Translations

Application du plan, image et antécédent ; translation de vecteur u ; propriété caractéristique ; ce que la translation conserve ; images d'une droite, d'un segment, d'un cercle et d'un polygone ; problèmes de lieux et de construction.

26 sections · 102 exercices

Translations

Le tableau est vide…

Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.

Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.

Tu peux aussi répondre à la voix 🎤

Le cours

Ce qu’il t’explique

Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.

Faire glisser une figure sans la tourner ni la déformer : c'est une translation. Chaque point se déplace du même vecteur.

On commence par la notion d'application du plan, on définit la translation de vecteur u⃗,\vec{u}, puis on étudie ce qu'elle conserve et les images des figures usuelles. Elle devient alors un outil pour prouver des alignements, chercher des lieux géométriques et résoudre des problèmes de construction.

À la fin de ce chapitre, tu sais

  • Reconnaître une application du plan, l'image et l'antécédent d'un point

  • Construire l'image d'un point, d'une droite, d'un segment et d'un cercle par une translation

  • Utiliser la propriété caractéristique M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour reconnaître une translation

  • Utiliser ce que la translation conserve : distances, alignement, milieu, parallélisme, angles

  • Résoudre des problèmes de lieux géométriques et des problèmes de construction

Activité

Rappels

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. On a donc trois vecteurs égaux : AB→=CD→=EF→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}.

La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} envoie AA sur B,B, CC sur DD et EE sur FF : chaque point se déplace du même vecteur.

On rappelle que ABDCABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

ABCDEF
ABDC et ABFE sont deux parallélogrammes.
trois vecteurs égauxAB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}

Ce qu’on observe

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. On note tt la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. a) tt envoie AA sur B,B, CC sur DD et EE sur F.F. b) L'image de la droite (AC)(AC) par tt est la droite (BD).(BD). c) L'image de la droite (EF)(EF) par tt est la droite (CD).(CD).

  1. 1

    Les points

    Les deux parallélogrammes donnent trois vecteurs égaux : chaque point part du même vecteur. L'affirmation a) est vraie.

    AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}
  2. 2

    La droite (AC)

    AA a pour image BB et CC a pour image DD : la droite qui passe par AA et CC devient la droite qui passe par BB et D.D. L'affirmation b) est vraie.

    (AC)⟼(BD)(AC) \longmapsto (BD)
  3. 3

    La droite (EF)

    EE a pour image F,F, et l'image de FF est encore un point de la droite (EF),(EF), car le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est le vecteur de la translation. La droite (EF)(EF) a pour image elle-même, et non la droite (CD)(CD) : l'affirmation c) est fausse.

    (EF)⟼(EF)(EF) \longmapsto (EF)
a) vraie ;; b) vraie ;; c) fausse

L’erreur à ne pas faire

  • ABDCABDC est un parallélogramme, donc AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}ABDCABDC est un parallélogramme, donc AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
    On lit les sommets dans l'ordre : dans ABDC,ABDC, le côté opposé à [AB][AB] est [DC],[DC], et il se parcourt de CC vers DD pour garder le même sens.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nabdew b tadhkir. Fel figure 3andna zouz parallélogrammes : ABDC w ABFE. Ya3ni le vecteur AB égale le vecteur CD, w égale le vecteur EF. La translation de vecteur AB teb3ath A l B, w C l D, w E l F : koll point yet7arrek b nafs el vecteur. W rodd belek 3la l'ordre mta3 les sommets : ABDC parallélogramme ma3neha le vecteur AB égale le vecteur CD, mouch le vecteur DC. »

Définition

Application du plan

Lorsqu'on associe à tout point MM du plan un seul point M′,M', on définit une application du plan dans lui-même.

Si on désigne par ff cette application, on écrit f:P→P, f : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\ M↦M′M \mapsto M'.

  • M′M' s'appelle l'image du point MM par l'application f.f.
  • MM s'appelle un antécédent du point M′M' par l'application f.f.

Exemples. Soit II un point du plan. La symétrie centrale SI,S_I, qui à MM associe le point M′M' tel que II est le milieu de [MM′],[MM'], est une application du plan dans lui-même. Soit DD une droite. La symétrie orthogonale SD,S_D, qui à MM associe le point M′M' tel que DD soit la médiatrice du segment [MM′],[MM'], est une application du plan dans lui-même. Un quart de tour direct, un quart de tour indirect sont aussi des applications du plan.

ACC'C''
Deux points conviennent : ACC' et ACC'' sont équilatéraux.
une application du planf:P→P,f : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\quadM↦M′M \mapsto M'

Exemple traité

Soit AA un point du plan. a) À tout point M,M, on associe son symétrique NN par rapport à A.A. Définit-on ainsi une application du plan ? b) À tout point CC distinct de A,A, on associe un point C′C' tel que ACC′ACC' soit un triangle équilatéral. Définit-on ainsi une application ?

  1. 1

    Le symétrique

    Un point MM a un seul symétrique par rapport à AA : c'est le point NN tel que AA est le milieu de [MN].[MN]. On définit bien une application : c'est la symétrie centrale de centre A.A.

    M⟼N,M \longmapsto N, \quadAA milieu de [MN][MN]
  2. 2

    Le triangle équilatéral

    Sur un segment [AC][AC] donné, on peut construire deux triangles équilatéraux, un de chaque côté de la droite (AC).(AC). Deux points C′C' répondent à la question.

    22 points C′C' possibles
  3. 3

    Conclure

    Une application associe à chaque point un seul point. Ici le point CC en aurait deux : ce procédé ne définit pas une application.

a) oui ;; b) non

L’erreur à ne pas faire

  • f(M)=M′f(M) = M' : MM est l'image de M′M'f(M)=M′f(M) = M' : M′M' est l'image de M,M, et MM est un antécédent de M′M'
    L'image est le point d'arrivée ; l'antécédent est le point de départ.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa 7aja jdida : l'application du plan. Ki na3tiw l koll point M men le plan, point wa7ed bark M prime, n9oulou 3arrafna application du plan dans lui-même. Nsammiwha f, w nektbou f de M égale M prime. M prime houwa l'image de M, w M houwa antécédent de M prime. Ta3ref menha barcha : la symétrie centrale S I, win I le milieu de MM prime ; la symétrie orthogonale S D, win la droite D hiya la médiatrice de MM prime ; w le quart de tour. »

Activité

Pour comprendre : deux symétries centrales

Soient II et JJ deux points distincts du plan. Pour un point M,M, on désigne par M1M_1 son image par la symétrie centrale SI,S_I, et par M′M' l'image de M1M_1 par la symétrie centrale SJ.S_J. On considère l'application t:M↦M′.t : M \mapsto M'.

II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ est le milieu de [M1M′].[M_1M']. Par la relation de Chasles :

MM′→=MM1→+M1M′→=2IM1→+2M1J→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MM_1} + \overrightarrow{M_1M'} = 2\overrightarrow{IM_1} + 2\overrightarrow{M_1J} = 2\overrightarrow{IJ}

Le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} ne dépend pas du point MM : pour tout autre point CC d'image C′,C', on a aussi CC′→=2IJ→,\overrightarrow{CC'} = 2\overrightarrow{IJ}, donc MM′→=CC′→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{CC'}. Tous les points se déplacent du même vecteur.

IJMM₁M'
MM' = 2 IJ.
le même vecteur pour tout point MMM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}

Ce qu’on observe

Soient II et JJ deux points tels que IJ=3.IJ = 3. À un point M,M, on associe le point M1,M_1, symétrique de MM par rapport à I,I, puis le point M′,M', symétrique de M1M_1 par rapport à J.J. Calculer la distance MM′.MM'.

  1. 1

    Les milieux

    II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ est le milieu de [M1M′][M_1M'] : chaque vecteur vaut deux fois sa moitié.

    MM1→=2IM1→;\overrightarrow{MM_1} = 2\overrightarrow{IM_1} \quad ; \quadM1M′→=2M1J→\overrightarrow{M_1M'} = 2\overrightarrow{M_1J}
  2. 2

    Chasles

    On ajoute les deux vecteurs : le point M1M_1 disparaît.

    MM′→=2(IM1→+M1J→)=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\left(\overrightarrow{IM_1} + \overrightarrow{M_1J}\right) = 2\overrightarrow{IJ}
  3. 3

    La distance

    La distance MM′MM' est le double de la distance IJ,IJ, quel que soit le point M.M.

    MM′=2×3=6MM' = 2 \times 3 = 6
MM′=6MM' = 6

L’erreur à ne pas faire

  • MM′→=IJ→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{IJ}MM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}
    II et JJ sont des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés du triangle MM1M′MM_1M' mesure la moitié du troisième côté.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Bech nefhmou mnin tji la translation, ne5dhou zouz points I w J. El point M na3mloulou la symétrie centrale de centre I : nal9aw M un. Ba3d M un na3mloulou la symétrie centrale de centre J : nal9aw M prime. I houwa le milieu de MM un, w J houwa le milieu de M un M prime. B la relation de Chasles : le vecteur MM prime égale deux fois le vecteur IJ. El vecteur hedha ma fihech M : el points el koll yet7arrkou b nafs el vecteur. Hedhi hiya la translation. »

Définition

Translation de vecteur u

Soit u⃗\vec{u} un vecteur. L'application du plan dans lui-même qui à tout point MM associe l'unique point M′M' tel que MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u} est appelée translation de vecteur u⃗.\vec{u}. Elle est notée tu⃗.t_{\vec{u}}.

On écrit tu⃗:P→P, t_{\vec{u}} : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\ M↦tu⃗(M)=M′M \mapsto t_{\vec{u}}(M) = M'. Le point M′M' est l'image de MM par tu⃗.t_{\vec{u}}.

tu⃗(M)=M′\displaystyle t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗\displaystyle \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Lorsque u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et que MM n'est pas sur la droite (AB),(AB), l'égalité MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB} signifie que ABM′MABM'M est un parallélogramme.

uMM'NN'
Chaque point se déplace du vecteur u.
la définitiontu⃗(M)=M′  ⟺  MM′→=u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points distincts et MM un point qui n'est pas sur la droite (AB).(AB). Construire l'image M′M' du point MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

  1. 1

    Traduire

    Par définition, M′M' est le point tel que le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} est égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

    MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}
  2. 2

    Reconnaître

    Deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme : on lit les lettres dans l'ordre A,A, B,B, puis M′,M', puis M.M.

    ABM′MABM'M est un parallélogramme
  3. 3

    Construire

    On trace la parallèle à la droite (AB)(AB) passant par M,M, et la parallèle à la droite (AM)(AM) passant par BB : elles se coupent en M′.M'. Au compas, on reporte la longueur ABAB à partir de MM et la longueur AMAM à partir de BB : les deux arcs se coupent en deux points, et M′M' est celui qui est de l'autre côté de la droite (BM)(BM) par rapport à A.A.

ABM′MABM'M est un parallélogramme

L’erreur à ne pas faire

  • tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à M′M→=u⃗\overrightarrow{M'M} = \vec{u}tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u}
    Le vecteur part du point MM et arrive à son image M′M' : on écrit d'abord le point de départ.
  • MM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABMM′ABMM' est un parallélogrammeMM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABM′MABM'M est un parallélogramme
    On tourne autour du parallélogramme : après BB vient l'image M′,M', puis on revient à M.M.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa el définition. 3andna vecteur u. L'application elli ta3ti l koll point M, el point el wa7id M prime elli y7a99e9 le vecteur MM prime égale u, nsammiwha la translation de vecteur u, w nektbouha t indice u. Ya3ni : t indice u de M égale M prime, équivaut à le vecteur MM prime égale u. T5ayyel el figure el koll tezle9 fi nafs la direction w nafs le sens, b nafs la longueur. W ken u houwa le vecteur AB, wa9tha ABM prime M parallélogramme. »

Remarque

Image et antécédent

Étant donné un point M′,M', il existe un seul point MM du plan tel que tu⃗(M)=M′.t_{\vec{u}}(M) = M'. Le point MM est l'antécédent de M′M' par tu⃗.t_{\vec{u}}.

En effet, MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u} équivaut à M′M→=−u⃗\overrightarrow{M'M} = -\vec{u} : pour trouver l'antécédent, on part de M′M' et on remonte le vecteur.

Sur une figure. ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. On lit les vecteurs égaux :

  • AI→=IC→=JB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{JB} ;
  • AJ→=IB→=DI→\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{DI} ;
  • JI→=AD→=BC→.\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.
DACBIJ
ABCD est un parallélogramme de centre I ; AIBJ est un parallélogramme.
pour l'antécédenttu⃗(M)=M′  ⟺  M′M→=−u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{M'M} = -\vec{u}

Exemple traité

Dans la figure, ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. a) Déterminer l'image de chacun des points A,A, II et JJ par la translation de vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. b) Déterminer l'image de chacun des points A,A, BB et JJ par la translation de vecteur JI→.\overrightarrow{JI}. c) Déterminer l'antécédent de chacun des points B,B, II et JJ par la translation de vecteur AJ→.\overrightarrow{AJ}.

  1. 1

    Le vecteur AI

    II est le milieu de [AC],[AC], et AIBJAIBJ est un parallélogramme : trois vecteurs sont égaux. Donc AA a pour image I,I, II a pour image C,C, et JJ a pour image B.B.

    AI→=IC→=JB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{JB}
  2. 2

    Le vecteur JI

    Par Chasles, le vecteur JI→\overrightarrow{JI} est la somme des vecteurs JA→\overrightarrow{JA} et AI→,\overrightarrow{AI}, c'est-à-dire des vecteurs BI→\overrightarrow{BI} et IC→.\overrightarrow{IC}. Donc AA a pour image D,D, BB a pour image C,C, et JJ a pour image I.I.

    JI→=BI→+IC→=BC→=AD→\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
  3. 3

    Les antécédents

    Pour un antécédent, on cherche le point de départ : celui d'où part un vecteur égal au vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} et qui arrive au point donné. L'antécédent de BB est I,I, celui de JJ est A,A, et celui de II est D.D.

    IB→=AJ→=DI→\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{DI}
les images I, I,\ CC et BB, puis D, D,\ CC et I;I \quad ; les antécédents I, I,\ DD et AA

L’erreur à ne pas faire

  • L'antécédent de II par la translation de vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} est BBL'antécédent de II est D,D, car DI→=AJ→\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{AJ}
    BB est l'image de I,I, pas son antécédent. Pour l'antécédent, on cherche le point XX tel que le vecteur XI→\overrightarrow{XI} soit égal au vecteur de la translation.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Mola7dha. Ken 3tinek el point M prime, famma point wa7ed bark M elli t indice u de M égale M prime : houwa l'antécédent de M prime. Bech tal9ah, erja3 bel vecteur : le vecteur M prime M égale moins u. Ya3ni l'image nemchiwlha b u, w l'antécédent narj3oulou b moins u. Tawa ntabb9ou hedha 3la figure fiha zouz parallélogrammes. »

Théorème

Propriété caractéristique

Soit tt une application du plan dans le plan, et MM et NN deux points quelconques du plan, d'images respectives M′M' et N′N' par t.t.

(t est une translation)\displaystyle (t \text{ est une translation}) équivaut à (M′N′→=MN→)\displaystyle \left(\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}\right)

Autrement dit : une translation ne change pas les vecteurs, et c'est la seule sorte d'application qui ait cette propriété.

MNM'N'
Le vecteur M'N' est égal au vecteur MN.
pour tous points M et NM′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}

Exemple traité

Soit tt une translation, AA et BB deux points distincts, d'images A′A' et B′.B'. On suppose que A′A' n'est pas sur la droite (AB).(AB). Montrer que ABB′A′ABB'A' est un parallélogramme.

  1. 1

    La propriété

    Une translation ne change pas les vecteurs : le vecteur qui joint les images est égal au vecteur qui joint les points.

    A′B′→=AB→\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}
  2. 2

    Conclure

    Deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme. On lit dans l'ordre : A,A, B,B, puis B′,B', puis A′.A'.

    ABB′A′ABB'A' est un parallélogramme
ABB′A′ABB'A' est un parallélogramme

L’erreur à ne pas faire

  • M′N′=MNM'N' = MN pour tous points MM et N,N, donc ff est une translationIl faut l'égalité des vecteurs : M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}
    Une symétrie centrale conserve aussi les distances, mais elle change le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en son opposé : ce n'est pas une translation.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La propriété caractéristique, hiya elli t3arrfek b la translation. Ne5dhou application t, w zouz points M w N, w les images mte3hom M prime w N prime. T translation, équivaut à : le vecteur M prime N prime égale le vecteur MN, mahma kenou M w N. 3lech ? Ken t translation de vecteur u, b Chasles : le vecteur M prime N prime égale moins u plus le vecteur MN plus u, ya3ni le vecteur MN. W bel 3aks, ken el égalité hedhi dima s7i7a, nchoddou point A w l'image mte3ou A prime : nal9aw le vecteur MM prime égale le vecteur AA prime, l koll point M. Donc t translation de vecteur AA prime. »

Propriété

Distances et directions

  • Pour tous points MM et N,N, d'images respectives M′M' et N′N' par une translation, on a MN=M′N′.MN = M'N'. On dit qu'une translation conserve les distances.
  • Pour tous points MM et NN distincts, d'images respectives M′M' et N′N' par une translation, les droites (MN)(MN) et (M′N′)(M'N') sont parallèles.

Ces deux résultats viennent de l'égalité M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} : deux vecteurs égaux ont la même longueur et la même direction.

uMNM'N'
(MN) et (M'N') sont parallèles, et MN = M'N'.
les distancesMN=M′N′MN = M'N'
les directions(MN)∥(M′N′)(MN) \parallel (M'N')

Exemple traité

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que AB=3AB = 3 et AC=4.AC = 4. On note A′,A', B′B' et C′C' les images de A,A, BB et CC par une translation. Calculer la distance B′C′.B'C'.

  1. 1

    Pythagore

    Dans le triangle ABC,ABC, rectangle en A,A, on calcule l'hypoténuse.

    BC2=32+42=25BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 donc BC=5BC = 5
  2. 2

    La translation

    Une translation conserve les distances : la distance entre les images est la distance entre les points.

    B′C′=BC=5B'C' = BC = 5
B′C′=5B'C' = 5

L’erreur à ne pas faire

  • Par une translation de vecteur u⃗\vec{u} de norme 5,5, la longueur MNMN augmente de 55M′N′=MNM'N' = MN
    Tous les points se déplacent du même vecteur : la figure glisse sans se déformer, aucune longueur ne change.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Men la propriété caractéristique n5arrjou zouz conséquences. Numéro un : MN égale M prime N prime, ya3ni la translation t7afedh 3la les distances. Numéro deux : ken M w N mo5talfin, la droite MN parallèle à la droite M prime N prime. 5ater le vecteur M prime N prime égale le vecteur MN : nafs la longueur w nafs la direction. El figure tezle9, ma tekberch w ma tdourch. »

Méthode

Reconnaître une translation

Pour montrer qu'une application f:M↦M′f : M \mapsto M' est une translation, on calcule le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} et on montre qu'il est égal à un vecteur qui ne dépend pas de M.M.

Exemple. Soit A,A, BB et CC trois points du plan et ff l'application qui à MM associe le point M′M' tel que MM′→=MA→+MB→−2MC→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}. On introduit le point CC par la relation de Chasles :

MM′→=(MC→+CA→)+(MC→+CB→)−2MC→=CA→+CB→\overrightarrow{MM'} = \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA}\right) + \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}\right) - 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}

Le vecteur CA→+CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ne contient plus MM : ff est la translation de vecteur CA→+CB→.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}.

un vecteur constantMM′→=CA→+CB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points du plan. On considère l'application ff du plan dans lui-même qui à tout point MM associe le point NN tel que le vecteur AN→\overrightarrow{AN} soit égal à 33 fois le vecteur AM→\overrightarrow{AM} moins 22 fois le vecteur BM→.\overrightarrow{BM}. Exprimer le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en fonction du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, puis en déduire la nature de f.f.

  1. 1

    Chasles

    On décompose le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en passant par A,A, puis on remplace le vecteur AN→\overrightarrow{AN} par son expression.

    MN→=MA→+AN→=MA→+3AM→−2BM→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{BM}
  2. 2

    Réduire

    Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} est l'opposé du vecteur AM→,\overrightarrow{AM}, et l'opposé du vecteur BM→\overrightarrow{BM} est le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}.

    MN→=2AM→+2MB→=2AB→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{AB}
  3. 3

    Conclure

    Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} ne dépend pas du point MM : ff est la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}.

MN→=2AB→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AB}

L’erreur à ne pas faire

  • MM′→=2MA→,\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA}, donc ff est la translation de vecteur 2MA→2\overrightarrow{MA}ff n'est pas une translation : c'est la symétrie centrale de centre AA
    Le vecteur 2MA→2\overrightarrow{MA} change quand MM change. Pour une translation, le vecteur doit être le même pour tous les points.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kifech nthabtou elli application hiya translation ? N7esbou le vecteur MM prime, w nchoufou ken yatla3 vecteur constant, ma fihech M. Mathalan : le vecteur MM prime égale le vecteur MA plus le vecteur MB moins deux fois le vecteur MC. Nda55lou C b Chasles fi le vecteur MA w fi le vecteur MB : les termes elli fihom M yti7ou, w yo93ed le vecteur CA plus le vecteur CB. Hedha vecteur constant, donc f hiya la translation de vecteur CA plus CB. »

Propriété

Conservation de l'alignement

Les images, par une translation, de points alignés sont des points alignés.

On s'en sert pour prouver un alignement : on montre que les trois points sont les images, par une même translation, de trois points que l'on sait alignés.

dABCIJHKL
H, K et L sont les images de A, B et C par la translation de vecteur IJ.
MP→=kMN→  ⟹  M′P′→=kM′N′→\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN} \implies \overrightarrow{M'P'} = k\overrightarrow{M'N'}

Exemple traité

Soient A,A, BB et CC trois points d'une droite d,d, et II et JJ deux points qui ne sont pas sur d.d. On construit les points H,H, KK et LL tels que AIJH,AIJH, BIJKBIJK et CIJLCIJL soient des parallélogrammes. Montrer que les points H,H, KK et LL sont alignés.

  1. 1

    Les vecteurs

    AIJHAIJH est un parallélogramme : le vecteur AH→\overrightarrow{AH} est égal au vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. Il en est de même pour les deux autres parallélogrammes.

    AH→=BK→=CL→=IJ→\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{CL} = \overrightarrow{IJ}
  2. 2

    La translation

    Les points H,H, KK et LL sont donc les images de A,A, BB et CC par la translation de vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

  3. 3

    Conclure

    A,A, BB et CC sont alignés, et une translation conserve l'alignement : leurs images sont alignées.

    H, H,\ KK et LL sont alignés
H, H,\ KK et LL sont alignés

L’erreur à ne pas faire

  • AIJHAIJH est un parallélogramme, donc AI→=JH→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{JH}AIJHAIJH est un parallélogramme, donc AI→=HJ→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{HJ} et AH→=IJ→\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{IJ}
    Deux côtés opposés se parcourent dans le même sens : de AA vers II d'un côté, de HH vers JJ de l'autre.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La translation t7afedh 3la l'alignement : les images mta3 points alignés, houma points alignés. 3lech ? Ken M, N w P alignés, le vecteur MP égale k fois le vecteur MN. W la translation ma tbaddelch les vecteurs : le vecteur M prime P prime égale k fois le vecteur M prime N prime. Donc M prime, N prime w P prime alignés. Nesta3mlouha barcha : bech nthabtou elli trois points alignés, nwarriw elli houma les images mta3 trois points alignés. »

Théorème

Image d'une droite

Soient AA et BB deux points distincts et A′A' et B′B' leurs images respectives par une translation t.t.

  • L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle : l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (A′B′).(A'B').
  • L'image d'un segment par une translation est un segment qui lui est isométrique : l'image du segment [AB][AB] est le segment [A′B′].[A'B'].
  • L'image d'une demi-droite par une translation est une demi-droite : l'image de la demi-droite [AB)[AB) est la demi-droite [A′B′).[A'B').

En pratique. Pour tracer l'image d'une droite, un seul point suffit : on construit l'image A′A' d'un point AA de la droite, puis on trace la parallèle à la droite passant par A′.A'.

AMBA'M'B'
L'image de la droite (AB) est la droite (A'B'), parallèle à (AB).
une droite parallèle(AB)⟼(A′B′)(AB) \longmapsto (A'B')
un segment isométrique[AB]⟼[A′B′],[AB] \longmapsto [A'B'], \quadA′B′=ABA'B' = AB

Exemple traité

Soit [AB][AB] un segment de milieu O.O. On note D1D_1 la médiatrice du segment [OA][OA] et D2D_2 la médiatrice du segment [OB].[OB]. Montrer que la translation de vecteur AO→\overrightarrow{AO} transforme la droite D1D_1 en la droite D2.D_2.

  1. 1

    Un point de la droite

    On note II le milieu de [OA][OA] et KK le milieu de [OB].[OB]. Le point II est sur D1.D_1. Par Chasles, le vecteur IK→\overrightarrow{IK} est la somme de la moitié du vecteur AO→\overrightarrow{AO} et de la moitié du vecteur OB→,\overrightarrow{OB}, et ces deux vecteurs sont égaux : l'image de II est K.K.

    IK→=IO→+OK→=12AO→+12OB→=AO→\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IO} + \overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AO} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AO}
  2. 2

    La direction

    L'image de D1D_1 est la droite parallèle à D1D_1 qui passe par K.K. Comme D1D_1 est perpendiculaire à la droite (AB),(AB), son image l'est aussi.

  3. 3

    Conclure

    La droite perpendiculaire à (AB)(AB) qui passe par le milieu KK de [OB][OB] est la médiatrice de [OB][OB] : c'est la droite D2.D_2.

    D1⟼D2D_1 \longmapsto D_2
D1⟼D2D_1 \longmapsto D_2

L’erreur à ne pas faire

  • L'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est une autre droite, parallèle à (AB)(AB)L'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est la droite (AB)(AB) elle-même
    AA a pour image B,B, qui est sur la droite (AB)(AB) : la parallèle à (AB)(AB) passant par BB est la droite (AB)(AB) elle-même. Une droite qui a la direction du vecteur glisse sur elle-même.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Chnowa l'image mta3 droite ? El théorème y9oul : l'image d'une droite par une translation, hiya droite parallèle liha. Ken A prime w B prime houma les images de A w B, l'image de la droite AB hiya la droite A prime B prime. W l'image du segment AB hiya le segment A prime B prime, 3andou nafs la longueur. W l'image de la demi-droite d'origine A hiya demi-droite d'origine A prime. Fel pratique : bech tarsem l'image mta3 droite, yekfik point wa7ed. 5oudh point A 3la la droite, arsem A prime, w 3addi men A prime la parallèle. »

Exemple

Exemple : images de droites

Soient ABCDABCD un parallélogramme et D1D_1 la parallèle à la droite (AC)(AC) passant par B.B. On note tt la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.

Pour trouver l'image d'une droite, on cherche l'image d'un de ses points, puis on trace la parallèle :

  • l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (DC)(DC) ;
  • l'image de la droite (AD)(AD) est la droite (BC)(BC) ;
  • l'image de la droite D1D_1 est la droite D1D_1 elle-même, car D1D_1 a la direction du vecteur de la translation.
D₁ABCD
D₁ est la parallèle à (AC) passant par B.
(AB)⟼(DC);(AB) \longmapsto (DC) \quad ; \quad(AD)⟼(BC);(AD) \longmapsto (BC) \quad ; \quadD1⟼D1D_1 \longmapsto D_1

Exemple traité

Soit ABCDABCD un parallélogramme. On note D1D_1 la parallèle à la droite (AC)(AC) passant par B,B, et tt la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Déterminer l'image par tt de chacune des droites (AB),(AB), (AD)(AD) et D1.D_1.

  1. 1

    La droite (AB)

    AA a pour image C.C. L'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) passant par CC : comme ABCDABCD est un parallélogramme, c'est la droite (DC).(DC).

    (AB)⟼(DC)(AB) \longmapsto (DC)
  2. 2

    La droite (AD)

    De même, l'image de la droite (AD)(AD) est la parallèle à (AD)(AD) passant par CC : c'est la droite (BC).(BC).

    (AD)⟼(BC)(AD) \longmapsto (BC)
  3. 3

    La troisième droite

    On note B′B' l'image de B.B. Le vecteur BB′→\overrightarrow{BB'} est égal au vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, et D1D_1 est la parallèle à (AC)(AC) passant par BB : le point B′B' est sur D1.D_1. L'image de D1D_1 est la parallèle à D1D_1 passant par B′,B', c'est-à-dire D1D_1 elle-même.

    D1⟼D1D_1 \longmapsto D_1
les droites (DC), (DC),\ (BC)(BC) et D1D_1

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Mithel. 3andna parallélogramme ABCD, w la droite D un hiya la parallèle à la droite AC elli tet3adda men B. W t hiya la translation de vecteur AC. Bech nal9aw l'image mta3 droite, nal9aw l'image mta3 point wa7ed menha, w nrasmou la parallèle. A yemchi l C : l'image de la droite AB hiya la parallèle elli tet3adda men C, ya3ni la droite DC. Kif kif, l'image de la droite AD hiya la droite BC. Amma la droite D un, 3andha nafs la direction mta3 el vecteur : tezle9 3la rou7ha, w l'image mte3ha hiya D un bidha. »

Propriété

Conservation du milieu

La translation conserve le milieu : si OO est le milieu d'un segment [IJ],[IJ], et si I′,I', J′J' et O′O' sont les images respectives de I,I, JJ et OO par une translation, alors O′O' est le milieu de [I′J′].[I'J'].

ABCMNPQ
N est le milieu de [MQ].
OO milieu de [IJ]  ⟹  O′[IJ] \implies O' milieu de [I′J′][I'J']

Exemple traité

Soient ABCABC un triangle et M,M, NN et PP les milieux respectifs des segments [BC],[BC], [AC][AC] et [AB].[AB]. On note tt la translation de vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. a) Déterminer les images de BB et de PP par t.t. b) Soit QQ l'image de AA par t.t. Montrer que les points M,M, NN et QQ sont alignés, et préciser la position de NN sur le segment [MQ].[MQ].

  1. 1

    L'image de B

    MM est le milieu de [BC][BC] : le vecteur BM→\overrightarrow{BM} est égal au vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. L'image de BB est M.M.

    BM→=MC→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}
  2. 2

    L'image de P

    PP et NN sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC] : le vecteur PN→\overrightarrow{PN} est la moitié du vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, c'est-à-dire le vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. L'image de PP est N.N.

    PN→=12BC→=MC→\overrightarrow{PN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MC}
  3. 3

    Le milieu

    PP est le milieu de [AB],[AB], et une translation conserve le milieu : l'image de P,P, qui est N,N, est le milieu du segment qui joint les images de AA et de B,B, c'est-à-dire QQ et M.M. Les trois points sont donc alignés.

    NN est le milieu de [MQ][MQ]
NN est le milieu de [MQ][MQ]

L’erreur à ne pas faire

  • Le vecteur de la translation est MC→,\overrightarrow{MC}, donc l'image de BB est CCL'image de BB est M,M, car BM→=MC→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}
    L'image de BB est le point XX tel que le vecteur BX→\overrightarrow{BX} soit égal au vecteur de la translation. Ici MM est le milieu de [BC].[BC].

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La translation t7afedh 3la le milieu. Ken O le milieu de IJ, w I prime, J prime w O prime houma les images mte3hom, wa9tha O prime houwa le milieu de I prime J prime. 5ater le vecteur OI plus le vecteur OJ égale le vecteur nul, w la translation ma tbaddelch les vecteurs. Nchoufou mithel fi triangle : M, N w P houma les milieux de BC, AC w AB, w t hiya la translation de vecteur MC. »

Propriété

Conservation du barycentre

La translation conserve le barycentre. Soient II et JJ deux points du plan et aa et bb deux réels tels que a+b≠0.a + b \neq 0. On désigne par GG le barycentre de (I,a)(I, a) et (J,b),(J, b), et par I′,I', J′J' et G′G' les images respectives de I,I, JJ et GG par une translation. Alors G′G' est le barycentre de (I′,a)(I', a) et (J′,b).(J', b).

Il en est de même pour trois points : en particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

ABCOA'C'O'MN
M est le centre de gravité de ABC, N celui de A'CC'.
aGI→+bGJ→=0⃗  ⟹  aG′I′→+bG′J′→=0⃗a\overrightarrow{GI} + b\overrightarrow{GJ} = \vec{0} \implies a\overrightarrow{G'I'} + b\overrightarrow{G'J'} = \vec{0}

Exemple traité

Soit ABCABC un triangle, OO le milieu de [BC][BC] et tt la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. On note A′,A', C′C' et O′O' les images de A,A, CC et OO par t.t. La droite (BA′)(BA') coupe la droite (AO)(AO) en M,M, et la droite (AC′)(AC') coupe la droite (A′O′)(A'O') en N.N. Montrer que MM est le centre de gravité du triangle ABC,ABC, puis que NN est l'image de MM par t.t.

  1. 1

    Le point M

    Le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} est égal au vecteur BC→\overrightarrow{BC} : AA′CBAA'CB est un parallélogramme, et ses diagonales [AC][AC] et [BA′][BA'] se coupent en leur milieu. La droite (BA′)(BA') passe donc par le milieu de [AC][AC] : c'est une médiane du triangle ABC.ABC. La droite (AO)(AO) en est une autre. Leur point d'intersection MM est le centre de gravité de ABC.ABC.

    AA′→=BC→\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BC}
  2. 2

    Le triangle image

    L'image de AA est A′,A', celle de BB est C,C, celle de CC est C′C' : le triangle A′CC′A'CC' est l'image du triangle ABC.ABC. Et O′,O', image du milieu de [BC],[BC], est le milieu de [CC′].[CC'].

    ABC⟼A′CC′ABC \longmapsto A'CC'
  3. 3

    Le point N

    La droite (A′O′)(A'O') est une médiane du triangle A′CC′.A'CC'. Les vecteurs AA′→\overrightarrow{AA'} et CC′→\overrightarrow{CC'} sont égaux : AA′C′CAA'C'C est un parallélogramme, donc la droite (AC′)(AC') passe par le milieu de [A′C].[A'C]. C'est une autre médiane : NN est le centre de gravité du triangle A′CC′.A'CC'.

  4. 4

    Conclure

    Le centre de gravité est l'isobarycentre des trois sommets, et une translation conserve le barycentre : l'image de MM est le centre de gravité du triangle image, c'est-à-dire N.N.

    M⟼NM \longmapsto N
M⟼NM \longmapsto N

L’erreur à ne pas faire

  • GG est le barycentre de (I,2)(I, 2) et (J,3),(J, 3), donc G′G' est le barycentre de (I′,3)(I', 3) et (J′,2)(J', 2)G′G' est le barycentre de (I′,2)(I', 2) et (J′,3)(J', 3)
    Chaque point garde son coefficient : l'image de II porte le coefficient de I.I.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La translation t7afedh zeda 3la le barycentre. Ken G le barycentre de I, a w J, b, w a plus b différent de zéro, wa9tha l'image G prime houwa le barycentre de I prime, a w J prime, b : nafs les coefficients. 5ater a fois le vecteur GI plus b fois le vecteur GJ égale le vecteur nul, w el vecteurs ma yetbaddlouch. W kif kif fi trois points : l'image du centre de gravité mta3 triangle, hiya le centre de gravité mta3 le triangle image. »

Propriété

Parallélisme et orthogonalité

  • Les images par une translation de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
  • Les images par une translation de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.

Une idée utile. Si un point AA est le point d'intersection de deux droites, son image est le point d'intersection des images de ces deux droites.

ABCDMHIEF
I, M et H sont alignés.

Exemple traité

ABCDABCD est un rectangle, MM est un point à l'intérieur de ce rectangle tel que le triangle ABMABM ne soit pas rectangle en M,M, et HH est l'orthocentre du triangle ABM.ABM. Soit EE le projeté orthogonal de CC sur la droite (AM)(AM) et FF le projeté orthogonal de DD sur la droite (BM).(BM). On note II le point d'intersection des droites (CE)(CE) et (DF),(DF), et tt la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. Montrer que les points I,I, MM et HH sont alignés.

  1. 1

    L'image de (BH)

    La droite (BH)(BH) est une hauteur du triangle ABMABM : elle est perpendiculaire à la droite (AM).(AM). BB a pour image CC : l'image de la droite (BH)(BH) est la parallèle à (BH)(BH) passant par C,C, donc la perpendiculaire à (AM)(AM) passant par C.C. C'est la droite (CE).(CE).

    (BH)⟼(CE)(BH) \longmapsto (CE)
  2. 2

    L'image de (AH)

    De même, la hauteur (AH)(AH) est perpendiculaire à la droite (BM),(BM), et AA a pour image D,D, car les vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC} sont égaux. L'image de la droite (AH)(AH) est la perpendiculaire à (BM)(BM) passant par DD : c'est la droite (DF).(DF).

    (AH)⟼(DF)(AH) \longmapsto (DF)
  3. 3

    L'image de H

    HH est le point d'intersection des hauteurs (AH)(AH) et (BH)(BH) : son image est le point d'intersection de leurs images, les droites (DF)(DF) et (CE),(CE), c'est-à-dire I.I.

    HI→=BC→\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{BC}
  4. 4

    Conclure

    La droite (HI)(HI) est parallèle à (BC),(BC), donc perpendiculaire à (AB).(AB). La hauteur (MH)(MH) est elle aussi perpendiculaire à (AB),(AB), et elle passe par HH : les deux droites sont confondues.

    I, I,\ MM et HH sont alignés
I, I,\ MM et HH sont alignés

L’erreur à ne pas faire

  • DD est perpendiculaire à L,L, donc l'image D′D' est perpendiculaire à DDD′D' est parallèle à D,D, et D′D' est perpendiculaire à L′L'
    Une droite et son image sont parallèles. C'est entre les deux images que l'orthogonalité est conservée.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La translation t7afedh 3la le parallélisme w 3la l'orthogonalité. Les images mta3 zouz droites parallèles, houma zouz droites parallèles. W les images mta3 zouz droites perpendiculaires, houma zouz droites perpendiculaires. 5ater koll droite parallèle à l'image mte3ha. W 7aja tanfa3 barcha : ken point houwa l'intersection mta3 zouz droites, l'image mte3ou hiya l'intersection mta3 les images mte3hom. Nchoufouha fi mithel fih rectangle w orthocentre. »

Propriété

Angles et polygones

  • Une translation conserve les distances.
  • Une translation conserve les angles : si [O′x′)[O'x') et [O′y′)[O'y') sont les images des demi-droites [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy) par une translation, alors x′O′y′^=xOy^.\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}.
  • L'image d'un polygone par une translation est un polygone qui lui est superposable.

En particulier, l'image d'un triangle MNPMNP est un triangle M′N′P′M'N'P' qui lui est isométrique ; l'image d'un rectangle est un rectangle, l'image d'un losange est un losange.

MNPM'N'P'
Les triangles MNP et M'N'P' sont isométriques.
les anglesx′O′y′^=xOy^\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}

Exemple traité

Soit ABCDABCD un quadrilatère et A′B′C′D′A'B'C'D' son image par une translation. Déterminer la nature du quadrilatère A′B′C′D′A'B'C'D' dans chacun des cas suivants. a) ABCDABCD est un rectangle. b) ABCDABCD est un losange.

  1. 1

    Un parallélogramme

    Une translation ne change pas les vecteurs. Dans les deux cas ABCDABCD est un parallélogramme, donc son image aussi.

    A′B′→=AB→=DC→=D′C′→\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{D'C'}
  2. 2

    Le rectangle

    Les droites (AB)(AB) et (AD)(AD) sont perpendiculaires : leurs images, les droites (A′B′)(A'B') et (A′D′),(A'D'), le sont aussi. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

  3. 3

    Le losange

    Les distances sont conservées : si AB=AD,AB = AD, alors A′B′=A′D′.A'B' = A'D'. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange.

a) un rectangle ;; b) un losange

L’erreur à ne pas faire

  • L'image d'un rectangle par une translation peut être un parallélogramme qui n'est pas un rectangleL'image d'un rectangle par une translation est un rectangle de mêmes dimensions
    Une translation conserve les distances et les angles : un angle droit reste un angle droit.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La translation t7afedh 3la les grandeurs. Les distances ma yetbaddlouch, w les angles zeda : l'angle xOy égale l'angle x prime O prime y prime. W l'image mta3 polygone, hiya polygone superposable lih : tnajjem t7ottou fou9ou bedh-dhabt. Mathalan l'image mta3 triangle MNP, hiya triangle M prime N prime P prime isométrique lih. L'image mta3 rectangle hiya rectangle, w l'image mta3 losange hiya losange. »

Théorème

Image d'un cercle

L'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon.

Plus précisément : soit tt une translation, C\mathscr{C} un cercle de centre OO et de rayon R,R, et O′O' l'image de OO par t.t. L'image de C\mathscr{C} par tt est le cercle C′\mathscr{C}' de centre O′O' et de rayon R.R.

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre et on garde le même rayon.

OMO'M'
Le centre va en O' ; le rayon ne change pas.
le même rayonO′M′=OM=RO'M' = OM = R

Exemple traité

Soient AA et BB deux points d'un cercle (C)(C) de centre O.O. On note (C′)(C') l'image de (C)(C) par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. a) Construire (C′).(C'). b) À tout point MM de (C),(C), on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal au vecteur MB→\overrightarrow{MB} moins le vecteur MA→.\overrightarrow{MA}. Montrer que NN est un point de (C′).(C').

  1. 1

    Construire

    On construit l'image O′O' du centre : c'est le point tel que ABO′OABO'O est un parallélogramme. Le cercle (C′)(C') a pour centre O′O' et le même rayon que (C).(C). Il passe par B,B, qui est l'image de A.A.

    OO′→=AB→\overrightarrow{OO'} = \overrightarrow{AB}
  2. 2

    Le vecteur MN

    L'opposé du vecteur MA→\overrightarrow{MA} est le vecteur AM→\overrightarrow{AM} : par Chasles, on obtient le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

    MN→=AM→+MB→=AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}
  3. 3

    Conclure

    NN est l'image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Comme MM est sur (C),(C), son image est sur l'image de (C).(C).

    N∈(C′)N \in (C')
N∈(C′)N \in (C')

L’erreur à ne pas faire

  • Par une translation de vecteur u⃗,\vec{u}, le rayon du cercle image est RR plus la norme de u⃗\vec{u}Le cercle image a le même rayon RR
    Seul le centre se déplace. Les distances sont conservées, donc le rayon aussi.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« W le cercle ? L'image d'un cercle par une translation, hiya cercle 3andou nafs le rayon. El centre O yemchi l O prime, w le cercle ej-jdid centre mte3ou O prime. 3lech ? Ken M 3la le cercle, OM égale R. W la translation t7afedh 3la les distances : O prime M prime égale R, donc M prime 3la le cercle de centre O prime. Bech tarsem l'image mta3 cercle, arsem l'image mta3 el centre bark, w 5alli nafs le rayon. »

Application

Deux cercles

Soient (C1)(C_1) et (C2)(C_2) deux cercles de même rayon, sécants en AA et B,B, de centres respectifs II et J.J. La droite dd passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en N.N. Soit tt la translation de vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

  • La droite dd a la direction du vecteur : son image est dd elle-même.
  • Le cercle (C1)(C_1) a pour image le cercle de centre JJ et de même rayon : c'est (C2).(C_2).
  • L'image d'un point commun à dd et à (C1)(C_1) est un point commun à dd et à (C2)(C_2) : l'image de AA est N,N, et l'image de MM est A.A.

On en déduit MA→=AN→=IJ→.\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}.

dIJABMN
MA = AN = IJ.
MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}

Exemple traité

(C1)(C_1) et (C2)(C_2) sont deux cercles de même rayon, sécants en AA et B,B, de centres respectifs II et J.J. La droite dd passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en N.N. Soit tt la translation de vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. a) Déterminer les images de AA et de MM par t.t. b) Soit PP un point du cercle (C1),(C_1), distinct de B,B, de MM et du point de (C1)(C_1) diamétralement opposé à A,A, et P′P' son image par t.t. Montrer que AA est l'orthocentre du triangle BPP′.BPP'.

  1. 1

    Les images de d et du cercle

    La droite dd est parallèle à (IJ)(IJ) : son image est dd elle-même. Le centre II a pour image J,J, et le rayon ne change pas : l'image du cercle (C1)(C_1) est le cercle (C2).(C_2).

  2. 2

    Les images de A et de M

    AA et MM sont les deux points communs à dd et à (C1)(C_1) : leurs images sont les deux points communs à dd et à (C2),(C_2), c'est-à-dire AA et N.N. Le vecteur n'est pas nul, donc l'image de AA n'est pas AA : c'est N.N. Et l'image de MM est A.A.

    MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}
  3. 3

    Une première hauteur

    II et JJ sont à égale distance de AA et de BB : la droite (IJ)(IJ) est la médiatrice de [AB].[AB]. Le vecteur PP′→\overrightarrow{PP'} est égal au vecteur IJ→,\overrightarrow{IJ}, donc la droite (BA)(BA) est perpendiculaire à (PP′)(PP') : c'est la hauteur issue de B.B.

  4. 4

    Une deuxième hauteur

    La droite dd est perpendiculaire à (AB)(AB) : le triangle MABMAB est rectangle en A,A, donc le segment [MB][MB] est un diamètre de (C1),(C_1), et le triangle MPBMPB est rectangle en P.P. Or MM a pour image AA et PP a pour image P′P' : la droite (AP′)(AP') est parallèle à (MP),(MP), donc perpendiculaire à (BP).(BP). C'est la hauteur issue de P′.P'.

  5. 5

    Conclure

    Deux hauteurs du triangle BPP′BPP' passent par A.A.

    AA est l'orthocentre du triangle BPP′BPP'
AA est l'orthocentre du triangle BPP′BPP'

L’erreur à ne pas faire

  • L'image de AA par la translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} est A,A, car AA est sur les deux cerclesL'image de AA est NN
    Par une translation de vecteur non nul, aucun point n'est sa propre image. L'image de AA est l'autre point commun à dd et à (C2).(C_2).

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tatbi9 3la les cercles. 3andna zouz cercles C un w C deux, 3andhom nafs le rayon, centres mte3hom I w J, w sécants fi A w B. La droite d tet3adda men A w parallèle à la droite IJ : t9oss C un fi M, w C deux fi N. Ne5dhou la translation de vecteur IJ. La droite d tezle9 3la rou7ha, w C un ywalli C deux. Donc l'image de A lezem tkoun 3la d w 3la C deux : hiya N. W l'image de M hiya A. Donc le vecteur MA égale le vecteur AN, w égale le vecteur IJ. »

Propriété

Conservation du contact

Si une droite et un cercle sont tangents, alors leurs images par une translation sont tangentes.

Plus précisément : soit C\mathscr{C} un cercle et DD une droite tangente à C\mathscr{C} en un point M.M. On désigne par C′,\mathscr{C}', D′D' et M′M' les images respectives de C,\mathscr{C}, DD et MM par une translation. Alors D′D' est tangente à C′\mathscr{C}' en M′.M'.

dABOO'
Le cercle image est tangent à la droite en B.

Exemple traité

Soient AA et BB deux points distincts d'une droite d,d, et (C)(C) un cercle tangent à dd en A.A. On note (C′)(C') l'image de (C)(C) par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Montrer que (C′)(C') est tangent à d,d, et préciser le point de contact.

  1. 1

    L'image de la droite

    La droite dd passe par AA et BB : elle a la direction du vecteur de la translation. Son image est dd elle-même.

    d⟼dd \longmapsto d
  2. 2

    L'image du point de contact

    Le point de contact AA a pour image B.B.

    A⟼BA \longmapsto B
  3. 3

    Conclure

    Une translation conserve le contact : l'image du cercle est tangente à l'image de la droite, au point image du point de contact.

    (C′)(C') est tangent à dd en BB
(C′)(C') est tangent à dd en BB

L’erreur à ne pas faire

  • Le cercle image (C′)(C') est tangent à la droite dd en AALe cercle image (C′)(C') est tangent à la droite dd en B,B, image de AA
    Le point de contact se déplace avec la figure : il a lui aussi une image.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« La translation t7afedh 3la le contact. Ken droite tangente à un cercle fi point M, wa9tha l'image mta3 la droite tangente à l'image mta3 le cercle, fi M prime, l'image de M. 5ater la tangente perpendiculaire au rayon OM, w la translation t7afedh 3la l'orthogonalité. Ya3ni le point de contact yet7arrek houwa zeda m3a el figure. »

Application

Deux symétries axiales

Soient DD et D′D' deux droites parallèles, AA un point de la droite DD et BB le projeté orthogonal de AA sur la droite D′.D'. Pour un point MM du plan, on désigne par M1M_1 l'image de MM par la symétrie axiale SD,S_D, et par M′M' l'image de M1M_1 par la symétrie axiale SD′.S_{D'}. On considère l'application t:M↦M′.t : M \mapsto M'.

Alors MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB} : l'application tt est la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}.

DD'ABMM₁M'
MM' = 2 AB.
pour tout point MMM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB}

Exemple traité

DD et D′D' sont deux droites parallèles, distantes de 3.3. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à D,D, puis le symétrique M′M' de M1M_1 par rapport à D′.D'. Calculer la distance MM′.MM'.

  1. 1

    Le vecteur

    On note AA un point de DD et BB son projeté orthogonal sur D′.D'. Faire la symétrie d'axe DD puis la symétrie d'axe D′D' revient à faire la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}.

    MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB}
  2. 2

    La distance

    La distance ABAB est la distance entre les deux droites.

    MM′=2×3=6MM' = 2 \times 3 = 6
MM′=6MM' = 6

L’erreur à ne pas faire

  • Faire SDS_D puis SD′,S_{D'}, ou SD′S_{D'} puis SD,S_D, donne la même translationSDS_D puis SD′S_{D'} donne la translation de vecteur 2AB→2\overrightarrow{AB} ; SD′S_{D'} puis SDS_D donne la translation de vecteur 2BA→2\overrightarrow{BA}
    L'ordre compte : le vecteur va de la première droite vers la deuxième.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Rina zouz symétries centrales ya3tiw translation. W zouz symétries axiales ? Ne5dhou zouz droites parallèles D w D prime. A point 3la D, w B houwa le projeté orthogonal de A 3la D prime. El point M na3mloulou la symétrie d'axe D : nal9aw M un. Ba3d la symétrie d'axe D prime : nal9aw M prime. M, M un w M prime 3la nafs la perpendiculaire, w b Chasles nal9aw : le vecteur MM prime égale deux fois le vecteur AB. Donc hedhi la translation de vecteur deux fois AB. »

Méthode

Problèmes de lieux

Quand un point varie, la ligne qu'il décrit est appelée l'ensemble de ces points, ou le lieu géométrique de ces points, ou tout simplement leur lieu.

On cherche un lieu en trois étapes :

  1. 1.Phase expérimentale : on fait une figure, on repère les éléments fixes et les éléments variables, on place plusieurs positions du point.
  2. 2.Conjecture : on émet une conjecture sur la ligne décrite.
  3. 3.Démonstration de la conjecture, par les propriétés des configurations ou par une application du plan.

Un lieu par les configurations. On considère deux droites DD et D′D' perpendiculaires en un point OO et un point AA qui n'est ni sur DD ni sur D′.D'. Soit MM un point variable sur D.D. La perpendiculaire à (AM)(AM) en AA coupe D′D' en N,N, et II est le milieu de [MN].[MN]. Le point II varie sur la médiatrice du segment [OA].[OA].

DD'OAMNI
I est à égale distance de O et de A.
IO=IA=MN2IO = IA = \dfrac{MN}{2}

Exemple traité

On considère deux droites DD et D′D' perpendiculaires en un point OO et un point AA qui n'est ni sur DD ni sur D′.D'. Soit MM un point variable sur D.D. La perpendiculaire à la droite (AM)(AM) en AA coupe la droite D′D' en N,N, et II est le milieu du segment [MN].[MN]. Montrer que II varie sur une ligne que l'on précisera.

  1. 1

    Fixe ou variable

    Les droites DD et D′D' et les points OO et AA sont fixes. Les points M,M, NN et II sont variables. En plaçant plusieurs positions de I,I, on conjecture qu'il se déplace sur une droite.

  2. 2

    Le triangle MAN

    Le triangle MANMAN est rectangle en A,A, et II est le milieu de son hypoténuse [MN][MN] : II est le centre de son cercle circonscrit.

    IA=MN2IA = \dfrac{MN}{2}
  3. 3

    Le triangle MON

    MM est sur DD et NN est sur D′D' : le triangle MONMON est rectangle en O,O, et II est encore le milieu de l'hypoténuse.

    IO=MN2IO = \dfrac{MN}{2}
  4. 4

    Conclure

    II est à égale distance des deux points fixes OO et A.A.

    IO=IAIO = IA
II varie sur la médiatrice de [OA][OA]

L’erreur à ne pas faire

  • Trois positions de II sont alignées sur ma figure, donc le lieu est une droiteUne figure donne une conjecture ; il reste à la démontrer
    Quelques positions ne prouvent rien pour toutes les autres : seule la démonstration vaut pour chaque position de M.M.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa les problèmes de lieux. Ki point yet7arrek fel figure, w point e5er marbout bih, nes2lou : el point hedha, win yet7arrek ? El ligne elli yet7arrek 3liha nsammiwha le lieu géométrique. Ne5dmou 3la trois étapes. Numéro un : nrasmou figure, w n7ottou barcha positions. Numéro deux : na3mlou conjecture, ya3ni n5ammnou chnowa le lieu. Numéro trois : nthabtouha b démonstration. W 3andna zouz tor9 : les propriétés des configurations, walla application du plan kif la translation. »

Application

Un lieu par une translation

Soient AA et BB deux points donnés et DD une droite passant par AA et ne passant pas par B.B. Soit MM un point variable sur la droite D,D, distinct de A.A. On désigne par NN le point tel que ABNMABNM soit un parallélogramme.

ABNMABNM est un parallélogramme : MN→=AB→.\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}. Le point NN est donc l'image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Le lieu de l'image est l'image du lieu.

  • Quand MM varie sur D,D, le point NN varie sur l'image de DD : la droite parallèle à DD passant par B.B. Comme MM est distinct de A,A, le point NN est distinct de B.B.
  • Quand MM varie sur un cercle fixe de centre AA et de rayon 3,3, le point NN varie sur le cercle de centre BB et de rayon 3.3.
DABMN
Quand M décrit D, N décrit la parallèle à D passant par B.
N est l’image de MMN→=AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}

Exemple traité

Deux droites D1D_1 et D2D_2 sont sécantes en un point O,O, et AA est un point de D1D_1 distinct de O.O. Soit MM un point variable sur D2,D_2, et NN le point tel que le vecteur AN→\overrightarrow{AN} soit égal au vecteur OM→.\overrightarrow{OM}. Déterminer l'ensemble des points NN lorsque MM varie sur D2.D_2.

  1. 1

    Le vecteur MN

    Par Chasles, on passe par OO puis par A,A, et on remplace le vecteur AN→\overrightarrow{AN} par le vecteur OM→\overrightarrow{OM} : les deux vecteurs opposés s'annulent.

    MN→=MO→+OA→+AN→=MO→+OA→+OM→=OA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA}
  2. 2

    La translation

    Le vecteur OA→\overrightarrow{OA} est fixe : NN est l'image de MM par la translation de vecteur OA→.\overrightarrow{OA}.

  3. 3

    Le lieu

    Quand MM décrit la droite D2,D_2, son image décrit l'image de D2D_2 : la droite parallèle à D2D_2 qui passe par l'image de O,O, c'est-à-dire par A.A.

    NN décrit la parallèle à D2D_2 passant par AA
NN décrit la parallèle à D2D_2 passant par AA

L’erreur à ne pas faire

  • Quand MM décrit la droite D,D, le point NN décrit aussi la droite DDNN décrit l'image de DD : la parallèle à DD passant par BB
    NN n'est pas M,M, c'est son image. Le lieu de l'image est l'image du lieu.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nchoufou lieu b la translation. A w B zouz points, w D droite tet3adda men A w ma tet3addech men B. M yet7arrek 3la D, w N houwa el point elli ABNM parallélogramme. Ya3ni le vecteur MN égale le vecteur AB : N houwa l'image de M par la translation de vecteur AB. El 9a3da : le lieu mta3 l'image, houwa l'image mta3 le lieu. M yet7arrek 3la D, donc N yet7arrek 3la l'image de D : la parallèle à D elli tet3adda men B. W ken M yet7arrek 3la cercle de centre A, N yet7arrek 3la cercle de centre B, b nafs le rayon. »

Application

Un problème pour aller plus loin : le lieu de l'orthocentre

Soient AA et BB deux points fixes d'un cercle C\mathscr{C} de centre O,O, et MM un point de C,\mathscr{C}, distinct de AA et de B.B. Soit HH l'orthocentre du triangle AMB,AMB, et DD le point du cercle C\mathscr{C} diamétralement opposé à A.A.

Le quadrilatère MHBDMHBD est un parallélogramme, donc MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB} : le point HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→,\overrightarrow{DB}, qui est un vecteur fixe.

Lorsque MM varie sur le cercle C\mathscr{C} privé de AA et de B,B, le point HH varie sur le cercle image de C\mathscr{C} par cette translation, privé des images de AA et de BB : un cercle de même rayon, dont le centre O′O' est l'image de O.O.

OABDMHO'
H est l'image de M par la translation de vecteur DB.
un vecteur fixeMH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points fixes d'un cercle (C)(C) et MM un point de (C),(C), distinct de AA et de B.B. Soit HH l'orthocentre du triangle AMB,AMB, et DD le point de (C)(C) diamétralement opposé à A.A. On suppose que MM est distinct de D.D. Quelle est la nature du quadrilatère MHBDMHBD ? En déduire le lieu des points HH lorsque MM varie sur le cercle.

  1. 1

    Deux droites parallèles

    Le segment [AD][AD] est un diamètre : le triangle ABDABD est rectangle en B,B, donc la droite (DB)(DB) est perpendiculaire à la droite (AB).(AB). La hauteur (MH)(MH) est elle aussi perpendiculaire à (AB)(AB) : les droites (DB)(DB) et (MH)(MH) sont parallèles.

  2. 2

    Deux autres

    De même, le triangle AMDAMD est rectangle en MM : la droite (DM)(DM) est perpendiculaire à la droite (AM).(AM). La hauteur (BH)(BH) aussi : les droites (DM)(DM) et (BH)(BH) sont parallèles.

  3. 3

    Le parallélogramme

    Les côtés opposés de MHBDMHBD sont parallèles deux à deux : c'est un parallélogramme.

    MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB}
  4. 4

    Le lieu

    DD et BB sont fixes : HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→.\overrightarrow{DB}. Quand MM décrit le cercle, privé de AA et de B,B, le point HH décrit le cercle image, privé des images de AA et de BB : même rayon, et pour centre l'image du centre.

HH décrit l'image du cercle par la translation de vecteur DB→\overrightarrow{DB}

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème bech nemchiw ab3ed. A w B zouz points fixes 3la cercle, w M yet7arrek 3la le cercle. H houwa l'orthocentre du triangle AMB. N7ebbou na3rfou le lieu de H. Ne5dhou D, el point diamétralement opposé à A. El triangle ABD rectangle en B, w el triangle AMD rectangle en M. Nal9aw elli MHBD parallélogramme, donc le vecteur MH égale le vecteur DB. W le vecteur DB fixe : H houwa l'image de M par une translation. M yet7arrek 3la cercle, donc H yet7arrek 3la cercle 3andou nafs le rayon. »

Méthode

Problèmes de construction

Un problème de construction se traite en deux étapes.

  1. 1.Analyse, à partir d'une figure d'étude : on suppose le problème résolu, c'est-à-dire que la construction est effectivement réalisée. On fait une figure « à l'envers », et on y cherche les propriétés qui permettent de retrouver les points inconnus.
  2. 2.Synthèse et retour aux données initiales : on reprend les données, on construit les points grâce aux propriétés trouvées, et on vérifie que la figure obtenue répond à la question.

Par les propriétés des configurations. Soient I,I, JJ et KK trois points non alignés. On veut construire un triangle ABCABC dont les milieux des côtés [BC],[BC], [AC][AC] et [AB][AB] sont les points I,I, JJ et K.K.

Sur la figure d'étude, la droite des milieux donne trois parallélismes : (AB)(AB) est parallèle à (IJ),(IJ), (AC)(AC) est parallèle à (IK)(IK) et (BC)(BC) est parallèle à (JK).(JK). On trace donc la parallèle à (IJ)(IJ) passant par K,K, la parallèle à (IK)(IK) passant par JJ et la parallèle à (JK)(JK) passant par II : elles se coupent deux à deux en A,A, BB et C.C.

IJKABC
Chaque côté de ABC est parallèle à un côté du triangle IJK.
la droite des milieux(AB)∥(IJ);(AB) \parallel (IJ) \quad ; \quad(AC)∥(IK);(AC) \parallel (IK) \quad ; \quad(BC)∥(JK)(BC) \parallel (JK)

Exemple traité

Soient I,I, JJ et KK trois points non alignés. Construire un triangle ABCABC tel que II soit le milieu du côté [BC],[BC], JJ celui du côté [AC][AC] et KK celui du côté [AB].[AB].

  1. 1

    Analyse

    On suppose le problème résolu : on trace d'abord un triangle ABC,ABC, puis on place les milieux I,I, JJ et KK de ses côtés. Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième : la droite (AB)(AB) est parallèle à la droite (IJ),(IJ), la droite (AC)(AC) à la droite (IK),(IK), et la droite (BC)(BC) à la droite (JK).(JK).

    (AB)∥(IJ);(AB) \parallel (IJ) \quad ; \quad(AC)∥(IK);(AC) \parallel (IK) \quad ; \quad(BC)∥(JK)(BC) \parallel (JK)
  2. 2

    Synthèse

    On revient aux données : les trois points I,I, JJ et K.K. On trace la parallèle à (IJ)(IJ) passant par KK et la parallèle à (IK)(IK) passant par J.J. Les droites (IJ)(IJ) et (IK)(IK) sont sécantes, donc ces deux parallèles le sont aussi : elles se coupent en A.A.

  3. 3

    Achever

    On trace la parallèle à (JK)(JK) passant par II : elle coupe la première droite en BB et la deuxième en C.C.

  4. 4

    Vérifier

    Les quadrilatères AKIJAKIJ et KBIJKBIJ ont leurs côtés opposés parallèles : ce sont des parallélogrammes. Le vecteur AK→\overrightarrow{AK} et le vecteur KB→\overrightarrow{KB} sont donc tous deux égaux au vecteur JI→\overrightarrow{JI} : KK est le milieu de [AB].[AB]. On montre de même que II et JJ sont les milieux des deux autres côtés.

    AK→=JI→=KB→\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{JI} = \overrightarrow{KB}
les trois parallèles se coupent en A, A,\ BB et CC

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Tawa les problèmes de construction. Ne5dmouhom 3la zouz étapes. L'analyse : n9oulou el problème ma7loul, nrasmou figure, w nlawwjou fiha 3la les propriétés elli t3awenna. Ba3d la synthèse : narj3ou lel données, nrasmou el points bel propriétés hedhoukom, w nthabtou elli el figure s7i7a. Mithel : 3andna trois points I, J w K, w n7ebbou triangle ABC, ykounou fih I, J w K houma les milieux mta3 les côtés. Fi l'analyse, la droite des milieux ta3tina : la droite AB parallèle à la droite IJ, la droite AC parallèle à la droite IK, w la droite BC parallèle à la droite JK. Donc fi la synthèse nrasmou trois parallèles : wa7da men K, wa7da men J w wa7da men I. Win yetle9aw, nal9aw A, B w C. »

Application

Une construction par une translation

Soient D1D_1 et D2D_2 deux droites sécantes, et AA et BB deux points distincts qui ne sont ni sur D1D_1 ni sur D2.D_2. On veut construire un point MM de D1D_1 et un point NN de D2D_2 tels que ABMNABMN soit un parallélogramme.

Analyse. Si ABMNABMN est un parallélogramme, alors MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA} : NN est l'image de MM par la translation tt de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Comme MM est sur D1,D_1, le point NN est sur la droite D1′,D'_1, image de D1D_1 par tt ; il est aussi sur D2.D_2. Donc NN est le point d'intersection de D1′D'_1 et de D2.D_2.

Synthèse. On construit la droite D1′D'_1 : elle coupe D2D_2 en un point N.N. Le point MM est alors l'antécédent de NN par tt : il est sur D1,D_1, et ABMNABMN est un parallélogramme.

D₁D₂D'₁ABNM
N est à l'intersection de D₂ et de D'₁, image de D₁.
ABMN parallélogrammeMN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA}

Exemple traité

Deux droites D1D_1 et D2D_2 sont sécantes, et AA et BB sont deux points distincts qui ne sont ni sur D1D_1 ni sur D2.D_2. Construire un point MM de D1D_1 et un point NN de D2D_2 tels que le quadrilatère ABMNABMN soit un parallélogramme.

  1. 1

    Analyse

    On suppose le problème résolu. ABMNABMN est un parallélogramme : en lisant les sommets dans l'ordre, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

    MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA}
  2. 2

    L'application

    NN est l'image de MM par la translation tt de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Comme MM est sur D1,D_1, le point NN est sur D1′,D'_1, image de D1D_1 par t.t. Il est aussi sur D2.D_2.

  3. 3

    Synthèse

    On construit D1′D'_1 : c'est la parallèle à D1D_1 passant par l'image d'un point de D1.D_1. La droite D2D_2 coupe D1,D_1, donc elle coupe aussi sa parallèle D1′D'_1 : on note NN leur point d'intersection.

  4. 4

    Le point M

    On construit le point MM tel que le vecteur NM→\overrightarrow{NM} soit égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. C'est l'antécédent de NN par tt : il est sur D1.D_1. Le quadrilatère ABMNABMN est bien un parallélogramme, et la solution est unique.

    NM→=AB→\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{AB}
NN est le point d'intersection de D1′D'_1 et de D2D_2

L’erreur à ne pas faire

  • ABMNABMN est un parallélogramme, donc NN est l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}NN est l'image de MM par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA}
    Dans ABMN,ABMN, le côté opposé à [AB][AB] est [NM][NM] : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur NM→,\overrightarrow{NM}, donc le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Nchoufou construction b la translation. 3andna zouz droites sécantes D un w D deux, w zouz points A w B. N7ebbou M 3la D un w N 3la D deux, bech ABMN ykoun parallélogramme. Fi l'analyse nal9aw le vecteur MN égale le vecteur BA : N houwa l'image de M par la translation de vecteur BA. Donc N 3la l'image de D un, w 3la D deux : houwa l'intersection mte3hom. Fi la synthèse : nrasmou l'image de D un, nal9aw N, w ba3d M houwa l'antécédent de N. »

Application

Un problème pour aller plus loin : le pont

Les droites DD et D′D' représentent les berges, parallèles, d'une rivière. Deux villages AA et BB sont de part et d'autre de la rivière. Où faut-il construire le pont [MN],[MN], perpendiculaire aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′,D', pour que le trajet du village AA au village BB soit le plus court possible ?

  • Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est un vecteur constant : il est perpendiculaire aux berges et sa longueur est la largeur de la rivière.
  • Soit A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→.\overrightarrow{MN}. Alors AMNA′AMNA' est un parallélogramme, donc AM=A′N.AM = A'N.

Le trajet mesure AM+MN+NB=A′N+NB+MN.AM + MN + NB = A'N + NB + MN. Comme MNMN est constant, le trajet est le plus court quand A′N+NBA'N + NB est le plus petit, c'est-à-dire quand NN est sur le segment [A′B][A'B] : NN est le point d'intersection de la droite (A′B)(A'B) et de la berge D′.D'.

DD'ABA'MN
N est à l'intersection de (A'B) et de la berge D'.
AM+MN+NB=A′N+NB+MNAM + MN + NB = A'N + NB + MN

Exemple traité

Les droites DD et D′D' sont les berges parallèles d'une rivière, et AA et BB sont deux villages situés de part et d'autre. On veut construire un pont [MN][MN] perpendiculaire aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′,D', pour que le trajet de AA à BB soit le plus court possible. Où placer le point NN ?

  1. 1

    Un vecteur constant

    Quel que soit l'endroit du pont, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est le même : il est perpendiculaire aux berges, et sa longueur est la largeur de la rivière.

  2. 2

    Remplacer AM

    On note A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→.\overrightarrow{MN}. Les vecteurs AA′→\overrightarrow{AA'} et MN→\overrightarrow{MN} sont égaux : AMNA′AMNA' est un parallélogramme.

    AM=A′NAM = A'N
  3. 3

    Le plus court

    La longueur MNMN ne change pas. Il reste à rendre la somme de A′NA'N et de NBNB la plus petite possible : le plus court chemin de A′A' à BB est la ligne droite.

    A′N+NB≥A′BA'N + NB \ge A'B
  4. 4

    Construire

    On construit A′,A', on trace la droite (A′B)(A'B) : elle coupe la berge D′D' au point NN cherché. Le point MM est en face, sur D.D.

NN est le point d'intersection de (A′B)(A'B) et de D′D'

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Problème e5er bech nemchiw ab3ed : le pont. D w D prime houma les berges mta3 rivière, w houma parallèles. A w B zouz villages, koll wa7ed men jiha. N7ebbou nebniw pont MN, perpendiculaire aux berges, bech le trajet men A l B ykoun el a9sar. El fekra : le vecteur MN dima houwa bidou, win ma n7ottou le pont. Ne5dhou A prime, l'image de A par la translation de vecteur MN. Wa9tha AM égale A prime N. Donc le trajet ywalli A prime N plus NB, plus MN elli ma yetbaddelch. W a9sar tri9 men A prime l B houwa la ligne droite : N houwa l'intersection mta3 la droite A prime B m3a la berge D prime. »

Remarque

Pavages

Paver le plan, c'est le couvrir par des formes, sans espace (sans trou) et sans chevauchement. C'est ce que fait un carreleur.

On peut commencer par paver le plan avec des polygones réguliers : c'est le pavage régulier. On peut paver le plan à l'aide d'un carré, d'un triangle équilatéral, d'un hexagone régulier. Autour de chaque sommet du pavage, la somme des angles des polygones est à chaque fois 360∘.360^\circ.

L'art de paver une surface plane, comme le sol ou les murs d'un palais, est très ancien et se pratiquait à Rome, Byzance, Grenade ou Séville. Né en Grèce, l'art de la mosaïque s'est répandu sur tout le pourtour de la Méditerranée par l'intermédiaire des Romains. Repris par les civilisations byzantine et arabo-musulmane, il a connu son apogée dans le sud de l'Espagne et au Maroc.

Dans le pavage par des carrés ou par des hexagones réguliers, on passe d'un pavé à ses voisins en le faisant glisser : c'est une translation. Avec des triangles équilatéraux, le pavé voisin est retourné : on passe de l'un à l'autre par un demi-tour, et non par une translation.

Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.

« Kelma 3al culture : le pavage du plan. Paver le plan ma3neha nghattiweh b formes, men ghir fragh w men ghir ma yerkbou 3la b3adhhom. Hedha elli ya3mlou el carreleur ki yrakkeb ej-jliz. Najjmou nghattiw le plan b carrés, b triangles équilatéraux, walla b hexagones réguliers. W 7awl koll sommet, la somme des angles hiya trois cent soixante degrés. El fann hedha 9dim barcha : nal9aweh fi Rome, Byzance, Grenade w Séville, w fi la mosaïque arabo-musulmane. W fi le pavage b carrés walla b hexagones réguliers, bech net3addew men pavé lelli b janbou, nzal9ouh : hedhi translation. Amma b triangles équilatéraux, el pavé elli b janbou dayer bel 3aks : lezmou demi-tour, mouch translation. »

À retenir

  • 1.

    tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗.\overrightarrow{MM'} = \vec{u}.

  • 2.

    Propriété caractéristique : une application tt est une translation si, et seulement si, M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour tous points MM et N,N, d'images M′M' et N′.N'.

  • 3.

    Les images, par une translation, de points alignés sont des points alignés.

  • 4.

    L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment qui lui est isométrique ; l'image d'une demi-droite est une demi-droite ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.

  • 5.

    La translation conserve le milieu et le barycentre.

  • 6.

    Les images de deux droites parallèles sont parallèles ; les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires ; si une droite et un cercle sont tangents, leurs images sont tangentes.

  • 7.

    Une translation conserve les distances et les angles ; l'image d'un polygone est un polygone qui lui est superposable.

Les exercices

À toi, au tableau

Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.

Comprendre

Application directe du cours, une seule idée à la fois.

0/25

S'entraîner

Les exercices classiques du programme.

0/36

Raisonner

Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.

0/26

Aller plus loin

On combine plusieurs notions du chapitre.

0/15

Où tu en es

Ta progression

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Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.

Translations

2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami

Ce que tu dois savoir faire

  • Reconnaître une application du plan, l'image et l'antécédent d'un point
  • Construire l'image d'un point, d'une droite, d'un segment et d'un cercle par une translation
  • Utiliser la propriété caractéristique M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour reconnaître une translation
  • Utiliser ce que la translation conserve : distances, alignement, milieu, parallélisme, angles
  • Résoudre des problèmes de lieux géométriques et des problèmes de construction

Rappels

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. On a donc trois vecteurs égaux : AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}.

La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} envoie AA sur BB, CC sur DD et EE sur FF : chaque point se déplace du même vecteur.

On rappelle que ABDCABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

ABCDEF
ABDC et ABFE sont deux parallélogrammes.
AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}

Le piège

ABDCABDC est un parallélogramme, donc AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

ABDCABDC est un parallélogramme, donc AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

On lit les sommets dans l'ordre : dans ABDCABDC, le côté opposé à [AB][AB] est [DC][DC], et il se parcourt de CC vers DD pour garder le même sens.

Application du plan

Lorsqu'on associe à tout point MM du plan un seul point M′M', on définit une application du plan dans lui-même.

Si on désigne par ff cette application, on écrit f:P→P, M↦M′f : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\ M \mapsto M'.

  • M′M' s'appelle l'image du point MM par l'application ff.
  • MM s'appelle un antécédent du point M′M' par l'application ff.

Exemples. Soit II un point du plan. La symétrie centrale SIS_I, qui à MM associe le point M′M' tel que II est le milieu de [MM′][MM'], est une application du plan dans lui-même. Soit DD une droite. La symétrie orthogonale SDS_D, qui à MM associe le point M′M' tel que DD soit la médiatrice du segment [MM′][MM'], est une application du plan dans lui-même. Un quart de tour direct, un quart de tour indirect sont aussi des applications du plan.

ACC'C''
Deux points conviennent : ACC' et ACC'' sont équilatéraux.
f:P→P,M↦M′f : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\quad M \mapsto M'

Le piège

f(M)=M′f(M) = M' : MM est l'image de M′M'

f(M)=M′f(M) = M' : M′M' est l'image de MM, et MM est un antécédent de M′M'

L'image est le point d'arrivée ; l'antécédent est le point de départ.

Pour comprendre : deux symétries centrales

Soient II et JJ deux points distincts du plan. Pour un point MM, on désigne par M1M_1 son image par la symétrie centrale SIS_I, et par M′M' l'image de M1M_1 par la symétrie centrale SJS_J. On considère l'application t:M↦M′t : M \mapsto M'.

II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ est le milieu de [M1M′][M_1M']. Par la relation de Chasles :

MM′→=MM1→+M1M′→=2IM1→+2M1J→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MM_1} + \overrightarrow{M_1M'} = 2\overrightarrow{IM_1} + 2\overrightarrow{M_1J} = 2\overrightarrow{IJ}

Le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} ne dépend pas du point MM : pour tout autre point CC d'image C′C', on a aussi CC′→=2IJ→\overrightarrow{CC'} = 2\overrightarrow{IJ}, donc MM′→=CC′→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{CC'}. Tous les points se déplacent du même vecteur.

IJMM₁M'
MM' = 2 IJ.
MM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}

Le piège

MM′→=IJ→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{IJ}

MM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}

II et JJ sont des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés du triangle MM1M′MM_1M' mesure la moitié du troisième côté.

Translation de vecteur u

Soit u⃗\vec{u} un vecteur. L'application du plan dans lui-même qui à tout point MM associe l'unique point M′M' tel que MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u} est appelée translation de vecteur u⃗\vec{u}. Elle est notée tu⃗t_{\vec{u}}.

On écrit tu⃗:P→P, M↦tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}} : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\ M \mapsto t_{\vec{u}}(M) = M'. Le point M′M' est l'image de MM par tu⃗t_{\vec{u}}.

tu⃗(M)=M′eˊquivaut aˋMM′→=u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \quad \text{équivaut à} \quad \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Lorsque u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et que MM n'est pas sur la droite (AB)(AB), l'égalité MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB} signifie que ABM′MABM'M est un parallélogramme.

uMM'NN'
Chaque point se déplace du vecteur u.
tu⃗(M)=M′  ⟺  MM′→=u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Le piège

tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à M′M→=u⃗\overrightarrow{M'M} = \vec{u}

tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Le vecteur part du point MM et arrive à son image M′M' : on écrit d'abord le point de départ.

Le piège

MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABMM′ABMM' est un parallélogramme

MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABM′MABM'M est un parallélogramme

On tourne autour du parallélogramme : après BB vient l'image M′M', puis on revient à MM.

Image et antécédent

Étant donné un point M′M', il existe un seul point MM du plan tel que tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M'. Le point MM est l'antécédent de M′M' par tu⃗t_{\vec{u}}.

En effet, MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u} équivaut à M′M→=−u⃗\overrightarrow{M'M} = -\vec{u} : pour trouver l'antécédent, on part de M′M' et on remonte le vecteur.

Sur une figure. ABCDABCD est un parallélogramme de centre II, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. On lit les vecteurs égaux :

  • AI→=IC→=JB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{JB} ;
  • AJ→=IB→=DI→\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{DI} ;
  • JI→=AD→=BC→\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.
DACBIJ
ABCD est un parallélogramme de centre I ; AIBJ est un parallélogramme.
tu⃗(M)=M′  ⟺  M′M→=−u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{M'M} = -\vec{u}

Le piège

L'antécédent de II par la translation de vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} est BB

L'antécédent de II est DD, car DI→=AJ→\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{AJ}

BB est l'image de II, pas son antécédent. Pour l'antécédent, on cherche le point XX tel que le vecteur XI→\overrightarrow{XI} soit égal au vecteur de la translation.

Propriété caractéristique

Soit tt une application du plan dans le plan, et MM et NN deux points quelconques du plan, d'images respectives M′M' et N′N' par tt.

(t est une translation)eˊquivaut aˋ(M′N′→=MN→)(t \text{ est une translation}) \quad \text{équivaut à} \quad \left(\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}\right)

Autrement dit : une translation ne change pas les vecteurs, et c'est la seule sorte d'application qui ait cette propriété.

MNM'N'
Le vecteur M'N' est égal au vecteur MN.
M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}

Le piège

M′N′=MNM'N' = MN pour tous points MM et NN, donc ff est une translation

Il faut l'égalité des vecteurs : M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}

Une symétrie centrale conserve aussi les distances, mais elle change le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en son opposé : ce n'est pas une translation.

Distances et directions

  • Pour tous points MM et NN, d'images respectives M′M' et N′N' par une translation, on a MN=M′N′MN = M'N'. On dit qu'une translation conserve les distances.
  • Pour tous points MM et NN distincts, d'images respectives M′M' et N′N' par une translation, les droites (MN)(MN) et (M′N′)(M'N') sont parallèles.

Ces deux résultats viennent de l'égalité M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} : deux vecteurs égaux ont la même longueur et la même direction.

uMNM'N'
(MN) et (M'N') sont parallèles, et MN = M'N'.
MN=M′N′MN = M'N'
(MN)∥(M′N′)(MN) \parallel (M'N')

Le piège

Par une translation de vecteur u⃗\vec{u} de norme 55, la longueur MNMN augmente de 55

M′N′=MNM'N' = MN

Tous les points se déplacent du même vecteur : la figure glisse sans se déformer, aucune longueur ne change.

Reconnaître une translation

Pour montrer qu'une application f:M↦M′f : M \mapsto M' est une translation, on calcule le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} et on montre qu'il est égal à un vecteur qui ne dépend pas de MM.

Exemple. Soit AA, BB et CC trois points du plan et ff l'application qui à MM associe le point M′M' tel que MM′→=MA→+MB→−2MC→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}. On introduit le point CC par la relation de Chasles :

MM′→=(MC→+CA→)+(MC→+CB→)−2MC→=CA→+CB→\overrightarrow{MM'} = \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA}\right) + \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}\right) - 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}

Le vecteur CA→+CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ne contient plus MM : ff est la translation de vecteur CA→+CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}.

MM′→=CA→+CB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}

Le piège

MM′→=2MA→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA}, donc ff est la translation de vecteur 2MA→2\overrightarrow{MA}

ff n'est pas une translation : c'est la symétrie centrale de centre AA

Le vecteur 2MA→2\overrightarrow{MA} change quand MM change. Pour une translation, le vecteur doit être le même pour tous les points.

Conservation de l'alignement

Les images, par une translation, de points alignés sont des points alignés.

On s'en sert pour prouver un alignement : on montre que les trois points sont les images, par une même translation, de trois points que l'on sait alignés.

dABCIJHKL
H, K et L sont les images de A, B et C par la translation de vecteur IJ.
MP→=kMN→  ⟹  M′P′→=kM′N′→\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN} \implies \overrightarrow{M'P'} = k\overrightarrow{M'N'}

Le piège

AIJHAIJH est un parallélogramme, donc AI→=JH→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{JH}

AIJHAIJH est un parallélogramme, donc AI→=HJ→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{HJ} et AH→=IJ→\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{IJ}

Deux côtés opposés se parcourent dans le même sens : de AA vers II d'un côté, de HH vers JJ de l'autre.

Image d'une droite

Soient AA et BB deux points distincts et A′A' et B′B' leurs images respectives par une translation tt.

  • L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle : l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (A′B′)(A'B').
  • L'image d'un segment par une translation est un segment qui lui est isométrique : l'image du segment [AB][AB] est le segment [A′B′][A'B'].
  • L'image d'une demi-droite par une translation est une demi-droite : l'image de la demi-droite [AB)[AB) est la demi-droite [A′B′)[A'B').

En pratique. Pour tracer l'image d'une droite, un seul point suffit : on construit l'image A′A' d'un point AA de la droite, puis on trace la parallèle à la droite passant par A′A'.

AMBA'M'B'
L'image de la droite (AB) est la droite (A'B'), parallèle à (AB).
(AB)⟼(A′B′)(AB) \longmapsto (A'B')
[AB]⟼[A′B′],A′B′=AB[AB] \longmapsto [A'B'], \quad A'B' = AB

Le piège

L'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est une autre droite, parallèle à (AB)(AB)

L'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est la droite (AB)(AB) elle-même

AA a pour image BB, qui est sur la droite (AB)(AB) : la parallèle à (AB)(AB) passant par BB est la droite (AB)(AB) elle-même. Une droite qui a la direction du vecteur glisse sur elle-même.

Exemple : images de droites

Soient ABCDABCD un parallélogramme et D1D_1 la parallèle à la droite (AC)(AC) passant par BB. On note tt la translation de vecteur AC→\overrightarrow{AC}.

Pour trouver l'image d'une droite, on cherche l'image d'un de ses points, puis on trace la parallèle :

  • l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (DC)(DC) ;
  • l'image de la droite (AD)(AD) est la droite (BC)(BC) ;
  • l'image de la droite D1D_1 est la droite D1D_1 elle-même, car D1D_1 a la direction du vecteur de la translation.
D₁ABCD
D₁ est la parallèle à (AC) passant par B.
(AB)⟼(DC);(AD)⟼(BC);D1⟼D1(AB) \longmapsto (DC) \quad ; \quad (AD) \longmapsto (BC) \quad ; \quad D_1 \longmapsto D_1

Conservation du milieu

La translation conserve le milieu : si OO est le milieu d'un segment [IJ][IJ], et si I′I', J′J' et O′O' sont les images respectives de II, JJ et OO par une translation, alors O′O' est le milieu de [I′J′][I'J'].

ABCMNPQ
N est le milieu de [MQ].
O milieu de [IJ]  ⟹  O′ milieu de [I′J′]O \text{ milieu de } [IJ] \implies O' \text{ milieu de } [I'J']

Le piège

Le vecteur de la translation est MC→\overrightarrow{MC}, donc l'image de BB est CC

L'image de BB est MM, car BM→=MC→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}

L'image de BB est le point XX tel que le vecteur BX→\overrightarrow{BX} soit égal au vecteur de la translation. Ici MM est le milieu de [BC][BC].

Conservation du barycentre

La translation conserve le barycentre. Soient II et JJ deux points du plan et aa et bb deux réels tels que a+b≠0a + b \neq 0. On désigne par GG le barycentre de (I,a)(I, a) et (J,b)(J, b), et par I′I', J′J' et G′G' les images respectives de II, JJ et GG par une translation. Alors G′G' est le barycentre de (I′,a)(I', a) et (J′,b)(J', b).

Il en est de même pour trois points : en particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

ABCOA'C'O'MN
M est le centre de gravité de ABC, N celui de A'CC'.
aGI→+bGJ→=0⃗  ⟹  aG′I′→+bG′J′→=0⃗a\overrightarrow{GI} + b\overrightarrow{GJ} = \vec{0} \implies a\overrightarrow{G'I'} + b\overrightarrow{G'J'} = \vec{0}

Le piège

GG est le barycentre de (I,2)(I, 2) et (J,3)(J, 3), donc G′G' est le barycentre de (I′,3)(I', 3) et (J′,2)(J', 2)

G′G' est le barycentre de (I′,2)(I', 2) et (J′,3)(J', 3)

Chaque point garde son coefficient : l'image de II porte le coefficient de II.

Parallélisme et orthogonalité

  • Les images par une translation de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
  • Les images par une translation de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.

Une idée utile. Si un point AA est le point d'intersection de deux droites, son image est le point d'intersection des images de ces deux droites.

ABCDMHIEF
I, M et H sont alignés.

Le piège

DD est perpendiculaire à LL, donc l'image D′D' est perpendiculaire à DD

D′D' est parallèle à DD, et D′D' est perpendiculaire à L′L'

Une droite et son image sont parallèles. C'est entre les deux images que l'orthogonalité est conservée.

Angles et polygones

  • Une translation conserve les distances.
  • Une translation conserve les angles : si [O′x′)[O'x') et [O′y′)[O'y') sont les images des demi-droites [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy) par une translation, alors x′O′y′^=xOy^\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}.
  • L'image d'un polygone par une translation est un polygone qui lui est superposable.

En particulier, l'image d'un triangle MNPMNP est un triangle M′N′P′M'N'P' qui lui est isométrique ; l'image d'un rectangle est un rectangle, l'image d'un losange est un losange.

MNPM'N'P'
Les triangles MNP et M'N'P' sont isométriques.
x′O′y′^=xOy^\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}

Le piège

L'image d'un rectangle par une translation peut être un parallélogramme qui n'est pas un rectangle

L'image d'un rectangle par une translation est un rectangle de mêmes dimensions

Une translation conserve les distances et les angles : un angle droit reste un angle droit.

Image d'un cercle

L'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon.

Plus précisément : soit tt une translation, C\mathscr{C} un cercle de centre OO et de rayon RR, et O′O' l'image de OO par tt. L'image de C\mathscr{C} par tt est le cercle C′\mathscr{C}' de centre O′O' et de rayon RR.

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre et on garde le même rayon.

OMO'M'
Le centre va en O' ; le rayon ne change pas.
O′M′=OM=RO'M' = OM = R

Le piège

Par une translation de vecteur u⃗\vec{u}, le rayon du cercle image est RR plus la norme de u⃗\vec{u}

Le cercle image a le même rayon RR

Seul le centre se déplace. Les distances sont conservées, donc le rayon aussi.

Deux cercles

Soient (C1)(C_1) et (C2)(C_2) deux cercles de même rayon, sécants en AA et BB, de centres respectifs II et JJ. La droite dd passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en NN. Soit tt la translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ}.

  • La droite dd a la direction du vecteur : son image est dd elle-même.
  • Le cercle (C1)(C_1) a pour image le cercle de centre JJ et de même rayon : c'est (C2)(C_2).
  • L'image d'un point commun à dd et à (C1)(C_1) est un point commun à dd et à (C2)(C_2) : l'image de AA est NN, et l'image de MM est AA.

On en déduit MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}.

dIJABMN
MA = AN = IJ.
MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}

Le piège

L'image de AA par la translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} est AA, car AA est sur les deux cercles

L'image de AA est NN

Par une translation de vecteur non nul, aucun point n'est sa propre image. L'image de AA est l'autre point commun à dd et à (C2)(C_2).

Conservation du contact

Si une droite et un cercle sont tangents, alors leurs images par une translation sont tangentes.

Plus précisément : soit C\mathscr{C} un cercle et DD une droite tangente à C\mathscr{C} en un point MM. On désigne par C′\mathscr{C}', D′D' et M′M' les images respectives de C\mathscr{C}, DD et MM par une translation. Alors D′D' est tangente à C′\mathscr{C}' en M′M'.

dABOO'
Le cercle image est tangent à la droite en B.

Le piège

Le cercle image (C′)(C') est tangent à la droite dd en AA

Le cercle image (C′)(C') est tangent à la droite dd en BB, image de AA

Le point de contact se déplace avec la figure : il a lui aussi une image.

Deux symétries axiales

Soient DD et D′D' deux droites parallèles, AA un point de la droite DD et BB le projeté orthogonal de AA sur la droite D′D'. Pour un point MM du plan, on désigne par M1M_1 l'image de MM par la symétrie axiale SDS_D, et par M′M' l'image de M1M_1 par la symétrie axiale SD′S_{D'}. On considère l'application t:M↦M′t : M \mapsto M'.

Alors MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB} : l'application tt est la translation de vecteur 2AB→2\overrightarrow{AB}.

DD'ABMM₁M'
MM' = 2 AB.
MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB}

Le piège

Faire SDS_D puis SD′S_{D'}, ou SD′S_{D'} puis SDS_D, donne la même translation

SDS_D puis SD′S_{D'} donne la translation de vecteur 2AB→2\overrightarrow{AB} ; SD′S_{D'} puis SDS_D donne la translation de vecteur 2BA→2\overrightarrow{BA}

L'ordre compte : le vecteur va de la première droite vers la deuxième.

Problèmes de lieux

Quand un point varie, la ligne qu'il décrit est appelée l'ensemble de ces points, ou le lieu géométrique de ces points, ou tout simplement leur lieu.

On cherche un lieu en trois étapes :

  1. Phase expérimentale : on fait une figure, on repère les éléments fixes et les éléments variables, on place plusieurs positions du point.
  2. Conjecture : on émet une conjecture sur la ligne décrite.
  3. Démonstration de la conjecture, par les propriétés des configurations ou par une application du plan.

Un lieu par les configurations. On considère deux droites DD et D′D' perpendiculaires en un point OO et un point AA qui n'est ni sur DD ni sur D′D'. Soit MM un point variable sur DD. La perpendiculaire à (AM)(AM) en AA coupe D′D' en NN, et II est le milieu de [MN][MN]. Le point II varie sur la médiatrice du segment [OA][OA].

DD'OAMNI
I est à égale distance de O et de A.
IO=IA=MN2IO = IA = \dfrac{MN}{2}

Le piège

Trois positions de II sont alignées sur ma figure, donc le lieu est une droite

Une figure donne une conjecture ; il reste à la démontrer

Quelques positions ne prouvent rien pour toutes les autres : seule la démonstration vaut pour chaque position de MM.

Un lieu par une translation

Soient AA et BB deux points donnés et DD une droite passant par AA et ne passant pas par BB. Soit MM un point variable sur la droite DD, distinct de AA. On désigne par NN le point tel que ABNMABNM soit un parallélogramme.

ABNMABNM est un parallélogramme : MN→=AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}. Le point NN est donc l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}.

Le lieu de l'image est l'image du lieu.

  • Quand MM varie sur DD, le point NN varie sur l'image de DD : la droite parallèle à DD passant par BB. Comme MM est distinct de AA, le point NN est distinct de BB.
  • Quand MM varie sur un cercle fixe de centre AA et de rayon 33, le point NN varie sur le cercle de centre BB et de rayon 33.
DABMN
Quand M décrit D, N décrit la parallèle à D passant par B.
MN→=AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}

Le piège

Quand MM décrit la droite DD, le point NN décrit aussi la droite DD

NN décrit l'image de DD : la parallèle à DD passant par BB

NN n'est pas MM, c'est son image. Le lieu de l'image est l'image du lieu.

Un problème pour aller plus loin : le lieu de l'orthocentre

Soient AA et BB deux points fixes d'un cercle C\mathscr{C} de centre OO, et MM un point de C\mathscr{C}, distinct de AA et de BB. Soit HH l'orthocentre du triangle AMBAMB, et DD le point du cercle C\mathscr{C} diamétralement opposé à AA.

Le quadrilatère MHBDMHBD est un parallélogramme, donc MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB} : le point HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→\overrightarrow{DB}, qui est un vecteur fixe.

Lorsque MM varie sur le cercle C\mathscr{C} privé de AA et de BB, le point HH varie sur le cercle image de C\mathscr{C} par cette translation, privé des images de AA et de BB : un cercle de même rayon, dont le centre O′O' est l'image de OO.

OABDMHO'
H est l'image de M par la translation de vecteur DB.
MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB}

Problèmes de construction

Un problème de construction se traite en deux étapes.

  1. Analyse, à partir d'une figure d'étude : on suppose le problème résolu, c'est-à-dire que la construction est effectivement réalisée. On fait une figure « à l'envers », et on y cherche les propriétés qui permettent de retrouver les points inconnus.
  2. Synthèse et retour aux données initiales : on reprend les données, on construit les points grâce aux propriétés trouvées, et on vérifie que la figure obtenue répond à la question.

Par les propriétés des configurations. Soient II, JJ et KK trois points non alignés. On veut construire un triangle ABCABC dont les milieux des côtés [BC][BC], [AC][AC] et [AB][AB] sont les points II, JJ et KK.

Sur la figure d'étude, la droite des milieux donne trois parallélismes : (AB)(AB) est parallèle à (IJ)(IJ), (AC)(AC) est parallèle à (IK)(IK) et (BC)(BC) est parallèle à (JK)(JK). On trace donc la parallèle à (IJ)(IJ) passant par KK, la parallèle à (IK)(IK) passant par JJ et la parallèle à (JK)(JK) passant par II : elles se coupent deux à deux en AA, BB et CC.

IJKABC
Chaque côté de ABC est parallèle à un côté du triangle IJK.
(AB)∥(IJ);(AC)∥(IK);(BC)∥(JK)(AB) \parallel (IJ) \quad ; \quad (AC) \parallel (IK) \quad ; \quad (BC) \parallel (JK)

Une construction par une translation

Soient D1D_1 et D2D_2 deux droites sécantes, et AA et BB deux points distincts qui ne sont ni sur D1D_1 ni sur D2D_2. On veut construire un point MM de D1D_1 et un point NN de D2D_2 tels que ABMNABMN soit un parallélogramme.

Analyse. Si ABMNABMN est un parallélogramme, alors MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA} : NN est l'image de MM par la translation tt de vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Comme MM est sur D1D_1, le point NN est sur la droite D1′D'_1, image de D1D_1 par tt ; il est aussi sur D2D_2. Donc NN est le point d'intersection de D1′D'_1 et de D2D_2.

Synthèse. On construit la droite D1′D'_1 : elle coupe D2D_2 en un point NN. Le point MM est alors l'antécédent de NN par tt : il est sur D1D_1, et ABMNABMN est un parallélogramme.

D₁D₂D'₁ABNM
N est à l'intersection de D₂ et de D'₁, image de D₁.
MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA}

Le piège

ABMNABMN est un parallélogramme, donc NN est l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}

NN est l'image de MM par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA}

Dans ABMNABMN, le côté opposé à [AB][AB] est [NM][NM] : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur NM→\overrightarrow{NM}, donc le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→\overrightarrow{BA}.

Un problème pour aller plus loin : le pont

Les droites DD et D′D' représentent les berges, parallèles, d'une rivière. Deux villages AA et BB sont de part et d'autre de la rivière. Où faut-il construire le pont [MN][MN], perpendiculaire aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′D', pour que le trajet du village AA au village BB soit le plus court possible ?

  • Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est un vecteur constant : il est perpendiculaire aux berges et sa longueur est la largeur de la rivière.
  • Soit A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→\overrightarrow{MN}. Alors AMNA′AMNA' est un parallélogramme, donc AM=A′NAM = A'N.

Le trajet mesure AM+MN+NB=A′N+NB+MNAM + MN + NB = A'N + NB + MN. Comme MNMN est constant, le trajet est le plus court quand A′N+NBA'N + NB est le plus petit, c'est-à-dire quand NN est sur le segment [A′B][A'B] : NN est le point d'intersection de la droite (A′B)(A'B) et de la berge D′D'.

DD'ABA'MN
N est à l'intersection de (A'B) et de la berge D'.
AM+MN+NB=A′N+NB+MNAM + MN + NB = A'N + NB + MN

Pavages

Paver le plan, c'est le couvrir par des formes, sans espace (sans trou) et sans chevauchement. C'est ce que fait un carreleur.

On peut commencer par paver le plan avec des polygones réguliers : c'est le pavage régulier. On peut paver le plan à l'aide d'un carré, d'un triangle équilatéral, d'un hexagone régulier. Autour de chaque sommet du pavage, la somme des angles des polygones est à chaque fois 360∘360^\circ.

L'art de paver une surface plane, comme le sol ou les murs d'un palais, est très ancien et se pratiquait à Rome, Byzance, Grenade ou Séville. Né en Grèce, l'art de la mosaïque s'est répandu sur tout le pourtour de la Méditerranée par l'intermédiaire des Romains. Repris par les civilisations byzantine et arabo-musulmane, il a connu son apogée dans le sud de l'Espagne et au Maroc.

Dans le pavage par des carrés ou par des hexagones réguliers, on passe d'un pavé à ses voisins en le faisant glisser : c'est une translation. Avec des triangles équilatéraux, le pavé voisin est retourné : on passe de l'un à l'autre par un demi-tour, et non par une translation.

À retenir

  • tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u}.
  • Propriété caractéristique : une application tt est une translation si, et seulement si, M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour tous points MM et NN, d'images M′M' et N′N'.
  • Les images, par une translation, de points alignés sont des points alignés.
  • L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment qui lui est isométrique ; l'image d'une demi-droite est une demi-droite ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
  • La translation conserve le milieu et le barycentre.
  • Les images de deux droites parallèles sont parallèles ; les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires ; si une droite et un cercle sont tangents, leurs images sont tangentes.
  • Une translation conserve les distances et les angles ; l'image d'un polygone est un polygone qui lui est superposable.