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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Angles

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Lyoum nabdaw le chapitre numéro 1 : les angles. Enti ta3ref t9is angle, hedha ma3rouf. Ama hna bech nesta3mlouh fel démonstrations. 3 outils : les figures de base, les droites parallèles et l'angle inscrit fi el cercle. Yalla nabdaw.

عسلامة ! لْيوم نبداو le chapitre numéro 1 : les angles . إنتِ تعرف تقيس angle ، هذا معروف. أما هنا باش نستعملوه في les démonstrations . 3 outils : les figures de base ، les droites parallèles et l'angle inscrit في الـ cercle . يالله نبداو.

Bonjour ! Aujourd'hui on commence le chapitre numéro 1 : les angles. Mesurer un angle, tu sais déjà le faire. Ici on va s'en servir pour démontrer. Trois outils : les figures de base, les droites parallèles, et l'angle inscrit dans le cercle. Allons-y.

Un angle, tu sais déjà le mesurer. Ce chapitre sert à autre chose : s'en servir pour démontrer.

Trois outils, et ce sont ceux de toute l'année de géométrie. Le premier lit un angle dans une figure de base — triangle, carré, parallélogramme. Le deuxième fait le lien entre angles égaux et droites parallèles, dans les deux sens : des parallèles donnent des angles égaux, et des angles égaux prouvent que deux droites sont parallèles. Le troisième vit dans le cercle : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre, et c'est lui qui fait apparaître des angles droits là où on ne les attendait pas.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Calculer un angle d'une figure de base : triangle, carré, triangle équilatéral, parallélogrammeCalculer un angle dans une figure de base : triangle, carré, triangle équilatéral, parallélogramme.Calculer un angle dans une figure de base : triangle, carré, triangle équilatéral, parallélogramme.
  • Reconnaître deux angles alternes-internes, correspondants, ou intérieurs d'un même côtéReconnaître deux angles alternes-internes, correspondants, ou intérieurs d'un même côté.Reconnaître deux angles alternes-internes, correspondants, ou intérieurs d'un même côté.
  • Passer des droites parallèles aux angles égaux, et des angles égaux aux droites parallèlesPasser des droites parallèles aux angles égaux, et des angles égaux aux droites parallèles.Passer des droites parallèles aux angles égaux, et des angles égaux aux droites parallèles.
  • Utiliser le cercle de diamètre [AB][AB] pour produire un angle droitUtiliser le cercle de diamètre AB pour obtenir un angle droit.Utiliser le cercle de diamètre AB pour obtenir un angle droit.
  • Relier un angle inscrit à l'angle au centre qui intercepte le même arcRelier un angle inscrit à l'angle au centre qui intercepte le même arc.Relier un angle inscrit à l'angle au centre qui intercepte le même arc.

1. Activité

Un angle qui sort du triangle

Ce qu’il dit

Chouf mlih : les angles ACB w ACD supplémentaires, khater B, C, D alignés. El majmou3 180 degrés. W fi triangle, les trois angles zeda ya3tiw 180. N9assahom men b3adhhom, w yeb9a el résultat.

شوف مليح : les angles ACB w ACD supplémentaires ، خاطر B ، C ، D alignés . المجموع 180 degrés . w في triangle ، les trois angles زادة يعطيو 180 . نقصّهم من بعضهم ، w يبقى الـ résultat .

Regarde bien : les angles ACB et ACD sont supplémentaires, parce que B, C et D sont alignés. Leur somme fait 180 degrés. Et dans un triangle, les trois angles font aussi 180. On les retranche l'un de l'autre, et le résultat tombe.

On considère un triangle ABC.ABC. On prolonge le côté [BC][BC] au-delà de C,C, jusqu'à un point D.D.

L'angle ACD^\widehat{ACD} n'est pas un angle du triangle : il est à l'extérieur. Et pourtant il se calcule sans rien mesurer.

  1. 1.Que vaut ACB^+ACD^\widehat{ACB} + \widehat{ACD} ? Pourquoi ?
  2. 2.Que vaut CAB^+ABC^+ACB^\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} ?
  3. 3.Déduis-en une expression de ACD^\widehat{ACD} qui n'utilise que CAB^\widehat{CAB} et ABC^.\widehat{ABC}.
ABCD
L'angle extérieur en C.

Un triangle ABC posé sur sa base. Le côté [BC] est prolongé au-delà de C jusqu'à un point D, ce qui fait apparaître, du côté de D, l'angle ACD extérieur au triangle.

2. Propriété

L'angle extérieur d'un triangle

Dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents.

angle extérieur en C

ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}

Démonstration

Les points B,B, CC et DD sont alignés, donc ACB^+ACD^=180∘.\widehat{ACB} + \widehat{ACD} = 180^\circ.

Dans le triangle ABC,ABC, la somme des angles vaut aussi 180∘180^\circ : CAB^+ABC^+ACB^=180∘.\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ.

Les deux membres de gauche sont donc égaux : ACB^+ACD^=CAB^+ABC^+ACB^.\widehat{ACB} + \widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB}.

On retire ACB^\widehat{ACB} des deux côtés et il reste ACD^=CAB^+ABC^.\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}.

Exemple traité

Dans le triangle ABC,ABC, CAB^=80∘\widehat{CAB} = 80^\circ et ABC^=50∘.\widehat{ABC} = 50^\circ. On prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'à D.D. Que vaut ACD^\widehat{ACD} ?

  1. La propriété — L'angle extérieur en CC est la somme des deux angles non adjacents, c'est-à-dire ceux en AA et en B.B.ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}
  2. On remplace par les mesures données.ACD^=80∘+50∘\widehat{ACD} = 80^\circ + 50^\circ
ACD^=130∘\widehat{ACD} = 130^\circ

À ne pas faire : ACD^=180∘−80∘−50∘\widehat{ACD} = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ — ACD^=80∘+50∘\widehat{ACD} = 80^\circ + 50^\circ. Ce calcul-là donne ACB^,\widehat{ACB}, l'angle intérieur en C.C. L'angle extérieur est son supplémentaire.

3. Activité

Deux parallèles, une sécante

Ce qu’il dit

El deux angles hedhouma alternes-internes : wahed lehna w wahed lehna men la sécante, w ezzouz bin les deux parallèles. 9ishom : kif kif. Hedha houwa le théorème elli jey.

الـ deux angles هاذوما alternes-internes : واحد لهنا w واحد لهنا من la sécante ، w الزوز بين les deux parallèles . قيسهم : كيف كيف. هذا هو le théorème اللي جاي.

Ces deux angles sont alternes-internes : l'un d'un côté, l'autre de l'autre côté de la sécante, et tous les deux entre les parallèles. Mesure-les : ils sont égaux. C'est le théorème qui vient.

Deux droites parallèles (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont coupées par une même droite, la sécante, en AA et en B.B.

Trois couples d'angles ont un nom, et il faut savoir les reconnaître avant de savoir les calculer :

  • les angles intérieurs d'un même côté sont entre les deux parallèles, du même côté de la sécante ;
  • les angles alternes-internes sont entre les deux parallèles, de part et d'autre de la sécante ;
  • les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les parallèles et l'autre à l'extérieur.
  1. 1.Sur la figure, les deux angles marqués sont-ils intérieurs d'un même côté, alternes-internes, ou correspondants ?
  2. 2.Mesure-les au rapporteur. Que remarques-tu ?
xx'Ayy'B
Les angles alternes-internes xAB et y'BA.

Deux droites horizontales parallèles, la droite (xx') en haut et la droite (yy') en bas. Une sécante les coupe en A sur la droite du haut et en B sur celle du bas. Deux angles sont marqués du même arc : l'angle xAB au point A, ouvert vers la gauche, et l'angle y'BA au point B, ouvert vers la droite. Ils sont de part et d'autre de la sécante, entre les deux parallèles.

4. Théorème

Des parallèles vers les angles

Deux droites parallèles forment avec une sécante :

  1. 1.deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires ;
  2. 2.deux angles alternes-internes égaux ;
  3. 3.deux angles correspondants égaux.

intérieurs d'un même côté

xAB^+yBA^=180∘\widehat{xAB} + \widehat{yBA} = 180^\circ

alternes-internes

xAB^=y′BA^\widehat{xAB} = \widehat{y'BA}

Exemple traité

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. L'un des angles intérieurs d'un même côté mesure 131,2∘.131{,}2^\circ. Que vaut l'autre ?

  1. La bonne famille — Intérieurs d'un même côté : ils sont supplémentaires, pas égaux.
  2. yBA^=180∘−131,2∘\widehat{yBA} = 180^\circ - 131{,}2^\circ
yBA^=48,8∘\widehat{yBA} = 48{,}8^\circ

À ne pas faire : Deux angles intérieurs d'un même côté sont égaux. — Deux angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.. Sur les trois couples, c'est le seul qui donne 180∘180^\circ et non l'égalité. Repère toujours la famille avant de calculer.

5. Théorème

Des angles vers les parallèles

Les trois réciproques sont vraies, et ce sont elles qui servent à démontrer un parallélisme.

Si deux droites forment avec une sécante :

  1. 1.deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires, alors elles sont parallèles ;
  2. 2.deux angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles ;
  3. 3.deux angles correspondants égaux, alors elles sont parallèles.

À ne pas faire : Les droites sont parallèles, donc les angles sont égaux — donc les droites sont parallèles. — On part des angles, on conclut sur les droites.. Le sens direct suppose le parallélisme ; la réciproque le prouve. Dans un exercice qui demande de montrer que deux droites sont parallèles, seule la réciproque est utilisable.

6. Activité

Un angle droit qui apparaît tout seul

Ce qu’il dit

OA, OB w OP koll wahed rayon, ma3neha kif kif. Zouz triangles isocèles. Nekteb la somme des angles mte3 le triangle APB, w nel9aw l'angle APB ysewi 90 degrés. W hedha yemchi win ma hattit P 3al cercle.

OA ، OB w OP كل واحد rayon ، معناها كيف كيف. زوز triangles isocèles . نكتب la somme des angles متاع le triangle APB ، w نلقاو l'angle APB يساوي 90 degrés . w هذا يمشي وين ما حطّيت P عالـ cercle .

OA, OB et OP sont tous des rayons, donc ils sont égaux. Cela fait deux triangles isocèles. On écrit la somme des angles du triangle APB, et on trouve que l'angle APB vaut 90 degrés. Et c'est vrai où que tu places P sur le cercle.

AA et BB sont deux points distincts et (C)(C) est le cercle de diamètre [AB].[AB]. Soit PP un point de (C),(C), distinct de AA et de B.B.

  1. 1.Compare OA,OA, OBOB et OP.OP. Que peux-tu dire des triangles OAPOAP et OBPOBP ?
  2. 2.En notant OAP^=α\widehat{OAP} = \alpha et OBP^=β,\widehat{OBP} = \beta, écris APB^\widehat{APB} en fonction de α\alpha et β.\beta.
  3. 3.Écris la somme des angles du triangle APB,APB, puis conclus sur APB^.\widehat{APB}.
  4. 4.Déplace PP sur le cercle. Que remarques-tu ?
OABP
P est sur le cercle de diamètre [AB] : l'angle en P est droit.

Un cercle de centre O. Le diamètre [AB] est horizontal, A à gauche et B à droite. Un point P est placé sur le cercle, au-dessus et à droite du centre. Les segments [PA] et [PB] sont tracés, et l'angle APB porte la marque de l'angle droit.

7. Théorème

Le cercle de diamètre [AB]

Si le côté [BC][BC] d'un triangle ABCABC est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle en A.A.

Réciproquement, AA et BB étant deux points distincts, les points PP tels que APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ sont exactement les points du cercle de diamètre [AB],[AB], privé de AA et de BB.

APB^=90∘  ⟺  P∈(C)∖{A,B}\widehat{APB} = 90^\circ \iff P \in (C) \setminus \{A, B\}

À ne pas faire : L'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB].[AB]. — C'est ce cercle privé des points AA et B.B.. En AA et en B,B, l'angle APB^\widehat{APB} n'existe pas : deux de ses sommets seraient confondus.

8. Définition

Angle inscrit, angle au centre

Un angle qui a son sommet sur un cercle et ses côtés qui recoupent le cercle est appelé angle inscrit dans ce cercle.

Un angle dont le sommet est le centre du cercle est appelé angle au centre de ce cercle.

Sur la figure, l'angle AMB^\widehat{AMB} est inscrit dans (C)(C) et intercepte l'arc AB.AB. L'angle AOB^\widehat{AOB} est l'angle au centre associé : il intercepte le même arc.

60°120°OABM
L'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre associé.

Un cercle de centre O. Trois points A, B et M sont sur le cercle : A en bas à gauche, B en bas à droite, M en haut. Les segments [MA] et [MB] forment l'angle inscrit AMB, marqué 60 degrés. Les rayons [OA] et [OB] forment l'angle au centre AOB, marqué 120 degrés et ouvert vers le bas. Les deux angles interceptent le même arc AB, celui qui ne contient pas M.

9. Théorème

Angle inscrit et angle au centre

Un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Conséquence immédiate, et c'est celle qui sert le plus souvent : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

inscrit et centre

AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}

même arc intercepté

AMB^=AM′B^\widehat{AMB} = \widehat{AM'B}

Exemple traité

Dans un cercle de centre O,O, l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 100∘.100^\circ. Le point MM est sur le cercle, sur l'arc qui ne contient ni AA ni BB du côté opposé. Que vaut AMB^\widehat{AMB} ?

  1. Qui est qui — AMB^\widehat{AMB} a son sommet sur le cercle : c'est l'angle inscrit. AOB^\widehat{AOB} a son sommet au centre.
  2. L'inscrit vaut la moitié du centre.AMB^=12×100∘\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2} \times 100^\circ
AMB^=50∘\widehat{AMB} = 50^\circ

À ne pas faire : AMB^=2×AOB^\widehat{AMB} = 2 \times \widehat{AOB} — AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}. C'est l'angle au centre qui est le double. Le sommet au centre voit plus grand ; le sommet sur le cercle voit deux fois moins.

10. Méthode

Quel outil, devant quelle figure

Trois réflexes, dans cet ordre :

  1. 1.Un cercle avec un angle dont le sommet est sur le cercle ? Cherche l'angle au centre associé, ou un autre angle inscrit sur le même arc.
  2. 2.Un côté qui est un diamètre ? Tu as un angle droit gratuit, sans rien calculer.
  3. 3.Deux droites et une sécante ? Nomme d'abord la famille — intérieurs d'un même côté, alternes-internes, correspondants — avant d'écrire quoi que ce soit. La famille décide si c'est une égalité ou un 180∘.180^\circ.

Et pour démontrer un parallélisme, c'est toujours une réciproque : on part des angles, on conclut sur les droites.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

  1. Angle extérieur d'un triangle = somme des deux angles non adjacents.Fi triangle, l'angle extérieur égale la somme des deux angles non adjacents.L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles non adjacents.
  2. Parallèles + sécante : intérieurs d'un même côté supplémentaires, alternes-internes égaux, correspondants égaux.Ki 3andek deux parallèles w une sécante : les intérieurs d'un même côté supplémentaires, les alternes-internes égaux, w les correspondants égaux.Avec deux parallèles et une sécante : les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires, les alternes-internes égaux, les correspondants égaux.
  3. Les trois réciproques prouvent le parallélisme : on part des angles.Les trois réciproques ythabtou le parallélisme : tebda mel angles.Les trois réciproques prouvent le parallélisme : on part des angles.
  4. [BC][BC] diamètre du cercle circonscrit   ⟺  \iff triangle rectangle en A.A.Ken BC diamètre du cercle circonscrit, ma3neha le triangle est rectangle en A, w bel 3aks.BC est un diamètre du cercle circonscrit si et seulement si le triangle est rectangle en A.
  5. Angle inscrit =12×=\tfrac{1}{2}\times angle au centre qui intercepte le même arc.Dima : l'angle inscrit égale la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.Un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
  6. Deux angles inscrits sur le même arc sont égaux.W deux angles inscrits qui interceptent le même arc, ykounou égaux.Et deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna les angles. Tfakker les 3 : angle extérieur, angles et parallèles, w angle inscrit. Ay figure fiha cercle w angle, lawwej 3al angle au centre. Yalla nemchiw lel exercices.

هكّا كمّلنا les angles . تفكّر les 3 : angle extérieur ، angles et parallèles ، w angle inscrit . أي figure فيها cercle w angle ، لوّج عالـ angle au centre . يالله نمشيو للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé les angles. Retiens les trois : l'angle extérieur, les angles et les parallèles, et l'angle inscrit. Dans toute figure où il y a un cercle et un angle, cherche l'angle au centre. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · L'angle extérieur d'un triangle

  • c'est quoi un angle extérieur
  • chnowa angle extérieur
  • angle extérieur d'un triangle définition
  • angle extérieur ya3ni chnowa
  • c'est quoi l'angle extérieur en C
  • définition de l'angle extérieur

Ce qu’il répond

Nmeddou côté mte3 le triangle ba3d sommet : l'angle elli yetkawwen berra le triangle houwa angle extérieur. Mathalan nmeddou $[BC]$ ba3d C 7atta D : $\widehat{ACD}$ angle extérieur en C. Mouch angle mte3 le triangle.

نمدّو côté متاع le triangle بعد sommet : l'angle اللي يتكوّن برّا le triangle هو angle extérieur . مثلا نمدّو B C بعد C حتّى D : l'angle A C D angle extérieur en C . موش angle متاع le triangle .

On prolonge un côté du triangle au-delà d'un sommet : l'angle qui se forme à l'extérieur du triangle est un angle extérieur. Par exemple, en prolongeant B C au-delà de C jusqu'à D, l'angle A C D est l'angle extérieur en C. Ce n'est pas un angle du triangle.

Question 2 · L'angle extérieur d'un triangle

  • comment calculer un angle extérieur
  • kifech na7seb l'angle extérieur
  • angle extérieur égale la somme de quoi
  • propriété de l'angle extérieur
  • angle extérieur formule
  • kifech nal9a l'angle extérieur bla rapporteur

Ce qu’il écrit au tableau

  • ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}
  • 70∘+40∘=110∘70^\circ + 40^\circ = 110^\circ

Ce qu’il répond

L'angle extérieur ysewi la somme mte3 les deux angles mte3 le triangle elli mouch adjacents lih : $\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}$. Mathalan ken l'angle en A $70^\circ$ w en B $40^\circ$, l'angle extérieur en C ysewi $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

l'angle extérieur يساوي la somme متاع les deux angles متاع le triangle اللي موش adjacents ليه . مثلا كان l'angle en A 70 degrés w en B 40 degrés ، l'angle extérieur en C يساوي 70 plus 40 ، يعني 110 degrés .

Un angle extérieur est égal à la somme des deux angles du triangle qui ne lui sont pas adjacents. Par exemple, si l'angle en A mesure 70 degrés et l'angle en B 40 degrés, l'angle extérieur en C vaut 70 plus 40, soit 110 degrés.

Question 3 · L'angle extérieur d'un triangle

  • pourquoi l'angle extérieur est la somme des deux autres
  • 3lech l'angle extérieur ysewi la somme
  • démonstration de l'angle extérieur
  • comment démontrer la propriété de l'angle extérieur
  • preuve angle extérieur
  • angle extérieur 3lech

Ce qu’il écrit au tableau

  • ACB^+ACD^=180∘=CAB^+ABC^+ACB^\widehat{ACB} + \widehat{ACD} = 180^\circ = \widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB}

Ce qu’il répond

B, C w D alignés, donc $\widehat{ACB} + \widehat{ACD} = 180^\circ$. W fi le triangle, la somme des angles zeda $180^\circ$. N7iw $\widehat{ACB}$ mel zouz, yo93od $\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}$.

B ، C w D على خط واحد ، donc l'angle A C B plus l'angle A C D يساوي 180 . w في le triangle ، la somme des angles زادة 180 . نحيّو l'angle A C B من الزوز ، يقعد l'angle A C D يساوي l'angle en A plus l'angle en B .

B, C et D sont alignés, donc l'angle A C B plus l'angle A C D égale 180 degrés. Dans le triangle, la somme des angles vaut aussi 180 degrés. En retirant l'angle A C B des deux côtés, il reste : l'angle A C D égale l'angle en A plus l'angle en B.

Question 4 · L'angle extérieur d'un triangle

  • angle extérieur et angle intérieur quelle différence
  • 180 moins les deux angles ça donne l'angle extérieur ?
  • chnowa el far9 bin angle intérieur w extérieur
  • angle extérieur supplémentaire de l'angle intérieur ?
  • j'ai fait 180 - 70 - 40 pour l'angle extérieur
  • extérieur w intérieur fi C

Ce qu’il écrit au tableau

  • 180∘−70∘−40∘=70∘;180∘−70∘=110∘180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ \quad ; \quad 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

Ce qu’il répond

$180^\circ$ moins les deux angles ya3ti l'angle intérieur en C, mouch l'angle extérieur. El zouz supplémentaires : la somme mte3hom $180^\circ$. Mathalan $180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ$, l'angle intérieur, w l'angle extérieur $110^\circ$.

180 moins les deux angles يعطي l'angle intérieur en C ، موش l'angle extérieur . الزوز supplémentaires : la somme متاعهم 180 . مثلا 180 moins 70 moins 40 يعطي 70 ، l'angle intérieur ، w l'angle extérieur 110 .

180 moins les deux angles donne l'angle intérieur en C, pas l'angle extérieur. Les deux sont supplémentaires : leur somme fait 180 degrés. Par exemple, 180 moins 70 moins 40 donne 70 degrés, l'angle intérieur, et l'angle extérieur vaut 110 degrés.

Question 5 · L'angle extérieur d'un triangle

  • la somme des angles d'un triangle
  • somme des angles mta3 triangle 9addech
  • combien fait la somme des angles d'un triangle
  • les trois angles d'un triangle font 180 ?
  • somme des angles triangle
  • est-ce que la somme des angles fait toujours 180

Ce qu’il écrit au tableau

  • CAB^+ABC^+ACB^=180∘\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ

Ce qu’il répond

La somme des angles mte3 ay triangle $180^\circ$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

la somme des angles متاع أي triangle 180 degrés . l'angle en A plus l'angle en B plus l'angle en C يساوي 180 .

La somme des angles de tout triangle vaut 180 degrés : l'angle en A plus l'angle en B plus l'angle en C égale 180 degrés.

Question 6 · Deux parallèles, une sécante

  • c'est quoi une sécante
  • chnowa sécante
  • sécante ya3ni chnowa
  • la droite sécante c'est quoi
  • définition de la sécante
  • sécante chnia

Ce qu’il répond

La sécante hiya droite t9oss les deux droites. Mathalan droite t9oss les deux parallèles $(xx')$ w $(yy')$ fi A w fi B.

la sécante هي droite تقصّ les deux droites . مثلا droite تقصّ les deux parallèles x x prime w y y prime في A w في B .

La sécante est une droite qui coupe les deux droites. Par exemple, une droite qui coupe les parallèles x x prime et y y prime en A et en B.

Question 7 · Deux parallèles, une sécante

  • c'est quoi des angles alternes-internes
  • alternes-internes kifech na3refhom
  • chnowa alternes internes
  • comment reconnaître des angles alternes-internes
  • alternes-internes égaux ?
  • angles alternes internes définition

Ce qu’il écrit au tableau

  • xAB^=y′BA^\widehat{xAB} = \widehat{y'BA}

Ce qu’il répond

Les angles alternes-internes bin les deux droites, w koll wa7ed men jiha mte3 la sécante. Ki les droites parallèles, ykounou égaux : $\widehat{xAB} = \widehat{y'BA}$.

les angles alternes-internes بين les deux droites ، w كل واحد من جيهة متاع la sécante . كي les droites parallèles ، يكونو égaux .

Les angles alternes-internes sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante. Quand les droites sont parallèles, ils sont égaux.

Question 8 · Deux parallèles, une sécante

  • c'est quoi des angles correspondants
  • angles correspondants kifech na3refhom
  • chnowa angles correspondants
  • comment reconnaître des angles correspondants
  • correspondants égaux ?
  • angles correspondants définition

Ce qu’il répond

Les angles correspondants men nafs el jiha mte3 la sécante, wa7ed bin les deux droites w le5or berra. Ki les droites parallèles, ykounou égaux.

les angles correspondants من نفس الجيهة متاع la sécante ، واحد بين les deux droites w الآخر برّا . كي les droites parallèles ، يكونو égaux .

Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites, l'autre à l'extérieur. Quand les droites sont parallèles, ils sont égaux.

Question 9 · Deux parallèles, une sécante

  • c'est quoi des angles intérieurs d'un même côté
  • intérieurs d'un même côté égaux ?
  • angles intérieurs du même côté supplémentaires pourquoi
  • chnowa angles intérieurs d'un même côté
  • même côté de la sécante entre les parallèles
  • intérieurs mêmes côté égaux wala 180

Ce qu’il écrit au tableau

  • xAB^+yBA^=180∘\widehat{xAB} + \widehat{yBA} = 180^\circ
  • 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Ce qu’il répond

Les angles intérieurs d'un même côté bin les deux droites, w men nafs el jiha mte3 la sécante. Ki les droites parallèles, houma supplémentaires, mouch égaux : la somme mte3hom $180^\circ$. Mathalan wa7ed $120^\circ$, le5or $60^\circ$.

les angles intérieurs d'un même côté بين les deux droites ، w من نفس الجيهة متاع la sécante . كي les droites parallèles ، هوما supplémentaires ، موش égaux : la somme متاعهم 180 . مثلا واحد 120 degrés ، الآخر 60 .

Les angles intérieurs d'un même côté sont entre les deux droites, du même côté de la sécante. Quand les droites sont parallèles, ils sont supplémentaires, pas égaux : leur somme fait 180 degrés. Par exemple, si l'un mesure 120 degrés, l'autre mesure 60 degrés.

Question 10 · Des parallèles vers les angles

  • quand les angles sont égaux et quand ils font 180
  • égaux wala supplémentaires kifech na3ref
  • angles égaux ou supplémentaires comment savoir
  • parallèles et sécante : égal ou 180
  • kifech na3ref ken ysewiw wala 180
  • pourquoi parfois égaux parfois 180

Ce qu’il répond

Nsammiw la famille 9bal. Alternes-internes w correspondants : égaux. Intérieurs d'un même côté : supplémentaires, la somme $180^\circ$. Hedhi el wa7ida elli ta3ti $180^\circ$.

نسمّيو la famille قبْلْ . alternes-internes w correspondants : égaux . intérieurs d'un même côté : supplémentaires ، la somme 180 . هاذي الوحيدة اللي تعطي 180 .

On nomme d'abord la famille. Alternes-internes et correspondants : égaux. Intérieurs d'un même côté : supplémentaires, leur somme fait 180 degrés. C'est la seule famille qui donne 180 degrés.

Question 11 · Des parallèles vers les angles

  • c'est quoi des angles supplémentaires
  • chnowa supplémentaires
  • angles supplémentaires définition
  • supplémentaire ya3ni chnowa
  • supplémentaires c'est 90 ou 180
  • que veut dire supplémentaires

Ce qu’il écrit au tableau

  • 120∘+60∘=180∘120^\circ + 60^\circ = 180^\circ

Ce qu’il répond

Zouz angles supplémentaires ki la somme mte3hom $180^\circ$. Mathalan $120^\circ$ w $60^\circ$. W ki la somme $90^\circ$, n9oulou complémentaires.

زوز angles supplémentaires كي la somme متاعهم 180 degrés . مثلا 120 degrés w 60 degrés . w كي la somme 90 ، نقولو complémentaires .

Deux angles sont supplémentaires quand leur somme vaut 180 degrés, par exemple 120 et 60 degrés. Quand leur somme vaut 90 degrés, on dit qu'ils sont complémentaires.

Question 12 · Des angles vers les parallèles

  • comment montrer que deux droites sont parallèles
  • kifech nwarri elli zouz droites parallèles
  • démontrer que deux droites sont parallèles avec les angles
  • prouver le parallélisme
  • kifech nthabbet droites parallèles
  • comment démontrer un parallélisme

Ce qu’il répond

B la réciproque : nabdew men les angles w nousslou l les droites. Ken deux angles alternes-internes égaux, walla deux angles correspondants égaux, walla deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires, donc les droites parallèles.

بـ la réciproque : نبداو من les angles w نوصلو لـ les droites . كان deux angles alternes-internes égaux ، ولّا deux angles correspondants égaux ، ولّا deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires ، donc les droites parallèles .

Avec une réciproque : on part des angles et on conclut sur les droites. Si deux angles alternes-internes sont égaux, ou deux angles correspondants égaux, ou deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires, alors les droites sont parallèles.

Question 13 · Des angles vers les parallèles

  • c'est quoi la réciproque
  • réciproque w le sens direct chnowa el far9
  • quand utiliser la réciproque
  • réciproque ya3ni chnowa
  • pourquoi la réciproque et pas le théorème direct
  • la réciproque sert à quoi

Ce qu’il répond

Le sens direct yefredh elli les droites parallèles, w ya3ti les angles. La réciproque tabda men les angles w tprouver elli les droites parallèles. Fi exercice yotlob tmontrer parallélisme, ken la réciproque elli tanfa3.

le sens direct يفرض اللي les droites parallèles ، w يعطي les angles . la réciproque تبدا من les angles w تـ prouver اللي les droites parallèles . في exercice يطلب تـ montrer parallélisme ، كان la réciproque اللي تنفع .

Le sens direct suppose que les droites sont parallèles et en déduit les angles. La réciproque part des angles et prouve que les droites sont parallèles. Dans un exercice qui demande de montrer un parallélisme, seule la réciproque est utilisable.

Question 14 · Le cercle de diamètre [AB]

  • triangle dont un côté est un diamètre est rectangle ?
  • pourquoi le triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle
  • diamètre angle droit 3lech
  • côté diamètre du cercle circonscrit
  • demi-cercle angle droit
  • kifech na3ref triangle rectangle b diamètre

Ce qu’il écrit au tableau

  • APB^=90∘;90∘−30∘=60∘\widehat{APB} = 90^\circ \quad ; \quad 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

Ce qu’il répond

Ken le côté $[BC]$ mte3 le triangle ABC diamètre mte3 le cercle circonscrit, le triangle rectangle en A. W hakka angle droit blech, bla 7sab. Mathalan ken $\widehat{PAB} = 30^\circ$ w $[AB]$ diamètre, $\widehat{PBA} = 60^\circ$.

كان le côté B C متاع le triangle A B C diamètre متاع le cercle circonscrit ، le triangle rectangle en A . w هكّا angle droit بلاش ، بلا حساب . مثلا كان l'angle P A B 30 degrés w A B diamètre ، l'angle P B A 60 degrés .

Si le côté B C du triangle A B C est un diamètre de son cercle circonscrit, alors le triangle est rectangle en A. C'est un angle droit gratuit, sans calcul. Par exemple, si l'angle P A B mesure 30 degrés et que A B est un diamètre, l'angle P B A mesure 60 degrés.

Question 15 · Le cercle de diamètre [AB]

  • pourquoi le cercle privé de A et B
  • 3lech nna7iw A w B mel cercle
  • privé des points A et B pourquoi
  • ensemble des points P tels que APB = 90
  • les points P avec un angle droit en P
  • cercle de diamètre AB privé de A et B

Ce qu’il écrit au tableau

  • APB^=90∘  ⟺  P∈(C)∖{A,B}\widehat{APB} = 90^\circ \iff P \in (C) \setminus \{A, B\}

Ce qu’il répond

Les points P elli $\widehat{APB} = 90^\circ$ houma le cercle de diamètre $[AB]$, privé de A w de B. Fi A w fi B, l'angle $\widehat{APB}$ ma yetkawwench : zouz sommets ywalliw confondus.

les points P اللي l'angle A P B فيهم 90 degrés ، هوما le cercle de diamètre A B ، privé de A w de B . في A w في B ، l'angle A P B ما يتكوّنش : زوز sommets يولّيو confondus .

Les points P tels que l'angle A P B mesure 90 degrés forment le cercle de diamètre A B, privé de A et de B. En A et en B, l'angle A P B n'existe pas : deux de ses sommets seraient confondus.

Question 16 · Angle inscrit, angle au centre

  • c'est quoi un angle inscrit
  • chnowa angle inscrit
  • angle inscrit définition
  • comment reconnaître un angle inscrit
  • angle inscrit ya3ni chnowa
  • l'angle inscrit son sommet est où

Ce qu’il répond

L'angle inscrit, le sommet mte3ou 3la le cercle, w les côtés mte3ou y9ossou le cercle. Mathalan $\widehat{AMB}$, w M 3la le cercle : yintercepter l'arc AB.

l'angle inscrit ، le sommet متاعو على le cercle ، w les côtés متاعو يقصّو le cercle . مثلا l'angle A M B ، w M على le cercle : يـ intercepter l'arc A B .

Un angle inscrit a son sommet sur le cercle, et ses côtés recoupent le cercle. Par exemple l'angle A M B, avec M sur le cercle : il intercepte l'arc A B.

Question 17 · Angle inscrit, angle au centre

  • c'est quoi un angle au centre
  • chnowa angle au centre
  • angle au centre définition
  • angle au centre ya3ni chnowa
  • angle au centre associé c'est quoi
  • comment reconnaître un angle au centre

Ce qu’il répond

L'angle au centre, le sommet mte3ou houwa le centre mte3 le cercle. $\widehat{AOB}$ houwa l'angle au centre associé l l'angle inscrit $\widehat{AMB}$ : el zouz yinterceptiw nafs l'arc AB.

l'angle au centre ، le sommet متاعو هو le centre متاع le cercle . l'angle A O B هو l'angle au centre associé لـ l'angle inscrit A M B : الزوز يـ intercepter نفس l'arc A B .

Un angle au centre a pour sommet le centre du cercle. L'angle A O B est l'angle au centre associé à l'angle inscrit A M B : ils interceptent le même arc A B.

Question 18 · Angle inscrit et angle au centre

  • relation entre angle inscrit et angle au centre
  • l'angle inscrit c'est la moitié ou le double
  • angle inscrit égale la moitié de l'angle au centre ?
  • kifech na7seb l'angle inscrit mel angle au centre
  • angle inscrit fois 2 wala sur 2
  • angle inscrit et angle au centre

Ce qu’il écrit au tableau

  • AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}
  • 12×80∘=40∘\tfrac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ

Ce qu’il répond

L'angle inscrit ysewi la moitié mte3 l'angle au centre elli yintercepter nafs l'arc : $\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}$. L'angle au centre houwa elli double. Mathalan ken $\widehat{AOB} = 80^\circ$, $\widehat{AMB} = 40^\circ$.

l'angle inscrit يساوي la moitié متاع l'angle au centre اللي يـ intercepter نفس l'arc . l'angle au centre هو اللي double . مثلا كان l'angle A O B 80 degrés ، l'angle inscrit A M B 40 degrés .

L'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. C'est l'angle au centre qui est le double. Par exemple, si l'angle A O B mesure 80 degrés, l'angle inscrit A M B mesure 40 degrés.

Question 19 · Angle inscrit et angle au centre

  • deux angles inscrits qui interceptent le même arc
  • angles inscrits même arc égaux ?
  • nafs l'arc les angles inscrits kifkif ?
  • pourquoi deux angles inscrits sur le même arc sont égaux
  • angle AMB et AM'B même arc
  • même arc intercepté angles

Ce qu’il écrit au tableau

  • AMB^=AM′B^\widehat{AMB} = \widehat{AM'B}

Ce qu’il répond

Deux angles inscrits elli yinterceptiw nafs l'arc égaux : $\widehat{AMB} = \widehat{AM'B}$. 5ater el zouz ysewiw la moitié mte3 nafs l'angle au centre.

deux angles inscrits اللي يـ intercepter نفس l'arc égaux . خاطر الزوز يساويو la moitié متاع نفس l'angle au centre . l'angle A M B يساوي l'angle A M prime B .

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux, car chacun vaut la moitié du même angle au centre. L'angle A M B égale l'angle A M prime B.

Question 20 · Angle inscrit, angle au centre

  • c'est quoi l'arc intercepté
  • arc intercepté kifech na3rfou
  • quel arc intercepte l'angle
  • chnowa arc intercepté
  • intercepter un arc ya3ni chnowa
  • arc intercepté par un angle inscrit

Ce qu’il répond

L'arc intercepté houwa l'arc mte3 le cercle elli bin les deux côtés mte3 l'angle. $\widehat{AMB}$ yintercepter l'arc AB elli ma fihech M.

l'arc intercepté هو l'arc متاع le cercle اللي بين les deux côtés متاع l'angle . l'angle A M B يـ intercepter l'arc A B اللي ما فيهش M .

L'arc intercepté est l'arc du cercle compris entre les deux côtés de l'angle. L'angle A M B intercepte l'arc A B qui ne contient pas M.

Question 21 · Quel outil, devant quelle figure

  • par où commencer un exercice d'angles
  • quel outil utiliser pour les angles
  • kifech nabda exercice angles
  • quelle propriété utiliser devant une figure
  • les réflexes pour calculer un angle
  • anahi propriété nesta3mel

Ce qu’il répond

Trois réflexes. Angle, le sommet mte3ou 3la cercle : lawwej 3la l'angle au centre walla angle inscrit e5er 3la nafs l'arc. Côté diamètre : angle droit blech. Zouz droites w sécante : sammi la famille 9bal, hiya elli t9arrer égalité walla $180^\circ$.

trois réflexes . angle ، le sommet متاعو على cercle : لوّج على l'angle au centre ولّا angle inscrit آخر على نفس l'arc . côté diamètre : angle droit بلاش . زوز droites w sécante : سمّي la famille قبْلْ ، هي اللي تقرّر égalité ولّا 180 .

Trois réflexes. Un angle dont le sommet est sur un cercle : cherche l'angle au centre associé ou un autre angle inscrit sur le même arc. Un côté qui est un diamètre : un angle droit gratuit. Deux droites et une sécante : nomme d'abord la famille, c'est elle qui décide si c'est une égalité ou 180 degrés.

Question 22 · Un angle droit qui apparaît tout seul

  • démonstration de l'angle droit dans le demi-cercle
  • pourquoi OAP et OBP sont isocèles
  • kifech nthabbet elli l'angle APB droit b alpha w beta
  • preuve avec les triangles isocèles OAP et OBP
  • 2 alpha + 2 beta = 180 donc 90 ?
  • démontrer que APB = 90 dans le cercle de diamètre AB

Ce qu’il écrit au tableau

  • 2α+2β=180∘  ⟺  α+β=90∘2\alpha + 2\beta = 180^\circ \iff \alpha + \beta = 90^\circ

Ce qu’il répond

$OA = OB = OP$, rayons mte3 le cercle, donc les triangles OAP w OBP isocèles. L'angle en P ywalli $\alpha + \beta$. W fi le triangle APB : $2\alpha + 2\beta = 180^\circ$, donc $\alpha + \beta = 90^\circ$ : $\widehat{APB}$ droit.

O A w O B w O P rayons متاع le cercle ، donc égaux : les triangles O A P w O B P isocèles . l'angle en P يولّي alpha plus beta . w في le triangle A P B : 2 alpha plus 2 beta يساوي 180 ، donc alpha plus beta يساوي 90 : l'angle A P B droit .

O A, O B et O P sont des rayons du cercle, donc égaux : les triangles O A P et O B P sont isocèles. L'angle en P vaut alors alpha plus beta. Dans le triangle A P B, 2 alpha plus 2 beta égale 180 degrés, donc alpha plus beta égale 90 degrés : l'angle A P B est droit.

Question 23 · L'angle extérieur d'un triangle

  • c'est quoi les angles non adjacents
  • non adjacents ya3ni chnowa
  • quels angles ne sont pas adjacents à l'angle extérieur
  • angle adjacent définition
  • adjacents chnowa
  • les deux angles non adjacents lesquels

Ce qu’il répond

L'angle extérieur en C lasse9 fel angle intérieur en C : hedha adjacent lih. Les deux angles non adjacents houma el zouz lo5rin mte3 le triangle, en A w en B.

l'angle extérieur en C لاصق فـ l'angle intérieur en C : هذا adjacent ليه . les deux angles non adjacents هوما الزوز الآخرين متاع le triangle ، en A w en B .

L'angle extérieur en C est collé à l'angle intérieur en C : c'est l'angle adjacent. Les deux angles non adjacents sont les deux autres angles du triangle, en A et en B.

Question 24 · Deux parallèles, une sécante

  • les trois familles d'angles avec une sécante
  • chnowa les noms des angles avec deux parallèles
  • trois couples d'angles lesquels
  • familles d'angles parallèles sécante
  • kifech nfarre9 bin les familles d'angles
  • quels sont les couples d'angles

Ce qu’il répond

Trois familles : les angles intérieurs d'un même côté, bin les droites w men nafs el jiha mte3 la sécante. Les alternes-internes, bin les droites w koll wa7ed men jiha. W les correspondants, men nafs el jiha, wa7ed bin les droites w le5or berra.

trois familles : les angles intérieurs d'un même côté ، بين les droites w من نفس الجيهة متاع la sécante . les alternes-internes ، بين les droites w كل واحد من جيهة . w les correspondants ، من نفس الجيهة ، واحد بين les droites w الآخر برّا .

Trois familles. Les angles intérieurs d'un même côté : entre les droites, du même côté de la sécante. Les alternes-internes : entre les droites, de part et d'autre de la sécante. Les correspondants : du même côté, l'un entre les droites et l'autre à l'extérieur.

Question 25 · Le cercle de diamètre [AB]

  • c'est quoi le cercle circonscrit
  • cercle circonscrit à un triangle
  • chnowa cercle circonscrit
  • cercle circonscrit ya3ni chnowa
  • définition du cercle circonscrit
  • le cercle circonscrit passe par quoi

Ce qu’il répond

Le cercle circonscrit mte3 triangle houwa le cercle elli yet3adda 3la les trois sommets mte3ou. Ken côté mte3 le triangle diamètre mte3ou, le triangle rectangle.

le cercle circonscrit متاع triangle هو le cercle اللي يتعدّى على les trois sommets متاعو . كان côté متاع le triangle diamètre متاعو ، le triangle rectangle .

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Si un côté du triangle en est un diamètre, le triangle est rectangle.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

L'angle qui sort du triangle

Dans le triangle ABC,ABC, CAB^=80∘\widehat{CAB} = 80^\circ et ABC^=50∘.\widehat{ABC} = 50^\circ. On prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'au point D.D.

Calculer ACD^.\widehat{ACD}.

80°50°?ABCD

Le triangle ABC avec l'angle en A marqué 80 degrés et l'angle en B marqué 50 degrés. Le côté [BC] est prolongé au-delà de C jusqu'à D, et l'angle ACD, extérieur au triangle, porte un point d'interrogation.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 130

Indices, dans l’ordre

  1. ACD^\widehat{ACD} est un angle extérieur du triangle. Repère les deux angles du triangle qui ne le touchent pas.
  2. Les deux angles non adjacents sont ceux en AA et en B.B. L'angle extérieur est leur somme.ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}

Correction

  1. La propriété — Un angle extérieur vaut la somme des deux angles non adjacents.ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}
  2. On remplace par les mesures de l'énoncé.ACD^=80∘+50∘\widehat{ACD} = 80^\circ + 50^\circ
  3. ACD^=130∘\widehat{ACD} = 130^\circ

On peut vérifier autrement : l'angle intérieur en CC vaut 180−80−50=50∘,180 - 80 - 50 = 50^\circ, et son supplémentaire est bien 180−50=130∘.180 - 50 = 130^\circ. Les deux chemins se rejoignent.

Pièges anticipés

  • 50 → Tu as donné ACB^,\widehat{ACB}, l'angle intérieur en C.C. L'angle demandé est son supplémentaire : il s'ouvre de l'autre côté de [CA),[CA), le long du prolongement [CD].[CD].
  • 80 → Tu as recopié l'angle en A.A. L'angle extérieur est la somme des deux angles non adjacents, pas l'un des deux.

Exercice 2 · base

Du même côté de la sécante

Les droites (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont parallèles, coupées par une sécante en AA et en B.B. L'angle intérieur xAB^\widehat{xAB} mesure 131,2∘.131{,}2^\circ.

Calculer l'autre angle intérieur d'un même côté, yBA^.\widehat{yBA}.

131,2°?xx'Ayy'B

Deux droites horizontales parallèles (xx') en haut et (yy') en bas, coupées par une sécante en A puis en B. L'angle xAB, au point A et ouvert vers la gauche entre les deux parallèles, est marqué 131,2 degrés. L'angle yBA, au point B et ouvert vers la gauche lui aussi, porte un point d'interrogation.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 48.8

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par nommer la famille : ces deux angles sont-ils alternes-internes, correspondants, ou intérieurs d'un même côté ?
  2. Ils sont intérieurs d'un même côté : entre les deux parallèles, et du même côté de la sécante. C'est la seule famille des trois qui ne donne pas une égalité.xAB^+yBA^=180∘\widehat{xAB} + \widehat{yBA} = 180^\circ

Correction

  1. La famille — Les angles xAB^\widehat{xAB} et yBA^\widehat{yBA} sont intérieurs d'un même côté. Comme les droites sont parallèles, ils sont supplémentaires.xAB^+yBA^=180∘\widehat{xAB} + \widehat{yBA} = 180^\circ
  2. On isole l'angle cherché.yBA^=180∘−131,2∘\widehat{yBA} = 180^\circ - 131{,}2^\circ
  3. yBA^=48,8∘\widehat{yBA} = 48{,}8^\circ

Le réflexe à garder : sur les trois familles, deux donnent une égalité et une seule donne 180∘.180^\circ. Nomme la famille avant de calculer, jamais après.

Pièges anticipés

  • 131.2 / 131,2 → Tu as recopié l'angle donné, comme s'ils étaient égaux. Ce serait vrai pour des alternes-internes ou des correspondants — mais ceux-là sont intérieurs d'un même côté, donc supplémentaires.
  • 41.2 / 41,2 → Tu as retiré l'angle de 90∘.90^\circ. Deux angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires, leur somme fait 180∘.180^\circ.

Exercice 3 · pratique

Du centre vers le cercle

Dans un cercle de centre O,O, les points A,A, BB et MM sont sur le cercle. L'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 100∘,100^\circ, et MM appartient au grand arc AB,AB, celui qui n'est pas intercepté par l'angle AOB^.\widehat{AOB}.

Calculer l'angle inscrit AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 50

Indices, dans l’ordre

  1. Où est le sommet de chaque angle ? L'un est au centre, l'autre est sur le cercle. Ce n'est pas le même statut.
  2. L'angle inscrit et l'angle au centre interceptent ici le même arc AB.AB. L'un des deux est le double de l'autre — et ce n'est pas celui qui a son sommet sur le cercle.AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}

Correction

  1. Qui est qui — AOB^\widehat{AOB} a son sommet au centre : angle au centre. AMB^\widehat{AMB} a son sommet sur le cercle : angle inscrit. Tous deux interceptent le petit arc AB.AB.
  2. L'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre associé.AMB^=12×100∘\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2} \times 100^\circ
  3. AMB^=50∘\widehat{AMB} = 50^\circ

Le sommet au centre voit l'arc « en grand » ; le sommet posé sur le cercle le voit deux fois plus petit. C'est le sens du rapport, et il ne s'inverse jamais.

Pièges anticipés

  • 200 → Tu as doublé au lieu de diviser. C'est l'angle au centre qui est le double de l'inscrit, pas l'inverse.
  • 100 → Tu as recopié l'angle au centre. Les deux angles interceptent le même arc mais ne sont pas égaux : l'inscrit en est la moitié.
  • 130 → Avec MM sur le petit arc AB,AB, on trouverait bien 130∘130^\circ : l'angle inscrit intercepterait alors le grand arc. Mais ici MM est sur le grand arc, et AMB^\widehat{AMB} intercepte le même arc que l'angle au centre.

Exercice 4 · pratique

L'angle droit offert par le diamètre

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle (C)(C) et PP est un point de (C),(C), distinct de AA et de B.B. On sait que PAB^=35∘.\widehat{PAB} = 35^\circ.

Calculer PBA^.\widehat{PBA}.

35°?OABP

Un cercle de centre O de diamètre horizontal [AB], A à gauche et B à droite. Un point P du cercle est situé en haut à droite. Les segments [PA] et [PB] sont tracés. L'angle en A, entre [AP] et [AB], est marqué 35 degrés. L'angle en P porte la marque de l'angle droit, et l'angle en B porte un point d'interrogation.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 55

Indices, dans l’ordre

  1. [AB][AB] est un diamètre du cercle sur lequel se trouve P.P. Cela t'offre un angle, sans aucun calcul. Lequel, et où ?
  2. Le triangle APBAPB est rectangle en P.P. Il ne reste qu'à écrire la somme de ses trois angles.PAB^+PBA^+APB^=180∘\widehat{PAB} + \widehat{PBA} + \widehat{APB} = 180^\circ

Correction

  1. L'angle gratuit — PP est sur le cercle de diamètre [AB],[AB], donc le triangle APBAPB est rectangle en P.P.APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ
  2. La somme des angles du triangle vaut 180∘.180^\circ.35∘+PBA^+90∘=180∘35^\circ + \widehat{PBA} + 90^\circ = 180^\circ
  3. PBA^=180∘−90∘−35∘=55∘\widehat{PBA} = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : 35+55=90.35 + 55 = 90. Dès que tu vois un diamètre et un point du cercle, l'angle droit est là.

Pièges anticipés

  • 35 → Tu as recopié l'angle donné. Le triangle est rectangle en P,P, pas isocèle : les deux angles aigus n'ont aucune raison d'être égaux.
  • 145 → Tu as calculé 180−35.180 - 35. Il faut aussi retirer l'angle droit en P,P, car les trois angles du triangle se partagent 180∘.180^\circ.

Exercice 5 · raisonnement

Le carré et le triangle équilatéral

ABCDABCD est un carré et BCEBCE est un triangle équilatéral, construit à l'extérieur du carré, du côté de [BC].[BC].

  1. 1.Quelle est la nature du triangle DCEDCE ?
  2. 2.Calculer CED^.\widehat{CED}.
?ABCDE
Le carré, le triangle équilatéral, et le segment [DE] qu'on ajoute.

Un carré ABCD, avec A en haut à gauche, B en bas à gauche, C en bas à droite et D en haut à droite. Sous le côté [BC], à l'extérieur du carré, un triangle équilatéral BCE pointe vers le bas, son sommet E étant sous le milieu de [BC]. Le segment [DE] est tracé en pointillés. Les côtés [CD] et [CE] portent la même marque d'égalité.

Donner la mesure de CED^\widehat{CED} en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Compare les longueurs CDCD et CE.CE. L'une est un côté du carré, l'autre un côté du triangle équilatéral — et les deux triangles partagent le côté [BC].[BC].
  2. CD=CE,CD = CE, donc le triangle DCEDCE est isocèle en C.C. Calcule d'abord l'angle DCE^\widehat{DCE} en additionnant deux angles que tu connais.
  3. DCE^=DCB^+BCE^=90∘+60∘.\widehat{DCE} = \widehat{DCB} + \widehat{BCE} = 90^\circ + 60^\circ. Dans un triangle isocèle, les deux angles de la base sont égaux.CED^=180∘−DCE^2\widehat{CED} = \frac{180^\circ - \widehat{DCE}}{2}

Correction

  1. Les longueurs — [CD][CD] est un côté du carré et [CB][CB] aussi, donc CD=CB.CD = CB. Le triangle BCEBCE est équilatéral, donc CE=CB.CE = CB. Par conséquent CD=CECD = CE : le triangle DCEDCE est isocèle en CC.CD=CB=CE ⇒ DCE isoceˋle en CCD = CB = CE \ \Rightarrow \ DCE \text{ isocèle en } C
  2. L'angle au sommet — L'angle DCE^\widehat{DCE} se décompose : l'angle droit du carré, plus l'angle du triangle équilatéral.DCE^=90∘+60∘=150∘\widehat{DCE} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ
  3. Dans le triangle isocèle DCE,DCE, les deux angles de la base sont égaux et complètent 180∘.180^\circ.CED^=CDE^=180∘−150∘2\widehat{CED} = \widehat{CDE} = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2}
  4. CED^=15∘\widehat{CED} = 15^\circ

Rien n'a été mesuré : le carré donne 90∘,90^\circ, l'équilatéral donne 60∘,60^\circ, et l'égalité des longueurs fait le reste. C'est exactement la démarche du chapitre — lire la figure, pas la mesurer.

Pièges anticipés

  • 150 → Tu as donné DCE^,\widehat{DCE}, l'angle au sommet du triangle isocèle. La question porte sur CED^,\widehat{CED}, un angle de la base.
  • 30 → Tu t'es arrêté à 180−150=30.180 - 150 = 30. Ces 30∘30^\circ se partagent entre les deux angles de la base, qui sont égaux.

Exercice 6 · defi

Et l'angle vu depuis E

On reprend la figure précédente : ABCDABCD est un carré et BCEBCE est le triangle équilatéral construit à l'extérieur, du côté de [BC].[BC]. On trace [EA][EA] et [ED].[ED].

Calculer AED^.\widehat{AED}.

?ABCDE
Les demi-droites [EA) et [ED) sont à l'intérieur de l'angle BEC.

Le même carré ABCD, A en haut à gauche, B en bas à gauche, C en bas à droite, D en haut à droite, avec le triangle équilatéral BCE pointant vers le bas sous le côté [BC]. Les segments [EA] et [ED] sont tracés en pointillés depuis E vers les deux sommets du haut ; ils passent à l'intérieur de l'angle BEC. L'angle AED, au sommet E entre ces deux pointillés, porte un point d'interrogation.

Donner la mesure de AED^\widehat{AED} en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. La figure a un axe de symétrie. Lequel ? Et que deviennent AA et DD dans cette symétrie ?
  2. La médiatrice de [BC][BC] passe par EE : elle échange BB et C,C, donc aussi AA et D.D. Les deux angles BEA^\widehat{BEA} et DEC^\widehat{DEC} sont donc égaux.
  3. Regarde bien l'ordre des demi-droites autour de EE : [EA)[EA) et [ED)[ED) passent à l'intérieur de l'angle BEC^,\widehat{BEC}, qui vaut 60∘.60^\circ. Il faut donc lui retirer les deux angles latéraux, et non les ajouter.AED^=BEC^−BEA^−DEC^\widehat{AED} = \widehat{BEC} - \widehat{BEA} - \widehat{DEC}

Correction

  1. La symétrie — La médiatrice de [BC][BC] passe par E,E, sommet du triangle équilatéral. Elle échange BB et C,C, donc aussi AA et DD : la figure entière est symétrique par rapport à elle.BEA^=DEC^\widehat{BEA} = \widehat{DEC}
  2. Ce qu'on sait déjà — L'exercice précédent a donné l'angle de la base du triangle isocèle DCE,DCE, et la symétrie le recopie de l'autre côté.DEC^=BEA^=15∘\widehat{DEC} = \widehat{BEA} = 15^\circ
  3. Le bon découpage — Depuis E,E, les demi-droites se succèdent dans l'ordre [EC),[EC), [ED),[ED), [EA),[EA), [EB).[EB). Autrement dit [ED)[ED) et [EA)[EA) sont à l'intérieur de l'angle BEC^\widehat{BEC} : c'est lui le grand, et AED^\widehat{AED} n'en est qu'un morceau.BEC^=BEA^+AED^+DEC^\widehat{BEC} = \widehat{BEA} + \widehat{AED} + \widehat{DEC}
  4. Le triangle BCEBCE est équilatéral, donc BEC^=60∘.\widehat{BEC} = 60^\circ. On isole l'angle cherché.AED^=60∘−15∘−15∘\widehat{AED} = 60^\circ - 15^\circ - 15^\circ
  5. AED^=30∘\widehat{AED} = 30^\circ

Tout le piège est dans le sens du découpage. Avant d'additionner des angles adjacents, regarde quelle demi-droite est à l'intérieur de quel angle : ici on retranche, et additionner aurait donné 90∘,90^\circ, un résultat plus grand que l'angle du triangle équilatéral — donc impossible.

Pièges anticipés

  • 90 → Tu as additionné les trois morceaux : 15+60+15.15 + 60 + 15. Mais AED^\widehat{AED} est contenu dans BEC^,\widehat{BEC}, il ne peut donc pas être plus grand que 60∘.60^\circ. C'est une soustraction.
  • 15 → Tu as donné DEC^,\widehat{DEC}, un seul des angles latéraux. L'angle demandé est celui du milieu, entre [EA)[EA) et [ED).[ED).
  • 60 → Tu as gardé BEC^\widehat{BEC} en entier, l'angle du triangle équilatéral. Il faut lui retirer les deux angles latéraux, égaux par symétrie.

Exercice 7 · base

La somme des angles

Dans le triangle ABC,ABC, BAC^=47∘\widehat{BAC} = 47^\circ et ABC^=68∘.\widehat{ABC} = 68^\circ.

Calculer ACB^.\widehat{ACB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 65

Indices, dans l’ordre

  1. Dans un triangle, que vaut toujours la somme des trois angles ?
  2. Il suffit de retirer de 180∘180^\circ les deux angles connus.ACB^=180∘−BAC^−ABC^\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC}

Correction

  1. La propriété — La somme des angles d'un triangle vaut 180∘.180^\circ.BAC^+ABC^+ACB^=180∘\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ
  2. On isole l'angle cherché.ACB^=180∘−47∘−68∘\widehat{ACB} = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ
  3. ACB^=65∘\widehat{ACB} = 65^\circ

Le troisième angle d'un triangle se déduit toujours des deux autres : on retire leur somme de 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • 115 → Tu as additionné les deux angles donnés : 47+68.47 + 68. C'est l'angle extérieur en C,C, pas l'angle du triangle. Il faut retirer cette somme de 180∘.180^\circ.

Exercice 8 · base

L'angle de la base

Le triangle ABCABC est isocèle en AA et son angle au sommet mesure BAC^=40∘.\widehat{BAC} = 40^\circ.

Calculer ABC^.\widehat{ABC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 70

Indices, dans l’ordre

  1. Dans un triangle isocèle en A,A, les deux angles de la base, en BB et en C,C, sont égaux.
  2. Les deux angles de la base se partagent ce qui reste quand on retire l'angle au sommet de 180∘.180^\circ.ABC^=180∘−BAC^2\widehat{ABC} = \frac{180^\circ - \widehat{BAC}}{2}

Correction

  1. La nature — ABCABC est isocèle en AA : ses angles de la base sont égaux.ABC^=ACB^\widehat{ABC} = \widehat{ACB}
  2. La somme des angles vaut 180∘,180^\circ, donc les deux angles de la base font ensemble 180∘−40∘=140∘.180^\circ - 40^\circ = 140^\circ.2 ABC^=140∘2\,\widehat{ABC} = 140^\circ
  3. ABC^=70∘\widehat{ABC} = 70^\circ

Triangle isocèle : on retire l'angle au sommet de 180∘,180^\circ, puis on partage en deux entre les angles de la base.

Pièges anticipés

  • 140 → 140∘,140^\circ, c'est la somme des deux angles de la base. Chacun en vaut la moitié.
  • 40 → Tu as recopié l'angle au sommet. Dans un triangle isocèle, ce sont les angles de la base qui sont égaux entre eux, pas à l'angle au sommet.

Exercice 9 · base

Remonter depuis l'angle extérieur

Dans le triangle ABC,ABC, on prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'au point D.D. On sait que ACD^=115∘\widehat{ACD} = 115^\circ et ABC^=45∘.\widehat{ABC} = 45^\circ.

Calculer BAC^.\widehat{BAC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 70

Indices, dans l’ordre

  1. ACD^\widehat{ACD} est l'angle extérieur en C.C. À quels angles du triangle est-il égal, une fois additionnés ?
  2. L'angle extérieur vaut la somme des deux angles non adjacents : ceux en AA et en B.B. Ici on connaît la somme et l'un des termes.ACD^=BAC^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}

Correction

  1. La propriété — L'angle extérieur en CC vaut la somme des deux angles non adjacents.ACD^=BAC^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}
  2. On remplace et on isole l'angle cherché.BAC^=115∘−45∘\widehat{BAC} = 115^\circ - 45^\circ
  3. BAC^=70∘\widehat{BAC} = 70^\circ

La propriété de l'angle extérieur se lit dans les deux sens : connaissant la somme et un terme, on retrouve l'autre par une soustraction.

Pièges anticipés

  • 160 → Tu as additionné 115115 et 45.45. Mais 115∘115^\circ est déjà la somme des angles en AA et en BB : il faut lui retirer l'angle en B.B.
  • 65 → 180−115=65180 - 115 = 65 donne ACB^,\widehat{ACB}, l'angle intérieur en C.C. La question porte sur l'angle en A.A.

Exercice 10 · base

L'extérieur d'un équilatéral

ABCABC est un triangle équilatéral. On prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'au point D.D.

Calculer ACD^.\widehat{ACD}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 120

Indices, dans l’ordre

  1. Combien mesure chaque angle d'un triangle équilatéral ?
  2. Chaque angle vaut 60∘.60^\circ. L'angle extérieur en CC est la somme des angles en AA et en B.B.

Correction

  1. Les angles — Les trois angles d'un triangle équilatéral sont égaux, et leur somme vaut 180∘.180^\circ.BAC^=ABC^=60∘\widehat{BAC} = \widehat{ABC} = 60^\circ
  2. L'angle extérieur en CC vaut la somme des deux angles non adjacents.ACD^=60∘+60∘\widehat{ACD} = 60^\circ + 60^\circ
  3. ACD^=120∘\widehat{ACD} = 120^\circ

Vérification par l'autre chemin : ACB^=60∘\widehat{ACB} = 60^\circ et son supplémentaire vaut bien 180−60=120∘.180 - 60 = 120^\circ.

Pièges anticipés

  • 60 → 60∘,60^\circ, c'est l'angle intérieur en C.C. L'angle demandé s'ouvre le long du prolongement [CD][CD] : c'est le supplémentaire.

Exercice 11 · base

Deux angles consécutifs

ABCDABCD est un parallélogramme et ABC^=112∘.\widehat{ABC} = 112^\circ.

Calculer BAD^.\widehat{BAD}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 68

Indices, dans l’ordre

  1. Les angles en AA et en BB sont consécutifs : ils ont le côté [AB][AB] en commun. Sont-ils égaux, ou supplémentaires ?
  2. (AD)(AD) et (BC)(BC) sont parallèles, coupées par la sécante (AB)(AB) : les angles en AA et en BB sont intérieurs d'un même côté.BAD^+ABC^=180∘\widehat{BAD} + \widehat{ABC} = 180^\circ

Correction

  1. Le parallélisme — Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, (AD)∥(BC).(AD) \parallel (BC). La sécante (AB)(AB) forme avec elles les angles BAD^\widehat{BAD} et ABC^,\widehat{ABC}, intérieurs d'un même côté : ils sont supplémentaires.BAD^+ABC^=180∘\widehat{BAD} + \widehat{ABC} = 180^\circ
  2. BAD^=180∘−112∘=68∘\widehat{BAD} = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ

Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires. Ici AA et BB se suivent : supplémentaires.

Pièges anticipés

  • 112 → Tu as traité AA et BB comme des angles opposés. Ils sont consécutifs (ils partagent le côté [AB][AB]) : ils sont supplémentaires, pas égaux.

Exercice 12 · base

La moitié par la bissectrice

La demi-droite [Ot)[Ot) est la bissectrice de l'angle SOK^,\widehat{SOK}, et SOK^=74∘.\widehat{SOK} = 74^\circ.

Calculer SOt^.\widehat{SOt}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 37

Indices, dans l’ordre

  1. Que fait une bissectrice à l'angle qu'elle coupe ?
  2. Elle le partage en deux angles adjacents égaux.SOt^=tOK^=12 SOK^\widehat{SOt} = \widehat{tOK} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{SOK}

Correction

  1. La définition — La bissectrice partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure.SOt^=12×74∘\widehat{SOt} = \tfrac{1}{2} \times 74^\circ
  2. SOt^=37∘\widehat{SOt} = 37^\circ

Bissectrice = partage en deux moitiés égales. C'est un outil de base qu'on retrouve dans beaucoup d'exercices de ce chapitre.

Pièges anticipés

  • 148 → Tu as doublé l'angle. La bissectrice partage l'angle SOK^\widehat{SOK} : chaque moitié est deux fois plus petite.

Exercice 13 · pratique

Rectangle isocèle, angle extérieur

Le triangle ABCABC est rectangle et isocèle en B.B. On prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'au point D.D.

Calculer ACD^.\widehat{ACD}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 135

Indices, dans l’ordre

  1. Rectangle en BB : l'angle en BB est droit. Isocèle en BB : que dire des angles en AA et en CC ?
  2. Les angles en AA et en CC sont égaux et complémentaires : chacun vaut 45∘.45^\circ. L'angle extérieur en CC est la somme des angles en AA et en B.B.

Correction

  1. Les angles — ABC^=90∘,\widehat{ABC} = 90^\circ, et les angles de la base en AA et en CC sont égaux.BAC^=ACB^=180∘−90∘2=45∘\widehat{BAC} = \widehat{ACB} = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ
  2. L'angle extérieur — Il vaut la somme des deux angles non adjacents.ACD^=BAC^+ABC^=45∘+90∘\widehat{ACD} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC} = 45^\circ + 90^\circ
  3. ACD^=135∘\widehat{ACD} = 135^\circ

Quand le triangle a un angle droit, l'angle extérieur au sommet d'un angle aigu est toujours obtus : il contient l'angle droit.

Pièges anticipés

  • 45 → 45∘45^\circ est l'angle intérieur en C.C. L'angle extérieur est son supplémentaire.
  • 90 → Tu as donné l'angle en B.B. L'angle extérieur en CC est la somme des angles en AA et en B.B.

Exercice 14 · pratique

Isocèle en C, en fonction de x

Le triangle ABCABC est isocèle en C,C, et on note ABC^=x\widehat{ABC} = x (en degrés). On prolonge [BC][BC] au-delà de CC jusqu'au point D.D.

Exprimer ACD^\widehat{ACD} en fonction de x.x.

Écrire l'expression en fonction de x.x.

Réponse attendue : 2x

Indices, dans l’ordre

  1. Isocèle en CC : CA=CB.CA = CB. Quels sont alors les deux angles égaux, ceux de la base ?
  2. La base est [AB][AB] : les angles en AA et en BB sont égaux. Et l'angle extérieur en CC est leur somme.ACD^=CAB^+ABC^\widehat{ACD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABC}

Correction

  1. La base — ABCABC est isocèle en C,C, sa base est [AB][AB] : les angles en AA et en BB sont égaux.CAB^=ABC^=x\widehat{CAB} = \widehat{ABC} = x
  2. L'angle extérieur — Il vaut la somme des deux angles non adjacents.ACD^=x+x\widehat{ACD} = x + x
  3. ACD^=2x\widehat{ACD} = 2x

Dans un triangle isocèle, l'angle extérieur au sommet principal vaut le double d'un angle de la base.

Pièges anticipés

  • 180-2x → 180−2x,180 - 2x, c'est l'angle intérieur en C,C, l'angle au sommet. L'angle extérieur est son supplémentaire.
  • x → L'angle extérieur est la somme des deux angles non adjacents, qui valent chacun x.x.

Exercice 15 · pratique

Trois angles en proportion

Dans le triangle ABC,ABC, l'angle en BB est le double de l'angle en A,A, et l'angle en CC en est le triple : ABC^=2 BAC^\displaystyle \widehat{ABC} = 2\,\widehat{BAC} et ACB^=3 BAC^.\displaystyle \widehat{ACB} = 3\,\widehat{BAC}.

Calculer BAC^.\widehat{BAC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. Exprime les trois angles à l'aide d'un seul, BAC^,\widehat{BAC}, puis écris leur somme.
  2. La somme des trois angles s'écrit BAC^+2 BAC^+3 BAC^.\widehat{BAC} + 2\,\widehat{BAC} + 3\,\widehat{BAC}. Combien de fois BAC^\widehat{BAC} cela fait-il ?

Correction

  1. La somme — On remplace chaque angle par son expression en fonction de BAC^.\widehat{BAC}.BAC^+2 BAC^+3 BAC^=180∘\widehat{BAC} + 2\,\widehat{BAC} + 3\,\widehat{BAC} = 180^\circ
  2. 6 BAC^=180∘6\,\widehat{BAC} = 180^\circ
  3. BAC^=30∘\widehat{BAC} = 30^\circ

Les trois angles valent donc 30∘,30^\circ, 60∘60^\circ et 90∘90^\circ : le triangle est rectangle en C.C. Ramener tout à une seule inconnue, puis utiliser la somme 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • 90 → 90∘90^\circ est l'angle en C.C. La question demande l'angle en A,A, le plus petit des trois.
  • 60 → 60∘60^\circ est l'angle en B.B. La question demande l'angle en A.A.

Exercice 16 · pratique

L'angle extérieur au sommet

Le triangle ABCABC est isocèle en AA et ABC^=52∘.\widehat{ABC} = 52^\circ. On prolonge [BA][BA] au-delà de AA jusqu'au point E.E.

Calculer CAE^.\widehat{CAE}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 104

Indices, dans l’ordre

  1. CAE^\widehat{CAE} est l'angle extérieur en A.A. Quels sont les deux angles du triangle qui ne le touchent pas ?
  2. Ce sont les angles en BB et en C,C, égaux puisque le triangle est isocèle en A.A.

Correction

  1. La base — ABCABC est isocèle en AA : les angles de la base sont égaux.ACB^=ABC^=52∘\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 52^\circ
  2. L'angle extérieur — L'angle extérieur en AA vaut la somme des angles en BB et en C.C.CAE^=52∘+52∘\widehat{CAE} = 52^\circ + 52^\circ
  3. CAE^=104∘\widehat{CAE} = 104^\circ

Vérification : l'angle au sommet vaut 180−2×52=76∘,180 - 2 \times 52 = 76^\circ, et son supplémentaire est bien 180−76=104∘.180 - 76 = 104^\circ.

Pièges anticipés

  • 76 → 76∘76^\circ est l'angle intérieur en A.A. L'angle demandé, CAE^,\widehat{CAE}, est de l'autre côté de [AC),[AC), le long du prolongement : c'est son supplémentaire.
  • 52 → L'angle extérieur est la somme des deux angles non adjacents, pas l'un des deux.

Exercice 17 · pratique

Deux angles extérieurs connus

Dans le triangle ABC,ABC, on prolonge [CB][CB] au-delà de BB jusqu'à E,E, et [BC][BC] au-delà de CC jusqu'à D.D. On sait que ABE^=110∘\widehat{ABE} = 110^\circ et ACD^=125∘.\widehat{ACD} = 125^\circ.

Calculer BAC^.\widehat{BAC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 55

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par les angles intérieurs en BB et en CC : chacun est le supplémentaire de l'angle extérieur donné.
  2. Tu obtiens ABC^\widehat{ABC} et ACB^.\widehat{ACB}. Il ne reste que la somme des angles du triangle.

Correction

  1. Les angles intérieurs — E,E, B,B, C,C, DD sont alignés : chaque angle intérieur est le supplémentaire de l'angle extérieur au même sommet.ABC^=180∘−110∘=70∘ACB^=180∘−125∘=55∘\widehat{ABC} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \qquad \widehat{ACB} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ
  2. La somme — BAC^=180∘−70∘−55∘\widehat{BAC} = 180^\circ - 70^\circ - 55^\circ
  3. BAC^=55∘\widehat{BAC} = 55^\circ

Autre chemin : ACD^=BAC^+ABC^,\widehat{ACD} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}, donc BAC^=125−70.\widehat{BAC} = 125 - 70. Le résultat est le même. Le triangle est d'ailleurs isocèle en BB : ses angles en AA et en CC sont égaux.

Pièges anticipés

  • 125 → 125∘,125^\circ, c'est l'angle extérieur en AA (les trois angles extérieurs font 360∘360^\circ). La question demande l'angle intérieur.
  • 235 → Tu as additionné les deux angles extérieurs. Commence par en déduire les angles intérieurs en BB et en C.C.

Exercice 18 · pratique

Un équilatéral dans le carré

ABCDABCD est un carré, et ABEABE est un triangle équilatéral construit à l'intérieur du carré, sur le côté [AB].[AB].

Calculer EAD^.\widehat{EAD}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. En A,A, deux angles sont connus sans calcul : celui du carré et celui du triangle équilatéral. Lequel contient l'autre ?
  2. EE est à l'intérieur du carré : la demi-droite [AE)[AE) est à l'intérieur de l'angle droit BAD^.\widehat{BAD}.BAD^=BAE^+EAD^\widehat{BAD} = \widehat{BAE} + \widehat{EAD}

Correction

  1. Le découpage — [AE)[AE) est à l'intérieur de l'angle droit BAD^\widehat{BAD} : il le découpe en deux angles adjacents.BAD^=BAE^+EAD^\widehat{BAD} = \widehat{BAE} + \widehat{EAD}
  2. Le carré donne 90∘,90^\circ, l'équilatéral donne 60∘.60^\circ.EAD^=90∘−60∘\widehat{EAD} = 90^\circ - 60^\circ
  3. EAD^=30∘\widehat{EAD} = 30^\circ

Avant d'additionner ou de soustraire, repère quelle demi-droite est à l'intérieur de quel angle.

Pièges anticipés

  • 150 → 90+60=15090 + 60 = 150 conviendrait si le triangle était construit à l'extérieur du carré. Ici EE est à l'intérieur : on soustrait.
  • 60 → 60∘60^\circ est l'angle BAE^\widehat{BAE} du triangle équilatéral. L'angle demandé est le morceau restant de l'angle droit.

Exercice 19 · pratique

Le triangle qui reste

On reprend la figure précédente : ABCDABCD est un carré et ABEABE un triangle équilatéral construit à l'intérieur du carré. On a trouvé EAD^=30∘.\widehat{EAD} = 30^\circ.

Calculer AED^.\widehat{AED}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 75

Indices, dans l’ordre

  1. Compare AEAE et AD.AD. L'un est un côté du triangle équilatéral, l'autre un côté du carré.
  2. AE=AB=ADAE = AB = AD : le triangle ADEADE est isocèle en A.A. Son angle au sommet est connu.

Correction

  1. Les longueurs — AE=ABAE = AB (triangle équilatéral) et AD=ABAD = AB (carré), donc AE=ADAE = AD : le triangle ADEADE est isocèle en A.A.AED^=ADE^\widehat{AED} = \widehat{ADE}
  2. Les angles de la base — AED^=180∘−30∘2\widehat{AED} = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2}
  3. AED^=75∘\widehat{AED} = 75^\circ

C'est l'égalité des longueurs qui fait le travail : un carré et un triangle équilatéral sur le même côté fabriquent des triangles isocèles.

Pièges anticipés

  • 150 → 180−30=150180 - 30 = 150 : ce sont les deux angles de la base ensemble. Chacun en vaut la moitié.

Exercice 20 · pratique

L'angle de l'hexagone régulier

ABCDEFABCDEF est un hexagone régulier de centre OO : les six triangles OAB,OAB, OBC,OBC, OCD,OCD, ODE,ODE, OEFOEF et OFAOFA sont équilatéraux.

Calculer l'angle ABC^\widehat{ABC} de l'hexagone.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 120

Indices, dans l’ordre

  1. La demi-droite [BO)[BO) est à l'intérieur de l'angle ABC^\widehat{ABC} et le coupe en deux morceaux. Lesquels ?
  2. ABC^=ABO^+OBC^,\widehat{ABC} = \widehat{ABO} + \widehat{OBC}, et chacun de ces angles est un angle d'un triangle équilatéral.

Correction

  1. Le découpage — [BO)[BO) partage l'angle de l'hexagone en deux angles adjacents.ABC^=ABO^+OBC^\widehat{ABC} = \widehat{ABO} + \widehat{OBC}
  2. Les triangles OABOAB et OBCOBC sont équilatéraux : chacun de leurs angles vaut 60∘.60^\circ.ABC^=60∘+60∘\widehat{ABC} = 60^\circ + 60^\circ
  3. ABC^=120∘\widehat{ABC} = 120^\circ

Un polygone régulier se découpe depuis son centre en triangles isocèles égaux : on lit ses angles dans ces triangles.

Pièges anticipés

  • 60 → 60∘60^\circ n'est que l'angle ABO^\widehat{ABO} d'un des triangles. L'angle de l'hexagone en BB est fait de deux de ces angles.

Exercice 21 · raisonnement

Le point de rencontre des bissectrices

Dans le triangle ABC,ABC, BAC^=50∘.\widehat{BAC} = 50^\circ. Les bissectrices des angles ABC^\widehat{ABC} et ACB^\widehat{ACB} se coupent en I.I.

Calculer BIC^.\widehat{BIC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 115

Indices, dans l’ordre

  1. On ne connaît ni ABC^\widehat{ABC} ni ACB^\widehat{ACB} séparément. Mais leur somme, si.
  2. ABC^+ACB^=180∘−50∘.\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ. Les bissectrices en prennent chacune la moitié : que vaut IBC^+ICB^\widehat{IBC} + \widehat{ICB} ?
  3. Dans le triangle IBC,IBC, il reste la somme des angles.BIC^=180∘−(IBC^+ICB^)\widehat{BIC} = 180^\circ - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB})

Correction

  1. La somme connue — Dans le triangle ABCABC :ABC^+ACB^=180∘−50∘=130∘\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ
  2. Les moitiés — Chaque bissectrice partage son angle en deux.IBC^+ICB^=12 (ABC^+ACB^)=65∘\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = \tfrac{1}{2}\,(\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 65^\circ
  3. Le triangle IBC — BIC^=180∘−65∘\widehat{BIC} = 180^\circ - 65^\circ
  4. BIC^=115∘\widehat{BIC} = 115^\circ

On n'a jamais eu besoin de ABC^\widehat{ABC} ni de ACB^\widehat{ACB} un par un : seule leur somme comptait. Quand deux inconnues apparaissent toujours ensemble, on calcule leur somme.

Pièges anticipés

  • 65 → 65∘,65^\circ, c'est IBC^+ICB^.\widehat{IBC} + \widehat{ICB}. L'angle BIC^\widehat{BIC} est ce qui reste dans le triangle IBC.IBC.
  • 130 → Tu as utilisé ABC^+ACB^\widehat{ABC} + \widehat{ACB} en entier. Les bissectrices n'en gardent que la moitié dans le triangle IBC.IBC.

Exercice 22 · raisonnement

Le triangle de périmètre donné

Dans un triangle ABC,ABC, ABC^=72∘\widehat{ABC} = 72^\circ et ACB^=66∘.\widehat{ACB} = 66^\circ. On place sur la droite (BC)(BC) le point E,E, au-delà de B,B, tel que BE=BA,BE = BA, et le point F,F, au-delà de C,C, tel que CF=CA.CF = CA.

Calculer AEB^.\widehat{AEB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 36

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle EBAEBA est isocèle : en quel sommet ? Quels sont ses deux angles égaux ?
  2. BE=BABE = BA : il est isocèle en B,B, et BEA^=BAE^.\widehat{BEA} = \widehat{BAE}. Regarde maintenant ABC^\widehat{ABC} : c'est un angle extérieur du triangle EBA.EBA.
  3. L'angle extérieur en BB vaut la somme des deux angles égaux.ABC^=BEA^+BAE^\widehat{ABC} = \widehat{BEA} + \widehat{BAE}

Correction

  1. Le triangle isocèle — BE=BA,BE = BA, donc EBAEBA est isocèle en BB : ses angles en EE et en AA sont égaux.BEA^=BAE^\widehat{BEA} = \widehat{BAE}
  2. L'angle extérieur — E,E, B,B, CC sont alignés : ABC^\widehat{ABC} est l'angle extérieur en BB du triangle EBA.EBA.ABC^=BEA^+BAE^=2 AEB^\widehat{ABC} = \widehat{BEA} + \widehat{BAE} = 2\,\widehat{AEB}
  3. AEB^=72∘2=36∘\widehat{AEB} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ

De la même façon, AFC^=33∘.\widehat{AFC} = 33^\circ. Et EF=EB+BC+CF=AB+BC+CAEF = EB + BC + CF = AB + BC + CA : la longueur EFEF est le périmètre du triangle ABC.ABC. C'est l'idée qui permet de construire un triangle de périmètre donné.

Pièges anticipés

  • 54 → Tu as pris 72∘72^\circ comme angle au sommet du triangle EBA.EBA. Mais l'angle en BB de ce triangle est EBA^,\widehat{EBA}, le supplémentaire de ABC^\widehat{ABC} : 72∘72^\circ est son angle extérieur.
  • 72 → 72∘,72^\circ, c'est l'angle extérieur en BB du triangle EBA.EBA. Il vaut la somme des deux angles égaux en EE et en A.A.

Exercice 23 · raisonnement

L'angle au sommet du grand triangle

On reprend la figure précédente : ABC^=72∘,\widehat{ABC} = 72^\circ, ACB^=66∘,\widehat{ACB} = 66^\circ, EE et FF sur la droite (BC)(BC) avec BE=BABE = BA et CF=CA.CF = CA. On a trouvé AEB^=36∘.\widehat{AEB} = 36^\circ.

Calculer EAF^.\widehat{EAF}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 111

Indices, dans l’ordre

  1. Par le même raisonnement que pour E,E, calcule d'abord AFC^\widehat{AFC} dans le triangle isocèle ACF.ACF.
  2. AFC^\widehat{AFC} est la moitié de ACB^.\widehat{ACB}. Le triangle AEFAEF a alors deux angles connus.

Correction

  1. Le point F — CF=CACF = CA : le triangle ACFACF est isocèle en C,C, et ACB^\widehat{ACB} est son angle extérieur en C.C.AFC^=66∘2=33∘\widehat{AFC} = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ
  2. Le triangle AEF — EAF^=180∘−36∘−33∘\widehat{EAF} = 180^\circ - 36^\circ - 33^\circ
  3. EAF^=111∘\widehat{EAF} = 111^\circ

Vérification par le découpage en AA : EAF^=EAB^+BAC^+CAF^=36+42+33=111∘.\widehat{EAF} = \widehat{EAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAF} = 36 + 42 + 33 = 111^\circ. Deux chemins, un seul résultat.

Pièges anticipés

  • 42 → 42∘,42^\circ, c'est BAC^,\widehat{BAC}, l'angle du petit triangle. L'angle EAF^\widehat{EAF} contient en plus les angles EAB^\widehat{EAB} et CAF^.\widehat{CAF}.
  • 138 → Tu as additionné 7272 et 66.66. Dans le triangle AEF,AEF, ce sont les angles en EE et en FF qu'il faut retirer de 180∘.180^\circ.

Exercice 24 · raisonnement

La bissectrice du triangle d'or

Le triangle ABCABC est isocèle en AA avec BAC^=36∘.\widehat{BAC} = 36^\circ. La bissectrice de l'angle ABC^\widehat{ABC} coupe [AC][AC] en D.D.

Calculer BDC^.\widehat{BDC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 72

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord les angles de la base du triangle ABC.ABC.
  2. Dans le triangle BDC,BDC, tu connais DBC^\widehat{DBC} (la moitié de ABC^\widehat{ABC}) et DCB^.\widehat{DCB}.

Correction

  1. Les angles de la base — ABC^=ACB^=180∘−36∘2=72∘\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ
  2. La bissectrice — DBC^=12×72∘=36∘\widehat{DBC} = \tfrac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ
  3. Le triangle BDC — BDC^=180∘−36∘−72∘\widehat{BDC} = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ
  4. BDC^=72∘\widehat{BDC} = 72^\circ

Le triangle BDCBDC a deux angles de 72∘72^\circ : il est isocèle en B.B. Et ABD^=BAD^=36∘\widehat{ABD} = \widehat{BAD} = 36^\circ : ABDABD est isocèle en D.D. Une seule bissectrice fabrique deux triangles isocèles.

Pièges anticipés

  • 108 → 108∘108^\circ est ADB^,\widehat{ADB}, le supplémentaire. L'angle demandé, BDC^,\widehat{BDC}, est du côté de C.C.
  • 36 → 36∘36^\circ est DBC^,\widehat{DBC}, l'angle en BB du triangle BDC.BDC. La question porte sur son angle en D.D.

Exercice 25 · raisonnement

Aire dans le triangle équilatéral

ABCABC est un triangle équilatéral de côté AB=10AB = 10 cm. Le point MM est sur la bissectrice de l'angle BAC^,\widehat{BAC}, avec AM=5AM = 5 cm ; cette bissectrice coupe [BC][BC] en H.H.

Calculer l'aire du triangle ABM.ABM.

Donner l'aire en cm², sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 12.5

Indices, dans l’ordre

  1. Dans un triangle équilatéral, la bissectrice issue de AA est aussi la hauteur et la médiane : HH est le milieu de [BC][BC] et (AH)⊥(BC).(AH) \perp (BC).
  2. Prends [AM][AM] comme base du triangle ABM.ABM. La hauteur relative à cette base est la distance de BB à la droite (AH),(AH), c'est-à-dire BH.BH.

Correction

  1. La bissectrice — Dans le triangle équilatéral, la bissectrice issue de AA est la médiatrice de [BC][BC] : HH est le milieu de [BC][BC] et (BH)⊥(AM).(BH) \perp (AM).BH=BC2=5 cmBH = \frac{BC}{2} = 5 \text{ cm}
  2. M est sur [AH] — AH=102−52=75≈8,66AH = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8{,}66 cm, qui dépasse AM=5AM = 5 cm : MM est bien entre AA et H.H.
  3. L'aire — Base [AM],[AM], hauteur [BH].[BH].A(ABM)=AM×BH2=5×52\mathcal{A}(ABM) = \frac{AM \times BH}{2} = \frac{5 \times 5}{2}
  4. A(ABM)=12,5 cm2\mathcal{A}(ABM) = 12{,}5 \text{ cm}^2

Pour l'aire d'un triangle, on choisit la base dont la hauteur est facile : ici [AM],[AM], portée par une droite perpendiculaire à (BC).(BC).

Pièges anticipés

  • 25 → 5×5=255 \times 5 = 25 est l'aire d'un rectangle. L'aire d'un triangle est la moitié du produit base × hauteur.

Exercice 26 · defi

Trois points alignés

ABCDABCD est un carré. DCEDCE est un triangle équilatéral construit à l'intérieur du carré, sur [DC],[DC], et BCFBCF un triangle équilatéral construit à l'extérieur, sur [BC].[BC].

Calculer la somme AED^+DEC^+CEF^,\widehat{AED} + \widehat{DEC} + \widehat{CEF}, puis conclure sur les points A,A, EE et F.F.

Donner la somme en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 180

Indices, dans l’ordre

  1. Deux triangles isocèles se cachent dans la figure : ADEADE (compare DADA et DEDE) et CEFCEF (compare CECE et CFCF).
  2. Calcule leurs angles au sommet : ADE^=ADC^−EDC^,\widehat{ADE} = \widehat{ADC} - \widehat{EDC}, et ECF^=ECB^+BCF^.\widehat{ECF} = \widehat{ECB} + \widehat{BCF}.
  3. ADE^=30∘\widehat{ADE} = 30^\circ et ECF^=90∘.\widehat{ECF} = 90^\circ. Déduis-en AED^\widehat{AED} et CEF^,\widehat{CEF}, puis ajoute DEC^.\widehat{DEC}.

Correction

  1. Le triangle ADE — DA=DC=DEDA = DC = DE : le triangle ADEADE est isocèle en D,D, et ADE^=90∘−60∘=30∘.\widehat{ADE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.AED^=180∘−30∘2=75∘\widehat{AED} = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ
  2. Le triangle CEF — CE=CD=CB=CFCE = CD = CB = CF : le triangle CEFCEF est isocèle en C,C, et ECF^=ECB^+BCF^=30∘+60∘=90∘.\widehat{ECF} = \widehat{ECB} + \widehat{BCF} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ.CEF^=180∘−90∘2=45∘\widehat{CEF} = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ
  3. La somme — L'équilatéral DCEDCE donne DEC^=60∘.\widehat{DEC} = 60^\circ.AED^+DEC^+CEF^=75∘+60∘+45∘\widehat{AED} + \widehat{DEC} + \widehat{CEF} = 75^\circ + 60^\circ + 45^\circ
  4. AED^+DEC^+CEF^=180∘\widehat{AED} + \widehat{DEC} + \widehat{CEF} = 180^\circ

Les trois angles adjacents en EE font un angle plat : [EA)[EA) et [EF)[EF) sont opposées, donc A,A, EE et FF sont alignés. Prouver un alignement, c'est souvent montrer qu'un angle vaut 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • 120 → Tu as oublié l'angle du milieu, DEC^,\widehat{DEC}, celui du triangle équilatéral. La somme porte sur les trois angles adjacents en E.E.

Exercice 27 · defi

Le triangle des deux isocèles

ABCABC est un triangle isocèle en A.A. Le point DD est sur [AC][AC] et vérifie DA=DB=BC.DA = DB = BC.

Calculer BAC^.\widehat{BAC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 36

Indices, dans l’ordre

  1. Note x=BAC^.x = \widehat{BAC}. Le triangle ABDABD est isocèle en DD : que vaut ABD^\widehat{ABD} ?
  2. BDC^\widehat{BDC} est l'angle extérieur en DD du triangle ABDABD : il vaut 2x.2x. Le triangle BDCBDC est isocèle en BB : que vaut alors BCD^\widehat{BCD} ?
  3. ACB^=2x,\widehat{ACB} = 2x, et comme ABCABC est isocèle en A,A, ABC^=2x\widehat{ABC} = 2x aussi. Écris la somme des angles de ABC.ABC.

Correction

  1. Le triangle ABD — DA=DBDA = DB : ABDABD est isocèle en D,D, donc ABD^=BAD^=x.\widehat{ABD} = \widehat{BAD} = x.BDC^=BAD^+ABD^=2x\widehat{BDC} = \widehat{BAD} + \widehat{ABD} = 2x
  2. Le triangle BDC — BD=BCBD = BC : BDCBDC est isocèle en B,B, donc BCD^=BDC^.\widehat{BCD} = \widehat{BDC}.ACB^=2x\widehat{ACB} = 2x
  3. Le triangle ABC — Isocèle en AA : ABC^=ACB^=2x.\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 2x.x+2x+2x=180∘x + 2x + 2x = 180^\circ
  4. BAC^=36∘\widehat{BAC} = 36^\circ

Les angles de ABCABC valent 36∘,36^\circ, 72∘72^\circ et 72∘.72^\circ. Méthode : une seule inconnue, puis on la fait circuler de triangle isocèle en triangle isocèle grâce à l'angle extérieur.

Pièges anticipés

  • 72 → 72∘,72^\circ, c'est un angle de la base, ABC^\widehat{ABC} ou ACB^.\widehat{ACB}. La question demande l'angle au sommet A.A.

Exercice 28 · defi

Les bissectrices extérieures

Dans le triangle ABC,ABC, BAC^=70∘.\widehat{BAC} = 70^\circ. Les bissectrices des angles extérieurs en BB et en CC se coupent en J,J, du côté de (BC)(BC) opposé à A.A.

Calculer BJC^.\widehat{BJC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 55

Indices, dans l’ordre

  1. L'angle extérieur en BB vaut 180∘−ABC^.180^\circ - \widehat{ABC}. La bissectrice en garde la moitié dans le triangle JBC.JBC.
  2. Dans le triangle JBCJBC : JBC^=90∘−12ABC^\widehat{JBC} = 90^\circ - \tfrac{1}{2}\widehat{ABC} et JCB^=90∘−12ACB^.\widehat{JCB} = 90^\circ - \tfrac{1}{2}\widehat{ACB}.
  3. Écris la somme des angles de JBCJBC : il ne reste plus que 12 (ABC^+ACB^),\tfrac{1}{2}\,(\widehat{ABC} + \widehat{ACB}), que tu connais grâce à l'angle en A.A.

Correction

  1. Les demi-angles — Chaque bissectrice partage un angle extérieur en deux.JBC^=180∘−ABC^2JCB^=180∘−ACB^2\widehat{JBC} = \frac{180^\circ - \widehat{ABC}}{2} \qquad \widehat{JCB} = \frac{180^\circ - \widehat{ACB}}{2}
  2. Le triangle JBC — BJC^=180∘−JBC^−JCB^=ABC^+ACB^2\widehat{BJC} = 180^\circ - \widehat{JBC} - \widehat{JCB} = \frac{\widehat{ABC} + \widehat{ACB}}{2}
  3. Et ABC^+ACB^=180∘−70∘=110∘.\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ.BJC^=110∘2\widehat{BJC} = \frac{110^\circ}{2}
  4. BJC^=55∘\widehat{BJC} = 55^\circ

Formule à retrouver, pas à apprendre : BJC^=90∘−12BAC^.\widehat{BJC} = 90^\circ - \tfrac{1}{2}\widehat{BAC}. Avec les bissectrices intérieures, on trouverait 90∘+12BAC^.90^\circ + \tfrac{1}{2}\widehat{BAC}.

Pièges anticipés

  • 125 → 125∘=90+35125^\circ = 90 + 35 est l'angle formé par les bissectrices intérieures. Ici ce sont les bissectrices des angles extérieurs : refais la somme dans le triangle JBC.JBC.
  • 110 → 110∘110^\circ est ABC^+ACB^.\widehat{ABC} + \widehat{ACB}. Les bissectrices n'en laissent que la moitié dans le triangle JBC.JBC.

Exercice 29 · base

De part et d'autre de la sécante

Les droites (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont parallèles. Une sécante les coupe en A,A, sur (xx′),(xx'), et en B,B, sur (yy′)(yy') ; les points xx et yy sont du même côté de la sécante. L'angle xAB^\widehat{xAB} mesure 63∘.63^\circ.

Calculer y′BA^.\widehat{y'BA}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 63

Indices, dans l’ordre

  1. xx et y′y' sont de part et d'autre de la sécante, et les deux angles sont entre les parallèles. Quelle famille ?
  2. Ce sont des angles alternes-internes. Avec des droites parallèles, que vaut leur relation : égalité ou somme de 180∘180^\circ ?

Correction

  1. La famille — xAB^\widehat{xAB} et y′BA^\widehat{y'BA} sont entre les deux parallèles, de part et d'autre de la sécante : ils sont alternes-internes.
  2. Deux parallèles forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux.y′BA^=xAB^\widehat{y'BA} = \widehat{xAB}
  3. y′BA^=63∘\widehat{y'BA} = 63^\circ

Alternes-internes : on traverse la sécante et on reste entre les parallèles. Avec des parallèles, ils sont égaux.

Pièges anticipés

  • 117 → Tu as pris le supplémentaire. Ce serait juste pour des angles intérieurs d'un même côté ; ceux-ci sont alternes-internes, donc égaux.

Exercice 30 · base

Le même angle, plus bas

Les droites (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont parallèles. Une sécante les coupe en A,A, sur (xx′),(xx'), et en B,B, sur (yy′)(yy') ; les points xx et yy sont du même côté de la sécante. Le point CC est sur la sécante, au-delà de B.B. L'angle xAB^\widehat{xAB} mesure 74∘.74^\circ.

Calculer yBC^.\widehat{yBC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 74

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux angles sont du même côté de la sécante. L'un est entre les parallèles, l'autre en dessous de (yy′).(yy'). Quelle famille ?
  2. Ce sont des angles correspondants : ils occupent la même position, l'un en A,A, l'autre en B.B.

Correction

  1. La famille — xAB^\widehat{xAB} et yBC^\widehat{yBC} sont du même côté de la sécante, l'un entre les parallèles, l'autre à l'extérieur : ils sont correspondants.
  2. Deux parallèles forment avec une sécante des angles correspondants égaux.yBC^=xAB^\widehat{yBC} = \widehat{xAB}
  3. yBC^=74∘\widehat{yBC} = 74^\circ

Les angles correspondants se superposent si l'on fait glisser (xx′)(xx') le long de la sécante jusqu'à (yy′)(yy') : c'est pour cela qu'ils sont égaux.

Pièges anticipés

  • 106 → 106∘106^\circ est le supplémentaire. Des angles correspondants formés par des parallèles sont égaux.

Exercice 31 · base

Du côté de x' et de y'

Les droites (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont parallèles. Une sécante les coupe en A,A, sur (xx′),(xx'), et en B,B, sur (yy′)(yy') ; les points xx et yy sont du même côté de la sécante. L'angle x′AB^\widehat{x'AB} mesure 58∘.58^\circ.

Calculer y′BA^.\widehat{y'BA}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 122

Indices, dans l’ordre

  1. x′x' et y′y' sont du même côté de la sécante, et les deux angles sont entre les parallèles. Quelle famille ?
  2. Intérieurs d'un même côté : c'est la famille qui ne donne pas une égalité.x′AB^+y′BA^=180∘\widehat{x'AB} + \widehat{y'BA} = 180^\circ

Correction

  1. La famille — x′AB^\widehat{x'AB} et y′BA^\widehat{y'BA} sont intérieurs d'un même côté : avec des parallèles, ils sont supplémentaires.x′AB^+y′BA^=180∘\widehat{x'AB} + \widehat{y'BA} = 180^\circ
  2. y′BA^=180∘−58∘=122∘\widehat{y'BA} = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ

Intérieurs d'un même côté : un angle aigu et un angle obtus, qui se complètent à 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • 58 → Ces angles ne sont pas alternes-internes : ils sont du même côté de la sécante. Intérieurs d'un même côté, ils sont supplémentaires.
  • 32 → Tu as complété à 90∘.90^\circ. Les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires : leur somme vaut 180∘.180^\circ.

Exercice 32 · base

Huit angles, deux mesures

Deux droites parallèles sont coupées par une sécante : cela forme huit angles, quatre autour de chaque point d'intersection. L'un d'eux mesure 40∘.40^\circ.

Déterminer combien de ces huit angles mesurent 40∘.40^\circ.

Donner un nombre entier.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Autour d'un même point, deux angles opposés par le sommet sont égaux, et deux angles voisins sont supplémentaires.
  2. En passant d'un point à l'autre, les angles correspondants sont égaux. Combien d'angles de 40∘40^\circ autour de chaque point ?

Correction

  1. Autour d'un point — Autour du premier point, l'angle de 40∘40^\circ a son opposé par le sommet de 40∘,40^\circ, et ses deux voisins mesurent 140∘140^\circ : deux angles de 40∘.40^\circ.
  2. D'un point à l'autre — Les angles correspondants sont égaux : autour du second point, on retrouve exactement les mêmes mesures, donc deux autres angles de 40∘.40^\circ.2+2=42 + 2 = 4
  3. 4 angles4 \text{ angles}

Une sécante et deux parallèles ne fabriquent que deux mesures : 40∘40^\circ et son supplémentaire 140∘,140^\circ, quatre fois chacune.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu n'as compté que les angles autour d'un seul point. Les angles correspondants recopient les mêmes mesures autour de l'autre point.

Exercice 33 · base

Deux rues et une avenue

Sur le plan d'une ville, deux rues sont parallèles. Une avenue rectiligne les traverse toutes les deux et fait avec la première rue un angle aigu de 65∘.65^\circ.

Déterminer l'angle aigu que fait l'avenue avec la seconde rue.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 65

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux rues sont deux parallèles, l'avenue est la sécante. Regarde les angles correspondants.
  2. Les angles correspondants formés par des parallèles sont égaux : l'angle aigu se retrouve tel quel au second croisement.

Correction

  1. La modélisation — Les deux rues sont deux droites parallèles, l'avenue une sécante. L'angle aigu au premier croisement et l'angle aigu au second, du même côté, sont correspondants.
  2. Des angles correspondants formés par des parallèles sont égaux.angle aigu=65∘\text{angle aigu} = 65^\circ

Une sécante coupe deux parallèles « sous le même angle » : c'est le contenu concret du théorème des angles correspondants.

Pièges anticipés

  • 115 → 115∘115^\circ est l'angle obtus au croisement. La question demande l'angle aigu, et il est le même aux deux croisements.

Exercice 34 · pratique

Une inconnue entre deux parallèles

Les droites (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont parallèles. Une sécante les coupe en A,A, sur (xx′),(xx'), et en B,B, sur (yy′)(yy') ; les points xx et yy sont du même côté de la sécante. Les angles xAB^\widehat{xAB} et y′BA^\widehat{y'BA} mesurent, en degrés, 3x−203x - 20 et 2x+15.2x + 15.

Calculer x.x.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 35

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par la famille : xAB^\widehat{xAB} et y′BA^\widehat{y'BA} sont-ils égaux ou supplémentaires ?
  2. Ils sont alternes-internes, donc égaux. Écris l'équation et résous-la.3x−20=2x+153x - 20 = 2x + 15

Correction

  1. La famille — xAB^\widehat{xAB} et y′BA^\widehat{y'BA} sont alternes-internes ; les droites sont parallèles, donc ils sont égaux.3x−20=2x+153x - 20 = 2x + 15
  2. 3x−2x=15+203x - 2x = 15 + 20
  3. x=35x = 35

Les deux angles mesurent alors 85∘.85^\circ. La famille d'angles donne l'équation ; le reste est du calcul.

Pièges anticipés

  • 37 → Tu as écrit (3x−20)+(2x+15)=180.(3x - 20) + (2x + 15) = 180. Ces angles sont alternes-internes : l'équation est une égalité, pas une somme de 180∘.180^\circ.
  • 85 → 85∘85^\circ est la mesure des angles. La question demande la valeur de x.x.

Exercice 35 · pratique

Une équation de supplémentaires

Les droites (xx′)(xx') et (yy′)(yy') sont parallèles. Une sécante les coupe en A,A, sur (xx′),(xx'), et en B,B, sur (yy′)(yy') ; les points xx et yy sont du même côté de la sécante. Les angles intérieurs d'un même côté xAB^\widehat{xAB} et yBA^\widehat{yBA} mesurent, en degrés, 2x2x et x+30.x + 30.

Calculer x.x.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 50

Indices, dans l’ordre

  1. Intérieurs d'un même côté, avec des parallèles : quelle relation entre les deux angles ?
  2. Leur somme vaut 180∘.180^\circ.2x+(x+30)=1802x + (x + 30) = 180

Correction

  1. La relation — Les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.2x+x+30=1802x + x + 30 = 180
  2. 3x=1503x = 150
  3. x=50x = 50

Les angles mesurent 100∘100^\circ et 80∘,80^\circ, et leur somme fait bien 180∘.180^\circ. Toujours vérifier en remplaçant.

Pièges anticipés

  • 30 → Tu as écrit 2x=x+30.2x = x + 30. Les angles intérieurs d'un même côté ne sont pas égaux, ils sont supplémentaires.

Exercice 36 · pratique

La droite des milieux

Dans le triangle ABC,ABC, ABC^=50∘\widehat{ABC} = 50^\circ et ACB^=42∘.\widehat{ACB} = 42^\circ. Le point C′C' est le milieu de [AB][AB] et B′B' le milieu de [AC].[AC].

Calculer AB′C′^.\widehat{AB'C'}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 42

Indices, dans l’ordre

  1. Que sais-tu de la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle ?
  2. (B′C′)∥(BC).(B'C') \parallel (BC). La droite (AC)(AC) est une sécante de ces deux parallèles : compare AB′C′^\widehat{AB'C'} et ACB^.\widehat{ACB}.

Correction

  1. Les milieux — Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième.(B′C′)∥(BC)(B'C') \parallel (BC)
  2. Les correspondants — La sécante (AC)(AC) coupe ces parallèles en B′B' et en C.C. Les angles AB′C′^\widehat{AB'C'} et ACB^\widehat{ACB} sont correspondants, donc égaux.AB′C′^=ACB^\widehat{AB'C'} = \widehat{ACB}
  3. AB′C′^=42∘\widehat{AB'C'} = 42^\circ

De même AC′B′^=ABC^=50∘\widehat{AC'B'} = \widehat{ABC} = 50^\circ : le petit triangle AC′B′AC'B' a les mêmes angles que ABC.ABC.

Pièges anticipés

  • 50 → 50∘50^\circ est l'angle correspondant en B,B, qui donne AC′B′^.\widehat{AC'B'}. L'angle AB′C′^\widehat{AB'C'} a son sommet en B′,B', sur [AC][AC] : il correspond à l'angle en C.C.

Exercice 37 · pratique

Sous la droite des milieux

On reprend le triangle ABCABC où ABC^=50∘\widehat{ABC} = 50^\circ et ACB^=42∘,\widehat{ACB} = 42^\circ, avec C′C' milieu de [AB][AB] et B′B' milieu de [AC],[AC], de sorte que (B′C′)∥(BC).(B'C') \parallel (BC).

Calculer BC′B′^.\widehat{BC'B'}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 130

Indices, dans l’ordre

  1. Regarde la sécante (AB)(AB) : elle coupe (B′C′)(B'C') en C′C' et (BC)(BC) en B.B. Où sont situés BC′B′^\widehat{BC'B'} et C′BC^\widehat{C'BC} ?
  2. Ils sont entre les deux parallèles, du même côté de (AB)(AB) : intérieurs d'un même côté.

Correction

  1. La famille — Pour les parallèles (B′C′)(B'C') et (BC)(BC) et la sécante (AB),(AB), les angles BC′B′^\widehat{BC'B'} et C′BC^\widehat{C'BC} sont intérieurs d'un même côté : ils sont supplémentaires.BC′B′^+C′BC^=180∘\widehat{BC'B'} + \widehat{C'BC} = 180^\circ
  2. Et C′BC^=ABC^=50∘.\widehat{C'BC} = \widehat{ABC} = 50^\circ.BC′B′^=180∘−50∘\widehat{BC'B'} = 180^\circ - 50^\circ
  3. BC′B′^=130∘\widehat{BC'B'} = 130^\circ

Même figure, même sécante, autre famille : selon la position des angles, on obtient une égalité ou un supplément. La figure ne se mesure pas, elle se lit.

Pièges anticipés

  • 50 → BC′B′^\widehat{BC'B'} n'est pas correspondant à l'angle en BB : il est du côté de B,B, entre les parallèles. C'est un angle intérieur d'un même côté, donc le supplémentaire.

Exercice 38 · pratique

La diagonale du parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme. On trace la diagonale [AC][AC] et on sait que BAC^=38∘\widehat{BAC} = 38^\circ et ACB^=27∘.\widehat{ACB} = 27^\circ.

Calculer CAD^.\widehat{CAD}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 27

Indices, dans l’ordre

  1. Quels côtés du parallélogramme sont parallèles ? Quelle sécante les coupe en AA et en CC ?
  2. (AD)∥(BC)(AD) \parallel (BC) et la sécante est (AC).(AC). Les angles CAD^\widehat{CAD} et ACB^\widehat{ACB} sont de part et d'autre de (AC),(AC), entre les parallèles.

Correction

  1. Les parallèles — ABCDABCD est un parallélogramme, donc (AD)∥(BC).(AD) \parallel (BC).
  2. Les alternes-internes — Avec la sécante (AC),(AC), les angles CAD^\widehat{CAD} et ACB^\widehat{ACB} sont alternes-internes, donc égaux.CAD^=ACB^\widehat{CAD} = \widehat{ACB}
  3. CAD^=27∘\widehat{CAD} = 27^\circ

Une diagonale de parallélogramme est une sécante de deux couples de parallèles : elle fait apparaître deux paires d'angles alternes-internes.

Pièges anticipés

  • 38 → BAC^\widehat{BAC} est l'alterne-interne de ACD^,\widehat{ACD}, pour les parallèles (AB)(AB) et (DC).(DC). L'angle CAD^\widehat{CAD} s'apparie avec ACB^,\widehat{ACB}, pour (AD)(AD) et (BC).(BC).

Exercice 39 · pratique

L'angle en D

On reprend le parallélogramme ABCDABCD où BAC^=38∘\widehat{BAC} = 38^\circ et ACB^=27∘.\widehat{ACB} = 27^\circ.

Calculer ADC^.\widehat{ADC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 115

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le triangle ACD,ACD, il te faut deux angles. Les alternes-internes te les donnent.
  2. CAD^=ACB^\widehat{CAD} = \widehat{ACB} (parallèles (AD)(AD) et (BC)(BC)) et ACD^=BAC^\widehat{ACD} = \widehat{BAC} (parallèles (AB)(AB) et (DC)(DC)).

Correction

  1. Deux alternes-internes — CAD^=ACB^=27∘ACD^=BAC^=38∘\widehat{CAD} = \widehat{ACB} = 27^\circ \qquad \widehat{ACD} = \widehat{BAC} = 38^\circ
  2. Le triangle ACD — ADC^=180∘−27∘−38∘\widehat{ADC} = 180^\circ - 27^\circ - 38^\circ
  3. ADC^=115∘\widehat{ADC} = 115^\circ

On retrouve que ADC^=ABC^=180−38−27\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 180 - 38 - 27 : les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

Pièges anticipés

  • 65 → 65∘=38+2765^\circ = 38 + 27 est l'angle BAD^,\widehat{BAD}, en A.A. L'angle en DD en est le supplémentaire.

Exercice 40 · pratique

Une parallèle par le sommet

Le triangle ABCABC est isocèle en AA et BAC^=40∘.\widehat{BAC} = 40^\circ. La droite (d)(d) passe par AA et est parallèle à (BC).(BC). Le point EE est sur (d),(d), de l'autre côté de (AB)(AB) par rapport à C.C.

Calculer EAB^.\widehat{EAB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 70

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord les angles de la base du triangle isocèle.
  2. (d)∥(BC)(d) \parallel (BC) et (AB)(AB) est une sécante. EAB^\widehat{EAB} et ABC^\widehat{ABC} sont de part et d'autre de (AB),(AB), entre les parallèles.

Correction

  1. La base — ABC^=180∘−40∘2=70∘\widehat{ABC} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ
  2. Les alternes-internes — Pour les parallèles (d)(d) et (BC)(BC) et la sécante (AB),(AB), EAB^\widehat{EAB} et ABC^\widehat{ABC} sont alternes-internes, donc égaux.EAB^=ABC^\widehat{EAB} = \widehat{ABC}
  3. EAB^=70∘\widehat{EAB} = 70^\circ

De l'autre côté, l'angle entre (d)(d) et [AC)[AC) vaut aussi 70∘70^\circ : 70+40+70=180.70 + 40 + 70 = 180. C'est la preuve classique de la somme des angles d'un triangle.

Pièges anticipés

  • 40 → 40∘40^\circ est l'angle en AA du triangle. L'angle EAB^\widehat{EAB} est à l'extérieur du triangle, et il est alterne-interne avec l'angle en B.B.
  • 110 → EAB^\widehat{EAB} et ABC^\widehat{ABC} sont alternes-internes : égaux, pas supplémentaires.

Exercice 41 · raisonnement

Le point entre les parallèles

Les droites (d)(d) et (d′)(d') sont parallèles. Les points AA et EE sont sur (d),(d), les points BB et FF sur (d′),(d'), avec EE et FF du même côté de (AB).(AB). Le point MM est entre les deux droites, du même côté de (AB)(AB) que EE et F,F, et EAM^=35∘,\widehat{EAM} = 35^\circ, FBM^=45∘.\widehat{FBM} = 45^\circ.

Calculer AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 80

Indices, dans l’ordre

  1. Aucune sécante ne relie directement les deux angles donnés. Il en faut une troisième droite : laquelle tracer par MM ?
  2. Trace par MM la parallèle (Δ)(\Delta) à (d),(d), et place-y un point GG du côté de E.E. Elle découpe AMB^\widehat{AMB} en deux angles.
  3. AMG^\widehat{AMG} est alterne-interne avec EAM^,\widehat{EAM}, et GMB^\widehat{GMB} avec FBM^.\widehat{FBM}.AMB^=AMG^+GMB^\widehat{AMB} = \widehat{AMG} + \widehat{GMB}

Correction

  1. La parallèle auxiliaire — On trace par MM la droite (Δ)(\Delta) parallèle à (d),(d), donc aussi à (d′),(d'), et on place GG sur (Δ)(\Delta) du côté de E.E. Elle découpe l'angle en M.M.AMB^=AMG^+GMB^\widehat{AMB} = \widehat{AMG} + \widehat{GMB}
  2. Deux alternes-internes — Sécante (AM)(AM) pour (d)(d) et (Δ)(\Delta) ; sécante (BM)(BM) pour (Δ)(\Delta) et (d′).(d').AMG^=EAM^=35∘GMB^=FBM^=45∘\widehat{AMG} = \widehat{EAM} = 35^\circ \qquad \widehat{GMB} = \widehat{FBM} = 45^\circ
  3. AMB^=80∘\widehat{AMB} = 80^\circ

Quand deux angles sont « séparés », on construit la droite qui les relie : une parallèle de plus fait apparaître deux couples d'alternes-internes.

Pièges anticipés

  • 10 → Les deux angles ne se soustraient pas : la parallèle tracée par MM coupe AMB^\widehat{AMB} en deux morceaux, égaux à 35∘35^\circ et à 45∘.45^\circ. Ils s'additionnent.
  • 100 → 100∘=180−80100^\circ = 180 - 80 est le supplémentaire. Les deux morceaux de AMB^\widehat{AMB} sont directement égaux aux angles donnés.

Exercice 42 · raisonnement

Deux bissectrices entre deux parallèles

Les droites Δ\Delta et Δ′\Delta' sont parallèles. Une sécante les coupe en A,A, sur Δ,\Delta, et en C,C, sur Δ′.\Delta'. On considère les deux angles intérieurs d'un même côté de cette sécante ; celui de sommet AA mesure 128∘.128^\circ. Leurs bissectrices se coupent en D.D.

Calculer ADC^.\widehat{ADC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord l'angle intérieur en CC : les droites sont parallèles.
  2. Les bissectrices partagent les angles en deux : tu connais alors DAC^\widehat{DAC} et DCA^\widehat{DCA} dans le triangle ADC.ADC.

Correction

  1. L'angle en C — Les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.C^=180∘−128∘=52∘\widehat{C} = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ
  2. Les moitiés — DAC^=64∘DCA^=26∘\widehat{DAC} = 64^\circ \qquad \widehat{DCA} = 26^\circ
  3. Le triangle ADC — ADC^=180∘−64∘−26∘\widehat{ADC} = 180^\circ - 64^\circ - 26^\circ
  4. ADC^=90∘\widehat{ADC} = 90^\circ

Le résultat ne dépend pas de 128∘128^\circ : les deux moitiés font toujours 12×180=90∘,\tfrac{1}{2} \times 180 = 90^\circ, donc l'angle en DD est toujours droit.

Pièges anticipés

  • 64 → 64∘64^\circ est DAC^,\widehat{DAC}, la moitié de l'angle en A.A. L'angle demandé a son sommet en D.D.

Exercice 43 · raisonnement

La somme des angles, par une parallèle

Dans le triangle ABC,ABC, on trace par AA la droite Δ\Delta parallèle à (BC).(BC). On y place EE du côté de BB et FF du côté de C.C. On mesure EAB^=55∘\widehat{EAB} = 55^\circ et FAC^=65∘.\widehat{FAC} = 65^\circ.

Calculer BAC^.\widehat{BAC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

  1. Les trois angles EAB^,\widehat{EAB}, BAC^\widehat{BAC} et CAF^\widehat{CAF} sont adjacents, et E,E, A,A, FF sont alignés.
  2. Leur somme vaut donc 180∘.180^\circ.EAB^+BAC^+CAF^=180∘\widehat{EAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAF} = 180^\circ

Correction

  1. L'angle plat — E,E, A,A, FF sont alignés : les trois angles adjacents en AA forment un angle plat.BAC^=180∘−55∘−65∘\widehat{BAC} = 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ
  2. BAC^=60∘\widehat{BAC} = 60^\circ

Et par les alternes-internes, ABC^=55∘\widehat{ABC} = 55^\circ et ACB^=65∘\widehat{ACB} = 65^\circ : les trois angles du triangle reconstituent l'angle plat en A.A. C'est la démonstration de la somme 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • 120 → 55+65=12055 + 65 = 120 est la somme des deux angles latéraux. L'angle du milieu est ce qu'il reste de l'angle plat.

Exercice 44 · raisonnement

La bissectrice dans le parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme avec DAB^=70∘.\widehat{DAB} = 70^\circ. La bissectrice de l'angle DAB^\widehat{DAB} coupe le côté [DC][DC] en E.E.

Calculer AED^.\widehat{AED}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 35

Indices, dans l’ordre

  1. La bissectrice donne EAB^.\widehat{EAB}. Quelles droites parallèles la sécante (AE)(AE) coupe-t-elle ?
  2. (DC)∥(AB)(DC) \parallel (AB) : AED^\widehat{AED} et EAB^\widehat{EAB} sont alternes-internes.

Correction

  1. La bissectrice — EAB^=DAE^=12×70∘=35∘\widehat{EAB} = \widehat{DAE} = \tfrac{1}{2} \times 70^\circ = 35^\circ
  2. Les alternes-internes — (DC)∥(AB)(DC) \parallel (AB) et (AE)(AE) est une sécante : AED^\widehat{AED} et EAB^\widehat{EAB} sont alternes-internes, donc égaux.AED^=EAB^\widehat{AED} = \widehat{EAB}
  3. AED^=35∘\widehat{AED} = 35^\circ

Conséquence : DAE^=AED^,\widehat{DAE} = \widehat{AED}, donc le triangle ADEADE est isocèle en DD. Une bissectrice dans un parallélogramme fabrique toujours un triangle isocèle.

Pièges anticipés

  • 70 → 70∘70^\circ est l'angle DAB^\widehat{DAB} en entier. La bissectrice n'en garde que la moitié, et c'est cette moitié que recopient les alternes-internes.
  • 110 → 110∘110^\circ est l'angle ADC^\widehat{ADC} du parallélogramme. La question porte sur l'angle en E.E.

Exercice 45 · raisonnement

Une longueur par les angles

On reprend le parallélogramme ABCDABCD et la bissectrice de DAB^\widehat{DAB} qui coupe [DC][DC] en E.E. On a montré que le triangle ADEADE est isocèle en D.D. On sait maintenant que AB=9AB = 9 cm et AD=5AD = 5 cm.

Calculer EC.EC.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle ADEADE est isocèle en DD : que vaut DEDE ?
  2. DE=DA,DE = DA, et DC=ABDC = AB dans le parallélogramme. Il reste une soustraction.EC=DC−DEEC = DC - DE

Correction

  1. Le triangle isocèle — DE=DA=5 cmDE = DA = 5 \text{ cm}
  2. Le côté opposé — Dans le parallélogramme, DC=AB.DC = AB.EC=DC−DE=9−5EC = DC - DE = 9 - 5
  3. EC=4 cmEC = 4 \text{ cm}

Les angles ont donné une longueur : deux angles égaux, c'est un triangle isocèle, donc deux côtés égaux.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 cm est la longueur DE.DE. Le point EE découpe [DC][DC] : la question demande l'autre morceau, EC.EC.

Exercice 46 · defi

Une somme qui ne bouge pas

Le triangle ABCABC est isocèle en A,A, avec AB=AC=7AB = AC = 7 cm. Le point MM est sur [BC].[BC]. La parallèle à (AB)(AB) passant par MM coupe [AC][AC] en N,N, et la parallèle à (AC)(AC) passant par MM coupe [AB][AB] en P.P.

Calculer MN+MP.MN + MP.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle est la nature du quadrilatère APMNAPMN ? Que peux-tu en déduire pour MPMP ?
  2. APMNAPMN est un parallélogramme, donc MP=AN.MP = AN. Regarde maintenant le triangle NMCNMC : compare ses angles en MM et en C.C.
  3. NMC^=ABC^\widehat{NMC} = \widehat{ABC} (correspondants) et ABC^=ACB^\widehat{ABC} = \widehat{ACB} : le triangle NMCNMC est isocèle en N.N.MN+MP=NC+ANMN + MP = NC + AN

Correction

  1. Le parallélogramme — (MN)∥(AP)(MN) \parallel (AP) et (MP)∥(AN)(MP) \parallel (AN) : APMNAPMN est un parallélogramme.MP=ANMP = AN
  2. Le triangle NMC — (MN)∥(AB)(MN) \parallel (AB) et (BC)(BC) est une sécante : NMC^=ABC^\widehat{NMC} = \widehat{ABC} (correspondants). Or ABC^=ACB^,\widehat{ABC} = \widehat{ACB}, car ABCABC est isocèle en A.A. Donc NMCNMC est isocèle en N.N.MN=NCMN = NC
  3. La somme — MN+MP=NC+AN=ACMN + MP = NC + AN = AC
  4. MN+MP=7 cmMN + MP = 7 \text{ cm}

La somme ne dépend pas de la position de MM sur [BC][BC] : elle vaut toujours AC.AC. Les angles correspondants ont transformé des segments mobiles en un segment fixe.

Exercice 47 · defi

Le trapèze aux trois côtés égaux

ABCDABCD est un trapèze isocèle de bases [AB][AB] et [DC],[DC], avec (AB)∥(DC),(AB) \parallel (DC), tel que AD=DC=CB.AD = DC = CB. On sait de plus que ADB^=90∘.\widehat{ADB} = 90^\circ.

Calculer DAB^.\widehat{DAB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

  1. Note t=CDB^.t = \widehat{CDB}. Le triangle DCBDCB est isocèle : en quel sommet, et que vaut CBD^\widehat{CBD} ?
  2. (DC)∥(AB)(DC) \parallel (AB) et (DB)(DB) est une sécante : CDB^\widehat{CDB} et DBA^\widehat{DBA} sont alternes-internes. Exprime ABC^,\widehat{ABC}, puis DAB^,\widehat{DAB}, en fonction de t.t.
  3. ABC^=2t\widehat{ABC} = 2t et, le trapèze étant isocèle, DAB^=2t.\widehat{DAB} = 2t. Écris la somme des angles du triangle ABD.ABD.

Correction

  1. Le triangle DCB — CD=CBCD = CB : le triangle DCBDCB est isocèle en C.C.CBD^=CDB^=t\widehat{CBD} = \widehat{CDB} = t
  2. Les alternes-internes — (DC)∥(AB),(DC) \parallel (AB), sécante (DB)(DB) :DBA^=CDB^=tdoncABC^=2t=DAB^\widehat{DBA} = \widehat{CDB} = t \quad \text{donc} \quad \widehat{ABC} = 2t = \widehat{DAB}
  3. Le triangle ABD — 2t+t+90∘=180∘donct=30∘2t + t + 90^\circ = 180^\circ \quad \text{donc} \quad t = 30^\circ
  4. DAB^=60∘\widehat{DAB} = 60^\circ

Ce trapèze est la moitié d'un hexagone régulier. Méthode du défi : une inconnue, que l'on fait voyager par les alternes-internes et les triangles isocèles jusqu'à une somme de 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • 30 → 30∘30^\circ est l'angle DBA^.\widehat{DBA}. L'angle DAB^\widehat{DAB} du trapèze vaut le double.

Exercice 48 · base

Deux alternes-internes égaux

Deux droites (d)(d) et (d′)(d') sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes formés par ces droites mesurent tous les deux 47∘.47^\circ.

Dire si les droites (d)(d) et (d′)(d') sont parallèles.

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles

Indices, dans l’ordre

  1. On ne sait pas au départ si les droites sont parallèles : c'est la question. Quel théorème part des angles pour conclure sur les droites ?
  2. C'est une réciproque : si deux angles alternes-internes sont égaux, alors…

Correction

  1. Ce qu'on sait — Les deux angles alternes-internes sont égaux : 47∘=47∘.47^\circ = 47^\circ.
  2. La réciproque — Si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes-internes égaux, alors elles sont parallèles.(d)∥(d′)(d) \parallel (d')

Pour démontrer un parallélisme, on part des angles et on applique une réciproque. Le sens direct, lui, suppose déjà les droites parallèles.

Pièges anticipés

  • non → Les angles alternes-internes sont égaux : c'est exactement l'hypothèse de la réciproque. Elle conclut que les droites sont parallèles.

Exercice 49 · base

Une somme qui ne fait pas 180

Deux droites (d)(d) et (d′)(d') sont coupées par une sécante. Deux angles intérieurs d'un même côté mesurent 112∘112^\circ et 78∘.78^\circ.

Dire si les droites (d)(d) et (d′)(d') sont parallèles.

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent

Indices, dans l’ordre

  1. Si les droites étaient parallèles, que vaudrait la somme de deux angles intérieurs d'un même côté ?
  2. Calcule 112+78112 + 78 et compare avec 180.180.

Correction

  1. La somme — 112∘+78∘=190∘≠180∘112^\circ + 78^\circ = 190^\circ \neq 180^\circ
  2. Le raisonnement — Si les droites étaient parallèles, ces angles intérieurs d'un même côté seraient supplémentaires. Ils ne le sont pas : les droites ne sont pas parallèles.(d)∦(d′)(d) \not\parallel (d')

Le théorème direct sert aussi à prouver qu'il n'y a pas de parallélisme : une seule conséquence qui manque suffit. Les deux droites se coupent, du côté où la somme est inférieure à 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • oui / parallèles → La somme fait 190∘,190^\circ, pas 180∘.180^\circ. Des angles intérieurs d'un même côté doivent être supplémentaires pour que les droites soient parallèles.

Exercice 50 · base

La mesure qui rend parallèle

Deux droites (d)(d) et (d′)(d') sont coupées par une sécante. Deux angles intérieurs d'un même côté mesurent 105∘105^\circ et xx (en degrés).

Calculer xx pour que (d)(d) et (d′)(d') soient parallèles.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 75

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle relation entre deux angles intérieurs d'un même côté garantit le parallélisme ?
  2. Ils doivent être supplémentaires.105+x=180105 + x = 180

Correction

  1. La réciproque — Si les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires, les droites sont parallèles.105+x=180105 + x = 180
  2. x=75x = 75

Réciproque des angles intérieurs : la condition est une somme de 180∘,180^\circ, pas une égalité.

Pièges anticipés

  • 105 → Des angles intérieurs d'un même côté ne sont pas égaux quand les droites sont parallèles : ils sont supplémentaires.

Exercice 51 · pratique

Deux mesures avec des virgules

Une sécante coupe les droites (MN)(MN) et (PQ).(PQ). Deux angles intérieurs d'un même côté mesurent 41,5∘41{,}5^\circ et 138,5∘.138{,}5^\circ.

Dire si les droites (MN)(MN) et (PQ)(PQ) sont parallèles.

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle famille d'angles ? Et quelle condition donne le parallélisme pour cette famille ?
  2. Calcule la somme des deux mesures.

Correction

  1. La somme — 41,5∘+138,5∘=180∘41{,}5^\circ + 138{,}5^\circ = 180^\circ
  2. La réciproque — Deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires : les droites sont parallèles.(MN)∥(PQ)(MN) \parallel (PQ)

Les deux angles sont différents, et pourtant les droites sont parallèles : pour cette famille, ce n'est pas l'égalité qu'on cherche, c'est le 180∘.180^\circ.

Pièges anticipés

  • non → Les deux angles ne sont pas égaux, mais ils n'ont pas à l'être : ils sont intérieurs d'un même côté. Leur somme vaut 180∘,180^\circ, et cela suffit.

Exercice 52 · pratique

La bissectrice de l'angle extérieur

Le triangle ABCABC est isocèle en AA et ABC^=65∘.\widehat{ABC} = 65^\circ. On prolonge [BA][BA] au-delà de AA jusqu'au point E,E, et on trace la bissectrice [At)[At) de l'angle CAE^.\widehat{CAE}.

Calculer tAC^.\widehat{tAC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 65

Indices, dans l’ordre

  1. CAE^\widehat{CAE} est un angle extérieur du triangle. Que vaut-il ?
  2. CAE^=ABC^+ACB^,\widehat{CAE} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}, et les deux angles de la base sont égaux. La bissectrice en prend la moitié.

Correction

  1. L'angle extérieur — Le triangle est isocèle en A,A, donc ACB^=ABC^=65∘.\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 65^\circ.CAE^=65∘+65∘=130∘\widehat{CAE} = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ
  2. La bissectrice — tAC^=12×130∘\widehat{tAC} = \tfrac{1}{2} \times 130^\circ
  3. tAC^=65∘\widehat{tAC} = 65^\circ

Conséquence : tAC^=ACB^.\widehat{tAC} = \widehat{ACB}. Ces deux angles sont alternes-internes pour les droites (At)(At) et (BC)(BC) et la sécante (AC)(AC) : par la réciproque, (At)∥(BC).(At) \parallel (BC). La bissectrice extérieure au sommet d'un triangle isocèle est parallèle à la base.

Pièges anticipés

  • 130 → 130∘130^\circ est l'angle extérieur CAE^\widehat{CAE} en entier. La bissectrice le partage en deux.
  • 50 → 50∘50^\circ est l'angle au sommet BAC^.\widehat{BAC}. L'angle demandé est la moitié de l'angle extérieur en A.A.

Exercice 53 · pratique

Deux expressions alternes-internes

Une sécante coupe deux droites (d1)(d_1) et (d2).(d_2). Deux angles alternes-internes mesurent, en degrés, 2x+122x + 12 et 5x−30.5x - 30.

Calculer xx pour que (d1)(d_1) et (d2)(d_2) soient parallèles.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. Pour la réciproque des angles alternes-internes, quelle condition faut-il ?
  2. Les deux angles doivent être égaux.2x+12=5x−302x + 12 = 5x - 30

Correction

  1. La condition — Les droites sont parallèles dès que les angles alternes-internes sont égaux.2x+12=5x−302x + 12 = 5x - 30
  2. 42=3x42 = 3x
  3. x=14x = 14

Pour x=14,x = 14, les deux angles mesurent 40∘.40^\circ. Vérifie toujours en remplaçant : les deux expressions doivent donner la même valeur.

Pièges anticipés

  • 40 → 40∘40^\circ est la mesure des angles. La question demande la valeur de x.x.

Exercice 54 · pratique

Deux expressions intérieures

Une sécante coupe deux droites (d1)(d_1) et (d2).(d_2). Deux angles intérieurs d'un même côté mesurent, en degrés, 3x3x et x+40.x + 40.

Calculer xx pour que (d1)(d_1) et (d2)(d_2) soient parallèles.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 35

Indices, dans l’ordre

  1. Intérieurs d'un même côté : la condition de parallélisme est-elle une égalité ?
  2. Non : il faut que leur somme vaille 180∘.180^\circ.3x+(x+40)=1803x + (x + 40) = 180

Correction

  1. La condition — 3x+x+40=1803x + x + 40 = 180
  2. 4x=1404x = 140
  3. x=35x = 35

Les angles mesurent alors 105∘105^\circ et 75∘.75^\circ. Nommer la famille d'abord : c'est elle qui choisit l'équation.

Pièges anticipés

  • 20 → Tu as écrit 3x=x+40.3x = x + 40. Pour des angles intérieurs d'un même côté, la réciproque demande qu'ils soient supplémentaires.

Exercice 55 · pratique

Un quadrilatère à examiner

ABCDABCD est un quadrilatère convexe avec DAB^=110∘,\widehat{DAB} = 110^\circ, ABC^=70∘\widehat{ABC} = 70^\circ et BCD^=95∘.\widehat{BCD} = 95^\circ.

Dire si les droites (AD)(AD) et (BC)(BC) sont parallèles.

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle sécante coupe à la fois (AD)(AD) et (BC)(BC) ? Quels angles du quadrilatère sont ses angles intérieurs ?
  2. La sécante (AB)(AB) : les angles DAB^\widehat{DAB} et ABC^\widehat{ABC} sont intérieurs d'un même côté. Calcule leur somme.

Correction

  1. La sécante — (AB)(AB) coupe (AD)(AD) en AA et (BC)(BC) en B.B. Le quadrilatère étant convexe, DAB^\widehat{DAB} et ABC^\widehat{ABC} sont intérieurs d'un même côté.
  2. DAB^+ABC^=110∘+70∘=180∘\widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ
  3. La réciproque — (AD)∥(BC)(AD) \parallel (BC)

Pour une paire de côtés, on choisit la sécante qui les relie : ici le côté [AB].[AB]. L'angle en CC ne servait à rien pour cette question.

Pièges anticipés

  • non → Pour (AD)(AD) et (BC),(BC), la sécante est (AB)(AB) : additionne les angles en AA et en B.B. Leur somme vaut 180∘.180^\circ.

Exercice 56 · pratique

L'autre paire de côtés

On reprend le quadrilatère convexe ABCDABCD avec DAB^=110∘,\widehat{DAB} = 110^\circ, ABC^=70∘\widehat{ABC} = 70^\circ et BCD^=95∘.\widehat{BCD} = 95^\circ.

Dire si les droites (AB)(AB) et (DC)(DC) sont parallèles.

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle sécante relie (AB)(AB) et (DC)(DC) ?
  2. La sécante (BC)(BC) : les angles en BB et en CC sont intérieurs d'un même côté. Leur somme vaut-elle 180∘180^\circ ?

Correction

  1. La sécante — (BC)(BC) coupe (AB)(AB) en BB et (DC)(DC) en CC ; ABC^\widehat{ABC} et BCD^\widehat{BCD} sont intérieurs d'un même côté.70∘+95∘=165∘≠180∘70^\circ + 95^\circ = 165^\circ \neq 180^\circ
  2. La conclusion — Si (AB)(AB) et (DC)(DC) étaient parallèles, cette somme vaudrait 180∘.180^\circ.(AB)∦(DC)(AB) \not\parallel (DC)

ABCDABCD a donc une seule paire de côtés parallèles : c'est un trapèze de bases [AD][AD] et [BC],[BC], et son angle en DD vaut 360−110−70−95=85∘.360 - 110 - 70 - 95 = 85^\circ.

Pièges anticipés

  • oui / parallèles → 70+95=16570 + 95 = 165 : les angles intérieurs en BB et en CC ne sont pas supplémentaires, donc (AB)(AB) et (DC)(DC) ne peuvent pas être parallèles.

Exercice 57 · pratique

Des correspondants supplémentaires

Une sécante coupe deux droites (d)(d) et (d′).(d'). Deux angles correspondants mesurent 72∘72^\circ et 108∘.108^\circ.

Dire si les droites (d)(d) et (d′)(d') sont parallèles.

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent

Indices, dans l’ordre

  1. Pour des angles correspondants, quelle condition donne le parallélisme : égalité ou somme de 180∘180^\circ ?
  2. Des correspondants doivent être égaux. Ici 72+108=180,72 + 108 = 180, mais ce n'est pas la bonne condition pour cette famille.

Correction

  1. La famille — Avec des droites parallèles, deux angles correspondants seraient égaux.72∘≠108∘72^\circ \neq 108^\circ
  2. La conclusion — (d)∦(d′)(d) \not\parallel (d')

La somme de 180∘180^\circ ne prouve le parallélisme que pour les angles intérieurs d'un même côté. Toujours nommer la famille avant de choisir la condition.

Pièges anticipés

  • oui / parallèles → Tu as utilisé la condition des angles intérieurs d'un même côté. Ces angles sont correspondants : il faudrait qu'ils soient égaux.

Exercice 58 · raisonnement

Deux cercles tangents

Deux cercles (C)(C) et (C′),(C'), de centres OO et O′,O', sont tangents extérieurement en PP : les points O,O, PP et O′O' sont alignés. Une droite passant par PP recoupe (C)(C) en AA et (C′)(C') en A′.A'. On sait que OAP^=38∘.\widehat{OAP} = 38^\circ.

Calculer O′A′P^.\widehat{O'A'P}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 38

Indices, dans l’ordre

  1. Les triangles OAPOAP et O′A′PO'A'P sont isocèles. Pourquoi, et en quels sommets ?
  2. OA=OPOA = OP et O′A′=O′PO'A' = O'P (des rayons). Regarde les angles en PP : OPA^\widehat{OPA} et O′PA′^\widehat{O'PA'} sont opposés par le sommet.

Correction

  1. Le premier triangle — OA=OPOA = OP : OAPOAP est isocèle en O.O.OPA^=OAP^=38∘\widehat{OPA} = \widehat{OAP} = 38^\circ
  2. Opposés par le sommet — O,O, P,P, O′O' sont alignés, ainsi que A,A, P,P, A′.A'.O′PA′^=OPA^=38∘\widehat{O'PA'} = \widehat{OPA} = 38^\circ
  3. Le second triangle — O′A′=O′PO'A' = O'P : O′A′PO'A'P est isocèle en O′.O'.O′A′P^=O′PA′^\widehat{O'A'P} = \widehat{O'PA'}
  4. O′A′P^=38∘\widehat{O'A'P} = 38^\circ

Les angles OAP^\widehat{OAP} et O′A′P^\widehat{O'A'P} sont alternes-internes pour (OA),(OA), (O′A′)(O'A') et la sécante (AA′)(AA') : ils sont égaux, donc par la réciproque (OA)∥(O′A′),(OA) \parallel (O'A'), quelle que soit la droite tracée par P.P.

Pièges anticipés

  • 142 → Les angles en PP sont opposés par le sommet, donc égaux, et chaque triangle isocèle recopie l'angle en P.P. Rien ici n'est supplémentaire.

Exercice 59 · raisonnement

Une droite dans le triangle

Dans le triangle ABC,ABC, BAC^=48∘\widehat{BAC} = 48^\circ et ABC^=72∘.\widehat{ABC} = 72^\circ. Les points MM et NN sont sur [AB][AB] et [AC],[AC], et AMN^=72∘.\widehat{AMN} = 72^\circ.

Calculer ANM^.\widehat{ANM}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le triangle AMN,AMN, deux angles sont connus.
  2. Et compare AMN^\widehat{AMN} et ABC^\widehat{ABC} : que dit la réciproque des angles correspondants sur (MN)(MN) et (BC)(BC) ?

Correction

  1. Le triangle AMN — ANM^=180∘−48∘−72∘\widehat{ANM} = 180^\circ - 48^\circ - 72^\circ
  2. ANM^=60∘\widehat{ANM} = 60^\circ
  3. Le parallélisme — AMN^=ABC^\widehat{AMN} = \widehat{ABC} : ces angles sont correspondants pour (MN),(MN), (BC)(BC) et la sécante (AB).(AB). Par la réciproque, (MN)∥(BC).(MN) \parallel (BC).ANM^=ACB^=60∘\widehat{ANM} = \widehat{ACB} = 60^\circ

Deux chemins vers le même résultat : la somme des angles de AMN,AMN, ou les correspondants une fois le parallélisme démontré. Les deux s'accordent, c'est une vérification gratuite.

Pièges anticipés

  • 72 → 72∘72^\circ est l'angle en M.M. Dans le triangle AMN,AMN, l'angle en NN est ce qui reste de 180∘.180^\circ.

Exercice 60 · raisonnement

Deux points à égale distance

Le triangle ABCABC est isocèle en AA avec BAC^=44∘.\widehat{BAC} = 44^\circ. Les points DD et EE sont sur [AB][AB] et [AC],[AC], avec AD=AE.AD = AE.

Calculer ADE^,\widehat{ADE}, puis conclure sur les droites (DE)(DE) et (BC).(BC).

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 68

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle ADEADE est isocèle en A,A, avec le même angle au sommet que ABC.ABC.
  2. Les deux triangles isocèles ont le même angle au sommet : compare leurs angles de la base.

Correction

  1. Le triangle ADE — AD=AEAD = AE : ADEADE est isocèle en A.A.ADE^=180∘−44∘2\widehat{ADE} = \frac{180^\circ - 44^\circ}{2}
  2. ADE^=68∘\widehat{ADE} = 68^\circ
  3. La comparaison — De même ABC^=68∘.\widehat{ABC} = 68^\circ. Les angles ADE^\widehat{ADE} et ABC^\widehat{ABC} sont correspondants (sécante (AB)(AB)) et égaux : par la réciproque, (DE)∥(BC).(DE) \parallel (BC).ADE^=ABC^=68∘\widehat{ADE} = \widehat{ABC} = 68^\circ

Le parallélisme vient d'une égalité d'angles, sans aucune mesure de longueur sur [DE][DE] ou [BC].[BC].

Pièges anticipés

  • 136 → 180−44=136180 - 44 = 136 est la somme des deux angles de la base. Chacun en vaut la moitié.

Exercice 61 · raisonnement

Un triangle isocèle sur la bissectrice

Dans le triangle ABC,ABC, ABC^=64∘.\widehat{ABC} = 64^\circ. La bissectrice de ABC^\widehat{ABC} coupe [AC][AC] en D.D. Le point EE est sur [BC][BC] et vérifie ED=EB.ED = EB.

Calculer BDE^.\widehat{BDE}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 32

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle EBDEBD est isocèle en EE : quels sont ses deux angles égaux ?
  2. EDB^=EBD^,\widehat{EDB} = \widehat{EBD}, et EBD^=DBC^\widehat{EBD} = \widehat{DBC} est la moitié de ABC^.\widehat{ABC}.

Correction

  1. La bissectrice — DBC^=DBA^=12×64∘=32∘\widehat{DBC} = \widehat{DBA} = \tfrac{1}{2} \times 64^\circ = 32^\circ
  2. Le triangle isocèle — ED=EBED = EB : le triangle EBDEBD est isocèle en E.E.BDE^=EBD^\widehat{BDE} = \widehat{EBD}
  3. BDE^=32∘\widehat{BDE} = 32^\circ

Alors BDE^=DBA^\widehat{BDE} = \widehat{DBA} : ce sont des angles alternes-internes pour (DE),(DE), (AB)(AB) et la sécante (BD).(BD). Par la réciproque, (DE)∥(AB).(DE) \parallel (AB).

Pièges anticipés

  • 64 → 64∘64^\circ est l'angle ABC^\widehat{ABC} en entier. La bissectrice le partage, et le triangle isocèle recopie la moitié.

Exercice 62 · defi

Trois droites, une sécante

Une droite Δ\Delta coupe trois droites (d1),(d_1), (d2)(d_2) et (d3)(d_3) en A,A, BB et C,C, dans cet ordre. On sait que (d1)∥(d2).(d_1) \parallel (d_2). L'angle formé en AA par (d1)(d_1) et [AB)[AB) mesure 112∘.112^\circ. En C,C, l'angle formé par (d3)(d_3) et [CB),[CB), du même côté de Δ,\Delta, mesure 2x+82x + 8 (en degrés).

Calculer xx pour que (d3)(d_3) soit parallèle à (d2).(d_2).

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par transporter l'angle de 112∘112^\circ en BB : (d1)∥(d2),(d_1) \parallel (d_2), et les angles sont correspondants.
  2. En B,B, l'angle formé par (d2)(d_2) et [BC)[BC) mesure 112∘.112^\circ. Pour (d2)(d_2) et (d3),(d_3), cet angle et celui de CC sont intérieurs d'un même côté.
  3. La réciproque demande qu'ils soient supplémentaires.112+(2x+8)=180112 + (2x + 8) = 180

Correction

  1. Le transport — (d1)∥(d2)(d_1) \parallel (d_2) : l'angle en AA et l'angle formé en BB par (d2)(d_2) et [BC)[BC) sont correspondants, donc égaux.B^=112∘\widehat{B} = 112^\circ
  2. La réciproque — Pour (d2),(d_2), (d3)(d_3) et la sécante Δ,\Delta, les angles en BB et en CC sont intérieurs d'un même côté. Ils doivent être supplémentaires.112+2x+8=180112 + 2x + 8 = 180
  3. 2x=602x = 60
  4. x=30x = 30

Deux théorèmes enchaînés : le sens direct transporte l'angle (on sait que (d1)∥(d2)(d_1) \parallel (d_2)), la réciproque conclut (on veut (d3)∥(d2)(d_3) \parallel (d_2)). Bien distinguer ce qu'on sait de ce qu'on veut.

Pièges anticipés

  • 52 → Tu as écrit 2x+8=112.2x + 8 = 112. Mais en BB et en C,C, les angles sont intérieurs d'un même côté : il faut une somme de 180∘.180^\circ.
  • 68 → 68∘68^\circ est la mesure de l'angle en C.C. La question demande x.x.

Exercice 63 · defi

Le quadrilatère qui devient parallélogramme

ABCDABCD est un quadrilatère convexe avec, en degrés, DAB^=3x+10,\widehat{DAB} = 3x + 10, ABC^=2x+20\widehat{ABC} = 2x + 20 et BCD^=4x−20.\widehat{BCD} = 4x - 20.

On choisit xx pour que (AD)∥(BC).(AD) \parallel (BC). Calculer alors ADC^.\widehat{ADC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 80

Indices, dans l’ordre

  1. (AD)(AD) et (BC)(BC) sont coupées par la sécante (AB)(AB) : les angles en AA et en BB sont intérieurs d'un même côté. Écris la condition de parallélisme.
  2. (3x+10)+(2x+20)=180(3x + 10) + (2x + 20) = 180 donne x.x. Calcule ensuite les trois angles connus.
  3. La somme des angles d'un quadrilatère vaut 360∘.360^\circ.

Correction

  1. La condition — Les angles intérieurs d'un même côté DAB^\widehat{DAB} et ABC^\widehat{ABC} doivent être supplémentaires.5x+30=180doncx=305x + 30 = 180 \quad \text{donc} \quad x = 30
  2. Les angles — DAB^=100∘ABC^=80∘BCD^=100∘\widehat{DAB} = 100^\circ \qquad \widehat{ABC} = 80^\circ \qquad \widehat{BCD} = 100^\circ
  3. Le quatrième angle — ADC^=360∘−100∘−80∘−100∘\widehat{ADC} = 360^\circ - 100^\circ - 80^\circ - 100^\circ
  4. ADC^=80∘\widehat{ADC} = 80^\circ

De plus ABC^+BCD^=180∘\widehat{ABC} + \widehat{BCD} = 180^\circ : par la réciproque, (AB)∥(DC)(AB) \parallel (DC) aussi. ABCDABCD a ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme, et ses angles opposés sont bien égaux.

Pièges anticipés

  • 100 → 100∘100^\circ est l'angle en AA (ou en CC). L'angle en DD est opposé à celui en B,B, et vaut 80∘.80^\circ.
  • 30 → 3030 est la valeur de x.x. La question demande ensuite la mesure de ADC^.\widehat{ADC}.

Exercice 64 · base

L'angle qu'on ne calcule pas

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle (C),(C), et PP est un point de (C)(C) distinct de AA et de B.B. On sait que PAB^=37∘.\widehat{PAB} = 37^\circ.

Calculer APB^.\widehat{APB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

  1. Où est situé PP ? Et quel est le rôle de [AB][AB] pour le cercle ?
  2. PP est sur le cercle de diamètre [AB].[AB]. La mesure de 37∘37^\circ ne sert à rien pour cette question.

Correction

  1. Le théorème — PP est un point du cercle de diamètre [AB],[AB], distinct de AA et de BB : le triangle APBAPB est rectangle en P.P.APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ

L'angle en PP ne dépend ni de la position de PP sur le cercle, ni de l'angle en AA : dès qu'un côté est un diamètre, l'angle opposé est droit.

Pièges anticipés

  • 53 → 53∘53^\circ est l'angle en B.B. La question porte sur l'angle en P,P, qui est droit.
  • 143 → Tu as calculé 180−37.180 - 37. L'angle en PP est droit, sans aucun calcul : [AB][AB] est un diamètre.

Exercice 65 · base

Le rayon du cercle circonscrit

Le triangle EFGEFG est rectangle en E,E, et son hypoténuse mesure FG=6FG = 6 cm.

Calculer le rayon de son cercle circonscrit.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Où est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?
  2. L'hypoténuse est un diamètre de ce cercle : son centre est le milieu de [FG].[FG].

Correction

  1. Le diamètre — EFGEFG est rectangle en EE : EE est sur le cercle de diamètre [FG],[FG], qui est donc le cercle circonscrit.
  2. Le rayon est la moitié du diamètre.r=FG2=62r = \frac{FG}{2} = \frac{6}{2}
  3. r=3 cmr = 3 \text{ cm}

Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

Pièges anticipés

  • 6 → 66 cm est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié.

Exercice 66 · base

L'hypoténuse par le périmètre

Le triangle EFGEFG est rectangle en E,E, et son cercle circonscrit a pour périmètre 14π14\pi cm.

Calculer la longueur de l'hypoténuse [FG].[FG].

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. Quel segment du triangle est un diamètre de son cercle circonscrit ?
  2. L'hypoténuse [FG][FG] est un diamètre. Le périmètre d'un cercle de diamètre dd vaut π×d.\pi \times d.π×FG=14π\pi \times FG = 14\pi

Correction

  1. Le diamètre — EFGEFG est rectangle en EE : EE est sur le cercle de diamètre [FG],[FG], qui est donc le cercle circonscrit. Son diamètre est FG.FG.
  2. Le périmètre — Le périmètre d'un cercle vaut π\pi fois son diamètre.π×FG=14π\pi \times FG = 14\pi
  3. FG=14 cmFG = 14 \text{ cm}

On part de la longueur du cercle pour remonter au triangle : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit.

Pièges anticipés

  • 7 → 77 cm est le rayon du cercle (2πr=14π2\pi r = 14\pi). L'hypoténuse est un diamètre : le double.
  • 28 → Tu as écrit π×r=14π,\pi \times r = 14\pi, d'où un rayon de 1414 cm et un diamètre de 2828 cm. Le périmètre vaut π×d,\pi \times d, ou 2πr2\pi r : c'est le diamètre qui vaut 1414 cm.

Exercice 67 · base

La médiane vers l'hypoténuse

Le triangle ABCABC est rectangle en A,A, avec BC=10BC = 10 cm. Le point MM est le milieu de [BC].[BC].

Calculer AM.AM.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle est rectangle en AA : sur quel cercle se trouve le point AA ?
  2. AA est sur le cercle de diamètre [BC],[BC], de centre M.M. Que représente alors [MA][MA] ?

Correction

  1. Le cercle — ABCABC est rectangle en AA : AA est sur le cercle de diamètre [BC],[BC], dont le centre est M.M.
  2. [MA][MA] est un rayon de ce cercle, comme [MB].[MB].AM=MB=BC2AM = MB = \frac{BC}{2}
  3. AM=5 cmAM = 5 \text{ cm}

À retenir : dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 cm est l'hypoténuse, un diamètre du cercle. [MA][MA] est un rayon : la moitié.

Exercice 68 · pratique

L'aire du disque

Le triangle ABCABC est rectangle en A,A, avec BC=5BC = 5 cm.

Calculer l'aire du disque limité par son cercle circonscrit.

Donner la valeur exacte en cm², avec π,\pi, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 25pi/4 — aussi acceptées : 6.25pi

Indices, dans l’ordre

  1. Quel segment est un diamètre du cercle circonscrit ? Déduis-en le rayon.
  2. [BC][BC] est un diamètre, donc r=2,5r = 2{,}5 cm. L'aire d'un disque vaut πr2.\pi r^2.

Correction

  1. Le rayon — ABCABC est rectangle en AA : [BC][BC] est un diamètre du cercle circonscrit.r=52 cmr = \frac{5}{2} \text{ cm}
  2. L'aire — A=πr2=π×(52)2\mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \times \left(\frac{5}{2}\right)^2
  3. A=25π4 cm2\mathcal{A} = \frac{25\pi}{4} \text{ cm}^2

On peut aussi écrire 6,25π6{,}25\pi cm², environ 19,6319{,}63 cm². Toujours repérer le diamètre avant d'appliquer une formule qui demande le rayon.

Pièges anticipés

  • 25pi → Tu as pris r=5r = 5 cm. Mais [BC][BC] est un diamètre : le rayon vaut 2,52{,}5 cm.

Exercice 69 · pratique

Le rayon par Pythagore

PP est un point d'un cercle de diamètre [AB],[AB], distinct de AA et de B.B. On sait que PA=6PA = 6 cm et PB=8PB = 8 cm.

Calculer le rayon du cercle.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle APBAPB a un angle droit. Lequel ?
  2. Rectangle en PP : le théorème de Pythagore donne AB,AB, le diamètre.AB2=PA2+PB2AB^2 = PA^2 + PB^2

Correction

  1. L'angle droit — PP est sur le cercle de diamètre [AB][AB] : APBAPB est rectangle en P.P.
  2. Pythagore — AB2=62+82=100doncAB=10 cmAB^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \quad \text{donc} \quad AB = 10 \text{ cm}
  3. Le rayon — r=AB2=5 cmr = \frac{AB}{2} = 5 \text{ cm}

Le cercle de diamètre [AB][AB] fournit l'angle droit, Pythagore fournit la longueur : deux outils qui s'enchaînent souvent.

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 cm est le diamètre AB.AB. Le rayon en est la moitié.
  • 7 → La moyenne de 66 et 88 n'a pas de sens ici. L'angle en PP est droit : utilise Pythagore pour obtenir AB.AB.

Exercice 70 · pratique

Un angle au centre dans le demi-cercle

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle de centre O,O, et PP est un point du cercle tel que POB^=70∘.\widehat{POB} = 70^\circ.

Calculer PBA^.\widehat{PBA}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 55

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle OPBOPB est isocèle : pourquoi, et en quel sommet ?
  2. OP=OBOP = OB (deux rayons) : isocèle en O,O, d'angle au sommet 70∘.70^\circ.

Correction

  1. Le triangle OPB — OP=OBOP = OB : le triangle OPBOPB est isocèle en O.O. Ses angles de la base sont égaux.OBP^=180∘−70∘2\widehat{OBP} = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2}
  2. OO est sur [AB],[AB], donc PBA^=PBO^.\widehat{PBA} = \widehat{PBO}.PBA^=55∘\widehat{PBA} = 55^\circ

Vérification : le triangle APBAPB est rectangle en P,P, donc PAB^=90−55=35∘,\widehat{PAB} = 90 - 55 = 35^\circ, exactement la moitié de 70∘.70^\circ.

Pièges anticipés

  • 70 → 70∘70^\circ est l'angle au centre POB^.\widehat{POB}. L'angle demandé a son sommet en BB : il est dans le triangle isocèle OPB.OPB.
  • 35 → 35∘35^\circ est l'angle PAB^,\widehat{PAB}, en A.A. La question porte sur l'angle en B.B.

Exercice 71 · pratique

Combien de points ?

AA et BB sont deux points avec AB=10AB = 10 cm, et OO est le milieu de [AB].[AB]. Une droite (d),(d), qui ne passe ni par AA ni par B,B, est à 33 cm du point O.O.

Déterminer le nombre de points PP de (d)(d) qui vérifient APB^=90∘.\widehat{APB} = 90^\circ.

Donner un nombre entier.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Quel est l'ensemble des points PP tels que APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ ?
  2. C'est le cercle de diamètre [AB],[AB], privé de AA et de BB : centre O,O, rayon 55 cm. Combien de points communs avec une droite à 33 cm du centre ?

Correction

  1. L'ensemble — Les points PP tels que APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ sont ceux du cercle de diamètre [AB],[AB], privé de AA et de B.B.centre O, rayon 5 cm\text{centre } O, \ \text{rayon } 5 \text{ cm}
  2. La droite et le cercle — (d)(d) est à 33 cm du centre, et 3<53 < 5 : elle coupe le cercle en deux points, qui ne sont ni AA ni B.B.
  3. 2 points2 \text{ points}

Un problème d'angle droit devient un problème de cercle : distance au centre plus petite que le rayon, deux points ; égale, un seul ; plus grande, aucun.

Pièges anticipés

  • 1 → Une droite coupe un cercle en un seul point seulement si elle lui est tangente, c'est-à-dire à 55 cm du centre. Ici elle est à 33 cm.

Exercice 72 · pratique

Le centre au milieu

Le triangle ABCABC est inscrit dans un cercle de centre O,O, et OO est le milieu de [BC].[BC]. On sait que AB=5AB = 5 cm et AC=12AC = 12 cm.

Calculer le rayon OA.OA.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 6.5

Indices, dans l’ordre

  1. [BC][BC] est un diamètre du cercle circonscrit. Que peux-tu dire du triangle ABCABC ?
  2. Il est rectangle en AA : Pythagore donne BC.BC.BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2

Correction

  1. Le triangle rectangle — [BC][BC] est un diamètre du cercle circonscrit à ABCABC : le triangle est rectangle en A.A.
  2. Pythagore — BC2=52+122=169doncBC=13 cmBC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 \quad \text{donc} \quad BC = 13 \text{ cm}
  3. Le rayon — OA=BC2=6,5 cmOA = \frac{BC}{2} = 6{,}5 \text{ cm}

Ici c'est le sens direct du théorème : un côté diamètre du cercle circonscrit, donc un angle droit en face.

Pièges anticipés

  • 13 → 1313 cm est BC,BC, le diamètre. Le rayon OAOA en est la moitié.

Exercice 73 · pratique

Le troisième côté

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle, avec AB=13AB = 13 cm. Le point PP du cercle vérifie PA=5PA = 5 cm.

Calculer PB.PB.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Quel angle du triangle APBAPB est connu sans calcul ?
  2. L'angle en PP est droit : [AB][AB] est l'hypoténuse.PB2=AB2−PA2PB^2 = AB^2 - PA^2

Correction

  1. L'angle droit — PP est sur le cercle de diamètre [AB][AB] : APBAPB est rectangle en P,P, d'hypoténuse [AB].[AB].
  2. Pythagore — PB2=132−52=169−25=144PB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144
  3. PB=12 cmPB = 12 \text{ cm}

Bien repérer l'hypoténuse : c'est le diamètre, le côté opposé à l'angle droit.

Pièges anticipés

  • 8 → 13−5=813 - 5 = 8 : on ne soustrait pas les longueurs, mais leurs carrés (Pythagore).

Exercice 74 · raisonnement

La tangente issue de A

(C)(C) est un cercle de centre OO et de rayon 44 cm, et AA est un point tel que OA=5OA = 5 cm. Le cercle (C′)(C') de diamètre [OA][OA] coupe (C)(C) en T.T.

Calculer AT.AT.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. TT est sur le cercle de diamètre [OA].[OA]. Quel angle cela donne-t-il ?
  2. OTA^=90∘\widehat{OTA} = 90^\circ et OT=4OT = 4 cm (un rayon de (C)(C)). Pythagore dans le triangle OTA.OTA.

Correction

  1. L'angle droit — TT est sur le cercle (C′)(C') de diamètre [OA],[OA], et T≠O,T \neq O, T≠AT \neq A : le triangle OTAOTA est rectangle en T.T.
  2. Pythagore — OT=4OT = 4 cm, car TT est sur (C).(C).AT2=OA2−OT2=25−16=9AT^2 = OA^2 - OT^2 = 25 - 16 = 9
  3. AT=3 cmAT = 3 \text{ cm}

(AT)(AT) est perpendiculaire au rayon [OT][OT] en TT : c'est la tangente à (C)(C) issue de A.A. Le cercle de diamètre [OA][OA] sert à construire les tangentes.

Pièges anticipés

  • 1 → 5−4=15 - 4 = 1 est la distance de AA au cercle le long de (OA),(OA), pas la longueur AT.AT. Le triangle OTAOTA est rectangle en TT : Pythagore.

Exercice 75 · raisonnement

Deux cercles et une tangente

(C1)(C_1) est un cercle de diamètre [AB],[AB], avec AB=10AB = 10 cm, et (C2)(C_2) est un cercle de centre BB et de rayon 66 cm, qui coupe (C1)(C_1) en T.T.

Calculer AT.AT.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. TT est sur (C1),(C_1), le cercle de diamètre [AB][AB] : quel angle est droit ?
  2. ATB^=90∘,\widehat{ATB} = 90^\circ, et BT=6BT = 6 cm est un rayon de (C2).(C_2).

Correction

  1. L'angle droit — T∈(C1),T \in (C_1), distinct de AA et de BB : le triangle ATBATB est rectangle en T.T.
  2. Pythagore — AT2=AB2−BT2=100−36=64AT^2 = AB^2 - BT^2 = 100 - 36 = 64
  3. AT=8 cmAT = 8 \text{ cm}

(AT)(AT) est perpendiculaire en TT au rayon [BT][BT] de (C2)(C_2) : c'est une tangente à (C2)(C_2) issue de A.A.

Pièges anticipés

  • 4 → 10−6=410 - 6 = 4 : on ne soustrait pas les longueurs. Le triangle ATBATB est rectangle en T,T, utilise Pythagore.

Exercice 76 · raisonnement

Deux diamètres, un rectangle

[AB][AB] et [PQ][PQ] sont deux diamètres distincts d'un même cercle, avec AB=10AB = 10 cm et AP=6AP = 6 cm.

Calculer l'aire du quadrilatère APBQ.APBQ.

Donner l'aire en cm², sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 48

Indices, dans l’ordre

  1. PP et QQ sont sur le cercle de diamètre [AB][AB] ; AA et BB sont sur le cercle de diamètre [PQ].[PQ]. Combien d'angles droits cela fait-il ?
  2. APBQAPBQ a quatre angles droits : c'est un rectangle. Il te manque PB.PB.PB2=AB2−AP2PB^2 = AB^2 - AP^2

Correction

  1. La nature — PP et QQ sont sur le cercle de diamètre [AB][AB] : les angles en PP et en QQ sont droits. De même, AA et BB sont sur le cercle de diamètre [PQ][PQ] : les angles en AA et en BB sont droits. APBQAPBQ est un rectangle.
  2. Le côté PB — Le triangle APBAPB est rectangle en P.P.PB2=102−62=64doncPB=8 cmPB^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \quad \text{donc} \quad PB = 8 \text{ cm}
  3. L'aire — A=AP×PB=6×8\mathcal{A} = AP \times PB = 6 \times 8
  4. A(APBQ)=48 cm2\mathcal{A}(APBQ) = 48 \text{ cm}^2

Deux diamètres d'un même cercle sont toujours les diagonales d'un rectangle : chaque sommet voit un diamètre sous un angle droit.

Pièges anticipés

  • 24 → 2424 cm² est l'aire du triangle APB,APB, la moitié du rectangle.
  • 60 → Tu as multiplié APAP par le diamètre AB.AB. [AB][AB] est une diagonale du rectangle, pas un côté : il faut PB.PB.

Exercice 77 · raisonnement

Le milieu de l'hypoténuse

Le triangle ABCABC est rectangle en A,A, avec ABC^=35∘.\widehat{ABC} = 35^\circ. Le point MM est le milieu de [BC].[BC].

Calculer AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 110

Indices, dans l’ordre

  1. Compare MAMA et MB.MB. Le cercle de diamètre [BC][BC] y aide.
  2. MA=MBMA = MB : le triangle AMBAMB est isocèle en M,M, et MAB^=MBA^.\widehat{MAB} = \widehat{MBA}.

Correction

  1. Le cercle — ABCABC est rectangle en AA : AA est sur le cercle de diamètre [BC],[BC], de centre M.M. Donc MA=MB.MA = MB.
  2. Le triangle AMB — Isocèle en M,M, ses angles de la base valent 35∘.35^\circ.AMB^=180∘−2×35∘\widehat{AMB} = 180^\circ - 2 \times 35^\circ
  3. AMB^=110∘\widehat{AMB} = 110^\circ

AMC^=180−110=70∘,\widehat{AMC} = 180 - 110 = 70^\circ, le double de 35∘35^\circ : c'est l'angle au centre associé à l'angle inscrit ABC^.\widehat{ABC}. Le chapitre se tient d'un bout à l'autre.

Pièges anticipés

  • 70 → 70∘70^\circ est l'angle AMC^.\widehat{AMC}. L'angle AMB^\widehat{AMB} est son supplémentaire, du côté de B.B.

Exercice 78 · raisonnement

Les pieds de deux hauteurs

Dans un triangle ABCABC dont les angles sont aigus, HH est le pied de la hauteur issue de BB et KK celui de la hauteur issue de C.C. On note II le milieu de [BC],[BC], et BC=9BC = 9 cm.

Calculer IH+IK.IH + IK.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut l'angle BHC^\widehat{BHC} ? Et l'angle BKC^\widehat{BKC} ?
  2. Ces deux angles sont droits : HH et KK sont sur un même cercle. Lequel ?

Correction

  1. Deux angles droits — BHC^=90∘\widehat{BHC} = 90^\circ et BKC^=90∘\widehat{BKC} = 90^\circ : HH et KK sont sur le cercle de diamètre [BC],[BC], de centre II et de rayon 4,54{,}5 cm.
  2. Deux rayons — IH=IK=4,5 cmIH = IK = 4{,}5 \text{ cm}
  3. IH+IK=9 cmIH + IK = 9 \text{ cm}

Les points B,B, C,C, HH et KK sont sur un même cercle. Chaque fois qu'un segment est vu sous un angle droit, pense au cercle qui a ce segment pour diamètre.

Pièges anticipés

  • 4.5 / 4,5 → 4,54{,}5 cm est l'une des deux longueurs. La question demande la somme IH+IK.IH + IK.

Exercice 79 · defi

La hauteur dans le demi-cercle

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle, avec AB=10AB = 10 cm. Le point MM du cercle vérifie AM=6AM = 6 cm, et HH est le projeté orthogonal de MM sur [AB].[AB].

Calculer MH.MH.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 4.8

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle AMBAMB est rectangle en M.M. Calcule d'abord MB.MB.
  2. L'aire du triangle AMBAMB s'écrit de deux façons : avec les côtés de l'angle droit, ou avec la base [AB][AB] et la hauteur [MH].[MH].AM×MB2=AB×MH2\frac{AM \times MB}{2} = \frac{AB \times MH}{2}

Correction

  1. L'angle droit — MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] : AMBAMB est rectangle en M.M.MB2=102−62=64doncMB=8 cmMB^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \quad \text{donc} \quad MB = 8 \text{ cm}
  2. Deux fois l'aire — AM×MB=AB×MHAM \times MB = AB \times MH
  3. MH=6×810MH = \frac{6 \times 8}{10}
  4. MH=4,8 cmMH = 4{,}8 \text{ cm}

L'aire d'un triangle se calcule avec n'importe quel couple base-hauteur : en égalant deux écritures, on obtient une hauteur sans la mesurer.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 cm est le rayon. HH n'est le centre que si MM est au milieu de l'arc ; ici AM≠MB.AM \neq MB.

Exercice 80 · defi

À l'intérieur du disque

AA et BB sont deux points distincts et MM est un point situé à l'intérieur du disque de diamètre [AB],[AB], hors du segment [AB].[AB].

Parmi les mesures 72∘,72^\circ, 90∘90^\circ et 118∘,118^\circ, déterminer celle qui peut être la mesure de AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 118

Indices, dans l’ordre

  1. Prolonge [AM)[AM) au-delà de MM : elle recoupe le cercle en un point P.P. Que vaut APB^\widehat{APB} ?
  2. APB^=90∘.\widehat{APB} = 90^\circ. Et AMB^\widehat{AMB} est un angle extérieur du triangle MPB.MPB.AMB^=MPB^+PBM^\widehat{AMB} = \widehat{MPB} + \widehat{PBM}

Correction

  1. Le point P — La demi-droite [AM)[AM) recoupe le cercle en P,P, au-delà de M.M. Comme PP est sur le cercle de diamètre [AB][AB] :APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ
  2. L'angle extérieur — A,A, M,M, PP sont alignés : AMB^\widehat{AMB} est l'angle extérieur en MM du triangle MPB.MPB.AMB^=90∘+PBM^>90∘\widehat{AMB} = 90^\circ + \widehat{PBM} > 90^\circ
  3. Seule la mesure 118∘118^\circ dépasse 90∘.90^\circ.AMB^=118∘\widehat{AMB} = 118^\circ

À l'intérieur du disque, [AB][AB] est vu sous un angle obtus ; sur le cercle, sous un angle droit ; à l'extérieur, sous un angle aigu.

Pièges anticipés

  • 72 → Un angle aigu correspond à un point extérieur au disque. À l'intérieur, l'angle est plus grand que 90∘.90^\circ.
  • 90 → AMB^=90∘\widehat{AMB} = 90^\circ exactement quand MM est sur le cercle. Ici MM est à l'intérieur.

Exercice 81 · defi

Rectangle et isocèle à la fois

AA et BB sont deux points avec AB=6AB = 6 cm. Le point PP vérifie APB^=90∘\widehat{APB} = 90^\circ et PA=PB.PA = PB.

Calculer PA.PA.

Donner la valeur exacte en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 3sqrt(2)

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle APBAPB est rectangle et isocèle en P.P. Écris Pythagore avec PA=PB.PA = PB.
  2. PA2+PA2=AB2,PA^2 + PA^2 = AB^2, donc 2 PA2=36.2\,PA^2 = 36.

Correction

  1. Pythagore — APBAPB est rectangle en P,P, d'hypoténuse [AB],[AB], et PA=PB.PA = PB.2 PA2=36doncPA2=182\,PA^2 = 36 \quad \text{donc} \quad PA^2 = 18
  2. PA=18=9×2PA = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}
  3. PA=32 cmPA = 3\sqrt{2} \text{ cm}

PP est sur le cercle de diamètre [AB][AB] et sur la médiatrice de [AB][AB] : c'est l'un des deux points où la médiatrice coupe ce cercle. Il est à 33 cm du milieu O,O, mais à 323\sqrt{2} cm de A.A.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 cm est la distance OP,OP, du centre du cercle à P.P. La question demande PA,PA, l'hypoténuse du petit triangle rectangle OPA.OPA.
  • 9 → Tu as divisé 1818 par 22 au lieu de prendre la racine carrée : PA2=18PA^2 = 18 donne PA=18.PA = \sqrt{18}.

Exercice 82 · base

La moitié de l'angle au centre

Dans un cercle de centre O,O, les points A,A, BB et MM sont sur le cercle. L'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 140∘,140^\circ, et MM est sur l'arc ABAB qui n'est pas intercepté par AOB^.\widehat{AOB}.

Calculer AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 70

Indices, dans l’ordre

  1. AMB^\widehat{AMB} a son sommet sur le cercle : c'est un angle inscrit. Quel arc intercepte-t-il ?
  2. Il intercepte le même arc que AOB^.\widehat{AOB}. L'inscrit vaut la moitié du centre.AMB^=12 AOB^\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}

Correction

  1. Qui est qui — AMB^\widehat{AMB} est inscrit, AOB^\widehat{AOB} est l'angle au centre associé : ils interceptent le même arc AB.AB.
  2. AMB^=12×140∘\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2} \times 140^\circ
  3. AMB^=70∘\widehat{AMB} = 70^\circ

Angle inscrit =12×= \tfrac{1}{2}\times angle au centre qui intercepte le même arc. Le sommet au centre voit deux fois plus grand.

Pièges anticipés

  • 280 → Tu as doublé. C'est l'angle au centre qui est le double de l'inscrit, pas l'inverse.
  • 140 → Tu as recopié l'angle au centre. L'angle inscrit en est la moitié.

Exercice 83 · base

Remonter vers le centre

Dans un cercle de centre O,O, l'angle inscrit AMB^\widehat{AMB} mesure 35∘.35^\circ.

Calculer l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} qui intercepte le même arc.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 70

Indices, dans l’ordre

  1. Lequel des deux angles est le double de l'autre ?
  2. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit.AOB^=2 AMB^\widehat{AOB} = 2\,\widehat{AMB}

Correction

  1. La relation — L'inscrit est la moitié du centre, donc le centre est le double de l'inscrit.AOB^=2×35∘\widehat{AOB} = 2 \times 35^\circ
  2. AOB^=70∘\widehat{AOB} = 70^\circ

La propriété se lit dans les deux sens : connaissant l'inscrit, on double ; connaissant le centre, on divise par deux.

Pièges anticipés

  • 17.5 / 17,5 → Tu as divisé par deux. Ici on part de l'inscrit pour aller au centre : il faut doubler.

Exercice 84 · base

Deux inscrits sur le même arc

A,A, B,B, MM et NN sont quatre points d'un même cercle ; MM et NN sont sur le même arc limité par AA et B.B. On sait que AMB^=48∘.\widehat{AMB} = 48^\circ.

Calculer ANB^.\widehat{ANB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 48

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux angles ont leur sommet sur le cercle. Interceptent-ils le même arc ?
  2. Oui : MM et NN sont du même côté de (AB).(AB). Deux angles inscrits qui interceptent le même arc…

Correction

  1. Le même arc — AMB^\widehat{AMB} et ANB^\widehat{ANB} sont inscrits et interceptent le même arc ABAB : ils sont égaux.ANB^=AMB^\widehat{ANB} = \widehat{AMB}
  2. ANB^=48∘\widehat{ANB} = 48^\circ

Tous deux valent la moitié du même angle au centre AOB^\widehat{AOB} : c'est pour cela qu'ils sont égaux, où que soient MM et NN sur cet arc.

Pièges anticipés

  • 96 → 96∘96^\circ serait l'angle au centre. Ici les deux angles sont inscrits : ils sont égaux.
  • 24 → Deux angles inscrits sur le même arc ne sont pas dans le rapport 12\tfrac{1}{2} : ce rapport relie un inscrit et l'angle au centre.

Exercice 85 · base

Un angle au centre de 60°

AA et BB sont deux points d'un cercle de centre OO et de rayon 55 cm, et l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 60∘.60^\circ.

Calculer la longueur de la corde AB.AB.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle OABOAB est isocèle en OO : pourquoi ?
  2. Isocèle avec un angle au sommet de 60∘60^\circ : que valent ses angles de la base ?

Correction

  1. Le triangle OAB — OA=OB=5OA = OB = 5 cm (deux rayons) : OABOAB est isocèle en O.O.OAB^=OBA^=180∘−60∘2=60∘\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ
  2. Ses trois angles mesurent 60∘60^\circ : il est équilatéral.AB=OAAB = OA
  3. AB=5 cmAB = 5 \text{ cm}

Un angle au centre de 60∘60^\circ découpe une corde égale au rayon. C'est ainsi qu'on inscrit un hexagone régulier au compas.

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 cm est le diamètre. La corde [AB][AB] n'est un diamètre que si AOB^=180∘.\widehat{AOB} = 180^\circ.

Exercice 86 · base

Le triangle inscrit

Le triangle ABCABC est inscrit dans un cercle de centre O,O, et BAC^=52∘.\widehat{BAC} = 52^\circ.

Calculer BOC^.\widehat{BOC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 104

Indices, dans l’ordre

  1. BAC^\widehat{BAC} est un angle inscrit : quel arc intercepte-t-il ?
  2. Il intercepte l'arc BC,BC, comme l'angle au centre BOC^.\widehat{BOC}.

Correction

  1. La relation — BAC^\widehat{BAC} est inscrit et intercepte l'arc BCBC ; BOC^\widehat{BOC} est l'angle au centre associé.BOC^=2 BAC^=2×52∘\widehat{BOC} = 2\,\widehat{BAC} = 2 \times 52^\circ
  2. BOC^=104∘\widehat{BOC} = 104^\circ

Dans un triangle inscrit, chaque angle du triangle est la moitié de l'angle au centre qui intercepte le côté opposé.

Pièges anticipés

  • 26 → Tu as divisé par deux. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit.

Exercice 87 · pratique

Sur le petit arc

Dans un cercle de centre O,O, l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 100∘.100^\circ. Le point MM est sur le petit arc AB,AB, celui qui est intercepté par AOB^.\widehat{AOB}.

Calculer AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 130

Indices, dans l’ordre

  1. Quand MM est sur le petit arc, AMB^\widehat{AMB} intercepte l'autre arc, le grand. Quel angle au centre lui est associé ?
  2. L'angle au centre du grand arc fait le tour restant autour de O.O.360∘−AOB^360^\circ - \widehat{AOB}

Correction

  1. L'arc intercepté — MM est sur le petit arc : l'angle AMB^\widehat{AMB} intercepte le grand arc AB,AB, dont l'angle au centre est rentrant.360∘−100∘=260∘360^\circ - 100^\circ = 260^\circ
  2. La moitié — AMB^=12×260∘\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2} \times 260^\circ
  3. AMB^=130∘\widehat{AMB} = 130^\circ

Avant d'appliquer « la moitié », repère quel arc l'angle inscrit intercepte : c'est celui qui est en face du sommet, pas celui qui le contient.

Pièges anticipés

  • 50 → 50∘50^\circ vaudrait si MM était sur le grand arc. Ici MM est sur le petit arc : l'angle intercepte le grand arc.

Exercice 88 · pratique

Le triangle au centre

Dans un cercle de centre O,O, l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} mesure 110∘.110^\circ.

Calculer OAB^.\widehat{OAB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 35

Indices, dans l’ordre

  1. Regarde le triangle OABOAB : que sais-tu de OAOA et OBOB ?
  2. OABOAB est isocèle en O,O, d'angle au sommet 110∘.110^\circ.

Correction

  1. Le triangle isocèle — OA=OBOA = OB (deux rayons) : OABOAB est isocèle en O.O.OAB^=180∘−110∘2\widehat{OAB} = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2}
  2. OAB^=35∘\widehat{OAB} = 35^\circ

L'angle au centre et le triangle isocèle formé par deux rayons vont toujours ensemble : les angles de la base valent 90∘90^\circ moins la moitié de l'angle au centre.

Pièges anticipés

  • 55 → 55∘55^\circ est la mesure d'un angle inscrit interceptant le même arc. La question porte sur un angle du triangle OAB.OAB.
  • 70 → 180−110=70180 - 110 = 70 est la somme des deux angles de la base. Chacun en vaut la moitié.

Exercice 89 · pratique

Le quadrilatère inscrit

ABCDABCD est un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre O,O, et ABC^=104∘.\widehat{ABC} = 104^\circ.

Calculer ADC^.\widehat{ADC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 76

Indices, dans l’ordre

  1. ABC^\widehat{ABC} et ADC^\widehat{ADC} sont inscrits. Interceptent-ils le même arc ACAC ?
  2. Non : BB et DD sont de part et d'autre de (AC).(AC). Les deux arcs interceptés font à eux deux le cercle entier, et leurs angles au centre font 360∘.360^\circ.

Correction

  1. Les deux arcs — ABC^\widehat{ABC} intercepte l'arc ACAC qui contient D,D, et ADC^\widehat{ADC} l'arc ACAC qui contient B.B. Leurs angles au centre font ensemble le tour de OO : 360∘.360^\circ.
  2. Les moitiés — ABC^+ADC^=12×360∘=180∘\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = \tfrac{1}{2} \times 360^\circ = 180^\circ
  3. ADC^=180∘−104∘=76∘\widehat{ADC} = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ

Dans un quadrilatère inscrit, deux angles opposés sont supplémentaires. Deux angles inscrits ne sont égaux que s'ils interceptent le même arc.

Pièges anticipés

  • 104 → BB et DD sont de part et d'autre de la corde [AC][AC] : les deux angles n'interceptent pas le même arc, ils ne sont donc pas égaux.

Exercice 90 · pratique

Le centre de l'équilatéral

Le triangle équilatéral ABCABC est inscrit dans un cercle de centre O.O.

Calculer BOC^.\widehat{BOC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 120

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut l'angle inscrit BAC^\widehat{BAC} ?
  2. BAC^=60∘,\widehat{BAC} = 60^\circ, et il intercepte l'arc BC,BC, comme BOC^.\widehat{BOC}.

Correction

  1. L'angle inscrit — ABCABC est équilatéral, donc BAC^=60∘.\widehat{BAC} = 60^\circ. Il intercepte l'arc BC.BC.
  2. BOC^=2×60∘\widehat{BOC} = 2 \times 60^\circ
  3. BOC^=120∘\widehat{BOC} = 120^\circ

Les trois angles au centre AOB^,\widehat{AOB}, BOC^\widehat{BOC} et COA^\widehat{COA} valent chacun 120∘120^\circ : ils se partagent les 360∘360^\circ autour de O.O.

Pièges anticipés

  • 60 → 60∘60^\circ est l'angle inscrit BAC^.\widehat{BAC}. L'angle au centre en est le double.
  • 30 → L'angle au centre est le double de l'inscrit, pas la moitié.

Exercice 91 · pratique

Diamètre et angles inscrits

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle. Les points CC et DD sont sur le cercle, de part et d'autre de (AB),(AB), et CAB^=25∘.\widehat{CAB} = 25^\circ.

Calculer ADC^.\widehat{ADC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 65

Indices, dans l’ordre

  1. ADC^\widehat{ADC} intercepte l'arc AC.AC. Quel autre angle inscrit, de sommet B,B, intercepte le même arc ?
  2. ABC^\widehat{ABC} intercepte aussi l'arc AC.AC. Calcule-le dans le triangle ABC,ABC, rectangle en C.C.

Correction

  1. Le triangle ABC — [AB][AB] est un diamètre : ABCABC est rectangle en C.C.ABC^=90∘−25∘=65∘\widehat{ABC} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ
  2. Le même arc — BB et DD sont sur le même arc limité par AA et CC : ADC^\widehat{ADC} et ABC^\widehat{ABC} interceptent le même arc AC,AC, donc ils sont égaux.ADC^=ABC^\widehat{ADC} = \widehat{ABC}
  3. ADC^=65∘\widehat{ADC} = 65^\circ

Pour un angle inscrit inconnu, on cherche un autre angle inscrit sur le même arc, plus facile à calculer.

Pièges anticipés

  • 25 → CAB^\widehat{CAB} intercepte l'arc CB,CB, pas l'arc AC.AC. C'est CDB^\widehat{CDB} qui lui est égal.
  • 115 → BB et DD sont du même côté de (AC)(AC) : les angles ABC^\widehat{ABC} et ADC^\widehat{ADC} sont égaux, pas supplémentaires.

Exercice 92 · pratique

Une équation dans le cercle

Dans un cercle de centre O,O, l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} et l'angle inscrit AMB^\widehat{AMB} interceptent le même arc. Ils mesurent, en degrés, 3x+103x + 10 et x+20.x + 20.

Calculer x.x.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux angles ne sont pas égaux : quel est le rapport entre eux ?
  2. L'angle au centre est le double de l'inscrit.3x+10=2 (x+20)3x + 10 = 2\,(x + 20)

Correction

  1. La relation — 3x+10=2 (x+20)3x + 10 = 2\,(x + 20)
  2. 3x+10=2x+403x + 10 = 2x + 40
  3. x=30x = 30

Vérification : AOB^=100∘\widehat{AOB} = 100^\circ et AMB^=50∘,\widehat{AMB} = 50^\circ, la moitié. Le théorème fournit l'équation, l'algèbre fait le reste.

Pièges anticipés

  • 5 → Tu as écrit 3x+10=x+20.3x + 10 = x + 20. L'angle au centre n'est pas égal à l'inscrit : il en est le double.

Exercice 93 · pratique

Un angle au centre dans un triangle

Le triangle ABCABC est inscrit dans un cercle de centre O,O, avec BAC^=65∘\widehat{BAC} = 65^\circ et ABC^=45∘.\widehat{ABC} = 45^\circ.

Calculer AOB^.\widehat{AOB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 140

Indices, dans l’ordre

  1. AOB^\widehat{AOB} intercepte l'arc AB.AB. Quel angle du triangle intercepte le même arc ?
  2. C'est l'angle en C,C, qui se calcule par la somme des angles.

Correction

  1. L'angle en C — ACB^=180∘−65∘−45∘=70∘\widehat{ACB} = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 70^\circ
  2. Le centre — ACB^\widehat{ACB} est inscrit et intercepte l'arc AB,AB, comme AOB^.\widehat{AOB}.AOB^=2×70∘\widehat{AOB} = 2 \times 70^\circ
  3. AOB^=140∘\widehat{AOB} = 140^\circ

Chaque côté du triangle est intercepté par l'angle du sommet opposé : c'est lui qu'il faut doubler.

Pièges anticipés

  • 70 → 70∘70^\circ est l'angle inscrit ACB^.\widehat{ACB}. L'angle au centre en est le double.
  • 130 / 90 → Tu as doublé un angle qui n'intercepte pas l'arc AB.AB. C'est l'angle opposé au côté [AB],[AB], celui de sommet C,C, qu'il faut utiliser.

Exercice 94 · raisonnement

Isocèle dans son cercle

Le triangle ABCABC est isocèle en A,A, inscrit dans un cercle de centre O,O, avec BAC^=40∘.\widehat{BAC} = 40^\circ.

Calculer OBC^.\widehat{OBC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 50

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par l'angle au centre BOC^.\widehat{BOC}.
  2. BOC^=2 BAC^.\widehat{BOC} = 2\,\widehat{BAC}. Le triangle OBCOBC est isocèle en O.O.

Correction

  1. L'angle au centre — BOC^=2×40∘=80∘\widehat{BOC} = 2 \times 40^\circ = 80^\circ
  2. Le triangle OBC — OB=OCOB = OC : isocèle en O.O.OBC^=180∘−80∘2\widehat{OBC} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2}
  3. OBC^=50∘\widehat{OBC} = 50^\circ

Le fait que ABCABC soit isocèle ne servait pas ici : seul l'angle en AA comptait. Il reste utile pour d'autres angles, par exemple ABC^=70∘.\widehat{ABC} = 70^\circ.

Pièges anticipés

  • 70 → 70∘70^\circ est l'angle ABC^\widehat{ABC} du triangle ABC.ABC. La question porte sur OBC^,\widehat{OBC}, dans le triangle OBC.OBC.
  • 100 → 180−80=100180 - 80 = 100 : ce sont les deux angles de la base du triangle OBCOBC ensemble.

Exercice 95 · raisonnement

Le point M de l'arc BC

Le triangle équilatéral ABCABC est inscrit dans un cercle (C),(C), et MM est un point de l'arc BCBC qui ne contient pas A.A.

Calculer BMC^.\widehat{BMC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 120

Indices, dans l’ordre

  1. [MA)[MA) partage BMC^\widehat{BMC} en deux angles : BMA^\widehat{BMA} et AMC^.\widehat{AMC}. Chacun est un angle inscrit.
  2. BMA^\widehat{BMA} intercepte le même arc que BCA^,\widehat{BCA}, et AMC^\widehat{AMC} le même arc que ABC^.\widehat{ABC}.

Correction

  1. Le découpage — BMC^=BMA^+AMC^\widehat{BMC} = \widehat{BMA} + \widehat{AMC}
  2. Deux inscrits — BMA^\widehat{BMA} et BCA^\widehat{BCA} interceptent l'arc ABAB ; AMC^\widehat{AMC} et ABC^\widehat{ABC} interceptent l'arc AC.AC.BMA^=BCA^=60∘AMC^=ABC^=60∘\widehat{BMA} = \widehat{BCA} = 60^\circ \qquad \widehat{AMC} = \widehat{ABC} = 60^\circ
  3. BMC^=120∘\widehat{BMC} = 120^\circ

Le résultat ne dépend pas de la position de MM sur l'arc. On retrouve que ABMCABMC est un quadrilatère inscrit : BMC^+BAC^=180∘.\widehat{BMC} + \widehat{BAC} = 180^\circ.

Pièges anticipés

  • 60 → 60∘60^\circ n'est qu'un des deux morceaux, BMA^\widehat{BMA} ou AMC^.\widehat{AMC}. L'angle BMC^\widehat{BMC} les contient tous les deux.

Exercice 96 · raisonnement

Quatre points, trois angles

ABCDABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, avec BAC^=30∘,\widehat{BAC} = 30^\circ, CAD^=40∘\widehat{CAD} = 40^\circ et ABD^=35∘.\widehat{ABD} = 35^\circ.

Calculer BCD^.\widehat{BCD}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 110

Indices, dans l’ordre

  1. La diagonale [CA)[CA) découpe BCD^\widehat{BCD} en BCA^\widehat{BCA} et ACD^.\widehat{ACD}. Cherche chacun par un angle inscrit sur le même arc.
  2. ACD^\widehat{ACD} et ABD^\widehat{ABD} interceptent l'arc AD.AD. Pour BCA^,\widehat{BCA}, calcule d'abord ABC^=ABD^+DBC^,\widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{DBC}, avec DBC^=DAC^.\widehat{DBC} = \widehat{DAC}.

Correction

  1. Le même arc — ACD^\widehat{ACD} et ABD^\widehat{ABD} interceptent l'arc ADAD ; DBC^\widehat{DBC} et DAC^\widehat{DAC} interceptent l'arc DC.DC.ACD^=35∘DBC^=40∘\widehat{ACD} = 35^\circ \qquad \widehat{DBC} = 40^\circ
  2. Le triangle ABC — ABC^=35∘+40∘=75∘doncBCA^=180∘−30∘−75∘=75∘\widehat{ABC} = 35^\circ + 40^\circ = 75^\circ \quad \text{donc} \quad \widehat{BCA} = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ
  3. Le découpage — BCD^=75∘+35∘\widehat{BCD} = 75^\circ + 35^\circ
  4. BCD^=110∘\widehat{BCD} = 110^\circ

Vérification : BAD^=30+40=70∘,\widehat{BAD} = 30 + 40 = 70^\circ, et 70+110=18070 + 110 = 180 : les angles opposés du quadrilatère inscrit sont bien supplémentaires.

Pièges anticipés

  • 70 → 70∘70^\circ est l'angle BAD^,\widehat{BAD}, en A.A. L'angle en C,C, opposé, en est le supplémentaire.

Exercice 97 · raisonnement

Deux cordes qui se croisent

Dans un cercle de centre O,O, les cordes [AC][AC] et [BD][BD] se coupent en un point II intérieur au disque. Les angles au centre AOB^\widehat{AOB} et COD^,\widehat{COD}, qui interceptent les arcs ABAB et CDCD ne contenant aucun des deux autres points, mesurent 80∘80^\circ et 120∘.120^\circ.

Calculer AIB^.\widehat{AIB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 100

Indices, dans l’ordre

  1. A,A, I,I, CC sont alignés : AIB^\widehat{AIB} est un angle extérieur du triangle IBC.IBC.
  2. AIB^=ICB^+IBC^,\widehat{AIB} = \widehat{ICB} + \widehat{IBC}, c'est-à-dire ACB^+DBC^.\widehat{ACB} + \widehat{DBC}. Ce sont deux angles inscrits.

Correction

  1. L'angle extérieur — A,A, I,I, CC sont alignés : dans le triangle IBC,IBC, l'angle extérieur en II vaut la somme des deux autres.AIB^=ACB^+DBC^\widehat{AIB} = \widehat{ACB} + \widehat{DBC}
  2. Deux inscrits — ACB^\widehat{ACB} intercepte l'arc AB,AB, DBC^\widehat{DBC} intercepte l'arc CD.CD.ACB^=12×80∘=40∘DBC^=12×120∘=60∘\widehat{ACB} = \tfrac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ \qquad \widehat{DBC} = \tfrac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ
  3. AIB^=100∘\widehat{AIB} = 100^\circ

L'angle de deux cordes est la demi-somme des angles au centre des deux arcs qu'il « voit » : 12(80+120).\tfrac{1}{2}(80 + 120). Mais c'est l'angle extérieur qui le démontre.

Pièges anticipés

  • 40 / 60 → Tu n'as gardé qu'un des deux angles inscrits. AIB^\widehat{AIB} est l'angle extérieur du triangle IBCIBC : il en faut la somme.
  • 200 → 80+120=20080 + 120 = 200 additionne des angles au centre. Les angles du triangle IBCIBC sont inscrits : chacun vaut la moitié.

Exercice 98 · raisonnement

Trois points sur le cercle

A,A, BB et CC sont trois points d'un cercle de centre O.O. L'angle au centre AOB^\widehat{AOB} de l'arc ABAB ne contenant pas CC mesure 100∘,100^\circ, et l'angle au centre BOC^\widehat{BOC} de l'arc BCBC ne contenant pas AA mesure 140∘.140^\circ.

Calculer ABC^.\widehat{ABC}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

  1. ABC^\widehat{ABC} intercepte l'arc ACAC qui ne contient pas B.B. Que vaut son angle au centre ?
  2. Les trois arcs AB,AB, BCBC et CACA font le tour complet : leurs angles au centre font 360∘.360^\circ.

Correction

  1. Le troisième arc — Les trois angles au centre se partagent le tour de O.O.AOC^=360∘−100∘−140∘=120∘\widehat{AOC} = 360^\circ - 100^\circ - 140^\circ = 120^\circ
  2. L'angle inscrit — ABC^\widehat{ABC} intercepte l'arc ACAC ne contenant pas B.B.ABC^=12×120∘\widehat{ABC} = \tfrac{1}{2} \times 120^\circ
  3. ABC^=60∘\widehat{ABC} = 60^\circ

De même BAC^=70∘\widehat{BAC} = 70^\circ et ACB^=50∘\widehat{ACB} = 50^\circ : 60+70+50=180.60 + 70 + 50 = 180. Chaque angle du triangle est la moitié de l'arc opposé.

Pièges anticipés

  • 120 → 120∘120^\circ est l'angle au centre AOC^.\widehat{AOC}. L'angle inscrit ABC^\widehat{ABC} en est la moitié.
  • 70 / 50 → Tu as pris la moitié d'un arc qui n'est pas celui que voit B.B. L'angle en BB intercepte l'arc AC,AC, celui qui ne contient pas B.B.

Exercice 99 · raisonnement

Le carré inscrit

ABCDABCD est un carré inscrit dans un cercle de centre O,O, et MM est un point du petit arc AB.AB.

Calculer AMB^.\widehat{AMB}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 135

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut l'angle au centre AOB^\widehat{AOB} ? Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
  2. AOB^=90∘.\widehat{AOB} = 90^\circ. Comme MM est sur le petit arc, AMB^\widehat{AMB} intercepte le grand arc AB.AB.

Correction

  1. L'angle au centre — Les diagonales du carré se coupent en OO à angle droit.AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ
  2. Le grand arc — MM est sur le petit arc : AMB^\widehat{AMB} intercepte le grand arc AB,AB, d'angle au centre 360∘−90∘=270∘.360^\circ - 90^\circ = 270^\circ.AMB^=12×270∘\widehat{AMB} = \tfrac{1}{2} \times 270^\circ
  3. AMB^=135∘\widehat{AMB} = 135^\circ

Autre chemin : AMBCAMBC est un quadrilatère inscrit, donc AMB^=180∘−ACB^=180−45=135∘.\widehat{AMB} = 180^\circ - \widehat{ACB} = 180 - 45 = 135^\circ.

Pièges anticipés

  • 45 → 45∘45^\circ est l'angle sous lequel on voit [AB][AB] depuis CC ou D,D, sur le grand arc. MM est sur le petit arc : il voit le grand arc.

Exercice 100 · defi

Deux cordes perpendiculaires

[MN][MN] et [PQ][PQ] sont deux cordes perpendiculaires d'un cercle, qui se coupent en I.I. Le point HH est le pied de la hauteur issue de II dans le triangle IMQ,IMQ, et la droite (IH)(IH) coupe [PN][PN] en A.A. On sait que MQP^=28∘.\widehat{MQP} = 28^\circ.

Calculer IAN^.\widehat{IAN}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 124

Indices, dans l’ordre

  1. Montre d'abord que MIH^=MQI^\widehat{MIH} = \widehat{MQI} : ces deux angles sont complémentaires d'un même angle. Lequel ?
  2. AIN^\widehat{AIN} et MIH^\widehat{MIH} sont opposés par le sommet. Et INA^=MNP^\widehat{INA} = \widehat{MNP} intercepte le même arc que MQP^.\widehat{MQP}.
  3. Le triangle AINAIN a alors deux angles égaux. Il reste la somme des angles.

Correction

  1. Le même complémentaire — Les triangles MIQMIQ (rectangle en II) et MHIMHI (rectangle en HH) ont l'angle IMQ^\widehat{IMQ} en commun : MIH^\widehat{MIH} et MQI^\widehat{MQI} en sont tous deux le complémentaire.MIH^=MQI^=28∘\widehat{MIH} = \widehat{MQI} = 28^\circ
  2. Opposés par le sommet — AIN^=MIH^=28∘\widehat{AIN} = \widehat{MIH} = 28^\circ
  3. Le même arc — MNP^\widehat{MNP} et MQP^\widehat{MQP} sont inscrits et interceptent l'arc MP.MP.ANI^=MNP^=28∘\widehat{ANI} = \widehat{MNP} = 28^\circ
  4. Le triangle AIN — IAN^=180∘−28∘−28∘\widehat{IAN} = 180^\circ - 28^\circ - 28^\circ
  5. IAN^=124∘\widehat{IAN} = 124^\circ

Le triangle AINAIN est isocèle en A,A, donc AI=ANAI = AN ; de même AI=AP,AI = AP, et AA est le milieu de [PN].[PN]. Trois outils enchaînés : angles complémentaires, opposés par le sommet, angles inscrits.

Pièges anticipés

  • 28 → 28∘28^\circ est la mesure des deux angles égaux du triangle AIN,AIN, en II et en N.N. L'angle demandé est le troisième, au sommet A.A.
  • 56 → 56∘56^\circ est la somme des deux angles égaux. L'angle en AA est ce qui reste de 180∘.180^\circ.

Exercice 101 · defi

Une longueur par l'équilatéral

Le triangle équilatéral ABCABC est inscrit dans un cercle, et MM est un point de l'arc BCBC qui ne contient pas A,A, avec MB=3MB = 3 cm et MC=5MC = 5 cm. Le point NN de [AM][AM] vérifie MN=MC.MN = MC.

Calculer MA.MA.

Donner la longueur en cm, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut AMC^\widehat{AMC} ? Compare-le avec un angle du triangle ABCABC qui intercepte le même arc.
  2. AMC^=ABC^=60∘\widehat{AMC} = \widehat{ABC} = 60^\circ et MN=MCMN = MC : le triangle MNCMNC est équilatéral. Compare ensuite les triangles ANCANC et BMC.BMC.
  3. CA=CB,CA = CB, CN=CMCN = CM et ACN^=BCM^\widehat{ACN} = \widehat{BCM} : les triangles ANCANC et BMCBMC sont isométriques, donc AN=BM.AN = BM.MA=MN+NAMA = MN + NA

Correction

  1. Le triangle MNC — AMC^\widehat{AMC} et ABC^\widehat{ABC} interceptent l'arc ACAC : NMC^=60∘.\widehat{NMC} = 60^\circ. Avec MN=MC,MN = MC, le triangle MNCMNC est isocèle d'angle au sommet 60∘,60^\circ, donc équilatéral.NC=MC=5 cmNC = MC = 5 \text{ cm}
  2. Deux triangles isométriques — CA=CB,CA = CB, CN=CM,CN = CM, et ACN^=60∘−NCB^=BCM^.\widehat{ACN} = 60^\circ - \widehat{NCB} = \widehat{BCM}. Les triangles ANCANC et BMCBMC sont isométriques.AN=BM=3 cmAN = BM = 3 \text{ cm}
  3. La somme — MA=MN+NA=5+3MA = MN + NA = 5 + 3
  4. MA=8 cmMA = 8 \text{ cm}

Pour tout point MM de l'arc BCBC : MA=MB+MC.MA = MB + MC. Les angles inscrits fabriquent l'équilatéral, les cas d'isométrie transportent la longueur.

Pièges anticipés

  • 2 → 5−3=25 - 3 = 2 : la relation est une somme. NN découpe [MA][MA] en MN=MCMN = MC et NA=MB.NA = MB.

Exercice 102 · defi

Le pentagone régulier

ABCDEABCDE est un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre OO : ses cinq côtés sont égaux, et les cinq angles au centre AOB^,\widehat{AOB}, BOC^,\widehat{BOC}, COD^,\widehat{COD}, DOE^,\widehat{DOE}, EOA^\widehat{EOA} aussi.

Calculer l'angle ABC^\widehat{ABC} du pentagone.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 108

Indices, dans l’ordre

  1. Chaque angle au centre vaut 360∘5.\tfrac{360^\circ}{5}.
  2. ABC^\widehat{ABC} est inscrit et intercepte l'arc ACAC qui ne contient pas BB : il passe par DD et E.E. Combien d'angles au centre de 72∘72^\circ cet arc regroupe-t-il ?

Correction

  1. Les angles au centre — AOB^=360∘5=72∘\widehat{AOB} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ
  2. L'arc intercepté — ABC^\widehat{ABC} intercepte l'arc ACAC ne contenant pas B,B, formé des arcs CD,CD, DEDE et EA.EA.3×72∘=216∘3 \times 72^\circ = 216^\circ
  3. L'angle inscrit — ABC^=12×216∘\widehat{ABC} = \tfrac{1}{2} \times 216^\circ
  4. ABC^=108∘\widehat{ABC} = 108^\circ

Contrôle : cinq angles de 108∘108^\circ font 540∘,540^\circ, la somme des angles d'un pentagone. Et ACB^=12×72=36∘\widehat{ACB} = \tfrac{1}{2} \times 72 = 36^\circ : le triangle ABCABC est isocèle en BB avec 108+36+36=180.108 + 36 + 36 = 180.

Pièges anticipés

  • 72 → 72∘72^\circ est un angle au centre. L'angle du pentagone est un angle inscrit, qui intercepte trois de ces arcs.
  • 36 → 36∘36^\circ est la moitié d'un seul arc : c'est par exemple ACB^.\widehat{ACB}. Le sommet BB voit l'arc ACAC qui passe par DD et E.E.

Exercice 103 · defi

Trois outils dans une figure

[AB][AB] est un diamètre d'un cercle de centre O,O, et CC est un point du cercle tel que CAB^=50∘.\widehat{CAB} = 50^\circ. La parallèle à (AC)(AC) passant par OO coupe [BC][BC] en I.I.

Calculer COI^.\widehat{COI}.

Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 50

Indices, dans l’ordre

  1. Quel réflexe pour l'angle BOC^\widehat{BOC} ? C'est un angle au centre : cherche l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
  2. BOC^=2 BAC^.\widehat{BOC} = 2\,\widehat{BAC}. Et (OI)∥(AC)(OI) \parallel (AC) avec la sécante (AB)(AB) : quels angles sont correspondants ?
  3. BOI^=BAC^\widehat{BOI} = \widehat{BAC} (correspondants). La demi-droite [OI)[OI) est à l'intérieur de BOC^.\widehat{BOC}.COI^=BOC^−BOI^\widehat{COI} = \widehat{BOC} - \widehat{BOI}

Correction

  1. L'angle au centre — BAC^\widehat{BAC} est inscrit et intercepte l'arc BC,BC, comme l'angle au centre BOC^.\widehat{BOC}.BOC^=2×50∘=100∘\widehat{BOC} = 2 \times 50^\circ = 100^\circ
  2. Les correspondants — (OI)∥(AC),(OI) \parallel (AC), sécante (AB)(AB) : BOI^\widehat{BOI} et BAC^\widehat{BAC} sont correspondants, donc égaux.BOI^=50∘\widehat{BOI} = 50^\circ
  3. Le découpage — II est sur [BC][BC] : [OI)[OI) est à l'intérieur de l'angle BOC^.\widehat{BOC}.COI^=100∘−50∘\widehat{COI} = 100^\circ - 50^\circ
  4. COI^=50∘\widehat{COI} = 50^\circ

[OI)[OI) est donc la bissectrice de BOC^.\widehat{BOC}. Et comme ACB^=90∘\widehat{ACB} = 90^\circ (diamètre), les correspondants donnent aussi (OI)⊥(BC)(OI) \perp (BC) : II est le milieu de [BC].[BC]. Un cercle, un diamètre, une parallèle : les trois réflexes du chapitre dans la même figure.

Pièges anticipés

  • 100 → 100∘100^\circ est l'angle au centre BOC^\widehat{BOC} en entier. [OI)[OI) le découpe : il faut retirer BOI^.\widehat{BOI}.
  • 40 → 40∘40^\circ est l'angle ABC^\widehat{ABC} (ou OCB^\widehat{OCB}). L'angle demandé a son sommet en O.O.