Théorème de Thalès et sa réciproque
1ʳᵉ année secondaire · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum nabdaw le chapitre numéro 2 : le théorème de Thalès et sa réciproque. Deux droites parallèles w deux sécantes : men el figure hedhi bech nal9aw des longueurs bla ma n9isou chay. W bel 3aks, un calcul de rapports bech ythabbet elli deux droites sont parallèles. Yalla nabdaw.
عسلامة ! لْيوم نبداو le chapitre numéro 2 : le théorème de Thalès et sa réciproque . deux droites parallèles و deux sécantes : من الـ figure هاذي باش نلقاو des longueurs بلا ما نقيسو شيء . و بالعكس ، un calcul de rapports باش يثبّت اللي deux droites sont parallèles . يالله نبداو.
Bonjour ! Aujourd'hui on commence le chapitre numéro 2 : le théorème de Thalès et sa réciproque. Deux droites parallèles et deux sécantes : de cette figure, on va tirer des longueurs sans rien mesurer. Et dans l'autre sens, un calcul de rapports va prouver que deux droites sont parallèles. Allons-y.
Deux droites parallèles coupées par deux sécantes : c'est la figure la plus rentable de la géométrie. Elle donne des longueurs sans les mesurer et, dans l'autre sens, elle prouve un parallélisme par un simple calcul.
On part d'un cas que tu connais, la droite des milieux, puis on le généralise : c'est le théorème de Thalès. Sa réciproque fait le chemin inverse. Au passage, on apprend à agrandir, à réduire, à construire une longueur et à partager un segment, avec une règle, un compas et une équerre.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Utiliser la droite des milieux pour prouver un parallélisme ou placer un milieuUtiliser la droite des milieux pour prouver un parallélisme ou placer un milieu.Utiliser la droite des milieux pour prouver un parallélisme ou placer un milieu.
- Calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangleCalculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangle.Calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans un triangle.
- Relier agrandissement et réduction : longueurs multipliées par aires par Qu'avec un rapport k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k au carré.Qu'avec un rapport k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k au carré.
- Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de ThalèsDémontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès.Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès.
- Construire un segment de longueur donnée et partager un segment dans une proportion donnéeConstruire un segment de longueur donnée, et partager un segment dans une proportion donnée.Construire un segment de longueur donnée, et partager un segment dans une proportion donnée.
1. Activité
Un parallélogramme, deux milieux
Ce qu’il dit
Chouf le triangle ABD. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : donc O houwa le milieu de [BD], w I houwa le milieu de [AB]. Zouz milieux fi nafs el triangle : la droite elli tjam3hom parallèle au troisième côté, (AD). Ba3d, fi le triangle ACD, O houwa le milieu de [AC], w la droite (OJ) parallèle à (AD). Donc t9oss [DC] fi westha : J houwa le milieu de [DC].
شوف le triangle A B D . les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : donc O هو le milieu de B D ، و I هو le milieu de A B . زوز milieux في نفس الـ triangle : la droite اللي تجمعهم parallèle au troisième côté ، A D . بعد ، في le triangle A C D ، O هو le milieu de A C ، و la droite O J parallèle à A D . donc تقصّ D C في وسطها : J هو le milieu de D C .
Regarde le triangle A B D. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : O est donc le milieu de B D, et I est le milieu de A B. Deux milieux dans un même triangle : la droite qui les joint est parallèle au troisième côté, A D. Ensuite, dans le triangle A C D, O est le milieu de A C, et la droite O J est parallèle à A D. Elle coupe donc D C en son milieu : J est le milieu de D C.
est un parallélogramme de centre et est le milieu du côté
- 1.Dans le triangle que représentent les points et ? Explique pourquoi les droites et sont parallèles.
- 2.La droite coupe le côté en Dans le triangle que représente le point ? Quelle est la position de sur ? Justifie.
Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Ses diagonales [AC] et [BD], en pointillés, se coupent en son centre O. Le point I est le milieu du côté [AB] : les deux moitiés [AI] et [IB] portent le même petit trait. La droite (OI), tracée en bleu, monte vers la droite parallèlement au côté [AD] et coupe le côté [DC] au point J.
2. Théorème
La droite des milieux
Ce qu’il dit
Tfakker les deux sens. Premier énoncé : deux milieux, donc une parallèle. Deuxième énoncé : un milieu w une parallèle, donc un deuxième milieu. W le segment elli yjamma3 les deux milieux mesure la moitié du troisième côté. Le premier ythabbet un parallélisme, w le second y7ott un milieu.
تفكّر les deux sens . premier énoncé : deux milieux ، donc une parallèle . deuxième énoncé : un milieu و une parallèle ، donc un deuxième milieu . و le segment اللي يجمع les deux milieux mesure la moitié du troisième côté . le premier يثبّت un parallélisme ، و le second يحطّ un milieu .
Retiens les deux sens. Premier énoncé : deux milieux, donc une parallèle. Deuxième énoncé : un milieu et une parallèle, donc un deuxième milieu. Et le segment qui joint les deux milieux mesure la moitié du troisième côté. Le premier prouve un parallélisme, le second place un milieu.
Deux énoncés, qui vont ensemble.
- 1.Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
- 2.Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
De plus, le segment qui joint les deux milieux mesure la moitié du troisième côté : Le théorème de Thalès, juste après, le démontre.
Le premier énoncé sert à prouver un parallélisme, le second à placer un milieu.
Un triangle ABC, A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC] : les deux moitiés de [AB] portent un petit trait, les deux moitiés de [AC] en portent deux. Le segment [IJ], tracé en bleu, est parallèle à la base [BC] et en mesure la moitié.
deux milieux
un milieu, une parallèle
la longueur
Exemple traité
Dans le triangle est le milieu de La parallèle à passant par coupe en On sait que cm et cm. Calculer et
- Le bon énoncé — On a un milieu et une parallèle : c'est le second énoncé. Le point est donc le milieu de
- La longueur — Maintenant, et sont deux milieux : le segment mesure la moitié du troisième côté
À ne pas faire : est le milieu de donc est le milieu de — est le milieu de et est parallèle à donc est le milieu de . Un seul milieu ne suffit pas : sans la parallèle, la droite qui part de peut couper n'importe où. Les deux hypothèses sont indispensables.
3. Activité
Un triangle agrandi
Ce qu’il dit
N9isou mli7 : nal9aw AE égale 6. W les trois rapports yti7ou 3la nafs el nombre, 3 sur 2 : AD sur AB, AE sur AC, w 7atta DE sur BC. Le triangle ADE, houwa le triangle ABC mkabber marra w nos. Hedha bedhabt elli y9oulou le théorème de Thalès.
نقيسو مليح : نلقاو A E égale 6 . و les trois rapports يطيحو على نفس الـ nombre ، 3 sur 2 : A D sur A B ، A E sur A C ، و حتّى D E sur B C . le triangle A D E ، هو le triangle A B C مكبّر مرّة و نص . هذا بالضبط اللي يقولو le théorème de Thalès .
On mesure bien : on trouve A E égale 6. Et les trois rapports tombent sur le même nombre, 3 sur 2 : A D sur A B, A E sur A C, et même D E sur B C. Le triangle A D E, c'est le triangle A B C agrandi une fois et demie. C'est exactement ce que dit le théorème de Thalès.
Sur la figure, les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que et les droites et sont parallèles. On donne et
- 1.Reproduis la figure et mesure et
- 2.Calcule les trois rapports
- 3.
- 4.Que remarques-tu ?
- 5.Le triangle est un agrandissement du triangle À quelle échelle ?
Deux segments [AD] et [AE] partent du point A, en bas à gauche : l'un monte vers le haut en penchant à droite, l'autre part vers la droite en montant légèrement. Sur le premier se suivent B puis D, avec AB = 2 et BD = 1, donc AD = 3. Sur le second se suivent C puis E, avec AC = 4. Les segments [BC] et [DE], tracés en bleu, sont parallèles : le grand triangle ADE contient le petit triangle ABC.
4. Théorème
Le théorème de Thalès dans un triangle
Ce qu’il dit
Hedha houwa le théorème. Deux droites sécantes en A, w deux parallèles, (MN) w (BC). Donc AM sur AB égale AN sur AC égale MN sur BC. Fi koll rapport, nafs el triangle el fou9, w nafs el triangle el louta. W rodd belek : le théorème ma yemchich ken ki les droites parallèles. Hiya l'hypothèse mte3ou.
هذا هو le théorème . deux droites sécantes en A ، و deux parallèles ، M N و B C . donc A M sur A B égale A N sur A C égale M N sur B C . في كل rapport ، نفس الـ triangle الفوق ، و نفس الـ triangle اللوطة . و ردّ بالك : le théorème ما يمشيش كان كي les droites parallèles . هي l'hypothèse متاعو .
Voici le théorème. Deux droites sécantes en A, et deux parallèles, M N et B C. Alors A M sur A B égale A N sur A C égale M N sur B C. Dans chaque rapport, le même triangle en haut et le même en bas. Et attention : le théorème ne marche que si les droites sont parallèles. C'est son hypothèse.
Soient deux droites et sécantes en un point de la droite et un point de la droite
Si les droites et sont parallèles, alors les trois rapports ci-dessous sont égaux.
Chacun compare une longueur du triangle à la longueur correspondante du triangle Sur les deux sécantes, les longueurs se mesurent depuis : et et Le troisième rapport compare les deux côtés parallèles, et Le théorème reste vrai quand et sont au-delà de et de ou de l'autre côté de : les trois figures sont rassemblées plus bas.
Un triangle ABC, A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. Le point M est sur le côté [AB] et le point N sur le côté [AC], chacun aux deux cinquièmes du côté en partant de A. Le segment [MN] et la base [BC] sont tracés en bleu : ils sont parallèles. Le petit triangle AMN, en haut, est une réduction du triangle ABC.
théorème de Thalès
Exemple traité
Dans le triangle et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm, cm et cm. Calculer et
- Les rapports — Les droites sont parallèles : on écrit l'égalité de Thalès, avec les longueurs du triangle au numérateur.
- La longueur — On garde les deux premiers rapports, et on isole
- La longueur — Le premier et le troisième rapport donnent
À ne pas faire : — . Le rapport compare deux côtés entiers de deux triangles. On le met en face de avec le côté entier et jamais de qui ne compare que deux morceaux du même côté.
À ne pas faire : — . Dans chaque rapport, le même triangle en haut et le même en bas. Retourner un rapport sur deux donne une égalité fausse.
5. Propriété
Agrandir, réduire
Ce qu’il dit
Ki les droites parallèles, el triangle AMN copie mte3 el triangle ABC, bel rapport k égale AM sur AB. Ken k inférieur à 1, hedhi une réduction ; ken k supérieur à 1, un agrandissement. Les longueurs tetdharb fi k, w le périmètre zeda. Ama l'aire, tetdharb fi k au carré.
كي les droites parallèles ، الـ triangle A M N copie متاع الـ triangle A B C ، بالـ rapport k égale A M sur A B . كان k inférieur à 1 ، هاذي une réduction ؛ كان k supérieur à 1 ، un agrandissement . les longueurs تتضرب في k ، و le périmètre زادة . أما l'aire ، تتضرب في k au carré .
Quand les droites sont parallèles, le triangle A M N est une copie du triangle A B C, au rapport k égale A M sur A B. Si k est inférieur à 1, c'est une réduction ; si k est supérieur à 1, un agrandissement. Les longueurs sont multipliées par k, le périmètre aussi. Mais l'aire, elle, est multipliée par k au carré.
Quand et sont parallèles, les trois côtés du triangle s'obtiennent en multipliant ceux du triangle par le même nombre
- si le triangle est une réduction de ; si c'est un agrandissement ;
- les longueurs, donc le périmètre, sont multipliées par ;
- les aires sont multipliées par
longueurs
aires
Exemple traité
Le triangle est un agrandissement du triangle de rapport Le triangle a un périmètre de cm et une aire de cm². Calculer le périmètre et l'aire du triangle
- Le périmètre — Les longueurs sont multipliées par le périmètre aussi.
- L'aire — L'aire, elle, est multipliée par
À ne pas faire : — . Une aire se mesure dans deux directions à la fois. Chacune est multipliée par donc l'aire l'est par
6. Activité
Des rapports égaux, et après ?
Ce qu’il dit
Nrasmou la parallèle à (BC) elli tet3adda men M. T9oss [AC] fi N', w Thalès ya3tina AN' sur AC égale AM sur AB. Ama hedha zeda AN sur AC. Donc AN' égale AN : zouz points fi nafs el segment, 3la nafs la distance men A, houma nafs el point. N' w N confondus, w la droite (MN) parallèle à (BC). Hedhi hiya la réciproque.
نرسمو la parallèle à B C اللي تتعدّى من M . تقصّ A C في N prime ، و Thalès يعطينا A N prime sur A C égale A M sur A B . أما هذا زادة A N sur A C . donc A N prime égale A N : زوز points في نفس الـ segment ، على نفس la distance من A ، هوما نفس الـ point . N prime و N confondus ، و la droite M N parallèle à B C . هاذي هي la réciproque .
On trace la parallèle à B C passant par M. Elle coupe A C en N prime, et Thalès donne A N prime sur A C égale A M sur A B. Or c'est aussi A N sur A C. Donc A N prime égale A N : deux points du même segment, à la même distance de A, c'est le même point. N prime et N sont confondus, et la droite M N est bien parallèle à B C. C'est la réciproque.
Dans le triangle on place sur et sur tous deux distincts de de sorte que Les droites et sont-elles forcément parallèles ?
- 1.Trace la parallèle à passant par : elle coupe en un point Que donne le théorème de Thalès pour le rapport ?
- 2.Compare et Les points et sont sur le même segment : que peux-tu en conclure ?
- 3.Conclus sur les droites et
Le triangle ABC, A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite, et un point M sur le côté [AB]. En pointillés bleus, la parallèle à (BC) passant par M : elle coupe le côté [AC] au point N'. Le point N, choisi sur [AC] avec AN/AC = AM/AB, n'est pas dessiné : l'activité montre qu'il est confondu avec N'.
7. Théorème
La réciproque du théorème de Thalès
Ce qu’il dit
Tawa nemchiw bel 3aks. Na7sbou AM sur AB, w na7sbou AN sur AC. Madamhom 9ad 9ad, w les points dans le même ordre, nenjem n9oul elli la droite (MN) parallèle à (BC). Zouz conditions, mouch wa7da : les rapports égaux, w le même ordre. W ken les rapports différents, les droites mouch parallèles.
توّا نمشيو بالعكس . نحسبو A M sur A B ، و نحسبو A N sur A C . مادامهم قد قد ، و les points dans le même ordre ، ننجّم نقول اللي la droite M N parallèle à B C . زوز conditions ، موش وحدة : les rapports égaux ، و le même ordre . و كان les rapports différents ، les droites موش parallèles .
Maintenant, le chemin inverse. On calcule A M sur A B, et on calcule A N sur A C. Puisqu'ils sont égaux, et que les points sont dans le même ordre, on peut dire que la droite M N est parallèle à B C. Deux conditions, pas une seule : les rapports égaux, et le même ordre. Et si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.
Soient deux droites et sécantes en un point de et un point de tous deux distincts de et placés dans le même ordre : soit est du même côté de que et du même côté de que soit et sont tous les deux de l'autre côté de
Si alors les droites et sont parallèles.
À l'inverse, si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles : si elles l'étaient, le théorème de Thalès rendrait les rapports égaux.
points dans le même ordre
Exemple traité
On a et avec cm, cm, cm et cm. Les droites et sont-elles parallèles ?
- Premier rapport —
- Second rapport —
- Conclusion — Les deux rapports sont égaux, et sont dans le même ordre sur et D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles.
À ne pas faire : Les rapports sont égaux, avec mais de l'autre côté de : donc est parallèle à — Il faut les rapports égaux et placés dans le même ordre par rapport à . Si passe de l'autre côté de les rapports ne changent pas, mais la droite bascule et n'est plus parallèle à L'ordre des points fait partie des hypothèses.
À ne pas faire : Les droites sont parallèles, donc les rapports sont égaux : c'est la réciproque. — Des parallèles vers les rapports : Thalès. Des rapports vers les parallèles : la réciproque.. Pour démontrer un parallélisme, on part des rapports. Partir des parallèles, c'est utiliser le théorème direct : il suppose ce qu'on veut prouver.
À ne pas faire : et donc les rapports sont égaux. — et : les rapports sont différents.. Deux arrondis égaux ne prouvent pas une égalité. On compare les fractions exactement, par les produits en croix.
8. Remarque
Les trois figures de Thalès
Ce qu’il dit
Trois figures, w ktiba wa7da. El triangle es-sghir fi west el kbir ; M w N men ba3d B w C : el triangle AMN houwa el kbir ; w le papillon, win les deux triangles opposés par le sommet A. Fi le papillon, dima nabdaw men A : AM w AB 3la droite, AN w AC 3al o5ra.
trois figures ، و كتيبة وحدة . الـ triangle الصغير في وسط الكبير ؛ M و N من بعد B و C : الـ triangle A M N هو الكبير ؛ و le papillon ، وين les deux triangles opposés par le sommet A . في le papillon ، ديما نبداو من A : A M و A B على droite ، A N و A C على الأخرى .
Trois figures, une seule écriture. Le petit triangle dans le grand ; M et N au-delà de B et C : le grand triangle, c'est A M N ; et le papillon, où les deux triangles sont opposés par le sommet A. Dans le papillon, on part toujours de A : A M et A B sur une droite, A N et A C sur l'autre.
Le théorème de Thalès et sa réciproque s'appliquent dans trois figures. Dans les trois, et sont parallèles et les rapports s'écrivent de la même façon : sur les sécantes, les longueurs se lisent à partir de
- 1. et : le triangle est à l'intérieur de ;
- 2. et : le triangle est un agrandissement de ;
- 3. et : les deux triangles sont opposés par le sommet C'est la figure en papillon, dessinée ci-dessous.
La première figure est celle du théorème, plus haut ; la deuxième est celle de l'activité du triangle agrandi, où et
Dans le papillon, on lit toujours les longueurs à partir de : et sur une droite, et sur l'autre.
Deux droites se coupent au point A, au centre. Sur la première, B est en haut à gauche de A et M en bas à droite ; sur la seconde, C est en haut, un peu à droite de A, et N en bas à gauche. Les longueurs sont AB = 4, AM = 6, AC = 5 et AN = 7,5. Les segments [BC], en haut, et [MN], en bas, sont tracés en bleu et sont parallèles : les triangles ABC et AMN sont opposés par le sommet A, comme les deux ailes d'un papillon.
Exemple traité
Dans la figure en papillon, est entre et et entre et avec et Les droites et sont-elles parallèles ? Si combien mesure ?
- Les rapports — Les points sont dans le même ordre : est entre et et entre et
- La réciproque — Les deux rapports sont égaux : les droites et sont parallèles.
- La longueur — Maintenant qu'elles sont parallèles, le théorème de Thalès donne le troisième rapport.
À ne pas faire : — . Dans le papillon, et sont de part et d'autre de Les longueurs se mesurent depuis : c'est pas
9. Méthode
Construire un segment de longueur donnée
Ce qu’il dit
Bech nebniw une longueur d telle que 9 sur 7 égale 5 sur d, ma na7sbou chay. 3la une première demi-droite, n7ottou 7 unités, ba3d 9 : houma les points I w J. 3la une deuxième demi-droite, 5 unités : houwa le point K. Nrasmou la droite (JK), ba3d la parallèle mte3ha elli tet3adda men I : t9oss la deuxième demi-droite fi D. Thalès ya3tina OI sur OJ égale OD sur OK, donc 7 sur 9 égale OD sur 5 : OD hiya la longueur d. W d égale 35 sur 9, ma tti7ch juste : bel règle graduée nal9aw ken une valeur approchée, ama la construction ta3tiha exactement.
باش نبنيو une longueur d telle que 9 sur 7 égale 5 sur d ، ما نحسبو شيء . على une première demi-droite ، نحطّو 7 unités ، بعد 9 : هوما les points I و J . على une deuxième demi-droite ، 5 unités : هو le point K . نرسمو la droite J K ، بعد la parallèle متاعها اللي تتعدّى من I : تقصّ la deuxième demi-droite في D . Thalès يعطينا O I sur O J égale O D sur O K ، donc 7 sur 9 égale O D sur 5 : O D هي la longueur d . و d égale 35 sur 9 ، ما تطيحش juste : بالـ règle graduée نلقاو كان une valeur approchée ، أما la construction تعطيها exactement .
Pour construire une longueur d telle que 9 sur 7 égale 5 sur d, on ne calcule rien. Sur une première demi-droite, on reporte 7 unités, puis 9 : ce sont les points I et J. Sur une deuxième, 5 unités : c'est le point K. On trace la droite J K, puis sa parallèle qui passe par I : elle coupe la deuxième demi-droite en D. Thalès donne O I sur O J égale O D sur O K, donc 7 sur 9 égale O D sur 5 : O D, c'est la longueur d. Et d égale 35 sur 9, qui ne tombe pas juste : la règle graduée n'en donne qu'une valeur approchée, la construction la donne exactement.
Le théorème de Thalès sert aussi à construire une longueur, avec une règle, un compas et une équerre, sans rien calculer.
Construire un segment de longueur tel que
- 1.On choisit une unité, et on trace deux demi-droites et de même origine qui ne sont pas portées par une même droite.
- 2.Sur on reporte au compas neuf fois l'unité à partir de : est le septième point et le neuvième, donc et Sur on place tel que
- 3.On trace puis la parallèle à passant par : elle coupe en Le segment est le segment cherché.
Pourquoi ça marche : dans le triangle la droite est parallèle à donc le théorème de Thalès donne soit En renversant les deux rapports, : la longueur est bien
La même idée place un point de la droite tel que : sur une demi-droite d'origine non portée par on reporte sept fois la même longueur ; on relie à le sixième point, et la parallèle menée par le septième coupe en au-delà de
Deux demi-droites partent du point O, en bas à gauche : [Ox) presque horizontale vers la droite, [Oy) qui monte en penchant vers la droite. Sur [Ox), neuf points marqués à la même distance les uns des autres, à partir de O : le septième s'appelle I, le neuvième J. Sur [Oy), le point K est à 5 unités de O. Le segment [JK] est tracé en bleu. La parallèle à (JK) passant par I, en pointillés bleus, coupe [Oy) au point D, entre O et K : OD vaut 35/9 unités, un peu moins de 4.
Thalès dans le triangle OJK
Exemple traité
On prend le centimètre pour unité et on construit le point comme ci-dessus. Calculer puis vérifier que
- Thalès dans le triangle — et est parallèle à : on écrit l'égalité des deux rapports qui partent de
- La longueur — On isole : cm, environ cm.
- Le contrôle — On renverse : C'est bien la longueur cherchée.
À ne pas faire : Pour on trace la parallèle à passant par — On trace la parallèle à passant par : on relie le point au point et la parallèle part du point . La parallèle à menée par coupe la demi-droite en un point tel que soit : c'est la réponse à une autre égalité,
10. Méthode
Partager un segment dans une proportion donnée
Ce qu’il dit
Bech n9assmou [AB] bel rapport 3 sur 5, ma n9isou chay. N7ottou 8 parts égales 3la une demi-droite, 3 plus 5. Nrabtou le huitième point b B, w nrasmou la parallèle elli tet3adda mel troisième. Tti7 3la P. Thalès yadhmen elli AP fiha 3 parts men 8.
باش نقسّمو A B بالـ rapport 3 sur 5 ، ما نقيسو شيء . نحطّو 8 parts égales على une demi-droite ، 3 plus 5 . نربطو le huitième point بـ B ، و نرسمو la parallèle اللي تتعدّى من الـ troisième . تطيح على P . Thalès يضمن اللي A P فيها 3 parts من 8 .
Pour partager A B dans le rapport 3 sur 5, on ne mesure rien. On reporte 8 parts égales sur une demi-droite, 3 plus 5. On relie le huitième point à B, et on trace la parallèle qui passe par le troisième. Elle tombe sur P. Thalès garantit que A P fait 3 parts sur 8.
La même méthode partage un segment, avec une règle, un compas et une équerre, sans rien mesurer d'autre que des parts égales.
Placer sur tel que
- 1. compte parts et en compte : le segment en compte
- 2.On trace une demi-droite d'origine non portée par et on y reporte au compas huit fois la même longueur à partir de On note le troisième point et le huitième.
- 3.On trace puis la parallèle à passant par : elle coupe en
Pourquoi ça marche : dans le triangle la droite est parallèle à donc le théorème de Thalès donne Le point prend parts sur et les autres.
Un segment [AB] horizontal, A à gauche et B à droite. De A part une demi-droite [Ax) qui monte vers la droite ; on y a reporté huit fois la même longueur et marqué les huit points obtenus : le troisième s'appelle E, le huitième F. Le segment [FB] est tracé en bleu. La parallèle à (FB) passant par E, en bleu aussi, coupe [AB] au point P, situé aux trois huitièmes de [AB] en partant de A.
Thalès dans le triangle AFB
Exemple traité
Le segment mesure cm. Où tombe le point de tel que ?
- Les parts — Le segment compte parts égales, de cm chacune, et en prend
- Et prend les autres parts.
À ne pas faire : donc je reporte parts et je relie la troisième. — Je reporte parts, et la parallèle part de la troisième.. compare les deux morceaux entre eux, pas un morceau au segment entier. Le segment entier compte parts.
11. Méthode
Quel outil, pour quelle question
Ce qu’il dit
Trois questions, trois outils. Nlawjou 3la une longueur w 3andna des parallèles : Thalès. N7ebbou nthabtou des parallèles : la réciproque, walla la droite des milieux ken famma deux milieux. N7ebbou nthabtou elli mouch parallèles : deux rapports différents yekfiw. W dima, 3al sécantes, les longueurs tet9as men A.
trois questions ، trois outils . نلوّجو على une longueur و عندنا des parallèles : Thalès . نحبّو نثبّتو des parallèles : la réciproque ، ولّا la droite des milieux كان فمّا deux milieux . نحبّو نثبّتو اللي موش parallèles : deux rapports différents يكفيو . و ديما ، على les sécantes ، les longueurs تتقاس من A .
Trois questions, trois outils. On cherche une longueur et on a des parallèles : Thalès. On veut prouver des parallèles : la réciproque, ou la droite des milieux s'il y a deux milieux. On veut prouver qu'elles ne sont pas parallèles : deux rapports différents suffisent. Et toujours, sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis A.
Devant deux droites sécantes en coupées par deux autres droites, trois questions, trois outils :
- 1.On cherche une longueur, et on sait que et sont parallèles : théorème de Thalès. On écrit les trois rapports, puis on garde les deux qui contiennent l'inconnue et des longueurs connues.
- 2.On veut prouver que et sont parallèles : réciproque. On calcule et exactement, et on vérifie que les points sont dans le même ordre. Si et sont des milieux, la droite des milieux suffit.
- 3.On veut prouver qu'elles ne sont pas parallèles : on montre que
Dans tous les cas, sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis , et le même triangle reste au numérateur.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Droite des milieux : deux milieux parallèle au troisième côté ; un milieu et une parallèle un deuxième milieu.La droite des milieux : deux milieux ya3tiw une parallèle au troisième côté ; un milieu w une parallèle ya3tiw un deuxième milieu.Droite des milieux : deux milieux donnent une parallèle au troisième côté ; un milieu et une parallèle donnent un deuxième milieu.
- Thalès : si alors Thalès : ken (MN) parallèle à (BC), donc AM sur AB égale AN sur AC égale MN sur BC.Thalès : si M N est parallèle à B C, alors A M sur A B égale A N sur A C égale M N sur B C.
- Sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis ; le troisième rapport compare les côtés parallèles et Le même triangle reste au numérateur.3al sécantes, les longueurs tet9as men A ; w le troisième rapport y9aren les deux côtés parallèles, MN w BC. W nafs el triangle au numérateur.Sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis A ; le troisième rapport compare les deux côtés parallèles, M N et B C. Et le même triangle reste au numérateur.
- Rapport : longueurs et périmètre multipliés par aires par B un rapport k, les longueurs w le périmètre tetdharb fi k, w les aires fi k au carré.Avec un rapport k, les longueurs et le périmètre sont multipliés par k, les aires par k au carré.
- Réciproque : rapports égaux et points dans le même ordre droites parallèles.La réciproque : des rapports égaux, w les points dans le même ordre, ya3tiw des droites parallèles.Réciproque : des rapports égaux, et les points dans le même ordre, donnent des droites parallèles.
- Rapports différents droites non parallèles.Des rapports différents ythabtou elli les droites mouch parallèles.Des rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna le théorème de Thalès. Tfakker les trois gestes : mel parallèles lel rapports, hedha Thalès ; mel rapports lel parallèles, hedhi la réciproque ; w 3al sécantes, les longueurs tet9as mel sommet commun. Yalla nemchiw lel exercices.
هكّا كمّلنا le théorème de Thalès . تفكّر les trois gestes : من الـ parallèles للـ rapports ، هذا Thalès ؛ من الـ rapports للـ parallèles ، هاذي la réciproque ؛ و على les sécantes ، les longueurs تتقاس من le sommet commun . يالله نمشيو للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé le théorème de Thalès. Retiens les trois gestes : des parallèles vers les rapports, c'est Thalès ; des rapports vers les parallèles, c'est la réciproque ; et sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis le sommet commun. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · La droite des milieux
- c'est quoi la droite des milieux
- théorème de la droite des milieux
- chnowa la droite des milieux
- droite des milieux énoncé
- la droite des milieux kifech nesta3melha
- droite des milieux les deux énoncés
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz énoncés. La droite elli torbot les milieux mte3 deux côtés parallèle l le troisième côté. W la droite elli tet3adda 3la le milieu mte3 côté w parallèle l deuxième côté, t9oss le troisième côté fi le milieu mte3ou. Le premier yprouvi parallélisme, w le deuxième y7ott milieu.
زوز énoncés . la droite اللي تربط les milieux متاع deux côtés parallèle لـ le troisième côté . w la droite اللي تتعدّى على le milieu متاع côté w parallèle لـ deuxième côté ، تقصّ le troisième côté في le milieu متاعو . le premier يـ prouver parallélisme ، w le deuxième يحط milieu .
Deux énoncés. La droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Et la droite qui passe par le milieu d'un côté, parallèlement à un deuxième côté, coupe le troisième côté en son milieu. Le premier prouve un parallélisme, le second place un milieu.
Question 2 · La droite des milieux
- un seul milieu suffit pour dire que J est le milieu ?
- I milieu donc J milieu ?
- milieu wa7ed ykaffi ?
- pourquoi un seul milieu ne suffit pas
- seul milieu sans parallèle
- kifech nwarri elli J milieu de AC
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, milieu wa7ed ma ykaffich. Lezem I milieu de $[AB]$, w zeda $(IJ)$ parallèle l $(BC)$ : wa9tha J milieu de $[AC]$. Bla la parallèle, la droite elli to5rej men I tnajjem t9oss $[AC]$ win ma ja.
لا ، milieu واحد ما يكفيش . لازم I milieu de A B ، w زادة I J parallèle لـ B C : وقتها J milieu de A C . بلا la parallèle ، la droite اللي تخرج من I تنجّم تقصّ A C وين ما جا .
Non, un seul milieu ne suffit pas. Il faut que I soit le milieu de A B et que I J soit parallèle à B C : alors J est le milieu de A C. Sans la parallèle, la droite issue de I peut couper A C n'importe où.
Question 3 · La droite des milieux
- IJ égale la moitié de BC ?
- le segment des milieux mesure combien
- pourquoi IJ = BC/2
- longueur du segment qui joint les milieux
- IJ kifech na7sbou
- segment des milieux la moitié du troisième côté
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le segment elli yorbot les milieux mte3 deux côtés y9is la moitié mte3 le troisième côté : $IJ = \dfrac{BC}{2}$. Mathalan ken $BC = 9$ cm, $IJ = 4{,}5$ cm. W Thalès houwa elli ydémontri hedha.
le segment اللي يربط les milieux متاع deux côtés يقيس la moitié متاع le troisième côté : I J égale B C sur 2 . مثلا كان B C 9 cm ، I J 4,5 cm . w Thalès هو اللي يـ démontrer هذا .
Le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté : I J égale B C sur 2. Par exemple, si B C mesure 9 cm, I J mesure 4,5 cm. C'est le théorème de Thalès qui le démontre.
Question 4 · Le théorème de Thalès dans un triangle
- c'est quoi le théorème de Thalès
- chnowa théorème de Thalès
- énoncé du théorème de Thalès
- Thalès ya3ni chnowa
- théorème de Thalès définition
- que dit le théorème de Thalès
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz droites sécantes en A, M 3la $(AB)$ w N 3la $(AC)$. Ken $(MN)$ parallèle l $(BC)$, donc les trois rapports égaux : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
زوز droites sécantes en A ، M على A B w N على A C . كان M N parallèle لـ B C ، donc les trois rapports égaux : A M sur A B égale A N sur A C égale M N sur B C .
Deux droites sécantes en A, M sur la droite A B et N sur la droite A C. Si M N est parallèle à B C, alors les trois rapports sont égaux : A M sur A B égale A N sur A C égale M N sur B C.
Question 5 · Le théorème de Thalès dans un triangle
- quand utiliser le théorème de Thalès
- Thalès wa9tech nesta3mlou
- les conditions pour appliquer Thalès
- Thalès il faut quoi comme hypothèse
- quand est-ce qu'on applique Thalès
- hypothèses du théorème de Thalès
Ce qu’il répond
Ki nlawjou 3la longueur, w na3rfou elli $(MN)$ w $(BC)$ parallèles, w M 3la $(AB)$ w N 3la $(AC)$. El parallélisme lezem ykoun ma3ti walla prouvé 9bal : houwa l'hypothèse.
كي نلوّجو على longueur ، w نعرفو اللي M N w B C parallèles ، w M على A B w N على A C . الـ parallélisme لازم يكون معطى ولّا مـ prouvé قبْلْ : هو l'hypothèse .
Quand on cherche une longueur et qu'on sait que M N et B C sont parallèles, avec M sur la droite A B et N sur la droite A C. Le parallélisme doit être donné ou déjà démontré : c'est l'hypothèse.
Question 6 · Le théorème de Thalès dans un triangle
- comment écrire les rapports de Thalès
- kifech nekteb les rapports
- quelle longueur en haut dans les rapports
- les rapports de Thalès dans quel ordre
- numérateur et dénominateur dans les rapports de Thalès
- chnowa nekteb fou9 w louta fel rapport
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi koll rapport, nafs le triangle fou9 w nafs le triangle louta. Le triangle AMN fou9 : $\dfrac{AM}{AB}$, $\dfrac{AN}{AC}$, $\dfrac{MN}{BC}$. W 3la les sécantes, les longueurs n9isouhom men A. Ma t9allebch rapport wa7dou.
في كل rapport ، نفس le triangle فوق w نفس le triangle لوطة . le triangle A M N فوق : A M sur A B ، A N sur A C ، M N sur B C . w على les sécantes ، les longueurs نقيسوهم من A . ما تقلبش rapport وحدو .
Dans chaque rapport, le même triangle en haut et le même en bas. Le triangle A M N en haut : A M sur A B, A N sur A C, M N sur B C. Sur les sécantes, les longueurs se mesurent depuis A. Ne retourne jamais un seul des rapports.
Question 7 · Le théorème de Thalès dans un triangle
- AM/MB = MN/BC c'est juste ?
- pourquoi AM sur AB et pas AM sur MB
- 3lech mouch AM/MB
- on peut écrire AM sur MB ?
- AM/MB wala AM/AB
- rapport avec MB c'est faux ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le. $\dfrac{MN}{BC}$ ycomparer deux côtés kemlin mte3 deux triangles, donc n7ottou 9oddemou $\dfrac{AM}{AB}$, b le côté kemel AB. $\dfrac{AM}{MB}$ ycomparer zouz 7wayej men nafs le côté bark.
لا . M N sur B C يـ comparer deux côtés كاملين متاع deux triangles ، donc نحطّو قدّامو A M sur A B ، بـ le côté كامل A B . A M sur M B يـ comparer زوز حوايج من نفس le côté برك .
Non. M N sur B C compare deux côtés entiers de deux triangles, on le met donc en face de A M sur A B, avec le côté entier A B. A M sur M B ne compare que deux morceaux du même côté.
Question 8 · Le théorème de Thalès dans un triangle
- comment calculer une longueur avec Thalès
- kifech na7seb AN b Thalès
- trouver une longueur avec le théorème de Thalès
- Thalès pour calculer MN
- kifech nal9a longueur b Thalès
- calcul de longueur Thalès exemple
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nektbou les trois rapports, w n5alliw el zouz elli fihom l'inconnue w des longueurs ma3roufin. Mathalan $AM = 2$, $AB = 5$, $AC = 7{,}5$ : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{AN}{7{,}5}$, donc $AN = \dfrac{2 \times 7{,}5}{5} = 3$ cm.
نكتبو les trois rapports ، w نخلّيو الزوز اللي فيهم l'inconnue w des longueurs معروفين . مثلا A M 2 ، A B 5 ، A C 7,5 : 2 sur 5 égale A N sur 7,5 ، donc A N égale 2 fois 7,5 sur 5 ، يعني 3 cm .
On écrit les trois rapports, puis on garde les deux qui contiennent l'inconnue et des longueurs connues. Par exemple A M égale 2, A B égale 5, A C égale 7,5 : 2 sur 5 égale A N sur 7,5, donc A N égale 2 fois 7,5 sur 5, soit 3 cm.
Question 9 · Le théorème de Thalès dans un triangle
- comment isoler AN dans l'égalité
- produit en croix kifech
- kifech n3azel l'inconnue fel rapport
- comment isoler x dans 2/5 = x/7,5
- isoler la longueur inconnue
- produit en croix Thalès
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
B le produit en croix : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{AN}{7{,}5}$ ya3ti $5 \times AN = 2 \times 7{,}5$. Donc $AN = \dfrac{2 \times 7{,}5}{5} = 3$.
بـ le produit en croix : 2 sur 5 égale A N sur 7,5 يعطي 5 fois A N égale 2 fois 7,5 . donc A N égale 2 fois 7,5 sur 5 ، يعني 3 .
Avec le produit en croix : 2 sur 5 égale A N sur 7,5 donne 5 fois A N égale 2 fois 7,5. Donc A N égale 2 fois 7,5 sur 5, soit 3.
Question 10 · Les trois figures de Thalès
- c'est quoi la figure en papillon
- Thalès en papillon kifech
- papillon les longueurs depuis A
- figure papillon chnowa
- Thalès marche dans le papillon ?
- triangles opposés par le sommet Thalès
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi le papillon, A bin B w M, w bin C w N : les deux triangles opposés par le sommet A. Thalès yemchi kif kif, w les longueurs n9rawhom dima men A : AM w AB, AN w AC. Mouch BM.
في le papillon ، A بين B w M ، w بين C w N : les deux triangles opposés par le sommet A . Thalès يمشي كيف كيف ، w les longueurs نقراوهم ديما من A : A M w A B ، A N w A C . موش B M .
Dans le papillon, A est entre B et M, et entre C et N : les deux triangles sont opposés par le sommet A. Le théorème de Thalès s'applique de la même façon, et les longueurs se lisent toujours à partir de A : A M et A B, A N et A C. Pas B M.
Question 11 · Les trois figures de Thalès
- les trois figures de Thalès
- Thalès marche si M est après B ?
- M au-delà de B Thalès reste vrai ?
- les 3 figures de Thalès c'est quoi
- Thalès fi les trois figures
- trois configurations de Thalès
Ce qu’il répond
Thalès w la réciproque yemchiw fi trois figures : M w N dekhel les segments, M w N ba3d B w C, walla M w N mel jiha lo5ra mte3 A, le papillon. Fel thletha, les rapports yetketbou kif kif, w les longueurs men A.
Thalès w la réciproque يمشيو في trois figures : M w N داخل les segments ، M w N بعد B w C ، ولّا M w N من الجيهة الأخرى متاع A ، le papillon . في الثلاثة ، les rapports يتكتبو كيف كيف ، w les longueurs من A .
Le théorème et sa réciproque s'appliquent dans trois figures : M et N sur les segments, M et N au-delà de B et de C, ou M et N de l'autre côté de A, en papillon. Dans les trois, les rapports s'écrivent de la même façon, avec les longueurs mesurées depuis A.
Question 12 · Agrandir, réduire
- agrandissement ou réduction comment savoir
- c'est quoi le rapport d'agrandissement
- kifech na3ref réduction wala agrandissement
- l'échelle du triangle agrandi
- réduction ya3ni chnowa
- triangle AMN réduction de ABC ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les côtés mte3 AMN houma les côtés mte3 ABC fois nafs el nombre k, $k = \dfrac{AM}{AB}$. Ken $k < 1$, réduction. Ken $k > 1$, agrandissement.
les côtés متاع A M N هوما les côtés متاع A B C fois نفس الـ nombre k ، k égale A M sur A B . كان k أصغر من 1 ، réduction . كان k أكبر من 1 ، agrandissement .
Les côtés du triangle A M N sont ceux du triangle A B C multipliés par le même nombre k, avec k égale A M sur A B. Si k est inférieur à 1, c'est une réduction ; si k est supérieur à 1, un agrandissement.
Question 13 · Agrandir, réduire
- l'aire est multipliée par k ou par k² ?
- aire d'un agrandissement kifech
- pourquoi l'aire est multipliée par k au carré
- aire fois k wala k carré
- comment calculer l'aire du triangle agrandi
- aire après réduction
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'aire tetmultiplier par $k^{2}$, mouch par k : l'aire tet9es fi zouz ettijahat, w koll wa7ed yetmultiplier par k. Mathalan $k = \dfrac{3}{2}$ w aire 3 cm² : $\dfrac{9}{4} \times 3 = 6{,}75$ cm².
l'aire تتـ multiplier par k au carré ، موش par k : l'aire تتقاس في زوز اتجاهات ، w كل واحد يتـ multiplier par k . مثلا k égale 3 sur 2 w aire 3 cm carrés : 9 sur 4 fois 3 ، يعني 6,75 cm carrés .
L'aire est multipliée par k au carré, pas par k : une aire se mesure dans deux directions, chacune multipliée par k. Par exemple, avec k égale 3 sur 2 et une aire de 3 centimètres carrés : 9 sur 4 fois 3, soit 6,75 centimètres carrés.
Question 14 · Agrandir, réduire
- le périmètre est multiplié par k ?
- périmètre d'un agrandissement
- périmètre du triangle réduit kifech
- périmètre fois k wala k carré
- comment calculer le périmètre après agrandissement
- périmètre AMN fois k
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les longueurs tetmultiplier par k, donc le périmètre zeda par k. Mathalan $k = \dfrac{3}{2}$ w périmètre 10 cm : $\dfrac{3}{2} \times 10 = 15$ cm.
les longueurs تتـ multiplier par k ، donc le périmètre زادة par k . مثلا k égale 3 sur 2 w périmètre 10 cm : 3 sur 2 fois 10 ، يعني 15 cm .
Les longueurs sont multipliées par k, donc le périmètre aussi. Par exemple, avec k égale 3 sur 2 et un périmètre de 10 cm : 3 sur 2 fois 10, soit 15 cm.
Question 15 · La réciproque du théorème de Thalès
- c'est quoi la réciproque de Thalès
- chnowa la réciproque du théorème de Thalès
- énoncé de la réciproque
- réciproque ya3ni chnowa
- la réciproque de Thalès sert à quoi
- réciproque définition
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, w les points M w N fi nafs l'ordre, donc $(MN)$ w $(BC)$ parallèles. Thalès yemchi men les parallèles l les rapports, w la réciproque men les rapports l les parallèles.
كان A M sur A B égale A N sur A C ، w les points M w N في نفس l'ordre ، donc M N w B C parallèles . Thalès يمشي من les parallèles لـ les rapports ، w la réciproque من les rapports لـ les parallèles .
Si A M sur A B égale A N sur A C, et que M et N sont placés dans le même ordre, alors M N et B C sont parallèles. Thalès va des parallèles vers les rapports ; la réciproque, des rapports vers les parallèles.
Question 16 · La réciproque du théorème de Thalès
- comment montrer que deux droites sont parallèles avec Thalès
- kifech nwarri elli MN w BC parallèles
- prouver que (MN) est parallèle à (BC)
- démontrer le parallélisme avec les rapports
- kifech nthabbet parallèles b les rapports
- montrer que les droites sont parallèles
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
B la réciproque : na7sbou $\dfrac{AM}{AB}$ w $\dfrac{AN}{AC}$ bedhabt, w nt2akdou elli les points fi nafs l'ordre. Mathalan $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ w $\dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6$ : égaux, donc $(MN) \parallel (BC)$. W ken M w N milieux, la droite des milieux tekfi.
بـ la réciproque : نحسبو A M sur A B w A N sur A C بالظبط ، w نتأكّدو اللي les points في نفس l'ordre . مثلا 3 sur 5 égale 0,6 w 4,2 sur 7 égale 0,6 : égaux ، donc M N parallèle لـ B C . w كان M w N milieux ، la droite des milieux تكفي .
Avec la réciproque : on calcule exactement A M sur A B et A N sur A C, et on vérifie que les points sont dans le même ordre. Par exemple 3 sur 5 égale 0,6 et 4,2 sur 7 égale 0,6 : ils sont égaux, donc M N est parallèle à B C. Si M et N sont des milieux, la droite des milieux suffit.
Question 17 · La réciproque du théorème de Thalès
- comment montrer que deux droites ne sont pas parallèles
- kifech nwarri elli mouch parallèles
- les rapports sont différents donc pas parallèles ?
- rapports différents ya3ni chnowa
- prouver que MN n'est pas parallèle à BC
- droites pas parallèles avec Thalès
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Na7sbou les deux rapports. Ken $\dfrac{AM}{AB} \ne \dfrac{AN}{AC}$, les droites mouch parallèles : 5ater ken kenou parallèles, Thalès ya3ti des rapports égaux.
نحسبو les deux rapports . كان A M sur A B différent de A N sur A C ، les droites موش parallèles : خاطر كان كانو parallèles ، Thalès يعطي des rapports égaux .
On calcule les deux rapports. Si A M sur A B est différent de A N sur A C, les droites ne sont pas parallèles : si elles l'étaient, le théorème de Thalès rendrait les rapports égaux.
Question 18 · La réciproque du théorème de Thalès
- pourquoi les points doivent être dans le même ordre
- même ordre ya3ni chnowa
- 3lech lezem nafs l'ordre fel réciproque
- N de l'autre côté de A la réciproque marche ?
- l'ordre des points dans la réciproque
- les rapports égaux ça suffit pour la réciproque ?
Ce qu’il répond
Ken N yet3adda lel jiha lo5ra mte3 A, les rapports ma yetbaddlouch, ama la droite $(MN)$ tmil w ma3adech parallèle. Donc lezem M w N fi nafs l'ordre par rapport à A : el zouz men jihet B w C, walla el zouz mel jiha lo5ra.
كان N يتعدّى للجيهة الأخرى متاع A ، les rapports ما يتبدّلوش ، أما la droite M N تميل w ماعادش parallèle . donc لازم M w N في نفس l'ordre par rapport à A : الزوز من جيهة B w C ، ولّا الزوز من الجيهة الأخرى .
Si N passe de l'autre côté de A, les rapports ne changent pas, mais la droite M N bascule et n'est plus parallèle. Il faut donc que M et N soient dans le même ordre par rapport à A : tous deux du côté de B et C, ou tous deux de l'autre côté.
Question 19 · Quel outil, pour quelle question
- Thalès ou réciproque lequel utiliser
- chnowa el far9 bin Thalès w la réciproque
- quand utiliser Thalès et quand la réciproque
- Thalès w la réciproque kifkif ?
- différence entre Thalès et sa réciproque
- anahi nesta3mel Thalès wala réciproque
Ce qu’il répond
Nlawjou 3la longueur w na3rfou les droites parallèles : Thalès. N7ebbou nprouvi elli les droites parallèles : la réciproque. W n7ebbou nprouvi elli mouch parallèles : nwarriw elli les rapports différents.
نلوّجو على longueur w نعرفو les droites parallèles : Thalès . نحبّو نـ prouver اللي les droites parallèles : la réciproque . w نحبّو نـ prouver اللي موش parallèles : نوريو اللي les rapports différents .
On cherche une longueur et on sait que les droites sont parallèles : théorème de Thalès. On veut prouver que les droites sont parallèles : la réciproque. On veut prouver qu'elles ne le sont pas : on montre que les rapports sont différents.
Question 20 · Construire un segment de longueur donnée
- comment construire un segment de longueur donnée avec Thalès
- construire d tel que 9/7 = 5/d
- kifech nebni segment b Thalès
- construction d'une longueur avec règle et compas
- construire un segment avec des parallèles
- Thalès pour construire une longueur
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nrasmou zouz demi-droites men O. 3al wa7da n7ottou I w J b $OI = 7$ w $OJ = 9$, w 3al o5ra K b $OK = 5$. Nrasmou $(JK)$, w la parallèle l $(JK)$ men I t9oss el o5ra fi D. Thalès ya3ti $\dfrac{7}{9} = \dfrac{OD}{5}$, donc $\dfrac{9}{7} = \dfrac{5}{OD}$.
نرسمو زوز demi-droites من O . على وحدة نحطّو I w J بـ O I égale 7 w O J égale 9 ، w على الأخرى K بـ O K égale 5 . نرسمو J K ، w la parallèle لـ J K من I تقصّ الأخرى في D . Thalès يعطي 7 sur 9 égale O D sur 5 ، donc 9 sur 7 égale 5 sur O D .
On trace deux demi-droites d'origine O. Sur l'une, on place I et J avec O I égale 7 et O J égale 9 ; sur l'autre, K avec O K égale 5. On trace J K, et la parallèle à J K passant par I coupe l'autre demi-droite en D. Thalès donne 7 sur 9 égale O D sur 5, donc 9 sur 7 égale 5 sur O D.
Question 21 · Partager un segment dans une proportion donnée
- comment partager un segment dans une proportion donnée
- placer P sur AB tel que PA/PB = 3/5
- partager un segment avec Thalès
- kifech n9assem segment b Thalès
- partage d'un segment avec des parallèles
- diviser un segment dans une proportion
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nrasmou demi-droite men A, w n7ottou 3liha 8 parts égales b le compas : E le troisième point w F le huitième. Nrasmou $(FB)$, w la parallèle l $(FB)$ men E t9oss $[AB]$ fi P. Thalès ya3ti $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{3}{8}$.
نرسمو demi-droite من A ، w نحطّو عليها 8 parts égales بـ le compas : E le troisième point w F le huitième . نرسمو F B ، w la parallèle لـ F B من E تقصّ A B في P . Thalès يعطي A P sur A B égale 3 sur 8 .
On trace une demi-droite d'origine A et on y reporte au compas 8 parts égales : E est le troisième point, F le huitième. On trace F B, et la parallèle à F B passant par E coupe A B en P. Thalès donne A P sur A B égale 3 sur 8.
Question 22 · Partager un segment dans une proportion donnée
- pourquoi 8 parts et pas 5
- 3/5 donc je reporte 5 parts ?
- combien de parts reporter
- 3lech 3 plus 5 parts
- 9addech men part nhott
- le nombre de parts pour PA/PB = 3/5
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\dfrac{3}{5}$ ycomparer les deux morceaux binethom, mouch morceau m3a le segment kemel. PA fih 3 parts w PB fih 5, donc le segment kemel $3 + 5 = 8$ parts. Mathalan $AB = 12$ cm : koll part $1{,}5$ cm, $AP = 4{,}5$ cm w $PB = 7{,}5$ cm.
3 sur 5 يـ comparer les deux morceaux بيناتهم ، موش morceau مع le segment كامل . P A فيه 3 parts w P B فيه 5 ، donc le segment كامل 3 plus 5 ، يعني 8 parts . مثلا A B 12 cm : كل part 1,5 cm ، A P 4,5 cm w P B 7,5 cm .
3 sur 5 compare les deux morceaux entre eux, pas un morceau au segment entier. P A compte 3 parts et P B en compte 5 : le segment entier compte 3 plus 5, soit 8 parts. Par exemple, avec A B égale 12 cm : chaque part mesure 1,5 cm, A P mesure 4,5 cm et P B 7,5 cm.
Question 23 · Quel outil, pour quelle question
- les longueurs se mesurent depuis quel point
- pourquoi depuis A
- mesurer à partir de A dans Thalès
- BM wala AM
- les longueurs men A 3lech
- on mesure depuis le point d'intersection ?
Ce qu’il répond
3la les sécantes, les longueurs n9isouhom dima men A, le point win yet9at3ou : AM w AB, AN w AC. 7atta fi le papillon, mouch BM. W nafs le triangle yo93od dima fou9.
على les sécantes ، les longueurs نقيسوهم ديما من A ، النقطة وين يتقاطعو : A M w A B ، A N w A C . حتى في le papillon ، موش B M . w نفس le triangle يقعد ديما فوق .
Sur les sécantes, les longueurs se mesurent toujours depuis A, le point où elles se coupent : A M et A B, A N et A C. Même dans le papillon, jamais B M. Et le même triangle reste toujours au numérateur.
Question 24 · La droite des milieux
- la droite des milieux c'est un cas de Thalès ?
- lien entre la droite des milieux et Thalès
- droite des milieux w Thalès chnowa el 3ala9a
- Thalès avec des milieux
- est-ce que Thalès démontre la droite des milieux
- milieux et théorème de Thalès
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ey : ki M w N milieux, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{2}$. Thalès ya3ti $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{2}$ zeda, ya3ni MN la moitié mte3 BC. W ki M w N milieux, la droite des milieux tekfi bech nprouvi parallélisme.
إيه : كي M w N milieux ، A M sur A B égale 1 sur 2 . Thalès يعطي M N sur B C égale 1 sur 2 زادة ، يعني M N la moitié متاع B C . w كي M w N milieux ، la droite des milieux تكفي باش نـ prouver parallélisme .
Oui : quand M et N sont des milieux, A M sur A B égale 1 sur 2. Thalès donne alors M N sur B C égale 1 sur 2 : M N est la moitié de B C. Et quand M et N sont des milieux, la droite des milieux suffit pour prouver un parallélisme.
Question 25 · La réciproque du théorème de Thalès
- faut-il calculer les rapports en valeur exacte
- rapports arrondis pour la réciproque c'est bon ?
- valeur approchée des rapports
- kifech na7seb les rapports bedhabt
- arrondir les rapports ou pas
- rapports exacts pourquoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi la réciproque, ncomparer les rapports bedhabt : fractions walla décimaux exacts. Zouz valeurs arrondies ynajjmou ytcheb-hou w les rapports différents. Mathalan $\dfrac{3}{5}$ w $\dfrac{4{,}2}{7}$ el zouz $0{,}6$ bedhabt.
في la réciproque ، نـ comparer les rapports بالظبط : fractions ولّا décimaux exacts . زوز valeurs arrondies ينجّمو يتشابهو w les rapports différents . مثلا 3 sur 5 w 4,2 sur 7 الزوز 0,6 بالظبط .
Dans la réciproque, on compare les rapports exactement : en fractions ou en décimaux exacts. Deux valeurs arrondies peuvent se ressembler alors que les rapports sont différents. Par exemple 3 sur 5 et 4,2 sur 7 valent tous deux exactement 0,6.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Les milieux d'un triangle équilatéral
est un triangle équilatéral de côté cm. Les points et sont les milieux respectifs des côtés et
Calculer le périmètre du triangle
Un triangle équilatéral ABC de côté 3 cm, A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. I est le milieu de [AB], J celui de [BC] et K celui de [AC] ; les deux moitiés de chaque côté portent la même marque d'égalité. Le triangle IJK, tracé en bleu, relie les trois milieux : il est retourné, sa pointe J en bas, sur la base [BC].
Donner ce périmètre en cm, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Chaque côté du triangle joint les milieux de deux côtés du triangle Que sais-tu de la longueur d'un tel segment ?
- Dans le triangle et sont les milieux de et de : le segment mesure la moitié du troisième côté. Même chose pour et
- Les trois côtés de mesurent chacun la moitié de cm. Il reste à les additionner.
Correction
- Un côté de — et sont les milieux de et de D'après la droite des milieux, est parallèle à et mesure la moitié de
- Les deux autres — De la même façon, et Les trois côtés de mesurent cm.
- Le périmètre —
Le triangle des milieux a des côtés deux fois plus courts : son périmètre est la moitié de celui de cm. Et au passage, est lui aussi équilatéral.
Pièges anticipés
9→ Tu as donné le périmètre de cm. Le triangle est plus petit : chacun de ses côtés joint deux milieux et ne mesure que la moitié d'un côté de3/2→ cm, c'est la longueur d'un côté de Le périmètre est la somme des trois côtés.
Exercice 2 · base
Le côté entier, pas le morceau
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Un triangle ABC couché : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut, un peu à gauche du milieu. Sur la base [AB], le point M est tel que AM = 2 cm et MB = 6 cm. Le côté [AC] mesure 5 cm, et le point N y est placé de sorte que [MN], tracé en bleu, soit parallèle à [BC], tracé en bleu aussi. Le petit triangle AMN est dans le coin A ; la longueur AN est inconnue.
Donner en cm, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 5/4 — aussi acceptées : 1.25
Indices, dans l’ordre
- Commence par la longueur du côté entier : le point est entre et
- Les droites et sont parallèles : écris l'égalité de Thalès avec les deux rapports qui partent de
- Remplace : puis isole
Correction
- Le côté entier — Le point appartient au segment donc
- Thalès — Dans le triangle et les droites et sont parallèles. Le théorème de Thalès donne :
- On isole en multipliant les deux membres par
Contrôle de bon sens : est le quart de donc doit être le quart de Et est bien le quart de
Pièges anticipés
5/3→ Tu as mis cm au dénominateur, comme si c'était le côté entier. Dans Thalès, se compare au côté entier cm.20→ Tu as retourné un des deux rapports : ne peut pas dépasser cm, puisque appartient au segment Garde le triangle au numérateur des deux côtés :15/4→ Tu as calculé l'autre morceau du côté : On demande la longueur qui part de1/4→ c'est le rapport : la bonne idée, mais pas encore la réponse. On demande la longueur en cm, soit le quart de cm.
Exercice 3 · pratique
La hauteur de l'arbre
L'ombre du sommet d'un arbre tombe au point du sol. On plante verticalement en un bâton de sorte que l'ombre de son sommet tombe elle aussi en Sur le sol, les points et sont alignés, où est le pied de l'arbre ; les points et sont sur un même rayon de soleil.
On donne mètre, mètre et mètres. Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc parallèles.
Calculer la hauteur de l'arbre.
Schéma qui n'est pas à l'échelle. Le sol est une droite horizontale sur laquelle se suivent, de gauche à droite, le point A, le pied D du bâton et le pied P de l'arbre. Le bâton [DC] et l'arbre [PH] sont verticaux, avec un angle droit marqué à leur pied. Un rayon de soleil, en pointillés, part de A, passe par le sommet C du bâton et atteint le sommet H de l'arbre. On lit AD = 1,2 m, DC = 0,8 m et AP = 15 m ; la hauteur PH porte un point d'interrogation.
Donner la hauteur en mètres, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Le bâton et l'arbre sont tous les deux verticaux, donc parallèles. Quel triangle contient toute la figure, et quel est son sommet commun avec le petit triangle ?
- Dans le triangle et est parallèle à Garde le rapport des longueurs du sol et celui qui contient
- Remplace : Les produits en croix donnent
Correction
- La configuration — Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc les droites et sont parallèles. Dans le triangle on a et
- Thalès — On garde le rapport des longueurs du sol, et celui des deux verticales qui contient
- On fait les produits en croix.
L'arbre mesure mètres. C'est la méthode que l'on prête à Thalès pour mesurer la pyramide de Khéops : un bâton, deux ombres, et aucune échelle à grimper.
Pièges anticipés
0.064→ Un arbre de cm ! Tu as retourné un rapport. Garde le petit triangle au numérateur des deux côtés :22.5→ Tu as calculé : les longueurs sont mal appariées. Un rapport de Thalès compare deux longueurs correspondantes : avec toutes deux sur le sol, et avec toutes deux verticales. D'où et12→ Tu t'es arrêté à Les produits en croix donnent : ce n'est pas qui vaut c'est Il reste à diviser par
Exercice 4 · pratique
Parallèles, vraiment ?
Dans le triangle on a et On donne cm, cm, cm et cm. Sur la figure, les droites et ont l'air parallèles.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Un triangle ABC, A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. Le point D est sur [AB] avec AD = 3 cm et DB = 2 cm ; le point E est sur [AC] avec AE = 4 cm et EC = 2,5 cm. Le segment [DE], tracé en bleu, semble parallèle à la base [BC].
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · non elles sont pas parallèles · non, elles sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · elles sont pas parallèles · ne sont pas parallèles · pas parallèles · non parallèles · non pas parallèles · non, pas parallèles · non parallèle · pas parallèle · non, pas parallèle · non pas parallèle · elles ne sont pas parallèle · ne sont pas parallèle · les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · (DE) et (BC) ne sont pas parallèles · non, (DE) et (BC) ne sont pas parallèles · les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles · sécantes · elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les rapports sont différents · non, les rapports sont différents · non car les rapports sont différents · non, car les rapports sont différents · no · nn · la · lé · la mouch parallèles · la, mouch parallèles · non (DE) et (BC) ne sont pas parallèles · (DE) n'est pas parallèle à (BC) · non (DE) n'est pas parallèle à (BC) · non, (DE) n'est pas parallèle à (BC) · (DE) et (BC) sont sécantes · non (DE) et (BC) sont sécantes · non, (DE) et (BC) sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent
Indices, dans l’ordre
- Si les droites étaient parallèles, que dirait le théorème de Thalès des rapports et ?
- Calcule les deux rapports exactement, sans arrondir : compare les produits en croix et
- Et : est-ce exactement le même nombre ?
Correction
- L'idée — Si et étaient parallèles, le théorème de Thalès dans le triangle donnerait On compare donc ces deux rapports.
- On compare exactement, par les produits en croix.
- Conclusion — Les produits en croix sont différents, donc Si les droites étaient parallèles, ces rapports seraient égaux.
Des rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles : si elles l'étaient, le théorème de Thalès rendrait les rapports égaux. Une figure, elle, ne prouve rien : et se ressemblent à l'œil, pas au calcul.
Pièges anticipés
oui / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / elles sont parallèles / sont parallèles / parallèles / parallèle / oui parallèles / ouii / yes / (DE)//(BC) / (DE) // (BC) / (DE)∥(BC) / ey / eyh / ih→ La figure est trompeuse. alors que : les rapports sont proches, pas égaux. Or si les droites étaient parallèles, Thalès les rendrait égaux.
Exercice 5 · pratique
Trois parts contre cinq
Le segment mesure cm. On veut placer sur le point tel que
Pour cela, on trace une demi-droite d'origine non portée par et on y reporte au compas huit fois la même longueur à partir de ; on note le troisième point et le huitième. La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Si compte parts, en compte Combien de parts dans le segment tout entier ?
- Dans le triangle est parallèle à et est le troisième point sur huit.
Correction
- Les parts — Quand compte parts, en compte : le segment compte parts égales.
- Pourquoi la construction marche — Sur la demi-droite vaut longueurs et en vaut La droite est parallèle à donc le théorème de Thalès dans le triangle donne
- On calcule
Et cm : on vérifie que La construction n'a besoin d'aucune mesure, seulement de parts égales sur une demi-droite et d'une parallèle.
Pièges anticipés
48/5→ Tu as pris Mais compare à les deux morceaux, et pas au segment entier. Le segment entier compte parts.10→ Tu as calculé les parts du côté de On demande les parts du côté de3/8→ c'est le rapport : la bonne idée, mais pas encore la réponse. On demande la longueur en cm, soit de cm.
Exercice 6 · raisonnement
Un quadrilatère dans le coin
est un triangle tel que cm, cm et cm. On place tel que cm. La parallèle à passant par coupe en et la parallèle à passant par coupe en
Quelle est la nature la plus précise du quadrilatère ?
Un triangle ABC, A en haut à gauche, B en bas à gauche, C en bas à droite ; l'angle en B est un peu plus grand qu'un angle droit. Le point E est sur [AB], avec BE = 2,4 cm. La parallèle à (BC) passant par E coupe [AC] en F, et la parallèle à (AB) passant par F coupe [BC] en G : les segments [EF] et [FG] sont tracés en bleu. Le quadrilatère EFGB occupe le coin B du triangle.
Donner sa nature la plus précise, en un mot.
Réponse attendue : losange — aussi acceptées : un losange · c'est un losange · EFGB est un losange · le quadrilatère EFGB est un losange · lozange · un lozange · cest un losange · il s'agit d'un losange · EFGB est un lozange · c'est un lozange · EFGB losange · EFGB un losange · un losange mais pas un carré · c'est un losange mais pas un carré · losange mais pas carré · losange non carré · un losange pas un carré
Indices, dans l’ordre
- Les côtés opposés de sont parallèles deux à deux : c'est déjà un parallélogramme. Pour aller plus loin, compare deux côtés consécutifs, et
- cm est donné. Pour utilise le théorème de Thalès dans le triangle avec
- cm, donc Calcule et compare-le à
Correction
- Un parallélogramme — est parallèle à et est parallèle à : les côtés opposés de sont parallèles deux à deux, c'est un parallélogramme.
- Le côté — Dans le triangle et est parallèle à Avec cm, le théorème de Thalès donne :
- Deux côtés consécutifs égaux — cm. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Ce n'est pas un carré : alors que donc le triangle n'est pas rectangle en et l'angle n'est pas droit. Losange est la nature la plus précise.
Pièges anticipés
parallélogramme / un parallélogramme / c'est un parallélogramme→ C'est vrai, ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Mais ce n'est pas le plus précis : calcule avec Thalès et compare-le àrectangle / un rectangle / carré / un carré→ Rien ne donne d'angle droit : et donc l'angle en n'est pas droit. Regarde plutôt les longueurs de deux côtés consécutifs, et
Exercice 7 · raisonnement
L'aire du grand triangle
Sur la figure, et sont des points des segments et Les droites et sont parallèles, et les droites et aussi. On sait que cm et que l'aire du triangle est de cm².
Calculer l'aire du triangle
Un point O à gauche, d'où partent trois segments : [OA] vers le haut à droite, [OB] horizontal vers la droite, [OC] vers le bas à droite. Le triangle ABC relie leurs extrémités. Le point E est le milieu de [OB] : OE = EB = 3 cm, deux petits traits égaux. D est sur [OA] et F sur [OC], de sorte que (DE) soit parallèle à (AB) et (EF) parallèle à (BC). Le petit triangle DEF, grisé et tracé en bleu, a une aire de 5 cm².
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 20
Indices, dans l’ordre
- est le milieu de Dans le triangle est parallèle à : que vaut ? Et dans le triangle que vaut ?
- Ces rapports valent tous Pour le troisième côté, la réciproque de Thalès dans le triangle montre que est parallèle à et donc
- est une réduction de de rapport Les aires sont multipliées par pas par
Correction
- Le rapport — Dans le triangle est parallèle à Comme cm, le théorème de Thalès donne :
- De même dans le triangle avec parallèle à :
- Le troisième côté — où et : par la réciproque du théorème de Thalès, est parallèle à Le théorème de Thalès dans le triangle donne alors On pouvait aussi remarquer que et sont les milieux de et de et conclure par la droite des milieux.
- Les aires — Les trois côtés de sont la moitié de ceux de : est une réduction de de rapport et son aire est multipliée par
Longueurs divisées par aire divisée par C'est la règle de toute réduction : les longueurs suivent les aires suivent
Pièges anticipés
10→ Tu as multiplié l'aire par Les côtés de sont bien deux fois plus longs, mais une aire se mesure dans deux directions : elle est multipliée par5/4 / 5/2→ Tu as divisé l'aire de Mais c'est le grand triangle : en est la réduction, donc l'aire de est plus grande que cm².
Exercice 8 · raisonnement
Deux parallèles en appellent une troisième
On donne cm, cm, cm et cm. Sur la figure, est un quadrilatère et un point de sa diagonale La parallèle à passant par coupe en ; la parallèle à passant par coupe en
Les droites et sont-elles parallèles ?
Un quadrilatère ABCD : A en haut, B à gauche, C en bas, D à droite. La diagonale [AC] est verticale ; le point K y est placé avec AK = 3 cm et KC = 1 cm. On lit aussi AB = 5,2 cm et AD = 6,4 cm. Le point E est sur le côté [AB] et le point F sur le côté [AD]. Le segment [KE], en bleu, est parallèle au côté [BC], en bleu lui aussi ; le segment [KF], en vert, est parallèle au côté [DC], en vert lui aussi. Enfin les segments [EF] et [BD] sont tracés en pointillés rouges : ce sont les deux droites dont on se demande si elles sont parallèles.
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles sont parallèles · oui, elles sont parallèles · oui elles sont parallèle · oui, elles sont parallèle · elles sont parallèles · elles sont parallèle · sont parallèles · parallèles · parallèle · oui parallèles · oui, parallèles · oui parallèle · oui, parallèle · les droites sont parallèles · oui les droites sont parallèles · oui, les droites sont parallèles · oui les deux droites sont parallèles · oui, les deux droites sont parallèles · (EF) et (BD) sont parallèles · oui (EF) et (BD) sont parallèles · oui, (EF) et (BD) sont parallèles · les droites (EF) et (BD) sont parallèles · oui, les droites (EF) et (BD) sont parallèles · EF et BD sont parallèles · oui, EF et BD sont parallèles · (EF)//(BD) · (BD)//(EF) · oui (EF)//(BD) · oui, (EF)//(BD) · (EF)∥(BD) · oui, (EF)∥(BD) · oui car les rapports sont égaux · oui, car les rapports sont égaux · oui, les rapports sont égaux · ouii · ouais · yes · ey · eyh · ih · iyeh · oui (BD)//(EF) · oui, (BD)//(EF) · (EF) est parallèle à (BD) · oui (EF) est parallèle à (BD) · oui, (EF) est parallèle à (BD) · (BD) est parallèle à (EF) · oui, (BD) est parallèle à (EF) · oui sont parallèles · oui, sont parallèles · ils sont parallèles · oui ils sont parallèles · oui, ils sont parallèles · les deux droites sont parallèles · oui elles le sont · oui, elles le sont · (BD) et (EF) sont parallèles · oui (BD) et (EF) sont parallèles · oui, (BD) et (EF) sont parallèles · oui les droites (EF) et (BD) sont parallèles · oui EF et BD sont parallèles · oui (BD) est parallèle à (EF) · EF est parallèle à BD · oui EF est parallèle à BD · oui, EF est parallèle à BD · oui (EF)∥(BD) · (BD)∥(EF) · oui (BD)∥(EF) · oui, (BD)∥(EF)
Indices, dans l’ordre
- Commence par le triangle : et est parallèle à Que donne le théorème de Thalès pour le rapport ?
- Avec cm, Thalès dans donne le premier rapport. Fais de même dans le triangle pour
- Les rapports et valent tous les deux et sont sur les côtés et Quel théorème part de rapports égaux pour conclure sur deux droites ?
Correction
- Dans le triangle — et est parallèle à Avec cm, le théorème de Thalès donne :
- Dans le triangle — et est parallèle à Le théorème de Thalès donne de même :
- La réciproque — Dans le triangle les deux rapports sont égaux, et les points sont dans le même ordre : et D'après la réciproque du théorème de Thalès :
Oui, et sont parallèles. Le théorème de Thalès, deux fois, donne deux rapports égaux au même ; la réciproque, elle, conclut au parallélisme. Les longueurs cm et cm ne servent qu'à le vérifier : l'égalité suffisait.
Pièges anticipés
non / non elles ne sont pas parallèles / non, elles ne sont pas parallèles / elles ne sont pas parallèles / ne sont pas parallèles / pas parallèles / pas parallèle / non parallèles / non parallèle / non pas parallèles / non, pas parallèles / les droites ne sont pas parallèles / non, les droites ne sont pas parallèles / (EF) et (BD) ne sont pas parallèles / non, (EF) et (BD) ne sont pas parallèles / sécantes / elles sont sécantes / non, elles sont sécantes / no / nn / la / lé / la mouch parallèles / la, mouch parallèles→ Regarde bien ce que tu compares. Que et soient différents ne prouve rien, et des rapports croisés non plus. La réciproque compare, sur chaque sécante, la longueur depuis au côté entier : calcule dans le triangle et dans le triangle avec le théorème de Thalès.
Exercice 9 · defi
La parallèle qu'il faut tracer
est un triangle isocèle en tel que cm et cm. Soit le point de tel que cm. La perpendiculaire à passant par coupe en
Calculer le périmètre du triangle
Un triangle ABC isocèle en A, A en haut, la base [BC] horizontale en bas : les côtés [AB] et [AC] portent la même marque d'égalité, AC = 5 cm et BC = 6 cm. Le point M est sur [BC], à 1 cm de C. La perpendiculaire à (BC) en M, tracée en bleu avec son angle droit, monte jusqu'au point N du côté [AC]. Le petit triangle CMN est dans le coin C.
Donner ce périmètre en cm, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Il manque une droite parallèle à Trace la hauteur issue de : dans un triangle isocèle en elle tombe au milieu de
- et sont toutes les deux perpendiculaires à donc parallèles. Calcule d'abord avec le théorème de Pythagore dans le triangle où cm.
- Thalès dans le triangle avec :
Correction
- La hauteur — Soit le milieu de Le triangle est isocèle en donc est perpendiculaire à et cm. Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en donne :
- Deux perpendiculaires — et sont perpendiculaires à la même droite : elles sont parallèles. Dans le triangle on a et et le théorème de Thalès donne :
- On en tire les deux côtés qui manquent.
- Le périmètre —
Le triangle est une réduction du triangle de rapport : son périmètre est le tiers de celui de qui mesure cm, soit cm. Deux chemins, le même résultat.
Pièges anticipés
5/2 / 8/3→ Tu as pris le rapport Mais la droite parallèle à est la hauteur : le triangle de Thalès est et le côté qui correspond à est cm, pas2/3→ Tu as calculé l'aire du triangle On demande son périmètre : la somme de ses trois côtés.3→ Tu as additionné et seulement. Le périmètre compte les trois côtés : il manque cm.
Exercice 10 · base
Deux milieux, un segment
est un triangle tel que cm. Les points et sont les milieux respectifs des côtés et
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 37/10 — aussi acceptées : 3.7
Indices, dans l’ordre
- et sont les milieux de deux côtés du triangle Que dit la droite des milieux du segment ?
- Le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.
Correction
- Droite des milieux — Dans le triangle et sont les milieux de et de : est parallèle à et mesure la moitié de
Deux milieux de côtés : le segment qui les joint est parallèle au troisième côté et mesure sa moitié.
Pièges anticipés
74/5→ Tu as doublé C'est l'inverse : est le petit segment, il mesure la moitié de
Exercice 11 · base
Retrouver le troisième côté
Dans un triangle est le milieu de et le milieu de On mesure cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Quelle relation la droite des milieux donne-t-elle entre et ?
- est la moitié de : donc est le double de
Correction
- Droite des milieux — et sont les milieux de et de donc
- On en déduit en multipliant par
La relation se lit dans les deux sens : connaissant on retrouve
Pièges anticipés
9/4→ Tu as encore divisé par Ici on connaît le petit segment : le côté est deux fois plus long.
Exercice 12 · base
Le triangle des milieux
est un triangle tel que cm, cm et cm. Les points et sont les milieux respectifs de et
Calculer le périmètre du triangle
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Chaque côté du triangle joint les milieux de deux côtés de : il mesure la moitié du troisième côté.
- et Additionne.
Correction
- Les trois côtés — D'après la droite des milieux, chaque côté de mesure la moitié du côté de qui lui est parallèle.
- Le périmètre —
Le périmètre du triangle des milieux est la moitié de celui de : cm.
Pièges anticipés
24→ cm, c'est le périmètre de Les côtés de sont deux fois plus courts.
Exercice 13 · base
Un milieu et une parallèle
Dans un triangle est le milieu de La parallèle à passant par coupe en On donne cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Le deuxième énoncé de la droite des milieux : une droite qui passe par le milieu d'un côté, parallèle à un deuxième côté... où coupe-t-elle le troisième ?
- est le milieu de
Correction
- Placer un milieu — Dans le triangle la droite passe par le milieu de et elle est parallèle à : elle coupe en son milieu. Donc est le milieu de
Un milieu et une parallèle donnent un deuxième milieu : c'est le second énoncé de la droite des milieux.
Pièges anticipés
9→ cm, c'est le côté entier. est sur en son milieu : en est la moitié.
Exercice 14 · base
Le centre du parallélogramme
est un parallélogramme de centre tel que cm. Le point est le milieu du côté
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5
Indices, dans l’ordre
- Le centre d'un parallélogramme est le milieu de ses diagonales. Dans le triangle que représentent et ?
- est le milieu de et celui de : le segment joint deux milieux de côtés du triangle
Correction
- Deux milieux — Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : est le milieu de Dans le triangle et sont donc les milieux de et de
- Droite des milieux — Le segment est parallèle à et mesure sa moitié.
Dans un parallélogramme, le centre est un milieu, celui de chaque diagonale : la droite des milieux s'applique dans les triangles formés par une diagonale.
Pièges anticipés
7→ joint deux milieux du triangle : il mesure la moitié de pas
Exercice 15 · pratique
Le trapèze sous les milieux
est un triangle tel que cm, cm et cm. Les points et sont les milieux respectifs de et de
Calculer le périmètre du quadrilatère
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 22
Indices, dans l’ordre
- Les côtés et sont des moitiés de côtés de Et ?
- d'après la droite des milieux. Le quatrième côté, est entier.
Correction
- Les moitiés —
- Droite des milieux — et sont les milieux de et de donc
- Le périmètre —
est parallèle à : est un trapèze, dont la petite base est la moitié de la grande base
Pièges anticipés
27→ Tu as pris cm, comme Le segment qui joint deux milieux mesure la moitié du troisième côté.24→ cm, c'est le périmètre du triangle On demande celui du quadrilatère
Exercice 16 · pratique
Les milieux d'un quadrilatère
est un quadrilatère dont les diagonales mesurent cm et cm. Les points et sont les milieux respectifs de et
Calculer le périmètre du quadrilatère
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 14
Indices, dans l’ordre
- Coupe le quadrilatère par une diagonale. Dans le triangle que vaut ? Dans le triangle que vaut ?
- et sont des moitiés de ; et sont des moitiés de
Correction
- Avec la diagonale [EG] — Dans le triangle et sont des milieux de côtés ; de même et dans le triangle
- Avec la diagonale [FH] — Dans les triangles et :
- Le périmètre —
Le périmètre de est égal à : la somme des diagonales. Et est toujours un parallélogramme.
Pièges anticipés
28→ Tu as pris les diagonales entières. Chaque côté de joint deux milieux : il mesure la moitié d'une diagonale.7→ : tu n'as compté que deux côtés. en a quatre.
Exercice 17 · pratique
Deux parallèles, deux milieux
est un triangle tel que cm et cm. est le milieu de La parallèle à passant par coupe en puis la parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Commence par le point : la droite passe par un milieu et elle est parallèle à un côté.
- est le milieu de Dans le même triangle la droite passe par ce milieu et elle est parallèle à : où coupe-t-elle ?
Correction
- Le point J — Dans le triangle passe par le milieu de et est parallèle à : est le milieu de
- Le point K — passe par le milieu de et est parallèle à : elle coupe en son milieu. est le milieu de
Le second énoncé de la droite des milieux, appliqué deux fois de suite, fabrique des milieux en chaîne.
Pièges anticipés
7/2→ c'est la moitié de la longueur est sur : est la moitié de
Exercice 18 · pratique
Un petit triangle rectangle
est un triangle rectangle en tel que cm et cm. est le milieu de et le milieu de
Calculer l'aire du triangle
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle et sont des milieux : que sais-tu de la droite et de la longueur ?
- est parallèle à et est perpendiculaire à Le triangle est donc rectangle en
- Il reste les deux côtés de l'angle droit : et
Correction
- Droite des milieux — et sont les milieux de et de : est parallèle à et cm.
- Un angle droit — est perpendiculaire à et est parallèle à donc est perpendiculaire à : le triangle est rectangle en avec cm.
- L'aire —
La droite des milieux donne à la fois une longueur et un parallélisme ; ici, le parallélisme transporte l'angle droit.
Pièges anticipés
24→ cm², c'est l'aire de Le triangle a des côtés deux fois plus petits.12→ Tu as oublié de diviser par : l'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l'angle droit.
Exercice 19 · pratique
Le triangle du coin
est un triangle tel que cm, cm et cm. est le milieu de et la parallèle à passant par coupe en
Calculer le périmètre du triangle
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- La droite passe par le milieu de et elle est parallèle à : où coupe-t-elle ?
- est le milieu de Les trois côtés de sont alors des moitiés de côtés de
Correction
- Le point N — Dans le triangle passe par le milieu de et est parallèle à : est le milieu de
- Les trois côtés —
- Le périmètre —
Une fois reconnu comme milieu, le triangle a des côtés deux fois plus petits que : son périmètre est la moitié de cm.
Pièges anticipés
26→ cm, c'est le périmètre de Les côtés de sont deux fois plus courts.
Exercice 20 · raisonnement
La ligne du milieu d'un trapèze
est un trapèze de bases et avec cm et cm. est le milieu de La parallèle à passant par coupe la diagonale en et le côté en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Coupe le trapèze par la diagonale Dans le triangle la droite passe par un milieu et elle est parallèle à
- est le milieu de et Fais le même raisonnement dans le triangle pour
Correction
- Dans le triangle ACD — passe par le milieu de et est parallèle à (puisque est parallèle à ) : est le milieu de et est la moitié de
- Dans le triangle ABC — passe par le milieu de et est parallèle à : est le milieu de et est la moitié de
- La somme —
Le segment qui joint les milieux des côtés non parallèles d'un trapèze mesure la demi-somme des bases : cm. La diagonale ramène tout à deux triangles.
Pièges anticipés
14→ Tu as additionné les bases sans diviser. et sont chacun la moitié d'une base.2→ Tu as soustrait de Le point est entre et :
Exercice 21 · raisonnement
Une diagonale en trois
est un parallélogramme. est le milieu de et le milieu de La diagonale coupe en et en On admet que les droites et sont parallèles. On mesure cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 27/2 — aussi acceptées : 13.5
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle est le milieu de et est parallèle à : que peux-tu dire de ?
- est le milieu de De même, dans le triangle est le milieu de
- Les trois segments et ont la même longueur : combien d'entre eux forment ?
Correction
- Dans le triangle EFS — passe par le milieu de et est parallèle à : est le milieu de donc
- Dans le triangle GHR — passe par le milieu de et est parallèle à : est le milieu de donc
- Trois parts égales — : compte deux de ces parts, et en compte trois.
Les droites et partagent la diagonale en trois segments égaux. Il fallait choisir les bons triangles : et
Pièges anticipés
18→ cm, ce serait le cas si était le milieu de Les points et partagent en trois segments égaux, et en contient deux.6→ cm, ce sont les deux tiers de C'est l'inverse : représente les deux tiers de donc est plus long que
Exercice 22 · raisonnement
Quatre triangles pareils
est un triangle d'aire cm². Les points et sont les milieux respectifs de et
Calculer l'aire du triangle
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Les trois côtés de mesurent la moitié des côtés de Regarde les trois triangles des coins : et
- Chacun des quatre petits triangles a ses côtés égaux à et : ils sont superposables.
Correction
- Les côtés — D'après la droite des milieux, et Les triangles des coins ont aussi pour côtés des moitiés de et
- Quatre triangles égaux — Les quatre triangles et ont les mêmes côtés : ils sont superposables, donc de même aire, et ils recouvrent
Les milieux découpent un triangle en quatre triangles superposables : chacun a le quart de l'aire. Longueurs divisées par aire divisée par
Pièges anticipés
18→ Les côtés sont divisés par mais pas l'aire : le triangle se découpe en quatre triangles comme12→ Tu as compté trois triangles. Avec au centre et les trois triangles des coins, il y en a quatre.
Exercice 23 · raisonnement
Un milieu de milieu
est un triangle tel que cm. est le milieu de et le milieu de Les parallèles à passant par et par coupent respectivement en et en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Commence par le grand triangle : que représente et que vaut ?
- cm. Regarde ensuite le triangle : est le milieu de et est parallèle à
Correction
- Dans le triangle ABC — passe par le milieu de et est parallèle à : est le milieu de et
- Dans le triangle AIL — et sont parallèles à donc parallèles entre elles. passe par le milieu de : est le milieu de et
Deux fois la droite des milieux, dans deux triangles emboîtés : est le quart de
Pièges anticipés
6→ cm, c'est n'est pas le milieu de mais celui de : il faut appliquer la droite des milieux une deuxième fois, dans le triangle4→ Tu as divisé par est la moitié de la moitié de soit le quart : est le quart de
Exercice 24 · defi
Des carrés dans le carré
est un carré de côté cm. et sont les milieux respectifs de et : on admet que est un carré. Puis et sont les milieux respectifs de et : est encore un carré.
Calculer le périmètre du carré
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Un côté de joint les milieux de deux côtés consécutifs de : dans le triangle formé avec une diagonale de il mesure la moitié de cette diagonale.
- La diagonale de joint les milieux de et de : elle mesure autant que le côté du grand carré.
- Le côté de est donc la moitié de Il reste à compter ses quatre côtés.
Correction
- La diagonale de PQRS — et sont les milieux des côtés opposés et du carré : est un rectangle et
- Le côté de TUVW — Un côté de par exemple joint les milieux de et de ; dans le triangle il mesure la moitié de Les deux diagonales du carré sont égales,
- Le périmètre —
Deux étapes de milieux divisent le côté par : le côté de est la moitié de celui de et son périmètre aussi, cm.
Pièges anticipés
3→ cm, c'est le côté de On demande son périmètre : la somme de ses quatre côtés.12*sqrt(2)→ cm, c'est le périmètre de le premier carré des milieux. est le suivant.24→ cm, c'est le périmètre du grand carré Le carré est deux fois plus petit.
Exercice 25 · defi
Des diagonales perpendiculaires
est un quadrilatère dont les diagonales et sont perpendiculaires, avec cm et cm. et sont les milieux respectifs de et
Calculer l'aire du quadrilatère
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Avec la droite des milieux : et sont parallèles à et parallèles à Quelle est la nature de ?
- et sont perpendiculaires, donc deux côtés consécutifs de aussi : c'est un rectangle.
- Ses côtés mesurent la moitié de et la moitié de
Correction
- Les côtés — Dans les triangles et : et sont parallèles à et cm. Dans les triangles et : et sont parallèles à et cm.
- Un rectangle — a ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme. est parallèle à à et : l'angle est droit. est un rectangle.
- L'aire —
Le quadrilatère des milieux a des côtés parallèles aux diagonales et deux fois plus courts : son aire est ici la moitié de celle de qui vaut cm².
Pièges anticipés
30→ cm², c'est l'aire de (diagonales perpendiculaires : ). On demande l'aire du quadrilatère des milieux, dont les côtés valent et cm.60→ Tu as multiplié les diagonales entières. Les côtés de en sont les moitiés : cm et cm.
Exercice 26 · base
Les deux rapports qui partent de A
Dans un triangle est un point de et un point de tels que les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 21/5 — aussi acceptées : 4.2
Indices, dans l’ordre
- Les droites et sont parallèles : écris les trois rapports égaux du théorème de Thalès.
- Garde les deux rapports qui contiennent et des longueurs connues.
- Remplace : puis isole
Correction
- Thalès — Dans le triangle et est parallèle à Le théorème de Thalès donne :
- On garde les deux premiers rapports.
On écrit les trois rapports, on garde les deux utiles, on fait les produits en croix.
Pièges anticipés
35/3→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas. Ici ne peut pas dépasser cm.14/5→ Tu as calculé On demande la longueur qui part de
Exercice 27 · base
Le côté parallèle
Dans un triangle et et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le troisième rapport de Thalès compare les deux côtés parallèles, et
- Garde le rapport qui contient et celui dont tu connais les deux longueurs.
Correction
- Thalès — et est parallèle à :
Le troisième rapport, sert dès qu'on cherche un côté parallèle.
Pièges anticipés
27/2→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas. Ici est plus court que puisque le triangle est une réduction de
Exercice 28 · base
Remonter au grand côté
Dans un triangle et et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Quels sont les deux rapports qui contiennent et des longueurs connues ?
- Écris l'égalité puis fais les produits en croix.
Correction
- Thalès —
- Les produits en croix donnent
Quand l'inconnue est au dénominateur, les produits en croix la remontent.
Pièges anticipés
3/8→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas. Ici doit être plus long que cm.12→ Tu t'es arrêté à C'est qui vaut : il reste à diviser par
Exercice 29 · base
Le triangle agrandi
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Ici et : c'est la deuxième figure de Thalès, le triangle agrandit Les rapports s'écrivent de la même façon.
- Les longueurs se lisent depuis
Correction
- Thalès — et est parallèle à : le théorème de Thalès s'applique encore.
Que le petit triangle soit dedans ou que le grand soit dehors, les rapports se lisent toujours à partir du sommet commun
Pièges anticipés
12/5→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas. Ici est entre et donc dépasse cm.
Exercice 30 · base
Le papillon
Les droites et se coupent en avec et Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- C'est la figure en papillon : les deux triangles sont opposés par le sommet Le théorème de Thalès s'applique toujours.
- Lis les longueurs à partir de sur chaque droite.
Correction
- Thalès en papillon — et est parallèle à :
Dans le papillon, les longueurs se mesurent depuis le point de croisement de part et d'autre.
Pièges anticipés
16→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas. Le triangle est le plus petit des deux : est plus court que
Exercice 31 · pratique
Le morceau ou le côté ?
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 15/4 — aussi acceptées : 3.75
Indices, dans l’ordre
- Dans les rapports de Thalès, on compare au côté entier Calcule-le d'abord.
- Puis
Correction
- Le côté entier —
- Thalès —
Avant tout calcul, vérifie que chaque rapport compare une longueur au côté entier qui part de
Pièges anticipés
45/7→ Tu as mis au dénominateur. Thalès compare au côté entier cm.21/4→ Tu as calculé l'autre morceau de On demande
Exercice 32 · pratique
Le morceau qui manque
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Commence par puis cherche avec le théorème de Thalès.
- donne ; il reste
Correction
- Le côté entier —
- Thalès —
- Les produits en croix donnent donc cm.
On passe par le côté entier puis on retire Vérification : et valent tous deux
Pièges anticipés
6→ cm, c'est le côté entier. On demande le morceau
Exercice 33 · pratique
La poutre du toit
La charpente d'un abri a la forme d'un triangle : est le sommet du toit et la poutre du bas, horizontale. Une seconde poutre elle aussi horizontale, relie à On donne m, m et m.
Calculer la longueur de la seconde poutre.
Donner en mètres.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Les deux poutres sont horizontales : les droites et sont parallèles.
- Thalès dans le triangle avec le rapport qui contient
Correction
- La configuration — Les poutres et sont horizontales, donc est parallèle à avec et
- Thalès —
Deux droites horizontales sont parallèles : c'est l'hypothèse de Thalès, cachée dans la situation.
Pièges anticipés
25/2→ Une poutre de m, plus longue que celle du bas ! Tu as retourné un rapport : le petit triangle en haut des deux fractions.
Exercice 34 · pratique
Le papillon, côté parallèle
Les droites et se coupent en avec et Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Figure en papillon : les triangles et sont opposés par le sommet
- Compare le côté parallèle à avec le rapport des longueurs connues sur la droite
Correction
- Thalès en papillon —
Le papillon donne les trois mêmes rapports que les autres figures : est ici une réduction de de rapport
Pièges anticipés
75/4→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas.
Exercice 35 · pratique
Le périmètre du trapèze
est un triangle tel que cm, cm et cm. est le point de tel que cm, et la parallèle à passant par coupe en
Calculer le périmètre du quadrilatère
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 23
Indices, dans l’ordre
- Le rapport de Thalès vaut Il donne et
- Puis et N'oublie pas le côté
Correction
- Thalès — est parallèle à :
- On en tire les deux longueurs.
- Les morceaux —
- Le périmètre —
Un seul rapport, donne toutes les longueurs du petit triangle ; les morceaux s'obtiennent par différence.
Pièges anticipés
6→ cm, c'est le périmètre du petit triangle On demande celui du quadrilatère24→ cm, c'est le périmètre de Le quadrilatère a pour côtés et
Exercice 36 · pratique
De l'autre côté de l'étang
Pour mesurer la distance entre deux arbres et situés de l'autre côté d'un étang, on plante deux piquets et de sorte que et que les droites et soient parallèles. On mesure m, m et m.
Calculer la distance
Donner en mètres.
Réponse attendue : 20
Indices, dans l’ordre
- Les points et forment un papillon, avec parallèle à
- Écris le rapport des longueurs connues sur et celui des côtés parallèles.
Correction
- Thalès en papillon —
- Les produits en croix donnent
On mesure une distance inaccessible avec des longueurs prises sur la rive : c'est l'usage le plus ancien du théorème.
Pièges anticipés
4/5→ Des arbres à m l'un de l'autre, de l'autre côté de l'étang ? Tu as retourné un rapport :
Exercice 37 · raisonnement
Deux parallèles à la suite
est un triangle tel que cm et cm. est le point de tel que cm. La parallèle à passant par coupe en puis la parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Regarde le quadrilatère : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- est un parallélogramme, donc Il reste à calculer avec le théorème de Thalès dans
Correction
- Un parallélogramme — est parallèle à et est parallèle à : est un parallélogramme, donc
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
Deux parallèles fabriquent un parallélogramme, qui transporte une longueur. On pouvait aussi appliquer Thalès dans avec parallèle à : donc et
Pièges anticipés
6→ cm, c'est l'autre morceau de On demande
Exercice 38 · raisonnement
Une équation dans la figure
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm, et on note en cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Exprime le côté entier en fonction de et calcule
- Thalès donne une équation en
- Produits en croix :
Correction
- Les côtés entiers —
- Thalès —
- L'équation —
Quand une longueur est inconnue, le théorème de Thalès devient une équation. Vérification :
Pièges anticipés
6/5→ Tu as écrit : un morceau au dénominateur à gauche, un côté entier à droite. Compare au côté entier
Exercice 39 · raisonnement
Les diagonales du trapèze
est un trapèze de bases et avec cm et cm. Ses diagonales et se coupent en et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Les diagonales et les bases forment un papillon de centre : est parallèle à avec et
- Thalès donne Sur les cm de combien de parts pour ?
Correction
- Thalès en papillon — est parallèle à et :
- Le partage — compte parts quand en compte : en compte de cm chacune.
Les diagonales d'un trapèze se coupent dans le rapport des bases. Vérification : cm et
Pièges anticipés
4→ cm, c'est est du côté de la grande base : c'est la plus grande des deux parts.15→ ne peut pas dépasser cm. Le rapport compare à pas à
Exercice 40 · raisonnement
Au-delà du triangle
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Le triangle agrandit Dans les rapports, les longueurs partent de : calcule d'abord
- puis
Correction
- Depuis A —
- Thalès — et est parallèle à :
Le rapport d'agrandissement est pas : on part toujours du sommet commun.
Pièges anticipés
3→ Tu as utilisé cm. Les longueurs se mesurent depuis : c'est cm qui se compare à27/10→ Tu as retourné un des deux rapports. Garde le même triangle au numérateur des deux côtés de l'égalité, celui qui contient l'inconnue et celui qui ne la contient pas. Ici doit dépasser puisque est un agrandissement.
Exercice 41 · defi
Deux longueurs égales
est un triangle tel que cm et cm. On cherche le point de tel que, si la parallèle à passant par coupe en on ait
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Pose Exprime en fonction de puis avec le théorème de Thalès.
- donne et
- Résous l'équation
Correction
- Les deux longueurs — On pose avec Alors et le théorème de Thalès dans donne :
- L'équation —
Vérification : cm et cm. Une condition sur la figure se traduit en équation grâce à Thalès.
Pièges anticipés
3→ Si était le milieu de on aurait cm mais cm. Mets le problème en équation avec2→ cm, c'est (et ). On demande
Exercice 42 · defi
Une coupe dans le triangle isocèle
est un triangle isocèle en tel que cm et cm. est le milieu de On place sur tel que cm ; la parallèle à passant par coupe en et en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Dans un triangle isocèle en est perpendiculaire à Calcule avec le théorème de Pythagore dans le triangle
- cm. Thalès dans le triangle avec parallèle à donne
- Puis Thalès dans avec parallèle à :
Correction
- La hauteur — est le milieu de et est isocèle en : et cm. Pythagore dans rectangle en :
- Dans le triangle ABH — et est parallèle à :
- Dans le triangle ABC — et est parallèle à :
Le rapport se lit sur la hauteur, puis se transporte au côté par un second Thalès. Le piège était de comparer à
Pièges anticipés
12/5→ Tu as pris le rapport Mais est sur la hauteur pas sur : le bon rapport est avec cm.3/2→ cm, c'est la moitié de est le milieu de :
Exercice 43 · defi
Le carré posé sur la base
est un triangle tel que cm ; le pied de sa hauteur issue de est sur et cm. On construit un carré avec et sur On note le côté du carré, en cm, et le point où coupe
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- est parallèle à et le carré a pour hauteur : la distance de à est donc
- Thalès dans donne et Thalès dans donne
- On obtient l'équation
Correction
- Les longueurs — et comme est un rectangle, donc
- Deux fois Thalès — Dans est parallèle à ; dans est parallèle à :
- L'équation —
Vérification : cm, et La hauteur sert de deuxième sécante : le rapport est le même que
Exercice 44 · base
Un côté réduit
Le triangle est une réduction du triangle de rapport : le côté correspond au côté On donne cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Dans une réduction de rapport chaque longueur est multipliée par
Correction
- Multiplier par k —
Rapport : réduction. Toutes les longueurs sont multipliées par le même
Pièges anticipés
25→ Tu as divisé par ce qui agrandit. Une réduction de rapport multiplie les longueurs par
Exercice 45 · base
L'aire triplée ?
Un triangle d'aire cm² est agrandi : ses longueurs sont multipliées par
Calculer l'aire du triangle agrandi.
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 36
Indices, dans l’ordre
- Les longueurs sont multipliées par Et les aires ?
- Les aires sont multipliées par
Correction
- Le coefficient des aires —
Longueurs fois aire fois : le triangle agrandi contient neuf fois le petit.
Pièges anticipés
12→ Tu as multiplié l'aire par Les longueurs sont multipliées par mais une aire se mesure dans deux directions : elle est multipliée par
Exercice 46 · base
Trouver le rapport
Dans un triangle et avec les droites et parallèles. On donne cm et cm. Le triangle est une réduction de de rapport
Calculer
Donner
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- Le rapport de réduction compare une longueur de à la longueur correspondante de
- : le petit triangle au numérateur.
Correction
- Le rapport — est parallèle à : les côtés de sont ceux de multipliés par le même nombre.
Pour une réduction, : le triangle d'arrivée au numérateur, le triangle de départ au dénominateur.
Pièges anticipés
4/3→ est plus grand que : ce serait un agrandissement. On passe de à plus petit :
Exercice 47 · base
Le périmètre agrandi
Un triangle a pour périmètre cm. On l'agrandit à l'échelle
Calculer le périmètre du triangle agrandi.
Donner ce périmètre en cm.
Réponse attendue : 21
Indices, dans l’ordre
- Un périmètre est une somme de longueurs. Par quoi est-il multiplié ?
- Chaque côté est multiplié par donc leur somme aussi.
Correction
- Multiplier par k — Chaque côté est multiplié par donc le périmètre aussi.
Le périmètre est une longueur : il suit Seules les aires suivent
Pièges anticipés
63/2→ Tu as multiplié par Ça, c'est pour les aires. Un périmètre est une longueur : il est multiplié par
Exercice 48 · pratique
L'aire du petit triangle
Dans un triangle d'aire cm², et avec les droites et parallèles. On donne cm et cm.
Calculer l'aire du triangle
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- est une réduction de Quel est son rapport ?
- ; l'aire est multipliée par
Correction
- Le rapport —
- L'aire —
Thalès donne le rapport et donne l'aire.
Pièges anticipés
20→ Tu as multiplié l'aire par Les longueurs sont multipliées par mais une aire se mesure dans deux directions : elle est multipliée par
Exercice 49 · pratique
Du rapport des aires au côté
Dans un triangle et avec les droites et parallèles. L'aire de est cm², celle de est cm², et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le rapport des aires est C'est pas
- donne : est la moitié de
Correction
- Le rapport des aires —
- Le côté — donc
Pour remonter des aires aux longueurs, on prend la racine carrée du rapport des aires.
Pièges anticipés
12→ Tu as pris Mais est le rapport des aires, c'est ; le rapport des longueurs est
Exercice 50 · pratique
La bande autour du triangle
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que et les droites et sont parallèles. On donne cm, cm, et l'aire du triangle est cm².
Calculer l'aire du quadrilatère
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- est un agrandissement de de rapport
- Calcule l'aire de avec puis retire celle de
Correction
- Le rapport —
- L'aire de AMN —
- Par différence —
L'aire d'une bande entre deux parallèles s'obtient par différence entre le grand et le petit triangle.
Pièges anticipés
18→ cm², c'est l'aire du grand triangle Le quadrilatère est ce qui reste quand on enlève4→ Tu as multiplié l'aire par Les longueurs sont multipliées par mais une aire se mesure dans deux directions : elle est multipliée par
Exercice 51 · pratique
La maquette
La maquette d'une maison est une réduction à l'échelle : les longueurs réelles sont multipliées par sur la maquette. Sur la maquette, le salon mesure cm de long.
Calculer la longueur réelle du salon, en mètres.
Donner cette longueur en mètres.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Pour revenir au réel, on fait l'agrandissement inverse : de rapport
- donne des centimètres. Convertis en mètres.
Correction
- L'agrandissement —
- En mètres —
Une réduction de rapport se défait par un agrandissement de rapport
Pièges anticipés
600→ ce sont des centimètres. On demande la longueur en mètres.
Exercice 52 · pratique
Deux carrés
Un premier carré a pour aire cm², un second carré a pour aire cm². Le second est un agrandissement du premier.
Calculer le rapport de cet agrandissement.
Donner
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Le rapport des aires vaut
- Quel nombre positif a ce carré ?
Correction
- Le rapport des aires —
Vérification avec les côtés : cm et cm, le double. Le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs.
Pièges anticipés
4→ est le rapport des aires, Le rapport des longueurs est dont le carré vaut
Exercice 53 · pratique
Le reste du triangle
Dans un triangle et sont les milieux respectifs de et de L'aire du triangle est cm².
Calculer l'aire du quadrilatère
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 21
Indices, dans l’ordre
- est parallèle à et est une réduction de de rapport
- L'aire de est celle de multipliée par Retire ensuite l'aire de
Correction
- La réduction — D'après la droite des milieux, est parallèle à et est une réduction de de rapport
- L'aire de ABC —
- Par différence —
Le triangle des deux milieux occupe le quart du triangle : le quadrilatère qui reste en occupe les trois quarts.
Pièges anticipés
7→ Tu as doublé l'aire de pour avoir Les longueurs doublent, l'aire est multipliée par : fait cm².28→ cm², c'est l'aire de Il reste à retirer celle de
Exercice 54 · raisonnement
Neuf vingt-cinquièmes
Dans un triangle et avec les droites et parallèles. L'aire de est égale aux de l'aire de et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- est le rapport des aires : c'est
- donne Puis
Correction
- Le rapport des longueurs —
- Le côté —
Rapport des aires rapport des longueurs
Pièges anticipés
18/5→ Tu as multiplié par le rapport des aires. Les longueurs suivent dont le carré vaut
Exercice 55 · raisonnement
Agrandir une photo
Une photo de cm sur cm est agrandie en une photo de cm de large sur cm de long.
Par quel nombre son aire est-elle multipliée ?
Donner ce nombre.
Réponse attendue : 25/4 — aussi acceptées : 6.25
Indices, dans l’ordre
- Commence par le rapport d'agrandissement des longueurs :
- L'aire est multipliée par
Correction
- Le rapport des longueurs — : c'est bien un agrandissement, de rapport
- Le rapport des aires —
Vérification directe : Une photo deux fois et demie plus large prend plus de six fois plus de papier.
Pièges anticipés
5/2→ est le rapport des longueurs, L'aire est multipliée par
Exercice 56 · raisonnement
Du A3 au A4
Une photocopieuse réduit une affiche du format A3 au format A4 : l'affiche réduite a la même forme, et son aire est exactement la moitié de l'aire de départ.
Calculer le rapport de cette réduction des longueurs.
Donner en valeur exacte.
Réponse attendue : sqrt(2)/2 — aussi acceptées : 1/sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Le rapport des aires est : c'est pas
- est le nombre positif dont le carré vaut
Correction
- Le rapport des aires —
- Le rapport des longueurs —
Les longueurs ne sont pas divisées par seulement l'aire : le « » qu'affichent les photocopieuses pour passer du A3 au A4.
Pièges anticipés
1/2→ est le rapport des aires, Les côtés de l'affiche ne sont pas divisés par : est la racine carrée de0.7 / 0.71 / 0.707→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte :
Exercice 57 · defi
Le trapèze aux deux tiers
est un triangle d'aire cm². est le point de tel que et la parallèle à passant par coupe en
Calculer l'aire du quadrilatère
Donner cette aire en cm², sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- est une réduction de de rapport
- L'aire de est de celle de Le quadrilatère est ce qui reste.
Correction
- Le rapport — est parallèle à : d'après Thalès, est une réduction de de rapport
- L'aire de AMN —
- Par différence —
Le triangle garde de l'aire, pas : le quadrilatère, qui semble étroit, en prend plus de la moitié.
Pièges anticipés
18→ Tu as multiplié l'aire par Les longueurs sont multipliées par mais une aire se mesure dans deux directions : elle est multipliée par24→ cm², c'est l'aire du triangle On demande celle du quadrilatère le reste.
Exercice 58 · defi
Couper le triangle en deux
est un triangle tel que cm. On cherche le point de tel que, si la parallèle à passant par coupe en l'aire du triangle soit la moitié de celle de
Calculer
Donner en cm, en valeur exacte, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 3*sqrt(2) — aussi acceptées : 6/sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- est une réduction de de rapport Que doit valoir ?
- donc
Correction
- Le rapport cherché — On veut soit
- La longueur —
Pour couper l'aire en deux, on ne prend pas le milieu : cm, bien plus que cm. Le milieu ne garderait qu'un quart de l'aire.
Pièges anticipés
3→ Avec au milieu, et l'aire de n'est que le quart de celle de C'est qui doit valoir4.2 / 4.24 / 4.243 / 4.3→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte :
Exercice 59 · base
Deux rapports égaux
Dans un triangle et On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · parallèle · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles · les droites sont parallèles · oui les droites sont parallèles · oui mn et bc sont parallèles · mn et bc sont parallèles · oui bc et mn sont parallèles · bc et mn sont parallèles · oui mn est parallèle à bc · mn est parallèle à bc · oui bc est parallèle à mn · bc est parallèle à mn · (MN)//(BC) · (BC)//(MN) · oui (MN)//(BC) · oui (BC)//(MN) · oui, parallèles · oui parallèle · oui, parallèle · oui, elles sont parallèles · elles sont parallèle · oui elles sont parallèle · oui, elles sont parallèle · sont parallèles · oui sont parallèles · oui, sont parallèles · ils sont parallèles · oui ils sont parallèles · oui, ils sont parallèles · oui, les droites sont parallèles · les deux droites sont parallèles · oui les deux droites sont parallèles · oui, les deux droites sont parallèles · oui elles le sont · oui, elles le sont · (MN) et (BC) sont parallèles · oui (MN) et (BC) sont parallèles · oui, (MN) et (BC) sont parallèles · (BC) et (MN) sont parallèles · oui (BC) et (MN) sont parallèles · oui, (BC) et (MN) sont parallèles · les droites (MN) et (BC) sont parallèles · oui les droites (MN) et (BC) sont parallèles · oui, les droites (MN) et (BC) sont parallèles · oui, MN et BC sont parallèles · (MN) est parallèle à (BC) · oui (MN) est parallèle à (BC) · oui, (MN) est parallèle à (BC) · (BC) est parallèle à (MN) · oui (BC) est parallèle à (MN) · oui, (BC) est parallèle à (MN) · oui, MN est parallèle à BC · oui, (MN)//(BC) · oui, (BC)//(MN) · (MN)∥(BC) · oui (MN)∥(BC) · oui, (MN)∥(BC) · (BC)∥(MN) · oui (BC)∥(MN) · oui, (BC)∥(MN)
Indices, dans l’ordre
- Calcule exactement les deux rapports et
- Si les rapports sont égaux et les points dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès conclut.
Correction
- Les rapports —
- La réciproque — Les rapports sont égaux, et : les points sont dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès :
Rapports égaux et points dans le même ordre : les droites sont parallèles.
Pièges anticipés
non / pas parallèles / non parallèles / ne sont pas parallèles / elles ne sont pas parallèles / non elles ne sont pas parallèles / non, elles ne sont pas parallèles / sécantes / elles sont sécantes / non ils ne sont pas parallèles / non, ils ne sont pas parallèles / ils ne sont pas parallèles / non les droites ne sont pas parallèles / non, les droites ne sont pas parallèles / les droites ne sont pas parallèles / non, pas parallèles / non pas parallèles / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non, sécantes / non elles sont sécantes / non, elles sont sécantes / les droites sont sécantes / elles se coupent / non elles se coupent / non, elles se coupent / non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles / non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles / (MN) et (BC) ne sont pas parallèles / (MN) n'est pas parallèle à (BC) / non (MN) n'est pas parallèle à (BC) / non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) / non (MN) et (BC) sont sécantes / non, (MN) et (BC) sont sécantes / (MN) et (BC) sont sécantes→ Calcule à nouveau : et Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : la réciproque donne le parallélisme.
Exercice 60 · base
Deux rapports différents
Dans un triangle et On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent · non ils ne sont pas parallèles · non, ils ne sont pas parallèles · ils ne sont pas parallèles · non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) et (BC) sont sécantes · non, (MN) et (BC) sont sécantes · (MN) et (BC) sont sécantes
Indices, dans l’ordre
- Compare et
- Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès rendrait ces rapports égaux.
Correction
- Les rapports —
- Conclusion — Si et étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux.
Des rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles.
Pièges anticipés
oui / parallèles / parallèle / oui parallèles / oui, parallèles / elles sont parallèles / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / les droites sont parallèles / oui ils sont parallèles / oui, ils sont parallèles / oui, les droites sont parallèles / oui les droites sont parallèles / oui (MN) et (BC) sont parallèles / oui, (MN) et (BC) sont parallèles / (MN) et (BC) sont parallèles / oui (MN)//(BC) / oui, (MN)//(BC) / (MN)//(BC) / (BC)//(MN) / oui (MN) est parallèle à (BC) / oui, (MN) est parallèle à (BC) / (MN) est parallèle à (BC)→ et : les rapports sont différents. Si les droites étaient parallèles, Thalès les rendrait égaux.
Exercice 61 · base
Où placer N ?
Dans un triangle on donne cm et cm. est le point de tel que cm. On veut placer sur de sorte que les droites et soient parallèles.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- D'après la réciproque, il suffit que avec
- : doit être le tiers de
Correction
- La condition — et sont dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, est parallèle à dès que :
La réciproque sert aussi à construire : on place pour que les deux rapports soient égaux.
Pièges anticipés
27→ ne peut pas dépasser cm. Garde : le petit triangle au numérateur.
Exercice 62 · base
Un papillon parallèle ?
Les droites et se coupent en avec et On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · parallèle · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles · les droites sont parallèles · oui les droites sont parallèles · oui bc et mn sont parallèles · bc et mn sont parallèles · oui mn et bc sont parallèles · mn et bc sont parallèles · oui bc est parallèle à mn · bc est parallèle à mn · oui mn est parallèle à bc · mn est parallèle à bc · (BC)//(MN) · (MN)//(BC) · oui (BC)//(MN) · oui (MN)//(BC) · oui, parallèles · oui parallèle · oui, parallèle · oui, elles sont parallèles · elles sont parallèle · oui elles sont parallèle · oui, elles sont parallèle · sont parallèles · oui sont parallèles · oui, sont parallèles · ils sont parallèles · oui ils sont parallèles · oui, ils sont parallèles · oui, les droites sont parallèles · les deux droites sont parallèles · oui les deux droites sont parallèles · oui, les deux droites sont parallèles · oui elles le sont · oui, elles le sont · (BC) et (MN) sont parallèles · oui (BC) et (MN) sont parallèles · oui, (BC) et (MN) sont parallèles · (MN) et (BC) sont parallèles · oui (MN) et (BC) sont parallèles · oui, (MN) et (BC) sont parallèles · les droites (BC) et (MN) sont parallèles · oui les droites (BC) et (MN) sont parallèles · oui, les droites (BC) et (MN) sont parallèles · oui, BC et MN sont parallèles · (BC) est parallèle à (MN) · oui (BC) est parallèle à (MN) · oui, (BC) est parallèle à (MN) · (MN) est parallèle à (BC) · oui (MN) est parallèle à (BC) · oui, (MN) est parallèle à (BC) · oui, BC est parallèle à MN · oui, (BC)//(MN) · oui, (MN)//(BC) · (BC)∥(MN) · oui (BC)∥(MN) · oui, (BC)∥(MN) · (MN)∥(BC) · oui (MN)∥(BC) · oui, (MN)∥(BC)
Indices, dans l’ordre
- Compare et et regarde l'ordre des points.
- et sont tous les deux de l'autre côté de : les points sont dans le même ordre.
Correction
- Les rapports —
- L'ordre — et : et sont tous deux de l'autre côté de les points sont dans le même ordre.
- La réciproque —
La réciproque vaut aussi pour le papillon, à condition que et soient tous les deux de l'autre côté de
Pièges anticipés
non / pas parallèles / non parallèles / ne sont pas parallèles / elles ne sont pas parallèles / non elles ne sont pas parallèles / non, elles ne sont pas parallèles / sécantes / elles sont sécantes / non ils ne sont pas parallèles / non, ils ne sont pas parallèles / ils ne sont pas parallèles / non les droites ne sont pas parallèles / non, les droites ne sont pas parallèles / les droites ne sont pas parallèles / non, pas parallèles / non pas parallèles / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non, sécantes / non elles sont sécantes / non, elles sont sécantes / les droites sont sécantes / elles se coupent / non elles se coupent / non, elles se coupent / non (BC) et (MN) ne sont pas parallèles / non, (BC) et (MN) ne sont pas parallèles / (BC) et (MN) ne sont pas parallèles / (BC) n'est pas parallèle à (MN) / non (BC) n'est pas parallèle à (MN) / non, (BC) n'est pas parallèle à (MN) / non (BC) et (MN) sont sécantes / non, (BC) et (MN) sont sécantes / (BC) et (MN) sont sécantes→ Les rapports valent tous deux et les points sont dans le même ordre : la réciproque du théorème de Thalès s'applique aussi au papillon.
Exercice 63 · pratique
Les rapports ne suffisent pas
Les droites et sont sécantes en est un point de et un point de la droite tel que On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent · non ils ne sont pas parallèles · non, ils ne sont pas parallèles · ils ne sont pas parallèles · non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) et (BC) sont sécantes · non, (MN) et (BC) sont sécantes · (MN) et (BC) sont sécantes
Indices, dans l’ordre
- Calcule les deux rapports. Puis regarde où sont et par rapport à
- est du même côté de que mais est de l'autre côté de par rapport à
Correction
- Les rapports —
- L'ordre — Les rapports sont égaux, mais est du côté de alors que est de l'autre côté de par rapport à : les points ne sont pas dans le même ordre, et la réciproque ne s'applique pas.
- Conclusion — La droite où est le point de tel que cm, est parallèle à ; est le symétrique de par rapport à donc ne l'est pas.
La réciproque a deux conditions : des rapports égaux, et des points placés dans le même ordre. Ici la seconde manque.
Pièges anticipés
oui / parallèles / parallèle / oui parallèles / oui, parallèles / elles sont parallèles / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / les droites sont parallèles / oui ils sont parallèles / oui, ils sont parallèles / oui, les droites sont parallèles / oui les droites sont parallèles / oui (MN) et (BC) sont parallèles / oui, (MN) et (BC) sont parallèles / (MN) et (BC) sont parallèles / oui (MN)//(BC) / oui, (MN)//(BC) / (MN)//(BC) / (BC)//(MN) / oui (MN) est parallèle à (BC) / oui, (MN) est parallèle à (BC) / (MN) est parallèle à (BC)→ Les rapports sont bien égaux, mais regarde l'ordre des points : est entre et alors que est entre et La réciproque exige que les points soient dans le même ordre.
Exercice 64 · pratique
Avec les morceaux
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · parallèle · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles · les droites sont parallèles · oui les droites sont parallèles · oui mn et bc sont parallèles · mn et bc sont parallèles · oui bc et mn sont parallèles · bc et mn sont parallèles · oui mn est parallèle à bc · mn est parallèle à bc · oui bc est parallèle à mn · bc est parallèle à mn · (MN)//(BC) · (BC)//(MN) · oui (MN)//(BC) · oui (BC)//(MN) · oui, parallèles · oui parallèle · oui, parallèle · oui, elles sont parallèles · elles sont parallèle · oui elles sont parallèle · oui, elles sont parallèle · sont parallèles · oui sont parallèles · oui, sont parallèles · ils sont parallèles · oui ils sont parallèles · oui, ils sont parallèles · oui, les droites sont parallèles · les deux droites sont parallèles · oui les deux droites sont parallèles · oui, les deux droites sont parallèles · oui elles le sont · oui, elles le sont · (MN) et (BC) sont parallèles · oui (MN) et (BC) sont parallèles · oui, (MN) et (BC) sont parallèles · (BC) et (MN) sont parallèles · oui (BC) et (MN) sont parallèles · oui, (BC) et (MN) sont parallèles · les droites (MN) et (BC) sont parallèles · oui les droites (MN) et (BC) sont parallèles · oui, les droites (MN) et (BC) sont parallèles · oui, MN et BC sont parallèles · (MN) est parallèle à (BC) · oui (MN) est parallèle à (BC) · oui, (MN) est parallèle à (BC) · (BC) est parallèle à (MN) · oui (BC) est parallèle à (MN) · oui, (BC) est parallèle à (MN) · oui, MN est parallèle à BC · oui, (MN)//(BC) · oui, (BC)//(MN) · (MN)∥(BC) · oui (MN)∥(BC) · oui, (MN)∥(BC) · (BC)∥(MN) · oui (BC)∥(MN) · oui, (BC)∥(MN)
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord les côtés entiers et
- Compare et
Correction
- Les côtés entiers —
- Les rapports —
- La réciproque — Les rapports sont égaux et :
On compare chaque longueur depuis au côté entier ; les morceaux et servent seulement à le calculer.
Pièges anticipés
non / pas parallèles / non parallèles / ne sont pas parallèles / elles ne sont pas parallèles / non elles ne sont pas parallèles / non, elles ne sont pas parallèles / sécantes / elles sont sécantes / non ils ne sont pas parallèles / non, ils ne sont pas parallèles / ils ne sont pas parallèles / non les droites ne sont pas parallèles / non, les droites ne sont pas parallèles / les droites ne sont pas parallèles / non, pas parallèles / non pas parallèles / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non, sécantes / non elles sont sécantes / non, elles sont sécantes / les droites sont sécantes / elles se coupent / non elles se coupent / non, elles se coupent / non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles / non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles / (MN) et (BC) ne sont pas parallèles / (MN) n'est pas parallèle à (BC) / non (MN) n'est pas parallèle à (BC) / non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) / non (MN) et (BC) sont sécantes / non, (MN) et (BC) sont sécantes / (MN) et (BC) sont sécantes→ Avec les côtés entiers et les rapports et valent tous deux
Exercice 65 · pratique
Presque égaux
Dans un triangle et On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent · non ils ne sont pas parallèles · non, ils ne sont pas parallèles · ils ne sont pas parallèles · non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) et (BC) sont sécantes · non, (MN) et (BC) sont sécantes · (MN) et (BC) sont sécantes
Indices, dans l’ordre
- Des valeurs arrondies ne prouvent rien. Compare les rapports exactement, par les produits en croix.
- Calcule et
Correction
- Les produits en croix —
- Conclusion — Les produits sont différents, donc
et : très proches, mais pas égaux. Les produits en croix tranchent sans arrondi.
Pièges anticipés
oui / parallèles / parallèle / oui parallèles / oui, parallèles / elles sont parallèles / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / les droites sont parallèles / oui ils sont parallèles / oui, ils sont parallèles / oui, les droites sont parallèles / oui les droites sont parallèles / oui (MN) et (BC) sont parallèles / oui, (MN) et (BC) sont parallèles / (MN) et (BC) sont parallèles / oui (MN)//(BC) / oui, (MN)//(BC) / (MN)//(BC) / (BC)//(MN) / oui (MN) est parallèle à (BC) / oui, (MN) est parallèle à (BC) / (MN) est parallèle à (BC)→ Arrondis à les deux rapports se confondent. Mais et : ils ne sont pas égaux.
Exercice 66 · pratique
L'escabeau
Un escabeau a la forme d'un triangle : est le sommet, et les pieds posés au sol, avec m. Une barre relie à avec m et m.
La barre est-elle parallèle au sol ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent · non ils ne sont pas parallèles · non, ils ne sont pas parallèles · ils ne sont pas parallèles · non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) et (BC) sont sécantes · non, (MN) et (BC) sont sécantes · (MN) et (BC) sont sécantes · non elle n'est pas parallèle · non, elle n'est pas parallèle · elle n'est pas parallèle · non elle n'est pas parallèle au sol · non, elle n'est pas parallèle au sol · elle n'est pas parallèle au sol · non la barre n'est pas parallèle au sol · non, la barre n'est pas parallèle au sol · la barre n'est pas parallèle au sol · non elle penche · non, elle penche · elle penche
Indices, dans l’ordre
- Compare les rapports et
- Les deux montants ont la même longueur : il faudrait
Correction
- Les rapports —
- Conclusion — Les rapports sont différents : si était parallèle à le théorème de Thalès les rendrait égaux.
La barre penche : pour qu'elle soit parallèle au sol, il faudrait la fixer à m du sommet sur les deux montants.
Pièges anticipés
oui / parallèles / parallèle / oui parallèles / oui, parallèles / elles sont parallèles / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / les droites sont parallèles / oui ils sont parallèles / oui, ils sont parallèles / oui, les droites sont parallèles / oui les droites sont parallèles / oui (MN) et (BC) sont parallèles / oui, (MN) et (BC) sont parallèles / (MN) et (BC) sont parallèles / oui (MN)//(BC) / oui, (MN)//(BC) / (MN)//(BC) / (BC)//(MN) / oui (MN) est parallèle à (BC) / oui, (MN) est parallèle à (BC) / (MN) est parallèle à (BC) / oui elle est parallèle / oui, elle est parallèle / elle est parallèle / oui elle est parallèle au sol / oui, elle est parallèle au sol / oui la barre est parallèle au sol / oui, la barre est parallèle au sol / la barre est parallèle au sol→ mais : les rapports diffèrent, la barre n'est pas parallèle au sol.
Exercice 67 · pratique
Le reste du côté
Dans un triangle cm et cm. est le point de tel que cm. On veut placer sur de sorte que les droites et soient parallèles.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5
Indices, dans l’ordre
- D'après la réciproque, il faut avec
- Calcule puis
Correction
- La condition —
- Les longueurs —
Avec ainsi placé, les points sont dans le même ordre et les rapports égaux : la réciproque garantit le parallélisme.
Pièges anticipés
15/2→ cm, c'est On demande l'autre morceau de
Exercice 68 · pratique
Le triangle prolongé
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · parallèle · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles · les droites sont parallèles · oui les droites sont parallèles · oui bc et mn sont parallèles · bc et mn sont parallèles · oui mn et bc sont parallèles · mn et bc sont parallèles · oui bc est parallèle à mn · bc est parallèle à mn · oui mn est parallèle à bc · mn est parallèle à bc · (BC)//(MN) · (MN)//(BC) · oui (BC)//(MN) · oui (MN)//(BC) · oui, parallèles · oui parallèle · oui, parallèle · oui, elles sont parallèles · elles sont parallèle · oui elles sont parallèle · oui, elles sont parallèle · sont parallèles · oui sont parallèles · oui, sont parallèles · ils sont parallèles · oui ils sont parallèles · oui, ils sont parallèles · oui, les droites sont parallèles · les deux droites sont parallèles · oui les deux droites sont parallèles · oui, les deux droites sont parallèles · oui elles le sont · oui, elles le sont · (BC) et (MN) sont parallèles · oui (BC) et (MN) sont parallèles · oui, (BC) et (MN) sont parallèles · (MN) et (BC) sont parallèles · oui (MN) et (BC) sont parallèles · oui, (MN) et (BC) sont parallèles · les droites (BC) et (MN) sont parallèles · oui les droites (BC) et (MN) sont parallèles · oui, les droites (BC) et (MN) sont parallèles · oui, BC et MN sont parallèles · (BC) est parallèle à (MN) · oui (BC) est parallèle à (MN) · oui, (BC) est parallèle à (MN) · (MN) est parallèle à (BC) · oui (MN) est parallèle à (BC) · oui, (MN) est parallèle à (BC) · oui, BC est parallèle à MN · oui, (BC)//(MN) · oui, (MN)//(BC) · (BC)∥(MN) · oui (BC)∥(MN) · oui, (BC)∥(MN) · (MN)∥(BC) · oui (MN)∥(BC) · oui, (MN)∥(BC)
Indices, dans l’ordre
- Les longueurs se lisent depuis : calcule et
- Compare et par les produits en croix.
Correction
- Depuis A —
- Les produits en croix —
- La réciproque — et : les points sont dans le même ordre.
Deuxième figure de Thalès : on lit les longueurs depuis même quand le triangle est prolongé.
Pièges anticipés
non / pas parallèles / non parallèles / ne sont pas parallèles / elles ne sont pas parallèles / non elles ne sont pas parallèles / non, elles ne sont pas parallèles / sécantes / elles sont sécantes / non ils ne sont pas parallèles / non, ils ne sont pas parallèles / ils ne sont pas parallèles / non les droites ne sont pas parallèles / non, les droites ne sont pas parallèles / les droites ne sont pas parallèles / non, pas parallèles / non pas parallèles / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non, sécantes / non elles sont sécantes / non, elles sont sécantes / les droites sont sécantes / elles se coupent / non elles se coupent / non, elles se coupent / non (BC) et (MN) ne sont pas parallèles / non, (BC) et (MN) ne sont pas parallèles / (BC) et (MN) ne sont pas parallèles / (BC) n'est pas parallèle à (MN) / non (BC) n'est pas parallèle à (MN) / non, (BC) n'est pas parallèle à (MN) / non (BC) et (MN) sont sécantes / non, (BC) et (MN) sont sécantes / (BC) et (MN) sont sécantes→ Avec et les rapports et valent tous deux
Exercice 69 · raisonnement
Deux cercles de même centre
Deux cercles ont le même centre et pour rayons cm et cm. Une demi-droite d'origine coupe le petit cercle en et le grand en ; une autre demi-droite d'origine non portée par la même droite, coupe le petit cercle en et le grand en On mesure cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Rien ne dit encore que et sont parallèles. Compare et avec les rayons.
- Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : la réciproque donne le parallélisme. Le théorème de Thalès donne alors
Correction
- Les rayons —
- La réciproque — et : les points sont dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès :
- Thalès — Dans le triangle et est parallèle à :
- Le calcul —
Quelles que soient les deux demi-droites, le rapport vaut des deux côtés : et sont toujours parallèles. La réciproque d'abord, le théorème ensuite.
Pièges anticipés
2→ Tu as retourné le rapport : relie deux points du grand cercle, il est plus long que5→ Tu as ajouté à l'écart des rayons. Ce sont les longueurs qui sont dans le même rapport, pas les écarts.
Exercice 70 · raisonnement
Prouver, puis calculer
est un triangle tel que cm, cm et cm. est le point de tel que cm, et le point de tel que cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 21/4 — aussi acceptées : 5.25
Indices, dans l’ordre
- Rien ne dit que est parallèle à Commence par le prouver.
- : la réciproque donne le parallélisme, et alors le théorème de Thalès donne
Correction
- Le parallélisme — et avec et D'après la réciproque, est parallèle à
- Thalès —
La réciproque d'abord, le théorème ensuite : on n'écrit pas tant que le parallélisme n'est pas prouvé.
Pièges anticipés
28/3→ Tu as retourné le rapport : est plus court que puisque est une réduction de de rapport
Exercice 71 · raisonnement
La valeur qui rend parallèle
Les points sont alignés dans cet ordre, ainsi que On donne cm, cm et cm, et on note en cm.
Calculer pour que les droites et soient parallèles.
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- D'après la réciproque, il faut avec
- Résous
Correction
- La condition —
- L'équation —
Vérification : et les points sont dans le même ordre. La réciproque garantit alors le parallélisme.
Pièges anticipés
4/3→ Tu as écrit : un morceau à gauche, un côté entier à droite. Compare au côté entier
Exercice 72 · raisonnement
Un trapèze ?
Les diagonales et d'un quadrilatère se coupent en On donne cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : parallèles · parallèle · oui parallèles · oui elles sont parallèles · elles sont parallèles · les droites sont parallèles · oui les droites sont parallèles · oui ab et cd sont parallèles · ab et cd sont parallèles · oui cd et ab sont parallèles · cd et ab sont parallèles · oui ab est parallèle à cd · ab est parallèle à cd · oui cd est parallèle à ab · cd est parallèle à ab · (AB)//(CD) · (CD)//(AB) · oui (AB)//(CD) · oui (CD)//(AB) · oui, parallèles · oui parallèle · oui, parallèle · oui, elles sont parallèles · elles sont parallèle · oui elles sont parallèle · oui, elles sont parallèle · sont parallèles · oui sont parallèles · oui, sont parallèles · ils sont parallèles · oui ils sont parallèles · oui, ils sont parallèles · oui, les droites sont parallèles · les deux droites sont parallèles · oui les deux droites sont parallèles · oui, les deux droites sont parallèles · oui elles le sont · oui, elles le sont · (AB) et (CD) sont parallèles · oui (AB) et (CD) sont parallèles · oui, (AB) et (CD) sont parallèles · (CD) et (AB) sont parallèles · oui (CD) et (AB) sont parallèles · oui, (CD) et (AB) sont parallèles · les droites (AB) et (CD) sont parallèles · oui les droites (AB) et (CD) sont parallèles · oui, les droites (AB) et (CD) sont parallèles · oui, AB et CD sont parallèles · (AB) est parallèle à (CD) · oui (AB) est parallèle à (CD) · oui, (AB) est parallèle à (CD) · (CD) est parallèle à (AB) · oui (CD) est parallèle à (AB) · oui, (CD) est parallèle à (AB) · oui, AB est parallèle à CD · oui, (AB)//(CD) · oui, (CD)//(AB) · (AB)∥(CD) · oui (AB)∥(CD) · oui, (AB)∥(CD) · (CD)∥(AB) · oui (CD)∥(AB) · oui, (CD)∥(AB)
Indices, dans l’ordre
- Les diagonales forment un papillon de centre Compare et
- et : et sont tous deux de l'autre côté de par rapport à et
Correction
- Les rapports —
- La réciproque — Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre (papillon de centre ) :
est donc un trapèze de bases et : c'est la réciproque de la propriété des diagonales d'un trapèze.
Pièges anticipés
non / pas parallèles / non parallèles / ne sont pas parallèles / elles ne sont pas parallèles / non elles ne sont pas parallèles / non, elles ne sont pas parallèles / sécantes / elles sont sécantes / non ils ne sont pas parallèles / non, ils ne sont pas parallèles / ils ne sont pas parallèles / non les droites ne sont pas parallèles / non, les droites ne sont pas parallèles / les droites ne sont pas parallèles / non, pas parallèles / non pas parallèles / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non, sécantes / non elles sont sécantes / non, elles sont sécantes / les droites sont sécantes / elles se coupent / non elles se coupent / non, elles se coupent / non (AB) et (CD) ne sont pas parallèles / non, (AB) et (CD) ne sont pas parallèles / (AB) et (CD) ne sont pas parallèles / (AB) n'est pas parallèle à (CD) / non (AB) n'est pas parallèle à (CD) / non, (AB) n'est pas parallèle à (CD) / non (AB) et (CD) sont sécantes / non, (AB) et (CD) sont sécantes / (AB) et (CD) sont sécantes→ et sont égaux : Dans le papillon de centre la réciproque donne le parallélisme.
Exercice 73 · raisonnement
Moins d'un millimètre
Dans un triangle et On donne cm, cm, cm et cm. Sur le dessin, et semblent parallèles.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent · non ils ne sont pas parallèles · non, ils ne sont pas parallèles · ils ne sont pas parallèles · non (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · non, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) et (BC) ne sont pas parallèles · (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non, (MN) n'est pas parallèle à (BC) · non (MN) et (BC) sont sécantes · non, (MN) et (BC) sont sécantes · (MN) et (BC) sont sécantes
Indices, dans l’ordre
- Ne te fie pas au dessin : compare les rapports exactement.
- Produits en croix : et
- Quelle longueur de rendrait les droites parallèles ?
Correction
- Les produits en croix —
- Conclusion — Les produits sont différents, donc : si les droites étaient parallèles, Thalès rendrait ces rapports égaux.
Pour que les droites soient parallèles, il faudrait cm. Un écart invisible à l'œil, mais le calcul le voit.
Pièges anticipés
oui / parallèles / parallèle / oui parallèles / oui, parallèles / elles sont parallèles / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / les droites sont parallèles / oui ils sont parallèles / oui, ils sont parallèles / oui, les droites sont parallèles / oui les droites sont parallèles / oui (MN) et (BC) sont parallèles / oui, (MN) et (BC) sont parallèles / (MN) et (BC) sont parallèles / oui (MN)//(BC) / oui, (MN)//(BC) / (MN)//(BC) / (BC)//(MN) / oui (MN) est parallèle à (BC) / oui, (MN) est parallèle à (BC) / (MN) est parallèle à (BC)→ Le dessin trompe : alors que Les rapports ne sont pas égaux.
Exercice 74 · defi
Des tiers partout
est un triangle. On place sur tel que et sur tel que
Les droites et sont-elles parallèles ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas parallèles · pas parallèle · non parallèles · non parallèle · non pas parallèles · non, pas parallèles · ne sont pas parallèles · elles ne sont pas parallèles · non elles ne sont pas parallèles · non, elles ne sont pas parallèles · les droites ne sont pas parallèles · non les droites ne sont pas parallèles · non, les droites ne sont pas parallèles · non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · sécantes · sécante · elles sont sécantes · les droites sont sécantes · non sécantes · non, sécantes · non elles sont sécantes · non, elles sont sécantes · non les droites sont sécantes · non, les droites sont sécantes · elles se coupent · non elles se coupent · non, elles se coupent · non ils ne sont pas parallèles · non, ils ne sont pas parallèles · ils ne sont pas parallèles · non (MP) et (AC) ne sont pas parallèles · non, (MP) et (AC) ne sont pas parallèles · (MP) et (AC) ne sont pas parallèles · (MP) n'est pas parallèle à (AC) · non (MP) n'est pas parallèle à (AC) · non, (MP) n'est pas parallèle à (AC) · non (MP) et (AC) sont sécantes · non, (MP) et (AC) sont sécantes · (MP) et (AC) sont sécantes
Indices, dans l’ordre
- Les droites et coupent les côtés issus de quel sommet ? C'est depuis ce sommet qu'il faut lire les rapports.
- Le sommet commun est : compare et
Correction
- Le bon sommet — et : les rapports se lisent depuis
- Les rapports —
- Conclusion — Les rapports sont différents : si était parallèle à Thalès dans le triangle les rendrait égaux.
Les deux « tiers » ne se mesurent pas depuis le même sommet : part de part de Pour la réciproque, tout se lit depuis le sommet commun aux deux côtés coupés.
Pièges anticipés
oui / parallèles / parallèle / oui parallèles / oui, parallèles / elles sont parallèles / oui elles sont parallèles / oui, elles sont parallèles / les droites sont parallèles / oui ils sont parallèles / oui, ils sont parallèles / oui, les droites sont parallèles / oui les droites sont parallèles / oui (MP) et (AC) sont parallèles / oui, (MP) et (AC) sont parallèles / (MP) et (AC) sont parallèles / oui (MP)//(AC) / oui, (MP)//(AC) / (MP)//(AC) / (AC)//(MP) / oui (MP) est parallèle à (AC) / oui, (MP) est parallèle à (AC) / (MP) est parallèle à (AC)→ des deux côtés, mais pas depuis le même sommet ! Les côtés coupés sont et : depuis et
Exercice 75 · defi
La même longueur des deux côtés
est un triangle tel que cm et cm. On place sur et sur de sorte que ; on note cette longueur commune, en cm.
Calculer pour que les droites et soient parallèles.
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Exprime en fonction de
- La réciproque demande soit
Correction
- Les longueurs —
- La condition —
- L'équation —
Vérification : et Les points étant dans le même ordre, la réciproque donne le parallélisme.
Pièges anticipés
9→ cm, c'est On demande
Exercice 76 · base
La quatrième proportionnelle
On veut construire un segment de longueur en cm, tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Fais les produits en croix.
Correction
- Produits en croix —
La construction par Thalès place ce segment sans calcul ; le calcul permet de vérifier la construction à la règle.
Pièges anticipés
8→ Tu as calculé Les produits en croix de donnent
Exercice 77 · base
Ce que donne la construction
On trace deux demi-droites et de même origine non portées par une même droite. Sur on place et tels que cm et cm ; sur on place tel que cm. La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 12/5 — aussi acceptées : 2.4
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle et est parallèle à
- Thalès donne
Correction
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
La construction fabrique la longueur telle que : c'est la méthode du cours.
Pièges anticipés
20/3→ est entre et donc cm. Garde le petit triangle au numérateur :
Exercice 78 · base
Quel point relier ?
Pour placer sur le point tel que on trace une demi-droite d'origine non portée par et on y reporte au compas neuf fois une même longueur à partir de On relie le dernier point, à puis on trace la parallèle à passant par le point de tel que
Calculer
Donner
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- La parallèle coupe en Thalès dans le triangle donne
- compte longueurs Combien doit en compter ?
Correction
- Thalès — Dans le triangle et est parallèle à :
- Le bon point — On veut :
Le dénominateur dit combien de longueurs reporter, le numérateur par quel point mener la parallèle : ici le quatrième, compté depuis
Pièges anticipés
5→ Avec on obtiendrait Les longueurs se comptent à partir de : en compte9→ c'est le point lui-même : la parallèle serait et tomberait en
Exercice 79 · pratique
Au-delà de B
Le segment mesure cm. On construit le point de la demi-droite tel que : on reporte cinq fois la même longueur sur une demi-droite on relie le quatrième point à et la parallèle menée par le cinquième point coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6/5 — aussi acceptées : 1.2
Indices, dans l’ordre
- Commence par
- est au-delà de :
Correction
- La longueur AM —
- Le morceau — est entre et donc :
Une fraction plus grande que place le point au-delà de ; ici vaut de
Pièges anticipés
6→ cm, c'est On demande le petit morceau au-delà de
Exercice 80 · pratique
Fabriquer un quotient
Deux droites et se coupent en Sur munie d'un repère avec cm, on place les points et d'abscisses et Sur munie d'un repère avec cm, on place le point d'abscisse La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle et est parallèle à
Correction
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
En général, avec des abscisses cette construction donne : on construit un produit divisé par un nombre, sans calculer.
Pièges anticipés
8→ est entre et donc Garde le petit triangle au numérateur.
Exercice 81 · pratique
L'inconnue au numérateur
On veut construire un segment de longueur en cm, tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Multiplie les deux membres par
Correction
- Isoler d —
Pour la construction : et sur sur ; la parallèle à par coupe en avec soit
Pièges anticipés
6/5→ Tu as calculé Dans on multiplie par :
Exercice 82 · pratique
L'inconnue au dénominateur
On veut construire un segment de longueur en cm, tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 16/5 — aussi acceptées : 3.2
Indices, dans l’ordre
- Produits en croix.
Correction
- Produits en croix —
Pour la construction : et sur sur ; la parallèle à par coupe en et Thalès donne soit :
Pièges anticipés
20→ Tu as calculé Les produits en croix de donnent
Exercice 83 · pratique
Les trois quarts du segment
Le segment mesure cm. On construit le point de tel que en reportant quatre longueurs égales sur une demi-droite
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5
Indices, dans l’ordre
- prend parts sur Combien en reste-t-il pour ?
Correction
- AM —
- MB —
Trois parts d'un côté, une de l'autre :
Pièges anticipés
15/2→ cm, c'est On demande la part qui reste.
Exercice 84 · raisonnement
Le segment qui reste
Sur une demi-droite on place et tels que cm et cm ; sur une demi-droite de même origine, non portée par la même droite, on place tel que cm. La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm, en valeur exacte.
Réponse attendue : 9/7
Indices, dans l’ordre
- Thalès dans le triangle donne
- puis
Correction
- Thalès —
- Le morceau —
On pouvait aussi lire : les morceaux se partagent dans le même rapport.
Pièges anticipés
12/7→ c'est On demande1.3 / 1.29 / 1.286→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte :
Exercice 85 · raisonnement
Un rectangle de même aire
est un rectangle tel que cm et cm. On place sur tel que cm. La parallèle à passant par coupe la demi-droite en et est le point tel que est un rectangle.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle et est parallèle à
Correction
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
Les produits en croix disent : cm². Le rectangle ici un carré, a la même aire que
Pièges anticipés
8/3→ est entre et donc cm. Écris : le petit triangle au numérateur.
Exercice 86 · raisonnement
Construire un produit
On trace deux demi-droites et de même origine, non portées par une même droite. Sur on place et tels que cm et cm ; sur on place tel que cm. La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle et est parallèle à
- avec
Correction
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
Avec l'unité cette construction donne : on construit un produit avec une règle et une équerre.
Pièges anticipés
5/6→ est entre et donc cm. Écris le petit triangle au numérateur.
Exercice 87 · defi
Construire l'inverse
On trace deux demi-droites et de même origine, non portées par une même droite. Sur on place et tels que cm et cm ; sur on place tel que cm. La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Repère le triangle et la parallèle : est parallèle à avec et
Correction
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
Avec deux unités, cette construction donne : l'inverse d'une longueur se construit, lui aussi.
Pièges anticipés
4→ est entre et donc cm. Écris : le petit triangle au numérateur.
Exercice 88 · defi
Neuf fois plus loin
Le segment mesure cm. On construit, par la méthode du cours, le point de la demi-droite tel que
Calculer le rapport
Donner ce rapport.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Calcule puis
- compte huitièmes de et un seul.
Correction
- Les longueurs —
- Le rapport —
Le rapport ne dépend pas de la longueur de : vaut huitièmes de et un huitième, donc toujours.
Pièges anticipés
9/8→ c'est On demande : n'est qu'un huitième de
Exercice 89 · base
Deux parts contre trois
Le segment mesure cm. On place sur le point tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- compte parts et en compte Combien de parts pour entier ?
Correction
- Les parts — compte parts égales, de cm chacune.
Vérification : cm et Le rapport compare deux morceaux, pas un morceau au tout.
Pièges anticipés
10→ Tu as pris Mais compare à : le segment entier compte parts.9→ cm, c'est les parts du côté de On demande
Exercice 90 · base
Combien de reports ?
On veut placer sur le point tel que par la méthode du cours : reporter la même longueur plusieurs fois sur une demi-droite relier le dernier point à et mener une parallèle.
Combien de fois faut-il reporter la longueur ?
Donner ce nombre.
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- compte parts et en compte
- Le dernier point reporté correspond à : il faut autant de reports que de parts dans
Correction
- Les parts — compte parts, en compte : en compte
- La construction — On reporte fois la longueur, on relie le onzième point à et on mène la parallèle par le quatrième point.
Pour on reporte longueurs et on mène la parallèle par le -ième point.
Pièges anticipés
7→ Avec reports, on partagerait en parts. Mais parts sont seulement celles de : il faut y ajouter les parts de
Exercice 91 · base
Le deuxième point sur cinq
Le segment mesure cm. Sur une demi-droite d'origine non portée par on reporte cinq fois la même longueur à partir de ; on note le deuxième point et le cinquième. La parallèle à passant par coupe en
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 24/5 — aussi acceptées : 4.8
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle est parallèle à
Correction
- Thalès — Dans le triangle et est parallèle à :
La construction partage en parts : en prend et
Pièges anticipés
36/5→ cm, c'est les parts du côté de On demande
Exercice 92 · pratique
Le morceau du côté de B
Le segment mesure cm. est le point de tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 14
Indices, dans l’ordre
- Combien de parts dans ? Et combien pour ?
Correction
- Les parts — compte parts, et en prend
Vérification : cm et
Pièges anticipés
4→ cm, c'est On demande les parts du côté de63→ Tu as multiplié par : dépasserait ! Le segment entier compte parts.
Exercice 93 · pratique
Retrouver la proportion
Un point de vérifie cm et cm.
Calculer le rapport sous forme de fraction irréductible.
Donner ce rapport sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Écris puis simplifie.
- et sont tous deux multiples de
Correction
- Le rapport —
Pour construire ce point, on reporterait longueurs et on mènerait la parallèle par le deuxième point.
Pièges anticipés
2/5→ c'est On demande : les deux morceaux.3/2→ Tu as calculé Le rapport demandé a au numérateur.
Exercice 94 · pratique
Couper en trois
Le segment mesure cm. Sur une demi-droite on reporte trois fois la même longueur : On relie à puis les parallèles à passant par et coupent en et
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle est parallèle à
Correction
- Thalès — Dans le triangle est parallèle à :
Les points et partagent en trois segments de cm : c'est ainsi qu'on partage un segment en parts égales sans mesurer.
Pièges anticipés
7/2→ cm, c'est le premier tiers. correspond au deuxième point, : il prend deux tiers.
Exercice 95 · pratique
Partager un ruban
On partage un ruban de m en deux morceaux dont les longueurs sont dans le rapport
Calculer la longueur du morceau le plus court, en mètres.
Donner cette longueur en mètres.
Réponse attendue : 6/5 — aussi acceptées : 1.2
Indices, dans l’ordre
- Le ruban compte parts égales.
- Le plus court prend parts sur
Correction
- Les parts — parts, donc une part mesure m.
Vérification : l'autre morceau mesure m, et
Pièges anticipés
54/25→ Tu as pris du ruban entier. Mais compare les deux morceaux : le ruban compte parts.3/2→ m, c'est le morceau le plus long, parts sur On demande le plus court.
Exercice 96 · pratique
L'abscisse du point de partage
et sont deux points distincts. est le point de tel que
Donner l'abscisse de dans le repère de la droite
Donner cette abscisse.
Réponse attendue : 3/5 — aussi acceptées : 0.6
Indices, dans l’ordre
- Dans le repère a pour abscisse et pour abscisse L'abscisse de est
- compte parts et en compte : combien de parts pour ?
Correction
- Les parts — compte parts, et en prend
- L'abscisse — est sur du côté de par rapport à :
L'abscisse dans le repère est la fraction de parcourue depuis
Pièges anticipés
3/2→ compare à pas à Le segment compte parts.2/5→ c'est la part de du côté de Dans le repère l'abscisse se mesure depuis
Exercice 97 · raisonnement
Deux centimètres d'écart
est un point de tel que et cm.
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 14
Indices, dans l’ordre
- compte parts et en compte Combien de parts représentent les cm d'écart ?
- Une seule part vaut cm. Et compte parts.
Correction
- Une part — vaut part, donc une part mesure cm.
- Le segment —
Vérification : et Raisonner en parts évite toute équation.
Pièges anticipés
7→ c'est le nombre de parts. Chaque part mesure cm.
Exercice 98 · raisonnement
Le partage, et puis Thalès
est un triangle. est le point de tel que et la parallèle à passant par coupe en
Calculer le rapport
Donner ce rapport.
Réponse attendue : 4/7
Indices, dans l’ordre
- Commence par : combien de parts dans ?
- Dans le triangle est parallèle à : Thalès depuis donne
- Puis
Correction
- Le partage —
- Thalès depuis S — Dans le triangle et est parallèle à :
- Le reste —
Le sommet commun aux droites et est : Thalès se lit depuis puis on passe au morceau
Pièges anticipés
3/7→ c'est mesuré depuis On demande : l'autre morceau.3/4→ compare les deux morceaux et pas un morceau au côté entier : compte parts.
Exercice 99 · raisonnement
Deux points symétriques
Le segment mesure cm. est le point de tel que et le point de tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Les deux partages comptent parts de cm. Calcule et
- cm et cm : où sont et l'un par rapport à l'autre ?
Correction
- Les deux points —
- La distance — et sont sur à cm et à cm de :
et sont symétriques par rapport au milieu de chacun à cm de lui.
Pièges anticipés
10→ cm, c'est On demande la distance entre et6→ cm, c'est On demande la distance entre et
Exercice 100 · raisonnement
Trois morceaux
On partage un segment de cm en trois morceaux dont les longueurs sont proportionnelles à et
Calculer la longueur du plus long morceau.
Donner cette longueur en cm.
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Combien de parts égales en tout ?
- parts. Le plus long morceau en prend
Correction
- Les parts — parts, donc une part mesure cm.
Les morceaux mesurent et cm. À la règle, on reporterait longueurs et on mènerait deux parallèles, par le deuxième et le cinquième point.
Pièges anticipés
3→ cm, c'est le plus court morceau, parts. On demande le plus long, parts.5→ Tu as partagé en trois parts égales. Les morceaux sont proportionnels à et : il y a parts.
Exercice 101 · defi
Le point hors du segment
Le segment mesure cm. est un point de la droite hors du segment tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 20
Indices, dans l’ordre
- : est plus près de que de De quel côté du segment se trouve-t-il ?
- est au-delà de donc Pose
- Résous
Correction
- La position — donc est du côté de : est entre et et
- L'équation — On pose :
Vérification : cm et Le même rapport donne un point dans le segment ( cm) et un point hors du segment.
Pièges anticipés
4→ cm, c'est le point du segment qui partage dans le rapport Ici est hors de au-delà de :
Exercice 102 · defi
Un partage dans le partage
Le segment mesure cm. est le point de tel que puis est le point de tel que
Calculer
Donner en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Commence par et : compte parts.
- cm, partagé en parts : en prend une.
Correction
- Le premier partage —
- Le second partage —
- La somme —
cm : est le milieu de Deux partages successifs se ramènent à un seul.
Pièges anticipés
15/2→ Tu as pris Mais compare à : compte parts.