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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Activités dans un repère

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Lyoum nabdaw le chapitre numéro 6 : activités dans un repère. Le repère kif l'adresse : koll point ya5ou les nombres mte3ou. W b les nombres hedhouma, na7sbou des milieux, des vecteurs, des distances, bla règle w bla compas. Yalla nabdaw.

عسلامة ! لْيوم نبداو le chapitre numéro 6 : activités dans un repère . le repère كيف l'adresse : كل point ياخو les nombres متاعو . و بـ les nombres هاذوما ، نحسبو des milieux ، des vecteurs ، des distances ، بلا règle و بلا compas . يالله نبداو.

Bonjour ! Aujourd'hui on commence le chapitre numéro 6 : activités dans un repère. Un repère, c'est comme une adresse : chaque point reçoit ses nombres. Et avec ces nombres, on calcule des milieux, des vecteurs, des distances, sans règle ni compas. Allons-y.

Un repère, c'est une adresse. Sur une droite, un point reçoit un nombre, son abscisse ; dans le plan, il en reçoit deux, ses coordonnées.

Ce chapitre apprend à calculer avec ces adresses. Un milieu devient une moyenne, un vecteur devient deux différences, deux vecteurs colinéaires deviennent des composantes proportionnelles. Dans un repère orthonormé, le théorème de Pythagore donne même les distances. Et un graphique se lit comme un repère : un trajet, une vitesse, deux droites parallèles.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Utiliser l'abscisse d'un point dans le repère (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) d'une droiteUtiliser l'abscisse d'un point dans le repère d'une droite.Utiliser l'abscisse d'un point dans le repère d'une droite.
  • Calculer une mesure algébrique AB‾,\overline{AB}, une distance et un milieu sur une droiteCalculer une mesure algébrique A B barre, une distance et un milieu sur une droite.Calculer une mesure algébrique A B barre, une distance et un milieu sur une droite.
  • Lire les coordonnées d'un point et calculer les composantes d'un vecteur dans un repère du planLire les coordonnées d'un point et calculer les composantes d'un vecteur dans un repère du plan.Lire les coordonnées d'un point et calculer les composantes d'un vecteur dans un repère du plan.
  • Prouver avec les composantes que deux vecteurs sont égaux ou colinéaires, et que trois points sont alignésProuver avec les composantes que deux vecteurs sont égaux ou colinéaires, et que trois points sont alignés.Prouver avec les composantes que deux vecteurs sont égaux ou colinéaires, et que trois points sont alignés.
  • Calculer une distance dans un repère orthonormé et reconnaître la nature d'une figureCalculer une distance dans un repère orthonormé et reconnaître la nature d'une figure par le calcul.Calculer une distance dans un repère orthonormé et reconnaître la nature d'une figure par le calcul.
  • Lire un graphique, et reconnaître deux droites parallèles au coefficient de deux fonctions affinesLire un graphique, et reconnaître deux droites parallèles au coefficient de deux fonctions affines.Lire un graphique, et reconnaître deux droites parallèles au coefficient de deux fonctions affines.

1. Activité

Un point, un nombre

Ce qu’il dit

3andna droite, ne5tarou zouz points : O, l'origine, w I. Le vecteur OI ya3tina le sens w l'unité : hedha houwa le repère. Tawa koll point 3al droite 3andou nombre mte3ou, l'abscisse mte3ou. A 3al isar mte3 O, b deux unités : le vecteur OA égale moins 2 fois le vecteur OI. W l'ay point M d'abscisse x : le vecteur OM égale x fois le vecteur OI.

عندنا droite ، نختارو زوز points : O ، l'origine ، و I . le vecteur O I يعطينا le sens و l'unité : هذا هو le repère . توّا كل point عالـ droite عندو nombre متاعو ، l'abscisse متاعو . A على اليسار متاع O ، بـ deux unités : le vecteur O A égale moins 2 fois le vecteur O I . و لأي point M d'abscisse x : le vecteur O M égale x fois le vecteur O I .

Sur une droite, on choisit deux points : O, l'origine, et I. Le vecteur O I donne le sens et l'unité : c'est le repère. Maintenant, chaque point de la droite a son nombre, son abscisse. A est à deux unités à gauche de O : le vecteur O A égale moins 2 fois le vecteur O I. Et pour n'importe quel point M d'abscisse x : le vecteur O M égale x fois le vecteur O I.

Sur une droite Δ,\Delta, on choisit deux points distincts OO et I.I. On dit que (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) est un repère cartésien de Δ\Delta : OO est l'origine, et le vecteur OI→\overrightarrow{OI} donne à la fois le sens et l'unité.

Sur la figure, les points A,A, BB et CC ont pour abscisses respectives −2,-2, 1,51{,}5 et 3.3.

  1. 1.Écris les vecteurs OA→,\overrightarrow{OA}, OB→\overrightarrow{OB} et OC→\overrightarrow{OC} en fonction de OI→.\overrightarrow{OI}.
  2. 2.Place le point DD tel que OD→=−12 OI→.\overrightarrow{OD} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OI}. Quelle est son abscisse ?
  3. 3.Soit MM un point de Δ\Delta d'abscisse x.x. Écris OM→\overrightarrow{OM} en fonction de OI→.\overrightarrow{OI}.
Δ01−21,53OIABC
Chaque point de la droite reçoit un nombre : son abscisse.

Une droite horizontale Δ munie du repère (O, OI) : le vecteur OI, tracé en bleu, va de l'origine O au point I, placé une unité à sa droite. Sur la même droite, le point A est deux unités à gauche de O, le point B une unité et demie à droite de O, et le point C trois unités à droite de O. Sous chaque point est écrite son abscisse : 0 pour O, 1 pour I, −2 pour A, 1,5 pour B et 3 pour C.

2. Définition

Abscisse d'un point, milieu d'un segment

Ce qu’il dit

L'abscisse de M, houwa le nombre x elli le vecteur OM égale x fois le vecteur OI. W le milieu d'un segment ? Na3mlou la moyenne mte3 les deux abscisses : x A plus x B, le tout sur 2. Kima la moyenne mte3 zouz notes, bidhabt.

l'abscisse de M ، هو le nombre x اللي le vecteur O M égale x fois le vecteur O I . و le milieu d'un segment ؟ نعملو la moyenne متاع les deux abscisses : x A plus x B ، le tout sur 2 . كيما la moyenne متاع زوز notes ، بالضبط .

L'abscisse de M, c'est le nombre x tel que le vecteur O M égale x fois le vecteur O I. Et le milieu d'un segment ? On fait la moyenne des deux abscisses : x A plus x B, le tout sur 2. Exactement comme la moyenne de deux notes.

Soit Δ\Delta une droite munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) et MM un point de Δ.\Delta. L'abscisse de MM est l'unique réel xMx_M tel que

OM→=xM OI→.\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}.

Le point OO a pour abscisse 00 et le point II a pour abscisse 1.1.

Si AA et BB sont deux points de Δ,\Delta, le milieu KK du segment [AB][AB] a pour abscisse la moyenne des deux abscisses.

abscisse de M

OM→=xM OI→\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}

milieu de [AB]

xK=xA+xB2x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}

Exemple traité

Sur une droite munie d'un repère (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), l'abscisse du point AA est −3-3 et celle du point BB est 7.7. Quelle est l'abscisse du milieu KK de [AB][AB] ?

  1. La moyenne — On additionne les deux abscisses, puis on divise par deux : xK=2.x_K = 2.xK=−3+72=42x_K = \dfrac{-3 + 7}{2} = \dfrac{4}{2}
  2. xK=2x_K = 2
xK=2x_K = 2

À ne pas faire : xK=xB−xA2=7−(−3)2=5x_K = \dfrac{x_B - x_A}{2} = \dfrac{7 - (-3)}{2} = 5 — xK=xA+xB2=2x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2} = 2. La demi-différence donne la moitié de la longueur ABAB : c'est la distance de KK à chaque extrémité, pas sa position sur la droite.

3. Définition

Mesure algébrique et distance sur une droite

Ce qu’il dit

Zouz points A w B 3al droite. Le vecteur AB égale x B moins x A, fois le vecteur OI. El nombre hedha, x B moins x A, houwa la mesure algébrique de AB : nektbou AB barre. Rod belek mel ordre : l'arrivée moins le départ. W ki OI égale 1, la distance AB hiya la valeur absolue de (x B moins x A). W les points à une distance donnée de A ? Zouz, wa7ed men koll jiha.

زوز points A و B عالـ droite . le vecteur A B égale x B moins x A ، fois le vecteur O I . الـ nombre هذا ، x B moins x A ، هو la mesure algébrique de A B : نكتبو A B barre . رد بالك من l'ordre : l'arrivée moins le départ . و كي O I égale 1 ، la distance A B هي la valeur absolue de (x B moins x A) . و les points à une distance donnée de A ؟ زوز ، واحد من كل جيهة .

Deux points A et B sur la droite. Le vecteur A B égale x B moins x A, fois le vecteur O I. Ce nombre, x B moins x A, c'est la mesure algébrique de A B : on écrit A B barre. Attention à l'ordre : l'arrivée moins le départ. Et quand O I égale 1, la distance A B, c'est la valeur absolue de (x B moins x A). Et les points à une distance donnée de A ? Il y en a deux, un de chaque côté.

Soient AA et BB deux points de Δ,\Delta, d'abscisses xAx_A et xB.x_B. Alors

AB→=(xB−xA) OI→.\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI}.

Le réel xB−xAx_B - x_A s'appelle la mesure algébrique du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et on la note AB‾.\overline{AB}. Elle se lit « de AA vers BB » : abscisse d'arrivée moins abscisse de départ. Son signe dit le sens : positif si l'on va dans le sens de OI→,\overrightarrow{OI}, négatif sinon.

Quand OI=1,OI = 1, on dit que le vecteur OI→\overrightarrow{OI} est unitaire ; la distance ABAB est alors la mesure algébrique sans son signe : AB=∣xB−xA∣.AB = |x_B - x_A|.

Inversement, pour un réel d>0,d > 0, il y a deux points MM de Δ\Delta tels que AM=d,AM = d, un de chaque côté de AA : leurs abscisses sont xA+dx_A + d et xA−d.x_A - d. Et les points MM tels que AM<dAM < d sont ceux du segment entre ces deux points : ∣xM−xA∣<d|x_M - x_A| < d équivaut à xA−d<xM<xA+d.x_A - d < x_M < x_A + d.

Deux conséquences servent tout le temps :

  • AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} équivaut à xB−xA=xD−xCx_B - x_A = x_D - x_C ;
  • AB→=k CD→\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} équivaut à xB−xA=k (xD−xC).x_B - x_A = k\,(x_D - x_C).

mesure algébrique

AB‾=xB−xA\overline{AB} = x_B - x_A

distance, quand OI = 1

AB=∣xB−xA∣AB = |x_B - x_A|

vecteurs colinéaires

AB→=k CD→  ⟺  AB‾=k CD‾\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} \iff \overline{AB} = k\,\overline{CD}

Exemple traité

Sur une droite munie d'un repère (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) avec OI=1,OI = 1, l'abscisse du point AA est −2-2 et celle du point BB est 3,5.3{,}5. Calculer AB‾,\overline{AB}, BA‾\overline{BA} et la distance AB.AB. Quels sont les points MM de la droite tels que AM=2AM = 2 ?

  1. De A vers B — On arrive en B,B, on part de A.A.AB‾=3,5−(−2)=5,5\overline{AB} = 3{,}5 - (-2) = 5{,}5
  2. De B vers A — On échange les rôles : le signe change.BA‾=−2−3,5=−5,5\overline{BA} = -2 - 3{,}5 = -5{,}5
  3. La distance — Une distance n'a pas de signe.AB=∣5,5∣=5,5AB = |5{,}5| = 5{,}5
  4. Deux points — AM=∣xM−(−2)∣=∣xM+2∣AM = |x_M - (-2)| = |x_M + 2| : la mesure algébrique AM‾\overline{AM} vaut donc 22 ou −2.-2. Il y a un point de chaque côté de A.A.xM+2=2 ou xM+2=−2  ⟺  xM=0 ou xM=−4x_M + 2 = 2 \text{ ou } x_M + 2 = -2 \iff x_M = 0 \text{ ou } x_M = -4
AB‾=5,5 ; BA‾=−5,5 ; AB=5,5 ; xM=0 ou xM=−4\overline{AB} = 5{,}5 \ ; \ \overline{BA} = -5{,}5 \ ; \ AB = 5{,}5 \ ; \ x_M = 0 \text{ ou } x_M = -4

À ne pas faire : AB‾=xA−xB\overline{AB} = x_A - x_B — AB‾=xB−xA\overline{AB} = x_B - x_A. On part de AA pour arriver en BB : c'est l'abscisse d'arrivée moins celle de départ. Inverser l'ordre change le signe, donc le sens du vecteur.

À ne pas faire : AA d'abscisse 3,3, BB d'abscisse −2-2 : AB=−2−3=−5AB = -2 - 3 = -5 — AB=∣−2−3∣=5AB = |-2 - 3| = 5. Une distance est toujours positive. La mesure algébrique porte un signe ; la distance l'efface, avec la valeur absolue.

À ne pas faire : AM=2AM = 2 et xA=−2x_A = -2 : xM=−2+2=0,x_M = -2 + 2 = 0, un seul point. — xM=0x_M = 0 ou xM=−4x_M = -4 : deux points, un de chaque côté de A.A.. Une distance ne dit pas de quel côté on va. Sur la droite, on s'éloigne de AA de 22 unités vers la droite ou vers la gauche : il y a deux points.

À ne pas faire : xB=3x_B = 3 et BM<1BM < 1 : xM−3<1,x_M - 3 < 1, donc xM<4.x_M < 4. — ∣xM−3∣<1,|x_M - 3| < 1, donc 2<xM<4.2 < x_M < 4.. Une distance se lit dans les deux sens : MM peut être à gauche ou à droite de B.B. La valeur absolue donne deux inégalités, et les points cherchés forment un segment autour de B,B, pas une demi-droite.

4. Activité

Deux axes, deux nombres

Ce qu’il dit

Fil plan, yelzemna zouz axes : OI w OJ, mouch lezem perpendiculaires. Bech n9raw le point M, nersmou zouz parallèles lel axes, w nousslou l N w l P. ONMP parallélogramme, donc le vecteur OM égale le vecteur ON plus le vecteur OP. Hna le vecteur ON égale 3 fois le vecteur OI, w le vecteur OP égale 2 fois le vecteur OJ. Donc le vecteur OM égale 3 fois OI plus 2 fois OJ : les coordonnées de M houma 3 w 2.

في الـ plan ، يلزمنا زوز axes : O I و O J ، موش لازم perpendiculaires . باش نقراو le point M ، نرسمو زوز parallèles للـ axes ، و نوصلو لـ N و لـ P . O N M P parallélogramme ، donc le vecteur O M égale le vecteur O N plus le vecteur O P . هنا le vecteur O N égale 3 fois le vecteur O I ، و le vecteur O P égale 2 fois le vecteur O J . donc le vecteur O M égale 3 fois O I plus 2 fois O J : les coordonnées de M هوما 3 و 2 .

Dans le plan, il faut deux axes : O I et O J, pas forcément perpendiculaires. Pour lire le point M, on trace deux parallèles aux axes, et on arrive en N et en P. O N M P est un parallélogramme, donc le vecteur O M égale le vecteur O N plus le vecteur O P. Ici, le vecteur O N égale 3 fois le vecteur O I, et le vecteur O P égale 2 fois le vecteur O J. Donc le vecteur O M égale 3 fois O I plus 2 fois O J : les coordonnées de M sont 3 et 2.

Trois points O,O, II et JJ non alignés donnent un repère cartésien du plan, noté (O,OI→,OJ→).(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}). La droite (OI)(OI) est l'axe des abscisses, la droite (OJ)(OJ) l'axe des ordonnées.

Soit MM un point du plan. La parallèle à (OJ)(OJ) passant par MM coupe (OI)(OI) en NN ; la parallèle à (OI)(OI) passant par MM coupe (OJ)(OJ) en P.P.

  1. 1.Quelle est la nature du quadrilatère ONMPONMP ? Justifie l'égalité OM→=ON→+OP→.\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP}.
  2. 2.Sur la figure, ON→=3 OI→\overrightarrow{ON} = 3\,\overrightarrow{OI} et OP→=2 OJ→.\overrightarrow{OP} = 2\,\overrightarrow{OJ}. Écris OM→\overrightarrow{OM} en fonction de OI→\overrightarrow{OI} et de OJ→.\overrightarrow{OJ}.
  3. 3.Les axes de la figure ne sont pas perpendiculaires. La construction marche-t-elle quand même ?
OIJNPM
Deux parallèles aux axes, et le point M se lit : 3 et 2.

Un repère du plan dont les deux axes ne sont pas perpendiculaires : l'axe des abscisses est horizontal et passe par O et I ; l'axe des ordonnées part de O en montant vers la droite et passe par J. Les vecteurs OI et OJ sont tracés en bleu. Un point M est placé en haut à droite. La parallèle à (OJ) menée par M, en pointillés, coupe l'axe des abscisses en N, à trois unités de O ; la parallèle à (OI) menée par M, en pointillés, coupe l'axe des ordonnées en P, à deux unités de O. Le vecteur OM, tracé en rouge, est la diagonale du parallélogramme ONMP.

5. Définition

Coordonnées d'un point

Ce qu’il dit

Fil plan, el point 3andou zouz nombres : l'abscisse x w l'ordonnée y. Le vecteur OM égale x fois le vecteur OI plus y fois le vecteur OJ. Nektbou M de coordonnées x w y, w dima l'abscisse 9bal l'ordonnée. Point 3al axe des ordonnées, l'abscisse mte3ou nulle.

في الـ plan ، الـ point عندو زوز nombres : l'abscisse x و l'ordonnée i grec . le vecteur O M égale x fois le vecteur O I plus i grec fois le vecteur O J . نكتبو M de coordonnées x و i grec ، و ديما l'abscisse قبل l'ordonnée . point عالـ axe des ordonnées ، l'abscisse متاعو nulle .

Dans le plan, un point a deux nombres : son abscisse x et son ordonnée i grec. Le vecteur O M égale x fois le vecteur O I plus i grec fois le vecteur O J. On écrit M de coordonnées x et i grec, et toujours l'abscisse en premier. Un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle.

Soit (O,OI→,OJ→)(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}) un repère cartésien du plan et MM un point du plan. Le couple de coordonnées de MM est l'unique couple de réels (x ;y)(x\,;y) tel que

OM→=x OI→+y OJ→.\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}.

Le réel xx est l'abscisse de M,M, le réel yy son ordonnée. On écrit M(x ;y),M(x\,;y), l'abscisse toujours en premier.

coordonnées de M

OM→=x OI→+y OJ→  ⟺  M(x ;y)\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ} \iff M(x\,;y)

Exemple traité

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on sait que le vecteur OA→\overrightarrow{OA} est égal à −2 OI→+5 OJ→-2\,\overrightarrow{OI} + 5\,\overrightarrow{OJ} et que le vecteur OB→\overrightarrow{OB} est égal à 4 OJ→.4\,\overrightarrow{OJ}. Donner les coordonnées de AA et de B.B.

  1. Le point A — Le coefficient du vecteur OI→\overrightarrow{OI} donne l'abscisse, celui du vecteur OJ→\overrightarrow{OJ} donne l'ordonnée.A(−2 ;5)A(-2\,;5)
  2. Le coefficient absent — Dans l'écriture du vecteur OB→,\overrightarrow{OB}, le vecteur OI→\overrightarrow{OI} n'apparaît pas : son coefficient est 0,0, donc l'abscisse de BB est nulle.OB→=0 OI→+4 OJ→\overrightarrow{OB} = 0\,\overrightarrow{OI} + 4\,\overrightarrow{OJ}
  3. B(0 ;4)B(0\,;4)
A(−2 ;5);B(0 ;4)A(-2\,;5) \quad ; \quad B(0\,;4)

À ne pas faire : B(4 ;0)B(4\,;0) — B(0 ;4)B(0\,;4). Le 44 multiplie le vecteur OJ→\overrightarrow{OJ} : c'est l'ordonnée. Le point BB est sur l'axe des ordonnées, et son abscisse, absente de l'écriture, vaut 0.0.

6. Définition

Composantes d'un vecteur

Ce qu’il dit

Le vecteur AB, na3mlou l'arrivée moins le départ, ligne l koll axe : x B moins x A el fou9, y B moins y A el louta. Hedhouma les composantes mte3ou. Fil figure, men A l B, nemchiw 3 lel imin w ntal3ou 2 : le vecteur AB 3andou les composantes 3 w 2. W deux vecteurs égaux 3andhom nafs les composantes.

le vecteur A B ، نعملو l'arrivée moins le départ ، ligne لكل axe : x B moins x A الفوق ، i grec B moins i grec A اللوطة . هاذوما les composantes متاعو . في الـ figure ، من A لـ B ، نمشيو 3 لليمين و نطلعو 2 : le vecteur A B عندو les composantes 3 و 2 . و deux vecteurs égaux عندهم نفس les composantes .

Pour un vecteur A B, on fait arrivée moins départ, une ligne pour chaque axe : x B moins x A en haut, i grec B moins i grec A en bas. Ce sont ses composantes. Sur la figure, de A à B, on avance de 3 et on monte de 2 : le vecteur A B a pour composantes 3 et 2. Et deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes.

Soient A(xA ;yA)A(x_A\,;y_A) et B(xB ;yB)B(x_B\,;y_B) deux points du plan. Alors

AB→=(xB−xA) OI→+(yB−yA) OJ→.\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI} + (y_B - y_A)\,\overrightarrow{OJ}.

Le couple (xB−xA ;yB−yA)(x_B - x_A\,;y_B - y_A) est le couple de composantes du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. On l'écrit en colonne, à côté du vecteur.

Comme sur la droite, c'est arrivée moins départ, une ligne pour chaque axe. Et deux vecteurs sont égaux exactement quand ils ont les mêmes composantes.

32OIJAB
De A à B : 3 vers la droite, 2 vers le haut.

Un repère orthonormé d'origine O, avec les vecteurs OI et OJ en bleu. Le point A a pour coordonnées (1 ; 2) et le point B (4 ; 4). Le vecteur AB est tracé en rouge. En pointillés, un chemin en escalier va de A vers B : trois unités vers la droite, marquées 3, puis deux unités vers le haut, marquées 2. Ce sont les deux composantes du vecteur AB.

composantes de AB

AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

vecteurs égaux

AB→=CD→  ⟺  {xB−xA=xD−xCyB−yA=yD−yC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}

Démonstration

D'après la relation de Chasles, AB→=AO→+OB→=OB→−OA→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}. Or OA→=xA OI→+yA OJ→\overrightarrow{OA} = x_A\,\overrightarrow{OI} + y_A\,\overrightarrow{OJ} et OB→=xB OI→+yB OJ→.\overrightarrow{OB} = x_B\,\overrightarrow{OI} + y_B\,\overrightarrow{OJ}. En regroupant :

AB→=(xB−xA) OI→+(yB−yA) OJ→.\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI} + (y_B - y_A)\,\overrightarrow{OJ}.

Comme le couple de coordonnées d'un point, le couple de composantes d'un vecteur est unique : deux vecteurs égaux ont donc les mêmes composantes, et réciproquement.

Exemple traité

Dans un repère, on donne A(−1 ;4),A(-1\,;4), B(3 ;1)B(3\,;1) et E(2 ;−2).E(2\,;-2). Calculer les composantes du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, puis les coordonnées du point FF tel que les vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et AB→\overrightarrow{AB} soient égaux.

  1. Arrivée moins départ — On retranche les coordonnées de AA : 3−(−1)=43 - (-1) = 4 en abscisse, 1−4=−31 - 4 = -3 en ordonnée.AB→(3−(−1)1−4)=(4−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}
  2. Mêmes composantes — Les vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et AB→\overrightarrow{AB} sont égaux : leurs composantes le sont aussi, ligne par ligne.xF−2=4;yF−(−2)=−3x_F - 2 = 4 \quad ; \quad y_F - (-2) = -3
  3. xF=6;yF=−5x_F = 6 \quad ; \quad y_F = -5
F(6 ;−5)F(6\,;-5)

À ne pas faire : AB→(xA−xByA−yB)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \end{pmatrix} — AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}. Ce serait le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, de sens contraire. On retranche toujours les coordonnées du point de départ.

7. Propriété

Coordonnées du milieu d'un segment

Ce qu’il dit

Le milieu d'un segment fil plan : na3mlou la moyenne 3la koll axe. x K égale x A plus x B, le tout sur 2, w y K égale y A plus y B, le tout sur 2. Hiya nafs la règle mte3 la droite, marrtin.

le milieu d'un segment في الـ plan : نعملو la moyenne على كل axe . x K égale x A plus x B ، le tout sur 2 ، و i grec K égale i grec A plus i grec B ، le tout sur 2 . هي نفس la règle متاع la droite ، مرّتين .

Le milieu d'un segment, dans le plan : on fait la moyenne sur chaque axe. x K égale x A plus x B, le tout sur 2, et i grec K égale i grec A plus i grec B, le tout sur 2. C'est la règle de la droite, appliquée deux fois.

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), le milieu KK du segment [AB][AB] a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de AA et de BB :

xK=xA+xB2;\displaystyle x_K = \frac{x_A + x_B}{2} \quad ; \quadyK=yA+yB2.\displaystyle y_K = \frac{y_A + y_B}{2}.

C'est la règle de la droite, appliquée à chacun des deux axes.

La même égalité se lit dans l'autre sens. Si KK est le milieu de [AB],[AB], c'est-à-dire si BB est le symétrique de AA par rapport à K,K, alors xB=2 xK−xAx_B = 2\,x_K - x_A et yB=2 yK−yA.y_B = 2\,y_K - y_A.

milieu de [AB]

K(xA+xB2 ;yA+yB2)K\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Démonstration

KK est le milieu de [AB][AB] équivaut à AK→=KB→.\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{KB}. Composante par composante :

xK−xA=xB−xK  ⟺  2 xK=xA+xB,x_K - x_A = x_B - x_K \iff 2\,x_K = x_A + x_B,

et de même pour l'ordonnée.

Exemple traité

On donne A(2 ;5)A(2\,;5) et B(−4 ;1).B(-4\,;1). Quelles sont les coordonnées du milieu KK de [AB][AB] ?

  1. L'abscisse — xK=2+(−4)2=−22=−1x_K = \dfrac{2 + (-4)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1
  2. L'ordonnée — yK=5+12=62=3y_K = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3
K(−1 ;3)K(-1\,;3)

À ne pas faire : K(−2 ;3)K(-2\,;3) — K(−1 ;3)K(-1\,;3). La somme 2+(−4)=−22 + (-4) = -2 n'est que la moitié du travail : il faut la diviser par 2,2, pour l'abscisse comme pour l'ordonnée.

8. Propriété

Vecteurs colinéaires, points alignés

Ce qu’il dit

Deux vecteurs colinéaires, les composantes mte3hom proportionnelles : n3addiw men vecteur l vecteur ki nodhorbou fi nafs le nombre k. Bech net2akkdou, le produit en croix, kima fi tableau de proportionnalité. W trois points A, B, C alignés ki les vecteurs AB w AC colinéaires. W les droites AB w CD parallèles ki les vecteurs AB w CD colinéaires.

deux vecteurs colinéaires ، les composantes متاعهم proportionnelles : نعدّيو من vecteur لـ vecteur كي نضربو في نفس le nombre k . باش نتأكّدو ، le produit en croix ، كيما في tableau de proportionnalité . و trois points A ، B ، C alignés كي les vecteurs A B و A C colinéaires . و les droites A B و C D parallèles كي les vecteurs A B و C D colinéaires .

Deux vecteurs colinéaires ont des composantes proportionnelles : on passe de l'un à l'autre en multipliant par un même nombre k. Pour le vérifier, le produit en croix, comme dans un tableau de proportionnalité. Et trois points A, B, C sont alignés quand les vecteurs A B et A C sont colinéaires. De même, les droites A B et C D sont parallèles quand les vecteurs A B et C D sont colinéaires.

Pour un réel k,k, les composantes de k AB→k\,\overrightarrow{AB} sont celles de AB→\overrightarrow{AB} multipliées par k.k. Donc AB→=k CD→\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} équivaut à xB−xA=k (xD−xC)x_B - x_A = k\,(x_D - x_C) et yB−yA=k (yD−yC).y_B - y_A = k\,(y_D - y_C).

Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires quand leurs composantes sont proportionnelles. On le vérifie comme dans un tableau de proportionnalité, par le produit en croix : u→(xy)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v→(x′y′)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} sont colinéaires lorsque x y′=x′ y.x\,y' = x'\,y.

Enfin, trois points A,A, BB et CC sont alignés exactement quand les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

De même, les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles exactement quand les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

composantes proportionnelles

AB→=k CD→  ⟺  {xB−xA=k (xD−xC)yB−yA=k (yD−yC)\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = k\,(x_D - x_C) \\ y_B - y_A = k\,(y_D - y_C) \end{cases}

produit en croix

u→(xy) et v→(x′y′) colineˊaires  ⟺  x y′=x′ y\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \text{ et } \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \text{ colinéaires} \iff x\,y' = x'\,y

Exemple traité

On donne A(2 ;3),A(2\,;3), E(−2 ;1)E(-2\,;1) et C(3 ;2).C(3\,;2). Les points A,A, EE et CC sont-ils alignés ? Soit B(1 ;y)B(1\,;y) : pour quelle valeur de yy les points A,A, BB et CC sont-ils alignés ?

  1. Les composantes — Le vecteur AE→\overrightarrow{AE} a pour composantes −4-4 et −2-2 ; le vecteur AC→\overrightarrow{AC} a pour composantes 11 et −1.-1.AE→(−4−2);AC→(1−1)\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
  2. Le produit en croix — (−4)×(−1)=4(-4) \times (-1) = 4 et 1×(−2)=−21 \times (-2) = -2 : les produits diffèrent. Les composantes ne sont pas proportionnelles, donc A,A, EE et CC ne sont pas alignés.(−4)×(−1)≠1×(−2)(-4) \times (-1) \ne 1 \times (-2)
  3. Le point B — Il faut que le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, de composantes −1-1 et y−3,y - 3, soit colinéaire au vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.(−1)×(−1)=1×(y−3)(-1) \times (-1) = 1 \times (y - 3)
  4. 1=y−3  ⟺  y=41 = y - 3 \iff y = 4
A,E,C ne sont pas aligneˊs ; y=4A, E, C \text{ ne sont pas alignés} \ ; \ y = 4

À ne pas faire : (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} et (45)\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} sont colinéaires : on ajoute 22 à chaque composante. — (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} et (46)\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} sont colinéaires : on multiplie chaque composante par 2.2.. Colinéaire veut dire proportionnel : on multiplie par un même réel k,k, on n'ajoute pas. Le produit en croix le montre : 2×5=102 \times 5 = 10 et 4×3=12.4 \times 3 = 12.

9. Théorème

Distance dans un repère orthonormé

Ce qu’il dit

Repère orthonormé : les axes perpendiculaires, w OI égale OJ égale 1. Wa9tha la distance AB, hiya Pythagore. Nersmou le triangle rectangle : côté horizontal, la valeur absolue de (x B moins x A), w côté vertical, la valeur absolue de (y B moins y A). AB égale la racine carrée de la somme des deux carrés. Ama ken fi repère orthonormé.

repère orthonormé : les axes perpendiculaires ، و O I égale O J égale 1 . وقتها la distance A B ، هي Pythagore . نرسمو le triangle rectangle : côté horizontal ، la valeur absolue de (x B moins x A) ، و côté vertical ، la valeur absolue de (i grec B moins i grec A) . A B égale la racine carrée de la somme des deux carrés . أما كان في repère orthonormé .

Un repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires, et O I égale O J égale 1. Alors la distance A B, c'est Pythagore. On trace le triangle rectangle : un côté horizontal, la valeur absolue de (x B moins x A), un côté vertical, la valeur absolue de (i grec B moins i grec A). A B égale la racine carrée de la somme des deux carrés. Mais seulement dans un repère orthonormé.

Le repère (O,OI→,OJ→)(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}) est dit orthogonal si les axes (OI)(OI) et (OJ)(OJ) sont perpendiculaires, et orthonormé si, de plus, OI=OJ=1.OI = OJ = 1.

Dans un repère orthonormé, la distance des points A(xA ;yA)A(x_A\,;y_A) et B(xB ;yB)B(x_B\,;y_B) est

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

En particulier, la distance d'un point M(xM ;yM)M(x_M\,;y_M) à l'origine est OM=xM2+yM2.OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}.

|xB − xA||yB − yA|OIJACB
Le triangle rectangle caché derrière la formule de la distance.

Un repère orthonormé d'origine O, les vecteurs unitaires OI et OJ en bleu, perpendiculaires. Le point A est en bas à gauche, le point B en haut à droite. La parallèle à l'axe des abscisses menée par A et la parallèle à l'axe des ordonnées menée par B, en pointillés, se coupent en C. Le triangle ACB est rectangle en C : le côté horizontal [AC] mesure |xB − xA|, le côté vertical [CB] mesure |yB − yA|, et l'hypoténuse [AB] est tracée en rouge.

repère orthonormé

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

distance à l'origine

OM=xM2+yM2OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}

Démonstration

La parallèle à (OI)(OI) passant par AA et la parallèle à (OJ)(OJ) passant par BB se coupent en C(xB ;yA).C(x_B\,;y_A). Les axes étant perpendiculaires, le triangle ACBACB est rectangle en C.C. Le repère étant normé, AC=∣xB−xA∣AC = |x_B - x_A| et CB=∣yB−yA∣.CB = |y_B - y_A|. Le théorème de Pythagore donne

AB2=AC2+CB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2,AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

et AB,AB, qui est positif, en est la racine carrée.

Exemple traité

Dans un repère orthonormé, on donne A(−1 ;2)A(-1\,;2) et B(3 ;−4).B(3\,;-4). Calculer la distance AB.AB.

  1. Les écarts — xB−xA=3−(−1)=4;yB−yA=−4−2=−6x_B - x_A = 3 - (-1) = 4 \quad ; \quad y_B - y_A = -4 - 2 = -6
  2. La formule — Le carré efface le signe : (−6)2=36.(-6)^2 = 36.AB=42+(−6)2=16+36=52AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}
  3. On simplifie — On sort le carré parfait : 52=4×13,52 = 4 \times 13, donc AB=213.AB = 2\sqrt{13}.AB=213AB = 2\sqrt{13}
AB=213AB = 2\sqrt{13}

À ne pas faire : AB=42+(−6)2=4+6=10AB = \sqrt{4^2} + \sqrt{(-6)^2} = 4 + 6 = 10 — AB=16+36=52AB = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines. On additionne les carrés sous la racine, et seulement après on prend la racine.

À ne pas faire : AB=42+(−6)2=52AB = 4^2 + (-6)^2 = 52 — AB2=52,AB^2 = 52, donc AB=52AB = \sqrt{52}. La somme des carrés donne AB2,AB^2, pas ABAB : il reste à prendre la racine carrée.

10. Méthode

Reconnaître une figure par le calcul

Ce qu’il dit

B les coordonnées, na3rfou la figure bel 7sab. Parallélogramme : deux vecteurs égaux, walla des diagonales 3andhom nafs le milieu. Triangle rectangle : les carrés des trois côtés, w la réciproque de Pythagore 3la akbar wa7ed. Ama 9bal koll chay, figure : hiya elli t9ollek chnouwa tthabbet.

بـ les coordonnées ، نعرفو la figure بالحساب . parallélogramme : deux vecteurs égaux ، ولّا des diagonales عندهم نفس le milieu . triangle rectangle : les carrés des trois côtés ، و la réciproque de Pythagore على أكبر واحد . أما قبل كل شيء ، figure : هي اللي تقلّك شنوّة تثبّت .

Avec des coordonnées, on reconnaît une figure par le calcul. Un parallélogramme : deux vecteurs égaux, ou des diagonales de même milieu. Un triangle rectangle : les carrés des trois côtés, et la réciproque de Pythagore sur le plus grand. Mais d'abord, toujours, une figure : c'est elle qui dit quoi vérifier.

Les coordonnées transforment une question de géométrie en calculs. Trois réflexes :

  1. 1.Un parallélogramme ? Compare deux vecteurs : ABCDABCD est un parallélogramme lorsque AB→=DC→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, ou lorsque ses diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.
  2. 2.Un triangle rectangle ? Dans un repère orthonormé, calcule les carrés des trois côtés et teste la réciproque du théorème de Pythagore sur le plus grand.
  3. 3.Isocèle, losange, rectangle, carré ? Compare des longueurs. Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange ; un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur est un rectangle ; les deux à la fois : un carré.

Et avant tout calcul, une figure : c'est elle qui dit quoi vérifier.

OABCDK
Deux angles droits qui regardent le même segment [AB].

Un repère orthonormé d'origine O, dont seuls les deux axes sont tracés. Les points A(3 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 2) et D(1 ; 3) sont placés : B est sur l'axe des ordonnées, C juste au-dessus de A, D en haut. Le triangle ABC est tracé en noir, avec l'angle droit marqué en C. Le triangle ABD, en bleu, a l'angle droit marqué en D. Un cercle en pointillés, de centre K, milieu de [AB], passe par les quatre points A, B, C et D.

parallélogramme

ABCD paralleˊlogramme  ⟺  AB→=DC→ABCD \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

Exemple traité

Dans un repère orthonormé, on donne A(3 ;1),A(3\,;1), B(0 ;2),B(0\,;2), C(3 ;2)C(3\,;2) et D(1 ;3).D(1\,;3). Quelle est la nature du triangle ABCABC ? Les points A,A, B,B, CC et DD sont-ils sur un même cercle ?

  1. Les trois côtés — AC2=02+12=1;BC2=32+02=9;AB2=(−3)2+12=10AC^2 = 0^2 + 1^2 = 1 \quad ; \quad BC^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \quad ; \quad AB^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10
  2. Pythagore — Le plus grand carré, AB2,AB^2, est la somme des deux autres : le triangle ABCABC est rectangle en C,C, en face de [AB].[AB].AC2+BC2=1+9=10=AB2AC^2 + BC^2 = 1 + 9 = 10 = AB^2
  3. L'autre triangle — Même démarche pour le triangle ABDABD : AD2=(−2)2+22=8AD^2 = (-2)^2 + 2^2 = 8 et BD2=12+12=2.BD^2 = 1^2 + 1^2 = 2.AD2+BD2=8+2=10=AB2AD^2 + BD^2 = 8 + 2 = 10 = AB^2
  4. Le cercle — Les triangles ABCABC et ABDABD sont rectangles, en CC et en D,D, d'hypoténuse commune [AB].[AB]. Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : A,A, B,B, CC et DD sont sur le cercle de diamètre [AB],[AB], de centre K,K, milieu de [AB].[AB].
ABC est rectangle en C ; A,B,C,D sont sur le cercle de diameˋtre [AB]ABC \text{ est rectangle en } C \ ; \ A, B, C, D \text{ sont sur le cercle de diamètre } [AB]

À ne pas faire : AB2+AC2=10+1=11≠BC2,AB^2 + AC^2 = 10 + 1 = 11 \ne BC^2, donc ABCABC n'est pas rectangle. — On teste le plus grand carré : AC2+BC2=10=AB2.AC^2 + BC^2 = 10 = AB^2.. La réciproque de Pythagore compare le plus long côté à la somme des deux autres. Additionner deux carrés pris au hasard ne prouve rien.

11. Activité

Lire un trajet sur un graphique

Ce qu’il dit

Fil graphique hedha, n9raw zouz trajets. El cycliste yo5rej fi l'instant zéro, w el karhba une heure ba3dou, men nafs el blasa. El cycliste ya3mel 60 kilomètres fi 3 heures : 20 kilomètres par heure. El karhba ta3mel 90 kilomètres fi une heure et demie : 60 kilomètres par heure. Les deux segments yetla9aw fi R : hedhi la rencontre, ba3d une heure et demie, b 30 kilomètres mel départ.

في الـ graphique هذا ، نقراو زوز trajets . الـ cycliste يخرج في l'instant zéro ، و الكرهبة une heure بعدو ، من نفس البلاصة . الـ cycliste يعمل 60 kilomètres في 3 heures : 20 kilomètres par heure . الكرهبة تعمل 90 kilomètres في une heure et demie : 60 kilomètres par heure . les deux segments يتلاقاو في R : هاذي la rencontre ، بعد une heure et demie ، بـ 30 kilomètres من الـ départ .

Sur ce graphique, on lit deux trajets. Le cycliste part à l'instant zéro, la voiture une heure plus tard, du même endroit. Le cycliste fait 60 kilomètres en 3 heures : 20 kilomètres par heure. La voiture fait 90 kilomètres en une heure et demie : 60 kilomètres par heure. Les deux segments se croisent en R : c'est la rencontre, au bout d'une heure et demie, à 30 kilomètres du départ.

Un cycliste et une voiture partent du même endroit, sur la même route. Le graphique donne la distance dd parcourue, en kilomètres, en fonction du temps t,t, en heures, compté depuis le départ du cycliste.

  1. 1.À quel instant part chacun des deux ?
  2. 2.Le cycliste parcourt 6060 km en 33 heures ; la voiture parcourt 9090 km entre t=1t = 1 et t=2,5.t = 2{,}5. Calcule la vitesse de chacun, en km/h.
  3. 3.Lis sur le graphique l'instant et la position de leur rencontre, puis vérifie-les par le calcul.

Sur ce graphique, un segment de droite, c'est une vitesse constante : la distance parcourue est alors une fonction affine du temps.

vélovoiture0t (h)d (km)123306090R
Le cycliste en bleu, la voiture en rouge.

Un graphique distance-temps. L'axe horizontal porte le temps t en heures, gradué 1, 2, 3 ; l'axe vertical porte la distance d en kilomètres, gradué 30, 60, 90. Le trajet du cycliste, en bleu, est un segment qui part de l'origine et monte jusqu'au point de coordonnées (3 ; 60). Le trajet de la voiture, en rouge, part du point (1 ; 0) et monte beaucoup plus vite, jusqu'au point (2,5 ; 90). Les deux segments se croisent en un point R, situé à mi-chemin entre les graduations 1 et 2 de l'axe du temps, et à la hauteur de la graduation 30 de l'axe des distances. Aucune valeur n'est écrite à côté de R : c'est à l'élève de les lire.

12. Propriété

Droites parallèles et fonctions affines

Ce qu’il dit

Zouz fonctions affines 3andhom nafs le coefficient a : les droites mte3hom parallèles. 3lech ? Bin x égale 0 w x égale 1, koll wa7da tzid 1 w tatla3 b a. Nafs les composantes, vecteurs égaux, droites parallèles. W la constante, ma ta3mel ken t7arrek la droite lel fou9 walla lel louta.

زوز fonctions affines عندهم نفس le coefficient a : les droites متاعهم parallèles . علاش ؟ بين x égale 0 و x égale 1 ، كل وحدة تزيد 1 و تطلع بـ a . نفس les composantes ، vecteurs égaux ، droites parallèles . و la constante ، ما تعمل كان تحرّك la droite للفوق ولّا للّوطة .

Deux fonctions affines qui ont le même coefficient a : leurs droites sont parallèles. Pourquoi ? Entre x égale 0 et x égale 1, chacune avance de 1 et monte de a. Mêmes composantes, vecteurs égaux, droites parallèles. La constante, elle, ne fait que glisser la droite vers le haut ou vers le bas.

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), soient ff et gg deux fonctions affines de même coefficient aa : f(x)=ax+bf(x) = ax + b et g(x)=ax+c.g(x) = ax + c.

Leurs représentations graphiques DD et D′D' sont parallèles. Le coefficient aa fixe la direction de la droite ; la constante ne fait que la glisser vers le haut ou vers le bas.

À l'inverse, si les coefficients de ff et de gg sont différents, leurs représentations graphiques ont deux directions différentes : les droites sont sécantes.

DD'OIJAC
Même coefficient −2 : même direction, droites parallèles.

Un repère d'origine O, avec ses deux axes. La droite D, représentation de f(x) = −2x, passe par O et par C(1 ; −2). La droite D', en bleu, représentation de g(x) = −2x + 1, passe par J(0 ; 1) et par A(1 ; −1). Les deux droites descendent avec la même pente, l'une au-dessus de l'autre. Les vecteurs OC et JA, tracés en rouge, font le même pas : une unité vers la droite, deux unités vers le bas.

même coefficient

f(x)=ax+b, g(x)=ax+c ⇒ D et D′ sont paralleˋlesf(x) = ax + b,\ g(x) = ax + c \ \Rightarrow\ D \text{ et } D' \text{ sont parallèles}

Démonstration

DD passe par E(0 ;b)E(0\,;b) et F(1 ;a+b)F(1\,;a + b) ; D′D' passe par G(0 ;c)G(0\,;c) et H(1 ;a+c).H(1\,;a + c). Les vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et GH→\overrightarrow{GH} ont les mêmes composantes :

EF→(1a);\displaystyle \overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} \quad ; \quadGH→(1a).\displaystyle \overrightarrow{GH}\begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}.

Ils sont égaux, donc colinéaires : les droites (EF)(EF) et (GH),(GH), c'est-à-dire DD et D′,D', sont parallèles.

Exemple traité

Dans un repère, DD représente f(x)=−2xf(x) = -2x et D′D' représente g(x)=−2x+1.g(x) = -2x + 1. Sur quelle droite se trouve le point A(1 ;−1)A(1\,;-1) ? Comparer les vecteurs JA→\overrightarrow{JA} et OC→,\overrightarrow{OC}, où J(0 ;1)J(0\,;1) et C(1 ;−2).C(1\,;-2).

  1. Le point A — g(1)=−2×1+1=−1g(1) = -2 \times 1 + 1 = -1 : c'est l'ordonnée de A,A, donc AA est sur D′.D'. De même g(0)=1g(0) = 1 : JJ est sur D′.D'. Et f(1)=−2f(1) = -2 : CC est sur D.D.g(1)=−1;g(0)=1;f(1)=−2g(1) = -1 \quad ; \quad g(0) = 1 \quad ; \quad f(1) = -2
  2. Les vecteurs — Le vecteur JA→\overrightarrow{JA} a pour composantes 1−0=11 - 0 = 1 et −1−1=−2-1 - 1 = -2 ; le vecteur OC→\overrightarrow{OC} a pour composantes 11 et −2.-2.JA→(1−0−1−1)=(1−2);OC→(1−2)\overrightarrow{JA}\begin{pmatrix} 1 - 0 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{OC}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
  3. La conclusion — Mêmes composantes : les vecteurs JA→\overrightarrow{JA} et OC→\overrightarrow{OC} sont égaux. Les droites D′D' et DD ont donc la même direction : elles sont parallèles.A∈D′ ; JA→=OC→ ; D∥D′A \in D' \ ; \ \overrightarrow{JA} = \overrightarrow{OC} \ ; \ D \parallel D'
A∈D′ ; JA→=OC→ ; D∥D′A \in D' \ ; \ \overrightarrow{JA} = \overrightarrow{OC} \ ; \ D \parallel D'

À ne pas faire : f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 et g(x)=3x+2g(x) = 3x + 2 : mêmes nombres, donc droites parallèles. — Seul le coefficient de xx compte : 2≠3,2 \ne 3, les droites sont sécantes.. Le coefficient fixe la direction ; la constante ne fait que déplacer la droite. Deux coefficients différents donnent deux directions différentes.

13. Méthode

Choisir son repère

Ce qu’il dit

Sa3at le repère mouch mo3ti : ne5tarouh a7na fil figure. Hna, I w J les milieux de AB w de AC, w na5dhou le repère A, AC, AB. A de coordonnées 0 w 0, C 1 w 0, B 0 w 1. Les milieux yet7asbou wa7adhom, w nel9aw le vecteur IJ égale un demi fois le vecteur BC : hedhi la droite des milieux, démontrée bel 7sab. Rod belek : le repère hedha, en général, mouch orthonormé : la formule de la distance ma temchich fih.

ساعات le repère موش معطي : نختاروه أحنا في الـ figure . هنا ، I و J les milieux de A B و de A C ، و ناخذو le repère A ، A C ، A B . A de coordonnées 0 و 0 ، C 1 و 0 ، B 0 و 1 . les milieux يتحسبو وحدهم ، و نلقاو le vecteur I J égale un demi fois le vecteur B C : هاذي la droite des milieux ، démontrée بالحساب . رد بالك : le repère هذا ، en général ، موش orthonormé : la formule de la distance ما تمشيش فيه .

Parfois le repère n'est pas donné : on le choisit dans la figure. Ici, I et J sont les milieux de A B et de A C, et on prend le repère A, A C, A B. Les coordonnées de A sont 0 et 0, celles de C 1 et 0, celles de B 0 et 1. Les milieux se calculent tout seuls, et on trouve le vecteur I J égale un demi fois le vecteur B C : c'est la droite des milieux, démontrée par le calcul. Attention : ce repère n'est, en général, pas orthonormé : la formule de la distance n'y marche pas.

Un repère n'est pas toujours donné : on peut le choisir dans la figure, pour démontrer par le calcul.

Soit ABCABC un triangle, II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC].[AC]. Prenons le repère (A,AC→,AB→)(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}) : il n'est, en général, ni orthogonal ni normé, mais il suffit pour les milieux et les vecteurs. On y lit A(0 ;0),A(0\,;0), C(1 ;0)C(1\,;0) et B(0 ;1),B(0\,;1), donc I(0 ;12)I\left(0\,;\tfrac{1}{2}\right) et J(12 ;0).J\left(\tfrac{1}{2}\,;0\right).

Alors IJ→(12−12)\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} et BC→(1−1)\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} : les composantes de IJ→\overrightarrow{IJ} sont la moitié de celles de BC→.\overrightarrow{BC}. Donc IJ→=12 BC→,\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}, et l'on retrouve la droite des milieux : (IJ)(IJ) est parallèle à (BC),(BC), et IJ=12 BC.IJ = \tfrac{1}{2}\,BC.

ACBIJ
Le repère (A, AC, AB), pris dans la figure elle-même.

Un triangle ABC : A en bas à gauche, C en bas à droite, B en haut. Les côtés [AC] et [AB] portent chacun une flèche bleue partant de A : ce sont les vecteurs AC et AB du repère (A, AC, AB). I est le milieu de [AB], J le milieu de [AC], et le segment [IJ], tracé en rouge, est parallèle au côté [BC].

la droite des milieux, par le calcul

IJ→=12 BC→\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}

Exemple traité

Dans le repère (A,AC→,AB→)(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}) ci-dessus, soit KK le milieu de [BC].[BC]. Montrer que AIKJAIKJ est un parallélogramme.

  1. Le point K — K(0+12 ;1+02)=K(12 ;12)K\left(\dfrac{0 + 1}{2}\,;\dfrac{1 + 0}{2}\right) = K\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)
  2. Deux vecteurs — Le vecteur AI→\overrightarrow{AI} a pour composantes 00 et 12\tfrac{1}{2} ; le vecteur JK→\overrightarrow{JK} a pour composantes 12−12=0\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0 et 12−0=12.\tfrac{1}{2} - 0 = \tfrac{1}{2}.AI→(012);JK→(12−1212−0)=(012)\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{JK}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}
  3. La conclusion — Mêmes composantes : les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et JK→\overrightarrow{JK} sont égaux, donc AIKJAIKJ est un parallélogramme.
AIKJ est un paralleˊlogrammeAIKJ \text{ est un parallélogramme}

À ne pas faire : Dans le repère (A,AC→,AB→)(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}) : BC=12+(−1)2=2.BC = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}. — Ce repère sert aux milieux, aux vecteurs, à l'alignement — pas à la formule de la distance. Le rapport de deux vecteurs colinéaires, oui : c'est ainsi qu'on obtient IJ=12 BC.IJ = \tfrac{1}{2}\,BC.. La formule de la distance suppose un repère orthonormé. Sur la figure, ABAB et ACAC n'ont pas la même longueur, et l'angle en AA n'est pas droit.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

  1. Sur une droite de repère (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) : OM→=xM OI→\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI} et AB‾=xB−xA.\overline{AB} = x_B - x_A.3al droite : le vecteur OM égale x M fois le vecteur OI, w AB barre égale x B moins x A.Sur une droite : le vecteur O M égale x M fois le vecteur O I, et A B barre égale x B moins x A.
  2. Si OI=1,OI = 1, la distance est AB=∣xB−xA∣.AB = |x_B - x_A|.Ken OI égale 1 : la distance AB égale la valeur absolue de (x B moins x A).Si O I égale 1 : la distance A B égale la valeur absolue de (x B moins x A).
  3. Dans le plan : OM→=x OI→+y OJ→\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ} s'écrit M(x ;y),M(x\,;y), l'abscisse d'abord.Fil plan : le vecteur OM égale x fois le vecteur OI plus y fois le vecteur OJ, w dima l'abscisse 9bal.Dans le plan : le vecteur O M égale x fois le vecteur O I plus i grec fois le vecteur O J, et toujours l'abscisse en premier.
  4. AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} : arrivée moins départ. Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes.Les composantes de AB : l'arrivée moins le départ, w deux vecteurs égaux 3andhom nafs les composantes.Les composantes de A B : l'arrivée moins le départ. Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes.
  5. Le milieu : la moyenne des abscisses, la moyenne des ordonnées.Le milieu : na3mlou la moyenne des abscisses, w la moyenne des ordonnées.Le milieu : on fait la moyenne des abscisses, et la moyenne des ordonnées.
  6. Vecteurs colinéaires : composantes proportionnelles. A,A, B,B, CC alignés   ⟺  \iff AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires.Vecteurs colinéaires : composantes proportionnelles. W A, B, C alignés ki les vecteurs AB w AC colinéaires.Vecteurs colinéaires : composantes proportionnelles. Et A, B, C sont alignés quand les vecteurs A B et A C sont colinéaires.
  7. Dans un repère orthonormé seulement : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.Ken fi repère orthonormé : AB égale la racine carrée de la somme des deux carrés : (x B moins x A) au carré plus (y B moins y A) au carré.Seulement dans un repère orthonormé : A B égale la racine carrée de la somme des deux carrés : (x B moins x A) au carré plus (i grec B moins i grec A) au carré.
  8. Deux fonctions affines de même coefficient ont des représentations graphiques parallèles.Deux fonctions affines 3andhom nafs le coefficient : les droites mte3hom parallèles.Deux fonctions affines de même coefficient ont des représentations graphiques parallèles.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna les activités dans un repère. Tfakker el 7araka elli t3awed fi koll blasa : l'arrivée moins le départ. W la distance, ken fi repère orthonormé. Yalla nemchiw lel exercices.

هكّا كمّلنا les activités dans un repère . تفكّر الحركة اللي تعاود في كل بلاصة : l'arrivée moins le départ . و la distance ، كان في repère orthonormé . يالله نمشيو للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé les activités dans un repère. Retiens le geste qui revient partout : l'arrivée moins le départ. Et la distance, seulement dans un repère orthonormé. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Un point, un nombre

  • c'est quoi un repère d'une droite
  • repère cartésien sur une droite
  • repère (O, OI) de la droite chnowa
  • repère sur une droite ya3ni chnowa
  • origine et unité d'un repère sur une droite
  • le vecteur OI dans le repère de la droite

Ce qu’il répond

3la droite, nekhtarou zouz points O w I. O houwa l'origine, w le vecteur $\overrightarrow{OI}$ ya3ti le sens w l'unité. Hedha le repère cartésien $(O, \overrightarrow{OI})$.

على droite ، نختارو زوز points O w I . O هو l'origine ، w le vecteur O I يعطي le sens w l'unité . هذا le repère cartésien O ، vecteur O I .

Sur une droite, on choisit deux points distincts O et I. O est l'origine, et le vecteur O I donne à la fois le sens et l'unité. C'est le repère cartésien O, vecteur O I.

Question 2 · Abscisse d'un point, milieu d'un segment

  • c'est quoi l'abscisse d'un point
  • chnowa l'abscisse
  • abscisse définition
  • abscisse ya3ni chnowa
  • OM = x OI c'est quoi l'abscisse x
  • comment trouver l'abscisse d'un point sur une droite

Ce qu’il écrit au tableau

  • OM→=xM OI→\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}

Ce qu’il répond

L'abscisse mte3 M hiya le réel x el wa7id elli $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI}$. O 3andou abscisse 0, w I 3andou abscisse 1.

l'abscisse متاع M هي le réel x الوحيد اللي vecteur O M égale x fois vecteur O I . O عندو abscisse zéro ، w I عندو abscisse 1 .

L'abscisse de M est l'unique réel x tel que vecteur O M égale x fois vecteur O I. Le point O a pour abscisse 0, et le point I a pour abscisse 1.

Question 3 · Abscisse d'un point, milieu d'un segment

  • abscisse du milieu d'un segment
  • kifech nal9a l'abscisse du milieu
  • milieu sur une droite abscisse
  • abscisse du milieu (xB - xA)/2 ?
  • comment calculer l'abscisse du milieu K
  • milieu de AB sur la droite graduée

Ce qu’il écrit au tableau

  • xK=xA+xB2=−3+72=2x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{-3 + 7}{2} = 2

Ce qu’il répond

L'abscisse mte3 le milieu hiya la moyenne mte3 les deux abscisses : $x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}$. Mathalan $-3$ w 7 : $\dfrac{-3 + 7}{2} = 2$. Mouch $\dfrac{x_B - x_A}{2}$ : hedhika nos la longueur.

l'abscisse متاع le milieu هي la moyenne متاع les deux abscisses : x A plus x B ، le tout sur 2 . مثلا moins 3 w 7 : moins 3 plus 7 ، le tout sur 2 ، يعني 2 . موش x B moins x A ، le tout sur 2 : هاذيكا نصّ la longueur .

L'abscisse du milieu est la moyenne des deux abscisses : x A plus x B, le tout sur 2. Par exemple, pour moins 3 et 7 : moins 3 plus 7, le tout sur 2, soit 2. Pas x B moins x A, le tout sur 2 : cela donne la moitié de la longueur.

Question 4 · Mesure algébrique et distance sur une droite

  • c'est quoi la mesure algébrique
  • mesure algébrique chnowa
  • comment calculer la mesure algébrique AB
  • mesure algébrique xB - xA ou xA - xB
  • AB barre mesure c'est quoi
  • mesure algébrique négative

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB‾=xB−xA\overline{AB} = x_B - x_A

Ce qu’il répond

La mesure algébrique mte3 $\overrightarrow{AB}$ hiya $\overline{AB} = x_B - x_A$ : abscisse d'arrivée moins abscisse de départ. Le signe mte3ha y9oul le sens. Mathalan $x_A = -2$ w $x_B = 3{,}5$ : $\overline{AB} = 5{,}5$ w $\overline{BA} = -5{,}5$.

la mesure algébrique متاع vecteur A B هي x B moins x A : abscisse d'arrivée moins abscisse de départ . le signe متاعها يقول le sens . مثلا x A moins 2 w x B 3,5 : A B barre égale 5,5 ، w B A barre égale moins 5,5 .

La mesure algébrique du vecteur A B est x B moins x A : abscisse d'arrivée moins abscisse de départ. Son signe dit le sens. Par exemple, avec x A égale moins 2 et x B égale 3,5 : A B barre égale 5,5 et B A barre égale moins 5,5.

Question 5 · Mesure algébrique et distance sur une droite

  • distance sur une droite avec les abscisses
  • AB = -5 c'est possible ?
  • distance négative sur une droite
  • distance et valeur absolue
  • kifech na7seb la distance AB b les abscisses
  • pourquoi la valeur absolue pour la distance

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB=∣xB−xA∣AB = |x_B - x_A|

Ce qu’il répond

Ki $OI = 1$, la distance AB hiya la mesure algébrique bla signe : $AB = |x_B - x_A|$. La distance dima positive : $x_A = 3$ w $x_B = -2$, $AB = |-2 - 3| = 5$, mouch $-5$.

كي O I égale 1 ، la distance A B هي la mesure algébrique بلا signe : A B égale valeur absolue de (x B moins x A) . la distance ديما positive : x A 3 w x B moins 2 ، A B égale 5 ، موش moins 5 .

Quand O I égale 1, la distance A B est la mesure algébrique sans son signe : A B égale valeur absolue de (x B moins x A). Une distance est toujours positive : avec x A égale 3 et x B égale moins 2, A B égale 5, pas moins 5.

Question 6 · Mesure algébrique et distance sur une droite

  • AM = 2 combien de points M
  • points M tels que AM = 2 sur la droite
  • pourquoi deux points à distance 2 de A
  • AM = d un seul point ?
  • zouz points b nafs el distance
  • AM < d sur une droite

Ce qu’il écrit au tableau

  • xM=xA+d ou xM=xA−dx_M = x_A + d \ \text{ou} \ x_M = x_A - d

Ce qu’il répond

Famma zouz points, wa7ed men koll jiha mte3 A : $x_A + d$ w $x_A - d$. Mathalan $x_A = -2$ w $AM = 2$ : $x_M = 0$ walla $x_M = -4$. W $AM < d$ ya3ni $x_A - d < x_M < x_A + d$.

فمّا زوز points ، واحد من كل جيهة متاع A : x A plus d w x A moins d . مثلا x A moins 2 w A M égale 2 : x M égale zéro ولّا moins 4 . w A M أصغر من d يعني x M بين x A moins d w x A plus d .

Il y a deux points, un de chaque côté de A : d'abscisses x A plus d et x A moins d. Par exemple, avec x A égale moins 2 et A M égale 2 : x M égale 0 ou moins 4. Et A M inférieur à d équivaut à x M compris entre x A moins d et x A plus d.

Question 7 · Deux axes, deux nombres

  • c'est quoi un repère du plan
  • repère (O, OI, OJ) chnowa
  • repère : axe des abscisses et axe des ordonnées
  • les axes du repère doivent être perpendiculaires ?
  • repère du plan axes pas perpendiculaires
  • repère cartésien du plan

Ce qu’il répond

Trois points O, I w J mouch alignés ya3tiw repère du plan $(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ})$. $(OI)$ hiya l'axe des abscisses, w $(OJ)$ l'axe des ordonnées. Les axes mouch lezem perpendiculaires : la construction temchi dima.

trois points O ، I w J موش alignés يعطيو repère du plan . la droite O I هي l'axe des abscisses ، w O J l'axe des ordonnées . les axes موش لازم perpendiculaires : la construction تمشي ديما .

Trois points O, I et J non alignés donnent un repère du plan. La droite O I est l'axe des abscisses, la droite O J l'axe des ordonnées. Les axes n'ont pas besoin d'être perpendiculaires : la construction marche toujours.

Question 8 · Coordonnées d'un point

  • c'est quoi les coordonnées d'un point
  • chnowa les coordonnées
  • coordonnées définition
  • OM = x OI + y OJ les coordonnées
  • couple de coordonnées ya3ni chnowa
  • comment lire les coordonnées d'un point

Ce qu’il écrit au tableau

  • OM→=x OI→+y OJ→\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}

Ce qu’il répond

Les coordonnées mte3 M houma le couple $(x\,;y)$ el wa7id elli $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$. x l'abscisse w y l'ordonnée, w l'abscisse dima 9bal fel ktiba.

les coordonnées متاع M هوما le couple x ، y الوحيد اللي vecteur O M égale x fois vecteur O I plus y fois vecteur O J . x l'abscisse w y l'ordonnée ، w l'abscisse ديما en premier في الكتيبة .

Les coordonnées de M sont l'unique couple x, y tel que vecteur O M égale x fois vecteur O I plus y fois vecteur O J. x est l'abscisse, y l'ordonnée, et l'abscisse s'écrit toujours en premier.

Question 9 · Coordonnées d'un point

  • B(4;0) ou B(0;4), abscisse ou ordonnée
  • l'abscisse ou l'ordonnée en premier
  • OB = 4 OJ quelle ordonnée
  • abscisse w ordonnée anahi 9bal
  • différence entre abscisse et ordonnée
  • point sur l'axe des ordonnées, son abscisse

Ce qu’il écrit au tableau

  • OB→=0 OI→+4 OJ→  ⟺  B(0 ;4)\overrightarrow{OB} = 0\,\overrightarrow{OI} + 4\,\overrightarrow{OJ} \iff B(0\,;4)

Ce qu’il répond

L'abscisse hiya le coefficient mte3 $\overrightarrow{OI}$, w l'ordonnée mte3 $\overrightarrow{OJ}$. $\overrightarrow{OB} = 4\,\overrightarrow{OJ}$ ya3ti $B(0\,;4)$ : l'abscisse 0 5ater $\overrightarrow{OI}$ mouch mawjoud, w B 3la l'axe des ordonnées.

l'abscisse هي le coefficient متاع vecteur O I ، w l'ordonnée متاع vecteur O J . vecteur O B égale 4 fois vecteur O J يعطي B zéro ، 4 : l'abscisse zéro خاطر O I موش موجود ، w B على l'axe des ordonnées .

L'abscisse est le coefficient du vecteur O I, l'ordonnée celui du vecteur O J. Vecteur O B égale 4 fois vecteur O J donne B de coordonnées 0, 4 : l'abscisse est nulle car O I n'apparaît pas, et B est sur l'axe des ordonnées.

Question 10 · Composantes d'un vecteur

  • c'est quoi les composantes d'un vecteur
  • comment calculer les composantes du vecteur AB
  • composantes xB - xA ou xA - xB
  • chnowa les composantes
  • kifech na7seb les composantes
  • composantes d'un vecteur arrivée moins départ

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Ce qu’il répond

Les composantes mte3 $\overrightarrow{AB}$ houma $x_B - x_A$ w $y_B - y_A$ : arrivée moins départ, ligne l koll axe. Mathalan $A(-1\,;4)$ w $B(3\,;1)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$.

les composantes متاع vecteur A B هوما x B moins x A w y B moins y A : arrivée moins départ ، ligne لكل axe . مثلا A de coordonnées moins 1 w 4 ، w B de coordonnées 3 w 1 : vecteur A B عندو 4 w moins 3 .

Les composantes du vecteur A B sont x B moins x A et y B moins y A : arrivée moins départ, une ligne pour chaque axe. Par exemple, avec A de coordonnées moins 1 et 4, et B de coordonnées 3 et 1 : le vecteur A B a pour composantes 4 et moins 3.

Question 11 · Composantes d'un vecteur

  • comment trouver le point F tel que EF = AB
  • vecteurs égaux avec les coordonnées
  • deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes ?
  • kifech nal9a point b vecteurs égaux
  • trouver un point avec une égalité de vecteurs
  • EF = AB coordonnées de F

Ce qu’il écrit au tableau

  • xF−2=4;yF−(−2)=−3x_F - 2 = 4 \quad ; \quad y_F - (-2) = -3

Ce qu’il répond

Zouz vecteurs égaux 3andhom nafs les composantes, ligne par ligne. Mathalan $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ w $E(2\,;-2)$ : $x_F - 2 = 4$ w $y_F + 2 = -3$, donc $F(6\,;-5)$.

زوز vecteurs égaux عندهم نفس les composantes ، ligne par ligne . مثلا vecteur A B عندو 4 w moins 3 ، w E 2 ، moins 2 : x F moins 2 égale 4 w y F plus 2 égale moins 3 ، donc F 6 ، moins 5 .

Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes, ligne par ligne. Par exemple, avec vecteur A B de composantes 4 et moins 3, et E 2, moins 2 : x F moins 2 égale 4 et y F plus 2 égale moins 3, donc F 6, moins 5.

Question 12 · Coordonnées du milieu d'un segment

  • coordonnées du milieu d'un segment
  • kifech na7seb les coordonnées du milieu
  • milieu de AB dans un repère
  • formule du milieu
  • coordonnées du milieu K
  • milieu (xA + xB)/2

Ce qu’il écrit au tableau

  • K(xA+xB2 ;yA+yB2)K\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

Ce qu’il répond

Les coordonnées mte3 le milieu houma les moyennes : $\dfrac{x_A + x_B}{2}$ w $\dfrac{y_A + y_B}{2}$. Mathalan $A(2\,;5)$ w $B(-4\,;1)$ : $K(-1\,;3)$. Ma tansech tdiviser par 2.

les coordonnées متاع le milieu هوما les moyennes : x A plus x B ، le tout sur 2 ، w y A plus y B ، le tout sur 2 . مثلا A de coordonnées 2 w 5 ، w B de coordonnées moins 4 w 1 : K de coordonnées moins 1 w 3 . ما تنساش تـ diviser par 2 .

Les coordonnées du milieu sont les moyennes : x A plus x B, le tout sur 2, et y A plus y B, le tout sur 2. Par exemple, avec A de coordonnées 2 et 5, et B de coordonnées moins 4 et 1 : K de coordonnées moins 1 et 3. N'oublie pas de diviser par 2.

Question 13 · Coordonnées du milieu d'un segment

  • comment trouver le symétrique d'un point par rapport à un autre
  • symétrique de A par rapport à K coordonnées
  • kifech nal9a le symétrique
  • B symétrique de A formule
  • symétrique d'un point dans un repère
  • xB = 2xK - xA pourquoi

Ce qu’il écrit au tableau

  • xB=2 xK−xA;yB=2 yK−yAx_B = 2\,x_K - x_A \quad ; \quad y_B = 2\,y_K - y_A

Ce qu’il répond

B symétrique de A par rapport à K ya3ni K milieu de $[AB]$. Donc $x_B = 2\,x_K - x_A$ w $y_B = 2\,y_K - y_A$.

B symétrique de A par rapport à K يعني K milieu de A B . donc x B égale 2 fois x K moins x A ، w y B égale 2 fois y K moins y A .

B symétrique de A par rapport à K signifie que K est le milieu de A B. Donc x B égale 2 fois x K moins x A, et y B égale 2 fois y K moins y A.

Question 14 · Vecteurs colinéaires, points alignés

  • comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires avec les composantes
  • produit en croix pour les vecteurs
  • vecteurs colinéaires composantes proportionnelles
  • kifech na3ref colinéaires
  • produit en croix xy' = x'y
  • colinéaires on ajoute ou on multiplie

Ce qu’il écrit au tableau

  • x y′=x′ yx\,y' = x'\,y

Ce qu’il répond

Zouz vecteurs colinéaires ki les composantes mte3hom proportionnelles : nadhrbou par un même réel k, ma nzidouch. Nvérifier b le produit en croix : $x\,y' = x'\,y$. Mathalan $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ w $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ colinéaires, ama $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ w $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ le : $2 \times 5 = 10$ w $4 \times 3 = 12$.

زوز vecteurs colinéaires كي les composantes متاعهم proportionnelles : نضربو par un même réel k ، ما نزيدوش . نـ vérifier بـ le produit en croix : x fois y prime égale x prime fois y . مثلا 2 ، 3 w 4 ، 6 colinéaires ، أما 2 ، 3 w 4 ، 5 لا : 10 w 12 .

Deux vecteurs sont colinéaires quand leurs composantes sont proportionnelles : on multiplie par un même réel k, on n'ajoute pas. On le vérifie par le produit en croix : x fois y prime égale x prime fois y. Par exemple 2, 3 et 4, 6 sont colinéaires, mais pas 2, 3 et 4, 5 : 10 et 12.

Question 15 · Vecteurs colinéaires, points alignés

  • comment montrer que trois points sont alignés avec les coordonnées
  • A, B, C alignés kifech nwarri
  • trouver y pour que les points soient alignés
  • points alignés dans un repère
  • alignement avec les vecteurs AB et AC
  • kifech na3ref ken les points alignés

Ce qu’il écrit au tableau

  • (−1)×(−1)=1×(y−3)  ⟺  y=4(-1) \times (-1) = 1 \times (y - 3) \iff y = 4

Ce qu’il répond

A, B w C alignés ki $\overrightarrow{AB}$ w $\overrightarrow{AC}$ colinéaires. Na7sbou les composantes w na3mlou le produit en croix. Mathalan $A(2\,;3)$, $C(3\,;2)$ w $B(1\,;y)$ : $(-1) \times (-1) = 1 \times (y - 3)$, donc $y = 4$.

A ، B w C alignés كي vecteur A B w vecteur A C colinéaires . نحسبو les composantes w نعملو le produit en croix . مثلا A 2 ، 3 w C 3 ، 2 w B 1 ، y : moins 1 fois moins 1 égale 1 fois y moins 3 ، donc y égale 4 .

A, B et C sont alignés quand les vecteurs A B et A C sont colinéaires. On calcule les composantes, puis on fait le produit en croix. Par exemple, avec A 2, 3, C 3, 2 et B 1, y : moins 1 fois moins 1 égale 1 fois y moins 3, donc y égale 4.

Question 16 · Vecteurs colinéaires, points alignés

  • comment montrer que deux droites sont parallèles dans un repère
  • droites parallèles avec les composantes
  • (AB) parallèle à (CD) avec les coordonnées
  • kifech nwarri droites parallèles b les coordonnées
  • parallélisme et vecteurs colinéaires dans un repère
  • prouver que deux droites sont parallèles par le calcul

Ce qu’il répond

Les droites $(AB)$ w $(CD)$ parallèles ki $\overrightarrow{AB}$ w $\overrightarrow{CD}$ colinéaires : na7sbou les composantes mte3hom, w nvérifier b le produit en croix.

les droites A B w C D parallèles كي vecteur A B w vecteur C D colinéaires : نحسبو les composantes متاعهم ، w نـ vérifier بـ le produit en croix .

Les droites A B et C D sont parallèles exactement quand les vecteurs A B et C D sont colinéaires : on calcule leurs composantes et on vérifie le produit en croix.

Question 17 · Distance dans un repère orthonormé

  • c'est quoi un repère orthonormé
  • orthonormé ya3ni chnowa
  • différence entre orthogonal et orthonormé
  • repère orthogonal définition
  • chnowa repère orthonormé
  • orthonormé définition

Ce qu’il répond

Le repère orthogonal ki les axes $(OI)$ w $(OJ)$ perpendiculaires. Orthonormé ki zeda $OI = OJ = 1$. La formule de la distance temchi ken fi repère orthonormé.

le repère orthogonal كي les axes O I w O J perpendiculaires . orthonormé كي زادة O I égale O J égale 1 . la formule de la distance تمشي كان في repère orthonormé .

Un repère est orthogonal quand les axes O I et O J sont perpendiculaires, et orthonormé si de plus O I égale O J égale 1. La formule de la distance ne vaut que dans un repère orthonormé.

Question 18 · Distance dans un repère orthonormé

  • comment calculer la distance entre deux points
  • formule de la distance AB
  • kifech na7seb la distance AB fel repère
  • distance dans un repère orthonormé
  • AB avec les coordonnées
  • distance entre A et B formule

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}

Ce qu’il répond

Fi repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}$. Mathalan $A(-1\,;2)$ w $B(3\,;-4)$ : $AB = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

في repère orthonormé : A B égale racine de la somme : (x B moins x A) au carré ، plus (y B moins y A) au carré . مثلا A de coordonnées moins 1 w 2 ، w B de coordonnées 3 w moins 4 : 4 au carré plus (moins 6) au carré ، 16 plus 36 ، w A B égale racine de 52 ، يعني 2 racine de 13 .

Dans un repère orthonormé : A B égale racine de la somme : (x B moins x A) au carré, plus (y B moins y A) au carré. Par exemple, avec A de coordonnées moins 1 et 2, et B de coordonnées 3 et moins 4 : 16 plus 36, donc A B égale racine de 52, soit 2 racine de 13.

Question 19 · Distance dans un repère orthonormé

  • racine de 16 + 36 égale 4 + 6 ?
  • racine d'une somme égale somme des racines ?
  • AB = 52 ou racine de 52
  • AB égale racine de 52 ou 52
  • pourquoi pas 4 plus 6
  • racine de la somme des carrés

Ce qu’il écrit au tableau

  • 16+36=52≠4+6\sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \ne 4 + 6

Ce qu’il répond

La racine mte3 somme mouch la somme des racines : $\sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$, mouch $4 + 6$. Nejm3ou les carrés ta7t la racine, men ba3d nekhdhou la racine. W $16 + 36$ ya3ti $AB^{2}$, mouch AB.

la racine متاع somme موش la somme des racines : racine de (16 plus 36) هي racine de 52 ، موش 4 plus 6 . نجمعو les carrés تحت la racine ، من بعد ناخذو la racine . w 16 plus 36 يعطي A B au carré ، موش A B .

La racine d'une somme n'est pas la somme des racines : racine de (16 plus 36) vaut racine de 52, pas 4 plus 6. On additionne les carrés sous la racine, puis on prend la racine. Et 16 plus 36 donne A B au carré, pas A B.

Question 20 · Reconnaître une figure par le calcul

  • comment montrer qu'un triangle est rectangle avec les coordonnées
  • triangle rectangle dans un repère
  • réciproque de Pythagore triangle rectangle coordonnées
  • kifech nwarri triangle rectangle b les coordonnées
  • ABC rectangle par le calcul
  • triangle rectangle quel carré tester

Ce qu’il écrit au tableau

  • AC2+BC2=1+9=10=AB2AC^{2} + BC^{2} = 1 + 9 = 10 = AB^{2}

Ce qu’il répond

Fi repère orthonormé, na7sbou les carrés mte3 les trois côtés, w ntestiw la réciproque de Pythagore 3al akbar. Mathalan $AC^{2} = 1$, $BC^{2} = 9$, $AB^{2} = 10$ : $1 + 9 = 10$, donc rectangle en C.

في repère orthonormé ، نحسبو les carrés متاع les trois côtés ، w نـ tester la réciproque de Pythagore على الأكبر . مثلا A C au carré 1 ، B C au carré 9 ، A B au carré 10 : 1 plus 9 égale 10 ، donc rectangle en C .

Dans un repère orthonormé, on calcule les carrés des trois côtés et on teste la réciproque de Pythagore sur le plus grand. Par exemple, A C au carré égale 1, B C au carré 9 et A B au carré 10 : 1 plus 9 égale 10, donc le triangle est rectangle en C.

Question 21 · Reconnaître une figure par le calcul

  • comment montrer que ABCD est un parallélogramme avec les coordonnées
  • trouver D pour que ABCD soit un parallélogramme
  • parallélogramme dans un repère
  • kifech nwarri parallélogramme b les coordonnées
  • quatrième sommet d'un parallélogramme
  • parallélogramme par le calcul

Ce qu’il écrit au tableau

  • ABCD paralleˊlogramme  ⟺  AB→=DC→ABCD \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

Ce qu’il répond

ABCD parallélogramme ki $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, walla ki les diagonales $[AC]$ w $[BD]$ 3andhom nafs le milieu. Bech nal9aw D, nektbou $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ w nsewiw les composantes, ligne par ligne.

A B C D parallélogramme كي vecteur A B égale vecteur D C ، ولّا كي les diagonales A C w B D عندهم نفس le milieu . باش نلقاو D ، نكتبو vecteur A B égale vecteur D C w نساويو les composantes ، ligne par ligne .

A B C D est un parallélogramme quand vecteur A B égale vecteur D C, ou quand ses diagonales A C et B D ont le même milieu. Pour trouver D, on écrit vecteur A B égale vecteur D C et on égale les composantes, ligne par ligne.

Question 22 · Reconnaître une figure par le calcul

  • comment trouver la nature d'un quadrilatère avec les coordonnées
  • losange, rectangle ou carré par le calcul
  • triangle isocèle dans un repère
  • kifech na3ref losange b les coordonnées
  • nature du triangle ABC
  • reconnaître un losange avec les longueurs

Ce qu’il répond

Ncomparer des longueurs. Triangle 3andou zouz côtés kif kif : isocèle. Parallélogramme 3andou zouz côtés consécutifs kif kif : losange ; diagonales kif kif : rectangle ; el zouz : carré. W 9bal ay calcul, figure.

نـ comparer des longueurs . triangle عندو زوز côtés كيف كيف : isocèle . parallélogramme عندو زوز côtés consécutifs كيف كيف : losange ؛ diagonales كيف كيف : rectangle ؛ الزوز : carré . w قبْلْ أي calcul ، figure .

On compare des longueurs. Un triangle qui a deux côtés égaux est isocèle. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange ; des diagonales de même longueur, un rectangle ; les deux, un carré. Et avant tout calcul, une figure.

Question 23 · Lire un trajet sur un graphique

  • comment calculer la vitesse sur le graphique
  • vitesse du cycliste et de la voiture
  • quand se rencontrent le cycliste et la voiture
  • kifech na7seb el vitesse
  • vitesse avec la lecture graphique distance temps
  • segment de droite vitesse constante

Ce qu’il écrit au tableau

  • 603=20;901,5=60\dfrac{60}{3} = 20 \quad ; \quad \dfrac{90}{1{,}5} = 60

Ce qu’il répond

La vitesse hiya la distance sur le temps. Le cycliste 60 km fi 3 heures : $\dfrac{60}{3} = 20$ km/h. La voiture 90 km fi $1{,}5$ heure : $\dfrac{90}{1{,}5} = 60$ km/h. Segment de droite ya3ni vitesse constante, w la distance fonction affine du temps. Bech nal9aw la rencontre, nsewiw les deux distances.

la vitesse هي la distance sur le temps . le cycliste 60 km في 3 heures : 20 km par heure . la voiture 90 km في 1,5 heure : 60 km par heure . segment de droite يعني vitesse constante ، w la distance fonction affine du temps . باش نلقاو la rencontre ، نساويو les deux distances .

La vitesse est la distance divisée par le temps. Le cycliste fait 60 km en 3 heures : 20 km par heure. La voiture fait 90 km en 1,5 heure : 60 km par heure. Un segment de droite signifie une vitesse constante : la distance est une fonction affine du temps. Pour la rencontre, on égale les deux distances.

Question 24 · Droites parallèles et fonctions affines

  • deux fonctions affines de même coefficient droites parallèles ?
  • pourquoi même coefficient donne des droites parallèles
  • fonctions 2x + 3 et 3x + 2 parallèles ?
  • droites parallèles fonctions affines
  • coefficient différent droites sécantes
  • kifech na3ref droites parallèles b les fonctions

Ce qu’il écrit au tableau

  • f(x)=ax+b, g(x)=ax+c⇒D∥D′f(x) = ax + b,\ g(x) = ax + c \Rightarrow D \parallel D'

Ce qu’il répond

$f(x) = ax + b$ w $g(x) = ax + c$, nafs le coefficient a : les droites parallèles. A ya3ti la direction, w la constante tzallaq la droite bark. Ken les coefficients mekhtalfin, sécantes : $2x + 3$ w $3x + 2$ sécantes.

f de x égale a x plus b w g de x égale a x plus c ، نفس le coefficient a : les droites parallèles . a يعطي la direction ، w la constante تزلّق la droite برك . كان les coefficients مختلفين ، sécantes : 2 x plus 3 w 3 x plus 2 sécantes .

f de x égale a x plus b et g de x égale a x plus c, avec le même coefficient a : les droites sont parallèles. Le coefficient fixe la direction, la constante ne fait que glisser la droite. Si les coefficients diffèrent, les droites sont sécantes : 2 x plus 3 et 3 x plus 2 le sont.

Question 25 · Choisir son repère

  • comment choisir un repère dans une figure
  • pourquoi choisir le repère (A, AC, AB)
  • choisir son repère pour démontrer
  • kifech nekhtar repère
  • quel repère prendre dans un triangle
  • choisir un repère pour la droite des milieux

Ce qu’il écrit au tableau

  • IJ→=12 BC→\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}

Ce qu’il répond

Najjmou nekhtarou repère fi la figure : mathalan $(A, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$. $A(0\,;0)$, $C(1\,;0)$, $B(0\,;1)$. Hakka les milieux w les vecteurs yet7asbou bel sehel : $\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}$.

نجّمو نختارو repère في la figure : مثلا A ، vecteur A C ، vecteur A B . A zéro ، zéro ، C 1 ، zéro ، B zéro ، 1 . هكّا les milieux w les vecteurs يتحسبو بالساهل : vecteur I J égale un demi vecteur B C .

On peut choisir un repère dans la figure, par exemple A, vecteur A C, vecteur A B. Alors A a pour coordonnées 0, 0, C 1, 0 et B 0, 1. Les milieux et les vecteurs se calculent facilement : vecteur I J égale un demi vecteur B C.

Question 26 · Choisir son repère

  • la formule de la distance marche dans un repère non orthonormé ?
  • repère pas orthonormé distance
  • repère mouch orthonormé chnowa najjem na3mel
  • dans le repère (A, AC, AB) on peut calculer BC ?
  • distance dans un repère quelconque
  • repère non orthonormé à quoi il sert

Ce qu’il répond

Le : la formule de la distance tefredh repère orthonormé. Repère mouch orthonormé yenfa3 l les milieux, les vecteurs w l'alignement, w l le rapport mte3 zouz vecteurs colinéaires, ama mouch l la distance.

لا : la formule de la distance تفرض repère orthonormé . repère موش orthonormé ينفع لـ les milieux ، les vecteurs w l'alignement ، w لـ le rapport متاع زوز vecteurs colinéaires ، أما موش لـ la distance .

Non : la formule de la distance suppose un repère orthonormé. Un repère quelconque sert aux milieux, aux vecteurs, à l'alignement et au rapport de deux vecteurs colinéaires, mais pas à la distance.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

De B vers A

Sur une droite munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) tel que OI=1,OI = 1, on donne xA=−2,5x_A = -2{,}5 et xB=4,5.x_B = 4{,}5.

Calculer la mesure algébrique BA‾.\overline{BA}.

Donner la valeur de BA‾\overline{BA} : un nombre.

Réponse attendue : -7

Indices, dans l’ordre

  1. BA‾\overline{BA} se lit « de BB vers AA ». Quel point est le départ, quel point est l'arrivée ?
  2. Une mesure algébrique, c'est l'abscisse d'arrivée moins l'abscisse de départ.BA‾=xA−xB\overline{BA} = x_A - x_B

Correction

  1. Le sens — Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} part de BB et arrive en A.A.BA‾=xA−xB\overline{BA} = x_A - x_B
  2. On remplace par les abscisses.BA‾=−2,5−4,5\overline{BA} = -2{,}5 - 4{,}5
  3. BA‾=−7\overline{BA} = -7

Le signe moins dit le sens : de BB vers A,A, on va dans le sens contraire du vecteur OI→.\overrightarrow{OI}. La distance, elle, n'a pas de signe : AB=∣−7∣=7.AB = |-7| = 7.

Pièges anticipés

  • 7 → Tu as calculé AB‾,\overline{AB}, de AA vers BB — ou la distance AB.AB. Ici le vecteur va de BB vers AA : c'est xA−xB,x_A - x_B, l'arrivée moins le départ, et le résultat est négatif.
  • 2 → Tu as additionné les deux abscisses : −2,5+4,5=2.-2{,}5 + 4{,}5 = 2. Une mesure algébrique est une différence : l'abscisse d'arrivée moins l'abscisse de départ.

Exercice 2 · base

Le milieu

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−1 ;4)A(-1\,;4) et B(5 ;−2).B(5\,;-2).

Calculer les coordonnées du milieu KK du segment [AB].[AB].

Écrire le couple de coordonnées de K,K, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (2;1) — aussi acceptées : (2,1) · K(2;1) · K(2,1) · K = (2;1) · K = (2,1) · K : (2;1) · 2;1 · x = 2 ; y = 1 · x = 2 et y = 1 · x = 2, y = 1 · xK = 2 ; yK = 1 · x_K = 2 ; y_K = 1 · xK = 2 et yK = 1 · x_K = 2 et y_K = 1 · xK = 2, yK = 1 · x_K = 2, y_K = 1 · y = 1 ; x = 2 · y = 1 et x = 2 · y = 1, x = 2 · yK = 1 ; xK = 2 · y_K = 1 ; x_K = 2 · yK = 1 et xK = 2 · y_K = 1 et x_K = 2 · (x;y) = (2;1) · (x,y) = (2,1) · (xK;yK) = (2;1) · (x_K;y_K) = (2;1) · K(x = 2 ; y = 1) · 2 et 1 · (2 et 1) · K(2 et 1) · x = 2 y = 1 · xK = 2 yK = 1 · x_K = 2 y_K = 1 · (2;+1) · (2.0;1) · (2;1.0) · (2,0;1) · K(2;+1)

Indices, dans l’ordre

  1. Le milieu est « au milieu » sur chaque axe : son abscisse est entre −1-1 et 5,5, son ordonnée entre −2-2 et 4.4.
  2. Coordonnée par coordonnée, on fait la moyenne.xK=xA+xB2;yK=yA+yB2x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2} \quad ; \quad y_K = \dfrac{y_A + y_B}{2}

Correction

  1. L'abscisse — xK=−1+52=42=2x_K = \dfrac{-1 + 5}{2} = \dfrac{4}{2} = 2
  2. L'ordonnée — yK=4+(−2)2=22=1y_K = \dfrac{4 + (-2)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1
  3. K(2 ;1)K(2\,;1)

Vérification : de AA à K,K, on avance de 33 et on descend de 33 ; de KK à BB aussi. Les vecteurs AK→\overrightarrow{AK} et KB→\overrightarrow{KB} sont égaux : KK est bien le milieu de [AB].[AB].

Pièges anticipés

  • (3;-3) / (3,-3) / K(3;-3) / K(3,-3) / K = (3;-3) / 3;-3 / x = 3 ; y = -3 / x = 3 et y = -3 / x = 3, y = -3 / xK = 3 ; yK = -3 / x_K = 3 ; y_K = -3 / (x;y) = (3;-3) / 3 et -3 / (3 et -3) / K(3 et -3) / x = 3 y = -3 / xK = 3 yK = -3 / x_K = 3 y_K = -3 → Tu as pris la moitié des différences : 5−(−1)2=3.\frac{5 - (-1)}{2} = 3. Cela donne la moitié du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, pas une position. Le milieu, c'est la moyenne : on additionne les coordonnées.
  • (4;2) / (4,2) / K(4;2) / K(4,2) / K = (4;2) / 4;2 / x = 4 ; y = 2 / x = 4 et y = 2 / x = 4, y = 2 / xK = 4 ; yK = 2 / x_K = 4 ; y_K = 2 / (x;y) = (4;2) / 4 et 2 / (4 et 2) / K(4 et 2) / x = 4 y = 2 / xK = 4 yK = 2 / x_K = 4 y_K = 2 → Tu as additionné les coordonnées sans diviser par 2.2. La moyenne de deux nombres, c'est leur somme divisée par deux.
  • (6;-6) / (6,-6) / K(6;-6) / K(6,-6) / K = (6;-6) / 6;-6 / x = 6 ; y = -6 / x = 6 et y = -6 / x = 6, y = -6 / xK = 6 ; yK = -6 / x_K = 6 ; y_K = -6 / (x;y) = (6;-6) / 6 et -6 / (6 et -6) / K(6 et -6) / x = 6 y = -6 / xK = 6 yK = -6 / x_K = 6 y_K = -6 → Tu as calculé les composantes du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, arrivée moins départ. Le milieu est un point : on fait la moyenne des coordonnées.
  • (1;2) / (1,2) / K(1;2) / K(1,2) / K = (1;2) / 1;2 / x = 1 ; y = 2 / x = 1 et y = 2 / x = 1, y = 2 / xK = 1 ; yK = 2 / x_K = 1 ; y_K = 2 / (x;y) = (1;2) / 1 et 2 / (1 et 2) / K(1 et 2) / x = 1 y = 2 / xK = 1 yK = 2 / x_K = 1 y_K = 2 → Tes deux nombres sont les bons, mais dans le désordre. Dans un couple de coordonnées, l'abscisse vient toujours en premier, l'ordonnée ensuite.

Exercice 3 · pratique

Une distance

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−2 ;1)A(-2\,;1) et B(4 ;−7).B(4\,;-7).

Calculer la distance AB.AB.

Donner la valeur exacte de ABAB : un nombre.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Le repère est orthonormé : la distance vient du théorème de Pythagore. Calcule d'abord les écarts xB−xAx_B - x_A et yB−yA.y_B - y_A.
  2. Les écarts sont 66 et −8.-8. Élève-les au carré et additionne : tu obtiens AB2.AB^2. Il reste à prendre la racine carrée.AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2

Correction

  1. Les écarts — xB−xA=4−(−2)=6;yB−yA=−7−1=−8x_B - x_A = 4 - (-2) = 6 \quad ; \quad y_B - y_A = -7 - 1 = -8
  2. Pythagore — On additionne les carrés des écarts : c'est le carré de la distance.AB2=62+(−8)2=36+64=100AB^2 = 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100
  3. AB=100=10AB = \sqrt{100} = 10

Le carré efface le signe de −8-8 : une différence négative ne gêne pas. Et on ne prend jamais la racine terme à terme : 36+64\sqrt{36 + 64} n'est pas 6+8.6 + 8.

Pièges anticipés

  • 100 → Tu as donné AB2.AB^2. La somme des carrés est le carré de la distance : il reste à en prendre la racine carrée.
  • 14 → Tu as additionné les écarts : 6+8=14.6 + 8 = 14. C'est le chemin en escalier, pas la ligne droite. La distance passe par Pythagore : la racine de la somme des carrés.
  • sqrt(40) / 2*sqrt(10) → Tu as additionné les coordonnées : 4+(−2)=24 + (-2) = 2 et −7+1=−6.-7 + 1 = -6. Dans la formule, ce sont des différences, arrivée moins départ.

Exercice 4 · pratique

Trois points alignés

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;−2),A(1\,;-2), B(3 ;2)B(3\,;2) et C(5 ;y),C(5\,;y), où yy est un réel.

Déterminer yy pour que les points A,A, BB et CC soient alignés.

Donner la valeur de yy : un nombre.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Trois points sont alignés quand les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. Commence par leurs composantes.
  2. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes 22 et 4,4, et le vecteur AC→\overrightarrow{AC} a pour composantes 44 et y+2.y + 2. Elles doivent être proportionnelles : écris le produit en croix.2×(y+2)=4×42 \times (y + 2) = 4 \times 4

Correction

  1. Les composantes — Arrivée moins départ : pour le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, 3−13 - 1 et 2−(−2)2 - (-2) ; pour le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, 5−15 - 1 et y−(−2).y - (-2).AB→(24);AC→(4y+2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ y + 2 \end{pmatrix}
  2. Colinéaires — Les deux vecteurs doivent être colinéaires : leurs composantes sont proportionnelles, on écrit le produit en croix.2 (y+2)=4×4=162\,(y + 2) = 4 \times 4 = 16
  3. y+2=8  ⟺  y=6y + 2 = 8 \iff y = 6

Vérification : avec y=6,y = 6, le vecteur AC→\overrightarrow{AC} a pour composantes 44 et 8,8, le double de celles du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est donc le double du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : le point CC est deux fois plus loin de AA que B,B, sur la même droite.

Pièges anticipés

  • 8 → Tu as trouvé y+2=8y + 2 = 8 : c'est la deuxième composante du vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, pas encore y.y. Il reste à retirer 2.2.
  • 10 → Tu as écrit y−2y - 2 pour la deuxième composante du vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Or l'ordonnée de AA est −2-2 : y−(−2)=y+2.y - (-2) = y + 2.
  • 0 → Ton produit en croix a mélangé les lignes. On multiplie en diagonale : l'abscisse de l'un par l'ordonnée de l'autre, 2×(y+2)=4×4.2 \times (y + 2) = 4 \times 4.

Exercice 5 · pratique

Une droite parallèle

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), la droite DD représente la fonction affine ff définie par f(x)=3x−2.f(x) = 3x - 2. La droite D′D' représente la fonction affine gg de même coefficient que f,f, définie par g(x)=3x+b,g(x) = 3x + b, et elle passe par le point A(1 ;5).A(1\,;5).

Pourquoi DD et D′D' sont-elles parallèles ? Déterminer b.b.

Donner seulement la valeur de bb : un nombre.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. D′D' passe par A(1 ;5)A(1\,;5) : l'image de 11 par gg est donc l'ordonnée de A.A.
  2. Écris g(1)=5g(1) = 5 avec g(x)=3x+b,g(x) = 3x + b, puis isole b.b.3×1+b=53 \times 1 + b = 5

Correction

  1. Pourquoi parallèles — ff et gg ont le même coefficient, 33 : leurs représentations DD et D′D' sont parallèles.
  2. Le point A — A(1 ;5)A(1\,;5) est sur D′,D', donc g(1)=5.g(1) = 5.3×1+b=53 \times 1 + b = 5
  3. b=5−3=2b = 5 - 3 = 2

Donc g(x)=3x+2.g(x) = 3x + 2. Contrôle par les vecteurs : DD passe par E(0 ;−2)E(0\,;-2) et F(1 ;1),F(1\,;1), D′D' par G(0 ;2)G(0\,;2) et A(1 ;5),A(1\,;5), et les vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et GA→\overrightarrow{GA} ont les mêmes composantes, 11 et 3.3.

Pièges anticipés

  • -2 → Tu as recopié la constante de f.f. Avec b=−2,b = -2, D′D' serait la droite DD elle-même, et elle ne passerait pas par AA : f(1)=1,f(1) = 1, pas 5.5.
  • 5 → Tu as pris l'ordonnée de A.A. Mais AA a pour abscisse 1,1, pas 00 : l'ordonnée à l'origine se lit en x=0.x = 0.
  • 8 → Tu as ajouté au lieu de retrancher. De 3×1+b=53 \times 1 + b = 5 on tire b=5−3b = 5 - 3 : on retire 33 des deux côtés.

Exercice 6 · pratique

Le symétrique d'un point

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(3 ;−1)A(3\,;-1) et K(1 ;2).K(1\,;2).

Déterminer les coordonnées du point B,B, symétrique de AA par rapport à K.K.

Écrire le couple de coordonnées de B,B, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-1;5) — aussi acceptées : (-1,5) · B(-1;5) · B(-1,5) · B = (-1;5) · B = (-1,5) · B : (-1;5) · -1;5 · x = -1 ; y = 5 · x = -1 et y = 5 · x = -1, y = 5 · xB = -1 ; yB = 5 · x_B = -1 ; y_B = 5 · xB = -1 et yB = 5 · x_B = -1 et y_B = 5 · xB = -1, yB = 5 · x_B = -1, y_B = 5 · y = 5 ; x = -1 · y = 5 et x = -1 · y = 5, x = -1 · yB = 5 ; xB = -1 · y_B = 5 ; x_B = -1 · yB = 5 et xB = -1 · y_B = 5 et x_B = -1 · (x;y) = (-1;5) · (x,y) = (-1,5) · (xB;yB) = (-1;5) · (x_B;y_B) = (-1;5) · B(x = -1 ; y = 5) · -1 et 5 · (-1 et 5) · B(-1 et 5) · x = -1 y = 5 · xB = -1 yB = 5 · x_B = -1 y_B = 5 · (-1;+5) · (-1.0;5) · (-1;5.0) · (-1,0;5) · B(-1;+5)

Indices, dans l’ordre

  1. Dire que BB est le symétrique de AA par rapport à K,K, c'est dire que KK est le milieu du segment [AB].[AB].
  2. Écris la règle du milieu avec les coordonnées inconnues de B,B, puis isole-les.3+xB2=1;−1+yB2=2\dfrac{3 + x_B}{2} = 1 \quad ; \quad \dfrac{-1 + y_B}{2} = 2

Correction

  1. Le milieu — KK est le milieu de [AB][AB] : ses coordonnées sont les moyennes de celles de AA et de B.B.3+xB2=1;−1+yB2=2\dfrac{3 + x_B}{2} = 1 \quad ; \quad \dfrac{-1 + y_B}{2} = 2
  2. On isole — On multiplie par 2,2, puis on retranche la coordonnée de A.A.3+xB=2;−1+yB=43 + x_B = 2 \quad ; \quad -1 + y_B = 4
  3. xB=−1;yB=5x_B = -1 \quad ; \quad y_B = 5
  4. B(−1 ;5)B(-1\,;5)

Contrôle par les vecteurs : les vecteurs AK→\overrightarrow{AK} et KB→\overrightarrow{KB} ont les mêmes composantes, −2-2 et 3.3. De AA à K,K, puis de KK à B,B, c'est le même pas : KK est bien le milieu de [AB].[AB].

Pièges anticipés

  • (2;0,5) / B(2;0,5) / B = (2;0,5) / 2;0,5 / x = 2 ; y = 0,5 / x = 2 et y = 0,5 / x = 2, y = 0,5 / xB = 2 ; yB = 0,5 / x_B = 2 ; y_B = 0,5 / (x;y) = (2;0,5) / (2;0.5) / (2;1/2) / B(2;0.5) / B(2;1/2) / x = 2 ; y = 0.5 / x = 2 ; y = 1/2 / 2 et 0,5 / (2 et 0,5) / B(2 et 0,5) / x = 2 y = 0,5 / xB = 2 yB = 0,5 / x_B = 2 y_B = 0,5 / 2 et 0.5 / (2 et 0.5) / B(2 et 0.5) / x = 2 y = 0.5 / xB = 2 yB = 0.5 / x_B = 2 y_B = 0.5 → Tu as calculé le milieu du segment [AK].[AK]. Ici, le milieu est connu, c'est KK ; l'inconnue est l'extrémité B.B. Écris la règle du milieu avec les coordonnées de B,B, puis isole-les.
  • (-2;3) / (-2,3) / B(-2;3) / B(-2,3) / B = (-2;3) / -2;3 / x = -2 ; y = 3 / x = -2 et y = 3 / x = -2, y = 3 / xB = -2 ; yB = 3 / x_B = -2 ; y_B = 3 / (x;y) = (-2;3) / -2 et 3 / (-2 et 3) / B(-2 et 3) / x = -2 y = 3 / xB = -2 yB = 3 / x_B = -2 y_B = 3 → Tu as calculé les composantes du vecteur AK→,\overrightarrow{AK}, arrivée moins départ : c'est le pas qui mène de AA à K.K. Pour arriver en B,B, on refait ce même pas, à partir de K.K.
  • (5;-4) / (5,-4) / B(5;-4) / B(5,-4) / B = (5;-4) / 5;-4 / x = 5 ; y = -4 / x = 5 et y = -4 / x = 5, y = -4 / xB = 5 ; yB = -4 / x_B = 5 ; y_B = -4 / (x;y) = (5;-4) / 5 et -4 / (5 et -4) / B(5 et -4) / x = 5 y = -4 / xB = 5 yB = -4 / x_B = 5 y_B = -4 → Tu as construit le symétrique de KK par rapport à AA : les rôles sont inversés. Ici, c'est KK le centre de la symétrie, donc le milieu de [AB].[AB].
  • (-1;3) / (-1,3) / B(-1;3) / B(-1,3) / B = (-1;3) / -1;3 / x = -1 ; y = 3 / x = -1 et y = 3 / x = -1, y = 3 / xB = -1 ; yB = 3 / x_B = -1 ; y_B = 3 / (x;y) = (-1;3) / -1 et 3 / (-1 et 3) / B(-1 et 3) / x = -1 y = 3 / xB = -1 yB = 3 / x_B = -1 y_B = 3 → L'abscisse est juste, pas l'ordonnée. Reprends la deuxième ligne : −1+yB=4-1 + y_B = 4 donne yB=4+1=5.y_B = 4 + 1 = 5.
  • (5;-1) / (5,-1) / B(5;-1) / B(5,-1) / B = (5;-1) / 5;-1 / x = 5 ; y = -1 / x = 5 et y = -1 / x = 5, y = -1 / xB = 5 ; yB = -1 / x_B = 5 ; y_B = -1 / (x;y) = (5;-1) / 5 et -1 / (5 et -1) / B(5 et -1) / x = 5 y = -1 / xB = 5 yB = -1 / x_B = 5 y_B = -1 → Tes deux nombres sont les bons, mais dans le désordre. Dans un couple de coordonnées, l'abscisse vient toujours en premier, l'ordonnée ensuite.

Exercice 7 · raisonnement

Le quatrième sommet

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−1 ;2),A(-1\,;2), B(3 ;3)B(3\,;3) et C(4 ;−1).C(4\,;-1).

Déterminer les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

OIJABC

Un repère d'origine O, les vecteurs OI et OJ en bleu. Trois points sont placés : A(−1 ; 2) en haut à gauche, B(3 ; 3) en haut à droite, C(4 ; −1) en bas à droite. Les côtés [AB] et [BC] du futur parallélogramme sont tracés ; le quatrième sommet D reste à trouver.

Écrire le couple de coordonnées de D,D, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (0;-2) — aussi acceptées : (0,-2) · D(0;-2) · D(0,-2) · D = (0;-2) · D = (0,-2) · D : (0;-2) · 0;-2 · x = 0 ; y = -2 · x = 0 et y = -2 · x = 0, y = -2 · xD = 0 ; yD = -2 · x_D = 0 ; y_D = -2 · xD = 0 et yD = -2 · x_D = 0 et y_D = -2 · xD = 0, yD = -2 · x_D = 0, y_D = -2 · y = -2 ; x = 0 · y = -2 et x = 0 · y = -2, x = 0 · yD = -2 ; xD = 0 · y_D = -2 ; x_D = 0 · yD = -2 et xD = 0 · y_D = -2 et x_D = 0 · (x;y) = (0;-2) · (x,y) = (0,-2) · (xD;yD) = (0;-2) · (x_D;y_D) = (0;-2) · D(x = 0 ; y = -2) · 0 et -2 · (0 et -2) · D(0 et -2) · x = 0 y = -2 · xD = 0 yD = -2 · x_D = 0 y_D = -2 · (0;-2.0) · (0.0;-2) · (0;-2,0) · (+0;-2)

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ABCD,ABCD, les sommets se suivent dans l'ordre du nom : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→,\overrightarrow{DC}, portés par deux côtés opposés, sont égaux.
  2. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes 44 et 11 ; le vecteur DC→\overrightarrow{DC} a pour composantes 4−xD4 - x_D et −1−yD.-1 - y_D. Identifie-les ligne par ligne.4−xD=4;−1−yD=14 - x_D = 4 \quad ; \quad -1 - y_D = 1

Correction

  1. La bonne égalité — ABCDABCD est un parallélogramme lorsque les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} sont égaux. Arrivée moins départ : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes 44 et 1,1, le vecteur DC→\overrightarrow{DC} a pour composantes 4−xD4 - x_D et −1−yD.-1 - y_D.AB→(41);DC→(4−xD−1−yD)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 - x_D \\ -1 - y_D \end{pmatrix}
  2. Ligne par ligne — 4−xD=4;−1−yD=14 - x_D = 4 \quad ; \quad -1 - y_D = 1
  3. xD=0;yD=−2x_D = 0 \quad ; \quad y_D = -2
  4. D(0 ;−2)D(0\,;-2)

Contrôle par les diagonales : le milieu de [AC][AC] est (32 ;12),\left(\frac{3}{2}\,;\frac{1}{2}\right), et celui de [BD][BD] aussi. Deux diagonales de même milieu : ABCDABCD est bien un parallélogramme.

Pièges anticipés

  • (8;0) / (8,0) / D(8;0) / D(8,0) / D = (8;0) / 8;0 / x = 8 ; y = 0 / x = 8 et y = 0 / x = 8, y = 0 / xD = 8 ; yD = 0 / x_D = 8 ; y_D = 0 / (x;y) = (8;0) / 8 et 0 / (8 et 0) / D(8 et 0) / x = 8 y = 0 / xD = 8 yD = 0 / x_D = 8 y_D = 0 → Avec ton point, c'est le vecteur CD→\overrightarrow{CD} qui est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : tu as construit ABDC.ABDC. Dans ABCD,ABCD, les sommets se suivent dans l'ordre du nom : c'est le vecteur DC→\overrightarrow{DC} qui doit être égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  • (-2;6) / (-2,6) / D(-2;6) / D(-2,6) / D = (-2;6) / -2;6 / x = -2 ; y = 6 / x = -2 et y = 6 / x = -2, y = 6 / xD = -2 ; yD = 6 / x_D = -2 ; y_D = 6 / (x;y) = (-2;6) / -2 et 6 / (-2 et 6) / D(-2 et 6) / x = -2 y = 6 / xD = -2 yD = 6 / x_D = -2 y_D = 6 → Avec ce point, [AB][AB] devient une diagonale : le parallélogramme obtenu est ADBC.ADBC. Dans ABCD,ABCD, les diagonales sont [AC][AC] et [BD].[BD].
  • (0;2) / (0,2) / D(0;2) / D(0,2) / D = (0;2) / 0;2 / x = 0 ; y = 2 / x = 0 et y = 2 / x = 0, y = 2 / xD = 0 ; yD = 2 / x_D = 0 ; y_D = 2 / (x;y) = (0;2) / 0 et 2 / (0 et 2) / D(0 et 2) / x = 0 y = 2 / xD = 0 yD = 2 / x_D = 0 y_D = 2 → L'abscisse est juste, pas l'ordonnée. Reprends la deuxième ligne : −1−yD=1-1 - y_D = 1 donne yD=−1−1=−2.y_D = -1 - 1 = -2.
  • (-2;0) / (-2,0) / D(-2;0) / D(-2,0) / D = (-2;0) / -2;0 / x = -2 ; y = 0 / x = -2 et y = 0 / x = -2, y = 0 / xD = -2 ; yD = 0 / x_D = -2 ; y_D = 0 / (x;y) = (-2;0) / -2 et 0 / (-2 et 0) / D(-2 et 0) / x = -2 y = 0 / xD = -2 yD = 0 / x_D = -2 y_D = 0 → Tes deux nombres sont les bons, mais dans le désordre. Dans un couple de coordonnées, l'abscisse vient toujours en premier, l'ordonnée ensuite.

Exercice 8 · raisonnement

L'aire d'un triangle

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;1),A(1\,;1), B(4 ;2)B(4\,;2) et C(3 ;5).C(3\,;5).

Calculer les longueurs des trois côtés du triangle ABC,ABC, montrer qu'il est rectangle, puis calculer son aire.

OIJABC

Un repère orthonormé d'origine O, les vecteurs OI et OJ en bleu. Le triangle ABC a ses sommets en A(1 ; 1), en bas à gauche, B(4 ; 2), à droite, et C(3 ; 5), en haut. Aucun angle n'est marqué : c'est au calcul de dire s'il y a un angle droit.

Donner son aire, en unités d'aire, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les trois longueurs avec la formule de la distance. Deux d'entre elles sont égales.
  2. AB2=10,AB^2 = 10, BC2=10BC^2 = 10 et AC2=20.AC^2 = 20. La réciproque de Pythagore dit où est l'angle droit.AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2
  3. L'angle droit est en BB : les côtés [BA][BA] et [BC][BC] sont la base et la hauteur.Aire=BA×BC2\text{Aire} = \dfrac{BA \times BC}{2}

Correction

  1. Les longueurs — On calcule d'abord leurs carrés, avec la formule de la distance.AB2=32+12=10;BC2=(−1)2+32=10AB^2 = 3^2 + 1^2 = 10 \quad ; \quad BC^2 = (-1)^2 + 3^2 = 10
  2. AC2=22+42=20AC^2 = 2^2 + 4^2 = 20
  3. AB=BC=10;AC=20=25AB = BC = \sqrt{10} \quad ; \quad AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
  4. Pythagore — Le plus grand carré, AC2,AC^2, est la somme des deux autres : le triangle est rectangle en B.B. Il est même isocèle, puisque AB=BC.AB = BC.AB2+BC2=10+10=20=AC2AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20 = AC^2
  5. L'aire — Aire=AB×BC2=10×102=102\text{Aire} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}{2} = \dfrac{10}{2}
  6. Aire=5\text{Aire} = 5

Tout vient des coordonnées : les longueurs, l'angle droit par la réciproque de Pythagore, puis l'aire. Dans un triangle rectangle, la base et la hauteur sont les deux côtés de l'angle droit — jamais l'hypoténuse.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as calculé AB×BCAB \times BC sans diviser par 2.2. L'aire d'un triangle rectangle, c'est la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit.
  • 5*sqrt(2) / sqrt(50) / 10*sqrt(2) / sqrt(200) → Tu as multiplié par AC,AC, l'hypoténuse. Dans un triangle rectangle, la base et la hauteur sont les deux côtés de l'angle droit, ici [BA][BA] et [BC][BC] : l'aire est BA×BC2.\dfrac{BA \times BC}{2}.

Exercice 9 · defi

À égale distance

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;3)A(1\,;3) et B(5 ;1).B(5\,;1). On cherche le point MM de l'axe des abscisses tel que MA=MB.MA = MB.

On note M(x ;0).M(x\,;0). Déterminer x.x.

OIJAB

Un repère orthonormé d'origine O, les vecteurs OI et OJ en bleu. Le point A(1 ; 3) est en haut à gauche, le point B(5 ; 1) plus bas, à droite ; le segment [AB] est tracé en pointillés. L'axe des abscisses est repassé en orange : c'est sur lui que se trouve le point M cherché, à égale distance de A et de B.

Donner seulement l'abscisse xx du point MM : un nombre.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Deux distances égales ont des carrés égaux : écris MA2=MB2MA^2 = MB^2 avec la formule de la distance, ce qui évite les racines.
  2. MA2=(x−1)2+32MA^2 = (x - 1)^2 + 3^2 et MB2=(x−5)2+12.MB^2 = (x - 5)^2 + 1^2. Développe : les x2x^2 disparaissent.(x−1)2+9=(x−5)2+1(x - 1)^2 + 9 = (x - 5)^2 + 1

Correction

  1. Les deux carrés — MA2=(x−1)2+(0−3)2=x2−2x+10MA^2 = (x - 1)^2 + (0 - 3)^2 = x^2 - 2x + 10
  2. MB2=(x−5)2+(0−1)2=x2−10x+26MB^2 = (x - 5)^2 + (0 - 1)^2 = x^2 - 10x + 26
  3. L'équation — Les x2x^2 s'éliminent : il reste une équation du premier degré.x2−2x+10=x2−10x+26  ⟺  8x=16x^2 - 2x + 10 = x^2 - 10x + 26 \iff 8x = 16
  4. x=2x = 2

Vérification : MA2=12+32=10MA^2 = 1^2 + 3^2 = 10 et MB2=32+12=10.MB^2 = 3^2 + 1^2 = 10. Le point M(2 ;0)M(2\,;0) est bien à égale distance de AA et de BB : il est sur la médiatrice de [AB].[AB].

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est l'abscisse du milieu de [AB][AB] — et c'est aussi ce qu'on trouve en oubliant les ordonnées de AA et de B.B. Mais ce milieu, (3 ;2),(3\,;2), n'est pas sur l'axe des abscisses. Écris les deux distances en entier : MA2=(x−1)2+32MA^2 = (x - 1)^2 + 3^2 et MB2=(x−5)2+12.MB^2 = (x - 5)^2 + 1^2.
  • -4/3 → Ton développement a un signe faux : (x−5)2=x2−10x+25,(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25, avec un moins devant 10x.10x.

Exercice 10 · base

Lire une abscisse

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), le point MM vérifie OM→=−32 OI→.\overrightarrow{OM} = -\tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{OI}.

Déterminer l'abscisse xMx_M du point M.M.

Donner la valeur de xMx_M : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : -3/2 — aussi acceptées : -1.5

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse de MM est le réel qui multiplie OI→\overrightarrow{OI} dans l'écriture de OM→.\overrightarrow{OM}.OM→=xM OI→\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}
  2. Garde le signe : le point MM est du côté opposé à II par rapport à O.O.

Correction

  1. La définition — L'abscisse de MM est l'unique réel xMx_M tel que OM→=xM OI→.\overrightarrow{OM} = x_M\,\overrightarrow{OI}.OM→=−32 OI→\overrightarrow{OM} = -\tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{OI}
  2. xM=−32=−1,5x_M = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5

On lit l'abscisse directement sur l'écriture OM→=x OI→\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} : c'est le coefficient, avec son signe.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → Tu as perdu le signe moins. OM→\overrightarrow{OM} et OI→\overrightarrow{OI} sont de sens contraires : l'abscisse de MM est négative.

Exercice 11 · base

Un vecteur à l'envers

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), le point AA vérifie AO→=5 OI→.\overrightarrow{AO} = 5\,\overrightarrow{OI}.

Déterminer l'abscisse xAx_A du point A.A.

Donner la valeur de xAx_A : un nombre.

Réponse attendue : -5

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse se lit sur OA→,\overrightarrow{OA}, qui part de O.O. Or l'énoncé donne AO→,\overrightarrow{AO}, qui part de A.A.
  2. Les vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et AO→\overrightarrow{AO} sont opposés.OA→=−AO→\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO}

Correction

  1. Retourner le vecteur — Le vecteur OA→\overrightarrow{OA} est l'opposé de AO→.\overrightarrow{AO}.OA→=−AO→=−5 OI→\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO} = -5\,\overrightarrow{OI}
  2. xA=−5x_A = -5

L'abscisse d'un point AA se lit toujours sur OA→,\overrightarrow{OA}, le vecteur qui part de l'origine. Si l'on te donne AO→,\overrightarrow{AO}, change d'abord son signe.

Pièges anticipés

  • 5 → Tu as lu l'abscisse sur AO→.\overrightarrow{AO}. Or l'abscisse se lit sur OA→,\overrightarrow{OA}, qui en est l'opposé : OA→=−5 OI→.\overrightarrow{OA} = -5\,\overrightarrow{OI}.

Exercice 12 · pratique

Un autre repère

Sur une droite Δ,\Delta, on place trois points A,A, BB et CC dans cet ordre, tels que AB=2AB = 2 et BC=3.BC = 3.

On munit Δ\Delta du repère (A,AC→).(A, \overrightarrow{AC}). Déterminer l'abscisse xBx_B du point BB dans ce repère.

Donner la valeur de xBx_B : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 2/5 — aussi acceptées : 0.4

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le repère (A,AC→),(A, \overrightarrow{AC}), l'origine est AA et l'unité est la longueur AC.AC. Combien vaut ACAC ?
  2. Cherche le réel kk tel que AB→=k AC→\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC} : les deux vecteurs ont le même sens.

Correction

  1. L'unité — Les points sont dans l'ordre A,A, B,B, CC : AC=AB+BC.AC = AB + BC.AC=2+3=5AC = 2 + 3 = 5
  2. Le vecteur — AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ont le même sens, et ABAB vaut les deux cinquièmes de AC.AC.AB→=25 AC→\overrightarrow{AB} = \tfrac{2}{5}\,\overrightarrow{AC}
  3. xB=25x_B = \dfrac{2}{5}

L'abscisse dépend du repère : dans (A,AC→),(A, \overrightarrow{AC}), l'origine est AA et c'est ACAC qui vaut une unité. On cherche toujours le réel kk tel que AB→=k AC→.\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC}.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as gardé la longueur AB=2AB = 2 comme abscisse. Dans le repère (A,AC→),(A, \overrightarrow{AC}), l'unité est AC=5,AC = 5, pas 1.1.
  • 2/3 → Tu as comparé ABAB à BC.BC. L'unité du repère est AC,AC, qui va de AA jusqu'à CC : AC=5.AC = 5.

Exercice 13 · pratique

Une abscisse négative

Sur une droite Δ,\Delta, on place trois points A,A, BB et CC dans cet ordre, tels que AB=2AB = 2 et BC=3.BC = 3.

On munit Δ\Delta du repère (B,BC→).(B, \overrightarrow{BC}). Déterminer l'abscisse xAx_A du point AA dans ce repère.

Donner la valeur exacte de xAx_A : une fraction.

Réponse attendue : -2/3

Indices, dans l’ordre

  1. L'origine est B,B, l'unité est BC=3.BC = 3. Le point AA est-il du même côté que CC par rapport à BB ?
  2. Cherche le réel kk tel que BA→=k BC→.\overrightarrow{BA} = k\,\overrightarrow{BC}. Les deux vecteurs sont de sens contraires.

Correction

  1. Le sens — AA et CC sont de part et d'autre de BB : BA→\overrightarrow{BA} et BC→\overrightarrow{BC} sont de sens contraires.
  2. La longueur — BA=2BA = 2 et BC=3BC = 3 : BABA vaut les deux tiers de BC.BC.BA→=−23 BC→\overrightarrow{BA} = -\tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BC}
  3. xA=−23x_A = -\dfrac{2}{3}

Le signe de l'abscisse dit de quel côté de l'origine se trouve le point : du côté de C,C, positive ; de l'autre côté, négative.

Pièges anticipés

  • 2/3 → La longueur est la bonne, mais AA n'est pas du côté de CC : BA→\overrightarrow{BA} et BC→\overrightarrow{BC} sont de sens contraires, l'abscisse est négative.
  • -3/2 → Tu as divisé BCBC par BA.BA. On cherche kk tel que BA→=k BC→\overrightarrow{BA} = k\,\overrightarrow{BC} : c'est BABA divisé par l'unité BC.BC.
  • -0.67 / -0.667 / -0.6667 / -0.66 / -0.7 → C'est une valeur approchée de l'abscisse. On demande la valeur exacte : une fraction.

Exercice 14 · pratique

Changer d'origine

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points AA et BB ont pour abscisses respectives 33 et −1.-1.

On garde le même vecteur OI→\overrightarrow{OI} mais on prend AA pour origine : on munit Δ\Delta du repère (A,OI→).(A, \overrightarrow{OI}). Déterminer l'abscisse de BB dans ce nouveau repère.

Donner l'abscisse de BB dans le repère (A,OI→)(A, \overrightarrow{OI}) : un nombre.

Réponse attendue : -4

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le repère (A,OI→),(A, \overrightarrow{OI}), l'abscisse de BB est le réel kk tel que AB→=k OI→.\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{OI}.
  2. Dans l'ancien repère, AB→=(xB−xA) OI→.\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI}.

Correction

  1. Le vecteur AB — Arrivée moins départ, dans l'ancien repère.AB→=(xB−xA) OI→=(−1−3) OI→\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A)\,\overrightarrow{OI} = (-1 - 3)\,\overrightarrow{OI}
  2. AB→=−4 OI→\overrightarrow{AB} = -4\,\overrightarrow{OI}
  3. xB′=−4x'_B = -4

Changer d'origine sans changer d'unité, c'est retrancher l'abscisse de la nouvelle origine : la nouvelle abscisse de BB est la mesure algébrique AB‾.\overline{AB}.

Pièges anticipés

  • 4 → Tu as calculé xA−xB.x_A - x_B. La nouvelle abscisse de BB se lit sur AB→\overrightarrow{AB} : c'est xB−xA,x_B - x_A, l'arrivée moins le départ.
  • -1 → C'est l'abscisse de BB dans l'ancien repère, d'origine O.O. Dans le nouveau, l'origine est AA : on lit AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 15 · raisonnement

Une égalité de vecteurs

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), le point MM vérifie OM→=2 OI→+3 IM→.\overrightarrow{OM} = 2\,\overrightarrow{OI} + 3\,\overrightarrow{IM}.

Déterminer l'abscisse xx du point M.M.

Donner la valeur de xx : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur IM→\overrightarrow{IM} ne part pas de O.O. Décompose-le en passant par OO (relation de Chasles).
  2. IM→=OM→−OI→.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OI}. Remplace, puis écris tout en fonction de OI→\overrightarrow{OI} avec OM→=x OI→.\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI}.

Correction

  1. Chasles — IM→=IO→+OM→=OM→−OI→\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OI}
  2. On remplace — OM→=2 OI→+3 OM→−3 OI→=3 OM→−OI→\overrightarrow{OM} = 2\,\overrightarrow{OI} + 3\,\overrightarrow{OM} - 3\,\overrightarrow{OI} = 3\,\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OI}
  3. D'où 2 OM→=OI→,2\,\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OI}, c'est-à-dire OM→=12 OI→.\overrightarrow{OM} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OI}.x=12x = \dfrac{1}{2}

Pour lire une abscisse, on ramène tous les vecteurs à l'origine OO grâce à la relation de Chasles, puis on résout comme une équation : ici x=2+3(x−1).x = 2 + 3(x - 1).

Pièges anticipés

  • 5/4 → Tu as écrit IM→=OI→−OM→.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OM}. C'est l'inverse : IM→=OM→−OI→,\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OI}, l'arrivée moins le départ.
  • -1 → Tu as remplacé IM→\overrightarrow{IM} par OM→\overrightarrow{OM} : x=2+3x.x = 2 + 3x. Mais IM→\overrightarrow{IM} part de I,I, pas de OO : IM→=(x−1) OI→.\overrightarrow{IM} = (x - 1)\,\overrightarrow{OI}.

Exercice 16 · raisonnement

Nouvelle origine, nouvelle unité

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points A,A, BB et MM ont pour abscisses respectives 1,1, 33 et 6.6.

Déterminer l'abscisse de MM dans le repère (A,AB→).(A, \overrightarrow{AB}).

Donner l'abscisse de MM dans le repère (A,AB→)(A, \overrightarrow{AB}) : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le repère (A,AB→),(A, \overrightarrow{AB}), l'abscisse de MM est le réel kk tel que AM→=k AB→.\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}.
  2. Écris AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} en fonction de OI→,\overrightarrow{OI}, puis compare.AM→=(xM−xA) OI→\overrightarrow{AM} = (x_M - x_A)\,\overrightarrow{OI}

Correction

  1. Les deux vecteurs — AM→=(6−1) OI→=5 OI→;AB→=(3−1) OI→=2 OI→\overrightarrow{AM} = (6 - 1)\,\overrightarrow{OI} = 5\,\overrightarrow{OI} \quad ; \quad \overrightarrow{AB} = (3 - 1)\,\overrightarrow{OI} = 2\,\overrightarrow{OI}
  2. Comparer — OI→=12 AB→,\overrightarrow{OI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}, donc AM→=5×12 AB→.\overrightarrow{AM} = 5 \times \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.AM→=52 AB→\overrightarrow{AM} = \tfrac{5}{2}\,\overrightarrow{AB}
  3. xM′=52x'_M = \dfrac{5}{2}

Nouvelle abscisse =AM‾AB‾= \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}} : on retranche l'abscisse de la nouvelle origine, puis on divise par la nouvelle unité.

Pièges anticipés

  • 3 → Tu as divisé 66 par 22 sans changer d'origine. Dans le nouveau repère, on mesure à partir de AA : AM‾=6−1=5.\overline{AM} = 6 - 1 = 5.
  • 5 → AM‾=5,\overline{AM} = 5, c'est la distance en unités OI.OI. Mais l'unité du nouveau repère est AB=2AB = 2 : il faut encore diviser.

Exercice 17 · base

Le milieu sur une droite

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points AA et BB ont pour abscisses respectives −3-3 et 8.8.

Calculer l'abscisse du milieu KK du segment [AB].[AB].

Donner la valeur de xKx_K : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le milieu est à mi-chemin : son abscisse est la moyenne des deux abscisses.
  2. Additionne les deux abscisses, puis divise par 2.2.xK=xA+xB2x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}

Correction

  1. La moyenne — xK=−3+82=52x_K = \dfrac{-3 + 8}{2} = \dfrac{5}{2}
  2. xK=52=2,5x_K = \dfrac{5}{2} = 2{,}5

Vérification : de −3-3 à 2,52{,}5 il y a 5,5,5{,}5, et de 2,52{,}5 à 88 aussi. Le milieu, c'est la moyenne des abscisses.

Pièges anticipés

  • 11/2 → Tu as pris la moitié de la différence 8−(−3)8 - (-3) : c'est la demi-longueur AB2,\tfrac{AB}{2}, pas la position du milieu. On fait la moyenne : on additionne.
  • 5 → Tu as additionné les abscisses sans diviser par 2.2.

Exercice 18 · base

L'autre extrémité

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), le point AA a pour abscisse −4-4 et le point KK a pour abscisse 1.1.

Déterminer l'abscisse du point BB tel que KK soit le milieu du segment [AB].[AB].

Donner la valeur de xBx_B : un nombre.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. KK est le milieu de [AB][AB] : xK=xA+xB2.x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}. Ici, l'inconnue est xB.x_B.
  2. Multiplie par 22 : xA+xB=2 xK.x_A + x_B = 2\,x_K.

Correction

  1. La relation — −4+xB2=1\dfrac{-4 + x_B}{2} = 1
  2. On multiplie par 2,2, puis on isole xB.x_B.−4+xB=2-4 + x_B = 2
  3. xB=6x_B = 6

Retiens la formule du symétrique : xB=2 xK−xA.x_B = 2\,x_K - x_A. De AA à KK on avance de 55 ; de KK à B,B, encore de 5.5.

Pièges anticipés

  • -2 → Tu as calculé 2 xK+xA=2−4.2\,x_K + x_A = 2 - 4. C'est 2 xK−xA=2−(−4)2\,x_K - x_A = 2 - (-4) : attention au signe de xA.x_A.
  • -3/2 → Tu as calculé le milieu de [AK].[AK]. Ici, KK est déjà le milieu : on cherche l'autre extrémité, le symétrique de AA par rapport à K.K.

Exercice 19 · pratique

Un milieu en fractions

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points AA et BB ont pour abscisses respectives 23\dfrac{2}{3} et −12.-\dfrac{1}{2}.

Calculer l'abscisse du milieu KK du segment [AB].[AB].

Donner la valeur exacte de xKx_K : une fraction.

Réponse attendue : 1/12

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par la somme 23−12\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} : mets les deux fractions au même dénominateur.
  2. La somme vaut 16.\dfrac{1}{6}. Diviser par 2,2, c'est multiplier le dénominateur par 2.2.

Correction

  1. La somme — 23+(−12)=46−36=16\dfrac{2}{3} + \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6}
  2. La moitié — xK=16÷2=16×12x_K = \dfrac{1}{6} \div 2 = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2}
  3. xK=112x_K = \dfrac{1}{12}

La règle du milieu ne change pas avec des fractions : la somme, puis la moitié. Diviser par 22 revient à multiplier par 12.\tfrac{1}{2}.

Pièges anticipés

  • 1/6 → 16\tfrac{1}{6} est la somme des deux abscisses. Il reste à la diviser par 2.2.
  • 7/12 → Tu as additionné 23\tfrac{2}{3} et +12.+\tfrac{1}{2}. L'abscisse de BB est négative : 23+(−12)=16.\tfrac{2}{3} + \left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6}.
  • 0.08 / 0.083 / 0.0833 / 0.1 → C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte de xKx_K : une fraction.

Exercice 20 · pratique

Un paramètre au milieu

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points AA et BB ont pour abscisses respectives a−1a - 1 et a+5,a + 5, où aa est un réel. Le milieu du segment [AB][AB] a pour abscisse 7.7.

Déterminer a.a.

Donner la valeur de aa : un nombre.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'abscisse du milieu avec la formule de la moyenne, en fonction de a.a.
  2. La somme (a−1)+(a+5)(a - 1) + (a + 5) se simplifie en 2a+4.2a + 4. Il reste une équation du premier degré.

Correction

  1. Le milieu — (a−1)+(a+5)2=2a+42=a+2\dfrac{(a - 1) + (a + 5)}{2} = \dfrac{2a + 4}{2} = a + 2
  2. L'équation — a+2=7a + 2 = 7
  3. a=5a = 5

Vérification : AA a pour abscisse 4,4, BB a pour abscisse 10,10, et leur moyenne est bien 7.7.

Pièges anticipés

  • 3/2 → Tu as écrit 2a+4=72a + 4 = 7 : la somme, sans la diviser par 2.2. Le milieu, c'est 2a+42=a+2.\tfrac{2a + 4}{2} = a + 2.
  • 7 → 77 est l'abscisse du milieu, donnée par l'énoncé. On cherche aa : écris l'équation (a−1)+(a+5)2=7.\tfrac{(a - 1) + (a + 5)}{2} = 7.

Exercice 21 · raisonnement

Même milieu

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points A,A, BB et CC ont pour abscisses respectives −3,-3, 55 et 4.4.

Déterminer l'abscisse du point DD tel que les segments [AB][AB] et [CD][CD] aient le même milieu.

Donner la valeur de xDx_D : un nombre.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord l'abscisse du milieu commun : c'est celui de [AB],[AB], que tu connais entièrement.
  2. Ce point est aussi le milieu de [CD][CD] : DD est le symétrique de CC par rapport à lui.

Correction

  1. Le milieu de [AB] — xK=−3+52=1x_K = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1
  2. Le symétrique de C — KK est aussi le milieu de [CD].[CD].xD=2 xK−xC=2−4x_D = 2\,x_K - x_C = 2 - 4
  3. xD=−2x_D = -2

Deux segments ont le même milieu exactement quand les sommes des abscisses de leurs extrémités sont égales : xA+xB=xC+xD,x_A + x_B = x_C + x_D, ici 2=4+xD.2 = 4 + x_D.

Pièges anticipés

  • 1 → 11 est l'abscisse du milieu commun. Il reste à trouver D,D, le symétrique de CC par rapport à ce milieu.
  • 2 → Tu as calculé xC−2 xK.x_C - 2\,x_K. Le symétrique de CC par rapport à K,K, c'est 2 xK−xC.2\,x_K - x_C.

Exercice 22 · raisonnement

Du milieu aux extrémités

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) tel que OI=1,OI = 1, le segment [AB][AB] a pour milieu le point KK d'abscisse 1,1, et sa longueur est AB=10.AB = 10. On sait de plus que xA<xB.x_A < x_B.

Déterminer l'abscisse du point A.A.

Donner la valeur de xAx_A : un nombre.

Réponse attendue : -4

Indices, dans l’ordre

  1. Le milieu partage [AB][AB] en deux moitiés égales. Combien vaut KAKA ?
  2. KA=5KA = 5 : il y a deux points à distance 55 de K.K. Comme xA<xB,x_A < x_B, le point AA est celui de gauche.

Correction

  1. La demi-longueur — KA=KB=AB2=5KA = KB = \dfrac{AB}{2} = 5
  2. Deux candidats — Les points à distance 55 de KK ont pour abscisses 1−51 - 5 et 1+5.1 + 5. Comme xA<xB,x_A < x_B, AA prend la plus petite.xA=1−5x_A = 1 - 5
  3. xA=−4x_A = -4

Vérification : xB=6,x_B = 6, le milieu de −4-4 et 66 est bien 1,1, et AB=∣6−(−4)∣=10.AB = |6 - (-4)| = 10. Sans la condition xA<xB,x_A < x_B, on ne saurait pas lequel des deux points s'appelle A.A.

Pièges anticipés

  • 6 → 66 est l'abscisse de l'extrémité de droite. Or xA<xBx_A < x_B : AA est l'extrémité de gauche.
  • -9 → Tu as reculé de toute la longueur AB=10AB = 10 depuis K.K. Le milieu est à mi-chemin : KA=AB2=5.KA = \tfrac{AB}{2} = 5.

Exercice 23 · base

Une mesure algébrique

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points AA et BB ont pour abscisses respectives 33 et −2.-2.

Calculer la mesure algébrique AB‾.\overline{AB}.

Donner la valeur de AB‾\overline{AB} : un nombre.

Réponse attendue : -5

Indices, dans l’ordre

  1. AB‾\overline{AB} se lit « de AA vers BB » : AA est le départ, BB l'arrivée.
  2. L'abscisse d'arrivée moins l'abscisse de départ.AB‾=xB−xA\overline{AB} = x_B - x_A

Correction

  1. Arrivée moins départ — AB‾=xB−xA=−2−3\overline{AB} = x_B - x_A = -2 - 3
  2. AB‾=−5\overline{AB} = -5

Le résultat est négatif : de AA vers B,B, on va dans le sens contraire de OI→.\overrightarrow{OI}. La distance, elle, est AB=5.AB = 5.

Pièges anticipés

  • 5 → Tu as calculé xA−xB,x_A - x_B, ou la distance AB.AB. La mesure algébrique AB‾\overline{AB} garde son signe : c'est xB−xA.x_B - x_A.
  • 1 → Tu as additionné les deux abscisses. Une mesure algébrique est une différence : arrivée moins départ.

Exercice 24 · base

Une distance sur la droite

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) tel que OI=1,OI = 1, les points AA et BB ont pour abscisses respectives −72-\dfrac{7}{2} et 1.1.

Calculer la distance AB.AB.

Donner la valeur exacte de ABAB : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur OI→\overrightarrow{OI} est unitaire : la distance est la valeur absolue de la différence des abscisses.AB=∣xB−xA∣AB = |x_B - x_A|
  2. Attention à la soustraction d'un nombre négatif : 1−(−72)=1+72.1 - \left(-\tfrac{7}{2}\right) = 1 + \tfrac{7}{2}.

Correction

  1. La différence — xB−xA=1−(−72)=22+72=92x_B - x_A = 1 - \left(-\dfrac{7}{2}\right) = \dfrac{2}{2} + \dfrac{7}{2} = \dfrac{9}{2}
  2. AB=∣92∣=92AB = \left|\dfrac{9}{2}\right| = \dfrac{9}{2}

Une distance n'est jamais négative : on prend la valeur absolue de xB−xA.x_B - x_A. Ici AB=4,5.AB = 4{,}5.

Pièges anticipés

  • -9/2 → Une distance est positive. Tu as calculé xA−xBx_A - x_B sans prendre la valeur absolue.
  • 5/2 → Tu as calculé 1−72.1 - \tfrac{7}{2}. Or xA=−72x_A = -\tfrac{7}{2} : 1−(−72)=1+72.1 - \left(-\tfrac{7}{2}\right) = 1 + \tfrac{7}{2}.

Exercice 25 · pratique

Deux points à la même distance

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) tel que OI=1,OI = 1, le point AA a pour abscisse −1.-1.

Déterminer les abscisses des points MM de Δ\Delta tels que AM=3.AM = 3.

Écrire l'ensemble des abscisses trouvées entre accolades, par exemple {-2;2}.

Réponse attendue : {-4;2} — aussi acceptées : {-4 ; 2} · -4;2 · {2;-4} · -4 et 2 · {-4,2} · x = -4 ou x = 2 · -4 ou 2

Indices, dans l’ordre

  1. Sur une droite, il y a deux points à une distance donnée de AA : un de chaque côté.
  2. Note xx l'abscisse de M.M. La condition s'écrit ∣x−(−1)∣=3.|x - (-1)| = 3.x=xA+3oux=xA−3x = x_A + 3 \quad \text{ou} \quad x = x_A - 3

Correction

  1. La condition — AM=3  ⟺  ∣x+1∣=3AM = 3 \iff |x + 1| = 3
  2. Deux cas — x+1=3oux+1=−3x + 1 = 3 \quad \text{ou} \quad x + 1 = -3
  3. x=2oux=−4x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -4

Une distance donnée autour d'un point, c'est deux points sur la droite, un de chaque côté : xA+dx_A + d et xA−d.x_A - d.

Pièges anticipés

  • {2} / 2 → Il y a un deuxième point, de l'autre côté de AA : −1−3=−4.-1 - 3 = -4. Sur une droite, à une distance donnée, on trouve toujours deux points.
  • {-4} / -4 → Il y a un deuxième point, de l'autre côté de AA : −1+3=2.-1 + 3 = 2.
  • {-3;3} / -3;3 / {3;-3} → Tu as cherché les points à distance 33 de l'origine O.O. On mesure à partir de A,A, d'abscisse −1.-1.

Exercice 26 · pratique

Plus près que 2

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) tel que OI=1,OI = 1, le point BB a pour abscisse 3.3.

Déterminer l'ensemble des abscisses xx des points MM de Δ\Delta tels que BM<2.BM < 2. On l'écrira sous forme d'intervalle.

Écrire l'ensemble sous forme d'intervalle, par exemple ]0;3[.

Réponse attendue : ]1;5[ — aussi acceptées : ]1,5[

Indices, dans l’ordre

  1. La distance BMBM s'écrit ∣x−3∣.|x - 3|. La condition est donc ∣x−3∣<2.|x - 3| < 2.
  2. Les points à moins de 22 de BB sont ceux du segment centré en BB : entre 3−23 - 2 et 3+2.3 + 2.

Correction

  1. La condition — BM<2  ⟺  ∣x−3∣<2BM < 2 \iff |x - 3| < 2
  2. Un encadrement — ∣x−3∣<2  ⟺  −2<x−3<2  ⟺  1<x<5|x - 3| < 2 \iff -2 < x - 3 < 2 \iff 1 < x < 5
  3. x∈ ]1 ;5[x \in \,]1\,;5[

∣x−xB∣<d|x - x_B| < d équivaut à xB−d<x<xB+dx_B - d < x < x_B + d : les points à moins de dd de BB forment un intervalle centré en xB.x_B. Les bornes sont exclues, car l'inégalité est stricte.

Pièges anticipés

  • ]-inf;5[ / ]-∞;5[ → Tu as écrit x−3<2,x - 3 < 2, sans valeur absolue. Mais un point très à gauche, d'abscisse −10,-10, est loin de BB : BM=∣x−3∣,BM = |x - 3|, et il faut aussi x−3>−2.x - 3 > -2.
  • [1;5] → L'inégalité est stricte : BM<2.BM < 2. Les points d'abscisses 11 et 55 sont exactement à distance 2,2, ils sont exclus : crochets ouverts.

Exercice 27 · pratique

Deux vecteurs colinéaires

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points A,A, B,B, CC et DD ont pour abscisses respectives 1,1, 7,7, −2-2 et 1.1.

Déterminer le réel kk tel que AB→=k CD→.\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}.

Donner la valeur de kk : un nombre.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Sur une droite, AB→=k CD→\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD} équivaut à AB‾=k CD‾.\overline{AB} = k\,\overline{CD}.
  2. Calcule les deux mesures algébriques, arrivée moins départ, puis divise.

Correction

  1. Les mesures algébriques — AB‾=7−1=6;CD‾=1−(−2)=3\overline{AB} = 7 - 1 = 6 \quad ; \quad \overline{CD} = 1 - (-2) = 3
  2. Le rapport — 6=k×36 = k \times 3
  3. k=2k = 2

Sur une droite, comparer deux vecteurs revient à comparer leurs mesures algébriques : k=AB‾CD‾.k = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{CD}}.

Pièges anticipés

  • 1/2 → Tu as divisé CD‾\overline{CD} par AB‾.\overline{AB}. On cherche kk tel que AB‾=k CD‾\overline{AB} = k\,\overline{CD} : k=63.k = \tfrac{6}{3}.
  • -6 → CD‾=xD−xC=1−(−2)=3,\overline{CD} = x_D - x_C = 1 - (-2) = 3, pas 1−2.1 - 2.

Exercice 28 · raisonnement

Bout à bout

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), le point AA a pour abscisse 2.2. Les points BB et CC de Δ\Delta vérifient AB‾=3\overline{AB} = 3 et BC‾=−5.\overline{BC} = -5.

Déterminer l'abscisse du point C.C.

Donner la valeur de xCx_C : un nombre.

Réponse attendue : 0

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par l'abscisse de BB : AB‾=xB−xA.\overline{AB} = x_B - x_A.
  2. Ou directement, par la relation de Chasles : AC‾=AB‾+BC‾.\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}.

Correction

  1. Chasles — AC‾=AB‾+BC‾=3+(−5)=−2\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} = 3 + (-5) = -2
  2. L'abscisse de C — xC=xA+AC‾=2+(−2)x_C = x_A + \overline{AC} = 2 + (-2)
  3. xC=0x_C = 0

Les mesures algébriques s'ajoutent bout à bout (relation de Chasles) : on avance de 3,3, puis on recule de 5.5. Le point CC est l'origine O.O.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as ajouté 55 au lieu de −5.-5. BC‾=−5\overline{BC} = -5 : de BB vers C,C, on recule.
  • -2 → −2-2 est la mesure algébrique AC‾.\overline{AC}. L'abscisse de CC s'obtient en partant de AA : xC=xA+AC‾.x_C = x_A + \overline{AC}.

Exercice 29 · raisonnement

Un point hors du segment

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→),(O, \overrightarrow{OI}), les points AA et BB ont pour abscisses respectives −1-1 et 4.4.

Déterminer l'abscisse xx du point GG tel que GA→=2 GB→.\overrightarrow{GA} = 2\,\overrightarrow{GB}.

Donner la valeur de xx : un nombre.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Traduis l'égalité de vecteurs par les mesures algébriques : GA‾=2 GB‾.\overline{GA} = 2\,\overline{GB}.
  2. GA‾=−1−x\overline{GA} = -1 - x et GB‾=4−x.\overline{GB} = 4 - x. Résous l'équation obtenue.

Correction

  1. Les mesures — GA‾=−1−x;GB‾=4−x\overline{GA} = -1 - x \quad ; \quad \overline{GB} = 4 - x
  2. L'équation — −1−x=2 (4−x)  ⟺  −1−x=8−2x-1 - x = 2\,(4 - x) \iff -1 - x = 8 - 2x
  3. x=9x = 9

Vérification : GA‾=−10\overline{GA} = -10 et GB‾=−5,\overline{GB} = -5, l'un est bien le double de l'autre. GG est hors du segment [AB],[AB], du côté de B.B.

Pièges anticipés

  • 7/3 → Tu as trouvé le point tel que GA→=−2 GB→,\overrightarrow{GA} = -2\,\overrightarrow{GB}, celui du segment [AB].[AB]. Ici le coefficient est +2+2 : les deux vecteurs ont le même sens.

Exercice 30 · defi

Deux fois plus loin

Sur une droite Δ\Delta munie d'un repère cartésien (O,OI→)(O, \overrightarrow{OI}) tel que OI=1,OI = 1, les points AA et BB ont pour abscisses respectives 00 et 6.6.

Déterminer les abscisses de tous les points MM de Δ\Delta tels que MA=2 MB.MA = 2\,MB.

Écrire l'ensemble des abscisses trouvées entre accolades, par exemple {-2;2}.

Réponse attendue : {4;12} — aussi acceptées : {4 ; 12} · 4;12 · {12;4} · 4 et 12 · {4,12} · x = 4 ou x = 12 · 4 ou 12

Indices, dans l’ordre

  1. Note xx l'abscisse de MM : MA=∣x∣MA = |x| et MB=∣x−6∣.MB = |x - 6|. Où peut être MM : entre AA et B,B, à gauche de A,A, à droite de BB ?
  2. MA=2 MBMA = 2\,MB revient à MA‾=2 MB‾\overline{MA} = 2\,\overline{MB} ou MA‾=−2 MB‾\overline{MA} = -2\,\overline{MB} : deux équations du premier degré.

Correction

  1. La condition — MA=2 MB  ⟺  ∣x∣=2 ∣x−6∣MA = 2\,MB \iff |x| = 2\,|x - 6|
  2. Deux cas — x=2 (x−6)oux=−2 (x−6)x = 2\,(x - 6) \quad \text{ou} \quad x = -2\,(x - 6)
  3. Le premier cas donne x=12,x = 12, le second 3x=12.3x = 12.x=12oux=4x = 12 \quad \text{ou} \quad x = 4

Vérification : pour x=4,x = 4, MA=4MA = 4 et MB=2MB = 2 ; pour x=12,x = 12, MA=12MA = 12 et MB=6.MB = 6. Une égalité de distances donne deux équations : les deux signes possibles.

Pièges anticipés

  • {4} / 4 → Tu as trouvé le point situé entre AA et B.B. Il en existe un second, au-delà de BB : pense à l'autre signe, x=2 (x−6).x = 2\,(x - 6).
  • {12} / 12 → Il existe un second point, entre AA et BB : pense à l'autre signe, x=−2 (x−6).x = -2\,(x - 6).
  • {2;-6} / {-6;2} / -6;2 / 2;-6 → Tu as résolu MB=2 MA.MB = 2\,MA. L'énoncé dit l'inverse : c'est MAMA qui est le double de MB.MB.

Exercice 31 · base

Des vecteurs aux coordonnées

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), le point MM vérifie OM→=3 OI→−2 OJ→.\overrightarrow{OM} = 3\,\overrightarrow{OI} - 2\,\overrightarrow{OJ}.

Donner les coordonnées du point M.M.

Écrire le couple de coordonnées de M,M, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (3;-2) — aussi acceptées : (3,-2) · M(3;-2) · M(3,-2) · M = (3;-2) · M = (3,-2) · M : (3;-2) · 3;-2 · x = 3 ; y = -2 · x = 3 et y = -2 · x = 3, y = -2 · xM = 3 ; yM = -2 · x_M = 3 ; y_M = -2 · xM = 3 et yM = -2 · x_M = 3 et y_M = -2 · xM = 3, yM = -2 · x_M = 3, y_M = -2 · y = -2 ; x = 3 · y = -2 et x = 3 · y = -2, x = 3 · yM = -2 ; xM = 3 · y_M = -2 ; x_M = 3 · yM = -2 et xM = 3 · y_M = -2 et x_M = 3 · (x;y) = (3;-2) · (x,y) = (3,-2) · (xM;yM) = (3;-2) · (x_M;y_M) = (3;-2) · M(x = 3 ; y = -2) · 3 et -2 · (3 et -2) · M(3 et -2) · x = 3 y = -2 · xM = 3 yM = -2 · x_M = 3 y_M = -2 · (+3;-2) · (3.0;-2) · (3;-2.0) · (3,0;-2)

Indices, dans l’ordre

  1. Le coefficient de OI→\overrightarrow{OI} est l'abscisse, celui de OJ→\overrightarrow{OJ} est l'ordonnée.OM→=x OI→+y OJ→  ⟺  M(x ;y)\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ} \iff M(x\,;y)
  2. Garde le signe du coefficient de OJ→.\overrightarrow{OJ}.

Correction

  1. Lire les coefficients — OM→=3 OI→+(−2) OJ→\overrightarrow{OM} = 3\,\overrightarrow{OI} + (-2)\,\overrightarrow{OJ}
  2. M(3 ;−2)M(3\,;-2)

Le couple de coordonnées se lit sur la décomposition de OM→\overrightarrow{OM} : l'abscisse devant OI→,\overrightarrow{OI}, l'ordonnée devant OJ→,\overrightarrow{OJ}, dans cet ordre.

Pièges anticipés

  • (-2;3) / (-2,3) / M(-2;3) / M(-2,3) / M = (-2;3) / -2;3 / x = -2 ; y = 3 / x = -2 et y = 3 / x = -2, y = 3 / xM = -2 ; yM = 3 / x_M = -2 ; y_M = 3 / (x;y) = (-2;3) / -2 et 3 / (-2 et 3) / M(-2 et 3) / x = -2 y = 3 / xM = -2 yM = 3 / x_M = -2 y_M = 3 → Tes deux nombres sont dans le désordre. L'abscisse, coefficient de OI→,\overrightarrow{OI}, vient en premier.
  • (3;2) / (3,2) / M(3;2) / M(3,2) / M = (3;2) / 3;2 / x = 3 ; y = 2 / x = 3 et y = 2 / x = 3, y = 2 / xM = 3 ; yM = 2 / x_M = 3 ; y_M = 2 / (x;y) = (3;2) / 3 et 2 / (3 et 2) / M(3 et 2) / x = 3 y = 2 / xM = 3 yM = 2 / x_M = 3 y_M = 2 → Le coefficient de OJ→\overrightarrow{OJ} est −2,-2, pas 22 : l'ordonnée de MM est négative.

Exercice 32 · base

Sur l'axe des ordonnées

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), le point MM vérifie OM→=−OJ→.\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OJ}.

Donner les coordonnées du point M.M.

Écrire le couple de coordonnées de M,M, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (0;-1) — aussi acceptées : (0,-1) · M(0;-1) · M(0,-1) · M = (0;-1) · M = (0,-1) · M : (0;-1) · 0;-1 · x = 0 ; y = -1 · x = 0 et y = -1 · x = 0, y = -1 · xM = 0 ; yM = -1 · x_M = 0 ; y_M = -1 · xM = 0 et yM = -1 · x_M = 0 et y_M = -1 · xM = 0, yM = -1 · x_M = 0, y_M = -1 · y = -1 ; x = 0 · y = -1 et x = 0 · y = -1, x = 0 · yM = -1 ; xM = 0 · y_M = -1 ; x_M = 0 · yM = -1 et xM = 0 · y_M = -1 et x_M = 0 · (x;y) = (0;-1) · (x,y) = (0,-1) · (xM;yM) = (0;-1) · (x_M;y_M) = (0;-1) · M(x = 0 ; y = -1) · 0 et -1 · (0 et -1) · M(0 et -1) · x = 0 y = -1 · xM = 0 yM = -1 · x_M = 0 y_M = -1 · (0.0;-1) · (0;-1.0) · (0,0;-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Écris OM→\overrightarrow{OM} sous la forme x OI→+y OJ→.x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}. Combien de OI→\overrightarrow{OI} y a-t-il ?
  2. −OJ→=0 OI→+(−1) OJ→.-\overrightarrow{OJ} = 0\,\overrightarrow{OI} + (-1)\,\overrightarrow{OJ}.

Correction

  1. Décomposer — OM→=0 OI→+(−1) OJ→\overrightarrow{OM} = 0\,\overrightarrow{OI} + (-1)\,\overrightarrow{OJ}
  2. M(0 ;−1)M(0\,;-1)

Un point de l'axe des ordonnées a toujours une abscisse nulle. Ici, MM est le symétrique de JJ par rapport à O.O.

Pièges anticipés

  • (-1;0) / (-1,0) / M(-1;0) / M(-1,0) / M = (-1;0) / -1;0 / x = -1 ; y = 0 / x = -1 et y = 0 / x = -1, y = 0 / xM = -1 ; yM = 0 / x_M = -1 ; y_M = 0 / (x;y) = (-1;0) / -1 et 0 / (-1 et 0) / M(-1 et 0) / x = -1 y = 0 / xM = -1 yM = 0 / x_M = -1 y_M = 0 → Tu as écrit l'ordonnée en premier. MM est sur l'axe des ordonnées : son abscisse est 0,0, et elle vient en premier.
  • (0;1) / (0,1) / M(0;1) / M(0,1) / M = (0;1) / 0;1 / x = 0 ; y = 1 / x = 0 et y = 1 / x = 0, y = 1 / xM = 0 ; yM = 1 / x_M = 0 ; y_M = 1 / (x;y) = (0;1) / 0 et 1 / (0 et 1) / M(0 et 1) / x = 0 y = 1 / xM = 0 yM = 1 / x_M = 0 y_M = 1 → (0 ;1),(0\,;1), ce sont les coordonnées de J.J. Le signe moins envoie MM de l'autre côté de O.O.

Exercice 33 · base

Le parallélogramme ONMP

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on note NN le point de l'axe des abscisses d'abscisse 4,4, et PP le point de l'axe des ordonnées d'ordonnée −3.-3. Le point MM est tel que ONMPONMP est un parallélogramme.

Donner les coordonnées du point M.M.

Écrire le couple de coordonnées de M,M, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (4;-3) — aussi acceptées : (4,-3) · M(4;-3) · M(4,-3) · M = (4;-3) · M = (4,-3) · M : (4;-3) · 4;-3 · x = 4 ; y = -3 · x = 4 et y = -3 · x = 4, y = -3 · xM = 4 ; yM = -3 · x_M = 4 ; y_M = -3 · xM = 4 et yM = -3 · x_M = 4 et y_M = -3 · xM = 4, yM = -3 · x_M = 4, y_M = -3 · y = -3 ; x = 4 · y = -3 et x = 4 · y = -3, x = 4 · yM = -3 ; xM = 4 · y_M = -3 ; x_M = 4 · yM = -3 et xM = 4 · y_M = -3 et x_M = 4 · (x;y) = (4;-3) · (x,y) = (4,-3) · (xM;yM) = (4;-3) · (x_M;y_M) = (4;-3) · M(x = 4 ; y = -3) · 4 et -3 · (4 et -3) · M(4 et -3) · x = 4 y = -3 · xM = 4 yM = -3 · x_M = 4 y_M = -3 · (+4;-3) · (4.0;-3) · (4;-3.0) · (4,0;-3)

Indices, dans l’ordre

  1. ONMPONMP est un parallélogramme : OM→=ON→+OP→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP} (règle du parallélogramme).
  2. ON→=4 OI→\overrightarrow{ON} = 4\,\overrightarrow{OI} et OP→=−3 OJ→.\overrightarrow{OP} = -3\,\overrightarrow{OJ}.

Correction

  1. Règle du parallélogramme — OM→=ON→+OP→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OP}
  2. OM→=4 OI→−3 OJ→\overrightarrow{OM} = 4\,\overrightarrow{OI} - 3\,\overrightarrow{OJ}
  3. M(4 ;−3)M(4\,;-3)

C'est la construction même des coordonnées : on projette MM sur chaque axe, parallèlement à l'autre. L'abscisse se lit sur (OI),(OI), l'ordonnée sur (OJ).(OJ).

Pièges anticipés

  • (-3;4) / (-3,4) / M(-3;4) / M(-3,4) / M = (-3;4) / -3;4 / x = -3 ; y = 4 / x = -3 et y = 4 / x = -3, y = 4 / xM = -3 ; yM = 4 / x_M = -3 ; y_M = 4 / (x;y) = (-3;4) / -3 et 4 / (-3 et 4) / M(-3 et 4) / x = -3 y = 4 / xM = -3 yM = 4 / x_M = -3 y_M = 4 → Tes deux nombres sont dans le désordre : l'abscisse, lue sur l'axe (OI),(OI), vient en premier.

Exercice 34 · pratique

Réduire avant de lire

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), le point MM vérifie OM→=2 (OI→+OJ→)−3 OJ→.\overrightarrow{OM} = 2\,(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}) - 3\,\overrightarrow{OJ}.

Donner les coordonnées du point M.M.

Écrire le couple de coordonnées de M,M, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (2;-1) — aussi acceptées : (2,-1) · M(2;-1) · M(2,-1) · M = (2;-1) · M = (2,-1) · M : (2;-1) · 2;-1 · x = 2 ; y = -1 · x = 2 et y = -1 · x = 2, y = -1 · xM = 2 ; yM = -1 · x_M = 2 ; y_M = -1 · xM = 2 et yM = -1 · x_M = 2 et y_M = -1 · xM = 2, yM = -1 · x_M = 2, y_M = -1 · y = -1 ; x = 2 · y = -1 et x = 2 · y = -1, x = 2 · yM = -1 ; xM = 2 · y_M = -1 ; x_M = 2 · yM = -1 et xM = 2 · y_M = -1 et x_M = 2 · (x;y) = (2;-1) · (x,y) = (2,-1) · (xM;yM) = (2;-1) · (x_M;y_M) = (2;-1) · M(x = 2 ; y = -1) · 2 et -1 · (2 et -1) · M(2 et -1) · x = 2 y = -1 · xM = 2 yM = -1 · x_M = 2 y_M = -1 · (+2;-1) · (2.0;-1) · (2;-1.0) · (2,0;-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Développe d'abord, puis regroupe les OI→\overrightarrow{OI} d'un côté et les OJ→\overrightarrow{OJ} de l'autre.
  2. Le 22 multiplie les deux vecteurs de la parenthèse.2 (OI→+OJ→)=2 OI→+2 OJ→2\,(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}) = 2\,\overrightarrow{OI} + 2\,\overrightarrow{OJ}

Correction

  1. Développer — OM→=2 OI→+2 OJ→−3 OJ→\overrightarrow{OM} = 2\,\overrightarrow{OI} + 2\,\overrightarrow{OJ} - 3\,\overrightarrow{OJ}
  2. Regrouper — OM→=2 OI→−OJ→\overrightarrow{OM} = 2\,\overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OJ}
  3. M(2 ;−1)M(2\,;-1)

On calcule avec les vecteurs comme avec des lettres : on développe, on regroupe. Les coordonnées se lisent sur l'écriture réduite x OI→+y OJ→.x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}.

Pièges anticipés

  • (2;-2) / (2,-2) / M(2;-2) / M(2,-2) / M = (2;-2) / 2;-2 / x = 2 ; y = -2 / x = 2 et y = -2 / x = 2, y = -2 / xM = 2 ; yM = -2 / x_M = 2 ; y_M = -2 / (x;y) = (2;-2) / 2 et -2 / (2 et -2) / M(2 et -2) / x = 2 y = -2 / xM = 2 yM = -2 / x_M = 2 y_M = -2 → Le 22 multiplie aussi OJ→\overrightarrow{OJ} : 2 (OI→+OJ→)=2 OI→+2 OJ→.2\,(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}) = 2\,\overrightarrow{OI} + 2\,\overrightarrow{OJ}. L'ordonnée est 2−3.2 - 3.
  • (-1;2) / (-1,2) / M(-1;2) / M(-1,2) / M = (-1;2) / -1;2 / x = -1 ; y = 2 / x = -1 et y = 2 / x = -1, y = 2 / xM = -1 ; yM = 2 / x_M = -1 ; y_M = 2 / (x;y) = (-1;2) / -1 et 2 / (-1 et 2) / M(-1 et 2) / x = -1 y = 2 / xM = -1 yM = 2 / x_M = -1 y_M = 2 → Tes deux nombres sont dans le désordre : l'abscisse, coefficient de OI→,\overrightarrow{OI}, vient en premier.

Exercice 35 · pratique

Une combinaison de deux points

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;3)A(1\,;3) et B(4 ;−1).B(4\,;-1). Le point MM vérifie OM→=2 OA→−OB→.\overrightarrow{OM} = 2\,\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}.

Déterminer les coordonnées du point M.M.

Écrire le couple de coordonnées de M,M, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-2;7) — aussi acceptées : (-2,7) · M(-2;7) · M(-2,7) · M = (-2;7) · M = (-2,7) · M : (-2;7) · -2;7 · x = -2 ; y = 7 · x = -2 et y = 7 · x = -2, y = 7 · xM = -2 ; yM = 7 · x_M = -2 ; y_M = 7 · xM = -2 et yM = 7 · x_M = -2 et y_M = 7 · xM = -2, yM = 7 · x_M = -2, y_M = 7 · y = 7 ; x = -2 · y = 7 et x = -2 · y = 7, x = -2 · yM = 7 ; xM = -2 · y_M = 7 ; x_M = -2 · yM = 7 et xM = -2 · y_M = 7 et x_M = -2 · (x;y) = (-2;7) · (x,y) = (-2,7) · (xM;yM) = (-2;7) · (x_M;y_M) = (-2;7) · M(x = -2 ; y = 7) · -2 et 7 · (-2 et 7) · M(-2 et 7) · x = -2 y = 7 · xM = -2 yM = 7 · x_M = -2 y_M = 7 · (-2;+7) · M(-2;+7) · (-2.0;7) · (-2;7.0) · (-2,0;7)

Indices, dans l’ordre

  1. Écris OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} avec OI→\overrightarrow{OI} et OJ→\overrightarrow{OJ} : OA→=OI→+3 OJ→.\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OI} + 3\,\overrightarrow{OJ}.
  2. Calcule coordonnée par coordonnée : xM=2 xA−xBx_M = 2\,x_A - x_B et yM=2 yA−yB.y_M = 2\,y_A - y_B.

Correction

  1. L'abscisse — xM=2×1−4=−2x_M = 2 \times 1 - 4 = -2
  2. L'ordonnée — yM=2×3−(−1)=7y_M = 2 \times 3 - (-1) = 7
  3. M(−2 ;7)M(-2\,;7)

Une combinaison de vecteurs se calcule axe par axe : la même opération sur les abscisses, puis sur les ordonnées.

Pièges anticipés

  • (-2;5) / (-2,5) / M(-2;5) / M(-2,5) / M = (-2;5) / -2;5 / x = -2 ; y = 5 / x = -2 et y = 5 / x = -2, y = 5 / xM = -2 ; yM = 5 / x_M = -2 ; y_M = 5 / (x;y) = (-2;5) / -2 et 5 / (-2 et 5) / M(-2 et 5) / x = -2 y = 5 / xM = -2 yM = 5 / x_M = -2 y_M = 5 → L'ordonnée de BB est −1-1 : 2×3−(−1)=6+1=7.2 \times 3 - (-1) = 6 + 1 = 7.
  • (6;5) / (6,5) / M(6;5) / M(6,5) / M = (6;5) / 6;5 / x = 6 ; y = 5 / x = 6 et y = 5 / x = 6, y = 5 / xM = 6 ; yM = 5 / x_M = 6 ; y_M = 5 / (x;y) = (6;5) / 6 et 5 / (6 et 5) / M(6 et 5) / x = 6 y = 5 / xM = 6 yM = 5 / x_M = 6 y_M = 5 → Tu as calculé 2 OA→+OB→.2\,\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}. L'énoncé retranche OB→.\overrightarrow{OB}.

Exercice 36 · raisonnement

Un point sur un axe

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on considère le point M(2a−1 ;a+3),M(2a - 1\,;a + 3), où aa est un réel. On sait que MM appartient à l'axe des ordonnées.

Déterminer l'ordonnée du point M.M.

Donner la valeur de yMy_M : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5

Indices, dans l’ordre

  1. Un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle. Quelle équation cela donne-t-il pour aa ?
  2. Résous 2a−1=0,2a - 1 = 0, puis remplace aa dans l'ordonnée a+3.a + 3.

Correction

  1. L'abscisse est nulle — 2a−1=0  ⟺  a=122a - 1 = 0 \iff a = \dfrac{1}{2}
  2. L'ordonnée — yM=12+3y_M = \dfrac{1}{2} + 3
  3. yM=72y_M = \dfrac{7}{2}

Sur l'axe des ordonnées, c'est l'abscisse qui est nulle ; sur l'axe des abscisses, c'est l'ordonnée. Ici M(0 ;72).M\left(0\,;\tfrac{7}{2}\right).

Pièges anticipés

  • 1/2 → 12\tfrac{1}{2} est la valeur de a.a. La question demande l'ordonnée de MM : remplace aa dans a+3.a + 3.
  • 0 → Tu as mis l'ordonnée à zéro : c'est la condition pour l'axe des abscisses. Sur l'axe des ordonnées, l'abscisse est nulle : 2a−1=0.2a - 1 = 0.

Exercice 37 · base

Une abscisse nulle

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), le point M(m+2 ;5)M(m + 2\,;5) appartient à l'axe des ordonnées.

Déterminer le réel m.m.

Donner la valeur de mm : un nombre.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Sur l'axe des ordonnées, quelle coordonnée est nulle ?
  2. L'abscisse m+2m + 2 doit être nulle.

Correction

  1. La condition — m+2=0m + 2 = 0
  2. m=−2m = -2

Les points de l'axe des ordonnées sont ceux d'abscisse nulle : M(0 ;5).M(0\,;5).

Pièges anticipés

  • 2 → Avec m=2,m = 2, l'abscisse vaut 4.4. Il faut m+2=0,m + 2 = 0, donc m=−2.m = -2.

Exercice 38 · base

Deux points confondus

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), les points A(2a−1 ;4)A(2a - 1\,;4) et B(5 ;b+1)B(5\,;b + 1) sont confondus.

Déterminer les réels aa et b.b.

Écrire le couple (a ;b),(a\,;b), entre parenthèses, aa d'abord.

Réponse attendue : (3;3) — aussi acceptées : (3,3) · 3;3 · a = 3 ; b = 3 · a = 3 et b = 3 · a = 3, b = 3 · a = 3 b = 3 · b = 3 ; a = 3 · b = 3 et a = 3 · b = 3, a = 3 · (a;b) = (3;3) · (a,b) = (3,3) · 3 et 3 · (3 et 3)

Indices, dans l’ordre

  1. Deux points sont confondus exactement quand ils ont la même abscisse et la même ordonnée.
  2. Écris deux équations : 2a−1=52a - 1 = 5 et 4=b+1.4 = b + 1.

Correction

  1. Les abscisses — 2a−1=5  ⟺  a=32a - 1 = 5 \iff a = 3
  2. Les ordonnées — b+1=4  ⟺  b=3b + 1 = 4 \iff b = 3
  3. a=3;b=3a = 3 \quad ; \quad b = 3

Le couple de coordonnées d'un point est unique : deux points sont confondus si et seulement si leurs coordonnées sont égales une à une.

Pièges anticipés

  • (6;3) / (6,3) / 6;3 / a = 6 ; b = 3 / a = 6 et b = 3 / a = 6, b = 3 / (a;b) = (6;3) / 6 et 3 → 2a=62a = 6 donne a=3a = 3 : il reste à diviser par 2.2.

Exercice 39 · pratique

Partir de J

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), le point MM vérifie JM→=3 OI→.\overrightarrow{JM} = 3\,\overrightarrow{OI}.

Donner les coordonnées du point M.M.

Écrire le couple de coordonnées de M,M, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (3;1) — aussi acceptées : (3,1) · M(3;1) · M(3,1) · M = (3;1) · M = (3,1) · M : (3;1) · 3;1 · x = 3 ; y = 1 · x = 3 et y = 1 · x = 3, y = 1 · xM = 3 ; yM = 1 · x_M = 3 ; y_M = 1 · xM = 3 et yM = 1 · x_M = 3 et y_M = 1 · xM = 3, yM = 1 · x_M = 3, y_M = 1 · y = 1 ; x = 3 · y = 1 et x = 3 · y = 1, x = 3 · yM = 1 ; xM = 3 · y_M = 1 ; x_M = 3 · yM = 1 et xM = 3 · y_M = 1 et x_M = 3 · (x;y) = (3;1) · (x,y) = (3,1) · (xM;yM) = (3;1) · (x_M;y_M) = (3;1) · M(x = 3 ; y = 1) · 3 et 1 · (3 et 1) · M(3 et 1) · x = 3 y = 1 · xM = 3 yM = 1 · x_M = 3 y_M = 1 · (3;+1) · M(3;+1) · (+3;1) · (3.0;1) · (3;1.0) · (3,0;1)

Indices, dans l’ordre

  1. Les coordonnées se lisent sur OM→,\overrightarrow{OM}, qui part de O.O. Passe par JJ : OM→=OJ→+JM→.\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{JM}.
  2. Il reste à lire les coefficients de OI→\overrightarrow{OI} et de OJ→.\overrightarrow{OJ}.

Correction

  1. Chasles — OM→=OJ→+JM→=OJ→+3 OI→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{JM} = \overrightarrow{OJ} + 3\,\overrightarrow{OI}
  2. OM→=3 OI→+1 OJ→\overrightarrow{OM} = 3\,\overrightarrow{OI} + 1\,\overrightarrow{OJ}
  3. M(3 ;1)M(3\,;1)

Les coordonnées se lisent toujours sur le vecteur qui part de l'origine. Un vecteur qui part d'ailleurs se ramène à OO par la relation de Chasles.

Pièges anticipés

  • (3;0) / (3,0) / M(3;0) / M(3,0) / M = (3;0) / 3;0 / x = 3 ; y = 0 / x = 3 et y = 0 / x = 3, y = 0 / xM = 3 ; yM = 0 / x_M = 3 ; y_M = 0 / (x;y) = (3;0) / 3 et 0 / (3 et 0) / M(3 et 0) / x = 3 y = 0 / xM = 3 yM = 0 / x_M = 3 y_M = 0 → Tu as lu les coordonnées sur JM→,\overrightarrow{JM}, qui part de J.J. Il faut OM→=OJ→+JM→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{JM} : l'ordonnée gagne 1.1.
  • (1;3) / (1,3) / M(1;3) / M(1,3) / M = (1;3) / 1;3 / x = 1 ; y = 3 / x = 1 et y = 3 / x = 1, y = 3 / xM = 1 ; yM = 3 / x_M = 1 ; y_M = 3 / (x;y) = (1;3) / 1 et 3 / (1 et 3) / M(1 et 3) / x = 1 y = 3 / xM = 1 yM = 3 / x_M = 1 y_M = 3 → Tes deux nombres sont dans le désordre : l'abscisse, coefficient de OI→,\overrightarrow{OI}, vient en premier.

Exercice 40 · pratique

Un pas vers la droite

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne le point A(−1 ;5).A(-1\,;5). Le point BB vérifie OB→=OA→+2 OI→.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + 2\,\overrightarrow{OI}.

Déterminer les coordonnées du point B.B.

Écrire le couple de coordonnées de B,B, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (1;5) — aussi acceptées : (1,5) · B(1;5) · B(1,5) · B = (1;5) · B = (1,5) · B : (1;5) · 1;5 · x = 1 ; y = 5 · x = 1 et y = 5 · x = 1, y = 5 · xB = 1 ; yB = 5 · x_B = 1 ; y_B = 5 · xB = 1 et yB = 5 · x_B = 1 et y_B = 5 · xB = 1, yB = 5 · x_B = 1, y_B = 5 · y = 5 ; x = 1 · y = 5 et x = 1 · y = 5, x = 1 · yB = 5 ; xB = 1 · y_B = 5 ; x_B = 1 · yB = 5 et xB = 1 · y_B = 5 et x_B = 1 · (x;y) = (1;5) · (x,y) = (1,5) · (xB;yB) = (1;5) · (x_B;y_B) = (1;5) · B(x = 1 ; y = 5) · 1 et 5 · (1 et 5) · B(1 et 5) · x = 1 y = 5 · xB = 1 yB = 5 · x_B = 1 y_B = 5 · (1;+5) · B(1;+5) · (+1;5) · (1.0;5) · (1;5.0) · (1,0;5)

Indices, dans l’ordre

  1. Écris OA→=−OI→+5 OJ→,\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OI} + 5\,\overrightarrow{OJ}, puis ajoute 2 OI→.2\,\overrightarrow{OI}.
  2. Ajouter 2 OI→2\,\overrightarrow{OI} ne touche qu'à une des deux coordonnées. Laquelle ?

Correction

  1. Décomposer — OB→=−OI→+5 OJ→+2 OI→\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OI} + 5\,\overrightarrow{OJ} + 2\,\overrightarrow{OI}
  2. Regrouper — OB→=1 OI→+5 OJ→\overrightarrow{OB} = 1\,\overrightarrow{OI} + 5\,\overrightarrow{OJ}
  3. B(1 ;5)B(1\,;5)

Ajouter un multiple de OI→\overrightarrow{OI} ne change que l'abscisse : le point glisse parallèlement à l'axe des abscisses, son ordonnée reste la même.

Pièges anticipés

  • (1;7) / (1,7) / B(1;7) / B(1,7) / B = (1;7) / 1;7 / x = 1 ; y = 7 / x = 1 et y = 7 / x = 1, y = 7 / xB = 1 ; yB = 7 / x_B = 1 ; y_B = 7 / (x;y) = (1;7) / 1 et 7 / (1 et 7) / B(1 et 7) / x = 1 y = 7 / xB = 1 yB = 7 / x_B = 1 y_B = 7 → Tu as ajouté 22 aux deux coordonnées. Le vecteur ajouté est 2 OI→2\,\overrightarrow{OI} : il ne contient pas de OJ→,\overrightarrow{OJ}, l'ordonnée ne bouge pas.
  • (3;5) / (3,5) / B(3;5) / B(3,5) / B = (3;5) / 3;5 / x = 3 ; y = 5 / x = 3 et y = 5 / x = 3, y = 5 / xB = 3 ; yB = 5 / x_B = 3 ; y_B = 5 / (x;y) = (3;5) / 3 et 5 / (3 et 5) / B(3 et 5) / x = 3 y = 5 / xB = 3 yB = 5 / x_B = 3 y_B = 5 → L'abscisse de AA est −1-1 : −1+2=1.-1 + 2 = 1.

Exercice 41 · raisonnement

Un repère dans un parallélogramme

Soit ABCDABCD un parallélogramme. On munit le plan du repère (A,AB→,AD→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}). Le point EE vérifie AE→=AC→+BC→.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}.

Déterminer les coordonnées du point EE dans ce repère.

Écrire le couple de coordonnées de E,E, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (1;2) — aussi acceptées : (1,2) · E(1;2) · E(1,2) · E = (1;2) · E = (1,2) · E : (1;2) · 1;2 · x = 1 ; y = 2 · x = 1 et y = 2 · x = 1, y = 2 · xE = 1 ; yE = 2 · x_E = 1 ; y_E = 2 · xE = 1 et yE = 2 · x_E = 1 et y_E = 2 · xE = 1, yE = 2 · x_E = 1, y_E = 2 · y = 2 ; x = 1 · y = 2 et x = 1 · y = 2, x = 1 · yE = 2 ; xE = 1 · y_E = 2 ; x_E = 1 · yE = 2 et xE = 1 · y_E = 2 et x_E = 1 · (x;y) = (1;2) · (x,y) = (1,2) · (xE;yE) = (1;2) · (x_E;y_E) = (1;2) · E(x = 1 ; y = 2) · 1 et 2 · (1 et 2) · E(1 et 2) · x = 1 y = 2 · xE = 1 yE = 2 · x_E = 1 y_E = 2 · (1;+2) · E(1;+2) · (+1;2) · (1.0;2) · (1;2.0) · (1,0;2)

Indices, dans l’ordre

  1. Règle du parallélogramme : AC→=AB→+AD→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}. Et dans un parallélogramme, BC→=AD→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
  2. Écris AE→\overrightarrow{AE} avec AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} seulement, puis lis les coefficients.

Correction

  1. Les deux vecteurs — AC→=AB→+AD→;BC→=AD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \quad ; \quad \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
  2. La somme — AE→=AB→+2 AD→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + 2\,\overrightarrow{AD}
  3. E(1 ;2)E(1\,;2)

Dans le repère (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), on lit B(1 ;0),B(1\,;0), D(0 ;1)D(0\,;1) et C(1 ;1).C(1\,;1). Les coordonnées de EE sont les coefficients de AE→\overrightarrow{AE} sur AB→\overrightarrow{AB} et AD→.\overrightarrow{AD}.

Pièges anticipés

  • (2;1) / (2,1) / E(2;1) / E(2,1) / E = (2;1) / 2;1 / x = 2 ; y = 1 / x = 2 et y = 1 / x = 2, y = 1 / xE = 2 ; yE = 1 / x_E = 2 ; y_E = 1 / (x;y) = (2;1) / 2 et 1 / (2 et 1) / E(2 et 1) / x = 2 y = 1 / xE = 2 yE = 1 / x_E = 2 y_E = 1 → Tu as remplacé BC→\overrightarrow{BC} par AB→.\overrightarrow{AB}. Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} : ce sont les côtés opposés qui sont égaux.
  • (1;1) / (1,1) / E(1;1) / E(1,1) / E = (1;1) / 1;1 / x = 1 ; y = 1 / x = 1 et y = 1 / x = 1, y = 1 / xE = 1 ; yE = 1 / x_E = 1 ; y_E = 1 / (x;y) = (1;1) / 1 et 1 / (1 et 1) / E(1 et 1) / x = 1 y = 1 / xE = 1 yE = 1 / x_E = 1 y_E = 1 → (1 ;1),(1\,;1), ce sont les coordonnées de C.C. Il reste à ajouter BC→.\overrightarrow{BC}.

Exercice 42 · defi

Changer de repère

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;1),A(1\,;1), B(3 ;1),B(3\,;1), C(1 ;4)C(1\,;4) et M(5 ;7).M(5\,;7).

Les points A,A, BB et CC n'étant pas alignés, (A,AB→,AC→)(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) est un repère du plan. Déterminer les coordonnées du point MM dans ce repère.

Écrire le couple de coordonnées de MM dans le repère (A,AB→,AC→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (2;2) — aussi acceptées : (2,2) · M(2;2) · M(2,2) · M = (2;2) · M = (2,2) · M : (2;2) · 2;2 · x = 2 ; y = 2 · x = 2 et y = 2 · x = 2, y = 2 · xM = 2 ; yM = 2 · x_M = 2 ; y_M = 2 · xM = 2 et yM = 2 · x_M = 2 et y_M = 2 · xM = 2, yM = 2 · x_M = 2, y_M = 2 · y = 2 ; x = 2 · y = 2 et x = 2 · y = 2, x = 2 · yM = 2 ; xM = 2 · y_M = 2 ; x_M = 2 · yM = 2 et xM = 2 · y_M = 2 et x_M = 2 · (x;y) = (2;2) · (x,y) = (2,2) · (xM;yM) = (2;2) · (x_M;y_M) = (2;2) · M(x = 2 ; y = 2) · 2 et 2 · (2 et 2) · M(2 et 2) · x = 2 y = 2 · xM = 2 yM = 2 · x_M = 2 y_M = 2 · (2;+2) · M(2;+2) · (+2;2) · (2.0;2) · (2;2.0) · (2,0;2)

Indices, dans l’ordre

  1. On cherche les réels xx et yy tels que AM→=x AB→+y AC→.\overrightarrow{AM} = x\,\overrightarrow{AB} + y\,\overrightarrow{AC}.
  2. Calcule les composantes : AB→(20),\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, AC→(03),\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}, AM→(46).\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. Compare axe par axe.

Correction

  1. Les composantes — AB→(20);AC→(03);AM→(46)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}
  2. Identifier — x AB→+y AC→x\,\overrightarrow{AB} + y\,\overrightarrow{AC} a pour composantes 2x2x et 3y.3y.2x=4;3y=62x = 4 \quad ; \quad 3y = 6
  3. M(2 ;2)M(2\,;2)

Les coordonnées dépendent du repère : M(5 ;7)M(5\,;7) dans l'un, M(2 ;2)M(2\,;2) dans l'autre. On cherche toujours les coefficients de AM→\overrightarrow{AM} sur les deux vecteurs du nouveau repère.

Pièges anticipés

  • (4;6) / (4,6) / M(4;6) / M(4,6) / M = (4;6) / 4;6 / x = 4 ; y = 6 / x = 4 et y = 6 / x = 4, y = 6 / xM = 4 ; yM = 6 / x_M = 4 ; y_M = 6 / (x;y) = (4;6) / 4 et 6 / (4 et 6) / M(4 et 6) / x = 4 y = 6 / xM = 4 yM = 6 / x_M = 4 y_M = 6 → (4 ;6),(4\,;6), ce sont les composantes de AM→\overrightarrow{AM} dans l'ancien repère. Dans le nouveau, l'unité de l'axe des abscisses est AB→,\overrightarrow{AB}, qui vaut 2 OI→2\,\overrightarrow{OI} : il faut encore diviser.
  • (5;7) / (5,7) / M(5;7) / M(5,7) / M = (5;7) / 5;7 / x = 5 ; y = 7 / x = 5 et y = 7 / x = 5, y = 7 / xM = 5 ; yM = 7 / x_M = 5 ; y_M = 7 / (x;y) = (5;7) / 5 et 7 / (5 et 7) / M(5 et 7) / x = 5 y = 7 / xM = 5 yM = 7 / x_M = 5 y_M = 7 → Ce sont les coordonnées de MM dans le repère (O,OI→,OJ→).(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}). On les demande dans le repère (A,AB→,AC→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

Exercice 43 · base

Arrivée moins départ

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;−1)A(2\,;-1) et B(−3 ;4).B(-3\,;4).

Calculer les composantes du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Écrire le couple de composantes de AB→,\overrightarrow{AB}, entre parenthèses, la première composante d'abord.

Réponse attendue : (-5;5) — aussi acceptées : (-5,5) · -5;5 · -5 et 5 · (-5 et 5) · AB(-5;5) · AB(-5,5) · AB = (-5;5) · AB = (-5,5) · vecteur AB(-5;5) · vecteur AB = (-5;5) · (-5 ; 5) · (-5;+5)

Indices, dans l’ordre

  1. Les composantes de AB→\overrightarrow{AB} : l'abscisse d'arrivée moins l'abscisse de départ, puis la même chose avec les ordonnées.AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}
  2. Attention aux signes : −3−2-3 - 2 et 4−(−1).4 - (-1).

Correction

  1. Première composante — xB−xA=−3−2=−5x_B - x_A = -3 - 2 = -5
  2. Deuxième composante — yB−yA=4−(−1)=5y_B - y_A = 4 - (-1) = 5
  3. AB→(−55)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \\ 5 \end{pmatrix}

Les composantes d'un vecteur, c'est arrivée moins départ, une ligne par axe. Pour BA→,\overrightarrow{BA}, on obtiendrait les opposées.

Pièges anticipés

  • (5;-5) / (5,-5) / 5;-5 / 5 et -5 / (5 et -5) / AB(5;-5) / AB(5,-5) / AB = (5;-5) → Tu as calculé départ moins arrivée : ce sont les composantes de BA→.\overrightarrow{BA}. Pour AB→,\overrightarrow{AB}, on part de AA et on arrive en BB : xB−xA.x_B - x_A.
  • (-1;3) / (-1,3) / -1;3 / -1 et 3 / (-1 et 3) / AB(-1;3) / AB(-1,3) / AB = (-1;3) → Tu as additionné les coordonnées. Les composantes sont des différences : arrivée moins départ.

Exercice 44 · base

Trouver l'arrivée

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne le point A(1 ;4)A(1\,;4) et le vecteur AB→(3−2).\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}.

Déterminer les coordonnées du point B.B.

Écrire le couple de coordonnées de B,B, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (4;2) — aussi acceptées : (4,2) · B(4;2) · B(4,2) · B = (4;2) · B = (4,2) · B : (4;2) · 4;2 · x = 4 ; y = 2 · x = 4 et y = 2 · x = 4, y = 2 · xB = 4 ; yB = 2 · x_B = 4 ; y_B = 2 · xB = 4 et yB = 2 · x_B = 4 et y_B = 2 · xB = 4, yB = 2 · x_B = 4, y_B = 2 · y = 2 ; x = 4 · y = 2 et x = 4 · y = 2, x = 4 · yB = 2 ; xB = 4 · y_B = 2 ; x_B = 4 · yB = 2 et xB = 4 · y_B = 2 et x_B = 4 · (x;y) = (4;2) · (x,y) = (4,2) · (xB;yB) = (4;2) · (x_B;y_B) = (4;2) · B(x = 4 ; y = 2) · 4 et 2 · (4 et 2) · B(4 et 2) · x = 4 y = 2 · xB = 4 yB = 2 · x_B = 4 y_B = 2 · (4;+2) · B(4;+2) · (+4;2) · (4.0;2) · (4;2.0) · (4,0;2)

Indices, dans l’ordre

  1. xB−xA=3x_B - x_A = 3 et yB−yA=−2y_B - y_A = -2 : deux petites équations.
  2. Partir de AA et ajouter les composantes : xB=xA+3.x_B = x_A + 3.

Correction

  1. L'abscisse — xB−1=3  ⟺  xB=4x_B - 1 = 3 \iff x_B = 4
  2. L'ordonnée — yB−4=−2  ⟺  yB=2y_B - 4 = -2 \iff y_B = 2
  3. B(4 ;2)B(4\,;2)

Coordonnées de l'arrivée == coordonnées du départ ++ composantes du vecteur. On avance de 33 et on descend de 2.2.

Pièges anticipés

  • (-2;6) / (-2,6) / B(-2;6) / B(-2,6) / B = (-2;6) / -2;6 / x = -2 ; y = 6 / x = -2 et y = 6 / x = -2, y = 6 / xB = -2 ; yB = 6 / x_B = -2 ; y_B = 6 / (x;y) = (-2;6) / -2 et 6 / (-2 et 6) / B(-2 et 6) / x = -2 y = 6 / xB = -2 yB = 6 / x_B = -2 y_B = 6 → Tu as retranché les composantes : tu as trouvé le point CC tel que CA→=AB→.\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB}. Ici xB−xA=3,x_B - x_A = 3, donc xB=xA+3.x_B = x_A + 3.
  • (3;-2) / (3,-2) / B(3;-2) / B(3,-2) / B = (3;-2) / 3;-2 / x = 3 ; y = -2 / x = 3 et y = -2 / x = 3, y = -2 / xB = 3 ; yB = -2 / x_B = 3 ; y_B = -2 / (x;y) = (3;-2) / 3 et -2 / (3 et -2) / B(3 et -2) / x = 3 y = -2 / xB = 3 yB = -2 / x_B = 3 y_B = -2 → (3 ;−2),(3\,;-2), ce sont les composantes du vecteur, pas les coordonnées de B.B. Il faut partir de A.A.

Exercice 45 · pratique

Deux vecteurs égaux

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−1 ;2),A(-1\,;2), B(3 ;5)B(3\,;5) et C(0 ;−4).C(0\,;-4).

Déterminer les coordonnées du point DD tel que CD→=AB→.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.

Écrire le couple de coordonnées de D,D, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (4;-1) — aussi acceptées : (4,-1) · D(4;-1) · D(4,-1) · D = (4;-1) · D = (4,-1) · D : (4;-1) · 4;-1 · x = 4 ; y = -1 · x = 4 et y = -1 · x = 4, y = -1 · xD = 4 ; yD = -1 · x_D = 4 ; y_D = -1 · xD = 4 et yD = -1 · x_D = 4 et y_D = -1 · xD = 4, yD = -1 · x_D = 4, y_D = -1 · y = -1 ; x = 4 · y = -1 et x = 4 · y = -1, x = 4 · yD = -1 ; xD = 4 · y_D = -1 ; x_D = 4 · yD = -1 et xD = 4 · y_D = -1 et x_D = 4 · (x;y) = (4;-1) · (x,y) = (4,-1) · (xD;yD) = (4;-1) · (x_D;y_D) = (4;-1) · D(x = 4 ; y = -1) · 4 et -1 · (4 et -1) · D(4 et -1) · x = 4 y = -1 · xD = 4 yD = -1 · x_D = 4 y_D = -1 · (+4;-1) · (4.0;-1) · (4;-1.0) · (4,0;-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord les composantes de AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. CD→\overrightarrow{CD} a les mêmes composantes : xD−xC=4x_D - x_C = 4 et yD−yC=3.y_D - y_C = 3.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→(3−(−1)5−2)=(43)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. Mêmes composantes — xD−0=4;yD−(−4)=3x_D - 0 = 4 \quad ; \quad y_D - (-4) = 3
  3. D(4 ;−1)D(4\,;-1)

Deux vecteurs sont égaux exactement quand ils ont les mêmes composantes. Ici ABDCABDC est un parallélogramme.

Pièges anticipés

  • (-4;-7) / (-4,-7) / D(-4;-7) / D(-4,-7) / D = (-4;-7) / -4;-7 / x = -4 ; y = -7 / x = -4 et y = -7 / x = -4, y = -7 / xD = -4 ; yD = -7 / x_D = -4 ; y_D = -7 / (x;y) = (-4;-7) / -4 et -7 / (-4 et -7) / D(-4 et -7) / x = -4 y = -7 / xD = -4 yD = -7 / x_D = -4 y_D = -7 → Tu as retranché les composantes à CC : c'est le point DD tel que DC→=AB→.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}. Ici le vecteur part de CC : xD=xC+4.x_D = x_C + 4.
  • (4;7) / (4,7) / D(4;7) / D(4,7) / D = (4;7) / 4;7 / x = 4 ; y = 7 / x = 4 et y = 7 / x = 4, y = 7 / xD = 4 ; yD = 7 / x_D = 4 ; y_D = 7 / (x;y) = (4;7) / 4 et 7 / (4 et 7) / D(4 et 7) / x = 4 y = 7 / xD = 4 yD = 7 / x_D = 4 y_D = 7 → yD−yC=3y_D - y_C = 3 avec yC=−4y_C = -4 : yD=−4+3=−1.y_D = -4 + 3 = -1.

Exercice 46 · pratique

Une somme de vecteurs

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;2),A(1\,;2), B(4 ;−1)B(4\,;-1) et C(0 ;3).C(0\,;3).

Calculer les composantes du vecteur u→=AB→+BC→.\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

Écrire le couple de composantes de u→,\overrightarrow{u}, entre parenthèses, la première composante d'abord.

Réponse attendue : (-1;1) — aussi acceptées : (-1,1) · -1;1 · -1 et 1 · (-1 et 1) · u(-1;1) · u(-1,1) · u = (-1;1) · u = (-1,1) · vecteur u(-1;1) · vecteur u = (-1;1) · (-1 ; 1) · (-1;+1)

Indices, dans l’ordre

  1. Deux méthodes : additionner les composantes de AB→\overrightarrow{AB} et de BC→,\overrightarrow{BC}, ou reconnaître une relation de Chasles.
  2. AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Correction

  1. Chasles — u→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
  2. Arrivée moins départ — AC→(0−13−2)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix}
  3. u→(−11)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}

Vérification par les composantes : AB→(3−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} et BC→(−44)\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \end{pmatrix} ont pour somme (−11).\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}. Les composantes d'une somme sont les sommes des composantes.

Pièges anticipés

  • (7;-7) / (7,-7) / 7;-7 / 7 et -7 / (7 et -7) / u(7;-7) / u(7,-7) / u = (7;-7) → Tu as calculé AB→−BC→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}. On additionne : 3+(−4)3 + (-4) et −3+4.-3 + 4.
  • (3;-3) / (3,-3) / 3;-3 / 3 et -3 / (3 et -3) / u(3;-3) / u(3,-3) / u = (3;-3) → Ce sont les composantes de AB→\overrightarrow{AB} seul. Il reste à ajouter celles de BC→.\overrightarrow{BC}.

Exercice 47 · pratique

Le double de BA

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−1 ;3)A(-1\,;3) et B(2 ;−1).B(2\,;-1).

Déterminer les coordonnées du point CC tel que OC→=2 BA→.\overrightarrow{OC} = 2\,\overrightarrow{BA}.

Écrire le couple de coordonnées de C,C, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-6;8) — aussi acceptées : (-6,8) · C(-6;8) · C(-6,8) · C = (-6;8) · C = (-6,8) · C : (-6;8) · -6;8 · x = -6 ; y = 8 · x = -6 et y = 8 · x = -6, y = 8 · xC = -6 ; yC = 8 · x_C = -6 ; y_C = 8 · xC = -6 et yC = 8 · x_C = -6 et y_C = 8 · xC = -6, yC = 8 · x_C = -6, y_C = 8 · y = 8 ; x = -6 · y = 8 et x = -6 · y = 8, x = -6 · yC = 8 ; xC = -6 · y_C = 8 ; x_C = -6 · yC = 8 et xC = -6 · y_C = 8 et x_C = -6 · (x;y) = (-6;8) · (x,y) = (-6,8) · (xC;yC) = (-6;8) · (x_C;y_C) = (-6;8) · C(x = -6 ; y = 8) · -6 et 8 · (-6 et 8) · C(-6 et 8) · x = -6 y = 8 · xC = -6 yC = 8 · x_C = -6 y_C = 8 · (-6;+8) · C(-6;+8) · (-6.0;8) · (-6;8.0) · (-6,0;8)

Indices, dans l’ordre

  1. Les coordonnées de CC sont les composantes de OC→.\overrightarrow{OC}. Commence par BA→\overrightarrow{BA} : il part de B.B.
  2. BA→(−34).\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}. Multiplier un vecteur par 2,2, c'est multiplier ses deux composantes par 2.2.

Correction

  1. Le vecteur BA — BA→(−1−23−(−1))=(−34)\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}
  2. Le double — 2 BA→(−68)2\,\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix}
  3. C(−6 ;8)C(-6\,;8)

Les coordonnées d'un point CC sont exactement les composantes de OC→.\overrightarrow{OC}. Et les composantes de k u→k\,\overrightarrow{u} sont celles de u→\overrightarrow{u} multipliées par k.k.

Pièges anticipés

  • (6;-8) / (6,-8) / C(6;-8) / C(6,-8) / C = (6;-8) / 6;-8 / x = 6 ; y = -8 / x = 6 et y = -8 / x = 6, y = -8 / xC = 6 ; yC = -8 / x_C = 6 ; y_C = -8 / (x;y) = (6;-8) / 6 et -8 / (6 et -8) / C(6 et -8) / x = 6 y = -8 / xC = 6 yC = -8 / x_C = 6 y_C = -8 → Tu as utilisé AB→.\overrightarrow{AB}. Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} part de BB et arrive en AA : xA−xB.x_A - x_B.
  • (-3;4) / (-3,4) / C(-3;4) / C(-3,4) / C = (-3;4) / -3;4 / x = -3 ; y = 4 / x = -3 et y = 4 / x = -3, y = 4 / xC = -3 ; yC = 4 / x_C = -3 ; y_C = 4 / (x;y) = (-3;4) / -3 et 4 / (-3 et 4) / C(-3 et 4) / x = -3 y = 4 / xC = -3 yC = 4 / x_C = -3 y_C = 4 → Ce sont les composantes de BA→.\overrightarrow{BA}. Il reste à les multiplier par 2.2.

Exercice 48 · pratique

Faire glisser un point

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;1),A(2\,;1), B(5 ;−1)B(5\,;-1) et E(−3 ;4).E(-3\,;4).

Déterminer les coordonnées du point FF tel que EF→=AB→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} (FF est l'image de EE par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}).

Écrire le couple de coordonnées de F,F, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (0;2) — aussi acceptées : (0,2) · F(0;2) · F(0,2) · F = (0;2) · F = (0,2) · F : (0;2) · 0;2 · x = 0 ; y = 2 · x = 0 et y = 2 · x = 0, y = 2 · xF = 0 ; yF = 2 · x_F = 0 ; y_F = 2 · xF = 0 et yF = 2 · x_F = 0 et y_F = 2 · xF = 0, yF = 2 · x_F = 0, y_F = 2 · y = 2 ; x = 0 · y = 2 et x = 0 · y = 2, x = 0 · yF = 2 ; xF = 0 · y_F = 2 ; x_F = 0 · yF = 2 et xF = 0 · y_F = 2 et x_F = 0 · (x;y) = (0;2) · (x,y) = (0,2) · (xF;yF) = (0;2) · (x_F;y_F) = (0;2) · F(x = 0 ; y = 2) · 0 et 2 · (0 et 2) · F(0 et 2) · x = 0 y = 2 · xF = 0 yF = 2 · x_F = 0 y_F = 2 · (0;+2) · F(0;+2) · (0.0;2) · (0;2.0) · (0,0;2)

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les composantes de AB→\overrightarrow{AB} : de combien avance-t-on, de combien monte-t-on ?
  2. EF→\overrightarrow{EF} a les mêmes composantes : xF=xE+3x_F = x_E + 3 et yF=yE−2.y_F = y_E - 2.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→(3−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
  2. Le même déplacement — xF=−3+3;yF=4−2x_F = -3 + 3 \quad ; \quad y_F = 4 - 2
  3. F(0 ;2)F(0\,;2)

Glisser un point selon un vecteur, c'est ajouter les composantes du vecteur à ses coordonnées.

Pièges anticipés

  • (-6;6) / (-6,6) / F(-6;6) / F(-6,6) / F = (-6;6) / -6;6 / x = -6 ; y = 6 / x = -6 et y = 6 / x = -6, y = 6 / xF = -6 ; yF = 6 / x_F = -6 ; y_F = 6 / (x;y) = (-6;6) / -6 et 6 / (-6 et 6) / F(-6 et 6) / x = -6 y = 6 / xF = -6 yF = 6 / x_F = -6 y_F = 6 → Tu as retranché les composantes de AB→.\overrightarrow{AB}. De EE vers F,F, on fait le même déplacement que de AA vers BB : on ajoute.
  • (3;-2) / (3,-2) / F(3;-2) / F(3,-2) / F = (3;-2) / 3;-2 / x = 3 ; y = -2 / x = 3 et y = -2 / x = 3, y = -2 / xF = 3 ; yF = -2 / x_F = 3 ; y_F = -2 / (x;y) = (3;-2) / 3 et -2 / (3 et -2) / F(3 et -2) / x = 3 y = -2 / xF = 3 yF = -2 / x_F = 3 y_F = -2 → Ce sont les composantes de AB→.\overrightarrow{AB}. Il faut partir de E.E.

Exercice 49 · raisonnement

Deux inconnues

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;2),A(1\,;2), B(m ;5),B(m\,;5), C(6 ;n)C(6\,;n) et D(2 ;1),D(2\,;1), où mm et nn sont des réels.

Déterminer mm et nn pour que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Écrire le couple (m ;n),(m\,;n), entre parenthèses, mm d'abord.

Réponse attendue : (5;4) — aussi acceptées : (5,4) · 5;4 · m = 5 ; n = 4 · m = 5 et n = 4 · m = 5, n = 4 · m = 5 n = 4 · n = 4 ; m = 5 · n = 4 et m = 5 · n = 4, m = 5 · (m;n) = (5;4) · (m,n) = (5,4) · 5 et 4 · (5 et 4)

Indices, dans l’ordre

  1. ABCDABCD est un parallélogramme lorsque AB→=DC→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Attention à l'ordre des lettres.
  2. AB→(m−13)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} m - 1 \\ 3 \end{pmatrix} et DC→(4n−1)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 4 \\ n - 1 \end{pmatrix} : écris l'égalité ligne par ligne.

Correction

  1. Les composantes — AB→(m−13);DC→(6−2n−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} m - 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 6 - 2 \\ n - 1 \end{pmatrix}
  2. Vecteurs égaux — m−1=4;3=n−1m - 1 = 4 \quad ; \quad 3 = n - 1
  3. m=5;n=4m = 5 \quad ; \quad n = 4

Une égalité de vecteurs donne deux équations, une par axe : c'est ce qui permet de trouver deux inconnues. Vérification : AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} valent tous deux (43).\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}.

Pièges anticipés

  • (-3;-2) / (-3,-2) / -3;-2 / m = -3 ; n = -2 / m = -3 et n = -2 / m = -3, n = -2 / (m;n) = (-3;-2) / -3 et -2 → Tu as écrit AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, on parcourt les sommets dans l'ordre : c'est AB→=DC→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.
  • (4;5) / (4,5) / 4;5 / m = 4 ; n = 5 / m = 4 et n = 5 / m = 4, n = 5 / (m;n) = (4;5) / 4 et 5 → Tes deux nombres sont dans le désordre : on demande d'abord m,m, puis n.n.

Exercice 50 · raisonnement

Une somme à simplifier

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;−1),A(2\,;-1), B(3 ;2),B(3\,;2), C(0 ;4)C(0\,;4) et E(−5 ;1).E(-5\,;1).

Déterminer les coordonnées du point HH tel que EH→=BA→+CB→.\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}.

Écrire le couple de coordonnées de H,H, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-3;-4) — aussi acceptées : (-3,-4) · H(-3;-4) · H(-3,-4) · H = (-3;-4) · H = (-3,-4) · H : (-3;-4) · -3;-4 · x = -3 ; y = -4 · x = -3 et y = -4 · x = -3, y = -4 · xH = -3 ; yH = -4 · x_H = -3 ; y_H = -4 · xH = -3 et yH = -4 · x_H = -3 et y_H = -4 · xH = -3, yH = -4 · x_H = -3, y_H = -4 · y = -4 ; x = -3 · y = -4 et x = -3 · y = -4, x = -3 · yH = -4 ; xH = -3 · y_H = -4 ; x_H = -3 · yH = -4 et xH = -3 · y_H = -4 et x_H = -3 · (x;y) = (-3;-4) · (x,y) = (-3,-4) · (xH;yH) = (-3;-4) · (x_H;y_H) = (-3;-4) · H(x = -3 ; y = -4) · -3 et -4 · (-3 et -4) · H(-3 et -4) · x = -3 y = -4 · xH = -3 yH = -4 · x_H = -3 y_H = -4 · (-3.0;-4) · (-3;-4.0) · (-3,0;-4)

Indices, dans l’ordre

  1. Réordonne la somme : CB→+BA→.\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}. La relation de Chasles la simplifie en un seul vecteur.
  2. CB→+BA→=CA→.\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}. Calcule ses composantes, puis pars de E.E.

Correction

  1. Chasles — BA→+CB→=CB→+BA→=CA→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}
  2. Le vecteur CA — CA→(2−0−1−4)=(2−5)\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} 2 - 0 \\ -1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}
  3. Partir de E — xH=−5+2;yH=1−5x_H = -5 + 2 \quad ; \quad y_H = 1 - 5
  4. H(−3 ;−4)H(-3\,;-4)

Avant de calculer, simplifie : CB→+BA→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} se lit « de CC à B,B, puis de BB à AA », c'est-à-dire de CC à A.A. Puis, coordonnées de l'arrivée == départ ++ composantes.

Pièges anticipés

  • (2;-5) / (2,-5) / H(2;-5) / H(2,-5) / H = (2;-5) / 2;-5 / x = 2 ; y = -5 / x = 2 et y = -5 / x = 2, y = -5 / xH = 2 ; yH = -5 / x_H = 2 ; y_H = -5 / (x;y) = (2;-5) / 2 et -5 / (2 et -5) / H(2 et -5) / x = 2 y = -5 / xH = 2 yH = -5 / x_H = 2 y_H = -5 → (2 ;−5),(2\,;-5), ce sont les composantes de EH→.\overrightarrow{EH}. Le point HH s'obtient en partant de EE : xH=xE+2.x_H = x_E + 2.
  • (-9;0) / (-9,0) / H(-9;0) / H(-9,0) / H = (-9;0) / -9;0 / x = -9 ; y = 0 / x = -9 et y = 0 / x = -9, y = 0 / xH = -9 ; yH = 0 / x_H = -9 ; y_H = 0 / (x;y) = (-9;0) / -9 et 0 / (-9 et 0) / H(-9 et 0) / x = -9 y = 0 / xH = -9 yH = 0 / x_H = -9 y_H = 0 → Tu as utilisé BC→\overrightarrow{BC} au lieu de CB→.\overrightarrow{CB}. Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} part de CC : CB→(3−2).\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}.

Exercice 51 · defi

Trois vecteurs de somme nulle

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;1),A(1\,;1), B(5 ;2)B(5\,;2) et C(3 ;6).C(3\,;6).

Déterminer les coordonnées du point GG tel que GA→+GB→+GC→=0→.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

Écrire le couple de coordonnées de G,G, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (3;3) — aussi acceptées : (3,3) · G(3;3) · G(3,3) · G = (3;3) · G = (3,3) · G : (3;3) · 3;3 · x = 3 ; y = 3 · x = 3 et y = 3 · x = 3, y = 3 · xG = 3 ; yG = 3 · x_G = 3 ; y_G = 3 · xG = 3 et yG = 3 · x_G = 3 et y_G = 3 · xG = 3, yG = 3 · x_G = 3, y_G = 3 · y = 3 ; x = 3 · y = 3 et x = 3 · y = 3, x = 3 · yG = 3 ; xG = 3 · y_G = 3 ; x_G = 3 · yG = 3 et xG = 3 · y_G = 3 et x_G = 3 · (x;y) = (3;3) · (x,y) = (3,3) · (xG;yG) = (3;3) · (x_G;y_G) = (3;3) · G(x = 3 ; y = 3) · 3 et 3 · (3 et 3) · G(3 et 3) · x = 3 y = 3 · xG = 3 yG = 3 · x_G = 3 y_G = 3 · (3;+3) · G(3;+3) · (+3;3) · (3.0;3) · (3;3.0) · (3,0;3)

Indices, dans l’ordre

  1. Note G(x ;y).G(x\,;y). Écris les composantes de GA→,\overrightarrow{GA}, GB→\overrightarrow{GB} et GC→\overrightarrow{GC} en fonction de xx et y.y.
  2. La somme est nulle quand chaque composante est nulle : (1−x)+(5−x)+(3−x)=0,(1 - x) + (5 - x) + (3 - x) = 0, et de même pour les ordonnées.

Correction

  1. Les abscisses — (1−x)+(5−x)+(3−x)=0  ⟺  9−3x=0  ⟺  x=3(1 - x) + (5 - x) + (3 - x) = 0 \iff 9 - 3x = 0 \iff x = 3
  2. Les ordonnées — (1−y)+(2−y)+(6−y)=0  ⟺  9−3y=0  ⟺  y=3(1 - y) + (2 - y) + (6 - y) = 0 \iff 9 - 3y = 0 \iff y = 3
  3. G(3 ;3)G(3\,;3)

Le point GG a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des trois sommets : c'est le centre de gravité du triangle ABC.ABC. Un vecteur est nul exactement quand ses deux composantes sont nulles.

Pièges anticipés

  • (9;9) / (9,9) / G(9;9) / G(9,9) / G = (9;9) / 9;9 / x = 9 ; y = 9 / x = 9 et y = 9 / x = 9, y = 9 / xG = 9 ; yG = 9 / x_G = 9 ; y_G = 9 / (x;y) = (9;9) / 9 et 9 / (9 et 9) / G(9 et 9) / x = 9 y = 9 / xG = 9 yG = 9 / x_G = 9 y_G = 9 → Tu as trouvé 3x=93x = 9 et 3y=93y = 9 : il reste à diviser par 3.3.
  • (3;1.5) / (3,1.5) / G(3;1.5) / G(3,1.5) / G = (3;1.5) / 3;1.5 / x = 3 ; y = 1.5 / x = 3 et y = 1.5 / x = 3, y = 1.5 / xG = 3 ; yG = 1.5 / x_G = 3 ; y_G = 1.5 / (x;y) = (3;1.5) / 3 et 1.5 / (3 et 1.5) / G(3 et 1.5) / x = 3 y = 1.5 / xG = 3 yG = 1.5 / x_G = 3 y_G = 1.5 → C'est le milieu de [AB].[AB]. Le point cherché équilibre les trois sommets : la somme des trois vecteurs doit être nulle.

Exercice 52 · base

Les moyennes

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−3 ;6)A(-3\,;6) et B(9 ;−2).B(9\,;-2).

Calculer les coordonnées du milieu KK du segment [AB].[AB].

Écrire le couple de coordonnées de K,K, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (3;2) — aussi acceptées : (3,2) · K(3;2) · K(3,2) · K = (3;2) · K = (3,2) · K : (3;2) · 3;2 · x = 3 ; y = 2 · x = 3 et y = 2 · x = 3, y = 2 · xK = 3 ; yK = 2 · x_K = 3 ; y_K = 2 · xK = 3 et yK = 2 · x_K = 3 et y_K = 2 · xK = 3, yK = 2 · x_K = 3, y_K = 2 · y = 2 ; x = 3 · y = 2 et x = 3 · y = 2, x = 3 · yK = 2 ; xK = 3 · y_K = 2 ; x_K = 3 · yK = 2 et xK = 3 · y_K = 2 et x_K = 3 · (x;y) = (3;2) · (x,y) = (3,2) · (xK;yK) = (3;2) · (x_K;y_K) = (3;2) · K(x = 3 ; y = 2) · 3 et 2 · (3 et 2) · K(3 et 2) · x = 3 y = 2 · xK = 3 yK = 2 · x_K = 3 y_K = 2 · (3;+2) · K(3;+2) · (+3;2) · (3.0;2) · (3;2.0) · (3,0;2)

Indices, dans l’ordre

  1. Le milieu a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des extrémités.xK=xA+xB2;yK=yA+yB2x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2} \quad ; \quad y_K = \dfrac{y_A + y_B}{2}
  2. Attention aux signes : −3+9-3 + 9 et 6+(−2).6 + (-2).

Correction

  1. L'abscisse — xK=−3+92=62=3x_K = \dfrac{-3 + 9}{2} = \dfrac{6}{2} = 3
  2. L'ordonnée — yK=6+(−2)2=42=2y_K = \dfrac{6 + (-2)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2
  3. K(3 ;2)K(3\,;2)

Le milieu d'un segment, c'est la moyenne des coordonnées, axe par axe.

Pièges anticipés

  • (6;-4) / (6,-4) / K(6;-4) / K(6,-4) / K = (6;-4) / 6;-4 / x = 6 ; y = -4 / x = 6 et y = -4 / x = 6, y = -4 / xK = 6 ; yK = -4 / x_K = 6 ; y_K = -4 / (x;y) = (6;-4) / 6 et -4 / (6 et -4) / K(6 et -4) / x = 6 y = -4 / xK = 6 yK = -4 / x_K = 6 y_K = -4 → Tu as pris la moitié des différences : c'est la moitié du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, pas un point. Le milieu, c'est la moyenne : on additionne.
  • (6;4) / (6,4) / K(6;4) / K(6,4) / K = (6;4) / 6;4 / x = 6 ; y = 4 / x = 6 et y = 4 / x = 6, y = 4 / xK = 6 ; yK = 4 / x_K = 6 ; y_K = 4 / (x;y) = (6;4) / 6 et 4 / (6 et 4) / K(6 et 4) / x = 6 y = 4 / xK = 6 yK = 4 / x_K = 6 y_K = 4 → Tu as additionné sans diviser par 2.2.
  • (2;3) / (2,3) / K(2;3) / K(2,3) / K = (2;3) / 2;3 / x = 2 ; y = 3 / x = 2 et y = 3 / x = 2, y = 3 / xK = 2 ; yK = 3 / x_K = 2 ; y_K = 3 / (x;y) = (2;3) / 2 et 3 / (2 et 3) / K(2 et 3) / x = 2 y = 3 / xK = 2 yK = 3 / x_K = 2 y_K = 3 → Tes deux nombres sont dans le désordre : l'abscisse vient en premier.

Exercice 53 · base

Symétrique par rapport à l'origine

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne le point A(4 ;−2).A(4\,;-2).

Déterminer les coordonnées du point A′,A', symétrique de AA par rapport à l'origine O.O.

Écrire le couple de coordonnées de A′,A', entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-4;2) — aussi acceptées : (-4,2) · A'(-4;2) · A'(-4,2) · A' = (-4;2) · A' = (-4,2) · A' : (-4;2) · -4;2 · x = -4 ; y = 2 · x = -4 et y = 2 · x = -4, y = 2 · xA' = -4 ; yA' = 2 · x_A' = -4 ; y_A' = 2 · xA' = -4 et yA' = 2 · x_A' = -4 et y_A' = 2 · xA' = -4, yA' = 2 · x_A' = -4, y_A' = 2 · y = 2 ; x = -4 · y = 2 et x = -4 · y = 2, x = -4 · yA' = 2 ; xA' = -4 · y_A' = 2 ; x_A' = -4 · yA' = 2 et xA' = -4 · y_A' = 2 et x_A' = -4 · (x;y) = (-4;2) · (x,y) = (-4,2) · (xA';yA') = (-4;2) · (x_A';y_A') = (-4;2) · A'(x = -4 ; y = 2) · -4 et 2 · (-4 et 2) · A'(-4 et 2) · x = -4 y = 2 · xA' = -4 yA' = 2 · x_A' = -4 y_A' = 2 · (-4;+2) · A'(-4;+2) · (-4.0;2) · (-4;2.0) · (-4,0;2)

Indices, dans l’ordre

  1. OO est le milieu de [AA′][AA'] : la moyenne des coordonnées de AA et de A′A' vaut 0.0.
  2. xA′=2 xO−xA,x_{A'} = 2\,x_O - x_A, et de même pour l'ordonnée.

Correction

  1. Le milieu est O — 4+xA′2=0;−2+yA′2=0\dfrac{4 + x_{A'}}{2} = 0 \quad ; \quad \dfrac{-2 + y_{A'}}{2} = 0
  2. A′(−4 ;2)A'(-4\,;2)

Le symétrique d'un point par rapport à l'origine a des coordonnées opposées : A(x ;y)A(x\,;y) donne A′(−x ;−y).A'(-x\,;-y).

Pièges anticipés

  • (2;-1) / (2,-1) / A'(2;-1) / A'(2,-1) / A' = (2;-1) / 2;-1 / x = 2 ; y = -1 / x = 2 et y = -1 / x = 2, y = -1 / xA' = 2 ; yA' = -1 / x_A' = 2 ; y_A' = -1 / (x;y) = (2;-1) / 2 et -1 / (2 et -1) / A'(2 et -1) / x = 2 y = -1 / xA' = 2 yA' = -1 / x_A' = 2 y_A' = -1 → Tu as calculé le milieu de [OA].[OA]. Ici, c'est OO qui est le milieu : A′A' est de l'autre côté, à la même distance.
  • (-4;-2) / (-4,-2) / A'(-4;-2) / A'(-4,-2) / A' = (-4;-2) / -4;-2 / x = -4 ; y = -2 / x = -4 et y = -2 / x = -4, y = -2 / xA' = -4 ; yA' = -2 / x_A' = -4 ; y_A' = -2 / (x;y) = (-4;-2) / -4 et -2 / (-4 et -2) / A'(-4 et -2) / x = -4 y = -2 / xA' = -4 yA' = -2 / x_A' = -4 y_A' = -2 → Les deux coordonnées changent de signe : l'ordonnée de A′A' est 2.2.

Exercice 54 · pratique

L'autre extrémité du segment

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(5 ;1)A(5\,;1) et K(2 ;−3).K(2\,;-3).

Déterminer les coordonnées du point BB tel que KK soit le milieu du segment [AB].[AB].

Écrire le couple de coordonnées de B,B, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-1;-7) — aussi acceptées : (-1,-7) · B(-1;-7) · B(-1,-7) · B = (-1;-7) · B = (-1,-7) · B : (-1;-7) · -1;-7 · x = -1 ; y = -7 · x = -1 et y = -7 · x = -1, y = -7 · xB = -1 ; yB = -7 · x_B = -1 ; y_B = -7 · xB = -1 et yB = -7 · x_B = -1 et y_B = -7 · xB = -1, yB = -7 · x_B = -1, y_B = -7 · y = -7 ; x = -1 · y = -7 et x = -1 · y = -7, x = -1 · yB = -7 ; xB = -1 · y_B = -7 ; x_B = -1 · yB = -7 et xB = -1 · y_B = -7 et x_B = -1 · (x;y) = (-1;-7) · (x,y) = (-1,-7) · (xB;yB) = (-1;-7) · (x_B;y_B) = (-1;-7) · B(x = -1 ; y = -7) · -1 et -7 · (-1 et -7) · B(-1 et -7) · x = -1 y = -7 · xB = -1 yB = -7 · x_B = -1 y_B = -7 · (-1.0;-7) · (-1;-7.0) · (-1,0;-7)

Indices, dans l’ordre

  1. KK est le milieu de [AB][AB] : xK=xA+xB2.x_K = \dfrac{x_A + x_B}{2}. L'inconnue est xBx_B ; de même pour l'ordonnée.
  2. xB=2 xK−xAx_B = 2\,x_K - x_A et yB=2 yK−yA.y_B = 2\,y_K - y_A.

Correction

  1. L'abscisse — xB=2×2−5=−1x_B = 2 \times 2 - 5 = -1
  2. L'ordonnée — yB=2×(−3)−1=−7y_B = 2 \times (-3) - 1 = -7
  3. B(−1 ;−7)B(-1\,;-7)

Vérification : de AA à K,K, on recule de 33 et on descend de 44 ; de KK à BB aussi. BB est le symétrique de AA par rapport à K.K.

Pièges anticipés

  • (8;5) / (8,5) / B(8;5) / B(8,5) / B = (8;5) / 8;5 / x = 8 ; y = 5 / x = 8 et y = 5 / x = 8, y = 5 / xB = 8 ; yB = 5 / x_B = 8 ; y_B = 5 / (x;y) = (8;5) / 8 et 5 / (8 et 5) / B(8 et 5) / x = 8 y = 5 / xB = 8 yB = 5 / x_B = 8 y_B = 5 → Tu as calculé 2 xA−xK2\,x_A - x_K : c'est le symétrique de KK par rapport à A.A. Ici KK est le milieu : xB=2 xK−xA.x_B = 2\,x_K - x_A.
  • (-3;-4) / (-3,-4) / B(-3;-4) / B(-3,-4) / B = (-3;-4) / -3;-4 / x = -3 ; y = -4 / x = -3 et y = -4 / x = -3, y = -4 / xB = -3 ; yB = -4 / x_B = -3 ; y_B = -4 / (x;y) = (-3;-4) / -3 et -4 / (-3 et -4) / B(-3 et -4) / x = -3 y = -4 / xB = -3 yB = -4 / x_B = -3 y_B = -4 → (−3 ;−4),(-3\,;-4), ce sont les composantes de AK→.\overrightarrow{AK}. Le point BB s'obtient en refaisant ce déplacement à partir de K.K.

Exercice 55 · pratique

Deux inconnues au milieu

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points M(a ;2)M(a\,;2) et N(4 ;b),N(4\,;b), où aa et bb sont des réels. Le milieu du segment [MN][MN] est le point K(1 ;−1).K(1\,;-1).

Déterminer aa et b.b.

Écrire le couple (a ;b),(a\,;b), entre parenthèses, aa d'abord.

Réponse attendue : (-2;-4) — aussi acceptées : (-2,-4) · -2;-4 · a = -2 ; b = -4 · a = -2 et b = -4 · a = -2, b = -4 · a = -2 b = -4 · b = -4 ; a = -2 · b = -4 et a = -2 · b = -4, a = -2 · (a;b) = (-2;-4) · (a,b) = (-2,-4) · -2 et -4 · (-2 et -4)

Indices, dans l’ordre

  1. Écris la formule du milieu pour chaque coordonnée : a+42=1\dfrac{a + 4}{2} = 1 et 2+b2=−1.\dfrac{2 + b}{2} = -1.
  2. Multiplie chaque équation par 22 avant d'isoler l'inconnue.

Correction

  1. L'abscisse — a+42=1  ⟺  a+4=2  ⟺  a=−2\dfrac{a + 4}{2} = 1 \iff a + 4 = 2 \iff a = -2
  2. L'ordonnée — 2+b2=−1  ⟺  2+b=−2  ⟺  b=−4\dfrac{2 + b}{2} = -1 \iff 2 + b = -2 \iff b = -4
  3. a=−2;b=−4a = -2 \quad ; \quad b = -4

Vérification : le milieu de M(−2 ;2)M(-2\,;2) et N(4 ;−4)N(4\,;-4) est bien K(1 ;−1).K(1\,;-1). On peut aussi utiliser directement a=2 xK−xN.a = 2\,x_K - x_N.

Pièges anticipés

  • (-3;-3) / (-3,-3) / -3;-3 / a = -3 ; b = -3 / a = -3 et b = -3 / a = -3, b = -3 / (a;b) = (-3;-3) / -3 et -3 → Tu as écrit a+4=1a + 4 = 1 : tu as oublié le dénominateur 2.2. La somme des deux coordonnées vaut le double de celle du milieu.

Exercice 56 · raisonnement

La droite des milieux

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;2),A(1\,;2), B(5 ;4)B(5\,;4) et C(3 ;−2).C(3\,;-2). On note II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC].[AC].

Déterminer le réel kk tel que IJ→=k BC→.\overrightarrow{IJ} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de kk : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les coordonnées de II et de J,J, puis les composantes de IJ→\overrightarrow{IJ} et de BC→.\overrightarrow{BC}.
  2. I(3 ;3)I(3\,;3) et J(2 ;0).J(2\,;0). Compare les composantes de IJ→\overrightarrow{IJ} à celles de BC→\overrightarrow{BC} : par quoi a-t-on multiplié ?

Correction

  1. Les milieux — I(1+52 ;2+42)=I(3 ;3);J(1+32 ;2−22)=J(2 ;0)I\left(\dfrac{1 + 5}{2}\,;\dfrac{2 + 4}{2}\right) = I(3\,;3) \quad ; \quad J\left(\dfrac{1 + 3}{2}\,;\dfrac{2 - 2}{2}\right) = J(2\,;0)
  2. Les vecteurs — IJ→(−1−3);BC→(−2−6)\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}
  3. k=12k = \dfrac{1}{2}

On retrouve par le calcul le théorème de la droite des milieux : IJ→=12 BC→,\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}, donc (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC) et IJ=12 BC.IJ = \tfrac{1}{2}\,BC.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as trouvé BC→=2 IJ→.\overrightarrow{BC} = 2\,\overrightarrow{IJ}. La question est l'inverse : IJ→=k BC→,\overrightarrow{IJ} = k\,\overrightarrow{BC}, et IJ→\overrightarrow{IJ} est le plus petit des deux.

Exercice 57 · raisonnement

Le centre du parallélogramme

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), ABCDABCD est un parallélogramme de centre K(1 ;2).K(1\,;2). On donne A(−2 ;0)A(-2\,;0) et B(3 ;−1).B(3\,;-1).

Déterminer les coordonnées du sommet D.D.

Écrire le couple de coordonnées de D,D, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (-1;5) — aussi acceptées : (-1,5) · D(-1;5) · D(-1,5) · D = (-1;5) · D = (-1,5) · D : (-1;5) · -1;5 · x = -1 ; y = 5 · x = -1 et y = 5 · x = -1, y = 5 · xD = -1 ; yD = 5 · x_D = -1 ; y_D = 5 · xD = -1 et yD = 5 · x_D = -1 et y_D = 5 · xD = -1, yD = 5 · x_D = -1, y_D = 5 · y = 5 ; x = -1 · y = 5 et x = -1 · y = 5, x = -1 · yD = 5 ; xD = -1 · y_D = 5 ; x_D = -1 · yD = 5 et xD = -1 · y_D = 5 et x_D = -1 · (x;y) = (-1;5) · (x,y) = (-1,5) · (xD;yD) = (-1;5) · (x_D;y_D) = (-1;5) · D(x = -1 ; y = 5) · -1 et 5 · (-1 et 5) · D(-1 et 5) · x = -1 y = 5 · xD = -1 yD = 5 · x_D = -1 y_D = 5 · (-1;+5) · D(-1;+5) · (-1.0;5) · (-1;5.0) · (-1,0;5)

Indices, dans l’ordre

  1. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Quelle diagonale contient DD ?
  2. KK est le milieu de [BD][BD] : DD est le symétrique de BB par rapport à K.K.

Correction

  1. Les diagonales — Le centre KK est le milieu de [AC][AC] et de [BD].[BD]. Le sommet DD est l'autre extrémité de la diagonale issue de B.B.
  2. Le symétrique de B — xD=2×1−3=−1;yD=2×2−(−1)=5x_D = 2 \times 1 - 3 = -1 \quad ; \quad y_D = 2 \times 2 - (-1) = 5
  3. D(−1 ;5)D(-1\,;5)

Le même calcul donne C(4 ;4),C(4\,;4), symétrique de A.A. Vérification : AB→(5−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} et DC→(5−1)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} sont bien égaux.

Pièges anticipés

  • (4;4) / (4,4) / D(4;4) / D(4,4) / D = (4;4) / 4;4 / x = 4 ; y = 4 / x = 4 et y = 4 / x = 4, y = 4 / xD = 4 ; yD = 4 / x_D = 4 ; y_D = 4 / (x;y) = (4;4) / 4 et 4 / (4 et 4) / D(4 et 4) / x = 4 y = 4 / xD = 4 yD = 4 / x_D = 4 y_D = 4 → (4 ;4),(4\,;4), c'est le sommet C,C, symétrique de AA par rapport à K.K. Le sommet DD est sur l'autre diagonale, celle de B.B.
  • (-1;3) / (-1,3) / D(-1;3) / D(-1,3) / D = (-1;3) / -1;3 / x = -1 ; y = 3 / x = -1 et y = 3 / x = -1, y = 3 / xD = -1 ; yD = 3 / x_D = -1 ; y_D = 3 / (x;y) = (-1;3) / -1 et 3 / (-1 et 3) / D(-1 et 3) / x = -1 y = 3 / xD = -1 yD = 3 / x_D = -1 y_D = 3 → yD=2 yK−yB=4−(−1)=5y_D = 2\,y_K - y_B = 4 - (-1) = 5 : attention au signe de yB.y_B.

Exercice 58 · defi

Des milieux sur les axes

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;5),A(2\,;5), B(a ;−1)B(a\,;-1) et C(4 ;b).C(4\,;b). On sait que le milieu de [AB][AB] appartient à l'axe des ordonnées et que le milieu de [BC][BC] appartient à l'axe des abscisses.

Déterminer les coordonnées du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Écrire le couple de coordonnées de D,D, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (8;7) — aussi acceptées : (8,7) · D(8;7) · D(8,7) · D = (8;7) · D = (8,7) · D : (8;7) · 8;7 · x = 8 ; y = 7 · x = 8 et y = 7 · x = 8, y = 7 · xD = 8 ; yD = 7 · x_D = 8 ; y_D = 7 · xD = 8 et yD = 7 · x_D = 8 et y_D = 7 · xD = 8, yD = 7 · x_D = 8, y_D = 7 · y = 7 ; x = 8 · y = 7 et x = 8 · y = 7, x = 8 · yD = 7 ; xD = 8 · y_D = 7 ; x_D = 8 · yD = 7 et xD = 8 · y_D = 7 et x_D = 8 · (x;y) = (8;7) · (x,y) = (8,7) · (xD;yD) = (8;7) · (x_D;y_D) = (8;7) · D(x = 8 ; y = 7) · 8 et 7 · (8 et 7) · D(8 et 7) · x = 8 y = 7 · xD = 8 yD = 7 · x_D = 8 y_D = 7 · (8;+7) · D(8;+7) · (+8;7) · (8.0;7) · (8;7.0) · (8,0;7)

Indices, dans l’ordre

  1. Sur l'axe des ordonnées, l'abscisse est nulle : 2+a2=0.\dfrac{2 + a}{2} = 0. Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est nulle : −1+b2=0.\dfrac{-1 + b}{2} = 0.
  2. Tu obtiens B(−2 ;−1)B(-2\,;-1) et C(4 ;1).C(4\,;1). Pour le parallélogramme, [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.

Correction

  1. Les inconnues — 2+a=0  ⟺  a=−2;−1+b=0  ⟺  b=12 + a = 0 \iff a = -2 \quad ; \quad -1 + b = 0 \iff b = 1
  2. Le milieu de [AC] — K(2+42 ;5+12)=K(3 ;3)K\left(\dfrac{2 + 4}{2}\,;\dfrac{5 + 1}{2}\right) = K(3\,;3)
  3. Le symétrique de B — xD=2×3−(−2)=8;yD=2×3−(−1)=7x_D = 2 \times 3 - (-2) = 8 \quad ; \quad y_D = 2 \times 3 - (-1) = 7
  4. D(8 ;7)D(8\,;7)

Vérification : AB→(−4−6)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix} et DC→(−4−6).\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix}. Chaque condition « sur un axe » annule une coordonnée du milieu : celle de l'autre axe.

Pièges anticipés

  • (0;-5) / (0,-5) / D(0;-5) / D(0,-5) / D = (0;-5) / 0;-5 / x = 0 ; y = -5 / x = 0 et y = -5 / x = 0, y = -5 / xD = 0 ; yD = -5 / x_D = 0 ; y_D = -5 / (x;y) = (0;-5) / 0 et -5 / (0 et -5) / D(0 et -5) / x = 0 y = -5 / xD = 0 yD = -5 / x_D = 0 y_D = -5 → Tu as construit le parallélogramme ABDCABDC : D=B+C−A.D = B + C - A. Dans ABCD,ABCD, les sommets se suivent : DD est l'opposé de B,B, et AD→=BC→.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.
  • (4;5) / (4,5) / D(4;5) / D(4,5) / D = (4;5) / 4;5 / x = 4 ; y = 5 / x = 4 et y = 5 / x = 4, y = 5 / xD = 4 ; yD = 5 / x_D = 4 ; y_D = 5 / (x;y) = (4;5) / 4 et 5 / (4 et 5) / D(4 et 5) / x = 4 y = 5 / xD = 4 yD = 5 / x_D = 4 y_D = 5 → Vérifie aa et bb : 2+a=02 + a = 0 donne a=−2,a = -2, et −1+b=0-1 + b = 0 donne b=1.b = 1.

Exercice 59 · base

Le coefficient

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les vecteurs u→(2−3)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} et v→(−69).\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}.

Déterminer le réel kk tel que v→=k u→.\overrightarrow{v} = k\,\overrightarrow{u}.

Donner la valeur de kk : un nombre.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Les composantes de k u→k\,\overrightarrow{u} sont celles de u→\overrightarrow{u} multipliées par k.k. Par combien multiplie-t-on 22 pour obtenir −6-6 ?
  2. Vérifie avec la deuxième composante : le même kk doit transformer −3-3 en 9.9.

Correction

  1. Première composante — −6=k×2  ⟺  k=−3-6 = k \times 2 \iff k = -3
  2. Vérification — −3×(−3)=9-3 \times (-3) = 9
  3. k=−3k = -3

Le même coefficient marche pour les deux composantes : les vecteurs sont colinéaires. Le signe moins dit qu'ils sont de sens contraires.

Pièges anticipés

  • 3 → 3×2=6,3 \times 2 = 6, pas −6.-6. Les vecteurs sont de sens contraires : kk est négatif.
  • -1/3 → Tu as trouvé u→=−13 v→.\overrightarrow{u} = -\tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{v}. On cherche kk tel que v→=k u→.\overrightarrow{v} = k\,\overrightarrow{u}.

Exercice 60 · base

Compléter la proportion

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les vecteurs u→(46)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} et v→(6y),\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \\ y \end{pmatrix}, où yy est un réel.

Déterminer yy pour que u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} soient colinéaires.

Donner la valeur de yy : un nombre.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Colinéaires : les composantes sont proportionnelles. On le traduit par le produit en croix.x y′=x′ yx\,y' = x'\,y
  2. 4×y=6×6.4 \times y = 6 \times 6.

Correction

  1. Produit en croix — 4 y=6×6=364\,y = 6 \times 6 = 36
  2. y=9y = 9

Vérification : v→=32 u→,\overrightarrow{v} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{u}, car 32×4=6\tfrac{3}{2} \times 4 = 6 et 32×6=9.\tfrac{3}{2} \times 6 = 9. La proportionnalité se fait par multiplication, jamais par addition.

Pièges anticipés

  • 8 → Tu as ajouté 22 à chaque composante : 4+2=6,4 + 2 = 6, donc 6+2=8.6 + 2 = 8. Mais la colinéarité, c'est la proportionnalité : on multiplie, ici par 32.\tfrac{3}{2}.

Exercice 61 · pratique

Le test du produit en croix

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les vecteurs u→(25)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} et v→(37),\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}, et on note u→(xy),\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, v→(x′y′).\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}.

Calculer le nombre x y′−x′ y,x\,y' - x'\,y, qui permet de savoir si les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.

Donner la valeur de x y′−x′ yx\,y' - x'\,y : un nombre.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. x=2,x = 2, y=5,y = 5, x′=3,x' = 3, y′=7.y' = 7. On multiplie en diagonale.
  2. Les vecteurs sont colinéaires exactement quand ce nombre est nul.

Correction

  1. Les produits en croix — x y′=2×7=14;x′ y=3×5=15x\,y' = 2 \times 7 = 14 \quad ; \quad x'\,y = 3 \times 5 = 15
  2. x y′−x′ y=14−15=−1x\,y' - x'\,y = 14 - 15 = -1

Le nombre n'est pas nul : u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires. Les composantes semblent proches, mais seul le calcul tranche.

Pièges anticipés

  • 29 → Tu as additionné les deux produits. Le test de colinéarité est une différence : x y′−x′ y.x\,y' - x'\,y.
  • 1 → Tu as calculé x′ y−x y′.x'\,y - x\,y'. L'ordre compte pour le signe : x y′−x′ y=14−15.x\,y' - x'\,y = 14 - 15.

Exercice 62 · pratique

Trois points alignés ?

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−1 ;−1),A(-1\,;-1), B(1 ;3)B(1\,;3) et C(4 ;9).C(4\,;9).

Montrer que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, puis déterminer le réel kk tel que AC→=k AB→.\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de kk : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les composantes de AB→\overrightarrow{AB} et de AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. AB→(24)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} et AC→(510).\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}. Par combien faut-il multiplier 22 pour obtenir 55 ?

Correction

  1. Les composantes — AB→(24);AC→(510)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}
  2. Produit en croix — 2×10−5×4=02 \times 10 - 5 \times 4 = 0
  3. Les vecteurs sont colinéaires, et 5=k×2.5 = k \times 2.k=52k = \dfrac{5}{2}

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires : les points A,A, BB et CC sont alignés, et CC est deux fois et demie plus loin de AA que B.B.

Pièges anticipés

  • 2/5 / 0.4 → Tu as trouvé AB→=25 AC→.\overrightarrow{AB} = \tfrac{2}{5}\,\overrightarrow{AC}. On cherche kk tel que AC→=k AB→\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB} : k=52.k = \tfrac{5}{2}.

Exercice 63 · pratique

L'abscisse qui aligne

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;1),A(2\,;1), B(4 ;5)B(4\,;5) et C(x ;−3),C(x\,;-3), où xx est un réel.

Déterminer xx pour que les points A,A, BB et CC soient alignés.

Donner la valeur de xx : un nombre.

Réponse attendue : 0

Indices, dans l’ordre

  1. A,A, B,B, CC sont alignés quand AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  2. AB→(24)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} et AC→(x−2−4).\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x - 2 \\ -4 \end{pmatrix}. Écris le produit en croix.

Correction

  1. Les composantes — AB→(24);AC→(x−2−4)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x - 2 \\ -4 \end{pmatrix}
  2. Produit en croix — 2×(−4)=4 (x−2)  ⟺  x−2=−22 \times (-4) = 4\,(x - 2) \iff x - 2 = -2
  3. x=0x = 0

Vérification : avec x=0,x = 0, AC→(−2−4)=−AB→.\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix} = -\overrightarrow{AB}. Le point CC est de l'autre côté de AA : AA est le milieu de [BC].[BC].

Pièges anticipés

  • -2 → Tu as trouvé x−2=−2x - 2 = -2 : c'est la première composante de AC→.\overrightarrow{AC}. Il reste à ajouter 2.2.
  • 4 → La deuxième composante de AC→\overrightarrow{AC} est −3−1=−4,-3 - 1 = -4, négative : le produit en croix donne x−2=−2.x - 2 = -2.

Exercice 64 · raisonnement

Deux droites parallèles

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;2),A(1\,;2), B(3 ;6),B(3\,;6), C(0 ;−1)C(0\,;-1) et D(2 ;y),D(2\,;y), où yy est un réel.

Déterminer yy pour que les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) soient parallèles.

Donner la valeur de yy : un nombre.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles quand AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  2. AB→(24)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} et CD→(2y+1).\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ y + 1 \end{pmatrix}.

Correction

  1. Les composantes — AB→(24);CD→(2y−(−1))\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ y - (-1) \end{pmatrix}
  2. Produit en croix — 2 (y+1)=2×4  ⟺  y+1=42\,(y + 1) = 2 \times 4 \iff y + 1 = 4
  3. y=3y = 3

Ici les premières composantes sont égales, donc les vecteurs sont égaux : CD→=AB→,\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}, et ABDCABDC est même un parallélogramme. Le parallélisme de deux droites se lit sur la colinéarité de deux vecteurs.

Pièges anticipés

  • 4 → 44 est la deuxième composante de CD→,\overrightarrow{CD}, c'est-à-dire y+1.y + 1. Il reste à retirer 1.1.
  • 5 → Tu as écrit y−1.y - 1. L'ordonnée de CC est −1-1 : y−(−1)=y+1.y - (-1) = y + 1.

Exercice 65 · raisonnement

Couper l'axe des ordonnées

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(−2 ;1)A(-2\,;1) et B(4 ;4).B(4\,;4). La droite (AB)(AB) coupe l'axe des ordonnées au point M(0 ;y).M(0\,;y).

Déterminer y.y.

Donner la valeur de yy : un nombre.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. MM est sur la droite (AB)(AB) : les points A,A, BB et MM sont alignés.
  2. AB→(63)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} et AM→(2y−1)\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 2 \\ y - 1 \end{pmatrix} sont colinéaires : produit en croix.

Correction

  1. Les composantes — AB→(63);AM→(2y−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 2 \\ y - 1 \end{pmatrix}
  2. Produit en croix — 6 (y−1)=2×3  ⟺  y−1=16\,(y - 1) = 2 \times 3 \iff y - 1 = 1
  3. y=2y = 2

Un point de l'axe des ordonnées s'écrit M(0 ;y)M(0\,;y) : il ne reste qu'une inconnue, que l'alignement détermine.

Pièges anticipés

  • 1 → 1,1, c'est y−1,y - 1, la deuxième composante de AM→.\overrightarrow{AM}. Il reste à ajouter 1.1.
  • 5 → Ton produit en croix a mélangé les lignes : tu as écrit 6×2=3 (y−1).6 \times 2 = 3\,(y - 1). On multiplie en diagonale, l'abscisse de l'un par l'ordonnée de l'autre : 6×(y−1)=2×3.6 \times (y - 1) = 2 \times 3.

Exercice 66 · raisonnement

Couper l'axe des abscisses

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;3)A(1\,;3) et B(4 ;−3).B(4\,;-3). La droite (AB)(AB) coupe l'axe des abscisses au point M(x ;0).M(x\,;0).

Déterminer x.x.

Donner la valeur de xx : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5

Indices, dans l’ordre

  1. A,A, BB et MM sont alignés : AB→\overrightarrow{AB} et AM→\overrightarrow{AM} sont colinéaires.
  2. AB→(3−6)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} et AM→(x−1−3).\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ -3 \end{pmatrix}.

Correction

  1. Les composantes — AB→(3−6);AM→(x−1−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ -3 \end{pmatrix}
  2. Produit en croix — 3×(−3)=−6 (x−1)  ⟺  x−1=323 \times (-3) = -6\,(x - 1) \iff x - 1 = \dfrac{3}{2}
  3. x=52x = \dfrac{5}{2}

Vérification : AM→(32−3)=12 AB→\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -3 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} : MM est le milieu de [AB].[AB]. C'était visible : les ordonnées 33 et −3-3 sont opposées.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → 32,\tfrac{3}{2}, c'est x−1,x - 1, la première composante de AM→.\overrightarrow{AM}. Il reste à ajouter 1.1.

Exercice 67 · defi

Un paramètre au carré

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les vecteurs u→(m2)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix} et v→(8m),\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 8 \\ m \end{pmatrix}, où mm est un réel.

Déterminer toutes les valeurs de mm pour lesquelles u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires.

Écrire l'ensemble des valeurs de mm entre accolades, par exemple {-2;2}.

Réponse attendue : {-4;4} — aussi acceptées : {-4 ; 4} · -4;4 · {4;-4} · -4 et 4 · {-4,4} · m = -4 ou m = 4 · -4 ou 4

Indices, dans l’ordre

  1. Produit en croix : m×m=8×2.m \times m = 8 \times 2.
  2. m2=16m^2 = 16 a deux solutions.

Correction

  1. Produit en croix — m×m−8×2=0  ⟺  m2=16m \times m - 8 \times 2 = 0 \iff m^2 = 16
  2. Deux solutions — m2−16=(m−4)(m+4)=0m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4) = 0
  3. m=4oum=−4m = 4 \quad \text{ou} \quad m = -4

Pour m=4,m = 4, v→=2 u→\overrightarrow{v} = 2\,\overrightarrow{u} ; pour m=−4,m = -4, u→(−42)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} et v→(8−4),\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}, et v→=−2 u→.\overrightarrow{v} = -2\,\overrightarrow{u}. Une équation m2=16m^2 = 16 a deux solutions opposées.

Pièges anticipés

  • {4} / 4 → Il y a une autre valeur : (−4)2=16(-4)^2 = 16 aussi. Pour m=−4,m = -4, v→=−2 u→.\overrightarrow{v} = -2\,\overrightarrow{u}.
  • {16} / 16 → 1616 est la valeur de m2.m^2. On cherche mm : les nombres dont le carré vaut 16.16.

Exercice 68 · defi

Aligner trois points mobiles

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(m ;1),A(m\,;1), B(2 ;m)B(2\,;m) et C(5 ;−3),C(5\,;-3), où mm est un réel.

Déterminer toutes les valeurs de mm pour lesquelles les points A,A, BB et CC sont alignés.

Écrire l'ensemble des valeurs de mm entre accolades, par exemple {-2;2}.

Réponse attendue : {-1;3} — aussi acceptées : {-1 ; 3} · -1;3 · {3;-1} · -1 et 3 · {-1,3} · m = -1 ou m = 3 · -1 ou 3

Indices, dans l’ordre

  1. AB→(2−mm−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 - m \\ m - 1 \end{pmatrix} et AC→(5−m−4)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 - m \\ -4 \end{pmatrix} doivent être colinéaires.
  2. Le produit en croix donne −4 (2−m)=(5−m)(m−1).-4\,(2 - m) = (5 - m)(m - 1). Développe et ramène tout d'un côté : tu obtiens m2−2m−3=0.m^2 - 2m - 3 = 0.
  3. Factorise m2−2m−3m^2 - 2m - 3 : cherche deux nombres de produit −3-3 et de somme −2.-2.

Correction

  1. Les composantes — AB→(2−mm−1);AC→(5−m−4)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 - m \\ m - 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 5 - m \\ -4 \end{pmatrix}
  2. Produit en croix — (2−m)×(−4)=(5−m)(m−1)(2 - m) \times (-4) = (5 - m)(m - 1)
  3. Développer — −8+4m=−m2+6m−5  ⟺  m2−2m−3=0-8 + 4m = -m^2 + 6m - 5 \iff m^2 - 2m - 3 = 0
  4. Factoriser — (m−3)(m+1)=0(m - 3)(m + 1) = 0
  5. m=3oum=−1m = 3 \quad \text{ou} \quad m = -1

Vérification : pour m=−1,m = -1, AB→(3−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} et AC→(6−4)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} ; pour m=3,m = 3, AB→(−12)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} et AC→(2−4).\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}. Le produit en croix ramène l'alignement à une équation produit.

Pièges anticipés

  • {3} / 3 → m=3m = 3 convient, mais l'équation (m−3)(m+1)=0(m - 3)(m + 1) = 0 a une deuxième solution.
  • {-1} / -1 → m=−1m = -1 convient, mais l'équation (m−3)(m+1)=0(m - 3)(m + 1) = 0 a une deuxième solution.

Exercice 69 · base

Distance à l'origine

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne le point M(−5 ;12).M(-5\,;12).

Calculer la distance OM.OM.

Donner la valeur exacte de OMOM : un nombre.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. Dans un repère orthonormé, OM=xM2+yM2.OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}.
  2. (−5)2=25(-5)^2 = 25 et 122=144.12^2 = 144.

Correction

  1. La formule — OM=(−5)2+122=25+144OM = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144}
  2. OM=169=13OM = \sqrt{169} = 13

La distance à l'origine est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés ∣xM∣|x_M| et ∣yM∣|y_M| : c'est Pythagore. Le carré efface le signe de −5.-5.

Pièges anticipés

  • 169 → 169,169, c'est OM2.OM^2. Il reste à prendre la racine carrée.
  • 7 → Tu as calculé −5+12.-5 + 12. La distance passe par les carrés : 25+144.\sqrt{25 + 144}.
  • 17 → Tu as additionné 5+125 + 12 : c'est le chemin en escalier. La ligne droite, c'est 52+122.\sqrt{5^2 + 12^2}.

Exercice 70 · base

Une distance entière

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;−2)A(1\,;-2) et B(4 ;2).B(4\,;2).

Calculer la distance AB.AB.

Donner la valeur exacte de ABAB : un nombre.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les écarts xB−xAx_B - x_A et yB−yA.y_B - y_A.
  2. AB2AB^2 est la somme des carrés des écarts.AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Correction

  1. Les écarts — xB−xA=3;yB−yA=2−(−2)=4x_B - x_A = 3 \quad ; \quad y_B - y_A = 2 - (-2) = 4
  2. Pythagore — AB2=32+42=25AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25
  3. AB=25=5AB = \sqrt{25} = 5

Le triangle « 3, 4, 5 » : la formule de la distance, c'est Pythagore dans le triangle rectangle dont les côtés suivent les axes.

Pièges anticipés

  • 25 → 25,25, c'est AB2.AB^2. Il reste à prendre la racine carrée.
  • 7 → Tu as additionné les écarts 3+4.3 + 4. La distance est la racine de la somme des carrés.
  • 3 → yB−yA=2−(−2)=4,y_B - y_A = 2 - (-2) = 4, pas 00 : attention au signe de yA.y_A.

Exercice 71 · pratique

Une distance avec une racine

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;1)A(2\,;1) et B(−1 ;3).B(-1\,;3).

Calculer la distance AB.AB.

Donner la valeur exacte de ABAB (écrire la racine carrée « sqrt », par exemple sqrt(5)).

Réponse attendue : sqrt(13)

Indices, dans l’ordre

  1. Les écarts sont xB−xA=−3x_B - x_A = -3 et yB−yA=2.y_B - y_A = 2.
  2. AB2AB^2 est la somme des carrés des écarts. Si ce n'est pas un carré parfait, la valeur exacte garde la racine.

Correction

  1. Les écarts — xB−xA=−1−2=−3;yB−yA=3−1=2x_B - x_A = -1 - 2 = -3 \quad ; \quad y_B - y_A = 3 - 1 = 2
  2. Pythagore — AB2=(−3)2+22=9+4=13AB^2 = (-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
  3. AB=13AB = \sqrt{13}

Une valeur exacte n'est pas une valeur approchée : 13≈3,61,\sqrt{13} \approx 3{,}61, mais on garde 13.\sqrt{13}.

Pièges anticipés

  • 13 → 13,13, c'est AB2.AB^2. La distance est sa racine carrée.
  • 5 → Tu as additionné 3+2.3 + 2. La distance est la racine de la somme des carrés des écarts.
  • 3.6 / 3.61 / 3.606 / 3.605 → C'est une valeur approchée de 13.\sqrt{13}. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.

Exercice 72 · pratique

Simplifier la racine

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;2)A(1\,;2) et B(5 ;6).B(5\,;6).

Calculer la distance ABAB et l'écrire sous la forme a2,a\sqrt{2}, où aa est un entier. Donner a.a.

Donner la valeur de aa : un nombre entier.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux écarts valent 44 : AB2=16+16=32.AB^2 = 16 + 16 = 32.
  2. Écris 3232 comme le produit d'un carré parfait par 2,2, puis utilise a×b=a×b.\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}.

Correction

  1. Pythagore — AB2=42+42=32AB^2 = 4^2 + 4^2 = 32
  2. Simplifier — AB=32=16×2=16×2AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2}
  3. AB=42AB = 4\sqrt{2}
  4. Le nombre a — a=4a = 4

Pour simplifier une racine, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre. Ici [AB][AB] est la diagonale d'un carré de côté 44 : 42.4\sqrt{2}.

Pièges anticipés

  • 16 → 1616 est sous la racine : 32=16×2,\sqrt{32} = \sqrt{16} \times \sqrt{2}, et 16=4.\sqrt{16} = 4.
  • 32 → 32,32, c'est AB2.AB^2. Il reste la racine carrée, puis la simplification 32=16×2.\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2}.
  • 8 → Tu as additionné 4+4.4 + 4. La distance est la racine de la somme des carrés : AB2=32.AB^2 = 32.
  • 4*sqrt(2) / sqrt(32) → C'est la distance ABAB elle-même. On demande seulement le nombre aa tel que AB=a2.AB = a\sqrt{2}.

Exercice 73 · pratique

Un point de l'axe à distance 5

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne le point A(1 ;4).A(1\,;4). Le point C(x ;0)C(x\,;0) de l'axe des abscisses, avec x>0,x > 0, vérifie AC=5.AC = 5.

Déterminer x.x.

Donner la valeur de xx : un nombre.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Écris AC2=25AC^2 = 25 avec la formule de la distance.
  2. (x−1)2+16=25,(x - 1)^2 + 16 = 25, donc (x−1)2=9.(x - 1)^2 = 9. Deux valeurs possibles pour x−1x - 1 : une seule donne x>0.x > 0.

Correction

  1. Au carré — AC2=(x−1)2+(0−4)2=25AC^2 = (x - 1)^2 + (0 - 4)^2 = 25
  2. Isoler le carré — (x−1)2=9  ⟺  x−1=3 ou x−1=−3(x - 1)^2 = 9 \iff x - 1 = 3 \ \text{ou} \ x - 1 = -3
  3. x=4x = 4 ou x=−2,x = -2, et la condition x>0x > 0 élimine −2.-2.x=4x = 4

On travaille avec les carrés des distances pour éviter la racine. L'équation donne deux points de l'axe ; la condition de l'énoncé en choisit un.

Pièges anticipés

  • -2 → x=−2x = -2 vérifie bien AC=5,AC = 5, mais l'énoncé impose x>0.x > 0.
  • 3 → 3,3, c'est x−1.x - 1. Il reste à ajouter 1.1.

Exercice 74 · raisonnement

Un triangle isocèle

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points P(−1 ;2),P(-1\,;2), Q(3 ;5)Q(3\,;5) et S(−1 ;y),S(-1\,;y), avec y>2.y > 2.

Déterminer yy pour que le triangle PQSPQS soit isocèle en P.P.

Donner la valeur de yy : un nombre.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. Isocèle en PP : les deux côtés issus de PP sont égaux, PQ=PS.PQ = PS.
  2. PQ=5.PQ = 5. Le point SS a la même abscisse que PP : PS=∣y−2∣.PS = |y - 2|.

Correction

  1. Le côté PQ — PQ=42+32=5PQ = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5
  2. Le côté PS — PS=02+(y−2)2=∣y−2∣=y−2(y>2)PS = \sqrt{0^2 + (y - 2)^2} = |y - 2| = y - 2 \quad (y > 2)
  3. PQ=PSPQ = PS donne y−2=5.y - 2 = 5.y=7y = 7

Isocèle en un sommet : les deux côtés issus de ce sommet sont égaux. Ici S(−1 ;7),S(-1\,;7), juste au-dessus de P.P.

Pièges anticipés

  • -3 → y=−3y = -3 donne aussi PS=5,PS = 5, mais l'énoncé impose y>2.y > 2.
  • 5 → 5,5, c'est la longueur PS,PS, c'est-à-dire y−2.y - 2. Il reste à ajouter 2.2.

Exercice 75 · raisonnement

Un point du cercle

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on considère le cercle C\mathscr{C} de centre Ω(1 ;−2)\Omega(1\,;-2) et de rayon 5.5. Le point K(4 ;y),K(4\,;y), avec y>−2,y > -2, appartient à C.\mathscr{C}.

Déterminer y.y.

Donner la valeur de yy : un nombre.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. KK est sur le cercle : ΩK=5,\Omega K = 5, c'est-à-dire ΩK2=25.\Omega K^2 = 25.
  2. (4−1)2+(y+2)2=25,(4 - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25, donc (y+2)2=16.(y + 2)^2 = 16.

Correction

  1. Au carré — ΩK2=32+(y+2)2=25  ⟺  (y+2)2=16\Omega K^2 = 3^2 + (y + 2)^2 = 25 \iff (y + 2)^2 = 16
  2. Deux cas — y+2=4ouy+2=−4y + 2 = 4 \quad \text{ou} \quad y + 2 = -4
  3. La condition y>−2y > -2 impose y+2>0.y + 2 > 0.y=2y = 2

Un point est sur un cercle exactement quand sa distance au centre vaut le rayon. On compare les carrés : ΩK2=R2.\Omega K^2 = R^2.

Pièges anticipés

  • -6 → y=−6y = -6 place bien KK sur le cercle, mais l'énoncé impose y>−2.y > -2.
  • 4 → 4,4, c'est y+2.y + 2. Il reste à retirer 2.2.

Exercice 76 · defi

L'aire d'un triangle isocèle

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;1),A(1\,;1), B(4 ;5)B(4\,;5) et C(−2 ;5).C(-2\,;5).

Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC,ABC, en déduire sa nature, puis calculer son aire.

Donner son aire, en unités d'aire, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule AB,AB, ACAC et BCBC : deux d'entre eux sont égaux.
  2. Le triangle est isocèle en A.A. La hauteur issue de AA arrive au milieu HH de [BC][BC] : calcule AH.AH.
  3. H(1 ;5),H(1\,;5), donc AH=4,AH = 4, et l'aire vaut BC×AH2.\dfrac{BC \times AH}{2}.

Correction

  1. Les trois côtés — AB=32+42=5;AC=(−3)2+42=5;BC=6AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \quad ; \quad AC = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \quad ; \quad BC = 6
  2. La hauteur — ABCABC est isocèle en AA : la hauteur issue de AA est aussi la médiane. Le milieu de [BC][BC] est H(1 ;5).H(1\,;5).AH=02+42=4AH = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4
  3. L'aire — Aire=BC×AH2=6×42\text{Aire} = \dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{6 \times 4}{2}
  4. Aire=12\text{Aire} = 12

Les coordonnées donnent les longueurs, les longueurs donnent la nature, et la nature donne la méthode : dans un triangle isocèle, la hauteur tombe au milieu de la base.

Pièges anticipés

  • 15 → Tu as pris AB=5AB = 5 comme hauteur. La hauteur issue de AA est perpendiculaire à (BC)(BC) : c'est AH=4,AH = 4, plus courte que AB.AB.
  • 24 → 6×4=246 \times 4 = 24 est l'aire du rectangle. Celle du triangle en est la moitié.

Exercice 77 · defi

Le cercle circonscrit

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(2 ;0)A(2\,;0) et B(0 ;4).B(0\,;4).

Montrer que le triangle OABOAB est rectangle, puis calculer le rayon de son cercle circonscrit.

Donner la valeur exacte du rayon (écrire la racine « sqrt », par exemple sqrt(3)).

Réponse attendue : sqrt(5)

Indices, dans l’ordre

  1. Le repère est orthonormé : les axes sont perpendiculaires. Où est l'angle droit du triangle OABOAB ?
  2. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.

Correction

  1. L'angle droit — AA est sur l'axe des abscisses, BB sur l'axe des ordonnées, et les axes sont perpendiculaires : OABOAB est rectangle en O.O.
  2. L'hypoténuse — AB=(0−2)2+(4−0)2=20=25AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
  3. Le rayon — Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse [AB].[AB].r=AB2=252r = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2}
  4. r=5r = \sqrt{5}

Le centre est le milieu K(1 ;2)K(1\,;2) de [AB],[AB], et l'on vérifie KO=1+4=5.KO = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}. Hypoténuse == diamètre : c'est la propriété du triangle rectangle à retenir.

Pièges anticipés

  • 2*sqrt(5) / sqrt(20) → 25,2\sqrt{5}, c'est l'hypoténuse AB,AB, donc le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié.
  • 5 → 5,5, c'est r2.r^2. Le rayon est sa racine carrée.
  • 2.2 / 2.24 / 2.236 / 2.23 → C'est une valeur approchée de 5.\sqrt{5}. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.

Exercice 78 · base

Le vecteur DC

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;1),A(1\,;1), B(4 ;2),B(4\,;2), C(5 ;5)C(5\,;5) et D(2 ;4).D(2\,;4).

Calculer les composantes du vecteur DC→,\overrightarrow{DC}, celui qu'on compare à AB→\overrightarrow{AB} pour savoir si ABCDABCD est un parallélogramme.

Écrire le couple de composantes de DC→,\overrightarrow{DC}, entre parenthèses, la première composante d'abord.

Réponse attendue : (3;1) — aussi acceptées : (3,1) · 3;1 · 3 et 1 · (3 et 1) · DC(3;1) · DC(3,1) · DC = (3;1) · DC = (3,1) · vecteur DC(3;1) · vecteur DC = (3;1) · (3 ; 1) · (3;+1) · (+3;1) · x = 3 ; y = 1 · x = 3 et y = 1 · x = 3, y = 1

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur DC→\overrightarrow{DC} part de DD et arrive en CC : arrivée moins départ.
  2. ABCDABCD est un parallélogramme lorsque AB→=DC→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Calcule aussi AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Le vecteur DC — DC→(5−25−4)=(31)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 5 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}
  2. Le vecteur AB — AB→(4−12−1)=(31)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}
  3. DC→(31)\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}

AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} : ABCDABCD est un parallélogramme. Attention à l'ordre : on compare AB→\overrightarrow{AB} à DC→,\overrightarrow{DC}, pas à CD→.\overrightarrow{CD}.

Pièges anticipés

  • (-3;-1) / (-3,-1) / -3;-1 / -3 et -1 / (-3 et -1) / DC(-3;-1) / DC(-3,-1) / DC = (-3;-1) → Ce sont les composantes de CD→,\overrightarrow{CD}, de CC vers D.D. Le vecteur DC→\overrightarrow{DC} part de DD : xC−xD.x_C - x_D.

Exercice 79 · pratique

Rectangle et isocèle

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;2),A(1\,;2), B(3 ;6)B(3\,;6) et C(5 ;0).C(5\,;0).

Calculer AB2,AB^2, AC2AC^2 et BC2,BC^2, en déduire la nature du triangle ABC,ABC, puis calculer son aire.

Donner son aire, en unités d'aire, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les trois carrés. Le plus grand est-il la somme des deux autres ?
  2. AB2=AC2=20AB^2 = AC^2 = 20 et BC2=40BC^2 = 40 : rectangle en A.A. Les deux côtés de l'angle droit sont les « base » et « hauteur ».

Correction

  1. Les trois carrés — AB2=22+42=20;AC2=42+(−2)2=20;BC2=22+(−6)2=40AB^2 = 2^2 + 4^2 = 20 \quad ; \quad AC^2 = 4^2 + (-2)^2 = 20 \quad ; \quad BC^2 = 2^2 + (-6)^2 = 40
  2. La nature — AB2+AC2=40=BC2AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2 : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABCABC est rectangle en A.A. Et AB=ACAB = AC : il est aussi isocèle.
  3. L'aire — Aire=AB×AC2=20×202=202\text{Aire} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{\sqrt{20} \times \sqrt{20}}{2} = \dfrac{20}{2}
  4. Aire=10\text{Aire} = 10

ABCABC est rectangle isocèle en A.A. Dans un triangle rectangle, l'aire est le demi-produit des deux côtés de l'angle droit, jamais de l'hypoténuse.

Pièges anticipés

  • 20 → AB×AC=20AB \times AC = 20 est l'aire du rectangle construit sur les deux côtés. Le triangle en est la moitié.
  • 10*sqrt(2) / sqrt(200) → Tu as utilisé l'hypoténuse BC.BC. Les deux côtés qui forment l'angle droit sont [AB][AB] et [AC],[AC], ceux qui se rencontrent en A.A.

Exercice 80 · pratique

Un losange

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;0),A(1\,;0), B(4 ;4),B(4\,;4), C(9 ;4)C(9\,;4) et D(6 ;0).D(6\,;0).

Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme, puis que c'est un losange. Calculer son périmètre.

Donner son périmètre, en unités de longueur, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 20

Indices, dans l’ordre

  1. Compare AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} : c'est un parallélogramme s'ils sont égaux.
  2. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : compare ABAB et AD.AD.

Correction

  1. Parallélogramme — AB→(34)=DC→(34)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}
  2. Deux côtés consécutifs — AB=32+42=5;AD=52+02=5AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \quad ; \quad AD = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5
  3. Le périmètre — Un losange a ses quatre côtés de même longueur.4×5=204 \times 5 = 20
  4. Peˊrimeˋtre=20\text{Périmètre} = 20

D'abord le parallélogramme (vecteurs égaux), ensuite les longueurs : deux côtés consécutifs égaux en font un losange.

Pièges anticipés

  • 10 → 10,10, c'est AB+AD.AB + AD. Le périmètre fait le tour : quatre côtés.
  • 25 → 25,25, c'est AB2.AB^2. Le périmètre est une somme de longueurs : 4×AB.4 \times AB.

Exercice 81 · raisonnement

Un rectangle

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(0 ;1),A(0\,;1), B(6 ;−2),B(6\,;-2), C(7 ;0)C(7\,;0) et D(1 ;3).D(1\,;3).

Montrer que ABCDABCD est un rectangle, puis calculer son aire.

Donner son aire, en unités d'aire, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. D'abord le parallélogramme : compare AB→\overrightarrow{AB} et DC→.\overrightarrow{DC}. Puis compare les diagonales ACAC et BD.BD.
  2. L'aire d'un rectangle est AB×AD.AB \times AD. Calcule ABAB et AD,AD, puis multiplie les racines.a×b=a b\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a\,b}

Correction

  1. Parallélogramme — AB→(6−3)=DC→(6−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} = \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}
  2. Diagonales égales — AC=72+(−1)2=50;BD=(−5)2+52=50AC = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{50} \quad ; \quad BD = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{50}
  3. Les côtés — AB=36+9=45;AD=1+4=5AB = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \quad ; \quad AD = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
  4. L'aire — AB×AD=45×5=225AB \times AD = \sqrt{45} \times \sqrt{5} = \sqrt{225}
  5. Aire=15\text{Aire} = 15

Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Et AB≠ADAB \ne AD : ce n'est pas un carré.

Pièges anticipés

  • 225 → 225=AB2×AD2,225 = AB^2 \times AD^2, c'est le carré de l'aire. Il reste la racine carrée : 225=15.\sqrt{225} = 15.
  • 50 → 50,50, c'est le carré d'une diagonale. L'aire d'un rectangle est le produit de deux côtés consécutifs, AB×AD.AB \times AD.

Exercice 82 · raisonnement

Où est l'angle droit ?

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;1),A(1\,;1), B(3 ;4)B(3\,;4) et C(6 ;2).C(6\,;2).

Montrer que le triangle ABCABC est rectangle et isocèle, en précisant le sommet de l'angle droit, puis calculer son aire.

Donner son aire, en unités d'aire, sans écrire l'unité : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 13/2 — aussi acceptées : 6.5

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les trois carrés AB2,AB^2, AC2,AC^2, BC2BC^2 et teste Pythagore sur le plus grand.
  2. AB2=BC2=13AB^2 = BC^2 = 13 et AC2=26AC^2 = 26 : l'angle droit est en B,B, le sommet commun aux deux petits côtés.

Correction

  1. Les trois carrés — AB2=22+32=13;BC2=32+(−2)2=13;AC2=52+12=26AB^2 = 2^2 + 3^2 = 13 \quad ; \quad BC^2 = 3^2 + (-2)^2 = 13 \quad ; \quad AC^2 = 5^2 + 1^2 = 26
  2. Pythagore — AB2+BC2=26=AC2AB^2 + BC^2 = 26 = AC^2 : rectangle en B.B. Et AB=BCAB = BC : isocèle en B.B.
  3. L'aire — Aire=AB×BC2=13×132\text{Aire} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{\sqrt{13} \times \sqrt{13}}{2}
  4. Aire=132\text{Aire} = \dfrac{13}{2}

Le plus grand carré désigne l'hypoténuse, et l'angle droit est en face : ici [AC][AC] est l'hypoténuse, l'angle droit est en B.B.

Pièges anticipés

  • 13 → AB×BC=13AB \times BC = 13 est l'aire du carré construit sur ces côtés. Le triangle en est la moitié.
  • 13*sqrt(2)/2 / sqrt(338)/2 → Tu as utilisé l'hypoténuse AC.AC. Les côtés de l'angle droit sont [BA][BA] et [BC],[BC], ceux qui partent de B.B.

Exercice 83 · defi

Un carré caché

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;0),A(1\,;0), B(2 ;3)B(2\,;3) et C(5 ;2).C(5\,;2).

Déterminer le point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme, montrer que ABCDABCD est un carré, puis calculer son aire.

Donner son aire, en unités d'aire, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} donne D.D. Puis compare deux côtés consécutifs, et les deux diagonales.
  2. D(4 ;−1).D(4\,;-1). Calcule AB2AB^2 et BC2,BC^2, puis AC2AC^2 et BD2BD^2 : que remarques-tu ?

Correction

  1. Le point D — AD→=BC→(3−1)  ⟺  D(4 ;−1)\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \iff D(4\,;-1)
  2. Côtés consécutifs — AB2=12+32=10;BC2=32+(−1)2=10AB^2 = 1^2 + 3^2 = 10 \quad ; \quad BC^2 = 3^2 + (-1)^2 = 10
  3. Diagonales — AC2=42+22=20;BD2=22+(−4)2=20AC^2 = 4^2 + 2^2 = 20 \quad ; \quad BD^2 = 2^2 + (-4)^2 = 20
  4. L'aire — Losange (côtés consécutifs égaux) et rectangle (diagonales égales) : c'est un carré.Aire=AB2\text{Aire} = AB^2
  5. Aire=10\text{Aire} = 10

Un carré, c'est un parallélogramme à la fois losange et rectangle. Son aire est le carré du côté : on n'a même pas besoin de la racine, AB2=10.AB^2 = 10.

Pièges anticipés

  • 20 → 20,20, c'est le carré de la diagonale. L'aire d'un carré est le carré du côté, AB2=10AB^2 = 10 — ou la moitié du carré de la diagonale.
  • sqrt(10) → 10,\sqrt{10}, c'est la longueur du côté. L'aire est son carré.

Exercice 84 · defi

Un triangle équilatéral

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), on donne les points A(1 ;0),A(1\,;0), B(5 ;0)B(5\,;0) et C(3 ;y),C(3\,;y), avec y>0.y > 0.

Déterminer yy pour que le triangle ABCABC soit équilatéral.

Donner la valeur exacte de yy (écrire la racine « sqrt », par exemple sqrt(5) ou 3*sqrt(5)).

Réponse attendue : 2*sqrt(3)

Indices, dans l’ordre

  1. CC a pour abscisse 3,3, celle du milieu de [AB][AB] : on a toujours CA=CB.CA = CB. Il reste à imposer CA=AB.CA = AB.
  2. AB=4AB = 4 et CA2=22+y2.CA^2 = 2^2 + y^2. Résous 4+y2=16.4 + y^2 = 16.

Correction

  1. Deux côtés égaux — CA2=(3−1)2+y2=4+y2;CB2=(3−5)2+y2=4+y2CA^2 = (3 - 1)^2 + y^2 = 4 + y^2 \quad ; \quad CB^2 = (3 - 5)^2 + y^2 = 4 + y^2
  2. Le troisième — AB=4;4+y2=16  ⟺  y2=12AB = 4 \quad ; \quad 4 + y^2 = 16 \iff y^2 = 12
  3. Comme y>0,y > 0, y=12=4×3.y = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3}.y=23y = 2\sqrt{3}

On retrouve la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 44 : 32×4=23.\tfrac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}. Travailler avec les carrés des distances évite les racines jusqu'au bout.

Pièges anticipés

  • 12 → 12,12, c'est y2.y^2. On cherche yy : il reste la racine carrée.
  • -2*sqrt(3) → L'énoncé impose y>0y > 0 : on garde la racine positive.
  • 4 → 4,4, c'est la longueur des côtés. L'ordonnée de CC est la hauteur du triangle, plus courte qu'un côté.
  • 3.5 / 3.46 / 3.464 / 3.4 → C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte de yy : garde la racine carrée.

Exercice 85 · base

Une vitesse sur le graphique

Un graphique donne la distance dd parcourue par un cycliste, en kilomètres, en fonction du temps t,t, en heures. Son trajet est le segment qui joint l'origine au point de coordonnées (3 ;45).(3\,;45).

Calculer la vitesse du cycliste, en km/h.

Donner la vitesse en km/h, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Le point (3 ;45)(3\,;45) se lit : au bout de 33 heures, le cycliste a parcouru 4545 km.
  2. Une vitesse en km/h, c'est la distance parcourue divisée par la durée.

Correction

  1. Lecture — Le segment part de (0 ;0)(0\,;0) : à t=0,t = 0, d=0.d = 0. Il arrive en (3 ;45)(3\,;45) : 4545 km en 33 h.
  2. La vitesse — v=453v = \dfrac{45}{3}
  3. v=15 km/hv = 15 \text{ km/h}

Un trajet en ligne droite sur ce graphique, c'est une vitesse constante : d=15 t,d = 15\,t, une fonction linéaire du temps.

Pièges anticipés

  • 135 → Tu as multiplié la distance par la durée. La vitesse est la distance divisée par la durée.
  • 1/15 → Tu as divisé la durée par la distance : c'est le temps pour un kilomètre, en heures. La vitesse, c'est distancedureˊe.\tfrac{\text{distance}}{\text{durée}}.

Exercice 86 · pratique

Un départ en retard

Un graphique donne la distance dd parcourue par une voiture, en kilomètres, en fonction du temps t,t, en heures. Son trajet est le segment qui joint les points de coordonnées (0,5 ;0)(0{,}5\,;0) et (2 ;90).(2\,;90).

Calculer la vitesse de la voiture, en km/h.

Donner la vitesse en km/h, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

  1. La voiture part à t=0,5,t = 0{,}5, pas à t=0.t = 0. Combien de temps dure son trajet ?
  2. La vitesse est la distance parcourue divisée par la durée du trajet.

Correction

  1. La durée — 2−0,5=1,5 h2 - 0{,}5 = 1{,}5 \text{ h}
  2. La vitesse — v=901,5v = \dfrac{90}{1{,}5}
  3. v=60 km/hv = 60 \text{ km/h}

La durée se lit comme une différence d'abscisses, la distance comme une différence d'ordonnées : la vitesse est leur quotient.

Pièges anticipés

  • 45 → Tu as divisé par 2,2, comme si la voiture était partie à t=0.t = 0. Elle part à t=0,5t = 0{,}5 : son trajet dure 1,51{,}5 heure.

Exercice 87 · pratique

Où est la voiture ?

Une voiture part à l'instant t=1t = 1 (en heures) et roule à la vitesse constante de 6060 km/h. On note dd la distance qu'elle a parcourue, en km.

Calculer dd à l'instant t=1,75.t = 1{,}75.

Donner la distance en km, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

  1. À l'instant t,t, la voiture roule depuis t−1t - 1 heures.
  2. d=60 (t−1)d = 60\,(t - 1) : c'est une fonction affine du temps.

Correction

  1. La fonction — d=60 (t−1)=60 t−60d = 60\,(t - 1) = 60\,t - 60
  2. À t = 1,75 — d=60×0,75d = 60 \times 0{,}75
  3. d=45 kmd = 45 \text{ km}

Un départ en retard décale le segment vers la droite : la distance est une fonction affine du temps, d=60 t−60,d = 60\,t - 60, et non plus linéaire.

Pièges anticipés

  • 105 → Tu as calculé 60×1,75,60 \times 1{,}75, comme si la voiture était partie à t=0.t = 0. À t=1,75,t = 1{,}75, elle ne roule que depuis 0,750{,}75 heure.

Exercice 88 · raisonnement

L'instant de la rencontre

Un cycliste part à t=0t = 0 (en heures) et roule à 2020 km/h. Une voiture part du même endroit, sur la même route, à t=1,t = 1, et roule à 6060 km/h. On note dd la distance parcourue depuis le point de départ, en km.

Déterminer l'instant tt où la voiture rattrape le cycliste.

Donner l'instant tt en heures, sans écrire l'unité : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5

Indices, dans l’ordre

  1. Écris la distance de chacun en fonction de tt : d1=20 td_1 = 20\,t pour le cycliste, et pour la voiture, partie une heure plus tard ?
  2. d2=60 (t−1).d_2 = 60\,(t - 1). Ils se rencontrent quand d1=d2d_1 = d_2 : sur le graphique, c'est le point d'intersection des deux segments.

Correction

  1. Les deux fonctions — d1=20 t;d2=60 (t−1)=60 t−60d_1 = 20\,t \quad ; \quad d_2 = 60\,(t - 1) = 60\,t - 60
  2. La rencontre — 20 t=60 t−60  ⟺  40 t=6020\,t = 60\,t - 60 \iff 40\,t = 60
  3. t=32=1,5 ht = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \text{ h}

La rencontre se lit à l'intersection des deux représentations graphiques : on résout d1=d2.d_1 = d_2. Elle a lieu au bout d'une heure et demie, à d=30d = 30 km.

Pièges anticipés

  • 30 → 3030 km, c'est le lieu de la rencontre. La question demande l'instant : t=1,5t = 1{,}5 h.
  • 0 → Avec d2=60 t,d_2 = 60\,t, les deux partent ensemble et ne se rencontrent qu'au départ. La voiture part à t=1t = 1 : d2=60 (t−1).d_2 = 60\,(t - 1).

Exercice 89 · raisonnement

Le lieu de la rencontre

Un piéton rapide part à t=0t = 0 (en heures) et avance à 1515 km/h. Un scooter part du même endroit, sur la même route, à t=2,t = 2, et roule à 4545 km/h.

À quelle distance du point de départ le scooter rattrape-t-il le piéton ?

Donner la distance en km, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

  1. Distance du piéton : 15 t.15\,t. Distance du scooter : 45 (t−2).45\,(t - 2).
  2. Résous 15 t=45 (t−2)15\,t = 45\,(t - 2) pour trouver l'instant, puis calcule la distance à cet instant.

Correction

  1. L'instant — 15 t=45 t−90  ⟺  30 t=90  ⟺  t=315\,t = 45\,t - 90 \iff 30\,t = 90 \iff t = 3
  2. La distance — d=15×3d = 15 \times 3
  3. d=45 kmd = 45 \text{ km}

Vérification avec le scooter : 45×(3−2)=4545 \times (3 - 2) = 45 km. La rencontre est un point : son abscisse est l'instant, son ordonnée la distance.

Pièges anticipés

  • 3 → t=3t = 3 h, c'est l'instant de la rencontre. On demande la distance : remplace tt dans 15 t.15\,t.
  • 0 → Avec 45 t,45\,t, le scooter partirait en même temps que le piéton. Il part à t=2t = 2 : sa distance est 45 (t−2).45\,(t - 2).

Exercice 90 · defi

L'un vers l'autre

Deux villes XX et YY sont distantes de 120120 km. À t=0t = 0 (en heures), un cycliste part de XX vers YY à 2020 km/h, et une voiture part de YY vers XX à 4040 km/h, sur la même route. On note dd la distance à la ville X,X, en km.

Exprimer dd en fonction de tt pour chacun, puis déterminer à quelle distance de XX ils se croisent.

Donner la distance à X,X, en km, sans écrire l'unité : un nombre.

Réponse attendue : 40

Indices, dans l’ordre

  1. Le cycliste s'éloigne de XX : d1=20 t.d_1 = 20\,t. La voiture part à 120120 km de XX et s'en rapproche : sa distance à XX diminue.
  2. d2=120−40 t.d_2 = 120 - 40\,t. Sur le graphique, c'est un segment qui descend. Résous d1=d2.d_1 = d_2.

Correction

  1. Les deux fonctions — d1=20 t;d2=120−40 td_1 = 20\,t \quad ; \quad d_2 = 120 - 40\,t
  2. Le croisement — 20 t=120−40 t  ⟺  60 t=120  ⟺  t=220\,t = 120 - 40\,t \iff 60\,t = 120 \iff t = 2
  3. La distance à X — d=20×2d = 20 \times 2
  4. d=40 kmd = 40 \text{ km}

La voiture a un coefficient négatif, −40-40 : sa distance à XX diminue, son segment descend. Les deux segments se coupent au point (2 ;40).(2\,;40).

Pièges anticipés

  • 2 → t=2t = 2 h, c'est l'instant du croisement. On demande la distance à XX : 20×2.20 \times 2.
  • 80 → 8080 km, c'est la distance parcourue par la voiture, donc la distance à Y.Y. On demande la distance à X.X.

Exercice 91 · base

Même direction

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), DD représente la fonction affine ff définie par f(x)=−3x+4,f(x) = -3x + 4, et D′D' représente la fonction affine gg définie par g(x)=ax−1.g(x) = ax - 1.

Déterminer aa pour que DD et D′D' soient parallèles.

Donner la valeur de aa : un nombre.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Deux fonctions affines de même coefficient ont des représentations parallèles.
  2. Le coefficient de ff est le nombre qui multiplie x.x.

Correction

  1. Les coefficients — Le coefficient de ff est −3,-3, celui de gg est a.a. Les droites sont parallèles lorsqu'ils sont égaux.
  2. a=−3a = -3

Le coefficient fixe la direction ; la constante (44 ou −1-1) ne fait que glisser la droite. Ici DD et D′D' sont parallèles et distinctes.

Pièges anticipés

  • 4 → 44 est la constante de f,f, qui ne change pas la direction. C'est le coefficient de xx qui doit être le même.
  • -1 → −1-1 est la constante de g.g. Ce sont les coefficients de xx qu'on compare.
  • 3 → Le coefficient de ff est −3-3 : le signe moins en fait partie.

Exercice 92 · base

Par l'origine

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), DD représente la fonction affine ff définie par f(x)=−x+4.f(x) = -x + 4. La droite D′D' est parallèle à DD et passe par l'origine OO ; elle représente une fonction linéaire g.g.

Calculer g(3).g(3).

Donner la valeur de g(3)g(3) : un nombre.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. D′D' est parallèle à DD : gg a le même coefficient que f.f. Quel est-il ?
  2. gg est linéaire, de coefficient −1-1 : g(x)=−x.g(x) = -x.

Correction

  1. La fonction g — Même coefficient que f,f, et g(0)=0g(0) = 0 puisque D′D' passe par O.O.g(x)=−xg(x) = -x
  2. g(3)=−3g(3) = -3

La parallèle à DD passant par l'origine représente la fonction linéaire de même coefficient : on garde −x-x et on enlève la constante.

Pièges anticipés

  • 1 → 1=f(3)1 = f(3) : tu as calculé l'image par f.f. La fonction gg a le même coefficient, mais pas de constante : g(x)=−x.g(x) = -x.
  • 3 → Le coefficient de ff est −1-1 : g(x)=−x,g(x) = -x, et g(3)=−3.g(3) = -3.

Exercice 93 · pratique

Un coefficient avec paramètre

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), DD représente la fonction affine ff définie par f(x)=(m−1) x+2,f(x) = (m - 1)\,x + 2, où mm est un réel, et D′D' représente la fonction affine gg définie par g(x)=3x−5.g(x) = 3x - 5.

Déterminer mm pour que DD et D′D' soient parallèles.

Donner la valeur de mm : un nombre.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Les droites sont parallèles lorsque les coefficients sont égaux. Le coefficient de ff est m−1,m - 1, pas m.m.
  2. Résous m−1=3.m - 1 = 3.

Correction

  1. Les coefficients — m−1=3m - 1 = 3
  2. m=4m = 4

Vérification : avec m=4,m = 4, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 a le même coefficient que g.g. Le coefficient, c'est tout ce qui multiplie x.x.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est la valeur du coefficient m−1.m - 1. On cherche mm : il reste à ajouter 1.1.
  • 2 → Tu as résolu m+1=3.m + 1 = 3. Le coefficient est m−1m - 1 : m=3+1.m = 3 + 1.

Exercice 94 · pratique

La parallèle par un point

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), DD représente la fonction affine ff définie par f(x)=12 x+1.f(x) = \dfrac{1}{2}\,x + 1. La droite D′D' est parallèle à DD et passe par le point A(4 ;−1)A(4\,;-1) ; elle représente la fonction affine gg définie par g(x)=12 x+b.g(x) = \dfrac{1}{2}\,x + b.

Déterminer b.b.

Donner la valeur de bb : un nombre.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. D′D' passe par A(4 ;−1)A(4\,;-1) : l'image de 44 par gg est −1.-1.
  2. 12×4+b=−1\dfrac{1}{2} \times 4 + b = -1 : isole b.b.

Correction

  1. Le point A — g(4)=−1  ⟺  12×4+b=−1g(4) = -1 \iff \dfrac{1}{2} \times 4 + b = -1
  2. Isoler b — 2+b=−12 + b = -1
  3. b=−3b = -3

Pour une parallèle : on garde le coefficient, et le point par lequel elle passe donne la constante. Ici g(x)=12 x−3.g(x) = \tfrac{1}{2}\,x - 3.

Pièges anticipés

  • 1 → Tu as trouvé b=−1+2.b = -1 + 2. Pour isoler bb dans 2+b=−1,2 + b = -1, on retranche 22 : b=−1−2.b = -1 - 2.
  • -1 → −1-1 est l'ordonnée de A,A, c'est-à-dire g(4),g(4), pas g(0).g(0). La constante bb est l'image de 0.0.

Exercice 95 · raisonnement

Coefficient lu sur deux points

Dans un repère (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), la droite DD passe par les points A(1 ;3)A(1\,;3) et B(3 ;7)B(3\,;7) ; elle représente une fonction affine f.f. La droite D′D' est parallèle à DD et passe par le point C(0 ;−2)C(0\,;-2) ; elle représente la fonction affine g.g.

Calculer g(5).g(5).

Donner la valeur de g(5)g(5) : un nombre.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Le coefficient de ff se lit sur deux points : a=f(3)−f(1)3−1.a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1}.
  2. a=2.a = 2. La fonction gg a ce coefficient, et D′D' passe par C(0 ;−2)C(0\,;-2) : g(0)=−2.g(0) = -2.

Correction

  1. Le coefficient — a=7−33−1=42=2a = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2
  2. La fonction g — gg a le même coefficient, et g(0)=−2.g(0) = -2.g(x)=2x−2g(x) = 2x - 2
  3. g(5)=2×5−2=8g(5) = 2 \times 5 - 2 = 8

Le coefficient d'une fonction affine est le rapport f(x2)−f(x1)x2−x1\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ; il est le même pour toutes les droites parallèles à D.D. Ici f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 et g(x)=2x−2.g(x) = 2x - 2.

Pièges anticipés

  • 11 → 11=f(5)11 = f(5) : tu as calculé avec D.D. La droite D′D' a le même coefficient mais passe par C(0 ;−2)C(0\,;-2) : sa constante est −2.-2.
  • 1/2 → Tu as pris a=24a = \tfrac{2}{4} : écarts des abscisses sur écarts des ordonnées. Le coefficient, c'est l'écart des images divisé par l'écart des abscisses. Puis calcule g(5).g(5).

Exercice 96 · defi

Entre deux droites parallèles

Dans un repère orthonormé (O,OI→,OJ→),(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}), DD représente la fonction affine ff définie par f(x)=2x−1.f(x) = 2x - 1. La droite D′D' est parallèle à DD et passe par le point A(3 ;1).A(3\,;1). On note BB le point d'intersection de D′D' avec l'axe des ordonnées, et CC celui de DD avec l'axe des ordonnées.

Calculer la distance BC.BC.

Donner la valeur de BCBC : un nombre.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. D′D' représente g(x)=2x+c.g(x) = 2x + c. Le point AA donne c.c.
  2. Une droite coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse 00 : B(0 ;g(0))B(0\,;g(0)) et C(0 ;f(0)).C(0\,;f(0)).

Correction

  1. La droite D' — g(3)=1  ⟺  6+c=1  ⟺  c=−5;g(x)=2x−5g(3) = 1 \iff 6 + c = 1 \iff c = -5 \quad ; \quad g(x) = 2x - 5
  2. Les deux points — B(0 ;−5);C(0 ;−1)B(0\,;-5) \quad ; \quad C(0\,;-1)
  3. La distance — BC=02+(−1−(−5))2=16BC = \sqrt{0^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{16}
  4. BC=4BC = 4

Deux droites parallèles représentant 2x+b2x + b et 2x+c2x + c coupent l'axe des ordonnées en bb et en cc : elles sont décalées de ∣b−c∣|b - c| verticalement.

Pièges anticipés

  • 6 → Vérifie la constante de gg : 6+c=16 + c = 1 donne c=1−6=−5,c = 1 - 6 = -5, pas 5.5.
  • -4 → Une distance est positive : BC=∣−1−(−5)∣=4.BC = |-1 - (-5)| = 4.

Exercice 97 · base

Dans le repère du parallélogramme

Soit ABCDABCD un parallélogramme. On munit le plan du repère (A,AB→,AD→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}). Le point EE vérifie AE→=2 AB→−AD→.\overrightarrow{AE} = 2\,\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}.

Donner les coordonnées du point EE dans ce repère.

Écrire le couple de coordonnées de E,E, entre parenthèses, l'abscisse d'abord.

Réponse attendue : (2;-1) — aussi acceptées : (2,-1) · E(2;-1) · E(2,-1) · E = (2;-1) · E = (2,-1) · E : (2;-1) · 2;-1 · x = 2 ; y = -1 · x = 2 et y = -1 · x = 2, y = -1 · xE = 2 ; yE = -1 · x_E = 2 ; y_E = -1 · xE = 2 et yE = -1 · x_E = 2 et y_E = -1 · xE = 2, yE = -1 · x_E = 2, y_E = -1 · y = -1 ; x = 2 · y = -1 et x = 2 · y = -1, x = 2 · yE = -1 ; xE = 2 · y_E = -1 ; x_E = 2 · yE = -1 et xE = 2 · y_E = -1 et x_E = 2 · (x;y) = (2;-1) · (x,y) = (2,-1) · (xE;yE) = (2;-1) · (x_E;y_E) = (2;-1) · E(x = 2 ; y = -1) · 2 et -1 · (2 et -1) · E(2 et -1) · x = 2 y = -1 · xE = 2 yE = -1 · x_E = 2 y_E = -1 · (+2;-1) · (2.0;-1) · (2;-1.0) · (2,0;-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le repère (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), les coordonnées de EE sont les coefficients de AE→\overrightarrow{AE} sur AB→\overrightarrow{AB} et AD→.\overrightarrow{AD}.
  2. Le coefficient de AB→\overrightarrow{AB} d'abord, celui de AD→\overrightarrow{AD} ensuite, avec leurs signes.

Correction

  1. Lire les coefficients — AE→=2 AB→+(−1) AD→\overrightarrow{AE} = 2\,\overrightarrow{AB} + (-1)\,\overrightarrow{AD}
  2. E(2 ;−1)E(2\,;-1)

Dans un repère choisi (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), l'origine est AA et les vecteurs de base sont AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} : on lit les coordonnées exactement comme dans (O,OI→,OJ→).(O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}).

Pièges anticipés

  • (-1;2) / (-1,2) / E(-1;2) / E(-1,2) / E = (-1;2) / -1;2 / x = -1 ; y = 2 / x = -1 et y = 2 / x = -1, y = 2 / xE = -1 ; yE = 2 / x_E = -1 ; y_E = 2 / (x;y) = (-1;2) / -1 et 2 / (-1 et 2) / E(-1 et 2) / x = -1 y = 2 / xE = -1 yE = 2 / x_E = -1 y_E = 2 → Tes deux nombres sont dans le désordre : le premier vecteur du repère est AB→,\overrightarrow{AB}, son coefficient vient en premier.

Exercice 98 · pratique

Le milieu dans un repère choisi

Soit ABCABC un triangle. On munit le plan du repère (A,AB→,AC→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), et on note II le milieu du segment [BC].[BC].

Déterminer l'abscisse de II dans ce repère.

Donner la valeur de xIx_I : un nombre ou une fraction.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère, A(0 ;0),A(0\,;0), B(1 ;0)B(1\,;0) et C(0 ;1)C(0\,;1) : l'origine est A,A, et AB→=1 AB→+0 AC→.\overrightarrow{AB} = 1\,\overrightarrow{AB} + 0\,\overrightarrow{AC}.
  2. La formule du milieu marche dans n'importe quel repère : moyenne des abscisses de BB et de C.C.

Correction

  1. Les sommets — A(0 ;0);B(1 ;0);C(0 ;1)A(0\,;0) \quad ; \quad B(1\,;0) \quad ; \quad C(0\,;1)
  2. Le milieu — xI=1+02x_I = \dfrac{1 + 0}{2}
  3. xI=12x_I = \dfrac{1}{2}

Ainsi I(12 ;12),I\left(\tfrac{1}{2}\,;\tfrac{1}{2}\right), c'est-à-dire AI→=12 AB→+12 AC→.\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC}. Les milieux et les vecteurs se calculent dans tout repère, même non orthonormé.

Pièges anticipés

  • 1 → Tu as additionné les abscisses de BB et de CC sans diviser par 2.2.
  • 0 → 00 est l'abscisse de C.C. Le milieu de [BC][BC] est entre BB (abscisse 11) et CC (abscisse 00).

Exercice 99 · pratique

La diagonale en trois

Soit ABCDABCD un parallélogramme. Les points EE et FF de la diagonale [BD][BD] vérifient BE=EF=FD,BE = EF = FD, avec EE du côté de B.B. On munit le plan du repère (A,AB→,AD→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}).

Déterminer l'ordonnée yFy_F du point FF dans ce repère.

Donner la valeur exacte de yFy_F : une fraction.

Réponse attendue : 2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère, B(1 ;0)B(1\,;0) et D(0 ;1).D(0\,;1). Calcule les composantes de BD→.\overrightarrow{BD}.
  2. FF est aux deux tiers de la diagonale en partant de BB : BF→=23 BD→.\overrightarrow{BF} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BD}.

Correction

  1. Le vecteur BD — B(1 ;0);D(0 ;1);BD→(−11)B(1\,;0) \quad ; \quad D(0\,;1) \quad ; \quad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
  2. Le point F — BF→=23 BD→  ⟺  xF=1−23;yF=0+23\overrightarrow{BF} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BD} \iff x_F = 1 - \tfrac{2}{3} \quad ; \quad y_F = 0 + \tfrac{2}{3}
  3. yF=23y_F = \dfrac{2}{3}

Ainsi E(23 ;13)E\left(\tfrac{2}{3}\,;\tfrac{1}{3}\right) et F(13 ;23).F\left(\tfrac{1}{3}\,;\tfrac{2}{3}\right). Partager un segment, c'est partir d'une extrémité et ajouter une fraction de ses composantes.

Pièges anticipés

  • 1/3 → 13\tfrac{1}{3} est l'ordonnée de E,E, le premier point, du côté de B.B. FF est deux fois plus loin : aux deux tiers.
  • 1/2 → 12\tfrac{1}{2} correspond au milieu de [BD].[BD]. Les points EE et FF partagent la diagonale en trois.
  • 0.67 / 0.667 / 0.6667 / 0.66 / 0.7 → C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte de yFy_F : une fraction.

Exercice 100 · raisonnement

Une médiane, un alignement

Soit ABCABC un triangle, II le milieu de [BC][BC] et JJ le milieu de [AC].[AC]. Le point GG vérifie AG→=23 AI→.\overrightarrow{AG} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AI}. On munit le plan du repère (A,AB→,AC→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

Montrer que les points B,B, GG et JJ sont alignés, en déterminant le réel kk tel que BG→=k BJ→.\overrightarrow{BG} = k\,\overrightarrow{BJ}.

Donner la valeur exacte de kk : une fraction.

Réponse attendue : 2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère : B(1 ;0),B(1\,;0), C(0 ;1),C(0\,;1), I(12 ;12)I\left(\tfrac{1}{2}\,;\tfrac{1}{2}\right) et J(0 ;12).J\left(0\,;\tfrac{1}{2}\right). Calcule les coordonnées de G.G.
  2. G(13 ;13).G\left(\tfrac{1}{3}\,;\tfrac{1}{3}\right). Compare les composantes de BG→\overrightarrow{BG} et de BJ→.\overrightarrow{BJ}.

Correction

  1. Le point G — AG→=23 AI→  ⟺  G(23×12 ;23×12)=G(13 ;13)\overrightarrow{AG} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AI} \iff G\left(\tfrac{2}{3} \times \tfrac{1}{2}\,;\tfrac{2}{3} \times \tfrac{1}{2}\right) = G\left(\tfrac{1}{3}\,;\tfrac{1}{3}\right)
  2. Les vecteurs — BG→(−2313);BJ→(−112)\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{BJ}\begin{pmatrix} -1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}
  3. Chaque composante de BG→\overrightarrow{BG} est les deux tiers de celle de BJ→.\overrightarrow{BJ}.k=23k = \dfrac{2}{3}

BG→=23 BJ→\overrightarrow{BG} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BJ} : GG est aussi sur la médiane (BJ),(BJ), aux deux tiers à partir de B.B. C'est le centre de gravité, et le repère choisi l'a montré en quelques lignes.

Pièges anticipés

  • 3/2 → Tu as trouvé BJ→=32 BG→.\overrightarrow{BJ} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BG}. On cherche kk tel que BG→=k BJ→.\overrightarrow{BG} = k\,\overrightarrow{BJ}.
  • 1/3 → 13,\tfrac{1}{3}, c'est la part qui reste, de GG à J.J. La question porte sur BG→,\overrightarrow{BG}, à partir de B.B.
  • 0.67 / 0.667 / 0.6667 / 0.66 / 0.7 → C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte de kk : une fraction.

Exercice 101 · defi

Où (DF) coupe [BC]

Soit ABCDABCD un parallélogramme. Le point FF de la diagonale [AC][AC] vérifie AF→=34 AC→.\overrightarrow{AF} = \tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AC}. La droite (DF)(DF) coupe le côté [BC][BC] en un point K.K. On munit le plan du repère (A,AB→,AD→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}).

Déterminer l'ordonnée yKy_K du point KK dans ce repère.

Donner la valeur exacte de yKy_K : une fraction.

Réponse attendue : 2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère : B(1 ;0),B(1\,;0), C(1 ;1),C(1\,;1), D(0 ;1)D(0\,;1) et F(34 ;34).F\left(\tfrac{3}{4}\,;\tfrac{3}{4}\right). Le côté [BC][BC] est formé de points d'abscisse 11 : K(1 ;y).K(1\,;y).
  2. D,D, FF et KK sont alignés : DF→(34−14)\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix} \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} \end{pmatrix} et DK→(1y−1)\overrightarrow{DK}\begin{pmatrix} 1 \\ y - 1 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Correction

  1. Les points — D(0 ;1);F(34 ;34);K(1 ;y)D(0\,;1) \quad ; \quad F\left(\tfrac{3}{4}\,;\tfrac{3}{4}\right) \quad ; \quad K(1\,;y)
  2. Produit en croix — 34 (y−1)=−14×1  ⟺  y−1=−13\tfrac{3}{4}\,(y - 1) = -\tfrac{1}{4} \times 1 \iff y - 1 = -\tfrac{1}{3}
  3. yK=23y_K = \dfrac{2}{3}

K(1 ;23)K\left(1\,;\tfrac{2}{3}\right) : comme B(1 ;0)B(1\,;0) et C(1 ;1),C(1\,;1), on a BK→=23 BC→.\overrightarrow{BK} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BC}. Une question d'intersection devient un produit en croix, dès qu'on a choisi le bon repère.

Pièges anticipés

  • -1/3 → −13,-\tfrac{1}{3}, c'est y−1,y - 1, la deuxième composante de DK→.\overrightarrow{DK}. Il reste à ajouter 1.1.
  • 3/4 / 0.75 → 34\tfrac{3}{4} est l'ordonnée de F.F. Le point KK est plus loin sur la droite (DF),(DF), sur le côté [BC][BC] d'abscisse 1.1.
  • 0.67 / 0.667 / 0.6667 / 0.66 / 0.7 → C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte de yKy_K : une fraction.

Exercice 102 · defi

Une droite qui sort du triangle

Soit ABCABC un triangle, MM le milieu de [AB][AB] et NN le point tel que AN→=13 AC→.\overrightarrow{AN} = \tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AC}. La droite (MN)(MN) coupe la droite (BC)(BC) en un point P.P. On munit le plan du repère (A,AB→,AC→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

Déterminer le réel kk tel que BP→=k BC→.\overrightarrow{BP} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de kk : un nombre.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère : B(1 ;0),B(1\,;0), C(0 ;1),C(0\,;1), M(12 ;0)M\left(\tfrac{1}{2}\,;0\right) et N(0 ;13).N\left(0\,;\tfrac{1}{3}\right). Écris PP à l'aide de kk : BP→=k BC→\overrightarrow{BP} = k\,\overrightarrow{BC} donne P(1−k ;k).P(1 - k\,;k).
  2. M,M, N,N, PP sont alignés : MN→(−1213)\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} et MP→(12−kk)\overrightarrow{MP}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} - k \\ k \end{pmatrix} sont colinéaires.
  3. Le produit en croix donne −12 k=13(12−k).-\tfrac{1}{2}\,k = \tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{2} - k\right). Multiplie tout par 6.6.

Correction

  1. Le point P — BC→(−11);P(1−k ;k)\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad P(1 - k\,;k)
  2. Les vecteurs — MN→(−1213);MP→(12−kk)\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{MP}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} - k \\ k \end{pmatrix}
  3. Produit en croix — −12 k=13(12−k)  ⟺  −3k=1−2k-\tfrac{1}{2}\,k = \tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{2} - k\right) \iff -3k = 1 - 2k
  4. k=−1k = -1

BP→=−BC→\overrightarrow{BP} = -\overrightarrow{BC} : P(2 ;−1)P(2\,;-1) est hors du segment [BC],[BC], au-delà de B,B, et BB est le milieu de [PC].[PC]. Le signe de kk dit de quel côté de BB se trouve P.P.

Pièges anticipés

  • 1 → Avec k=1,k = 1, PP serait en C,C, qui n'est pas sur (MN).(MN). Reprends le produit en croix : −3k=1−2k-3k = 1 - 2k donne k=−1.k = -1.
  • 3/2 → Ton produit en croix a mélangé les lignes : tu as écrit −12(12−k)=13 k.-\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2} - k\right) = \tfrac{1}{3}\,k. On multiplie en diagonale, la première composante de l'un par la deuxième de l'autre : −12 k=13(12−k).-\tfrac{1}{2}\,k = \tfrac{1}{3}\left(\tfrac{1}{2} - k\right).