Barycentre
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Le chapitre numéro six : barycentre. Bech nabdew b tige w zouz masses, w nchoufou win yji le point d'équilibre. Men ghadi n3arrfou le barycentre de deux points pondérés, w nchoufou win yji 3la la droite, w kifech nrasmouh. Ba3d net3addew l le barycentre de trois points, w le barycentre partiel. W nkammlou b des problèmes : alignement, droites concourantes w ensembles de points.
عسلامة ! الـ chapitre numéro six : barycentre . باش نبداو بـ tige w زوز masses ، w نشوفو وين يجي le point d'équilibre . من غادي نعرّفو le barycentre de deux points pondérés ، w نشوفو وين يجي على la droite ، w كيفاش نرسموه . بعد نتعدّاو لـ le barycentre de trois points ، w le barycentre partiel . w نكمّلو بـ des problèmes : alignement ، droites concourantes w ensembles de points .
Bonjour ! Le chapitre numéro six : barycentre. Nous commencerons par une tige et deux masses, et nous verrons où se place le point d'équilibre. De là, nous définirons le barycentre de deux points pondérés, nous verrons où il se trouve sur la droite, et comment le construire. Puis nous passerons au barycentre de trois points, et au barycentre partiel. Et nous terminerons par des problèmes : alignement, droites concourantes et ensembles de points.
Où placer le crochet pour qu'une tige chargée de deux masses reste horizontale ? Ce point d'équilibre est le barycentre : un point qui « pèse » plusieurs points à la fois, chacun avec son coefficient.
On le définit d'abord pour deux points, on apprend à le placer et à le construire, puis on passe à trois points. Le barycentre devient alors un outil : il réduit des sommes de vecteurs, et il prouve des alignements, des parallélismes et des concours de droites.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Écrire la relation vectorielle qui définit un barycentreÉcrire la relation vectorielle qui définit le barycentre de deux ou de trois points pondérés.Écrire la relation vectorielle qui définit le barycentre de deux ou de trois points pondérés.
- Placer et construire le barycentre de deux pointsPlacer et construire le barycentre de deux points : la formule, la méthode des parallèles et la méthode du parallélogramme.Placer et construire le barycentre de deux points : la formule, la méthode des parallèles et la méthode du parallélogramme.
- Réduire une somme à l'aide du barycentreRéduire une somme de vecteurs, comme alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B, à l'aide du barycentre.Réduire une somme de vecteurs, comme alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B, à l'aide du barycentre.
- Utiliser le barycentre partielUtiliser le barycentre partiel pour construire un barycentre de trois points.Utiliser le barycentre partiel pour construire un barycentre de trois points.
- Résoudre des problèmes d'alignement, de concours et d'ensembles de pointsRésoudre des problèmes d'alignement, de concours et d'ensembles de points.Résoudre des problèmes d'alignement, de concours et d'ensembles de points.
1. Activité
Rappels : milieu et moyenne
Ce qu’il dit
Bech nabdew, nrajj3ou 7ajtin. I le milieu de BC, ma3neha le vecteur IB plus le vecteur IC égale le vecteur nul. W l ay point M, le vecteur MB plus le vecteur MC égale deux fois le vecteur MI. Tawa la moyenne : telmidh 5dha treize fi le devoir de contrôle, coefficient un, w dix fi le devoir de synthèse, coefficient deux. La moyenne mte3ou : treize plus deux fois dix, le tout sur trois, ya3ni onze. Chouf : onze a9reb l dix, 5ater dix 3andou coefficient akbar. W 3la droite graduée, A fi treize, B fi dix w G fi onze : le vecteur GA plus deux fois le vecteur GB égale le vecteur nul. El fekra hedhi, hiya le barycentre.
باش نبداو ، نراجعو حاجتين . I le milieu de B C ، معناها le vecteur I B plus le vecteur I C égale le vecteur nul . w لأيّ point M ، le vecteur M B plus le vecteur M C égale deux fois le vecteur M I . توّا la moyenne : تلميذ خذا treize في le devoir de contrôle ، coefficient un ، w dix في le devoir de synthèse ، coefficient deux . la moyenne متاعو : treize plus deux fois dix ، le tout sur trois ، يعني onze . شوف : onze أقرب لـ dix ، خاطر dix عندو coefficient أكبر . w على droite graduée ، A في treize ، B في dix w G في onze : le vecteur G A plus deux fois le vecteur G B égale le vecteur nul . الفكرة هاذي ، هي le barycentre .
Pour commencer, révisons deux choses. I est le milieu de B C, cela signifie que le vecteur I B plus le vecteur I C égale le vecteur nul. Et pour tout point M, le vecteur M B plus le vecteur M C égale deux fois le vecteur M I. Maintenant la moyenne : un élève a eu treize au devoir de contrôle, coefficient un, et dix au devoir de synthèse, coefficient deux. Sa moyenne : treize plus deux fois dix, le tout sur trois, c'est-à-dire onze. Regarde : onze est plus proche de dix, car dix a le plus grand coefficient. Et sur une droite graduée, avec A en treize, B en dix et G en onze : le vecteur G A plus deux fois le vecteur G B égale le vecteur nul. Cette idée, c'est le barycentre.
Le milieu. est le milieu du segment si, et seulement si, Alors, pour tout point du plan,
Une moyenne avec coefficients. Un élève a obtenu au devoir de contrôle (coefficient ) et au devoir de synthèse (coefficient ). Sa moyenne trimestrielle est
Sur une droite munie d'un repère plaçons les points et d'abscisses et Alors et : la moyenne est plus proche de la note qui « pèse » le plus. C'est cette idée que le chapitre généralise.
Une droite graduée. On y voit le point B d'abscisse 10, le point G d'abscisse 11 et le point A d'abscisse 13. G est entre B et A, deux fois plus près de B que de A : la distance de G à B vaut 1, celle de G à A vaut 2.
la moyenne, écrite avec des vecteurs
Exemple traité
Soit un triangle, le milieu du segment et le milieu du segment Montrer que puis que, pour tout point du plan,
- Le milieu I — est le milieu de : la somme des vecteurs et vaut deux fois le vecteur
- Le milieu J — est le milieu de : la somme des vecteurs et est nulle.
- Pour tout point M — On passe par dans chacun des vecteurs, avec la relation de Chasles : il reste quatre fois le vecteur plus la somme précédente, qui est nulle.
À ne pas faire : Moyenne de (coefficient ) et (coefficient ) : — . Chaque note compte autant de fois que son coefficient : on divise par la somme des coefficients, pas par le nombre de notes.
2. Activité
Le point d'équilibre
Ce qu’il dit
Nabdew b tajriba. 3andna tige AB, m3all9a men point G. Fi A n3all9ou masse m un, w fi B n3all9ou masse m deux. El tige tab9a horizontale, ya3ni en équilibre, ki m un fois GA égale m deux fois GB. Nsammiw G le point d'équilibre. Mathalan m un égale un w m deux égale deux : GA égale deux fois GB, donc G a9reb l B, 5ater B fiha el masse el ath9el. W bel vecteurs : le vecteur GA plus deux fois le vecteur GB égale le vecteur nul. W ken ezzouz masses kif kif, G houwa le milieu de AB.
نبداو بتجربة . عندنا tige A B ، معلّقة من point G . في A نعلّقو masse m un ، w في B نعلّقو masse m deux . الـ tige تبقى horizontale ، يعني en équilibre ، كي m un fois G A égale m deux fois G B . نسمّيو G le point d'équilibre . مثلا m un égale un w m deux égale deux : G A égale deux fois G B ، donc G أقرب لـ B ، خاطر B فيها الـ masse الأثقل . w بالـ vecteurs : le vecteur G A plus deux fois le vecteur G B égale le vecteur nul . w كان الزوز masses كيف كيف ، G هو le milieu de A B .
Commençons par une expérience. On a une tige A B, suspendue par un point G. En A on accroche une masse m un, et en B une masse m deux. La tige reste horizontale, c'est-à-dire en équilibre, quand m un fois G A égale m deux fois G B. On appelle G le point d'équilibre. Par exemple m un égale un et m deux égale deux : G A égale deux fois G B, donc G est plus proche de B, car B porte la masse la plus lourde. Et avec les vecteurs : le vecteur G A plus deux fois le vecteur G B égale le vecteur nul. Et si les deux masses sont égales, G est le milieu de A B.
Une tige rigide et homogène, est suspendue en un point par un anneau dans lequel elle peut coulisser. À ses extrémités et on accroche deux masses et exprimées en kilogrammes.
D'après le principe d'Archimède, le système est en équilibre (la tige est horizontale) lorsque
On dit que est le point d'équilibre des points et affectés respectivement des masses et
- Avec et : Le point est sur aux deux tiers à partir de et
- Avec et : la position est la même, car équivaut à
- Avec : le point est le milieu de
Le point d'équilibre est toujours plus près de la masse la plus lourde.
Une tige horizontale d'extrémités A, à gauche, et B, à droite, suspendue par un crochet au point G. Une masse m1 égale à 1 pend sous A, une masse m2 égale à 2 pend sous B. Le point G est aux deux tiers de la tige à partir de A : il est deux fois plus près de B que de A.
l'équilibre de la tige
la même chose, avec des vecteurs
Exemple traité
On accroche une masse de kilogrammes en et une masse de kilogramme en Placer le point d'équilibre puis traduire l'équilibre par une relation vectorielle.
- L'équilibre — Trois fois la distance égale une fois la distance
- La position — La tige est partagée en quatre parts égales : une du côté de trois du côté de
- La relation vectorielle — Les vecteurs et sont de sens contraires : multipliés par les masses, ils se compensent.
À ne pas faire : Le point d'équilibre est plus près de la masse la plus légère — Le point d'équilibre est plus près de la masse la plus lourde. Dans l'égalité la plus grande masse est multipliée par la plus petite distance.
3. Définition
Barycentre de deux points
Ce qu’il dit
Tawa el définition. 3andna zouz points A w B, w zouz réels alpha w bêta, w ech-chart : alpha plus bêta différent de zéro. El point G elli y7a99e9 alpha fois le vecteur GA plus bêta fois le vecteur GB égale le vecteur nul, nsammiweh le barycentre des points pondérés A, alpha w B, bêta. Alpha w bêta houma les coefficients. W G hedha mawjoud w wa7id : le vecteur AG égale bêta sur (alpha plus bêta), fois le vecteur AB. Rodd belek : ki nabdew men A, el coefficient elli fou9 houwa mta3 B.
توّا الـ définition . عندنا زوز points A w B ، w زوز réels alpha w bêta ، w الشرط : alpha plus bêta différent de zéro . الـ point G اللي يحقّق alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul ، نسمّيوه le barycentre des points pondérés A ، alpha w B ، bêta . alpha w bêta هوما les coefficients . w G هذا موجود w وحيد : le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur A B . ردّ بالك : كي نبداو من A ، الـ coefficient اللي فوق هو متاع B .
Voici la définition. On a deux points A et B, et deux réels alpha et bêta, avec une condition : alpha plus bêta différent de zéro. Le point G qui vérifie alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul s'appelle le barycentre des points pondérés A, alpha et B, bêta. Alpha et bêta sont les coefficients. Et ce point G existe et il est unique : le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur A B. Attention : quand on part de A, le coefficient du numérateur est celui de B.
Soient et deux points distincts du plan et soient et deux réels tels que
Le point qui vérifie la relation est appelé le barycentre des points pondérés et
On dit aussi que est le barycentre des points et affectés des coefficients et
Ce point existe et il est unique : c'est le point défini par
Une droite avec trois points, de gauche à droite : G, A et B. Le point A est le milieu du segment [GB] : le vecteur AG est l'opposé du vecteur AB. G est le barycentre de (A, 2) et (B, moins 1).
la définition
pour placer G
Démonstration
Soit le point défini par Alors Réciproquement, si un point vérifie le même calcul donne donc : les points et sont confondus.
Exemple traité
est le barycentre des points et affectés des coefficients et Écrire une relation vectorielle qui définit puis construire ce point.
- La relation — On multiplie le vecteur par le coefficient de le vecteur par celui de et la somme est le vecteur nul.
- Le vecteur AG — On applique la formule : le coefficient de divisé par la somme des coefficients, qui vaut
- Construire — Le vecteur est l'opposé du vecteur : est le symétrique de par rapport à
À ne pas faire : — . En partant de c'est le coefficient de l'autre point, qui est au numérateur.
À ne pas faire : Le barycentre de et est le milieu de — Les points pondérés et n'ont pas de barycentre. La somme des coefficients est nulle : le vecteur est égal à qui n'est jamais le vecteur nul.
4. Remarque
Où se trouve le barycentre ?
Ce qu’il dit
Win yji le barycentre ? G dima 3la la droite AB, 5ater le vecteur AG égale bêta sur (alpha plus bêta), fois le vecteur AB. W najmou nabdew men B zeda : le vecteur BG égale alpha sur (alpha plus bêta), fois le vecteur BA. Tawa, G bin A w B walla barra ? Ken alpha w bêta 3andhom nafs le signe, G 3la le segment AB. Ken les signes bel 3aks, G barra mel segment, fi jihet el point elli 3andou akbar coefficient en valeur absolue. W ken el coefficients kif kif, G houwa le milieu de AB.
وين يجي le barycentre ؟ G ديما على la droite A B ، خاطر le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur A B . w نجّمو نبداو من B زادة : le vecteur B G égale alpha sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur B A . توّا ، G بين A w B ولّا برّا ؟ كان alpha w bêta عندهم نفس le signe ، G على le segment A B . كان les signes بالعكس ، G برّا مالـ segment ، في جيهة الـ point اللي عندو أكبر coefficient en valeur absolue . w كان الـ coefficients كيف كيف ، G هو le milieu de A B .
Où se trouve le barycentre ? G est toujours sur la droite A B, car le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur A B. Et on peut aussi partir de B : le vecteur B G égale alpha sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur B A. Maintenant, G est-il entre A et B ou à l'extérieur ? Si alpha et bêta ont le même signe, G est sur le segment A B. Si les signes sont contraires, G est hors du segment, du côté du point qui a le plus grand coefficient en valeur absolue. Et si les coefficients sont égaux, G est le milieu de A B.
Le barycentre des points pondérés et est le point défini par l'une des relations suivantes :
- Le barycentre des points pondérés et appartient à la droite
- si, et seulement si, et sont de même signe.
- Le barycentre des points pondérés et est le milieu du segment
Une droite avec cinq points, de gauche à droite : N, A, M, B et P. Le point M est entre A et B, au tiers à partir de A. Le point N est à gauche de A, à une distance égale à la moitié de AB. Le point P est à droite de B, avec AP égal à deux fois AB.
Démonstration
Posons de sorte que et Le point est sur le segment si, et seulement si, c'est-à-dire Or a le signe du produit : exactement quand et ont le même signe.
Exemple traité
Soient et deux points distincts. Construire le point barycentre des points et affectés des coefficients et le point barycentre des points et affectés des coefficients et et le point barycentre des points et affectés des coefficients et
- Le point M — Les coefficients sont de même signe : est sur le segment, au tiers à partir de
- Le point N — Les coefficients sont de signes contraires : est hors du segment, du côté de
- Le point P — Ici encore les signes sont contraires : est hors du segment, du côté de
À ne pas faire : Avec un coefficient négatif, le barycentre n'existe pas — Il existe dès que ; il est seulement hors du segment . Seule la somme des coefficients doit être non nulle. Un coefficient négatif envoie le barycentre à l'extérieur du segment, du côté du point dont le coefficient est le plus grand en valeur absolue.
5. Propriété
Multiplier les coefficients
Ce qu’il dit
Propriété tsahhel el 7seb. G le barycentre de A, alpha w B, bêta. Ken nedherbou ezzouz coefficients fi nafs el réel k, mouch nul, G yab9a houwa houwa : G le barycentre de A, k alpha w B, k bêta. 3lech ? 5ater k yo5rej facteur, w k fois le vecteur nul égale le vecteur nul. Mathalan dix w vingt, nbassatouhom un w deux. W ken 3andna des fractions, nedherbou fi le dénominateur commun w nerte7ou. Ama rodd belek : nedherbou, ma nzidouch.
propriété تسهّل الحساب . G le barycentre de A ، alpha w B ، bêta . كان نضربو الزوز coefficients في نفس الـ réel k ، موش nul ، G يبقى هو هو : G le barycentre de A ، k alpha w B ، k bêta . علاش ؟ خاطر k يخرج facteur ، w k fois le vecteur nul égale le vecteur nul . مثلا dix w vingt ، نبسّطوهم un w deux . w كان عندنا des fractions ، نضربو في le dénominateur commun w نرتاحو . أمّا ردّ بالك : نضربو ، ما نزيدوش .
Une propriété qui facilite les calculs. G est le barycentre de A, alpha et B, bêta. Si on multiplie les deux coefficients par un même réel k non nul, G reste le même : G est le barycentre de A, k alpha et B, k bêta. Pourquoi ? Parce que k se met en facteur, et k fois le vecteur nul égale le vecteur nul. Par exemple dix et vingt se simplifient en un et deux. Et s'il y a des fractions, on multiplie par le dénominateur commun et on est tranquille. Mais attention : on multiplie, on n'ajoute pas.
Soient et deux réels tels que et soit le barycentre de et
Pour tout réel non nul est le barycentre de et
Autrement dit, on ne change pas le barycentre en multipliant (ou en divisant) tous les coefficients par un même réel non nul. C'est ce qui permet de chasser les fractions, ou de remplacer et par et
Démonstration
et
Exemple traité
Soient et deux points distincts. Situer le barycentre des points et affectés des coefficients et
- Chasser les fractions — On multiplie les deux coefficients par : le barycentre ne change pas.
- Situer O — On applique la formule avec des coefficients entiers : le coefficient de sur la somme.
À ne pas faire : et ont le même barycentre — et ont le même barycentre. On peut multiplier les coefficients par un même réel non nul, pas leur ajouter un même nombre : avec et le barycentre est aux deux tiers du segment, avec et il est aux trois cinquièmes.
6. Propriété
Réduire une somme
Ce qu’il dit
Hedhi ahamm propriété fel chapitre. G le barycentre de A, alpha w B, bêta. L ay point M : alpha fois le vecteur MA plus bêta fois le vecteur MB égale (alpha plus bêta) fois le vecteur MG. Ya3ni zouz vecteurs ywalliw vecteur wa7ed. 3lech ? Nda55lou G b la relation de Chasles, w alpha fois le vecteur GA plus bêta fois le vecteur GB yti7, 5ater houwa le vecteur nul. Mathalan G le barycentre de A, deux w B, un : deux fois le vecteur MA plus le vecteur MB égale trois fois le vecteur MG.
هاذي أهمّ propriété في الـ chapitre . G le barycentre de A ، alpha w B ، bêta . لأيّ point M : alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B égale la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur M G . يعني زوز vecteurs يولّيو vecteur واحد . علاش ؟ ندخّلو G بـ la relation de Chasles ، w alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B يطيح ، خاطر هو le vecteur nul . مثلا G le barycentre de A ، deux w B ، un : deux fois le vecteur M A plus le vecteur M B égale trois fois le vecteur M G .
Voici la propriété la plus importante du chapitre. G est le barycentre de A, alpha et B, bêta. Pour tout point M : alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B égale la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur M G. Autrement dit, deux vecteurs deviennent un seul vecteur. Pourquoi ? On introduit G par la relation de Chasles, et alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B disparaît, car c'est le vecteur nul. Par exemple si G est le barycentre de A, deux et B, un : deux fois le vecteur M A plus le vecteur M B égale trois fois le vecteur M G.
Soient et deux réels tels que et soit le barycentre de et
Pour tout point du plan, on a :
Cette égalité réduit une somme de deux vecteurs à un seul vecteur. En prenant on retrouve
pour tout point M
Démonstration
Par la relation de Chasles,
Exemple traité
Soit le barycentre des points et affectés des coefficients et le barycentre des points et affectés des coefficients et et le milieu de Montrer que, pour tout point du plan,
- Avec le point G — est le barycentre de et : la somme des coefficients est
- Avec le second point — est le barycentre des points et affectés des coefficients et : ici aussi la somme des coefficients vaut
- Avec le milieu I — est le milieu de : la somme des vecteurs et vaut deux fois le vecteur
À ne pas faire : — . Quand la somme des coefficients est nulle, il n'y a pas de barycentre : la somme ne se réduit pas avec un point elle est égale à un vecteur constant, qui ne dépend pas de
7. Application
Des droites parallèles
Ce qu’il dit
Tatbi9 : kifech nthabtou elli zouz droites parallèles. 3andna triangle ABC. M y7a99e9 le vecteur MA plus trois fois le vecteur MB égale le vecteur nul, ya3ni M le barycentre de A, un w B, trois : le vecteur AM égale trois quarts du vecteur AB. W N kif kif m3a C : le vecteur AN égale trois quarts du vecteur AC. N7esbou le vecteur MN : houwa le vecteur AN moins le vecteur AM, ya3ni trois quarts du vecteur BC. Ezzouz vecteurs colinéaires, donc la droite MN parallèle à la droite BC.
تطبيق : كيفاش نثبتو اللي زوز droites parallèles . عندنا triangle A B C . M يحقّق le vecteur M A plus trois fois le vecteur M B égale le vecteur nul ، يعني M le barycentre de A ، un w B ، trois : le vecteur A M égale trois quarts du vecteur A B . w N كيف كيف مع C : le vecteur A N égale trois quarts du vecteur A C . نحسبو le vecteur M N : هو le vecteur A N moins le vecteur A M ، يعني trois quarts du vecteur B C . الزوز vecteurs colinéaires ، donc la droite M N parallèle à la droite B C .
Une application : comment prouver que deux droites sont parallèles. On a un triangle A B C. M vérifie le vecteur M A plus trois fois le vecteur M B égale le vecteur nul, donc M est le barycentre de A, un et B, trois : le vecteur A M égale trois quarts du vecteur A B. Et N de même avec C : le vecteur A N égale trois quarts du vecteur A C. Calculons le vecteur M N : c'est le vecteur A N moins le vecteur A M, c'est-à-dire trois quarts du vecteur B C. Les deux vecteurs sont colinéaires, donc la droite M N est parallèle à la droite B C.
Soit un triangle. On considère les points et tels que et
est le barycentre de et donc De même, est le barycentre de et donc
Alors : les vecteurs et sont colinéaires, les droites et sont parallèles.
Un triangle ABC, de sommet A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. Le point M est sur le côté [AB], aux trois quarts à partir de A ; le point N est sur le côté [AC], aux trois quarts à partir de A. Le segment [MN], en rouge, est parallèle au côté [BC].
Exemple traité
Soient et trois points non alignés. Montrer que le vecteur ne dépend pas du point On désigne par le barycentre des points et affectés des coefficients et par celui des points et affectés des coefficients et et par celui des points et affectés des coefficients et En déduire que les droites et sont parallèles.
- Un vecteur constant — La somme des coefficients, est nulle. On passe par dans chaque vecteur : les termes qui contiennent disparaissent.
- Le premier barycentre — On choisit pour le point barycentre des points et affectés des coefficients et : les deux derniers termes s'annulent.
- Les deux autres — De la même façon, avec puis avec deux termes s'annulent à chaque fois.
- Conclure — Les vecteurs et sont tous colinéaires au vecteur : les trois droites sont parallèles.
À ne pas faire : donc — . est le barycentre de et : en partant de c'est le coefficient de c'est-à-dire qui est au numérateur.
8. Méthode
Méthode des parallèles
Ce qu’il dit
Kifech nrasmou le barycentre blech ma n7esbou ? 3andna la méthode des parallèles. Na5dhou A, trois w B, quatre. Nrasmou droite tet3adda men A, w droite o5ra tet3adda men B, parallèle liha. Na5tarou vecteur i 3al direction mte3hom. 3al droite mta3 A, n7ottou A prime, elli le vecteur AA prime égale quatre i : quatre houwa el coefficient mta3 B. W 3al droite mta3 B, n7ottou B prime, elli le vecteur BB prime égale moins trois i : nbaddlou le signe. La droite A prime B prime t9oss la droite AB fi G. Ya3ni na3ksou les coefficients, w wa7ed menhom nbaddloulou le signe.
كيفاش نرسمو le barycentre بلاش ما نحسبو ؟ عندنا la méthode des parallèles . ناخذو A ، trois w B ، quatre . نرسمو droite تتعدّى من A ، w droite أخرى تتعدّى من B ، parallèle ليها . نختارو vecteur i على الـ direction متاعهم . على الـ droite متاع A ، نحطّو A prime ، اللي le vecteur A A prime égale quatre i : quatre هو الـ coefficient متاع B . w على الـ droite متاع B ، نحطّو B prime ، اللي le vecteur B B prime égale moins trois i : نبدّلو le signe . la droite A prime B prime تقصّ la droite A B في G . يعني نعكسو les coefficients ، w واحد منهم نبدّلولو le signe .
Comment construire le barycentre sans calcul ? Voici la méthode des parallèles. Prenons A, trois et B, quatre. On trace une droite passant par A, et une autre droite passant par B, parallèle à la première. On choisit un vecteur i qui donne leur direction. Sur la droite de A, on place A prime tel que le vecteur A A prime égale quatre i : quatre est le coefficient de B. Et sur la droite de B, on place B prime tel que le vecteur B B prime égale moins trois i : on change le signe. La droite A prime B prime coupe la droite A B en G. Autrement dit, on croise les coefficients, et on change le signe de l'un d'eux.
Pour construire le barycentre des points pondérés et :
- 1.on trace une droite passant par et ne contenant pas puis la droite passant par et parallèle à ;
- 2.on choisit un vecteur directeur de ces droites, et on place sur et sur tels que et ;
- 3. est le point d'intersection des droites et
En effet, : est aussi le barycentre de et Il est donc sur la droite comme il est sur la droite
En général, pour et on prend et : on croise les coefficients, et on change le signe de l'un.
Deux points A, à gauche, et B, à droite, sur une droite horizontale. Par A et par B passent deux droites parallèles, penchées. Sur la première, le point A' est au-dessus de A, à quatre unités ; sur la seconde, le point B' est en dessous de B, à trois unités. Le segment [A'B'], en rouge, coupe la droite (AB) au point G, situé aux quatre septièmes de [AB] à partir de A.
Exemple traité
Construire, par la méthode des parallèles, le barycentre des points et affectés des coefficients et
- Les deux parallèles — On trace une droite passant par et ne contenant pas puis sa parallèle passant par et on choisit un vecteur directeur
- Deux points repères — On croise les coefficients : celui de sert à partir de l'opposé de celui de sert à partir de
- Le point G — Les droites et se coupent en On vérifie avec la formule : est hors du segment, du côté de
À ne pas faire : Pour et : et — et . On croise les coefficients et on change un signe : sinon la droite ne coupe pas la droite au barycentre.
9. Méthode
Méthode du parallélogramme
Ce qu’il dit
Tari9a o5ra : la méthode du parallélogramme. Na5dhou A, deux w B, trois. Na5tarou point M, mouch 3la la droite AB. N7ottou A prime, elli le vecteur MA prime égale deux fois le vecteur MA, w B prime, elli le vecteur MB prime égale trois fois le vecteur MB. Nkammlou le parallélogramme M, A prime, M prime, B prime. La diagonale : le vecteur MM prime égale deux fois le vecteur MA plus trois fois le vecteur MB, w hedha ysewi cinq fois le vecteur MG. Donc M, G w M prime alignés : G houwa l'intersection mta3 la droite MM prime w la droite AB.
طريقة أخرى : la méthode du parallélogramme . ناخذو A ، deux w B ، trois . نختارو point M ، موش على la droite A B . نحطّو A prime ، اللي le vecteur M A prime égale deux fois le vecteur M A ، w B prime ، اللي le vecteur M B prime égale trois fois le vecteur M B . نكمّلو le parallélogramme M ، A prime ، M prime ، B prime . la diagonale : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur M A plus trois fois le vecteur M B ، w هذا يساوي cinq fois le vecteur M G . donc M ، G w M prime alignés : G هو l'intersection متاع la droite M M prime w la droite A B .
Une autre méthode : la méthode du parallélogramme. Prenons A, deux et B, trois. On choisit un point M qui n'est pas sur la droite A B. On place A prime tel que le vecteur M A prime égale deux fois le vecteur M A, et B prime tel que le vecteur M B prime égale trois fois le vecteur M B. On complète le parallélogramme M, A prime, M prime, B prime. La diagonale : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur M A plus trois fois le vecteur M B, et cela vaut cinq fois le vecteur M G. Donc M, G et M prime sont alignés : G est l'intersection de la droite M M prime et de la droite A B.
Pour construire le barycentre des points pondérés et :
- 1.on choisit un point n'appartenant pas à la droite ;
- 2.on construit les points et tels que et ;
- 3.on construit le point tel que soit un parallélogramme ;
- 4. est le point d'intersection des droites et
En effet, : les points et sont alignés, donc Et est sur la droite
Un point M en bas à gauche, hors de la droite (AB). Le point A' est sur la demi-droite [MA), deux fois plus loin de M que A ; le point B' est sur la demi-droite [MB), trois fois plus loin de M que B. Le point M' complète le parallélogramme MA'M'B'. La diagonale [MM'], en rouge, coupe la droite (AB) au point G.
Exemple traité
Construire, par la méthode du parallélogramme, le barycentre des points pondérés et
- Un point hors de la droite — On choisit un point hors de la droite puis on construit tel que le vecteur soit le double du vecteur Le coefficient de est : on garde le point
- Le parallélogramme — On construit tel que soit un parallélogramme : sa diagonale donne la somme des deux vecteurs.
- Le point G — est l'intersection des droites et ; il est au tiers du segment à partir de
À ne pas faire : est le centre du parallélogramme — est le point où la diagonale coupe la droite . Le centre du parallélogramme est le milieu de la diagonale. Le barycentre, lui, partage cette diagonale selon la somme des coefficients : il n'est au milieu que si cette somme vaut
10. Méthode
Montrer un alignement
Ce qu’il dit
Kifech nthabtou elli trois points alignés ? El fekra sehla : le barycentre de deux points dima 3la la droite mte3hom. Donc yekfi nektbou point menhom, barycentre mta3 ezzouz lo5rin. Mithel : I le barycentre de A, un w B, deux, w J le barycentre de C, un w D, moins deux. W K y7a99e9 : trois fois le vecteur KA plus six fois le vecteur KB moins le vecteur KC plus deux fois le vecteur KD égale le vecteur nul. Nlemmou les termes mta3 A w B m3a b3adhhom, w les termes mta3 C w D m3a b3adhhom, w nbassatou koll groupe b le barycentre mte3ou.
كيفاش نثبتو اللي trois points alignés ؟ الفكرة ساهلة : le barycentre de deux points ديما على la droite متاعهم . donc يكفي نكتبو point منهم ، barycentre متاع الزوز الأخرين . مثال : I le barycentre de A ، un w B ، deux ، w J le barycentre de C ، un w D ، moins deux . w K يحقّق : trois fois le vecteur K A plus six fois le vecteur K B moins le vecteur K C plus deux fois le vecteur K D égale le vecteur nul . نلمّو les termes متاع A w B مع بعضهم ، w les termes متاع C w D مع بعضهم ، w نبسّطو كل groupe بـ le barycentre متاعو .
Comment prouver que trois points sont alignés ? L'idée est simple : le barycentre de deux points est toujours sur leur droite. Il suffit donc d'écrire l'un des points comme barycentre des deux autres. Un exemple : I est le barycentre de A, un et B, deux, et J est le barycentre de C, un et D, moins deux. Et K vérifie : trois fois le vecteur K A plus six fois le vecteur K B moins le vecteur K C plus deux fois le vecteur K D égale le vecteur nul. On regroupe les termes en A et B, puis les termes en C et D, et on réduit chaque groupe avec son barycentre.
Le barycentre de deux points est sur la droite qui les joint. Pour montrer que trois points et sont alignés, il suffit donc d'écrire l'un comme barycentre des deux autres.
Soient et quatre points distincts du plan, le barycentre de et le barycentre de et et le point tel que
On regroupe les termes deux par deux, on réduit chaque groupe avec son barycentre, et on obtient une relation entre et : les points et sont alignés.
Exemple traité
est le barycentre des points et affectés des coefficients et est le barycentre des points et affectés des coefficients et et est le point tel que Montrer que les points et sont alignés.
- Le premier groupe — On met en facteur, puis on réduit avec : la somme des coefficients et vaut
- Le second groupe — On met en facteur, puis on réduit avec : la somme des coefficients et vaut
- Conclure — est le barycentre de et : il est sur la droite
À ne pas faire : — . La somme des coefficients et vaut : le vecteur est égal à et le signe moins placé devant redonne
11. Méthode
Ensemble de points
Ce qu’il dit
Tawa nlawjou 3la ensemble de points. 3andna rectangle ABCD, AB égale six w BC égale deux. G le barycentre de A, deux w B, un, w G prime le barycentre de C, cinq w D, moins deux. Nlawjou 3la les points M elli la norme de la somme : deux fois le vecteur MA plus le vecteur MB, égale la norme de la différence : cinq fois le vecteur MC moins deux fois le vecteur MD. Nbassatou : la somme mta3 A w B twalli trois fois le vecteur MG, w mta3 C w D twalli trois fois le vecteur MG prime. Donc trois MG égale trois MG prime, ya3ni MG égale MG prime : M 3la la médiatrice du segment GG prime. W ken nal9aw MG égale nombre r, yatla3 cercle de centre G w de rayon r.
توّا نلوّجو على ensemble de points . عندنا rectangle A B C D ، A B égale six w B C égale deux . G le barycentre de A ، deux w B ، un ، w G prime le barycentre de C ، cinq w D ، moins deux . نلوّجو على les points M اللي la norme de la somme : deux fois le vecteur M A plus le vecteur M B ، égale la norme de la différence : cinq fois le vecteur M C moins deux fois le vecteur M D . نبسّطو : la somme متاع A w B تولّي trois fois le vecteur M G ، w متاع C w D تولّي trois fois le vecteur M G prime . donc trois M G égale trois M G prime ، يعني M G égale M G prime : M على la médiatrice du segment G G prime . w كان نلقاو M G égale nombre r ، يطلع cercle de centre G w de rayon r .
Cherchons maintenant un ensemble de points. On a un rectangle A B C D, avec A B égale six et B C égale deux. G est le barycentre de A, deux et B, un, et G prime le barycentre de C, cinq et D, moins deux. On cherche les points M tels que la norme de la somme : deux fois le vecteur M A plus le vecteur M B, égale la norme de la différence : cinq fois le vecteur M C moins deux fois le vecteur M D. On réduit : la somme en A et B devient trois fois le vecteur M G, et celle en C et D trois fois le vecteur M G prime. Donc trois M G égale trois M G prime, c'est-à-dire M G égale M G prime : M est sur la médiatrice du segment G G prime. Et si l'on trouve M G égale un nombre r, on obtient le cercle de centre G et de rayon r.
Soit un rectangle tel que et On note le barycentre de et et le barycentre de et : et donc et
Pour tout point du plan : et
L'ensemble des points tels que est donc l'ensemble des points tels que c'est-à-dire : c'est la médiatrice du segment
La méthode : réduire chaque somme avec un barycentre, passer aux normes, puis reconnaître une médiatrice () ou un cercle ().
Un rectangle ABCD, avec A en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite et D en bas à gauche ; AB vaut 6 et BC vaut 2. Le point G est sur le côté [AB], à la distance 2 de A. Le point G' est sur la droite (DC), au-delà de C, à la distance 4 de C. La médiatrice du segment [GG'] est tracée en rouge ; le cercle de centre G' et de rayon 3 est tracé en vert.
Exemple traité
Dans le rectangle précédent, est le barycentre des points et affectés des coefficients et Déterminer l'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à
- Réduire — est le barycentre des points et affectés des coefficients et et la somme des coefficients vaut
- Passer aux distances — La norme du vecteur est trois fois la distance
- Reconnaître — Les points situés à la distance du point forment un cercle.
À ne pas faire : donne le cercle de centre et de rayon — C'est le cercle de centre et de rayon . La norme vaut trois fois la distance pas la distance : on divise par la somme des coefficients avant de lire le rayon.
À ne pas faire : — . La norme d'une somme n'est pas la somme des normes : on réduit d'abord la somme à un seul vecteur, puis on prend sa norme.
12. Activité
De deux à trois points
Ce qu’il dit
9bal ma n3arrfou le barycentre de trois points, nchoufou mithelin. Telmidh 3andou trois moyennes : douze virgule soixante-quinze, coefficient un, douze virgule vingt-cinq, coefficient deux, w onze virgule cinquante, coefficient deux. La moyenne annuelle : nedherbou koll moyenne fel coefficient mte3ha, njam3ou, w le tout sur cinq : douze virgule zéro cinq. W fel triangle : M le barycentre de B, deux w C, un, w G le barycentre de M, trois w A, deux. Ki nbassatou, nal9aw relation fiha eth-thletha sommets : deux fois le vecteur GA plus deux fois le vecteur GB plus le vecteur GC égale le vecteur nul.
قْبَلْ ما نعرّفو le barycentre de trois points ، نشوفو مثالين . تلميذ عندو trois moyennes : douze virgule soixante-quinze ، coefficient un ، douze virgule vingt-cinq ، coefficient deux ، w onze virgule cinquante ، coefficient deux . la moyenne annuelle : نضربو كل moyenne في الـ coefficient متاعها ، نجمعو ، w le tout sur cinq : douze virgule zéro cinq . w في الـ triangle : M le barycentre de B ، deux w C ، un ، w G le barycentre de M ، trois w A ، deux . كي نبسّطو ، نلقاو relation فيها الثلاثة sommets : deux fois le vecteur G A plus deux fois le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul .
Avant de définir le barycentre de trois points, voyons deux exemples. Un élève a trois moyennes : douze virgule soixante-quinze, coefficient un, douze virgule vingt-cinq, coefficient deux, et onze virgule cinquante, coefficient deux. La moyenne annuelle : on multiplie chaque moyenne par son coefficient, on additionne, et le tout sur cinq : douze virgule zéro cinq. Et dans le triangle : M est le barycentre de B, deux et C, un, et G est le barycentre de M, trois et A, deux. En réduisant, on trouve une relation qui contient les trois sommets : deux fois le vecteur G A plus deux fois le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul.
Une moyenne de trois notes. Les moyennes trimestrielles d'un élève sont au premier trimestre (coefficient ), au deuxième (coefficient ) et au troisième (coefficient ). Sa moyenne annuelle est
Sur une droite graduée si et ont pour abscisses et alors
Dans un triangle. Sur la figure, est le point de tel que et est le point de tel que Alors est le barycentre de et et est le barycentre de et On en tire une relation entre et les trois sommets :
Un triangle ABC, de sommet A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. Le côté [BC] est partagé en trois parts égales ; le point M est le premier point de partage à partir de B. Le segment [AM], en bleu, est partagé en cinq parts égales ; le point G est le troisième point de partage à partir de A.
la moyenne de trois notes
dans le triangle
Exemple traité
Sur la figure, est le barycentre de et et est le barycentre de et Montrer que
- Réduire avec M — On applique la réduction au point : la somme des coefficients et vaut
- Utiliser G — est le barycentre de et : on écrit sa définition.
- Conclure — On remplace trois fois le vecteur par la somme trouvée à la première étape.
À ne pas faire : donc est le barycentre de et — est le barycentre de et . Avec des coefficients positifs, le point le plus proche du barycentre porte le plus grand coefficient : ici est plus près de c'est donc qui reçoit
13. Définition
Barycentre de trois points
Ce qu’il dit
Tawa el définition fi trois points. 3andna A, B w C, w trois réels alpha, bêta w gamma, w ech-chart : alpha plus bêta plus gamma différent de zéro. El point G elli y7a99e9 alpha fois le vecteur GA plus bêta fois le vecteur GB plus gamma fois le vecteur GC égale le vecteur nul, houwa le barycentre des points pondérés A, alpha, B, bêta w C, gamma. W ken eth-thletha coefficients kif kif, nsammiweh l'isobarycentre. Bech n7ottou G : le vecteur AG égale bêta sur la somme, fois le vecteur AB, plus gamma sur la somme, fois le vecteur AC.
توّا الـ définition في trois points . عندنا A ، B w C ، w trois réels alpha ، bêta w gamma ، w الشرط : alpha plus bêta plus gamma différent de zéro . الـ point G اللي يحقّق alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B plus gamma fois le vecteur G C égale le vecteur nul ، هو le barycentre des points pondérés A ، alpha ، B ، bêta w C ، gamma . w كان الثلاثة coefficients كيف كيف ، نسمّيوه l'isobarycentre . باش نحطّو G : le vecteur A G égale bêta sur la somme ، fois le vecteur A B ، plus gamma sur la somme ، fois le vecteur A C .
Voici la définition pour trois points. On a A, B et C, et trois réels alpha, bêta et gamma, avec une condition : alpha plus bêta plus gamma différent de zéro. Le point G qui vérifie alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B plus gamma fois le vecteur G C égale le vecteur nul est le barycentre des points pondérés A, alpha, B, bêta et C, gamma. Et si les trois coefficients sont égaux, on l'appelle l'isobarycentre. Pour placer G : le vecteur A G égale bêta sur la somme, fois le vecteur A B, plus gamma sur la somme, fois le vecteur A C.
Soient et trois points du plan et trois réels tels que
Le point du plan qui vérifie est appelé le barycentre des points pondérés et
On dit aussi que est le barycentre des points et affectés respectivement des coefficients et
Si est appelé l'isobarycentre des points et
Ce point existe et il est unique : c'est le point défini par
Un triangle ABC. À partir de A, une flèche bleue avance de la moitié du vecteur AB ; de son extrémité part une flèche verte, de sens contraire au vecteur AC et une fois et demie plus longue. Elle aboutit au point G, situé sous le triangle : G est le barycentre de (A, 4), (B, 1) et (C, moins 3).
la définition
pour placer G
Démonstration
Soit le point défini par Par la relation de Chasles, Réciproquement, si un point vérifie le même calcul donne donc : les points et sont confondus.
Exemple traité
Soient et trois points non alignés. Construire le barycentre des points et affectés des coefficients et
- La somme — La somme des coefficients, vaut : elle n'est pas nulle, le barycentre existe.
- Le vecteur AG — On divise le coefficient de puis celui de par la somme des coefficients.
- Construire — À partir de on avance de la moitié du vecteur puis on recule d'une fois et demie le vecteur
À ne pas faire : Les points pondérés et ont un barycentre — Ces trois points pondérés n'ont pas de barycentre. La somme des coefficients, est nulle : la définition exige une somme non nulle.
À ne pas faire : Pour et : — . Chaque coefficient se divise par la somme des trois coefficients, qui vaut ici
14. Propriété
Propriétés pour trois points
Ce qu’il dit
Les propriétés mta3 deux points tab9a sa7i7a fi trois points. L ay point M : alpha fois le vecteur MA plus bêta fois le vecteur MB plus gamma fois le vecteur MC égale (alpha plus bêta plus gamma) fois le vecteur MG. W ken nedherbou eth-thletha coefficients fi nafs el réel k, mouch nul, le barycentre ma yetbaddelch. W 7aja mohemma : l'isobarycentre de trois points, mouch alignés, houwa le centre de gravité du triangle ABC. Donc l ay point M : le vecteur MA plus le vecteur MB plus le vecteur MC égale trois fois le vecteur MG.
les propriétés متاع deux points تبقى صحيحة في trois points . لأيّ point M : alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B plus gamma fois le vecteur M C égale la parenthèse alpha plus bêta plus gamma ، fois le vecteur M G . w كان نضربو الثلاثة coefficients في نفس الـ réel k ، موش nul ، le barycentre ما يتبدّلش . w حاجة مهمّة : l'isobarycentre de trois points ، موش alignés ، هو le centre de gravité du triangle A B C . donc لأيّ point M : le vecteur M A plus le vecteur M B plus le vecteur M C égale trois fois le vecteur M G .
Les propriétés vues pour deux points restent vraies pour trois points. Pour tout point M : alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B plus gamma fois le vecteur M C égale la parenthèse alpha plus bêta plus gamma, fois le vecteur M G. Et si on multiplie les trois coefficients par un même réel k non nul, le barycentre ne change pas. Et un point important : l'isobarycentre de trois points non alignés est le centre de gravité du triangle A B C. Donc pour tout point M : le vecteur M A plus le vecteur M B plus le vecteur M C égale trois fois le vecteur M G.
Soit le barycentre des points pondérés et
- Pour tout point du plan :
- Pour tout réel non nul le barycentre de et est encore
- L'isobarycentre de trois points non alignés et est le centre de gravité du triangle
Un triangle ABC et, à l'intérieur, le triangle IJK formé par les milieux des côtés : I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [AC]. Le point G, centre de gravité du triangle ABC, est aussi à l'intérieur du petit triangle IJK.
pour tout point M
G centre de gravité de ABC
Démonstration
Par la relation de Chasles, Pour l'isobarycentre, la définition s'écrit : c'est l'égalité qui caractérise le centre de gravité du triangle
Exemple traité
Soit un triangle. On désigne par et les milieux respectifs des côtés et Montrer que les triangles et ont le même centre de gravité.
- Trois milieux — Pour tout point chaque milieu donne une égalité : par exemple, est le milieu de
- Additionner — On ajoute les trois égalités membre à membre, puis on divise par
- Au centre de gravité — On prend pour le centre de gravité du triangle : le membre de gauche est le vecteur nul.
- Conclure — est l'isobarycentre de et : c'est le centre de gravité du triangle
À ne pas faire : — . Le vecteur est multiplié par la somme des coefficients, ici
15. Application
Même centre de gravité
Ce qu’il dit
Tatbi9 3la le centre de gravité. 3andna zouz triangles : ABC, le centre de gravité mte3ou G, w A prime B prime C prime, le centre de gravité mte3ou G prime. Nal9aw : le vecteur AA prime plus le vecteur BB prime plus le vecteur CC prime égale trois fois le vecteur GG prime. 3lech ? Fi koll vecteur, net3addew b G w b G prime, w el sommes mta3 les centres de gravité yti7ou. En-natija : ezzouz triangles 3andhom nafs le centre de gravité, ki la somme hedhi égale le vecteur nul.
تطبيق على le centre de gravité . عندنا زوز triangles : A B C ، le centre de gravité متاعو G ، w A prime B prime C prime ، le centre de gravité متاعو G prime . نلقاو : le vecteur A A prime plus le vecteur B B prime plus le vecteur C C prime égale trois fois le vecteur G G prime . علاش ؟ في كل vecteur ، نتعدّاو بـ G w بـ G prime ، w الـ sommes متاع les centres de gravité يطيحو . النتيجة : الزوز triangles عندهم نفس le centre de gravité ، كي la somme هاذي égale le vecteur nul .
Une application au centre de gravité. On a deux triangles : A B C, de centre de gravité G, et A prime B prime C prime, de centre de gravité G prime. On trouve : le vecteur A A prime plus le vecteur B B prime plus le vecteur C C prime égale trois fois le vecteur G G prime. Pourquoi ? Dans chaque vecteur, on passe par G et par G prime, et les sommes liées aux centres de gravité s'annulent. Conclusion : les deux triangles ont le même centre de gravité quand cette somme égale le vecteur nul.
Soient et deux triangles de centres de gravité respectifs et Alors
En effet, par la relation de Chasles, et de même pour les deux autres vecteurs. En ajoutant, et : il reste
Condition nécessaire et suffisante. Deux triangles et ont le même centre de gravité si, et seulement si,
Un triangle ABC, avec A en bas à gauche, B en bas à droite et C en haut. Sur chaque côté, un point au tiers : A' sur [BC] à partir de B, B' sur [CA] à partir de C, C' sur [AB] à partir de A. Le triangle A'B'C', en bleu, est inscrit dans le triangle ABC, et les deux triangles ont le même centre de gravité G.
Exemple traité
Soit un triangle et un réel. On définit les points et par et Les triangles et ont-ils le même centre de gravité ?
- Trois vecteurs — On passe par dans le vecteur par dans le vecteur et par dans le vecteur
- La somme — On regroupe : la somme des vecteurs et est le vecteur nul.
- Conclure — La somme est nulle, donc le vecteur est nul : oui, les deux triangles ont le même centre de gravité, quel que soit le réel
16. Théorème
Barycentre partiel
Ce qu’il dit
Le barycentre partiel. Nabdew bel moyennes : ken n7esbou la moyenne mta3 zouz notes, w na3tiwha la somme mta3 les coefficients mte3hom, nal9aw nafs la moyenne générale. Fel barycentre nafs echay. G le barycentre de A, alpha, B, bêta w C, gamma, w bêta plus gamma différent de zéro. G prime le barycentre de B, bêta w C, gamma. El théorème y9oul : G houwa le barycentre de A, alpha w G prime, bêta plus gamma. Ya3ni n3awdhou zouz points b le barycentre mte3hom, w na3tiweh la somme mta3 les coefficients. Hakka trois points ywalliw deux points, w nrasmou G bes-sehel.
le barycentre partiel . نبداو بالـ moyennes : كان نحسبو la moyenne متاع زوز notes ، w نعطيوها la somme متاع les coefficients متاعهم ، نلقاو نفس la moyenne générale . في الـ barycentre نفس الشيء . G le barycentre de A ، alpha ، B ، bêta w C ، gamma ، w bêta plus gamma différent de zéro . G prime le barycentre de B ، bêta w C ، gamma . الـ théorème يقول : G هو le barycentre de A ، alpha w G prime ، bêta plus gamma . يعني نعوّضو زوز points بـ le barycentre متاعهم ، w نعطيوه la somme متاع les coefficients . هكّا trois points يولّيو deux points ، w نرسمو G بالساهل .
Le barycentre partiel. Commençons par les moyennes : si on calcule la moyenne de deux notes, et qu'on lui donne la somme de leurs coefficients, on retrouve la même moyenne générale. Pour le barycentre, c'est pareil. G est le barycentre de A, alpha, B, bêta et C, gamma, avec bêta plus gamma différent de zéro. G prime est le barycentre de B, bêta et C, gamma. Le théorème dit : G est le barycentre de A, alpha et G prime, bêta plus gamma. Autrement dit, on remplace deux points par leur barycentre, et on lui donne la somme des coefficients. Ainsi trois points deviennent deux points, et on construit G facilement.
Avec des moyennes. Reprenons les trois moyennes (coefficient ), (coefficient ) et (coefficient ). La moyenne des deux dernières est On retrouve la moyenne annuelle en affectant du coefficient :
Théorème. Si est le barycentre de et et si alors est aussi le barycentre de et où est le barycentre de et
On peut donc remplacer deux points par leur barycentre, à condition de l'affecter de la somme de leurs coefficients. L'une au moins des trois sommes et est non nulle : un regroupement est toujours possible.
Un triangle ABC, avec A à gauche, B à droite et C en haut. Le point I est sur le côté [AB], au tiers à partir de A. La droite (CI) est tracée en bleu. Le point G est sur cette droite, de l'autre côté de I par rapport à C, à une distance de I égale à la moitié de IC.
G' barycentre de (B, β) et (C, γ)
Démonstration
Pour tout point Avec : et Enfin, : les trois sommes ne peuvent pas être toutes nulles.
Exemple traité
Soit le barycentre des points et affectés des coefficients et et soit le barycentre des points et affectés des coefficients et Montrer que est le barycentre des points et affectés des coefficients et puis construire et
- Regrouper A et B — On remplace et par leur barycentre affecté de la somme
- Construire I — est sur le segment au tiers à partir de
- Construire G — On applique la formule aux points et : la somme des coefficients est
À ne pas faire : est le barycentre de et — est le barycentre de et . Le barycentre partiel remplace deux points : il porte la somme de leurs deux coefficients, ici
17. Exemple
Lire une figure
Ce qu’il dit
Mithel : kifech na9raw le barycentre men figure. 3andna triangle ABC. M 3la BC, w BM houwa le quart de BC. G 3la AM, w AG houwa deux tiers de AM. Nabdew b M : houwa a9reb l B, donc B ye5ou akbar coefficient : M le barycentre de B, trois w C, un. Men ba3d G : a9reb l M, donc G le barycentre de A, un w M, deux. Tawa M lezmou yhezz la somme trois plus un, ya3ni quatre. Nedherbou fi deux : A, deux w M, quatre. En-natija : G le barycentre de A, deux, B, trois w C, un.
مثال : كيفاش نقراو le barycentre من figure . عندنا triangle A B C . M على B C ، w B M هو le quart de B C . G على A M ، w A G هو deux tiers de A M . نبداو بـ M : هو أقرب لـ B ، donc B ياخذ أكبر coefficient : M le barycentre de B ، trois w C ، un . من بعد G : أقرب لـ M ، donc G le barycentre de A ، un w M ، deux . توّا M لازمو يهزّ la somme trois plus un ، يعني quatre . نضربو في deux : A ، deux w M ، quatre . النتيجة : G le barycentre de A ، deux ، B ، trois w C ، un .
Un exemple : comment lire un barycentre sur une figure. On a un triangle A B C. M est sur B C, et B M est le quart de B C. G est sur A M, et A G vaut deux tiers de A M. Commençons par M : il est plus proche de B, donc B reçoit le plus grand coefficient : M est le barycentre de B, trois et C, un. Ensuite G : il est plus proche de M, donc G est le barycentre de A, un et M, deux. Maintenant M doit porter la somme trois plus un, c'est-à-dire quatre. On multiplie par deux : A, deux et M, quatre. Conclusion : G est le barycentre de A, deux, B, trois et C, un.
Sur la figure, est un triangle, est le point de tel que et est le point de tel que On veut écrire comme barycentre de et
- est le barycentre de et : il est plus près de qui reçoit le plus grand coefficient.
- est le barycentre de et ou encore, en multipliant par de et
- porte alors la somme des coefficients de et de : est le barycentre de et
Un triangle ABC, de sommet A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. Le côté [BC] est partagé en quatre parts égales ; le point M est le premier point de partage à partir de B. Le segment [AM] est partagé en trois parts égales ; le point G est le deuxième point de partage à partir de A.
Exemple traité
Avec les données de la figure, est le barycentre de et et est le barycentre de et Vérifier que
- Réduire avec M — est le barycentre de et : on réduit au point la somme des coefficients vaut
- Utiliser G — est le barycentre de et : on écrit sa définition.
- Conclure — On remplace quatre fois le vecteur par la somme trouvée à la première étape.
À ne pas faire : donc est le barycentre de et — est le barycentre de et . En partant de le numérateur est le coefficient de et reçoit le reste,
18. Application
Des droites concourantes
Ce qu’il dit
Mas2la : kifech nthabtou elli trois droites concourantes ? Nlawjou 3la point wa7ed, mawjoud 3la eth-thletha. W el point hedha ykoun barycentre, nlemmouh b akther men tari9a. 3andna triangle ABC, w A prime, B prime w C prime les milieux mta3 les côtés. D 3la AB, elli le vecteur AD égale un tiers du vecteur AB. W E le barycentre de A, deux, B, un w C, un. Ki nlemmou B w C, nal9aw E 3la la droite AA prime. Ki nlemmou A w B, nal9aw E 3la la droite CD. W E houwa zeda le milieu de B prime C prime. Donc eth-thletha droites yetle9aw fi E.
مسألة : كيفاش نثبتو اللي trois droites concourantes ؟ نلوّجو على point واحد ، موجود على الثلاثة . w الـ point هذا يكون barycentre ، نلمّوه بأكثر من طريقة . عندنا triangle A B C ، w A prime ، B prime w C prime les milieux متاع les côtés . D على A B ، اللي le vecteur A D égale un tiers du vecteur A B . w E le barycentre de A ، deux ، B ، un w C ، un . كي نلمّو B w C ، نلقاو E على la droite A A prime . كي نلمّو A w B ، نلقاو E على la droite C D . w E هو زادة le milieu de B prime C prime . donc الثلاثة droites يتلاقاو في E .
Un problème : comment prouver que trois droites sont concourantes ? On cherche un seul point, situé sur les trois. Et ce point sera un barycentre, que l'on regroupe de plusieurs façons. On a un triangle A B C, et A prime, B prime et C prime les milieux des côtés. D est sur A B, tel que le vecteur A D égale un tiers du vecteur A B. Et E est le barycentre de A, deux, B, un et C, un. En regroupant B et C, on trouve E sur la droite A A prime. En regroupant A et B, on trouve E sur la droite C D. Et E est aussi le milieu de B prime C prime. Donc les trois droites se rencontrent en E.
Pour montrer que trois droites sont concourantes, on cherche un point qui appartient aux trois : un barycentre bien choisi, que l'on regroupe de plusieurs façons.
Soit un triangle. On désigne par et les milieux respectifs de et et par le point tel que Soit le barycentre des points pondérés et
En regroupant et puis et on montre que est sur la droite et sur la droite ; il est aussi le milieu de Les droites et sont donc concourantes en
Un triangle ABC, de sommet A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. A' est le milieu de [BC], B' le milieu de [CA] et C' le milieu de [AB]. Le point D est sur [AB], au tiers à partir de A. Trois droites sont tracées : (AA') en bleu, (B'C') en vert et (CD) en rouge. Elles se coupent toutes les trois au point E, milieu de [AA'].
Exemple traité
Dans le triangle et sont les milieux de et est le point tel que et est le barycentre de et Montrer que les droites et sont concourantes.
- Regrouper B et C — est le barycentre de et : il porte la somme Donc est le barycentre de et : c'est le milieu de
- Regrouper A et B — est le barycentre de et : il porte la somme Donc est le barycentre de et à coefficients de même signe : il est sur le segment
- La troisième droite — On partage en deux le terme qui contient : les milieux et apparaissent, et est le milieu de
- Conclure — Le point appartient aux trois droites : elles sont concourantes en
À ne pas faire : Trois droites qui se coupent deux à deux sont concourantes — Trois droites sont concourantes quand un même point appartient aux trois. Trois droites qui se coupent deux à deux peuvent former un triangle : il faut trouver un seul point commun aux trois.
19. Application
Trois points alignés
Ce qu’il dit
Mas2la o5ra 3la l'alignement. Fi triangle ABC, A prime, B prime w C prime les milieux mta3 les côtés. Q le milieu de B prime C, w P le symétrique de C prime par rapport à B. Nabdew nektbou P w Q ka barycentres. Le vecteur AP égale trois demis du vecteur AB, donc P le barycentre de A, moins un w B, trois. W le vecteur AQ égale trois quarts du vecteur AC, donc Q le barycentre de A, un w C, trois. Men ba3d nbassatou fel point A prime, w nal9aw : le vecteur A prime P plus deux fois le vecteur A prime Q égale le vecteur nul. Donc A prime, P w Q alignés.
مسألة أخرى على l'alignement . في triangle A B C ، A prime ، B prime w C prime les milieux متاع les côtés . Q le milieu de B prime C ، w P le symétrique de C prime par rapport à B . نبداو نكتبو P w Q كـ barycentres . le vecteur A P égale trois demis du vecteur A B ، donc P le barycentre de A ، moins un w B ، trois . w le vecteur A Q égale trois quarts du vecteur A C ، donc Q le barycentre de A ، un w C ، trois . من بعد نبسّطو في الـ point A prime ، w نلقاو : le vecteur A prime P plus deux fois le vecteur A prime Q égale le vecteur nul . donc A prime ، P w Q alignés .
Un autre problème, sur l'alignement. Dans un triangle A B C, A prime, B prime et C prime sont les milieux des côtés. Q est le milieu de B prime C, et P est le symétrique de C prime par rapport à B. On commence par écrire P et Q comme barycentres. Le vecteur A P égale trois demis du vecteur A B, donc P est le barycentre de A, moins un et B, trois. Et le vecteur A Q égale trois quarts du vecteur A C, donc Q est le barycentre de A, un et C, trois. Ensuite on réduit au point A prime, et on trouve : le vecteur A prime P plus deux fois le vecteur A prime Q égale le vecteur nul. Donc A prime, P et Q sont alignés.
Dans un triangle et sont les milieux des côtés opposés à et ; est le milieu de et est le symétrique de par rapport à
- : est le barycentre de et
- : est le barycentre de et
On en déduit que : les points et sont alignés.
Un triangle ABC, avec A en haut à gauche, B en dessous à gauche et C à droite. A' est le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' le milieu de [AB]. Le point Q est le milieu de [B'C]. Le point P est sur la droite (AB), au-delà de B, symétrique de C' par rapport à B. Une droite rouge passe par P, A' et Q.
Exemple traité
Avec ces notations, est le barycentre des points et affectés des coefficients et et est le barycentre des points et affectés des coefficients et Calculer et en déduire que les points et sont alignés.
- Réduire avec P — est le barycentre des points et affectés des coefficients et : on réduit au point la somme des coefficients vaut
- Réduire avec Q — est le barycentre de et : la somme des coefficients vaut
- Additionner — On ajoute les deux égalités : les vecteurs disparaissent, et est le milieu de
- Conclure — On divise par : est le barycentre de et donc les trois points sont alignés.
20. Application
Deux cercles
Ce qu’il dit
Narj3ou lel ensembles de points, el marra hedhi fi triangle équilatéral ABC, le côté mte3ou a, w G le centre de gravité. L ay point M, la norme de la somme des vecteurs MA, MB w MC, hiya trois fois MG. Ken la norme hedhi égale a racine de trois, nal9aw MG égale a racine de trois sur trois : hedhi bedhabt la distance GA. Donc M 3la le cercle circonscrit, elli yet3adda men A, B w C. W ken la norme égale a racine de trois sur deux, nal9aw MG égale a racine de trois sur six : hedha le cercle inscrit, elli ymess eth-thletha côtés.
نرجعو للـ ensembles de points ، المرّة هاذي في triangle équilatéral A B C ، le côté متاعو a ، w G le centre de gravité . لأيّ point M ، la norme de la somme des vecteurs M A ، M B w M C ، هي trois fois M G . كان la norme هاذي égale a racine de trois ، نلقاو M G égale a racine de trois sur trois : هاذي بالضبط la distance G A . donc M على le cercle circonscrit ، اللي يتعدّى من A ، B w C . w كان la norme égale a racine de trois sur deux ، نلقاو M G égale a racine de trois sur six : هذا le cercle inscrit ، اللي يمسّ الثلاثة côtés .
Revenons aux ensembles de points, cette fois dans un triangle équilatéral A B C de côté a, avec G son centre de gravité. Pour tout point M, la norme de la somme des vecteurs M A, M B et M C vaut trois fois M G. Si cette norme égale a racine de trois, on trouve M G égale a racine de trois sur trois : c'est exactement la distance G A. Donc M est sur le cercle circonscrit, qui passe par A, B et C. Et si la norme égale a racine de trois sur deux, on trouve M G égale a racine de trois sur six : c'est le cercle inscrit, qui touche les trois côtés.
Soit un triangle équilatéral de côté et son centre de gravité. Pour tout point du plan, : la norme de cette somme vaut
Dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi les hauteurs, les médiatrices et les bissectrices. La hauteur mesure donc et la distance de à chaque côté est
- équivaut à : c'est le cercle de centre passant par et le cercle circonscrit au triangle.
- équivaut à : c'est le cercle de centre tangent aux trois côtés, le cercle inscrit dans le triangle.
Un triangle équilatéral ABC, de sommet A en haut, avec son centre de gravité G. Un grand cercle de centre G, en rouge, passe par les trois sommets : c'est le cercle circonscrit. Un petit cercle de centre G, en vert, touche les trois côtés : c'est le cercle inscrit.
Exemple traité
Soit un triangle, son centre de gravité et le milieu de Déterminer l'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à la norme du vecteur
- La première somme — est l'isobarycentre de et : la somme se réduit à trois fois le vecteur
- La seconde somme — La somme des coefficients, est nulle : le vecteur est constant. On passe par dans les vecteurs et
- Passer aux distances — On écrit que les deux normes sont égales.
- Reconnaître — Or la distance vaut les deux tiers de la médiane : l'ensemble cherché est le cercle de centre qui passe par
À ne pas faire : donne — donc . La norme de la somme vaut trois fois la distance : on divise par avant de conclure.
21. Application
Cercle inscrit
Ce qu’il dit
E5er tatbi9 : le centre du cercle inscrit. Fi triangle ABC, nsammiw a la longueur BC, b la longueur AC w c la longueur AB. La bissectrice de l'angle A t9oss le côté BC fi M. Nrasmou men B droite parallèle à la droite AC, t9oss la droite AM fi A prime. Bel angles alternes-internes, le triangle ABA prime isocèle en B, donc BA prime égale c. W b Thalès : MB sur MC égale c sur b. Ma3neha M le barycentre de B, b w C, c. Tawa G le barycentre de A, a, B, b w C, c : bel barycentre partiel, G 3la la bissectrice AM. W nafs echay m3a les bissectrices lo5rin. Donc G houwa le centre du cercle inscrit.
آخر تطبيق : le centre du cercle inscrit . في triangle A B C ، نسمّيو petit a la longueur B C ، petit b la longueur A C w petit c la longueur A B . la bissectrice de l'angle A تقصّ le côté B C في M . نرسمو من B droite parallèle à la droite A C ، تقصّ la droite A M في A prime . بالـ angles alternes-internes ، le triangle A B A prime isocèle en B ، donc B A prime égale petit c . w بـ Thalès : M B sur M C égale petit c sur petit b . معناها M le barycentre de B w C ، affectés des longueurs petit b w petit c . توّا G le barycentre de A ، B w C ، affectés des longueurs petit a ، petit b w petit c : بالـ barycentre partiel ، G على la bissectrice A M . w نفس الشيء مع les bissectrices الأخرين . donc G هو le centre du cercle inscrit .
Dernière application : le centre du cercle inscrit. Dans un triangle A B C, on note petit a la longueur B C, petit b la longueur A C et petit c la longueur A B. La bissectrice de l'angle A coupe le côté B C en M. On trace par B une droite parallèle à la droite A C, qui coupe la droite A M en A prime. Avec les angles alternes-internes, le triangle A B A prime est isocèle en B, donc B A prime égale petit c. Et avec Thalès : M B sur M C égale petit c sur petit b. Cela signifie que M est le barycentre de B et C, affectés des longueurs petit b et petit c. Maintenant, G est le barycentre de A, B et C, affectés des longueurs petit a, petit b et petit c : par le barycentre partiel, G est sur la bissectrice A M. Et il en est de même pour les autres bissectrices. Donc G est le centre du cercle inscrit.
Soit un triangle. On pose et La bissectrice de l'angle coupe le côté en et la parallèle à la droite menée par coupe la droite en
- 1.Les angles et sont alternes-internes, donc égaux ; et car est la bissectrice. Le triangle est donc isocèle en :
- 2.Comme est parallèle à le théorème de Thalès donne Donc avec entre et : est le barycentre de et
- 3.Soit le barycentre de et Par le barycentre partiel, est le barycentre de et : appartient à la bissectrice
Le même raisonnement vaut pour les deux autres bissectrices : est le point de concours des trois bissectrices, c'est-à-dire le centre du cercle inscrit dans le triangle
Un triangle ABC, avec C en bas à gauche, B en bas à droite et A en haut. La bissectrice de l'angle en A coupe le côté [CB] au point M ; les deux angles qu'elle forme en A portent le même arc. Une droite passant par B, parallèle à (AC), coupe la droite (AM) au point A', situé sous le côté [CB].
M pied de la bissectrice issue de A
G centre du cercle inscrit
Exemple traité
Dans un triangle on donne et La bissectrice de l'angle coupe en Calculer et puis écrire le centre du cercle inscrit comme barycentre de et de
- Le point M — est le barycentre de et : le sommet reçoit la longueur le sommet reçoit la longueur
- Les longueurs — On multiplie la longueur par quatre neuvièmes, puis par cinq neuvièmes.
- Le centre G — est le barycentre de et ; on regroupe et en qui porte la somme
À ne pas faire : Le pied de la bissectrice issue de est le barycentre de et — est le barycentre de et . Chaque sommet reçoit la longueur du côté qui lui est opposé : reçoit et reçoit car
22. Remarque
Archimède
Ce qu’il dit
Kelma 3al culture. Archimède touled fi Syracuse, 7aweli deux cent quatre-vingt-sept avant Jésus-Christ. Ken inventeur kbir, ma3rouf fel 3alem el younani el koll : des leviers, des pompes à eau w des machines de guerre. W ya7kiw elli esta3mel des miroirs, bech ylemm les rayons du soleil 3la les navires mta3 er-rouman, w ya7re9hom. W el tige en équilibre elli bdina biha el chapitre, hiya levier : m un fois GA égale m deux fois GB. Le barycentre houwa el point d'équilibre hedha, maktoub bel géométrie.
كلمة على الـ culture . Archimède تولد في Syracuse ، حوالي deux cent quatre-vingt-sept avant Jésus-Christ . كان inventeur كبير ، معروف في العالم اليوناني الكل : des leviers ، des pompes à eau w des machines de guerre . w يحكيو اللي استعمل des miroirs ، باش يلمّ les rayons du soleil على les navires متاع الرومان ، w يحرقهم . w الـ tige en équilibre اللي بدينا بيها الـ chapitre ، هي levier : m un fois G A égale m deux fois G B . le barycentre هو الـ point d'équilibre هذا ، مكتوب بالـ géométrie .
Un mot de culture. Archimède est né à Syracuse, vers deux cent quatre-vingt-sept avant Jésus-Christ. C'était un grand inventeur, connu dans tout le monde grec : des leviers, des pompes à eau et des machines de guerre. Et l'on raconte qu'il utilisa des miroirs pour concentrer les rayons du soleil sur les navires romains, et les incendier. Et la tige en équilibre par laquelle nous avons commencé le chapitre est un levier : m un fois G A égale m deux fois G B. Le barycentre, c'est ce point d'équilibre, écrit en géométrie.
Archimède, né à Syracuse vers 287 avant J.-C., était un inventeur génial et populaire, réputé dans tout le monde grec pour la construction de mécaniques subtiles et précises : leviers, pompes à eau, machines de guerre… On raconte qu'il utilisa les propriétés des miroirs paraboliques pour faire converger les rayons du soleil sur les navires romains qui assiégeaient Syracuse, et mettre le feu à la flotte. Ses travaux sur le calcul des aires et des volumes constituent l'apogée de la géométrie alexandrine.
La tige en équilibre du début du chapitre est un levier : Le barycentre est la version géométrique de ce point d'équilibre.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- est le barycentre de et avec signifie ou encore G le barycentre de A, alpha w B, bêta, ki alpha plus bêta mouch zéro, ma3neha alpha fois le vecteur GA plus bêta fois le vecteur GB égale le vecteur nul. W le vecteur AG égale bêta sur (alpha plus bêta), fois le vecteur AB.G est le barycentre de A, alpha et B, bêta, avec alpha plus bêta non nul, cela signifie que alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul. Et le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur A B.
- ; si, et seulement si, et sont de même signe. Le barycentre de et est le milieu de G dima 3la la droite AB. W G 3la le segment AB, ki alpha w bêta 3andhom nafs le signe. W ki el coefficients kif kif, G houwa le milieu de AB.G est toujours sur la droite A B. Et G est sur le segment A B quand alpha et bêta ont le même signe. Et quand les coefficients sont égaux, G est le milieu de A B.
- On ne change pas le barycentre en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul Ki todhrob les coefficients el koll fi nafs el réel k, mouch nul, le barycentre ma yetbaddelch.Quand on multiplie tous les coefficients par un même réel k non nul, le barycentre ne change pas.
- Pour tout point du plan : L ay point M : alpha fois le vecteur MA plus bêta fois le vecteur MB égale (alpha plus bêta) fois le vecteur MG.Pour tout point M : alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B égale la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur M G.
- est le barycentre de et avec signifie Fi trois points, nafs echay : alpha plus bêta plus gamma mouch zéro, w alpha fois le vecteur GA plus bêta fois le vecteur GB plus gamma fois le vecteur GC égale le vecteur nul.Avec trois points, c'est pareil : alpha plus bêta plus gamma est non nul, et alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B plus gamma fois le vecteur G C égale le vecteur nul.
- Pour tout point du plan : W l ay point M : alpha fois le vecteur MA plus bêta fois le vecteur MB plus gamma fois le vecteur MC égale (alpha plus bêta plus gamma) fois le vecteur MG.Et pour tout point M : alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B plus gamma fois le vecteur M C égale la parenthèse alpha plus bêta plus gamma, fois le vecteur M G.
- L'isobarycentre de trois points non alignés et est le centre de gravité du triangle L'isobarycentre de trois points, mouch alignés, houwa le centre de gravité du triangle ABC.L'isobarycentre de trois points non alignés est le centre de gravité du triangle A B C.
- Barycentre partiel : si est aussi le barycentre de et où est le barycentre de et Le barycentre partiel : n3awdhou B w C b le barycentre mte3hom G prime, w na3tiweh la somme bêta plus gamma. G ywalli le barycentre de A, alpha w G prime, bêta plus gamma.Le barycentre partiel : on remplace B et C par leur barycentre G prime, et on lui donne la somme bêta plus gamma. G devient le barycentre de A, alpha et G prime, bêta plus gamma.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : le barycentre mawjoud ken la somme des coefficients mouch zéro ; G dima 3la la droite AB, w a9reb lel point elli 3andou akbar coefficient en valeur absolue ; w bech tbassat somme de vecteurs, 3awwedhha b vecteur wa7ed fih G. W fi trois points, le barycentre partiel yrajj3ek l deux points. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : le barycentre موجود كان la somme des coefficients موش zéro ؛ G ديما على la droite A B ، w أقرب للـ point اللي عندو أكبر coefficient en valeur absolue ؛ w باش تبسّط somme de vecteurs ، عوّضها بـ vecteur واحد فيه G . w في trois points ، le barycentre partiel يرجّعك لـ deux points . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : le barycentre existe quand la somme des coefficients n'est pas nulle ; G est toujours sur la droite A B, et plus proche du point qui a le plus grand coefficient en valeur absolue ; et pour simplifier une somme de vecteurs, remplace-la par un seul vecteur qui contient G. Et avec trois points, le barycentre partiel te ramène à deux points. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Barycentre de deux points
- c'est quoi le barycentre
- chnowa le barycentre
- barycentre ma3neha chnowa
- définition du barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le barycentre des points pondérés $(A, \alpha)$ w $(B, \beta)$ houwa el point G elli y7a99e9 $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$. Ech-chart : $\alpha + \beta \neq 0$. T5ayylou kif le point d'équilibre mta3 tige, fiha masse fi koll taraf : ki el coefficients positifs, G yji a9reb lel point elli 3andou akbar coefficient.
le barycentre des points pondérés A ، alpha w B ، bêta ، هو الـ point G اللي يحقّق alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul . الشرط : alpha plus bêta différent de zéro . تخيّلو كيف le point d'équilibre متاع tige ، فيها masse في كل طرف : كي الـ coefficients positifs ، G يجي أقرب للـ point اللي عندو أكبر coefficient .
Le barycentre des points pondérés A, alpha et B, bêta est le point G qui vérifie alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul. La condition : alpha plus bêta différent de zéro. Imagine-le comme le point d'équilibre d'une tige qui porte une masse à chaque bout : quand les coefficients sont positifs, G est plus proche du point qui a le plus grand coefficient.
Question 2 · Barycentre de deux points
- 3lech lazem la somme des coefficients mouch zero
- pourquoi la somme des coefficients doit être non nulle
- ken la somme des coefficients nulle chnowa ysir
- somme des coefficients égale zéro
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater ken la somme zéro, ma fammech barycentre. Chouf : $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB}$, ki nda55lou A, ywalli $(\alpha + \beta)\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{AB}$. Ken $\alpha + \beta = 0$, yab9a $\beta\overrightarrow{AB}$ berk, w hedha mouch le vecteur nul, ki bêta mouch zéro : ma famma 7atta point G ysla7. W fel formule, na9smou 3la $\alpha + \beta$ : sur zéro ma yjich.
خاطر كان la somme zéro ، ما فمّاش barycentre . شوف : alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B ، كي ندخّلو A ، يولّي la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur G A ، plus bêta fois le vecteur A B . كان alpha plus bêta égale zéro ، يبقى bêta fois le vecteur A B برك ، w هذا موش le vecteur nul ، كي bêta موش zéro : ما فمّا حتّى point G يصلح . w في الـ formule ، نقسمو على alpha plus bêta : sur zéro ما يجيش .
Parce que si la somme est nulle, il n'y a pas de barycentre. Regarde : alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B, quand on introduit A, devient la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur G A, plus bêta fois le vecteur A B. Si alpha plus bêta égale zéro, il ne reste que bêta fois le vecteur A B, qui n'est pas le vecteur nul dès que bêta n'est pas nul : aucun point G ne convient. Et dans la formule, on divise par alpha plus bêta : diviser par zéro est impossible.
Question 3 · Le point d'équilibre
- c'est quoi le point d'équilibre
- la tige wa9tech tkoun en équilibre
- relation entre les masses et les distances
- point d'equilibre chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
El tige AB m3all9a men G, w fiha masse $m_1$ fi A w masse $m_2$ fi B. Tkoun en équilibre ki $m_1 \times GA = m_2 \times GB$. Ya3ni el masse eth-th9ila tkoun 9riba men G, w el 5fifa b3ida. W bel vecteurs : $m_1\overrightarrow{GA} + m_2\overrightarrow{GB} = \vec{0}$. G houwa le barycentre de $(A, m_1)$ w $(B, m_2)$.
الـ tige A B معلّقة من G ، w فيها masse m un في A w masse m deux في B . تكون en équilibre كي m un fois G A égale m deux fois G B . يعني الـ masse الثقيلة تكون قريبة من G ، w الخفيفة بعيدة . w بالـ vecteurs : m un fois le vecteur G A plus m deux fois le vecteur G B égale le vecteur nul . G هو le barycentre de A ، m un w B ، m deux .
La tige A B est suspendue en G, avec une masse m un en A et une masse m deux en B. Elle est en équilibre quand m un fois G A égale m deux fois G B. Autrement dit, la masse lourde est près de G, et la masse légère est loin. Et avec les vecteurs : m un fois le vecteur G A plus m deux fois le vecteur G B égale le vecteur nul. G est le barycentre de A, m un et B, m deux.
Question 4 · Barycentre de deux points
- kifech nal9a le vecteur AG
- formule de AG en fonction de AB
- comment exprimer AG avec AB
- AG = beta sur alpha plus beta AB 3lech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
G le barycentre de $(A, \alpha)$ w $(B, \beta)$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{AB}$. Rodd belek : ki nabdew men A, el coefficient elli fou9 houwa mta3 B. W ken tabda men B : $\overrightarrow{BG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\overrightarrow{BA}$. Mathalan $(A, 2)$ w $(B, 1)$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
G le barycentre de A ، alpha w B ، bêta : le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur A B . ردّ بالك : كي نبداو من A ، الـ coefficient اللي فوق هو متاع B . w كان تبدا من B : le vecteur B G égale alpha sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur B A . مثلا A ، deux w B ، un : le vecteur A G égale un tiers du vecteur A B .
Si G est le barycentre de A, alpha et B, bêta : le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur A B. Attention : quand on part de A, le coefficient du numérateur est celui de B. Et si tu pars de B : le vecteur B G égale alpha sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur B A. Par exemple pour A, deux et B, un : le vecteur A G égale un tiers du vecteur A B.
Question 5 · Barycentre de deux points
- c'est quoi un point pondéré
- point pondéré chnowa ma3neha
- les points pondérés chnouma
- A virgule alpha ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Point pondéré, houwa point m3ah réel, nektbouh bin parenthèses : $(A, \alpha)$. El réel $\alpha$ nsammiweh le coefficient, walla le poids mta3 el point. Kif el note w el coefficient mte3ha fi la moyenne. W el coefficient ynajjem ykoun négatif, el mohemm la somme des coefficients ma tkounch zéro.
point pondéré ، هو point معاه réel ، نكتبوه بين parenthèses : A ، alpha . الـ réel alpha نسمّيوه le coefficient ، ولّا le poids متاع الـ point . كيف الـ note w الـ coefficient متاعها في la moyenne . w الـ coefficient ينجّم يكون négatif ، المهمّ la somme des coefficients ما تكونش zéro .
Un point pondéré, c'est un point accompagné d'un réel, que l'on écrit entre parenthèses : A, alpha. Le réel alpha s'appelle le coefficient, ou le poids du point. Comme une note et son coefficient dans une moyenne. Et le coefficient peut être négatif ; l'essentiel est que la somme des coefficients ne soit pas nulle.
Question 6 · Où se trouve le barycentre ?
- 3lech le barycentre dima 3la la droite AB
- le barycentre est-il toujours sur la droite AB
- G appartient à la droite AB pourquoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, dima. 5ater $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{AB}$ : ezzouz vecteurs colinéaires, donc A, G w B alignés. Hedhaka 3lech nesta3mlou le barycentre bech nthabtou l'alignement : ken point houwa barycentre mta3 zouz points, eth-thletha 3la nafs la droite.
إيه ، ديما . خاطر le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur A B : الزوز vecteurs colinéaires ، donc A ، G w B alignés . هذاكا علاش نستعملو le barycentre باش نثبتو l'alignement : كان point هو barycentre متاع زوز points ، الثلاثة على نفس la droite .
Oui, toujours. Car le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur A B : les deux vecteurs sont colinéaires, donc A, G et B sont alignés. C'est pour cela qu'on utilise le barycentre pour prouver un alignement : si un point est barycentre de deux points, les trois sont sur la même droite.
Question 7 · Où se trouve le barycentre ?
- wa9tech le barycentre ykoun 3la le segment AB
- quand le barycentre est-il sur le segment
- G fi wost le segment walla barra
- barycentre à l intérieur du segment
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
G 3la le segment $[AB]$, ki $\alpha$ w $\beta$ 3andhom nafs le signe : ezzouz positifs walla ezzouz négatifs. Ken les signes bel 3aks, G yab9a 3la la droite $(AB)$, ama barra mel segment. Mathalan $(A, 2)$ w $(B, 1)$ : G bin A w B. W $(A, 3)$ w $(B, -1)$ : G barra, fi jihet A.
G على le segment A B ، كي alpha w bêta عندهم نفس le signe : الزوز positifs ولّا الزوز négatifs . كان les signes بالعكس ، G يبقى على la droite A B ، أمّا برّا مالـ segment . مثلا A ، deux w B ، un : G بين A w B . w A ، trois w B ، moins un : G برّا ، في جيهة A .
G est sur le segment A B quand alpha et bêta ont le même signe : tous les deux positifs, ou tous les deux négatifs. Si les signes sont contraires, G reste sur la droite A B, mais hors du segment. Par exemple pour A, deux et B, un : G est entre A et B. Et pour A, trois et B, moins un : G est à l'extérieur, du côté de A.
Question 8 · Où se trouve le barycentre ?
- coefficient négatif win yji le barycentre
- kifech na3mel ki el coefficient négatif
- est-ce qu un coefficient peut être négatif
- barycentre avec coefficient negatif
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
El coefficient ynajjem ykoun négatif, w el formule tab9a hiya hiya. El far9 : G yo5rej barra mel segment. Mathalan $(A, 2)$ w $(B, -1)$ : la somme 1, w $\overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AB}$. Ya3ni G fel jiha lo5ra mta3 A. El 9a3da : G dima fi jihet el point elli 3andou akbar coefficient en valeur absolue.
الـ coefficient ينجّم يكون négatif ، w الـ formule تبقى هي هي . الفرق : G يخرج برّا مالـ segment . مثلا A ، deux w B ، moins un : la somme un ، w le vecteur A G égale moins le vecteur A B . يعني G في الجيهة الأخرى متاع A . القاعدة : G ديما في جيهة الـ point اللي عندو أكبر coefficient en valeur absolue .
Un coefficient peut être négatif, et la formule reste la même. La différence : G sort du segment. Par exemple pour A, deux et B, moins un : la somme vaut un, et le vecteur A G égale moins le vecteur A B. G est donc de l'autre côté de A. La règle : G est toujours du côté du point qui a le plus grand coefficient en valeur absolue.
Question 9 · Où se trouve le barycentre ?
- est-ce que le milieu est un barycentre
- le milieu barycentre mta3 chnowa
- milieu w barycentre chnowa el 3ala9a
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih. Le milieu de $[AB]$ houwa le barycentre de $(A, 1)$ w $(B, 1)$ : ezzouz coefficients kif kif. W ynajjem ykoun $(A, 3)$ w $(B, 3)$, walla ay coefficient, el mohemm ykounou égaux w mouch nuls. 5ater $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, hiya bedhabt el définition mta3 le milieu.
إيه . le milieu de A B هو le barycentre de A ، un w B ، un : الزوز coefficients كيف كيف . w ينجّم يكون A ، trois w B ، trois ، ولّا أيّ coefficient ، المهمّ يكونو égaux w موش nuls . خاطر le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul ، هي بالضبط الـ définition متاع le milieu .
Oui. Le milieu de A B est le barycentre de A, un et B, un : les deux coefficients sont égaux. Et cela peut être A, trois et B, trois, ou n'importe quel coefficient, pourvu qu'ils soient égaux et non nuls. Car le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul, c'est exactement la définition du milieu.
Question 10 · Barycentre de trois points
- c'est quoi l'isobarycentre
- isobarycentre chnowa
- isobarycentre ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'isobarycentre, houwa le barycentre ki el coefficients el koll kif kif. Fi deux points, l'isobarycentre de A w B houwa le milieu de $[AB]$. W fi trois points mouch alignés, l'isobarycentre de A, B w C houwa le centre de gravité du triangle ABC : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
l'isobarycentre ، هو le barycentre كي الـ coefficients الكل كيف كيف . في deux points ، l'isobarycentre de A w B هو le milieu de A B . w في trois points موش alignés ، l'isobarycentre de A ، B w C هو le centre de gravité du triangle A B C : le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul .
L'isobarycentre, c'est le barycentre quand tous les coefficients sont égaux. Pour deux points, l'isobarycentre de A et B est le milieu de A B. Et pour trois points non alignés, l'isobarycentre de A, B et C est le centre de gravité du triangle A B C : le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul.
Question 11 · Multiplier les coefficients
- najjem nedhreb les coefficients fi nafs el nombre
- est-ce qu on peut multiplier les coefficients par un même réel
- simplifier les coefficients du barycentre
- les coefficients fihom des fractions kifech na3mel
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, tnajjem. Ki todhrob les coefficients el koll fi nafs el réel k, mouch nul, le barycentre ma yetbaddelch. Mathalan $(A, 10)$ w $(B, 20)$, houwa nafsou $(A, 1)$ w $(B, 2)$. W ken 3andek des fractions, kif $\dfrac{2}{3}$ w $\dfrac{1}{2}$, odhrob fi 6 : ywalliw 4 w 3. Ama ma tzidch nafs el nombre lel coefficients : hedha ybaddel le barycentre.
إيه ، تنجّم . كي تضرب les coefficients الكل في نفس الـ réel k ، موش nul ، le barycentre ما يتبدّلش . مثلا A ، dix w B ، vingt ، هو نفسو A ، un w B ، deux . w كان عندك des fractions ، كيف deux tiers w un demi ، اضرب في six : يولّيو quatre w trois . أمّا ما تزيدش نفس الـ nombre للـ coefficients : هذا يبدّل le barycentre .
Oui, tu peux. Quand on multiplie tous les coefficients par un même réel k non nul, le barycentre ne change pas. Par exemple A, dix et B, vingt, c'est la même chose que A, un et B, deux. Et si tu as des fractions, comme deux tiers et un demi, multiplie par six : elles deviennent quatre et trois. Mais n'ajoute pas un même nombre aux coefficients : cela change le barycentre.
Question 12 · Réduire une somme
- kifech nréduire alpha MA plus beta MB
- comment réduire une somme de vecteurs
- réduction de la somme 2MA + MB
- réduire la somme vectorielle bel barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nesta3mlou la propriété : l ay point M, $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta)\overrightarrow{MG}$, w G le barycentre de $(A, \alpha)$ w $(B, \beta)$. Mathalan $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$ : G le barycentre de $(A, 2)$ w $(B, 1)$, w la somme twalli $3\overrightarrow{MG}$. Ama lezem la somme des coefficients ma tkounch zéro.
نستعملو la propriété : لأيّ point M ، alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B égale la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur M G ، w G le barycentre de A ، alpha w B ، bêta . مثلا deux fois le vecteur M A plus le vecteur M B : G le barycentre de A ، deux w B ، un ، w la somme تولّي trois fois le vecteur M G . أمّا لازم la somme des coefficients ما تكونش zéro .
On utilise la propriété : pour tout point M, alpha fois le vecteur M A plus bêta fois le vecteur M B égale la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur M G, où G est le barycentre de A, alpha et B, bêta. Par exemple deux fois le vecteur M A plus le vecteur M B : G est le barycentre de A, deux et B, un, et la somme devient trois fois le vecteur M G. Mais il faut que la somme des coefficients ne soit pas nulle.
Question 13 · Réduire une somme
- 3lech le vecteur MA moins MB ne dépend pas de M
- vecteur constant indépendant de M
- pourquoi ce vecteur ne dépend pas du point M
- wa9tech la somme tkoun vecteur constant
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki la somme des coefficients égale zéro, ma fammech barycentre, w el vecteur ywalli constant : ma yetbaddelch ki M yet7arrek. Mathalan $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}$ : houwa $\overrightarrow{BA}$, w ma fihech M. Bech tthabbetha, da55el A b la relation de Chasles fi koll vecteur : les termes elli fihom M yti7ou, 5ater el coefficients mte3hom yetjam3ou zéro.
كي la somme des coefficients égale zéro ، ما فمّاش barycentre ، w الـ vecteur يولّي constant : ما يتبدّلش كي M يتحرّك . مثلا le vecteur M A moins le vecteur M B : هو le vecteur B A ، w ما فيهش M . باش تثبتها ، ادخّل A بـ la relation de Chasles في كل vecteur : les termes اللي فيهم M يطيحو ، خاطر الـ coefficients متاعهم يتجمعو zéro .
Quand la somme des coefficients égale zéro, il n'y a pas de barycentre, et le vecteur devient constant : il ne change pas quand M se déplace. Par exemple le vecteur M A moins le vecteur M B : c'est le vecteur B A, et il ne contient pas M. Pour le prouver, introduis A par la relation de Chasles dans chaque vecteur : les termes qui contiennent M disparaissent, car la somme de leurs coefficients est nulle.
Question 14 · Méthode des parallèles
- c'est quoi la méthode des parallèles
- la méthode des parallèles kifech
- tari9a mta3 les parallèles
- methode des paralleles
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La méthode des parallèles tarsem le barycentre de $(A, \alpha)$ w $(B, \beta)$. Nrasmou droite men A, w droite parallèle liha men B, w na5dhou vecteur $\vec{i}$ 3al direction mte3hom. N7ottou A' elli $\overrightarrow{AA'} = \beta\vec{i}$, w B' elli $\overrightarrow{BB'} = -\alpha\vec{i}$. La droite $(A'B')$ t9oss la droite $(AB)$ fi G. Ya3ni na3ksou les coefficients, w wa7ed nbaddloulou le signe.
la méthode des parallèles ترسم le barycentre de A ، alpha w B ، bêta . نرسمو droite من A ، w droite parallèle ليها من B ، w ناخذو vecteur i على الـ direction متاعهم . نحطّو A prime ، اللي le vecteur A A prime égale bêta i ، w B prime ، اللي le vecteur B B prime égale moins alpha i . la droite A prime B prime تقصّ la droite A B في G . يعني نعكسو les coefficients ، w واحد نبدّلولو le signe .
La méthode des parallèles construit le barycentre de A, alpha et B, bêta. On trace une droite passant par A, et une droite parallèle passant par B, et on prend un vecteur i qui donne leur direction. On place A prime tel que le vecteur A A prime égale bêta i, et B prime tel que le vecteur B B prime égale moins alpha i. La droite A prime B prime coupe la droite A B en G. Autrement dit, on croise les coefficients, et on change le signe de l'un.
Question 15 · Méthode du parallélogramme
- c'est quoi la méthode du parallélogramme
- la méthode du parallélogramme kifech
- kifech nesta3mel le parallélogramme
- methode du parallelogramme
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Na5dhou point M, mouch 3la la droite $(AB)$. N7ottou A' elli $\overrightarrow{MA'} = \alpha\overrightarrow{MA}$, w B' elli $\overrightarrow{MB'} = \beta\overrightarrow{MB}$. Nkammlou le parallélogramme $MA'M'B'$. La diagonale $(MM')$ t9oss la droite $(AB)$ fi G, 5ater $\overrightarrow{MM'} = (\alpha + \beta)\overrightarrow{MG}$.
ناخذو point M ، موش على la droite A B . نحطّو A prime ، اللي le vecteur M A prime égale alpha fois le vecteur M A ، w B prime ، اللي le vecteur M B prime égale bêta fois le vecteur M B . نكمّلو le parallélogramme M ، A prime ، M prime ، B prime . la diagonale M M prime تقصّ la droite A B في G ، خاطر le vecteur M M prime égale la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur M G .
On prend un point M qui n'est pas sur la droite A B. On place A prime tel que le vecteur M A prime égale alpha fois le vecteur M A, et B prime tel que le vecteur M B prime égale bêta fois le vecteur M B. On complète le parallélogramme M, A prime, M prime, B prime. La diagonale M M prime coupe la droite A B en G, car le vecteur M M prime égale la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur M G.
Question 16 · Montrer un alignement
- kifech nthabbet elli des points alignés bel barycentre
- comment montrer que des points sont alignés
- alignement avec le barycentre
- points alignés kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
El fekra : le barycentre de deux points dima 3la la droite mte3hom. Donc yekfi tekteb point menhom, barycentre mta3 ezzouz lo5rin. Mathalan ken tal9a $9\overrightarrow{KI} + \overrightarrow{KJ} = \vec{0}$, K houwa le barycentre de $(I, 9)$ w $(J, 1)$, donc I, J w K alignés. Bech tousel l hedha, lemm les vecteurs ethnin ethnin, w bassat koll groupe b le barycentre mte3ou.
الفكرة : le barycentre de deux points ديما على la droite متاعهم . donc يكفي تكتب point منهم ، barycentre متاع الزوز الأخرين . مثلا كان تلقى neuf fois le vecteur K I plus le vecteur K J égale le vecteur nul ، K هو le barycentre de I ، neuf w J ، un ، donc I ، J w K alignés . باش توصل لهذا ، لمّ les vecteurs اثنين اثنين ، w بسّط كل groupe بـ le barycentre متاعو .
L'idée : le barycentre de deux points est toujours sur leur droite. Il suffit donc d'écrire l'un des points comme barycentre des deux autres. Par exemple si tu trouves neuf fois le vecteur K I plus le vecteur K J égale le vecteur nul, K est le barycentre de I, neuf et J, un, donc I, J et K sont alignés. Pour y arriver, regroupe les vecteurs deux par deux, et réduis chaque groupe avec son barycentre.
Question 17 · Des droites parallèles
- comment montrer que deux droites sont parallèles
- kifech nthabbet droites parallèles bel barycentre
- droites parallèles w barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nthabtou elli el vecteurs directeurs colinéaires. Mathalan M le barycentre de $(A, 1)$ w $(B, 3)$, w N le barycentre de $(A, 1)$ w $(C, 3)$ : $\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$, w $\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$. Natr7ou : $\overrightarrow{MN} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$. Ezzouz colinéaires, donc $(MN)$ parallèle à $(BC)$.
نثبتو اللي الـ vecteurs directeurs colinéaires . مثلا M le barycentre de A ، un w B ، trois ، w N le barycentre de A ، un w C ، trois : le vecteur A M égale trois quarts du vecteur A B ، w le vecteur A N égale trois quarts du vecteur A C . نطرحو : le vecteur M N égale trois quarts du vecteur B C . الزوز colinéaires ، donc la droite M N parallèle à la droite B C .
On montre que les vecteurs directeurs sont colinéaires. Par exemple M est le barycentre de A, un et B, trois, et N le barycentre de A, un et C, trois : le vecteur A M égale trois quarts du vecteur A B, et le vecteur A N égale trois quarts du vecteur A C. On soustrait : le vecteur M N égale trois quarts du vecteur B C. Ils sont colinéaires, donc la droite M N est parallèle à la droite B C.
Question 18 · Des droites concourantes
- kifech nthabbet trois droites concourantes
- comment montrer que des droites sont concourantes
- droites concourantes bel barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nlawjou 3la point wa7ed, mawjoud 3la eth-thletha droites. Na5dhou barycentre mta3 trois points, w nlemmouh b le barycentre partiel b akther men tari9a. Koll marra nlemmou zouz points, nal9aw el barycentre 3la droite. Mathalan E le barycentre de $(A, 2)$, $(B, 1)$ w $(C, 1)$ : ki nlemmou B w C, E 3la $(AA')$ ; ki nlemmou A w B, E 3la $(CD)$.
نلوّجو على point واحد ، موجود على الثلاثة droites . ناخذو barycentre متاع trois points ، w نلمّوه بـ le barycentre partiel بأكثر من طريقة . كل مرّة نلمّو زوز points ، نلقاو الـ barycentre على droite . مثلا E le barycentre de A ، deux ، B ، un w C ، un : كي نلمّو B w C ، E على la droite A A prime ؛ كي نلمّو A w B ، E على la droite C D .
On cherche un seul point situé sur les trois droites. On prend un barycentre de trois points, et on le regroupe avec le barycentre partiel de plusieurs façons. Chaque fois qu'on regroupe deux points, on trouve le barycentre sur une droite. Par exemple E est le barycentre de A, deux, B, un et C, un : en regroupant B et C, E est sur la droite A A prime ; en regroupant A et B, E est sur la droite C D.
Question 19 · Ensemble de points
- kifech nal9a l'ensemble des points M
- comment déterminer un ensemble de points
- l'ensemble des points M tels que la norme
- ensemble de points bel barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Thletha mra7el. Awwel 7aja, bassat koll somme de vecteurs b barycentre : twalli nombre fois $\overrightarrow{MG}$. Men ba3d, 3addi lel normes : la norme twalli nombre fois la distance MG. W fel e5er, a9ra en-natija : ken tal9a $MG = MG'$, hiya la médiatrice du segment $[GG']$ ; ken tal9a $MG = r$, houwa le cercle de centre G w de rayon r.
ثلاثة مراحل . أوّل حاجة ، بسّط كل somme de vecteurs بـ barycentre : تولّي nombre fois le vecteur M G . من بعد ، عدّي للـ normes : la norme تولّي nombre fois la distance M G . w في الآخر ، اقرا النتيجة : كان تلقى M G égale M G prime ، هي la médiatrice du segment G G prime ؛ كان تلقى M G égale nombre r ، هو le cercle de centre G w de rayon r .
Trois étapes. D'abord, réduis chaque somme de vecteurs avec un barycentre : elle devient un nombre fois le vecteur M G. Ensuite, passe aux normes : la norme devient un nombre fois la distance M G. Et enfin, lis le résultat : si tu trouves M G égale M G prime, c'est la médiatrice du segment G G prime ; si tu trouves M G égale un nombre r, c'est le cercle de centre G et de rayon r.
Question 20 · Ensemble de points
- kifech nal9a le rayon du cercle
- comment trouver le rayon
- le rayon 3lech ndivisiw 3la la somme des coefficients
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le rayon houwa la distance MG, mouch la norme elli fel énoncé. Mathalan $\left\|5\overrightarrow{MC} - 2\overrightarrow{MD}\right\| = 9$. Nbassatou : $3\overrightarrow{MG'}$. Donc $3MG' = 9$, w $MG' = 3$. Le rayon 3, mouch 9. Dima na9smou 3la la somme des coefficients.
le rayon هو la distance M G ، موش la norme اللي في الـ énoncé . مثلا la norme de la différence : cinq fois le vecteur M C moins deux fois le vecteur M D ، égale neuf . نبسّطو : trois fois le vecteur M G prime . donc trois M G prime égale neuf ، w M G prime égale trois . le rayon trois ، موش neuf . ديما نقسمو على la somme des coefficients .
Le rayon, c'est la distance M G, pas la norme donnée dans l'énoncé. Par exemple la norme de la différence : cinq fois le vecteur M C moins deux fois le vecteur M D, égale neuf. On réduit : trois fois le vecteur M G prime. Donc trois M G prime égale neuf, et M G prime égale trois. Le rayon est trois, pas neuf. On divise toujours par la somme des coefficients.
Question 21 · Barycentre de trois points
- le barycentre de trois points kifech
- barycentre de 3 points
- kifech nal9a le barycentre de trois points
- définition barycentre trois points
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nafs el définition, b terme zeyed. G le barycentre de $(A, \alpha)$, $(B, \beta)$ w $(C, \gamma)$, ki $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \vec{0}$, w $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$. Bech t7ottou : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma}\overrightarrow{AB} + \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma}\overrightarrow{AC}$.
نفس الـ définition ، بـ terme زايد . G le barycentre de A ، alpha ، B ، bêta w C ، gamma ، كي alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B plus gamma fois le vecteur G C égale le vecteur nul ، w la somme alpha plus bêta plus gamma différent de zéro . باش تحطّو : le vecteur A G égale bêta sur la somme ، fois le vecteur A B ، plus gamma sur la somme ، fois le vecteur A C .
C'est la même définition, avec un terme de plus. G est le barycentre de A, alpha, B, bêta et C, gamma quand alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B plus gamma fois le vecteur G C égale le vecteur nul, avec la somme alpha plus bêta plus gamma différente de zéro. Pour le placer : le vecteur A G égale bêta sur la somme, fois le vecteur A B, plus gamma sur la somme, fois le vecteur A C.
Question 22 · Propriétés pour trois points
- le centre de gravité barycentre mta3 chnowa
- est-ce que le centre de gravité est un barycentre
- centre de gravité w barycentre chnowa el 3ala9a
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih. Le centre de gravité du triangle ABC houwa le barycentre de $(A, 1)$, $(B, 1)$ w $(C, 1)$. El coefficients el koll kif kif : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. W l ay point M : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.
إيه . le centre de gravité du triangle A B C هو le barycentre de A ، un ، B ، un w C ، un . الـ coefficients الكل كيف كيف : le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul . w لأيّ point M : le vecteur M A plus le vecteur M B plus le vecteur M C égale trois fois le vecteur M G .
Oui. Le centre de gravité du triangle A B C est le barycentre de A, un, B, un et C, un. Tous les coefficients sont égaux : le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul. Et pour tout point M : le vecteur M A plus le vecteur M B plus le vecteur M C égale trois fois le vecteur M G.
Question 23 · Barycentre partiel
- c'est quoi le barycentre partiel
- le barycentre partiel kifech nesta3mlou
- théorème du barycentre partiel
- barycentre partiel chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le barycentre partiel y5allik t3awwedh zouz points b le barycentre mte3hom. G le barycentre de $(A, \alpha)$, $(B, \beta)$ w $(C, \gamma)$, w $\beta + \gamma \neq 0$. G' le barycentre de $(B, \beta)$ w $(C, \gamma)$. Wa9tha G houwa le barycentre de $(A, \alpha)$ w $(G', \beta + \gamma)$. Rodd belek : G' ye5ou la somme mta3 ezzouz coefficients, mouch 1.
le barycentre partiel يخلّيك تعوّض زوز points بـ le barycentre متاعهم . G le barycentre de A ، alpha ، B ، bêta w C ، gamma ، w bêta plus gamma différent de zéro . G prime le barycentre de B ، bêta w C ، gamma . وقتها G هو le barycentre de A ، alpha w G prime ، bêta plus gamma . ردّ بالك : G prime ياخذ la somme متاع الزوز coefficients ، موش un .
Le barycentre partiel te permet de remplacer deux points par leur barycentre. G est le barycentre de A, alpha, B, bêta et C, gamma, avec bêta plus gamma différent de zéro. G prime est le barycentre de B, bêta et C, gamma. Alors G est le barycentre de A, alpha et G prime, bêta plus gamma. Attention : G prime reçoit la somme des deux coefficients, pas un.
Question 24 · Lire une figure
- kifech nal9a les coefficients mel figure
- comment trouver les coefficients à partir de la figure
- lire les coefficients sur la figure
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Chouf win yji el point 3la le segment. Ken $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, le numérateur 2 houwa el coefficient mta3 M, w A ye5ou el be9i : $3 - 2$, ya3ni 1. Donc G le barycentre de $(A, 1)$ w $(M, 2)$. El 9a3da, ki el coefficients positifs : el point el a9reb lel barycentre ye5ou akbar coefficient. W ken M houwa bidou barycentre, lezmou yhezz la somme mta3 les coefficients mte3ou.
شوف وين يجي الـ point على le segment . كان le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A M ، le numérateur deux هو الـ coefficient متاع M ، w A ياخذ الباقي : trois moins deux ، يعني un . donc G le barycentre de A ، un w M ، deux . القاعدة ، كي الـ coefficients positifs : الـ point الأقرب للـ barycentre ياخذ أكبر coefficient . w كان M هو بيدو barycentre ، لازمو يهزّ la somme متاع les coefficients متاعو .
Regarde où se trouve le point sur le segment. Si le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A M, le numérateur deux est le coefficient de M, et A reçoit le reste : trois moins deux, c'est-à-dire un. Donc G est le barycentre de A, un et M, deux. La règle, quand les coefficients sont positifs : le point le plus proche du barycentre reçoit le plus grand coefficient. Et si M est lui-même un barycentre, il doit porter la somme de ses coefficients.
Question 25 · De deux à trois points
- le barycentre kif la moyenne ?
- chnowa el 3ala9a bin la moyenne w le barycentre
- moyenne avec coefficients et barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, nafs el fekra. Fi la moyenne, koll note tetdhreb fel coefficient mte3ha, w na9smou 3la la somme des coefficients. Fel barycentre, les notes ywalliw points, w la moyenne hiya l'abscisse mta3 G 3la droite graduée. Mathalan 13, coefficient 1, w 10, coefficient 2 : la moyenne 11, w G fi 11 houwa le barycentre de $(A, 1)$ w $(B, 2)$.
إيه ، نفس الفكرة . في la moyenne ، كل note تتضرب في الـ coefficient متاعها ، w نقسمو على la somme des coefficients . في الـ barycentre ، les notes يولّيو points ، w la moyenne هي l'abscisse متاع G على droite graduée . مثلا treize ، coefficient un ، w dix ، coefficient deux : la moyenne onze ، w G في onze هو le barycentre de A ، un w B ، deux .
Oui, c'est la même idée. Dans une moyenne, chaque note est multipliée par son coefficient, et on divise par la somme des coefficients. Pour le barycentre, les notes deviennent des points, et la moyenne est l'abscisse de G sur une droite graduée. Par exemple treize, coefficient un, et dix, coefficient deux : la moyenne est onze, et G, placé en onze, est le barycentre de A, un et B, deux.
Question 26 · Cercle inscrit
- le centre du cercle inscrit barycentre mta3 chnowa
- cercle inscrit w barycentre
- la bissectrice w le barycentre chnowa el 3ala9a
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi triangle ABC, nsammiw a la longueur BC, b la longueur AC w c la longueur AB. Le centre du cercle inscrit houwa le barycentre de $(A, a)$, $(B, b)$ w $(C, c)$ : koll sommet ye5ou la longueur mta3 le côté el m9abel lih. W la bissectrice de l'angle A t9oss $[BC]$ fi M, elli houwa le barycentre de $(B, b)$ w $(C, c)$, 5ater $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{c}{b}$.
في triangle A B C ، نسمّيو petit a la longueur B C ، petit b la longueur A C w petit c la longueur A B . le centre du cercle inscrit هو le barycentre de A ، B w C ، affectés des longueurs petit a ، petit b w petit c : كل sommet ياخذ la longueur متاع le côté المقابل ليه . w la bissectrice de l'angle A تقصّ B C في M ، اللي هو le barycentre de B w C ، affectés des longueurs petit b w petit c ، خاطر M B sur M C égale petit c sur petit b .
Dans un triangle A B C, on note petit a la longueur B C, petit b la longueur A C et petit c la longueur A B. Le centre du cercle inscrit est le barycentre de A, B et C, affectés des longueurs petit a, petit b et petit c : chaque sommet reçoit la longueur du côté qui lui est opposé. Et la bissectrice de l'angle A coupe B C en M, qui est le barycentre de B et C, affectés des longueurs petit b et petit c, car M B sur M C égale petit c sur petit b.
Question 27 · Même centre de gravité
- wa9tech deux triangles 3andhom nafs le centre de gravité
- deux triangles de même centre de gravité
- triangles avec le même centre de gravité condition
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
ABC w A'B'C', zouz triangles, les centres de gravité mte3hom G w G'. Dima : $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{CC'} = 3\overrightarrow{GG'}$. Donc 3andhom nafs le centre de gravité, ki la somme hedhi égale le vecteur nul. W hedha chart nécessaire w suffisant.
A B C w A prime B prime C prime ، زوز triangles ، les centres de gravité متاعهم G w G prime . ديما : le vecteur A A prime plus le vecteur B B prime plus le vecteur C C prime égale trois fois le vecteur G G prime . donc عندهم نفس le centre de gravité ، كي la somme هاذي égale le vecteur nul . w هذا شرط nécessaire w suffisant .
Soient A B C et A prime B prime C prime deux triangles, de centres de gravité G et G prime. On a toujours : le vecteur A A prime plus le vecteur B B prime plus le vecteur C C prime égale trois fois le vecteur G G prime. Ils ont donc le même centre de gravité quand cette somme égale le vecteur nul. Et c'est une condition nécessaire et suffisante.
Question 28 · Barycentre de deux points
- ken nbaddel les coefficients bin A w B
- échanger les coefficients change le barycentre ?
- inverser les coefficients de A et B
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, yetbaddel. Koll coefficient marbout bel point mte3ou. $(A, 2)$ w $(B, 1)$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, G a9reb l A. W $(A, 1)$ w $(B, 2)$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, G a9reb l B. Ezzouz points hedhom symétriques par rapport au milieu de $[AB]$. Ken el coefficients égaux berk, ma yetbaddel chay.
إيه ، يتبدّل . كل coefficient مربوط بالـ point متاعو . A ، deux w B ، un : le vecteur A G égale un tiers du vecteur A B ، G أقرب لـ A . w A ، un w B ، deux : le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A B ، G أقرب لـ B . الزوز points هاذم symétriques par rapport au milieu de A B . كان الـ coefficients égaux برك ، ما يتبدّل شي .
Oui, il change. Chaque coefficient est attaché à son point. Pour A, deux et B, un : le vecteur A G égale un tiers du vecteur A B, G est plus proche de A. Et pour A, un et B, deux : le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A B, G est plus proche de B. Ces deux points sont symétriques par rapport au milieu de A B. C'est seulement quand les coefficients sont égaux que rien ne change.
Question 29 · Barycentre de deux points
- est-ce que le barycentre est unique
- le barycentre wa7ed berk walla akther
- unicité du barycentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, wa7id. Ken G w G' ezzouz y7a99ou $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$, ezzouz y7a99ou nafs el formule : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{AB}$. W men point A, famma point wa7ed ya3ti vecteur m3ayyen. Donc G' houwa G.
إيه ، وحيد . كان G w G prime الزوز يحقّقو alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul ، الزوز يحقّقو نفس الـ formule : le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta ، fois le vecteur A B . w من point A ، فمّا point واحد يعطي vecteur معيّن . donc G prime هو G .
Oui, il est unique. Si G et G prime vérifient tous les deux alpha fois le vecteur G A plus bêta fois le vecteur G B égale le vecteur nul, ils vérifient la même formule : le vecteur A G égale bêta sur la parenthèse alpha plus bêta, fois le vecteur A B. Et à partir du point A, un seul point donne un vecteur fixé. Donc G prime est G.
Question 30 · Archimède
- chkoun Archimède
- qui est Archimède
- Archimède 3lech fel chapitre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Archimède 3alem younani, touled fi Syracuse 7aweli 287 avant Jésus-Christ. Ma3rouf bel leviers w bel machines mte3ou, w bel 7sebet mte3ou 3la les aires w les volumes. W le principe mta3 le levier, $m_1 \times GA = m_2 \times GB$, houwa elli ya3tina le barycentre : le point d'équilibre mta3 zouz masses.
Archimède عالم يوناني ، تولد في Syracuse حوالي deux cent quatre-vingt-sept avant Jésus-Christ . معروف بالـ leviers w بالـ machines متاعو ، w بالحسابات متاعو على les aires w les volumes . w le principe متاع le levier ، m un fois G A égale m deux fois G B ، هو اللي يعطينا le barycentre : le point d'équilibre متاع زوز masses .
Archimède est un savant grec, né à Syracuse vers deux cent quatre-vingt-sept avant Jésus-Christ. Il est célèbre pour ses leviers et ses machines, et pour ses calculs d'aires et de volumes. Et le principe du levier, m un fois G A égale m deux fois G B, est ce qui nous donne le barycentre : le point d'équilibre de deux masses.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
La tige en équilibre
Une tige est partagée en cinq parties égales. Elle est suspendue au point situé au deuxième trait à partir de On accroche en une masse kilogrammes. Quelle masse en kilogrammes, faut-il accrocher en pour que la tige soit en équilibre ?
Une tige horizontale d'extrémités A, à gauche, et B, à droite, partagée en cinq parties égales par quatre traits. Elle est suspendue par un crochet au point G, qui est le deuxième trait à partir de A. Une masse m1 de 6 kilogrammes pend sous A ; une masse m2 inconnue pend sous B.
Donne la valeur de en kilogrammes.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- À l'équilibre,
- Compte les parts : la distance mesure deux parts, la distance en mesure trois.
- L'égalité devient
Correction
- L'équilibre — La masse multipliée par la distance est la même des deux côtés du point
- Les distances — En comptant les parts, la distance vaut deux parts et la distance vaut trois parts.
- La masse — On divise par trois.
Il faut accrocher kilogrammes en : la masse la plus légère est du côté le plus long.
Pièges anticipés
9→ Tu as échangé les distances : vaut deux parts et trois parts, donc6→ Avec deux masses égales, le point d'équilibre serait au milieu de la tige. Ici est plus près de
Exercice 2 · base
Une moyenne avec coefficients
Un élève a obtenu au devoir de contrôle, de coefficient et au devoir de synthèse, de coefficient Calculer sa moyenne trimestrielle.
Donne la moyenne.
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Chaque note est multipliée par son coefficient.
- On divise le total par la somme des coefficients,
Correction
- Le calcul — On multiplie chaque note par son coefficient, et on divise par la somme des coefficients.
La moyenne est : elle est plus proche de la note qui a le plus grand coefficient.
Pièges anticipés
11.5 / 23/2→ Tu as fait la moyenne sans les coefficients. Le devoir de synthèse compte double : on divise par12→ Tu as donné le coefficient à la note C'est le devoir de synthèse, noté qui compte double.
Exercice 3 · base
Un coefficient négatif
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Pour le barycentre de et :
- Ici la somme des coefficients vaut
Correction
- La formule — En partant de le coefficient de est au numérateur, et la somme des coefficients au dénominateur.
: est le symétrique de par rapport à
Pièges anticipés
2→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de1→ Le coefficient de est négatif : le vecteur est de sens contraire au vecteur
Exercice 4 · base
Placer un barycentre
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.
- Le dénominateur est la somme des coefficients,
Correction
- La formule — Le coefficient de divisé par la somme des coefficients.
: est sur le segment plus près de qui a le plus grand coefficient.
Pièges anticipés
1/4 / 0.25→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de c'est-à-dire3→ Il reste à diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 5 · base
Une somme négative
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- La somme des coefficients vaut : elle est négative, mais non nulle.
- Divise le coefficient de par cette somme, en faisant attention aux signes.
Correction
- La somme — La somme des coefficients est négative, mais elle n'est pas nulle : le barycentre existe.
- La formule — Le coefficient de divisé par la somme : moins par moins donne plus.
: est hors du segment du côté de dont le coefficient est le plus grand en valeur absolue.
Pièges anticipés
-4→ Il reste à diviser par la somme des coefficients, qui vaut : le signe change.-3→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de4/7→ On ajoute les coefficients avec leurs signes : et non
Exercice 6 · pratique
Hors du segment
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5
Indices, dans l’ordre
- La somme des coefficients vaut
- Le numérateur est le coefficient de avec son signe.
Correction
- La formule — Le coefficient de est négatif, la somme est positive.
: est hors du segment du côté de
Pièges anticipés
3/2 / 1.5→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de1/2 / 0.5→ Le coefficient de est négatif : est du côté opposé à par rapport à-1→ Il reste à diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 7 · base
Sur le segment ou non ?
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et Le point appartient-il au segment ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non il n'appartient pas au segment · non il est hors du segment · non, il n'appartient pas au segment · non, il est hors du segment · non il n'appartient pas · non, il n'appartient pas · non p n'appartient pas au segment · non, p n'appartient pas au segment · non p n'appartient pas a [ab] · non, p n'appartient pas a [ab] · non, il n'appartient pas a [ab] · non il n'appartient pas a [ab] · non, il est hors de [ab] · non il est hors de [ab]
Indices, dans l’ordre
- Regarde le signe des deux coefficients.
- Le barycentre est sur le segment si, et seulement si, les coefficients sont de même signe.
Correction
- Les signes — Les coefficients sont de signes contraires : le barycentre est hors du segment.
- Vérifier — Avec la formule, le point est au-delà de
Non : est sur la droite mais hors du segment
Pièges anticipés
oui→ Les coefficients et sont de signes contraires : le barycentre est hors du segment.
Exercice 8 · pratique
Lire un coefficient sur une droite graduée
Sur une droite munie du repère les points et ont pour abscisses respectives et Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Une droite graduée régulièrement. On y lit, de gauche à droite, le point A à l'abscisse 0, le point B à l'abscisse 1, le point C à l'abscisse 4, le point D à l'abscisse 5 et le point E à l'abscisse 9.
Donne le réel
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Écris la définition :
- Sur la droite, et
Correction
- La définition — est le barycentre de et
- Avec les abscisses — De à on recule d'une unité, de à on avance de trois unités.
- Le coefficient — On isole le réel cherché.
: est trois fois plus près de que de donc pèse trois fois plus.
Pièges anticipés
1/3→ Avec des coefficients positifs, le point le plus proche du barycentre porte le plus grand coefficient : est près de donc le coefficient de dépasse-3→ est entre et : les deux coefficients sont de même signe.
Exercice 9 · pratique
Des coefficients fractionnaires
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 3/7
Indices, dans l’ordre
- Multiplie les deux coefficients par pour chasser les fractions : le barycentre ne change pas.
- est alors le barycentre de et
Correction
- Chasser les fractions — On multiplie les deux coefficients par
- La formule — En partant de le coefficient de sur la somme des coefficients.
: multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne change pas le barycentre.
Pièges anticipés
4/7→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de1/2 / 0.5→ Il faut diviser le coefficient de par la somme des deux coefficients, qui ne vaut pas ici.
Exercice 10 · pratique
Le centre du parallélogramme
Soit un parallélogramme de centre et un point quelconque du plan. Le vecteur est égal à Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- est le milieu de et aussi le milieu de
- Regroupe les vecteurs et puis les vecteurs et
Correction
- Une diagonale — est le milieu de
- L'autre diagonale — est aussi le milieu de
- La somme — On ajoute les deux égalités.
: le centre d'un parallélogramme réduit la somme des quatre vecteurs.
Pièges anticipés
2→ est la somme pour une seule diagonale. Il y a deux diagonales, donc deux fois1→ Chaque milieu donne deux fois le vecteur : on ne divise pas par le nombre de points.
Exercice 11 · pratique
Réduire avec deux barycentres
Soit le barycentre de et le barycentre de et et le milieu de Pour tout point du plan, le vecteur est égal à Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Réduis d'abord avec le point puis avec le point
- est le milieu de :
Correction
- Avec le point G — La somme des coefficients et vaut
- Avec le second point — Ici aussi la somme des coefficients vaut
- Avec le milieu — est le milieu de
: on réduit chaque groupe avec son barycentre, puis les deux barycentres avec leur milieu.
Pièges anticipés
4→ vaut quatre fois la somme des deux vecteurs, et cette somme vaut2→ N'oublie pas les sommes de coefficients : chaque groupe donne quatre fois un vecteur.
Exercice 12 · pratique
Deux droites parallèles
Soit un triangle. On considère les points et tels que et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- est le barycentre de et : exprime le vecteur en fonction du vecteur
- Fais de même pour avec le vecteur puis écris
Correction
- Le point M — est le barycentre de et
- Le point N — est le barycentre de et
- Le vecteur MN — On soustrait, puis on met le coefficient en facteur.
: les vecteurs et sont colinéaires, donc les droites et sont parallèles.
Pièges anticipés
1/3→ En partant de c'est le coefficient de l'autre point, qui est au numérateur.2→ Il faut diviser par la somme des coefficients,
Exercice 13 · raisonnement
Un vecteur qui ne dépend pas de M
Soient et trois points du plan. Pour tout point le vecteur ne dépend pas de : il s'écrit Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- La somme des coefficients, est nulle : il n'y a pas de barycentre, le vecteur est constant.
- Passe par : et
Correction
- Passer par A — On remplace les vecteurs et avec la relation de Chasles.
- Simplifier — Les termes qui contiennent s'annulent, car vaut zéro.
et : quand la somme des coefficients est nulle, la somme vectorielle est un vecteur constant.
Pièges anticipés
2→ Le vecteur est précédé du coefficient : on obtient3→ Les termes en s'annulent : il ne reste que les vecteurs et avec les coefficients de et de
Exercice 14 · raisonnement
Trois points alignés
Soient et quatre points distincts, le barycentre des points et affectés des coefficients et et le barycentre des points et affectés des coefficients et Le point vérifie On en tire une relation qui prouve que et sont alignés. Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Regroupe : mets en facteur, puis réduis avec
- se réduit avec : la somme des coefficients et vaut
Correction
- Le premier groupe — On met en facteur ; la somme des coefficients et vaut
- Le second groupe — La somme des coefficients et vaut
- Conclure — est le barycentre de et
: est un barycentre de et donc les trois points sont alignés.
Pièges anticipés
4→ vaut mais le groupe est : il reste le facteur2→ ne vaut pas : il faut multiplier par la somme des coefficients,
Exercice 15 · pratique
Dans un rectangle
Soit un rectangle tel que et et soit le barycentre des points pondérés et Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Exprime d'abord le vecteur en fonction du vecteur
- Le vecteur est égal aux trois quarts du vecteur : la distance vaut donc les trois quarts de la longueur
Correction
- Le vecteur AG — En partant de le coefficient de sur la somme des coefficients.
- La distance — Pour la distance on prend les trois quarts de la longueur
: est sur le côté plus près de
Pièges anticipés
2→ est la distance En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.3/4 / 0.75→ C'est le rapport ; il reste à le multiplier par la longueur
Exercice 16 · pratique
Le rayon du cercle
Soit un rectangle et le barycentre des points pondérés et L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à est un cercle de centre Calculer son rayon.
Donne le rayon du cercle.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Réduis d'abord la somme : est un multiple du vecteur
- La norme de la somme vaut quatre fois la distance
Correction
- Réduire — est le barycentre de et : la somme des coefficients vaut
- Passer aux distances — La norme de la somme est quatre fois la distance
- Le rayon — On divise par quatre.
Le rayon est : on divise la norme par la somme des coefficients.
Pièges anticipés
12→ est la norme de la somme, qui vaut quatre fois la distance : il reste à diviser par4→ est la somme des coefficients ; le rayon est divisé par
Exercice 17 · raisonnement
Reconnaître un ensemble de points
Soit un rectangle, le barycentre de et et le barycentre de et Quel est l'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à la norme du vecteur ?
Réponds par un mot : cercle, médiatrice, droite…
Réponse attendue : mediatrice — aussi acceptées : la mediatrice · la mediatrice de gg' · mediatrice de gg' · la mediatrice du segment gg' · mediatrice du segment gg' · une mediatrice
Indices, dans l’ordre
- Réduis chaque somme avec son barycentre : chacune vaut quatre fois un vecteur.
- Tu obtiens : quels sont les points à égale distance de deux points donnés ?
Correction
- Réduire — Les deux sommes de coefficients valent
- Passer aux distances — On égale les deux normes et on divise par quatre.
- Reconnaître — Les points à égale distance de et de forment la médiatrice du segment
C'est la médiatrice du segment
Pièges anticipés
cercle / un cercle / le cercle→ Un cercle correspond à une distance constante. Ici on obtient : les points à égale distance de deux points.droite / une droite / la droite→ Oui, c'est une droite, mais laquelle ? Les points à égale distance de et de forment la médiatrice du segment
Exercice 18 · base
Une moyenne de trois notes
Un élève a obtenu avec le coefficient avec le coefficient et avec le coefficient Calculer sa moyenne.
Donne la moyenne.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Multiplie chaque note par son coefficient et additionne.
- Divise par la somme des coefficients,
Correction
- Le total — Chaque note est multipliée par son coefficient.
- La moyenne — On divise par la somme des coefficients.
La moyenne est : c'est l'abscisse du barycentre des trois notes, affectées de leurs coefficients.
Pièges anticipés
37/3→ Tu as fait la moyenne sans les coefficients : chaque note compte autant de fois que son coefficient.24→ On divise par la somme des coefficients, et non par le nombre de notes.
Exercice 19 · pratique
Placer un barycentre de trois points
Soient et trois points non alignés et le barycentre des points et affectés des coefficients et Le vecteur s'écrit Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord la somme des trois coefficients.
- Le réel est le coefficient de divisé par cette somme.
Correction
- La somme — La somme des trois coefficients n'est pas nulle : le barycentre existe.
- Le vecteur AG — On divise le coefficient de puis celui de par la somme.
et
Pièges anticipés
3→ Il reste à diviser le coefficient de par la somme des trois coefficients.1/2 / 0.5→ C'est le réel devant le vecteur On demande devant le vecteur
Exercice 20 · pratique
Lire un barycentre sur une figure
Sur la figure, est le point du segment tel que et est le milieu du segment Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Un triangle ABC, de sommet A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. Le côté [BC] est partagé en quatre parts égales ; le point M est le troisième point de partage à partir de B. Le point G est le milieu du segment [AM].
Donne le réel
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- est le barycentre de et : si on regroupe et quel coefficient porte ?
- est le milieu de : les points et doivent porter le même coefficient.
Correction
- Le point M — est plus près de : c'est le barycentre de et et il porte la somme de ces coefficients.
- Le milieu — est le milieu de : et ont le même coefficient.
: est le barycentre de et
Pièges anticipés
1→ porte la somme Pour que soit le milieu de le point doit porter le même coefficient que2→ Le milieu correspond à deux coefficients égaux : celui de doit être égal à celui de c'est-à-dire à
Exercice 21 · pratique
Une autre figure à lire
Sur la figure, est le point du segment tel que et est le point du segment tel que Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Un triangle ABC, de sommet A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. Le côté [BC] est partagé en trois parts égales ; le point M est le premier point de partage à partir de B. Le segment [AM] est partagé en quatre parts égales ; le point G est le troisième point de partage à partir de A.
Donne le réel
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- est plus près de : il est le barycentre de et avec
- Vérifie ensuite avec : porte et porte la somme
Correction
- Le point M — En partant de le coefficient de sur la somme doit donner un tiers.
- Le coefficient — La somme des deux coefficients vaut trois.
- Vérifier avec G — porte alors et porte : le point est bien aux trois quarts de à partir de
: est le barycentre de et
Pièges anticipés
1/2 / 0.5→ est plus près de : c'est qui porte le plus grand coefficient.3→ est le coefficient que porte la somme de ceux de et de On demande celui de
Exercice 22 · pratique
Regrouper deux points
Soit le barycentre des points pondérés et et soit le barycentre de et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Remplace et par leur barycentre : quel coefficient porte-t-il ?
- est le barycentre de et : applique la formule en partant de
Correction
- Le barycentre partiel — remplace et : il porte la somme de leurs coefficients,
- La formule — En partant de le coefficient de sur la somme des coefficients.
: est sur le segment plus près de qui porte le plus grand coefficient.
Pièges anticipés
1/2 / 0.5→ ne porte pas le coefficient : il remplace et donc il porte3/4 / 0.75→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.
Exercice 23 · pratique
Dans un parallélogramme
Soit un parallélogramme, le milieu du segment et le milieu du segment Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- est le barycentre de et : regroupés, ces deux points donnent à la somme de leurs coefficients.
- est le milieu de : les points et portent le même coefficient.
Correction
- Le milieu L — est le barycentre de et : il porte la somme des deux coefficients.
- Le milieu G — est le milieu de : porte le même coefficient que
: est le barycentre de et
Pièges anticipés
1→ Avec trois coefficients égaux, serait le centre de gravité du triangle aux deux tiers de Ici est le milieu de
Exercice 24 · raisonnement
Un point sur une droite
Soit le barycentre des points pondérés et et soit le point tel que Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- : est le barycentre de et
- Regroupe et : est le barycentre de et Applique la formule en partant de
Correction
- Le point I — En partant de le coefficient de sur la somme vaut un tiers : est le barycentre de et
- Regrouper — remplace et avec le coefficient
- La formule — En partant de le coefficient de sur la somme des coefficients.
: les points et sont alignés.
Pièges anticipés
1/4 / 0.25→ est le réel tel que soit un multiple de En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.1/2 / 0.5→ ne porte pas le coefficient : il remplace et donc il porte
Exercice 25 · pratique
Écrire un point comme barycentre
Soit un segment, son milieu et le symétrique de par rapport à Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Exprime d'abord le vecteur en fonction du vecteur :
- Le vecteur est l'opposé de la moitié du vecteur Compare avec la formule du barycentre : le coefficient de divisé par la somme des deux coefficients.
Correction
- Le vecteur AP — est le symétrique de par rapport à et est le milieu de
- La formule — On égale avec le coefficient donné par la formule du barycentre.
- Résoudre — On fait le produit en croix.
: est hors du segment, du côté de donc les coefficients sont de signes contraires.
Pièges anticipés
1→ est hors du segment : les deux coefficients sont de signes contraires.-1/2 / -0.5→ est le réel tel que Il faut encore résoudre
Exercice 26 · raisonnement
Alignement dans un quadrilatère
Soit un quadrilatère, le milieu de et le milieu de Soit le barycentre de et le barycentre de et et le milieu de On montre que donc que les points et sont alignés. Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Réduis au point : et
- est le milieu de : Regroupe ensuite avec et avec
Correction
- Réduire — et sont des barycentres dont la somme des coefficients vaut
- Le milieu M — est le milieu de : en ajoutant, le second membre est nul.
- Les milieux I et J — est le milieu de et le milieu de
- Simplifier — On divise par deux.
: est le barycentre de et donc et sont alignés.
Pièges anticipés
4→ Tu as : divise par pour que le coefficient de soit1/2 / 0.5→ Les points et portent le coefficient : c'est leur milieu, qui pèse le plus.
Exercice 27 · raisonnement
Un cercle dans un triangle équilatéral
Soit un triangle équilatéral de côté et son centre de gravité. L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à est un cercle de centre Calculer son rayon.
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : 2*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- est l'isobarycentre de et : la somme des trois vecteurs vaut trois fois le vecteur
- La norme de la somme vaut trois fois la distance
Correction
- Réduire — est l'isobarycentre des trois sommets.
- Passer aux distances — La norme de la somme est trois fois la distance
- Le rayon — On divise par trois.
Le rayon est : c'est la distance le cercle est le cercle circonscrit au triangle.
Pièges anticipés
6*sqrt(3)→ C'est la norme de la somme, qui vaut trois fois la distance : il reste à diviser parsqrt(3)→ C'est le rayon du cercle inscrit. Ici, la norme divisée par donne le double.
Exercice 28 · raisonnement
Le pied d'une bissectrice
Dans un triangle on donne et La bissectrice de l'angle coupe le côté en Calculer la longueur
Donne la longueur
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- est le barycentre de et chacun affecté de la longueur du côté opposé : avec la longueur avec la longueur
- est le barycentre de et ou encore de et : exprime le vecteur
Correction
- Le barycentre — Chaque sommet reçoit la longueur du côté opposé : reçoit reçoit
- Le vecteur BM — En partant de le coefficient de sur la somme des coefficients.
- La longueur — Pour la distance on prend les quatre septièmes de la longueur
et : le rapport est bien égal à
Pièges anticipés
3→ est la longueur Le point est plus loin de car le côté est plus long que le côté7/2 / 3.5→ n'est pas le milieu de : la bissectrice n'est pas la médiane, sauf si
Exercice 29 · pratique
D'une égalité vectorielle à un barycentre
Soient et trois points et le point tel que Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Fais apparaître le point dans chaque vecteur : et
- N'oublie pas que puis rassemble tous les termes dans un seul membre.
Correction
- Passer par G — On écrit chaque vecteur à partir du point
- Rassembler — On regroupe les trois termes qui contiennent le vecteur
: la somme des coefficients vaut et on retrouve bien
Pièges anticipés
2→ Chaque vecteur qui part de apporte un terme en : le coefficient de est négatif.-3→ Le second membre vaut : en le ramenant à gauche, il ajoute
Exercice 30 · defi
Une somme minimale
Soit un point intérieur à un triangle Les droites et coupent et en et On note et les aires des triangles et et on admet que est le barycentre des sommets et chacun affecté de l'aire du triangle opposé : avec l'aire avec l'aire avec l'aire Quelle est la plus petite valeur possible de la somme ?
Donne la valeur minimale de
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Regroupe et : le point porte la somme des aires et le sommet porte l'aire Donc
- Regroupe ensuite en sommes du type
- Un réel strictement positif, ajouté à son inverse, donne au moins ; il y a égalité quand vaut
Correction
- Trois rapports — En regroupant et le point porte la somme des aires et le sommet porte l'aire ; de même pour les deux autres sommets.
- Regrouper — On sépare chaque fraction en deux, puis on associe chaque quotient à son inverse.
- Minorer — Un réel strictement positif ajouté à son inverse donne au moins deux, car le carré de leur différence est positif.
La valeur minimale est atteinte quand : est alors le centre de gravité du triangle.
Pièges anticipés
3→ Chaque parenthèse vaut au moins et il y en a trois.2→ est le minimum d'une seule parenthèse : la somme en contient trois.
Exercice 31 · raisonnement
La nature du triangle
Soit un triangle et un point tel que la somme des vecteurs et soit le vecteur nul, et que les distances et soient égales. Quelle est la nature du triangle ?
Réponds par un mot : isocèle, rectangle, équilatéral…
Réponse attendue : equilateral — aussi acceptées : triangle equilateral · un triangle equilateral · il est equilateral · abc est equilateral · abc est un triangle equilateral · le triangle abc est equilateral · le triangle est equilateral · triangle abc equilateral
Indices, dans l’ordre
- La première condition dit que est le centre de gravité du triangle ; la seconde, que est le centre du cercle circonscrit.
- La médiane issue de passe par et par le milieu de ; or est aussi sur la médiatrice de
Correction
- Deux rôles pour O — est l'isobarycentre des sommets, donc le centre de gravité ; et il est à égale distance des trois sommets, donc c'est le centre du cercle circonscrit.
- Une médiane — La médiane issue de passe par et par le milieu de deux points de la médiatrice de : cette médiane est la médiatrice de
- Les autres côtés — Le même raisonnement, avec la médiane issue de donne une seconde égalité.
Le triangle est équilatéral : son centre de gravité est aussi le centre de son cercle circonscrit.
Pièges anticipés
isocele / triangle isocele / un triangle isocele→ Il est isocèle en mais aussi en et en : le raisonnement vaut pour les trois médianes.rectangle / triangle rectangle / un triangle rectangle→ Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse : ce n'est pas le centre de gravité.
Exercice 32 · defi
Situer le centre du cercle inscrit
Dans un triangle on donne et La bissectrice de l'angle coupe le côté en et est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Le centre du cercle inscrit est le barycentre des trois sommets, chacun affecté de la longueur du côté opposé : avec la longueur avec la longueur avec la longueur
- est le barycentre de et Regroupe et : leur barycentre est avec le coefficient
Correction
- Le barycentre — Chaque sommet reçoit la longueur du côté opposé.
- Regrouper B et C — Le barycentre de et est le pied de la bissectrice ; il porte la somme des deux coefficients.
- La formule — En partant de le coefficient de sur la somme des coefficients.
: le centre du cercle inscrit est sur la bissectrice aux deux tiers à partir de
Pièges anticipés
1/3→ En partant de c'est le coefficient de c'est-à-dire qui est au numérateur.1/8→ ne porte pas le coefficient : il remplace et donc il porte
Exercice 33 · pratique
Retrouver le milieu du troisième côté
Soit un triangle, son centre de gravité, le milieu du segment et le symétrique de par rapport à Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- Écris le vecteur avec la relation de Chasles, en passant par : c'est la somme des vecteurs et
- est le symétrique de par rapport à : le vecteur est égal au vecteur la moitié du vecteur
Correction
- La symétrie — est le milieu de et est le milieu de
- Le vecteur AK — On ajoute avec la relation de Chasles.
: comme le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane, est le milieu du côté
Pièges anticipés
2→ n'est pas le symétrique de par rapport à mais celui de : on ajoute seulement la moitié du vecteur1/2 / 0.5→ correspond au vecteur seul : il faut ajouter le vecteur
Exercice 34 · raisonnement
Sécantes ou parallèles ?
Soient et trois points non alignés et le barycentre des points et affectés des coefficients et La droite coupe-t-elle la droite ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non elles sont paralleles · non paralleles · non, elles sont paralleles · non, paralleles · non elle ne la coupe pas · non, elle ne la coupe pas · non, elles sont strictement paralleles · non elles sont strictement paralleles · non, les droites sont paralleles · non les droites sont paralleles
Indices, dans l’ordre
- Peut-on regrouper et ? Regarde la somme de leurs coefficients.
- Exprime le vecteur en fonction des vecteurs et : la somme des trois coefficients vaut
Correction
- Pas de barycentre partiel — La somme des coefficients de et de est nulle : ces deux points n'ont pas de barycentre.
- Le vecteur AG — La somme des trois coefficients vaut
- Conclure — Le vecteur est colinéaire au vecteur et n'est pas sur la droite : les deux droites sont strictement parallèles.
Non : la droite est parallèle à la droite Elle ne la couperait que si la somme des coefficients de et de n'était pas nulle.
Pièges anticipés
oui→ Si la droite coupait la droite le point d'intersection serait le barycentre de et Or la somme de leurs coefficients est nulle.
Exercice 35 · pratique
Le coefficient de l'examen
Dans un module, la note de travaux pratiques a le coefficient et la note d'examen un coefficient Une élève obtient en travaux pratiques et à l'examen, et sa moyenne dans le module vaut Déterminer le coefficient
Donne le coefficient
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- La moyenne s'écrit
- Égale-la à puis multiplie les deux membres par
Correction
- L'équation — La moyenne pondérée doit valoir
- La résoudre — On multiplie par puis on regroupe les termes en
: l'examen compte triple. La moyenne plus proche de que de le laissait prévoir.
Pièges anticipés
1/3→ Tu as donné le coefficient à la note de travaux pratiques. C'est l'examen, noté qui a le coefficient :34/3→ On divise par la somme des coefficients, et non par seul.
Exercice 36 · base
Le milieu, dans l'autre sens
Soit un segment de milieu et un point quelconque du plan. Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Le milieu réduit la somme :
- Compare le vecteur et le vecteur : ils sont opposés.
Correction
- Le milieu — est le milieu de
- Changer de sens — Le vecteur est l'opposé du vecteur
: attention à l'ordre des lettres, le vecteur part de
Pièges anticipés
2→ est juste, mais l'énoncé demande le vecteur qui est l'opposé de
Exercice 37 · pratique
La note qu'il faut viser
Au premier trimestre, le devoir de contrôle a le coefficient et le devoir de synthèse le coefficient Un élève a obtenu au devoir de contrôle. Déterminer la note qu'il doit obtenir au devoir de synthèse pour avoir une moyenne égale à
Donne la note
Réponse attendue : 14
Indices, dans l’ordre
- Écris la moyenne avec les coefficients :
- Résous l'équation obtenue en égalant cette moyenne à
Correction
- L'équation — La moyenne pondérée doit valoir
- La résoudre — On multiplie par puis on isole
Il lui faut : le devoir de synthèse compte double, il rattrape vite une mauvaise note.
Pièges anticipés
16→ Tu as fait la moyenne sans les coefficients. Le devoir de synthèse compte double :20→ Tu as donné le coefficient au devoir de contrôle. C'est le devoir de synthèse qui compte double.
Exercice 38 · base
Où accrocher la tige ?
Une tige de longueur cm porte une masse de kilogrammes en et une masse de kilogrammes en Calculer la distance en cm, du point d'équilibre au point
Donne la distance en cm.
Réponse attendue : 70
Indices, dans l’ordre
- À l'équilibre, et
- Le point d'équilibre est le barycentre de et :
Correction
- Le barycentre — est le barycentre de et : il est sur le segment
- La distance — On multiplie la longueur de la tige par sept neuvièmes.
cm : le crochet est du côté de la masse la plus lourde, à cm de
Pièges anticipés
20→ cm, c'est la distance Le point d'équilibre est plus près de la masse la plus lourde, accrochée en45→ Le milieu ne convient que pour deux masses égales. Ici la masse en est plus lourde.
Exercice 39 · pratique
La masse qui équilibre
Une tige de longueur m est suspendue en un point situé à cm de On accroche en une masse de kilogrammes. Quelle masse en kilogrammes, faut-il accrocher en pour que la tige soit en équilibre ?
Donne la masse en kilogrammes.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Convertis la longueur de la tige en centimètres, puis calcule la distance
- À l'équilibre,
Correction
- Les distances — La tige mesure cm.
- L'équilibre — La masse multipliée par la distance est la même des deux côtés.
- La masse — On divise par
Il faut kilogrammes en : le côté le plus long porte la masse la plus légère.
Pièges anticipés
27→ Tu as échangé les distances : cm et cm, donc9/4 / 2.25→ Tu as pris la longueur de la tige pour La distance va de à : cm.
Exercice 40 · raisonnement
La balançoire à bascule
Une planche de m repose sur un pivot. Sami, qui pèse kilogrammes, s'assoit à une extrémité, et Rim, qui pèse kilogrammes, à l'autre. Calculer la distance, en m, entre Sami et le pivot pour que la planche soit en équilibre (on néglige la masse de la planche).
Donne la distance, en m.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Le pivot est le point d'équilibre des deux extrémités, affectées des masses et
- Simplifie les coefficients : donne le même barycentre que
- En partant de Sami, c'est le coefficient de Rim qui est au numérateur.
Correction
- Le barycentre — On note et les places de Sami et de Rim. Le pivot est le barycentre de et ou de et
- La distance — On multiplie la longueur de la planche par deux cinquièmes.
Le pivot est à m de Sami : l'enfant le plus lourd est le plus près du pivot.
Pièges anticipés
3→ m, c'est la distance entre Rim et le pivot. Le plus lourd des deux, Sami, est le plus près du pivot.5/2 / 2.5→ Le milieu de la planche ne convient que si les deux enfants ont la même masse.
Exercice 41 · base
Une somme de coefficients égale à deux
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -3/2 — aussi acceptées : -1.5
Indices, dans l’ordre
- En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.
- Le dénominateur est la somme des coefficients,
Correction
- La somme — La somme des coefficients n'est pas nulle : le barycentre existe.
- La formule — Le coefficient de divisé par la somme.
: est hors du segment du côté de qui a le plus grand coefficient en valeur absolue.
Pièges anticipés
5/2 / 2.5→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de3/2 / 1.5→ Le coefficient de est négatif : le vecteur est de sens contraire au vecteur-3/8 / -0.375→ On ajoute les coefficients avec leurs signes : et non-3→ Il reste à diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 42 · base
Reconnaître un coefficient
Soient et deux points distincts et le point tel que Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Ramène tout dans un membre :
- Compare avec la définition :
Correction
- Un seul membre — On fait passer le vecteur dans le premier membre.
- La définition — On lit les coefficients devant et devant
: est le barycentre de et On écrit toujours la relation sous la forme « somme égale au vecteur nul ».
Pièges anticipés
4→ La relation est : en ramenant tout dans un membre, on obtient avec un coefficient négatif.
Exercice 43 · base
En partant de l'autre point
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 5/6
Indices, dans l’ordre
- En partant de c'est le coefficient de l'autre point, qui est au numérateur.
- Le dénominateur est toujours la somme des coefficients.
Correction
- La formule — On part de : le coefficient de divisé par la somme des coefficients.
: est sur le segment, tout près de qui a le plus grand coefficient.
Pièges anticipés
1/6→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de5→ Il reste à diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 44 · pratique
Une distance sur le segment
Soient et deux points tels que et le barycentre des points pondérés et Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- En partant de on a
- Multiplie la longueur par ce coefficient.
Correction
- La formule — On part de : le coefficient de sur la somme des coefficients.
- La distance — On passe aux longueurs.
: le barycentre est plus près de qui porte le plus grand coefficient.
Pièges anticipés
14→ c'est la distance Le barycentre est plus près du point de plus grand coefficient, ici9→ Le milieu ne convient que pour deux coefficients égaux.
Exercice 45 · base
Deux coefficients négatifs
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et Le point appartient-il au segment ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui il appartient au segment · oui il est sur le segment · oui il est entre a et b · oui G appartient au segment · oui G est sur le segment · oui il appartient a ab · oui G appartient a ab · oui il appartient au segment ab · oui il est sur le segment ab · oui G est sur le segment ab · oui G est entre a et b · oui G est sur ab · oui il est sur ab · oui G appartient au segment ab
Indices, dans l’ordre
- Regarde le signe des deux coefficients.
- Le barycentre est sur le segment si, et seulement si, les coefficients sont de même signe.
Correction
- Les signes — Les deux coefficients sont négatifs : ils sont de même signe.
- Vérifier — Avec la formule, la somme des coefficients vaut
Oui : deux coefficients négatifs sont de même signe, et est sur le segment On peut d'ailleurs les multiplier par
Pièges anticipés
non→ Les coefficients et sont tous les deux négatifs, donc de même signe : le barycentre est sur le segment.
Exercice 46 · pratique
Le point le plus proche
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Lequel des deux points et est le plus proche de ?
Réponds par le nom du point.
Réponse attendue : B — aussi acceptées : le point B
Indices, dans l’ordre
- Calcule le réel tel que
- Situe : au-delà de ou entre et ?
Correction
- La formule — La somme des coefficients vaut
- Les distances — est au-delà de à un tiers de de lui.
est plus proche de le point dont le coefficient est le plus grand en valeur absolue.
Pièges anticipés
A→ Le coefficient de est le plus grand en valeur absolue : c'est vers que le barycentre est attiré.
Exercice 47 · raisonnement
Un barycentre symétrique
Soient et deux points distincts et un réel, Déterminer pour que le barycentre des points pondérés et soit le symétrique de par rapport à
Donne le réel
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Le symétrique de par rapport à vérifie
- La formule donne : égale les deux coefficients.
Correction
- Le symétrique — est le milieu de
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
- L'équation — On égale les deux coefficients.
: on vérifie que et donnent
Pièges anticipés
-1→ Avec on obtient : c'est le symétrique de par rapport à pas celui de par rapport à0→ Avec le barycentre est lui-même. Le symétrique de par rapport à vérifie
Exercice 48 · pratique
Placer au quart
Soient et deux points distincts et un réel, Déterminer pour que le barycentre des points pondérés et vérifie
Donne le réel
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- La formule donne
- Résous l'équation
Correction
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
- L'équation — On fait le produit en croix.
: est le barycentre de et au quart du segment à partir de le point le plus lourd.
Pièges anticipés
9→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de :
Exercice 49 · base
Chasser deux fractions
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 10/13
Indices, dans l’ordre
- Multiplie les deux coefficients par : le barycentre ne change pas.
- est alors le barycentre de et
Correction
- Chasser les fractions — On multiplie les deux coefficients par
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
: multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne change pas le barycentre.
Pièges anticipés
3/13→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de2/3→ Il faut diviser le coefficient de par la somme des deux coefficients, qui ne vaut pas ici.
Exercice 50 · pratique
Les coefficients les plus simples
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Le point est aussi le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -5
Indices, dans l’ordre
- On passe de à en multipliant par un même réel non nul : lequel ?
- Multiplie aussi le coefficient de par ce réel.
Correction
- Le facteur — On passe du coefficient au coefficient en multipliant par
- L'autre coefficient — On multiplie le coefficient de par le même réel.
: on peut multiplier tous les coefficients par un même réel non nul, même négatif.
Pièges anticipés
5→ Le facteur qui transforme en est négatif : il change aussi le signe du coefficient de23→ On ne peut pas ajouter un même nombre aux coefficients : on les multiplie tous par un même réel non nul.
Exercice 51 · raisonnement
Un paramètre en facteur
Soient et deux points distincts, un réel différent de et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Factorise le coefficient de :
- Divise les deux coefficients par qui n'est pas nul.
Correction
- Factoriser — Les deux coefficients sont des multiples de
- Simplifier — Comme on divise les deux coefficients par
- La formule — Le coefficient de sur la somme.
: le barycentre ne dépend pas de Avant de calculer, on cherche un facteur commun aux coefficients.
Pièges anticipés
1/3→ Tu as mis au numérateur le coefficient de En partant de c'est celui de2→ Il faut diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 52 · base
Réduire une différence
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Pour tout point du plan, Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- La réduction s'écrit
- Ici et
Correction
- La réduction — Le réel cherché est la somme des coefficients.
: la somme pondérée de deux vecteurs se réduit à la somme des coefficients fois le vecteur
Pièges anticipés
5→ On ajoute les coefficients avec leurs signes :4→ Le réel cherché est la somme des deux coefficients, pas celui de
Exercice 53 · pratique
Une norme à calculer
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Soit un point tel que Calculer la norme du vecteur
Donne la norme.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Réduis la somme avec le point
- La norme du vecteur est
Correction
- Réduire — La somme des coefficients vaut
- La norme — On multiplie la distance par
La norme vaut : réduire la somme ramène le calcul à une seule distance,
Pièges anticipés
27→ On ajoute les coefficients avec leurs signes : et non3→ est la distance La somme vaut cinq fois le vecteur
Exercice 54 · raisonnement
Le point défini par une égalité
Soient et deux points distincts et le barycentre des points pondérés et Le point vérifie Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Réduis le premier membre avec le point : la somme des coefficients vaut
- Tu obtiens ; attention au sens du vecteur demandé.
Correction
- Réduire — est le barycentre de et
- L'égalité — On remplace dans l'égalité de l'énoncé.
- Changer de sens — Le vecteur est l'opposé du vecteur
: en réduisant d'abord, on transforme une égalité à deux vecteurs inconnus en une seule position de
Pièges anticipés
2→ est le vecteur Le vecteur demandé, est son opposé.-6 / 6→ La somme des coefficients vaut : il faut diviser par-6/7→ On ajoute les coefficients avec leurs signes : et non
Exercice 55 · pratique
Un vecteur constant dans un triangle
Soit un triangle et le milieu de Pour tout point du plan, le vecteur est égal à Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -6
Indices, dans l’ordre
- Le milieu réduit la somme
- Il reste : utilise la relation de Chasles, puis regarde le sens du vecteur obtenu.
Correction
- Le milieu — est le milieu de
- Chasles — On met en facteur et on applique la relation de Chasles.
- Changer de sens — Le vecteur est l'opposé du vecteur
: la somme des coefficients est nulle, donc le vecteur ne dépend pas de
Pièges anticipés
6→ : ce vecteur va de vers il est l'opposé du vecteur
Exercice 56 · defi
Une droite parallèle à un côté
Soit un triangle et un réel. On note le barycentre des points pondérés et lorsqu'il existe. Déterminer pour que le barycentre existe et que la droite soit parallèle à la droite
Donne le réel
Réponse attendue : 1/3
Indices, dans l’ordre
- Écris en fonction de et
- La droite est parallèle à lorsque est colinéaire à c'est-à-dire lorsque les coefficients de et de sont opposés.
- N'oublie pas de vérifier que la somme des trois coefficients n'est pas nulle.
Correction
- Le vecteur AG — La somme des coefficients vaut ; elle doit être non nulle.
- La condition — est colinéaire à lorsque les deux coefficients sont opposés.
- Vérifier — La somme des coefficients vaut et
: la droite est parallèle à quand les coefficients de et de ont une somme nulle.
Pièges anticipés
0→ Avec la somme des coefficients vaut : le barycentre n'existe pas.1→ Avec les coefficients de et de sont égaux : passe alors par le milieu de elle n'est pas parallèle à
Exercice 57 · pratique
Rendre un vecteur constant
Soient et trois points du plan. Déterminer le réel pour que le vecteur ne dépende pas du point
Donne le réel
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Passe par dans les vecteurs et
- Le vecteur ne dépend pas de lorsque le coefficient de obtenu est nul.
Correction
- Passer par A — On écrit et
- La condition — Le vecteur ne dépend plus de lorsque la somme des coefficients est nulle.
: une somme pondérée de vecteurs ne dépend pas de exactement quand la somme des coefficients est nulle.
Pièges anticipés
2→ Avec la somme des coefficients vaut : le vecteur vaut et dépend de-3→ Le coefficient de compte aussi :
Exercice 58 · defi
Le vecteur constant et un barycentre
Soient et trois points non alignés, le vecteur qui ne dépend pas de et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -1/3
Indices, dans l’ordre
- Comme ne dépend pas de calcule-le en choisissant
- est le barycentre de et :
Correction
- Choisir M — Le vecteur ne dépend pas de : on prend
- Le barycentre — Par définition de les deux premiers termes ont une somme nulle.
- Conclure — On divise par
: la droite est dirigée par Pour un vecteur constant, on choisit le point qui annule le plus de termes.
Pièges anticipés
1/3→ : le coefficient est négatif.-3→ est le réel tel que On demande l'inverse : en fonction de-0.33 / -0.333 / -0.3→ On attend la valeur exacte : sans arrondir.
Exercice 59 · base
Les deux points repères
Pour construire par la méthode des parallèles le barycentre des points pondérés et on trace par et par deux droites parallèles de vecteur directeur et on y place les points et tels que et de sorte que les droites et se coupent en Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -5
Indices, dans l’ordre
- On croise les coefficients : celui de sert à partir de
- À partir de on prend l'opposé du coefficient de
Correction
- Croiser — Le coefficient de donne ; l'opposé du coefficient de donne
- Vérifier — Alors
: est l'intersection des droites et
Pièges anticipés
5→ Avec les deux vecteurs ne se compensent pas : il faut l'opposé du coefficient de-2 / 2→ On croise les coefficients : à partir de c'est le coefficient de avec le signe moins.
Exercice 60 · pratique
Retrouver les coefficients
Soient et deux points distincts. Par et par on trace deux droites parallèles de vecteur directeur et on place les points et tels que et Les droites et se coupent en barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Dans la méthode des parallèles, pour et on place et
- Lis sur le vecteur
Correction
- La méthode — Pour et on place ce qui est bien le cas, et
- Le coefficient — On en déduit
- Vérifier — La somme des coefficients vaut ; est hors du segment.
: les vecteurs et sont de même sens, donc les coefficients sont de signes contraires et est hors du segment.
Pièges anticipés
4→ Dans la méthode, : est l'opposé de
Exercice 61 · raisonnement
Où les droites se coupent
Soient et deux points distincts. Par et par on trace deux droites parallèles de vecteur directeur et on place les points et tels que et Les droites et se coupent en Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Retrouve les coefficients : et
- est le barycentre de et
Correction
- Les coefficients — On lit et
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
: les vecteurs et sont de sens contraires, les coefficients sont de même signe, et est sur le segment.
Pièges anticipés
3/4 / 0.75→ est le barycentre de et : il est plus près de qui porte le plus grand coefficient.1/3→ est le rapport des coefficients. Il faut diviser par leur somme,
Exercice 62 · base
La diagonale du parallélogramme
Soient et deux points distincts, le barycentre des points pondérés et et un point hors de la droite On construit tel que puis tel que soit un parallélogramme. Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Dans le parallélogramme
- Réduis avec le point
Correction
- La diagonale — La règle du parallélogramme donne la somme des deux vecteurs.
- Réduire — La somme des coefficients vaut
: est sur la droite au cinquième du segment à partir de
Pièges anticipés
4→ Le réel cherché est la somme des coefficients,
Exercice 63 · pratique
Placer G sur la diagonale
Soient et deux points distincts, le barycentre des points pondérés et et un point hors de la droite On construit et tels que et puis tel que soit un parallélogramme. Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 1/3
Indices, dans l’ordre
- Écris puis réduis avec
- Tu obtiens : exprime ensuite
Correction
- La diagonale — La règle du parallélogramme, puis la réduction : la somme des coefficients vaut
- Le vecteur MG — On divise par
: est l'intersection des droites et au tiers de
Pièges anticipés
3→ ; on demande le vecteur en fonction de il faut diviser par1/11→ On ajoute les coefficients avec leurs signes :0.33 / 0.333 / 0.3→ On attend la valeur exacte : sans arrondir.
Exercice 64 · raisonnement
Une longueur sur la diagonale
Soient et deux points distincts, le barycentre des points pondérés et et un point hors de la droite On construit et tels que et puis tel que soit un parallélogramme. On mesure cm. Calculer la distance en cm.
Donne la distance en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Montre que
- Une distance est positive :
Correction
- La diagonale — La règle du parallélogramme, puis la réduction : la somme des coefficients vaut
- Les longueurs — La norme de est
cm : est sur la droite mais du côté opposé à par rapport à car le coefficient est négatif.
Pièges anticipés
-4→ Une distance est toujours positive : la norme de est12/7→ On ajoute les coefficients avec leurs signes :
Exercice 65 · raisonnement
Placer K sur la droite (IJ)
Soient et quatre points distincts, le barycentre de et et le barycentre de et Le point vérifie Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2/7
Indices, dans l’ordre
- Réduis avec et avec
- Tu obtiens : est le barycentre de et
Correction
- Avec le point I — La somme des coefficients et vaut
- Avec le point J — La somme des coefficients et vaut
- Le barycentre K — : est le barycentre de et
: est sur la droite donc et sont alignés.
Pièges anticipés
5/7→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.2/5 / 0.4→ Il faut diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 66 · defi
Le milieu de deux barycentres
Soient et quatre points distincts, le barycentre de et le barycentre de et et le milieu de Le point vérifie Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Réduis : et
- est le milieu de : Il faut donc le même coefficient devant et devant
- Multiplie la première égalité par et la seconde par
Correction
- Réduire — On réduit chaque paire avec son barycentre.
- Le même coefficient — On multiplie la première égalité par et la seconde par : les deux donnent
- Le milieu — On ajoute : car est le milieu de
: pour réunir deux barycentres en leur milieu, on rend égales les sommes de leurs coefficients.
Pièges anticipés
3→ Tu as gardé le coefficient de dans Il faut multiplier les coefficients de et de par pour que porte comme12→ On multiplie les coefficients de et de par (le coefficient de devient ), pas par
Exercice 67 · defi
Une sécante dans un triangle
Soit un triangle, le symétrique de par rapport à et le milieu de La droite coupe la droite en Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 1/3
Indices, dans l’ordre
- Écris comme barycentre de et et comme barycentre de et
- Pour tout point ajoute et : le point disparaît.
- Le barycentre de et est alors aussi le barycentre de et
Correction
- Le point P — est le milieu de donc
- Additionner — Pour tout point on ajoute les deux réductions.
- Le point commun — Soit le barycentre de et Avec le premier membre est nul : est le barycentre de et donc il est sur et sur : c'est
: en choisissant des coefficients qui font disparaître un point, on trouve un barycentre commun à deux droites.
Pièges anticipés
2/3→ est le barycentre de et : il est plus près de En partant de le numérateur est le coefficient de1/2 / 0.5→ n'est pas le milieu de : écris et comme barycentres et fais disparaître le point
Exercice 68 · pratique
Un rayon donné par un vecteur constant
Soient et deux points tels que et le barycentre des points pondérés et L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à la norme du vecteur est un cercle de centre Soit le rayon de ce cercle. Calculer
Donne le rayon
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Réduis avec le point
- Le vecteur ne dépend pas de : il est égal à
Correction
- Réduire — La somme des coefficients vaut
- Le vecteur constant — Par la relation de Chasles,
- Les normes — On égale les normes.
Le rayon vaut : une somme de coefficients nulle donne un vecteur constant, et la norme de ce vecteur est une longueur connue.
Pièges anticipés
10→ est la norme de Le rayon est la distance : il faut diviser par4→ est la distance Le rayon se lit sur l'égalité
Exercice 69 · defi
Une médiatrice qui coupe la droite (AB)
Soient et deux points tels que L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à la norme du vecteur est une droite, qui coupe la droite en un point Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Introduis barycentre de et et barycentre de et
- L'égalité devient : c'est la médiatrice de
- Calcule et puis la position du milieu de
Correction
- Réduire — Les deux sommes de coefficients valent
- L'ensemble — : l'ensemble est la médiatrice de perpendiculaire à au milieu de
- Les positions — et donc et
: la droite est la médiatrice de qui est aussi celle de
Pièges anticipés
3→ est la distance La droite est la médiatrice de : elle coupe au milieu de6→ est la distance Il faut le milieu de
Exercice 70 · pratique
Un point de l'ensemble ?
Soient et deux points tels que et le barycentre des points pondérés et On note l'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à Le point appartient-il à ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui il appartient a e · oui a appartient a e · oui il est sur le cercle
Indices, dans l’ordre
- est le cercle de centre et de rayon puisque la norme vaut
- Calcule la distance et compare-la au rayon.
Correction
- L'ensemble — La somme des coefficients vaut
- La distance AG —
Oui : le rayon du cercle. On peut aussi remplacer par :
Pièges anticipés
non→ Calcule : donc qui est exactement le rayon.
Exercice 71 · defi
Le cercle d'un triangle rectangle
Soit un triangle rectangle en tel que et et son centre de gravité. L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à la norme du vecteur est un cercle de centre Soit le rayon de ce cercle. Calculer la valeur exacte de
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : 10/3
Indices, dans l’ordre
- Le centre de gravité réduit la somme des trois vecteurs :
- Le vecteur ne dépend pas de : c'est
- Calcule avec le théorème de Pythagore.
Correction
- La première somme — est l'isobarycentre de et
- Le vecteur constant — La relation de Chasles donne et le théorème de Pythagore donne
- Le rayon — On égale les normes.
Le rayon vaut Ce cercle passe d'ailleurs par : de la médiane, qui vaut
Pièges anticipés
10→ est la norme de Le rayon est la distance : il faut diviser par3.33 / 3.3 / 3.333→ On demande la valeur exacte : sans arrondir.
Exercice 72 · base
Trois points sur une droite graduée
Sur une droite graduée, les points et ont pour abscisses et Le point est le barycentre des points pondérés et Calculer l'abscisse du point
Donne l'abscisse
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- L'abscisse du barycentre est la moyenne des abscisses, pondérée par les coefficients.
- Divise par la somme des coefficients,
Correction
- La moyenne pondérée — On multiplie chaque abscisse par son coefficient et on divise par la somme des coefficients.
L'abscisse de est : sur une droite graduée, un barycentre se calcule comme une moyenne avec coefficients.
Pièges anticipés
6→ Tu as fait la moyenne sans les coefficients. Chaque abscisse est multipliée par son coefficient.45→ Il reste à diviser par la somme des coefficients,
Exercice 73 · pratique
Trois masses sur une règle
Une règle, graduée en centimètres et de masse négligeable, porte trois masses : kilogrammes à la graduation kilogramme à la graduation et kilogrammes à la graduation À quelle graduation faut-il la suspendre pour qu'elle reste en équilibre ?
Donne la graduation du point d'équilibre, en cm.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- Le point d'équilibre est le barycentre des trois points, affectés des masses.
- Son abscisse est la moyenne des graduations, pondérée par les masses.
Correction
- Le barycentre — On pondère chaque graduation par sa masse.
- Le calcul — On divise par la masse totale, kilogrammes.
Il faut la suspendre à la graduation : le point d'équilibre est attiré vers la masse la plus lourde.
Pièges anticipés
11/3→ Tu as fait la moyenne des graduations sans les masses. Chaque graduation est multipliée par sa masse.27→ Il reste à diviser par la somme des masses,
Exercice 74 · base
Le coefficient de AB
Soient et trois points non alignés et le barycentre des points pondérés et Le vecteur s'écrit Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -1/4 — aussi acceptées : -0.25
Indices, dans l’ordre
- On a
- La somme des trois coefficients vaut
Correction
- La somme — La somme des coefficients n'est pas nulle.
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
: le coefficient de est celui de divisé par la somme des trois coefficients.
Pièges anticipés
1/4 / 0.25→ Le coefficient de est négatif : l'est aussi.-1/2 / -0.5→ On divise par la somme des trois coefficients, y compris celui de :3/4 / 0.75→ est le coefficient de Le coefficient de vient de celui de
Exercice 75 · base
Le barycentre existe-t-il ?
Soient et trois points non alignés. Existe-t-il un barycentre des points pondérés et ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non il n'existe pas · non, il n'existe pas · non la somme est nulle · non, la somme est nulle · non la somme des coefficients est nulle · non, la somme des coefficients est nulle · non il n'y a pas de barycentre · non, il n'y a pas de barycentre · non le barycentre n'existe pas · non, le barycentre n'existe pas · non pas de barycentre · non, pas de barycentre
Indices, dans l’ordre
- Le barycentre de trois points pondérés existe lorsque la somme des coefficients n'est pas nulle.
- Calcule
Correction
- La somme — La somme des coefficients est nulle.
- Conclure — Le vecteur ne dépend alors pas de : aucun point ne l'annule, puisque et ne sont pas alignés.
Non : avec une somme de coefficients nulle, il n'y a pas de barycentre. On vérifie toujours cette somme d'abord.
Pièges anticipés
oui→ La somme des coefficients, est nulle : le barycentre n'existe pas.
Exercice 76 · pratique
Un barycentre qui n'existe pas
Soient et trois points non alignés et un réel. Déterminer la valeur de pour laquelle les points pondérés et n'ont pas de barycentre.
Donne le réel
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le barycentre n'existe pas lorsque la somme des coefficients est nulle.
- Résous
Correction
- La condition — La somme des coefficients doit être nulle.
: pour toute autre valeur de le barycentre existe.
Pièges anticipés
-3→ Vérifie : qui n'est pas nul. Il faut-7→ On ajoute les coefficients avec leurs signes : et non
Exercice 77 · pratique
D'une décomposition à un barycentre
Soient et trois points non alignés et le point tel que Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Pour le barycentre de et :
- Égale le coefficient de à puis vérifie celui de
Correction
- La formule — La somme des coefficients vaut
- Le coefficient de AB — On égale à
- Vérifier — Le coefficient de vaut alors
: est le barycentre de et On identifie les coefficients de et de
Pièges anticipés
6→ est la somme des trois coefficients, Le coefficient de vaut0→ Avec la somme vaut et le coefficient de serait pas
Exercice 78 · raisonnement
Les coordonnées d'un barycentre
Le plan est muni d'un repère On donne les points et Soit le barycentre des points pondérés et Calculer l'abscisse du point
Donne l'abscisse
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Réduis la somme au point :
- L'abscisse de est donc
Correction
- Réduire au point O — La somme des coefficients vaut
- L'abscisse — On remplace par les abscisses.
: les coordonnées d'un barycentre sont les moyennes des coordonnées, pondérées par les coefficients. De même,
Pièges anticipés
16→ Il reste à diviser par la somme des coefficients,3→ Le coefficient de est : on retranche c'est-à-dire qu'on ajoute8/3→ On divise par la somme des coefficients avec leurs signes, et non
Exercice 79 · base
Réduire une somme de trois vecteurs
Soient et trois points et le barycentre des points pondérés et Pour tout point du plan, Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- La réduction s'écrit
- Ajoute les coefficients avec leurs signes.
Correction
- La réduction — Le réel cherché est la somme des coefficients.
: comme pour deux points, on réduit avec la somme des coefficients.
Pièges anticipés
9→ On ajoute les coefficients avec leurs signes :
Exercice 80 · base
Le centre de gravité
Soit un triangle de centre de gravité Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Le centre de gravité est l'isobarycentre :
- Fais passer le vecteur dans l'autre membre.
Correction
- L'isobarycentre — est le barycentre de et
- Isoler — On retranche le vecteur
: la somme est l'opposé du vecteur
Pièges anticipés
1→ En faisant passer dans l'autre membre, on change son signe :2 / -2→ avec milieu de ; mais en fonction de c'est
Exercice 81 · pratique
Une norme pour trois points
Soient et trois points, le barycentre des points pondérés et et un point tel que Calculer la norme du vecteur
Donne la norme.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Réduis la somme avec le point
- La norme du vecteur est
Correction
- Réduire — La somme des coefficients vaut
- La norme — On multiplie la distance par
La norme vaut : réduire la somme ramène tout à la distance
Pièges anticipés
2→ est la distance La somme vaut six fois le vecteur6→ Le barycentre n'est pas l'isobarycentre : la somme des coefficients vaut pas
Exercice 82 · defi
Le centre de gravité d'un quadrilatère
Soit un quadrilatère, l'isobarycentre des points et (c'est-à-dire ), et le centre de gravité du triangle Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- Regroupe et : leur isobarycentre porte la somme
- est alors le barycentre de et
Correction
- Regrouper — Au point les trois premiers vecteurs se réduisent avec
- Deux points — La relation devient : est le barycentre de et
: le centre de gravité du quadrilatère est sur le segment aux trois quarts à partir de
Pièges anticipés
1/4 / 0.25→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.2/3→ vaut pour un triangle. Ici porte trois points, et un seul.
Exercice 83 · base
La relation des deux triangles
Soient et deux triangles de centres de gravité respectifs et On sait que Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Décompose chaque vecteur avec la relation de Chasles :
- Ajoute les trois égalités : que valent et ?
Correction
- Chasles — On passe par et par dans chacun des trois vecteurs.
- Additionner — Les deux sommes de trois vecteurs sont nulles, puisque et sont des centres de gravité. Il reste trois fois le vecteur
: deux triangles ont le même centre de gravité si, et seulement si,
Pièges anticipés
1→ Chacun des trois vecteurs fournit un vecteur : il y en a trois.
Exercice 84 · raisonnement
Trois symétriques
Soit un triangle. On note le symétrique de par rapport à le symétrique de par rapport à et le symétrique de par rapport à Les triangles et ont-ils le même centre de gravité ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui ils ont le meme centre de gravite · oui le meme centre de gravite · oui ils ont le meme · oui le meme · oui c'est le meme
Indices, dans l’ordre
- Deux triangles ont le même centre de gravité si, et seulement si,
- est le milieu de :
Correction
- Les trois vecteurs — Chaque symétrique double un vecteur côté.
- La somme — La relation de Chasles fait le tour du triangle.
Oui : la somme des trois vecteurs est nulle, donc et
Pièges anticipés
non→ Calcule : c'est qui est le vecteur nul.
Exercice 85 · defi
Deux centres de gravité dans un parallélogramme
Soit un triangle, le milieu de et le point tel que On note et les centres de gravité des triangles et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Associe les sommets deux par deux : avec avec avec et utilise
- La somme devient
- est un parallélogramme : sa diagonale passe par et
Correction
- La relation — On associe à à et à
- Simplifier — Les vecteurs et sont opposés.
- Le parallélogramme — : est un parallélogramme, de centre
: la relation marche pour n'importe quel ordre des sommets, pourvu qu'on associe chaque sommet à un sommet de l'autre triangle.
Pièges anticipés
1/3→ Le vecteur est le double du vecteur : est le milieu de la diagonale2→ mais vaut trois fois : il faut diviser par
Exercice 86 · base
Regrouper deux points
Soient et trois points, le barycentre des points pondérés et et le barycentre de et Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Quand on remplace deux points par leur barycentre, celui-ci reçoit la somme de leurs coefficients.
- Ici, remplace et
Correction
- Le barycentre partiel — porte la somme des coefficients de et de
: est le barycentre de et c'est-à-dire le milieu de
Pièges anticipés
2→ remplace les deux points et : il porte la somme de leurs coefficients.1→ remplace les deux points et : il porte la somme
Exercice 87 · pratique
Un coefficient négatif à regrouper
Soient et trois points non alignés, le barycentre des points pondérés et et le milieu de Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Remplace et par leur milieu affecté du coefficient
- est alors le barycentre de et
Correction
- Regrouper A et B — Le milieu porte la somme
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients,
: est le milieu de Le barycentre partiel ramène trois points à deux.
Pièges anticipés
-2→ Le coefficient de et la somme sont tous les deux négatifs : leur quotient est positif.-4→ Il faut diviser le coefficient de par la somme des coefficients,
Exercice 88 · pratique
Une moyenne en deux temps
Un élève passe trois devoirs. Les deux premiers, de coefficient chacun, ont pour moyenne Le troisième, de coefficient est noté Calculer sa moyenne générale.
Donne la moyenne.
Réponse attendue : 47/5 — aussi acceptées : 9.4
Indices, dans l’ordre
- Les deux premiers devoirs peuvent être remplacés par leur moyenne, affectée de la somme de leurs coefficients.
- La moyenne reçoit donc le coefficient
Correction
- Regrouper — Les deux premiers devoirs comptent comme une note de coefficient
- Le calcul — On divise par la somme des coefficients.
La moyenne est : c'est le barycentre partiel, appliqué à des notes.
Pièges anticipés
17/2 / 8.5→ La moyenne remplace deux devoirs : elle porte la somme de leurs coefficients, et non10→ Tu as fait la moyenne sans les coefficients. Le troisième devoir compte triple.
Exercice 89 · raisonnement
Sur la médiane
Soit un triangle, le milieu de et le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- et ont le même coefficient : leur barycentre est le milieu
- porte la somme : est le barycentre de et
Correction
- Regrouper B et C — Le milieu porte la somme des coefficients de et de
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
: est sur la médiane issue de aux trois quarts à partir de
Pièges anticipés
1/4 / 0.25→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.3/5 / 0.6→ remplace deux points : il porte pas
Exercice 90 · raisonnement
Une figure partagée en cinq
Soit un triangle. Le côté est partagé en cinq parts égales, et est le deuxième point de partage à partir de de sorte que Le point est le point du segment tel que Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- est le barycentre de et : il porte la somme
- : est le barycentre de et
- Multiplie ces coefficients pour que porte
Correction
- Le point M — : est plus près de qui reçoit le plus grand coefficient.
- Le point G — : est le barycentre de et ou encore, en multipliant par de et
- Conclure — porte la somme des coefficients de et de
: on lit chaque partage comme un barycentre de deux points, puis on accorde les coefficients du point commun
Pièges anticipés
2→ est le barycentre de et mais doit porter : il faut tout multiplier par5/2 / 2.5→ est plus près de que de : c'est qui reçoit le plus grand coefficient.
Exercice 91 · raisonnement
Où la droite (AG) coupe le côté
Soit un triangle et le barycentre des points pondérés et La droite coupe le côté en Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 5/7
Indices, dans l’ordre
- Le barycentre de et est sur
- est le barycentre de et : est aussi sur donc
Correction
- Regrouper B et C — Soit le barycentre de et ; est le barycentre de et
- Le point M — Les droites et se coupent en un seul point :
: la droite coupe au barycentre de et affectés de leurs coefficients.
Pièges anticipés
2/7→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.5/8 / 0.625→ Le point est le barycentre de et de seulement : on divise par
Exercice 92 · raisonnement
Un point hors du côté
Soit un triangle, le point de la droite tel que soit le milieu de et le milieu de Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- : écris comme barycentre de et
- porte la somme et est le milieu de
Correction
- Le point M —
- Le point G — est le milieu de et porte
- Conclure — On remplace par et
: un point hors du segment se lit avec un coefficient négatif, et le barycentre partiel fait le reste.
Pièges anticipés
2→ est le milieu de : et ont le même coefficient, et porte-1→ porte la somme : reçoit le même coefficient, positif.
Exercice 93 · raisonnement
Trois droites et un point commun
Soit un triangle, le barycentre de et le barycentre de et et le barycentre de et Les droites et sont concourantes en barycentre de et Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Regroupe et : porte la somme
- est le barycentre de et
Correction
- Regrouper B et C — porte la somme des coefficients de et de
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
: en regroupant de trois façons, on voit que est sur chacune des trois droites.
Pièges anticipés
1/3→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.1/2 / 0.5→ Tu as pris le seul coefficient de Le point remplace et : il porte la somme
Exercice 94 · defi
Deux céviennes, une troisième
Soit un triangle, le point de tel que et le point de tel que Les droites et se coupent en et la droite coupe en Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 6/7
Indices, dans l’ordre
- Écris comme barycentre de et et comme barycentre de et
- Multiplie les coefficients de pour que porte dans les deux : et
- Le barycentre de et est sur et sur : c'est
Correction
- Les points P et Q — On lit les partages, et on accorde le coefficient de
- Le point G — Le barycentre de et est celui de et et celui de et : il est sur et sur
- Le point R — En regroupant et est sur la droite qui joint au barycentre de et : c'est
: on choisit des coefficients qui conviennent aux deux droites données, puis on regroupe autrement.
Pièges anticipés
1/7→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.2/3→ Avant de regrouper, il faut le même coefficient pour dans et dans : multiplie les coefficients de par
Exercice 95 · defi
Faire passer une droite par G
Soit un triangle, le barycentre de et et un réel, On note le barycentre des points pondérés et Déterminer pour que appartienne à la droite
Donne le réel
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Regroupe et : la droite coupe au barycentre de et
- Ce point doit être : les coefficients doivent être proportionnels à
Correction
- Regrouper B et C — Si est le barycentre de et du barycentre de et : la droite coupe en
- Proportionnalité — lorsque est proportionnel à
- Vérifier — La somme des coefficients vaut
: avec et qui donnent le même barycentre que et le point est sur la droite
Pièges anticipés
8→ Avec le barycentre de et est plus près de Or est plus près de : il faut proportionnel à1→ Il ne suffit pas de recopier le coefficient de dans : porte il faut proportionnel à
Exercice 96 · defi
Trois points alignés dans un triangle
Soit un triangle, le milieu de le point tel que soit le milieu de et le point de tel que Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Écris comme barycentre de et et comme barycentre de et
- Réduis au point : et
- Retranche les deux égalités :
Correction
- Le point P —
- Réduire au point A' — La somme des coefficients vaut pour et pour
- Retrancher — On retranche la première égalité de la seconde ; est le milieu de donc
: les vecteurs et sont colinéaires, donc et sont alignés, avec entre et
Pièges anticipés
3→ : les deux vecteurs sont de sens contraires, le coefficient est négatif.-1/3→ donne en fonction de On demande le contraire.
Exercice 97 · pratique
Écrire un point comme barycentre
Soient et deux points distincts et le point tel que Le point est le barycentre des points pondérés et Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- La formule donne
- Résous
Correction
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients.
- Résoudre — Les numérateurs sont égaux, donc les dénominateurs aussi.
: est hors du segment, au-delà de donc les coefficients sont de signes contraires.
Pièges anticipés
3→ Avec : serait sur le segment. Il est au-delà de2→ est la somme des coefficients, Il reste à retrancher
Exercice 98 · pratique
La distance au centre de gravité
Soit un triangle équilatéral de côté et son centre de gravité. Calculer la valeur exacte de la distance
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 3*sqrt(3) — aussi acceptées : sqrt(27)
Indices, dans l’ordre
- La hauteur d'un triangle équilatéral de côté mesure
- Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane, qui est aussi la hauteur, à partir du sommet.
Correction
- La hauteur — La médiane issue de est aussi une hauteur.
- Les deux tiers — Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir du sommet.
: dans un triangle équilatéral, le centre de gravité est aussi le centre du cercle circonscrit, de rayon
Pièges anticipés
9*sqrt(3)/2→ C'est la hauteur entière. Le centre de gravité est aux deux tiers de la hauteur à partir du sommet.3*sqrt(3)/2→ C'est la distance de au côté le tiers de la hauteur. À partir du sommet, c'est les deux tiers.5.2 / 5.19 / 5.196→ On demande la valeur exacte : sans arrondir.
Exercice 99 · raisonnement
Un sommet dans le cercle ?
Soit un triangle équilatéral de côté et son centre de gravité. L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à est un cercle de centre Le sommet est-il à l'intérieur de ce cercle ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non il est a l'exterieur · non, il est a l'exterieur · non a est a l'exterieur · non, a est a l'exterieur · non il est dehors · non, il est dehors
Indices, dans l’ordre
- La norme vaut : calcule le rayon du cercle.
- Calcule les deux tiers de la hauteur, et compare au rayon.
Correction
- Le rayon — est l'isobarycentre : la somme vaut
- La distance GA — La hauteur mesure ; on en prend les deux tiers.
- Comparer — On compare les carrés :
Non : dépasse le rayon donc est à l'extérieur du cercle.
Pièges anticipés
oui→ Compare au rayon : dépasse
Exercice 100 · raisonnement
Une corde du cercle
Soit un triangle équilatéral de côté et son centre de gravité. L'ensemble des points du plan tels que la norme du vecteur soit égale à est un cercle de centre qui coupe le côté en deux points et Calculer la longueur
Donne la longueur
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- La norme vaut : calcule le rayon du cercle.
- Le milieu de est le pied de la hauteur issue de et est le tiers de cette hauteur.
- Dans le triangle rectangle en applique le théorème de Pythagore.
Correction
- Le rayon — est l'isobarycentre : la somme vaut
- La distance GI — La hauteur mesure et est au tiers de la hauteur à partir de
- Pythagore — Le triangle est rectangle en et est un rayon.
- La corde — La droite est perpendiculaire à la corde : elle passe par son milieu,
: la réduction donne le rayon, et la position de sur la hauteur donne sa distance au côté.
Pièges anticipés
sqrt(7)→ est le rayon du cercle. La corde se calcule avec la distance de au côté et le théorème de Pythagore.2→ est la moitié de la corde : où est le milieu de
Exercice 101 · pratique
Retrouver un côté par la bissectrice
Dans un triangle on donne La bissectrice de l'angle coupe le côté en avec et Calculer la longueur
Donne la longueur
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Le pied de la bissectrice vérifie : est le barycentre de et
- Remplace les longueurs connues, puis fais le produit en croix.
Correction
- La bissectrice — Le pied de la bissectrice partage dans le rapport des côtés adjacents.
- Remplacer — On remplace les trois longueurs connues.
- Le produit en croix — On isole
: barycentre de et est plus près de car est plus grand que
Pièges anticipés
4→ Tu as inversé le rapport : donc
Exercice 102 · defi
Le centre du cercle inscrit et un côté
Soit un triangle rectangle en tel que et et le centre du cercle inscrit dans le triangle. La droite coupe le côté en Déterminer le réel tel que
Donne le réel
Réponse attendue : 4/9
Indices, dans l’ordre
- est le barycentre de et soit et
- Regroupe et : leur barycentre est sur la droite et sur la droite
Correction
- Le centre du cercle inscrit — Chaque sommet reçoit la longueur du côté opposé.
- Regrouper A et B — Soit le barycentre de et : est le barycentre de et donc est sur et sur et
- La formule — Le coefficient de sur la somme des coefficients de et de
: est la bissectrice issue de et on retrouve
Pièges anticipés
5/9→ En partant de c'est le coefficient de qui est au numérateur.1/3→ Le point est le barycentre de et de seulement : on divise par sans le coefficient de0.44 / 0.444 / 0.4→ On attend la valeur exacte : sans arrondir.
Exercice 103 · defi
Les coordonnées du centre du cercle inscrit
Le plan est muni d'un repère orthonormé On donne les points et Calculer l'abscisse du centre du cercle inscrit dans le triangle
Donne l'abscisse
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Calcule les longueurs des trois côtés : et
- est le barycentre de et
- Son abscisse est la moyenne des abscisses, pondérée par ces longueurs.
Correction
- Les côtés — On calcule les distances dans le repère orthonormé.
- Le barycentre — est le barycentre de et ; la somme vaut
- Le calcul — On effectue.
; de même qui est le rayon du cercle inscrit, tangent à l'axe des abscisses.
Pièges anticipés
19/3→ est l'abscisse du centre de gravité. Le centre du cercle inscrit est un barycentre pondéré par les côtés opposés.271/42→ Chaque sommet reçoit la longueur du côté opposé : reçoit reçoit et reçoit