Activités algébriques
1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum : les activités algébriques. Développer w factoriser houma deux tor9at fi nafs el route, amma koll une fi ittijeh. Développer y7awwel un produit l une somme, w factoriser ya3mel el 3aks. W fel e5er bech tefhem 3lech n7ebbou la forme factorisée.
عسلامة ! لْيوم : les activités algébriques. développer w factoriser هوما deux طرقات في نفس الروتة، أمّا كلّ واحدة في اتّجاه. développer يحوّل un produit لـ une somme، w factoriser يعمل العكس. w في الآخر باش تفهم علاش نحبّو la forme factorisée.
Bonjour ! Aujourd'hui : les activités algébriques. Développer et factoriser, ce sont deux chemins sur la même route, mais dans deux sens opposés. Développer transforme un produit en somme, factoriser fait l'inverse. Et à la fin, tu comprendras pourquoi on tient tant à la forme factorisée.
Le chapitre s'ouvre sur les expressions littérales : écrire avec une lettre ce qu'un énoncé raconte avec des mots, puis calculer sa valeur numérique quand on donne la lettre.
Vient ensuite le cœur du chapitre : développer et factoriser, deux chemins opposés sur la même route. Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.
On développe pour comparer ou pour réduire — c'est ainsi qu'on décide si deux expressions sont égales pour tout réel. On factorise pour résoudre : une équation ne se résout facilement que sous forme de produit. C'est toute l'utilité du chapitre, et c'est ce que fait la dernière section.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Traduire un programme de calcul en expression littérale, et calculer sa valeur numériqueTraduire un programme de calcul en expression littérale, et calculer sa valeur numérique.Traduire un programme de calcul en expression littérale, et calculer sa valeur numérique.
- Développer et réduire une expression avec la simple et la double distributivitéDévelopper et réduire une expression avec la simple et la double distributivité.Développer et réduire une expression avec la simple et la double distributivité.
- Reconnaître et appliquer les identités remarquables : les carrés et les cubesReconnaître et appliquer les identités remarquables : les carrés et les cubes.Reconnaître et appliquer les identités remarquables : les carrés et les cubes.
- Factoriser en mettant en évidence un facteur commun, même cachéFactoriser en mettant en évidence un facteur commun, même caché.Factoriser en mettant en évidence un facteur commun, même caché.
- Factoriser à l'aide d'une identité, y compris une somme ou une différence de cubesFactoriser à l'aide d'une identité, y compris une somme ou une différence de cubes.Factoriser à l'aide d'une identité, y compris une somme ou une différence de cubes.
- Calculer de tête en reconnaissant une identité remarquableCalculer de tête en reconnaissant une identité remarquable.Calculer de tête en reconnaissant une identité remarquable.
- Distinguer deux expressions égales pour tout réel de deux expressions qui coïncident en quelques pointsDistinguer deux expressions égales pour tout réel de deux expressions qui coïncident seulement en quelques points.Distinguer deux expressions égales pour tout réel de deux expressions qui coïncident seulement en quelques points.
- Résoudre une équation produit nulRésoudre une équation produit nul.Résoudre une équation produit nul.
1. Activité
Un programme de calcul devient une expression
Ce qu’il dit
Netarjmou le programme ligne par ligne, bla ma nréduire. Multiplier par 11 : ya3ti 11 b. Nzidou 4. Men ba3d nmultiplier el koll par 9, ma3neha parenthèse. W el ligne el akhira tna99es le double du carré mte3 le nombre de départ, ma3neha 2 b au carré, mechi mte3 le dernier résultat. Hedha houwa el piège.
نترجمو le programme ligne par ligne ، بلا ما نـ réduire . multiplier par 11 : يعطي 11 b . نزيدو 4 . من بعد نـ multiplier الكل par 9 ، معناها parenthèse . w الـ ligne الاخيرة تنقّص le double du carré متاع le nombre de départ ، معناها 2 b au carré ، ماشي متاع le dernier résultat . هذا هو الـ piège .
On traduit le programme ligne par ligne, sans réduire. Multiplier par 11 donne 11 b. On ajoute 4. Ensuite on multiplie le tout par 9, donc il faut une parenthèse. Et la dernière ligne retranche le double du carré du nombre de départ, donc 2 b au carré, pas celui du dernier résultat. C'est là qu'est le piège.
On choisit un entier inférieur à puis on lui applique ce programme :
1. multiplier par ; 2. ajouter au résultat ; 3. multiplier le dernier résultat par ; 4. retrancher le double du carré du nombre de départ.
- 1.Applique le programme à étape par étape.
- 2.Écris l'expression du nombre obtenu, en fonction de
- 3.Que vaut le résultat final pour ? pour ? pour ?
La question 3 est la vraie leçon : une fois l'expression écrite, on ne refait plus le programme. On remplace la lettre, et c'est tout.
1. multiplier par 11
2. ajouter 4
3. multiplier le résultat par 9
4. retrancher le double du carré de b
Exemple traité
Réduire l'expression obtenue, puis calculer sa valeur pour
- On réduit —
- Pour les deux termes en disparaissent.
À ne pas faire : — . La consigne multiplie le résultat obtenu, donc tout ce qui précède. Sans la parenthèse, le ne multiplie plus que le
À ne pas faire : — . « Le carré du nombre de départ » renvoie à pas au dernier résultat. Relis toujours à quel nombre la dernière ligne se réfère.
2. Définition
Expression littérale, valeur numérique
Ce qu’il dit
Une expression littérale hiya écriture fiha des nombres w des lettres, marboutin b des opérations. Mathalan : A de x égale 3 x au carré moins 2. La valeur numérique mte3ha pour x égale 2 : tbaddel x b 2, w ta7seb. A de 2 égale 3 fois 2 au carré moins 2, ya3ni 10. W tfakker : nafs l'expression tnajjem tetkteb b barcha formes, w el forme elli t5tarha 3omrha ma hiya neutre.
une expression littérale هي écriture فيها des nombres w des lettres، مربوطين بـ des opérations. مثلا : A de x égale 3 x au carré moins 2. la valeur numérique متاعها pour x égale 2 : تبدّل x بـ 2، w تحسب. A de 2 égale 3 fois 2 au carré moins 2، يعني 10. w تفكّر : نفس l'expression تنجّم تتكتب بـ برشا formes، w الـ forme الّي تختارها عمرها ما هي neutre.
Une expression littérale, c'est une écriture qui mêle des nombres et des lettres, reliés par des opérations. Par exemple : A de x égale 3 x au carré moins 2. Sa valeur numérique pour x égale 2 : on remplace x par 2, puis on calcule. A de 2 égale 3 fois 2 au carré moins 2, donc 10. Et retiens : une même expression peut s'écrire sous plusieurs formes, et la forme choisie n'est jamais neutre.
Une expression littérale est une écriture qui mêle des nombres et une ou plusieurs lettres, reliées par des opérations.
La valeur numérique de cette expression, pour une valeur donnée de la lettre, s'obtient en remplaçant la lettre par cette valeur, puis en calculant.
Deux conséquences à garder en tête pour tout le chapitre :
- une même quantité s'écrit de plusieurs façons — et sont la même expression sous deux formes ;
- la forme choisie n'est jamais neutre : l'une se calcule plus vite, l'autre se factorise plus facilement. C'est tout l'objet des sections qui suivent.
une expression littérale
sa valeur numérique en 2
À ne pas faire : — . En remplaçant une lettre par un nombre négatif, on l'entoure de parenthèses. Sans elles, le carré ne porte plus que sur le
3. Activité
Le carré d'une somme, sur un exemple
Ce qu’il dit
Nabdaw b une activité, w hiya tjaweb 3ala aghla so2al fel 3am : 3lech (a plus b) au carré mouch a au carré plus b au carré ? 5oudh a égale 3 w b égale 4, a7seb les deux, w chouf el far9 binethom. 9aren el far9 hedheka b 2 a b.
نبداو بـ une activité، w هي تجاوب على أغلى سؤال في العام : علاش (a plus b) au carré موش a au carré plus b au carré ؟ خذ a égale 3 w b égale 4، أحسب les deux، w شوف الفرق بيناتهم. قارن الفرق هاذاكة بـ 2 a b.
On commence par une activité, et elle répond à la question la plus coûteuse de l'année : pourquoi (a plus b) au carré n'est-il pas a au carré plus b au carré ? Prends a égale 3 et b égale 4, calcule les deux, et regarde l'écart. Compare cet écart à 2 a b.
- 1.Prends et Calcule d'une part d'autre part Les deux résultats sont-ils égaux ?
- 2.Calcule l'écart entre les deux. Compare-le au nombre
- 3.Recommence avec et L'écart est-il encore égal à ?
Cette activité répond à la question la plus coûteuse de l'année : pourquoi n'est-il pas et que manque-t-il exactement.
Exemple traité
Ce que donnent les deux essais.
- Premier essai — Avec et
- L'écart vaut Or le double produit vaut lui aussi
- Second essai — Avec et : l'écart est encore le double produit.
À ne pas faire : — . Deux essais numériques suffisent à le voir, et le terme manquant est toujours le même :
4. Méthode
Développer
Ce qu’il dit
Développer ma3neha t7awwel un produit l une somme. 3andna deux adawet berk : la distributivité simple et la double distributivité. Amma le vrai danger houwa le signe : ki yji un moins 9oddem une parenthèse, ybaddel le signe mte3 el termes el koll, mouch mte3 le premier berk.
développer معناها تحوّل un produit لـ une somme. عندنا deux أدوات برك : la distributivité simple et la double distributivité. أمّا le vrai danger هو le signe : كي يجي un moins قدّام une parenthèse، يبدّل le signe متاع الـ termes الكلّ، موش متاع le premier برك.
Développer, c'est transformer un produit en somme. On a deux outils seulement : la distributivité simple, et la double distributivité. Le vrai danger, c'est le signe : quand un moins précède une parenthèse, il change le signe de tous les termes, pas seulement du premier.
Développer, c'est transformer un produit en somme. Deux outils, et deux seulement :
- la distributivité simple : ;
- la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Le seul vrai danger est le signe. Quand un moins précède une parenthèse, il change le signe de tous les termes qu'elle contient, pas seulement du premier.
Simple
Double
Exemple traité
Développer et réduire
- Quatre produits — Chaque terme de gauche multiplie chaque terme de droite.
- Réduire — On regroupe les termes en
À ne pas faire : — . Le signe moins s'applique à toute la parenthèse. Le devient
5. Propriété
Les identités remarquables — les carrés
Ce qu’il dit
3andna trois identités remarquables mte3 les carrés. a plus b, le tout au carré, égale a au carré plus 2 a b plus b au carré. a moins b, le tout au carré, égale a au carré moins 2 a b plus b au carré. W a moins b, fois a plus b, égale a au carré moins b au carré. Yet9raw fel zouz ittijehet : bech tdévelopper w bech tfactoriser. W rodd belek 3ala le double produit : a plus b, le tout au carré, mahouch a au carré plus b au carré. Jarrabha b 3 w 4 : 49 mahouch 25.
عندنا trois identités remarquables متاع les carrés. a plus b، le tout au carré، égale a au carré plus 2 a b plus b au carré. a moins b، le tout au carré، égale a au carré moins 2 a b plus b au carré. w a moins b، fois a plus b، égale a au carré moins b au carré. يتقراو في الزوز اتّجاهات : باش تـ développer w باش تـ factoriser. w رد بالك على le double produit : a plus b، le tout au carré، ماهوش a au carré plus b au carré. جرّبها ب 3 و 4 : 49 ماهوش 25.
Voici les trois identités remarquables des carrés. a plus b, le tout au carré, égale a au carré plus 2 a b plus b au carré. a moins b, le tout au carré, égale a au carré moins 2 a b plus b au carré. Et a moins b, fois a plus b, égale a au carré moins b au carré. Elles se lisent dans les deux sens : pour développer, et pour factoriser. Attention au double produit : a plus b, le tout au carré, n'est pas a au carré plus b au carré. Essaie avec 3 et 4 : 49, ce n'est pas 25.
Il y en a sept au total. Voici les trois qui portent sur les carrés ; les quatre autres, celles des cubes, suivent dans les deux sections d'après.
Toutes se lisent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
La faute la plus répandue de toute l'année est d'écrire Vérifie-la une fois avec et : alors que Le terme manquant, s'appelle le double produit. C'est lui qu'on oublie.
Carré d'une somme
Carré d'une différence
Différence de carrés
Démonstration
On développe par double distributivité :
Les deux produits du milieu sont égaux, car la multiplication est commutative : D'où
La deuxième identité s'obtient en remplaçant par dans la première. Pour la troisième, on développe où les deux produits croisés se compensent.
Exemple traité
Développer
- Repérer a et b — Ici et
- On calcule chaque morceau. Attention : le est aussi au carré.
À ne pas faire : — . Il manque le double produit. Avec et :
À ne pas faire : — . Le carré porte sur tout le produit, donc aussi sur le coefficient.
6. Propriété
Le cube d'une somme, le cube d'une différence
Ce qu’il dit
Le cube mte3 une somme : 4 termes. Les coefficients 1, 3, 3, 1. A yohbot men 3 lel 0, w b yotla3. W ken a moins b, les signes yetbadlou. Ma t9oulech ken a cube plus b cube, hedha faux : jarrabha b 1 w 1, tel9a 8 mahouch 2.
le cube متاع une somme : 4 termes . les coefficients 1 ، 3 ، 3 ، 1 . a يهبط من 3 لـ 0 ، w b يطلع. w كان a moins b ، les signes يتبادلو. ما تقولش كان a cube plus b cube ، هذا faux : جرّبها ب 1 و 1 ، تلقى 8 ماهوش 2.
Le cube d'une somme a quatre termes. Les coefficients sont 1, 3, 3, 1. L'exposant de a descend de 3 à 0 pendant que celui de b monte. Et pour a moins b, les signes alternent. Ne dis pas seulement a cube plus b cube, c'est faux : essaie avec 1 et 1, tu trouves 8 et non 2.
On les énonce à côté des carrés, et pour la même raison : ce sont des développements qu'on doit reconnaître sans les recalculer.
La structure se retient mieux qu'elle ne s'apprend : quatre termes, l'exposant de descend de à pendant que celui de monte, et les coefficients sont . Pour la différence, les signes alternent.
Cube d'une somme
Cube d'une différence
Démonstration
On écrit le cube comme le produit du carré par le facteur restant :
On développe par distributivité :
On regroupe les termes semblables : et ce qui donne le résultat.
La seconde identité s'obtient en remplaçant par dans la première : les termes où a un exposant impair changent de signe, les autres non.
Exemple traité
Développer et réduire
- Repérer a et b — Ici et
- On calcule chaque coefficient. Attention au troisième terme : c'est qui est multiplié par donc
À ne pas faire : — . Vérifie avec et : alors que Les deux termes du milieu manquent.
À ne pas faire : — . Chaque terme du développement est de degré Un terme en serait de degré : c'est le signe qu'il manque un facteur.
7. Propriété
Somme et différence de deux cubes
Ce qu’il dit
Hedhouma ne9rawhom men el imin lel chmel : outils mte3 factorisation. Le premier facteur nafs le signe mte3 l'énoncé. Le deuxième facteur : le signe mte3 el west bel ma9loub, w mahouch double. A b, mechi 2 a b. W rodd belek : la somme de deux cubes tetfactoriser, 3aks la somme de deux carrés.
هاذوما نقراوهم من اليمين للشمال : outils متاع factorisation . le premier facteur نفس le signe متاع l'énoncé . le deuxième facteur : le signe متاع الوسط بالمقلوب ، w ماهوش double . a b ، ماشي 2 a b . w رد بالك : la somme de deux cubes تتـ factoriser ، عكس la somme de deux carrés .
Celles-là se lisent de droite à gauche : ce sont des outils de factorisation. Le premier facteur porte le même signe que l'énoncé. Dans le second, le signe du milieu est l'opposé, et il n'est pas doublé : c'est a b, pas 2 a b. Et attention : la somme de deux cubes se factorise, contrairement à la somme de deux carrés.
Celles-là se lisent surtout de droite à gauche : ce sont des outils de factorisation. Une différence de deux cubes se factorise, et — contrairement aux carrés — une somme de deux cubes se factorise aussi.
Deux détails de signe font toute la difficulté :
- le premier facteur porte le même signe que l'énoncé : pour pour ;
- dans le second facteur, le terme du milieu porte le signe opposé, et il n'est pas doublé. C'est jamais
Différence de cubes
Somme de cubes
Démonstration
On développe le membre de droite :
Les termes et apparaissent chacun deux fois, avec des signes opposés : ils se compensent. Il ne reste que
C'est exactement ce mécanisme qui impose les signes de l'énoncé : si le terme du milieu était doublé, la compensation ne se ferait plus.
Exemple traité
Factoriser
- Reconnaître deux cubes — est un cube, et en est un aussi. Donc et
- On applique l'identité. Le premier facteur garde le moins ; le second a un plus au milieu, sans facteur
À ne pas faire : — . Confusion avec le carré d'une différence. Ici le terme du milieu n'est pas doublé, et son signe est l'opposé de celui du premier facteur.
À ne pas faire : ne se factorise pas — . La règle « seule la différence se factorise » vaut pour les carrés. Pour les cubes, la somme se factorise aussi.
8. Méthode
Factoriser par un facteur commun
Ce qu’il dit
Factoriser houwa el 3aks : t7awwel une somme l un produit. W le premier réflexe dima nafsou : lawwej 3ala elli yet3awed fel termes el koll. Le facteur commun ynajjem ykoun un nombre, une lettre, walla une parenthèse kemla — w hedhi hiya elli ma tetchefch. W ki un terme ykoun houwa rou7ou le facteur commun, ma ytayyarch : y5alli 1 wrah.
factoriser هو العكس : تحوّل une somme لـ un produit. w le premier réflexe ديما نفسو : لوّج على الّي يتعاود في الـ termes الكلّ. le facteur commun ينجّم يكون un nombre، une lettre، ولّا une parenthèse كاملة — w هاذي هي الّي ما تتشافش. w كي un terme يكون هو رواحو le facteur commun، ما يطيّرش : يخلّي 1 وراه.
Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit. Le premier réflexe est toujours le même : chercher ce qui se répète dans tous les termes. Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière — et c'est ce dernier cas qui se voit le moins. Quand un terme est exactement le facteur commun, il ne disparaît pas : il laisse un 1 derrière lui.
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Le premier réflexe est toujours le même : chercher ce qui se répète dans tous les termes.
Ce facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière. C'est ce dernier cas qui se voit le moins, et c'est le plus fréquent dans les exercices.
Quand un terme est exactement le facteur commun, il ne disparaît pas : il laisse un derrière lui.
Le principe
Le 1 qui reste
Exemple traité
Factoriser
- Repérer — La parenthèse est présente dans les deux termes.
- Réduire le crochet —
- On peut encore factoriser par
À ne pas faire : — . Le second terme vaut : quand on sort le le reste.
9. Méthode
Factoriser avec une identité
Ce qu’il dit
Ki ma thammech facteur commun, nbassou fi la forme. Deux termes, une soustraction, w deux carrés : hedhi une différence de carrés. Trois termes, menhom deux carrés : hedhi un carré d'une somme walla d'une différence, b chart elli fel west ykoun le double produit. W rodd belek : a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans ℝ. Ken la différence berk.
كي ما ثمّاش facteur commun، نبصّو في la forme. deux termes، une soustraction، w deux carrés : هاذي une différence de carrés. trois termes، منهم deux carrés : هاذي un carré d'une somme ولّا d'une différence، بشرط الّي في الوسط يكون le double produit. w رد بالك : a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans ℝ. كان la différence برك.
Quand il n'y a pas de facteur commun, on regarde la forme. Deux termes, une soustraction, deux carrés : c'est une différence de carrés. Trois termes dont deux carrés : c'est un carré d'une somme ou d'une différence, à condition que le terme du milieu soit bien le double produit. Et attention : a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans ℝ. Seule la différence se factorise.
Quand il n'y a pas de facteur commun, on regarde la forme de l'expression :
- deux termes, une soustraction, deux carrés → différence de carrés ;
- trois termes dont deux carrés → carré d'une somme ou d'une différence, à condition que le terme du milieu soit bien le double produit.
Un point à retenir : une somme de deux carrés, ne se factorise pas dans Seule la différence se factorise.
Différence
Trois termes
Trois termes
Exemple traité
Factoriser puis
- Reconnaître — et sont deux carrés, séparés par un moins.
- Trois termes — et sont les carrés ; on vérifie le double produit : C'est bien lui.
À ne pas faire : — ne se factorise pas. Seule la différence de deux carrés se factorise. vaut
10. Méthode
Calculer de tête avec une identité
Ce qu’il dit
Ki tchouf nombre 9rib men 100, ektebh 100 plus walla 100 moins. 101 au carré : 10 000 plus 200 plus 1. W 102 au carré moins 98 au carré : ma tehsebch les deux carrés, esta3mel la différence de carrés : 4 fois 200.
كي تشوف nombre قريب من 100 ، إكتبه 100 plus ولّا 100 moins . 101 au carré : 10 000 plus 200 plus 1 . w 102 au carré moins 98 au carré : ما تحسبش les deux carrés ، إستعمل la différence de carrés : 4 fois 200 .
Quand tu vois un nombre proche de 100, écris-le 100 plus ou 100 moins quelque chose. 101 au carré, c'est 10 000 plus 200 plus 1. Et pour 102 au carré moins 98 au carré, ne calcule pas les deux carrés : utilise la différence de carrés, 4 fois 200.
Une identité ne sert pas qu'à manipuler des lettres : elle remplace un calcul pénible par deux calculs faciles.
Le réflexe : devant un nombre proche d'une puissance de écris-le sous la forme quelque chose, puis applique l'identité.
Exemple traité
Calculer de tête puis puis
- Carré d'une somme —
- Carré d'une différence —
- Différence de carrés — Ne calcule surtout pas les deux carrés. La forme se factorise, et les deux facteurs sont ronds.
À ne pas faire : — . Le résultat est le même, mais le premier chemin demande deux carrés à quatre chiffres. L'identité n'est pas là pour faire savant : elle est là pour aller plus vite.
11. Propriété
Égales partout, ou égales seulement quelque part
Ce qu’il dit
Rodd belek 3as so2al : pour tout réel walla pour certaines valeurs ? Ken bech tmontrer l'égalité pour tout réel, lezmek tdévelopper w tréduire ezzouz w tcomparer les formes. Les valeurs ma tprouvent chay. Ama ken bech t9oul mahoumech égales, contre-exemple wahed yekfi.
رد بالك عالسؤال : pour tout réel ولّا pour certaines valeurs ؟ كان باش تـ montrer l'égalité pour tout réel ، لازمك تـ développer w تـ réduire الزوز w تـ comparer les formes . les valeurs ما تـ prouvent شي. أما كان باش تقول ماهومش égales ، contre-exemple واحد يكفي.
Fais attention à la question : pour tout réel, ou pour certaines valeurs ? Si tu dois montrer l'égalité pour tout réel, il faut développer, réduire les deux et comparer les formes. Des valeurs ne prouvent rien. En revanche, pour dire qu'elles ne sont pas égales, un seul contre-exemple suffit.
Deux expressions peuvent être égales pour tout réel, ou bien coïncider seulement pour certaines valeurs. Ce n'est pas la même chose, et c'est la question la plus mal lue du chapitre.
- Pour montrer que pour tout réel : on développe et on réduit les deux, puis on compare les formes réduites. Vérifier sur des valeurs ne prouve rien.
- Pour montrer qu'elles ne sont pas égales partout : une seule valeur où elles diffèrent suffit. C'est un contre-exemple, et c'est une preuve complète.
Exemple traité
Soit et Vérifier que pour et A-t-on pour tout réel ?
- Pour x égal à 1 —
- Pour x égal à −2 —
- Pour x égal à 4 —
- Le contre-exemple — Trois valeurs qui marchent, et pourtant il suffit d'en essayer une quatrième.
À ne pas faire : et sont égales pour et donc — et coïncident en trois points seulement.. Trois valeurs, même bien choisies, ne prouvent jamais une égalité d'expressions. Ici et : l'égalité tombe.
À ne pas faire : Pour montrer que il faut le vérifier sur plusieurs valeurs. — Une seule valeur où elles diffèrent suffit.. Les deux sens ne demandent pas le même travail : prouver l'égalité exige un calcul général, la réfuter demande un seul contre-exemple.
12. Remarque
Ce qu'on a le droit de faire à une égalité
Deux règles à garder en tête, et dont tout le chapitre suivant — les équations — se sert sans arrêt :
- 1.on ne modifie pas une égalité en ajoutant le même terme à ses deux membres ;
- 2.on ne modifie pas une égalité en multipliant ses deux membres par un même nombre non nul.
Le « non nul » n'est pas une précaution de style. Multiplier les deux membres par transforme n'importe quelle égalité fausse en : on aurait « démontré » tout et n'importe quoi.
À ne pas faire : donc donc l'égalité est vraie. — Multiplier par ne conserve pas l'information.. L'implication ne marche que dans un sens. Pour revenir en arrière il faudrait diviser par le nombre — et on ne divise pas par
13. Théorème
L'équation produit nul
Ce qu’il dit
Hedha houwa 3lech n7ebbou la forme factorisée. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. El ma3na el 3amali : ki tal9a une équation déjà factorisée, ma ta3melch le développement abadan — ofselha directement. Amma une somme, A plus B égale zéro, ma t9oul walou la 3ala A wala 3ala B.
هاذا هو علاش نحبّو la forme factorisée. un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. المعنى العملي : كي تلقى une équation déjà factorisée، ما تعملش le développement أبدا — أفصلها directement. أمّا une somme، A plus B égale zéro، ما تقول والو لا على A ولا على B.
C'est pour ça qu'on tient à la forme factorisée. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Concrètement : face à une équation déjà factorisée, on ne développe jamais — on sépare directement. En revanche, pour une somme, A plus B égale zéro ne dit rien ni sur A ni sur B.
C'est la raison d'être de la factorisation. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
La conséquence pratique : face à une équation déjà factorisée, on ne développe jamais. On sépare directement en équations du premier degré, qu'on sait résoudre.
Rien de tel n'existe pour une somme : ne dit rien sur ni sur pris séparément.
La règle
Exemple traité
Résoudre dans :
- Séparer — Le produit est nul, donc l'un des deux facteurs l'est.
À ne pas faire : On développe avant de résoudre — On garde la forme factorisée. Développer ramène à une équation du second degré, qu'on ne sait pas encore résoudre. La forme factorisée donne les solutions immédiatement.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Traduire un programme de calcul : ligne par ligne, avec les parenthèses que l'ordre des opérations impose.Le programme de calcul, tetarjmou ligne par ligne, w t7ott les parenthèses elli yfardhha l'ordre des opérations.Un programme de calcul se traduit ligne par ligne, avec les parenthèses qu'impose l'ordre des opérations.
- Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse.Développer y7awwel un produit l une somme, w factoriser ya3mel el 3aks.Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse.
- Un signe moins devant une parenthèse change le signe de tous ses termes.Un moins 9oddem une parenthèse ybaddel le signe mte3 les termes el koll, mouch le premier berk.Un signe moins devant une parenthèse change le signe de tous ses termes, pas seulement du premier.
- : ne jamais oublier le double produit.(a plus ou moins b) au carré égale a au carré plus ou moins 2 a b plus b au carré : ma tensech le double produit.(a plus ou moins b) au carré égale a au carré plus ou moins 2 a b plus b au carré : n'oublie jamais le double produit.
- : quatre termes, coefficients .(a plus ou moins b) au cube : 4 termes, w les coefficients 1, 3, 3, 1.(a plus ou moins b) au cube : quatre termes, et les coefficients 1, 3, 3, 1.
- mais ne se factorise pas dans a au carré moins b au carré égale (a moins b) fois (a plus b). Amma a au carré plus b au carré, ma 3andhech factorisation dans ℝ.a au carré moins b au carré égale (a moins b) fois (a plus b), mais a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans ℝ.
- et : le terme du milieu n'est pas doublé.Fi la différence w la somme de deux cubes, le terme du milieu houwa a b, mouch 2 a b.Pour la différence et la somme de deux cubes, le terme du milieu est a b, et non 2 a b.
- Premier réflexe pour factoriser : chercher un facteur commun, y compris une parenthèse.Bech tfactoriser, 9bal koll chay lawwej 3ala un facteur commun, 7atta ken ykoun parenthèse.Premier réflexe pour factoriser : chercher un facteur commun, même si c'est une parenthèse.
- Égales en trois points ne veut pas dire égales partout : il faut comparer les formes réduites. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.Égales fi 3 points ma ta3nich égales partout : 9aren les formes réduites. W un seul contre-exemple yekfi.Égales en trois points ne veut pas dire égales partout : compare les formes réduites. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
- ou — et on ne développe surtout pas avant.A fois B égale zéro ma3neha A égale zéro ou B égale zéro. W surtout ma ta3melch développement 9bal.A fois B égale zéro si et seulement si A égale zéro ou B égale zéro. Et surtout, on ne développe pas avant.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Un programme de calcul devient une expression
- pourquoi il y a une parenthèse dans le programme de calcul
- 3lech nzidou parenthèse fel programme
- programme de calcul 3lech 9(11b+4) b parenthèse w mouch 11b+4×9
- pourquoi on écrit 9(11b+4) avec des parenthèses
- multiplier le résultat par 9, pourquoi une parenthèse
- el parenthèse fel programme lezmetha ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
El consigne t9oul multiplier le résultat par 9 : ya3ni el koll, mouch el 4 bark. Donc n7ottou parenthèse : $9(11b + 4)$. Bla parenthèse, $11b + 4 \times 9$, el 9 yadhreb el 4 wa7dou, w hedha mouch el programme.
الـ consigne تقول multiplier le résultat par 9 : يعني الكل ، موش الـ 4 برك . donc نحطّو parenthèse : 9 fois (11 b plus 4) . بلا parenthèse ، 11 b plus 4 fois 9 ، الـ 9 يضرب الـ 4 وحدو ، w هذا موش الـ programme .
La consigne dit de multiplier le résultat par 9 : tout le résultat, pas seulement le 4. On met donc une parenthèse : 9 fois (11 b plus 4). Sans parenthèse, 11 b plus 4 fois 9, le 9 ne multiplie que le 4, et ce n'est plus le programme.
Question 2 · Un programme de calcul devient une expression
- le carré du nombre de départ c'est b² ou le résultat ?
- nombre de départ ya3ni chnowa
- retrancher le double du carré du nombre de départ kifech
- 3lech 2b² w mouch le carré du résultat
- le double du carré du nombre de départ c'est quoi
- départ ya3ni b walla le dernier résultat
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le nombre de départ houwa b, el nombre elli bdina bih. Donc le double du carré du nombre de départ houwa $2b^{2}$, mouch le carré mte3 le dernier résultat. Dima a9ra el ligne el akhra 3la ama nombre t7ki.
le nombre de départ هو b ، الـ nombre اللي بدينا بيه . donc le double du carré du nombre de départ هو 2 b au carré . موش le carré متاع le dernier résultat . ديما أقرا الـ ligne الأخيرة على أما nombre تحكي .
Le nombre de départ, c'est b, le nombre avec lequel on a commencé. Le double du carré du nombre de départ est donc 2 b au carré, pas le carré du dernier résultat. Relis toujours à quel nombre la dernière ligne se réfère.
Question 3 · Un programme de calcul devient une expression
- est-ce qu'il faut refaire le programme pour chaque nombre
- lezem n3awed el programme l koll b ?
- pour b = -1 je refais tout le programme ?
- pourquoi écrire l'expression au lieu de refaire le programme
- n3awed el calcul mel lowel wala le
- à quoi sert l'expression en fonction de b
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, ma n3awdouch. Ki nektbou l'expression en fonction de b, nbaddlou b bel valeur w na7sbou, w youfa. Par exemple, l'expression réduite hiya $-2b^{2} + 99b + 36$, w pour $b = 0$, ta3ti 36.
لا ، ما نعاودوش . كيف نكتبو l'expression en fonction de b ، نبدّلو b بالـ valeur w نحسبو ، w يوفا . par exemple ، l'expression réduite هي moins 2 b au carré plus 99 b plus 36 ، w pour b égale zéro ، تعطي 36 .
Non, on ne le refait pas. Une fois l'expression écrite en fonction de b, on remplace b par la valeur et on calcule, c'est tout. Par exemple, l'expression réduite est moins 2 b au carré plus 99 b plus 36, et pour b égale zéro elle donne 36.
Question 4 · Expression littérale, valeur numérique
- c'est quoi une expression littérale
- chnowa expression littérale
- expression littérale ya3ni chnowa
- définition d'une expression littérale
- que veut dire littérale
- littérale chnia ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Une expression littérale hiya écriture fiha des nombres w des lettres, marboutin b des opérations. Mathalan $A(x) = 3x^{2} - 2$. El lettre tnajjem te5ou ay valeur.
une expression littérale هي écriture فيها des nombres w des lettres ، مربوطين بـ des opérations . مثلا A de x égale 3 x au carré moins 2 . الـ lettre تنجّم تاخذ أي valeur .
Une expression littérale est une écriture qui mêle des nombres et une ou plusieurs lettres, reliés par des opérations. Par exemple A de x égale 3 x au carré moins 2. La lettre peut prendre n'importe quelle valeur.
Question 5 · Expression littérale, valeur numérique
- comment calculer la valeur numérique d'une expression
- kifech na7seb la valeur numérique
- c'est quoi la valeur numérique
- valeur numérique chnowa
- valeur numérique pour x = 2 kifech
- comment trouver la valeur numérique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La valeur numérique : nbaddlou la lettre bel valeur elli 3tawhelna, w men ba3d na7sbou. Pour $A(x) = 3x^{2} - 2$ w $x = 2$ : $A(2) = 3 \times 2^{2} - 2 = 10$.
la valeur numérique ، نبدّلو la lettre بالـ valeur اللي عطاوهالنا ، w من بعد نحسبو . pour A de x égale 3 x au carré moins 2 w x égale 2 : A de 2 égale 3 fois 2 au carré moins 2 ، يعني 10 .
Pour la valeur numérique, on remplace la lettre par la valeur donnée, puis on calcule. Pour A de x égale 3 x au carré moins 2 et x égale 2 : A de 2 égale 3 fois 2 au carré moins 2, c'est-à-dire 10.
Question 6 · Expression littérale, valeur numérique
- pourquoi mettre une parenthèse quand on remplace par un nombre négatif
- 3lech parenthèse ki nbaddel b nombre négatif
- A(-1) kifech na7sbou
- remplacer x par un négatif comment
- 3 × -1² ça donne combien
- nombre négatif fel carré 3lech parenthèse
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki nbaddlou el lettre b nombre négatif, n7ottouh bin parenthèses. $(-1)^{2} = 1$, ama bla parenthèse, le carré yti7 3al 1 bark. Donc $A(-1) = 3 \times (-1)^{2} - 2 = 1$, mouch $-5$.
كي نبدّلو الـ lettre بـ nombre négatif ، نحطّوه بين parenthèses . moins 1 le tout au carré يعطي 1 ، أما بلا parenthèse ، le carré يطيح على الـ 1 برك . donc A de moins 1 égale 3 fois ، moins 1 le tout au carré ، moins 2 ، يعني 1 ، موش moins 5 .
Quand on remplace la lettre par un nombre négatif, on l'entoure de parenthèses. Moins 1 le tout au carré donne 1 ; sans parenthèses, le carré ne porte plus que sur le 1. Donc A de moins 1 égale 3 fois (moins 1) au carré moins 2, c'est-à-dire 1, et pas moins 5.
Question 7 · Expression littérale, valeur numérique
- est-ce que 9(11b+4) - 2b² et -2b² + 99b + 36 c'est la même expression
- nafs l'expression b zouz formes ?
- une expression peut s'écrire de plusieurs formes ?
- deux écritures différentes c'est la même expression ?
- kifech nafs l'expression w ktiba o5ra
- même expression mais écrite autrement
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ey, nafs el quantité tnajjem tetkteb b barcha formes. $9(11b + 4) - 2b^{2}$ w $-2b^{2} + 99b + 36$ hiya nafs l'expression : ki ndévelopper el wa7da w nréduire, nal9aw el o5ra.
إيه ، نفس الـ quantité تنجّم تتكتب بـ برشا formes . 9 fois (11 b plus 4) ، moins 2 b au carré ، w moins 2 b au carré plus 99 b plus 36 ، هي نفس l'expression : كي نـ développer la première w نـ réduire ، نلقاو la deuxième .
Oui, une même quantité peut s'écrire de plusieurs façons. 9 fois (11 b plus 4), moins 2 b au carré, et moins 2 b au carré plus 99 b plus 36 sont la même expression : en développant et en réduisant la première, on trouve la seconde.
Question 8 · Expression littérale, valeur numérique
- forme développée ou forme factorisée, laquelle choisir
- anahi el forme elli nesta3melha
- quelle forme utiliser développée ou factorisée
- kifech nekhtar el forme
- quand utiliser la forme factorisée
- forme factorisée wala développée, chnowa a7sen
Ce qu’il répond
El forme mouch neutre. La forme développée réduite tanfa3 bech na7sbou des valeurs w bech ncomparer zouz expressions. La forme factorisée tanfa3 bech nrésoudre produit égale zéro. Nekhtarou el forme 7asb el so2al.
الـ forme موش neutre . la forme développée réduite تنفع باش نحسبو des valeurs w باش نـ comparer زوز expressions . la forme factorisée تنفع باش نـ résoudre produit égale zéro . نختارو الـ forme حسب السؤال .
La forme n'est jamais neutre. La forme développée réduite sert à calculer des valeurs et à comparer deux expressions. La forme factorisée sert à résoudre une équation produit égale zéro. On choisit la forme selon la question.
Question 9 · Le carré d'une somme, sur un exemple
- pourquoi (a+b)² n'est pas a² + b²
- 3lech (a+b)² mouch a²+b²
- (a+b)² = a² + b² c'est faux ?
- a plus b au carré égale a carré plus b carré ?
- (a+b)^2 kifech mouch a^2+b^2
- est-ce que (a+b)² = a²+b²
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Jarreb b $a = 3$ w $b = 4$ : $(3 + 4)^{2} = 49$, ama $3^{2} + 4^{2} = 25$. El far9 24, w houwa $2 \times 3 \times 4$ : le double produit. Donc $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.
جرّب بـ a égale 3 w b égale 4 : 3 plus 4 le tout au carré يعطي 49 ، أما 3 au carré plus 4 au carré يعطي 25 . الفرق 24 ، w هو 2 fois 3 fois 4 : le double produit . donc a plus b le tout au carré égale a au carré plus 2 a b plus b au carré .
Essaie avec a égale 3 et b égale 4 : 3 plus 4 le tout au carré donne 49, alors que 3 au carré plus 4 au carré donne 25. L'écart est 24, c'est 2 fois 3 fois 4 : le double produit. Donc a plus b le tout au carré égale a au carré plus 2 a b plus b au carré.
Question 10 · Les identités remarquables — les carrés
- c'est quoi le double produit
- chnowa le double produit
- double produit ya3ni chnowa
- d'où vient le 2ab
- 2ab mnin jet
- pourquoi il y a 2ab dans l'identité
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le double produit houwa $2ab$. Yji mel double distributivité : $(a + b)(a + b)$ ya3ti $ab$ w $ba$, w houma zouz kif kif, donc $2ab$. Houwa elli nensewh dima.
le double produit هو 2 a b . يجي من la double distributivité : (a plus b) fois (a plus b) يعطي a b w b a ، w هوما زوز كيف كيف ، donc 2 a b . هو اللي ننساوه ديما .
Le double produit, c'est 2 a b. Il vient de la double distributivité : (a plus b) fois (a plus b) donne a b et b a, qui sont égaux, donc 2 a b. C'est lui qu'on oublie toujours.
Question 11 · Les identités remarquables — les carrés
- comment développer (a-b)²
- (a-b)² kifech
- carré d'une différence c'est quoi
- (a-b)² = a² - b² ?
- a moins b au carré égale combien
- kifech n7ell (a-b)^2
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$. Ken le double produit yekhou moins, w $b^{2}$ yo93od plus. W mahouch $a^{2} - b^{2}$ : hedhi la différence de carrés.
a moins b le tout au carré égale a au carré moins 2 a b plus b au carré . كان le double produit ياخذ moins ، w b au carré يقعد plus . w ماهوش a au carré moins b au carré : هاذي la différence de carrés .
a moins b le tout au carré égale a au carré moins 2 a b plus b au carré. Seul le double produit prend le signe moins ; b au carré reste positif. Et ce n'est pas a au carré moins b au carré : ça, c'est la différence de carrés.
Question 12 · Les identités remarquables — les carrés
- c'est quoi la différence de deux carrés
- (a-b)(a+b) égale combien
- différence de carrés kifech
- a² - b² kifech nfactorisi
- chnowa (a-b)(a+b)
- différence de deux carrés identité
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$ : les deux produits croisés yetna77aw, $ab$ w $-ba$. W men el imin lel chmel tanfa3 bech nfactoriser : $9x^{2} - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$.
a moins b ، fois a plus b ، égale a au carré moins b au carré . les deux produits croisés يتنحّاو : a b w moins b a . w من اليمين للشمال ، تنفع باش نـ factoriser : 9 x au carré moins 25 égale 3 x moins 5 ، fois 3 x plus 5 .
a moins b, fois a plus b, égale a au carré moins b au carré : les deux produits croisés se compensent. Lue de droite à gauche, elle sert à factoriser : 9 x au carré moins 25 égale 3 x moins 5, fois 3 x plus 5.
Question 13 · Les identités remarquables — les carrés
- pourquoi (3x)² = 9x² et pas 3x²
- 3lech (3x)² ta3ti 9x²
- (3x)² égale 3x² ?
- le 3 aussi au carré ?
- (3x)^2 kifech na7sbou
- le carré porte sur le coefficient aussi ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le carré yti7 3al produit el koll : $(3x)^{2} = 3x \times 3x = 9x^{2}$. El 3 zeda yetrabba3. Par exemple, $(3x - 2)^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$.
le carré يطيح على الـ produit الكل : 3 x le tout au carré هو 3 x fois 3 x ، يعني 9 x au carré . الـ 3 زادة يتربّع . par exemple ، 3 x moins 2 le tout au carré égale 9 x au carré moins 12 x plus 4 .
Le carré porte sur tout le produit : 3 x le tout au carré, c'est 3 x fois 3 x, donc 9 x au carré. Le 3 est aussi élevé au carré. Par exemple, 3 x moins 2 le tout au carré égale 9 x au carré moins 12 x plus 4.
Question 14 · Les identités remarquables — les carrés
- c'est quoi les identités remarquables
- chnowa les identités remarquables
- combien il y a d'identités remarquables
- quelles sont les identités remarquables
- 9addech men identité remarquable
- les identités remarquables c'est quoi exactement
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
3andna 7 identités remarquables. Trois mte3 les carrés : $(a + b)^{2}$, $(a - b)^{2}$ w $(a - b)(a + b)$. W arb3a mte3 les cubes : le cube d'une somme, le cube d'une différence, la somme w la différence de deux cubes. Yet9raw fi zouz ettijahat : bech ndévelopper w bech nfactoriser.
عندنا 7 identités remarquables . trois متاع les carrés : a plus b le tout au carré ، a moins b le tout au carré ، w (a moins b) fois (a plus b) . w أربعة متاع les cubes : le cube d'une somme ، le cube d'une différence ، la somme w la différence de deux cubes . يتقراو في الزوز اتجاهات : باش نـ développer w باش نـ factoriser .
Il y en a sept. Trois portent sur les carrés : a plus b le tout au carré, a moins b le tout au carré, et (a moins b) fois (a plus b). Quatre portent sur les cubes : le cube d'une somme, le cube d'une différence, la somme et la différence de deux cubes. Elles se lisent dans les deux sens : pour développer et pour factoriser.
Question 15 · Le cube d'une somme, le cube d'une différence
- comment développer (a+b) au cube
- (a+b) au cube kifech
- cube d'une somme c'est quoi
- (a+b) au cube égale a cube plus b cube ?
- a plus b au cube égale combien
- kifech ndévelopi (x+2) au cube
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ : 4 termes, w les coefficients 1, 3, 3, 1. W mahouch $a^{3} + b^{3}$ : jarreb b 1 w 1, tal9a 8 mahouch 2.
a plus b le tout au cube égale a au cube plus 3 a au carré b plus 3 a b au carré plus b au cube . 4 termes ، w les coefficients 1 ، 3 ، 3 ، 1 . w ماهوش a au cube plus b au cube : جرّب بـ 1 w 1 ، تلقى 8 ماهوش 2 .
a plus b le tout au cube égale a au cube plus 3 a au carré b plus 3 a b au carré plus b au cube : quatre termes, de coefficients 1, 3, 3, 1. Ce n'est pas a au cube plus b au cube : essaie avec 1 et 1, tu trouves 8 et non 2.
Question 16 · Le cube d'une somme, le cube d'une différence
- comment développer (a-b) au cube
- (a-b) au cube kifech
- cube d'une différence les signes
- a moins b au cube égale combien
- (a-b) au cube les signes kifech
- les signes du cube d'une différence
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$. Nafs les coefficients 1, 3, 3, 1, ama les signes yetbadlou : moins, plus, moins. El termes elli fihom b b exposant impair yekhdhou moins.
a moins b le tout au cube égale a au cube moins 3 a au carré b plus 3 a b au carré moins b au cube . نفس les coefficients 1 ، 3 ، 3 ، 1 ، أما les signes يتبادلو : moins ، plus ، moins . الـ termes اللي فيهم b بـ exposant impair ياخذو moins .
a moins b le tout au cube égale a au cube moins 3 a au carré b plus 3 a b au carré moins b au cube. Mêmes coefficients 1, 3, 3, 1, mais les signes alternent : les termes où b a un exposant impair prennent le signe moins.
Question 17 · Le cube d'une somme, le cube d'une différence
- comment retenir les identités du cube
- kifech n7faa4 le cube d'une somme
- astuce pour mémoriser le cube
- les coefficients 1 3 3 1 du cube
- kifech na7fedh les cubes
- comment se rappeler du développement du cube
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
El structure tet7fedh wa7dha : 4 termes, l'exposant mte3 a yahbet men 3 l zéro, w mte3 b yotla3 men zéro l 3, w les coefficients 1, 3, 3, 1. W koll terme de degré 3 : ken l9it terme fih $ab$ bark, rahou na9es facteur.
الـ structure تتحفظ وحدها : 4 termes ، l'exposant متاع a يهبط من 3 لـ zéro ، w متاع b يطلع من zéro لـ 3 ، w les coefficients 1 ، 3 ، 3 ، 1 . w كل terme de degré 3 : كان لقيت terme فيه a b برك ، راهو ناقص facteur .
La structure se retient mieux qu'elle ne s'apprend : quatre termes, l'exposant de a descend de 3 à 0 pendant que celui de b monte, et les coefficients sont 1, 3, 3, 1. Chaque terme est de degré 3 : un terme en a b seul signale qu'il manque un facteur.
Question 18 · Somme et différence de deux cubes
- est-ce que a cube plus b cube se factorise
- somme de deux cubes tetfactorisa ?
- comment factoriser une somme de cubes
- a cube plus b cube kifech nfactorisi
- la somme de deux cubes se factorise ?
- somme de cubes identité remarquable
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ey, 3aks les carrés : la somme de deux cubes tetfactoriser. $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$. Le premier facteur b nafs le signe, w fel west $-ab$, mahouch double.
إيه ، عكس les carrés : la somme de deux cubes تتـ factoriser . a au cube plus b au cube égale a plus b ، fois a au carré moins a b plus b au carré . le premier facteur بنفس le signe ، w في الوسط moins a b ، ماهوش double .
Oui, contrairement aux carrés, la somme de deux cubes se factorise : a au cube plus b au cube égale a plus b, fois a au carré moins a b plus b au carré. Le premier facteur garde le même signe, et le terme du milieu est moins a b, sans être doublé.
Question 19 · Somme et différence de deux cubes
- comment factoriser a cube moins b cube
- différence de deux cubes kifech
- x cube moins 8 kifech nfactorisiha
- factoriser une différence de cubes
- a cube moins b cube égale combien
- différence de cubes identité remarquable
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$. Par exemple $x^{3} - 8$ : 8 houwa $2^{3}$, donc $x^{3} - 8 = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$.
a au cube moins b au cube égale a moins b ، fois a au carré plus a b plus b au carré . par exemple x au cube moins 8 : 8 هو 2 au cube ، donc x au cube moins 8 égale x moins 2 ، fois x au carré plus 2 x plus 4 .
a au cube moins b au cube égale a moins b, fois a au carré plus a b plus b au carré. Par exemple x au cube moins 8 : 8 est 2 au cube, donc x au cube moins 8 égale x moins 2, fois x au carré plus 2 x plus 4.
Question 20 · Somme et différence de deux cubes
- pourquoi ab et pas 2ab dans la différence de cubes
- 3lech ab mouch 2ab fel cube
- dans a cube moins b cube le terme du milieu c'est 2ab ?
- cube terme du milieu 2ab wala ab
- pourquoi pas le double produit dans les cubes
- cube 2ab wala ab
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi $a^{3} - b^{3}$, le terme du milieu houwa $ab$, mouch $2ab$. Ki ndévelopper $(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$, $a^{2}b$ w $ab^{2}$ yjiw marrtin b des signes contraires w yetna77aw. Law ken $2ab$, ma yetna77awch.
في a au cube moins b au cube ، le terme du milieu هو a b ، موش 2 a b . كي نـ développer (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré) ، a au carré b w a b au carré يجيو مرتين بـ des signes contraires w يتنحّاو . لو كان 2 a b ، ما يتنحّاوش .
Dans a au cube moins b au cube, le terme du milieu est a b, pas 2 a b. En développant (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré), les termes a au carré b et a b au carré apparaissent deux fois avec des signes opposés et se compensent. Avec 2 a b, ils ne se compenseraient plus.
Question 21 · Développer
- quelle est la différence entre développer et factoriser
- chnowa el far9 bin développer w factoriser
- développer c'est quoi et factoriser c'est quoi
- développer w factoriser kifkif ?
- développer ou factoriser, c'est quoi la différence
- far9 bin développer w factoriser
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Développer : n7awlou un produit l une somme. Factoriser houwa el 3aks : n7awlou une somme l un produit. Mathalan $x(x + 1)$, ki ndévelopper, ya3ti $x^{2} + x$, w ki nfactoriser $x^{2} + x$, nerja3 l $x(x + 1)$.
développer ، نحوّلو un produit لـ une somme . factoriser هو العكس : نحوّلو une somme لـ un produit . مثلا x fois (x plus 1) ، كي نـ développer ، يعطي x au carré plus x ، w كي نـ factoriser x au carré plus x ، نرجعو لـ x fois (x plus 1) .
Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit. Par exemple, x fois (x plus 1) se développe en x au carré plus x, et x au carré plus x se factorise en x fois (x plus 1).
Question 22 · Développer
- un moins devant une parenthèse ça change quoi
- moins 9odem parenthèse kifech
- 5 - (x+1) = 5 - x + 1 ?
- pourquoi le signe change quand il y a un moins devant la parenthèse
- signe moins avant parenthèse
- ki fama moins 9bal parenthèse chnowa na3mel
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki yji un moins 9oddem une parenthèse, ybaddel le signe mte3 el termes el koll elli fiha, mouch le premier bark. $5 - (x + 1) = 5 - x - 1$, mouch $5 - x + 1$.
كي يجي un moins قدّام une parenthèse ، يبدّل le signe متاع الـ termes الكل اللي فيها ، موش le premier برك . 5 moins (x plus 1) égale 5 moins x moins 1 ، موش 5 moins x plus 1 .
Quand un moins précède une parenthèse, il change le signe de tous les termes qu'elle contient, pas seulement du premier. 5 moins (x plus 1) égale 5 moins x moins 1, et non 5 moins x plus 1.
Question 23 · Développer
- comment développer deux parenthèses
- kifech ndévelopi zouz parenthèses
- c'est quoi la double distributivité
- double distributivité kifech
- développer (2x-3)(x+5) comment
- produit de deux parenthèses comment on fait
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La double distributivité : koll terme mel première parenthèse yadhreb koll terme mel deuxième. Pour $(2x - 3)(x + 5)$ : $2x \times x$, $2x \times 5$, $-3 \times x$ w $-3 \times 5$. Men ba3d nréduire : $2x^{2} + 7x - 15$.
la double distributivité : كل terme من la première parenthèse يضرب كل terme من la deuxième . pour 2 x moins 3 ، fois x plus 5 : 2 x fois x ، 2 x fois 5 ، moins 3 fois x ، w moins 3 fois 5 . من بعد نـ réduire : 2 x au carré plus 7 x moins 15 .
Double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Pour 2 x moins 3, fois x plus 5 : 2 x fois x, 2 x fois 5, moins 3 fois x et moins 3 fois 5. Puis on réduit : 2 x au carré plus 7 x moins 15.
Question 24 · Développer
- c'est quoi réduire une expression
- chnowa ma3neha réduire
- comment réduire après avoir développé
- réduire ya3ni chnowa
- kifech nréduisi
- regrouper les termes semblables c'est quoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Réduire : nejm3ou les termes semblables, el termes en x m3a ba3dhom, w el nombres m3a ba3dhom. Mathalan $2x^{2} + 10x - 3x - 15$ : $10x - 3x = 7x$, donc $2x^{2} + 7x - 15$.
réduire ، نجمعو les termes semblables : الـ termes en x مع بعضهم ، w الـ nombres مع بعضهم . مثلا 2 x au carré plus 10 x moins 3 x moins 15 : 10 x moins 3 x يعطي 7 x ، donc 2 x au carré plus 7 x moins 15 .
Réduire, c'est regrouper les termes semblables : les termes en x ensemble, les nombres ensemble. Par exemple, dans 2 x au carré plus 10 x moins 3 x moins 15, 10 x moins 3 x donne 7 x : on obtient 2 x au carré plus 7 x moins 15.
Question 25 · Factoriser par un facteur commun
- comment trouver le facteur commun
- kifech nal9a le facteur commun
- c'est quoi un facteur commun
- facteur commun chnowa
- factoriser par un facteur commun comment
- le facteur commun peut être une parenthèse ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nlawjou 3la elli yet3awed fel termes el koll. Ynajjem ykoun un nombre, une lettre, walla une parenthèse kemla. Mathalan $(x - 1)(x + 3) + (x - 1)(2x)$ : $(x - 1)$ mawjouda fel zouz, n5arjouha, w nousslou l $3(x - 1)(x + 1)$.
نلوّجو على اللي يتعاود في الـ termes الكل . ينجّم يكون un nombre ، une lettre ، ولّا une parenthèse كاملة . مثلا (x moins 1) fois (x plus 3) ، plus (x moins 1) fois 2 x : la parenthèse x moins 1 موجودة في الزوز ، نخرّجوها ، w نوصلو لـ 3 fois (x moins 1) fois (x plus 1) .
On cherche ce qui se répète dans tous les termes. Ce peut être un nombre, une lettre ou une parenthèse entière. Par exemple, dans (x moins 1) fois (x plus 3), plus (x moins 1) fois 2 x, la parenthèse x moins 1 est dans les deux termes ; on la met en facteur et on arrive à 3 fois (x moins 1) fois (x plus 1).
Question 26 · Factoriser par un facteur commun
- pourquoi x² + x = x(x+1) et pas x(x)
- 3lech yo93od 1 ki nfactorisi
- d'où vient le 1 quand on factorise
- x² + x kifech nfactorisiha
- le 1 qui reste après factorisation
- x carré plus x factoriser
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$x^{2} + x$ : le deuxième terme houwa $x \times 1$. Ki n5arjou x, el 1 yo93od. Donc $x^{2} + x = x(x + 1)$, mouch $x(x)$. Ki un terme ykoun houwa le facteur commun, y5alli 1 warah.
x au carré plus x : le deuxième terme هو x fois 1 . كي نخرّجو x ، الـ 1 يقعد . donc x au carré plus x égale x fois (x plus 1) ، موش x fois x . كي un terme يكون هو le facteur commun ، يخلّي 1 وراه .
Dans x au carré plus x, le second terme vaut x fois 1. Quand on sort le x, le 1 reste. Donc x au carré plus x égale x fois (x plus 1), et non x fois x. Quand un terme est exactement le facteur commun, il laisse un 1 derrière lui.
Question 27 · Factoriser avec une identité
- comment savoir quelle identité utiliser pour factoriser
- kifech na3ref anahi identité nesta3mel bech nfactorisi
- factoriser avec une identité remarquable comment
- quand il n'y a pas de facteur commun comment factoriser
- kifech nfactorisi b identité
- identité remarquable pour factoriser laquelle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki ma thammech facteur commun, nchoufou la forme. Deux termes, une soustraction, w deux carrés : différence de carrés. Trois termes, menhom deux carrés : carré d'une somme walla d'une différence, b chart el terme elli fel west ykoun le double produit. Par exemple $x^{2} + 6x + 9$ : $2 \times x \times 3 = 6x$, donc $(x + 3)^{2}$.
كي ما ثمّاش facteur commun ، نشوفو la forme . deux termes ، une soustraction ، w deux carrés : différence de carrés . trois termes ، منهم deux carrés : carré d'une somme ولّا d'une différence ، بشرط الـ terme اللي في الوسط يكون le double produit . par exemple x au carré plus 6 x plus 9 : 2 fois x fois 3 égale 6 x ، donc x plus 3 le tout au carré .
Sans facteur commun, on regarde la forme. Deux termes, une soustraction et deux carrés : différence de carrés. Trois termes dont deux carrés : carré d'une somme ou d'une différence, à condition que le terme du milieu soit bien le double produit. Par exemple x au carré plus 6 x plus 9 : 2 fois x fois 3 égale 6 x, donc c'est x plus 3 le tout au carré.
Question 28 · Factoriser avec une identité
- est-ce que a² + b² se factorise
- x² + 4 kifech nfactorisiha
- somme de deux carrés tetfactorisa ?
- pourquoi x² + 4 ne se factorise pas
- a carré plus b carré factoriser
- la somme de deux carrés se factorise ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le : $a^{2} + b^{2}$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$. Ken la différence de deux carrés elli tetfactoriser. $(x - 2)(x + 2)$ ya3ti $x^{2} - 4$, mouch $x^{2} + 4$.
لا : a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans ℝ . كان la différence de deux carrés اللي تتـ factoriser . x moins 2 ، fois x plus 2 ، يعطي x au carré moins 4 ، موش x au carré plus 4 .
Non : a au carré plus b au carré ne se factorise pas dans R. Seule la différence de deux carrés se factorise. x moins 2, fois x plus 2, donne x au carré moins 4, pas x au carré plus 4.
Question 29 · Calculer de tête avec une identité
- comment calculer 101² de tête
- kifech na7seb 101² fi rasi
- calcul mental avec une identité remarquable
- comment calculer 99² sans calculatrice
- 102² - 98² kifech sans calculer les carrés
- calcul mental identité kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nombre 9rib men 100, nektbouh 100 plus walla 100 moins. $101^{2} = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$. $99^{2} = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$. W $102^{2} - 98^{2}$ : la différence de carrés, $4 \times 200 = 800$.
nombre قريب من 100 ، نكتبوه 100 plus ولّا 100 moins . 101 au carré : 10 000 plus 200 plus 1 ، يعني 10 201 . 99 au carré : 10 000 moins 200 plus 1 ، يعني 9 801 . w 102 au carré moins 98 au carré : la différence de carrés ، 4 fois 200 ، يعني 800 .
Un nombre proche de 100, on l'écrit 100 plus ou 100 moins quelque chose. 101 au carré égale 10 000 plus 200 plus 1, soit 10 201. 99 au carré égale 10 000 moins 200 plus 1, soit 9 801. Et 102 au carré moins 98 au carré, c'est une différence de carrés : 4 fois 200, soit 800.
Question 30 · Égales partout, ou égales seulement quelque part
- comment montrer que deux expressions sont égales pour tout réel
- kifech nwarri A = B pour tout réel
- montrer que A = B quel que soit x
- égales pour tout x comment le prouver
- kifech nprouvi égalité pour tout réel
- deux expressions égales quel que soit x
Ce qu’il répond
Bech nmontrer $A = B$ pour tout réel, ndévelopper w nréduire el zouz, w ncomparer les formes réduites. Ken jew kif kif, $A = B$ pour tout réel. Ama njarbou des valeurs, ma yprouvi chay.
باش نـ montrer A égale B pour tout réel ، نـ développer w نـ réduire الزوز ، w نـ comparer les formes réduites . كان جاو كيف كيف ، A égale B pour tout réel . أما نجرّبو des valeurs ، ما يـ prouve شي .
Pour montrer que A égale B pour tout réel, on développe et on réduit les deux, puis on compare les formes réduites. Si elles sont identiques, A égale B pour tout réel. Vérifier sur des valeurs ne prouve rien.
Question 31 · Égales partout, ou égales seulement quelque part
- égales pour 3 valeurs donc égales partout ?
- jarrabt barcha valeurs w jew égales, donc A = B ?
- si ça marche pour plusieurs valeurs c'est bon ?
- vérifier avec des valeurs ça suffit pour prouver ?
- A et B coïncident pour trois valeurs donc A = B ?
- plusieurs valeurs suffisent pour montrer l'égalité ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le. $A = x^{3} - x^{2}$ w $B = 2x^{2} + 6x - 8$ ytsewew pour 1, $-2$ w 4. Ama $A(0) = 0$ w $B(0) = -8$ : mouch égales partout. Des valeurs ma yprouviw 7atta égalité.
لا . A égale x au cube moins x au carré w B égale 2 x au carré plus 6 x moins 8 يتساواو pour 1 ، moins 2 w 4 . أما A de zéro égale zéro w B de zéro égale moins 8 : موش égales partout . des valeurs ما يـ prouvent حتى égalité .
Non. A égale x au cube moins x au carré et B égale 2 x au carré plus 6 x moins 8 coïncident pour 1, moins 2 et 4. Mais A de zéro égale zéro et B de zéro égale moins 8 : elles ne sont pas égales partout. Des valeurs ne prouvent jamais une égalité d'expressions.
Question 32 · Égales partout, ou égales seulement quelque part
- c'est quoi un contre-exemple
- chnowa contre-exemple
- comment montrer que A et B ne sont pas égales
- un seul contre-exemple suffit ?
- kifech nwarri A mouch égale B
- contre-exemple wa7ed yekfi ?
Ce qu’il répond
Contre-exemple houwa valeur wa7da win el zouz expressions ma ytsewewch. W yekfi : houwa preuve kemla elli A mouch égale B pour tout réel. Par exemple $A(0) = 0$ w $B(0) = -8$.
contre-exemple هو valeur وحدة وين الزوز expressions ما يتساواوش . w يكفي : هو preuve كاملة اللي A موش égale B pour tout réel . par exemple A de zéro égale zéro w B de zéro égale moins 8 .
Un contre-exemple, c'est une seule valeur où les deux expressions diffèrent. Et il suffit : c'est une preuve complète que A n'est pas égale à B pour tout réel. Par exemple A de zéro égale zéro et B de zéro égale moins 8.
Question 33 · Ce qu'on a le droit de faire à une égalité
- pourquoi multiplier par un nombre non nul
- 3lech non nul ki nmultipliw égalité
- on peut multiplier une égalité par 0 ?
- multiplier les deux membres par zéro
- pourquoi pas multiplier par zéro
- non nul 3lech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken nmultiplier par zéro, ay égalité, 7atta ghalta, twalli $0 = 0$. Par exemple $2 = 3$ ghalta, ama $2 \times 0 = 3 \times 0$ s7i7a. W bech nerj3ou lteli lezem ndiviser par zéro, w hedha mamnou3.
كان نـ multiplier par zéro ، أي égalité ، حتى غالطة ، تولّي zéro égale zéro . par exemple 2 égale 3 غالطة ، أما 2 fois zéro égale 3 fois zéro صحيحة . w باش نرجعو لتالي لازم نـ diviser par zéro ، w هذا ممنوع .
En multipliant par zéro, n'importe quelle égalité, même fausse, devient zéro égale zéro. Par exemple 2 égale 3 est faux, mais 2 fois zéro égale 3 fois zéro est vrai. Et pour revenir en arrière, il faudrait diviser par zéro, ce qui est interdit.
Question 34 · Ce qu'on a le droit de faire à une égalité
- qu'est-ce qu'on a le droit de faire à une égalité
- chnowa el règles mta3 égalité
- les règles de l'égalité
- ajouter le même nombre aux deux membres ça change l'égalité ?
- kifech nbaddel égalité bla ma nkhassarha
- règles pour modifier une égalité
Ce qu’il répond
Zouz règles : nzidou nafs el terme lel zouz membres, w nmultiplier el zouz membres b nafs el nombre non nul. El zouz ma ybaddlouch l'égalité, w le chapitre des équations yesta3melhom dima.
زوز règles : نزيدو نفس الـ terme للزوز membres ، w نـ multiplier الزوز membres بنفس الـ nombre non nul . الزوز ما يبدّلوش l'égalité ، w le chapitre des équations يستعملهم ديما .
Deux règles : on peut ajouter le même terme aux deux membres, et multiplier les deux membres par un même nombre non nul. Aucune des deux ne modifie l'égalité, et le chapitre des équations s'en sert sans arrêt.
Question 35 · L'équation produit nul
- c'est quoi l'équation produit nul
- produit nul chnowa
- comment résoudre un produit égal à zéro
- kifech n7el produit nul
- produit nul règle
- (2x-1)(x+4) = 0 kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Pour $(2x - 1)(x + 4) = 0$ : $2x - 1 = 0$ walla $x + 4 = 0$. Donc $x = \frac{1}{2}$ walla $x = -4$.
un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul . pour 2 x moins 1 ، fois x plus 4 ، égale zéro : 2 x moins 1 égale zéro ولّا x plus 4 égale zéro . donc x égale un demi ولّا x égale moins 4 .
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Pour 2 x moins 1, fois x plus 4, égale zéro : 2 x moins 1 égale zéro ou x plus 4 égale zéro. Donc x égale un demi ou x égale moins 4.
Question 36 · L'équation produit nul
- pourquoi on ne développe pas avant de résoudre
- 3lech ma ndévelopiwech (2x-1)(x+4) = 0
- faut-il développer une équation produit
- ndévelopi 9bal ma n7el ?
- développer avant de résoudre ou pas
- équation factorisée pourquoi ne pas développer
Ce qu’il répond
Ki tkoun l'équation déjà factorisée, ma ndévelopper chay. Le développement yraja3na l équation du second degré, w hedhi ma na3rfouch n7elouha tawa. La forme factorisée ta3tina les solutions directement b le produit nul.
كي تكون l'équation déjà factorisée ، ما نـ développer شي . le développement يرجّعنا لـ équation du second degré ، w هاذي ما نعرفوش نحلّوها توّا . la forme factorisée تعطينا les solutions directement بـ le produit nul .
Quand l'équation est déjà factorisée, on ne développe jamais. Développer ramène à une équation du second degré, qu'on ne sait pas encore résoudre. La forme factorisée donne les solutions directement, grâce au produit nul.
Question 37 · L'équation produit nul
- et si c'est une somme égale à zéro
- somme A + B = 0 donc A = 0 ?
- somme nulle kifech
- somme égale à zéro même règle que le produit ?
- el somme ki tsewi zéro chnowa n9oulou
- somme nulle ça marche comme le produit nul ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, ma thammech règle hakka l une somme. $A + B = 0$ ma t9oul walou 3la A wa7dha wala 3la B wa7dha : mathalan $3 + (-3) = 0$, w 7atta wa7ed fihom mouch zéro. El règle hedhi mte3 le produit bark.
لا ، ما ثمّاش règle هكّا لـ une somme . A plus B égale zéro ما تقول والو على A وحدها ولا على B وحدها : مثلا 3 plus moins 3 égale zéro ، w حتى واحد فيهم موش zéro . الـ règle هاذي متاع le produit برك .
Non, rien de tel pour une somme. A plus B égale zéro ne dit rien sur A ni sur B pris séparément : par exemple 3 plus moins 3 égale zéro, sans qu'aucun des deux soit nul. Cette règle ne vaut que pour un produit.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Une double distributivité
Développer et réduire
Donner le coefficient de dans la forme réduite.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits en tout.
- Le coefficient de vient de deux produits seulement : et
- Attention au signe du second : le garde son moins.
Correction
- Les quatre produits —
- Réduire — On regroupe les deux termes en
Le coefficient de est la somme des deux produits croisés, signes compris.
Pièges anticipés
13→ Tu as fait Le terme est donc le produit croisé vaut : on soustrait.0→ Tu n'as multiplié que le premier par le premier et le dernier par le dernier. Il manque les deux produits croisés.
Exercice 2 · base
Le carré d'une différence
Développer
Donner le coefficient de
Réponse attendue : -12
Indices, dans l’ordre
- Applique l'identité du carré d'une différence.
- Ici et Le coefficient de vient du terme
- N'oublie ni le facteur ni le signe moins.
Correction
- Identifier —
- Le double produit —
- Les carrés — Le carré porte aussi sur le coefficient
Le terme du milieu est toujours le double produit, avec le signe de l'identité.
Pièges anticipés
12→ L'identité du carré d'une différence donne : le terme du milieu est négatif.-6→ Tu as calculé sans le facteur du double produit.0→ Tu as écrit Le double produit manque : c'est justement le terme en
Exercice 3 · pratique
Une différence de carrés
Factoriser
Réponse attendue : (3x-5)*(3x+5)
Indices, dans l’ordre
- Deux termes, une soustraction, deux carrés : c'est une différence de carrés.
- Écris chaque terme comme un carré.
- Applique l'identité dans le sens de la factorisation.
Correction
- Écrire en carrés —
- Appliquer l'identité — Avec et
- Vérification — On redéveloppe pour contrôler.
On vérifie toujours une factorisation en la redéveloppant.
Pièges anticipés
(3x-5)^2→ donnerait trois termes, avec un au milieu. Ici il n'y a que deux termes.(9x-5)*(9x+5)→ La racine carrée de est pas Le coefficient aussi passe à la racine.
Exercice 4 · pratique
Un facteur commun caché
Factoriser complètement
Réponse attendue : 3*(x-1)*(x+1)
Indices, dans l’ordre
- Un facteur commun n'est pas toujours une lettre : cherche ce qui se répète tel quel dans les deux termes.
- Mets en facteur, et réduis ce qui reste entre crochets.
- Une fois le crochet réduit, regarde s'il ne reste pas un nombre à sortir.
Correction
- Facteur commun — La parenthèse apparaît dans les deux termes.
- Réduire —
- Factoriser encore — : la factorisation n'était pas terminée.
« Factoriser complètement » veut dire aller jusqu'au bout : on regarde toujours si un dernier facteur peut sortir.
Pièges anticipés
(x-1)*(2x)*(x+3)→ Les deux termes sont additionnés, pas multipliés. En factorisant, on additionne ce qui reste dans le crochet.(x-1)*(x+5)→ Dans le crochet, est un terme en : il s'ajoute au pas au
Exercice 5 · raisonnement
Deux identités enchaînées
Factoriser
Réponse attendue : -3*(x+3)*(x-1) — aussi acceptées : (-x-3)*(3x-3) · 3*(x+3)*(1-x)
Indices, dans l’ordre
- Ne réduis pas tout de suite. Regarde les trois premiers termes : ils forment un bloc connu.
- Écris chaque bloc comme un carré.
- Tu obtiens alors une différence de deux carrés, qu'on sait factoriser.
Correction
- Premier bloc — Trois termes, deux carrés, et est bien le double produit
- Différence de carrés —
- On applique l'identité avec et
- Ranger — On sort du premier facteur et du second.
Réduire d'abord aurait détruit le carré parfait. On repère la structure avant de calculer.
Pièges anticipés
(-x-3)*(3x+3)→ Dans le second crochet, et non(x+3)^2-(2x)^2→ Le terme du milieu est : c'est le carré d'une différence, donc
Exercice 6 · defi
De la factorisation à l'équation
Résoudre dans l'équation
Donner la solution positive.
Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- Sépare en deux équations du premier degré, et résous-les indépendamment.
- Surtout, ne développe pas : le produit est déjà sous la forme qui donne les solutions.
Correction
- Produit nul —
- Premier facteur —
- Second facteur —
Deux facteurs, donc au plus deux solutions. La seule positive vient du premier facteur.
Pièges anticipés
-4→ est bien une solution, mais elle est négative. La consigne demande la solution positive.1→ Tu es arrivé à et tu t'es arrêté. Il reste à diviser par
Exercice 7 · base
Du programme à l'expression
On choisit un entier on le multiplie par on ajoute au résultat, on multiplie le tout par puis on retranche le double du carré du nombre de départ.
Écrire l'expression réduite du nombre obtenu, en fonction de
Donner l'expression en fonction de développée et réduite.
Réponse attendue : -2*b^2 + 99*b + 36 — aussi acceptées : 99*b + 36 - 2*b^2
Indices, dans l’ordre
- Traduis une ligne à la fois, sans chercher à réduire. La première donne la deuxième ajoute
- « Multiplier le tout par » porte sur ce qui précède en entier : il faut une parenthèse.
- La dernière ligne retranche le double du carré du nombre de départ. Le nombre de départ, c'est — pas le résultat précédent.
Correction
- Ligne par ligne —
- La dernière ligne — Le double du carré du nombre de départ vaut
- On développe —
Une fois cette expression écrite, le programme ne sert plus à rien : pour on remplace et on trouve sans refaire les quatre étapes.
Pièges anticipés
11*b + 36 - 2*b^2→ Tu n'as multiplié que le par « Multiplier le résultat obtenu » porte sur en entier, donc99*b + 36→ Il manque la dernière ligne du programme : retrancher99*b + 4 - 2*b^2→ Le doit lui aussi être multiplié par ce qui donne
Exercice 8 · pratique
Le cube d'une somme
Développer et réduire
Réponse attendue : x^3 + 6*x^2 + 12*x + 8
Indices, dans l’ordre
- Quatre termes t'attendent, avec les coefficients Commence par identifier et
- Ici et Écris la formule en entier avant de calculer quoi que ce soit.
- Attention au troisième terme : c'est donc le y est au carré.
Correction
- La formule —
- Chaque terme —
Un contrôle rapide : pour et Les deux écritures concordent.
Pièges anticipés
x^3 + 8→ Tu as écrit Vérifie avec : Les deux termes du milieu manquent.x^3 + 6*x^2 + 6*x + 8→ Ton troisième terme est La formule demande donc
Exercice 9 · pratique
Une différence de cubes
Factoriser
Réponse attendue : (x - 2)*(x^2 + 2*x + 4)
Indices, dans l’ordre
- Deux termes, une soustraction. Mais ce ne sont pas des carrés : regarde les exposants de plus près.
- donc est une différence de deux cubes, avec et
- Dans le second facteur, le terme du milieu porte le signe opposé à celui du premier facteur, et il n'est pas doublé.
Correction
- Reconnaître — et sont deux cubes, séparés par un moins.
- Appliquer —
Le second facteur ne se factorise pas davantage. On peut vérifier en développant : les termes en et en se compensent deux à deux, et il ne reste que
Pièges anticipés
(x - 2)*(x^2 - 2*x + 4)→ Tu as mis un moins au milieu du second facteur. C'est le carré d'une différence qui fait cela ; pour les cubes, le signe du milieu est l'opposé de celui du premier facteur, donc un plus ici.(x - 2)^3→ Tu as factorisé comme si était Développe-le pour voir : tu obtiens et non
Exercice 10 · raisonnement
De tête, sans poser le calcul
Calculer sans calculer les deux carrés, en reconnaissant une identité remarquable.
Donner le résultat.
Réponse attendue : 800
Indices, dans l’ordre
- Deux termes, une soustraction, et chacun est un carré. Quelle identité a exactement cette forme ?
- Applique-la avec et Les deux facteurs obtenus sont des nombres ronds.
Correction
- La forme — C'est une différence de deux carrés, avec et
- Deux calculs faciles —
Par l'autre chemin il aurait fallu calculer Même résultat, mais deux carrés à quatre chiffres : c'est précisément ce que l'identité évite.
Pièges anticipés
4→ Tu t'es arrêté à C'est le premier facteur ; il reste à le multiplier par200→ Tu as donné C'est le second facteur ; le résultat est le produit des deux.16→ Tu as calculé Or n'est pas : ce sont deux facteurs différents.
Exercice 11 · defi
Une expression qui ne dépend pas de x
On pose
Montrer que garde la même valeur quel que soit le réel et donner cette valeur.
Donner la valeur constante de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Développe les deux carrés séparément, et n'essaie pas de simplifier avant de les avoir tous les deux écrits.
- Attention au signe : le second carré est retranché, donc tous les termes de son développement changent de signe.
- Les termes en sont identiques dans les deux carrés : ils disparaissent dans la soustraction. Regarde ensuite ce que deviennent les termes en en tenant compte du de la fin.
Correction
- Premier carré —
- Second carré —
- La soustraction — On retranche le second développement en entier, donc on change le signe de chacun de ses termes.
- On regroupe — Les se compensent. Pour les termes en : Restent les constantes
Il ne reste aucun : l'expression est constante. C'est pour cela qu'on ne pouvait pas répondre en testant des valeurs — il fallait développer, comme dans la section sur l'égalité de deux expressions.
Pièges anticipés
-6*x + 3→ Il te reste un terme en : tu as oublié le de la fin, ou tu ne l'as compté qu'une fois. Après la soustraction il reste et le final annule le tout.0→ Tu as fait disparaître aussi les constantes. Elles ne se compensent pas :
Exercice 12 · base
Un programme qui se simplifie
On choisit un nombre On lui ajoute on multiplie le résultat par puis on retranche
Écrire l'expression réduite du nombre obtenu, en fonction de
Donner l'expression en fonction de développée et réduite.
Réponse attendue : 3*a
Indices, dans l’ordre
- Traduis ligne par ligne : ajouter donne
- « Multiplier le résultat par » porte sur en entier : il faut une parenthèse.
- Développe, puis regarde ce que deviennent les constantes.
Correction
- Ligne par ligne —
- On développe —
- Les constantes se compensent.
Le programme rend toujours le triple du nombre de départ : l'expression le montre d'un coup d'œil, ce que dix essais n'auraient pas prouvé.
Pièges anticipés
a→ Tu as écrit : sans parenthèse, le ne multiplie que le Le résultat obtenu, c'est en entier.3*a-10→ Tu as écrit : le doit lui aussi être multiplié par
Exercice 13 · base
Appliquer un programme à un nombre négatif
On choisit un nombre, on le multiplie par on ajoute au résultat, puis on multiplie ce résultat par le nombre de départ.
Calculer le nombre obtenu quand le nombre de départ est
Donner le nombre obtenu.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Écris d'abord l'expression : si le nombre de départ est on obtient
- Remplace par en gardant les parenthèses, et calcule d'abord le contenu de la parenthèse.
- Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Correction
- L'expression —
- On remplace x par −3 —
- La parenthèse —
On calcule toujours le contenu de la parenthèse en premier : c'est elle qui dit que le est ajouté avant la dernière multiplication.
Pièges anticipés
-33→ Tu as calculé : le a été multiplié seul. C'est le résultat en entier qu'on multiplie.-15→ est le produit de deux négatifs : il est positif.
Exercice 14 · pratique
Un carré qui en efface un autre
On choisit un nombre On calcule son carré, on y ajoute le triple de puis on retranche le carré du nombre
Écrire l'expression réduite du nombre obtenu, en fonction de
Donner l'expression en fonction de développée et réduite.
Réponse attendue : x-1
Indices, dans l’ordre
- Traduis sans réduire : puis on retranche — avec ses parenthèses.
- Développe le carré avec l'identité, sans oublier le double produit.
- Le moins devant le carré change le signe de chacun des trois termes de son développement.
Correction
- Traduire —
- Le carré —
- Retrancher — On change le signe des trois termes.
Les carrés se compensent : le programme revient simplement à retirer au nombre de départ.
Pièges anticipés
3*x-1→ Tu as écrit Il manque le double produit5*x+1→ Le moins devant porte sur tous ses termes : on retranche et et
Exercice 15 · pratique
Une hausse puis une remise
Un commerçant augmente de le prix (en dinars) d'un article, puis il accorde une remise de sur ce nouveau prix.
Écrire le prix final en fonction de
Donner le prix final en fonction de sous la forme
Réponse attendue : 0.96*p — aussi acceptées : 24/25*p
Indices, dans l’ordre
- Augmenter de c'est multiplier par
- Une remise de multiplie le nouveau prix par
- Les deux coefficients se multiplient : ils ne s'annulent pas.
Correction
- La hausse —
- La remise — Elle porte sur le prix augmenté.
Le prix final est inférieur au prix de départ : de remise portent sur un prix plus grand que celui qui a subi la hausse. Les pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Pièges anticipés
p→ puis ne se compensent pas : la remise est calculée sur le prix déjà augmenté. Multiplie par1.2*p→ Tu t'es arrêté après la hausse. Il reste la remise : on multiplie encore par
Exercice 16 · raisonnement
Un programme qui donne toujours le même nombre
Programme de calcul : choisir un nombre ; lui ajouter ; élever le résultat au carré ; retrancher le carré du nombre de départ ; retrancher enfin fois le nombre de départ.
Montrer que le résultat ne dépend pas du nombre choisi, et donner ce résultat.
Donner le résultat du programme.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Appelle le nombre de départ et traduis chaque ligne, avec les parenthèses nécessaires.
- Tu dois obtenir Développe le carré avec une identité remarquable.
- Regarde ce que deviennent les termes en puis les termes en
Correction
- Traduire —
- Le carré —
- Réduire — Les termes en et en se compensent.
Le nombre de départ a disparu de l'expression : le programme rend pour tout nombre. Essayer quelques valeurs l'aurait suggéré ; seul le développement le prouve.
Pièges anticipés
9-6*x→ Tu as écrit Le double produit manque : c'est lui qui compense le de la fin.0→ Les termes en et en disparaissent, mais pas la constante : reste.
Exercice 17 · defi
Deux produits d'entiers voisins
On choisit un entier
- Programme A : multiplier par l'entier qui le suit.
- Programme B : multiplier l'entier qui précède par l'entier qui suit
Écrire, développée et réduite, la différence (résultat de A) (résultat de B), en fonction de
Donner la différence A − B en fonction de
Réponse attendue : n+1
Indices, dans l’ordre
- Écris les trois entiers consécutifs avec la lettre : celui qui précède est celui qui le suit s'obtient en ajoutant
- Le résultat de B est un produit que tu sais développer d'un coup : une différence de carrés.
- Retranche le résultat de B en entier : mets-le entre parenthèses.
Correction
- Les deux résultats —
- La différence —
- Le moins change le signe du
Par exemple sans poser une seule multiplication. Retrancher une expression, c'est retrancher chacun de ses termes.
Pièges anticipés
n-1→ Tu as retranché sans changer le signe du :-n-1→ Tu as calculé B A. La consigne demande A B.
Exercice 18 · base
Remplacer par un nombre négatif
On pose Calculer
Donner la valeur de
Réponse attendue : 19
Indices, dans l’ordre
- Remplace chaque par avec ses parenthèses.
- Le carré porte sur tout entier : est positif.
- : deux signes moins, donc un produit positif.
Correction
- On remplace —
- Chaque terme —
Un nombre négatif se remplace toujours entre parenthèses : c'est la parenthèse qui fait porter le carré sur le signe.
Pièges anticipés
3→ Tu as écrit Avec la parenthèse, : un carré n'est jamais négatif.-1→ : le produit de deux négatifs est positif.
Exercice 19 · base
La valeur d'un produit
On pose Calculer
Donner la valeur de
Réponse attendue : -7
Indices, dans l’ordre
- Inutile de développer : remplace par dans chaque facteur.
- Calcule chaque parenthèse, puis multiplie les deux résultats.
Correction
- Chaque facteur —
Sous forme de produit, une valeur numérique se calcule facteur par facteur : c'est souvent la forme la plus rapide.
Pièges anticipés
7→ Le premier facteur vaut : le produit est négatif.
Exercice 20 · pratique
Une valeur exacte en fraction
On pose Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Le carré porte sur seulement, pas sur le placé devant :
- puis multiplie par et simplifie.
- Mets les deux fractions au même dénominateur avant de soustraire.
Correction
- On remplace —
- Le carré —
Pour une valeur exacte, on garde les fractions jusqu'au bout : une valeur approchée n'est pas la valeur demandée.
Pièges anticipés
10/3→ Tu as calculé Dans seul est au carré :0.67 / 0.667 / 0.6667 / 0.66 / 0.666 / 0.7→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 21 · pratique
Deux lettres à remplacer
Calculer la valeur de pour et
Donner la valeur de
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Remplace par et par en gardant les parenthèses autour de
- Le terme du milieu est : compte bien les signes moins.
Correction
- On remplace —
- Chaque terme —
Deux signes moins dans un même produit donnent un produit positif : c'est là que la plupart des erreurs se glissent.
Pièges anticipés
-1→ : deux facteurs négatifs, le produit est positif.9→ et non : un carré est toujours positif.
Exercice 22 · pratique
Le prix d'une course
Un taxi facture dinar à la prise en charge, puis dinar par kilomètre parcouru.
Écrire le prix d'une course de kilomètres, puis calculer ce prix pour une course de km.
Donner le prix de la course de 12 km, en dinars.
Réponse attendue : 5.9
Indices, dans l’ordre
- Le prix est la somme d'une partie fixe et d'une partie qui dépend de
- La partie variable vaut La prise en charge, elle, ne se multiplie pas.
- Remplace ensuite par
Correction
- L'expression —
- Pour d égal à 12 —
La course de km coûte dinars. Une expression littérale sépare clairement ce qui est fixe de ce qui dépend de la lettre.
Pièges anticipés
5.4→ Tu as oublié la prise en charge de dinar, payée une fois quelle que soit la distance.11.4→ Tu as multiplié la prise en charge par aussi. Elle n'est payée qu'une fois :
Exercice 23 · pratique
L'aire d'un rectangle
Un rectangle a pour longueur et pour largeur (en cm, avec ).
Écrire son aire en fonction de développée et réduite.
Donner l'aire en fonction de développée et réduite.
Réponse attendue : x^2+3*x-4
Indices, dans l’ordre
- L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur :
- Double distributivité : quatre produits en tout.
- Regroupe les deux termes en en tenant compte du signe de
Correction
- Le produit —
- Quatre produits —
Une aire en fonction de s'écrit d'abord comme un produit ; on ne développe qu'ensuite, et on vérifie les signes des produits croisés.
Pièges anticipés
x^2-4→ Il manque les deux produits croisés : etx^2+5*x-4→ Le produit vaut : les termes en font
Exercice 24 · raisonnement
Choisir la bonne forme
Une même expression s'écrit de trois façons :
et
Calculer en choisissant pour chaque valeur la forme la plus commode.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Pour une des formes contient un facteur qui s'annule.
- Pour une des formes fait disparaître la parenthèse au carré.
- Pour la forme développée donne la réponse sans calcul.
Correction
- x égal à 4 — Forme factorisée : le facteur est nul.
- x égal à 3 — Première forme.
- x égal à 0 — Forme développée.
Trois valeurs, trois formes : chaque forme a sa valeur préférée. C'est pour cela qu'on apprend à passer de l'une à l'autre.
Pièges anticipés
9→ et non : le est retranché après le carré.
Exercice 25 · raisonnement
Retrouver un coefficient
On pose où est un réel.
Déterminer sachant que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Calcule en fonction de : reste une lettre.
- Tu obtiens une égalité du type : isole
- Attention : le carré porte sur
Correction
- A(2) en fonction de m —
- L'égalité —
Une valeur numérique connue donne une égalité, et l'égalité donne le coefficient inconnu. On peut vérifier :
Pièges anticipés
4→ Tu as calculé au lieu de : le carré a disparu.7→ En passant de l'autre côté, on le retranche : et non-1→ Le terme constant est : Tu as compté
Exercice 26 · base
Ce qui manque à a² + b²
Pour et calculer l'écart
Donner la valeur de l'écart.
Réponse attendue : 60
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord la somme puis son carré.
- Calcule séparément puis la différence.
- Compare ton résultat au nombre
Correction
- Le carré de la somme —
- La somme des carrés —
- L'écart est exactement
L'écart vaut : c'est le double produit, le terme qu'on oublie quand on écrit
Pièges anticipés
0→ et ne sont pas égaux : Il y a bien un écart.30→ vaut Recalcule : l'écart est le double produit.
Exercice 27 · raisonnement
Le carré d'une différence sans connaître a et b
Deux réels et vérifient et
Calculer sans chercher et
Donner la valeur de
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Développe : tu en déduis la valeur de
- Écris ensuite le carré de la différence avec les mêmes morceaux.
Correction
- Le double produit —
- La différence —
Les deux identités partagent les mêmes morceaux, et : connaître l'une, c'est connaître l'autre.
Pièges anticipés
29→ n'est pas : il faut retrancher le double produit-11→ est la valeur de pas de On retranche donc pas
Exercice 28 · pratique
La somme des carrés
Deux réels et vérifient et
Calculer sans chercher et
Donner la valeur de
Réponse attendue : 53
Indices, dans l’ordre
- Quelle identité fait apparaître à la fois et ?
- Isole dans le carré de la somme.
Correction
- L'identité —
- Isoler —
On n'a jamais eu besoin de et : l'identité relie directement les quantités connues à celle qu'on cherche.
Pièges anticipés
81→ et n'est pas : il faut retirer le double produit.67→ Tu as retiré Le terme à retirer est le double produit,
Exercice 29 · raisonnement
Retrouver le produit
Deux réels et vérifient et
Calculer le produit
Donner la valeur de
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Choisis l'identité qui contient
- Remplace ce que tu connais, puis isole
Correction
- L'identité —
- Remplacer —
Contrôle possible : et conviennent, et L'identité donne la réponse sans avoir à les trouver.
Pièges anticipés
24→ est la valeur de Il reste à diviser par-12→ Le carré d'une différence contient : donc
Exercice 30 · pratique
Le carré découpé
Un carré de côté est découpé en un carré de côté un carré de côté et deux rectangles de côtés et
Avec et (en cm), calculer l'aire totale des deux rectangles.
Donner le nombre de centimètres carrés.
Réponse attendue : 48
Indices, dans l’ordre
- Chaque rectangle a pour aire
- Il y en a deux : c'est le double produit de l'identité.
Correction
- Un rectangle —
- Les deux —
- Contrôle — Le grand carré moins les deux petits.
Les deux rectangles sont la traduction géométrique du double produit : sans eux, les deux petits carrés ne remplissent pas le grand.
Pièges anticipés
24→ est l'aire d'un seul rectangle. Il y en a deux.121→ est l'aire du grand carré entier. On demande seulement les deux rectangles.
Exercice 31 · base
Deux distributivités simples
Développer et réduire
Réponse attendue : 4*x-7
Indices, dans l’ordre
- Distribue le sur la première parenthèse, puis le sur la seconde.
- Le facteur est signe compris : est positif.
- Regroupe ensuite les termes en puis les constantes.
Correction
- Première parenthèse —
- Seconde parenthèse — On distribue
- Réduire —
On distribue le facteur avec son signe : c'est le moyen le plus sûr de ne pas se tromper devant une parenthèse précédée d'un moins.
Pièges anticipés
4*x-23→ : deux négatifs donnent un positif.4*x-11→ Le multiplie aussi le : pas
Exercice 32 · base
Un produit qui commence par un nombre
Développer et réduire
Réponse attendue : -x^2+2*x+15
Indices, dans l’ordre
- Quatre produits : et
- Le terme garde son signe dans chaque produit.
- Range ensuite selon les puissances de
Correction
- Quatre produits —
Le signe de chaque terme voyage avec lui dans tous les produits : fois donne
Pièges anticipés
x^2+2*x+15→ : le terme en est négatif.-x^2+8*x+15→ : il se retranche du
Exercice 33 · pratique
Des parenthèses emboîtées
Développer et réduire
Réponse attendue : 4*x-12
Indices, dans l’ordre
- Commence par l'intérieur : réduis d'abord le crochet.
- Un moins devant une parenthèse change le signe de tous ses termes :
- Fais de même pour le crochet, puis pour
Correction
- Le crochet —
- Retirer les parenthèses —
Avec des parenthèses emboîtées, on travaille de l'intérieur vers l'extérieur, une parenthèse à la fois.
Pièges anticipés
4*x-4→ : le devient Le crochet vaut2*x-12→ : le devient
Exercice 34 · pratique
Retrancher un produit
Développer et réduire
Réponse attendue : 5*x^2-2*x+6
Indices, dans l’ordre
- Développe chaque produit à part, et garde le second entre parenthèses.
- Le second produit vaut
- Le moins devant change le signe de ses trois termes.
Correction
- Premier produit —
- Second produit —
- Retrancher —
Développer un produit qu'on retranche, c'est le garder entre parenthèses jusqu'au bout, puis changer tous les signes.
Pièges anticipés
5*x^2-8*x-14→ Tu n'as changé que le signe de Retrancher c'est ajouter
Exercice 35 · pratique
Un produit de trois facteurs
Développer et réduire
Réponse attendue : x^3+x^2-6*x
Indices, dans l’ordre
- Développe d'abord deux facteurs seulement, par exemple
- Multiplie ensuite chaque terme du résultat par
Correction
- Deux facteurs —
- Le troisième —
Avec trois facteurs, on développe deux par deux : la multiplication est associative, l'ordre est libre.
Pièges anticipés
x^3+x^2-6→ Le multiplie chaque terme :x^2+x-6→ Tu as développé mais il reste à multiplier par
Exercice 36 · defi
Des fractions et deux identités
Développer et réduire
Donner sous la forme développée et réduite.
Réponse attendue : x-10/9
Indices, dans l’ordre
- Le premier produit est de la forme ; le second terme est un carré d'une différence.
- : ce terme apparaît dans les deux développements.
- Le carré est retranché : change le signe de ses trois termes.
Correction
- Différence de carrés —
- Carré d'une différence — Le double produit vaut
- Retrancher —
- Les se compensent, et
Reconnaître les identités évite de poser huit produits de fractions. Le moins devant le carré s'applique à ses trois termes.
Pièges anticipés
x+8/9→ Le du carré devient quand on retranche :x/2-10/9→ Le double produit de vaut pas
Exercice 37 · raisonnement
Choisir un coefficient
On pose où est un réel.
Déterminer pour que le coefficient de dans la forme développée de soit égal à
Donner la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Développe en gardant comme une lettre.
- Les termes en viennent de deux produits croisés : et
- Écris que leur coefficient total vaut puis isole
Correction
- Développer —
- Le coefficient de x —
Contrôle : Le coefficient de se lit sur les produits croisés seulement.
Pièges anticipés
-4→ Le produit croisé est : son coefficient est pas10/3→ Tu as oublié le produit croisé : le coefficient de est
Exercice 38 · raisonnement
Un carré contre un rectangle
Un carré a pour côté (en cm, avec ). On fabrique un rectangle en diminuant un côté de et en augmentant l'autre de
Calculer, en fonction de l'aire du carré moins l'aire du rectangle.
Donner la différence des deux aires, réduite.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Les côtés du rectangle sont et
- Développe l'aire du carré avec une identité, celle du rectangle par double distributivité.
- Retranche l'aire du rectangle en entier.
Correction
- Le carré —
- Le rectangle —
- La différence —
Quel que soit le carré a cm² de plus : à périmètre égal, le carré l'emporte sur le rectangle. Seul le développement permet de l'affirmer pour tout
Pièges anticipés
0→ Les deux figures ont le même périmètre, mais pas la même aire. Développe les deux pour comparer.-4→ Tu as calculé l'aire du rectangle moins celle du carré. La consigne demande l'inverse.
Exercice 39 · defi
Deux trinômes jumeaux
Développer et réduire
Réponse attendue : x^4+x^2+1
Indices, dans l’ordre
- Neuf produits, c'est long. Regroupe plutôt : apparaît dans les deux facteurs.
- Pose : le produit devient
- Une différence de carrés, puis un carré d'une somme.
Correction
- Regrouper —
- Différence de carrés —
- Carré d'une somme —
Repérer une identité derrière des parenthèses longues transforme neuf produits en deux lignes.
Pièges anticipés
x^4+1→ Tu as écrit : il manque le double produitx^4-x^2+1→ ; on retranche ensuite ce qui laisse
Exercice 40 · base
Le carré d'une somme
Développer
Réponse attendue : x^2+14*x+49
Indices, dans l’ordre
- Applique le carré d'une somme avec et
- Le terme du milieu est le double produit.
Correction
- Identifier —
- Les trois termes —
Trois termes, toujours : deux carrés et le double produit.
Pièges anticipés
x^2+49→ n'est pas : il manque le double produitx^2+7*x+49→ Le terme du milieu est : tu as oublié le facteur
Exercice 41 · base
Un coefficient sous le carré
Développer
Réponse attendue : 4*x^2-20*x+25
Indices, dans l’ordre
- Carré d'une différence, avec et
- Le carré de porte aussi sur le
- Le double produit vaut
Correction
- Identifier —
- Les trois termes —
: dans un carré, le coefficient est élevé au carré lui aussi.
Pièges anticipés
25-10*x+4*x^2→ Le double produit vaut : le facteur de l'identité manque.25-20*x+2*x^2→ et non25+4*x^2→ Il manque le double produit : c'est justement le terme en
Exercice 42 · base
Une différence de carrés, dans le sens du développement
Développer
Réponse attendue : 36*x^2-25
Indices, dans l’ordre
- Reconnais la troisième identité, avec et
- Les produits croisés se compensent : il ne reste que deux termes.
Correction
- Identifier —
Deux facteurs qui ne diffèrent que par le signe du milieu : on écrit directement la différence des carrés.
Pièges anticipés
6*x^2-25→ : le est élevé au carré lui aussi.36*x^2+25→ Le produit vaut : c'est une différence de carrés.
Exercice 43 · pratique
Un carré avec une fraction
Développer
Réponse attendue : x^2/4+4*x+16 — aussi acceptées : 1/4*x^2+4*x+16
Indices, dans l’ordre
- Carré d'une somme, avec et
- : on élève au carré le numérateur et le dénominateur.
- Le double produit vaut : simplifie avant de conclure.
Correction
- Le premier carré —
- Le double produit —
- Le second carré —
Une fraction ne change rien à l'identité : on identifie et puis on calcule les trois termes un par un.
Pièges anticipés
x^2/4+16→ Il manque le double produitx^2/2+4*x+16→ : le dénominateur aussi est élevé au carré.x^2/4+2*x+16→ Tu as calculé sans le facteur du double produit.
Exercice 44 · pratique
La différence de deux carrés développés
Développer et réduire
Réponse attendue : 10*x+5
Indices, dans l’ordre
- Développe chaque carré à part, et garde le second entre parenthèses.
- Le moins devant change le signe de ses trois termes.
- Les se compensent.
Correction
- Premier carré —
- Second carré —
- Retrancher —
On aurait pu factoriser directement avec : Deux chemins, un seul résultat.
Pièges anticipés
2*x+5→ Le de change de signe quand on retranche le carré : il devient10*x+13→ Le de devient quand on retranche :
Exercice 45 · pratique
Deux identités dans une somme
Développer et réduire
Réponse attendue : 5*x^2-4*x-3
Indices, dans l’ordre
- Le premier terme est un carré d'une différence ; le second, une différence de carrés.
- ne contient que deux termes une fois développé.
Correction
- Le carré —
- Le produit —
Chaque morceau a son identité : on les reconnaît d'abord, on calcule ensuite.
Pièges anticipés
5*x^2-4*x+5→ : c'est une différence de carrés.5*x^2-2*x-3→ Le double produit de vaut
Exercice 46 · raisonnement
Compléter un carré parfait
Déterminer le réel pour que soit égal à pour un certain réel
Donner la valeur de
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- doit être le carré de : comme est connu.
- est alors le coefficient du double produit
Correction
- Le carré —
- Le double produit —
Un trinôme est un carré parfait quand son terme du milieu est exactement le double produit des racines des deux carrés.
Pièges anticipés
6→ est la valeur de Le terme du milieu est le double produit :36→ est le dernier terme. Le coefficient vient du double produit.-12→ correspondrait à donc à L'énoncé impose
Exercice 47 · defi
Une somme et son inverse
Un réel non nul vérifie
Calculer
Donner la valeur de
Réponse attendue : 23
Indices, dans l’ordre
- Élève au carré l'égalité donnée.
- Dans le double produit vaut : calcule-le.
- Isole ensuite
Correction
- Élever au carré —
- Le double produit —
Le double produit d'un nombre et de son inverse vaut toujours : l'identité donne la réponse sans jamais chercher
Pièges anticipés
25→ est qui contient aussi le double produit27→ On retire le double produit : pas
Exercice 48 · base
Le cube d'une somme
Développer et réduire
Réponse attendue : x^3+9*x^2+27*x+27
Indices, dans l’ordre
- Quatre termes, coefficients Ici et
- Dans le troisième terme, c'est qui est au carré :
Correction
- La formule —
- Chaque terme —
Contrôle pour : et
Pièges anticipés
x^3+27→ Tu as écrit Les deux termes du milieu manquent.x^3+9*x^2+9*x+27→ Le troisième terme est : le y est au carré.
Exercice 49 · base
Le cube d'une différence
Développer et réduire
Réponse attendue : x^3-3*x^2+3*x-1
Indices, dans l’ordre
- Applique le cube d'une différence avec et
- Les signes alternent :
Correction
- La formule —
Pour une différence, les signes alternent : le terme en est positif, car
Pièges anticipés
x^3-1→ n'est pas : il y a quatre termes.x^3-3*x^2-3*x-1→ Les signes alternent : le troisième terme, est positif.
Exercice 50 · pratique
Un coefficient dans le cube
Développer et réduire
Réponse attendue : 8*x^3+12*x^2+6*x+1
Indices, dans l’ordre
- Ici et
- et : le coefficient suit l'exposant.
- Calcule les quatre termes un par un avant de les écrire ensemble.
Correction
- La formule —
- Chaque terme —
Quand porte un coefficient, on l'élève à la puissance avec : c'est la première source d'erreur dans les cubes.
Pièges anticipés
2*x^3+6*x^2+6*x+1→ Tu as écrit et Le est élevé à la puissance lui aussi : et8*x^3+1→ Les deux termes du milieu manquent : a quatre termes.
Exercice 51 · pratique
Le cube d'une différence qui commence par un nombre
Développer et réduire
Réponse attendue : -x^3+9*x^2-27*x+27
Indices, dans l’ordre
- Cube d'une différence, avec et
- L'exposant de descend de à pendant que celui de monte.
- Les signes alternent, en commençant par
Correction
- La formule —
- Chaque terme —
Ici est le nombre et la lettre : on applique la même formule, puis on range selon les puissances de
Pièges anticipés
27-x^3→ Les deux termes du milieu manquent : un cube de binôme a quatre termes.27-27*x-9*x^2-x^3→ Les signes alternent : le terme est positif.
Exercice 52 · pratique
Un cube de tête
Calculer en écrivant et en utilisant le cube d'une somme.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 1331
Indices, dans l’ordre
- Avec et chaque terme est une puissance de facile à calculer.
- Les coefficients sont
Correction
- La formule —
- Chaque terme —
Les chiffres de sont exactement les coefficients de l'identité.
Pièges anticipés
1001→ : il manque les deux termes du milieu, et
Exercice 53 · raisonnement
La différence de deux cubes de binômes
Développer et réduire
Réponse attendue : 6*x^2+2
Indices, dans l’ordre
- Développe chaque cube à part, et garde le second entre parenthèses.
- Le moins devant le second cube change le signe de ses quatre termes.
- Les termes en et en se compensent.
Correction
- Premier cube —
- Second cube —
- Retrancher —
Les termes de même signe dans les deux cubes disparaissent ; ceux de signes opposés doublent.
Pièges anticipés
6*x^2→ Le du second cube devient quand on le retranche :2*x^3+6*x→ Tu as additionné les deux cubes. Le second est retranché : change le signe de ses quatre termes.
Exercice 54 · defi
La somme des cubes sans les nombres
Deux réels et vérifient et
Calculer sans chercher et
Donner la valeur de
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Développe : il contient et deux autres termes.
- Les deux termes du milieu, se factorisent par
- Tu obtiens une égalité où tout est connu sauf
Correction
- Le cube de la somme —
- Remplacer —
Contrôle : et conviennent, et Factoriser les termes du milieu par fait apparaître les quantités connues.
Pièges anticipés
27→ qui n'est pas : il faut retirer les deux termes du milieu.21→ Tu as retiré Les termes du milieu valent
Exercice 55 · base
Une différence de cubes
Factoriser
Réponse attendue : (x-3)*(x^2+3*x+9)
Indices, dans l’ordre
- est un cube :
- Applique l'identité avec et
- Le terme du milieu du second facteur est sans facteur
Correction
- Reconnaître —
- Appliquer —
Le premier facteur garde le signe de l'énoncé ; dans le second, le terme du milieu a le signe opposé et n'est pas doublé.
Pièges anticipés
(x-3)*(x^2+6*x+9)→ Le terme du milieu est pas : ce n'est pas un carré.(x-3)*(x^2-3*x+9)→ Pour le terme du milieu du second facteur est positif :(x-3)^3→ a quatre termes une fois développé. n'en a que deux.
Exercice 56 · base
Une somme de cubes
Factoriser
Réponse attendue : (x+4)*(x^2-4*x+16)
Indices, dans l’ordre
- Une somme de deux cubes se factorise, contrairement à une somme de deux carrés.
- Applique l'identité avec et
Correction
- Reconnaître —
- Appliquer —
Pour une somme de cubes : un dans le premier facteur, un au milieu du second, et pas de facteur
Pièges anticipés
(x+4)*(x^2+4*x+16)→ Pour le terme du milieu du second facteur est négatif :(x+4)*(x^2-8*x+16)→ Le terme du milieu est pas(x+4)^3→ a quatre termes une fois développé ; n'en a que deux.
Exercice 57 · pratique
Des cubes avec coefficients
Factoriser
Réponse attendue : (3*x-2)*(9*x^2+6*x+4)
Indices, dans l’ordre
- et : c'est une différence de cubes avec et
- Dans le second facteur, : le coefficient est au carré.
- Le terme du milieu vaut
Correction
- Reconnaître —
- Appliquer —
On écrit chaque terme comme un cube avant d'appliquer l'identité : c'est là qu'on lit et
Pièges anticipés
(3*x-2)*(9*x^2+12*x+4)→ Le terme du milieu est pas(3*x-2)*(3*x^2+6*x+4)→ : le est élevé au carré lui aussi.
Exercice 58 · raisonnement
Un cube qui cache une parenthèse
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x-1)*(x^2+4*x+7)
Indices, dans l’ordre
- n'est pas forcément une lettre seule : ici et
- Le premier facteur vaut
- Dans le second, développe et puis réduis.
Correction
- Reconnaître —
- Appliquer —
- Réduire —
Une identité s'applique à n'importe quelle expression mise à la place de : on la garde entre parenthèses jusqu'à la réduction.
Pièges anticipés
(x-1)*(x^2+2*x+7)→ : tu as oublié son double produit
Exercice 59 · raisonnement
Diviser sans calculer les cubes
Calculer sans calculer les deux cubes.
Donner la valeur du quotient.
Réponse attendue : 2019
Indices, dans l’ordre
- : ce n'est pas un hasard.
- Factorise le numérateur avec la différence de cubes.
- Le facteur se simplifie avec le dénominateur.
Correction
- Factoriser —
- Simplifier —
- Calculer —
La factorisation fait apparaître le dénominateur : on simplifie avant de calculer, et les cubes à cinq chiffres disparaissent.
Pièges anticipés
1057→ Pour une différence de cubes, le terme du milieu est :1538→ Il manque le terme du milieu
Exercice 60 · raisonnement
Simplifier une fraction
Simplifier l'expression pour
Donner l'expression simplifiée, développée et réduite.
Réponse attendue : x^2-x+1
Indices, dans l’ordre
- Le numérateur est une somme de deux cubes :
- Factorise-le : un des facteurs est exactement le dénominateur.
- Comme on peut simplifier par
Correction
- Factoriser —
- Simplifier — on simplifie.
On ne simplifie une fraction qu'entre facteurs : il faut d'abord factoriser le numérateur.
Pièges anticipés
x^2+x+1→ Pour une somme de cubes, le second facteur est : le milieu est négatif.x^2+1→ Il manque le terme du milieu
Exercice 61 · defi
Un facteur commun à faire apparaître
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x-2)*(x^2+3*x+9)
Indices, dans l’ordre
- Aucun facteur commun n'est visible tant que reste sous cette forme.
- Factorise d'abord : une différence de cubes.
- Le facteur apparaît alors dans les deux termes.
Correction
- La différence de cubes —
- Le facteur commun —
Quand le facteur commun ne se voit pas, on factorise d'abord chaque morceau : il apparaît souvent à ce moment-là.
Pièges anticipés
(x-2)*(x^2+2*x+4)*(x+5)→ Les deux termes sont additionnés : on met en facteur et on additionne ce qui reste dans le crochet.
Exercice 62 · base
Un nombre et une lettre en facteur
Factoriser complètement
Réponse attendue : 3*x*(2*x-3)
Indices, dans l’ordre
- Cherche le plus grand nombre qui divise et et la lettre commune aux deux termes.
- Le facteur commun est : divise chaque terme par
Correction
- Le facteur commun —
« Complètement » : on sort à la fois le nombre et la lettre. n'est pas fini, on peut encore sortir
Pièges anticipés
3*x*(2*x-9)→ Tu n'as divisé que le premier terme par :
Exercice 63 · pratique
Une puissance en facteur
Factoriser complètement
Réponse attendue : 2*x^2*(2*x+5)
Indices, dans l’ordre
- Le facteur commun contient le plus grand diviseur commun de et
- Pour la lettre, on prend la plus petite puissance présente :
Correction
- Le facteur commun —
Pour les puissances d'une même lettre, le facteur commun est la plus petite puissance qui apparaît.
Pièges anticipés
2*x^2*(x+5)→ : le coefficient se divise aussi par
Exercice 64 · base
Une parenthèse en facteur
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x+2)*(4*x+3)
Indices, dans l’ordre
- Cherche la parenthèse qui se répète dans les deux termes.
- Mets-la en facteur, et additionne ce qui reste dans un crochet.
Correction
- Facteur commun —
Le facteur commun peut être une parenthèse entière : on la sort, et on garde le reste de chaque terme.
Pièges anticipés
(x+2)*(3*x-1)*(x+4)→ Les deux termes sont additionnés : en factorisant, on additionne ce qui reste, on ne le multiplie pas.
Exercice 65 · pratique
Un moins devant le second terme
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (2*x-5)*(-2*x+3)
Indices, dans l’ordre
- Le facteur commun est
- Dans le crochet, le second reste est retranché : garde-le entre parenthèses.
Correction
- Facteur commun —
- Le crochet —
Le moins entre les deux termes s'applique à tout ce qui reste du second : on le traite comme devant une parenthèse.
Pièges anticipés
(2*x-5)*(-2*x-1)→ : le devient donc le crochet vaut
Exercice 66 · pratique
Le 1 qui reste
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x-3)*(x-2)
Indices, dans l’ordre
- et est déjà le facteur lui-même.
- Quand un terme est exactement le facteur commun, il laisse un derrière lui.
Correction
- Faire apparaître le facteur —
- Facteur commun —
Un terme égal au facteur commun s'écrit « facteur » : le ne disparaît jamais.
Pièges anticipés
(x-3)^2→ Le terme vaut : en le factorisant, il laisse un dans le crochet.
Exercice 67 · raisonnement
Des facteurs opposés
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x-4)*(x-2)
Indices, dans l’ordre
- et ne sont pas égaux, mais ils sont opposés :
- Réécris le second terme avec et un signe moins devant.
- Mets en facteur et réduis le crochet.
Correction
- Faire apparaître le facteur —
- Facteur commun —
Deux facteurs opposés sont un facteur commun déguisé : on sort un signe moins pour le faire apparaître.
Pièges anticipés
(x-4)*(3*x+4)→ n'est pas : c'est son opposé. Le second reste doit être retranché dans le crochet.
Exercice 68 · raisonnement
Une identité pour trouver le facteur commun
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x-2)*(8*x+7)
Indices, dans l’ordre
- Factorise d'abord : commence par sortir le
- est une différence de carrés : le facteur apparaît.
- Mets en facteur dans toute l'expression.
Correction
- Le premier morceau —
- Facteur commun —
- Le crochet —
Factoriser un morceau par une identité fait souvent apparaître le facteur commun du reste.
Pièges anticipés
(x-2)*(8*x+3)→ : le multiplie aussi le
Exercice 69 · defi
Un facteur commun à faire sortir d'un nombre
Factoriser complètement
Réponse attendue : (x+3)*(x-5)
Indices, dans l’ordre
- cache le facteur : sors d'abord le
- Écris puis mets en facteur.
- Le second reste est retranché : garde-le entre parenthèses.
Correction
- Faire apparaître le facteur —
- Facteur commun —
- Le crochet —
Un facteur commun peut être caché derrière un coefficient : et ne diffèrent que d'un facteur
Pièges anticipés
(x+3)*(x+1)→ : le est retranché, ce qui donne
Exercice 70 · pratique
Une différence de carrés avec une fraction
Factoriser
Réponse attendue : (x/2-3)*(x/2+3)
Indices, dans l’ordre
- est le carré de et est le carré de
- Applique la différence de carrés.
Correction
- Écrire en carrés —
Une fraction n'empêche pas de reconnaître un carré :
Pièges anticipés
(x/2-9)*(x/2+9)→ est le carré de : dans les facteurs, on écrit pas(x/4-3)*(x/4+3)→ La racine de est(x-6)*(x+6)→ c'est et non Garde dans les facteurs, ou le facteur devant.
Exercice 71 · base
Un carré parfait
Factoriser
Réponse attendue : (x-5)^2
Indices, dans l’ordre
- Trois termes, dont deux carrés : et
- Vérifie que le terme du milieu est bien le double produit :
- Le signe du milieu dit s'il s'agit d'une somme ou d'une différence.
Correction
- Les carrés —
- Le double produit —
- Le milieu est négatif : carré d'une différence.
On contrôle toujours le double produit avant d'écrire le carré : sans lui, ce n'est pas un carré parfait.
Pièges anticipés
(x+5)^2→ Le terme du milieu est : c'est le carré d'une différence.(x-5)*(x+5)→ : il n'y a pas de terme en Ici, trois termes : c'est un carré.
Exercice 72 · pratique
Un carré parfait avec coefficients
Factoriser
Réponse attendue : (2*x+3)^2
Indices, dans l’ordre
- et
- Le double produit vaut-il bien ?
Correction
- Les carrés —
- Le double produit —
Les racines des deux carrés donnent les deux termes de la parenthèse ; le double produit confirme.
Pièges anticipés
(4*x+3)^2→ La racine de est pas : le coefficient passe à la racine.(2*x-3)^2→ Le terme du milieu est : c'est le carré d'une somme.
Exercice 73 · pratique
Une parenthèse au carré moins un nombre
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (x-3)*(x+5)
Indices, dans l’ordre
- : c'est une différence de carrés avec et
- Garde entre parenthèses dans chaque facteur, puis réduis.
Correction
- Différence de carrés —
- Appliquer —
peut être une parenthèse entière : on ne développe surtout pas le carré, on factorise directement.
Pièges anticipés
(x-15)*(x+17)→ est le carré de : dans les facteurs, on écrit pas
Exercice 74 · pratique
La différence de deux carrés de binômes
Factoriser puis réduire chaque facteur.
Réponse attendue : (2*x-3)*(4*x+1)
Indices, dans l’ordre
- Différence de carrés avec et
- Dans le premier facteur, : garde la parenthèse.
Correction
- Appliquer —
- Réduire —
Le premier facteur retranche en entier : c'est là que se glisse l'erreur de signe.
Pièges anticipés
(2*x+1)*(4*x+1)→ : le est retranché, ce qui donne
Exercice 75 · raisonnement
Un nombre moins un carré
Factoriser complètement
Réponse attendue : -4*(x-3)*(x+2) — aussi acceptées : 4*(3-x)*(x+2)
Indices, dans l’ordre
- : différence de carrés avec et
- Dans le premier facteur, : le devient
- Chaque facteur obtenu a encore un à sortir.
Correction
- Appliquer —
- Réduire —
- Sortir les 2 —
« Complètement » : après l'identité, on regarde encore si chaque facteur contient un nombre à sortir.
Pièges anticipés
(4-2*x)*(2*x+4)→ : le devient4*(x-3)*(x+2)→ : en écrivant tu as changé le signe du facteur. Le résultat est ou
Exercice 76 · raisonnement
Un nombre qui n'est pas un carré d'entier
Factoriser dans
Réponse attendue : (x-sqrt(3))*(x+sqrt(3))
Indices, dans l’ordre
- n'est pas le carré d'un entier, mais c'est le carré d'un réel positif.
- : c'est donc une différence de carrés.
Correction
- Écrire en carrés —
Dans tout nombre positif est un carré : une différence avec se factorise toujours.
Pièges anticipés
(x-3)*(x+3)→ Le nombre dont le carré vaut est
Exercice 77 · defi
Deux identités l'une après l'autre
Factoriser complètement dans
Réponse attendue : (x-2)*(x+2)*(x^2+4)
Indices, dans l’ordre
- et : première différence de carrés.
- L'un des deux facteurs obtenus est encore une différence de carrés.
- L'autre est une somme de deux carrés : elle ne se factorise pas dans
Correction
- Première identité —
- Seconde identité —
On s'arrête quand chaque facteur est irréductible : somme de deux carrés, ne se factorise pas.
Pièges anticipés
(x-2)^2*(x+2)^2→ n'est pas : ce produit vaut Une somme de carrés ne se factorise pas.
Exercice 78 · base
Un carré proche de 200
Calculer de tête en écrivant
Donner la valeur de
Réponse attendue : 40401
Indices, dans l’ordre
- Carré d'une somme avec et
- Le double produit vaut
Correction
- L'identité —
Trois calculs faciles remplacent une multiplication à trois chiffres.
Pièges anticipés
40001→ Il manque le double produit40201→ Le double produit vaut pas
Exercice 79 · defi
Le carré du nombre suivant
On donne
Calculer sans poser la multiplication.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 15241630849
Indices, dans l’ordre
- Écris
- Le carré d'une somme donne le carré connu, plus un double produit, plus
Correction
- L'identité —
- Le double produit —
Passer de à c'est ajouter : une addition au lieu d'une multiplication géante.
Pièges anticipés
15241383937→ n'est pas : il manque le double produit15241507393→ Tu as ajouté Le double produit est : il faut ajouter
Exercice 80 · pratique
Deux nombres de part et d'autre de 60
Calculer de tête
Donner la valeur de
Réponse attendue : 3591
Indices, dans l’ordre
- et sont à égale distance de
- Écris : quelle identité reconnais-tu ?
Correction
- Écrire autour de 60 —
- Différence de carrés —
Le produit de deux nombres symétriques autour d'un nombre rond est une différence de carrés.
Pièges anticipés
3609→ : on retranche3600→ : il reste à retrancher
Exercice 81 · pratique
Une différence de carrés à deux chiffres
Calculer sans calculer les deux carrés.
Donner le résultat.
Réponse attendue : 7200
Indices, dans l’ordre
- Reconnais une différence de carrés.
- est un nombre très rond.
Correction
- Factoriser —
La factorisation rend le calcul presque immédiat dès que la somme ou la différence est ronde.
Pièges anticipés
72→ n'est que le premier facteur : multiplie-le par100→ n'est que le second facteur : multiplie-le par5184→ Tu as calculé Or n'est pas
Exercice 82 · defi
Un double produit déguisé
Calculer sans calculatrice.
Donner le résultat.
Réponse attendue : 100
Indices, dans l’ordre
- Deux carrés, et et un terme au milieu : pense au carré d'une somme.
- : le terme du milieu est-il le double produit ?
Correction
- Le double produit —
- Carré d'une somme —
Une identité se lit aussi de droite à gauche sur des nombres : repérer le double produit transforme trois calculs décimaux en
Pièges anticipés
10→ mais l'expression vaut le carré de cette somme.
Exercice 83 · raisonnement
Un carré contre deux voisins
Calculer sans calculatrice.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Pose : les deux autres nombres sont et
- est une différence de carrés.
Correction
- Avec une lettre —
- Différence de carrés —
Remplacer un grand nombre par une lettre révèle la structure : le résultat vaut pour tout
Pièges anticipés
-1→ : le résultat est
Exercice 84 · raisonnement
Un produit de décimaux
Calculer de tête
Donner la valeur du produit.
Réponse attendue : 99.96
Indices, dans l’ordre
- et sont à égale distance de
- Écris le produit sous la forme
- Attention au carré d'un décimal : a deux chiffres après la virgule.
Correction
- Autour de 10 —
- Différence de carrés —
La même identité marche avec des décimaux ; il faut seulement calculer correctement le petit carré.
Pièges anticipés
99.6→ et non : on multiplie par100→ : il reste à retrancher
Exercice 85 · base
Deux écritures de la même expression
On pose et
Développer et réduire et pour vérifier qu'elles sont égales pour tout réel et donner leur forme réduite commune.
Donner la forme développée réduite commune.
Réponse attendue : x^2+4*x
Indices, dans l’ordre
- Développe avec une identité, puis retranche
- Développe par distributivité simple, et compare.
Correction
- A —
- B —
- Les formes réduites sont identiques.
Pour prouver une égalité valable pour tout réel, on compare les formes réduites : c'est une preuve, pas un essai.
Pièges anticipés
x^2→ : il manque le double produit
Exercice 86 · base
Un contre-exemple suffit
On pose et
Calculer pour Que peut-on en conclure ?
Donner la valeur de pour
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Calcule et séparément pour
- Si la différence n'est pas nulle, une seule valeur suffit à conclure.
Correction
- Pour x égal à 1 —
pour : et ne sont pas égales pour tout réel. Un seul contre-exemple est une preuve complète.
Pièges anticipés
0→ Calcule vraiment : et La différence n'est pas nulle.
Exercice 87 · raisonnement
Deux expressions qui se croisent
On pose et
Déterminer les réels pour lesquels
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {2;4} — aussi acceptées : {4;2} · 2;4 · 2 et 4 · x = 2 ou x = 4
Indices, dans l’ordre
- Passe tout dans le même membre :
- est un facteur commun : factorise au lieu de diviser.
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Correction
- Tout d'un côté —
- Facteur commun —
- Produit nul —
Les deux expressions coïncident en deux points seulement. Diviser par aurait fait perdre la solution : on factorise, on ne divise pas.
Pièges anticipés
{4}→ En divisant par tu as perdu : pour et valent toutes deux Factorise plutôt.
Exercice 88 · pratique
Une identité à compléter
Déterminer le réel pour que, pour tout réel on ait
Donner la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Développe le membre de gauche en gardant comme une lettre.
- Deux expressions réduites sont égales pour tout quand leurs coefficients sont égaux un à un.
- Compare les termes constants, puis vérifie avec le coefficient de
Correction
- Développer —
- Identifier —
- Les deux conditions donnent la même valeur.
Égalité pour tout réel = mêmes coefficients. On vérifie toujours que toutes les conditions donnent la même valeur.
Pièges anticipés
-4→ Le coefficient de est (produit croisé ), pas
Exercice 89 · raisonnement
Une différence nulle pour tout réel
On pose et
Développer et réduire
Donner la forme réduite de
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Développe les deux carrés de puis le produit
- Retranche en entier : ses trois termes changent de signe.
- Retranche ensuite en entier.
Correction
- A —
- B —
pour tout réel : et sont deux écritures de la même expression. C'est ce que prouve le développement.
Pièges anticipés
4*x+2→ : les trois termes changent de signe, pas seulement le premier.
Exercice 90 · raisonnement
Trois coïncidences ne prouvent rien
On pose et
On vérifie que pour et Calculer pour : a-t-on pour tout réel ?
Donner la valeur de pour
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Calcule et séparément pour
- Si la différence n'est pas nulle, tu tiens un contre-exemple.
Correction
- Les trois valeurs —
- Pour x égal à 3 —
Trois valeurs où les expressions coïncident ne prouvent pas l'égalité : la quatrième donne un contre-exemple, donc en général.
Pièges anticipés
0→ Trois valeurs qui marchent ne prouvent rien. Calcule vraiment pour :
Exercice 91 · defi
Retrouver deux coefficients
Déterminer les réels et tels que, pour tout réel :
Donner la valeur de
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Développe le membre de droite en gardant et comme des lettres.
- Identifie le coefficient de : il donne
- Identifie ensuite les termes constants :
Correction
- Développer —
- Coefficient de x —
- Terme constant —
Contrôle : On identifie les coefficients un par un, du plus haut degré au terme constant.
Pièges anticipés
8→ Le produit a lui aussi un terme constant, : on a9/2→ Le coefficient de est : il y a aussi le produit croisé Donc
Exercice 92 · base
Diviser les deux membres
Deux réels et vérifient Calculer
Donner la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Retranche aux deux membres : l'égalité ne change pas.
- Multiplie ensuite les deux membres par un nombre non nul.
Correction
- Retrancher 3b —
- Factoriser —
- Multiplier par 1/3 —
Ajouter un même terme aux deux membres, ou les multiplier par un même nombre non nul, conserve l'égalité.
Pièges anticipés
12→ vaut Il reste à multiplier les deux membres par
Exercice 93 · pratique
Des moitiés à faire disparaître
Deux réels et vérifient Calculer
Donner la valeur de
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Multiplie les deux membres par pour faire disparaître les fractions.
- Retranche ensuite le même terme aux deux membres pour isoler
Correction
- Multiplier par 2 —
- Retrancher b + 6 —
On choisit l'opération qui simplifie le plus : multiplier par chasse les deux dénominateurs à la fois.
Pièges anticipés
-2→ vaut Multiplie encore par4→ En passant dans l'autre membre, on le retranche :
Exercice 94 · raisonnement
Exprimer une lettre en fonction d'une autre
Deux réels et vérifient Exprimer en fonction de
Donner en fonction de
Réponse attendue : 3*b
Indices, dans l’ordre
- Retranche aux deux membres, puis ajoute aux deux membres.
- Tu obtiens une égalité du type : multiplie par
Correction
- Retrancher 3a —
- Ajouter 2b —
- Multiplier par 1/2 —
Chaque étape applique l'une des deux règles aux deux membres : c'est ce qui garantit que l'égalité finale est équivalente à celle de départ.
Pièges anticipés
6*b→ vaut Il reste à multiplier les deux membres parb→ En ajoutant aux deux membres : pas
Exercice 95 · base
Un produit de deux facteurs du premier degré
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {-2;5} — aussi acceptées : {5;-2} · -2;5 · -2 et 5 · x = -2 ou x = 5
Indices, dans l’ordre
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- Résous séparément et
Correction
- Produit nul —
- Premier facteur —
- Second facteur —
On ne développe jamais une équation déjà factorisée : chaque facteur donne directement une solution.
Pièges anticipés
{-6;5} / {5;-6}→ donne : il reste à diviser par{-5;2} / {2;-5}→ donne et non : on ajoute aux deux membres.
Exercice 96 · base
Ne pas oublier le facteur x
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {0;3/4} — aussi acceptées : {3/4;0} · 0;3/4 · 0 et 3/4 · x = 0 ou x = 3/4 · {0;0.75} · {0;0,75}
Indices, dans l’ordre
- Le produit a deux facteurs : et
- Le facteur est nul pour une valeur évidente.
Correction
- Produit nul —
- Second facteur —
Un facteur réduit à donne la solution : c'est la plus facile à oublier.
Pièges anticipés
{3/4}→ Le facteur peut lui aussi être nul : est une solution.{0;4/3}→ donne : on divise par
Exercice 97 · pratique
Factoriser avant de résoudre
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {0;7} — aussi acceptées : {7;0} · 0;7 · 0 et 7 · x = 0 ou x = 7
Indices, dans l’ordre
- L'équation n'est pas un produit : factorise d'abord le membre de gauche.
- est un facteur commun aux deux termes.
- Ne divise pas par : tu perdrais une solution.
Correction
- Factoriser —
- Produit nul —
Pour résoudre, on factorise ; diviser par suppose et fait disparaître la solution
Pièges anticipés
{7}→ En divisant par tu as perdu la solution Factorise plutôt :
Exercice 98 · pratique
Une différence de carrés égale à zéro
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {-2/3;2/3} — aussi acceptées : {2/3;-2/3} · -2/3;2/3 · -2/3 et 2/3 · x = -2/3 ou x = 2/3 · ±2/3
Indices, dans l’ordre
- Le membre de gauche est une différence de carrés : et
- Factorise, puis applique la règle du produit nul.
Correction
- Factoriser —
- Produit nul —
Une différence de carrés donne deux facteurs, donc deux solutions opposées.
Pièges anticipés
{2/3}→ Le facteur s'annule aussi : est une solution.{-4/9;4/9}→ ne donne pas : factorise
Exercice 99 · raisonnement
Un facteur commun dans une équation
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {-2;-1/2} — aussi acceptées : {-1/2;-2} · -2;-1/2 · -2 et -1/2 · x = -2 ou x = -1/2 · {-2;-0.5} · {-2;-0,5}
Indices, dans l’ordre
- Le membre de gauche est une somme : la règle du produit nul ne s'applique pas encore.
- Factorise par puis réduis le crochet.
- Le second facteur se simplifie encore :
Correction
- Factoriser —
- Produit nul —
La règle du produit nul ne vaut que pour un produit : on factorise d'abord la somme, sinon on invente de fausses solutions.
Pièges anticipés
{-1/2;3;-7}→ L'expression est une somme de deux produits, pas un produit. donne Factorise d'abord.{-1/2}→ Le second facteur s'annule lui aussi : est une solution.
Exercice 100 · defi
Deux carrés égaux
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {-1;5} — aussi acceptées : {5;-1} · -1;5 · -1 et 5 · x = -1 ou x = 5
Indices, dans l’ordre
- Passe tout dans le même membre :
- C'est une différence de carrés : factorise-la, sans développer.
- Deux carrés égaux ne veulent pas dire deux nombres égaux : ils peuvent être opposés.
Correction
- Tout d'un côté —
- Différence de carrés —
- Réduire —
équivaut à ou : la factorisation donne les deux cas d'un coup.
Pièges anticipés
{5}→ Tu as seulement résolu Les deux nombres peuvent aussi être opposés : donne
Exercice 101 · defi
Une équation du troisième degré
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; ».
Réponse attendue : {-1;1} — aussi acceptées : {1;-1} · -1;1 · -1 et 1 · x = -1 ou x = 1
Indices, dans l’ordre
- Regroupe les termes deux par deux : d'un côté, de l'autre.
- et : un facteur commun apparaît.
- Le facteur obtenu se factorise encore.
Correction
- Regrouper —
- Différence de carrés —
- Produit nul —
Un regroupement bien choisi fait apparaître un facteur commun ; on factorise ensuite jusqu'à n'avoir que des facteurs du premier degré.
Pièges anticipés
{-1}→ Le facteur s'annule aussi : donne{1}→ Le facteur s'annule pour : c'est aussi une solution.