Suites géométriques

Suite géométrique et raison (Uₙ₊₁ = q Uₙ), progression géométrique, reconnaître une suite géométrique, pourcentages et intérêts composés, cas q = 1, U₀ = 0 et q = 0, terme général Vₙ = V₀ qⁿ et Vₙ = Vₚ qⁿ⁻ᵖ, retrouver la raison, représentation graphique, somme 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q), somme de n termes consécutifs S = a(1 − qⁿ)/(1 − q), moyenne géométrique.

20 sections · 102 exercices

Suites géométriques

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Un loyer qui augmente de 5 % par an, un capital placé à intérêts composés, une aire divisée par deux à chaque étape : dans ces situations, on passe d'un nombre au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Ce sont des suites géométriques.

Ce chapitre apprend à les reconnaître, à calculer n'importe lequel de leurs termes sans passer par tous les autres, et à additionner d'un seul coup leurs termes consécutifs.

À la fin de ce chapitre, tu sais

Reconnaître une suite géométrique et déterminer sa raison
Utiliser les formules $V_{n} = V_{0} \times q^{n}$ et $V_{n} = V_{p} \times q^{\,n-p}$
Retrouver la raison ou l'indice à partir de termes connus
Lire le premier terme et la raison d'une suite géométrique sur un graphique
Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Activité

Pour comprendre : un loyer qui augmente

Une maison a été louée, au 1ᵉʳ janvier 2005, à $200$ dinars par mois. Le contrat de location prévoit une augmentation annuelle de $5\,\%$ du loyer.

1.Détermine le loyer mensuel de cette maison en 2006, en 2007 et en 2008.
2.En quelle année le loyer dépassera-t-il $240$ dinars ?

Ce qu’on observe

Le loyer est de $200$ dinars par mois en 2005 et il augmente de $5\,\%$ chaque année. Calcule le loyer en 2006, en 2007 et en 2008, puis trouve l'année où il dépasse $240$ dinars.

1
Augmenter de 5 pour cent
Augmenter un nombre de $5\,\%,$ c'est le multiplier par $1{,}05.$
$x + \frac{5}{100}\,x = 1{,}05 \times x$
2
En 2006
$200 \times 1{,}05 = 210$
3
En 2007
$210 \times 1{,}05 = 220{,}5$
4
En 2008
$220{,}5 \times 1{,}05 = 231{,}525$
5
En 2009
On continue : le loyer dépasse $240$ dinars pour la première fois.
$231{,}525 \times 1{,}05 = 243{,}10125 > 240$
6
Conclusion
On passe du loyer d'une année à celui de l'année suivante en multipliant toujours par le même nombre, $1{,}05.$

210 \quad ; \quad

220{,}5 \quad ; \quad

231{,}525 \quad ;

le loyer dépasse

240

dinars en

2009

L’erreur à ne pas faire

Le loyer augmente de $10$ dinars chaque année : $200$ ; $210$ ; $220$ ; $230$ $200$ ; $210$ ; $220{,}5$ ; $231{,}525$
Les $5\,\%$ se calculent chaque année sur le dernier loyer, pas sur celui de 2005 : l'augmentation grandit d'une année à l'autre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Dar tekrat fi deux mille cinq b deux cents dinars fel chhar, w koll 3am el kra yzid cinq pour cent. Rodd belek : ki nzidou cinq pour cent, ma3neha nadhrbou fi un virgule zéro cinq. Fi deux mille six : deux cents fois un virgule zéro cinq, ya3ni deux cent dix dinars. Fi deux mille sept : deux cent vingt virgule cinq. W fi deux mille huit : deux cent trente-et-un virgule cinq cent vingt-cinq. Bech net3addew men 3am lelli ba3dou, nadhrbou dima fi nafs le nombre. W fi deux mille neuf, el kra yfout deux cent quarante dinars. »

Activité

Pour comprendre : des carrés emboîtés

On construit un carré de côté $1,$ puis on en construit un second en reliant les milieux des côtés du premier. En répétant ce procédé, on trace à chaque fois un nouveau carré.

1.Détermine l'aire du deuxième carré, du troisième carré, du quatrième carré et du cinquième carré.
2.Quelle est l'aire du douzième carré ?
3.Parmi ces carrés, y en a-t-il un dont l'aire est le dixième de l'aire du carré initial ?

Chaque carré relie les milieux des côtés du précédent.

Ce qu’on observe

Le premier carré a pour côté $1.$ Chaque nouveau carré relie les milieux des côtés du précédent. Calcule l'aire du deuxième au cinquième carré, puis celle du douzième, et dis si l'un des carrés a pour aire $\dfrac{1}{10}.$

1
D'un carré au suivant
Si un carré a pour côté $c,$ le côté du carré suivant est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent $\dfrac{c}{2}.$ Son aire est le carré de cette hypoténuse.
$\left(\frac{c}{2}\right)^{2} + \left(\frac{c}{2}\right)^{2} = \frac{c^{2}}{2}$
2
Les premières aires
L'aire est divisée par $2$ à chaque étape. Voici les aires, du premier au cinquième carré.
$1 \quad ; \quad$ $\frac{1}{2} \quad ; \quad$ $\frac{1}{4} \quad ; \quad$ $\frac{1}{8} \quad ; \quad$ $\frac{1}{16}$
3
Le douzième carré
Du premier au douzième carré, on a multiplié onze fois par $\dfrac{1}{2}.$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{11} = \frac{1}{2048}$
4
Le dixième ?
Les aires diminuent, et $\dfrac{1}{10}$ tombe entre deux aires qui se suivent : aucun carré n'a cette aire.
$\frac{1}{16} < \frac{1}{10} < \frac{1}{8}$

\frac{1}{2} \; ; \;

\frac{1}{4} \; ; \;

\frac{1}{8} \; ; \;

\frac{1}{16} \quad ;

douzième carré :

\frac{1}{2048} \quad ;

aucun carré d'aire

\frac{1}{10}

L’erreur à ne pas faire

L'aire du douzième carré est $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}$ C'est $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{11} = \dfrac{1}{2048}$
Le premier carré a pour aire $1$ : pour arriver au douzième, on ne multiplie que onze fois par $\dfrac{1}{2}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la figure : carré, le côté mte3ou un. Ne5dhou les milieux mta3 les côtés w norbtouhom : yatla3lna carré jdid fi wostou. W n3awdou nafs el 5edma koll marra. Le carré el jdid, l'aire mte3ou hiya el noss mta3 l'aire mta3 le carré elli sab9ou. Idhan les aires houma : un, un demi, un quart, un huitième, un seizième. Koll marra nadhrbou fi un demi. W l'aire mta3 le douzième carré hiya un demi puissance onze, ya3ni un sur deux mille quarante-huit. W ma fammech carré l'aire mte3ou un dixième, 5ater un dixième bin un huitième w un seizième. »

Activité

Pour comprendre : les triangles complémentaires

Soit $ABC$ un triangle. On désigne par $P_{0}$ son périmètre et par $t_{1}$ le triangle dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle $ABC.$ On dit que $t_{1}$ est le triangle complémentaire de $ABC.$

1.Soit $P_{1}$ le périmètre du triangle $t_{1}.$ Exprime $P_{1}$ en fonction de $P_{0}.$
2.Soient $t_{2}$ le triangle complémentaire de $t_{1}$ et $t_{3}$ le triangle complémentaire de $t_{2},$ de périmètres $P_{2}$ et $P_{3}.$ Exprime $P_{2}$ en fonction de $P_{1}$ et $P_{3}$ en fonction de $P_{2}.$
3.Pour un entier naturel non nul $n,$ on désigne par $t_{n}$ le triangle complémentaire de $t_{n-1},$ et par $P_{n}$ et $P_{n-1}$ leurs périmètres. Exprime $P_{n}$ en fonction de $P_{n-1}.$
4.On donne $P_{0} = 384.$ Calcule $P_{1},$ $P_{2}$ et $P_{5}.$

Le triangle complémentaire joint les milieux des côtés.

pour tout entier naturel non nul n

P_{n} = \frac{1}{2} \times P_{n-1}

Ce qu’on observe

$t_{1}$ est le triangle des milieux des côtés de $ABC,$ $t_{2}$ celui des milieux des côtés de $t_{1},$ et ainsi de suite. Exprime $P_{n}$ en fonction de $P_{n-1},$ puis calcule $P_{1},$ $P_{2}$ et $P_{5}$ quand $P_{0} = 384.$

1
Les milieux
Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté. Chaque côté de $t_{1}$ est donc la moitié d'un côté de $ABC.$
$P_{1} = \frac{1}{2} \times P_{0}$
2
À chaque étape
Le même raisonnement vaut d'un triangle au suivant.
$P_{2} = \frac{1}{2} \times P_{1} \quad ; \quad$ $P_{3} = \frac{1}{2} \times P_{2} \quad ; \quad$ $P_{n} = \frac{1}{2} \times P_{n-1}$
3
Avec 384
$P_{1} = 192 \quad ; \quad$ $P_{2} = 96$
4
P5
On continue à diviser par $2$ : $P_{3} = 48,$ $P_{4} = 24.$
$P_{5} = \frac{384}{2^{5}} = \frac{384}{32} = 12$

P_{n} = \frac{1}{2} \times P_{n-1} \quad ; \quad

P_{1} = 192 \quad ; \quad

P_{2} = 96 \quad ; \quad

P_{5} = 12

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la figure : triangle A B C, le périmètre mte3ou P indice zéro. Norbtou les milieux mta3 les côtés, yatla3lna triangle sghir fi wostou, nsammiwah le triangle complémentaire. Koll côté mte3ou houwa el noss mta3 côté mta3 A B C. Idhan P indice un égale un demi fois P indice zéro. W ki n3awdou : P indice deux égale un demi fois P indice un, w hakka dima. Koll marra nadhrbou fi un demi. Ken P indice zéro égale trois cent quatre-vingt-quatre : P indice un égale cent quatre-vingt-douze, P indice deux égale quatre-vingt-seize, w P indice cinq égale douze. »

Activité

Pour comprendre : les intérêts composés

Au 1ᵉʳ janvier 2004, on a placé un capital de $10\,000$ dinars dans une banque, au taux d'intérêts composés de $4\,\%$ : chaque année, les intérêts se calculent sur le dernier capital.

On note $C_{0}$ le capital initial ( $C_{0} = 10\,000$ dinars), $C_{1}$ le capital après une année, $C_{2}$ le capital après deux années et $C_{3}$ le capital après trois années.

1.Calcule $C_{1},$ $C_{2}$ et $C_{3}.$
2.On désigne par $C_{n}$ le capital après $n$ années. Trouve une relation entre $C_{n+1}$ et $C_{n}.$

chaque année, le capital est multiplié par 1,04

C_{n+1} = 1{,}04 \times C_{n}

Ce qu’on observe

Un capital $C_{0} = 10\,000$ dinars est placé à intérêts composés au taux de $4\,\%$ par an. Calcule $C_{1},$ $C_{2}$ et $C_{3},$ puis écris la relation entre $C_{n+1}$ et $C_{n}.$

1
Après une année
On ajoute au capital ses intérêts, soit $4\,\%$ de $10\,000.$
$C_{1} = 10\,000 + \frac{4}{100} \times 10\,000 = 10\,400$
2
Après deux années
Les intérêts se calculent maintenant sur $10\,400.$
$C_{2} = 10\,400 \times 1{,}04 = 10\,816$
3
Après trois années
$C_{3} = 10\,816 \times 1{,}04 = 11\,248{,}64$
4
La relation
D'une année à la suivante : $C_{n+1} = C_{n} + \dfrac{4}{100}\,C_{n}.$
$C_{n+1} = 1{,}04 \times C_{n}$

C_{1} = 10\,400 \quad ; \quad

C_{2} = 10\,816 \quad ; \quad

C_{3} = 11\,248{,}64 \quad ; \quad

C_{n+1} = 1{,}04 \times C_{n}

L’erreur à ne pas faire

$C_{2} = 10\,400 + 400 = 10\,800$ $C_{2} = 10\,400 \times 1{,}04 = 10\,816$
À intérêts composés, les intérêts de la deuxième année se calculent sur $10\,400,$ pas sur le capital de départ : ils valent $416$ dinars, pas $400.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 7attina fel banka capital : dix mille dinars, b intérêts composés, quatre pour cent fel 3am. Ma3neha koll 3am les intérêts yet7asbou 3la e5er capital. Ba3d 3am : C indice un égale dix mille fois un virgule zéro quatre, ya3ni dix mille quatre cents. Ba3d 3amin : C indice deux égale dix mille quatre cents fois un virgule zéro quatre, ya3ni dix mille huit cent seize. W ba3d trois ans : C indice trois égale onze mille deux cent quarante-huit virgule soixante-quatre. Chouf : koll marra nadhrbou fi un virgule zéro quatre. Nektbou : C indice (n plus un) égale un virgule zéro quatre fois C indice n. »

Définition

Suite géométrique

On retient la définition suivante :

On dit qu'une suite $(U_{n})$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n,$ on a $U_{n+1} = q\,U_{n}.$ Le nombre réel $q$ est appelé raison de cette suite.

Remarque. Si $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ … sont des termes consécutifs d'une suite géométrique, on dit qu'ils sont en progression géométrique.

Autrement dit : on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q.$

pour tout entier naturel n

U_{n+1} = q \times U_{n}

Exemple traité

La suite $(U_{n})$ est définie par $U_{0} = -1$ et, pour tout entier naturel $n,$ $3U_{n+1} - 2U_{n} = 0.$ Montre qu'elle est géométrique, donne sa raison et calcule $U_{1},$ $U_{2}$ et $U_{3}.$

1
Isoler le terme suivant
$3U_{n+1} = 2U_{n} \iff U_{n+1} = \frac{2}{3} \times U_{n}$
2
Conclusion
Pour tout $n,$ on passe de $U_{n}$ à $U_{n+1}$ en multipliant par $\dfrac{2}{3}$ : la suite est géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$ et de premier terme $U_{0} = -1.$
3
Les premiers termes
$U_{1} = -\frac{2}{3} \quad ; \quad$ $U_{2} = -\frac{4}{9} \quad ; \quad$ $U_{3} = -\frac{8}{27}$

U_{n+1} = \frac{2}{3} \times U_{n} \quad :

suite géométrique de raison

\frac{2}{3}

L’erreur à ne pas faire

La raison de la suite géométrique $2$ ; $6$ ; $18$ ; $54$ ; … est $4$ La raison est $3,$ car $6 = 3 \times 2$
Dans une suite géométrique, on multiplie pour passer au terme suivant : la raison se lit sur un quotient, pas sur une différence.
La suite $3$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; … est géométrique $6 = 2 \times 3$ mais $9 = 1{,}5 \times 6$ : elle n'est pas géométrique
Ici on ajoute $3$ à chaque fois : c'est une suite arithmétique. Dans une suite géométrique, le multiplicateur ne change jamais.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Suite géométrique, ma3neha : bech net3addew men ayy terme lelli ba3dou, nadhrbou dima fi nafs le réel q. Nektbou : U indice (n plus un) égale q fois U indice n, pour tout entier naturel n. W q nsammiwah la raison. Mathalan : deux, six, dix-huit, cinquante-quatre : koll marra nadhrbou fi trois, idhan la raison égale trois. W ki des termes consécutifs ykounou hakka, n9oulou houma en progression géométrique. Rodd belek : fel suite arithmétique nzidou la raison, amma fel suite géométrique nadhrbou fi la raison. »

Méthode

Reconnaître une suite géométrique

Pour montrer qu'une suite $(U_{n})$ est géométrique, on écrit $U_{n+1}$ sous la forme $q \times U_{n},$ où $q$ est un réel qui ne dépend pas de $n$ . Quand tous les termes sont non nuls, cela revient à montrer que le quotient $\dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}$ est le même pour tout $n.$

Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de trouver deux passages qui ne se font pas avec le même multiplicateur : par exemple $\dfrac{U_{1}}{U_{0}} \neq \dfrac{U_{2}}{U_{1}}.$

le même quotient pour tout n (termes non nuls)

\frac{U_{n+1}}{U_{n}} = q

Exemple traité

Dis si chacune des suites suivantes est géométrique. a) $U_{n} = 2 \times 3^{n}$ pour tout entier naturel $n.$ b) $V_{0} = 3$ et $V_{n+1} = (V_{n})^{2}$ pour tout entier naturel $n.$

1
a) Le terme suivant
On écrit $U_{n+1}$ et on y fait apparaître $U_{n}.$
$U_{n+1} = 2 \times 3^{n+1} = 3 \times (2 \times 3^{n}) = 3 \times U_{n}$
2
a) Conclusion
$(U_{n})$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $U_{0} = 2 \times 3^{0} = 2.$
3
b) Les premiers termes
$V_{0} = 3 \quad ; \quad$ $V_{1} = 3^{2} = 9 \quad ; \quad$ $V_{2} = 9^{2} = 81$
4
b) Les quotients
On multiplie par $3,$ puis par $9$ : le multiplicateur change.
$\frac{V_{1}}{V_{0}} = 3$ mais $\frac{V_{2}}{V_{1}} = 9$
5
b) Conclusion
$(V_{n})$ n'est pas géométrique.

U_{n+1} = 3 \times U_{n} \quad ; \quad

\frac{V_{1}}{V_{0}} \neq \frac{V_{2}}{V_{1}}

L’erreur à ne pas faire

$\dfrac{U_{1}}{U_{0}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}},$ donc la suite est géométriqueIl faut $U_{n+1} = q\,U_{n}$ pour tout entier naturel $n$
Deux quotients égaux ne prouvent rien pour la suite entière. Deux quotients différents, en revanche, suffisent à prouver qu'elle n'est pas géométrique.
$U_{n+1} = 3U_{n} + 5$ : la suite est géométrique de raison $3$ Avec $U_{0} = -2$ : $U_{1} = -1$ et $U_{2} = 2$ ; les quotients $\dfrac{1}{2}$ et $-2$ sont différents
À cause du « $+ 5$ », on ne passe pas d'un terme au suivant par une simple multiplication.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nbayynou elli suite hiya géométrique ? Nektbou U indice (n plus un), w ntall3ou fih U indice n : lezem nal9aw q fois U indice n, w q ma yetbaddelch m3a n. W ken les termes el koll mouch zéro, na7sbou le quotient : U indice (n plus un) sur U indice n, w lezem yatla3 dima nafs le nombre. Mathalan U indice n égale deux fois trois puissance n : U indice (n plus un) égale trois fois U indice n, idhan hiya géométrique w la raison égale trois. W bech nbayynou elli suite mouch géométrique, yekfi nal9aw zouz quotients mouch kif kif. »

Activité

Pour comprendre : la pression atmosphérique

La pression atmosphérique diminue, approximativement, de $1\,\%$ à chaque fois que l'altitude de l'observateur augmente de $100$ mètres.

On note $p_{0}$ la pression, en millibars, au niveau de la mer (niveau zéro), $p_{1}$ la pression à l'altitude $100$ mètres, $p_{2}$ la pression à l'altitude $200$ mètres et $p_{3}$ la pression à l'altitude $300$ mètres.

1.Exprime $p_{1},$ $p_{2}$ et $p_{3}$ en fonction de $p_{0}.$
2. $p_{n}$ étant la pression en millibars à l'altitude $(n \times 100)$ mètres, conjecture l'expression de $p_{n}$ en fonction de $p_{0}.$
3.Un jour, la pression atmosphérique au niveau de la mer était $1000$ millibars. Calcule la pression à $400$ mètres au-dessus du niveau de la mer.
4.Le même jour, le baromètre d'un observateur indique $950$ millibars. À quelle altitude était cet observateur ?

la pression à l'altitude n × 100 mètres

p_{n} = 0{,}99^{\,n} \times p_{0}

Ce qu’on observe

La pression diminue de $1\,\%$ chaque fois que l'altitude augmente de $100$ mètres. Exprime $p_{1},$ $p_{2},$ $p_{3}$ puis $p_{n}$ en fonction de $p_{0}.$ Avec $p_{0} = 1000$ millibars, calcule la pression à $400$ mètres et trouve l'altitude où le baromètre indique $950$ millibars.

1
Diminuer de 1 pour cent
Diminuer un nombre de $1\,\%,$ c'est le multiplier par $0{,}99.$
$p_{1} = p_{0} - \frac{1}{100}\,p_{0} = 0{,}99 \times p_{0}$
2
De proche en proche
$p_{2} = 0{,}99 \times p_{1} = 0{,}99^{2} \times p_{0} \quad ; \quad$ $p_{3} = 0{,}99^{3} \times p_{0}$
3
La conjecture
L'exposant de $0{,}99$ est égal à l'indice.
$p_{n} = 0{,}99^{\,n} \times p_{0}$
4
À 400 mètres
$400 = 4 \times 100$ : c'est $p_{4}.$
$p_{4} = 0{,}99^{4} \times 1000 \approx 960{,}6$
5
950 millibars
On essaie l'indice suivant : le baromètre indique $950$ millibars vers $5 \times 100 = 500$ mètres.
$p_{5} = 0{,}99^{5} \times 1000 \approx 951$

p_{n} = 0{,}99^{\,n} \times p_{0} \quad ; \quad

p_{4} \approx 960{,}6

millibars

;

environ

500

mètres

L’erreur à ne pas faire

À $400$ mètres la pression a diminué de $4\,\%$ : $p_{4} = 0{,}96 \times p_{0}$ $p_{4} = 0{,}99^{4} \times p_{0} \approx 0{,}9606 \times p_{0}$
Chaque baisse de $1\,\%$ porte sur la pression de l'étage d'en dessous, pas sur la pression au niveau de la mer : les pourcentages ne s'ajoutent pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La pression atmosphérique ton9es ta9riban un pour cent, koll ma natl3ou cent mètres. Ki ton9es un pour cent, ma3neha nadhrbou fi zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf. Idhan p indice un égale zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf fois p indice zéro. p indice deux égale zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf au carré, fois p indice zéro. W p indice trois égale zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf au cube, fois p indice zéro. Chouf : l'exposant houwa bidou l'indice. Idhan p indice n égale zéro virgule quatre-vingt-dix-neuf puissance n, fois p indice zéro. Ken p indice zéro égale mille millibars, fi quatre cents mètres nal9aw ta9riban neuf cent soixante virgule six. »

Remarque

Trois cas particuliers

Soit $(U_{n})$ une suite géométrique de premier terme $U_{0}$ et de raison $q.$ Trois cas se règlent tout de suite :

si $q = 1,$ alors $U_{n+1} = U_{n}$ pour tout $n$ : tous les termes sont égaux à $U_{0},$ la suite est constante ;
si $U_{0} = 0,$ alors $U_{1} = q \times 0 = 0,$ puis $U_{2} = 0,$ … : tous les termes sont nuls ;
si $q = 0,$ alors $U_{n+1} = 0 \times U_{n} = 0$ : tous les termes sont nuls à partir de $U_{1}$ .

Ces trois cas mis à part, on s'intéresse aux suites où $U_{0} \neq 0,$ $q \neq 0$ et $q \neq 1$ ; le cas $q = 1$ reviendra pour la somme.

Exemple traité

Soit $(U_{n})$ une suite géométrique de premier terme $U_{0} = 7.$ Écris ses quatre premiers termes quand $q = 1,$ puis quand $q = 0.$

1
Avec q = 1
Multiplier par $1$ ne change rien.
$7 \quad ; \quad$ $7 \quad ; \quad$ $7 \quad ; \quad$ $7$
2
Avec q = 0
Dès le deuxième terme, on multiplie par $0.$
$7 \quad ; \quad$ $0 \quad ; \quad$ $0 \quad ; \quad$ $0$

q = 1 \; : \; U_{n} = 7

pour tout

n \quad ; \quad

q = 0 \; : \; U_{n} = 0

pour tout

n \ge 1

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa nchoufou trois cas sehlin. Ken la raison q égale un : nadhrbou dima fi un, idhan les termes el koll égaux à U indice zéro, w la suite hiya constante. Ken le premier terme U indice zéro égale zéro : zéro fois q ya3ti dima zéro, idhan les termes el koll nuls. W ken q égale zéro : men U indice un w enti tala3, les termes el koll nuls. El trois cas hedhom n7ottouhom 3la jnab, w ne5dmou b U indice zéro différent de zéro, w q différent de zéro w différent de un. Amma le cas q égale un, bech narj3oulou fel somme. »

Théorème

Terme général d'une suite géométrique

Soit $(V_{n})$ une suite géométrique de premier terme $V_{0}$ et de raison $q \neq 0.$ On a :

$V_{n} = V_{0}\,q^{n},$ pour tout entier naturel $n.$

On le voit sur les premiers termes : $V_{1} = V_{0}\,q,$ $V_{2} = V_{0}\,q^{2},$ $V_{3} = V_{0}\,q^{3},$ … Pour aller de $V_{0}$ à $V_{n},$ on multiplie $n$ fois par la raison. Grâce à cette formule, on calcule un terme lointain sans passer par tous ceux qui le précèdent.

pour tout entier naturel n

V_{n} = V_{0} \times q^{n}

Exemple traité

On considère la suite $(C_{n})$ définie par $C_{0} = 10\,000$ et $C_{n+1} = 1{,}04 \times C_{n}$ pour tout entier naturel $n.$ Exprime $C_{1},$ $C_{2},$ $C_{3}$ et $C_{4}$ en fonction de $C_{0},$ puis $C_{n}$ en fonction de $C_{0}$ et de $n.$ Calcule enfin $C_{10}.$

1
De proche en proche
$C_{1} = 1{,}04 \times C_{0} \quad ; \quad$ $C_{2} = 1{,}04^{2} \times C_{0}$
2
$C_{3} = 1{,}04^{3} \times C_{0} \quad ; \quad$ $C_{4} = 1{,}04^{4} \times C_{0}$
3
Le terme général
$(C_{n})$ est géométrique de premier terme $C_{0}$ et de raison $1{,}04.$
$C_{n} = 1{,}04^{\,n} \times C_{0}$
4
C10
On ne calcule pas dix termes : on applique la formule, avec la calculatrice.
$C_{10} = 1{,}04^{10} \times 10\,000 \approx 14\,802{,}44$

C_{n} = 1{,}04^{\,n} \times C_{0} \quad ; \quad

C_{10} \approx 14\,802{,}44

L’erreur à ne pas faire

$V_{5} = V_{0} \times 5q$ $V_{5} = V_{0} \times q^{5}$
On multiplie cinq fois par $q$ : $q \times q \times q \times q \times q = q^{5}.$ C'est dans une suite arithmétique qu'on écrit $5r.$
$V_{n} = (V_{0} \times q)^{n}$ $V_{n} = V_{0} \times q^{n}$
Seule la raison est élevée à la puissance $n$ ; le premier terme n'est compté qu'une fois.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ken la suite géométrique, le premier terme mte3ha V indice zéro w la raison q, wa9tha V indice n égale V indice zéro fois q puissance n. 3lech ? 5ater bech nouslou men V indice zéro l V indice n, nadhrbou fi la raison n marrat. V indice un égale V indice zéro fois q. V indice deux égale V indice zéro fois q au carré. V indice trois égale V indice zéro fois q au cube, w hakka. Mathalan le capital mta3 dix mille dinars, la raison un virgule zéro quatre : C indice n égale un virgule zéro quatre puissance n, fois dix mille. Ma 3adech lezemna na7sbou les termes el koll wa7ed wa7ed. »

Propriété

D'un terme à un autre

Soit $(V_{n})$ une suite géométrique de raison $q \neq 0.$ On n'est pas obligé de repartir de $V_{0}$ :

$V_{n} = V_{p}\,q^{\,n-p},$ pour tous entiers $n$ et $p.$ En particulier $V_{n} = V_{1}\,q^{\,n-1},$ pour tout entier naturel $n.$

L'exposant de $q$ est la différence des indices : c'est le nombre de pas qui séparent $V_{p}$ de $V_{n}.$

pour tous entiers n et p

V_{n} = V_{p} \times q^{\,n-p}

quand le premier terme est V₁

V_{n} = V_{1} \times q^{\,n-1}

Exemple traité

Soit $(V_{n})$ une suite géométrique de raison $q = \sqrt{2}$ et telle que $V_{9} = 16\sqrt{2}.$ Détermine $V_{43}.$

1
La formule
On part de $V_{9}$ : de l'indice $9$ à l'indice $43,$ il y a $43 - 9 = 34$ pas.
$V_{43} = V_{9} \times q^{\,43-9} = 16\sqrt{2} \times (\sqrt{2})^{34}$
2
La puissance
$(\sqrt{2})^{2} = 2,$ donc $(\sqrt{2})^{34} = 2^{17}.$
$(\sqrt{2})^{34} = 2^{17} = 131\,072$
3
Le résultat
On écrit $16 = 2^{4},$ puis on ajoute les exposants : $4 + 17 = 21.$
$V_{43} = 2^{4} \times 2^{17} \times \sqrt{2} = 2^{21} \times \sqrt{2}$

V_{43} = 2^{21} \times \sqrt{2}

L’erreur à ne pas faire

$V_{43} = V_{9} \times q^{43}$ $V_{43} = V_{9} \times q^{\,43-9} = V_{9} \times q^{34}$
L'exposant compte les pas entre les deux indices. $q^{43}$ ne convient que si l'on part de $V_{0}.$
Le premier terme est $U_{1},$ donc $U_{n} = U_{1} \times q^{n}$ $U_{n} = U_{1} \times q^{\,n-1}$
De $U_{1}$ à $U_{n},$ il n'y a que $n - 1$ pas.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ma yelzemch dima nabdew men V indice zéro. Ken na3rfou ayy terme, V indice p, wa9tha V indice n égale V indice p, fois q puissance (n moins p). L'exposant houwa la différence mta3 les indices, ya3ni 9addech men marra nadhrbou fi la raison. W ken le premier terme houwa V indice un : V indice n égale V indice un, fois q puissance (n moins un). Mathalan q égale racine carrée de deux w V indice neuf égale seize racine carrée de deux. V indice quarante-trois égale V indice neuf, fois q puissance trente-quatre. W racine carrée de deux puissance trente-quatre égale deux puissance dix-sept. »

Méthode

Retrouver la raison à partir de deux termes

Quand on connaît deux termes $V_{p}$ et $V_{n}$ d'une suite géométrique (avec $n > p$ et $V_{p} \neq 0$ ), la formule $V_{n} = V_{p}\,q^{\,n-p}$ donne une puissance de la raison :

$q^{\,n-p} = \frac{V_{n}}{V_{p}}$

Il reste à trouver $q$ :

si l'exposant $n - p$ est impair, il y a une seule valeur de $q$ ;
si l'exposant $n - p$ est pair, il peut y avoir deux valeurs opposées : il faut les donner toutes les deux.

une puissance de la raison

q^{\,n-p} = \frac{V_{n}}{V_{p}}

Exemple traité

a) $(U_{n})$ est une suite géométrique telle que $U_{4} = 25$ et $U_{11} = 1\,953\,125.$ Détermine sa raison $q.$ b) $(V_{n})$ est une suite géométrique telle que $V_{0} = -6$ et $V_{8} = -1536.$ Détermine sa raison $q.$

1
a) La puissance
De l'indice $4$ à l'indice $11,$ il y a $7$ pas : $U_{11} = U_{4} \times q^{7}.$
$q^{7} = \frac{1\,953\,125}{25} = 78\,125$
2
a) La raison
$78\,125 = 5^{7},$ et l'exposant $7$ est impair : une seule valeur.
$q^{7} = 5^{7}$ donc $q = 5$
3
b) La puissance
$V_{8} = V_{0} \times q^{8}.$
$q^{8} = \frac{-1536}{-6} = 256$
4
b) La raison
$256 = 2^{8},$ et l'exposant $8$ est pair : $(-2)^{8} = 256$ aussi.
$q = 2$ ou $q = -2$

q^{7} = 5^{7} \Rightarrow q = 5 \quad ; \quad

q^{8} = 2^{8} \Rightarrow q = 2

q = -2

L’erreur à ne pas faire

$q^{8} = 256,$ donc $q = 2$ $q = 2$ ou $q = -2$
Une puissance d'exposant pair efface le signe : $(-2)^{8} = 2^{8} = 256.$ Les deux suites existent.
$U_{4} = 25$ et $U_{11} = 1\,953\,125,$ donc $q = \dfrac{1\,953\,125}{25}$ $q^{7} = \dfrac{1\,953\,125}{25} = 78\,125,$ puis $q = 5$
Le quotient de deux termes donne $q$ seulement s'ils sont consécutifs. Ici sept pas les séparent : on obtient $q^{7}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nal9aw la raison ki na3rfou zouz termes ? Nesta3mlou la formule : V indice n égale V indice p, fois q puissance (n moins p). Idhan q puissance (n moins p) égale V indice n sur V indice p. Mathalan U indice quatre égale vingt-cinq, w U indice onze égale un million neuf cent cinquante-trois mille cent vingt-cinq. q puissance sept égale soixante-dix-huit mille cent vingt-cinq, ya3ni cinq puissance sept, idhan q égale cinq. Rodd belek : ken l'exposant pair, tnajjem tal9a zouz valeurs. Mathalan q puissance huit égale deux cent cinquante-six : q égale deux, walla q égale moins deux. »

Application

Exemple : lire une suite géométrique sur un graphique

Dans un repère, on représente une suite $(U_{n})$ par les points $A_{n}$ de coordonnées $(n, U_{n})$ : l'abscisse est l'indice, l'ordonnée est le terme.

Sur la figure, les ordonnées des points $A_{0},$ $A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3}$ et $A_{4}$ sont les cinq premiers termes consécutifs d'une suite géométrique $(U_{n}).$

Détermine le premier terme et la raison de cette suite.

Les ordonnées de A₀, A₁, A₂, A₃ et A₄ : 4 ; 2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25.

Exemple traité

Les points $A_{0}(0 ; 4),$ $A_{1}(1 ; 2),$ $A_{2}(2 ; 1),$ $A_{3}(3 ; 0{,}5)$ et $A_{4}(4 ; 0{,}25)$ représentent les cinq premiers termes d'une suite géométrique $(U_{n}).$ Détermine son premier terme et sa raison.

1
Le premier terme
C'est l'ordonnée du point d'abscisse $0.$
$U_{0} = 4$
2
La raison
$U_{1}$ est l'ordonnée de $A_{1},$ soit $2.$ La raison est le quotient de deux termes consécutifs.
$q = \frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
3
Vérification
Les ordonnées suivantes s'obtiennent bien en multipliant par $\dfrac{1}{2}.$
$2 \times \frac{1}{2} = 1 \quad ; \quad$ $1 \times \frac{1}{2} = 0{,}5 \quad ; \quad$ $0{,}5 \times \frac{1}{2} = 0{,}25$

U_{0} = 4 \quad ; \quad

q = \frac{1}{2}

L’erreur à ne pas faire

Les points qui représentent une suite géométrique sont alignésIci, de $A_{0}$ à $A_{1}$ l'ordonnée baisse de $2,$ puis de $A_{1}$ à $A_{2}$ elle ne baisse que de $1$ : les points ne sont pas alignés
Ce sont les points d'une suite arithmétique qui sont alignés : on y ajoute toujours le même nombre. Ici on multiplie.
$q = U_{0} - U_{1} = 4 - 2 = 2$ $q = \dfrac{U_{1}}{U_{0}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
La raison d'une suite géométrique est un quotient : le terme suivant divisé par le terme d'avant.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Fi repère, n7ottou les points A indice n : l'abscisse hiya l'indice n, w l'ordonnée hiya le terme U indice n. Chouf la figure : les ordonnées houma quatre, deux, un, zéro virgule cinq, w zéro virgule vingt-cinq. Le premier terme houwa l'ordonnée mta3 le point elli l'abscisse mte3ou zéro, idhan U indice zéro égale quatre. W la raison hiya U indice un sur U indice zéro, ya3ni deux sur quatre, idhan q égale un demi. Rodd belek : les points houni mouch 3la droite wa7da, mouch kima fel suite arithmétique. »

Activité

Pour comprendre : trois raisons, trois comportements

On considère les suites géométriques $(U_{n}),$ $(V_{n})$ et $(W_{n})$ de raisons respectives $0{,}5,$ $\dfrac{3}{2}$ et $-2,$ et telles que $U_{0} = V_{0} = W_{0} = 1.$

1.Calcule, à la calculatrice ou avec un tableur, les premiers termes de chacune des trois suites.
2.Quelles remarques peut-on faire sur les valeurs des termes de chacune des trois suites, lorsque $n$ devient de plus en plus grand ?

Ce qu’on observe

Trois suites géométriques ont pour premier terme $1,$ et pour raisons $0{,}5,$ $\dfrac{3}{2}$ et $-2.$ Écris les cinq premiers termes de chacune, puis décris ce que deviennent les termes quand $n$ grandit.

1
Raison 0,5
Les termes diminuent et se rapprochent de $0.$
$1 \quad ; \quad$ $0{,}5 \quad ; \quad$ $0{,}25 \quad ; \quad$ $0{,}125 \quad ; \quad$ $0{,}0625$
2
Raison 3/2
Les termes augmentent, de plus en plus vite.
$1 \quad ; \quad$ $1{,}5 \quad ; \quad$ $2{,}25 \quad ; \quad$ $3{,}375 \quad ; \quad$ $5{,}0625$
3
Raison −2
Les termes changent de signe à chaque pas, et s'éloignent de plus en plus de $0.$
$1 \quad ; \quad$ $-2 \quad ; \quad$ $4 \quad ; \quad$ $-8 \quad ; \quad$ $16$
4
Au dixième pas
À la calculatrice, on regarde le terme d'indice $10$ de chaque suite.
$0{,}5^{10} \approx 0{,}001 \quad ; \quad$ $1{,}5^{10} \approx 57{,}7 \quad ; \quad$ $(-2)^{10} = 1024$

q = 0{,}5

: les termes se rapprochent de

0 \quad ; \quad

q = \frac{3}{2}

: ils grandissent

; \quad

q = -2

: ils changent de signe et s'éloignent de

0

L’erreur à ne pas faire

Une suite géométrique augmente toujoursAvec un premier terme positif : elle augmente si $q > 1,$ elle diminue si $0 < q < 1$
Multiplier un nombre positif par un nombre plus petit que $1$ le rend plus petit : $1 \times 0{,}5 = 0{,}5.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Ne5dhou trois suites géométriques, le premier terme mte3hom un. La suite numéro un, la raison mte3ha zéro virgule cinq : un, zéro virgule cinq, zéro virgule vingt-cinq, w hakka. Les termes yon9sou w ya9rbou l zéro. La suite numéro deux, la raison mte3ha trois demis : un, un virgule cinq, deux virgule vingt-cinq. Les termes yekbrou, w koll marra akther. W la suite numéro trois, la raison mte3ha moins deux : un, moins deux, quatre, moins huit, seize. Les termes ybaddlou le signe koll marra, w yeb3dou 3la zéro. Idhan la raison hiya elli ta7kem fel suite. »

Activité

Pour comprendre : quitte ou double !

Dans un jeu entre deux personnes A et B, A propose à B de lui donner $100$ dinars par jour pendant $10$ jours. En contrepartie, B donne à A $1$ dinar le premier jour, $2$ dinars le deuxième jour, $4$ dinars le troisième jour, et ainsi de suite jusqu'au dixième jour, en doublant chaque jour le montant du jour qui précède.

La personne B a-t-elle intérêt à accepter cette proposition ?

Ce qu’on observe

A donne à B $100$ dinars par jour pendant $10$ jours. B donne à A $1$ dinar le premier jour, puis le double de la veille chaque jour, jusqu'au dixième jour. Compare ce que B reçoit et ce que B donne.

1
Ce que B reçoit
$10 \times 100 = 1000$
2
Ce que B donne
Dix termes d'une suite géométrique de raison $2$ : le dixième est $2^{9} = 512.$
$S = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 256 + 512$
3
L'astuce
On multiplie $S$ par la raison $2$ : tous les termes se décalent d'un cran.
$2 \times S = 2 + 4 + 8 + \ldots + 512 + 1024$
4
La soustraction
Dans $2 \times S - S,$ tous les termes communs s'en vont. Il reste le dernier terme de $2 \times S$ et le premier terme de $S.$
$2 \times S - S = 1024 - 1$ donc $S = 1023$
5
Conclusion
B donne $1023$ dinars et n'en reçoit que $1000$ : il perd $23$ dinars. Il n'a pas intérêt à accepter.

1 + 2 + 4 + \ldots + 512 = 1023 > 1000

L’erreur à ne pas faire

B donne $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{10}$ dinarsLe dixième jour, B donne $2^{9} = 512$ dinars
Le premier jour correspond à $2^{0} = 1$ : dix jours vont de $2^{0}$ à $2^{9}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Lo3ba bin zouz : A w B. A ya3ti l B cent dinars koll nhar, moddet dix jours, ya3ni mille dinars. W B ya3ti l A : un dinar fi le premier jour, deux fi le deuxième, quatre fi le troisième, w koll nhar yadhreb fi deux. Bech na3rfou B 9addech ya3ti, na7sbou S : un plus deux plus quatre, 7atta cinq cent douze. Nadhrbou S fi deux : deux S égale deux plus quatre plus huit, 7atta mille vingt-quatre. Ki natr7ou, les termes el koll yemchiw, w yab9a : S égale mille vingt-quatre moins un, ya3ni mille vingt-trois. Idhan B ye5ser vingt-trois dinars. »

Théorème

La somme des puissances d'un réel

$1 + q + q^{2} + q^{3} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q},$ où $q$ est un réel différent de $1$ et $n$ est un entier naturel. Si $q = 1,$ on a $1 + q + q^{2} + q^{3} + \ldots + q^{n} = n + 1.$

Cette somme a $n + 1$ termes, de $q^{0} = 1$ jusqu'à $q^{n}$ : l'exposant qui apparaît dans la formule est le nombre de termes.

q différent de 1

1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Exemple traité

Calcule la somme $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \ldots + 2^{9}.$

1
Reconnaître
C'est la somme des puissances de $q = 2,$ jusqu'à l'exposant $n = 9$ : elle a $10$ termes.
$S = \frac{1 - 2^{9+1}}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2}$
2
Calculer
$S = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$
3
Vérification
On retrouve la somme du jeu « quitte ou double ».

1 + 2 + 2^{2} + \ldots + 2^{9} = 1023

L’erreur à ne pas faire

$1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$ $1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
De $q^{0}$ à $q^{n}$ il y a $n + 1$ termes, pas $n$ : l'exposant de la formule est le nombre de termes.
Avec $q = 1$ : $\dfrac{1 - 1^{n+1}}{1 - 1} = 0$ Avec $q = 1$ : $1 + 1 + \ldots + 1 = n + 1$
La formule divise par $1 - q$ : elle n'a pas de sens quand $q = 1,$ car on ne divise pas par $0.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La somme mta3 les puissances mta3 q : un plus q plus q au carré, 7atta q puissance n. Ken q différent de un, la somme hedhi égale un moins q puissance (n plus un), le tout sur (un moins q). 3lech ? Nsammiwha S. Nadhrbou S fi q, w natr7ou : les termes el koll yemchiw, w yab9a S moins q fois S égale un moins q puissance (n plus un). Rodd belek : men un 7atta q puissance n, famma n plus un termes, 3la hedhaka l'exposant houwa n plus un. W ken q égale un, koll terme égale un, idhan la somme égale n plus un. »

Théorème

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

La somme $S$ de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$ ( $q \neq 1$ ) est $S = a \times \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q},$ où $a$ est le premier terme de cette somme. Si $q = 1$ alors $S = n\,a.$

En mots :

$\displaystyle S =$ le premier terme de la somme $\displaystyle \times \frac{1 - (\text{la raison})^{\text{le nombre de termes}}}{1 - \text{la raison}}$

Pour compter les termes : de $U_{p}$ à $U_{n},$ il y a $n - p + 1$ termes.

n termes consécutifs, de premier terme a, q différent de 1

S = a \times \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

Exemple traité

Calcule la somme $A = 27 + 81 + 243 + \ldots + 19\,683.$

1
La suite
On passe d'un terme au suivant en multipliant par $3$ : ce sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q = 3.$
$\frac{81}{27} = 3 \quad ; \quad$ $\frac{243}{81} = 3$
2
Le nombre de termes
On écrit les termes comme des puissances de $3$ : les exposants vont de $3$ à $9.$
$27 = 3^{3} \quad ; \quad$ $19\,683 = 3^{9} \quad ; \quad$ $9 - 3 + 1 = 7$ termes
3
La formule
Premier terme de la somme : $27.$ Raison : $3.$ Nombre de termes : $7.$
$A = 27 \times \frac{1 - 3^{7}}{1 - 3} = 27 \times \frac{1 - 2187}{-2}$
4
Le calcul
$A = 27 \times 1093 = 29\,511$

A = 27 \times \frac{1 - 3^{7}}{1 - 3} = 29\,511

L’erreur à ne pas faire

De $3^{3}$ à $3^{9},$ il y a $9 - 3 = 6$ termesIl y a $9 - 3 + 1 = 7$ termes
On compte les deux bouts : $3^{3},$ $3^{4},$ $3^{5},$ $3^{6},$ $3^{7},$ $3^{8},$ $3^{9}.$
Dans la formule, $a$ est toujours $U_{0}$ $a$ est le premier terme de la somme
Pour $U_{11} + U_{12} + \ldots + U_{20},$ on prend $a = U_{11}$ et $n = 10$ termes.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La somme mta3 n termes consécutifs mta3 suite géométrique, la raison mte3ha q différent de un : S égale a, fois (un moins q puissance n), le tout sur (un moins q). a houwa le premier terme mta3 la somme, w n houwa le nombre de termes. Ya3ni : le premier terme, fois la parenthèse un moins la raison puissance le nombre de termes, le tout sur la parenthèse un moins la raison. Mathalan vingt-sept plus quatre-vingt-un, 7atta dix-neuf mille six cent quatre-vingt-trois. La raison égale trois, w famma sept termes, men trois au cube 7atta trois puissance neuf. Idhan la somme égale vingt-sept fois mille quatre-vingt-treize, ya3ni vingt-neuf mille cinq cent onze. »

Application

Exemple : une somme à signes alternés

Quand les termes d'une somme changent de signe à chaque pas, la raison est négative. La formule de la somme s'applique sans changement : il faut seulement faire attention au signe de la puissance.

Calcule la somme $C = \sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3} - 9 + 9\sqrt{3} - \ldots - 81 + 81\sqrt{3}.$

Exemple traité

Calcule la somme $C = \sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3} - 9 + 9\sqrt{3} - \ldots - 81 + 81\sqrt{3}.$

1
La raison
On divise chaque terme par celui qui le précède.
$\frac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \quad ; \quad$ $\frac{3\sqrt{3}}{-3} = -\sqrt{3}$ donc $q = -\sqrt{3}$
2
Le nombre de termes
On écrit tous les termes : $\sqrt{3}$ ; $-3$ ; $3\sqrt{3}$ ; $-9$ ; $9\sqrt{3}$ ; $-27$ ; $27\sqrt{3}$ ; $-81$ ; $81\sqrt{3}.$ Il y en a $9.$
3
La puissance
L'exposant $9$ est impair : la puissance d'un nombre négatif est négative. Et $(\sqrt{3})^{9} = 3^{4} \times \sqrt{3}.$
$(-\sqrt{3})^{9} = -81\sqrt{3}$
4
La formule
Premier terme $\sqrt{3},$ raison $-\sqrt{3},$ neuf termes. Soustraire un nombre négatif, c'est ajouter son opposé : $1 - q^{9} = 1 + 81\sqrt{3}$ et $1 - q = 1 + \sqrt{3}.$
$C = \sqrt{3} \times \frac{1 + 81\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 243}{1 + \sqrt{3}}$
5
Simplifier
On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3} - 1.$
$C = \frac{(243 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{242\sqrt{3} - 240}{2} = 121\sqrt{3} - 120$
6
Vérification
On regroupe les termes en $\sqrt{3}$ d'un côté, les entiers de l'autre.
$(1 + 3 + 9 + 27 + 81)\sqrt{3} - (3 + 9 + 27 + 81) = 121\sqrt{3} - 120$

C = 121\sqrt{3} - 120

L’erreur à ne pas faire

$(-\sqrt{3})^{9} = 81\sqrt{3}$ $(-\sqrt{3})^{9} = -81\sqrt{3}$
Une puissance d'exposant impair d'un nombre négatif est négative ; c'est avec un exposant pair que le signe disparaît.
Les signes alternent, donc ce n'est pas une suite géométriqueC'est une suite géométrique de raison négative, $q = -\sqrt{3}$
Multiplier par un nombre négatif change le signe à chaque pas : c'est exactement ce qu'on observe.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la somme hedhi : racine carrée de trois, moins trois, plus trois racine carrée de trois, moins neuf, w hakka 7atta quatre-vingt-un racine carrée de trois. Les signes yetbaddlou koll marra, ma3neha la raison négative. Na7sbou : moins trois sur racine carrée de trois égale moins racine carrée de trois, idhan q égale moins racine carrée de trois. Na7sbou les termes : famma neuf. L'exposant neuf impair, idhan la puissance négative : moins quatre-vingt-un racine carrée de trois. Ntabb9ou la formule mta3 la somme, w nbasstou : nal9aw cent vingt-et-un racine carrée de trois, moins cent vingt. »

Activité

Un problème pour aller plus loin : une ligne polygonale dans un carré

Soit $A_{0}B_{0}C_{0}D_{0}$ un carré de centre $O$ et de $6$ cm de côté. On définit la ligne polygonale $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ de la figure de la façon suivante : les points $A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3}$ et $A_{4}$ sont respectivement sur les segments $[OB_{0}],$ $[OC_{0}],$ $[OD_{0}]$ et $[OA_{0}],$ et tels que

$\displaystyle OA_{1} = \frac{1}{2}\,OB_{0} \quad ; \quad$ $\displaystyle OA_{2} = \frac{1}{2^{2}}\,OC_{0} \quad ; \quad$ $\displaystyle OA_{3} = \frac{1}{2^{3}}\,OD_{0} \quad ; \quad$ $\displaystyle OA_{4} = \frac{1}{2^{4}}\,OA_{0}$

On reconduit le même procédé : $A_{5},$ $A_{6},$ … sont sur $[OB_{0}],$ $[OC_{0}],$ … avec $OA_{5} = \dfrac{1}{2^{5}}\,OB_{0},$ $OA_{6} = \dfrac{1}{2^{6}}\,OC_{0},$ …

1.Sur quel segment se trouve le point $A_{n},$ suivant les valeurs de $n$ ?
2.Pour tout entier naturel $n,$ on pose $U_{n} = OA_{n}.$ Calcule $U_{0},$ $U_{1}$ et $U_{2}.$ Quelle est la nature de la suite $(U_{n})$ ? Exprime $U_{n}$ en fonction de $n.$
3.Soit $(L_{n})$ la suite définie par $L_{n} = A_{n}A_{n+1}.$ Montre que $L_{n} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2^{n+1}}.$
4.Soit $p_{n}$ la longueur de la ligne polygonale $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3} \ldots A_{n}.$ Exprime $p_{n}$ en fonction de $n.$

La ligne polygonale A₀A₁A₂A₃A₄ dans le carré A₀B₀C₀D₀.

la distance OAₙ

U_{n} = \frac{3\sqrt{2}}{2^{n}}

la longueur de la ligne A₀A₁…Aₙ

p_{n} = 3\sqrt{10} \times \left(1 - \frac{1}{2^{n}}\right)

Ce qu’on observe

Dans ce carré de côté $6$ centimètres, dis où se trouve $A_{n},$ exprime $U_{n} = OA_{n}$ et $L_{n} = A_{n}A_{n+1}$ en fonction de $n,$ puis la longueur $p_{n}$ de la ligne.

1
Où est le point ?
Les points tournent sur les quatre demi-diagonales, et reviennent sur la même tous les quatre pas. On regarde le reste de la division de $n$ par $4$ : reste $0,$ $A_{n}$ est sur $[OA_{0}]$ ; reste $1,$ sur $[OB_{0}]$ ; reste $2,$ sur $[OC_{0}]$ ; reste $3,$ sur $[OD_{0}].$
2
La demi-diagonale
La diagonale d'un carré de côté $6$ mesure $6\sqrt{2},$ et $O$ est son milieu. Les quatre demi-diagonales ont la même longueur.
$U_{0} = OA_{0} = 3\sqrt{2} \quad ; \quad$ $U_{1} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \quad ; \quad$ $U_{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$
3
La nature de la suite
$U_{n} = \dfrac{1}{2^{n}} \times 3\sqrt{2},$ donc $U_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,U_{n}$ : la suite est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $3\sqrt{2}.$
$U_{n} = 3\sqrt{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{3\sqrt{2}}{2^{n}}$
4
Un côté de la ligne
Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires : le triangle $OA_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $O.$ On applique le théorème de Pythagore, avec $U_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,U_{n}.$
$L_{n}^{2} = U_{n}^{2} + \frac{1}{4}\,U_{n}^{2} = \frac{5}{4}\,U_{n}^{2}$
5
$L_{n} = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2^{n}} = \frac{3\sqrt{10}}{2^{n+1}}$
6
La longueur de la ligne
$(L_{n})$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $L_{0} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2}.$ La ligne qui va de $A_{0}$ à $A_{n}$ compte $n$ côtés : $p_{n} = L_{0} + L_{1} + \ldots + L_{n-1}.$
$p_{n} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 3\sqrt{10} \times \left(1 - \frac{1}{2^{n}}\right)$

U_{n} = \frac{3\sqrt{2}}{2^{n}} \quad ; \quad

L_{n} = \frac{3\sqrt{10}}{2^{n+1}} \quad ; \quad

p_{n} = 3\sqrt{10} \times \left(1 - \frac{1}{2^{n}}\right)

L’erreur à ne pas faire

La ligne $A_{0}A_{1} \ldots A_{n}$ a $n + 1$ côtésElle a $n$ côtés : $L_{0},$ $L_{1},$ …, $L_{n-1}$
Il y a $n + 1$ points, donc $n$ segments entre eux. Le dernier côté est $A_{n-1}A_{n} = L_{n-1}.$

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la figure : carré, le centre mte3ou O, w le côté six centimètres. Les points A indice un, A indice deux, A indice trois, ydourou 3la les demi-diagonales, w koll marra la distance l O twalli el noss. Nsammiw U indice n la distance O A indice n. La demi-diagonale égale trois racine carrée de deux, idhan U indice n égale trois racine carrée de deux, sur deux puissance n. Hedhi suite géométrique, la raison mte3ha un demi. W les côtés mta3 la ligne polygonale zeda suite géométrique, la raison un demi, 5ater koll triangle rectangle fi O. Idhan la longueur mta3 la ligne hiya somme mta3 suite géométrique : trois racine carrée de dix, fois (un moins un sur deux puissance n). »

Activité

Un problème pour aller plus loin : un zigzag de projetés orthogonaux

Dans la figure, $OAB$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $OA = 5,$ $OB = 4$ et $AB = 3.$

$H_{1}$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(OA),$ $H_{2}$ le projeté orthogonal de $H_{1}$ sur $(OB),$ $H_{3}$ le projeté orthogonal de $H_{2}$ sur $(OA),$ $H_{4}$ le projeté orthogonal de $H_{3}$ sur $(OB),$ et ainsi de suite.

1.Calcule $\dfrac{OH_{1}}{OB}$ et déduis-en $OH_{1}.$ Montre que $\dfrac{OH_{1}}{OB} = \dfrac{OH_{2}}{OH_{1}} = \dfrac{OH_{3}}{OH_{2}} = \dfrac{4}{5},$ puis déduis-en $OH_{2}$ et $OH_{3}.$
2.Sur quel côté du triangle $OAB$ se trouve le point $H_{n}$ ? Calcule $OH_{n+1}$ en fonction de $OH_{n},$ puis déduis-en l'expression de $OH_{n}$ en fonction de $n.$
3.Vérifie que $BH_{1} = \dfrac{3}{5}\,OB,$ $H_{1}H_{2} = \dfrac{3}{5}\,OH_{1}$ et $H_{2}H_{3} = \dfrac{3}{5}\,OH_{2}.$ Soit $S = BH_{1} + H_{1}H_{2} + H_{2}H_{3} + \ldots + H_{n}H_{n+1}.$ Donne l'expression de $S$ en fonction de $n.$

Indication : pense aux rapports trigonométriques dans un triangle rectangle.

Le zigzag B, H₁, H₂, H₃ entre les côtés [OA] et [OB].

pour tout entier naturel non nul n

OH_{n} = 4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{n}

la longueur du zigzag

S = 12 \times \left(1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}\right)

Ce qu’on observe

Dans le triangle $OAB$ rectangle en $B,$ avec $OA = 5,$ $OB = 4$ et $AB = 3,$ calcule $OH_{1},$ $OH_{2}$ et $OH_{3},$ exprime $OH_{n}$ en fonction de $n,$ puis la somme $S = BH_{1} + H_{1}H_{2} + \ldots + H_{n}H_{n+1}.$

1
L'angle en O
Dans le triangle $OAB$ rectangle en $B,$ on lit le cosinus et le sinus de l'angle en $O.$
$\cos \widehat{O} = \frac{OB}{OA} = \frac{4}{5} \quad ; \quad$ $\sin \widehat{O} = \frac{AB}{OA} = \frac{3}{5}$
2
La première distance
Le triangle $OBH_{1}$ est rectangle en $H_{1},$ avec le même angle en $O$ : $\dfrac{OH_{1}}{OB} = \cos \widehat{O}.$
$\frac{OH_{1}}{OB} = \frac{4}{5}$ donc $OH_{1} = \frac{4}{5} \times 4 = \frac{16}{5}$
3
Les deux suivantes
Chaque nouveau triangle est rectangle, avec le même angle en $O$ : le rapport est toujours $\dfrac{4}{5}.$
$OH_{2} = \frac{4}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{64}{25} \quad ; \quad$ $OH_{3} = \frac{4}{5} \times \frac{64}{25} = \frac{256}{125}$
4
Où est le point ?
Les projetés alternent : $H_{n}$ est sur $[OA]$ si $n$ est impair, sur $[OB]$ si $n$ est pair.
5
La suite des distances
$OH_{n+1} = \dfrac{4}{5}\,OH_{n}$ : les distances forment une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{5}.$ En partant de $OB = 4,$ on multiplie $n$ fois par $\dfrac{4}{5}.$
$OH_{n} = 4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{n}$
6
Les côtés du zigzag
Dans chaque triangle rectangle, le côté opposé à l'angle en $O$ vaut $\sin \widehat{O}$ fois l'hypoténuse.
$BH_{1} = \frac{3}{5}\,OB \quad ; \quad$ $H_{1}H_{2} = \frac{3}{5}\,OH_{1} \quad ; \quad$ $H_{n}H_{n+1} = \frac{3}{5}\,OH_{n}$
7
La somme
On met $\dfrac{3}{5}$ en facteur : il reste la somme de $n + 1$ termes d'une suite géométrique de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{4}{5}.$
$S = \frac{3}{5} \times 4 \times \frac{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}}{1 - \frac{4}{5}} = 12 \times \left(1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}\right)$

OH_{n} = 4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{n} \quad ; \quad

S = 12 \times \left(1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}\right)

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chouf la figure : triangle O A B, rectangle fi B. O A égale cinq, O B égale quatre, w A B égale trois. Nhabbtou men B 3moudi 3la O A : nal9aw H indice un. Men H indice un 3moudi 3la O B : nal9aw H indice deux, w hakka. Koll marra 3andna triangle rectangle, w l'angle fi O houwa bidou. Le cosinus de l'angle O égale quatre cinquièmes. Idhan O H indice un égale quatre cinquièmes fois O B, w koll distance jdida hiya quatre cinquièmes fois elli sab9etha. Hedhi suite géométrique, la raison quatre cinquièmes. W les côtés mta3 le zigzag, koll wa7ed égale trois cinquièmes fois la distance elli m3ah, idhan la longueur mte3ou somme mta3 suite géométrique. »

Activité

Un problème pour aller plus loin : l'échiquier et les grains de blé

Un auteur arabe, Al-Sephadi, raconte que l'inventeur du jeu d'échecs fut présenté à son maître, roi de Perse. Pour le récompenser, celui-ci promit de lui accorder ce qu'il désirerait. L'inventeur, qui devait être un mathématicien de talent, demanda un grain de blé pour la première case de l'échiquier, $2$ pour la seconde, $4$ pour la troisième, $8$ pour la quatrième et ainsi de suite, jusqu'à la dernière case (un échiquier comporte $64$ cases).

Le roi pensa que c'était une bien faible récompense, mais ses conseillers firent le calcul : le nombre de grains de blé est $2^{64} - 1.$ Un nombre qui dépasse de beaucoup de fois la récolte de nos jours, chaque année, dans le monde entier !

Un grain de blé pèse en moyenne $0{,}05$ g. Combien faut-il de bateaux de $10\,000$ tonnes pour transporter ce blé ?

le nombre de grains de blé

1 + 2 + 2^{2} + \ldots + 2^{63} = 2^{64} - 1

Ce qu’on observe

On pose $1$ grain de blé sur la première case d'un échiquier, $2$ sur la deuxième, $4$ sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu'à la $64^{\text{e}}$ case. Calcule le nombre total de grains, puis le nombre de bateaux de $10\,000$ tonnes nécessaires, si un grain pèse $0{,}05$ gramme.

1
La somme
La case numéro $k$ porte $2^{k-1}$ grains : la dernière en porte $2^{63}.$ C'est la somme des puissances de $2,$ de $2^{0}$ à $2^{63}.$
$1 + 2 + 2^{2} + \ldots + 2^{63} = \frac{1 - 2^{64}}{1 - 2} = 2^{64} - 1$
2
Un ordre de grandeur
À la calculatrice, on trouve un nombre de vingt chiffres.
$2^{64} - 1 \approx 1{,}84 \times 10^{19}$
3
La masse
Chaque grain pèse $0{,}05$ gramme, et une tonne vaut $10^{6}$ grammes.
$1{,}84 \times 10^{19} \times 0{,}05 \approx 9{,}2 \times 10^{17}$ g $= 9{,}2 \times 10^{11}$ tonnes
4
Les bateaux
$\frac{9{,}2 \times 10^{11}}{10^{4}} = 9{,}2 \times 10^{7}$
5
Conclusion
Il faudrait environ $92$ millions de bateaux de $10\,000$ tonnes.

2^{64} - 1 \approx 1{,}84 \times 10^{19}

grains

;

environ

92

millions de bateaux

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« 7keya ma3roufa : elli e5tara3 le jeu d'échecs, el malek 9allou otlob elli t7eb. Tlab : grain de blé wa7ed fi la première case, deux fi la deuxième, quatre fi la troisième, w koll marra yadhreb fi deux, 7atta la case numéro soixante-quatre. El malek dh7ak, 9al 7aja 9lila. Amma ki na7sbou : un plus deux plus quatre, 7atta deux puissance soixante-trois. Hedhi la somme mta3 les puissances de deux, w hiya deux puissance soixante-quatre, moins un. Nombre kbir barcha : akther men dix-huit milliards de milliards. Bech nhezzouh, yelzemna ta9riban quatre-vingt-douze millions de bateaux. Chouft suite géométrique kifech tekber fisa3 ! »

À retenir

1.
$(U_{n})$ est géométrique de raison $q$ si $U_{n+1} = q \times U_{n}$ pour tout entier naturel $n.$
2.
Des termes consécutifs d'une suite géométrique sont en progression géométrique.
3.
Augmenter de $t\,\%,$ c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%,$ c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}.$
4.
$V_{n} = V_{0} \times q^{n}$ ; $V_{n} = V_{p} \times q^{\,n-p}$ ; en particulier $V_{n} = V_{1} \times q^{\,n-1}.$
5.
$1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q},$ pour $q \neq 1.$
6.
Somme de $n$ termes consécutifs ( $q \neq 1$ ) : $S = a \times \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q},$ où $a$ est le premier terme de la somme.
7.
Si $q = 1,$ la suite est constante et $S = n \times a.$

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

Gardée sur cet appareil, sans compte.

Ta progression

0 %

0/20
Cours lu: 0/102
Entraînement: —
Séance: 0
Erreurs

Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.

Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Ce que tu dois savoir faire

Reconnaître une suite géométrique et déterminer sa raison
Utiliser les formules $V_{n} = V_{0} \times q^{n}$ et $V_{n} = V_{p} \times q^{\,n-p}$
Retrouver la raison ou l'indice à partir de termes connus
Lire le premier terme et la raison d'une suite géométrique sur un graphique
Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Pour comprendre : un loyer qui augmente

Une maison a été louée, au 1ᵉʳ janvier 2005, à $200$ dinars par mois. Le contrat de location prévoit une augmentation annuelle de $5\,\%$ du loyer.

Détermine le loyer mensuel de cette maison en 2006, en 2007 et en 2008.
En quelle année le loyer dépassera-t-il $240$ dinars ?

Le piège

Le loyer augmente de $10$ dinars chaque année : $200$ ; $210$ ; $220$ ; $230$

$200$ ; $210$ ; $220{,}5$ ; $231{,}525$

Les $5\,\%$ se calculent chaque année sur le dernier loyer, pas sur celui de 2005 : l'augmentation grandit d'une année à l'autre.

Pour comprendre : des carrés emboîtés

On construit un carré de côté $1$ , puis on en construit un second en reliant les milieux des côtés du premier. En répétant ce procédé, on trace à chaque fois un nouveau carré.

Détermine l'aire du deuxième carré, du troisième carré, du quatrième carré et du cinquième carré.
Quelle est l'aire du douzième carré ?
Parmi ces carrés, y en a-t-il un dont l'aire est le dixième de l'aire du carré initial ?

Chaque carré relie les milieux des côtés du précédent.

Le piège

L'aire du douzième carré est $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}$

C'est $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{11} = \dfrac{1}{2048}$

Le premier carré a pour aire $1$ : pour arriver au douzième, on ne multiplie que onze fois par $\dfrac{1}{2}$ .

Pour comprendre : les triangles complémentaires

Soit $ABC$ un triangle. On désigne par $P_{0}$ son périmètre et par $t_{1}$ le triangle dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle $ABC$ . On dit que $t_{1}$ est le triangle complémentaire de $ABC$ .

Soit $P_{1}$ le périmètre du triangle $t_{1}$ . Exprime $P_{1}$ en fonction de $P_{0}$ .
Soient $t_{2}$ le triangle complémentaire de $t_{1}$ et $t_{3}$ le triangle complémentaire de $t_{2}$ , de périmètres $P_{2}$ et $P_{3}$ . Exprime $P_{2}$ en fonction de $P_{1}$ et $P_{3}$ en fonction de $P_{2}$ .
Pour un entier naturel non nul $n$ , on désigne par $t_{n}$ le triangle complémentaire de $t_{n-1}$ , et par $P_{n}$ et $P_{n-1}$ leurs périmètres. Exprime $P_{n}$ en fonction de $P_{n-1}$ .
On donne $P_{0} = 384$ . Calcule $P_{1}$ , $P_{2}$ et $P_{5}$ .

Le triangle complémentaire joint les milieux des côtés.

P_{n} = \frac{1}{2} \times P_{n-1}

Pour comprendre : les intérêts composés

Au 1ᵉʳ janvier 2004, on a placé un capital de $10\,000$ dinars dans une banque, au taux d'intérêts composés de $4\,\%$ : chaque année, les intérêts se calculent sur le dernier capital.

On note $C_{0}$ le capital initial ( $C_{0} = 10\,000$ dinars), $C_{1}$ le capital après une année, $C_{2}$ le capital après deux années et $C_{3}$ le capital après trois années.

Calcule $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ .
On désigne par $C_{n}$ le capital après $n$ années. Trouve une relation entre $C_{n+1}$ et $C_{n}$ .

C_{n+1} = 1{,}04 \times C_{n}

Le piège

$C_{2} = 10\,400 + 400 = 10\,800$

$C_{2} = 10\,400 \times 1{,}04 = 10\,816$

À intérêts composés, les intérêts de la deuxième année se calculent sur $10\,400$ , pas sur le capital de départ : ils valent $416$ dinars, pas $400$ .

Suite géométrique

On retient la définition suivante :

On dit qu'une suite $(U_{n})$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , on a $U_{n+1} = q\,U_{n}$ . Le nombre réel $q$ est appelé raison de cette suite.

Remarque. Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , … sont des termes consécutifs d'une suite géométrique, on dit qu'ils sont en progression géométrique.

Autrement dit : on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ .

U_{n+1} = q \times U_{n}

Le piège

La raison de la suite géométrique $2$ ; $6$ ; $18$ ; $54$ ; … est $4$

La raison est $3$ , car $6 = 3 \times 2$

Dans une suite géométrique, on multiplie pour passer au terme suivant : la raison se lit sur un quotient, pas sur une différence.

Le piège

La suite $3$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; … est géométrique

$6 = 2 \times 3$ mais $9 = 1{,}5 \times 6$ : elle n'est pas géométrique

Ici on ajoute $3$ à chaque fois : c'est une suite arithmétique. Dans une suite géométrique, le multiplicateur ne change jamais.

Reconnaître une suite géométrique

Pour montrer qu'une suite $(U_{n})$ est géométrique, on écrit $U_{n+1}$ sous la forme $q \times U_{n}$ , où $q$ est un réel qui ne dépend pas de $n$ . Quand tous les termes sont non nuls, cela revient à montrer que le quotient $\dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}$ est le même pour tout $n$ .

Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de trouver deux passages qui ne se font pas avec le même multiplicateur : par exemple $\dfrac{U_{1}}{U_{0}} \neq \dfrac{U_{2}}{U_{1}}$ .

\frac{U_{n+1}}{U_{n}} = q

Le piège

$\dfrac{U_{1}}{U_{0}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}}$ , donc la suite est géométrique

Il faut $U_{n+1} = q\,U_{n}$ pour tout entier naturel $n$

Deux quotients égaux ne prouvent rien pour la suite entière. Deux quotients différents, en revanche, suffisent à prouver qu'elle n'est pas géométrique.

Le piège

$U_{n+1} = 3U_{n} + 5$ : la suite est géométrique de raison $3$

Avec $U_{0} = -2$ : $U_{1} = -1$ et $U_{2} = 2$ ; les quotients $\dfrac{1}{2}$ et $-2$ sont différents

À cause du « $+ 5$ », on ne passe pas d'un terme au suivant par une simple multiplication.

Pour comprendre : la pression atmosphérique

La pression atmosphérique diminue, approximativement, de $1\,\%$ à chaque fois que l'altitude de l'observateur augmente de $100$ mètres.

Exprime $p_{1}$ , $p_{2}$ et $p_{3}$ en fonction de $p_{0}$ .
$p_{n}$ étant la pression en millibars à l'altitude $(n \times 100)$ mètres, conjecture l'expression de $p_{n}$ en fonction de $p_{0}$ .
Un jour, la pression atmosphérique au niveau de la mer était $1000$ millibars. Calcule la pression à $400$ mètres au-dessus du niveau de la mer.
Le même jour, le baromètre d'un observateur indique $950$ millibars. À quelle altitude était cet observateur ?

p_{n} = 0{,}99^{\,n} \times p_{0}

Le piège

À $400$ mètres la pression a diminué de $4\,\%$ : $p_{4} = 0{,}96 \times p_{0}$

$p_{4} = 0{,}99^{4} \times p_{0} \approx 0{,}9606 \times p_{0}$

Chaque baisse de $1\,\%$ porte sur la pression de l'étage d'en dessous, pas sur la pression au niveau de la mer : les pourcentages ne s'ajoutent pas.

Trois cas particuliers

Soit $(U_{n})$ une suite géométrique de premier terme $U_{0}$ et de raison $q$ . Trois cas se règlent tout de suite :

si $q = 1$ , alors $U_{n+1} = U_{n}$ pour tout $n$ : tous les termes sont égaux à $U_{0}$ , la suite est constante ;
si $U_{0} = 0$ , alors $U_{1} = q \times 0 = 0$ , puis $U_{2} = 0$ , … : tous les termes sont nuls ;
si $q = 0$ , alors $U_{n+1} = 0 \times U_{n} = 0$ : tous les termes sont nuls à partir de $U_{1}$ .

Ces trois cas mis à part, on s'intéresse aux suites où $U_{0} \neq 0$ , $q \neq 0$ et $q \neq 1$ ; le cas $q = 1$ reviendra pour la somme.

Terme général d'une suite géométrique

Soit $(V_{n})$ une suite géométrique de premier terme $V_{0}$ et de raison $q \neq 0$ . On a :

$V_{n} = V_{0}\,q^{n}$ , pour tout entier naturel $n$ .

On le voit sur les premiers termes : $V_{1} = V_{0}\,q$ , $V_{2} = V_{0}\,q^{2}$ , $V_{3} = V_{0}\,q^{3}$ , … Pour aller de $V_{0}$ à $V_{n}$ , on multiplie $n$ fois par la raison. Grâce à cette formule, on calcule un terme lointain sans passer par tous ceux qui le précèdent.

V_{n} = V_{0} \times q^{n}

Le piège

$V_{5} = V_{0} \times 5q$

$V_{5} = V_{0} \times q^{5}$

On multiplie cinq fois par $q$ : $q \times q \times q \times q \times q = q^{5}$ . C'est dans une suite arithmétique qu'on écrit $5r$ .

Le piège

$V_{n} = (V_{0} \times q)^{n}$

$V_{n} = V_{0} \times q^{n}$

Seule la raison est élevée à la puissance $n$ ; le premier terme n'est compté qu'une fois.

D'un terme à un autre

Soit $(V_{n})$ une suite géométrique de raison $q \neq 0$ . On n'est pas obligé de repartir de $V_{0}$ :

$V_{n} = V_{p}\,q^{\,n-p}$ , pour tous entiers $n$ et $p$ . En particulier $V_{n} = V_{1}\,q^{\,n-1}$ , pour tout entier naturel $n$ .

L'exposant de $q$ est la différence des indices : c'est le nombre de pas qui séparent $V_{p}$ de $V_{n}$ .

V_{n} = V_{p} \times q^{\,n-p}

V_{n} = V_{1} \times q^{\,n-1}

Le piège

$V_{43} = V_{9} \times q^{43}$

$V_{43} = V_{9} \times q^{\,43-9} = V_{9} \times q^{34}$

L'exposant compte les pas entre les deux indices. $q^{43}$ ne convient que si l'on part de $V_{0}$ .

Le piège

Le premier terme est $U_{1}$ , donc $U_{n} = U_{1} \times q^{n}$

$U_{n} = U_{1} \times q^{\,n-1}$

De $U_{1}$ à $U_{n}$ , il n'y a que $n - 1$ pas.

Retrouver la raison à partir de deux termes

Quand on connaît deux termes $V_{p}$ et $V_{n}$ d'une suite géométrique (avec $n > p$ et $V_{p} \neq 0$ ), la formule $V_{n} = V_{p}\,q^{\,n-p}$ donne une puissance de la raison :

q^{\,n-p} = \frac{V_{n}}{V_{p}}

Il reste à trouver $q$ :

si l'exposant $n - p$ est impair, il y a une seule valeur de $q$ ;
si l'exposant $n - p$ est pair, il peut y avoir deux valeurs opposées : il faut les donner toutes les deux.

q^{\,n-p} = \frac{V_{n}}{V_{p}}

Le piège

$q^{8} = 256$ , donc $q = 2$

$q = 2$ ou $q = -2$

Une puissance d'exposant pair efface le signe : $(-2)^{8} = 2^{8} = 256$ . Les deux suites existent.

Le piège

$U_{4} = 25$ et $U_{11} = 1\,953\,125$ , donc $q = \dfrac{1\,953\,125}{25}$

$q^{7} = \dfrac{1\,953\,125}{25} = 78\,125$ , puis $q = 5$

Le quotient de deux termes donne $q$ seulement s'ils sont consécutifs. Ici sept pas les séparent : on obtient $q^{7}$ .

Exemple : lire une suite géométrique sur un graphique

Dans un repère, on représente une suite $(U_{n})$ par les points $A_{n}$ de coordonnées $(n, U_{n})$ : l'abscisse est l'indice, l'ordonnée est le terme.

Sur la figure, les ordonnées des points $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ et $A_{4}$ sont les cinq premiers termes consécutifs d'une suite géométrique $(U_{n})$ .

Détermine le premier terme et la raison de cette suite.

Les ordonnées de A₀, A₁, A₂, A₃ et A₄ : 4 ; 2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25.

Le piège

Les points qui représentent une suite géométrique sont alignés

Ici, de $A_{0}$ à $A_{1}$ l'ordonnée baisse de $2$ , puis de $A_{1}$ à $A_{2}$ elle ne baisse que de $1$ : les points ne sont pas alignés

Ce sont les points d'une suite arithmétique qui sont alignés : on y ajoute toujours le même nombre. Ici on multiplie.

Le piège

$q = U_{0} - U_{1} = 4 - 2 = 2$

$q = \dfrac{U_{1}}{U_{0}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

La raison d'une suite géométrique est un quotient : le terme suivant divisé par le terme d'avant.

Pour comprendre : trois raisons, trois comportements

On considère les suites géométriques $(U_{n})$ , $(V_{n})$ et $(W_{n})$ de raisons respectives $0{,}5$ , $\dfrac{3}{2}$ et $-2$ , et telles que $U_{0} = V_{0} = W_{0} = 1$ .

Calcule, à la calculatrice ou avec un tableur, les premiers termes de chacune des trois suites.
Quelles remarques peut-on faire sur les valeurs des termes de chacune des trois suites, lorsque $n$ devient de plus en plus grand ?

Le piège

Une suite géométrique augmente toujours

Avec un premier terme positif : elle augmente si $q > 1$ , elle diminue si $0 < q < 1$

Multiplier un nombre positif par un nombre plus petit que $1$ le rend plus petit : $1 \times 0{,}5 = 0{,}5$ .

Pour comprendre : quitte ou double !

La personne B a-t-elle intérêt à accepter cette proposition ?

Le piège

B donne $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{10}$ dinars

Le dixième jour, B donne $2^{9} = 512$ dinars

Le premier jour correspond à $2^{0} = 1$ : dix jours vont de $2^{0}$ à $2^{9}$ .

La somme des puissances d'un réel

$1 + q + q^{2} + q^{3} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ , où $q$ est un réel différent de $1$ et $n$ est un entier naturel. Si $q = 1$ , on a $1 + q + q^{2} + q^{3} + \ldots + q^{n} = n + 1$ .

Cette somme a $n + 1$ termes, de $q^{0} = 1$ jusqu'à $q^{n}$ : l'exposant qui apparaît dans la formule est le nombre de termes.

1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Le piège

$1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$

$1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

De $q^{0}$ à $q^{n}$ il y a $n + 1$ termes, pas $n$ : l'exposant de la formule est le nombre de termes.

Le piège

Avec $q = 1$ : $\dfrac{1 - 1^{n+1}}{1 - 1} = 0$

Avec $q = 1$ : $1 + 1 + \ldots + 1 = n + 1$

La formule divise par $1 - q$ : elle n'a pas de sens quand $q = 1$ , car on ne divise pas par $0$ .

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

La somme $S$ de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$ ( $q \neq 1$ ) est $S = a \times \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , où $a$ est le premier terme de cette somme. Si $q = 1$ alors $S = n\,a$ .

En mots :

S = \text{le premier terme de la somme} \times \frac{1 - (\text{la raison})^{\text{le nombre de termes}}}{1 - \text{la raison}}

Pour compter les termes : de $U_{p}$ à $U_{n}$ , il y a $n - p + 1$ termes.

S = a \times \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

Le piège

De $3^{3}$ à $3^{9}$ , il y a $9 - 3 = 6$ termes

Il y a $9 - 3 + 1 = 7$ termes

On compte les deux bouts : $3^{3}$ , $3^{4}$ , $3^{5}$ , $3^{6}$ , $3^{7}$ , $3^{8}$ , $3^{9}$ .

Le piège

Dans la formule, $a$ est toujours $U_{0}$

$a$ est le premier terme de la somme

Pour $U_{11} + U_{12} + \ldots + U_{20}$ , on prend $a = U_{11}$ et $n = 10$ termes.

Exemple : une somme à signes alternés

Quand les termes d'une somme changent de signe à chaque pas, la raison est négative. La formule de la somme s'applique sans changement : il faut seulement faire attention au signe de la puissance.

Calcule la somme $C = \sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3} - 9 + 9\sqrt{3} - \ldots - 81 + 81\sqrt{3}$ .

Le piège

$(-\sqrt{3})^{9} = 81\sqrt{3}$

$(-\sqrt{3})^{9} = -81\sqrt{3}$

Une puissance d'exposant impair d'un nombre négatif est négative ; c'est avec un exposant pair que le signe disparaît.

Le piège

Les signes alternent, donc ce n'est pas une suite géométrique

C'est une suite géométrique de raison négative, $q = -\sqrt{3}$

Multiplier par un nombre négatif change le signe à chaque pas : c'est exactement ce qu'on observe.

Un problème pour aller plus loin : une ligne polygonale dans un carré

Soit $A_{0}B_{0}C_{0}D_{0}$ un carré de centre $O$ et de $6$ cm de côté. On définit la ligne polygonale $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ de la figure de la façon suivante : les points $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ et $A_{4}$ sont respectivement sur les segments $[OB_{0}]$ , $[OC_{0}]$ , $[OD_{0}]$ et $[OA_{0}]$ , et tels que

OA_{1} = \frac{1}{2}\,OB_{0} \quad ; \quad OA_{2} = \frac{1}{2^{2}}\,OC_{0} \quad ; \quad OA_{3} = \frac{1}{2^{3}}\,OD_{0} \quad ; \quad OA_{4} = \frac{1}{2^{4}}\,OA_{0}

On reconduit le même procédé : $A_{5}$ , $A_{6}$ , … sont sur $[OB_{0}]$ , $[OC_{0}]$ , … avec $OA_{5} = \dfrac{1}{2^{5}}\,OB_{0}$ , $OA_{6} = \dfrac{1}{2^{6}}\,OC_{0}$ , …

Sur quel segment se trouve le point $A_{n}$ , suivant les valeurs de $n$ ?
Pour tout entier naturel $n$ , on pose $U_{n} = OA_{n}$ . Calcule $U_{0}$ , $U_{1}$ et $U_{2}$ . Quelle est la nature de la suite $(U_{n})$ ? Exprime $U_{n}$ en fonction de $n$ .
Soit $(L_{n})$ la suite définie par $L_{n} = A_{n}A_{n+1}$ . Montre que $L_{n} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2^{n+1}}$ .
Soit $p_{n}$ la longueur de la ligne polygonale $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3} \ldots A_{n}$ . Exprime $p_{n}$ en fonction de $n$ .

La ligne polygonale A₀A₁A₂A₃A₄ dans le carré A₀B₀C₀D₀.

U_{n} = \frac{3\sqrt{2}}{2^{n}}

p_{n} = 3\sqrt{10} \times \left(1 - \frac{1}{2^{n}}\right)

Le piège

La ligne $A_{0}A_{1} \ldots A_{n}$ a $n + 1$ côtés

Elle a $n$ côtés : $L_{0}$ , $L_{1}$ , …, $L_{n-1}$

Il y a $n + 1$ points, donc $n$ segments entre eux. Le dernier côté est $A_{n-1}A_{n} = L_{n-1}$ .

Un problème pour aller plus loin : un zigzag de projetés orthogonaux

Dans la figure, $OAB$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $OA = 5$ , $OB = 4$ et $AB = 3$ .

$H_{1}$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(OA)$ , $H_{2}$ le projeté orthogonal de $H_{1}$ sur $(OB)$ , $H_{3}$ le projeté orthogonal de $H_{2}$ sur $(OA)$ , $H_{4}$ le projeté orthogonal de $H_{3}$ sur $(OB)$ , et ainsi de suite.

Calcule $\dfrac{OH_{1}}{OB}$ et déduis-en $OH_{1}$ . Montre que $\dfrac{OH_{1}}{OB} = \dfrac{OH_{2}}{OH_{1}} = \dfrac{OH_{3}}{OH_{2}} = \dfrac{4}{5}$ , puis déduis-en $OH_{2}$ et $OH_{3}$ .
Sur quel côté du triangle $OAB$ se trouve le point $H_{n}$ ? Calcule $OH_{n+1}$ en fonction de $OH_{n}$ , puis déduis-en l'expression de $OH_{n}$ en fonction de $n$ .
Vérifie que $BH_{1} = \dfrac{3}{5}\,OB$ , $H_{1}H_{2} = \dfrac{3}{5}\,OH_{1}$ et $H_{2}H_{3} = \dfrac{3}{5}\,OH_{2}$ . Soit $S = BH_{1} + H_{1}H_{2} + H_{2}H_{3} + \ldots + H_{n}H_{n+1}$ . Donne l'expression de $S$ en fonction de $n$ .

*Indication : pense aux rapports trigonométriques dans un triangle rectangle.*

Le zigzag B, H₁, H₂, H₃ entre les côtés [OA] et [OB].

OH_{n} = 4 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{n}

S = 12 \times \left(1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}\right)

Un problème pour aller plus loin : l'échiquier et les grains de blé

Le roi pensa que c'était une bien faible récompense, mais ses conseillers firent le calcul : le nombre de grains de blé est $2^{64} - 1$ . Un nombre qui dépasse de beaucoup de fois la récolte de nos jours, chaque année, dans le monde entier !

Un grain de blé pèse en moyenne $0{,}05$ g. Combien faut-il de bateaux de $10\,000$ tonnes pour transporter ce blé ?

1 + 2 + 2^{2} + \ldots + 2^{63} = 2^{64} - 1

À retenir

$(U_{n})$ est géométrique de raison $q$ si $U_{n+1} = q \times U_{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
Des termes consécutifs d'une suite géométrique sont en progression géométrique.
Augmenter de $t\,\%$ , c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$ , c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ .
$V_{n} = V_{0} \times q^{n}$ ; $V_{n} = V_{p} \times q^{\,n-p}$ ; en particulier $V_{n} = V_{1} \times q^{\,n-1}$ .
$1 + q + q^{2} + \ldots + q^{n} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ , pour $q \neq 1$ .
Somme de $n$ termes consécutifs ( $q \neq 1$ ) : $S = a \times \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , où $a$ est le premier terme de la somme.
Si $q = 1$ , la suite est constante et $S = n \times a$ .

Ce qu’il t’explique

Pour comprendre : un loyer qui augmente

Pour comprendre : des carrés emboîtés

Pour comprendre : les triangles complémentaires

Pour comprendre : les intérêts composés

Suite géométrique

Reconnaître une suite géométrique

Pour comprendre : la pression atmosphérique

Trois cas particuliers

Terme général d'une suite géométrique

D'un terme à un autre

Retrouver la raison à partir de deux termes

Exemple : lire une suite géométrique sur un graphique

Pour comprendre : trois raisons, trois comportements

Pour comprendre : quitte ou double !

La somme des puissances d'un réel

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Exemple : une somme à signes alternés

Un problème pour aller plus loin : une ligne polygonale dans un carré

Un problème pour aller plus loin : un zigzag de projetés orthogonaux

Un problème pour aller plus loin : l'échiquier et les grains de blé

À toi, au tableau

Le loyer de 2007

Le douzième carré

Le cinquième triangle

Le capital après trois ans

Lire la raison

Une relation à transformer

L'année des 240 dinars

La série télévisée

Moins quatre, quatre, moins quatre…

Une relation à l’envers

Une racine sous la puissance

La pression à 400 mètres

Deux raisons, un seul V9

Une somme de fractions à signes alternés

Les sept premiers termes

Une somme qui ne part pas du début

Retrouver le premier terme

Combien de termes ?

Les points sur une demi-diagonale

Plus petit qu’un centième

Le troisième projeté

Un nombre parfait

Des versements chaque année

Dépasser 100

Ta progression

Ta progression

Ce que tu dois savoir faire

Pour comprendre : un loyer qui augmente

Pour comprendre : des carrés emboîtés

Pour comprendre : les triangles complémentaires

Pour comprendre : les intérêts composés

Suite géométrique

Reconnaître une suite géométrique

Pour comprendre : la pression atmosphérique

Trois cas particuliers

Terme général d'une suite géométrique

D'un terme à un autre

Retrouver la raison à partir de deux termes

Exemple : lire une suite géométrique sur un graphique

Pour comprendre : trois raisons, trois comportements

Pour comprendre : quitte ou double !

La somme des puissances d'un réel

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Exemple : une somme à signes alternés

Un problème pour aller plus loin : une ligne polygonale dans un carré

Un problème pour aller plus loin : un zigzag de projetés orthogonaux

Un problème pour aller plus loin : l'échiquier et les grains de blé

À retenir