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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Somme de deux vecteurs

1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Lyoum nabdaw le chapitre numéro 5 : la somme de deux vecteurs. Le vecteur w la translation, chefnehom 9bal. Tawa bech nejm3ou zouz vecteurs, w nodhorbou vecteur fi réel. W fel e5er, bech nesta3mlouhom bech nthabtou parallélisme w alignement. Yalla nabdaw.

عسلامة ! لْيوم نبداو le chapitre numéro 5 : la somme de deux vecteurs . le vecteur و la translation ، شفناهم قبل . توّا باش نجمعو زوز vecteurs ، و نضربو vecteur في réel . و في الآخر ، باش نستعملوهم باش نثبتو parallélisme و alignement . يالله نبداو.

Bonjour ! Aujourd'hui on commence le chapitre numéro 5 : la somme de deux vecteurs. Le vecteur et la translation, tu les as déjà vus. Maintenant on va additionner deux vecteurs, et multiplier un vecteur par un réel. Et à la fin, on s'en servira pour démontrer un parallélisme ou un alignement. Allons-y.

Tu connais déjà le vecteur qui déplace un point : c'est la translation. Ici, on apprend à calculer avec les vecteurs.

Deux opérations, et elles serviront toute l'année. La première additionne deux vecteurs : bout à bout, c'est la relation de Chasles ; depuis un même point, c'est la règle du parallélogramme. La seconde multiplie un vecteur par un réel, et fait naître les vecteurs colinéaires — ceux qui démontrent que des droites sont parallèles, ou que des points sont alignés.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Construire la somme de deux vecteurs, bout à bout ou par la règle du parallélogrammeConstruire la somme de deux vecteurs, bout à bout ou par la règle du parallélogramme.Construire la somme de deux vecteurs, bout à bout ou par la règle du parallélogramme.
  • Simplifier une somme de vecteurs avec la relation de ChaslesSimplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles.Simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles.
  • Reconnaître deux vecteurs opposés, et caractériser le milieu d'un segment par des vecteursReconnaître deux vecteurs opposés, et caractériser le milieu d'un segment par des vecteurs.Reconnaître deux vecteurs opposés, et caractériser le milieu d'un segment par des vecteurs.
  • Construire le vecteur α AB→\alpha\,\overrightarrow{AB} et lire l'abscisse d'un point dans le repère (A,B)(A, B)Construire le vecteur alpha fois A B, et lire l'abscisse d'un point dans le repère A, B.Construire le vecteur alpha fois A B, et lire l'abscisse d'un point dans le repère A, B.
  • Reconnaître deux vecteurs colinéaires, de même sens ou de sens contrairesReconnaître deux vecteurs colinéaires, de même sens ou de sens contraires.Reconnaître deux vecteurs colinéaires, de même sens ou de sens contraires.
  • Démontrer un parallélisme ou un alignement grâce à la colinéaritéDémontrer un parallélisme ou un alignement grâce à la colinéarité.Démontrer un parallélisme ou un alignement grâce à la colinéarité.

1. Activité

Deux translations de suite

Ce qu’il dit

Tba3ni : M yet7arrek b le vecteur AB, w ywalli M prime. Men ba3d M prime yet7arrek b le vecteur BC, w ywalli M seconde. Zouz translations wra b3adhhom, ama fel e5er M 3mal 7arka wa7da : le vecteur AC. Ya3ni le vecteur AB plus le vecteur BC égale le vecteur AC.

تبّعني : M يتحرّك بـ le vecteur A B ، و يولّي M prime . من بعد M prime يتحرّك بـ le vecteur B C ، و يولّي M seconde . زوز translations ورا بعضهم ، أمّا في الآخر M عمل حركة وحدة : le vecteur A C . يعني le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C .

Suis-moi : M se déplace du vecteur A B, et devient M prime. Puis M prime se déplace du vecteur B C, et devient M seconde. Deux translations l'une après l'autre, mais au bout du compte M n'a fait qu'un seul déplacement : le vecteur A C. Donc le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C.

Trois points A,A, B,B, CC et un point MM sont placés comme sur la figure.

  1. 1.Place le point M′,M', image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. 2.Place le point M′′,M'', image de M′M' par la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.
  3. 3.M′′M'' est l'image de MM par une seule translation. Quelle conjecture fais-tu sur son vecteur ?
  4. 4.Montre que AM→=BM′→=CM′′→,\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BM'} = \overrightarrow{CM''}, puis compare les vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et MM′′→.\overrightarrow{MM''}.

Deux translations de suite n'en font qu'une : on dit que le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→.\overrightarrow{BC}.

ABCMM'M''
Deux translations de suite : de M à M', puis de M' à M''.

Trois points A, B et C en haut de la figure : le vecteur AB monte légèrement vers la droite, puis le vecteur BC redescend vers la droite, tous deux en bleu. En bas à gauche, un point M. Le vecteur MM', en vert, est égal au vecteur AB ; puis le vecteur M'M'', en vert, est égal au vecteur BC. En rouge, le vecteur MM'' et le vecteur AC : même direction, même sens, même longueur. Des pointillés relient A à M, B à M' et C à M''.

2. Propriété

La relation de Chasles

Ce qu’il dit

Hedhi hiya la relation de Chasles. Chouf el 7rouf : le vecteur AB plus le vecteur BC. L'extrémité du premier vecteur hiya l'origine du second : el B. Ki ytle9aw hakka, n7iw el B, w yeb9a le vecteur AC. Ama redd belek : hedha ysa77 fi les vecteurs, mouch fi les longueurs.

هذي هي la relation de Chasles . شوف الحروف : le vecteur A B plus le vecteur B C . l'extrémité du premier vecteur هي l'origine du second : الـ B . كي يتلاقاو هكّا ، نحيّو الـ B ، و يبقى le vecteur A C . أمّا ردّ بالك : هذا يصحّ في les vecteurs ، موش في les longueurs .

Voici la relation de Chasles. Regarde les lettres : le vecteur A B plus le vecteur B C. L'extrémité du premier vecteur est l'origine du second : le point B. Quand ils s'enchaînent ainsi, on retire le B, et il reste le vecteur A C. Mais attention : c'est vrai pour les vecteurs, pas pour les longueurs.

Pour trois points A,A, BB et CC quelconques du plan, le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} : aller de AA à B,B, puis de BB à C,C, revient à aller directement de AA à C.C. C'est la relation de Chasles.

La règle se lit sur les lettres : l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Elle se lit aussi dans l'autre sens : on peut toujours insérer un point, AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} quel que soit le point B.B.

relation de Chasles

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Exemple traité

Simplifier la somme des vecteurs MA→,\overrightarrow{MA}, AB→\overrightarrow{AB} et BN→.\overrightarrow{BN}.

  1. Deux par deux — Les deux premiers vecteurs s'enchaînent : l'extrémité AA du premier est l'origine du second.MA→+AB→=MB→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB}
  2. Il reste deux vecteurs qui s'enchaînent, cette fois en B.B.MB→+BN→=MN→\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}
  3. La somme des trois vecteurs se réduit donc au seul vecteur MN→.\overrightarrow{MN}.MA→+AB→+BN→=MN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}
MA→+AB→+BN→=MN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}

À ne pas faire : AB→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} — AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} : les lettres s'enchaînent en B.B.. Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Ici BB et CC sont deux points différents : on ne « colle » pas des lettres qui ne se touchent pas.

À ne pas faire : AB+BC=ACAB + BC = AC pour trois points quelconques — AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. La relation de Chasles porte sur les vecteurs, pas sur les longueurs. Pour les longueurs, AB+BC=ACAB + BC = AC n'est vrai que si BB est sur le segment [AC][AC] ; sinon AB+BCAB + BC est plus grand que AC.AC.

3. Activité

Deux vecteurs de même origine

Ce qu’il dit

Hna le vecteur AB w le vecteur AD yebdew men nafs le point : A. Nkammlou le parallélogramme ABCD : les diagonales AC w BD 3andhom nafs le milieu. Wa9tha le vecteur AD égale le vecteur BC, w b Chasles, le vecteur AB plus le vecteur BC égale le vecteur AC. Ya3ni la somme des vecteurs AB et AD, hiya le vecteur AC : la diagonale elli to5rej men A.

هنا le vecteur A B و le vecteur A D يبداو من نفس le point : A . نكمّلو le parallélogramme A B C D : les diagonales A C و B D عندهم نفس le milieu . وقتها le vecteur A D égale le vecteur B C ، و بـ Chasles ، le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C . يعني la somme des vecteurs A B et A D ، هي le vecteur A C : la diagonale اللي تخرج من A .

Ici le vecteur A B et le vecteur A D partent du même point : A. On complète le parallélogramme A B C D : les diagonales A C et B D ont le même milieu. Alors le vecteur A D égale le vecteur B C, et par Chasles, le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C. Donc la somme des vecteurs A B et A D, c'est le vecteur A C : la diagonale qui part de A.

Soient AA un point du plan, et u⃗,\vec{u}, v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls. On place les points BB et DD tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→\vec{v} = \overrightarrow{AD} : les deux vecteurs partent du même point A.A.

  1. 1.Construis le point CC tel que les segments [AC][AC] et [BD][BD] aient le même milieu.
  2. 2.Quelle est la nature du quadrilatère ABCDABCD ? Déduis-en que BC→=AD→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
  3. 3.Justifie l'égalité AB→+AD→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
uvABDCO
Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O.

Un point A en bas à gauche. Le vecteur u, égal à AB, part de A vers la droite ; le vecteur v, égal à AD, part de A vers le haut ; tous deux en bleu. Le segment [BD] est tracé en pointillés et O est son milieu. Le point C est placé pour que O soit aussi le milieu de [AC] : les côtés [BC] et [DC] complètent le parallélogramme ABCD, et le vecteur AC, en rouge, suit la diagonale qui part de A.

Exemple traité

Ce que donne la construction.

  1. Même milieu — Les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu : ABCDABCD est un parallélogramme, et ses côtés opposés donnent des vecteurs égaux.BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
  2. Chasles — On remplace le vecteur AD→\overrightarrow{AD} par le vecteur égal qui part de BB : les lettres s'enchaînent.AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
  3. La somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} est donc le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, porté par la diagonale qui part de A.A.AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}

4. Définition

Somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme

Ce qu’il dit

Ki ykounou zouz vecteurs men nafs l'origine, nkammlou le parallélogramme, w la somme hiya la diagonale elli to5rej men l'origine. Pour A, B, C non alignés, ABDC parallélogramme, ma3neha le vecteur AB plus le vecteur AC égale le vecteur AD. Redd belek l tartib el 7rouf : D houwa le sommet opposé à A.

كي يكونو زوز vecteurs من نفس l'origine ، نكمّلو le parallélogramme ، و la somme هي la diagonale اللي تخرج من l'origine . pour A, B, C non alignés ، A B D C parallélogramme ، معناها le vecteur A B plus le vecteur A C égale le vecteur A D . ردّ بالك لترتيب الحروف : D هو le sommet opposé à A .

Quand deux vecteurs ont la même origine, on complète le parallélogramme, et la somme est la diagonale qui part de l'origine. Pour A, B, C non alignés, A B D C est un parallélogramme signifie que le vecteur A B plus le vecteur A C égale le vecteur A D. Attention à l'ordre des lettres : D est le sommet opposé à A.

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls et AA un point. On place BB et DD tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AD→.\vec{v} = \overrightarrow{AD}. Le vecteur somme de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, noté u⃗+v⃗,\vec{u} + \vec{v}, est le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, où CC est le point tel que [AC][AC] et [BD][BD] ont le même milieu.

Mêmes points, autres noms : quand les deux vecteurs s'appellent AB→\overrightarrow{AB} et AC→,\overrightarrow{AC}, le quatrième sommet s'appelle D,D, le parallélogramme s'écrit ABDC,ABDC, et la somme est le vecteur AD→.\overrightarrow{AD}. C'est la règle du parallélogramme : pour trois points A,A, B,B, CC non alignés et un point D,D, ABDCABDC est un parallélogramme si et seulement si AB→+AC→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.

Attention à l'ordre des lettres : dans « ABDCABDC est un parallélogramme », le sommet DD est opposé à A.A. La somme suit la diagonale qui part de l'origine commune.

L'ordre des vecteurs ne compte pas : u⃗+v⃗=v⃗+u⃗.\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.

ABCD
ABDC est un parallélogramme : la somme suit la diagonale issue de A.

Un parallélogramme ABDC : A en bas à gauche, B en bas à droite, D en haut à droite, C en haut à gauche. Les vecteurs AB et AC partent tous deux de A, en bleu. Les côtés [BD] et [CD] sont en pointillés. Le vecteur AD, en rouge, suit la diagonale qui part de A : c'est la somme des vecteurs AB et AC.

règle du parallélogramme

A, B, C non aligneˊs: ABDC paralleˊlogramme  ⟺  AB→+AC→=AD→A,\ B,\ C \text{ non alignés} :\ ABDC \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}

l'ordre ne compte pas

u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Exemple traité

EFGHEFGH est un parallélogramme. Simplifier la somme des vecteurs FE→\overrightarrow{FE} et FG→.\overrightarrow{FG}.

  1. Origine commune — Les deux vecteurs partent de F.F. Dans le parallélogramme EFGH,EFGH, le sommet opposé à FF est H.H.
  2. La règle du parallélogramme donne la diagonale qui part de F.F.FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}
FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}

À ne pas faire : FE→+FG→=EG→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG} — FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}. La somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale qui part de cette origine. [EG][EG] est l'autre diagonale : elle relie les deux extrémités, et ne passe pas par F.F.

5. Activité

Deux vecteurs qui ne se touchent pas

Ce qu’il dit

Le vecteur AB w le vecteur CD ma 3andhom 7atta point commun. El 7all : n7ottouhom bout à bout. Nebniw M bech le vecteur BM égale le vecteur CD. Tawa el 7rouf ytle9aw fi B, w b Chasles : le vecteur AB plus le vecteur BM égale le vecteur AM. W et-tartib ma ybaddel chay : tnajjem tbaddel blasset les vecteurs, bech el 7rouf ytle9aw. W 7atta ki ykounou les points alignés, bout à bout dima yemchi.

le vecteur A B و le vecteur C D ما عندهم حتّى point commun . الحلّ : نحطّوهم bout à bout . نبنيو M باش le vecteur B M égale le vecteur C D . توّا الحروف يتلاقاو في B ، و بـ Chasles : le vecteur A B plus le vecteur B M égale le vecteur A M . و الترتيب ما يبدّل شي : تنجم تبدّل بلاصة les vecteurs ، باش الحروف يتلاقاو . و حتّى كي يكونو les points alignés ، bout à bout ديما يمشي .

Le vecteur A B et le vecteur C D n'ont aucun point commun. La solution : on les met bout à bout. On construit M pour que le vecteur B M égale le vecteur C D. Maintenant les lettres se rejoignent en B, et par Chasles : le vecteur A B plus le vecteur B M égale le vecteur A M. Et l'ordre ne change rien : tu peux changer la place des vecteurs, pour que les lettres s'enchaînent. Et même quand les points sont alignés, bout à bout, ça marche toujours.

Sur la figure, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} n'ont aucun point commun. Pour construire leur somme, on les met bout à bout.

  1. 1.Construis le point MM tel que BM→=CD→.\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CD}. Pourquoi a-t-on AB→+CD→=AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM} ?
  2. 2.Construis un vecteur égal à CD→+AB→.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB}. Que remarques-tu ?
  3. 3.Trois points K,K, LL et NN sont alignés. Construis le point PP tel que KL→+KN→=KP→\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KP} : d'abord quand les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont de même sens, puis quand ils sont de sens contraires.
  4. 4.Montre que (AB→+BC→)+CD→=AD→.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. Que vaut AB→+(BC→+CD→)\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) ?

Bout à bout, la construction marche toujours, même là où la règle du parallélogramme ne s'applique pas. Pour K,K, L,L, NN alignés, on place PP tel que LP→=KN→,\overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KN}, et la relation de Chasles donne KL→+KN→=KL→+LP→=KP→.\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KP}. Le point PP reste sur la droite (KL)(KL) : si les deux vecteurs sont de même sens, les longueurs s'ajoutent, KP=KL+KNKP = KL + KN ; s'ils sont de sens contraires, on retranche la plus courte de la plus longue.

Ni l'ordre des vecteurs ni la place des parenthèses ne changent une somme : on peut donc réordonner une somme pour que les lettres s'enchaînent.

ABCDM
Bout à bout : le vecteur BM est égal au vecteur CD.

Le vecteur AB, en bleu, monte de A, en bas à gauche, vers B. Le vecteur CD, en bleu lui aussi, est plus haut et plus à droite, sans point commun avec AB : il descend légèrement de C vers D. Depuis B, le vecteur BM, en vert, est égal au vecteur CD ; les pointillés [CB] et [DM] montrent le parallélogramme CDMB. Le vecteur AM, en rouge, va de A à M : c'est la somme des vecteurs AB et CD.

Exemple traité

Simplifier la somme des vecteurs AB→,\overrightarrow{AB}, CD→\overrightarrow{CD} et BC→.\overrightarrow{BC}.

  1. Réordonner — Telle quelle, la somme ne s'enchaîne pas. On range les vecteurs pour que l'extrémité de chacun soit l'origine du suivant.AB→+CD→+BC→=AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
  2. Chasles, deux fois — Les lettres se rejoignent en B,B, puis en C.C.AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}
  3. Les trois vecteurs se réduisent au seul vecteur AD→.\overrightarrow{AD}.AB→+CD→+BC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
AB→+CD→+BC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}

À ne pas faire : AB→+CB→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — On change l'ordre des vecteurs, jamais l'ordre des lettres d'un vecteur.. Les vecteurs CB→\overrightarrow{CB} et BC→\overrightarrow{BC} ne sont pas égaux : ils sont opposés. Retourner un vecteur pour qu'il s'enchaîne, c'est changer la somme.

6. Définition

Vecteur nul, vecteurs opposés

Ce qu’il dit

Nemchiw men A l B, w narj3ou men B l A : rja3na win konna. Ya3ni le vecteur AB plus le vecteur BA égale le vecteur nul. N9oulou elli les vecteurs AB et BA sont opposés : nafs la direction, nafs la longueur, ama le sens bel 3aks.

نمشيو من A لـ B ، و نرجعو من B لـ A : رجعنا وين كنّا . يعني le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur nul . نقولو اللي les vecteurs A B et B A sont opposés : نفس la direction ، نفس la longueur ، أمّا le sens بالعكس .

On va de A à B, puis on revient de B à A : on est revenu au point de départ. Donc le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur nul. On dit que les vecteurs A B et B A sont opposés : même direction, même longueur, mais le sens est inversé.

Pour deux points AA et B,B, la relation de Chasles donne AB→+BA→=AA→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}. Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul, noté 0⃗\vec{0} : il ne déplace aucun point.

On dit que AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont des vecteurs opposés, et on écrit BA→=−AB→.\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}. Pour deux points distincts AA et B,B, ces deux vecteurs ont même direction, même longueur, et des sens contraires.

Première conséquence, pour le milieu : II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, c'est-à-dire si IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés.

vecteurs opposés

AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}
BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

Exemple traité

Simplifier la somme des vecteurs AB→,\overrightarrow{AB}, CA→\overrightarrow{CA} et BC→.\overrightarrow{BC}.

  1. Réordonner — On range les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent.AB→+CA→+BC→=AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}
  2. Chasles deux fois : on part de A,A, et on revient en A.A.AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA}
  3. Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul : la somme est nulle.AB→+CA→+BC→=0⃗, le vecteur nul\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}\text{, le vecteur nul}
AB→+CA→+BC→=0⃗, le vecteur nul\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}\text{, le vecteur nul}

À ne pas faire : AB→+BA→=0\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 0 — AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}. Une somme de vecteurs est un vecteur. Le résultat est le vecteur nul, avec sa flèche, et non le nombre zéro.

7. Activité

Un repère sur la droite (AB)

Ce qu’il dit

3la la droite AB, A houwa l'origine, w B 3andou l'abscisse 1. Koll 5atwa men A l B hiya le vecteur AB. C 3la bo3d zouz 5atwet : l'abscisse 2, w le vecteur AC égale 2 fois le vecteur AB. W E, 5atwa wa7da lel jiha lo5ra : l'abscisse moins 1.

على la droite A B ، A هو l'origine ، و B عندو l'abscisse 1 . كل خطوة من A لـ B هي le vecteur A B . C على بعد زوز خطوات : l'abscisse 2 ، و le vecteur A C égale 2 fois le vecteur A B . و E ، خطوة وحدة للجهة الأخرى : l'abscisse moins 1 .

Sur la droite A B, A est l'origine, et B a pour abscisse 1. Chaque pas de A vers B, c'est le vecteur A B. C est à deux pas : abscisse 2, et le vecteur A C égale 2 fois le vecteur A B. Et E, un pas de l'autre côté : abscisse moins 1.

AA et BB sont deux points distincts. On munit la droite (AB)(AB) du repère (A,B)(A, B) : AA est l'origine, d'abscisse 0,0, et BB a pour abscisse 1.1. La longueur ABAB sert d'unité.

  1. 1.Place le point CC tel que AC→=AB→+AB→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}. Quelle est son abscisse ?
  2. 2.Place le point DD d'abscisse 3.3. Écris AD→\overrightarrow{AD} en fonction de AB→.\overrightarrow{AB}.
  3. 3.Place le point EE d'abscisse −1.-1. Compare AE→\overrightarrow{AE} et AB→.\overrightarrow{AB}.
0123−1EABCD
Le repère (A, B) de la droite (AB) : la longueur AB sert d'unité.

Une droite horizontale, munie du repère (A, B). De gauche à droite, régulièrement espacés : E d'abscisse −1, A d'abscisse 0, B d'abscisse 1, C d'abscisse 2 et D d'abscisse 3. Le vecteur AB est tracé en bleu : c'est le pas de la graduation.

Exemple traité

Ce que donne la graduation.

  1. Le point C — Deux fois le pas de AA vers BB : CC est d'abscisse 2.2.AC→=2 AB→\overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AB}
  2. Le point D — Trois pas, dans le même sens.AD→=3 AB→\overrightarrow{AD} = 3\,\overrightarrow{AB}
  3. Le point E — Un seul pas, mais de l'autre côté de AA : même longueur, sens contraire.AE→=−AB→\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB}

8. Définition

Produit d'un vecteur par un réel

Ce qu’il dit

Alpha fois le vecteur AB, houwa le vecteur AM, win M houwa le point d'abscisse alpha dans le repère (A, B). Ken alpha positif, M ykoun men jihet B : de même sens. Ken alpha négatif, M ykoun mel jiha lo5ra mte3 A : de sens contraires. W la longueur AM, dima la valeur absolue de alpha, fois AB. W na7sbou bihom kima les nombres.

alpha fois le vecteur A B ، هو le vecteur A M ، وين M هو le point d'abscisse alpha dans le repère A ، B . كان alpha positif ، M يكون من جهة B : de même sens . كان alpha négatif ، M يكون من الجهة الأخرى متاع A : de sens contraires . و la longueur A M ، ديما la valeur absolue de alpha ، fois A B . و نحسبو بيهم كيما les nombres .

Alpha fois le vecteur A B, c'est le vecteur A M, où M est le point d'abscisse alpha dans le repère A, B. Si alpha est positif, M est du côté de B : même sens. Si alpha est négatif, M est de l'autre côté de A : sens contraires. Et la longueur A M, c'est toujours la valeur absolue de alpha, fois A B. Et on calcule avec ces produits comme avec des nombres.

Soient u⃗\vec{u} un vecteur non nul, AA un point et BB le point tel que u⃗=AB→.\vec{u} = \overrightarrow{AB}. Soient α\alpha un réel et MM le point d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B).(A, B). Le produit de u⃗\vec{u} par α,\alpha, noté αu⃗,\alpha\vec{u}, est le vecteur AM→.\overrightarrow{AM}.

Autrement dit : AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} équivaut à « les points A,A, B,B, MM sont alignés, et MM est d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B)(A, B) ».

  • si α>0,\alpha > 0, les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont de même sens ;
  • si α<0,\alpha < 0, ils sont de sens contraires ;
  • dans tous les cas, les longueurs vérifient AM=∣α∣×AB.AM = |\alpha| \times AB.

Le vecteur (−1) AB→(-1)\,\overrightarrow{AB} se note −AB→-\overrightarrow{AB} : c'est l'opposé de AB→.\overrightarrow{AB}. Et 0 u⃗=0⃗0\,\vec{u} = \vec{0} : le point d'abscisse 00 est AA lui-même.

On calcule avec ces produits comme avec des nombres : 2 AB→+AB→=3 AB→,2\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 3\,\overrightarrow{AB}, α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗,\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}, et α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u} — par exemple 3(12 BC→)=32 BC→.3\left(\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}\right) = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BC}.

la définition

AM→=α AB→  ⟺  M∈(AB) d’abscisse α dans (A,B)\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \iff M \in (AB) \text{ d'abscisse } \alpha \text{ dans } (A, B)

les longueurs

AM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB

calculer avec les produits

α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗;α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \quad ; \quad \alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u}

Exemple traité

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B),(A, B), et AB=2AB = 2 centimètres. On place le point PP tel que le vecteur AP→\overrightarrow{AP} vaut les trois demis du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le point QQ tel que le vecteur AQ→\overrightarrow{AQ} vaut −2-2 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Calculer les longueurs APAP et AQ.AQ.

  1. Le point P — PP est d'abscisse 32\tfrac{3}{2} : du même côté que B,B, un peu au-delà.AP=32×2=3 cmAP = \tfrac{3}{2} \times 2 = 3 \text{ cm}
  2. Le point Q — QQ est d'abscisse −2-2 : de l'autre côté de A.A. La longueur prend la valeur absolue du réel.AQ=∣−2∣×2=4 cmAQ = |-2| \times 2 = 4 \text{ cm}
AP=3 centimeˋtres;AQ=4 centimeˋtresAP = 3 \text{ centimètres} \quad ; \quad AQ = 4 \text{ centimètres}

À ne pas faire : AQ→=−2 AB→,\overrightarrow{AQ} = -2\,\overrightarrow{AB}, donc AQ=−4AQ = -4 cm — AQ=∣−2∣×AB=4AQ = |-2| \times AB = 4 cm. Une longueur n'est jamais négative. Le signe de α\alpha dit le sens du vecteur ; la longueur, elle, se multiplie par ∣α∣.|\alpha|.

9. Définition

Vecteurs colinéaires

Ce qu’il dit

Zouz vecteurs colinéaires, ken l'un égale un réel fois l'autre. Fel losange, le vecteur AB égale le vecteur DC, w I le milieu de AB. Ya3ni le vecteur AI égale un demi fois le vecteur DC : el réel positif, ya3ni de même sens. Ama le vecteur CD égale moins 2 fois le vecteur AI : colinéaires zeda, ama de sens contraires.

زوز vecteurs colinéaires ، كان l'un égale un réel fois l'autre . في le losange ، le vecteur A B égale le vecteur D C ، و I le milieu de A B . يعني le vecteur A I égale un demi fois le vecteur D C : الـ réel positif ، يعني de même sens . أمّا le vecteur C D égale moins 2 fois le vecteur A I : colinéaires زادة ، أمّا de sens contraires .

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est égal à un réel fois l'autre. Dans le losange, le vecteur A B égale le vecteur D C, et I est le milieu de A B. Donc le vecteur A I égale un demi fois le vecteur D C : le réel est positif, donc même sens. Mais le vecteur C D égale moins 2 fois le vecteur A I : colinéaires aussi, mais de sens contraires.

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel. Le vecteur nul est donc colinéaire à tout vecteur, puisque 0⃗=0 u⃗.\vec{0} = 0\,\vec{u}.

Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction, et c'est le signe du réel qui dit leur sens :

  • si ce réel est strictement positif, ils sont de même sens ;
  • s'il est strictement négatif, ils sont de sens contraires.

Sur la figure, ABCDABCD est un losange et II est le milieu de [AB].[AB].

ABCDI
ABCD est un losange et I est le milieu de [AB].

Un losange ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche ; les côtés [AB] et [DC] sont horizontaux. I est le milieu du côté [AB]. Le vecteur DC, en bleu, va de D vers C, vers la droite. Le vecteur AI, en vert, va de A vers I, vers la droite lui aussi, et mesure la moitié de DC.

colinéaires

v⃗=α u⃗\vec{v} = \alpha\,\vec{u}

Exemple traité

ABCDABCD est un losange et II est le milieu de [AB].[AB]. Comparer les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et DC→,\overrightarrow{DC}, puis les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AI→.\overrightarrow{AI}.

  1. Le parallélogramme — Un losange est un parallélogramme : ses côtés opposés donnent des vecteurs égaux.AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
  2. Le milieu — II est au milieu de [AB][AB] : le vecteur AI→\overrightarrow{AI} est la moitié du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, dans le même sens.AI→=12 AB→=12 DC→\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC}
  3. Le réel est positif : même sens. Et en retournant le vecteur DC→,\overrightarrow{DC}, le signe change.CD→=−DC→=−2 AI→\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -2\,\overrightarrow{AI}
  4. Les deux comparaisons, côte à côte : le vecteur AI→\overrightarrow{AI} vaut la moitié du vecteur DC→,\overrightarrow{DC}, et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} vaut −2-2 fois le vecteur AI→.\overrightarrow{AI}.AI→=12 DC→;CD→=−2 AI→\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC} \quad ; \quad \overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}
AI→=12 DC→;CD→=−2 AI→\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC} \quad ; \quad \overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}

À ne pas faire : CD→\overrightarrow{CD} et AI→\overrightarrow{AI} ne sont pas colinéaires, car ils ne vont pas dans le même sens. — Ils sont colinéaires et de sens contraires : CD→=−2 AI→.\overrightarrow{CD} = -2\,\overrightarrow{AI}.. Colinéaire ne veut pas dire « de même sens ». Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction ; le signe du réel dit ensuite s'ils sont de même sens ou de sens contraires.

10. Théorème

Colinéarité, parallélisme, alignement

Ce qu’il dit

Ken le vecteur AB w le vecteur CD mahomch nuls, w le vecteur CD égale alpha fois le vecteur AB, ma3neha les droites AB et CD sont parallèles. W bel 3aks, ken les droites sont parallèles, les vecteurs sont colinéaires. W ken zouz vecteurs 3andhom nafs l'origine, les vecteurs AM et AB sont colinéaires, ma3neha A, B et M sont alignés. Hedhi hiya et-tari9a bech nthabtou parallélisme walla alignement.

كان le vecteur A B و le vecteur C D ماهمش nuls ، و le vecteur C D égale alpha fois le vecteur A B ، معناها les droites A B et C D sont parallèles . و بالعكس ، كان les droites sont parallèles ، les vecteurs sont colinéaires . و كان زوز vecteurs عندهم نفس l'origine ، les vecteurs A M et A B sont colinéaires ، معناها A, B et M sont alignés . هذي هي الطريقة باش نثبتو parallélisme ولّا alignement .

Si les vecteurs A B et C D ne sont pas nuls, et si le vecteur C D égale alpha fois le vecteur A B, alors les droites A B et C D sont parallèles. Et réciproquement, si les droites sont parallèles, les vecteurs sont colinéaires. Et quand deux vecteurs ont la même origine, dire que les vecteurs A M et A B sont colinéaires, c'est dire que A, B et M sont alignés. C'est la méthode pour démontrer un parallélisme ou un alignement.

Soient A,A, B,B, C,C, DD quatre points distincts et α\alpha un réel non nul.

  1. 1.Si CD→=α AB→,\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}, alors les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, et CD=∣α∣×AB.CD = |\alpha| \times AB.
  2. 2.Réciproquement, si les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, alors les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Cas particulier, quand les deux vecteurs ont la même origine : les points A,A, BB et MM sont alignés si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires. Deux droites parallèles qui ont un point commun sont en effet confondues.

ABFG
Le vecteur FG vaut 2 fois le vecteur AB : les droites (FG) et (AB) sont parallèles.

Trois points A, B et F non alignés : A et B en bas, F au-dessus de A. Le vecteur AB est tracé en bleu. Le vecteur FG, en rouge, part de F : même direction et même sens que AB, et deux fois plus long. Les droites (AB) et (FG), prolongées en pointillés, sont parallèles.

vecteurs non nuls colinéaires, donc parallèles

A≠B, C≠D: CD→=α AB→⇒(AB) et (CD) paralleˋlesA \ne B,\ C \ne D :\ \overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow (AB) \text{ et } (CD) \text{ parallèles}

même origine, donc alignés

AM→=α AB→⇒A, B, M aligneˊs\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow A,\ B,\ M \text{ alignés}

Exemple traité

A,A, BB et FF sont trois points non alignés, et GG est le point tel que le vecteur FG→\overrightarrow{FG} est le double du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Que dire des droites (FG)(FG) et (AB)(AB) ? Si AB=2,5AB = 2{,}5 centimètres, que vaut FGFG ?

  1. Colinéaires — Le vecteur FG→\overrightarrow{FG} est le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le réel 22 : ils sont colinéaires, et de même sens.FG→=2 AB→\overrightarrow{FG} = 2\,\overrightarrow{AB}
  2. Parallèles — Deux vecteurs colinéaires portent des droites parallèles. Comme FF n'est pas sur (AB),(AB), elles ne sont pas confondues.(FG) et (AB) paralleˋles(FG) \text{ et } (AB) \text{ parallèles}
  3. La longueur — Les longueurs suivent le même réel, pris en valeur absolue : FGFG vaut deux fois AB.AB.FG=∣2∣×AB=2×2,5=5 cmFG = |2| \times AB = 2 \times 2{,}5 = 5 \text{ cm}
(FG) et (AB) paralleˋles;FG=5 centimeˋtres(FG) \text{ et } (AB) \text{ parallèles} \quad ; \quad FG = 5 \text{ centimètres}

À ne pas faire : Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, donc AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. — Elles sont parallèles, donc CD→=α AB→\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} pour un certain réel α.\alpha.. Le parallélisme donne la même direction, pas la même longueur ni le même sens. L'égalité des vecteurs n'est que le cas particulier α=1.\alpha = 1.

11. Propriété

Le milieu d'un segment

Ce qu’il dit

I le milieu de AB, ya3ni le vecteur IA et le vecteur IB sont opposés : le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul. W zeda le vecteur AB égale 2 fois le vecteur AI. Ama redd belek : la longueur IA égale la longueur IB, hedha ma yekfich, I tnajjem tkoun 3la la médiatrice barra el segment. W men ay point M : le vecteur MA plus le vecteur MB égale 2 fois le vecteur MI.

I le milieu de A B ، يعني le vecteur I A et le vecteur I B sont opposés : le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul . و زادة le vecteur A B égale 2 fois le vecteur A I . أمّا ردّ بالك : la longueur I A égale la longueur I B ، هذا ما يكفيش ، I تنجم تكون على la médiatrice برّة الـ segment . و من أيّ point M : le vecteur M A plus le vecteur M B égale 2 fois le vecteur M I .

I est le milieu de A B, c'est-à-dire que le vecteur I A et le vecteur I B sont opposés : le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul. Et aussi, le vecteur A B égale 2 fois le vecteur A I. Mais attention : l'égalité des longueurs I A et I B ne suffit pas, I peut être sur la médiatrice, en dehors du segment. Et depuis n'importe quel point M : le vecteur M A plus le vecteur M B égale 2 fois le vecteur M I.

Soient A,A, BB et II trois points. Les trois phrases suivantes disent la même chose :

  • II est le milieu de [AB][AB] ;
  • IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} ;
  • AB→=2 AI→.\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.

Et une conséquence qui sert souvent : si II est le milieu de [AB],[AB], alors pour tout point MM du plan, MA→+MB→=2 MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}.

Réciproquement, s'il existe un point MM tel que MA→+MB→=2 MI→,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}, alors II est le milieu de [AB].[AB].

ABIMN
Le vecteur MN, somme de MA et de MB, vaut deux fois le vecteur MI.

Un segment [AB] horizontal, de milieu I : [AI] et [IB] portent la même marque d'égalité. Sous le segment, un point M. Les vecteurs MA et MB, en bleu, partent de M vers les deux extrémités. Les pointillés [AN] et [BN] complètent le parallélogramme MANB. Le vecteur MN, en rouge, est la diagonale qui part de M ; il passe par I, et le vecteur MI, en vert, en est exactement la moitié.

I milieu de [AB]  ⟺  IA→+IB→=0⃗I \text{ milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}
I milieu de [AB]  ⟺  AB→=2 AI→I \text{ milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}

pour tout point M

MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}

Démonstration

On insère le point II dans chacun des deux vecteurs, par la relation de Chasles :

MA→+MB→=MI→+IA→+MI→+IB→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}.

On regroupe : MA→+MB→=2 MI→+IA→+IB→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}.

Comme II est le milieu de [AB],[AB], IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, et il reste MA→+MB→=2 MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}.

Réciproquement, si MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI} pour un point M,M, la même insertion donne 2 MI→+IA→+IB→=2 MI→,2\,\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = 2\,\overrightarrow{MI}, donc IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} : II est le milieu de [AB].[AB].

Exemple traité

II est le milieu de [AB],[AB], MM est un point qui n'est pas sur la droite (AB),(AB), et MI=4,5MI = 4{,}5 centimètres. On construit le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est la somme des vecteurs MA→\overrightarrow{MA} et MB→.\overrightarrow{MB}. Calculer la longueur MN.MN.

  1. La propriété du milieu — II est le milieu de [AB],[AB], donc la somme vaut deux fois le vecteur MI→.\overrightarrow{MI}.MN→=MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}
  2. La longueur — NN est sur la demi-droite [MI),[MI), deux fois plus loin de MM que I.I.MN=2×MI=2×4,5=9 cmMN = 2 \times MI = 2 \times 4{,}5 = 9 \text{ cm}
MN=9 centimeˋtresMN = 9 \text{ centimètres}

À ne pas faire : IA=IB,IA = IB, donc II est le milieu de [AB].[AB]. — IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, donc II est le milieu de [AB].[AB].. IA=IBIA = IB dit seulement que II est à égale distance de AA et de BB : II est sur la médiatrice de [AB],[AB], pas forcément sur le segment. Il faut l'égalité des vecteurs, ou bien ajouter que A,A, II et BB sont alignés.

À ne pas faire : AB→=2 IA→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{IA} — AB→=2 AI→=2 IB→\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI} = 2\,\overrightarrow{IB}. Le vecteur IA→\overrightarrow{IA} va de II vers A,A, dans le sens contraire du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : en fait, le vecteur AB→\overrightarrow{AB} vaut −2-2 fois le vecteur IA→.\overrightarrow{IA}. Avec le réel 2,2, positif, il faut un vecteur de même sens que le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : le vecteur AI→,\overrightarrow{AI}, ou le vecteur IB→.\overrightarrow{IB}.

12. Application

Vecteurs et forces

Ce qu’il dit

Fi la physique, une force tetresem b vecteur, w la longueur mte3ou hiya l'intensité. Ki ykounou zouz forces 3la nafs le solide, nejm3ouhom kima les vecteurs, b la règle du parallélogramme : hedhi hiya la résultante. W bech le solide yo93od immobile, lezem la somme des forces tkoun le vecteur nul.

في la physique ، une force تترسم بـ vecteur ، و la longueur متاعو هي l'intensité . كي يكونو زوز forces على نفس le solide ، نجمعوهم كيما les vecteurs ، بـ la règle du parallélogramme : هذي هي la résultante . و باش le solide يقعد immobile ، لازم la somme des forces تكون le vecteur nul .

En physique, une force se représente par un vecteur, et sa longueur donne l'intensité. Quand deux forces agissent sur le même solide, on les additionne comme des vecteurs, par la règle du parallélogramme : c'est la résultante. Et pour que le solide reste immobile, la somme des forces doit être le vecteur nul.

En physique, une force se représente par un vecteur : sa direction et son sens sont ceux de la force, et sa longueur dit son intensité, mesurée en newtons.

Quand un solide SS est soumis à deux forces F⃗\vec{F} et F′⃗,\vec{F'}, leur effet est celui d'une seule force, la résultante R⃗=F⃗+F′⃗.\vec{R} = \vec{F} + \vec{F'}. On la construit par la règle du parallélogramme.

Un solide reste immobile quand la somme des forces qu'il subit est le vecteur nul : pour le retenir, il faut exercer la force −R⃗,-\vec{R}, opposée à la résultante.

FF'RSABC
Une unité de longueur représente un newton.

Un solide S. La force F est représentée par le vecteur SA, horizontal vers la droite, long de 4 unités ; la force F' par le vecteur SB, vertical vers le bas, long de 3 unités. Les deux forces sont perpendiculaires : l'angle en S porte la marque de l'angle droit. Les pointillés [AC] et [BC] complètent le rectangle SACB. La résultante R, en rouge, est le vecteur SC, diagonale du rectangle qui part de S.

la résultante

R⃗=F⃗+F′⃗\vec{R} = \vec{F} + \vec{F'}

Exemple traité

Un solide SS est soumis à deux forces perpendiculaires : la force F⃗,\vec{F}, d'intensité 44 newtons, et la force F′⃗,\vec{F'}, d'intensité 33 newtons. Quelle est l'intensité de leur résultante ? Quelle force faut-il exercer pour que SS reste immobile ?

  1. La résultante — On représente la force F⃗\vec{F} par le vecteur SA→\overrightarrow{SA} et la force F′⃗\vec{F'} par le vecteur SB→,\overrightarrow{SB}, puis on complète le rectangle SACB.SACB.R⃗=SA→+SB→=SC→\vec{R} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC}
  2. Pythagore — Le triangle SACSAC est rectangle en A,A, et AC=SB=3.AC = SB = 3.SC2=SA2+AC2=42+32=25SC^2 = SA^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25
  3. SC=5SC = 5
  4. Rester immobile — Il faut exercer la force opposée à la résultante : même direction, même intensité, sens contraire.F⃗+F′⃗−R⃗=0⃗, le vecteur nul\vec{F} + \vec{F'} - \vec{R} = \vec{0}\text{, le vecteur nul}
R=5 newtons;on exerce la force opposeˊe aˋ R⃗R = 5 \text{ newtons} \quad ; \quad \text{on exerce la force opposée à } \vec{R}

À ne pas faire : R=4+3=7R = 4 + 3 = 7 newtons — R=42+32=5R = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 newtons. On additionne les vecteurs, pas les intensités. Les intensités ne s'ajoutent que si les deux forces ont même direction et même sens.

13. Méthode

Quel outil pour quelle question

Ce qu’il dit

9bal ma tebda, a9ra es-so2al mli7 : houwa elli y9ollek l'outil. Simplifier une somme : Chasles. Parallélogramme : deux vecteurs égaux. Parallélisme walla alignement : tal9a le réel alpha. Milieu : le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul. Es-so2al ywajjhek, w ma3adech tdhi3.

قبل ما تبدا ، اقرا السؤال مليح : هو اللي يقلّك l'outil . simplifier une somme : Chasles . parallélogramme : deux vecteurs égaux . parallélisme ولّا alignement : تلقى le réel alpha . milieu : le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul . السؤال يوجّهك ، و ماعادش تضيع .

Avant de commencer, lis bien la question : c'est elle qui te donne l'outil. Simplifier une somme : Chasles. Un parallélogramme : deux vecteurs égaux. Un parallélisme ou un alignement : trouve le réel alpha. Un milieu : le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul. La question te guide, et tu ne te perds plus.

Devant un exercice de vecteurs, c'est la question qui donne l'outil :

  1. 1.Simplifier une somme : réordonne les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent, puis applique Chasles. Deux vecteurs de même origine : règle du parallélogramme.
  2. 2.Montrer que ABCDABCD est un parallélogramme : montre que AB→=DC→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, ou que AB→+AD→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
  3. 3.Montrer un parallélisme : trouve un réel α\alpha tel que CD→=α AB→.\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}.
  4. 4.Montrer que A,A, B,B, MM sont alignés : trouve un réel α\alpha tel que AM→=α AB→.\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}.
  5. 5.Montrer un milieu : IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, ou AB→=2 AI→,\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}, ou encore AI→=IB→.\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}.

Exemple traité

A,A, B,B, CC sont trois points non alignés. DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, et EE est le point tel que le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est la somme des vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et AC→.\overrightarrow{AC}. Montrer que CC est le milieu de [BE].[BE].

  1. La translation — DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA} : le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est égal au vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, donc BADCBADC est un parallélogramme.AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
  2. La somme — Par la règle du parallélogramme, ADECADEC est un parallélogramme.CE→=AD→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AD}
  3. On rassemble — Les deux égalités donnent l'égalité des vecteurs BC→\overrightarrow{BC} et CE→\overrightarrow{CE} : CC est le milieu de [BE].[BE].BC→=AD→=CE→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CE}
C est le milieu de [BE]C \text{ est le milieu de } [BE]

À ne pas faire : DD est l'image de CC par la translation de vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, donc DC→=BA→.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA}. — CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} : le vecteur va de CC vers son image D.D.. Une translation envoie le point de départ sur son image : le vecteur se lit du point de départ vers l'image, jamais l'inverse.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

  1. Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.Dima : le vecteur AB plus le vecteur BC égale le vecteur AC. Hedhi la relation de Chasles.Toujours : le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C. C'est la relation de Chasles.
  2. Règle du parallélogramme : pour A,A, B,B, CC non alignés, ABDCABDC est un parallélogramme   ⟺  AB→+AC→=AD→.\iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.Pour A, B, C non alignés : ABDC parallélogramme, ma3neha le vecteur AB plus le vecteur AC égale le vecteur AD : la somme hiya la diagonale elli to5rej men A.Pour A, B, C non alignés, A B D C est un parallélogramme si et seulement si le vecteur A B plus le vecteur A C égale le vecteur A D : la somme est la diagonale qui part de A.
  3. AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés.Le vecteur AB plus le vecteur BA égale le vecteur nul : n9oulou elli les vecteurs AB et BA sont opposés.Le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur nul : les vecteurs A B et B A sont opposés.
  4. AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} : MM est sur (AB),(AB), d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B),(A, B), et AM=∣α∣×AB.AM = |\alpha| \times AB.Le vecteur AM égale alpha fois le vecteur AB, ma3neha M 3la la droite AB, d'abscisse alpha, w la longueur AM égale la valeur absolue de alpha, fois AB.Le vecteur A M égale alpha fois le vecteur A B signifie que M est sur la droite A B, d'abscisse alpha, et la longueur A M égale la valeur absolue de alpha, fois A B.
  5. Colinéaires : l'un est un réel fois l'autre — même sens si ce réel est strictement positif, sens contraires s'il est strictement négatif.Colinéaires, ya3ni l'un égale un réel fois l'autre : réel strictement positif, de même sens. Réel strictement négatif, de sens contraires.Colinéaires : l'un est un réel fois l'autre. Réel strictement positif, même sens ; réel strictement négatif, sens contraires.
  6. Vecteurs non nuls colinéaires ⇒\Rightarrow droites parallèles ; avec une origine commune, points alignés.Ken deux vecteurs non nuls sont colinéaires, ma3neha les droites sont parallèles. W ken 3andhom nafs l'origine, ma3neha les points sont alignés.Si deux vecteurs non nuls sont colinéaires, les droites sont parallèles. Et s'ils ont la même origine, les points sont alignés.
  7. II milieu de [AB][AB]   ⟺  IA→+IB→=0⃗  ⟺  AB→=2 AI→.\iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.I le milieu de AB, ma3neha le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul, walla le vecteur AB égale 2 fois le vecteur AI.I est le milieu de A B si et seulement si le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul, ou le vecteur A B égale 2 fois le vecteur A I.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna la somme de deux vecteurs. Tfakker : Chasles bech tejma3, le parallélogramme ki ykounou men nafs l'origine, w alpha fois un vecteur bech tthabbet parallélisme w alignement. Yalla nemchiw lel exercices.

هكّا كمّلنا la somme de deux vecteurs . تفكّر : Chasles باش تجمع ، le parallélogramme كي يكونو من نفس l'origine ، و alpha fois un vecteur باش تثبت parallélisme و alignement . يالله نمشيو للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé la somme de deux vecteurs. Retiens : Chasles pour additionner, le parallélogramme quand les vecteurs ont la même origine, et alpha fois un vecteur pour démontrer un parallélisme ou un alignement. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Deux translations de suite

  • deux translations de suite ça donne quoi
  • zouz translations wara ba3dhom
  • translation de vecteur AB puis de vecteur BC
  • deux translations successives une seule translation ?
  • M'' image de M après deux translations
  • enchaîner deux translations

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Ce qu’il répond

Zouz translations wara ba3dhom ya3mlou translation wa7da. Translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, men ba3d translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$, ta3ti translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$. Hakka jet la somme : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

زوز translations وراء بعضهم يعملو translation وحدة . translation de vecteur A B ، من بعد translation de vecteur B C ، تعطي translation de vecteur A C . هكّا جات la somme : vecteur A B plus vecteur B C égale vecteur A C .

Deux translations de suite n'en font qu'une. La translation de vecteur A B, puis celle de vecteur B C, donnent la translation de vecteur A C. C'est de là que vient la somme : vecteur A B plus vecteur B C égale vecteur A C.

Question 2 · La relation de Chasles

  • c'est quoi la relation de Chasles
  • chnowa relation de Chasles
  • Chasles définition
  • relation de Chasles énoncé
  • Chasles ya3ni chnowa
  • que dit la relation de Chasles

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Ce qu’il répond

L ay trois points A, B w C : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Nemchiw men A l B, men ba3d men B l C, kif ma nemchiw directement men A l C.

لأي trois points A ، B w C : vecteur A B plus vecteur B C égale vecteur A C . نمشيو من A لـ B ، من بعد من B لـ C ، كيف ما نمشيو directement من A لـ C .

Pour trois points A, B et C quelconques : vecteur A B plus vecteur B C égale vecteur A C. Aller de A à B, puis de B à C, revient à aller directement de A à C.

Question 3 · La relation de Chasles

  • quand est-ce qu'on peut appliquer Chasles
  • AB + CD = AD avec Chasles ?
  • Chasles les lettres doivent se suivre ?
  • Chasles wa9tech nesta3mlou
  • condition pour utiliser Chasles
  • Chasles marche toujours ?

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}

Ce qu’il répond

Chasles yemchi ken ki l'extrémité mte3 le premier vecteur hiya l'origine mte3 le deuxième : les lettres yetsalslou. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$. Ama $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ ma ya3tich $\overrightarrow{AD}$ : B w C zouz points mekhtalfin.

Chasles يمشي كان كي l'extrémité متاع le premier vecteur هي l'origine متاع le deuxième : les lettres يتسلسلو . vecteur A B plus vecteur B D égale vecteur A D . أما vecteur A B plus vecteur C D ما يعطيش A D : B w C زوز points مختلفين .

Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second : les lettres s'enchaînent. Vecteur A B plus vecteur B D égale vecteur A D. Mais vecteur A B plus vecteur C D ne donne pas A D : B et C sont deux points différents.

Question 4 · La relation de Chasles

  • AB + BC = AC avec les longueurs ?
  • Chasles marche pour les distances ?
  • la longueur AC égale AB plus BC ?
  • Chasles fel longueurs
  • Chasles vecteurs ou longueurs
  • somme des longueurs et somme des vecteurs

Ce qu’il répond

Le : Chasles 3la les vecteurs, mouch 3la les longueurs. La longueur AC ma tsewich $AB + BC$ ella ki B 3la le segment $[AC]$. Fi triangle, AC asghar men $AB + BC$.

لا : Chasles على les vecteurs ، موش على les longueurs . la longueur A C ما تساويش A B plus B C إلا كي B على le segment A C . في triangle ، A C أصغر من A B plus B C .

Non : la relation de Chasles porte sur les vecteurs, pas sur les longueurs. La longueur A C n'est égale à A B plus B C que si B est sur le segment A C. Dans un triangle, A C est plus petit que A B plus B C.

Question 5 · La relation de Chasles

  • insérer un point avec Chasles
  • nzid point fel vecteur
  • AC = AB + BC pour n'importe quel B ?
  • introduire un point dans un vecteur
  • décomposer un vecteur avec Chasles
  • comment couper un vecteur en deux

Ce qu’il écrit au tableau

  • AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

Ce qu’il répond

Chasles yet9ra zeda bel 3aks : najjmou n7ottou ay point B fel west. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, mahma ken B.

Chasles يتقرى زادة بالعكس : نجّمو نحطّو أي point B في الوسط . vecteur A C égale vecteur A B plus vecteur B C ، مهما كان B .

La relation de Chasles se lit aussi dans l'autre sens : on peut toujours insérer un point B. Vecteur A C égale vecteur A B plus vecteur B C, quel que soit le point B.

Question 6 · Deux vecteurs qui ne se touchent pas

  • comment simplifier une somme de vecteurs
  • kifech nsimplifi somme de vecteurs
  • AB + CD + BC comment simplifier
  • réduire une somme de vecteurs
  • simplifier MA + AB + BN
  • écrire la somme comme un seul vecteur

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}

Ce qu’il répond

Nrattbou les vecteurs bech les lettres yetsalslou, w nappliquiw Chasles. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$ : nrattbouha $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.

نرتّبو les vecteurs باش les lettres يتسلسلو ، w نطبّقو Chasles . vecteur A B plus vecteur C D plus vecteur B C : نرتّبوها A B plus B C plus C D ، يعطي A C plus C D ، يعني vecteur A D .

On réordonne les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent, puis on applique Chasles. Vecteur A B plus vecteur C D plus vecteur B C : on range en A B plus B C plus C D, ce qui donne A C plus C D, c'est-à-dire le vecteur A D.

Question 7 · Deux vecteurs qui ne se touchent pas

  • on peut changer l'ordre des vecteurs dans une somme ?
  • AB + CB = AB + BC ?
  • u + v = v + u
  • je peux retourner un vecteur pour appliquer Chasles ?
  • ordre des vecteurs fel somme
  • réordonner une somme de vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Ce qu’il répond

Ey, najjmou nbaddlou l'ordre des vecteurs : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$. Ama 3omrna ma n9allbou les lettres mte3 vecteur : $\overrightarrow{CB}$ w $\overrightarrow{BC}$ opposés, mouch égaux. Ken n9allbouh, la somme tetbaddel.

إيه ، نجّمو نبدّلو l'ordre des vecteurs : u plus v égale v plus u . أما عمرنا ما نقلبو les lettres متاع vecteur : vecteur C B w vecteur B C opposés ، موش égaux . كان نقلبوه ، la somme تتبدّل .

Oui, on peut changer l'ordre des vecteurs : u plus v égale v plus u. Mais jamais l'ordre des lettres d'un vecteur : les vecteurs C B et B C sont opposés, pas égaux. Retourner un vecteur change la somme.

Question 8 · Somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme

  • c'est quoi la somme de deux vecteurs
  • chnowa somme de deux vecteurs
  • définition de la somme de deux vecteurs
  • u + v c'est quoi
  • somme de vecteurs ya3ni chnowa
  • le vecteur somme définition

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}

Ce qu’il répond

N7ottou $\vec{u}$ w $\vec{v}$ men nafs el point A : $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ w $\vec{v} = \overrightarrow{AD}$. La somme $\vec{u} + \vec{v}$ hiya $\overrightarrow{AC}$, w C el point elli ykammel le parallélogramme ABCD.

نحطّو u w v من نفس الـ point A : u égale vecteur A B w v égale vecteur A D . la somme u plus v هي vecteur A C ، w C الـ point اللي يكمّل le parallélogramme A B C D .

On place u et v à partir du même point A : u égale vecteur A B et v égale vecteur A D. La somme u plus v est le vecteur A C, où C est le point qui complète le parallélogramme A B C D.

Question 9 · Somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme

  • somme de deux vecteurs de même origine
  • règle du parallélogramme c'est quoi
  • AB + AC = AD pourquoi
  • zouz vecteurs men nafs l'origine kifech nejm3ouhom
  • règle du parallélogramme vecteurs
  • vecteurs qui partent du même point somme

Ce qu’il écrit au tableau

  • ABDC paralleˊlogramme  ⟺  AB→+AC→=AD→ABDC \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}

Ce qu’il répond

Zouz vecteurs men nafs l'origine A : la somme hiya la diagonale mte3 le parallélogramme elli to5rej men A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$, w ABDC parallélogramme, D 9oddem A.

زوز vecteurs من نفس l'origine A : la somme هي la diagonale متاع le parallélogramme اللي تخرج من A . A B plus A C égale A D ، w A B D C parallélogramme ، D قدّام A .

Pour deux vecteurs de même origine A, la somme est la diagonale du parallélogramme qui part de A. Vecteur A B plus vecteur A C égale vecteur A D, où A B D C est un parallélogramme et D le sommet opposé à A.

Question 10 · Somme de deux vecteurs, règle du parallélogramme

  • FE + FG = EG ?
  • quelle diagonale pour la somme
  • la somme c'est quelle diagonale du parallélogramme
  • anahi diagonale
  • pourquoi FH et pas EG
  • diagonale de la somme de vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • FE→+FG→=FH→\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}

Ce qu’il répond

La somme hiya la diagonale elli to5rej men l'origine commune. Fi parallélogramme EFGH : $\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FH}$. $[EG]$ hiya el diagonale lo5ra, ma tet3addech 3la F.

la somme هي la diagonale اللي تخرج من l'origine commune . في parallélogramme E F G H : vecteur F E plus vecteur F G égale vecteur F H . E G هي الـ diagonale الأخرى ، ما تتعدّاش على F .

La somme suit la diagonale qui part de l'origine commune. Dans le parallélogramme E F G H : vecteur F E plus vecteur F G égale vecteur F H. E G est l'autre diagonale : elle ne passe pas par F.

Question 11 · Deux vecteurs qui ne se touchent pas

  • comment construire la somme de deux vecteurs qui ne se touchent pas
  • construire AB + CD
  • mettre les vecteurs bout à bout
  • kifech nebni la somme
  • construction de la somme de deux vecteurs
  • bout à bout c'est quoi

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+CD→=AB→+BM→=AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM}

Ce qu’il répond

N7ottouhom bout à bout : nabniw M b $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CD}$. Men ba3d Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM}$. Hedhi temchi dima.

نحطّوهم bout à bout : نبنيو M بـ vecteur B M égale vecteur C D . من بعد Chasles : vecteur A B plus vecteur C D égale vecteur A B plus vecteur B M ، يعني vecteur A M . هاذي تمشي ديما .

On les met bout à bout : on construit M tel que vecteur B M égale vecteur C D. Puis Chasles : vecteur A B plus vecteur C D égale vecteur A B plus vecteur B M, soit le vecteur A M. Cette construction marche toujours.

Question 12 · Deux vecteurs qui ne se touchent pas

  • somme de deux vecteurs quand les points sont alignés
  • KL + KN avec K, L, N alignés
  • points alignés la règle du parallélogramme marche ?
  • somme de vecteurs de même direction
  • vecteurs alignés de sens contraires somme
  • somme sur une droite

Ce qu’il écrit au tableau

  • KL→+KN→=KL→+LP→=KP→\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KP}

Ce qu’il répond

Ki K, L w N alignés, le parallélogramme ma yet3melch, ama bout à bout yemchi : n7ottou P b $\overrightarrow{LP} = \overrightarrow{KN}$, w $\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{KP}$. P yo93od 3la la droite : nafs le sens, les longueurs yetjam3ou ; sens contraires, nna99sou el a9sar mel atwel.

كي K ، L w N alignés ، le parallélogramme ما يتعملش ، أما bout à bout يمشي : نحطّو P بـ vecteur L P égale vecteur K N ، w vecteur K L plus vecteur K N égale vecteur K P . P يقعد على la droite : نفس le sens ، les longueurs يتجمعو ؛ sens contraires ، ننقّصو الأقصر من الأطول .

Quand K, L et N sont alignés, pas de parallélogramme, mais le bout à bout marche : on place P tel que vecteur L P égale vecteur K N, et vecteur K L plus vecteur K N égale vecteur K P. P reste sur la droite : même sens, les longueurs s'ajoutent ; sens contraires, on retranche la plus courte de la plus longue.

Question 13 · Vecteur nul, vecteurs opposés

  • AB + BA égale combien
  • AB + BA = 0 ou vecteur nul
  • c'est quoi le vecteur nul
  • vecteur nul chnowa
  • AB + BC + CA égale quoi
  • le résultat est 0 ou le vecteur nul

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}

Ce qu’il répond

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$, w houwa le vecteur nul, nektbouh $\vec{0}$ bel flèche. La somme des vecteurs dima vecteur, mouch le nombre zéro. W $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$ zeda le vecteur nul : nerj3ou l A.

vecteur A B plus vecteur B A égale vecteur A A ، w هو le vecteur nul ، نكتبوه vecteur zéro بالـ flèche . la somme des vecteurs ديما vecteur ، موش le nombre zéro . w vecteur A B plus vecteur B C plus vecteur C A زادة le vecteur nul : نرجعو لـ A .

Vecteur A B plus vecteur B A égale vecteur A A : c'est le vecteur nul, noté vecteur zéro, avec sa flèche. Une somme de vecteurs est toujours un vecteur, pas le nombre zéro. Et vecteur A B plus vecteur B C plus vecteur C A est aussi le vecteur nul : on revient en A.

Question 14 · Vecteur nul, vecteurs opposés

  • c'est quoi des vecteurs opposés
  • vecteurs opposés chnowa
  • BA = -AB pourquoi
  • l'opposé d'un vecteur
  • vecteur opposé définition
  • opposés ya3ni chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

  • BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

$\overrightarrow{AB}$ w $\overrightarrow{BA}$ opposés : la somme mte3hom le vecteur nul, w nektbou $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Nafs la direction w la longueur, w le sens bel 3aks.

vecteur A B w vecteur B A opposés : la somme متاعهم le vecteur nul ، w نكتبو vecteur B A égale moins vecteur A B . نفس la direction w la longueur ، w le sens بالعكس .

Les vecteurs A B et B A sont opposés : leur somme est le vecteur nul, et on écrit vecteur B A égale moins vecteur A B. Même direction, même longueur, sens contraires.

Question 15 · Produit d'un vecteur par un réel

  • c'est quoi le produit d'un vecteur par un réel
  • 2 fois un vecteur ça donne quoi
  • multiplier un vecteur par un nombre
  • chnowa alpha u
  • produit d'un vecteur par un nombre
  • kifech nadhreb vecteur fi nombre

Ce qu’il écrit au tableau

  • AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

$\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}$ ya3ni M 3la la droite $(AB)$, w l'abscisse mte3ou $\alpha$ fi le repère $(A, B)$. Mathalan $2\,\overrightarrow{AB}$ : nafs le sens, w marrtin atwel.

vecteur A M égale alpha fois vecteur A B يعني M على la droite A B ، w l'abscisse متاعو alpha في le repère A ، B . مثلا 2 fois vecteur A B : نفس le sens ، w مرّتين أطول .

Vecteur A M égale alpha fois vecteur A B signifie que M est sur la droite A B, d'abscisse alpha dans le repère A, B. Par exemple, 2 fois le vecteur A B : même sens, et deux fois plus long.

Question 16 · Produit d'un vecteur par un réel

  • alpha négatif ça change quoi
  • le signe du réel dit le sens ?
  • -2 AB c'est dans quel sens
  • produit par un nombre négatif
  • alpha positif même sens ?
  • signe de alpha et sens du vecteur

Ce qu’il répond

Ken $\alpha > 0$, $\overrightarrow{AM}$ w $\overrightarrow{AB}$ men nafs le sens. Ken $\alpha < 0$, sens contraires : M mel jiha lo5ra mte3 A. Mathalan $-2\,\overrightarrow{AB}$ yemchi bel 3aks w marrtin atwel.

كان alpha positif ، vecteur A M w vecteur A B من نفس le sens . كان alpha négatif ، sens contraires : M من الجيهة الأخرى متاع A . مثلا moins 2 fois vecteur A B يمشي بالعكس w مرّتين أطول .

Si alpha est positif, les vecteurs A M et A B sont de même sens. Si alpha est négatif, ils sont de sens contraires : M est de l'autre côté de A. Par exemple, moins 2 fois le vecteur A B va dans l'autre sens et il est deux fois plus long.

Question 17 · Produit d'un vecteur par un réel

  • AQ = -2 AB donc AQ = -4 cm ?
  • longueur négative avec un vecteur
  • la longueur avec la valeur absolue de alpha
  • AM = alpha fois AB en longueur
  • pourquoi valeur absolue pour la longueur
  • longueur de alpha fois un vecteur

Ce qu’il écrit au tableau

  • AM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB

Ce qu’il répond

La longueur 3omrha ma tkoun négative : $AM = |\alpha| \times AB$. Le signe mte3 $\alpha$ y9oul le sens bark. Mathalan $AB = 2$ cm w $\overrightarrow{AQ} = -2\,\overrightarrow{AB}$ : $AQ = |-2| \times 2 = 4$ cm, mouch $-4$.

la longueur عمرها ما تكون négative : A M égale valeur absolue de alpha fois A B . le signe متاع alpha يقول le sens برك . مثلا A B 2 cm w vecteur A Q égale moins 2 fois vecteur A B : A Q égale 4 cm ، موش moins 4 .

Une longueur n'est jamais négative : A M égale valeur absolue de alpha fois A B. Le signe de alpha ne dit que le sens. Par exemple, avec A B égale 2 cm et vecteur A Q égale moins 2 fois vecteur A B : A Q égale 4 cm, pas moins 4.

Question 18 · Un repère sur la droite (AB)

  • c'est quoi le repère (A, B) sur une droite
  • abscisse d'un point dans le repère (A, B)
  • repère sur la droite AB
  • kifech nal9a l'abscisse de M
  • abscisse 3 ya3ni chnowa
  • graduer la droite (AB)

Ce qu’il écrit au tableau

  • AD→=3 AB→;AE→=−AB→\overrightarrow{AD} = 3\,\overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

Fi le repère $(A, B)$, A houwa l'origine b abscisse 0, w B 3andou abscisse 1 : AB hiya l'unité. Le point d'abscisse 3 ya3ti $\overrightarrow{AD} = 3\,\overrightarrow{AB}$, w le point d'abscisse $-1$ ya3ti $-\overrightarrow{AB}$.

في le repère A ، B ، A هو l'origine بـ abscisse zéro ، w B عندو abscisse 1 : A B هي l'unité . le point d'abscisse 3 يعطي vecteur A D égale 3 fois vecteur A B ، w le point d'abscisse moins 1 يعطي moins vecteur A B .

Dans le repère A, B, A est l'origine, d'abscisse 0, et B a pour abscisse 1 : la longueur A B sert d'unité. Le point d'abscisse 3 donne vecteur A D égale 3 fois vecteur A B, et le point d'abscisse moins 1 donne moins le vecteur A B.

Question 19 · Vecteurs colinéaires

  • c'est quoi des vecteurs colinéaires
  • chnowa colinéaires
  • vecteurs colinéaires définition
  • colinéaire ya3ni chnowa
  • deux vecteurs colinéaires de sens contraires ?
  • colinéaires ça veut dire même sens ?

Ce qu’il écrit au tableau

  • v⃗=α u⃗\vec{v} = \alpha\,\vec{u}

Ce qu’il répond

Zouz vecteurs colinéaires ki wa7ed houwa le5or fois un réel : $\vec{v} = \alpha\,\vec{u}$. 3andhom nafs la direction, w le signe mte3 le réel y9oul le sens : positif nafs le sens, négatif sens contraires. W le vecteur nul colinéaire m3a ay vecteur.

زوز vecteurs colinéaires كي واحد هو الآخر fois un réel . عندهم نفس la direction ، w le signe متاع le réel يقول le sens : positif نفس le sens ، négatif sens contraires . w le vecteur nul colinéaire مع أي vecteur .

Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est le produit de l'autre par un réel. Ils ont la même direction, et le signe du réel dit le sens : positif, même sens ; négatif, sens contraires. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Question 20 · Colinéarité, parallélisme, alignement

  • comment montrer que deux droites sont parallèles avec les vecteurs
  • vecteurs colinéaires donc droites parallèles ?
  • droites parallèles donc vecteurs égaux ?
  • parallélisme avec un réel alpha
  • kifech nwarri droites parallèles b vecteurs
  • CD = alpha AB donc parallèles

Ce qu’il écrit au tableau

  • CD→=α AB→⇒(AB)∥(CD)\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow (AB) \parallel (CD)

Ce qu’il répond

Nal9aw réel $\alpha$ b $\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}$ : donc les droites $(AB)$ w $(CD)$ parallèles, w $CD = |\alpha| \times AB$. W bel 3aks, droites parallèles ta3ti vecteurs colinéaires, mouch dharouri égaux.

نلقاو réel alpha بـ vecteur C D égale alpha fois vecteur A B : donc les droites A B w C D parallèles ، w C D égale valeur absolue de alpha fois A B . w بالعكس ، droites parallèles تعطي vecteurs colinéaires ، موش ضروري égaux .

On trouve un réel alpha tel que vecteur C D égale alpha fois vecteur A B : les droites A B et C D sont alors parallèles, et C D égale valeur absolue de alpha fois A B. Réciproquement, des droites parallèles donnent des vecteurs colinéaires, pas forcément égaux.

Question 21 · Colinéarité, parallélisme, alignement

  • comment montrer que trois points sont alignés avec les vecteurs
  • A, B, M alignés kifech nwarri
  • montrer un alignement avec des vecteurs colinéaires
  • trois points alignés avec des vecteurs colinéaires
  • AM = alpha AB donc alignés ?
  • prouver que des points sont alignés

Ce qu’il écrit au tableau

  • AM→=α AB→⇒A, B, M aligneˊs\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} \Rightarrow A,\ B,\ M \text{ alignés}

Ce qu’il répond

Nal9aw réel $\alpha$ b $\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}$. El zouz vecteurs 3andhom nafs l'origine A w colinéaires, donc A, B w M alignés.

نلقاو réel alpha بـ vecteur A M égale alpha fois vecteur A B . الزوز vecteurs عندهم نفس l'origine A w colinéaires ، donc A ، B w M alignés .

On trouve un réel alpha tel que vecteur A M égale alpha fois vecteur A B. Les deux vecteurs ont la même origine A et sont colinéaires : les points A, B et M sont alignés.

Question 22 · Le milieu d'un segment

  • comment écrire que I est le milieu de [AB] avec des vecteurs
  • I milieu ya3ni IA + IB = 0 ?
  • milieu et vecteurs
  • milieu : AB = 2 AI ou AB = 2 IA
  • kifech nwarri milieu b vecteurs
  • montrer que I est le milieu avec des vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • IA→+IB→=0⃗  ⟺  AB→=2 AI→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}

Ce qu’il répond

I milieu de $[AB]$ ya3ni $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, walla $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}$. Mouch $2\,\overrightarrow{IA}$ : hedheka yemchi bel 3aks.

I milieu de A B يعني vecteur I A plus vecteur I B égale le vecteur nul ، ولّا vecteur A B égale 2 fois vecteur A I . موش 2 fois vecteur I A : هاذاكا يمشي بالعكس .

I est le milieu de A B équivaut à vecteur I A plus vecteur I B égale le vecteur nul, ou à vecteur A B égale 2 fois vecteur A I. Pas 2 fois vecteur I A : celui-là va dans l'autre sens.

Question 23 · Le milieu d'un segment

  • MA + MB = 2 MI pourquoi
  • MA + MB égale combien si I est le milieu
  • la somme MA + MB avec le milieu
  • 2 MI c'est quoi
  • démonstration MA + MB = 2MI
  • kifech MA + MB ta3ti 2 MI

Ce qu’il écrit au tableau

  • MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}

Ce qu’il répond

N7ottou I fi koll vecteur b Chasles : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}$. W I milieu, donc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, w yo93od $2\,\overrightarrow{MI}$, mahma ken M.

نحطّو I في كل vecteur بـ Chasles : vecteur M A plus vecteur M B égale 2 fois vecteur M I plus vecteur I A plus vecteur I B . w I milieu ، donc I A plus I B le vecteur nul ، w يقعد 2 fois vecteur M I ، مهما كان M .

On insère I dans chaque vecteur par Chasles : vecteur M A plus vecteur M B égale 2 fois vecteur M I plus vecteur I A plus vecteur I B. Comme I est le milieu, I A plus I B est le vecteur nul, et il reste 2 fois vecteur M I, pour tout point M.

Question 24 · Le milieu d'un segment

  • IA = IB donc I est le milieu ?
  • même distance de A et B donc milieu ?
  • IA = IB en longueur milieu wala le
  • égale distance et milieu
  • pourquoi IA = IB ne suffit pas
  • I à égale distance de A et B

Ce qu’il répond

Le : $IA = IB$ fi les longueurs y7ott I 3la la médiatrice mte3 $[AB]$ bark. Lezem l'égalité des vecteurs, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, walla nzidou elli A, I w B alignés.

لا : I A égale I B في les longueurs يحط I على la médiatrice متاع A B برك . لازم l'égalité des vecteurs ، vecteur I A plus vecteur I B égale le vecteur nul ، ولّا نزيدو اللي A ، I w B alignés .

Non : I A égale I B en longueur place seulement I sur la médiatrice de A B. Il faut l'égalité des vecteurs, vecteur I A plus vecteur I B égale le vecteur nul, ou bien ajouter que A, I et B sont alignés.

Question 25 · Vecteurs et forces

  • comment calculer la résultante de deux forces
  • la résultante c'est quoi
  • deux forces 4 N et 3 N perpendiculaires la résultante fait 7 ?
  • kifech na7seb la résultante
  • intensité de la résultante
  • somme de deux forces

Ce qu’il écrit au tableau

  • R=42+32=5 NR = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 \text{ N}

Ce qu’il répond

La résultante hiya la somme des vecteurs, nabniwha b la règle du parallélogramme. Ma nejm3ouch les intensités : forces perpendiculaires 4 w 3 newtons, $R = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ newtons, mouch 7.

la résultante هي la somme des vecteurs ، نبنيوها بـ la règle du parallélogramme . ما نجمعوش les intensités : forces perpendiculaires 4 w 3 newtons ، la résultante racine de (16 plus 9) ، يعني 5 newtons ، موش 7 .

La résultante est la somme des vecteurs, qu'on construit par la règle du parallélogramme. On n'additionne pas les intensités : pour deux forces perpendiculaires de 4 et 3 newtons, la résultante vaut racine de (16 plus 9), soit 5 newtons, et non 7.

Question 26 · Vecteurs et forces

  • quand un solide reste immobile
  • quelle force pour retenir le solide
  • solide immobile somme des forces
  • équilibre des forces vecteurs
  • équilibre : force opposée à la résultante
  • kifech ne5ou el solide immobile

Ce qu’il écrit au tableau

  • F⃗+F′⃗−R⃗=0⃗\vec{F} + \vec{F'} - \vec{R} = \vec{0}

Ce qu’il répond

Le solide yo93od immobile ki la somme des forces elli 3lih le vecteur nul. Bech nchedduh, na3mlou la force opposée l la résultante : $-\vec{R}$, nafs la direction w l'intensité, w le sens bel 3aks.

le solide يقعد immobile كي la somme des forces اللي عليه le vecteur nul . باش نشدّوه ، نعملو la force opposée لـ la résultante : نفس la direction w l'intensité ، w le sens بالعكس .

Un solide reste immobile quand la somme des forces qu'il subit est le vecteur nul. Pour le retenir, on exerce la force opposée à la résultante : même direction, même intensité, sens contraire.

Question 27 · Quel outil pour quelle question

  • par où commencer un exercice de vecteurs
  • quel outil pour montrer un parallélogramme avec des vecteurs
  • kifech nabda exercice vecteurs
  • quelle méthode pour les vecteurs
  • les outils pour les exercices de vecteurs
  • montrer que ABCD est un parallélogramme avec les vecteurs

Ce qu’il répond

El so2al houwa elli ya3ti l'outil. Simplifier somme : nrattbou w Chasles. Parallélogramme ABCD : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Parallélisme walla alignement : nal9aw réel $\alpha$. Milieu : $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.

السؤال هو اللي يعطي l'outil . simplifier somme : نرتّبو w Chasles . parallélogramme : vecteur A B égale vecteur D C . parallélisme ولّا alignement : نلقاو réel alpha . milieu : vecteur I A plus vecteur I B le vecteur nul .

C'est la question qui donne l'outil. Simplifier une somme : réordonner, puis Chasles. Parallélogramme A B C D : vecteur A B égale vecteur D C. Parallélisme ou alignement : trouver un réel alpha. Milieu : vecteur I A plus vecteur I B égale le vecteur nul.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Les lettres qui s'enchaînent

Simplifier la somme de vecteurs CB→+AC→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre : par exemple MN.MN.

Réponse attendue : AB — aussi acceptées : A B · vecteur AB · le vecteur AB · c'est AB · c'est le vecteur AB · vec AB · vect AB · vec(AB) · vect(AB) · -BA · -vecteur BA · - le vecteur BA · moins BA · AB→ · →AB · \vec{AB} · \overrightarrow{AB} · \vec AB

Indices, dans l’ordre

  1. Dans cet ordre, les lettres ne s'enchaînent pas : le vecteur CB→\overrightarrow{CB} finit en B,B, et le vecteur AC→\overrightarrow{AC} commence en A.A.
  2. L'ordre des vecteurs dans une somme ne compte pas. Écris-la dans l'autre ordre : les lettres se rejoignent alors en C.C. En vecteurs :CB→+AC→=AC→+CB→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}

Correction

  1. Réordonner — On échange les deux vecteurs : l'ordre d'une somme ne la change pas. En vecteurs :CB→+AC→=AC→+CB→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}
  2. Chasles — L'extrémité CC du premier vecteur est l'origine du second. En vecteurs :AC→+CB→=AB→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}

Le réflexe : avant d'appliquer Chasles, regarde si les lettres se touchent. Sinon, change l'ordre des vecteurs — jamais l'ordre des lettres à l'intérieur d'un vecteur.

Pièges anticipés

  • BA / vecteur BA / le vecteur BA / c'est BA / c'est le vecteur BA / -AB / -vecteur AB / - le vecteur AB / moins AB / BA→ / →BA / \vec{BA} / \overrightarrow{BA} → Tu as trouvé le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, l'opposé du résultat. La somme enchaînée part de A,A, l'origine du vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, et arrive en B,B, l'extrémité du vecteur CB→\overrightarrow{CB} : c'est un vecteur qui va de AA vers B.B.
  • 0 / vecteur nul / le vecteur nul / CC / vec(0) → Rien ne s'annule ici : le vecteur CB→\overrightarrow{CB} finit en BB et le vecteur AC→\overrightarrow{AC} part de A,A, deux points différents. Change l'ordre des vecteurs pour qu'ils s'enchaînent, puis applique Chasles.
  • AC+CB / AC + CB / CB+AC / CB + AC / vecteur AC + vecteur CB → Tu as bien remis les vecteurs dans le bon ordre : le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, puis le vecteur CB→.\overrightarrow{CB}. Mais ce n'est pas fini : les lettres se touchent en C,C, applique maintenant la relation de Chasles pour n'écrire qu'un seul vecteur.

Exercice 2 · base

L'abscisse dans le repère (A, B)

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B).(A, B). Le point MM vérifie l'égalité vectorielle AM→=−32 AB→.\overrightarrow{AM} = -\tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Quelle est l'abscisse de MM dans ce repère ?

Écrire seulement le nombre : une fraction ou un nombre décimal.

Réponse attendue : -3/2 — aussi acceptées : -1.5

Indices, dans l’ordre

  1. Par définition, dire que le vecteur AM→\overrightarrow{AM} vaut α\alpha fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, c'est dire que MM est sur la droite (AB),(AB), au point d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B).(A, B).
  2. Ici le réel qui multiplie le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est négatif : MM est de l'autre côté de AA par rapport à B,B, à une fois et demie la longueur AB.AB.

Correction

  1. La définition — Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} vaut α\alpha fois le vecteur AB→\overrightarrow{AB} si et seulement si MM est sur la droite (AB),(AB), d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B).(A, B).
  2. Ici le réel est −32.-\tfrac{3}{2}.xM=−32=−1,5x_M = -\tfrac{3}{2} = -1{,}5

Le signe place MM : négatif, il est du côté opposé à BB par rapport à A.A. La longueur AM,AM, elle, vaut une fois et demie la longueur AB.AB.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → Tu as oublié le signe. Le réel est négatif : MM est de l'autre côté de AA par rapport à B,B, et son abscisse est négative.
  • -2/3 → Tu as inversé la fraction. L'abscisse de MM est exactement le réel qui multiplie le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : on ne divise pas par lui.

Exercice 3 · pratique

Une longueur ne change pas de signe

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points qui vérifient l'égalité vectorielle CD→=−3 AB→.\overrightarrow{CD} = -3\,\overrightarrow{AB}. De plus, AB=2,5AB = 2{,}5 centimètres.

Calculer la longueur CD.CD.

Donner CDCD en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5

Indices, dans l’ordre

  1. Quand le vecteur CD→\overrightarrow{CD} vaut α\alpha fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, les longueurs CDCD et ABAB sont liées elles aussi. Le signe de α\alpha dit le sens : que devient-il pour une longueur ?
  2. Une longueur se multiplie par la valeur absolue du réel.CD=∣α∣×ABCD = |\alpha| \times AB

Correction

  1. Le réel — Le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le réel −3-3 : les deux vecteurs sont colinéaires et de sens contraires. En vecteurs :CD→=−3 AB→\overrightarrow{CD} = -3\,\overrightarrow{AB}
  2. La longueur — Une longueur, elle, prend la valeur absolue du réel : ∣−3∣=3.|-3| = 3.CD=∣−3∣×AB=3×2,5CD = |-3| \times AB = 3 \times 2{,}5
  3. CD=7,5 centimeˋtresCD = 7{,}5 \text{ centimètres}

Le signe −- n'est pas là pour rien : il dit que les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AB→\overrightarrow{AB} sont de sens contraires. Mais une longueur est toujours positive : CDCD vaut trois fois AB.AB.

Pièges anticipés

  • -15/2 / -7.5 → Une longueur n'est jamais négative. Le signe −- de −3-3 dit le sens du vecteur CD→\overrightarrow{CD} ; la longueur, elle, se multiplie par ∣−3∣=3.|-3| = 3.
  • 5/6 → Tu as divisé 2,52{,}5 par 3.3. C'est le vecteur CD→\overrightarrow{CD} qui vaut −3-3 fois le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : CDCD est trois fois plus long que AB,AB, pas trois fois plus court.

Exercice 4 · pratique

Dans le losange

ABCDABCD est un losange et II est le milieu du côté [AB].[AB].

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle BI→=k DC→.\overrightarrow{BI} = k\,\overrightarrow{DC}.

ABCDI

Un losange ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche ; les côtés [AB] et [DC] sont horizontaux. I est le milieu du côté [AB]. Le vecteur DC est tracé en bleu sur le côté du haut, de D vers C, vers la droite. Le vecteur BI est tracé en rouge sur le côté du bas, de B vers I, vers la gauche.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Un losange est un parallélogramme : quel vecteur porté par le côté [AB][AB] est égal au vecteur DC→\overrightarrow{DC} ?
  2. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur DC→.\overrightarrow{DC}. Compare maintenant les vecteurs BI→\overrightarrow{BI} et AB→\overrightarrow{AB} : même longueur ? même sens ?
  3. Le vecteur BI→\overrightarrow{BI} va de BB vers A,A, et mesure la moitié de AB.AB. En vecteurs :BI→=12 BA→\overrightarrow{BI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BA}

Correction

  1. Le parallélogramme — Un losange est un parallélogramme : ses côtés opposés donnent des vecteurs égaux. En vecteurs :DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}
  2. Le milieu — II est le milieu de [AB][AB] : le vecteur BI→\overrightarrow{BI} est la moitié du vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, qui est l'opposé du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. En vecteurs :BI→=12 BA→=−12 AB→\overrightarrow{BI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BA} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}
  3. On remplace le vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le vecteur égal DC→.\overrightarrow{DC}. En vecteurs :BI→=−12 DC→\overrightarrow{BI} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DC}

k=−12k = -\tfrac{1}{2} : les vecteurs BI→\overrightarrow{BI} et DC→\overrightarrow{DC} sont colinéaires et de sens contraires, et BIBI mesure la moitié de DC.DC.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → La longueur est juste, pas le sens : le vecteur BI→\overrightarrow{BI} va de BB vers A,A, vers la gauche, alors que le vecteur DC→\overrightarrow{DC} va vers la droite. Des vecteurs de sens contraires : le réel est négatif.
  • -2 → Tu as écrit l'égalité à l'envers : c'est le vecteur DC→\overrightarrow{DC} qui vaut −2-2 fois le vecteur BI→.\overrightarrow{BI}. On demande le vecteur BI→\overrightarrow{BI} en fonction du vecteur DC→\overrightarrow{DC} : BIBI est plus court que DC,DC, donc le réel est entre −1-1 et 1.1.

Exercice 5 · pratique

La résultante de deux forces

Un solide SS est soumis à deux forces perpendiculaires : la force F⃗,\vec{F}, d'intensité F=12F = 12 newtons, et la force F′⃗,\vec{F'}, d'intensité F′=5F' = 5 newtons.

Calculer l'intensité RR de leur résultante.

FF'RSABC

Un solide S. La force F, de 12 newtons, est représentée par le vecteur SA, horizontal vers la droite ; la force F', de 5 newtons, par le vecteur SB, vertical vers le bas. Les deux vecteurs sont à la même échelle, et l'angle en S porte la marque de l'angle droit. Les pointillés [AC] et [BC] complètent le rectangle SACB, et la résultante R, en rouge, est le vecteur SC.

Donner RR en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. La résultante se construit par la règle du parallélogramme. Ici les deux forces sont perpendiculaires : quel quadrilatère obtiens-tu ?
  2. C'est un rectangle SACB,SACB, et l'intensité RR est la longueur de sa diagonale [SC].[SC]. Le triangle SACSAC est rectangle en A.A.SC2=SA2+AC2SC^2 = SA^2 + AC^2

Correction

  1. Le parallélogramme — On représente la force F⃗\vec{F} par le vecteur SA→\overrightarrow{SA} et la force F′⃗\vec{F'} par le vecteur SB→.\overrightarrow{SB}. Les forces sont perpendiculaires : SACBSACB est un rectangle, et la somme des vecteurs SA→\overrightarrow{SA} et SB→\overrightarrow{SB} est le vecteur SC→,\overrightarrow{SC}, sa diagonale. En vecteurs :R⃗=SA→+SB→=SC→\vec{R} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC}
  2. Pythagore — Dans le triangle SAC,SAC, rectangle en A,A, on a SA=12SA = 12 et AC=SB=5.AC = SB = 5.SC2=122+52=144+25=169SC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169
  3. SC=169=13SC = \sqrt{169} = 13

La résultante a une intensité de 1313 newtons, et non 12+5=1712 + 5 = 17 newtons : on additionne les vecteurs, pas les intensités. Pour que SS reste immobile, il faudrait exercer la force opposée à la résultante, de 1313 newtons, dans le sens contraire.

Pièges anticipés

  • 17 → Tu as ajouté les intensités : 12+5=17.12 + 5 = 17. Ce serait vrai si les deux forces avaient même direction et même sens. Ici elles sont perpendiculaires : on additionne les vecteurs, par la règle du parallélogramme.
  • 7 → Tu as soustrait les intensités. Cela ne vaudrait que pour deux forces de même direction et de sens contraires. Ici elles sont perpendiculaires : c'est le théorème de Pythagore qui donne la diagonale.
  • 169 → Tu as calculé SC2=169.SC^2 = 169. Il reste à prendre la racine carrée pour obtenir la longueur SC.SC.
  • sqrt(119) → Tu as soustrait les carrés : 122−52=119.12^2 - 5^2 = 119. Dans le triangle SAC,SAC, rectangle en A,A, l'hypoténuse est [SC][SC] : son carré est la somme des carrés des deux autres côtés, SC2=SA2+AC2.SC^2 = SA^2 + AC^2.
  • sqrt(17) → Tu as pris la racine carrée de (12+5).(12 + 5). Le théorème de Pythagore additionne les carrés des côtés : SC2=122+52,SC^2 = 12^2 + 5^2, et seulement ensuite on prend la racine carrée.

Exercice 6 · raisonnement

Le quadrilatère de la somme

ABCABC est un triangle rectangle et isocèle en A.A. On construit le point DD qui vérifie l'égalité vectorielle AD→=AB→+AC→.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Quelle est la nature la plus précise du quadrilatère ABDCABDC ?

ABC

Un triangle ABC rectangle et isocèle en A : A en bas à gauche, B à sa droite, C au-dessus de lui. L'angle en A porte la marque de l'angle droit, et les côtés [AB] et [AC] la même marque d'égalité. Les vecteurs AB et AC sont tracés en bleu depuis A. Le point D n'est pas encore construit.

Donner sa nature la plus précise, en un mot.

Réponse attendue : carré — aussi acceptées : un carré · c'est un carré · ABDC est un carré · le quadrilatère ABDC est un carré · ABDC est carré · carré ABDC · un carré ABDC · rectangle et losange · losange et rectangle · un rectangle et un losange · un losange et un rectangle

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par la règle du parallélogramme : que dit cette égalité vectorielle sur le quadrilatère ABDCABDC ?
  2. ABDCABDC est un parallélogramme. Regarde maintenant son angle en A,A, puis ses deux côtés [AB][AB] et [AC].[AC].
  3. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle ; un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange. Ici, les deux à la fois.

Correction

  1. La règle — Par la règle du parallélogramme, dire que le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→,\overrightarrow{AC}, c'est dire que ABDCABDC est un parallélogramme.
  2. L'angle droit — Le triangle est rectangle en AA : le parallélogramme ABDCABDC a un angle droit, c'est un rectangle.
  3. Les côtés égaux — Le triangle est isocèle en AA : AB=AC,AB = AC, deux côtés consécutifs égaux, c'est aussi un losange.
  4. Rectangle et losange à la fois :ABDC est un carreˊABDC \text{ est un carré}

Chaque donnée de l'énoncé ajoute une précision : la somme de vecteurs donne le parallélogramme, l'angle droit le rectangle, l'égalité des côtés le losange. Aucune ne doit rester inutilisée.

Pièges anticipés

  • parallélogramme / un parallélogramme / c'est un parallélogramme / ABDC est un parallélogramme → C'est vrai, mais ce n'est pas le plus précis. La règle du parallélogramme donne le parallélogramme ; il reste à utiliser l'angle droit en AA et l'égalité AB=AC.AB = AC.
  • rectangle / un rectangle / c'est un rectangle / ABDC est un rectangle → Tu as utilisé l'angle droit en A,A, mais oublié que le triangle est aussi isocèle : AB=AC,AB = AC, deux côtés consécutifs égaux. Un rectangle qui a cette propriété est plus précis encore.
  • losange / un losange / c'est un losange / ABDC est un losange → Tu as utilisé l'égalité AB=AC,AB = AC, mais oublié l'angle droit en A.A. Un losange qui a un angle droit est plus précis encore.

Exercice 7 · raisonnement

Le symétrique de A

ABCDABCD est un parallélogramme et II est le milieu de [BC].[BC]. On note EE le symétrique de AA par rapport à I.I.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle DE→=k BA→.\overrightarrow{DE} = k\,\overrightarrow{BA}.

ABCDIE

Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche ; les côtés [AB] et [DC] sont horizontaux. I est le milieu du côté [BC]. Le segment [AE], en pointillés, part de A, passe par I et continue jusqu'à E, de sorte que I soit aussi le milieu de [AE] ; E se trouve à droite de C, à la hauteur du côté [DC]. Le vecteur DE, en rouge, part de D et va jusqu'à E en longeant le côté [DC].

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [BC][BC] et de [AE][AE] : les diagonales du quadrilatère ABECABEC ont le même milieu. Que peux-tu en déduire ?
  2. ABECABEC est un parallélogramme, donc le vecteur CE→\overrightarrow{CE} est égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Et dans ABCD,ABCD, le vecteur DC→\overrightarrow{DC} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} aussi. Coupe le vecteur DE→\overrightarrow{DE} en CC avec Chasles. En vecteurs :DE→=DC→+CE→\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE}
  3. Tu obtiens le vecteur DE→\overrightarrow{DE} en fonction du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Attention : on le demande en fonction du vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, qui en est l'opposé.

Correction

  1. Le parallélogramme ABECABEC — II est le milieu de [BC],[BC], et aussi de [AE][AE] puisque EE est le symétrique de AA par rapport à I.I. Les diagonales de ABECABEC ont le même milieu : c'est un parallélogramme. Ses côtés opposés donnent, en vecteurs :CE→=AB→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}
  2. Le parallélogramme ABCDABCD — Ses côtés opposés donnent, en vecteurs :DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}
  3. Chasles — On coupe le vecteur DE→\overrightarrow{DE} en C.C. En vecteurs :DE→=DC→+CE→=2 AB→\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = 2\,\overrightarrow{AB}
  4. Et le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est l'opposé du vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. En vecteurs :DE→=−2 BA→\overrightarrow{DE} = -2\,\overrightarrow{BA}

k=−2.k = -2. Les vecteurs DE→\overrightarrow{DE} et BA→\overrightarrow{BA} sont colinéaires et de sens contraires ; au passage, D,D, CC et EE sont alignés, puisque le vecteur DE→\overrightarrow{DE} vaut 22 fois le vecteur DC→.\overrightarrow{DC}.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as trouvé que le vecteur DE→\overrightarrow{DE} vaut 22 fois le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : c'est juste, mais on demande le vecteur DE→\overrightarrow{DE} en fonction du vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, l'opposé du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Le signe change.
  • -1/2 → Tu as écrit l'égalité à l'envers : c'est le vecteur BA→\overrightarrow{BA} qui vaut −12-\tfrac{1}{2} fois le vecteur DE→.\overrightarrow{DE}. Ici DEDE est plus long que BABA : le réel cherché est plus grand que 11 en valeur absolue.

Exercice 8 · defi

Deux vecteurs qui se cachent

ABCABC est un triangle et II est le milieu de [BC].[BC]. On construit les points EE et FF qui vérifient les égalités vectorielles AE→=−2 AB→\overrightarrow{AE} = -2\,\overrightarrow{AB} et BF→=32 BC→.\overrightarrow{BF} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BC}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle EF→=k AI→.\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{AI}.

EABCFI

Un triangle ABC : A et B sur une même horizontale, B à droite de A, C au-dessus, un peu à droite de A. I est le milieu du côté [BC]. Le point E est sur la droite (AB), à gauche de A, et AE vaut deux fois AB ; le segment [EA] est en pointillés. Le point F est sur la demi-droite [BC), au-delà de C, et BF vaut une fois et demie BC ; le segment [CF] est en pointillés. Le vecteur AI est tracé en vert, le vecteur EF en rouge.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Écris chacun des deux vecteurs à l'aide des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→,\overrightarrow{BC}, en insérant des points avec Chasles.
  2. Pour le vecteur AI→,\overrightarrow{AI}, passe par BB ; pour le vecteur EF→,\overrightarrow{EF}, passe par AA puis par B.B. En vecteurs :EF→=EA→+AB→+BF→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF}
  3. Le vecteur EA→\overrightarrow{EA} vaut 22 fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le vecteur BI→\overrightarrow{BI} la moitié du vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. Compare les deux écritures obtenues : l'une est un multiple de l'autre.

Correction

  1. Le vecteur AIAI — On passe par BB ; II est le milieu de [BC].[BC]. En vecteurs :AI→=AB→+BI→=AB→+12 BC→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}
  2. Le vecteur EFEF — On passe par AA puis par B.B. Le vecteur EA→\overrightarrow{EA} est l'opposé du vecteur AE→\overrightarrow{AE} : il vaut 22 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. En vecteurs :EF→=EA→+AB→+BF→=2 AB→+AB→+32 BC→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = 2\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BC}
  3. On regroupe, puis on met 33 en facteur. En vecteurs :EF→=3 AB→+32 BC→=3(AB→+12 BC→)\overrightarrow{EF} = 3\,\overrightarrow{AB} + \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BC} = 3\left(\overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}\right)
  4. EF→=3 AI→\overrightarrow{EF} = 3\,\overrightarrow{AI}

k=3k = 3 : les vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et AI→\overrightarrow{AI} sont colinéaires et de même sens. Les droites (EF)(EF) et (AI)(AI) sont donc parallèles, et EFEF vaut trois fois AI.AI.

Pièges anticipés

  • 3/2 → Tu as recopié le coefficient du vecteur BC→\overrightarrow{BC} dans le vecteur EF→.\overrightarrow{EF}. Pour comparer, il faut mettre les deux vecteurs sous la même forme — le vecteur AB→\overrightarrow{AB} plus la moitié du vecteur BC→\overrightarrow{BC} — puis chercher le facteur commun.
  • 1/3 → Tu as écrit l'égalité à l'envers : c'est le vecteur AI→\overrightarrow{AI} qui vaut le tiers du vecteur EF→.\overrightarrow{EF}. On demande le vecteur EF→\overrightarrow{EF} en fonction du vecteur AI→,\overrightarrow{AI}, et EFEF est le plus long des deux.

Exercice 9 · defi

Le centre de gravité

ABCABC est un triangle, C′C' est le milieu du côté [AB][AB] et GG est le centre de gravité du triangle. On rappelle que GG est sur la médiane [CC′],[CC'], aux deux tiers de cette médiane en partant de CC : CG→=23 CC′→.\overrightarrow{CG} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{CC'}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle GA→+GB→=k GC→.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = k\,\overrightarrow{GC}.

ABCC'G

Un triangle ABC : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut, un peu à droite du milieu. C' est le milieu du côté [AB] : [AC'] et [C'B] portent la même marque d'égalité. La médiane [CC'] est tracée en pointillés, et le centre de gravité G est sur elle, aux deux tiers de sa longueur en partant de C, donc au tiers en partant de C'. Depuis G, les vecteurs GA et GB sont tracés en bleu, et le vecteur GC en rouge.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par la somme des vecteurs GA→\overrightarrow{GA} et GB→\overrightarrow{GB} : C′C' est le milieu de [AB].[AB]. Quelle propriété du milieu peux-tu appliquer depuis le point GG ?
  2. Depuis G,G, la propriété du milieu donne la somme des vecteurs GA→\overrightarrow{GA} et GB→\overrightarrow{GB} : elle vaut 22 fois le vecteur GC′→.\overrightarrow{GC'}. En vecteurs :GA→+GB→=2 GC′→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\,\overrightarrow{GC'}
  3. Compare maintenant les vecteurs GC′→\overrightarrow{GC'} et GC→.\overrightarrow{GC}. GG est aux deux tiers de la médiane en partant de C,C, donc au tiers en partant de C′C' : la longueur GCGC vaut deux fois la longueur GC′.GC'. Et les deux vecteurs partent de GG dans des sens contraires.

Correction

  1. Le milieu C′C' — C′C' est le milieu de [AB][AB] : la propriété du milieu, appliquée depuis le point G,G, donne, en vecteurs :GA→+GB→=2 GC′→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\,\overrightarrow{GC'}
  2. Le centre de gravité — Par Chasles, on passe par C.C. Et puisque GG est aux deux tiers de la médiane, le vecteur CC′→\overrightarrow{CC'} vaut les trois demis du vecteur CG→,\overrightarrow{CG}, c'est-à-dire −32-\tfrac{3}{2} fois le vecteur GC→.\overrightarrow{GC}. En vecteurs :GC′→=GC→+CC′→=GC→−32 GC→=−12 GC→\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{GC} - \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{GC} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{GC}
  3. On remplace dans la première égalité. En vecteurs :GA→+GB→=2×(−12 GC→)=−GC→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2 \times \left(-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{GC}\right) = -\overrightarrow{GC}

k=−1k = -1 : la somme des trois vecteurs GA→,\overrightarrow{GA}, GB→\overrightarrow{GB} et GC→,\overrightarrow{GC}, qui vont du centre de gravité aux trois sommets, est le vecteur nul. C'est une propriété du centre de gravité à retenir.

Pièges anticipés

  • 1 → Regarde les sens : depuis G,G, le vecteur GC′→\overrightarrow{GC'} va vers le milieu C′,C', et le vecteur GC→\overrightarrow{GC} vers le sommet C,C, de l'autre côté. Des vecteurs de sens contraires : le réel est négatif.
  • 2 → Tu as écrit la propriété du milieu avec le vecteur GC→.\overrightarrow{GC}. Mais le milieu de [AB][AB] est C′,C', pas CC : la somme des vecteurs GA→\overrightarrow{GA} et GB→\overrightarrow{GB} vaut 22 fois le vecteur GC′→.\overrightarrow{GC'}. Compare ensuite le vecteur GC′→\overrightarrow{GC'} au vecteur GC→.\overrightarrow{GC}.
  • -2 → Le sens est juste, pas le rapport : GG est aux deux tiers de la médiane en partant de C,C, donc GC′GC' est la moitié de GC,GC, et non la même longueur.
  • -1/2 → Tu as bien comparé les vecteurs GC′→\overrightarrow{GC'} et GC→,\overrightarrow{GC}, mais la propriété du milieu donne deux fois le vecteur GC′→\overrightarrow{GC'} : n'oublie pas ce facteur 2.2.

Exercice 10 · base

Les lettres se touchent

Simplifier la somme de vecteurs MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : MP — aussi acceptées : M P · vecteur MP · le vecteur MP · c'est MP · c'est le vecteur MP · vec MP · vect MP · vec(MP) · vect(MP) · -PM · -vecteur PM · - le vecteur PM · moins PM · MP→ · →MP · \vec{MP} · \overrightarrow{MP} · \vec MP

Indices, dans l’ordre

  1. Regarde les lettres : où finit le vecteur MN→,\overrightarrow{MN}, et où commence le vecteur NP→\overrightarrow{NP} ?
  2. L'extrémité du premier vecteur est l'origine du second : c'est la relation de Chasles. On part du premier point, on arrive au dernier.

Correction

  1. Les lettres — Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} finit en N,N, et le vecteur NP→\overrightarrow{NP} part de NN : les deux vecteurs s'enchaînent.
  2. Chasles — On va de MM à N,N, puis de NN à PP : c'est aller directement de MM à P.P. En vecteurs :MN→+NP→=MP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}

La relation de Chasles se lit sur les lettres : on garde la première et la dernière, celle du milieu disparaît.

Pièges anticipés

  • PM / vecteur PM / le vecteur PM / c'est PM / c'est le vecteur PM / -MP / -vecteur MP / - le vecteur MP / moins MP / PM→ / →PM / \vec{PM} / \overrightarrow{PM} → Tu as trouvé le vecteur PM→,\overrightarrow{PM}, l'opposé du résultat. La somme part de M,M, l'origine du premier vecteur, et arrive en P,P, l'extrémité du second.
  • NN / vecteur NN / le vecteur NN / c'est NN / \vec{NN} / \overrightarrow{NN} → Ce n'est pas la lettre du milieu qu'on garde, c'est elle qui disparaît : on garde l'origine MM du premier vecteur et l'extrémité PP du second.

Exercice 11 · base

Trois vecteurs en chaîne

Simplifier la somme de vecteurs RS→+ST→+TU→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{TU} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : RU — aussi acceptées : R U · vecteur RU · le vecteur RU · c'est RU · c'est le vecteur RU · vec RU · vect RU · vec(RU) · vect(RU) · -UR · -vecteur UR · - le vecteur UR · moins UR · RU→ · →RU · \vec{RU} · \overrightarrow{RU} · \vec RU

Indices, dans l’ordre

  1. Les vecteurs s'enchaînent déjà : applique la relation de Chasles aux deux premiers.
  2. Les deux premiers donnent un seul vecteur, qui finit en T.T. Il s'enchaîne encore avec le dernier.RS→+ST→=RT→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{RT}

Correction

  1. Deux par deux — Les deux premiers vecteurs s'enchaînent en S.S. En vecteurs :RS→+ST→=RT→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{RT}
  2. Encore Chasles — Il reste deux vecteurs qui s'enchaînent en T.T. En vecteurs :RT→+TU→=RU→\overrightarrow{RT} + \overrightarrow{TU} = \overrightarrow{RU}
  3. RS→+ST→+TU→=RU→\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{TU} = \overrightarrow{RU}

Une chaîne de vecteurs, aussi longue soit-elle, se réduit au vecteur qui va du premier point au dernier.

Pièges anticipés

  • UR / vecteur UR / le vecteur UR / c'est UR / c'est le vecteur UR / -RU / -vecteur RU / - le vecteur RU / moins RU / UR→ / →UR / \vec{UR} / \overrightarrow{UR} → Tu as trouvé l'opposé du résultat. La chaîne part de RR et arrive en UU : le vecteur va de RR vers U.U.
  • RT / vecteur RT / le vecteur RT / c'est RT / \vec{RT} / \overrightarrow{RT} → Tu t'es arrêté en route : le vecteur RT→\overrightarrow{RT} est la somme des deux premiers vecteurs seulement. Ajoute encore le vecteur TU→.\overrightarrow{TU}.

Exercice 12 · base

Le vecteur qui manque

A,A, EE et KK sont trois points du plan. Déterminer le vecteur w⃗,\vec{w}, écrit avec deux de ces points, qui vérifie l'égalité vectorielle AE→=w⃗+KE→.\overrightarrow{AE} = \vec{w} + \overrightarrow{KE}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AK — aussi acceptées : A K · vecteur AK · le vecteur AK · c'est AK · c'est le vecteur AK · vec AK · vect AK · vec(AK) · vect(AK) · -KA · -vecteur KA · - le vecteur KA · moins KA · AK→ · →AK · \vec{AK} · \overrightarrow{AK} · \vec AK

Indices, dans l’ordre

  1. La relation de Chasles se lit dans les deux sens : on peut insérer un point au milieu d'un vecteur.
  2. Le vecteur w⃗\vec{w} doit s'enchaîner avec le vecteur KE→\overrightarrow{KE} : il finit donc en K.K. Et la somme part de A.A.

Correction

  1. Insérer un point — Par la relation de Chasles, on insère le point KK dans le vecteur AE→.\overrightarrow{AE}. En vecteurs :AE→=AK→+KE→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KE}
  2. On compare avec l'égalité donnée : le vecteur w⃗\vec{w} est le vecteur AK→.\overrightarrow{AK}.w⃗=AK→\vec{w} = \overrightarrow{AK}

Insérer un point, c'est Chasles à l'envers : AE→=AK→+KE→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KE} quel que soit le point K.K.

Pièges anticipés

  • KA / vecteur KA / le vecteur KA / c'est KA / c'est le vecteur KA / -AK / -vecteur AK / - le vecteur AK / moins AK / KA→ / →KA / \vec{KA} / \overrightarrow{KA} → Tu as trouvé le vecteur KA→,\overrightarrow{KA}, l'opposé. Pour s'enchaîner avec le vecteur KE→,\overrightarrow{KE}, le vecteur w⃗\vec{w} doit finir en KK ; et il part de A,A, l'origine du vecteur AE→.\overrightarrow{AE}.

Exercice 13 · pratique

Ranger avant de simplifier

Simplifier la somme de vecteurs DE→+BD→+EF→\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{EF} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : BF — aussi acceptées : B F · vecteur BF · le vecteur BF · c'est BF · c'est le vecteur BF · vec BF · vect BF · vec(BF) · vect(BF) · -FB · -vecteur FB · - le vecteur FB · moins FB · BF→ · →BF · \vec{BF} · \overrightarrow{BF} · \vec BF

Indices, dans l’ordre

  1. Dans cet ordre, les lettres ne s'enchaînent pas partout. L'ordre des vecteurs ne change pas la somme : range-les.
  2. Cherche le vecteur qui commence par une lettre qui n'est l'extrémité d'aucun autre : c'est lui qu'on met en premier.BD→+DE→+EF→\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF}

Correction

  1. Réordonner — On range les vecteurs pour que les lettres s'enchaînent. En vecteurs :DE→+BD→+EF→=BD→+DE→+EF→\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF}
  2. Chasles — On part de B,B, on passe par DD puis par E,E, et on arrive en F.F. En vecteurs :BD→+DE→+EF→=BF→\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF}

Avant Chasles, on range : le premier vecteur est celui dont l'origine n'apparaît nulle part comme extrémité.

Pièges anticipés

  • FB / vecteur FB / le vecteur FB / c'est FB / c'est le vecteur FB / -BF / -vecteur BF / - le vecteur BF / moins BF / FB→ / →FB / \vec{FB} / \overrightarrow{FB} → Tu as trouvé l'opposé du résultat. Une fois rangée, la chaîne part de BB et arrive en F.F.
  • DF / vecteur DF / le vecteur DF / c'est DF / \vec{DF} / \overrightarrow{DF} → Le vecteur DF→\overrightarrow{DF} est la somme des vecteurs DE→\overrightarrow{DE} et EF→\overrightarrow{EF} : tu as oublié le vecteur BD→.\overrightarrow{BD}. Il se place en tête de la chaîne.

Exercice 14 · pratique

Trois vecteurs en désordre

Simplifier la somme de vecteurs MA→+BN→+AB→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{AB} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : MN — aussi acceptées : M N · vecteur MN · le vecteur MN · c'est MN · c'est le vecteur MN · vec MN · vect MN · vec(MN) · vect(MN) · -NM · -vecteur NM · - le vecteur NM · moins NM · MN→ · →MN · \vec{MN} · \overrightarrow{MN} · \vec MN

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} finit en AA : lequel des deux autres vecteurs commence en AA ?
  2. Échange les deux derniers vecteurs : la chaîne passe par A,A, puis par B.B.MA→+AB→+BN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}

Correction

  1. Réordonner — On échange les deux derniers vecteurs. En vecteurs :MA→+BN→+AB→=MA→+AB→+BN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}
  2. Chasles — De MM à A,A, de AA à B,B, de BB à N.N. En vecteurs :MA→+AB→+BN→=MN→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}

On change l'ordre des vecteurs, jamais l'ordre des lettres à l'intérieur d'un vecteur.

Pièges anticipés

  • NM / vecteur NM / le vecteur NM / c'est NM / c'est le vecteur NM / -MN / -vecteur MN / - le vecteur MN / moins MN / NM→ / →NM / \vec{NM} / \overrightarrow{NM} → Tu as trouvé l'opposé. La chaîne rangée part de MM et arrive en N.N.
  • MA+AB+BN / MA + AB + BN / MB+BN / MB + BN → Les vecteurs sont bien rangés, mais ce n'est pas fini : les lettres s'enchaînent, applique la relation de Chasles jusqu'à n'avoir qu'un seul vecteur.

Exercice 15 · pratique

Faire le tour du parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme. Simplifier la somme de vecteurs AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AD — aussi acceptées : A D · vecteur AD · le vecteur AD · c'est AD · c'est le vecteur AD · vec AD · vect AD · vec(AD) · vect(AD) · -DA · -vecteur DA · - le vecteur DA · moins DA · AD→ · →AD · \vec{AD} · \overrightarrow{AD} · \vec AD · BC · B C · vecteur BC · le vecteur BC · c'est BC · c'est le vecteur BC · vec BC · vect BC · vec(BC) · vect(BC) · -CB · -vecteur CB · - le vecteur CB · moins CB · BC→ · →BC · \vec{BC} · \overrightarrow{BC} · \vec BC

Indices, dans l’ordre

  1. Pas besoin du parallélogramme pour commencer : les lettres s'enchaînent déjà.
  2. On part de A,A, on passe par BB et CC : en quel point arrive-t-on ?

Correction

  1. Chasles — Les trois vecteurs s'enchaînent en BB puis en C.C. En vecteurs :AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}
  2. Vérification — Dans le parallélogramme, le vecteur AB→\overrightarrow{AB} et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} sont opposés : ils s'annulent, et il reste le vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, égal au vecteur AD→.\overrightarrow{AD}.AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

Quand les lettres s'enchaînent, Chasles suffit. La figure sert ensuite à vérifier : ici le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est aussi égal au vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.

Pièges anticipés

  • DA / vecteur DA / le vecteur DA / c'est DA / c'est le vecteur DA / -AD / -vecteur AD / - le vecteur AD / moins AD / DA→ / →DA / \vec{DA} / \overrightarrow{DA} / CB / vecteur CB / -BC → Tu as trouvé l'opposé du résultat. La chaîne part de AA et arrive en D.D.
  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} → Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} n'est que la somme des deux premiers vecteurs. Il reste à ajouter le vecteur CD→.\overrightarrow{CD}.

Exercice 16 · pratique

Le point à trouver

P,P, QQ et RR sont trois points non alignés. Quel point XX vérifie l'égalité vectorielle PQ→+XR→=PR→\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{XR} = \overrightarrow{PR} ?

Écrire seulement la lettre du point.

Réponse attendue : Q — aussi acceptées : le point Q · point Q · c'est Q · c'est le point Q · X=Q · X = Q · X est Q · X est le point Q

Indices, dans l’ordre

  1. Par la relation de Chasles, on peut insérer n'importe quel point dans le vecteur PR→.\overrightarrow{PR}. Lequel fait apparaître le vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} ?
  2. En insérant Q,Q, on obtient une égalité de la même forme que celle de l'énoncé. Compare-les terme à terme.

Correction

  1. Insérer un point — Par Chasles, on insère le point QQ dans le vecteur PR→.\overrightarrow{PR}. En vecteurs :PR→=PQ→+QR→\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR}
  2. Comparer — L'égalité de l'énoncé devient PQ→+XR→=PQ→+QR→\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{XR} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} : le vecteur XR→\overrightarrow{XR} est égal au vecteur QR→,\overrightarrow{QR}, donc XX est le point Q.Q.X=QX = Q

Deux vecteurs égaux qui ont la même extrémité ont la même origine : le vecteur XR→\overrightarrow{XR} égal au vecteur QR→\overrightarrow{QR} impose X=Q.X = Q.

Pièges anticipés

  • P / le point P / point P / c'est P / X=P / X = P → Avec X=P,X = P, le vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} plus le vecteur PR→\overrightarrow{PR} ne s'enchaînent pas, et leur somme n'est pas le vecteur PR→.\overrightarrow{PR}. Le vecteur XR⃗\vec{XR} doit commencer là où finit le vecteur PQ→.\overrightarrow{PQ}.

Exercice 17 · pratique

Vecteurs et longueurs

ABCABC est un triangle rectangle en B,B, avec AB=3AB = 3 centimètres et BC=4BC = 4 centimètres.

Calculer la longueur du vecteur AB→+BC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

Donner la longueur en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par simplifier la somme de vecteurs avec la relation de Chasles.
  2. La somme est le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Sa longueur est la longueur AC,AC, l'hypoténuse du triangle rectangle.AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2

Correction

  1. Chasles — Les lettres s'enchaînent en B.B. En vecteurs :AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
  2. Pythagore — Le triangle est rectangle en BB : [AC][AC] est l'hypoténuse.AC2=32+42=9+16=25AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
  3. AC=25=5AC = \sqrt{25} = 5

La relation de Chasles porte sur les vecteurs. Pour les longueurs, AB+BC=7AB + BC = 7 n'est pas ACAC : le chemin par BB est plus long que le trajet direct.

Pièges anticipés

  • 7 → Tu as ajouté les longueurs : 3+4=7.3 + 4 = 7. Mais Chasles additionne des vecteurs : la somme est le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, et ACAC n'est pas AB+BC,AB + BC, car BB n'est pas sur le segment [AC].[AC].
  • 25 → Tu as calculé AC2=25.AC^2 = 25. Il reste à prendre la racine carrée.

Exercice 18 · raisonnement

Quatre vecteurs à ranger

Simplifier la somme de vecteurs CA→+DB→+AD→+BE→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : CE — aussi acceptées : C E · vecteur CE · le vecteur CE · c'est CE · c'est le vecteur CE · vec CE · vect CE · vec(CE) · vect(CE) · -EC · -vecteur EC · - le vecteur EC · moins EC · CE→ · →CE · \vec{CE} · \overrightarrow{CE} · \vec CE

Indices, dans l’ordre

  1. Cherche le point de départ : une origine qui n'est l'extrémité d'aucun des quatre vecteurs.
  2. On part de C.C. Le vecteur CA→\overrightarrow{CA} finit en AA : quel vecteur part de AA ? Continue ainsi jusqu'au bout.
  3. La chaîne rangée :CA→+AD→+DB→+BE→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}

Correction

  1. Le départ — CC n'est l'extrémité d'aucun vecteur : la chaîne part de C.C.
  2. Réordonner — On range de proche en proche : de CC à A,A, de AA à D,D, de DD à B,B, de BB à E.E. En vecteurs :CA→+DB→+AD→+BE→=CA→+AD→+DB→+BE→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}
  3. Chasles — CA→+AD→+DB→+BE→=CE→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CE}

Pour ranger une longue somme, on trouve le point de départ, puis on suit les lettres de proche en proche.

Pièges anticipés

  • EC / vecteur EC / le vecteur EC / c'est EC / c'est le vecteur EC / -CE / -vecteur CE / - le vecteur CE / moins CE / EC→ / →EC / \vec{EC} / \overrightarrow{EC} → Tu as trouvé l'opposé. La chaîne part de CC et arrive en E.E.
  • CB / vecteur CB / le vecteur CB / c'est CB / \vec{CB} / \overrightarrow{CB} → Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} est la somme des trois premiers vecteurs de la chaîne. Tu as oublié le vecteur BE→.\overrightarrow{BE}.

Exercice 19 · raisonnement

Une égalité à compléter

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points du plan. Déterminer le vecteur w⃗,\vec{w}, écrit avec deux de ces points, qui vérifie l'égalité vectorielle AB→+CD→=AD→+w⃗.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \vec{w}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : CB — aussi acceptées : C B · vecteur CB · le vecteur CB · c'est CB · c'est le vecteur CB · vec CB · vect CB · vec(CB) · vect(CB) · -BC · -vecteur BC · - le vecteur BC · moins BC · CB→ · →CB · \vec{CB} · \overrightarrow{CB} · \vec CB

Indices, dans l’ordre

  1. Fais apparaître le vecteur AD→\overrightarrow{AD} dans le membre de gauche : insère le point DD dans le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.AB→=AD→+DB→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}
  2. Il te reste deux vecteurs, DB→\overrightarrow{DB} et CD→\overrightarrow{CD} : range-les pour que les lettres s'enchaînent.

Correction

  1. Insérer D — Par Chasles, on insère DD dans le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. En vecteurs :AB→+CD→=AD→+DB→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD}
  2. Réordonner — Les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et DB→\overrightarrow{DB} s'enchaînent en D.D. En vecteurs :CD→+DB→=CB→\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{CB}
  3. AB→+CD→=AD→+CB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}

Pour faire apparaître un vecteur voulu, on insère le bon point avec Chasles, puis on regroupe ce qui reste.

Pièges anticipés

  • BC / vecteur BC / le vecteur BC / c'est BC / c'est le vecteur BC / -CB / -vecteur CB / - le vecteur CB / moins CB / BC→ / →BC / \vec{BC} / \overrightarrow{BC} → Tu as trouvé l'opposé. Il reste les vecteurs DB→\overrightarrow{DB} et CD→\overrightarrow{CD} : rangés, ils vont de CC à DD puis de DD à B.B.

Exercice 20 · defi

Le point qui fait le tour

A,A, BB et CC sont trois points non alignés, et MM est le point qui vérifie l'égalité vectorielle MA→+AB→+BC→=CA→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.

Écrire le vecteur CM→\overrightarrow{CM} comme un vecteur nommé par deux des points A,A, B,B, C.C.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AC — aussi acceptées : A C · vecteur AC · le vecteur AC · c'est AC · c'est le vecteur AC · vec AC · vect AC · vec(AC) · vect(AC) · -CA · -vecteur CA · - le vecteur CA · moins CA · AC→ · →AC · \vec{AC} · \overrightarrow{AC} · \vec AC

Indices, dans l’ordre

  1. Simplifie d'abord le membre de gauche : les lettres s'enchaînent.
  2. Le membre de gauche vaut le vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. Tu as donc deux vecteurs égaux : MC→\overrightarrow{MC} et CA→.\overrightarrow{CA}. Que dire de leurs opposés ?

Correction

  1. Chasles — De MM à A,A, de AA à B,B, de BB à C.C. En vecteurs :MA→+AB→+BC→=MC→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MC}
  2. L'égalité — L'égalité de l'énoncé dit donc que le vecteur MC→\overrightarrow{MC} est égal au vecteur CA→.\overrightarrow{CA}. En vecteurs :MC→=CA→\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA}
  3. Les opposés — On retourne les deux vecteurs : leurs opposés sont égaux aussi. En vecteurs :CM→=AC→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AC}

Le vecteur CM→\overrightarrow{CM} est égal au vecteur AC→\overrightarrow{AC} : CC est le milieu de [AM],[AM], et MM est le symétrique de AA par rapport à C.C.

Pièges anticipés

  • CA / vecteur CA / le vecteur CA / c'est CA / c'est le vecteur CA / -AC / -vecteur AC / - le vecteur AC / moins AC / CA→ / →CA / \vec{CA} / \overrightarrow{CA} → C'est le vecteur MC→\overrightarrow{MC} qui est égal au vecteur CA→.\overrightarrow{CA}. Le vecteur CM→,\overrightarrow{CM}, son opposé, est égal à l'opposé du vecteur CA→.\overrightarrow{CA}.

Exercice 21 · base

La diagonale qui part de A

ABDCABDC est un parallélogramme. Simplifier la somme de vecteurs AB→+AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AD — aussi acceptées : A D · vecteur AD · le vecteur AD · c'est AD · c'est le vecteur AD · vec AD · vect AD · vec(AD) · vect(AD) · -DA · -vecteur DA · - le vecteur DA · moins DA · AD→ · →AD · \vec{AD} · \overrightarrow{AD} · \vec AD

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs partent du même point AA : c'est la règle du parallélogramme qui s'applique.
  2. La somme suit la diagonale qui part de l'origine commune A.A. Dans ABDC,ABDC, quel sommet est opposé à AA ?

Correction

  1. Même origine — Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} partent tous deux de A.A.
  2. La règle — Dans le parallélogramme ABDC,ABDC, le sommet opposé à AA est DD : la somme suit la diagonale [AD].[AD]. En vecteurs :AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}

Règle du parallélogramme : deux vecteurs de même origine ont pour somme le vecteur porté par la diagonale qui part de cette origine.

Pièges anticipés

  • DA / vecteur DA / le vecteur DA / c'est DA / c'est le vecteur DA / -AD / -vecteur AD / - le vecteur AD / moins AD / DA→ / →DA / \vec{DA} / \overrightarrow{DA} → Tu as trouvé l'opposé. La somme part de l'origine commune A.A.
  • BC / vecteur BC / le vecteur BC / c'est BC / \vec{BC} / \overrightarrow{BC} / CB / vecteur CB / le vecteur CB / c'est CB / \vec{CB} / \overrightarrow{CB} → Tu as pris l'autre diagonale, celle qui ne passe pas par A.A. La somme de deux vecteurs qui partent de AA part, elle aussi, de A.A.

Exercice 22 · base

Dans le parallélogramme EFGH

EFGHEFGH est un parallélogramme. Simplifier la somme de vecteurs EF→+EH→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : EG — aussi acceptées : E G · vecteur EG · le vecteur EG · c'est EG · c'est le vecteur EG · vec EG · vect EG · vec(EG) · vect(EG) · -GE · -vecteur GE · - le vecteur GE · moins GE · EG→ · →EG · \vec{EG} · \overrightarrow{EG} · \vec EG

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs ont la même origine EE : pense à la règle du parallélogramme.
  2. Dans EFGH,EFGH, les sommets se suivent dans l'ordre : quel sommet est opposé à EE ?

Correction

  1. Même origine — Les vecteurs EF→\overrightarrow{EF} et EH→\overrightarrow{EH} partent tous deux de E,E, et EFGHEFGH est un parallélogramme.
  2. La règle — Le sommet opposé à EE est GG : la somme suit la diagonale [EG].[EG]. En vecteurs :EF→+EH→=EG→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} = \overrightarrow{EG}

On peut aussi le voir avec Chasles : le vecteur EH→\overrightarrow{EH} est égal au vecteur FG→,\overrightarrow{FG}, et EF→+FG→=EG→.\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}.

Pièges anticipés

  • GE / vecteur GE / le vecteur GE / c'est GE / c'est le vecteur GE / -EG / -vecteur EG / - le vecteur EG / moins EG / GE→ / →GE / \vec{GE} / \overrightarrow{GE} → Tu as trouvé l'opposé. La somme part de l'origine commune E.E.
  • FH / vecteur FH / le vecteur FH / c'est FH / \vec{FH} / \overrightarrow{FH} / HF / vecteur HF / le vecteur HF / c'est HF / \vec{HF} / \overrightarrow{HF} → Tu as pris l'autre diagonale. La somme de deux vecteurs qui partent de EE suit la diagonale qui part de E.E.

Exercice 23 · base

Depuis le sommet B

ABCDABCD est un parallélogramme. Simplifier la somme de vecteurs BA→+BC→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : BD — aussi acceptées : B D · vecteur BD · le vecteur BD · c'est BD · c'est le vecteur BD · vec BD · vect BD · vec(BD) · vect(BD) · -DB · -vecteur DB · - le vecteur DB · moins DB · BD→ · →BD · \vec{BD} · \overrightarrow{BD} · \vec BD

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs partent de BB : les côtés [BA][BA] et [BC][BC] du parallélogramme.
  2. La somme suit la diagonale qui part de B.B. Dans ABCD,ABCD, quel sommet est opposé à BB ?

Correction

  1. Même origine — Les vecteurs BA→\overrightarrow{BA} et BC→\overrightarrow{BC} partent de BB et portent deux côtés consécutifs du parallélogramme ABCD.ABCD.
  2. La règle — Le sommet opposé à BB est D.D. En vecteurs :BA→+BC→=BD→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}

La règle du parallélogramme marche depuis n'importe quel sommet : la somme suit la diagonale issue de l'origine commune.

Pièges anticipés

  • DB / vecteur DB / le vecteur DB / c'est DB / c'est le vecteur DB / -BD / -vecteur BD / - le vecteur BD / moins BD / DB→ / →DB / \vec{DB} / \overrightarrow{DB} → Tu as trouvé l'opposé. La somme part de l'origine commune B.B.
  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} / CA / vecteur CA / le vecteur CA / c'est CA / \vec{CA} / \overrightarrow{CA} → Tu as pris la diagonale [AC],[AC], qui ne passe pas par B.B. Les deux vecteurs partent de BB : leur somme aussi.

Exercice 24 · pratique

Nommer le parallélogramme

A,A, BB et CC sont trois points non alignés, et DD est le point qui vérifie l'égalité vectorielle AB→+AC→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.

Nommer le parallélogramme formé par ces quatre points, en écrivant ses sommets dans l'ordre où on les parcourt en commençant par AA puis B.B.

Écrire les quatre lettres à la suite.

Réponse attendue : ABDC — aussi acceptées : le parallélogramme ABDC · ABDC est un parallélogramme · parallélogramme ABDC · c'est ABDC

Indices, dans l’ordre

  1. D'après la règle du parallélogramme, le point DD est le sommet opposé à A.A.
  2. Dans le nom d'un parallélogramme, deux sommets opposés ne sont jamais côte à côte. Après AA et BB vient donc le sommet opposé à A.A.

Correction

  1. La règle — Pour A,A, B,B, CC non alignés, l'égalité AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} dit que la somme suit la diagonale [AD][AD] : DD est le sommet opposé à A.A.
  2. L'ordre — En partant de AA puis B,B, on passe ensuite par D,D, puis par C,C, et on revient en A.A.ABDCABDC

Attention à l'ordre des lettres : dans ABDC,ABDC, DD est opposé à AA et CC est opposé à B.B. Écrire ABCDABCD mettrait CC en face de A,A, ce qui est faux.

Pièges anticipés

  • ABCD / le parallélogramme ABCD / ABCD est un parallélogramme → Dans « ABCDABCD », le sommet opposé à AA serait C.C. Or l'égalité dit que la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} suit la diagonale [AD][AD] : c'est DD qui est opposé à A.A.

Exercice 25 · pratique

Le point au bout de la somme

ABCDABCD est un parallélogramme. Quel point MM vérifie l'égalité vectorielle DA→+DC→=DM→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DM} ?

Écrire seulement la lettre du point.

Réponse attendue : B — aussi acceptées : le point B · point B · c'est B · c'est le point B · M=B · M = B · M est B · M est le point B

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs partent de D.D. Dans ABCD,ABCD, les sommets AA et CC sont-ils voisins de DD ?
  2. La somme suit la diagonale qui part de DD : elle aboutit au sommet opposé à D.D.

Correction

  1. Même origine — Les vecteurs DA→\overrightarrow{DA} et DC→\overrightarrow{DC} partent de DD et portent deux côtés consécutifs de ABCD.ABCD.
  2. La règle — Le sommet opposé à DD est BB : la somme suit la diagonale [DB].[DB]. En vecteurs :DA→+DC→=DB→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}
  3. Le point — Les vecteurs DM→\overrightarrow{DM} et DB→\overrightarrow{DB} sont égaux et ont la même origine DD : ils ont la même extrémité.M=BM = B

On le vérifie avec Chasles : le vecteur DC→\overrightarrow{DC} est égal au vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et DA→+AB→=DB→.\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}.

Pièges anticipés

  • A / le point A / point A / M=A / M = A / C / le point C / point C / M=C / M = C → AA et CC sont les extrémités des deux vecteurs, les sommets voisins de D.D. La somme suit la diagonale issue de DD : elle aboutit au sommet opposé à D.D.
  • D / le point D / point D / M=D / M = D → Avec M=D,M = D, le vecteur DM→\overrightarrow{DM} serait nul. Or la somme de deux côtés consécutifs du parallélogramme n'est pas nulle.

Exercice 26 · pratique

La longueur dans un rectangle

ABCDABCD est un rectangle, avec AB=8AB = 8 centimètres et AD=6AD = 6 centimètres.

Calculer la longueur du vecteur AB→+AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Donner la longueur en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Un rectangle est un parallélogramme : applique la règle du parallélogramme depuis A.A.
  2. La somme est le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, porté par une diagonale. Le triangle ABCABC est rectangle en B.B.AC2=AB2+BC2AC^2 = AB^2 + BC^2

Correction

  1. La règle — Les vecteurs partent de AA et CC est le sommet opposé. En vecteurs :AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
  2. Pythagore — Dans le triangle ABC,ABC, rectangle en B,B, on a BC=AD=6.BC = AD = 6.AC2=82+62=64+36=100AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100
  3. AC=100=10AC = \sqrt{100} = 10

La longueur d'une somme n'est pas la somme des longueurs : ici 1010 centimètres, et non 8+6=14.8 + 6 = 14.

Pièges anticipés

  • 14 → Tu as ajouté les longueurs. On additionne les vecteurs : la somme est le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, et sa longueur se calcule avec Pythagore.
  • 100 → Tu as calculé AC2=100.AC^2 = 100. Il reste la racine carrée.

Exercice 27 · pratique

La longueur dans un losange

ABCDABCD est un losange de centre O,O, dont les diagonales mesurent AC=8AC = 8 centimètres et BD=6BD = 6 centimètres.

Calculer la longueur du vecteur AB→+AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Donner la longueur en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Un losange est un parallélogramme. Les deux vecteurs partent de AA : quelle diagonale suit leur somme ?
  2. Pas besoin de calculer le côté du losange : la somme est portée par une diagonale dont tu connais déjà la longueur.

Correction

  1. La règle — ABCDABCD est un parallélogramme, et le sommet opposé à AA est C.C. En vecteurs :AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
  2. La longueur — La longueur du vecteur somme est la longueur de la diagonale [AC].[AC].AC=8AC = 8

La règle du parallélogramme ramène la somme à une diagonale. Ici le côté vaut 55 centimètres (Pythagore dans le triangle AOBAOB), mais la somme ne mesure pas 5+5=10.5 + 5 = 10.

Pièges anticipés

  • 6 → 66 centimètres, c'est la diagonale [BD],[BD], qui ne passe pas par A.A. Les deux vecteurs partent de AA : leur somme suit la diagonale [AC].[AC].
  • 10 → Tu as ajouté les longueurs des côtés : AB+AD=5+5=10.AB + AD = 5 + 5 = 10. Mais on additionne des vecteurs : la somme est le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.

Exercice 28 · raisonnement

Sur un triangle équilatéral

ABCABC est un triangle équilatéral. On construit le point DD qui vérifie l'égalité vectorielle AD→=AB→+AC→.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Quelle est la nature la plus précise du quadrilatère ABDCABDC ?

Donner sa nature la plus précise, en un mot.

Réponse attendue : losange — aussi acceptées : un losange · c'est un losange · ABDC est un losange · le quadrilatère ABDC est un losange · losange ABDC

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par la règle du parallélogramme : que dit l'égalité sur le quadrilatère ABDCABDC ?
  2. ABDCABDC est un parallélogramme. Compare ses deux côtés consécutifs [AB][AB] et [AC],[AC], puis regarde son angle en A.A.

Correction

  1. La règle — A,A, B,B, CC ne sont pas alignés, et le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} : ABDCABDC est un parallélogramme.
  2. Les côtés — Le triangle est équilatéral : AB=AC.AB = AC. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange.
  3. L'angle — L'angle en AA mesure 60°60° : ce n'est pas un angle droit, donc ce losange n'est pas un carré.

ABDCABDC est un losange. Pour trouver la nature la plus précise, on part du parallélogramme, puis on teste les côtés et les angles.

Pièges anticipés

  • parallélogramme / un parallélogramme → C'est vrai, mais ce n'est pas le plus précis. Regarde les côtés [AB][AB] et [AC][AC] : le triangle est équilatéral.
  • carré / un carré → Pour un carré, il faudrait un angle droit en A.A. Or l'angle d'un triangle équilatéral mesure 60°.60°.
  • rectangle / un rectangle → Pour un rectangle, il faudrait un angle droit en A.A. Or l'angle d'un triangle équilatéral mesure 60°60° ; ce qui est sûr, en revanche, c'est que AB=AC.AB = AC.

Exercice 29 · raisonnement

Une somme jusqu'au centre

ABCDABCD est un parallélogramme de centre O.O. Simplifier la somme de vecteurs AB→+AD→+CO→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CO} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AO — aussi acceptées : A O · vecteur AO · le vecteur AO · c'est AO · c'est le vecteur AO · vec AO · vect AO · vec(AO) · vect(AO) · -OA · -vecteur OA · - le vecteur OA · moins OA · AO→ · →AO · \vec{AO} · \overrightarrow{AO} · \vec AO · OC · O C · vecteur OC · le vecteur OC · c'est OC · c'est le vecteur OC · vec OC · vect OC · vec(OC) · vect(OC) · -CO · -vecteur CO · - le vecteur CO · moins CO · OC→ · →OC · \vec{OC} · \overrightarrow{OC} · \vec OC

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux premiers vecteurs partent de AA : remplace leur somme par un seul vecteur avec la règle du parallélogramme.
  2. Les deux premiers donnent le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Il s'enchaîne avec le vecteur CO→.\overrightarrow{CO}.

Correction

  1. La règle — Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, le sommet opposé à AA est C.C. En vecteurs :AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
  2. Chasles — Les lettres s'enchaînent en C.C. En vecteurs :AC→+CO→=AO→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AO}

On enchaîne les deux outils : la règle du parallélogramme pour deux vecteurs de même origine, puis Chasles. Le résultat est aussi égal au vecteur OC→,\overrightarrow{OC}, puisque OO est le milieu de [AC].[AC].

Pièges anticipés

  • OA / vecteur OA / le vecteur OA / c'est OA / c'est le vecteur OA / -AO / -vecteur AO / - le vecteur AO / moins AO / OA→ / →OA / \vec{OA} / \overrightarrow{OA} / CO / vecteur CO / -OC → Tu as trouvé l'opposé. La somme part de AA et s'arrête au centre O.O.
  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} → Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est la somme des deux premiers vecteurs seulement. Il reste à ajouter le vecteur CO→.\overrightarrow{CO}.

Exercice 30 · raisonnement

Un côté du parallélogramme

A,A, BB et CC sont trois points non alignés, et DD est le point qui vérifie l'égalité vectorielle AD→=AB→+AC→.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Écrire le vecteur BD→\overrightarrow{BD} comme un vecteur nommé par deux des points A,A, B,B, C.C.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AC — aussi acceptées : A C · vecteur AC · le vecteur AC · c'est AC · c'est le vecteur AC · vec AC · vect AC · vec(AC) · vect(AC) · -CA · -vecteur CA · - le vecteur CA · moins CA · AC→ · →AC · \vec{AC} · \overrightarrow{AC} · \vec AC

Indices, dans l’ordre

  1. Quel quadrilatère la règle du parallélogramme fait-elle apparaître ? Écris son nom dans le bon ordre.
  2. ABDCABDC est un parallélogramme : ses côtés opposés [BD][BD] et [AC][AC] donnent des vecteurs égaux. Attention au sens.

Correction

  1. La règle — L'égalité dit que ABDCABDC est un parallélogramme : DD est opposé à A.A.
  2. Côtés opposés — Dans ABDC,ABDC, le côté [BD][BD] est opposé au côté [AC],[AC], et on les parcourt dans le même sens, de AA vers CC comme de BB vers D.D. En vecteurs :BD→=AC→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}

On le retrouve avec Chasles : BD→=BA→+AD→=BA→+AB→+AC→=AC→.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}.

Pièges anticipés

  • CA / vecteur CA / le vecteur CA / c'est CA / c'est le vecteur CA / -AC / -vecteur AC / - le vecteur AC / moins AC / CA→ / →CA / \vec{CA} / \overrightarrow{CA} → La direction et la longueur sont justes, pas le sens. Dans ABDC,ABDC, on va de BB vers DD comme de AA vers C.C.
  • AB / vecteur AB / le vecteur AB / c'est AB / \vec{AB} / \overrightarrow{AB} → Le côté [AB][AB] est consécutif au côté [BD],[BD], pas opposé. Le côté opposé à [BD][BD] dans ABDCABDC est [AC].[AC].

Exercice 31 · defi

Deux parallélogrammes de suite

A,A, BB et CC sont trois points non alignés. On construit le point DD tel que AD→=AB→+AC→,\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, puis le point EE tel que AE→=AB→+AD→.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle CE→=k AB→.\overrightarrow{CE} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace le vecteur AD→\overrightarrow{AD} par sa valeur dans la définition de EE : écris le vecteur AE→\overrightarrow{AE} avec les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. Coupe ensuite le vecteur CE→\overrightarrow{CE} en AA avec Chasles.CE→=CA→+AE→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE}
  3. Le vecteur CA→\overrightarrow{CA} est l'opposé du vecteur AC→\overrightarrow{AC} : il annule le vecteur AC→\overrightarrow{AC} qui apparaît dans le vecteur AE→.\overrightarrow{AE}.

Correction

  1. Le vecteur AEAE — On remplace le vecteur AD→.\overrightarrow{AD}. En vecteurs :AE→=AB→+AB→+AC→=2 AB→+AC→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
  2. Chasles — On insère AA dans le vecteur CE→.\overrightarrow{CE}. En vecteurs :CE→=CA→+AE→=CA→+2 AB→+AC→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CA} + 2\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
  3. Les opposés — Les vecteurs CA→\overrightarrow{CA} et AC→\overrightarrow{AC} sont opposés : leur somme est nulle. En vecteurs :CE→=2 AB→\overrightarrow{CE} = 2\,\overrightarrow{AB}

k=2k = 2 : les droites (CE)(CE) et (AB)(AB) sont parallèles, et CECE vaut le double de AB.AB. Pour comparer des vecteurs, on les écrit tous avec les mêmes vecteurs de départ.

Pièges anticipés

  • 1 → Tu n'as compté le vecteur AB→\overrightarrow{AB} qu'une fois. Il apparaît deux fois : une fois dans la définition de E,E, une fois dans celle de D.D.
  • 1/2 → Tu as écrit l'égalité à l'envers : c'est le vecteur AB→\overrightarrow{AB} qui vaut la moitié du vecteur CE→.\overrightarrow{CE}.

Exercice 32 · base

Bout à bout

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points, et B≠CB \ne C : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ne s'enchaînent pas. On construit le point MM tel que BM→=CD→.\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CD}.

Écrire la somme AB→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AM — aussi acceptées : A M · vecteur AM · le vecteur AM · c'est AM · c'est le vecteur AM · vec AM · vect AM · vec(AM) · vect(AM) · -MA · -vecteur MA · - le vecteur MA · moins MA · AM→ · →AM · \vec{AM} · \overrightarrow{AM} · \vec AM

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace le vecteur CD→\overrightarrow{CD} par un vecteur qui lui est égal et qui part de B.B.
  2. Le vecteur BM→\overrightarrow{BM} est égal au vecteur CD→.\overrightarrow{CD}. Les lettres s'enchaînent alors en B.B.AB→+CD→=AB→+BM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}

Correction

  1. Bout à bout — On remplace le vecteur CD→\overrightarrow{CD} par le vecteur égal BM→.\overrightarrow{BM}. En vecteurs :AB→+CD→=AB→+BM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}
  2. Chasles — AB→+BM→=AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM}

Bout à bout : on fait partir le second vecteur de l'extrémité du premier, puis on applique Chasles. Cette construction marche toujours.

Pièges anticipés

  • MA / vecteur MA / le vecteur MA / c'est MA / c'est le vecteur MA / -AM / -vecteur AM / - le vecteur AM / moins AM / MA→ / →MA / \vec{MA} / \overrightarrow{MA} → Tu as trouvé l'opposé. La somme part de A,A, l'origine du premier vecteur.
  • AD / vecteur AD / le vecteur AD / c'est AD / \vec{AD} / \overrightarrow{AD} → Tu as « collé » les lettres AA et D,D, mais BB et CC sont deux points différents : Chasles ne s'applique pas directement. Il faut d'abord remplacer le vecteur CD→\overrightarrow{CD} par le vecteur égal BM→.\overrightarrow{BM}.

Exercice 33 · base

Sur une droite, même sens

K,K, LL et NN sont trois points alignés, et les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont de même sens, avec KL=3KL = 3 centimètres et KN=5KN = 5 centimètres. Le point PP vérifie l'égalité vectorielle KP→=KL→+KN→.\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN}.

Calculer la longueur KP.KP.

Donner KPKP en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Mets les vecteurs bout à bout : place le point PP tel que le vecteur LP→\overrightarrow{LP} soit égal au vecteur KN→.\overrightarrow{KN}.
  2. Les deux vecteurs sont sur la même droite et dans le même sens : on avance de 3,3, puis encore de 55 dans la même direction.

Correction

  1. Bout à bout — Le vecteur LP→\overrightarrow{LP} est égal au vecteur KN→,\overrightarrow{KN}, et Chasles donne KP→=KL→+LP→.\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LP}.
  2. Même sens — PP reste sur la droite, et les deux pas vont dans le même sens : les longueurs s'ajoutent.KP=KL+KN=3+5=8KP = KL + KN = 3 + 5 = 8

Pour deux vecteurs de même direction et même sens, la longueur de la somme est la somme des longueurs. C'est le seul cas où c'est vrai.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as soustrait les longueurs : ce serait le cas pour des vecteurs de sens contraires. Ici ils sont de même sens : on avance deux fois dans la même direction.

Exercice 34 · pratique

Sur une droite, sens contraires

K,K, LL et NN sont trois points alignés, KK est entre LL et N,N, avec KL=7KL = 7 centimètres et KN=3KN = 3 centimètres. Le point PP vérifie l'égalité vectorielle KP→=KL→+KN→.\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN}.

Calculer la longueur KP.KP.

Donner KPKP en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. KK est entre LL et NN : les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont-ils de même sens ?
  2. Ils sont de sens contraires : on avance de 77 vers L,L, puis on recule de 3.3.

Correction

  1. Le sens — KK est entre LL et NN : les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} ont même direction et des sens contraires.
  2. Bout à bout — On place PP tel que le vecteur LP→\overrightarrow{LP} soit égal au vecteur KN→\overrightarrow{KN} : depuis L,L, on revient de 33 vers K.K. PP est sur [KL].[KL].KP=KL−KN=7−3=4KP = KL - KN = 7 - 3 = 4

Pour deux vecteurs de même direction et de sens contraires, on retranche la plus courte longueur de la plus longue. Le résultat a le sens du plus long.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as ajouté les longueurs. Mais KK est entre LL et NN : les deux vecteurs sont de sens contraires, l'un défait une partie de l'autre.
  • -4 → Une longueur n'est jamais négative. Les sens contraires obligent à soustraire, mais on retranche la plus courte de la plus longue.

Exercice 35 · pratique

Le quadrilatère de la construction

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points, et les points B,B, C,C, DD ne sont pas alignés. Pour construire la somme AB→+CD→,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}, on place le point MM tel que BM→=CD→.\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CD}.

Quelle est la nature du quadrilatère CDMBCDMB ?

Donner sa nature, en un mot.

Réponse attendue : parallélogramme — aussi acceptées : un parallélogramme · c'est un parallélogramme · CDMB est un parallélogramme · le quadrilatère CDMB est un parallélogramme · parallélogramme CDMB

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur BM→\overrightarrow{BM} est égal au vecteur CD→.\overrightarrow{CD}. Que dit l'égalité de deux vecteurs sur les quatre points ?
  2. Rappel du cours sur les vecteurs égaux : CD→=BM→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BM} équivaut à « [CM][CM] et [DB][DB] ont le même milieu ».

Correction

  1. Vecteurs égaux — Le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est égal au vecteur BM→\overrightarrow{BM} : les segments [CM][CM] et [DB][DB] ont le même milieu.
  2. La nature — Les diagonales [CM][CM] et [DB][DB] du quadrilatère CDMBCDMB ont le même milieu, et les points ne sont pas alignés : CDMBCDMB est un parallélogramme.

Construire bout à bout, c'est construire un parallélogramme : le vecteur CD→\overrightarrow{CD} glisse le long du côté [CB][CB] jusqu'à partir de B.B.

Pièges anticipés

  • rectangle / un rectangle / losange / un losange / carré / un carré → Rien ne dit que les côtés sont égaux ou perpendiculaires : les points sont quelconques. L'égalité des vecteurs donne seulement un parallélogramme.

Exercice 36 · pratique

Les parenthèses ne comptent pas

Simplifier la somme de vecteurs EF→+(GH→+FG→)\overrightarrow{EF} + \left(\overrightarrow{GH} + \overrightarrow{FG}\right) : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : EH — aussi acceptées : E H · vecteur EH · le vecteur EH · c'est EH · c'est le vecteur EH · vec EH · vect EH · vec(EH) · vect(EH) · -HE · -vecteur HE · - le vecteur HE · moins HE · EH→ · →EH · \vec{EH} · \overrightarrow{EH} · \vec EH

Indices, dans l’ordre

  1. Ni l'ordre des vecteurs ni la place des parenthèses ne changent une somme : tu peux tout ranger.
  2. Le vecteur EF→\overrightarrow{EF} finit en FF : lequel des deux autres part de FF ?EF→+FG→+GH→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH}

Correction

  1. Réordonner — On enlève les parenthèses et on range les vecteurs. En vecteurs :EF→+(GH→+FG→)=EF→+FG→+GH→\overrightarrow{EF} + \left(\overrightarrow{GH} + \overrightarrow{FG}\right) = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH}
  2. Chasles — EF→+FG→+GH→=EH→\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{EH}

Une somme de vecteurs se range librement, parenthèses comprises : on choisit l'ordre où les lettres s'enchaînent.

Pièges anticipés

  • HE / vecteur HE / le vecteur HE / c'est HE / c'est le vecteur HE / -EH / -vecteur EH / - le vecteur EH / moins EH / HE→ / →HE / \vec{HE} / \overrightarrow{HE} → Tu as trouvé l'opposé. La chaîne rangée part de EE et arrive en H.H.
  • FH / vecteur FH / le vecteur FH / c'est FH / \vec{FH} / \overrightarrow{FH} → Le vecteur FH→\overrightarrow{FH} est seulement la somme de la parenthèse. Il reste à lui ajouter le vecteur EF→,\overrightarrow{EF}, qui s'enchaîne en F.F.

Exercice 37 · pratique

Un vecteur à remplacer

ABCDABCD est un parallélogramme. Simplifier la somme de vecteurs AB→+CB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : DB — aussi acceptées : D B · vecteur DB · le vecteur DB · c'est DB · c'est le vecteur DB · vec DB · vect DB · vec(DB) · vect(DB) · -BD · -vecteur BD · - le vecteur BD · moins BD · DB→ · →DB · \vec{DB} · \overrightarrow{DB} · \vec DB

Indices, dans l’ordre

  1. Les lettres ne s'enchaînent pas, et les vecteurs n'ont pas la même origine. Remplace l'un d'eux par un vecteur égal, pris dans le parallélogramme.
  2. Dans ABCD,ABCD, le vecteur CB→\overrightarrow{CB} est égal au vecteur DA→,\overrightarrow{DA}, qui finit en A.A.

Correction

  1. Vecteur égal — ABCDABCD est un parallélogramme : ses côtés opposés donnent, en vecteurs :CB→=DA→\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}
  2. Réordonner — On remplace, puis on range pour que les lettres s'enchaînent. En vecteurs :AB→+CB→=DA→+AB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}
  3. Chasles — DA→+AB→=DB→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}

Quand rien ne s'enchaîne, on cherche dans la figure un vecteur égal qui fait s'enchaîner les lettres.

Pièges anticipés

  • BD / vecteur BD / le vecteur BD / c'est BD / c'est le vecteur BD / -DB / -vecteur DB / - le vecteur DB / moins DB / BD→ / →BD / \vec{BD} / \overrightarrow{BD} → Tu as trouvé l'opposé. Une fois rangée, la somme part de DD et arrive en B.B.
  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} / CA / vecteur CA / le vecteur CA / c'est CA / \vec{CA} / \overrightarrow{CA} → Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CB→\overrightarrow{CB} ont la même extrémité, pas la même origine : ni Chasles ni la règle du parallélogramme ne s'appliquent tels quels. Remplace le vecteur CB→\overrightarrow{CB} par le vecteur égal DA→.\overrightarrow{DA}.

Exercice 38 · raisonnement

Quatre points sur une droite

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points alignés, placés dans cet ordre, avec AB=2AB = 2 centimètres, BC=3BC = 3 centimètres et CD=4CD = 4 centimètres.

Calculer la longueur du vecteur AB→+DC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}.

Donner la longueur en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs ont la même direction. Sont-ils de même sens ? Regarde dans quel ordre on lit les lettres.
  2. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} va dans le sens de AA vers DD ; le vecteur DC→\overrightarrow{DC} va en sens contraire. On retranche donc les longueurs.

Correction

  1. Les sens — Les points sont dans l'ordre A,A, B,B, C,C, DD : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} avance vers D,D, le vecteur DC→\overrightarrow{DC} revient vers A.A. Même direction, sens contraires.
  2. La longueur — On retranche la plus courte longueur de la plus longue : le vecteur somme a le sens du vecteur DC→.\overrightarrow{DC}.DC−AB=4−2=2DC - AB = 4 - 2 = 2

La somme mesure 22 centimètres, dans le sens du vecteur DC→.\overrightarrow{DC}. Avant d'ajouter ou de soustraire des longueurs, on regarde toujours les sens.

Pièges anticipés

  • 6 → Tu as ajouté les longueurs. Mais le vecteur DC→\overrightarrow{DC} est lu de DD vers CC : il va en sens contraire du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  • -2 → Une longueur n'est jamais négative : on retranche la plus courte, 2,2, de la plus longue, 4.4.
  • 9 → AD=9AD = 9 centimètres, mais la somme n'est pas le vecteur AD→\overrightarrow{AD} : le vecteur DC→\overrightarrow{DC} part de D,D, pas de B,B, et il va vers la gauche.

Exercice 39 · raisonnement

Un point de plus dans le parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme, et EE est le point qui vérifie l'égalité vectorielle DE→=AC→.\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC}.

Simplifier la somme de vecteurs AB→+CE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AC — aussi acceptées : A C · vecteur AC · le vecteur AC · c'est AC · c'est le vecteur AC · vec AC · vect AC · vec(AC) · vect(AC) · -CA · -vecteur CA · - le vecteur CA · moins CA · AC→ · →AC · \vec{AC} · \overrightarrow{AC} · \vec AC · DE · D E · vecteur DE · le vecteur DE · c'est DE · c'est le vecteur DE · vec DE · vect DE · vec(DE) · vect(DE) · -ED · -vecteur ED · - le vecteur ED · moins ED · DE→ · →DE · \vec{DE} · \overrightarrow{DE} · \vec DE

Indices, dans l’ordre

  1. Coupe le vecteur CE→\overrightarrow{CE} en DD avec Chasles : le vecteur DE→\overrightarrow{DE} est connu.CE→=CD→+DE→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}
  2. Dans le parallélogramme, que vaut la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ?

Correction

  1. Chasles — On insère DD dans le vecteur CE→.\overrightarrow{CE}. En vecteurs :AB→+CE→=AB→+CD→+DE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}
  2. Les opposés — Dans ABCD,ABCD, le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est l'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : leur somme est nulle. En vecteurs :AB→+CD→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \vec{0}
  3. Il reste le vecteur DE→,\overrightarrow{DE}, égal au vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. En vecteurs :AB→+CE→=DE→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC}

Insérer le bon point fait apparaître des vecteurs opposés qui s'annulent. Les vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et DE→\overrightarrow{DE} sont égaux : les deux réponses sont justes.

Pièges anticipés

  • CA / vecteur CA / le vecteur CA / c'est CA / c'est le vecteur CA / -AC / -vecteur AC / - le vecteur AC / moins AC / CA→ / →CA / \vec{CA} / \overrightarrow{CA} / ED / vecteur ED / -DE → Tu as trouvé l'opposé du résultat. Reprends le sens de chaque vecteur.
  • AE / vecteur AE / le vecteur AE / c'est AE / \vec{AE} / \overrightarrow{AE} → Tu as « collé » les lettres AA et E,E, mais BB et CC sont deux points différents : Chasles ne s'applique pas directement. Insère d'abord le point DD dans le vecteur CE→.\overrightarrow{CE}.

Exercice 40 · defi

Où est le point P ?

K,K, LL et NN sont trois points alignés, KK est entre LL et N,N, avec KL=5KL = 5 centimètres et KN=2KN = 2 centimètres. Le point PP vérifie l'égalité vectorielle KP→=KL→+KN→.\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN}.

Calculer la longueur NP.NP.

Donner NPNP en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par placer PP : les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont de sens contraires. Quelle est la longueur KP,KP, et de quel côté de KK se trouve PP ?
  2. KP=3KP = 3 centimètres, du côté de L.L. Et NN est de l'autre côté de K.K.
  3. Autre chemin, plus rapide : avec Chasles, écris le vecteur NP→\overrightarrow{NP} en passant par K.K.NP→=NK→+KP→\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{KP}

Correction

  1. Chasles — On insère K,K, puis on remplace le vecteur KP→.\overrightarrow{KP}. En vecteurs :NP→=NK→+KL→+KN→\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KN}
  2. Les opposés — Les vecteurs NK→\overrightarrow{NK} et KN→\overrightarrow{KN} sont opposés : ils s'annulent. En vecteurs :NP→=KL→\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{KL}
  3. La longueur — Deux vecteurs égaux ont la même longueur.NP=KL=5NP = KL = 5

On vérifie sur la droite : PP est à 33 centimètres de KK du côté de L,L, et NN à 22 centimètres de l'autre côté, donc NP=3+2=5.NP = 3 + 2 = 5. Le calcul vectoriel évite d'avoir à placer les points.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 centimètres, c'est la longueur KP.KP. On demande NP,NP, et NN est de l'autre côté de K.K.
  • 7 → Tu as ajouté KLKL et KN.KN. Mais les vecteurs KL→\overrightarrow{KL} et KN→\overrightarrow{KN} sont de sens contraires, et on demande la longueur NPNP : écris le vecteur NP→\overrightarrow{NP} avec Chasles.
  • 1 → Tu as retranché KNKN de KP,KP, comme si NN et PP étaient du même côté de K.K. Or PP est du côté de L,L, et NN de l'autre côté.

Exercice 41 · base

Aller et retour

AA et BB sont deux points distincts. Simplifier la somme de vecteurs AB→+BA→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : vecteur nul · le vecteur nul · c'est le vecteur nul · nul · 0→ · →0 · \vec{0} · \vec 0 · vec(0) · vect(0) · vecteur 0 · AA · BB

Indices, dans l’ordre

  1. Les lettres s'enchaînent en BB : applique la relation de Chasles.
  2. On va de AA à B,B, puis on revient de BB à AA : où arrive-t-on ?

Correction

  1. Chasles — Les lettres s'enchaînent en B.B. En vecteurs :AB→+BA→=AA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}
  2. Le vecteur nul — Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} ne déplace aucun point : c'est le vecteur nul.AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés : leur somme est le vecteur nul, et on écrit BA→=−AB→.\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

Pièges anticipés

  • 2AB / 2 AB / 2BA → Les deux vecteurs ont la même longueur mais des sens contraires : ils ne s'ajoutent pas, ils s'annulent. Applique Chasles : AB→+BA→=AA→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}.
  • AB / vecteur AB / le vecteur AB / c'est AB / \vec{AB} / \overrightarrow{AB} / BA / vecteur BA / le vecteur BA / c'est BA / \vec{BA} / \overrightarrow{BA} → Applique la relation de Chasles jusqu'au bout : on part de A,A, on passe par B,B, et on revient en A.A.

Exercice 42 · base

L'opposé d'un vecteur

MM et NN sont deux points distincts. Écrire le vecteur −MN→,-\overrightarrow{MN}, opposé du vecteur MN→,\overrightarrow{MN}, avec ses deux lettres.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : NM — aussi acceptées : N M · vecteur NM · le vecteur NM · c'est NM · c'est le vecteur NM · vec NM · vect NM · vec(NM) · vect(NM) · NM→ · →NM · \vec{NM} · \overrightarrow{NM} · \vec NM

Indices, dans l’ordre

  1. L'opposé d'un vecteur a la même direction et la même longueur. Qu'est-ce qui change ?
  2. Le sens est inversé : on fait le trajet à l'envers. Il suffit d'échanger l'origine et l'extrémité.

Correction

  1. Les opposés — La relation de Chasles donne MN→+NM→=MM→=0⃗\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MM} = \vec{0} : les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et NM→\overrightarrow{NM} sont opposés.
  2. −MN→=NM→-\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NM}

Pour écrire l'opposé d'un vecteur nommé par deux points, on échange ses deux lettres : −MN→=NM→.-\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NM}.

Pièges anticipés

  • MN / vecteur MN / le vecteur MN / \vec{MN} / \overrightarrow{MN} → C'est le vecteur de départ. Son opposé va dans l'autre sens : de NN vers M.M.

Exercice 43 · base

Depuis le milieu

II est le milieu du segment [AB].[AB]. Simplifier la somme de vecteurs IA→+IB→.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : vecteur nul · le vecteur nul · c'est le vecteur nul · nul · 0→ · →0 · \vec{0} · \vec 0 · vec(0) · vect(0) · vecteur 0 · AA · BB · II

Indices, dans l’ordre

  1. Depuis le milieu, les vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} ont la même longueur. Et leurs sens ?
  2. II est le milieu de [AB][AB] : le vecteur IB→\overrightarrow{IB} est égal au vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. Remplace-le, puis applique Chasles.

Correction

  1. Le milieu — II est le milieu de [AB][AB] : le vecteur IB→\overrightarrow{IB} est égal au vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. En vecteurs :IA→+IB→=IA→+AI→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AI}
  2. Chasles — IA→+AI→=II→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{II} = \vec{0}

II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} : les vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés.

Pièges anticipés

  • AB / vecteur AB / le vecteur AB / c'est AB / \vec{AB} / \overrightarrow{AB} / BA / vecteur BA / le vecteur BA / c'est BA / \vec{BA} / \overrightarrow{BA} → Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} serait la somme des vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et IB→.\overrightarrow{IB}. Ici, le premier vecteur est IA→\overrightarrow{IA} : il va de II vers A,A, dans le sens contraire du vecteur IB→.\overrightarrow{IB}.
  • 2IA / 2IB / 2 IA / 2 IB → Les vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} ont la même longueur, mais des sens contraires : ils s'annulent, ils ne s'ajoutent pas.

Exercice 44 · pratique

Une soustraction

A,A, BB et CC sont trois points. Simplifier AC→−BC→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : AB — aussi acceptées : A B · vecteur AB · le vecteur AB · c'est AB · c'est le vecteur AB · vec AB · vect AB · vec(AB) · vect(AB) · -BA · -vecteur BA · - le vecteur BA · moins BA · AB→ · →AB · \vec{AB} · \overrightarrow{AB} · \vec AB

Indices, dans l’ordre

  1. Retrancher un vecteur, c'est ajouter son opposé.−BC→=CB→-\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}
  2. Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} finit en C,C, et le vecteur CB→\overrightarrow{CB} part de C.C.

Correction

  1. L'opposé — On remplace −BC→-\overrightarrow{BC} par le vecteur opposé CB→.\overrightarrow{CB}. En vecteurs :AC→−BC→=AC→+CB→\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}
  2. Chasles — AC→+CB→=AB→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}

Devant une différence de vecteurs : on retourne le vecteur retranché, −BC→=CB→,-\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}, puis on applique Chasles.

Pièges anticipés

  • BA / vecteur BA / le vecteur BA / c'est BA / c'est le vecteur BA / -AB / -vecteur AB / - le vecteur AB / moins AB / BA→ / →BA / \vec{BA} / \overrightarrow{BA} → Tu as trouvé l'opposé. Après avoir retourné le vecteur retranché, la chaîne part de AA et arrive en B.B.
  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} → Le vecteur BC→\overrightarrow{BC} n'est pas nul : on ne peut pas le faire disparaître. Retranche-le en ajoutant son opposé CB→.\overrightarrow{CB}.

Exercice 45 · pratique

Deux vecteurs de même origine qu'on retranche

A,A, BB et CC sont trois points. Simplifier AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : CB — aussi acceptées : C B · vecteur CB · le vecteur CB · c'est CB · c'est le vecteur CB · vec CB · vect CB · vec(CB) · vect(CB) · -BC · -vecteur BC · - le vecteur BC · moins BC · CB→ · →CB · \vec{CB} · \overrightarrow{CB} · \vec CB

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace −AC→-\overrightarrow{AC} par le vecteur opposé, écrit avec les mêmes lettres.
  2. Tu obtiens le vecteur AB→\overrightarrow{AB} plus le vecteur CA→.\overrightarrow{CA}. Change l'ordre pour que les lettres s'enchaînent.

Correction

  1. L'opposé — −AC→=CA→.-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}. En vecteurs :AB→−AC→=AB→+CA→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}
  2. Réordonner — On échange les deux vecteurs, et les lettres s'enchaînent en A.A. En vecteurs :CA→+AB→=CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}

Un résultat qui sert souvent : AB→−AC→=CB→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}. On part de l'extrémité du vecteur retranché, et on arrive à l'extrémité de l'autre.

Pièges anticipés

  • BC / vecteur BC / le vecteur BC / c'est BC / c'est le vecteur BC / -CB / -vecteur CB / - le vecteur CB / moins CB / BC→ / →BC / \vec{BC} / \overrightarrow{BC} → C'est l'erreur la plus fréquente. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} moins le vecteur AC→\overrightarrow{AC} donne le vecteur AB→\overrightarrow{AB} plus le vecteur CA→\overrightarrow{CA} ; rangés, ils vont de CC à AA puis de AA à BB : le résultat part de C.C.

Exercice 46 · pratique

Une somme qui revient au départ

E,E, FF et GG sont trois points. Simplifier EF→−GF→+GE→.\overrightarrow{EF} - \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GE}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : vecteur nul · le vecteur nul · c'est le vecteur nul · nul · 0→ · →0 · \vec{0} · \vec 0 · vec(0) · vect(0) · vecteur 0 · EE · FF · GG

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par remplacer le vecteur retranché par son opposé.−GF→=FG→-\overrightarrow{GF} = \overrightarrow{FG}
  2. Tu as maintenant trois vecteurs qui s'enchaînent : E,E, puis F,F, puis GG… où arrive-t-on ?

Correction

  1. L'opposé — EF→−GF→+GE→=EF→+FG→+GE→\overrightarrow{EF} - \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE}
  2. Chasles — De EE à F,F, de FF à G,G, de GG à EE : on revient au point de départ.EF→+FG→+GE→=EE→=0⃗\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EE} = \vec{0}

Une chaîne qui revient à son point de départ donne le vecteur nul : EF→+FG→+GE→=0⃗\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} = \vec{0} pour tout triangle EFG.EFG.

Pièges anticipés

  • 2GF / 2 GF → Le signe −- devant le vecteur GF→\overrightarrow{GF} compte : sans lui, on trouve GE→+EF→+GF→=2 GF→.\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GF} = 2\,\overrightarrow{GF}. Or −GF→=FG→-\overrightarrow{GF} = \overrightarrow{FG} : avec lui, les trois vecteurs s'enchaînent et reviennent en E.E.
  • EG / vecteur EG / le vecteur EG / c'est EG / \vec{EG} / \overrightarrow{EG} / GE / vecteur GE / le vecteur GE / c'est GE / \vec{GE} / \overrightarrow{GE} → Tu n'as pas tout utilisé : après le vecteur EG→,\overrightarrow{EG}, il reste le vecteur GE→,\overrightarrow{GE}, qui ramène en E.E.

Exercice 47 · raisonnement

Le point M

AA et BB sont deux points distincts, et MM est le point qui vérifie l'égalité vectorielle AM→+BA→=0⃗.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}.

Quel est le point MM ?

Écrire seulement la lettre du point.

Réponse attendue : B — aussi acceptées : le point B · point B · c'est B · c'est le point B · M=B · M = B · M est B · M est le point B

Indices, dans l’ordre

  1. Si la somme de deux vecteurs est nulle, ces deux vecteurs sont opposés.
  2. Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est donc l'opposé du vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, c'est-à-dire le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Les opposés — La somme est nulle : le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est l'opposé du vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. En vecteurs :AM→=−BA→=AB→\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB}
  2. Le point — Deux vecteurs égaux de même origine AA ont la même extrémité.M=BM = B

Quand une somme de deux vecteurs est nulle, chacun est l'opposé de l'autre. Deux vecteurs égaux qui partent du même point arrivent au même point.

Pièges anticipés

  • A / le point A / point A / c'est A / M=A / M = A → Avec M=A,M = A, le vecteur AM→\overrightarrow{AM} serait nul, et la somme vaudrait le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, qui n'est pas nul. Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} doit être l'opposé du vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Exercice 48 · raisonnement

Le vecteur qu'il faut ajouter

A,A, BB et CC sont trois points. Déterminer le vecteur w⃗,\vec{w}, écrit avec deux de ces points, qui vérifie l'égalité vectorielle AB→+w⃗=AC→.\overrightarrow{AB} + \vec{w} = \overrightarrow{AC}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : BC — aussi acceptées : B C · vecteur BC · le vecteur BC · c'est BC · c'est le vecteur BC · vec BC · vect BC · vec(BC) · vect(BC) · -CB · -vecteur CB · - le vecteur CB · moins CB · BC→ · →BC · \vec{BC} · \overrightarrow{BC} · \vec BC

Indices, dans l’ordre

  1. Ajoute le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, opposé du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, aux deux membres : à gauche, il annule le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. Il reste w⃗=BA→+AC→\vec{w} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} : les lettres s'enchaînent.

Correction

  1. Isoler — On ajoute le vecteur BA→\overrightarrow{BA} aux deux membres. À gauche, BA→+AB→=0⃗.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}. En vecteurs :w⃗=BA→+AC→\vec{w} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}
  2. Chasles — w⃗=BC→\vec{w} = \overrightarrow{BC}

On isole un vecteur inconnu en ajoutant des opposés aux deux membres, comme pour une équation. On retrouve d'ailleurs Chasles : AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Pièges anticipés

  • CB / vecteur CB / le vecteur CB / c'est CB / c'est le vecteur CB / -BC / -vecteur BC / - le vecteur BC / moins BC / CB→ / →CB / \vec{CB} / \overrightarrow{CB} → Avec le vecteur CB→,\overrightarrow{CB}, les lettres ne mèneraient pas de AA à C.C. Le vecteur cherché doit partir de B,B, où finit le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et arriver en C.C.

Exercice 49 · raisonnement

Deux différences

A,A, BB et CC sont trois points. Simplifier AB→−CB→−AC→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : vecteur nul · le vecteur nul · c'est le vecteur nul · nul · 0→ · →0 · \vec{0} · \vec 0 · vec(0) · vect(0) · vecteur 0 · AA · BB · CC

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace chaque vecteur retranché par son opposé.
  2. Tu obtiens trois vecteurs. En les rangeant, ils forment une chaîne : où commence-t-elle, où finit-elle ?AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}

Correction

  1. Les opposés — −CB→=BC→-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC} et −AC→=CA→.-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}. En vecteurs :AB→−CB→−AC→=AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}
  2. Chasles — On part de AA et on revient en A.A.AB→+BC→+CA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}

Chaque signe −- retourne un vecteur. Une fois tous les signes changés en +,+, Chasles fait le reste.

Pièges anticipés

  • 2AC / 2 AC / 2CB / 2 CB → Un des deux signes −- a été oublié : on trouve alors 2 AC→2\,\overrightarrow{AC} ou 2 CB→.2\,\overrightarrow{CB}. Retourne chaque vecteur retranché : −CB→=BC→-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC} et −AC→=CA→.-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}.
  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} / CA / vecteur CA / le vecteur CA / c'est CA / \vec{CA} / \overrightarrow{CA} → Tu n'as pas tout utilisé : la somme des deux premiers termes est le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, mais il reste encore à retrancher le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.

Exercice 50 · defi

Une égalité à quatre points

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points. Déterminer le vecteur w⃗,\vec{w}, écrit avec deux de ces points, qui vérifie l'égalité vectorielle AB→−CD→=AC→+w⃗.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \vec{w}.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : DB — aussi acceptées : D B · vecteur DB · le vecteur DB · c'est DB · c'est le vecteur DB · vec DB · vect DB · vec(DB) · vect(DB) · -BD · -vecteur BD · - le vecteur BD · moins BD · DB→ · →DB · \vec{DB} · \overrightarrow{DB} · \vec DB

Indices, dans l’ordre

  1. Fais apparaître le vecteur AC→\overrightarrow{AC} à gauche : insère le point CC dans le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. Il te reste le vecteur CB→\overrightarrow{CB} et −CD→=DC→.-\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC}. Range-les pour que les lettres s'enchaînent.

Correction

  1. Insérer C — Par Chasles, et en retournant le vecteur retranché. En vecteurs :AB→−CD→=AC→+CB→+DC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}
  2. Réordonner — Les vecteurs DC→\overrightarrow{DC} et CB→\overrightarrow{CB} s'enchaînent en C.C. En vecteurs :DC→+CB→=DB→\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}
  3. AB→−CD→=AC→+DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}

On a ainsi démontré l'égalité AB→−CD→=AC→+DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} pour quatre points quelconques : on insère le point qui fait apparaître le vecteur voulu, on retourne ce qui est retranché, et on regroupe.

Pièges anticipés

  • BD / vecteur BD / le vecteur BD / c'est BD / c'est le vecteur BD / -DB / -vecteur DB / - le vecteur DB / moins DB / BD→ / →BD / \vec{BD} / \overrightarrow{BD} → Tu as trouvé l'opposé. Attention au signe −- devant le vecteur CD→\overrightarrow{CD} : il se retourne en DC→,\overrightarrow{DC}, qui part de D.D.
  • CB / vecteur CB / le vecteur CB / c'est CB / \vec{CB} / \overrightarrow{CB} / BC / vecteur BC / le vecteur BC / c'est BC / \vec{BC} / \overrightarrow{BC} → Tu as oublié le vecteur retranché. Après avoir inséré C,C, il reste CB→+DC→,\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}, et non le seul vecteur CB→.\overrightarrow{CB}.

Exercice 51 · defi

Autour du centre

ABCDABCD est un parallélogramme de centre O.O. Simplifier la somme de vecteurs OA→+OB→+CD→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{CD} : l'écrire comme un seul vecteur nommé par deux sommets du parallélogramme.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : CA — aussi acceptées : C A · vecteur CA · le vecteur CA · c'est CA · c'est le vecteur CA · vec CA · vect CA · vec(CA) · vect(CA) · -AC · -vecteur AC · - le vecteur AC · moins AC · CA→ · →CA · \vec{CA} · \overrightarrow{CA} · \vec CA

Indices, dans l’ordre

  1. OO est le milieu de [AC][AC] : le vecteur OA→\overrightarrow{OA} est égal au vecteur CO→.\overrightarrow{CO}. Remplace-le.
  2. Les vecteurs CO→\overrightarrow{CO} et OB→\overrightarrow{OB} s'enchaînent. Dans le parallélogramme, le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Correction

  1. Le centre — OO est le milieu de [AC].[AC]. En vecteurs :OA→=CO→\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}
  2. Chasles — CO→+OB→=CB→\overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CB}
  3. Le côté opposé — ABCDABCD est un parallélogramme. En vecteurs :CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}
  4. On enchaîne les deux derniers. En vecteurs :CB→+BA→=CA→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : depuis le centre, les vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et OC→\overrightarrow{OC} sont opposés. C'est ce qui permet de remplacer un vecteur par un autre qui s'enchaîne.

Pièges anticipés

  • AC / vecteur AC / le vecteur AC / c'est AC / c'est le vecteur AC / -CA / -vecteur CA / - le vecteur CA / moins CA / AC→ / →AC / \vec{AC} / \overrightarrow{AC} → Tu as trouvé l'opposé. Le vecteur OA→\overrightarrow{OA} est égal au vecteur CO→,\overrightarrow{CO}, qui part de CC : la somme part de C.C.
  • AB / vecteur AB / le vecteur AB / c'est AB / \vec{AB} / \overrightarrow{AB} / BA / vecteur BA / le vecteur BA / c'est BA / \vec{BA} / \overrightarrow{BA} → Le vecteur OA→\overrightarrow{OA} n'est pas égal au vecteur AO→\overrightarrow{AO} : il en est l'opposé. Depuis le centre, c'est le vecteur CO→\overrightarrow{CO} qui lui est égal.

Exercice 52 · base

De l'abscisse au vecteur

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B),(A, B), et le point MM a pour abscisse −2-2 dans ce repère.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle MA→=k AB→.\overrightarrow{MA} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Par définition, MM est d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B)(A, B) quand le vecteur AM→\overrightarrow{AM} vaut α\alpha fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. On demande le vecteur MA→,\overrightarrow{MA}, pas le vecteur AM→\overrightarrow{AM} : ces deux vecteurs sont opposés.

Correction

  1. La définition — MM a pour abscisse −2-2 dans le repère (A,B)(A, B) : par définition, en vecteurs :AM→=−2 AB→\overrightarrow{AM} = -2\,\overrightarrow{AB}
  2. L'opposé — Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} est l'opposé du vecteur AM→\overrightarrow{AM} : le signe change.MA→=−AM→=2 AB→\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM} = 2\,\overrightarrow{AB}

L'abscisse de MM donne le vecteur AM→,\overrightarrow{AM}, qui part de A.A. Pour le vecteur MA→,\overrightarrow{MA}, on retourne le vecteur : le réel change de signe.

Pièges anticipés

  • -2 → −2-2 est le réel du vecteur AM→,\overrightarrow{AM}, qui part de A.A. Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} va dans l'autre sens, de MM vers AA : le signe change.

Exercice 53 · base

Une longueur à partir du réel

AA et BB sont deux points tels que AB=4AB = 4 centimètres, et MM est le point qui vérifie l'égalité vectorielle AM→=−34 AB→.\overrightarrow{AM} = -\tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}.

Calculer la longueur AM.AM.

Donner AMAM en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Pour une longueur, le signe du réel ne compte pas : il dit seulement le sens.AM=∣α∣×ABAM = |\alpha| \times AB
  2. Ici ∣α∣=34|\alpha| = \tfrac{3}{4} : prends les trois quarts de la longueur AB.AB.

Correction

  1. La longueur — Les longueurs vérifient AM=∣α∣×AB,AM = |\alpha| \times AB, avec α=−34.\alpha = -\tfrac{3}{4}.AM=34×4AM = \tfrac{3}{4} \times 4
  2. AM=3 centimeˋtresAM = 3 \text{ centimètres}

Le signe −- place MM de l'autre côté de AA par rapport à BB ; la longueur, elle, est toujours positive : AM=∣α∣×AB.AM = |\alpha| \times AB.

Pièges anticipés

  • -3 → Une longueur n'est jamais négative. Le signe −- dit le sens du vecteur ; pour la longueur, on prend la valeur absolue du réel.
  • 16/3 → Tu as divisé 44 par 34.\tfrac{3}{4}. On multiplie la longueur ABAB par 34\tfrac{3}{4} : MM est plus près de AA que B.B.

Exercice 54 · base

Additionner des multiples

AA et BB sont deux points distincts. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle 2 AB→+3 AB→=k AB→.2\,\overrightarrow{AB} + 3\,\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. On calcule avec ces produits comme avec des nombres : deux fois un vecteur, plus trois fois le même vecteur…
  2. Mets le vecteur AB→\overrightarrow{AB} en facteur : il ne reste qu'à combiner les deux réels qui le multiplient.

Correction

  1. Regrouper — On ajoute les réels qui multiplient le même vecteur. En vecteurs :2 AB→+3 AB→=(2+3) AB→=5 AB→2\,\overrightarrow{AB} + 3\,\overrightarrow{AB} = (2 + 3)\,\overrightarrow{AB} = 5\,\overrightarrow{AB}

Des multiples d'un même vecteur s'ajoutent comme des nombres : on ajoute les réels, et le vecteur reste.

Pièges anticipés

  • 6 → Tu as multiplié 22 par 3.3. On ajoute deux fois le vecteur et trois fois le vecteur : cela fait cinq fois le vecteur.

Exercice 55 · pratique

Développer puis réduire

A,A, BB et CC sont trois points non alignés. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle 2(AB→+BC→)−AC→=k AC→.2\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) - \overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AC}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 1

Indices, dans l’ordre

  1. Simplifie d'abord la parenthèse avec la relation de Chasles.
  2. La parenthèse vaut le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Il reste deux fois ce vecteur, moins une fois.

Correction

  1. Chasles — Dans la parenthèse, les lettres s'enchaînent en B.B. En vecteurs :AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
  2. Réduire — 2 AC→−AC→=(2−1) AC→=AC→2\,\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = (2 - 1)\,\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}

k=1.k = 1. On simplifie d'abord ce qui peut l'être avec Chasles, puis on compte les multiples du même vecteur.

Pièges anticipés

  • 3 → Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est retranché : on enlève une fois ce vecteur, on ne l'ajoute pas.
  • 0 → Le facteur 22 s'applique à toute la parenthèse : elle vaut le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, compté deux fois.

Exercice 56 · pratique

Un produit de produits

AA et BB sont deux points distincts. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle −2(34 AB→)=k AB→.-2\left(\tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}\right) = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -3/2 — aussi acceptées : -1.5

Indices, dans l’ordre

  1. On calcule comme avec des nombres : multiplier par β,\beta, puis par α,\alpha, c'est multiplier par le produit αβ.\alpha\beta.α(β u⃗)=(αβ) u⃗\alpha(\beta\,\vec{u}) = (\alpha\beta)\,\vec{u}
  2. Calcule le produit −2×34-2 \times \tfrac{3}{4} en pensant à la règle des signes, puis simplifie la fraction.

Correction

  1. Le produit — On multiplie les deux réels entre eux.−2(34 AB→)=(−2×34)AB→-2\left(\tfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}\right) = \left(-2 \times \tfrac{3}{4}\right)\overrightarrow{AB}
  2. k=−64=−32k = -\tfrac{6}{4} = -\tfrac{3}{2}

α(β u⃗)=(αβ) u⃗\alpha(\beta\,\vec{u}) = (\alpha\beta)\,\vec{u} : les réels se multiplient entre eux, et le signe suit la règle des signes.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → Tu as oublié le signe : −2-2 fois un nombre positif donne un nombre négatif.
  • -5/4 / -1.25 → Tu as additionné les deux réels. On multiplie un vecteur déjà multiplié : les réels se multiplient.

Exercice 57 · pratique

Changer d'origine

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B),(A, B), et le point MM a pour abscisse 33 dans ce repère.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle BM→=k AB→.\overrightarrow{BM} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse donne le vecteur AM→\overrightarrow{AM} en fonction du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Pour le vecteur BM→,\overrightarrow{BM}, passe par AA avec Chasles.BM→=BA→+AM→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM}
  2. Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} est l'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : il vaut −1-1 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. L'abscisse — AM→=3 AB→\overrightarrow{AM} = 3\,\overrightarrow{AB}
  2. Chasles — On insère AA dans le vecteur BM→.\overrightarrow{BM}. En vecteurs :BM→=BA→+AM→=−AB→+3 AB→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + 3\,\overrightarrow{AB}
  3. BM→=2 AB→\overrightarrow{BM} = 2\,\overrightarrow{AB}

k=2k = 2 : de B,B, d'abscisse 1,1, à M,M, d'abscisse 3,3, il y a deux pas. La différence des abscisses donne le vecteur entre deux points.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est l'abscisse de MM : elle donne le vecteur AM→,\overrightarrow{AM}, qui part de A.A. Le vecteur BM→\overrightarrow{BM} part de B,B, d'abscisse 1.1.
  • 4 → Tu as ajouté les abscisses de BB et de M.M. Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} est l'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : il compte −1.-1.

Exercice 58 · pratique

Deux points sur la droite graduée

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B),(A, B), avec AB=6AB = 6 centimètres. Le point MM a pour abscisse −13,-\tfrac{1}{3}, et le point NN a pour abscisse 12.\tfrac{1}{2}.

Calculer la longueur MN.MN.

Donner MNMN en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. MM et NN sont-ils du même côté de AA ? Regarde le signe de leurs abscisses.
  2. Ils sont de part et d'autre de AA : la longueur MNMN est la somme des longueurs AMAM et AN,AN, chacune égale à la valeur absolue de l'abscisse fois AB.AB.

Correction

  1. Les longueurs — AM=13×6=2AM = \tfrac{1}{3} \times 6 = 2 et AN=12×6=3.AN = \tfrac{1}{2} \times 6 = 3.
  2. Les côtés — L'abscisse de MM est négative, celle de NN positive : AA est entre MM et N.N.MN=AM+AN=2+3=5MN = AM + AN = 2 + 3 = 5

Autre méthode : l'écart des abscisses, 12−(−13)=56,\tfrac{1}{2} - \left(-\tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{5}{6}, multiplié par l'unité AB=6,AB = 6, donne MN=5MN = 5 centimètres.

Pièges anticipés

  • 1 → Tu as retranché AMAM de AN,AN, comme si MM et NN étaient du même côté de A.A. Or l'abscisse de MM est négative : AA est entre MM et N.N.

Exercice 59 · raisonnement

Le milieu sur la droite

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B).(A, B). Le point MM a pour abscisse 3,3, le point NN a pour abscisse −1,-1, et II est le milieu du segment [MN].[MN].

Déterminer l'abscisse de II dans le repère (A,B).(A, B).

Écrire seulement le nombre.

Réponse attendue : 1

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [MN][MN] : pour le point A,A, la propriété du milieu donne AM→+AN→=2 AI→.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = 2\,\overrightarrow{AI}.
  2. Écris les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AN→\overrightarrow{AN} en fonction du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, grâce aux abscisses.

Correction

  1. Les abscisses — AM→=3 AB→;AN→=−AB→\overrightarrow{AM} = 3\,\overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AB}
  2. Le milieu — La propriété du milieu, appliquée au point A.A. En vecteurs :2 AI→=AM→+AN→=3 AB→−AB→=2 AB→2\,\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = 3\,\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AB}
  3. Donc le vecteur AI→\overrightarrow{AI} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : II est le point B.B.xI=1x_I = 1

L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses des extrémités : 3+(−1)2=1.\tfrac{3 + (-1)}{2} = 1. Ici, le milieu de [MN][MN] est le point BB lui-même.

Pièges anticipés

  • 2 → 22 est la moitié de l'écart entre les abscisses : c'est la distance de MM (ou de NN) au milieu. L'abscisse du milieu est la moyenne des deux abscisses.
  • 4 → 44 est l'écart entre les abscisses de MM et de NN : c'est la longueur MNMN mesurée avec l'unité AB.AB. Le milieu a pour abscisse la moyenne des deux abscisses.

Exercice 60 · raisonnement

Retrouver le réel

AA et BB sont deux points tels que AB=2AB = 2 centimètres. Le point MM est sur la droite (AB),(AB), avec AM=5AM = 5 centimètres, et les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont de sens contraires.

Déterminer l'abscisse de MM dans le repère (A,B).(A, B).

Écrire seulement le nombre : une fraction ou un nombre décimal.

Réponse attendue : -5/2 — aussi acceptées : -2.5

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse α\alpha de MM vérifie AM→=α AB→,\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB}, donc AM=∣α∣×AB.AM = |\alpha| \times AB. Cela donne la valeur absolue de α.\alpha.
  2. Les vecteurs sont de sens contraires : quel est le signe de α\alpha ?

Correction

  1. La valeur absolue — AM=∣α∣×AB,AM = |\alpha| \times AB, donc 5=∣α∣×2.5 = |\alpha| \times 2.∣α∣=52|\alpha| = \tfrac{5}{2}
  2. Le signe — Les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont de sens contraires : α\alpha est négatif.α=−52\alpha = -\tfrac{5}{2}

La longueur donne la valeur absolue du réel ; le sens donne son signe. Il faut les deux pour placer le point.

Pièges anticipés

  • 5/2 / 2.5 → La valeur absolue est juste, pas le signe : les vecteurs sont de sens contraires, donc le réel est négatif.
  • -2/5 / -0.4 → Tu as inversé la fraction. AMAM est plus long que ABAB : MM est à plus d'un pas de A,A, et ∣α∣=AMAB=52.|\alpha| = \tfrac{AM}{AB} = \tfrac{5}{2}.
  • -5 → 55 est la longueur AMAM en centimètres. Dans le repère (A,B),(A, B), l'unité est la longueur AB=2AB = 2 centimètres : il faut diviser par 2.2.

Exercice 61 · defi

Changer de repère

La droite (AB)(AB) est munie du repère (A,B),(A, B), et CC est le point d'abscisse 33 dans ce repère. On munit maintenant la même droite du repère (A,C).(A, C).

Déterminer l'abscisse de BB dans le repère (A,C).(A, C).

Écrire seulement le nombre, en valeur exacte : une fraction.

Réponse attendue : 1/3

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse de CC dans le repère (A,B)(A, B) donne le vecteur AC→\overrightarrow{AC} en fonction du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.AC→=3 AB→\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}
  2. Dans le repère (A,C),(A, C), on cherche β\beta tel que AB→=β AC→.\overrightarrow{AB} = \beta\,\overrightarrow{AC}. Exprime le vecteur AB→\overrightarrow{AB} à partir de l'égalité précédente.

Correction

  1. L'abscisse de C — AC→=3 AB→\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}
  2. Inverser — On multiplie les deux membres par 13.\tfrac{1}{3}. En vecteurs :AB→=13 AC→\overrightarrow{AB} = \tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AC}
  3. Par définition de l'abscisse dans le repère (A,C)(A, C) :xB=13x_B = \tfrac{1}{3}

Changer d'unité change l'abscisse : avec ACAC pour unité, trois fois plus longue que AB,AB, le point BB est au tiers du chemin de AA vers C.C.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est l'abscisse de CC dans le repère (A,B).(A, B). Dans le repère (A,C),(A, C), l'unité est la longueur AC,AC, trois fois plus longue : l'abscisse de BB est plus petite que 1.1.
  • -1/3 / -3 → BB et CC sont du même côté de A,A, puisque l'abscisse de CC est positive : le réel cherché est positif.
  • 0.33 / 0.333 / 0.3333 / 0.3 → Ta valeur est approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction, sans l'arrondir.

Exercice 62 · base

Le signe dit le sens

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points, avec A≠B,A \ne B, qui vérifient l'égalité vectorielle CD→=−25 AB→.\overrightarrow{CD} = -\tfrac{2}{5}\,\overrightarrow{AB}.

Les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AB→\overrightarrow{AB} sont-ils de même sens ou de sens contraires ?

Répondre « même sens » ou « sens contraires ».

Réponse attendue : sens contraires — aussi acceptées : de sens contraires · ils sont de sens contraires · sens contraire · de sens contraire · contraires · contraire · sens opposé · de sens opposé · sens opposés · de sens opposés · opposés · opposé · pas le même sens · pas de même sens · ils ne sont pas de même sens

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs sont colinéaires : c'est le signe du réel qui dit leur sens.
  2. Rappel du cours : dans l'égalité CD→=α AB→,\overrightarrow{CD} = \alpha\,\overrightarrow{AB}, c'est le signe du réel α\alpha qui dit si les deux vecteurs vont dans le même sens ou non. Regarde le signe du réel ici.

Correction

  1. Colinéaires — Le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le réel −25-\tfrac{2}{5} : ils sont colinéaires.
  2. Le signe — Ce réel est strictement négatif : les vecteurs sont de sens contraires.

Réel strictement positif : même sens. Réel strictement négatif : sens contraires. La valeur 25,\tfrac{2}{5}, elle, dit le rapport des longueurs.

Pièges anticipés

  • même sens / de même sens / ils sont de même sens → Regarde le signe du réel : −25-\tfrac{2}{5} est négatif. Un réel négatif retourne le vecteur.

Exercice 63 · base

Quatre fois plus long, même sens

Les vecteurs non nuls AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires et de même sens, et CD=4×AB.CD = 4 \times AB.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle CD→=k AB→.\overrightarrow{CD} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. La valeur absolue de kk est le rapport des longueurs, CDAB.\tfrac{CD}{AB}. Le sens donne son signe.
  2. Le sens donne le signe : même sens, donc k>0.k > 0. Et la longueur CDCD vaut combien de fois la longueur ABAB ?

Correction

  1. La longueur — CD=∣k∣×AB,CD = |k| \times AB, et CD=4×AB.CD = 4 \times AB.∣k∣=4|k| = 4
  2. Le sens — Les vecteurs sont de même sens : kk est positif.k=4k = 4

Pour trouver le réel entre deux vecteurs colinéaires, on lit son signe sur le sens, et sa valeur absolue sur le rapport des longueurs.

Pièges anticipés

  • -4 → Les vecteurs sont de même sens : le réel est positif.
  • 1/4 / 0.25 → Tu as renversé le rapport : CDCD est quatre fois plus long que AB,AB, donc le vecteur CD→\overrightarrow{CD} vaut quatre fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 64 · base

Trois fois plus court, sens contraire

Les vecteurs non nuls AB→\overrightarrow{AB} et EF→\overrightarrow{EF} sont colinéaires et de sens contraires, et EFEF est le tiers de AB.AB.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle EF→=k AB→.\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur exacte de k.k.

Réponse attendue : -1/3

Indices, dans l’ordre

  1. Le sens donne le signe de k,k, et le rapport des longueurs EFAB\tfrac{EF}{AB} donne sa valeur absolue.
  2. Sens contraires : kk est négatif. Et la longueur EFEF vaut quelle fraction de la longueur ABAB ?

Correction

  1. La longueur — EF=∣k∣×AB,EF = |k| \times AB, et EFEF est le tiers de AB.AB.∣k∣=13|k| = \tfrac{1}{3}
  2. Le sens — Les vecteurs sont de sens contraires : kk est négatif.k=−13k = -\tfrac{1}{3}

k=−13k = -\tfrac{1}{3} : le signe pour le sens, la valeur absolue pour les longueurs.

Pièges anticipés

  • 1/3 → La longueur est juste, pas le sens : des vecteurs de sens contraires, c'est un réel négatif.
  • -3 → Tu as renversé le rapport : c'est le vecteur AB→\overrightarrow{AB} qui vaut −3-3 fois le vecteur EF→.\overrightarrow{EF}. Le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est le plus court.
  • -0.33 / -0.333 / -0.3333 / -0.3 → Ta valeur est approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction, sans l'arrondir.

Exercice 65 · pratique

Les bases du trapèze

ABCDABCD est un trapèze de bases [AB][AB] et [CD],[CD], avec AB=6AB = 6 centimètres et CD=4CD = 4 centimètres. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} sont de même sens.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle CD→=k AB→.\overrightarrow{CD} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur exacte de k.k.

Réponse attendue : -2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Les bases d'un trapèze sont parallèles : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  2. On te dit que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} sont de même sens. Et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} ?

Correction

  1. Le rapport — Les bases sont parallèles, et CDAB=46=23.\tfrac{CD}{AB} = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}.∣k∣=23|k| = \tfrac{2}{3}
  2. Le sens — Le vecteur DC→\overrightarrow{DC} a le sens du vecteur AB→\overrightarrow{AB} ; le vecteur CD→,\overrightarrow{CD}, son opposé, a le sens contraire.CD→=−23 AB→\overrightarrow{CD} = -\tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AB}

Dans un trapèze ABCD,ABCD, on parcourt les bases en sens contraires : le vecteur DC→\overrightarrow{DC} vaut 23\tfrac{2}{3} fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le vecteur CD→\overrightarrow{CD} en vaut −23.-\tfrac{2}{3}.

Pièges anticipés

  • 2/3 → C'est le vecteur DC→\overrightarrow{DC} qui a le sens du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est son opposé : le signe change.
  • -3/2 / -1.5 → Tu as renversé le rapport : CDCD est plus court que AB,AB, donc ∣k∣|k| est plus petit que 1.1.
  • -0.67 / -0.667 / -0.6667 / -0.66 / -0.7 → Ta valeur est approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction, sans l'arrondir.

Exercice 66 · pratique

La droite des milieux

ABCABC est un triangle, II est le milieu de [AB][AB] et JJ est le milieu de [AC].[AC].

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle IJ→=k BC→.\overrightarrow{IJ} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Passe par AA avec Chasles, puis utilise les milieux.IJ→=IA→+AJ→\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}
  2. Le vecteur IA→\overrightarrow{IA} est la moitié du vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, et le vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} la moitié du vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.

Correction

  1. Chasles — IJ→=IA→+AJ→\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}
  2. Les milieux — IJ→=12 BA→+12 AC→=12(BA→+AC→)\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BA} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AC} = \tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right)
  3. Chasles — IJ→=12 BC→\overrightarrow{IJ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}

On retrouve en vecteurs le théorème des milieux : la droite (IJ)(IJ) est parallèle à (BC),(BC), et IJ=12 BC,IJ = \tfrac{1}{2}\,BC, les vecteurs étant de même sens.

Pièges anticipés

  • 2 → Tu as renversé le rapport : c'est le vecteur BC→\overrightarrow{BC} qui vaut deux fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.
  • -1/2 / -0.5 → Les vecteurs IJ→\overrightarrow{IJ} et BC→\overrightarrow{BC} sont de même sens : II est du côté de BB et JJ du côté de C.C.

Exercice 67 · pratique

Dans l'autre sens

ABCABC est un triangle, II est le milieu de [AB][AB] et JJ est le milieu de [AC].[AC].

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle CB→=k IJ→.\overrightarrow{CB} = k\,\overrightarrow{IJ}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par comparer les vecteurs IJ→\overrightarrow{IJ} et BC→\overrightarrow{BC} : théorème des milieux, ou Chasles en passant par A.A.
  2. Le vecteur BC→\overrightarrow{BC} vaut deux fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} en est l'opposé.

Correction

  1. Les milieux — Comme dans le théorème des milieux, en vecteurs :BC→=2 IJ→\overrightarrow{BC} = 2\,\overrightarrow{IJ}
  2. L'opposé — Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} est l'opposé du vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. En vecteurs :CB→=−2 IJ→\overrightarrow{CB} = -2\,\overrightarrow{IJ}

k=−2.k = -2. Retourner un vecteur change le signe du réel ; inverser l'égalité inverse le réel.

Pièges anticipés

  • 2 → C'est le vecteur BC→\overrightarrow{BC} qui vaut deux fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} va dans l'autre sens : le signe change.
  • -1/2 / -0.5 → Tu as renversé le rapport : CBCB est le double de IJ.IJ.

Exercice 68 · pratique

L'hexagone régulier

ABCDEFABCDEF est un hexagone régulier de centre OO : les six triangles OAB,OAB, OBC,OBC, OCD,OCD, ODE,ODE, OEFOEF et OFAOFA sont équilatéraux.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AD→=k BC→.\overrightarrow{AD} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. OO est le milieu de la grande diagonale [AD][AD] : le vecteur AD→\overrightarrow{AD} vaut deux fois le vecteur AO→.\overrightarrow{AO}.
  2. Les triangles OABOAB et OBCOBC sont équilatéraux : le quadrilatère ABCOABCO est un losange. Quel vecteur est égal au vecteur AO→\overrightarrow{AO} ?

Correction

  1. Le losange — AB=BC=CO=OAAB = BC = CO = OA : ABCOABCO est un losange, donc un parallélogramme. Ses côtés opposés [AO][AO] et [BC][BC] donnent, en vecteurs :AO→=BC→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BC}
  2. Le centre — OO est le milieu de [AD].[AD]. En vecteurs :AD→=2 AO→=2 BC→\overrightarrow{AD} = 2\,\overrightarrow{AO} = 2\,\overrightarrow{BC}

k=2k = 2 : la grande diagonale [AD][AD] est parallèle au côté [BC],[BC], deux fois plus longue, et de même sens.

Pièges anticipés

  • -2 → Les vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC} sont de même sens : le vecteur BC→\overrightarrow{BC} est égal au vecteur AO→,\overrightarrow{AO}, qui va de AA vers D.D.
  • 1/2 / 0.5 → Tu as renversé le rapport : la diagonale [AD][AD] est plus longue que le côté [BC].[BC].

Exercice 69 · raisonnement

Une parallèle dans le triangle

ABCABC est un triangle tel que AB=5AB = 5 centimètres. Le point MM est sur le segment [AB],[AB], avec AM=2AM = 2 centimètres, et la parallèle à (BC)(BC) passant par MM coupe [AC][AC] en N.N.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle MN→=k BC→.\overrightarrow{MN} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2/5 — aussi acceptées : 0.4

Indices, dans l’ordre

  1. Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles : les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires. Reste à trouver le rapport des longueurs et le sens.
  2. Le théorème de Thalès dans le triangle ABCABC donne le rapport.MNBC=AMAB\tfrac{MN}{BC} = \tfrac{AM}{AB}

Correction

  1. Colinéaires — (MN)(MN) est parallèle à (BC)(BC) : les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires.
  2. Thalès — Dans le triangle ABC,ABC, avec MM sur [AB][AB] et NN sur [AC][AC] :MNBC=AMAB=25\tfrac{MN}{BC} = \tfrac{AM}{AB} = \tfrac{2}{5}
  3. Le sens — MM est du côté de BB et NN du côté de CC : les vecteurs sont de même sens.MN→=25 BC→\overrightarrow{MN} = \tfrac{2}{5}\,\overrightarrow{BC}

Parallélisme, Thalès et sens : les trois ingrédients pour écrire un vecteur comme multiple d'un autre.

Pièges anticipés

  • 5/2 / 2.5 → Tu as renversé le rapport : MNMN est plus court que BC,BC, puisque MM est entre AA et B.B.
  • -2/5 / -0.4 → MM est sur [AB][AB] et NN sur [AC],[AC], du même côté de AA : les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et BC→\overrightarrow{BC} sont de même sens.
  • 2/3 → Le rapport de Thalès compare AMAM à ABAB tout entier, pas à MBMB : AMAB=25.\tfrac{AM}{AB} = \tfrac{2}{5}.

Exercice 70 · raisonnement

Deux réductions de même rapport

ABCABC est un triangle. Les points MM et NN vérifient les égalités vectorielles AM→=23 AB→\overrightarrow{AM} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AB} et AN→=23 AC→.\overrightarrow{AN} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AC}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle MN→=k BC→.\overrightarrow{MN} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur exacte de k.k.

Réponse attendue : 2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Passe par AA avec Chasles.MN→=MA→+AN→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}
  2. Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} est l'opposé du vecteur AM→\overrightarrow{AM} : il vaut 23\tfrac{2}{3} fois le vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Mets ensuite 23\tfrac{2}{3} en facteur.

Correction

  1. Chasles — MN→=MA→+AN→=23 BA→+23 AC→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BA} + \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AC}
  2. Factoriser — MN→=23(BA→+AC→)=23 BC→\overrightarrow{MN} = \tfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right) = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BC}

k=23k = \tfrac{2}{3} : les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles. C'est la réciproque de Thalès, démontrée avec les vecteurs.

Pièges anticipés

  • 4/3 → Tu as ajouté les deux coefficients. Mets plutôt 23\tfrac{2}{3} en facteur : la parenthèse se simplifie avec Chasles.
  • -2/3 → Les vecteurs MN→\overrightarrow{MN} et BC→\overrightarrow{BC} sont de même sens : le coefficient 23\tfrac{2}{3} est positif.
  • 0.67 / 0.667 / 0.6667 / 0.66 / 0.7 → Ta valeur est approchée. On demande la valeur exacte : garde la fraction, sans l'arrondir.

Exercice 71 · raisonnement

Deux agrandissements

ABCABC est un triangle. Les points EE et FF vérifient les égalités vectorielles AE→=2 AB→\overrightarrow{AE} = 2\,\overrightarrow{AB} et AF→=2 AC→.\overrightarrow{AF} = 2\,\overrightarrow{AC}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle EF→=k CB→.\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{CB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Passe par AA avec Chasles, puis mets 22 en facteur.EF→=EA→+AF→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF}
  2. Tu trouves le vecteur EF→\overrightarrow{EF} en fonction du vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. Attention : on le demande en fonction du vecteur CB→.\overrightarrow{CB}.

Correction

  1. Chasles — EF→=EA→+AF→=2 BA→+2 AC→=2(BA→+AC→)\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = 2\,\overrightarrow{BA} + 2\,\overrightarrow{AC} = 2\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right)
  2. Factoriser — EF→=2 BC→\overrightarrow{EF} = 2\,\overrightarrow{BC}
  3. L'opposé — Le vecteur BC→\overrightarrow{BC} est l'opposé du vecteur CB→.\overrightarrow{CB}. En vecteurs :EF→=−2 CB→\overrightarrow{EF} = -2\,\overrightarrow{CB}

k=−2.k = -2. Lis bien quel vecteur est demandé : retourner le vecteur de référence change le signe.

Pièges anticipés

  • 2 → Le vecteur EF→\overrightarrow{EF} vaut 22 fois le vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. On le demande en fonction du vecteur CB→,\overrightarrow{CB}, l'opposé : le signe change.
  • -1/2 / -0.5 → Tu as renversé l'égalité : EFEF est le double de CB.CB.

Exercice 72 · defi

Deux points construits

ABCABC est un triangle. Les points EE et FF vérifient les égalités vectorielles AE→=AB→+2 AC→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + 2\,\overrightarrow{AC} et AF→=3 AB→.\overrightarrow{AF} = 3\,\overrightarrow{AB}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle EF→=k BC→.\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Passe par AA : le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est la somme du vecteur EA→\overrightarrow{EA} et du vecteur AF→,\overrightarrow{AF}, et EA→=−AE→.\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE}.
  2. Tu obtiens 2 AB→−2 AC→.2\,\overrightarrow{AB} - 2\,\overrightarrow{AC}. Mets 22 en facteur, et regarde la parenthèse avec les opposés.

Correction

  1. Chasles — EF→=EA→+AF→=−AB→−2 AC→+3 AB→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} - 2\,\overrightarrow{AC} + 3\,\overrightarrow{AB}
  2. Réduire — EF→=2 AB→−2 AC→=2(AB→+CA→)\overrightarrow{EF} = 2\,\overrightarrow{AB} - 2\,\overrightarrow{AC} = 2\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}\right)
  3. Chasles — Dans la parenthèse, on range : CA→+AB→=CB→.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}.EF→=2 CB→=−2 BC→\overrightarrow{EF} = 2\,\overrightarrow{CB} = -2\,\overrightarrow{BC}

k=−2k = -2 : les droites (EF)(EF) et (BC)(BC) sont parallèles. On a utilisé l'égalité AB→−AC→=CB→,\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}, à retenir.

Pièges anticipés

  • 2 → Attention au sens : AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} est le vecteur CB→,\overrightarrow{CB}, et non le vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.

Exercice 73 · defi

Le réel qui rend parallèle

ABCABC est un triangle, et mm est un réel non nul. Les points MM et NN vérifient les égalités vectorielles AM→=m AB→\overrightarrow{AM} = m\,\overrightarrow{AB} et AN→=−2 AC→.\overrightarrow{AN} = -2\,\overrightarrow{AC}.

Pour quelle valeur de mm les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont-elles parallèles ?

Donner la valeur de m.m.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Écris le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en passant par A,A, avec les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→.\overrightarrow{AC}.MN→=−m AB→−2 AC→\overrightarrow{MN} = -m\,\overrightarrow{AB} - 2\,\overrightarrow{AC}
  2. Si mm vaut −2,-2, peux-tu mettre un réel en facteur et faire apparaître le vecteur BC→\overrightarrow{BC} ? Et sinon, que dit Thalès sur les rapports AMAB\tfrac{AM}{AB} et ANAC\tfrac{AN}{AC} ?

Correction

  1. Chasles — MN→=MA→+AN→=−m AB→−2 AC→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -m\,\overrightarrow{AB} - 2\,\overrightarrow{AC}
  2. La valeur — Avec m=−2,m = -2, on peut mettre −2-2 en facteur. En vecteurs :MN→=2 AB→−2 AC→=−2(AC→+BA→)=−2 BC→\overrightarrow{MN} = 2\,\overrightarrow{AB} - 2\,\overrightarrow{AC} = -2\left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}\right) = -2\,\overrightarrow{BC}
  3. Unicité — Réciproquement, si (MN)(MN) est parallèle à (BC),(BC), Thalès donne AMAB=ANAC=2,\tfrac{AM}{AB} = \tfrac{AN}{AC} = 2, donc ∣m∣=2|m| = 2 ; et MM doit être, comme N,N, de l'autre côté de AA : m<0.m < 0.m=−2m = -2

Pour m=−2,m = -2, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} vaut −2-2 fois le vecteur BC→\overrightarrow{BC} : c'est une configuration « papillon », où MM et NN sont de l'autre côté de A.A.

Pièges anticipés

  • 2 → Avec m=2,m = 2, MM serait du côté de BB et NN de l'autre côté de AA : la droite (MN)(MN) couperait (BC).(BC). MM doit être du même côté que N.N.
  • -1/2 / -0.5 → Le rapport doit être le même pour les deux points : NN est à deux fois ACAC de A,A, donc MM à deux fois AB,AB, et non à la moitié.

Exercice 74 · base

Deux droites

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points distincts, et CC n'est pas sur la droite (AB).(AB). Ils vérifient l'égalité vectorielle CD→=−4 AB→.\overrightarrow{CD} = -4\,\overrightarrow{AB}.

Quelle est la position relative des droites (AB)(AB) et (CD)(CD) ?

Répondre en un mot.

Réponse attendue : parallèles — aussi acceptées : elles sont parallèles · les droites sont parallèles · parallèle · strictement parallèles · elles sont strictement parallèles

Indices, dans l’ordre

  1. Les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires et non nuls. Que dit le cours sur les droites qui les portent ?
  2. Le signe du réel ne change pas la direction du vecteur. Et comme CC n'est pas sur la droite (AB),(AB), les deux droites peuvent-elles être confondues ?

Correction

  1. Colinéaires — Le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par le réel non nul −4-4 : ils sont colinéaires.
  2. Le théorème — Deux vecteurs non nuls colinéaires portent des droites parallèles. Comme CC n'est pas sur (AB),(AB), elles ne sont pas confondues.

Le signe −- dit seulement que les vecteurs sont de sens contraires : les droites, elles, sont parallèles quel que soit le signe du réel.

Pièges anticipés

  • sécantes / elles sont sécantes → Des droites sécantes ont des directions différentes. Ici les vecteurs sont colinéaires : ils ont la même direction.
  • perpendiculaires / elles sont perpendiculaires → Le signe −- ne fait pas tourner le vecteur : il le retourne. Les vecteurs restent sur la même direction, et les droites sont parallèles.

Exercice 75 · base

Trois points

AA et BB sont deux points distincts, et le point MM vérifie l'égalité vectorielle AM→=52 AB→.\overrightarrow{AM} = \tfrac{5}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Les points A,A, BB et MM sont-ils alignés ?

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui ils sont alignés · oui, ils sont alignés · alignés · ils sont alignés · oui alignés

Indices, dans l’ordre

  1. Les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires, et ils ont la même origine A.A.
  2. Le cours relie l'égalité AM→=α AB→\overrightarrow{AM} = \alpha\,\overrightarrow{AB} à la position du point MM : où se trouve le point d'abscisse α\alpha du repère (A,B)(A, B) ?

Correction

  1. Colinéaires — Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est le produit du vecteur AB→\overrightarrow{AB} par un réel : ils sont colinéaires.
  2. Même origine — Deux vecteurs colinéaires de même origine donnent des points alignés : les droites (AM)(AM) et (AB)(AB) sont parallèles et ont le point AA en commun, elles sont confondues.

Les points sont alignés, et MM est même placé : d'abscisse 52\tfrac{5}{2} dans le repère (A,B),(A, B), au-delà de B.B.

Pièges anticipés

  • non / non alignés / ils ne sont pas alignés → Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est un multiple du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et les deux partent de AA : par définition du produit, MM est sur la droite (AB).(AB).

Exercice 76 · pratique

La longueur du vecteur parallèle

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points qui vérifient l'égalité vectorielle CD→=−35 AB→,\overrightarrow{CD} = -\tfrac{3}{5}\,\overrightarrow{AB}, avec AB=7,5AB = 7{,}5 centimètres.

Calculer la longueur CD.CD.

Donner CDCD en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le théorème du cours donne, en plus du parallélisme, une relation entre les longueurs.CD=∣α∣×ABCD = |\alpha| \times AB
  2. Ici ∣α∣=35|\alpha| = \tfrac{3}{5} : calcule les trois cinquièmes de 7,5.7{,}5.

Correction

  1. Les longueurs — Avec α=−35,\alpha = -\tfrac{3}{5}, on a ∣α∣=35.|\alpha| = \tfrac{3}{5}.CD=35×7,5CD = \tfrac{3}{5} \times 7{,}5
  2. CD=4,5 centimeˋtresCD = 4{,}5 \text{ centimètres}

Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles, et CD=∣α∣×ABCD = |\alpha| \times AB : la valeur absolue efface le signe.

Pièges anticipés

  • -9/2 / -4.5 → Une longueur n'est jamais négative : on multiplie ABAB par la valeur absolue du réel.
  • 25/2 / 12.5 → Tu as divisé 7,57{,}5 par 35.\tfrac{3}{5}. On multiplie : CDCD est plus court que AB.AB.

Exercice 77 · pratique

Un point au-delà de B

AA et BB sont deux points distincts, et le point MM vérifie l'égalité vectorielle BM→=2 AB→.\overrightarrow{BM} = 2\,\overrightarrow{AB}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AM→=k AB→.\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Coupe le vecteur AM→\overrightarrow{AM} en BB avec Chasles.AM→=AB→+BM→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}
  2. Remplace le vecteur BM→\overrightarrow{BM} par 2 AB→,2\,\overrightarrow{AB}, puis compte combien de fois le vecteur AB→\overrightarrow{AB} apparaît.

Correction

  1. Chasles — AM→=AB→+BM→=AB→+2 AB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + 2\,\overrightarrow{AB}
  2. AM→=3 AB→\overrightarrow{AM} = 3\,\overrightarrow{AB}

k=3k = 3 : les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires et de même origine, donc A,A, BB et MM sont alignés ; MM a pour abscisse 33 dans le repère (A,B).(A, B).

Pièges anticipés

  • 2 → 22 est le réel qui donne le vecteur BM→,\overrightarrow{BM}, qui part de B.B. Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} part de AA : ajoute d'abord le chemin de AA à B.B.
  • 1 → Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BM→\overrightarrow{BM} sont de même sens : on avance d'un pas, puis de deux pas. Les réels s'ajoutent.

Exercice 78 · pratique

De l'autre côté de A

AA et BB sont deux points tels que AB=6AB = 6 centimètres, et le point MM vérifie l'égalité vectorielle AM→=−12 AB→.\overrightarrow{AM} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Calculer la longueur BM.BM.

Donner BMBM en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. Les points A,A, B,B, MM sont alignés. Le réel est négatif : de quel côté de AA se trouve MM ?
  2. MM est de l'autre côté de AA par rapport à B,B, à 33 centimètres de A.A. AA est donc entre MM et B.B.

Correction

  1. Le point M — AM=12×6=3AM = \tfrac{1}{2} \times 6 = 3 centimètres, et le réel est négatif : MM est du côté opposé à BB par rapport à A.A.
  2. La longueur — AA est entre MM et B.B.BM=BA+AM=6+3=9BM = BA + AM = 6 + 3 = 9

En vecteurs : BM→=BA→+AM→=−AB→−12 AB→=−32 AB→,\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} - \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} = -\tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}, et BM=32×6=9BM = \tfrac{3}{2} \times 6 = 9 centimètres.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 centimètres, c'est la longueur AMAM ; et si tu as calculé 6−3,6 - 3, tu as placé MM entre AA et B.B. Le réel négatif place MM de l'autre côté de A.A.

Exercice 79 · raisonnement

La diagonale passe par le milieu

ABCABC est un triangle, II est le milieu de [BC],[BC], et DD est le point qui vérifie l'égalité vectorielle AD→=AB→+AC→.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AD→=k AI→.\overrightarrow{AD} = k\,\overrightarrow{AI}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [BC][BC] : la propriété du milieu, appliquée au point A,A, donne la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. Pour tout point M,M, si II est le milieu de [BC][BC] :MB→+MC→=2 MI→\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\,\overrightarrow{MI}

Correction

  1. Le milieu — On applique la propriété du milieu avec M=A.M = A. En vecteurs :AB→+AC→=2 AI→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AI}
  2. AD→=2 AI→\overrightarrow{AD} = 2\,\overrightarrow{AI}

k=2k = 2 : A,A, II et DD sont alignés, et II est le milieu de [AD].[AD]. On retrouve que les diagonales du parallélogramme ABDCABDC se coupent en leur milieu.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → Tu as renversé le rapport : c'est le vecteur AI→\overrightarrow{AI} qui vaut la moitié du vecteur AD→.\overrightarrow{AD}.
  • 1 → La somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} vaut deux fois le vecteur AI→\overrightarrow{AI} : II n'est que le milieu de la diagonale [AD].[AD].

Exercice 80 · raisonnement

Deux points sur deux côtés

ABCDABCD est un parallélogramme. Les points EE et FF vérifient les égalités vectorielles AE→=3 AB→\overrightarrow{AE} = 3\,\overrightarrow{AB} et DF→=3 DC→.\overrightarrow{DF} = 3\,\overrightarrow{DC}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle EF→=k BC→.\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{BC}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 1

Indices, dans l’ordre

  1. Coupe le vecteur EF→\overrightarrow{EF} en passant par AA puis par D.D.EF→=EA→+AD→+DF→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF}
  2. Dans le parallélogramme, le vecteur DC→\overrightarrow{DC} est égal au vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et le vecteur AD→\overrightarrow{AD} au vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.

Correction

  1. Chasles — EF→=EA→+AD→+DF→=−3 AB→+AD→+3 DC→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} = -3\,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 3\,\overrightarrow{DC}
  2. Le parallélogramme — DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} : les termes en AB→\overrightarrow{AB} s'annulent. Et AD→=BC→.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.EF→=AD→=BC→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

k=1k = 1 : le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est égal au vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, donc BCFEBCFE est un parallélogramme, et (EF)(EF) est parallèle à (BC).(BC).

Pièges anticipés

  • 3 → Le facteur 33 apparaît deux fois, avec des signes contraires : −3 AB→-3\,\overrightarrow{AB} (dans le vecteur EA→\overrightarrow{EA}) et 3 DC→=3 AB→.3\,\overrightarrow{DC} = 3\,\overrightarrow{AB}. Ils s'annulent.
  • -1 → Le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est égal au vecteur BC→\overrightarrow{BC} dans le parallélogramme ABCD,ABCD, pas à son opposé.

Exercice 81 · raisonnement

Deux points sur la droite (AB)

AA et BB sont deux points distincts. Les points EE et FF vérifient les égalités vectorielles BE→=12 AB→\overrightarrow{BE} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} et AF→=−AB→.\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle EF→=k AB→.\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -5/2 — aussi acceptées : -2.5

Indices, dans l’ordre

  1. Écris d'abord le vecteur AE→\overrightarrow{AE} en fonction du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, en passant par B.B.
  2. Puis coupe le vecteur EF→\overrightarrow{EF} en A.A.EF→=EA→+AF→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF}

Correction

  1. Le point E — AE→=AB→+BE→=32 AB→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}
  2. Chasles — EF→=EA→+AF→=−32 AB→−AB→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}
  3. EF→=−52 AB→\overrightarrow{EF} = -\tfrac{5}{2}\,\overrightarrow{AB}

Dans le repère (A,B),(A, B), EE a pour abscisse 32\tfrac{3}{2} et FF a pour abscisse −1-1 : le vecteur EF→\overrightarrow{EF} vaut (−1−32)\left(-1 - \tfrac{3}{2}\right) fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Pièges anticipés

  • 5/2 / 2.5 → On va de E,E, au-delà de B,B, vers F,F, de l'autre côté de AA : c'est le sens contraire du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  • -3/2 / -1.5 → Le vecteur BE→\overrightarrow{BE} part de B,B, pas de AA : le vecteur AE→\overrightarrow{AE} vaut AB→+12 AB→=32 AB→.\overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}.

Exercice 82 · defi

Trois points alignés

ABCABC est un triangle, et P,P, QQ sont les milieux respectifs des côtés [AB][AB] et [AC].[AC]. Les points II et JJ vérifient les égalités vectorielles PQ→=3 AI→\overrightarrow{PQ} = 3\,\overrightarrow{AI} et AJ→=23 CB→.\overrightarrow{AJ} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{CB}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AJ→=k AI→.\overrightarrow{AJ} = k\,\overrightarrow{AI}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -4

Indices, dans l’ordre

  1. Écris les deux vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et AJ→\overrightarrow{AJ} en fonction du même vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.
  2. Théorème des milieux dans le triangle ABCABC :PQ→=12 BC→\overrightarrow{PQ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}
  3. Le vecteur AI→\overrightarrow{AI} est le tiers du vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} ; le vecteur CB→\overrightarrow{CB} est l'opposé du vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.

Correction

  1. Le vecteur AIAI — Par le théorème des milieux, PQ→=12 BC→,\overrightarrow{PQ} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}, donc :AI→=13 PQ→=16 BC→\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{3}\,\overrightarrow{PQ} = \tfrac{1}{6}\,\overrightarrow{BC}
  2. Le vecteur AJAJ — AJ→=23 CB→=−23 BC→\overrightarrow{AJ} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{CB} = -\tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{BC}
  3. Comparer — −23-\tfrac{2}{3} vaut −4-4 fois 16.\tfrac{1}{6}. En vecteurs :AJ→=−4 AI→\overrightarrow{AJ} = -4\,\overrightarrow{AI}

k=−4k = -4 : les vecteurs AJ→\overrightarrow{AJ} et AI→\overrightarrow{AI} sont colinéaires et de même origine, donc I,I, AA et JJ sont alignés, avec AA entre II et J.J.

Pièges anticipés

  • 4 → Le vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} est dirigé comme le vecteur CB→,\overrightarrow{CB}, et le vecteur AI→\overrightarrow{AI} comme le vecteur BC→\overrightarrow{BC} : ils sont de sens contraires.
  • -1/4 / -0.25 → Tu as renversé l'égalité : c'est le vecteur AI→\overrightarrow{AI} qui vaut −14-\tfrac{1}{4} du vecteur AJ→.\overrightarrow{AJ}.
  • -2 → Le vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} n'est pas égal au vecteur BC→\overrightarrow{BC} : par le théorème des milieux, il en est la moitié.

Exercice 83 · defi

Une parallèle dans le parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme de centre O.O. KK est le milieu de [BC][BC] et JJ est le milieu de [CD].[CD]. Le point MM vérifie OM→=25 OK→,\overrightarrow{OM} = \tfrac{2}{5}\,\overrightarrow{OK}, et la parallèle à la droite (KJ)(KJ) passant par MM coupe la droite (OJ)(OJ) en H.H.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle HM→=k DB→.\overrightarrow{HM} = k\,\overrightarrow{DB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 1/5 — aussi acceptées : 0.2

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le triangle OKJ,OKJ, la droite (MH)(MH) est parallèle au côté (KJ)(KJ) : Thalès donne le vecteur HM→\overrightarrow{HM} en fonction du vecteur JK→.\overrightarrow{JK}.
  2. Puis compare les vecteurs JK→\overrightarrow{JK} et DB→\overrightarrow{DB} : KK et JJ sont les milieux de deux côtés du triangle CDB.CDB.

Correction

  1. Thalès — Dans le triangle OKJ,OKJ, MM est sur [OK][OK] avec OMOK=25,\tfrac{OM}{OK} = \tfrac{2}{5}, et (MH)(MH) est parallèle à (KJ).(KJ). Les vecteurs HM→\overrightarrow{HM} et JK→\overrightarrow{JK} sont de même sens. En vecteurs :HM→=25 JK→\overrightarrow{HM} = \tfrac{2}{5}\,\overrightarrow{JK}
  2. Les milieux — Dans le triangle CDB,CDB, JJ est le milieu de [CD][CD] et KK celui de [CB].[CB]. Par le théorème des milieux, en vecteurs :JK→=12 DB→\overrightarrow{JK} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DB}
  3. HM→=25×12 DB→=15 DB→\overrightarrow{HM} = \tfrac{2}{5} \times \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{DB} = \tfrac{1}{5}\,\overrightarrow{DB}

k=15k = \tfrac{1}{5} : les droites (HM)(HM) et (DB)(DB) sont parallèles. On enchaîne deux rapports, Thalès puis les milieux, et les réels se multiplient.

Pièges anticipés

  • 2/5 / 0.4 → Le vecteur HM→\overrightarrow{HM} vaut 25\tfrac{2}{5} du vecteur JK→.\overrightarrow{JK}. Mais le vecteur JK→\overrightarrow{JK} n'est que la moitié du vecteur DB→.\overrightarrow{DB}.
  • -1/5 / -0.2 → Les vecteurs JK→\overrightarrow{JK} et DB→\overrightarrow{DB} sont de même sens : JJ est du côté de DD et KK du côté de B.B. Et le vecteur HM→\overrightarrow{HM} a le sens du vecteur JK→.\overrightarrow{JK}.
  • 9/10 / 0.9 → Tu as ajouté les deux rapports. Le vecteur HM→\overrightarrow{HM} vaut 25\tfrac{2}{5} d'un vecteur qui vaut lui-même 12\tfrac{1}{2} du vecteur DB→\overrightarrow{DB} : les réels se multiplient.

Exercice 84 · base

Le double du demi-segment

II est le milieu du segment [AB].[AB]. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AB→=k AI→.\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AI}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur AI→\overrightarrow{AI} va de AA vers B,B, et s'arrête à mi-chemin.
  2. Le vecteur IB→\overrightarrow{IB} est égal au vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. Coupe le vecteur AB→\overrightarrow{AB} en II avec Chasles.AB→=AI→+IB→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}

Correction

  1. Le milieu — II est le milieu de [AB][AB] : les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et IB→\overrightarrow{IB} sont égaux. En vecteurs :AB→=AI→+IB→=2 AI→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = 2\,\overrightarrow{AI}

II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si AB→=2 AI→.\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{AI}.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → Tu as renversé l'égalité : c'est le vecteur AI→\overrightarrow{AI} qui est la moitié du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 85 · base

Depuis B vers le milieu

II est le milieu du segment [AB].[AB]. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle BI→=k AB→.\overrightarrow{BI} = k\,\overrightarrow{AB}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur BI→\overrightarrow{BI} a pour longueur la moitié de AB.AB. Va-t-il dans le sens de AA vers BB ?
  2. Le vecteur BI→\overrightarrow{BI} est la moitié du vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Et le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, comment s'écrit-il avec le vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

Correction

  1. Le milieu — Le vecteur BI→\overrightarrow{BI} est la moitié du vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. En vecteurs :BI→=12 BA→\overrightarrow{BI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BA}
  2. L'opposé — BI→=−12 AB→\overrightarrow{BI} = -\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}

Le vecteur BI→\overrightarrow{BI} va de BB vers AA : il est de sens contraire au vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, d'où le signe −.-.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → La longueur est juste, pas le sens : le vecteur BI→\overrightarrow{BI} va de BB vers A.A.
  • -2 → Tu as renversé l'égalité : BIBI est plus court que AB.AB.

Exercice 86 · base

Depuis un point quelconque

II est le milieu du segment [AB],[AB], et MM est un point quelconque du plan. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle MA→+MB→=k MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = k\,\overrightarrow{MI}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Insère le point II dans chacun des deux vecteurs avec Chasles.MA→=MI→+IA→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}
  2. Que vaut la somme des vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} quand II est le milieu de [AB][AB] ?

Correction

  1. Chasles — MA→+MB→=MI→+IA→+MI→+IB→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}
  2. Le milieu — IA→+IB→=0⃗.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}. En vecteurs :MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}

La propriété du milieu, à retenir : si II est le milieu de [AB],[AB], alors MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI} pour tout point M.M.

Pièges anticipés

  • 1 → Le vecteur MI→\overrightarrow{MI} apparaît deux fois quand on insère II dans les deux vecteurs.
  • 1/2 / 0.5 → Tu as renversé l'égalité : c'est le vecteur MI→\overrightarrow{MI} qui est la moitié de la somme.

Exercice 87 · pratique

La longueur de la somme

II est le milieu du segment [AB],[AB], et MM est un point tel que MI=4MI = 4 centimètres.

Calculer la longueur du vecteur MA→+MB→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}.

Donner la longueur en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. La propriété du milieu remplace la somme par un seul vecteur, multiple du vecteur MI→.\overrightarrow{MI}.
  2. Rappel : MA→+MB→=2 MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}. La longueur du vecteur α u⃗\alpha\,\vec{u} est ∣α∣|\alpha| fois la longueur du vecteur u⃗.\vec{u}.

Correction

  1. Le milieu — MA→+MB→=2 MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}
  2. La longueur — 2×MI=2×4=82 \times MI = 2 \times 4 = 8

On ne connaît ni MAMA ni MB,MB, et on n'en a pas besoin : la propriété du milieu ramène la somme au seul vecteur 2 MI→.2\,\overrightarrow{MI}.

Pièges anticipés

  • 4 → La somme vaut deux fois le vecteur MI→\overrightarrow{MI} : sa longueur est le double de MI.MI.
  • 2 → C'est le vecteur MI→\overrightarrow{MI} qui est la moitié de la somme, pas l'inverse : la somme est deux fois plus longue que MI.MI.

Exercice 88 · pratique

Remplacer par un vecteur égal

II est le milieu du segment [AB],[AB], et CC est un point qui n'est pas sur la droite (AB).(AB). Simplifier la somme de vecteurs CA→+IB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{IB} : l'écrire comme un seul vecteur.

Écrire le vecteur par ses deux lettres, dans l’ordre (par exemple MNMN), ou 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : CI — aussi acceptées : C I · vecteur CI · le vecteur CI · c'est CI · c'est le vecteur CI · vec CI · vect CI · vec(CI) · vect(CI) · -IC · -vecteur IC · - le vecteur IC · moins IC · CI→ · →CI · \vec{CI} · \overrightarrow{CI} · \vec CI

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [AB][AB] : quel vecteur, qui part de A,A, est égal au vecteur IB→\overrightarrow{IB} ?
  2. Le vecteur IB→\overrightarrow{IB} est égal au vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. Les lettres s'enchaînent alors en A.A.

Correction

  1. Le milieu — II est le milieu de [AB].[AB]. En vecteurs :IB→=AI→\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AI}
  2. Chasles — CA→+IB→=CA→+AI→=CI→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{CI}

Le milieu fournit des vecteurs égaux, AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} : on choisit celui qui fait s'enchaîner les lettres.

Pièges anticipés

  • IC / vecteur IC / le vecteur IC / c'est IC / c'est le vecteur IC / -CI / -vecteur CI / - le vecteur CI / moins CI / IC→ / →IC / \vec{IC} / \overrightarrow{IC} → Tu as trouvé l'opposé. La somme part de C,C, l'origine du premier vecteur.
  • CB / vecteur CB / le vecteur CB / c'est CB / \vec{CB} / \overrightarrow{CB} → Le vecteur IB→\overrightarrow{IB} n'est que la moitié du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : la somme s'arrête au milieu I,I, pas en B.B.

Exercice 89 · pratique

Vers le sommet

ABCABC est un triangle et A′A' est le milieu du côté [BC].[BC]. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AB→+AC→=k A′A→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{A'A}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. La propriété du milieu, appliquée au point A,A, donne la somme en fonction du vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}.
  2. On demande la somme en fonction du vecteur A′A→,\overrightarrow{A'A}, l'opposé du vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}.

Correction

  1. Le milieu — A′A' est le milieu de [BC].[BC]. En vecteurs :AB→+AC→=2 AA′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AA'}
  2. L'opposé — 2 AA′→=−2 A′A→2\,\overrightarrow{AA'} = -2\,\overrightarrow{A'A}

k=−2.k = -2. La somme part de AA vers le côté [BC][BC] : elle est de sens contraire au vecteur A′A→,\overrightarrow{A'A}, qui remonte vers le sommet.

Pièges anticipés

  • 2 → La somme vaut 22 fois le vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}. On la demande en fonction du vecteur A′A→,\overrightarrow{A'A}, son opposé : le signe change.
  • -1/2 / -0.5 → Tu as renversé l'égalité : la somme est le double du vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}.

Exercice 90 · pratique

Dans le triangle rectangle

ABCABC est un triangle rectangle en A,A, avec AB=5AB = 5 centimètres et AC=12AC = 12 centimètres, et II est le milieu de l'hypoténuse [BC].[BC].

Calculer la longueur du vecteur AB→+AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Donner la longueur en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. La propriété du milieu donne AB→+AC→=2 AI→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AI}. Il faut donc la longueur AI.AI.
  2. Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets : AI=BC2.AI = \tfrac{BC}{2}.

Correction

  1. Le milieu — AB→+AC→=2 AI→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AI}
  2. Pythagore — BC2=52+122=169,BC=13BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169, \quad BC = 13
  3. La médiane — Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : AI=6,5.AI = 6{,}5.2×AI=2×6,5=132 \times AI = 2 \times 6{,}5 = 13

Autre chemin : la règle du parallélogramme donne un rectangle ABDC,ABDC, et la somme est sa diagonale [AD],[AD], de même longueur que [BC].[BC].

Pièges anticipés

  • 13/2 / 6.5 → 6,56{,}5 centimètres, c'est la longueur AI.AI. La somme vaut deux fois le vecteur AI→.\overrightarrow{AI}.
  • 17 → Tu as ajouté les longueurs. On additionne les vecteurs : leur somme suit la diagonale du rectangle construit sur [AB][AB] et [AC].[AC].

Exercice 91 · raisonnement

Un milieu caché

A,A, BB et CC sont trois points, avec AB=7AB = 7 centimètres. Il existe un point MM tel que MA→+MB→=2 MC→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MC}.

Calculer la longueur AC.AC.

Donner ACAC en centimètres, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5

Indices, dans l’ordre

  1. Reconnais la propriété du milieu, lue dans l'autre sens.
  2. S'il existe un point MM tel que MA→+MB→=2 MC→,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MC}, alors CC est le milieu de [AB].[AB].

Correction

  1. La réciproque — D'après la réciproque de la propriété du milieu, CC est le milieu de [AB].[AB].
  2. La longueur — AC=AB2=72=3,5AC = \tfrac{AB}{2} = \tfrac{7}{2} = 3{,}5

Un seul point MM suffit : l'égalité MA→+MB→=2 MC→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MC} caractérise le milieu CC de [AB].[AB].

Pièges anticipés

  • 14 → CC est le milieu de [AB][AB] : ACAC est la moitié de AB,AB, pas le double.
  • 7 → 77 centimètres, c'est la longueur AB.AB. L'égalité dit que CC est le milieu de [AB].[AB].

Exercice 92 · raisonnement

Deux segments, deux milieux

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points, II est le milieu de [AB][AB] et JJ est le milieu de [CD].[CD].

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AC→+BD→=k IJ→.\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = k\,\overrightarrow{IJ}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Insère II et JJ dans chacun des deux vecteurs avec Chasles.AC→=AI→+IJ→+JC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JC}
  2. Fais de même pour le vecteur BD→,\overrightarrow{BD}, puis regroupe : les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et BI→\overrightarrow{BI} sont opposés, comme les vecteurs JC→\overrightarrow{JC} et JD→.\overrightarrow{JD}.

Correction

  1. Chasles — AC→+BD→=AI→+IJ→+JC→+BI→+IJ→+JD→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JC} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JD}
  2. Les milieux — AI→+BI→=0⃗\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BI} = \vec{0} et JC→+JD→=0⃗.\overrightarrow{JC} + \overrightarrow{JD} = \vec{0}. En vecteurs :AC→+BD→=2 IJ→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\,\overrightarrow{IJ}

k=2,k = 2, pour quatre points quelconques. On insère les milieux, et les vecteurs opposés qu'ils créent s'annulent deux à deux.

Pièges anticipés

  • 1 → Le vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} apparaît deux fois : une fois dans le vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, une fois dans le vecteur BD→.\overrightarrow{BD}.
  • 1/2 / 0.5 → Tu as renversé l'égalité : c'est le vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} qui est la moitié de la somme.

Exercice 93 · raisonnement

Vers le centre

ABCDABCD est un parallélogramme de centre O.O. Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AB→+AD→=k OA→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = k\,\overrightarrow{OA}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Règle du parallélogramme : la somme est portée par la diagonale qui part de A.A.
  2. OO est le milieu de [AC][AC] : le vecteur AC→\overrightarrow{AC} vaut deux fois le vecteur AO→.\overrightarrow{AO}. Et le vecteur OA→\overrightarrow{OA} ?

Correction

  1. La règle — AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
  2. Le centre — OO est le milieu de [AC].[AC]. En vecteurs :AC→=2 AO→=−2 OA→\overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AO} = -2\,\overrightarrow{OA}

k=−2k = -2 : la somme part de AA vers C,C, alors que le vecteur OA→\overrightarrow{OA} revient vers A.A. Sens contraires, longueur double.

Pièges anticipés

  • 2 → La somme vaut deux fois le vecteur AO→.\overrightarrow{AO}. Le vecteur OA→\overrightarrow{OA} va dans l'autre sens : le signe change.
  • -1/2 / -0.5 → Tu as renversé l'égalité : la diagonale [AC][AC] est deux fois plus longue que [OA].[OA].

Exercice 94 · defi

Le centre de gravité, encore

ABCABC est un triangle, A′A' est le milieu du côté [BC][BC] et GG est le centre de gravité du triangle. On rappelle que AG→=23 AA′→.\overrightarrow{AG} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AA'}.

Déterminer le réel kk qui vérifie l'égalité vectorielle AB→+AC→=k AG→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AG}.

Donner la valeur de k.k.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. La propriété du milieu donne la somme en fonction du vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}.
  2. Puis exprime le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} en fonction du vecteur AG→\overrightarrow{AG} à partir du rappel.AA′→=32 AG→\overrightarrow{AA'} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AG}

Correction

  1. Le milieu — AB→+AC→=2 AA′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AA'}
  2. Le centre de gravité — Du rappel AG→=23 AA′→,\overrightarrow{AG} = \tfrac{2}{3}\,\overrightarrow{AA'}, on tire, en vecteurs :AA′→=32 AG→\overrightarrow{AA'} = \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AG}
  3. AB→+AC→=2×32 AG→=3 AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \times \tfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AG} = 3\,\overrightarrow{AG}

k=3.k = 3. On passe par le milieu A′,A', puis on inverse le rapport 23\tfrac{2}{3} pour remonter au centre de gravité.

Pièges anticipés

  • 4/3 → Tu as multiplié 22 par 23.\tfrac{2}{3}. Mais c'est le vecteur AG→\overrightarrow{AG} qui vaut 23\tfrac{2}{3} du vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} : le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} vaut donc 32\tfrac{3}{2} du vecteur AG→.\overrightarrow{AG}.
  • 2 → 22 est le réel devant le vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}. On demande la somme en fonction du vecteur AG→,\overrightarrow{AG}, plus court : le réel est plus grand.

Exercice 95 · defi

Quel est ce point ?

AA et BB sont deux points distincts, et II est le milieu de [AB].[AB]. Le point MM vérifie l'égalité vectorielle MA→+MB→=AB→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}.

Quel est le point MM ?

Écrire seulement la lettre du point.

Réponse attendue : A — aussi acceptées : le point A · point A · c'est A · c'est le point A · M=A · M = A · M est A · M est le point A

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace la somme par la propriété du milieu : elle fait apparaître le vecteur MI→.\overrightarrow{MI}.
  2. Tu obtiens 2 MI→=AB→,2\,\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}, donc MI→=12 AB→.\overrightarrow{MI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}. Quel vecteur, déjà dans la figure, vaut la moitié du vecteur AB→\overrightarrow{AB} et finit en II ?

Correction

  1. Le milieu — MA→+MB→=2 MI→=AB→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}
  2. Le vecteur MIMI — II est le milieu de [AB][AB] : la moitié du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. En vecteurs :MI→=12 AB→=AI→\overrightarrow{MI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI}
  3. Le point — Deux vecteurs égaux de même extrémité II ont la même origine.M=AM = A

On vérifie : avec M=A,M = A, AA→+AB→=AB→.\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}. La propriété du milieu transforme une somme de deux vecteurs en un seul, plus facile à lire.

Pièges anticipés

  • I / le point I / point I / c'est I / M=I / M = I → Avec M=I,M = I, la somme IA→+IB→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} vaudrait le vecteur nul, pas le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  • B / le point B / point B / c'est B / M=B / M = B → Avec M=B,M = B, la somme vaudrait BA→+BB→=BA→,\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{BA}, l'opposé du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Reprends le sens.

Exercice 96 · base

Deux forces dans le même sens

Un solide SS est soumis à deux forces de même direction et de même sens : la force F⃗,\vec{F}, d'intensité 33 newtons, et la force F′⃗,\vec{F'}, d'intensité 55 newtons.

Calculer l'intensité RR de leur résultante.

Donner RR en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. La résultante est la somme des deux vecteurs forces. Ils sont sur la même direction, dans le même sens.
  2. Deux vecteurs de même direction et de même sens : la longueur de leur somme est la somme de leurs longueurs.

Correction

  1. Même sens — Deux vecteurs de même direction et de même sens : la longueur de la somme est la somme des longueurs.R=3+5=8R = 3 + 5 = 8

Les intensités ne s'ajoutent que dans ce cas : même direction et même sens.

Pièges anticipés

  • 2 → Les deux forces sont de même sens : elles s'ajoutent.

Exercice 97 · base

Deux forces qui s'opposent

Un solide SS est soumis à deux forces de même direction et de sens contraires : la force F⃗,\vec{F}, d'intensité 99 newtons, et la force F′⃗,\vec{F'}, d'intensité 44 newtons.

Calculer l'intensité RR de leur résultante.

Donner RR en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Deux vecteurs de même direction et de sens contraires : l'un défait une partie de l'autre.
  2. On retranche la plus petite intensité de la plus grande ; la résultante a le sens de la force la plus intense.

Correction

  1. Sens contraires — On retranche la plus petite intensité de la plus grande. La résultante a le sens de la force F⃗.\vec{F}.R=9−4=5R = 9 - 4 = 5

La résultante mesure 55 newtons, dans le sens de la plus forte des deux forces.

Pièges anticipés

  • 13 → Les forces sont de sens contraires : elles ne s'ajoutent pas, l'une retient l'autre.
  • -5 → Une intensité est une longueur : elle n'est jamais négative.

Exercice 98 · pratique

Deux forces perpendiculaires

Un solide SS est soumis à deux forces perpendiculaires : la force F⃗,\vec{F}, d'intensité 99 newtons, et la force F′⃗,\vec{F'}, d'intensité 1212 newtons.

Calculer l'intensité RR de leur résultante.

Donner RR en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Règle du parallélogramme : avec deux forces perpendiculaires, le parallélogramme est un rectangle.
  2. L'intensité de la résultante est la diagonale du rectangle de côtés 99 et 12.12.

Correction

  1. Le rectangle — La résultante est la diagonale du rectangle construit sur les deux forces.
  2. Pythagore — R2=92+122=81+144=225R^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
  3. R=225=15R = \sqrt{225} = 15

Deux forces perpendiculaires : Pythagore donne l'intensité de la résultante, toujours plus petite que la somme des intensités.

Pièges anticipés

  • 21 → Tu as ajouté les intensités : ce serait vrai pour deux forces de même sens. Ici elles sont perpendiculaires.
  • 225 → Tu as calculé R2=225.R^2 = 225. Il reste la racine carrée.
  • 3 → Tu as soustrait les intensités. Pour des forces perpendiculaires, c'est le théorème de Pythagore qui s'applique.

Exercice 99 · pratique

Le solide immobile

Un solide SS est soumis à trois forces F1⃗,\vec{F_1}, F2⃗\vec{F_2} et F3⃗,\vec{F_3}, et il reste immobile. Les forces F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} sont perpendiculaires, d'intensités 88 newtons et 1515 newtons.

Calculer l'intensité F3F_3 de la troisième force.

Donner F3F_3 en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 17

Indices, dans l’ordre

  1. Le solide est immobile : la somme des trois forces est le vecteur nul. Que dire de la force F3⃗\vec{F_3} et de la somme F1⃗+F2⃗\vec{F_1} + \vec{F_2} ?
  2. La force F3⃗\vec{F_3} est l'opposée de la résultante de F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} : elle a la même intensité.

Correction

  1. Immobile — La somme des forces est nulle : la force F3⃗\vec{F_3} est l'opposée de la somme des deux autres. En vecteurs :F3⃗=−(F1⃗+F2⃗)\vec{F_3} = -\left(\vec{F_1} + \vec{F_2}\right)
  2. Pythagore — Deux vecteurs opposés ont la même longueur. Les forces F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} sont perpendiculaires.F32=82+152=64+225=289F_3^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289
  3. F3=289=17F_3 = \sqrt{289} = 17

Pour retenir un solide, il faut exercer l'opposée de la résultante : même direction, même intensité, sens contraire.

Pièges anticipés

  • 23 → Tu as ajouté les intensités. Les forces F1⃗\vec{F_1} et F2⃗\vec{F_2} sont perpendiculaires : leur résultante se calcule avec Pythagore.
  • 7 → Tu as soustrait les intensités. Pour des forces perpendiculaires, c'est Pythagore qui donne la résultante.
  • 289 → Tu as calculé F32=289.F_3^2 = 289. Il reste la racine carrée.

Exercice 100 · pratique

Deux forces égales à angle droit

Un solide SS est soumis à deux forces perpendiculaires de même intensité, 55 newtons chacune.

Calculer l'intensité RR de leur résultante.

Donner la valeur exacte de RR en newtons, sans écrire l'unité ; une racine carrée s'écrit sqrt(2) ou √2.

Réponse attendue : 5*sqrt(2)

Indices, dans l’ordre

  1. Le parallélogramme construit sur deux forces perpendiculaires de même intensité est un carré.
  2. La résultante est la diagonale d'un carré de côté 55 : Pythagore.

Correction

  1. Le carré — La résultante suit la diagonale du carré construit sur les deux forces.
  2. Pythagore — R2=52+52=50R^2 = 5^2 + 5^2 = 50
  3. R=50=25×2=52R = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}

La diagonale d'un carré de côté aa mesure a2a\sqrt{2} : ici 52≈7,075\sqrt{2} \approx 7{,}07 newtons, et non 10.10.

Pièges anticipés

  • 10 → Tu as ajouté les intensités. Les forces sont perpendiculaires : la résultante est la diagonale d'un carré.
  • 50 → Tu as calculé R2=50.R^2 = 50. Il reste la racine carrée.
  • 0 → Une résultante nulle supposerait deux forces opposées. Ici elles sont perpendiculaires.
  • 7.07 / 7.071 / 7.1 / 7 → Ta valeur est approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée, sans l'arrondir.

Exercice 101 · raisonnement

Deux forces à 60°

Un solide SS est soumis à deux forces de même intensité, 66 newtons chacune, dont les directions font un angle de 60°.60°. On les représente par les vecteurs SA→\overrightarrow{SA} et SB→,\overrightarrow{SB}, et CC est le point tel que SACBSACB soit un parallélogramme.

Calculer l'intensité RR de la résultante.

Donner la valeur exacte de RR en newtons, sans écrire l'unité ; une racine carrée s'écrit sqrt(3) ou √3.

Réponse attendue : 6*sqrt(3)

Indices, dans l’ordre

  1. SA=SBSA = SB : le parallélogramme SACBSACB est un losange. Ses diagonales [SC][SC] et [AB][AB] sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu I.I.
  2. Le triangle SABSAB est isocèle avec un angle de 60°60° : il est équilatéral, donc AI=3.AI = 3. Pythagore dans le triangle SIA,SIA, rectangle en I.I.

Correction

  1. Le losange — SA=SB=6SA = SB = 6 : SACBSACB est un losange, et la résultante est le vecteur SC→.\overrightarrow{SC}. Ses diagonales se coupent en leur milieu I,I, à angle droit.
  2. Le triangle équilatéral — Le triangle SABSAB est isocèle en SS avec un angle de 60°60° : il est équilatéral, AB=6AB = 6 et AI=3.AI = 3.
  3. Pythagore — Dans le triangle SIA,SIA, rectangle en II :SI2=62−32=27,SI=27=33SI^2 = 6^2 - 3^2 = 27, \quad SI = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
  4. II est le milieu de [SC].[SC].R=SC=2×33=63R = SC = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

La résultante mesure 63≈10,46\sqrt{3} \approx 10{,}4 newtons : plus que chaque force, moins que leur somme 12.12. Plus l'angle est petit, plus elle se rapproche de 12.12.

Pièges anticipés

  • 12 → Tu as ajouté les intensités : ce serait vrai si les forces avaient la même direction. Ici elles font un angle de 60°.60°.
  • 6 → 66 newtons, c'est la longueur de la petite diagonale [AB][AB] du losange. La résultante suit la diagonale qui part de S.S.
  • 3*sqrt(3) → 33,3\sqrt{3}, c'est la longueur SISI : la moitié de la diagonale. La résultante est le vecteur SC→\overrightarrow{SC} tout entier.
  • 10.4 / 10.39 / 10.392 / 10 → Ta valeur est approchée. On demande la valeur exacte : garde la racine carrée, sans l'arrondir.

Exercice 102 · raisonnement

La force inconnue

Un solide SS est soumis à deux forces perpendiculaires F⃗\vec{F} et F′⃗.\vec{F'}. L'intensité de F⃗\vec{F} est 55 newtons, et celle de leur résultante est 1313 newtons.

Calculer l'intensité F′F' de la force F′⃗.\vec{F'}.

Donner F′F' en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. La résultante est la diagonale du rectangle construit sur les deux forces : c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
  2. On connaît l'hypoténuse et un côté.R2=F2+F′2R^2 = F^2 + F'^2

Correction

  1. Le rectangle — Les forces sont perpendiculaires : la résultante est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés FF et F′.F'.132=52+F′213^2 = 5^2 + F'^2
  2. Pythagore — F′2=169−25=144F'^2 = 169 - 25 = 144
  3. F′=144=12F' = \sqrt{144} = 12

On remonte de la résultante à une force avec Pythagore, l'hypoténuse étant la résultante.

Pièges anticipés

  • 8 → Tu as soustrait les intensités. Elles ne se soustraient que pour deux forces de même direction ; ici elles sont perpendiculaires.
  • sqrt(194) → Tu as ajouté les carrés. La résultante est l'hypoténuse : F′2=132−52.F'^2 = 13^2 - 5^2.
  • 144 → Tu as calculé F′2=144.F'^2 = 144. Il reste la racine carrée.

Exercice 103 · defi

Trois forces

Un solide SS est soumis à trois forces : F1⃗,\vec{F_1}, horizontale vers la droite, d'intensité 1212 newtons ; F2⃗,\vec{F_2}, verticale vers le haut, d'intensité 88 newtons ; et F3⃗,\vec{F_3}, horizontale vers la gauche, d'intensité 66 newtons.

Calculer l'intensité RR de la résultante des trois forces.

Donner RR en newtons, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. L'ordre des vecteurs ne compte pas dans une somme : commence par les deux forces horizontales.
  2. Les forces F1⃗\vec{F_1} et F3⃗\vec{F_3} sont de même direction et de sens contraires : leur somme est horizontale, vers la droite, de 66 newtons. Il reste à l'ajouter à la force verticale.

Correction

  1. Les horizontales — F1⃗\vec{F_1} et F3⃗\vec{F_3} sont de sens contraires : leur somme est horizontale, vers la droite, d'intensité 12−6=612 - 6 = 6 newtons.
  2. Avec la verticale — Cette somme est perpendiculaire à la force F2⃗\vec{F_2} : Pythagore.R2=62+82=36+64=100R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
  3. R=100=10R = \sqrt{100} = 10

Avec plusieurs forces, on regroupe d'abord celles qui ont la même direction : la somme se range comme on veut.

Pièges anticipés

  • 26 → Tu as ajouté les trois intensités. Les forces n'ont ni la même direction ni le même sens : on additionne des vecteurs.
  • sqrt(208) → Tu as oublié la force F3⃗\vec{F_3} : elle retient la force F1⃗,\vec{F_1}, et la composante horizontale n'est plus que de 66 newtons.
  • 14 → Tu as bien regroupé les forces horizontales, mais la somme horizontale et la force verticale sont perpendiculaires : leurs intensités ne s'ajoutent pas, on utilise Pythagore.