Statistiques

Population, échantillon, caractère ; série chronologique et indice ; diagrammes, histogramme, effectifs cumulés ; mode, étendue, médiane (interpolation linéaire), quartiles, diagramme en boîte ; moyenne, moyennes partielles, variance, écart type, application affine ; effet de structure ; fluctuation d’échantillonnage.

26 sections · 103 exercices

Statistiques

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Une enquête, un relevé de températures, la production d'une récolte année après année : la statistique résume une série de données par quelques nombres et quelques dessins.

Ce chapitre apprend à représenter une série, à la situer (mode, médiane, quartiles, moyenne) et à mesurer sa dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart type) — et à se méfier des résumés trop rapides.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Décrire et représenter une série statistique
Calculer effectifs cumulés, coefficients multiplicateurs et indices
Déterminer mode, médiane et quartiles ; tracer un diagramme en boîte
Calculer moyenne, variance et écart type, et utiliser leurs propriétés
Interpréter un effet de structure et la fluctuation d’échantillonnage

Activité

Pour comprendre : deux lycées réunis

Une enquête statistique portant sur deux lycées d'une même ville a révélé les données suivantes : le lycée A compte $450$ élèves dont $52\,\%$ de filles ; le lycée B compte $600$ élèves dont $48\,\%$ de filles.

1.À la lecture de ces données, un élève prétend que si l'on réunit les élèves des deux lycées, on trouvera autant de filles que de garçons. Explique pourquoi cette affirmation est fausse.
2.Quel doit être le nombre de filles du lycée A pour que, en réunissant les élèves des deux établissements, on trouve autant de filles que de garçons ?

Ce qu’on observe

Le lycée A compte $450$ élèves dont $52\,\%$ de filles, le lycée B $600$ élèves dont $48\,\%$ de filles. Réunis, ont-ils autant de filles que de garçons ? Sinon, combien de filles faudrait-il au lycée A ?

1
Les filles de A
$450 \times \frac{52}{100} = 234$
2
Les filles de B
$600 \times \frac{48}{100} = 288$
3
Réunis
Les deux lycées comptent $450 + 600 = 1050$ élèves, dont $234 + 288 = 522$ filles. Or la moitié de $1050$ est $525$ : il y a donc moins de filles que de garçons.
$522 < 525$
4
Ce qu'il faudrait
Pour avoir $525$ filles en tout, il en faut $525 - 288$ au lycée A.
$525 - 288 = 237$
5
Pourquoi l'élève se trompe
Il fait la moyenne de $52\,\%$ et de $48\,\%,$ comme si les deux lycées avaient le même effectif. Le lycée B, plus grand, pèse davantage.

522

filles sur

1050

élèves

;

il faudrait

237

filles au lycée A

L’erreur à ne pas faire

$52\,\%$ et $48\,\%$ donnent $50\,\%$ de filles en tout $\dfrac{234 + 288}{1050} = \dfrac{522}{1050} \approx 49{,}7\,\%$
On ne fait pas la moyenne de deux pourcentages calculés sur des effectifs différents : chaque pourcentage compte selon la taille de son groupe.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna zouz lycéet. Le lycée A fih 450 élèves, menhom 52 % bnet, ya3ni 234 bent. Le lycée B fih 600 élèves, menhom 48 % bnet, ya3ni 288. Ki nlammouhom : 1050 élèves, w 522 bent, ama e-noss houwa 525. Idhan el bnet a9al mel dhkour. 3lech e-tilmidh ghlet ? 5aterou 3mel la moyenne mta3 52 w 48, kif ken e-zouz lycéet 3andhom nafs l'effectif. Bech ykounou b e-noss, yelzem 237 bent fel lycée A. »

Vocabulaire

Population, échantillon, caractère

Le service de la médecine scolaire a mené une enquête auprès des $100$ élèves internes d'un établissement scolaire, portant sur l'âge, le poids, la taille et le groupe sanguin.

La population est l'ensemble sur lequel porte l'étude : ici, les élèves de l'établissement.
Un échantillon est la partie de la population effectivement observée : ici, les élèves internes. Sa taille est son effectif, $100.$
Un caractère est ce qu'on observe sur chaque individu. Il est quantitatif quand il se mesure par un nombre (l'âge, le poids, la taille), qualitatif sinon (le groupe sanguin).

Un caractère quantitatif est discret quand il ne prend que des valeurs isolées (l'âge en années : $16,$ $17,$ $18$ …) ; il est continu quand il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (le poids, la taille) : on regroupe alors ses valeurs en classes, comme $[155 ; 160[.$

La fréquence d'une valeur (ou d'une classe) est le quotient de son effectif par l'effectif total.

souvent écrite en pourcentage

\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}

Exemple traité

Dans l'enquête de la médecine scolaire, $35$ des $100$ élèves sont du groupe sanguin A+. Quelle est la nature de ce caractère, et quelle est la fréquence de la modalité A+ ?

1
La nature
Le groupe sanguin ne se mesure pas par un nombre : c'est un caractère qualitatif. Ses valeurs s'appellent des modalités.
2
La fréquence
$\frac{35}{100} = 0{,}35 = 35\,\%$

caractère qualitatif

;

fréquence de A+

: 35\,\%

L’erreur à ne pas faire

Le numéro de téléphone est un caractère quantitatif, puisque c'est un nombreLe numéro de téléphone est un caractère qualitatif
Un caractère est quantitatif quand le nombre MESURE quelque chose : additionner deux numéros de téléphone ou en faire la moyenne n'a aucun sens.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chwaya vocabulaire. La population hiya e-nes el koll elli n7ebbou na3rfou 3lihom 7aja : houni les élèves mta3 l'établissement. L'échantillon houwa el jez2 elli fe3lan sa2alnehom : les 100 élèves internes, w la taille de l'échantillon hiya 100. El 7aja elli nes2lou 3liha nsammiwha caractère. Ken tet9as b nombre, kif l'âge walla le poids, houwa quantitatif. Ken ma tet9asch, kif le groupe sanguin, houwa qualitatif. W le caractère quantitatif ykoun discret ki ye5ou valeurs ma3zoulin, kif l'âge bel snin, w continu ki ye5ou ayy valeur fi intervalle, kif la taille : sa3tha nlammou les valeurs fi des classes. W la fréquence hiya l'effectif sur l'effectif total. »

Définition

Série chronologique et indice

Une série chronologique est une série de valeurs provenant d'une même variable observée à des instants régulièrement espacés dans le temps.

Exemple : la production annuelle de blé dur en Tunisie, en milliers de tonnes, observée tous les deux ans :

Année	Production
1990	897
1992	1323
1994	436
1996	1706
1998	1090
2000	706
2002	371

Pour suivre son évolution, on choisit une année de base (ici 1990) et on calcule, pour chaque année, le coefficient multiplicateur qui fait passer de la valeur de l'année de base à celle de l'année : c'est leur quotient. L'indice de l'année, base $100$ en 1990, est ce coefficient multiplié par $100.$

On représente la série par sa courbe d'évolution : les années en abscisse, les indices (ou les coefficients) en ordonnée, et les points joints par des segments.

Blé dur — indice de la production, base 100 en 1990.

arrondi au centièmecoefficient multiplicateur

= \frac{\text{valeur de l'année}}{\text{valeur de l'année de base}}

indice

= 100 \times

coefficient multiplicateur

Exemple traité

La production de blé dur est de $897$ milliers de tonnes en 1990 et de $1323$ en 1992. Calcule le coefficient multiplicateur de 1990 à 1992, arrondi au centième, et l'indice de 1992, base $100$ en 1990. Fais de même pour 1994, où la production est de $436.$

1
En 1992
$\frac{1323}{897} \approx 1{,}47$
2
L'indice de 1992 est donc $147$ : la production a augmenté de $47\,\%$ depuis 1990.
3
En 1994
$\frac{436}{897} \approx 0{,}49$
4
L'indice de 1994 est $49$ : la production a baissé de $51\,\%$ depuis 1990.

1992 : coefficient

1{,}47,

indice

147 \quad ;

1994 : coefficient

0{,}49,

indice

49

L’erreur à ne pas faire

L'indice $49$ veut dire que la production a baissé de $49\,\%$ Elle a baissé de $100 - 49 = 51\,\%$
L'indice compare à $100$ : un indice de $49$ signifie que la production ne vaut plus que $49\,\%$ de celle de l'année de base.
Calculer chaque coefficient par rapport à l'année précédenteDiviser toujours par la valeur de l'année de base, ici celle de 1990
L'indice base 100 compare chaque année à la même année de référence : c'est ce qui rend les années comparables entre elles.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Série chronologique, hiya valeurs mta3 nafs la variable, nchoufouha fi aw9at metba3din bel 9ad, kif koll 3amin. Mathalan la production mta3 le blé dur. Bech net-tab3ou kifech tetratwer, n5tarou année de base, houni 1990. Le coefficient multiplicateur mta3 3am houwa la valeur mte3ou sur la valeur mta3 l'année de base. Fi 1992 : 1323 sur 897, ta9rib 1,47. W l'indice houwa cent fois le coefficient : 147. Rodd belek : indice 49, ma3neha la production n9sset b 51 %, mouch 49. W la courbe d'évolution : les années 3la l'axe des abscisses, w les indices 3la l'axe des ordonnées. »

Application

Exemple : un diagramme circulaire

En 1990, la production de céréales en Tunisie, en milliers de tonnes, se répartit ainsi : blé dur $897,$ blé tendre $225,$ orge $477,$ triticale $34,$ soit $1633$ en tout.

Dans un diagramme circulaire, chaque modalité reçoit un secteur dont l'angle est proportionnel à son effectif : le disque entier, $360°,$ représente l'effectif total.

\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°

Exemple traité

Calcule, arrondis au degré, les angles des quatre secteurs du diagramme circulaire de la production de 1990.

1
Blé dur
$\frac{897}{1633} \times 360 \approx 198°$
2
Blé tendre
$\frac{225}{1633} \times 360 \approx 50°$
3
Orge
$\frac{477}{1633} \times 360 \approx 105°$
4
Triticale
$\frac{34}{1633} \times 360 \approx 7°$
5
Vérification
La somme des angles fait bien $360°$ : $198 + 50 + 105 + 7 = 360.$

198° \quad ; \quad

50° \quad ; \quad

105° \quad ; \quad

7°

L’erreur à ne pas faire

Angle du blé dur : $897°,$ ou $\dfrac{897}{1633} \approx 0{,}55°$ $\dfrac{897}{1633} \times 360 \approx 198°$
La fréquence dit quelle part du disque revient au blé dur ; il faut encore la multiplier par 360 degrés.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fel diagramme circulaire, e-dawra el kemla, 360 degrés, hiya l'effectif total. W koll modalité te5ou secteur, l'angle mte3ou proportionnel à son effectif : l'effectif sur l'effectif total, fois 360. Fi 1990, le blé dur : 897 sur 1633, fois 360, ta9rib 198 degrés. L'orge ta9rib 105 degrés, le blé tendre 50, w le triticale 7. W dima net-thabtou : el majmou3 lezem ya3ti 360. »

Activité

Pour comprendre : bâtons et histogramme

Les résultats de l'enquête de la médecine scolaire sur les $100$ élèves sont résumés ainsi.

Selon l'âge (série discrète) :

Âge (ans)	Effectif
16	20
17	45
18	25
19	4
20	1
21	3
22	2

Selon la taille (série continue, en cm) :

Taille $t$	$[140 ; 145[$	$[145 ; 150[$	$[150 ; 155[$	$[155 ; 160[$	$[160 ; 165[$	$[165 ; 170[$	$[170 ; 175[$
Effectif	2	10	25	35	20	6	2

Taille $t$	Effectif
$[140 ; 145[$	2
$[145 ; 150[$	10
$[150 ; 155[$	25
$[155 ; 160[$	35
$[160 ; 165[$	20
$[165 ; 170[$	6
$[170 ; 175[$	2

Une série discrète se représente par un diagramme en bâtons : un bâton par valeur, de hauteur égale à son effectif. Une série continue se représente par un histogramme : sur chaque classe, un rectangle accolé à ses voisins ; quand les classes ont toutes la même amplitude, sa hauteur est l'effectif de la classe.

En joignant les milieux des côtés supérieurs des rectangles, on obtient le polygone des effectifs.

1.Quel est le pourcentage des élèves âgés de $21$ ans ou plus ?
2.Pour la série des tailles, quelle classe a le plus grand effectif ?

Répartition de 100 élèves par tranche de taille (en cm).

Ce qu’on observe

À partir des deux tableaux, calcule le pourcentage des élèves âgés de $21$ ans ou plus, puis le pourcentage des élèves mesurant au moins $160$ centimètres.

1
21 ans ou plus
On additionne les effectifs des âges $21$ et $22,$ sur un total de $100.$
$\frac{3 + 2}{100} = 5\,\%$
2
Au moins 160 centimètres
Ce sont les trois dernières classes de l'histogramme.
$\frac{20 + 6 + 2}{100} = 28\,\%$

5\,\% \quad ; \quad

28\,\%

L’erreur à ne pas faire

Tracer l'histogramme avec des rectangles séparés, comme des bâtonsLes rectangles de l'histogramme sont accolés
Une série continue couvre tout l'intervalle : la classe $[150 ; 155[$ s'arrête exactement où commence $[155 ; 160[.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nafs l'enquête, ama zouz anwe3 mel séries. L'âge bel snin ye5ou valeurs ma3zoulin : 16, 17, 18 : série discrète, nersmouha b diagramme en bâtons, bâton l koll valeur, e-toul mte3ou l'effectif. La taille, tnajjem te5ou ayy valeur : série continue, nlammouha fi classes, w nersmouha b histogramme : rectangles las9in fi b3adhhom. W ki norbtou les milieux mta3 el fou9 mta3 les rectangles, yetla3lna le polygone des effectifs. Mathalan, les élèves elli 3andhom 21 ans walla akthar : 3 plus 2, ya3ni 5 %. W elli toulhom 160 centimètres walla akthar : 28 %. »

Définition

Effectifs cumulés croissants

On range les valeurs (ou les classes) dans l'ordre croissant.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à elle. Pour une classe $[a ; b[,$ c'est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure à $b$ .
La fréquence cumulée croissante est l'effectif cumulé croissant divisé par l'effectif total.

Pour les tailles des $100$ élèves :

Taille	$[140 ; 145[$	$[145 ; 150[$	$[150 ; 155[$	$[155 ; 160[$	$[160 ; 165[$	$[165 ; 170[$	$[170 ; 175[$
Effectif	2	10	25	35	20	6	2
Effectifs cumulés croissants	2	12	37	72	92	98	100

Taille	Effectif	Effectifs cumulés croissants
$[140 ; 145[$	2	2
$[145 ; 150[$	10	12
$[150 ; 155[$	25	37
$[155 ; 160[$	35	72
$[160 ; 165[$	20	92
$[165 ; 170[$	6	98
$[170 ; 175[$	2	100

Pour une série continue, la courbe des fréquences cumulées croissantes joint les points qui ont pour abscisse la borne supérieure de chaque classe et pour ordonnée la fréquence cumulée correspondante ; elle part du point d'abscisse $140$ et d'ordonnée $0.$

Exemple traité

Combien d'élèves mesurent moins de $155$ centimètres ? Quel pourcentage des élèves mesure moins de $165$ centimètres ?

1
Moins de 155 centimètres
C'est l'effectif cumulé de la classe $[150 ; 155[,$ dont $155$ est la borne supérieure.
$2 + 10 + 25 = 37$
2
Moins de 165 centimètres
L'effectif cumulé de la classe $[160 ; 165[$ est $92,$ sur $100$ élèves.
$\frac{92}{100} = 92\,\%$

37

élèves

; \quad

92\,\%

L’erreur à ne pas faire

Placer le point de la classe $[150 ; 155[$ à l'abscisse $150,$ ou au centre $152{,}5$ Le placer à l'abscisse $155,$ avec l'ordonnée $37$ (ou $0{,}37$ )
37 élèves mesurent moins de 155 centimètres : ce n'est vrai qu'une fois la classe entièrement parcourue, donc à sa borne supérieure.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'effectif cumulé croissant, y9ollek 9addech men individu 3andou valeur a9al walla kifha. Nrattbou les classes, w nzidou les effectifs wa7ed wra le5er : 2, 12, 37, 72, 92, 98, 100. Mathalan 37, ma3neha 37 élève toulhom a9al men 155 centimètres. W la fréquence cumulée hiya l'effectif cumulé sur l'effectif total. Rodd belek : fi la courbe des fréquences cumulées, e-nou9ta mta3 classe n7ottouha fi la borne supérieure mte3ha, mouch fel wost. »

Définition

Étendue, mode et classe modale

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Le mode d'une série discrète est la valeur qui a le plus grand effectif ; une série peut avoir plusieurs modes.
Pour une série continue dont les classes ont la même amplitude, la classe modale est la classe de plus grand effectif.
Pour un caractère qualitatif, on parle de la modalité la plus fréquente.

Pour l'enquête de la médecine scolaire : l'âge a pour étendue $22 - 16 = 6$ ans et pour mode $17$ ans (effectif $45$ ) ; la classe modale des tailles est $[155 ; 160[$ (effectif $35$ ) ; pour le groupe sanguin, la modalité la plus fréquente est A+ ( $35$ élèves).

étendue

=

plus grande valeur

-

plus petite valeur

Exemple traité

Voici une série de notes : $5$ (effectif $2$ ), $6$ ( $1$ ), $8$ ( $7$ ), $10$ ( $12$ ), $11$ ( $15$ ), $14$ ( $11$ ), $15$ ( $1$ ). Donne son étendue et son mode.

1
L'étendue
$15 - 5 = 10$
2
Le mode
Le plus grand effectif est $15$ : il revient à la note $11.$

étendue

10 \quad ;

mode

11

L’erreur à ne pas faire

Le mode de la série est $15$ Le mode est $11,$ la valeur dont l'effectif est $15$
Le mode est une VALEUR du caractère, pas un effectif : on lit le plus grand effectif, puis on donne la valeur qui lui correspond.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz 7ajet bsitin. L'étendue hiya akber valeur moins asghar valeur : fi les âges, 22 moins 16, 6 ans. W le mode houwa la valeur elli 3andha akber effectif : 17 ans, 5ater 3andha 45 élève. M3a les classes, n7kiw 3la la classe modale : fi les tailles, hiya [155 ; 160[. W ken le caractère qualitatif, n9oulou la modalité el akthar fréquente : A plus. Rodd belek : le mode houwa valeur, mouch effectif. »

Définition

La médiane

La médiane $m$ d'une série partage la population en deux parties de même effectif : la moitié des individus ont une valeur inférieure ou égale à $m,$ l'autre moitié une valeur supérieure ou égale à $m.$

Pour une série discrète d'effectif total $n,$ on range les valeurs dans l'ordre croissant : - si $n$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang $\dfrac{n + 1}{2}$ ; - si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2} + 1.$

On s'aide des effectifs cumulés croissants pour trouver ces rangs sans tout réécrire.

Exemple traité

Détermine l'âge médian des $100$ élèves internes : $16$ ans (effectif $20$ ), $17$ ( $45$ ), $18$ ( $25$ ), $19$ ( $4$ ), $20$ ( $1$ ), $21$ ( $3$ ), $22$ ( $2$ ).

1
Les rangs
L'effectif $n = 100$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $50$ et $51.$
2
Les effectifs cumulés
$20 \quad ; \quad$ $65 \quad ; \quad$ $90 \quad ; \quad$ $94 \quad ; \quad$ $95 \quad ; \quad$ $98 \quad ; \quad$ $100$
3
Lecture
Les élèves de rangs $21$ à $65$ ont $17$ ans : ceux de rangs $50$ et $51$ aussi.

m = 17

ans

L’erreur à ne pas faire

La médiane des âges est $19,$ la valeur du milieu de la liste $16$ ; $17$ ; … ; $22$ La médiane est $17$ ans
La médiane partage les INDIVIDUS en deux, pas la liste des valeurs : chaque valeur compte autant de fois que son effectif.
Chercher la médiane sans ranger les valeursRanger d'abord les valeurs dans l'ordre croissant
Le rang du milieu n'a de sens que dans une liste ordonnée.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La médiane, hiya la valeur elli t9oss la population 3la zouz bel 9ad : e-noss 3andhom valeur a9al menha walla kifha, w e-noss le5er akthar menha walla kifha. Awwel 7aja nrattbou les valeurs. Ken n impair, la médiane hiya la valeur de rang (n + 1)/2. Ken n pair, nekhdhou la moyenne mta3 e-zouz valeurs elli fel rang n/2 w fel rang n/2 + 1. Fi les âges, n égale 100 : les rangs 50 et 51. Les effectifs cumulés : 20, 65... idhan men rang 21 l 65 3andhom 17 ans. La médiane 17 ans. Rodd belek : koll valeur tet7seb 9add ma l'effectif mte3ha. »

Méthode

La médiane d'une série continue

Une enquête étudie le temps consacré chaque jour au transport par les $300$ ouvriers d'une entreprise.

Temps (min)	$[20 ; 40[$	$[40 ; 60[$	$[60 ; 80[$	$[80 ; 100[$	$[100 ; 120[$	$[120 ; 140[$
Effectif	21	53	83	128	12	3
Effectifs cumulés	21	74	157	285	297	300

Temps (min)	Effectif	Effectifs cumulés
$[20 ; 40[$	21	21
$[40 ; 60[$	53	74
$[60 ; 80[$	83	157
$[80 ; 100[$	128	285
$[100 ; 120[$	12	297
$[120 ; 140[$	3	300

On suppose que, dans chaque classe, les effectifs sont répartis de manière régulière. La médiane $m$ est la valeur telle que $150$ ouvriers mettent un temps inférieur à $m$ et $150$ un temps supérieur à $m.$ Comme $74 < 150 \le 157,$ elle appartient à la classe $[60 ; 80[.$

Méthode d'interpolation linéaire. Sur la classe $[60 ; 80[,$ l'effectif cumulé passe de $74$ à $157$ de façon régulière : la position de $m$ entre $60$ et $80$ est la même que celle de $150$ entre $74$ et $157.$ C'est aussi ce qu'on lit sur le polygone des effectifs cumulés croissants, en partant de l'ordonnée $150.$

Temps de transport — effectifs cumulés croissants des 300 ouvriers.

interpolation linéaire

\frac{m - 60}{80 - 60} = \frac{150 - 74}{157 - 74}

Exemple traité

Calcule, par interpolation linéaire, la médiane $m$ du temps de transport des $300$ ouvriers, arrondie au dixième.

1
La classe médiane
La moitié de l'effectif est $150$ ; les effectifs cumulés passent de $74$ à $157$ sur la classe $[60 ; 80[.$
2
L'égalité
$\frac{m - 60}{20} = \frac{76}{83}$
3
On isole m
$m = 60 + 20 \times \frac{76}{83} \approx 78{,}3$

m \approx 78{,}3

minutes

L’erreur à ne pas faire

La médiane est le centre de la classe médiane : $m = 70$ $m = 60 + 20 \times \dfrac{76}{83} \approx 78{,}3$
150 est bien plus près de 157 que de 74 : la médiane est donc près de la borne 80, pas au milieu de la classe.
Écrire $\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150}{157}$ $\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150 - 74}{157 - 74}$
On compare des positions dans la classe : on retranche, en haut comme en bas, ce qui est déjà atteint au début de la classe.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Trois cents ouvriers, la médiane hiya el wa9t m elli 150 ouvrier ye5dhou a9al menou, w 150 akthar. Les effectifs cumulés : 21, 74, 157. 74 a9al men 150, w 157 akthar : idhan m fi la classe [60 ; 80[. Nefrdhou elli les effectifs mfarr9in bel 9ad fel classe : sa3tha m bin 60 w 80, fi nafs el blasa mta3 150 bin 74 w 157. Hedhi l'interpolation linéaire : m moins 60, sur 20, égale 76 sur 83. Nal9aw m ta9rib 78,3 minutes. Rodd belek : mouch dima le centre de la classe. »

Définition

Les quartiles

Les quartiles $Q_{1},$ $Q_{2}$ et $Q_{3}$ d'une série la partagent en quatre parties. On convient que le deuxième quartile $Q_{2}$ est la médiane.

Cas d'une série discrète. Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série statistique dont les valeurs $x_{i}$ sont ordonnées par ordre croissant. - Le premier quartile est le nombre noté $Q_{1}$ égal à la plus petite valeur $x_{i}$ telle qu'au moins $25\,\%$ de l'effectif de la série prennent des valeurs inférieures ou égales à $Q_{1}.$ - Le troisième quartile est le nombre noté $Q_{3}$ égal à la plus petite valeur $x_{i}$ telle qu'au moins $75\,\%$ de l'effectif de la série prennent des valeurs inférieures ou égales à $Q_{3}.$

Voici les notes obtenues dans un même devoir par deux groupes de $20$ élèves.

Premier groupe : $7$ ; $7$ ; $8$ ; $11$ ; $10$ ; $7$ ; $12$ ; $14$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $9$ ; $11$ ; $7$ ; $9$ ; $13$ ; $11$ ; $10$ ; $13$ ; $8.$

Deuxième groupe : $6$ ; $7$ ; $11$ ; $11$ ; $17$ ; $4$ ; $10$ ; $5$ ; $2$ ; $7$ ; $4$ ; $17$ ; $8$ ; $19$ ; $5$ ; $15$ ; $5$ ; $17$ ; $6$ ; $14.$

Exemple traité

Détermine la médiane $m_{1}$ et les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ des notes du premier groupe.

1
Ranger
$6\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,8\,;\,8\,;\,8\,;\,9\,;\,9\,;\,9\,;\,10\,;\,10\,;\,11\,;\,11\,;\,11\,;\,12\,;\,13\,;\,13\,;\,14$
2
La médiane
$20$ est pair : on prend la moyenne des notes de rangs $10$ et $11,$ qui valent toutes deux $9.$
3
Le premier quartile
$25\,\%$ de $20$ font $5$ : $Q_{1}$ est la note de rang $5,$ soit $7.$
4
Le troisième quartile
$75\,\%$ de $20$ font $15$ : $Q_{3}$ est la note de rang $15,$ soit $11.$
5
Lecture
Les notes comprises entre $7$ et $11$ sont au nombre de $15$ sur $20,$ soit $75\,\%$ : elles se serrent autour de la médiane.

m_{1} = 9 \quad ; \quad

Q_{1} = 7 \quad ; \quad

Q_{3} = 11

L’erreur à ne pas faire

$25\,\%$ de $20$ font $5,$ donc $Q_{1} = 5$ $Q_{1}$ est la note de rang $5$ : $Q_{1} = 7$
Le calcul $25\,\%$ de $n$ donne un rang ; le quartile est la valeur qui occupe ce rang dans la série rangée.
$Q_{1}$ est la moyenne des notes de rangs $5$ et $6$ $Q_{1}$ est la plus petite note qui atteint $25\,\%$ de l'effectif : celle de rang $5$
Contrairement à la médiane, pour une série discrète, les quartiles sont des valeurs de la série : on ne fait pas de moyenne.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Les quartiles y9oussou la série 3la arb3a. Le premier quartile Q1, houwa asghar valeur, b 7aythou 3al a9al 25 % men l'effectif 3andhom valeur a9al menha walla kifha. W le troisième quartile Q3, nafs el 7aja m3a 75 %. W le deuxième quartile houwa la médiane. Fi le premier groupe, 20 notes : nrattbouhom. 25 % de 20, 5 : Q1 hiya la note de rang 5, ya3ni 7. 75 % de 20, 15 : Q3 hiya la note de rang 15, ya3ni 11. W la médiane 9. Rodd belek : 5 houwa le rang, mouch Q1. »

Méthode

Quartiles d'une série continue

Pour une série continue, comme la médiane, les quartiles peuvent être obtenus de deux façons : - au moyen d'une interpolation linéaire, en utilisant le tableau des effectifs cumulés ; - en exploitant la courbe des fréquences cumulées croissantes : $Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont les abscisses des points de cette courbe dont les ordonnées sont $0{,}25$ et $0{,}75$ (et la médiane, celle du point d'ordonnée $0{,}5$ ).

On considère la série suivante, où la répartition est supposée uniforme à l'intérieur de chaque classe :

Classe	Effectif	Effectifs cumulés
$[10 ; 20[$	500	500
$[20 ; 30[$	400	900
$[30 ; 40[$	225	1125
$[40 ; 50[$	150	1275
$[50 ; 60[$	100	1375

Exemple traité

L'effectif total est $1375.$ Détermine les classes qui contiennent $m,$ $Q_{1}$ et $Q_{3},$ puis leurs valeurs approchées par interpolation linéaire.

1
Les seuils
$\frac{1375}{4} = 343{,}75 \quad ; \quad$ $\frac{1375}{2} = 687{,}5 \quad ; \quad$ $\frac{3 \times 1375}{4} = 1031{,}25$
2
Les classes
$343{,}75 \le 500$ : $Q_{1}$ est dans $[10 ; 20[.$ $500 < 687{,}5 \le 900$ : $m$ est dans $[20 ; 30[.$ $900 < 1031{,}25 \le 1125$ : $Q_{3}$ est dans $[30 ; 40[.$
3
Premier quartile
$Q_{1} = 10 + 10 \times \frac{343{,}75 - 0}{500} = 16{,}875$
4
Médiane
$m = 20 + 10 \times \frac{687{,}5 - 500}{400} \approx 24{,}69$
5
Troisième quartile
$Q_{3} = 30 + 10 \times \frac{1031{,}25 - 900}{225} \approx 35{,}83$

Q_{1} = 16{,}875 \quad ; \quad

m \approx 24{,}69 \quad ; \quad

Q_{3} \approx 35{,}83

L’erreur à ne pas faire

$Q_{1}$ est dans la classe où l'effectif cumulé dépasse $25$ $Q_{1}$ est dans la classe où l'effectif cumulé atteint $25\,\%$ de l'effectif total, ici $343{,}75$
Le seuil est un QUART de l'effectif total ; on ne le confond avec 25 que lorsque l'effectif total est 100.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« M3a série continue, les quartiles nal9awhom kif la médiane : walla b l'interpolation linéaire, walla na9rawhom 3la la courbe des fréquences cumulées croissantes : Q1 houwa l'abscisse mta3 e-nou9ta elli l'ordonnée mte3ha 0,25, w Q3 elli l'ordonnée mte3ha 0,75. Houni l'effectif total 1375. E-roba3 mte3ou 343,75 : hedha fi la classe [10 ; 20[. Na3mlou l'interpolation : Q1 égale 16,875. W nafs el 7aja l la médiane, ta9rib 24,69, w l Q3, ta9rib 35,83. »

Vocabulaire

Diagramme en boîte

Vocabulaire. - L'intervalle $[Q_{1} ; Q_{3}]$ est appelé l'intervalle interquartile. - Le réel $Q_{3} - Q_{1}$ est appelé l'écart interquartile.

Construction d'un diagramme en boîte. Un diagramme en boîte permet de positionner les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ et la médiane $m$ au moyen d'un rectangle de largeur arbitraire et de longueur $Q_{3} - Q_{1}.$ On représente une série par un diagramme en boîte de la manière suivante : - sur un segment gradué, on place les valeurs extrêmes $x_{1}$ et $x_{n}$ de la série, les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ et la médiane $m$ ; - on construit un rectangle dont la longueur est l'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1},$ et de largeur arbitraire ; - un trait vertical, à l'intérieur de ce rectangle, correspond à la médiane.

Pour les deux groupes d'élèves : premier groupe, notes de $6$ à $14,$ $Q_{1} = 7,$ $m_{1} = 9,$ $Q_{3} = 11$ ; deuxième groupe, notes de $2$ à $19,$ $Q_{1} = 5,$ $m_{2} = 7{,}5,$ $Q_{3} = 14.$

Notes du premier et du deuxième groupe : valeurs extrêmes, quartiles et médiane.

Exemple traité

Les notes du deuxième groupe, rangées, sont : $2$ ; $4$ ; $4$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $6$ ; $6$ ; $7$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $11$ ; $11$ ; $14$ ; $15$ ; $17$ ; $17$ ; $17$ ; $19.$ Retrouve les cinq nombres de son diagramme en boîte et compare les écarts interquartiles des deux groupes.

1
Valeurs extrêmes
La plus petite note est $2,$ la plus grande $19.$
2
Médiane
Les notes de rangs $10$ et $11$ sont $7$ et $8$ : leur moyenne est $7{,}5.$
3
Quartiles
Les notes de rangs $5$ et $15$ donnent $Q_{1} = 5$ et $Q_{3} = 14.$
4
Écarts interquartiles
$14 - 5 = 9 \quad ; \quad$ $11 - 7 = 4$
5
Lecture
La boîte du deuxième groupe est plus de deux fois plus longue : ses notes sont beaucoup plus dispersées autour de la médiane.

2 \;;\;

5 \;;\;

7{,}5 \;;\;

14 \;;\;

19 \quad ;

écarts interquartiles :

9

4

L’erreur à ne pas faire

Les deux groupes ont la même moyenne, donc des résultats semblablesLes deux moyennes valent $9{,}5,$ mais les écarts interquartiles valent $4$ et $9$
Un résumé de position ne dit rien de la dispersion : c'est la longueur de la boîte qui montre si les notes sont serrées ou étalées.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« L'intervalle interquartile houwa men Q1 l Q3, w l'écart interquartile houwa Q3 moins Q1. Le diagramme en boîte : 3la axe gradué, n7ottou asghar valeur w akber valeur, Q1 w Q3, w la médiane. Nersmou rectangle men Q1 l Q3, w fi wostou trait fi la médiane. W nkammlou b 5att 7atta lel valeurs extrêmes. Fi le premier groupe : 6, 7, 9, 11, 14. Fi le deuxième groupe : 2, 5, 7,5, 14, 19. La boîte mta3 le deuxième groupe atwal barcha : l'écart interquartile 9, w le premier 4. Ya3ni les notes mta3 le deuxième groupe metfarr9in akthar, 7atta ken la moyenne nafsha. »

Application

Exemple : comparer deux villes

Les séries suivantes donnent les précipitations moyennes mensuelles, en millimètres, dans deux villes A et B pendant $9$ mois :

Mois	Ville A	Ville B
Sep	47	33
Oct	63	28
Nov	51	41
Déc	50	34
Jan	63	33
Fév	89	37
Mars	72	34
Avril	9	20
Mai	7	10

On construit le diagramme en boîte de chaque série, puis on compare les deux séries à l'aide de leurs diagrammes.

Précipitations mensuelles des villes A et B, en millimètres.

Exemple traité

Détermine les valeurs extrêmes, la médiane et les quartiles de chaque série, puis compare les deux villes.

1
Ville A rangée
$7\,;\,9\,;\,47\,;\,50\,;\,51\,;\,63\,;\,63\,;\,72\,;\,89$
2
Les rangs
$n = 9$ : la médiane est la valeur de rang $5$ ; $25\,\%$ de $9$ font $2{,}25,$ donc $Q_{1}$ est la valeur de rang $3$ ; $75\,\%$ de $9$ font $6{,}75,$ donc $Q_{3}$ est celle de rang $7.$
3
Ville A
On lit $m = 51,$ $Q_{1} = 47$ et $Q_{3} = 63,$ avec des valeurs extrêmes $7$ et $89.$
4
Ville B rangée
$10\,;\,20\,;\,28\,;\,33\,;\,33\,;\,34\,;\,34\,;\,37\,;\,41$
5
Ville B
On lit $m = 33,$ $Q_{1} = 28$ et $Q_{3} = 34,$ avec des valeurs extrêmes $10$ et $41.$
6
Comparaison
La ville A est plus pluvieuse (médiane $51$ contre $33$ ) mais beaucoup plus irrégulière : écart interquartile $16$ contre $6,$ étendue $82$ contre $31.$

A : 7 \;;\;

47 \;;\;

51 \;;\;

63 \;;\;

89 \qquad B : 10 \;;\;

28 \;;\;

33 \;;\;

34 \;;\;

41

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz mdon, les précipitations fi 9 mois. Nrattbou koll série. 9 valeurs : la médiane hiya la valeur de rang 5. 25 % de 9, 2,25 : Q1 hiya la valeur de rang 3. 75 % de 9, 6,75 : Q3 hiya la valeur de rang 7. Lel ville A : 7, 47, 51, 63, 89. Lel ville B : 10, 28, 33, 34, 41. Ki nchoufou e-zouz boîtes : A fiha mtar akthar, ama mouch mriglla : la boîte mte3ha twila. B la boîte mte3ha 9sira : el mtar fiha montadham akthar. »

Définition

La moyenne

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série de valeurs $x_{1},$ $x_{2},$ …, $x_{p}$ d'effectifs $n_{1},$ $n_{2},$ …, $n_{p},$ et d'effectif total $n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p}.$ Sa moyenne est le nombre noté $\overline{x}$ :

$\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}$

Pour une série continue, on remplace chaque classe par son centre (la moyenne de ses deux bornes) : on suppose ainsi les valeurs uniformément réparties dans chaque classe. La moyenne obtenue est une valeur approchée.

Exemple : en testant $150$ voitures pour étudier leur consommation d'essence, en litres aux $100$ km, on a obtenu :

Consommation	Effectif
$[8 ; 9[$	32
$[9 ; 10[$	27
$[10 ; 11[$	20
$[11 ; 12[$	43
$[12 ; 13[$	28

\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}

Exemple traité

Calcule la consommation moyenne d'une voiture, arrondie à $10^{-1}$ près.

1
Les centres
$8{,}5 \quad ; \quad$ $9{,}5 \quad ; \quad$ $10{,}5 \quad ; \quad$ $11{,}5 \quad ; \quad$ $12{,}5$
2
La somme des produits
$32 \times 8{,}5 + 27 \times 9{,}5 + 20 \times 10{,}5 + 43 \times 11{,}5 + 28 \times 12{,}5 = 1583$
3
La moyenne
$\overline{x} = \frac{1583}{150} \approx 10{,}6$

\overline{x} \approx 10{,}6

litres aux

100

L’erreur à ne pas faire

$\overline{x} = \dfrac{8{,}5 + 9{,}5 + 10{,}5 + 11{,}5 + 12{,}5}{5} = 10{,}5$ $\overline{x} = \dfrac{1583}{150} \approx 10{,}6$
Chaque centre compte autant de fois que l'effectif de sa classe : la moyenne est pondérée par les effectifs.
Diviser la somme $1583$ par le nombre de classes, $5$ Diviser par l'effectif total, $150$
On partage le total entre les 150 voitures, pas entre les 5 classes.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La moyenne x barre : nadhrbou koll valeur fi l'effectif mte3ha, nzidou el koll, w ndivisiw 3la l'effectif total. Nektbou : x barre égale n1 x1 plus n2 x2, et ainsi de suite, le tout sur n. W m3a série continue, koll classe n3awdhouha b le centre mte3ha, ya3ni la moyenne mta3 les bornes. Les voitures : les centres 8,5, 9,5... nadhrbou w nzidou : 1583. Sur 150 : ta9rib 10,6 litres. Rodd belek : ndivisiw 3la l'effectif total, mouch 3la 3adad les classes. »

Remarque

Une moyenne qui ne dit pas tout

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Deux groupes de $14$ personnes ont pour âges (en années) :

Groupe I	Effectif
2	3
4	1
5	1
7	1
10	1
11	2
34	1
35	2
50	1
58	1

Groupe II	Effectif
18	1
19	5
20	2
45	2
46	1
47	1
48	1
50	1

L'âge moyen du groupe I est $\dfrac{266}{14} = 19$ ans, celui du groupe II est $\dfrac{434}{14} = 31$ ans. Ces moyennes sont peu significatives : aucune personne du groupe I n'a $19$ ans (des enfants et des adultes), aucune du groupe II n'a $31$ ans.

Quand une valeur isolée fausse la moyenne, on peut calculer une moyenne élaguée : on supprime les valeurs extrêmes, puis on calcule la moyenne des valeurs restantes.

Exemple traité

Les précipitations, en millimètres, enregistrées dans une région pendant $10$ jours sont : $0$ millimètre ( $2$ jours), $10$ millimètres ( $2$ jours), $11$ millimètres ( $3$ jours), $15$ millimètres ( $1$ jour), $20$ millimètres ( $1$ jour), $150$ millimètres ( $1$ jour). Calcule la précipitation moyenne, puis la moyenne élaguée des sept jours qui restent quand on supprime les deux valeurs extrêmes, $0$ et $150.$

1
La moyenne
$\frac{2 \times 0 + 2 \times 10 + 3 \times 11 + 15 + 20 + 150}{10} = \frac{238}{10} = 23{,}8$
2
Les sept jours restants
$\frac{2 \times 10 + 3 \times 11 + 15 + 20}{7} = \frac{88}{7} \approx 12{,}57$
3
Lecture
Un seul jour d'orage, à $150$ millimètres, tirait la moyenne vers le haut : $23{,}8$ millimètres, alors que neuf jours sur dix ont reçu $20$ millimètres ou moins.

\overline{x} = 23{,}8

;

moyenne élaguée

\approx 12{,}57

L’erreur à ne pas faire

La moyenne des âges du groupe I est 19 ans : c'est un groupe de jeunes de 19 ansLe groupe I mêle des enfants de 2 à 11 ans et des adultes de 34 à 58 ans
Une moyenne seule ne décrit pas une série : il faut regarder aussi la répartition des valeurs autour d'elle.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La moyenne tet2aththar barcha b les valeurs extrêmes. Zouz groupes, koll wa7ed 14 personne. Le groupe I, l'âge moyen 19 ans, ama ma fammech 7atta 7add 3andou 19 ans : sghar men 2 l 11 ans, w kbar men 34 l 58. La moyenne houni ma te7kich 3la 7atta 7add. W les précipitations : nhar wa7ed fih 150 millimètres, ytalla3 la moyenne l 23,8, ama 9 ayyem men 10 jew 20 walla a9al. Ken nna77iw les valeurs extrêmes, 0 w 150, w na7sbou 3la 7 jours elli b9aw, nal9aw la moyenne élaguée : ta9rib 12,57. »

Propriété

Moyennes partielles

Si une série est partagée en deux séries d'effectifs $p$ et $q$ et de moyennes $\overline{x}$ et $\overline{y},$ alors la moyenne de la série totale est :

$\overline{z} = \frac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}$

En effet, $p\,\overline{x}$ est la somme des valeurs de la première série, $q\,\overline{y}$ celle de la seconde, et la série totale compte $p + q$ valeurs.

Voici les notes obtenues dans un devoir par les $35$ élèves d'une classe de 2ᵉ sciences ( $20$ filles et $15$ garçons) : - filles : $12$ ; $10$ ; $10$ ; $6$ ; $8$ ; $13$ ; $11$ ; $8$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $10$ ; $10$ ; $4$ ; $7$ ; $15$ ; $14$ ; $9$ ; $12$ ; $8$ ; - garçons : $8$ ; $11$ ; $11$ ; $9$ ; $15$ ; $14$ ; $13$ ; $10$ ; $10$ ; $9$ ; $7$ ; $6$ ; $15$ ; $14$ ; $14.$

\overline{z} = \frac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}

Exemple traité

Ici, comme dans l'activité, $\overline{x}$ désigne la moyenne de la classe, $\overline{y}$ celle des filles et $\overline{z}$ celle des garçons : la formule devient $\overline{x} = \dfrac{20\,\overline{y} + 15\,\overline{z}}{35}.$ Calcule la moyenne $\overline{y}$ des filles, la moyenne $\overline{z}$ des garçons, puis retrouve la moyenne $\overline{x}$ de la classe à partir de $\overline{y}$ et $\overline{z}.$

1
Les filles
La somme des $20$ notes des filles est $191.$
$\overline{y} = \frac{191}{20} = 9{,}55$
2
Les garçons
La somme des $15$ notes des garçons est $166.$
$\overline{z} = \frac{166}{15} \approx 11{,}07$
3
La classe
On recombine les deux sommes, sans arrondir : $20 \times 9{,}55 = 191$ et $15 \times \dfrac{166}{15} = 166.$
$\overline{x} = \frac{191 + 166}{35} = \frac{357}{35} = 10{,}2$

\overline{y} = 9{,}55 \quad ; \quad

\overline{z} \approx 11{,}07 \quad ; \quad

\overline{x} = 10{,}2

L’erreur à ne pas faire

$\overline{x} = \dfrac{9{,}55 + 11{,}07}{2} \approx 10{,}31$ $\overline{x} = \dfrac{20 \times 9{,}55 + 15 \times \dfrac{166}{15}}{35} = 10{,}2$
Les deux groupes n'ont pas le même effectif : chaque moyenne partielle compte selon le nombre d'élèves qu'elle résume.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki série tet9ass 3la zouz : p valeur b moyenne x barre, w q valeur b moyenne y barre, la moyenne el koll hiya p x barre plus q y barre, le tout sur (p plus q). 3lech ? 5ater p fois x barre houwa el majmou3 mta3 la première série. Fel 9ism : 20 filles b moyenne 9,55, w 15 garçons b moyenne ta9rib 11,07. Mouch na3mlou la moyenne mta3 e-zouz ! Narj3ou lel majemi3 : 191 plus 166, 357, sur 35 : 10,2. »

Propriété

Moyenne et application affine

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série et soit $\overline{x}$ sa moyenne. - Si on ajoute un nombre réel $b$ à toutes les valeurs de cette série, alors la moyenne de la nouvelle série $(x_{i} + b ; n_{i})$ est $\overline{x} + b.$ - Si on multiplie toutes les valeurs de cette série par un même nombre réel non nul $a,$ alors la moyenne de la nouvelle série $(a\,x_{i} ; n_{i})$ est $a\,\overline{x}.$ - Plus généralement, soit $a$ et $b$ deux nombres réels : si $\overline{x}$ est la moyenne de la série $(x_{i} ; n_{i}),$ alors $a\,\overline{x} + b$ est la moyenne de la série $(a\,x_{i} + b ; n_{i}).$

C'est utile pour simplifier un calcul : on retranche un nombre commode à toutes les valeurs, on calcule la moyenne des écarts, puis on rajoute ce nombre.

\overline{a\,x + b} = a\,\overline{x} + b

Exemple traité

Les notes d'un élève dans six devoirs sont $8$ ; $13$ ; $12$ ; $9$ ; $14$ et $10.$ Calcule sa moyenne en retranchant d'abord $10$ à chaque note. Puis : dans un devoir noté sur $20,$ la moyenne d'une classe est $14$ ; quelle serait-elle si le devoir était noté sur $40,$ sur $10,$ sur $100$ ?

1
Les écarts à 10
$-2 \quad ; \quad$ $3 \quad ; \quad$ $2 \quad ; \quad$ $-1 \quad ; \quad$ $4 \quad ; \quad$ $0$
2
Leur moyenne
$\frac{-2 + 3 + 2 - 1 + 4 + 0}{6} = \frac{6}{6} = 1$
3
On rajoute 10
$\overline{x} = 1 + 10 = 11$
4
Changer de barème
Noter sur $40,$ c'est multiplier chaque note par $2$ ; sur $10,$ par $\dfrac{1}{2}$ ; sur $100,$ par $5.$
$2 \times 14 = 28 \quad ; \quad$ $\frac{14}{2} = 7 \quad ; \quad$ $5 \times 14 = 70$

\overline{x} = 11 \quad ; \quad

28

sur

40, \;

7

sur

10, \;

70

sur

100

L’erreur à ne pas faire

Si on ajoute 2 points à chaque élève, la moyenne augmente de 2 multiplié par le nombre d'élèvesLa moyenne augmente de 2 points, exactement
La somme augmente de 2 fois n, mais on la divise par n : la moyenne augmente de 2.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ken nzidou b l les valeurs el koll, la moyenne tzid b. Ken nadhrbou les valeurs el koll fi a, la moyenne tetdhreb fi a. W fel 3am : la moyenne mta3 a x plus b, hiya a fois x barre plus b. Mathalan, ken nzidou 2 points l koll tilmidh, la moyenne tzid 2, ma kthorch. W ken la moyenne 14 sur 20, sur 40 twalli 28, sur 10 7, w sur 100 70. W hedhi 7ila bech na7sbou bel 5iffa : 8, 13, 12, 9, 14, 10 : non9sou 10, nal9aw des écarts sghar, la moyenne mte3hom 1, w nraj3ou 10 : la moyenne 11. »

Activité

Pour comprendre : la dispersion

Les températures, en degrés Celsius, prises à la même heure pendant quatre jours dans deux villes A et B sont :

Jour	Ville A	Ville B
J1	6	10
J2	5	11
J3	17	11
J4	16	12

Les deux villes ont la même température moyenne, $11°.$ Mais si l'on remplace la température de chaque jour par la moyenne, on commet pour la ville A des erreurs de $5,$ $6,$ $6$ et $5$ degrés, et pour la ville B des erreurs de $1,$ $0,$ $0$ et $1$ degré.

Pour mesurer ces erreurs d'un seul nombre, on considère, pour tout réel $x,$ la moyenne des carrés des écarts à $x$ :

$f(x) = \frac{(x - 6)^{2} + (x - 5)^{2} + (x - 17)^{2} + (x - 16)^{2}}{4}$

En développant, $f(x) = x^{2} - 22x + 151{,}5 = (x - 11)^{2} + 30{,}5$ : $f$ est minimale pour $x = 11,$ la moyenne, et son minimum vaut $30{,}5.$ Pour la ville B, la fonction $g$ analogue s'écrit $g(x) = (x - 11)^{2} + 0{,}5$ : minimum $0{,}5,$ atteint encore en $x = 11.$

Plus généralement, pour une série de moyenne $\overline{x},$ la moyenne des carrés des écarts à $x$ s'écrit $(x - \overline{x})^{2} + V$ : elle est minimale en $x = \overline{x},$ et son minimum $V$ mesure la dispersion de la série autour de sa moyenne.

Ce qu’on observe

Calcule, pour chaque ville, la moyenne des carrés des écarts à la moyenne $11.$

1
Ville A
$\frac{(6 - 11)^{2} + (5 - 11)^{2} + (17 - 11)^{2} + (16 - 11)^{2}}{4} = \frac{25 + 36 + 36 + 25}{4} = 30{,}5$
2
Ville B
$\frac{(10 - 11)^{2} + (11 - 11)^{2} + (11 - 11)^{2} + (12 - 11)^{2}}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5$
3
Lecture
Même moyenne, mais les températures de A s'éloignent bien plus de cette moyenne : $30{,}5$ contre $0{,}5.$

30{,}5

pour A

; \quad

0{,}5

pour B

L’erreur à ne pas faire

Mesurer la dispersion par la moyenne des écarts $x_{i} - \overline{x}$ Prendre la moyenne des CARRÉS des écarts
Les écarts positifs et négatifs se compensent : leur moyenne vaut toujours 0. Le carré les rend tous positifs.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Zouz mdon, nafs la moyenne, 11 degrés. Ama fi A, les températures 6, 5, 17, 16 : b3ad barcha 3la 11. W fi B : 10, 11, 11, 12 : las9in fiha. Kifech n9isou hedha b nombre wa7ed ? Ma najjmouch nekhdhou la moyenne mta3 les écarts, 5ater les positifs w les négatifs yetna77aw b3adhhom, w ta3ti dima 0. Nekhdhou la moyenne mta3 les carrés des écarts : fi A, 30,5, w fi B, 0,5. W el 7aja e-zina : ki na7sbou la moyenne des carrés des écarts à n'importe quel x, asghar valeur tji bedhabt fi x égale la moyenne. Hedha le minimum houwa elli bech nsammiwh la variance. »

Définition

Variance et écart type

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série discrète définie par ses valeurs $x_{1},$ $x_{2},$ …, $x_{p}$ et par les effectifs correspondants $n_{1},$ $n_{2},$ …, $n_{p}.$ - La variance de la série est le nombre noté $V$ et défini par $V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + n_{2}(x_{2})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2},$ où $n$ est l'effectif total ( $n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p}$ ). - L'écart type de la série est le nombre noté $\sigma$ et défini par $\sigma = \sqrt{V}.$

Remarque. La variance et l'écart type d'une série continue sont définis par les mêmes formules, où $x_{1},$ $x_{2},$ …, $x_{p}$ sont les centres des classes et $n_{1},$ $n_{2},$ …, $n_{p}$ les effectifs respectifs de ces classes.

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; elle est donc positive, et nulle seulement quand toutes les valeurs sont égales. L'écart type s'exprime dans la même unité que les valeurs : plus il est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne.

Exemple : les températures relevées pendant dix jours dans une ville A.

Température	Nombre de jours
$-1$	1
$0$	3
$1$	4
$2$	1
$5$	1

V = \frac{n_{1}(x_{1})^{2} + n_{2}(x_{2})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}

l'écart type

\sigma = \sqrt{V}

Exemple traité

Calcule la température moyenne de la ville A, la variance $V$ et l'écart type de la série, arrondi au centième.

1
La moyenne
$\overline{x} = \frac{1 \times (-1) + 3 \times 0 + 4 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 5}{10} = \frac{10}{10} = 1$
2
Les carrés
$\frac{1 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times 1 + 1 \times 4 + 1 \times 25}{10} = \frac{34}{10} = 3{,}4$
3
La variance
$V = 3{,}4 - 1^{2} = 2{,}4$
4
L'écart type
L'écart type est la racine carrée de la variance : l'écart type $\sigma = \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}55$ degré.

\overline{x} = 1 \quad ; \quad

V = 2{,}4 \quad ;

écart type

\sigma \approx 1{,}55

L’erreur à ne pas faire

$V = 3{,}4,$ en oubliant de retrancher $(\overline{x})^{2}$ $V = 3{,}4 - 1^{2} = 2{,}4$
3,4 est la moyenne des carrés ; la variance retranche encore le carré de la moyenne.
Écrire $(-1)^{2} = -1$ dans la somme des carrés $(-1)^{2} = 1$
Un carré est toujours positif : c'est même pour cela que la variance ne peut pas être négative.
Donner la variance comme écart typeL'écart type est la racine carrée de la variance
La variance est dans l'unité au carré (des degrés au carré) ; l'écart type revient à l'unité des valeurs.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La variance V : na7sbou la moyenne mta3 les carrés, ya3ni n1 fois x1 au carré, plus n2 fois x2 au carré, et ainsi de suite, le tout sur n, w non9sou menha x barre au carré. W l'écart type sigma houwa la racine carrée de V. M3a série continue, nafs la formule, ama x i houma les centres des classes. Mathal : la ville A, la moyenne 1 degré. La moyenne des carrés : 34 sur 10, 3,4. Non9sou 1 au carré : V égale 2,4. W sigma ta9rib 1,55 degré. Rodd belek : moins 1 au carré ya3ti 1, mouch moins 1. W koll ma sigma kbir, la série metfarr9a akthar. »

Propriété

Écart type et application affine

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série et $\sigma$ son écart type. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. - L'écart type de la série $(a\,x_{i} ; n_{i})$ est $|a|\,\sigma.$ - L'écart type de la série $(x_{i} + b ; n_{i})$ est $\sigma.$

Ajouter un même nombre à toutes les valeurs déplace la série sans changer sa dispersion ; multiplier toutes les valeurs par $a$ multiplie les écarts à la moyenne par $a,$ donc la variance par $a^{2}$ et l'écart type par $|a|.$

Les températures de trois villes pendant les mêmes dix jours :

Ville A	Ville B	Ville C	Nombre de jours
$-1$	$0$	$-2$	1
$0$	$1$	$0$	3
$1$	$2$	$2$	4
$2$	$3$	$4$	1
$5$	$6$	$10$	1

\sigma_{(a\,x_{i} + b)} = |a| \times \sigma_{(x_{i})}

Exemple traité

La ville A a pour moyenne $1$ et pour variance $2{,}4.$ Déduis-en la moyenne, la variance et l'écart type des villes B et C.

1
Ville B
Chaque température de B est celle de A augmentée de $1$ : la moyenne augmente de $1,$ la dispersion ne change pas.
$\overline{x}_{B} = 1 + 1 = 2 \quad ; \quad$ $V_{B} = 2{,}4$
2
Ville C
Chaque température de C est le double de celle de A : la moyenne double, la variance est multipliée par $2^{2} = 4.$
$\overline{x}_{C} = 2 \times 1 = 2 \quad ; \quad$ $V_{C} = 4 \times 2{,}4 = 9{,}6$
3
Les écarts types
L'écart type de B vaut celui de A, environ $1{,}55$ ; celui de C est le double, $2\sqrt{2{,}4} \approx 3{,}10.$

B : \overline{x} = 2,\

V = 2{,}4 \qquad C : \overline{x} = 2,\

V = 9{,}6,

écart type

\sigma \approx 3{,}10

L’erreur à ne pas faire

Ajouter 1 à chaque valeur augmente l'écart type de 1L'écart type ne change pas
Toutes les valeurs ET la moyenne augmentent de 1 : les écarts à la moyenne restent les mêmes.
Doubler les valeurs double la varianceDoubler les valeurs multiplie la variance par 4, et l'écart type par 2
La variance est une moyenne de CARRÉS d'écarts : un écart doublé donne un carré multiplié par 4.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ken nzidou b l les valeurs el koll, la moyenne tzid b, ama l'écart type ma yetbaddelch : la série tet7arrek, ama ma tetfarr9ch akthar. W ken nadhrbou fi a, l'écart type yetdhreb fi la valeur absolue de a, w la variance fi a au carré. La ville B hiya A plus 1 : la moyenne 2, w la variance nafsha, 2,4. La ville C hiya 2 fois A : la moyenne 2, w la variance 4 fois 2,4, 9,6, w sigma yetdhreb fi 2. »

Application

Exemple : une série continue

On considère la série continue suivante :

Classe	Effectif $n_{i}$	Centre $x_{i}$
$[0 ; 5[$	1	2,5
$[5 ; 10[$	4	7,5
$[10 ; 15[$	7	12,5
$[15 ; 20[$	10	17,5
$[20 ; 25[$	8	22,5
$[25 ; 30[$	3	27,5
$[30 ; 35[$	2	32,5

On dresse le tableau des produits $n_{i}\,x_{i}$ et $n_{i}\,(x_{i})^{2}$ : leurs sommes sont $622{,}5$ et $12\,818{,}75,$ pour un effectif total de $35.$

Les tailles, en cm, des $35$ élèves d'une classe de deuxième année se répartissent avec les mêmes effectifs dans les classes $[140 ; 145[,$ …, $[170 ; 175[$ : chaque centre est augmenté de $140.$

Exemple traité

Calcule la moyenne, la variance et l'écart type de la série, arrondis au centième, puis déduis-en ceux de la série des tailles.

1
La moyenne
$\overline{x} = \frac{622{,}5}{35} \approx 17{,}79$
2
La variance
$V = \frac{12\,818{,}75}{35} - \left(\frac{622{,}5}{35}\right)^{2} \approx 49{,}92$
3
L'écart type
On prend la racine carrée de la variance : l'écart type $\sigma \approx 7{,}07.$
4
Les tailles
Chaque valeur est augmentée de $140$ : la moyenne aussi, mais la variance et l'écart type ne changent pas.
$\overline{y} \approx 17{,}79 + 140 = 157{,}79$

\overline{x} \approx 17{,}79 \;;\;

V \approx 49{,}92 \;;

écart type

\sigma \approx 7{,}07 \qquad \overline{y} \approx 157{,}79 \;;

même écart type

L’erreur à ne pas faire

Arrondir la moyenne à $17{,}8,$ puis calculer $V = 366{,}25 - 17{,}8^{2}$ Garder la valeur exacte $\dfrac{622{,}5}{35}$ jusqu'au bout
On retranche deux grands nombres voisins : un arrondi trop tôt fausse nettement la variance.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« M3a série continue, nekhdmou b les centres des classes. Na3mlou tableau : n i x i, w n i x i au carré. Les sommes : 622,5, w 12 818,75, w l'effectif total 35. La moyenne ta9rib 17,79. La variance : 12 818,75 sur 35, moins la moyenne au carré : ta9rib 49,92, w sigma ta9rib 7,07. W les tailles ? Koll valeur zedet 140 : la moyenne tzid 140, w l'écart type yo93ed kif ma houwa. Rodd belek : ma t9arrebch la moyenne 9bal ma te7seb la variance. »

Application

Exemple : autour de la moyenne

Le tableau suivant fournit les nombres d'apparitions de pile après $20$ simulations de $100$ lancers d'une pièce de monnaie :

$46$ ; $48$ ; $51$ ; $62$ ; $45$ ; $47$ ; $57$ ; $59$ ; $49$ ; $53$ ; $56$ ; $44$ ; $49$ ; $50$ ; $41$ ; $58$ ; $47$ ; $56$ ; $53$ ; $46.$

La moyenne et l'écart type permettent de délimiter une zone « autour de la moyenne » : on compte les valeurs de l'intervalle d'extrémités $\overline{x} - \sigma$ et $\overline{x} + \sigma,$ puis celles de l'intervalle d'extrémités $\overline{x} - 2\sigma$ et $\overline{x} + 2\sigma.$

[\overline{x} - \sigma ; \overline{x} + \sigma] \qquad [\overline{x} - 2\sigma ; \overline{x} + 2\sigma]

Exemple traité

Calcule la moyenne et l'écart type de la série, puis compte les simulations dans chacun des deux intervalles.

1
La moyenne
La somme des $20$ valeurs est $1017.$
$\overline{x} = \frac{1017}{20} = 50{,}85$
2
La variance
La somme des carrés des $20$ valeurs est $52\,327.$
$V = \frac{52\,327}{20} - 50{,}85^{2} = 30{,}6275$
3
L'écart type
L'écart type $\sigma = \sqrt{30{,}6275} \approx 5{,}53.$
4
À un écart type
L'intervalle va d'environ $45{,}32$ à $56{,}38$ : il contient $13$ des $20$ valeurs, soit $65\,\%.$
5
À deux écarts types
L'intervalle va d'environ $39{,}78$ à $61{,}92$ : seule la valeur $62$ en sort ; il contient $19$ valeurs, soit $95\,\%.$

\overline{x} = 50{,}85 \;;

écart type

\sigma \approx 5{,}53 \quad ; \quad

13

simulations, puis

19

L’erreur à ne pas faire

Compter 46 dans l'intervalle à un écart type parce que 46 est proche de 45,32 $46 > 45{,}32$ : $46$ est bien dans l'intervalle ; mais $45$ et $44$ n'y sont pas
On compare chaque valeur aux bornes exactes de l'intervalle, sans « à peu près ».

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Vingt simulations, koll we7da 100 lancers, w n3addou 9addech men marra ta7et pile. La moyenne 50,85, w l'écart type ta9rib 5,53. Tawa nchoufou 9addech men valeur 9riba mel moyenne : bin x barre moins sigma w x barre plus sigma, ya3ni men ta9rib 45,32 l 56,38 : 13 valeur men 20, 65 %. W bin x barre moins 2 sigma w x barre plus 2 sigma : 19 valeur, 95 %, ken 62 barka elli 5arjet. »

Activité

Pour comprendre : l'effet de structure

Voici les résultats au baccalauréat d'un lycée en 2004 puis en 2005 :

	Non redoublants	Redoublants	Total
Présentés 2004	220	30	250
Admis 2004	120	30	150
Présentés 2005	150	100	250
Admis 2005	80	90	170

Le directeur : « L'année 2005 marque une progression de $13\,\%$ dans la réussite au bac. »
Un professeur : « Le taux de réussite n'a progressé que de $8\,\%.$ »
Un élève : « Qu'on soit redoublant ou pas, les résultats de 2004 sont meilleurs que ceux de 2005. »
Un redoublant : « Dans ce lycée, en redoublant, les chances de réussir ont diminué de $10\,\%.$ »

Qui a raison ? Tous, chacun à sa façon. Le taux global monte alors que chaque catégorie recule : c'est un effet de structure. En 2005, les redoublants, qui réussissent beaucoup mieux, forment une part bien plus grande des candidats ( $100$ sur $250$ au lieu de $30$ sur $250$ ).

Ce qu’on observe

Calcule le taux de réussite global, celui des non redoublants et celui des redoublants, en 2004 puis en 2005, et vérifie chacune des quatre affirmations.

1
Global
$\frac{150}{250} = 60\,\% \quad ; \quad$ $\frac{170}{250} = 68\,\%$
2
Non redoublants
$\frac{120}{220} \approx 54{,}5\,\% \quad ; \quad$ $\frac{80}{150} \approx 53{,}3\,\%$
3
Redoublants
$\frac{30}{30} = 100\,\% \quad ; \quad$ $\frac{90}{100} = 90\,\%$
4
Le directeur
Le nombre d'admis passe de $150$ à $170$ : $\dfrac{170}{150} \approx 1{,}13,$ soit environ $13\,\%$ d'admis en plus.
5
Le professeur
Le taux passe de $60\,\%$ à $68\,\%$ : il gagne $8$ points.
6
L'élève et le redoublant
Les deux catégories reculent ; pour les redoublants, le taux passe de $100\,\%$ à $90\,\%$ : $10$ points de moins.

60\,\% \to 68\,\%

au total, alors que chaque catégorie recule

L’erreur à ne pas faire

Le taux global a augmenté, donc les candidats ont mieux réussi dans chaque catégorieLes deux catégories ont reculé ; c'est la composition des candidats qui a changé
Un taux global est une moyenne des taux de chaque catégorie, pondérée par leurs effectifs : il bouge aussi quand ces effectifs changent.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Hedhi 7aja ghriba fi les statistiques. Fi 2005, le taux de réussite el koll tla3 : men 60 % l 68. Ama ki nchoufou koll catégorie wa7edha : les non redoublants hbtou chwaya, w les redoublants hbtou men 100 % l 90. Kifech el koll yetla3 w koll jez2 yahbet ? 5ater fi 2005, les redoublants, elli yenaj7ou akthar, walleou 100 sur 250, mouch 30. Hedha esmou effet de structure. W chkoun 3andou el 7a9 ? El koll : le directeur ye7ki 3la 3adad les admis, le professeur 3la le taux, w l'élève w le redoublant 3la koll catégorie. »

Application

Un problème pour aller plus loin : le médicament

Pour tester l'efficacité d'un médicament et comparer les taux de guérison chez l'homme et chez la femme, on a procédé à deux expérimentations, en zone rurale et en zone urbaine :

Zone rurale	Effectif	Guérisons	% de guérisons
Hommes	3500	1500	42,86 %
Femmes	1500	500	33,33 %
Total	5000	2000	40 %

Zone urbaine	Effectif	Guérisons	% de guérisons
Hommes	3000	2000	66,67 %
Femmes	5500	3500	63,64 %
Total	8500	5500	64,71 %

1.L'affirmation « le médicament est légèrement plus efficace chez les hommes que chez les femmes » ne paraît-elle pas légitime ?
2.Regroupe toutes les données dans un seul tableau. Quelle est ta conclusion ?

Exemple traité

Regroupe les deux zones et calcule, arrondis au centième, les pourcentages de guérison des hommes, des femmes et de l'ensemble.

1
Hommes
$\frac{1500 + 2000}{3500 + 3000} = \frac{3500}{6500} \approx 53{,}85\,\%$
2
Femmes
$\frac{500 + 3500}{1500 + 5500} = \frac{4000}{7000} \approx 57{,}14\,\%$
3
Ensemble
$\frac{7500}{13\,500} \approx 55{,}56\,\%$
4
Conclusion
Dans chaque zone, les hommes guérissent un peu mieux ; mais, toutes zones réunies, ce sont les femmes. Les femmes ont été soignées surtout en zone urbaine, où l'on guérit beaucoup mieux : on ne peut pas conclure à une différence entre hommes et femmes sans tenir compte de la zone.

\text{hommes} \approx 53{,}85\,\% \;;\;

\text{femmes} \approx 57{,}14\,\% \;;\;

\text{ensemble} \approx 55{,}56\,\%

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nafs el 7aja m3a médicament. Fi la zone rurale, les hommes yebraw akthar men les femmes. W fi la zone urbaine zeda, les hommes yebraw akthar. Ama ki nlammou e-zouz zones : les hommes ta9rib 53,85 %, w les femmes 57,14. En9lbet ! 3lech ? 5ater les femmes aghlebhom tdewew fi la zone urbaine, w ghadi e-nes tebra akthar barcha. Ma najjmouch na7kmou 3la el far9 bin les hommes w les femmes, ken ma na7sbouch 7sab la zone. »

Remarque

Fluctuation d'échantillonnage

La touche Random (ou Ran#) de la calculatrice donne un nombre « au hasard » de l'intervalle $[0 ; 1[.$ On en tire un entier au hasard : par exemple, la partie entière de $2 \times \text{Ran\#}$ donne $0$ ou $1$ (pile ou face), et la partie entière de $6 \times \text{Ran\#},$ augmentée de $1,$ donne un entier de $1$ à $6$ (un dé cubique équilibré).

On peut ainsi simuler $100$ jets d'une pièce de monnaie, ou $1000$ jets d'un dé, et résumer les résultats dans un tableau des fréquences.

D'une simulation à l'autre, les fréquences obtenues changent : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Deux séries de $20$ lancers d'une pièce peuvent donner $40\,\%$ de pile, puis $60\,\%.$
Plus l'échantillon est grand, plus les fréquences fluctuent peu : avec $1000$ jets d'un dé équilibré, chaque face sort avec une fréquence proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167.$

Une observation surprenante, la loi de Benford : dans beaucoup de données réelles, le premier chiffre significatif n'est pas équiréparti. Le chiffre $1$ apparaît avec une fréquence voisine de $0{,}301,$ le chiffre $2$ de $0{,}176,$ …, et le chiffre $9$ seulement de $0{,}045$ ; un tirage au hasard d'un chiffre de $1$ à $9,$ lui, donne des fréquences proches de $\dfrac{1}{9} \approx 0{,}111.$

Exemple traité

Quatre simulations de $20$ lancers d'une pièce ont donné $9,$ $12,$ $8$ et $11$ fois pile. Calcule les quatre fréquences de pile et l'étendue de cette série de fréquences.

1
Les fréquences
$\frac{9}{20} = 0{,}45 \quad ; \quad$ $\frac{12}{20} = 0{,}6 \quad ; \quad$ $\frac{8}{20} = 0{,}4 \quad ; \quad$ $\frac{11}{20} = 0{,}55$
2
L'étendue
$0{,}6 - 0{,}4 = 0{,}2$
3
Lecture
Sur $20$ lancers seulement, la fréquence de pile varie nettement autour de $0{,}5$ : elle fluctue d'un échantillon à l'autre.

0{,}45 \;;\;

0{,}6 \;;\;

0{,}4 \;;\;

0{,}55 \quad ;

étendue

0{,}2

L’erreur à ne pas faire

La pièce est truquée, puisqu'on a obtenu 12 pile sur 20 lancersSur 20 lancers, 12 pile est tout à fait possible avec une pièce équilibrée
Sur un petit échantillon, la fréquence fluctue beaucoup ; c'est sur un grand nombre de lancers qu'elle se rapproche de 0,5.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bel calculatrice, la touche Random ta3tina nombre bel sodfa, w menou ntalla3ou pile ou face, walla wejh mta3 dé. Ki n3awdou simulation, les fréquences tetbaddel : marra 40 % pile, marra 60. Hedha esmou la fluctuation d'échantillonnage. Ama koll ma nzidou fi 3adad les lancers, les fréquences tet9arreb akthar : m3a 1000 lancers mta3 dé, koll wejh yetla3 ta9rib marra 3la 6. W 7aja ghriba : fi barcha données s7a7, le premier chiffre houwa 1 ta9rib 30 % mel marrat : hedhi la loi de Benford. »

Remarque

Pour la culture : les pièges de la moyenne

La balance truquée. Un marchand dispose d'une balance dont les deux bras n'ont pas tout à fait la même longueur. Pour une pesée, il fait deux mesures : en plaçant les masses marquées à gauche, il trouve $900$ grammes ; en les plaçant à droite, il trouve $961$ grammes. Il annonce alors la masse exacte $930{,}5$ grammes, la moyenne des deux résultats. Vrai ou faux ?

Faux. Si les bras ont pour longueurs $\ell_{1}$ et $\ell_{2}$ et si $M$ est la vraie masse, l'équilibre du levier donne $M\,\ell_{1} = 900\,\ell_{2}$ et $M\,\ell_{2} = 961\,\ell_{1}.$ En multipliant membre à membre, $M^{2} = 900 \times 961,$ donc $M = 30 \times 31 = 930$ grammes : la bonne moyenne n'est pas la moyenne arithmétique, mais la moyenne géométrique $\sqrt{900 \times 961}.$

La langue de bois. Cent bûcherons partirent un jour vers la forêt, accompagnés de deux femmes chargées de l'intendance. Avant la fin de l'hiver, deux des hommes épousèrent les deux femmes. Un statisticien résuma : « $2\,\%$ des hommes ont épousé $100\,\%$ des femmes. » Exact… et trompeur.

La cible. Deux chasseurs tirent sur un cerf : la flèche du premier passe trois mètres à droite, celle du second trois mètres à gauche. « En moyenne », l'animal est touché !

Exemple traité

Avec la balance truquée, les deux pesées donnent $900$ grammes et $961$ grammes. Quelle est la vraie masse ?

1
Les deux équilibres
$M \times \ell_{1} = 900 \times \ell_{2} \quad ; \quad$ $M \times \ell_{2} = 961 \times \ell_{1}$
2
Membre à membre
On multiplie les deux égalités et on simplifie par le produit des longueurs, qui n'est pas nul.
$M^{2} = 900 \times 961$
3
La vraie masse
$M = \sqrt{900 \times 961} = 30 \times 31 = 930$

M = 930

grammes, et non

930{,}5

grammes

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chwaya culture : la moyenne tnajjem tghallthek. Bayya3 3andou mizen dhra3atou mouch kif kif. Youzen marra yal9a 900 grammes, w marra 961, w ya3tik la moyenne : 930,5. Ghalet ! El 7seb e-s7i7 ya3ti la racine carrée de 900 fois 961, ya3ni 30 fois 31 : 930 grammes. W el 7keya mta3 les deux chasseurs : wa7ed dhrab 3 mètres 3al limin, w le5er 3 mètres 3al lisar. En moyenne, el cerf madhroub ! Ma yekfich na7sbou moyenne : lezem nefhmou chnowa te7ki. »

À retenir

1.
Une série chronologique est une série de valeurs d’une même variable observée à des instants régulièrement espacés ; indice $= 100 \times$ coefficient multiplicateur.
2.
Le mode est la valeur de plus grand effectif ; l’étendue est la plus grande valeur moins la plus petite.
3.
La médiane partage la population en deux parties de même effectif ; pour une série continue, on l’obtient par interpolation linéaire.
4.
$Q_{1}$ (resp. $Q_{3}$ ) est la plus petite valeur telle qu’au moins $25\,\%$ (resp. $75\,\%$ ) de l’effectif ait une valeur inférieure ou égale ; $Q_{3} - Q_{1}$ est l’écart interquartile.
5.
Le diagramme en boîte place les valeurs extrêmes, $Q_{1},$ la médiane et $Q_{3}.$
6.
$\overline{x} = \dfrac{n_{1}x_{1} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}$ ; moyennes partielles : $\overline{z} = \dfrac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}.$
7.
$V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}$ et l’écart type $\sigma = \sqrt{V}.$
8.
La série $(a\,x_{i} + b)$ a pour moyenne $a\,\overline{x} + b$ ; la série $(a\,x_{i})$ a pour écart type $|a|\,\sigma$ et la série $(x_{i} + b)$ garde l’écart type $\sigma.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/26

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/26
Cours lu: 0/103
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Décrire et représenter une série statistique
Calculer effectifs cumulés, coefficients multiplicateurs et indices
Déterminer mode, médiane et quartiles ; tracer un diagramme en boîte
Calculer moyenne, variance et écart type, et utiliser leurs propriétés
Interpréter un effet de structure et la fluctuation d’échantillonnage

Pour comprendre : deux lycées réunis

À la lecture de ces données, un élève prétend que si l'on réunit les élèves des deux lycées, on trouvera autant de filles que de garçons. Explique pourquoi cette affirmation est fausse.
Quel doit être le nombre de filles du lycée A pour que, en réunissant les élèves des deux établissements, on trouve autant de filles que de garçons ?

Le piège

$52\,\%$ et $48\,\%$ donnent $50\,\%$ de filles en tout

$\dfrac{234 + 288}{1050} = \dfrac{522}{1050} \approx 49{,}7\,\%$

On ne fait pas la moyenne de deux pourcentages calculés sur des effectifs différents : chaque pourcentage compte selon la taille de son groupe.

Population, échantillon, caractère

Le service de la médecine scolaire a mené une enquête auprès des $100$ élèves internes d'un établissement scolaire, portant sur l'âge, le poids, la taille et le groupe sanguin.

La population est l'ensemble sur lequel porte l'étude : ici, les élèves de l'établissement.
Un échantillon est la partie de la population effectivement observée : ici, les élèves internes. Sa taille est son effectif, $100$ .
Un caractère est ce qu'on observe sur chaque individu. Il est quantitatif quand il se mesure par un nombre (l'âge, le poids, la taille), qualitatif sinon (le groupe sanguin).

Un caractère quantitatif est discret quand il ne prend que des valeurs isolées (l'âge en années : $16$ , $17$ , $18$ …) ; il est continu quand il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (le poids, la taille) : on regroupe alors ses valeurs en classes, comme $[155 ; 160[$ .

La fréquence d'une valeur (ou d'une classe) est le quotient de son effectif par l'effectif total.

\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}

Le piège

Le numéro de téléphone est un caractère quantitatif, puisque c'est un nombre

Le numéro de téléphone est un caractère qualitatif

Un caractère est quantitatif quand le nombre MESURE quelque chose : additionner deux numéros de téléphone ou en faire la moyenne n'a aucun sens.

Série chronologique et indice

Une série chronologique est une série de valeurs provenant d'une même variable observée à des instants régulièrement espacés dans le temps.

Exemple : la production annuelle de blé dur en Tunisie, en milliers de tonnes, observée tous les deux ans :

Année	1990	1992	1994	1996	1998	2000	2002
Production	897	1323	436	1706	1090	706	371

Pour suivre son évolution, on choisit une année de base (ici 1990) et on calcule, pour chaque année, le coefficient multiplicateur qui fait passer de la valeur de l'année de base à celle de l'année : c'est leur quotient. L'indice de l'année, base $100$ en 1990, est ce coefficient multiplié par $100$ .

On représente la série par sa courbe d'évolution : les années en abscisse, les indices (ou les coefficients) en ordonnée, et les points joints par des segments.

Blé dur — indice de la production, base 100 en 1990.

\text{coefficient multiplicateur} = \frac{\text{valeur de l'année}}{\text{valeur de l'année de base}}

\text{indice} = 100 \times \text{coefficient multiplicateur}

Le piège

L'indice $49$ veut dire que la production a baissé de $49\,\%$

Elle a baissé de $100 - 49 = 51\,\%$

L'indice compare à $100$ : un indice de $49$ signifie que la production ne vaut plus que $49\,\%$ de celle de l'année de base.

Le piège

Calculer chaque coefficient par rapport à l'année précédente

Diviser toujours par la valeur de l'année de base, ici celle de 1990

L'indice base 100 compare chaque année à la même année de référence : c'est ce qui rend les années comparables entre elles.

Exemple : un diagramme circulaire

En 1990, la production de céréales en Tunisie, en milliers de tonnes, se répartit ainsi : blé dur $897$ , blé tendre $225$ , orge $477$ , triticale $34$ , soit $1633$ en tout.

Dans un diagramme circulaire, chaque modalité reçoit un secteur dont l'angle est proportionnel à son effectif : le disque entier, $360°$ , représente l'effectif total.

\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°

Le piège

Angle du blé dur : $897°$ , ou $\dfrac{897}{1633} \approx 0{,}55°$

$\dfrac{897}{1633} \times 360 \approx 198°$

La fréquence dit quelle part du disque revient au blé dur ; il faut encore la multiplier par 360 degrés.

Pour comprendre : bâtons et histogramme

Les résultats de l'enquête de la médecine scolaire sur les $100$ élèves sont résumés ainsi.

Selon l'âge (série discrète) :

Âge (ans)	16	17	18	19	20	21	22
Effectif	20	45	25	4	1	3	2

Selon la taille (série continue, en cm) :

Taille $t$	$[140 ; 145[$	$[145 ; 150[$	$[150 ; 155[$	$[155 ; 160[$	$[160 ; 165[$	$[165 ; 170[$	$[170 ; 175[$
Effectif	2	10	25	35	20	6	2

Une série discrète se représente par un diagramme en bâtons : un bâton par valeur, de hauteur égale à son effectif. Une série continue se représente par un histogramme : sur chaque classe, un rectangle accolé à ses voisins ; quand les classes ont toutes la même amplitude, sa hauteur est l'effectif de la classe.

En joignant les milieux des côtés supérieurs des rectangles, on obtient le polygone des effectifs.

Quel est le pourcentage des élèves âgés de $21$ ans ou plus ?
Pour la série des tailles, quelle classe a le plus grand effectif ?

Répartition de 100 élèves par tranche de taille (en cm).

Le piège

Tracer l'histogramme avec des rectangles séparés, comme des bâtons

Les rectangles de l'histogramme sont accolés

Une série continue couvre tout l'intervalle : la classe $[150 ; 155[$ s'arrête exactement où commence $[155 ; 160[$ .

Effectifs cumulés croissants

On range les valeurs (ou les classes) dans l'ordre croissant.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à elle. Pour une classe $[a ; b[$ , c'est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure à $b$ .
La fréquence cumulée croissante est l'effectif cumulé croissant divisé par l'effectif total.

Pour les tailles des $100$ élèves :

Taille	$[140 ; 145[$	$[145 ; 150[$	$[150 ; 155[$	$[155 ; 160[$	$[160 ; 165[$	$[165 ; 170[$	$[170 ; 175[$
Effectif	2	10	25	35	20	6	2
Effectifs cumulés croissants	2	12	37	72	92	98	100

Pour une série continue, la courbe des fréquences cumulées croissantes joint les points qui ont pour abscisse la borne supérieure de chaque classe et pour ordonnée la fréquence cumulée correspondante ; elle part du point d'abscisse $140$ et d'ordonnée $0$ .

Le piège

Placer le point de la classe $[150 ; 155[$ à l'abscisse $150$ , ou au centre $152{,}5$

Le placer à l'abscisse $155$ , avec l'ordonnée $37$ (ou $0{,}37$ )

37 élèves mesurent moins de 155 centimètres : ce n'est vrai qu'une fois la classe entièrement parcourue, donc à sa borne supérieure.

Étendue, mode et classe modale

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Le mode d'une série discrète est la valeur qui a le plus grand effectif ; une série peut avoir plusieurs modes.
Pour une série continue dont les classes ont la même amplitude, la classe modale est la classe de plus grand effectif.
Pour un caractère qualitatif, on parle de la modalité la plus fréquente.

\text{étendue} = \text{plus grande valeur} - \text{plus petite valeur}

Le piège

Le mode de la série est $15$

Le mode est $11$ , la valeur dont l'effectif est $15$

Le mode est une VALEUR du caractère, pas un effectif : on lit le plus grand effectif, puis on donne la valeur qui lui correspond.

La médiane

La médiane $m$ d'une série partage la population en deux parties de même effectif : la moitié des individus ont une valeur inférieure ou égale à $m$ , l'autre moitié une valeur supérieure ou égale à $m$ .

Pour une série discrète d'effectif total $n$ , on range les valeurs dans l'ordre croissant : - si $n$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang $\dfrac{n + 1}{2}$ ; - si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2} + 1$ .

On s'aide des effectifs cumulés croissants pour trouver ces rangs sans tout réécrire.

Le piège

La médiane des âges est $19$ , la valeur du milieu de la liste $16$ ; $17$ ; … ; $22$

La médiane est $17$ ans

La médiane partage les INDIVIDUS en deux, pas la liste des valeurs : chaque valeur compte autant de fois que son effectif.

Le piège

Chercher la médiane sans ranger les valeurs

Ranger d'abord les valeurs dans l'ordre croissant

Le rang du milieu n'a de sens que dans une liste ordonnée.

La médiane d'une série continue

Une enquête étudie le temps consacré chaque jour au transport par les $300$ ouvriers d'une entreprise.

Temps (min)	$[20 ; 40[$	$[40 ; 60[$	$[60 ; 80[$	$[80 ; 100[$	$[100 ; 120[$	$[120 ; 140[$
Effectif	21	53	83	128	12	3
Effectifs cumulés	21	74	157	285	297	300

On suppose que, dans chaque classe, les effectifs sont répartis de manière régulière. La médiane $m$ est la valeur telle que $150$ ouvriers mettent un temps inférieur à $m$ et $150$ un temps supérieur à $m$ . Comme $74 < 150 \le 157$ , elle appartient à la classe $[60 ; 80[$ .

Méthode d'interpolation linéaire. Sur la classe $[60 ; 80[$ , l'effectif cumulé passe de $74$ à $157$ de façon régulière : la position de $m$ entre $60$ et $80$ est la même que celle de $150$ entre $74$ et $157$ . C'est aussi ce qu'on lit sur le polygone des effectifs cumulés croissants, en partant de l'ordonnée $150$ .

Temps de transport — effectifs cumulés croissants des 300 ouvriers.

\frac{m - 60}{80 - 60} = \frac{150 - 74}{157 - 74}

Le piège

La médiane est le centre de la classe médiane : $m = 70$

$m = 60 + 20 \times \dfrac{76}{83} \approx 78{,}3$

150 est bien plus près de 157 que de 74 : la médiane est donc près de la borne 80, pas au milieu de la classe.

Le piège

Écrire $\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150}{157}$

$\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150 - 74}{157 - 74}$

On compare des positions dans la classe : on retranche, en haut comme en bas, ce qui est déjà atteint au début de la classe.

Les quartiles

Les quartiles $Q_{1}$ , $Q_{2}$ et $Q_{3}$ d'une série la partagent en quatre parties. On convient que le deuxième quartile $Q_{2}$ est la médiane.

Cas d'une série discrète. Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série statistique dont les valeurs $x_{i}$ sont ordonnées par ordre croissant. - Le premier quartile est le nombre noté $Q_{1}$ égal à la plus petite valeur $x_{i}$ telle qu'au moins $25\,\%$ de l'effectif de la série prennent des valeurs inférieures ou égales à $Q_{1}$ . - Le troisième quartile est le nombre noté $Q_{3}$ égal à la plus petite valeur $x_{i}$ telle qu'au moins $75\,\%$ de l'effectif de la série prennent des valeurs inférieures ou égales à $Q_{3}$ .

Voici les notes obtenues dans un même devoir par deux groupes de $20$ élèves.

Premier groupe : $7$ ; $7$ ; $8$ ; $11$ ; $10$ ; $7$ ; $12$ ; $14$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $9$ ; $11$ ; $7$ ; $9$ ; $13$ ; $11$ ; $10$ ; $13$ ; $8$ .

Deuxième groupe : $6$ ; $7$ ; $11$ ; $11$ ; $17$ ; $4$ ; $10$ ; $5$ ; $2$ ; $7$ ; $4$ ; $17$ ; $8$ ; $19$ ; $5$ ; $15$ ; $5$ ; $17$ ; $6$ ; $14$ .

Le piège

$25\,\%$ de $20$ font $5$ , donc $Q_{1} = 5$

$Q_{1}$ est la note de rang $5$ : $Q_{1} = 7$

Le calcul $25\,\%$ de $n$ donne un rang ; le quartile est la valeur qui occupe ce rang dans la série rangée.

Le piège

$Q_{1}$ est la moyenne des notes de rangs $5$ et $6$

$Q_{1}$ est la plus petite note qui atteint $25\,\%$ de l'effectif : celle de rang $5$

Contrairement à la médiane, pour une série discrète, les quartiles sont des valeurs de la série : on ne fait pas de moyenne.

Quartiles d'une série continue

Pour une série continue, comme la médiane, les quartiles peuvent être obtenus de deux façons : - au moyen d'une interpolation linéaire, en utilisant le tableau des effectifs cumulés ; - en exploitant la courbe des fréquences cumulées croissantes : $Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont les abscisses des points de cette courbe dont les ordonnées sont $0{,}25$ et $0{,}75$ (et la médiane, celle du point d'ordonnée $0{,}5$ ).

On considère la série suivante, où la répartition est supposée uniforme à l'intérieur de chaque classe :

Classe	$[10 ; 20[$	$[20 ; 30[$	$[30 ; 40[$	$[40 ; 50[$	$[50 ; 60[$
Effectif	500	400	225	150	100
Effectifs cumulés	500	900	1125	1275	1375

Le piège

$Q_{1}$ est dans la classe où l'effectif cumulé dépasse $25$

$Q_{1}$ est dans la classe où l'effectif cumulé atteint $25\,\%$ de l'effectif total, ici $343{,}75$

Le seuil est un QUART de l'effectif total ; on ne le confond avec 25 que lorsque l'effectif total est 100.

Diagramme en boîte

Vocabulaire. - L'intervalle $[Q_{1} ; Q_{3}]$ est appelé l'intervalle interquartile. - Le réel $Q_{3} - Q_{1}$ est appelé l'écart interquartile.

Construction d'un diagramme en boîte. Un diagramme en boîte permet de positionner les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ et la médiane $m$ au moyen d'un rectangle de largeur arbitraire et de longueur $Q_{3} - Q_{1}$ . On représente une série par un diagramme en boîte de la manière suivante : - sur un segment gradué, on place les valeurs extrêmes $x_{1}$ et $x_{n}$ de la série, les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ et la médiane $m$ ; - on construit un rectangle dont la longueur est l'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ , et de largeur arbitraire ; - un trait vertical, à l'intérieur de ce rectangle, correspond à la médiane.

Pour les deux groupes d'élèves : premier groupe, notes de $6$ à $14$ , $Q_{1} = 7$ , $m_{1} = 9$ , $Q_{3} = 11$ ; deuxième groupe, notes de $2$ à $19$ , $Q_{1} = 5$ , $m_{2} = 7{,}5$ , $Q_{3} = 14$ .

Notes du premier et du deuxième groupe : valeurs extrêmes, quartiles et médiane.

Le piège

Les deux groupes ont la même moyenne, donc des résultats semblables

Les deux moyennes valent $9{,}5$ , mais les écarts interquartiles valent $4$ et $9$

Un résumé de position ne dit rien de la dispersion : c'est la longueur de la boîte qui montre si les notes sont serrées ou étalées.

Exemple : comparer deux villes

Les séries suivantes donnent les précipitations moyennes mensuelles, en millimètres, dans deux villes A et B pendant $9$ mois :

Mois	Sep	Oct	Nov	Déc	Jan	Fév	Mars	Avril	Mai
Ville A	47	63	51	50	63	89	72	9	7
Ville B	33	28	41	34	33	37	34	20	10

On construit le diagramme en boîte de chaque série, puis on compare les deux séries à l'aide de leurs diagrammes.

Précipitations mensuelles des villes A et B, en millimètres.

La moyenne

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série de valeurs $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{p}$ d'effectifs $n_{1}$ , $n_{2}$ , …, $n_{p}$ , et d'effectif total $n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p}$ . Sa moyenne est le nombre noté $\overline{x}$ :

\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}

Pour une série continue, on remplace chaque classe par son centre (la moyenne de ses deux bornes) : on suppose ainsi les valeurs uniformément réparties dans chaque classe. La moyenne obtenue est une valeur approchée.

Exemple : en testant $150$ voitures pour étudier leur consommation d'essence, en litres aux $100$ km, on a obtenu :

Consommation	$[8 ; 9[$	$[9 ; 10[$	$[10 ; 11[$	$[11 ; 12[$	$[12 ; 13[$
Effectif	32	27	20	43	28

\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}

Le piège

$\overline{x} = \dfrac{8{,}5 + 9{,}5 + 10{,}5 + 11{,}5 + 12{,}5}{5} = 10{,}5$

$\overline{x} = \dfrac{1583}{150} \approx 10{,}6$

Chaque centre compte autant de fois que l'effectif de sa classe : la moyenne est pondérée par les effectifs.

Le piège

Diviser la somme $1583$ par le nombre de classes, $5$

Diviser par l'effectif total, $150$

On partage le total entre les 150 voitures, pas entre les 5 classes.

Une moyenne qui ne dit pas tout

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Deux groupes de $14$ personnes ont pour âges (en années) :

Groupe I	2	4	5	7	10	11	34	35	50	58
Effectif	3	1	1	1	1	2	1	2	1	1

Groupe II	18	19	20	45	46	47	48	50
Effectif	1	5	2	2	1	1	1	1

L'âge moyen du groupe I est $\dfrac{266}{14} = 19$ ans, celui du groupe II est $\dfrac{434}{14} = 31$ ans. Ces moyennes sont peu significatives : aucune personne du groupe I n'a $19$ ans (des enfants et des adultes), aucune du groupe II n'a $31$ ans.

Quand une valeur isolée fausse la moyenne, on peut calculer une moyenne élaguée : on supprime les valeurs extrêmes, puis on calcule la moyenne des valeurs restantes.

Le piège

La moyenne des âges du groupe I est 19 ans : c'est un groupe de jeunes de 19 ans

Le groupe I mêle des enfants de 2 à 11 ans et des adultes de 34 à 58 ans

Une moyenne seule ne décrit pas une série : il faut regarder aussi la répartition des valeurs autour d'elle.

Moyennes partielles

Si une série est partagée en deux séries d'effectifs $p$ et $q$ et de moyennes $\overline{x}$ et $\overline{y}$ , alors la moyenne de la série totale est :

\overline{z} = \frac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}

En effet, $p\,\overline{x}$ est la somme des valeurs de la première série, $q\,\overline{y}$ celle de la seconde, et la série totale compte $p + q$ valeurs.

\overline{z} = \frac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}

Le piège

$\overline{x} = \dfrac{9{,}55 + 11{,}07}{2} \approx 10{,}31$

$\overline{x} = \dfrac{20 \times 9{,}55 + 15 \times \dfrac{166}{15}}{35} = 10{,}2$

Les deux groupes n'ont pas le même effectif : chaque moyenne partielle compte selon le nombre d'élèves qu'elle résume.

Moyenne et application affine

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série et soit $\overline{x}$ sa moyenne. - Si on ajoute un nombre réel $b$ à toutes les valeurs de cette série, alors la moyenne de la nouvelle série $(x_{i} + b ; n_{i})$ est $\overline{x} + b$ . - Si on multiplie toutes les valeurs de cette série par un même nombre réel non nul $a$ , alors la moyenne de la nouvelle série $(a\,x_{i} ; n_{i})$ est $a\,\overline{x}$ . - Plus généralement, soit $a$ et $b$ deux nombres réels : si $\overline{x}$ est la moyenne de la série $(x_{i} ; n_{i})$ , alors $a\,\overline{x} + b$ est la moyenne de la série $(a\,x_{i} + b ; n_{i})$ .

C'est utile pour simplifier un calcul : on retranche un nombre commode à toutes les valeurs, on calcule la moyenne des écarts, puis on rajoute ce nombre.

\overline{a\,x + b} = a\,\overline{x} + b

Le piège

Si on ajoute 2 points à chaque élève, la moyenne augmente de 2 multiplié par le nombre d'élèves

La moyenne augmente de 2 points, exactement

La somme augmente de 2 fois n, mais on la divise par n : la moyenne augmente de 2.

Pour comprendre : la dispersion

Les températures, en degrés Celsius, prises à la même heure pendant quatre jours dans deux villes A et B sont :

Jour	J1	J2	J3	J4
Ville A	6	5	17	16
Ville B	10	11	11	12

Les deux villes ont la même température moyenne, $11°$ . Mais si l'on remplace la température de chaque jour par la moyenne, on commet pour la ville A des erreurs de $5$ , $6$ , $6$ et $5$ degrés, et pour la ville B des erreurs de $1$ , $0$ , $0$ et $1$ degré.

Pour mesurer ces erreurs d'un seul nombre, on considère, pour tout réel $x$ , la moyenne des carrés des écarts à $x$ :

f(x) = \frac{(x - 6)^{2} + (x - 5)^{2} + (x - 17)^{2} + (x - 16)^{2}}{4}

En développant, $f(x) = x^{2} - 22x + 151{,}5 = (x - 11)^{2} + 30{,}5$ : $f$ est minimale pour $x = 11$ , la moyenne, et son minimum vaut $30{,}5$ . Pour la ville B, la fonction $g$ analogue s'écrit $g(x) = (x - 11)^{2} + 0{,}5$ : minimum $0{,}5$ , atteint encore en $x = 11$ .

Plus généralement, pour une série de moyenne $\overline{x}$ , la moyenne des carrés des écarts à $x$ s'écrit $(x - \overline{x})^{2} + V$ : elle est minimale en $x = \overline{x}$ , et son minimum $V$ mesure la dispersion de la série autour de sa moyenne.

Le piège

Mesurer la dispersion par la moyenne des écarts $x_{i} - \overline{x}$

Prendre la moyenne des CARRÉS des écarts

Les écarts positifs et négatifs se compensent : leur moyenne vaut toujours 0. Le carré les rend tous positifs.

Variance et écart type

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série discrète définie par ses valeurs $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{p}$ et par les effectifs correspondants $n_{1}$ , $n_{2}$ , …, $n_{p}$ . - La variance de la série est le nombre noté $V$ et défini par $V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + n_{2}(x_{2})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}$ , où $n$ est l'effectif total ( $n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p}$ ). - L'écart type de la série est le nombre noté $\sigma$ et défini par $\sigma = \sqrt{V}$ .

Remarque. La variance et l'écart type d'une série continue sont définis par les mêmes formules, où $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{p}$ sont les centres des classes et $n_{1}$ , $n_{2}$ , …, $n_{p}$ les effectifs respectifs de ces classes.

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; elle est donc positive, et nulle seulement quand toutes les valeurs sont égales. L'écart type s'exprime dans la même unité que les valeurs : plus il est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne.

Exemple : les températures relevées pendant dix jours dans une ville A.

Température	$-1$	$0$	$1$	$2$	$5$
Nombre de jours	1	3	4	1	1

V = \frac{n_{1}(x_{1})^{2} + n_{2}(x_{2})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}

\sigma = \sqrt{V}

Le piège

$V = 3{,}4$ , en oubliant de retrancher $(\overline{x})^{2}$

$V = 3{,}4 - 1^{2} = 2{,}4$

3,4 est la moyenne des carrés ; la variance retranche encore le carré de la moyenne.

Le piège

Écrire $(-1)^{2} = -1$ dans la somme des carrés

$(-1)^{2} = 1$

Un carré est toujours positif : c'est même pour cela que la variance ne peut pas être négative.

Le piège

Donner la variance comme écart type

L'écart type est la racine carrée de la variance

La variance est dans l'unité au carré (des degrés au carré) ; l'écart type revient à l'unité des valeurs.

Écart type et application affine

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série et $\sigma$ son écart type. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. - L'écart type de la série $(a\,x_{i} ; n_{i})$ est $|a|\,\sigma$ . - L'écart type de la série $(x_{i} + b ; n_{i})$ est $\sigma$ .

Ajouter un même nombre à toutes les valeurs déplace la série sans changer sa dispersion ; multiplier toutes les valeurs par $a$ multiplie les écarts à la moyenne par $a$ , donc la variance par $a^{2}$ et l'écart type par $|a|$ .

Les températures de trois villes pendant les mêmes dix jours :

Ville A	$-1$	$0$	$1$	$2$	$5$
Ville B	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$
Ville C	$-2$	$0$	$2$	$4$	$10$
Nombre de jours	1	3	4	1	1

\sigma_{(a\,x_{i} + b)} = |a| \times \sigma_{(x_{i})}

Le piège

Ajouter 1 à chaque valeur augmente l'écart type de 1

L'écart type ne change pas

Toutes les valeurs ET la moyenne augmentent de 1 : les écarts à la moyenne restent les mêmes.

Le piège

Doubler les valeurs double la variance

Doubler les valeurs multiplie la variance par 4, et l'écart type par 2

La variance est une moyenne de CARRÉS d'écarts : un écart doublé donne un carré multiplié par 4.

Exemple : une série continue

On considère la série continue suivante :

Classe	$[0 ; 5[$	$[5 ; 10[$	$[10 ; 15[$	$[15 ; 20[$	$[20 ; 25[$	$[25 ; 30[$	$[30 ; 35[$
Effectif $n_{i}$	1	4	7	10	8	3	2
Centre $x_{i}$	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5

On dresse le tableau des produits $n_{i}\,x_{i}$ et $n_{i}\,(x_{i})^{2}$ : leurs sommes sont $622{,}5$ et $12\,818{,}75$ , pour un effectif total de $35$ .

Les tailles, en cm, des $35$ élèves d'une classe de deuxième année se répartissent avec les mêmes effectifs dans les classes $[140 ; 145[$ , …, $[170 ; 175[$ : chaque centre est augmenté de $140$ .

Le piège

Arrondir la moyenne à $17{,}8$ , puis calculer $V = 366{,}25 - 17{,}8^{2}$

Garder la valeur exacte $\dfrac{622{,}5}{35}$ jusqu'au bout

On retranche deux grands nombres voisins : un arrondi trop tôt fausse nettement la variance.

Exemple : autour de la moyenne

Le tableau suivant fournit les nombres d'apparitions de pile après $20$ simulations de $100$ lancers d'une pièce de monnaie :

$46$ ; $48$ ; $51$ ; $62$ ; $45$ ; $47$ ; $57$ ; $59$ ; $49$ ; $53$ ; $56$ ; $44$ ; $49$ ; $50$ ; $41$ ; $58$ ; $47$ ; $56$ ; $53$ ; $46$ .

La moyenne et l'écart type permettent de délimiter une zone « autour de la moyenne » : on compte les valeurs de l'intervalle d'extrémités $\overline{x} - \sigma$ et $\overline{x} + \sigma$ , puis celles de l'intervalle d'extrémités $\overline{x} - 2\sigma$ et $\overline{x} + 2\sigma$ .

[\overline{x} - \sigma ; \overline{x} + \sigma] \qquad [\overline{x} - 2\sigma ; \overline{x} + 2\sigma]

Le piège

Compter 46 dans l'intervalle à un écart type parce que 46 est proche de 45,32

$46 > 45{,}32$ : $46$ est bien dans l'intervalle ; mais $45$ et $44$ n'y sont pas

On compare chaque valeur aux bornes exactes de l'intervalle, sans « à peu près ».

Pour comprendre : l'effet de structure

Voici les résultats au baccalauréat d'un lycée en 2004 puis en 2005 :

	Présentés 2004	Admis 2004	Présentés 2005	Admis 2005
Non redoublants	220	120	150	80
Redoublants	30	30	100	90
Total	250	150	250	170

Le directeur : « L'année 2005 marque une progression de $13\,\%$ dans la réussite au bac. »
Un professeur : « Le taux de réussite n'a progressé que de $8\,\%$ . »
Un élève : « Qu'on soit redoublant ou pas, les résultats de 2004 sont meilleurs que ceux de 2005. »
Un redoublant : « Dans ce lycée, en redoublant, les chances de réussir ont diminué de $10\,\%$ . »

Qui a raison ? Tous, chacun à sa façon. Le taux global monte alors que chaque catégorie recule : c'est un effet de structure. En 2005, les redoublants, qui réussissent beaucoup mieux, forment une part bien plus grande des candidats ( $100$ sur $250$ au lieu de $30$ sur $250$ ).

Le piège

Le taux global a augmenté, donc les candidats ont mieux réussi dans chaque catégorie

Les deux catégories ont reculé ; c'est la composition des candidats qui a changé

Un taux global est une moyenne des taux de chaque catégorie, pondérée par leurs effectifs : il bouge aussi quand ces effectifs changent.

Un problème pour aller plus loin : le médicament

Pour tester l'efficacité d'un médicament et comparer les taux de guérison chez l'homme et chez la femme, on a procédé à deux expérimentations, en zone rurale et en zone urbaine :

Zone rurale	Hommes	Femmes	Total
Effectif	3500	1500	5000
Guérisons	1500	500	2000
% de guérisons	42,86 %	33,33 %	40 %

Zone urbaine	Hommes	Femmes	Total
Effectif	3000	5500	8500
Guérisons	2000	3500	5500
% de guérisons	66,67 %	63,64 %	64,71 %

L'affirmation « le médicament est légèrement plus efficace chez les hommes que chez les femmes » ne paraît-elle pas légitime ?
Regroupe toutes les données dans un seul tableau. Quelle est ta conclusion ?

Fluctuation d'échantillonnage

La touche Random (ou Ran#) de la calculatrice donne un nombre « au hasard » de l'intervalle $[0 ; 1[$ . On en tire un entier au hasard : par exemple, la partie entière de $2 \times \text{Ran\#}$ donne $0$ ou $1$ (pile ou face), et la partie entière de $6 \times \text{Ran\#}$ , augmentée de $1$ , donne un entier de $1$ à $6$ (un dé cubique équilibré).

On peut ainsi simuler $100$ jets d'une pièce de monnaie, ou $1000$ jets d'un dé, et résumer les résultats dans un tableau des fréquences.

D'une simulation à l'autre, les fréquences obtenues changent : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Deux séries de $20$ lancers d'une pièce peuvent donner $40\,\%$ de pile, puis $60\,\%$ .
Plus l'échantillon est grand, plus les fréquences fluctuent peu : avec $1000$ jets d'un dé équilibré, chaque face sort avec une fréquence proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

Une observation surprenante, la loi de Benford : dans beaucoup de données réelles, le premier chiffre significatif n'est pas équiréparti. Le chiffre $1$ apparaît avec une fréquence voisine de $0{,}301$ , le chiffre $2$ de $0{,}176$ , …, et le chiffre $9$ seulement de $0{,}045$ ; un tirage au hasard d'un chiffre de $1$ à $9$ , lui, donne des fréquences proches de $\dfrac{1}{9} \approx 0{,}111$ .

Le piège

La pièce est truquée, puisqu'on a obtenu 12 pile sur 20 lancers

Sur 20 lancers, 12 pile est tout à fait possible avec une pièce équilibrée

Sur un petit échantillon, la fréquence fluctue beaucoup ; c'est sur un grand nombre de lancers qu'elle se rapproche de 0,5.

Pour la culture : les pièges de la moyenne

La balance truquée. Un marchand dispose d'une balance dont les deux bras n'ont pas tout à fait la même longueur. Pour une pesée, il fait deux mesures : en plaçant les masses marquées à gauche, il trouve $900$ grammes ; en les plaçant à droite, il trouve $961$ grammes. Il annonce alors la masse exacte $930{,}5$ grammes, la moyenne des deux résultats. Vrai ou faux ?

Faux. Si les bras ont pour longueurs $\ell_{1}$ et $\ell_{2}$ et si $M$ est la vraie masse, l'équilibre du levier donne $M\,\ell_{1} = 900\,\ell_{2}$ et $M\,\ell_{2} = 961\,\ell_{1}$ . En multipliant membre à membre, $M^{2} = 900 \times 961$ , donc $M = 30 \times 31 = 930$ grammes : la bonne moyenne n'est pas la moyenne arithmétique, mais la moyenne géométrique $\sqrt{900 \times 961}$ .

La langue de bois. Cent bûcherons partirent un jour vers la forêt, accompagnés de deux femmes chargées de l'intendance. Avant la fin de l'hiver, deux des hommes épousèrent les deux femmes. Un statisticien résuma : « $2\,\%$ des hommes ont épousé $100\,\%$ des femmes. » Exact… et trompeur.

La cible. Deux chasseurs tirent sur un cerf : la flèche du premier passe trois mètres à droite, celle du second trois mètres à gauche. « En moyenne », l'animal est touché !

À retenir

Une série chronologique est une série de valeurs d’une même variable observée à des instants régulièrement espacés ; indice $= 100 \times$ coefficient multiplicateur.
Le mode est la valeur de plus grand effectif ; l’étendue est la plus grande valeur moins la plus petite.
La médiane partage la population en deux parties de même effectif ; pour une série continue, on l’obtient par interpolation linéaire.
$Q_{1}$ (resp. $Q_{3}$ ) est la plus petite valeur telle qu’au moins $25\,\%$ (resp. $75\,\%$ ) de l’effectif ait une valeur inférieure ou égale ; $Q_{3} - Q_{1}$ est l’écart interquartile.
Le diagramme en boîte place les valeurs extrêmes, $Q_{1}$ , la médiane et $Q_{3}$ .
$\overline{x} = \dfrac{n_{1}x_{1} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}$ ; moyennes partielles : $\overline{z} = \dfrac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}$ .
$V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}$ et l’écart type $\sigma = \sqrt{V}$ .
La série $(a\,x_{i} + b)$ a pour moyenne $a\,\overline{x} + b$ ; la série $(a\,x_{i})$ a pour écart type $|a|\,\sigma$ et la série $(x_{i} + b)$ garde l’écart type $\sigma$ .

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : deux lycées réunis

Population, échantillon, caractère

Série chronologique et indice

Exemple : un diagramme circulaire

Pour comprendre : bâtons et histogramme

Effectifs cumulés croissants

Étendue, mode et classe modale

La médiane

La médiane d'une série continue

Les quartiles

Quartiles d'une série continue

Diagramme en boîte

Exemple : comparer deux villes

La moyenne

Une moyenne qui ne dit pas tout

Moyennes partielles

Moyenne et application affine

Pour comprendre : la dispersion

Variance et écart type

Écart type et application affine

Exemple : une série continue

Exemple : autour de la moyenne

Pour comprendre : l'effet de structure

Un problème pour aller plus loin : le médicament

Fluctuation d'échantillonnage

Pour la culture : les pièges de la moyenne

À toi, au tableau

Les filles des deux lycées

Un coefficient multiplicateur

L'indice de l'an 2000

Le secteur de l'orge

Quantitatif ou qualitatif ?

Rhésus plus

Autant de filles que de garçons

La taille médiane

Le temps de transport médian

Entre 7 et 11

Premier quartile par interpolation

La boîte de la ville B

Combien de filles ?

À un écart type de la moyenne

Le médicament et les femmes

L'écart interquartile d'une classe

Harmoniser les notes d'un jury

Les internes du second lycée

La balance truquée

Faire bouger la médiane

Un effectif à retrouver

Dans l'intervalle interquartile

L'écart interquartile des retards

Moyenne ou médiane ?

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : deux lycées réunis

Population, échantillon, caractère

Série chronologique et indice

Exemple : un diagramme circulaire

Pour comprendre : bâtons et histogramme

Effectifs cumulés croissants

Étendue, mode et classe modale

La médiane

La médiane d'une série continue

Les quartiles

Quartiles d'une série continue

Diagramme en boîte

Exemple : comparer deux villes

La moyenne

Une moyenne qui ne dit pas tout

Moyennes partielles

Moyenne et application affine

Pour comprendre : la dispersion

Variance et écart type

Écart type et application affine

Exemple : une série continue

Exemple : autour de la moyenne

Pour comprendre : l'effet de structure

Un problème pour aller plus loin : le médicament

Fluctuation d'échantillonnage