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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Équations et inéquations

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! L'équation hiya so2al : l ay valeurs de x hal égalité tkoun sa7i7a ? Résoudre ma3neha tjaweb 3ala esso2al hedheka, w 7atta 7aja o5ra. La méthode ma tetbaddelch : nbastou 7atta noslou l x égale un nombre. W fi l'inéquation thamma istithna2 un, amma 7asem.

عسلامة ! l'équation هي سؤال : لأيّ valeurs de x هالـ égalité تكون صحيحة ؟ résoudre معناها تجاوب على السؤال هاذاكة، w حتّى حاجة أخرى. la méthode ما تتبدّلش : نبسّطو حتّى نوصلو لـ x égale un nombre. w في l'inéquation ثمّة استثناء واحد، أمّا حاسم.

Bonjour ! Une équation, c'est une question : pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vraie ? Résoudre, c'est répondre à cette question, et rien d'autre. La méthode ne change jamais : on simplifie jusqu'à x égale un nombre. Et pour les inéquations, il y a une seule exception — mais elle est décisive.

Une équation, c'est une question : pour quelles valeurs de xx cette égalité est-elle vraie ? Résoudre, c'est répondre à cette question, et rien d'autre.

La méthode ne change jamais : on transforme l'équation en une autre qui a exactement les mêmes solutions, jusqu'à isoler x.x. Les inéquations suivent les mêmes règles, avec une exception qui coûte cher — et qu'on va regarder de près.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Résoudre une équation du premier degré ax+b=0ax + b = 0Résoudre une équation du premier degré, ax plus b égale zéro.Résoudre une équation du premier degré, ax plus b égale zéro.
  • Résoudre une équation contenant des fractions en réduisant au même dénominateurRésoudre une équation contenant des fractions en réduisant au même dénominateur.Résoudre une équation contenant des fractions en réduisant au même dénominateur.
  • Mettre un problème en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifierMettre un problème en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier.Mettre un problème en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier.
  • Résoudre une inéquation du premier degré en maîtrisant le changement de sensRésoudre une inéquation du premier degré en maîtrisant le changement de sens.Résoudre une inéquation du premier degré en maîtrisant le changement de sens.
  • Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalleÉcrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  • Résoudre x2=ax^{2} = a en discutant le signe de a,a, et n'oublier aucune des deux solutionsRésoudre x au carré égale a en discutant le signe de a, sans oublier aucune des deux solutions.Résoudre x au carré égale a en discutant le signe de a, sans oublier aucune des deux solutions.

1. Activité

Retrouver le nombre de départ

Ce qu’il dit

Barra nabdaw b un programme de calcul. E5tar un nombre, odhorbou fi 5, w na99as 3. Telmidh 3mel hakka w l9a 12. Jarreb b 2, baad b 4. W baad erja3 le programme bel ma9loub : anhi opération telghi « na99as 3 » ? Hedheka bel dhabt houwa elli bech na3mlouh fi l'équation.

برّة نبداو بـ un programme de calcul. أختار un nombre، أضربو في 5، w نقّص 3. تلميذ عمل هكّا w لقا 12. جرّب بـ 2، بعد بـ 4. w بعد أرجع le programme بالمقلوب : أنهي opération تلغي « نقّص 3 » ؟ هاذاكة بالضبط هو الّي باش نعملوه في l'équation.

On commence par un programme de calcul. Choisis un nombre, multiplie-le par 5, retire 3. Un élève applique le programme et obtient 12. Teste avec 2, puis avec 4. Ensuite, remonte le programme à l'envers : quelle opération annule « retirer 3 » ? C'est exactement ce qu'on va faire dans une équation.

Voici un programme de calcul :

Choisis un nombre. Multiplie-le par 5.5. Retire 3.3.

Un élève applique ce programme et obtient 12.12.

  1. 1.Teste avec 2,2, puis avec 4.4. Que peux-tu en déduire sur le nombre choisi ?
  2. 2.Remonte le programme à l'envers : quelle opération annule « retirer 33 » ? Et « multiplier par 55 » ?
  3. 3.Appelle xx le nombre choisi et écris le programme en une seule ligne.

Le tâtonnement de la question 1 finit parfois par tomber juste. L'écriture de la question 3 tombe juste toujours : c'est tout l'intérêt des équations.

Exemple traité

Ce que donnent les trois démarches.

  1. Tâtonnement — Avec 22 on obtient 7,7, avec 44 on obtient 17.17. Le nombre cherché est entre les deux.5×2−3=7;5×4−3=175 \times 2 - 3 = 7 \quad ; \quad 5 \times 4 - 3 = 17
  2. Remonter — On annule chaque opération, dans l'ordre inverse.12+3=15;155=312 + 3 = 15 \quad ; \quad \frac{15}{5} = 3
  3. Avec une lettre — Le programme s'écrit d'une seule ligne, et se résout sans essayer.5x−3=125x - 3 = 12
x=3x = 3

À ne pas faire : On essaie des valeurs jusqu'à tomber juste — On écrit l'équation, puis on la résout. Le tâtonnement échoue dès que la solution n'est pas un petit entier — et il ne prouve jamais qu'il n'y en a pas d'autre.

2. Méthode

Résoudre une équation du premier degré

Ce qu’il dit

L'équation du premier degré tetkteb fel e5er ax plus b égale zéro, m3a a différent de zéro. W wa9tha 3andha une solution et une seule. Deux transformations berk masmou7in, w ma ybaddlouch les solutions : tzid walla tna99as nafs el nombre fi les deux membres, walla todhrob walla t9assem 3ala un nombre non nul.

l'équation du premier degré تتكتب في الآخر ax plus b égale zéro، مع a différent de zéro. w وقتها عندها une solution et une seule. deux transformations برك مسموحين، w ما يبدّلوش les solutions : تزيد ولّا تنقّص نفس الـ nombre في les deux membres، ولّا تضرب ولّا تقسّم على un nombre non nul.

Une équation du premier degré s'écrit, après transformation, ax plus b égale zéro, avec a différent de zéro. Elle admet alors une solution et une seule. Deux transformations seulement sont autorisées, et elles ne changent jamais les solutions : ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres, ou multiplier et diviser par un nombre non nul.

Une équation du premier degré à une inconnue s'écrit, après transformation, sous la forme ax+b=0ax + b = 0 avec a≠0.a \ne 0. Elle admet alors une solution et une seule.

Deux transformations sont autorisées, et elles ne changent jamais les solutions :

  • ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres ;
  • multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

La méthode est toujours la même : on rassemble les xx d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de x.x. Et on vérifie — une vérification prend dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

La solution

ax+b=0  ⟺  x=−ba(a≠0)ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

Exemple traité

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 5x−3=12.5x - 3 = 12.

  1. Isoler le terme en x — On ajoute 33 aux deux membres.5x−3+3=12+35x - 3 + 3 = 12 + 3
  2. 5x=155x = 15
  3. Diviser — On divise les deux membres par 5.5.x=155=3x = \frac{15}{5} = 3
  4. Vérification — 5×3−3=15−3=12✓5 \times 3 - 3 = 15 - 3 = 12 \quad \checkmark
S={3}S = \{3\}

À ne pas faire : 5x−3=12 ⇒ 5x=12−35x - 3 = 12 \ \Rightarrow \ 5x = 12 - 3 — 5x−3=12 ⇒ 5x=12+35x - 3 = 12 \ \Rightarrow \ 5x = 12 + 3. Le terme −3-3 passe de l'autre côté en changeant de signe : il devient +3.+3.

3. Propriété

L'équation x² = a

Ce qu’il dit

9bal ma tekhou la racine, chouf le signe mte3 a. Ken positif : zouz solutions, wahda opposée lel okhra. Ken zéro : solution wahda. W ken négatif : ma thammech solution, khater le carré dima positif walla nul. El hala ethaltha hiya elli tetnsa.

قبل ما تاخو la racine ، شوف le signe متاع a . كان positif : زوز solutions ، واحدة opposée للأخرى. كان zéro : solution وحدة. w كان négatif : ما ثمّاش solution ، خاطر le carré دايما positif ولّا nul . الحالة الثالثة هي اللي تتنسى.

Avant de prendre la racine, regarde le signe de a. S'il est positif : deux solutions, opposées l'une de l'autre. S'il est nul : une seule. Et s'il est négatif : aucune solution, parce qu'un carré est toujours positif ou nul. C'est le troisième cas qu'on oublie.

Cette équation n'est pas du premier degré, et pourtant elle a sa place ici : elle se résout sans aucune méthode nouvelle, à condition de discuter le signe de aa.

On considère l'équation x2=a,x^{2} = a, où aa est un réel donné. Trois cas, et il n'y en a pas d'autre :

  1. 1.si a>0,a > 0, elle admet deux solutions, x=ax = \sqrt{a} et x=−ax = -\sqrt{a} ;
  2. 2.si a=0,a = 0, elle admet une solution, x=0x = 0 ;
  3. 3.si a<0,a < 0, elle n'admet aucune solution.

Le troisième cas est celui qu'on oublie, et c'est le plus important : un carré est toujours positif ou nul, donc rien ne peut avoir un carré négatif.

a>0  :  S={−a ; a}a > 0 \;:\; S = \{-\sqrt{a} \,;\, \sqrt{a}\}
a=0  :  S={0}a = 0 \;:\; S = \{0\}
a<0  :  S=∅a < 0 \;:\; S = \varnothing

Exemple traité

Résoudre x2=49,x^{2} = 49, puis x2=5,x^{2} = 5, puis x2=−9.x^{2} = -9.

  1. Signe de a : positif — 49>049 > 0 : deux solutions, opposées l'une de l'autre. Et 4949 est un carré parfait.x=7oux=−7x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -7
  2. Positif, sans racine entière — 5>05 > 0 : deux solutions encore, qu'on laisse sous le radical — les écrire en décimal serait les arrondir.x=5oux=−5x = \sqrt{5} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{5}
  3. Signe de a : négatif — Pour tout réel x,x, x2≥0.x^{2} \ge 0. Aucun réel n'a donc −9-9 pour carré.S=∅S = \varnothing
S={−7 ; 7};S={−5 ; 5};S=∅S = \{-7 \,;\, 7\} \quad ; \quad S = \{-\sqrt{5} \,;\, \sqrt{5}\} \quad ; \quad S = \varnothing

À ne pas faire : x2=49x^{2} = 49 donne x=7.x = 7. — x=7x = 7 ou x=−7x = -7. La solution négative est aussi valable : (−7)2=49.(-7)^{2} = 49. Oublier l'opposée fait perdre la moitié des solutions, à chaque fois.

À ne pas faire : x2=−9x^{2} = -9 donne x=−3.x = -3. — S=∅S = \varnothing. (−3)2=9,(-3)^{2} = 9, pas −9.-9. Un carré ne peut pas être négatif : il faut regarder le signe de aa avant de prendre une racine.

À ne pas faire : x2=x\sqrt{x^{2}} = x — x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|. C'est la même erreur vue de l'autre côté. Pour x=−7,x = -7, 49=7\sqrt{49} = 7 et non −7.-7.

4. Méthode

Les équations avec des fractions

Ce qu’il dit

Ki tal9a des dénominateurs, le premier geste dima : tayyarhom. Nodhorbou les deux membres b un dénominateur commun. Deux i7tiyatat, w houma bel dhabt les deux ghaltat elli nchoufouhom akthar : lezmek todhrob el termes el koll, 7atta elli ma 3andhomch dénominateur ; w ki le numérateur ykoun une somme, 7ottlou des parenthèses.

كي تلقى des dénominateurs، le premier geste ديما : طيّرهم. نضربو les deux membres بـ un dénominateur commun. deux احتياطات، w هوما بالضبط les deux غلطات الّي نشوفوهم أكثر : لازمك تضرب الـ termes الكلّ، حتّى الّي ما عندهمش dénominateur ؛ w كي le numérateur يكون une somme، حطّلو des parenthèses.

Face à une équation avec des dénominateurs, le premier geste est toujours de les faire disparaître : on multiplie les deux membres par un dénominateur commun. Deux précautions, et ce sont exactement les deux erreurs qu'on voit le plus : il faut multiplier tous les termes, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur ; et quand le numérateur est une somme, il faut lui mettre des parenthèses.

Face à une équation qui contient des dénominateurs, le premier geste est toujours de les faire disparaître : on multiplie les deux membres par un dénominateur commun.

Deux précautions, et ce sont les deux erreurs qu'on voit le plus :

  • il faut multiplier tous les termes, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur, et y compris le membre de droite ;
  • quand un numérateur est une somme, il porte une parenthèse invisible : 6×x−13=2(x−1),6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x-1), et non 2x−1.2x - 1.

Le principe

An=B  ⟺  A=nB(n≠0)\frac{A}{n} = B \iff A = nB \quad (n \ne 0)

Exemple traité

Résoudre dans R\mathbb{R} : x−13+x2=4.\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{x}{2} = 4.

  1. Dénominateur commun — 33 et 22 divisent 66 : on multiplie tout par 6.6.6×x−13+6×x2=6×46 \times \frac{x-1}{3} + 6 \times \frac{x}{2} = 6 \times 4
  2. Chaque numérateur garde sa parenthèse.2(x−1)+3x=242(x - 1) + 3x = 24
  3. Développer et réduire — 2x−2+3x=24  ⟺  5x=262x - 2 + 3x = 24 \iff 5x = 26
  4. x=265x = \frac{26}{5}
S={265}S = \left\{\dfrac{26}{5}\right\}

À ne pas faire : 6×x−13=2x−16 \times \dfrac{x-1}{3} = 2x - 1 — 6×x−13=2(x−1)=2x−26 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x-1) = 2x - 2. La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : tout le numérateur est multiplié.

5. Méthode

Mettre un problème en équation

Ce qu’il dit

9bal ma tabda, 9oul chnowa houwa x. Ektebha : « Soit x la largeur ». W fi lekher, rajja3 el jaweb lel so2al : machi x égale 8, ama la largeur mesure 8 centimètres.

قبل ما تبدا، قول شنوّة هو x. اكتبها : « Soit x la largeur ». w في الآخر، رجّع الجواب للسؤال : ماشي x égale 8، أمّا la largeur mesure 8 centimètres.

Avant de commencer, dis ce qu'est x. Écris-le : « Soit x la largeur ». Et à la fin, ramène la réponse à la question : ce n'est pas x égale 8, c'est la largeur mesure 8 centimètres.

C'est la partie qui fait peur, et elle tient en quatre étapes toujours identiques :

  1. 1.choisir l'inconnue et l'écrire noir sur blanc : « Soit xx la largeur, en cm » ;
  2. 2.exprimer les autres grandeurs en fonction de xx ;
  3. 3.traduire l'énoncé par une équation ;
  4. 4.résoudre, puis revenir à la question posée.

La quatrième étape est celle qu'on oublie. Trouver x=8x = 8 ne suffit pas : il faut dire ce que vaut 8,8, et vérifier que la réponse a un sens dans le problème — une longueur négative n'en a pas.

Périmètre d'un rectangle

P=2(L+ℓ)\mathcal{P} = 2(L + \ell)

Exemple traité

Le périmètre d'un rectangle est 4646 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 77 cm. Quelles sont ses dimensions ?

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx la largeur, en cm. La longueur vaut alors x+7.x + 7.ℓ=x;L=x+7\ell = x \quad ; \quad L = x + 7
  2. Traduire — 2(x+(x+7))=462\big(x + (x + 7)\big) = 46
  3. Résoudre — 2(2x+7)=46  ⟺  4x+14=46  ⟺  4x=322(2x + 7) = 46 \iff 4x + 14 = 46 \iff 4x = 32
  4. x=8x = 8
  5. Revenir à la question — La largeur vaut 88 cm et la longueur 1515 cm. Vérification : 2(8+15)=46.2(8+15) = 46.ℓ=8 cm;L=15 cm\ell = 8 \ \text{cm} \quad ; \quad L = 15 \ \text{cm}

À ne pas faire : On répond « x=8x = 8 » — On répond « la largeur mesure 88 cm et la longueur 1515 cm ». L'énoncé pose une question sur des dimensions, pas sur x.x. Il faut y revenir explicitement.

6. Propriété

Les inéquations

Ce qu’il dit

L'inéquation tet7all bel dhabt kif l'équation, m3a une seule exception — amma 7asma. Tzid walla tna99as : le sens ma yetbaddelch. Todhrob walla t9assem 3ala un nombre strictement positif : le sens ma yetbaddelch. Amma ki todhrob walla t9assem 3ala un nombre strictement négatif, le sens yet9leb. Hedhi hiya la première erreur fel chapitre.

l'inéquation تتحلّ بالضبط كيف l'équation، مع une seule exception — أمّا حاسمة. تزيد ولّا تنقّص : le sens ما يتبدّلش. تضرب ولّا تقسّم على un nombre strictement positif : le sens ما يتبدّلش. أمّا كي تضرب ولّا تقسّم على un nombre strictement négatif، le sens يتقلب. هاذي هي la première erreur في الشابيتر.

Une inéquation se résout exactement comme une équation, avec une seule exception — mais elle est décisive. Ajouter ou retirer : le sens ne change pas. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas. Mais si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, le sens s'inverse. C'est la première erreur du chapitre.

Une inéquation se résout exactement comme une équation, avec une seule exception — mais elle est décisive :

  • on peut ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres : le sens ne change pas ;
  • on peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas ;
  • si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Pour t'en convaincre une fois pour toutes : 2<52 < 5 est vrai. Multiplie par −1-1 : −2-2 et −5.-5. Or −2>−5.-2 > -5. Le sens a bien changé.

Positif

a<b et c>0 ⇒ ac<bca < b \ \text{et} \ c > 0 \ \Rightarrow \ \frac{a}{c} < \frac{b}{c}

Négatif

a<b et c<0 ⇒ ac>bca < b \ \text{et} \ c < 0 \ \Rightarrow \ \frac{a}{c} > \frac{b}{c}

Démonstration

Soient aa et bb deux réels tels que a<b,a < b, et soit cc un réel strictement négatif.

Dire que a<b,a < b, c'est dire que b−a>0.b - a > 0. Le produit d'un nombre strictement négatif par un nombre strictement positif est strictement négatif, donc

c (b−a)<0\displaystyle c\,(b - a) < 0 c'est-à-dire cb−ca<0\displaystyle cb - ca < 0

En ajoutant caca aux deux membres, il vient cb<ca,cb < ca, autrement dit ca>cb.ca > cb.

Le sens de l'inégalité s'est bien inversé.

Exemple traité

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation −2x<6.-2x < 6.

  1. Diviser par −2 — Le diviseur est négatif : le sens s'inverse.−2x<6  ⟺  x>6−2-2x < 6 \iff x > \frac{6}{-2}
  2. x>−3x > -3
  3. Contrôle — On teste une valeur : x=0x = 0 convient-il ? −2×0=0<6,-2 \times 0 = 0 < 6, oui. Et 0>−30 > -3 : cohérent.x=0 : 0<6✓x = 0 \ : \ 0 < 6 \quad \checkmark
S= ]−3 ;+∞[S = \,]-3\,;+\infty[

À ne pas faire : −2x<6 ⇒ x<−3-2x < 6 \ \Rightarrow \ x < -3 — −2x<6 ⇒ x>−3-2x < 6 \ \Rightarrow \ x > -3. On a divisé par −2,-2, qui est négatif : le sens de l'inégalité s'inverse.

7. Méthode

Écrire l'ensemble des solutions

Ce qu’il dit

L'inéquation 3omorha ma 3andha solution une : 3andha un intervalle kemel. El jaweb ma youfach 3and x supérieur à moins 3 — youfa ki tekteb l'ensemble des solutions. W rodd belek lel crochet : ki la borne mettekhdha, crochet fermé ; ki mahich mettekhdha, crochet ouvert.

l'inéquation عمرها ما عندها solution une : عندها un intervalle كامل. الجواب ما يوفاش عند x supérieur à moins 3 — يوفا كي تكتب l'ensemble des solutions. w رد بالك للـ crochet : كي la borne متاخذة، crochet fermé ؛ كي ما هيش متاخذة، crochet ouvert.

Une inéquation n'a presque jamais une seule solution : elle en a tout un intervalle. La réponse ne se termine pas à x supérieur à moins 3 — elle se termine quand tu écris l'ensemble des solutions. Et fais attention au crochet : borne prise, crochet fermé ; borne non prise, crochet ouvert.

Une inéquation n'a presque jamais une seule solution : elle en a un intervalle. La réponse ne se termine donc pas à x>−3,x > -3, mais à l'écriture de cet ensemble.

Les correspondances à connaître :

  • x>ax > a donne S= ]a ;+∞[S = \,]a\,;+\infty[
  • x≥ax \ge a donne S=[a ;+∞[S = [a\,;+\infty[
  • x<ax < a donne S= ]−∞ ;a[S = \,]-\infty\,;a[
  • x≤ax \le a donne S= ]−∞ ;a]S = \,]-\infty\,;a]

Un dernier réflexe utile : tester une valeur de l'intervalle trouvé dans l'inéquation de départ. Si elle ne convient pas, le sens a été inversé quelque part.

Fermé

x≥a  ⟺  x∈[a ;+∞[x \ge a \iff x \in [a\,;+\infty[

Ouvert

x<a  ⟺  x∈ ]−∞ ;a[x < a \iff x \in \,]-\infty\,;a[

Exemple traité

Résoudre 3x−12≥x+4\dfrac{3x-1}{2} \ge x + 4 et donner S.S.

  1. Supprimer le dénominateur — On multiplie les deux membres par 2.2.3x−1≥2(x+4)3x - 1 \ge 2(x + 4)
  2. 3x−1≥2x+83x - 1 \ge 2x + 8
  3. Rassembler — On retire 2x2x et on ajoute 11 : opérations qui ne changent pas le sens.x≥9x \ge 9
S=[9 ;+∞[S = [9\,;+\infty[

À ne pas faire : x≥9x \ge 9 donne S= ]9 ;+∞[S = \,]9\,;+\infty[ — x≥9x \ge 9 donne S=[9 ;+∞[S = [9\,;+\infty[. Le symbole ≥\ge autorise l'égalité : la valeur 99 appartient à l'ensemble, le crochet se ferme.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

  1. ax+b=0ax + b = 0 avec a≠0a \ne 0 a une solution et une seule : x=−ba.x = -\dfrac{b}{a}.ax plus b égale zéro, m3a a différent de zéro, 3andha une solution et une seule : x égale moins b sur a.ax plus b égale zéro, avec a différent de zéro, a une solution et une seule : x égale moins b sur a.
  2. Un terme change de signe quand il change de membre.Le terme ki ybaddel le membre, ybaddel le signe.Un terme change de signe quand il change de membre.
  3. Pour supprimer les dénominateurs, on multiplie tous les termes, des deux côtés.Bech tna77i les dénominateurs, todhrob les termes el koll, fi les deux membres.Pour supprimer les dénominateurs, on multiplie tous les termes, des deux côtés.
  4. Un numérateur qui est une somme porte une parenthèse invisible.Le numérateur ki ykoun une somme, 3andou une parenthèse invisible.Un numérateur qui est une somme porte une parenthèse invisible.
  5. Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse son sens.Ki todhrob walla te9sem une inéquation b un nombre négatif, le sens yetbaddel.Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse son sens.
  6. La réponse à une inéquation est un intervalle : ≥\ge ferme le crochet, >> l'ouvre.Le résultat mte3 inéquation houwa intervalle : supérieur ou égal ysakker le crochet, w strictement supérieur y7ellou.La réponse à une inéquation est un intervalle : supérieur ou égal ferme le crochet, strictement supérieur l'ouvre.
  7. x2=ax^{2} = a : deux solutions opposées si a>0,a > 0, une seule si a=0,a = 0, aucune si a<0.a < 0.x au carré égale a : ken a strictement positif, deux solutions opposées. Ken a égale zéro, une seule. W ken a strictement négatif, 7atta solution.x au carré égale a : deux solutions opposées si a est strictement positif, une seule si a égale zéro, aucune si a est strictement négatif.
  8. x2=∣x∣,\sqrt{x^{2}} = |x|, jamais x.x.Racine carrée de x au carré égale valeur absolue de x, mouch x.Racine carrée de x au carré égale valeur absolue de x, jamais x.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Retrouver le nombre de départ

  • pourquoi ne pas essayer des valeurs jusqu'à trouver
  • 3lech ma njarrbouch des nombres 7atta nal9aw
  • je peux trouver la solution en essayant ?
  • le tâtonnement ça marche ?
  • nejjem n7el b el essai ?
  • essayer des nombres au hasard c'est bon ?

Ce qu’il écrit au tableau

  • 5x−3=12  ⟺  x=35x - 3 = 12 \iff x = 3

Ce qu’il répond

Et-tajrib sa3at yti7 s7i7, ama yfchel ki la solution mahich entier sghir, w 3omrou ma yprouvi elli ma thammech solution o5ra. El équation tti7 s7i7a dima : $5x - 3 = 12$ ta3ti $x = 3$ bla ma njarrbou.

التجريب ساعات يطيح صحيح ، أما يفشل كي la solution ماهيش entier صغير ، w عمرو ما يـ prouve اللي ما ثمّاش solution أخرى . الـ équation تطيح صحيحة ديما : 5 x moins 3 égale 12 تعطي x égale 3 بلا ما نجرّبو .

Le tâtonnement tombe parfois juste, mais il échoue dès que la solution n'est pas un petit entier, et il ne prouve jamais qu'il n'y a pas d'autre solution. L'équation tombe juste à tous les coups : 5 x moins 3 égale 12 donne x égale 3 sans rien essayer.

Question 2 · Retrouver le nombre de départ

  • comment retrouver le nombre de départ
  • kifech nal9a le nombre de départ
  • remonter le programme à l'envers comment
  • le programme à l'envers kifech
  • nombre de départ si on obtient 12
  • comment faire le programme en sens inverse

Ce qu’il écrit au tableau

  • 12+3=15;155=312 + 3 = 15 \quad ; \quad \frac{15}{5} = 3

Ce qu’il répond

Nannuler koll opération bel 3aks, mel e5er lel bdeya. Retirer 3 yetna77a b ajouter 3 : $12 + 3 = 15$. Multiplier par 5 yetna77a b diviser par 5 : $\frac{15}{5} = 3$. W bel équation : $5x - 3 = 12$.

نـ annuler كل opération بالعكس ، من الآخر للأوّل . retirer 3 يتنحّى بـ ajouter 3 : 12 plus 3 égale 15 . multiplier par 5 يتنحّى بـ diviser par 5 : 15 sur 5 égale 3 . w بالـ équation : 5 x moins 3 égale 12 .

On annule chaque opération, dans l'ordre inverse. « Retirer 3 » s'annule en ajoutant 3 : 12 plus 3 égale 15. « Multiplier par 5 » s'annule en divisant par 5 : 15 sur 5 égale 3. Et avec l'équation : 5 x moins 3 égale 12.

Question 3 · Résoudre une équation du premier degré

  • comment résoudre une équation
  • kifech n7el équation
  • méthode pour résoudre une équation
  • les étapes pour résoudre 5x - 3 = 12
  • kifech n7el 5x - 3 = 12
  • résoudre une équation comment on fait

Ce qu’il écrit au tableau

  • 5x−3=12  ⟺  5x=15  ⟺  x=35x - 3 = 12 \iff 5x = 15 \iff x = 3

Ce qu’il répond

Nlemmou les x fi jiha, w les nombres fel jiha lo5ra, men ba3d ndiviser par le coefficient de x. Pour $5x - 3 = 12$ : nzidou 3, $5x = 15$, ndiviser par 5, $x = 3$. W nvérifier : $5 \times 3 - 3 = 12$.

نلمّو les x في جيهة ، w les nombres في الجيهة الأخرى ، من بعد نـ diviser par le coefficient de x . pour 5 x moins 3 égale 12 : نزيدو 3 ، 5 x égale 15 ، نـ diviser par 5 ، x égale 3 . w نـ vérifier : 5 fois 3 moins 3 égale 12 .

On rassemble les x d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient de x. Pour 5 x moins 3 égale 12 : on ajoute 3, 5 x égale 15, on divise par 5, x égale 3. Et on vérifie : 5 fois 3 moins 3 égale 12.

Question 4 · Résoudre une équation du premier degré

  • pourquoi -3 devient +3 quand il change de côté
  • 3lech el signe ybaddel ki n3addi l jiha o5ra
  • quand un nombre passe de l'autre côté son signe change ?
  • 5x - 3 = 12 donne 5x = 12 - 3 ?
  • passer un terme de l'autre côté du égal
  • ki n3addi terme lel jiha lo5ra chnowa ysir

Ce qu’il écrit au tableau

  • 5x−3+3=12+3  ⟺  5x=155x - 3 + 3 = 12 + 3 \iff 5x = 15

Ce qu’il répond

Fel 7a9i9a ma yet3adda chay : nzidou 3 lel deux membres. $5x - 3 + 3 = 12 + 3$, donc $5x = 15$. Hakka $-3$ yben ka2ennou t3adda w walla $+3$. W $5x = 12 - 3$ ghalet.

في الحقيقة ما يتعدّى شي : نزيدو 3 للـ deux membres . 5 x moins 3 plus 3 égale 12 plus 3 ، donc 5 x égale 15 . هاكّا moins 3 يبان كأنّو تعدّى w ولّى plus 3 . w 5 x égale 12 moins 3 غالط .

En réalité rien ne « passe » : on ajoute 3 aux deux membres. 5 x moins 3 plus 3 égale 12 plus 3, donc 5 x égale 15. C'est pour cela que moins 3 semble changer de côté en devenant plus 3. Écrire 5 x égale 12 moins 3 est faux.

Question 5 · Résoudre une équation du premier degré

  • qu'est-ce qu'on a le droit de faire dans une équation
  • chnowa les transformations autorisées
  • les règles pour transformer une équation
  • est-ce qu'on a le droit de multiplier les membres d'une équation
  • transformations qui ne changent pas les solutions
  • chnowa el règles fel équation

Ce qu’il répond

3andna règles : nzidou walla nretirer nafs el nombre lel membres el koll, w nmultiplier walla ndiviser les membres par un même nombre non nul. Hedhouma 3omrhom ma ybaddlou les solutions.

عندنا règles : نزيدو ولّا نـ retirer نفس الـ nombre للـ membres الكل ، w نـ multiplier ولّا نـ diviser les membres par un même nombre non nul . هاذوما عمرهم ما يبدّلو les solutions .

Deux transformations sont autorisées : ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Elles ne changent jamais les solutions.

Question 6 · Résoudre une équation du premier degré

  • combien de solutions a une équation ax + b = 0
  • équation ax + b = 0 9addech 3andha men solution
  • une équation a toujours une seule solution ?
  • combien de solutions pour ax + b = 0
  • solution wa7da walla barcha ?
  • pourquoi une seule solution

Ce qu’il écrit au tableau

  • ax+b=0  ⟺  x=−ba(a≠0)ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \quad (a \ne 0)

Ce qu’il répond

L'équation $ax + b = 0$, m3a $a \ne 0$, 3andha solution wa7da bark : $x = -\frac{b}{a}$. Par exemple $5x - 3 = 12$ 3andha solution wa7da, $x = 3$.

l'équation a x plus b égale zéro ، مع a différent de zéro ، عندها solution وحدة برك : x égale moins b sur a . par exemple 5 x moins 3 égale 12 عندها solution وحدة ، x égale 3 .

L'équation a x plus b égale zéro, avec a différent de zéro, admet une solution et une seule : x égale moins b sur a. Par exemple, 5 x moins 3 égale 12 a une seule solution, x égale 3.

Question 7 · Résoudre une équation du premier degré

  • comment vérifier la solution d'une équation
  • kifech nvérifi el solution
  • à quoi sert la vérification
  • vérifier une équation comment
  • kifech nt2akked elli el solution s7i7a
  • pourquoi vérifier la solution

Ce qu’il écrit au tableau

  • 5×3−3=15−3=12✓5 \times 3 - 3 = 15 - 3 = 12 \quad \checkmark

Ce qu’il répond

Nbaddlou x bel solution fi l'équation de départ, w nchoufou el zouz membres kif kif. Pour $x = 3$ : $5 \times 3 - 3 = 12$, s7i7. Tdoum 3achra thawani, w tchedd les erreurs de signe el koll.

نبدّلو x بالـ solution في l'équation de départ ، w نشوفو الزوز membres كيف كيف . pour x égale 3 : 5 fois 3 moins 3 égale 12 ، صحيح . يدوم عشر ثواني ، w يشدّ les erreurs de signe الكل .

On remplace x par la solution dans l'équation de départ et on regarde si les deux membres sont égaux. Pour x égale 3 : 5 fois 3 moins 3 égale 12, c'est juste. Cela prend dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

Question 8 · L'équation x² = a

  • comment résoudre x² = a
  • x² = a kifech n7elha
  • combien de solutions pour x² = a
  • x² = a les trois cas
  • l'équation x carré égale a
  • x² = a ça dépend du signe de a ?

Ce qu’il écrit au tableau

  • a>0  :  S={−a ; a}a > 0 \;:\; S = \{-\sqrt{a} \,;\, \sqrt{a}\}
  • a=0  :  S={0}a = 0 \;:\; S = \{0\}
  • a<0  :  S=∅a < 0 \;:\; S = \varnothing

Ce qu’il répond

Nchoufou le signe de a. Ken $a > 0$, zouz solutions : $\sqrt{a}$ w $-\sqrt{a}$. Ken $a = 0$, solution wa7da : 0. W ken $a < 0$, ma thammech 7atta solution, 5ater un carré dima positif walla nul.

نشوفو le signe de a . كان a positif strictement ، زوز solutions : racine de a w moins racine de a . كان a égale zéro ، solution وحدة : zéro . w كان a négatif ، ما ثمّاش حتى solution ، خاطر un carré ديما positif ولّا nul .

On regarde le signe de a. Si a est strictement positif, deux solutions : racine de a et moins racine de a. Si a égale zéro, une seule solution : zéro. Si a est négatif, aucune solution, car un carré est toujours positif ou nul.

Question 9 · L'équation x² = a

  • x² = 49 donne seulement 7 ?
  • pourquoi -7 est aussi solution de x² = 49
  • x² = 49 3lech zouz solutions
  • x carré égale 49 la solution c'est 7
  • x² = 49 wel -7 zeda ?
  • pourquoi il y a deux solutions pour x² = 49

Ce qu’il écrit au tableau

  • x2=49  ⟺  x=7 ou x=−7x^{2} = 49 \iff x = 7 \ \text{ou} \ x = -7

Ce qu’il répond

$(-7)^{2} = 49$ zeda. Donc $x^{2} = 49$ 3andha zouz solutions : $x = 7$ walla $x = -7$. Ken nansew l'opposé, nekhsrou nos les solutions.

moins 7 le tout au carré يعطي 49 زادة . donc x au carré égale 49 عندها زوز solutions : x égale 7 ولّا x égale moins 7 . كان نساو l'opposé ، نخسرو نصّ les solutions .

Moins 7, le tout au carré, donne aussi 49. Donc x au carré égale 49 a deux solutions : x égale 7 ou x égale moins 7. Oublier l'opposé fait perdre la moitié des solutions.

Question 10 · L'équation x² = a

  • x² = -9 a une solution ?
  • x² = -9 donne x = -3 ?
  • pourquoi x² égal à un nombre négatif n'a pas de solution
  • x carré négatif ma fihech solution 3lech
  • x² = -9 ensemble vide pourquoi
  • un carré peut être négatif ?

Ce qu’il écrit au tableau

  • (−3)2=9≠−9;S=∅(-3)^{2} = 9 \ne -9 \quad ; \quad S = \varnothing

Ce qu’il répond

Un carré dima positif walla nul : 7atta réel ma 3andou carré négatif. $(-3)^{2} = 9$, mouch $-9$. Donc $x^{2} = -9$ ma 3andhech solution, w $S = \varnothing$.

un carré ديما positif ولّا nul : حتّى réel ما عندو carré négatif . moins 3 le tout au carré يعطي 9 ، موش moins 9 . donc x au carré égale moins 9 ما عندهاش solution ، w S هو l'ensemble vide .

Un carré est toujours positif ou nul : aucun réel n'a un carré négatif. Moins 3, le tout au carré, donne 9, pas moins 9. Donc x au carré égale moins 9 n'a aucune solution : S est l'ensemble vide.

Question 11 · L'équation x² = a

  • x² = 5 on écrit √5 ou 2,23
  • pourquoi laisser la racine de 5 et pas un décimal
  • x² = 5 la solution en décimal ?
  • racine de 5 nektebha b virgule wala le
  • pourquoi on garde le radical
  • x² = 5 kifech nekteb el solution

Ce qu’il écrit au tableau

  • S={−5 ; 5}S = \{-\sqrt{5} \,;\, \sqrt{5}\}

Ce qu’il répond

$x^{2} = 5$ 3andha zouz solutions : $\sqrt{5}$ w $-\sqrt{5}$. N5alliwhom sous le radical, 5ater ken nektbouhom en décimal, narrondir, w el valeur ma3adech exacte.

x au carré égale 5 عندها زوز solutions : racine de 5 w moins racine de 5 . نخلّيوهم sous le radical ، خاطر كان نكتبوهم en décimal ، نـ arrondir ، w الـ valeur ماعادش exacte .

x au carré égale 5 a deux solutions : racine de 5 et moins racine de 5. On les laisse sous le radical : les écrire en décimal serait les arrondir, et la valeur ne serait plus exacte.

Question 12 · L'équation x² = a

  • racine de x² égale x ?
  • √(x²) = x
  • racine carrée de x carré c'est quoi
  • racine de x² ça donne x toujours ?
  • est-ce que √x² = x
  • racine x carré valeur absolue

Ce qu’il écrit au tableau

  • x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|

Ce qu’il répond

$\sqrt{x^{2}} = |x|$, mouch x. Pour $x = -7$ : $\sqrt{49} = 7$, mouch $-7$.

racine de x au carré égale valeur absolue de x ، موش x . pour x égale moins 7 : racine de 49 égale 7 ، موش moins 7 .

Racine de x au carré égale valeur absolue de x, pas x. Pour x égale moins 7 : racine de 49 égale 7, et non moins 7.

Question 13 · Les équations avec des fractions

  • comment résoudre une équation avec des fractions
  • kifech n7el équation fiha fractions
  • équation avec des dénominateurs comment faire
  • fractions fel équation chnowa na3mel
  • comment enlever les dénominateurs
  • équation avec fractions méthode

Ce qu’il écrit au tableau

  • 2(x−1)+3x=24  ⟺  5x=26  ⟺  x=2652(x - 1) + 3x = 24 \iff 5x = 26 \iff x = \frac{26}{5}

Ce qu’il répond

Awwel 7aja ntayrou les dénominateurs : nmultiplier les deux membres par un dénominateur commun. Pour $\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{x}{2} = 4$, nmultiplier par 6 : $2(x - 1) + 3x = 24$, donc $5x = 26$ w $x = \frac{26}{5}$.

أوّل حاجة نطيّرو les dénominateurs : نـ multiplier les deux membres par un dénominateur commun . pour x moins 1 ، le tout sur 3 ، plus x sur 2 égale 4 ، نـ multiplier par 6 : 2 fois (x moins 1) ، plus 3 x égale 24 ، donc 5 x égale 26 w x égale 26 sur 5 .

Le premier geste est de faire disparaître les dénominateurs : on multiplie les deux membres par un dénominateur commun. Pour x moins 1, le tout sur 3, plus x sur 2 égale 4, on multiplie par 6 : 2 fois (x moins 1), plus 3 x, égale 24, donc 5 x égale 26 et x égale 26 sur 5.

Question 14 · Les équations avec des fractions

  • il faut multiplier aussi le membre de droite ?
  • le terme sans dénominateur on le multiplie aussi ?
  • nmultipli el 4 zeda ?
  • multiplier tous les termes par 6 même ceux sans fraction
  • koll les termes nmultipliwhom ?
  • pourquoi 6 fois 4 à droite

Ce qu’il écrit au tableau

  • 6×x−13+6×x2=6×46 \times \frac{x-1}{3} + 6 \times \frac{x}{2} = 6 \times 4

Ce qu’il répond

Ey, nmultiplier les termes el koll, 7atta elli ma 3andhomch dénominateur, w 7atta le membre de droite. Pour $\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{x}{2} = 4$, el 4 ywalli $6 \times 4 = 24$. Ken nansewh, l'égalité ma3adech s7i7a.

إيه ، نـ multiplier les termes الكل ، حتى اللي ما عندهمش dénominateur ، w حتى le membre de droite . pour x moins 1 ، le tout sur 3 ، plus x sur 2 égale 4 ، الـ 4 يولّي 6 fois 4 ، يعني 24 . كان ننساوه ، l'égalité ماعادش صحيحة .

Oui, on multiplie tous les termes, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur, et y compris le membre de droite. Pour x moins 1, le tout sur 3, plus x sur 2 égale 4, le 4 devient 6 fois 4, soit 24. En l'oubliant, l'égalité n'est plus conservée.

Question 15 · Les équations avec des fractions

  • 6 × (x-1)/3 donne 2x - 1 ?
  • pourquoi une parenthèse quand on simplifie la fraction
  • le numérateur x - 1 3lech parenthèse
  • parenthèse invisible c'est quoi
  • pourquoi 2(x-1) et pas 2x-1
  • numérateur somme fiha parenthèse ?

Ce qu’il écrit au tableau

  • 6×x−13=2(x−1)=2x−26 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x - 1) = 2x - 2

Ce qu’il répond

La barre de fraction tal3eb dour parenthèse : le numérateur el koll yetmultiplier. $6 \times \dfrac{x-1}{3} = 2(x - 1) = 2x - 2$, mouch $2x - 1$.

la barre de fraction تلعب دور parenthèse : le numérateur الكل يتـ multiplier . 6 fois (x moins 1) sur 3 égale 2 fois (x moins 1) ، يعني 2 x moins 2 ، موش 2 x moins 1 .

La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : tout le numérateur est multiplié. 6 fois (x moins 1) sur 3 égale 2 fois (x moins 1), soit 2 x moins 2, et non 2 x moins 1.

Question 16 · Les équations avec des fractions

  • par quel nombre multiplier pour enlever les fractions
  • comment choisir le dénominateur commun
  • pourquoi on multiplie par 6
  • dénominateur commun kifech nal9ah
  • b 9addech nmultipli bech ntayyer les dénominateurs
  • 3lech 6 w mouch 5

Ce qu’il écrit au tableau

  • 63=2;62=3\frac{6}{3} = 2 \quad ; \quad \frac{6}{2} = 3

Ce qu’il répond

Nekhtarou nombre divisible par les dénominateurs el koll. Pour les dénominateurs 3 w 2, 6 yemchi : $\frac{6}{3} = 2$ w $\frac{6}{2} = 3$. El a7sen nekhtarou le plus petit, bech les calculs yo93dou sghar.

نختارو nombre يـ divisible par les dénominateurs الكل . pour les dénominateurs 3 w 2 ، 6 يمشي : 6 sur 3 égale 2 w 6 sur 2 égale 3 . الأحسن نختارو le plus petit ، باش les calculs يقعدو صغار .

On choisit un nombre divisible par tous les dénominateurs. Pour 3 et 2, 6 convient : 6 sur 3 égale 2 et 6 sur 2 égale 3. Mieux vaut prendre le plus petit, pour garder des calculs simples.

Question 17 · Mettre un problème en équation

  • comment mettre un problème en équation
  • kifech n7ott problème en équation
  • mise en équation d'un problème étapes
  • problème kifech nbadda
  • méthode pour résoudre un problème avec une équation
  • comment traduire un problème en équation

Ce qu’il écrit au tableau

  • 2(x+(x+7))=462\big(x + (x + 7)\big) = 46

Ce qu’il répond

Arba3 étapes dima : nekhtarou l'inconnue w nektbouha, n3abrou les autres grandeurs en fonction de x, nektbou l'énoncé b équation, w n7elou, men ba3d nerja3 lel so2al. Mathalan : soit x la largeur, la longueur hiya $x + 7$.

أربعة étapes ديما : نختارو l'inconnue w نكتبوها ، نعبّرو les autres grandeurs en fonction de x ، نكتبو l'énoncé بـ équation ، w نحلّو ، من بعد نرجعو للسؤال . مثلا : soit x la largeur ، la longueur هي x plus 7 .

Quatre étapes, toujours les mêmes : choisir l'inconnue et l'écrire, exprimer les autres grandeurs en fonction de x, traduire l'énoncé par une équation, puis résoudre et revenir à la question posée. Par exemple : soit x la largeur, la longueur vaut x plus 7.

Question 18 · Mettre un problème en équation

  • comment choisir l'inconnue
  • chnowa n7ott x
  • l'inconnue c'est quoi dans un problème
  • kifech nekhtar l'inconnue
  • x c'est la largeur ou la longueur
  • quelle grandeur appeler x

Ce qu’il écrit au tableau

  • ℓ=x;L=x+7\ell = x \quad ; \quad L = x + 7

Ce qu’il répond

Nekhdhou x el grandeur elli el so2al y7ki 3liha, walla elli najjmou n3abrou biha 3al be9i bel sehel. W nektbouha bel wadh7 : soit x la largeur, en cm. Men ba3d la longueur twalli $x + 7$.

ناخذو x الـ grandeur اللي السؤال يحكي عليها ، ولّا اللي نجّمو نعبّرو بيها على الباقي بالساهل . w نكتبوها بالواضح : soit x la largeur ، en cm . من بعد la longueur تولّي x plus 7 .

On appelle x la grandeur que demande la question, ou celle qui permet d'exprimer facilement les autres. Et on l'écrit noir sur blanc : soit x la largeur, en cm. La longueur vaut alors x plus 7.

Question 19 · Mettre un problème en équation

  • j'ai trouvé x = 8 c'est fini ?
  • l9it x = 8 kammalt ?
  • après avoir trouvé x qu'est-ce qu'on fait
  • pourquoi revenir à la question posée
  • la réponse c'est x = 8 ?
  • ba3d ma nal9a x chnowa na3mel

Ce qu’il écrit au tableau

  • ℓ=8 cm;L=15 cm\ell = 8 \ \text{cm} \quad ; \quad L = 15 \ \text{cm}

Ce qu’il répond

Le, $x = 8$ mouch el jweb. El so2al 3la les dimensions : la largeur 8 cm w la longueur 15 cm. W nvérifier : $2(8 + 15) = 46$. W nchoufou el jweb 3andou ma3na : longueur négative ma 3andhech ma3na.

لا ، x égale 8 موش الجواب . السؤال على les dimensions : la largeur 8 cm w la longueur 15 cm . w نـ vérifier : 2 fois (8 plus 15) égale 46 . w نشوفو الجواب عندو معنى : longueur négative ما عندهاش معنى .

Non, x égale 8 n'est pas la réponse. La question porte sur les dimensions : la largeur mesure 8 cm et la longueur 15 cm. On vérifie : 2 fois (8 plus 15) égale 46. Et on s'assure que la réponse a un sens : une longueur négative n'en a pas.

Question 20 · Mettre un problème en équation

  • périmètre d'un rectangle formule
  • kifech na7seb le périmètre mta3 rectangle
  • périmètre rectangle 2(L + l)
  • c'est quoi le périmètre d'un rectangle
  • périmètre 46 comment écrire l'équation
  • formule du périmètre

Ce qu’il écrit au tableau

  • P=2(L+ℓ)\mathcal{P} = 2(L + \ell)

Ce qu’il répond

Le périmètre mte3 rectangle houwa $2(L + \ell)$. Ken la largeur x w la longueur $x + 7$, w le périmètre 46 : $2\big(x + (x + 7)\big) = 46$, ya3ni $4x + 14 = 46$.

le périmètre متاع rectangle هو 2 fois ، la longueur plus la largeur . كان la largeur x w la longueur x plus 7 ، w le périmètre 46 : 2 fois (x plus x plus 7) égale 46 ، يعني 4 x plus 14 égale 46 .

Le périmètre d'un rectangle vaut 2 fois, la longueur plus la largeur. Si la largeur est x, la longueur x plus 7 et le périmètre 46 : 2 fois (x plus x plus 7) égale 46, c'est-à-dire 4 x plus 14 égale 46.

Question 21 · Mettre un problème en équation

  • la longueur dépasse la largeur de 7 comment l'écrire
  • dépasse de 7 ya3ni chnowa
  • kifech nekteb la longueur dépasse la largeur
  • dépasser de 7 c'est plus 7 ou fois 7
  • longueur dépasse largeur traduire
  • dépasse ya3ni nzid wala nadhreb

Ce qu’il écrit au tableau

  • L=x+7L = x + 7

Ce qu’il répond

Dépasse de 7 ya3ni nzidou 7, mouch nadhrbou. Ken la largeur x, la longueur hiya $x + 7$ : el longueur akbar b 7 cm.

dépasse de 7 يعني نزيدو 7 ، موش نضربو . كان la largeur x ، la longueur هي x plus 7 . الـ longueur أكبر بـ 7 cm .

« Dépasse de 7 » veut dire qu'on ajoute 7, pas qu'on multiplie. Si la largeur est x, la longueur vaut x plus 7 : elle a 7 cm de plus.

Question 22 · Les inéquations

  • pourquoi le sens de l'inégalité change quand on divise par un négatif
  • 3lech el sens ytbaddel ki ndivisi b négatif
  • diviser une inéquation par un négatif, le sens change ?
  • -2x < 6 donne x < -3 ?
  • multiplier par un négatif le sens s'inverse ?
  • sens inversé nombre négatif 3lech

Ce qu’il écrit au tableau

  • 2<5mais−2>−52 < 5 \quad \text{mais} \quad -2 > -5
  • −2x<6  ⟺  x>−3-2x < 6 \iff x > -3

Ce qu’il répond

Jarreb : $2 < 5$ s7i7. Nmultiplier par $-1$ : $-2$ w $-5$, w $-2 > -5$. Le sens tbaddel. Donc $-2x < 6$, ki ndiviser par $-2$, ta3ti $x > -3$.

جرّب : 2 inférieur à 5 صحيح . نـ multiplier par moins 1 : moins 2 w moins 5 ، w moins 2 supérieur à moins 5 . le sens تبدّل . donc moins 2 x inférieur à 6 ، كي نـ diviser par moins 2 ، تعطي x supérieur à moins 3 .

Essaie : 2 est inférieur à 5. Multiplie par moins 1 : moins 2 et moins 5, et moins 2 est supérieur à moins 5. Le sens a changé. Donc pour moins 2 x inférieur à 6, en divisant par moins 2, on obtient x supérieur à moins 3.

Question 23 · Les inéquations

  • si on divise par un positif le sens change ?
  • multiplier une inéquation par un nombre positif
  • nombre positif el sens yetbaddel ?
  • ajouter un nombre change le sens de l'inégalité ?
  • quand est-ce que le sens ne change pas
  • positif sens change wala le

Ce qu’il répond

Le. Nzidou walla nretirer nafs el nombre, le sens ma yetbaddelch. Nmultiplier walla ndiviser par un nombre strictement positif, zeda ma yetbaddelch. Le sens yetbaddel ken ki nmultiplier walla ndiviser par un nombre strictement négatif.

لا . نزيدو ولّا نـ retirer نفس الـ nombre ، le sens ما يتبدّلش . نـ multiplier ولّا نـ diviser par un nombre strictement positif ، زادة ما يتبدّلش . le sens يتبدّل كان كي نـ multiplier ولّا نـ diviser par un nombre strictement négatif .

Non. Ajouter ou retirer le même nombre ne change pas le sens. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif ne le change pas non plus. Le sens ne s'inverse que si l'on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.

Question 24 · Les inéquations

  • quelle est la différence entre une équation et une inéquation
  • chnowa el far9 bin équation w inéquation
  • une inéquation se résout comme une équation ?
  • c'est quoi une inéquation
  • inéquation chnowa
  • kifech n7el inéquation

Ce qu’il répond

L'inéquation fiha inférieur walla supérieur fi blaset égal. N7elouha kif l'équation bedhabt, m3a exception wa7da : ki nmultiplier walla ndiviser par un nombre négatif, le sens yetbaddel. W les solutions twalli intervalle, mouch nombre wa7ed.

l'inéquation فيها inférieur ولّا supérieur في بلاصة égal . نحلّوها كيف l'équation بالظبط ، مع exception وحدة : كي نـ multiplier ولّا نـ diviser par un nombre négatif ، le sens يتبدّل . w les solutions تولّي intervalle ، موش nombre واحد .

Une inéquation compare avec inférieur ou supérieur au lieu de égal. Elle se résout exactement comme une équation, avec une seule exception : en multipliant ou en divisant par un nombre négatif, le sens s'inverse. Et ses solutions forment un intervalle, pas un seul nombre.

Question 25 · Écrire l'ensemble des solutions

  • comment écrire l'ensemble des solutions d'une inéquation
  • kifech nekteb S
  • x > -3 donne quel intervalle
  • ensemble des solutions avec un intervalle
  • comment passer de x > a à l ensemble des solutions
  • S = intervalle kifech

Ce qu’il écrit au tableau

  • x>a  ⟺  S= ]a ;+∞[x > a \iff S = \,]a\,;+\infty[
  • x≤a  ⟺  S= ]−∞ ;a]x \le a \iff S = \,]-\infty\,;a]

Ce qu’il répond

$x > a$ ya3ti $S = \,]a\,;+\infty[$. $x \ge a$ ya3ti $[a\,;+\infty[$. $x < a$ ya3ti $]-\infty\,;a[$. Mathalan $x > -3$ ya3ti $S = \,]-3\,;+\infty[$.

x supérieur à a يعطي S égale l'intervalle de a exclu à plus l'infini ، crochet ouvert عند a . x supérieur ou égal à a يعطي crochet fermé عند a . x inférieur à a يعطي l'intervalle de moins l'infini à a exclu . مثلا x supérieur à moins 3 يعطي S égale l'intervalle de moins 3 exclu à plus l'infini .

x supérieur à a donne S égale l'intervalle ouvert de a à plus l'infini. x supérieur ou égal à a donne le crochet fermé en a. x inférieur à a donne l'intervalle de moins l'infini à a, ouvert. Par exemple, x supérieur à moins 3 donne S égale l'intervalle de moins 3 exclu à plus l'infini.

Question 26 · Écrire l'ensemble des solutions

  • crochet ouvert ou fermé pour x ≥ 9
  • kifech na3ref crochet ouvert wala fermé
  • x ≥ 9 le crochet est fermé ?
  • quand est-ce que le crochet est fermé
  • crochet fermé 3lech
  • ouvert ou fermé comment savoir

Ce qu’il écrit au tableau

  • x≥9  ⟺  S=[9 ;+∞[x \ge 9 \iff S = [9\,;+\infty[

Ce qu’il répond

$\ge$ walla $\le$ ya9blou l'égalité : el valeur todkhol, le crochet fermé. Strictement ya3ni ma todkholch : crochet ouvert. $x \ge 9$ ya3ti $S = [9\,;+\infty[$.

supérieur ou égal ولّا inférieur ou égal يقبلو l'égalité : الـ valeur تدخل ، le crochet fermé . strictement يعني ما تدخلش : crochet ouvert . x supérieur ou égal à 9 يعطي S égale l'intervalle de 9 inclus à plus l'infini ، fermé عند 9 .

Supérieur ou égal, ou inférieur ou égal, autorisent l'égalité : la valeur appartient à l'ensemble, le crochet est fermé. Une inégalité stricte l'exclut : crochet ouvert. x supérieur ou égal à 9 donne S égale l'intervalle fermé en 9, jusqu'à plus l'infini.

Question 27 · Écrire l'ensemble des solutions

  • pourquoi le crochet est toujours ouvert à l'infini
  • infini crochet fermé wala ouvert
  • +∞ on met quel crochet
  • kifech nekteb el crochet mta3 l'infini
  • l'infini est-il inclus
  • moins l'infini crochet

Ce qu’il écrit au tableau

  • [9 ;+∞[[9\,;+\infty[

Ce qu’il répond

L'infini mouch nombre, 3omrna ma noussloulou : donc le crochet dima ouvert men jihet l'infini, 7atta ki ykoun fermé mel jiha lo5ra. Mathalan $[9\,;+\infty[$ : fermé 3and 9 w ouvert 3and $+\infty$.

l'infini موش nombre ، عمرنا ما نوصلولو : donc le crochet ديما ouvert من جيهة l'infini ، حتى كي يكون fermé من الجيهة الأخرى . مثلا l'intervalle de 9 à plus l'infini : fermé عند 9 w ouvert عند plus l'infini .

L'infini n'est pas un nombre, on ne l'atteint jamais : le crochet est donc toujours ouvert du côté de l'infini, même quand il est fermé de l'autre côté. Par exemple, de 9 à plus l'infini : fermé en 9, ouvert en plus l'infini.

Question 28 · Écrire l'ensemble des solutions

  • comment vérifier la solution d'une inéquation
  • kifech nt2akked mel intervalle
  • tester une valeur dans l'inéquation
  • comment vérifier si le sens est bien inversé
  • nverifi inéquation kifech
  • tester une valeur de l'intervalle trouvé

Ce qu’il écrit au tableau

  • x=0 : −2×0=0<6✓x = 0 \ : \ -2 \times 0 = 0 < 6 \quad \checkmark

Ce qu’il répond

Nekhdhou valeur men l'intervalle elli l9inah, w nbaddlouha fi l'inéquation de départ. Pour $-2x < 6$ w $x > -3$ : $x = 0$ ya3ti $0 < 6$, s7i7. Ken el valeur ma temchich, rahou le sens tbaddel fi blasa ghalta.

ناخذو valeur من l'intervalle اللي لقيناه ، w نبدّلوها في l'inéquation de départ . pour moins 2 x inférieur à 6 w x supérieur à moins 3 : x égale zéro يعطي zéro inférieur à 6 ، صحيح . كان الـ valeur ما تمشيش ، راهو le sens تبدّل في بلاصة غالطة .

On prend une valeur de l'intervalle trouvé et on la remplace dans l'inéquation de départ. Pour moins 2 x inférieur à 6 et x supérieur à moins 3 : x égale zéro donne zéro inférieur à 6, c'est juste. Si la valeur ne convient pas, le sens a été inversé à tort quelque part.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Une équation en deux gestes

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 4x−7=13.4x - 7 = 13.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par isoler le terme en xx : que faut-il faire du −7-7 ?
  2. Un terme qui change de membre change de signe.
  3. Une fois 4x4x seul, divise les deux membres par 4.4.

Correction

  1. Isoler — On ajoute 77 aux deux membres.4x=13+7=204x = 13 + 7 = 20
  2. Diviser — x=204x = \frac{20}{4}
  3. x=5x = 5
  4. Vérification — 4×5−7=13✓4 \times 5 - 7 = 13 \quad \checkmark
  5. S={5}S = \{5\}

Rassembler, puis diviser. La vérification confirme le signe.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → Tu as écrit 4x=13−7.4x = 13 - 7. En changeant de membre, le −7-7 devient +7.+7.
  • 80 → Tu as multiplié par 44 au lieu de diviser. Le 44 multiplie déjà xx : pour l'annuler, on divise.

Exercice 2 · base

Le sens qui s'inverse

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation −3x<12.-3x < 12.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (note l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-4;+inf[ — aussi acceptées : ]-4;+∞[ · ]-4,+inf[

Indices, dans l’ordre

  1. Pour isoler x,x, il faut diviser les deux membres par −3.-3.
  2. Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
  3. Teste ensuite x=0x = 0 dans l'inéquation de départ pour contrôler ton sens.

Correction

  1. Diviser par −3 — Le diviseur est négatif : le symbole << devient >.>.−3x<12  ⟺  x>12−3-3x < 12 \iff x > \frac{12}{-3}
  2. x>−4x > -4
  3. Écrire l'ensemble — L'inégalité est stricte : le crochet reste ouvert.S= ]−4 ;+∞[S = \,]-4\,;+\infty[
  4. Contrôle — x=0x = 0 appartient à S,S, et −3×0=0<12.-3 \times 0 = 0 < 12. Cohérent.0∈S✓0 \in S \quad \checkmark
  5. S= ]−4 ;+∞[S = \,]-4\,;+\infty[

C'est le seul cas où le symbole change : division ou multiplication par un négatif.

Pièges anticipés

  • ]-inf;-4[ / ]-∞;-4[ → Tu as gardé le sens de départ. En divisant par −3,-3, le << devient >.>. Teste x=0x = 0 : il convient, or il n'est pas dans ton ensemble.
  • [-4;+inf[ / [-4;+∞[ → L'inégalité est stricte : −4-4 n'est pas solution, son crochet reste ouvert.

Exercice 3 · pratique

Une équation avec des fractions

Résoudre dans R\mathbb{R} : x+14+x6=2.\dfrac{x+1}{4} + \dfrac{x}{6} = 2.

Réponse attendue : 21/5 — aussi acceptées : 4.2

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par un dénominateur commun pour supprimer les fractions.
  2. Ici 1212 convient : c'est le plus petit multiple commun de 44 et de 6.6. N'oublie pas de multiplier aussi le membre de droite.
  3. La barre de fraction est une parenthèse : 12×x+14=3(x+1).12 \times \dfrac{x+1}{4} = 3(x+1).

Correction

  1. Multiplier par 12 — 12×x+14+12×x6=12×212 \times \frac{x+1}{4} + 12 \times \frac{x}{6} = 12 \times 2
  2. Chaque numérateur garde sa parenthèse.3(x+1)+2x=243(x + 1) + 2x = 24
  3. Développer — 3x+3+2x=243x + 3 + 2x = 24
  4. Réduire et résoudre — 5x=21  ⟺  x=2155x = 21 \iff x = \frac{21}{5}

Le dénominateur commun ramène toute l'équation aux entiers en une seule opération.

Pièges anticipés

  • 23/5 / 4.6 → Tu as écrit 3x+13x + 1 au lieu de 3(x+1)=3x+3.3(x+1) = 3x + 3. Tout le numérateur est multiplié.
  • -1/5 / -0.2 → Tu n'as pas multiplié le 22 par 12.12. Une transformation s'applique aux deux membres.

Exercice 4 · pratique

Un rectangle à retrouver

Le périmètre d'un rectangle est 5454 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 55 cm.

Quelle est la largeur, en cm ?

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par nommer l'inconnue : « Soit xx la largeur, en cm ». La longueur s'écrit alors en fonction de x.x.
  2. Le périmètre d'un rectangle vaut 2(L+ℓ).2(L + \ell).P=2(L+ℓ)\mathcal{P} = 2(L + \ell)
  3. Traduis l'énoncé, puis résous l'équation du premier degré obtenue.

Correction

  1. L'inconnue — Soit xx la largeur en cm. La longueur vaut x+5.x + 5.ℓ=x;L=x+5\ell = x \quad ; \quad L = x + 5
  2. Traduire — 2(x+x+5)=542\big(x + x + 5\big) = 54
  3. Résoudre — 4x+10=54  ⟺  4x=44  ⟺  x=114x + 10 = 54 \iff 4x = 44 \iff x = 11
  4. Revenir à la question — Vérification du périmètre : 2(11+16)=54.2(11 + 16) = 54.ℓ=11 cm;L=16 cm\ell = 11 \ \text{cm} \quad ; \quad L = 16 \ \text{cm}

On nomme, on traduit, on résout, puis on revient à ce que demandait l'énoncé.

Pièges anticipés

  • 16 → 1616 cm, c'est la longueur. La question porte sur la largeur, qui est 55 cm de moins.
  • 24.5 → Tu as travaillé sur 5454 comme si c'était L+ℓ.L + \ell. Le périmètre en est le double.
  • 13.5 → Tu as divisé 5454 par 4,4, ce qui reviendrait à un carré. Ici la longueur dépasse la largeur de 55 cm.

Exercice 5 · raisonnement

Une inéquation à dénominateur

Résoudre dans R\mathbb{R} : 3x−12≥x+4.\dfrac{3x-1}{2} \ge x + 4.

Donner la plus petite valeur entière de xx qui convient.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par 2.2. Le multiplicateur est positif : le sens ne change pas.
  2. N'oublie pas la parenthèse à droite : 2×(x+4)=2x+8.2 \times (x + 4) = 2x + 8.
  3. Le symbole est ≥\ge : la borne trouvée fait partie des solutions.

Correction

  1. Supprimer le dénominateur — 2>02 > 0 : le sens est conservé.3x−1≥2(x+4)3x - 1 \ge 2(x + 4)
  2. 3x−1≥2x+83x - 1 \ge 2x + 8
  3. Rassembler — On retire 2x2x et on ajoute 11 des deux côtés.x≥9x \ge 9
  4. L'ensemble — Le crochet se ferme sur 9,9, qui est solution.S=[9 ;+∞[S = [9\,;+\infty[

Comme l'inégalité est large, la borne appartient à l'ensemble : c'est elle, la plus petite valeur entière.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as traité ≥\ge comme >.>. L'inégalité est large : la borne elle-même convient.
  • 5 → Tu as multiplié seulement le xx à droite. Le +4+4 est aussi multiplié par 2.2.

Exercice 6 · defi

Comparer deux expressions

On pose A=2(x−3)A = 2(x - 3) et B=5−(x+1).B = 5 - (x + 1). On cherche les valeurs de xx pour lesquelles A>B.A > B.

Donner la borne de l'ensemble des solutions.

Réponse attendue : 10/3

Indices, dans l’ordre

  1. Développe chaque expression avant de comparer.
  2. Attention au signe moins devant (x+1)(x+1) : il change le signe des deux termes.
  3. Rassemble ensuite les xx d'un côté, les nombres de l'autre.

Correction

  1. Développer A — A=2(x−3)=2x−6A = 2(x - 3) = 2x - 6
  2. Développer B — Le moins change le signe de xx et de 1.1.B=5−(x+1)=5−x−1=4−xB = 5 - (x + 1) = 5 - x - 1 = 4 - x
  3. Poser l'inéquation — 2x−6>4−x2x - 6 > 4 - x
  4. Rassembler — On ajoute xx et 66 des deux côtés : le sens ne change pas.3x>103x > 10
  5. Diviser — 3>03 > 0 : le sens est conservé.x>103x > \frac{10}{3}
  6. S=]103 ;+∞[S = \left]\frac{10}{3}\,;+\infty\right[

Aucune division par un négatif ici : le sens reste le même du début à la fin.

Pièges anticipés

  • 4 → Tu as écrit 5−x+1.5 - x + 1. Le moins s'applique à toute la parenthèse : c'est 5−x−1.5 - x - 1.
  • 10 → Tu es arrivé à 3x>103x > 10 et tu t'es arrêté. Il reste à diviser par 3.3.
  • 3.33 / 3.3 / 3.333 → C'est une valeur approchée de la borne, pas la borne elle-même. La division ne tombe pas juste : garde-la exacte, sous forme de fraction.

Exercice 7 · base

Deux solutions, pas une

Résoudre l'équation x2=49.x^{2} = 49.

Donner l'ensemble des solutions.

Écrire l'ensemble des solutions, par exemple {-2;2}.

Réponse attendue : {-7;7} — aussi acceptées : {-7 ; 7} · -7;7 · {7;-7} · -7 et 7 · {-7,7}

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par regarder le signe du membre de droite : c'est lui qui décide du nombre de solutions.
  2. 4949 est positif : il y a donc deux solutions, et elles sont opposées l'une de l'autre. Cherche un nombre dont le carré vaut 49,49, puis pense à son opposé.

Correction

  1. Le signe de 49 — 49>049 > 0 : l'équation admet deux solutions, opposées.
  2. x=49oux=−49x = \sqrt{49} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{49}
  3. S={−7 ; 7}S = \{-7 \,;\, 7\}

Vérifie les deux : 72=497^{2} = 49 et (−7)2=49.(-7)^{2} = 49. Un carré efface le signe, c'est précisément pourquoi il y a deux antécédents.

Pièges anticipés

  • {7} / 7 → Tu n'as gardé que la solution positive. (−7)2(-7)^{2} vaut aussi 4949 : la solution négative compte autant.
  • {24.5} / 24.5 → Tu as divisé par 22 au lieu de prendre la racine carrée. L'inconnue est au carré, pas multipliée par 2.2.

Exercice 8 · pratique

Quand il n'y a rien à trouver

Résoudre l'équation x2+9=0.x^{2} + 9 = 0.

Donner l'ensemble des solutions.

Répondre par l'ensemble des solutions, ou par « aucune solution ».

Réponse attendue : vide — aussi acceptées : ensemble vide · aucune solution · pas de solution · S = vide

Indices, dans l’ordre

  1. Isole d'abord le carré : ramène l'équation à la forme x2=a.x^{2} = a.
  2. Tu obtiens x2=−9.x^{2} = -9. Avant de chercher une racine, regarde le signe : que vaut le carré d'un réel, au minimum ?

Correction

  1. On isole le carré — x2+9=0  ⟺  x2=−9x^{2} + 9 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2} = -9
  2. Le signe de −9 — Pour tout réel x,x, x2≥0.x^{2} \ge 0. Aucun réel n'a donc un carré égal à −9.-9.
  3. S=∅S = \varnothing

Le réflexe : regarder le signe avant de prendre une racine. On ne trouve pas −3-3 ici, car (−3)2=9(-3)^{2} = 9 et non −9.-9. À ce niveau, une équation peut parfaitement n'avoir aucune solution — et le dire est la bonne réponse.

Pièges anticipés

  • {-3;3} / {-3 ; 3} / -3;3 → Tu as pris la racine de 99 en ignorant le signe moins. Or (±3)2=9,(\pm 3)^{2} = 9, pas −9-9 : ces deux nombres ne sont pas solutions.
  • {-3} / -3 → (−3)2(-3)^{2} vaut 99 et non −9.-9. Un carré ne peut pas être négatif, quel que soit le signe du nombre de départ.

Exercice 9 · base

Remonter un programme

On choisit un nombre, on le multiplie par 3,3, puis on ajoute 7.7. On obtient 25.25.

Déterminer le nombre choisi.

Donner le nombre choisi.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Appelle xx le nombre choisi et écris le programme en une seule ligne.
  2. Pour remonter le programme, on annule les opérations dans l'ordre inverse : d'abord « ajouter 77 », puis « multiplier par 33 ».

Correction

  1. Avec une lettre — Soit xx le nombre choisi.3x+7=253x + 7 = 25
  2. Isoler — On retire 77 aux deux membres.3x=183x = 18
  3. Diviser — On divise les deux membres par 3.3.x=183x = \frac{18}{3}
  4. Vérification — 3×6+7=25✓3 \times 6 + 7 = 25 \quad \checkmark
  5. x=6x = 6

On remonte le programme en annulant chaque opération, de la dernière à la première : c'est exactement résoudre l'équation.

Pièges anticipés

  • 32/3 → Tu as ajouté 77 au lieu de le retirer. Pour annuler « ajouter 77 », on retire 7.7.
  • 4/3 → Tu as annulé les opérations dans le mauvais ordre : on annule d'abord la dernière opération, « ajouter 77 », avant de diviser par 3.3.

Exercice 10 · base

La parenthèse du programme

On choisit un nombre, on lui retranche 4,4, puis on multiplie le résultat par 5.5. On obtient 35.35.

Déterminer le nombre choisi.

Donner le nombre choisi.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

  1. « Multiplier le résultat par 55 » : c'est toute la différence qui est multipliée. Écris-la entre parenthèses.
  2. La dernière opération est la multiplication par 55 : c'est elle qu'on annule en premier.

Correction

  1. Avec une lettre — Soit xx le nombre choisi. Le résultat x−4x - 4 est multiplié par 5.5.5(x−4)=355(x - 4) = 35
  2. Diviser par 5 — x−4=7x - 4 = 7
  3. Ajouter 4 — x=7+4x = 7 + 4
  4. Vérification — 5×(11−4)=5×7=35✓5 \times (11 - 4) = 5 \times 7 = 35 \quad \checkmark
  5. x=11x = 11

Quand le programme dit « le résultat », la parenthèse est obligatoire dans l'équation.

Pièges anticipés

  • 39/5 / 7.8 → Tu as écrit 5x−4=355x - 4 = 35 : seul xx a été multiplié. C'est le résultat x−4x - 4 tout entier qui est multiplié par 5.5.
  • 3 → Tu as retranché 44 au lieu de l'ajouter. Pour annuler « retrancher 44 », on ajoute 4.4.

Exercice 11 · base

Un programme qui change le signe

On choisit un nombre, on le multiplie par −2,-2, puis on ajoute 9.9. On obtient 1.1.

Déterminer le nombre choisi.

Donner le nombre choisi.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'équation : le nombre xx multiplié par −2,-2, augmenté de 9,9, vaut 1.1.
  2. Retire 99 aux deux membres, puis divise par −2-2 : attention au signe du quotient.

Correction

  1. Avec une lettre — Soit xx le nombre choisi.−2x+9=1-2x + 9 = 1
  2. Isoler — On retire 99 aux deux membres.−2x=−8-2x = -8
  3. Diviser par −2 — x=−8−2x = \frac{-8}{-2}
  4. Vérification — −2×4+9=1✓-2 \times 4 + 9 = 1 \quad \checkmark
  5. x=4x = 4

Le quotient de deux nombres négatifs est positif : la vérification le confirme.

Pièges anticipés

  • -5 → Tu as ajouté 99 au lieu de le retirer : −2x=1+9.-2x = 1 + 9. Le +9+9 change de signe en changeant de membre.
  • -4 → Tu t'es trompé dans le signe du quotient : −8−2\dfrac{-8}{-2} est positif.

Exercice 12 · base

Quand le tâtonnement ne suffit pas

Un programme de calcul : multiplier par 4,4, puis retirer 6.6. Avec 22 on obtient 2,2, avec 55 on obtient 14.14.

Déterminer le nombre de départ qui donne 8.8.

Donner le nombre de départ.

Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5

Indices, dans l’ordre

  1. Les essais disent seulement que le nombre cherché est entre 22 et 5.5. Écris plutôt l'équation.
  2. L'équation est 4x−6=84x - 6 = 8 : isole 4x,4x, puis divise par 4.4.
  3. Le résultat n'est pas forcément un entier : c'est justement pour cela que les essais échouent.

Correction

  1. Avec une lettre — Soit xx le nombre de départ.4x−6=84x - 6 = 8
  2. Isoler — On ajoute 66 aux deux membres.4x=144x = 14
  3. Diviser — x=144x = \frac{14}{4}
  4. Vérification — 4×3,5−6=14−6=8✓4 \times 3{,}5 - 6 = 14 - 6 = 8 \quad \checkmark
  5. x=72x = \frac{7}{2}

Un nombre qui n'est pas entier se trouve difficilement en essayant ; l'équation le donne du premier coup.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → Tu as écrit 4x=8−6.4x = 8 - 6. Pour annuler « retirer 66 », on ajoute 6.6.
  • 8 → Tu as annulé les opérations dans le mauvais ordre : on annule d'abord « retirer 66 », la dernière opération, puis « multiplier par 44 ».

Exercice 13 · pratique

Deux programmes, un même résultat

Programme A : multiplier par 3,3, puis ajouter 5.5. Programme B : multiplier par 5,5, puis retirer 9.9.

Déterminer le nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.

Donner le nombre de départ.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. Écris le résultat de chaque programme en fonction de x,x, puis écris qu'ils sont égaux.
  2. Rassemble les termes en xx d'un côté et les nombres de l'autre : chaque terme qui change de membre change de signe.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre de départ. A donne 3x+53x + 5 et B donne 5x−9.5x - 9.3x+5=5x−93x + 5 = 5x - 9
  2. Rassembler — On retire 3x3x et on ajoute 99 aux deux membres.14=2x14 = 2x
  3. Diviser — x=142x = \frac{14}{2}
  4. Vérification — A donne 26,26, B donne 26.26.3×7+5=26=5×7−9✓3 \times 7 + 5 = 26 = 5 \times 7 - 9 \quad \checkmark
  5. x=7x = 7

Deux programmes qui donnent le même résultat : on écrit l'égalité de leurs deux expressions.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as écrit −2x=−9+5-2x = -9 + 5 : en passant de l'autre côté, le +5+5 devient −5,-5, pas +5.+5.
  • -7 → Tu es arrivé à −2x=−14-2x = -14 et tu t'es trompé de signe en divisant : −14−2\dfrac{-14}{-2} est positif.

Exercice 14 · pratique

Un programme en quatre étapes

Penser à un nombre. Lui ajouter 3.3. Multiplier le résultat par 2.2. Retrancher 4.4. Diviser le tout par 2.2. On obtient 10.10.

Déterminer le nombre pensé.

Donner le nombre pensé.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'expression obtenue à chaque étape en fonction de x,x, sans oublier les parenthèses.
  2. Le programme s'écrit en une seule ligne :2(x+3)−42=10\frac{2(x + 3) - 4}{2} = 10
  3. Tu peux aussi remonter le programme : multiplier par 2,2, ajouter 4,4, diviser par 2,2, retirer 3.3.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre pensé.2(x+3)−42=10\frac{2(x + 3) - 4}{2} = 10
  2. Multiplier par 2 — 2(x+3)−4=202(x + 3) - 4 = 20
  3. Développer — 2x+6−4=20  ⟺  2x+2=202x + 6 - 4 = 20 \iff 2x + 2 = 20
  4. Résoudre — 2x=182x = 18
  5. x=9x = 9

Chaque « le résultat » du programme se traduit par une parenthèse ; ensuite, la méthode est celle de toute équation.

Pièges anticipés

  • 9/2 / 4.5 → Tu n'as divisé par 22 que le terme 22 de 2x+2,2x + 2, et pas 2x.2x. C'est tout le numérateur qui est divisé : 2x+22=x+1.\dfrac{2x + 2}{2} = x + 1.
  • 4 → Tu as oublié d'annuler la dernière opération, « diviser par 22 » : il faut d'abord multiplier 1010 par 2.2.

Exercice 15 · pratique

Un programme qui donne toujours la même chose

Choisir un nombre. Le multiplier par 6.6. Ajouter 12.12. Diviser le résultat par 3.3. Retrancher enfin le double du nombre choisi.

Déterminer le résultat obtenu, quel que soit le nombre choisi.

Donner le résultat obtenu.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Appelle xx le nombre choisi et écris le résultat du programme en fonction de x.x.
  2. La division par 33 porte sur toute la somme 6x+126x + 12 : divise chacun de ses deux termes.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre choisi.6x+123−2x\frac{6x + 12}{3} - 2x
  2. Diviser chaque terme — =2x+4−2x= 2x + 4 - 2x
  3. Réduire — Les termes en xx s'annulent.=4= 4
  4. Contrôle — Avec x=5x = 5 : 30+12=42,30 + 12 = 42, puis 14,14, puis 14−10=4.14 - 10 = 4.6×5+123−2×5=4✓\frac{6 \times 5 + 12}{3} - 2 \times 5 = 4 \quad \checkmark
  5. 44

Écrire le programme avec une lettre montre ce que les essais ne font que suggérer : le résultat ne dépend pas du nombre choisi.

Pièges anticipés

  • 12 → Tu n'as divisé par 33 que le terme 6x.6x. La division porte sur toute la somme : 123=4\dfrac{12}{3} = 4 aussi.

Exercice 16 · pratique

Un résultat négatif

On choisit un nombre x,x, on lui ajoute 5,5, puis on multiplie le résultat par 3.3. Le programme donne −6.-6.

Déterminer x.x.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : -7

Indices, dans l’ordre

  1. Le programme donne 3(x+5)3(x + 5) : écris l'équation correspondante.
  2. Divise d'abord les deux membres par 3,3, puis annule « ajouter 55 ».

Correction

  1. Traduire — 3(x+5)=−63(x + 5) = -6
  2. Diviser par 3 — x+5=−2x + 5 = -2
  3. Retirer 5 — x=−2−5x = -2 - 5
  4. Vérification — 3×(−7+5)=3×(−2)=−6✓3 \times (-7 + 5) = 3 \times (-2) = -6 \quad \checkmark
  5. x=−7x = -7

Un résultat négatif ne change rien à la méthode : on annule les opérations dans l'ordre inverse.

Pièges anticipés

  • -11/3 → Tu as écrit 3x+5=−6.3x + 5 = -6. C'est la somme x+5x + 5 qui est multipliée par 33 : 3(x+5).3(x + 5).
  • 3 → Tu as ajouté 55 au lieu de le retirer : de x+5=−2x + 5 = -2 on tire x=−2−5.x = -2 - 5.

Exercice 17 · raisonnement

Le nombre de Karim

Karim choisit un nombre, le multiplie par 4,4, ajoute 3,3, puis multiplie le résultat par 2.2. Il annonce 46.46.

Déterminer le nombre choisi par Karim.

Donner le nombre choisi par Karim.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Écris le programme en une ligne : la dernière multiplication porte sur tout le résultat 4x+3.4x + 3.
  2. Commence par annuler la dernière opération : divise les deux membres par 2.2.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre choisi.2(4x+3)=462(4x + 3) = 46
  2. Diviser par 2 — 4x+3=234x + 3 = 23
  3. Isoler — 4x=204x = 20
  4. Vérification — 2×(4×5+3)=2×23=46✓2 \times (4 \times 5 + 3) = 2 \times 23 = 46 \quad \checkmark
  5. x=5x = 5

Plus le programme est long, plus la parenthèse compte : c'est elle qui garde l'ordre des opérations.

Pièges anticipés

  • 43/8 → Tu as écrit 8x+3=468x + 3 = 46 : le 33 aussi est multiplié par 2.2. Le résultat entier 4x+34x + 3 est doublé.
  • 89/4 / 22.25 → Tu as multiplié 4646 par 2.2. Pour annuler « multiplier par 22 », on divise par 2.2.

Exercice 18 · raisonnement

Deux programmes qui se rencontrent

Programme A : ajouter 2,2, puis multiplier le résultat par 5.5. Programme B : multiplier par 2,2, puis ajouter 17.17.

Déterminer le nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.

Donner le nombre de départ, sous forme de fraction irréductible.

Réponse attendue : 7/3

Indices, dans l’ordre

  1. Programme A donne 5(x+2)5(x + 2) ; écris aussi le résultat du programme B, puis l'égalité.
  2. Développe, puis rassemble les xx d'un côté et les nombres de l'autre.
  3. Le résultat n'est pas un entier : garde-le sous forme de fraction.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre de départ.5(x+2)=2x+175(x + 2) = 2x + 17
  2. Développer — 5x+10=2x+175x + 10 = 2x + 17
  3. Rassembler — On retire 2x2x et 1010 aux deux membres.3x=73x = 7
  4. Diviser — x=73x = \frac{7}{3}
  5. Vérification — A donne 5×133=653,5 \times \dfrac{13}{3} = \dfrac{65}{3}, B donne 143+17=653.\dfrac{14}{3} + 17 = \dfrac{65}{3}.653=653✓\frac{65}{3} = \frac{65}{3} \quad \checkmark
  6. x=73x = \frac{7}{3}

Aucun essai sur les entiers n'aurait trouvé ce nombre : l'équation, si.

Pièges anticipés

  • 5 → Tu as écrit 5x+25x + 2 : c'est la somme x+2x + 2 entière qui est multipliée par 5.5.
  • 9 → Tu as écrit 3x=17+10.3x = 17 + 10. Le +10+10 change de membre : il devient −10.-10.
  • 2.33 / 2.3 / 2.333 → C'est une valeur approchée. La division ne tombe pas juste : garde la fraction exacte.

Exercice 19 · raisonnement

Un résultat fractionnaire

On choisit un nombre, on le multiplie par −3,-3, puis on ajoute 1.1. On obtient −12.-\dfrac{1}{2}.

Déterminer le nombre choisi.

Donner le nombre choisi.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. L'équation est −3x+1=−12-3x + 1 = -\dfrac{1}{2} : isole d'abord −3x.-3x.
  2. Retirer 11 à −12,-\dfrac{1}{2}, c'est descendre encore d'une unité.
  3. Divise enfin par −3-3 : deux nombres négatifs ont un quotient positif.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre choisi.−3x+1=−12-3x + 1 = -\frac{1}{2}
  2. Isoler — On retire 11 aux deux membres.−3x=−32-3x = -\frac{3}{2}
  3. Diviser par −3 — x=−32×1−3x = \frac{-3}{2} \times \frac{1}{-3}
  4. Vérification — −3×12+1=−12✓-3 \times \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} \quad \checkmark
  5. x=12x = \frac{1}{2}

Les fractions et les signes ne changent pas la méthode : isoler, diviser, vérifier.

Pièges anticipés

  • -1/6 → Tu as écrit −3x=−12+1.-3x = -\dfrac{1}{2} + 1. Le +1+1 change de membre en changeant de signe : −12−1.-\dfrac{1}{2} - 1.
  • -1/2 / -0.5 → Tu t'es trompé de signe en divisant −32-\dfrac{3}{2} par −3-3 : le quotient de deux négatifs est positif.

Exercice 20 · defi

La commerçante et ses deux années

Une commerçante possède une somme de départ. La première année, elle dépense 200200 D, puis augmente ce qui lui reste d'un quart. La deuxième année, elle recommence : elle dépense 200200 D, puis augmente ce qui lui reste d'un quart. Elle possède alors 1 6251\,625 D.

Déterminer la somme de départ.

Donner la somme de départ, en dinars.

Réponse attendue : 1400

Indices, dans l’ordre

  1. Augmenter une somme ss d'un quart, c'est la multiplier par 54.\dfrac{5}{4}.
  2. Tu peux remonter le programme depuis la fin : pour annuler « multiplier par 54\dfrac{5}{4} », on multiplie par 45.\dfrac{4}{5}.
  3. Soit xx la somme de départ : après la première année, elle possède 54(x−200).\dfrac{5}{4}(x - 200).

Correction

  1. Première année — Soit xx la somme de départ, en dinars.54(x−200)\frac{5}{4}(x - 200)
  2. Deuxième année — 54(54(x−200)−200)=1625\frac{5}{4}\left(\frac{5}{4}(x - 200) - 200\right) = 1625
  3. Annuler le dernier quart — On multiplie les deux membres par 45.\dfrac{4}{5}.54(x−200)−200=1300\frac{5}{4}(x - 200) - 200 = 1300
  4. Annuler la dépense — 54(x−200)=1500  ⟺  x−200=1200\frac{5}{4}(x - 200) = 1500 \iff x - 200 = 1200
  5. Vérification — 1 400−200=1 200,1\,400 - 200 = 1\,200, puis 1 5001\,500 ; 1 500−200=1 300,1\,500 - 200 = 1\,300, puis 1 625.1\,625.1200→1500→1300→1625✓1200 \to 1500 \to 1300 \to 1625 \quad \checkmark
  6. x=1 400x = 1\,400

Un problème en plusieurs étapes se remonte à l'envers, étape par étape : chaque opération a son opération inverse.

Pièges anticipés

  • 1264.0625 → Tu as annulé « augmenter d'un quart » en retirant un quart, c'est-à-dire en multipliant par 34.\dfrac{3}{4}. Or 54×34≠1\dfrac{5}{4} \times \dfrac{3}{4} \neq 1 : l'inverse de 54\dfrac{5}{4} est 45.\dfrac{4}{5}.
  • 1240 / 1200 → Tu n'as annulé la dépense de 200200 D qu'une seule fois. Chaque année commence par une dépense : il faut la rajouter deux fois.

Exercice 21 · base

Isoler, puis diviser

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 7x+5=26.7x + 5 = 26.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Fais d'abord disparaître le +5+5 du membre de gauche.
  2. Une fois 7x7x seul, divise les deux membres par le coefficient de x.x.

Correction

  1. Isoler — On retire 55 aux deux membres.7x=217x = 21
  2. Diviser — x=217x = \frac{21}{7}
  3. Vérification — 7×3+5=26✓7 \times 3 + 5 = 26 \quad \checkmark
  4. S={3}S = \{3\}

Deux gestes, toujours dans cet ordre : rassembler, puis diviser par le coefficient de x.x.

Pièges anticipés

  • 31/7 → Tu as écrit 7x=26+5.7x = 26 + 5. En changeant de membre, le +5+5 devient −5.-5.
  • 147 → Tu as multiplié par 77 au lieu de diviser. Le 77 multiplie déjà xx : pour l'annuler, on divise.

Exercice 22 · base

Un coefficient négatif

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation −5x=35.-5x = 35.

Réponse attendue : -7

Indices, dans l’ordre

  1. Il suffit de diviser les deux membres par le coefficient de x.x.
  2. Le coefficient est −5-5 : quel est le signe du quotient de 3535 par un nombre négatif ?

Correction

  1. Diviser par −5 — x=35−5x = \frac{35}{-5}
  2. Vérification — −5×(−7)=35✓-5 \times (-7) = 35 \quad \checkmark
  3. S={−7}S = \{-7\}

On divise par le coefficient avec son signe : ici −5,-5, pas 5.5.

Pièges anticipés

  • 7 → Tu as divisé par 55 au lieu de −5.-5. Vérifie : −5×7=−35,-5 \times 7 = -35, pas 35.35.
  • -1/7 → Tu as calculé −535.\dfrac{-5}{35}. On divise le membre de droite par le coefficient : 35−5.\dfrac{35}{-5}.

Exercice 23 · base

Le terme en x à droite du nombre

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 9−2x=3.9 - 2x = 3.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Le terme en xx est −2x,-2x, avec son signe. Retire d'abord 99 aux deux membres.
  2. Tu obtiens une équation de la forme −2x=…-2x = \ldots : divise par −2.-2.

Correction

  1. Isoler — On retire 99 aux deux membres.−2x=3−9=−6-2x = 3 - 9 = -6
  2. Diviser par −2 — x=−6−2x = \frac{-6}{-2}
  3. Vérification — 9−2×3=3✓9 - 2 \times 3 = 3 \quad \checkmark
  4. S={3}S = \{3\}

Le signe placé devant 2x2x fait partie du coefficient : ici, on divise par −2.-2.

Pièges anticipés

  • -6 → Tu as écrit −2x=3+9.-2x = 3 + 9. Le 99 change de membre : il devient −9.-9.
  • -3 → Tu es arrivé à −2x=−6-2x = -6 mais tu t'es trompé en divisant : −6−2\dfrac{-6}{-2} est positif.

Exercice 24 · base

Est-ce une solution ?

Le nombre −2-2 est-il solution de l'équation 5x+3=2x−35x + 3 = 2x - 3 ?

Répondre par « oui » ou « non ».

Réponse attendue : oui

Indices, dans l’ordre

  1. Pas besoin de résoudre : remplace xx par −2-2 dans chacun des deux membres.
  2. Calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis compare.

Correction

  1. Membre de gauche — 5×(−2)+3=−10+3=−75 \times (-2) + 3 = -10 + 3 = -7
  2. Membre de droite — 2×(−2)−3=−4−3=−72 \times (-2) - 3 = -4 - 3 = -7
  3. Comparer — Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie pour x=−2.x = -2.−7=−7-7 = -7
  4. −2 est solution-2 \ \text{est solution}

Pour savoir si un nombre est solution, on le remplace dans les deux membres : c'est aussi ainsi qu'on vérifie une résolution.

Pièges anticipés

  • non → Refais le calcul en remplaçant xx par −2-2 des deux côtés, en gardant les parenthèses : 5×(−2)=−105 \times (-2) = -10 et 2×(−2)=−4.2 \times (-2) = -4.

Exercice 25 · pratique

Une parenthèse à développer

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 3(x−4)=2x+1.3(x - 4) = 2x + 1.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par développer le membre de gauche : le 33 multiplie les deux termes de la parenthèse.
  2. Rassemble ensuite les termes en xx à gauche, les nombres à droite.

Correction

  1. Développer — 3x−12=2x+13x - 12 = 2x + 1
  2. Rassembler — On retire 2x2x et on ajoute 1212 aux deux membres.x=1+12x = 1 + 12
  3. Vérification — 3×(13−4)=27=2×13+1✓3 \times (13 - 4) = 27 = 2 \times 13 + 1 \quad \checkmark
  4. S={13}S = \{13\}

Développer d'abord, rassembler ensuite : une équation avec parenthèses se ramène toujours à ax+b=0.ax + b = 0.

Pièges anticipés

  • 5 → Tu as écrit 3x−43x - 4 : le 33 multiplie aussi le 4.4. On a 3(x−4)=3x−12.3(x - 4) = 3x - 12.
  • -11 → Tu as écrit x=1−12.x = 1 - 12. Le −12-12 change de membre en changeant de signe : il devient +12.+12.

Exercice 26 · pratique

Où est l'erreur ?

Un élève résout 6x−5=2x+76x - 5 = 2x + 7 ainsi : 6x−2x=7+5,6x - 2x = 7 + 5, donc 4x=12,4x = 12, donc x=12−4=8.x = 12 - 4 = 8.

Résoudre correctement l'équation.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux premières lignes sont justes. Regarde le dernier passage : que fait le 44 devant xx ?
  2. Le 44 multiplie xx : pour l'annuler, on ne soustrait pas, on divise.

Correction

  1. Rassembler — Cette étape de l'élève est juste.6x−2x=7+5  ⟺  4x=126x - 2x = 7 + 5 \iff 4x = 12
  2. Diviser — C'est ici l'erreur : 4x4x signifie 4×x,4 \times x, on divise donc par 4.4.x=124x = \frac{12}{4}
  3. Vérification — 6×3−5=13=2×3+7✓6 \times 3 - 5 = 13 = 2 \times 3 + 7 \quad \checkmark
  4. S={3}S = \{3\}

Un coefficient multiplie l'inconnue : il s'annule par une division, jamais par une soustraction.

Pièges anticipés

  • 8 → C'est la réponse de l'élève : x=12−4x = 12 - 4 est faux. 4x,4x, c'est 4×x4 \times x : on divise par 4.4.
  • 1/2 / 0.5 → Tu as écrit 4x=7−5.4x = 7 - 5. En passant à droite, le −5-5 devient +5.+5.

Exercice 27 · pratique

Deux parenthèses, un signe moins

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2(3x−1)−3(x−4)=x+6.2(3x - 1) - 3(x - 4) = x + 6.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Développe chaque produit. Attention : c'est −3-3 qui multiplie la deuxième parenthèse.
  2. −3×(−4)-3 \times (-4) est positif.
  3. Réduis le membre de gauche avant de rassembler les x.x.

Correction

  1. Développer — 6x−2−3x+12=x+66x - 2 - 3x + 12 = x + 6
  2. Réduire — 3x+10=x+63x + 10 = x + 6
  3. Rassembler — On retire xx et 1010 aux deux membres.2x=−42x = -4
  4. Vérification — 2×(−7)−3×(−6)=4=−2+6✓2 \times (-7) - 3 \times (-6) = 4 = -2 + 6 \quad \checkmark
  5. S={−2}S = \{-2\}

Le signe placé devant une parenthèse s'applique à chacun de ses termes.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as écrit −3(x−4)=−3x−12.-3(x - 4) = -3x - 12. Or −3×(−4)=+12.-3 \times (-4) = +12.
  • 8 → Tu as écrit 2x=6+10.2x = 6 + 10. Le +10+10 change de membre : il devient −10.-10.

Exercice 28 · pratique

Des coefficients décimaux

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 0,5x+2,3=1,3x−0,9.0{,}5x + 2{,}3 = 1{,}3x - 0{,}9.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Les décimaux ne changent pas la méthode : rassemble les xx d'un côté, les nombres de l'autre.
  2. Tu peux aussi multiplier les deux membres par 1010 pour travailler avec des entiers.

Correction

  1. Multiplier par 10 — 5x+23=13x−95x + 23 = 13x - 9
  2. Rassembler — On retire 5x5x et on ajoute 99 aux deux membres.32=8x32 = 8x
  3. Diviser — x=328x = \frac{32}{8}
  4. Vérification — 0,5×4+2,3=4,3=1,3×4−0,9✓0{,}5 \times 4 + 2{,}3 = 4{,}3 = 1{,}3 \times 4 - 0{,}9 \quad \checkmark
  5. S={4}S = \{4\}

Multiplier par 1010 (un nombre non nul) donne une équation équivalente, sans virgule.

Pièges anticipés

  • 7/4 / 1.75 → Tu as écrit 0,8x=2,3−0,9.0{,}8x = 2{,}3 - 0{,}9. Le −0,9-0{,}9 change de membre : il devient +0,9.+0{,}9.
  • -4 → Tu es arrivé à −0,8x=−3,2-0{,}8x = -3{,}2 et tu t'es trompé de signe : le quotient de deux négatifs est positif.

Exercice 29 · pratique

Trouver le paramètre

Déterminer le réel aa pour que 33 soit solution de l'équation ax−7=2a+5,ax - 7 = 2a + 5, d'inconnue x.x.

Donner la valeur de a.a.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Dire que 33 est solution, c'est dire que l'égalité est vraie quand on remplace xx par 3.3.
  2. Tu obtiens alors une équation dont l'inconnue est aa : résous-la.

Correction

  1. Remplacer x par 3 — 3a−7=2a+53a - 7 = 2a + 5
  2. Résoudre en a — On retire 2a2a et on ajoute 77 aux deux membres.a=5+7a = 5 + 7
  3. Vérification — Avec a=12a = 12 : 12×3−7=2912 \times 3 - 7 = 29 et 2×12+5=29.2 \times 12 + 5 = 29.29=29✓29 = 29 \quad \checkmark
  4. a=12a = 12

Une solution connue transforme l'équation en une équation sur le paramètre.

Pièges anticipés

  • -2 → Tu as écrit a=5−7.a = 5 - 7. Le −7-7 change de membre : il devient +7.+7.

Exercice 30 · raisonnement

Quand x disparaît

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2(x+3)=2x+1.2(x + 3) = 2x + 1.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : vide — aussi acceptées : ensemble vide · aucune solution · pas de solution

Indices, dans l’ordre

  1. Développe le membre de gauche, puis rassemble les termes en x.x.
  2. Les termes en xx s'annulent. Que reste-t-il ? Est-ce vrai ?

Correction

  1. Développer — 2x+6=2x+12x + 6 = 2x + 1
  2. Rassembler — On retire 2x2x aux deux membres.6=16 = 1
  3. Conclure — Cette égalité est fausse, quelle que soit la valeur de xx : aucun réel n'est solution.
  4. S=∅S = \varnothing

Quand l'inconnue disparaît, on lit l'égalité qui reste : fausse, l'équation n'a aucune solution ; toujours vraie, tous les réels sont solutions.

Pièges anticipés

  • 0 / {0} → L'inconnue a disparu, mais cela ne veut pas dire que x=0.x = 0. Teste : 2(0+3)=62(0 + 3) = 6 et 2×0+1=1.2 \times 0 + 1 = 1. Ce n'est pas une solution.
  • R / IR / ℝ → L'égalité qui reste, 6=1,6 = 1, est fausse : elle n'est vraie pour aucun x.x.

Exercice 31 · raisonnement

Une égalité toujours vraie

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 3(x−2)+6=3x.3(x - 2) + 6 = 3x.

Écrire l'ensemble des solutions (noter R\mathbb{R} « R » ou « IR »), ou « aucune solution ».

Réponse attendue : R — aussi acceptées : IR · ℝ · ]-inf;+inf[ · ]-∞;+∞[ · tous les réels

Indices, dans l’ordre

  1. Développe et réduis le membre de gauche.
  2. Les termes en xx disparaissent : l'égalité qui reste est-elle vraie ou fausse ?

Correction

  1. Développer — 3x−6+6=3x3x - 6 + 6 = 3x
  2. Réduire — 3x=3x3x = 3x
  3. Conclure — Cette égalité est vraie pour tout réel xx : chaque réel est solution.0=00 = 0
  4. S=RS = \mathbb{R}

Une égalité qui reste vraie après la disparition de xx est vraie pour tous les réels.

Pièges anticipés

  • vide / aucune solution → L'égalité obtenue, 0=0,0 = 0, n'est pas fausse : elle est vraie, et pour tous les x.x.
  • 0 / {0} → 00 est bien solution, mais il n'est pas le seul : essaie x=5,x = 5, l'égalité est encore vraie.

Exercice 32 · raisonnement

Le coefficient qui s'annule

On considère l'équation (m−2)x=5,(m - 2)x = 5, d'inconnue x,x, où mm est un réel.

Déterminer la valeur de mm pour laquelle cette équation n'a pas de solution.

Donner la valeur de m.m.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Si le coefficient de xx n'est pas nul, on peut diviser par lui : il y a alors une solution.
  2. Que devient l'équation quand le coefficient m−2m - 2 vaut 00 ?

Correction

  1. Coefficient non nul — Si m−2≠0,m - 2 \neq 0, l'équation a une solution unique.x=5m−2x = \frac{5}{m - 2}
  2. Coefficient nul — Si m−2=0,m - 2 = 0, c'est-à-dire m=2,m = 2, l'équation devient 0×x=5.0 \times x = 5.0=50 = 5
  3. Conclure — Cette égalité est fausse pour tout xx : pas de solution.
  4. m=2m = 2

On ne divise par le coefficient de xx que s'il n'est pas nul : le cas nul se traite à part.

Pièges anticipés

  • -2 → Pour m=−2,m = -2, le coefficient vaut −4-4 : l'équation a une solution. C'est m−2=0m - 2 = 0 qu'il faut résoudre.
  • 0 → Pour m=0,m = 0, l'équation devient −2x=5-2x = 5 : elle a une solution. C'est le coefficient m−2m - 2 qui doit être nul.

Exercice 33 · raisonnement

Se ramener à ax + b = 0

L'équation 4,3x+2=1,3x−74{,}3x + 2 = 1{,}3x - 7 est équivalente à une équation de la forme 3x+b=0.3x + b = 0.

Déterminer b.b.

Donner la valeur de b.b.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Fais passer tous les termes dans le membre de gauche : chaque terme qui change de membre change de signe.
  2. Réduis : les termes en xx ensemble, les nombres ensemble.

Correction

  1. Tout à gauche — 4,3x−1,3x+2+7=04{,}3x - 1{,}3x + 2 + 7 = 0
  2. Réduire — 3x+9=03x + 9 = 0
  3. b=9b = 9

Ajouter un même terme aux deux membres donne une équation équivalente : c'est ainsi qu'on ramène toute équation du premier degré à ax+b=0.ax + b = 0.

Pièges anticipés

  • -5 → Tu as fait passer le −7-7 à gauche sans changer son signe : 2−7.2 - 7. Il devient +7,+7, et 2+7=9.2 + 7 = 9.

Exercice 34 · defi

Deux carrés qui se simplifient

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (x+3)2−(x−1)2=32.(x + 3)^{2} - (x - 1)^{2} = 32.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Développe chaque carré avec les identités remarquables.
  2. Le signe moins s'applique à tout le développement de (x−1)2(x - 1)^{2} : mets-le entre parenthèses.
  3. Les termes en x2x^{2} s'annulent : il reste une équation du premier degré.

Correction

  1. Identités remarquables — (x+3)2=x2+6x+9;(x−1)2=x2−2x+1(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9 \quad ; \quad (x - 1)^{2} = x^{2} - 2x + 1
  2. Soustraire — Le moins change le signe des trois termes.x2+6x+9−x2+2x−1=32x^{2} + 6x + 9 - x^{2} + 2x - 1 = 32
  3. Réduire — 8x+8=328x + 8 = 32
  4. Résoudre — 8x=248x = 24
  5. Vérification — 62−22=36−4=32✓6^{2} - 2^{2} = 36 - 4 = 32 \quad \checkmark
  6. S={3}S = \{3\}

Une équation qui contient des carrés n'est pas forcément du second degré : il faut développer avant de juger.

Pièges anticipés

  • 11/2 / 5.5 → Tu as retiré x2−2x+1x^{2} - 2x + 1 en ne changeant que le premier signe. Le moins s'applique aux trois termes : −x2+2x−1.-x^{2} + 2x - 1.
  • 12 → Tu as écrit (x+3)2=x2+9.(x + 3)^{2} = x^{2} + 9. Il manque le double produit : (x+3)2=x2+6x+9.(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9.

Exercice 35 · defi

Des crochets et des parenthèses

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 5x−[3−2(x−4)]=4(x+1)−1.5x - [3 - 2(x - 4)] = 4(x + 1) - 1.

Réponse attendue : 14/3

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par l'intérieur : développe −2(x−4),-2(x - 4), puis réduis ce qu'il y a dans les crochets.
  2. Le signe moins devant le crochet change le signe de chacun des termes qu'il contient.
  3. Le résultat n'est pas entier : donne-le sous forme de fraction irréductible.

Correction

  1. L'intérieur du crochet — 3−2(x−4)=3−2x+8=11−2x3 - 2(x - 4) = 3 - 2x + 8 = 11 - 2x
  2. Enlever le crochet — 5x−(11−2x)=5x−11+2x=7x−115x - (11 - 2x) = 5x - 11 + 2x = 7x - 11
  3. Le membre de droite — 4(x+1)−1=4x+34(x + 1) - 1 = 4x + 3
  4. Résoudre — 7x−11=4x+3  ⟺  3x=147x - 11 = 4x + 3 \iff 3x = 14
  5. S={143}S = \left\{\frac{14}{3}\right\}

On travaille de l'intérieur vers l'extérieur, et chaque signe moins devant un groupe s'applique à tout le groupe.

Pièges anticipés

  • -2/3 → Tu as écrit −2(x−4)=−2x−8.-2(x - 4) = -2x - 8. Or −2×(−4)=+8.-2 \times (-4) = +8.
  • 2 → En enlevant le crochet, tu n'as changé que le signe du 3.3. Le moins change le signe de tout ce qu'il contient : −(11−2x)=−11+2x.-(11 - 2x) = -11 + 2x.
  • 4.67 / 4.7 / 4.667 → C'est une valeur approchée : la division ne tombe pas juste. Garde la fraction exacte.

Exercice 36 · base

Un carré fractionnaire

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2=925.x^{2} = \dfrac{9}{25}.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-3/5;3/5} — aussi acceptées : {3/5;-3/5} · -3/5;3/5 · {-0.6;0.6} · -3/5 et 3/5 · x = -3/5 ou x = 3/5 · ±3/5

Indices, dans l’ordre

  1. Regarde d'abord le signe du membre de droite : il décide du nombre de solutions.
  2. Cherche une fraction dont le carré vaut 925\dfrac{9}{25} : le carré d'un quotient est le quotient des carrés. Puis pense à son opposé.

Correction

  1. Le signe de 9/25 — 925>0\dfrac{9}{25} > 0 : deux solutions, opposées l'une de l'autre.
  2. x=925oux=−925x = \sqrt{\frac{9}{25}} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{\frac{9}{25}}
  3. La racine — 32=93^{2} = 9 et 52=25.5^{2} = 25.(35)2=925\left(\frac{3}{5}\right)^{2} = \frac{9}{25}
  4. S={−35 ; 35}S = \left\{-\frac{3}{5} \,;\, \frac{3}{5}\right\}

Un réel positif a deux antécédents par la fonction carré : sa racine carrée et l'opposé de sa racine carrée.

Pièges anticipés

  • {3/5} / 3/5 → Tu as oublié la solution négative : (−35)2=925\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{2} = \dfrac{9}{25} aussi.
  • {-3/25;3/25} / -3/25;3/25 → Tu n'as pris la racine que du numérateur : (325)2=9625.\left(\dfrac{3}{25}\right)^{2} = \dfrac{9}{625}. La racine porte aussi sur le dénominateur : 25=5.\sqrt{25} = 5.

Exercice 37 · base

Le cas a = 0

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2=0.x^{2} = 0.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {0} — aussi acceptées : 0 · x = 0

Indices, dans l’ordre

  1. Un carré est nul si et seulement si le nombre lui-même est nul.
  2. Ici, la solution et son opposé sont le même nombre.

Correction

  1. Le signe de a — Le membre de droite vaut 00 : c'est le cas d'une seule solution.
  2. Seul 00 a pour carré 0,0, et son opposé est lui-même.x2=0  ⟺  x=0x^{2} = 0 \iff x = 0
  3. S={0}S = \{0\}

Quand a=0,a = 0, les deux solutions opposées se confondent en une seule.

Pièges anticipés

  • vide / aucune solution → 02=00^{2} = 0 : 00 est bien solution. Il n'y a aucune solution seulement quand aa est strictement négatif.

Exercice 38 · base

Un carré négatif ?

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2=−16.x^{2} = -16.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : vide — aussi acceptées : ensemble vide · aucune solution · pas de solution

Indices, dans l’ordre

  1. Avant de chercher une racine, regarde le signe du membre de droite.
  2. Que vaut, au minimum, le carré d'un réel ?

Correction

  1. Le signe de −16 — Pour tout réel x,x, x2≥0.x^{2} \ge 0. Un carré ne peut pas valoir −16.-16.x2≥0>−16x^{2} \ge 0 > -16
  2. S=∅S = \varnothing

Regarder le signe d'abord : si a<0,a < 0, l'équation x2=ax^{2} = a n'a aucune solution.

Pièges anticipés

  • {-4;4} / -4;4 → (±4)2=16,(\pm 4)^{2} = 16, pas −16-16 : ces nombres ne sont pas solutions.
  • {-4} / -4 → (−4)2=16(-4)^{2} = 16 : le carré efface le signe, il ne peut pas être négatif.

Exercice 39 · pratique

Une racine qui ne tombe pas juste

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2=7.x^{2} = 7.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-√7;√7} — aussi acceptées : {-sqrt(7);sqrt(7)} · {-sqrt7;sqrt7} · {-racine(7);racine(7)} · ±sqrt(7) · -√7 et √7

Indices, dans l’ordre

  1. 77 est positif : il y a deux solutions opposées.
  2. 77 n'est pas un carré parfait : laisse les solutions sous le radical, une valeur décimale serait arrondie.

Correction

  1. Le signe de 7 — 7>07 > 0 : deux solutions opposées.
  2. x=7oux=−7x = \sqrt{7} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{7}
  3. S={−7 ; 7}S = \{-\sqrt{7} \,;\, \sqrt{7}\}

Une solution exacte s'écrit avec le radical ; un décimal comme 2,652{,}65 n'en est qu'une valeur approchée.

Pièges anticipés

  • {√7} / √7 → Tu as oublié la solution négative : (−7)2=7(-\sqrt{7})^{2} = 7 aussi.
  • {-2.65;2.65} / {-2.6;2.6} / {-2.646;2.646} → Ce sont des valeurs approchées : 2,652≠7.2{,}65^{2} \neq 7. Les solutions exactes s'écrivent avec 7.\sqrt{7}.

Exercice 40 · pratique

Isoler le carré

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2−25=0.x^{2} - 25 = 0.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-5;5} — aussi acceptées : {5;-5} · -5;5 · -5 et 5 · x = -5 ou x = 5

Indices, dans l’ordre

  1. Ramène d'abord l'équation à la forme x2=a.x^{2} = a.
  2. Le nombre obtenu est positif : combien de solutions ?

Correction

  1. Isoler le carré — On ajoute 2525 aux deux membres.x2=25x^{2} = 25
  2. Le signe de 25 — 25>025 > 0 : deux solutions opposées.x=5oux=−5x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -5
  3. S={−5 ; 5}S = \{-5 \,;\, 5\}

On isole le carré, on regarde le signe, puis on écrit les deux solutions opposées.

Pièges anticipés

  • {5} / 5 → Tu as oublié la solution négative : (−5)2−25=0(-5)^{2} - 25 = 0 aussi.
  • {-25;25} / -25;25 → Tu as trouvé x2=25x^{2} = 25 puis oublié de prendre la racine carrée : 252=625.25^{2} = 625.

Exercice 41 · pratique

Un coefficient devant le carré

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 3x2=48.3x^{2} = 48.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-4;4} — aussi acceptées : {4;-4} · -4;4 · -4 et 4 · x = -4 ou x = 4

Indices, dans l’ordre

  1. Le 33 multiplie x2x^{2} : divise les deux membres par 33 pour isoler le carré.
  2. Tu obtiens une équation x2=ax^{2} = a avec aa positif.

Correction

  1. Isoler le carré — On divise les deux membres par 3.3.x2=16x^{2} = 16
  2. Le signe de 16 — 16>016 > 0 : deux solutions opposées.x=4oux=−4x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4
  3. S={−4 ; 4}S = \{-4 \,;\, 4\}

Le coefficient de x2x^{2} s'annule par une division, comme celui de xx dans une équation du premier degré.

Pièges anticipés

  • {-3√5;3√5} / {-√45;√45} → Tu as retiré 33 au lieu de diviser par 3.3. 3x2,3x^{2}, c'est 3×x2.3 \times x^{2}.
  • {4} / 4 → Tu as oublié la solution négative : 3×(−4)2=483 \times (-4)^{2} = 48 aussi.

Exercice 42 · pratique

Un carré qui devrait être négatif

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x2+10=0.2x^{2} + 10 = 0.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : vide — aussi acceptées : ensemble vide · aucune solution · pas de solution

Indices, dans l’ordre

  1. Isole x2x^{2} : retire 10,10, puis divise par 2.2.
  2. Regarde le signe du nombre obtenu avant de chercher une racine.

Correction

  1. Isoler le carré — 2x2=−10  ⟺  x2=−52x^{2} = -10 \iff x^{2} = -5
  2. Le signe de −5 — Un carré est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir −5.-5.
  3. S=∅S = \varnothing

Isoler le carré, puis lire le signe : un carré négatif, c'est aucune solution.

Pièges anticipés

  • {-√5;√5} / -√5;√5 → (±5)2=5,(\pm\sqrt{5})^{2} = 5, pas −5.-5. Regarde le signe avant de prendre une racine.
  • {-5;5} → Tu as écrit 2x2=102x^{2} = 10 : le +10+10 change de membre en changeant de signe. Et même alors, 52=25,5^{2} = 25, pas 5.5.

Exercice 43 · raisonnement

Simplifier la racine

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2=12.x^{2} = 12.

Écrire les solutions sous la forme a3.a\sqrt{3}.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-2√3;2√3} — aussi acceptées : {-2sqrt(3);2sqrt(3)} · {-2sqrt3;2sqrt3} · {-2*sqrt(3);2*sqrt(3)} · ±2sqrt(3) · -2√3 et 2√3

Indices, dans l’ordre

  1. 1212 est positif : deux solutions opposées, 12\sqrt{12} et −12.-\sqrt{12}.
  2. Décompose 1212 en produit d'un carré parfait et d'un autre entier.
  3. Puis utilise :a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

Correction

  1. Le signe de 12 — 12>012 > 0 : deux solutions opposées.x=12oux=−12x = \sqrt{12} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{12}
  2. Simplifier — 12=4×3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}
  3. S={−23 ; 23}S = \{-2\sqrt{3} \,;\, 2\sqrt{3}\}

On résout d'abord ; on simplifie la racine ensuite, en faisant sortir le plus grand carré parfait.

Pièges anticipés

  • {-6;6} / -6;6 → Tu as divisé 1212 par 2.2. Prendre la racine carrée n'est pas diviser par 22 : 62=36.6^{2} = 36.
  • {2√3} / 2√3 → Tu as oublié la solution négative : (−23)2=12(-2\sqrt{3})^{2} = 12 aussi.

Exercice 44 · pratique

Le côté d'un carré

Un carré a une aire de 5050 cm².

Déterminer la valeur exacte de la longueur de son côté.

Donner la longueur du côté en cm, en valeur exacte.

Réponse attendue : 5*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(50)

Indices, dans l’ordre

  1. Appelle cc la longueur du côté : l'aire s'écrit c2.c^{2}.
  2. L'équation c2=50c^{2} = 50 a deux solutions, mais une longueur est positive.
  3. Simplifie la racine : 50=25×2.50 = 25 \times 2.

Correction

  1. Traduire — Soit cc la longueur du côté, en cm.c2=50c^{2} = 50
  2. Résoudre — 50>050 > 0 : deux solutions, 50\sqrt{50} et −50.-\sqrt{50}.c=50ouc=−50c = \sqrt{50} \quad \text{ou} \quad c = -\sqrt{50}
  3. Revenir au problème — Une longueur est positive : on garde la solution positive.c=50=25×2=52c = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}
  4. c=52 cmc = 5\sqrt{2} \ \text{cm}

Dans un problème, on résout l'équation entière, puis on ne garde que les solutions qui ont un sens.

Pièges anticipés

  • -5*sqrt(2) / -sqrt(50) → C'est bien une solution de c2=50,c^{2} = 50, mais une longueur ne peut pas être négative.
  • 25 → Tu as divisé l'aire par 2.2. Le côté se trouve avec la racine carrée : 252=625,25^{2} = 625, pas 50.50.
  • 7.07 / 7.1 / 7.071 → C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte, avec un radical.

Exercice 45 · raisonnement

Un carré décalé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (x−3)2=16.(x - 3)^{2} = 16.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-1;7} — aussi acceptées : {7;-1} · -1;7 · -1 et 7 · x = -1 ou x = 7

Indices, dans l’ordre

  1. Pose X=x−3X = x - 3 : l'équation devient X2=16.X^{2} = 16.
  2. XX peut valoir deux nombres opposés. Pour chacun, retrouve x.x.

Correction

  1. Changer de regard — Le nombre x−3x - 3 a pour carré 16,16, qui est positif.x−3=4oux−3=−4x - 3 = 4 \quad \text{ou} \quad x - 3 = -4
  2. Résoudre chaque cas — x=7oux=−1x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -1
  3. Vérification — (7−3)2=16;(−1−3)2=16✓(7 - 3)^{2} = 16 \quad ; \quad (-1 - 3)^{2} = 16 \quad \checkmark
  4. S={−1 ; 7}S = \{-1 \,;\, 7\}

Ce qui est au carré peut être une expression entière : on applique la propriété à x−3,x - 3, puis on résout deux équations du premier degré.

Pièges anticipés

  • {7} / 7 → Tu n'as gardé que x−3=4.x - 3 = 4. Le cas x−3=−4x - 3 = -4 donne une deuxième solution.
  • {-7;1} / -7;1 → Tu as résolu x+3=±4.x + 3 = \pm 4. Ici c'est x−3x - 3 qui vaut ±4\pm 4 : on ajoute 3.3.

Exercice 46 · raisonnement

Le carré d'une expression

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (2x+1)2=9.(2x + 1)^{2} = 9.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-2;1} — aussi acceptées : {1;-2} · -2;1 · -2 et 1 · x = -2 ou x = 1

Indices, dans l’ordre

  1. Le nombre 2x+12x + 1 a pour carré 99 : quelles valeurs peut-il prendre ?
  2. Tu obtiens deux équations du premier degré ; résous-les jusqu'au bout, sans oublier la division par 2.2.

Correction

  1. Deux cas — 9>09 > 0 : 2x+12x + 1 vaut 33 ou −3.-3.2x+1=3ou2x+1=−32x + 1 = 3 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 = -3
  2. Résoudre — 2x=2ou2x=−42x = 2 \quad \text{ou} \quad 2x = -4
  3. x=1oux=−2x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -2
  4. S={−2 ; 1}S = \{-2 \,;\, 1\}

Deux valeurs opposées pour l'expression, donc deux équations du premier degré : chacune donne une solution.

Pièges anticipés

  • {1} / 1 → Tu n'as traité que 2x+1=3.2x + 1 = 3. Le cas 2x+1=−32x + 1 = -3 donne la deuxième solution.
  • {-4;2} / -4;2 → Tu t'es arrêté à 2x=22x = 2 et 2x=−4.2x = -4. Il reste à diviser par 2.2.

Exercice 47 · raisonnement

Des carrés des deux côtés

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2+4=2x2−5.x^{2} + 4 = 2x^{2} - 5.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-3;3} — aussi acceptées : {3;-3} · -3;3 · -3 et 3 · x = -3 ou x = 3

Indices, dans l’ordre

  1. Traite x2x^{2} comme une inconnue : rassemble les termes en x2x^{2} d'un côté, les nombres de l'autre.
  2. Tu obtiens x2=ax^{2} = a : regarde le signe de a.a.

Correction

  1. Rassembler — On retire x2x^{2} et on ajoute 55 aux deux membres.4+5=2x2−x24 + 5 = 2x^{2} - x^{2}
  2. x2=9x^{2} = 9
  3. Le signe de 9 — 9>09 > 0 : deux solutions opposées.x=3oux=−3x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3
  4. S={−3 ; 3}S = \{-3 \,;\, 3\}

On se ramène à x2=ax^{2} = a avec les mêmes gestes qu'une équation du premier degré, en traitant x2x^{2} comme un bloc.

Pièges anticipés

  • {3} / 3 → Tu as oublié la solution négative : (−3)2=9(-3)^{2} = 9 aussi.
  • vide / aucune solution → Tu as dû obtenir un carré négatif en changeant un terme de membre sans changer son signe. Refais : 4+5=2x2−x2.4 + 5 = 2x^{2} - x^{2}.

Exercice 48 · defi

Une identité cachée

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 4x2−12x+9=25.4x^{2} - 12x + 9 = 25.

Écrire l'ensemble des solutions entre accolades, valeurs séparées par « ; », ou « aucune solution ».

Réponse attendue : {-1;4} — aussi acceptées : {4;-1} · -1;4 · -1 et 4 · x = -1 ou x = 4

Indices, dans l’ordre

  1. Le membre de gauche est une identité remarquable : reconnais le carré d'une différence.
  2. Pense à :(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}
  3. Une fois l'équation écrite (…)2=25,(\ldots)^{2} = 25, raisonne comme pour x2=a.x^{2} = a.

Correction

  1. Reconnaître un carré — 4x2−12x+9=(2x−3)24x^{2} - 12x + 9 = (2x - 3)^{2}
  2. Deux cas — 25>025 > 0 : 2x−32x - 3 vaut 55 ou −5.-5.2x−3=5ou2x−3=−52x - 3 = 5 \quad \text{ou} \quad 2x - 3 = -5
  3. Résoudre — x=4oux=−1x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -1
  4. Vérification — (2×4−3)2=25;(2×(−1)−3)2=25✓(2 \times 4 - 3)^{2} = 25 \quad ; \quad (2 \times (-1) - 3)^{2} = 25 \quad \checkmark
  5. S={−1 ; 4}S = \{-1 \,;\, 4\}

Reconnaître une identité remarquable ramène une équation qui semble difficile à la forme X2=a.X^{2} = a.

Pièges anticipés

  • {4} / 4 → Tu n'as traité que 2x−3=5.2x - 3 = 5. Le cas 2x−3=−52x - 3 = -5 donne une deuxième solution.
  • {-2;8} / -2;8 → Tu t'es arrêté à 2x=82x = 8 et 2x=−2.2x = -2. Il reste à diviser par 2.2.

Exercice 49 · defi

Deux carrés côte à côte

Deux carrés ont pour aires respectives 55 cm² et 4545 cm². On les pose côte à côte, et on note ℓ\ell la somme de leurs côtés.

Déterminer la valeur exacte de ℓ.\ell.

Donner ℓ\ell en cm, en valeur exacte simplifiée.

Réponse attendue : 4*sqrt(5)

Indices, dans l’ordre

  1. Le côté de chaque carré est la solution positive de c2=aire.c^{2} = \text{aire}.
  2. Simplifie 45\sqrt{45} : 45=9×5.45 = 9 \times 5.
  3. Attention : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines. Calcule chaque côté séparément.

Correction

  1. Premier carré — c12=5  ⟺  c1=5(c1>0)c_{1}^{2} = 5 \iff c_{1} = \sqrt{5} \quad (c_{1} > 0)
  2. Second carré — c22=45  ⟺  c2=45=35c_{2}^{2} = 45 \iff c_{2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
  3. Additionner — ℓ=5+35\ell = \sqrt{5} + 3\sqrt{5}
  4. ℓ=45 cm\ell = 4\sqrt{5} \ \text{cm}

Chaque côté se trouve par une équation c2=ac^{2} = a dont on garde la solution positive ; on additionne ensuite des racines semblables.

Pièges anticipés

  • sqrt(50) / 5*sqrt(2) → Tu as calculé 5+45.\sqrt{5 + 45}. Ce sont les côtés qu'on additionne, pas les aires : 5+45≠50.\sqrt{5} + \sqrt{45} \neq \sqrt{50}.
  • 8.94 / 8.9 / 8.944 → C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte.

Exercice 50 · base

Un seul dénominateur

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x3=5.\dfrac{x}{3} = 5.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Pour faire disparaître le dénominateur, multiplie les deux membres par 3.3.
  2. Diviser par 33 s'annule en multipliant par 3,3, pas en divisant encore.

Correction

  1. Multiplier par 3 — 3×x3=3×53 \times \frac{x}{3} = 3 \times 5
  2. Vérification — 153=5✓\frac{15}{3} = 5 \quad \checkmark
  3. S={15}S = \{15\}

Le premier geste devant un dénominateur : multiplier les deux membres par lui.

Pièges anticipés

  • 5/3 → Tu as divisé 55 par 3.3. Le xx est déjà divisé par 33 : pour l'annuler, on multiplie par 3.3.
  • 2 → Tu as retiré 3.3. Le 33 est un dénominateur : on l'annule par une multiplication.

Exercice 51 · base

Un numérateur qui est une différence

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x−24=3.\dfrac{x - 2}{4} = 3.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par 44 : tout le numérateur x−2x - 2 reste ensemble.
  2. Tu obtiens une équation sans fraction : annule ensuite le −2.-2.

Correction

  1. Multiplier par 4 — x−2=12x - 2 = 12
  2. Isoler — x=12+2x = 12 + 2
  3. Vérification — 14−24=124=3✓\frac{14 - 2}{4} = \frac{12}{4} = 3 \quad \checkmark
  4. S={14}S = \{14\}

On supprime le dénominateur d'abord ; il reste une équation qu'on sait résoudre.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as écrit x=12−2.x = 12 - 2. Le −2-2 change de membre : il devient +2.+2.
  • 11/4 / 2.75 → Tu as divisé 33 par 44 au lieu de multiplier. Pour supprimer le dénominateur 4,4, on multiplie par 4.4.

Exercice 52 · base

Un coefficient fractionnaire

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x5=4.\dfrac{2x}{5} = 4.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie d'abord les deux membres par 5.5.
  2. Il reste 2x=…2x = \ldots : divise par 2.2.

Correction

  1. Multiplier par 5 — 2x=202x = 20
  2. Diviser par 2 — x=202x = \frac{20}{2}
  3. Vérification — 2×105=205=4✓\frac{2 \times 10}{5} = \frac{20}{5} = 4 \quad \checkmark
  4. S={10}S = \{10\}

Supprimer le dénominateur, puis diviser par le coefficient : deux gestes, dans cet ordre.

Pièges anticipés

  • 20 → Tu t'es arrêté à 2x=20.2x = 20. Il reste à diviser par 2.2.
  • 2/5 / 0.4 → Tu as divisé 44 par 5.5. Pour annuler le dénominateur 5,5, on multiplie par 5.5.

Exercice 53 · pratique

Un demi et un tiers

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2+x3=10.\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Cherche un dénominateur commun à 22 et 3.3.
  2. Multiplie tous les termes par ce nombre, y compris le 1010 du membre de droite.

Correction

  1. Multiplier par 6 — 6×x2+6×x3=6×106 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 6 \times 10
  2. 3x+2x=603x + 2x = 60
  3. Réduire — 5x=605x = 60
  4. Vérification — 122+123=6+4=10✓\frac{12}{2} + \frac{12}{3} = 6 + 4 = 10 \quad \checkmark
  5. S={12}S = \{12\}

Un dénominateur commun fait disparaître toutes les fractions en une seule multiplication.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu n'as pas multiplié le 1010 par 6.6. Une transformation s'applique aux deux membres.
  • 50 → Tu as écrit x2+x3=x5.\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{x}{5}. On n'additionne pas les dénominateurs : on réduit au même dénominateur.

Exercice 54 · pratique

Une fraction de chaque côté

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x+12=x−13.\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{x - 1}{3}.

Réponse attendue : -5

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par 6,6, un multiple commun de 22 et de 3.3.
  2. Chaque numérateur garde sa parenthèse : 6×x+12=3(x+1).6 \times \dfrac{x + 1}{2} = 3(x + 1).

Correction

  1. Multiplier par 6 — 3(x+1)=2(x−1)3(x + 1) = 2(x - 1)
  2. Développer — 3x+3=2x−23x + 3 = 2x - 2
  3. Rassembler — On retire 2x2x et 33 aux deux membres.x=−2−3x = -2 - 3
  4. Vérification — −5+12=−2=−5−13✓\frac{-5 + 1}{2} = -2 = \frac{-5 - 1}{3} \quad \checkmark
  5. S={−5}S = \{-5\}

Le dénominateur de gauche va multiplier le numérateur de droite, et inversement : c'est ce que produit la multiplication par 6.6.

Pièges anticipés

  • -2 → Tu as écrit 3x+1=2x−1.3x + 1 = 2x - 1. Les numérateurs sont des sommes : 3(x+1)=3x+33(x + 1) = 3x + 3 et 2(x−1)=2x−2.2(x - 1) = 2x - 2.
  • 5 → Tu as écrit 2(x+1)=3(x−1).2(x + 1) = 3(x - 1). En multipliant par 6,6, le numérateur x+1x + 1 est multiplié par 3,3, et x−1x - 1 par 2.2.

Exercice 55 · pratique

Le terme sans dénominateur

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x4−2=x6.\dfrac{x}{4} - 2 = \dfrac{x}{6}.

Réponse attendue : 24

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie tous les termes par 12,12, un multiple commun de 44 et de 6.6.
  2. Le −2-2 n'a pas de dénominateur, mais il est multiplié par 1212 lui aussi.

Correction

  1. Multiplier par 12 — 12×x4−12×2=12×x612 \times \frac{x}{4} - 12 \times 2 = 12 \times \frac{x}{6}
  2. 3x−24=2x3x - 24 = 2x
  3. Rassembler — x=24x = 24
  4. Vérification — 244−2=4=246✓\frac{24}{4} - 2 = 4 = \frac{24}{6} \quad \checkmark
  5. S={24}S = \{24\}

Tous les termes sont multipliés, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as laissé le −2-2 tel quel. En multipliant par 12,12, il devient −24.-24.

Exercice 56 · pratique

Une fraction et un x seul

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 3x−15+2=x.\dfrac{3x - 1}{5} + 2 = x.

Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par 55 : le 22 et le xx de droite sont multipliés aussi.
  2. Rassemble ensuite les termes en xx du côté où le coefficient reste positif.

Correction

  1. Multiplier par 5 — 3x−1+10=5x3x - 1 + 10 = 5x
  2. Réduire — 3x+9=5x3x + 9 = 5x
  3. Rassembler — 9=2x9 = 2x
  4. Vérification — 3×4,5−15+2=12,55+2=4,5✓\frac{3 \times 4{,}5 - 1}{5} + 2 = \frac{12{,}5}{5} + 2 = 4{,}5 \quad \checkmark
  5. S={92}S = \left\{\frac{9}{2}\right\}

Chaque terme des deux membres est multiplié par 55 : ceux qui ont un dénominateur comme les autres.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → Tu n'as pas multiplié le 22 par 55 : il devient 10.10.
  • -9/2 / -4.5 → Tu n'as pas multiplié le xx du membre de droite par 55 : il devient 5x.5x.

Exercice 57 · pratique

Des fractions partout

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 23x−12=56.\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Les trois dénominateurs 3,3, 22 et 66 divisent tous 6.6.
  2. Multiplie chaque terme par 66 : 6×23x=4x.6 \times \dfrac{2}{3}x = 4x.

Correction

  1. Multiplier par 6 — 4x−3=54x - 3 = 5
  2. Isoler — 4x=84x = 8
  3. Vérification — 23×2−12=86−36=56✓\frac{2}{3} \times 2 - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \quad \checkmark
  4. S={2}S = \{2\}

Le plus petit dénominateur commun donne les calculs les plus simples.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → Tu as laissé −1-1 au lieu de 6×12=3.6 \times \dfrac{1}{2} = 3. Chaque terme est multiplié par 6.6.
  • 1/2 / 0.5 → Tu as écrit 23x=56−12.\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}. Le −12-\dfrac{1}{2} change de membre en devenant +12.+\dfrac{1}{2}.

Exercice 58 · raisonnement

Le moins devant une fraction

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x−13−x−24=1.\dfrac{x - 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} = 1.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie tout par 12,12, sans oublier le membre de droite.
  2. Le signe moins devant la seconde fraction porte sur tout son numérateur : −3(x−2).-3(x - 2).
  3. −3×(−2)-3 \times (-2) est positif.

Correction

  1. Multiplier par 12 — 4(x−1)−3(x−2)=124(x - 1) - 3(x - 2) = 12
  2. Développer — 4x−4−3x+6=124x - 4 - 3x + 6 = 12
  3. Réduire — x+2=12x + 2 = 12
  4. Vérification — 93−84=3−2=1✓\frac{9}{3} - \frac{8}{4} = 3 - 2 = 1 \quad \checkmark
  5. S={10}S = \{10\}

Un moins devant une fraction se comporte comme un moins devant une parenthèse : il change le signe de chaque terme du numérateur.

Pièges anticipés

  • 22 → Tu as écrit −3(x−2)=−3x−6.-3(x - 2) = -3x - 6. Le moins s'applique aussi au −2-2 : −3×(−2)=+6.-3 \times (-2) = +6.
  • -1 → Tu n'as pas multiplié le 11 du membre de droite par 12.12.

Exercice 59 · raisonnement

Des nombres seuls des deux côtés

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x+32−1=x−23+1.\dfrac{x + 3}{2} - 1 = \dfrac{x - 2}{3} + 1.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie chaque terme par 66 : les nombres −1-1 et +1+1 sont multipliés aussi.
  2. Les numérateurs gardent leurs parenthèses : 3(x+3)3(x + 3) et 2(x−2).2(x - 2).

Correction

  1. Multiplier par 6 — 3(x+3)−6=2(x−2)+63(x + 3) - 6 = 2(x - 2) + 6
  2. Développer — 3x+9−6=2x−4+63x + 9 - 6 = 2x - 4 + 6
  3. Réduire — 3x+3=2x+23x + 3 = 2x + 2
  4. Rassembler — x=−1x = -1
  5. Vérification — 22−1=0=−33+1✓\frac{2}{2} - 1 = 0 = \frac{-3}{3} + 1 \quad \checkmark
  6. S={−1}S = \{-1\}

Les deux précautions du cours ensemble : multiplier tous les termes, et garder les parenthèses des numérateurs.

Pièges anticipés

  • -11 → Tu n'as pas multiplié −1-1 et +1+1 par 66 : ils deviennent −6-6 et +6.+6.
  • 7 → Tu as écrit 3x+33x + 3 et 2x−2.2x - 2. Les numérateurs entiers sont multipliés : 3(x+3)=3x+93(x + 3) = 3x + 9 et 2(x−2)=2x−4.2(x - 2) = 2x - 4.

Exercice 60 · raisonnement

Trois fractions qui font un tout

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x2+x3+x6=7.\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} = 7.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. Un dénominateur commun à 2,2, 33 et 66 suffit pour tout simplifier.
  2. Après multiplication, compare le coefficient de xx obtenu au dénominateur commun : que remarques-tu ?

Correction

  1. Multiplier par 6 — 3x+2x+x=423x + 2x + x = 42
  2. Réduire — 6x=426x = 42
  3. Remarque — La moitié, plus le tiers, plus le sixième d'un nombre, c'est le nombre entier.12+13+16=1\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1
  4. S={7}S = \{7\}

Avant de calculer, regarder la structure : ici, la somme des trois fractions vaut exactement x.x.

Pièges anticipés

  • 77 → Tu as additionné les dénominateurs : 2+3+6=11.2 + 3 + 6 = 11. On n'additionne jamais les dénominateurs, on réduit au même dénominateur.
  • 7/6 → Tu n'as pas multiplié le 77 par 6.6. Une transformation s'applique aux deux membres.

Exercice 61 · raisonnement

L'inconnue au dénominateur

Résoudre l'équation 5x=23,\dfrac{5}{x} = \dfrac{2}{3}, où xx est un réel non nul.

Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par 3x,3x, qui n'est pas nul.
  2. Tu obtiens l'égalité des produits en croix : 5×3=2×x.5 \times 3 = 2 \times x.

Correction

  1. Multiplier par 3x — x≠0x \neq 0 : la multiplication par 3x3x donne une équation équivalente.5×3=2x5 \times 3 = 2x
  2. Résoudre — 2x=152x = 15
  3. Vérification — 57,5=5075=23✓\frac{5}{7{,}5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} \quad \checkmark
  4. S={152}S = \left\{\frac{15}{2}\right\}

Une équation ax=cd\dfrac{a}{x} = \dfrac{c}{d} se ramène aux produits en croix, à condition que xx ne soit pas nul.

Pièges anticipés

  • 10/3 → Tu as écrit 3x=5×2.3x = 5 \times 2. Les produits en croix sont 5×35 \times 3 et 2×x.2 \times x.
  • 2/15 → Tu as trouvé l'inverse de la solution. Vérifie : 5x\dfrac{5}{x} doit valoir 23.\dfrac{2}{3}.

Exercice 62 · defi

Une équation qui ne choisit pas

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation 2x+13−x−46=x2+1.\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 4}{6} = \dfrac{x}{2} + 1.

Écrire l'ensemble des solutions (noter R\mathbb{R} « R » ou « IR »), ou « aucune solution ».

Réponse attendue : R — aussi acceptées : IR · ℝ · ]-inf;+inf[ · ]-∞;+∞[ · tous les réels

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie chaque terme par 6,6, en gardant les parenthèses des numérateurs.
  2. Le moins devant x−46\dfrac{x - 4}{6} change le signe de xx et de −4.-4.
  3. Les xx disparaissent : lis l'égalité qui reste.

Correction

  1. Multiplier par 6 — 2(2x+1)−(x−4)=3x+62(2x + 1) - (x - 4) = 3x + 6
  2. Développer — 4x+2−x+4=3x+64x + 2 - x + 4 = 3x + 6
  3. Réduire — 3x+6=3x+63x + 6 = 3x + 6
  4. Conclure — Cette égalité est vraie pour tout réel x.x.6=66 = 6
  5. S=RS = \mathbb{R}

Une équation peut être vraie pour tous les réels : il faut aller au bout du calcul pour le voir.

Pièges anticipés

  • vide / aucune solution → Tu as dû écrire −(x−4)=−x−4-(x - 4) = -x - 4 : le moins change aussi le signe du −4,-4, qui devient +4.+4.
  • 0 / {0} → 00 est bien solution, mais il n'est pas le seul : teste x=2,x = 2, l'égalité est encore vraie.

Exercice 63 · defi

Quatre fractions

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation x3−x−14=2x+512−16.\dfrac{x}{3} - \dfrac{x - 1}{4} = \dfrac{2x + 5}{12} - \dfrac{1}{6}.

Réponse attendue : 0

Indices, dans l’ordre

  1. 3,3, 4,4, 1212 et 66 divisent tous 1212 : multiplie chaque terme par 12.12.
  2. Attention au moins devant x−14\dfrac{x - 1}{4} : il porte sur tout le numérateur.
  3. La solution peut être un nombre très simple : vérifie-la dans l'équation de départ.

Correction

  1. Multiplier par 12 — 4x−3(x−1)=2x+5−24x - 3(x - 1) = 2x + 5 - 2
  2. Développer — 4x−3x+3=2x+34x - 3x + 3 = 2x + 3
  3. Réduire — x+3=2x+3x + 3 = 2x + 3
  4. Rassembler — x=0x = 0
  5. Vérification — 0−−14=14;512−212=14✓0 - \frac{-1}{4} = \frac{1}{4} \quad ; \quad \frac{5}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{4} \quad \checkmark
  6. S={0}S = \{0\}

Une solution nulle est une solution comme une autre : la vérification la confirme.

Pièges anticipés

  • -6 → Tu as écrit −3(x−1)=−3x−3.-3(x - 1) = -3x - 3. Or −3×(−1)=+3.-3 \times (-1) = +3.
  • -1 → Tu as laissé −1-1 au lieu de 12×16=2.12 \times \dfrac{1}{6} = 2. Chaque terme est multiplié par 12.12.

Exercice 64 · base

Un nombre et son triple

La somme d'un nombre et de son triple est égale à 52.52.

Déterminer ce nombre.

Donner le nombre cherché.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par nommer l'inconnue : « Soit xx le nombre cherché ». Comment s'écrit son triple ?
  2. Traduis la phrase par une équation, puis réduis le membre de gauche.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx le nombre cherché ; son triple est 3x.3x.
  2. Traduire — x+3x=52x + 3x = 52
  3. Résoudre — 4x=524x = 52
  4. Vérification — 13+3×13=13+39=52✓13 + 3 \times 13 = 13 + 39 = 52 \quad \checkmark
  5. x=13x = 13

Nommer l'inconnue, traduire mot à mot, résoudre, vérifier : la méthode tient en quatre gestes.

Pièges anticipés

  • 52/3 → Tu as écrit 3x=523x = 52 : tu as oublié le nombre lui-même. L'énoncé parle de la somme du nombre et de son triple.
  • 26 → Tu as écrit x+x=52.x + x = 52. Le triple de x,x, c'est 3x.3x.

Exercice 65 · base

Trois entiers consécutifs

La somme de trois entiers consécutifs est égale à 96.96.

Déterminer le plus petit de ces trois entiers.

Donner le plus petit des trois entiers.

Réponse attendue : 31

Indices, dans l’ordre

  1. Soit nn le plus petit des trois entiers. Comment s'écrivent les deux suivants ?
  2. Additionne les trois expressions et écris que la somme vaut 96.96.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit nn le plus petit ; les suivants sont n+1n + 1 et n+2.n + 2.
  2. Traduire — n+(n+1)+(n+2)=96n + (n + 1) + (n + 2) = 96
  3. Résoudre — 3n+3=96  ⟺  3n=933n + 3 = 96 \iff 3n = 93
  4. Revenir à la question — Les trois entiers sont 31,31, 3232 et 3333 ; leur somme vaut bien 96.96.31+32+33=96✓31 + 32 + 33 = 96 \quad \checkmark
  5. n=31n = 31

Des entiers consécutifs s'écrivent n,n, n+1,n + 1, n+2n + 2 : une seule inconnue suffit.

Pièges anticipés

  • 32 → 3232 est l'entier du milieu. La question porte sur le plus petit des trois.
  • 33 → 3333 est le plus grand des trois. La question porte sur le plus petit.

Exercice 66 · base

Deux âges

Ali a 55 ans de plus que Sami. À eux deux, ils ont 3333 ans.

Déterminer l'âge de Sami.

Donner l'âge de Sami, en années.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx l'âge de Sami. Comment s'écrit l'âge d'Ali en fonction de xx ?
  2. La somme des deux âges vaut 3333 : traduis, puis résous.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx l'âge de Sami, en années. Ali a x+5x + 5 ans.
  2. Traduire — x+(x+5)=33x + (x + 5) = 33
  3. Résoudre — 2x+5=33  ⟺  2x=282x + 5 = 33 \iff 2x = 28
  4. Revenir à la question — Sami a 1414 ans et Ali 1919 ans : 14+19=33.14 + 19 = 33.x=14x = 14
  5. Sami : 14 ans\text{Sami : } 14 \text{ ans}

On choisit pour inconnue la grandeur la plus simple, et on exprime l'autre en fonction d'elle.

Pièges anticipés

  • 19 → 1919 ans, c'est l'âge d'Ali. La question porte sur Sami, le plus jeune.
  • 16.5 / 33/2 → Tu as partagé 3333 en deux parts égales. Ali a 55 ans de plus : les deux âges ne sont pas égaux.

Exercice 67 · pratique

Le sang et ses pourcentages

Au repos, en une minute, 15 %15\,\% du volume de sang envoyé par le cœur irrigue le cerveau et 20 %20\,\% irrigue les reins. Le reste, soit 3 2503\,250 mL, irrigue le reste du corps.

Déterminer le volume total de sang envoyé par le cœur en une minute.

Donner le volume total, en mL.

Réponse attendue : 5000

Indices, dans l’ordre

  1. Soit VV le volume total, en mL. Quel pourcentage de VV représentent les 3 2503\,250 mL ?
  2. 100 %−15 %−20 %=65 %100\,\% - 15\,\% - 20\,\% = 65\,\% : traduis « 65 %65\,\% de VV vaut 3 2503\,250 ».
  3. Prendre 65 %65\,\% d'un nombre, c'est le multiplier par 0,65.0{,}65.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit VV le volume total, en mL.
  2. La part restante — 100 %−15 %−20 %=65 %100\,\% - 15\,\% - 20\,\% = 65\,\%
  3. Traduire — 0,65 V=3 2500{,}65\,V = 3\,250
  4. Résoudre — V=3 2500,65V = \frac{3\,250}{0{,}65}
  5. Vérification — 15 %15\,\% de 5 0005\,000 font 750,750, 20 %20\,\% font 1 0001\,000 : il reste 3 250.3\,250.5 000−750−1 000=3 250✓5\,000 - 750 - 1\,000 = 3\,250 \quad \checkmark
  6. V=5 000 mLV = 5\,000 \ \text{mL}

Un pourcentage d'une inconnue se traduit par un produit : p %p\,\% de VV s'écrit p100V.\dfrac{p}{100}V.

Pièges anticipés

  • 2112.5 → Tu as calculé 65 %65\,\% de 3 250.3\,250. C'est 3 2503\,250 qui représente 65 %65\,\% du total : on divise par 0,65.0{,}65.
  • 3250/0.35 / 65000/7 → Tu as divisé par 0,35.0{,}35. Les 3 2503\,250 mL sont le reste, soit 65 %,65\,\%, et non les 35 %35\,\% du cerveau et des reins.

Exercice 68 · pratique

Un triangle isocèle

Le périmètre d'un triangle isocèle ABC,ABC, de sommet principal A,A, est égal à 3232 cm. La base [BC][BC] mesure 44 cm de moins que chacun des deux côtés égaux.

Déterminer la longueur AB.AB.

Donner la longueur AB,AB, en cm.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx la longueur commune des côtés égaux ABAB et AC.AC. Exprime BCBC en fonction de x.x.
  2. Le périmètre est la somme des trois côtés.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit x=AB=AC,x = AB = AC, en cm. Alors BC=x−4.BC = x - 4.
  2. Traduire — x+x+(x−4)=32x + x + (x - 4) = 32
  3. Résoudre — 3x−4=32  ⟺  3x=363x - 4 = 32 \iff 3x = 36
  4. Revenir à la question — AB=AC=12AB = AC = 12 cm et BC=8BC = 8 cm ; vérification : 12+12+8=32.12 + 12 + 8 = 32.x=12x = 12
  5. AB=12 cmAB = 12 \ \text{cm}

Exprimer toutes les longueurs à l'aide d'une seule inconnue, puis traduire la donnée globale.

Pièges anticipés

  • 8 → 88 cm, c'est la base BC.BC. La question porte sur AB,AB, un des côtés égaux.
  • 28/3 → Tu as écrit BC=x+4.BC = x + 4. La base mesure 44 cm de moins : BC=x−4.BC = x - 4.

Exercice 69 · pratique

Deux tarifs de location

Une agence de location propose deux tarifs. Tarif A : 4545 D de forfait et 0,3500{,}350 D par kilomètre. Tarif B : 7575 D de forfait et 0,2500{,}250 D par kilomètre.

Déterminer le nombre de kilomètres pour lequel les deux tarifs reviennent au même prix.

Donner le nombre de kilomètres.

Réponse attendue : 300

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx le nombre de kilomètres parcourus. Écris le prix payé avec chaque tarif.
  2. Écris que les deux prix sont égaux, puis rassemble les termes en x.x.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx le nombre de kilomètres parcourus.A=45+0,35x;B=75+0,25xA = 45 + 0{,}35x \quad ; \quad B = 75 + 0{,}25x
  2. Traduire — 45+0,35x=75+0,25x45 + 0{,}35x = 75 + 0{,}25x
  3. Résoudre — 0,1x=300{,}1x = 30
  4. Vérification — Avec 300300 km : 45+105=15045 + 105 = 150 et 75+75=150.75 + 75 = 150.150=150✓150 = 150 \quad \checkmark
  5. x=300 kmx = 300 \ \text{km}

Comparer deux tarifs commence par chercher le point où ils sont égaux.

Pièges anticipés

  • 50 → Tu as écrit 0,6x=30.0{,}6x = 30. En faisant passer 0,25x0{,}25x à gauche, on le retranche : 0,35x−0,25x=0,1x.0{,}35x - 0{,}25x = 0{,}1x.
  • 3000 / 30 → Revois la division : 0,1x=300{,}1x = 30 donne x=300,1=30×10.x = \dfrac{30}{0{,}1} = 30 \times 10.

Exercice 70 · pratique

Un rectangle trois fois plus long

La longueur d'un rectangle est le triple de sa largeur. Son périmètre est égal à 6464 cm.

Déterminer la largeur de ce rectangle.

Donner la largeur, en cm.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx la largeur, en cm. La longueur s'écrit alors 3x.3x.
  2. Le périmètre d'un rectangle :P=2(L+ℓ)\mathcal{P} = 2(L + \ell)

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx la largeur en cm ; la longueur vaut 3x.3x.ℓ=x;L=3x\ell = x \quad ; \quad L = 3x
  2. Traduire — 2(3x+x)=642(3x + x) = 64
  3. Résoudre — 8x=648x = 64
  4. Revenir à la question — La largeur vaut 88 cm et la longueur 2424 cm ; vérification : 2(24+8)=64.2(24 + 8) = 64.ℓ=8 cm;L=24 cm\ell = 8 \ \text{cm} \quad ; \quad L = 24 \ \text{cm}

On revient toujours à la question posée : ici la largeur, pas la longueur.

Pièges anticipés

  • 16 → Tu as écrit 3x+x=64.3x + x = 64. Le périmètre est le double de L+ℓ.L + \ell.
  • 24 → 2424 cm, c'est la longueur. La question porte sur la largeur.

Exercice 71 · pratique

Un nombre et son quart

Un nombre augmenté de son quart est égal à 45.45.

Déterminer ce nombre.

Donner le nombre cherché.

Réponse attendue : 36

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx le nombre cherché. Son quart s'écrit x4.\dfrac{x}{4}.
  2. Traduis, puis multiplie les deux membres par 44 pour supprimer le dénominateur.

Correction

  1. Traduire — Soit xx le nombre cherché.x+x4=45x + \frac{x}{4} = 45
  2. Multiplier par 4 — 4x+x=1804x + x = 180
  3. Résoudre — 5x=1805x = 180
  4. Vérification — 36+364=36+9=45✓36 + \frac{36}{4} = 36 + 9 = 45 \quad \checkmark
  5. x=36x = 36

« Augmenté de son quart » se traduit par x+x4x + \dfrac{x}{4} : le quart est celui du nombre cherché, pas celui du résultat.

Pièges anticipés

  • 135/4 / 33.75 → Tu as retiré le quart de 45.45. Mais le quart ajouté est celui du nombre cherché, pas celui de 45.45.
  • 9 → Tu n'as pas multiplié le 4545 par 44 : la multiplication s'applique aux deux membres.

Exercice 72 · raisonnement

Le bidon

Un bidon rempli d'eau aux deux tiers pèse 1 3001\,300 g. Rempli au tiers, il pèse 900900 g.

Déterminer la masse d'eau que contient le bidon quand il est plein.

Donner la masse d'eau du bidon plein, en grammes.

Réponse attendue : 1200

Indices, dans l’ordre

  1. Soit ee la masse d'eau du bidon plein. Entre les deux pesées, la masse du bidon vide ne change pas.
  2. Passer d'un tiers à deux tiers, c'est ajouter un tiers de ee : à quelle différence de masse cela correspond-il ?

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit ee la masse d'eau du bidon plein, en g.
  2. Traduire — La différence des deux pesées est la masse d'un tiers de l'eau.23e−13e=1 300−900\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e = 1\,300 - 900
  3. Résoudre — 13e=400  ⟺  e=1 200\frac{1}{3}e = 400 \iff e = 1\,200
  4. Vérification — Le bidon vide pèse 900−400=500900 - 400 = 500 g ; aux deux tiers : 500+800=1 300500 + 800 = 1\,300 g.500+800=1 300✓500 + 800 = 1\,300 \quad \checkmark
  5. e=1 200 ge = 1\,200 \ \text{g}

Quand une grandeur inconnue (ici la masse du bidon vide) est la même dans deux situations, la différence la fait disparaître.

Pièges anticipés

  • 400 → 400400 g, c'est la masse d'un tiers de l'eau. Le bidon plein en contient trois tiers.
  • 800 → 800800 g, ce sont les deux tiers de l'eau. Le bidon plein contient trois tiers.

Exercice 73 · raisonnement

La mère et sa fille

Aujourd'hui, l'âge d'une mère est le quadruple de celui de sa fille. Dans 2020 ans, l'âge de la mère sera le double de celui de sa fille.

Déterminer l'âge actuel de la fille.

Donner l'âge actuel de la fille, en années.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx l'âge actuel de la fille. Écris l'âge actuel de la mère, puis les deux âges dans 2020 ans.
  2. Dans 2020 ans, chacune a vieilli de 2020 ans : la mère aussi.
  3. Traduis « le double » : l'âge de la mère dans 2020 ans égale deux fois l'âge de la fille dans 2020 ans.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx l'âge actuel de la fille ; la mère a 4x4x ans.
  2. Dans 20 ans — La fille aura x+20x + 20 ans et la mère 4x+204x + 20 ans.4x+20=2(x+20)4x + 20 = 2(x + 20)
  3. Résoudre — 4x+20=2x+40  ⟺  2x=204x + 20 = 2x + 40 \iff 2x = 20
  4. Vérification — Aujourd'hui 1010 et 4040 ans ; dans 2020 ans, 3030 et 6060 : 60=2×30.60 = 2 \times 30.60=2×30✓60 = 2 \times 30 \quad \checkmark
  5. fille : 10 ans\text{fille : } 10 \text{ ans}

Dans un problème d'âges, le temps passe pour tout le monde : on ajoute la même durée à chaque âge.

Pièges anticipés

  • 40 → 4040 ans, c'est l'âge actuel de la mère. La question porte sur la fille.
  • 0 → Tu as écrit 2x+202x + 20 au lieu de 2(x+20)2(x + 20) : c'est l'âge de la fille dans 2020 ans qui est doublé.

Exercice 74 · raisonnement

Les places d'un théâtre

Un théâtre compte 200200 places : certaines à 22 D, les autres à 33 D. Quand la salle est pleine, la recette est de 490490 D.

Déterminer le nombre de places à 33 D.

Donner le nombre de places à 3 dinars.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx le nombre de places à 33 D. Combien y a-t-il alors de places à 22 D ?
  2. La recette est la somme de ce que rapportent les deux sortes de places.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx le nombre de places à 33 D ; il y a 200−x200 - x places à 22 D.
  2. Traduire — 3x+2(200−x)=4903x + 2(200 - x) = 490
  3. Résoudre — 3x+400−2x=490  ⟺  x=903x + 400 - 2x = 490 \iff x = 90
  4. Vérification — 9090 places à 33 D et 110110 à 22 D : 270+220=490.270 + 220 = 490.270+220=490✓270 + 220 = 490 \quad \checkmark
  5. x=90x = 90

Deux quantités dont on connaît la somme : une seule inconnue suffit, l'autre est « le total moins xx ».

Pièges anticipés

  • 110 → 110,110, c'est le nombre de places à 22 D. La question porte sur les places à 33 D.
  • 45 → Tu as écrit 3x+400−x3x + 400 - x : le 22 multiplie toute la parenthèse 200−x,200 - x, donc −2x.-2x.

Exercice 75 · defi

Deux oiseaux et une graine

Deux poteaux verticaux, hauts de 1212 m et de 66 m, sont plantés sur un terrain plat ; leurs pieds sont distants de 2020 m. Un oiseau perché au sommet de chacun s'envole au même instant, à la même vitesse et en ligne droite, vers une graine posée au sol entre les deux pieds, sur le segment qui les joint. Ils l'atteignent en même temps.

Déterminer la distance entre la graine et le pied du plus haut poteau.

Donner cette distance, en m.

Réponse attendue : 73/10 — aussi acceptées : 7.3

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux oiseaux parcourent la même distance. Soit xx la distance de la graine au pied du grand poteau : la distance au pied du petit est 20−x.20 - x.
  2. Chaque oiseau parcourt l'hypoténuse d'un triangle rectangle : utilise le théorème de Pythagore.
  3. Écris l'égalité des carrés des deux distances : les termes en x2x^{2} s'annulent.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx la distance entre la graine et le pied du grand poteau, en m.
  2. Pythagore — Les carrés des distances parcourues par les deux oiseaux :122+x2=62+(20−x)212^{2} + x^{2} = 6^{2} + (20 - x)^{2}
  3. Développer — 144+x2=36+400−40x+x2144 + x^{2} = 36 + 400 - 40x + x^{2}
  4. Résoudre — 40x=29240x = 292
  5. Vérification — 122+7,32=197,2912^{2} + 7{,}3^{2} = 197{,}29 et 62+12,72=197,29.6^{2} + 12{,}7^{2} = 197{,}29.197,29=197,29✓197{,}29 = 197{,}29 \quad \checkmark
  6. x=7,3 mx = 7{,}3 \ \text{m}

Une équation qui contient des carrés peut rester du premier degré : ici les x2x^{2} disparaissent.

Pièges anticipés

  • 7 → Tu as écrit 12+x=6+(20−x)12 + x = 6 + (20 - x) : on n'additionne pas des longueurs de côtés perpendiculaires. La distance parcourue se calcule avec Pythagore.
  • 10 → La graine n'est pas au milieu : le grand poteau est plus haut, son oiseau a plus de hauteur à descendre, donc la graine est plus près de lui.
  • 127/10 / 12.7 → 12,712{,}7 m, c'est la distance entre la graine et le pied du petit poteau : 20−7,3=12,7.20 - 7{,}3 = 12{,}7. La question porte sur le pied du plus haut.

Exercice 76 · defi

Un héritage en trois parts

Une somme est partagée entre trois frères. Le premier reçoit le tiers de la somme, le deuxième en reçoit le quart, et le troisième reçoit le reste, soit 2 5002\,500 D.

Déterminer la somme partagée.

Donner la somme partagée, en dinars.

Réponse attendue : 6000

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx la somme partagée. Exprime les parts des deux premiers frères en fonction de x.x.
  2. La part du troisième est ce qui reste : xx moins les deux autres parts.
  3. Réduis au même dénominateur, 12.12.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit xx la somme partagée, en dinars.
  2. Traduire — x−x3−x4=2 500x - \frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 2\,500
  3. Multiplier par 12 — 12x−4x−3x=30 00012x - 4x - 3x = 30\,000
  4. Résoudre — 5x=30 0005x = 30\,000
  5. Vérification — Parts : 2 0002\,000 D, 1 5001\,500 D et 2 5002\,500 D, soit 6 0006\,000 D en tout.2 000+1 500+2 500=6 000✓2\,000 + 1\,500 + 2\,500 = 6\,000 \quad \checkmark
  6. x=6 000 Dx = 6\,000 \ \text{D}

Les fractions d'une même somme se comparent sur un dénominateur commun : ici, le troisième frère reçoit les 512.\dfrac{5}{12}.

Pièges anticipés

  • 30000/7 → Tu as compté 2 5002\,500 D comme les 712\dfrac{7}{12} de la somme. 712,\dfrac{7}{12}, c'est ce que reçoivent les deux premiers ; le troisième reçoit 512.\dfrac{5}{12}.
  • 3125/3 → Tu as calculé les 512\dfrac{5}{12} de 2 500.2\,500. C'est 2 5002\,500 qui vaut les 512\dfrac{5}{12} de la somme : on divise par 512.\dfrac{5}{12}.

Exercice 77 · defi

Deux cyclistes

Deux villes A et B sont distantes de 9595 km. Un premier cycliste part de A vers B à 88 h, à la vitesse constante de 2020 km/h. Un second part de B vers A à 99 h, à la vitesse constante de 3030 km/h.

Déterminer la durée, en heures, entre le départ du premier cycliste et le moment où ils se croisent.

Donner cette durée, en heures (un nombre décimal ou une fraction).

Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5

Indices, dans l’ordre

  1. Soit tt la durée écoulée depuis 88 h, en heures. Quelle distance a parcourue le premier cycliste ?
  2. Le second est parti une heure plus tard : il a roulé t−1t - 1 heures.
  3. Au croisement, les deux distances parcourues ont pour somme 9595 km.

Correction

  1. Choisir l'inconnue — Soit tt la durée écoulée depuis 88 h, en heures.d1=20t;d2=30(t−1)d_{1} = 20t \quad ; \quad d_{2} = 30(t - 1)
  2. Traduire — 20t+30(t−1)=9520t + 30(t - 1) = 95
  3. Résoudre — 50t−30=95  ⟺  50t=12550t - 30 = 95 \iff 50t = 125
  4. Revenir à la question — Ils se croisent 2,52{,}5 h après 88 h, soit à 1010 h 30.30. Vérification : 50+45=95.50 + 45 = 95.t=12550t = \frac{125}{50}
  5. t=2,5 ht = 2{,}5 \ \text{h}

Quand deux mobiles ne partent pas en même temps, on mesure tout depuis le même instant et on décale la durée du second.

Pièges anticipés

  • 1.9 / 19/10 → Tu as fait partir les deux cyclistes en même temps. Le second ne roule que depuis 99 h : pendant t−1t - 1 heures.
  • 1.3 / 13/10 → Tu as écrit 30(t+1)30(t + 1) : le second cycliste est parti après le premier, il a roulé moins longtemps, t−1t - 1 heures.

Exercice 78 · base

Ajouter ne change rien au sens

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x+7>3.x + 7 > 3.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-4;+inf[ — aussi acceptées : ]-4;+∞[ · ]-4,+inf[

Indices, dans l’ordre

  1. Retire 77 aux deux membres : ajouter ou retirer un nombre ne change pas le sens de l'inégalité.
  2. L'inégalité est stricte : la borne est-elle une solution ?

Correction

  1. Retirer 7 — Le sens est conservé.x>3−7x > 3 - 7
  2. x>−4x > -4
  3. L'ensemble — Inégalité stricte : crochet ouvert en −4.-4.S= ]−4 ;+∞[S = \,]-4\,;+\infty[
  4. Contrôle — x=0x = 0 : 0+7=7>3,0 + 7 = 7 > 3, et 0∈S.0 \in S.0∈S✓0 \in S \quad \checkmark
  5. S= ]−4 ;+∞[S = \,]-4\,;+\infty[

Ajouter ou retirer le même nombre aux deux membres : même technique que pour une équation, et le sens ne bouge pas.

Pièges anticipés

  • ]10;+inf[ / ]10;+∞[ → Tu as écrit x>3+7.x > 3 + 7. Pour faire passer le +7+7 à droite, on le retranche.
  • [-4;+inf[ / [-4;+∞[ → L'inégalité est stricte : −4+7=3-4 + 7 = 3 n'est pas strictement supérieur à 3.3. Le crochet reste ouvert.

Exercice 79 · base

Diviser par un positif

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 2x≤10.2x \le 10.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;5] — aussi acceptées : ]-∞;5] · ]-inf,5]

Indices, dans l’ordre

  1. Divise les deux membres par 2.2. Ce nombre est-il positif ou négatif ?
  2. Le symbole ≤\le autorise l'égalité : la borne fait partie des solutions.

Correction

  1. Diviser par 2 — 2>02 > 0 : le sens est conservé.x≤102x \le \frac{10}{2}
  2. x≤5x \le 5
  3. L'ensemble — Inégalité large : crochet fermé en 5.5.S= ]−∞ ;5]S = \,]-\infty\,;5]
  4. S= ]−∞ ;5]S = \,]-\infty\,;5]

Diviser par un nombre strictement positif ne change pas le sens : il n'y a rien à inverser.

Pièges anticipés

  • [5;+inf[ / [5;+∞[ → Tu as inversé le sens alors que tu divises par 2,2, un nombre positif. Seule la division par un négatif inverse le sens.
  • ]-inf;5[ / ]-∞;5[ → Le symbole est ≤\le : 55 est solution, car 2×5=10.2 \times 5 = 10. Le crochet se ferme.

Exercice 80 · base

Diviser par un négatif

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation −4x≥8.-4x \ge 8.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;-2] — aussi acceptées : ]-∞;-2] · ]-inf,-2]

Indices, dans l’ordre

  1. Pour isoler x,x, divise les deux membres par −4.-4.
  2. Diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
  3. Contrôle avec une valeur simple, par exemple x=−5.x = -5.

Correction

  1. Diviser par −4 — −4<0-4 < 0 : le sens s'inverse, ≥\ge devient ≤.\le.x≤8−4x \le \frac{8}{-4}
  2. x≤−2x \le -2
  3. Contrôle — x=−5x = -5 : −4×(−5)=20≥8,-4 \times (-5) = 20 \ge 8, et −5∈S.-5 \in S.−5∈S✓-5 \in S \quad \checkmark
  4. S= ]−∞ ;−2]S = \,]-\infty\,;-2]

Diviser par un négatif : on inverse le sens, et on n'oublie pas le signe du quotient.

Pièges anticipés

  • [-2;+inf[ / [-2;+∞[ → Tu as gardé le sens de départ. En divisant par −4,-4, le ≥\ge devient ≤.\le. Teste x=0x = 0 : 0≥80 \ge 8 est faux, or 00 est dans ton ensemble.
  • ]-inf;2] / ]-∞;2] → Tu as bien inversé le sens, mais 8−4=−2,\dfrac{8}{-4} = -2, pas 2.2.

Exercice 81 · pratique

Des x des deux côtés

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 5x−3<2x+9.5x - 3 < 2x + 9.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;4[ — aussi acceptées : ]-∞;4[ · ]-inf,4[

Indices, dans l’ordre

  1. Rassemble les termes en xx à gauche et les nombres à droite, comme pour une équation.
  2. Au moment de diviser, regarde le signe du coefficient de x.x.

Correction

  1. Rassembler — On retire 2x2x et on ajoute 33 : le sens ne change pas.3x<123x < 12
  2. Diviser par 3 — 3>03 > 0 : le sens est conservé.x<4x < 4
  3. Contrôle — x=0x = 0 : −3<9,-3 < 9, vrai, et 0∈S.0 \in S.0∈S✓0 \in S \quad \checkmark
  4. S= ]−∞ ;4[S = \,]-\infty\,;4[

Mêmes gestes que pour une équation ; on ne s'arrête qu'au moment de diviser, pour regarder le signe.

Pièges anticipés

  • ]-inf;2[ / ]-∞;2[ → Tu as écrit 3x<9−3.3x < 9 - 3. Le −3-3 change de membre : il devient +3.+3.
  • ]4;+inf[ / ]4;+∞[ → Tu as inversé le sens en divisant par 3,3, qui est positif. Le sens ne change que pour un diviseur négatif.

Exercice 82 · pratique

Le piège du coefficient négatif

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 3−2x>11.3 - 2x > 11.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;-4[ — aussi acceptées : ]-∞;-4[ · ]-inf,-4[

Indices, dans l’ordre

  1. Retire 33 aux deux membres pour isoler le terme en x.x.
  2. Tu obtiens −2x>…-2x > \ldots : par quel nombre divises-tu, et que devient le sens ?

Correction

  1. Retirer 3 — −2x>8-2x > 8
  2. Diviser par −2 — −2<0-2 < 0 : le sens s'inverse.x<8−2x < \frac{8}{-2}
  3. x<−4x < -4
  4. Contrôle — x=−5x = -5 : 3+10=13>11,3 + 10 = 13 > 11, vrai.−5∈S✓-5 \in S \quad \checkmark
  5. S= ]−∞ ;−4[S = \,]-\infty\,;-4[

Le coefficient de xx porte son signe : ici −2,-2, et c'est lui qui impose d'inverser le sens.

Pièges anticipés

  • ]-4;+inf[ / ]-4;+∞[ → Tu as gardé le sens en divisant par −2.-2. Teste x=0x = 0 : 3>113 > 11 est faux, or 00 est dans ton ensemble.
  • ]-inf;-7[ / ]-∞;-7[ → Tu as écrit −2x>11+3.-2x > 11 + 3. Le 33 change de membre en changeant de signe : 11−3=8.11 - 3 = 8.

Exercice 83 · pratique

Une fraction négative

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation −x3≤2.-\dfrac{x}{3} \le 2.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : [-6;+inf[ — aussi acceptées : [-6;+∞[ · [-6,+inf[

Indices, dans l’ordre

  1. Pour isoler x,x, multiplie les deux membres par −3.-3.
  2. Multiplier par un nombre négatif inverse le sens.

Correction

  1. Multiplier par −3 — −3<0-3 < 0 : le sens s'inverse, ≤\le devient ≥.\ge.x≥2×(−3)x \ge 2 \times (-3)
  2. x≥−6x \ge -6
  3. Contrôle — x=0x = 0 : 0≤2,0 \le 2, vrai, et 0∈S.0 \in S.0∈S✓0 \in S \quad \checkmark
  4. S=[−6 ;+∞[S = [-6\,;+\infty[

Multiplier ou diviser : la règle est la même, seul le signe du nombre compte.

Pièges anticipés

  • ]-inf;-6] / ]-∞;-6] → Tu as gardé le sens en multipliant par −3.-3. Teste x=0x = 0 : il convient, or il n'est pas dans ton ensemble.
  • [-2/3;+inf[ / [-2/3;+∞[ → Tu as divisé 22 par −3.-3. Pour annuler la division par −3,-3, on multiplie par −3.-3.

Exercice 84 · pratique

Développer avant de comparer

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 4(x−1)≥6x+2.4(x - 1) \ge 6x + 2.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;-3] — aussi acceptées : ]-∞;-3] · ]-inf,-3]

Indices, dans l’ordre

  1. Développe le membre de gauche.
  2. Rassemble les xx : si tu les mets à gauche, le coefficient obtenu est négatif. Prends-en note au moment de diviser.

Correction

  1. Développer — 4x−4≥6x+24x - 4 \ge 6x + 2
  2. Rassembler — On retire 6x6x et on ajoute 44 : le sens ne change pas.−2x≥6-2x \ge 6
  3. Diviser par −2 — −2<0-2 < 0 : le sens s'inverse.x≤−3x \le -3
  4. Contrôle — x=−4x = -4 : 4×(−5)=−204 \times (-5) = -20 et 6×(−4)+2=−226 \times (-4) + 2 = -22 ; −20≥−22.-20 \ge -22.−4∈S✓-4 \in S \quad \checkmark
  5. S= ]−∞ ;−3]S = \,]-\infty\,;-3]

On peut aussi rassembler les xx à droite, −6≤2x-6 \le 2x : le coefficient est positif et le sens ne change pas. Les deux chemins donnent le même ensemble.

Pièges anticipés

  • [-3;+inf[ / [-3;+∞[ → Tu es arrivé à −2x≥6-2x \ge 6 et tu as gardé le sens en divisant par −2.-2. Il s'inverse.
  • ]-inf;-3/2] / ]-∞;-3/2] → Tu as écrit 4x−14x - 1 : le 44 multiplie aussi le 1.1. 4(x−1)=4x−4.4(x - 1) = 4x - 4.

Exercice 85 · raisonnement

Le double d'un entier

Le double d'un entier relatif n,n, diminué de 3,3, est strictement inférieur à 18.18.

Déterminer la plus grande valeur possible de n.n.

Donner la plus grande valeur possible de n.n.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Traduis la phrase par une inéquation d'inconnue n,n, puis résous-la.
  2. La borne obtenue n'est pas un entier. Parmi les entiers qui conviennent, lequel est le plus grand ?

Correction

  1. Traduire — 2n−3<182n - 3 < 18
  2. Résoudre — 2n<21  ⟺  n<2122n < 21 \iff n < \frac{21}{2}
  3. Situer la borne — 212=10,5\dfrac{21}{2} = 10{,}5 : les entiers solutions sont …,\ldots, 9,9, 1010.10<212<1110 < \frac{21}{2} < 11
  4. Vérification — 2×10−3=17<18,2 \times 10 - 3 = 17 < 18, mais 2×11−3=19.2 \times 11 - 3 = 19.17<18✓17 < 18 \quad \checkmark
  5. n=10n = 10

L'inéquation donne un intervalle ; la condition « nn entier » choisit dedans.

Pièges anticipés

  • 11 → 1111 ne convient pas : 2×11−3=19,2 \times 11 - 3 = 19, qui n'est pas inférieur à 18.18.
  • 21/2 / 10.5 → 212\dfrac{21}{2} est la borne, et elle n'est pas un entier. On cherche le plus grand entier strictement inférieur à elle.

Exercice 86 · raisonnement

La note du devoir de synthèse

Un élève a obtenu 99 au devoir de contrôle, de coefficient 1.1. Le devoir de synthèse a le coefficient 2.2.

Déterminer la note minimale qu'il doit obtenir au devoir de synthèse pour que sa moyenne soit supérieure ou égale à 12.12.

Donner la note minimale.

Réponse attendue : 27/2 — aussi acceptées : 13.5

Indices, dans l’ordre

  1. Soit xx la note du devoir de synthèse. La moyenne pondérée s'écrit 9+2x3\dfrac{9 + 2x}{3} : pourquoi divise-t-on par 33 ?
  2. Traduis « moyenne supérieure ou égale à 1212 », puis multiplie les deux membres par 3.3.
  3. L'inégalité est large : la borne trouvée convient.

Correction

  1. Traduire — Soit xx la note de synthèse. La somme des coefficients vaut 3.3.9+2x3≥12\frac{9 + 2x}{3} \ge 12
  2. Multiplier par 3 — 3>03 > 0 : le sens est conservé.9+2x≥369 + 2x \ge 36
  3. Résoudre — 2x≥27  ⟺  x≥13,52x \ge 27 \iff x \ge 13{,}5
  4. Vérification — Avec 13,513{,}5 : 9+273=12.\dfrac{9 + 27}{3} = 12.363=12✓\frac{36}{3} = 12 \quad \checkmark
  5. x≥13,5x \ge 13{,}5

Une moyenne avec coefficients se divise par la somme des coefficients ; le reste est une inéquation du premier degré.

Pièges anticipés

  • 15 → Tu as calculé 9+x2,\dfrac{9 + x}{2}, comme si les deux devoirs comptaient autant. Le devoir de synthèse compte double.
  • 15/2 / 7.5 → Tu as divisé par 2.2. On divise par la somme des coefficients, 1+2=3.1 + 2 = 3.

Exercice 87 · raisonnement

L'abonnement qui devient rentable

Au club vidéo, deux formules sont proposées. Formule A : abonnement de 1212 D par mois, puis 0,50{,}5 D par film. Formule B : 22 D par film, sans abonnement.

Déterminer le nombre minimal de films à louer dans le mois pour que la formule A soit strictement moins chère.

Donner le nombre minimal de films.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Soit nn le nombre de films loués dans le mois. Écris le prix payé avec chaque formule.
  2. Traduis « A strictement moins chère que B », puis résous l'inéquation.
  3. nn est un entier : choisis le plus petit entier qui convient.

Correction

  1. Traduire — Soit nn le nombre de films.12+0,5n<2n12 + 0{,}5n < 2n
  2. Résoudre — 12<1,5n  ⟺  n>812 < 1{,}5n \iff n > 8
  3. Le plus petit entier — L'inégalité est stricte : 88 ne convient pas, les deux prix sont alors égaux (1616 D).n≥9n \ge 9
  4. Vérification — Pour 99 films : A coûte 16,516{,}5 D, B coûte 1818 D.16,5<18✓16{,}5 < 18 \quad \checkmark
  5. n=9n = 9

Comparer deux formules, c'est résoudre une inéquation ; la nature de l'inconnue (un entier) fait choisir la bonne valeur.

Pièges anticipés

  • 8 → Pour 88 films, les deux formules coûtent exactement 1616 D : A n'est pas strictement moins chère.
  • 5 → Tu as écrit 12<2,5n.12 < 2{,}5n. Le 0,5n0{,}5n passe à droite en se retranchant : 2n−0,5n=1,5n.2n - 0{,}5n = 1{,}5n.

Exercice 88 · raisonnement

Un moins devant la parenthèse

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation −2(x+3)>4−x.-2(x + 3) > 4 - x.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;-10[ — aussi acceptées : ]-∞;-10[ · ]-inf,-10[

Indices, dans l’ordre

  1. Développe : −2-2 multiplie les deux termes de la parenthèse.
  2. Rassemble les xx à gauche. Le coefficient obtenu est négatif : attention au moment de diviser.

Correction

  1. Développer — −2x−6>4−x-2x - 6 > 4 - x
  2. Rassembler — On ajoute xx et 66 aux deux membres.−x>10-x > 10
  3. Multiplier par −1 — Le sens s'inverse.x<−10x < -10
  4. Contrôle — x=−11x = -11 : −2×(−8)=16-2 \times (-8) = 16 et 4+11=154 + 11 = 15 ; 16>15.16 > 15.−11∈S✓-11 \in S \quad \checkmark
  5. S= ]−∞ ;−10[S = \,]-\infty\,;-10[

Passer de −x-x à x,x, c'est multiplier par −1-1 : le sens s'inverse aussi.

Pièges anticipés

  • ]-10;+inf[ / ]-10;+∞[ → De −x>10,-x > 10, tu as tiré x>−10.x > -10. Multiplier par −1-1 inverse le sens : x<−10.x < -10.
  • ]-inf;-7[ / ]-∞;-7[ → Tu as écrit −2x−3-2x - 3 : le −2-2 multiplie aussi le 3,3, ce qui donne −6.-6.

Exercice 89 · defi

Quand A est négative

On pose A=3(2x−1)−2(x+4).A = 3(2x - 1) - 2(x + 4).

Déterminer l'ensemble des réels xx pour lesquels AA est négative ou nulle.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;11/4] — aussi acceptées : ]-∞;11/4] · ]-inf,11/4] · ]-inf;2.75] · ]-∞;2,75]

Indices, dans l’ordre

  1. Développe et réduis AA avant d'écrire l'inéquation.
  2. « Négative ou nulle » se traduit par A≤0.A \le 0.
  3. Le moins devant 2(x+4)2(x + 4) change le signe des deux termes.

Correction

  1. Développer — A=6x−3−2x−8=4x−11A = 6x - 3 - 2x - 8 = 4x - 11
  2. Traduire — 4x−11≤04x - 11 \le 0
  3. Résoudre — 4>04 > 0 : le sens est conservé.x≤114x \le \frac{11}{4}
  4. S=]−∞ ;114]S = \left]-\infty\,;\frac{11}{4}\right]

Simplifier l'expression d'abord, traduire ensuite : « négatif ou nul » ferme le crochet.

Pièges anticipés

  • ]-inf;-5/4] / ]-∞;-5/4] → Tu as écrit −2(x+4)=−2x+8.-2(x + 4) = -2x + 8. Le moins change le signe des deux termes : −2x−8.-2x - 8.
  • ]-inf;11/4[ / ]-∞;11/4[ → « Négative ou nulle » autorise A=0A = 0 : la borne 114\dfrac{11}{4} est solution, le crochet se ferme.

Exercice 90 · defi

Un rectangle qui doit exister

Un rectangle a pour dimensions x+3x + 3 et 2x−1,2x - 1, en cm, où xx est un réel.

Déterminer l'ensemble des valeurs de xx pour lesquelles ce rectangle existe et a un périmètre inférieur ou égal à 4040 cm.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]1/2;6] — aussi acceptées : ]1/2,6] · ]0.5;6] · ]0,5;6]

Indices, dans l’ordre

  1. Pour que le rectangle existe, ses deux dimensions doivent être strictement positives.
  2. Écris la condition sur le périmètre : 2((x+3)+(2x−1))≤40.2\big((x + 3) + (2x - 1)\big) \le 40.
  3. Les solutions doivent vérifier toutes les conditions à la fois.

Correction

  1. Existence — 2x−1>02x - 1 > 0 donne x>12x > \dfrac{1}{2} ; alors x+3>0x + 3 > 0 aussi.x>12x > \frac{1}{2}
  2. Périmètre — 2(3x+2)≤40  ⟺  6x+4≤40  ⟺  x≤62(3x + 2) \le 40 \iff 6x + 4 \le 40 \iff x \le 6
  3. Les deux conditions — 12<x≤6\frac{1}{2} < x \le 6
  4. S=]12 ;6]S = \left]\frac{1}{2}\,;6\right]

Dans un problème, les conditions d'existence (une longueur est positive) s'ajoutent à l'inéquation de l'énoncé.

Pièges anticipés

  • ]-inf;6] / ]-∞;6] → Pour x=0,x = 0, la dimension 2x−12x - 1 vaut −1-1 : ce rectangle n'existe pas. Il faut aussi 2x−1>0.2x - 1 > 0.
  • [1/2;6] / [0.5;6] → Pour x=12,x = \dfrac{1}{2}, la largeur 2x−12x - 1 est nulle : il n'y a plus de rectangle. Le crochet est ouvert en 12.\dfrac{1}{2}.

Exercice 91 · base

De l'inégalité à l'intervalle

Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels xx tels que x≥−1.x \ge -1.

Écrire l'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : [-1;+inf[ — aussi acceptées : [-1;+∞[ · [-1,+inf[

Indices, dans l’ordre

  1. Les réels supérieurs ou égaux à −1-1 vont de −1-1 jusqu'à l'infini.
  2. Le symbole ≥\ge autorise l'égalité : le crochet en −1-1 est-il ouvert ou fermé ?

Correction

  1. Lire l'inégalité — −1-1 est inclus ; aucune borne à droite.x≥−1x \ge -1
  2. Écrire l'intervalle — Crochet fermé sur −1,-1, toujours ouvert du côté de l'infini.
  3. S=[−1 ;+∞[S = [-1\,;+\infty[

≥\ge ferme le crochet ; du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.

Pièges anticipés

  • ]-1;+inf[ / ]-1;+∞[ → Le symbole est ≥\ge : −1-1 fait partie de l'ensemble, le crochet se ferme.
  • ]-inf;-1] / ]-∞;-1] → Tu as écrit les réels inférieurs ou égaux à −1.-1. Ici xx est supérieur ou égal à −1-1 : l'intervalle part vers +∞.+\infty.

Exercice 92 · base

Une borne fractionnaire

Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels xx tels que x<23.x < \dfrac{2}{3}.

Écrire l'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;2/3[ — aussi acceptées : ]-∞;2/3[ · ]-inf,2/3[

Indices, dans l’ordre

  1. Les réels strictement inférieurs à 23\dfrac{2}{3} viennent de −∞.-\infty.
  2. L'inégalité est stricte : la borne n'est pas dans l'ensemble.

Correction

  1. Lire l'inégalité — 23\dfrac{2}{3} est exclu ; aucune borne à gauche.x<23x < \frac{2}{3}
  2. S=]−∞ ;23[S = \left]-\infty\,;\frac{2}{3}\right[

Une borne fractionnaire s'écrit telle quelle : l'arrondir changerait l'ensemble.

Pièges anticipés

  • ]-inf;2/3] / ]-∞;2/3] → L'inégalité est stricte : 23\dfrac{2}{3} n'est pas solution, le crochet reste ouvert.
  • ]2/3;+inf[ / ]2/3;+∞[ → Tu as écrit les réels supérieurs à 23.\dfrac{2}{3}. Ici xx est inférieur à 23.\dfrac{2}{3}.

Exercice 93 · base

Un encadrement

Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels xx tels que −5<x≤1.-5 < x \le 1.

Écrire l'intervalle.

Réponse attendue : ]-5;1] — aussi acceptées : ]-5,1]

Indices, dans l’ordre

  1. Un encadrement donne deux bornes : l'intervalle va de −5-5 à 1.1.
  2. Regarde chaque symbole séparément : << du côté de −5,-5, ≤\le du côté de 1.1.

Correction

  1. Côté gauche — −5<x-5 < x : −5-5 est exclu, crochet ouvert.
  2. Côté droit — x≤1x \le 1 : 11 est inclus, crochet fermé.
  3. S= ]−5 ;1]S = \,]-5\,;1]

Chaque borne a son crochet, décidé par son propre symbole.

Pièges anticipés

  • [-5;1] → Du côté de −5,-5, le symbole est << : −5-5 est exclu, le crochet s'ouvre vers l'extérieur.
  • ]-5;1[ → Du côté de 1,1, le symbole est ≤\le : 11 est inclus, le crochet se ferme.

Exercice 94 · pratique

Une inéquation avec une moitié

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation x2−1<0.\dfrac{x}{2} - 1 < 0.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;2[ — aussi acceptées : ]-∞;2[ · ]-inf,2[

Indices, dans l’ordre

  1. Ajoute 11 aux deux membres.
  2. Pour annuler la division par 2,2, multiplie les deux membres par 22 : le sens change-t-il ?

Correction

  1. Ajouter 1 — x2<1\frac{x}{2} < 1
  2. Multiplier par 2 — 2>02 > 0 : le sens est conservé.x<2x < 2
  3. S= ]−∞ ;2[S = \,]-\infty\,;2[

Supprimer un dénominateur positif ne change pas le sens de l'inégalité.

Pièges anticipés

  • ]-inf;1/2[ / ]-∞;1/2[ → Tu as divisé 11 par 2.2. Pour annuler la division par 2,2, on multiplie par 2.2.
  • ]-inf;2] / ]-∞;2] → L'inégalité est stricte : pour x=2,x = 2, on obtient 0<0,0 < 0, faux. Le crochet reste ouvert.

Exercice 95 · pratique

Un double encadrement

Résoudre dans R\mathbb{R} : −1≤2x+3<9.-1 \le 2x + 3 < 9.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : [-2;3[ — aussi acceptées : [-2,3[

Indices, dans l’ordre

  1. On traite les trois membres à la fois : retire 33 partout.
  2. Divise ensuite les trois membres par 2,2, qui est positif.

Correction

  1. Retirer 3 — Aux trois membres.−4≤2x<6-4 \le 2x < 6
  2. Diviser par 2 — 2>02 > 0 : les deux sens sont conservés.−2≤x<3-2 \le x < 3
  3. S=[−2 ;3[S = [-2\,;3[

Un encadrement se transforme comme une inéquation, en appliquant chaque opération aux trois membres.

Pièges anticipés

  • [-4;6[ → Tu t'es arrêté à −4≤2x<6.-4 \le 2x < 6. C'est un encadrement de 2x,2x, pas de xx : divise encore par 2.2.
  • ]-2;3] → Les crochets viennent des symboles : ≤\le à gauche (fermé en −2-2), << à droite (ouvert en 33).

Exercice 96 · pratique

Un encadrement qui se retourne

Résoudre dans R\mathbb{R} : −3<1−2x≤5.-3 < 1 - 2x \le 5.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : [-2;2[ — aussi acceptées : [-2,2[

Indices, dans l’ordre

  1. Retire 11 aux trois membres.
  2. Divise ensuite par −2-2 : les deux symboles s'inversent.
  3. Réécris enfin l'encadrement dans l'ordre croissant, avant de choisir les crochets.

Correction

  1. Retirer 1 — −4<−2x≤4-4 < -2x \le 4
  2. Diviser par −2 — −2<0-2 < 0 : les deux sens s'inversent.2>x≥−22 > x \ge -2
  3. Remettre dans l'ordre — −2≤x<2-2 \le x < 2
  4. S=[−2 ;2[S = [-2\,;2[

Diviser un encadrement par un négatif inverse les deux symboles : on le relit ensuite de gauche à droite.

Pièges anticipés

  • ]-2;2] → Tu as remis les bornes dans l'ordre mais pas les symboles : de 2>x≥−2,2 > x \ge -2, on lit −2≤x<2.-2 \le x < 2. C'est −2-2 qui est inclus.
  • ]-4;4] → Tu t'es arrêté à l'encadrement de −2x.-2x. Il faut encore diviser par −2.-2.

Exercice 97 · pratique

Deux fractions à comparer

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 2x−13≤x+22.\dfrac{2x - 1}{3} \le \dfrac{x + 2}{2}.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]-inf;8] — aussi acceptées : ]-∞;8] · ]-inf,8]

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les deux membres par 66 : c'est un nombre positif.
  2. Garde les parenthèses des numérateurs : 6×2x−13=2(2x−1).6 \times \dfrac{2x - 1}{3} = 2(2x - 1).

Correction

  1. Multiplier par 6 — 6>06 > 0 : le sens est conservé.2(2x−1)≤3(x+2)2(2x - 1) \le 3(x + 2)
  2. Développer — 4x−2≤3x+64x - 2 \le 3x + 6
  3. Rassembler — x≤8x \le 8
  4. S= ]−∞ ;8]S = \,]-\infty\,;8]

Les règles des fractions et celles des inéquations se combinent sans changement.

Pièges anticipés

  • ]-inf;3] / ]-∞;3] → Tu as écrit 4x−1≤3x+24x - 1 \le 3x + 2 : les numérateurs entiers sont multipliés, 2(2x−1)=4x−22(2x - 1) = 4x - 2 et 3(x+2)=3x+6.3(x + 2) = 3x + 6.
  • [8;+inf[ / [8;+∞[ → Aucune division par un négatif ici : le sens ≤\le reste le même jusqu'au bout.

Exercice 98 · raisonnement

Compter les entiers

Déterminer le nombre d'entiers relatifs nn qui vérifient −3<2n+1≤9.-3 < 2n + 1 \le 9.

Donner le nombre d'entiers solutions.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Résous d'abord l'encadrement : retire 1,1, puis divise par 2.2.
  2. Liste ensuite les entiers de l'intervalle obtenu, en faisant attention à chaque borne.

Correction

  1. Retirer 1 — −4<2n≤8-4 < 2n \le 8
  2. Diviser par 2 — −2<n≤4-2 < n \le 4
  3. Lister — −2-2 est exclu, 44 est inclus.n∈{−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}n \in \{-1 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 4\}
  4. 66

Compter des entiers dans un intervalle, c'est d'abord regarder si chaque borne est incluse.

Pièges anticipés

  • 7 → Tu as compté −2.-2. Or 2×(−2)+1=−3,2 \times (-2) + 1 = -3, qui n'est pas strictement supérieur à −3.-3.
  • 5 → Tu as oublié 4.4. Or 2×4+1=9,2 \times 4 + 1 = 9, et l'inégalité ≤9\le 9 l'autorise.

Exercice 99 · raisonnement

Une inéquation toujours vraie

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 2(x+1)>2x−5.2(x + 1) > 2x - 5.

Écrire l'ensemble des solutions (noter R\mathbb{R} « R » ou « IR »), ou « aucune solution ».

Réponse attendue : ]-inf;+inf[ — aussi acceptées : ]-∞;+∞[ · R · IR · ℝ · tous les réels

Indices, dans l’ordre

  1. Développe le membre de gauche et rassemble les termes en x.x.
  2. Les xx disparaissent : l'inégalité qui reste est-elle vraie ou fausse ?

Correction

  1. Développer — 2x+2>2x−52x + 2 > 2x - 5
  2. Rassembler — On retire 2x2x aux deux membres.2>−52 > -5
  3. Conclure — Cette inégalité est vraie, quelle que soit la valeur de x.x.
  4. S=RS = \mathbb{R}

Quand l'inconnue disparaît, l'inégalité restante décide : vraie, tous les réels sont solutions ; fausse, aucun.

Pièges anticipés

  • vide / aucune solution → L'inégalité qui reste, 2>−5,2 > -5, est vraie : tous les réels conviennent.
  • ]-5;+inf[ / ]-5;+∞[ → Il ne reste aucun xx : 2>−52 > -5 ne dit rien de x,x, elle est vraie pour tous les réels.

Exercice 100 · raisonnement

Une inéquation impossible

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation 3(x−1)≥3x+2.3(x - 1) \ge 3x + 2.

Écrire l'ensemble des solutions, ou « aucune solution ».

Réponse attendue : vide — aussi acceptées : ensemble vide · aucune solution · pas de solution

Indices, dans l’ordre

  1. Développe le membre de gauche.
  2. Les termes en xx s'annulent : lis l'inégalité qui reste.

Correction

  1. Développer — 3x−3≥3x+23x - 3 \ge 3x + 2
  2. Rassembler — On retire 3x3x aux deux membres.−3≥2-3 \ge 2
  3. Conclure — Cette inégalité est fausse pour tout xx : aucun réel n'est solution.
  4. S=∅S = \varnothing

Une inégalité fausse qui ne dépend plus de xx signifie : aucune solution.

Pièges anticipés

  • ]-inf;+inf[ / R / IR → L'inégalité qui reste, −3≥2,-3 \ge 2, est fausse : aucun réel ne convient.
  • [2;+inf[ / [-3;+inf[ → Il ne reste aucun xx dans −3≥2-3 \ge 2 : cette inégalité est fausse, elle ne définit pas d'intervalle.

Exercice 101 · defi

Deux conditions à la fois

Déterminer l'ensemble des réels xx qui vérifient à la fois 2x−3<52x - 3 < 5 et 1−x≤3.1 - x \le 3.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : [-2;4[ — aussi acceptées : [-2,4[

Indices, dans l’ordre

  1. Résous chaque inéquation séparément.
  2. Dans la seconde, le coefficient de xx est −1-1 : attention au sens.
  3. « À la fois » : on garde les réels qui vérifient les deux, c'est-à-dire la partie commune des deux intervalles.

Correction

  1. Première inéquation — 2x<8  ⟺  x<42x < 8 \iff x < 4
  2. Seconde inéquation — On multiplie −x≤2-x \le 2 par −1-1 : le sens s'inverse.−x≤2  ⟺  x≥−2-x \le 2 \iff x \ge -2
  3. Les deux à la fois — −2≤x<4-2 \le x < 4
  4. S=[−2 ;4[S = [-2\,;4[

Deux conditions simultanées : on résout chacune, puis on garde ce qu'elles ont en commun.

Pièges anticipés

  • ]-inf;4[ / ]-∞;4[ → C'est l'ensemble des solutions de la première inéquation seulement. Il faut aussi 1−x≤3.1 - x \le 3.
  • ]-inf;-2] / ]-∞;-2] → De −x≤2,-x \le 2, tu as tiré x≤−2.x \le -2. Multiplier par −1-1 inverse le sens : x≥−2.x \ge -2. Avec x<4,x < 4, l'ensemble est un intervalle borné.

Exercice 102 · defi

Un carré et un triangle

Un triangle équilatéral a pour côté xx et un carré a pour côté x−2,x - 2, en cm, avec x>2.x > 2.

Déterminer l'ensemble des valeurs de xx pour lesquelles le périmètre du carré dépasse strictement celui du triangle, sans dépasser 4040 cm.

Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle (noter l'infini « inf » ou « ∞ »).

Réponse attendue : ]8;12] — aussi acceptées : ]8,12]

Indices, dans l’ordre

  1. Exprime les deux périmètres en fonction de x.x.
  2. Traduis les deux conditions : le périmètre du carré est strictement supérieur à celui du triangle, et inférieur ou égal à 40.40.
  3. Garde les réels qui vérifient les deux conditions, et la condition x>2.x > 2.

Correction

  1. Les périmètres — Pcarreˊ=4(x−2);Ptriangle=3x\mathcal{P}_{\text{carré}} = 4(x - 2) \quad ; \quad \mathcal{P}_{\text{triangle}} = 3x
  2. Première condition — 4x−8>3x  ⟺  x>84x - 8 > 3x \iff x > 8
  3. Seconde condition — 4x−8≤40  ⟺  x≤124x - 8 \le 40 \iff x \le 12
  4. Les deux à la fois — Ces valeurs vérifient bien x>2.x > 2.8<x≤128 < x \le 12
  5. S= ]8 ;12]S = \,]8\,;12]

Un énoncé à plusieurs exigences se traduit par plusieurs inéquations : la réponse est leur partie commune.

Pièges anticipés

  • ]8;+inf[ / ]8;+∞[ → Tu n'as traité que la comparaison des périmètres. Le périmètre du carré ne doit pas dépasser 4040 cm.
  • ]2;12] → Tu as oublié la comparaison avec le triangle : pour x=5,x = 5, le carré a un périmètre de 1212 cm, inférieur aux 1515 cm du triangle.