Rapports trigonométriques d'un angle aigu
1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum nabdaw le chapitre numéro 3 : les rapports trigonométriques d'un angle aigu. Fi triangle rectangle, zouz côtés ya3tiw rapport, w el rapport hedha ma yetbaddel ken ki yetbaddel l'angle. Men ghadi yjiw le cosinus, le sinus w la tangente. W fi e5er el chapitre, les relations métriques mte3 la hauteur. Yalla nabdaw.
عسلامة ! لْيوم نبداو le chapitre numéro 3 : les rapports trigonométriques d'un angle aigu . في triangle rectangle ، زوز côtés يعطيو rapport ، و الـ rapport هذا ما يتبدّل كان كي يتبدّل l'angle . من غادي يجيو le cosinus ، le sinus و la tangente . و في آخر الـ chapitre ، les relations métriques متاع la hauteur . يالله نبداو.
Bonjour ! Aujourd'hui on commence le chapitre numéro 3 : les rapports trigonométriques d'un angle aigu. Dans un triangle rectangle, deux côtés forment un rapport, et ce rapport ne change que si l'angle change. C'est de là que viennent le cosinus, le sinus et la tangente. Et à la fin du chapitre, les relations métriques de la hauteur. Allons-y.
Dans un triangle rectangle, deux côtés forment un rapport, et ce rapport ne dépend que de l'angle. C'est toute l'idée du chapitre.
On donne un nom à ces rapports : le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu. Avec eux, un angle et une longueur suffisent pour trouver les autres longueurs, et deux longueurs suffisent pour trouver l'angle : la hauteur d'une tour, l'inclinaison d'une côte, l'écart d'un pendule. On termine par les relations métriques que fait apparaître la hauteur issue de l'angle droit.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangleÉcrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle.Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle.
- Utiliser et Utiliser les deux relations : tangente de a égale sinus de a sur cosinus de a, et le carré du sinus de a plus le carré du cosinus de a égale 1.Utiliser les deux relations : tangente de a égale sinus de a sur cosinus de a, et le carré du sinus de a plus le carré du cosinus de a égale 1.
- Connaître le cosinus, le sinus et la tangente de et Connaître le cosinus, le sinus et la tangente de 30, 45 et 60 degrés, sans calculatrice.Connaître le cosinus, le sinus et la tangente de 30, 45 et 60 degrés, sans calculatrice.
- Calculer une longueur ou un angle à la calculatrice, et arrondirCalculer une longueur ou un angle à la calculatrice, et savoir arrondir.Calculer une longueur ou un angle à la calculatrice, et savoir arrondir.
- Utiliser les relations métriques dans un triangle rectangleUtiliser les relations métriques dans un triangle rectangle, avec la hauteur issue de l'angle droit.Utiliser les relations métriques dans un triangle rectangle, avec la hauteur issue de l'angle droit.
- Construire un segment de longueur et un angle dont on connaît un rapport trigonométriqueConstruire un segment de longueur racine de a b, et un angle dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.Construire un segment de longueur racine de a b, et un angle dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.
1. Activité
Une côte à 20 %
Ce qu’il dit
Une côte à 20 %, ya3ni 100 mètres à l'horizontale, w notla3ou 20 mètres. Fel deux triangles, AC sur AB w DE sur BE, ezzouz ya3tiw un sur cinq. Hedha Thalès, khater les droites (AC) w (DE) parallèles. Donc le rapport ma yetbaddel ken b l'angle mte3 la côte.
une côte à 20 pour cent ، يعني 100 mètres à l'horizontale ، و نطلعو 20 mètres . في الـ deux triangles ، A C sur A B و D E sur B E ، الزوز يعطيو un sur cinq . هذا Thalès ، خاطر les droites A C و D E parallèles . donc le rapport ما يتبدّل كان بـ l'angle متاع la côte .
Une côte à 20 pour cent, c'est cent mètres à l'horizontale pour vingt mètres de montée. Dans les deux triangles, A C sur A B et D E sur B E font un sur cinq. C'est Thalès, parce que les droites A C et D E sont parallèles. Le rapport ne dépend donc que de l'angle de la côte.
Un panneau annonce une côte de pente 20 % : quand on avance de m à l'horizontale, on monte de m. Un cycliste part du point au pied de la côte, et passe par les points puis On note et les projetés orthogonaux de et de sur l'horizontale qui passe par
- 1.Mesure et sur la figure, puis calcule Fais de même pour Que remarques-tu ?
- 2.Les droites et sont toutes deux perpendiculaires à : elles sont donc parallèles. Utilise le théorème de Thalès dans le triangle pour démontrer, sans rien mesurer, que
- 3. et
- 4.Le cycliste est en un point quelconque de la côte, et est son projeté orthogonal sur Que vaut ? Fais le lien avec la pente de %.
Le rapport ne dépend ni de l'endroit où l'on se trouve sur la côte, ni de la distance parcourue : il ne dépend que de l'inclinaison de la côte, c'est-à-dire de l'angle
Une côte à 20 % vue de profil, dessinée avec sa vraie inclinaison. Une droite horizontale part du point B, au pied de la côte, vers la droite. La route monte en ligne droite depuis B : elle passe par le point C puis par le point D, plus haut et plus loin. A est le projeté orthogonal de C sur l'horizontale, E celui de D : les segments [CA] et [DE] sont verticaux, en pointillés, avec un angle droit marqué en A et en E. On obtient deux triangles rectangles, BAC et BED, qui ont le même angle en B.
2. Activité
Deux triangles rectangles, un même angle
Ce qu’il dit
Deux triangles rectangles, mouch 9ad 9ad, ama 3andhom nafs l'angle a. N3awdou nrasmou es-sghir fi west el kbir : BM égale FE, w BN égale FG. El deux triangles isométriques, donc l'angle en M droit, (MN) parallèle à (AC), w Thalès ya3tina nafs les rapports. Ya3ni les rapports hedhouma ma yetbaddlou ken b l'angle a.
deux triangles rectangles ، موش قد قد ، أما عندهم نفس l'angle a . نعاودو نرسمو الصغير في وسط الكبير : B M égale F E ، و B N égale F G . الـ deux triangles isométriques ، donc l'angle en M droit ، M N parallèle à A C ، و Thalès يعطينا نفس les rapports . يعني les rapports هاذوما ما يتبدّلو كان بـ l'angle a .
Deux triangles rectangles de tailles différentes, avec le même angle a. On recopie le petit dans le grand : B M égale F E, et B N égale F G. Les deux triangles sont isométriques, donc l'angle en M est droit, M N est parallèle à A C, et Thalès donne les mêmes rapports. Ces rapports ne dépendent que de l'angle a.
et sont deux triangles rectangles, le premier en le second en qui ont un angle aigu de même mesure :
On place sur le point tel que et sur le point tel que
- 1.Montre que les triangles et sont isométriques. Déduis-en que est perpendiculaire à donc parallèle à
- 2.Applique le théorème de Thalès dans le triangle et montre que
- 3.
Les deux triangles n'ont pas la même taille, et pourtant leurs rapports de côtés sont les mêmes. Ces trois rapports ne dépendent que de l'angle : ils méritent un nom.
Deux triangles rectangles côte à côte. À gauche, le petit triangle EFG est rectangle en E : F en bas à gauche, E en bas à droite, G au-dessus de E. À droite, le grand triangle ABC est rectangle en A : B en bas à gauche, A en bas à droite, C au-dessus de A. Les angles en F et en B sont marqués de la même lettre a : ils sont égaux. Dans le grand triangle, le point M est sur [BA] avec BM = FE (une barre sur chacun) et le point N sur [BC] avec BN = FG (deux barres sur chacun). Le segment [MN] est tracé en pointillés bleus. Enfin, l'angle droit est marqué en M, ce que la question 1 fait démontrer : [MN] est vertical, parallèle à [AC].
3. Définition
Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
Ce qu’il dit
Hedhi hiya la définition. Fel triangle ABC rectangle en A, nchoufou l'angle B. Chkoun l'hypoténuse ? BC, 9oddem l'angle droit. Le côté adjacent houwa AB : ymess B. Le côté opposé houwa AC : 9oddem B. Le cosinus, houwa adjacent sur hypoténuse. Le sinus, opposé sur hypoténuse. W la tangente, opposé sur adjacent.
هاذي هي la définition . في الـ triangle A B C rectangle en A ، نشوفو l'angle B . شكون l'hypoténuse ؟ B C ، قدّام l'angle droit . le côté adjacent هو A B : يمسّ B . le côté opposé هو A C : قدّام B . le cosinus ، هو adjacent sur hypoténuse . le sinus ، opposé sur hypoténuse . و la tangente ، opposé sur adjacent .
Voici la définition. Dans le triangle A B C rectangle en A, on regarde l'angle B. Qui est l'hypoténuse ? B C, en face de l'angle droit. Le côté adjacent, c'est A B : il touche B. Le côté opposé, c'est A C : il est en face de B. Le cosinus, c'est adjacent sur hypoténuse. Le sinus, opposé sur hypoténuse. Et la tangente, opposé sur adjacent.
désigne un triangle rectangle en Par rapport à l'angle aigu :
- l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ;
- le côté adjacent est le côté de l'angle droit qui touche le sommet ;
- le côté opposé est le côté de l'angle droit qui fait face à
On définit trois rapports :
- le rapport s'appelle le cosinus de l'angle aigu ; on le note ;
- le rapport s'appelle le sinus de l'angle aigu ; on le note ;
- le rapport s'appelle la tangente de l'angle aigu ; on la note
L'hypoténuse est le plus long côté du triangle : le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont donc toujours compris entre et . La tangente, elle, peut dépasser
Un triangle ABC rectangle en A : A en bas à gauche, B au-dessus de A, C en bas à droite. L'angle droit est marqué en A, l'angle aigu en B est marqué d'un arc bleu. L'hypoténuse [BC], en face de l'angle droit, est tracée en rouge. Le côté [AB], qui touche le sommet B, est en bleu et porte la mention « côté adjacent ». Le côté [AC], en face de B, est en vert et porte la mention « côté opposé ».
adjacent sur hypoténuse
opposé sur hypoténuse
opposé sur adjacent
Exemple traité
Le triangle est rectangle en avec et Calculer le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle
- Qui est qui — Vu de : l'hypoténuse est le côté adjacent est et le côté opposé est
- Le cosinus : adjacent sur hypoténuse.
- Le sinus : opposé sur hypoténuse.
- La tangente : opposé sur adjacent.
À ne pas faire : — . Le côté adjacent est celui qui touche le sommet en plus de l'hypoténuse : c'est Le côté fait face à : il sert au sinus, pas au cosinus.
À ne pas faire : — . L'hypoténuse va toujours au dénominateur du cosinus et du sinus. Un sinus plus grand que est impossible : c'est le signe qu'on a renversé le rapport.
4. Activité
Les deux angles aigus d'un même triangle
Ce qu’il dit
Nafs el triangle, ama tawa nchoufou les deux angles aigus. Le côté adjacent à B, AB, houwa bidou le côté opposé à C. Donc cosinus de B égale sinus de C. Men ba3d, sinus sur cosinus : les BC yetna77aw, w tab9a la tangente. W la somme des carrés, b Pythagore, ta3ti 1.
نفس الـ triangle ، أما توّا نشوفو les deux angles aigus . le côté adjacent à B ، A B ، هو بيدو le côté opposé à C . donc cosinus de B égale sinus de C . من بعد ، sinus sur cosinus : les B C يتنحّاو ، و تبقى la tangente . و la somme des carrés ، بـ Pythagore ، تعطي 1 .
Le même triangle, mais cette fois on regarde les deux angles aigus. Le côté adjacent à B, A B, c'est aussi le côté opposé à C. Donc le cosinus de B égale le sinus de C. Ensuite, sinus sur cosinus : les B C se simplifient, et il reste la tangente. Et la somme des carrés, avec Pythagore, fait 1.
est un triangle rectangle en Ses deux angles aigus et sont complémentaires :
- 1.Écris et à l'aide des côtés du triangle. Que remarques-tu ? Même question pour et
- 2.Calcule et compare le résultat à
- 3.Calcule en réduisant au même dénominateur, puis utilise le théorème de Pythagore.
Le même triangle ABC rectangle en A : A en bas à gauche, B au-dessus de A, C en bas à droite. L'angle droit est marqué en A. L'angle en B porte un arc bleu, l'angle en C deux arcs orange : ce sont les deux angles aigus du triangle, et leur somme vaut 90 degrés. Le côté [AB] touche B et fait face à C ; le côté [AC] touche C et fait face à B.
5. Propriété
Les relations trigonométriques
Ce qu’il dit
Trois relations lezmek tetfakkarhom. La tangente, hiya le sinus divisé par le cosinus. Le carré du sinus plus le carré du cosinus, dima ya3ti 1 : hedha Pythagore. W deux angles complémentaires, yetbedlou le sinus w le cosinus mte3hom.
trois relations لازمك تتفكّرهم . la tangente ، هي le sinus divisé par le cosinus . le carré du sinus plus le carré du cosinus ، ديما يعطي 1 : هذا Pythagore . و deux angles complémentaires ، يتبادلو le sinus و le cosinus متاعهم .
Trois relations à retenir. La tangente, c'est le sinus divisé par le cosinus. Le carré du sinus plus le carré du cosinus, ça fait toujours 1 : c'est Pythagore. Et deux angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
Pour tout angle aigu :
- la tangente de est le quotient de son sinus par son cosinus ;
- la somme des carrés du sinus et du cosinus de vaut
Et si deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre. Dans un triangle rectangle en c'est le cas des angles et
angles complémentaires
Démonstration
Dans un triangle rectangle en on note
D'après le théorème de Pythagore, donc
Enfin, le côté adjacent à est le côté opposé à et inversement : et
Ce dernier résultat vaut pour deux angles complémentaires quelconques et On construit un triangle rectangle en avec ; alors Comme les rapports ne dépendent que de l'angle (activité « Deux triangles rectangles, un même angle »), et de même
Exemple traité
est un angle aigu dont le cosinus vaut Calculer son sinus, puis sa tangente.
- Le sinus — On part de la somme des carrés, qui vaut 1.
- Le sinus d'un angle aigu est positif : on garde la racine positive.
- La tangente — On divise le sinus par le cosinus.
À ne pas faire : — . Ce sont les carrés qui font : c'est le théorème de Pythagore divisé par Avec un cosinus de le sinus vaut et ne fait pas
À ne pas faire : — . La tangente, c'est opposé sur adjacent. Le côté opposé est au numérateur du sinus : c'est donc le sinus qui va en haut.
6. Activité
Les angles de 30°, 45° et 60°
Ce qu’il dit
Triangle équilatéral, ki n9osshou b la hauteur mte3ou, ya3tina triangle rectangle fih 60 degrés w 30 degrés. Ken le côté égale a, la moitié égale a sur 2, w Pythagore ya3tina la hauteur : a racine de 3, le tout sur 2. Ma b9a ken n9raw les rapports. W l 45 degrés, hedhi la moitié d'un carré : l'hypoténuse égale b racine de 2.
triangle équilatéral ، كي نقصّوه بـ la hauteur متاعو ، يعطينا triangle rectangle فيه 60 degrés و 30 degrés . كان le côté égale a ، la moitié égale a sur 2 ، و Pythagore يعطينا la hauteur : a racine de 3, le tout sur 2 . ما بقى كان نقراو les rapports . و لـ 45 degrés ، هاذي la moitié d'un carré : l'hypoténuse égale b racine de 2 .
Un triangle équilatéral coupé en deux par sa hauteur donne un triangle rectangle avec 60 degrés et 30 degrés. Si le côté vaut a, la moitié vaut a sur 2, et Pythagore donne la hauteur : a racine de 3, le tout sur 2. Il ne reste qu'à lire les rapports. Pour 45 degrés, c'est la moitié d'un carré : l'hypoténuse vaut b racine de 2.
La moitié d'un triangle équilatéral. est un triangle rectangle en tel que On place le point symétrique de par rapport à
- 1.Montre que le triangle est équilatéral.
- 2.On pose Montre que puis, avec le théorème de Pythagore, que
- 3.Déduis-en et puis et : l'angle mesure
La moitié d'un carré. est un triangle rectangle et isocèle en avec
- 1.Calcule en fonction de puis déduis-en et
Un triangle AIC rectangle en I : I en bas au milieu, C en bas à droite, A au-dessus de I. L'angle en C est marqué 60 degrés, et le côté [AC] porte la lettre a. Puis on place B, le symétrique de C par rapport à I, en bas à gauche : [IB] et [IC] portent la même barre, et les segments [IB] et [AB] sont en pointillés. Le grand triangle ABC est équilatéral, et [AI] est sa hauteur. L'angle IAC, au sommet A dans la moitié droite, est marqué 30 degrés. On lit a/2 sur [IC] et a√3/2 le long de [AI].
la moitié d'un carré
7. Propriété
Les angles remarquables
Ce qu’il dit
Hedha houwa le tableau. Sinus de 30 degrés : un demi. Sinus de 45 : racine de 2 sur 2. Sinus de 60 : racine de 3 sur 2. Le cosinus, houwa nafs le tableau bel m9loub, khater 30 w 60 complémentaires. W la tangente : racine de 3 sur 3, men ba3d 1, men ba3d racine de 3.
هذا هو le tableau . sinus de 30 degrés : un demi . sinus de 45 : racine de 2 sur 2 . sinus de 60 : racine de 3 sur 2 . le cosinus ، هو نفس le tableau بالمقلوب ، خاطر 30 و 60 complémentaires . و la tangente : racine de 3 sur 3 ، من بعد 1 ، من بعد racine de 3 .
Voici le tableau. Sinus de 30 degrés : un demi. Sinus de 45 : racine de 2 sur 2. Sinus de 60 : racine de 3 sur 2. Le cosinus, c'est le même tableau à l'envers, parce que 30 et 60 sont complémentaires. Et la tangente : racine de 3 sur 3, puis 1, puis racine de 3.
À connaître par cœur, ou à retrouver en une minute avec la moitié d'un triangle équilatéral et la moitié d'un carré.
| Angle | |||
|---|---|---|---|
| Angle | |||
|---|---|---|---|
Deux repères pour ne pas se tromper. Dans le tableau, de à le sinus augmente et le cosinus diminue. Et et sont complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
Exemple traité
est un triangle rectangle en avec et Calculer et
- Le côté opposé — fait face à l'angle de : on prend le sinus, opposé sur hypoténuse.
- Le côté adjacent — touche l'angle de : on prend le cosinus, adjacent sur hypoténuse.
À ne pas faire : — . Dans la moitié du triangle équilatéral, le côté opposé à l'angle de est le plus petit : c'est la moitié de l'hypoténuse. Le sinus de vaut donc un demi.
À ne pas faire : — . Dans la moitié d'un carré, les deux côtés de l'angle droit sont égaux : opposé sur adjacent fait
8. Méthode
Avec la calculatrice
Ce qu’il dit
9bal koll calcul, la calculatrice lezemha tkoun en mode degrés : sinus de 30 lezem ya3ti 0,5. Bech nemchiw men angle l rapport, nektbou cosinus 50. W bech nerja3ou men rapport l l'angle, n3addiw b la seconde fonction. W l'arrondi, marra bark, fel e5er.
قبل كل calcul ، la calculatrice لازمها تكون en mode degrés : sinus de 30 لازم يعطي 0,5 . باش نمشيو من angle لـ rapport ، نكتبو cosinus 50 . و باش نرجعو من rapport لـ l'angle ، نعدّيو بـ la seconde fonction . و l'arrondi ، مرّة برك ، في الآخر .
Avant tout calcul, la calculatrice en mode degrés : le sinus de 30 doit donner 0,5. Pour aller d'un angle vers un rapport, on tape cosinus 50. Pour revenir d'un rapport vers l'angle, on passe par la seconde fonction. Et on arrondit une seule fois, à la fin.
L'unité de mesure des angles est ici le degré : avant tout calcul, mets la calculatrice en mode DEG. Un contrôle rapide : doit afficher
D'un angle vers un rapport. Pour une valeur approchée de à près, on tape « cos 50 = ». La calculatrice affiche ; on écrit
D'un rapport vers un angle. Pour une valeur approchée à près de l'angle aigu tel que on passe par la seconde fonction : « 2ndF cos 0.4 = » (la touche s'appelle SHIFT sur certains modèles). La calculatrice affiche ; on écrit
Un seul arrondi, à la fin. On garde le calcul entier, par exemple et on n'arrondit que le résultat.
À toi. L'exemple ci-dessous calcule et sur la figure. Continue : est le projeté orthogonal de sur ; donne une valeur approchée à près de l'aire du triangle puis de Pour te contrôler, tu dois trouver environ et
Le triangle ABD rectangle en B : A en haut à gauche, B en bas à gauche sous A, et D en bas à droite. Le côté vertical [AB] mesure 12. Le point C est sur [BD], entre B et D, et le segment [AC] est tracé. En A, l'angle BAC est marqué 35 degrés et l'angle CAD, à sa droite, 18 degrés. Puis le segment [CH], en pointillés rouges, est la perpendiculaire à (AD) passant par C : H est sur [AD] et l'angle droit est marqué en H.
le contrôle du mode
seconde fonction
Exemple traité
Sur la figure, le triangle est rectangle en le point est sur et Donner une valeur approchée à près de et de
- Le bon rapport — Vu de est le côté opposé et le côté adjacent : c'est la tangente qui les relie.
- On isole et on garde le calcul entier.
- À la calculatrice, en mode degrés, on obtient 8,4024… et on arrondit au dixième.
- La longueur — Même rapport dans le triangle avec un angle en de
À ne pas faire : — . La calculatrice était en radians. En mode degrés, le sinus de affiche bien : c'est le contrôle à faire avant tout calcul.
À ne pas faire : — . En arrondissant la tangente de à on commet une erreur que la multiplication par amplifie. On tape le calcul en entier, et on n'arrondit que le résultat.
9. Activité
La hauteur issue de l'angle droit
Ce qu’il dit
La hauteur issue de l'angle droit t9oss el triangle l deux petits triangles rectangles. L'aire, ki na7sbouha b tri9tin, ta3tina AB fois AC égale AH fois BC. Le cosinus de l'angle C, mektoub fi zouz triangles, ya3tina AC au carré égale CH fois CB. W les tangentes mte3 deux angles égaux ta3tina AH au carré égale BH fois CH.
la hauteur issue de l'angle droit تقصّ الـ triangle لـ deux petits triangles rectangles . l'aire ، كي نحسبوها بطريقتين ، تعطينا A B fois A C égale A H fois B C . le cosinus de l'angle C ، مكتوب في زوز triangles ، يعطينا A C au carré égale C H fois C B . و les tangentes متاع deux angles égaux تعطينا A H au carré égale B H fois C H .
La hauteur issue de l'angle droit coupe le triangle en deux petits triangles rectangles. L'aire, calculée de deux façons, donne A B fois A C égale A H fois B C. Le cosinus de l'angle C, écrit dans deux triangles, donne A C au carré égale C H fois C B. Et les tangentes de deux angles égaux donnent A H au carré égale B H fois C H.
est un triangle rectangle en et est la hauteur issue de
- 1.Écris l'aire du triangle de deux manières : avec les deux côtés de l'angle droit, puis avec la base et la hauteur Déduis-en que
- 2.Écris dans le triangle puis dans le triangle Déduis-en que
- 3.Vérifie que : ces deux angles ont le même complémentaire, Écris la tangente de chacun d'eux et déduis-en que
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] horizontale : B en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut, plus près de B que de C. L'angle droit est marqué en A. Puis la hauteur [AH], en pointillés bleus, descend verticalement de A jusqu'au point H de [BC], avec un angle droit marqué en H. Elle partage le triangle en deux petits triangles rectangles, ABH à gauche et ACH à droite.
l'aire, de deux manières
le cosinus de C, deux fois
deux tangentes égales
10. Théorème
Les relations métriques dans un triangle rectangle
Ce qu’il dit
Tfakker les relations hedhi fel triangle rectangle m3a la hauteur mte3ou. AB fois AC égale AH fois BC. Pythagore, tab3an. La hauteur au carré égale le produit des deux morceaux de l'hypoténuse : HB fois HC. W koll côté de l'angle droit, au carré, égale sa projection fois l'hypoténuse entière.
تفكّر les relations هاذي في الـ triangle rectangle مع la hauteur متاعو . A B fois A C égale A H fois B C . Pythagore ، طبعا . la hauteur au carré égale le produit des deux morceaux de l'hypoténuse : H B fois H C . و كل côté de l'angle droit ، au carré ، égale sa projection fois l'hypoténuse entière .
Retiens ces relations, dans le triangle rectangle avec sa hauteur. A B fois A C égale A H fois B C. Pythagore, bien sûr. La hauteur au carré égale le produit des deux morceaux de l'hypoténuse : H B fois H C. Et chaque côté de l'angle droit, au carré, égale sa projection fois l'hypoténuse entière.
Si est un triangle rectangle en et si est la hauteur issue de alors :
- le produit des côtés de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur ;
- le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés (Pythagore) ;
- le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse ;
- le carré d'un côté de l'angle droit est le produit de sa projection sur l'hypoténuse par l'hypoténuse.
Le triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] horizontale : B en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut. La hauteur [AH], en bleu, descend de A jusqu'au point H de [BC], avec un angle droit en A et un angle droit en H. Les deux morceaux de l'hypoténuse, [BH] à gauche et [HC] à droite, sont tracés en orange.
l'aire, de deux manières
Pythagore
la hauteur
les côtés de l'angle droit
Démonstration
C'est l'activité précédente. L'aire de vaut et aussi : d'où la première égalité.
Le cosinus de s'écrit dans le triangle et dans le triangle ; l'égalité des produits en croix donne Le même raisonnement en donne
Enfin, (même complémentaire ). Leurs tangentes sont égales : d'où
Exemple traité
est un triangle rectangle en est la hauteur issue de et Calculer et
- La hauteur — Le triangle est rectangle en : on applique le théorème de Pythagore.
- L'hypoténuse — Le côté sa projection et l'hypoténuse entière
- Le segment —
- Le côté — On contrôle avec la hauteur, puis on calcule avec sa projection
À ne pas faire : — . C'est un produit : la relation vient de l'égalité de deux rapports, les tangentes de deux angles égaux. Aucune somme n'y apparaît.
À ne pas faire : — . Pour le côté on multiplie sa projection par l'hypoténuse entière Le produit des deux morceaux, c'est le carré de la hauteur.
11. Méthode
Résoudre un problème concret
Ce qu’il dit
9oddem problème concret, 4 gestes. Figure, fiha triangle rectangle. Les noms des côtés, men l'angle elli na3rfouh. Le bon rapport : cosinus, sinus walla tangente. Fel tour, ach na3rfou ? le côté adjacent. Ach n7ebbou ? l'opposé. Donc la tangente, behi ? Men ba3d le calcul, w l'arrondi fel e5er. W n3awdou n9raw la question : hna, la tour hiya KS plus la hauteur des yeux.
قدّام problème concret ، 4 gestes . figure ، فيها triangle rectangle . les noms des côtés ، من l'angle اللي نعرفوه . le bon rapport : cosinus ، sinus ولّا tangente . في la tour ، آش نعرفو ؟ le côté adjacent . آش نحبّو ؟ l'opposé . donc la tangente ، بهي ؟ من بعد le calcul ، و l'arrondi في الآخر . و نعاودو نقراو la question : هنا ، la tour هي K S plus la hauteur des yeux .
Devant un problème concret, quatre gestes. Une figure, avec un triangle rectangle. Les noms des côtés, vus depuis l'angle connu. Le bon rapport : cosinus, sinus ou tangente. Pour la tour, que connaît-on ? Le côté adjacent. Que cherche-t-on ? L'opposé. Donc la tangente, d'accord ? Puis le calcul, arrondi à la fin. Et on relit la question : ici, la tour, c'est K S plus la hauteur des yeux.
Une hauteur qu'on ne peut pas mesurer, un angle qu'on ne peut pas atteindre : la trigonométrie les calcule. Quatre gestes, toujours dans le même ordre.
- 1.Modéliser : fais une figure et repère un triangle rectangle qui contient l'inconnue.
- 2.Nommer les côtés depuis l'angle connu, ou cherché : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé.
- 3.Choisir le rapport qui relie ce que tu connais à ce que tu cherches : adjacent et hypoténuse, c'est le cosinus ; opposé et hypoténuse, le sinus ; opposé et adjacent, la tangente.
- 4.Calculer, en gardant le calcul entier et en arrondissant à la fin. Puis relis la question : ce qu'on cherche n'est pas toujours un côté du triangle.
Le sol est une droite horizontale. À gauche, l'observateur est représenté par un petit segment vertical bleu [PO] de 1,70 m : P ses pieds, O ses yeux. À droite, la tour est un segment vertical [TS] : T son pied, S son sommet. Le point K est sur la tour, à la hauteur des yeux de l'observateur. Le segment [OK], horizontal et en pointillés bleus, mesure 40 m, et l'angle droit est marqué en K. La ligne de visée [OS], en pointillés rouges, monte de O jusqu'au sommet S, et l'angle KOS est marqué 38 degrés.
Exemple traité
Un observateur se tient à mètres du pied d'une tour, dont le sommet est Ses yeux, au point sont à mètre du sol, et est le point de la tour situé à la hauteur de ses yeux. Il voit le sommet de la tour sous un angle au-dessus de l'horizontale. Calculer une valeur approchée à près de la hauteur de la tour.
- Le triangle rectangle — Le triangle est rectangle en : est horizontal, la tour est verticale, et mètres.
- Le bon rapport — Vu de on connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé : c'est la tangente.
- La hauteur de la tour — La tour mesure plus la hauteur des yeux de l'observateur. On n'arrondit qu'à la fin.
À ne pas faire : m — m. L'angle est mesuré depuis les yeux de l'observateur, pas depuis le sol. Le triangle rectangle ne donne que la partie de la tour au-dessus de ses yeux : il faut ajouter mètre.
12. Méthode
Construire avec un triangle rectangle
Ce qu’il dit
Deux constructions. Bech nabniw segment toulou racine de 6 : n7ottou 3 w 2 wa7da b7dha lo5ra, nrasmou le cercle de diamètre BC, w ntalla3ou la perpendiculaire en H. AH au carré égale 3 fois 2 : ya3ni AH égale racine de 6. W bech nabniw un angle na3rfou le sinus mte3ou, nsan3ou le triangle rectangle elli 3andou bedhabt el rapport hedha.
deux constructions . باش نبنيو segment طولو racine de 6 : نحطّو 3 و 2 وحدة بحذا لوخرى ، نرسمو le cercle de diamètre B C ، و نطلّعو la perpendiculaire en H . A H au carré égale 3 fois 2 : يعني A H égale racine de 6 . و باش نبنيو un angle نعرفو le sinus متاعو ، نصنعو le triangle rectangle اللي عندو بالضبط الـ rapport هذا .
Deux constructions. Pour un segment de longueur racine de 6 : on met bout à bout 3 et 2, on trace le cercle de diamètre B C, et on élève la perpendiculaire en H. A H au carré vaut 3 fois 2 : A H mesure racine de 6. Et pour un angle dont on connaît le sinus, on fabrique le triangle rectangle qui a exactement ce rapport.
Un segment de longueur On veut construire un segment de longueur avec
- 1.Trace un segment et place le point de tel que et
- 2.Trace le cercle de diamètre
- 3.La perpendiculaire à en coupe ce cercle en un point
est sur le cercle de diamètre : le triangle est rectangle en et est sa hauteur. Donc et Avec deux segments de longueurs et la même construction donne un segment de longueur
Un angle dont on connaît un rapport. Pour construire un angle aigu dont le sinus vaut on écrit et on construit un triangle rectangle en avec mm et mm : on trace la perpendiculaire à en puis le cercle de centre et de rayon mm, qui coupe cette perpendiculaire en L'angle convient, car
- Pour un cosinus égal à : un côté de l'angle droit de cm et une hypoténuse de cm ; l'angle cherché est celui que forment ces deux côtés.
- Pour une tangente égale à : deux côtés de l'angle droit de cm et de cm ; l'angle cherché est en face du côté de cm.
Un segment horizontal [BC] de longueur 5, avec le point H placé à 3 de B et à 2 de C. Puis le cercle de diamètre [BC], de centre O, le milieu de [BC]. Puis la perpendiculaire à (BC) en H, en bleu, qui monte jusqu'au point A du cercle : l'angle droit est marqué en H et le segment [AH] porte la mention √6. Enfin les segments [AB] et [AC], en pointillés : le triangle ABC est rectangle en A.
la hauteur
un angle de sinus 0,38
À ne pas faire : — . La relation porte sur le carré de la hauteur : La hauteur mesure donc environ et non qui serait plus long que le diamètre lui-même.
13. Remarque
D'où vient le mot « sinus »
Ce qu’il dit
Kelma mel tari5 bech nkammlou. 9bal les calculatrices, kanou y9raw les sinus fi des tables, w des mathématiciens arabes 5edmou 3lihom barcha : El Khwarizmi, Abou el Wafa, Nasir Eddine et-Tousi. W el kelma sinus bidha jeya mel 3arbiya : el jib, kima jib el 7wayej, w tarjmouha bel latin : sinus.
كلمة من التاريخ باش نكمّلو . قبل les calculatrices ، كانو يقراو les sinus في des tables ، و des mathématiciens arabes خدمو عليهم برشا : الخوارزمي ، أبو الوفاء ، نصير الدين الطوسي . و الكلمة sinus بيدها جاية من العربية : الجيب ، كيما جيب الحوايج ، و ترجموها بالـ latin : sinus .
Un mot d'histoire pour finir. Avant les calculatrices, on lisait les sinus dans des tables, et les mathématiciens arabes y ont beaucoup travaillé : Al-Khwarizmi, Abul-Wafa, Nasir ad-Din at-Tusi. Et le mot sinus lui-même vient de l'arabe : jayb, la poche, le pli du vêtement, traduit en latin par sinus.
Avant les calculatrices, élèves et ingénieurs lisaient les rapports trigonométriques dans des tables. Comme les astronomes grecs et indiens avant eux, les mathématiciens arabes en ont dressé, pour les besoins de l'astronomie : Al-Khwarizmi fut le premier mathématicien arabe à établir des tables de sinus, Abul-Wafa en calcula les valeurs vers l'an et Nasir ad-Din at-Tusi écrivit le premier traité qui fait de la trigonométrie une science à part entière.
Le mot lui-même vient de l'arabe. Pour les astronomes, le sinus était la demi-corde d'un arc de cercle, appelée « jayb » — la poche, le repli du vêtement —, mot que les traducteurs latins ont rendu par « sinus », qui veut dire lui aussi le pli.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Dans rectangle en : Fi ABC rectangle en A : cosinus de B égale AB sur BC, sinus de B égale AC sur BC, w tangente de B égale AC sur AB.Dans A B C rectangle en A : cosinus de B égale A B sur B C, sinus de B égale A C sur B C, tangente de B égale A C sur A B.
- Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent.Dima : cosinus, adjacent sur hypoténuse ; sinus, opposé sur hypoténuse ; tangente, opposé sur adjacent.Toujours : cosinus, adjacent sur hypoténuse ; sinus, opposé sur hypoténuse ; tangente, opposé sur adjacent.
- et Tangente de a égale sinus de a sur cosinus de a, w le carré du sinus de a plus le carré du cosinus de a égale 1.Tangente de a égale sinus de a sur cosinus de a, et le carré du sinus de a plus le carré du cosinus de a égale 1.
- Deux angles complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.Deux angles complémentaires : le sinus de l'un houwa le cosinus de l'autre.Deux angles complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
- ; ; Sinus de 30 degrés égale cosinus de 60 égale un demi ; sinus de 45 égale cosinus de 45 égale racine de 2 sur 2 ; sinus de 60 égale cosinus de 30 égale racine de 3 sur 2.Sinus de 30 degrés égale cosinus de 60 égale un demi ; sinus de 45 égale cosinus de 45 égale racine de 2 sur 2 ; sinus de 60 égale cosinus de 30 égale racine de 3 sur 2.
- ; ; W la tangente : de 30 degrés, racine de 3 sur 3 ; de 45, 1 ; de 60, racine de 3.Et la tangente : de 30 degrés, racine de 3 sur 3 ; de 45, 1 ; de 60, racine de 3.
- Calculatrice en mode DEG, et un seul arrondi, à la fin.La calculatrice en mode degrés, w l'arrondi marra bark, fel e5er.La calculatrice en mode degrés, et un seul arrondi, à la fin.
- Hauteur : M3a la hauteur AH : AB fois AC égale AH fois BC, AH au carré égale HB fois HC, w koll côté de l'angle droit au carré égale sa projection fois l'hypoténuse.Avec la hauteur A H : A B fois A C égale A H fois B C, A H au carré égale H B fois H C, et chaque côté de l'angle droit au carré égale sa projection fois l'hypoténuse.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna les rapports trigonométriques. Tfakker el réflexe : triangle rectangle, angle, w nsammiw les côtés men l'angle hedha 9bal ma nektbou ay 7aja. Yalla nemchiw lel exercices.
هكّا كمّلنا les rapports trigonométriques . تفكّر الـ réflexe : triangle rectangle ، angle ، و نسمّيو les côtés من l'angle هذا قبل ما نكتبو أي حاجة . يالله نمشيو للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé les rapports trigonométriques. Retiens le réflexe : un triangle rectangle, un angle, et on nomme les côtés depuis cet angle avant d'écrire quoi que ce soit. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Une côte à 20 %
- pourquoi le rapport ne dépend pas de l'endroit sur la pente
- pente 20 % ya3ni chnowa
- la pente dépend de quoi
- c'est quoi une pente de 20 pour cent
- le rapport de la pente change si on avance ?
- pente w inclinaison chnowa el 3ala9a
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Pente 20 pour cent ya3ni ki netqaddmou 100 m à l'horizontale, notel3ou 20 m. B Thalès, le rapport ma yetbaddelch win ma kenna 3al tri9 : yet3allaq ken b l'inclinaison, ya3ni b l'angle. Hedhi el fekra mte3 les rapports trigonométriques.
pente 20 pour cent يعني كي نتقدّمو 100 m à l'horizontale ، نطلعو 20 m . بـ Thalès ، le rapport ما يتبدّلش وين ما كنّا على الطريق : يتعلّق كان بـ l'inclinaison ، يعني بـ l'angle . هاذي الفكرة متاع les rapports trigonométriques .
Une pente de 20 pour cent signifie qu'en avançant de 100 mètres à l'horizontale, on monte de 20 mètres. Par le théorème de Thalès, ce rapport ne change pas selon l'endroit où l'on se trouve : il ne dépend que de l'inclinaison, c'est-à-dire de l'angle. C'est l'idée des rapports trigonométriques.
Question 2 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- c'est quoi l'hypoténuse
- comment trouver l'hypoténuse
- chnowa l'hypoténuse
- l'hypoténuse c'est quel côté
- hypoténuse définition
- kifech na3ref l'hypoténuse
Ce qu’il répond
L'hypoténuse houwa le côté elli 9oddem l'angle droit, w houwa atwel côté fi le triangle rectangle. Fi ABC rectangle en A, l'hypoténuse hiya $[BC]$.
l'hypoténuse هو le côté اللي قدّام l'angle droit ، w هو أطول côté في le triangle rectangle . في A B C rectangle en A ، l'hypoténuse هي B C .
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long côté du triangle rectangle. Dans A B C rectangle en A, l'hypoténuse est B C.
Question 3 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- c'est quoi le côté adjacent et le côté opposé
- comment reconnaître le côté adjacent
- côté opposé chnowa
- adjacent w opposé kifech nfarre9
- le côté adjacent à l'angle B c'est lequel
- côté opposé à l'angle
Ce qu’il répond
Nchoufou men l'angle, mathalan l'angle B fi ABC rectangle en A. Le côté adjacent houwa côté mte3 l'angle droit elli ymess B : $[AB]$. Le côté opposé houwa elli 9oddem B : $[AC]$. W l'hypoténuse $[BC]$.
نشوفو من l'angle ، مثلا l'angle B في A B C rectangle en A . le côté adjacent هو côté متاع l'angle droit اللي يمسّ B : A B . le côté opposé هو اللي قدّام B : A C . w l'hypoténuse B C .
On regarde depuis l'angle, par exemple l'angle B dans A B C rectangle en A. Le côté adjacent est le côté de l'angle droit qui touche B : A B. Le côté opposé est celui qui fait face à B : A C. Et l'hypoténuse est B C.
Question 4 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- c'est quoi le cosinus
- comment calculer le cosinus d'un angle
- cos formule
- chnowa el cosinus
- kifech na7seb cos
- cosinus définition
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le cosinus mte3 l'angle aigu B houwa le côté adjacent sur l'hypoténuse : $\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$. Mathalan $AB = 4$ w $BC = 5$ : $\cos \widehat{ABC} = \dfrac{4}{5}$.
le cosinus متاع l'angle aigu B هو le côté adjacent sur l'hypoténuse : A B sur B C . مثلا A B 4 w B C 5 : cos B égale 4 sur 5 .
Le cosinus de l'angle aigu B est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse : A B sur B C. Par exemple, avec A B égale 4 et B C égale 5 : cosinus de B égale 4 sur 5.
Question 5 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- c'est quoi le sinus
- comment calculer le sinus d'un angle
- sin formule
- chnowa el sinus
- kifech na7seb sin
- sinus définition
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le sinus mte3 l'angle aigu B houwa le côté opposé sur l'hypoténuse : $\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}$. Mathalan $AC = 3$ w $BC = 5$ : $\sin \widehat{ABC} = \dfrac{3}{5}$.
le sinus متاع l'angle aigu B هو le côté opposé sur l'hypoténuse : A C sur B C . مثلا A C 3 w B C 5 : sin B égale 3 sur 5 .
Le sinus de l'angle aigu B est le côté opposé divisé par l'hypoténuse : A C sur B C. Par exemple, avec A C égale 3 et B C égale 5 : sinus de B égale 3 sur 5.
Question 6 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- c'est quoi la tangente
- comment calculer la tangente d'un angle
- tan formule
- chnowa la tangente
- kifech na7seb tan
- tangente définition
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La tangente mte3 l'angle aigu B hiya le côté opposé sur le côté adjacent : $\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB}$. Mathalan $AC = 3$ w $AB = 4$ : $\tan \widehat{ABC} = \dfrac{3}{4}$.
la tangente متاع l'angle aigu B هي le côté opposé sur le côté adjacent : A C sur A B . مثلا A C 3 w A B 4 : tan B égale 3 sur 4 .
La tangente de l'angle aigu B est le côté opposé divisé par le côté adjacent : A C sur A B. Par exemple, avec A C égale 3 et A B égale 4 : tangente de B égale 3 sur 4.
Question 7 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- comment retenir cos sin tan
- kifech na7fedh cos w sin w tan
- astuce pour mémoriser les rapports trigonométriques
- je confonds cos et sin
- comment ne pas confondre sinus et cosinus
- cos sin tan kifech ma nghaletch
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Sammi les côtés men l'angle 9bal. Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent. L'hypoténuse dima louta fi cos w sin.
سمّي les côtés من l'angle قبْلْ . cosinus : adjacent sur hypoténuse . sinus : opposé sur hypoténuse . tangente : opposé sur adjacent . l'hypoténuse ديما لوطة في cos w sin .
Nomme d'abord les côtés depuis l'angle. Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent. L'hypoténuse est toujours au dénominateur du cosinus et du sinus.
Question 8 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
- le sinus peut être plus grand que 1 ?
- j'ai trouvé un cosinus supérieur à 1
- cos akbar men 1 normal ?
- pourquoi le sinus est entre 0 et 1
- la tangente peut dépasser 1 ?
- sinus plus grand que 1 possible
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'hypoténuse atwel côté, w hiya louta, donc le cosinus w le sinus dima bin 0 w 1. Ken l9it sinus akbar men 1, rak 9lebt le rapport. Ama la tangente tnajjem tfout 1.
l'hypoténuse أطول côté ، w هي لوطة ، donc le cosinus w le sinus ديما بين zéro w 1 . كان لقيت sinus أكبر من 1 ، راك قلبت le rapport . أما la tangente تنجّم تفوت 1 .
L'hypoténuse est le plus long côté et elle est au dénominateur : le cosinus et le sinus sont donc toujours compris entre 0 et 1. Un sinus plus grand que 1 signale un rapport renversé. La tangente, elle, peut dépasser 1.
Question 9 · Les relations trigonométriques
- pourquoi sin B = cos C
- angles complémentaires sinus cosinus
- cos B égale sin C 3lech
- le sinus de l'un est le cosinus de l'autre
- complémentaires sin w cos
- sin 30 = cos 60 pourquoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi ABC rectangle en A, B w C complémentaires : la somme mte3hom $90^\circ$. Le côté adjacent l B houwa le côté opposé l C, donc $\cos \widehat{B} = \sin \widehat{C}$ w $\sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}$. Mathalan $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.
في A B C rectangle en A ، B w C complémentaires : la somme متاعهم 90 . le côté adjacent لـ B هو le côté opposé لـ C ، donc cos B égale sin C ، w sin B égale cos C . مثلا sin 30 égale cos 60 égale un demi .
Dans A B C rectangle en A, les angles B et C sont complémentaires : leur somme fait 90 degrés. Le côté adjacent à B est le côté opposé à C, donc cosinus de B égale sinus de C, et sinus de B égale cosinus de C. Par exemple, sinus de 30 degrés égale cosinus de 60 degrés égale un demi.
Question 10 · Les relations trigonométriques
- tan égale sin sur cos ?
- pourquoi tan = sin/cos
- tan a = cos a / sin a ?
- la tangente c'est le sinus sur le cosinus
- relation entre tan sin et cos
- tangente sinus cosinus relation
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a}$ : $\dfrac{AC}{BC} \times \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AC}{AB}$. Le sinus fou9, 5ater le côté opposé fou9 fi le sinus. Mouch $\dfrac{\cos a}{\sin a}$.
tan a égale sin a sur cos a : A C sur B C ، fois B C sur A B ، يعطي A C sur A B . le sinus فوق ، خاطر le côté opposé فوق في le sinus . موش cos sur sin .
Tangente de a égale sinus de a sur cosinus de a : A C sur B C, fois B C sur A B, donne A C sur A B. Le sinus va en haut, car c'est lui qui contient le côté opposé. Ce n'est pas cosinus sur sinus.
Question 11 · Les relations trigonométriques
- sin² + cos² = 1 pourquoi
- sin a + cos a = 1 ?
- somme des carrés du sinus et du cosinus
- sin carré plus cos carré
- 3lech sin carré + cos carré ysewi 1
- cos² + sin² égale combien
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(\sin a)^{2} + (\cos a)^{2} = 1$ : houwa Pythagore ma9soum 3la $BC^{2}$. W mahouch $\sin a + \cos a$ : mathalan le cosinus égale $0{,}6$ w le sinus $0{,}8$, $0{,}6 + 0{,}8$ ma ya3tich 1, ama $0{,}36 + 0{,}64 = 1$.
sin a le tout au carré plus cos a le tout au carré يساوي 1 : هو Pythagore مقسوم على B C au carré . w ماهوش sin a plus cos a : مثلا le cosinus égale 0,6 w le sinus 0,8 ، 0,6 plus 0,8 ما يعطيش 1 ، أما 0,36 plus 0,64 يعطي 1 .
Sinus de a au carré plus cosinus de a au carré égale 1 : c'est le théorème de Pythagore divisé par B C au carré. Ce n'est pas sinus plus cosinus : avec un cosinus de 0,6 et un sinus de 0,8, 0,6 plus 0,8 ne fait pas 1, alors que 0,36 plus 0,64 fait bien 1.
Question 12 · Les relations trigonométriques
- comment trouver le sinus connaissant le cosinus
- cos a = 0,6 kifech nal9a sin a
- sachant le cosinus calculer la tangente
- ki na3ref cos kifech na7seb sin
- connaissant cos a trouver sin a et tan a
- calculer sin à partir de cos
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nabdew men $(\sin a)^{2} + (\cos a)^{2} = 1$. $\cos a = 0{,}6$ : $(\sin a)^{2} = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, w $\sin a = 0{,}8$, el racine positive 5ater l'angle aigu. Men ba3d $\tan a = \dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac{4}{3}$.
نبداو من sin au carré plus cos au carré يساوي 1 . cos a égale 0,6 : sin a au carré égale 1 moins 0,36 ، يعني 0,64 ، w sin a égale 0,8 ، الـ racine positive خاطر l'angle aigu . من بعد tan a égale 0,8 sur 0,6 ، يعني 4 sur 3 .
On part de sinus au carré plus cosinus au carré égale 1. Avec cosinus de a égale 0,6 : sinus de a au carré égale 1 moins 0,36, soit 0,64, et sinus de a égale 0,8, la racine positive puisque l'angle est aigu. Puis tangente de a égale 0,8 sur 0,6, soit 4 sur 3.
Question 13 · Les angles remarquables
- sin 30 égale combien
- les valeurs de cos 45 et tan 60
- tableau des angles remarquables
- sin 30 = racine de 3 sur 2 ?
- angles remarquables 30 45 60
- tan 45 égale combien
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$. $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, w $\tan 45^\circ = 1$. $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Men 30 l 60, le sinus ykbar w le cosinus yosghar.
sin 30 égale un demi ، cos 30 égale racine de 3 sur 2 ، tan 30 égale racine de 3 sur 3 . sin 45 w cos 45 égale racine de 2 sur 2 ، w tan 45 égale 1 . sin 60 égale racine de 3 sur 2 ، cos 60 égale un demi ، tan 60 égale racine de 3 . من 30 لـ 60 ، le sinus يكبر w le cosinus يصغر .
Sinus de 30 degrés égale un demi, cosinus de 30 égale racine de 3 sur 2, tangente de 30 égale racine de 3 sur 3. Sinus et cosinus de 45 égalent racine de 2 sur 2, et tangente de 45 égale 1. Sinus de 60 égale racine de 3 sur 2, cosinus de 60 égale un demi, tangente de 60 égale racine de 3. De 30 à 60 degrés, le sinus augmente et le cosinus diminue.
Question 14 · Les angles de 30°, 45° et 60°
- comment retrouver les valeurs remarquables sans les apprendre
- moitié d'un triangle équilatéral pourquoi
- d'où viennent les valeurs de sin 60
- moitié d'un carré tan 45
- kifech nal9a sin 60 b triangle équilatéral
- triangle équilatéral et les angles de 30 et 60
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La moitié mte3 triangle équilatéral de côté a, fiha angle de $60^\circ$ w angle de $30^\circ$ : le petit côté $\dfrac{a}{2}$, w la hauteur $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. W la moitié mte3 carré, triangle rectangle isocèle, fiha deux angles de $45^\circ$ : les deux côtés de l'angle droit égaux, donc $\tan 45^\circ = 1$.
la moitié متاع triangle équilatéral de côté a ، فيها angle de 60 w angle de 30 : le petit côté a sur 2 ، w la hauteur a racine de 3 sur 2 . w la moitié متاع carré ، triangle rectangle isocèle ، فيها deux angles de 45 : les deux côtés de l'angle droit égaux ، donc tan 45 égale 1 .
La moitié d'un triangle équilatéral de côté a contient un angle de 60 degrés et un de 30 : le petit côté vaut a sur 2 et la hauteur a racine de 3 sur 2. La moitié d'un carré, un triangle rectangle isocèle, a deux angles de 45 degrés : les côtés de l'angle droit sont égaux, donc tangente de 45 égale 1.
Question 15 · Avec la calculatrice
- ma calculatrice donne sin 30 = -0,988
- calculatrice en degrés ou radians
- mode DEG c'est quoi
- la machine ta3tini résultat ghalet fel sin
- comment régler la calculatrice pour les angles
- calculatrice radian 3lech ghalta
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
9bal ay calcul, 7ott la calculatrice en mode DEG, 5ater les angles bel degré. Le contrôle : $\sin 30^\circ$ lezem ya3ti $0{,}5$. Ken 3tak $-0{,}988$, rahi en radians.
قبْلْ أي calcul ، حطّ la calculatrice en mode DEG ، خاطر les angles بالـ degré . le contrôle : sin 30 لازم يعطي 0,5 . كان عطاك moins 0,988 ، راهي en radians .
Avant tout calcul, mets la calculatrice en mode DEG, car les angles sont en degrés. Le contrôle : sinus de 30 doit afficher 0,5. Si elle affiche moins 0,988, elle est en radians.
Question 16 · Avec la calculatrice
- comment trouver l'angle quand on connaît son cosinus
- cos a = 0,4 kifech nal9a a
- seconde fonction de la calculatrice
- 2ndF cos c'est quoi
- calculer la mesure d'un angle avec la calculatrice
- shift cos kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nesta3mlou la seconde fonction : 2ndF, walla SHIFT, men ba3d cos w el valeur. Pour $\cos a = 0{,}4$ : 2ndF cos 0,4 ya3ti 66,42 ta9riban, donc $a \approx 66{,}42^\circ$.
نستعملو la seconde fonction : 2ndF ، ولّا SHIFT ، من بعد cos w الـ valeur . pour cos a égale 0,4 : 2ndF cos 0,4 يعطي 66,42 تقريبا ، donc a تقريبا 66,42 degrés .
On utilise la seconde fonction : 2ndF, ou SHIFT selon les modèles, puis cos et la valeur. Pour cosinus de a égale 0,4 : 2ndF cos 0,4 donne environ 66,42, donc a vaut environ 66,42 degrés.
Question 17 · Avec la calculatrice
- quand faut-il arrondir
- j'arrondis la tangente avant de multiplier ?
- arrondir à la fin pourquoi
- valeur approchée de tan 53 fois 12
- narrondi 9bal walla ba3d
- pourquoi un seul arrondi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
N5alliw le calcul kemel w narrondir ken le résultat fel e5er. Mathalan $12 \times \tan 53^\circ \approx 15{,}9$. Ken narrondir $\tan 53^\circ$ l $1{,}3$ 9bal, nal9aw $15{,}6$ : el ghalta tokber bel multiplication.
نخلّيو le calcul كامل w نـ arrondir كان le résultat في الآخر . مثلا 12 fois tan 53 : تقريبا 15,9 . كان نـ arrondir tan 53 لـ 1,3 قبْلْ ، نلقاو 15,6 : الغلطة تكبر بالـ multiplication .
On garde le calcul entier et on n'arrondit que le résultat, à la fin. Par exemple, 12 fois tangente de 53 degrés donne environ 15,9. En arrondissant d'abord la tangente à 1,3, on trouverait 15,6 : la multiplication amplifie l'erreur.
Question 18 · Les relations métriques dans un triangle rectangle
- c'est quoi les relations métriques
- relations métriques dans un triangle rectangle
- chnowa les relations métriques
- les formules du triangle rectangle avec la hauteur
- relations métriques kifech nesta3melhom
- liste des relations métriques
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi ABC rectangle en A w $[AH]$ la hauteur : $AB \times AC = AH \times BC$, $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$, $AH^{2} = HB \times HC$, w $AB^{2} = BH \times BC$.
في A B C rectangle en A w A H la hauteur : A B fois A C égale A H fois B C ، A B au carré plus A C au carré égale B C au carré ، A H au carré égale H B fois H C ، w A B au carré égale B H fois B C .
Dans A B C rectangle en A, avec A H la hauteur : A B fois A C égale A H fois B C ; A B au carré plus A C au carré égale B C au carré ; A H au carré égale H B fois H C ; et A B au carré égale B H fois B C.
Question 19 · Les relations métriques dans un triangle rectangle
- AH² = HB × HC pourquoi
- le carré de la hauteur
- AH² = HB + HC ?
- kifech na7seb AH b HB w HC
- hauteur au carré égale produit des deux segments
- AH carré égale combien
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$AH^{2} = HB \times HC$ : produit, mouch somme. Yji men deux tangentes égales. Mathalan $AB = 5$ w $BH = 4$ : $AH^{2} = 25 - 16 = 9$, w $AH = 3$.
A H au carré égale H B fois H C : produit ، موش somme . يجي من deux tangentes égales . مثلا A B 5 w B H 4 : A H au carré égale 25 moins 16 ، يعني 9 ، w A H 3 .
A H au carré égale H B fois H C : c'est un produit, pas une somme. La relation vient de l'égalité de deux tangentes. Par exemple, avec A B égale 5 et B H égale 4 : A H au carré égale 25 moins 16, soit 9, et A H égale 3.
Question 20 · Les relations métriques dans un triangle rectangle
- AB² = BH × BC pourquoi
- le carré d'un côté de l'angle droit
- AB² = BH × HC ?
- projection sur l'hypoténuse c'est quoi
- kifech na7seb BC b AB w BH
- AB carré égale projection fois hypoténuse
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$AB^{2} = BH \times BC$ : la projection mte3 $[AB]$ 3la l'hypoténuse, fois l'hypoténuse kemla, mouch HC. Mathalan $AB = 5$ w $BH = 4$ : $25 = 4 \times BC$, donc $BC = \dfrac{25}{4}$.
A B au carré égale B H fois B C : la projection متاع A B على l'hypoténuse ، fois l'hypoténuse كاملة ، موش H C . مثلا A B 5 w B H 4 : 25 égale 4 fois B C ، donc B C égale 25 sur 4 .
A B au carré égale B H fois B C : la projection de A B sur l'hypoténuse, fois l'hypoténuse entière, pas H C. Par exemple, avec A B égale 5 et B H égale 4 : 25 égale 4 fois B C, donc B C égale 25 sur 4.
Question 21 · Les relations métriques dans un triangle rectangle
- pourquoi AB × AC = AH × BC
- l'aire du triangle rectangle de deux manières
- AB fois AC égale AH fois BC
- kifech na7seb la hauteur AH
- calculer AH avec l'aire
- aire deux façons triangle rectangle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'aire mte3 ABC tet7seb b zouz torto9 : $\dfrac{AB \times AC}{2}$ w $\dfrac{AH \times BC}{2}$. El zouz nafs l'aire, donc $AB \times AC = AH \times BC$, w menha nal9aw AH.
l'aire متاع A B C تتحسب بـ زوز طرق : A B fois A C sur 2 ، w A H fois B C sur 2 . الزوز نفس l'aire ، donc A B fois A C égale A H fois B C ، w منها نلقاو A H .
L'aire du triangle A B C se calcule de deux manières : A B fois A C sur 2, et A H fois B C sur 2. C'est la même aire, donc A B fois A C égale A H fois B C, ce qui donne A H.
Question 22 · Résoudre un problème concret
- cos, sin ou tan lequel choisir
- comment savoir quel rapport utiliser
- anahi rapport nesta3mel
- quand utiliser la tangente et quand le sinus
- kifech nekhtar bin cos w sin w tan
- quel rapport trigonométrique choisir
Ce qu’il répond
Sammi les côtés men l'angle, w chouf ama zouz ta3ref walla tlawwej 3lihom. Adjacent w hypoténuse : cosinus. Opposé w hypoténuse : sinus. Opposé w adjacent : tangente.
سمّي les côtés من l'angle ، w شوف أما زوز تعرف ولّا تلوّج عليهم . adjacent w hypoténuse : cosinus . opposé w hypoténuse : sinus . opposé w adjacent : tangente .
Nomme les côtés depuis l'angle, et regarde quels deux côtés tu connais ou cherches. Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé et adjacent : tangente.
Question 23 · Résoudre un problème concret
- pourquoi ajouter la hauteur des yeux
- l'observateur 1,70 m on l'ajoute ?
- angle mesuré depuis les yeux
- hauteur de la tour avec l'observateur
- 3lech nzidou 1,70
- les yeux de l'observateur dans le problème de la tour
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'angle yet9es mel 3inin, mouch mel ardh. Le triangle rectangle ya3ti ken el partie mte3 la tour elli fou9 el 3inin : $40 \times \tan 38^\circ$. Lezem nzidou $1{,}70$ : $TS = 1{,}70 + 40 \times \tan 38^\circ \approx 32{,}95$ m.
l'angle يتقاس من العينين ، موش من الأرض . le triangle rectangle يعطي كان الـ partie متاع la tour اللي فوق العينين : 40 fois tan 38 . لازم نزيدو 1,70 : la tour تقريبا 32,95 m .
L'angle est mesuré depuis les yeux, pas depuis le sol. Le triangle rectangle ne donne que la partie de la tour au-dessus des yeux : 40 fois tangente de 38 degrés. Il faut ajouter 1,70 mètre : la tour mesure environ 32,95 mètres.
Question 24 · Construire avec un triangle rectangle
- comment construire un segment de longueur racine de 6
- construire racine de ab
- kifech nebni segment racine 6
- construction de la racine carrée avec un cercle
- construire un segment de longueur √6
- construire racine de a fois b
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
N7ottou H 3la $[BC]$ b $BH = 3$ w $HC = 2$, nrasmou le cercle de diamètre $[BC]$, w la perpendiculaire l $(BC)$ fi H t9ossou fi A. Le triangle ABC rectangle en A, donc $AH^{2} = 3 \times 2 = 6$, w $AH = \sqrt{6}$.
نحطّو H على B C بـ B H égale 3 w H C égale 2 ، نرسمو le cercle de diamètre B C ، w la perpendiculaire لـ B C في H تقصّو في A . le triangle A B C rectangle en A ، donc A H au carré égale 3 fois 2 ، يعني 6 ، w A H égale racine de 6 .
On place H sur B C avec B H égale 3 et H C égale 2, on trace le cercle de diamètre B C, et la perpendiculaire à B C en H le coupe en A. Le triangle A B C est rectangle en A, donc A H au carré égale 3 fois 2, soit 6, et A H égale racine de 6.
Question 25 · Construire avec un triangle rectangle
- comment construire un angle dont le sinus vaut 0,38
- construire un angle connaissant son cosinus
- kifech nebni angle b sinus
- construire un angle de tangente 5
- construction d'un angle avec un rapport
- construire un angle dont le cosinus vaut 1/3
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nektbou le rapport kif fraction, w nabniw triangle rectangle b les côtés hedhouma. $\sin = 0{,}38 = \dfrac{19}{50}$ : côté opposé 19 mm w hypoténuse 50 mm. $\cos = \dfrac{1}{3}$ : adjacent 2 cm w hypoténuse 6 cm. $\tan = 5$ : opposé 5 cm w adjacent 1 cm.
نكتبو le rapport كيف fraction ، w نبنيو triangle rectangle بـ les côtés هاذوما . sinus 0,38 égale 19 sur 50 : côté opposé 19 mm w hypoténuse 50 mm . cosinus 1 sur 3 : adjacent 2 cm w hypoténuse 6 cm . tangente 5 : opposé 5 cm w adjacent 1 cm .
On écrit le rapport sous forme de fraction et on construit un triangle rectangle avec ces côtés. Sinus 0,38 égale 19 sur 50 : côté opposé de 19 mm et hypoténuse de 50 mm. Cosinus un tiers : côté adjacent de 2 cm et hypoténuse de 6 cm. Tangente 5 : côté opposé de 5 cm et côté adjacent de 1 cm.
Question 26 · D'où vient le mot « sinus »
- d'où vient le mot sinus
- le mot sinus vient de l'arabe ?
- origine du mot sinus
- sinus ya3ni chnowa fel 3arbi
- histoire du sinus
- jayb sinus
Ce qu’il répond
Le mot sinus ja mel 3arbi. Les astronomes sammew la demi-corde mte3 arc « jayb », ya3ni la poche, w les traducteurs latins 9allbouh « sinus », elli ma3neh zeda le pli. W Al-Khwarizmi ken le premier mathématicien arabe elli 3mal des tables de sinus.
le mot sinus جا من العربي . les astronomes سمّاو la demi-corde متاع arc « جيب » ، يعني la poche ، w les traducteurs latins قلبوه « sinus » ، اللي معناه زادة le pli . w Al-Khwarizmi كان le premier mathématicien arabe اللي عمل des tables de sinus .
Le mot sinus vient de l'arabe. Les astronomes appelaient la demi-corde d'un arc « jayb », la poche, et les traducteurs latins l'ont rendu par « sinus », qui veut dire lui aussi le pli. Al-Khwarizmi fut le premier mathématicien arabe à établir des tables de sinus.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Le sinus d'un angle
Le triangle ABC est rectangle en A, avec et
Calculer le sinus de l'angle
Un triangle ABC rectangle en A : A en bas à gauche, B au-dessus de A, C loin à droite sur la même horizontale que A. On lit AB = 5 sur le côté vertical, AC = 12 sur le côté horizontal et BC = 13 sur l'hypoténuse. L'angle droit est marqué en A, et l'angle en B porte un arc bleu.
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 12/13
Indices, dans l’ordre
- Repère d'abord les trois côtés vus depuis : l'hypoténuse, le côté adjacent (qui touche ) et le côté opposé (qui fait face à ).
- L'hypoténuse est en face de l'angle droit. Le côté opposé à est Le sinus, c'est opposé sur hypoténuse.
Correction
- Les côtés vus de B — L'hypoténuse est le côté adjacent à est le côté opposé est
- Le sinus est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse.
Contrôle : est bien compris entre et Et : le triangle est bien rectangle en comme l'énoncé l'affirme.
Pièges anticipés
5/13→ Tu as calculé le cosinus : touche l'angle en c'est le côté adjacent. Le sinus prend le côté opposé, celui qui fait face à13/12→ Un sinus plus grand que est impossible : l'hypoténuse est le plus long côté, elle va toujours au dénominateur.12/5 / 2.4→ Tu as divisé par : c'est la tangente, opposé sur adjacent. Le sinus divise par l'hypoténuse5/12→ Tu as pris : ce n'est pas un sinus, l'hypoténuse n'y est pas. C'est la tangente de l'angle en pas un rapport de l'angle en Le sinus de l'angle en divise le côté opposé par l'hypoténuse0.92 / 0.923→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 2 · base
Avec un angle de 60°
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de
Un triangle ABC rectangle en A : A en bas à gauche, B au-dessus de A, C à droite sur la même horizontale que A. Le côté vertical [AB] mesure 4. L'angle en B, entre [BA] et [BC], est marqué 60 degrés. Le côté horizontal [AC] porte un point d'interrogation.
Garde la racine carrée, sans valeur approchée.
Réponse attendue : 4*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Vu de : touche l'angle, c'est le côté adjacent ; lui fait face, c'est le côté opposé. Quel rapport relie l'opposé et l'adjacent ?
- C'est la tangente : est égal à multiplié par la tangente de Et le tableau des angles remarquables donne la tangente de
Correction
- Les côtés vus de B — est le côté adjacent à et le côté opposé : c'est la tangente qui les relie.
- On isole et la tangente de vaut
Contrôle : plus grand que C'est normal : l'angle de est grand, le côté qui lui fait face est donc plus long que le côté adjacent. L'hypoténuse vaut : le triangle est la moitié d'un triangle équilatéral de côté
Pièges anticipés
4*sqrt(3)/3 / 4/sqrt(3)→ Tu as divisé par au lieu de multiplier. La tangente vaut : donc est égal à multiplié par la tangente.2*sqrt(3)→ Tu as pris le sinus de Mais n'est pas l'hypoténuse : c'est le côté adjacent. Opposé et adjacent, c'est la tangente.8→ c'est l'hypoténuse : divisé par le cosinus de On demandait le côté qui fait face à l'angle de6.93 / 6.928→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée, sans calculatrice.4*tan(60)→ C'est le bon calcul : va jusqu'au bout. La tangente de se lit dans le tableau des angles remarquables, sans calculatrice.
Exercice 3 · pratique
L'échelle contre le mur
Une échelle de longueur mètres fait avec le sol horizontal un angle Elle est appuyée contre un mur vertical : est son pied, posé sur le sol, son sommet, contre le mur, et le pied du mur.
À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Donner une valeur approchée à près.
Un mur vertical se dresse à droite, sur un sol horizontal ; M est le pied du mur et l'angle droit est marqué en M. L'échelle [PE], en orange, longue de 5 m, part du point P sur le sol, à gauche du mur, et s'appuie en E contre le mur. L'angle MPE, entre le sol et l'échelle, est marqué 70 degrés. La hauteur [ME], le long du mur, porte un point d'interrogation.
Écrire le nombre seul, sans ≈ ni unité.
Réponse attendue : 4.70
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en Vu de l'échelle est l'hypoténuse. Et est-ce le côté adjacent ou le côté opposé ?
- fait face à l'angle en : opposé et hypoténuse, c'est le sinus. Vérifie que la calculatrice est en mode degrés.
Correction
- Le triangle — Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle est rectangle en et l'échelle est son hypoténuse.
- Le bon rapport — Vu de est le côté opposé : opposé sur hypoténuse, c'est le sinus.
- On isole puis on calcule en mode degrés.
Contrôle : mètres, c'est moins que les mètres de l'échelle ; le côté opposé ne peut pas dépasser l'hypoténuse. Et la calculatrice en mode degrés, toujours : en radians, on aurait trouvé
Pièges anticipés
3.87→ Ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés : le sinus de doit afficher1.71→ Tu as pris le cosinus : mètre, c'est la distance entre le pied de l'échelle et le mur. fait face à l'angle en : c'est le sinus.4.69→ Le calcul donne Le chiffre des millièmes est donc on arrondit au-dessus : on ne coupe pas, on arrondit.4.698 / 4.6985 / 4.6984 / 4.698463→ Le calcul donne et on demande un arrondi à près : deux décimales exactement, pas plus. Regarde le chiffre des millièmes pour savoir si l'on arrondit au-dessus ou au-dessous.5*sin(70)→ C'est le bon calcul : fais-le à la calculatrice, en mode degrés, puis arrondis au centième.
Exercice 4 · pratique
L'écart du pendule
La boule d'un pendule est au bout d'un fil de longueur centimètres. On écarte le pendule de la verticale d'un angle et la boule monte alors de centimètres : est sa position de repos, à la verticale sous le point d'attache et est le projeté orthogonal de sur
Calculer à près.
Un pendule accroché au point O, sous un support horizontal. Au repos, le fil pend verticalement jusqu'au point B, tracé en pointillés. Le pendule écarté forme le fil [OM], long de 12,5 cm, qui fait avec la verticale [OB] l'angle alpha, marqué en O. Puis on trace, en pointillés bleus, le segment horizontal [MH], où H est sur [OB] ; l'angle droit est marqué en H. Le segment [HB], en vert, mesure 5 cm : c'est de combien la boule est montée.
Écrire seulement le nombre de degrés, sans ≈ ni le nom de l'angle.
Réponse attendue : 53.13
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle rectangle en l'hypoténuse est le fil Il te faut encore : la boule est montée de centimètres, et
- Vu de touche l'angle : c'est le côté adjacent, donc le cosinus. Puis la seconde fonction de la calculatrice, en mode degrés.
Correction
- Le côté adjacent — La boule est montée de centimètres, et centimètres.
- Le cosinus — Dans le triangle rectangle en est adjacent à et est l'hypoténuse.
- On revient à l'angle avec la seconde fonction de la calculatrice, en mode degrés.
Le triangle est un triangle agrandi : et On aurait donc pu passer aussi par la tangente, : on retrouve le même angle.
Pièges anticipés
36.87→ Tu as utilisé le sinus. Or touche l'angle : c'est le côté adjacent, et adjacent sur hypoténuse, c'est le cosinus.66.42→ Tu as pris Mais centimètres, c'est la montée de la boule, et non un côté du triangle Le côté adjacent est0.93→ Ta calculatrice est en radians. En mode degrés, elle donne l'angle en degrés.53.1301 / 53.130102 / 53.1 / 53→ Le calcul donne et on demande un arrondi à près : deux décimales exactement. Regarde le chiffre des millièmes pour savoir si l'on arrondit au-dessus ou au-dessous.
Exercice 5 · pratique
L'angle d'un triangle isocèle
Le triangle ABC est isocèle en A, avec centimètres et centimètres. Il n'est pas rectangle : il faut en faire apparaître un.
Calculer la mesure de l'angle à près.
Un triangle ABC isocèle en A, posé sur sa base [BC] horizontale : B en bas à gauche, C en bas à droite, A au-dessus du milieu de [BC], assez bas, si bien que l'angle en A est obtus. Les côtés [AB] et [AC] mesurent 5 et portent chacun un même petit trait, et on lit BC = 9 sous la base. L'angle en B porte un arc bleu. Puis la hauteur [AH] descend en pointillés bleus de A jusqu'au milieu H de [BC], avec un angle droit en H ; le segment [BH] est en vert.
Écrire seulement le nombre de degrés, sans ≈ ni le nom de l'angle.
Réponse attendue : 25.84
Indices, dans l’ordre
- Trace la hauteur issue de Dans un triangle isocèle en elle tombe au milieu H de et le triangle est rectangle en
- est la moitié de Vu de touche l'angle : c'est le côté adjacent, et est l'hypoténuse. Adjacent sur hypoténuse, c'est le cosinus.
Correction
- Un triangle rectangle — Le triangle est isocèle en : la hauteur issue de est aussi la médiane. Elle coupe en son milieu H, et le triangle est rectangle en
- Le cosinus — Vu de est le côté adjacent et est l'hypoténuse.
- On revient à l'angle avec la seconde fonction de la calculatrice, en mode degrés.
Contrôle : l'angle en mesure lui aussi environ et l'angle au sommet environ La somme fait bien Retiens le geste : un triangle qui n'est pas rectangle, on le coupe par une hauteur pour en faire apparaître un.
Pièges anticipés
64.16→ Tu as utilisé le sinus. Or touche l'angle en : c'est le côté adjacent, et adjacent sur hypoténuse, c'est le cosinus. Ton est la mesure de l'angle pas celle de l'angle en41.99→ Tu as pris la tangente. Mais n'est pas le côté opposé : c'est l'hypoténuse du triangle Adjacent sur hypoténuse, c'est le cosinus.56.25→ Tu as pris Mais le triangle n'est pas rectangle : on ne peut pas y écrire un cosinus. On travaille dans le triangle rectangle en où le côté adjacent est128.32→ c'est l'angle au sommet On demande l'angle à la base, en0.45→ Ta calculatrice est en radians. En mode degrés, elle donne l'angle en degrés.25.842 / 25.8419 / 25.84193 / 25.8→ Le calcul donne et on demande un arrondi à près : deux décimales exactement. Regarde le chiffre des millièmes pour savoir si l'on arrondit au-dessus ou au-dessous.
Exercice 6 · pratique
La hauteur et les deux morceaux
On donne et où est le pied de la hauteur issue de dans le triangle rectangle en
Calculer
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] horizontale : B en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut. La hauteur [AH] descend verticalement de A jusqu'au point H de [BC], avec un angle droit en A et un angle droit en H. On lit BH = 4 et HC = 9 sous l'hypoténuse ; la hauteur [AH] porte un point d'interrogation.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Une hauteur issue de l'angle droit, et les deux morceaux de l'hypoténuse : une des relations métriques les relie directement.
- Le carré de la hauteur est égal au produit des deux morceaux de l'hypoténuse.
Correction
- La relation — Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit vérifie :
- Une longueur est positive.
Contrôle par Pythagore : et Tout est cohérent.
Pièges anticipés
sqrt(13)→ Tu as additionné La relation est un produit :36→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.2*sqrt(13) / 3*sqrt(13)→ Tu as calculé un côté de l'angle droit, ou avec On demande la hauteur
Exercice 7 · pratique
La projection d'un côté
On donne et dans le triangle rectangle en ; est le pied de la hauteur issue de
Calculer
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] horizontale : B en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut, plus près de B que de C. L'angle droit est marqué en A. Le côté [AB] mesure 6, et on lit BC = 9 sous l'hypoténuse. Puis la hauteur [AH] descend en pointillés bleus de A jusqu'au point H de [BC], avec un angle droit en H ; le segment [BH], en rouge, porte un point d'interrogation.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Un côté de l'angle droit, sa projection sur l'hypoténuse, et l'hypoténuse entière : une des relations métriques les relie directement.
- Le carré du côté est égal au produit de sa projection par l'hypoténuse entière
Correction
- La relation — est la projection du côté sur l'hypoténuse
- On divise les deux membres par
Autre chemin, avec le cosinus de l'angle écrit dans deux triangles : donc Et puis : tout se tient.
Pièges anticipés
2/3→ c'est : le cosinus de l'angle ou la relation sans son carré. C'est le carré de qui est égal à36→ c'est Il reste à diviser par l'hypoténuse54→ Tu as multiplié par La relation est : on cherche on divise donc par5→ c'est l'autre morceau de l'hypoténuse. est la projection de : le morceau du côté de3*sqrt(5)→ Tu as calculé avec le théorème de Pythagore. On demande la projection de sur l'hypoténuse.
Exercice 8 · raisonnement
Du sinus à la tangente
est un angle aigu dont le sinus vaut
Calculer sa tangente.
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 5/12
Indices, dans l’ordre
- Pour la tangente, il te faut le sinus et le cosinus. Le cosinus se trouve avec la relation entre leurs carrés.
- Calcule : c'est le carré du cosinus. Le cosinus d'un angle aigu est positif.
Correction
- Le cosinus — On part de la relation entre les carrés.
- est aigu, son cosinus est positif.
- La tangente —
On reconnaît le triangle rectangle de côtés et : l'angle fait face au côté l'hypoténuse mesure et la tangente est opposé sur adjacent,
Pièges anticipés
5/8 / 0.625→ Tu as pris pour cosinus Mais ce ne sont pas le sinus et le cosinus qui font : ce sont leurs carrés.12/5 / 2.4→ Tu as divisé le cosinus par le sinus. La tangente, c'est le sinus divisé par le cosinus.12/13→ c'est le cosinus de Il reste une étape : diviser le sinus par ce cosinus.0.42 / 0.417→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 9 · raisonnement
La hauteur de l'immeuble
Depuis une fenêtre, un observateur voit le sommet d'un immeuble sous un angle au-dessus de l'horizontale, et son pied sous un angle au-dessous, avec mètres. Ses yeux sont au point ; est le point de l'immeuble situé à la hauteur de ses yeux, et est horizontale ; est le sommet de l'immeuble et son pied.
Calculer la hauteur de l'immeuble à près.
Le sol est horizontal. À gauche, le bâtiment de l'observateur est un segment vertical ; ses yeux sont au point O, en haut. À droite, l'immeuble est le segment vertical [PQ] : P son pied sur le sol, Q son sommet. Le point K est sur l'immeuble, à la hauteur des yeux de l'observateur ; le segment horizontal [OK], en pointillés bleus, mesure 20 m, avec un angle droit marqué en K. Deux lignes de visée partent de O, en pointillés rouges : l'une monte vers le sommet Q, l'angle KOQ étant marqué 25 degrés ; l'autre descend vers le pied P, l'angle KOP étant marqué 17 degrés.
Écrire le nombre seul, sans ≈ ni unité.
Réponse attendue : 15.44
Indices, dans l’ordre
- L'horizontale coupe l'immeuble en deux morceaux : au-dessus, au-dessous. Chacun est un côté d'un triangle rectangle en
- Dans chacun des deux triangles, on connaît le côté adjacent mètres et on cherche le côté opposé : c'est la tangente. Puis on additionne les deux morceaux.
Correction
- Le morceau du haut — Le triangle est rectangle en : fait face à l'angle de lui est adjacent.
- Le morceau du bas — Même raisonnement dans le triangle rectangle en
- La hauteur — est entre et : on additionne, et on n'arrondit qu'à la fin.
Au passage, mètres : c'est la hauteur des yeux de l'observateur au-dessus du sol. Une seule figure, deux triangles rectangles qui partagent le côté : c'est la configuration de tous les problèmes d'observation.
Pièges anticipés
3.21→ Tu as retranché les deux morceaux. est entre et : la hauteur de l'immeuble est leur somme.9.33→ mètres, c'est seulement la partie au-dessus des yeux. Ajoute la partie au-dessous,6.11→ mètres, c'est seulement la partie au-dessous des yeux. Ajoute la partie au-dessus,15.441 / 15.4408 / 15.44076 / 15.4→ Le calcul donne et on demande un arrondi à près : deux décimales exactement. Regarde le chiffre des millièmes pour savoir si l'on arrondit au-dessus ou au-dessous.15.6→ Tu as arrondi les tangentes trop tôt : avec et l'écart est multiplié par Garde les tangentes de et de en entier dans la calculatrice, et n'arrondis que le résultat.20*tan(25)+20*tan(17)→ C'est le bon calcul : fais-le à la calculatrice, en mode degrés, puis arrondis au centième.
Exercice 10 · defi
Un triangle, un angle, une hauteur
Le triangle est tel que et On note le projeté orthogonal de sur
- 1.Montrer que le triangle est rectangle en
- 2.Calculer la tangente de l'angle puis la mesure de cet angle.
- 3.Calculer
Un triangle STO : O en bas à gauche, T en bas à droite, S en haut, plus près de O que de T. On lit SO = √3 sur le côté gauche, ST = 3 sur le côté droit et OT = 2√3 sur la base. Aucun angle droit n'est marqué en S : c'est ce que la question 1 demande de démontrer. Puis la hauteur [SH], en pointillés, descend de S jusqu'au point H de [OT], avec un angle droit en H ; elle porte un point d'interrogation.
Pour la question 3, donner la valeur exacte de
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- Compare et : la réciproque du théorème de Pythagore dit en quel sommet est l'angle droit.
- Vu de : est le côté opposé, le côté adjacent. Le quotient se simplifie en une valeur du tableau des angles remarquables.
- Pour deux chemins : le sinus de l'angle en dans le triangle ou l'aire du triangle écrite de deux manières.
Correction
- L'angle droit — On compare les carrés des trois côtés.
- D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en
- L'angle en O — Vu de est le côté opposé et le côté adjacent.
- La hauteur — Dans le triangle rectangle en fait face à l'angle de et est l'hypoténuse.
Contrôle par les aires : et Les deux chemins donnent la même hauteur.
Pièges anticipés
sqrt(3)/2→ Tu as multiplié par le cosinus de : c'est le côté adjacent. fait face à l'angle en : c'est le sinus.3*sqrt(3)/2→ Tu as multiplié par le sinus de Mais dans le triangle l'angle en mesure et non Reprends avec le bon angle.3*sqrt(3) / sqrt(27)→ c'est le produit L'aire écrite de deux manières donne : il reste à diviser par60 / sqrt(3)→ Ça, c'est une réponse de la question 2 : l'angle mesure et sa tangente vaut Ici, on attend la réponse de la question 3.sqrt(3)*sin(60)→ C'est le bon calcul : va jusqu'au bout. Le sinus de se lit dans le tableau des angles remarquables, sans calculatrice.
Exercice 11 · defi
La hauteur d'une montagne
Depuis le sommet d'une montagne, on voit deux points de la plaine distants de mètres, sous des angles de dépression de et de : le premier vers A, le second vers B. Le sommet est le point S, et le pied H de la montagne, projeté orthogonal de S sur la droite (AB), est entre A et B : on ne peut pas l'atteindre.
L'angle de dépression, c'est l'angle que fait la ligne de visée, vers le bas, avec l'horizontale qui passe par l'œil.
Calculer la hauteur de la montagne à près.
Une montagne vue de profil, réduite à un triangle. Le sol est le segment horizontal [AB] : A à gauche, B à droite, et on lit AB = 2500 m sous le sol. Le sommet S est au-dessus du sol, plus près de B que de A, et les lignes de visée [SA] et [SB] en partent. Une horizontale en pointillés passe par S : l'angle entre cette horizontale et [SA], du côté de A, est marqué 35 degrés ; l'angle entre l'horizontale et [SB], du côté de B, est marqué 55 degrés. Puis la hauteur [SH], en pointillés bleus, descend de S jusqu'au point H de [AB], entre A et B, avec un angle droit en H ; elle porte un point d'interrogation.
Écrire le nombre seul, sans ≈ ni unité.
Réponse attendue : 1174.6
Indices, dans l’ordre
- L'horizontale qui passe par est parallèle à Les angles alternes-internes ramènent donc les angles de dépression au sol : et
- Pose donc Dans chacun des triangles rectangles en écris avec la tangente de l'angle au sol : d'un côté avec de l'autre avec
- Égale les deux expressions de : c'est une équation du premier degré en Calcule puis en gardant tout en entier dans la calculatrice jusqu'à la fin.
Correction
- Les angles au sol — L'horizontale qui passe par est parallèle à et les angles alternes-internes sont égaux.
- Deux expressions de — On pose donc Dans les triangles et rectangles en est le côté opposé : c'est la tangente.
- L'équation — On égale les deux expressions, puis on regroupe les termes en
- La hauteur — On garde en entier dans la calculatrice.
Contrôle par l'autre triangle : mètres, et multiplié par la tangente de redonne environ mètres. Deux visées et une seule distance mesurée suffisent : c'est ainsi qu'on mesure une hauteur dont on ne peut pas atteindre le pied.
Pièges anticipés
1677.5 / 1677.52→ mètres, c'est une distance au sol. Il reste à calculer la hauteur avec la tangente de l'angle en822.5 / 822.47→ mètres, c'est une distance au sol. On demande la hauteur1750.5 / 1750.52 / 3570.4 / 3570.37→ Tu as pris toute la distance mètres comme côté adjacent. Mais le pied est entre et : dans le triangle le côté adjacent est et non1174.62 / 1174.616 / 1174.6158→ Le calcul donne et on demande un arrondi à près : une seule décimale. Regarde le chiffre des centièmes pour savoir si l'on arrondit au-dessus ou au-dessous.1174.9 / 1175→ Tu y es presque : c'est un arrondi fait trop tôt, ou au mauvais rang. Garde les tangentes et en entier dans la calculatrice, et n'arrondis que au dixième.
Exercice 12 · base
Le cosinus d'un angle
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 8/17
Indices, dans l’ordre
- Repère les côtés vus depuis : l'hypoténuse fait face à l'angle droit, le côté adjacent touche le sommet
- L'hypoténuse est et le côté adjacent à est Le cosinus, c'est adjacent sur hypoténuse.
Correction
- Les côtés vus de E — L'hypoténuse est le côté adjacent à est le côté opposé est
- Le cosinus est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse.
Pour un cosinus : le côté qui touche l'angle, divisé par l'hypoténuse. Contrôle : est bien compris entre et
Pièges anticipés
15/17→ Tu as calculé le sinus : fait face à l'angle en c'est le côté opposé. Le cosinus prend le côté adjacent, celui qui touche15/8 / 1.875→ Tu as divisé l'opposé par l'adjacent : c'est la tangente. Le cosinus divise par l'hypoténuse17/8→ Un cosinus plus grand que est impossible : l'hypoténuse, le plus long côté, va toujours au dénominateur.0.47 / 0.471→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 13 · base
La tangente d'un angle
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 21/20 — aussi acceptées : 1.05
Indices, dans l’ordre
- Vu de : quel côté de l'angle droit touche et lequel lui fait face ?
- La tangente ne fait pas intervenir l'hypoténuse : c'est le côté opposé divisé par le côté adjacent.
Correction
- Les côtés vus de K — touche : c'est le côté adjacent. fait face à : c'est le côté opposé. est l'hypoténuse.
- La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent.
La tangente, c'est opposé sur adjacent, sans l'hypoténuse. Elle peut dépasser : ici car le côté opposé est un peu plus long que le côté adjacent.
Pièges anticipés
20/21→ Tu as divisé l'adjacent par l'opposé : c'est la tangente de l'angle en Pour l'angle en le côté opposé va au numérateur.21/29→ Tu as pris l'hypoténuse au dénominateur : c'est le sinus. La tangente divise l'opposé par l'adjacent.20/29→ c'est le cosinus de l'angle en : adjacent sur hypoténuse. La tangente, c'est opposé sur adjacent.
Exercice 14 · base
Le sinus de l'autre angle aigu
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte du sinus de l'angle
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 7/25 — aussi acceptées : 0.28
Indices, dans l’ordre
- Attention, l'angle est en pas en Repère le côté de l'angle droit qui fait face à
- Le côté opposé à est l'hypoténuse est
Correction
- Les côtés vus de T — L'hypoténuse est Le côté touche : il est adjacent. Le côté fait face à : il est opposé.
- Le sinus est le quotient du côté opposé par l'hypoténuse.
Les mots « adjacent » et « opposé » dépendent de l'angle choisi : on les relit depuis le sommet de l'angle à chaque fois. Ici
Pièges anticipés
24/25 / 0.96→ c'est le sinus de l'angle en (ou le cosinus de l'angle en ). Vu de le côté opposé est de longueur7/24→ Tu as divisé par : c'est la tangente. Le sinus divise le côté opposé par l'hypoténuse24/7→ n'est pas un sinus : il dépasse Le sinus divise toujours par l'hypoténuse, le plus long côté.
Exercice 15 · base
D'abord l'hypoténuse
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 4/5 — aussi acceptées : 0.8
Indices, dans l’ordre
- Il manque l'hypoténuse : le théorème de Pythagore la donne.
- Vu de le côté adjacent est Le cosinus, c'est adjacent sur hypoténuse.
Correction
- Pythagore — Le triangle est rectangle en
- Le cosinus — Vu de est le côté adjacent.
Quand l'hypoténuse manque, Pythagore la donne d'abord. Et on simplifie :
Pièges anticipés
3/5 / 0.6→ c'est : le sinus de l'angle en car fait face à Le cosinus prend le côté qui touche8/14 / 4/7→ Tu as pris L'hypoténuse n'est pas la somme des deux côtés : c'est son carré qui est la somme des carrés.3/4 / 0.75→ Tu as divisé par : c'est la tangente de l'angle en Le cosinus divise par l'hypoténuse qu'il faut d'abord calculer.
Exercice 16 · base
Un côté à partir du sinus
Le triangle est rectangle en avec centimètres et
Calculer en centimètres.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Vu de est le côté opposé et l'hypoténuse : écris le sinus de avec ces deux côtés.
- Dans on connaît le sinus et : il reste à isoler
Correction
- Le sinus — Vu de est opposé, est l'hypoténuse.
- On isole en multipliant par l'hypoténuse.
Connaissant un rapport et un côté, on écrit le rapport puis on isole l'inconnue. Contrôle : le côté opposé est plus court que l'hypoténuse.
Pièges anticipés
50/3 / 16.67→ Tu as divisé par Mais : on multiplie. Ton résultat dépasse l'hypoténuse, c'est impossible.8→ centimètres, c'est le côté adjacent, qu'on obtient ensuite par Pythagore. On demande le côté opposé à
Exercice 17 · pratique
Pythagore, puis la tangente
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 40/9
Indices, dans l’ordre
- La tangente a besoin du côté opposé à qu'on ne connaît pas encore.
- Le théorème de Pythagore donne
- Puis la tangente, opposé sur adjacent.
Correction
- Pythagore — Le triangle est rectangle en
- La tangente — Vu de est opposé et adjacent.
Une tangente supérieure à n'a rien d'anormal : le côté opposé est bien plus long que le côté adjacent l'angle en est donc grand.
Pièges anticipés
9/40→ Tu as divisé l'adjacent par l'opposé. La tangente de l'angle en c'est : l'opposé au numérateur.40/41→ c'est le sinus : opposé sur hypoténuse. La tangente divise par le côté adjacent9/41→ est le cosinus de l'angle en et il se calcule sans Pythagore. On demande la tangente.4.44 / 4.4 / 4.444→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 18 · pratique
Du cosinus au troisième côté
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 4*sqrt(6) — aussi acceptées : sqrt(96)
Indices, dans l’ordre
- Le cosinus de relie et : commence par calculer
- Ensuite, Pythagore donne
- Simplifie la racine : cherche le plus grand carré qui divise le nombre sous la racine.
Correction
- Le côté adjacent — Vu de est adjacent.
- Pythagore —
- Et
Le rapport donne un deuxième côté, Pythagore donne le troisième. Contrôle : moins que l'hypoténuse
Pièges anticipés
10→ c'est le côté adjacent : une première étape. Il reste à calculer avec le théorème de Pythagore.sqrt(296) / 2*sqrt(74)→ Tu as additionné et est l'hypoténuse : c'est lui le plus long, on retranche de9.8 / 9.80 / 9.798→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 19 · pratique
Retrouver le côté adjacent
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 28
Indices, dans l’ordre
- Vu de : fait face à l'angle, le touche.
- Écris : l'inconnue est au dénominateur.
Correction
- La tangente — Vu de est opposé et adjacent.
- Les produits en croix donnent
Quand l'inconnue est au dénominateur, on divise par le rapport : Contrôle : la tangente est inférieure à le côté adjacent est donc plus long que le côté opposé,
Pièges anticipés
63/4 / 15.75→ Tu as calculé Mais est au dénominateur de la tangente : on divise par la tangente.35→ c'est l'hypoténuse, par Pythagore. On demande le côté adjacent
Exercice 20 · pratique
Le périmètre à partir d'un sinus
Le triangle est rectangle en avec centimètres et
Calculer le périmètre du triangle en centimètres.
Donner le périmètre en centimètres.
Réponse attendue : 168
Indices, dans l’ordre
- Vu de le côté opposé est : le sinus donne
- Le troisième côté vient du théorème de Pythagore.
- Le périmètre est la somme des trois côtés.
Correction
- Le côté opposé — Vu de est opposé.
- Pythagore —
- Le périmètre —
Un rapport et un côté donnent un deuxième côté ; Pythagore donne le troisième. Contrôle :
Pièges anticipés
98→ Tu as additionné seulement et Le périmètre compte les trois côtés : il manque que donne Pythagore.840→ c'est l'aire du triangle, en centimètres carrés. On demande le périmètre : la somme des trois côtés.
Exercice 21 · pratique
Un même cosinus, deux triangles
Le triangle est rectangle en et est le pied de la hauteur issue de On donne et
Écrire dans le triangle puis dans le triangle et en déduire
Écrire seulement le nombre
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : vu de son hypoténuse est et son côté adjacent
- Dans le triangle rectangle en l'hypoténuse est et le côté adjacent à est
- Les deux écritures du cosinus du même angle sont égales.
Correction
- Dans ABH — est rectangle en
- Dans ABC — est rectangle en
Un même angle a un même cosinus, dans tous les triangles rectangles où il apparaît. Écrire ce cosinus de deux manières donne : ici
Pièges anticipés
0.6 / 3/5→ c'est le cosinus de : une étape. On demande la longueur3.6→ Tu as multiplié par : c'est qu'on connaissait déjà. Dans est au dénominateur : on divise.9.6→ Tu as additionné et Ils ne sont pas sur la même droite : est sur mais n'y est pas.
Exercice 22 · raisonnement
Lesquels peuvent être un cosinus ?
Voici six nombres : ; ; ; ; ;
Combien d'entre eux peuvent être le cosinus d'un angle aigu ?
Écrire seulement le nombre de valeurs possibles.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Le cosinus est un quotient de deux côtés d'un triangle rectangle : lequel est au dénominateur ?
- L'hypoténuse est le plus long côté : le cosinus d'un angle aigu est donc strictement compris entre et . Compare chaque nombre à
Correction
- La règle — Le cosinus d'un angle aigu est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse, plus longue que lui : il est compris entre et
- Le tri — et sont entre et Mais et
Un cosinus ou un sinus qui dépasse signale une erreur : un côté plus long que l'hypoténuse. La tangente, elle, peut prendre n'importe quelle valeur positive.
Pièges anticipés
6→ et dépassent : ce serait un côté adjacent plus long que l'hypoténuse, impossible.5→ Attention à : il dépasse Seul peut être un cosinus.
Exercice 23 · raisonnement
Un côté double de l'autre
Le triangle est rectangle en et son côté est deux fois plus long que :
Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 2*sqrt(5)/5 — aussi acceptées : 2/sqrt(5)
Indices, dans l’ordre
- On ne connaît aucune longueur : pose alors
- Pythagore donne en fonction de :
- Dans le sinus, les se simplifient.
Correction
- Une inconnue — On pose avec ; alors
- Pythagore —
- Le sinus — Vu de est opposé.
- On multiplie en haut et en bas par
Le rapport ne dépend que de la forme du triangle, pas de sa taille : la longueur disparaît. C'est pour cela que le sinus est une propriété de l'angle.
Pièges anticipés
sqrt(5)/5 / 1/sqrt(5)→ c'est : le cosinus de l'angle en Le sinus prend le côté opposé,2→ c'est : la tangente. Le sinus divise par l'hypoténuse, qu'il faut calculer par Pythagore.2/3→ Tu as pris L'hypoténuse n'est pas la somme des deux côtés : c'est son carré qui est la somme des carrés.0.89 / 0.894→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 24 · raisonnement
De la tangente au sinus
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 8/17
Indices, dans l’ordre
- La tangente et donnent le côté opposé à
- Puis l'hypoténuse par Pythagore, et enfin le sinus.
Correction
- Le côté opposé — Vu de est adjacent et opposé.
- Pythagore —
- Le sinus —
On remonte d'un rapport à un autre en passant par les côtés : un rapport donne un côté, Pythagore donne l'hypoténuse. Contrôle : est bien entre et
Pièges anticipés
15/17→ c'est : le cosinus. Le sinus prend le côté opposé,8/15→ c'est la tangente donnée par l'énoncé. Le sinus divise le côté opposé par l'hypoténuse, plus longue que le côté adjacent.0.47 / 0.471→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 25 · defi
Le pied de la perpendiculaire
est un rectangle avec et On note le projeté orthogonal de sur la diagonale
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 49/25 — aussi acceptées : 1.96
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : calcule d'abord la diagonale puis
- Le triangle est rectangle en et il a le même angle en :
- Dans l'hypoténuse est et le côté adjacent à est
Correction
- La diagonale — Dans le triangle rectangle en avec
- Le cosinus dans ADC —
- Le cosinus dans ADH — est sur donc et est rectangle en
Le même angle vit dans deux triangles rectangles : on calcule son cosinus dans le premier, on s'en sert dans le second. On retrouve soit
Pièges anticipés
7/25 / 0.28→ c'est le cosinus de l'angle en Il reste à multiplier par l'hypoténuse du triangle576/25 / 23.04→ c'est le morceau du côté de On demande du côté de168/25 / 6.72→ c'est la distance de à la diagonale. On demande sur la diagonale.
Exercice 26 · defi
Deux angles sur le même côté
Le triangle est rectangle en avec Le point est sur le segment On sait que et
Calculer la longueur
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Les triangles et sont tous deux rectangles en et ils ont le même côté adjacent
- Calcule avec la tangente de puis avec celle de
- est entre et :
Correction
- Dans ABD — Rectangle en ; vu de est opposé.
- Dans ABC — Rectangle en ; vu de est opposé.
- La différence — est sur
Le triangle n'est pas rectangle : on ne peut pas y écrire de tangente. On passe par les deux triangles rectangles en qui partagent le côté et on retranche.
Pièges anticipés
16→ c'est tout le côté. coupe en deux : on demande le morceau6→ c'est le morceau du côté de On demande l'autre morceau.22→ Tu as additionné et est sur : donc on retranche.
Exercice 27 · base
Du cosinus au sinus
est un angle aigu tel que
Calculer
Écrire seulement la valeur exacte : un nombre décimal ou une fraction.
Réponse attendue : 4/5 — aussi acceptées : 0.8
Indices, dans l’ordre
- Une relation relie le sinus et le cosinus d'un même angle : laquelle ?
- Calcule puis prends sa racine carrée : est aigu, son sinus est positif.
Correction
- La relation —
- Le sinus d'un angle aigu est positif.
On retient : Ce sont les carrés qui font pas le sinus et le cosinus eux-mêmes :
Pièges anticipés
0.4→ Tu as calculé Ce ne sont pas le sinus et le cosinus qui font ce sont leurs carrés.0.64→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 28 · base
La tangente par un quotient
est un angle aigu tel que et
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 7/24
Indices, dans l’ordre
- La tangente d'un angle s'écrit à l'aide de son sinus et de son cosinus.
- Pour simplifier multiplie en haut et en bas par
Correction
- La relation —
- On multiplie par en haut et en bas, puis on simplifie par
La tangente, c'est le sinus divisé par le cosinus. Contrôle : ces deux nombres sont bien le sinus et le cosinus d'un même angle.
Pièges anticipés
24/7→ Tu as divisé le cosinus par le sinus. La tangente, c'est le sinus au numérateur.0.2688→ Tu as multiplié le sinus par le cosinus. La tangente est leur quotient.0.29 / 0.292 / 0.2917→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 29 · base
Deux angles complémentaires
Le triangle est rectangle en et
Déterminer sans calculatrice.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 0.42
Indices, dans l’ordre
- Dans un triangle rectangle en que vaut ?
- Écris et avec les côtés du triangle : que remarques-tu ?
Correction
- Les deux rapports — Vu de le côté opposé est ; vu de le côté adjacent est aussi
Les angles et sont complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre. Le côté opposé à est le côté adjacent à
Pièges anticipés
0.58→ Tu as calculé Ce n'est pas une relation du cours : pour deux angles complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre.0.91 / 0.908 / sqrt(0.8236)→ Tu as calculé avec Mais on demande le cosinus de l'autre angle,
Exercice 30 · pratique
Un cosinus avec une racine
est un angle aigu tel que
Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : sqrt(21)/5
Indices, dans l’ordre
- Utilise pour calculer
- s'écrit sur Et est aigu : son cosinus est positif.
Correction
- La relation —
- Le cosinus d'un angle aigu est positif.
Le carré de la fraction s'écrit avec le carré du numérateur et du dénominateur : Contrôle : entre et
Pièges anticipés
3/5 / 0.6→ Tu as calculé Ce sont les carrés du sinus et du cosinus qui font21/25 / 0.84→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.0.92 / 0.917 / 0.9165→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 31 · pratique
Du cosinus à la tangente
est un angle aigu tel que
Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 2*sqrt(10)/3 — aussi acceptées : sqrt(40)/3
Indices, dans l’ordre
- Il faut d'abord le sinus :
- Puis la tangente, sinus sur cosinus. Diviser par c'est multiplier par
- Simplifie la racine :
Correction
- Le sinus —
- La tangente —
Deux relations à la suite : donne le sinus, puis Les se simplifient.
Pièges anticipés
2*sqrt(10)/7→ c'est : une étape. Il reste à diviser par le cosinus.3/(2*sqrt(10)) / 3*sqrt(10)/20→ Tu as divisé le cosinus par le sinus. La tangente, c'est le sinus divisé par le cosinus.4/3→ Tu as pris Ce sont les carrés du sinus et du cosinus qui font2.11 / 2.108→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 32 · pratique
Une somme de deux carrés
est un angle aigu. On pose
Développer, réduire, et donner la valeur de
Écrire seulement le nombre : la valeur de ne dépend pas de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Développe chaque carré avec les identités remarquables et
- Les doubles produits s'éliminent. Que reste-t-il ?
- Regroupe
Correction
- Développer —
- Réduire — Les doubles produits s'annulent.
Les identités remarquables et la relation travaillent ensemble : une expression qui semble dépendre de vaut toujours
Pièges anticipés
1→ Tu as remplacé chaque carré par comme si valait Il manque les doubles produits : développe avec
Exercice 33 · pratique
Le sinus de l'angle en C
Le triangle est rectangle en et
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 8/17
Indices, dans l’ordre
- Les angles en et en sont complémentaires :
- La tangente donne un triangle « modèle » : on peut prendre et puis Pythagore.
Correction
- Un triangle modèle — Les rapports ne dépendent que des angles : on peut prendre et car alors
- Les complémentaires — Vu de le côté opposé est
Le sinus de l'angle en est le cosinus de l'angle en : le côté opposé à est le côté adjacent à Choisir un triangle modèle aux côtés entiers simplifie les calculs.
Pièges anticipés
15/17→ c'est le sinus de l'angle en Vu de le côté opposé est pas8/15→ c'est la tangente de l'angle en Le sinus divise par l'hypoténuse.0.47 / 0.471→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 34 · pratique
Sans calculatrice
On pose
Calculer sans calculatrice.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Que vaut ?
- Les angles de et sont complémentaires : est le cosinus d'un autre angle.
Correction
- Les complémentaires — : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
- La relation —
Avant de prendre la calculatrice, on regarde si deux angles sont complémentaires : pour tout angle aigu
Pièges anticipés
0.70→ Ta calculatrice est en radians, et en plus elle n'était pas nécessaire. Remarque que
Exercice 35 · raisonnement
Le cosinus connaissant la tangente
est un angle aigu tel que
Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : sqrt(5)/5 — aussi acceptées : 1/sqrt(5)
Indices, dans l’ordre
- : écris en fonction de
- Remplace par dans
- Tu obtiens Le cosinus d'un angle aigu est positif.
Correction
- La tangente —
- La relation —
- et le cosinus est positif.
Deux relations, deux inconnues : la tangente exprime le sinus en fonction du cosinus, et termine le calcul.
Pièges anticipés
1/2 / 0.5→ Tu as pris Ce n'est pas une relation du cours : la tangente est il faut aussi la relation des carrés.2*sqrt(5)/5 / 2/sqrt(5)→ c'est On demande le cosinus.1/5 / 0.2→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.0.45 / 0.447→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 36 · raisonnement
Une différence de carrés
est un angle aigu tel que On pose
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 7/8 — aussi acceptées : 0.875
Indices, dans l’ordre
- Inutile de calculer : seul son carré intervient.
- Remplace dans
Correction
- Le carré du cosinus —
- La différence —
On peut aussi écrire Quand seuls les carrés interviennent, on évite la racine carrée.
Pièges anticipés
1→ c'est la somme Ici on fait la différence.-7/8 / -0.875→ Tu as calculé : l'ordre est inversé, le signe aussi.15/16→ c'est Il reste à retrancher0.88 / 0.9→ C'est un arrondi. La valeur exacte est soit
Exercice 37 · raisonnement
Un sinus et un cosinus incompatibles
Samia affirme qu'il existe un angle aigu tel que et
Calculer puis dire si Samia a raison.
Écrire seulement la valeur de la somme des carrés.
Réponse attendue : 0.85
Indices, dans l’ordre
- Calcule chaque carré : et
- Pour tout angle aigu, la somme des carrés du sinus et du cosinus vaut exactement un nombre précis : compare.
Correction
- Les carrés —
: aucun angle aigu n'a ce sinus et ce cosinus à la fois, Samia a tort. La relation sert aussi à contrôler un résultat.
Pièges anticipés
1→ Tu as écrit la relation du cours au lieu de calculer. Justement : calcule pour voir si on trouve bien1.3→ Tu as additionné et sans les élever au carré. La relation porte sur les carrés.
Exercice 38 · raisonnement
Le produit de deux tangentes
On pose
Calculer sans calculatrice.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- et sont complémentaires. Écris chaque tangente comme un quotient sinus sur cosinus.
- et
Correction
- Les quotients —
- Les complémentaires —
Pour deux angles complémentaires, les tangentes sont inverses l'une de l'autre : dans un triangle rectangle, et
Pièges anticipés
-21.41→ Ta calculatrice est en radians, et elle n'était pas nécessaire : et sont complémentaires.
Exercice 39 · defi
Une expression qui ne dépend pas de x
est un angle aigu. On pose
Montrer que ne dépend pas de et donner sa valeur.
Écrire seulement la valeur de
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- est une différence de deux carrés : avec et
- Factorise : et vaut une valeur connue.
- Il reste
Correction
- Factoriser —
- Le second crochet vaut
- Réduire —
Une puissance c'est le carré d'un carré : l'identité fait apparaître
Pièges anticipés
-1→ Attention au signe : On retrouve
Exercice 40 · defi
Connaissant la somme
est un angle aigu tel que
Calculer la valeur exacte du produit
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 12/25 — aussi acceptées : 0.48
Indices, dans l’ordre
- Élève les deux membres de l'égalité au carré.
- : une partie de cette somme est connue.
Correction
- Le carré —
- Développer —
Élever au carré fait apparaître Contrôle : un angle de sinus et de cosinus convient, et
Pièges anticipés
24/25 / 0.96→ c'est le double produit. Il reste à diviser par49/50 / 0.98→ Tu as oublié que se trouve dans le développement : il faut le retrancher avant de diviser par
Exercice 41 · base
Lire le tableau
On pose
Calculer sans calculatrice.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Le tableau des angles remarquables donne et
- Ou bien : et sont complémentaires, donc
Correction
- Le tableau —
: c'est la moitié d'un triangle équilatéral, où le petit côté est la moitié de l'hypoténuse.
Pièges anticipés
sqrt(3)→ Tu as pris pour les deux. Or est et De à le sinus augmente : est le petit,-1.94→ Ta calculatrice est en radians, et elle n'était pas nécessaire : le tableau des angles remarquables donne ces deux valeurs.
Exercice 42 · base
Un angle de 30°
Le triangle est rectangle en avec centimètres et
Calculer en centimètres, sans calculatrice.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Vu de : fait face à l'angle, est l'hypoténuse. Quel rapport les relie ?
- Le sinus, et le tableau donne
Correction
- Le sinus — Vu de est opposé et est l'hypoténuse.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle de mesure la moitié de l'hypoténuse : le triangle est la moitié d'un triangle équilatéral.
Pièges anticipés
7*sqrt(3)→ c'est le côté adjacent : fait face à l'angle en : c'est le sinus.28→ Tu as divisé par : ton côté est plus long que l'hypoténuse, c'est impossible. on multiplie.
Exercice 43 · base
Un angle de 45°
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer la valeur exacte de l'hypoténuse
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 6*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(72)
Indices, dans l’ordre
- Vu de est le côté adjacent. Le cosinus relie l'adjacent et l'hypoténuse.
- et est au dénominateur du cosinus.
Correction
- Le cosinus —
- On multiplie en haut et en bas par
Avec le triangle est rectangle isocèle : et l'hypoténuse est le côté multiplié par comme la diagonale d'un carré.
Pièges anticipés
3*sqrt(2)→ Tu as multiplié par : le résultat est plus court que impossible pour une hypoténuse. est au dénominateur du cosinus : on divise.6→ c'est : avec le triangle est isocèle. On demande l'hypoténuse8.49 / 8.5 / 8.485→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 44 · base
Retrouver l'angle
est un angle aigu tel que
Déterminer la mesure de sans calculatrice.
Donner la mesure de en degrés.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Cherche dans la ligne des cosinus du tableau des angles remarquables.
- Attention : est aussi un sinus, mais pas celui du même angle.
Correction
- Le tableau — Dans la ligne des cosinus :
Le cosinus diminue quand l'angle augmente : le plus grand cosinus du tableau, va avec le plus petit angle,
Pièges anticipés
60→ : tu as lu la ligne des sinus. Pour le cosinus, va avec45→ Avec le cosinus vaut pas
Exercice 45 · pratique
La hauteur d'un triangle équilatéral
est un triangle équilatéral de côté centimètres, et est sa hauteur issue de
Calculer la valeur exacte de en centimètres.
Donner la valeur exacte en centimètres, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 5*sqrt(3) — aussi acceptées : sqrt(75)
Indices, dans l’ordre
- Les angles d'un triangle équilatéral mesurent et le triangle est rectangle en
- Vu de est le côté opposé et l'hypoténuse.
Correction
- Le triangle rectangle — est rectangle en et
- Le sinus —
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté mesure Contrôle par Pythagore : et
Pièges anticipés
5→ c'est la moitié de la base : La hauteur fait face à l'angle en : c'est le sinus.10*sqrt(3)→ Tu as oublié de diviser par : pas Ta hauteur serait plus longue que le côté.8.66 / 8.7 / 8.660→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 46 · pratique
Une expression du tableau
On pose
Calculer la valeur exacte de sans calculatrice.
Écrire seulement la valeur exacte : une fraction ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- Remplace chaque rapport par sa valeur dans le tableau des angles remarquables.
- et
Correction
- Le premier produit —
- Le second produit —
et sont complémentaires : leurs tangentes sont inverses l'une de l'autre, leur produit vaut Et
Pièges anticipés
2→ ne vaut pas : c'est Seule la somme des carrés du sinus et du cosinus vaut1/2 / 0.5→ c'est seulement le premier produit. Ajoute
Exercice 47 · pratique
L'hypoténuse avec 60°
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer sans calculatrice.
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Vu de est le côté adjacent : quel rapport le relie à l'hypoténuse ?
- et est dans le tableau. L'inconnue est au dénominateur.
Correction
- Le cosinus —
- : diviser par c'est multiplier par
Le côté adjacent à l'angle de est la moitié de l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle de en
Pièges anticipés
9/2 / 4.5→ Tu as multiplié par : l'hypoténuse serait plus courte que impossible. On divise par le cosinus.9*sqrt(3)→ c'est le côté opposé. On demande l'hypoténuse6*sqrt(3) / 18/sqrt(3)→ Tu as divisé par Mais touche l'angle en : c'est le côté adjacent, et c'est donc le cosinus.
Exercice 48 · pratique
Reconnaître un angle remarquable
Le triangle est rectangle en avec et
Calculer puis en déduire la mesure de l'angle
Donner la mesure de l'angle en degrés.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Vu de est le côté opposé et le côté adjacent.
- : rends le dénominateur rationnel et cherche la valeur dans le tableau.
Correction
- La tangente —
- Le tableau —
Pour reconnaître un angle remarquable, on écrit le rapport sous la forme du tableau : sans racine au dénominateur. Contrôle : le côté opposé est plus court que l'adjacent l'angle est donc inférieur à
Pièges anticipés
60→ est l'angle dont la tangente vaut : c'est l'angle en Vu de le côté opposé est45→ Avec les deux côtés de l'angle droit seraient égaux. Ici
Exercice 49 · raisonnement
Le losange aux angles de 60°
est un losange de côté centimètres, de centre avec
Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale en centimètres.
Donner la valeur exacte en centimètres, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 6*sqrt(3) — aussi acceptées : sqrt(108)
Indices, dans l’ordre
- Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et sont les bissectrices de ses angles.
- Le triangle est rectangle en avec : calcule
Correction
- Le triangle ABO — est la bissectrice de et : le triangle est rectangle en avec
- Le cosinus — Vu de est adjacent et est l'hypoténuse.
On découpe le losange en quatre triangles rectangles en Ici est équilatéral, donc l'autre diagonale mesure et est la grande diagonale.
Pièges anticipés
6→ c'est l'autre diagonale : le triangle est équilatéral. On demande3*sqrt(3)→ c'est la moitié de la diagonale. est le milieu de : il reste à doubler.10.39 / 10.4→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 50 · raisonnement
Le trapèze et son angle de 45°
est un trapèze rectangle en et en de bases et avec et La grande base est
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Trace la hauteur avec sur : le quadrilatère est un rectangle.
- Le triangle est rectangle en avec et un angle de en
Correction
- La hauteur — est le projeté orthogonal de sur a trois angles droits : c'est un rectangle.
- Le triangle BHC — Rectangle en ; vu de est opposé et adjacent.
Dans un trapèze, une hauteur bien placée découpe un rectangle et un triangle rectangle. Avec ce triangle est isocèle :
Pièges anticipés
5→ c'est seulement le morceau de la base sous le triangle. Ajoute4+5*sqrt(2)→ Tu as ajouté le côté oblique. Sur la base, c'est sa projection qui compte.
Exercice 51 · raisonnement
L'aire avec un angle de 30°
Le triangle a pour côtés centimètres et centimètres, et Il n'est pas rectangle.
Calculer l'aire du triangle en centimètres carrés.
Écrire seulement le nombre de centimètres carrés.
Réponse attendue : 35/2 — aussi acceptées : 17.5
Indices, dans l’ordre
- Il faut une hauteur. Trace celle issue de : son pied est sur et le triangle est rectangle en
- Vu de est le côté opposé et l'hypoténuse.
- L'aire est la base multipliée par la hauteur divisée par
Correction
- La hauteur — est le projeté orthogonal de sur : le triangle est rectangle en
- L'aire —
L'aire d'un triangle se calcule avec deux côtés et l'angle qu'ils forment : la hauteur vaut un côté multiplié par le sinus de cet angle.
Pièges anticipés
35→ c'est la base multipliée par la hauteur. L'aire d'un triangle, c'est la moitié de ce produit.35*sqrt(3)/2→ Tu as pris la hauteur égale à Mais fait face à l'angle en : c'est le sinus.
Exercice 52 · defi
Deux angles remarquables, une base
Dans le triangle on a et Le pied de la hauteur issue de est sur le segment et
Calculer la valeur exacte de
Donner la valeur exacte, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 6+6*sqrt(3) — aussi acceptées : 6*(1+sqrt(3))
Indices, dans l’ordre
- La hauteur coupe le triangle en deux triangles rectangles en : et
- Dans chacun, est le côté opposé à l'angle connu : la tangente donne et
- et est au dénominateur :
Correction
- Dans ABH — Rectangle en avec un angle de : il est isocèle.
- Dans ACH — Rectangle en ; vu de est opposé et adjacent.
- est sur
La hauteur ramène un triangle quelconque à deux triangles rectangles. : on rend toujours le dénominateur rationnel.
Pièges anticipés
6+2*sqrt(3)→ Tu as pris Mais vu de est le côté adjacent : il est au dénominateur de la tangente, on divise.12→ Seul le triangle est isocèle, grâce à l'angle de Dans l'angle en mesure :16.39 / 16.4→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 53 · defi
Le côté connaissant l'aire
Un triangle équilatéral a une aire de centimètres carrés.
Calculer la longueur de son côté, en centimètres.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Appelle le côté. Sa hauteur vaut
- L'aire vaut : écris-la en fonction de puis égale-la à
Correction
- La hauteur — Le côté est ; la hauteur fait face à un angle de dans un triangle rectangle d'hypoténuse
- L'aire —
- Donc et
L'aire d'un triangle équilatéral de côté est On remonte de l'aire au côté en résolvant Contrôle :
Pièges anticipés
36→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.3*sqrt(2) / sqrt(18)→ Tu as oublié le de l'aire du triangle : tu as résolu qui donne
Exercice 54 · base
Un sinus à la calculatrice
Calculer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de à près.
Écrire la valeur arrondie au centième.
Réponse attendue : 0.66
Indices, dans l’ordre
- Vérifie d'abord que la calculatrice est en mode DEG : doit afficher
- Pour arrondir au centième, regarde le chiffre des millièmes.
Correction
- La calculatrice — En mode degrés, on tape « sin 41 = ».
- L'arrondi — Le chiffre des millièmes est : on arrondit au-dessus.
À près, on garde deux décimales et on regarde la troisième : ou plus, on arrondit au-dessus. Contrôle : un sinus est entre et
Pièges anticipés
0.65→ Le calcul donne : le chiffre des millièmes est on arrondit au-dessus. On ne coupe pas, on arrondit.0.656 / 0.6561 / 0.7→ On demande un arrondi à près : deux décimales exactement.-0.16→ Un sinus négatif : ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés.
Exercice 55 · base
Un angle à partir de son cosinus
est l'angle aigu tel que
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la mesure de arrondie au degré près.
Donner la mesure de en degrés, arrondie au degré près.
Réponse attendue : 76
Indices, dans l’ordre
- D'un rapport vers un angle : on passe par la seconde fonction, « 2ndF cos » (ou SHIFT cos).
- Pour arrondir à l'unité, regarde le chiffre des dixièmes.
Correction
- La calculatrice — En mode degrés, on tape « 2ndF cos 0.25 = ».
- L'arrondi — Le chiffre des dixièmes est : on arrondit au-dessus.
« cos » va de l'angle vers le rapport ; « 2ndF cos » va du rapport vers l'angle. Contrôle : un petit cosinus va avec un grand angle, proche de
Pièges anticipés
75→ Le calcul donne : le chiffre des dixièmes est on arrondit au-dessus.75.52 / 75.5 / 75.522→ On demande la mesure arrondie au degré près : un nombre entier de degrés.14→ Tu as utilisé « 2ndF sin » : est l'angle dont le sinus vaut Ici, c'est le cosinus.1.32 / 1→ Ta calculatrice est en radians : elle donne Mets-la en mode degrés.
Exercice 56 · base
Un angle à partir de sa tangente
est l'angle aigu tel que
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la mesure de à près.
Donner la mesure de en degrés, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 71.6
Indices, dans l’ordre
- D'un rapport vers un angle : « 2ndF tan » (ou SHIFT tan), en mode degrés.
- Pour arrondir au dixième, regarde le chiffre des centièmes.
Correction
- La calculatrice — En mode degrés, on tape « 2ndF tan 3 = ».
- L'arrondi — Le chiffre des centièmes est : on arrondit au-dessus.
Une tangente supérieure à donne un angle supérieur à car : ici est cohérent.
Pièges anticipés
71.5→ Le calcul donne : le chiffre des centièmes est on arrondit au-dessus.71.57 / 71.565 / 72 / 71.56→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.18.4→ est l'angle dont la tangente vaut : c'est l'autre angle aigu du triangle. Tape bien « 2ndF tan 3 ».1.2 / 1.25→ Ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés.
Exercice 57 · base
Une tangente à la calculatrice
Calculer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de à près.
Écrire la valeur arrondie au centième.
Réponse attendue : 2.36
Indices, dans l’ordre
- Mode DEG, puis « tan 67 = ».
- Regarde le chiffre des millièmes pour savoir si l'on arrondit au-dessus ou au-dessous.
Correction
- La calculatrice — En mode degrés, on tape « tan 67 = ».
- L'arrondi — Le chiffre des millièmes est : on arrondit au-dessus.
Une tangente peut dépasser : c'est le cas dès que l'angle dépasse Pour l'arrondi au centième, c'est le chiffre des millièmes qui décide : ici on arrondit au-dessus.
Pièges anticipés
2.35→ Le calcul donne : le chiffre des millièmes est on arrondit au-dessus.2.356 / 2.3559 / 2.4 / 2.355→ On demande un arrondi à près : deux décimales exactement.1.65→ Ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés : doit afficher
Exercice 58 · pratique
Un côté opposé, à la calculatrice
Le triangle est rectangle en avec centimètres et
Calculer en centimètres, à près.
Donner la longueur en centimètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 4.2
Indices, dans l’ordre
- L'angle connu est en : vu de est-il adjacent ou opposé ?
- fait face à : opposé et hypoténuse, c'est le sinus.
Correction
- Le bon rapport — Vu de est opposé et est l'hypoténuse.
- En mode degrés.
On relit les côtés depuis l'angle connu, ici en Contrôle : le côté est plus court que l'hypoténuse.
Pièges anticipés
7.9→ centimètres, c'est : touche l'angle en il est adjacent. fait face à : c'est le sinus.2.4→ Ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés : doit afficher4.23 / 4.225 / 4.22 / 4→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 59 · pratique
L'hypoténuse, à la calculatrice
Le triangle est rectangle en avec centimètres et
Calculer en centimètres, à près.
Donner la longueur en centimètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 10.4
Indices, dans l’ordre
- Vu de est adjacent : c'est le cosinus.
- est au dénominateur :
Correction
- Le cosinus —
- En mode degrés.
Quand l'hypoténuse est inconnue, elle est au dénominateur : on divise par le rapport. Contrôle : l'hypoténuse est le plus long côté.
Pièges anticipés
3.9→ Tu as multiplié par : ton hypoténuse est plus courte que impossible. est au dénominateur, on divise.8.1→ Tu as divisé par Mais touche l'angle en : il est adjacent, c'est le cosinus.10.3→ Le calcul donne : le chiffre des centièmes est on arrondit au-dessus. On ne coupe pas, on arrondit.10.39 / 10.395 / 10→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 60 · pratique
Un angle à partir de deux côtés
Le triangle est rectangle en avec et
Déterminer la mesure de l'angle arrondie au degré près.
Donner la mesure en degrés, arrondie au degré près.
Réponse attendue : 52
Indices, dans l’ordre
- On connaît les deux côtés de l'angle droit : quel rapport les relie, vu de ?
- puis « 2ndF tan ».
Correction
- La tangente — Vu de est opposé et adjacent.
- « 2ndF tan », en mode degrés, en gardant le quotient entier.
Sans l'hypoténuse, la tangente relie directement les deux côtés de l'angle droit. Contrôle : le côté opposé est le plus long, l'angle dépasse donc
Pièges anticipés
38→ c'est l'angle en : tu as calculé Vu de le côté opposé est au numérateur.52.25 / 52.3 / 52.2→ On demande la mesure arrondie au degré près : un nombre entier.
Exercice 61 · pratique
Un angle à partir de l'hypoténuse
Le triangle est rectangle en avec et
Déterminer la mesure de l'angle à près.
Donner la mesure en degrés, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 43.3
Indices, dans l’ordre
- Vu de est le côté adjacent et l'hypoténuse.
- puis « 2ndF cos ».
Correction
- Le cosinus —
- « 2ndF cos », en mode degrés.
Adjacent et hypoténuse : c'est le cosinus. On tape le quotient en entier, sans l'arrondir avant.
Pièges anticipés
46.7→ c'est l'angle dont le sinus vaut : l'angle en Vu de est adjacent, c'est le cosinus.36→ Tu as pris la tangente. Mais est l'hypoténuse, pas le côté adjacent : adjacent et hypoténuse, c'est le cosinus.0.8 / 0.76→ Ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés.43.34 / 43 / 43.342→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 62 · pratique
Un seul arrondi, à la fin
Le triangle est rectangle en avec centimètres et
Calculer l'aire du triangle en centimètres carrés, à près.
Écrire seulement le nombre de centimètres carrés, arrondi au dixième.
Réponse attendue : 73.1
Indices, dans l’ordre
- L'aire d'un triangle rectangle en est : il faut
- Garde ce calcul en entier dans la calculatrice.
- N'arrondis qu'à la toute fin :
Correction
- Le côté AC — Vu de est opposé et adjacent.
- L'aire — Sans arrondir
Un seul arrondi, à la fin. En arrondissant à on trouverait soit : un dixième d'écart, faux.
Pièges anticipés
72.8→ Tu as arrondi à avant de calculer l'aire : l'erreur s'est multipliée. Garde en entier.146.1→ c'est : l'aire du rectangle. Le triangle en est la moitié.73→ Le calcul donne : au dixième, le chiffre des centièmes est on arrondit au-dessus, à Ni ni : on ne coupe pas, on arrondit.73.06 / 73.058 / 73.05→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 63 · raisonnement
L'inclinaison d'une rampe
Une rampe d'accès pour fauteuil roulant permet de monter une marche de mètre de haut. Son pied est à mètres du pied de la marche, distance mesurée à l'horizontale.
Calculer l'angle que fait la rampe avec le sol, à près.
Donner la mesure en degrés, arrondie au centième.
Réponse attendue : 4.76
Indices, dans l’ordre
- Fais une figure : la rampe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont on connaît les deux côtés de l'angle droit.
- Vu du pied de la rampe, la hauteur est le côté opposé et les mètres le côté adjacent.
Correction
- Modéliser — Le triangle formé par la rampe, le sol et la marche est rectangle au pied de la marche. On connaît le côté opposé à l'angle cherché, m, et le côté adjacent, m.
- La tangente —
Les mètres sont horizontaux : ce n'est pas la longueur de la rampe. Opposé et adjacent, c'est la tangente. Avec le sinus, on aurait supposé la rampe longue de mètres.
Pièges anticipés
4.78→ Tu as pris mètres pour la longueur de la rampe, l'hypoténuse. Or ils sont mesurés à l'horizontale : c'est le côté adjacent, et donc la tangente.85.24→ c'est l'angle entre la rampe et la marche verticale. On demande l'angle avec le sol.4.8 / 4.764 / 4.7636 / 4.763→ On demande un arrondi au centième : deux décimales exactement.0.08→ Ta calculatrice est en radians. Mets-la en mode degrés.
Exercice 64 · raisonnement
Deux angles en B
Le triangle est rectangle en avec et Le point du segment est tel que
Calculer à près.
Écrire la longueur arrondie au dixième.
Réponse attendue : 3.8
Indices, dans l’ordre
- Les triangles et sont rectangles en avec le même côté adjacent
- Calcule et par la tangente, puis
- partage l'angle en deux, mais n'est pas le milieu de
Correction
- Dans ABC —
- Dans ABD —
- On retranche, et on arrondit à la fin.
Partager l'angle en deux ne partage pas le côté opposé en deux : et La tangente n'est pas proportionnelle à l'angle.
Pièges anticipés
3.4→ Tu as supposé que est le milieu de parce que est la moitié de C'est faux : n'est pas la moitié de2.9→ c'est le morceau du côté de On demande6.7→ c'est tout le côté. Retranche3.801 / 3.80104 / 4→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 65 · defi
La hauteur entre deux angles
Dans le triangle on a et On note le pied de la hauteur issue de ; il est sur
Calculer à près.
Écrire la longueur arrondie au centième.
Réponse attendue : 7.20
Indices, dans l’ordre
- Pose Dans les triangles et rectangles en exprime et en fonction de
- et Et
- Mets en facteur, puis divise. Garde les tangentes entières dans la calculatrice.
Correction
- Les deux triangles — On pose Vu de puis de est le côté opposé.
- L'équation — est sur
- En mode degrés, en un seul calcul.
Quand le pied de la hauteur est inaccessible, on pose la hauteur comme inconnue, on écrit les deux morceaux de la base en fonction d'elle, et leur somme donne une équation.
Pièges anticipés
11.11 / 20.50→ Tu as pris comme côté adjacent dans un seul triangle. Mais est entre et : la base est coupée en deux morceaux.7.19→ Tu as arrondi trop tôt, sans doute et Fais tout le calcul d'un seul tenant.6.49→ c'est une partie de la base. On demande la hauteur7.2039 / 7.204 / 7.203→ On demande un arrondi au centième : deux décimales exactement.
Exercice 66 · defi
La base d'un triangle isocèle
Le triangle est isocèle en avec centimètres et un angle au sommet
Calculer en centimètres, à près.
Donner la longueur en centimètres, arrondie au centième.
Réponse attendue : 6.16
Indices, dans l’ordre
- Le triangle n'est pas rectangle. Trace la hauteur issue de : son pied est le milieu de
- Dans un triangle isocèle, cette hauteur est aussi la bissectrice de l'angle au sommet :
- Dans le triangle rectangle en est opposé à l'angle en
Correction
- La hauteur — est le milieu de ; le triangle est rectangle en et
- Le sinus — Vu de est opposé et est l'hypoténuse.
- On double, et on arrondit à la fin.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet coupe à la fois la base et l'angle au sommet en deux : elle fabrique deux triangles rectangles.
Pièges anticipés
11.57→ Tu as utilisé l'angle de en entier. Dans le triangle l'angle en n'en est que la moitié,3.08→ centimètres, c'est la moitié de la base. Il reste à doubler.16.91 / 8.46→ Tu as pris le cosinus : est la hauteur fait face à l'angle en : c'est le sinus.6.15→ Le calcul donne : le chiffre des millièmes est on arrondit au-dessus. On ne coupe pas, on arrondit.6.2 / 6.156 / 6.1564→ On demande un arrondi au centième : deux décimales exactement.
Exercice 67 · base
La hauteur par les produits
Le triangle est rectangle en avec et On note le pied de la hauteur issue de
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- L'aire du triangle s'écrit de deux manières : avec les deux côtés de l'angle droit, ou avec l'hypoténuse et la hauteur.
- Les deux produits sont égaux.
Correction
- La relation —
Le produit des côtés de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur. Contrôle : et la hauteur est plus courte que chacun des côtés de l'angle droit.
Pièges anticipés
300→ c'est le produit Il reste à diviser par l'hypoténuse9→ c'est la projection de sur l'hypoténuse : On demande la hauteur
Exercice 68 · base
La hauteur au carré
Le triangle est rectangle en et est le pied de la hauteur issue de On donne et
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Une relation relie la hauteur aux deux segments et qu'elle découpe sur l'hypoténuse.
- C'est un produit, et il donne le carré de la hauteur.
Correction
- La relation —
- est une longueur, donc positive.
Le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse.
Pièges anticipés
100→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.5→ Tu as additionné et La relation est un produit :12.5→ c'est la moitié de : le rayon du cercle de diamètre La hauteur est plus courte, sauf si est le milieu de
Exercice 69 · base
La projection sur l'hypoténuse
Le triangle est rectangle en avec et ; est le pied de la hauteur issue de
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- est la projection du côté sur l'hypoténuse.
- Le carré d'un côté de l'angle droit est le produit de sa projection par l'hypoténuse.
Correction
- La relation —
On retrouve cette relation en écrivant dans deux triangles :
Pièges anticipés
3/4 / 0.75→ c'est : le cosinus de l'angle en C'est le carré de qui est égal à144→ c'est Il reste à diviser par l'hypoténuse7→ c'est l'autre morceau de l'hypoténuse. La projection de c'est le morceau du côté de
Exercice 70 · base
Un côté par sa projection
Le triangle est rectangle en et est le pied de la hauteur issue de On donne et
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- est la projection de sur l'hypoténuse
- : calcule ce produit, puis prends la racine carrée.
Correction
- La relation —
Le carré d'un côté de l'angle droit est le produit de sa projection sur l'hypoténuse par l'hypoténuse. Contrôle : le côté est plus court que l'hypoténuse.
Pièges anticipés
36→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.2*sqrt(5) / sqrt(20)→ Tu as additionné et La relation est un produit :12*sqrt(2) / sqrt(288)→ c'est avec la projection On demande dont la projection est
Exercice 71 · pratique
L'hypoténuse, puis la hauteur
Le triangle est rectangle en avec et ; est le pied de la hauteur issue de
Calculer
Écrire seulement la valeur exacte : un nombre décimal ou une fraction.
Réponse attendue : 36/5 — aussi acceptées : 7.2
Indices, dans l’ordre
- Il faut l'hypoténuse : le théorème de Pythagore la donne.
- Puis
Correction
- Pythagore —
- La relation —
Pythagore, puis le produit des côtés de l'angle droit : Contrôle : est plus petit que et que
Pièges anticipés
108→ c'est Il reste à diviser par l'hypoténuse54→ c'est l'aire du triangle. La hauteur s'obtient en divisant le double de l'aire par l'hypoténuse.36/7→ Tu as pris L'hypoténuse se calcule avec Pythagore :
Exercice 72 · pratique
Retrouver l'hypoténuse
Le triangle est rectangle en et est le pied de la hauteur issue de On donne et
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 26
Indices, dans l’ordre
- donne l'autre morceau,
- est sur :
Correction
- L'autre morceau —
- L'hypoténuse —
La hauteur coupe l'hypoténuse en deux morceaux ; leur produit est le carré de la hauteur. Contrôle :
Pièges anticipés
18→ c'est un seul morceau de l'hypoténuse. Ajoute20→ Tu as additionné et Mais n'est pas sur l'hypoténuse : elle lui est perpendiculaire.4*sqrt(13) / sqrt(208)→ c'est par Pythagore dans le triangle On demande l'hypoténuse
Exercice 73 · pratique
L'autre morceau de l'hypoténuse
Le triangle est rectangle en avec et ; est le pied de la hauteur issue de
Calculer
Écrire seulement la valeur exacte : un nombre décimal ou une fraction.
Réponse attendue : 64/5 — aussi acceptées : 12.8
Indices, dans l’ordre
- La relation donne la projection
- Puis Tu peux aussi calculer par Pythagore et utiliser
Correction
- La projection de AB —
- L'autre morceau —
Contrôle par l'autre chemin : donc et Même résultat.
Pièges anticipés
7.2 / 36/5→ c'est la projection de On demande l'autre morceau,16→ c'est par Pythagore. On demande sa projection sur l'hypoténuse,
Exercice 74 · pratique
Un côté et la hauteur
Le triangle est rectangle en et est le pied de la hauteur issue de On donne et
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 50/3
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : Pythagore donne
- Puis avec inconnue.
Correction
- Dans ABH — est rectangle en d'hypoténuse
- La relation —
Deux triangles rectangles sur la même figure : rectangle en donne ; la relation métrique du grand triangle donne
Pièges anticipés
6→ c'est une étape. Il reste à calculer l'hypoténuse avec40/3→ c'est On demande l'hypoténuse16.67 / 16.7 / 16.6→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 75 · pratique
Une hauteur en fraction
Le triangle est rectangle en avec et ; est le pied de la hauteur issue de
Calculer la valeur exacte de
Écrire seulement la valeur exacte, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 120/13
Indices, dans l’ordre
- Commence par l'hypoténuse, avec Pythagore.
- Puis et simplifie la fraction.
Correction
- Pythagore —
- La relation —
- On simplifie par
Une longueur exacte n'est pas toujours un entier : on la laisse en fraction irréductible. Contrôle : plus court que
Pièges anticipés
240→ c'est Il reste à diviser par l'hypoténuse120→ c'est l'aire du triangle. Le produit vaut le double de l'aire.9.23 / 9.2 / 9.231→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction.
Exercice 76 · raisonnement
De la hauteur au côté
Le triangle est rectangle en et est le pied de la hauteur issue de On donne et
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : Pythagore donne
- donne l'hypoténuse.
- Enfin ou Pythagore dans
Correction
- Dans ABH —
- L'hypoténuse —
- Le côté AC —
Trois relations, enchaînées : Pythagore dans le petit triangle, la projection, puis le produit des côtés. Contrôle :
Pièges anticipés
10→ c'est l'hypoténuse. Il reste une étape pour obtenir3.6→ c'est la projection de On demande le côté6.4→ c'est la projection de sur l'hypoténuse. On demande le côté lui-même.
Exercice 77 · raisonnement
Le rapport des projections
Le triangle est rectangle en avec et On note le pied de la hauteur issue de
Calculer
Écrire seulement le nombre.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Écris et puis divise membre à membre.
- Tu obtiens
- avec
Correction
- Le rapport —
- Le partage — Donc et
Les projections sont dans le rapport des carrés des côtés : ici pour et non pour Contrôle : et
Pièges anticipés
5→ Tu as partagé dans le rapport : Mais les projections sont dans le rapport des carrés des côtés,12→ c'est la projection de On demande du côté de
Exercice 78 · raisonnement
Un point sur le cercle
est un diamètre d'un cercle, avec centimètres. Le point est sur ce cercle, et est son projeté orthogonal sur avec centimètre.
Calculer en centimètres.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Un triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre, est rectangle. Où est l'angle droit ?
- est rectangle en et est sa hauteur :
Correction
- L'angle droit — est sur le cercle de diamètre : le triangle est rectangle en
- La relation —
Le cercle de diamètre fabrique l'angle droit, la relation métrique donne la hauteur. C'est la construction d'un segment de longueur ici
Pièges anticipés
16→ c'est ou bien Il reste à prendre la racine carrée desqrt(17)→ c'est avec On demande la hauteur8.5→ centimètres, c'est le rayon du cercle. n'est pas au sommet du cercle : n'est pas le centre.
Exercice 79 · defi
Une hypoténuse triple
Le triangle est rectangle en avec On note le pied de la hauteur issue de
Calculer le rapport
Écrire seulement la valeur du rapport.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- est la projection de sur l'hypoténuse :
- Remplace par : tu obtiens en fonction de
- Puis
Correction
- La projection —
- L'autre morceau —
Sans aucune longueur, les relations métriques donnent un rapport : on exprime tout en fonction d'une seule longueur, ici qui se simplifie.
Pièges anticipés
1/9→ c'est On demande : le grand morceau sur le petit.9→ c'est : tu as pris toute l'hypoténuse au lieu du morceau3 / 2→ Le rapport n'est pas : c'est le carré du côté qui est égal à d'où un rapport en1/8→ Tu as calculé : le rapport est renversé.
Exercice 80 · defi
Deux projetés sur la diagonale
est un rectangle avec et On note et les projetés orthogonaux de et de sur la diagonale
Calculer la distance
Écrire seulement la valeur exacte : un nombre décimal ou une fraction.
Réponse attendue : 14/5 — aussi acceptées : 2.8
Indices, dans l’ordre
- La diagonale mesure Le triangle est rectangle en et est sa hauteur.
- Dans est la projection de :
- Dans rectangle en est la projection de Puis
Correction
- La diagonale —
- Le projeté de B — est rectangle en
- Le projeté de D — est rectangle en avec
- et sont sur
On repère chaque fois le bon triangle rectangle et la bonne projection. Par symétrie de centre le centre du rectangle, :
Pièges anticipés
4.8 / 24/5→ c'est la distance de à la diagonale. On demande la distance entre les deux projetés, sur la diagonale.6.4 / 32/5→ c'est Il reste à retrancher la projection de3.6 / 18/5→ c'est Le projeté de est plus loin de :
Exercice 81 · base
La hauteur d'un arbre
Depuis un point du sol, situé à mètres du pied d'un arbre vertical, on voit le sommet de l'arbre sous un angle avec l'horizontale.
Calculer la hauteur de l'arbre, en mètres, à près.
Donner la hauteur en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 12.7
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en Vu de la distance au sol est adjacente, la hauteur est opposée.
- Opposé et adjacent : la tangente.
Correction
- Modéliser — L'arbre est vertical, le sol horizontal : est rectangle en
- La tangente —
On mesure une hauteur inaccessible avec une distance au sol et un angle : c'est la tangente. En mode degrés, et un seul arrondi à la fin.
Pièges anticipés
11.3→ Tu as pris le sinus. Mais mètres, c'est la distance au sol, le côté adjacent, pas l'hypoténuse.49.1→ Tu as divisé par la tangente. est le côté opposé : il est au numérateur, on multiplie.12.74 / 12.738 / 13 / 12.73→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 82 · base
La longueur d'une rampe
Une rampe de chargement permet de monter à un quai situé à mètre au-dessus du sol. Elle fait un angle de avec le sol.
Calculer la longueur de la rampe, en mètres, à près.
Donner la longueur en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 8.6
Indices, dans l’ordre
- La rampe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ; la hauteur du quai fait face à l'angle de
- : l'inconnue est au dénominateur.
Correction
- Modéliser — La rampe, le sol et le mur du quai forment un triangle rectangle ; la rampe est l'hypoténuse, la hauteur m est le côté opposé à l'angle de
- Le sinus —
Un petit angle demande une longue rampe : plus de sept fois la hauteur à franchir.
Pièges anticipés
0.2 / 0.17→ Tu as multiplié par : une rampe de mètre ne monte pas à mètre. est au dénominateur, on divise.8.5→ mètres, c'est la distance au sol, côté adjacent : La rampe est l'hypoténuse : c'est le sinus.8.62 / 8.622 / 9→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 83 · pratique
Le toit du hangar
Le toit d'un hangar a deux pans symétriques. Le hangar a une largeur de mètres, et chaque pan fait un angle de avec l'horizontale.
Calculer, en mètres, à près, la hauteur du faîte du toit au-dessus du haut des murs.
Donner la hauteur en mètres, arrondie au centième.
Réponse attendue : 2.49
Indices, dans l’ordre
- Fais une figure. Par symétrie, la verticale du faîte coupe la largeur en deux : chaque demi-toit est un triangle rectangle de base mètres.
- Vu du bas du pan, la hauteur cherchée est opposée et la demi-largeur adjacente.
Correction
- Modéliser — La verticale du faîte coupe le hangar en deux moitiés : un triangle rectangle de base mètres, d'angle
- La tangente —
La symétrie de la figure donne le triangle rectangle : la base n'est pas la largeur entière, mais sa moitié.
Pièges anticipés
4.99→ Tu as pris toute la largeur, mètres. Le faîte est au milieu : le triangle rectangle a pour base la moitié, mètres.2.18→ Tu as pris le sinus. Mais mètres est horizontal : c'est le côté adjacent, pas la longueur du pan.2.5 / 2.494 / 2.4944→ On demande un arrondi au centième : deux décimales exactement.
Exercice 84 · pratique
Le cerf-volant
Le fil d'un cerf-volant, bien tendu, mesure mètres et fait un angle de avec l'horizontale. La main de l'enfant qui le tient est à mètre du sol.
Calculer la hauteur du cerf-volant au-dessus du sol, en mètres, à près.
Donner la hauteur en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 41.1
Indices, dans l’ordre
- Le fil est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont le sommet de l'angle est la main.
- Le sinus donne la hauteur au-dessus de la main. Que reste-t-il à ajouter ?
Correction
- Au-dessus de la main — Vu de la main, la hauteur est le côté opposé et le fil l'hypoténuse.
- Au-dessus du sol — On ajoute la hauteur de la main.
Relis toujours la question : le triangle rectangle part de la main, pas du sol. Le dernier geste ajoute le mètre qui manque.
Pièges anticipés
40.1→ mètres, c'est la hauteur au-dessus de la main. Ajoute le mètre entre la main et le sol.45.6 / 44.6→ Tu as pris le cosinus : c'est la distance horizontale. La hauteur fait face à l'angle de : c'est le sinus.41.15 / 41.148 / 41 / 41.14→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 85 · pratique
L'inclinaison d'une route
En parcourant kilomètre le long d'une route droite, on s'élève de mètres.
Calculer l'angle que fait la route avec l'horizontale, à près.
Donner la mesure en degrés, arrondie au centième.
Réponse attendue : 5.74
Indices, dans l’ordre
- Mets les deux longueurs dans la même unité : kilomètre, c'est mètres.
- Les mètres sont mesurés le long de la route : c'est l'hypoténuse. Et l'élévation est le côté opposé.
Correction
- Modéliser — La route est l'hypoténuse, m ; l'élévation, m, est le côté opposé à l'angle cherché.
- Le sinus —
Distance « le long de la route » : c'est l'hypoténuse, donc le sinus. Si la distance était horizontale, ce serait la tangente.
Pièges anticipés
5.71→ Tu as pris la tangente, comme si les km étaient horizontaux. Ils sont parcourus le long de la route : c'est l'hypoténuse.84.26→ c'est l'angle avec la verticale. On demande l'angle avec l'horizontale.5.73→ Le calcul donne : le chiffre des millièmes est on arrondit au-dessus. On ne coupe pas, on arrondit.5.7 / 5.739 / 5.7392→ On demande un arrondi au centième : deux décimales exactement.
Exercice 86 · pratique
L'ombre du poteau
Un poteau vertical de mètres de haut porte sur le sol horizontal une ombre de mètres.
Calculer l'angle que font les rayons du soleil avec le sol, arrondi au degré près.
Donner la mesure en degrés, arrondie au degré près.
Réponse attendue : 37
Indices, dans l’ordre
- Le poteau, son ombre et le rayon qui passe par le sommet du poteau forment un triangle rectangle au pied du poteau.
- Vu du bout de l'ombre, le poteau est opposé et l'ombre adjacente.
Correction
- Modéliser — Le triangle est rectangle au pied du poteau ; l'angle cherché est au bout de l'ombre.
- La tangente —
Deux côtés de l'angle droit, c'est la tangente. Contrôle : l'ombre est plus longue que le poteau, l'angle est donc inférieur à
Pièges anticipés
53→ c'est l'angle au sommet du poteau, entre le rayon et le poteau. On demande l'angle avec le sol.36→ Le calcul donne : le chiffre des dixièmes est on arrondit au-dessus.36.87 / 36.9 / 36.8→ On demande un arrondi au degré près : un nombre entier.
Exercice 87 · pratique
Le phare et le bateau
Du haut d'un phare, à mètres au-dessus de la mer, un gardien voit un bateau sous un angle de dépression de L'angle de dépression est l'angle que fait la ligne de visée, vers le bas, avec l'horizontale qui passe par l'œil.
Calculer la distance entre le bateau et le pied du phare, en mètres, à près.
Donner la distance en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 211.7
Indices, dans l’ordre
- L'horizontale de l'œil et la mer sont parallèles : l'angle au niveau du bateau, entre la mer et la ligne de visée, mesure aussi (angles alternes-internes).
- Vu du bateau, la hauteur du phare est opposée, la distance cherchée adjacente.
Correction
- L'angle au bateau — L'horizontale de l'œil est parallèle à la mer : l'angle au bateau est alterne-interne avec l'angle de dépression, il mesure
- La tangente — Le triangle est rectangle au pied du phare.
L'angle de dépression se reporte au point visé par des angles alternes-internes. Un petit angle de dépression correspond à un objet lointain.
Pièges anticipés
9.6→ Tu as multiplié par Mais est le côté adjacent : il est au dénominateur de la tangente, on divise.216.4→ mètres, c'est la longueur de la ligne de visée, l'hypoténuse. On demande la distance au pied du phare, sur la mer.211.71 / 211.708 / 212→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 88 · raisonnement
Deux visées, en reculant
Un géomètre vise le sommet d'une tour sous un angle de avec l'horizontale. Il recule de mètres, dans l'alignement du pied de la tour, et le vise alors sous un angle de On néglige la hauteur de l'appareil.
Calculer la hauteur de la tour, en mètres, à près.
Donner la hauteur en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 31.5
Indices, dans l’ordre
- On ne connaît pas la distance du premier point au pied de la tour. Exprime la hauteur de deux manières.
- et
- Égale les deux expressions et isole puis calcule
Correction
- Deux expressions — On note la distance du premier point au pied de la tour. Dans les deux triangles rectangles au pied de la tour :
- L'équation —
- La hauteur — Sans arrondir
Deux visées depuis deux points alignés avec le pied donnent deux équations ; la distance inconnue s'élimine. Garde en mémoire dans la calculatrice.
Pièges anticipés
32→ Tu as arrondi les tangentes trop tôt, sans doute à et Leur différence est petite, l'erreur grossit : garde-les entières.25.2 / 14→ Tu as pris mètres comme distance au pied de la tour. Les mètres séparent les deux points de visée ; la distance au pied est inconnue.37.5→ mètres, c'est la distance du premier point au pied de la tour. Il reste à calculer31.4→ Le calcul donne : le chiffre des centièmes est on arrondit au-dessus. On ne coupe pas, on arrondit.31.49 / 31.48 / 31.488 / 31→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 89 · raisonnement
La largeur de l'oued
Pour mesurer la largeur d'un oued aux berges parallèles, on repère un palmier sur la rive opposée. On se place en juste en face, de sorte que soit perpendiculaire aux berges, puis on marche mètres le long de la berge jusqu'en De on mesure
Calculer la largeur de l'oued, en mètres, à près.
Donner la largeur en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 64.0
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en Vu de quel est le côté ? et le côté ?
- touche l'angle en lui fait face : c'est la tangente.
Correction
- Modéliser — est perpendiculaire à la berge : le triangle est rectangle en
- La tangente —
On fabrique un angle droit et une distance mesurable sur sa propre rive : la tangente donne la largeur, sans traverser.
Pièges anticipés
33.9→ Tu as pris le sinus. Mais n'est pas l'hypoténuse, c'est le côté adjacent à l'angle en : c'est la tangente.25→ Tu as divisé par la tangente. fait face à l'angle en : il est au numérateur, on multiplie.64.01 / 64.013→ On demande un arrondi au dixième : ou
Exercice 90 · raisonnement
L'échelle bien posée
Une échelle de mètres est appuyée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Son pied est à mètre du pied du mur. Pour qu'elle soit sûre, l'angle entre l'échelle et le sol doit être compris entre et
Calculer cet angle, arrondi au degré près, puis conclure.
Donner la mesure de l'angle en degrés, arrondie au degré près.
Réponse attendue : 74
Indices, dans l’ordre
- L'échelle est l'hypoténuse ; la distance au mur est le côté adjacent à l'angle avec le sol.
- puis « 2ndF cos ».
Correction
- Modéliser — L'échelle, le sol et le mur forment un triangle rectangle au pied du mur ; l'échelle est l'hypoténuse.
- Le cosinus —
est entre et : l'échelle est bien posée. On compare la valeur non arrondie, ce qui ne change rien ici.
Pièges anticipés
16→ c'est l'angle entre l'échelle et le mur : tu as utilisé le sinus. Vu du pied de l'échelle, la distance au mur est adjacente : c'est le cosinus.73→ Le calcul donne : le chiffre des dixièmes est on arrondit au-dessus.73.9 / 73.92→ On demande un arrondi au degré près : un nombre entier.
Exercice 91 · raisonnement
Une pente de 8 %
Un panneau annonce une route de pente : quand on avance de mètres à l'horizontale, on monte de mètres. Une voiture parcourt kilomètres le long de cette route.
De combien de mètres s'est-elle élevée ? Arrondir au mètre près.
Donner l'élévation en mètres, arrondie au mètre près.
Réponse attendue : 199
Indices, dans l’ordre
- La pente donne la tangente de l'angle de la route avec l'horizontale :
- Les km sont parcourus le long de la route : c'est l'hypoténuse, mètres.
- Calcule l'angle puis l'élévation sans arrondir l'angle.
Correction
- L'angle —
- L'élévation — Le long de la route, m, c'est l'hypoténuse ; l'élévation est le côté opposé.
Une pente en pourcentage est une tangente : elle compare la montée à la distance horizontale, pas à la distance parcourue. Pour une petite pente, l'écart est faible, mais il existe.
Pièges anticipés
200→ Tu as calculé de comme si les km étaient horizontaux, ou tu as arrondi l'angle trop tôt. Les km sont le long de la route : c'est l'hypoténuse, il faut le sinus de l'angle exact.199.4 / 199.36 / 199.3→ On demande un arrondi au mètre près : un nombre entier.
Exercice 92 · raisonnement
Le mât et ses deux haubans
Un mât vertical de mètres est tenu par deux câbles fixés à son sommet et ancrés au sol de part et d'autre de son pied, sur une même ligne droite. Le premier câble fait un angle de avec le sol, le second un angle de
Calculer la distance entre les deux points d'ancrage, en mètres, à près.
Donner la distance en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 22.7
Indices, dans l’ordre
- Le mât découpe la figure en deux triangles rectangles à son pied.
- Dans chacun, le mât est opposé à l'angle au sol, la distance de l'ancrage au pied est adjacente.
- Les ancrages sont de part et d'autre du pied : on additionne.
Correction
- Premier ancrage —
- Second ancrage —
- En un seul calcul, sans arrondir.
Contrôle : le câble le plus incliné, à est ancré plus près du mât. Le pied du mât est entre les deux ancrages : les deux distances s'additionnent.
Pièges anticipés
8.4 / 14.3→ C'est la distance d'un seul ancrage au pied du mât. Les deux ancrages sont de part et d'autre : additionne les deux distances.27.2→ Tu as multiplié par les tangentes. La distance au sol est le côté adjacent : elle est au dénominateur, on divise.5.9→ Tu as retranché les deux distances, comme si les ancrages étaient du même côté. Ils sont de part et d'autre du pied.22.704 / 22.703 / 23→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 93 · defi
La statue sur son socle
Une statue est posée sur un socle de mètres de haut. D'un point du sol, on voit le haut du socle sous un angle de avec l'horizontale, et le sommet de la statue sous un angle de On néglige la hauteur de l'œil.
Calculer la hauteur de la statue seule, en mètres, à près.
Donner la hauteur en mètres, arrondie au centième.
Réponse attendue : 8.53
Indices, dans l’ordre
- La distance de au pied du socle est inconnue : le premier angle et la hauteur du socle la donnent.
- Puis la hauteur totale, socle et statue, vaut
- On demande la statue seule.
Correction
- La distance — Dans le triangle rectangle au pied du socle, vu de :
- La hauteur totale — Sans arrondir
- La statue —
Un premier triangle donne la distance inconnue, le second la hauteur totale ; on retranche ce qu'on ne demande pas. Un seul arrondi, à la fin.
Pièges anticipés
12.53→ mètres, c'est la hauteur du socle et de la statue. Retranche les mètres du socle.8.50→ Le calcul donne : au centième, c'est Tu as trouvé : soit tu as arrondi la distance trop tôt, à soit tu as arrondi au dixième. Garde entière dans la calculatrice et garde deux décimales.8.52→ Le calcul donne : le chiffre des millièmes est on arrondit au-dessus. On ne coupe pas, on arrondit.8.526 / 8.5263 / 8.5262→ On demande un arrondi au centième : deux décimales exactement.
Exercice 94 · defi
Deux bateaux vus de la falaise
Du haut d'une falaise verticale, à mètres au-dessus de la mer, on voit deux bateaux alignés avec le pied de la falaise, du même côté. Les angles de dépression sont de pour le plus proche et de pour le plus lointain. L'angle de dépression est l'angle que fait la ligne de visée, vers le bas, avec l'horizontale.
Calculer la distance entre les deux bateaux, en mètres, à près.
Donner la distance en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 81.2
Indices, dans l’ordre
- Par des angles alternes-internes, l'angle au niveau de chaque bateau, entre la mer et la ligne de visée, est égal à l'angle de dépression.
- Chaque bateau donne un triangle rectangle au pied de la falaise : la distance au pied vaut
- Les deux bateaux sont du même côté : on retranche.
Correction
- Le bateau proche —
- Le bateau lointain —
- Sans arrondir avant.
Un petit angle de dépression correspond au bateau le plus loin. Ici, donne même la valeur exacte
Pièges anticipés
138.6 / 219.8→ C'est la distance d'un seul bateau au pied de la falaise. On demande l'écart entre les deux bateaux.358.4→ Tu as additionné les deux distances, comme si les bateaux étaient de part et d'autre de la falaise. Ils sont du même côté : on retranche.17.1→ Tu as multiplié par les tangentes. La distance au pied est le côté adjacent à l'angle au bateau : on divise.81.23 / 81.234 / 81→ On demande un arrondi au dixième : une seule décimale.
Exercice 95 · base
Préparer la construction de √15
Pour construire un segment de longueur centimètres avec la méthode du cours, on trace un segment on place sur avec centimètres, puis on trace le cercle de diamètre et la perpendiculaire à en
Combien doit mesurer en centimètres ?
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- La perpendiculaire coupe le cercle en : le triangle est rectangle en et est sa hauteur.
- doit valoir
Correction
- La relation — est sur le cercle de diamètre : est rectangle en et est sa hauteur.
- On veut avec
Pour construire on met bout à bout deux segments de longueurs et : ici
Pièges anticipés
12→ Tu as calculé La relation est un produit :15→ centimètres serait le produit cherché, pas la longueur On veut
Exercice 96 · pratique
La longueur construite
On trace un segment et le point de tel que centimètres et centimètres. La perpendiculaire à en coupe le cercle de diamètre en un point
Calculer la valeur exacte de en centimètres.
Donner la valeur exacte en centimètres, avec une racine carrée.
Réponse attendue : sqrt(14)
Indices, dans l’ordre
- Quelle est la nature du triangle quand est sur le cercle de diamètre ?
- est la hauteur issue de l'angle droit :
Correction
- L'angle droit — est sur le cercle de diamètre : le triangle est rectangle en
- La relation —
Cette construction donne, à la règle et au compas, un segment de longueur Contrôle : est plus petit que le rayon
Pièges anticipés
14→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.3→ Tu as pris la racine de La relation est un produit :4.5→ centimètres, c'est le rayon du cercle. n'est pas le centre, est plus court.3.74 / 3.7 / 3.742→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.
Exercice 97 · pratique
Un angle de cosinus 0,64
Pour construire un angle aigu dont le cosinus vaut on construit un triangle rectangle en dont l'hypoténuse mesure millimètres.
Combien doit mesurer le côté en millimètres, pour que ?
Donner la longueur en millimètres.
Réponse attendue : 48
Indices, dans l’ordre
- Vu de est le côté adjacent :
- Écris comme une fraction de dénominateur
Correction
- Le cosinus —
Pour construire : on trace de mm, la perpendiculaire à en puis le cercle de centre et de rayon mm, qui coupe la perpendiculaire en L'angle en convient :
Pièges anticipés
117.1875 / 117.2→ Tu as divisé par : le côté serait plus long que l'hypoténuse. on multiplie.57.6→ millimètres, c'est environ le côté opposé à Le cosinus fait intervenir le côté adjacent
Exercice 98 · raisonnement
Un carré de même aire
On veut construire, à la règle et au compas, un carré qui a la même aire qu'un rectangle de centimètres sur centimètres. On utilise pour cela la construction d'un segment de longueur
Calculer le côté de ce carré, en centimètres.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- L'aire du rectangle est Le côté du carré vérifie
- C'est exactement avec et
Correction
- Les aires —
- La construction — On place bout à bout et on trace le cercle de diamètre et la perpendiculaire en qui le coupe en :
Construire un carré de même aire qu'un rectangle de côtés et c'est construire : la hauteur issue de l'angle droit le fait.
Pièges anticipés
6.5→ c'est la moyenne de et Un carré de côté a une aire de plus grande que36→ c'est l'aire. Le côté du carré est sa racine carrée.13→ est la moitié du périmètre du rectangle. On veut la même aire, pas le même périmètre.
Exercice 99 · raisonnement
Construire une tangente donnée
Pour construire un angle aigu dont la tangente vaut on construit un triangle rectangle en avec centimètres et centimètres.
Contrôler à la calculatrice la mesure de l'angle obtenu, arrondie au degré près.
Donner la mesure en degrés, arrondie au degré près.
Réponse attendue : 69
Indices, dans l’ordre
- Vu de est adjacent et opposé : Est-ce bien ?
- « 2ndF tan 2.6 », en mode degrés.
Correction
- La tangente —
- La calculatrice —
Pour construire un angle de tangente on écrit comme un quotient de deux longueurs commodes, ici qui seront le côté opposé et le côté adjacent.
Pièges anticipés
21→ c'est l'angle en : sa tangente vaut Vu de le côté opposé est68→ Le calcul donne : le chiffre des dixièmes est on arrondit au-dessus.68.96 / 68.9→ On demande un arrondi au degré près : un nombre entier.
Exercice 100 · raisonnement
Le rayon du compas
Pour construire un angle aigu de sinus on trace un segment de centimètres, la perpendiculaire à en puis un cercle de centre qui coupe cette perpendiculaire en L'angle cherché est
Quel rayon, en centimètres, faut-il donner au compas ?
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Le rayon du cercle de centre passant par c'est : l'hypoténuse du triangle rectangle en
- Vu de est opposé :
Correction
- Le sinus — Le triangle est rectangle en ; vu de est le côté opposé.
- Les produits en croix donnent
Le rayon du compas est l'hypoténuse. Contrôle :
Pièges anticipés
27/16 / 1.6875→ Tu as calculé Mais est au dénominateur du sinus : on divise par8→ serait le rayon si mesurait centimètres. Ici : il faut multiplier par les deux termes de la fraction.
Exercice 101 · raisonnement
Construire √7 avec un segment donné
On dispose d'un segment de longueur centimètres et on veut construire, avec la méthode du cercle de diamètre un segment de longueur centimètres. Il faut placer sur de sorte que
Déterminer la plus petite des deux longueurs et en centimètres.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- On cherche deux longueurs dont la somme vaut et le produit vaut
- Essaie des nombres entiers : quels entiers ont un produit de ?
Correction
- Les conditions — est sur : Et l'on veut
- La recherche — et : les deux conditions sont remplies.
On place à cm de ; la perpendiculaire en coupe le cercle de diamètre en et
Pièges anticipés
7→ centimètres, c'est la plus grande des deux longueurs. On demande la plus petite.4→ Avec au milieu, on aurait et on construirait passqrt(7)→ est la longueur à construire, On demande où placer sur
Exercice 102 · defi
Une racine par la projection
On trace un segment de centimètres et le point de tel que centimètres. La perpendiculaire à en coupe le cercle de diamètre en
Calculer la valeur exacte de en centimètres, et dire quelle racine carrée cette construction permet d'obtenir.
Donner la valeur exacte de en centimètres, avec une racine carrée.
Réponse attendue : 2*sqrt(3) — aussi acceptées : sqrt(12)
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en et est la projection de sur l'hypoténuse.
- Simplifie la racine :
Correction
- L'angle droit — est sur le cercle de diamètre : est rectangle en
- La projection —
Le côté aussi donne une racine : Cette figure fournit trois longueurs à la fois : et
Pièges anticipés
sqrt(3)→ c'est avec On demande le côté dont la projection est2→ c'est avec On demande12→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.3.46 / 3.5 / 3.464→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée.