Relecture — Exploitation de l'information

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Les statistiques ma tekhdemnech bech na7esbou : tekhdemna bech nlakhsou. 9oddem miatin note, 7atta wa7ed ma ynajjem ychouf el classe. Amma une moyenne, une médiane w une étendue, ynajmou. Bech nchoufou kifech ne9raw des données, w kifech nmathlouhom.

عسلامة ! les statistiques ما تخدمناش باش نحسبو : تخدمنا باش نلخّصو. قدّام مياتين note، حتّى واحد ما ينجّم يشوف الكلاس. أمّا une moyenne، une médiane w une étendue، ينجّمو. باش نشوفو كيفاش نقراو des données، w كيفاش نمثّلوهم.

Bonjour ! Les statistiques ne servent pas à calculer : elles servent à résumer. Face à deux cents notes, personne ne peut voir la classe. Une moyenne, une médiane et une étendue, si. On va voir comment lire des données, et comment les représenter.

Les statistiques ne servent pas à calculer : elles servent à résumer. Face à deux cents notes, personne ne peut « voir » la classe. Une moyenne, une médiane et une étendue, si.

Tout le chapitre consiste donc à choisir le bon résumé, et à savoir ce qu'il cache. Une moyenne de $12$ ne dit pas si tout le monde a $12$ ou si la moitié a $4$ et l'autre $20$ — et c'est exactement pour ça qu'on a inventé la médiane et l'étendue.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

Employer correctement le vocabulaire : population, individu, caractère, effectif, fréquenceEmployer correctement le vocabulaire : population, individu, caractère, effectif, fréquence.Employer correctement le vocabulaire : population, individu, caractère, effectif, fréquence.
Distinguer un caractère qualitatif d'un caractère quantitatif, discret ou continuDistinguer un caractère qualitatif d'un caractère quantitatif, discret ou continu.Distinguer un caractère qualitatif d'un caractère quantitatif, discret ou continu.
Construire un tableau d'effectifs et de fréquences, et calculer des effectifs cumulésConstruire un tableau d'effectifs et de fréquences, et calculer des effectifs cumulés.Construire un tableau d'effectifs et de fréquences, et calculer des effectifs cumulés.
Lire et construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire, un histogrammeLire et construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire, un histogramme.Lire et construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire, un histogramme.
Calculer et interpréter une moyenne pondérée, une médiane, un mode et l'étendueCalculer et interpréter une moyenne pondérée, une médiane, un mode et l'étendue.Calculer et interpréter une moyenne pondérée, une médiane, un mode et l'étendue.
Déterminer le centre d'une classe, et la classe modale d'une série regroupéeDéterminer le centre d'une classe, et la classe modale d'une série regroupée.Déterminer le centre d'une classe, et la classe modale d'une série regroupée.
Calculer la moyenne d'une série regroupée par classes à partir des centres et des fréquencesCalculer la moyenne d'une série regroupée par classes à partir des centres et des fréquences.Calculer la moyenne d'une série regroupée par classes à partir des centres et des fréquences.
Lire la médiane d'une série regroupée sur la courbe des fréquences cumulées croissantesLire la médiane d'une série regroupée sur la courbe des fréquences cumulées croissantes.Lire la médiane d'une série regroupée sur la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Savoir que dans un histogramme, c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectifSavoir que dans un histogramme, c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif.Savoir que dans un histogramme, c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif.
Calculer un coefficient multiplicateur et un indice base 100 sur une série chronologiqueCalculer un coefficient multiplicateur et un indice base 100 sur une série chronologique.Calculer un coefficient multiplicateur et un indice base 100 sur une série chronologique.

1. Activité

Vingt notes en vrac

Ce qu’il dit

3andna vingt note mte3 classe, ma7toutin fel 5lit. Bass fihom berk : tnajjem t9oul kifech 5edmet el classe ? S3ib. Rattebhom bel tartib ettasa3odi, w baad chouf. Hedhi hiya el mochkla elli bech y7ellha el chapitre el koll.

عندنا vingt note متاع كلاس، محطوطين في الخليط. بصّ فيهم برك : تنجّم تقول كيفاش خدمت الكلاس ؟ صعيب. رتّبهم بالترتيب التصاعدي، w بعد شوف. هاذي هي المشكلة الّي باش يحلّها الشابيتر الكلّ.

On a vingt notes d'une classe, en vrac. Regarde-les simplement : peux-tu dire comment la classe a travaillé ? C'est difficile. Range-les dans l'ordre croissant, puis regarde. C'est ce problème-là que tout le chapitre va résoudre.

Voici les notes obtenues par une classe à un contrôle :

$\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 6 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 18 \ ; \$ $\displaystyle 11 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 13 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 16 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 12$

1.En regardant seulement cette liste, peux-tu dire comment la classe a travaillé ?
2.Range les notes dans l'ordre croissant, puis compte combien de fois chacune apparaît.
3.Quelle note revient le plus souvent ? Combien d'élèves ont eu au moins $12$ ?

La première question n'a pas de réponse, et c'est voulu. Tout le chapitre consiste à rendre lisible ce qui ne l'est pas.

Exemple traité

Ce que donne le comptage.

Effectif total — $N = 20$
La note la plus fréquente — Elle apparaît sept fois : c'est le mode de la série. $12 \ \text{apparaît } 7 \text{ fois}$
En rangeant, on voit aussi les extrêmes, ce que la liste brute cachait. $x_{\min} = 6 \quad ; \quad x_{\max} = 18$
Au moins 12 — On additionne les effectifs des notes supérieures ou égales à $12$ : sept fois $12,$ puis $13,$ deux fois $14,$ $15,$ $16$ et $18.$ $7 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 13 \ \text{élèves}$

\text{Mode} = 12 \quad ; \quad \text{Étendue} = 18 - 6 = 12

À ne pas faire : On lit la série telle qu'elle est donnée — On la range et on compte les effectifs. Une liste en vrac ne se lit pas. Ranger et compter est le premier geste de toute étude statistique.

2. Vocabulaire

Le vocabulaire de la statistique

Ce qu’il dit

Quatre kelmet, w lezmek testa3melhom bel dhabt. La population hiya l'ensemble elli n7ebbou nadrsouh. L'individu houwa un élément menha. Le caractère houwa elli nlé7dhouh 3ala koll individu. W l'effectif houwa 9adech marra tet3awed valeur. Te5let binethom, te5let ejjadwel el koll.

quatre كلمات، w لازمك تستعملهم بالضبط. la population هي l'ensemble الّي نحبّو ندرسوه. l'individu هو un élément منها. le caractère هو الّي نلاحظوه على كلّ individu. w l'effectif هو قدّاش مرّة تتعاود valeur. تخلط بيناتهم، تخلط الجدول الكلّ.

Quatre mots, et il faut les employer exactement. La population, c'est l'ensemble étudié. L'individu, c'est un élément de cet ensemble. Le caractère, c'est ce qu'on observe sur chaque individu. Et l'effectif, c'est le nombre de fois qu'une valeur revient. Si tu les mélanges, tu mélanges tout le tableau.

Quatre mots, et il faut les employer exactement :

la population : l'ensemble étudié — les élèves d'une classe, les habitants d'une ville ;
un individu : un élément de cette population ;
le caractère : ce qu'on observe sur chaque individu — la couleur des yeux, la taille, le nombre de frères ;
l'effectif d'une valeur : le nombre d'individus qui la présentent.

Le caractère se classe en deux familles, et ce classement décide de tout ce qui suit :

qualitatif : il ne se mesure pas — couleur, sport pratiqué, moyen de transport ;
quantitatif : il se mesure. Il est discret quand les valeurs sont isolées (nombre de frères : $0,$ $1,$ $2$ …), continu quand elles peuvent prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle (la taille, la masse).

On ne calcule jamais de moyenne sur un caractère qualitatif : la « couleur moyenne » n'existe pas.

Effectif total

N = \sum n_{i}

Exemple traité

Dans une classe de $25$ élèves, on relève la couleur des yeux et le nombre de frères et sœurs.

Population — Les $25$ élèves de la classe. Un individu est un élève. $N = 25$
Premier caractère — La couleur des yeux ne se mesure pas : il est qualitatif.
Second caractère — Le nombre de frères et sœurs prend des valeurs isolées : il est quantitatif discret.

À ne pas faire : On calcule la moyenne des couleurs d'yeux — On donne le mode : la couleur la plus fréquente. Un caractère qualitatif n'a pas de valeur numérique. Seul le mode a un sens.

3. Méthode

Effectifs, fréquences, cumuls

Ce qu’il dit

La fréquence hiya l'effectif mte3 valeur ma9soum 3ala l'effectif total. Houwa nombre bin zéro w 1, w la somme des fréquences tsawi dima 1. Hedhi hiya la vérification elli lezmek ta3melha dima : ken la somme ma 3amletch 1, thamma ghalta fel jadwel. B pourcentage, nodhorbou fi 100.

la fréquence هي l'effectif متاع valeur مقسوم على l'effectif total. هو nombre بين zéro w 1، w la somme des fréquences تساوي ديما 1. هاذي هي la vérification الّي لازمك تعملها ديما : كان la somme ما عملتش 1، ثمّة غلطة في الجدول. بـ pourcentage، نضربو في 100.

La fréquence, c'est l'effectif d'une valeur divisé par l'effectif total. C'est un nombre compris entre zéro et 1, et la somme des fréquences vaut toujours 1. C'est le contrôle à faire systématiquement : si la somme ne fait pas 1, il y a une erreur dans le tableau. En pourcentage, on multiplie par 100.

La fréquence d'une valeur est la part qu'elle représente dans l'ensemble :

$f_{i} = \frac{n_{i}}{N}$

C'est un nombre compris entre $0$ et $1,$ et la somme de toutes les fréquences vaut toujours $1.$ C'est le contrôle à faire systématiquement : si la somme ne fait pas $1,$ il y a une erreur dans le tableau.

En pourcentage, on multiplie par $100.$ Une fréquence de $0{,}4$ s'annonce donc « $40\,\%$ » — et il faut préciser lequel des deux on donne, car $0{,}4$ et $40$ ne sont pas le même nombre.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre d'individus dont la valeur du caractère est inférieure ou égale à celle-ci. Il sert à trouver la médiane sans tout réécrire.

Fréquence

f_{i} = \frac{n_{i}}{N}

Contrôle

\sum f_{i} = 1

En %

\text{pourcentage} = f_{i} \times 100

Exemple traité

Sur $25$ élèves, $10$ pratiquent le football. Quelle est la fréquence, en pourcentage ?

La fréquence — $f = \frac{10}{25} = 0{,}4$
En pourcentage — $0{,}4 \times 100 = 40$
$40\,\%$ des élèves pratiquent le football. $f = 40\,\%$

À ne pas faire : $f = \dfrac{25}{10} = 2{,}5$ — $f = \dfrac{10}{25} = 0{,}4$ . L'effectif de la valeur est au numérateur, l'effectif total au dénominateur. Une fréquence ne dépasse jamais $1.$

4. Méthode

Représenter les données

Ce qu’il dit

Le graphique yet5tar 3ala 7seb tabi3et le caractère — mouch 3ala 7seb edhdhou9. Le diagramme en bâtons l un caractère qualitatif walla quantitatif discret. Le diagramme circulaire bech tbayyen des parts d'un tout : l'angle proportionnel à l'effectif, 3ala 360 degrés. Anhi graphique te5tar, hedhi 7addha fi rou7ha so2al fi l'examen.

le graphique يتختار على حساب طبيعة le caractère — موش على حساب الذوق. le diagramme en bâtons لـ un caractère qualitatif ولّا quantitatif discret. le diagramme circulaire باش تبيّن des parts d'un tout : l'angle proportionnel à l'effectif، على 360 degrés. أنهي graphique تختار، هاذي حدّها في روحها سؤال في l'examen.

Le graphique se choisit d'après la nature du caractère — ce n'est pas une question de goût. Le diagramme en bâtons pour un caractère qualitatif ou quantitatif discret. Le diagramme circulaire pour montrer des parts d'un tout : l'angle est proportionnel à l'effectif, sur 360 degrés. Le choix du graphique est à lui seul une question d'examen.

Le graphique se choisit d'après la nature du caractère — ce n'est pas une question de goût :

diagramme en bâtons : caractère qualitatif ou quantitatif discret. La hauteur du bâton est proportionnelle à l'effectif ;
diagramme circulaire : pour montrer des parts d'un tout. L'angle est proportionnel à l'effectif, sur un tour complet de $360°$ ;
histogramme : caractère quantitatif continu, regroupé en classes. Ce sont les aires des rectangles qui sont proportionnelles aux effectifs, pas leurs hauteurs.

Pour un diagramme circulaire, l'angle se calcule toujours de la même façon : la fréquence multipliée par $360.$

Angle en degrés

\alpha_{i} = \frac{n_{i}}{N} \times 360

Exemple traité

Sur $40$ personnes interrogées, $14$ préfèrent le thé. Quel angle représente le thé sur un diagramme circulaire ?

La fréquence — $f = \frac{14}{40} = 0{,}35$
L'angle — Le tour complet fait $360°.$ $\alpha = 0{,}35 \times 360$
$\alpha = 126°$

\alpha = 126°

À ne pas faire : L'angle vaut $\dfrac{14}{40} \times 180 = 63°$ — L'angle vaut $\dfrac{14}{40} \times 360 = 126°$ . Un disque complet mesure $360°,$ pas $180°.$ Le contrôle : la somme des angles doit faire $360°.$

5. Propriété

La moyenne pondérée

Ce qu’il dit

Ma tensech les effectifs. La note elli khdhewha dix élèves ma tzench kif la note elli khdhewha cinq. Hedhi hiya la moyenne pondérée.

ما تنساش les effectifs. la note اللي خذاوها dix élèves ما تزنش كيف la note اللي خذاوها cinq. hedhi hiya la moyenne pondérée.

N'oublie pas les effectifs. Une note obtenue par dix élèves ne pèse pas comme une note obtenue par cinq. C'est ça, la moyenne pondérée.

Quand chaque valeur $x_{i}$ est présentée par $n_{i}$ individus, la moyenne se calcule en pondérant : chaque valeur pèse autant que son effectif.

$\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \dots + n_{p}x_{p}}{N}$

L'erreur la plus fréquente du chapitre est de faire la moyenne des valeurs en oubliant les effectifs. Elle donne un résultat faux dès que les effectifs diffèrent : une note obtenue par vingt élèves ne pèse pas comme une note obtenue par un seul.

Contrôle de bon sens : la moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.

Moyenne pondérée

\overline{x} = \frac{\sum n_{i} x_{i}}{N}

Contrôle

x_{\min} \le \overline{x} \le x_{\max}

Démonstration

Notons $x_{\min}$ la plus petite valeur de la série et $x_{\max}$ la plus grande. Pour tout indice $i$ :

$x_{\min} \le x_{i} \le x_{\max}$

En multipliant par $n_{i} > 0,$ puis en additionnant sur toutes les valeurs :

$x_{\min} \sum n_{i} \le \sum n_{i}x_{i} \le x_{\max} \sum n_{i}$

Or $\sum n_{i} = N.$ En divisant les trois membres par $N > 0,$ il vient

$x_{\min} \le \overline{x} \le x_{\max}$

C'est le contrôle à faire après tout calcul de moyenne.

Exemple traité

Dans un contrôle, $5$ élèves ont eu $8,$ $10$ élèves ont eu $12$ et $5$ élèves ont eu $17.$ Calculer la moyenne de la classe.

Effectif total — $N = 5 + 10 + 5 = 20$
Somme pondérée — $5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 17 = 40 + 120 + 85 = 245$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{245}{20} = 12{,}25$
Contrôle — Elle est bien comprise entre $8$ et $17.$ $8 \le 12{,}25 \le 17$

\overline{x} = 12{,}25

À ne pas faire : $\overline{x} = \dfrac{8 + 12 + 17}{3}$ — $\overline{x} = \dfrac{5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 17}{20}$ . Sans les effectifs, la note obtenue par dix élèves compterait autant que celle obtenue par cinq.

6. Méthode

Médiane, mode et étendue

Ce qu’il dit

Trois indicateurs ykammlou la moyenne, w y9oulou 7aja o5ra ghirha. La médiane t9assem la série l deux nossat kif b3adhhom. W el 5otwa elli ynsawha el koll : lezmek trattab les valeurs bel tartib ettasa3odi 9bal. Bla tartib, el be9i el koll ghalet. Le mode houwa la valeur elli tet3awed akthar, w l'étendue hiya la différence bin la plus grande w la plus petite.

trois indicateurs يكمّلو la moyenne، w يقولو حاجة أخرى غيرها. la médiane تقسّم la série لـ deux نصّات كيف بعضهم. w الخطوة الّي ينساوها الكلّ : لازمك ترتّب les valeurs بالترتيب التصاعدي قبل. بلا ترتيب، الباقي الكلّ غالط. le mode هو la valeur الّي تتعاود أكثر، w l'étendue هي la différence بين l'plus grande w la plus petite.

Trois indicateurs complètent la moyenne, et disent autre chose qu'elle. La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif. Et l'étape que tout le monde oublie : il faut d'abord ranger les valeurs dans l'ordre croissant. Sans ce rangement, tout le reste est faux. Le mode, c'est la valeur qui revient le plus, et l'étendue, la différence entre la plus grande et la plus petite.

Trois indicateurs qui complètent la moyenne, et qui disent autre chose qu'elle.

La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Pour la trouver :

1.ranger les valeurs dans l'ordre croissant — c'est l'étape qu'on oublie, et sans elle tout le reste est faux ;
2.si l'effectif $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ;
3.si $N$ est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Le mode est la valeur de plus grand effectif. C'est le seul indicateur qui a un sens pour un caractère qualitatif.

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion : deux classes de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes.

Deux mots qu'il faut savoir lire dans un énoncé : une série qui n'a qu'un seul mode est dite unimodale ; celle qui en a deux est dite bimodale.

Médiane

N \text{ impair} \ : \ \text{rang } \frac{N+1}{2}

Étendue

e = x_{\max} - x_{\min}

Exemple traité

Tailles, en cm, de $9$ élèves : $152 \ ; \$ $158 \ ; \$ $161 \ ; \$ $149 \ ; \$ $170 \ ; \$ $155 \ ; \$ $163 \ ; \$ $158 \ ; \$ $167$ . Déterminer la médiane et l'étendue.

Ranger — $149 \ ; \ 152 \ ; \ 155 \ ; \ 158 \ ; \ 158 \ ; \ 161 \ ; \ 163 \ ; \ 167 \ ; \ 170$
Le rang — $N = 9$ est impair. $\frac{9+1}{2} = 5$
La cinquième valeur de la liste rangée est $158.$ $\text{Médiane} = 158$
Étendue — $e = 170 - 149 = 21$

\text{Médiane} = 158 \ \text{cm} \quad ; \quad e = 21 \ \text{cm}

À ne pas faire : On prend la valeur du milieu de la liste donnée — On range d'abord, puis on prend celle du milieu. Ici la cinquième valeur non rangée est $170,$ alors que la médiane vaut $158.$

7. Activité

Quand les valeurs sont trop nombreuses pour être listées

Ce qu’il dit

Ki les valeurs ywalliw barcha, njamma3ouhom par classes. Ama wa9tha nekhsrou les valeurs individuelles : la moyenne exacte ma tnajjemch tethseb. Na3tiw lkoll classe le milieu mte3ha, w houwa elli ymathelha. Hedha houwa le centre de la classe.

كي les valeurs يوليو برشا ، نجمّعوهم par classes . أما وقتها نخسرو les valeurs individuelles : la moyenne exacte ما تنجّمش تتحسب. نعطيو لكل classe le milieu متاعها ، w هو اللي يمثّلها. هذا هو le centre de la classe .

Quand les valeurs deviennent trop nombreuses, on les regroupe par classes. Mais on perd alors les valeurs individuelles : la moyenne exacte n'est plus calculable. On fait jouer à chaque classe son milieu, et c'est lui qui la représente. C'est le centre de la classe.

On a relevé la durée, en minutes, de $40$ appels téléphoniques. Les durées sont des nombres décimaux quelconques : $3{,}7$ ; $11{,}2$ ; $8{,}05$ … Les lister une par une ne dirait rien. On les regroupe par classes :

Durée d'appel (min)	$[0\,;5[$	$[5\,;10[$	$[10\,;15[$	$[15\,;20[$
Nombre d'appels	$8$	$12$	$15$	$5$

Durée d'appel (min)	Nombre d'appels
$[0\,;5[$	$8$
$[5\,;10[$	$12$
$[10\,;15[$	$15$
$[15\,;20[$	$5$

1.Combien d'appels ont duré moins de $10$ minutes ?
2.Peux-tu calculer la durée moyenne d'un appel à partir de ce tableau ? Que te manque-t-il ?
3.Quelle valeur vas-tu faire jouer à la classe $[5\,;10[$ tout entière ?

La question 3 est la difficulté du chapitre : dans une classe, on ne connaît plus les valeurs individuelles. Il faut en choisir une qui représente toute la classe — et ce choix a un nom.

Exemple traité

Répondre aux questions 1 et 3.

Moins de 10 minutes — On additionne les deux premières classes. $8 + 12 = 20 \text{ appels}$
La moyenne exacte est hors d'atteinte : le tableau a perdu les valeurs individuelles. On ne pourra donner qu'une valeur approchée.
Le représentant — On fait jouer à toute la classe son milieu : c'est la valeur la moins injuste, puisqu'on ne sait pas comment les appels se répartissent à l'intérieur. $\text{milieu de } [5\,;10[ \;=\; \frac{5 + 10}{2} = 7{,}5$

20 \text{ appels} \quad ; \quad \text{on retient } 7{,}5

8. Propriété

Les paramètres d'une série regroupée par classes

Ce qu’il dit

Rodd belek : le mode walla classe, mechi valeur. W la moyenne tethseb b les centres, koll wahed mesure bel fréquence mte3ou — mechi la moyenne des centres. W fi l'histogramme, l'aire hiya elli proportionnelle à l'effectif, mechi la hauteur.

رد بالك : le mode ولّى classe ، ماشي valeur . w la moyenne تتحسب بـ les centres ، كل واحد mesure بالـ fréquence متاعه — ماشي la moyenne des centres . w في l'histogramme ، l'aire هي اللي proportionnelle à l'effectif ، ماشي la hauteur .

Fais attention : le mode devient une classe, plus une valeur. Et la moyenne se calcule avec les centres, chacun pesé par sa fréquence — ce n'est pas la moyenne des centres. Et dans un histogramme, c'est l'aire qui est proportionnelle à l'effectif, pas la hauteur.

Les quatre paramètres changent de définition dès que la série est regroupée. C'est un second bloc à retenir, et il ne se déduit pas du premier.

le centre d'une classe est le milieu de ses extrémités ;
dans un histogramme, l'aire d'un rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe. Ce n'est pas la hauteur : quand les classes n'ont pas la même largeur, lire les hauteurs trompe ;
un mode est une classe — la classe d'effectif le plus élevé, qu'on appelle classe modale. Ce n'est plus une valeur ;
la moyenne s'obtient en multipliant chaque centre de classe par la fréquence correspondante, puis en additionnant ;
la médiane est l'abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes dont l'ordonnée est $0{,}5.$

centre d'une classe

c_{i} = \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2}

moyenne par classes

\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}

Exemple traité

Pour la série des $40$ appels ci-dessus, déterminer la classe modale, la durée moyenne, puis la médiane.

Les centres — $2{,}5 \quad ; \quad 7{,}5 \quad ; \quad 12{,}5 \quad ; \quad 17{,}5$
Les fréquences — On divise chaque effectif par $40.$ $0{,}2 \quad ; \quad 0{,}3 \quad ; \quad 0{,}375 \quad ; \quad 0{,}125$
La classe modale — L'effectif le plus élevé est $15.$ Le mode est une classe, pas un nombre. $\text{classe modale} = [10\,;15[$
La moyenne — $\overline{x} = 2{,}5(0{,}2) + 7{,}5(0{,}3) + 12{,}5(0{,}375) + 17{,}5(0{,}125)$
$\overline{x} = 0{,}5 + 2{,}25 + 4{,}6875 + 2{,}1875 = 9{,}625$
La médiane — Fréquences cumulées croissantes : $0{,}2$ puis $0{,}5$ puis $0{,}875$ puis $1.$ La valeur $0{,}5$ est atteinte exactement au bout de la classe $[5\,;10[.$ $\text{médiane} = 10$

\text{mode} = [10\,;15[ \quad ; \quad \overline{x} = 9{,}625 \quad ; \quad \text{médiane} = 10

À ne pas faire : Le mode de cette série est $15.$ — La classe modale est $[10\,;15[.$ . $15$ est l'effectif de cette classe, pas une durée. Dans une série regroupée, le mode est une classe.

À ne pas faire : $\overline{x} = \dfrac{2{,}5 + 7{,}5 + 12{,}5 + 17{,}5}{4} = 10$ — $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i} = 9{,}625$ . Faire la moyenne des centres revient à donner le même poids à chaque classe. Or elles n'ont pas le même effectif : la moyenne est pondérée.

À ne pas faire : Dans un histogramme, la hauteur du rectangle donne l'effectif. — C'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif.. Les deux se confondent uniquement quand toutes les classes ont la même largeur. Dès qu'une classe est deux fois plus large, sa hauteur doit être deux fois plus basse pour le même effectif.

9. Propriété

Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

Ce qu’il dit

L'année de référence hiya elli temchi fi le dénominateur, w hiya elli 3andha l'indice 100. Ken te9lebhom, la hausse twalli baisse. W indice 125 ma3neha hausse de vingt-cinq pour cent, mechi cent vingt-cinq : l'indice yet9aren m3a 100, mechi m3a zéro.

l'année de référence هي اللي تمشي في le dénominateur ، w هي اللي عندها l'indice 100 . كان تقلبهم ، la hausse تولّي baisse . w indice 125 معناها hausse de vingt-cinq pour cent ، ماشي cent vingt-cinq : l'indice يتقارن مع 100 ، ماشي مع zéro .

L'année de référence est celle qui va au dénominateur, et c'est elle qui porte l'indice 100. Si tu les inverses, la hausse devient une baisse. Et un indice de 125 signifie une hausse de vingt-cinq pour cent, pas de cent vingt-cinq : l'indice se compare à 100, pas à zéro.

Une série chronologique suit une même grandeur au fil des années. Deux outils permettent de comparer deux années sans se perdre dans les unités.

Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de l'année $b$ à l'année $n$ est le quotient de la valeur de l'année $n$ par celle de l'année $b.$

L'indice de l'année $n,$ base $100$ en l'année $b$ , est ce même quotient multiplié par $100.$ L'année de référence a donc toujours l'indice $100$ — c'est ce que « base 100 » veut dire.

Les deux disent la même chose, dans deux unités :

coefficient multiplicateur

C = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b}

indice base 100

I = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b} \times 100

le lien entre les deux

I = C \times 100

Exemple traité

Un produit coûtait $40$ dinars en $2020$ et coûte $50$ dinars en $2024.$ Calculer le coefficient multiplicateur de $2020$ à $2024,$ puis l'indice de $2024$ base $100$ en $2020.$

Le coefficient — L'année de référence est $2020$ : c'est elle qui va au dénominateur. $C = \frac{50}{40} = 1{,}25$
L'indice — $I = C \times 100 = 1{,}25 \times 100 = 125$
On lit l'indice directement : $125$ contre $100,$ c'est une hausse de $25\%$ sur la période.

C = 1{,}25 \quad ; \quad I = 125

À ne pas faire : $I = \dfrac{40}{50} \times 100 = 80$ — $I = \dfrac{50}{40} \times 100 = 125$ . L'année de référence — celle qui porte la base $100$ — va au dénominateur. Inverser transforme une hausse en baisse.

À ne pas faire : Un indice de $125$ signifie une hausse de $125\%.$ — Une hausse de $25\%.$ . L'indice se compare à $100,$ pas à $0.$ La hausse en pourcentage est $I - 100.$

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

Caractère qualitatif : pas de moyenne, seulement un mode.Caractère qualitatif : ma fihch moyenne, fih mode berk.Caractère qualitatif : pas de moyenne, seulement un mode.
$f_{i} = \dfrac{n_{i}}{N},$ et la somme des fréquences vaut toujours $1.$ La fréquence égale l'effectif sur l'effectif total, w la somme des fréquences dima égale 1.La fréquence égale l'effectif sur l'effectif total, et la somme des fréquences vaut toujours 1.
Angle d'un diagramme circulaire : $\dfrac{n_{i}}{N} \times 360.$ L'angle fi diagramme circulaire égale l'effectif sur l'effectif total, fois 360.L'angle d'un diagramme circulaire égale l'effectif sur l'effectif total, fois 360.
Moyenne pondérée : chaque valeur pèse autant que son effectif.La moyenne pondérée : koll valeur tewzen 9ad l'effectif mte3ha.Moyenne pondérée : chaque valeur pèse autant que son effectif.
La moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande valeur.La moyenne dima entre la plus petite et la plus grande valeur.La moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande valeur.
Pour la médiane, on range d'abord. Rang $\dfrac{N+1}{2}$ si $N$ est impair.Bech tel9a la médiane, rattab 9bal koll chay. W ken N impair, hiya elli fi rang (N plus 1) sur 2.Pour la médiane, on range d'abord. Si N est impair, elle est au rang (N plus 1) sur 2.
Série regroupée : le mode est une classe, et le centre d'une classe est le milieu de ses bornes.Fi série regroupée, le mode houwa classe, w le centre d'une classe houwa le milieu de ses bornes.Dans une série regroupée, le mode est une classe, et le centre d'une classe est le milieu de ses bornes.
Moyenne par classes : $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}$ — pondérée, jamais la moyenne des centres.La moyenne par classes : la somme des produits centre fois fréquence. Pondérée, mouch la moyenne des centres.La moyenne par classes : la somme des produits centre fois fréquence. Pondérée, jamais la moyenne des centres.
Médiane par classes : l'abscisse du point d'ordonnée $0{,}5$ sur la courbe des fréquences cumulées croissantes.La médiane par classes : l'abscisse du point d'ordonnée 0,5 3ala la courbe des fréquences cumulées croissantes.La médiane par classes : l'abscisse du point d'ordonnée 0,5 sur la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Histogramme : c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, pas sa hauteur.Fi histogramme, l'aire du rectangle hiya elli proportionnelle à l'effectif, mouch la hauteur.Dans un histogramme, c'est l'aire du rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, pas sa hauteur.
$I = C \times 100,$ et l'année de référence — celle de la base $100$ — va au dénominateur.I égale C fois 100, w l'année de référence, mte3 la base 100, dima au dénominateur.I égale C fois 100, et l'année de référence, celle de la base 100, va au dénominateur.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Vingt notes en vrac

pourquoi ranger les notes dans l'ordre croissant
3lech nratbou les notes
une liste de notes en vrac comment la lire
quel est le premier geste d'une étude statistique
ranger et compter les valeurs pourquoi
kifech na9ra liste mta3 notes

Ce qu’il répond

Liste en vrac ma tet9rach. Nrattbou les valeurs dans l'ordre croissant, w n3eddou 9addech men marra tji koll valeur : hedha l'effectif mte3ha. Hakka nchoufou el valeur elli tet3awed akther, w el asghar w el akbar.

liste en vrac ما تتقراش . نرتّبو les valeurs dans l'ordre croissant ، w نعدّو قدّاش من مرّة تجي كل valeur : هذا l'effectif متاعها . هكّا نشوفو الـ valeur اللي تتعاود أكثر ، w الأصغر w الأكبر .

Une liste en vrac ne se lit pas. On range les valeurs dans l'ordre croissant et on compte combien de fois chacune apparaît : c'est son effectif. On voit alors la valeur la plus fréquente, la plus petite et la plus grande.

Question 2 · Le vocabulaire de la statistique

c'est quoi une population en statistique
chnowa population w individu
c'est quoi un individu
population et individu différence
individu ya3ni chnowa
définition de population

Ce qu’il répond

La population hiya l'ensemble elli nadrsou fih, kif les élèves mte3 classe. W un individu houwa élément wa7ed menha, kif élève wa7ed.

la population هي l'ensemble اللي ندرسو فيه ، كيف les élèves متاع classe . w un individu هو élément واحد منها ، كيف élève واحد .

La population est l'ensemble étudié, par exemple les élèves d'une classe. Un individu est un élément de cette population, par exemple un élève.

Question 3 · Le vocabulaire de la statistique

c'est quoi un caractère en statistique
chnowa caractère
caractère statistique ya3ni chnowa
définition du caractère
le caractère c'est quoi exactement
caractère chnia ma3neha

Ce qu’il répond

Le caractère houwa elli nlahdhouh 3la koll individu : la couleur des yeux, la taille, le nombre de frères. Ynajjem ykoun qualitatif walla quantitatif.

le caractère هو اللي نلاحظوه على كل individu : la couleur des yeux ، la taille ، le nombre de frères . ينجّم يكون qualitatif ولّا quantitatif .

Le caractère est ce qu'on observe sur chaque individu : la couleur des yeux, la taille, le nombre de frères. Il peut être qualitatif ou quantitatif.

Question 4 · Le vocabulaire de la statistique

quelle est la différence entre qualitatif et quantitatif
chnowa el far9 bin qualitatif w quantitatif
qualitatif ou quantitatif comment savoir
la couleur des yeux c'est qualitatif ou quantitatif
kifech na3ref qualitatif wala quantitatif
qualitatif w quantitatif

Ce qu’il répond

Qualitatif ma yet9esech : la couleur, le sport, le moyen de transport. Quantitatif yet9es : la taille, le nombre de frères. La couleur des yeux qualitatif, w le nombre de frères quantitatif.

qualitatif ما يتقاسش : la couleur ، le sport ، le moyen de transport . quantitatif يتقاس : la taille ، le nombre de frères . la couleur des yeux qualitatif ، w le nombre de frères quantitatif .

Un caractère qualitatif ne se mesure pas : la couleur, le sport pratiqué, le moyen de transport. Un caractère quantitatif se mesure : la taille, le nombre de frères. La couleur des yeux est qualitative, le nombre de frères quantitatif.

Question 5 · Le vocabulaire de la statistique

quelle est la différence entre discret et continu
chnowa el far9 bin discret w continu
caractère discret c'est quoi
la taille c'est discret ou continu
caractère continu ya3ni chnowa
discret wala continu kifech na3ref

Ce qu’il répond

El zouz quantitatifs. Discret ki les valeurs ma3zoulin : le nombre de frères, 0, 1, 2. Continu ki el valeur tnajjem tkoun ay nombre fi intervalle : la taille, la masse.

الزوز quantitatifs . discret كي les valeurs معزولين : le nombre de frères ، 0 ، 1 ، 2 . continu كي الـ valeur تنجّم تكون أي nombre في intervalle : la taille ، la masse .

Les deux sont quantitatifs. Discret quand les valeurs sont isolées : le nombre de frères, 0, 1, 2. Continu quand la valeur peut être n'importe quel nombre d'un intervalle : la taille, la masse.

Question 6 · Le vocabulaire de la statistique

c'est quoi l'effectif
chnowa effectif
effectif total c'est quoi
effectif ya3ni chnowa
comment calculer l'effectif total
définition de l'effectif

Ce qu’il écrit au tableau

$N = \sum n_{i}$

Ce qu’il répond

L'effectif mte3 valeur houwa 3dad les individus elli 3andhom el valeur hedhika. W l'effectif total N houwa la somme mte3 les effectifs el koll : $N = \sum n_{i}$.

l'effectif متاع valeur هو عدد les individus اللي عندهم الـ valeur هاذيكا . w l'effectif total N هو la somme متاع les effectifs الكل .

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui présentent cette valeur. L'effectif total N est la somme de tous les effectifs.

Question 7 · Le vocabulaire de la statistique

on peut calculer la moyenne d'un caractère qualitatif ?
moyenne des couleurs possible ?
caractère qualitatif moyenne
la couleur moyenne ça existe
moyenne fel qualitatif najmou na7sbouha ?
qualitatif quel indicateur utiliser

Ce qu’il répond

Le, la couleur moyenne ma tjich. Caractère qualitatif ma 3andouch valeur numérique. El indicateur el wa7id elli 3andou ma3na houwa le mode : el valeur elli tet3awed akther.

لا ، la couleur moyenne ما تجيش . caractère qualitatif ما عندوش valeur numérique . الـ indicateur الوحيد اللي عندو معنى هو le mode : الـ valeur اللي تتعاود أكثر .

Non, la couleur moyenne n'existe pas. Un caractère qualitatif n'a pas de valeur numérique. Le seul indicateur qui a un sens est le mode : la valeur la plus fréquente.

Question 8 · Effectifs, fréquences, cumuls

c'est quoi la fréquence
comment calculer une fréquence
chnowa fréquence
kifech na7seb el fréquence
formule de la fréquence
fréquence ya3ni chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$f_{i} = \frac{n_{i}}{N}$

Ce qu’il répond

La fréquence mte3 valeur hiya l'effectif mte3ha sur l'effectif total : $f_{i} = \frac{n_{i}}{N}$. Mathalan 6 élèves men 24 : $\frac{6}{24} = 0{,}25$.

la fréquence متاع valeur هي l'effectif متاعها sur l'effectif total : f indice i égale n indice i sur grand N . مثلا 6 élèves من 24 : 6 sur 24 égale 0,25 .

La fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total : f indice i égale n indice i sur grand N. Par exemple 6 élèves sur 24 : 6 sur 24 égale 0,25.

Question 9 · Effectifs, fréquences, cumuls

la somme des fréquences égale 1 ?
pourquoi la somme des fréquences fait 1
somme des fréquences ma jetech 1
total des fréquences combien
les fréquences additionnées donnent quoi
comment contrôler le tableau des fréquences

Ce qu’il écrit au tableau

$\sum f_{i} = 1$

Ce qu’il répond

La somme mte3 les fréquences el koll dima 1, 5ater la somme des effectifs hiya N. Hedha le contrôle : ken la somme ma jetech 1, rahou famma ghalta fi le tableau.

la somme متاع les fréquences الكل ديما 1 ، خاطر la somme des effectifs هي N . هذا le contrôle : كان la somme ما جاتش 1 ، راهو فمّا غلطة في le tableau .

La somme de toutes les fréquences vaut toujours 1, car la somme des effectifs vaut N. C'est le contrôle à faire : si la somme ne fait pas 1, il y a une erreur dans le tableau.

Question 10 · Effectifs, fréquences, cumuls

comment passer de la fréquence au pourcentage
fréquence en pourcentage kifech
0,4 c est 40 pour cent ?
pourcentage comment le calculer
kifech nkteb fréquence b pourcentage
fréquence ou pourcentage lequel donner

Ce qu’il écrit au tableau

$\text{pourcentage} = f_{i} \times 100$

Ce qu’il répond

Nmultiplier la fréquence par 100. $0{,}25$ twalli $25\,\%$. W lezem n9oulou ama wa7ed na3tiw, 5ater $0{,}25$ w 25 mouch nafs el nombre.

نـ multiplier la fréquence par 100 . 0,25 تولّي 25 pour cent . w لازم نقولو أما واحد نعطيو ، خاطر 0,25 w 25 موش نفس الـ nombre .

On multiplie la fréquence par 100 : 0,25 devient 25 pour cent. Et il faut préciser lequel des deux on donne, car 0,25 et 25 ne sont pas le même nombre.

Question 11 · Effectifs, fréquences, cumuls

une fréquence peut dépasser 1 ?
j'ai trouvé une fréquence de 2,5
fréquence akbar men 1 normal ?
quel nombre au numérateur de la fréquence
effectif total au dénominateur ou au numérateur
fréquence supérieure à 1 possible ?

Ce qu’il écrit au tableau

$0 \le f_{i} \le 1$

Ce qu’il répond

Le, la fréquence dima bin 0 w 1. L'effectif mte3 el valeur yji fou9, w l'effectif total louta. Ken l9it $2{,}5$, rak 9lebtha : $\frac{25}{10}$ fi blaset $\frac{10}{25} = 0{,}4$.

لا ، la fréquence ديما بين zéro w 1 . l'effectif متاع الـ valeur يجي فوق ، w l'effectif total لوطة . كان لقيت 2,5 ، راك قلبتها : 25 sur 10 في بلاصة 10 sur 25 ، اللي تعطي 0,4 .

Non, une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1. L'effectif de la valeur va au numérateur, l'effectif total au dénominateur. Si tu trouves 2,5, tu as inversé : 25 sur 10 au lieu de 10 sur 25, qui donne 0,4.

Question 12 · Effectifs, fréquences, cumuls

c'est quoi l'effectif cumulé croissant
effectif cumulé kifech na7sbou
effectifs cumulés à quoi ça sert
chnowa effectif cumulé
comment calculer les effectifs cumulés croissants
effectif cumulé croissant définition

Ce qu’il répond

L'effectif cumulé croissant mte3 valeur houwa 3dad les individus elli el valeur mte3hom inférieure ou égale liha. Nejm3ou les effectifs mel asghar 7atta liha. Yenfa3 bech nal9aw la médiane bla ma n3awdou nektbou koll chay.

l'effectif cumulé croissant متاع valeur هو عدد les individus اللي الـ valeur متاعهم inférieure ou égale ليها . نجمعو les effectifs من الأصغر حتّى ليها . ينفع باش نلقاو la médiane بلا ما نعاودو نكتبو كل شي .

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à celle-ci. On additionne les effectifs depuis la plus petite valeur jusqu'à elle. Il sert à trouver la médiane sans tout réécrire.

Question 13 · Représenter les données

quel diagramme choisir
anahi graphique nesta3mel
comment choisir le graphique
bâtons, circulaire ou histogramme lequel
diagramme en bâtons ou histogramme comment choisir
quel graphique pour un caractère continu

Ce qu’il répond

7asb le caractère. Qualitatif walla quantitatif discret : diagramme en bâtons. Bech nwarriw des parts d'un tout : diagramme circulaire. Quantitatif continu ma9soum 3la classes : histogramme.

حسب le caractère . qualitatif ولّا quantitatif discret : diagramme en bâtons . باش نوريو des parts d'un tout : diagramme circulaire . quantitatif continu مقسوم على classes : histogramme .

Selon la nature du caractère. Qualitatif ou quantitatif discret : diagramme en bâtons. Pour montrer des parts d'un tout : diagramme circulaire. Quantitatif continu regroupé en classes : histogramme.

Question 14 · Représenter les données

comment calculer l'angle dans un diagramme circulaire
kifech na7seb l'angle fel diagramme circulaire
angle du secteur comment
diagramme circulaire angle formule
pourquoi multiplier par 360
fois 180 wala fois 360

Ce qu’il écrit au tableau

$\alpha_{i} = \frac{n_{i}}{N} \times 360$
$\frac{10}{40} \times 360 = 90°$

Ce qu’il répond

L'angle houwa la fréquence fois 360, 5ater le tour complet 360°, mouch 180. Mathalan 10 personnes men 40 : $\frac{10}{40} \times 360 = 90°$. W le contrôle : la somme des angles lezem ta3ti 360°.

l'angle هو la fréquence fois 360 ، خاطر le tour complet 360 degrés ، موش 180 . مثلا 10 personnes من 40 : 10 sur 40 fois 360 يعطي 90 degrés . w le contrôle : la somme des angles لازم تعطي 360 .

L'angle est la fréquence multipliée par 360, car un tour complet mesure 360 degrés, pas 180. Par exemple 10 personnes sur 40 : 10 sur 40 fois 360 donne 90 degrés. Contrôle : la somme des angles doit faire 360 degrés.

Question 15 · Représenter les données

dans un histogramme c'est la hauteur ou l'aire
histogramme el hauteur ta3ti l'effectif ?
pourquoi l'aire dans l'histogramme
histogramme aire proportionnelle
comment lire un histogramme
histogramme rectangle hauteur effectif

Ce qu’il répond

Fi l'histogramme, l'aire mte3 koll rectangle hiya elli proportionnelle l l'effectif, mouch la hauteur. Ki les classes mouch nafs el 3ordh, ken n9raw les hauteurs netghallto.

في l'histogramme ، l'aire متاع كل rectangle هي اللي proportionnelle لـ l'effectif ، موش la hauteur . كي les classes موش نفس العرض ، كان نقراو les hauteurs نتغلّطو .

Dans un histogramme, c'est l'aire de chaque rectangle qui est proportionnelle à l'effectif, pas sa hauteur. Quand les classes n'ont pas la même largeur, lire les hauteurs trompe.

Question 16 · Représenter les données

c'est quoi un diagramme en bâtons
diagramme en bâtons kifech nrasmou
comment tracer un diagramme en bâtons
bâtons la hauteur c'est quoi
diagramme b les bâtons chnowa
diagramme en bâtons quand l'utiliser

Ce qu’il répond

Le diagramme en bâtons lel caractère qualitatif walla quantitatif discret. L koll valeur bâton, w la hauteur mte3ou proportionnelle l l'effectif.

le diagramme en bâtons للـ caractère qualitatif ولّا quantitatif discret . لكل valeur ، bâton ، w la hauteur متاعو proportionnelle لـ l'effectif .

Le diagramme en bâtons sert pour un caractère qualitatif ou quantitatif discret. Chaque valeur a son bâton, dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif.

Question 17 · La moyenne pondérée

comment calculer la moyenne
kifech na7seb el moyenne
c'est quoi la moyenne pondérée
moyenne pondérée formule
pourquoi multiplier par les effectifs dans la moyenne
moyenne sans les effectifs c'est faux ?

Ce qu’il écrit au tableau

$\overline{x} = \frac{\sum n_{i} x_{i}}{N}$
$\frac{2 \times 10 + 3 \times 15}{5} = \frac{65}{5} = 13$

Ce qu’il répond

Nadhrbou koll valeur fi l'effectif mte3ha, nejm3ou, w ndiviser par l'effectif total N. Mathalan 2 élèves 3andhom 10 w 3 élèves 3andhom 15 : $\frac{2 \times 10 + 3 \times 15}{5} = \frac{65}{5} = 13$. Ken nansew les effectifs, nal9aw $12{,}5$, w hedha ghalet.

نضربو كل valeur في l'effectif متاعها ، نجمعو ، w نـ diviser par l'effectif total N . مثلا 2 élèves عندهم 10 w 3 élèves عندهم 15 : 2 fois 10 plus 3 fois 15 égale 65 ، w 65 sur 5 égale 13 . كان ننساو les effectifs ، نلقاو 12,5 ، w هذا غالط .

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total N. Par exemple, 2 élèves ont 10 et 3 élèves ont 15 : 2 fois 10 plus 3 fois 15 égale 65, et 65 sur 5 égale 13. En oubliant les effectifs, on trouverait 12,5, ce qui est faux.

Question 18 · La moyenne pondérée

la moyenne est toujours entre la plus petite et la plus grande valeur ?
moyenne akbar men el max possible ?
comment vérifier ma moyenne
ma moyenne est plus grande que toutes les notes
moyenne entre min et max
contrôle de la moyenne

Ce qu’il écrit au tableau

$x_{\min} \le \overline{x} \le x_{\max}$

Ce qu’il répond

Ey, la moyenne dima bin el valeur el asghar w el valeur el akbar : $x_{\min} \le \overline{x} \le x_{\max}$. Ken l9it moyenne akbar mel max walla asghar mel min, rahou famma ghalta fel calcul.

إيه ، la moyenne ديما بين الـ valeur الأصغر w الـ valeur الأكبر . كان لقيت moyenne أكبر من le max ولّا أصغر من le min ، راهو فمّا غلطة في الـ calcul .

Oui, la moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Si ta moyenne dépasse le maximum ou tombe sous le minimum, il y a une erreur de calcul.

Question 19 · Médiane, mode et étendue

c'est quoi la médiane
comment trouver la médiane
chnowa la médiane
kifech nal9a la médiane
médiane définition
médiane ya3ni chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$3 \ ; \ 4 \ ; \ \mathbf{5} \ ; \ 7 \ ; \ 9$

Ce qu’il répond

La médiane tpartagi la série 3la zouz ansas 3andhom nafs l'effectif. Nrattbou les valeurs 9bal, w nekhdhou el valeur elli fel west. Mathalan 3, 9, 4, 7, 5 : nrattbou 3, 4, 5, 7, 9, w la médiane 5.

la médiane تـ partager la série على زوز أنصاص عندهم نفس l'effectif . نرتّبو les valeurs قبْلْ ، w ناخذو الـ valeur اللي في الوسط . مثلا 3 ، 9 ، 4 ، 7 ، 5 : نرتّبو 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 ، w la médiane 5 .

La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif. On range d'abord les valeurs, puis on prend celle du milieu. Par exemple 3, 9, 4, 7, 5 : rangées, 3, 4, 5, 7, 9, et la médiane est 5.

Question 20 · Médiane, mode et étendue

médiane quand l'effectif est pair
N pair kifech nal9a la médiane
médiane avec un nombre pair de valeurs
effectif impair la médiane c'est quel rang
rang de la médiane (N+1)/2
médiane pair wala impair

Ce qu’il écrit au tableau

$N \text{ impair} \ : \ \text{rang } \frac{N+1}{2}$

Ce qu’il répond

Ken N impair, la médiane hiya el valeur de rang $\frac{N+1}{2}$. Ken N pair, la médiane hiya la moyenne mte3 el zouz valeurs elli fel west. W dima ba3d ma nrattbou.

كان N impair ، la médiane هي الـ valeur de rang N plus 1 ، le tout sur 2 . كان N pair ، la médiane هي la moyenne متاع الزوز valeurs اللي في الوسط . w ديما بعد ما نرتّبو .

Si N est impair, la médiane est la valeur de rang N plus 1, le tout sur 2. Si N est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales. Toujours après avoir rangé la série.

Question 21 · Médiane, mode et étendue

pourquoi ranger avant de chercher la médiane
la médiane c'est la valeur du milieu de la liste ?
3lech nratbou 9bal la médiane
médiane sans ranger c'est faux ?
médiane valeur du milieu de la liste donnée
lezem nratteb bech nal9a la médiane ?

Ce qu’il répond

La médiane hiya el west mte3 la série rangée, mouch mte3 la liste kif ma jet. Bla tartib, el valeur elli fel west tnajjem tkoun ay 7aja, w yti7 el koll ghalet.

la médiane هي الوسط متاع la série rangée ، موش متاع la liste كيف ما جات . بلا ترتيب ، الـ valeur اللي في الوسط تنجّم تكون أي حاجة ، w يطيح الكل غالط .

La médiane est le milieu de la série rangée, pas celui de la liste telle qu'elle est donnée. Sans ranger, la valeur du milieu peut être n'importe laquelle, et tout le reste est faux.

Question 22 · Médiane, mode et étendue

c'est quoi le mode
chnowa le mode d'une série
mode ya3ni chnowa
comment trouver le mode
le mode c'est la valeur la plus fréquente ?
définition du mode

Ce qu’il répond

Le mode houwa el valeur elli 3andha akbar effectif, elli tet3awed akther. Mathalan fi les 20 notes, 12 jet 7 marrat : le mode 12. W houwa el indicateur el wa7id elli 3andou ma3na l caractère qualitatif.

le mode هو الـ valeur اللي عندها أكبر effectif ، اللي تتعاود أكثر . مثلا في les 20 notes ، 12 جات 7 مرّات : le mode 12 . w هو الـ indicateur الوحيد اللي عندو معنى لـ caractère qualitatif .

Le mode est la valeur de plus grand effectif, celle qui revient le plus souvent. Par exemple, dans les 20 notes, 12 apparaît 7 fois : le mode est 12. C'est le seul indicateur qui a un sens pour un caractère qualitatif.

Question 23 · Médiane, mode et étendue

c'est quoi une série bimodale
unimodale ya3ni chnowa
série unimodale et bimodale
bimodale chnowa
une série peut avoir deux modes ?
série à deux modes comment on l'appelle

Ce qu’il répond

Série 3andha mode wa7ed bark n9oulou 3liha unimodale, w elli 3andha zouz modes n9oulou 3liha bimodale.

série عندها mode واحد برك نقولو عليها unimodale ، w اللي عندها زوز modes نقولو عليها bimodale .

Une série qui n'a qu'un seul mode est dite unimodale ; celle qui en a deux est dite bimodale.

Question 24 · Médiane, mode et étendue

c'est quoi l'étendue
comment calculer l'étendue
chnowa l'étendue
étendue formule
kifech na7seb l'étendue
à quoi sert l'étendue

Ce qu’il écrit au tableau

$e = x_{\max} - x_{\min}$

Ce qu’il répond

L'étendue hiya el valeur el akbar moins el valeur el asghar : $e = x_{\max} - x_{\min}$. T9is el dispersion : zouz classes 3andhom nafs la moyenne ynajjmou ykounou 3andhom étendues mekhtalfin barcha. Pour les 20 notes : $18 - 6 = 12$.

l'étendue هي الـ valeur الأكبر moins الـ valeur الأصغر . تقيس الـ dispersion : زوز classes عندهم نفس la moyenne ينجّمو يكون عندهم étendues مختلفين برشة . pour les 20 notes : 18 moins 6 égale 12 .

L'étendue est la plus grande valeur moins la plus petite. Elle mesure la dispersion : deux classes de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes. Pour les 20 notes : 18 moins 6 égale 12.

Question 25 · Médiane, mode et étendue

quelle est la différence entre la moyenne et la médiane
chnowa el far9 bin la moyenne w la médiane
moyenne et médiane c'est pareil ?
moyenne w médiane kifkif ?
moyenne ou médiane laquelle utiliser
far9 bin moyenne w médiane

Ce qu’il écrit au tableau

$\frac{3 + 4 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{28}{5} = 5{,}6$

Ce qu’il répond

La moyenne na7sbouha b les valeurs el koll w les effectifs. La médiane hiya el valeur elli tpartagi la série rangée 3la zouz ansas. Mouch dima kif kif : 3, 4, 5, 7, 9 3andha médiane 5 w moyenne $\frac{28}{5} = 5{,}6$.

la moyenne نحسبوها بـ les valeurs الكل w les effectifs . la médiane هي الـ valeur اللي تـ partager la série rangée على زوز أنصاص . موش ديما كيف كيف : 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 عندها médiane 5 w moyenne 5,6 .

La moyenne se calcule avec toutes les valeurs et leurs effectifs. La médiane est la valeur qui partage la série rangée en deux moitiés. Elles ne sont pas toujours égales : 3, 4, 5, 7, 9 a pour médiane 5 et pour moyenne 5,6.

Question 26 · Les paramètres d'une série regroupée par classes

c'est quoi le centre d'une classe
comment calculer le centre d'une classe
centre de classe kifech
milieu d'une classe
pourquoi on prend le milieu de la classe
centre mta3 classe chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$c_{i} = \frac{\text{borne inf.} + \text{borne sup.}}{2}$
$\frac{5 + 10}{2} = 7{,}5$

Ce qu’il répond

Le centre mte3 classe houwa el west mte3 les bornes mte3ha : borne inférieure plus borne supérieure, sur 2. Pour $[5\,;10[$ : $\frac{5 + 10}{2} = 7{,}5$. Nekhdhouh 5ater ma na3rfouch les valeurs elli dekhel la classe.

le centre متاع classe هو الوسط متاع les bornes متاعها : borne inférieure plus borne supérieure ، sur 2 . pour la classe de 5 à 10 : 5 plus 10 ، le tout sur 2 ، égale 7,5 . ناخذوه خاطر ما نعرفوش les valeurs اللي داخل la classe .

Le centre d'une classe est le milieu de ses extrémités : borne inférieure plus borne supérieure, sur 2. Pour la classe de 5 à 10 : 5 plus 10, le tout sur 2, égale 7,5. On le prend car on ne connaît plus les valeurs à l'intérieur de la classe.

Question 27 · Les paramètres d'une série regroupée par classes

c'est quoi la classe modale
classe modale kifech nal9aha
le mode d'une série par classes
chnowa classe modale
mode par classe c'est un nombre ?
classe modale ya3ni chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$\text{classe modale} = [10\,;15[$

Ce qu’il répond

Fi série regroupée, le mode walla classe : la classe elli 3andha akbar effectif, w nsammiwha classe modale. Pour les 40 appels, hiya $[10\,;15[$. W rodd belek, 15 houwa l'effectif, mouch le mode.

في série regroupée ، le mode ولّى classe : la classe اللي عندها أكبر effectif ، w نسمّيوها classe modale . pour les 40 appels ، هي la classe de 10 à 15 . w رد بالك ، 15 هو l'effectif ، موش le mode .

Dans une série regroupée, le mode devient une classe : celle qui a le plus grand effectif, qu'on appelle classe modale. Pour les 40 appels, c'est la classe de 10 à 15. Attention : 15 est l'effectif, pas le mode.

Question 28 · Les paramètres d'une série regroupée par classes

comment calculer la moyenne d'une série regroupée par classes
moyenne par classes kifech
moyenne avec des classes
kifech na7seb la moyenne ki les valeurs en classes
moyenne des centres c'est juste ?
moyenne série par classe formule

Ce qu’il écrit au tableau

$\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}$

Ce qu’il répond

Nadhrbou koll centre de classe fi la fréquence mte3ou, w nejm3ou : $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}$. Mathalan la classe $[0\,;5[$ : centre $2{,}5$ w fréquence $0{,}2$, ta3ti $0{,}5$, w nkamlou hakka lel be9i. Mouch la moyenne des centres : les classes mouch nafs l'effectif, donc la moyenne pondérée.

نضربو كل centre de classe في la fréquence متاعو ، w نجمعو . مثلا la classe de 0 à 5 : centre 2,5 w fréquence 0,2 ، تعطي 0,5 ، w نكمّلو هكّا للباقي . موش la moyenne des centres : les classes موش نفس l'effectif ، donc la moyenne pondérée .

On multiplie chaque centre de classe par sa fréquence, puis on additionne. Par exemple la classe de 0 à 5 : centre 2,5 et fréquence 0,2, ce qui donne 0,5 ; et ainsi de suite pour les autres. Pas la moyenne des centres : les classes n'ont pas le même effectif, la moyenne est pondérée.

Question 29 · Les paramètres d'une série regroupée par classes

comment trouver la médiane d'une série par classes
médiane par classes kifech
médiane avec les fréquences cumulées
médiane 0,5 fréquence cumulée
kifech nal9a la médiane mel courbe
médiane série regroupée

Ce qu’il répond

Na7sbou les fréquences cumulées croissantes, w nrasmou la courbe mte3hom. La médiane hiya l'abscisse mte3 le point elli l'ordonnée mte3ou $0{,}5$ : ya3ni el valeur elli nos les individus ta7tha.

نحسبو les fréquences cumulées croissantes ، w نرسمو la courbe متاعهم . la médiane هي l'abscisse متاع le point اللي l'ordonnée متاعو 0,5 : يعني الـ valeur اللي نصّ les individus تحتها .

On calcule les fréquences cumulées croissantes et on trace leur courbe. La médiane est l'abscisse du point dont l'ordonnée vaut 0,5 : la valeur en dessous de laquelle se trouve la moitié des individus.

Question 30 · Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

c'est quoi l'indice base 100
comment calculer un indice
indice base 100 kifech
chnowa indice
quelle année au dénominateur pour l'indice
base 100 ya3ni chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$I = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b} \times 100$
$\frac{60}{50} \times 100 = 120$

Ce qu’il répond

L'indice de l'année n, base 100 en l'année b, houwa la valeur mte3 n sur la valeur mte3 b, fois 100. L'année de référence tji louta, w l'indice mte3ha dima 100. Mathalan 50 dinars twalli 60 dinars : $\frac{60}{50} \times 100 = 120$.

l'indice de l'année n ، base 100 en l'année b ، هو la valeur متاع n sur la valeur متاع b ، fois 100 . l'année de référence تجي لوطة ، w l'indice متاعها ديما 100 . مثلا 50 dinars تولّي 60 dinars : 60 sur 50 fois 100 égale 120 .

L'indice de l'année n, base 100 en l'année b, est la valeur de l'année n divisée par celle de l'année b, multipliée par 100. L'année de référence va au dénominateur et a toujours l'indice 100. Par exemple, de 50 dinars à 60 dinars : 60 sur 50 fois 100 égale 120.

Question 31 · Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

c'est quoi le coefficient multiplicateur
comment calculer le coefficient multiplicateur
coefficient multiplicateur kifech
lien entre indice et coefficient multiplicateur
chnowa coefficient multiplicateur
passer de l'indice au coefficient

Ce qu’il écrit au tableau

$I = C \times 100$

Ce qu’il répond

Le coefficient multiplicateur houwa la valeur mte3 l'année n sur la valeur mte3 l'année b. L'indice houwa nafs el quotient fois 100 : $I = C \times 100$. Mathalan men 50 l 60 dinars : $C = \frac{60}{50} = 1{,}2$ w $I = 120$.

le coefficient multiplicateur هو la valeur متاع l'année n sur la valeur متاع l'année b . l'indice هو نفس الـ quotient fois 100 : I égale C fois 100 . مثلا من 50 لـ 60 dinars : C égale 1,2 w I égale 120 .

Le coefficient multiplicateur est la valeur de l'année n divisée par celle de l'année b. L'indice est ce même quotient multiplié par 100 : I égale C fois 100. Par exemple, de 50 à 60 dinars : C égale 1,2 et I égale 120.

Question 32 · Séries chronologiques : coefficient multiplicateur et indice

un indice de 125 c'est une hausse de 125 % ?
indice 125 ya3ni zedet 9addech
comment lire la hausse avec l'indice
indice et pourcentage de hausse
indice 120 hausse de combien
indice inférieur à 100 c'est une baisse ?

Ce qu’il répond

L'indice ncomparer bih m3a 100, mouch m3a zéro. La hausse en pourcentage hiya $I - 100$ : indice 125 ya3ni hausse de $25\,\%$, mouch 125. W indice asghar men 100 ya3ni baisse.

l'indice نـ comparer بيه مع 100 ، موش مع zéro . la hausse en pourcentage هي I moins 100 : indice 125 يعني hausse de 25 pour cent ، موش 125 . w indice أصغر من 100 يعني baisse .

L'indice se compare à 100, pas à zéro. La hausse en pourcentage vaut I moins 100 : un indice de 125 signifie une hausse de 25 pour cent, pas de 125. Et un indice inférieur à 100 signifie une baisse.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Une fréquence en pourcentage

Dans une classe de $25$ élèves, $10$ pratiquent le football.

Quelle est la fréquence, en pourcentage ?

Réponse attendue : 40

Indices, dans l’ordre

Une fréquence est l'effectif de la valeur divisé par l'effectif total.
Vérifie l'ordre : le résultat doit être compris entre $0$ et $1.$
Pour passer en pourcentage, multiplie par $100.$

Correction

La fréquence — $f = \frac{10}{25} = 0{,}4$
En pourcentage — $0{,}4 \times 100 = 40$
Contrôle — $40\,\%$ de $25$ font bien $10.$ $\frac{40}{100} \times 25 = 10 \quad \checkmark$
$f = 40\,\%$

La fréquence se calcule d'abord entre $0$ et $1,$ puis se convertit en pourcentage.

Pièges anticipés

0.4 → $0{,}4$ est bien la fréquence, mais la question la demande en pourcentage : il reste à multiplier par $100.$
2.5 → Tu as divisé $25$ par $10.$ Une fréquence ne dépasse jamais $1$ : c'est le contrôle qui l'attrape.

Exercice 2 · base

Reconnaître le type de caractère

On relève la couleur des yeux des élèves d'une classe.

Ce caractère est-il qualitatif ou quantitatif ?

Réponse attendue : qualitatif — aussi acceptées : caractère qualitatif

Indices, dans l’ordre

Pose-toi une seule question : cette observation se mesure-t-elle avec un nombre ?
Si la réponse est non, aucune moyenne n'aura de sens sur ce caractère.

Correction

Le test — La couleur des yeux ne s'exprime pas par un nombre : elle ne se mesure pas.
C'est donc un caractère qualitatif. $\text{qualitatif}$
Conséquence — On peut donner des effectifs, des fréquences et le mode — mais ni moyenne ni médiane. $\text{Caractère qualitatif : seul le mode a un sens}$

Le type du caractère décide de ce qu'on a le droit de calculer ensuite.

Pièges anticipés

quantitatif → Un caractère quantitatif se mesure par un nombre — une taille, un âge. Une couleur ne se mesure pas.

Exercice 3 · pratique

La moyenne d'une classe

Dans un contrôle, $5$ élèves ont eu $8,$ $10$ élèves ont eu $12$ et $5$ élèves ont eu $17.$

Calculer la moyenne de la classe.

Réponse attendue : 12.25 — aussi acceptées : 49/4

Indices, dans l’ordre

Chaque note doit peser autant que le nombre d'élèves qui l'ont obtenue.
Calcule d'abord l'effectif total, puis la somme des produits note $\times$ effectif.
Contrôle à la fin : la moyenne doit être comprise entre $8$ et $17.$

Correction

Effectif total — $N = 5 + 10 + 5 = 20$
Somme pondérée — $5 \times 8 + 10 \times 12 + 5 \times 17 = 40 + 120 + 85 = 245$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{245}{20}$
$\overline{x} = 12{,}25$

La moyenne penche vers $12$ parce que c'est la note la plus représentée.

Pièges anticipés

37/3 → Tu as fait la moyenne des trois notes sans tenir compte des effectifs. La note $12$ a été obtenue par dix élèves : elle pèse deux fois plus.
245 → $245$ est la somme pondérée. Il reste à la diviser par l'effectif total, $20.$

Exercice 4 · pratique

Un angle de diagramme circulaire

Sur $40$ personnes interrogées, $14$ préfèrent le thé. On veut représenter cela par un diagramme circulaire.

Quel angle, en degrés, représenter le thé ?

Réponse attendue : 126

Indices, dans l’ordre

L'angle est proportionnel à l'effectif : commence par calculer la fréquence.
Un disque complet représente l'ensemble de la population.
Un tour complet mesure $360°,$ pas $180°.$

Correction

La fréquence — $f = \frac{14}{40} = 0{,}35$
L'angle — $\alpha = 0{,}35 \times 360$
$\alpha = 126°$
Contrôle — $0{,}35$ est un peu plus du tiers : $126°$ est bien un peu plus du tiers de $360°.$ $\frac{360}{3} = 120 < 126$
$\alpha = 126°$

La somme de tous les angles d'un diagramme circulaire doit faire $360°$ : c'est le contrôle final.

Pièges anticipés

126/2 → Tu as multiplié par $180.$ Un disque complet mesure $360°$ ; $180°$ n'en est que la moitié.
35 → $35$ est le pourcentage. La question porte sur l'angle, qui s'obtient en multipliant la fréquence par $360.$

Exercice 5 · raisonnement

La médiane d'une série

Tailles, en cm, de $9$ élèves : $152 \ ; \$ $158 \ ; \$ $161 \ ; \$ $149 \ ; \$ $170 \ ; \$ $155 \ ; \$ $163 \ ; \$ $158 \ ; \$ $167$ .

Déterminer la médiane, en cm.

Réponse attendue : 158

Indices, dans l’ordre

Avant tout calcul, il y a un geste obligatoire sur la série. Lequel ?
Range les neuf valeurs dans l'ordre croissant.
$N = 9$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}.$

Correction

Ranger — C'est l'étape qu'on oublie, et sans elle tout le reste est faux. $149 \ ; \ 152 \ ; \ 155 \ ; \ 158 \ ; \ 158 \ ; \ 161 \ ; \ 163 \ ; \ 167 \ ; \ 170$
Le rang — $\frac{9 + 1}{2} = 5$
On prend la cinquième valeur de la liste rangée. $\text{Médiane} = 158$
Contrôle — Quatre valeurs en dessous, quatre au-dessus : la série est bien partagée en deux. $4 \ \text{ | } \ 158 \ \text{ | } \ 4$
$\text{Médiane} = 158 \ \text{cm}$

La médiane partage l'effectif en deux moitiés égales, et non l'intervalle des valeurs.

Pièges anticipés

170 → Tu as pris la cinquième valeur de la liste telle qu'elle est donnée. Il faut d'abord ranger dans l'ordre croissant.
1433/9 → Tu as calculé la moyenne. La médiane est la valeur du milieu de la série rangée, pas le résultat d'un calcul.

Exercice 6 · defi

Une valeur de plus

Une série de $20$ valeurs a pour moyenne $12.$ On ajoute une $21^{\text{e}}$ valeur égale à $33.$

Quelle est la nouvelle moyenne ?

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

On ne connaît pas les $20$ valeurs, mais on connaît leur somme. Comment l'obtenir ?
La moyenne est la somme divisée par l'effectif : la somme vaut donc $20 \times 12.$
Ajoute la nouvelle valeur à cette somme, puis divise par le nouvel effectif, $21.$

Correction

Retrouver la somme — La moyenne est la somme divisée par l'effectif : on remonte. $S = 20 \times 12 = 240$
Nouvelle somme — $S' = 240 + 33 = 273$
Nouvelle moyenne — $\overline{x}' = \frac{273}{21}$
$\overline{x}' = 13$
Contrôle — La valeur ajoutée est supérieure à la moyenne : celle-ci devait monter. $33 > 12 \ \Rightarrow \ \overline{x}' > 12 \quad \checkmark$
$\overline{x}' = 13$

On ne travaille jamais sur les valeurs elles-mêmes, mais sur la somme — c'est elle que la moyenne permet de retrouver.

Pièges anticipés

22.5 → Tu as fait la moyenne entre $12$ et $33.$ Ce serait juste si la nouvelle valeur pesait autant que les vingt premières réunies.
273 → $273$ est la nouvelle somme. Il reste à la diviser par le nouvel effectif, qui est $21.$
273/20 → Tu as divisé par $20.$ La série compte maintenant $21$ valeurs.

Exercice 7 · base

Le centre d'une classe

Une série est regroupée en classes. Déterminer le centre de la classe $[15\,;20[.$

Donner le centre de la classe.

Réponse attendue : 17.5

Indices, dans l’ordre

Le centre d'une classe est le milieu de ses deux extrémités.
Un milieu, c'est une demi-somme : on additionne les deux bornes et on divise par $2.$ $c = \frac{a + b}{2}$

Correction

La définition — $c = \frac{15 + 20}{2}$
$c = \frac{35}{2} = 17{,}5$

Le centre tombe bien entre les deux bornes, ce qui est le premier contrôle à faire. La borne supérieure est exclue de la classe, mais elle compte quand même dans le calcul du centre.

Pièges anticipés

20 → Tu as donné la borne supérieure. Le centre est au milieu de la classe, donc strictement entre $15$ et $20.$
15 → Tu as donné la borne inférieure. Le centre est au milieu, pas au début.
35 → Tu as additionné les deux bornes sans diviser par $2.$ Un milieu est une demi-somme.

Exercice 8 · pratique

La moyenne d'une série par classes

On a relevé la durée, en minutes, de $40$ appels téléphoniques :

Durée d'appel (min)	$[0\,;5[$	$[5\,;10[$	$[10\,;15[$	$[15\,;20[$
Nombre d'appels	$8$	$12$	$15$	$5$

Durée d'appel (min)	Nombre d'appels
$[0\,;5[$	$8$
$[5\,;10[$	$12$
$[10\,;15[$	$15$
$[15\,;20[$	$5$

Calculer la durée moyenne d'un appel.

Donner la moyenne en minutes, sans l'unité.

Réponse attendue : 9.625

Indices, dans l’ordre

Le tableau ne donne plus les durées individuelles. Par quelle valeur vas-tu remplacer chaque classe ?
Par son centre. Calcule les quatre centres, puis pèse chacun par l'effectif de sa classe — c'est une moyenne pondérée.
Les centres sont $2{,}5$ ; $7{,}5$ ; $12{,}5$ ; $17{,}5.$ Multiplie chacun par son effectif, additionne, puis divise par l'effectif total $40.$

Correction

Les centres — $2{,}5 \quad ; \quad 7{,}5 \quad ; \quad 12{,}5 \quad ; \quad 17{,}5$
La somme pondérée — $2{,}5(8) + 7{,}5(12) + 12{,}5(15) + 17{,}5(5)$
$= 20 + 90 + 187{,}5 + 87{,}5 = 385$
On divise par l'effectif total — $\overline{x} = \frac{385}{40} = 9{,}625$

Contrôle : la moyenne doit tomber dans l'intervalle des durées, entre $0$ et $20,$ et plutôt du côté des classes les plus peuplées — ici $[5\,;10[$ et $[10\,;15[.$ Par les fréquences on trouve le même nombre : $2{,}5(0{,}2) + 7{,}5(0{,}3) + 12{,}5(0{,}375) + 17{,}5(0{,}125).$

Pièges anticipés

10 → Tu as fait la moyenne des quatre centres, ce qui donne le même poids à chaque classe. Or elles n'ont pas le même effectif : la moyenne est pondérée.
7.125 → Tu as utilisé les bornes inférieures au lieu des centres. Chaque classe est représentée par son milieu.
385 → C'est la somme pondérée. Il reste à la diviser par l'effectif total, $40.$

Exercice 9 · pratique

La médiane d'une série par classes

Même série des $40$ appels :

Durée d'appel (min)	$[0\,;5[$	$[5\,;10[$	$[10\,;15[$	$[15\,;20[$
Nombre d'appels	$8$	$12$	$15$	$5$

Durée d'appel (min)	Nombre d'appels
$[0\,;5[$	$8$
$[5\,;10[$	$12$
$[10\,;15[$	$15$
$[15\,;20[$	$5$

Déterminer la médiane, c'est-à-dire l'abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes dont l'ordonnée vaut $0{,}5.$

Donner la médiane en minutes, sans l'unité.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord les fréquences, puis cumule-les de classe en classe.
Les fréquences valent $0{,}2$ ; $0{,}3$ ; $0{,}375$ ; $0{,}125.$ Cumule-les et cherche où la somme atteint exactement la moitié.
Les fréquences cumulées croissantes sont $0{,}2$ puis $0{,}5$ puis $0{,}875$ puis $1.$ La valeur $0{,}5$ est atteinte pile à la fin d'une classe : lis laquelle.

Correction

Les fréquences — $\frac{8}{40} = 0{,}2 \;;\; \frac{12}{40} = 0{,}3 \;;\; \frac{15}{40} = 0{,}375 \;;\; \frac{5}{40} = 0{,}125$
On cumule — Chaque valeur cumulée se lit au bout de sa classe. $0{,}2 \text{ en } 5 \;;\; 0{,}5 \text{ en } 10 \;;\; 0{,}875 \text{ en } 15 \;;\; 1 \text{ en } 20$
L'ordonnée 0,5 — Elle est atteinte exactement à l'abscisse $10$ : pas besoin d'interpoler ici. $\text{médiane} = 10 \text{ min}$

La lecture est exacte parce que $0{,}5$ tombe pile sur une borne de classe. Quand ce n'est pas le cas, on interpole entre les deux bornes qui encadrent $0{,}5.$ Remarque que la médiane, $10,$ et la moyenne, $9{,}625,$ sont proches mais différentes : elles ne mesurent pas la même chose.

Pièges anticipés

9.625 → Tu as donné la moyenne. La médiane partage l'effectif en deux moitiés égales, ce qui est une autre question.
12.5 → Tu as donné le centre de la classe modale, celle d'effectif le plus élevé. Le mode et la médiane sont deux paramètres différents.
20 → Tu as donné la moitié de l'effectif total, $20$ appels. La médiane est une durée, lue en abscisse.

Exercice 10 · base

Un indice base 100

Un produit coûtait $40$ dinars en $2020$ et coûte $50$ dinars en $2024.$

Calculer l'indice de l'année $2024,$ base $100$ en $2020.$

Donner l'indice, sans unité.

Réponse attendue : 125

Indices, dans l’ordre

« Base $100$ en $2020$ » désigne l'année de référence. Laquelle des deux valeurs va donc au dénominateur ?
L'indice est le quotient de la valeur de l'année étudiée par celle de l'année de référence, multiplié par $100.$ $I = \frac{\text{valeur } n}{\text{valeur } b} \times 100$

Correction

L'année de référence — C'est $2020,$ celle qui porte la base $100$ : sa valeur va au dénominateur.
$I = \frac{50}{40} \times 100$
$I = 1{,}25 \times 100 = 125$

L'indice se lit d'un coup : $125$ contre $100,$ c'est une hausse de $25\%.$ Et le coefficient multiplicateur est $1{,}25,$ soit l'indice divisé par $100.$

Pièges anticipés

1.25 → Tu as donné le coefficient multiplicateur. L'indice est ce coefficient multiplié par $100.$
80 → Tu as mis $50$ au dénominateur. L'année de référence est $2020$ : c'est sa valeur, $40,$ qui va en bas. Ton résultat décrirait une baisse.
25 → C'est la hausse en pourcentage. L'indice, lui, se compare à $100$ : il vaut $100 + 25.$

Exercice 11 · raisonnement

De l'indice au coefficient

L'indice des prix d'un article en $2025,$ base $100$ en $2019,$ vaut $115.$

Donner le coefficient multiplicateur qui permet de passer du prix de $2019$ à celui de $2025.$

Donner le coefficient multiplicateur.

Réponse attendue : 1.15

Indices, dans l’ordre

Une seule relation lie l'indice et le coefficient multiplicateur. Écris-la, puis isole ce qu'on te demande.
La relation est $I = C \times 100.$ Ici c'est $I$ qui est donné. $C = \frac{I}{100}$

Correction

La relation — $I = C \times 100$
On isole le coefficient. $C = \frac{I}{100} = \frac{115}{100}$
$C = 1{,}15$

Un coefficient supérieur à $1$ dit une hausse, et l'écart à $1$ la donne en proportion : $0{,}15,$ soit $15\%.$ C'est exactement l'écart de l'indice à $100$ — les deux outils portent la même information.

Pièges anticipés

115 → Tu as recopié l'indice. Le coefficient multiplicateur est cent fois plus petit : il s'applique directement au prix.
15 → C'est la hausse en pourcentage. Le coefficient multiplicateur vaut $1$ plus cette hausse écrite en proportion.
11500 → Tu as multiplié par $100$ au lieu de diviser. Dans $I = C \times 100,$ c'est $I$ qui est le plus grand des deux.

Exercice 12 · base

Un caractère qui se compte

On relève, pour chaque joueur d'une équipe de football, le nombre de buts qu'il a marqués pendant la saison.

Ce caractère est-il qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu ?

Réponse attendue : quantitatif discret — aussi acceptées : discret · caractère quantitatif discret

Indices, dans l’ordre

Première question : cette observation s'exprime-t-elle par un nombre ?
Deuxième question : peut-on marquer $2{,}7$ buts ? Les valeurs possibles sont-elles isolées, ou remplissent-elles tout un intervalle ?

Correction

Le test — Un nombre de buts s'exprime par un nombre : le caractère est quantitatif.
Discret ou continu — Il ne prend que des valeurs entières isolées : on ne marque jamais $2{,}7$ buts. $0 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ \dots$
$\text{Caractère quantitatif discret}$

Un caractère qui se compte est discret ; un caractère qui se mesure avec un instrument est continu.

Pièges anticipés

quantitatif continu / continu → Un caractère continu peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle, comme une durée ou une taille. Un nombre de buts ne prend que des valeurs entières.
qualitatif → Un nombre de buts s'exprime par un nombre : le caractère est quantitatif.
quantitatif → C'est bien quantitatif, mais il faut préciser : discret ou continu ?

Exercice 13 · base

Un caractère qui se mesure

On mesure, pour chaque élève d'une classe, la durée de son trajet entre la maison et le lycée.

Ce caractère est-il qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu ?

Réponse attendue : quantitatif continu — aussi acceptées : continu · caractère quantitatif continu

Indices, dans l’ordre

Une durée s'exprime-t-elle par un nombre ?
Entre $12$ minutes et $13$ minutes, une durée peut-elle valoir $12{,}4$ minutes ? Et $12{,}45$ ?

Correction

Le test — Une durée se mesure avec un chronomètre : le caractère est quantitatif.
Discret ou continu — Une durée peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle : $12$ min, $12{,}4$ min, $12{,}45$ min…
$\text{Caractère quantitatif continu}$

Un caractère continu se regroupe le plus souvent en classes : on ne liste pas toutes les durées une par une.

Pièges anticipés

quantitatif discret / discret → Un caractère discret ne prend que des valeurs isolées, comme un nombre de frères. Une durée peut valoir $12{,}4$ ou $12{,}45$ minutes : elle remplit tout un intervalle.
qualitatif → Une durée se mesure par un nombre : le caractère est quantitatif.
quantitatif → C'est bien quantitatif, mais il faut préciser : discret ou continu ?

Exercice 14 · base

Un caractère qui ne se mesure pas

Dans un sondage, on demande à chaque personne quelle est sa boisson préférée au petit-déjeuner : café, thé, lait ou jus.

Ce caractère est-il qualitatif ou quantitatif ?

Réponse attendue : qualitatif — aussi acceptées : caractère qualitatif

Indices, dans l’ordre

Les réponses possibles sont-elles des nombres ?
Aurait-il un sens de calculer « la boisson moyenne » ?

Correction

Le test — « Café », « thé », « lait » et « jus » ne sont pas des nombres : la boisson ne se mesure pas.
$\text{Caractère qualitatif}$

Pour un caractère qualitatif, on peut donner des effectifs, des fréquences et le mode, mais jamais une moyenne ni une médiane.

Pièges anticipés

quantitatif / quantitatif discret → Un caractère quantitatif s'exprime par un nombre. Une boisson n'est pas un nombre, même si l'on peut compter les personnes qui la choisissent.

Exercice 15 · base

L'effectif total

On a demandé à des élèves combien de livres ils ont lus pendant les vacances :

Nombre de livres	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Nombre d'élèves	$3$	$7$	$9$	$6$	$5$

Nombre de livres	Nombre d'élèves
$0$	$3$
$1$	$7$
$2$	$9$
$3$	$6$
$4$	$5$

Calculer l'effectif total $N.$

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

L'effectif total est le nombre d'individus interrogés. Où lis-tu les individus dans ce tableau : sur la première ligne ou sur la seconde ?
La première ligne donne les valeurs du caractère ; la seconde donne les effectifs.
On additionne tous les effectifs. $N = \sum n_{i}$

Correction

Ce qu’on additionne — Les individus sont les élèves : on additionne la seconde ligne.
$N = 3 + 7 + 9 + 6 + 5$
$N = 30$

Les valeurs $0,$ $1,$ $2$ … disent ce qu'on observe ; les effectifs disent combien d'individus. Seuls les effectifs s'additionnent pour donner $N.$

Pièges anticipés

10 → Tu as additionné les valeurs du caractère. L'effectif total est la somme des effectifs, la seconde ligne.
5 → Tu as compté les valeurs différentes. L'effectif total compte les élèves : additionne les effectifs.

Exercice 16 · base

L'effectif d'une valeur

Voici le nombre de frères et sœurs déclaré par chacun des 16 élèves d'un groupe :

$\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 3 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 4 \ ; \$ $\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 3 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 2$

Quel est l'effectif de la valeur $1$ ?

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui présentent cette valeur.
Parcours la liste et coche chaque $1$ au fur et à mesure, pour n'en oublier aucun.

Correction

Compter — On repère chaque élève qui a déclaré exactement $1$ frère ou sœur.
$1 \ ; \ 1 \ ; \ 1 \ ; \ 1 \ ; \ 1 \ ; \ 1$
Contrôle — En comptant aussi les autres valeurs, on doit retrouver les 16 élèves.
$n = 6$

Compter les effectifs valeur par valeur, puis vérifier que leur somme redonne l'effectif total : c'est le premier tableau de toute étude.

Pièges anticipés

16 → $16$ est l'effectif total. On demande seulement le nombre d'élèves qui ont déclaré $1.$

Exercice 17 · pratique

Au moins trois séances

On a relevé le nombre de séances de sport par semaine des élèves d'une classe :

Nombre de séances	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Nombre d'élèves	$4$	$6$	$9$	$7$	$3$	$1$

Nombre de séances	Nombre d'élèves
$0$	$4$
$1$	$6$
$2$	$9$
$3$	$7$
$4$	$3$
$5$	$1$

Combien d'élèves font au moins $3$ séances par semaine ?

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

« Au moins $3$ » veut dire $3$ ou plus. La valeur $3$ est-elle comprise ?
Additionne les effectifs des valeurs $3,$ $4$ et $5.$

Correction

Les valeurs concernées — $x \ge 3 \ : \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 5$
On additionne — $7 + 3 + 1 = 11$
$11 \ \text{élèves}$

« Au moins » inclut la valeur citée, « plus de » l'exclut. Lis toujours ces mots deux fois avant d'additionner.

Pièges anticipés

4 → Tu as compté les élèves qui font plus de $3$ séances. « Au moins $3$ » inclut aussi ceux qui en font exactement $3.$
7 → Tu n'as pris que la valeur $3.$ « Au moins $3$ » regroupe $3,$ $4$ et $5.$

Exercice 18 · pratique

L'effectif manquant

Une enquête auprès de $40$ familles porte sur le nombre de voitures qu'elles possèdent. Une case du tableau s'est effacée :

Nombre de voitures	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Nombre de familles	$6$	$x$	$11$	$8$	$5$

Nombre de voitures	Nombre de familles
$0$	$6$
$1$	$x$
$2$	$11$
$3$	$8$
$4$	$5$

Déterminer l'effectif manquant $x.$

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Que vaut la somme de tous les effectifs ?
La somme des effectifs est l'effectif total : écris l'équation. $6 + x + 11 + 8 + 5 = 40$

Correction

L'équation — $6 + x + 11 + 8 + 5 = 40$
$x + 30 = 40$
$x = 10$
Contrôle — $6 + 10 + 11 + 8 + 5 = 40 \quad \checkmark$
$x = 10$

La somme des effectifs vaut toujours l'effectif total : une case manquante se retrouve par une simple équation.

Pièges anticipés

30 → $30$ est la somme des effectifs connus. Il manque encore la différence avec l'effectif total, $40.$

Exercice 19 · pratique

Trier les caractères

La fiche d'inscription d'un club demande à chaque adhérent : son âge, son sport préféré, sa masse, la couleur de son maillot, son nombre de frères et sœurs et son quartier d'habitation.

Combien de ces six caractères sont quantitatifs ?

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Pour chaque caractère, pose la même question : la réponse est-elle un nombre ?
Un quartier ou une couleur ne sont pas des nombres, même si l'on peut les numéroter.

Correction

Quantitatifs — L'âge, la masse et le nombre de frères et sœurs s'expriment par des nombres.
Qualitatifs — Le sport préféré, la couleur du maillot et le quartier ne se mesurent pas.
$3 \ \text{caractères quantitatifs}$

Le test est toujours le même : la réponse se mesure-t-elle ou se compte-t-elle par un nombre ? Parmi les trois quantitatifs, l'âge et la masse sont continus, le nombre de frères et sœurs est discret.

Pièges anticipés

6 → Les six caractères ne sont pas quantitatifs : une couleur, un sport ou un quartier ne s'expriment pas par un nombre.

Exercice 20 · pratique

Combien de valeurs différentes ?

Voici les notes sur $10$ obtenues par 18 élèves à un quiz :

$\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 5 \ ; \$ $\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 6 \ ; \$ $\displaystyle 5 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 6 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 4 \ ; \$ $\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 6 \ ; \$ $\displaystyle 5$

Combien de valeurs différentes ce caractère prend-il ?

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

Range les notes dans l'ordre croissant : les répétitions se verront tout de suite.
On ne compte pas les élèves, mais les notes distinctes, de la plus petite à la plus grande.

Correction

Ranger — $4 \ ; \ 5 \ ; \ 5 \ ; \ 5 \ ; \ 6 \ ; \ 6 \ ; \ 6 \ ; \ 7 \ ; \ 7 \ ; \ 7 \ ; \ 7 \ ; \ 7 \ ; \ 8 \ ; \ 8 \ ; \ 8 \ ; \ 9 \ ; \ 9 \ ; \ 10$
Les valeurs distinctes — $4 \ ; \ 5 \ ; \ 6 \ ; \ 7 \ ; \ 8 \ ; \ 9 \ ; \ 10$
$7 \ \text{valeurs différentes}$

Le nombre de valeurs différentes donne le nombre de colonnes du tableau des effectifs ; l'effectif total, lui, compte les élèves.

Pièges anticipés

18 → $18$ est le nombre d'élèves. Plusieurs élèves ont la même note : on ne compte chaque note qu'une fois.

Exercice 21 · raisonnement

Reconstituer l'effectif total

Un club omnisports compte des nageurs, des cyclistes et des coureurs ; chaque adhérent pratique un seul sport. Il y a deux fois plus de nageurs que de cyclistes, et $5$ coureurs de plus que de cyclistes. Le club compte $9$ cyclistes.

Calculer l'effectif total $N$ du club.

Réponse attendue : 41

Indices, dans l’ordre

Le caractère étudié est le sport pratiqué. Calcule l'effectif de chacune de ses trois valeurs.
Nageurs : deux fois le nombre de cyclistes. Coureurs : le nombre de cyclistes, plus $5.$

Correction

Les nageurs — $2 \times 9 = 18$
Les coureurs — $9 + 5 = 14$
Effectif total — $N = 9 + 18 + 14$
$N = 41$

L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les valeurs du caractère : ici les trois sports, cyclistes compris.

Pièges anticipés

32 → Tu as compté $5$ coureurs. L'énoncé dit $5$ coureurs de plus que de cyclistes, soit $9 + 5.$

Exercice 22 · defi

Deux effectifs inconnus

On a relevé le nombre de retards dans le mois des $26$ élèves d'une classe. Deux effectifs sont inconnus :

Nombre de retards	$0$	$1$	$2$	$3$
Nombre d'élèves	$5$	$a$	$b$	$4$

Nombre de retards	Nombre d'élèves
$0$	$5$
$1$	$a$
$2$	$b$
$3$	$4$

On sait de plus que $12$ élèves ont eu au moins $2$ retards.

Déterminer $a.$

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

Commence par l'information sur « au moins $2$ retards » : quelles valeurs regroupe-t-elle, et laquelle des deux inconnues fait-elle apparaître ?
Elle donne une équation en $b$ seul. $b + 4 = 12$
Utilise ensuite l'effectif total, $26,$ pour trouver $a.$

Correction

Au moins 2 retards — $b + 4 = 12 \ \Rightarrow \ b = 8$
L'effectif total — $5 + a + 8 + 4 = 26$
$a + 17 = 26$
$a = 9$
Contrôle — $5 + 9 + 8 + 4 = 26 \quad \checkmark$
$a = 9$

Deux inconnues demandent deux informations. On commence par celle qui ne fait intervenir qu'une inconnue, puis l'effectif total donne l'autre.

Pièges anticipés

8 → $8$ est la valeur de $b,$ l'effectif de la valeur $2.$ On demande $a,$ l'effectif de la valeur $1.$
17 → $17$ est la somme $a + b.$ Il faut encore séparer les deux effectifs grâce à la seconde information.

Exercice 23 · base

Une fréquence décimale

Parmi les $50$ membres d'un club d'échecs, $18$ portent des lunettes.

Calculer la fréquence des membres qui portent des lunettes, sous forme décimale.

Réponse attendue : 0.36

Indices, dans l’ordre

Une fréquence est l'effectif de la valeur divisé par l'effectif total.
Lequel des deux nombres est l'effectif total ? Il va au dénominateur.

Correction

La définition — $f = \frac{n}{N} = \frac{18}{50}$
$f = 0{,}36$
Contrôle — Une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1.$ $0 \le 0{,}36 \le 1 \quad \checkmark$
$f = 0{,}36$

La fréquence se donne d'abord sous forme décimale, entre $0$ et $1.$ En pourcentage, elle s'écrirait $36\,\%.$

Pièges anticipés

36 → $36$ est la fréquence en pourcentage. On la demande sous forme décimale : divise par $100.$
25/9 → Tu as divisé $50$ par $18.$ L'effectif total va au dénominateur : une fréquence ne dépasse jamais $1.$

Exercice 24 · base

Un taux de réussite

Sur $60$ candidats à un concours, $33$ ont échoué.

Quel est le pourcentage de candidats admis ?

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

Commence par compter les candidats admis : ce n'est pas le nombre donné dans l'énoncé.
Calcule ensuite la fréquence des admis, entre $0$ et $1,$ puis multiplie-la par $100.$

Correction

Les admis — $60 - 33 = 27$
La fréquence — $f = \frac{27}{60} = 0{,}45$
En pourcentage — $0{,}45 \times 100 = 45$
$45\,\%$

On calcule la fréquence de la valeur demandée : ici les admis, qu'il fallait d'abord compter. Contrôle : admis et recalés font ensemble $100\,\%.$

Pièges anticipés

55 → $55\,\%$ est la part des candidats qui ont échoué. On demande celle des admis.
27 → $27$ est le nombre d’admis. On demande la part qu’ils représentent, en pourcentage.
0.45 → $0{,}45$ est bien la fréquence des admis, mais la question la demande en pourcentage : multiplie par $100.$
20/9 → Tu as divisé $60$ par $27.$ L’effectif total, $60,$ va au dénominateur.

Exercice 25 · pratique

De la fréquence à l'effectif

Parmi les $240$ familles d'un village, la fréquence des familles qui possèdent un ordinateur est $0{,}15.$

Combien de familles possèdent un ordinateur ?

Réponse attendue : 36

Indices, dans l’ordre

Pars de la définition de la fréquence et isole l'effectif. $f = \frac{n}{N}$
L'effectif s'obtient en multipliant la fréquence par l'effectif total.

Correction

On isole n — $f = \frac{n}{N} \ \Rightarrow \ n = f \times N$
$n = 0{,}15 \times 240$
$n = 36$
Contrôle — $\frac{36}{240} = 0{,}15 \quad \checkmark$
$n = 36$

La même formule sert dans les deux sens : $f = \dfrac{n}{N}$ donne la fréquence, $n = f \times N$ donne l'effectif.

Pièges anticipés

1600 → Tu as divisé $240$ par $0{,}15.$ L'effectif d'une partie ne peut pas dépasser l'effectif total : il faut multiplier.
15 → $15$ est la fréquence en pourcentage, pas un nombre de familles. Applique-la aux $240$ familles.

Exercice 26 · pratique

Au plus deux cafés

On a demandé aux employés d'une entreprise combien de cafés ils boivent par jour :

Nombre de cafés	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Nombre d'employés	$8$	$12$	$10$	$7$	$3$

Nombre de cafés	Nombre d'employés
$0$	$8$
$1$	$12$
$2$	$10$
$3$	$7$
$4$	$3$

Combien d'employés boivent au plus $2$ cafés par jour ?

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

« Au plus $2$ » veut dire $0,$ $1$ ou $2.$
C'est exactement l'effectif cumulé croissant de la valeur $2$ : on additionne les effectifs depuis la première colonne.

Correction

Les valeurs concernées — $x \le 2 \ : \ 0 \ ; \ 1 \ ; \ 2$
Effectif cumulé — $8 + 12 + 10 = 30$
$30 \ \text{employés}$

L'effectif cumulé croissant d'une valeur répond directement à la question « combien au plus ? ».

Pièges anticipés

10 → Tu n'as pris que la valeur $2.$ « Au plus $2$ » regroupe aussi $0$ et $1.$
22 → Tu as oublié les employés qui ne boivent aucun café : $0$ fait partie de « au plus $2$ ».

Exercice 27 · pratique

Retrouver l'effectif total

Dans un lycée, $63$ élèves sont internes, ce qui représente $35\,\%$ des élèves du lycée.

Calculer l'effectif total $N$ des élèves du lycée.

Réponse attendue : 180

Indices, dans l’ordre

Écris la fréquence des internes sous forme décimale.
Puis traduis l'énoncé par une égalité, et isole $N.$ $\frac{63}{N} = 0{,}35$

Correction

La fréquence — $35\,\% = 0{,}35$
L'égalité — $\frac{63}{N} = 0{,}35$
$N = \frac{63}{0{,}35}$
$N = 180$
Contrôle — $0{,}35 \times 180 = 63 \quad \checkmark$
$N = 180$

Quand on connaît une partie et sa fréquence, le tout s'obtient en divisant la partie par la fréquence.

Pièges anticipés

22.05 → Tu as calculé $35\,\%$ de $63.$ Mais $63$ est déjà la partie : c'est le tout qu'on cherche.
65 → $65\,\%$ est la part des externes, pas un effectif.

Exercice 28 · pratique

La fréquence manquante

On a demandé aux élèves d'un collège leur moyen de transport pour venir en classe. Une fréquence n'a pas été recopiée :

Transport	bus	voiture	à pied	vélo
Fréquence	$0{,}18$	$0{,}27$	$?$	$0{,}21$

Transport	Fréquence
bus	$0{,}18$
voiture	$0{,}27$
à pied	$?$
vélo	$0{,}21$

Calculer la fréquence des élèves qui viennent à pied, sous forme décimale.

Réponse attendue : 0.34

Indices, dans l’ordre

Que vaut toujours la somme de toutes les fréquences d'une série ?
Additionne les trois fréquences connues, puis retranche ce total de $1.$

Correction

Le contrôle du cours — $\sum f_{i} = 1$
Les fréquences connues — $0{,}18 + 0{,}27 + 0{,}21 = 0{,}66$
$f = 1 - 0{,}66$
$f = 0{,}34$

La somme des fréquences vaut $1$ : c'est un contrôle, et c'est aussi un moyen de retrouver une fréquence manquante.

Pièges anticipés

0.66 → $0{,}66$ est la somme des fréquences connues. Il reste à la retrancher de $1.$
34 → $34$ est la fréquence en pourcentage ; on la demande sous forme décimale.

Exercice 29 · pratique

Un effectif cumulé croissant

Nombre de jours d'absence des $30$ élèves d'une classe pendant le trimestre :

Jours d'absence	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Nombre d'élèves	$9$	$8$	$6$	$4$	$2$	$1$

Jours d'absence	Nombre d'élèves
$0$	$9$
$1$	$8$
$2$	$6$
$3$	$4$
$4$	$2$
$5$	$1$

Calculer l'effectif cumulé croissant de la valeur $2.$

Réponse attendue : 23

Indices, dans l’ordre

L'effectif cumulé croissant de $2$ est le nombre d'élèves dont la valeur est inférieure ou égale à $2.$
Cumule les effectifs de gauche à droite jusqu'à la colonne $2$ incluse.

Correction

Les valeurs concernées — $x \le 2 \ : \ 0 \ ; \ 1 \ ; \ 2$
On cumule — $9 \ ; \ 9 + 8 = 17 \ ; \ 17 + 6 = 23$
$23$

On cumule toujours à partir de la plus petite valeur. Le dernier effectif cumulé doit redonner l'effectif total, $30.$

Pièges anticipés

6 → $6$ est l'effectif de la valeur $2$ seule. L'effectif cumulé ajoute ceux des valeurs plus petites.
13 → Tu as cumulé à partir des grandes valeurs. Un effectif cumulé croissant part de la plus petite valeur.

Exercice 30 · pratique

Une fréquence cumulée en pourcentage

On a relevé le nombre de pièces de $50$ logements d'un quartier :

Nombre de pièces	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Nombre de logements	$4$	$9$	$13$	$14$	$6$	$4$

Nombre de pièces	Nombre de logements
$1$	$4$
$2$	$9$
$3$	$13$
$4$	$14$
$5$	$6$
$6$	$4$

Quel est le pourcentage de logements qui ont au plus $3$ pièces ?

Réponse attendue : 52

Indices, dans l’ordre

« Au plus $3$ pièces » : $1,$ $2$ ou $3$ pièces. Calcule l'effectif cumulé croissant de la valeur $3.$
Divise cet effectif cumulé par l'effectif total, puis multiplie par $100.$

Correction

Effectif cumulé — $4 + 9 + 13 = 26$
Fréquence cumulée — $\frac{26}{50} = 0{,}52$
En pourcentage — $0{,}52 \times 100 = 52$
$52\,\%$

La fréquence cumulée croissante d'une valeur donne directement la part des individus qui sont au plus à cette valeur.

Pièges anticipés

26 → Si $26$ est ton effectif cumulé, il reste à le rapporter aux $50$ logements. Si c’est la part des logements de $3$ pièces exactement, « au plus $3$ » ajoute ceux de $1$ et $2$ pièces.
0.52 → $0{,}52$ est la fréquence cumulée ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 31 · pratique

Des matchs sans but

Voici le nombre de buts marqués par une équipe au cours de ses $20$ derniers matchs :

$\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 3 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 4 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 3 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 2 \ ; \$ $\displaystyle 0 \ ; \$ $\displaystyle 1 \ ; \$ $\displaystyle 2$

Quel est le pourcentage de matchs où l’équipe n’a marqué aucun but ?

Réponse attendue : 25

Indices, dans l’ordre

Compte d'abord l'effectif de la valeur $0$ dans la liste.
Divise cet effectif par le nombre de matchs, puis exprime le résultat en pourcentage.

Correction

L'effectif de 0 — La valeur $0$ apparaît $5$ fois dans la liste.
La fréquence — $f = \frac{5}{20} = 0{,}25$
En pourcentage — $0{,}25 \times 100 = 25$
$25\,\%$

Sur une liste brute, on commence toujours par compter l'effectif ; la fréquence vient ensuite.

Pièges anticipés

5 → $5$ est le nombre de matchs sans but. On demande la part qu'ils représentent, en pourcentage.
0.25 → $0{,}25$ est la fréquence ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 32 · raisonnement

Au moins quatre pièces

Même série des $50$ logements :

Nombre de pièces	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Nombre de logements	$4$	$9$	$13$	$14$	$6$	$4$

Nombre de pièces	Nombre de logements
$1$	$4$
$2$	$9$
$3$	$13$
$4$	$14$
$5$	$6$
$6$	$4$

Quel est le pourcentage de logements qui ont au moins $4$ pièces ?

Réponse attendue : 48

Indices, dans l’ordre

« Au moins $4$ » regroupe $4,$ $5$ et $6$ pièces.
Autre chemin : ce sont tous les logements, sauf ceux qui ont au plus $3$ pièces. La fréquence cumulée de $3$ te sert alors directement.

Correction

Les valeurs concernées — $x \ge 4 \ : \ 4 \ ; \ 5 \ ; \ 6$
L'effectif — $14 + 6 + 4 = 24$
La fréquence — $\frac{24}{50} = 0{,}48$
Contrôle — Les logements d'au plus $3$ pièces représentent $0{,}52$ : on retrouve le complément. $1 - 0{,}52 = 0{,}48 \quad \checkmark$
$48\,\%$

« Au moins $4$ » et « au plus $3$ » se partagent toute la population : leurs fréquences se complètent à $1.$

Pièges anticipés

20 → Tu as compté les logements de plus de $4$ pièces. « Au moins $4$ » inclut ceux de $4$ pièces exactement.
28 → Tu n'as pris que les logements de $4$ pièces. « Au moins $4$ » ajoute ceux de $5$ et $6$ pièces.
0.48 → $0{,}48$ est la fréquence ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 33 · raisonnement

Une part d'une part

Dans une classe, $40\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi les filles, $25\,\%$ portent des lunettes.

Quel est le pourcentage des élèves de la classe qui sont des filles portant des lunettes ?

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Les $25\,\%$ ne portent pas sur toute la classe, mais seulement sur les filles.
Prendre $25\,\%$ de $40\,\%,$ c'est multiplier les deux fréquences décimales.

Correction

En fréquences — $0{,}4 \quad \text{et} \quad 0{,}25$
Une part d'une part — $0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1$
Contrôle — Avec $40$ élèves : $16$ filles, dont le quart, $4,$ portent des lunettes, soit $\dfrac{4}{40} = 0{,}1.$
$10\,\%$

Une part d'une part se calcule par un produit de fréquences, jamais par une somme.

Pièges anticipés

65 → Tu as additionné les deux pourcentages. Les $25\,\%$ portent sur les filles seulement : il faut prendre $25\,\%$ de $40\,\%.$
25 → $25\,\%$ est la part parmi les filles. Rapportée à toute la classe, elle est plus petite.
0.1 → $0{,}1$ est la fréquence ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 34 · raisonnement

Retrouver la taille du sondage

À la question « Faut-il allonger la récréation ? », les élèves interrogés ont répondu :

Réponse	oui	non	sans avis
Fréquence	$0{,}2$	$0{,}35$	$0{,}45$

Réponse	Fréquence
oui	$0{,}2$
non	$0{,}35$
sans avis	$0{,}45$

On sait que $14$ élèves ont répondu « non ».

Combien d'élèves ont été interrogés ?

Réponse attendue : 40

Indices, dans l’ordre

Quelle fréquence correspond aux $14$ élèves ? Attention à bien choisir la colonne.
Traduis par une égalité et isole $N.$ $\frac{14}{N} = 0{,}35$

Correction

La bonne colonne — Les $14$ élèves sont ceux qui ont répondu « non » : leur fréquence est $0{,}35.$
L'égalité — $\frac{14}{N} = 0{,}35 \ \Rightarrow \ N = \frac{14}{0{,}35}$
$N = 40$
Contrôle — $0{,}2 \times 40 + 14 + 0{,}45 \times 40 = 8 + 14 + 18 = 40 \quad \checkmark$
$N = 40$

Une seule colonne dont on connaît à la fois l'effectif et la fréquence suffit pour retrouver l'effectif total.

Pièges anticipés

70 → Tu as utilisé la fréquence $0{,}2,$ celle du « oui ». Les $14$ élèves ont répondu « non » : leur fréquence est $0{,}35.$
4.9 → Tu as multiplié $14$ par $0{,}35.$ Les $14$ élèves sont déjà la partie : on cherche le tout, il faut diviser.

Exercice 35 · defi

Ce que disent deux cumuls

Dans une série statistique, l'effectif cumulé croissant de la valeur $2$ est $27,$ et la fréquence cumulée croissante de cette même valeur est $0{,}6.$

Combien d'individus ont une valeur strictement supérieure à $2$ ?

Réponse attendue : 18

Indices, dans l’ordre

Un effectif cumulé et la fréquence cumulée correspondante sont reliés par l'effectif total. Lequel des trois nombres manque ?
Trouve d'abord $N.$ $\frac{27}{N} = 0{,}6$
Les individus de valeur strictement supérieure à $2$ sont tous ceux qui ne sont pas comptés dans les $27.$

Correction

L'effectif total — $\frac{27}{N} = 0{,}6 \ \Rightarrow \ N = \frac{27}{0{,}6} = 45$
Le complément — $27$ individus ont une valeur inférieure ou égale à $2$ ; les autres ont une valeur strictement supérieure.
$45 - 27 = 18$
$18 \ \text{individus}$

Un effectif cumulé compte les individus « au plus » à une valeur ; son complément à $N$ compte ceux qui sont « strictement au-dessus ».

Pièges anticipés

45 → $45$ est l'effectif total. Il reste à retirer les $27$ individus de valeur inférieure ou égale à $2.$
27 → $27$ compte les individus de valeur inférieure ou égale à $2.$ On demande les autres.

Exercice 36 · defi

Deux classes réunies

À un examen blanc, la classe A ( $30$ élèves) a un taux de réussite de $40\,\%$ et la classe B ( $20$ élèves) un taux de réussite de $65\,\%.$ On réunit les deux classes.

Quel est le pourcentage de réussite des deux classes réunies ?

Réponse attendue : 50

Indices, dans l’ordre

Les deux classes n'ont pas le même effectif : on ne peut pas faire la moyenne des deux pourcentages.
Calcule le nombre d'élèves qui ont réussi dans chaque classe.
Divise le nombre total de réussites par l'effectif total des deux classes.

Correction

Réussites en A — $0{,}4 \times 30 = 12$
Réussites en B — $0{,}65 \times 20 = 13$
Les deux classes — $\frac{12 + 13}{30 + 20} = \frac{25}{50} = 0{,}5$
$50\,\%$

On ne fait jamais la moyenne de deux pourcentages qui portent sur des effectifs différents : on revient aux effectifs, puis on recalcule la fréquence.

Pièges anticipés

52.5 → Tu as fait la moyenne de $40$ et $65.$ Ce serait juste si les deux classes avaient le même effectif ; la classe A, plus nombreuse, pèse davantage.
105 → Un pourcentage de réussite ne dépasse pas $100\,\%$ : on ne peut pas additionner les deux taux.
25 → $25$ est le nombre d'élèves qui ont réussi. Il reste à le rapporter aux $50$ élèves.

Exercice 37 · base

L'angle d'un secteur

On a demandé à des personnes leur loisir préféré :

Loisir	cinéma	sport	lecture	musique
Effectif	$22$	$15$	$8$	$10$

Loisir	Effectif
cinéma	$22$
sport	$15$
lecture	$8$
musique	$10$

On représente ces réponses par un diagramme circulaire.

Quel angle, en degrés, représente le cinéma ?

Réponse attendue : 144

Indices, dans l’ordre

Combien de personnes ont été interrogées en tout ? Le disque entier les représente toutes.
L'angle est proportionnel à l'effectif : calcule la fréquence du cinéma, puis multiplie-la par $360.$

Correction

Effectif total — $N = 22 + 15 + 8 + 10 = 55$
La fréquence — $f = \frac{22}{55} = 0{,}4$
L'angle — $\alpha = 0{,}4 \times 360$
$\alpha = 144°$

L'angle d'un secteur est toujours la fréquence multipliée par $360°$ ; l'effectif total s'obtient d'abord en additionnant toute la ligne des effectifs.

Pièges anticipés

72 → Tu as multiplié par $180.$ Un disque complet mesure $360°.$
40 → $40$ est le pourcentage. L’angle s’obtient en multipliant la fréquence par $360.$
22 → $22$ est l’effectif du cinéma, pas un angle. Un angle se rapporte aux $360°$ du disque.

Exercice 38 · base

Le bon graphique pour des classes

On a pesé $200$ nouveau-nés dans une maternité et regroupé leurs masses en classes d'amplitude $250$ grammes.

Quel type de graphique convient pour représenter cette série : un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire ou un histogramme ?

Réponse attendue : histogramme — aussi acceptées : un histogramme

Indices, dans l’ordre

De quel type est le caractère « masse » : qualitatif, discret ou continu ?
Les données sont regroupées en classes. Lequel des trois graphiques est fait pour des classes ?

Correction

Le caractère — La masse se mesure et peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle : il est quantitatif continu.
Le graphique — Un caractère continu regroupé en classes se représente par des rectangles accolés, un par classe.
$\text{Un histogramme}$

Le graphique se choisit d'après la nature du caractère : bâtons pour le discret, histogramme pour le continu regroupé en classes.

Pièges anticipés

diagramme en bâtons / un diagramme en bâtons / bâtons → Un diagramme en bâtons convient à des valeurs isolées. Ici les masses sont regroupées en classes : chaque classe occupe tout un intervalle.
diagramme circulaire / un diagramme circulaire / circulaire → Un diagramme circulaire montre les parts d'un tout, mais il perd l'ordre des classes de masses, qui compte ici.

Exercice 39 · base

Montrer les parts d’un tout

On connaît la part de chaque poste dans le budget mensuel d'une famille : alimentation, loyer, transport, loisirs, autres dépenses. On veut montrer d'un coup d'œil comment le budget total se partage.

Quel type de graphique convient le mieux : un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire ou un histogramme ?

Réponse attendue : diagramme circulaire — aussi acceptées : circulaire · un diagramme circulaire · camembert

Indices, dans l’ordre

Le caractère « poste de dépense » est-il qualitatif ou quantitatif ?
On veut voir comment un tout se partage. Quel graphique représente le tout par une figure entière ?

Correction

Le caractère — Le poste de dépense ne se mesure pas : il est qualitatif. L'histogramme est donc exclu.
L'intention — On veut montrer les parts d'un tout : le disque entier représente le budget, chaque secteur un poste.
$\text{Un diagramme circulaire}$

Le diagramme circulaire est fait pour les parts d'un tout : la somme de ses angles fait $360°,$ comme la somme des parts fait $100\,\%.$

Pièges anticipés

histogramme / un histogramme → Un histogramme représente un caractère continu regroupé en classes. Un poste de dépense est qualitatif.

Exercice 40 · pratique

D'un pourcentage à un angle

Dans un diagramme circulaire, la catégorie « vélo » représente $15\,\%$ des personnes interrogées.

Quel angle, en degrés, faut-il donner au secteur « vélo » ?

Réponse attendue : 54

Indices, dans l’ordre

Écris d'abord $15\,\%$ sous forme de fréquence décimale.
L'angle est la fréquence multipliée par $360.$

Correction

La fréquence — $15\,\% = 0{,}15$
L'angle — $\alpha = 0{,}15 \times 360$
$\alpha = 54°$

Pas besoin de l'effectif total : la fréquence suffit pour calculer un angle.

Pièges anticipés

15 → $15$ est le pourcentage. Il faut le convertir en angle : $0{,}15 \times 360.$
27 → Tu as multiplié par $180.$ Un disque complet mesure $360°.$
5400 → Tu as multiplié $15$ par $360$ sans repasser par la fréquence $0{,}15.$

Exercice 41 · pratique

D'un angle à un effectif

On a interrogé $120$ personnes sur leur moyen de transport. Dans le diagramme circulaire obtenu, le secteur « bus » mesure $75°.$

Combien de personnes prennent le bus ?

Réponse attendue : 25

Indices, dans l’ordre

Quelle fraction du disque complet le secteur « bus » représente-t-il ?
Cette fraction est la fréquence : applique-la aux $120$ personnes.

Correction

La fréquence — $f = \frac{75}{360}$
L'effectif — $n = \frac{75}{360} \times 120$
$n = 25$
Contrôle — $\frac{25}{120} \times 360 = 75° \quad \checkmark$
$n = 25$

Un angle se divise par $360$ pour redonner une fréquence ; la fréquence multipliée par $N$ redonne l'effectif.

Pièges anticipés

75 → $75$ est l'angle en degrés, pas un nombre de personnes.
50 → Tu as divisé par $180.$ Le disque complet mesure $360°.$

Exercice 42 · pratique

D'un angle à un pourcentage

Dans un diagramme circulaire représentant les sports pratiqués par les élèves d'un lycée, le secteur « basket » mesure $108°.$

Quel pourcentage des élèves pratiquent le basket ?

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

Le disque complet, $360°,$ représente $100\,\%$ des élèves.
Calcule la fréquence $\dfrac{108}{360},$ puis passe en pourcentage.

Correction

La fréquence — $f = \frac{108}{360} = 0{,}3$
En pourcentage — $0{,}3 \times 100 = 30$
$30\,\%$

Angle et pourcentage sont proportionnels : $360°$ correspond à $100\,\%,$ donc $3{,}6°$ à $1\,\%.$

Pièges anticipés

60 → Tu as divisé par $180.$ Le disque complet mesure $360°.$
0.3 → $0{,}3$ est la fréquence ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 43 · pratique

Le secteur manquant

Un diagramme circulaire représente les réponses à un sondage en quatre catégories. Trois secteurs mesurent $63°,$ $117°$ et $54°.$

Quel est, en degrés, l’angle du quatrième secteur ?

Réponse attendue : 126

Indices, dans l’ordre

Que vaut la somme de tous les angles d'un diagramme circulaire ?
Additionne les trois angles connus et retranche le total de $360°.$

Correction

La somme des angles — $63 + 117 + 54 = 234$
$\alpha = 360 - 234$
$\alpha = 126°$

La somme des angles vaut $360°$ comme la somme des fréquences vaut $1$ : c'est le même contrôle, en degrés.

Pièges anticipés

234 → $234°$ est la somme des trois secteurs connus. Il reste à la retrancher de $360°.$

Exercice 44 · pratique

Lire un bâton à l'échelle

Dans un diagramme en bâtons, $1$ cm de hauteur représente $4$ élèves. Le bâton de la valeur « $3$ frères et sœurs » mesure $3{,}5$ cm.

Combien d'élèves ont $3$ frères et sœurs ?

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

La hauteur d'un bâton est proportionnelle à l'effectif.
Chaque centimètre vaut $4$ élèves : combien valent $3{,}5$ centimètres ?

Correction

L'échelle — $1 \ \text{cm} \ \longleftrightarrow \ 4 \ \text{élèves}$
$3{,}5 \times 4 = 14$
$14 \ \text{élèves}$

Dans un diagramme en bâtons, c'est la hauteur qui porte l'effectif ; dans un histogramme, ce sera l'aire.

Pièges anticipés

0.875 → Tu as divisé $3{,}5$ par $4.$ Un centimètre vaut $4$ élèves : il faut multiplier.

Exercice 45 · raisonnement

Un rectangle plus large

Dans un histogramme, la classe $[0\,;10[,$ d'effectif $12,$ est représentée par un rectangle de hauteur $6$ cm. La classe suivante, $[10\,;30[,$ est deux fois plus large et son effectif est $20.$

Quelle hauteur, en cm, faut-il donner au rectangle de la classe $[10\,;30[$ ?

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Dans un histogramme, ce n'est pas la hauteur qui est proportionnelle à l'effectif. Qu'est-ce que c'est ?
Calcule l'aire du premier rectangle en prenant la largeur de la classe, $10,$ comme base. Combien d'unités d'aire pour un individu ?
Le second rectangle a une base de $20$ : sa hauteur est son aire divisée par $20.$

Correction

Le premier rectangle — $\text{aire} = 10 \times 6 = 60 \ \text{pour} \ 12 \ \text{individus}$
Pour un individu — $\frac{60}{12} = 5$
Le second rectangle — $\text{aire} = 20 \times 5 = 100$
Sa hauteur — $h = \frac{100}{20} = 5$
$h = 5 \ \text{cm}$

Une classe deux fois plus large a, pour le même effectif, une hauteur deux fois plus petite. Lire les hauteurs comme des effectifs trompe dès que les largeurs diffèrent.

Pièges anticipés

10 → Tu as rendu la hauteur proportionnelle à l'effectif. Dans un histogramme, c'est l'aire qui l'est : la classe étant deux fois plus large, il faut diviser par $2.$

Exercice 46 · raisonnement

Compter des carreaux d'histogramme

Dans un histogramme, un carreau d'aire représente $2$ individus, et un carreau de largeur correspond à $5$ unités en abscisse. La classe $[25\,;35[$ est représentée par un rectangle de $3$ carreaux de hauteur.

Quel est l'effectif de la classe $[25\,;35[$ ?

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

Combien de carreaux de largeur occupe une classe d'amplitude $10$ ?
Compte le nombre total de carreaux du rectangle : largeur fois hauteur.
Chaque carreau vaut $2$ individus.

Correction

La largeur — $\frac{35 - 25}{5} = 2 \ \text{carreaux}$
L'aire — $2 \times 3 = 6 \ \text{carreaux}$
L'effectif — $6 \times 2 = 12$
$12 \ \text{individus}$

L'effectif se lit sur l'aire du rectangle : on compte les carreaux, puis on applique la valeur d'un carreau.

Pièges anticipés

6 → $6$ est l'aire en carreaux. Chaque carreau représente $2$ individus.
3 → $3$ est la hauteur du rectangle en carreaux. L'effectif se lit sur l'aire : la classe occupe $2$ carreaux de largeur, et chaque carreau vaut $2$ individus.

Exercice 47 · raisonnement

Deux secteurs ensemble

Dans un diagramme circulaire des sports collectifs pratiqués dans un lycée, le secteur « football » mesure $99°$ et le secteur « handball » $63°.$

Quel pourcentage des élèves pratiquent le football ou le handball ?

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

Les deux groupes sont distincts : leurs secteurs se mettent bout à bout.
Additionne les deux angles, puis convertis en pourcentage du tour complet.

Correction

Les deux secteurs — $99 + 63 = 162°$
La fréquence — $\frac{162}{360} = 0{,}45$
$45\,\%$

Quand les catégories ne se recouvrent pas, les angles s'additionnent comme les effectifs et les fréquences.

Pièges anticipés

162 → $162$ est l'angle total en degrés. Il faut le rapporter aux $360°$ du disque.
90 → Tu as divisé par $180.$ Le disque complet mesure $360°.$

Exercice 48 · defi

Des effectifs proportionnels

Dans une maison de jeunes, les adhérents se répartissent entre trois ateliers : théâtre, musique et peinture. Les effectifs sont proportionnels à $2,$ $3$ et $4$ : pour $2$ inscrits au théâtre, il y en a $3$ en musique et $4$ en peinture.

Quel est, en degrés, l’angle du secteur « peinture » dans le diagramme circulaire ?

Réponse attendue : 160

Indices, dans l’ordre

On ne connaît pas l'effectif total, mais on connaît les parts : en combien de parts égales le tout est-il découpé ?
$2 + 3 + 4 = 9$ parts. Quelle fraction du tout la peinture représente-t-elle ?

Correction

Le nombre de parts — $2 + 3 + 4 = 9$
La fréquence — $f = \frac{4}{9}$
L'angle — $\alpha = \frac{4}{9} \times 360 = 160$
Contrôle — $80° + 120° + 160° = 360° \quad \checkmark$
$\alpha = 160°$

L'effectif total n'est pas nécessaire : seules les proportions comptent pour un diagramme circulaire.

Pièges anticipés

120 → Tu as partagé le disque en trois parts égales. Les ateliers n'ont pas le même effectif : la peinture a $4$ parts sur $9.$

Exercice 49 · defi

Un secteur et un pourcentage

Dans un sondage sur la boisson préférée, le secteur « jus » d'un diagramme circulaire mesure $60°$ et représente $15$ personnes. Par ailleurs, $40\,\%$ des personnes interrogées ont choisi le café.

Combien de personnes ont choisi le café ?

Réponse attendue : 36

Indices, dans l’ordre

Il manque l'effectif total. Que représente le secteur de $60°$ par rapport au disque entier ?
$60°$ est le sixième de $360°$ : les $15$ personnes sont le sixième des personnes interrogées.
Applique ensuite les $40\,\%$ à cet effectif total.

Correction

L'effectif total — $\frac{60}{360} = \frac{1}{6} \ \Rightarrow \ N = 6 \times 15 = 90$
Le café — $0{,}4 \times 90 = 36$
$36 \ \text{personnes}$

Un secteur dont on connaît l'angle et l'effectif donne l'effectif total ; tout le reste du diagramme s'en déduit.

Pièges anticipés

90 → $90$ est l'effectif total. On demande seulement les $40\,\%$ qui ont choisi le café.
144 → $144°$ est l'angle du secteur « café ». On demande un nombre de personnes.

Exercice 50 · base

Une semaine de températures

Températures relevées à midi, en °C, pendant une semaine :

$\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 17 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 19 \ ; \$ $\displaystyle 16 \ ; \$ $\displaystyle 12$

Calculer la température moyenne de la semaine, en °C.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

Chaque valeur n'apparaît qu'une fois par jour : on additionne toutes les températures.
Puis on divise par le nombre de jours.

Correction

La somme — $14 + 17 + 12 + 15 + 19 + 16 + 12 = 105$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{105}{7}$
$\overline{x} = 15$
Contrôle — $12 \le 15 \le 19 \quad \checkmark$
$\overline{x} = 15\,°\text{C}$

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur : c'est le premier contrôle.

Pièges anticipés

105 → $105$ est la somme des températures. Il reste à la diviser par le nombre de jours, $7.$

Exercice 51 · base

La masse moyenne

Masses, en kg, de cinq nouveau-nés d'une maternité :

$\displaystyle 2{,}4 \ ; \$ $\displaystyle 3{,}1 \ ; \$ $\displaystyle 2{,}8 \ ; \$ $\displaystyle 3{,}5 \ ; \$ $\displaystyle 3{,}2$

Calculer la masse moyenne, en kg.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Additionne les cinq masses ; ce sont des nombres décimaux, aligne bien les virgules.
Divise ensuite par le nombre de nouveau-nés.

Correction

La somme — $2{,}4 + 3{,}1 + 2{,}8 + 3{,}5 + 3{,}2 = 15$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{15}{5}$
$\overline{x} = 3 \ \text{kg}$

La moyenne peut être une valeur qu'aucun individu ne présente : aucun bébé ne pèse exactement $3$ kg.

Pièges anticipés

15 → $15$ kg est la masse totale des cinq bébés. Il reste à diviser par $5.$

Exercice 52 · base

Une moyenne pondérée

Notes obtenues à un devoir de sciences :

Note	$9$	$11$	$13$	$16$
Nombre d'élèves	$4$	$6$	$7$	$3$

Note	Nombre d'élèves
$9$	$4$
$11$	$6$
$13$	$7$
$16$	$3$

Calculer la moyenne de la classe.

Réponse attendue : 12.05

Indices, dans l’ordre

Chaque note doit compter autant de fois que le nombre d'élèves qui l'ont obtenue.
Calcule l'effectif total, puis la somme des produits note $\times$ effectif.

Correction

Effectif total — $N = 4 + 6 + 7 + 3 = 20$
Somme pondérée — $4 \times 9 + 6 \times 11 + 7 \times 13 + 3 \times 16 = 36 + 66 + 91 + 48 = 241$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{241}{20}$
$\overline{x} = 12{,}05$

La moyenne pondérée tient compte des effectifs : la note $13,$ obtenue par sept élèves, pèse plus que la note $16.$

Pièges anticipés

12.25 → Tu as fait la moyenne des quatre notes sans tenir compte des effectifs. Chaque note pèse autant que le nombre d'élèves qui l'ont obtenue.
241 → $241$ est la somme pondérée. Il reste à la diviser par l'effectif total, $20.$

Exercice 53 · pratique

Une moyenne par les fréquences

On a compté le nombre de personnes à bord des voitures passant à un carrefour :

Personnes à bord	$1$	$2$	$3$	$4$
Fréquence	$0{,}1$	$0{,}35$	$0{,}4$	$0{,}15$

Personnes à bord	Fréquence
$1$	$0{,}1$
$2$	$0{,}35$
$3$	$0{,}4$
$4$	$0{,}15$

Calculer le nombre moyen de personnes par voiture.

Réponse attendue : 2.6

Indices, dans l’ordre

On ne connaît pas les effectifs, seulement les fréquences. La moyenne se calcule quand même.
Multiplie chaque valeur par sa fréquence, puis additionne : il n'y a plus de division à faire. $\overline{x} = \sum f_{i} x_{i}$

Correction

La formule — $\overline{x} = \sum f_{i} x_{i}$
$\overline{x} = 0{,}1 \times 1 + 0{,}35 \times 2 + 0{,}4 \times 3 + 0{,}15 \times 4$
$\overline{x} = 0{,}1 + 0{,}7 + 1{,}2 + 0{,}6$
$\overline{x} = 2{,}6$

Avec les fréquences, la division par $N$ est déjà faite : on additionne directement les produits. Contrôle : $\sum f_{i} = 1$ ici.

Pièges anticipés

2.5 → Tu as fait la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte des fréquences. Les voitures à $3$ personnes sont plus nombreuses : elles pèsent davantage.
0.65 → Tu as divisé par $4$ la somme des produits. Avec les fréquences, il n'y a plus de division à faire.

Exercice 54 · pratique

Des caisses de tomates

Un agriculteur a rempli $12$ caisses de $18$ kg de tomates, $20$ caisses de $15$ kg et $8$ caisses de $20$ kg.

Calculer la masse moyenne d’une caisse, en kg.

Réponse attendue : 16.9

Indices, dans l’ordre

Les individus sont les caisses : combien y en a-t-il en tout ?
Calcule la masse totale de tomates, en pesant chaque masse par le nombre de caisses.

Correction

Nombre de caisses — $N = 12 + 20 + 8 = 40$
Masse totale — $12 \times 18 + 20 \times 15 + 8 \times 20 = 216 + 300 + 160 = 676$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{676}{40}$
$\overline{x} = 16{,}9 \ \text{kg}$

Dans un problème concret, repère d'abord qui sont les individus (les caisses) et quelle est la valeur (la masse) : les effectifs suivent.

Pièges anticipés

53/3 → Tu as fait la moyenne des trois masses sans tenir compte du nombre de caisses. Les caisses de $15$ kg sont les plus nombreuses.
676 → $676$ kg est la masse totale. Il reste à la diviser par le nombre de caisses, $40.$

Exercice 55 · pratique

Une moyenne à arrondir

Notes d'un groupe à un contrôle de physique :

Note	$8$	$10$	$11$	$14$
Nombre d'élèves	$3$	$5$	$6$	$4$

Note	Nombre d'élèves
$8$	$3$
$10$	$5$
$11$	$6$
$14$	$4$

Calculer la moyenne du groupe, arrondie au dixième.

Réponse attendue : 10.9

Indices, dans l’ordre

Calcule l'effectif total et la somme pondérée des notes.
La division ne tombe pas juste : pousse-la jusqu'au centième pour savoir comment arrondir au dixième.

Correction

Effectif total — $N = 3 + 5 + 6 + 4 = 18$
Somme pondérée — $3 \times 8 + 5 \times 10 + 6 \times 11 + 4 \times 14 = 196$
La division — $\overline{x} = \frac{196}{18} = 10{,}888\dots$
L'arrondi — Le chiffre des centièmes est $8,$ supérieur ou égal à $5$ : on arrondit au dixième supérieur.
$\overline{x} \approx 10{,}9$

Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : $10{,}888\dots$ s'arrondit à $10{,}9,$ pas à $10{,}8.$

Pièges anticipés

10.8 → Tu as coupé après le premier chiffre décimal. $10{,}888\dots$ est plus proche de $10{,}9$ que de $10{,}8.$
10.75 → Tu as fait la moyenne des quatre notes sans tenir compte des effectifs.
10.89 → $10{,}89$ est l'arrondi au centième. La consigne demande le dixième : un seul chiffre après la virgule.
98/9 → C'est la valeur exacte, et elle est juste. La consigne demande l'arrondi au dixième.
196 → $196$ est la somme pondérée. Il reste à la diviser par $18.$

Exercice 56 · pratique

Un point et demi de bonus

La moyenne d'une classe à un devoir est $10{,}8.$ Le professeur décide d'ajouter $1{,}5$ point à la note de chaque élève.

Quelle est la nouvelle moyenne de la classe ?

Réponse attendue : 12.3

Indices, dans l’ordre

Si chacun des $N$ élèves gagne $1{,}5$ point, de combien augmente la somme des notes ?
La somme augmente de $1{,}5 \times N$ ; divise par $N$ pour voir ce que devient la moyenne.

Correction

La nouvelle somme — $S' = S + 1{,}5 \times N$
La nouvelle moyenne — $\overline{x}' = \frac{S + 1{,}5 N}{N} = \frac{S}{N} + 1{,}5$
$\overline{x}' = 10{,}8 + 1{,}5 = 12{,}3$

Ajouter le même nombre à toutes les valeurs ajoute ce nombre à la moyenne, sans même connaître l'effectif.

Pièges anticipés

10.8 → Toutes les notes ont augmenté : la moyenne ne peut pas rester la même.

Exercice 57 · raisonnement

La note qu’il faut viser

Sami a obtenu $11,$ $14,$ $9$ et $13$ aux quatre premiers devoirs du trimestre. Un cinquième devoir aura lieu, et tous les devoirs comptent de la même façon. Sami voudrait obtenir une moyenne de $12.$

Quelle note $x$ doit-il obtenir au cinquième devoir ?

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

Une moyenne de $12$ sur cinq devoirs : quelle doit être la somme des cinq notes ?
Retranche de cette somme les points déjà obtenus.

Correction

La somme nécessaire — $5 \times 12 = 60$
Les points acquis — $11 + 14 + 9 + 13 = 47$
$x = 60 - 47$
$x = 13$
Contrôle — $\frac{47 + 13}{5} = \frac{60}{5} = 12 \quad \checkmark$
$x = 13$

Une moyenne imposée fixe la somme des valeurs : on raisonne toujours sur la somme, jamais directement sur les moyennes.

Pièges anticipés

12 → Obtenir $12$ au dernier devoir ne suffit pas : la moyenne des quatre premières notes est $11{,}75,$ inférieure à $12.$

Exercice 58 · raisonnement

Un prix moyen imposé

Un libraire vend $6$ livres à $10$ dinars et $x$ livres à $15$ dinars. Le prix moyen d'un livre vendu est $12$ dinars.

Déterminer le nombre $x$ de livres vendus à $15$ dinars.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

Écris la moyenne pondérée des prix en fonction de $x$ : quel est l'effectif total ?
On obtient une équation. $\frac{6 \times 10 + 15x}{6 + x} = 12$
Multiplie les deux membres par $6 + x,$ puis résous.

Correction

L'équation — $\frac{60 + 15x}{6 + x} = 12$
$60 + 15x = 12(6 + x) = 72 + 12x$
$3x = 12$
$x = 4$
Contrôle — $\frac{60 + 60}{10} = 12 \quad \checkmark$
$x = 4$

Quand un effectif est inconnu, la moyenne pondérée devient une équation : l'effectif total contient lui aussi l'inconnue.

Pièges anticipés

10 → $10$ est l'effectif total, $6 + x.$ On demande seulement $x.$

Exercice 59 · raisonnement

Garçons et filles

Dans une classe, les $18$ garçons ont une moyenne de $11$ à un devoir, et les $12$ filles une moyenne de $13{,}5.$

Calculer la moyenne de toute la classe.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

Les deux groupes n'ont pas le même effectif : la moyenne des deux moyennes ne convient pas.
Retrouve la somme des notes de chaque groupe à partir de sa moyenne.

Correction

Somme des garçons — $18 \times 11 = 198$
Somme des filles — $12 \times 13{,}5 = 162$
Toute la classe — $\overline{x} = \frac{198 + 162}{18 + 12} = \frac{360}{30}$
$\overline{x} = 12$

La moyenne de la classe est plus proche de celle des garçons, parce qu'ils sont plus nombreux : c'est la pondération.

Pièges anticipés

12.25 → Tu as fait la moyenne de $11$ et $13{,}5.$ Les garçons sont plus nombreux : leur moyenne pèse davantage.
360 → $360$ est la somme de toutes les notes. Il reste à la diviser par $30.$

Exercice 60 · raisonnement

Une moyenne annuelle

Dans un lycée, la moyenne annuelle se calcule avec des coefficients : le premier trimestre compte $1$ fois, le deuxième $2$ fois et le troisième $2$ fois. Yasmine a eu $11$ au premier trimestre, $12{,}5$ au deuxième et $14$ au troisième.

Calculer la moyenne annuelle de Yasmine.

Réponse attendue : 12.8

Indices, dans l’ordre

Les coefficients jouent exactement le rôle des effectifs dans une moyenne pondérée.
Multiplie chaque moyenne trimestrielle par son coefficient, additionne, puis divise par la somme des coefficients.

Correction

Somme pondérée — $1 \times 11 + 2 \times 12{,}5 + 2 \times 14 = 11 + 25 + 28 = 64$
Somme des coefficients — $1 + 2 + 2 = 5$
$\overline{x} = \frac{64}{5}$
$\overline{x} = 12{,}8$

Un coefficient est un effectif déguisé : la moyenne pondérée divise toujours par la somme des poids, ici $5$ et non $3.$

Pièges anticipés

12.5 → Tu as fait la moyenne des trois trimestres sans les coefficients. Les deux derniers trimestres comptent double.
64/3 → Tu as divisé par $3,$ le nombre de trimestres. Il faut diviser par la somme des coefficients, $5.$

Exercice 61 · defi

Une valeur mal recopiée

Une série de $25$ valeurs a pour moyenne $14.$ On s'aperçoit qu'une valeur égale à $17$ a été recopiée $12$ par erreur avant le calcul.

Calculer la moyenne exacte de la série.

Réponse attendue : 14.2

Indices, dans l’ordre

La moyenne erronée permet de retrouver la somme erronée : laquelle ?
Dans cette somme, on a compté $12$ au lieu de $17.$ Corrige la somme.
L'effectif, lui, n'a pas changé.

Correction

La somme erronée — $S = 25 \times 14 = 350$
On corrige — $S' = 350 - 12 + 17 = 355$
La vraie moyenne — $\overline{x} = \frac{355}{25}$
$\overline{x} = 14{,}2$
Contrôle — On a ajouté $5$ à la somme : la moyenne augmente de $\dfrac{5}{25} = 0{,}2.$
$\overline{x} = 14{,}2$

Corriger une valeur, c'est corriger la somme ; la moyenne bouge de l'écart divisé par l'effectif.

Pièges anticipés

13.8 → Tu as corrigé dans le mauvais sens. La vraie valeur, $17,$ est plus grande que la valeur recopiée : la moyenne doit monter.
19 → Tu as ajouté l'écart $5$ directement à la moyenne. Il se répartit sur les $25$ valeurs.
355 → $355$ est la somme corrigée. Il reste à la diviser par $25.$

Exercice 62 · defi

Un élève quitte la classe

Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $11{,}2$ à un devoir. Un élève, qui avait eu $4,$ change de lycée ; on recalcule la moyenne sans sa note.

Calculer la nouvelle moyenne.

Réponse attendue : 11.5

Indices, dans l’ordre

Retrouve d'abord la somme des $25$ notes à partir de la moyenne.
Retire la note de l'élève qui part. Combien reste-t-il d'élèves ?

Correction

La somme de départ — $S = 25 \times 11{,}2 = 280$
Sans la note 4 — $S' = 280 - 4 = 276$
Le nouvel effectif — $N' = 25 - 1 = 24$
$\overline{x}' = \frac{276}{24} = 11{,}5$
Contrôle — On retire une note inférieure à la moyenne : la moyenne devait monter.
$\overline{x}' = 11{,}5$

Retirer une valeur change à la fois la somme et l'effectif ; oublier l'un des deux fausse le résultat.

Pièges anticipés

11.04 → Tu as divisé par $25.$ Après le départ de l'élève, il n'en reste que $24.$
276 → $276$ est la nouvelle somme. Il reste à la diviser par $24.$

Exercice 63 · defi

Une fréquence à retrouver

Une série prend les valeurs $0,$ $1$ et $2$ :

Valeur	$0$	$1$	$2$
Fréquence	$0{,}2$	$a$	$b$

Valeur	Fréquence
$0$	$0{,}2$
$1$	$a$
$2$	$b$

Sa moyenne est $1{,}1.$

Déterminer $a.$

Réponse attendue : 0.5

Indices, dans l’ordre

Les fréquences ont une somme égale à $1$ : exprime $b$ en fonction de $a.$ $b = 0{,}8 - a$
La moyenne par les fréquences donne une seconde équation. $0 \times 0{,}2 + 1 \times a + 2 \times b = 1{,}1$

Correction

Somme des fréquences — $0{,}2 + a + b = 1 \ \Rightarrow \ b = 0{,}8 - a$
La moyenne — $a + 2(0{,}8 - a) = 1{,}1$
$1{,}6 - a = 1{,}1$
$a = 0{,}5$
Contrôle — $b = 0{,}3 \ ; \ 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 = 1{,}1 \quad \checkmark$
$a = 0{,}5$

Deux inconnues, deux relations : la somme des fréquences vaut $1,$ et la moyenne est $\sum f_{i} x_{i}.$

Pièges anticipés

0.3 → $0{,}3$ est la valeur de $b,$ la fréquence de la valeur $2.$ On demande $a.$

Exercice 64 · base

L'étendue d'une série

Masses, en kg, de six élèves :

$\displaystyle 52 \ ; \$ $\displaystyle 47 \ ; \$ $\displaystyle 61 \ ; \$ $\displaystyle 58 \ ; \$ $\displaystyle 44 \ ; \$ $\displaystyle 55$

Calculer l'étendue de la série, en kg.

Réponse attendue : 17

Indices, dans l’ordre

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Repère les deux valeurs extrêmes : la liste n'est pas rangée, elles ne sont pas forcément au début et à la fin.

Correction

Les extrêmes — $x_{\max} = 61 \quad ; \quad x_{\min} = 44$
L'étendue — $e = 61 - 44$
$e = 17 \ \text{kg}$

L'étendue mesure l'écart entre les extrêmes : elle dit à quel point la série est dispersée, pas où elle se situe.

Pièges anticipés

3 / -3 → Tu as pris la première et la dernière valeur de la liste. Les extrêmes sont la plus grande et la plus petite valeur, où qu'elles soient.
105 → L'étendue est une différence, pas une somme.

Exercice 65 · base

Le mode d’une série

Nombre de stylos dans la trousse des élèves d'une classe :

Nombre de stylos	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Nombre d'élèves	$5$	$9$	$12$	$7$	$3$

Nombre de stylos	Nombre d'élèves
$0$	$5$
$1$	$9$
$2$	$12$
$3$	$7$
$4$	$3$

Quel est le mode de la série ?

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

Le mode est la valeur de plus grand effectif.
Repère le plus grand effectif dans la seconde ligne, puis lis la valeur qui lui correspond dans la première.

Correction

Le plus grand effectif — $12$
La valeur correspondante — L'effectif $12$ est celui de la valeur $2$ stylos.
$\text{Mode} = 2$

Le mode est une valeur du caractère, lue sur la première ligne ; son effectif, lu sur la seconde, n'est pas le mode.

Pièges anticipés

12 → $12$ est l'effectif le plus grand. Le mode est la valeur qui a cet effectif : un nombre de stylos.

Exercice 66 · base

Le mode d’un caractère qualitatif

On a demandé aux élèves d'un club leur couleur préférée :

Couleur	rouge	bleu	vert	noir
Nombre d'élèves	$7$	$11$	$5$	$9$

Couleur	Nombre d'élèves
rouge	$7$
bleu	$11$
vert	$5$
noir	$9$

Quel est le mode de cette série ?

Réponse attendue : bleu — aussi acceptées : le bleu · la couleur bleue · couleur bleue

Indices, dans l’ordre

Le caractère est qualitatif : ni moyenne ni médiane, mais le mode a un sens.
Cherche la couleur qui a le plus grand effectif.

Correction

Le plus grand effectif — $11$
C'est celui du bleu.
$\text{Mode : bleu}$

Le mode est le seul indicateur de position qui ait un sens pour un caractère qualitatif.

Pièges anticipés

11 → $11$ est l'effectif. Le mode est la couleur qui a cet effectif.

Exercice 67 · pratique

La médiane d’un effectif impair

Temps, en secondes, de $11$ élèves au $50$ mètres :

$\displaystyle 8{,}4 \ ; \$ $\displaystyle 7{,}9 \ ; \$ $\displaystyle 9{,}1 \ ; \$ $\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 8{,}7 \ ; \$ $\displaystyle 7{,}6 \ ; \$ $\displaystyle 9{,}4 \ ; \$ $\displaystyle 8{,}2 \ ; \$ $\displaystyle 8{,}9 \ ; \$ $\displaystyle 7{,}8 \ ; \$ $\displaystyle 8{,}5$

Déterminer la médiane de la série (en secondes, sans l’unité).

Réponse attendue : 8.4

Indices, dans l’ordre

Avant tout, range les 11 temps dans l'ordre croissant.
$N = 11$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N + 1}{2}.$

Correction

Ranger — $7{,}6 \ ; \ 7{,}8 \ ; \ 7{,}9 \ ; \ 8 \ ; \ 8{,}2 \ ; \ 8{,}4 \ ; \ 8{,}5 \ ; \ 8{,}7 \ ; \ 8{,}9 \ ; \ 9{,}1 \ ; \ 9{,}4$
Le rang — $\frac{11 + 1}{2} = 6$
La sixième valeur de la liste rangée est la médiane.
$\text{Médiane} = 8{,}4$

Cinq temps en dessous, cinq au-dessus : la médiane partage l'effectif en deux moitiés. Sans rangement préalable, on aurait lu $7{,}6.$

Pièges anticipés

7.6 → Tu as pris la sixième valeur de la liste telle qu'elle est donnée. Il faut d'abord la ranger dans l'ordre croissant.
6 → $6$ est le rang de la médiane, pas sa valeur. Lis la sixième valeur de la liste rangée.

Exercice 68 · pratique

La médiane d’un effectif pair

Notes de $10$ élèves à un exposé :

$\displaystyle 13 \ ; \$ $\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 11 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 17 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 16$

Déterminer la médiane de la série.

Réponse attendue : 12.5

Indices, dans l’ordre

Range d'abord les notes dans l'ordre croissant.
$N = 10$ est pair : il n'y a pas une valeur centrale, mais deux. Lesquelles ?
La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs $5$ et $6.$

Correction

Ranger — $8 \ ; \ 9 \ ; \ 10 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 13 \ ; \ 14 \ ; \ 15 \ ; \ 16 \ ; \ 17$
Les deux valeurs centrales — Ce sont la cinquième et la sixième : $12$ et $13.$
$\text{Médiane} = \frac{12 + 13}{2}$
$\text{Médiane} = 12{,}5$

Avec un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales ; elle n'est pas forcément une valeur de la série.

Pièges anticipés

13 → Tu as pris les valeurs centrales de la liste non rangée, $9$ et $17.$ Range d'abord la série.
12 → $12$ n'est que la cinquième valeur. Avec $10$ valeurs, la médiane est la moyenne de la cinquième et de la sixième.

Exercice 69 · pratique

La médiane à partir d’un tableau

Nombre de livres empruntés en un mois par les adhérents d'une bibliothèque :

Nombre de livres	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Nombre d'adhérents	$7$	$4$	$6$	$5$	$1$

Nombre de livres	Nombre d'adhérents
$1$	$7$
$2$	$4$
$3$	$6$
$4$	$5$
$5$	$1$

Déterminer la médiane de la série.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Calcule l'effectif total : est-il pair ou impair ? Quel est le rang de la médiane ?
$N = 23$ : la médiane est la valeur de rang $12.$ Calcule les effectifs cumulés croissants pour savoir quelle valeur occupe ce rang.

Correction

Effectif total — $N = 7 + 4 + 6 + 5 + 1 = 23$
Le rang — $\frac{23 + 1}{2} = 12$
Effectifs cumulés — $7 \ ; \ 11 \ ; \ 17 \ ; \ 22 \ ; \ 23$
Les rangs $1$ à $7$ ont la valeur $1,$ les rangs $8$ à $11$ la valeur $2,$ les rangs $12$ à $17$ la valeur $3.$
$\text{Médiane} = 3$

Dans un tableau, la série est déjà rangée : les effectifs cumulés croissants disent directement quelle valeur occupe le rang cherché.

Pièges anticipés

1 → $1$ est le mode, la valeur de plus grand effectif. La médiane est la valeur du milieu de la série rangée.
12 → $12$ est le rang de la médiane. Il faut lire la valeur qui occupe ce rang.

Exercice 70 · pratique

Un ou deux modes ?

Nombre de pièces des appartements d'un immeuble :

Nombre de pièces	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Nombre d'appartements	$3$	$8$	$5$	$8$	$2$	$1$

Nombre de pièces	Nombre d'appartements
$1$	$3$
$2$	$8$
$3$	$5$
$4$	$8$
$5$	$2$
$6$	$1$

La série est-elle unimodale ou bimodale ?

Réponse attendue : bimodale — aussi acceptées : série bimodale

Indices, dans l’ordre

Cherche le plus grand effectif du tableau. Combien de valeurs l'atteignent ?
Le vocabulaire du cours dépend du nombre de modes : un seul mode, la série est unimodale ; sinon, compte combien il y en a.

Correction

Le plus grand effectif — $8$
Il est atteint deux fois : pour $2$ pièces et pour $4$ pièces.
$\text{Série bimodale : modes } 2 \text{ et } 4$

Une série peut avoir plusieurs modes. Deux pics séparés signalent souvent deux groupes différents dans la population.

Pièges anticipés

unimodale → Le plus grand effectif, $8,$ est atteint par deux valeurs : $2$ et $4.$ La série a deux modes.

Exercice 71 · raisonnement

Deux valeurs centrales différentes

Scores obtenus par $20$ joueurs à un jeu de fléchettes :

Score	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$
Nombre de joueurs	$3$	$7$	$4$	$5$	$1$

Score	Nombre de joueurs
$10$	$3$
$12$	$7$
$14$	$4$
$16$	$5$
$18$	$1$

Déterminer la médiane de la série.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

$N = 20$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $10$ et $11.$
Calcule les effectifs cumulés croissants pour trouver la valeur de rang $10$ et celle de rang $11.$ Sont-elles égales ?

Correction

Effectifs cumulés — $3 \ ; \ 10 \ ; \ 14 \ ; \ 19 \ ; \ 20$
Rang 10 — Les rangs $4$ à $10$ ont la valeur $12$ : la dixième valeur est $12.$
Rang 11 — Les rangs $11$ à $14$ ont la valeur $14$ : la onzième valeur est $14.$
$\text{Médiane} = \frac{12 + 14}{2}$
$\text{Médiane} = 13$

Ici les deux valeurs centrales tombent de part et d'autre d'un changement de colonne : la médiane, $13,$ n'est le score d'aucun joueur.

Pièges anticipés

12 → $12$ est la valeur de rang $10.$ Avec $N = 20,$ il faut aussi la valeur de rang $11$ et faire la moyenne des deux.
14 → $14$ est la valeur de rang $11.$ Avec $N = 20,$ il faut aussi la valeur de rang $10$ et faire la moyenne des deux.

Exercice 72 · raisonnement

Moyenne ou médiane ?

Salaires mensuels, en dinars, des six personnes d'une petite entreprise :

$\displaystyle 500 \ ; \$ $\displaystyle 550 \ ; \$ $\displaystyle 600 \ ; \$ $\displaystyle 650 \ ; \$ $\displaystyle 700 \ ; \$ $\displaystyle 3000$

De combien de dinars le salaire moyen dépasse-t-il le salaire médian ?

Réponse attendue : 375

Indices, dans l’ordre

Calcule séparément la moyenne et la médiane des six salaires.
$N = 6$ est pair : la médiane est la moyenne des troisième et quatrième salaires de la liste rangée.

Correction

La moyenne — $\overline{x} = \frac{6000}{6} = 1000$
La médiane — $\frac{600 + 650}{2} = 625$
L'écart — $1000 - 625 = 375$
$375 \ \text{dinars}$

Un seul salaire très élevé tire la moyenne vers le haut, alors que la médiane n'y est pas sensible. Cinq salariés sur six gagnent moins que la moyenne : c'est la médiane qui décrit le mieux cette entreprise.

Pièges anticipés

1000 → $1000$ est le salaire moyen. On demande l'écart entre la moyenne et la médiane.
625 → $625$ est le salaire médian. On demande l'écart entre la moyenne et la médiane.

Exercice 73 · raisonnement

Une valeur cachée par l'étendue

Une série est formée des cinq valeurs $14,$ $9,$ $x,$ $21$ et $12,$ où $x$ est la plus grande des cinq valeurs. L'étendue de la série est $15.$

Déterminer $x.$

Réponse attendue : 24

Indices, dans l’ordre

Quelle est la plus petite valeur de la série ? Et la plus grande ?
L'étendue relie ces deux valeurs. $e = x_{\max} - x_{\min}$

Correction

Les extrêmes — $x_{\max} = x \quad ; \quad x_{\min} = 9$
L'équation — $x - 9 = 15$
$x = 24$
Contrôle — $24$ est bien plus grand que $21,$ et l'étendue vaut $24 - 9 = 15.$
$x = 24$

Avant d'écrire l'étendue, repère les deux extrêmes : ici la plus petite valeur est $9,$ pas $12$ ni $14.$

Pièges anticipés

36 → Tu as ajouté $15$ à $21.$ L'étendue se compte à partir de la plus petite valeur, $9.$
6 → $21 - 15 = 6$ serait la plus petite valeur si $21$ était la plus grande. Or l'énoncé dit que la plus grande est $x.$

Exercice 74 · raisonnement

Une colonne vide

Nombre d'heures de sport par semaine des élèves d'une classe :

Nombre d'heures	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Nombre d'élèves	$0$	$4$	$6$	$5$	$3$	$2$

Nombre d'heures	Nombre d'élèves
$2$	$0$
$3$	$4$
$4$	$6$
$5$	$5$
$6$	$3$
$7$	$2$

Calculer l'étendue de la série.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

Quelle est la plus petite valeur effectivement prise par un élève ? Regarde bien la première colonne.
Une valeur d'effectif $0$ n'est présentée par aucun individu.

Correction

La première colonne — Aucun élève ne fait $2$ heures : la plus petite valeur de la série est $3.$
Les extrêmes — $x_{\min} = 3 \quad ; \quad x_{\max} = 7$
$e = 7 - 3 = 4$

Les extrêmes se lisent parmi les valeurs d'effectif non nul : une colonne vide du tableau ne fait pas partie de la série.

Pièges anticipés

5 → Tu as pris $2$ comme plus petite valeur. Son effectif est $0$ : aucun élève ne fait $2$ heures.

Exercice 75 · defi

Une valeur ajoutée à la série

Une série de $8$ valeurs, rangées dans l'ordre croissant, est :

$\displaystyle 4 \ ; \$ $\displaystyle 6 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 13 \ ; \$ $\displaystyle 15$

On ajoute à cette série la valeur $11.$

Quelle est la médiane de la nouvelle série ?

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Où se place $11$ dans la série rangée ?
La nouvelle série compte $9$ valeurs : son effectif est impair. Quel est le rang de la médiane ?

Correction

La nouvelle série rangée — $4 \ ; \ 6 \ ; \ 7 \ ; \ 9 \ ; \ 10 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 13 \ ; \ 15$
Le rang — $\frac{9 + 1}{2} = 5$
$\text{Médiane} = 10$
Comparaison — L'ancienne médiane était $\dfrac{9 + 10}{2} = 9{,}5$ : la valeur ajoutée, au-dessus du milieu, l'a fait monter.
$\text{Médiane} = 10$

Ajouter une valeur change l'effectif, donc le rang de la médiane : on range à nouveau, puis on recompte.

Pièges anticipés

9.5 → $9{,}5$ est la médiane avant l'ajout. Avec $9$ valeurs, la médiane est la cinquième.
11 → $11$ est la valeur ajoutée, mais elle n'est pas au milieu de la nouvelle série rangée.

Exercice 76 · defi

Quand la moyenne égale la médiane

Cinq valeurs sont rangées dans l'ordre croissant : $8,$ $11,$ $a,$ $15$ et $19,$ avec $11 \le a \le 15.$ On sait que la moyenne de ces cinq valeurs est égale à leur médiane.

Déterminer $a.$

Réponse attendue : 13.25 — aussi acceptées : 53/4

Indices, dans l’ordre

La série est rangée et compte $5$ valeurs : quelle est sa médiane ?
Écris la moyenne en fonction de $a,$ puis traduis l'égalité de l'énoncé par une équation.
L'équation à résoudre : $\frac{8 + 11 + a + 15 + 19}{5} = a$

Correction

La médiane — La série est rangée et $N = 5$ : la médiane est la troisième valeur, $a.$
L'équation — $\frac{53 + a}{5} = a$
$53 + a = 5a \ \Rightarrow \ 4a = 53$
$a = \frac{53}{4} = 13{,}25$
Contrôle — $13{,}25$ est bien compris entre $11$ et $15$ : la série reste rangée.
$a = 13{,}25$

La médiane d'une série rangée se lit par sa position : ici, c'est l'inconnue elle-même, ce qui donne l'équation.

Pièges anticipés

10.6 → Tu as divisé $53$ par $5$ en oubliant $a$ dans la somme des valeurs.

Exercice 77 · base

Le centre d’une classe de tailles

Les tailles des élèves d'une classe ont été regroupées en classes d'amplitude $15$ cm. L'une d'elles a pour borne inférieure $120$ cm.

Donner le centre de cette classe, en cm.

Réponse attendue : 127.5

Indices, dans l’ordre

Quelle est la borne supérieure de cette classe ? Écris la classe avec ses crochets.
Le centre d’une classe est le milieu de ses deux extrémités : une demi-somme.

Correction

La classe — La borne supérieure est la borne inférieure plus l’amplitude. $120 + 15 = 135 \quad : \quad [120\,;135[$
Le centre — $c = \frac{120 + 135}{2} = \frac{255}{2}$
$c = 127{,}5 \ \text{cm}$

Le centre est à une demi-amplitude de la borne inférieure : $120 + 7{,}5.$ La borne $135$ est exclue de la classe, mais elle sert au calcul du centre.

Pièges anticipés

255 → Tu as additionné les deux bornes sans diviser par $2.$ Un milieu est une demi-somme.
7.5 → $7{,}5$ est la moitié de la largeur de la classe. Le centre est à $7{,}5$ cm de la borne inférieure : il faut l'ajouter à $120.$
135 → $135$ est la borne supérieure de la classe. Le centre est au milieu, entre $120$ et $135.$

Exercice 78 · base

La classe modale

Temps d'attente, en minutes, de $40$ clients à un guichet :

Temps d'attente (min)	$[0\,;4[$	$[4\,;8[$	$[8\,;12[$	$[12\,;16[$	$[16\,;20[$
Nombre de clients	$3$	$8$	$14$	$10$	$5$

Temps d'attente (min)	Nombre de clients
$[0\,;4[$	$3$
$[4\,;8[$	$8$
$[8\,;12[$	$14$
$[12\,;16[$	$10$
$[16\,;20[$	$5$

Quelle est la classe modale de la série ?

Réponse attendue : [8;12[

Indices, dans l’ordre

Dans une série regroupée par classes, le mode n'est plus une valeur : c'est une classe.
Cherche la classe dont l'effectif est le plus élevé, et écris-la avec ses crochets.

Correction

Le plus grand effectif — $14$
C'est l'effectif de la classe $[8\,;12[.$
$\text{Classe modale} : [8\,;12[$

Le mode d'une série regroupée est une classe, qu'on écrit avec ses crochets ; ni son effectif, ni son centre.

Pièges anticipés

14 → $14$ est l'effectif de la classe modale. Le mode est la classe elle-même, un intervalle de temps.
10 → $10$ est le centre de la classe modale. Dans une série regroupée, le mode est la classe entière.
[8;12] → La classe s'écrit comme dans le tableau : la borne $12$ est exclue, le crochet de droite est tourné vers l'extérieur.

Exercice 79 · base

Moins de vingt ans

Âges des adhérents d'un club de natation :

Âge (ans)	Nombre d'adhérents
$[10\,;15[$	$12$
$[15\,;20[$	$18$
$[20\,;25[$	$9$
$[25\,;30[$	$6$

Combien d'adhérents ont moins de $20$ ans ?

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

Quelles classes ne contiennent que des âges inférieurs à $20$ ?
La classe $[15\,;20[$ exclut $20$ : elle est entièrement « en dessous de $20$ ».

Correction

Les classes concernées — $[10\,;15[ \quad \text{et} \quad [15\,;20[$
$12 + 18 = 30$
$30 \ \text{adhérents}$

Le crochet ouvert à droite dit que la borne supérieure n'appartient pas à la classe : « moins de $20$ » s'arrête exactement au bout de $[15\,;20[.$

Pièges anticipés

18 → Tu n'as pris que la classe $[15\,;20[.$ Les adhérents de $[10\,;15[$ ont aussi moins de $20$ ans.

Exercice 80 · pratique

La masse moyenne d’un colis

Masses, en kg, de $50$ colis déposés dans un bureau de poste :

Masse (kg)	Nombre de colis
$[0\,;2[$	$9$
$[2\,;4[$	$16$
$[4\,;6[$	$15$
$[6\,;8[$	$10$

Calculer la masse moyenne d’un colis, en kg.

Réponse attendue : 4.04

Indices, dans l’ordre

On ne connaît pas la masse de chaque colis. Par quelle valeur représente-t-on chaque classe ?
Chaque classe est représentée par son centre. Calcule les quatre centres, puis une moyenne pondérée par les effectifs.

Correction

Les centres — $1 \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad 7$
Somme pondérée — $9 \times 1 + 16 \times 3 + 15 \times 5 + 10 \times 7 = 9 + 48 + 75 + 70 = 202$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{202}{50}$
$\overline{x} = 4{,}04 \ \text{kg}$

Avec des classes, la moyenne est une valeur approchée : on fait comme si tous les colis d'une classe pesaient le centre de cette classe.

Pièges anticipés

4 → Tu as fait la moyenne des quatre centres sans les effectifs. Les classes n'ont pas le même nombre de colis.
3.04 → Tu as utilisé les bornes inférieures. Chaque classe est représentée par son centre.
202 → $202$ est la somme pondérée. Il reste à la diviser par $50.$

Exercice 81 · pratique

Moyenne par classes et fréquences

Âges des spectateurs d'une séance de cinéma :

Âge (ans)	Fréquence
$[10\,;20[$	$0{,}15$
$[20\,;30[$	$0{,}4$
$[30\,;40[$	$0{,}3$
$[40\,;50[$	$0{,}15$

Calculer l’âge moyen d’un spectateur (en années, sans l’unité).

Réponse attendue : 29.5

Indices, dans l’ordre

Commence par les centres des quatre classes.
Multiplie chaque centre par la fréquence de sa classe, puis additionne. $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i}$

Correction

Les centres — $15 \quad ; \quad 25 \quad ; \quad 35 \quad ; \quad 45$
La formule — $\overline{x} = 15 \times 0{,}15 + 25 \times 0{,}4 + 35 \times 0{,}3 + 45 \times 0{,}15$
$\overline{x} = 2{,}25 + 10 + 10{,}5 + 6{,}75$
$\overline{x} = 29{,}5$

C'est la formule du cours pour une série regroupée : $\overline{x} = \sum c_{i} \times f_{i},$ sans division puisque les fréquences l'ont déjà faite.

Pièges anticipés

30 → Tu as fait la moyenne des centres sans les fréquences. La classe $[20\,;30[$ est la plus représentée : elle pèse davantage.
24.5 → Tu as utilisé les bornes inférieures. Chaque classe est représentée par son centre.

Exercice 82 · pratique

Au moins douze minutes

Même série des temps d'attente des $40$ clients :

Temps d'attente (min)	Nombre de clients
$[0\,;4[$	$3$
$[4\,;8[$	$8$
$[8\,;12[$	$14$
$[12\,;16[$	$10$
$[16\,;20[$	$5$

Quel est le pourcentage de clients qui ont attendu au moins $12$ minutes ?

Réponse attendue : 37.5

Indices, dans l’ordre

La borne $12$ appartient à la classe $[12\,;16[.$ Quelles classes contiennent des attentes d'au moins $12$ minutes ?
Additionne leurs effectifs, puis rapporte à l'effectif total.

Correction

Les classes concernées — $[12\,;16[ \quad \text{et} \quad [16\,;20[$
L'effectif — $10 + 5 = 15$
La fréquence — $\frac{15}{40} = 0{,}375$
$37{,}5\,\%$

La borne inférieure d'une classe lui appartient : « au moins $12$ » commence exactement avec la classe $[12\,;16[.$

Pièges anticipés

25 → Tu n'as pris que la classe $[12\,;16[.$ La classe $[16\,;20[$ contient aussi des attentes d'au moins $12$ minutes.
0.375 → $0{,}375$ est la fréquence ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 83 · pratique

Une fréquence cumulée par classes

Distance, en km, entre le domicile et le lieu de travail de $80$ salariés :

Distance (km)	Nombre de salariés
$[0\,;10[$	$14$
$[10\,;20[$	$22$
$[20\,;30[$	$28$
$[30\,;40[$	$16$

Quel est le pourcentage de salariés qui habitent à moins de $20$ km de leur travail ?

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

« Moins de $20$ km » regroupe les deux premières classes.
Calcule la fréquence cumulée croissante au bout de la classe $[10\,;20[,$ puis passe en pourcentage.

Correction

Effectif cumulé — $14 + 22 = 36$
Fréquence cumulée — $\frac{36}{80} = 0{,}45$
$45\,\%$

La fréquence cumulée croissante lue au bout d'une classe donne la part des individus situés avant cette borne : c'est le point $(20\,;0{,}45)$ de la courbe des fréquences cumulées.

Pièges anticipés

27.5 → $27{,}5\,\%$ est la part de la seule classe $[10\,;20[.$ « Moins de $20$ km » inclut aussi la classe $[0\,;10[.$
0.45 → $0{,}45$ est la fréquence cumulée ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 84 · raisonnement

Regrouper en classes

Durées, en minutes, du trajet de $20$ élèves pour venir au lycée :

$\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 8 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 19 \ ; \$ $\displaystyle 11 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 7 \ ; \$ $\displaystyle 13 \ ; \$ $\displaystyle 10 \ ; \$ $\displaystyle 16 \ ; \$ $\displaystyle 15 \ ; \$ $\displaystyle 9 \ ; \$ $\displaystyle 12 \ ; \$ $\displaystyle 18 \ ; \$ $\displaystyle 14 \ ; \$ $\displaystyle 11 \ ; \$ $\displaystyle 20 \ ; \$ $\displaystyle 13$

On veut regrouper ces durées en classes d'amplitude $5$ : $[5\,;10[,$ $[10\,;15[,$ $[15\,;20[,$ $[20\,;25[.$

Quel est l'effectif de la classe $[10\,;15[$ ?

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

La classe $[10\,;15[$ contient les durées $x$ telles que $10 \le x < 15.$
Attention aux valeurs égales aux bornes : un élève qui met $10$ minutes est dans cette classe ; un élève qui met $15$ minutes n'y est pas.

Correction

La condition — $10 \le x < 15$
Les durées retenues — $10 \ ; \ 10 \ ; \ 11 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 12 \ ; \ 13 \ ; \ 13 \ ; \ 14 \ ; \ 14$
Les bornes — Les deux durées égales à $10$ sont comptées ; les trois durées égales à $15$ vont dans la classe suivante.
$10 \ \text{élèves}$

Chaque valeur appartient à une seule classe : celle dont elle est la borne inférieure. C'est ce que disent les crochets $[\ ;\$ $[$ .

Pièges anticipés

13 → Tu as compté les durées égales à $15.$ La borne $15$ est exclue de $[10\,;15[$ : ces élèves sont dans la classe $[15\,;20[.$
8 → Tu as oublié les durées égales à $10.$ La borne $10$ appartient à la classe $[10\,;15[.$

Exercice 85 · raisonnement

Une médiane sur une borne

Masses, en kg, de $30$ sportifs d'un club :

Masse (kg)	Nombre de sportifs
$[40\,;50[$	$6$
$[50\,;60[$	$9$
$[60\,;70[$	$10$
$[70\,;80[$	$5$

Déterminer la médiane, c'est-à-dire l'abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes dont l'ordonnée vaut $0{,}5.$

Donner la médiane, en kg.

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

Calcule les fréquences cumulées croissantes, chacune lue au bout de sa classe.
Où la fréquence cumulée atteint-elle exactement $0{,}5$ ?

Correction

Les fréquences — $\frac{6}{30} = 0{,}2 \;;\; \frac{9}{30} = 0{,}3 \;;\; \frac{10}{30} \;;\; \frac{5}{30}$
On cumule — $0{,}2 \text{ en } 50 \;;\; 0{,}5 \text{ en } 60 \;;\; \dots \;;\; 1 \text{ en } 80$
L'ordonnée 0,5 — Elle est atteinte exactement à l'abscisse $60,$ au bout de la classe $[50\,;60[.$
$\text{Médiane} = 60 \ \text{kg}$

Quand la fréquence cumulée tombe pile sur $0{,}5$ au bout d'une classe, la médiane est cette borne : la moitié des sportifs pèse moins de $60$ kg.

Pièges anticipés

65 → $65$ est le centre de la classe modale. Le mode et la médiane sont deux paramètres différents.
15 → $15$ est la moitié de l'effectif. La médiane est une masse, lue en abscisse.

Exercice 86 · raisonnement

La classe qui contient la médiane

Durée, en heures, passée devant un écran le week-end par $50$ adolescents :

Durée (h)	Nombre d'adolescents
$[0\,;5[$	$13$
$[5\,;10[$	$10$
$[10\,;15[$	$9$
$[15\,;20[$	$15$
$[20\,;25[$	$3$

Dans quelle classe se trouve la médiane ?

Réponse attendue : [10;15[

Indices, dans l’ordre

La médiane correspond à une fréquence cumulée de $0{,}5,$ soit ici un effectif cumulé de $25.$
Calcule les effectifs cumulés croissants : entre quelles bornes passe-t-on de moins de $25$ à plus de $25$ ?

Correction

La moitié de l’effectif — $\frac{50}{2} = 25$
Effectifs cumulés — $13 \ ; \ 23 \ ; \ 32 \ ; \ 47 \ ; \ 50$
On a $23$ adolescents en dessous de $10$ h et $32$ en dessous de $15$ h : la moitié est atteinte dans la classe $[10\,;15[.$
$\text{La médiane est dans } [10\,;15[$

La classe de la médiane n'est pas forcément la classe modale : ici, la classe la plus peuplée est $[15\,;20[,$ mais la moitié des adolescents est atteinte avant.

Pièges anticipés

[15;20[ → $[15\,;20[$ est la classe modale, celle du plus grand effectif. La médiane se cherche avec les effectifs cumulés.
[5;10[ → Au bout de $[5\,;10[,$ on n'a que $23$ adolescents : la moitié, $25,$ n'est pas encore atteinte.

Exercice 87 · raisonnement

Retrouver une classe par son centre

Une série est regroupée en classes d'amplitude $5.$ L'une des classes, $[a\,;a+5[,$ a pour centre $23{,}5.$

Déterminer $a.$

Réponse attendue : 21

Indices, dans l’ordre

Écris le centre de la classe en fonction de $a.$ $c = \frac{a + (a + 5)}{2}$
Le centre est à mi-chemin : il se trouve à une demi-amplitude de chaque borne.

Correction

Le centre — $\frac{a + a + 5}{2} = a + 2{,}5$
L'équation — $a + 2{,}5 = 23{,}5$
$a = 21$
Contrôle — $[21\,;26[ \ : \ \frac{21 + 26}{2} = 23{,}5 \quad \checkmark$
$a = 21$

Le centre d'une classe d'amplitude $h$ est sa borne inférieure plus $\dfrac{h}{2}.$

Pièges anticipés

26 → $26$ est la borne supérieure $a + 5.$ On demande la borne inférieure $a.$
18.5 → Tu as retiré l'amplitude entière. Le centre n'est qu'à une demi-amplitude de la borne inférieure.

Exercice 88 · raisonnement

Entre deux points de la courbe

Sur la courbe des fréquences cumulées croissantes d'une série regroupée par classes, on lit le point $(20\,;0{,}35)$ et le point $(50\,;0{,}9).$

Quel est le pourcentage des individus dont la valeur est comprise entre $20$ et $50$ ?

Réponse attendue : 55

Indices, dans l’ordre

Que signifie le point $(20\,;0{,}35)$ ? Quelle part des individus a une valeur inférieure à $20$ ?
Les individus entre $20$ et $50$ sont ceux qui sont en dessous de $50,$ sans ceux qui sont en dessous de $20.$

Correction

Lecture — $35\,\%$ des individus ont une valeur inférieure à $20,$ et $90\,\%$ une valeur inférieure à $50.$
La différence — $0{,}9 - 0{,}35 = 0{,}55$
$55\,\%$

La part comprise entre deux valeurs est la différence de leurs fréquences cumulées.

Pièges anticipés

125 → Tu as additionné les deux fréquences cumulées : un pourcentage de $125\,\%$ est impossible. Il faut les soustraire.
0.55 → $0{,}55$ est la fréquence ; la question la demande en pourcentage.

Exercice 89 · defi

Un effectif à retrouver

Une série est regroupée en trois classes ; on connaît sa moyenne, $17.$

Classe	Effectif
$[0\,;10[$	$5$
$[10\,;20[$	$n$
$[20\,;30[$	$10$

Déterminer $n.$

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Chaque classe est représentée par son centre : $5,$ $15$ et $25.$
Écris la moyenne pondérée en fonction de $n$ et égale-la à $17.$ $\frac{5 \times 5 + 15n + 25 \times 10}{15 + n} = 17$

Correction

L'équation — $\frac{275 + 15n}{15 + n} = 17$
$275 + 15n = 255 + 17n$
$20 = 2n$
$n = 10$
Contrôle — $\frac{25 + 150 + 250}{25} = \frac{425}{25} = 17 \quad \checkmark$
$n = 10$

Comme pour une série discrète, un effectif inconnu transforme la moyenne en équation ; seuls les centres remplacent les valeurs.

Pièges anticipés

25 → $25$ est l'effectif total $15 + n.$ On demande $n.$

Exercice 90 · defi

Lire la médiane entre deux bornes

Temps quotidien, en minutes, passé au téléphone par $40$ personnes :

Temps (min)	Nombre de personnes
$[0\,;10[$	$8$
$[10\,;20[$	$20$
$[20\,;30[$	$8$
$[30\,;40[$	$4$

La courbe des fréquences cumulées croissantes est formée de segments qui joignent les points $(0\,;0),$ $(10\,;0{,}2),$ $(20\,;0{,}7),$ $(30\,;0{,}9)$ et $(40\,;1).$ La médiane est l’abscisse du point de cette courbe dont l’ordonnée vaut $0{,}5.$

Déterminer la médiane, en minutes.

Réponse attendue : 16

Indices, dans l’ordre

Entre quels deux points de la courbe l'ordonnée passe-t-elle par $0{,}5$ ?
Entre $(10\,;0{,}2)$ et $(20\,;0{,}7),$ la courbe est un segment : l’ordonnée $0{,}5$ est à quelle fraction du chemin entre $0{,}2$ et $0{,}7$ ?
Reporte cette même fraction sur les abscisses, entre $10$ et $20.$

Correction

Le segment utile — L’ordonnée $0{,}5$ est comprise entre $0{,}2$ et $0{,}7.$ $(10\,;0{,}2) \ \text{et} \ (20\,;0{,}7)$
La position de 0,5 — $\frac{0{,}5 - 0{,}2}{0{,}7 - 0{,}2} = \frac{0{,}3}{0{,}5} = \frac{3}{5}$
L’ordonnée a parcouru les $\dfrac{3}{5}$ du segment : l’abscisse avance des $\dfrac{3}{5}$ de la classe, qui mesure $10.$ $10 + \frac{3}{5} \times 10 = 16$
$\text{Médiane} = 16 \ \text{min}$

Sur un segment de la courbe, ordonnées et abscisses avancent dans la même proportion : c'est ce qui permet de lire la médiane à l'intérieur d'une classe.

Pièges anticipés

20 → $20$ est la borne où la fréquence cumulée vaut $0{,}7,$ pas $0{,}5.$ La médiane est à l’intérieur de la classe $[10\,;20[.$
10 → À l’abscisse $10,$ la fréquence cumulée n’est que $0{,}2.$ Il faut avancer sur le segment jusqu’à l’ordonnée $0{,}5.$
15 → $15$ est le centre de la classe $[10\,;20[$ ; à cette abscisse, la courbe n’est qu’à $0{,}45.$ La médiane se lit à l’ordonnée $0{,}5,$ pas au milieu de la classe.

Exercice 91 · base

Un coefficient multiplicateur

Une bibliothèque comptait $250$ abonnés en $2019$ et en compte $300$ en $2024.$

Calculer le coefficient multiplicateur qui permet de passer de $2019$ à $2024.$

Réponse attendue : 1.2

Indices, dans l’ordre

Le coefficient multiplicateur est le quotient de la valeur d'arrivée par la valeur de départ.
L'année de départ, $2019,$ va au dénominateur.

Correction

La définition — $C = \frac{\text{valeur en } 2024}{\text{valeur en } 2019}$
$C = \frac{300}{250}$
$C = 1{,}2$
Contrôle — $250 \times 1{,}2 = 300 \quad \checkmark$
$C = 1{,}2$

Un coefficient supérieur à $1$ dit une hausse : $1{,}2,$ c'est une hausse de $20\,\%.$

Pièges anticipés

5/6 → Tu as divisé $250$ par $300.$ L'année de départ, $2019,$ va au dénominateur ; ton résultat décrirait une baisse.
50 → $50$ est l'augmentation du nombre d'abonnés. Le coefficient multiplicateur est un quotient.
120 → $120$ est l'indice base $100.$ Le coefficient multiplicateur est cent fois plus petit.

Exercice 92 · pratique

L'indice d'une année passée

Prix trimestriel d'un abonnement de transport :

Année	Prix (dinars)
$2021$	$72$
$2023$	$80$
$2025$	$94$

Calculer l'indice de l'année $2021,$ base $100$ en $2023.$

Donner l'indice, sans unité.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

« Base $100$ en $2023$ » : quelle année est la référence ? Sa valeur va au dénominateur, même si elle n’est pas la plus ancienne.
L'indice est le quotient des deux valeurs, multiplié par $100.$ $I = \frac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année } b} \times 100$

Correction

L'année de référence — C’est $2023$ : sa valeur, $80,$ va au dénominateur. Le prix de $2025$ ne sert pas.
$I = \frac{72}{80} \times 100$
$I = 0{,}9 \times 100 = 90$

L’année de base n’est pas forcément la première : un indice de $90$ dit qu’en $2021$ le prix était inférieur de $10\,\%$ à celui de $2023.$

Pièges anticipés

1000/9 / 111.1 / 111.11 → Tu as mis $72$ au dénominateur. L’année de référence est $2023$ : sa valeur, $80,$ va en bas.
0.9 → $0{,}9$ est le coefficient multiplicateur (ou l’indice suivi du signe $\%$ ). L’indice est ce coefficient multiplié par $100,$ et il s’écrit sans $\%.$
117.5 → $117{,}5$ est l’indice de $2025,$ base $100$ en $2023.$ On demande celui de $2021.$

Exercice 93 · base

Lire un indice

L'indice du prix de l'huile d'olive en $2024,$ base $100$ en $2018,$ vaut $137.$

De quel pourcentage le prix a-t-il augmenté entre $2018$ et $2024$ ?

Réponse attendue : 37

Indices, dans l’ordre

L'année de référence a l'indice $100.$ À quoi faut-il comparer $137$ ?
La hausse en pourcentage est l'écart entre l'indice et $100.$

Correction

La comparaison — $137 - 100 = 37$
Le prix de $2024$ représente $137\,\%$ du prix de $2018$ : il a gagné $37\,\%.$
$37\,\%$

Un indice se compare à $100,$ jamais à $0$ : un indice de $137$ dit une hausse de $37\,\%,$ pas de $137\,\%.$

Pièges anticipés

137 → $137$ est l'indice. Il se compare à $100$ : la hausse est l'écart entre les deux.
1.37 → $1{,}37$ est le coefficient multiplicateur. La question demande la hausse en pourcentage.

Exercice 94 · base

Du coefficient à l'indice

Entre $2015$ et $2023,$ le nombre de naissances dans une région a été multiplié par $0{,}92.$

Calculer l'indice de $2023,$ base $100$ en $2015.$

Réponse attendue : 92

Indices, dans l’ordre

Une seule relation lie l’indice et le coefficient multiplicateur. $I = C \times 100$
Le coefficient fait passer de $2015$ à $2023$ : c’est exactement le quotient qui sert à calculer l’indice.

Correction

La relation — $I = C \times 100$
$I = 0{,}92 \times 100$
$I = 92$

Un coefficient inférieur à $1$ donne un indice inférieur à $100$ : $92,$ c’est une baisse de $8\,\%.$

Pièges anticipés

0.92 → $0{,}92$ est le coefficient lui-même (ou l’indice suivi du signe $\%$ ). L’indice est ce coefficient multiplié par $100,$ et il s’écrit sans $\%.$
8 / -8 → $8\,\%$ est la baisse. On demande l’indice, qui se compare à $100.$
108 → $108$ dirait une hausse. Un coefficient inférieur à $1$ dit une baisse : l’indice est inférieur à $100.$

Exercice 95 · pratique

Un indice inférieur à 100

L'indice du nombre de spectateurs d'un festival en $2024,$ base $100$ en $2022,$ vaut $88.$

De quel pourcentage le nombre de spectateurs a-t-il baissé entre $2022$ et $2024$ ?

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

Un indice inférieur à $100$ : hausse ou baisse ?
L'écart entre l'indice et $100$ donne la variation en pourcentage.

Correction

Le sens — L'indice est inférieur à $100$ : il y a eu une baisse. $88 < 100$
L'écart — $100 - 88 = 12$
$12\,\%$

Au-dessus de $100,$ l'indice dit une hausse ; en dessous, une baisse. Dans les deux cas, l'écart à $100$ donne le pourcentage.

Pièges anticipés

88 → $88$ est l'indice : les spectateurs de $2024$ représentent $88\,\%$ de ceux de $2022.$ La baisse est l'écart à $100.$
0.88 → $0{,}88$ est le coefficient multiplicateur. On demande la baisse en pourcentage.

Exercice 96 · pratique

Retrouver une valeur grâce à l'indice

Le chiffre d'affaires mensuel d'une boulangerie était de $2400$ dinars en $2018.$ L'indice de $2023,$ base $100$ en $2018,$ vaut $108.$

Calculer le chiffre d’affaires mensuel de $2023,$ en dinars.

Réponse attendue : 2592

Indices, dans l’ordre

Transforme d'abord l'indice en coefficient multiplicateur.
Le coefficient fait passer de la valeur de $2018$ à celle de $2023$ : multiplie.

Correction

Le coefficient — $C = \frac{108}{100} = 1{,}08$
La valeur de 2023 — $2400 \times 1{,}08$
$2592 \ \text{dinars}$

L'indice divisé par $100$ donne le coefficient, et le coefficient s'applique à la valeur de l'année de référence.

Pièges anticipés

2508 → Tu as ajouté $108$ dinars. L'indice n'est pas une somme d'argent : il donne un coefficient, $1{,}08,$ à appliquer.
192 → $192$ dinars est la hausse. On demande le chiffre d'affaires de $2023,$ hausse comprise.

Exercice 97 · pratique

Remonter à l'année de base

En $2024,$ une coopérative a produit $3500$ tonnes de dattes. L'indice de $2024,$ base $100$ en $2019,$ vaut $125.$

Quelle était la production de $2019,$ en tonnes ?

Réponse attendue : 2800

Indices, dans l’ordre

Le coefficient multiplicateur fait passer de $2019$ à $2024.$ Que vaut-il ?
Pour remonter de $2024$ à $2019,$ on fait l'opération inverse de la multiplication.

Correction

Le coefficient — $C = \frac{125}{100} = 1{,}25$
La relation — $V_{2019} \times 1{,}25 = 3500$
$V_{2019} = \frac{3500}{1{,}25} = 2800$
$2800 \ \text{tonnes}$

Pour aller vers l'année de base, on divise par le coefficient ; multiplier ferait encore avancer d'une hausse.

Pièges anticipés

4375 → Tu as multiplié par $1{,}25.$ La production de $2019$ est plus petite que celle de $2024$ : il faut diviser.
2625 → Tu as retiré $25\,\%$ de $3500.$ Mais les $25\,\%$ ont été calculés sur la production de $2019,$ pas sur celle de $2024.$

Exercice 98 · pratique

Un indice à arrondir

Le nombre d'élèves inscrits dans un club de robotique est passé de $64$ en $2022$ à $71$ en $2025.$

Calculer l'indice de $2025,$ base $100$ en $2022,$ arrondi au dixième.

Réponse attendue : 110.9

Indices, dans l’ordre

L'année de référence est $2022$ : sa valeur va au dénominateur.
Le quotient ne tombe pas juste : calcule-le avec assez de décimales, puis arrondis au dixième.

Correction

Le calcul — $I = \frac{71}{64} \times 100 = 110{,}9375$
L'arrondi — Le chiffre des centièmes est $3,$ inférieur à $5$ : on garde $110{,}9.$
$I \approx 110{,}9$

L'indice arrondi se lit encore d'un coup : environ $10{,}9\,\%$ d'inscrits en plus en trois ans.

Pièges anticipés

90.1 → Tu as mis $71$ au dénominateur. L'année de référence est $2022$ : c'est $64$ qui va en bas.
111 → Tu as arrondi à l'unité. La consigne demande le dixième.
1.109 → Tu as donné le coefficient multiplicateur (ou l’indice suivi du signe $\%$ ). L’indice est ce coefficient multiplié par $100,$ et il s’écrit sans $\%.$

Exercice 99 · raisonnement

Changer d’année de base

Les indices du prix d'un produit, base $100$ en $2015,$ valent $120$ en $2020$ et $150$ en $2024.$

Calculer l'indice de $2024,$ base $100$ en $2020.$

Réponse attendue : 125

Indices, dans l’ordre

Les indices sont proportionnels aux prix : on peut les utiliser comme s'ils étaient les prix eux-mêmes.
La nouvelle année de référence est $2020$ : son indice, $120,$ va au dénominateur.

Correction

Les indices comme valeurs — Si le prix de $2015$ vaut $100,$ celui de $2020$ vaut $120$ et celui de $2024$ vaut $150.$
Nouvelle base 2020 — $I = \frac{150}{120} \times 100$
$I = 1{,}25 \times 100 = 125$

Les indices ne se soustraient pas : $150 - 120 = 30$ points ne fait pas $30\,\%.$ Changer de base, c'est diviser par l'indice de la nouvelle année de référence.

Pièges anticipés

130 → Tu as soustrait les indices : $150 - 120 = 30,$ puis ajouté $100.$ Une hausse de $30$ points sur une base de $120$ n'est pas une hausse de $30\,\%.$
180 → Tu as multiplié les indices. Pour changer de base, on divise par l'indice de la nouvelle année de référence.
1.25 → $1{,}25$ est le coefficient multiplicateur de $2020$ à $2024$ (ou l’indice suivi du signe $\%$ ). L’indice est ce coefficient multiplié par $100,$ et il s’écrit sans $\%.$

Exercice 100 · raisonnement

Deux coefficients bout à bout

La population d'une ville a été multipliée par $1{,}2$ entre $2010$ et $2015,$ puis par $1{,}1$ entre $2015$ et $2020.$

Calculer le coefficient multiplicateur qui permet de passer de $2010$ à $2020.$

Réponse attendue : 1.32

Indices, dans l’ordre

Appelle $P$ la population de $2010.$ Que vaut-elle en $2015$ ? Puis en $2020$ ?
Deux multiplications successives se ramènent à une seule : laquelle ?

Correction

En 2015 — $P \times 1{,}2$
En 2020 — $(P \times 1{,}2) \times 1{,}1 = P \times 1{,}32$
$C = 1{,}32$

Les coefficients successifs se multiplient. Une hausse de $20\,\%$ puis de $10\,\%$ fait $32\,\%,$ pas $30\,\%$ : la seconde hausse porte aussi sur la première.

Pièges anticipés

1.3 → Tu as additionné les hausses, $20\,\%$ et $10\,\%.$ La seconde s'applique à une population déjà augmentée : les coefficients se multiplient.
2.3 → Les coefficients successifs ne s'additionnent pas, ils se multiplient.

Exercice 101 · raisonnement

Une hausse puis une baisse

Le prix d'un téléphone augmente de $20\,\%$ entre $2022$ et $2023,$ puis baisse de $20\,\%$ entre $2023$ et $2024.$

Calculer l'indice du prix en $2024,$ base $100$ en $2022.$

Réponse attendue : 96

Indices, dans l’ordre

Traduis chaque variation par un coefficient multiplicateur.
Une hausse de $20\,\%$ multiplie par $1{,}2$ ; une baisse de $20\,\%$ multiplie par $0{,}8.$ Enchaîne les deux.

Correction

Les coefficients — $1{,}2 \quad \text{puis} \quad 0{,}8$
De 2022 à 2024 — $C = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$
L'indice — $I = 0{,}96 \times 100 = 96$

Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne ramènent pas au prix de départ : la baisse porte sur un prix déjà augmenté.

Pièges anticipés

100 → La baisse de $20\,\%$ s'applique au prix de $2023,$ plus élevé que celui de $2022$ : on ne revient pas à $100.$
0.96 → $0{,}96$ est le coefficient multiplicateur (ou l’indice suivi du signe $\%$ ). L’indice est ce coefficient multiplié par $100,$ et il s’écrit sans $\%.$

Exercice 102 · defi

Comparer deux évolutions

Entre $2020$ et $2024,$ le nombre d'abonnés d'un club A est passé de $60$ à $75,$ et celui d'un club B de $150$ à $180.$

De combien de points l’indice de $2024$ du club A, base $100$ en $2020,$ dépasse-t-il celui du club B ?

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Le club B a gagné plus d'abonnés, mais il partait de plus haut : les gains bruts ne se comparent pas.
Calcule l'indice de chaque club en $2024,$ base $100$ en $2020.$

Correction

Club A — $I_{A} = \frac{75}{60} \times 100 = 125$
Club B — $I_{B} = \frac{180}{150} \times 100 = 120$
L'écart — $125 - 120 = 5$

Le club B a gagné $30$ abonnés et le club A seulement $15,$ mais en proportion c'est A qui a le plus progressé. Les indices servent justement à comparer des séries de tailles différentes.

Pièges anticipés

15 / -15 → Tu as comparé les nombres d'abonnés gagnés. Les deux clubs n'ont pas la même taille : il faut comparer les indices.
125 → $125$ est l'indice du club A. On demande l'écart avec celui du club B.

Exercice 103 · defi

Quand l’indice dépasse 110

Nombre de visiteurs, en milliers, d'un musée :

Année	Visiteurs (milliers)
$2019$	$480$
$2020$	$500$
$2021$	$516$
$2022$	$540$
$2023$	$552$

Calculer les indices base $100$ en $2019$ : en quelle année l’indice dépasse-t-il $110$ pour la première fois ?

Réponse attendue : 2022

Indices, dans l’ordre

L'indice de chaque année est $\dfrac{\text{valeur de l'année}}{480} \times 100.$
Plutôt que de tout calculer : quel nombre de visiteurs correspond exactement à l'indice $110$ ?

Correction

Le seuil — Un indice de $110$ correspond à $528$ milliers de visiteurs. $480 \times 1{,}1 = 528$
Les indices — $2020 : 104{,}2 \ ; \ 2021 : 107{,}5 \ ; \ 2022 : 112{,}5 \ ; \ 2023 : 115$
Le seuil de $528$ milliers est franchi pour la première fois en $2022,$ avec $540$ milliers.
$\text{Année } 2022$

Transformer l'indice cherché en valeur seuil évite tous les calculs inutiles : on compare directement les valeurs à $528.$

Pièges anticipés

2021 → En $2021,$ l'indice vaut $\dfrac{516}{480} \times 100 = 107{,}5$ : il n'a pas encore dépassé $110.$
2023 → En $2023,$ l'indice dépasse bien $110,$ mais il l'avait déjà dépassé l'année précédente.

Exercice 104 · defi

Rattraper une baisse

La production d'une usine a baissé de $20\,\%$ entre $2022$ et $2023.$ La direction veut, entre $2023$ et $2024,$ retrouver exactement la production de $2022.$

De quel pourcentage la production doit-elle augmenter entre $2023$ et $2024$ ?

Réponse attendue : 25

Indices, dans l’ordre

Traduis la baisse de $20\,\%$ par un coefficient multiplicateur.
Cherche le coefficient $C$ tel que $0{,}8 \times C = 1$ : c'est lui qui ramène à la production de départ.

Correction

La baisse — $C_{1} = 0{,}8$
Le retour — $0{,}8 \times C_{2} = 1 \ \Rightarrow \ C_{2} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25$
En pourcentage — $1{,}25 = 1 + 0{,}25$
$25\,\%$

Pour effacer une baisse de $20\,\%,$ il faut une hausse de $25\,\%$ : la hausse se calcule sur une production déjà diminuée, donc plus petite.

Pièges anticipés

20 → Une hausse de $20\,\%$ ne suffit pas : $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96.$ Elle porte sur une production déjà diminuée.
1.25 → $1{,}25$ est le coefficient multiplicateur. On demande la hausse en pourcentage.