Activités numériques II
1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum el chapitre mte3 l'écriture. Nafs el nombre najjmou nektbouh b trois tor9at mekhtelfin, w koll écriture tekhdemna fi 7aja. Bech nchoufou les puissances, l'écriture scientifique et les racines carrées.
عسلامة ! لْيوم الشابيتر متاع l'écriture. نفس الـ nombre نجّمو نكتبوه بـ trois طرق مختلفين، w كلّ écriture تخدمنا في حاجة. باش نشوفو les puissances، l'écriture scientifique et les racines carrées.
Bonjour ! Aujourd'hui, le chapitre de l'écriture. Le même nombre peut s'écrire de trois façons différentes, et chaque écriture sert à quelque chose. On va voir les puissances, l'écriture scientifique, et les racines carrées.
Ce chapitre est un chapitre d'écriture. Le même nombre peut s'écrire ou : ce sont trois façons de dire la même chose, et chacune sert à quelque chose de différent.
Apprendre à passer de l'une à l'autre — puissances, écriture scientifique, radicaux — c'est ce qui permet ensuite de calculer vite et sans calculatrice.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Utiliser le produit en croix, additionner, multiplier et diviser des quotientsUtiliser le produit en croix, additionner, multiplier et diviser des quotients.Utiliser le produit en croix, additionner, multiplier et diviser des quotients.
- Appliquer les règles de calcul sur les puissances à exposant entier relatifAppliquer les règles de calcul sur les puissances à exposant entier relatif.Appliquer les règles de calcul sur les puissances à exposant entier relatif.
- Écrire un nombre en écriture scientifique avec Écrire un nombre en écriture scientifique, a fois 10 puissance n, avec la valeur absolue de a entre 1 inclus et 10 exclu.Écrire un nombre en écriture scientifique, a fois 10 puissance n, avec la valeur absolue de a entre 1 inclus et 10 exclu.
- Simplifier une racine carrée en extrayant le plus grand carré parfaitSimplifier une racine carrée en extrayant le plus grand carré parfait.Simplifier une racine carrée en extrayant le plus grand carré parfait.
- Réduire une somme de radicaux de même radicandeRéduire une somme de radicaux de même radicande.Réduire une somme de radicaux de même radicande.
- Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient en utilisant l'expression conjuguéeRendre rationnel le dénominateur d'un quotient avec l'expression conjuguée.Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient avec l'expression conjuguée.
- Savoir ce qui conserve une inégalité et ce qui la renverseSavoir ce qui conserve une inégalité et ce qui la renverse.Savoir ce qui conserve une inégalité et ce qui la renverse.
- Ranger et selon que ou Ranger a, a au carré et racine carrée de a, selon que a est supérieur ou égal à 1, ou compris entre 0 et 1.Ranger a, a au carré et racine carrée de a, selon que a est supérieur ou égal à 1, ou compris entre 0 et 1.
1. Activité
Compter les facteurs plutôt qu'apprendre par cœur
Ce qu’il dit
9bal ma na7fdhou les règles, barra n3addouhom. Ekteb 2 puissance 3 w 2 puissance 4 bel facteurs el koll, w 3edd 9adech marra yodhher le facteur 2. 3awed nafs el 7aja m3a 10 puissance 5 sur 10 puissance 2. Elli bech tal9ah houwa elli bech ykhallik ma ta7fedh walou.
قبل ما نحفظو les règles، برّة نعدّوهم. أكتب 2 puissance 3 w 2 puissance 4 بالـ facteurs الكلّ، w عدّ قدّاش مرّة يظهر le facteur 2. عاود نفس الحاجة مع 10 puissance 5 sur 10 puissance 2. الّي باش تلقاه هوّ الّي باش يخلّيك ما تحفظ والو.
Avant d'apprendre les règles, comptons-les. Écris 2 puissance 3 et 2 puissance 4 avec tous leurs facteurs, et compte combien de fois le facteur 2 apparaît. Recommence avec 10 puissance 5 sur 10 puissance 2. Ce que tu vas trouver, c'est ce qui te dispensera d'apprendre quoi que ce soit par cœur.
- 1.Écris et en développant tous leurs facteurs, puis écris leur produit et compte combien de fois le facteur apparaît.
- 2.Recommence avec : écris les facteurs en haut et en bas, puis simplifie.
- 3.D'après ce que tu obtiens, que se passe-t-il pour les exposants dans un produit ? dans un quotient ?
Les règles de ce chapitre ne s'apprennent pas : elles se recomptent. Une règle oubliée se retrouve en dix secondes par ce procédé.
Exemple traité
Ce que donne le comptage.
- Le produit — Trois facteurs, puis quatre : sept en tout.
- Le quotient — Deux facteurs du haut se simplifient avec les deux du bas.
- Dans un produit les exposants s'ajoutent, dans un quotient ils se retranchent.
À ne pas faire : — . Le comptage le montre : on compte des facteurs on n'en fabrique pas de nouveaux.
2. Propriété
Le calcul sur les quotients
Ce qu’il dit
3 règles tokhdmek essena el koll. Le produit en croix : a sur b égale c sur d ma3neha a d égale b c. La somme : lezem dénominateur commun, w b d dima yemchi. W la division : te9sem 3ala quotient ma3neha tmultiplier bel inverse mte3ou — hedhi hiya elli tetnsa.
3 règles تخدمك السنة الكل. le produit en croix : a sur b égale c sur d معناها a d égale b c . la somme : لازم dénominateur commun ، w b d دايما يمشي. w la division : تقسم على quotient معناها تـ multiplier بالـ inverse متاعه — هاذي هي اللي تتنسى.
Trois règles qui te serviront toute l'année. Le produit en croix : a sur b égale c sur d veut dire a d égale b c. Pour la somme, il faut un dénominateur commun, et b d convient toujours. Et pour la division : diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse — c'est celle qu'on oublie.
Premier bloc du Retenir du chapitre, et celui dont tout le reste de l'année se sert. Soient et des réels, avec et ; pour l'inverse de il faut en plus et pour diviser par il faut
Le produit en croix transforme une égalité de quotients en une égalité de produits — c'est lui qui permet de résoudre une équation où l'inconnue est au numérateur ou au dénominateur.
Pour la somme, il faut un dénominateur commun, et en est toujours un. Pour le produit, rien à mettre au même dénominateur : on multiplie en ligne.
Et diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : c'est la règle qu'on oublie le plus souvent.
produit en croix
somme
produit
inverse
quotient
Exemple traité
Calculer puis Déterminer ensuite tel que
- La somme — convient toujours. Ici suffirait, mais la formule ne demande pas de chercher le plus petit.
- On rend irréductible en divisant par
- Le quotient de quotients — Diviser par c'est multiplier par
- Le produit en croix —
À ne pas faire : — . On n'additionne ni les numérateurs ni les dénominateurs. Contrôle d'ordre de grandeur : vaut déjà la somme dépasse donc — alors que vaut
À ne pas faire : — . C'est la règle du produit appliquée à une division. Diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : le second quotient se retourne.
3. Propriété
Les puissances à exposant entier
Ce qu’il dit
El oss essaleb ma ya3nich ennatija salba : ma3neha l'inverse. 2 puissance moins 3 égale un sur 8, w houwa positif.
الأسّ السالب ما يعنيش النتيجة سالبة : معناها l'inverse. 2 puissance moins 3 égale un sur 8، و هو positif.
Un exposant négatif ne veut pas dire que le résultat est négatif : il veut dire l'inverse. 2 puissance moins 3 égale un sur 8, et c'est positif.
Pour et entier naturel non nul :
- — quel que soit non nul
- — un exposant négatif, c'est un inverse, pas un nombre négatif
Les cinq règles ci-dessous se démontrent toutes en comptant les facteurs. Ne les apprends pas par cœur sans les avoir vérifiées une fois sur un exemple : c'est ce qui évite de les confondre.
Produit
Quotient
Puissance de puissance
Produit élevé
Exposant négatif
Exemple traité
Écrire sous la forme puis calculer
- Au numérateur — Produit de puissances de même base : on ajoute les exposants.
- Le quotient — On retire l'exposant du dénominateur.
À ne pas faire : — . On ajoute les exposants, mais la base ne change pas. Elle n'est jamais multipliée par elle-même.
À ne pas faire : est négatif — . Un exposant négatif fabrique un inverse, pas un nombre négatif.
4. Méthode
L'écriture scientifique
Ce qu’il dit
L'écriture scientifique hiya a fois 10 puissance n, b chart un : 1 inférieur ou égal à la valeur absolue de a, w la valeur absolue de a strictement inférieure à 10. Hal chart houwa elli y5alli l'écriture unique. Bleh, 342 najjmou nektbouh b trois tor9at, w ma na3rfouch anhi essa7i7a.
l'écriture scientifique هي a fois 10 puissance n، بشرط un : 1 inférieur ou égal à la valeur absolue de a، w la valeur absolue de a strictement inférieure à 10. هالشرط هو الّي يخلّي l'écriture وحيدة. بلاه، 342 نجّمو نكتبوه بـ trois طرق، w ما نعرفوش أنهي الصحيحة.
L'écriture scientifique, c'est a fois 10 puissance n, avec une condition : 1 inférieur ou égal à la valeur absolue de a, et la valeur absolue de a strictement inférieure à 10. C'est cette condition qui rend l'écriture unique. Sans elle, 342 pourrait s'écrire de trois façons, et on ne saurait pas laquelle est la bonne.
L'écriture scientifique d'un nombre non nul est son écriture sous la forme
avec et
La condition sur est ce qui rend l'écriture unique : sans elle, pourrait s'écrire ou et on ne pourrait plus comparer deux nombres d'un coup d'œil.
Méthode : place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs tu l'as déplacée. Vers la gauche, est positif ; vers la droite, est négatif.
La forme
Exemple traité
Donner l'écriture scientifique de puis de
- : la virgule passe de la fin à après le soit rangs vers la gauche.
- : la virgule avance de rangs vers la droite pour atteindre le
- Vérification — Dans les deux cas, le nombre devant est bien compris entre et
À ne pas faire : — . L'égalité est vraie, mais ce n'est pas une écriture scientifique : n'est pas compris entre et
5. Définition
La racine carrée
Ce qu’il dit
Racine carrée de a houwa l'unique nombre positif dont le carré vaut a. Deux kelmet mohimmin fel jomla hedhi : positif, w a supérieur ou égal à zéro. La racine carrée d'un nombre négatif ma tetwjedch fi ℝ. W rodd belek : les règles tekhdem 3ala le produit w le quotient berk — ma thammech règle 3ala la somme.
racine carrée de a هو l'unique nombre positif dont le carré vaut a. deux كلمات مهمّين في الجملة هاذي : positif، w a supérieur ou égal à zéro. la racine carrée d'un nombre négatif ما تتوجدش في ℝ. w رد بالك : les règles تخدم على le produit w le quotient برك — ما ثمّاش règle على la somme.
La racine carrée de a, c'est l'unique nombre positif dont le carré vaut a. Deux mots comptent dans cette phrase : positif, et a supérieur ou égal à zéro. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ. Et attention : les règles portent sur le produit et le quotient seulement — il n'y en a aucune pour la somme.
Pour tout réel est l'unique nombre positif dont le carré vaut . Deux mots comptent dans cette phrase : positif, et . La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans
Les deux règles utiles portent sur le produit et le quotient — et seulement sur eux. Il n'existe aucune règle pour la somme : ne se simplifie pas.
Définition
Racine d'un carré
Produit
Quotient
Démonstration
Soient et
Le nombre est positif, comme produit de deux nombres positifs. Calculons son carré :
C'est donc un nombre positif dont le carré vaut Par définition de la racine carrée, il est égal à
La même démarche, avec donne la règle du quotient.
Exemple traité
Simplifier puis calculer
- Carré parfait — On cherche le plus grand carré parfait qui divise : c'est
- Produit — On regroupe sous une seule racine avant de simplifier.
À ne pas faire : — . La racine carrée ne se distribue pas sur une somme. Elle ne se distribue que sur un produit ou un quotient.
6. Méthode
Réduire une somme de radicaux
Ce qu’il dit
Ma tnajjamch tejma3 deux radicaux ken idha ken 3andhom nafs le radicande — nafs el nombre ta7t la racine. Bel dhabt kif les termes en x : 2 x plus 3 x égale 5 x, amma 2 x plus 3 y ma tetjma3ch. Etari9a deux 5otwet : tbassat koll radical b le plus grand carré parfait, w baad tejma3 elli wallaw kif b3adhhom.
ما تنجّمش تجمع deux radicaux كان إذا كان عندهم نفس le radicande — نفس الـ nombre تحت la racine. بالضبط كيف les termes en x : 2 x plus 3 x égale 5 x، أمّا 2 x plus 3 y ما تتجمعش. الطريقة deux خطوات : تبسّط كلّ radical بـ le plus grand carré parfait، w بعد تجمع الّي ولّاو كيف بعضهم.
On ne peut additionner deux radicaux que s'ils ont le même radicande — le même nombre sous la racine. Exactement comme les termes en x : 2 x plus 3 x égale 5 x, mais 2 x plus 3 y ne se réduit pas. La méthode tient en deux temps : simplifier chaque radical avec son plus grand carré parfait, puis regrouper ceux qui sont devenus semblables.
On ne peut additionner deux radicaux que s'ils ont le même radicande — le même nombre sous la racine. C'est exactement comme pour les termes en : mais ne se réduit pas.
La méthode tient donc en deux temps :
- 1.simplifier chaque radical en extrayant son plus grand carré parfait ;
- 2.regrouper ceux qui ont le même radicande, en additionnant leurs coefficients.
Regroupement
Exemple traité
Simplifier
- Extraire — Chaque nombre contient un carré parfait multiplié par
- Regrouper — Les trois radicandes sont identiques : on additionne les coefficients.
À ne pas faire : — . On n'additionne pas les radicandes. On simplifie d'abord, puis on regroupe les coefficients.
7. Méthode
Rendre un dénominateur rationnel
Ce qu’il dit
Ma nkhalliwch natija b une racine au dénominateur : ma tnajjamch t9arenha w la ta3melha encadrement. Nodhorbou le numérateur et le dénominateur b l'expression conjuguée. L'expression conjuguée de a moins b hiya a plus b, w el 3aks. Le produit mte3hom ytayyar les racines b fadhl l'identité a au carré moins b au carré.
ما نخلّيوش نتيجة بـ une racine au dénominateur : ما تنجّمش تقارنها w لا تعملها encadrement. نضربو le numérateur et le dénominateur بـ l'expression conjuguée. l'expression conjuguée de a moins b هي a plus b، w العكس. le produit متاعهم يطيّر les racines بفضل l'identité a au carré moins b au carré.
On ne laisse pas un résultat avec une racine au dénominateur : on ne peut ni le comparer ni l'encadrer. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée. L'expression conjuguée de a moins b, c'est a plus b, et réciproquement. Leur produit fait disparaître les racines grâce à l'identité a au carré moins b au carré.
Un résultat ne se laisse pas avec une racine au dénominateur : on ne peut ni le comparer ni l'encadrer facilement. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée.
L'expression conjuguée de est et réciproquement. Le produit des deux fait disparaître les racines grâce à l'identité
Attention : multiplier seulement le dénominateur change la valeur du quotient. Les deux doivent être multipliés.
L'outil
Cas simple
Exemple traité
Rends rationnel le dénominateur de
- Le conjugué — Celui de est On multiplie en haut et en bas.
- Le dénominateur devient une différence de deux carrés.
À ne pas faire : On multiplie seulement le dénominateur par le conjugué — On multiplie le numérateur et le dénominateur. Multiplier le haut et le bas par la même quantité ne change pas le quotient. Multiplier un seul des deux le change.
8. Propriété
Les règles de comparaison
Ce qu’il dit
Elli yhafedh 3al ordre : tzid nafs echay lzouz, walla tmultiplier b positif. Elli ye9elbou : tmultiplier b négatif, walla temchi l les inverses. W tfakker el bascule : ken a akbar men 1, racine de a asghar men a asghar men a carré. W ken a bin zéro w 1, el koll yet9leb.
اللي يحافظ عالـ ordre : تزيد نفس الشيء للزوز ، ولّا تـ multiplier بـ positif . اللي يقلبه : تـ multiplier بـ négatif ، ولّا تمشي لـ les inverses . w تفكّر البسكيل : كان a أكبر من 1 ، racine de a أصغر من a أصغر من a carré . w كان a بين zéro w 1 ، الكل يتقلب.
Ce qui conserve l'ordre : ajouter la même chose aux deux membres, ou multiplier par un positif. Ce qui le renverse : multiplier par un négatif, ou passer aux inverses. Et retiens la bascule : si a est plus grand que 1, alors racine de a est plus petit que a, lui-même plus petit que a au carré. Et si a est entre zéro et un, tout s'inverse.
Dernier bloc du Retenir, et le plus long. Comparer, ce n'est pas seulement savoir lequel est le plus grand : c'est savoir ce que deviennent deux nombres rangés quand on leur fait subir la même opération.
Le signe d'un produit ou d'un quotient suit une seule règle : même signe donne un résultat positif, signes contraires un résultat négatif.
Ce qui conserve l'ordre : ajouter un même réel aux deux membres ; multiplier par un réel positif ; élever au carré ou prendre la racine, quand les deux sont positifs.
Ce qui le renverse : multiplier par un réel négatif, et passer aux inverses quand les deux sont de même signe.
Deux encadrements enfin, qui surprennent toujours et qui se retiennent ensemble : selon que le nombre est plus grand ou plus petit que la racine et le carré changent de côté.
la méthode de base
positif : conserve
négatif : renverse
Exemple traité
Ranger dans l'ordre croissant et d'abord pour puis pour
- Pour a égal à 4 — : on est dans le premier cas.
- Pour a égal à 0,25 — : tout s'inverse.
- La bascule se comprend d'une phrase : multiplier par un nombre plus petit que 1 fait diminuer. Élever au carré, c'est multiplier par soi-même ; si cela rapetisse.
À ne pas faire : donc — donc . Multiplier par un négatif renverse l'inégalité. Contrôle avec : et est bien vrai.
À ne pas faire : Le carré d'un nombre est toujours plus grand que lui. — Seulement si (ou ).. Pour on a plus petit. C'est exactement la seconde règle d'encadrement.
À ne pas faire : donc — si et sont de même signe. Passer aux inverses renverse l'ordre. Et la condition compte : mais n'est pas inférieur à
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- : on ajoute les exposants, la base ne bouge pas.a puissance m fois a puissance n égale a puissance (m plus n) : tzid les exposants, w la base ma tet7arrakch.a puissance m fois a puissance n égale a puissance (m plus n) : on ajoute les exposants, la base ne bouge pas.
- : un exposant négatif donne un inverse, pas un négatif.a puissance moins n égale 1 sur a puissance n : l'exposant négatif ya3tik inverse, mouch nombre négatif.a puissance moins n égale 1 sur a puissance n : un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif.
- Écriture scientifique : avec La condition sur la rend unique.L'écriture scientifique : a fois 10 puissance n, w la valeur absolue de a entre 1 inclus et 10 exclu. Hal condition hiya elli t5alliha unique.L'écriture scientifique : a fois 10 puissance n, avec la valeur absolue de a entre 1 inclus et 10 exclu. C'est cette condition qui la rend unique.
- mais Racine carrée de a b égale racine carrée de a fois racine carrée de b. Amma racine carrée de (a plus b), mouch racine carrée de a plus racine carrée de b.Racine carrée de a b égale racine carrée de a fois racine carrée de b, mais racine carrée de (a plus b) n'est pas racine carrée de a plus racine carrée de b.
- Pour additionner des radicaux, il faut le même radicande : on simplifie d'abord.Bech tadditionner des radicaux, lezem le même radicande : tsimplifier 9bal.Pour additionner des radicaux, il faut le même radicande : on simplifie d'abord.
- Pour supprimer une racine au dénominateur, on multiplie en haut et en bas par le conjugué.Bech tna77i la racine mel dénominateur, todhrob el fou9 w el louta fi le conjugué.Pour supprimer une racine au dénominateur, on multiplie en haut et en bas par le conjugué.
- et diviser par un quotient c'est multiplier par son inverse.a sur b égale c sur d ma3neha a d égale b c. W te9sem 3ala quotient ma3neha tmultiplier bel inverse mte3ou.a sur b égale c sur d veut dire a d égale b c, et diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse.
- Multiplier une inégalité par un négatif la renverse. Passer aux inverses aussi, si les deux nombres sont non nuls et de même signe.Ki todhrob une inégalité fi un nombre négatif, t9allebha. W ki t3addi lel inverses zeda, ken les deux nombres sont non nuls et de même signe.Multiplier une inégalité par un négatif la renverse. Passer aux inverses aussi, si les deux nombres sont non nuls et de même signe.
- ; Ken a supérieur ou égal à 1, mel sghir lel kbir : racine carrée de a, a, a au carré. W ken a entre 0 et 1, bel 3aks : a au carré, a, racine carrée de a.Si a est supérieur ou égal à 1, du plus petit au plus grand : racine carrée de a, a, a au carré. Si a est entre 0 et 1, c'est l'inverse : a au carré, a, racine carrée de a.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Compter les facteurs plutôt qu'apprendre par cœur
- pourquoi on additionne les exposants
- 3lech nzidou les exposants ki nadhrbou
- quand on multiplie deux puissances on ajoute les exposants, pourquoi
- exposants yetzadou 3lech
- pk on ajoute les exposants dans un produit
- 3^2 × 3^3 3lech nzidou les exposants
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La puissance ma3neha des facteurs mkarrin. $3^{2}$ houwa 3 × 3, w $3^{3}$ houwa 3 × 3 × 3. Ki nodhorbouhom, n3addou les facteurs : 2 + 3, ya3ni cinq facteurs 3. 3ala hakka les exposants yetzadou : $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$.
la puissance معناها des facteurs مكرّرين . 3 au carré هو 3 fois 3 ، w 3 au cube هو 3 fois 3 fois 3 . كي نضربوهم ، نعدّو les facteurs : deux plus trois ، يعني cinq facteurs 3 . على هكّا les exposants يتزادو : a puissance m fois a puissance n égale a puissance (m plus n) .
Une puissance, ce sont des facteurs répétés. 3 au carré, c'est 3 fois 3, et 3 au cube, c'est 3 fois 3 fois 3. Quand on les multiplie, on compte les facteurs : deux plus trois, soit cinq facteurs 3. Voilà pourquoi les exposants s'ajoutent : a puissance m fois a puissance n égale a puissance (m plus n).
Question 2 · Compter les facteurs plutôt qu'apprendre par cœur
- pourquoi on soustrait les exposants dans un quotient
- quotient de deux puissances, les exposants kifech
- division de deux puissances on soustrait les exposants ?
- 3lech natra7ou les exposants ki nediviziw
- 7^5 divisé par 7^2 3lech 7 puissance 3
- puissance sur puissance de meme base kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi quotient, les facteurs elli el fou9 yetbassttou m3a elli el louta. $\frac{7^{5}}{7^{2}}$ : deux facteurs 7 mel fou9 yemchiw m3a les deux elli louta, w yob9aw trois. 3ala hakka natra7ou les exposants : $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$.
في quotient ، les facteurs اللي الفوق يتبسّطو مع اللي اللوطة . 7 puissance 5 sur 7 puissance 2 : deux facteurs 7 مالفوق يمشيو مع les deux اللوطة ، w يبقاو trois . على هكّا نطرحو les exposants : a puissance m sur a puissance n égale a puissance (m moins n) .
Dans un quotient, les facteurs du haut se simplifient avec ceux du bas. 7 puissance 5 sur 7 puissance 2 : deux facteurs 7 du haut partent avec les deux du bas, et il en reste trois. C'est pour ça qu'on retranche les exposants : a puissance m sur a puissance n égale a puissance (m moins n).
Question 3 · Les puissances à exposant entier
- pourquoi la base ne change pas
- 3lech la base ma tetbaddelch
- est-ce qu'on multiplie les bases entre elles
- 5^2 × 5^3 = 25^5 wala 5^5, la base kifech
- la base tetdhreb fi rou7ha ?
- fel produit de puissances la base tetbaddel ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les exposants yetzadou, ama la base tob9a kif ma hiya. $5^{2} \times 5^{3}$ fiha cinq facteurs, w koll wa7ed menhom 5 : el natija $5^{5}$, mouch $25^{5}$. N3addou des facteurs 5, ma nsan3ouch facteurs jdod.
les exposants يتزادو ، أما la base تبقى كيف ما هي . 5 au carré fois 5 au cube فيها cinq facteurs ، w كل واحد منهم 5 : النتيجة 5 puissance 5 ، موش 25 puissance 5 . نعدّو des facteurs 5 ، ما نصنعوش facteurs جدد .
Les exposants s'ajoutent, mais la base reste la même. 5 au carré fois 5 au cube contient cinq facteurs, et chacun vaut 5 : le résultat est 5 puissance 5, pas 25 puissance 5. On compte des facteurs 5, on n'en fabrique pas de nouveaux.
Question 4 · Les puissances à exposant entier
- deux puissances de bases différentes kifech
- bases mouch kif kif nzidou les exposants ?
- si les bases sont différentes on fait quoi
- la règle des exposants marche avec des bases différentes ?
- base mekhtelfa kifech na7seb
- 2^3 × 5^2 les bases différentes
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les règles mte3 les exposants ma ye5dmou ken m3a nafs la base. $2^{3} \times 5^{2}$ ma najjmouch njam3oulhom les exposants : na7sbou koll puissance wa7adha, 8 × 25 = 200. Ama ken l'exposant kif kif, nesta3mlou $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$ : $2^{3} \times 5^{3} = 10^{3}$.
les règles متاع les exposants ما يخدمو كان مع نفس la base . 2 au cube fois 5 au carré ما نجّموش نجمعولهم les exposants : نحسبو كل puissance وحدها ، 8 fois 25 égale 200 . أما كان l'exposant كيف كيف ، نستعملو a fois b ، puissance n ، égale a puissance n fois b puissance n : 2 au cube fois 5 au cube égale 10 au cube .
Les règles sur les exposants ne marchent qu'avec la même base. Dans 2 au cube fois 5 au carré, on ne peut pas ajouter les exposants : on calcule chaque puissance, 8 fois 25 égale 200. Mais si c'est l'exposant qui est le même, on utilise a fois b, puissance n, égale a puissance n fois b puissance n : 2 au cube fois 5 au cube égale 10 au cube.
Question 5 · Les puissances à exposant entier
- 3lech a puissance 0 égale 1
- pourquoi a puissance 0 = 1
- puissance zéro chnowa ta3ti
- 5 puissance 0 égale 0 wala 1 ?
- un nombre à la puissance 0 ça fait combien
- exposant 0 3lech ya3ti 1
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nekhdhou $\frac{5^{3}}{5^{3}}$ : 7asb la règle du quotient, houwa $5^{3-3} = 5^{0}$. W zeda un nombre non nul sur lui-même ya3ti 1. Donc $5^{0} = 1$, w hakka l koll a non nul.
ناخذو 5 au cube sur 5 au cube : حسب la règle du quotient ، هو 5 puissance (3 moins 3) ، يعني 5 puissance 0 . w زادة un nombre non nul sur lui-même يعطي 1 . donc 5 puissance 0 égale 1 ، w هكّا لكل a non nul .
Prenons 5 au cube sur 5 au cube : d'après la règle du quotient, c'est 5 puissance (3 moins 3), soit 5 puissance 0. Mais un nombre non nul divisé par lui-même donne aussi 1. Donc 5 puissance 0 égale 1, et c'est pareil pour tout a non nul.
Question 6 · Les puissances à exposant entier
- puissance négative ya3ni nombre négatif ?
- pourquoi un exposant négatif ne donne pas un nombre négatif
- exposant bel na9es chnowa
- 10 puissance moins 3 chnowa
- c'est quoi un exposant négatif
- 2 puissance moins 3 négatif ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'exposant négatif ya3ti un inverse, mouch nombre négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$. Par exemple, $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$, w houwa positif. W $2^{-3} = \frac{1}{8}$.
l'exposant négatif يعطي un inverse ، موش nombre négatif : a puissance moins n égale 1 sur a puissance n . par exemple ، 10 puissance moins 3 égale 1 sur 1000 ، يعني 0,001 ، w هو positif . w 2 puissance moins 3 égale 1 sur 8 .
Un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif : a puissance moins n égale 1 sur a puissance n. Par exemple, 10 puissance moins 3 égale 1 sur 1000, soit 0,001, et c'est positif. Et 2 puissance moins 3 égale 1 sur 8.
Question 7 · Les puissances à exposant entier
- puissance de puissance kifech
- pourquoi on multiplie les exposants dans une puissance de puissance
- puissance d'une puissance on ajoute ou on multiplie
- exposant fi parenthèse w exposant barra kifech
- 2 au cube entre parenthèses au carré, 2 puissance 5 wala 2 puissance 6
- c'est quoi une puissance d'une puissance
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(2^{3})^{2}$ ma3neha $2^{3} \times 2^{3}$ : deux groupes, w fi koll groupe trois facteurs 2. El jomla six facteurs, donc $2^{6}$, mouch $2^{5}$. Fi puissance d'une puissance, les exposants yetdhrbou : $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$.
2 au cube ، le tout au carré ، معناها 2 au cube fois 2 au cube : deux groupes ، w في كل groupe trois facteurs 2 . الجملة six facteurs ، donc 2 puissance 6 ، موش 2 puissance 5 . في puissance d'une puissance ، les exposants يتضربو : a puissance m ، le tout puissance n ، égale a puissance (m fois n) .
2 au cube, le tout au carré, c'est 2 au cube fois 2 au cube : deux groupes, et dans chaque groupe trois facteurs 2. Six facteurs en tout, donc 2 puissance 6, pas 2 puissance 5. Dans une puissance d'une puissance, les exposants se multiplient : a puissance m, le tout puissance n, égale a puissance (m fois n).
Question 8 · Les puissances à exposant entier
- est-ce qu'on peut additionner deux puissances
- somme de puissances kifech
- 2 puissance 3 plus 2 puissance 4 égale 2 puissance 7 ?
- puissance plus puissance tetjma3 ?
- règle pour la somme des puissances
- addition de deux puissances de meme base
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ma fammech règle lel somme : les règles mte3 les puissances ma ye5dmou ken m3a le produit w le quotient. $2^{3} + 2^{4}$ na7sbouha : 8 + 16 = 24, w $2^{7} = 128$. Donc na7sbou koll puissance wa7adha, w ba3d njam3ou.
ما فمّاش règle للـ somme : les règles متاع les puissances ما يخدمو كان مع le produit w le quotient . 2 au cube plus 2 puissance 4 نحسبوها : 8 plus 16 égale 24 ، w 2 puissance 7 égale 128 . donc نحسبو كل puissance وحدها ، w من بعد نجمعو .
Il n'existe pas de règle pour la somme : les règles des puissances ne marchent qu'avec le produit et le quotient. 2 au cube plus 2 puissance 4, on le calcule : 8 plus 16 égale 24, alors que 2 puissance 7 égale 128. On calcule donc chaque puissance, puis on additionne.
Question 9 · Le calcul sur les quotients
- c'est quoi le produit en croix
- produit en croix kifech
- quand utiliser le produit en croix
- chnowa produit en croix
- 3lech produit en croix s7i7
- comment trouver x avec le produit en croix
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le produit en croix ybaddel l'égalité de deux quotients b égalité de deux produits : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc$, ki b w d non nuls. Houwa elli ykhallina nal9aw l'inconnue ki tkoun fel numérateur walla fel dénominateur. Par exemple, $\frac{x}{3} = \frac{8}{12}$ ya3ti $12x = 24$, donc $x = 2$.
le produit en croix يبدّل l'égalité de deux quotients بـ égalité de deux produits : a sur b égale c sur d ، يعني a fois d égale b fois c ، كي b w d non nuls . هو اللي يخلّينا نلقاو l'inconnue كي تكون في le numérateur ولّا le dénominateur . par exemple ، x sur 3 égale 8 sur 12 يعطي 12 x égale 24 ، donc x égale 2 .
Le produit en croix transforme une égalité de deux quotients en une égalité de deux produits : a sur b égale c sur d revient à a fois d égale b fois c, avec b et d non nuls. C'est lui qui permet de trouver une inconnue placée au numérateur ou au dénominateur. Par exemple, x sur 3 égale 8 sur 12 donne 12 x égale 24, donc x égale 2.
Question 10 · Le calcul sur les quotients
- kifech nzid zouz fractions
- comment additionner deux fractions
- on additionne les numérateurs et les dénominateurs ?
- somme de deux quotients kifech
- 3lech ma nzidouch les dénominateurs
- fraction 1/2 + 1/3 = 2/5 ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ma njam3ouch les numérateurs w la les dénominateurs. Lezem dénominateur commun, w $bd$ dima yesla7 : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$. Par exemple, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$, mouch $\frac{2}{5}$.
ما نجمعوش les numérateurs w لا les dénominateurs . لازم dénominateur commun ، w b fois d ديما يصلح : a sur b plus c sur d égale a d plus b c ، sur b d . par exemple ، 1 sur 2 plus 1 sur 3 égale 3 sur 6 plus 2 sur 6 ، يعني 5 sur 6 ، موش 2 sur 5 .
On n'additionne ni les numérateurs ni les dénominateurs. Il faut un dénominateur commun, et b fois d convient toujours : a sur b plus c sur d égale a d plus b c, sur b d. Par exemple, 1 sur 2 plus 1 sur 3 égale 3 sur 6 plus 2 sur 6, soit 5 sur 6, et pas 2 sur 5.
Question 11 · Le calcul sur les quotients
- diviser par une fraction kifech
- pourquoi diviser par une fraction c'est multiplier par l'inverse
- fraction sur fraction kifech na7sbouha
- quotient de deux quotients kifech
- 3lech nebdlou la deuxième fraction bel inverse
- chnowa l'inverse d'une fraction
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Diviser par un quotient ma3neha nodhorbou fi l'inverse mte3ou : nbaddlou le deuxième quotient b l'inverse mte3ou, w ba3d nodhorbou en ligne. Par exemple, $\frac{3}{5}$ divisé par $\frac{9}{10}$ : $\frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$. W lezem le deuxième quotient non nul.
diviser par un quotient معناها نضربو في l'inverse متاعو : نبدّلو le deuxième quotient بـ l'inverse متاعو ، w من بعد نضربو en ligne . par exemple ، 3 sur 5 divisé par 9 sur 10 égale 3 sur 5 fois 10 sur 9 ، يعني 30 sur 45 ، w هو 2 sur 3 . w لازم le deuxième quotient non nul .
Diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse : on remplace le second quotient par son inverse, puis on multiplie en ligne. Par exemple, 3 sur 5 divisé par 9 sur 10 égale 3 sur 5 fois 10 sur 9, soit 30 sur 45, c'est-à-dire 2 sur 3. Et le second quotient doit être non nul.
Question 12 · Le calcul sur les quotients
- comment multiplier deux fractions
- fraction fois fraction kifech
- lezem dénominateur commun fel produit de fractions ?
- produit de deux quotients kifech
- kifech nadhreb zouz fractions
- multiplier un nombre par une fraction
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fel produit ma yelzemch dénominateur commun : nodhorbou les numérateurs binethom w les dénominateurs binethom. $\frac{4}{7} \times \frac{5}{3} = \frac{20}{21}$. W ki nodhorbou nombre k fi quotient, nodhorbou ken le numérateur : $3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$.
في le produit ما يلزمش dénominateur commun : نضربو les numérateurs بيناتهم w les dénominateurs بيناتهم . 4 sur 7 fois 5 sur 3 égale 20 sur 21 . w كي نضربو nombre k في quotient ، نضربو كان le numérateur : 3 fois 2 sur 7 égale 6 sur 7 .
Pour un produit, pas besoin de dénominateur commun : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 4 sur 7 fois 5 sur 3 égale 20 sur 21. Et pour multiplier un nombre k par un quotient, on ne multiplie que le numérateur : 3 fois 2 sur 7 égale 6 sur 7.
Question 13 · Le calcul sur les quotients
- 3lech le dénominateur ma ykounech 0
- pourquoi le dénominateur ne peut pas être nul
- dénominateur égal à zéro chnowa ysir
- division par 0 possible ?
- pourquoi b différent de 0 dans a sur b
- on peut diviser par zéro
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Diviser par 0 ma 3andou 7atta ma3na : ma fammech nombre ki nodhorbouh fi 0 ya3ti 5, 5ater n'importe quel nombre × 0 = 0. 3ala hakka fi koll quotient $\frac{a}{b}$, lezem $b \ne 0$. W bech nekhdhou l'inverse de $\frac{a}{b}$, lezem zeda $a \ne 0$.
diviser par 0 ما عندو حتّى معنى : ما فمّاش nombre كي نضربوه في 0 يعطي 5 ، خاطر n'importe quel nombre fois 0 égale 0 . على هكّا في كل quotient a sur b ، لازم b différent de 0 . w باش ناخذو l'inverse de a sur b ، لازم زادة a non nul .
Diviser par 0 n'a aucun sens : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 5, puisque n'importe quel nombre fois 0 égale 0. C'est pour ça que dans tout quotient a sur b, il faut b différent de 0. Et pour prendre l'inverse de a sur b, il faut en plus a non nul.
Question 14 · L'écriture scientifique
- c'est quoi l'écriture scientifique
- chnowa l'écriture scientifique
- écriture scientifique kifech
- comment écrire un nombre en écriture scientifique
- kifech nekteb nombre en écriture scientifique
- notation scientifique c'est quoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'écriture scientifique hiya $a \times 10^{n}$, w $1 \le |a| < 10$. Bech nal9awha, n7ottou la virgule ba3d le premier chiffre non nul, w n3addou 9addech men rang t7arket. Par exemple, $5\,300 = 5{,}3 \times 10^{3}$.
l'écriture scientifique هي a fois 10 puissance n ، w valeur absolue de a supérieur ou égal à 1 w strictement inférieur à 10 . باش نلقاوها ، نحطّو la virgule بعد le premier chiffre non nul ، w نعدّو قدّاش من rang تحرّكت . par exemple ، 5 300 égale 5,3 fois 10 puissance 3 .
L'écriture scientifique, c'est a fois 10 puissance n, avec la valeur absolue de a supérieure ou égale à 1 et strictement inférieure à 10. Pour l'obtenir, on place la virgule juste après le premier chiffre non nul, et on compte de combien de rangs elle a bougé. Par exemple, 5 300 égale 5,3 fois 10 puissance 3.
Question 15 · L'écriture scientifique
- pourquoi a doit être entre 1 et 10 en écriture scientifique
- 3lech a entre 1 w 10
- 57,8 × 10^2 c'est une écriture scientifique ?
- condition sur a fel écriture scientifique
- pourquoi 1 ≤ |a| < 10
- écriture scientifique unique 3lech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La condition $1 \le |a| < 10$ hiya elli tkhalli l'écriture unique. Men gherha, 5 780 najjmou nektbouh $5{,}78 \times 10^{3}$ walla $57{,}8 \times 10^{2}$. $57{,}8 \times 10^{2}$ égalité s7i7a, ama mouch écriture scientifique : 57,8 akbar men 10.
la condition 1 inférieur ou égal à valeur absolue de a ، strictement inférieur à 10 ، هي اللي تخلّي l'écriture unique . من غيرها ، 5 780 نجّمو نكتبوه 5,78 fois 10 puissance 3 ولّا 57,8 fois 10 puissance 2 . 57,8 fois 10 puissance 2 égalité صحيحة ، أما موش écriture scientifique : 57,8 أكبر من 10 .
La condition, valeur absolue de a supérieure ou égale à 1 et strictement inférieure à 10, est ce qui rend l'écriture unique. Sans elle, 5 780 pourrait s'écrire 5,78 fois 10 puissance 3 ou 57,8 fois 10 puissance 2. La seconde égalité est vraie, mais ce n'est pas une écriture scientifique : 57,8 dépasse 10.
Question 16 · L'écriture scientifique
- exposant positif wala négatif fel écriture scientifique
- comment savoir le signe de n en écriture scientifique
- la virgule lel ymin wala lel ysar
- en écriture scientifique pourquoi n est négatif pour 0,007
- nombre inférieur à 1 en écriture scientifique, l'exposant
- kifech na3ref l'exposant fel écriture scientifique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
N7ottou la virgule ba3d le premier chiffre non nul, w n3addou 9addech men rang t7arket. Ken t7arket lel ysar (vers la gauche), le nombre kbir w n positif : $5\,300 = 5{,}3 \times 10^{3}$. Ken t7arket lel ymin (vers la droite), le nombre asghar men 1 w n négatif : $0{,}007 = 7 \times 10^{-3}$.
نحطّو la virgule بعد le premier chiffre non nul ، w نعدّو قدّاش من rang تحرّكت . كان تحرّكت لليسار ، le nombre كبير w n positif : 5 300 égale 5,3 fois 10 puissance 3 . كان تحرّكت لليمين ، le nombre أصغر من 1 w n négatif : 0,007 égale 7 fois 10 puissance moins 3 .
On place la virgule après le premier chiffre non nul, et on compte de combien de rangs elle a bougé. Si elle est allée vers la gauche, le nombre est grand et n est positif : 5 300 égale 5,3 fois 10 puissance 3. Si elle est allée vers la droite, le nombre est plus petit que 1 et n est négatif : 0,007 égale 7 fois 10 puissance moins 3.
Question 17 · L'écriture scientifique
- kifech ncompariw zouz nombres en écriture scientifique
- comment comparer deux nombres en écriture scientifique
- écriture scientifique chkoun akbar 3 × 10^5 wala 9 × 10^4
- l'ordre de deux nombres en écriture scientifique
- comparer avec l'écriture scientifique
- 3lech l'écriture scientifique t3awen bech ncompariw
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Pour deux nombres positifs, nchoufou l'exposant 9bal : elli 3andou l'exposant el akbar houwa el akbar. $3 \times 10^{5} > 9 \times 10^{4}$, 5ater 300 000 > 90 000. Ken l'exposant kif kif, ncompariw a. 3ala hakka la condition entre 1 et 10 mouhimma.
pour deux nombres positifs ، نشوفو l'exposant قْبَلْ : اللي عندو l'exposant الأكبر هو الأكبر . 3 fois 10 puissance 5 أكبر من 9 fois 10 puissance 4 ، خاطر 300 000 أكبر من 90 000 . كان l'exposant كيف كيف ، ncompariw a . على هكّا la condition entre 1 et 10 مهمّة .
Pour deux nombres positifs, on regarde d'abord l'exposant : celui qui a le plus grand exposant est le plus grand. 3 fois 10 puissance 5 est plus grand que 9 fois 10 puissance 4, car 300 000 dépasse 90 000. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres a. C'est pour cela que la condition entre 1 et 10 compte.
Question 18 · La racine carrée
- racine de 9 égale 3 wala moins 3
- 3lech racine carrée dima positive
- racine d'un nombre négatif existe ?
- racine de moins 9 kifech
- pourquoi la racine carrée n'est jamais négative
- racine tnajjem tkoun négative ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\sqrt{a}$ houwa l'unique nombre positif elli le carré mte3ou a. $3^{2} = 9$ w $(-3)^{2} = 9$ zeda, ama $\sqrt{9} = 3$ bark. W $\sqrt{-9}$ ma fammehech fi ℝ : 7atta carré ma yotla3 négatif.
racine de a هو l'unique nombre positif اللي le carré متاعو a . 3 au carré égale 9 ، w (moins 3) au carré égale 9 زادة ، أما racine de 9 égale 3 برك . w racine de moins 9 ما فمّاهاش في ℝ : حتّى carré ما يطلع négatif .
Racine de a, c'est l'unique nombre positif dont le carré vaut a. 3 au carré égale 9, et (moins 3) au carré aussi, mais racine de 9 égale 3, et seulement 3. Quant à racine de moins 9, elle n'existe pas dans ℝ : aucun carré n'est négatif.
Question 19 · La racine carrée
- racine de a plus b égale racine a plus racine b ?
- √(9+16) = 7 ?
- racine d'une somme kifech
- est-ce que la racine se distribue sur une somme
- √2 + √3 = √5 ?
- 3lech racine de a plus b mouch racine a plus racine b
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La racine ma tetwazza3ch 3ala somme. $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ ; ama $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Les règles mte3 la racine ken m3a le produit w le quotient. W $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ma ta3tich $\sqrt{5}$.
la racine ما تتوزّعش على somme . racine de 9 plus racine de 16 égale 3 plus 4 ، يعني 7 ؛ أما racine de (9 plus 16) هي racine de 25 ، يعني 5 . les règles متاع la racine كان مع le produit w le quotient . w racine de 2 plus racine de 3 ما تعطيش racine de 5 .
La racine ne se distribue pas sur une somme. Racine de 9 plus racine de 16 égale 3 plus 4, soit 7 ; mais racine de (9 plus 16), c'est racine de 25, soit 5. Les règles de la racine ne valent que pour le produit et le quotient. Et racine de 2 plus racine de 3 ne donne pas racine de 5.
Question 20 · La racine carrée
- kifech nbasset racine carrée
- comment simplifier une racine carrée
- simplifier racine de 18
- comment écrire racine de 18 sous la forme a racine de b
- racine de 72 kifech tetbasset
- comment extraire un carré d'une racine
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nlawjou 3ala le plus grand carré parfait elli divise le nombre, w nesta3mlou la règle du produit. 18 = 9 × 2, donc $\sqrt{18} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. W 72 = 36 × 2, donc $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
نلوّجو على le plus grand carré parfait اللي divise le nombre ، w نستعملو la règle du produit . 18 égale 9 fois 2 ، donc racine de 18 égale racine de 9 fois racine de 2 ، يعني 3 racine de 2 . w 72 égale 36 fois 2 ، donc racine de 72 égale 6 racine de 2 .
On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre, et on applique la règle du produit. 18 égale 9 fois 2, donc racine de 18 égale racine de 9 fois racine de 2, soit 3 racine de 2. Et 72 égale 36 fois 2, donc racine de 72 égale 6 racine de 2.
Question 21 · La racine carrée
- c'est quoi un carré parfait
- chnowa carré parfait
- carré parfait ya3ni chnowa
- les carrés parfaits chkounhom
- comment savoir si un nombre est un carré parfait
- 8 carré parfait ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Un carré parfait houwa le carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 w hakka. La racine mte3ou entier : $\sqrt{49} = 7$. 8 mouch carré parfait : ma fammech entier ki nodhorbouh fi rou7ou ya3ti 8. Nesta3mlouhom bech nbassttou les racines.
un carré parfait هو le carré d'un entier : 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 w هكّا . la racine متاعو entier : racine de 49 égale 7 . 8 موش carré parfait : ما فمّاش entier كي نضربوه في روحو يعطي 8 . نستعملوهم باش نبسّطو les racines .
Un carré parfait, c'est le carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, et ainsi de suite. Sa racine est un entier : racine de 49 égale 7. 8 n'est pas un carré parfait : aucun entier multiplié par lui-même ne donne 8. On s'en sert pour simplifier les racines.
Question 22 · La racine carrée
- racine de a fois racine de b
- racine de 2 fois racine de 8 kifech
- comment multiplier deux racines
- produit de deux racines carrées
- kifech nadhreb racine fi racine
- est-ce que √a × √b = √(ab)
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, ki a w b positifs. Nejm3ouhom ta7t racine wa7da 9bal ma nbassttou : $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.
racine de a fois racine de b égale racine de (a fois b) ، كي a w b positifs . نجمعوهم تحت racine وحدة قْبَلْ ما نبسّطو : racine de 2 fois racine de 8 égale racine de 16 ، يعني 4 .
Racine de a fois racine de b égale racine de (a fois b), quand a et b sont positifs. On les regroupe sous une seule racine avant de simplifier : racine de 2 fois racine de 8 égale racine de 16, soit 4.
Question 23 · Réduire une somme de radicaux
- kifech njam3 zouz racines
- comment réduire une somme de radicaux
- réduire racine de 8 plus racine de 18
- réduire une somme de racines carrées
- comment additionner des radicaux
- kifech nregroupi les racines
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Njam3ou ken les radicaux elli 3andhom nafs el nombre ta7t la racine, kima $2x + 3x = 5x$. Donc 9bal nbassttou koll racine : $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ w $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Ba3d njam3ou les coefficients : $2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
نجمعو كان les radicaux اللي عندهم نفس الـ nombre تحت la racine ، كيف 2 x plus 3 x égale 5 x . donc قْبَلْ نبسّطو كل racine : racine de 8 égale 2 racine de 2 ، w racine de 18 égale 3 racine de 2 . من بعد نجمعو les coefficients : 2 racine de 2 plus 3 racine de 2 égale 5 racine de 2 .
On ne regroupe que les radicaux qui ont le même nombre sous la racine, comme 2 x plus 3 x égale 5 x. On commence donc par simplifier chaque racine : racine de 8 égale 2 racine de 2, et racine de 18 égale 3 racine de 2. Ensuite on additionne les coefficients : 2 racine de 2 plus 3 racine de 2 égale 5 racine de 2.
Question 24 · Réduire une somme de radicaux
- c'est quoi le radicande
- chnowa radicande
- radicandes différents on peut additionner ?
- racines mouch nafs el radicande kifech
- si les radicandes sont différents
- radicande ya3ni chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le radicande houwa le nombre elli ta7t la racine : fi $5\sqrt{2}$, le radicande houwa 2. Ken les radicandes mekhtelfin 7atta ba3d ma nbassttou, ma najjmouch njam3ou : $2\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$ tob9a kif ma hiya, kima $2x + 3y$.
le radicande هو le nombre اللي تحت la racine : في 5 racine de 2 ، le radicande هو 2 . كان les radicandes مختلفين حتّى بعد ما نبسّطو ، ما نجّموش نجمعو : 2 racine de 3 plus 5 racine de 2 تبقى كيف ما هي ، كيف 2 x plus 3 y .
Le radicande, c'est le nombre sous la racine : dans 5 racine de 2, le radicande est 2. Si les radicandes restent différents même après simplification, on ne peut pas regrouper : 2 racine de 3 plus 5 racine de 2 reste tel quel, comme 2 x plus 3 y.
Question 25 · Rendre un dénominateur rationnel
- c'est quoi le conjugué
- chnowa l'expression conjuguée
- le conjugué de racine de 5 moins 2
- kifech nal9a el conjugué
- expression conjuguée ya3ni chnowa
- le conjugué de a plus b c'est quoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'expression conjuguée de a − b hiya a + b, w el 3aks : nbaddlou ken le signe elli fel wost. Le conjugué de $\sqrt{5} - 2$ houwa $\sqrt{5} + 2$. Le produit mte3hom ytayyar la racine : $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 5 - 4 = 1$.
l'expression conjuguée de a moins b هي a plus b ، w العكس : نبدّلو كان le signe اللي في الوسط . le conjugué de racine de 5 moins 2 هو racine de 5 plus 2 . le produit متاعهم يطيّر la racine : 5 moins 4 ، يعني 1 .
L'expression conjuguée de a moins b, c'est a plus b, et réciproquement : on change seulement le signe du milieu. Le conjugué de racine de 5 moins 2 est racine de 5 plus 2. Leur produit fait disparaître la racine : 5 moins 4, soit 1.
Question 26 · Rendre un dénominateur rationnel
- 3lech nadhrbou el numérateur zeda
- pourquoi multiplier le numérateur aussi par le conjugué
- on multiplie seulement le dénominateur ? et le numérateur
- lezem nodhrbou el fou9 w el louta ?
- pourquoi en haut et en bas
- numérateur w dénominateur les deux lezem ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki nodhorbou le numérateur et le dénominateur fi nafs el nombre, le quotient ma yetbaddelch. Ken nodhorbou ken le dénominateur, la valeur tetbaddel : $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$, ama $\frac{1}{6}$ mouch $\frac{1}{2}$. 3ala hakka le conjugué dima el fou9 w el louta.
كي نضربو le numérateur et le dénominateur في نفس الـ nombre ، le quotient ما يتبدّلش . كان نضربو كان le dénominateur ، la valeur تتبدّل : 1 sur 2 égale 3 sur 6 ، أما 1 sur 6 موش 1 sur 2 . على هكّا le conjugué ديما الفوق w اللوطة .
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre ne change pas le quotient. Multiplier seulement le dénominateur change la valeur : 1 sur 2 égale 3 sur 6, mais 1 sur 6 n'est pas 1 sur 2. C'est pour ça que le conjugué va toujours en haut et en bas.
Question 27 · Rendre un dénominateur rationnel
- 3lech nna7iw la racine mel dénominateur
- pourquoi on enlève la racine du dénominateur
- 1 sur racine de 2 sans racine au dénominateur
- comment rendre un dénominateur rationnel
- racine au dénominateur c'est interdit ?
- kifech nna7i racine mel dénominateur
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Natija fiha racine au dénominateur ma nkhalliwhech : ma najjmouch ncompariwha w la na3mloulha encadrement bessehel. Ki le dénominateur $\sqrt{a}$, nodhorbou el fou9 w el louta fi $\sqrt{a}$ : $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. W ki fih somme walla différence, nesta3mlou le conjugué.
نتيجة فيها racine au dénominateur ما نخلّيوهاش : ما نجّموش ncompariwha w لا نعملولها encadrement بالساهل . كي le dénominateur racine de a ، نضربو الفوق w اللوطة في racine de a : 1 sur racine de 2 égale racine de 2 sur 2 . w كي فيه somme ولّا différence ، نستعملو le conjugué .
On ne laisse pas un résultat avec une racine au dénominateur : on ne pourrait ni le comparer ni l'encadrer facilement. Quand le dénominateur est racine de a, on multiplie en haut et en bas par racine de a : 1 sur racine de 2 égale racine de 2 sur 2. Et quand il y a une somme ou une différence, on utilise le conjugué.
Question 28 · Les règles de comparaison
- 3lech le sens yetbaddel ki nadhrbou fi négatif
- pourquoi le sens de l'inégalité change avec un négatif
- multiplier une inégalité par un nombre négatif
- diviser une inégalité par moins 2, le sens change ?
- inégalité fois un nombre négatif
- ki nadhreb inégalité fi nombre bel na9es
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki nodhorbou fi nombre négatif, les nombres yet3addew lel jiha l o5ra mte3 0, w l'ordre yetbaddel. 2 < 5, ama $-3 \times 2 = -6$ akbar men $-3 \times 5 = -15$. W division 3ala nombre négatif, nafs el 7aja. Ama fi nombre positif, le sens ma yetbaddelch.
كي نضربو في nombre négatif ، les nombres يتعدّاو للجيهة الأخرى متاع 0 ، w l'ordre يتبدّل . 2 inférieur à 5 ، أما moins 3 fois 2 ، يعني moins 6 ، supérieur à moins 3 fois 5 ، يعني moins 15 . w division على nombre négatif ، نفس الشيء . أما في nombre positif ، le sens ما يتبدّلش .
Multiplier par un nombre négatif fait passer les nombres de l'autre côté de 0, et leur ordre se retourne. 2 est inférieur à 5, mais moins 3 fois 2, soit moins 6, est supérieur à moins 3 fois 5, soit moins 15. Diviser par un nombre négatif fait pareil. Avec un nombre positif, en revanche, le sens ne change pas.
Question 29 · Les règles de comparaison
- 3lech ki nekhou l'inverse le sens yetbaddel
- pourquoi passer aux inverses renverse l'inégalité
- si a > b alors 1/a > 1/b ?
- inverse w l'ordre kifech
- l'inverse d'une inégalité
- a inférieur à b donc 1 sur a inférieur à 1 sur b ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Passer aux inverses ybaddel l'ordre, ki les deux nombres non nuls w 3andhom nafs le signe. 2 < 5, ama $\frac{1}{2} = 0{,}5$ akbar men $\frac{1}{5} = 0{,}2$. W ken mouch nafs le signe, la règle ma te5demch : $2 > -1$, w $\frac{1}{2}$ zeda akbar men −1.
passer aux inverses يبدّل l'ordre ، كي les deux nombres non nuls w عندهم نفس le signe . 2 inférieur à 5 ، أما 1 sur 2 ، يعني 0,5 ، supérieur à 1 sur 5 ، يعني 0,2 . w كان موش نفس le signe ، la règle ما تخدمش : 2 supérieur à moins 1 ، w 1 sur 2 زادة supérieur à moins 1 .
Passer aux inverses renverse l'ordre, quand les deux nombres sont non nuls et de même signe. 2 est inférieur à 5, mais 1 sur 2, soit 0,5, est supérieur à 1 sur 5, soit 0,2. Et s'ils ne sont pas de même signe, la règle ne marche pas : 2 est supérieur à moins 1, et 1 sur 2 aussi.
Question 30 · Les règles de comparaison
- le carré d'un nombre est toujours plus grand que lui ?
- x au carré dima akbar men x ?
- 3lech 0,3 au carré asghar men 0,3
- pourquoi le carré peut être plus petit que le nombre
- le carré ynajjem ykoun asghar ?
- a au carré plus grand que a toujours ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Mouch dima. Ken $a \ge 1$, $a^{2} \ge a$. Ama ken a entre 0 et 1, le carré ysagher : $0{,}3^{2} = 0{,}09$, w houwa asghar men 0,3. 5ater ki nodhorbou fi nombre asghar men 1, el natija ton9os.
موش ديما . كان a supérieur ou égal à 1 ، a au carré supérieur ou égal à a . أما كان a entre 0 et 1 ، le carré يصغّر : 0,3 au carré égale 0,09 ، w هو أصغر من 0,3 . خاطر كي نضربو في nombre أصغر من 1 ، النتيجة تنقص .
Pas toujours. Si a est supérieur ou égal à 1, a au carré est supérieur ou égal à a. Mais si a est entre 0 et 1, le carré rapetisse : 0,3 au carré égale 0,09, plus petit que 0,3. Car multiplier par un nombre plus petit que 1 fait diminuer.
Question 31 · Les règles de comparaison
- kifech nrangi a, a au carré w racine de a
- comment ranger a, a au carré et racine de a
- ordre entre a et racine de a
- racine de a plus grand que a ?
- comparer a et racine de a
- a w racine de a chkoun akbar
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Koll chay 7asb 1. Ken $a \ge 1$ : $\sqrt{a} \le a \le a^{2}$, kima a = 9 : 3, 9, 81. Ken $0 \le a \le 1$, l'ordre yetbaddel : $a^{2} \le a \le \sqrt{a}$, kima a = 0,04 : 0,0016, 0,04, 0,2.
كل شيء حسب 1 . كان a supérieur ou égal à 1 : racine de a inférieur ou égal à a ، inférieur ou égal à a au carré ، كيف a égale 9 : 3 ، 9 ، 81 . كان a entre 0 et 1 ، l'ordre يتبدّل : a au carré inférieur ou égal à a ، inférieur ou égal à racine de a ، كيف a égale 0,04 : 0,0016 ، 0,04 ، 0,2 .
Tout dépend de 1. Si a est supérieur ou égal à 1 : racine de a est inférieur ou égal à a, lui-même inférieur ou égal à a au carré, comme pour a égale 9 : 3, 9, 81. Si a est entre 0 et 1, l'ordre s'inverse : a au carré, puis a, puis racine de a, comme pour a égale 0,04 : 0,0016, 0,04, 0,2.
Question 32 · Les règles de comparaison
- moins fois moins égale plus 3lech
- règle des signes pour un produit
- signe d'un quotient kifech
- négatif fois négatif positif ?
- le signe d'un produit de deux nombres
- na9es fi na9es chnowa ya3ti
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le produit w le quotient yetba3ou règle wa7da : nafs le signe ya3ti résultat positif, w signes contraires ya3tiw résultat négatif. $(-3) \times (-2) = 6$, w $\frac{-12}{4} = -3$.
le produit w le quotient يتبعو règle وحدة : نفس le signe يعطي résultat positif ، w signes contraires يعطيو résultat négatif . moins 3 fois moins 2 égale 6 ، w moins 12 sur 4 égale moins 3 .
Le produit et le quotient suivent une seule règle : même signe donne un résultat positif, signes contraires un résultat négatif. Moins 3 fois moins 2 égale 6, et moins 12 sur 4 égale moins 3.
Question 33 · Les règles de comparaison
- comment comparer deux nombres avec la différence
- pourquoi calculer a moins b pour comparer
- 3lech na7sbou a moins b bech ncompariw
- comparer a et b avec a − b
- méthode pour comparer deux réels avec la différence
- kifech na3ref chkoun akbar bel différence
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$a \ge b \iff a - b \ge 0$. Donc bech ncompariw, na7sbou la différence w nchoufou le signe mte3ha. Par exemple, $\frac{4}{5} - \frac{7}{9} = \frac{36}{45} - \frac{35}{45} = \frac{1}{45}$ : positif, donc $\frac{4}{5} > \frac{7}{9}$.
a supérieur ou égal à b ، يعني a moins b supérieur ou égal à 0 . donc باش ncompariw ، نحسبو la différence w نشوفو le signe متاعها . par exemple ، 4 sur 5 moins 7 sur 9 égale 36 sur 45 moins 35 sur 45 ، يعني 1 sur 45 : positif ، donc 4 sur 5 supérieur à 7 sur 9 .
a est supérieur ou égal à b exactement quand a moins b est supérieur ou égal à 0. Pour comparer, on calcule donc la différence et on étudie son signe. Par exemple, 4 sur 5 moins 7 sur 9 égale 36 sur 45 moins 35 sur 45, soit 1 sur 45 : c'est positif, donc 4 sur 5 est supérieur à 7 sur 9.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Un quotient de puissances
Calculer
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Commence par le numérateur : un produit de puissances de même base.
- Pour un quotient, on retire l'exposant du dénominateur.
- Attention au double signe : retirer c'est ajouter
Correction
- Numérateur — On ajoute les exposants.
- Quotient — On soustrait l'exposant du dénominateur.
Tout se joue sur les exposants :
Pièges anticipés
1/64→ Tu as calculé Le dénominateur porte un exposant négatif : le soustraire revient à l'ajouter.1/4→ Tu as trouvé : c'est le numérateur seul. Il reste à diviser par
Exercice 2 · base
Trouver l'exposant
On écrit sous la forme avec
Donner la valeur de l'exposant
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, ici le
- Compte de combien de rangs la virgule s'est déplacée, et dans quel sens.
- Le nombre de départ est plus petit que : réfléchis au signe que cela impose.
Correction
- Déplacer la virgule — De à la virgule avance de rangs vers la droite.
- Vers la droite, l'exposant est négatif.
- Vérification — On revient au départ pour contrôler.
Un nombre plus petit que a toujours un exposant négatif en écriture scientifique.
Pièges anticipés
4→ Le nombre est plus petit que : son exposant doit être négatif. Avec tu obtiendrais-3→ Recompte les rangs : de à la virgule saute quatre positions, pas trois.
Exercice 3 · pratique
Une somme de radicaux
Simplifier
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Cherche dans chaque radical le plus grand carré parfait qui le divise.
- Regarde bien : et sont tous des multiples de
- Une fois tout écrit avec le même radicande, additionne simplement les coefficients.
Correction
- Extraire —
- Regrouper — Même radicande : on additionne les coefficients.
Les trois radicaux se compensent exactement. Sans simplification préalable, on ne pouvait pas le voir.
Pièges anticipés
10*sqrt(3)→ Tu as additionné les trois coefficients. Le troisième radical est soustrait :5*sqrt(3)-5*sqrt(5)→ et non C'est le facteur restant qui va sous la racine.
Exercice 4 · pratique
Un dénominateur à rationaliser
Écrire sans racine au dénominateur.
Réponse attendue : (sqrt(3)+1)/2
Indices, dans l’ordre
- L'expression conjuguée de s'obtient en changeant le signe du milieu.
- Multiplie le numérateur et le dénominateur par cette expression conjuguée.
- Au dénominateur, tu reconnaîtras une différence de deux carrés.
Correction
- Multiplier en haut et en bas —
- Le dénominateur — La racine disparaît.
Le conjugué transforme le dénominateur en différence de carrés, et la racine s'en va.
Pièges anticipés
(sqrt(3)-1)/2→ Tu as gardé le signe moins au numérateur. C'est le conjugué qu'on y place, donc1/2→ Tu n'as multiplié que le dénominateur. Le numérateur doit l'être aussi, sinon la valeur change.
Exercice 5 · raisonnement
Puissances de dix en chaîne
On pose
Écrire en écriture scientifique et donner l'exposant de
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Sépare le calcul en deux : d'un côté les nombres, de l'autre les puissances de
- Pour les nombres : Pour les puissances : on ajoute les exposants du haut, on retire celui du bas.
- Vérifie à la fin que le nombre devant est bien compris entre et
Correction
- Les nombres —
- Les puissances de dix —
- Vérification — : c'est bien une écriture scientifique.
On traite les deux parties séparément, puis on vérifie la condition sur le facteur.
Pièges anticipés
3→ Tu as calculé et oublié le dénominateur. Diviser par retire encore7→ Tu as ajouté l'exposant du dénominateur au lieu de le retirer : pas
Exercice 6 · defi
Le carré d'un radical
On pose On peut l'écrire sous la forme avec et entiers.
Donner la valeur de
Réponse attendue : -12
Indices, dans l’ordre
- Utilise l'identité du carré d'une différence.
- Ici et Attention :
- Le terme en ne peut venir que du double produit
Correction
- Les deux carrés —
- Le double produit — C'est lui qui porte la racine.
- On rassemble.
La partie entière vient des carrés, la partie en racine vient du double produit.
Pièges anticipés
12→ Le carré d'une différence porte un double produit négatif :-6→ Tu as calculé mais oublié le facteur du double produit.0→ Tu as écrit Il manque le double produit, qui est justement le seul terme en
Exercice 7 · base
Le produit en croix
Déterminer le réel tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Une égalité de deux quotients se transforme en égalité de deux produits. C'est le produit en croix.
- Multiplie le numérateur de chaque côté par le dénominateur de l'autre.
Correction
- Le produit en croix —
Vérification : et Le produit en croix évite d'avoir à réduire au même dénominateur — c'est tout son intérêt quand l'inconnue est dans une fraction.
Pièges anticipés
60→ Tu as trouvé et tu t'es arrêté là. Il reste à diviser par pour isoler2.5→ Tu as donné la valeur commune des deux quotients. La question porte sur le numérateur de gauche.2.4→ Tu as croisé dans le mauvais sens. Le produit en croix donne pas
Exercice 8 · pratique
Une somme de quotients
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 19/12
Indices, dans l’ordre
- On n'additionne pas les numérateurs entre eux. Il faut d'abord un dénominateur commun.
- Le produit des deux dénominateurs convient toujours. Applique la formule, puis simplifie.
Correction
- La formule —
- On rend irréductible —
Contrôle d'ordre de grandeur : et donc la somme vaut environ — ce qui est bien Un tel contrôle repère immédiatement une addition faite de travers.
Pièges anticipés
8/10→ Tu as additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Le résultat vaut alors que vaut déjà : la somme doit dépasser15/24→ Tu as multiplié les deux quotients au lieu de les additionner. Pour un produit on multiplie en ligne, pour une somme il faut un dénominateur commun.
Exercice 9 · pratique
Diviser par un quotient
Calculer
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 14/15
Indices, dans l’ordre
- Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse. Quel est l'inverse de ?
- L'inverse d'un quotient s'obtient en le retournant. Le second quotient se retourne donc, et on multiplie en ligne.
Correction
- On retourne le diviseur —
- On multiplie en ligne —
- et n'ont aucun facteur commun : la fraction est déjà irréductible.
Contrôle : on divise par Diviser par un nombre inférieur à augmente, et le résultat doit rester proche de C'est bien le cas.
Pièges anticipés
10/21→ Tu as multiplié les deux quotients en ligne, comme pour un produit. Or c'est une division : le second quotient doit d'abord être retourné.15/14→ Tu as retourné le premier quotient au lieu du second. C'est le diviseur qui se retourne.
Exercice 10 · raisonnement
Quand le carré rapetisse
On pose
Parmi les trois nombres et donner le plus grand.
Donner la valeur du plus grand des trois.
Réponse attendue : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Ne devine pas : calcule les trois. Commence par situer par rapport à
- est compris entre et Dans ce cas, élever au carré diminue — car multiplier par un nombre inférieur à diminue.
- La règle du cours donne l'ordre d'un coup.
Correction
- Les trois valeurs —
- L'ordre — est entre et : c'est la racine qui est la plus grande.
Le contrôle qui rassure : donc la racine est bien Et retiens la bascule : pour l'ordre s'inverse et c'est le carré qui gagne.
Pièges anticipés
0.0625→ Tu as donné qui est ici le plus petit des trois. Élever au carré un nombre inférieur à le diminue.0.25→ Tu as donné Il se place au milieu : quand
Exercice 11 · defi
L'ordre s'inverse
On pose maintenant
Parmi les trois nombres et donner le plus petit.
Donner la valeur du plus petit des trois.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Situe d'abord par rapport à Es-tu dans le même cas qu'à l'exercice précédent ?
- Ici : l'ordre de l'exercice précédent est renversé.
- La règle du cours pour ce cas.
Correction
- Les trois valeurs —
- L'ordre — : c'est la racine qui est la plus petite et le carré le plus grand.
Les deux exercices se tiennent ensemble, et c'est ainsi qu'il faut les retenir : est la charnière. Au-dessus, le carré agrandit et la racine rapetisse ; en dessous, c'est l'inverse. En les trois valeurs sont égales à — ce qui est le meilleur moyen de ne pas se tromper de sens.
Pièges anticipés
16→ Tu as donné qui est ici le plus grand. Pour élever au carré agrandit.4→ Tu as donné Il se place au milieu : quand
Exercice 12 · base
Le produit de deux quotients
Calculer et donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 5/6
Indices, dans l’ordre
- Pour un produit, pas besoin de dénominateur commun : on multiplie en ligne.
- Avant de multiplier, cherche ce qui se simplifie : et ont un facteur commun, et aussi.
Correction
- On multiplie en ligne —
- On rend irréductible —
Simplifier avant de multiplier évite les grands nombres : et donnent directement
Pièges anticipés
19/17→ Tu as additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. C'est un produit : on multiplie en ligne.32/135→ Tu as retourné le second quotient, comme pour une division. Ici on multiplie, rien ne se retourne.0.83 / 0.833 / 0.8333→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.
Exercice 13 · base
Un entier fois un quotient
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 15/2
Indices, dans l’ordre
- Un entier multiplie seulement le numérateur.
- Une fois le produit écrit, regarde si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun.
Correction
- Le numérateur seul —
- On simplifie par 2 —
Multiplier par le numérateur et le dénominateur ne change pas le quotient : c'est simplement une autre écriture de Pour multiplier par seul le numérateur bouge.
Pièges anticipés
5/4→ Tu as multiplié le numérateur et le dénominateur par : tu retrouves qui n'a pas changé. Le facteur ne va qu'au numérateur.5/24→ Tu as mis le au dénominateur : c'est diviser par Multiplier par c'est le mettre au numérateur.
Exercice 14 · base
L'inverse d'un quotient négatif
Donner la valeur exacte de l'inverse du nombre
Donner l'inverse sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : -7/3
Indices, dans l’ordre
- L'inverse d'un quotient s'obtient en le retournant.
- Un nombre et son inverse ont toujours le même signe : leur produit vaut qui est positif.
Correction
- On retourne — Le signe reste, numérateur et dénominateur échangent leur place.
- Vérification — Le produit du nombre par son inverse doit valoir
Ne confonds pas l'inverse (on retourne, le signe reste) et l'opposé (on change le signe, on ne retourne pas). L'opposé de est ; son inverse est
Pièges anticipés
7/3→ Tu as bien retourné, mais perdu le signe. Le produit d'un nombre et de son inverse vaut : ils sont forcément de même signe.3/7→ Tu as donné l'opposé de L'inverse, lui, se trouve en retournant le quotient.-2.3 / -2.33 / -2.333 / -2.3333→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.
Exercice 15 · pratique
Une différence de quotients
Calculer et donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 1/18
Indices, dans l’ordre
- Comme pour une somme, il faut d'abord un dénominateur commun.
- Le produit convient toujours, mais un multiple commun plus petit existe : cherche le plus petit multiple commun de et
- Réécris chaque quotient avec ce dénominateur, puis soustrais les numérateurs.
Correction
- Le dénominateur commun — est un multiple de et de
- On soustrait —
Avec on trouve qu'il faut ensuite simplifier par : même résultat, un peu plus long. Le plus petit dénominateur commun évite cette dernière étape.
Pièges anticipés
2/3→ Tu as soustrait les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Une différence de quotients demande, comme une somme, un dénominateur commun.29/18→ Tu as additionné les deux quotients. Relis le signe : c'est une différence.0.06 / 0.056 / 0.0556 / 0.05 / 0.055→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.
Exercice 16 · pratique
Diviser un entier par un quotient
Calculer et donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 10/3
Indices, dans l’ordre
- Diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse.
- L'inverse de s'obtient en le retournant. Ensuite, l'entier multiplie le numérateur.
- Pense à simplifier le résultat.
Correction
- On multiplie par l'inverse —
- On simplifie par 2 —
Contrôle : et c'est bien Diviser par un nombre plus grand que diminue : le résultat devait être plus petit que
Pièges anticipés
24/5→ Tu as multiplié par sans le retourner. Diviser par un quotient, c'est multiplier par son inverse2/15→ Tu as lu le calcul comme divisé par La grande barre sépare et le quotient tout entier.3.3 / 3.33 / 3.333 / 3.3333→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.
Exercice 17 · pratique
L'inconnue au dénominateur
Déterminer le réel non nul tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- L'inconnue est au dénominateur : le produit en croix la fait remonter.
- Écris l'égalité des deux produits, puis isole en divisant.
Correction
- Le produit en croix —
Vérification : et Le produit en croix marche aussi bien quand l'inconnue est en bas : c'est ce qui le rend si utile.
Pièges anticipés
72→ Tu as trouvé et tu t'es arrêté au produit. Il reste à diviser par27/2→ Tu as croisé de travers : tu as écrit Le produit en croix multiplie chaque numérateur par le dénominateur de l'autre côté :
Exercice 18 · pratique
Une somme, puis un produit
Calculer
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Les parenthèses passent d'abord : commence par la somme.
- Pour la somme, prends comme dénominateur commun.
- Il reste un produit de deux quotients : simplifie avant de multiplier.
Correction
- La parenthèse —
- Le produit —
Les se simplifient dès qu'on les voit : L'ordre des opérations décide de tout : sans les parenthèses, le résultat serait différent.
Pièges anticipés
11/6→ Tu as d'abord multiplié par puis ajouté Les parenthèses imposent de faire la somme en premier.10/7→ Ta somme est fausse : ne vaut pas Il faut un dénominateur commun.
Exercice 19 · raisonnement
Un quotient à étages
Calculer
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Calcule séparément le numérateur et le dénominateur : chacun est une somme, ou une différence, avec
- Tu obtiens un quotient de deux quotients : diviser, c'est multiplier par l'inverse.
Correction
- Le numérateur —
- Le dénominateur —
- Multiplier par l'inverse —
Un quotient à étages se traite toujours ainsi : on réduit chaque étage à un seul quotient, puis on multiplie le haut par l'inverse du bas.
Pièges anticipés
1/2→ Tu as divisé le dénominateur par le numérateur. C'est le bas qu'on retourne :8/9→ Tu as multiplié par La grande barre est une division : on multiplie par l'inverse de
Exercice 20 · raisonnement
Ce qui reste du budget
Une famille consacre de son budget mensuel à la nourriture et au loyer.
Quelle fraction du budget reste-t-il pour les autres dépenses ?
Donner la fraction irréductible du budget qui reste.
Réponse attendue : 7/20
Indices, dans l’ordre
- Le budget entier, c'est la fraction Commence par la part déjà dépensée.
- Pour additionner et prends comme dénominateur commun.
- Ce qui reste, c'est moins ce qui est dépensé.
Correction
- La part dépensée —
- La part qui reste —
Contrôle : soit du budget, et Dans un problème, relis la question : on demande ce qui reste, pas ce qui est dépensé.
Pièges anticipés
13/20→ Tu as donné la part dépensée. La question porte sur ce qui reste :2/3→ Ta part dépensée vaut : tu as additionné les numérateurs et les dénominateurs entre eux. Il faut un dénominateur commun.
Exercice 21 · raisonnement
L'échelle d'une carte
Sur une carte, cm représentent km dans la réalité. Deux villages sont distants de cm sur cette carte.
On note leur distance réelle. Les distances sont proportionnelles :
Donner la distance réelle en km.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- C'est une égalité de deux quotients : le produit en croix donne une égalité de produits.
- Tu obtiens : il reste à isoler
Correction
- Le produit en croix —
Contrôle de bon sens : cm représente km, donc cm représentent km. La proportionnalité, c'est une égalité de quotients.
Pièges anticipés
16/3→ Tu as croisé de travers : tu as calculé Le produit en croix donne36→ Tu as calculé mais c'est qui vaut Il reste à diviser par
Exercice 22 · defi
L'inconnue des deux côtés
Déterminer le réel tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 11/2
Indices, dans l’ordre
- Fais le produit en croix. Chaque numérateur est une somme : garde-le entre parenthèses.
- Développe les deux membres, puis regroupe les termes en d'un même côté.
- Vérifie ton résultat en le remplaçant dans les deux quotients.
Correction
- Le produit en croix —
- On développe —
- On regroupe —
Vérification : et Les parenthèses sont tout le défi : le facteur multiplie le numérateur entier.
Pièges anticipés
3/2→ Tu as écrit : le et le n'ont multiplié que le Le numérateur entier doit être multiplié, d'où les parenthèses.-13/2→ Tu as écrit Chaque numérateur se multiplie par le dénominateur de l'autre côté :
Exercice 23 · base
Trois puissances de même base
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Un produit de puissances de même base : la base ne bouge pas.
- Additionne les trois exposants, sans oublier le signe du deuxième.
Correction
- On ajoute les exposants —
Si tu doutes, compte les facteurs : quatre en haut, six en bas (c'est ), cinq en haut. Il en reste
Pièges anticipés
-120→ Tu as multiplié les exposants. Dans un produit de puissances, on les additionne ; on ne les multiplie que pour une puissance de puissance.15→ Tu as ajouté au lieu de Le deuxième facteur est : son exposant est négatif.
Exercice 24 · base
Exposant nul, exposant négatif
Calculer
Réponse attendue : 6/5
Indices, dans l’ordre
- Que vaut un nombre non nul élevé à la puissance ? Pense à
- Un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif.
Correction
- Exposant nul —
- Exposant négatif —
- La somme —
Les deux règles se retrouvent en comptant : et vaut ; et vaut Le résultat vaut aussi
Pièges anticipés
1/5→ Tu as pris Un nombre non nul à la puissance vaut :-4→ Tu as pris Un exposant négatif donne l'inverse : qui est positif.
Exercice 25 · base
Une puissance de puissance
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de
Réponse attendue : -6
Indices, dans l’ordre
- Une puissance élevée à une puissance : on multiplie les exposants.
- Pour t'en convaincre, écris
Correction
- Trois facteurs égaux —
Produit de puissances : on ajoute les exposants. Puissance de puissance : on les multiplie. Écrire les facteurs une fois suffit à ne plus les confondre.
Pièges anticipés
1→ Tu as additionné et Ici ce n'est pas un produit de deux puissances : est répété trois fois, on multiplie les exposants.-8→ Tu as calculé On ne met pas l'exposant à la puissance : on multiplie par
Exercice 26 · base
Le signe des puissances
Calculer
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair.
- Calcule les trois puissances séparément, puis respecte les priorités : le produit avant la somme.
Correction
- Les puissances de -1 — est impair, est pair.
- La puissance de -2 — est pair : le résultat est positif.
Le signe se décide en comptant les facteurs négatifs : un nombre pair de signes moins donne un résultat positif. Attention : mais
Pièges anticipés
-17→ Tu as pris Quatre facteurs négatifs : un nombre pair de signes moins, le résultat est positif.17→ Tu as pris Sept facteurs : un nombre impair de signes moins, le résultat est négatif.
Exercice 27 · pratique
Deux bases dans un quotient
Calculer sans calculer
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Décompose en produit :
- Un produit élevé à une puissance se répartit sur chaque facteur.
- Simplifie ensuite les puissances de entre elles, et celles de entre elles.
Correction
- Décomposer —
- Simplifier —
Ramener toutes les puissances à des bases premières ( …) est la méthode qui marche toujours : les simplifications deviennent visibles.
Pièges anticipés
1/3→ Tu as calculé : tu as retiré l'exposant du haut à celui du bas. On fait l'inverse :1/216→ Tu as écrit On ne peut multiplier les bases que si les exposants sont égaux.
Exercice 28 · pratique
Un quotient à exposant négatif
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 27/8
Indices, dans l’ordre
- Un exposant négatif, c'est un inverse : est l'inverse de
- L'inverse de est : retourne d'abord, puis élève à la puissance
Correction
- On retourne —
- On élève —
Un exposant négatif ne rend jamais un nombre positif négatif : est bien positif. Il retourne le quotient, c'est tout.
Pièges anticipés
-8/27→ Tu as mis un signe moins devant. Un exposant négatif donne un inverse : le résultat reste positif.8/27→ Tu as calculé : le signe moins de l'exposant a disparu. Il demande de retourner le quotient.
Exercice 29 · pratique
Deux bases, quatre exposants
Calculer
Réponse attendue : 36
Indices, dans l’ordre
- Traite chaque base à part : les ensemble, les ensemble.
- Pour chaque base, on retire l'exposant du bas à celui du haut.
- Pour la base : retirer c'est ajouter
Correction
- La base 2 —
- La base 3 —
On aurait aussi pu remarquer que : même exposant, on peut alors multiplier les bases.
Pièges anticipés
4/729→ Pour la base tu as calculé L'exposant du bas est : le soustraire revient à ajouter4/9→ Tu as oublié le facteur du dénominateur. Chaque base se simplifie avec la même base de l'autre étage.
Exercice 30 · pratique
Tout en puissances de 2
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Écris et comme des puissances de
- Ensuite, : une puissance de puissance, on multiplie les exposants.
- Il reste un produit et un quotient de puissances de : ajoute, puis retire.
Correction
- Puissances de 2 —
- On regroupe —
Le résultat vaut : Mettre tout dans la même base est le réflexe qui transforme un calcul lourd en addition d'exposants.
Pièges anticipés
5→ Tu as oublié de diviser par : il faut encore retirer à l'exposant.3→ Tu as remplacé par Or donc : l'exposant double.
Exercice 31 · raisonnement
Retrouver l'exposant manquant
Déterminer l'entier tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Écris le membre de gauche sous la forme d'une seule puissance de dont l'exposant dépend de
- Deux puissances de sont égales quand leurs exposants sont égaux : tu obtiens une équation en
Correction
- Le membre de gauche —
- Exposants égaux —
Vérification : Toute la difficulté est dans le double signe : diviser par c'est multiplier par
Pièges anticipés
10→ Tu as écrit Le dénominateur est : retirer c'est ajouter3→ Tu as écrit Dans un produit, les exposants s'ajoutent :
Exercice 32 · raisonnement
La plus grande des deux puissances
On pose et Comparer et sans calculatrice.
Répondre par ou
Réponse attendue : A<B — aussi acceptées : B>A · 2^30<3^20 · 3^20>2^30 · 8^10<9^10 · 9^10>8^10
Indices, dans l’ordre
- Les exposants et ont un diviseur commun :
- Écris et fais de même pour
- Deux nombres positifs élevés à la même puissance sont rangés comme leurs bases.
Correction
- Même exposant —
- On compare les bases — Les bases sont positives et
Le plus grand exposant ne gagne pas forcément. Pour comparer deux puissances, on les ramène au même exposant (ou à la même base), puis on compare ce qui reste.
Pièges anticipés
A>B / B<A→ Tu t'es fié à l'exposant plus grand que Mais la base est plus petite que : ramène les deux nombres au même exposantA=B→ et ne sont pas égaux : écris-les tous deux à la puissance et compare leurs bases.
Exercice 33 · defi
Puissances de dix en cascade
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Trois règles différentes se succèdent : identifie-les une par une.
- Au dénominateur, c'est une puissance de puissance : on multiplie les exposants.
- Pour finir, retirer un exposant négatif, c'est ajouter son opposé.
Correction
- Le numérateur —
- Le dénominateur —
- Le quotient —
Produit : on ajoute. Quotient : on retire. Puissance de puissance : on multiplie. Les trois règles dans un seul calcul, et le double signe pour finir.
Pièges anticipés
-4→ Tu as calculé Le dénominateur vaut : retirer c'est ajouter1→ Tu as écrit en ajoutant les exposants. Une puissance de puissance se calcule en les multipliant :
Exercice 34 · defi
Une somme de puissances
Calculer sans calculatrice.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Attention : le numérateur est une somme, pas un produit. La règle ne s'y applique pas.
- Tu peux diviser chaque terme de la somme par
- Autre voie : mets en facteur au numérateur.
Correction
- On sépare —
Avec la factorisation : donc Les règles des puissances portent sur les produits et les quotients, jamais sur les sommes.
Pièges anticipés
3^13→ Tu as écrit On n'ajoute les exposants que pour un produit. Ici, sépare la somme en deux quotients.9→ Tu n'as gardé que Le terme s'ajoute aussi.
Exercice 35 · defi
Changer de base
Déterminer l'entier tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Écris d'abord le membre de droite sous la forme d'une seule puissance de
- Écris aussi comme une puissance de :
- Deux puissances de égales ont le même exposant.
Correction
- Le membre de droite —
- Le membre de gauche —
- Exposants égaux —
Vérification : Quand les bases diffèrent, on ramène tout à la plus petite base commune, ici
Pièges anticipés
4→ Tu as trouvé et donné l'exposant Mais on cherche l'exposant de pas celui de :16→ est la valeur de La question demande l'exposant
Exercice 36 · base
Un grand nombre
On écrit en écriture scientifique, sous la forme avec
Donner la valeur de l'exposant
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, ici le
- Compte de combien de rangs la virgule s'est déplacée depuis la fin du nombre.
Correction
- Déplacer la virgule — De à la virgule recule de rangs vers la gauche.
- Vers la gauche, l'exposant est positif.
L'exposant n'est pas le nombre de zéros ( ici) : c'est le nombre de chiffres après le premier, soit Contrôle :
Pièges anticipés
5→ Tu as compté les zéros. L'exposant compte tous les rangs franchis par la virgule, y compris ceux des chiffres et6→ Recompte : avec tu obtiendrais dix fois trop peu.10^7→ Tu as écrit la puissance de tout entière. On ne demande que son exposant : l'entier écrit en haut.7.25→ est le facteur de l'écriture scientifique. On demande l'exposant de la puissance de
Exercice 37 · base
Un petit nombre
On écrit en écriture scientifique, sous la forme avec
Donner la valeur du facteur
Réponse attendue : 6.8
Indices, dans l’ordre
- Le facteur doit avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.
- Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, le
Correction
- Le facteur — La virgule se place après le
- L'exposant — La virgule a avancé de rangs vers la droite : exposant négatif.
La condition fixe le facteur sans hésitation : et sont égaux à mais ce ne sont pas des écritures scientifiques.
Pièges anticipés
68→ est bien égal, mais dépasse : ce n'est pas une écriture scientifique. Le facteur a un seul chiffre avant la virgule.0.68→ est plus petit que : ce n'est pas un facteur scientifique. Déplace la virgule d'un rang de plus.
Exercice 38 · base
Retour à l'écriture décimale
Donner l'écriture décimale du nombre
Donner l'écriture décimale.
Réponse attendue : 0.0406
Indices, dans l’ordre
- Multiplier par c'est diviser par
- Diviser par déplace la virgule de deux rangs vers la gauche.
Correction
- Ce que fait la puissance —
- La virgule recule de deux rangs : il faut ajouter un zéro devant.
Un exposant négatif donne toujours un nombre plus petit que (si le facteur est entre et ). C'est le contrôle à faire en premier.
Pièges anticipés
406→ Tu as déplacé la virgule vers la droite, comme pour L'exposant est négatif : le nombre doit devenir plus petit.0.406→ correspond à Avec la virgule recule de deux rangs.
Exercice 39 · pratique
Un produit à remettre en forme
On pose On écrit en écriture scientifique avec
Donner la valeur de l'exposant
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Multiplie les facteurs entre eux, et les puissances de entre elles.
- Le produit des facteurs dépasse : il faut le réécrire, et cela modifie l'exposant.
Correction
- Les facteurs —
- Les puissances de dix —
- On remet en forme — n'est pas entre et :
est égal à mais ce n'est pas l'écriture scientifique. Le réflexe : après le calcul, vérifier que le facteur est bien entre et
Pièges anticipés
-3→ Tu as gardé Le facteur dépasse : on l'écrit et l'exposant gagne-28→ Tu as multiplié les exposants. Dans un produit de puissances de on les ajoute :10^-2 / 10^(-2)→ Tu as écrit la puissance de tout entière. On ne demande que son exposant : l'entier écrit en haut.1.5→ est le facteur de l'écriture scientifique. On demande l'exposant de la puissance de
Exercice 40 · pratique
Un quotient à remettre en forme
On pose On écrit en écriture scientifique avec
Donner la valeur de l'exposant
Réponse attendue : -9
Indices, dans l’ordre
- Divise les facteurs entre eux, puis les puissances de entre elles.
- est plus petit que : il faudra réécrire ce facteur.
Correction
- Les facteurs —
- Les puissances de dix —
- On remet en forme —
Quand le facteur passe sous l'exposant perd ; quand il dépasse il en gagne un. Le nombre, lui, ne change pas.
Pièges anticipés
-8→ Tu as gardé Le facteur est plus petit que : on l'écrit et l'exposant perd2→ Tu as ajouté les exposants. Pour un quotient, on retire l'exposant du dénominateur :
Exercice 41 · pratique
Le plus grand des trois
On donne trois nombres : et
Donner le plus grand des trois, en écriture décimale.
Réponse attendue : 0.0029
Indices, dans l’ordre
- En écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : le facteur ne départage que des exposants égaux.
- Parmi et lequel est le plus grand ?
Correction
- Les exposants — Le plus grand exposant est
- Le rangement —
En décimal : Le facteur le plus grand des trois, appartient au plus petit nombre : en écriture scientifique, l'exposant décide d'abord.
Pièges anticipés
0.00008→ Tu as comparé les facteurs et C'est l'exposant qui décide d'abord : est le plus petit des trois.0.00031→ est plus petit que Compare les exposants : est plus grand que
Exercice 42 · pratique
Des grains de sable
Un grain de sable pèse environ g. Un sac de sable pèse kg.
On note le nombre de grains contenus dans le sac, et on l'écrit en écriture scientifique avec
Donner la valeur de l'exposant
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Les deux masses doivent être dans la même unité : convertis kg en grammes.
- Le nombre de grains est le quotient de la masse du sac par la masse d'un grain.
- Écris g en écriture scientifique, puis divise facteurs et puissances séparément.
Correction
- Même unité —
- Le quotient —
- On remet en forme —
Environ vingt millions de grains. Deux pièges successifs dans ce problème : l'unité, puis le facteur à remettre entre et
Pièges anticipés
4→ Tu as divisé par la masse d'un grain en grammes : les kg n'ont pas été convertis. kg g.8→ Tu as gardé Le facteur est plus petit que : l'exposant perd10^7→ Tu as écrit la puissance de tout entière. On ne demande que son exposant : l'entier écrit en haut.2→ est le facteur de l'écriture scientifique. On demande l'exposant de la puissance de
Exercice 43 · pratique
Une somme, pas un produit
On pose On écrit en écriture scientifique avec
Donner la valeur du facteur
Réponse attendue : 3.4
Indices, dans l’ordre
- Les deux termes n'ont pas la même puissance de : on ne peut pas additionner directement les facteurs et
- Écris les deux termes en écriture décimale, ou bien écris avec
Correction
- En décimal —
- L'écriture scientifique —
Autre voie : donc Pour additionner, il faut la même puissance de — comme un dénominateur commun.
Pièges anticipés
7→ Tu as additionné les facteurs et alors que les puissances de diffèrent. ne vaut pas34→ est égal à mais dépasse : ce n'est pas une écriture scientifique.
Exercice 44 · raisonnement
Le produit qui fait apparaître dix
On pose On écrit en écriture scientifique avec sans calculatrice.
Donner la valeur de l'exposant
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Écris comme une puissance de et comme une puissance de
- Un et un font un : regroupe autant de paires que possible.
- Il restera quelques facteurs isolés : calcule-les, puis remets le résultat en forme.
Correction
- Bases premières —
- Des paires 2 × 5 —
- On remet en forme —
Chercher les paires est la façon la plus rapide de faire apparaître des puissances de dix : sans poser une seule multiplication.
Pièges anticipés
6→ Tu as gardé Le facteur dépasse : l'exposant gagne8→ Tu as ajouté les exposants et alors que les bases et sont différentes. Ramène-les d'abord à des puissances de et de
Exercice 45 · raisonnement
Combien de chiffres ?
On pose Combien de chiffres faut-il pour écrire en entier ?
Donner le nombre de chiffres.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Commence par écrire en écriture scientifique.
- s'écrit avec chiffres, avec : quel lien entre l'exposant et le nombre de chiffres ?
Correction
- Le produit —
- Écriture scientifique —
- Les chiffres — Un suivi de douze zéros.
Un nombre avec s'écrit avec chiffres avant la virgule. L'écriture scientifique donne la taille d'un nombre d'un seul coup d'œil.
Pièges anticipés
12→ est l'exposant. s'écrit avec un suivi de douze zéros : cela fait chiffres.11→ Tu as gardé Le facteur a lui-même deux chiffres : remets d'abord le nombre en écriture scientifique.
Exercice 46 · raisonnement
Un nombre négatif
On pose On écrit en écriture scientifique avec
Donner la valeur du facteur
Réponse attendue : -7.05
Indices, dans l’ordre
- Pour un nombre négatif, c'est la distance à zéro de qui doit être entre et ; le signe reste dans
- Écris d'abord en écriture scientifique, puis multiplie par
Correction
- Le nombre décimal —
- On multiplie —
La condition porte sur : c'est elle qui permet d'écrire en écriture scientifique un nombre négatif. Ici
Pièges anticipés
7.05→ Le nombre est négatif : son facteur l'est aussi. C'est qui est entre et pas-705→ est égal à mais dépasse : ce n'est pas une écriture scientifique.
Exercice 47 · defi
L'exposant caché
Déterminer l'entier tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Commence par écrire comme une puissance de multipliée par un facteur.
- Sépare ensuite les facteurs ( ) des puissances de et simplifie le membre de gauche.
- Tu obtiens une égalité de la forme : écris les deux membres avec le même facteur.
Correction
- Écrire 0,003 —
- Le membre de gauche —
- Exposants égaux —
Vérification : et Le décimal cachait un : c'est lui qu'il fallait voir.
Pièges anticipés
3→ Tu as traité comme Or : ce compte dans l'exposant.5→ Tu as obtenu et identifié directement Mais : remets d'abord le facteur entre et
Exercice 48 · base
Le produit de deux racines
Calculer
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Le produit de deux racines est la racine du produit.
- Calcule : c'est un carré parfait.
Correction
- Une seule racine —
Ni ni ne sont entiers, et pourtant leur produit l'est. Regrouper sous une seule racine fait apparaître le carré parfait.
Pièges anticipés
64→ est le nombre sous la racine. Il reste à prendre sa racine carrée : quel nombre positif a pour carré ?
Exercice 49 · base
La racine d'un quotient
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner la fraction irréductible.
Réponse attendue : 7/8
Indices, dans l’ordre
- La racine d'un quotient est le quotient des racines.
- Le numérateur et le dénominateur sont tous deux des carrés parfaits.
Correction
- On sépare —
Contrôle : La racine porte sur le numérateur et sur le dénominateur.
Pièges anticipés
7/64→ Tu as pris la racine du numérateur seulement. La racine s'applique aussi au dénominateur :49/8→ Tu as pris la racine du dénominateur seulement. Le numérateur aussi :
Exercice 50 · base
La racine d'une somme
Calculer
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Il n'existe aucune règle pour la racine d'une somme.
- Calcule d'abord ce qu'il y a sous la racine, puis prends sa racine.
Correction
- Sous la racine —
Ici qui n'est pas La racine se partage sur un produit, jamais sur une somme.
Pièges anticipés
14→ Tu as écrit C'est faux : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Calcule d'abord
Exercice 51 · base
Le carré d'un radical
Calculer
Réponse attendue : 45
Indices, dans l’ordre
- C'est le carré d'un produit : chaque facteur est élevé au carré.
- Par définition de la racine carrée,
Correction
- Chaque facteur au carré —
Deux oublis classiques : laisser le sans le mettre au carré, ou mettre au carré le au lieu de Les deux facteurs sont élevés au carré, et
Pièges anticipés
15→ Tu as élevé au carré mais pas le Le carré porte sur le produit :225→ Tu as élevé au carré le lui-même. Or pas
Exercice 52 · pratique
Extraire le carré parfait
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Écris comme un produit dont l'un des facteurs est
- L'autre facteur est un carré parfait : sa racine sort de la racine.
Correction
- Le carré parfait —
- On extrait —
Ce qui sort de la racine, c'est la racine du carré parfait (), pas le carré lui-même (). Contrôle :
Pièges anticipés
49→ Tu as sorti de la racine. C'est sa racine qui sort :7*sqrt(2)→ Ton nombre est bien égal à mais on ne demande pas sa valeur : seulement l'entier qui se trouve devant
Exercice 53 · pratique
Deux radicaux qui se complètent
Calculer
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Deux voies : regrouper sous une seule racine, ou simplifier chaque racine d'abord.
- En simplifiant : et s'écrivent tous deux avec
- N'oublie pas que
Correction
- On simplifie —
- Le produit —
Par l'autre voie : Les deux chemins se rejoignent ; le premier évite les grands nombres.
Pièges anticipés
6*sqrt(5)→ Tu as multiplié les coefficients, mais ne fait pas : cela fait900→ est le nombre sous la racine. Il reste à prendre sa racine.
Exercice 54 · pratique
Un quotient de racines
Calculer
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le quotient de deux racines est la racine du quotient.
- Calcule
Correction
- Une seule racine —
La règle du quotient se lit dans les deux sens : ici, regrouper fait apparaître le carré parfait
Pièges anticipés
25→ est le nombre sous la racine. Il reste à prendre sa racine carrée.
Exercice 55 · pratique
La racine d'un carré
Calculer et donner sa valeur exacte, sans valeur absolue.
Réponse attendue : sqrt(11)-3
Indices, dans l’ordre
- La racine d'un carré est une valeur absolue.
- Quel est le signe de ? Compare et
- La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
Correction
- Une valeur absolue —
- Le signe — donc : le nombre est négatif.
- On prend l'opposé —
Une racine carrée n'est jamais négative : est bien positif, alors que ne l'est pas. Avant de « simplifier » racine et carré, regarde le signe.
Pièges anticipés
3-sqrt(11)→ est négatif, et une racine carrée ne peut pas l'être. : il faut prendre l'opposé.0.32 / 0.317 / 0.3166 / 0.31 / 0.316→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 56 · pratique
La racine d'un décimal
Calculer
Réponse attendue : 0.03
Indices, dans l’ordre
- Écris comme un quotient :
- Puis applique la règle du quotient : et sont simples.
Correction
- En quotient —
- La racine —
Contrôle : Un carré a deux fois plus de décimales que le nombre : quatre décimales sous la racine, deux pour la racine.
Pièges anticipés
0.3→ pas Recompte les décimales : la racine en a deux fois moins que le carré.0.003→ : six décimales, trop. La racine de n'a que deux décimales.
Exercice 57 · raisonnement
Le côté d'un carré
Un carré a une aire de cm². On note la longueur de son côté, en cm : sa valeur exacte s'écrit avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- L'aire d'un carré est : le côté est donc la racine carrée de l'aire.
- Simplifie en extrayant le plus grand carré parfait qui divise
Correction
- Le côté —
- On simplifie —
Le côté vaut environ cm. Attention à prendre le plus grand carré parfait : donne qu'il faudrait encore simplifier.
Pièges anticipés
36→ Tu as divisé l'aire par Le côté est la racine de l'aire :18→ Tu as divisé par comme si était le périmètre. C'est une aire : le côté en est la racine carrée.
Exercice 58 · raisonnement
La diagonale d'un rectangle
Un rectangle mesure cm sur cm. On note la longueur de sa diagonale, en cm : sa valeur exacte s'écrit avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles : pense au théorème de Pythagore.
- Calcule puis simplifie
- Cherche le carré parfait qui divise
Correction
- Pythagore —
- La racine —
La diagonale mesure environ cm. Le piège est de croire que : la racine ne se partage pas sur une somme.
Pièges anticipés
10→ Tu as écrit La racine d'une somme n'est pas la somme des racines : calcule d'abord52→ est le carré de la diagonale. La diagonale est qu'il faut simplifier.
Exercice 59 · raisonnement
La racine d'un produit de puissances
Calculer sans calculatrice.
Réponse attendue : 200
Indices, dans l’ordre
- La racine d'un produit est le produit des racines.
- : c'est un carré. Que vaut sa racine ?
- Fais de même pour
Correction
- Deux carrés —
- Les racines —
Une puissance paire est toujours un carré : sa racine s'obtient en divisant l'exposant par deux. Contrôle :
Pièges anticipés
40000→ est le nombre sous la racine. Il reste à prendre sa racine : divise chaque exposant par5000→ Tu as pris la racine de mais pas celle de La racine porte sur chaque facteur du produit.
Exercice 60 · raisonnement
Retrouver le radicande
Déterminer le réel positif tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 28
Indices, dans l’ordre
- Si vaut un nombre positif, alors est le carré de ce nombre.
- Élève au carré : chaque facteur passe au carré.
Correction
- On élève au carré — Les deux membres sont positifs.
C'est le chemin inverse de la simplification : Faire rentrer un coefficient sous la racine, c'est le mettre au carré.
Pièges anticipés
14→ Tu as fait rentrer le sous la racine sans le mettre au carré.196→ Tu as élevé au carré Or : seul le devient
Exercice 61 · defi
Deux valeurs absolues
Calculer
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Chaque terme est la racine d'un carré : c'est une valeur absolue.
- Situe entre deux entiers : entre et Quel est alors le signe de ? de ?
- Un nombre négatif a pour valeur absolue son opposé ; un nombre positif, lui-même.
Correction
- Les signes — donc
- Les valeurs absolues —
- La somme —
Les racines se compensent : le résultat est entier. Sans étudier les signes, on aurait trouvé un nombre faux qui a pourtant l'air raisonnable.
Pièges anticipés
2*sqrt(5)-4→ Tu as écrit pour les deux termes. Or est négatif : sa racine du carré est
Exercice 62 · defi
Le produit qui devient entier
Calculer
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Les deux nombres sous les racines sont positifs () : on peut regrouper sous une seule racine.
- Sous la racine, tu reconnais une identité remarquable.
Correction
- Une seule racine —
- L'identité —
Ni ni ne se simplifient, et pourtant leur produit vaut Regrouper, puis reconnaître : c'est le même ressort que l'expression conjuguée.
Pièges anticipés
4→ est le nombre sous la racine. Il reste à prendre sa racine carrée.sqrt(9-sqrt(5))→ Dans l'identité, c'est qu'on retire à pas
Exercice 63 · base
Le même radicande
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Les trois radicaux ont le même radicande : on les regroupe comme des termes en
- Additionne les coefficients en gardant leurs signes.
Correction
- On regroupe —
C'est exactement avec Le radicande ne bouge pas : seuls les coefficients se calculent.
Pièges anticipés
15→ Tu as additionné et Le deuxième radical est soustrait :3→ Le calcul donne un nombre négatif : il y a plus à retirer qu'à ajouter.
Exercice 64 · base
Simplifier avant de regrouper
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Les radicandes et sont différents : il faut d'abord simplifier chaque racine.
- Cherche le plus grand carré parfait qui divise puis celui qui divise
Correction
- Extraire —
- Regrouper —
Surtout pas : la racine ne se partage pas sur une somme. On simplifie d'abord, pour faire apparaître le même radicande.
Pièges anticipés
9→ pas C'est la racine du carré parfait qui sort.29→ Tu as sorti et de la racine. Ce sont leurs racines qui sortent : et
Exercice 65 · base
Un coefficient devant un radical
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Simplifie d'abord puis multiplie par le coefficient qui le précède.
- Une fois les deux termes écrits avec additionne les coefficients.
Correction
- Extraire —
- Le coefficient —
- Regrouper —
Le coefficient multiplie ce qui sort de la racine : On ne l'oublie pas en route.
Pièges anticipés
5→ Tu as additionné et comme si était Simplifie d'abord :7→ Tu as oublié le coefficient devant :35→ Tu as écrit C'est qui sort de la racine.
Exercice 66 · pratique
Trois radicaux à simplifier
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- et sont tous des multiples de : cherche le carré parfait dans chacun.
- N'oublie pas le coefficient devant ni le signe moins.
- Additionne enfin les trois coefficients avec leurs signes.
Correction
- Extraire —
- Le coefficient —
- Regrouper —
Méthode en deux temps, toujours la même : simplifier chaque radical, puis regrouper ceux qui ont le même radicande.
Pièges anticipés
12→ Tu as additionné tous les coefficients. Le deuxième terme est soustrait :6→ Tu as oublié le coefficient devant :
Exercice 67 · pratique
Presque tout se compense
On écrit sous la forme avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Simplifie et : tous deux font apparaître
- Multiplie ensuite par les coefficients et
- Le dernier terme, a pour coefficient
Correction
- Extraire —
- Les coefficients —
- Regrouper —
Un radical écrit seul, comme porte le coefficient : il compte dans le regroupement.
Pièges anticipés
13→ Tu as additionné les trois coefficients. Le deuxième terme est soustrait :0→ Tu as oublié le dernier terme : c'est
Exercice 68 · pratique
Deux radicandes différents
On écrit sous la forme avec et entiers.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Simplifie les quatre radicaux : deux font apparaître deux font apparaître
- Regroupe séparément les termes en et les termes en : on ne peut pas les mélanger.
Correction
- Extraire —
- Les termes en racine de 2 —
- Les termes en racine de 3 —
ne se réduit pas davantage, comme Deux radicandes différents restent deux termes différents.
Pièges anticipés
1→ est le coefficient de c'est-à-dire La question demande celui de11→ Tu as additionné tous les coefficients ensemble. Les termes en et en ne se regroupent pas entre eux.
Exercice 69 · pratique
Développer avec un radical
Calculer
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Distribue sur chacun des deux termes de la parenthèse.
- Utilise et
Correction
- On distribue —
- Chaque produit —
On pouvait aussi simplifier d'abord la parenthèse : puis Deux voies, même résultat.
Pièges anticipés
6→ Tu n'as multiplié que le premier terme. multiplie chaque terme de la parenthèse.6+sqrt(10)→ n'est pas : la racine d'un produit est
Exercice 70 · pratique
Le produit de deux sommes
On écrit sous la forme avec et entiers.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Développe : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Cela fait quatre produits.
- Le produit donne un entier.
- Regroupe les entiers d'un côté, les termes en de l'autre.
Correction
- Quatre produits —
- On regroupe —
Les entiers viennent de et de ; les racines, des deux produits croisés. On développe comme avec puis on remplace par
Pièges anticipés
7→ Le produit vaut pas Les entiers sont et-2→ Tu as oublié le produit qui est un entier : il compte dans
Exercice 71 · raisonnement
Le périmètre d'un triangle
Un triangle a des côtés de longueurs cm, cm et cm. Son périmètre s'écrit avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Le périmètre est la somme des trois côtés.
- Simplifie chaque côté : les trois font apparaître
Correction
- Simplifier chaque côté —
- La somme —
Le périmètre vaut environ cm. Écrits avec les côtés se comparent aussi d'un coup d'œil : ils sont proportionnels à et
Pièges anticipés
29→ Tu as sorti de chaque racine le carré parfait lui-même ( ). Ce sont leurs racines qui sortent : et
Exercice 72 · raisonnement
Le périmètre d'un rectangle
Un rectangle a pour longueur cm et pour largeur cm. Son périmètre s'écrit avec entier.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- Le périmètre d'un rectangle est
- Simplifie la longueur et la largeur : toutes deux s'écrivent avec
Correction
- Simplifier —
- Le périmètre —
À comparer avec l'aire : cm², un entier. Pour l'aire on multiplie, pour le périmètre on additionne : les deux règles sur les radicaux ne se ressemblent pas.
Pièges anticipés
8→ est la somme d'une longueur et d'une largeur : c'est le demi-périmètre. Il faut multiplier par30→ est l'aire du rectangle, en cm². On demande le périmètre : la somme des quatre côtés.
Exercice 73 · raisonnement
Le radical manquant
Déterminer l'entier naturel tel que
Donner la valeur de
Réponse attendue : 45
Indices, dans l’ordre
- Simplifie puis isole
- Tu obtiens : fais rentrer le coefficient sous la racine en le mettant au carré.
Correction
- Isoler —
- Revenir au radicande —
Vérification : Remarque que et non : on ne peut pas additionner les radicandes.
Pièges anticipés
3→ Tu as trouvé mais est le nombre sous la racine :105→ Tu as écrit comme si La racine ne se partage pas sur une somme.
Exercice 74 · defi
Le carré d'une somme de radicaux
On écrit sous la forme avec et entiers.
Donner la valeur de l'entier
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Utilise l'identité du carré d'une somme.
- Le double produit vaut : simplifie encore pour faire apparaître
Correction
- Les carrés —
- Le double produit —
Deux étapes s'enchaînent : l'identité remarquable, puis la simplification du radical S'arrêter à laisse un radical non simplifié.
Pièges anticipés
2→ Tu t'es arrêté à Simplifie : donc0→ Tu as écrit Il manque le double produit : c'est le seul terme en
Exercice 75 · base
Une seule racine en bas
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : 2*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Quand le dénominateur est une seule racine, on multiplie en haut et en bas par cette racine.
- Au dénominateur, Simplifie ensuite le quotient.
Correction
- Multiplier en haut et en bas —
- On simplifie par 3 —
Contrôle : Ici pas besoin d'expression conjuguée : une racine seule se multiplie par elle-même.
Pièges anticipés
6*sqrt(3)→ Tu as fait disparaître la racine du dénominateur, mais oublié de diviser par : et non2→ Tu as divisé par en perdant la racine. On ne remplace pas par : on multiplie en haut et en bas par3.5 / 3.46 / 3.464 / 3.4641→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 76 · base
Un coefficient au dénominateur
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : sqrt(5)/2
Indices, dans l’ordre
- Seul pose problème au dénominateur : multiplie en haut et en bas par
- Au dénominateur : Simplifie ensuite.
Correction
- Multiplier par la racine —
- On simplifie par 5 —
Le coefficient reste au dénominateur : il ne gêne pas, c'est un entier. Seule la racine devait en partir.
Pièges anticipés
sqrt(5)→ Tu as oublié le du dénominateur : passqrt(5)/10→ Le numérateur vaut : tu as perdu le facteur en haut. se simplifie en1.1 / 1.12 / 1.118 / 1.11→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 77 · base
Deux expressions conjuguées
Calculer
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Tu reconnais l'identité qui sert à rendre un dénominateur rationnel.
- Ici et Calcule et
Correction
- L'identité —
Le produit de deux expressions conjuguées ne contient plus de racine : c'est tout le principe de la méthode. Le résultat peut être négatif — ici
Pièges anticipés
3→ Tu as calculé L'identité donne avec : c'est-45→ Tu as élevé au carré. Or et
Exercice 78 · pratique
Rationaliser avec le conjugué
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : (sqrt(5)-1)/2
Indices, dans l’ordre
- L'expression conjuguée de s'obtient en changeant le signe du milieu.
- Multiplie le numérateur et le dénominateur par ce conjugué.
- Au dénominateur : Simplifie ensuite par
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
- On simplifie par 2 —
Contrôle numérique : et Le contrôle à la calculatrice rassure toujours après un conjugué.
Pièges anticipés
(sqrt(5)+1)/2→ Au numérateur, c'est le conjugué qui apparaît, pas l'expression de départ.(sqrt(5)-1)/3→ Le dénominateur vaut : l'identité est une différence de carrés,0.62 / 0.618 / 0.61→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 79 · pratique
Un dénominateur qui vaut 3
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : sqrt(7)+2
Indices, dans l’ordre
- Multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée de
- Au dénominateur, la différence de carrés vaut un entier : regarde s'il se simplifie avec le du numérateur.
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
Le dénominateur valait exactement le numérateur : il disparaît complètement. Quand c'est le cas, l'inverse s'écrit sans aucune fraction.
Pièges anticipés
sqrt(7)-2→ Le conjugué de est : c'est lui qui passe au numérateur.3*(sqrt(7)+2)/11→ Le dénominateur est une différence de carrés : pas4.6 / 4.65 / 4.646 / 4.6458 / 4.64 / 4.645→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 80 · pratique
Une racine en haut et en bas
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : 2+sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Multiplie en haut et en bas par le conjugué de
- Au numérateur, développe :
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
- Le numérateur —
Un dénominateur qui vaut disparaît : l'expression n'est plus une fraction. Reste à ne pas oublier le du numérateur de départ.
Pièges anticipés
2-sqrt(2)→ Tu as multiplié par au lieu de son conjuguésqrt(2)+1→ Tu as oublié le du numérateur : le conjugué le multiplie, il ne le remplace pas.3.4 / 3.41 / 3.414 / 3.4142→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 81 · pratique
Deux radicaux au dénominateur
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : sqrt(13)+sqrt(11)
Indices, dans l’ordre
- Le conjugué de s'obtient en changeant le signe du milieu.
- Au dénominateur, les deux carrés sont des entiers : Regarde s'il se simplifie avec le du numérateur.
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
L'identité fait disparaître les deux racines à la fois. Contrôle de bon sens : le dénominateur de départ est petit (environ ), le résultat est donc grand (environ ).
Pièges anticipés
sqrt(13)-sqrt(11)→ C'est le conjugué qui passe au numérateur, pas l'expression de départ.(sqrt(13)+sqrt(11))/12→ Le dénominateur est une différence de carrés : pas6.9 / 6.92 / 6.922 / 6.9222→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 82 · pratique
Un dénominateur négatif
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : sqrt(7)-sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Multiplie en haut et en bas par le conjugué
- Au dénominateur, est négatif : garde bien ce signe.
- Diviser par c'est diviser par et changer tous les signes.
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
- On simplifie —
Contrôle de signe : est le quotient de deux nombres positifs, donc positif. ; le résultat négatif, aurait trahi l'oubli du signe.
Pièges anticipés
sqrt(3)-sqrt(7)→ Le dénominateur vaut pas Tu as perdu le signe moins : ton résultat est négatif alors que est positif.(sqrt(3)-sqrt(7))*4/10→ Le dénominateur est une différence de carrés : pas0.91 / 0.914 / 0.9137 / 0.913→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 83 · raisonnement
Une somme d'inverses
Calculer et donner sa valeur exacte simplifiée, sans racine au dénominateur.
Réponse attendue : sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Rends rationnel le dénominateur de chacun des deux quotients.
- Les deux dénominateurs deviennent égaux : il suffit d'additionner les numérateurs.
Correction
- Le premier quotient —
- Le second quotient —
- La somme —
Autre voie : réduire au même dénominateur Le numérateur vaut alors Même résultat : le conjugué est le dénominateur commun.
Pièges anticipés
sqrt(3)+1→ Le second quotient a pour conjugué : il donne et les se compensent.2/(2*sqrt(3))→ Tu as additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Une somme de quotients demande un dénominateur commun.1.7 / 1.73 / 1.732 / 1.7321→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 84 · raisonnement
L'inverse d'un nombre
On pose Donner la valeur exacte de l'inverse de écrite sans racine au dénominateur.
Donner l'inverse de
Réponse attendue : sqrt(10)+3
Indices, dans l’ordre
- L'inverse de est : rends rationnel son dénominateur.
- Calcule le produit : sa valeur est remarquable.
Correction
- L'inverse —
- Le conjugué —
et son inverse : même partie décimale ! C'est que leur différence vaut exactement Quand le produit de deux conjugués vaut chacun est l'inverse de l'autre.
Pièges anticipés
3-sqrt(10)→ Tu as donné l'opposé de L'inverse est et non(sqrt(10)+3)/19→ Le dénominateur est une différence de carrés : pas6.2 / 6.16 / 6.162 / 6.1623→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 85 · raisonnement
Simplifier d'abord
Calculer
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Avant de chercher un conjugué, simplifie les trois radicaux.
- Le dénominateur se réduit à un seul terme en
Correction
- Simplifier —
- Le dénominateur —
Le conjugué aurait marché, mais au prix d'un long calcul. Simplifier les radicaux en premier est souvent la moitié du travail.
Pièges anticipés
sqrt(18)/sqrt(10)→ Tu as écrit La racine ne se partage pas sur une somme : simplifie9/5→ Tu as sorti les carrés parfaits eux-mêmes ( et ). Ce sont leurs racines qui sortent : et
Exercice 86 · defi
Un coefficient dans le conjugué
Écrire sans racine au dénominateur, et donner sa valeur exacte.
Réponse attendue : 3+2*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Le conjugué de est : le coefficient reste en place.
- Au dénominateur, : calcule soigneusement
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
Tout se joue sur : le coefficient se met au carré lui aussi. Le dénominateur vaut alors et l'inverse s'écrit sans fraction.
Pièges anticipés
3-2*sqrt(2)→ C'est le conjugué qui passe au numérateur.(3+2*sqrt(2))/5→ Tu as pris Le coefficient et la racine passent tous deux au carré :(3+2*sqrt(2))/7→ Tu as pris en oubliant le coefficient. Il passe au carré lui aussi :5.8 / 5.83 / 5.828 / 5.8284 / 5.82→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde la racine dans ton écriture.
Exercice 87 · defi
Deux quotients conjugués
Calculer
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Les deux dénominateurs ont pour produit : c'est un dénominateur commun.
- Au numérateur, tu obtiens deux carrés : et Développe-les.
- Les termes en se compensent.
Correction
- Le dénominateur commun —
- Les deux carrés —
- Le dénominateur —
Deux nombres irrationnels, inverses l'un de l'autre, dont la somme est entière. Le dénominateur commun était le produit des deux conjugués : la méthode du conjugué et celle du dénominateur commun ne font qu'une.
Pièges anticipés
2→ Le dénominateur commun vaut pas1→ Tu as multiplié les deux quotients : ils sont inverses l'un de l'autre, leur produit vaut Mais on demande leur somme.
Exercice 88 · base
Le signe d'un produit
On pose Sans calculer déterminer son signe.
Répondre par « positif » ou « négatif ».
Réponse attendue : positif — aussi acceptées : P est positif
Indices, dans l’ordre
- Détermine le signe de chacun des trois facteurs.
- Une puissance d'un négatif est négative si l'exposant est impair, positive s'il est pair.
- Compte ensuite les facteurs négatifs : s'ils sont en nombre pair, les signes moins s'annulent deux à deux.
Correction
- Les trois signes —
- On compte — Deux facteurs négatifs : leur produit est positif, et le troisième facteur est positif.
Le signe d'un produit se lit sans rien calculer : on compte les facteurs négatifs. Pair : positif. Impair : négatif.
Pièges anticipés
négatif / P est négatif→ Compte les facteurs négatifs : (exposant impair) et Le troisième, est positif. Deux signes moins, c'est pair.
Exercice 89 · base
Multiplier par un négatif
On sait que Compléter par le bon symbole :
Répondre par ou
Réponse attendue : > — aussi acceptées : -5x>-20 · -20<-5x · supérieur · strictement supérieur
Indices, dans l’ordre
- Passer de à c'est multiplier les deux membres par
- Multiplier une inégalité par un réel négatif renverse son sens.
Correction
- On multiplie par -5 — est négatif : le sens de l'inégalité change.
Contrôle avec une valeur : vérifie et Un exemple suffit à vérifier le sens.
Pièges anticipés
< / ≤ / <= / -5x<-20 / -5x≤-20 / -5x<=-20 / inférieur / strictement inférieur→ Tu as gardé le sens de l'inégalité. On multiplie par un nombre négatif : le sens se renverse.≥ / >= / -5x≥-20 / -5x>=-20 / supérieur ou égal→ Le sens est bon, mais l'inégalité de départ est stricte : elle le reste après multiplication.
Exercice 90 · base
Passer aux inverses
On sait que Déterminer la plus grande valeur que peut prendre
Donner la plus grande valeur de l'inverse.
Réponse attendue : 1/2
Indices, dans l’ordre
- Les nombres et sont tous positifs : on peut passer aux inverses.
- Passer aux inverses renverse l'ordre, pour des nombres de même signe.
Correction
- On passe aux inverses — Tous positifs : l'ordre se renverse.
Plus est petit, plus son inverse est grand : c'est pour que est le plus grand. Diviser par un petit nombre donne un grand nombre.
Pièges anticipés
1/5→ est la plus petite valeur. Passer aux inverses renverse l'ordre : le plus grand inverse vient du plus petit5→ est la plus grande valeur de On demande celle de son inverse
Exercice 91 · base
Encadrer une somme
On sait que et On en déduit un encadrement de en ajoutant membre à membre.
Donner la borne inférieure de cet encadrement.
Réponse attendue : 3.1
Indices, dans l’ordre
- Deux inégalités de même sens s'ajoutent membre à membre.
- La borne inférieure s'obtient en ajoutant les deux bornes inférieures.
Correction
- Membre à membre —
L'encadrement est d'amplitude : les amplitudes s'additionnent elles aussi. La valeur réelle, environ est bien dedans.
Pièges anticipés
3.3→ est la borne supérieure. La borne inférieure s'obtient avec les deux bornes inférieures.sqrt(5)→ On ne demande pas qui n'est d'ailleurs pas égal à Ajoute les bornes membre à membre.
Exercice 92 · pratique
Encadrer une expression affine
On sait que On cherche un encadrement de
Donner la borne inférieure de l'encadrement de
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Procède en deux étapes : multiplie d'abord par puis ajoute
- Multiplier par renverse le sens des inégalités : les bornes échangent leur place.
Correction
- Multiplier par -2 — Le sens se renverse.
- On réécrit dans l'ordre croissant.
- Ajouter 5 — Ajouter conserve l'ordre.
La borne inférieure vient de la borne supérieure de l'encadrement de départ : c'est le renversement par le facteur négatif. Contrôle :
Pièges anticipés
7→ est la plus grande valeur de obtenue pour En multipliant par les bornes échangent leur place.3→ Tu as multiplié par au lieu de Le coefficient est négatif : c'est lui qui renverse l'ordre.
Exercice 93 · pratique
Comparer deux radicaux
On pose et Comparer et sans calculatrice.
Répondre par ou
Réponse attendue : A>B — aussi acceptées : B<A · 3√5>2√11 · 2√11<3√5 · √45>√44 · √44<√45
Indices, dans l’ordre
- Les deux nombres sont positifs : ils sont rangés comme leurs carrés.
- Calcule et : le carré d'un produit est le produit des carrés.
Correction
- Les carrés —
- On compare — et sont positifs, et le carré conserve l'ordre des nombres positifs.
Ni le coefficient () ni le radicande () ne décident seuls. Faire rentrer le coefficient sous la racine — — tranche aussitôt.
Pièges anticipés
A<B / B>A→ Tu as comparé les radicandes et en oubliant les coefficients. Compare plutôt les carrés : etA=B→ et : les deux nombres sont proches, mais pas égaux.
Exercice 94 · pratique
Comparer par la différence
On pose et Pour les comparer, on étudie le signe de
Calculer et donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 1/117
Indices, dans l’ordre
- Réduis au même dénominateur : convient.
- Calcule les deux produits en croix et puis soustrais.
- Le signe du résultat dit lequel des deux nombres est le plus grand.
Correction
- Le dénominateur commun —
- Le signe — donc
: c'est la méthode de base, qui marche quand les autres échouent. Ici les deux nombres ne diffèrent que de — à peine
Pièges anticipés
-1/117→ Tu as calculé et : est positif.3/4→ Tu as soustrait numérateurs et dénominateurs entre eux. Une différence de quotients demande un dénominateur commun.0.01 / 0.009 / 0.0085 / 0.008→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.
Exercice 95 · pratique
Ranger trois nombres
On range dans l'ordre croissant les trois nombres et
Donner le nombre qui se trouve au milieu.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Les trois nombres sont positifs : compare leurs carrés.
- Calcule de même les deux autres carrés.
Correction
- Les carrés —
- L'ordre — Pour des nombres positifs, l'ordre des carrés est celui des nombres.
: trois nombres très proches, que les carrés départagent sans approximation. C'est la méthode la plus sûre pour ranger des radicaux.
Pièges anticipés
3*sqrt(3)→ Tu as rangé les nombres d'après leurs coefficients et Compare plutôt les carrés : et2*sqrt(6)→ est le plus petit des trois : son carré vaut le plus petit des trois carrés.
Exercice 96 · raisonnement
Encadrer avec un carré
On sait que On cherche un encadrement de
Donner la borne inférieure de l'encadrement de
Réponse attendue : 19
Indices, dans l’ordre
- Les nombres et sont positifs : élever au carré conserve l'ordre.
- Ensuite, multiplie par (positif), puis ajoute
Correction
- Le carré — Tout est positif : l'ordre est conservé.
- Multiplier par 2 —
- Ajouter 1 —
Chaque étape utilise une règle du cours : le carré (nombres positifs), la multiplication par un positif, l'addition. On les enchaîne dans l'ordre des priorités : d'abord le carré.
Pièges anticipés
37→ Tu as calculé Dans seul est au carré : on calcule d'abord, puis on multiplie par13→ Tu as remplacé par Pour pas
Exercice 97 · raisonnement
Le carré d'un nombre négatif
On sait que On cherche un encadrement de
Donner la borne inférieure de l'encadrement de
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Attention : la règle « le carré conserve l'ordre » ne vaut que pour des nombres positifs. Ici est négatif.
- Encadre d'abord qui est positif : multiplier par renverse l'ordre.
- Puis élève au carré :
Correction
- On passe à -x — Multiplier par renverse l'ordre.
- Le carré — Tout est positif désormais.
Pour des nombres négatifs, élever au carré renverse l'ordre : mais Le plus petit carré vient du nombre le plus proche de
Pièges anticipés
16→ est la plus grande valeur de Pour des nombres négatifs, le carré renverse l'ordre : mais-16→ Un carré n'est jamais négatif. et c'est même la plus grande valeur.
Exercice 98 · raisonnement
Deux sommes de radicaux
On pose et Comparer et sans calculatrice.
Répondre par ou
Réponse attendue : A>B — aussi acceptées : B<A · √3+√5>√2+√6 · √2+√6<√3+√5
Indices, dans l’ordre
- Les deux nombres sont positifs : compare leurs carrés.
- Développe et avec
- Les parties entières sont égales : tout se joue sur le double produit.
Correction
- Le carré de A —
- Le carré de B —
- On compare — donc et Comme et sont positifs :
: les radicandes ont la même somme, et c'est leur produit qui départage. Le passage au carré transforme une comparaison difficile en une comparaison d'entiers.
Pièges anticipés
A<B / B>A→ Reprends les carrés : et Comme c'est le plus grand.A=B→ mais la racine ne se partage pas sur une somme : et ne sont pas égaux. Compare leurs carrés.
Exercice 99 · raisonnement
Le plus petit des quatre
On pose Parmi les quatre nombres et on cherche le plus petit.
Donner la valeur exacte du plus petit des quatre, sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 4/9
Indices, dans l’ordre
- Situe par rapport à : la règle du cours range alors et
- Pour l'inverse est plus petit que alors que ne l'est pas.
- Écris sous forme de fraction pour obtenir son inverse exact.
Correction
- Les trois premiers —
- L'inverse —
- On compare —
Pour l'ordre complet est Le nombre sépare l'inverse de tous les autres.
Pièges anticipés
1.5→ est le plus petit des trois premiers, mais l'inverse est plus petit que : il passe devant.5.0625→ est au contraire le plus grand des quatre : pour élever au carré agrandit.0.44 / 0.444 / 0.4444→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.9/4→ n'est pas le plus petit : pour est déjà plus petit que et l'inverse plus petit que passe devant tous les autres.
Exercice 100 · defi
Encadrer un quotient
On sait que et On cherche un encadrement de
Donner la valeur exacte de la borne inférieure de l'encadrement de
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- On ne divise pas des encadrements membre à membre : écris
- Encadre d'abord : passer aux inverses renverse l'ordre.
- Multiplie ensuite les encadrements de et de tous les nombres étant positifs.
Correction
- L'inverse de y —
- Le produit — Tout est positif : on multiplie membre à membre.
Le quotient est le plus petit quand le numérateur est le plus petit et le dénominateur le plus grand : Diviser les bornes « dans l'ordre », et donne un faux encadrement.
Pièges anticipés
2→ Tu as divisé les bornes inférieures entre elles : Pour un quotient, le dénominateur le plus grand donne le résultat le plus petit :4/3→ n'est pas la plus petite valeur : avec et on obtient plus petit.0.67 / 0.667 / 0.6667 / 0.66 / 0.666→ Ta valeur est approchée : la consigne demande la valeur exacte. Garde l'écriture en fraction.
Exercice 101 · defi
Comparer deux quotients avec une lettre
Soit un réel positif. On pose et Comparer et
Répondre par ou
Réponse attendue : A<B — aussi acceptées : B>A
Indices, dans l’ordre
- Étudie le signe de la différence en réduisant au même dénominateur.
- Au numérateur, développe et puis soustrais.
- Le dénominateur est positif : le signe de est celui du numérateur.
Correction
- Le même dénominateur —
- Le numérateur —
- Le signe — Le numérateur est négatif, le dénominateur positif.
Pour : et cohérent. Avec une lettre, aucun essai ne suffit à conclure : seule la différence le prouve pour tous les positifs.
Pièges anticipés
A>B / B<A→ Recalcule le numérateur de : qui est négatif. DoncA=B→ Essaie : et ne sont pas égaux. Étudie le signe de
Exercice 102 · defi
Encadrer un inverse
On sait que On veut un encadrement de Pour cela, on rend d'abord son dénominateur rationnel.
Donner la borne inférieure de l'encadrement obtenu.
Réponse attendue : 8.12
Indices, dans l’ordre
- Multiplie en haut et en bas par le conjugué de : le dénominateur devient un entier.
- Tu obtiens une somme : il suffit d'ajouter le même nombre aux trois membres de l'encadrement de
Correction
- Le conjugué —
- Ajouter 4 — Ajouter conserve l'ordre.
En passant directement aux inverses (), on n'obtient que : juste, mais plus de soixante fois moins précis. Rendre le dénominateur rationnel, c'est aussi ce qui permet d'encadrer finement.
Pièges anticipés
100/13 / 7.69→ Tu es passé directement aux inverses : C'est juste, mais l'encadrement est grossier. La consigne demande de rendre d'abord le dénominateur rationnel :8.13→ est la borne supérieure. La borne inférieure vient de