Sections planes d'un solide
1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum nabdaw le chapitre numéro 8 : les sections planes d'un solide. 7atta letawa konna n9isou les solides : une arête, un volume. Lyoum bech n9ossouhom b un plan, w nchoufou ech ta3tina la section : un rectangle, un polygone walla un cercle. Yalla nabdaw.
عسلامة ! لْيوم نبداو le chapitre numéro 8 : les sections planes d'un solide . حتّى لتوّا كنّا نقيسو les solides : une arête ، un volume . لْيوم باش نقصّوهم بـ un plan ، و نشوفو آش تعطينا la section : un rectangle ، un polygone ولّا un cercle . يالله نبداو.
Bonjour ! Aujourd'hui on commence le chapitre numéro 8 : les sections planes d'un solide. Jusqu'ici, on mesurait les solides : une arête, un volume. Aujourd'hui on va les couper par un plan, et regarder ce que donne la section : un rectangle, un polygone ou un cercle. Allons-y.
Jusqu'ici, un solide se mesurait : une arête, une aire, un volume. Ce chapitre le coupe.
On remet d'abord en place les solides usuels — prisme droit, pyramide, cylindre, cône de révolution, sphère — et le calcul de leur volume. Puis on les tranche par un plan, et une seule question revient : quelle figure plane apparaît sur la tranche ? Un pavé coupé parallèlement à une face donne un rectangle de la taille de cette face ; une pyramide ou un cône coupés parallèlement à la base donnent une réduction de la base ; une sphère coupée par un plan qui passe à moins d'un rayon de son centre donne un cercle. Les calculs, eux, se font dans des figures que tu connais déjà : le triangle rectangle de Pythagore et le triangle de Thalès.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Calculer le volume d'un prisme droit, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône de révolution et d'une bouleCalculer le volume d'un prisme droit, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône de révolution et d'une boule.Calculer le volume d'un prisme droit, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône de révolution et d'une boule.
- Justifier que deux droites sont parallèles quand un plan coupe deux plans parallèlesJustifier que deux droites sont parallèles, quand un plan coupe deux plans parallèles.Justifier que deux droites sont parallèles, quand un plan coupe deux plans parallèles.
- Reconnaître la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou contenant une arêteReconnaître la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, ou par un plan qui contient une arête.Reconnaître la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, ou par un plan qui contient une arête.
- Reconnaître et calculer la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la baseReconnaître et calculer la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base.Reconnaître et calculer la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base.
- Calculer le rayon de la section d'une sphère : Calculer le rayon de la section d'une sphère : le petit r égale racine carrée de la parenthèse grand R au carré moins d au carré.Calculer le rayon de la section d'une sphère : le petit r égale racine carrée de la parenthèse grand R au carré moins d au carré.
- Utiliser le coefficient de réduction : longueurs multipliées par aires par volumes par Utiliser le coefficient de réduction k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, et les volumes par k au cube.Utiliser le coefficient de réduction k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, et les volumes par k au cube.
1. Activité
Les solides usuels
Ce qu’il dit
Nabdaw b les solides elli ta3refhom. Le cube : 6 faces, 8 sommets, w le volume a³. Le parallélépipède rectangle : zeda 6 faces w 8 sommets, w le volume a × b × c. Le cylindre ma 3andouch sommets, w le volume πR²h : l'aire de la base fois la hauteur.
نبداو بـ les solides اللي تعرفهم . le cube : 6 faces ، 8 sommets ، و le volume l'arête au cube . le parallélépipède rectangle : زادة 6 faces و 8 sommets ، و le volume la longueur fois la largeur fois la hauteur . le cylindre ما عندوش sommets ، و le volume : l'aire de la base ، π R au carré ، fois la hauteur .
On commence par les solides que tu connais. Le cube : 6 faces, 8 sommets, et un volume égal à l'arête au cube. Le parallélépipède rectangle : 6 faces et 8 sommets lui aussi, et un volume égal à la longueur fois la largeur fois la hauteur. Le cylindre n'a pas de sommet, et son volume vaut l'aire de la base, π R au carré, fois la hauteur.
Avant de couper un solide, il faut savoir le lire. Pour chacun des trois solides suivants, donne le nombre de faces et de sommets, le volume et l'aire totale.
- 1.Un cube d'arête
- 2.Un parallélépipède rectangle — on dit aussi un pavé droit — de dimensions et
- 3.Un cylindre de révolution de rayon et de hauteur Il n'a ni sommet ni arête : deux bases qui sont des disques, et une surface latérale.
Pour l'aire latérale du cylindre, déroule-la à plat : c'est un rectangle de hauteur dont la longueur est le périmètre de la base.
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH vu en perspective. La face avant ABFE est un rectangle : A en bas à gauche, B en bas à droite, F en haut à droite, E en haut à gauche. La face du fond DCGH est décalée vers le haut et vers la droite : D est derrière A, C derrière B, H derrière E, G derrière F. Les trois arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Les trois dimensions sont notées : a pour la longueur AB, b pour la profondeur BC et c pour la hauteur AE.
cube : 6 faces, 8 sommets
parallélépipède rectangle : 6 faces, 8 sommets
cylindre de rayon R et de hauteur h
2. Propriété
Prisme droit et pyramide : le volume
Ce qu’il dit
Le prisme droit : l'aire de la base fois la hauteur. La pyramide : nafs el 7aja, ama na9smou 3la 3. 3lech ? Khater une pyramide elli 3andha nafs la base w nafs la hauteur mte3 un prisme, t3ammer ken le tiers mte3ou. W la hauteur, hiya la distance du sommet au plan de la base, mouch l'arête.
le prisme droit : l'aire de la base fois la hauteur . la pyramide : نفس الحاجة ، أما نقسمو على 3 . علاش ؟ خاطر une pyramide اللي عندها نفس la base و نفس la hauteur متاع un prisme ، تعمّر كان le tiers متاعو . و la hauteur ، هي la distance du sommet au plan de la base ، موش l'arête .
Le prisme droit : l'aire de la base fois la hauteur. La pyramide : la même chose, mais on divise par 3. Pourquoi ? Parce qu'une pyramide qui a la même base et la même hauteur qu'un prisme n'en remplit que le tiers. Et la hauteur, c'est la distance du sommet au plan de la base, pas l'arête.
Un prisme droit a deux bases superposables, l'une au-dessus de l'autre, et des faces latérales qui sont des rectangles. Le cube et le pavé droit en sont des cas particuliers.
Une pyramide a une base polygonale et un sommet relié à tous les sommets de la base : ses faces latérales sont des triangles. Sa hauteur est la distance de au plan de la base. Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
En notant l'aire de la base et la hauteur :
Une pyramide SABCD à base carrée, vue en perspective. La base ABCD est dessinée comme un parallélogramme : A en bas à gauche, B en bas à droite, C derrière B, D derrière A. Le sommet S est au-dessus du centre O de la base. Les arêtes [SA], [SB] et [SC] sont en traits pleins ; l'arête [SD] et les côtés [AD] et [DC], cachés, sont en pointillés. La hauteur [SO], en pointillés rouges, tombe perpendiculairement sur la base en O et porte la lettre h : elle est plus courte que les arêtes latérales.
prisme droit
pyramide, tétraèdre
Exemple traité
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent cm et cm. Sa hauteur est cm. Calculer son volume.
- L'aire de la base — La base est un triangle rectangle : son aire est la moitié du produit des côtés de l'angle droit.
- Le volume — Pour un prisme, c'est l'aire de la base fois la hauteur, sans facteur un tiers.
À ne pas faire : — . Une pyramide qui a la même base et la même hauteur qu'un prisme n'en remplit que le tiers. Oublier le facteur un tiers triple le volume.
À ne pas faire : La hauteur d'une pyramide est la longueur d'une arête latérale. — La hauteur est la distance du sommet au plan de la base.. L'arête est oblique : elle est plus longue que la hauteur qui tombe perpendiculairement sur la base.
3. Définition
Sphère et boule
Ce qu’il dit
La sphère, hiya la surface, kif la peau mte3 un ballon. La boule, hiya el solide el kol, el ballon bima fih. L'aire de la sphère = 4πR², w le volume de la boule = 4/3 πR³. W radd belek : R houwa le rayon, mouch le diamètre.
la sphère ، هي la surface ، كيف la peau متاع un ballon . la boule ، هي الـ solide الكلّ ، الـ ballon بما فيه . l'aire de la sphère égale 4 π R au carré ، و le volume de la boule égale les quatre tiers de π R au cube . و ردّ بالك : R هو le rayon ، موش le diamètre .
La sphère, c'est la surface, comme la peau d'un ballon. La boule, c'est le solide tout entier, le ballon avec ce qu'il contient. L'aire de la sphère vaut 4 π R au carré, et le volume de la boule vaut les quatre tiers de π R au cube. Et attention : R, c'est le rayon, pas le diamètre.
La sphère de centre et de rayon est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance de C'est une surface, comme la peau d'un ballon.
La boule de centre et de rayon est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à de C'est le solide plein : le ballon avec tout ce qu'il contient.
On calcule donc l'aire d'une sphère et le volume d'une boule.
Une sphère de centre O, dessinée comme un cercle. Une ellipse horizontale passe par le centre : c'est l'équateur vu en perspective, sa moitié avant en trait plein et sa moitié arrière, cachée, en pointillés. Un rayon [OM], en rouge, va du centre O à un point M de la sphère et porte la lettre R.
Exemple traité
Un ballon a un diamètre de cm. Calculer l'aire de sa surface et son volume, en fonction de
- Le rayon d'abord — Les formules demandent le rayon, pas le diamètre.
- L'aire — On élève le rayon au carré, puis on multiplie par
- Le volume — On élève le rayon au cube.
À ne pas faire : cm, donc l'aire vaut — cm, donc l'aire vaut . Les formules parlent du rayon. Avec le diamètre, l'aire serait multipliée par et le volume par
4. Propriété
Le cône de révolution
Ce qu’il dit
El cône de révolution, njibouh ki ndawrou un triangle SOA, rectangle en O, 3la la droite (SO). El volume, kif la pyramide : un tiers de l'aire de la base fois la hauteur. W la génératrice [SA], hiya l'hypoténuse mte3 le triangle SOA, na7sbouha b Pythagore. W l'aire latérale mte3ou : π × R × ℓ.
الـ cône de révolution ، نجيبوه كي ندوّرو un triangle S O A ، rectangle en O ، على la droite S O . الـ volume ، كيف la pyramide : un tiers de l'aire de la base fois la hauteur . و la génératrice S A ، هي l'hypoténuse متاع le triangle S O A ، نحسبوها بـ Pythagore . و l'aire latérale متاعو : π fois R fois la génératrice .
Le cône de révolution, on l'obtient en faisant tourner un triangle S O A, rectangle en O, autour de la droite S O. Le volume, c'est comme pour la pyramide : un tiers de l'aire de la base fois la hauteur. Et la génératrice S A, c'est l'hypoténuse du triangle S O A : on la calcule avec Pythagore. Son aire latérale, enfin : π fois R fois la génératrice.
Fais tourner un triangle rectangle en autour de la droite : il engendre un cône de révolution. Le point est son sommet, le disque de centre et de rayon est sa base, est sa hauteur, et le segment est une génératrice.
Le triangle reste rectangle en : la longueur d'une génératrice se calcule par le théorème de Pythagore.
Mis à plat, la surface latérale du cône est une portion de disque de rayon : la longueur de son arc est le périmètre de la base, et son angle mesure degrés. Son aire, la fraction du disque de rayon est l'aire latérale du cône :
Un cône de révolution de sommet S, posé sur sa base. La base est un disque de centre O, dessiné en perspective comme une ellipse : la moitié avant en trait plein, la moitié arrière en pointillés. Deux génératrices partent de S vers les deux bords de la base, dont [SA] à droite, repassée en rouge et notée ℓ. La hauteur [SO] et le rayon [OA], cachés à l'intérieur du cône, sont en pointillés : [SO] est verticale et notée h, [OA] est horizontal et noté R. L'angle SOA porte la marque de l'angle droit : le triangle SOA est rectangle en O.
volume
la génératrice
angle du patron, en degrés
le patron mis à plat
Exemple traité
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm. Calculer la longueur d'une génératrice, l'angle de son patron, puis son volume en fonction de
- La génératrice — Le triangle est rectangle en : théorème de Pythagore.
- L'angle du patron —
- Le volume — Un tiers de l'aire de la base, fois la hauteur.
À ne pas faire : La génératrice est la hauteur du cône. — La hauteur est ; la génératrice est l'hypoténuse du triangle . Dans le triangle rectangle l'hypoténuse est le plus long côté : une génératrice est toujours plus longue que la hauteur.
5. Activité
Deux plans parallèles et un troisième
Ce qu’il dit
P w Q parallèles : ma 3andhomch 7atta point commun. Le plan H y9oss P fi la droite D, w y9oss Q fi la droite D'. D w D' fi nafs el plan H, w ma yetla9aouch, khater P w Q ma yetla9aouch. Donc D w D' parallèles. Hedhi hiya el clé mte3 koll section : les côtés elli 3la deux faces parallèles yotl3ou parallèles.
P و Q parallèles : ما عندهمش حتى point commun . le plan H يقصّ P في la droite D ، و يقصّ Q في la droite D prime . D و D prime في نفس الـ plan H ، و ما يتلاقاوش ، خاطر P و Q ما يتلاقاوش . donc D و D prime parallèles . هاذي هي الـ clé متاع كل section : les côtés اللي على deux faces parallèles يطلعو parallèles .
P et Q sont parallèles : ils n'ont aucun point commun. Le plan H coupe P suivant la droite D, et Q suivant la droite D prime. D et D prime sont dans le même plan H, et elles ne peuvent pas se rencontrer, puisque P et Q ne se rencontrent pas. Donc D et D prime sont parallèles. C'est la clé de toutes les sections : deux côtés tracés sur deux faces parallèles sont parallèles.
Dans l'espace, deux plans sont parallèles quand ils n'ont aucun point commun, ou quand ils sont confondus.
Sur la figure, les plans et sont parallèles et distincts. Un troisième plan coupe suivant la droite
- 1.Explique pourquoi coupe aussi suivant une droite qu'on note
- 2.Les droites et sont dans un même plan, Peuvent-elles avoir un point commun ? Déduis-en qu'elles sont parallèles.
- 3.Justifie que la droite est parallèle au plan
Une dernière remarque, qui servira à chaque section : une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan ; et si elle est perpendiculaire à elle l'est aussi à tout plan parallèle à
Deux plans horizontaux parallèles, dessinés comme deux parallélogrammes superposés : P en haut et Q en bas. Un troisième plan H, vertical et ombré, les traverse tous les deux. Il coupe P suivant la droite D et Q suivant la droite D', toutes deux tracées en bleu : D' est exactement sous D, et les deux droites ont la même direction.
6. Propriété
Un plan coupe deux plans parallèles
Ce qu’il dit
El propriété : ki un plan y9oss deux plans parallèles, ya3tik deux droites parallèles. W radd belek : fi l'espace, deux droites elli ma yetla9aouch, mouch lezem ykounou parallèles. Lezemhom ykounou fi nafs el plan.
الـ propriété : كي un plan يقصّ deux plans parallèles ، يعطيك deux droites parallèles . و ردّ بالك : في l'espace ، deux droites اللي ما يتلاقاوش ، موش لازم يكونو parallèles . لازمهم يكونو في نفس الـ plan .
La propriété : quand un plan coupe deux plans parallèles, il donne deux droites parallèles. Et attention : dans l'espace, deux droites qui ne se rencontrent pas ne sont pas forcément parallèles. Il faut qu'elles soient dans un même plan.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe aussi l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.
C'est l'outil de toutes les sections : deux faces opposées d'un pavé, la base d'une pyramide et un plan parallèle à cette base sont des plans parallèles. Le plan de coupe y trace donc des côtés parallèles.
À ne pas faire : Deux droites de l'espace qui ne se coupent pas sont parallèles. — Deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles si elles sont dans un même plan.. Dans l'espace, deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles : dans un pavé, l'arête de la face du dessous et l'arête verticale en sont un exemple.
7. Activité
Trancher un pavé
Ce qu’il dit
Chouf le plan P : parallèle à la face ADHE. Y9oss la face du dessous w la face du dessus, w houma parallèles, donc (IJ) w (KL) parallèles. Nafs el 7aja m3a la face avant w la face arrière : (JK) w (IL) parallèles. Parallélogramme, w fih angle droit, donc rectangle. W zid : IJ = AD, w JK = AE : el section 3andha nafs les dimensions mte3 la face ADHE.
شوف le plan P : parallèle à la face A D H E . يقصّ la face du dessous و la face du dessus ، و هوما parallèles ، donc I J و K L parallèles . نفس الحاجة مع la face avant و la face arrière : J K و I L parallèles . parallélogramme ، و فيه angle droit ، donc rectangle . و زيد : I J égale A D ، و J K égale A E : الـ section عندها نفس les dimensions متاع la face A D H E .
Regarde le plan P : il est parallèle à la face A D H E. Il coupe la face du dessous et la face du dessus, qui sont parallèles, donc I J et K L sont parallèles. Même chose avec la face avant et la face arrière : J K et I L sont parallèles. C'est un parallélogramme avec un angle droit, donc un rectangle. Et de plus, I J égale A D, et J K égale A E : la section a exactement les dimensions de la face A D H E.
est un parallélépipède rectangle : est la face du dessous, celle du dessus, et sont les arêtes verticales.
Première coupe. Par un point de l'arête on mène le plan parallèle à la face Il coupe en en et en
- 1.En utilisant les faces opposées du pavé, montre que est un parallélogramme.
- 2.Pourquoi l'angle en est-il droit ? Quelle est la nature de ?
- 3.Compare avec et avec
Deuxième coupe. On coupe maintenant le pavé par le plan qui contient les deux arêtes verticales et
- 1.Quelle est la nature de la section ? Ses côtés et ont-ils la même longueur ?
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH en perspective : face du dessous ABCD, face du dessus EFGH ; A en bas à gauche devant, B en bas à droite devant, D et C derrière A et B, et E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Un point I est placé sur l'arête [DC]. Le plan parallèle à la face de gauche ADHE passant par I découpe dans le pavé le quadrilatère IJKL, ombré en bleu, avec J sur [AB], K sur [EF] et L sur [HG]. Ses côtés [IJ] et [IL], cachés, sont en pointillés ; [JK] et [KL] sont en traits pleins.
8. Propriété
Section d'un parallélépipède rectangle
Ce qu’il dit
Zouz 7alet. Ki le plan parallèle à une face, el section rectangle isométrique à la face : nafs les dimensions bedhabt. Ki le plan contient une arête, el section rectangle zeda, ama el côté le5or mayel, marsoum 3la une face, w na7sbouh b Pythagore.
زوز حالات . كي le plan parallèle à une face ، الـ section rectangle isométrique à la face : نفس les dimensions بالضبط . كي le plan contient une arête ، الـ section rectangle زادة ، أما الـ côté الآخر مايل ، مرسوم على une face ، و نحسبوه بـ Pythagore .
Deux cas. Quand le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle isométrique à cette face : exactement les mêmes dimensions. Quand le plan contient une arête, la section est encore un rectangle, mais son autre côté est oblique, tracé sur une face, et on le calcule avec Pythagore.
La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle isométrique à cette face : mêmes dimensions, même aire.
La section d'un parallélépipède rectangle par un plan contenant une arête est un rectangle. Un de ses côtés est cette arête ; l'autre est un segment oblique tracé sur une face, hypoténuse d'un triangle rectangle : on le calcule par le théorème de Pythagore. Quand le plan contient aussi l'arête opposée, ce côté est la diagonale d'une face.
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH en perspective : A en bas à gauche devant, B en bas à droite devant, D et C derrière A et B, et E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D ; les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Les longueurs AB = 8, AD = 6 et AE = 5 sont notées sur les arêtes. Le plan qui contient les deux arêtes verticales [AE], devant à gauche, et [CG], derrière à droite, coupe le pavé en diagonale. La section ACGE est ombrée en bleu : ses côtés [AE] et [CG] sont des arêtes, son côté [EG] est la diagonale de la face du dessus, et son côté [AC], en pointillés, la diagonale de la face du dessous.
parallèle à une face
le côté oblique de la section ACGE
Exemple traité
Un parallélépipède rectangle a pour face du dessous et pour face du dessus avec cm, cm et cm. On le coupe par le plan qui contient les arêtes verticales et Calculer les dimensions et l'aire de la section
- La nature — Le plan contient l'arête : la section est un rectangle. Un de ses côtés est l'arête de longueur cm.
- Le côté — est la diagonale de la face du dessous Le triangle est rectangle en avec cm : le théorème de Pythagore donne sa longueur.
- L'aire —
À ne pas faire : La section par un plan parallèle à une face est un rectangle plus petit que cette face. — Elle est isométrique à cette face : mêmes dimensions.. Le pavé a la même épaisseur partout : où que l'on coupe parallèlement à une face, on retrouve exactement cette face. Seules la pyramide et le cône rétrécissent vers leur sommet.
À ne pas faire : La section est isométrique à la face — a pour côtés l'arête et la diagonale de la face . Un plan qui contient une arête sans être une face coupe le pavé en biais : son côté oblique, cm, est plus long que l'arête cm.
9. Activité
Trancher une pyramide
Ce qu’il dit
El plan P parallèle à la base, donc y9oss koll arête bin S w la base. Fi le triangle SAO, (A'O') parallèle à (AO) : hedha Thalès. SA'/SA = SO'/SO, ya3ni 12/18, 2/3. W nafs el rapport 3la koll côté : el section carré, w le côté mte3ou 12 × 2/3, 8 cm.
الـ plan P parallèle à la base ، donc يقصّ كل arête بين S و la base . في le triangle S A O ، A prime O prime parallèle à A O : هذا Thalès . S A prime sur S A égale S O prime sur S O ، يعني 12 sur 18 ، 2 sur 3 . و نفس الـ rapport على كل côté : الـ section carré ، و le côté متاعو 12 fois 2 sur 3 ، 8 centimètres .
Le plan P est parallèle à la base, donc il coupe chaque arête entre S et la base. Dans le triangle S A O, A prime O prime est parallèle à A O : c'est Thalès. S A prime sur S A égale S O prime sur S O, c'est-à-dire 12 sur 18, soit 2 sur 3. Et le même rapport vaut sur chaque côté : la section est un carré, de côté 12 fois 2 sur 3, 8 centimètres.
est une pyramide de sommet ; sa base est un carré de côté cm de centre et sa hauteur mesure cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à cm du sommet. Le plan coupe en et en
- 1.Explique pourquoi coupe aussi les arêtes et en des points et
- 2.Pourquoi est-elle parallèle à ? Déduis-en la valeur du rapport
- 3.Justifie que est un carré. Quelle est la longueur de son côté ?
- 4.Quelle fraction de l'aire de la base l'aire de la section représente-t-elle ?
Une pyramide SABCD à base carrée, en perspective : A en bas à gauche, B en bas à droite, C derrière B, D derrière A, et le sommet S au-dessus du centre O de la base. La hauteur [SO] est en pointillés, comme les arêtes cachées [SD], [AD] et [DC]. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide aux deux tiers de la hauteur en partant de S : la section A'B'C'D', ombrée en bleu, est un carré plus petit que la base, avec A' sur [SA], B' sur [SB], C' sur [SC] et D' sur [SD]. Le plan coupe la hauteur en O'. Les segments [A'O'] et [AO], en pointillés rouges, sont parallèles.
10. Propriété
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
Ce qu’il dit
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base : un polygone de même nature que la base. Base carrée, section carrée. Ama asghar : une réduction, w le coefficient k = SO'/SO. Dima tebda men le sommet.
la section d'une pyramide par un plan parallèle à la base : un polygone de même nature que la base . base carrée ، section carrée . أما أصغر : une réduction ، و le coefficient k égale S O prime sur S O . ديما تبدا من le sommet .
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base : un polygone de même nature que la base. Base carrée, section carrée. Mais plus petite : c'est une réduction, de coefficient k égale S O prime sur S O. On part toujours du sommet.
La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que la base : un triangle pour un tétraèdre, un carré pour une base carrée, un hexagone pour une base hexagonale.
Plus précisément, c'est une réduction de la base. Si le plan coupe la hauteur en le coefficient de réduction est et chaque côté de la section vaut fois le côté correspondant de la base. Le rapport se lit depuis le sommet : c'est la distance du sommet au plan de coupe, divisée par la hauteur.
le coefficient de réduction
Exemple traité
est une pyramide à base carrée de côté cm et de hauteur cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à cm du sommet. Calculer le côté de la section, puis son aire.
- Le coefficient — La distance se compte depuis le sommet : cm.
- Le côté — La section est un carré, réduction de la base.
- L'aire —
À ne pas faire : avec la distance du plan à la base — : la distance se compte depuis le sommet. La petite pyramide a le même sommet que la grande : c'est depuis que tout se réduit. La distance à la base donne la hauteur du tronc, pas celle de la petite pyramide.
À ne pas faire : La section a la même aire que la base, comme pour le pavé. — La section est une réduction de la base, de coefficient . Les arêtes latérales se rapprochent en montant vers : plus on coupe près du sommet, plus la section est petite.
11. Activité
Trancher un cône
Ce qu’il dit
N9ossou le cône b un plan parallèle à la base. Nekhdhou un point M mel section, w la droite (SM) tousel lel cercle fi N. Fi le triangle SON, (O'M) parallèle à (ON), donc Thalès : O'M/ON = SO'/SO. Ya3ni O'M = R × d/h. W hedha ma yetbaddelch ki nbaddlou M : les points el kol 3la nafs el distance men O'. Donc el section cercle.
نقصّو le cône بـ un plan parallèle à la base . ناخذو un point M من الـ section ، و la droite S M توصل للـ cercle في N . في le triangle S O N ، O prime M parallèle à O N ، donc Thalès : O prime M sur O N égale S O prime sur S O . يعني O prime M égale R fois d sur la hauteur . و هذا ما يتبدّلش كي نبدّلو M : les points الكلّ على نفس الـ distance من O prime . donc الـ section cercle .
On coupe le cône par un plan parallèle à la base. On prend un point M de la section, et la droite S M atteint le cercle en N. Dans le triangle S O N, O prime M est parallèle à O N, donc Thalès : O prime M sur O N égale S O prime sur S O. Autrement dit, O prime M égale R fois d sur la hauteur. Et cela ne change pas quand on change de point M : tous les points sont à la même distance de O prime. La section est donc un cercle.
Un cône de révolution de sommet et de hauteur a pour base le cercle de centre et de rayon On le coupe par un plan parallèle à la base, à la distance du sommet.
- 1.La droite est perpendiculaire à la base. Justifie qu'elle est aussi perpendiculaire à en un point tel que
- 2.Soit un point de la section. La droite coupe le cercle en Explique pourquoi et sont parallèles.
- 3.Exprime en fonction de et
- 4. dépend-il du point choisi ? Déduis-en la nature de la section.
Un cône de révolution de sommet S, en haut, et de base le cercle (C) de centre O, en bas, dessiné en ellipse dont la moitié arrière est en pointillés. La hauteur [SO] est en pointillés. Un plan parallèle à la base coupe le cône un peu au-dessus de la moitié : la section, ombrée en bleu, est un disque de centre O' situé sur [SO]. Un point M du bord de la section et le point N du cercle (C) sont alignés avec S, sur une même génératrice tracée en orange. Les rayons [O'M] et [ON], en rouge, sont parallèles ; [ON], caché dans la base, est en pointillés.
12. Propriété
Section d'un cylindre, section d'un cône
Ce qu’il dit
Le cylindre, nafs el 3ordh men louta lel fou9 : el section cercle de même rayon. Le cône yedhya9 ki notl3ou lel sommet : el section cercle zeda, ama le rayon = R × d/h, w d hiya la distance du plan au sommet. W Thalès dima men le sommet S : n9arnou les longueurs men S, mouch le morceau elli bin les deux cercles.
le cylindre ، نفس العرض من لوطة للفوق : الـ section cercle de même rayon . le cône يضيق كي نطلعو للـ sommet : الـ section cercle زادة ، أما le rayon égale R fois d sur la hauteur ، و d هي la distance du plan au sommet . و Thalès ديما من le sommet S : نقارنو les longueurs من S ، موش le morceau اللي بين les deux cercles .
Le cylindre a la même largeur du bas jusqu'en haut : sa section est un cercle de même rayon. Le cône se resserre en montant vers le sommet : sa section est aussi un cercle, mais de rayon R fois d sur la hauteur, où d est la distance du plan au sommet. Et Thalès se lit toujours depuis le sommet S : on compare des longueurs mesurées depuis S, jamais le morceau entre les deux cercles.
La section d'un cylindre par un plan parallèle à une base est un cercle de même rayon que la base : le cylindre a la même largeur à toutes les hauteurs.
La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un cercle, centré sur l'axe Si le cône a pour hauteur et pour rayon de base et si le plan est à la distance du sommet, le rayon de la section est
Un cylindre de révolution debout. Ses deux bases, de centres O en bas et O' en haut, sont des disques de même rayon, dessinés en ellipses : celle du haut entièrement visible, celle du bas avec sa moitié arrière en pointillés. L'axe [OO'] est en pointillés. Un plan parallèle aux bases coupe le cylindre à mi-hauteur : la section, ombrée en bleu, est un disque de centre I exactement de la même taille que les bases. Le rayon de la base, caché, en pointillés rouges, et le rayon de la section, en rouge, portent tous les deux la lettre R.
cylindre
cône, à la distance d du sommet
Exemple traité
Un abat-jour a la forme d'un cône de révolution dont on a coupé la pointe par un plan parallèle à la base. Le cercle du haut a pour rayon cm, celui du bas cm, et le côté de l'abat-jour mesure cm, avec sur Calculer la longueur de la génératrice du cône entier, puis l'aire du tissu de l'abat-jour en fonction de
- Des parallèles — Le plan de coupe est parallèle à la base, donc est parallèle à Le théorème de Thalès dans le triangle lu depuis le sommet donne l'égalité des rapports.
- Une équation — Comme est sur on a
- Le tissu — Le tissu est la surface latérale du grand cône, privée de celle du petit cône de sommet : rayon cm et génératrice cm. L'aire latérale d'un cône est fois le rayon fois la génératrice.
À ne pas faire : La section d'un cône parallèle à sa base est un cercle de même rayon que la base. — C'est un cercle de rayon plus petit que . « Même rayon », c'est le cylindre. Le cône se resserre vers son sommet : plus on coupe près de plus le cercle est petit.
À ne pas faire : — . cm, c'est le morceau de génératrice entre les deux cercles. Le rapport de Thalès se lit toujours depuis le sommet : c'est qu'il faut.
13. Propriété
Couper parallèlement à la base, c'est réduire
Ce qu’il dit
Hedhi ahamm 7aja fil chapitre. El petit solide, une réduction de coefficient k. Les longueurs fois k, les aires fois k², les volumes fois k³. Kès m3abbi l 3/5 de sa hauteur ? Mouch 3/5 du volume : (3/5)³, 27/125, ma yousselch 7atta lel moitié !
هاذي أهمّ حاجة في الـ chapitre . الـ petit solide ، une réduction de coefficient k . les longueurs fois k ، les aires fois k au carré ، les volumes fois k au cube . كاس معبّي لـ trois cinquièmes de sa hauteur ؟ موش trois cinquièmes du volume : trois cinquièmes au cube ، 27 sur 125 ، ما يوصلش حتى للـ moitié !
C'est la chose la plus importante du chapitre. Le petit solide est une réduction de coefficient k. Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k au carré, les volumes par k au cube. Un verre rempli aux trois cinquièmes de sa hauteur ? Pas trois cinquièmes du volume : trois cinquièmes au cube, 27 sur 125, même pas la moitié !
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, le petit solide du côté du sommet est une réduction du grand, de coefficient avec
Dans une réduction de coefficient : - les longueurs sont multipliées par ; - les aires sont multipliées par ; - les volumes sont multipliés par
L'autre morceau, entre la section et la base, s'appelle un tronc de pyramide ou de cône : son volume est la différence des deux volumes.
Les mêmes règles valent pour un agrandissement, de coefficient : doubler toutes les longueurs d'un solide multiplie ses aires par et son volume par — pas par
Un verre en forme de cône de révolution, pointe en bas : le sommet S est en bas, l'ouverture est un cercle de centre O dessiné en ellipse en haut. La hauteur [SO] est en pointillés. Le liquide, ombré en bleu, monte depuis la pointe jusqu'aux trois cinquièmes de la hauteur : sa surface est un disque de centre O', plus petit que l'ouverture. Le liquide forme un petit cône de même sommet S que le verre.
Exemple traité
Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas, et contient litre, soit On le remplit jusqu'aux trois cinquièmes de sa hauteur. Quel est le volume du liquide ?
- Le coefficient — Le liquide forme un petit cône de même sommet que le verre. Sa hauteur est les trois cinquièmes de celle du verre.
- Le volume — Un volume se multiplie par pas par
À ne pas faire : Rempli aux de sa hauteur, le verre contient les de son volume, soit — Il en contient soit . Le petit cône est réduit dans les trois directions à la fois : en hauteur, mais aussi en largeur et en profondeur. D'où le cube — et un verre qui paraît plus plein qu'il ne l'est.
À ne pas faire : L'aire de la section vaut fois l'aire de la base. — L'aire de la section vaut fois l'aire de la base.. Une aire a deux dimensions, et chacune est multipliée par
14. Activité
Trancher une sphère
Ce qu’il dit
(OO') perpendiculaire au plan P, donc perpendiculaire à (O'M) : le triangle OO'M rectangle en O'. OM = R, khater M 3la la sphère. Pythagore : O'M² = R² − d². Nafs el distance l koll point M : el section cercle de centre O'. W fil application : 25² − 20², 225, w la racine carrée ta3ti 15.
O O prime perpendiculaire au plan P ، donc perpendiculaire à O prime M : le triangle O O prime M rectangle en O prime . O M égale R ، خاطر M على la sphère . Pythagore : O prime M au carré égale R au carré moins d au carré . نفس الـ distance لكل point M : الـ section cercle de centre O prime . و في l'application : 25 au carré moins 20 au carré ، 225 ، و la racine carrée تعطي 15 .
O O prime est perpendiculaire au plan P, donc à O prime M : le triangle O O prime M est rectangle en O prime. O M égale R, parce que M est sur la sphère. Pythagore : O prime M au carré égale R au carré moins d au carré. La même distance pour tout point M : la section est un cercle de centre O prime. Et dans l'application : 25 au carré moins 20 au carré, 225, et sa racine carrée donne 15.
Une sphère de centre et de rayon est coupée par un plan situé à la distance de avec On note le point de tel que est perpendiculaire à : ainsi Soit un point de la section.
- 1.Quelle est la nature du triangle ? Justifie.
- 2.Exprime en fonction de et de
- 3.Déduis-en la nature de la section.
- 4.Application. Une sphère de rayon cm est coupée par un plan à cm de son centre. Calcule le rayon de la section.
Une sphère de centre O, dessinée comme un cercle. Un plan horizontal la coupe au-dessus du centre : la section, ombrée en bleu, est un disque de centre O' dessiné en ellipse. Le segment [OO'], vertical et en pointillés, mesure d ; le segment [O'M], horizontal et en rouge, va de O' à un point M du bord de la section et mesure r ; le segment [OM] est un rayon de la sphère, noté R. L'angle en O' du triangle OO'M porte la marque de l'angle droit.
15. Propriété
Section d'une sphère par un plan
Ce qu’il dit
La section d'une sphère par un plan à la distance d du centre, avec d < R : un cercle. Le centre O', w le rayon r = √(R² − d²). Ki le plan passe par le centre, d = 0, w nal9aw le grand cercle, de rayon R. W radd belek : R − d, ghalet. Na7iw les carrés, mouch les longueurs.
la section d'une sphère par un plan à la distance d du centre ، avec d inférieur à R : un cercle . le centre O prime ، و le rayon ، petit r ، égale racine carrée de la parenthèse grand R au carré moins d au carré . كي le plan passe par le centre ، d égale 0 ، و نلقاو le grand cercle ، de rayon R . و ردّ بالك : R moins d ، غالط . نحّيو les carrés ، موش les longueurs .
La section d'une sphère par un plan à la distance d du centre, avec d inférieur à R : un cercle. Son centre est O prime, et son rayon, le petit r, égale racine carrée de la parenthèse grand R au carré moins d au carré. Quand le plan passe par le centre, d égale 0, et on obtient le grand cercle, de rayon R. Attention : R moins d, c'est faux. On soustrait les carrés, pas les longueurs.
La section d'une sphère de centre et de rayon par un plan situé à la distance de avec est un cercle. Son centre est le point du plan tel que est perpendiculaire au plan, et son rayon est
Si le plan passe par le centre, : la section est un cercle de rayon qu'on appelle un grand cercle de la sphère. Si le plan ne touche la sphère qu'en un point ; si il ne la rencontre pas.
rayon de la section
grand cercle
Exemple traité
Une sphère a pour rayon cm. On la coupe par un plan à cm de son centre. Calculer le rayon de la section, puis l'aire du disque de section en fonction de
- Pythagore — Le triangle est rectangle en et son hypoténuse est un rayon de la sphère.
- L'aire du disque —
À ne pas faire : cm — cm. Le rayon de la sphère, la distance au centre et le rayon de la section sont les côtés d'un triangle rectangle : ce ne sont pas les longueurs qui se soustraient, ce sont leurs carrés.
À ne pas faire : — . L'hypoténuse du triangle est un rayon de la sphère : est le plus grand des trois, et la section n'est jamais plus grande qu'un grand cercle.
16. Application
Cinq boules empilées
Ce qu’il dit
Zouz boules ki ymassou b3adhhom, bin les centres 20 cm. Les centres ya3mlou une pyramide régulière. La hauteur b Pythagore fi le triangle SHA : 400 − 200, 200, w la racine carrée ta3ti 10√2. W ma tensech : les centres A, B, C, D fou9 la table b 10 cm.
زوز boules كي يمسّو بعضهم ، بين les centres 20 centimètres . les centres يعملو une pyramide régulière . la hauteur بـ Pythagore في le triangle S H A : 400 moins 200 ، 200 ، و la racine carrée تعطي 10 racine de 2 . و ما تنساش : les centres A ، B ، C ، D فوق la table بـ 10 centimètres .
Deux boules qui se touchent ont leurs centres à 20 centimètres. Les centres forment une pyramide régulière. On calcule la hauteur avec Pythagore dans le triangle S H A : 400 moins 200, 200, et sa racine carrée donne 10 racine de 2. Et n'oublie pas : les centres A, B, C, D sont à 10 centimètres au-dessus de la table.
Quatre boules de rayon cm sont posées sur une table, de sorte que leurs centres forment un carré de côté cm. Une cinquième boule, de même rayon, est posée sur elles et les touche toutes les quatre. À quelle distance de la table se trouve son centre ?
Stratégie. Les centres des cinq boules forment une pyramide : on calcule sa hauteur, puis on ajoute la distance du plan des centres à la table.
La pyramide des centres, en perspective : la base ABCD est un carré de côté 20, avec A en bas à gauche, B en bas à droite, C derrière B et D derrière A ; le sommet S est au-dessus du centre H du carré. Les arêtes cachées [SD], [AD] et [DC] sont en pointillés. L'arête [SA] et le côté [AB] portent la longueur 20. Le triangle SHA est mis en évidence en rouge : la hauteur [SH] et la demi-diagonale [AH], toutes deux en pointillés, forment un angle droit en H.
Exemple traité
Calculer la hauteur de la pyramide où est le centre du carré puis la distance du centre à la table.
- Les arêtes — Deux boules qui se touchent ont leurs centres à cm l'un de l'autre. Donc cm : la pyramide est régulière, et son sommet est au-dessus du centre du carré.
- La demi-diagonale — La diagonale d'un carré de côté cm mesure cm, et en est le milieu.
- La hauteur — Le triangle est rectangle en : théorème de Pythagore.
- La table — Les centres sont à cm au-dessus de la table : c'est le rayon des boules posées.
À ne pas faire : La distance cherchée est la hauteur cm. — Il faut ajouter cm : la distance est cm.. se mesure depuis le plan des centres qui est à un rayon au-dessus de la table.
17. Méthode
Devant une section : trois questions
Ce qu’il dit
9oddem ay section, 3 questions. Awel 7aja : le plan kifech m7atout ? Hedha ya3tik la nature. Ba3d : fi ama triangle na7sbou ? Triangle rectangle l Pythagore, walla triangle men le sommet l Thalès. W fil le5er : pyramide walla cône ? Jib k men le sommet, w ba3d k, k au carré, k au cube.
قدّام أي section ، 3 questions . أوّل حاجة : le plan كيفاش محطوط ؟ هذا يعطيك la nature . بعد : في أما triangle نحسبو ؟ triangle rectangle لـ Pythagore ، ولّا triangle من le sommet لـ Thalès . و في الآخر : pyramide ولّا cône ؟ جيب k من le sommet ، و بعد k ، k au carré ، k au cube .
Devant une section, 3 questions. D'abord : comment le plan est-il placé ? C'est ce qui donne la nature. Ensuite : dans quel triangle calculer ? Un triangle rectangle pour Pythagore, ou un triangle issu du sommet pour Thalès. Et enfin : une pyramide ou un cône ? Prends k depuis le sommet, puis k, k au carré, k au cube.
- 1.Comment le plan est-il placé ? Parallèle à une face ou à la base, contenant une arête, passant par le centre : c'est ce qui décide de la nature de la section. Pavé coupé parallèlement à une face, ou par un plan qui contient une arête : un rectangle. Pyramide coupée parallèlement à la base : le même polygone que la base. Cylindre et cône coupés parallèlement à la base : un cercle. Sphère coupée par un plan à la distance de son centre : un cercle.
- 2.Dans quel triangle calculer ? On ne calcule jamais dans le solide entier, mais dans un triangle plan. Un triangle rectangle pour Pythagore — diagonale d'une face, rayon de la section d'une sphère. Un triangle issu du sommet pour Thalès — pyramide et cône.
- 3.Faut-il un coefficient ? Pour une pyramide ou un cône coupés parallèlement à la base, se lit depuis le sommet ; puis les longueurs se multiplient par les aires par et les volumes par
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Prisme droit : Cylindre : Pyramide et cône : Boule : ; sphère : aire Le prisme droit : B × h. Le cylindre : πR² × la hauteur. La pyramide w le cône : un tiers de B × h. La boule : 4/3 πR³, w l'aire de la sphère 4πR².Le prisme droit : B fois la hauteur. Le cylindre : π R au carré fois la hauteur. La pyramide et le cône : un tiers de B fois la hauteur. La boule : les quatre tiers de π R au cube, et l'aire de la sphère : 4 π R au carré.
- Un plan qui coupe deux plans parallèles les coupe suivant deux droites parallèles.Un plan y9oss deux plans parallèles, ya3ti deux droites parallèles.Un plan qui coupe deux plans parallèles donne deux droites parallèles.
- Pavé coupé parallèlement à une face : un rectangle isométrique à cette face. Coupé par un plan contenant une arête : un rectangle.Le pavé coupé parallèlement à une face : un rectangle isométrique à cette face. W b un plan qui contient une arête : un rectangle.Le pavé coupé parallèlement à une face : un rectangle isométrique à cette face. Et par un plan qui contient une arête : un rectangle.
- Pyramide coupée parallèlement à la base : un polygone de même nature que la base.La pyramide, ki n9ossouha parallèlement à la base : un polygone de même nature que la base.La pyramide coupée parallèlement à la base : un polygone de même nature que la base.
- Cylindre coupé parallèlement à une base : un cercle de même rayon. Cône coupé parallèlement à la base, à la distance du sommet : un cercle de rayon Le cylindre : un cercle de même rayon. Le cône, m9oss 3la la distance d du sommet : un cercle, w le rayon R × d/h.Le cylindre : un cercle de même rayon. Le cône coupé à la distance d du sommet : un cercle de rayon R fois d sur la hauteur.
- Sphère coupée par un plan à la distance du centre : un cercle de rayon grand cercle si le plan passe par le centre.La sphère, m9ossa 3la la distance d du centre, avec d < R : un cercle, w le rayon √(R² − d²). W ki le plan passe par le centre, grand cercle.La sphère coupée à la distance d du centre, avec d inférieur à R : un cercle, de rayon racine carrée de la parenthèse grand R au carré moins d au carré. Et quand le plan passe par le centre, c'est un grand cercle.
- Réduction de coefficient : longueurs aires volumes W la réduction : k men le sommet, les longueurs fois k, les aires fois k², les volumes fois k³.Et la réduction : k depuis le sommet, les longueurs fois k, les aires fois k au carré, les volumes fois k au cube.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna les sections planes. Tfakker : parallèle à une face, el section isométrique à la face. Parallèle à la base mte3 pyramide walla cône, el section une réduction, w le coefficient k na7sbouh men le sommet. W la section d'une sphère, un cercle, w le rayon b Pythagore. Yalla nemchiw lel exercices.
هكّا كمّلنا les sections planes . تفكّر : parallèle à une face ، الـ section isométrique à la face . parallèle à la base متاع pyramide ولّا cône ، الـ section une réduction ، و le coefficient k نحسبوه من le sommet . و la section d'une sphère ، un cercle ، و le rayon بـ Pythagore . يالله نمشيو للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé les sections planes. Retiens : parallèle à une face, la section est isométrique à la face. Parallèle à la base d'une pyramide ou d'un cône, la section est une réduction, et le coefficient k se compte depuis le sommet. Et la section d'une sphère est un cercle, avec un rayon qu'on trouve par Pythagore. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Les solides usuels
- volume et aire d'un cube
- volume d'un parallélépipède rectangle
- aire totale d'un pavé droit
- un cube kifech na7seb volume mte3ou
- combien de faces et de sommets a un cube
- formule du volume du pavé
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le cube d'arête a : 6 faces, 8 sommets, $V = a^{3}$, aire $6a^{2}$. Le pavé droit a, b, c : 6 faces, 8 sommets, $V = a \times b \times c$, aire $2(ab + bc + ca)$.
le cube d'arête a : 6 faces ، 8 sommets ، volume a au cube ، aire 6 a au carré . le pavé droit a ، b ، c : 6 faces ، 8 sommets ، volume a fois b fois c ، aire 2 fois (a b plus b c plus c a) .
Le cube d'arête a : 6 faces, 8 sommets, volume a au cube, aire 6 a au carré. Le pavé droit de dimensions a, b, c : 6 faces, 8 sommets, volume a fois b fois c, aire 2 fois (a b plus b c plus c a).
Question 2 · Les solides usuels
- volume d'un cylindre
- aire latérale d'un cylindre
- cylindre formule volume
- kifech na7seb volume cylindre
- aire totale du cylindre
- cylindre de révolution volume et aire
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le cylindre de rayon R w de hauteur h : $V = \pi R^{2} h$. L'aire latérale, ki nfarchouha, rectangle de hauteur h w de longueur $2\pi R$ : $2\pi R h$. W l'aire totale nzidou les deux disques : $2\pi R h + 2\pi R^{2}$.
le cylindre de rayon R w de hauteur h : volume pi R au carré h . l'aire latérale ، كي نفرشوها ، rectangle de hauteur h w de longueur 2 pi R : 2 pi R h . w l'aire totale نزيدو les deux disques : 2 pi R h plus 2 pi R au carré .
Pour un cylindre de rayon R et de hauteur h : volume pi R au carré h. L'aire latérale, déroulée à plat, est un rectangle de hauteur h et de longueur 2 pi R : 2 pi R h. L'aire totale ajoute les deux disques : 2 pi R h plus 2 pi R au carré.
Question 3 · Prisme droit et pyramide : le volume
- volume d'une pyramide
- pourquoi un tiers dans le volume de la pyramide
- volume du prisme droit
- pyramide B fois h ou un tiers B fois h
- kifech na7seb volume pyramide
- volume prisme et pyramide différence
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le prisme droit : $V = B \times h$. La pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$. Pyramide 3andha nafs la base w nafs la hauteur mte3 prisme, t3abbi ken le tiers mte3ou.
le prisme droit : V égale B fois h . la pyramide : V égale un tiers fois B fois h . pyramide عندها نفس la base w نفس la hauteur متاع prisme ، تعبّي كان le tiers متاعو .
Prisme droit : V égale B fois h. Pyramide : V égale un tiers fois B fois h. Une pyramide de même base et de même hauteur qu'un prisme n'en remplit que le tiers.
Question 4 · Prisme droit et pyramide : le volume
- c'est quoi la hauteur d'une pyramide
- la hauteur c'est l'arête latérale ?
- hauteur de la pyramide SO ou SA
- chnowa la hauteur mta3 pyramide
- hauteur pyramide définition
- SA est la hauteur ?
Ce qu’il répond
La hauteur mte3 la pyramide hiya la distance men le sommet S l le plan de la base : SO, elli tti7 perpendiculaire. L'arête SA mayla w atwel mel hauteur.
la hauteur متاع la pyramide هي la distance من le sommet S لـ le plan de la base : S O ، اللي تطيح perpendiculaire . l'arête S A مايلة w أطول من la hauteur .
La hauteur d'une pyramide est la distance du sommet S au plan de la base : S O, qui tombe perpendiculairement. L'arête S A est oblique et plus longue que la hauteur.
Question 5 · Sphère et boule
- quelle est la différence entre sphère et boule
- sphère w boule chnowa el far9
- aire de la sphère et volume de la boule
- volume d'une boule formule
- aire d'une sphère formule
- sphère c'est la surface et boule le solide ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La sphère hiya surface, kif jeldet el ballon : les points à la distance R de O. La boule hiya le solide plein. Na7sbou l'aire de la sphère, $4\pi R^{2}$, w le volume de la boule, $\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$, b le rayon mouch le diamètre.
la sphère هي surface ، كيف جلدة الـ ballon : les points à la distance R de O . la boule هي le solide plein . نحسبو l'aire de la sphère ، 4 pi R au carré ، w le volume de la boule ، 4 tiers pi R au cube ، بـ le rayon موش le diamètre .
La sphère est une surface, comme la peau d'un ballon : les points à la distance R de O. La boule est le solide plein. On calcule l'aire de la sphère, 4 pi R au carré, et le volume de la boule, 4 tiers pi R au cube, avec le rayon, pas le diamètre.
Question 6 · Sphère et boule
- on utilise le rayon ou le diamètre
- ballon de diamètre 50 cm quel R
- diamètre dans la formule de la sphère
- rayon wala diamètre fel formule
- j'ai mis le diamètre dans la formule
- R c'est le rayon ou le diamètre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les formules b le rayon. Ballon de diamètre 50 cm : $R = 25$ cm, w l'aire $4\pi \times 25^{2} = 2500\pi$ cm². B le diamètre, l'aire tetdhreb fi 4 w le volume fi 8.
les formules بـ le rayon . ballon de diamètre 50 cm : R égale 25 cm ، w l'aire 4 pi fois 25 au carré ، يعني 2500 pi cm carrés . بـ le diamètre ، l'aire تتضرب في 4 w le volume في 8 .
Les formules utilisent le rayon. Pour un ballon de diamètre 50 cm : R égale 25 cm, et l'aire vaut 4 pi fois 25 au carré, soit 2500 pi centimètres carrés. Avec le diamètre, l'aire serait multipliée par 4 et le volume par 8.
Question 7 · Le cône de révolution
- volume d'un cône
- comment calculer la génératrice d'un cône
- cône de révolution formule
- génératrice ou hauteur du cône
- kifech na7seb volume cône
- aire latérale du cône
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le cône : $V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2} h$. La génératrice SA na7sbouha b Pythagore fi le triangle SOA rectangle en O. Mathalan $R = 3$ w $h = 4$ : $SA = 5$, w $V = 12\pi$. L'aire latérale $\pi R \ell$.
le cône : V égale un tiers pi R au carré h . la génératrice S A نحسبوها بـ Pythagore في le triangle S O A rectangle en O . مثلا R 3 w h 4 : S A 5 ، w V égale 12 pi . l'aire latérale pi R fois la génératrice .
Volume du cône : un tiers pi R au carré h. La génératrice S A se calcule par Pythagore dans le triangle S O A rectangle en O. Par exemple, avec R égale 3 et h égale 4 : S A égale 5, et V égale 12 pi. L'aire latérale vaut pi fois R fois la génératrice.
Question 8 · Le cône de révolution
- angle du patron d'un cône
- patron du cône comment le calculer
- kifech na7seb l'angle mta3 patron
- 360 fois R sur l
- angle de la portion de disque
- patron cône 216 degrés
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le patron mte3 la surface latérale houwa portion de disque de rayon la génératrice $\ell$, w l'angle mte3ou $a = 360 \times \dfrac{R}{\ell}$. Mathalan $R = 3$ w $\ell = 5$ : $360 \times \dfrac{3}{5} = 216^\circ$.
le patron متاع la surface latérale هو portion de disque de rayon la génératrice ℓ ، w l'angle متاعو a égale 360 fois R sur ℓ . مثلا R 3 w ℓ 5 : 360 fois 3 sur 5 ، يعني 216 degrés .
Le patron de la surface latérale est une portion de disque de rayon la génératrice, et son angle vaut 360 fois R sur la génératrice. Par exemple, avec R égale 3 et une génératrice de 5 : 360 fois 3 sur 5, soit 216 degrés.
Question 9 · Un plan coupe deux plans parallèles
- un plan qui coupe deux plans parallèles
- plans parallèles droites d'intersection parallèles ?
- c'est quoi deux plans parallèles
- plan coupe deux plans parallèles pourquoi
- plans parallèles dans l'espace
- droites d'intersection de deux plans parallèles
Ce qu’il répond
Zouz plans parallèles ma 3andhomch 7atta point commun, walla confondus. Ken plan y9oss wa7ed, y9oss le5or zeda, w les deux droites d'intersection parallèles. Hedhi hiya l'outil mte3 les sections.
زوز plans parallèles ما عندهمش حتّى point commun ، ولّا confondus . كان plan يقصّ واحد ، يقصّ الآخر زادة ، w les deux droites d'intersection parallèles . هاذي هي l'outil متاع les sections .
Deux plans sont parallèles quand ils n'ont aucun point commun, ou quand ils sont confondus. Un plan qui coupe l'un coupe aussi l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles. C'est l'outil de toutes les sections.
Question 10 · Un plan coupe deux plans parallèles
- deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles ?
- droites de l'espace qui ne se rencontrent pas
- dans l'espace deux droites sans point commun
- droites non coplanaires
- AB et CG ne se coupent pas, parallèles ?
- zouz droites ma yet9at3ouch parallèles ?
Ce qu’il répond
Fi l'espace, zouz droites ma yet9at3ouch mouch dima parallèles : lezem zeda ykounou fi nafs le plan. Fi le pavé, l'arête $[AB]$ w l'arête $[CG]$ ma ytla9awch, w mouch parallèles.
في l'espace ، زوز droites ما يتقاطعوش موش ديما parallèles : لازم زادة يكونو في نفس le plan . في le pavé ، l'arête A B w l'arête C G ما يتلاقاوش ، w موش parallèles .
Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont parallèles que si elles sont dans un même plan. Dans un pavé, l'arête A B et l'arête C G ne se rencontrent jamais, et pourtant elles ne sont pas parallèles.
Question 11 · Deux plans parallèles et un troisième
- droite perpendiculaire à un plan
- une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à quoi
- perpendiculaire à un plan et au plan parallèle
- droite orthogonale à toutes les droites du plan
- chnowa droite perpendiculaire à un plan
- perpendiculaire à P donc à Q ?
Ce qu’il répond
Droite perpendiculaire l plan tkoun orthogonale l les droites el koll mte3 le plan hedheka. W ken perpendiculaire l P, tkoun zeda perpendiculaire l ay plan parallèle l P.
droite perpendiculaire لـ plan تكون orthogonale لـ les droites الكل متاع le plan هاذاكا . w كان perpendiculaire لـ P ، تكون زادة perpendiculaire لـ أي plan parallèle لـ P .
Une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Et si elle est perpendiculaire à P, elle l'est aussi à tout plan parallèle à P.
Question 12 · Section d'un parallélépipède rectangle
- section d'un pavé par un plan parallèle à une face
- coupe d'un parallélépipède parallèle à une face
- la section du pavé est plus petite que la face ?
- section pavé parallèle face nature
- kifech tkoun la section mta3 pavé parallèle à une face
- section parallèle à une face du pavé rectangle
Ce qu’il répond
La section mte3 pavé par un plan parallèle l face hiya rectangle isométrique l la face hedhika : nafs les dimensions w nafs l'aire. Le pavé 3andou nafs el épaisseur fi koll blasa.
la section متاع pavé par un plan parallèle لـ face هي rectangle isométrique لـ la face هاذيكا : نفس les dimensions w نفس l'aire . le pavé عندو نفس الـ épaisseur في كل بلاصة .
La section d'un pavé par un plan parallèle à une face est un rectangle isométrique à cette face : mêmes dimensions, même aire. Le pavé a la même épaisseur partout.
Question 13 · Section d'un parallélépipède rectangle
- section d'un pavé par un plan contenant une arête
- section ACGE nature
- plan qui contient les arêtes AE et CG
- section contenant une arête kifech na7seb l'aire
- section du pavé en biais
- diagonale de la face dans la section
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Plan y7tawi arête ya3ti rectangle : côté houwa l'arête, w le5or segment mayel 3la face, na7sbouh b Pythagore. Mathalan $AB = 8$, $AD = 6$, $AE = 5$ : $AC = \sqrt{64 + 36} = 10$, w l'aire $10 \times 5 = 50$ cm².
plan يحتوي arête يعطي rectangle : côté هو l'arête ، w الآخر segment مايل على face ، نحسبوه بـ Pythagore . مثلا A B 8 ، A D 6 ، A E 5 : A C égale racine de (64 plus 36) ، يعني 10 ، w l'aire 10 fois 5 ، 50 cm carrés .
Un plan contenant une arête donne un rectangle : un côté est l'arête, l'autre est un segment oblique sur une face, calculé par Pythagore. Par exemple, avec A B égale 8, A D égale 6 et A E égale 5 : A C égale racine de (64 plus 36), soit 10, et l'aire vaut 10 fois 5, soit 50 centimètres carrés.
Question 14 · Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
- section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
- section pyramide nature
- la section de la pyramide est un carré ?
- kifech tkoun la section mta3 pyramide
- coupe d'une pyramide parallèle à la base
- section pyramide même forme que la base
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La section mte3 pyramide par un plan parallèle l la base polygone men nafs nature mte3 la base : réduction liha. $k = \dfrac{SO'}{SO}$, men le sommet. Mathalan base carrée de côté 10, $h = 15$, coupe à 9 cm du sommet : $k = \dfrac{3}{5}$, côté 6 cm.
la section متاع pyramide par un plan parallèle لـ la base polygone من نفس nature متاع la base : réduction ليها . k égale S O prime sur S O ، من le sommet . مثلا base carrée de côté 10 ، h 15 ، coupe à 9 cm du sommet : k 3 sur 5 ، côté 6 cm .
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone de même nature que la base : une réduction de celle-ci, de coefficient k égale S O prime sur S O, lu depuis le sommet. Par exemple, base carrée de côté 10, hauteur 15, coupe à 9 cm du sommet : k égale 3 sur 5, côté 6 cm.
Question 15 · Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
- le coefficient k se lit depuis le sommet ou depuis la base
- k = 6/15 ou 9/15 depuis le sommet
- distance du plan à la base ou au sommet
- pourquoi depuis le sommet
- k men el sommet wala mel base
- coefficient de réduction depuis le sommet
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
K yet9ra men le sommet : la distance men S l le plan de coupe, sur la hauteur. La petite pyramide 3andha nafs le sommet S. Mathalan $h = 15$ w le plan 9 cm men S : $k = \dfrac{9}{15}$, mouch $\dfrac{6}{15}$.
k يتقرى من le sommet : la distance من S لـ le plan de coupe ، sur la hauteur . la petite pyramide عندها نفس le sommet S . مثلا h 15 w le plan 9 cm من S : k égale 9 sur 15 ، موش 6 sur 15 .
Le coefficient k se lit depuis le sommet : distance du sommet au plan de coupe, divisée par la hauteur. La petite pyramide a le même sommet S. Par exemple, avec une hauteur de 15 et un plan à 9 cm de S : k égale 9 sur 15, pas 6 sur 15.
Question 16 · Section d'un cylindre, section d'un cône
- section d'un cône par un plan parallèle à la base
- section d'un cylindre
- rayon de la section d'un cône
- section cône cercle de même rayon ?
- rayon du cône r = R fois d sur h
- kifech na7seb rayon section cône
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Section cylindre parallèle l base : cercle b nafs le rayon. Section cône parallèle l la base : cercle asghar, $r = R \times \dfrac{d}{h}$, d la distance men le sommet. « Nafs le rayon » hedheka le cylindre.
section cylindre parallèle لـ base : cercle بنفس le rayon . section cône parallèle لـ la base : cercle أصغر ، rayon r égale R fois d sur h ، d la distance من le sommet . « نفس le rayon » هاذاكا le cylindre .
La section d'un cylindre parallèle à une base est un cercle de même rayon. Celle d'un cône parallèle à la base est un cercle plus petit, de rayon r égale R fois d sur h, où d est la distance au sommet. « Même rayon », c'est le cylindre.
Question 17 · Section d'un cylindre, section d'un cône
- abat-jour tronc de cône comment calculer SA
- Thalès dans le cône
- 25 sur SA ou SA - 25 sur SA
- abat-jour tronc de cône génératrice
- aire du tissu de l'abat-jour
- kifech nesta3mel Thalès fel cône
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Thalès fi le triangle SOA, men le sommet : $\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{15}{20}$. W $SA' = SA - 25$, mouch 25. Donc $4(SA - 25) = 3\,SA$, w $SA = 100$ cm.
Thalès في le triangle S O A ، من le sommet : S A prime sur S A égale 15 sur 20 . w S A prime égale S A moins 25 ، موش 25 . donc 4 fois (S A moins 25) égale 3 S A ، w S A égale 100 cm .
Thalès dans le triangle S O A, lu depuis le sommet : S A prime sur S A égale 15 sur 20. Et S A prime vaut S A moins 25, pas 25. Donc 4 fois (S A moins 25) égale 3 S A, et S A égale 100 cm.
Question 18 · Couper parallèlement à la base, c'est réduire
- les volumes sont multipliés par k ou k au cube
- réduction longueurs aires volumes k cube
- verre rempli aux 3/5 de sa hauteur quel volume
- pourquoi k au cube pour le volume
- volume réduit formule
- k k carré k cube
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi réduction de coefficient k : les longueurs fois k, les aires fois $k^{2}$, w les volumes fois $k^{3}$. Verre de 1000 cm³ m3abbi l $\dfrac{3}{5}$ mte3 el hauteur : $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3} \times 1000 = 216$ cm³, mouch 600.
في réduction de coefficient k : les longueurs fois k ، les aires fois k au carré ، w les volumes fois k au cube . verre de 1000 cm cubes معبّي لـ 3 sur 5 متاع الـ hauteur : (3 sur 5) au cube fois 1000 ، يعني 216 cm cubes ، موش 600 .
Dans une réduction de coefficient k : longueurs multipliées par k, aires par k au carré, volumes par k au cube. Un verre de 1000 centimètres cubes rempli aux trois cinquièmes de sa hauteur contient 3 cinquièmes au cube fois 1000, soit 216 centimètres cubes, et non 600.
Question 19 · Couper parallèlement à la base, c'est réduire
- l'aire de la section vaut k fois l'aire de la base ?
- aire de la section k ou k carré
- aire réduite formule
- aire section pyramide fois k carré
- pourquoi k carré pour l'aire de la section
- aire fois k2
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'aire de la section tsewi $k^{2}$ fois l'aire de la base, mouch k : l'aire 3andha zouz dimensions, w koll wa7da tetdhreb fi k.
l'aire de la section تساوي k au carré fois l'aire de la base ، موش k : l'aire عندها زوز dimensions ، w كل وحدة تتضرب في k .
L'aire de la section vaut k au carré fois l'aire de la base, pas k fois : une aire a deux dimensions, et chacune est multipliée par k.
Question 20 · Couper parallèlement à la base, c'est réduire
- c'est quoi un tronc de pyramide
- volume d'un tronc de cône
- tronc chnowa
- comment calculer le volume du tronc
- tronc de pyramide définition
- le morceau entre la section et la base
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le tronc houwa el morceau bin la section w la base. Le volume mte3ou houwa le volume mte3 le grand solide moins le volume mte3 le petit, w le petit houwa réduction de coefficient k : $k^{3}$ fois le grand.
le tronc هو الـ morceau بين la section w la base . le volume متاعو هو le volume متاع le grand solide moins le volume متاع le petit ، w le petit هو réduction de coefficient k : k au cube fois le grand .
Le tronc est le morceau entre la section et la base. Son volume est celui du grand solide moins celui du petit, et le petit est une réduction de coefficient k : k au cube fois le grand.
Question 21 · Couper parallèlement à la base, c'est réduire
- doubler les longueurs multiplie le volume par combien
- agrandissement volume fois 8 ?
- si on double toutes les dimensions
- agrandissement solide aire et volume
- doubler les dimensions d'un solide
- k supérieur à 1 agrandissement
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nafs les règles fi l'agrandissement : nda3fou les longueurs, $k = 2$, donc les aires fois $2^{2} = 4$ w le volume fois $2^{3} = 8$, mouch fois 2.
نفس les règles في l'agrandissement : نضاعفو les longueurs ، k égale 2 ، donc les aires fois 4 w le volume fois 8 ، موش fois 2 .
Les mêmes règles valent pour un agrandissement : doubler toutes les longueurs, c'est k égale 2, donc les aires sont multipliées par 4 et le volume par 8, pas par 2.
Question 22 · Section d'une sphère par un plan
- section d'une sphère par un plan
- rayon de la section d'une sphère
- rayon section sphère : r = R - d ?
- kifech na7seb le rayon de la section de la sphère
- section sphère cercle rayon
- sphère coupée par un plan à la distance d
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La section hiya cercle, w le rayon mte3ou $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$, b Pythagore fi le triangle OO'M. Mouch $R - d$ : mathalan $R = 10$ w $d = 6$, $r = \sqrt{64} = 8$, mouch 4.
la section هي cercle ، w le rayon متاعو égale racine de (R au carré moins d au carré) ، بـ Pythagore في le triangle O O prime M . موش R moins d : مثلا R 10 w d 6 ، le rayon de la section égale racine de 64 ، يعني 8 ، موش 4 .
La section est un cercle, dont le rayon égale racine de (R au carré moins d au carré), par Pythagore dans le triangle O O prime M. Pas R moins d : avec R égale 10 et d égale 6, le rayon de la section égale racine de 64, soit 8, et non 4.
Question 23 · Section d'une sphère par un plan
- c'est quoi un grand cercle
- plan qui passe par le centre de la sphère
- grand cercle de la sphère
- si d = R le plan touche la sphère
- d plus grand que R
- grand cercle chnowa
Ce qu’il répond
Ki le plan yet3adda 3la le centre, $d = 0$ : la section cercle de rayon R, houwa grand cercle. Ki $d = R$, le plan ymess la sphère fi point wa7ed. W ki $d > R$, ma ytla9awch.
كي le plan يتعدّى على le centre ، d égale zéro : la section cercle de rayon R ، هو grand cercle . كي d égale R ، le plan يمسّ la sphère في point واحد . w كي d أكبر من R ، ما يتلاقاوش .
Quand le plan passe par le centre, d égale zéro : la section est un cercle de rayon R, un grand cercle. Quand d égale R, le plan ne touche la sphère qu'en un point. Et quand d est plus grand que R, il ne la rencontre pas.
Question 24 · Cinq boules empilées
- cinq boules empilées hauteur du centre
- boules empilées pyramide des centres
- pourquoi ajouter 10 cm pour la distance à la table
- boules empilées hauteur du centre de la boule du dessus
- boules empilées kifech
- distance du centre S à la table
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les centres ya3mlou pyramide SABCD, w $SA = 20$ cm 5ater les boules ytmassou. AH nos la diagonale, $10\sqrt{2}$, w b Pythagore $SH = 10\sqrt{2}$. W lezem nzidou 10 cm : les centres A, B, C, D fou9 la table b rayon.
les centres يعملو pyramide S A B C D ، w S A 20 cm خاطر les boules يتمسّو . A H نصّ la diagonale ، 10 racine de 2 ، w بـ Pythagore S H 10 racine de 2 . w لازم نزيدو 10 cm : les centres A ، B ، C ، D فوق la table بـ rayon .
Les centres forment une pyramide S A B C D, avec S A égale 20 cm car les boules se touchent. A H est la moitié de la diagonale, 10 racine de 2, et Pythagore donne S H égale 10 racine de 2. Il faut ajouter 10 cm : les centres A, B, C, D sont à un rayon au-dessus de la table.
Question 25 · Devant une section : trois questions
- comment trouver la nature d'une section
- par où commencer un exercice de section
- quelle est la nature de la section
- kifech na3ref nature mta3 la section
- section d'un solide méthode
- les trois questions devant une section
Ce qu’il répond
Trois as2la. Kifech le plan ma7tout : parallèle l face walla l la base, y7tawi arête, yet3adda 3la le centre, houwa elli y9arrer la nature. Fi ama triangle plan na7sbou : rectangle l Pythagore, men le sommet l Thalès. W yelzem coefficient k walla le.
trois أسئلة . كيفاش le plan محطوط : parallèle لـ face ولّا لـ la base ، يحتوي arête ، يتعدّى على le centre ، هو اللي يقرّر la nature . في أما triangle plan نحسبو : rectangle لـ Pythagore ، من le sommet لـ Thalès . w يلزم coefficient k ولّا لا .
Trois questions. Comment le plan est-il placé : parallèle à une face ou à la base, contenant une arête, passant par le centre ? C'est ce qui décide de la nature. Dans quel triangle plan calculer : rectangle pour Pythagore, issu du sommet pour Thalès. Enfin, pour une pyramide ou un cône, on cherche le coefficient k.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Le volume d'une pyramide
Une pyramide a pour base un carré de côté cm et pour hauteur cm.
Calculer son volume.
Une pyramide SABCD à base carrée, en perspective : A en bas à gauche, B en bas à droite, C derrière B, D derrière A, et le sommet S au-dessus du centre O de la base. Le côté [AB] porte la longueur 6. La hauteur [SO], en pointillés rouges, porte la longueur 5. Les arêtes cachées [SD], [AD] et [DC] sont en pointillés.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 60
Indices, dans l’ordre
- Une pyramide n'est pas un prisme : son volume n'est pas simplement l'aire de la base fois la hauteur.
- Calcule d'abord l'aire de la base carrée, puis applique la formule de la pyramide.
Correction
- L'aire de la base — La base est un carré de côté cm.
- Le volume — Pour une pyramide, on prend le tiers de l'aire de la base fois la hauteur.
Sans le facteur un tiers, on trouverait : c'est le volume du pavé de même base et de même hauteur. La pyramide en occupe exactement le tiers.
Pièges anticipés
180→ Tu as calculé : c'est le volume d'un pavé. Pour une pyramide, il faut encore en prendre le tiers.90→ Tu as pris la moitié de comme pour l'aire d'un triangle. Le volume d'une pyramide en est le tiers.10→ Tu as multiplié le côté par la hauteur : La formule demande l'aire de la base,
Exercice 2 · base
Une tranche de pavé
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Un plan parallèle à la face coupe l'arête en
Calculer l'aire de la section.
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH en perspective, avec AB = 8, AD = 5 et AE = 6 notés sur les arêtes ; A en bas à gauche devant, B en bas à droite devant, D et C derrière, E, F, G, H au-dessus. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Un plan parallèle à la face de gauche ADHE coupe l'arête [AB] en J : la section, ombrée en bleu, est une tranche verticale qui traverse le pavé de l'avant vers l'arrière et du bas vers le haut, parallèle à la face ADHE.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Le plan est parallèle à une face. Que dit le cours de la section, comparée à cette face ?
- La section est isométrique à la face : cherche les deux dimensions de cette face-là.
Correction
- La nature — La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle isométrique à cette face : ici, à la face
- Les dimensions — La face a pour côtés cm et cm.
La position du point sur ne change rien : partout où l'on coupe parallèlement à la face on retrouve la même tranche de cm sur cm.
Pièges anticipés
48→ Tu as pris la face de côtés et Le plan est parallèle à la face : c'est elle que la section reproduit, avec et40→ Tu as pris la face de côtés et La section est isométrique à la face qui a pour côtés et240→ Tu as calculé le volume du pavé, La section est une surface plane : on demande son aire.
Exercice 3 · pratique
Le cercle de section d'une sphère
Une sphère de rayon cm est coupée par un plan situé à la distance cm de son centre : la section est un cercle de centre
Calculer le rayon de ce cercle.
Une sphère de centre O, dessinée comme un cercle. Un plan horizontal la coupe au-dessus du centre : la section est un disque de centre O', ombré en bleu. Le segment [OO'], vertical et en pointillés, porte la longueur 5 ; le rayon [OM] de la sphère, qui va de O à un point M du bord de la section, porte la longueur 13 ; le rayon [O'M] de la section, horizontal et en rouge, porte un point d'interrogation. L'angle en O' est droit.
Donner le rayon en centimètres, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Place le centre de la sphère, le centre de la section et un point du cercle de section. Quelle est la nature du triangle ?
- Le triangle est rectangle en et son hypoténuse est un rayon de la sphère.
Correction
- Le triangle — est perpendiculaire au plan de coupe, donc à : le triangle est rectangle en avec cm et cm.
- Pythagore —
Les nombres et forment un triangle rectangle bien connu :
Pièges anticipés
8→ Tu as calculé Dans le triangle rectangle ce sont les carrés des longueurs qui se soustraient :18→ Tu as additionné Le rayon de la section est plus petit que celui de la sphère : dans le triangle rectangle l'hypoténuse est cm, et on travaille sur les carrés des longueurs.sqrt(194) / 194 / 13.9 / 13.93 / 13.928→ Tu as additionné les carrés : L'hypoténuse est le rayon de la sphère : est plus petit que et144→ c'est Il reste à prendre la racine carrée :
Exercice 4 · pratique
Le cercle de section d'un cône
Un cône de révolution a pour hauteur cm et pour rayon de base cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à la distance cm du sommet : la section est un cercle de centre
Calculer le rayon de la section, où est le point de la génératrice situé dans le plan de coupe.
Un cône de révolution de sommet S, en haut, et de base le disque de centre O, en bas, dessiné en ellipse dont la moitié arrière est en pointillés. La hauteur [SO] est en pointillés ; son morceau [SO'], du sommet jusqu'au plan de coupe, est repassé en rouge et porte la longueur 8. Le rayon de base [OA], à droite, caché dans la base et donc en pointillés, porte la longueur 9. Le plan parallèle à la base coupe le cône suivant un disque de centre O', ombré en bleu ; son rayon [O'A'], avec A' sur la génératrice [SA], porte un point d'interrogation.
Donner le rayon en centimètres, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le plan de coupe est parallèle à la base : que peux-tu dire des droites et ?
- Applique le théorème de Thalès dans le triangle en partant du sommet Attention : les cm sont la distance
Correction
- Des parallèles — Le plan coupe deux plans parallèles, celui de la section et celui de la base, suivant et : ces droites sont parallèles.
- Thalès — Dans le triangle avec cm et cm :
Le coefficient de réduction est : le petit cône de sommet est une réduction du grand, et tous ses rayons sont multipliés par
Pièges anticipés
3→ Tu as utilisé avec la distance du plan à la base. Le rapport de Thalès part du sommet : cm, donc9→ Un cercle de même rayon que la base, c'est la section d'un cylindre. Le cône se resserre vers son sommet : sa section est plus petite.13.5 / 13,5→ Tu as multiplié par : le rapport est à l'envers, et le rayon obtenu dépasse celui de la base. La section est une réduction, de coefficient plus petit que8→ cm, c'est la distance du sommet au plan de coupe, pas le rayon de la section. Le rayon se calcule avec Thalès dans le triangle
Exercice 5 · pratique
Le volume d'un cône
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour génératrice cm ; est son sommet et le centre de sa base.
Calculer son volume, en fonction de
Un cône de révolution de sommet S, posé sur sa base : un disque de centre O dessiné en ellipse, la moitié avant en trait plein et la moitié arrière en pointillés. Deux génératrices partent de S vers les deux bords de la base ; celle de droite, [SA], est repassée en rouge et porte la longueur 13. Le rayon de base [OA], horizontal, caché dans la base et donc en pointillés, porte la longueur 5. La hauteur [SO], verticale, en pointillés rouges, porte la lettre h. L'angle SOA porte la marque de l'angle droit : le triangle SOA est rectangle en O.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 100pi
Indices, dans l’ordre
- Le volume d'un cône demande sa hauteur et l'énoncé ne la donne pas. Dans quel triangle rectangle peux-tu la calculer ?
- Le triangle est rectangle en et son hypoténuse est la génératrice
- Avec la hauteur, applique la formule du cône : un tiers de l'aire de la base, fois la hauteur.
Correction
- La hauteur — Le triangle est rectangle en et son hypoténuse est la génératrice : théorème de Pythagore.
- L'aire de la base — La base est un disque de rayon cm.
- Le volume — Un tiers de l'aire de la base, fois la hauteur.
La génératrice n'est pas la hauteur : c'est l'hypoténuse du triangle donc elle est plus longue. En valeur approchée,
Pièges anticipés
325pi/3→ Tu as pris la génératrice cm pour la hauteur. La hauteur est un côté de l'angle droit du triangle : calcule-la d'abord avec Pythagore.200pi/3→ Tu as pris cm. Dans le triangle rectangle ce sont les carrés des longueurs qui se soustraient :300pi→ Tu as calculé l'aire de la base fois la hauteur : c'est le volume d'un cylindre. Pour un cône, il faut encore en prendre le tiers.20pi→ Tu as multiplié le rayon par la hauteur. La formule demande l'aire de la base, celle d'un disque :100→ Il manque : la base est un disque, et l'aire d'un disque de rayon est314 / 314.1 / 314.16 / 314.2→ C'est une valeur approchée. La consigne demande le volume en fonction de : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 6 · pratique
Un plan qui contient une arête
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Le point de l'arête est tel que cm. On coupe le pavé par le plan qui contient l'arête et le point ; ce plan coupe l'arête en
Calculer l'aire de la section
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH en perspective, avec AB = 12, AD = 5 et AE = 8 notés sur les arêtes ; A en bas à gauche devant, B en bas à droite devant, D et C derrière A et B, et E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le point I est sur l'arête du haut devant [EF], avec EI = 6, et le point J sur l'arête du haut derrière [HG], à la même distance de H. La section ADJI, ombrée en bleu, part de l'arête du bas à gauche [AD] et monte en biais jusqu'au segment [IJ] sur la face du dessus : son côté [AI], sur la face avant, est oblique ; ses côtés [AD] et [DJ], cachés, sont en pointillés. Le triangle AEI, rectangle en E, est repassé en rouge.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 50
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient l'arête : quelle est la nature de la section ? Un de ses côtés est ; l'autre, est tracé en biais sur la face avant
- Le triangle est rectangle en : le théorème de Pythagore donne la longueur
Correction
- La nature — Le plan contient l'arête : la section est un rectangle. En effet, il coupe les faces parallèles et suivant deux droites parallèles, et ; et est perpendiculaire à la face donc à Un de ses côtés est l'arête de longueur cm.
- Le côté — est tracé sur la face avant Le triangle est rectangle en avec cm et cm.
- L'aire —
Le plan partage le pavé en deux solides. Celui de gauche, est un prisme droit à base triangulaire : ses bases sont les triangles rectangles et d'aire et sa hauteur est cm. Son volume vaut et l'autre solide occupe le reste du pavé :
Pièges anticipés
40→ Tu as pris la face de côtés et : ce serait la section par un plan parallèle à cette face. Ici le plan est incliné : son côté est oblique, plus long que l'arête30→ Tu as pris cm comme second côté. Mais est sur l'arête du haut : le côté de la section est l'hypoténuse du triangle rectangle60→ Tu as pris la face de côtés et La section ne va pas jusqu'à l'arête : elle s'arrête en sur l'arête et son côté oblique est70→ Tu as ajouté Le théorème de Pythagore ajoute les carrés : donc cm.10*sqrt(7) / 5*sqrt(28)→ Tu as soustrait les carrés : Dans le triangle rectangle en l'hypoténuse est : c'est son carré qui est la somme des deux autres,500→ c'est Il reste à prendre la racine carrée : cm, puis l'aire25→ Tu as divisé par comme pour un triangle. La section est un rectangle : son aire est sans moitié.120→ c'est le volume du prisme On demande l'aire de la section, une surface plane :
Exercice 7 · raisonnement
Le cube coupé en biais
Un cube d'arête cm a pour face du dessous et pour face du dessus avec au-dessus de On le coupe par le plan qui passe par et ; ce plan contient aussi le point
Quelle est la nature la plus précise de la section ?
Un cube ABCDEFGH d'arête 4 en perspective : A en bas à gauche devant, B en bas à droite devant, C et D derrière B et A, et E, F, G, H au-dessus de A, B, C, D ; les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le plan qui passe par A, B et G coupe le cube en biais, de l'arête du bas devant, [AB], jusqu'à l'arête du haut derrière, [HG]. La section ABGH est ombrée en bleu : ses côtés [BG] et [AH] sont les diagonales des faces de droite et de gauche, [AH] en pointillés parce qu'elle est cachée.
Répondre en un mot.
Réponse attendue : rectangle — aussi acceptées : un rectangle · c'est un rectangle · ABGH est un rectangle · la section ABGH est un rectangle · la section est un rectangle · rectangle non carré · un rectangle non carré · un rectangle pas un carré · rectangle pas carré · un rectangle mais pas un carré · un rectangle et pas un carré · ABGH est un rectangle, pas un carré · un rectangle, pas un carré · rectangle, pas un carré · rectangle pas un carré · rectangle, pas carré · rectangle mais pas carré · rectangle mais pas un carré · cest un rectangle · rectangle ABGH · ABGH rectangle · rectangle (pas un carré) · rectangle (non carré) · le rectangle · rectangle (pas carré) · un rectangle (pas carré) · c'est rectangle · un parallélogramme rectangle · parallélogramme rectangle
Indices, dans l’ordre
- Les faces et sont parallèles, comme les faces et : que peux-tu dire des côtés opposés de ? Et l'arête est perpendiculaire à la face : que vaut l'angle ?
- Le plan contient l'arête comme dans le cours. Pour savoir si la section est un carré, compare ses deux côtés et Le segment est la diagonale d'une face du cube.
- Dans le triangle l'angle en est droit : le théorème de Pythagore donne
Correction
- Un parallélogramme — Le plan coupe les faces parallèles et suivant et et les faces parallèles et suivant et Les côtés opposés de sont donc parallèles : c'est un parallélogramme.
- Un angle droit — L'arête est perpendiculaire à et à donc à la face et à toute droite de cette face, en particulier à Le parallélogramme a un angle droit : c'est un rectangle.
- Pas un carré — est la diagonale d'un carré de côté cm.
Le plan contient une arête du cube, donc la section est un rectangle. Son autre côté, est une diagonale de face : elle est forcément plus longue qu'une arête, et la section ne peut pas être un carré.
Pièges anticipés
carré / un carré / ABGH est un carré / c'est un carré / cest un carré / c'est un carre→ Le cube a toutes ses arêtes égales, mais la section n'a que deux côtés qui sont des arêtes, et de longueur cm. Les deux autres, et sont des diagonales de face : cm, plus long.parallélogramme / un parallélogramme→ C'est bien un parallélogramme, mais on peut être plus précis : l'angle est droit, car est perpendiculaire à la facelosange / un losange→ Un losange a ses quatre côtés égaux. Ici cm mais cm : deux côtés consécutifs n'ont pas la même longueur.
Exercice 8 · raisonnement
L'aire d'une section de pyramide
Une pyramide de hauteur cm a pour base un carré de côté cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à la distance cm du sommet : il coupe la hauteur en et les arêtes en
Calculer l'aire de la section
Une pyramide SABCD à base carrée, en perspective, de sommet S au-dessus du centre O de la base ; A en bas à gauche, B en bas à droite, C derrière B, D derrière A. Le côté [AB] porte la longueur 20. La hauteur [SO] est en pointillés, et son morceau [SO'], du sommet jusqu'au plan de coupe, est repassé en rouge et porte la longueur 6. La section A'B'C'D', ombrée en bleu, est un carré parallèle à la base, plus petit, situé du côté du sommet.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 64
Indices, dans l’ordre
- La section est un carré, réduction de la base. Commence par le coefficient de réduction, en partant du sommet.
- avec cm. Ensuite, calcule le côté de la section — ou multiplie l'aire de la base par
Correction
- Le coefficient — La section est à cm du sommet
- Le côté — La section est un carré, réduction de la base de coefficient
- L'aire —
Autre chemin, même résultat : l'aire de la base, multipliée par donne
Pièges anticipés
160→ Tu as multiplié l'aire de la base par Une aire se multiplie par : les deux côtés du carré sont réduits.144→ Tu as pris avec la distance du plan à la base. Le coefficient se lit depuis le sommet :400→ c'est l'aire de la base. La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base en est une réduction, pas une copie.8→ cm, c'est le côté de la section. On demande son aire : que vaut l'aire d'un carré de côté cm ?25.6→ Tu as multiplié l'aire de la base par Le cube sert aux volumes ; une aire a deux dimensions, elle se multiplie par
Exercice 9 · defi
Le verre aux quatre cinquièmes
Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas. On le remplit jusqu'aux quatre cinquièmes de sa hauteur.
Quelle fraction du volume du verre le liquide occupe-t-il ?
Un verre conique, pointe en bas : le sommet S en bas, l'ouverture en haut, un cercle de centre O dessiné en ellipse. La hauteur [SO] est en pointillés. Le liquide, ombré en bleu, remplit le verre depuis la pointe jusqu'à un disque de centre O' situé aux quatre cinquièmes de la hauteur, juste sous l'ouverture.
Donner une fraction irréductible ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 64/125 — aussi acceptées : 0.512
Indices, dans l’ordre
- Le liquide forme un petit cône de même sommet que le verre. C'est une réduction du verre : quel est son coefficient ?
- Mais on compare des volumes : par quelle puissance de un volume est-il multiplié ?
Correction
- Le coefficient — Le liquide forme un cône de même sommet que le verre, dont la hauteur est les quatre cinquièmes de la sienne : c'est une réduction de coefficient
- Le volume — Les volumes sont multipliés par
- À moitié plein ? — c'est à peine plus que : le liquide occupe tout juste plus de la moitié du verre, alors qu'il monte aux quatre cinquièmes de la hauteur.
Toute la largeur d'un verre conique est en haut. Rempli à la moitié de sa hauteur, il ne contiendrait que de son volume.
Pièges anticipés
4/5 / 0.8→ Tu as supposé le volume proportionnel à la hauteur. Le petit cône est réduit dans les trois dimensions : le volume est multiplié par pas par16/25 / 0.64→ Tu as élevé au carré : c'est ainsi que se multiplient les aires, comme celle de la surface du liquide. Pour un volume, c'est61/125 / 0.488→ Tu as calculé la partie vide du verre, celle qui reste au-dessus du liquide. On demande la fraction occupée par le liquide lui-même : le petit cône de même sommet que le verre.1/2 / 0.5→ La moitié, c'est une estimation à l'œil. La fraction se calcule : le liquide est un cône réduit, de coefficient et un volume se multiplie par
Exercice 10 · defi
Le tronc de pyramide
Une pyramide a pour volume On la coupe par un plan parallèle à sa base, au tiers de sa hauteur en partant du sommet. On obtient une petite pyramide et un tronc de pyramide.
Calculer le volume du tronc.
Une pyramide SABCD à base carrée, en perspective, de sommet S au-dessus du centre O de la base ; la hauteur [SO] et les arêtes cachées [SD], [AD] et [DC] sont en pointillés. Un plan parallèle à la base la coupe au tiers de la hauteur en partant du sommet : la section, ombrée en bleu, est un petit carré près de S. Au-dessus, une petite pyramide de sommet S ; en dessous, le tronc de pyramide, entre la section et la base.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 260
Indices, dans l’ordre
- La petite pyramide, du côté du sommet, est une réduction de la grande. Quel est son coefficient ?
- Calcule le volume de la petite pyramide avec puis retire-le du volume de la grande.
Correction
- Le coefficient — Le plan est au tiers de la hauteur depuis le sommet : la petite pyramide a pour hauteur le tiers de celle de la grande.
- La petite pyramide — Les volumes sont multipliés par
- Le tronc — Le tronc, c'est la grande pyramide privée de la petite.
La petite pyramide prend le tiers de la hauteur, mais seulement du volume : presque tout le volume d'une pyramide est près de sa base.
Pièges anticipés
10→ c'est le volume de la petite pyramide. Le tronc, c'est ce qui reste de la grande : que fais-tu avec ?190 / 80→ Tu as pris comme si le plan était au tiers de la hauteur en partant de la base. L'énoncé dit en partant du sommet : la petite pyramide a pour hauteur le tiers de la grande.90→ Tu as pris le tiers de Le volume de la petite pyramide ne se multiplie pas par mais par — et on demande le volume du tronc, pas celui de la petite pyramide.180→ Tu as retiré le tiers du volume. Le volume de la petite pyramide est multiplié par pas par240→ Tu as retiré le neuvième du volume, avec sert aux aires ; pour un volume, c'est
Exercice 11 · base
Le volume d'un cube
Un cube a pour arête cm.
Calculer son volume.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 343
Indices, dans l’ordre
- Le volume d'un cube, c'est l'arête multipliée trois fois par elle-même.
- Calcule puis multiplie encore par
Correction
- La formule — Le cube est un pavé dont les trois dimensions valent
c'est : trois facteurs pour les trois dimensions de l'espace. Ni qui est l'aire d'une face, ni
Pièges anticipés
49→ c'est : l'aire d'une face. Le volume demande un troisième facteur21→ Tu as calculé L'exposant ne multiplie pas l'arête par :294→ c'est l'aire totale des six faces, On demande le volume :
Exercice 12 · base
L'aire totale d'un pavé
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm.
Calculer son aire totale, c'est-à-dire la somme des aires de ses six faces.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 137
Indices, dans l’ordre
- Les six faces vont par paires de faces identiques : combien de rectangles différents y a-t-il, et quelles sont leurs dimensions ?
- Il y a trois sortes de faces : et chacune deux fois.
Correction
- Les trois faces —
- Les six faces — Chaque face a sa jumelle, en face d'elle.
Pour l'aire d'un pavé, on compte les faces deux par deux : Le produit lui, est le volume.
Pièges anticipés
90→ c'est le volume, en On demande l'aire des six faces.68.5 / 68,5→ Tu as compté trois faces. Le pavé en a six : chacune des trois a sa jumelle sur la face opposée.
Exercice 13 · base
Le volume d'un cylindre
Un cylindre de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm.
Calculer la valeur exacte de son volume.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 200pi
Indices, dans l’ordre
- Le cylindre est un « prisme » à base ronde : son volume est l'aire de la base fois la hauteur.
- La base est un disque de rayon cm.
Correction
- L'aire de la base —
- Le volume —
Comme pour le prisme droit : aire de la base fois hauteur. En valeur approchée,
Pièges anticipés
80pi→ c'est l'aire latérale du cylindre. Le volume utilise l'aire du disque de base,800pi→ Tu as pris cm, le diamètre, comme rayon. Le rayon est cm.40pi→ Tu as calculé : il manque le carré du rayon. L'aire du disque est628 / 628.3 / 628.32 / 628,3 / 628,32→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 14 · base
Un prisme à base triangulaire
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent cm et cm. Sa hauteur est cm.
Calculer son volume.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 135
Indices, dans l’ordre
- Le volume d'un prisme droit est l'aire de sa base fois sa hauteur. Commence par l'aire du triangle.
- Un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle.
Correction
- L'aire de la base —
- Le volume —
Pour un prisme droit, pas de un tiers : Le un tiers est réservé à la pyramide et au cône.
Pièges anticipés
270→ Tu as pris pour l'aire de la base : c'est l'aire du rectangle. Le triangle rectangle en est la moitié.45→ Tu as pris le tiers de comme pour une pyramide. Un prisme droit a pour volume sans facteur.
Exercice 15 · base
Une pyramide à base rectangulaire
Une pyramide a pour base un rectangle de cm sur cm, et pour hauteur cm.
Calculer son volume.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 120
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord l'aire du rectangle de base.
- Une pyramide occupe le tiers du prisme de même base et de même hauteur.
Correction
- L'aire de la base —
- Le volume —
Diviser d'abord par simplifie le calcul : puis
Pièges anticipés
360→ c'est le volume du pavé de même base et de même hauteur. La pyramide en est le tiers.180→ Tu as pris la moitié de Le volume d'une pyramide en est le tiers.
Exercice 16 · pratique
Retrouver la hauteur d'une pyramide
Une pyramide a pour volume et l'aire de sa base est
Calculer sa hauteur
Donner la hauteur en centimètres.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Écris la formule du volume de la pyramide et remplace ce que tu connais : il ne reste qu'une inconnue,
- De on tire en multipliant par puis en divisant par
Correction
- L'équation —
Pour retrouver une dimension, on écrit la formule et on résout l'équation : ici Le ne disparaît pas.
Pièges anticipés
4→ serait la hauteur d'un prisme de ce volume. Pour une pyramide, : il faut multiplier par4/3→ Tu as divisé par au lieu de multiplier. De on tire
Exercice 17 · pratique
La base d'un tétraèdre
Un tétraèdre a pour volume La hauteur relative à sa base mesure cm.
Calculer l'aire de la base
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 20
Indices, dans l’ordre
- Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire : même formule de volume.
- Remplace et dans la formule, puis isole
Correction
- L'équation — :
La formule vaut pour toutes les pyramides, le tétraèdre compris : on y isole l'inconnue,
Pièges anticipés
20/3→ oublie le un tiers de la formule : pas240→ Tu as multiplié Pour isoler il faut diviser par la hauteur :
Exercice 18 · pratique
Du papier d'emballage au volume
Pour recouvrir exactement les six faces d'un cube, il faut de papier.
Calculer le volume de ce cube.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 125
Indices, dans l’ordre
- Les six faces sont des carrés identiques : quelle est l'aire d'une face ?
- Une face a pour aire Quel nombre positif vérifie ?
Correction
- Une face —
- L'arête —
- Le volume —
On remonte de l'aire à l'arête — diviser par puis prendre la racine carrée — et de l'arête au volume.
Pièges anticipés
25→ c'est l'aire d'une face. Il reste à trouver l'arête, puis le volume.5→ cm, c'est l'arête du cube. On demande son volume :
Exercice 19 · raisonnement
La hauteur d'eau dans un aquarium
Un aquarium a la forme d'un parallélépipède rectangle. Son fond, horizontal, est un rectangle de cm sur cm. On y verse litres d'eau. On rappelle que
Calculer la hauteur de l'eau dans l'aquarium.
Donner la hauteur en centimètres.
Réponse attendue : 24
Indices, dans l’ordre
- L'eau forme elle-même un pavé : même fond que l'aquarium, et une hauteur inconnue. Que vaut son volume, en ?
- Le volume d'eau est l'aire du fond fois la hauteur Mets tout en centimètres avant de diviser.
Correction
- Le volume en cm³ —
- L'aire du fond —
- La hauteur —
Dans un pavé, donne aussi — à condition d'exprimer et dans la même unité : ici les et les
Pièges anticipés
2.4 / 2,4→ Ta conversion des litres est fausse : donc pas0.024 / 0,024 / 6/250→ Tu as divisé par sans convertir les litres. Le fond est en : le volume doit être en
Exercice 20 · defi
Le coin du cube
Un cube d'arête cm a pour face du dessous et pour face du dessus avec au-dessus de On le coupe par le plan qui passe par et : on retire ainsi le coin une pyramide de sommet dont la base est le triangle
Calculer le volume du solide qui reste.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 180
Indices, dans l’ordre
- Le solide qui reste, c'est le cube privé de la pyramide Quelle est la base de cette pyramide, et quelle est sa hauteur ?
- La base est un triangle rectangle en moitié d'une face du cube. La hauteur est l'arête perpendiculaire à la face
- Volume du coin : un tiers de l'aire de fois Retire-le du volume du cube.
Correction
- Le cube —
- La base du coin — est un triangle rectangle en avec cm.
- Le coin — est perpendiculaire à la face : cm est la hauteur de la pyramide.
- Ce qui reste —
Le coin ne prend que du cube : la moitié d'une face pour base, puis le tiers de la pyramide. Pour un solide « troué », on calcule ce qu'on enlève et on le soustrait.
Pièges anticipés
36→ c'est le volume du coin que l'on retire. On demande ce qui reste du cube.108→ Tu as retiré : c'est le volume d'un prisme. Le coin est une pyramide : son volume est le tiers de144→ Tu as pris toute la face pour base du coin. Sa base est le triangle la moitié de la face :
Exercice 21 · base
L'aire d'une sphère
Une sphère a pour rayon cm.
Calculer la valeur exacte de son aire.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 144pi
Indices, dans l’ordre
- L'aire d'une sphère vaut quatre fois l'aire d'un disque de même rayon.
- Calcule d'abord puis multiplie par
Correction
- La formule —
L'aire de la sphère, c'est quatre grands cercles : Le cube du rayon, lui, sert au volume de la boule. En valeur approchée,
Pièges anticipés
36pi→ c'est l'aire d'un disque de rayon cm. La sphère en vaut quatre :288pi→ c'est le volume de la boule, On demande l'aire de la sphère :24pi→ Tu as calculé : il manque le carré du rayon. L'aire est452 / 452.4 / 452.39 / 452,4 / 452,39→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 22 · base
Le volume d'une boule
Une boule a pour diamètre cm.
Calculer la valeur exacte de son volume.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 972pi
Indices, dans l’ordre
- La formule du volume de la boule utilise le rayon. Que vaut-il ?
- cm. Calcule puis prends les quatre tiers de
Correction
- Le rayon —
- Le volume —
Toujours le rayon dans la formule, jamais le diamètre. Et diviser par d'abord, rend le calcul simple. En valeur approchée,
Pièges anticipés
7776pi→ Tu as pris cm, le diamètre, comme rayon. Le rayon est cm : avec le diamètre, on trouve huit fois trop.324pi→ c'est l'aire de la sphère. Le volume de la boule est729pi→ Il manque le facteur : le volume de la boule est pas3053.6 / 3053.63 / 3054 / 3053,6 / 3053,63→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 23 · pratique
Le rayon d'après l'aire
L'aire d'une sphère vaut
Calculer son rayon
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Écris l'égalité : il reste une équation en
- Divise les deux membres par : tu obtiens Le rayon est positif.
Correction
- L'équation —
- Le rayon — Un rayon est positif :
De l'aire au rayon : diviser par puis prendre la racine carrée. s'élimine des deux côtés, sans jamais passer par
Pièges anticipés
49→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.14→ Tu as résolu : il manque le facteur de l'aire de la sphère,
Exercice 24 · pratique
Le rayon d'après le volume
Une boule a pour volume
Calculer son rayon
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Écris l'égalité et isole
- Multiplie par puis divise par Il reste à trouver le nombre entier dont le cube vaut ce résultat : est un peu trop petit.
Correction
- L'équation —
- Le rayon — et :
Pour remonter du volume au rayon, on isole puis on cherche le nombre dont le cube vaut ce résultat. Les cubes à connaître :
Pièges anticipés
1728→ c'est Le rayon est le nombre dont le cube vaut13.2 / 13,2 / 13.21 / 13,21→ Tu as cherché le nombre dont le cube vaut en oubliant le facteur Isole d'abord
Exercice 25 · pratique
La contenance d'un bol
L'intérieur d'un bol a la forme d'une demi-boule de rayon cm.
Calculer la valeur exacte de sa contenance.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 486pi
Indices, dans l’ordre
- Une demi-boule, c'est la moitié d'une boule. Commence par le volume de la boule entière de rayon cm.
- Prends la moitié des quatre tiers : c'est
Correction
- La boule entière —
- La moitié —
Une demi-boule a pour volume Ici soit environ litre.
Pièges anticipés
972pi→ c'est la boule entière. Le bol n'en est que la moitié.162pi→ c'est l'aire de la demi-sphère, la surface du bol. La contenance est un volume :1526.8 / 1526.81 / 1527 / 1526,8 / 1526,81→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 26 · raisonnement
De l'aire au volume
Une sphère a pour aire
Calculer la valeur exacte du volume de la boule qu'elle limite.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 500pi/3
Indices, dans l’ordre
- Le volume demande le rayon : retrouve-le d'abord grâce à l'aire.
- donne puis Applique ensuite la formule du volume de la boule.
Correction
- Le rayon —
- Le volume —
Aire et volume se relient par le rayon : on remonte d'abord au rayon, on redescend ensuite. Le résultat ne se simplifie pas.
Pièges anticipés
500pi→ Tu as calculé : le volume de la boule est il faut encore diviser par125pi→ Tu as calculé : il manque le facteur du volume de la boule.523.6 / 523.59 / 524 / 523,6 / 523,59→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 27 · raisonnement
Une boule dans une boîte cubique
Une boule est enfermée dans une boîte cubique d'arête cm : elle touche les six faces de la boîte.
Calculer la valeur exacte du volume de l'espace vide dans la boîte.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 1000-500pi/3
Indices, dans l’ordre
- La boule touche deux faces opposées : son diamètre est donc égal à l'arête du cube. Que vaut son rayon ?
- Le rayon est cm. Le vide, c'est le volume du cube moins celui de la boule.
Correction
- Le rayon — La boule touche deux faces opposées : son diamètre vaut l'arête, cm.
- Les deux volumes —
- Le vide —
Une boule « inscrite » dans un cube a pour diamètre l'arête. Le vide vaut environ : près de la moitié de la boîte.
Pièges anticipés
1000-4000pi/3→ Tu as pris cm comme rayon : cette boule serait plus grande que la boîte, et ton résultat est négatif. C'est le diamètre qui vaut cm.500pi/3→ c'est le volume de la boule. On demande le vide autour : le cube moins la boule.476.4 / 476.40 / 476 / 476,4→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 28 · defi
Fondre une boule en billes
On fond une boule de métal de rayon cm pour fabriquer des billes de rayon cm, sans perte de métal.
Calculer le nombre de billes obtenues.
Donner un nombre entier.
Réponse attendue : 27
Indices, dans l’ordre
- Le métal se conserve : le nombre de billes est le volume de la boule divisé par le volume d'une bille.
- Dans ce quotient, apparaît en haut et en bas : il se simplifie.
Correction
- Le quotient — Le facteur se simplifie :
Un rayon trois fois plus grand donne un volume fois plus grand : c'est la règle des volumes, multipliés par le cube du rapport des longueurs.
Pièges anticipés
3→ c'est le rapport des rayons. Les volumes, eux, sont dans le rapport9→ c'est le rapport des aires des deux sphères. Le métal est un volume : le rapport est
Exercice 29 · base
Le volume d'un cône
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm.
Calculer la valeur exacte de son volume.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 60pi
Indices, dans l’ordre
- Le cône se calcule comme la pyramide : un tiers de l'aire de la base, fois la hauteur.
- La base est un disque de rayon cm.
Correction
- L'aire de la base —
- Le volume —
Un cône occupe le tiers du cylindre de même base et de même hauteur : En valeur approchée,
Pièges anticipés
180pi→ c'est le volume du cylindre de même base et de même hauteur. Le cône en est le tiers.10pi→ Tu as multiplié le rayon par la hauteur. La formule demande l'aire du disque de base,90pi→ Tu as pris la moitié de Le volume d'un cône en est le tiers.188.5 / 188.50 / 188 / 188,5→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 30 · base
La génératrice d'un cône
Un cône de révolution de sommet a pour base un disque de centre et de rayon cm, et pour hauteur cm.
Calculer la longueur d'une génératrice.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle : en quel point ? Quelle est son hypoténuse ?
- Le triangle est rectangle en et la génératrice est son hypoténuse.
Correction
- Le triangle — La hauteur est perpendiculaire à la base, donc à : le triangle est rectangle en
- Pythagore —
La génératrice est l'hypoténuse du triangle : toujours plus longue que la hauteur et que le rayon. Ici on reconnaît le triangle agrandi trois fois.
Pièges anticipés
21→ Tu as additionné Le théorème de Pythagore additionne les carrés des longueurs.3*sqrt(7) / sqrt(63)→ Tu as soustrait les carrés. L'hypoténuse du triangle est : c'est son carré qui est la somme des deux autres.225→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.3→ Tu as calculé Pythagore travaille sur les carrés :
Exercice 31 · pratique
L'angle du patron d'un cône
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour génératrice cm. Mise à plat, sa surface latérale est une portion de disque de rayon
Calculer l'angle de cette portion de disque, en degrés.
Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 144
Indices, dans l’ordre
- L'arc de la portion de disque s'enroule exactement autour de la base du cône : leurs longueurs sont égales.
- L'angle est la même fraction de que le rapport
Correction
- La formule — L'arc a la longueur du périmètre de la base ; le cercle entier de rayon mesure
est toujours plus petit que puisque la génératrice est plus longue que le rayon : l'angle du patron est toujours inférieur à
Pièges anticipés
0.4 / 0,4 / 2/5→ c'est la fraction du disque. L'angle en degrés est cette fraction de900→ Tu as calculé : le rapport est à l'envers, et un angle de fait plus de deux tours. C'est36→ Tu as divisé par sans multiplier par : l'angle est
Exercice 32 · pratique
L'aire latérale d'un cône
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour génératrice cm.
Calculer la valeur exacte de son aire latérale.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 84pi
Indices, dans l’ordre
- L'aire latérale, c'est la portion de disque du patron, sans le disque de base.
- La formule du cours donne directement cette aire.
Correction
- La formule —
L'aire latérale du cône est sans facteur : celui du cylindre, ne s'applique pas ici. En valeur approchée,
Pièges anticipés
168pi→ c'est la formule du cylindre. L'aire latérale du cône est la moitié.133pi→ Tu as ajouté le disque de base, : c'est l'aire totale. On ne demande que l'aire latérale,49pi→ c'est l'aire du disque de base. L'aire latérale est la surface du « chapeau » :263.9 / 263.89 / 264 / 263,9 / 263,89→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 33 · pratique
Retrouver la hauteur d'un cône
Un cône de révolution a pour volume et pour rayon de base cm.
Calculer sa hauteur
Donner la hauteur en centimètres.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Écris la formule du volume avec ce que tu connais : il ne reste que
- : simplifie par puis résous.
Correction
- L'équation —
apparaît des deux côtés : il s'élimine, et la hauteur est un nombre sans De façon générale,
Pièges anticipés
8/3→ Tu as résolu comme pour un cylindre. Le volume du cône contient le facteur :48→ Tu as divisé par au lieu de : l'aire de la base est
Exercice 34 · pratique
Du patron au cône
On découpe dans du carton une portion de disque de rayon cm et d'angle On l'enroule pour former la surface latérale d'un cône de révolution, sans recouvrement.
Calculer le rayon de la base de ce cône.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le rayon du carton devient la génératrice du cône : cm. Et la formule de l'angle relie et
- Remplace et et résous l'équation en
Correction
- L'équation — La génératrice est le rayon du carton, cm :
est le tiers d'un tour : le rayon de la base est le tiers de la génératrice. Autre lecture : l'arc mesure le périmètre d'un cercle de rayon
Pièges anticipés
45→ Tu as trouvé un rayon plus grand que la génératrice : impossible, le rayon est un côté de l'angle droit du triangle Le rapport est15→ cm, c'est le rayon du carton : il devient la génératrice du cône, pas le rayon de sa base.
Exercice 35 · pratique
L'aire totale d'un cône
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm.
Calculer la valeur exacte de son aire totale : aire latérale et disque de base.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 96pi
Indices, dans l’ordre
- L'aire latérale demande la génératrice que l'énoncé ne donne pas : calcule-la avec Pythagore.
- Ajoute ensuite l'aire latérale et l'aire du disque de base.
Correction
- La génératrice —
- L'aire latérale —
- La base —
L'aire latérale utilise la génératrice, pas la hauteur. L'aire totale ajoute le disque de base :
Pièges anticipés
60pi→ c'est l'aire latérale seule. L'aire totale ajoute le disque de base.84pi→ Tu as pris la hauteur cm dans La formule demande la génératrice cm.301.6 / 301.59 / 302 / 301,6 / 301,59→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 36 · raisonnement
De l'aire latérale au volume
Un cône de révolution a pour rayon de base cm, et son aire latérale vaut
Calculer la valeur exacte de son volume.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 320pi
Indices, dans l’ordre
- L'aire latérale donne la génératrice Mais le volume demande la hauteur.
- Dans le triangle rectangle en l'hypoténuse est la génératrice.
Correction
- La génératrice —
- La hauteur —
- Le volume —
Trois étapes : l'aire latérale donne Pythagore donne la formule donne Prendre pour la hauteur est l'erreur la plus fréquente.
Pièges anticipés
1088pi/3→ Tu as pris la génératrice cm pour la hauteur. La hauteur est un côté de l'angle droit du triangle :960pi→ c'est le volume du cylindre de même base et de même hauteur. Le cône en est le tiers.1005.3 / 1005.31 / 1005 / 1005,3→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 37 · raisonnement
Le patron d'un cône, sans la génératrice
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm.
Calculer l'angle de son patron, en degrés.
Donner la mesure en degrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 100.8
Indices, dans l’ordre
- La formule de l'angle utilise la génératrice pas la hauteur. Calcule d'abord
- Le triangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice est rectangle :
Correction
- La génératrice —
- L'angle —
Le patron se construit avec la génératrice : c'est le rayon de la portion de disque. Les nombres forment un triangle rectangle :
Pièges anticipés
105→ Tu as divisé par la hauteur La formule demande la génératrice calculée par Pythagore : cm.0.28 / 0,28 / 7/25→ c'est la fraction du disque. L'angle est cette fraction de
Exercice 38 · defi
Le cornet en demi-disque
On roule un demi-disque de papier de rayon cm pour en faire un cornet : un cône de révolution, sans recouvrement, dont le demi-disque est la surface latérale.
Calculer la valeur exacte du volume de ce cône.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 72*sqrt(3)*pi — aussi acceptées : 72pi*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Le rayon du papier devient la génératrice : cm. L'arc du demi-disque devient le cercle de base : que vaut sa longueur ?
- L'arc mesure la moitié de : c'est le périmètre de la base. On en tire puis la hauteur par Pythagore.
- Avec cm et cm :
Correction
- Le rayon de la base — L'arc du demi-disque devient le périmètre de la base :
- La hauteur —
- Le volume —
Un demi-disque donne toujours un cône dont le rayon est la moitié de la génératrice : l'angle du patron, vaut En valeur approchée,
Pièges anticipés
144pi→ Tu as pris cm pour la hauteur. C'est la génératrice ; la hauteur se calcule par Pythagore,216*sqrt(3)*pi→ Il manque le facteur du volume d'un cône : tu as calculé le volume du cylindre.391.8 / 391.78 / 392 / 391,8 / 391,78→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 39 · base
Deux arêtes de faces opposées
est un parallélépipède rectangle. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Les droites et sont dans les faces parallèles et
Quelle est la position relative des droites et : parallèles, sécantes ou non coplanaires ?
Répondre en un mot.
Réponse attendue : parallèles — aussi acceptées : elles sont parallèles · AB et HG sont parallèles · les droites sont parallèles · les droites AB et HG sont parallèles · parallèle · elles sont paralleles
Indices, dans l’ordre
- Deux droites tracées sur deux faces opposées du pavé ne se coupent jamais. Mais cela ne suffit pas : il faut aussi qu'elles soient dans un même plan.
- Cherche un plan qui contient à la fois et : pense au plan qui coupe la face du dessous et la face du dessus.
Correction
- Un même plan — Le plan contient et Il coupe les faces parallèles et suivant ces deux droites.
- La propriété — Un plan qui coupe deux plans parallèles les coupe suivant deux droites parallèles.
Deux droites de deux faces parallèles ne se rencontrent jamais ; elles ne sont parallèles que si un même plan les contient — ici, le plan On peut aussi le voir sans propriété : et sont toutes deux parallèles à
Pièges anticipés
sécantes / elles sont sécantes→ est dans la face du dessous, dans celle du dessus : ces deux plans parallèles n'ont aucun point commun, donc les droites ne peuvent pas se couper.non coplanaires / elles sont non coplanaires→ Elles sont pourtant coplanaires : le plan les contient toutes les deux.
Exercice 40 · base
Ni parallèles, ni sécantes
est un parallélépipède rectangle. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de
Quelle est la position relative de la droite et de la droite : parallèles, sécantes ou non coplanaires ?
Répondre en deux mots.
Réponse attendue : non coplanaires — aussi acceptées : elles sont non coplanaires · non coplanaire · pas coplanaires · elles ne sont pas coplanaires · ni parallèles ni sécantes · elles ne sont ni parallèles ni sécantes · ni sécantes ni parallèles · AD et BG sont non coplanaires · AD et BG ne sont pas coplanaires · non-coplanaires · elles sont non-coplanaires · (AD) et (BG) sont non coplanaires · (AD) et (BG) ne sont pas coplanaires
Indices, dans l’ordre
- est dans la face de gauche dans la face de droite Ces deux faces sont parallèles : les droites peuvent-elles se couper ?
- Elles ne se coupent pas. Sont-elles parallèles pour autant ? Compare à qui est la parallèle à passant par
Correction
- Pas sécantes — est dans le plan et dans le plan Ces plans sont parallèles et distincts : ils n'ont aucun point commun, donc les droites non plus.
- Pas parallèles — La parallèle à passant par est Or est la diagonale de la face : elle n'est pas confondue avec Donc n'est pas parallèle à
Dans l'espace, deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles : elles peuvent n'être dans aucun plan commun. On dit qu'elles sont non coplanaires.
Pièges anticipés
parallèles / elles sont parallèles→ Elles ne se coupent pas, c'est vrai. Mais la parallèle à menée par est pas : ne pas se rencontrer ne suffit pas, dans l'espace, pour être parallèles.sécantes / elles sont sécantes→ et sont dans deux faces parallèles du pavé, qui n'ont aucun point commun : elles ne peuvent pas se couper.
Exercice 41 · pratique
La trace sur la face du dessous
est un parallélépipède rectangle avec cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Le point de l'arête vérifie cm. Le plan qui contient l'arête et le point coupe l'arête en
Calculer
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le plan de coupe rencontre les faces parallèles et Que peux-tu dire des droites et ?
- est parallèle à donc à : le quadrilatère est un rectangle.
Correction
- Deux droites parallèles — Le plan coupe les faces parallèles et suivant et : ces droites sont parallèles.
- Un rectangle — Dans la face est parallèle à et sont sur les côtés et : est un rectangle.
Pour tracer une section, on commence par ce que la propriété des plans parallèles impose : sur deux faces opposées, les côtés de la section sont parallèles.
Pièges anticipés
7→ cm, c'est On demande : est en face de et4→ cm, c'est la hauteur du pavé. Le point se place sur la face du dessous, en face de :
Exercice 42 · pratique
Un tétraèdre coupé à mi-arête
est un tétraèdre, avec cm. Le plan qui passe par le milieu de l'arête et qui est parallèle à la face coupe l'arête en
Calculer
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Le plan coupe le plan de coupe et la face qui sont parallèles. Que peux-tu dire de et ?
- Dans le triangle est parallèle à et passe par le milieu de
Correction
- Des parallèles — Le plan coupe les deux plans parallèles suivant et :
- Le triangle ABC — La droite qui passe par le milieu de parallèlement à coupe en son milieu et :
La propriété des plans parallèles ramène l'espace au plan : une fois établi, c'est le théorème des milieux dans le triangle
Pièges anticipés
9→ n'est pas égal à : le plan coupe le tétraèdre à mi-hauteur, et la section est deux fois plus petite que la face18→ Tu as multiplié par relie deux milieux : c'est la moitié de
Exercice 43 · pratique
Le périmètre de la section
est un tétraèdre. Le triangle a pour côtés cm, cm et cm. Le point de l'arête vérifie Le plan qui passe par parallèlement à la face coupe en et en
Calculer le périmètre du triangle
Donner le périmètre en centimètres.
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Dans chaque face issue de le plan de coupe trace un côté parallèle au côté de :
- Le théorème de Thalès, depuis le sommet donne le même rapport pour les trois côtés.
Correction
- Des parallèles — Les faces et coupent les deux plans parallèles : et
- Thalès — Dans chaque face, depuis le rapport est :
Le triangle est une réduction de de coefficient : son périmètre est aussi multiplié par
Pièges anticipés
9→ Tu as pris le rapport Thalès se lit depuis le sommet : et est aux deux tiers de l'arête en partant de27→ cm, c'est le périmètre de la face La section est plus petite : ses côtés valent les de ceux de
Exercice 44 · raisonnement
Deux droites de faces parallèles
est un parallélépipède rectangle. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de La droite est dans la face du dessous et la droite dans la face du dessus, et ces deux faces sont parallèles.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non elles ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · pas parallèles · non pas parallèles · non elles sont non coplanaires · non coplanaires · elles sont non coplanaires · faux · non, elles ne sont pas parallèles · non, elles sont non coplanaires
Indices, dans l’ordre
- Elles ne se coupent pas, puisque les deux faces n'ont aucun point commun. Mais pour être parallèles, il faut encore autre chose : quoi ?
- Compare les directions : est parallèle à et part de dans une autre direction que
Correction
- Pas de point commun — et sont dans deux faces parallèles distinctes : elles ne se coupent pas.
- Pas la même direction — La parallèle à passant par est Or est perpendiculaire à dans la face : elle n'est pas parallèle à
La propriété du cours dit : un même plan qui coupe deux plans parallèles donne deux droites parallèles. Prises au hasard, une droite de chaque plan ne sont en général pas parallèles. Aucun plan ne contient à la fois et
Pièges anticipés
oui / vrai / oui elles sont parallèles / elles sont parallèles / parallèles→ Deux faces parallèles ne suffisent pas. La propriété exige que les deux droites soient tracées par un même plan. Ici, n'a pas la direction de : la parallèle à par estsécantes / elles sont sécantes→ Les deux faces parallèles n'ont aucun point commun : et ne peuvent pas se couper.
Exercice 45 · raisonnement
La section par une diagonale du dessus
est un parallélépipède rectangle avec cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Le point de l'arête vérifie cm. Le plan coupe l'arête en
Calculer
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le plan coupe les faces parallèles et : la droite est parallèle à donc à la diagonale de la face du dessous.
- Dans le triangle : applique le théorème de Thalès depuis
Correction
- Des parallèles — Le plan coupe les faces parallèles suivant et donc Et car est un rectangle.
- Thalès — Dans le triangle :
La section a deux côtés parallèles, et imposés par les deux faces parallèles. Thalès dans la face du dessous place ensuite le point
Pièges anticipés
4→ n'est pas égal à : la face n'est pas un carré, et est parallèle à la diagonale Le rapport s'applique à cm.6→ cm, c'est On demande la longueur depuis16/3→ Tu as mélangé les côtés : dans le triangle donc
Exercice 46 · raisonnement
La nature de la section EGJI
On reprend le parallélépipède rectangle avec cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Le point de vérifie cm, et le plan coupe en avec cm.
Quelle est la nature de la section ?
Répondre en un mot.
Réponse attendue : trapèze — aussi acceptées : un trapèze · c'est un trapèze · EGJI est un trapèze · la section est un trapèze · trapeze · un trapeze
Indices, dans l’ordre
- Deux côtés de la section sont sur des faces parallèles : sur la face du dessus, sur la face du dessous. Que dit la propriété ?
- Compare maintenant leurs longueurs : est la diagonale d'un rectangle de sur et celle d'un rectangle de sur
Correction
- Deux côtés parallèles — Le plan coupe les faces parallèles et suivant et : ces côtés sont parallèles.
- De longueurs différentes —
- Pas un parallélogramme — Deux côtés opposés parallèles mais de longueurs différentes : les deux autres côtés, et ne sont pas parallèles.
Ici les faces latérales et ne sont pas parallèles entre elles : rien n'impose Seule la paire de faces parallèles du dessus et du dessous donne des côtés parallèles.
Pièges anticipés
parallélogramme / un parallélogramme→ Un parallélogramme aurait ses côtés opposés de même longueur. Or cm et cm : une seule paire de côtés est parallèle.rectangle / un rectangle→ La section n'est un rectangle que si le plan contient une arête ou est parallèle à une face. Ici cm et cm : les côtés opposés ne sont même pas égaux.triangle / un triangle→ La section a quatre sommets : sur la face du dessus, et sur la face du dessous.
Exercice 47 · base
Le périmètre d'une tranche
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Un plan parallèle à la face coupe l'arête en un point
Calculer le périmètre de la section.
Donner le périmètre en centimètres.
Réponse attendue : 32
Indices, dans l’ordre
- Le plan est parallèle à une face : la section est isométrique à cette face. Laquelle, et quelles sont ses dimensions ?
- La face a pour côtés et Le périmètre d'un rectangle est
Correction
- La nature — La section par un plan parallèle à la face est un rectangle isométrique à cette face : ses côtés mesurent cm et cm.
- Le périmètre —
L'arête cm ne sert pas : elle est perpendiculaire au plan de coupe, et c'est seulement là que se place
Pièges anticipés
26→ Tu as pris la face de côtés et Le plan est parallèle à : la section a pour côtés et22→ Tu as pris la face de côtés et La section reproduit la face de côtés et63→ c'est l'aire de la section. On demande son périmètre : la somme de ses quatre côtés.
Exercice 48 · base
La tranche d'un cube
Un cube est coupé par un plan parallèle à l'une de ses faces.
Quelle est la nature la plus précise de la section ?
Répondre en un mot.
Réponse attendue : carré — aussi acceptées : un carré · c'est un carré · la section est un carré · carre · un carre
Indices, dans l’ordre
- Un cube est un parallélépipède rectangle. Que dit le cours de la section par un plan parallèle à une face ?
- La section est isométrique à la face. Et les faces d'un cube sont toutes du même type : lequel ?
Correction
- La propriété — La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est isométrique à cette face.
- Le cube — Les faces d'un cube sont des carrés de côté l'arête :
« Rectangle » est vrai, mais pas assez précis : la section a exactement les dimensions d'une face du cube, quatre côtés égaux et quatre angles droits.
Pièges anticipés
rectangle / un rectangle→ C'est bien un rectangle, mais on peut être plus précis : la section est isométrique à une face du cube, dont les quatre côtés sont égaux.losange / un losange→ Un losange a ses côtés égaux, mais pas forcément d'angle droit. La section reproduit une face du cube : elle a aussi ses quatre angles droits.
Exercice 49 · base
Une tranche parallèle à la face de droite
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Un plan parallèle à la face coupe l'arête
Calculer l'aire de la section.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 21
Indices, dans l’ordre
- La section est isométrique à la face Quelles arêtes du pavé ont la même longueur que et ?
- et
Correction
- La nature — La section est un rectangle isométrique à la face de côtés cm et cm.
- L'aire —
Pour reconnaître la face reproduite, on regarde l'arête que le plan coupe : ici Les deux autres dimensions, et sont celles de la section.
Pièges anticipés
72→ Tu as pris : c'est la face Le plan coupe l'arête qui n'est donc pas un côté de la section.42→ Tu as pris : c'est la face La section reproduit de côtés et
Exercice 50 · pratique
La section diagonale ACGE
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de On le coupe par le plan qui contient les arêtes et
Calculer l'aire de la section
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 91
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient une arête : la section est un rectangle. Un côté est l'arête ; l'autre, est la diagonale de la face du dessous.
- Le triangle est rectangle en
Correction
- La nature — Le plan contient l'arête : la section est un rectangle de côtés et
- La diagonale — Dans le triangle rectangle en avec cm :
- L'aire —
La section diagonale est plus grande que les faces () et () : son côté est plus long que et que
Pièges anticipés
84→ c'est la face Le côté horizontal de la section est la diagonale plus longue que35→ c'est la face Le côté horizontal de la section est la diagonale119→ Tu as pris Pythagore additionne les carrés :60→ c'est l'aire de la face du dessous. La section est verticale : ses côtés sont et
Exercice 51 · pratique
Un plan qui contient l'arête [FG]
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Le point de l'arête vérifie cm. Le plan qui contient l'arête et le point coupe l'arête en
Calculer l'aire de la section
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 60
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient une arête : la section est un rectangle. Un côté est ; l'autre est le segment oblique tracé sur la face avant
- Le triangle est rectangle en avec
Correction
- La nature — Le plan contient l'arête : est un rectangle, de côtés cm et
- Le côté FI — Dans le triangle rectangle en cm et cm :
- L'aire —
Pour un plan qui contient une arête, on cherche le triangle rectangle qui porte le côté oblique : ici sur la face avant, avec
Pièges anticipés
12*sqrt(10) / 4*sqrt(90)→ Tu as pris cm dans le triangle rectangle. Le côté oblique est et le triangle rectangle qui le porte est : il faut cm.36→ c'est la face : celle d'un plan vertical. Ici le plan est incliné, et son côté est plus long que84→ Tu as pris Pythagore additionne les carrés :30→ La section est un rectangle, pas un triangle : son aire est sans moitié.
Exercice 52 · pratique
Les deux morceaux du pavé
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Le point de l'arête vérifie cm. Le plan qui contient l'arête et le point partage le pavé en deux solides.
Calculer le volume du solide qui contient le sommet
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 240
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient l'arête verticale : il coupe la face du dessous suivant Le petit solide, du côté de est un prisme droit : quelle est sa base ?
- La base du petit prisme est le triangle rectangle en et sa hauteur est Le solide cherché est le pavé privé de ce prisme.
Correction
- Le pavé —
- Le petit prisme — Du côté de le plan découpe un prisme droit de base le triangle rectangle en et de hauteur cm.
- Le solide de A —
Un plan qui contient une arête découpe un prisme droit à base triangulaire : on calcule le morceau simple, puis on le retire du pavé.
Pièges anticipés
60→ c'est le prisme du côté de Le solide qui contient est l'autre morceau : le pavé moins ce prisme.180→ Tu as retiré : c'est un pavé, pas un prisme à base triangulaire. L'aire du triangle est150→ Le plan ne coupe pas le pavé en deux moitiés : il passe par à cm de seulement. Calcule le volume du petit prisme.
Exercice 53 · raisonnement
L'aire de la section ABGH
Un cube d'arête cm a pour face du dessous et pour face du dessus avec au-dessus de On le coupe par le plan qui contient les arêtes et
Calculer la valeur exacte de l'aire de la section
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 25*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(1250)
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient l'arête : la section est un rectangle, de côtés et
- est la diagonale de la face carrée : calcule-la avec Pythagore dans le triangle
Correction
- La nature — Le plan contient l'arête : est un rectangle, de côtés cm et
- La diagonale — Dans le triangle rectangle en :
- L'aire —
La diagonale d'un carré de côté mesure : la section est fois plus grande qu'une face, environ contre
Pièges anticipés
25→ c'est l'aire d'une face. La section est inclinée : son côté est une diagonale de face, cm, plus longue qu'une arête.50→ Tu as pris cm, le double de l'arête. La diagonale d'un carré de côté cm mesure cm.35.36 / 35.4 / 35,36 / 35,4 / 35.35→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde la racine carrée, dans ton résultat.
Exercice 54 · raisonnement
La grande diagonale d'un pavé
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de On s'intéresse à la section par le plan qui contient les arêtes et
Calculer la longueur de la diagonale du pavé.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- est la diagonale du rectangle : dans le triangle rectangle en il faut d'abord
- est la diagonale de la face : Pas besoin de calculer lui-même : suffit.
Correction
- La face du dessous — Dans le triangle rectangle en avec cm :
- La section ACGE — est un rectangle : le triangle est rectangle en avec cm.
Deux fois Pythagore, dans deux plans différents : la face du dessous, puis la section Au total,
Pièges anticipés
sqrt(45) / 3*sqrt(5)→ c'est la diagonale de la face du dessous. est au-dessus de : il reste à monter de cm, dans le triangle11→ Tu as additionné La diagonale se calcule avec les carrés des longueurs :49→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 55 · defi
Trois sections pour un volume
Un parallélépipède rectangle est coupé par trois plans. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de
- la section par un plan parallèle à la face a pour aire ;
- la section par un plan parallèle à la face a pour aire ;
- la section par un plan parallèle à la face a pour aire
Calculer le volume du pavé.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 240
Indices, dans l’ordre
- Chaque section est isométrique à sa face : traduis les trois aires avec et
- et Que donne le produit des trois égalités ?
- Le produit vaut et le volume est : un nombre positif.
Correction
- Les trois aires — Chaque section est isométrique à sa face. Avec :
- Le produit —
- Le volume —
On en tire aussi chaque arête : cm, cm, cm. Vérification :
Pièges anticipés
57600→ c'est le produit des trois aires, c'est-à-dire Le volume est : prends la racine carrée.118→ Additionner les trois aires ne donne pas un volume. Écris-les avec les arêtes, et multiplie-les.
Exercice 56 · defi
Un prisme au tiers du reste
Un parallélépipède rectangle a pour dimensions cm, cm et cm. Sa face du dessous est sa face du dessus avec au-dessus de Un point de l'arête est placé à la distance de Le plan qui contient l'arête et le point coupe en et partage le pavé en un prisme droit et un autre solide. On veut que le volume du prisme soit le tiers du volume de l'autre solide.
Calculer
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le prisme a pour base le triangle rectangle en et pour hauteur Exprime son volume en fonction de
- Le prisme a pour volume et l'autre solide le reste du pavé. Si le prisme est le tiers de l'autre, quelle fraction du pavé entier représente-t-il ?
- Prisme et autre solide sont dans le rapport pour : le prisme est le quart du pavé.
Correction
- Le prisme — Avec le prisme a pour base le triangle rectangle en et pour hauteur cm :
- La condition — Le pavé a pour volume Si le prisme vaut le tiers de l'autre solide, il est le quart du pavé :
Vérification : le prisme vaut l'autre solide et « Le tiers de l'autre » n'est pas « le tiers du tout ».
Pièges anticipés
8→ Avec cm, le prisme vaut le tiers du pavé entier. L'énoncé demande le tiers de l'autre solide : le prisme est alors le quart du pavé.3→ Tu as pris pour l'aire de la base du prisme. Le triangle est rectangle : son aire est
Exercice 57 · base
La section d'un tétraèdre régulier
Un tétraèdre régulier a ses six arêtes de même longueur. On le coupe par un plan parallèle à l'une de ses faces, prise pour base.
Quelle est la nature la plus précise de la section ?
Répondre en deux mots.
Réponse attendue : triangle équilatéral — aussi acceptées : un triangle équilatéral · c'est un triangle équilatéral · la section est un triangle équilatéral · triangle equilateral · un triangle equilateral · équilatéral · equilateral
Indices, dans l’ordre
- Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. La section par un plan parallèle à la base est de même nature que la base.
- Quelle est la nature de chaque face d'un tétraèdre dont toutes les arêtes sont égales ?
Correction
- La base — Les trois côtés de la base sont des arêtes du tétraèdre : ils sont égaux, la base est un triangle équilatéral.
- La section — La section par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : ses trois côtés sont multipliés par le même ils restent égaux.
Une réduction garde la forme : un triangle équilatéral reste équilatéral, un carré reste carré. Seule la taille change.
Pièges anticipés
triangle / un triangle→ C'est bien un triangle, mais on peut être plus précis : ses trois côtés sont tous multipliés par le même coefficienttriangle isocèle / un triangle isocèle→ Il est isocèle, mais plus encore : ses trois côtés sont égaux, comme ceux de la base.
Exercice 58 · base
Une pyramide à huit faces
Une pyramide a huit faces en tout, base comprise. On la coupe par un plan parallèle à sa base.
Combien de côtés la section a-t-elle ?
Donner un nombre entier.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Une pyramide a une base, et une face latérale triangulaire par côté de la base.
- Si la base a côtés, la pyramide a faces. La section a le même nombre de côtés que la base.
Correction
- La base — Si la base a côtés, il y a faces latérales, plus la base :
- La section — La section par un plan parallèle à la base est un polygone de même nature que la base :
Le plan coupe chaque face latérale suivant un côté de la section : autant de côtés que de faces latérales, autant que de côtés de la base.
Pièges anticipés
8→ Huit faces, base comprise : il n'y a que sept faces latérales. Le plan de coupe, parallèle à la base, ne rencontre que les faces latérales.
Exercice 59 · base
Le coefficient de réduction
Une pyramide a pour hauteur cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. On la coupe par un plan parallèle à la base, à cm du sommet : il coupe la hauteur en
Calculer le coefficient de réduction de la section par rapport à la base.
Donner une fraction irréductible ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient se lit depuis le sommet : distance du sommet au plan de coupe, divisée par la hauteur.
- Ici cm. Simplifie la fraction.
Correction
- Depuis le sommet —
La section est quatre fois plus petite que la base en longueur : chacun de ses côtés vaut le quart du côté correspondant de la base.
Pièges anticipés
3/4 / 0.75→ Tu as pris avec la distance du plan à la base. Le coefficient se lit depuis le sommet : cm.4→ Un coefficient de réduction est plus petit que : la section est plus petite que la base. C'est pas
Exercice 60 · pratique
Le côté de la section
Une pyramide a pour base un carré de côté cm et pour hauteur cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. On la coupe par un plan parallèle à la base, à cm du sommet.
Calculer le côté de la section.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- La section est un carré, réduction de la base. Commence par le coefficient depuis le sommet.
- : simplifie-le, puis multiplie le côté de la base par
Correction
- Le coefficient —
- Le côté —
Le coefficient vaut pour toutes les longueurs de la section : côtés, diagonales, périmètre.
Pièges anticipés
10→ Tu as pris avec la distance à la base. Depuis le sommet,49→ Tu as multiplié par : ta section dépasse la base. Le coefficient de réduction est plus petit que
Exercice 61 · pratique
Coupée à partir de la base
Une pyramide a pour base un rectangle de cm sur cm et pour hauteur cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à cm au-dessus de la base.
Calculer l'aire de la section.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 75
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient se lit depuis le sommet. À quelle distance de se trouve le plan ?
- cm. Réduis chaque côté du rectangle, ou multiplie l'aire de la base par
Correction
- Depuis le sommet —
- Les côtés — La section est un rectangle, réduction de la base :
- L'aire —
Autre chemin : Une distance donnée depuis la base se convertit d'abord en distance depuis le sommet.
Pièges anticipés
27→ Tu as pris Mais cm, c'est la distance à la base : depuis le sommet, cm.120→ Tu as multiplié l'aire de la base par Une aire se multiplie par : les deux côtés du rectangle sont réduits.192→ c'est l'aire de la base. La section en est une réduction.
Exercice 62 · pratique
Où couper la pyramide ?
Une pyramide a pour base un carré de côté cm et pour hauteur cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. On veut la couper par un plan parallèle à la base pour obtenir une section carrée de côté cm.
À quelle distance du sommet faut-il placer le plan ?
Donner la distance en centimètres.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Le rapport des côtés donne le coefficient : côté de la section sur côté de la base.
- Le même relie les distances au sommet.
Correction
- Le coefficient —
- La distance —
Le coefficient se lit dans les deux sens : des longueurs vers les distances, ou l'inverse. Le plan est à cm du sommet, donc à cm de la base.
Pièges anticipés
8→ cm, c'est la distance du plan à la base. On demande la distance au sommet36→ Tu as multiplié par : une distance de cm dépasse la hauteur. est plus petit que
Exercice 63 · pratique
Le morceau d'arête sous la section
Une pyramide a pour hauteur cm, et son arête latérale mesure cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. Un plan parallèle à la base, à cm du sommet, coupe l'arête en
Calculer
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient s'applique aussi aux arêtes latérales :
- est entre et :
Correction
- Le coefficient —
- Thalès — Dans le triangle :
- Le reste —
Le même coefficient se retrouve sur la hauteur et sur chaque arête latérale : Le morceau sous la section en est le complément.
Pièges anticipés
12→ cm, c'est du sommet à la section. On demande de la section à la base.6→ Tu as reporté l'écart de la hauteur, sur l'arête. Mais l'arête est plus longue que la hauteur : c'est le rapport qui se conserve, pas la différence.
Exercice 64 · raisonnement
D'une aire à une distance
Une pyramide a pour base un carré de côté cm et pour hauteur cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. Un plan parallèle à la base donne une section d'aire
À quelle distance du sommet se trouve ce plan ?
Donner la distance en centimètres.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Le rapport des aires n'est pas : c'est Retrouve d'abord le côté de la section.
- Un carré d'aire a pour côté cm. Le coefficient est le rapport des côtés.
Correction
- Le côté —
- Le coefficient —
- La distance —
Autre chemin : donc Une aire donne ; pour revenir à on prend la racine carrée.
Pièges anticipés
4.8 / 4,8 / 24/5→ Tu as pris le rapport des aires. Ce rapport vaut :18→ cm, c'est la distance du plan à la base. On demande la distance au sommet,
Exercice 65 · raisonnement
La hauteur d'une pyramide régulière
Une pyramide a pour base le carré de côté cm et de centre et ses quatre arêtes latérales mesurent cm. Sa hauteur est
Calculer la hauteur
Donner la hauteur en centimètres.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en d'hypoténuse Il faut d'abord
- est le milieu de la diagonale du carré : et
Correction
- La demi-diagonale —
- Pythagore — Dans le triangle rectangle en :
Le pied de la hauteur est le centre du carré : est la demi-diagonale, pas le demi-côté. Ensuite, Pythagore dans le triangle
Pièges anticipés
sqrt(65)→ Tu as pris cm, la moitié du côté. est le centre du carré et un sommet : est la moitié de la diagonale, cm.sqrt(17)→ Tu as pris cm, le côté du carré. est la moitié de la diagonale : cm.sqrt(113)→ Tu as additionné les carrés. L'hypoténuse du triangle est l'arête :
Exercice 66 · raisonnement
Retrouver la hauteur par la section
Une pyramide a pour base un carré de périmètre cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. Un plan parallèle à la base, à cm du sommet, donne une section d'aire
Calculer la hauteur de la pyramide.
Donner la hauteur en centimètres.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Compare les côtés : celui de la base vient du périmètre, celui de la section de son aire.
- Le rapport des côtés est le coefficient et avec cm.
Correction
- Les côtés —
- Le coefficient —
- La hauteur —
Le coefficient relie la figure plane (côtés de la section et de la base) aux distances dans l'espace (depuis le sommet). On le calcule là où c'est facile, on l'utilise là où on en a besoin.
Pièges anticipés
45→ Tu as pris le rapport des aires. Le coefficient des longueurs est sa racine carrée :5→ cm, c'est la distance du sommet au plan de coupe. La hauteur est plus grande :
Exercice 67 · defi
La moitié de l'aire de la base
Une pyramide a pour hauteur cm. est son sommet, le centre de sa base, et sa hauteur. On veut la couper par un plan parallèle à la base, de sorte que l'aire de la section soit la moitié de l'aire de la base.
Calculer la valeur exacte de la distance du sommet au plan de coupe.
Donner la valeur exacte de la distance en centimètres.
Réponse attendue : 6*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(72) · 12/sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Les aires sont multipliées par Que vaut si la section a la moitié de l'aire de la base ?
- donc Multiplie la hauteur par
Correction
- Le coefficient —
- La distance —
cm : pour garder la moitié de l'aire, il faut couper bien plus bas que la mi-hauteur. À mi-hauteur, et l'aire n'est que le quart de la base.
Pièges anticipés
6→ À mi-hauteur, et l'aire est multipliée par : c'est le quart de la base, pas la moitié. Il faut12-6*sqrt(2)→ c'est la distance du plan à la base. On demande la distance au sommet,8.49 / 8.5 / 8.485 / 8,49 / 8,5→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de la distance : garde la racine carrée, dans ton résultat.
Exercice 68 · base
La tranche d'un cylindre
Un cylindre de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm. On le coupe par un plan parallèle à ses bases, à cm de la base du dessous.
Calculer la valeur exacte de l'aire du disque de section.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 49pi
Indices, dans l’ordre
- Le cylindre a la même largeur à toutes les hauteurs : quel est le rayon de la section ?
- La section est un cercle de même rayon que la base. Les cm ne servent à rien.
Correction
- La nature — La section d'un cylindre par un plan parallèle à une base est un cercle de même rayon que la base :
- L'aire —
Contrairement au cône, le cylindre ne se resserre pas : la hauteur de la coupe ne change rien à la section. En valeur approchée,
Pièges anticipés
14pi→ c'est le périmètre du cercle de section. On demande l'aire du disque :7pi→ Il manque le carré du rayon : l'aire d'un disque est441pi/100→ Tu as réduit le rayon comme pour un cône. Le cylindre garde la même largeur partout : la section a le rayon de la base, cm.153.9 / 153.94 / 154 / 153,9 / 153,94→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 69 · base
La nature de la section d'un cône
Un cône de révolution est coupé par un plan parallèle à sa base.
Quelle est la nature de la section ?
Répondre en un mot.
Réponse attendue : cercle — aussi acceptées : un cercle · c'est un cercle · la section est un cercle · disque · un disque · c'est un disque · la section est un disque
Indices, dans l’ordre
- Le cône est engendré par un triangle qui tourne autour de l'axe Que décrit le point de situé dans le plan de coupe ?
- Ce point reste à la même distance de l'axe en tournant.
Correction
- La rotation — Le plan de coupe est perpendiculaire à l'axe en un point Le point de qui est dans ce plan tourne autour de l'axe en restant à la même distance de
- La nature —
Cylindre, cône et sphère sont des solides de révolution : coupés perpendiculairement à leur axe, ils donnent un cercle. Pour le cône, ce cercle est plus petit que la base.
Pièges anticipés
triangle / un triangle→ Un triangle, c'est la section par un plan qui passe par le sommet et l'axe du cône. Un plan parallèle à la base coupe l'axe perpendiculairement : la section est ronde.carré / un carré→ Le carré est la section d'une pyramide à base carrée. La base du cône est un disque : la section, de même forme qu'elle, est un cercle.
Exercice 70 · base
Un cône coupé près du sommet
Un cône de révolution a pour hauteur cm et pour rayon de base cm. est son sommet et le centre de sa base. On le coupe par un plan parallèle à la base, à la distance cm du sommet.
Calculer le rayon de la section.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le rayon de la section est une réduction du rayon de la base, de coefficient lu depuis le sommet.
- : simplifie, puis multiplie par
Correction
- Le coefficient —
- Le rayon —
La formule est le théorème de Thalès dans le triangle avec mesuré depuis le sommet.
Pièges anticipés
9→ Tu as utilisé avec la distance du plan à la base. Dans se mesure depuis le sommet : cm.48→ Tu as multiplié par : ta section est plus grande que la base. Le coefficient est plus petit que
Exercice 71 · pratique
Un cône coupé près de la base
Un cône de révolution a pour hauteur cm et pour rayon de base cm. est son sommet et le centre de sa base. On le coupe par un plan parallèle à la base, situé à cm au-dessus de la base.
Calculer le rayon de la section.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- La formule demande la distance au sommet. Que vaut-elle ici ?
- cm.
Correction
- Depuis le sommet —
- Le rayon —
Coupé près de la base, le cône donne une section presque aussi grande que la base : le coefficient est proche de
Pièges anticipés
4→ Tu as pris cm. Mais cm, c'est la distance à la base : la distance au sommet est cm.16→ Un rayon égal à celui de la base, c'est la section d'un cylindre. Le cône se resserre vers son sommet.
Exercice 72 · pratique
Où couper le cône ?
Un cône de révolution a pour hauteur cm et pour rayon de base cm. est son sommet et le centre de sa base. On veut le couper par un plan parallèle à la base pour obtenir un cercle de rayon cm.
À quelle distance de la base faut-il placer le plan ?
Donner la distance en centimètres.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Écris avec : tu obtiens la distance au sommet.
- La distance à la base est ce qui reste de la hauteur :
Correction
- Depuis le sommet —
- Depuis la base —
La formule donne toujours la distance au sommet. La question portait sur la base : on termine par une soustraction.
Pièges anticipés
20→ cm, c'est la distance au sommet. On demande la distance à la base :45→ Tu as calculé : cette distance dépasse la hauteur du cône. Le rapport est
Exercice 73 · pratique
L'aire de la section d'un cône
Un cône de révolution a pour rayon de base cm et pour hauteur cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à cm du sommet.
Calculer la valeur exacte de l'aire du disque de section.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 36pi
Indices, dans l’ordre
- Commence par le rayon de la section : avec depuis le sommet.
- Puis l'aire d'un disque,
Correction
- Le rayon —
- L'aire —
Autre chemin : l'aire de la base, multipliée par donne En valeur approchée,
Pièges anticipés
81pi→ c'est l'aire de la base. La section d'un cône est plus petite : son rayon vaut54pi→ Tu as multiplié l'aire de la base par Une aire se multiplie par12pi→ c'est le périmètre du cercle de section. L'aire du disque est113.1 / 113.10 / 113 / 113,1→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 74 · raisonnement
Sur la génératrice
Un cône de révolution de sommet a pour base un disque de centre et de rayon cm, et sa génératrice mesure cm. Un plan parallèle à la base coupe la hauteur en avec cm, et la génératrice en
Calculer
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 39/2 — aussi acceptées : 19.5
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient demande la hauteur que l'énoncé ne donne pas : calcule-la dans le triangle rectangle en
- Ensuite, Thalès :
Correction
- La hauteur —
- Le coefficient —
- Thalès — Dans le triangle :
Le même coefficient vaut sur la hauteur, sur la génératrice et sur le rayon : cm. Il faut seulement l'obtenir là où l'on connaît deux longueurs.
Pièges anticipés
7.5 / 7,5→ cm, c'est le rayon de la section. On demande sur la génératrice :6.5 / 6,5→ cm, c'est le morceau de génératrice sous la section. On demande depuis le sommet.18→ Tu as pris Mais la génératrice est inclinée, plus longue que la hauteur :
Exercice 75 · raisonnement
Le cône d'un tronc
Un tronc de cône est obtenu en coupant un cône de sommet par un plan parallèle à sa base. Le cercle de base a pour rayon cm, le cercle de section a pour rayon cm, avec sur la génératrice et cm.
Calculer la longueur de la génératrice du cône entier.
Donner la longueur en centimètres.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Thalès dans le triangle depuis le sommet : Mais on ne connaît que
- Écris et résous l'équation.
Correction
- Thalès —
- L'équation — Avec :
Vérification : cm et Le rapport de Thalès part du sommet : c'est pas qui se compare à
Pièges anticipés
20→ Tu as écrit Mais cm, c'est le morceau entre les deux cercles : le rapport de Thalès part du sommet, avec18→ cm, c'est du sommet au cercle de section. La génératrice du cône entier est
Exercice 76 · defi
Le volume d'un tronc de cône
Un tronc de cône est obtenu en coupant un cône de sommet par un plan parallèle à sa base. Le cercle de base a pour centre et pour rayon cm ; le cercle de section a pour centre et pour rayon cm ; la distance entre les deux plans est cm.
Calculer la valeur exacte du volume du tronc.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 380pi/3
Indices, dans l’ordre
- Le tronc est le grand cône privé du petit. Il faut d'abord la hauteur du grand cône.
- Thalès depuis le sommet : avec
- Calcule les deux volumes de cônes, puis leur différence.
Correction
- La hauteur —
- Le grand cône —
- Le petit cône — Sa hauteur est cm et son rayon cm :
- Le tronc —
Vérification par la réduction : donc En valeur approchée, le tronc vaut
Pièges anticipés
180pi→ c'est le volume du grand cône, pointe comprise. Le tronc, c'est ce qui reste quand on retire le petit cône.160pi/3→ c'est le petit cône, celui qu'on retire. Le tronc est la différence des deux volumes.397.9 / 397.94 / 398 / 397,9 / 397,94→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 77 · base
Les aires réduites
Une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base. La petite pyramide obtenue est une réduction de la grande, de coefficient
Par quel nombre l'aire de la base est-elle multipliée pour obtenir l'aire de la section ?
Donner une fraction irréductible ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 4/9
Indices, dans l’ordre
- Une aire a deux dimensions, et chacune est multipliée par
- Calcule : le carré d'une fraction, c'est le carré du numérateur sur le carré du dénominateur.
Correction
- La règle — Dans une réduction de coefficient les aires sont multipliées par
Longueurs fois aires fois volumes fois Ici les volumes seraient multipliés par
Pièges anticipés
2/3→ c'est le coefficient des longueurs. Une aire est multipliée par8/27→ sert aux volumes. Une aire a deux dimensions :4/3→ Le carré d'une fraction élève au carré le numérateur et le dénominateur :
Exercice 78 · base
Un agrandissement de coefficient 3
On agrandit un solide de volume : toutes ses longueurs sont multipliées par
Calculer le volume du solide agrandi.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 135
Indices, dans l’ordre
- Les règles de la réduction valent aussi pour un agrandissement, avec
- Un volume est multiplié par
Correction
- Le coefficient —
- Le volume —
Tripler les longueurs multiplie le volume par pas par : le solide grandit dans les trois dimensions à la fois.
Pièges anticipés
15→ Tu as multiplié le volume par Les volumes sont multipliés par45→ Tu as multiplié par : c'est la règle des aires. Un volume se multiplie par
Exercice 79 · base
L'aire d'une section, sans le côté
Une pyramide a une base d'aire On la coupe par un plan parallèle à la base : la petite pyramide est une réduction de la grande, de coefficient
Calculer l'aire de la section.
Donner l'aire en centimètres carrés, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Pas besoin de connaître la forme de la base : une aire réduite vaut fois l'aire de départ.
Correction
- Le coefficient des aires —
- L'aire —
La règle marche pour n'importe quelle base — carrée, triangulaire ou ronde — puisque toutes ses longueurs sont multipliées par
Pièges anticipés
20→ Tu as multiplié par Une aire se multiplie par3.2 / 3,2→ Tu as multiplié par : c'est la règle des volumes. Une aire se multiplie par
Exercice 80 · pratique
La petite pyramide
Une pyramide a pour volume On la coupe par un plan parallèle à sa base, aux trois cinquièmes de sa hauteur en partant du sommet.
Calculer le volume de la petite pyramide, du côté du sommet.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 108
Indices, dans l’ordre
- La petite pyramide est une réduction de la grande : quel est son coefficient ?
- et un volume se multiplie par
Correction
- Le coefficient —
- Le volume —
Aux trois cinquièmes de la hauteur, la petite pyramide ne prend que du volume, à peine plus d'un cinquième.
Pièges anticipés
300→ Tu as multiplié par Le volume se multiplie par180→ Tu as multiplié par : c'est la règle des aires. Pour un volume, c'est392→ c'est le volume du tronc. On demande la petite pyramide, du côté du sommet.
Exercice 81 · pratique
Retrouver le coefficient
Un cône a pour volume Un plan parallèle à sa base découpe, du côté du sommet, un petit cône de volume
Calculer le coefficient de réduction
Donner une fraction irréductible ou un nombre décimal.
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Le rapport des volumes n'est pas : c'est
- : simplifie, puis cherche le nombre dont le cube vaut ce résultat.
Correction
- Le rapport des volumes —
- Le coefficient — :
Un volume fois plus petit ne veut pas dire des longueurs fois plus petites : seulement fois, puisque
Pièges anticipés
1/64→ c'est le rapport des volumes, c'est-à-dire Le coefficient des longueurs est le nombre dont le cube vaut1/8→ Tu as pris la racine carrée de Pour un volume, c'est : pas
Exercice 82 · pratique
Le verre à mi-hauteur
Un verre a la forme d'un cône de révolution, pointe en bas, et contient quand il est plein. On le remplit jusqu'à la moitié de sa hauteur.
Calculer le volume du liquide.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 50
Indices, dans l’ordre
- Le liquide forme un petit cône de même sommet que le verre, de coefficient
- Un volume se multiplie par
Correction
- Le coefficient —
- Le volume —
Rempli à mi-hauteur, un verre conique ne contient qu'un huitième de sa contenance : toute la largeur du verre est en haut.
Pièges anticipés
200→ Tu as supposé le volume proportionnel à la hauteur. Le petit cône est réduit dans les trois dimensions :100→ Tu as multiplié par : c'est la surface du liquide qui est divisée par Le volume, lui, est divisé par
Exercice 83 · raisonnement
Le tronc aux deux tiers
Un cône de révolution a pour volume On le coupe par un plan parallèle à sa base, aux deux tiers de sa hauteur en partant du sommet.
Calculer le volume du tronc de cône, entre la section et la base.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 152
Indices, dans l’ordre
- Le tronc est le grand cône privé du petit cône, du côté du sommet. Commence par le petit cône.
- et
Correction
- Le petit cône —
- Le tronc —
Le tronc n'a qu'un tiers de la hauteur, mais il contient plus des deux tiers du volume :
Pièges anticipés
64→ c'est le petit cône, du côté du sommet. Le tronc est le reste :72→ Tu as retiré les deux tiers du volume, Le petit cône vaut du grand, pas120→ Tu as retiré du volume, avec Pour un volume, c'est
Exercice 84 · raisonnement
La hauteur du liquide
Un verre conique, pointe en bas, a une hauteur de cm et contient quand il est plein. On y verse de sirop.
Calculer la hauteur du sirop dans le verre.
Donner la hauteur en centimètres.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le sirop forme un petit cône de même sommet que le verre. Le rapport des volumes est
- : simplifie la fraction et reconnais deux cubes.
Correction
- Le rapport des volumes —
- Le coefficient — et :
- La hauteur —
Moins de du volume suffit à monter aux deux cinquièmes de la hauteur : c'est l'effet du cube, lu à l'envers.
Pièges anticipés
0.96 / 0,96 / 24/25→ Tu as supposé la hauteur proportionnelle au volume. Le rapport des volumes est : il faut d'abord retrouver2/5 / 0.4→ c'est le coefficient La hauteur du sirop est fois la hauteur du verre.
Exercice 85 · raisonnement
Deux statues semblables
Deux statues ont exactement la même forme : la petite mesure m de haut, la grande m. Il faut litres de peinture pour peindre toute la surface de la petite.
Calculer la quantité de peinture nécessaire pour peindre la grande.
Donner la quantité en litres.
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- La grande statue est un agrandissement de la petite. Quel est son coefficient ?
- La peinture couvre une surface : par quoi une aire est-elle multipliée ?
Correction
- Le coefficient —
- Les surfaces — La quantité de peinture est proportionnelle à l'aire à peindre, multipliée par :
Pour savoir quelle puissance de utiliser, on se demande ce que l'on mesure : une longueur (), une surface () ou un volume (). La peinture se compte en surface.
Pièges anticipés
6→ Tu as multiplié par La peinture couvre une surface, multipliée par54→ Tu as multiplié par : ce serait vrai pour la quantité de bronze, un volume. La peinture couvre une surface :
Exercice 86 · defi
Le tronc de pyramide
Une pyramide a pour base un carré de côté cm et pour hauteur cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à cm au-dessus de la base.
Calculer le volume du tronc de pyramide, entre la section et la base.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 228
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord le volume de la grande pyramide, puis le coefficient de la petite — en partant du sommet.
- Le plan est à cm du sommet : La petite pyramide vaut fois la grande.
Correction
- La grande pyramide —
- Le coefficient —
- La petite pyramide —
- Le tronc —
Vérification directe : la section a pour côté cm, et Les deux chemins donnent la même petite pyramide.
Pièges anticipés
96→ c'est la petite pyramide. Le tronc est ce qui reste de la grande :312→ Tu as pris avec la distance à la base. Le coefficient se lit depuis le sommet : cm.180→ Tu as retiré du volume, avec Un volume se multiplie par324→ c'est la pyramide entière. Il faut encore retirer la petite pyramide du sommet.
Exercice 87 · defi
Un cône en trois tranches
Un cône de révolution a pour volume Deux plans parallèles à sa base le coupent au tiers et aux deux tiers de sa hauteur, en partant du sommet. On obtient trois morceaux : un petit cône, une tranche du milieu et un tronc près de la base.
Calculer le volume de la tranche du milieu.
Donner le volume en centimètres cubes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 140
Indices, dans l’ordre
- Chaque plan découpe, du côté du sommet, un cône réduit. La tranche du milieu est la différence de deux de ces cônes.
- Les cônes de coefficients et ont pour volumes et
Correction
- Le petit cône —
- Le cône aux deux tiers —
- La tranche du milieu —
Les trois tranches ont la même épaisseur, mais pas le même volume : et dans le rapport
Pièges anticipés
180→ Trois tranches de même épaisseur n'ont pas le même volume : le cône s'élargit vers la base. Calcule les cônes réduits avec160→ c'est tout le cône jusqu'au deuxième plan, petit cône compris. Il faut encore retirer le petit cône.20→ c'est le petit cône du sommet. La tranche du milieu est entre les deux plans.
Exercice 88 · base
Le rayon de la section
Une sphère de centre a pour rayon cm. Un plan situé à la distance cm de la coupe suivant un cercle.
Calculer le rayon de ce cercle.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Le centre le centre du cercle et un point du cercle forment un triangle rectangle en d'hypoténuse
- Applique la formule du cours.
Correction
- Pythagore —
Les nombres forment un triangle rectangle : Le rayon de la section est toujours plus petit que celui de la sphère.
Pièges anticipés
9→ Tu as calculé Ce sont les carrés qui se soustraient :25→ Tu as additionné : la section serait plus grande que la sphère. Dans le triangle l'hypoténuse est cm.225→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.sqrt(353)→ Tu as additionné les carrés. L'hypoténuse est le rayon de la sphère :
Exercice 89 · base
Un grand cercle
Une sphère a pour diamètre cm. On la coupe par un plan qui passe par son centre.
Calculer le rayon du cercle de section.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Le plan passe par le centre : la distance du centre au plan vaut
- Avec la formule donne Que vaut ?
Correction
- Un grand cercle — Le plan passe par le centre, : la section est un grand cercle, de même rayon que la sphère.
- Le rayon —
Un grand cercle est la plus grande section possible d'une sphère : son rayon est celui de la sphère, la moitié du diamètre.
Pièges anticipés
22→ cm, c'est le diamètre. Le rayon du grand cercle est celui de la sphère, sa moitié.0→ c'est la distance du centre au plan. Le rayon de la section est
Exercice 90 · pratique
La distance du plan au centre
Une sphère de centre a pour rayon cm. Un plan la coupe suivant un cercle de rayon cm.
Calculer la distance du centre au plan.
Donner la distance en centimètres.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Le même triangle rectangle relie et : est son hypoténuse.
- De on tire
Correction
- Pythagore —
Une section presque aussi grande qu'un grand cercle, cm pour cm, est pourtant à cm du centre : le rayon varie lentement près du centre.
Pièges anticipés
1→ Tu as calculé Ce sont les carrés qui se soustraient :81→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.sqrt(3281)→ Tu as additionné les carrés. L'hypoténuse du triangle est le rayon de la sphère :
Exercice 91 · pratique
L'aire du disque de section
Une sphère de centre a pour rayon cm. Un plan situé à cm de la coupe suivant un cercle.
Calculer la valeur exacte de l'aire du disque de section.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 56pi
Indices, dans l’ordre
- L'aire du disque est : il suffit de connaître pas
Correction
- Le carré du rayon —
- L'aire —
Inutile de calculer : l'aire n'a besoin que de En valeur approchée,
Pièges anticipés
16pi→ Tu as pris cm. Ce sont les carrés qui se soustraient :106pi→ Tu as additionné les carrés : la section serait plus grande qu'un grand cercle.81pi→ c'est l'aire d'un grand cercle, quand le plan passe par le centre. Ici le plan est à cm du centre.175.9 / 175.93 / 176 / 175,9 / 175,93→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 92 · pratique
Un rayon avec une racine
Une sphère de centre a pour rayon cm. Un plan situé à cm de la coupe suivant un cercle.
Calculer la valeur exacte du rayon de ce cercle.
Donner la valeur exacte du rayon en centimètres.
Réponse attendue : 2*sqrt(5) — aussi acceptées : sqrt(20)
Indices, dans l’ordre
- Le résultat n'est pas un carré parfait : garde la racine.
- Simplifie la racine :
Correction
- Pythagore —
- La racine —
Quand n'est pas un carré parfait, la valeur exacte s'écrit avec une racine carrée, simplifiée : cm.
Pièges anticipés
2→ Tu as calculé Ce sont les carrés qui se soustraient :2*sqrt(13) / sqrt(52)→ Tu as additionné les carrés. L'hypoténuse est le rayon de la sphère :20→ c'est Il reste à prendre la racine carrée.4.47 / 4.5 / 4.472 / 4,47 / 4,5→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du rayon : garde la racine carrée, et simplifie-la.
Exercice 93 · raisonnement
Du périmètre à la distance
Une sphère de centre a pour rayon cm. Un plan la coupe suivant un cercle de périmètre cm.
Calculer la distance du centre au plan.
Donner la distance en centimètres.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Le périmètre d'un cercle de rayon est : retrouve d'abord
- Puis dans le triangle rectangle
Correction
- Le rayon —
- Pythagore —
Une astuce de calcul :
Pièges anticipés
2→ Tu as calculé Ce sont les carrés qui se soustraient :35→ cm, c'est le rayon de la section. On demande la distance du centre au plan.
Exercice 94 · raisonnement
Deux tranches de part et d'autre
Une sphère de centre a pour rayon cm. Deux plans parallèles la coupent, de part et d'autre de : l'un à cm de l'autre à cm.
Calculer la valeur exacte de la somme des aires des deux disques de section.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 25pi
Indices, dans l’ordre
- Pour chaque plan, : l'aire du disque est sans avoir besoin de
- Calcule avec avec puis
Correction
- Le premier plan —
- Le second plan —
- La somme —
Coïncidence instructive : la somme vaut l'aire d'un grand cercle, parce que Le côté « de part et d'autre » ne change rien aux calculs : seule compte la distance au centre.
Pièges anticipés
5pi→ Tu as pris : cm et cm. Ce sont les carrés qui se soustraient :25→ Il manque : l'aire d'un disque de rayon est78.5 / 78.54 / 79 / 78,5 / 78,54→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 95 · raisonnement
Une calotte d'orange
Une orange est assimilée à une boule de diamètre cm. D'un coup de couteau plan, on en détache une calotte de cm d'épaisseur : le plan de coupe est à cm du bord de l'orange.
Calculer le rayon du disque de coupe.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- La formule demande la distance au centre, pas au bord.
- Le rayon de l'orange est cm : le plan est à cm du centre.
Correction
- La distance au centre —
- Pythagore —
Une calotte de cm seulement donne un disque de cm de diamètre : près du bord, le rayon de la section grandit très vite.
Pièges anticipés
2*sqrt(6) / sqrt(24)→ Tu as pris cm. Mais cm est la distance au bord : la distance au centre est cm.sqrt(84) / 2*sqrt(21)→ Tu as pris cm, le diamètre. Le rayon de l'orange est cm.4→ cm, c'est la distance du centre au plan. Le rayon de la coupe est
Exercice 96 · defi
La moitié d'un grand cercle
Une sphère de centre a pour rayon cm. On veut la couper par un plan pour que l'aire du disque de section soit la moitié de l'aire d'un grand cercle.
Calculer la valeur exacte de la distance du centre au plan.
Donner la valeur exacte de la distance en centimètres.
Réponse attendue : 4*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(32)
Indices, dans l’ordre
- Un grand cercle a pour aire Le disque de section doit avoir pour aire : que vaut ?
- et
Correction
- Le carré du rayon —
- La distance —
Ici cm : le triangle est rectangle isocèle. Couper à mi-rayon, à cm, garderait les trois quarts de l'aire, pas la moitié.
Pièges anticipés
4→ À cm du centre, : l'aire vaut les trois quarts d'un grand cercle. Il faut32→ c'est Il reste à prendre la racine carrée, et à la simplifier.5.66 / 5.7 / 5.657 / 5,66 / 5,7→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de la distance : garde la racine carrée, et simplifie-la.
Exercice 97 · defi
L'eau dans un bol hémisphérique
L'intérieur d'un bol est une demi-sphère de centre et de rayon cm, posée sur sa partie arrondie : son bord est un grand cercle, horizontal, et le point le plus bas est à cm sous On y verse de l'eau jusqu'à une profondeur de cm, mesurée depuis le point le plus bas.
Calculer le rayon du cercle que forme la surface de l'eau.
Donner le rayon en centimètres.
Réponse attendue : 24
Indices, dans l’ordre
- La surface de l'eau est la section de la sphère par un plan horizontal. À quelle distance du centre se trouve ce plan ?
- Le fond est à cm sous et l'eau monte de cm : le plan est à cm sous
Correction
- La distance au centre —
- Pythagore —
Une profondeur se mesure depuis le fond, la formule demande la distance au centre : on passe de l'une à l'autre par Les nombres forment le triangle agrandi deux fois.
Pièges anticipés
2*sqrt(105) / sqrt(420)→ Tu as pris cm, la profondeur. Mais la formule demande la distance au centre qui est au niveau du bord : cm.10→ cm, c'est la distance du centre au plan de l'eau. Le rayon de la surface est
Exercice 98 · pratique
L'eau qui déborde
Une boîte cylindrique de rayon cm et de hauteur cm est remplie d'eau à ras bord. On y plonge entièrement une bille de rayon cm.
Calculer la valeur exacte du volume d'eau qui déborde.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 9pi/2 — aussi acceptées : 4.5pi
Indices, dans l’ordre
- L'eau qui déborde occupe exactement la place de la bille. Les dimensions de la boîte ne servent qu'à vérifier que la bille y entre.
- Calcule le volume d'une boule de rayon cm :
Correction
- Le principe — La bille chasse un volume d'eau égal au sien.
- La bille —
Avant de calculer, on se demande quel solide compte vraiment : ici la bille seule. à peine de la boîte.
Pièges anticipés
9pi→ c'est l'aire de la bille. L'eau déplacée est un volume :27pi/2 / 13.5pi→ Tu as calculé : le volume de la boule est il faut encore diviser par176pi→ c'est le volume de la boîte entière. Il ne déborde que ce que la bille déplace.14.1 / 14.14 / 14 / 14,1 / 14,14→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 99 · pratique
Le silo à grains
Un silo est formé d'un cylindre de révolution de rayon m et de hauteur m, surmonté d'un toit en forme de cône de révolution de même rayon et de hauteur m.
Calculer la valeur exacte du volume du silo.
Donner la valeur exacte du volume en mètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 102pi
Indices, dans l’ordre
- Le silo est formé de deux solides : calcule le volume de chacun, puis additionne.
- Même base, un disque de rayon m : pour le cylindre, et le tiers de pour le cône.
Correction
- Le cylindre —
- Le cône —
- Le silo —
Un solide composé se calcule morceau par morceau. En valeur approchée,
Pièges anticipés
126pi→ Tu as calculé le toit comme un cylindre, Le toit est un cône : un tiers de soit90pi→ c'est le cylindre seul. Il faut ajouter le toit conique.320.4 / 320.44 / 320 / 320,4 / 320,44→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 100 · raisonnement
Le cornet de glace
Un cornet de glace est modélisé par un cône de révolution de rayon cm et de hauteur cm, entièrement rempli, surmonté d'une demi-boule de glace de même rayon posée sur sa base.
Calculer la valeur exacte du volume total de glace.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 48pi
Indices, dans l’ordre
- Deux solides : le cône rempli, et la demi-boule au-dessus.
- Cône : Demi-boule : la moitié de
Correction
- Le cône —
- La demi-boule —
- Le total —
Les deux morceaux partagent le même rayon, mais pas la même formule. En valeur approchée,
Pièges anticipés
66pi→ Tu as compté une boule entière, Sur le cornet, il n'y a qu'une demi-boule :108pi→ Tu as calculé le cône comme un cylindre, Le volume d'un cône est le tiers :150.8 / 150.80 / 151 / 150,8→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 101 · raisonnement
Un cube percé
Un cube de bois a pour arête cm. On le perce de part en part d'un trou cylindrique de rayon cm, dont l'axe est perpendiculaire à deux faces opposées.
Calculer la valeur exacte du volume de bois restant.
Donner la valeur exacte du volume en centimètres cubes, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 1000-90pi
Indices, dans l’ordre
- Le trou traverse tout le cube : quelle est la hauteur du cylindre retiré ?
- Le cylindre a pour hauteur l'arête, cm. Le bois restant, c'est le cube moins ce cylindre.
Correction
- Le cube —
- Le trou — Un cylindre de rayon cm et de hauteur cm :
- Le bois restant —
Chaque tranche parallèle aux deux faces percées est un carré troué d'un disque : sur cm d'épaisseur. En valeur approchée,
Pièges anticipés
90pi→ c'est le volume du trou. On demande le bois qui reste : le cube moins le trou.1000-30pi→ Il manque le carré du rayon dans le volume du trou :717.3 / 717.26 / 717 / 717,3 / 717,26→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte du volume : garde dans ton résultat, sans le remplacer par
Exercice 102 · defi
Quatre boules en pyramide
Trois boules de rayon cm sont posées sur une table horizontale et se touchent deux à deux : leurs centres forment un triangle équilatéral de côté cm. Une quatrième boule de même rayon, de centre est posée sur elles et les touche toutes les trois. Le pied de la hauteur issue de du tétraèdre est le centre du triangle situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
Calculer la valeur exacte de la distance du centre à la table.
Donner la valeur exacte de la distance en centimètres.
Réponse attendue : 5+10*sqrt(6)/3 — aussi acceptées : (15+10*sqrt(6))/3
Indices, dans l’ordre
- Deux boules qui se touchent ont leurs centres à cm : cm. Il faut la hauteur puis ajouter la hauteur du plan des centres au-dessus de la table.
- La médiane d'un triangle équilatéral de côté mesure : en vaut les deux tiers. Puis Pythagore dans le triangle rectangle en
- Le plan est à cm au-dessus de la table : un rayon.
Correction
- La distance AH —
- La hauteur SH — Dans le triangle rectangle en avec cm :
- Jusqu'à la table — Les centres sont à un rayon, cm, au-dessus de la table :
Même stratégie que pour les cinq boules du cours : la pyramide des centres, sa hauteur par Pythagore, puis un rayon de plus. En valeur approchée, la distance vaut environ cm.
Pièges anticipés
10*sqrt(6)/3→ c'est la hauteur mesurée depuis le plan des centres. Ce plan est à cm au-dessus de la table : ajoute un rayon.10→ Tu as pris égal à la médiane entière, Le centre du triangle est aux deux tiers de la médiane :13.2 / 13.16 / 13.165 / 13,2 / 13,16→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de la distance : garde la racine carrée dans ton résultat.
Exercice 103 · defi
Une boule dans un cube, coupée
Une boule de rayon cm est enfermée dans une boîte cubique d'arête cm, en touchant ses six faces. On coupe le tout par un plan parallèle à une face de la boîte, situé à cm de cette face.
Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie de la section du cube qui est hors de la boule.
Donner la valeur exacte de l'aire en centimètres carrés, en fonction de π, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 64-7pi
Indices, dans l’ordre
- Deux sections à calculer : celle du cube, parallèle à une face, et celle de la boule, qui est un disque.
- Le centre de la boule est au centre du cube, à cm de chaque face. À quelle distance du centre est le plan de coupe ?
- Le plan est à cm du centre :
Correction
- La section du cube — Parallèle à une face, elle est isométrique à cette face :
- La distance au centre — Le centre de la boule est à cm de la face ; le plan à cm d'elle :
- La section de la boule —
- Hors de la boule —
Une même coupe, deux propriétés du cours : la section du pavé est isométrique à la face, celle de la sphère est un cercle de rayon En valeur approchée, l'aire vaut environ
Pièges anticipés
64-15pi→ Tu as pris cm. Mais cm est la distance à la face : le centre de la boule est à cm de la face, donc à cm du plan.64-16pi→ c'est un grand cercle : le plan passerait par le centre. Ici il est à cm du centre, et7pi→ c'est le disque de la boule. On demande ce qui est hors de la boule : le carré moins le disque.42 / 42.0 / 42.01 / 42,0 / 42,01→ C'est une valeur approchée. La consigne demande la valeur exacte de l'aire : garde dans ton résultat, sans le remplacer par