Cosinus, sinus, tangente et cotangente sur le demi-cercle trigonométrique ; relations fondamentales ; loi du sinus, aire, El-Kashi ; triangles isométriques et semblables ; relations métriques.
28 sections · 105 exercices
Trigonométrie et mesure des grandeurs
Le tableau est vide…
Il t’attend au tableau. Il va t’expliquer le chapitre et l’écrire devant toi — tu peux l’arrêter quand tu veux pour poser une question, à l’écrit ou à la voix.
Il parle en tunisien — tu peux passer au français quand tu veux.
Tu peux aussi répondre à la voix 🎤
Le cours
Ce qu’il t’explique
Il vient de te l’expliquer au tableau. Ici, tu le relis — et tu peux lui demander de reprendre n’importe quel passage.
Ce chapitre prolonge la trigonométrie du triangle rectangle : le demi-cercle trigonométrique donne un cosinus et un sinus à tous les angles de 0 à π, y compris les angles obtus.
On s'en sert ensuite pour mesurer : longueurs, angles et aires dans un triangle quelconque, avec la loi du sinus et le théorème d'El-Kashi.
À la fin de ce chapitre, tu sais
Définir le cosinus et le sinus d'un réel de [0,π]
Utiliser les angles supplémentaires et complémentaires, la tangente et la cotangente
Utiliser les relations fondamentales
Appliquer la loi du sinus, la formule de l'aire et le théorème d'El-Kashi
Reconnaître des triangles isométriques ou semblables, utiliser les relations métriques
Activité
Rappels
L'année dernière, on a défini le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Dans un triangle ABC rectangle en A :
cosC=BCAC,sinC=BCAB,tanC=ACAB.
On connaît aussi les valeurs pour trois angles remarquables :
Angle α (en radians)
6π
4π
3π
Angle α (en degrés)
30∘
45∘
60∘
cosα
23
22
21
sinα
21
22
23
tanα
33
1
3
Angle α (en radians)
Angle α (en degrés)
cosα
sinα
tanα
6π
30∘
23
21
33
4π
45∘
22
22
1
3π
60∘
21
23
3
Enfin, dans un repère orthonormé (O,i,j), le point M(x,y) a pour symétriques M′(x,−y) par rapport à l'axe des abscisses, M′′(−x,y) par rapport à l'axe des ordonnées, et N(−x,−y) par rapport à O. Le deuxième sert pour les angles supplémentaires.
Cinq triangles rectangles dans une seule figure.
le cosinuscosC=hypoteˊnusecoˆteˊ adjacent
le sinussinC=hypoteˊnusecoˆteˊ opposeˊ
la tangentetanC=coˆteˊ adjacentcoˆteˊ opposeˊ
Ce qu’on observe
Dans la figure, ABC est un triangle rectangle en A,H est le pied de la hauteur issue de A, et M est le projeté orthogonal de H sur la droite (AB). a) Citer tous les triangles rectangles. b) Citer les angles égaux à l'angle ACB. c) Donner cinq expressions différentes de cosACB.
1
Les triangles rectangles
Il y en a cinq. Le triangle ABC est rectangle en A. Les triangles AHC et AHB sont rectangles en H. Les triangles AMH et HMB sont rectangles en M.
2
Les angles égaux
Dans le triangle ABC, l'angle ACB est le complémentaire de l'angle ABC. Dans le triangle AHB, l'angle BAH l'est aussi, et dans le triangle HMB, c'est l'angle BHM.
ACB=BAH=BHM
3
Cinq expressions
Dans chacun des cinq triangles rectangles, on écrit le côté adjacent sur l'hypoténuse, pour l'angle qui est égal à l'angle ACB.
Le cosinus prend le côté qui touche l'angle, le sinus prend le côté d'en face. Les deux se divisent par l'hypoténuse.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Nabdew b tadhkir mel 3am elli fet. Fi triangle rectangle, le cosinus mta3 angle aigu houwa le côté adjacent sur l'hypoténuse, le sinus houwa le côté opposé sur l'hypoténuse, w la tangente hiya le côté opposé sur le côté adjacent. Chedd fi belek zeda les trois angles remarquables : trente degrés hiya pi sur six, quarante-cinq degrés hiya pi sur quatre, w soixante degrés hiya pi sur trois. Cosinus de pi sur trois égale un demi, w sinus de pi sur six égale un demi zeda. Fi el chapitre hedha, bech nwass3ou le cosinus w le sinus 7atta l les angles obtus. »
Activité
Pour comprendre : le demi-cercle trigonométrique
Soit (O,OA,OB) un repère orthonormé du plan et A′ le symétrique de A par rapport à O. On désigne par C le demi-cercle de diamètre [AA′] qui contient le point B. Ce demi-cercle est appelé demi-cercle trigonométrique. Son rayon vaut 1, et A(1,0),B(0,1),A′(−1,0).
Soit I le point de C tel que IOA=6π. On projette I sur la droite (OA) : on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse OI=1, donc l'abscisse de I est cos6π et son ordonnée est sin6π.
I(23,21)
Le symétrique I′ de I par rapport à la droite (OB) est encore sur C : il a la même ordonnée et l'abscisse opposée, et l'angle I′OA mesure π−6π=65π.
Plus généralement, pour chaque réel α de l'intervalle [0,π], il existe un seul point M du demi-cercle C tel que AOM=α. Sur C, il y a un seul point d'abscisse 0,8, mais deux points d'ordonnée 0,5.
I et I' ont la même ordonnée et des abscisses opposées.
le repèreA(1,0);B(0,1);A′(−1,0)
I et son symétriqueI(23,21);I′(−23,21)
Ce qu’on observe
Sur le demi-cercle trigonométrique, on désigne par J et K les points tels que JOA=4π et KOA=3π. a) Préciser les coordonnées de J et de K. b) Déterminer les coordonnées de leurs symétriques J′ et K′ par rapport à la droite (OB).
1
Le point J
Le rayon vaut 1 : l'abscisse de J est le cosinus de 4π et son ordonnée est le sinus de 4π.
J(22,22)
2
Le point K
De même, l'abscisse de K est le cosinus de 3π et son ordonnée est le sinus de 3π.
K(21,23)
3
Les symétriques
La symétrie par rapport à la droite (OB) garde l'ordonnée et change l'abscisse en son opposé.
J′(−22,22);K′(−21,23)
L’erreur à ne pas faire
✗Sur le demi-cercle, il y a un seul point d'ordonnée 0,5✓Il y en a deux : l'un à droite de (OB), l'autre à gauche
Deux points symétriques par rapport à la droite (OB) ont la même ordonnée. C'est l'abscisse qui les distingue.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ne5dhou repère orthonormé : O, A w B, w A prime houwa le symétrique mta3 A par rapport à O. Nrasmou le demi-cercle elli le diamètre mte3ou AA prime w elli yet3adda men B : hedha nsammiwh le demi-cercle trigonométrique, w le rayon mte3ou un. Tawa ne5dhou 3lih point I, elli ya3tina l'angle IOA égale pi sur six. Ki nhabbtou I 3la la droite OA, nal9aw triangle rectangle, l'hypoténuse mte3ou un : donc l'abscisse mta3 I hiya cosinus de pi sur six, w l'ordonnée hiya sinus de pi sur six. W le symétrique I prime par rapport à la droite OB 3andou nafs l'ordonnée, w l'abscisse opposée. Chedd fi belek : l koll réel alpha bin zéro w pi, thamma point we7ed bark 3la le demi-cercle. »
Définition
Cosinus et sinus d'un réel
Soit (O,OA,OB) un repère orthonormé du plan. Soit α un réel appartenant à [0,π] et soit M l'unique point du demi-cercle trigonométrique C tel que AOM=α. - On appelle cosinus du réel α l'abscisse du point M, et on le note cosα. - On appelle sinus du réel α l'ordonnée du point M, et on le note sinα.
On lit tout de suite quelques valeurs sur le demi-cercle :
M=A pour α=0 : cos0=1 et sin0=0 ;
M=B pour α=2π : cos2π=0 et sin2π=1 ;
M=A′ pour α=π : cosπ=−1 et sinπ=0.
Comme M reste sur le demi-cercle, pour tout réel α de l'intervalle [0,π] : −1≤cosα≤1 et 0≤sinα≤1.
L'abscisse de M est cos α, son ordonnée est sin α.
le point M du demi-cercleM(cosα,sinα)
pour α dans [0, π]−1≤cosα≤1 et 0≤sinα≤1
Exemple traité
Sur le demi-cercle trigonométrique, combien y a-t-il de points M tels que cosAOM=0,5 ? Et combien de points P tels que sinAOP=22 ? Donner chaque fois la mesure de l'angle.
1
Le cosinus
Le cosinus est l'abscisse : on cherche les points du demi-cercle d'abscisse 0,5. Il y en a un seul, et l'angle mesure 3π.
cosAOM=21⟹AOM=3π
2
Le sinus
Le sinus est l'ordonnée : on cherche les points du demi-cercle d'ordonnée 22. Il y en a deux, symétriques par rapport à la droite (OB).
sinAOP=22⟹AOP=4π ou AOP=43π
L’erreur à ne pas faire
✗Pour α dans l'intervalle fermé [0,π], cosα est toujours positif✓cosα<0 dès que α dépasse 2π
Quand l'angle est obtus, le point M passe à gauche de la droite (OB) : son abscisse est négative. Le sinus, lui, reste positif.
✗cos2π=1 et sin2π=0✓cos2π=0 et sin2π=1
Pour l'angle droit, le point M est en B, de coordonnées zéro et un : l'abscisse donne le cosinus, l'ordonnée donne le sinus.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tawa et-ta3rif. Ne5dhou réel alpha bin zéro w pi, w M houwa le point el wa7id 3la le demi-cercle trigonométrique elli ya3tina l'angle AOM égale alpha. Le cosinus mta3 alpha houwa l'abscisse mta3 M, w le sinus mta3 alpha houwa l'ordonnée mta3 M. Na9raw toul chwaya valeurs : ki M yji 3la A, cosinus de zéro égale un w sinus de zéro égale zéro. Ki M yji 3la B, cosinus de pi sur deux égale zéro w sinus de pi sur deux égale un. W ki M yji 3la A prime, cosinus de pi égale moins un w sinus de pi égale zéro. W 5ater M dima 3la le demi-cercle, le cosinus yo93ed bin moins un w un, w le sinus bin zéro w un. »
Activité
Pour comprendre : le triangle rectangle
Soit OPM un triangle rectangle en P, et A un point du segment [OP], distinct de O et de P. On munit le plan du repère orthonormé (O,OA,OB), où B est du même côté que M par rapport à la droite (OP), et on trace le demi-cercle trigonométrique C.
Le demi-cercle C coupe la droite (OM) en un point N. On note N′ le projeté orthogonal de N sur (OP) : les droites (NN′) et (MP) sont parallèles, et d'après le théorème de Thalès dans le triangle OPM,
OPON′=MPNN′=OMON=OM1.
L'abscisse du point N est donc égale à OMOP, et son ordonnée à OMMP.
Autrement dit, pour un angle aigu, la nouvelle définition redonne exactement celle du triangle rectangle : le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse, le sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse.
N est le point du demi-cercle sur la droite (OM).
dans le triangle OPM rectangle en PcosPOM=OMOP;sinPOM=OMMP
Ce qu’on observe
Dans la figure, on suppose que OP=3 et MP=4, l'unité étant OA. Calculer OM, puis donner les coordonnées du point N.
1
L'hypoténuse
Le triangle OPM est rectangle en P : on applique le théorème de Pythagore.
OM=32+42=25=5
2
Les coordonnées de N
L'abscisse de N est le côté adjacent sur l'hypoténuse, et son ordonnée est le côté opposé sur l'hypoténuse.
N(53,54)
3
Ce que cela veut dire
Le cosinus de l'angle POM vaut donc trois cinquièmes, et son sinus vaut quatre cinquièmes.
cosPOM=53;sinPOM=54
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Et-ta3rif ej-jdid, za3ma yetmecha m3a mta3 el 3am elli fet ? Nchoufou. 3andna triangle OPM rectangle en P, w nrasmou le demi-cercle trigonométrique de centre O. La droite OM t9oss le demi-cercle fi point N. Nhabbtou N 3la la droite OP, w ntabb9ou Thalès : l'abscisse mta3 N hiya OP sur OM, w l'ordonnée hiya MP sur OM. Ya3ni le cosinus mta3 l'angle POM houwa le côté adjacent sur l'hypoténuse, w le sinus houwa le côté opposé sur l'hypoténuse. Donc l angle aigu, et-ta3rif ej-jdid ya3tina nafs elli na3rfouh fi le triangle rectangle. »
Propriété
Angles supplémentaires
Soit α un réel de l'intervalle [0,π] et M le point du demi-cercle trigonométrique tel que AOM=α. On désigne par M′ le symétrique de M par rapport à la droite (OB).
La symétrie conserve les angles : A′OM′=AOM=α, donc AOM′=π−α. Le point M′ est le point du demi-cercle associé au réel π−α.
Or M a pour coordonnées (cosα,sinα), et son symétrique M′ a la même ordonnée et l'abscisse opposée : M′(−cosα,sinα). On en déduit :
Pour tout réel x appartenant à [0,π], on a cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=sinx.
Deux angles supplémentaires ont donc le même sinus et des cosinus opposés.
M et M' ont la même ordonnée et des abscisses opposées.
cosinus opposéscos(π−x)=−cosx
même sinussin(π−x)=sinx
Exemple traité
Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus de 65π, de 32π et de 43π.
1
Cinq pi sur six
On écrit 65π comme π moins 6π : le cosinus change de signe, le sinus reste le même.
cos65π=−23;sin65π=21
2
Deux pi sur trois
De même, 32π est π moins 3π.
cos32π=−21;sin32π=23
3
Trois pi sur quatre
Enfin, 43π est π moins 4π.
cos43π=−22;sin43π=22
L’erreur à ne pas faire
✗sin(π−x)=−sinx✓sin(π−x)=sinx
Les points M et M prime sont à la même hauteur : ils ont la même ordonnée. C'est le cosinus, l'abscisse, qui change de signe.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ne5dhou M 3la le demi-cercle, elli ya3tina l'angle AOM égale alpha, w M prime houwa le symétrique mte3ou par rapport à la droite OB. La symétrie t7afedh 3la les angles : donc l'angle AOM prime égale pi moins alpha. W M prime 3andou nafs l'ordonnée mta3 M, w l'abscisse opposée. Men hna ntalla3ou zouz formules : cosinus de pi moins x égale moins cosinus de x, w sinus de pi moins x égale sinus de x. Ya3ni deux angles supplémentaires 3andhom nafs le sinus, w les cosinus opposés. Biha na7sbou mathalan cosinus de cinq pi sur six : houwa moins cosinus de pi sur six, ya3ni moins racine carrée de trois sur deux. »
Exemple
Exemple : une somme de cosinus
On veut calculer, sans utiliser la calculatrice,
cos8π+cos83π+cos85π+cos87π.
Aucun de ces cosinus n'est une valeur remarquable. Mais les angles vont par paires de somme π : 8π+87π=π et 83π+85π=π. Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés : chaque paire donne 0.
deux angles supplémentairescos(π−x)+cosx=0
Exemple traité
Calculer, sans utiliser la calculatrice, la somme cos8π+cos83π+cos85π+cos87π.
1
Les paires
On repère les angles supplémentaires : 87π est π moins 8π, et 85π est π moins 83π.
cos87π=−cos8π;cos85π=−cos83π
2
La somme
On remplace dans la somme : les termes s'éliminent deux à deux.
cos8π+cos83π−cos83π−cos8π=0
cos8π+cos83π+cos85π+cos87π=0
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ntabb9ou elli chofneh 3la somme. 3andna cosinus de pi sur huit, plus cosinus de trois pi sur huit, plus cosinus de cinq pi sur huit, plus cosinus de sept pi sur huit. 7atta we7ed fihom ma na3rfouch la valeur mte3ou, ama ma yelzemnech. Chouf les angles : sept pi sur huit hiya pi moins pi sur huit, w cinq pi sur huit hiya pi moins trois pi sur huit. W deux angles supplémentaires 3andhom les cosinus opposés : donc koll zouz yetna77aw m3a b3adhhom. La somme égale zéro. »
Propriété
Angles complémentaires
Soit α un réel de l'intervalle [0,2π], et M et N les points de l'arc AB⌢ du demi-cercle trigonométrique tels que AOM=α et BON=α. Alors AON=2π−α.
Soit M′ le projeté orthogonal de M sur (OA) et N′ le projeté orthogonal de N sur (OB). Les triangles OMM′ et ONN′ sont rectangles, ont la même hypoténuse OM=ON=1 et le même angle α en O : ils sont superposables. Donc OM′=ON′ et MM′=NN′.
Or OM′=cosα et MM′=sinα, tandis que ON′ est l'ordonnée de N et NN′ son abscisse. On en déduit :
Pour tout x appartenant à [0,2π], on a cos(2π−x)=sinx et sin(2π−x)=cosx.
Deux angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
Les triangles OMM' et ONN' sont superposables.
le cosinus du complémentairecos(2π−x)=sinx
le sinus du complémentairesin(2π−x)=cosx
Exemple traité
Calculer, sans utiliser la calculatrice, cos8π+cos83π−sin8π−sin83π.
1
Deux angles complémentaires
La somme de 8π et de 83π vaut 2π : ces deux angles sont complémentaires.
83π=2π−8π
2
Échanger sinus et cosinus
Le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
cos83π=sin8π;sin83π=cos8π
3
La somme
On remplace dans l'expression : tout s'élimine.
cos8π+sin8π−sin8π−cos8π=0
cos8π+cos83π−sin8π−sin83π=0
L’erreur à ne pas faire
✗cos(2π−x)=−cosx✓cos(2π−x)=sinx
Le signe moins vient des angles supplémentaires, ceux dont la somme vaut pi. Pour deux angles complémentaires, dont la somme vaut pi sur deux, le sinus et le cosinus s'échangent.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tawa les angles complémentaires, ya3ni elli la somme mte3hom pi sur deux. Ne5dhou alpha bin zéro w pi sur deux, w zouz points 3la l'arc AB : M elli ya3tina l'angle AOM égale alpha, w N elli ya3tina l'angle BON égale alpha. Donc l'angle AON égale pi sur deux moins alpha. Nhabbtou M 3la la droite OA, w N 3la la droite OB : nal9aw zouz triangles rectangles, 3andhom nafs l'hypoténuse w nafs l'angle, ya3ni kif kif. Men hna : cosinus de pi sur deux moins x égale sinus de x, w sinus de pi sur deux moins x égale cosinus de x. Ya3ni deux angles complémentaires yetbedlou le sinus w le cosinus. »
Définition
Tangente et cotangente
Soit α un réel appartenant à l'intervalle [0,π] et tel que α=2π. On appelle tangente du réel α le réel noté tanα et défini par tanα=cosαsinα. Soit α un réel appartenant à l'intervalle ]0,π[. On appelle cotangente du réel α le réel noté cotα et défini par cotα=sinαcosα.
La tangente n'existe pas pour α=2π, car cos2π=0. La cotangente n'existe ni pour α=0 ni pour α=π, car le sinus y est nul.
Quand les deux existent, la cotangente est l'inverse de la tangente. Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le côté opposé sur le côté adjacent, et sa cotangente est le côté adjacent sur le côté opposé.
Un triangle de côtés 5, 12 et 13.
la tangentetanα=cosαsinα(α=2π)
la cotangentecotα=sinαcosα(0<α<π)
Exemple traité
Soit ABC un triangle tel que AB=5,AC=13 et BC=12. a) Quelle est la nature de ce triangle ? b) Déterminer la tangente et la cotangente de l'angle A, puis celles de l'angle C. c) Donner une valeur approchée à un degré près de ces deux angles.
1
La nature du triangle
On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : le triangle est rectangle en B.
AB2+BC2=25+144=169=AC2
2
L'angle A
Pour l'angle A, le côté opposé est BC et le côté adjacent est AB. La cotangente est l'inverse de la tangente.
tanA=512;cotA=125
3
L'angle C
Pour l'angle C, les rôles s'échangent : le côté opposé est AB et le côté adjacent est BC.
tanC=125;cotC=512
4
Les mesures
La calculatrice, réglée en degrés, donne l'angle dont la tangente vaut douze cinquièmes. L'autre angle aigu est son complémentaire.
A≈67∘;C≈23∘
L’erreur à ne pas faire
✗tan2π=0✓tan2π n'existe pas
Le cosinus de pi sur deux vaut zéro, et on ne divise pas par zéro. C'est la cotangente de pi sur deux qui vaut zéro.
✗tanα=sinαcosα✓tanα=cosαsinα
La tangente met le sinus en haut. Le cosinus en haut, c'est la cotangente.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ba3d le cosinus w le sinus, n3arrfou zouz rapports o5rin. La tangente mta3 alpha hiya sinus de alpha sur cosinus de alpha. Ama rodd belek : lezem alpha différent de pi sur deux, 5ater cosinus de pi sur deux égale zéro, w ma najjmouch na9smou 3la zéro. W la cotangente mta3 alpha hiya cosinus de alpha sur sinus de alpha. Hna lezem alpha ykoun bin zéro w pi, w ma ysewich la zéro la pi, 5ater le sinus ghadi zéro. W ki ez-zouz mawjoudin, la cotangente hiya l'inverse mta3 la tangente. Fi le triangle rectangle, la tangente hiya le côté opposé sur le côté adjacent, w la cotangente bel3aks. »
Activité
Pour comprendre : lire tangente et cotangente
Soit (O,OA,OB) un repère orthonormé du plan et C le demi-cercle trigonométrique. On désigne par D et D′ les tangentes à C en A et en B, et par I leur point d'intersection. On munit la droite D du repère (A,AI) et la droite D′ du repère (B,BI).
Soit α un réel de l'intervalle ]0,π[ tel que α=2π, et M le point de C tel que AOM=α. On note P et Q les projetés orthogonaux de M sur (OA) et sur (OB) : cosα=OP et sinα=OQ.
La droite (OM) coupe D en un point T. Les droites (PM) et (AT) sont parallèles : d'après le théorème de Thalès dans le triangle OAT,PMAT=OPOA, donc AT=cosαsinα.
De même, la droite (OM) coupe D′ en un point T′, et BT′=sinαcosα.
La tangente se lit donc sur la droite D, et la cotangente sur la droite D′.
tan α se lit sur D, cot α se lit sur D'.
sur la tangente en Atanα=AT
sur la tangente en Bcotα=BT′
Ce qu’on observe
Avec les notations de la figure, où se trouvent les points T et T′ lorsque α=4π ? Et lorsque α=3π ?
1
Pi sur quatre
La tangente et la cotangente de 4π valent 1 : les points T et T′ sont tous les deux en I.
tan4π=AI=1;cot4π=BI=1
2
Pi sur trois
La tangente de 3π vaut 3 : le point T est au-dessus de I. La cotangente vaut 33 : le point T′ est entre B et I.
T(1,3);T′(33,1)
L’erreur à ne pas faire
✗Pour un angle obtus, le point T est au-dessus de A✓Pour un angle obtus, le point T est en dessous de A
La tangente d'un angle obtus est négative : le sinus est positif et le cosinus négatif. La droite (OM), prolongée, coupe D sous le point A.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« La tangente w la cotangente, najjmou na9rawhom 3la el figure. Nrasmou la tangente au demi-cercle fi A, nsammiwha D, w la tangente fi B, nsammiwha D prime, w yet9at3ou fi I. Ne5dhou M 3la le demi-cercle, elli ya3tina l'angle AOM égale alpha. La droite OM t9oss D fi point T, w t9oss D prime fi point T prime. B le théorème de Thalès nal9aw : tangente de alpha hiya la mesure algébrique AT, w cotangente de alpha hiya la mesure algébrique BT prime. Ya3ni la tangente na9rawha 3la la droite D, w la cotangente 3la la droite D prime. W hakka tefhem 3lech alpha différent de pi sur deux : wa9tha la droite OM parallèle à D, w ma t9osshech. »
Propriété
Lignes trigonométriques des angles remarquables
Les angles supplémentaires et les valeurs lues sur le demi-cercle complètent le tableau de l'année dernière :
α
0
6π
4π
3π
2π
π
sinα
0
21
22
23
1
0
cosα
1
23
22
21
0
−1
tanα
0
33
1
3
n'existe pas
0
cotα
n'existe pas
3
1
33
0
n'existe pas
α
sinα
cosα
tanα
cotα
0
0
1
0
n'existe pas
6π
21
23
33
3
4π
22
22
1
1
3π
23
21
3
33
2π
1
0
n'existe pas
0
π
0
−1
0
n'existe pas
Pour les angles obtus 32π,43π et 65π, on passe par le supplémentaire : même sinus, cosinus opposé.
Ce tableau se lit aussi à l'envers, pour retrouver un réel x de l'intervalle [0,π] à partir de son cosinus ou de son sinus. Un cosinus donne un seul réel ; un sinus strictement compris entre 0 et 1 en donne deux, supplémentaires.
π/6 et π/3cos6π=sin3π=23
π/4cos4π=sin4π=22
π/3 et π/6cos3π=sin6π=21
Exemple traité
Soit x un réel de l'intervalle fermé [0,π]. Déterminer x dans chacun des cas suivants. a) cosx=−21. b) sinx=23. c) Le carré de cosx vaut 43.
1
Un cosinus négatif
Le cosinus est négatif : l'angle est obtus. Comme le cosinus de 3π vaut un demi, on prend le supplémentaire de 3π.
x=π−3π=32π
2
Un sinus
Deux points du demi-cercle ont cette ordonnée : celui de 3π et celui de son supplémentaire.
x=3π ou x=32π
3
Un carré
Le cosinus vaut racine de trois sur deux, ou bien son opposé : on trouve 6π, ou bien son supplémentaire.
x=6π ou x=65π
L’erreur à ne pas faire
✗Dans l'intervalle fermé [0,π], sinx=23 donne seulement x=3π✓x=3π ou x=32π
Deux angles supplémentaires ont le même sinus. Il faut toujours penser au deuxième point du demi-cercle, celui qui a la même ordonnée.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Hedha ej-jadwel elli lezmek ta7fdhou. Cosinus de zéro égale un w sinus de zéro égale zéro. L pi sur six : le sinus un demi, w le cosinus racine carrée de trois sur deux. L pi sur quatre : ez-zouz racine carrée de deux sur deux. L pi sur trois, le sinus w le cosinus yetbedlou : le sinus racine carrée de trois sur deux, w le cosinus un demi. W l pi sur deux : le sinus un w le cosinus zéro. L les angles obtus, t3adda b le supplémentaire : nafs le sinus, w le cosinus opposé. W rodd belek ki ta9ra ej-jadwel bel ma9loub : cosinus ya3tik réel we7ed bin zéro w pi, ama sinus ya3tik zouz, supplémentaires. »
Théorème
Relations fondamentales
Pour tout réel x appartenant à [0,π], on a cos2x+sin2x=1. Pour tout réel x appartenant à [0,π] tel que x=2π, on a 1+tan2x=cos2x1. Pour tout réel x appartenant à ]0,π[, on a 1+cot2x=sin2x1.
Une convention d'écriture. On écrit cos2x,sin2x,tan2x et cot2x au lieu de (cosx)2,(sinx)2,(tanx)2 et (cotx)2.
Ces relations lient les quatre rapports d'un même réel : dès qu'on en connaît un, on peut calculer les autres.
pour x dans [0, π]cos2x+sin2x=1
pour x ≠ π/21+tan2x=cos2x1
pour x dans ]0, π[1+cot2x=sin2x1
Exemple traité
Soit x un réel compris entre 2π et π tel que sinx=53. Calculer cosx, puis la tangente et la cotangente de x.
1
Le carré du cosinus
D'après la première relation fondamentale, le carré du cosinus vaut un moins le carré du sinus.
cos2x=1−259=2516
2
Le signe
Le réel x est entre 2π et π : l'angle est obtus, son cosinus est négatif.
cosx=−54
3
La tangente et la cotangente
On divise le sinus par le cosinus pour avoir la tangente, puis on prend son inverse pour avoir la cotangente.
tanx=−43;cotx=−34
L’erreur à ne pas faire
✗sinx=53 donne toujours cosx=54✓cosx=54 si x est aigu, cosx=−54 si x est obtus
La relation fondamentale ne donne que le carré du cosinus. Pour choisir le signe, il faut savoir si l'angle est aigu ou obtus.
✗cos2x=cos(x2)✓cos2x=(cosx)2
C'est une convention d'écriture : on calcule d'abord le cosinus, puis on élève le résultat au carré.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Hedhi ahamm formule fi el chapitre. M 3la le demi-cercle, w OM égale un. W fi repère orthonormé, OM au carré hiya l'abscisse au carré plus l'ordonnée au carré. Donc : cosinus de x au carré, plus sinus de x au carré, égale un. W nektbouha : cosinus carré de x, plus sinus carré de x, égale un. Ki na9smou 3la le carré du cosinus, nal9aw : un plus le carré de la tangente, égale un sur le carré du cosinus, w hedhi lezemha x différent de pi sur deux. W ki na9smou 3la le carré du sinus, nal9aw : un plus le carré de la cotangente, égale un sur le carré du sinus. B les relations hedhom, ki ta3ref rapport we7ed, tnajjem te7seb el be9i. »
Méthode
D'un rapport aux trois autres
Quand on connaît un seul des quatre nombres cosx,sinx,tanx et cotx, les relations fondamentales donnent les trois autres.
1.On choisit la relation qui contient le rapport connu : elle donne le carré d'un autre rapport.
2.On choisit le signe. Sur [0,π], le sinus est toujours positif. Le cosinus, la tangente et la cotangente ont le même signe : positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus.
3.On termine avec tanx=cosxsinx, écrit au besoin sinx=tanx×cosx, ou avec cosx=cotx×sinx.
avec la tangentesinx=tanx×cosx
avec la cotangentecosx=cotx×sinx
Exemple traité
a) Calculer cosα et sinα sachant que tanα=10. b) Calculer sina et cosa sachant que la cotangente de a vaut −2.
1
Avec la tangente
Un plus le carré de la tangente est l'inverse du carré du cosinus.
cos2α1=1+102=101
2
Le signe du cosinus
La tangente est positive : l'angle est aigu, et son cosinus est positif.
cosα=1011=101101
3
Le sinus
Le sinus est le produit de la tangente par le cosinus.
sinα=10×101101=10110101
4
Avec la cotangente
Un plus le carré de la cotangente est l'inverse du carré du sinus. On garde la valeur positive, car un sinus est toujours positif ici.
sin2a1=1+(−2)2=5⟹sina=55
5
Le cosinus
Le cosinus est le produit de la cotangente par le sinus. Il est négatif : l'angle est obtus.
cosa=−2×55=−525
L’erreur à ne pas faire
✗tanα=10 donne sinα=10 et cosα=1✓cosα=101101 et sinα=10110101
Un sinus ne dépasse jamais un. La tangente est seulement le quotient du sinus par le cosinus : il faut la relation fondamentale pour les séparer.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ki ta3ref rapport we7ed, kifech tal9a el be9i ? Trois étapes. Tabda te5tar la relation fondamentale elli fiha le rapport elli ta3rfou : ta3tik le carré mta3 rapport e5er. Ba3d, le signe : bin zéro w pi, le sinus dima positif. W le cosinus, la tangente w la cotangente 3andhom nafs le signe : positif ki l'angle aigu, w négatif ki l'angle obtus. W fel e5er, tkammel b la définition : le sinus égale la tangente fois le cosinus, walla le cosinus égale la cotangente fois le sinus. »
Propriété
Tangente et cotangente : angles complémentaires et supplémentaires
Angles complémentaires.
Pour tout x appartenant à ]0,2π], on a tan(2π−x)=cotx. Pour tout x appartenant à [0,2π[, on a cot(2π−x)=tanx.
Angles supplémentaires.
Pour tout réel x appartenant à [0,π] tel que x=2π, on a tan(π−x)=−tanx. Pour tout réel x appartenant à ]0,π[, on a cot(π−x)=−cotx.
Deux angles complémentaires échangent leur tangente et leur cotangente ; deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées et des cotangentes opposées.
a) Donner les valeurs exactes de la tangente de 32π, de 43π et de 65π. b) Calculer, sans utiliser la calculatrice, la somme des tangentes de 7π,72π,73π,74π,75π et 76π.
1
Les trois valeurs
Chacun de ces angles est le supplémentaire d'un angle remarquable : sa tangente est l'opposé de celle de l'angle remarquable.
tan32π=−3;tan43π=−1;tan65π=−33
2
Les paires de la somme
Dans la somme, 76π est le supplémentaire de 7π,75π est celui de 72π, et 74π est celui de 73π.
tan76π=−tan7π;tan75π=−tan72π;tan74π=−tan73π
3
La somme
Les six tangentes s'éliminent deux à deux : la somme est nulle.
tan7π+tan72π+tan73π+tan74π+tan75π+tan76π=0
L’erreur à ne pas faire
✗tan(π−x)=tanx✓tan(π−x)=−tanx
En passant au supplémentaire, le sinus ne change pas mais le cosinus change de signe : leur quotient change donc de signe.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Chnowa ysir l la tangente w la cotangente m3a les angles complémentaires w les angles supplémentaires ? Narj3ou l la définition. L les angles complémentaires, le sinus w le cosinus yetbedlou : donc la tangente de pi sur deux moins x hiya la cotangente de x, w la cotangente de pi sur deux moins x hiya la tangente de x. W l les angles supplémentaires, le sinus yo93ed kif ma houwa w le cosinus ybaddel le signe : donc tangente de pi moins x égale moins tangente de x, w la cotangente kif kif, tbaddel le signe. Mathalan tangente de trois pi sur quatre égale moins tangente de pi sur quatre, ya3ni moins un. »
Application
Un problème pour aller plus loin : cosinus de π/8
L'angle 8π n'est pas un angle remarquable. On peut pourtant trouver les valeurs exactes de son cosinus, de son sinus et de sa tangente, en faisant apparaître son double, 4π.
On construit un triangle ABC rectangle en A tel que BC=8 et B=8π. Soit H le pied de la hauteur issue de A et O le milieu de [BC].
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets : OA=OB=OC=4. Le triangle OAB est donc isocèle en O : OAB=OBA=8π, et AOB=π−4π=43π. L'angle AOH est son supplémentaire : il mesure 4π.
Le triangle AOH a donc pour angles 4π,2π et 4π : il est rectangle et isocèle en H. C'est lui qui donne les longueurs.
Une fois ces valeurs trouvées, les angles complémentaires donnent celles de 83π, et les angles supplémentaires celles de 87π.
Le triangle AOH est rectangle et isocèle.
le cosinuscos8π=22+2
le sinussin8π=22−2
la tangentetan8π=2−1
Exemple traité
Dans la figure, le triangle ABC est rectangle en A,BC=8 et l'angle B mesure 8π. Le point H est le pied de la hauteur issue de A et O est le milieu de [BC]. a) Calculer OH et AH. b) Calculer BH, puis AB. c) En déduire les valeurs exactes du cosinus, du sinus et de la tangente de 8π.
1
OH et AH
Le triangle AOH est rectangle et isocèle en H, et son hypoténuse OA mesure 4 : chaque côté de l'angle droit vaut 4 fois le cosinus de 4π.
OH=AH=4×22=22
2
BH
Le point O est entre B et H : on ajoute les deux longueurs.
BH=BO+OH=4+22
3
AB
Le triangle ABH est rectangle en H : on applique le théorème de Pythagore, puis on met 16 en facteur.
AB2=(4+22)2+(22)2=32+162=16(2+2)
4
On prend la racine carrée.
AB=42+2
5
Le cosinus
Dans le triangle ABH, le cosinus de l'angle B est BH sur AB. On simplifie par 2, puis par 2+2.
cos8π=42+24+22=22+22+2=22+2
6
La tangente
La tangente de l'angle B est AH sur BH. On simplifie par 2, puis on multiplie en haut et en bas par 2−2.
tan8π=4+2222=2+22=2−1
7
Le sinus
D'après la première relation fondamentale, le carré du sinus vaut un moins le carré du cosinus, et ce sinus est positif.
sin28π=1−42+2=42−2
cos8π=22+2;sin8π=22−2;tan8π=2−1
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Pi sur huit mouch angle remarquable, ama najjmou nal9aw les valeurs exactes mte3ou. Nrasmou triangle ABC rectangle en A, fih BC égale huit, w l'angle B égale pi sur huit. Ne5dhou O le milieu mta3 BC, w H le pied de la hauteur issue de A. Fi triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse b3id kif kif 3la les trois sommets : donc OA égale OB égale quatre. Le triangle OAB isocèle, donc l'angle AOB égale trois pi sur quatre, w l'angle AOH houwa le supplémentaire mte3ou : pi sur quatre. Ya3ni le triangle AOH rectangle w isocèle, w mennou na7sbou OH w AH. W ba3d, fi le triangle ABH, na9raw cosinus, sinus w tangente de pi sur huit. »
Activité
Pour comprendre : la hauteur
Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.
Dans le triangle ABC, l'angle B est le complémentaire de l'angle C. Dans le triangle AHC, rectangle en H, l'angle CAH est lui aussi le complémentaire de l'angle C. Donc B=CAH.
On écrit alors la tangente de ce même angle dans deux triangles rectangles :
dans le triangle AHB : tanB=HBAH ;
dans le triangle AHC : tanCAH=AHHC.
Les deux quotients sont égaux : HBAH=AHHC, d'où AH2=HB×HC.
L'angle B et l'angle CAH sont égaux.
deux angles égauxB=CAH
la hauteurAH2=HB×HC
Ce qu’on observe
Dans un triangle ABC rectangle en A, le pied H de la hauteur issue de A vérifie HB=3 et HC=12. Calculer AH, puis la tangente de l'angle B.
1
Le carré de la hauteur
Le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse.
AH2=HB×HC=3×12=36
2
La hauteur
Une longueur est positive : on prend la racine carrée.
AH=6
3
La tangente
Dans le triangle AHB, rectangle en H, la tangente de l'angle B est AH sur HB.
tanB=36=2
AH=6;tanB=2
L’erreur à ne pas faire
✗AH=HB×HC✓AH2=HB×HC
C'est le carré de la hauteur qui est égal au produit. Avec trois et douze, la hauteur vaut six, et non trente-six.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ne5dhou triangle ABC rectangle en A, w H le pied de la hauteur issue de A. L'angle B w l'angle CAH, ez-zouz complémentaires mta3 l'angle C : donc houma kif kif. Tawa nektbou la tangente mta3 l'angle hedha fi zouz triangles rectangles. Fi le triangle AHB, tangente de l'angle B égale AH sur HB. W fi le triangle AHC, tangente de l'angle CAH égale HC sur AH. Ez-zouz quotients kif kif, donc : AH au carré égale HB fois HC. Ya3ni le carré de la hauteur houwa le produit mta3 ez-zouz segments elli t9osshom 3la l'hypoténuse. »
Méthode
Construire un angle
Connaître un seul rapport trigonométrique d'un angle suffit pour le construire.
Avec le cosinus. Sur le demi-cercle trigonométrique, on place le point P du diamètre [A′A] d'abscisse cosα. La perpendiculaire à (OA) passant par P coupe le demi-cercle en un seul point M, et AOM=α. Si le cosinus est négatif, l'angle est obtus.
Avec le sinus. On place le point Q du segment [OB] d'ordonnée sinα. La parallèle à (OA) passant par Q coupe le demi-cercle en deux points : l'un donne un angle aigu, l'autre l'angle obtus supplémentaire (sauf si le sinus vaut 1 : il n'y a alors qu'un seul point, B). Il faut donc savoir lequel on veut.
Avec la tangente. Si tanα=qp avec p et q positifs, on construit un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent p et q : α est l'angle opposé au côté de longueur p. Si la tangente est négative, on construit l'angle de tangente opposée, puis on prend son supplémentaire.
On peut aussi construire directement un triangle rectangle : pour cosα=54, un côté de l'angle droit de longueur 4 et une hypoténuse de longueur 5.
Deux angles de sinus 0,35 : un aigu, un obtus.
Exemple traité
a) Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=6 et BC=10. Calculer le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle B. b) Dans ce triangle, quel angle a pour cosinus 54 ? c) Comment construire un angle obtus dont le sinus vaut 0,35 ?
1
Le troisième côté
Le triangle est rectangle en A : le théorème de Pythagore donne le côté AC.
AC=102−62=64=8
2
L'angle B
Pour l'angle B, le côté adjacent est AB et le côté opposé est AC.
cosB=53;sinB=54;tanB=34
3
Un cosinus de quatre cinquièmes
Pour l'angle C, le côté adjacent est AC : son cosinus vaut huit dixièmes, c'est-à-dire quatre cinquièmes. Construire ce triangle, c'est donc construire un angle de cosinus quatre cinquièmes.
cosC=108=54
4
L'angle obtus
Sur le demi-cercle trigonométrique, on trace la parallèle à (OA) à la hauteur 0,35. Elle coupe le demi-cercle en deux points : on garde celui de gauche, le point M, dont l'abscisse est négative.
sinAOM=0,35 et AOM>2π
L’erreur à ne pas faire
✗Pour tanα=34, on prend un côté opposé de 3 et un côté adjacent de 4✓Côté opposé 4, côté adjacent 3
La tangente est le côté opposé sur le côté adjacent : le numérateur va en face de l'angle.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ki ta3ref rapport we7ed mta3 angle, tnajjem tarsmou. B le cosinus : 3la le demi-cercle trigonométrique, t7ott le point elli l'abscisse mte3ou hiya le cosinus, totla3 3amoudi, w tal9a point we7ed 3la le demi-cercle. W ken le cosinus négatif, l'angle obtus. B le sinus : t7ott l'ordonnée 3la la droite OB, w tarsem parallèle à la droite OA. Rodd belek, hna tal9a zouz points : we7ed ya3tik angle aigu, w le5er l'angle obtus, le supplémentaire mte3ou. W b la tangente : tarsem triangle rectangle, le côté opposé houwa le numérateur, w le côté adjacent houwa le dénominateur. »
Théorème
La loi du sinus
Soit ABC un triangle. On pose BC=a,AC=b et AB=c : chaque côté porte la lettre minuscule du sommet qui lui est opposé.
Soit H le pied de la hauteur issue de C. Dans le triangle AHC, rectangle en H,CH=bsinA. Dans le triangle BHC, rectangle en H,CH=asinB. Si l'un de ces deux angles est obtus, on raisonne avec son supplémentaire, qui a le même sinus.
On a donc bsinA=asinB, c'est-à-dire sinAa=sinBb. En recommençant avec une autre hauteur, on obtient :
Loi du sinus. Soit ABC un triangle. On pose a=BC,b=AC et c=AB. On a sinAa=sinBb=sinCc.
Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
La hauteur CH se calcule de deux façons.
la loi du sinussinAa=sinBb=sinCc
Exemple traité
Soit MNP un triangle tel que MN=8,NP=6 et MP=10. Montrer que sinM,sinP et sinN sont en progression arithmétique.
1
La nature du triangle
Le carré du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres : le triangle est rectangle en N.
MN2+NP2=64+36=100=MP2
2
Les trois sinus
L'angle N est droit, son sinus vaut 1. Pour les deux autres angles, on écrit le côté opposé sur l'hypoténuse.
sinM=106=53;sinP=108=54;sinN=1
3
La progression
On passe d'un sinus au suivant en ajoutant toujours un cinquième : ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison un cinquième.
54−53=1−54=51
4
Ce n'est pas un hasard
Les côtés opposés, 6,8 et 10, sont eux-mêmes en progression arithmétique. D'après la loi du sinus, les sinus sont proportionnels aux côtés opposés : ils sont donc aussi en progression arithmétique.
L’erreur à ne pas faire
✗sinBa=sinAb✓sinAa=sinBb
Chaque côté va avec le sinus de l'angle qui est en face de lui : le côté a est en face du sommet A.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tawa no5rjou men le triangle rectangle, w ne5dmou fi triangle quelconque. Nsammiw les côtés bel 7rouf es-sghira : a houwa BC, le côté elli 9belet A, b houwa AC, w c houwa AB. Nhabbtou la hauteur men C, w H houwa le pied mte3ha. Na7sbou CH b zouz tor9 : fi le triangle AHC, CH égale b fois sinus de l'angle A. W fi le triangle BHC, CH égale a fois sinus de l'angle B. Ez-zouz kif kif, donc : a sur sinus de l'angle A, égale b sur sinus de l'angle B. W b hauteur o5ra nkammlou : égale c sur sinus de l'angle C. Hedhi la loi du sinus : les côtés proportionnels aux sinus mta3 les angles opposés. »
Théorème
Théorème des bissectrices
Soit ABC un triangle et I le point d'intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A et du côté [BC]. Alors ICIB=ACAB.
La bissectrice partage donc le côté opposé en deux segments proportionnels aux côtés voisins.
Si le triangle ABC n'est pas isocèle en A, la bissectrice extérieure de l'angle A coupe la droite (BC) en un point J, et l'on a de même JCJB=ACAB.
La bissectrice de l'angle A coupe [BC] en I.
la bissectrice intérieureICIB=ACAB
la bissectrice extérieureJCJB=ACAB
Exemple traité
Dans un triangle ABC, on a AB=6,AC=9 et BC=10. La bissectrice intérieure de l'angle A coupe le côté [BC] en I. Calculer IB et IC.
1
Le rapport
D'après le théorème des bissectrices, le rapport de IB à IC est celui de AB à AC.
ICIB=96=32
2
Le partage
Le point I est sur le segment [BC] : la somme de IB et de IC vaut 10. On partage donc 10 en cinq parts égales : deux parts pour IB, trois parts pour IC.
IB=52×10=4;IC=53×10=6
IB=4;IC=6
L’erreur à ne pas faire
✗La bissectrice de l'angle A passe par le milieu de [BC]✓Elle coupe [BC] en un point I tel que ICIB=ACAB
La bissectrice ne passe par le milieu que si les deux côtés A B et A C sont égaux. Sinon, le point I est plus près de B quand A B est plus petit que A C : il se rapproche du plus petit des deux côtés.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Tatbi9 mta3 la loi du sinus : le théorème des bissectrices. Ne5dhou triangle ABC, w la bissectrice intérieure mta3 l'angle A t9oss le côté BC fi point I. En-natija : IB sur IC égale AB sur AC. Ya3ni la bissectrice ta9sem le côté opposé 3la 7asb les côtés elli b7dheha. 3lech ? Ntabb9ou la loi du sinus fi le triangle AIB, w fi le triangle AIC. Les angles BAI w CAI kif kif, w les angles AIB w AIC supplémentaires, donc 3andhom nafs le sinus. W ken le triangle mouch isocèle en A, la bissectrice extérieure t9oss la droite BC fi point J, w nal9aw nafs le rapport : JB sur JC égale AB sur AC. »
Théorème
Loi du sinus et cercle circonscrit
Soit ABC un triangle, Γ son cercle circonscrit, O le centre de Γ et R son rayon. On pose BC=a,AC=b et AB=c. Soit B′ le point diamétralement opposé à B.
Le triangle BB′C est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BB′] : il est rectangle en C. Donc sinBB′C=BB′BC=2Ra.
Les angles BAC et BB′C sont deux angles inscrits qui interceptent la corde [BC] : ils sont égaux lorsque A et B′ sont du même côté de la droite (BC), et supplémentaires sinon. Dans les deux cas, ils ont le même sinus : sinA=2Ra.
Soit ABC un triangle et R le rayon de son cercle circonscrit. On a sinAa=sinBb=sinCc=2R.
Lorsque le triangle est rectangle en A,sinA=1 et l'on retrouve a=2R : l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
Le triangle BB'C est rectangle en C.
R : rayon du cercle circonscritsinAa=sinBb=sinCc=2R
Exemple traité
Soit ABC un triangle. Montrer que ABC est rectangle en A si, et seulement si, le carré du sinus de l'angle A est la somme du carré du sinus de l'angle B et du carré du sinus de l'angle C.
1
Des sinus aux côtés
D'après la loi du sinus, chaque sinus est le côté opposé divisé par deux fois le rayon du cercle circonscrit.
sinA=2Ra;sinB=2Rb;sinC=2Rc
2
Traduire l'égalité
On remplace chaque sinus, puis on multiplie les deux membres par quatre fois le carré du rayon : l'égalité entre les sinus devient une égalité entre les côtés.
sin2A=sin2B+sin2C⟺a2=b2+c2
3
Conclure
D'après le théorème de Pythagore et sa réciproque, cette égalité entre les côtés signifie exactement que le triangle est rectangle en A.
L’erreur à ne pas faire
✗sinAa=R✓sinAa=2R
Le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé est le diamètre du cercle circonscrit, pas son rayon.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Le rapport a sur sinus de l'angle A, chnowa ysewi bedh-dhabt ? Ne5dhou le cercle circonscrit mta3 le triangle ABC, le centre O w le rayon R. W ne5dhou B prime, le point diamétralement opposé à B. Le triangle BB prime C marsoum fi noss cercle, donc houwa rectangle en C : sinus de l'angle BB prime C égale a sur deux R. W les angles BAC w BB prime C ychoufou nafs la corde BC : ya imma kif kif, ya imma supplémentaires, w fel 7altin 3andhom nafs le sinus. Donc : a sur sinus de l'angle A égale deux R. W la loi du sinus twalli : a sur sinus de A, égale b sur sinus de B, égale c sur sinus de C, égale deux R. »
Théorème
Aire d'un triangle
Soit ABC un triangle. On pose a=BC,b=AC et c=AB, et on désigne par S son aire. Soit H le pied de la hauteur issue de C : on a vu que CH=bsinA, et la base correspondante est AB=c. Donc S=21c×CH=21bcsinA.
Soit ABC un triangle. On pose a=BC,b=AC et c=AB.S désigne l'aire de ABC et R désigne le rayon du cercle circonscrit à ABC. On a S=21absinC=21bcsinA=21acsinB.
L'aire est le demi-produit de deux côtés par le sinus de l'angle qu'ils forment.
Comme sinA=2Ra, on obtient aussi S=4Rabc, ce qui complète la loi du sinus :
sinAa=sinBb=sinCc=2R=2Sabc.
La base est c, la hauteur est b sin A.
l'aireS=21bcsinA=21acsinB=21absinC
avec le rayon du cercle circonscritS=4Rabc
Exemple traité
Soit MNP un triangle tel que MN=10,MP=7 et M=100∘. Donner une valeur arrondie à 10−2 près de l'aire de ce triangle.
1
La formule
On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : l'aire est leur demi-produit par le sinus de cet angle.
S=21×10×7×sin100∘=35sin100∘
2
La calculatrice
La calculatrice, réglée en degrés, donne le sinus de 100 degrés : environ 0,9848. C'est aussi le sinus de 80 degrés, son supplémentaire.
S≈35×0,9848≈34,47
S≈34,47
L’erreur à ne pas faire
✗S=21bcsinB✓S=21bcsinA
L'angle de la formule est celui que forment les deux côtés choisis. Les côtés b et c se rejoignent au sommet A.
✗Une aire de 6 avec AB=6 et BC=4 impose B=30∘✓sinB=21, donc B=30∘ ou B=150∘
Deux angles supplémentaires ont le même sinus : l'aire ne suffit pas pour savoir si l'angle est aigu ou obtus.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Net3addew l la mesure des grandeurs, w nabdew b l'aire. L'aire mta3 triangle hiya la base fois la hauteur sur deux. Ne5dhou la base AB, ya3ni c, w la hauteur CH. W chofna elli CH égale b fois sinus de l'angle A. Donc : S égale un demi de b c, fois sinus de l'angle A. Chedd fi belek el 9a3da : zouz côtés, w le sinus mta3 l'angle elli binethom. W kif kif m3a ez-zouz côtés lo5rin. W 5ater sinus de l'angle A égale a sur deux R, nal9aw formule o5ra : S égale a b c sur quatre R. »
Théorème
Théorème d'El-Kashi
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Le théorème d'El-Kashi le généralise à un triangle quelconque.
Théorème d'El-Kashi. Soit ABC un triangle. On pose a=BC,b=AC et c=AB. On a : - a2=b2+c2−2bccosA ; - b2=a2+c2−2accosB ; - c2=b2+a2−2bacosC.
Chaque formule relie un côté aux deux autres et à l'angle opposé à ce côté. Lorsque l'angle A est droit, cosA=0 et l'on retrouve le théorème de Pythagore.
Ce théorème sert dans les deux sens : calculer un côté quand on connaît les deux autres et l'angle qu'ils forment, ou calculer un angle quand on connaît les trois côtés.
On applique Pythagore dans le triangle BHC.
le côté a et l'angle Aa2=b2+c2−2bccosA
le côté b et l'angle Bb2=a2+c2−2accosB
le côté c et l'angle Cc2=b2+a2−2bacosC
Exemple traité
Soit ABC un triangle tel que AB=8,AC=7 et A=120∘. a) Calculer BC. b) Calculer l'aire de ce triangle.
1
Le théorème
On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : le théorème d'El-Kashi donne le carré du troisième côté.
BC2=82+72−2×8×7×cos120∘
2
Le cosinus
Le cosinus de 120 degrés est l'opposé du cosinus de 60 degrés : il vaut moins un demi. Le double produit s'ajoute donc.
BC2=64+49+56=169
3
Le côté
Une longueur est positive : on prend la racine carrée de 169.
BC=13
4
L'aire
L'aire est le demi-produit des deux côtés par le sinus de l'angle qu'ils forment. Le sinus de 120 degrés vaut racine de trois sur deux.
S=21×8×7×23=143
BC=13;S=143
L’erreur à ne pas faire
✗Avec A=120∘ : BC2=64+49−56✓BC2=64+49+56
Le cosinus d'un angle obtus est négatif : moins par moins donne plus. Face à un angle obtus, le côté est plus long que ne le dirait Pythagore.
✗a2=b2+c2 dans tout triangle✓a2=b2+c2−2bccosA
L'égalité de Pythagore ne vaut que si l'angle A est droit. Dans les autres cas, il faut corriger avec le double produit par le cosinus.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Pythagore ye5dem ken fi le triangle rectangle. W fi triangle quelconque ? Hna yji le théorème d'El-Kashi. Nhabbtou la hauteur men C, w ntabb9ou Pythagore fi le triangle BHC. Nal9aw : a au carré égale b au carré plus c au carré, moins deux b c fois cosinus de l'angle A. Chedd fi belek : le côté a w l'angle A 9belet b3adhhom. W kif kif l les deux autres côtés. Ki l'angle A droit, le cosinus zéro, w narj3ou l Pythagore. W rodd belek ki l'angle obtus : le cosinus négatif, donc moins fois moins ya3ti plus. B le théorème hedha na7sbou côté ki na3rfou zouz côtés w l'angle elli binethom, walla na7sbou angle ki na3rfou les trois côtés. »
Application
Exemple : l'aire d'un quadrilatère
Dans la figure, ABCD est un quadrilatère et I est le point d'intersection de ses diagonales. On pose α=AID.
Les diagonales découpent le quadrilatère en quatre triangles de sommet I. Leurs angles en I mesurent α ou π−α : ils ont tous le même sinus, sinα. La somme des quatre aires vaut donc
L'aire du quadrilatère ABCD est égale à 21AC×BD×sinα.
Les diagonales découpent quatre triangles de sommet I.
α : angle des diagonalesaire(ABCD)=21AC×BD×sinα
Exemple traité
Soit ABCD un rectangle de centre O tel que AC=12 et AOB=150∘. Calculer l'aire de ce rectangle, puis sa longueur et sa largeur.
1
L'aire
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur, 12. Elles forment un angle de 150 degrés, dont le sinus vaut un demi.
S=21×12×12×sin150∘=36
2
La longueur
Dans le triangle AOB, on a OA=OB=6 : le théorème d'El-Kashi donne AB. Le cosinus de 150 degrés vaut moins racine de trois sur deux.
AB2=36+36−72cos150∘=72+363
3
La largeur
Dans le triangle BOC, l'angle en O est le supplémentaire de 150 degrés : il mesure 30 degrés.
BC2=36+36−72cos30∘=72−363
4
Les valeurs approchées
On prend les racines carrées : la longueur vaut environ 11,59 et la largeur environ 3,11. Leur produit redonne bien l'aire, 36.
AB=62+3≈11,59;BC=62−3≈3,11
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ntabb9ou la formule mta3 l'aire 3la quadrilatère. 3andna quadrilatère ABCD, w les diagonales yet9at3ou fi I, w nsammiw alpha l'angle AID. Les diagonales ya9smou le quadrilatère l quatre triangles, el koll 3andhom sommet I. W les angles fi I, ya alpha ya pi moins alpha : ya3ni el koll 3andhom nafs le sinus. Njam3ou les quatre aires, w n5arrjou un demi de sinus de alpha en facteur. Nal9aw : l'aire égale un demi de AC fois BD, fois sinus de alpha. Ya3ni yekfi ta3ref ez-zouz diagonales w l'angle elli binethom. »
Application
Un problème pour aller plus loin : carré et triangle équilatéral
Dans la figure, ABCD est un carré de côté a et EBC est un triangle équilatéral, construit à l'intérieur du carré. On cherche l'angle BAE, puis les valeurs exactes de son cosinus et de son sinus.
L'angle ABC est droit et l'angle EBC mesure 60∘ : donc ABE=30∘. Le triangle ABE est isocèle en B, car BA=BE=a : ses deux angles à la base sont égaux, et BAE=75∘.
Le théorème d'El-Kashi, appliqué dans le triangle ABE, donne ensuite AE. On en tire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de 75 degrés.
ABE est isocèle en B.
par El-KashiAE2=a2(2−3)
les valeurs exactescos75∘=22−3;sin75∘=22+3
Exemple traité
Dans la figure, ABCD est un carré de côté a et EBC est un triangle équilatéral. a) Calculer l'angle ABE, puis l'angle BAE. b) Montrer que le carré de la longueur AE est égal au carré du côté a du carré, multiplié par (2−3). c) En déduire le cosinus, puis le sinus, de l'angle BAE.
1
Les angles
On retire 60 degrés à l'angle droit du carré. Puis, dans le triangle ABE, isocèle en B, les deux angles à la base se partagent ce qui reste de 180 degrés.
ABE=90∘−60∘=30∘;BAE=2180∘−30∘=75∘
2
Le côté AE
Dans le triangle ABE, on connaît les côtés BA et BE, égaux au côté a du carré, et l'angle qu'ils forment : on applique le théorème d'El-Kashi.
AE2=a2+a2−2a2cos30∘=a2(2−3)
3
Le cosinus
Le triangle ABE est isocèle en B : la hauteur issue de B passe par le milieu de [AE]. Le cosinus de l'angle BAE est donc la moitié de AE, divisée par AB.
cosBAE=2ABAE=22−3
4
Le sinus
D'après la première relation fondamentale, le carré du sinus vaut un moins le carré du cosinus, et ce sinus est positif.
sin2BAE=1−42−3=42+3
cos75∘=22−3;sin75∘=22+3
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Hedha problème yjamma3 barcha 7ajet. 3andna carré ABCD, le côté mte3ou a, w fi wostou triangle équilatéral EBC. N7ebbou na3rfou l'angle BAE. L'angle ABC droit, w l'angle EBC fih soixante degrés : donc l'angle ABE fih trente degrés. W le triangle ABE isocèle en B, 5ater BA w BE ysewiw le côté a du carré : donc l'angle BAE fih soixante-quinze degrés. Tawa ntabb9ou le théorème d'El-Kashi fi le triangle ABE, w nal9aw AE. W men AE ntalla3ou les valeurs exactes mta3 cosinus w sinus de soixante-quinze degrés, elli mouch angle remarquable. »
Définition
Triangles isométriques
Définition. On dit que deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux égaux.
Pour reconnaître deux triangles isométriques, il n'est pas nécessaire de comparer les trois côtés : trois informations bien choisies suffisent.
1ᵉʳ cas d'isométrie. Si deux triangles ont un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques. 2ᵉ cas d'isométrie. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques. 3ᵉ cas d'isométrie. Si deux triangles ont trois côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
Le troisième cas est la définition elle-même. Les deux premiers se démontrent avec la loi du sinus et le théorème d'El-Kashi. Dans le deuxième cas, El-Kashi donne le troisième côté à partir des deux côtés et de l'angle qu'ils forment. Dans le premier, les troisièmes angles sont égaux eux aussi, et la loi du sinus donne les deux autres côtés à partir du côté connu.
Deux triangles isométriques ont aussi leurs angles deux à deux égaux.
Les triangles BHC et CKB sont isométriques.
Exemple traité
Soit ABC un triangle isocèle en A. On désigne par [BH] et [CK] les hauteurs issues de B et de C. Montrer que BH=CK, puis que CH=BK.
1
Deux triangles
On compare les triangles BHC et CKB. Ils ont le côté [BC] en commun.
2
Les angles
Le triangle ABC est isocèle en A : les angles à la base HCB et KBC sont égaux. Chacun des deux triangles a aussi un angle droit, en H et en K : leurs troisièmes angles sont donc égaux.
HCB=KBC;HBC=KCB
3
Le premier cas
Le côté [BC] est compris entre deux angles respectivement égaux : d'après le premier cas d'isométrie, les triangles BHC et CKB sont isométriques.
4
Les côtés égaux
Dans deux triangles isométriques, les côtés situés en face des angles égaux sont égaux.
BH=CK;CH=BK
BH=CK;CH=BK
L’erreur à ne pas faire
✗Deux triangles qui ont leurs trois angles égaux sont isométriques✓Ils sont seulement semblables
Trois angles égaux donnent la même forme, pas la même taille. Pour l'isométrie, il faut au moins un côté égal.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Zouz triangles isométriques, ma3neha les côtés mte3hom kif kif, zouz zouz : ya3ni tnajjem t7ott we7ed fou9 le5er. Ama bech ta3rafhom, ma yelzmekch tthabbet fi les trois côtés. 3andna trois cas d'isométrie. Le premier cas : côté égal, bin deux angles égaux. Le deuxième cas : angle égal, bin deux côtés égaux. W le troisième cas : les trois côtés égaux. Le premier w le deuxième nbarhnouhom b la loi du sinus w le théorème d'El-Kashi. W rodd belek : trois angles égaux ma yekfiwch, ya3tiwek nafs ech-chakl bark, mouch nafs el 9yes. »
Définition
Triangles semblables
Soient ABC et A′B′C′ deux triangles. On pose BC=a,AC=b,AB=c,B′C′=a′,A′C′=b′ et A′B′=c′.
Définition. On dit que les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables si, et seulement si, A=A′,B=B′ et C=C′.
Si ABC et A′B′C′ sont semblables, alors a′a=b′b=c′c. Ce rapport est appelé rapport de similitude des deux triangles.
Deux réciproques permettent de reconnaître des triangles semblables :
Si A=A′ et c′c=b′b, alors ABC et A′B′C′ sont semblables. Si a′a=b′b=c′c, alors ABC et A′B′C′ sont semblables.
En pratique, comme la somme des angles d'un triangle vaut π, deux angles respectivement égaux suffisent : le troisième l'est alors aussi.
Les triangles ABH et CAH sont semblables.
triangles semblablesA=A′,B=B′,C=C′
le rapport de similitudea′a=b′b=c′c
Exemple traité
Soit ABC un triangle rectangle en A et [AH] la hauteur issue de A. a) Montrer que les triangles ABH et CAH sont semblables. b) En déduire que AH2=HB×HC.
1
Deux angles égaux
Les deux triangles sont rectangles en H. De plus, l'angle ABH et l'angle CAH sont tous les deux complémentaires de l'angle C : ils sont égaux.
AHB=CHA;ABH=CAH
2
Triangles semblables
Deux angles sont respectivement égaux, donc le troisième aussi : les triangles ABH et CAH sont semblables.
3
Les côtés proportionnels
Les côtés situés en face des angles égaux sont proportionnels.
CHAH=AHBH=CAAB
4
Le produit en croix
On fait le produit en croix avec les deux premiers rapports.
AH2=HB×HC
AH2=HB×HC
L’erreur à ne pas faire
✗Deux triangles semblables ont les mêmes longueurs✓Ils ont les mêmes angles, et des côtés proportionnels
Semblable veut dire même forme. Les longueurs sont toutes multipliées par un même nombre, le rapport de similitude. Elles ne sont égales que si ce rapport vaut un.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Zouz triangles semblables, ma3neha les angles mte3hom kif kif : l'angle A égale l'angle A prime, l'angle B égale l'angle B prime, w l'angle C égale l'angle C prime. Ya3ni nafs ech-chakl, ama mouch bedh-dharoura nafs el 9yes. W en-natija el mohemma : les côtés proportionnels. a sur a prime, égale b sur b prime, égale c sur c prime. Le rapport hedha nsammiwh le rapport de similitude. W bel3aks : ken les côtés proportionnels, les triangles semblables. W zeda, ken 3andhom angle égal bin deux côtés proportionnels. Fel 5edma, yekfi tal9a deux angles égaux : le troisième yji wa7dou, 5ater la somme mta3 les angles hiya pi. »
Théorème
Relations métriques dans un triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle en A et soit H le pied de la hauteur issue de A. On a : - BC2=AB2+AC2 ; - AH×BC=AB×AC ; - AH2=HB×HC ; - AB2=BH×BC ; - AC2=CH×CB.
D'où viennent-elles ? La deuxième exprime de deux façons l'aire du triangle : 21AB×AC et 21AH×BC. Les trois dernières viennent de triangles semblables : ABH et CAH pour la troisième, ABC et HBA pour la quatrième, ABC et HAC pour la cinquième.
En ajoutant les deux dernières, on retrouve le théorème de Pythagore : AB2+AC2=BC×(BH+CH)=BC2.
Le triangle de côtés 3, 4 et 5 et sa hauteur.
avec l'aireAH×BC=AB×AC
la hauteurAH2=HB×HC
les côtés de l'angle droitAB2=BH×BC;AC2=CH×CB
Exemple traité
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB=3 et AC=4. Calculer BC,AH,BH et CH, où H est le pied de la hauteur issue de A.
1
L'hypoténuse
Le théorème de Pythagore donne l'hypoténuse.
BC=32+42=25=5
2
La hauteur
Le produit de la hauteur par l'hypoténuse est égal au produit des deux côtés de l'angle droit.
AH=BCAB×AC=512=2,4
3
Le segment BH
Le carré de AB est le produit de BH par l'hypoténuse.
BH=BCAB2=59=1,8
4
Le segment CH
De même, le carré de AC est le produit de CH par l'hypoténuse. On vérifie que la somme des deux segments redonne bien 5.
CH=BCAC2=516=3,2
BC=5;AH=2,4;BH=1,8;CH=3,2
L’erreur à ne pas faire
✗AB2=BH×HC✓AB2=BH×BC
Le produit des deux segments de l'hypoténuse donne le carré de la hauteur. Pour un côté de l'angle droit, on multiplie son segment par l'hypoténuse entière.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Narj3ou l le triangle rectangle, w njam3ou les relations métriques. 3andna triangle ABC rectangle en A, w H le pied de la hauteur issue de A. 3andna Pythagore : BC au carré égale AB au carré plus AC au carré. Ba3d, l'aire na7sbouha b zouz tor9, w nal9aw : AH fois BC égale AB fois AC. W b les triangles semblables nal9aw trois relations o5rin. AH au carré égale HB fois HC. AB au carré égale BH fois BC. W AC au carré égale CH fois CB. Chedd fi belek : le carré de la hauteur houwa le produit mta3 ez-zouz segments, w le carré mta3 côté houwa le segment elli b7dheh fois l'hypoténuse el koll. »
Application
Un problème pour aller plus loin : la formule de Héron
Soit ABC un triangle. On pose BC=a,AC=b et AB=c. On désigne par p son demi-périmètre, c'est-à-dire 2p=a+b+c, et par S son aire.
Formule de Héron d'Alexandrie.S=p(p−a)(p−b)(p−c).
Elle donne l'aire à partir des trois côtés seulement, sans aucun angle.
L'idée de la démonstration. On part de S=21absinC, donc 4S2=a2b2sin2C=a2b2(1−cos2C). Le théorème d'El-Kashi donne 2abcosC=a2+b2−c2, et les identités remarquables conduisent à
(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)=4a2b2sin2C.
Comme a+b+c=2p,a+b−c=2(p−c),b+c−a=2(p−a) et c+a−b=2(p−b), le membre de gauche vaut 16p(p−a)(p−b)(p−c). Le membre de droite vaut 16S2 : d'où S2=p(p−a)(p−b)(p−c).
le demi-périmètrep=2a+b+c
la formule de HéronS=p(p−a)(p−b)(p−c)
Exemple traité
Calculer l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent 5,7 et 8.
1
Le demi-périmètre
On ajoute les trois côtés, puis on divise par 2.
p=25+7+8=10
2
Les trois écarts
On retire chaque côté au demi-périmètre.
p−a=5;p−b=3;p−c=2
3
La formule
On multiplie les quatre nombres, puis on prend la racine carrée.
S=10×5×3×2=300=103
S=103
L’erreur à ne pas faire
✗Pour les côtés 5,7 et 8 : p=20✓p=10
Dans la formule de Héron, p est le demi-périmètre : la moitié de la somme des trois côtés.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Ki ta3ref les trois côtés mta3 triangle, w ma ta3ref 7atta angle, kifech te7seb l'aire ? B la formule de Héron. Nsammiw p le demi-périmètre, ya3ni noss la somme mta3 les trois côtés. W l'aire hiya : racine carrée du produit de p, par la parenthèse p moins a, par la parenthèse p moins b, et par la parenthèse p moins c. Mnin tji ? Nabdew men l'aire égale un demi de a b fois sinus de l'angle C, w n3awdhou le cosinus b le théorème d'El-Kashi, w les identités remarquables ykammlou el 5edma. Mathalan, triangle les côtés mte3ou cinq, sept w huit : p égale dix, w l'aire égale racine carrée de trois cents, ya3ni dix racine carrée de trois. »
Remarque
Pour la culture : le nombre π
Depuis l'Antiquité, les mathématiciens ont remarqué que tous les cercles ont quelque chose en commun : le rapport entre le périmètre et le diamètre est fixe. Ce rapport est donné par le réel π.
π n'est pas un rationnel. La recherche de ses décimales a toujours été un enjeu pour la science :
une décimale exacte pour les Babyloniens et les Égyptiens, 2000 ans avant J.-C. ;
3 décimales exactes pour Archimède, 250 ans avant J.-C. ;
16 décimales exactes pour Al-Kashi, mort vers 1430 ;
100 décimales pour Machin en 1706 ;
1000 décimales en 1949 ;
un million de décimales en 1973.
Aujourd'hui, à l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, on peut déterminer des milliards de décimales de π.
Al-Kashi Jamsheddine, mort vers 1430 à Samarcande, est l'un des grands savants arabes, astronome et mathématicien. Il a dirigé pendant de longues années l'observatoire de Samarcande et il a établi des tables astronomiques d'une extraordinaire précision. Son ouvrage le plus célèbre est « Mifteh El Hissab », La clef de l'arithmétique.
Tu pourras lui demander de l’expliquer autrement, ou plus simplement.
« Nkammlou b chwaya tari5. Men 9dim ez-zmen, el 3olama le7dhou elli les cercles el koll 3andhom 7aja kif kif : le rapport bin le périmètre w le diamètre dima houwa houwa. Le rapport hedha houwa le nombre pi. W pi mouch rationnel : les décimales mte3ou ma toufech w ma yet3awdouch. Archimède l9a trois décimales exactes. W Al-Kashi, 3alem kbir met 7awali 3am mille quatre cent trente fi Samarcande, l9a seize décimales exactes. W houwa zeda moula le théorème elli chofneh lyoum. W tawa, b les ordinateurs, na3rfou des milliards de décimales. »
À retenir
1.
Sur le demi-cercle trigonométrique, le point M tel que AOM=α a pour coordonnées (cosα,sinα) ; −1≤cosα≤1 et 0≤sinα≤1.
2.
Angles supplémentaires : cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=sinx. Angles complémentaires : cos(2π−x)=sinx et sin(2π−x)=cosx.
3.
tanα=cosαsinα pour α=2π ; cotα=sinαcosα pour 0<α<π.
4.
Relations fondamentales : cos2x+sin2x=1,1+tan2x=cos2x1 et 1+cot2x=sin2x1.
5.
Loi du sinus : sinAa=sinBb=sinCc=2R.
6.
Aire d'un triangle : S=21bcsinA=4Rabc.
7.
Théorème d'El-Kashi : a2=b2+c2−2bccosA.
8.
Triangles isométriques : côtés deux à deux égaux. Triangles semblables : angles deux à deux égaux, donc côtés proportionnels.
9.
Triangle rectangle en A, de hauteur [AH] : AH2=HB×HC,AB2=BH×BC,AC2=CH×CB et AH×BC=AB×AC.
Les exercices
À toi, au tableau
Il écrit, tu réponds — à l’écrit ou à la voix. Il corrige avec ses mots, pas avec un message d’erreur.
Comprendre
Application directe du cours, une seule idée à la fois.
0/25
S'entraîner
Les exercices classiques du programme.
0/38
Raisonner
Plusieurs étapes à enchaîner, il faut chercher.
0/27
Aller plus loin
On combine plusieurs notions du chapitre.
0/15
Où tu en es
Ta progression
Gardée sur cet appareil, sans compte.
Ta progression
0 %
0/28
Cours lu
0/105
Entraînement
—
Séance
0
Erreurs
Rien de commencé pour l’instant. Ta progression reste sur cet appareil — aucun compte, rien n’est envoyé.
Le cours, ses formules, et la correction des exercices que tu as travaillés.
Maths à la carte — Trigonométrie et mesure des grandeurs · Pr Abdelkader Hammami
Trigonométrie et mesure des grandeurs
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Ce que tu dois savoir faire
Définir le cosinus et le sinus d'un réel de [0,π]
Utiliser les angles supplémentaires et complémentaires, la tangente et la cotangente
Utiliser les relations fondamentales
Appliquer la loi du sinus, la formule de l'aire et le théorème d'El-Kashi
Reconnaître des triangles isométriques ou semblables, utiliser les relations métriques
Rappels
L'année dernière, on a défini le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Dans un triangle ABC rectangle en A :
cosC=BCAC,sinC=BCAB,tanC=ACAB.
On connaît aussi les valeurs pour trois angles remarquables :
Angle α (en radians)
6π
4π
3π
Angle α (en degrés)
30∘
45∘
60∘
cosα
23
22
21
sinα
21
22
23
tanα
33
1
3
Enfin, dans un repère orthonormé (O,i,j), le point M(x,y) a pour symétriques M′(x,−y) par rapport à l'axe des abscisses, M′′(−x,y) par rapport à l'axe des ordonnées, et N(−x,−y) par rapport à O. Le deuxième sert pour les angles supplémentaires.
Cinq triangles rectangles dans une seule figure.
cosC=hypoteˊnusecoˆteˊ adjacent
sinC=hypoteˊnusecoˆteˊ opposeˊ
tanC=coˆteˊ adjacentcoˆteˊ opposeˊ
Le piège
✗cosC=hypoteˊnusecoˆteˊ opposeˊ
✓cosC=hypoteˊnusecoˆteˊ adjacent
Le cosinus prend le côté qui touche l'angle, le sinus prend le côté d'en face. Les deux se divisent par l'hypoténuse.
Pour comprendre : le demi-cercle trigonométrique
Soit (O,OA,OB) un repère orthonormé du plan et A′ le symétrique de A par rapport à O. On désigne par C le demi-cercle de diamètre [AA′] qui contient le point B. Ce demi-cercle est appelé demi-cercle trigonométrique. Son rayon vaut 1, et A(1,0), B(0,1), A′(−1,0).
Soit I le point de C tel que IOA=6π. On projette I sur la droite (OA) : on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse OI=1, donc l'abscisse de I est cos6π et son ordonnée est sin6π.
I(23,21)
Le symétrique I′ de I par rapport à la droite (OB) est encore sur C : il a la même ordonnée et l'abscisse opposée, et l'angle I′OA mesure π−6π=65π.
Plus généralement, pour chaque réel α de l'intervalle [0,π], il existe un seul point M du demi-cercle C tel que AOM=α. Sur C, il y a un seul point d'abscisse 0,8, mais deux points d'ordonnée 0,5.
I et I' ont la même ordonnée et des abscisses opposées.
A(1,0);B(0,1);A′(−1,0)
I(23,21);I′(−23,21)
Le piège
✗Sur le demi-cercle, il y a un seul point d'ordonnée 0,5
✓Il y en a deux : l'un à droite de (OB), l'autre à gauche
Deux points symétriques par rapport à la droite (OB) ont la même ordonnée. C'est l'abscisse qui les distingue.
Cosinus et sinus d'un réel
Soit (O,OA,OB) un repère orthonormé du plan. Soit α un réel appartenant à [0,π] et soit M l'unique point du demi-cercle trigonométrique C tel que AOM=α.
- On appelle cosinus du réel α l'abscisse du point M, et on le note cosα.
- On appelle sinus du réel α l'ordonnée du point M, et on le note sinα.
On lit tout de suite quelques valeurs sur le demi-cercle :
M=A pour α=0 : cos0=1 et sin0=0 ;
M=B pour α=2π : cos2π=0 et sin2π=1 ;
M=A′ pour α=π : cosπ=−1 et sinπ=0.
Comme M reste sur le demi-cercle, pour tout réel α de l'intervalle [0,π] : −1≤cosα≤1 et 0≤sinα≤1.
L'abscisse de M est cos α, son ordonnée est sin α.
M(cosα,sinα)
−1≤cosα≤1et0≤sinα≤1
Le piège
✗Pour α dans l'intervalle fermé [0,π], cosα est toujours positif
✓cosα<0 dès que α dépasse 2π
Quand l'angle est obtus, le point M passe à gauche de la droite (OB) : son abscisse est négative. Le sinus, lui, reste positif.
Le piège
✗cos2π=1 et sin2π=0
✓cos2π=0 et sin2π=1
Pour l'angle droit, le point M est en B, de coordonnées zéro et un : l'abscisse donne le cosinus, l'ordonnée donne le sinus.
Pour comprendre : le triangle rectangle
Soit OPM un triangle rectangle en P, et A un point du segment [OP], distinct de O et de P. On munit le plan du repère orthonormé (O,OA,OB), où B est du même côté que M par rapport à la droite (OP), et on trace le demi-cercle trigonométrique C.
Le demi-cercle C coupe la droite (OM) en un point N. On note N′ le projeté orthogonal de N sur (OP) : les droites (NN′) et (MP) sont parallèles, et d'après le théorème de Thalès dans le triangle OPM,
OPON′=MPNN′=OMON=OM1.
L'abscisse du point N est donc égale à OMOP, et son ordonnée à OMMP.
Autrement dit, pour un angle aigu, la nouvelle définition redonne exactement celle du triangle rectangle : le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse, le sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse.
N est le point du demi-cercle sur la droite (OM).
cosPOM=OMOP;sinPOM=OMMP
Angles supplémentaires
Soit α un réel de l'intervalle [0,π] et M le point du demi-cercle trigonométrique tel que AOM=α. On désigne par M′ le symétrique de M par rapport à la droite (OB).
La symétrie conserve les angles : A′OM′=AOM=α, donc AOM′=π−α. Le point M′ est le point du demi-cercle associé au réel π−α.
Or M a pour coordonnées (cosα,sinα), et son symétrique M′ a la même ordonnée et l'abscisse opposée : M′(−cosα,sinα). On en déduit :
Pour tout réel x appartenant à [0,π], on a cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=sinx.
Deux angles supplémentaires ont donc le même sinus et des cosinus opposés.
M et M' ont la même ordonnée et des abscisses opposées.
cos(π−x)=−cosx
sin(π−x)=sinx
Le piège
✗sin(π−x)=−sinx
✓sin(π−x)=sinx
Les points M et M prime sont à la même hauteur : ils ont la même ordonnée. C'est le cosinus, l'abscisse, qui change de signe.
Exemple : une somme de cosinus
On veut calculer, sans utiliser la calculatrice,
cos8π+cos83π+cos85π+cos87π.
Aucun de ces cosinus n'est une valeur remarquable. Mais les angles vont par paires de somme π : 8π+87π=π et 83π+85π=π. Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés : chaque paire donne 0.
cos(π−x)+cosx=0
Angles complémentaires
Soit α un réel de l'intervalle [0,2π], et M et N les points de l'arc AB⌢ du demi-cercle trigonométrique tels que AOM=α et BON=α. Alors AON=2π−α.
Soit M′ le projeté orthogonal de M sur (OA) et N′ le projeté orthogonal de N sur (OB). Les triangles OMM′ et ONN′ sont rectangles, ont la même hypoténuse OM=ON=1 et le même angle α en O : ils sont superposables. Donc OM′=ON′ et MM′=NN′.
Or OM′=cosα et MM′=sinα, tandis que ON′ est l'ordonnée de N et NN′ son abscisse. On en déduit :
Pour tout x appartenant à [0,2π], on a cos(2π−x)=sinx et sin(2π−x)=cosx.
Deux angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
Les triangles OMM' et ONN' sont superposables.
cos(2π−x)=sinx
sin(2π−x)=cosx
Le piège
✗cos(2π−x)=−cosx
✓cos(2π−x)=sinx
Le signe moins vient des angles supplémentaires, ceux dont la somme vaut pi. Pour deux angles complémentaires, dont la somme vaut pi sur deux, le sinus et le cosinus s'échangent.
Tangente et cotangente
Soit α un réel appartenant à l'intervalle [0,π] et tel que α=2π. On appelle tangente du réel α le réel noté tanα et défini par tanα=cosαsinα.
Soit α un réel appartenant à l'intervalle ]0,π[. On appelle cotangente du réel α le réel noté cotα et défini par cotα=sinαcosα.
La tangente n'existe pas pour α=2π, car cos2π=0. La cotangente n'existe ni pour α=0 ni pour α=π, car le sinus y est nul.
Quand les deux existent, la cotangente est l'inverse de la tangente. Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le côté opposé sur le côté adjacent, et sa cotangente est le côté adjacent sur le côté opposé.
Un triangle de côtés 5, 12 et 13.
tanα=cosαsinα(α=2π)
cotα=sinαcosα(0<α<π)
Le piège
✗tan2π=0
✓tan2π n'existe pas
Le cosinus de pi sur deux vaut zéro, et on ne divise pas par zéro. C'est la cotangente de pi sur deux qui vaut zéro.
Le piège
✗tanα=sinαcosα
✓tanα=cosαsinα
La tangente met le sinus en haut. Le cosinus en haut, c'est la cotangente.
Pour comprendre : lire tangente et cotangente
Soit (O,OA,OB) un repère orthonormé du plan et C le demi-cercle trigonométrique. On désigne par D et D′ les tangentes à C en A et en B, et par I leur point d'intersection. On munit la droite D du repère (A,AI) et la droite D′ du repère (B,BI).
Soit α un réel de l'intervalle ]0,π[ tel que α=2π, et M le point de C tel que AOM=α. On note P et Q les projetés orthogonaux de M sur (OA) et sur (OB) : cosα=OP et sinα=OQ.
La droite (OM) coupe D en un point T. Les droites (PM) et (AT) sont parallèles : d'après le théorème de Thalès dans le triangle OAT, PMAT=OPOA, donc AT=cosαsinα.
De même, la droite (OM) coupe D′ en un point T′, et BT′=sinαcosα.
La tangente se lit donc sur la droite D, et la cotangente sur la droite D′.
tan α se lit sur D, cot α se lit sur D'.
tanα=AT
cotα=BT′
Le piège
✗Pour un angle obtus, le point T est au-dessus de A
✓Pour un angle obtus, le point T est en dessous de A
La tangente d'un angle obtus est négative : le sinus est positif et le cosinus négatif. La droite (OM), prolongée, coupe D sous le point A.
Lignes trigonométriques des angles remarquables
Les angles supplémentaires et les valeurs lues sur le demi-cercle complètent le tableau de l'année dernière :
α
0
6π
4π
3π
2π
π
sinα
0
21
22
23
1
0
cosα
1
23
22
21
0
−1
tanα
0
33
1
3
n'existe pas
0
cotα
n'existe pas
3
1
33
0
n'existe pas
Pour les angles obtus 32π, 43π et 65π, on passe par le supplémentaire : même sinus, cosinus opposé.
Ce tableau se lit aussi à l'envers, pour retrouver un réel x de l'intervalle [0,π] à partir de son cosinus ou de son sinus. Un cosinus donne un seul réel ; un sinus strictement compris entre 0 et 1 en donne deux, supplémentaires.
cos6π=sin3π=23
cos4π=sin4π=22
cos3π=sin6π=21
Le piège
✗Dans l'intervalle fermé [0,π], sinx=23 donne seulement x=3π
✓x=3π ou x=32π
Deux angles supplémentaires ont le même sinus. Il faut toujours penser au deuxième point du demi-cercle, celui qui a la même ordonnée.
Relations fondamentales
Pour tout réel x appartenant à [0,π], on a cos2x+sin2x=1.
Pour tout réel x appartenant à [0,π] tel que x=2π, on a 1+tan2x=cos2x1.
Pour tout réel x appartenant à ]0,π[, on a 1+cot2x=sin2x1.
Une convention d'écriture. On écrit cos2x, sin2x, tan2x et cot2x au lieu de (cosx)2, (sinx)2, (tanx)2 et (cotx)2.
Ces relations lient les quatre rapports d'un même réel : dès qu'on en connaît un, on peut calculer les autres.
cos2x+sin2x=1
1+tan2x=cos2x1
1+cot2x=sin2x1
Le piège
✗sinx=53 donne toujours cosx=54
✓cosx=54 si x est aigu, cosx=−54 si x est obtus
La relation fondamentale ne donne que le carré du cosinus. Pour choisir le signe, il faut savoir si l'angle est aigu ou obtus.
Le piège
✗cos2x=cos(x2)
✓cos2x=(cosx)2
C'est une convention d'écriture : on calcule d'abord le cosinus, puis on élève le résultat au carré.
D'un rapport aux trois autres
Quand on connaît un seul des quatre nombres cosx, sinx, tanx et cotx, les relations fondamentales donnent les trois autres.
On choisit la relation qui contient le rapport connu : elle donne le carré d'un autre rapport.
On choisit le signe. Sur [0,π], le sinus est toujours positif. Le cosinus, la tangente et la cotangente ont le même signe : positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus.
On termine avec tanx=cosxsinx, écrit au besoin sinx=tanx×cosx, ou avec cosx=cotx×sinx.
sinx=tanx×cosx
cosx=cotx×sinx
Le piège
✗tanα=10 donne sinα=10 et cosα=1
✓cosα=101101 et sinα=10110101
Un sinus ne dépasse jamais un. La tangente est seulement le quotient du sinus par le cosinus : il faut la relation fondamentale pour les séparer.
Tangente et cotangente : angles complémentaires et supplémentaires
Angles complémentaires.
Pour tout x appartenant à ]0,2π], on a tan(2π−x)=cotx.
Pour tout x appartenant à [0,2π[, on a cot(2π−x)=tanx.
Angles supplémentaires.
Pour tout réel x appartenant à [0,π] tel que x=2π, on a tan(π−x)=−tanx.
Pour tout réel x appartenant à ]0,π[, on a cot(π−x)=−cotx.
Deux angles complémentaires échangent leur tangente et leur cotangente ; deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées et des cotangentes opposées.
tan(2π−x)=cotx;cot(2π−x)=tanx
tan(π−x)=−tanx;cot(π−x)=−cotx
Le piège
✗tan(π−x)=tanx
✓tan(π−x)=−tanx
En passant au supplémentaire, le sinus ne change pas mais le cosinus change de signe : leur quotient change donc de signe.
Un problème pour aller plus loin : cosinus de π/8
L'angle 8π n'est pas un angle remarquable. On peut pourtant trouver les valeurs exactes de son cosinus, de son sinus et de sa tangente, en faisant apparaître son double, 4π.
On construit un triangle ABC rectangle en A tel que BC=8 et B=8π. Soit H le pied de la hauteur issue de A et O le milieu de [BC].
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets : OA=OB=OC=4. Le triangle OAB est donc isocèle en O : OAB=OBA=8π, et AOB=π−4π=43π. L'angle AOH est son supplémentaire : il mesure 4π.
Le triangle AOH a donc pour angles 4π, 2π et 4π : il est rectangle et isocèle en H. C'est lui qui donne les longueurs.
Une fois ces valeurs trouvées, les angles complémentaires donnent celles de 83π, et les angles supplémentaires celles de 87π.
Le triangle AOH est rectangle et isocèle.
cos8π=22+2
sin8π=22−2
tan8π=2−1
Pour comprendre : la hauteur
Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.
Dans le triangle ABC, l'angle B est le complémentaire de l'angle C. Dans le triangle AHC, rectangle en H, l'angle CAH est lui aussi le complémentaire de l'angle C. Donc B=CAH.
On écrit alors la tangente de ce même angle dans deux triangles rectangles :
dans le triangle AHB : tanB=HBAH ;
dans le triangle AHC : tanCAH=AHHC.
Les deux quotients sont égaux : HBAH=AHHC, d'où AH2=HB×HC.
L'angle B et l'angle CAH sont égaux.
B=CAH
AH2=HB×HC
Le piège
✗AH=HB×HC
✓AH2=HB×HC
C'est le carré de la hauteur qui est égal au produit. Avec trois et douze, la hauteur vaut six, et non trente-six.
Construire un angle
Connaître un seul rapport trigonométrique d'un angle suffit pour le construire.
Avec le cosinus. Sur le demi-cercle trigonométrique, on place le point P du diamètre [A′A] d'abscisse cosα. La perpendiculaire à (OA) passant par P coupe le demi-cercle en un seul point M, et AOM=α. Si le cosinus est négatif, l'angle est obtus.
Avec le sinus. On place le point Q du segment [OB] d'ordonnée sinα. La parallèle à (OA) passant par Q coupe le demi-cercle en deux points : l'un donne un angle aigu, l'autre l'angle obtus supplémentaire (sauf si le sinus vaut 1 : il n'y a alors qu'un seul point, B). Il faut donc savoir lequel on veut.
Avec la tangente. Si tanα=qp avec p et q positifs, on construit un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent p et q : α est l'angle opposé au côté de longueur p. Si la tangente est négative, on construit l'angle de tangente opposée, puis on prend son supplémentaire.
On peut aussi construire directement un triangle rectangle : pour cosα=54, un côté de l'angle droit de longueur 4 et une hypoténuse de longueur 5.
Deux angles de sinus 0,35 : un aigu, un obtus.
Le piège
✗Pour tanα=34, on prend un côté opposé de 3 et un côté adjacent de 4
✓Côté opposé 4, côté adjacent 3
La tangente est le côté opposé sur le côté adjacent : le numérateur va en face de l'angle.
La loi du sinus
Soit ABC un triangle. On pose BC=a, AC=b et AB=c : chaque côté porte la lettre minuscule du sommet qui lui est opposé.
Soit H le pied de la hauteur issue de C. Dans le triangle AHC, rectangle en H, CH=bsinA. Dans le triangle BHC, rectangle en H, CH=asinB. Si l'un de ces deux angles est obtus, on raisonne avec son supplémentaire, qui a le même sinus.
On a donc bsinA=asinB, c'est-à-dire sinAa=sinBb. En recommençant avec une autre hauteur, on obtient :
Loi du sinus. Soit ABC un triangle. On pose a=BC, b=AC et c=AB. On a sinAa=sinBb=sinCc.
Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
La hauteur CH se calcule de deux façons.
sinAa=sinBb=sinCc
Le piège
✗sinBa=sinAb
✓sinAa=sinBb
Chaque côté va avec le sinus de l'angle qui est en face de lui : le côté a est en face du sommet A.
Théorème des bissectrices
Soit ABC un triangle et I le point d'intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A et du côté [BC]. Alors ICIB=ACAB.
La bissectrice partage donc le côté opposé en deux segments proportionnels aux côtés voisins.
Si le triangle ABC n'est pas isocèle en A, la bissectrice extérieure de l'angle A coupe la droite (BC) en un point J, et l'on a de même JCJB=ACAB.
La bissectrice de l'angle A coupe [BC] en I.
ICIB=ACAB
JCJB=ACAB
Le piège
✗La bissectrice de l'angle A passe par le milieu de [BC]
✓Elle coupe [BC] en un point I tel que ICIB=ACAB
La bissectrice ne passe par le milieu que si les deux côtés A B et A C sont égaux. Sinon, le point I est plus près de B quand A B est plus petit que A C : il se rapproche du plus petit des deux côtés.
Loi du sinus et cercle circonscrit
Soit ABC un triangle, Γ son cercle circonscrit, O le centre de Γ et R son rayon. On pose BC=a, AC=b et AB=c. Soit B′ le point diamétralement opposé à B.
Le triangle BB′C est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BB′] : il est rectangle en C. Donc sinBB′C=BB′BC=2Ra.
Les angles BAC et BB′C sont deux angles inscrits qui interceptent la corde [BC] : ils sont égaux lorsque A et B′ sont du même côté de la droite (BC), et supplémentaires sinon. Dans les deux cas, ils ont le même sinus : sinA=2Ra.
Soit ABC un triangle et R le rayon de son cercle circonscrit. On a sinAa=sinBb=sinCc=2R.
Lorsque le triangle est rectangle en A, sinA=1 et l'on retrouve a=2R : l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
Le triangle BB'C est rectangle en C.
sinAa=sinBb=sinCc=2R
Le piège
✗sinAa=R
✓sinAa=2R
Le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé est le diamètre du cercle circonscrit, pas son rayon.
Aire d'un triangle
Soit ABC un triangle. On pose a=BC, b=AC et c=AB, et on désigne par S son aire. Soit H le pied de la hauteur issue de C : on a vu que CH=bsinA, et la base correspondante est AB=c. Donc S=21c×CH=21bcsinA.
Soit ABC un triangle. On pose a=BC, b=AC et c=AB. S désigne l'aire de ABC et R désigne le rayon du cercle circonscrit à ABC. On a S=21absinC=21bcsinA=21acsinB.
L'aire est le demi-produit de deux côtés par le sinus de l'angle qu'ils forment.
Comme sinA=2Ra, on obtient aussi S=4Rabc, ce qui complète la loi du sinus :
sinAa=sinBb=sinCc=2R=2Sabc.
La base est c, la hauteur est b sin A.
S=21bcsinA=21acsinB=21absinC
S=4Rabc
Le piège
✗S=21bcsinB
✓S=21bcsinA
L'angle de la formule est celui que forment les deux côtés choisis. Les côtés b et c se rejoignent au sommet A.
Le piège
✗Une aire de 6 avec AB=6 et BC=4 impose B=30∘
✓sinB=21, donc B=30∘ ou B=150∘
Deux angles supplémentaires ont le même sinus : l'aire ne suffit pas pour savoir si l'angle est aigu ou obtus.
Théorème d'El-Kashi
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Le théorème d'El-Kashi le généralise à un triangle quelconque.
Théorème d'El-Kashi. Soit ABC un triangle. On pose a=BC, b=AC et c=AB. On a :
- a2=b2+c2−2bccosA ;
- b2=a2+c2−2accosB ;
- c2=b2+a2−2bacosC.
Chaque formule relie un côté aux deux autres et à l'angle opposé à ce côté. Lorsque l'angle A est droit, cosA=0 et l'on retrouve le théorème de Pythagore.
Ce théorème sert dans les deux sens : calculer un côté quand on connaît les deux autres et l'angle qu'ils forment, ou calculer un angle quand on connaît les trois côtés.
On applique Pythagore dans le triangle BHC.
a2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosB
c2=b2+a2−2bacosC
Le piège
✗Avec A=120∘ : BC2=64+49−56
✓BC2=64+49+56
Le cosinus d'un angle obtus est négatif : moins par moins donne plus. Face à un angle obtus, le côté est plus long que ne le dirait Pythagore.
Le piège
✗a2=b2+c2 dans tout triangle
✓a2=b2+c2−2bccosA
L'égalité de Pythagore ne vaut que si l'angle A est droit. Dans les autres cas, il faut corriger avec le double produit par le cosinus.
Exemple : l'aire d'un quadrilatère
Dans la figure, ABCD est un quadrilatère et I est le point d'intersection de ses diagonales. On pose α=AID.
Les diagonales découpent le quadrilatère en quatre triangles de sommet I. Leurs angles en I mesurent α ou π−α : ils ont tous le même sinus, sinα. La somme des quatre aires vaut donc
L'aire du quadrilatère ABCD est égale à 21AC×BD×sinα.
Les diagonales découpent quatre triangles de sommet I.
aire(ABCD)=21AC×BD×sinα
Un problème pour aller plus loin : carré et triangle équilatéral
Dans la figure, ABCD est un carré de côté a et EBC est un triangle équilatéral, construit à l'intérieur du carré. On cherche l'angle BAE, puis les valeurs exactes de son cosinus et de son sinus.
L'angle ABC est droit et l'angle EBC mesure 60∘ : donc ABE=30∘. Le triangle ABE est isocèle en B, car BA=BE=a : ses deux angles à la base sont égaux, et BAE=75∘.
Le théorème d'El-Kashi, appliqué dans le triangle ABE, donne ensuite AE. On en tire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de 75 degrés.
ABE est isocèle en B.
AE2=a2(2−3)
cos75∘=22−3;sin75∘=22+3
Triangles isométriques
Définition. On dit que deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux égaux.
Pour reconnaître deux triangles isométriques, il n'est pas nécessaire de comparer les trois côtés : trois informations bien choisies suffisent.
1ᵉʳ cas d'isométrie. Si deux triangles ont un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
2ᵉ cas d'isométrie. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
3ᵉ cas d'isométrie. Si deux triangles ont trois côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
Le troisième cas est la définition elle-même. Les deux premiers se démontrent avec la loi du sinus et le théorème d'El-Kashi. Dans le deuxième cas, El-Kashi donne le troisième côté à partir des deux côtés et de l'angle qu'ils forment. Dans le premier, les troisièmes angles sont égaux eux aussi, et la loi du sinus donne les deux autres côtés à partir du côté connu.
Deux triangles isométriques ont aussi leurs angles deux à deux égaux.
Les triangles BHC et CKB sont isométriques.
Le piège
✗Deux triangles qui ont leurs trois angles égaux sont isométriques
✓Ils sont seulement semblables
Trois angles égaux donnent la même forme, pas la même taille. Pour l'isométrie, il faut au moins un côté égal.
Triangles semblables
Soient ABC et A′B′C′ deux triangles. On pose BC=a, AC=b, AB=c, B′C′=a′, A′C′=b′ et A′B′=c′.
Définition. On dit que les triangles ABC et A′B′C′ sont semblables si, et seulement si, A=A′, B=B′ et C=C′.
Si ABC et A′B′C′ sont semblables, alors a′a=b′b=c′c. Ce rapport est appelé rapport de similitude des deux triangles.
Deux réciproques permettent de reconnaître des triangles semblables :
Si A=A′ et c′c=b′b, alors ABC et A′B′C′ sont semblables.
Si a′a=b′b=c′c, alors ABC et A′B′C′ sont semblables.
En pratique, comme la somme des angles d'un triangle vaut π, deux angles respectivement égaux suffisent : le troisième l'est alors aussi.
Les triangles ABH et CAH sont semblables.
A=A′,B=B′,C=C′
a′a=b′b=c′c
Le piège
✗Deux triangles semblables ont les mêmes longueurs
✓Ils ont les mêmes angles, et des côtés proportionnels
Semblable veut dire même forme. Les longueurs sont toutes multipliées par un même nombre, le rapport de similitude. Elles ne sont égales que si ce rapport vaut un.
Relations métriques dans un triangle rectangle
Soit ABC un triangle rectangle en A et soit H le pied de la hauteur issue de A. On a :
- BC2=AB2+AC2 ;
- AH×BC=AB×AC ;
- AH2=HB×HC ;
- AB2=BH×BC ;
- AC2=CH×CB.
D'où viennent-elles ? La deuxième exprime de deux façons l'aire du triangle : 21AB×AC et 21AH×BC. Les trois dernières viennent de triangles semblables : ABH et CAH pour la troisième, ABC et HBA pour la quatrième, ABC et HAC pour la cinquième.
En ajoutant les deux dernières, on retrouve le théorème de Pythagore : AB2+AC2=BC×(BH+CH)=BC2.
Le triangle de côtés 3, 4 et 5 et sa hauteur.
AH×BC=AB×AC
AH2=HB×HC
AB2=BH×BC;AC2=CH×CB
Le piège
✗AB2=BH×HC
✓AB2=BH×BC
Le produit des deux segments de l'hypoténuse donne le carré de la hauteur. Pour un côté de l'angle droit, on multiplie son segment par l'hypoténuse entière.
Un problème pour aller plus loin : la formule de Héron
Soit ABC un triangle. On pose BC=a, AC=b et AB=c. On désigne par p son demi-périmètre, c'est-à-dire 2p=a+b+c, et par S son aire.
Formule de Héron d'Alexandrie. S=p(p−a)(p−b)(p−c).
Elle donne l'aire à partir des trois côtés seulement, sans aucun angle.
L'idée de la démonstration. On part de S=21absinC, donc 4S2=a2b2sin2C=a2b2(1−cos2C). Le théorème d'El-Kashi donne 2abcosC=a2+b2−c2, et les identités remarquables conduisent à
(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)=4a2b2sin2C.
Comme a+b+c=2p, a+b−c=2(p−c), b+c−a=2(p−a) et c+a−b=2(p−b), le membre de gauche vaut 16p(p−a)(p−b)(p−c). Le membre de droite vaut 16S2 : d'où S2=p(p−a)(p−b)(p−c).
p=2a+b+c
S=p(p−a)(p−b)(p−c)
Le piège
✗Pour les côtés 5, 7 et 8 : p=20
✓p=10
Dans la formule de Héron, p est le demi-périmètre : la moitié de la somme des trois côtés.
Pour la culture : le nombre π
Depuis l'Antiquité, les mathématiciens ont remarqué que tous les cercles ont quelque chose en commun : le rapport entre le périmètre et le diamètre est fixe. Ce rapport est donné par le réel π.
π n'est pas un rationnel. La recherche de ses décimales a toujours été un enjeu pour la science :
une décimale exacte pour les Babyloniens et les Égyptiens, 2000 ans avant J.-C. ;
3 décimales exactes pour Archimède, 250 ans avant J.-C. ;
16 décimales exactes pour Al-Kashi, mort vers 1430 ;
100 décimales pour Machin en 1706 ;
1000 décimales en 1949 ;
un million de décimales en 1973.
Aujourd'hui, à l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, on peut déterminer des milliards de décimales de π.
Al-Kashi Jamsheddine, mort vers 1430 à Samarcande, est l'un des grands savants arabes, astronome et mathématicien. Il a dirigé pendant de longues années l'observatoire de Samarcande et il a établi des tables astronomiques d'une extraordinaire précision. Son ouvrage le plus célèbre est « Mifteh El Hissab », La clef de l'arithmétique.
À retenir
Sur le demi-cercle trigonométrique, le point M tel que AOM=α a pour coordonnées (cosα,sinα) ; −1≤cosα≤1 et 0≤sinα≤1.
Angles supplémentaires : cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=sinx. Angles complémentaires : cos(2π−x)=sinx et sin(2π−x)=cosx.
tanα=cosαsinα pour α=2π ; cotα=sinαcosα pour 0<α<π.
Relations fondamentales : cos2x+sin2x=1, 1+tan2x=cos2x1 et 1+cot2x=sin2x1.
Loi du sinus : sinAa=sinBb=sinCc=2R.
Aire d'un triangle : S=21bcsinA=4Rabc.
Théorème d'El-Kashi : a2=b2+c2−2bccosA.
Triangles isométriques : côtés deux à deux égaux. Triangles semblables : angles deux à deux égaux, donc côtés proportionnels.
Triangle rectangle en A, de hauteur [AH] : AH2=HB×HC, AB2=BH×BC, AC2=CH×CB et AH×BC=AB×AC.