Calcul dans IR
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna le premier chapitre : calcul dans R. Bech nrajj3ou koll ma y5oss le calcul : les ensembles de nombres, les identités remarquables, les racines, les inégalités, la valeur absolue w les valeurs approchées. Bech nekhdmou 3la des exemples, w menhom ntalla3ou les règles. Yalla, nabdew.
عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا le premier chapitre : calcul dans R . باش نراجعو كل ما يخصّ le calcul : les ensembles de nombres ، les identités remarquables ، les racines ، les inégalités ، la valeur absolue w les valeurs approchées . باش نخدمو على des exemples ، w منهم نطلّعو les règles . يالله ، نبداو .
Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble le premier chapitre : calcul dans R. Nous allons revoir tout ce qui touche au calcul : les ensembles de nombres, les identités remarquables, les racines, les inégalités, la valeur absolue et les valeurs approchées. Nous allons travailler sur des exemples, et en tirer les règles. Allez, on commence.
Ce chapitre ouvre l'année par le calcul : savoir où vit un nombre, le transformer, le comparer, l'encadrer, l'approcher.
On y apprend surtout en travaillant : des fractions aux ordres de grandeur, chaque section part d'exemples concrets et en dégage la règle qu'ils mettent en œuvre.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Situer un nombre dans les ensembles et Situer un nombre parmi les naturels, les relatifs, les décimaux, les rationnels et les réels.Situer un nombre parmi les naturels, les relatifs, les décimaux, les rationnels et les réels.
- Calculer avec des fractions, des pourcentages et des identités remarquablesCalculer avec des fractions, des pourcentages et des identités remarquables.Calculer avec des fractions, des pourcentages et des identités remarquables.
- Comparer et encadrer des réels, et démontrer des inégalitésComparer et encadrer des réels, et démontrer des inégalités.Comparer et encadrer des réels, et démontrer des inégalités.
- Simplifier des expressions avec radicaux, développer et factoriserSimplifier des expressions avec des racines, développer et factoriser.Simplifier des expressions avec des racines, développer et factoriser.
- Utiliser la valeur absolue, les valeurs approchées et l'ordre de grandeurUtiliser la valeur absolue, les valeurs approchées et l'ordre de grandeur.Utiliser la valeur absolue, les valeurs approchées et l'ordre de grandeur.
1. Activité
Les ensembles de nombres
Ce qu’il dit
3andna cinq ensembles, koll wa7ed dekhel elli ba3dou : les naturels, les relatifs, les décimaux, les rationnels w les réels. Entier naturel houwa relatif, relatif houwa décimal, décimal houwa rationnel, w rationnel houwa réel. Ama el 3aks mouch dima sa7i7 : racine carrée de cinq réel, ama mouch rationnel. W 9bal ma tsanef nombre, bassatou : racine carrée de trente-six hiya six, entier naturel.
عندنا cinq ensembles ، كل واحد داخل اللي بعدو : les naturels ، les relatifs ، les décimaux ، les rationnels w les réels . entier naturel هو relatif ، relatif هو décimal ، décimal هو rationnel ، w rationnel هو réel . أما العكس موش ديما صحيح : racine carrée de cinq réel ، أما موش rationnel . w قْبَلْ ما تصنّف nombre ، بسّطو : racine carrée de trente-six هي six ، entier naturel .
Nous avons cinq ensembles, chacun contenu dans le suivant : les naturels, les relatifs, les décimaux, les rationnels et les réels. Un entier naturel est un relatif, un relatif est un décimal, un décimal est un rationnel, et un rationnel est un réel. La réciproque n'est pas toujours vraie : racine carrée de cinq est réel, mais pas rationnel. Et avant de classer un nombre, simplifie-le : racine carrée de trente-six vaut six, c'est un entier naturel.
On note l'ensemble des entiers naturels, celui des entiers relatifs, celui des décimaux, celui des nombres rationnels et celui des nombres réels.
On rappelle qu'un décimal s'écrit avec et et qu'un rationnel s'écrit avec et Chaque ensemble est contenu dans le suivant.
La réciproque est fausse à chaque étage : mais ; mais ; et un réel comme ou n'est pas rationnel. Avant de classer un nombre, on le simplifie : et sont des entiers naturels.
les inclusions
Exemple traité
Pour chacun des nombres et donne le plus petit des ensembles qui le contient.
- Simplifier — La fraction tombe juste : un entier négatif.
- Un décimal — Le dénominateur : la division s'arrête.
- Un rationnel — Le dénominateur n'est fait ni de ni de : l'écriture décimale ne s'arrête jamais.
- Un réel — n'est pas un carré parfait : est irrationnel.
À ne pas faire : — . Une racine carrée n'est pas forcément irrationnelle : on la calcule avant de classer le nombre.
À ne pas faire : — . Un rationnel n'est décimal que si sa forme irréductible a un dénominateur fait de et de seulement.
2. Méthode
Calculer avec des fractions : chercher la structure
Ce qu’il dit
Ki tal9a calcul twil, ma t7sbouch terme par terme : 9alleb 3la la structure mte3ou. Produit fih des facteurs un plus un sur k : koll facteur nektbouh (k plus un) sur k, w le numérateur mta3 koll facteur yemchi m3a le dénominateur mta3 elli ba3dou. Ma yo93ed ken le dernier numérateur w le premier dénominateur.
كي تلقى calcul طويل ، ما تحسبوش terme par terme : قلّب على la structure متاعو . produit فيه des facteurs un plus un sur k : كل facteur نكتبوه (k plus un) sur k ، w le numérateur متاع كل facteur يمشي مع le dénominateur متاع اللي بعدو . ما يقعد كان le dernier numérateur w le premier dénominateur .
Face à un long calcul, ne calcule pas terme par terme : cherche sa structure. Dans un produit de facteurs un plus un sur k, chaque facteur s'écrit (k plus un) sur k, et le numérateur de chaque facteur s'en va avec le dénominateur du suivant. Il ne reste que le dernier numérateur et le premier dénominateur.
Un calcul long se fait rarement terme à terme : on cherche d'abord sa structure.
- Une égalité connue en donne d'autres sans calcul : de on tire, en divisant par
- Un produit de facteurs se simplifie en chaîne : chaque numérateur s'en va avec le dénominateur du facteur suivant.
- Une fraction « étagée » se calcule de l'intérieur vers l'extérieur, en gardant les fractions irréductibles.
un facteur
Exemple traité
Calcule le produit
- Chaque facteur — On met chaque facteur sous la forme d'une seule fraction.
- La chaîne — Le du haut s'en va avec le du bas, le avec le et ainsi de suite.
À ne pas faire : — . On n'ajoute pas les dénominateurs : on réduit d'abord au même dénominateur.
3. Propriété
Proportionnalité et pourcentages
Ce qu’il dit
Tzid t pour cent ma3neha todhrob fi un plus t sur cent, w tna99es t pour cent ma3neha todhrob fi un moins t sur cent. W ki yjiw zouz augmentations wra ba3dhhom, les coefficients nodhorbouhom, ma nzidouch les pourcentages : dix pour cent w ba3d vingt pour cent ya3tiw un virgule un fois un virgule deux, ya3ni trente-deux pour cent, mouch trente.
تزيد t pour cent معناها تضرب في un plus t sur cent ، w تنقص t pour cent معناها تضرب في un moins t sur cent . w كي يجيو زوز augmentations ورا بعضهم ، les coefficients نضربوهم ، ما نزيدوش les pourcentages : dix pour cent w ba3d vingt pour cent يعطيو un virgule un fois un virgule deux ، يعني trente-deux pour cent ، موش trente .
Augmenter de t pour cent, c'est multiplier par un plus t sur cent, et diminuer de t pour cent, c'est multiplier par un moins t sur cent. Quand deux augmentations se suivent, on multiplie les coefficients, on n'ajoute pas les pourcentages : dix pour cent puis vingt pour cent donnent un virgule un fois un virgule deux, soit trente-deux pour cent, pas trente.
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité : pour un ressort qui s'allonge de mm quand on y suspend une masse de g, l'allongement (en mm) vaut fois la masse (en g).
Augmenter une quantité de c'est la multiplier par ; la diminuer de c'est la multiplier par Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : on n'ajoute pas les pourcentages.
Pour la T.V.A. au taux de : prix T.T.C. prix H.T. et donc prix H.T. prix T.T.C.
coefficient multiplicateur
deux évolutions successives
Exemple traité
Un article de dinars subit une augmentation de puis une de Quel est le pourcentage global d'augmentation ? Et si un article augmente de puis revient à son prix initial, quel est le taux de la réduction ?
- Les coefficients — Chaque augmentation multiplie le prix.
- Le prix final est dinars : le prix est multiplié par
- Le retour au prix initial — On cherche le coefficient de réduction qui annule l'augmentation.
- En pourcentage,
À ne pas faire : puis font — : . Le second pourcentage s'applique au prix déjà augmenté : les coefficients se multiplient.
À ne pas faire : puis ramènent au prix initial — : une baisse de . La baisse porte sur un prix plus grand : elle retire plus que la hausse n'a ajouté.
4. Propriété
Les identités remarquables
Ce qu’il dit
Les identités remarquables tekhdem fel zouz jihat : mel isar lel imin bech tdévelopper, w mel imin lel isar bech tfactoriser. a plus b le tout au carré égale a au carré plus deux a b plus b au carré : ma tensech le double produit. W zid les cubes : a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré).
les identités remarquables تخدم في الزوز جهات : من اليسار لليمين باش تـ développer ، w من اليمين لليسار باش تـ factoriser . a plus b le tout au carré égale a au carré plus deux a b plus b au carré : ما تنساش le double produit . w زيد les cubes : a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré) .
Les identités remarquables servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser. a plus b le tout au carré égale a au carré plus deux a b plus b au carré : n'oublie pas le double produit. Et il y a les cubes : a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré).
Pour tous réels et les sept identités ci-dessous servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
Elles font aussi calculer de tête : et donne sans calcul ; de même, généralise
Elles démontrent enfin des conjectures. Prenons, pour un entier naturel le nombre : il vaut pour , qui sont tous des carrés. En posant on a et donc
Exemple traité
Calcule et puis écris sous la forme
- Le carré — Avec et
- Le cube — Avec et
- La racine — La racine carrée d'un carré est la valeur absolue ; or donc
À ne pas faire : — . Le double produit est la moitié du travail : avec on aurait
À ne pas faire : — . Le cube d'une somme a quatre termes, avec les coefficients
5. Propriété
Comparer a, a² et √a
Ce qu’il dit
Ki a bin zéro w un, a au carré asghar men a, w a asghar men racine carrée de a. El figure tbayyenha : le carré mta3 l'aire a au carré dekhel le rectangle mta3 l'aire a. W ki a akbar men un, koll chay yetbaddel : racine carrée de a asghar men a, w a asghar men a au carré.
كي a بين zéro w un ، a au carré أصغر من a ، w a أصغر من racine carrée de a . الـ figure تبيّنها : le carré متاع l'aire a au carré داخل le rectangle متاع l'aire a . w كي a أكبر من un ، كل شي يتبدّل : racine carrée de a أصغر من a ، w a أصغر من a au carré .
Quand a est entre zéro et un, a au carré est plus petit que a, et a est plus petit que racine carrée de a. La figure le montre : le carré d'aire a au carré est à l'intérieur du rectangle d'aire a. Et quand a est plus grand que un, tout s'inverse : racine carrée de a est plus petit que a, et a plus petit que a au carré.
Sur la figure, : le carré a pour aire le rectangle a pour aire Le carré est une partie du rectangle, donc
Par le calcul : est un produit de deux nombres strictement positifs quand Appliqué au nombre lui aussi entre et le même résultat donne
Quand tout s'inverse ; et pour les trois nombres sont égaux.
Un rectangle ABEF de largeur AB = a et de longueur BE = 1, avec 0 < a < 1. À gauche, le carré ABCD de côté a est grisé ; C est sur [BE] et D sur [AF]. L'aire du carré vaut a au carré, celle du rectangle vaut a fois 1, c'est-à-dire a : le carré est une partie du rectangle, donc a au carré est plus petit que a.
entre 0 et 1
au-delà de 1
Exemple traité
Compare et puis et puis et
- Situer le nombre — Comme le nombre est entre et
- est entre et : sa racine est plus grande que lui.
- : sa racine est plus petite que lui.
À ne pas faire : pour tout réel — . Un nombre entre et rapetisse quand on l'élève au carré : on multiplie par un nombre plus petit que
6. Propriété
Comparer a et 1/a
Ce qu’il dit
Ki a akbar men un, un sur a asghar men un, w asghar men a. El figure tbayyenha b Thalès : O B tsewi un sur a. W ki a bin zéro w un, l'inverse ywalli akbar men un. El 9a3da elli tjma3hom : zouz nombres strictement positifs, ki te5ou l'inverse, l'ordre yetbaddel.
كي a أكبر من un ، un sur a أصغر من un ، w أصغر من a . الـ figure تبيّنها بـ Thalès : O B تساوي un sur a . w كي a بين zéro w un ، l'inverse يولّي أكبر من un . القاعدة اللي تجمعهم : زوز nombres strictement positifs ، كي تاخو l'inverse ، l'ordre يتبدّل .
Quand a est plus grand que un, un sur a est plus petit que un, et donc plus petit que a. La figure le montre avec Thalès : O B égale un sur a. Et quand a est entre zéro et un, l'inverse dépasse un. La règle qui réunit tout : pour deux nombres strictement positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre.
Sur la figure, et sont parallèles, et Le théorème de Thalès dans le triangle donne donc Comme est entre et on lit
Quand la même construction place l'inverse au-delà de Plus généralement, pour deux réels strictement positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre.
D'où une comparaison sans calcul : un quotient de positifs est plus grand que quand son numérateur dépasse son dénominateur, et plus petit sinon.
Deux demi-droites issues de O. Sur la demi-droite horizontale, I avec OI = 1 et A avec OA = a, où a est plus grand que 1. Sur la demi-droite oblique, J avec OJ = 1, et B tel que la droite (BI) soit parallèle à la droite (AJ). Par le théorème de Thalès, OB sur OJ égale OI sur OA, donc OB égale 1 sur a, plus petit que OJ = 1.
l'inverse renverse l'ordre
Exemple traité
Compare sans calcul et puis et
- : le premier quotient dépasse ; : le second est sous
- et : le nombre les sépare encore.
À ne pas faire : — . Pour deux nombres strictement positifs, le plus grand a le plus petit inverse.
7. Méthode
Encadrer une expression
Ce qu’il dit
Bech ta3mel encadrement, esta3mel ken el 9awa3ed elli ta3refhom : tzid nafs el nombre lel koll, l'ordre yo93ed. Todhrob fi nombre positif, yo93ed, ama fi nombre négatif, yetbaddel. W ma tatra7ch zouz encadrements, w ma ta3melch division membre à membre : t3addi bel opposé walla bel inverse.
باش تعمل encadrement ، استعمل كان القواعد اللي تعرفها : تزيد نفس الـ nombre للكل ، l'ordre يقعد . تضرب في nombre positif ، يقعد ، أما في nombre négatif ، يتبدّل . w ما تطرحش زوز encadrements ، w ما تعملش division membre à membre : تعدّي بالـ opposé ولّا بالـ inverse .
Pour encadrer, n'utilise que les règles que tu connais : ajouter le même nombre partout garde l'ordre. Multiplier par un nombre positif le garde, par un nombre négatif le renverse. Et ne soustrais jamais deux encadrements, ne les divise pas membre à membre : passe par l'opposé ou par l'inverse.
Pour encadrer une expression à partir d'un encadrement de on n'utilise que des opérations qui ont une règle :
- ajouter un même nombre à tous les membres garde le sens ;
- multiplier par un nombre positif garde le sens, par un nombre négatif le renverse ;
- deux encadrements s'ajoutent membre à membre ; deux encadrements de nombres positifs se multiplient membre à membre ;
- l'inverse d'un encadrement de positifs se renverse.
On ne soustrait jamais, on ne divise jamais deux encadrements membre à membre : on passe par l'opposé ou par l'inverse.
l'opposé
l'inverse
Exemple traité
Soit un réel tel que Encadre et
- Ajouter 4 —
- Multiplier par 2 — est positif : le sens est gardé.
- L'opposé — Multiplier par renverse le sens.
- Multiplier par −3, puis ajouter 5 — est négatif : on renverse, puis on ajoute partout.
À ne pas faire : — . Multiplier par un négatif renverse les inégalités : le plus petit membre devient le plus grand.
À ne pas faire : — . Diviser par la longueur, c'est multiplier par son inverse, dont l'encadrement se renverse : la plus petite largeur vient de la plus grande longueur.
8. Propriété
Deux carrés et un double produit
Ce qu’il dit
x au carré plus y au carré moins deux x y égale x moins y le tout au carré, w carré dima positif walla nul. Donc deux x y inférieur ou égal à x au carré plus y au carré, l koll x w y. W menha to5rej barcha inégalités : x plus un sur x supérieur ou égal à deux, ki x strictement positif.
x au carré plus y au carré moins deux x y égale x moins y le tout au carré ، w carré ديما positif ولّا nul . donc deux x y inférieur ou égal à x au carré plus y au carré ، لكل x w y . w منها تخرج برشا inégalités : x plus un sur x supérieur ou égal à deux ، كي x strictement positif .
x au carré plus y au carré moins deux x y égale x moins y le tout au carré, et un carré est toujours positif ou nul. Donc deux x y est inférieur ou égal à x au carré plus y au carré, pour tous x et y. Et beaucoup d'inégalités en découlent : x plus un sur x est supérieur ou égal à deux, quand x est strictement positif.
Sur la figure, le grand carré a pour côté Le carré incliné a pour côté donc pour aire ; les pointillés montrent qu'il contient quatre triangles rectangles de côtés et d'aire totale et un petit carré de côté D'où
Le calcul le dit pour tous réels : avec égalité seulement si
Pour des réels strictement positifs, on en tire et ; et pour strictement positifs, et
Un grand carré ABCD de côté x + y. Sur chaque côté, un point le partage en un morceau x et un morceau y : AL = y et LD = x en haut, DK = y et KC = x à droite, CJ = y et JB = x en bas, BI = y et IA = x à gauche. Le quadrilatère LKJI, incliné et grisé, est un carré de côté racine de (x au carré plus y au carré), donc d'aire x au carré plus y au carré. Les pointillés montrent qu'il contient quatre triangles rectangles de côtés x et y, d'aire totale 2xy, et un petit carré de côté x moins y au centre.
pour tous réels x et y
pour tout réel x > 0
Démonstration
et un carré est positif ou nul. Pour on applique le résultat à et : c'est-à-dire
Exemple traité
Montre que
- Comparer les carrés — Les deux membres sont positifs : il suffit de comparer leurs carrés.
- L'identité —
- Donc : le premier carré est le plus petit.
À ne pas faire : — pour . En élevant au carré, le membre de droite a un double produit de plus : alors que
9. Propriété
Moyenne arithmétique et moyenne géométrique
Ce qu’il dit
Zouz nombres positifs a w b : la moyenne arithmétique hiya a plus b, le tout sur deux, w la moyenne géométrique hiya racine carrée de a b. El géométrique dima asghar walla kif kif. Fel figure, le rayon O C houwa a plus b, le tout sur deux, w C H hiya racine carrée de a b : edhdhla3 a9sar men l'hypoténuse.
زوز nombres positifs a w b : la moyenne arithmétique هي a plus b, le tout sur deux ، w la moyenne géométrique هي racine carrée de a b . الـ géométrique ديما أصغر ولّا كيف كيف . في الـ figure ، le rayon O C هو a plus b, le tout sur deux ، w C H هي racine carrée de a b : الضلع أقصر من l'hypoténuse .
Pour deux nombres positifs a et b, la moyenne arithmétique est a plus b, le tout sur deux, et la moyenne géométrique est racine carrée de a b. La géométrique est toujours plus petite ou égale. Sur la figure, le rayon O C vaut a plus b, le tout sur deux, et C H vaut racine carrée de a b : le côté est plus court que l'hypoténuse.
Pour deux réels positifs et la moyenne arithmétique est et la moyenne géométrique est
Sur la figure, et donc et le rayon vaut Quand Dans le triangle rectangle en donc Un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse :
Par le calcul :
Un demi-cercle de diamètre [AB] et de centre O. Le point H est sur [AB] avec AH = a et HB = b. La perpendiculaire à (AB) en H coupe le demi-cercle en C. Le rayon OC vaut la moitié de a + b, et la hauteur CH vaut racine de ab. Comme CH est un côté de l'angle droit du triangle OHC et OC son hypoténuse, CH est plus petit que OC.
pour tous réels a, b ≥ 0
Exemple traité
Soient et trois réels positifs. Montre que
- Trois fois la même inégalité — Chaque somme dépasse deux fois la racine du produit.
- Multiplier — Tous les membres sont positifs : on peut multiplier membre à membre.
- donc
10. Activité
L'inégalité triangulaire au travail
Ce qu’il dit
L'inégalité triangulaire t9oul elli ettri9 el moubecher houwa el a9sar : A B inférieur ou égal à A C plus C B. Fel mithel hedha, nesta3mlouha zouz marrat : marra fi le triangle A B I w marra fi le triangle M I C, w njam3ouhom. Nal9aw M B plus M C inférieur ou égal à A B plus A C.
l'inégalité triangulaire تقول اللي الطريق المباشر هو الأقصر : A B inférieur ou égal à A C plus C B . في المثال هذا ، نستعملوها زوز مرّات : مرّة في le triangle A B I w مرّة في le triangle M I C ، w نجمعوهم . نلقاو M B plus M C inférieur ou égal à A B plus A C .
L'inégalité triangulaire dit que le chemin direct est le plus court : A B est inférieur ou égal à A C plus C B. Dans cet exemple, on l'utilise deux fois : une fois dans le triangle A B I et une fois dans le triangle M I C, puis on les ajoute. On obtient M B plus M C inférieur ou égal à A B plus A C.
L'inégalité triangulaire dit que, pour trois points du plan, : le chemin direct est le plus court.
Prenons un point à l'intérieur d'un triangle et coupe en Deux inégalités triangulaires, ajoutées, montrent que ; de même et
Autre usage : dans un quadrilatère de demi-périmètre on encadre la somme des diagonales : Les triangles et où est l'intersection des diagonales, donnent ; de même, et donnent ; en ajoutant, Les triangles et donnent
Un triangle ABC, avec un point M à l'intérieur. La droite (BM) recoupe le côté [AC] en I, entre A et C. Les segments [MB] et [MC] sont tracés.
inégalité triangulaire
Exemple traité
est à l'intérieur du triangle et est le point d'intersection de et Montre que
- Dans le triangle ABI — est sur donc
- Dans le triangle MIC —
- Ajouter — On ajoute membre à membre, puis on retire des deux côtés.
- est sur donc
11. Méthode
Les radicaux : conjugué et racines imbriquées
Ce qu’il dit
Bech tna77i racine men le dénominateur, odhrob el fou9 w el louta fi le conjugué : racine de a moins racine de b fois racine de a plus racine de b égale a moins b. W ki tal9a des racines imbriquées, a7seb le carré 9bal : A au carré yotla3 sehel, w ba3d A hiya racine de A au carré, ki A positif.
باش تنحّي racine من le dénominateur ، اضرب الفوق w اللوطة في le conjugué : racine de a moins racine de b fois racine de a plus racine de b égale a moins b . w كي تلقى des racines imbriquées ، احسب le carré قْبَلْ : A au carré يطلع ساهل ، w ba3d A هي racine de A au carré ، كي A positif .
Pour enlever une racine du dénominateur, multiplie le haut et le bas par le conjugué : racine de a moins racine de b, fois racine de a plus racine de b, égale a moins b. Et face à des racines imbriquées, calcule d'abord le carré : A au carré se simplifie, puis A est la racine de A au carré, quand A est positif.
Trois outils reviennent sans cesse.
- Le conjugué. : multiplier le haut et le bas d'une fraction par le conjugué de son dénominateur fait disparaître les radicaux du dénominateur. C'est aussi pourquoi est l'inverse de
- Le carré d'abord. Pour simplifier une somme de racines imbriquées on calcule puis si
- Extraire les carrés. : écrits ainsi, ils se comparent et s'ajoutent. Si et alors : les points sont alignés.
le conjugué
Exemple traité
Soit Calcule et déduis-en une écriture plus simple de
- Développer le carré — Avec
- Le conjugué —
- Revenir à A — est une somme de racines, donc positif.
À ne pas faire : pour tout réel — par exemple . Une racine carrée est toujours positive : il faut connaître le signe de
À ne pas faire : — . Le conjugué donne une différence de deux carrés :
12. Propriété
La formule de Héron
Ce qu’il dit
La formule de Héron ta3tik l'aire mta3 triangle men les longueurs mta3 les côtés berk, blech hauteur : l'aire égale racine carrée du produit p fois (p moins a) fois (p moins b) fois (p moins c). W rodd belek : p houwa le demi-périmètre, a plus b plus c, le tout sur deux, mouch le périmètre.
la formule de Héron تعطيك l'aire متاع triangle من les longueurs متاع les côtés برك ، بلاش hauteur : l'aire égale racine carrée du produit p fois (p moins a) fois (p moins b) fois (p moins c) . w رد بالك : p هو le demi-périmètre ، a plus b plus c, le tout sur deux ، موش le périmètre .
La formule de Héron donne l'aire d'un triangle à partir des seules longueurs de ses côtés, sans hauteur : l'aire égale racine carrée du produit p fois (p moins a) fois (p moins b) fois (p moins c). Et attention : p est le demi-périmètre, a plus b plus c, le tout sur deux, pas le périmètre.
La formule attribuée à Héron d'Alexandrie (Iᵉʳ siècle) donne l'aire d'un triangle à partir des seules longueurs de ses côtés, où désigne le demi-périmètre.
Elle n'a besoin d'aucune hauteur. Quand le triangle est dans un rectangle dont on connaît les dimensions, on peut aussi retrancher à l'aire du rectangle celles des triangles rectangles des coins.
formule de Héron
demi-périmètre
Exemple traité
Calcule l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent et cm, puis retrouve-la par la formule de Héron.
- Un triangle rectangle — La réciproque de Pythagore : le triangle est rectangle, d'hypoténuse
- Par Héron — Le demi-périmètre vaut
À ne pas faire : — . Dans la formule, est le demi-périmètre : avec le périmètre entier, n'a plus de sens.
13. Méthode
Développer, factoriser, comparer deux expressions
Ce qu’il dit
Développer ma3neha produit ywalli somme, w ba3d nréduire. Factoriser houwa el 3aks : nlawjou 3la facteur commun, w ken ma fammech, 3la identité remarquable. W rodd belek : zouz expressions yetsewew fi trois valeurs, ma ma3nehech elli houma égales pour tout x. Bech tethbet égalité, 7awwel expression lin toussel lel o5ra.
développer معناها produit يولّي somme ، w ba3d نـ réduire . factoriser هو العكس : نلوّجو على facteur commun ، w كان ما فمّاش ، على identité remarquable . w رد بالك : زوز expressions يتساواو في trois valeurs ، ما معناهاش اللي هوما égales pour tout x . باش تثبت égalité ، حوّل expression لين توصل للأخرى .
Développer, c'est transformer un produit en somme, puis réduire. Factoriser, c'est l'inverse : on cherche un facteur commun, et s'il n'y en a pas, une identité remarquable. Et attention : deux expressions égales pour trois valeurs ne sont pas pour autant égales pour tout x. Pour prouver une égalité, transforme une expression jusqu'à obtenir l'autre.
Développer, c'est transformer un produit en somme, puis réduire en regroupant les termes de même degré. Factoriser, c'est l'inverse : on cherche un facteur commun, sinon une identité remarquable.
Un même calcul se fait souvent dans les deux sens : dans l'exemple ci-dessous, la forme factorisée de permet de factoriser qui en est la forme développée.
Deux expressions égales pour quelques valeurs ne sont pas égales pour autant. Par exemple, et coïncident en et ; mais qui n'est nul que pour : en et Pour prouver une égalité « pour tout réel », on transforme l'une des expressions jusqu'à l'autre.
facteur commun
Exemple traité
Soient et Factorise et puis déduis-en une factorisation de
- Factoriser A — Le facteur commun est ; attention au signe devant la seconde parenthèse.
- Factoriser B — : le facteur commun est
- Factoriser A − B — Le facteur commun est maintenant
- Développer A − B — et
À ne pas faire : — . Le signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes.
À ne pas faire : donc — . Quelques valeurs ne prouvent rien : une égalité pour tout se démontre par le calcul.
14. Propriété
La valeur absolue et la distance
Ce qu’il dit
La valeur absolue mta3 x hiya x ken x positif, w moins x ken x négatif. Bech tna77iha, chouf le signe 9bal. W 3la droite graduée, valeur absolue de b moins a hiya la distance A B. Donc valeur absolue de x moins a égale r ma3neha ennou9at elli 3la distance r men a : zouz ken r strictement positif, wa7da berk ken r nul, w 7atta wa7da ken r négatif.
la valeur absolue متاع x هي x كان x positif ، w moins x كان x négatif . باش تنحّيها ، شوف le signe قْبَلْ . w على droite graduée ، valeur absolue de b moins a هي la distance A B . donc valeur absolue de x moins a égale r معناها النقاط اللي على distance r من a : زوز كان r strictement positif ، وحدة برك كان r nul ، w حتّى وحدة كان r négatif .
La valeur absolue de x, c'est x si x est positif, et moins x si x est négatif. Pour l'enlever, regarde d'abord le signe. Et sur une droite graduée, valeur absolue de b moins a, c'est la distance A B. Donc valeur absolue de x moins a égale r désigne les points à la distance r de a : deux si r est strictement positif, un seul si r est nul, aucun si r est négatif.
La valeur absolue d'un réel est si et si Pour l'enlever, on cherche donc d'abord le signe de ce qu'elle contient : mais
Sur une droite munie d'un repère si et ont pour abscisses et alors Résoudre c'est chercher les points à la distance du point d'abscisse : il y en a deux si un si aucun si
Pour : décrit l'intervalle ouvert et son extérieur. Enfin, équivaut à ou
Une droite graduée Δ munie du repère (O, I). On y voit B d'abscisse moins 3, O d'abscisse 0, I d'abscisse 1, A d'abscisse 2 et M d'abscisse 7. La distance de A à B vaut 5, celle de A à M aussi : ce sont les deux points de Δ à la distance 5 de A.
distance sur une droite graduée
Exemple traité
Résous puis
- Une distance — : la distance de à vaut
- Deux valeurs absolues égales — Les deux nombres sont égaux ou opposés.
À ne pas faire : — . : le nombre est négatif, sa valeur absolue est son opposé.
À ne pas faire : ou — : pas de solution. Une valeur absolue est une distance, donc jamais négative : on regarde le signe du second membre avant tout.
15. Définition
Valeurs approchées
Ce qu’il dit
a valeur approchée de b à dix puissance n près, ma3neha valeur absolue de b moins a inférieure ou égale à dix puissance n. Ki a asghar men b, n9oulou par défaut, w ki a akbar, par excès. W l'arrondi houwa el a9rab fihom : tchouf le chiffre elli ba3dou, ken cinq walla akther, totla3.
a valeur approchée de b à dix puissance n près ، معناها valeur absolue de b moins a inférieure ou égale à dix puissance n . كي a أصغر من b ، نقولو par défaut ، w كي a أكبر ، par excès . w l'arrondi هو الأقرب فيهم : تشوف le chiffre اللي بعدو ، كان cinq ولّا أكثر ، تطلع .
a est une valeur approchée de b à dix puissance n près quand valeur absolue de b moins a est inférieure ou égale à dix puissance n. Si a est plus petit que b, on dit par défaut, et s'il est plus grand, par excès. L'arrondi est la plus proche des deux : on regarde le chiffre suivant ; s'il vaut cinq ou plus, on monte.
On retient la définition suivante :
Soit un entier. On dit que le nombre décimal est une valeur approchée à près du réel si Si on dit que est une valeur approchée de à près par défaut. Si on dit que est une valeur approchée de à près par excès.
En pratique, est négatif : veut dire « au centième près ». La calculatrice affiche : à près, par défaut, par excès, et l'arrondi — la plus proche des deux — est À près : et l'arrondi car le chiffre suivant, est au moins
a valeur approchée de b à 10ⁿ près
Exemple traité
La calculatrice affiche Donne ses valeurs approchées à et à près, par défaut et par excès, puis ses arrondis.
- À 10⁻² près — On garde deux décimales, puis on ajoute un centième.
- Le chiffre suivant est au moins : on arrondit vers le haut.
- À 10⁻³ près —
- Le chiffre suivant est : on arrondit vers le bas.
À ne pas faire : La valeur approchée par défaut de à près est — Par défaut : est la valeur par excès, et aussi l'arrondi. Par défaut, on reste en dessous du nombre : on tronque, on n'arrondit pas.
16. Remarque
Écriture scientifique et ordre de grandeur
Ce qu’il dit
L'écriture scientifique hiya a fois dix puissance n, w a bin un w dix, fih chiffre wa7ed non nul 9bal la virgule. W l'ordre de grandeur, narrondir a à l'unité w n5alliw nafs dix puissance n. Trente-cinq millions deux cent quinze mille, l'ordre de grandeur mte3ou quatre fois dix puissance sept.
l'écriture scientifique هي a fois dix puissance n ، w a بين un w dix ، فيه chiffre واحد non nul قْبَلْ la virgule . w l'ordre de grandeur ، نـ arrondir a à l'unité w نخلّيو نفس dix puissance n . trente-cinq millions deux cent quinze mille ، l'ordre de grandeur متاعو quatre fois dix puissance sept .
L'écriture scientifique, c'est a fois dix puissance n, avec a entre un et dix : un seul chiffre non nul avant la virgule. Pour l'ordre de grandeur, on arrondit a à l'unité et on garde la même puissance de dix. Trente-cinq millions deux cent quinze mille a pour ordre de grandeur quatre fois dix puissance sept.
L'écriture scientifique d'un nombre non nul est où est un entier relatif et un décimal tel que :
Remarque. Si est l'écriture scientifique d'un nombre, l'ordre de grandeur de ce nombre est où est l'arrondi de à l'unité : celui de est
L'ordre de grandeur sert à estimer sans calculer exactement : nombre de grains de sable du Sahara, nombre de « Tunisie » pour couvrir la Terre, temps que met la lumière du Soleil pour nous parvenir.
écriture scientifique
Exemple traité
Donne l'écriture scientifique et l'ordre de grandeur de de et de
- La virgule recule d'un rang : exposant
- L'arrondi de à l'unité est
- La virgule recule de cinq rangs ; le signe reste.
- La virgule avance de quatre rangs : exposant
À ne pas faire : est son écriture scientifique — . Dans l'écriture scientifique, le nombre n'a qu'un seul chiffre, non nul, avant la virgule :
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- ; et sont irrationnels.Les naturels dekhel les relatifs, dekhel les décimaux, dekhel les rationnels, dekhel les réels. Racine carrée de cinq w pi irrationnels.Les naturels sont dans les relatifs, dans les décimaux, dans les rationnels, dans les réels. Racine carrée de cinq et pi sont irrationnels.
- Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : puis font Zouz augmentations wra ba3dhhom, les coefficients yetdharbou : dix pour cent w ba3d vingt pour cent ya3tiw trente-deux pour cent.Deux augmentations successives multiplient leurs coefficients : dix pour cent puis vingt pour cent donnent trente-deux pour cent.
- Sept identités remarquables, dont et Sept identités remarquables, menhom a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré).Sept identités remarquables, dont a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré).
- Si : et Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse renverse l'ordre.Ki a bin zéro w un, a au carré asghar men a, w a asghar men racine de a. W edharb fi négatif walla l'inverse ybaddel l'ordre.Quand a est entre zéro et un, a au carré est plus petit que a, et a plus petit que racine de a. Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse renverse l'ordre.
- et pour .Deux x y inférieur ou égal à x au carré plus y au carré, w a plus b, le tout sur deux, supérieur ou égal à racine de a b.Deux x y est inférieur ou égal à x au carré plus y au carré, et a plus b, le tout sur deux, est supérieur ou égal à racine de a b.
- Le conjugué : ; Héron : Le conjugué yna77i les racines mel dénominateur, w la formule de Héron ta3ti l'aire men les trois côtés.Le conjugué enlève les racines du dénominateur, et la formule de Héron donne l'aire à partir des trois côtés.
- ; La distance A B hiya valeur absolue de b moins a, w valeur absolue de x moins a inférieure à r ma3neha x bin a moins r w a plus r.La distance A B est valeur absolue de b moins a, et valeur absolue de x moins a inférieure à r signifie que x est entre a moins r et a plus r.
- est une valeur approchée de à près si ; l'ordre de grandeur de est arrondi de à l'unité.Valeur approchée à dix puissance n près, par défaut walla par excès, w l'ordre de grandeur narrondir a à l'unité.Valeur approchée à dix puissance n près, par défaut ou par excès ; pour l'ordre de grandeur, on arrondit a à l'unité.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna calcul dans R. Tfakker : 9bal ma te7seb, chouf la structure ; 9bal ma tna77i valeur absolue walla racine, chouf le signe ; w ki todhrob fi négatif, l'ordre yetbaddel. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا calcul dans R . تفكّر : قْبَلْ ما تحسب ، شوف la structure ؛ قْبَلْ ما تنحّي valeur absolue ولّا racine ، شوف le signe ؛ w كي تضرب في négatif ، l'ordre يتبدّل . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé calcul dans R. Retiens : avant de calculer, regarde la structure ; avant d'enlever une valeur absolue ou une racine, regarde le signe ; et quand on multiplie par un négatif, l'ordre change. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Les ensembles de nombres
- chnowa el far9 bin décimal w rationnel
- différence entre un décimal et un rationnel
- décimal w rationnel kifech nfar9hom
- un rationnel est-il toujours décimal
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Décimal houwa nombre tektbou $\frac{a}{10^{n}}$, ya3ni l'écriture décimale mte3ou toufa. Rationnel houwa $\frac{a}{b}$, w l'écriture décimale mte3ou tnajjem ma toufech. Koll décimal rationnel, ama $\frac{2}{9}$ rationnel w mouch décimal : 0,222…, ma toufech.
décimal هو nombre تكتبو a sur dix puissance n ، يعني l'écriture décimale متاعو توفى . rationnel هو a sur b ، w l'écriture décimale متاعو تنجّم ما توفاش . كل décimal rationnel ، أما deux sur neuf rationnel w موش décimal : zéro virgule deux deux deux ، ما توفاش .
Un décimal s'écrit a sur dix puissance n : son écriture décimale s'arrête. Un rationnel s'écrit a sur b, et son écriture décimale peut ne pas s'arrêter. Tout décimal est rationnel, mais deux neuvièmes est rationnel sans être décimal : zéro virgule deux deux deux, sans fin.
Question 2 · Les ensembles de nombres
- racine de 5 rationnel walla le
- est-ce que racine carrée de 36 est irrationnel
- racine carrée toujours irrationnelle ?
- sqrt 7 appartient à Q ?
Ce qu’il répond
Mouch dima. $\sqrt{36}$ hiya 6, entier naturel. Ama $\sqrt{5}$ walla $\sqrt{7}$, 5ater cinq w sept mouch carrés parfaits, houma irrationnels : réels ama mouch rationnels. A7seb la racine 9bal ma tsanef.
موش ديما . racine carrée de trente-six هي six ، entier naturel . أما racine carrée de cinq ولّا racine carrée de sept ، خاطر cinq w sept موش carrés parfaits ، هوما irrationnels : réels أما موش rationnels . احسب الـ racine قْبَلْ ما تصنّف .
Pas toujours. Racine carrée de trente-six vaut six, un entier naturel. Mais racine carrée de cinq ou de sept, comme cinq et sept ne sont pas des carrés parfaits, sont irrationnels : réels mais pas rationnels. Calcule la racine avant de classer.
Question 3 · Proportionnalité et pourcentages
- 3lech augmentation 10% puis 20% mouch 30%
- pourquoi deux augmentations successives on multiplie
- augmentation successive kifech na7sbou
- deux pourcentages successifs on additionne ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater el augmentation elli ba3dha tet7seb 3ala le prix elli zed. 10 % yodhrob le prix fi 1,1, w 20 % yodhorbou fi 1,2 : $1{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32$, ya3ni 32 %. Les coefficients yetdharbou, les pourcentages ma yetzadouch.
خاطر الـ augmentation اللي بعدها تتحسب على le prix اللي زاد . dix pour cent يضرب le prix في un virgule un ، w vingt pour cent يضربو في un virgule deux : un virgule un fois un virgule deux égale un virgule trente-deux ، يعني trente-deux pour cent . les coefficients يتضربو ، les pourcentages ما يتزادوش .
Parce que la seconde augmentation se calcule sur le prix déjà augmenté. Dix pour cent multiplie le prix par un virgule un, et vingt pour cent par un virgule deux : un virgule un fois un virgule deux égale un virgule trente-deux, soit trente-deux pour cent. Les coefficients se multiplient, les pourcentages ne s'ajoutent pas.
Question 4 · Proportionnalité et pourcentages
- kifech nal9a le prix HT men TTC
- comment trouver le prix hors taxes
- prix TTC vers HT on enlève 17% ?
- HT w TTC chnowa el far9
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le prix TTC houwa le prix HT × 1,17, ki la TVA 17 %. Donc bech traja3 lel HT, divisi 3ala 1,17, ma tna77ich 17 % mel TTC : la taxe tet7seb 3ala le prix HT, mouch 3ala le TTC.
le prix T T C هو le prix H T fois un virgule dix-sept ، كي la T V A dix-sept pour cent . donc باش ترجع للـ H T ، تقسم على un virgule dix-sept ، ما تنحّيش dix-sept pour cent مالـ T T C : الـ taxe تتحسب على le prix H T ، موش على le T T C .
Le prix T T C est le prix H T fois un virgule dix-sept, pour une T V A de dix-sept pour cent. Pour revenir au H T, on divise donc par un virgule dix-sept ; on ne retire pas dix-sept pour cent du T T C : la taxe est calculée sur le prix H T, pas sur le T T C.
Question 5 · Les identités remarquables
- kifech ndéveloppi (a+b)^3
- développer le cube d'une somme
- développement du cube de a plus b égale a cube plus b cube ?
- développement cube kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ : quatre termes, les coefficients 1, 3, 3, 1. Mouch $a^{3} + b^{3}$ : jarreb a = b = 1, tal9a 8, mouch 2.
a plus b le tout au cube égale a au cube plus trois a au carré b plus trois a b au carré plus b au cube : quatre termes ، les coefficients un ، trois ، trois ، un . موش a au cube plus b au cube : جرّب a égale b égale un ، تلقى huit ، موش deux .
a plus b le tout au cube égale a au cube plus trois a au carré b plus trois a b au carré plus b au cube : quatre termes, de coefficients un, trois, trois, un. Ce n'est pas a au cube plus b au cube : essaie a égale b égale un, tu trouves huit, pas deux.
Question 6 · Les identités remarquables
- kifech nfactorizi x^3 - 64
- factoriser une différence de deux cubes
- a cube moins b cube factorisation
- factoriser 8 + 27x^3 somme de cubes
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$, w $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$. $x^{3} - 64$ houwa $x^{3} - 4^{3}$ : $(x - 4)(x^{2} + 4x + 16)$.
a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré) ، w a au cube plus b au cube égale (a plus b) fois (a au carré moins a b plus b au carré) . x au cube moins soixante-quatre ، هو x au cube moins quatre au cube : (x moins quatre) fois (x au carré plus quatre x plus seize) .
a au cube moins b au cube égale (a moins b) fois (a au carré plus a b plus b au carré), et a au cube plus b au cube égale (a plus b) fois (a au carré moins a b plus b au carré). x au cube moins soixante-quatre, c'est x au cube moins quatre au cube : (x moins quatre) fois (x au carré plus quatre x plus seize).
Question 7 · Comparer a, a² et √a
- kifech a au carré asghar men a
- le carré d'un nombre peut être plus petit que lui ?
- a^2 plus petit que a quand
- carré plus petit 3lech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, ki a bin 0 w 1. $a^{2}$ houwa a × a, w todhrob a fi nombre asghar men 1, yosghar. Par exemple $0{,}3^{2} = 0{,}09$, asghar men 0,3. W ki a akbar men 1, $a^{2}$ akbar men a.
إيه ، كي a بين zéro w un . a au carré هو a fois a ، w تضرب a في nombre أصغر من un ، يصغر . par exemple zéro virgule trois au carré égale zéro virgule zéro neuf ، أصغر من zéro virgule trois . w كي a أكبر من un ، a au carré أكبر من a .
Oui, quand a est entre zéro et un. a au carré, c'est a fois a : on multiplie a par un nombre plus petit que un, il rapetisse. Par exemple zéro virgule trois au carré égale zéro virgule zéro neuf, plus petit que zéro virgule trois. Et quand a est plus grand que un, a au carré est plus grand que a.
Question 8 · Comparer a, a² et √a
- racine de a akbar men a kifech
- la racine carrée peut être plus grande que le nombre ?
- racine carrée plus grande que a quand
- sqrt(0,34) plus grand que 0,34 ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, ki a bin 0 w 1 : $\sqrt{a}$ akbar men a. 5ater $\sqrt{a}$ hiya zeda bin 0 w 1, w a houwa le carré mte3ha, w le carré ysaghar. $\sqrt{0{,}34}$ akbar men 0,34. W ki a akbar men 1, el 3aks.
إيه ، كي a بين zéro w un : racine carrée de a أكبر من a . خاطر racine carrée de a هي زادة بين zéro w un ، w a هو le carré متاعها ، w le carré يصغّر . racine carrée de zéro virgule trente-quatre أكبر من zéro virgule trente-quatre . w كي a أكبر من un ، العكس .
Oui, quand a est entre zéro et un : racine carrée de a est plus grand que a. Car racine carrée de a est aussi entre zéro et un, et a en est le carré, et le carré rapetisse. Racine carrée de zéro virgule trente-quatre est plus grand que zéro virgule trente-quatre. Et quand a dépasse un, c'est l'inverse.
Question 9 · Comparer a et 1/a
- 3lech l'inverse ybaddel l'ordre
- pourquoi 1/2 plus grand que 1/3
- inverse de deux nombres positifs ordre
- un sur a akbar walla asghar men a
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz nombres strictement positifs, el akbar 3andou l'inverse el asghar. Divisi gâteau 3ala 2 walla 3ala 3 : ettarf ki tdivisi 3ala 3 asghar, ya3ni $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. W ki a akbar men 1, $\frac{1}{a}$ asghar men 1.
زوز nombres strictement positifs ، الأكبر عندو l'inverse الأصغر . اقسم gâteau على deux ولّا على trois : الطرف كي تقسم على trois أصغر ، يعني un sur trois أصغر من un sur deux . w كي a أكبر من un ، un sur a أصغر من un .
Pour deux nombres strictement positifs, le plus grand a le plus petit inverse. Partage un gâteau en deux ou en trois : la part est plus petite en trois, donc un tiers est plus petit qu'un demi. Et quand a est plus grand que un, un sur a est plus petit que un.
Question 10 · Encadrer une expression
- 3lech el sens yetbaddel ki nodhrob f négatif
- pourquoi on change le sens de l'inégalité avec un nombre négatif
- multiplier une inégalité par un négatif
- encadrement fois moins 3 le sens
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater edharb fi nombre négatif ybaddel les positions 3la la droite : 2 < 3, ama −2 > −3. Donc ki todhrob encadrement fi nombre négatif, le sens yetbaddel, w el borne essghira twalli el kbira.
خاطر الضرب في nombre négatif يقلب les positions على la droite : deux أصغر من trois ، أما moins deux أكبر من moins trois . donc كي تضرب encadrement في nombre négatif ، le sens يتبدّل ، w الـ borne الصغيرة تولّي الكبيرة .
Parce que multiplier par un nombre négatif retourne les positions sur la droite : deux est plus petit que trois, mais moins deux est plus grand que moins trois. Donc quand on multiplie un encadrement par un nombre négatif, le sens change, et la petite borne devient la grande.
Question 11 · Encadrer une expression
- kifech nencadri un quotient
- encadrer la largeur aire divisée par longueur
- encadrement d'un quotient on divise les bornes ?
- diviser deux encadrements membre à membre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ma tdivisich zouz encadrements membre à membre. Encadri l'inverse mta3 le dénominateur, w rodd belek yetbaddel le sens, w ba3d odhrob membre à membre, ki el koll positifs. La largeur el kbira tji men l'aire el kbira w la longueur essghira.
ما تقسمش زوز encadrements membre à membre . encadri l'inverse متاع le dénominateur ، w ردّ بالك يتبدّل le sens ، w ba3d اضرب membre à membre ، كي الكل positifs . la largeur الكبيرة تجي من l'aire الكبيرة w la longueur الصغيرة .
Ne divise pas deux encadrements membre à membre. Encadre l'inverse du dénominateur, en renversant le sens, puis multiplie membre à membre, quand tout est positif. La plus grande largeur vient de la plus grande aire et de la plus petite longueur.
Question 12 · Encadrer une expression
- najjem natra7 zouz encadrements
- peut-on soustraire deux encadrements
- soustraire deux inégalités membre à membre
- différence de deux encadrements kifech
Ce qu’il répond
La. Zouz encadrements najjmou njam3ouhom membre à membre, ama ma natra7houmch. Bech tencadrer a − b, encadri −b 9bal : todhrob fi −1 w yetbaddel le sens, w ba3d tjma3 m3a l'encadrement mta3 a.
لا . زوز encadrements نجّمو نجمعوهم membre à membre ، أما ما نطرحوهمش . باش تـ encadrer a moins b ، encadri moins b قْبَلْ : تضرب في moins un w يتبدّل le sens ، w ba3d تجمع مع l'encadrement متاع a .
Non. Deux encadrements s'ajoutent membre à membre, mais ne se soustraient pas. Pour encadrer a moins b, encadre d'abord moins b : on multiplie par moins un et le sens change, puis on l'ajoute à l'encadrement de a.
Question 13 · Deux carrés et un double produit
- 3lech 2xy inférieur à x² + y²
- pourquoi 2xy est plus petit que x carré plus y carré
- démontrer 2xy ≤ x^2 + y^2
- 2xy w x²+y² kifech nthabtou
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$x^{2} + y^{2} - 2xy = (x - y)^{2}$, w carré dima positif walla nul. Idhan $2xy \le x^{2} + y^{2}$, w tetsewa ken ki x = y.
x au carré plus y au carré moins deux x y égale x moins y le tout au carré ، w carré ديما positif ولّا nul . إذن deux x y inférieur ou égal à x au carré plus y au carré ، w تتساوى كان كي x égale y .
x au carré plus y au carré moins deux x y égale x moins y le tout au carré, et un carré est toujours positif ou nul. Donc deux x y est inférieur ou égal à x au carré plus y au carré, avec égalité seulement quand x égale y.
Question 14 · Deux carrés et un double produit
- 3lech x + 1/x supérieur à 2
- pourquoi x plus un sur x est plus grand que 2
- x + 1/x ≥ 2 démonstration
- un nombre plus son inverse toujours plus que 2 ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki x strictement positif : $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{(x - 1)^{2}}{x}$. El fou9 carré, w el louta positif, donc positif. $x + \frac{1}{x} \ge 2$, w ysewi 2 ken ki x = 1.
كي x strictement positif : x plus un sur x moins deux égale (x moins un) au carré sur x . الفوق carré ، w اللوطة positif ، donc positif . x plus un sur x supérieur ou égal à deux ، w يساوي deux كان كي x égale un .
Pour x strictement positif : x plus un sur x moins deux égale (x moins un) au carré sur x. Le numérateur est un carré, le dénominateur est positif, donc le tout est positif. x plus un sur x est supérieur ou égal à deux, avec égalité seulement pour x égale un.
Question 15 · Moyenne arithmétique et moyenne géométrique
- chnowa la moyenne géométrique
- moyenne arithmétique et moyenne géométrique différence
- moyenne géométrique ya3ni chnowa
- pourquoi la moyenne géométrique est plus petite
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz nombres positifs a w b : la moyenne arithmétique hiya $\frac{a + b}{2}$, w la moyenne géométrique hiya $\sqrt{ab}$. El géométrique dima asghar walla kif kif : $\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2}$.
زوز nombres positifs a w b : la moyenne arithmétique هي a plus b, le tout sur deux ، w la moyenne géométrique هي racine carrée de a b . الـ géométrique ديما أصغر ولّا كيف كيف : a plus b, le tout sur deux moins racine de a b égale (racine de a moins racine de b) au carré sur deux .
Pour deux nombres positifs a et b, la moyenne arithmétique est a plus b, le tout sur deux, et la moyenne géométrique est racine carrée de a b. La géométrique est toujours plus petite ou égale : a plus b, le tout sur deux moins racine de a b égale (racine de a moins racine de b) au carré sur deux.
Question 16 · L'inégalité triangulaire au travail
- chnowa l'inégalité triangulaire
- c'est quoi l'inégalité triangulaire
- inégalité triangulaire ya3ni chnowa
- inégalité triangulaire kifech nesta3melha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L thleth nou9at A, B w C : $AB \le AC + CB$. Ettri9 el moubecher houwa el a9sar. W tetsewa ken ki C 3la le segment [AB]. Nesta3mlouha barcha bech ncompariw des sommes de longueurs.
لثلاث نقاط A ، B w C : A B inférieur ou égal à A C plus C B . الطريق المباشر هو الأقصر . w تتساوى كان كي C على le segment A B . نستعملوها برشا باش ncompariw des sommes de longueurs .
Pour trois points A, B et C : A B est inférieur ou égal à A C plus C B. Le chemin direct est le plus court. Il y a égalité seulement quand C est sur le segment A B. On s'en sert beaucoup pour comparer des sommes de longueurs.
Question 17 · Les radicaux : conjugué et racines imbriquées
- chnowa el conjugué
- c'est quoi le conjugué d'une expression
- conjugué de 3 + racine de 2
- le conjugué ya3ni chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le conjugué mta3 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ houwa $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ : nbaddlou ken le signe elli fel wost. El faydaa mte3ou : edharb mte3hom ya3ti $a - b$, blech racine. Le conjugué de $3 + \sqrt{2}$ houwa $3 - \sqrt{2}$, w edharb ya3ti 7.
le conjugué متاع racine de a plus racine de b هو racine de a moins racine de b : نبدّلو كان le signe اللي في الوسط . الفايدة متاعو : الضرب متاعهم يعطي a moins b ، بلاش racine . le conjugué de trois plus racine de deux هو trois moins racine de deux ، w الضرب يعطي sept .
Le conjugué de racine de a plus racine de b est racine de a moins racine de b : on change seulement le signe du milieu. Son intérêt : leur produit vaut a moins b, sans racine. Le conjugué de trois plus racine de deux est trois moins racine de deux, et leur produit vaut sept.
Question 18 · Les radicaux : conjugué et racines imbriquées
- kifech nna7i racine mel dénominateur
- comment enlever une racine du dénominateur
- pourquoi pas de radical au dénominateur
- radical au dénominateur kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Odhrob el fou9 w el louta fi nafs el 7aja. Ki le dénominateur $\sqrt{a}$, odhrob fi $\sqrt{a}$. Ki fih somme walla différence, odhrob fi le conjugué : la différence de deux carrés tna77i les racines. $\frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ ywalli $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$.
اضرب الفوق w اللوطة في نفس الحاجة . كي le dénominateur racine de a ، اضرب في racine de a . كي فيه somme ولّا différence ، اضرب في le conjugué : la différence de deux carrés تنحّي les racines . un sur (trois plus racine de deux) يولّي (trois moins racine de deux) sur sept .
Multiplie le haut et le bas par la même chose. Si le dénominateur est racine de a, multiplie par racine de a. S'il contient une somme ou une différence, multiplie par le conjugué : la différence de deux carrés fait disparaître les racines. Un sur (trois plus racine de deux) devient (trois moins racine de deux) sur sept.
Question 19 · Deux carrés et un double produit
- racine de la somme égale somme des racines ?
- sqrt(a+b) = sqrt a + sqrt b vrai ?
- racine d'une somme kifech
- pourquoi la racine d'une somme n'est pas la somme
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La. Racine de (a plus b) mouch $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. Jarreb : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, ama $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Pour a w b strictement positifs, $\sqrt{a + b}$ dima asghar.
لا . racine de (a plus b) موش racine de a plus racine de b . جرّب : racine de (neuf plus seize) هي racine de vingt-cinq ، cinq ، أما racine de neuf plus racine de seize هي sept . pour a w b strictement positifs ، racine de (a plus b) ديما أصغر .
Non. Racine de (a plus b) n'est pas racine de a plus racine de b. Essaie : racine de (neuf plus seize), c'est racine de vingt-cinq, cinq, alors que racine de neuf plus racine de seize vaut sept. Pour a et b strictement positifs, racine de (a plus b) est toujours plus petite.
Question 20 · Les radicaux : conjugué et racines imbriquées
- kifech nbassat racine dakhel racine
- simplifier une racine imbriquée
- racines imbriquées comment faire
- racine de 9 - 4 racine de 5 kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz tor9at. Lawej 3la carré, par exemple $9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^{2}$, donc la racine hiya $\sqrt{5} - 2$, 5ater lezemha positive. Wala, ki 3andek somme de racines A : a7seb $A^{2}$ 9bal, w ba3d $A = \sqrt{A^{2}}$.
زوز طرق . لوّج على carré ، par exemple neuf moins quatre racine de cinq هو (deux moins racine de cinq) au carré ، donc la racine هي racine de cinq moins deux ، خاطر لازمها positive . ولّا ، كي عندك somme de racines A : احسب A au carré قْبَلْ ، w ba3d A هي racine de A au carré .
Deux méthodes. Cherche un carré : par exemple neuf moins quatre racine de cinq, c'est (deux moins racine de cinq) au carré, donc sa racine vaut racine de cinq moins deux, car elle doit être positive. Ou bien, face à une somme de racines A, calcule d'abord A au carré, puis A égale racine de A au carré.
Question 21 · La formule de Héron
- chnowa formule de Héron
- formule de Héron kifech nesta3melha
- aire d'un triangle avec Héron
- Héron ya3ni chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La formule de Héron ta3tik l'aire mta3 triangle men les trois côtés berk : $\mathcal{A} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, w p houwa le demi-périmètre. Triangle de côtés 18, 24 w 30 : p = 36, w l'aire 216.
la formule de Héron تعطيك l'aire متاع triangle من les trois côtés برك : l'aire égale racine carrée du produit p fois (p moins a) fois (p moins b) fois (p moins c) ، w p هو le demi-périmètre . triangle de côtés dix-huit ، vingt-quatre w trente : p égale trente-six ، w l'aire deux cent seize .
La formule de Héron donne l'aire d'un triangle à partir de ses trois côtés seulement : l'aire égale racine carrée du produit p fois (p moins a) fois (p moins b) fois (p moins c), où p est le demi-périmètre. Pour un triangle de côtés dix-huit, vingt-quatre et trente : p vaut trente-six, et l'aire deux cent seize.
Question 22 · Développer, factoriser, comparer deux expressions
- chnowa el far9 bin développer w factoriser
- différence entre développer et factoriser
- développer ou factoriser kifech na3ref
- factoriser c'est le contraire de développer ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Développer ma3neha produit ywalli somme : todhrob w tréduire. Factoriser houwa el 3aks : somme twalli produit, b facteur commun walla b identité remarquable. Par exemple $(x + 5)(7x - 2)$, ki tdévelopper, ya3ti $7x^{2} + 33x - 10$.
développer معناها produit يولّي somme : تضرب w تـ réduire . factoriser هو العكس : somme تولّي produit ، بـ facteur commun ولّا بـ identité remarquable . par exemple (x plus cinq) fois (sept x moins deux) ، كي تـ développer ، يعطي sept x au carré plus trente-trois x moins dix .
Développer, c'est transformer un produit en somme : on multiplie, puis on réduit. Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit, par un facteur commun ou une identité remarquable. Par exemple (x plus cinq) fois (sept x moins deux), une fois développé, donne sept x au carré plus trente-trois x moins dix.
Question 23 · Développer, factoriser, comparer deux expressions
- A(x) = B(x) pour trois valeurs donc égales pour tout x ?
- égales pour quelques valeurs mais pas pour tout x
- kifech nthabet égalité pour tout x
- deux expressions égales pour tout réel x comment le montrer
Ce qu’il répond
La. Zouz expressions yetsewew fi quelques valeurs, ma ma3nehech égales pour tout x. Mathalan A(x) = x³ − x|x| + 2x + 2 w B(x) = (x + 1)(x² − x + 2) yetsewew fi −1, 0 w 1, ama A(2) = 10 w B(2) = 12. Bech tethbet égalité pour tout x, 7awwel expression lin toussel lel o5ra.
لا . زوز expressions يتساواو في quelques valeurs ، ما معناهاش égales pour tout x . مثلاً A de x égale x au cube moins x valeur absolue de x plus deux x plus deux ، w B de x égale (x plus un) fois (x au carré moins x plus deux) : يتساواو في moins un ، zéro w un ، أما A de deux égale dix w B de deux égale douze . باش تثبت égalité pour tout x ، حوّل expression لين توصل للأخرى .
Non. Deux expressions égales pour quelques valeurs ne sont pas égales pour tout x. Par exemple, A de x égale x au cube moins x valeur absolue de x plus deux x plus deux, et B de x égale (x plus un) fois (x au carré moins x plus deux) : elles coïncident en moins un, zéro et un, mais A de deux vaut dix et B de deux vaut douze. Pour prouver une égalité pour tout x, transforme une expression jusqu'à obtenir l'autre.
Question 24 · La valeur absolue et la distance
- chnowa la valeur absolue
- c'est quoi la valeur absolue d'un nombre
- valeur absolue définition
- valeur absolue ya3ni chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Valeur absolue de x hiya x ken x positif, w −x ken x négatif. Ya3ni dima positive walla nulle : $|-3| = 3$. W 3la droite graduée, hiya la distance bin x w 0.
valeur absolue de x هي x كان x positif ، w moins x كان x négatif . يعني ديما positive ولّا nulle : valeur absolue de moins trois égale trois . w على droite graduée ، هي la distance بين x w zéro .
La valeur absolue de x, c'est x si x est positif, et moins x si x est négatif. Elle est donc toujours positive ou nulle : valeur absolue de moins trois égale trois. Sur une droite graduée, c'est la distance entre x et zéro.
Question 25 · La valeur absolue et la distance
- valeur absolue w distance chnowa el 3ala9a
- pourquoi la valeur absolue est une distance
- distance AB avec valeur absolue
- valeur absolue de x moins a distance
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
3la droite graduée, ki A 3andou l'abscisse a w B 3andou l'abscisse b, $AB = |b - a|$. Donc $|x - a| = 5$ ma3neha ennou9at elli 3la distance 5 men a : zouz, wa7ed 3al imin w wa7ed 3al isar.
على droite graduée ، كي A عندو l'abscisse a w B عندو l'abscisse b ، la distance A B هي valeur absolue de b moins a . donc valeur absolue de x moins a égale cinq معناها النقاط اللي على distance cinq من a : زوز ، واحد على اليمين w واحد على اليسار .
Sur une droite graduée, si A a pour abscisse a et B pour abscisse b, la distance A B est valeur absolue de b moins a. Donc valeur absolue de x moins a égale cinq désigne les points à la distance cinq de a : il y en a deux, un à droite et un à gauche.
Question 26 · La valeur absolue et la distance
- valeur absolue égale un nombre négatif solution
- valeur absolue égale 1 - racine de 2 qui est négatif kifech
- est-ce qu'une valeur absolue peut être négative
- valeur absolue négative possible ?
Ce qu’il répond
La, valeur absolue dima positive walla nulle, 5ater hiya distance. Donc $|4x - 1| = 1 - \sqrt{2}$ ma 3andhech 7atta solution : $1 - \sqrt{2}$ négatif. Chouf le signe mta3 le second membre 9bal ma t7ell.
لا ، valeur absolue ديما positive ولّا nulle ، خاطر هي distance . donc valeur absolue de quatre x moins un égale un moins racine de deux ، ما عندهاش حتّى solution : un moins racine de deux négatif . شوف le signe متاع le second membre قْبَلْ ما تحلّ .
Non, une valeur absolue est toujours positive ou nulle, car c'est une distance. Donc valeur absolue de quatre x moins un égale un moins racine de deux n'a aucune solution : un moins racine de deux est négatif. Regarde le signe du second membre avant de résoudre.
Question 27 · Valeurs approchées
- chnowa el far9 bin par défaut w par excès
- valeur approchée par défaut ou par excès
- différence entre défaut et excès
- par défaut ya3ni chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Par défaut, la valeur approchée asghar men le nombre, w par excès akbar menou. $\sqrt{5} = 2{,}236\ldots$ : à $10^{-2}$ près, par défaut 2,23, w par excès 2,24.
par défaut ، la valeur approchée أصغر من le nombre ، w par excès أكبر منو . racine de cinq égale deux virgule deux trois six ... ، à dix puissance moins deux près ، par défaut deux virgule vingt-trois ، w par excès deux virgule vingt-quatre .
Par défaut, la valeur approchée est plus petite que le nombre, et par excès, plus grande. Racine de cinq égale deux virgule deux trois six et la suite : à dix puissance moins deux près, deux virgule vingt-trois par défaut, et deux virgule vingt-quatre par excès.
Question 28 · Valeurs approchées
- kifech na3mel l'arrondi
- comment calculer un arrondi à 10^-2
- arrondi au centième comment
- l'arrondi c'est quoi exactement
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'arrondi houwa la valeur approchée el a9rab lel nombre. Tchouf le chiffre elli ba3d e5er chiffre elli t7eb t5allih : ken 5 walla akther, totla3, w ken a9al, t5alli. $\frac{75}{17} = 4{,}4117\ldots$ : l'arrondi à $10^{-3}$ houwa 4,412.
l'arrondi هو la valeur approchée الأقرب للـ nombre . تشوف le chiffre اللي بعد آخر chiffre اللي تحب تخلّيه : كان cinq ولّا أكثر ، تطلع ، w كان أقل ، تخلّي . soixante-quinze sur dix-sept égale quatre virgule quatre un un sept ... : l'arrondi à dix puissance moins trois هو quatre virgule quatre cent douze .
L'arrondi est la valeur approchée la plus proche du nombre. On regarde le chiffre qui suit le dernier chiffre gardé : s'il vaut cinq ou plus, on monte ; sinon, on garde. Soixante-quinze sur dix-sept égale quatre virgule quatre un un sept et la suite : l'arrondi à dix puissance moins trois est quatre virgule quatre cent douze.
Question 29 · Écriture scientifique et ordre de grandeur
- chnowa l'ordre de grandeur
- c'est quoi un ordre de grandeur
- ordre de grandeur kifech nal9ah
- comment trouver l'ordre de grandeur d'un nombre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Tekteb le nombre en écriture scientifique, $a \times 10^{n}$, w ba3d tarrondir a à l'unité w t5alli nafs $10^{n}$. $3{,}5215 \times 10^{7}$, l'ordre de grandeur mte3ou $4 \times 10^{7}$. Yekhdmek bech t9adder blech calcul exact.
تكتب le nombre en écriture scientifique ، a fois dix puissance n ، w ba3d تـ arrondir a à l'unité w تخلّي نفس dix puissance n . trois virgule cinq deux un cinq fois dix puissance sept ، l'ordre de grandeur متاعو quatre fois dix puissance sept . يخدمك باش تقدّر بلاش calcul exact .
Écris le nombre en écriture scientifique, a fois dix puissance n, puis arrondis a à l'unité en gardant la même puissance de dix. Trois virgule cinq deux un cinq fois dix puissance sept a pour ordre de grandeur quatre fois dix puissance sept. Cela sert à estimer sans calcul exact.
Question 30 · Écriture scientifique et ordre de grandeur
- chnowa l'écriture scientifique
- écriture scientifique c'est quoi
- kifech nekteb nombre en écriture scientifique
- écriture scientifique d'un nombre plus petit que 1
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'écriture scientifique hiya $a \times 10^{n}$, w a 3andou chiffre wa7ed non nul 9bal la virgule, ya3ni $1 \le |a| < 10$. $0{,}0007845 = 7{,}845 \times 10^{-4}$ : la virgule temchi quatre rangs, w l'exposant négatif 5ater le nombre asghar men 1.
l'écriture scientifique هي a fois dix puissance n ، w a عندو chiffre واحد non nul قْبَلْ la virgule ، يعني بين un w dix . zéro virgule zéro zéro zéro sept huit quatre cinq ، تولّي sept virgule huit quatre cinq fois dix puissance moins quatre : la virgule تمشي quatre rangs ، w l'exposant négatif خاطر le nombre أصغر من un .
L'écriture scientifique, c'est a fois dix puissance n, où a a un seul chiffre non nul avant la virgule, c'est-à-dire entre un et dix. Zéro virgule zéro zéro zéro sept huit quatre cinq devient sept virgule huit quatre cinq fois dix puissance moins quatre : la virgule avance de quatre rangs, et l'exposant est négatif car le nombre est plus petit que un.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Un produit qui se simplifie en chaîne
Calcule le produit (concours Kangourou 2003).
Réponse attendue : 1002
Indices, dans l’ordre
- Écris chaque facteur sous la forme d'une seule fraction.
- Chaque facteur s'écrit :
- Le numérateur de chaque facteur est le dénominateur du suivant : regarde ce qui reste au bout de la chaîne.
Correction
- Chaque facteur —
- La chaîne — Tous les nombres de à apparaissent une fois en haut et une fois en bas.
Il ne reste que le dernier numérateur et le premier dénominateur.
Pièges anticipés
2004→ Tu as gardé le dernier numérateur, mais il reste aussi le premier dénominateur,1001 / 2003→ Recompte la chaîne : le premier facteur est et le dernier
Exercice 2 · base
Le ressort
L'allongement d'un ressort est proportionnel à la masse suspendue : une masse de g provoque un allongement de mm. Quelle masse provoque un allongement de mm ?
Donne la masse en grammes, le nombre seul, sans l'unité.
Réponse attendue : 70
Indices, dans l’ordre
- Cherche le coefficient qui fait passer de la masse à l'allongement.
- Le coefficient vaut :
- Ici, on connaît l'allongement : on fait le chemin inverse, donc on divise.
Correction
- Le coefficient —
- Le chemin inverse — Allongement masse, donc masse allongement
On vérifie :
Pièges anticipés
25.2→ Tu as multiplié par : ce coefficient fait passer de la masse à l'allongement, pas l'inverse.
Exercice 3 · pratique
Deux augmentations successives
Un article est mis en vente à dinars. Il subit deux augmentations successives, de puis de Quel est le pourcentage global d'augmentation ?
Donne le pourcentage, sans le signe %.
Réponse attendue : 32
Indices, dans l’ordre
- Une augmentation de multiplie le prix par
- La seconde augmentation porte sur le prix déjà augmenté.
- Multiplie les deux coefficients, puis lis le pourcentage.
Correction
- Les coefficients —
- Le prix passe de à dinars.
Les coefficients se multiplient : on n'ajoute pas les pourcentages.
Pièges anticipés
30→ Tu as ajouté et Mais les portent sur dinars, pas sur : les coefficients se multiplient.
Exercice 4 · pratique
Revenir au prix initial
Un article mis en vente subit une augmentation de puis une réduction, et il revient à son prix initial. Quel est le taux de la réduction ?
Donne le taux en pourcentage, arrondi à 0,01 près, sans le signe %.
Réponse attendue : 9.09
Indices, dans l’ordre
- Appelle le taux de réduction : le prix est multiplié par puis par
- Le prix final est le prix initial : le produit des deux coefficients vaut
- Résous :
Correction
- L'équation —
- En pourcentage —
La réduction est plus petite que car elle porte sur un prix plus grand.
Pièges anticipés
10→ Une baisse de ne compense pas une hausse de :100/11 / 9.091 / 9.0909 / 9.09091 / 9.090909→ Ta valeur est juste, mais on la demande arrondie à près :
Exercice 5 · base
Retrouver le prix hors taxes
Pour un taux de T.V.A. de un article est vendu dinars T.T.C. Quel est son prix H.T. ?
Donne le prix en dinars.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Le prix T.T.C. s'obtient en multipliant le prix H.T. par un coefficient.
- Ce coefficient vaut :
- On connaît le prix T.T.C. : on fait le chemin inverse.
Correction
- La relation —
- Le chemin inverse —
On vérifie :
Pièges anticipés
29.133→ Tu as retiré du prix T.T.C. Mais la T.V.A. a été calculée sur le prix H.T. : il faut diviser par
Exercice 6 · pratique
Une racine imbriquée
Écris sous la forme où et sont des entiers.
Réponse attendue : 5+sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Cherche comme le carré d'une somme
- Développe le carré :
- Il faut et : essaie
Correction
- Le carré —
- Le signe — est positif : c'est bien la racine carrée.
Une racine imbriquée se simplifie quand ce qu'elle contient est le carré d'une somme.
Pièges anticipés
5-sqrt(3)→ : le double produit doit être positif ici.
Exercice 7 · pratique
Un produit de quatre entiers consécutifs
Pour on pose Pour est le carré d'un entier naturel. Lequel ?
Donne l'entier dont x est le carré.
Réponse attendue : 131
Indices, dans l’ordre
- Regroupe les facteurs deux par deux : le premier avec le dernier, les deux du milieu ensemble.
- Avec :
- Alors :
Correction
- La conjecture démontrée —
- Pour n = 10 —
- Vérification —
Le produit de quatre entiers consécutifs, plus est toujours un carré parfait.
Pièges anticipés
17161 / 131^2 / 131² / x=131²→ C'est la valeur de ; on demande l'entier dont est le carré.
Exercice 8 · base
Un calcul mental
Calcule mentalement
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Appelle : les deux autres nombres sont et
- Une identité remarquable :
- Remplace, puis simplifie.
Correction
- Nommer —
Une lettre à la place d'un grand nombre fait apparaître l'identité.
Pièges anticipés
-1→ Attention au signe moins devant : il change le signe de
Exercice 9 · base
Encadrer une expression
Soit un réel tel que Donne un encadrement de
Écris l'intervalle auquel appartient -3a + 5, par exemple « [-1;7] ».
Réponse attendue : [-4;11] — aussi acceptées : [-4,11] · [-4 ; 11] · -4<=-3a+5<=11 · -4≤-3a+5≤11 · -4 ≤ -3a + 5 ≤ 11
Indices, dans l’ordre
- Multiplie d'abord l'encadrement de par
- Multiplier par un nombre négatif renverse le sens des inégalités.
- Ajoute ensuite à chaque membre.
Correction
- Multiplier par −3 — Le sens se renverse.
- Ajouter 5 —
Un facteur négatif renverse l'encadrement ; une addition le garde.
Pièges anticipés
[-9;6] / [-9,6]→ C'est l'encadrement de : il reste à ajouter à chaque membre.
Exercice 10 · pratique
La largeur de la pièce
Une pièce rectangulaire a une aire comprise entre m² et m², et une longueur comprise entre m et m. Quelle est la plus grande largeur possible, arrondie par excès à près ?
Donne la largeur en mètres, le nombre seul, sans l'unité.
Réponse attendue : 3.27
Indices, dans l’ordre
- La largeur est l'aire divisée par la longueur.
- Une largeur est grande quand l'aire est grande et la longueur petite.
- Encadre l'inverse de la longueur :
Correction
- Le quotient — On multiplie l'encadrement de l'aire par celui de l'inverse de la longueur (tout est positif).
- La borne supérieure —
- Par excès à près :
La plus grande largeur vient de la plus grande aire et de la plus petite longueur.
Pièges anticipés
3.2→ Tu as divisé par Diviser par la longueur renverse son encadrement : la plus grande largeur vient de la plus petite longueur.
Exercice 11 · pratique
Pas de radical au dénominateur
Écris sans radical au dénominateur.
Réponse attendue : (3-sqrt(2))/7
Indices, dans l’ordre
- Multiplie le numérateur et le dénominateur par la même expression.
- Le conjugué de est
- Le dénominateur devient :
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
Le conjugué transforme le dénominateur en une différence de deux carrés.
Pièges anticipés
(3-sqrt(2))/11→ C'est une différence de carrés : pas
Exercice 12 · raisonnement
Une somme de racines imbriquées
Soit Calcule puis donne une écriture plus simple de
Donne la valeur de B.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Développe avec
- Le produit sous la racine est un produit de conjugués :
- Une fois connu, n'oublie pas que est positif.
Correction
- Le carré —
- Le signe — est une somme de racines, donc
On peut le vérifier : et
Pièges anticipés
16→ C'est Il reste à revenir à-4→ est une somme de racines carrées : il est positif.
Exercice 13 · defi
Un entier caché
Le nombre est-il un entier ? Calcule-le (Olympiades africaines 2004).
Donne sa valeur, le nombre seul.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Cherche chaque nombre sous la racine comme un carré
- Pour le premier :
- Pour le second, essaie et vérifie le signe de avant de sortir la racine.
Correction
- La première racine —
- La seconde racine —
- donc
- La somme —
Le nombre est l'entier : les s'annulent.
Pièges anticipés
8*sqrt(3)-11→ Tu as pris comme racine de : ce nombre est négatif, il ne peut pas être une racine carrée.
Exercice 14 · raisonnement
Une somme qui se télescope
Calcule
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Rends chaque dénominateur rationnel avec le conjugué.
- Pour tout entier :
- Écris les premiers termes et les derniers : qu'est-ce qui s'annule ?
Correction
- Chaque terme — Le dénominateur conjugué vaut
- La somme —
- Tout s'annule sauf le premier et le dernier.
Le conjugué transforme chaque terme en différence, et la somme se télescope.
Pièges anticipés
10→ Il reste aussi le tout premier terme de la chaîne.
Exercice 15 · pratique
La formule de Héron
Calcule l'aire, en cm², d'un triangle dont les côtés mesurent cm, cm et cm.
Donne la valeur exacte de l'aire, sans l'unité.
Réponse attendue : 14*sqrt(26)
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord le demi-périmètre
- La formule de Héron :
- Décompose le produit sous la racine pour en sortir les carrés.
Correction
- Le demi-périmètre —
- La formule —
- Extraire les carrés —
Héron n'a besoin que des trois côtés ; ici, l'aire vaut environ cm².
Exercice 16 · pratique
Le triangle dans le rectangle
est un rectangle de longueur et de largeur et avec et Calcule l'aire du triangle
Un rectangle ABCD avec AB = 10 en haut et AD = 7 à gauche. M est sur le côté [AB] avec AM = 3, N est sur le côté [AD] avec AN = 5. Le triangle MNC est grisé.
Donne l'aire, le nombre seul, sans l'unité.
Réponse attendue : 28
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est le rectangle privé de trois triangles rectangles, dans les coins et
- Trouve les côtés de l'angle droit de chacun :
- L'aire d'un triangle rectangle :
Correction
- Le rectangle —
- Les trois coins —
- La différence —
Ses côtés valent et ; par différence d'aires, on évite la hauteur.
Pièges anticipés
42→ est l'aire des trois coins : il faut la retirer de celle du rectangle.35→ Le triangle n'est pas la moitié du rectangle : calcule les trois coins.
Exercice 17 · pratique
Factoriser avec un facteur commun caché
Factorise
Réponse attendue : -(2x-1)*(x+6) — aussi acceptées : (2x-1)*(-x-6) · (1-2x)*(x+6)
Indices, dans l’ordre
- Factorise d'abord par une identité remarquable.
- Ainsi :
- Le facteur commun est ; attention au signe moins devant la seconde parenthèse.
Correction
- L'identité —
- Le facteur commun —
- Réduire le crochet —
On peut aussi écrire
Pièges anticipés
(2x-1)*(-x+8)→ Le moins devant change aussi le signe de :
Exercice 18 · pratique
Une factorisation du second degré
Factorise Indication : l'un des facteurs est
Réponse attendue : (x+5)*(7x-2)
Indices, dans l’ordre
- Cherche le second facteur sous la forme
- Le produit des termes en donne le produit des constantes donne
- Développe ton produit pour vérifier le terme
Correction
- Les termes extrêmes — et
- Vérification —
On peut aussi l'obtenir autrement : avec et on trouve en factorisant et en développant
Pièges anticipés
(x-5)*(7x+2)→ Développe : Le terme en a le mauvais signe.
Exercice 19 · base
Enlever une valeur absolue
Écris sans le symbole de la valeur absolue :
Réponse attendue : 2*sqrt(2)-1-sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Cherche d'abord le signe de
- Compare et : ce sont deux positifs, compare leurs carrés.
- Les carrés :
Correction
- Comparer — donc
- Le signe — Le nombre est négatif : sa valeur absolue est son opposé.
Avant d'enlever une valeur absolue, on établit le signe de ce qu'elle contient.
Pièges anticipés
1+sqrt(3)-2*sqrt(2)→ Ce nombre est négatif ( et ) : sa valeur absolue est son opposé.
Exercice 20 · pratique
Deux valeurs absolues égales
Résous dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;5} ».
Réponse attendue : {-4;2/3} — aussi acceptées : {2/3;-4} · -4 et 2/3 · x = -4 ou x = 2/3
Indices, dans l’ordre
- Deux nombres ont la même valeur absolue quand ils sont égaux ou opposés.
- Écris les deux équations : et
- Résous chacune : chacune donne une solution.
Correction
- Égaux —
- Opposés —
équivaut à ou : deux cas, à ne pas oublier.
Pièges anticipés
{2/3} / 2/3→ Tu n'as traité que le cas où les deux nombres sont égaux. Ils peuvent aussi être opposés.
Exercice 21 · pratique
Une inéquation avec valeur absolue
Écris l'ensemble des solutions de à l'aide d'un intervalle.
Écris l'intervalle, par exemple « ]-1;3[ ».
Réponse attendue : ]0;2[ — aussi acceptées : ]0,2[
Indices, dans l’ordre
- est la distance entre et sur la droite graduée.
- On cherche les réels dont la distance à est strictement inférieure à
- Traduis par un double encadrement :
Correction
- Le double encadrement —
- Ajouter 1 —
L'inégalité est stricte : les bornes sont exclues.
Pièges anticipés
[0;2] / [0,2]→ L'inégalité est stricte : et sont à distance exactement ils ne conviennent pas.]-inf;2[→ La distance à doit être petite des deux côtés : ne peut pas descendre sous
Exercice 22 · raisonnement
Une réunion d'intervalles
Écris l'ensemble des solutions de à l'aide d'une réunion d'intervalles.
Écris la réunion, par exemple
Réponse attendue : ]-inf;5/4]U[7/4;+inf[ — aussi acceptées : ]-∞;5/4]∪[7/4;+∞[ · ]-inf;1.25]U[1.75;+inf[ · ]-inf;5/4] u [7/4;+inf[ · ]-∞ ; 1,25] ∪ [1,75 ; +∞[ · ]-∞;1,25]∪[1,75;+∞[ · ]-inf;1,25]U[1,75;+inf[ · x<=5/4 ou x>=7/4 · x≤5/4 ou x≥7/4
Indices, dans l’ordre
- Écris
- L'inéquation devient :
- Ce sont les réels dont la distance à est au moins : à l'extérieur d'un intervalle.
Correction
- Une distance —
- Les deux côtés —
Une distance « au moins » donne l'extérieur d'un intervalle, bornes comprises.
Pièges anticipés
[5/4;7/4] / [1.25;1.75]→ C'est l'ensemble où la distance est au plus ; on veut au moins : l'extérieur.
Exercice 23 · base
Une valeur approchée par défaut
La calculatrice affiche Donne la valeur approchée de à près par défaut.
Réponse attendue : 2.44948
Indices, dans l’ordre
- près : on garde cinq chiffres après la virgule.
- Par défaut : le nombre gardé doit être inférieur à
- On tronque, sans regarder le chiffre suivant.
Correction
- Cinq décimales —
- La valeur par défaut est la borne de gauche.
L'arrondi, lui, serait car le sixième chiffre, est au moins
Pièges anticipés
2.44949→ C'est l'arrondi, et aussi la valeur par excès : par défaut, on reste en dessous de
Exercice 24 · pratique
Les grains de sable du Sahara
Le Sahara a une superficie d'environ millions de km², et l'on estime à milliards le nombre de grains de sable de la couche superficielle par mètre carré. Donne un ordre de grandeur du nombre de grains de sable de cette couche.
Écris-le sous la forme par exemple
Réponse attendue : 2*10^22
Indices, dans l’ordre
- Convertis d'abord la superficie en m² : km² m².
- Superficie et densité :
- Multiplie, écris le résultat en écriture scientifique, puis arrondis à l'unité.
Correction
- En m² —
- Le produit —
- L'ordre de grandeur — L'arrondi de à l'unité est
Une vingtaine de milliers de milliards de milliards de grains : l'écriture scientifique rend le nombre lisible.
Pièges anticipés
2*10^16 / 1.6*10^16→ Tu as multiplié des km² par des grains par m² : convertis d'abord la superficie en m².1.6*10^22→ C'est l'estimation elle-même ; l'ordre de grandeur arrondit à l'unité.2.10^22 / 2.10²² / 2*10²²→ Tape la multiplication avec * et la puissance avec ^ : s'écrit 2*10^22. Le point de « 2.10 » se lit comme une virgule.
Exercice 25 · base
Simplifier avant de classer
Déterminer le plus petit des ensembles qui contient le nombre
Écrire la lettre de l'ensemble, par exemple « D ».
Réponse attendue : Z — aussi acceptées : ℤ · IZ
Indices, dans l’ordre
- Une fraction peut « tomber juste » : effectue la division.
- Le résultat est-il un entier ? Positif ou négatif ?
Correction
- Simplifier — On divise par
- Le signe — Le nombre est un entier négatif : il n'est pas dans
Avant de classer un nombre, on le simplifie : une écriture fractionnaire ne fait pas un rationnel non entier.
Pièges anticipés
Q / ℚ / IQ→ est bien dans mais ce n'est pas le plus petit ensemble : la division tombe juste.N / ℕ / IN→ est négatif : il n'est pas un entier naturel.
Exercice 26 · base
Un décimal qui se cache
Déterminer le plus petit des ensembles qui contient le nombre
Écrire la lettre de l'ensemble, par exemple « D ».
Réponse attendue : D — aussi acceptées : 𝔻 · ID
Indices, dans l’ordre
- La fraction est-elle irréductible ? Décompose son dénominateur en facteurs premiers.
- Un rationnel irréductible est décimal quand son dénominateur n'est fait que de et de
Correction
- Le dénominateur — La fraction est irréductible, et
- La division s'arrête : c'est un décimal, non entier.
Un rationnel est décimal si sa forme irréductible a un dénominateur de la forme
Pièges anticipés
Q / ℚ / IQ→ C'est vrai, mais est plus petit : la division s'arrête.N / Z / ℕ / ℤ / IN / IZ→ n'est pas un multiple de : ce n'est pas un entier.
Exercice 27 · pratique
Une racine qui tombe juste
Déterminer le plus petit des ensembles qui contient le nombre
Écrire la lettre de l'ensemble, par exemple « D ».
Réponse attendue : D — aussi acceptées : 𝔻 · ID
Indices, dans l’ordre
- et sont-ils des carrés parfaits ?
- Calcule la racine, puis écris le résultat en écriture décimale.
Correction
- Calculer la racine — et
- Classer — Le dénominateur : la division s'arrête.
Une racine carrée n'est pas forcément irrationnelle : on la calcule avant de classer le nombre.
Pièges anticipés
R / ℝ / IR→ Une racine n'est pas toujours irrationnelle : ici et sont des carrés.Q / ℚ / IQ→ est rationnel, mais il est même décimal :
Exercice 28 · pratique
Combien de décimaux ?
On considère les six nombres et Déterminer combien d'entre eux sont des nombres décimaux.
Donner le nombre de décimaux, le nombre seul.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Rends d'abord chaque fraction irréductible.
- Puis regarde le dénominateur : n'est-il fait que de facteurs et ?
Correction
- Rendre irréductible — Seule se simplifie.
- Les dénominateurs — conviennent ; et contiennent le facteur
On simplifie, puis on décompose le dénominateur : les seuls facteurs permis sont et
Pièges anticipés
3→ Tu as écarté à cause du de Simplifie d'abord :
Exercice 29 · raisonnement
Un développement décimal qui se répète
Soit où le bloc de chiffres se répète indéfiniment. En calculant écrire sous la forme d'une fraction irréductible.
Donner sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 3/11
Indices, dans l’ordre
- Multiplier par décale la virgule de deux rangs :
- Dans les chiffres après la virgule s'en vont.
- Il reste à simplifier la fraction obtenue par
Correction
- Décaler la virgule —
- Soustraire — Les parties après la virgule sont les mêmes.
- Simplifier —
Un nombre dont l'écriture décimale se répète est rationnel : on fait disparaître la partie qui se répète par une soustraction.
Pièges anticipés
27/100 / 0.27 / 0.2727 / 0.273→ n'est qu'une valeur approchée : les chiffres se répètent sans fin. Calcule27/9 / 3→ et non : divise par
Exercice 30 · defi
Des inverses décimaux
Déterminer combien d'entiers naturels avec sont tels que est un nombre décimal.
Donner le nombre d'entiers, le nombre seul.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- est irréductible : il est décimal exactement quand n'a pour facteurs premiers que et
- Range-les : les puissances de puis fois une puissance de puis fois une puissance de
- N'oublie pas : est décimal.
Correction
- La condition — est irréductible : décimal si et seulement si
- Sans facteur 5 —
- Un facteur 5 —
- Deux facteurs 5 —
- entiers.
On traduit « décimal » par une condition sur le dénominateur, puis on dénombre méthodiquement, famille par famille.
Pièges anticipés
11→ Tu as oublié : est un décimal.10→ Pense à et à
Exercice 31 · base
Réduire au même dénominateur
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 7/12
Indices, dans l’ordre
- Cherche le plus petit dénominateur commun à et
- Écris chaque fraction avec le dénominateur
Correction
- Même dénominateur —
- Les numérateurs —
On réduit au même dénominateur, puis on ajoute les numérateurs : jamais les dénominateurs.
Pièges anticipés
0→ On n'ajoute pas les dénominateurs : réduis d'abord au même dénominateur-7/12→ Vérifie les signes :
Exercice 32 · pratique
Une fraction à étages
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 30/43
Indices, dans l’ordre
- Commence par l'étage le plus bas :
- Remonte étage par étage : l'inverse d'une fraction se lit en la renversant.
- Ne t'arrête pas avant le premier trait de fraction : est l'inverse du dernier résultat.
Correction
- Le dernier étage —
- L'étage au-dessus —
- Encore un —
- L'inverse —
Une fraction étagée se calcule de l'intérieur vers l'extérieur, en gardant à chaque étage une fraction irréductible.
Pièges anticipés
43/30→ est le dénominateur de : il reste à prendre son inverse.13/30→ n'est que l'étage du milieu, : il reste à lui ajouter puis à prendre l'inverse.
Exercice 33 · raisonnement
Deux chaînes dans un produit
Calculer le produit et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Donner sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 21/40
Indices, dans l’ordre
- Chaque facteur est une différence de deux carrés.
- Écris et : tu obtiens deux produits qui se simplifient chacun en chaîne.
- Regarde ce qui reste au début et à la fin de chacune des deux chaînes, puis multiplie.
Correction
- Chaque facteur —
- Première chaîne —
- Seconde chaîne —
Une identité remarquable coupe chaque facteur en deux : le produit se sépare en deux chaînes, qui se simplifient chacune.
Pièges anticipés
1/20 / 21/2→ Ce n'est qu'une des deux chaînes : il faut multiplier les deux résultats.21/20→ Recompte la seconde chaîne : laisse
Exercice 34 · raisonnement
Une somme qui se télescope
Vérifier que, pour tout entier puis calculer
Donner sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : 24/25
Indices, dans l’ordre
- Réduis au même dénominateur pour vérifier l'égalité.
- Remplace chaque terme de par une différence :
- Dans la somme, chaque fraction apparaît une fois avec et une fois avec sauf la première et la dernière.
Correction
- L'égalité —
- Réécrire S —
- Les termes s'annulent — Il ne reste que le premier et le dernier.
Écrire chaque terme comme une différence fait apparaître une structure : les termes intermédiaires s'annulent deux à deux.
Pièges anticipés
25/26→ Le dernier terme est : la somme s'arrête à1/25→ Il reste pas seul.
Exercice 35 · pratique
Une baisse puis une hausse
Le prix d'un vélo baisse de pendant les soldes, puis augmente de à la fin des soldes. Déterminer de quel pourcentage le prix final a baissé par rapport au prix de départ.
Donner le pourcentage de baisse, sans le signe %.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Traduis chaque évolution par un coefficient multiplicateur.
- Baisser de c'est multiplier par ; augmenter de par
- Multiplie les deux coefficients et compare le résultat à
Correction
- Les coefficients —
- Conclure — Le prix final vaut du prix de départ.
Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients : puis ne s'annulent pas, car la hausse porte sur un prix déjà baissé.
Pièges anticipés
0→ Les pourcentages ne s'ajoutent pas : la hausse de porte sur le prix déjà baissé. Multiplie les coefficients.96→ est le coefficient : le prix final vaut du prix de départ. La baisse est donc de
Exercice 36 · raisonnement
Deux hausses identiques
Le loyer d'un appartement augmente de une année, puis encore de l'année suivante. Sur les deux années, il a augmenté de en tout. Déterminer
Donner le pourcentage sans le signe %.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Les deux hausses multiplient le loyer par le même coefficient
- Le coefficient global est : de quel nombre positif est-il le carré ?
Correction
- Le coefficient global —
- Le carré — Le coefficient est positif et
Deux hausses successives de multiplient par : on ne partage pas en deux.
Pièges anticipés
10.5→ Les pourcentages ne s'ajoutent pas : Écris le coefficient global comme un carré.
Exercice 37 · base
Un produit calculé de tête
En écrivant et calculer à l'aide d'une identité remarquable.
Donner la valeur du produit.
Réponse attendue : 2491
Indices, dans l’ordre
- Le produit est de la forme
- Utilise avec et
Correction
- L'identité —
Un produit de deux nombres symétriques autour d'un nombre rond se calcule de tête avec
Pièges anticipés
2509→ C'est une différence de carrés : pas
Exercice 38 · pratique
Le cube d'une différence
Développer et l'écrire sous la forme où et sont des entiers. Déterminer
Donner l'entier
Réponse attendue : -15
Indices, dans l’ordre
- Utilise avec et
- et
- Regroupe les termes qui contiennent
Correction
- L'identité —
- Regrouper —
- Lire b —
Le cube d'une différence a quatre termes, de signes alternés : pour les coefficients.
Pièges anticipés
15→ Les termes en sont et : est négatif.-13→ pas26-15*sqrt(3)→ C'est bien mais on demande seulement l'entier
Exercice 39 · raisonnement
Une somme de cubes sans connaître les nombres
Deux réels et vérifient et En développant calculer
Donner la valeur de
Réponse attendue : 80
Indices, dans l’ordre
- Développe et regroupe les termes en et
- : tout s'exprime avec et
Correction
- Le cube d'une somme —
- Isoler —
- Remplacer —
Une identité remarquable lue à l'envers exprime avec la seule somme et le seul produit.
Pièges anticipés
116→ Le terme à retirer est pas125→ : il manque les termes
Exercice 40 · base
Le plus grand des trois
Soit Sans calculatrice, déterminer le plus grand des trois nombres et
Donner la valeur du plus grand des trois nombres.
Réponse attendue : 0.9
Indices, dans l’ordre
- Situe par rapport à et à
- Pour :
Correction
- Situer a —
- Le cours —
- Calculer —
Entre et la racine carrée est le plus grand des trois, le carré le plus petit.
Pièges anticipés
0.81→ Pour : n'est pas le plus grand.0.6561→ Élever au carré un nombre entre et le fait diminuer :
Exercice 41 · base
Le plus petit des trois
Soit Sans calculatrice, déterminer le plus petit des trois nombres et
Donner la valeur du plus petit des trois nombres.
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- est-il plus petit ou plus grand que ?
- Pour :
Correction
- Situer a —
- Le cours —
- Calculer —
Au-delà de l'ordre s'inverse : la racine carrée est le plus petit des trois.
Pièges anticipés
81/16→ Pour le carré est le plus grand :9/4→ Pour : ce n'est pas le plus petit.
Exercice 42 · pratique
Un nombre entre 0 et 1
Soit Justifier que puis déterminer le plus petit des trois nombres et et donner sa valeur exacte.
Donner la valeur exacte du plus petit des trois nombres, sans la lettre
Réponse attendue : 9-4*sqrt(5)
Indices, dans l’ordre
- Encadre entre deux entiers consécutifs.
- Pour lequel des trois est le plus petit ?
- Pour écrire sa valeur sans parenthèses, développe le carré avec
Correction
- Situer u — donc
- Le cours —
- Développer —
On situe d'abord le nombre par rapport à : c'est ce qui décide de l'ordre entre et
Pièges anticipés
9→ : n'oublie pas le double produit.sqrt(sqrt(5)-2)→ Pour est le plus grand des trois.sqrt(5)-2→ Pour : n'est pas le plus petit.
Exercice 43 · pratique
Quand le carré est plus petit
Déterminer l'ensemble des réels tels que en étudiant le signe de
Écrire l'intervalle, par exemple « ]-2;5[ ».
Réponse attendue : ]0;1[ — aussi acceptées : ]0,1[ · 0<a<1
Indices, dans l’ordre
- équivaut à c'est-à-dire
- Un produit de deux facteurs est strictement positif quand ils sont non nuls et de même signe.
- Peuvent-ils être tous les deux négatifs ?
Correction
- Factoriser —
- Les signes — et donne ; et demanderait et : impossible.
Pour comparer et on étudie le signe de leur différence :
Pièges anticipés
]-inf;1[→ Diviser par n'est permis qu'en connaissant son signe : pour[0;1]→ Pour ou : l'inégalité est stricte, les bornes sont exclues.]1;+inf[→ Pour : c'est le contraire qu'on cherche.
Exercice 44 · raisonnement
Le plus grand écart entre a et a²
Vérifier que, pour tout réel En déduire la plus grande valeur que peut prendre
Donner la plus grande valeur de
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Développe pour vérifier l'égalité.
- Un carré est toujours positif ou nul : que peut-on dire de moins un carré ?
- Pour quelle valeur de le carré est-il nul ?
Correction
- Vérifier —
- Majorer — Un carré est positif ou nul.
- Atteinte — Pour
Écrire une expression comme « un nombre moins un carré » donne sa plus grande valeur, atteinte quand le carré est nul.
Pièges anticipés
1/2→ est la valeur de pour laquelle le maximum est atteint ; on demande la valeur de
Exercice 45 · defi
Une racine proche de 1
Déterminer le plus petit entier naturel non nul tel que
Donner l'entier
Réponse attendue : 50
Indices, dans l’ordre
- Les deux membres sont positifs : l'inégalité équivaut à celle de leurs carrés.
- Calcule exactement.
- Passe à l'inverse avec prudence : pour des positifs, il renverse l'ordre.
Correction
- Élever au carré — Pour des nombres positifs,
- Isoler 1/n —
- Passer à l'inverse — L'inverse renverse l'ordre.
Pour des positifs, on peut élever au carré sans changer le sens, et passer à l'inverse en le renversant.
Pièges anticipés
51→ pas : refais le calcul.101→ Tu as comparé à : il fallait élever au carré.49→ doit dépasser : ne convient pas.
Exercice 46 · base
Encadrer un inverse
Soit un réel tel que Donner un encadrement de
Écrire l'intervalle auquel appartient 1/x, par exemple « [1/4;3] ».
Réponse attendue : [1/5;1/2] — aussi acceptées : [0.2;0.5] · [0,2;0,5] · 1/5<=1/x<=1/2 · 1/5≤1/x≤1/2
Indices, dans l’ordre
- Les nombres de l'encadrement sont strictement positifs.
- Passer à l'inverse renverse l'ordre.
Correction
- Des positifs —
- L'inverse renverse —
Pour des réels strictement positifs, passer à l'inverse renverse le sens des inégalités.
Pièges anticipés
[1/2;1/5]→ : l'inverse renverse l'ordre, la plus petite borne est
Exercice 47 · pratique
Le plus petit de quatre quotients
On pose et Sans poser de division, déterminer le plus petit de ces quatre nombres.
Écrire la lettre du plus petit nombre, par exemple « s ».
Réponse attendue : q — aussi acceptées : le nombre q · 29/31 · q = 29/31 · q=29/31 · c'est q · le plus petit est q · q est le plus petit
Indices, dans l’ordre
- Compare d'abord chaque quotient à : numérateur plus petit ou plus grand que le dénominateur ?
- Il reste deux candidats plus petits que Écris chacun sous la forme
- Compare et
Correction
- Comparer à 1 —
- L'écart à 1 —
- Comparer les écarts — : on retire plus à
- Conclure — Le plus petit des quatre nombres est
Un quotient de positifs se compare d'abord à ; deux quotients proches de se comparent par leur écart à
Pièges anticipés
r / 44/45→ et : lequel s'éloigne le plus de ?p / s / 31/29 / 45/44→ Ce quotient a un numérateur plus grand que son dénominateur : il dépasse
Exercice 48 · pratique
Un quotient à encadrer
Soit un réel tel que Déterminer un encadrement de
Écrire l'intervalle auquel appartient 3/(x - 2), par exemple « ]1/2;4[ ».
Réponse attendue : ]1;3/2[ — aussi acceptées : ]1;1.5[ · ]1;1,5[ · 1<3/(x-2)<3/2
Indices, dans l’ordre
- Encadre d'abord
- est strictement positif : passe à l'inverse, en renversant l'ordre.
- Multiplie enfin par qui est positif.
Correction
- Soustraire 2 —
- L'inverse — Des positifs : l'ordre se renverse.
- Multiplier par 3 —
On construit l'expression étape par étape, en n'utilisant que des opérations qui ont une règle.
Pièges anticipés
]3/5;3/4[→ C'est l'encadrement de : commence par encadrer]3/2;1[→ L'inverse renverse l'ordre : la plus petite borne est
Exercice 49 · raisonnement
Deux quotients très proches
On pose et Sans calculatrice, déterminer le plus grand des deux nombres.
Écrire la lettre du plus grand nombre, par exemple « A ».
Réponse attendue : B — aussi acceptées : le nombre B · 1002/1003 · B = 1002/1003 · B=1002/1003 · c'est B · le plus grand est B · B est le plus grand
Indices, dans l’ordre
- Écris chaque nombre sous la forme
- Compare et : l'inverse renverse l'ordre.
Correction
- L'écart à 1 —
- Comparer les écarts — donc
- Le plus grand des deux nombres est
Pour comparer deux quotients très proches de on compare ce qui leur manque pour atteindre
Pièges anticipés
A / 1001/1002→ s'écarte de de qui est plus grand que
Exercice 50 · raisonnement
Un écart d'inverses
Déterminer le plus petit entier naturel non nul tel que
Donner l'entier
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Réduis au même dénominateur.
- Deux inverses de positifs se comparent en renversant l'ordre de leurs dénominateurs.
- Essaie quelques valeurs de autour de
Correction
- Même dénominateur —
- L'inverse renverse —
- Chercher n — ne convient pas, convient.
Comparer deux inverses de positifs, c'est comparer les nombres eux-mêmes, dans l'autre sens.
Pièges anticipés
101→ On ne compare pas à mais9→ : il faut
Exercice 51 · defi
Les valeurs de x + 1/x
Lorsque parcourt l'intervalle déterminer la plus petite valeur et la plus grande valeur prises par On pourra factoriser
Écrire l'intervalle [m;M], par exemple « [1;7/2] ».
Réponse attendue : [2;10/3] — aussi acceptées : [2,10/3] · 2<=x+1/x<=10/3 · 2≤x+1/x≤10/3
Indices, dans l’ordre
- Pour le cours donne Est-ce atteint sur l'intervalle ?
- Calcule aux deux bornes : laquelle donne la plus grande valeur ?
- Pour la majorer, vérifie que et étudie son signe sur l'intervalle.
Correction
- Le minimum — avec égalité pour qui est dans l'intervalle.
- Les bornes —
- Le maximum — Pour et ; on divise par
Le minimum vient de ; le maximum se démontre par le signe d'un produit, et non en regardant seulement les bornes.
Pièges anticipés
[5/2;10/3]→ Les bornes ne donnent pas tout : pour[5/6;5]→ Ajouter les encadrements de et de donne un encadrement juste, mais pas les valeurs atteintes : et ne le sont jamais.
Exercice 52 · base
Ajouter deux encadrements
Soient et deux réels tels que et Donner un encadrement de
Écrire l'intervalle auquel appartient x + y, par exemple « [-1;7] ».
Réponse attendue : [-2;3] — aussi acceptées : [-2,3] · -2<=x+y<=3 · -2≤x+y≤3
Indices, dans l’ordre
- Deux encadrements s'ajoutent membre à membre.
- Ajoute les deux plus petites bornes, puis les deux plus grandes.
Correction
- Membre à membre —
Deux encadrements s'ajoutent membre à membre : le plus petit avec le plus petit, le plus grand avec le plus grand.
Pièges anticipés
[0;1]→ Tu as croisé les bornes. On ajoute les deux plus petites, puis les deux plus grandes,
Exercice 53 · pratique
Encadrer une différence
Soient et deux réels tels que et Donner un encadrement de
Écrire l'intervalle auquel appartient x - y, par exemple « [-1;7] ».
Réponse attendue : [-1;4] — aussi acceptées : [-1,4] · -1<=x-y<=4 · -1≤x-y≤4
Indices, dans l’ordre
- On ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre.
- Écris et encadre d'abord
Correction
- L'opposé — Multiplier par renverse le sens.
- Ajouter —
Pour une différence, on passe par l'opposé : puis on ajoute.
Pièges anticipés
[1;2]→ On ne soustrait pas membre à membre : avec et en dehors de ton encadrement.[1;4]→ Tu as retiré aux deux bornes. Or : on ajoute à la plus petite borne de et à la plus grande.
Exercice 54 · raisonnement
Encadrer un quotient
Soient et deux réels tels que et Donner le meilleur encadrement de qu'on obtient par les règles du cours.
Écrire l'intervalle auquel appartient x/y, par exemple « [1/3;2] ».
Réponse attendue : [1/4;4/5] — aussi acceptées : [0.25;0.8] · [0,25;0,8] · 1/4<=x/y<=4/5 · 1/4≤x/y≤4/5
Indices, dans l’ordre
- On ne divise jamais deux encadrements membre à membre.
- Écris et encadre d'abord
- Tout est positif : les encadrements se multiplient membre à membre.
Correction
- L'inverse — Des positifs : l'ordre se renverse.
- Multiplier — Des positifs : on multiplie membre à membre.
Pour un quotient de positifs, on passe par l'inverse : puis on multiplie.
Pièges anticipés
[2/5;1/2]→ On ne divise pas membre à membre : avec et plus grand que
Exercice 55 · defi
Un produit avec un facteur négatif
Soient et deux réels tels que et Déterminer le plus petit intervalle qui contient toutes les valeurs possibles de
Écrire l'intervalle [m;M], par exemple « [-5;7] ».
Réponse attendue : [-8;4] — aussi acceptées : [-8,4] · -8<=xy<=4 · -8≤xy≤4
Indices, dans l’ordre
- La règle « on multiplie membre à membre » ne vaut que pour des nombres positifs : ici peut être négatif.
- Sépare les cas et
- Pour écris avec positif.
Correction
- x positif — et : des positifs.
- x négatif — et donc
- Réunir — Les valeurs (pour ) et (pour ) sont atteintes.
Le produit membre à membre n'est permis qu'entre encadrements de positifs ; sinon, on se ramène à des positifs en séparant les cas.
Pièges anticipés
[-6;4]→ Avec et : multiplier les bornes membre à membre n'est permis que pour des positifs.[0;4]→ peut être négatif : alors l'est aussi.
Exercice 56 · defi
Le meilleur encadrement d'un quotient
Soit un réel tel que Vérifier que puis déterminer le plus petit intervalle qui contient toutes les valeurs de
Écrire l'intervalle [m;M], par exemple « [1/4;2] ».
Réponse attendue : [1/3;1/2] — aussi acceptées : [1/3,1/2] · 1/3<=(x-1)/(x+1)<=1/2 · 1/3≤(x-1)/(x+1)≤1/2
Indices, dans l’ordre
- Pour vérifier l'égalité, écris
- Dans n'apparaît plus qu'une fois : encadre puis son inverse.
- Encadrer séparément le numérateur et le dénominateur donne un encadrement trop large.
Correction
- L'égalité —
- Encadrer x + 1 —
- L'inverse, puis × 2 —
- L'opposé, puis + 1 —
- Les bornes sont atteintes pour et
Quand la variable apparaît deux fois, on transforme l'expression pour qu'elle n'apparaisse qu'une fois : l'encadrement devient le plus précis.
Pièges anticipés
[1/4;2/3]→ En encadrant séparément et on obtient un encadrement juste mais trop large : n'est jamais atteint. Utilise
Exercice 57 · base
Un carré déguisé
Calculer pour et en reconnaissant une identité remarquable.
Donner la valeur de l'expression.
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- est le carré d'une différence.
- Calcule d'abord en faisant attention au signe de
Correction
- L'identité —
- La différence —
: c'est pourquoi cette quantité n'est jamais négative.
Pièges anticipés
1.96→ : le moins devant donne un plus.
Exercice 58 · raisonnement
Le minimum d'une somme
Pour on pose En appliquant à et déterminer la plus petite valeur de
Donner la plus petite valeur, le nombre seul.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Calcule et : disparaît du produit.
- L'inégalité donne un minorant ; reste à voir s'il est atteint, quand
Correction
- Les carrés —
- L'inégalité —
- Atteinte — Égalité quand : c'est-à-dire
donne un minimum dès que le produit est constant ; il est atteint quand
Pièges anticipés
13→ est la valeur pour mais pour on fait mieux.6→ L'inégalité est : n'oublie pas le facteur2→ Le minimum est celui de ; ici les coefficients et changent tout.
Exercice 59 · raisonnement
Somme fixée, inverses
Deux réels et vérifient En utilisant déterminer la plus petite valeur de
Donner la plus petite valeur.
Réponse attendue : 2/3 — aussi acceptées : 4/6
Indices, dans l’ordre
- Remplace par sa valeur dans l'inégalité.
- Divise par qui est positif.
- La valeur est-elle atteinte ? Essaie
Correction
- Remplacer —
- Diviser par 6 —
- Atteinte — Pour :
Une inégalité classique devient un minimum dès que l'on fixe l'un des facteurs ; on vérifie qu'il est atteint.
Pièges anticipés
4→ minore le produit : divise encore par1/3→ est la valeur de pour ; la somme compte deux termes.0.67 / 0.666 / 0.667 / 0.6667 / 0.7→ C'est une valeur approchée : la plus petite valeur est exactement à écrire sous forme de fraction.
Exercice 60 · raisonnement
Trois sommes deux à deux
Trois réels strictement positifs vérifient En appliquant l'inégalité à et déterminer la plus petite valeur de
Donner la plus petite valeur.
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5 · 9/6
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord en fonction de
- L'inégalité devient « un nombre connu fois la somme cherchée » : divise.
- Pour savoir si la valeur est atteinte, essaie
Correction
- La somme x + y + z — Chacun des nombres apparaît dans deux des sommes.
- L'inégalité —
- Diviser par 6 —
- Atteinte — Pour chaque somme vaut :
Une inégalité du cours s'applique à des expressions, pas seulement à des lettres : on choisit pour que leur somme soit connue, puis on vérifie que le minorant est atteint.
Pièges anticipés
3→ Chacun des nombres apparaît dans deux sommes : pas2/3→ On divise par et non par9→ minore le produit : divise encore par
Exercice 61 · defi
Somme de carrés fixée
Deux réels et vérifient En développant et en utilisant déterminer la plus grande valeur possible de
Donner la plus grande valeur de
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Majore grâce à l'inégalité du cours.
- est positif : passe à la racine carrée. Pour quels et y a-t-il égalité ?
Correction
- Développer —
- Majorer 2xy —
- Conclure — et
- Atteinte — Pour :
Pour majorer une somme, on majore son carré : avec égalité quand
Pièges anticipés
5*sqrt(2)→ serait la valeur si l'un des nombres était nul ; avec on obtient davantage.25→ est la plus grande valeur du produit ; on demande celle de la somme100→ majore : prends la racine carrée.
Exercice 62 · defi
Un minimum à faire apparaître
Pour déterminer la plus petite valeur de On pourra écrire
Donner la plus petite valeur, le nombre seul.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Pose : l'expression devient
- Applique à et
- N'oublie pas le et vérifie que le minimum est atteint pour un
Correction
- Réécrire —
- L'inégalité — Avec :
- Atteinte — Égalité quand soit c'est-à-dire
On fait apparaître une somme dont le produit des termes est constant, puis on applique l'inégalité du cours.
Pièges anticipés
4→ est le minimum de : il reste à retirer1→ est l'endroit où le minimum est atteint ; on demande la valeur de l'expression.
Exercice 63 · base
La moyenne géométrique
Calculer la moyenne géométrique des nombres et
Donner sa valeur.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- La moyenne géométrique de et est
- Calcule d'abord le produit.
Correction
- La définition —
La moyenne géométrique de deux positifs est la racine de leur produit ; elle ne dépasse jamais la moyenne arithmétique, ici
Pièges anticipés
6.5→ est la moyenne arithmétique La moyenne géométrique est
Exercice 64 · pratique
L'écart entre les deux moyennes
Pour et calculer puis vérifier que le résultat est égal à
Donner la valeur de l'écart.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Calcule séparément la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique.
- Pour la vérification, simplifie
Correction
- Moyenne arithmétique —
- Moyenne géométrique —
- L'écart —
- Vérifier —
: l'écart est un carré divisé par donc positif.
Pièges anticipés
-6→ La moyenne arithmétique est la plus grande : l'écart est positif.
Exercice 65 · pratique
La hauteur dans le demi-cercle
Sur un demi-cercle de diamètre on place sur avec cm et cm. La perpendiculaire à en coupe le demi-cercle en Calculer
Donner CH en cm.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le rayon vaut et
- Applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en
- Le cours le résume : est la moyenne géométrique de et
Correction
- Le rayon —
- OH —
- Pythagore —
Dans cette figure, est la moyenne géométrique, et le rayon la moyenne arithmétique.
Pièges anticipés
7.5→ cm est le rayon la moyenne arithmétique. est plus court.4.5→ cm est la distance ; il reste à appliquer Pythagore dans
Exercice 66 · raisonnement
Aire maximale à périmètre fixé
Un rectangle a pour périmètre cm. On note et ses dimensions. En utilisant déterminer la plus grande aire possible de ce rectangle.
Donner l'aire en cm², le nombre seul, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 81
Indices, dans l’ordre
- Le périmètre donne
- Élève au carré l'inégalité entre les deux moyennes : tout est positif.
- Pour quelles dimensions y a-t-il égalité ?
Correction
- Le demi-périmètre —
- Les moyennes —
- Élever au carré — Des positifs : le sens est gardé.
- Atteinte — Égalité quand : le carré.
À périmètre fixé, l'aire d'un rectangle est la plus grande pour le carré : c'est l'inégalité des moyennes.
Pièges anticipés
324→ est le demi-périmètre : pas9→ majore ; l'aire est : élève au carré.
Exercice 67 · raisonnement
Un enclos contre un mur
Un éleveur dispose de m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le grillage forme trois côtés, deux de longueur et un de longueur En appliquant l'inégalité des moyennes à et déterminer la plus grande aire possible de l'enclos.
Donner l'aire en m², le nombre seul, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 200
Indices, dans l’ordre
- L'aire vaut et est constant.
- : élève au carré.
- Pense à diviser par à la fin : on a encadré pas l'aire.
Correction
- Les moyennes —
- Au carré —
- L'aire —
- Atteinte — Égalité quand soit : un enclos de m sur m.
On choisit deux facteurs de somme constante, ici et pour appliquer l'inégalité des moyennes.
Pièges anticipés
400→ majore le double de l'aire : divise par1600/9→ Avec trois côtés égaux on n'obtient pas le maximum : l'égalité a lieu pour100→ Un carré de m de côté utiliserait m de grillage seulement ; le maximum est atteint pour et
Exercice 68 · defi
Un produit de trois sommes
Trois réels strictement positifs vérifient En appliquant trois fois l'inégalité déterminer la plus petite valeur possible de
Donner la plus petite valeur, le nombre seul.
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- Écris puis la même chose pour et
- Les trois inégalités portent sur des positifs : on peut les multiplier membre à membre.
- Vérifie que l'égalité est possible.
Correction
- Trois inégalités —
- Multiplier — Tout est positif.
- Remplacer —
- Atteinte — Égalité quand avec : c'est possible.
Multiplier des inégalités de positifs membre à membre donne ; le minimum est atteint pour
Pièges anticipés
2 / 8→ Chaque facteur apporte un : et
Exercice 69 · base
Le chemin le plus long
Trois points du plan vérifient et Déterminer la plus grande valeur possible de
Donner la plus grande valeur de AC.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Écris l'inégalité triangulaire pour le chemin de à en passant par
- L'égalité a lieu quand est sur le segment
Correction
- L'inégalité triangulaire —
- Égalité quand
Le chemin direct est le plus court : avec égalité quand est sur
Pièges anticipés
3→ est la plus petite valeur possible de (quand est sur ).
Exercice 70 · pratique
Le troisième côté
Un triangle non aplati a deux côtés de longueurs cm et cm. On note la longueur de son troisième côté, en cm. Déterminer l'intervalle des valeurs possibles de
Écrire l'intervalle, par exemple « ]2;9[ ».
Réponse attendue : ]4;18[ — aussi acceptées : ]4,18[ · 4<c<18
Indices, dans l’ordre
- Écris l'inégalité triangulaire pour chacun des trois côtés.
- donne une borne inférieure, une borne supérieure.
- Le triangle n'est pas aplati : les inégalités sont strictes.
Correction
- Borne supérieure —
- Borne inférieure —
- La troisième inégalité, est toujours vraie.
Dans un triangle non aplati, chaque côté est strictement plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence.
Pièges anticipés
[4;18]→ Pour ou le triangle est aplati : les bornes sont exclues.]0;18[→ doit aussi vérifier :
Exercice 71 · raisonnement
Des côtés entiers
Un triangle non aplati a deux côtés de longueurs cm et cm. Déterminer combien de valeurs entières, en cm, peut prendre la longueur de son troisième côté.
Donner le nombre de valeurs, le nombre seul.
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Encadre d'abord la longueur du troisième côté par l'inégalité triangulaire.
- Les inégalités sont strictes : et sont exclus.
- Compte les entiers de à : attention à ne pas en oublier un.
Correction
- Encadrer —
- Les entiers —
- Compter — De à : entiers.
On encadre d'abord, puis on compte les entiers de l'intervalle : de à il y en a
Pièges anticipés
13→ Pour ou le triangle est aplati : ces deux valeurs sont exclues.10→ De à il y a entiers, pas
Exercice 72 · pratique
Trois points alignés
Trois points vérifient et Déterminer lequel des trois points se trouve entre les deux autres.
Écrire la lettre du point, par exemple « B ».
Réponse attendue : A — aussi acceptées : le point A · point A · A ∈ [BC] · A∈[BC] · A appartient à [BC] · A est entre B et C · c'est A · c'est le point A · le point A est entre B et C
Indices, dans l’ordre
- Compare la plus grande distance à la somme des deux autres.
- Si le chemin par est aussi court que le chemin direct : où est alors ?
Correction
- La plus grande distance —
- La somme des deux autres —
- Conclure — L'égalité dans l'inégalité triangulaire : est sur le segment
L'égalité signifie que est sur le segment : les trois points sont alignés.
Pièges anticipés
B / C→ Le point du milieu n'est pas une extrémité du plus grand segment : c'est qui est le plus long, donc est entre et
Exercice 73 · raisonnement
Un point à l'intérieur du triangle
Soit un triangle avec et et un point à l'intérieur. On admet, comme dans le cours, que et En ajoutant ces trois inégalités, déterminer un majorant de
Donner le majorant obtenu.
Réponse attendue : 23
Indices, dans l’ordre
- Ajoute les trois inégalités membre à membre.
- Combien de fois chaque longueur apparaît-elle à gauche ? Et chaque côté à droite ?
Correction
- Ajouter —
- Diviser par 2 —
Ajouter des inégalités de même sens membre à membre est permis ; chaque longueur apparaît ici deux fois de chaque côté.
Pièges anticipés
46→ majore : divise par11.5→ est le demi-périmètre : c'est un minorant de pas un majorant.
Exercice 74 · defi
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux de ses côtés qui mesurent cm et cm. Déterminer son périmètre.
Donner le périmètre en cm.
Réponse attendue : 22
Indices, dans l’ordre
- Deux côtés sont égaux : est-ce ou ?
- Vérifie l'inégalité triangulaire dans chaque cas.
Correction
- Premier cas — et : le plus grand côté dépasse la somme des deux autres.
- Second cas — et : chaque côté est plus petit que la somme des deux autres.
- Le périmètre —
Avant de calculer, on vérifie que le triangle existe : l'inégalité triangulaire élimine un des deux cas.
Pièges anticipés
17→ Un triangle de côtés et n'existe pas :
Exercice 75 · base
Extraire les carrés
Écrire sous la forme où est un entier. Déterminer
Donner l'entier
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Fais apparaître un carré parfait sous chaque radical :
- Une fois écrits avec les termes s'ajoutent comme des termes semblables.
Correction
- Extraire —
- Regrouper —
On extrait les carrés parfaits de chaque radical ; écrits avec le même radical, les termes s'ajoutent.
Pièges anticipés
sqrt(60)→ On n'ajoute pas sous le radical :6*sqrt(2)→ C'est bien la valeur de la somme, mais on demande seulement l'entier
Exercice 76 · pratique
Un conjugué de deux radicaux
Écrire sans radical au dénominateur.
Donner l'expression obtenue.
Réponse attendue : sqrt(7)+sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Le conjugué de est
- Multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué.
- Le dénominateur devient une différence de deux carrés.
Correction
- Le conjugué —
- Le dénominateur —
- Simplifier —
Le conjugué transforme le dénominateur en une différence de deux carrés :
Pièges anticipés
2*(sqrt(7)+sqrt(3))/5→ C'est une différence de carrés : pas(sqrt(7)+sqrt(3))/4→ Le numérateur est multiplié lui aussi par le conjugué :
Exercice 77 · raisonnement
Deux nombres inverses l'un de l'autre
Soient et Calculer puis en déduire
Donner la valeur exacte de
Réponse attendue : 2*sqrt(5)
Indices, dans l’ordre
- est un produit de conjugués.
Correction
- Le produit —
- La somme des inverses —
Deux conjugués dont le produit vaut sont inverses l'un de l'autre : et
Pièges anticipés
2*sqrt(5)/9→ est une différence de carrés : pas4→ ; on cherche
Exercice 78 · base
Héron sur un triangle isocèle
Calculer, à l'aide de la formule de Héron, l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent cm, cm et cm.
Donner l'aire en cm², le nombre seul, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord le demi-périmètre
- Remplace dans
Correction
- Le demi-périmètre —
- Les facteurs —
- La formule —
On calcule le demi-périmètre, puis les trois différences : la formule de Héron n'a besoin d'aucune hauteur.
Pièges anticipés
44*sqrt(10)→ Dans la formule, est le demi-périmètre : pas24→ est le double de l'aire : n'oublie pas de diviser par
Exercice 79 · pratique
Héron sur un triangle équilatéral
Calculer, à l'aide de la formule de Héron, l'aire exacte d'un triangle équilatéral de côté cm.
Donner la valeur exacte de l'aire, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 9*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Le demi-périmètre vaut
- Les trois facteurs sont égaux.
- Extrais le plus grand carré parfait de
Correction
- Le demi-périmètre —
- La formule —
- Simplifier —
La formule de Héron redonne l'aire du triangle équilatéral de côté :
Pièges anticipés
15.59 / 15.6 / 15.588 / 15.5885→ C'est une valeur approchée ; on demande la valeur exacte, avec un radical.18*sqrt(3)→ est le double de l'aire. Reprends le calcul : et
Exercice 80 · raisonnement
Une hauteur sans la tracer
Un triangle a des côtés de longueurs cm, cm et cm. Calculer son aire par la formule de Héron, puis en déduire la hauteur relative au côté de longueur cm.
Donner la hauteur en cm.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Le demi-périmètre vaut
- L'aire d'un triangle vaut aussi
- Isole la hauteur :
Correction
- Héron —
- La hauteur —
Héron donne l'aire sans hauteur ; l'aire donne ensuite chaque hauteur par
Pièges anticipés
6→ L'aire est :24→ cm² est l'aire ; il reste à en déduire la hauteur.
Exercice 81 · defi
La plus petite hauteur
Un triangle a des côtés de longueurs et Déterminer la valeur exacte de la plus petite de ses trois hauteurs.
Donner la valeur exacte de la plus petite hauteur.
Réponse attendue : 72/17
Indices, dans l’ordre
- Calcule l'aire par la formule de Héron, avec
- Chaque hauteur vaut
- La plus petite hauteur est celle relative au plus grand côté.
Correction
- Héron —
- Les hauteurs — : la plus petite correspond au plus grand côté.
Les hauteurs sont inversement proportionnelles aux côtés : la plus petite est relative au plus grand côté.
Pièges anticipés
4.24 / 4.2 / 4.235 / 4.2353→ C'est une valeur approchée ; on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.8→ est la hauteur relative au côté : c'est la plus grande. Prends le plus grand côté.36/17→ : n'oublie pas le facteur
Exercice 82 · base
Développer un produit
Développer et réduire
Réponse attendue : 3x^2+10x-8
Indices, dans l’ordre
- Multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
- Tu dois obtenir quatre termes, dont deux en à regrouper.
Correction
- Distribuer —
- Réduire —
Pour développer un produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de l'une par chaque terme de l'autre, puis on réduit.
Pièges anticipés
3x^2-8→ Il manque les produits croisés et3x^2+14x-8→ :
Exercice 83 · pratique
Un carré qui cache un facteur
Factoriser
Réponse attendue : (2x+3)*(x+4)
Indices, dans l’ordre
- Reconnais une identité remarquable dans
- : le facteur commun apparaît.
- Attention au signe moins devant la seconde parenthèse.
Correction
- L'identité —
- Le facteur commun —
- Réduire le crochet —
Une identité remarquable reconnue fait apparaître le facteur commun ; le signe moins change le signe de chaque terme de la parenthèse.
Pièges anticipés
(2x+3)*(x+2)→ Le moins devant change aussi le signe de :
Exercice 84 · pratique
Une différence de deux carrés
Factoriser
Réponse attendue : (4-x)*(3x+2) — aussi acceptées : -(x-4)*(3x+2)
Indices, dans l’ordre
- est de la forme avec et
- : écris entre parenthèses dans
Correction
- L'identité —
- Réduire —
Pour on garde et entre parenthèses : le moins de porte sur tout
Pièges anticipés
(-x+2)*(3x+2)→ : le moins change aussi le signe de
Exercice 85 · pratique
Un cube qui se simplifie
Développer et réduire
Réponse attendue : 12x-8
Indices, dans l’ordre
- Développe avec
- Développe aussi puis retire-le en changeant chaque signe.
- Les termes en et en s'en vont.
Correction
- Le cube —
- Le second terme —
- Soustraire —
Le cube d'une différence a quatre termes :
Pièges anticipés
6x^2-8→ : il manque12x+8→ : un cube garde le signe.
Exercice 86 · raisonnement
Deux carrés égaux
Résoudre dans l'équation en factorisant
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {-2;7} ».
Réponse attendue : {-1;3} — aussi acceptées : {3;-1} · -1 et 3 · x = -1 ou x = 3
Indices, dans l’ordre
- Passe tout dans le membre de gauche : une différence de deux carrés.
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- Ne t'arrête pas au cas : les deux nombres peuvent aussi être opposés.
Correction
- Factoriser —
- Produit nul —
On ne « simplifie » pas les carrés : on factorise la différence, puis on applique la règle du produit nul.
Pièges anticipés
{3} / 3→ Tu as seulement écrit Deux nombres ont le même carré s'ils sont égaux ou opposés.{1;3}→ donne
Exercice 87 · defi
Quatre entiers consécutifs moins 24
Soit En posant factoriser en un produit de trois facteurs.
Donner la factorisation complète.
Réponse attendue : x*(x+5)*(x^2+5x+10)
Indices, dans l’ordre
- Regroupe les facteurs deux par deux : et
- Tu obtiens Vérifie que c'est
- Remplace et factorise encore le facteur qui le permet.
Correction
- Regrouper —
- En u —
- Revenir à x —
- Finir —
Un bon regroupement fait apparaître la même expression deux fois : on la nomme, on factorise, puis on revient à
Exercice 88 · base
Une distance sur une droite graduée
Sur une droite graduée munie d'un repère les points et ont pour abscisses et Calculer la distance
Donner la distance
Réponse attendue : 6.5
Indices, dans l’ordre
- La distance de deux points d'abscisses et est
- Attention : soustraire c'est ajouter
Correction
- La formule —
Sur une droite graduée, : une distance est toujours positive.
Pièges anticipés
1.5→ : le moins devant donne un plus.
Exercice 89 · pratique
Une équation avec une valeur absolue
Résoudre dans l'équation
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;4} ».
Réponse attendue : {-2;5} — aussi acceptées : {5;-2} · -2 et 5 · x = -2 ou x = 5
Indices, dans l’ordre
- Un nombre a pour valeur absolue quand il vaut ou
- Écris les deux équations et
Correction
- Deux cas —
- Résoudre —
avec équivaut à ou : deux équations, deux solutions.
Pièges anticipés
{5} / 5→ peut aussi valoir : il y a une seconde solution.{-5;5}→ donne
Exercice 90 · raisonnement
Enlever deux valeurs absolues
Soit un réel de l'intervalle Écrire l'expression sans le symbole de la valeur absolue, sous forme réduite.
Donner l'expression réduite.
Réponse attendue : 2x+1
Indices, dans l’ordre
- Cherche le signe de et celui de quand
- si et si
- Ici
Correction
- Les signes —
- Enlever les barres —
- Réduire —
Pour enlever une valeur absolue, on cherche d'abord le signe de ce qu'elle contient sur l'intervalle donné.
Pièges anticipés
5→ est négatif sur l'intervalle : pas-2x-1→ et :
Exercice 91 · defi
Une somme de deux distances
Résoudre dans l'équation On pourra interpréter et comme des distances sur une droite graduée.
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;4} ».
Réponse attendue : {-3;2} — aussi acceptées : {2;-3} · -3 et 2 · x = -3 ou x = 2
Indices, dans l’ordre
- est la distance de à ; celle de à
- Entre et la somme des deux distances vaut toujours : les solutions sont à l'extérieur.
- Pour la somme vaut Et pour ?
Correction
- Entre -2 et 1 — La somme des distances vaut
- Pour x > 1 —
- Pour x < -2 —
Une valeur absolue est une distance : on découpe la droite selon les points et on enlève les barres dans chaque morceau.
Pièges anticipés
{2} / 2→ De l'autre côté de il y a un autre point dont la somme des distances vaut{-2;1}→ En et en la somme des distances vaut pas
Exercice 92 · base
Une valeur approchée par excès
La calculatrice affiche Donner la valeur approchée de à près par excès.
Donner la valeur approchée par excès.
Réponse attendue : 4.15
Indices, dans l’ordre
- Garde deux décimales : tu obtiens la valeur par défaut.
- Par excès, on se place juste au-dessus du nombre : ajoute un centième.
Correction
- Par défaut —
- Par excès — On ajoute
À près, la valeur par défaut garde deux décimales ; celle par excès lui ajoute un centième.
Pièges anticipés
4.14→ est plus petit que : c'est la valeur par défaut (et aussi l'arrondi).4.143 / 4.2→ On demande une précision de : deux décimales exactement.
Exercice 93 · base
Un arrondi au millième
La calculatrice affiche Donner l'arrondi de à près.
Donner l'arrondi.
Réponse attendue : 3.317
Indices, dans l’ordre
- Encadre entre deux nombres à trois décimales consécutifs.
- Regarde le quatrième chiffre après la virgule : est-il au moins ?
Correction
- Encadrer —
- Le chiffre suivant — C'est au moins : on arrondit vers le haut.
L'arrondi est la plus proche des deux valeurs approchées : on regarde le chiffre qui suit le dernier chiffre gardé.
Pièges anticipés
3.316→ est la troncature, la valeur par défaut. Le chiffre suivant, fait arrondir vers le haut.3.32 / 3.3166→ On demande l'arrondi à : trois décimales exactement.
Exercice 94 · raisonnement
La meilleure précision
La calculatrice affiche Déterminer le plus petit entier relatif tel que soit une valeur approchée de à près.
Donner l'entier
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- D'après la définition, il faut
- Calcule l'écart à l'aide de l'affichage.
- Compare cet écart à puis à
Correction
- L'écart —
- Comparer —
- Plus est petit, plus la précision est fine : convient, pas
Pour savoir à quelle précision un décimal approche un réel, on compare l'écart aux puissances de
Pièges anticipés
-3→ L'écart, environ dépasse : ne convient pas.2→ : une précision de avec négatif, comme
Exercice 95 · pratique
Un carré proche de 1
Calculer l'écart et en déduire que est une valeur approchée de à près.
Donner l'écart sous forme décimale.
Réponse attendue : 0.0001
Indices, dans l’ordre
- Écris et développe
- Compare le résultat avec
Correction
- Le carré —
- L'écart —
- Conclure —
: pour petit, est négligeable et est une bonne valeur approchée.
Pièges anticipés
0.001→ pas : refais le carré.0.0199→ On compare à pas à
Exercice 96 · raisonnement
Une valeur approchée d'un multiple
On sait que Déterminer la valeur approchée par défaut de à près.
Donner la valeur approchée par défaut.
Réponse attendue : 7.93
Indices, dans l’ordre
- Multiplie l'encadrement de par qui est positif.
- Entre quels nombres à deux décimales consécutifs se trouve l'encadrement obtenu ?
Correction
- Multiplier par 3 —
- Deux décimales — Tout l'encadrement est entre et
Un encadrement assez fin donne directement les valeurs approchées : il suffit qu'il tienne entre deux décimaux consécutifs.
Pièges anticipés
7.94→ est plus grand que : c'est la valeur par excès.7.935 / 7.9→ On demande deux décimales exactement : une valeur approchée à près.
Exercice 97 · defi
Arrondir trop tôt
La calculatrice affiche En écrivant d'abord sans radical au dénominateur, donner son arrondi à près.
Donner l'arrondi.
Réponse attendue : 1.55
Indices, dans l’ordre
- Multiplie le haut et le bas par le conjugué
- Le dénominateur devient Calcule ensuite avec toutes les décimales de l'affichage.
- N'arrondis qu'à la toute fin : arrondir avant de diviser fausse le résultat.
Correction
- Le conjugué —
- Calculer —
- Arrondir — Le troisième chiffre après la virgule est : on arrondit vers le haut.
On ne garde la précision qu'à la fin : arrondir trop tôt, surtout avant une division par un petit nombre, change le résultat.
Pièges anticipés
1.54→ vient d'un arrondi trop tôt ( donne ) ou d'une troncature. Garde toutes les décimales jusqu'au bout.1.549 / 1.5→ On demande l'arrondi à : deux décimales exactement.
Exercice 98 · base
L'exposant d'une écriture scientifique
Le nombre s'écrit en écriture scientifique. Déterminer l'entier
Donner l'entier
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Compte de combien de rangs la virgule doit se déplacer pour obtenir
- La virgule va vers la droite : l'exposant est négatif.
Correction
- Déplacer la virgule — De à la virgule avance de quatre rangs.
Pour un nombre entre et l'exposant de l'écriture scientifique est négatif : il compte les rangs dont avance la virgule.
Pièges anticipés
4→ : pour un nombre plus petit que l'exposant est négatif.-3→ Compte les rangs dont la virgule avance jusqu'à : il y en a quatre.
Exercice 99 · base
Un ordre de grandeur
Donner l'ordre de grandeur du nombre
Écrire-le sous la forme par exemple
Réponse attendue : 7*10^9
Indices, dans l’ordre
- Écris d'abord le nombre en écriture scientifique
- L'ordre de grandeur garde et remplace par son arrondi à l'unité.
Correction
- Écriture scientifique —
- Arrondir a — L'arrondi de à l'unité est
L'ordre de grandeur d'un nombre est où est l'arrondi de à l'unité.
Pièges anticipés
6*10^9→ On arrondit à l'unité : pas6.83*10^9→ C'est l'écriture scientifique ; pour l'ordre de grandeur, arrondis à l'unité.7*10^8 / 7*10^10→ Compte les chiffres : a dix chiffres, donc l'exposant est
Exercice 100 · pratique
L'ordre de grandeur d'un petit nombre
Donner l'ordre de grandeur du nombre
Écrire-le sous la forme par exemple
Réponse attendue : 5*10^-5
Indices, dans l’ordre
- Écris d'abord le nombre en écriture scientifique : la virgule avance jusqu'au premier chiffre non nul.
- Arrondis ensuite le nombre à l'unité.
Correction
- Écriture scientifique — La virgule avance de cinq rangs.
- Arrondir a — L'arrondi de à l'unité est
Même méthode pour un petit nombre : écriture scientifique, puis arrondi de à l'unité ; l'exposant est négatif.
Pièges anticipés
4*10^-5→ On arrondit à l'unité : pas5*10^-6 / 5*10^-4→ Compte les rangs : de à la virgule avance de cinq rangs.4.82*10^-5→ C'est l'écriture scientifique ; pour l'ordre de grandeur, arrondis à l'unité.
Exercice 101 · raisonnement
Les battements d'un cœur
Un cœur bat environ fois par minute. En comptant jours par an, donner un ordre de grandeur du nombre de battements d'un cœur en ans.
Écrire-le sous la forme par exemple
Réponse attendue : 3*10^9
Indices, dans l’ordre
- Compte les minutes : une heure, une journée, une année, puis ans.
- Calcule le nombre total de battements, puis écris-le en écriture scientifique.
- Arrondis enfin le nombre à l'unité.
Correction
- Par an —
- En 80 ans —
- Arrondir —
Pour estimer, on enchaîne les conversions, puis on ne garde que l'ordre de grandeur du résultat.
Pièges anticipés
4*10^7→ C'est le nombre de battements en une année : multiplie encore par2*10^9→ On arrondit à l'unité : pas
Exercice 102 · defi
Une feuille pliée trente fois
Une feuille de papier a une épaisseur de mm. À chaque pliage en deux, l'épaisseur double. En utilisant donner un ordre de grandeur, en mètres, de l'épaisseur obtenue si l'on pouvait la plier fois.
Écrire-le sous la forme en mètres, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 1*10^5 — aussi acceptées : 10^5
Indices, dans l’ordre
- Après pliages, l'épaisseur est multipliée par
- à peu près — mais garde l'écriture scientifique de pour bien arrondir.
- Convertis mm en mètres : mm m.
Correction
- Le facteur —
- L'épaisseur initiale —
- Multiplier —
- Arrondir —
Doubler trente fois, c'est multiplier par plus d'un milliard : une croissance qui se multiplie dépasse vite l'intuition.
Pièges anticipés
3*10^-3→ Chaque pliage double l'épaisseur : on multiplie par trente fois, on n'ajoute pas épaisseurs.1*10^8→ C'est l'épaisseur en millimètres : convertis en mètres.1*10^6 / 1*10^4→ Vérifie la conversion : mm m.