Suites arithmétiques

Notion de suite de nombres réels (terme général Uₙ, indice, notation (Uₙ)), suite définie par son terme général ou par son premier terme et une relation de récurrence, suite arithmétique et raison (Uₙ₊₁ = Uₙ + r), progression arithmétique, suites de terme général an + b, terme général Uₙ = U₀ + nr et Uₙ = Uₚ + (n − p)r, représentation graphique (points alignés sur la droite de pente r et d'ordonnée à l'origine U₀), nombre de termes d'une somme, somme de n termes consécutifs S = n(a + b)/2, somme 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, nombres triangulaires, somme des cubes.

20 sections · 103 exercices

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Une liste de nombres rangés dans un ordre précis, où chaque nombre a sa place : c'est une suite. Ce chapitre apprend à la noter, à calculer ses termes et à la représenter.

Il étudie surtout les suites arithmétiques, celles où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre : leur terme général, leur représentation graphique et la somme de leurs termes consécutifs.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Calculer les termes d'une suite donnée par son terme général ou par une relation de récurrence
Reconnaître une suite arithmétique et déterminer sa raison
Utiliser les formules $U_{n} = U_{0} + nr$ et $U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r$
Représenter graphiquement une suite arithmétique et lire sa raison sur un graphique
Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Activité

Pour comprendre : des listes qui obéissent à une loi

Chacune des listes de nombres suivantes obéit à une loi. Découvre cette loi, puis donne les deux termes suivants.

a) $5$ ; $3$ ; $1$ ; $-1$ ; $-3$ ; …

b) $\dfrac{1}{4}$ ; $1$ ; $\dfrac{7}{4}$ ; $\dfrac{5}{2}$ ; $\dfrac{13}{4}$ ; …

c) $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$ ; …

d) $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; …

e) $-2$ ; $-3$ ; $-5$ ; $-9$ ; $-17$ ; …

Une liste de nombres rangés dans un ordre précis, où chaque nombre a sa place, c'est l'idée de suite : tout ce chapitre en parle.

Ce qu’on observe

Trouve la loi de chacune des cinq listes et donne ses deux termes suivants.

1
Liste a
On retranche $2$ à chaque fois.
$5 \;;\;$ $3 \;;\;$ $1 \;;\;$ $-1 \;;\;$ $-3 \;;\;$ $-5 \;;\;$ $-7$
2
Liste b
Tout en quarts : $1 = \dfrac{4}{4}$ et $\dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{4}.$ On ajoute $\dfrac{3}{4}$ à chaque fois.
$\frac{1}{4} \;;\;$ $\frac{4}{4} \;;\;$ $\frac{7}{4} \;;\;$ $\frac{10}{4} \;;\;$ $\frac{13}{4} \;;\;$ $\frac{16}{4} = 4 \;;\;$ $\frac{19}{4}$
3
Liste c
Chaque terme est la somme des deux précédents.
$5 + 8 = 13 \quad ; \quad$ $8 + 13 = 21$
4
Liste d
Ce sont les carrés des entiers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5.$
$6^{2} = 36 \quad ; \quad$ $7^{2} = 49$
5
Liste e
On retranche $1,$ puis $2,$ puis $4,$ puis $8$ : ce qu'on retranche double à chaque fois.
$-17 - 16 = -33 \quad ; \quad$ $-33 - 32 = -65$

L’erreur à ne pas faire

Dans la liste $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25,$ on ajoute toujours le même nombreOn ajoute $3,$ puis $5,$ puis $7,$ puis $9$ : ce sont les carrés $1^{2},$ $2^{2},$ $3^{2},$ $4^{2},$ $5^{2}$
Une loi n'est pas toujours « ajouter le même nombre » : on calcule plusieurs écarts avant de conclure.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf les listes hedhom : koll wa7da temchi 3la loi. La liste : cinq, trois, un, moins un, moins trois : koll marra nna9sou deux, idhan elli ba3dhom moins cinq w moins sept. La liste : un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq : hedhom les carrés, idhan elli ba3dhom trente-six w quarante-neuf. W la liste : un, deux, trois, cinq, huit : koll terme houwa la somme mta3 ezzouz elli sab9ouh, idhan treize w vingt-et-un. Ki tal9a la loi, tnajjem tkammel la liste 9add ma t7ebb. »

Activité

Pour comprendre : la population d'une ville

Le diagramme en bâtons représente l'évolution de la population d'une ville de 1999 à 2004, en milliers d'habitants.

1.Lis sur le diagramme la population de chaque année, de 1999 à 2004.
2.Quelle sera la population de cette ville en 2010, si on suppose qu'elle continue à évoluer de la même façon ?
3.En quelle année cette population atteindra-t-elle $150\,000$ habitants ?

Population de la ville, en milliers d'habitants, de 1999 à 2004.

Ce qu’on observe

Les trois questions.

1
La lecture
En milliers d'habitants, de 1999 à 2004 :
$100 \;;\;$ $102 \;;\;$ $104 \;;\;$ $106 \;;\;$ $108 \;;\;$ $110$
2
La loi
Chaque année, la population augmente de $2$ milliers d'habitants.
3
En 2010
De 1999 à 2010, il s'écoule $11$ années : on ajoute $11$ fois $2.$
$100 + 11 \times 2 = 122$
4
150 milliers
Il faut gagner $50$ milliers, à raison de $2$ par an : $25$ années après 1999.
$100 + 2n = 150 \iff n = 25 \quad ; \quad$ $1999 + 25 = 2024$

122\,000

habitants en 2010

; \quad

150\,000

habitants en 2024

L’erreur à ne pas faire

En 2010 : $100 + 10 \times 2 = 120$ milliersEn 2010 : $100 + 11 \times 2 = 122$ milliers
De 1999 à 2010 il y a $2010 - 1999 = 11$ augmentations, pas $10$ : on compte les pas, pas les années écrites.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf le diagramme : la population mta3 bled men mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf l deux mille quatre, bel milliers. Na9raw : cent, cent deux, cent quatre, cent six, cent huit, cent dix. Koll 3am tzid deux milliers, dima nafs ezzyeda. Bech nouslou l deux mille dix, nzidou onze fois deux : cent vingt-deux milliers. W bech tousel l cent cinquante milliers, yelzemha vingt-cinq 3am, ya3ni fi deux mille vingt-quatre. »

Activité

Pour comprendre : les nombres triangulaires

Les dessins représentent les quatre premiers nombres triangulaires $1,$ $3,$ $6$ et $10,$ notés respectivement $T_{1},$ $T_{2},$ $T_{3}$ et $T_{4}.$

$T_{1}$ se lit « T indice 1 », $T_{2}$ se lit « T indice 2 », et plus généralement $T_{n}$ se lit « T indice n ».

1.Représente le cinquième nombre triangulaire $T_{5}$ et donne sa valeur. Même question pour $T_{6}.$
2.Les Pythagoriciens utilisaient des diagrammes rectangulaires pour calculer les nombres triangulaires. Un rectangle de $12$ lignes et $13$ colonnes de points se partage en deux triangles de points identiques : explique comment il permet de calculer $T_{12}.$
3.Donne les valeurs de $T_{20},$ $T_{125}$ et $T_{2006}.$
4.Donne l'expression du $n$ -ième nombre triangulaire $T_{n}$ en fonction de $n.$

Les quatre premiers nombres triangulaires.

le n-ième nombre triangulaire

T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}

Ce qu’on observe

Les quatre questions.

1
T5 et T6
Pour passer au triangle suivant, on ajoute une rangée qui a un point de plus.
$T_{5} = 10 + 5 = 15 \quad ; \quad$ $T_{6} = 15 + 6 = 21$
2
Le rectangle
Le rectangle compte $12 \times 13$ points et il est fait de deux triangles de $T_{12}$ points chacun.
$2 \times T_{12} = 12 \times 13$ donc $T_{12} = \frac{12 \times 13}{2} = 78$
3
La même idée
$T_{20} = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \quad ; \quad$ $T_{125} = \frac{125 \times 126}{2} = 7875$
4
$T_{2006} = \frac{2006 \times 2007}{2} = 2\,013\,021$
5
En fonction de n
Un rectangle de $n$ lignes et $n + 1$ colonnes contient deux fois $T_{n}.$
$T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}$

T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}

L’erreur à ne pas faire

$T_{12} = 12 \times 13 = 156$ $T_{12} = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78$
Le rectangle contient deux triangles : $12 \times 13$ est le double de $T_{12}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Les nombres triangulaires : nersmou des points 3la chakl triangle. T indice un égale un, T indice deux égale trois, T indice trois égale six, T indice quatre égale dix. Bech net3addew lelli ba3dou, nzidou rangée fiha point zeyed : T indice cinq égale dix plus cinq, ya3ni quinze. W bech na7sbou fisa3, nlasso9ou zouz triangles kif kif : ya3tiwna rectangle fih n lignes w n plus un colonnes. Idhan T indice n égale n fois (n plus un), le tout sur deux. »

Activité

Pour comprendre : une spirale de triangles rectangles

Dans la figure :

le triangle $OA_{1}A_{2}$ est rectangle en $A_{1}$ et tel que $OA_{1} = A_{1}A_{2} = 1$ ;
le triangle $OA_{2}A_{3}$ est rectangle en $A_{2}$ et tel que $A_{2}A_{3} = 1$ ;
et ainsi de suite.

On pose $a_{1} = \text{aire}(OA_{1}A_{2}),$ $a_{2} = \text{aire}(OA_{2}A_{3}),$ …, $a_{n} = \text{aire}(OA_{n}A_{n+1}).$

1.Calcule $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4}$ et $a_{5}.$
2.Conjecture l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n.$

Chaque triangle s'appuie sur l'hypoténuse du précédent ; les côtés A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄… mesurent tous 1.

la conjecture

a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}

Ce qu’on observe

Les deux questions.

1
Les hypoténuses
Par le théorème de Pythagore, de triangle en triangle :
$OA_{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \quad ; \quad$ $OA_{3} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \quad ; \quad$ $OA_{4} = \sqrt{4} = 2 \quad ; \quad$ $OA_{5} = \sqrt{5}$
2
Les aires
Le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n}$ : son aire est la moitié du produit de $OA_{n}$ par $A_{n}A_{n+1} = 1.$
$a_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad ; \quad$ $a_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad ; \quad$ $a_{4} = \frac{2}{2} = 1 \quad ; \quad$ $a_{5} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
3
La conjecture
On observe $OA_{n} = \sqrt{n},$ et $a_{1} = \dfrac{1}{2}$ suit la même règle.
$a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$

a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la figure : des triangles rectangles deyrin b O, w koll wa7ed rakeb 3la l'hypoténuse mta3 elli sab9ou. Le côté ejjdid dima égale un. B Pythagore : O A deux égale racine carrée de deux, O A trois égale racine carrée de trois, w hakka. L'aire mta3 triangle rectangle hiya la moitié mta3 le produit des deux côtés de l'angle droit. Idhan a indice deux égale racine carrée de deux, le tout sur deux, a indice trois égale racine carrée de trois, le tout sur deux. W netwa993ou : a indice n égale racine carrée de n, le tout sur deux. »

Définition

Suite de nombres réels

On retient la définition suivante :

Soit $n_{0}$ un entier naturel. Lorsqu'à tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_{0}$ on associe un réel unique $U(n),$ on dit que l'on a défini une suite de nombres réels. Le réel $U(n)$ s'appelle le terme général de la suite et se note $U_{n}.$ La suite se note $(U_{n})_{n \ge n_{0}}$ ou $(U_{n}).$

L'entier $n$ est l'indice du terme $U_{n}.$ Attention aux parenthèses : $U_{n}$ est un nombre, le terme d'indice $n$ ; $(U_{n})$ désigne la suite tout entière.

le terme général

U_{n} \quad (n \ge n_{0})

Exemple traité

Pour chacune des suites suivantes, détermine les cinq premiers termes et le terme général : la suite des entiers naturels pairs ; la suite des multiples de $3$ ; la suite qui à tout entier naturel non nul associe son inverse ; la suite qui à tout entier naturel associe sa racine carrée.

1
Les entiers pairs
$0 \;;\;$ $2 \;;\;$ $4 \;;\;$ $6 \;;\;$ $8 \quad ; \quad$ $U_{n} = 2n$
2
Les multiples de 3
$0 \;;\;$ $3 \;;\;$ $6 \;;\;$ $9 \;;\;$ $12 \quad ; \quad$ $U_{n} = 3n$
3
Les inverses
L'inverse de $0$ n'existe pas : la suite commence à l'indice $1.$
$1 \;;\;$ $\frac{1}{2} \;;\;$ $\frac{1}{3} \;;\;$ $\frac{1}{4} \;;\;$ $\frac{1}{5} \quad ; \quad$ $U_{n} = \frac{1}{n}, \;$ $n \ge 1$
4
Les racines carrées
$0 \;;\;$ $1 \;;\;$ $\sqrt{2} \;;\;$ $\sqrt{3} \;;\;$ $2 \quad ; \quad$ $U_{n} = \sqrt{n}$

U_{n} = 2n \quad ; \quad

U_{n} = 3n \quad ; \quad

U_{n} = \frac{1}{n}

pour

n \ge 1 \quad ; \quad

U_{n} = \sqrt{n}

L’erreur à ne pas faire

« $U_{n}$ est une suite »« $(U_{n})$ est une suite, et $U_{n}$ est son terme d'indice $n$ »
Sans parenthèses, $U_{n}$ est un seul nombre ; quand on l'écrit entre parenthèses, on désigne la suite de tous ces nombres.
La suite des inverses commence par $U_{0} = \dfrac{1}{0}$ Elle commence par $U_{1} = 1$ : ici $n_{0} = 1$
Une suite ne commence pas toujours à l'indice $0$ : elle commence au premier indice $n_{0}$ pour lequel le terme existe.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Suite, ma3neha : l koll entier naturel n, men n indice zéro w enti tala3, na3tiw réel wa7ed bark. Le réel hedha nsammiwah U indice n, w houwa le terme général mta3 la suite. W n houwa l'indice. Radd belek lel parenthèses : U indice n blech parenthèses houwa nombre wa7ed, le terme elli l'indice mte3ou n. Ama U indice n bin parenthèses, hiya la suite el koll. Mathalan la suite des entiers pairs : zéro, deux, quatre, six, w le terme général mte3ha U indice n égale deux n. »

Application

Exemple : calculer des termes et changer d'indice

Soit la suite $(U_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = \dfrac{3n + 1}{4}.$

1.Calcule $U_{0},$ $U_{1},$ $U_{5}$ et $U_{100}.$
2.Détermine le premier terme, le cinquième terme et le centième terme de cette suite.
3.Détermine l'expression de $U_{p+1},$ $U_{2n}$ et $U_{3k+2}.$

Quand une suite est donnée par son terme général, on calcule n'importe quel terme en remplaçant $n$ par l'indice voulu — un nombre, ou une expression tout entière.

Exemple traité

Les trois questions.

1
On remplace n
$U_{0} = \frac{1}{4} \quad ; \quad$ $U_{1} = \frac{4}{4} = 1 \quad ; \quad$ $U_{5} = \frac{16}{4} = 4 \quad ; \quad$ $U_{100} = \frac{301}{4}$
2
Le rang
La suite commence à $U_{0}$ : le premier terme est $U_{0},$ le cinquième est $U_{4},$ le centième est $U_{99}.$
$U_{0} = \frac{1}{4} \quad ; \quad$ $U_{4} = \frac{13}{4} \quad ; \quad$ $U_{99} = \frac{298}{4} = \frac{149}{2}$
3
Changer d'indice
On remplace $n$ par $p + 1$ tout entier, entre parenthèses.
$U_{p+1} = \frac{3(p + 1) + 1}{4} = \frac{3p + 4}{4}$
4
$U_{2n} = \frac{3 \times 2n + 1}{4} = \frac{6n + 1}{4} \quad ; \quad$ $U_{3k+2} = \frac{3(3k + 2) + 1}{4} = \frac{9k + 7}{4}$

U_{p+1} = \frac{3p + 4}{4} \quad ; \quad

U_{2n} = \frac{6n + 1}{4} \quad ; \quad

U_{3k+2} = \frac{9k + 7}{4}

L’erreur à ne pas faire

Le cinquième terme est $U_{5}$ Le cinquième terme est $U_{4},$ car la suite commence à $U_{0}$
Quand le premier terme est $U_{0},$ le terme de rang $k$ est $U_{k-1}$ : l'indice a un de retard sur le rang.
$U_{p+1} = U_{p} + 1 = \dfrac{3p + 1}{4} + 1$ $U_{p+1} = \dfrac{3(p + 1) + 1}{4} = \dfrac{3p + 4}{4}$
On remplace $n$ par $p + 1$ dans la formule : on n'ajoute pas $1$ au terme $U_{p}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna U indice n égale (trois n plus un), le tout sur quatre. Bech na7sbou terme, nbaddlou n bel indice elli n7ebbou 3lih : U indice zéro égale un sur quatre, U indice cinq égale seize sur quatre, ya3ni quatre. Radd belek : la suite tabda men U indice zéro, idhan le premier terme houwa U indice zéro, w le cinquième terme houwa U indice quatre, mouch U indice cinq. W U indice (p plus un) : nbaddlou n b p plus un el koll, ya3tina (trois p plus quatre), le tout sur quatre. Mouch U indice p zeyed un. »

Vocabulaire

Deux façons de présenter une suite

Une suite peut être définie par :

son terme général ;

son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à l'aide du terme précédent. Cette relation est appelée relation de récurrence.

Avec le terme général, on calcule directement n'importe quel terme : $U_{n} = 2^{n} + n$ donne tout de suite $U_{10} = 1024 + 10 = 1034.$ Avec une relation de récurrence, on avance de proche en proche : pour connaître un terme, il faut d'abord celui qui le précède.

par le terme général

U_{n} = 2^{n} + n

par une relation de récurrence

t_{0} = 2

t_{n+1} = \frac{1}{2}\,t_{n} - 3

Exemple traité

On considère la suite $(t_{n})$ définie par $t_{0} = 2$ et $t_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,t_{n} - 3$ pour tout entier naturel $n.$ Calcule $t_{1},$ $t_{2},$ $t_{3},$ $t_{4}$ et $t_{5}.$

1
De t0 à t1
On prend la moitié du terme précédent, puis on retranche $3.$
$t_{1} = \frac{1}{2} \times 2 - 3 = -2$
2
De proche en proche
$t_{2} = \frac{1}{2} \times (-2) - 3 = -4 \quad ; \quad$ $t_{3} = \frac{1}{2} \times (-4) - 3 = -5$
3
$t_{4} = \frac{1}{2} \times (-5) - 3 = -\frac{11}{2} \quad ; \quad$ $t_{5} = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{11}{2}\right) - 3 = -\frac{23}{4}$

t_{1} = -2 \quad ; \quad

t_{2} = -4 \quad ; \quad

t_{3} = -5 \quad ; \quad

t_{4} = -\frac{11}{2} \quad ; \quad

t_{5} = -\frac{23}{4}

L’erreur à ne pas faire

$t_{3} = \dfrac{1}{2} \times 3 - 3$ $t_{3} = \dfrac{1}{2} \times t_{2} - 3 = \dfrac{1}{2} \times (-4) - 3 = -5$
Dans une relation de récurrence, on remplace $t_{n}$ par la valeur du terme précédent, pas par son indice.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Suite tnajjem tet3ata b zouz tor9. Ya b le terme général, ya3ni formule fiha n, w ta7seb biha ayy terme toul. Ya b le premier terme w relation ta3tik terme men le terme elli sab9ou, w nsammiwha relation de récurrence. Mathalan t indice zéro égale deux, w t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins trois. Houni temchi darja darja : t indice un égale moins deux, t indice deux égale moins quatre, t indice trois égale moins cinq. Bech tousel l terme, lezmek elli sab9ou. »

Activité

Pour comprendre : une aire qui grandit régulièrement

Dans un repère, on trace la droite d'équation $y = x + 2.$ Pour tout entier naturel $n,$ on désigne par $a_{n}$ l'aire du domaine limité par cette droite, l'axe des abscisses et les deux verticales passant par les points d'abscisses $n$ et $n + 1.$

1.Calcule $a_{0}.$
2.Donne l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n.$
3.Calcule $a_{n+1} - a_{n}.$

Le domaine d'aire aₙ : sous la droite y = x + 2, entre les abscisses n et n + 1.

Ce qu’on observe

Les trois questions.

1
Le domaine
C'est un trapèze : ses deux côtés parallèles sont verticaux, de longueurs $n + 2$ et $n + 3,$ et sa hauteur vaut $1.$ Son aire est la demi-somme des côtés parallèles, multipliée par la hauteur.
2
a0
Pour $n = 0,$ les côtés parallèles mesurent $2$ et $3.$
$a_{0} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}$
3
En fonction de n
$a_{n} = \frac{(n + 2) + (n + 3)}{2} = \frac{2n + 5}{2} = n + \frac{5}{2}$
4
La différence
Elle ne dépend pas de $n.$
$a_{n+1} - a_{n} = \left(n + 1 + \frac{5}{2}\right) - \left(n + \frac{5}{2}\right) = 1$

a_{n} = n + \frac{5}{2} \quad ; \quad

a_{n+1} - a_{n} = 1

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la figure : la droite y égale x plus deux, w le domaine elli ta7tha, bin l'abscisse n w l'abscisse n plus un. Hedha trapèze : les côtés el metwazyin toulhom n plus deux w n plus trois, w la hauteur égale un. Idhan l'aire a indice n égale (deux n plus cinq), le tout sur deux, ya3ni n plus cinq demis. W ki na7sbou a indice (n plus un) moins a indice n, nal9aw un. Ya3ni koll ma net3addew l terme elli ba3dou, l'aire tzid dima un. Hedhi hiya el fekra mta3 suite arithmétique. »

Définition

Suite arithmétique

On retient la définition suivante :

On dit qu'une suite $(U_{n})$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n,$ on a $U_{n+1} = U_{n} + r.$ Le nombre réel $r$ est appelé raison de cette suite.

Remarque. Si $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ … sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique, on dit qu'ils sont en progression arithmétique.

Autrement dit : on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r,$ et $r = U_{n+1} - U_{n}.$

pour tout entier naturel n

U_{n+1} = U_{n} + r

la raison

r = U_{n+1} - U_{n}

Exemple traité

On considère la suite $(U_{n})$ des entiers naturels dont le reste de la division euclidienne par $5$ est $3,$ rangés par ordre croissant. Détermine $U_{0},$ $U_{1},$ $U_{2},$ $U_{3}$ et $U_{4},$ exprime $U_{n}$ en fonction de $n,$ puis calcule $U_{n+1} - U_{n}.$

1
Les premiers termes
Un entier de reste $3$ dans la division par $5$ s'écrit $5q + 3.$
$U_{0} = 3 \quad ; \quad$ $U_{1} = 8 \quad ; \quad$ $U_{2} = 13 \quad ; \quad$ $U_{3} = 18 \quad ; \quad$ $U_{4} = 23$
2
Le terme général
$U_{n} = 5n + 3$
3
La différence
$U_{n+1} - U_{n} = 5(n + 1) + 3 - (5n + 3) = 5$
4
Conclusion
Pour tout $n,$ $U_{n+1} = U_{n} + 5$ : la suite est arithmétique de raison $5$ et de premier terme $U_{0} = 3.$

U_{n+1} = U_{n} + 5 \quad :

suite arithmétique de raison

5

L’erreur à ne pas faire

La raison de la suite $5$ ; $3$ ; $1$ ; $-1$ ; … est $2$ La raison est $3 - 5 = -2$
La raison est $U_{n+1} - U_{n}$ : le terme suivant moins le terme d'avant. Quand les termes diminuent, elle est négative.
La suite $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; … est arithmétique $2 - 1 = 1$ mais $4 - 2 = 2$ : elle n'est pas arithmétique
Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre ; ici on multiplie par $2.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Suite arithmétique, ma3neha : bech net3addew men ayy terme lelli ba3dou, nzidou dima nafs le réel r. Nektbou : U indice (n plus un) égale U indice n, plus r, pour tout entier naturel n. W r nsammiwah la raison. Bech tal9a la raison, ta7seb le terme elli ba3dou moins le terme elli sab9ou. Mathalan : trois, huit, treize, dix-huit : koll marra nzidou cinq, idhan la raison égale cinq. Radd belek : la raison tnajjem tkoun négative, ki les termes yon9sou. »

Méthode

Reconnaître une suite arithmétique

Pour montrer qu'une suite $(U_{n})$ est arithmétique, on calcule la différence $U_{n+1} - U_{n}$ pour tout $n$ : si elle est égale à un même réel $r,$ qui ne dépend pas de $n,$ la suite est arithmétique de raison $r.$

Un cas à connaître. Soit $(U_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = an + b,$ où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. Alors $U_{n+1} - U_{n} = a(n + 1) + b - (an + b) = a$ : la suite $(U_{n})$ est arithmétique, de raison $a$ et de premier terme $U_{0} = b.$

Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique, il suffit de trouver deux différences de termes consécutifs qui ne sont pas égales.

le test

U_{n+1} - U_{n} = r

pour tout

n

un cas à connaître

U_{n} = an + b \;\Longrightarrow\; (U_{n})

arithmétique de raison

a

Exemple traité

Indique celles de ces suites qui sont arithmétiques : a) $U_{0} = 0$ et $U_{n+1} = U_{n} + n$ ; b) $V_{0} = -1$ et $-V_{n+1} + V_{n} + 3 = 0$ ; c) $a_{n} = \dfrac{2n^{2} + 4n + 2}{n + 1}$ ; d) $b_{0} = 2$ et $b_{n+1} = 3b_{n} + 7.$

1
Suite a
La différence $U_{n+1} - U_{n} = n$ dépend de $n$ : $U_{1} - U_{0} = 0$ mais $U_{2} - U_{1} = 1.$ Elle n'est pas arithmétique.
$U_{n+1} - U_{n} = n$
2
Suite b
On isole $V_{n+1}$ : la suite est arithmétique de raison $3.$
$V_{n+1} = V_{n} + 3$
3
Suite c
On factorise le numérateur avant de conclure : $a_{n}$ est de la forme $an + b,$ la suite est arithmétique de raison $2.$
$a_{n} = \frac{2(n + 1)^{2}}{n + 1} = 2(n + 1) = 2n + 2$
4
Suite d
Les deux premières différences ne sont pas égales : elle n'est pas arithmétique.
$b_{1} = 13 \quad ; \quad$ $b_{2} = 46 \quad ; \quad$ $b_{1} - b_{0} = 11 \quad ; \quad$ $b_{2} - b_{1} = 33$

(V_{n})

(a_{n})

sont arithmétiques, de raisons

3

2

L’erreur à ne pas faire

« $U_{1} - U_{0} = U_{2} - U_{1},$ donc la suite est arithmétique »Il faut $U_{n+1} - U_{n} = r$ pour tout entier naturel $n$
Deux différences égales ne prouvent rien pour les suivantes. En revanche, deux différences inégales suffisent à dire non.
La suite définie par $U_{n} = \dfrac{-2n + 1}{8}$ a pour raison $-2$ $U_{n} = -\dfrac{1}{4}n + \dfrac{1}{8}$ : la raison est $-\dfrac{1}{4}$ et $U_{0} = \dfrac{1}{8}$
On écrit d'abord $U_{n}$ sous la forme $an + b$ : la raison est le coefficient de $n,$ une fois la division faite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nbayynou elli suite hiya arithmétique ? Na7sbou la différence : U indice (n plus un) moins U indice n. Ken l9ina réel ma fihech n, la suite arithmétique w houwa la raison. Radd belek : lezem pour tout n, mouch 3la zouz termes bark. W a7fedh el 7ala hedhi : ken U indice n égale a n plus b, la suite arithmétique, la raison hiya a, w le premier terme houwa b. W bech nbayynou elli suite mouch arithmétique, yekfi nal9aw zouz différences mouch kif kif. »

Théorème

Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison $r.$ Alors :

$U_{n} = U_{0} + nr,$ pour tout entier naturel $n.$

On le voit sur les premiers termes : $U_{1} = U_{0} + r,$ $U_{2} = U_{0} + 2r,$ $U_{3} = U_{0} + 3r,$ … Pour aller de $U_{0}$ à $U_{n},$ on ajoute $n$ fois la raison. Grâce à cette formule, on calcule un terme lointain sans passer par tous ceux qui le précèdent.

pour tout entier naturel n

U_{n} = U_{0} + nr

Exemple traité

Soit $(U_{n})$ la suite arithmétique définie par $U_{0} = \sqrt{2}$ et $U_{n+1} = U_{n} + \dfrac{2}{5}$ pour tout entier naturel $n.$ Calcule $U_{1},$ $U_{2},$ $U_{3},$ $U_{4}$ et $U_{5},$ puis $U_{1000}.$

1
De proche en proche
On ajoute $\dfrac{2}{5}$ à chaque pas.
$U_{1} = \sqrt{2} + \frac{2}{5} \quad ; \quad$ $U_{2} = \sqrt{2} + \frac{4}{5} \quad ; \quad$ $U_{3} = \sqrt{2} + \frac{6}{5}$
2
$U_{4} = \sqrt{2} + \frac{8}{5} \quad ; \quad$ $U_{5} = \sqrt{2} + \frac{10}{5} = 2 + \sqrt{2}$
3
Le terme général
Premier terme $\sqrt{2},$ raison $\dfrac{2}{5}.$
$U_{n} = \frac{2}{5}\,n + \sqrt{2}$
4
U1000
On ne calcule pas mille termes : on applique la formule.
$U_{1000} = \frac{2}{5} \times 1000 + \sqrt{2} = 400 + \sqrt{2}$

U_{n} = \frac{2}{5}\,n + \sqrt{2} \quad ; \quad

U_{1000} = 400 + \sqrt{2}

L’erreur à ne pas faire

$U_{5} = U_{0} + 4r$ $U_{5} = U_{0} + 5r$
De $U_{0}$ à $U_{5}$ il y a cinq pas : $U_{1},$ $U_{2},$ $U_{3},$ $U_{4},$ $U_{5}.$ On ajoute la raison autant de fois que l'indice.
$U_{n} = (U_{0} + n) \times r$ $U_{n} = U_{0} + n \times r$
C'est la raison seule qui est multipliée par $n$ ; le premier terme s'ajoute ensuite.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ken la suite arithmétique, le premier terme mte3ha U indice zéro w la raison r, wa9tha U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. 3lech ? 5ater bech nouslou men U indice zéro l U indice n, nzidou la raison n marrat. Mathalan U indice zéro égale racine carrée de deux w r égale deux cinquièmes : U indice cinq égale racine carrée de deux, plus cinq fois deux cinquièmes, ya3ni deux plus racine carrée de deux. W U indice mille égale quatre cents plus racine carrée de deux. Ma 3adech lezemna na7sbou les termes el koll wa7ed wa7ed. »

Propriété

D'un terme à un autre

Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison $r.$ Alors :

$U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r,$ où $n$ et $p$ sont deux entiers naturels. En particulier, $U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r.$

On n'a donc pas besoin de $U_{0}$ : un terme quelconque et la raison suffisent. Et lorsque deux termes sont connus, la même égalité donne la raison : pour $n \ne p,$ $r = \dfrac{U_{n} - U_{p}}{n - p}.$

n et p entiers naturels

U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r

en particulier

U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r

Exemple traité

1.Soit $(U_{n})$ la suite arithmétique de raison $r = \dfrac{3}{4}$ et telle que $U_{100} = 74.$ Détermine $U_{248}.$ 2. Calcule la raison d'une suite arithmétique $(V_{n})$ sachant que $V_{15} = -12$ et $V_{24} = 15.$

1
De U100 à U248
On part de $U_{100}$ et on ajoute $248 - 100 = 148$ fois la raison.
$U_{248} = U_{100} + (248 - 100) \times \frac{3}{4}$
2
$U_{248} = 74 + 148 \times \frac{3}{4} = 74 + 111 = 185$
3
La raison
De $V_{15}$ à $V_{24},$ il y a $24 - 15 = 9$ pas.
$V_{24} = V_{15} + 9r \iff 15 = -12 + 9r$
4
$r = \frac{15 - (-12)}{24 - 15} = \frac{27}{9} = 3$

U_{248} = 185 \quad ; \quad

r = 3

L’erreur à ne pas faire

$U_{248} = 74 + 248 \times \dfrac{3}{4}$ $U_{248} = 74 + (248 - 100) \times \dfrac{3}{4} = 185$
On part de $U_{100},$ pas de $U_{0}$ : le nombre de pas est la différence des indices, $248 - 100.$
$U_{15} = -12$ et $U_{24} = 15$ donc $r = 15 - (-12) = 27$ $r = \dfrac{27}{24 - 15} = 3$
$27$ est l'écart entre deux termes séparés par $9$ pas : il faut le diviser par le nombre de pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Se3at ma na3rfouch U indice zéro, na3rfou terme e5er, U indice p. Wa9tha nesta3mlou : U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r. El fekra : men l'indice p l l'indice n, nzidou la raison n moins p marrat. Mathalan r égale trois quarts w U indice cent égale soixante-quatorze : U indice deux cent quarante-huit égale soixante-quatorze, plus cent quarante-huit fois trois quarts, ya3ni cent quatre-vingt-cinq. W b nafs la formule tal9a la raison ki ta3ref zouz termes : r égale (U indice n moins U indice p), le tout sur (n moins p). »

Propriété

Représentation graphique

Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison $r.$

Les points $A_{n}$ de coordonnées $(n, U_{n})$ sont sur la droite de pente $r$ et d'ordonnée à l'origine le premier terme $U_{0}.$

En effet $U_{n} = U_{0} + nr$ : le point $A_{n}(n, U_{n})$ vérifie l'équation $y = rx + U_{0}.$

Représenter graphiquement la suite, c'est placer les points $A_{0},$ $A_{1},$ $A_{2},$ … : des points d'abscisses entières, alignés sur cette droite.

Les points Aₙ(n, Vₙ) sont alignés sur la droite D : y = 2x + 1.

la droite qui porte les points Aₙ(n, Uₙ)

D : \; y = rx + U_{0}

Exemple traité

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit $(V_{n})$ la suite arithmétique de premier terme $V_{0} = 1$ et de raison $r = 2.$ Place les points $A_{0},$ $A_{1},$ $A_{2}$ et $A_{3},$ où $A_{n}$ est le point d'abscisse $n$ et d'ordonnée $V_{n}.$ Vérifie qu'ils sont sur une même droite $D,$ puis montre que pour tout entier $n$ le point $A_{n}$ appartient à $D.$

1
Les termes
$V_{0} = 1 \quad ; \quad$ $V_{1} = 3 \quad ; \quad$ $V_{2} = 5 \quad ; \quad$ $V_{3} = 7$
2
La droite
De $A_{0}$ à $A_{1},$ puis de $A_{1}$ à $A_{2},$ puis de $A_{2}$ à $A_{3}$ : l'abscisse augmente de $1$ et l'ordonnée de $2.$ Les quatre points sont sur la droite de pente $2$ passant par $A_{0}.$
$D : \; y = 2x + 1$
3
Pour tout n
Le terme général est $V_{n} = 1 + 2n$ : les coordonnées de $A_{n}$ vérifient l'équation de $D.$
$V_{n} = 2 \times n + 1$ donc $A_{n} \in D$

D : \; y = 2x + 1

L’erreur à ne pas faire

La représentation graphique de la suite est la droite $D$ tout entièreCe sont seulement les points $A_{0},$ $A_{1},$ $A_{2},$ … de $D,$ d'abscisses entières
Une suite n'a de termes que pour les indices entiers : il n'y a pas de terme d'indice $1{,}5.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ki n7ottou fi repère les points A indice n, elli l'abscisse mte3hom n w l'ordonnée mte3hom U indice n, nal9awhom el koll 3la droite wa7da. La pente mta3 la droite hedhi hiya la raison r, w l'ordonnée à l'origine hiya le premier terme U indice zéro. Mathalan V indice zéro égale un w r égale deux : les ordonnées houma un, trois, cinq, sept, w les points el koll 3la la droite y égale deux x plus un. Radd belek : la suite hiya les points bark, mouch la droite el koll. »

Application

Exemple : lire le premier terme et la raison sur un graphique

Dans le graphique, $D$ est la droite qui contient les points $A_{n}(n, U_{n}),$ où $(U_{n})$ est une suite.

Montre que $(U_{n})$ est une suite arithmétique, et détermine son premier terme $U_{0}$ et sa raison $r.$

La droite D contient les points Aₙ(n, Uₙ).

Exemple traité

Montre que la suite est arithmétique et donne son premier terme et sa raison.

1
Deux points de D
On lit deux points de la droite : celui d'abscisse $0$ a pour ordonnée $2,$ celui d'abscisse $4$ a pour ordonnée $0.$
2
La pente
$\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$
3
L'équation de D
L'ordonnée à l'origine est $2.$
$D : \; y = -\frac{1}{2}x + 2$
4
La suite
Le point $A_{n},$ d'abscisse $n$ et d'ordonnée $U_{n},$ est sur $D$ : $U_{n}$ est de la forme $an + b,$ donc la suite est arithmétique.
$U_{n} = -\frac{1}{2}n + 2$

U_{0} = 2 \quad ; \quad

r = -\frac{1}{2}

L’erreur à ne pas faire

La droite coupe l'axe des abscisses en $4,$ donc $U_{0} = 4$ $U_{0}$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$ : $U_{0} = 2$
Le premier terme se lit sur l'axe des ordonnées, là où $n = 0.$ Le point d'abscisse $4$ dit seulement que $U_{4} = 0.$
La droite descend de $2$ à $0,$ donc $r = -2$ Elle descend de $2$ en $4$ pas : $r = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$
La raison est la variation pour un pas : on divise l'écart des ordonnées par l'écart des abscisses.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Houni bel 3aks : 3andna la droite D, w n7ebbou nal9aw la suite. Na9raw zouz points : D tet3adda men le point d'abscisse zéro et d'ordonnée deux, w men le point d'abscisse quatre et d'ordonnée zéro. La pente égale (zéro moins deux) sur (quatre moins zéro), ya3ni moins un demi. Idhan U indice n égale moins un demi fois n, plus deux. Hedhi men la forme a n plus b, idhan la suite arithmétique : le premier terme U indice zéro égale deux, w la raison égale moins un demi. »

Activité

Pour comprendre : les huit heures du cycliste

Un cycliste a parcouru $180$ km en huit heures, et il a parcouru chaque heure $3$ km de moins que l'heure précédente.

Combien de kilomètres a-t-il parcourus chaque heure ?

Ce qu’on observe

Trouve la distance parcourue pendant chacune des huit heures.

1
Les huit distances
On note $a$ la distance de la première heure, en kilomètres. Les distances sont huit termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $-3.$
$a \;;\;$ $a - 3 \;;\;$ $a - 6 \;;\;$ $a - 9 \;;\;$ $a - 12 \;;\;$ $a - 15 \;;\;$ $a - 18 \;;\;$ $a - 21$
2
Leur somme
Huit fois $a,$ moins $3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 = 84.$
$8a - 84 = 180 \iff 8a = 264 \iff a = 33$
3
Heure par heure
$33 \;;\;$ $30 \;;\;$ $27 \;;\;$ $24 \;;\;$ $21 \;;\;$ $18 \;;\;$ $15 \;;\;$ $12$
4
Une remarque
Le premier et le dernier, le deuxième et l'avant-dernier… : chaque paire a la même somme.
$33 + 12 = 30 + 15 = 27 + 18 = 24 + 21 = 45 \quad ; \quad$ $4 \times 45 = 180$

33 \;;\;

30 \;;\;

27 \;;\;

24 \;;\;

21 \;;\;

18 \;;\;

15 \;;\;

12

(en kilomètres)

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Cycliste mcha cent quatre-vingts kilomètres fi huit heures, w koll se3a yemchi trois kilomètres a9all mel se3a elli sab9etha. Nsammiw a el masefa mta3 l'heure numéro un. Elli ba3dha : a moins trois, a moins six, 7atta a moins vingt-et-un. Ki njam3ouhom : huit a moins quatre-vingt-quatre égale cent quatre-vingts, idhan a égale trente-trois. Ya3ni : trente-trois, trente, vingt-sept, w hakka 7atta douze. W chouf 7aja behya : le premier plus le dernier égale quarante-cinq, w le deuxième plus l'avant-dernier zeda quarante-cinq. »

Méthode

Compter les termes d'une somme

Avant de calculer une somme, on compte ses termes. Détermine le nombre de termes de chacune des sommes suivantes :

$A = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100$ ;
$B = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{14} + \ldots + \dfrac{1}{121} + \dfrac{1}{122}$ ;
$C = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 73 + 75$ ;
$D = 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} + 2^{n}$ ;
$E = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n}$ ;
$F = U_{45} + U_{46} + \ldots + U_{381}.$

On retient : de l'indice $p$ à l'indice $n$ (avec $p \le n$ ), il y a $n - p + 1$ termes.

le nombre de termes

U_{p} + U_{p+1} + \ldots + U_{n} \quad : \quad n - p + 1

termes

Exemple traité

Compte les termes des six sommes.

1
A et B
De $1$ à $100$ : $100$ termes. De $12$ à $122$ : on compte les dénominateurs.
$122 - 12 + 1 = 111$
2
C
Les impairs $1,$ $3,$ …, $75$ s'écrivent $2k + 1$ avec $k$ de $0$ à $37.$
$75 = 2 \times 37 + 1$ donc $37 - 0 + 1 = 38$ termes
3
D et E
$D$ est la somme des $2^{k}$ pour $k$ de $0$ à $n$ ; $E$ va de l'indice $0$ à l'indice $n.$
$n - 0 + 1 = n + 1$ termes
4
F
$381 - 45 + 1 = 337$ termes

A : 100 \quad ; \quad

B : 111 \quad ; \quad

C : 38 \quad ; \quad

D : n + 1 \quad ; \quad

E : n + 1 \quad ; \quad

F : 337

L’erreur à ne pas faire

$U_{45} + U_{46} + \ldots + U_{381}$ a $381 - 45 = 336$ termesElle a $381 - 45 + 1 = 337$ termes
La différence des indices compte les pas, pas les termes : de $U_{45}$ à $U_{46}$ il y a un pas, mais deux termes.
$U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n}$ a $n$ termesElle a $n + 1$ termes
On commence à l'indice $0$ : $U_{0}$ compte aussi.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 9bal ma na7sbou somme, lezem na3rfou 9addech fiha men terme. Men un l cent, famma cent termes. Ama men U indice zéro l U indice n, famma n plus un termes, 5ater na7sbou U indice zéro zeda. W fel 3moum : men U indice p l U indice n, famma n moins p plus un termes. Mathalan men U indice quarante-cinq l U indice trois cent quatre-vingt-un : trois cent quatre-vingt-un moins quarante-cinq plus un, ya3ni trois cent trente-sept termes. Ma tensech el plus un. »

Théorème

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

La somme $S$ de $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique est $S = n \times \dfrac{a + b}{2},$ où $a$ est le premier terme de cette somme et $b$ est le dernier terme.

En mots : $S$ est égale au nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier terme de la somme et du dernier terme.

En particulier, pour tout entier naturel non nul $n$ : $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.$

n termes, du premier a au dernier b

S = n \times \frac{a + b}{2}

les n premiers entiers

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

Exemple traité

1.Calcule $S = 1 + 2 + \ldots + 99 + 100.$ 2. Calcule $S' = 500 + 501 + \ldots + 1999 + 2000.$

1
Deux fois S
On écrit $S$ dans les deux sens et on ajoute : $1 + 100,$ $2 + 99,$ …, $100 + 1.$ Cela fait $100$ paires de somme $101.$
$2S = 100 \times 101 = 10\,100$
2
$S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$
3
Les termes de la seconde somme
De $500$ à $2000.$
$2000 - 500 + 1 = 1501$ termes
4
La formule
Premier terme $500,$ dernier terme $2000.$
$S' = 1501 \times \frac{500 + 2000}{2} = 1501 \times 1250 = 1\,876\,250$

S = 5050 \quad ; \quad

S' = 1\,876\,250

L’erreur à ne pas faire

$500 + 501 + \ldots + 2000 = 1500 \times \dfrac{500 + 2000}{2}$ $1501 \times \dfrac{500 + 2000}{2} = 1\,876\,250$
De $500$ à $2000$ il y a $2000 - 500 + 1 = 1501$ termes : on compte les termes avant d'appliquer la formule.
$U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} = n \times \dfrac{U_{0} + U_{n}}{2}$ $U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} = (n + 1) \times \dfrac{U_{0} + U_{n}}{2}$
Dans la formule, $n$ désigne le nombre de termes, pas le dernier indice : ici il y en a $n + 1.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La somme mta3 n termes consécutifs mta3 suite arithmétique : S égale n fois (a plus b), le tout sur deux. a houwa le premier terme mta3 la somme, w b houwa le dernier. Ya3ni : le nombre de termes, fois le premier plus le dernier, le tout sur deux. 3lech ? Nektbou la somme marrtin, marra men a l b w marra men b l a. Koll zouz termes fou9 b3adhhom ya3tiw a plus b, w 3andna n menhom, idhan deux S égale n fois (a plus b). Mathalan un plus deux plus trois 7atta cent : cent fois cent un, le tout sur deux, ya3ni cinq mille cinquante. »

Application

Exemple : le prix d'un puits

On veut creuser un puits. Le premier mètre coûte $50$ dinars, le deuxième mètre coûte $60$ dinars, le troisième mètre coûte $70$ dinars et ainsi de suite, en augmentant de $10$ dinars à chaque mètre.

1.Combien coûtera le puits si l'on creuse $15$ mètres ?
2.Quelle profondeur, en nombre entier de mètres, pourrait-on atteindre si l'on disposait d'un budget de $1000$ dinars ?

Exemple traité

Les deux questions.

1
La suite des prix
Les prix des mètres successifs sont les termes d'une suite arithmétique de premier terme $50$ et de raison $10.$ Le $15^{\text{e}}$ mètre est à $14$ pas du premier.
$50 + 14 \times 10 = 190$
2
Quinze mètres
Quinze termes, du premier $50$ au dernier $190.$
$S = 15 \times \frac{50 + 190}{2} = 15 \times 120 = 1800$
3
n mètres
Le mètre numéro $n$ coûte $50 + 10(n - 1) = 10n + 40$ dinars.
$S_{n} = n \times \frac{50 + 10n + 40}{2} = n(5n + 45)$
4
Le budget
On cherche le plus grand entier $n$ tel que $n(5n + 45) \le 1000.$
$10 \times 95 = 950 \le 1000 \quad ; \quad$ $11 \times 100 = 1100 > 1000$

1800

dinars pour

15

mètres

; \quad

10

mètres avec

1000

dinars

L’erreur à ne pas faire

Le $15^{\text{e}}$ mètre coûte $50 + 15 \times 10 = 200$ dinarsIl coûte $50 + 14 \times 10 = 190$ dinars
Le premier terme est le prix du mètre numéro $1$ : du premier au quinzième il y a $14$ pas. C'est $U_{n} = U_{1} + (n - 1)r.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« N7ebbou na7frou puits : le premier mètre b cinquante dinars, w koll mètre yzid dix dinars 3la elli sab9ou. Les prix ya3mlou suite arithmétique, la raison dix. Le quinzième mètre : cinquante plus quatorze fois dix, ya3ni cent quatre-vingt-dix. Radd belek : quatorze, mouch quinze. El puits el koll : quinze fois (cinquante plus cent quatre-vingt-dix), le tout sur deux, ya3ni mille huit cents dinars. W b mille dinars, nouslou l dix mètres bark : dix mètres b neuf cent cinquante, w onze mètres b mille cent. »

Activité

Un problème pour aller plus loin : des cercles tangents

La figure représente des cercles $C_{0},$ $C_{1},$ $C_{2},$ … tangents en $O.$ Les diamètres de ces cercles sont respectivement égaux à $1$ cm, $2$ cm, $3$ cm, … On désigne par :

$a_{0}$ l'aire du disque de frontière $C_{0}$ ;
$a_{1}$ l'aire de la portion du plan comprise entre $C_{0}$ et $C_{1}$ ;
$a_{2}$ l'aire de la portion du plan comprise entre $C_{1}$ et $C_{2}$ ;
et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1,$ $a_{n}$ l'aire de la portion du plan comprise entre $C_{n-1}$ et $C_{n}.$

1.Calcule $a_{n}$ en fonction de $n.$
2.Montre que $(a_{n})$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
3.Soit $S = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}.$ Calcule $S$ de deux manières différentes.

Les cercles C₀, C₁, C₂, C₃ sont tangents en O ; leurs diamètres valent 1, 2, 3 et 4 cm.

Ce qu’on observe

Les trois questions.

1
Le grand disque
Son diamètre est $n + 1,$ son rayon $\dfrac{n + 1}{2}.$
$\pi \times \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{2} = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2}$
2
L'aire par différence
Pour $n \ge 1,$ on retranche l'aire du disque de frontière $C_{n-1}.$
$a_{n} = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2} - \frac{\pi}{4}n^{2} = \frac{\pi}{4}(2n + 1)$
3
Une suite arithmétique
La formule donne aussi $a_{0} = \dfrac{\pi}{4}.$ Elle est de la forme $an + b$ : premier terme $\dfrac{\pi}{4},$ raison $\dfrac{\pi}{2}.$
$a_{n} = \frac{\pi}{2}\,n + \frac{\pi}{4}$
4
S, première manière
Les portions réunies remplissent le disque de frontière $C_{n}.$
$S = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2}$
5
S, seconde manière
Par la formule : $n + 1$ termes, de $a_{0}$ à $a_{n}.$
$S = (n + 1) \times \frac{a_{0} + a_{n}}{2} = (n + 1) \times \frac{\pi}{8}(2n + 2) = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2}$

a_{n} = \frac{\pi \times (2n + 1)}{4} \quad ; \quad

S = \frac{\pi \times (n + 1)^{2}}{4}

L’erreur à ne pas faire

Le disque de frontière $C_{n}$ a pour aire $\pi (n + 1)^{2}$ Son aire est $\pi \times \left(\dfrac{n + 1}{2}\right)^{2} = \dfrac{\pi}{4}(n + 1)^{2}$
$n + 1$ est le diamètre : l'aire d'un disque se calcule avec le rayon, la moitié du diamètre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 3andna des cercles tangents fi O, les diamètres mte3hom un, deux, trois centimètres w hakka. a indice n hiya l'aire mta3 la portion elli bin cercle w elli ba3dou. Na7sbouha bettar7 : l'aire mta3 le disque el kbir moins l'aire mta3 es-sghir. Nal9aw a indice n égale (deux n plus un) fois pi, le tout sur quatre. Hedhi men la forme a n plus b, idhan suite arithmétique : le premier terme pi sur quatre, w la raison pi sur deux. W la somme mta3 les aires el koll hiya l'aire mta3 le disque le5er : pi fois (n plus un) au carré, le tout sur quatre. »

Activité

Un problème pour aller plus loin : la somme des cubes

On désigne par $U_{n}$ la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls : $U_{n} = 1 + 2 + \ldots + n.$

1.Montre que, pour tout entier naturel $n > 1,$ l'aire de la bande délimitée par les carrés de côtés $U_{n-1}$ et $U_{n}$ est égale à $n^{3}.$
2.Déduis-en l'égalité $1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}.$

Cette démonstration, à la fois algébrique et géométrique, est due au mathématicien Al Karagi (fin du Xᵉ siècle – début du XIᵉ siècle).

La bande comprise entre le carré de côté Uₙ₋₁ et le carré de côté Uₙ.

la somme des cubes

1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}

Ce qu’on observe

Les deux questions.

1
L'aire de la bande
Elle est la différence des aires des deux carrés.
$U_{n}^{2} - U_{n-1}^{2} = (U_{n} - U_{n-1})(U_{n} + U_{n-1})$
2
Les deux facteurs
On passe de $U_{n-1}$ à $U_{n}$ en ajoutant $n$ ; et $U_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2},$ $U_{n-1} = \dfrac{(n - 1)n}{2}.$
$U_{n} - U_{n-1} = n \quad ; \quad$ $U_{n} + U_{n-1} = \frac{n(n + 1) + n(n - 1)}{2} = n^{2}$
3
$U_{n}^{2} - U_{n-1}^{2} = n \times n^{2} = n^{3}$
4
On empile les bandes
Le carré de côté $U_{n}$ est fait du carré de côté $U_{1} = 1,$ d'aire $1^{3},$ et des bandes d'aires $2^{3},$ $3^{3},$ …, $n^{3}.$
$U_{n}^{2} = 1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3}$
5
Une vérification
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36 \quad ; \quad$ $(1 + 2 + 3)^{2} = 36$

1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nsammiw U indice n la somme : un plus deux plus trois 7atta n. Nersmou carré le côté mte3ou U indice n, w de5lou carré le côté mte3ou U indice (n moins un). La bande elli binethom, l'aire mte3ha hiya U indice n au carré, moins U indice (n moins un) au carré. Nesta3mlou l'identité a au carré moins b au carré : la différence mte3hom n, w la somme mte3hom n au carré. Idhan l'aire mta3 la bande égale n au cube. W ki njam3ou les bandes el koll, nal9aw le carré el kbir : la somme des cubes men un l n égale la somme un plus deux 7atta n, le tout au carré. »

À retenir

1.
Une suite $(U_{n})$ associe à tout entier naturel $n \ge n_{0}$ un réel unique $U_{n},$ son terme général.
2.
Une suite est définie par son terme général, ou par son premier terme et une relation de récurrence.
3.
$(U_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $U_{n+1} = U_{n} + r$ pour tout entier naturel $n.$
4.
$U_{n} = U_{0} + nr$ ; $U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r$ ; en particulier $U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r.$
5.
Les points $A_{n}(n, U_{n})$ sont sur la droite de pente $r$ et d'ordonnée à l'origine $U_{0}.$
6.
De $U_{p}$ à $U_{n},$ il y a $n - p + 1$ termes.
7.
Somme de $n$ termes consécutifs : $S = n \times \dfrac{a + b}{2},$ où $a$ est le premier terme de la somme et $b$ le dernier ; $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/37

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

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Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Calculer les termes d'une suite donnée par son terme général ou par une relation de récurrence
Reconnaître une suite arithmétique et déterminer sa raison
Utiliser les formules $U_{n} = U_{0} + nr$ et $U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r$
Représenter graphiquement une suite arithmétique et lire sa raison sur un graphique
Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Pour comprendre : des listes qui obéissent à une loi

Chacune des listes de nombres suivantes obéit à une loi. Découvre cette loi, puis donne les deux termes suivants.

a) $5$ ; $3$ ; $1$ ; $-1$ ; $-3$ ; …

b) $\dfrac{1}{4}$ ; $1$ ; $\dfrac{7}{4}$ ; $\dfrac{5}{2}$ ; $\dfrac{13}{4}$ ; …

c) $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$ ; …

d) $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; …

e) $-2$ ; $-3$ ; $-5$ ; $-9$ ; $-17$ ; …

Une liste de nombres rangés dans un ordre précis, où chaque nombre a sa place, c'est l'idée de suite : tout ce chapitre en parle.

Le piège

Dans la liste $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ , on ajoute toujours le même nombre

On ajoute $3$ , puis $5$ , puis $7$ , puis $9$ : ce sont les carrés $1^{2}$ , $2^{2}$ , $3^{2}$ , $4^{2}$ , $5^{2}$

Une loi n'est pas toujours « ajouter le même nombre » : on calcule plusieurs écarts avant de conclure.

Pour comprendre : la population d'une ville

Le diagramme en bâtons représente l'évolution de la population d'une ville de 1999 à 2004, en milliers d'habitants.

Lis sur le diagramme la population de chaque année, de 1999 à 2004.
Quelle sera la population de cette ville en 2010, si on suppose qu'elle continue à évoluer de la même façon ?
En quelle année cette population atteindra-t-elle $150\,000$ habitants ?

Population de la ville, en milliers d'habitants, de 1999 à 2004.

Le piège

En 2010 : $100 + 10 \times 2 = 120$ milliers

En 2010 : $100 + 11 \times 2 = 122$ milliers

De 1999 à 2010 il y a $2010 - 1999 = 11$ augmentations, pas $10$ : on compte les pas, pas les années écrites.

Pour comprendre : les nombres triangulaires

Les dessins représentent les quatre premiers nombres triangulaires $1$ , $3$ , $6$ et $10$ , notés respectivement $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ et $T_{4}$ .

$T_{1}$ se lit « T indice 1 », $T_{2}$ se lit « T indice 2 », et plus généralement $T_{n}$ se lit « T indice n ».

Représente le cinquième nombre triangulaire $T_{5}$ et donne sa valeur. Même question pour $T_{6}$ .
Les Pythagoriciens utilisaient des diagrammes rectangulaires pour calculer les nombres triangulaires. Un rectangle de $12$ lignes et $13$ colonnes de points se partage en deux triangles de points identiques : explique comment il permet de calculer $T_{12}$ .
Donne les valeurs de $T_{20}$ , $T_{125}$ et $T_{2006}$ .
Donne l'expression du $n$ -ième nombre triangulaire $T_{n}$ en fonction de $n$ .

Les quatre premiers nombres triangulaires.

T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}

Le piège

$T_{12} = 12 \times 13 = 156$

$T_{12} = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78$

Le rectangle contient deux triangles : $12 \times 13$ est le double de $T_{12}$ .

Pour comprendre : une spirale de triangles rectangles

Dans la figure :

le triangle $OA_{1}A_{2}$ est rectangle en $A_{1}$ et tel que $OA_{1} = A_{1}A_{2} = 1$ ;
le triangle $OA_{2}A_{3}$ est rectangle en $A_{2}$ et tel que $A_{2}A_{3} = 1$ ;
et ainsi de suite.

On pose $a_{1} = \text{aire}(OA_{1}A_{2})$ , $a_{2} = \text{aire}(OA_{2}A_{3})$ , …, $a_{n} = \text{aire}(OA_{n}A_{n+1})$ .

Calcule $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ et $a_{5}$ .
Conjecture l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$ .

Chaque triangle s'appuie sur l'hypoténuse du précédent ; les côtés A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄… mesurent tous 1.

a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}

Suite de nombres réels

On retient la définition suivante :

Soit $n_{0}$ un entier naturel. Lorsqu'à tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_{0}$ on associe un réel unique $U(n)$ , on dit que l'on a défini une suite de nombres réels. Le réel $U(n)$ s'appelle le terme général de la suite et se note $U_{n}$ . La suite se note $(U_{n})_{n \ge n_{0}}$ ou $(U_{n})$ .

L'entier $n$ est l'indice du terme $U_{n}$ . Attention aux parenthèses : $U_{n}$ est un nombre, le terme d'indice $n$ ; $(U_{n})$ désigne la suite tout entière.

U_{n} \quad (n \ge n_{0})

Le piège

« $U_{n}$ est une suite »

« $(U_{n})$ est une suite, et $U_{n}$ est son terme d'indice $n$ »

Sans parenthèses, $U_{n}$ est un seul nombre ; quand on l'écrit entre parenthèses, on désigne la suite de tous ces nombres.

Le piège

La suite des inverses commence par $U_{0} = \dfrac{1}{0}$

Elle commence par $U_{1} = 1$ : ici $n_{0} = 1$

Une suite ne commence pas toujours à l'indice $0$ : elle commence au premier indice $n_{0}$ pour lequel le terme existe.

Exemple : calculer des termes et changer d'indice

Soit la suite $(U_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = \dfrac{3n + 1}{4}$ .

Calcule $U_{0}$ , $U_{1}$ , $U_{5}$ et $U_{100}$ .
Détermine le premier terme, le cinquième terme et le centième terme de cette suite.
Détermine l'expression de $U_{p+1}$ , $U_{2n}$ et $U_{3k+2}$ .

Quand une suite est donnée par son terme général, on calcule n'importe quel terme en remplaçant $n$ par l'indice voulu — un nombre, ou une expression tout entière.

Le piège

Le cinquième terme est $U_{5}$

Le cinquième terme est $U_{4}$ , car la suite commence à $U_{0}$

Quand le premier terme est $U_{0}$ , le terme de rang $k$ est $U_{k-1}$ : l'indice a un de retard sur le rang.

Le piège

$U_{p+1} = U_{p} + 1 = \dfrac{3p + 1}{4} + 1$

$U_{p+1} = \dfrac{3(p + 1) + 1}{4} = \dfrac{3p + 4}{4}$

On remplace $n$ par $p + 1$ dans la formule : on n'ajoute pas $1$ au terme $U_{p}$ .

Deux façons de présenter une suite

Une suite peut être définie par :

son terme général ;

son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à l'aide du terme précédent. Cette relation est appelée relation de récurrence.

Avec le terme général, on calcule directement n'importe quel terme : $U_{n} = 2^{n} + n$ donne tout de suite $U_{10} = 1024 + 10 = 1034$ . Avec une relation de récurrence, on avance de proche en proche : pour connaître un terme, il faut d'abord celui qui le précède.

U_{n} = 2^{n} + n

t_{0} = 2 \quad \text{et} \quad t_{n+1} = \frac{1}{2}\,t_{n} - 3

Le piège

$t_{3} = \dfrac{1}{2} \times 3 - 3$

$t_{3} = \dfrac{1}{2} \times t_{2} - 3 = \dfrac{1}{2} \times (-4) - 3 = -5$

Dans une relation de récurrence, on remplace $t_{n}$ par la valeur du terme précédent, pas par son indice.

Pour comprendre : une aire qui grandit régulièrement

Dans un repère, on trace la droite d'équation $y = x + 2$ . Pour tout entier naturel $n$ , on désigne par $a_{n}$ l'aire du domaine limité par cette droite, l'axe des abscisses et les deux verticales passant par les points d'abscisses $n$ et $n + 1$ .

Calcule $a_{0}$ .
Donne l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$ .
Calcule $a_{n+1} - a_{n}$ .

Le domaine d'aire aₙ : sous la droite y = x + 2, entre les abscisses n et n + 1.

Suite arithmétique

On retient la définition suivante :

On dit qu'une suite $(U_{n})$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , on a $U_{n+1} = U_{n} + r$ . Le nombre réel $r$ est appelé raison de cette suite.

Remarque. Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , … sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique, on dit qu'ils sont en progression arithmétique.

Autrement dit : on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , et $r = U_{n+1} - U_{n}$ .

U_{n+1} = U_{n} + r

r = U_{n+1} - U_{n}

Le piège

La raison de la suite $5$ ; $3$ ; $1$ ; $-1$ ; … est $2$

La raison est $3 - 5 = -2$

La raison est $U_{n+1} - U_{n}$ : le terme suivant moins le terme d'avant. Quand les termes diminuent, elle est négative.

Le piège

La suite $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; … est arithmétique

$2 - 1 = 1$ mais $4 - 2 = 2$ : elle n'est pas arithmétique

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre ; ici on multiplie par $2$ .

Reconnaître une suite arithmétique

Pour montrer qu'une suite $(U_{n})$ est arithmétique, on calcule la différence $U_{n+1} - U_{n}$ pour tout $n$ : si elle est égale à un même réel $r$ , qui ne dépend pas de $n$ , la suite est arithmétique de raison $r$ .

Un cas à connaître. Soit $(U_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = an + b$ , où $a$ et $b$ sont deux réels donnés. Alors $U_{n+1} - U_{n} = a(n + 1) + b - (an + b) = a$ : la suite $(U_{n})$ est arithmétique, de raison $a$ et de premier terme $U_{0} = b$ .

Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique, il suffit de trouver deux différences de termes consécutifs qui ne sont pas égales.

U_{n+1} - U_{n} = r \quad \text{pour tout } n

U_{n} = an + b \;\Longrightarrow\; (U_{n}) \text{ arithmétique de raison } a

Le piège

« $U_{1} - U_{0} = U_{2} - U_{1}$ , donc la suite est arithmétique »

Il faut $U_{n+1} - U_{n} = r$ pour tout entier naturel $n$

Deux différences égales ne prouvent rien pour les suivantes. En revanche, deux différences inégales suffisent à dire non.

Le piège

La suite définie par $U_{n} = \dfrac{-2n + 1}{8}$ a pour raison $-2$

$U_{n} = -\dfrac{1}{4}n + \dfrac{1}{8}$ : la raison est $-\dfrac{1}{4}$ et $U_{0} = \dfrac{1}{8}$

On écrit d'abord $U_{n}$ sous la forme $an + b$ : la raison est le coefficient de $n$ , une fois la division faite.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison $r$ . Alors :

$U_{n} = U_{0} + nr$ , pour tout entier naturel $n$ .

On le voit sur les premiers termes : $U_{1} = U_{0} + r$ , $U_{2} = U_{0} + 2r$ , $U_{3} = U_{0} + 3r$ , … Pour aller de $U_{0}$ à $U_{n}$ , on ajoute $n$ fois la raison. Grâce à cette formule, on calcule un terme lointain sans passer par tous ceux qui le précèdent.

U_{n} = U_{0} + nr

Le piège

$U_{5} = U_{0} + 4r$

$U_{5} = U_{0} + 5r$

De $U_{0}$ à $U_{5}$ il y a cinq pas : $U_{1}$ , $U_{2}$ , $U_{3}$ , $U_{4}$ , $U_{5}$ . On ajoute la raison autant de fois que l'indice.

Le piège

$U_{n} = (U_{0} + n) \times r$

$U_{n} = U_{0} + n \times r$

C'est la raison seule qui est multipliée par $n$ ; le premier terme s'ajoute ensuite.

D'un terme à un autre

Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison $r$ . Alors :

$U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r$ , où $n$ et $p$ sont deux entiers naturels. En particulier, $U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r$ .

On n'a donc pas besoin de $U_{0}$ : un terme quelconque et la raison suffisent. Et lorsque deux termes sont connus, la même égalité donne la raison : pour $n \ne p$ , $r = \dfrac{U_{n} - U_{p}}{n - p}$ .

U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r

U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r

Le piège

$U_{248} = 74 + 248 \times \dfrac{3}{4}$

$U_{248} = 74 + (248 - 100) \times \dfrac{3}{4} = 185$

On part de $U_{100}$ , pas de $U_{0}$ : le nombre de pas est la différence des indices, $248 - 100$ .

Le piège

$U_{15} = -12$ et $U_{24} = 15$ donc $r = 15 - (-12) = 27$

$r = \dfrac{27}{24 - 15} = 3$

$27$ est l'écart entre deux termes séparés par $9$ pas : il faut le diviser par le nombre de pas.

Représentation graphique

Soit $(U_{n})$ une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison $r$ .

Les points $A_{n}$ de coordonnées $(n, U_{n})$ sont sur la droite de pente $r$ et d'ordonnée à l'origine le premier terme $U_{0}$ .

En effet $U_{n} = U_{0} + nr$ : le point $A_{n}(n, U_{n})$ vérifie l'équation $y = rx + U_{0}$ .

Représenter graphiquement la suite, c'est placer les points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , … : des points d'abscisses entières, alignés sur cette droite.

Les points Aₙ(n, Vₙ) sont alignés sur la droite D : y = 2x + 1.

D : \; y = rx + U_{0}

Le piège

La représentation graphique de la suite est la droite $D$ tout entière

Ce sont seulement les points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , … de $D$ , d'abscisses entières

Une suite n'a de termes que pour les indices entiers : il n'y a pas de terme d'indice $1{,}5$ .

Exemple : lire le premier terme et la raison sur un graphique

Dans le graphique, $D$ est la droite qui contient les points $A_{n}(n, U_{n})$ , où $(U_{n})$ est une suite.

Montre que $(U_{n})$ est une suite arithmétique, et détermine son premier terme $U_{0}$ et sa raison $r$ .

La droite D contient les points Aₙ(n, Uₙ).

Le piège

La droite coupe l'axe des abscisses en $4$ , donc $U_{0} = 4$

$U_{0}$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$ : $U_{0} = 2$

Le premier terme se lit sur l'axe des ordonnées, là où $n = 0$ . Le point d'abscisse $4$ dit seulement que $U_{4} = 0$ .

Le piège

La droite descend de $2$ à $0$ , donc $r = -2$

Elle descend de $2$ en $4$ pas : $r = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$

La raison est la variation pour un pas : on divise l'écart des ordonnées par l'écart des abscisses.

Pour comprendre : les huit heures du cycliste

Un cycliste a parcouru $180$ km en huit heures, et il a parcouru chaque heure $3$ km de moins que l'heure précédente.

Combien de kilomètres a-t-il parcourus chaque heure ?

Compter les termes d'une somme

Avant de calculer une somme, on compte ses termes. Détermine le nombre de termes de chacune des sommes suivantes :

$A = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100$ ;
$B = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{14} + \ldots + \dfrac{1}{121} + \dfrac{1}{122}$ ;
$C = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 73 + 75$ ;
$D = 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} + 2^{n}$ ;
$E = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n}$ ;
$F = U_{45} + U_{46} + \ldots + U_{381}$ .

On retient : de l'indice $p$ à l'indice $n$ (avec $p \le n$ ), il y a $n - p + 1$ termes.

U_{p} + U_{p+1} + \ldots + U_{n} \quad : \quad n - p + 1 \text{ termes}

Le piège

$U_{45} + U_{46} + \ldots + U_{381}$ a $381 - 45 = 336$ termes

Elle a $381 - 45 + 1 = 337$ termes

La différence des indices compte les pas, pas les termes : de $U_{45}$ à $U_{46}$ il y a un pas, mais deux termes.

Le piège

$U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n}$ a $n$ termes

Elle a $n + 1$ termes

On commence à l'indice $0$ : $U_{0}$ compte aussi.

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

La somme $S$ de $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique est $S = n \times \dfrac{a + b}{2}$ , où $a$ est le premier terme de cette somme et $b$ est le dernier terme.

En mots : $S$ est égale au nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier terme de la somme et du dernier terme.

En particulier, pour tout entier naturel non nul $n$ : $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ .

S = n \times \frac{a + b}{2}

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

Le piège

$500 + 501 + \ldots + 2000 = 1500 \times \dfrac{500 + 2000}{2}$

$1501 \times \dfrac{500 + 2000}{2} = 1\,876\,250$

De $500$ à $2000$ il y a $2000 - 500 + 1 = 1501$ termes : on compte les termes avant d'appliquer la formule.

Le piège

$U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} = n \times \dfrac{U_{0} + U_{n}}{2}$

$U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} = (n + 1) \times \dfrac{U_{0} + U_{n}}{2}$

Dans la formule, $n$ désigne le nombre de termes, pas le dernier indice : ici il y en a $n + 1$ .

Exemple : le prix d'un puits

Combien coûtera le puits si l'on creuse $15$ mètres ?
Quelle profondeur, en nombre entier de mètres, pourrait-on atteindre si l'on disposait d'un budget de $1000$ dinars ?

Le piège

Le $15^{\text{e}}$ mètre coûte $50 + 15 \times 10 = 200$ dinars

Il coûte $50 + 14 \times 10 = 190$ dinars

Le premier terme est le prix du mètre numéro $1$ : du premier au quinzième il y a $14$ pas. C'est $U_{n} = U_{1} + (n - 1)r$ .

Un problème pour aller plus loin : des cercles tangents

La figure représente des cercles $C_{0}$ , $C_{1}$ , $C_{2}$ , … tangents en $O$ . Les diamètres de ces cercles sont respectivement égaux à $1$ cm, $2$ cm, $3$ cm, … On désigne par :

$a_{0}$ l'aire du disque de frontière $C_{0}$ ;
$a_{1}$ l'aire de la portion du plan comprise entre $C_{0}$ et $C_{1}$ ;
$a_{2}$ l'aire de la portion du plan comprise entre $C_{1}$ et $C_{2}$ ;
et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ , $a_{n}$ l'aire de la portion du plan comprise entre $C_{n-1}$ et $C_{n}$ .

Calcule $a_{n}$ en fonction de $n$ .
Montre que $(a_{n})$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
Soit $S = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}$ . Calcule $S$ de deux manières différentes.

Les cercles C₀, C₁, C₂, C₃ sont tangents en O ; leurs diamètres valent 1, 2, 3 et 4 cm.

Le piège

Le disque de frontière $C_{n}$ a pour aire $\pi (n + 1)^{2}$

Son aire est $\pi \times \left(\dfrac{n + 1}{2}\right)^{2} = \dfrac{\pi}{4}(n + 1)^{2}$

$n + 1$ est le diamètre : l'aire d'un disque se calcule avec le rayon, la moitié du diamètre.

Un problème pour aller plus loin : la somme des cubes

On désigne par $U_{n}$ la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls : $U_{n} = 1 + 2 + \ldots + n$ .

Montre que, pour tout entier naturel $n > 1$ , l'aire de la bande délimitée par les carrés de côtés $U_{n-1}$ et $U_{n}$ est égale à $n^{3}$ .
Déduis-en l'égalité $1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}$ .

Cette démonstration, à la fois algébrique et géométrique, est due au mathématicien Al Karagi (fin du Xᵉ siècle – début du XIᵉ siècle).

La bande comprise entre le carré de côté Uₙ₋₁ et le carré de côté Uₙ.

1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}

À retenir

Une suite $(U_{n})$ associe à tout entier naturel $n \ge n_{0}$ un réel unique $U_{n}$ , son terme général.
Une suite est définie par son terme général, ou par son premier terme et une relation de récurrence.
$(U_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si $U_{n+1} = U_{n} + r$ pour tout entier naturel $n$ .
$U_{n} = U_{0} + nr$ ; $U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r$ ; en particulier $U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r$ .
Les points $A_{n}(n, U_{n})$ sont sur la droite de pente $r$ et d'ordonnée à l'origine $U_{0}$ .
De $U_{p}$ à $U_{n}$ , il y a $n - p + 1$ termes.
Somme de $n$ termes consécutifs : $S = n \times \dfrac{a + b}{2}$ , où $a$ est le premier terme de la somme et $b$ le dernier ; $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ .

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : des listes qui obéissent à une loi

Pour comprendre : la population d'une ville

Pour comprendre : les nombres triangulaires

Pour comprendre : une spirale de triangles rectangles

Suite de nombres réels

Exemple : calculer des termes et changer d'indice

Deux façons de présenter une suite

Pour comprendre : une aire qui grandit régulièrement

Suite arithmétique

Reconnaître une suite arithmétique

Terme général d'une suite arithmétique

D'un terme à un autre

Représentation graphique

Exemple : lire le premier terme et la raison sur un graphique

Pour comprendre : les huit heures du cycliste

Compter les termes d'une somme

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Exemple : le prix d'un puits

Un problème pour aller plus loin : des cercles tangents

Un problème pour aller plus loin : la somme des cubes

À toi, au tableau

Continuer une liste

Lire des ordonnées sur une droite

La population en 2010

Calculer un terme

Une relation de récurrence

Lire la raison

L'année des 150 000 habitants

Trouver l'indice

Un signe qui alterne

Changer d'indice

Une fraction qui cache une suite arithmétique

Un terme avec une racine

Deux informations, deux inconnues

L'aspirateur

Des vingt premiers aux cent premiers

Les multiples de 7

Les pièces partagées

La table de multiplication

L'arroseur des peupliers

Un terme commun à trois suites

Dix millions

Une somme qui se télescope

Passer par l'inverse

Quatre termes, somme et carrés

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : des listes qui obéissent à une loi

Pour comprendre : la population d'une ville

Pour comprendre : les nombres triangulaires

Pour comprendre : une spirale de triangles rectangles

Suite de nombres réels

Exemple : calculer des termes et changer d'indice

Deux façons de présenter une suite

Pour comprendre : une aire qui grandit régulièrement

Suite arithmétique

Reconnaître une suite arithmétique

Terme général d'une suite arithmétique

D'un terme à un autre

Représentation graphique

Exemple : lire le premier terme et la raison sur un graphique

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Compter les termes d'une somme

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Exemple : le prix d'un puits

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À retenir