ par $r$ ; c) en déduire que les points $D,$ $I$ et $J$ sont alignés.

1
Une médiatrice
$EB = ED$ car le triangle $DBE$ est équilatéral ; $AB = AD$ et $CB = CD$ car $ABCD$ est un carré. Les points $E,$ $A$ et $C$ sont tous les trois sur la médiatrice du segment $[BD].$
$E,\$ $A$ et $C$ sont alignés
2
L'image de E
$BE = BD$ et l'angle $\widehat{EBD}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ ; sur la figure, on va de $E$ vers $D$ en tournant autour de $B$ dans le sens indirect.
$E \longmapsto D$
3
Les images de A et de C
De même, les triangles $ABI$ et $BCJ$ sont équilatéraux, et l'on tourne dans le sens indirect de $A$ vers $I$ et de $C$ vers $J.$
$A \longmapsto I \quad ; \quad$ $C \longmapsto J$
4
Conclure
Les points $E,$ $A$ et $C$ sont alignés, et une rotation conserve l'alignement : leurs images le sont aussi.
$D,\$ $I$ et $J$ sont alignés

D,\

I

J

sont alignés

L’erreur à ne pas faire

$E,$ $A$ et $C$ sont alignés, donc $D,$ $I$ et $J$ aussi, sans autre explicationOn montre d'abord que $D,$ $I$ et $J$ sont les images de $E,$ $A$ et $C$ par une même rotation
La conservation de l'alignement ne s'applique qu'à des points et à leurs images par la même application.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La rotation t7afedh 3la l'alignement : nesta3mlouha bech nthabtou trois points alignés. El fekra : nal9aw trois points na3rfouhom alignés, w rotation teb3athhom lel points elli n7ebbou 3lihom. Hna 3andna carré ABCD, w zouz triangles équilatéraux ABI w BCJ, w point E b7ith le triangle DBE équilatéral. E, A w C el koll 3la la médiatrice mta3 BD, donc alignés. W la rotation indirecte de centre B et d'angle pi sur trois teb3ath E l D, A l I, w C l J. Donc D, I w J alignés. »

Propriété

Conservation du milieu et du barycentre

Soit $r$ une rotation directe ou indirecte.

Une rotation conserve le milieu : si $I$ est le milieu du segment $[AB],$ alors son image $I'$ est le milieu du segment $[A'B'].$
On admet qu'une rotation conserve le barycentre : si $G$ est le barycentre des points pondérés $(A, a),$ $(B, b)$ et $(C, c),$ alors son image $G'$ est le barycentre des points pondérés $(A', a),$ $(B', b)$ et $(C', c).$
Une rotation conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.

G' est le centre de gravité du triangle image.

le milieu

I

milieu de

[AB] \implies I'

milieu de

[A'B']

Exemple traité

Soit $ABC$ un triangle et $G$ son centre de gravité. On désigne par $A',$ $B',$ $C'$ et $G'$ les images respectives de $A,$ $B,$ $C$ et $G$ par une rotation. Montrer que $G'$ est le centre de gravité du triangle $A'B'C'.$

1
Traduire
Le centre de gravité d'un triangle est le barycentre de ses trois sommets affectés du même coefficient $1.$
$G$ est le barycentre de $(A, 1),\$ $(B, 1)$ et $(C, 1)$
2
Appliquer la rotation
Une rotation conserve le barycentre : l'image de $G$ est le barycentre des images, avec les mêmes coefficients.
$G'$ est le barycentre de $(A', 1),\$ $(B', 1)$ et $(C', 1)$
3
Conclure
Les trois coefficients sont égaux : $G'$ est le centre de gravité du triangle $A'B'C'.$

G'

est le centre de gravité de

A'B'C'

L’erreur à ne pas faire

L'image du barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 2)$ est le barycentre de $(A', 2)$ et $(B', 1)$ C'est le barycentre de $(A', 1)$ et $(B', 2)$
La rotation déplace les points, pas les coefficients : chaque image garde le coefficient de son point.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La rotation t7afedh zeda 3la le milieu. Ken I houwa le milieu mta3 le segment AB, l'image mte3ou I prime hiya le milieu mta3 le segment A prime B prime. 3lech ? I prime 3la le segment A prime B prime, w A prime I prime égale AI, w I prime B prime égale IB. W ne9blou men ghir démonstration elli la rotation t7afedh 3la le barycentre : l'image mta3 le barycentre hiya le barycentre mta3 les images, b nafs les coefficients. W zid : la rotation t7afedh 3la le parallélisme. Zouz droites parallèles, les images mte3hom parallèles. »

Application

Un problème d'optimisation

Soient $O$ et $A$ deux points distincts et $r$ la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$ On note $B$ l'image de $A$ par $r,$ et $C$ l'image de $B$ par $r.$

Un point $M$ varie sur le segment $[AB],$ et $P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BP = AM.$

Où placer $M$ pour que la distance $MP$ soit la plus petite possible ? La rotation $r$ transforme $M$ en $P$ : elle ramène la question à la distance $OM.$

BP = AM, donc P est l’image de M.

MP est minimale quand OM est minimale

MP = OM \times \sqrt{3}

Exemple traité

Soit $r$ la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3},$ $B$ l'image de $A$ par $r$ et $C$ l'image de $B$ par $r.$ Un point $M$ varie sur le segment $[AB],$ et $P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BP = AM.$ a) Montrer que $ABC$ est un triangle équilatéral. b) Prouver que $P$ est l'image de $M$ par $r,$ et en déduire que $OM = OP.$ c) Soit $I$ le milieu de $[MP]$ : calculer $IM,$ puis $MP,$ en fonction de $OM.$ d) Où doit-on placer $M$ sur le segment $[AB]$ pour que la distance $MP$ soit minimale ?

1
Le triangle ABC
$OA = OB = OC,$ et l'angle $\widehat{AOB}$ et l'angle $\widehat{BOC}$ mesurent tous deux $\dfrac{2\pi}{3}$ : le troisième angle au centre, l'angle $\widehat{COA},$ mesure donc aussi $\dfrac{2\pi}{3}.$ La rotation $r$ transforme $A$ en $B,$ $B$ en $C$ et $C$ en $A$ ; comme elle conserve les distances, les trois côtés sont égaux.
$AB = BC = CA$
2
L'image de M
L'image du segment $[AB]$ est le segment $[BC].$ L'image de $M$ est donc le point de $[BC]$ situé à la distance $AM$ de $B,$ qui est l'image de $A$ : c'est le point $P.$
$M \longmapsto P$ donc $OM = OP$
3
Le triangle OMP
Le triangle $OMP$ est isocèle en $O$ et l'angle $\widehat{MOP}$ mesure $\dfrac{2\pi}{3}.$ La médiane $(OI)$ est aussi hauteur et bissectrice : le triangle $OIM$ est rectangle en $I,$ et l'angle $\widehat{MOI}$ mesure $\dfrac{\pi}{3},$ soit $60$ degrés.
$IM = OM \times \sin 60^\circ = \dfrac{OM \times \sqrt{3}}{2}$
4
La distance MP
$I$ est le milieu de $[MP]$ : $MP$ est le double de $IM.$
$MP = 2 \times IM = OM \times \sqrt{3}$
5
Le minimum
$MP$ est minimale quand $OM$ est minimale, c'est-à-dire quand $M$ est le pied de la perpendiculaire menée de $O$ à la droite $(AB).$ Comme $OA = OB,$ ce point est le milieu du segment $[AB].$
$M$ est le milieu de $[AB]$

MP

est minimale quand

M

est le milieu de

[AB]

L’erreur à ne pas faire

$OM = OP,$ donc $MP = OM$ $MP = OM \times \sqrt{3}$
Le triangle $OMP$ est isocèle, mais pas équilatéral : son angle en $O$ mesure $\dfrac{2\pi}{3},$ pas $\dfrac{\pi}{3}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème d'optimisation. 3andna point O w point A, w la rotation directe r de centre O et d'angle deux pi sur trois. B houwa l'image mta3 A, w C houwa l'image mta3 B : le triangle ABC équilatéral. Point M yet7arrek 3la le segment AB, w P 3la le segment BC b7ith BP égale AM. Es-so2al : win n7ottou M bech la distance MP tkoun asghar 7aja ? El fekra : P houwa l'image mta3 M par r. Donc OM égale OP, w l'angle MOP égale deux pi sur trois. Nal9aw MP égale OM fois racine carrée de trois. Ya3ni MP tesghar ki OM tesghar : yelzem M ykoun le milieu mta3 AB. »

Théorème

Image d'un cercle

L'image d'un cercle de centre $I$ et de rayon $R$ par une rotation $r$ est le cercle de même rayon $R$ et de centre $I' = r(I).$

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre et on garde le même rayon.

Le centre tourne autour de O, le rayon ne change pas.

centre r(I), même rayon

\mathscr{C}(I, R) \longmapsto \mathscr{C}'(I', R)

Exemple traité

On considère deux cercles $(C)$ et $(C').$ Existe-t-il une rotation qui transforme $(C)$ en $(C')$ : a) si $(C)$ a pour rayon $2$ et $(C')$ pour rayon $3$ ? b) si les deux cercles ont le même rayon $2,$ et pour centres deux points distincts $I$ et $J$ ?

1
Rayons différents
Une rotation transforme un cercle en un cercle de même rayon, et les rayons $2$ et $3$ sont différents : aucune rotation ne convient.
2
Même rayon
Il suffit de trouver une rotation qui transforme le centre $I$ en $J.$ On choisit un point $O$ de la médiatrice de $[IJ]$ : comme $OI = OJ,$ il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $I$ en $J.$ Elle transforme $(C)$ en le cercle de centre $J$ et de même rayon : c'est $(C').$
3
Un exemple
Si l'on prend pour $O$ le milieu de $[IJ],$ on obtient la symétrie centrale de centre $O,$ qui est la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi.$

rayons différents : aucune rotation

;

même rayon : une rotation convient

L’erreur à ne pas faire

Par une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2},$ le rayon du cercle changeLe rayon ne change jamais : seul le centre se déplace
Une rotation conserve les distances, donc la distance de chaque point du cercle à son centre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W le cercle ? L'image mta3 cercle de centre I et de rayon R par une rotation, hiya cercle b nafs le rayon R, w le centre mte3ou I prime, l'image mta3 I. 3lech ? Ken M 3la le cercle, IM égale R. La rotation t7afedh 3la les distances, donc I prime M prime égale R : M prime 3la le cercle de centre I prime et de rayon R. Bech tarsem l'image mta3 cercle, arsem l'image mta3 le centre bark, w 5alli le rayon kima houwa. »

Application

Un problème de lieu

Soit $IJK$ un triangle isocèle et rectangle en $I.$ On suppose que le sommet $I$ est fixe et que le sommet $J$ décrit un cercle $\mathscr{C}.$ Quel est le lieu du point $K$ ?

Le point $K$ se déduit du point $J$ par un quart de tour de centre $I$ : quand $J$ décrit le cercle $\mathscr{C},$ le point $K$ décrit l'image de ce cercle.

Si l'on tourne dans le sens direct pour aller de $J$ à $K$ autour de $I,$ c'est le quart de tour direct ; sinon, c'est le quart de tour indirect.

Quand J décrit le cercle bleu, K décrit le cercle rouge.

Exemple traité

Soit $IJK$ un triangle isocèle et rectangle en $I,$ tel que l'on tourne dans le sens direct pour aller de $J$ à $K$ autour de $I.$ Le point $I$ est fixe, et le point $J$ décrit un cercle $(C)$ de centre $A$ et de rayon $R.$ Déterminer le lieu du point $K.$

1
Fixe ou variable
Le point $I$ et le cercle $(C)$ sont fixes ; les points $J$ et $K$ sont variables.
2
La rotation
$IK = IJ,$ l'angle $\widehat{JIK}$ est droit et l'on tourne dans le sens direct : $K$ est l'image de $J$ par le quart de tour direct de centre $I.$
$J \longmapsto K$
3
Le centre
On note $B$ l'image du centre $A$ par ce quart de tour : $IB = IA$ et l'angle $\widehat{AIB}$ est droit, en tournant dans le sens direct.
$A \longmapsto B$
4
Le lieu
Quand $J$ décrit le cercle $(C),$ son image $K$ décrit l'image de ce cercle : le cercle de centre $B$ et de même rayon $R.$
$K$ décrit le cercle de centre $B$ et de rayon $R$

K

décrit le cercle de centre

B

et de rayon

R

L’erreur à ne pas faire

$K$ décrit le même cercle que $J$ $K$ décrit l'image du cercle : même rayon, mais un autre centre
Le centre $A$ du cercle n'est pas le centre de la rotation : il tourne lui aussi autour de $I.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème de lieu. 3andna triangle IJK isocèle et rectangle en I. El point I ma yet7arrekch, w el point J yet7arrek 3la cercle. Es-so2al : K win yet7arrek ? Nle7dhou elli IK égale IJ, w l'angle JIK droit : donc K houwa l'image mta3 J par un quart de tour de centre I. Ki J ydour 3la le cercle, l'image mte3ou K tdour 3la l'image mta3 le cercle. W l'image mta3 cercle par une rotation hiya cercle b nafs le rayon. Donc K yet7arrek 3la cercle b nafs le rayon, w le centre mte3ou houwa l'image mta3 le centre mta3 le cercle elli fih J. »

Propriété

Conservation du contact

Une rotation conserve le contact : si une droite $T$ est tangente à un cercle $\mathscr{C}$ en un point $A,$ alors son image $T'$ est tangente au cercle image $\mathscr{C}'$ au point $A' = r(A).$

D et D' sont les deux tangentes au cercle menées de A.

le contact

T

tangente à

\mathscr{C}

A \implies T'

tangente à

\mathscr{C}'

A'

Exemple traité

Soient $D$ une droite, $A$ un point de $D$ et $O$ un point qui n'appartient pas à $D.$ Une rotation $r$ de centre $O$ transforme la droite $D$ en une droite $D',$ différente de $D,$ qui passe par $A.$ Construire la droite $D'.$

1
Un cercle invariant
Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $D.$ Le cercle de centre $O$ passant par $H$ est tangent à la droite $D$ en $H.$ Son centre est le centre de la rotation : son image par $r$ est lui-même.
2
Le contact
Une rotation conserve le contact : l'image $D'$ de la droite $D$ est tangente à l'image du cercle, c'est-à-dire au cercle lui-même.
3
Construire
$D'$ est donc une tangente à ce cercle qui passe par $A.$ Par $A$ passent deux tangentes au cercle : la droite $D$ elle-même, et une seconde, qui est la droite $D'$ cherchée.
$D'$ est la seconde tangente au cercle menée de $A$

D'

est la seconde tangente au cercle menée de

A

L’erreur à ne pas faire

L'image de la tangente en $A$ est tangente au cercle image au même point $A$ Elle est tangente au cercle image au point $A',$ image de $A$
Le point de contact tourne avec le cercle et avec la droite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La rotation t7afedh 3la le contact. Chnowa ma3neha ? 3andna cercle, w droite T tangente lih fi point A. Ba3d la rotation, l'image mta3 la droite to93ed tangente lel image mta3 le cercle, w le point de contact houwa A prime, l'image mta3 A. 3lech ? La tangente perpendiculaire au rayon IA fi A. W la rotation t7afedh 3la l'orthogonalité : l'image mta3 la tangente perpendiculaire à I prime A prime fi A prime. W A prime 3la le cercle image. Donc hiya tangente lih. »

Propriété

Figures superposables : périmètres et aires

L'image d'un triangle par une rotation est un triangle qui lui est isométrique.
On admet qu'une figure et son image par une rotation sont superposables.

En particulier, un polygone et son image par une rotation sont superposables : ils ont même périmètre, même aire, et les angles homologues sont égaux.

I, J et K se correspondent par un tiers de tour autour de O.

un polygone et son imagemême périmètre

;

même aire

;

mêmes angles

Exemple traité

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de centre $O.$ Soit $I$ un point du segment $[BC],$ distinct de $B$ et de $C,$ et $J$ le point du segment $[AC]$ tel que l'angle $\widehat{IOJ}$ mesure $\dfrac{2\pi}{3}.$ a) Montrer que $J$ est l'image de $I$ par la rotation directe $r$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$ b) Montrer que les triangles $OIC$ et $OJA$ sont isométriques. c) En déduire que l'aire du quadrilatère $OICJ$ est le tiers de l'aire du triangle $ABC.$

1
Les sommets
Sur la figure, la rotation $r$ transforme $B$ en $C$ et $C$ en $A$ : l'image du segment $[BC]$ est le segment $[CA].$
$B \longmapsto C \quad ; \quad$ $C \longmapsto A$
2
L'image de I
L'image de $I$ est un point du segment $[CA],$ et l'angle de sommet $O$ entre $I$ et son image mesure $\dfrac{2\pi}{3}$ : c'est le point $J.$
$I \longmapsto J$
3
Deux triangles isométriques
La rotation $r$ transforme $O$ en $O,$ $I$ en $J$ et $C$ en $A$ : le triangle $OJA$ est l'image du triangle $OIC.$ Ils sont isométriques, donc ils ont la même aire.
$\text{aire}(OIC) = \text{aire}(OJA)$
4
L'aire du quadrilatère
Le quadrilatère $OICJ$ est formé des triangles $OIC$ et $OCJ.$ On remplace le premier par le triangle $OJA,$ qui a la même aire : on obtient le triangle $OCA.$
$\text{aire}(OICJ) = \text{aire}(OJA) + \text{aire}(OCJ) = \text{aire}(OCA)$
5
Le tiers
Les triangles $OAB,$ $OBC$ et $OCA$ sont isométriques : chacun a pour aire le tiers de l'aire du triangle $ABC.$
$\text{aire}(OICJ) = \dfrac{1}{3} \times \text{aire}(ABC)$

\text{aire}(OICJ) = \dfrac{1}{3} \times \text{aire}(ABC)

L’erreur à ne pas faire

Quand le point $I$ se déplace sur $[BC],$ l'aire du quadrilatère $OICJ$ changeElle reste égale au tiers de l'aire du triangle $ABC$
Le triangle $OIC$ et son image $OJA$ changent ensemble et gardent la même aire : la somme reste l'aire du triangle $OCA.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La rotation t7afedh 3la les distances w 3la les angles. Donc l'image mta3 triangle hiya triangle isométrique lih. W ne9blou elli koll figure w l'image mte3ha par une rotation superposables : tnajjem t7ott el wa7da fou9 lo5ra. Bel5sous, polygone w l'image mte3ou 3andhom nafs le périmètre, nafs l'aire, w les angles homologues kif kif. Hedhi te5demna barcha fi le calcul mta3 les aires : ken nal9aw rotation teb3ath figure l figure o5ra, les deux aires kif kif, men ghir 7atta calcul. »

Application

Un problème de construction

On donne un point $A,$ une droite $L_1$ et un cercle $\Gamma.$ On cherche à construire un carré $ABCD$ dont le sommet $B$ est sur la droite $L_1$ et le sommet $D$ sur le cercle $\Gamma.$

L'idée. Dans un carré $ABCD,$ le sommet $D$ est l'image du sommet $B$ par un quart de tour de centre $A.$ Si $B$ est sur $L_1,$ alors $D$ est sur la droite $L_2,$ image de $L_1$ par ce quart de tour. Le point $D$ est donc à l'intersection de la droite $L_2$ et du cercle $\Gamma.$

Il y a autant de carrés que de points d'intersection. La même méthode construit, à partir d'un autre point $M,$ un carré $MNPQ$ tel que $N$ appartienne à la droite $L_1$ et $Q$ au cercle $\Gamma.$

L₂ est l’image de L₁ par le quart de tour direct de centre A.

Exemple traité

On donne un point $A,$ une droite $L_1$ et un cercle $\Gamma.$ Construire un carré $ABCD$ tel que le sommet $B$ soit sur la droite $L_1$ et le sommet $D$ sur le cercle $\Gamma,$ et tel que l'on tourne dans le sens direct pour aller de $B$ à $D$ autour de $A.$

1
Analyse
Si le carré existe, $AB = AD$ et l'angle $\widehat{BAD}$ est droit : on passe de $B$ à $D$ par le quart de tour direct de centre $A.$
$B \longmapsto D$
2
L'image de la droite
$B$ est sur la droite $L_1,$ donc son image $D$ est sur la droite $L_2,$ image de $L_1$ par ce quart de tour. On construit $L_2$ : c'est la perpendiculaire à $L_1$ qui passe par l'image d'un point de $L_1.$
3
Le sommet D
Le point $D$ est à la fois sur la droite $L_2$ et sur le cercle $\Gamma$ : on choisit l'un de leurs points d'intersection.
4
Le sommet B
$B$ est l'antécédent de $D$ : c'est l'image de $D$ par le quart de tour indirect de centre $A.$ Il est bien sur la droite $L_1.$
5
Le carré
On termine par le point $C$ : $ABCD$ est le carré cherché.
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$

L’erreur à ne pas faire

On place $B$ au hasard sur la droite, puis on cherche $D$ sur le cercleOn construit d'abord l'image de la droite par le quart de tour : c'est elle qui donne $D$
Un point $B$ pris au hasard donne presque toujours un point $D$ qui n'est pas sur le cercle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème de construction. 3andna point A, w droite nsammiwha L un, w cercle. N7ebbou narsmou carré ABCD, b7ith el sommet B 3la la droite, w el sommet D 3la le cercle. Kifech ? Fi carré ABCD, D houwa l'image mta3 B par un quart de tour de centre A. B 3la la droite, donc l'image mte3ou D 3la l'image mta3 la droite, nsammiwha L deux. W D zeda 3la le cercle : donc D houwa point d'intersection bin L deux w le cercle. Ba3d narj3ou l B bel quart de tour fi le sens le5er, w nkammlou le carré. »

Définition

Figures globalement invariantes

On dit qu'une figure est globalement invariante par une application du plan si son image par cette application est elle-même.
On dit qu'un point $I$ est un centre de symétrie d'une figure si cette figure est globalement invariante par la symétrie centrale de centre $I.$
On dit qu'une droite $D$ est un axe de symétrie d'une figure si cette figure est globalement invariante par la symétrie axiale d'axe $D.$

L'image de D par la translation de vecteur OA passe par A.

Exemple traité

Soient $D$ et $D'$ deux droites perpendiculaires en $O,$ et $A$ un point de $D'$ distinct de $O.$ Déterminer l'image de la droite $D$ par : a) la symétrie axiale d'axe $D'$ ; b) la symétrie centrale de centre $O$ ; c) la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$ ; d) le quart de tour direct de centre $O.$ Par lesquelles de ces applications la droite $D$ est-elle globalement invariante ?

1
La symétrie axiale
La droite $D$ est perpendiculaire à l'axe $D'$ : le symétrique d'un point de $D$ est encore un point de $D.$
$D \longmapsto D$
2
La symétrie centrale
$O$ est un point de $D$ : le symétrique d'un point de $D$ par rapport à $O$ est encore sur $D.$
$D \longmapsto D$
3
La translation
L'image de $D$ est la droite parallèle à $D$ qui passe par $A,$ image de $O.$ Comme $A$ n'est pas sur $D,$ ce n'est pas la droite $D.$
4
Le quart de tour
L'image de $D$ passe par $O$ et lui est perpendiculaire.
$D \longmapsto D'$
5
Conclure
La droite $D$ est globalement invariante par la symétrie axiale d'axe $D'$ et par la symétrie centrale de centre $O$ : $D'$ est un axe de symétrie de $D,$ et $O$ est un centre de symétrie de $D.$

L’erreur à ne pas faire

Une figure globalement invariante est une figure dont chaque point reste à sa placeC'est la figure entière qui est sa propre image : ses points peuvent changer de place
Par la symétrie de centre $O,$ chaque point de la droite $D$ autre que $O$ se déplace, mais il reste sur $D.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa définitions jdod. N9oulou figure globalement invariante par une application, ki l'image mte3ha bel application hedhi hiya el figure bidha. Rodd belek : mouch lezem koll point yo93ed fi blastou. Les points ynajjmou yetbaddlou, ama el figure el koll to93ed hiya hiya. Point I houwa centre de symétrie mta3 figure, ki el figure globalement invariante par la symétrie centrale de centre I. W droite D hiya axe de symétrie mta3 figure, ki el figure globalement invariante par la symétrie axiale d'axe D. »

Application

Éléments de symétrie

Un cercle de centre $O$ est globalement invariant par toute symétrie axiale dont l'axe passe par $O,$ par la symétrie centrale de centre $O$ et par toute rotation de centre $O.$ Il ne l'est pas par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{2},$ qui divise son rayon par $2.$

Une droite a pour centres de symétrie tous ses points ; ses axes de symétrie sont elle-même et toutes les droites qui lui sont perpendiculaires.

Un carré a un centre de symétrie, son centre, et quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les médiatrices de ses côtés. Il est aussi globalement invariant par les quarts de tour, direct et indirect, autour de son centre.

Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie, les médiatrices de ses côtés, mais pas de centre de symétrie. Il est globalement invariant par la rotation directe et par la rotation indirecte d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ autour de son centre.

Trois axes de symétrie, qui se coupent en O.

Exemple traité

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de centre $O,$ et $A'$ le milieu de $[BC].$ a) Montrer que le triangle $ABC$ est globalement invariant par la symétrie axiale d'axe $(AA').$ b) Déterminer les axes de symétrie de ce triangle. c) Trouver deux rotations de centre $O$ qui laissent ce triangle globalement invariant.

1
Un premier axe
Le triangle est équilatéral : la médiane $(AA')$ est aussi la médiatrice de $[BC].$ La symétrie d'axe $(AA')$ laisse $A$ à sa place et échange $B$ et $C.$
$A \longmapsto A \quad ; \quad$ $B \longmapsto C \quad ; \quad$ $C \longmapsto B$
2
Le triangle
Les trois sommets ont pour images les trois sommets : l'image du triangle est le triangle lui-même.
3
Les trois axes
On raisonne de même avec les deux autres médianes : le triangle a trois axes de symétrie, les médiatrices de ses côtés.
4
Les rotations
La rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ transforme $A$ en $B,$ $B$ en $C$ et $C$ en $A.$ La rotation indirecte de même centre et de même angle transforme $A$ en $C,$ $C$ en $B$ et $B$ en $A.$ Dans les deux cas, l'image du triangle est le triangle.

L’erreur à ne pas faire

Le centre d'un triangle équilatéral est un centre de symétrieUn triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie
Le symétrique du sommet $A$ par rapport au centre $O$ n'est pas un point du triangle : le triangle retourné ne se superpose pas à lui-même.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nchoufou les figures elli na3rfouhom. Le cercle de centre O globalement invariant par koll rotation de centre O, par la symétrie centrale de centre O, w par koll symétrie axiale elli l'axe mte3ha yet3adda men O. Le carré 3andou centre de symétrie, le centre mte3ou, w quatre axes de symétrie : les deux diagonales w les médiatrices mta3 les côtés. W yo93ed houwa houwa zeda par les quarts de tour 7awl le centre. Ama le triangle équilatéral : 3andou trois axes de symétrie, w ma 3andouch centre de symétrie. W yo93ed houwa houwa par les rotations d'angle deux pi sur trois 7awl le centre mte3ou. »

Application

Un problème pour aller plus loin : deux carrés

Soit $ABC$ un triangle. On construit à l'extérieur de ce triangle les carrés $ABDE$ et $BCFG,$ et on désigne par $I,$ $J,$ $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AD],$ $[DG],$ $[GC]$ et $[CA].$

Un quart de tour de centre $B,$ puis la droite des milieux, montrent que $IJKL$ est un carré.

Les carrés ABDE et BCFG sont à l’extérieur du triangle.

Exemple traité

Avec la figure : a) montrer que les droites $(AG)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires et que $AG = CD$ ; b) en déduire que $IJKL$ est un carré.

1
Le quart de tour
On considère le quart de tour direct $r$ de centre $B.$ Dans le carré $ABDE,$ $BA = BD$ et l'angle $\widehat{ABD}$ est droit ; dans le carré $BCFG,$ $BG = BC$ et l'angle $\widehat{GBC}$ est droit. Sur la figure, on tourne dans le sens direct de $A$ vers $D$ et de $G$ vers $C.$
$A \longmapsto D \quad ; \quad$ $G \longmapsto C$
2
L'image d'un segment
L'image du segment $[AG]$ est le segment $[DC].$ Une rotation conserve les distances, et l'image d'une droite par un quart de tour lui est perpendiculaire.
$AG = CD$ et $(AG) \perp (CD)$
3
Les milieux
Dans le triangle $ADG,$ $I$ et $J$ sont les milieux de $[AD]$ et $[DG]$ : la droite $(IJ)$ est parallèle à la droite $(AG),$ et $IJ$ est la moitié de $AG.$ Dans le triangle $CAG,$ on trouve de même que la droite $(LK)$ est parallèle à la droite $(AG)$ et que $LK$ est la moitié de $AG.$
$IJ = LK = \dfrac{AG}{2}$
4
Les deux autres côtés
Dans les triangles $DGC$ et $ACD,$ les droites $(JK)$ et $(IL)$ sont parallèles à la droite $(CD),$ et $JK$ et $IL$ valent la moitié de $CD.$
$JK = IL = \dfrac{CD}{2}$
5
Conclure
$IJKL$ est un parallélogramme. Ses côtés consécutifs sont égaux, car $AG = CD,$ et perpendiculaires, car les droites $(AG)$ et $(CD)$ le sont.
$IJKL$ est un carré

IJKL

est un carré

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème bech nemchiw ab3ed. 3andna triangle ABC, w nebniw 3la barra zouz carrés : ABDE w BCFG. W I, J, K w L houma les milieux mta3 AD, DG, GC w CA. N7ebbou nthabtou elli IJKL carré. El fekra : le quart de tour direct de centre B yeb3ath A l D, w G l C. Donc le segment AG ywalli le segment DC : AG égale CD, w la droite AG perpendiculaire à la droite CD. Ba3d nesta3mlou la droite des milieux : les côtés mta3 IJKL parallèles l AG walla l CD, w la longueur mta3 koll wa7ed hiya la moitié. Donc les côtés kif kif w perpendiculaires : IJKL carré. »

Application

Un problème pour aller plus loin : rotations et arithmétique

Dans la figure :

les points $O,$ $A,$ $B,$ …, $M,$ $N$ sont les sommets d'un polygone régulier à $15$ côtés, de centre $\omega$ ;
les points $O,$ $P,$ $Q,$ …, $V,$ $W$ sont les sommets d'un polygone régulier à $9$ côtés, de centre $\omega'.$

On désigne par $R$ la rotation directe de centre $\omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{15},$ et par $R'$ la rotation directe de centre $\omega'$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{9}.$

On définit la suite de points $(M_n)$ par $M_0 = O$ et, pour tout entier naturel $n,$ $M_{n+1} = R(M_n)$ ; et la suite de points $(P_n)$ par $P_0 = O$ et, pour tout entier naturel $n,$ $P_{n+1} = R'(P_n).$

À chaque pas, on passe d’un sommet au sommet suivant.

Exemple traité

Avec les deux polygones de la figure : a) indiquer la position de $M_5,$ de $M_{20}$ et de $M_{2006}$ ; b) indiquer la position de $P_5,$ de $P_{20}$ et de $P_{2006}$ ; c) déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $M_n$ et $P_n$ soient tous deux en $O$ ; d) en déduire l'ensemble $E$ des entiers naturels $n$ tels que $M_n$ et $P_n$ soient tous deux en $O.$

1
Un sommet à chaque pas
L'angle au centre entre deux sommets voisins du polygone à $15$ côtés est $\dfrac{2\pi}{15}$ : la rotation $R$ fait passer chaque sommet au sommet suivant. En partant de $O,$ on obtient $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ puis $E.$
$M_5 = E$
2
Tous les 15 pas
Après $15$ pas, on est revenu en $O.$ Seul compte donc le reste de la division de $n$ par $15.$
$20 = 15 + 5$ donc $M_{20} = M_5 = E$
3
Le rang 2006
On divise $2006$ par $15$ : le reste est $11,$ et le onzième sommet après $O$ est $K.$
$2006 = 15 \times 133 + 11$ donc $M_{2006} = M_{11} = K$
4
Le second polygone
De même, la rotation $R'$ fait passer chaque sommet du polygone à $9$ côtés au sommet suivant, et l'on revient en $O$ tous les $9$ pas. Le cinquième sommet après $O$ est $T$ ; et comme $20$ est égal à $2$ fois $9$ plus $2,$ le point $P_{20}$ est le deuxième sommet après $O.$
$P_5 = T \quad ; \quad$ $P_{20} = P_2 = Q$
5
Le rang 2006, de nouveau
On divise $2006$ par $9$ : le reste est $8.$ Le point $P_{2006}$ est donc le huitième sommet après $O$ : c'est le dernier sommet du polygone à $9$ côtés, celui qui précède $O.$
$2006 = 9 \times 222 + 8$ donc $P_{2006} = P_8 = W$
6
Les deux en O
$M_n$ est en $O$ quand $n$ est un multiple de $15,$ et $P_n$ est en $O$ quand $n$ est un multiple de $9.$ Le plus petit multiple commun non nul de $15$ et de $9$ est leur PPCM.
$\mathrm{PPCM}(15, 9) = 45$
7
L'ensemble E
$M_n$ et $P_n$ sont tous deux en $O$ exactement quand $n$ est à la fois un multiple de $15$ et un multiple de $9,$ c'est-à-dire un multiple de leur PPCM. Le nombre $0$ en fait partie : au départ, les deux points sont en $O.$
$E$ est l'ensemble des multiples de $45$

n = 45 \quad ; \quad

E

est l'ensemble des multiples de

45

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème e5er, ylemm les rotations w l'arithmétique. 3andna polygone régulier à quinze côtés, w polygone régulier à neuf côtés, w 3andhom sommet mochtarek O. La rotation R tdour 7awl le centre mta3 le polygone à quinze côtés, b angle deux pi sur quinze : ya3ni teb3ath koll sommet lel sommet elli ba3dou. Nabdew men O, w koll marra ntabb9ou R. Ba3d quinze marrat, narj3ou l O. Donc bech na3rfou win wsolna ba3d n marra, yekfi na7sbou le reste mta3 la division de n par quinze. W nafs el 7keya lel polygone à neuf côtés, b le reste de la division par neuf. W ez-zouz yarj3ou l O m3a b3adhhom ki n multiple de quinze w de neuf : la première fois hiya le PPCM, quarante-cinq. »

Remarque

Les carrés magiques

Depuis l'Antiquité, les nombres ont été à la fois un outil puissant pour la vie quotidienne et la source de jeux fascinants. On retrouve les carrés magiques dans de nombreuses civilisations, de la Chine antique aux artistes de la Renaissance, en passant par les mathématiciens arabes, qui les ont étudiés et ont proposé des méthodes pour les construire.

Pour faire un carré magique, on inscrit des entiers naturels dans une grille carrée, de telle sorte que la somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale soit toujours la même.

La figure montre un carré magique $3 \times 3,$ qui utilise les entiers de $1$ à $9$ : la somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale est $15.$

On peut trouver $7$ autres carrés magiques $3 \times 3$ : il suffit d'utiliser les applications du plan qui laissent le carré globalement invariant — les quarts de tour direct et indirect et le demi-tour autour de son centre, et les symétries par rapport à ses quatre axes.

Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale a pour somme 15.

les trois lignes

4 + 9 + 2 = 3 + 5 + 7 = 8 + 1 + 6 = 15

Exemple traité

On fait tourner le carré magique de la figure d'un quart de tour direct autour de son centre. Écrire le nouveau carré, et vérifier qu'il est encore magique.

1
Les coins
Par un quart de tour direct, le coin en haut à droite vient en haut à gauche, et chaque coin prend la place du suivant : $2$ vient en haut à gauche, $4$ en bas à gauche, $8$ en bas à droite et $6$ en haut à droite.
2
Les milieux des côtés
De même, $7$ vient en haut, $9$ à gauche, $3$ en bas et $1$ à droite ; le $5$ du centre ne bouge pas. On obtient un nouveau carré.
$\begin{array}{ccc} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{array}$
3
Vérifier
Les lignes sont devenues des colonnes et les colonnes des lignes ; les diagonales restent des diagonales. Toutes les sommes valent encore $15.$
$2 + 7 + 6 = 9 + 5 + 1 = 4 + 3 + 8 = 15$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nkammlou b lo3ba 9dima barcha : les carrés magiques. Carré magique houwa grille carrée nektbou fiha des entiers, b7ith la somme mta3 koll ligne, koll colonne w koll diagonale dima kif kif. Hedha carré magique trois fois trois, fih les entiers men un l neuf, w la somme dima quinze. Les mathématiciens el 3rab 5edmou barcha 3la les carrés magiques, w l9aw tor9 bech yebniwhom. W men carré wa7ed, tnajjem ttalla3 sept o5rin : yekfi ttabba9 les applications elli t5alli le carré globalement invariant, ya3ni les quarts de tour, le demi-tour, w les symétries axiales mta3 le carré. »

À retenir

1.
$\pi$ radians valent $180$ degrés ; la mesure en radians d'un angle au centre est le rapport $\dfrac{L}{r}$ de la longueur de l'arc au rayon.
2.
Rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ : $r(O) = O$ et, pour $M \neq O,$ $r(M) = M'$ avec $OM' = OM$ et $\widehat{MOM'} = \alpha,$ en tournant dans le sens direct ou dans le sens indirect.
3.
Si $OA = OB,$ il existe une unique rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B.$ L'angle $\pi$ donne la symétrie centrale, l'angle nul donne l'identité.
4.
Une rotation conserve les distances et les angles ; en particulier, elle conserve l'orthogonalité.
5.
Une rotation conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, le parallélisme et le contact.
6.
L'image d'un segment est un segment isométrique, l'image d'une droite est une droite ; par un quart de tour, la droite image est perpendiculaire à la droite de départ.
7.
L'image d'un cercle de centre $I$ est le cercle de même rayon et de centre $r(I).$
8.
Une figure et son image par une rotation sont superposables : même périmètre, même aire, angles homologues égaux.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Convertir une mesure d'angle entre degrés et radians
Construire l'image d'un point par une rotation directe ou indirecte
Reconnaître une rotation sur une figure : son centre, son angle et son sens
Déterminer l'image d'un segment, d'une droite et d'un cercle, et utiliser ce que la rotation conserve
Résoudre des problèmes d'alignement, de construction, de lieu et d'aires
Reconnaître une figure globalement invariante, ses axes et son centre de symétrie

Rappels : le quart de tour

On a rencontré le quart de tour l'année dernière : on tourne autour d'un point $O$ d'un angle droit, dans l'un des deux sens.

Le sens direct est, par convention, le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre.
Le sens indirect est le sens du mouvement des aiguilles d'une montre.

Le point $M'$ est l'image du point $M$ par le quart de tour direct de centre $O$ lorsque $OM' = OM$ , que l'angle $\widehat{MOM'}$ est droit et que l'on tourne de $M$ vers $M'$ dans le sens direct. Pour le quart de tour indirect, on tourne dans le sens indirect.

De A vers D, on tourne autour de O dans le sens direct.

OM' = OM \quad \text{et} \quad \widehat{MOM'} = 90^\circ

Le piège

Le sens direct est le sens des aiguilles d'une montre

Le sens direct est le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre

C'est une convention : dans le sens direct, on tourne à l'inverse des aiguilles d'une montre.

Pour comprendre : la longueur d'un arc

Soit $\widehat{xOy}$ un angle de mesure $30^\circ$ et $\mathscr{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , qui coupe la demi-droite $[Ox)$ en $A$ et la demi-droite $[Oy)$ en $B$ . Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $O$ .

L'angle $\widehat{AOD}$ est plat : l'arc $\overset{\frown}{AD}$ est un demi-cercle, de longueur $\pi r$ .

L = \pi r \times \dfrac{30}{180} = \dfrac{\pi r}{6}, \quad \text{d'où} \quad \dfrac{L}{r} = \dfrac{\pi}{6}.

Sur un autre cercle de centre $O$ , de rayon $r'$ , l'arc $\overset{\frown}{A'B'}$ intercepté par le même angle a pour longueur $L' = \dfrac{\pi r'}{6}$ : le rapport $\dfrac{L'}{r'}$ est encore égal à $\dfrac{\pi}{6}$ .

Le rapport de la longueur de l'arc au rayon ne dépend pas du cercle : il ne dépend que de l'angle.

Le même angle intercepte deux arcs : leur longueur est proportionnelle au rayon.

\dfrac{L}{r} = \dfrac{L'}{r'} = \dfrac{\pi}{6}

Le piège

Sur un cercle deux fois plus grand, le rapport $\dfrac{L}{r}$ double

Le rapport $\dfrac{L}{r}$ reste le même

Quand le rayon double, la longueur de l'arc double aussi : le rapport ne dépend que de l'angle.

Le radian

Dans un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , soit $L$ la longueur de l'arc $\overset{\frown}{AB}$ intercepté par l'angle $\widehat{AOB}$ .

Le rapport $\dfrac{L}{r}$ est une mesure en radians de l'angle $\widehat{AOB}$ .

Exemples.

$\pi$ radians ( $\pi$ rad) est la mesure en radians de l'angle plat.
$\dfrac{\pi}{2}$ est la mesure en radians de l'angle droit.

On écrit souvent $\pi$ , $\dfrac{\pi}{2}$ , … au lieu de $\pi$ rad, $\dfrac{\pi}{2}$ rad, …

L'angle alpha intercepte l'arc AB, de longueur L.

\text{mesure de } \widehat{AOB} \text{ en radians} = \dfrac{L}{r}

\pi \text{ rad} = 180^\circ

Le piège

$\pi$ radians, c'est $3{,}14$ degrés

$\pi$ radians, c'est $180$ degrés

$\pi$ est la mesure en radians de l'angle plat. Le nombre $3{,}14$ n'en est qu'une valeur approchée, toujours en radians.

Passer des degrés aux radians

Les mesures d'un même angle en degrés et en radians sont proportionnelles : $180$ degrés correspondent à $\pi$ radians.

Mesure en degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$
Mesure en radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$

Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ .
Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ .

\text{radians} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}

\text{degrés} = \text{radians} \times \dfrac{180}{\pi}

Le piège

$30$ degrés font $30 \times \dfrac{180}{\pi}$ radians

$30$ degrés font $30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6}$ radians

Un angle de $30$ degrés est plus petit que l'angle plat : sa mesure en radians doit être plus petite que $\pi$ .

Pour comprendre : faire tourner une figure

Dans la figure, $ABC$ est un triangle équilatéral et $O$ est le centre de son cercle circonscrit. On décalque la figure, on fixe le point $O$ avec la pointe d'un stylo, et on fait tourner le papier calque autour de $O$ dans le sens direct — qui est, par convention, le sens contraire du mouvement des aiguilles d'une montre — jusqu'à ce que le point $A$ coïncide avec $B$ .

On observe alors où vient chaque point du calque : les sommets, le point $O$ , un point $N$ du cercle et un point $M$ quelconque.

Chaque point tourne autour de $O$ du même angle, dans le même sens, en restant à la même distance de $O$ .

Tous les points tournent du même angle autour de O.

Le piège

Plus un point est loin de $O$ , plus il tourne d'un grand angle

Tous les points tournent du même angle

Un point éloigné parcourt un arc plus long, mais l'angle au centre est le même pour tous les points.

Pour comprendre : un angle, deux points

Soient $O$ et $M$ deux points distincts, et $\mathscr{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $OM$ .

Sur le cercle $\mathscr{C}$ , il y a deux points $M'$ tels que $\widehat{MOM'} = \dfrac{\pi}{4}$ : l'un s'obtient en tournant dans le sens direct, l'autre en tournant dans le sens indirect.

Il en est de même si l'on remplace $\dfrac{\pi}{4}$ par un réel $\alpha$ appartenant à $]0\,;\pi[$ : deux points, un pour chaque sens.

En revanche, pour l'angle $0$ il n'y a qu'un point, le point $M$ lui-même ; et pour l'angle $\pi$ il n'y a qu'un point, le symétrique de $M$ par rapport à $O$ .

Pour dire où va un point quand il tourne autour de $O$ , il faut donc donner l'angle et le sens.

Le même angle, de part et d’autre de (OM) : deux points.

Le piège

Sur le cercle, il y a un seul point $M'$ tel que $\widehat{MOM'} = \dfrac{\pi}{4}$

Il y en a deux, un dans chaque sens

Un angle géométrique ne dit pas de quel côté tourner : c'est le sens, direct ou indirect, qui choisit entre les deux points.

Rotation directe, rotation indirecte

Soient $O$ un point du plan et $\alpha$ un réel appartenant à $]0\,;\pi[$ .

L'application du plan dans le plan qui laisse invariant le point $O$ et qui, à tout point $M$ distinct de $O$ , associe le point $M'$ tel que

OM' = OM \quad \text{et} \quad \widehat{MOM'} = \alpha,

en tournant de $M$ vers $M'$ dans le sens direct, est appelée la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\alpha$ .

L'application du plan dans le plan qui laisse invariant le point $O$ et qui, à tout point $M$ distinct de $O$ , associe le point $M'$ tel que $OM' = OM$ et $\widehat{MOM'} = \alpha$ , en tournant de $M$ vers $M'$ dans le sens indirect, est appelée la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\alpha$ .

Dans les deux cas, $M'$ est l'image de $M$ par la rotation. Si $r$ désigne la rotation, on écrit $r(O) = O$ et $r(M) = M'$ .

M' : rotation directe d'angle π/6. N : rotation indirecte d'angle π/3.

r(O) = O

r(M) = M' \ : \quad OM' = OM \quad \text{et} \quad \widehat{MOM'} = \alpha

Le piège

Une rotation est connue dès qu'on a son centre et son angle

Il faut aussi son sens : rotation directe ou rotation indirecte

Avec le même centre et le même angle, la rotation directe et la rotation indirecte donnent deux images différentes d'un même point.

Le piège

L'image $M'$ de $M$ par une rotation de centre $O$ vérifie $MM' = OM$

Elle vérifie $OM' = OM$

C'est la distance au centre qui est conservée : $M$ et $M'$ sont sur un même cercle de centre $O$ .

Angle π, angle nul, antécédent

La rotation directe ou indirecte de centre $O$ et d'angle $\pi$ est la symétrie centrale de centre $O$ .
La rotation directe ou indirecte d'angle nul est l'identité du plan.
Soit $r$ une rotation directe ou indirecte. Étant donné un point $M'$ du plan, il existe un seul point $M$ tel que $r(M) = M'$ . $M$ est l'antécédent de $M'$ par $r$ .

On retrouve le vocabulaire déjà connu : le quart de tour direct ou indirect de centre $O$ est la rotation directe ou indirecte de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ , et le demi-tour de centre $O$ est la symétrie centrale de centre $O$ .

Un demi-tour dans un sens ou dans l'autre mène au même point.

\alpha = \pi \ : \quad \text{symétrie centrale de centre } O

\alpha = 0 \ : \quad \text{identité du plan}

Le piège

La rotation directe et la rotation indirecte de centre $O$ et d'angle $\pi$ sont deux applications différentes

C'est la même application : la symétrie centrale de centre $O$

Un demi-tour dans un sens ou dans l'autre amène chaque point au même endroit.

La rotation qui transforme A en B

Étant donné trois points distincts $O$ , $A$ et $B$ tels que $OA = OB$ , il existe une unique rotation $r$ de centre $O$ telle que $r(A) = B$ .

Son angle est la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ , et son sens est celui dans lequel on tourne autour de $O$ pour aller de $A$ vers $B$ .

IA = IB = IC, et la médiane (AI) est perpendiculaire à (BC).

OA = OB \implies \text{une seule rotation de centre } O \text{ transforme } A \text{ en } B

Le piège

Il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$ , quels que soient les points $A$ et $B$

Il faut que $OA = OB$

Une rotation de centre $O$ conserve la distance à $O$ : si $OA$ et $OB$ sont différents, aucune rotation de centre $O$ ne transforme $A$ en $B$ .

Exemple : lire des rotations

Dans la figure, $AB = AC = AD$ et $BC = BE = CE$ . L'angle $\widehat{BAC}$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$ et l'angle $\widehat{CAD}$ est droit.

Pour lire une rotation sur une figure, on cherche trois choses : deux longueurs égales à partir du centre, l'angle qu'elles forment, et le sens dans lequel on tourne.

AB = AC = AD et BC = BE = CE.

Le piège

$D$ a pour image $B$ par la rotation indirecte de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$

L'angle de cette rotation est $\dfrac{3\pi}{4}$

L'angle d'une rotation se mesure entre le point et son image : de $D$ à $B$ , on traverse l'angle droit, puis l'angle de $\dfrac{\pi}{4}$ .

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ :

on trace le cercle de centre $O$ passant par $M$ : le point $M'$ est sur ce cercle, car $OM' = OM$ ;
on trace, avec le rapporteur, la demi-droite d'origine $O$ qui fait avec la demi-droite $[OM)$ un angle $\alpha$ , en tournant dans le sens direct pour une rotation directe, dans le sens indirect pour une rotation indirecte ;
le point $M'$ est le point d'intersection de cette demi-droite et du cercle.

Pour l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ , le compas suffit : le triangle $OMM'$ est équilatéral. Pour l'angle $\dfrac{\pi}{2}$ , l'équerre et le compas suffisent : le triangle $OMM'$ est rectangle et isocèle en $O$ .

E et F sont de part et d’autre de la droite (AB).

Le piège

Pour l'image de $M$ par une rotation de centre $O$ , on mesure l'angle au point $M$

On mesure l'angle au centre $O$ , à partir de la demi-droite $[OM)$

C'est l'angle $\widehat{MOM'}$ qui vaut $\alpha$ : son sommet est le centre de la rotation.

De M à M' : plusieurs applications

Dans la figure, $ABCD$ est un rectangle, $L$ est le milieu de $[AD]$ et $I$ est le milieu de $[BC]$ : la droite $(LI)$ est la médiatrice de $[BC]$ . Le point $M$ est sur $[AB]$ , le point $M'$ est sur $[DC]$ , et la droite $(MM')$ est perpendiculaire à la droite $(LI)$ au point $J$ . Le point $K$ est sur le segment $[LJ]$ .

On lit sur la figure : $\widehat{MLM'} = 45^\circ$ , $\widehat{MKM'} = 120^\circ$ , et l'angle $\widehat{MIM'}$ est droit.

Plusieurs applications du plan transforment $M$ en $M'$ : une translation, une symétrie axiale, une symétrie centrale — et plusieurs rotations.

L, K, J et I sont sur la médiatrice du segment [MM’].

Le piège

Une seule rotation transforme $M$ en $M'$

Il y en a une pour chaque point de la médiatrice de $[MM']$

Dès que le centre est à égale distance de $M$ et de $M'$ , il existe une rotation de ce centre qui transforme $M$ en $M'$ ; seul l'angle change.

Conservation des distances et des angles

Soit $r$ une rotation directe ou indirecte.

Si $M$ et $N$ sont deux points d'images $M'$ et $N'$ , alors $M'N' = MN$ : une rotation conserve les distances.
Si $A$ , $B$ et $C$ sont trois points non alignés d'images $A'$ , $B'$ et $C'$ , alors $\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}$ : une rotation conserve les angles.

En particulier, une rotation conserve l'orthogonalité.

ABE et ACF sont équilatéraux.

M'N' = MN

\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}

Le piège

Par une rotation, $MM' = NN'$ pour tous les points $M$ et $N$

C'est $M'N' = MN$ qui est vrai

Ce qui est conservé, c'est la distance entre deux points et la distance entre leurs images. La distance d'un point à son image, elle, grandit quand le point s'éloigne du centre.

Image d'un segment, image d'une droite

Soit $r$ une rotation, $A$ et $B$ deux points distincts, $A' = r(A)$ et $B' = r(B)$ .

L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ , qui lui est isométrique.
L'image de la droite $(AB)$ est la droite $(A'B')$ .

En particulier, une rotation conserve l'alignement : les images de trois points alignés sont trois points alignés.

BP = CQ = AR.

[AB] \longmapsto [A'B'] \quad \text{et} \quad A'B' = AB

(AB) \longmapsto (A'B')

Le piège

L'image d'une droite par une rotation est une droite qui lui est parallèle

C'est une droite, qui en général n'est pas parallèle à la première

Une rotation fait tourner les directions. Ce sont la translation et l'homothétie qui transforment une droite en une droite parallèle.

Image d'une droite par un quart de tour

L'image d'une droite par un quart de tour est une droite qui lui est perpendiculaire.

Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, il suffit donc de trouver un quart de tour qui transforme l'une en l'autre.

OA = OB et OC = OD, avec deux angles droits en O.

(AB) \perp (A'B')

Le piège

Par un quart de tour, une droite et son image sont parallèles

Elles sont perpendiculaires

Un quart de tour fait tourner toutes les directions d'un angle droit.

Un problème d'alignement

Une rotation conserve l'alignement : pour montrer que trois points sont alignés, on peut montrer qu'ils sont les images de trois points alignés.

ABI, BCJ et DBE sont équilatéraux.

Le piège

$E$ , $A$ et $C$ sont alignés, donc $D$ , $I$ et $J$ aussi, sans autre explication

On montre d'abord que $D$ , $I$ et $J$ sont les images de $E$ , $A$ et $C$ par une même rotation

La conservation de l'alignement ne s'applique qu'à des points et à leurs images par la même application.

Conservation du milieu et du barycentre

Soit $r$ une rotation directe ou indirecte.

Une rotation conserve le milieu : si $I$ est le milieu du segment $[AB]$ , alors son image $I'$ est le milieu du segment $[A'B']$ .
On admet qu'une rotation conserve le barycentre : si $G$ est le barycentre des points pondérés $(A, a)$ , $(B, b)$ et $(C, c)$ , alors son image $G'$ est le barycentre des points pondérés $(A', a)$ , $(B', b)$ et $(C', c)$ .
Une rotation conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.

G' est le centre de gravité du triangle image.

I \text{ milieu de } [AB] \implies I' \text{ milieu de } [A'B']

Le piège

L'image du barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 2)$ est le barycentre de $(A', 2)$ et $(B', 1)$

C'est le barycentre de $(A', 1)$ et $(B', 2)$

La rotation déplace les points, pas les coefficients : chaque image garde le coefficient de son point.

Un problème d'optimisation

Soient $O$ et $A$ deux points distincts et $r$ la rotation directe de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ . On note $B$ l'image de $A$ par $r$ , et $C$ l'image de $B$ par $r$ .

Un point $M$ varie sur le segment $[AB]$ , et $P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BP = AM$ .

Où placer $M$ pour que la distance $MP$ soit la plus petite possible ? La rotation $r$ transforme $M$ en $P$ : elle ramène la question à la distance $OM$ .

BP = AM, donc P est l’image de M.

MP = OM \times \sqrt{3}

Le piège

$OM = OP$ , donc $MP = OM$

$MP = OM \times \sqrt{3}$

Le triangle $OMP$ est isocèle, mais pas équilatéral : son angle en $O$ mesure $\dfrac{2\pi}{3}$ , pas $\dfrac{\pi}{3}$ .

Image d'un cercle

L'image d'un cercle de centre $I$ et de rayon $R$ par une rotation $r$ est le cercle de même rayon $R$ et de centre $I' = r(I)$ .

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre et on garde le même rayon.

Le centre tourne autour de O, le rayon ne change pas.

\mathscr{C}(I, R) \longmapsto \mathscr{C}'(I', R)

Le piège

Par une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ , le rayon du cercle change

Le rayon ne change jamais : seul le centre se déplace

Une rotation conserve les distances, donc la distance de chaque point du cercle à son centre.

Un problème de lieu

Soit $IJK$ un triangle isocèle et rectangle en $I$ . On suppose que le sommet $I$ est fixe et que le sommet $J$ décrit un cercle $\mathscr{C}$ . Quel est le lieu du point $K$ ?

Le point $K$ se déduit du point $J$ par un quart de tour de centre $I$ : quand $J$ décrit le cercle $\mathscr{C}$ , le point $K$ décrit l'image de ce cercle.

Si l'on tourne dans le sens direct pour aller de $J$ à $K$ autour de $I$ , c'est le quart de tour direct ; sinon, c'est le quart de tour indirect.

Quand J décrit le cercle bleu, K décrit le cercle rouge.

Le piège

$K$ décrit le même cercle que $J$

$K$ décrit l'image du cercle : même rayon, mais un autre centre

Le centre $A$ du cercle n'est pas le centre de la rotation : il tourne lui aussi autour de $I$ .

Conservation du contact

Une rotation conserve le contact : si une droite $T$ est tangente à un cercle $\mathscr{C}$ en un point $A$ , alors son image $T'$ est tangente au cercle image $\mathscr{C}'$ au point $A' = r(A)$ .

D et D' sont les deux tangentes au cercle menées de A.

T \text{ tangente à } \mathscr{C} \text{ en } A \implies T' \text{ tangente à } \mathscr{C}' \text{ en } A'

Le piège

L'image de la tangente en $A$ est tangente au cercle image au même point $A$

Elle est tangente au cercle image au point $A'$ , image de $A$

Le point de contact tourne avec le cercle et avec la droite.

Figures superposables : périmètres et aires

L'image d'un triangle par une rotation est un triangle qui lui est isométrique.
On admet qu'une figure et son image par une rotation sont superposables.

En particulier, un polygone et son image par une rotation sont superposables : ils ont même périmètre, même aire, et les angles homologues sont égaux.

I, J et K se correspondent par un tiers de tour autour de O.

\text{même périmètre} \quad ; \quad \text{même aire} \quad ; \quad \text{mêmes angles}

Le piège

Quand le point $I$ se déplace sur $[BC]$ , l'aire du quadrilatère $OICJ$ change

Elle reste égale au tiers de l'aire du triangle $ABC$

Le triangle $OIC$ et son image $OJA$ changent ensemble et gardent la même aire : la somme reste l'aire du triangle $OCA$ .

Un problème de construction

On donne un point $A$ , une droite $L_1$ et un cercle $\Gamma$ . On cherche à construire un carré $ABCD$ dont le sommet $B$ est sur la droite $L_1$ et le sommet $D$ sur le cercle $\Gamma$ .

L'idée. Dans un carré $ABCD$ , le sommet $D$ est l'image du sommet $B$ par un quart de tour de centre $A$ . Si $B$ est sur $L_1$ , alors $D$ est sur la droite $L_2$ , image de $L_1$ par ce quart de tour. Le point $D$ est donc à l'intersection de la droite $L_2$ et du cercle $\Gamma$ .

Il y a autant de carrés que de points d'intersection. La même méthode construit, à partir d'un autre point $M$ , un carré $MNPQ$ tel que $N$ appartienne à la droite $L_1$ et $Q$ au cercle $\Gamma$ .

L₂ est l’image de L₁ par le quart de tour direct de centre A.

Le piège

On place $B$ au hasard sur la droite, puis on cherche $D$ sur le cercle

On construit d'abord l'image de la droite par le quart de tour : c'est elle qui donne $D$

Un point $B$ pris au hasard donne presque toujours un point $D$ qui n'est pas sur le cercle.

Figures globalement invariantes

On dit qu'une figure est globalement invariante par une application du plan si son image par cette application est elle-même.
On dit qu'un point $I$ est un centre de symétrie d'une figure si cette figure est globalement invariante par la symétrie centrale de centre $I$ .
On dit qu'une droite $D$ est un axe de symétrie d'une figure si cette figure est globalement invariante par la symétrie axiale d'axe $D$ .

L'image de D par la translation de vecteur OA passe par A.

Le piège

Une figure globalement invariante est une figure dont chaque point reste à sa place

C'est la figure entière qui est sa propre image : ses points peuvent changer de place

Par la symétrie de centre $O$ , chaque point de la droite $D$ autre que $O$ se déplace, mais il reste sur $D$ .

Éléments de symétrie

Un cercle de centre $O$ est globalement invariant par toute symétrie axiale dont l'axe passe par $O$ , par la symétrie centrale de centre $O$ et par toute rotation de centre $O$ . Il ne l'est pas par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ , qui divise son rayon par $2$ .

Une droite a pour centres de symétrie tous ses points ; ses axes de symétrie sont elle-même et toutes les droites qui lui sont perpendiculaires.

Un carré a un centre de symétrie, son centre, et quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les médiatrices de ses côtés. Il est aussi globalement invariant par les quarts de tour, direct et indirect, autour de son centre.

Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie, les médiatrices de ses côtés, mais pas de centre de symétrie. Il est globalement invariant par la rotation directe et par la rotation indirecte d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ autour de son centre.

Trois axes de symétrie, qui se coupent en O.

Le piège

Le centre d'un triangle équilatéral est un centre de symétrie

Un triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie

Le symétrique du sommet $A$ par rapport au centre $O$ n'est pas un point du triangle : le triangle retourné ne se superpose pas à lui-même.

Un problème pour aller plus loin : deux carrés

Soit $ABC$ un triangle. On construit à l'extérieur de ce triangle les carrés $ABDE$ et $BCFG$ , et on désigne par $I$ , $J$ , $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AD]$ , $[DG]$ , $[GC]$ et $[CA]$ .

Un quart de tour de centre $B$ , puis la droite des milieux, montrent que $IJKL$ est un carré.

Les carrés ABDE et BCFG sont à l’extérieur du triangle.

Un problème pour aller plus loin : rotations et arithmétique

Dans la figure :

les points $O$ , $A$ , $B$ , …, $M$ , $N$ sont les sommets d'un polygone régulier à $15$ côtés, de centre $\omega$ ;
les points $O$ , $P$ , $Q$ , …, $V$ , $W$ sont les sommets d'un polygone régulier à $9$ côtés, de centre $\omega'$ .

On désigne par $R$ la rotation directe de centre $\omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$ , et par $R'$ la rotation directe de centre $\omega'$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{9}$ .

On définit la suite de points $(M_n)$ par $M_0 = O$ et, pour tout entier naturel $n$ , $M_{n+1} = R(M_n)$ ; et la suite de points $(P_n)$ par $P_0 = O$ et, pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1} = R'(P_n)$ .

À chaque pas, on passe d’un sommet au sommet suivant.

Les carrés magiques

Depuis l'Antiquité, les nombres ont été à la fois un outil puissant pour la vie quotidienne et la source de jeux fascinants. On retrouve les carrés magiques dans de nombreuses civilisations, de la Chine antique aux artistes de la Renaissance, en passant par les mathématiciens arabes, qui les ont étudiés et ont proposé des méthodes pour les construire.

Pour faire un carré magique, on inscrit des entiers naturels dans une grille carrée, de telle sorte que la somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale soit toujours la même.

La figure montre un carré magique $3 \times 3$ , qui utilise les entiers de $1$ à $9$ : la somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale est $15$ .

Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale a pour somme 15.

4 + 9 + 2 = 3 + 5 + 7 = 8 + 1 + 6 = 15

À retenir

$\pi$ radians valent $180$ degrés ; la mesure en radians d'un angle au centre est le rapport $\dfrac{L}{r}$ de la longueur de l'arc au rayon.
Rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ : $r(O) = O$ et, pour $M \neq O$ , $r(M) = M'$ avec $OM' = OM$ et $\widehat{MOM'} = \alpha$ , en tournant dans le sens direct ou dans le sens indirect.
Si $OA = OB$ , il existe une unique rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$ . L'angle $\pi$ donne la symétrie centrale, l'angle nul donne l'identité.
Une rotation conserve les distances et les angles ; en particulier, elle conserve l'orthogonalité.
Une rotation conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, le parallélisme et le contact.
L'image d'un segment est un segment isométrique, l'image d'une droite est une droite ; par un quart de tour, la droite image est perpendiculaire à la droite de départ.
L'image d'un cercle de centre $I$ est le cercle de même rayon et de centre $r(I)$ .
Une figure et son image par une rotation sont superposables : même périmètre, même aire, angles homologues égaux.

Ce qu’il t’explique

Rappels : le quart de tour

Pour comprendre : la longueur d'un arc

Le radian

Passer des degrés aux radians

Pour comprendre : faire tourner une figure

Pour comprendre : un angle, deux points

Rotation directe, rotation indirecte

Angle π, angle nul, antécédent

La rotation qui transforme A en B

Exemple : lire des rotations

Construire l'image d'un point

De M à M' : plusieurs applications

Conservation des distances et des angles

Image d'un segment, image d'une droite

Image d'une droite par un quart de tour

Un problème d'alignement

Conservation du milieu et du barycentre

Un problème d'optimisation

Image d'un cercle

Un problème de lieu

Conservation du contact

Figures superposables : périmètres et aires

Un problème de construction

Figures globalement invariantes

Éléments de symétrie

Un problème pour aller plus loin : deux carrés

Un problème pour aller plus loin : rotations et arithmétique

Les carrés magiques

À toi, au tableau

Des degrés aux radians

Des radians aux degrés

Un quart de tour dans le carré

Quel triangle ?

Un angle, combien de points ?

Une rotation qui est une symétrie

Un angle obtus en radians

La longueur d'un arc

De l'arc à l'angle

L'image d'un sommet

Autour du milieu

Rabattre l'hypoténuse

Deux pas en arrière

La droite des milieux

Le centre de gravité suit

Un triangle isocèle de 120 degrés

Le centre du lieu

Le lieu d’un sommet du carré

La plus petite distance

Une somme de distances

Le carré au cinquième

Le périmètre d'un secteur

Un tour dans chaque sens

Trois distances dans un triangle équilatéral

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Rappels : le quart de tour

Pour comprendre : la longueur d'un arc

Le radian

Passer des degrés aux radians

Pour comprendre : faire tourner une figure

Pour comprendre : un angle, deux points

Rotation directe, rotation indirecte

Angle π, angle nul, antécédent

La rotation qui transforme A en B

Exemple : lire des rotations

Construire l'image d'un point

De M à M' : plusieurs applications

Conservation des distances et des angles

Image d'un segment, image d'une droite

Image d'une droite par un quart de tour

Un problème d'alignement

Conservation du milieu et du barycentre

Un problème d'optimisation

Image d'un cercle

Un problème de lieu

Conservation du contact

Figures superposables : périmètres et aires

Un problème de construction