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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Calcul vectoriel

2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Le chapitre numéro cinq : calcul vectoriel. Bech nabdew b la somme de deux vecteurs w le produit d'un vecteur par un réel, w n7esbou bel vecteurs kif ma n7esbou bel lettres. Ba3d nchoufou les vecteurs colinéaires, la base, les composantes w le déterminant. Men ba3d el repère : la norme, la distance w les vecteurs orthogonaux. W nkammlou bel géométrie : alignement, parallélisme, centre de gravité w Thalès.

عسلامة ! الـ chapitre numéro cinq : calcul vectoriel . باش نبداو بـ la somme de deux vecteurs w le produit d'un vecteur par un réel ، w نحسبو بالـ vecteurs كيف ما نحسبو بالـ lettres . بعد نشوفو les vecteurs colinéaires ، la base ، les composantes w le déterminant . من بعد الـ repère : la norme ، la distance w les vecteurs orthogonaux . w نكمّلو بالـ géométrie : alignement ، parallélisme ، centre de gravité w Thalès .

Bonjour ! Le chapitre numéro cinq : calcul vectoriel. Nous commencerons par la somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un réel, et nous calculerons avec les vecteurs comme avec des lettres. Puis nous verrons les vecteurs colinéaires, la base, les composantes et le déterminant. Ensuite le repère : la norme, la distance et les vecteurs orthogonaux. Et nous terminerons par la géométrie : alignement, parallélisme, centre de gravité et Thalès.

Ce chapitre reprend les vecteurs de la première année et en fait un outil de calcul. On définit la somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un réel, puis on calcule avec eux comme avec des lettres.

Deux vecteurs non colinéaires forment une base : chaque vecteur y a des composantes, et le déterminant xy′−x′yxy' - x'y dit si deux vecteurs sont colinéaires. Dans un repère orthonormé viennent la norme, la distance et l'orthogonalité (xx′+yy′=0xx' + yy' = 0). Le chapitre se termine en traduisant la géométrie — alignement, parallélisme, milieu, centre de gravité, Thalès — en égalités vectorielles.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Additionner des vecteurs : Chasles, opposé, différenceAdditionner des vecteurs, utiliser la relation de Chasles, l'opposé et la différence.Additionner des vecteurs, utiliser la relation de Chasles, l'opposé et la différence.
  • Multiplier un vecteur par un réelMultiplier un vecteur par un réel, et calculer avec ses règles.Multiplier un vecteur par un réel, et calculer avec ses règles.
  • Reconnaître des vecteurs colinéaires, par le déterminant xy′−x′yxy' - x'yReconnaître des vecteurs colinéaires, par un réel ou par le déterminant x y prime moins x prime y.Reconnaître des vecteurs colinéaires, par un réel ou par le déterminant x y prime moins x prime y.
  • Utiliser une base, un repère : composantes, coordonnéesTravailler dans une base et un repère cartésien : composantes, coordonnées, et le vecteur A B.Travailler dans une base et un repère cartésien : composantes, coordonnées, et le vecteur A B.
  • Calculer norme et distance ; tester l'orthogonalité par xx′+yy′=0xx' + yy' = 0Calculer une norme et une distance, et reconnaître deux vecteurs orthogonaux par x x prime plus y y prime égale zéro.Calculer une norme et une distance, et reconnaître deux vecteurs orthogonaux par x x prime plus y y prime égale zéro.
  • Traduire la géométrie en égalités vectoriellesTraduire en vecteurs l'alignement, le parallélisme, le milieu, le centre de gravité et Thalès.Traduire en vecteurs l'alignement, le parallélisme, le milieu, le centre de gravité et Thalès.

1. Activité

Rappels

Ce qu’il dit

Bech nabdew, nrajj3ou 7ajtin chefnehom fel première année. I le milieu de AB : chnowa el égalité elli t3arrfou ? Le vecteur IA plus le vecteur IB égale le vecteur nul, walla le vecteur AB égale deux fois le vecteur AI. Ama le vecteur AI plus le vecteur IB égale le vecteur AB, hedhi la relation de Chasles, sa7i7a l ay point I, donc ma t3arrfouch le milieu. W G le centre de gravité du triangle ABC, w I le milieu de BC : le vecteur GA égale moins deux fois le vecteur GI, walla le vecteur AG égale deux tiers du vecteur AI.

باش نبداو ، نراجعو حاجتين شفناهم في الـ première année . I le milieu de A B : شنوّة الـ égalité اللي تعرّفو ؟ le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul ، ولّا le vecteur A B égale deux fois le vecteur A I . أمّا le vecteur A I plus le vecteur I B égale le vecteur A B ، هاذي la relation de Chasles ، صحيحة لأيّ point I ، donc ما تعرّفش le milieu . w G le centre de gravité du triangle A B C ، w I le milieu de B C : le vecteur G A égale moins deux fois le vecteur G I ، ولّا le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A I .

Pour commencer, révisons deux choses vues en première année. I est le milieu de A B : quelle égalité le caractérise ? Le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul, ou bien le vecteur A B égale deux fois le vecteur A I. En revanche, le vecteur A I plus le vecteur I B égale le vecteur A B, c'est la relation de Chasles, vraie pour n'importe quel point I : elle ne caractérise donc pas le milieu. Et si G est le centre de gravité du triangle A B C, et I le milieu de B C : le vecteur G A égale moins deux fois le vecteur G I, ou encore le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A I.

Parmi ces égalités, lesquelles caractérisent le milieu II du segment [AB][AB] ?

  • IA→=IB→\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} : non, elle impose A=BA = B ;
  • IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} : oui ;
  • AB=2AIAB = 2AI : non, c'est une égalité de longueurs ; II peut être hors de la droite (AB)(AB) ;
  • AB→=2AI→\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} : oui ;
  • AI→+IB→=AB→\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB} : non, c'est la relation de Chasles, vraie pour tout point I.I.

Soit ABCABC un triangle, GG son centre de gravité et II le milieu de [BC].[BC]. « G∈[AI]G \in [AI] et GA=2GIGA = 2GI », « GA→=−2GI→\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI} » et « AG→=23AI→\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI} » caractérisent GG ; « GA=GB=GCGA = GB = GC » caractérise le centre du cercle circonscrit, pas G.G.

ABCIG
G est aux deux tiers de la médiane [AI], en partant de A.

Un triangle ABC : A en haut à gauche, B en bas à gauche, C en bas à droite. I est le milieu du côté [BC], marqué par deux traits égaux. La médiane [AI] est tracée en pointillés, et le centre de gravité G est placé sur cette médiane, aux deux tiers de A vers I.

I milieu de [AB]

IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}

G centre de gravité, I milieu de [BC]

AG→=23AI→\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}

Exemple traité

A,A, BB et CC sont trois points alignés, DD et EE les points tels que AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} et AE→=BA→.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA}. Montrer que [AD][AD] et [EC][EC] ont le même milieu.

  1. Le critère — Les segments [AD][AD] et [EC][EC] ont le même milieu si et seulement si AE→=CD→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD} : c'est le critère du parallélogramme AEDC.AEDC.[AD] et [EC] ont le meˆme milieu  ⟺  AE→=CD→[AD] \text{ et } [EC] \text{ ont le même milieu} \iff \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}
  2. Chasles — On décompose le vecteur CD→\overrightarrow{CD} en passant par A,A, puis on remplace AD→\overrightarrow{AD} par BC→.\overrightarrow{BC}.CD→=CA→+AD→=BC→+CA→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}
  3. Conclure — Or BA→=AE→\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AE} par définition de EE : les deux segments ont donc le même milieu.CD→=BA→=AE→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AE}
AE→=CD→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}

À ne pas faire : AI→+IB→=AB→,\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}, donc II est le milieu de [AB][AB] — IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} caractérise le milieu II. La relation de Chasles est vraie pour n'importe quel point II : elle ne dit rien du milieu.

2. Définition

Somme de deux vecteurs

Ce qu’il dit

Tawa n3arrfou la somme de deux vecteurs. 3andna point A, w zouz vecteurs u w v. N7ottou B w C, elli le vecteur AB égale u, w le vecteur AC égale v. Men ba3d nlawjou 3la D, elli BC w AD 3andhom nafs le milieu : ya3ni ABDC parallélogramme. Le vecteur AD, houwa elli nsammiweh u plus v. Hedhi hiya la règle du parallélogramme : le vecteur AB plus le vecteur AC égale le vecteur AD.

توّا نعرّفو la somme de deux vecteurs . عندنا point A ، w زوز vecteurs u w v . نحطّو B w C ، اللي le vecteur A B égale u ، w le vecteur A C égale v . من بعد نلوّجو على D ، اللي B C w A D عندهم نفس le milieu : يعني A B D C parallélogramme . le vecteur A D ، هو اللي نسمّيوه u plus v . هاذي هي la règle du parallélogramme : le vecteur A B plus le vecteur A C égale le vecteur A D .

Définissons maintenant la somme de deux vecteurs. On a un point A, et deux vecteurs u et v. On place B et C tels que le vecteur A B égale u, et le vecteur A C égale v. Puis on cherche D tel que B C et A D aient le même milieu : A B D C est donc un parallélogramme. Le vecteur A D, c'est ce qu'on appelle u plus v. C'est la règle du parallélogramme : le vecteur A B plus le vecteur A C égale le vecteur A D.

Soit AA un point du plan et soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs. On désigne par BB et CC les points tels que AB→=u⃗\overrightarrow{AB} = \vec{u} et AC→=v⃗.\overrightarrow{AC} = \vec{v}. Soit DD le point tel que [BC][BC] et [AD][AD] aient le même milieu.

On appelle vecteur somme de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} le vecteur w⃗\vec{w} tel que w⃗=AD→.\vec{w} = \overrightarrow{AD}. Il est noté u⃗+v⃗.\vec{u} + \vec{v}.

Pour un point AA et un vecteur u⃗\vec{u} donnés, il existe un seul point MM tel que AM→=u⃗.\overrightarrow{AM} = \vec{u}. Et comme ABDCABDC est un parallélogramme, AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} : on retrouve la relation de Chasles AB→+BD→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.

uvu + vABCD
ABDC est un parallélogramme : u + v = AD.

Un point A en bas à gauche. Le vecteur u, égal au vecteur AB, part de A vers la droite jusqu'à B ; le vecteur v, égal au vecteur AC, part de A vers le haut et la droite jusqu'à C. Le point D complète le parallélogramme ABDC : les diagonales [BC] et [AD] se coupent en leur milieu. Le vecteur AD, en rouge, est le vecteur somme de u et v.

règle du parallélogramme

AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}

Exemple traité

ABCDABCD est un quadrilatère, EE et FF les points tels que DE→=DA→+DB→\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} et DF→=DB→+DC→.\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}. Montrer que AEFCAEFC est un parallélogramme.

  1. Le vecteur AE — On passe par DD dans le vecteur AE→,\overrightarrow{AE}, puis on remplace DE→.\overrightarrow{DE}.AE→=AD→+DE→=AD→+DA→+DB→=DB→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DB}
  2. Le vecteur CF — De même, on passe par DD dans le vecteur CF→.\overrightarrow{CF}.CF→=CD→+DF→=CD→+DB→+DC→=DB→\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}
  3. Conclure — Les vecteurs AE→\overrightarrow{AE} et CF→\overrightarrow{CF} sont égaux : le quadrilatère AEFCAEFC est un parallélogramme.AE→=CF→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CF}
AE→=CF→=DB→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DB}

À ne pas faire : AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} — AB→+AC→=AD→,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}, où ABDCABDC est un parallélogramme. Deux vecteurs de même origine s'ajoutent par la diagonale du parallélogramme, celle qui part de leur origine commune.

3. Propriété

Propriétés de l'addition

Ce qu’il dit

El addition des vecteurs 3andha nafs les règles mta3 el addition des nombres. u plus v égale v plus u : commutative. u plus la parenthèse v plus w, hiya bidha la parenthèse u plus v, plus w : associative, donc nekteb u plus v plus w blech parenthèses. W u plus le vecteur nul égale u. Hedha y5allina nrattbou les vecteurs kima n7ebbou, bech ntab9ou Chasles : l'extrémité mta3 vecteur tkoun l'origine mta3 elli ba3dou.

الـ addition des vecteurs عندها نفس les règles متاع الـ addition des nombres . u plus v égale v plus u : commutative . u plus la parenthèse v plus w ، هي بيدها la parenthèse u plus v ، plus w : associative ، donc نكتبو u plus v plus w بلاش parenthèses . w u plus le vecteur nul égale u . هاذا يخلّينا نرتّبو les vecteurs كيما نحبّو ، باش نطبّقو Chasles : l'extrémité متاع vecteur تكون l'origine متاع اللي بعدو .

L'addition des vecteurs a les mêmes règles que l'addition des nombres. u plus v égale v plus u : elle est commutative. u plus, entre parenthèses, v plus w, c'est la même chose que, entre parenthèses, u plus v, plus w : elle est associative, donc on écrit u plus v plus w sans parenthèses. Et u plus le vecteur nul égale u. Cela permet de ranger les vecteurs comme on veut, pour appliquer Chasles : l'extrémité du premier doit être l'origine du suivant.

Pour tous vecteurs u⃗,\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} :

  • u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} : l'addition est commutative ;
  • u⃗+(v⃗+w⃗)=(u⃗+v⃗)+w⃗\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} : elle est associative, et l'on écrit simplement u⃗+v⃗+w⃗\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} ;
  • u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u} : le vecteur nul ne change rien.

Ces règles permettent de regrouper les vecteurs dans l'ordre qui arrange, en particulier pour appliquer la relation de Chasles AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}
u⃗+(v⃗+w⃗)=(u⃗+v⃗)+w⃗\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}
u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}

Exemple traité

Simplifier MA→+BC→+AB→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}.

  1. Réordonner — L'addition est commutative : on met les vecteurs dans l'ordre où l'extrémité de l'un est l'origine du suivant.MA→+BC→+AB→=MA→+AB→+BC→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}
  2. Chasles — On applique deux fois la relation de Chasles, de gauche à droite.=MB→+BC→=MC→= \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MC}
MA→+BC→+AB→=MC→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}

À ne pas faire : AB→+CB→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} — AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.

4. Définition

Opposé, différence

Ce qu’il dit

u vecteur. El vecteur el wa7id elli ki nzidouh l u ya3tina le vecteur nul, nsammiweh l'opposé de u, w nektbouh moins u. W u moins v, ma3neha u plus l'opposé de v. Mithel mohemm : le vecteur AB plus le vecteur BA égale le vecteur AA, ya3ni le vecteur nul. Donc l'opposé du vecteur AB houwa le vecteur BA. W rodd belek : moins la parenthèse u plus v, twalli moins u moins v, koll signe yetbaddel.

u vecteur . الـ vecteur الوحيد اللي كي نزيدوه لـ u يعطينا le vecteur nul ، نسمّيوه l'opposé de u ، w نكتبوه moins u . w u moins v ، معناها u plus l'opposé de v . مثال مهمّ : le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur A A ، يعني le vecteur nul . donc l'opposé du vecteur A B هو le vecteur B A . w رد بالك : moins la parenthèse u plus v ، تولّي moins u moins v ، كل signe يتبدّل .

Soit u un vecteur. L'unique vecteur qui, ajouté à u, donne le vecteur nul s'appelle l'opposé de u, et on le note moins u. Et u moins v signifie u plus l'opposé de v. Un exemple important : le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur A A, c'est-à-dire le vecteur nul. Donc l'opposé du vecteur A B est le vecteur B A. Et attention : moins, entre parenthèses, u plus v, devient moins u moins v, chaque signe change.

Soit u⃗\vec{u} un vecteur du plan. L'unique vecteur v⃗\vec{v} tel que u⃗+v⃗=0⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{0} s'appelle l'opposé de u⃗.\vec{u}. Il est noté −u⃗.-\vec{u}. Ainsi u⃗+(−u⃗)=(−u⃗)+u⃗=0⃗.\vec{u} + (-\vec{u}) = (-\vec{u}) + \vec{u} = \vec{0}.

Notation. La somme u⃗+(−v⃗)\vec{u} + (-\vec{v}) est notée u⃗−v⃗.\vec{u} - \vec{v}.

Remarque. Pour deux points AA et BB : AB→+BA→=AA→=0⃗.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}. L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est donc le vecteur BA→\overrightarrow{BA} : on écrit BA→=−AB→.\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

De même, l'opposé de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} est −u⃗−v⃗,-\vec{u} - \vec{v}, et −(−u⃗)=u⃗.-(-\vec{u}) = \vec{u}.

u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}
BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}
−(u⃗+v⃗)=−u⃗−v⃗-(\vec{u} + \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}

Exemple traité

Écrire sans parenthèses u⃗−(v⃗−w⃗)\vec{u} - (\vec{v} - \vec{w}) et −(u⃗+v⃗)+(u⃗−v⃗).-(\vec{u} + \vec{v}) + (\vec{u} - \vec{v}).

  1. Premier calcul — L'opposé de v⃗−w⃗\vec{v} - \vec{w} est −v⃗+w⃗-\vec{v} + \vec{w} : chaque signe change.u⃗−(v⃗−w⃗)=u⃗−v⃗+w⃗\vec{u} - (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}
  2. Second calcul — On enlève les deux parenthèses, puis u⃗\vec{u} et −u⃗-\vec{u} s'annulent.−(u⃗+v⃗)+(u⃗−v⃗)=−u⃗−v⃗+u⃗−v⃗=−v⃗−v⃗-(\vec{u} + \vec{v}) + (\vec{u} - \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v} + \vec{u} - \vec{v} = -\vec{v} - \vec{v}
u⃗−v⃗+w⃗;−v⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} + \vec{w} \quad ; \quad -\vec{v} - \vec{v}

À ne pas faire : u⃗−(v⃗−w⃗)=u⃗−v⃗−w⃗\vec{u} - (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} - \vec{v} - \vec{w} — u⃗−(v⃗−w⃗)=u⃗−v⃗+w⃗\vec{u} - (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}. Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun des vecteurs qu'elle contient.

5. Définition

Produit par un réel

Ce qu’il dit

Kifech nedherbou vecteur fi réel ? u vecteur mouch nul, w B elli le vecteur AB égale u. Na5dhou la droite AB bel repère A, B : A hiya zéro, w B hiya un. Alpha réel, w M le point elli l'abscisse mte3ou alpha. Alpha u, houwa le vecteur AM. Mathalan deux u : M fi l'abscisse deux. Moins deux u : M fi l'abscisse moins deux, fel jiha lo5ra. W alpha fois le vecteur nul égale le vecteur nul, w un fois u égale u.

كيفاش نضربو vecteur في réel ؟ u vecteur موش nul ، w B اللي le vecteur A B égale u . ناخذو la droite A B بالـ repère A ، B : A هي zéro ، w B هي un . alpha réel ، w M le point اللي l'abscisse متاعو alpha . alpha u ، هو le vecteur A M . مثلا deux u : M في l'abscisse deux . moins deux u : M في l'abscisse moins deux ، في الجيهة الأخرى . w alpha fois le vecteur nul égale le vecteur nul ، w un fois u égale u .

Comment multiplier un vecteur par un réel ? Soit u un vecteur non nul, et B tel que le vecteur A B égale u. On munit la droite A B du repère A, B : A correspond à zéro, et B à un. Soit alpha un réel, et M le point d'abscisse alpha. Alpha u, c'est le vecteur A M. Par exemple deux u : M est à l'abscisse deux. Moins deux u : M est à l'abscisse moins deux, de l'autre côté. Et alpha fois le vecteur nul égale le vecteur nul, et un fois u égale u.

  • Soient AA un point du plan, u⃗\vec{u} un vecteur non nul et BB le point tel que u⃗=AB→.\vec{u} = \overrightarrow{AB}. Soit α\alpha un réel et MM le point de (AB)(AB) d'abscisse α\alpha dans le repère (A,B).(A, B). On appelle vecteur produit de u⃗\vec{u} par α\alpha le vecteur v⃗\vec{v} tel que v⃗=AM→.\vec{v} = \overrightarrow{AM}. Il est noté α.u⃗\alpha.\vec{u} ou αu⃗.\alpha\vec{u}.
  • Le produit du vecteur nul par le réel α\alpha est le vecteur nul : α.0⃗=0⃗.\alpha.\vec{0} = \vec{0}.

Remarque. Pour tout vecteur u⃗,\vec{u}, on a 1.u⃗=u⃗.1.\vec{u} = \vec{u}.

Par exemple, dans le repère (A,B),(A, B), le point CC tel que u⃗+u⃗=AC→\vec{u} + \vec{u} = \overrightarrow{AC} a pour abscisse 2,2, et le point DD tel que −u⃗−u⃗=AD→-\vec{u} - \vec{u} = \overrightarrow{AD} a pour abscisse −2.-2.

uABM
Ici α = 2,5 : le vecteur AM est 2,5 fois u.

En haut, le vecteur u, une flèche horizontale vers la droite. En dessous, une droite horizontale graduée par le repère (A, B) : A est l'origine, B est à une unité à droite de A, et M est à l'abscisse 2,5, plus loin à droite. Le vecteur AM, en rouge, est le vecteur 2,5 fois u.

αu⃗=AM→ouˋ M a pour abscisse α dans le repeˋre (A,B)\alpha\vec{u} = \overrightarrow{AM} \quad \text{où } M \text{ a pour abscisse } \alpha \text{ dans le repère } (A, B)

Exemple traité

Avec u⃗=AB→,\vec{u} = \overrightarrow{AB}, placer les points M,M, NN et PP d'abscisses respectives −2,-2, 33 et 12\dfrac{1}{2} dans le repère (A,B),(A, B), et écrire les vecteurs AM→,\overrightarrow{AM}, AN→\overrightarrow{AN} et AP→\overrightarrow{AP} à l'aide de u⃗.\vec{u}.

  1. Le point M — MM est du côté opposé à B,B, à deux unités de AA : le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est le produit de u⃗\vec{u} par −2.-2.AM→=−2u⃗\overrightarrow{AM} = -2\vec{u}
  2. Les points N et P — NN est à trois unités de AA du côté de B,B, et PP est le milieu de [AB].[AB].AN→=3u⃗;AP→=12u⃗\overrightarrow{AN} = 3\vec{u} \quad ; \quad \overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{2}\vec{u}
AM→=−2u⃗;AN→=3u⃗;AP→=12u⃗\overrightarrow{AM} = -2\vec{u} \quad ; \quad \overrightarrow{AN} = 3\vec{u} \quad ; \quad \overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{2}\vec{u}

À ne pas faire : −2u⃗-2\vec{u} est un vecteur de longueur −2-2 fois celle de u⃗\vec{u} — −2u⃗-2\vec{u} a la direction de u⃗,\vec{u}, le sens contraire, et une longueur double. Le signe du réel donne le sens ; une longueur n'est jamais négative.

6. Propriété

Propriétés du produit

Ce qu’il dit

Les règles mta3 el produit par un réel : moins un fois u égale moins u. a u plus b u égale la parenthèse a plus b, fois u. a fois la parenthèse b u, égale a b fois u. W a fois la parenthèse u plus v, égale a u plus a v. Ya3ni n7esbou bel vecteurs kif ma n7esbou bel lettres fel algèbre : nfekkou les parenthèses, w njamm3ou les u m3a b3adhhom w les v m3a b3adhhom. Mathalan deux fois la parenthèse u moins trois v, moins la parenthèse cinq u moins six v : ta3ti moins trois u.

les règles متاع الـ produit par un réel : moins un fois u égale moins u . a u plus b u égale la parenthèse a plus b ، fois u . a fois la parenthèse b u ، égale a b fois u . w a fois la parenthèse u plus v ، égale a u plus a v . يعني نحسبو بالـ vecteurs كيف ما نحسبو بالـ lettres في الـ algèbre : نفكّو les parenthèses ، w نجمّعو les u مع بعضهم w les v مع بعضهم . مثلا deux fois la parenthèse u moins trois v ، moins la parenthèse cinq u moins six v : تعطي moins trois u .

Les règles du produit par un réel : moins un fois u égale moins u. a u plus b u égale, entre parenthèses, a plus b, fois u. a fois, entre parenthèses, b u, égale a b fois u. Et a fois, entre parenthèses, u plus v, égale a u plus a v. On calcule donc avec les vecteurs comme avec des lettres en algèbre : on développe, et on regroupe les u ensemble et les v ensemble. Par exemple deux fois, entre parenthèses, u moins trois v, moins, entre parenthèses, cinq u moins six v : cela donne moins trois u.

  • Pour tout vecteur u⃗\vec{u} : (−1)u⃗=−u⃗.(-1)\vec{u} = -\vec{u}.
  • Pour tout vecteur u⃗\vec{u} et pour tous réels aa et bb : a.u⃗+b.u⃗=(a+b).u⃗a.\vec{u} + b.\vec{u} = (a + b).\vec{u} et a.(b.u⃗)=(ab).u⃗.a.(b.\vec{u}) = (ab).\vec{u}.
  • Pour tout réel aa et pour tous vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} : a.(u⃗+v⃗)=a.u⃗+a.v⃗.a.(\vec{u} + \vec{v}) = a.\vec{u} + a.\vec{v}.

On calcule donc avec les vecteurs comme avec des lettres en algèbre : on développe, on regroupe les termes en u⃗\vec{u} et les termes en v⃗.\vec{v}.

au⃗+bu⃗=(a+b)u⃗a\vec{u} + b\vec{u} = (a + b)\vec{u}
a(bu⃗)=(ab)u⃗a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}
a(u⃗+v⃗)=au⃗+av⃗a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}

Exemple traité

Simplifier a⃗=2(u⃗−3v⃗)−(5u⃗−6v⃗)\vec{a} = 2(\vec{u} - 3\vec{v}) - (5\vec{u} - 6\vec{v}) et b⃗=3u⃗+v⃗−[7u⃗−12(8u⃗+2v⃗)].\vec{b} = 3\vec{u} + \vec{v} - \left[7\vec{u} - \dfrac{1}{2}(8\vec{u} + 2\vec{v})\right].

  1. Le vecteur a — On développe, sans oublier que le signe moins change les deux signes de la seconde parenthèse.a⃗=2u⃗−6v⃗−5u⃗+6v⃗=−3u⃗\vec{a} = 2\vec{u} - 6\vec{v} - 5\vec{u} + 6\vec{v} = -3\vec{u}
  2. Le crochet de b — On commence par l'intérieur du crochet : la moitié de huit u plus deux v, c'est quatre u plus v.7u⃗−12(8u⃗+2v⃗)=7u⃗−4u⃗−v⃗=3u⃗−v⃗7\vec{u} - \dfrac{1}{2}(8\vec{u} + 2\vec{v}) = 7\vec{u} - 4\vec{u} - \vec{v} = 3\vec{u} - \vec{v}
  3. Le vecteur b — On retire ce crochet : ses deux signes changent, et les termes en u s'annulent.b⃗=3u⃗+v⃗−3u⃗+v⃗=2v⃗\vec{b} = 3\vec{u} + \vec{v} - 3\vec{u} + \vec{v} = 2\vec{v}
a⃗=−3u⃗;b⃗=2v⃗\vec{a} = -3\vec{u} \quad ; \quad \vec{b} = 2\vec{v}

À ne pas faire : 2(u⃗−3v⃗)=2u⃗−3v⃗2(\vec{u} - 3\vec{v}) = 2\vec{u} - 3\vec{v} — 2(u⃗−3v⃗)=2u⃗−6v⃗2(\vec{u} - 3\vec{v}) = 2\vec{u} - 6\vec{v}. Le réel multiplie chacun des vecteurs de la parenthèse, pas seulement le premier.

À ne pas faire : −4(32u⃗)=−52u⃗-4\left(\dfrac{3}{2}\vec{u}\right) = -\dfrac{5}{2}\vec{u} — −4(32u⃗)=−6u⃗-4\left(\dfrac{3}{2}\vec{u}\right) = -6\vec{u}. On multiplie les deux réels entre eux : la règle est a(bu⃗)=(ab)u⃗,a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}, pas (a+b)u⃗.(a + b)\vec{u}.

7. Propriété

Produit nul

Ce qu’il dit

Alpha u égale le vecteur nul, waqtech ? Ken alpha égale zéro, walla u houwa le vecteur nul. Ezzouz bark. W ken alpha mouch zéro, nedherbou fi un sur alpha, w nal9aw u égale le vecteur nul. Mathalan ken u mouch nul, w la parenthèse deux x moins six, fois u, égale le vecteur nul, donc deux x moins six égale zéro, w x égale trois.

alpha u égale le vecteur nul ، وقتاش ؟ كان alpha égale zéro ، ولّا u هو le vecteur nul . الزوز برك . w كان alpha موش zéro ، نضربو في un sur alpha ، w نلقاو u égale le vecteur nul . مثلا كان u موش nul ، w la parenthèse deux x moins six ، fois u ، égale le vecteur nul ، donc deux x moins six égale zéro ، w x égale trois .

Quand alpha u est-il égal au vecteur nul ? Si alpha égale zéro, ou si u est le vecteur nul. Seulement dans ces deux cas. Et si alpha n'est pas nul, on multiplie par un sur alpha, et on trouve u égale le vecteur nul. Par exemple, si u n'est pas nul, et que, entre parenthèses, deux x moins six, fois u, égale le vecteur nul, alors deux x moins six égale zéro, et x égale trois.

Pour tout vecteur u⃗\vec{u} et pour tout réel α\alpha :

αu⃗=0⃗  ⟺  (α=0 ou u⃗=0⃗).\alpha\vec{u} = \vec{0} \iff (\alpha = 0 \text{ ou } \vec{u} = \vec{0}).

En particulier, si αu⃗=0⃗\alpha\vec{u} = \vec{0} et α≠0,\alpha \ne 0, alors u⃗=0⃗\vec{u} = \vec{0} : on multiplie les deux membres par 1α.\dfrac{1}{\alpha}.

αu⃗=0⃗  ⟺  (α=0 ou u⃗=0⃗)\alpha\vec{u} = \vec{0} \iff (\alpha = 0 \text{ ou } \vec{u} = \vec{0})

Démonstration

Si α=0\alpha = 0 ou u⃗=0⃗,\vec{u} = \vec{0}, le produit est nul par définition. Réciproquement, si αu⃗=0⃗\alpha\vec{u} = \vec{0} et α≠0,\alpha \ne 0, alors u⃗=1.u⃗=(1α×α)u⃗=1α(αu⃗)=1α0⃗=0⃗.\vec{u} = 1.\vec{u} = \left(\dfrac{1}{\alpha} \times \alpha\right)\vec{u} = \dfrac{1}{\alpha}(\alpha\vec{u}) = \dfrac{1}{\alpha}\vec{0} = \vec{0}.

Exemple traité

u⃗\vec{u} est un vecteur non nul et xx un réel tel que (2x−6)u⃗=0⃗.(2x - 6)\vec{u} = \vec{0}. Déterminer x.x.

  1. Appliquer la propriété — Le vecteur u⃗\vec{u} n'est pas nul : c'est donc le réel qui est nul.2x−6=02x - 6 = 0
  2. Résoudre — On ajoute 66 puis on divise par 2.2.x=3x = 3
x=3x = 3

À ne pas faire : αu⃗=0⃗,\alpha\vec{u} = \vec{0}, donc α=0\alpha = 0 — αu⃗=0⃗,\alpha\vec{u} = \vec{0}, donc α=0\alpha = 0 ou u⃗=0⃗\vec{u} = \vec{0}. Le produit est aussi nul quand le vecteur est nul, quel que soit le réel.

8. Définition

Vecteurs colinéaires

Ce qu’il dit

Zouz vecteurs colinéaires, ki wa7ed menhom houwa le5er madhroub fi réel : v égale k u. Le vecteur nul colinéaire m3a el koll, 5ater le vecteur nul égale zéro fois u. W hedhi mohemma barcha : A, B w C alignés, ki le vecteur AB w le vecteur AC colinéaires. W ken le vecteur AB égale alpha fois le vecteur CD : ken alpha positif, nafs le sens ; ken alpha négatif, sens contraires.

زوز vecteurs colinéaires ، كي واحد منهم هو الآخر مضروب في réel : v égale k u . le vecteur nul colinéaire مع الكل ، خاطر le vecteur nul égale zéro fois u . w هاذي مهمّة برشا : A ، B w C alignés ، كي le vecteur A B w le vecteur A C colinéaires . w كان le vecteur A B égale alpha fois le vecteur C D : كان alpha positif ، نفس le sens ؛ كان alpha négatif ، sens contraires .

Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est le produit de l'autre par un réel : v égale k u. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs, car le vecteur nul égale zéro fois u. Et ceci est très important : A, B et C sont alignés quand le vecteur A B et le vecteur A C sont colinéaires. Et si le vecteur A B égale alpha fois le vecteur C D : si alpha est positif, ils ont le même sens ; si alpha est négatif, ils sont de sens contraires.

Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel.

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, puisque 0⃗=0.u⃗.\vec{0} = 0.\vec{u}.

Soit AA un point et B,B, CC les points tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AC→.\vec{v} = \overrightarrow{AC}. Alors les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si les points A,A, BB et CC sont alignés.

Remarque. Si A,A, B,B, CC et DD sont alignés, il existe un réel α\alpha tel que AB→=αCD→.\overrightarrow{AB} = \alpha\overrightarrow{CD}. Si α>0,\alpha > 0, les vecteurs sont colinéaires et de même sens ; si α<0,\alpha < 0, ils sont colinéaires et de sens contraires.

ABC
A, B et C alignés : le vecteur AC est 3 fois le vecteur AB.

Une droite horizontale porte, de gauche à droite, les points A, B puis C. Le vecteur AB, en bleu, et le vecteur AC, en rouge, partent tous deux de A vers la droite : ils ont la même direction et le même sens, et AC est trois fois plus long que AB.

colinéaires

v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}
A,B,C aligneˊs  ⟺  AB→ et AC→ colineˊairesA, B, C \text{ alignés} \iff \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC} \text{ colinéaires}

Exemple traité

Soient a⃗=2(u⃗+v⃗)−3v⃗\vec{a} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 3\vec{v} et b⃗=3(v⃗−4u⃗)+6u⃗.\vec{b} = 3(\vec{v} - 4\vec{u}) + 6\vec{u}. Simplifier a⃗\vec{a} et b⃗,\vec{b}, puis exprimer a⃗\vec{a} en fonction de b⃗.\vec{b}.

  1. Simplifier a — On développe puis on regroupe les termes en v : deux v moins trois v.a⃗=2u⃗+2v⃗−3v⃗=2u⃗−v⃗\vec{a} = 2\vec{u} + 2\vec{v} - 3\vec{v} = 2\vec{u} - \vec{v}
  2. Simplifier b — On développe puis on regroupe les termes en u : moins douze u plus six u.b⃗=3v⃗−12u⃗+6u⃗=−6u⃗+3v⃗\vec{b} = 3\vec{v} - 12\vec{u} + 6\vec{u} = -6\vec{u} + 3\vec{v}
  3. Comparer — On met −3-3 en facteur dans b⃗\vec{b} : on retrouve a⃗.\vec{a}. Les vecteurs a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} sont donc colinéaires, et de sens contraires.b⃗=−3(2u⃗−v⃗)=−3a⃗donca⃗=−13b⃗\vec{b} = -3(2\vec{u} - \vec{v}) = -3\vec{a} \quad \text{donc} \quad \vec{a} = -\dfrac{1}{3}\vec{b}
a⃗=−13b⃗\vec{a} = -\dfrac{1}{3}\vec{b}

À ne pas faire : AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires, donc A,A, B,B, CC et DD sont alignés — AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} colinéaires : les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles. L'alignement se lit sur deux vecteurs qui ont une origine commune, comme AB→\overrightarrow{AB} et AC→.\overrightarrow{AC}.

9. Définition

Base et composantes

Ce qu’il dit

Zouz vecteurs i w j mouch colinéaires, ya3mlou base. W koll vecteur u, najmou nektbouh b tari9a wa7da bark : u égale x i plus y j. Le couple x, y, houma les composantes de u dans la base i, j, w nektbouhom fi colonne : x el fou9 w y el louta. Mathalan le vecteur i 3andou les composantes un, zéro, w le vecteur j 3andou zéro, un. W zouz vecteurs égaux ki ykounou 3andhom nafs les composantes.

زوز vecteurs i w j موش colinéaires ، يعملو base . w كل vecteur u ، نجّمو نكتبوه بطريقة وحدة برك : u égale x i plus y j . le couple x ، y ، هوما les composantes de u dans la base i ، j ، w نكتبوهم في colonne : x الفوق w y اللوطة . مثلا le vecteur i عندو les composantes un ، zéro ، w le vecteur j عندو zéro ، un . w زوز vecteurs égaux كي يكونو عندهم نفس les composantes .

Deux vecteurs i et j non colinéaires forment une base. Et tout vecteur u peut s'écrire d'une seule manière : u égale x i plus y j. Le couple x, y, ce sont les composantes de u dans la base i, j, et on les écrit en colonne : x en haut et y en bas. Par exemple le vecteur i a pour composantes un, zéro, et le vecteur j a pour composantes zéro, un. Et deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes composantes.

  • On appelle base de l'ensemble des vecteurs du plan tout couple (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) de vecteurs non colinéaires.
  • Soit (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) une base et u⃗\vec{u} un vecteur. Il existe un unique couple (x,y)(x, y) de réels tel que u⃗=xi⃗+yj⃗.\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}. Ce couple est appelé couple de composantes du vecteur u⃗\vec{u} dans la base (i⃗,j⃗).(\vec{i}, \vec{j}).

Notation. On note u⃗(xy).\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Ainsi, le vecteur nul a pour composantes (0,0)(0, 0) ; i⃗\vec{i} a pour composantes (1,0)(1, 0) et j⃗\vec{j} a pour composantes (0,1).(0, 1). Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes composantes : u⃗=v⃗  ⟺  (x=x′ et y=y′).\vec{u} = \vec{v} \iff (x = x' \text{ et } y = y').

ijuABCM
Le vecteur AM se décompose en x fois i plus y fois j.

Un point A. Le vecteur i, égal au vecteur AB, part de A vers la droite ; le vecteur j, égal au vecteur AC, part de A vers le haut en penchant à droite : i et j ne sont pas colinéaires. Le vecteur u, égal au vecteur AM, va de A à un point M en haut à droite. Des pointillés, parallèles à i et à j, montrent que le vecteur AM s'obtient en ajoutant x fois i et y fois j.

u⃗=xi⃗+yj⃗  ⟺  u⃗(xy)\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \iff \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Exemple traité

Dans une base (i⃗,j⃗),(\vec{i}, \vec{j}), donner les composantes des vecteurs 2i⃗+3j⃗,2\vec{i} + 3\vec{j}, −4i⃗-4\vec{i} et −35j⃗.-\dfrac{3}{5}\vec{j}.

  1. Lire les coefficients — Le coefficient de i⃗\vec{i} est la première composante, celui de j⃗\vec{j} la seconde.2i⃗+3j⃗  :  (23)2\vec{i} + 3\vec{j} \;:\; \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. Un coefficient absent — Quand j⃗\vec{j} n'apparaît pas, sa composante est nulle ; de même pour i⃗.\vec{i}.−4i⃗  :  (−40)−35j⃗  :  (0−35)-4\vec{i} \;:\; \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad -\dfrac{3}{5}\vec{j} \;:\; \begin{pmatrix} 0 \\ -\dfrac{3}{5} \end{pmatrix}
(2,3);(−4,0);(0,−35)(2, 3) \quad ; \quad (-4, 0) \quad ; \quad \left(0, -\dfrac{3}{5}\right)

À ne pas faire : −4i⃗-4\vec{i} a pour composantes (−4)(-4) — −4i⃗=−4i⃗+0j⃗-4\vec{i} = -4\vec{i} + 0\vec{j} a pour composantes (−4,0)(-4, 0). Un vecteur du plan a toujours deux composantes : celle qui manque vaut zéro.

10. Propriété

Calcul sur les composantes

Ce qu’il dit

Bel composantes, el 7seb sehel. u x, y w v x prime, y prime : u plus v, les composantes mte3ou x plus x prime, w y plus y prime. W alpha u, les composantes mte3ou alpha x, w alpha y. Ya3ni njam3ou composante m3a composante, w el réel yedhreb ezzouz composantes. Mathalan u moins trois, deux w v un, quatre : deux u moins cinq v, ya3ti moins onze, moins seize.

بالـ composantes ، الحساب ساهل . u x ، y w v x prime ، y prime : u plus v ، les composantes متاعو x plus x prime ، w y plus y prime . w alpha u ، les composantes متاعو alpha x ، w alpha y . يعني نجمعو composante مع composante ، w الـ réel يضرب الزوز composantes . مثلا u moins trois ، deux w v un ، quatre : deux u moins cinq v ، يعطي moins onze ، moins seize .

Avec les composantes, le calcul est simple. Soient u de composantes x, y et v de composantes x prime, y prime : u plus v a pour composantes x plus x prime, et y plus y prime. Et alpha u a pour composantes alpha x, et alpha y. On additionne composante par composante, et le réel multiplie les deux composantes. Par exemple, avec u moins trois, deux et v un, quatre : deux u moins cinq v donne moins onze, moins seize.

Soit (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) une base, u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} deux vecteurs et α\alpha un réel. Alors :

u⃗+v⃗(x+x′y+y′)αu⃗(αxαy)\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix} \qquad \alpha\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha x \\ \alpha y \end{pmatrix}

On additionne composante par composante, et on multiplie chaque composante par le réel.

u⃗+v⃗(x+x′y+y′)\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}
αu⃗(αxαy)\alpha\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha x \\ \alpha y \end{pmatrix}

Exemple traité

On considère les vecteurs u⃗\vec{u} de composantes −3-3 et 2,2, et v⃗\vec{v} de composantes 11 et 4.4. Déterminer les composantes du vecteur w⃗=2u⃗−5v⃗.\vec{w} = 2\vec{u} - 5\vec{v}.

  1. Les produits — On multiplie chaque composante de u⃗\vec{u} par 2,2, et chaque composante de v⃗\vec{v} par −5.-5.2u⃗(−64)−5v⃗(−5−20)2\vec{u}\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad -5\vec{v}\begin{pmatrix} -5 \\ -20 \end{pmatrix}
  2. La somme — On additionne composante par composante : moins six moins cinq, puis quatre moins vingt.w⃗(−6−54−20)=(−11−16)\vec{w}\begin{pmatrix} -6 - 5 \\ 4 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -16 \end{pmatrix}
w⃗(−11,−16)\vec{w}(-11, -16)

À ne pas faire : 2u⃗−5v⃗2\vec{u} - 5\vec{v} a pour composantes (2×(−3)−5×1, 2+4)(2 \times (-3) - 5 \times 1,\ 2 + 4) — (2×(−3)−5×1, 2×2−5×4)=(−11,−16)(2 \times (-3) - 5 \times 1,\ 2 \times 2 - 5 \times 4) = (-11, -16). Le réel multiplie les deux composantes du vecteur, la seconde comme la première.

11. Théorème

Le déterminant

Ce qu’il dit

Kifech na3rfou zouz vecteurs colinéaires bel composantes ? u x, y w v x prime, y prime. N7esbou le déterminant : x y prime moins x prime y. Nektbouh fi tableau : x w x prime el fou9, y w y prime el louta, w nedherbou en croix. El théorème : u w v colinéaires, ki le déterminant égale zéro. Mathalan u trois, deux w v moins six, moins quatre : trois fois moins quatre, moins moins six fois deux, égale moins douze plus douze, égale zéro : colinéaires.

كيفاش نعرفو زوز vecteurs colinéaires بالـ composantes ؟ u x ، y w v x prime ، y prime . نحسبو le déterminant : x y prime moins x prime y . نكتبوه في tableau : x w x prime الفوق ، y w y prime اللوطة ، w نضربو en croix . الـ théorème : u w v colinéaires ، كي le déterminant égale zéro . مثلا u trois ، deux w v moins six ، moins quatre : trois fois moins quatre ، moins moins six fois deux ، égale moins douze plus douze ، égale zéro : colinéaires .

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires à partir de leurs composantes ? Soient u de composantes x, y et v de composantes x prime, y prime. On calcule le déterminant : x y prime moins x prime y. On l'écrit dans un tableau : x et x prime en haut, y et y prime en bas, et on multiplie en croix. Le théorème : u et v sont colinéaires quand le déterminant égale zéro. Par exemple, u trois, deux et v moins six, moins quatre : trois fois moins quatre, moins moins six fois deux, égale moins douze plus douze, égale zéro : ils sont colinéaires.

Soient u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} dans une base (i⃗,j⃗).(\vec{i}, \vec{j}).

  • Le réel xy′−x′yxy' - x'y est appelé le déterminant des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} dans la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) ; on le note ∣xx′yy′∣.\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}.
  • Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

u⃗\displaystyle \vec{u} et v⃗\displaystyle \vec{v} colinéaires   ⟺  ∣xx′yy′∣=0  ⟺  xy′−x′y=0.\displaystyle \iff \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = 0 \iff xy' - x'y = 0.

Par exemple, u⃗(3,2)\vec{u}(3, 2) et v⃗(−6,−4)\vec{v}(-6, -4) sont colinéaires (−12+12=0-12 + 12 = 0).

le déterminant

∣xx′yy′∣=xy′−x′y\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y
u⃗,v⃗ colineˊaires  ⟺  xy′−x′y=0\vec{u}, \vec{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0

Exemple traité

Les vecteurs u⃗\vec{u} de composantes 22 et 1−5,1 - \sqrt{5}, et v⃗\vec{v} de composantes 5+1\sqrt{5} + 1 et −2,-2, sont-ils colinéaires ?

  1. Le déterminant — On calcule xx fois y′,y', moins x′x' fois yy : la première composante de u par la seconde de v, moins l'inverse.xy′−x′y=2×(−2)−(5+1)(1−5)xy' - x'y = 2 \times (-2) - (\sqrt{5} + 1)(1 - \sqrt{5})
  2. Le produit — Le produit (1+5)(1−5)(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5}) est une identité remarquable : un moins cinq.(5+1)(1−5)=1−5=−4(\sqrt{5} + 1)(1 - \sqrt{5}) = 1 - 5 = -4
  3. Conclure — Le déterminant vaut moins quatre moins moins quatre, donc zéro : les vecteurs sont colinéaires.xy′−x′y=−4−(−4)=0xy' - x'y = -4 - (-4) = 0
u⃗ et v⃗ sont colineˊaires\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}

À ne pas faire : xy′−x′y=3×(−6)−2×(−4)xy' - x'y = 3 \times (-6) - 2 \times (-4) pour u⃗(3,2)\vec{u}(3, 2) et v⃗(−6,−4)\vec{v}(-6, -4) — xy′−x′y=3×(−4)−(−6)×2=0xy' - x'y = 3 \times (-4) - (-6) \times 2 = 0. On croise : la première composante de u⃗\vec{u} avec la seconde de v⃗,\vec{v}, moins la première de v⃗\vec{v} avec la seconde de u⃗.\vec{u}.

À ne pas faire : xy′+x′y=0,xy' + x'y = 0, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires — xy′−x′y=0,xy' - x'y = 0, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires. Le déterminant est une différence de produits en croix ; la somme xx′+yy′xx' + yy' sert à autre chose, à l'orthogonalité.

12. Définition

Repère cartésien

Ce qu’il dit

O point, w i, j base : O, i, j, nsammiweh repère cartésien. W koll point M, 3andou couple wa7id x, y, elli le vecteur OM égale x i plus y j. x hiya l'abscisse w y hiya l'ordonnée, w nektbou M x, y. O hiya l'origine. Ya3ni les coordonnées du point M, houma bedhabt les composantes du vecteur OM. W rodd belek : fi repère cartésien, les axes mouch lezem ykounou perpendiculaires.

O point ، w i ، j base : O ، i ، j ، نسمّيوه repère cartésien . w كل point M ، عندو couple وحيد x ، y ، اللي le vecteur O M égale x i plus y j . x هي l'abscisse w y هي l'ordonnée ، w نكتبو M x ، y . O هي l'origine . يعني les coordonnées du point M ، هوما بالضبط les composantes du vecteur O M . w رد بالك : في repère cartésien ، les axes موش لازم يكونو perpendiculaires .

Soit O un point, et i, j une base : O, i, j s'appelle un repère cartésien. Et tout point M a un unique couple x, y tel que le vecteur O M égale x i plus y j. x est l'abscisse et y l'ordonnée, et on note M x, y. O est l'origine. Les coordonnées du point M sont donc exactement les composantes du vecteur O M. Et attention : dans un repère cartésien, les axes ne sont pas forcément perpendiculaires.

Soit OO un point du plan et (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) une base de l'ensemble des vecteurs du plan.

  • (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) est appelé repère cartésien du plan.
  • Soit MM un point du plan. Le couple de coordonnées du point MM dans ce repère est l'unique couple (x,y)(x, y) de réels tel que OM→=xi⃗+yj⃗.\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}. Le réel xx est l'abscisse de MM et le réel yy son ordonnée. On note M(x,y).M(x, y).
  • Le point OO est l'origine du repère ; (O,i⃗)(O, \vec{i}) est l'axe des abscisses et (O,j⃗)(O, \vec{j}) l'axe des ordonnées.

Les coordonnées du point MM sont les composantes du vecteur OM→.\overrightarrow{OM}.

ijOIJM
Les coordonnées de M sont les composantes du vecteur OM.

Un repère cartésien d'origine O, en bas à gauche. Le vecteur i, égal au vecteur OI, part de O vers la droite ; le vecteur j, égal au vecteur OJ, part de O vers le haut en penchant légèrement : les axes ne sont pas forcément perpendiculaires. Un point M en haut à droite, et le vecteur OM en rouge.

M(x,y)  ⟺  OM→=xi⃗+yj⃗M(x, y) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}

Exemple traité

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne OM→=−2i⃗+5j⃗\overrightarrow{OM} = -2\vec{i} + 5\vec{j} et ON→=3j⃗.\overrightarrow{ON} = 3\vec{j}. Donner les coordonnées de MM et de N.N.

  1. Le point M — Les coordonnées de MM sont les coefficients de i⃗\vec{i} et de j⃗\vec{j} dans le vecteur OM→.\overrightarrow{OM}.M(−2,5)M(-2, 5)
  2. Le point N — Le vecteur i⃗\vec{i} n'apparaît pas dans ON→\overrightarrow{ON} : l'abscisse de NN est nulle, NN est sur l'axe des ordonnées.N(0,3)N(0, 3)
M(−2,5);N(0,3)M(-2, 5) \quad ; \quad N(0, 3)

À ne pas faire : ON→=3j⃗,\overrightarrow{ON} = 3\vec{j}, donc N(3,0)N(3, 0) — ON→=0i⃗+3j⃗,\overrightarrow{ON} = 0\vec{i} + 3\vec{j}, donc N(0,3)N(0, 3). L'abscisse est toujours le coefficient de i⃗,\vec{i}, écrite en premier.

13. Propriété

Composantes du vecteur AB

Ce qu’il dit

A x A, y A w B x B, y B. Les composantes du vecteur AB : x B moins x A, w y B moins y A. Dima l'extrémité moins l'origine : B moins A. Mathalan A moins un, deux w B trois, quatre : le vecteur AB 3andou quatre, deux. W ken n7ebbou ABCD parallélogramme, nektbou le vecteur AB égale le vecteur DC, w nsawiw les composantes wa7da b wa7da.

A x A ، y A w B x B ، y B . les composantes du vecteur A B : x B moins x A ، w y B moins y A . ديما l'extrémité moins l'origine : B moins A . مثلا A moins un ، deux w B trois ، quatre : le vecteur A B عندو quatre ، deux . w كان نحبّو A B C D parallélogramme ، نكتبو le vecteur A B égale le vecteur D C ، w نساويو les composantes وحدة بوحدة .

Soient A de coordonnées x A, y A et B de coordonnées x B, y B. Les composantes du vecteur A B : x B moins x A, et y B moins y A. Toujours l'extrémité moins l'origine : B moins A. Par exemple, A moins un, deux et B trois, quatre : le vecteur A B a pour composantes quatre, deux. Et si on veut que A B C D soit un parallélogramme, on écrit le vecteur A B égale le vecteur D C, et on égale les composantes une à une.

Le plan est muni d'un repère cartésien (O,i⃗,j⃗).(O, \vec{i}, \vec{j}). Soient A(xA,yA)A(x_A, y_A) et B(xB,yB)B(x_B, y_B) deux points. Par Chasles, AB→=AO→+OB→=OB→−OA→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}, donc :

AB→(xB−xAyB−yA).\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}.

Par exemple, pour A(−1,2)A(-1, 2) et B(3,4),B(3, 4), AB→(42)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} ; pour A(−5,3)A(-5, 3) et B(−2,3),B(-2, 3), AB→(30).\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}.

ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} : on traduit cette égalité composante par composante.

extrémité moins origine

AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Exemple traité

On donne A(5,4),A(5, 4), B(−6,1)B(-6, 1) et C(2,2).C(2, 2). Calculer les coordonnées du point DD pour que ABCDABCD soit un parallélogramme.

  1. Traduire — ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et DC→\overrightarrow{DC} sont égaux. On note D(x,y).D(x, y).AB→(−6−51−4)=(−11−3)DC→(2−x2−y)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 - 5 \\ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 2 - x \\ 2 - y \end{pmatrix}
  2. Égaler les composantes — Deux vecteurs égaux ont les mêmes composantes : deux moins x égale moins onze, et deux moins y égale moins trois.2−x=−11et2−y=−32 - x = -11 \quad \text{et} \quad 2 - y = -3
  3. Résoudre — On isole x puis y dans chacune des deux équations.x=13;y=5x = 13 \quad ; \quad y = 5
D(13,5)D(13, 5)

À ne pas faire : AB→(xA−xByA−yB)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \end{pmatrix} — AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}. On retranche toujours l'origine à l'extrémité : les coordonnées de BB moins celles de A.A.

À ne pas faire : ABCDABCD parallélogramme, donc AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} — ABCDABCD parallélogramme, donc AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Dans ABCD,ABCD, le côté [AB][AB] et le côté [DC][DC] sont parcourus dans le même sens.

14. Méthode

Alignement, parallélisme

Ce qu’il dit

Etari9a : A, B w C alignés, ki le vecteur AB w le vecteur AC colinéaires. W la droite AB parallèle à la droite CD, ki le vecteur AB w le vecteur CD colinéaires. Donc n7esbou les composantes, w men ba3d le déterminant. Mathalan A moins quatre, deux, B moins trois, cinq, w C moins deux, huit : le vecteur AB un, trois, w le vecteur AC deux, six. Un fois six moins deux fois trois égale zéro : alignés.

الطريقة : A ، B w C alignés ، كي le vecteur A B w le vecteur A C colinéaires . w la droite A B parallèle à la droite C D ، كي le vecteur A B w le vecteur C D colinéaires . donc نحسبو les composantes ، w من بعد le déterminant . مثلا A moins quatre ، deux ، B moins trois ، cinq ، w C moins deux ، huit : le vecteur A B un ، trois ، w le vecteur A C deux ، six . un fois six moins deux fois trois égale zéro : alignés .

La méthode : A, B et C sont alignés quand le vecteur A B et le vecteur A C sont colinéaires. Et la droite A B est parallèle à la droite C D quand le vecteur A B et le vecteur C D sont colinéaires. On calcule donc les composantes, puis le déterminant. Par exemple, A moins quatre, deux, B moins trois, cinq, et C moins deux, huit : le vecteur A B un, trois, et le vecteur A C deux, six. Un fois six moins deux fois trois égale zéro : ils sont alignés.

Dans un repère cartésien :

  • Trois points A,A, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.
  • Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Méthode : calculer les composantes des deux vecteurs, puis leur déterminant xy′−x′y.xy' - x'y.

Par exemple, pour A(1,2),A(1, 2), B(−3,4),B(-3, 4), C(0,1)C(0, 1) et D(2,−2),D(2, -2), AB→(−42)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} et CD→(2−3)\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} ; le déterminant vaut (−4)(−3)−2×2=8(-4)(-3) - 2 \times 2 = 8 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

(AB)∥(CD)  ⟺  AB→ et CD→ colineˊaires(AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{CD} \text{ colinéaires}

Exemple traité

Les points A(−4,2),A(-4, 2), B(−3,5)B(-3, 5) et C(−2,8)C(-2, 8) sont-ils alignés ?

  1. Les vecteurs — On calcule les composantes de AB→\overrightarrow{AB} et de AC→\overrightarrow{AC} : extrémité moins origine.AB→(−3+45−2)=(13)AC→(−2+48−2)=(26)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 + 4 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2 + 4 \\ 8 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — Un fois six, moins deux fois trois : le déterminant est nul.1×6−2×3=01 \times 6 - 2 \times 3 = 0
  3. Conclure — Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, d'ailleurs AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} : les points sont alignés.AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}
A,B,C sont aligneˊsA, B, C \text{ sont alignés}

À ne pas faire : AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} colinéaires, donc A,A, BB et CC sont alignés — AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires, donc A,A, BB et CC sont alignés. Pour un alignement, les deux vecteurs doivent partir du même point.

15. Application

Un trapèze

Ce qu’il dit

Tatbi9 : trapèze ABCD, w le vecteur DC égale trois fois le vecteur AB. I w J les milieux de AB w CD, w O elli le vecteur DO égale trois demis du vecteur DA. El fekra : na5dhou repère mel figure rou7ha : D, le vecteur DC, le vecteur DA. Tawa D zéro, zéro, C un, zéro, A zéro, un, w B un tiers, un. W bech nthabtou elli O, B, C alignés, n7esbou le déterminant mta3 le vecteur OB w le vecteur OC : nal9aweh zéro.

تطبيق : trapèze A B C D ، w le vecteur D C égale trois fois le vecteur A B . I w J les milieux de A B w C D ، w O اللي le vecteur D O égale trois demis du vecteur D A . الفكرة : ناخذو repère من الـ figure روحها : D ، le vecteur D C ، le vecteur D A . توّا D zéro ، zéro ، C un ، zéro ، A zéro ، un ، w B un tiers ، un . w باش نثبتو اللي O ، B ، C alignés ، نحسبو le déterminant متاع le vecteur O B w le vecteur O C : نلقاوه zéro .

Une application : le trapèze A B C D, avec le vecteur D C égale trois fois le vecteur A B. I et J sont les milieux de A B et C D, et O est le point tel que le vecteur D O égale trois demis du vecteur D A. L'idée : prendre un repère donné par la figure elle-même : D, le vecteur D C, le vecteur D A. Alors D a pour coordonnées zéro, zéro, C un, zéro, A zéro, un, et B un tiers, un. Et pour prouver que O, B et C sont alignés, on calcule le déterminant du vecteur O B et du vecteur O C : on trouve zéro.

ABCDABCD est un trapèze tel que DC→=3AB→.\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{AB}. II et JJ sont les milieux respectifs des côtés [AB][AB] et [CD],[CD], et OO est le point défini par DO→=32DA→.\overrightarrow{DO} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}. On considère le repère (D,DC→,DA→).(D, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DA}).

Dans ce repère, D(0,0),D(0, 0), C(1,0)C(1, 0) et A(0,1).A(0, 1). Comme AB→=13DC→,\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}, on a B(13,1)B\left(\dfrac{1}{3}, 1\right) ; puis O(0,32),O\left(0, \dfrac{3}{2}\right), J(12,0)J\left(\dfrac{1}{2}, 0\right) et I(16,1).I\left(\dfrac{1}{6}, 1\right).

Le choix du repère, porté par la figure elle-même, rend tous les calculs simples.

DCABIJO
O, B, C sont alignés ; O, I, J aussi.

Un trapèze ABCD : la grande base [DC] en bas, de D à gauche à C à droite ; la petite base [AB] en haut, trois fois plus courte, avec A au-dessus de D. I est le milieu de [AB] et J le milieu de [DC]. Le point O est au-dessus de A, sur la droite (DA). Les droites (OC) et (OJ) sont tracées en pointillés : la première passe par B, la seconde par I.

Exemple traité

Montrer que les points O,O, BB et CC d'une part, et les points O,O, II et JJ d'autre part, sont alignés.

  1. O, B et C — On calcule les composantes des vecteurs OB→\overrightarrow{OB} et OC→,\overrightarrow{OC}, puis leur déterminant.OB→(13−12)OC→(1−32)13×(−32)−1×(−12)=−12+12=0\overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{OC}\begin{pmatrix} 1 \\ -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix} \qquad \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 1 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0
  2. O, I et J — Même méthode avec les vecteurs OI→\overrightarrow{OI} et OJ→\overrightarrow{OJ} : le déterminant est encore nul.OI→(16−12)OJ→(12−32)16×(−32)−12×(−12)=−14+14=0\overrightarrow{OI}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{6} \\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{OJ}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix} \qquad \dfrac{1}{6} \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) - \dfrac{1}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 0
OC→=3OB→;OJ→=3OI→\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OB} \quad ; \quad \overrightarrow{OJ} = 3\overrightarrow{OI}

16. Définition

Norme d'un vecteur

Ce qu’il dit

La norme du vecteur u : ken u égale le vecteur AB, la norme de u hiya la longueur AB. Nektbouha u bin zouz barres doubles. Ken la norme égale un, n9oulou u unitaire, walla normé. La norme égale zéro ken u houwa le vecteur nul bark. W la norme de alpha u, égale la valeur absolue de alpha, fois la norme de u. Mathalan ken la norme de u égale trois, la norme de moins trois u égale neuf, mouch moins neuf. W rodd belek : la norme de u plus v, mouch dima la somme des normes.

la norme du vecteur u : كان u égale le vecteur A B ، la norme de u هي la longueur A B . نكتبوها u بين زوز barres doubles . كان la norme égale un ، نقولو u unitaire ، ولّا normé . la norme égale zéro كان u هو le vecteur nul برك . w la norme de alpha u ، égale la valeur absolue de alpha ، fois la norme de u . مثلا كان la norme de u égale trois ، la norme de moins trois u égale neuf ، موش moins neuf . w رد بالك : la norme de u plus v ، موش ديما la somme des normes .

La norme du vecteur u : si u égale le vecteur A B, la norme de u est la longueur A B. On l'écrit u entre deux doubles barres. Si la norme égale un, on dit que u est unitaire, ou normé. La norme est nulle seulement si u est le vecteur nul. Et la norme de alpha u égale la valeur absolue de alpha, fois la norme de u. Par exemple, si la norme de u égale trois, la norme de moins trois u égale neuf, et non moins neuf. Et attention : la norme de u plus v n'est pas toujours la somme des normes.

Soient AA un point du plan, u⃗\vec{u} un vecteur et BB le point tel que u⃗=AB→.\vec{u} = \overrightarrow{AB}. On appelle norme du vecteur u⃗\vec{u} le réel noté ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et qui est égal à AB.AB. Lorsque ∥u⃗∥=1,\|\vec{u}\| = 1, on dit que u⃗\vec{u} est un vecteur unitaire ou normé.

  • ∥u⃗∥=0  ⟺  u⃗=0⃗\|\vec{u}\| = 0 \iff \vec{u} = \vec{0} ;
  • pour tout réel α\alpha : ∥αu⃗∥=∣α∣⋅∥u⃗∥.\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{u}\|.

Par exemple, si ∥u⃗∥=3,\|\vec{u}\| = 3, alors ∥−u⃗∥=3,\|-\vec{u}\| = 3, ∥2u⃗∥=6\|2\vec{u}\| = 6 et ∥−3u⃗∥=9.\|-3\vec{u}\| = 9.

En général ∥u⃗+v⃗∥≠∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| \ne \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| ; dans le triangle formé par u⃗,\vec{u}, v⃗\vec{v} et leur somme, on a ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥.\|\vec{u} + \vec{v}\| \le \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|.

∥u⃗∥=ABouˋu⃗=AB→\|\vec{u}\| = AB \quad \text{où} \quad \vec{u} = \overrightarrow{AB}
∥αu⃗∥=∣α∣⋅∥u⃗∥\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{u}\|

Exemple traité

u⃗\vec{u} est un vecteur de norme 3.3. Calculer la norme de chacun des vecteurs −u⃗,-\vec{u}, 2u⃗2\vec{u} et −3u⃗.-3\vec{u}.

  1. La règle — La norme du produit est la valeur absolue du réel multipliée par la norme du vecteur : le signe disparaît.∥αu⃗∥=∣α∣×3\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \times 3
  2. Les trois normes — On multiplie trois par un, par deux, puis par trois, les valeurs absolues de moins un, deux et moins trois.∥−u⃗∥=3;∥2u⃗∥=6;∥−3u⃗∥=9\|-\vec{u}\| = 3 \quad ; \quad \|2\vec{u}\| = 6 \quad ; \quad \|-3\vec{u}\| = 9
3;6;93 \quad ; \quad 6 \quad ; \quad 9

À ne pas faire : ∥−3u⃗∥=−3∥u⃗∥=−9\|-3\vec{u}\| = -3\|\vec{u}\| = -9 — ∥−3u⃗∥=∣−3∣⋅∥u⃗∥=9\|-3\vec{u}\| = |-3| \cdot \|\vec{u}\| = 9. Une norme est une longueur : elle n'est jamais négative, c'est pourquoi on prend la valeur absolue du réel.

À ne pas faire : ∥u⃗+v⃗∥=∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| — ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| \le \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|. Dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres : les normes ne s'additionnent pas.

17. Définition

Vecteurs orthogonaux

Ce qu’il dit

u w v vecteurs mouch nuls, u égale le vecteur AB w v égale le vecteur AC. u w v orthogonaux, ki la droite AB w la droite AC perpendiculaires. W par convention, le vecteur nul orthogonal m3a ay vecteur. Base i, j orthonormée, ki i w j orthogonaux, w ezzouz la norme mte3hom un. W repère orthonormé, ki la base mte3ou orthonormée. Mithel : u w v 3andhom nafs la norme : u plus v w u moins v, houma les diagonales mta3 losange, donc orthogonaux.

u w v vecteurs موش nuls ، u égale le vecteur A B w v égale le vecteur A C . u w v orthogonaux ، كي la droite A B w la droite A C perpendiculaires . w par convention ، le vecteur nul orthogonal مع أيّ vecteur . base i ، j orthonormée ، كي i w j orthogonaux ، w الزوز la norme متاعهم un . w repère orthonormé ، كي la base متاعو orthonormée . مثال : u w v عندهم نفس la norme : u plus v w u moins v ، هوما les diagonales متاع losange ، donc orthogonaux .

Soient u et v deux vecteurs non nuls, u égale le vecteur A B et v égale le vecteur A C. u et v sont orthogonaux quand la droite A B et la droite A C sont perpendiculaires. Et par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Une base i, j est orthonormée quand i et j sont orthogonaux, et ont tous les deux une norme égale à un. Et un repère est orthonormé quand sa base est orthonormée. Un exemple : si u et v ont la même norme, u plus v et u moins v sont les diagonales d'un losange, donc ils sont orthogonaux.

Soit AA un point du plan et soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs non nuls. Soient BB et CC les points tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AC→.\vec{v} = \overrightarrow{AC}.

  • On dit que les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si les droites (AB)(AB) et (AC)(AC) sont perpendiculaires. On écrit u⃗⊥v⃗.\vec{u} \perp \vec{v}.
  • Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

Par exemple, si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont non nuls et de même norme, u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} et u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} sont orthogonaux — ce sont les diagonales d'un losange. Si u⃗⊥v⃗,\vec{u} \perp \vec{v}, alors au⃗⊥bv⃗a\vec{u} \perp b\vec{v} pour tous réels aa et b.b.

  • Une base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) est orthonormée si i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} sont orthogonaux et normés : i⃗⊥j⃗\vec{i} \perp \vec{j} et ∥i⃗∥=∥j⃗∥=1.\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1.
  • Le repère (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) est un repère orthonormé si la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) est orthonormée.
uvu + vu − vABCD
u et v de même norme : u + v et u − v sont orthogonaux.

Un losange ABDC : A en bas, B à droite, C à gauche, D en haut. Le vecteur u, égal au vecteur AB, et le vecteur v, égal au vecteur AC, ont la même longueur. La diagonale [AD] porte le vecteur u plus v ; la diagonale [CB] porte le vecteur u moins v. Les deux diagonales se coupent à angle droit.

u⃗⊥v⃗  ⟺  (AB)⊥(AC)\vec{u} \perp \vec{v} \iff (AB) \perp (AC)
(i⃗,j⃗) orthonormeˊe  ⟺  i⃗⊥j⃗ et ∥i⃗∥=∥j⃗∥=1(\vec{i}, \vec{j}) \text{ orthonormée} \iff \vec{i} \perp \vec{j} \text{ et } \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1

Exemple traité

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs non nuls de même norme. Montrer que u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} et u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} sont orthogonaux.

  1. La figure — On place BB et CC tels que u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=AC→,\vec{v} = \overrightarrow{AC}, puis DD tel que ABDCABDC soit un parallélogramme. Comme AB=AC,AB = AC, ce parallélogramme est un losange.u⃗+v⃗=AD→\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD}
  2. La différence — La différence u moins v s'écrit avec Chasles : c'est le vecteur qui va de C à B.u⃗−v⃗=AB→−AC→=CA→+AB→=CB→\vec{u} - \vec{v} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}
  3. Conclure — Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : les vecteurs u plus v et u moins v sont donc orthogonaux.(AD)⊥(CB)(AD) \perp (CB)
u⃗+v⃗ et u⃗−v⃗ sont orthogonaux\vec{u} + \vec{v} \text{ et } \vec{u} - \vec{v} \text{ sont orthogonaux}

À ne pas faire : (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) avec i⃗⊥j⃗\vec{i} \perp \vec{j} est un repère orthonormé — (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}) est orthonormé si i⃗⊥j⃗\vec{i} \perp \vec{j} et ∥i⃗∥=∥j⃗∥=1\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1. Orthonormé, c'est orthogonal et normé : les deux vecteurs de la base doivent aussi avoir pour norme un.

18. Application

Un rectangle

Ce qu’il dit

Tatbi9 e5or : rectangle ABCD, w AB égale deux fois AD. Na5dhou le repère A, le vecteur AI, le vecteur AD. Bima elli AI égale AD, el points 3andhom coordonnées sehla : B deux, zéro, C deux, un, D zéro, un. E elli le vecteur DE égale deux tiers du vecteur DI : E deux tiers, un tiers. W le déterminant mta3 le vecteur AE w le vecteur AC yotla3 zéro : A, E w C alignés.

تطبيق آخر : rectangle A B C D ، w A B égale deux fois A D . ناخذو le repère A ، le vecteur A I ، le vecteur A D . بما اللي A I égale A D ، الـ points عندهم coordonnées ساهلة : B deux ، zéro ، C deux ، un ، D zéro ، un . E اللي le vecteur D E égale deux tiers du vecteur D I : E deux tiers ، un tiers . w le déterminant متاع le vecteur A E w le vecteur A C يطلع zéro : A ، E w C alignés .

Une autre application : le rectangle A B C D, avec A B égale deux fois A D. On prend le repère A, le vecteur A I, le vecteur A D. Comme A I égale A D, les points ont des coordonnées simples : B deux, zéro, C deux, un, D zéro, un. E est tel que le vecteur D E égale deux tiers du vecteur D I : E a pour coordonnées deux tiers, un tiers. Et le déterminant du vecteur A E et du vecteur A C est nul : A, E et C sont alignés.

ABCDABCD est un rectangle tel que AB=2ADAB = 2AD ; II et JJ sont les milieux respectifs de [AB][AB] et [CD][CD] ; FF est le point d'intersection des segments [JB][JB] et [AC].[AC]. On considère le repère (A,AI→,AD→).(A, \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}).

Dans ce repère : A(0,0),A(0, 0), I(1,0),I(1, 0), B(2,0),B(2, 0), D(0,1),D(0, 1), C(2,1)C(2, 1) et J(1,1).J(1, 1).

Le point EE est défini par DE→=23DI→.\overrightarrow{DE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}. Comme DI→(1−1),\overrightarrow{DI}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, on obtient E(23,13).E\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right).

ABCDIJEF
E est sur [DI] et sur [AC] ; F est sur [JB] et sur [AC].

Un rectangle ABCD deux fois plus long que haut : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. I est le milieu de [AB], J le milieu de [DC], et le segment [IJ] est tracé. La diagonale [AC] et le segment [JB] se coupent en F. Le segment [DI] est en pointillés, et le point E est sur [DI], aux deux tiers à partir de D ; E est aussi sur la diagonale [AC].

Exemple traité

Montrer que A,A, EE et CC sont alignés, puis déterminer les coordonnées de FF sachant que CF→=12CE→.\overrightarrow{CF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}.

  1. A, E et C alignés — On calcule le déterminant des vecteurs AE→\overrightarrow{AE} et AC→\overrightarrow{AC} : deux tiers fois un, moins deux fois un tiers.AE→(2313)AC→(21)23×1−2×13=0\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{3} \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \dfrac{2}{3} \times 1 - 2 \times \dfrac{1}{3} = 0
  2. Le vecteur CE — On calcule les composantes du vecteur CE→,\overrightarrow{CE}, puis on en prend la moitié.CE→(23−213−1)=(−43−23)CF→(−23−13)\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} - 2 \\ \dfrac{1}{3} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3} \\ -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CF}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \\ -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}
  3. Le point F — On ajoute les composantes du vecteur CF→\overrightarrow{CF} aux coordonnées de C.C.xF=2−23=43;yF=1−13=23x_F = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \quad ; \quad y_F = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}
F(43,23)F\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}\right)

19. Théorème

Distance et norme

Ce qu’il dit

Fi repère orthonormé bark : M x, y, w H le projeté orthogonal mte3ou 3la l'axe des abscisses. Pythagore fi le triangle OHM : OM au carré égale x au carré plus y au carré. W zouz points A w B : AB égale racine carrée de la parenthèse x B moins x A, au carré, plus la parenthèse y B moins y A, au carré. W la norme de u x, y : racine carrée de x au carré plus y au carré. Mathalan u trois, moins quatre : racine carrée de neuf plus seize, égale cinq.

في repère orthonormé برك : M x ، y ، w H le projeté orthogonal متاعو على l'axe des abscisses . Pythagore في le triangle O H M : O M au carré égale x au carré plus y au carré . w زوز points A w B : A B égale racine carrée de la parenthèse x B moins x A ، au carré ، plus la parenthèse y B moins y A ، au carré . w la norme de u x ، y : racine carrée de x au carré plus y au carré . مثلا u trois ، moins quatre : racine carrée de neuf plus seize ، égale cinq .

Seulement dans un repère orthonormé : soit M de coordonnées x, y, et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Pythagore dans le triangle O H M : O M au carré égale x au carré plus y au carré. Et pour deux points A et B : A B égale racine carrée de, entre parenthèses, x B moins x A, au carré, plus, entre parenthèses, y B moins y A, au carré. Et la norme de u de composantes x, y : racine carrée de x au carré plus y au carré. Par exemple u trois, moins quatre : racine carrée de neuf plus seize, égale cinq.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗).(O, \vec{i}, \vec{j}).

  • Pour M(x,y)M(x, y) et HH son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses, le théorème de Pythagore dans le triangle OHMOHM donne OM2=x2+y2.OM^{2} = x^{2} + y^{2}.
  • Soient A(xA,yA)A(x_A, y_A) et B(xB,yB)B(x_B, y_B) deux points du plan :

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}.

  • Soit u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} dans une base orthonormée : ∥u⃗∥=x2+y2.\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Par exemple, u⃗(3−4)\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} a pour norme 55 ; u⃗(3212)\vec{u}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} a pour norme 11 : il est unitaire.

Ces formules supposent le repère orthonormé : elles reposent sur Pythagore.

xyOHM
Pythagore dans OHM : OM² = x² + y².

Un repère orthonormé d'origine O. Un point M de coordonnées positives, en haut à droite ; H est son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Le triangle OHM est rectangle en H : OH vaut x, HM vaut y, et l'hypoténuse [OM] est en rouge.

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}
∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Exemple traité

Dans un repère orthonormé, calculer la distance ABAB pour A(−2,−4)A(-2, -4) et B(3,5).B(3, 5).

  1. Les différences — On calcule les composantes du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : trois moins moins deux, puis cinq moins moins quatre.xB−xA=3+2=5;yB−yA=5+4=9x_B - x_A = 3 + 2 = 5 \quad ; \quad y_B - y_A = 5 + 4 = 9
  2. La formule — On additionne les carrés, puis on prend la racine carrée : vingt-cinq plus quatre-vingt-un.AB=52+92=25+81=106AB = \sqrt{5^{2} + 9^{2}} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}
AB=106AB = \sqrt{106}

À ne pas faire : AB=52+92=5+9=14AB = \sqrt{5^{2} + 9^{2}} = 5 + 9 = 14 — AB=25+81=106AB = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}. La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.

À ne pas faire : yB−yA=5−4=1y_B - y_A = 5 - 4 = 1 pour A(−2,−4)A(-2, -4) et B(3,5)B(3, 5) — yB−yA=5−(−4)=9y_B - y_A = 5 - (-4) = 9. On retranche une coordonnée négative : moins moins quatre, c'est plus quatre.

20. Théorème

Orthogonalité analytique

Ce qu’il dit

Fi base orthonormée, u x, y w v x prime, y prime : u w v orthogonaux, ki x x prime plus y y prime égale zéro. Ya3ni nedherbou el composantes elli fi nafs el blasa, w njam3ou. Ma t5allatech m3a le déterminant : le déterminant, x y prime moins x prime y, houwa mta3 colinéarité. Mathalan u quatre, moins deux w v deux, quatre : quatre fois deux plus moins deux fois quatre, égale huit moins huit, égale zéro : orthogonaux.

في base orthonormée ، u x ، y w v x prime ، y prime : u w v orthogonaux ، كي x x prime plus y y prime égale zéro . يعني نضربو الـ composantes اللي في نفس البلاصة ، w نجمعو . ما تخلطش مع le déterminant : le déterminant ، x y prime moins x prime y ، هو متاع colinéarité . مثلا u quatre ، moins deux w v deux ، quatre : quatre fois deux plus moins deux fois quatre ، égale huit moins huit ، égale zéro : orthogonaux .

Dans une base orthonormée, soient u de composantes x, y et v de composantes x prime, y prime : u et v sont orthogonaux quand x x prime plus y y prime égale zéro. On multiplie les composantes de même rang, et on additionne. Ne confonds pas avec le déterminant : le déterminant, x y prime moins x prime y, sert à la colinéarité. Par exemple u quatre, moins deux et v deux, quatre : quatre fois deux plus moins deux fois quatre, égale huit moins huit, égale zéro : ils sont orthogonaux.

Soient u⃗(xy)\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v⃗(x′y′)\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} dans une base orthonormée (i⃗,j⃗).(\vec{i}, \vec{j}). Alors :

u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0.\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0.

Pourquoi ? Avec OA→=u⃗\overrightarrow{OA} = \vec{u} et OB→=v⃗,\overrightarrow{OB} = \vec{v}, le triangle OABOAB est rectangle en OO si et seulement si OA2+OB2=AB2OA^{2} + OB^{2} = AB^{2} ; en développant avec la formule de la distance, cette égalité se ramène à xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Par exemple, u⃗(4−2)\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} et v⃗(24)\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} sont orthogonaux (8−8=08 - 8 = 0) ; u⃗(−13)\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} et v⃗(80)\vec{v}\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix} ne le sont pas (−8≠0-8 \ne 0).

en base orthonormée

u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0

Démonstration

On pose OA→=u⃗\overrightarrow{OA} = \vec{u} et OB→=v⃗,\overrightarrow{OB} = \vec{v}, de sorte que A(x,y)A(x, y) et B(x′,y′).B(x', y'). Alors OA2=x2+y2,OA^{2} = x^{2} + y^{2}, OB2=x′2+y′2OB^{2} = x'^{2} + y'^{2} et AB2=(x′−x)2+(y′−y)2=x2+y2+x′2+y′2−2(xx′+yy′).AB^{2} = (x' - x)^{2} + (y' - y)^{2} = x^{2} + y^{2} + x'^{2} + y'^{2} - 2(xx' + yy'). Par Pythagore et sa réciproque, u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} équivaut à OA2+OB2=AB2,OA^{2} + OB^{2} = AB^{2}, c'est-à-dire à xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0. Si l'un des vecteurs est nul, les deux membres sont vrais.

Exemple traité

Déterminer le réel mm pour que les vecteurs u⃗\vec{u} de composantes mm et 9,9, et v⃗\vec{v} de composantes −6-6 et m+1,m + 1, soient orthogonaux.

  1. La condition — On écrit que xx fois x′x' plus yy fois y′y' est nul : m fois moins six, plus neuf fois la parenthèse m plus un.m×(−6)+9(m+1)=0m \times (-6) + 9(m + 1) = 0
  2. Développer — On développe et on réduit le membre de gauche, puis on résout.3m+9=03m + 9 = 0
  3. Conclure — On isole m : moins neuf divisé par trois.m=−3m = -3
m=−3m = -3

À ne pas faire : u⃗⊥v⃗  ⟺  xy′−x′y=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xy' - x'y = 0 — u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0. Le déterminant teste la colinéarité ; pour l'orthogonalité, on multiplie les composantes de même rang et on additionne.

21. Application

Un carré

Ce qu’il dit

Tatbi9 : carré ABCD, le côté mte3ou un, w rectangle APQR, w AP égale DR. N7ebbou nthabtou elli la droite PR w la droite CQ perpendiculaires. Na5dhou le repère orthonormé A, le vecteur AB, le vecteur AD, w nsammiw x égale AP. P x, zéro, R zéro, un moins x, w Q x, un moins x. N7esbou x x prime plus y y prime lel vecteur PR w le vecteur CQ : yotla3 zéro, mahma ken x.

تطبيق : carré A B C D ، le côté متاعو un ، w rectangle A P Q R ، w A P égale D R . نحبّو نثبتو اللي la droite P R w la droite C Q perpendiculaires . ناخذو le repère orthonormé A ، le vecteur A B ، le vecteur A D ، w نسمّيو x égale A P . P x ، zéro ، R zéro ، un moins x ، w Q x ، un moins x . نحسبو x x prime plus y y prime للـ vecteur P R w le vecteur C Q : يطلع zéro ، مهما كان x .

Une application : le carré A B C D, de côté un, et le rectangle A P Q R, avec A P égale D R. On veut prouver que la droite P R et la droite C Q sont perpendiculaires. On prend le repère orthonormé A, le vecteur A B, le vecteur A D, et on pose x égale A P. Alors P x, zéro, R zéro, un moins x, et Q x, un moins x. On calcule x x prime plus y y prime pour le vecteur P R et le vecteur C Q : on trouve zéro, quel que soit x.

ABCDABCD est un carré de côté 11 ; APQRAPQR est un rectangle tel que PP et RR sont sur les côtés [AB][AB] et [AD][AD] du carré, et AP=DR.AP = DR. On veut montrer que les droites (PR)(PR) et (CQ)(CQ) sont perpendiculaires.

On choisit le repère orthonormé (A,AB→,AD→)(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) et on pose x=AP.x = AP. Alors A(0,0),A(0, 0), B(1,0),B(1, 0), C(1,1),C(1, 1), D(0,1),D(0, 1), P(x,0)P(x, 0) ; comme DR=x,DR = x, on a AR=1−x,AR = 1 - x, donc R(0,1−x)R(0, 1 - x) et Q(x,1−x).Q(x, 1 - x).

ABCDPRQ
AP = DR : les droites (PR) et (CQ) sont perpendiculaires.

Un carré ABCD de côté 1 : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Un petit rectangle APQR a pour sommets A, P sur le côté [AB], Q à l'intérieur du carré et R sur le côté [AD], avec AP égal à DR. Les droites (PR) et (CQ) sont tracées en rouge et en bleu : elles se coupent à angle droit.

Exemple traité

Calculer les composantes des vecteurs PR→\overrightarrow{PR} et CQ→,\overrightarrow{CQ}, et montrer qu'ils sont orthogonaux.

  1. Les composantes — Extrémité moins origine, pour chacun des deux vecteurs, avec les coordonnées trouvées en fonction de x.PR→(−x1−x)CQ→(x−1−x)\overrightarrow{PR}\begin{pmatrix} -x \\ 1 - x \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CQ}\begin{pmatrix} x - 1 \\ -x \end{pmatrix}
  2. La condition — Le repère est orthonormé : on calcule xx′+yy′xx' + yy' et on développe les deux produits.(−x)(x−1)+(1−x)(−x)=−x2+x−x+x2=0(-x)(x - 1) + (1 - x)(-x) = -x^{2} + x - x + x^{2} = 0
  3. Conclure — Les vecteurs sont orthogonaux pour toute valeur de x : les droites (PR)(PR) et (CQ)(CQ) sont perpendiculaires.(PR)⊥(CQ)(PR) \perp (CQ)
(PR) et (CQ) sont perpendiculaires(PR) \text{ et } (CQ) \text{ sont perpendiculaires}

22. Propriété

Vecteurs et configurations

Ce qu’il dit

El vecteurs y3abbrou 3al géométrie. La droite AB parallèle à la droite CD, ki le vecteur AB w le vecteur CD colinéaires. Perpendiculaires, ki orthogonaux. M 3la la droite AB, ki le vecteur AM égale x fois le vecteur AB. W ken I le milieu de AB, l ay point M : le vecteur MA plus le vecteur MB égale deux fois le vecteur MI. El ithbet b Chasles : net3addew b I, w le vecteur IA plus le vecteur IB ya3ti le vecteur nul.

الـ vecteurs يعبّرو على الـ géométrie . la droite A B parallèle à la droite C D ، كي le vecteur A B w le vecteur C D colinéaires . perpendiculaires ، كي orthogonaux . M على la droite A B ، كي le vecteur A M égale x fois le vecteur A B . w كان I le milieu de A B ، لأيّ point M : le vecteur M A plus le vecteur M B égale deux fois le vecteur M I . الإثبات بـ Chasles : نتعدّاو بـ I ، w le vecteur I A plus le vecteur I B يعطي le vecteur nul .

Les vecteurs traduisent la géométrie. La droite A B est parallèle à la droite C D quand le vecteur A B et le vecteur C D sont colinéaires. Perpendiculaires, quand ils sont orthogonaux. M est sur la droite A B quand le vecteur A M égale x fois le vecteur A B. Et si I est le milieu de A B, pour tout point M : le vecteur M A plus le vecteur M B égale deux fois le vecteur M I. La preuve avec Chasles : on passe par I, et le vecteur I A plus le vecteur I B donne le vecteur nul.

Soient A,A, B,B, CC et DD quatre points du plan.

  • Si AB→+AC→=AD→,\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}, alors AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} et AC→=BD→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.
  • Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont orthogonaux.
  • Un point MM appartient à la droite (AB)(AB) si et seulement s'il existe un réel xx tel que AM→=xAB→.\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}.
  • Si II est le milieu de [AB],[AB], alors pour tout point MM du plan : MA→+MB→=2MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}.

Par exemple, si AM→=AB→−2AC→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} et AN→=AC→−2AB→,\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}, alors MN→=3BC→.\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{BC}.

ABCDEFHGM
EG + HF = AC.

Un parallélogramme ABCD : A en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite, D en bas à gauche, les côtés [AB] et [DC] horizontaux. Une droite parallèle à (AD) coupe [AB] en E et [DC] en F ; une droite parallèle à (AB) coupe [AD] en H et [BC] en G. Les deux droites se coupent en M. Les vecteurs EG et HF sont tracés en couleur, et le vecteur AC en rouge.

M∈(AB)  ⟺  AM→=xAB→M \in (AB) \iff \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}

I milieu de [AB]

MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}

Démonstration

Pour le milieu : MA→+MB→=(MI→+IA→)+(MI→+IB→)=2MI→+(IA→+IB→)=2MI→,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{MI}, car IA→+IB→=0⃗.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}.

Exemple traité

ABCDABCD est un parallélogramme, (EF)(EF) est parallèle à (AD)(AD) et (HG)(HG) est parallèle à (AB),(AB), ces deux droites se coupant en M.M. Montrer que EG→+HF→=AC→.\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{HF} = \overrightarrow{AC}.

  1. Passer par M — On décompose chacun des deux vecteurs en passant par le point M, puis on regroupe autrement.EG→+HF→=EM→+MG→+HM→+MF→=(HM→+MG→)+(EM→+MF→)\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{HF} = \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{HM} + \overrightarrow{MF} = (\overrightarrow{HM} + \overrightarrow{MG}) + (\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MF})
  2. Chasles — Chaque parenthèse se simplifie par la relation de Chasles.=HG→+EF→= \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{EF}
  3. Les parallélogrammes — ABGHABGH et AEFDAEFD sont des parallélogrammes, donc le vecteur HG égale le vecteur AB, et le vecteur EF égale le vecteur AD ; on conclut par la règle du parallélogramme.=AB→+AD→=AC→= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
EG→+HF→=AC→\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{HF} = \overrightarrow{AC}

À ne pas faire : MA→+MB→=MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} pour II milieu de [AB][AB] — MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}. Le vecteur MI est la moitié de la somme : le facteur deux ne doit pas disparaître.

23. Théorème

Centre de gravité

Ce qu’il dit

G le centre de gravité du triangle ABC, w I le milieu de BC. Le vecteur GA égale moins deux fois le vecteur GI. W el théorème : G centre de gravité, ki le vecteur GA plus le vecteur GB plus le vecteur GC égale le vecteur nul. 3lech ? Le vecteur GB plus le vecteur GC égale deux fois le vecteur GI, w le vecteur GA égale moins deux fois le vecteur GI : el majmou3 zéro. W el 3aks sa7i7 : ken point M y7a99e9 nafs el égalité, M houwa G.

G le centre de gravité du triangle A B C ، w I le milieu de B C . le vecteur G A égale moins deux fois le vecteur G I . w الـ théorème : G centre de gravité ، كي le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul . علاش ؟ le vecteur G B plus le vecteur G C égale deux fois le vecteur G I ، w le vecteur G A égale moins deux fois le vecteur G I : المجموع zéro . w العكس صحيح : كان point M يحقّق نفس الـ égalité ، M هو G .

Soit G le centre de gravité du triangle A B C, et I le milieu de B C. Le vecteur G A égale moins deux fois le vecteur G I. Et le théorème : G est le centre de gravité quand le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul. Pourquoi ? Le vecteur G B plus le vecteur G C égale deux fois le vecteur G I, et le vecteur G A égale moins deux fois le vecteur G I : la somme est nulle. Et la réciproque est vraie : si un point M vérifie la même égalité, M est G.

Soit ABCABC un triangle, GG son centre de gravité et II le milieu de [BC].[BC]. On a GA→=−2GI→,\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}, et :

G\displaystyle G est le centre de gravité du triangle ABC  ⟺  GA→+GB→+GC→=0⃗.\displaystyle ABC \iff \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.

Réciproquement, si un point MM vérifie MA→+MB→+MC→=0⃗,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}, alors MM est confondu avec G.G.

ABCG
La somme des vecteurs GA, GB et GC est nulle.

Un triangle ABC avec son centre de gravité G. Les trois vecteurs GA, GB et GC partent de G vers chacun des sommets ; ajoutés bout à bout, ils se referment et donnent le vecteur nul.

GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}

Démonstration

II est le milieu de [BC],[BC], donc GB→+GC→=2GI→.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GI}. Comme GA→=−2GI→,\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}, on obtient GA→+GB→+GC→=−2GI→+2GI→=0⃗.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -2\overrightarrow{GI} + 2\overrightarrow{GI} = \vec{0}. Réciproquement, si MA→+MB→+MC→=0⃗,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}, alors MA→+2MI→=0⃗,\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MI} = \vec{0}, donc AM→=2MI→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MI} ; en passant par I,I, AI→=AM→+MI→=3MI→,\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MI} = 3\overrightarrow{MI}, d'où AM→=23AI→=AG→\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AG} : M=G.M = G.

Exemple traité

ABCABC est un triangle, II le milieu de [AB][AB] et MM le point tel que MA→+MB→+2MC→=0⃗.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}. Montrer que MM est le milieu de [IC].[IC].

  1. Le milieu I — II est le milieu de [AB][AB] : on remplace la somme des vecteurs MA et MB par deux fois le vecteur MI.MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}
  2. Simplifier — L'égalité devient deux fois la somme des vecteurs MI et MC, égale au vecteur nul ; on divise par deux.2MI→+2MC→=0⃗  ⟺  MI→+MC→=0⃗2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0} \iff \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}
  3. Conclure — C'est exactement la caractérisation du milieu du segment d'extrémités I et C.M est le milieu de [IC]M \text{ est le milieu de } [IC]
M milieu de [IC]M \text{ milieu de } [IC]

À ne pas faire : AG→=13AI→\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI} — AG→=23AI→,\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}, ou GA→=−2GI→\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}. GG est au tiers de la médiane en partant du milieu I,I, donc aux deux tiers en partant du sommet A.A.

24. Théorème

Thalès vectoriel

Ce qu’il dit

Thalès bel vecteurs. ABC triangle, M 3la la droite AB, w la parallèle à BC elli tet3adda b M t9oss la droite AC fi N. Ken le vecteur AM égale x fois le vecteur AB, ywalli le vecteur AN égale x fois le vecteur AC, w le vecteur MN égale x fois le vecteur BC. Nafs el réel x fel thletha. W ken M le milieu de AB, x égale un demi : hedhi la droite des milieux.

Thalès بالـ vecteurs . A B C triangle ، M على la droite A B ، w la parallèle à B C اللي تتعدّى بـ M تقصّ la droite A C في N . كان le vecteur A M égale x fois le vecteur A B ، يولّي le vecteur A N égale x fois le vecteur A C ، w le vecteur M N égale x fois le vecteur B C . نفس الـ réel x في الثلاثة . w كان M le milieu de A B ، x égale un demi : هاذي la droite des milieux .

Thalès avec les vecteurs. A B C est un triangle, M est sur la droite A B, et la parallèle à B C passant par M coupe la droite A C en N. Si le vecteur A M égale x fois le vecteur A B, alors le vecteur A N égale x fois le vecteur A C, et le vecteur M N égale x fois le vecteur B C. Le même réel x dans les trois. Et si M est le milieu de A B, x égale un demi : c'est la droite des milieux.

Soit ABCABC un triangle et MM un point de (AB),(AB), distinct de A.A. La parallèle à (BC)(BC) passant par MM coupe (AC)(AC) en N.N.

Si AM→=xAB→\displaystyle \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} alors AN→=xAC→\displaystyle \overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AC} et MN→=xBC→.\displaystyle \overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}.

En effet, on place PP tel que AP→=xAC→\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AC} ; alors MP→=AP→−AM→=xBC→,\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{BC}, donc (MP)(MP) est parallèle à (BC),(BC), et PP est le point N.N. Si MM est le milieu de [AB],[AB], on retrouve AN→=12AC→\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} et MN→=12BC→\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} : c'est la droite des milieux.

ABCMN
Si AM = x AB, alors AN = x AC et MN = x BC.

Un triangle ABC : A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. M est sur le côté [AB] et N sur le côté [AC], et le segment [MN] est parallèle à [BC]. Les vecteurs AM et AB partent de A en bleu, AN et AC en vert ; le vecteur MN et le vecteur BC sont en rouge.

AM→=xAB→⇒AN→=xAC→ et MN→=xBC→\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AC} \text{ et } \overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}

Exemple traité

Dans le triangle ABC,ABC, MM est le point de [AB][AB] tel que AM→=25AB→,\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}, et la parallèle à (BC)(BC) passant par MM coupe (AC)(AC) en N.N. On donne BC=10BC = 10 cm. Exprimer AN→\overrightarrow{AN} et MN→,\overrightarrow{MN}, puis calculer MN.MN.

  1. Thalès vectoriel — Le coefficient deux cinquièmes passe tel quel aux deux autres égalités.AN→=25AC→;MN→=25BC→\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC} \quad ; \quad \overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}
  2. La longueur — On passe aux longueurs : la longueur MN est les deux cinquièmes de dix centimètres.MN=25×10=4MN = \dfrac{2}{5} \times 10 = 4
MN=4 cmMN = 4 \text{ cm}

À ne pas faire : AM→=xAB→,\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}, donc MN→=xCB→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{CB} — MN→=xBC→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}. Le vecteur MN va dans le même sens que le vecteur BC, comme M va vers N quand B va vers C.

25. Théorème

Théorème de la projection

Ce qu’il dit

El théorème de la projection : A, B, C alignés, w na3mloulhom projection 3la la droite D b des droites parallèles : ya3tiwna A prime, B prime w C prime. Ken le vecteur AB égale x fois le vecteur AC, ywalli le vecteur A prime B prime égale x fois le vecteur A prime C prime. Ya3ni el coefficient x ma yetbaddelch bel projection. El ithbet : nersmou la parallèle à D men A, w ntab9ou Thalès, w men ba3d les parallélogrammes.

الـ théorème de la projection : A ، B ، C alignés ، w نعملولهم projection على la droite D بـ des droites parallèles : يعطيونا A prime ، B prime w C prime . كان le vecteur A B égale x fois le vecteur A C ، يولّي le vecteur A prime B prime égale x fois le vecteur A prime C prime . يعني الـ coefficient x ما يتبدّلش بالـ projection . الإثبات : نرسمو la parallèle à D من A ، w نطبّقو Thalès ، w من بعد les parallélogrammes .

Le théorème de la projection : A, B et C sont alignés, et on les projette sur la droite D par des droites parallèles : on obtient A prime, B prime et C prime. Si le vecteur A B égale x fois le vecteur A C, alors le vecteur A prime B prime égale x fois le vecteur A prime C prime. Le coefficient x ne change pas par projection. La preuve : on trace la parallèle à D passant par A, on applique Thalès, puis on utilise les parallélogrammes.

Les points A,A, BB et CC sont alignés, et les droites (AA′),(AA'), (BB′)(BB') et (CC′)(CC') sont parallèles ; A′,A', B′B' et C′C' sont sur une droite D.D. La parallèle à DD passant par AA coupe (BB′)(BB') en MM et (CC′)(CC') en N.N.

Si AB→=xAC→\displaystyle \overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AC} alors A′B′→=xA′C′→.\displaystyle \overrightarrow{A'B'} = x\overrightarrow{A'C'}.

Le coefficient se conserve par projection parallèle : par Thalès dans le triangle ACN,ACN, AM→=xAN→\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AN} ; or AMB′A′AMB'A' et ANC′A′ANC'A' sont des parallélogrammes, donc A′B′→=AM→\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AM} et A′C′→=AN→.\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AN}.

ABCA'B'C'MND
On projette parallèlement : le coefficient x se conserve.

Une droite oblique porte, de gauche à droite et en montant, les points A, B et C. En bas, une droite horizontale D porte A', B' et C'. Les segments [AA'], [BB'] et [CC'] sont parallèles entre eux. La parallèle à D passant par A, en pointillés, coupe (BB') en M et (CC') en N.

AB→=xAC→⇒A′B′→=xA′C′→\overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{A'B'} = x\overrightarrow{A'C'}

Exemple traité

ABCDABCD est un parallélogramme, EE le point tel que BE→=54BC→,\overrightarrow{BE} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{BC}, et les droites (AE)(AE) et (DC)(DC) se coupent en F.F. Exprimer AE→\overrightarrow{AE} en fonction de AF→,\overrightarrow{AF}, puis DC→\overrightarrow{DC} en fonction de DF→.\overrightarrow{DF}.

  1. Un repère — Dans le repère (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), on a B(1,0),B(1, 0), C(1,1),C(1, 1), D(0,1),D(0, 1), et EE s'obtient en ajoutant cinq quarts du vecteur BC au point B.E(1,54)E\left(1, \dfrac{5}{4}\right)
  2. Le point F — F est sur la droite (AE), donc le vecteur AF est t fois le vecteur AE, et sur la droite (DC), d'ordonnée un : cinq quarts de t égale un.54t=1  ⟺  t=45F(45,1)\dfrac{5}{4}t = 1 \iff t = \dfrac{4}{5} \qquad F\left(\dfrac{4}{5}, 1\right)
  3. Conclure — On compare les composantes : le vecteur AE est cinq quarts du vecteur AF, et le vecteur DC est cinq quarts du vecteur DF, de composantes quatre cinquièmes et zéro.AE→=54AF→;DC→=54DF→\overrightarrow{AE} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{AF} \quad ; \quad \overrightarrow{DC} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{DF}
AE→=54AF→;DC→=54DF→\overrightarrow{AE} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{AF} \quad ; \quad \overrightarrow{DC} = \dfrac{5}{4}\overrightarrow{DF}

26. Méthode

Problème d'alignement

Ce qu’il dit

Mochkel alignement : bech nthabtou elli I, D w E alignés, 3andna zouz torq. Tari9a vectorielle : nlawjou 3la relation fiha I, D w E bark, kima le vecteur ID égale k fois le vecteur IE. W tari9a analytique : na5dhou le repère A, le vecteur AB, le vecteur AC, n7esbou les coordonnées, w men ba3d le déterminant. Houni nal9aw le vecteur ID égale deux fois le vecteur IE.

مشكل alignement : باش نثبتو اللي I ، D w E alignés ، عندنا زوز طرق . طريقة vectorielle : نلوّجو على relation فيها I ، D w E برك ، كيما le vecteur I D égale k fois le vecteur I E . w طريقة analytique : ناخذو le repère A ، le vecteur A B ، le vecteur A C ، نحسبو les coordonnées ، w من بعد le déterminant . هنا نلقاو le vecteur I D égale deux fois le vecteur I E .

Un problème d'alignement : pour prouver que I, D et E sont alignés, on a deux méthodes. La méthode vectorielle : chercher une relation qui ne contient que I, D et E, comme le vecteur I D égale k fois le vecteur I E. La méthode analytique : prendre le repère A, le vecteur A B, le vecteur A C, calculer les coordonnées, puis le déterminant. Ici on trouve le vecteur I D égale deux fois le vecteur I E.

ABCABC est un triangle, II le milieu de [AC],[AC], DD et EE les points tels que 3DB→=DC→3\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC} et EA→+3EB→=0⃗.\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} = \vec{0}. Montrer que I,I, DD et EE sont alignés.

Deux stratégies sont possibles :

  1. 1.Méthode vectorielle : établir une relation vectorielle qui ne fait intervenir que les points I,I, DD et E,E, du type ID→=kIE→.\overrightarrow{ID} = k\overrightarrow{IE}.
  2. 2.Méthode analytique : choisir le repère cartésien (A,AB→,AC→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), calculer les coordonnées des trois points, puis un déterminant.
ABCIED
I, E et D sont sur une même droite.

Un triangle ABC : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut. I est le milieu de [AC]. E est sur le côté [AB], aux trois quarts à partir de A. D est sur la droite (BC), au-delà de B, du côté opposé à C. Les points I, E et D sont alignés sur une même droite, tracée en rouge.

Exemple traité

Résoudre ce problème par la méthode analytique, dans le repère (A,AB→,AC→).(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

  1. Le point D — On écrit trois fois le vecteur DB égale le vecteur DC en passant par A : deux fois le vecteur AD égale trois fois le vecteur AB moins le vecteur AC.3(AB→−AD→)=AC→−AD→  ⟺  AD→=32AB→−12AC→3(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \iff \overrightarrow{AD} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}
  2. Le point E — De même, le vecteur EA plus trois fois le vecteur EB égale le vecteur nul donne quatre fois le vecteur AE égale trois fois le vecteur AB.AE→=34AB→I(0,12)D(32,−12)E(34,0)\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} \qquad I\left(0, \dfrac{1}{2}\right) \quad D\left(\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \quad E\left(\dfrac{3}{4}, 0\right)
  3. Le déterminant — On calcule les composantes des vecteurs ID et IE, puis leur déterminant : il est nul.ID→(32−1)IE→(34−12)32×(−12)−34×(−1)=0\overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \\ -1 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{IE}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \qquad \dfrac{3}{2} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{3}{4} \times (-1) = 0
ID→=2IE→\overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IE}

À ne pas faire : EA→+3EB→=0⃗,\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} = \vec{0}, donc AE→=3AB→\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB} — EA→+3(EA→+AB→)=0⃗,\overrightarrow{EA} + 3(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0}, donc AE→=34AB→\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}. On ramène tous les vecteurs à la même origine avec Chasles avant de les regrouper.

27. Remarque

Les figures en poésie

Ce qu’il dit

Kelma 3al culture : ech-che3er Eugène Guillevic kteb des poèmes 3al géométrie, y7ki fihom el triangle w el parallélogramme kif ma y7kiw el bachar. El parallélogramme y9oul elli najmou nta77ouh walla nwa99fouh, w y5af ywalli rectangle. W bel vecteurs, el parallélogramme ABCD houwa jomla wa7da : le vecteur AB égale le vecteur DC, mahma ken echakl mte3ou.

كلمة على الـ culture : الشاعر Eugène Guillevic كتب des poèmes على الـ géométrie ، يحكي فيهم الـ triangle w الـ parallélogramme كيف ما يحكيو البشر . الـ parallélogramme يقول اللي نجّمو نطيّحوه ولّا نوقّفوه ، w يخاف يولّي rectangle . w بالـ vecteurs ، الـ parallélogramme A B C D هو جملة وحدة : le vecteur A B égale le vecteur D C ، مهما كان الشكل متاعو .

Un mot de culture : le poète Eugène Guillevic a écrit des poèmes sur la géométrie, où le triangle et le parallélogramme parlent comme des personnes. Le parallélogramme dit qu'on pourrait l'aplatir ou le redresser, et il a peur de devenir rectangle. Et avec les vecteurs, le parallélogramme A B C D tient en une seule phrase : le vecteur A B égale le vecteur D C, quelle que soit sa forme.

D'après le magazine Tangente n° 92 : nombre d'écrivains ont écrit sur les mathématiques ; certains en ont chanté la beauté. Eugène Guillevic (1907-1997), dans ses Euclidiennes (Gallimard, 1967), fait parler les figures elles-mêmes : un triangle qui se dit « ce qu'il y a de plus élémentaire », et un parallélogramme inquiet, qu'on pourrait « aplatir » ou « redresser » et qui a peur de devenir, un instant, rectangle.

Un parallélogramme, c'est exactement ce que décrit l'égalité AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} : quelle que soit sa forme, la relation reste vraie.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Elli lezem tetfakkrou :

اللي لازم تتفكّرو :

Ce qu'il faut retenir :

  1. u⃗+v⃗=AD→\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD} où ABDCABDC est un parallélogramme ; Chasles : AB→+BC→=AC→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.u plus v houwa le vecteur AD, w ABDC parallélogramme. W Chasles : le vecteur AB plus le vecteur BC égale le vecteur AC.u plus v est le vecteur A D, où A B D C est un parallélogramme. Et Chasles : le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C.
  2. L'opposé de AB→\overrightarrow{AB} est BA→\overrightarrow{BA} ; u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗).\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}).L'opposé du vecteur AB houwa le vecteur BA, w u moins v égale u plus l'opposé de v.L'opposé du vecteur A B est le vecteur B A, et u moins v égale u plus l'opposé de v.
  3. au⃗+bu⃗=(a+b)u⃗,a\vec{u} + b\vec{u} = (a + b)\vec{u}, a(bu⃗)=(ab)u⃗,a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}, a(u⃗+v⃗)=au⃗+av⃗.a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}.a u plus b u égale a plus b, fois u. a fois b u égale a b fois u. W a fois u plus v égale a u plus a v.a u plus b u égale a plus b, fois u. a fois b u égale a b fois u. Et a fois u plus v égale a u plus a v.
  4. αu⃗=0⃗\alpha\vec{u} = \vec{0} si et seulement si α=0\alpha = 0 ou u⃗=0⃗.\vec{u} = \vec{0}.Alpha u égale le vecteur nul, ken alpha égale zéro walla u nul, w bark.Alpha u égale le vecteur nul seulement si alpha égale zéro ou u est nul.
  5. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} colinéaires : l'un est le produit de l'autre par un réel, ou xy′−x′y=0.xy' - x'y = 0.u w v colinéaires : wa7ed menhom réel fois le5er, walla x y prime moins x prime y égale zéro.u et v sont colinéaires : l'un est un réel fois l'autre, ou x y prime moins x prime y égale zéro.
  6. Une base est un couple de vecteurs non colinéaires ; u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} donne les composantes (x,y).(x, y).Base, zouz vecteurs mouch colinéaires ; w u égale x i plus y j ya3ti les composantes x, y.Une base, ce sont deux vecteurs non colinéaires ; et u égale x i plus y j donne les composantes x, y.
  7. Dans un repère : AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes xB−xAx_B - x_A et yB−yA.y_B - y_A.Le vecteur AB : x B moins x A, w y B moins y A.Le vecteur A B a pour composantes x B moins x A, et y B moins y A.
  8. ∥αu⃗∥=∣α∣⋅∥u⃗∥\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{u}\| ; en repère orthonormé, ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}.La norme de alpha u, la valeur absolue de alpha fois la norme de u. W fi repère orthonormé, la norme égale racine carrée de x au carré plus y au carré.La norme de alpha u est la valeur absolue de alpha fois la norme de u. Et dans un repère orthonormé, la norme égale racine carrée de x au carré plus y au carré.
  9. En base orthonormée : u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} si et seulement si xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.Fi base orthonormée : u w v orthogonaux, ki x x prime plus y y prime égale zéro.Dans une base orthonormée : u et v sont orthogonaux quand x x prime plus y y prime égale zéro.
  10. A,A, B,B, CC alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} colinéaires ; (AB)∥(CD)(AB) \parallel (CD) si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} colinéaires.A, B, C alignés, ki le vecteur AB w le vecteur AC colinéaires ; w les droites AB w CD parallèles, ki le vecteur AB w le vecteur CD colinéaires.A, B et C sont alignés quand le vecteur A B et le vecteur A C sont colinéaires ; et les droites A B et C D sont parallèles quand le vecteur A B et le vecteur C D sont colinéaires.
  11. II milieu de [AB][AB] : MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} ; GG centre de gravité : GA→+GB→+GC→=0⃗.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.Ken I le milieu : le vecteur MA plus le vecteur MB égale deux fois le vecteur MI. W ken G le centre de gravité : le vecteur GA plus le vecteur GB plus le vecteur GC égale le vecteur nul.I milieu : le vecteur M A plus le vecteur M B égale deux fois le vecteur M I. G centre de gravité : le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul.
  12. Thalès : si AM→=xAB→,\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}, alors AN→=xAC→\overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AC} et MN→=xBC→.\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}.Thalès : ken le vecteur AM égale x fois le vecteur AB, le vecteur AN égale x fois le vecteur AC, w le vecteur MN égale x fois le vecteur BC.Thalès : si le vecteur A M égale x fois le vecteur A B, alors le vecteur A N égale x fois le vecteur A C, et le vecteur M N égale x fois le vecteur B C.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : colinéaires, ki le déterminant x y prime moins x prime y égale zéro ; orthogonaux, fi base orthonormée, ki x x prime plus y y prime égale zéro. W les composantes du vecteur AB, dima B moins A. Yalla lel exercices.

هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : colinéaires ، كي le déterminant x y prime moins x prime y égale zéro ؛ orthogonaux ، في base orthonormée ، كي x x prime plus y y prime égale zéro . w les composantes du vecteur A B ، ديما B moins A . يالله للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : colinéaires quand le déterminant x y prime moins x prime y égale zéro ; orthogonaux, dans une base orthonormée, quand x x prime plus y y prime égale zéro. Et les composantes du vecteur A B, c'est toujours B moins A. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Somme de deux vecteurs

  • c'est quoi la somme de deux vecteurs
  • kifech n7seb la somme de deux vecteurs
  • comment additionner deux vecteurs
  • somme de deux vecteurs chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}

Ce qu’il répond

N7ottou ezzouz vecteurs 3la nafs l'origine : $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ w $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$. Nkammlou le parallélogramme ABDC. $\vec{u} + \vec{v}$ houwa $\overrightarrow{AD}$, la diagonale elli to5rej men A. W ken el vecteurs wra b3adhhom, nesta3mlou Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

نحطّو الزوز vecteurs على نفس l'origine : le vecteur A B égale u w le vecteur A C égale v . نكمّلو le parallélogramme A B D C . u plus v هو le vecteur A D ، la diagonale اللي تخرج من A . w كان الـ vecteurs ورا بعضهم ، نستعملو Chasles : le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C .

On place les deux vecteurs à partir de la même origine : le vecteur A B égale u et le vecteur A C égale v. On complète le parallélogramme A B D C. u plus v est le vecteur A D, la diagonale issue de A. Et si les vecteurs se suivent, on utilise Chasles : le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C.

Question 2 · Propriétés de l'addition

  • c'est quoi la relation de chasles
  • chasles kifech nesta3mlou
  • relation de chasles ma3neha chnowa
  • comment utiliser chasles

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Ce qu’il répond

La relation de Chasles : l ay points A, B w C, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Ech-chart : l'extrémité mta3 vecteur hiya l'origine mta3 elli ba3dou, kif B houni. W to5dem bel 3aks zeda : najmou nfekkou vecteur, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}$, l ay point M.

la relation de Chasles : لأيّ زوز points B w C ، le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C . الشرط : l'extrémité متاع vecteur هي l'origine متاع اللي بعدو ، كيف B هنا . w تخدم بالعكس زادة : نجّمو نفكّو vecteur ، le vecteur A C égale le vecteur A M plus le vecteur M C ، لأيّ point M .

La relation de Chasles : pour tous points A, B et C, le vecteur A B plus le vecteur B C égale le vecteur A C. La condition : l'extrémité d'un vecteur est l'origine du suivant, comme B ici. Et elle marche aussi dans l'autre sens : on peut décomposer un vecteur, le vecteur A C égale le vecteur A M plus le vecteur M C, pour n'importe quel point M.

Question 3 · Opposé, différence

  • c'est quoi l'opposé d'un vecteur
  • l oppose mta3 vecteur chnowa
  • opposé du vecteur AB
  • kifech nal9a l oppose d un vecteur

Ce qu’il écrit au tableau

  • −AB→=BA→-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}

Ce qu’il répond

L'opposé de $\vec{u}$ houwa el vecteur elli ki nzidouh l $\vec{u}$ ya3ti le vecteur nul, w nektbouh $-\vec{u}$ : nafs la direction, nafs la longueur, w le sens bel 3aks. L'opposé de $\overrightarrow{AB}$ houwa $\overrightarrow{BA}$, 5ater $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$, ya3ni nul.

l'opposé de u هو الـ vecteur اللي كي نزيدوه لـ u يعطي le vecteur nul ، w نكتبوه moins u : نفس la direction ، نفس la longueur ، w le sens بالعكس . l'opposé du vecteur A B هو le vecteur B A ، خاطر le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur A A ، يعني nul .

L'opposé de u est le vecteur qui, ajouté à u, donne le vecteur nul ; on le note moins u : même direction, même longueur, et sens contraire. L'opposé du vecteur A B est le vecteur B A, car le vecteur A B plus le vecteur B A égale le vecteur A A, c'est-à-dire le vecteur nul.

Question 4 · Opposé, différence

  • c'est quoi la différence u moins v
  • kifech na3mel la différence de deux vecteurs
  • différence de deux vecteurs
  • soustraire deux vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→−AC→=CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}

Ce qu’il répond

$\vec{u} - \vec{v}$, ma3neha $\vec{u} + (-\vec{v})$. W bel points : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$, nbaddlouh b $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$, w ya3ti $\overrightarrow{CB}$. Bel composantes sehla : na9sou composante men composante.

u moins v ، معناها u plus l'opposé de v . w بالـ points : le vecteur A B moins le vecteur A C ، نبدّلوه بـ le vecteur C A plus le vecteur A B ، w يعطي le vecteur C B . بالـ composantes ساهلة : نطرحو composante من composante .

u moins v signifie u plus l'opposé de v. Et avec des points : le vecteur A B moins le vecteur A C, on le remplace par le vecteur C A plus le vecteur A B, ce qui donne le vecteur C B. Avec les composantes, c'est simple : on soustrait composante par composante.

Question 5 · Produit par un réel

  • c'est quoi le produit alpha u
  • kifech nedhreb vecteur fi réel
  • multiplier un vecteur par un réel
  • produit d un vecteur par un nombre

Ce qu’il écrit au tableau

  • ∥αu⃗∥=∣α∣⋅∥u⃗∥\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{u}\|

Ce qu’il répond

$\alpha\vec{u}$, vecteur 3andou nafs la direction mta3 $\vec{u}$. Ken alpha positif, nafs le sens ; ken alpha négatif, le sens bel 3aks. W la longueur tetdhreb fi la valeur absolue de alpha. Mathalan $-2\vec{u}$ : 3aks $\vec{u}$, w toulou marrtin.

alpha u ، vecteur عندو نفس la direction متاع u . كان alpha positif ، نفس le sens ؛ كان alpha négatif ، le sens بالعكس . w la longueur تتضرب في la valeur absolue de alpha . مثلا moins deux u : عكس u ، w طولو مرّتين .

Alpha u est un vecteur de même direction que u. Si alpha est positif, il a le même sens ; si alpha est négatif, le sens contraire. Et la longueur est multipliée par la valeur absolue de alpha. Par exemple moins deux u : sens contraire de u, et deux fois plus long.

Question 6 · Produit nul

  • quand alpha u égale le vecteur nul
  • alpha u egal zero waqtech
  • produit nul vecteur
  • alpha fois u égal zéro

Ce qu’il écrit au tableau

  • αu⃗=0⃗  ⟺  (α=0 ou u⃗=0⃗)\alpha\vec{u} = \vec{0} \iff (\alpha = 0 \text{ ou } \vec{u} = \vec{0})

Ce qu’il répond

$\alpha\vec{u} = \vec{0}$, fi zouz 7alet bark : $\alpha = 0$, walla $\vec{u} = \vec{0}$. Donc ken $\vec{u}$ mouch nul, el réel houwa elli lezem ykoun zéro.

alpha u égale le vecteur nul ، في زوز حالات برك : alpha égale zéro ، ولّا u هو le vecteur nul . donc كان u موش nul ، الـ réel هو اللي لازم يكون zéro .

Alpha u égale le vecteur nul dans deux cas seulement : alpha égale zéro, ou u est le vecteur nul. Donc si u n'est pas nul, c'est le réel qui doit être nul.

Question 7 · Vecteurs colinéaires

  • c'est quoi deux vecteurs colinéaires
  • colineaires ma3neha chnowa
  • définition de vecteurs colinéaires
  • chnowa colinéaire

Ce qu’il écrit au tableau

  • v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}

Ce qu’il répond

Zouz vecteurs colinéaires, ki wa7ed menhom houwa le5er madhroub fi réel : $\vec{v} = k\vec{u}$. Ya3ni 3andhom nafs la direction. W le vecteur nul colinéaire m3a ay vecteur.

زوز vecteurs colinéaires ، كي واحد منهم هو الآخر مضروب في réel : v égale k u . يعني عندهم نفس la direction . w le vecteur nul colinéaire مع أيّ vecteur .

Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est le produit de l'autre par un réel : v égale k u. Ils ont donc la même direction. Et le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Question 8 · Vecteurs colinéaires

  • même sens ou sens contraire
  • kifech na3ref nafs le sens
  • sens contraires vecteurs colinéaires
  • quand deux vecteurs sont de même sens

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→=αCD→\overrightarrow{AB} = \alpha\overrightarrow{CD}

Ce qu’il répond

Ken $\overrightarrow{AB} = \alpha\overrightarrow{CD}$ : ken $\alpha > 0$, ezzouz vecteurs colinéaires w de même sens ; ken $\alpha < 0$, colinéaires w de sens contraires. Ya3ni le signe mta3 alpha houwa elli y9oul le sens.

كان le vecteur A B égale alpha fois le vecteur C D : كان alpha positif ، الزوز vecteurs colinéaires w de même sens ؛ كان alpha négatif ، colinéaires w de sens contraires . يعني la signe متاع alpha هي اللي تقول le sens .

Si le vecteur A B égale alpha fois le vecteur C D : si alpha est positif, les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens ; si alpha est négatif, ils sont colinéaires et de sens contraires. C'est le signe de alpha qui donne le sens.

Question 9 · Base et composantes

  • c'est quoi une base
  • base de l ensemble des vecteurs chnowa
  • définition d une base
  • quand deux vecteurs forment une base

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}

Ce qu’il répond

Base, hiya zouz vecteurs $\vec{i}$ w $\vec{j}$ mouch colinéaires. Bihom najmou nektbou ay vecteur $\vec{u}$ b tari9a wa7da bark : $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$. W bech ta3ref zouz vecteurs ya3mlou base, t7seb le déterminant : lezmou mouch zéro.

base ، هي زوز vecteurs i w j موش colinéaires . بيهم نجّمو نكتبو أيّ vecteur u بطريقة وحدة برك : u égale x i plus y j . w باش تعرف زوز vecteurs يعملو base ، تحسب le déterminant : لازمو موش zéro .

Une base, ce sont deux vecteurs i et j non colinéaires. Avec eux, on peut écrire tout vecteur u d'une seule manière : u égale x i plus y j. Et pour savoir si deux vecteurs forment une base, on calcule leur déterminant : il doit être non nul.

Question 10 · Base et composantes

  • c'est quoi les composantes d un vecteur
  • composantes chnowa
  • comment trouver les composantes
  • kifech nal9a les composantes

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗=xi⃗+yj⃗  ⟺  u⃗(xy)\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \iff \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Ce qu’il répond

Ken $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, le couple $(x, y)$ houma les composantes de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$. x houwa el coefficient mta3 $\vec{i}$, w y el coefficient mta3 $\vec{j}$. Nektbouhom fi colonne, x el fou9 w y el louta.

كان u égale x i plus y j ، le couple x ، y هوما les composantes de u dans la base i ، j . x هو الـ coefficient متاع i ، w y الـ coefficient متاع j . نكتبوهم في colonne ، x الفوق w y اللوطة .

Si u égale x i plus y j, le couple x, y, ce sont les composantes de u dans la base i, j. x est le coefficient de i, et y celui de j. On les écrit en colonne, x en haut et y en bas.

Question 11 · Le déterminant

  • c'est quoi le déterminant
  • kifech n7seb le determinant
  • comment calculer un déterminant
  • determinant de deux vecteurs chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

  • ∣xx′yy′∣=xy′−x′y\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y

Ce qu’il répond

Le déterminant de $\vec{u}(x, y)$ w $\vec{v}(x', y')$ : $xy' - x'y$. Nektbou x w x' el fou9, y w y' el louta, w nedherbou en croix : la diagonale elli tahbet, moins la diagonale elli totla3. Mathalan $\vec{u}(3, 2)$ w $\vec{v}(-6, -4)$ : $-12 - (-12) = 0$.

le déterminant de u x ، y w v x prime ، y prime : x y prime moins x prime y . نكتبو x w x prime الفوق ، y w y prime اللوطة ، w نضربو en croix : la diagonale اللي تهبط ، moins la diagonale اللي تطلع . مثلا u trois ، deux w v moins six ، moins quatre : moins douze moins moins douze ، égale zéro .

Le déterminant de u de composantes x, y et de v de composantes x prime, y prime : x y prime moins x prime y. On écrit x et x prime en haut, y et y prime en bas, et on multiplie en croix : la diagonale qui descend, moins la diagonale qui monte. Par exemple, u trois, deux et v moins six, moins quatre : moins douze moins moins douze, égale zéro.

Question 12 · Le déterminant

  • pourquoi déterminant nul veut dire colinéaires
  • 3lech determinant zero ya3ni colineaires
  • déterminant égal à zéro donc colinéaires
  • si le determinant est nul

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗,v⃗ colineˊaires  ⟺  xy′−x′y=0\vec{u}, \vec{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0

Ce qu’il répond

Ken $\vec{v} = k\vec{u}$, ya3ni $x' = kx$ w $y' = ky$, t3awwedh : $x \times ky - kx \times y = 0$. W bel 3aks, ken $xy' - x'y = 0$, najmou nal9aw el réel k. Donc le déterminant nul, houwa w colinéaires nafs el 7aja. W ken mouch nul, $\vec{u}$ w $\vec{v}$ ya3mlou base.

كان v égale k u ، يعني x prime égale k x w y prime égale k y ، تعوّض : x fois k y moins k x fois y ، égale zéro . w بالعكس ، كان x y prime moins x prime y égale zéro ، نجّمو نلقاو الـ réel k . donc le déterminant nul ، هو w colinéaires نفس الحاجة . w كان موش nul ، u w v يعملو base .

Si v égale k u, c'est-à-dire x prime égale k x et y prime égale k y, on remplace : x fois k y moins k x fois y, égale zéro. Et réciproquement, si x y prime moins x prime y égale zéro, on peut trouver le réel k. Un déterminant nul et des vecteurs colinéaires, c'est donc la même chose. Et s'il n'est pas nul, u et v forment une base.

Question 13 · Repère cartésien

  • c'est quoi un repère cartésien
  • repere cartesien chnowa
  • définition du repère cartésien
  • repère cartésien ma3neha

Ce qu’il écrit au tableau

  • M(x,y)  ⟺  OM→=xi⃗+yj⃗M(x, y) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}

Ce qu’il répond

Repère cartésien, houwa point O w base $(\vec{i}, \vec{j})$. Koll point M 3andou coordonnées $(x, y)$, elli $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$. W el axes mouch lezem ykounou perpendiculaires : ken $\vec{i}$ w $\vec{j}$ orthogonaux w normés, n9oulou repère orthonormé.

repère cartésien ، هو point O w base i ، j . كل point M عندو coordonnées x ، y ، اللي le vecteur O M égale x i plus y j . w الـ axes موش لازم يكونو perpendiculaires : كان i w j orthogonaux w normés ، نقولو repère orthonormé .

Un repère cartésien, c'est un point O et une base i, j. Tout point M a des coordonnées x, y telles que le vecteur O M égale x i plus y j. Et les axes ne sont pas forcément perpendiculaires : si i et j sont orthogonaux et normés, on dit repère orthonormé.

Question 14 · Repère cartésien

  • différence entre coordonnées et composantes
  • coordonnees w composantes chnowa el far9
  • coordonnées ou composantes
  • est ce que coordonnées et composantes c est pareil

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Ce qu’il répond

Les coordonnées mta3 point, w les composantes mta3 vecteur. Er-rabt : les coordonnées du point M houma les composantes du vecteur $\overrightarrow{OM}$. W les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$, houma les coordonnées de B moins les coordonnées de A.

les coordonnées متاع point ، w les composantes متاع vecteur . الرابط : les coordonnées du point M هوما les composantes du vecteur O M . w les composantes du vecteur A B ، هوما les coordonnées de B moins les coordonnées de A .

Les coordonnées sont celles d'un point, les composantes celles d'un vecteur. Le lien : les coordonnées du point M sont les composantes du vecteur O M. Et les composantes du vecteur A B sont les coordonnées de B moins celles de A.

Question 15 · Composantes du vecteur AB

  • composantes du vecteur AB
  • kifech n7seb les composantes de AB
  • xB moins xA ou xA moins xB
  • comment calculer le vecteur AB avec les coordonnées

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Ce qu’il répond

Les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $x_B - x_A$, w $y_B - y_A$. Dima l'extrémité moins l'origine. Tfakker b Chasles : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. Mathalan $A(-1, 2)$ w $B(3, 4)$ : $(4, 2)$.

les composantes du vecteur A B : x B moins x A ، w y B moins y A . ديما l'extrémité moins l'origine . تفكّر بـ Chasles : le vecteur A B égale le vecteur O B moins le vecteur O A . مثلا A moins un ، deux w B trois ، quatre : quatre ، deux .

Les composantes du vecteur A B : x B moins x A, et y B moins y A. Toujours l'extrémité moins l'origine. Souviens-toi de Chasles : le vecteur A B égale le vecteur O B moins le vecteur O A. Par exemple, A moins un, deux et B trois, quatre : on obtient quatre, deux.

Question 16 · Alignement, parallélisme

  • comment montrer que trois points sont alignés
  • kifech nthabbet elli trois points alignés
  • points alignés avec les vecteurs
  • trois points alignes methode

Ce qu’il écrit au tableau

  • A,B,C aligneˊs  ⟺  AC→=kAB→A, B, C \text{ alignés} \iff \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

A, B w C alignés, ki $\overrightarrow{AB}$ w $\overrightarrow{AC}$ colinéaires. Bel composantes : n7esbou le déterminant mte3hom, w ken zéro, alignés. Walla blech repère : nlawjou 3la réel k, elli $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$.

A ، B w C alignés ، كي le vecteur A B w le vecteur A C colinéaires . بالـ composantes : نحسبو le déterminant متاعهم ، w كان zéro ، alignés . ولّا بلاش repère : نلوّجو على réel k ، اللي le vecteur A C égale k fois le vecteur A B .

A, B et C sont alignés quand le vecteur A B et le vecteur A C sont colinéaires. Avec les composantes : on calcule leur déterminant, et s'il est nul, les points sont alignés. Ou sans repère : on cherche un réel k tel que le vecteur A C égale k fois le vecteur A B.

Question 17 · Vecteurs et configurations

  • comment montrer que deux droites sont parallèles
  • kifech nthabbet zouz droites paralleles
  • droites parallèles et vecteurs
  • parallelisme avec les vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • (AB)∥(CD)  ⟺  CD→=kAB→(AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

La droite (AB) parallèle à la droite (CD), ki $\overrightarrow{AB}$ w $\overrightarrow{CD}$ colinéaires. Ya3ni nal9aw réel k elli $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$, walla le déterminant mte3hom zéro. Rodd belek : houni el vecteurs mouch lezem yebdew men nafs el point.

la droite A B parallèle à la droite C D ، كي le vecteur A B w le vecteur C D colinéaires . يعني نلقاو réel k اللي le vecteur C D égale k fois le vecteur A B ، ولّا le déterminant متاعهم zéro . رد بالك : هنا الـ vecteurs موش لازم يبداو من نفس الـ point .

La droite A B est parallèle à la droite C D quand le vecteur A B et le vecteur C D sont colinéaires. On cherche donc un réel k tel que le vecteur C D égale k fois le vecteur A B, ou on vérifie que leur déterminant est nul. Attention : ici, les vecteurs n'ont pas besoin de partir du même point.

Question 18 · Norme d'un vecteur

  • c'est quoi la norme d un vecteur
  • la norme chnowa
  • comment calculer la norme
  • kifech n7seb la norme

Ce qu’il écrit au tableau

  • ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Ce qu’il répond

La norme du vecteur $\vec{u}$, hiya toulou : ken $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$, la norme hiya AB. W fi base orthonormée, ken $\vec{u}(x, y)$ : la norme égale $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$. Mathalan $\vec{u}(3, -4)$ : 5.

la norme du vecteur u ، هي طولو : كان u égale le vecteur A B ، la norme هي A B . w في base orthonormée ، كان u x ، y : la norme égale racine carrée de x au carré plus y au carré . مثلا u trois ، moins quatre : cinq .

La norme du vecteur u, c'est sa longueur : si u égale le vecteur A B, la norme est A B. Et dans une base orthonormée, si u a pour composantes x, y, la norme égale racine carrée de x au carré plus y au carré. Par exemple u trois, moins quatre : cinq.

Question 19 · Norme d'un vecteur

  • c'est quoi un vecteur unitaire
  • vecteur unitaire ma3neha
  • kifech na3ref vecteur unitaire
  • définition vecteur unitaire

Ce qu’il écrit au tableau

  • ∥u⃗∥=1\|\vec{u}\| = 1

Ce qu’il répond

Vecteur unitaire, walla normé, houwa vecteur la norme mte3ou égale 1. Mathalan fi base orthonormée, $\vec{i}$ w $\vec{j}$ unitaires, w le vecteur $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ unitaire zeda, 5ater $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

vecteur unitaire ، ولّا normé ، هو vecteur la norme متاعو égale un . مثلا في base orthonormée ، i w j unitaires ، w le vecteur racine de trois sur deux ، un demi ، unitaire زادة ، خاطر trois quarts plus un quart égale un .

Un vecteur unitaire, ou normé, est un vecteur de norme égale à un. Par exemple, dans une base orthonormée, i et j sont unitaires, et le vecteur racine de trois sur deux, un demi, est unitaire aussi, car trois quarts plus un quart égale un.

Question 20 · Norme d'un vecteur

  • la norme de u plus v égale la somme des normes
  • norme de la somme
  • est ce que la norme de u+v = norme u + norme v
  • norme w somme ki yetjam3ou

Ce qu’il écrit au tableau

  • ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| \le \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|

Ce qu’il répond

La, mouch dima. La norme de $\vec{u} + \vec{v}$, asghar walla tsewi la norme de $\vec{u}$ plus la norme de $\vec{v}$ : fi triangle, côté a9sar men majmou3 ezzouz lo5rin. Tsewi bark ki $\vec{u}$ w $\vec{v}$ colinéaires w de même sens.

لا ، موش ديما . la norme de u plus v ، أصغر ولّا تساوي la norme de u plus la norme de v : في triangle ، côté أقصر من مجموع الزوز الأخرين . تساوي برك كي u w v colinéaires w de même sens .

Non, pas toujours. La norme de u plus v est inférieure ou égale à la norme de u plus la norme de v : dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres. Il y a égalité seulement quand u et v sont colinéaires et de même sens.

Question 21 · Vecteurs orthogonaux

  • c'est quoi deux vecteurs orthogonaux
  • orthogonaux ma3neha chnowa
  • définition vecteurs orthogonaux
  • vecteurs orthogonaux chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}

Ce qu’il répond

$\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ w $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ : $\vec{u}$ w $\vec{v}$ orthogonaux, ki la droite (AB) w la droite (AC) perpendiculaires. W par convention, le vecteur nul orthogonal m3a ay vecteur.

u égale le vecteur A B w v égale le vecteur A C : u w v orthogonaux ، كي la droite A B w la droite A C perpendiculaires . w par convention ، le vecteur nul orthogonal مع أيّ vecteur .

Avec u égale le vecteur A B et v égale le vecteur A C : u et v sont orthogonaux quand la droite A B et la droite A C sont perpendiculaires. Et par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Question 22 · Orthogonalité analytique

  • comment savoir si deux vecteurs sont orthogonaux
  • kifech na3ref zouz vecteurs orthogonaux
  • condition d orthogonalité xx'+yy'
  • test orthogonaux avec les composantes

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0

Ce qu’il répond

Fi base orthonormée, $\vec{u}(x, y)$ w $\vec{v}(x', y')$ orthogonaux, ki $xx' + yy' = 0$. Nedherbou el composantes elli fi nafs el blasa, w njam3ou. Rodd belek : hedhi mouch le déterminant, w tsa77 ken fi base orthonormée.

في base orthonormée ، u x ، y w v x prime ، y prime orthogonaux ، كي x x prime plus y y prime égale zéro . نضربو الـ composantes اللي في نفس البلاصة ، w نجمعو . رد بالك : هاذي موش le déterminant ، w تصحّ كان في base orthonormée .

Dans une base orthonormée, u de composantes x, y et v de composantes x prime, y prime sont orthogonaux quand x x prime plus y y prime égale zéro. On multiplie les composantes de même rang, et on additionne. Attention : ce n'est pas le déterminant, et cela ne vaut que dans une base orthonormée.

Question 23 · Vecteurs orthogonaux

  • c'est quoi un repère orthonormé
  • base orthonormée chnowa
  • repere orthonorme ma3neha
  • orthonormé définition

Ce qu’il écrit au tableau

  • i⃗⊥j⃗ et ∥i⃗∥=∥j⃗∥=1\vec{i} \perp \vec{j} \text{ et } \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1

Ce qu’il répond

Base $(\vec{i}, \vec{j})$ orthonormée, ki $\vec{i}$ w $\vec{j}$ orthogonaux, w ezzouz normés, ya3ni la norme mte3hom 1. W repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ orthonormé, ki la base mte3ou orthonormée. Fih bark nesta3mlou la formule de la distance w el condition $xx' + yy' = 0$.

base i ، j orthonormée ، كي i w j orthogonaux ، w الزوز normés ، يعني la norme متاعهم un . w repère O ، i ، j orthonormé ، كي la base متاعو orthonormée . فيه برك نستعملو la formule de la distance w الـ condition x x prime plus y y prime .

Une base i, j est orthonormée quand i et j sont orthogonaux, et tous deux normés, c'est-à-dire de norme un. Et le repère O, i, j est orthonormé quand sa base est orthonormée. C'est seulement dans ce cas qu'on utilise la formule de la distance et la condition x x prime plus y y prime égale zéro.

Question 24 · Distance et norme

  • comment calculer la distance entre deux points
  • kifech n7seb la distance AB
  • formule de la distance
  • distance de deux points

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}

Ce qu’il répond

Fi repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}$. Hiya Pythagore. Mathalan $A(-2, -4)$ w $B(3, 5)$ : $\sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$.

في repère orthonormé : A B égale racine carrée de la parenthèse x B moins x A ، au carré ، plus la parenthèse y B moins y A ، au carré . هي Pythagore . مثلا A moins deux ، moins quatre w B trois ، cinq : racine carrée de vingt-cinq plus quatre-vingt-un ، égale racine carrée de cent six .

Dans un repère orthonormé : A B égale racine carrée de, entre parenthèses, x B moins x A, au carré, plus, entre parenthèses, y B moins y A, au carré. C'est Pythagore. Par exemple, A moins deux, moins quatre et B trois, cinq : racine carrée de vingt-cinq plus quatre-vingt-un, égale racine carrée de cent six.

Question 25 · Vecteurs et configurations

  • comment caractériser le milieu avec les vecteurs
  • milieu w les vecteurs kifech
  • MA + MB = 2MI avec I milieu
  • le milieu d un segment en vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}

Ce qu’il répond

I le milieu de [AB], ki $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, walla $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}$. W l ay point M : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$. Bel coordonnées : I houwa la moyenne mta3 les coordonnées de A w B.

I le milieu de A B ، كي le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul ، ولّا le vecteur A B égale deux fois le vecteur A I . w لأيّ point M : le vecteur M A plus le vecteur M B égale deux fois le vecteur M I . بالـ coordonnées : I هو la moyenne متاع les coordonnées de A w B .

I est le milieu de A B quand le vecteur I A plus le vecteur I B égale le vecteur nul, ou quand le vecteur A B égale deux fois le vecteur A I. Et pour tout point M : le vecteur M A plus le vecteur M B égale deux fois le vecteur M I. Avec les coordonnées : I a pour coordonnées la moyenne de celles de A et de B.

Question 26 · Centre de gravité

  • c'est quoi le centre de gravité en vecteurs
  • centre de gravite GA+GB+GC
  • kifech nthabbet centre de gravité
  • centre de gravité d un triangle

Ce qu’il écrit au tableau

  • GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}

Ce qu’il répond

G le centre de gravité du triangle ABC, ki $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. W ken I le milieu de [BC] : $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$. Bech tthabbet elli point M houwa G, yekfi tthabbet elli $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$.

G le centre de gravité du triangle A B C ، كي le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul . w كان I le milieu de B C : le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A I . باش تثبت اللي point M هو G ، يكفي تثبت اللي le vecteur M A plus le vecteur M B plus le vecteur M C égale le vecteur nul .

G est le centre de gravité du triangle A B C quand le vecteur G A plus le vecteur G B plus le vecteur G C égale le vecteur nul. Et si I est le milieu de B C : le vecteur A G égale deux tiers du vecteur A I. Pour prouver qu'un point M est G, il suffit de prouver que le vecteur M A plus le vecteur M B plus le vecteur M C égale le vecteur nul.

Question 27 · Thalès vectoriel

  • c'est quoi thalès avec les vecteurs
  • thales vectoriel kifech
  • forme vectorielle du théorème de thalès
  • thales bel vecteurs

Ce qu’il écrit au tableau

  • AM→=xAB→⇒MN→=xBC→\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}

Ce qu’il répond

ABC triangle, M 3la la droite (AB), w la parallèle à (BC) men M t9oss la droite (AC) fi N. Ken $\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}$, ywalli $\overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AC}$, w $\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}$. Nafs x fel thletha.

A B C triangle ، M على la droite A B ، w la parallèle à B C من M تقصّ la droite A C في N . كان le vecteur A M égale x fois le vecteur A B ، يولّي le vecteur A N égale x fois le vecteur A C ، w le vecteur M N égale x fois le vecteur B C . نفس x في الثلاثة .

A B C est un triangle, M est sur la droite A B, et la parallèle à B C passant par M coupe la droite A C en N. Si le vecteur A M égale x fois le vecteur A B, alors le vecteur A N égale x fois le vecteur A C, et le vecteur M N égale x fois le vecteur B C. Le même x dans les trois.

Question 28 · Composantes du vecteur AB

  • comment trouver le quatrième sommet d un parallélogramme
  • kifech nal9a D bech ABCD parallelogramme
  • parallélogramme avec les coordonnées
  • ABCD parallelogramme coordonnees de D

Ce qu’il écrit au tableau

  • ABCD paralleˊlogramme  ⟺  AB→=DC→ABCD \text{ parallélogramme} \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

Ce qu’il répond

ABCD parallélogramme, ki $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. N7esbou les composantes mta3 $\overrightarrow{AB}$, w nektbou les composantes mta3 $\overrightarrow{DC}$ b $D(x, y)$, w nsawiwhom. Rodd belek mel tartib : $\overrightarrow{AB}$ w $\overrightarrow{DC}$, mouch $\overrightarrow{CD}$.

A B C D parallélogramme ، كي le vecteur A B égale le vecteur D C . نحسبو les composantes متاع le vecteur A B ، w نكتبو les composantes متاع le vecteur D C بـ D x ، y ، w نساويوهم . رد بالك من الترتيب : A B w D C ، موش C D .

A B C D est un parallélogramme quand le vecteur A B égale le vecteur D C. On calcule les composantes du vecteur A B, on écrit celles du vecteur D C avec D de coordonnées x, y, et on les égale. Attention à l'ordre : A B et D C, pas C D.

Question 29 · Théorème de la projection

  • c'est quoi le théorème de la projection
  • theoreme de la projection kifech
  • projection parallèle et vecteurs
  • la projection ma3neha chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

  • AB→=xAC→⇒A′B′→=xA′C′→\overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{A'B'} = x\overrightarrow{A'C'}

Ce qu’il répond

Ken A, B, C alignés, w na3mloulhom projection 3la droite b des droites parallèles, ya3tiwna A', B' w C'. Ken $\overrightarrow{AB} = x\overrightarrow{AC}$, ywalli $\overrightarrow{A'B'} = x\overrightarrow{A'C'}$. El coefficient ma yetbaddelch.

كان A ، B ، C alignés ، w نعملولهم projection على droite بـ des droites parallèles ، يعطيونا A prime ، B prime w C prime . كان le vecteur A B égale x fois le vecteur A C ، يولّي le vecteur A prime B prime égale x fois le vecteur A prime C prime . الـ coefficient ما يتبدّلش .

Si A, B et C sont alignés, et qu'on les projette sur une droite par des droites parallèles, on obtient A prime, B prime et C prime. Si le vecteur A B égale x fois le vecteur A C, alors le vecteur A prime B prime égale x fois le vecteur A prime C prime. Le coefficient ne change pas.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Simplifier une écriture

u⃗\vec{u} est un vecteur. Simplifier 6u⃗−25u⃗,6\vec{u} - \dfrac{2}{5}\vec{u}, c'est-à-dire trouver le réel kk tel que 6u⃗−25u⃗=ku⃗.6\vec{u} - \dfrac{2}{5}\vec{u} = k\vec{u}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 28/5 — aussi acceptées : 5.6

Indices, dans l’ordre

  1. On utilise au⃗+bu⃗=(a+b)u⃗a\vec{u} + b\vec{u} = (a + b)\vec{u} : on calcule la différence des deux réels.
  2. Écris 66 avec le dénominateur 55 : 6=305.6 = \dfrac{30}{5}.

Correction

  1. Factoriser — On met u⃗\vec{u} en facteur.6u⃗−25u⃗=(6−25)u⃗6\vec{u} - \dfrac{2}{5}\vec{u} = \left(6 - \dfrac{2}{5}\right)\vec{u}
  2. Calculer — 6−25=305−25=2856 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{30}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{28}{5}

6u⃗−25u⃗=285u⃗,6\vec{u} - \dfrac{2}{5}\vec{u} = \dfrac{28}{5}\vec{u}, donc k=285.k = \dfrac{28}{5}.

Pièges anticipés

  • 4/5 → 6−256 - \dfrac{2}{5} n'est pas 6−25\dfrac{6 - 2}{5} : écris d'abord 66 en cinquièmes.

Exercice 2 · base

Un produit de produits

u⃗\vec{u} est un vecteur non nul. Trouver le réel kk tel que −4(32u⃗)=ku⃗.-4\left(\dfrac{3}{2}\vec{u}\right) = k\vec{u}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -6

Indices, dans l’ordre

  1. La règle est a(bu⃗)=(ab)u⃗a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u} : on multiplie les deux réels.
  2. Calcule −4×32.-4 \times \dfrac{3}{2}.

Correction

  1. Multiplier les réels — −4(32u⃗)=(−4×32)u⃗=−6u⃗-4\left(\dfrac{3}{2}\vec{u}\right) = \left(-4 \times \dfrac{3}{2}\right)\vec{u} = -6\vec{u}

k=−6.k = -6.

Pièges anticipés

  • -5/2 / -2.5 → Tu as additionné les deux réels ; la règle est a(bu⃗)=(ab)u⃗a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u} : on les multiplie.
  • 6 → Le produit d'un négatif par un positif est négatif.

Exercice 3 · pratique

Développer et réduire

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs. Simplifier l'écriture du vecteur a⃗=2(u⃗−3v⃗)−(5u⃗−6v⃗).\vec{a} = 2(\vec{u} - 3\vec{v}) - (5\vec{u} - 6\vec{v}).

Écris a⃗\vec{a} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, par exemple 2u−v.2u - v.

Réponse attendue : -3u — aussi acceptées : a=-3u · -3*u · a=-3*u · -3\vec{u} · \vec{a}=-3\vec{u} · -3 vecteur u · -3u→

Indices, dans l’ordre

  1. Développe chaque parenthèse ; le signe moins devant la seconde change ses deux signes.
  2. Regroupe ensuite les termes en u⃗\vec{u} d'un côté, les termes en v⃗\vec{v} de l'autre.

Correction

  1. Développer — a⃗=2u⃗−6v⃗−5u⃗+6v⃗\vec{a} = 2\vec{u} - 6\vec{v} - 5\vec{u} + 6\vec{v}
  2. Regrouper — Les termes en v⃗\vec{v} s'annulent.a⃗=(2−5)u⃗+(−6+6)v⃗=−3u⃗\vec{a} = (2 - 5)\vec{u} + (-6 + 6)\vec{v} = -3\vec{u}

a⃗=−3u⃗.\vec{a} = -3\vec{u}.

Pièges anticipés

  • -3u-12v / -3u - 12v / a=-3u-12v → Le signe moins devant (5u⃗−6v⃗)(5\vec{u} - 6\vec{v}) change aussi le signe de −6v⃗-6\vec{v} : on obtient +6v⃗.+6\vec{v}.
  • -3u+3v / -3u + 3v → Le 22 multiplie aussi −3v⃗-3\vec{v} : 2(u⃗−3v⃗)=2u⃗−6v⃗.2(\vec{u} - 3\vec{v}) = 2\vec{u} - 6\vec{v}.

Exercice 4 · pratique

Un crochet à ouvrir

Simplifier l'écriture du vecteur b⃗=3u⃗+v⃗−[7u⃗−12(8u⃗+2v⃗)].\vec{b} = 3\vec{u} + \vec{v} - \left[7\vec{u} - \dfrac{1}{2}(8\vec{u} + 2\vec{v})\right].

Écris b⃗\vec{b} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, par exemple 3u−v.3u - v.

Réponse attendue : 2v — aussi acceptées : b=2v · 2*v · b=2*v · 2\vec{v} · \vec{b}=2\vec{v} · 2 vecteur v · 2v→

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par l'intérieur du crochet : 12(8u⃗+2v⃗)=4u⃗+v⃗.\dfrac{1}{2}(8\vec{u} + 2\vec{v}) = 4\vec{u} + \vec{v}.
  2. Le crochet vaut 3u⃗−v⃗3\vec{u} - \vec{v} ; en le retirant, ses deux signes changent.

Correction

  1. Le crochet — 7u⃗−12(8u⃗+2v⃗)=7u⃗−4u⃗−v⃗=3u⃗−v⃗7\vec{u} - \dfrac{1}{2}(8\vec{u} + 2\vec{v}) = 7\vec{u} - 4\vec{u} - \vec{v} = 3\vec{u} - \vec{v}
  2. Retirer le crochet — b⃗=3u⃗+v⃗−3u⃗+v⃗=2v⃗\vec{b} = 3\vec{u} + \vec{v} - 3\vec{u} + \vec{v} = 2\vec{v}

b⃗=2v⃗.\vec{b} = 2\vec{v}.

Pièges anticipés

  • 0 / 0v / 0u → En retirant le crochet [3u⃗−v⃗]\left[3\vec{u} - \vec{v}\right] précédé d'un moins, −v⃗-\vec{v} devient +v⃗.+\vec{v}.

Exercice 5 · base

Composantes d’une combinaison

Dans une base (i⃗,j⃗),(\vec{i}, \vec{j}), on considère u⃗\vec{u} de composantes −3-3 et 2,2, et v⃗\vec{v} de composantes 11 et 4.4. Déterminer les composantes du vecteur w⃗=2u⃗−5v⃗.\vec{w} = 2\vec{u} - 5\vec{v}.

Écris le couple de composantes de w⃗,\vec{w}, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-11;-16) — aussi acceptées : (-11,-16) · w(-11;-16) · w(-11,-16) · w=(-11;-16) · w=(-11,-16) · -11;-16 · x=-11;y=-16 · x=-11 et y=-16 · x=-11,y=-16 · (x;y)=(-11;-16) · (x,y)=(-11,-16)

Indices, dans l’ordre

  1. Multiplie les composantes de u⃗\vec{u} par 22 et celles de v⃗\vec{v} par −5.-5.
  2. 2u⃗2\vec{u} a pour composantes −6-6 et 44 ; −5v⃗-5\vec{v} a pour composantes −5-5 et −20.-20. Additionne.

Correction

  1. Les produits — 2u⃗(−64)−5v⃗(−5−20)2\vec{u}\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad -5\vec{v}\begin{pmatrix} -5 \\ -20 \end{pmatrix}
  2. La somme — w⃗(−6−54−20)=(−11−16)\vec{w}\begin{pmatrix} -6 - 5 \\ 4 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -16 \end{pmatrix}

w⃗\vec{w} a pour composantes −11-11 et −16.-16.

Pièges anticipés

  • (-1;24) / (-1,24) → Le réel devant v⃗\vec{v} est −5,-5, pas 55 : −5v⃗-5\vec{v} a pour composantes −5-5 et −20.-20.

Exercice 6 · base

Calculer un déterminant

Dans une base (i⃗,j⃗),(\vec{i}, \vec{j}), on donne u⃗\vec{u} de composantes 1414 et −8,-8, et v⃗\vec{v} de composantes 11 et −2.-2. Calculer le déterminant xy′−x′yxy' - x'y des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗.\vec{v}. Sont-ils colinéaires ?

Donne la valeur du déterminant.

Réponse attendue : -20

Indices, dans l’ordre

  1. Ici x=14,x = 14, y=−8,y = -8, x′=1x' = 1 et y′=−2.y' = -2.
  2. Calcule 14×(−2)−1×(−8).14 \times (-2) - 1 \times (-8).

Correction

  1. Les produits en croix — xy′−x′y=14×(−2)−1×(−8)xy' - x'y = 14 \times (-2) - 1 \times (-8)
  2. Calculer — =−28+8=−20= -28 + 8 = -20

Le déterminant vaut −20-20 : il n'est pas nul, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont pas colinéaires.

Pièges anticipés

  • -36 → Le déterminant est une différence : xy′−x′y,xy' - x'y, pas xy′+x′y.xy' + x'y.
  • 30 → Tu as calculé xx′+yy′xx' + yy' ; le déterminant croise : xy′−x′y.xy' - x'y.
  • 20 → −28−(−8)=−28+8,-28 - (-8) = -28 + 8, qui est négatif.

Exercice 7 · pratique

Un réel pour la colinéarité

Dans une base (i⃗,j⃗),(\vec{i}, \vec{j}), u⃗\vec{u} a pour composantes mm et 2,2, et v⃗\vec{v} a pour composantes 55 et −3.-3. Déterminer le réel mm pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient colinéaires.

Donne la valeur de m.m.

Réponse attendue : -10/3

Indices, dans l’ordre

  1. Écris que le déterminant xy′−x′yxy' - x'y est nul.
  2. Le déterminant vaut m×(−3)−5×2.m \times (-3) - 5 \times 2.

Correction

  1. La condition — m×(−3)−5×2=0m \times (-3) - 5 \times 2 = 0
  2. Résoudre — −3m−10=0  ⟺  m=−103-3m - 10 = 0 \iff m = -\dfrac{10}{3}

Les vecteurs sont colinéaires pour m=−103.m = -\dfrac{10}{3}.

Pièges anticipés

  • 10/3 → −3m=10-3m = 10 donne m=−103m = -\dfrac{10}{3} : attention au signe en divisant par −3.-3.
  • 6/5 → Tu as écrit xx′+yy′=0,xx' + yy' = 0, la condition d'orthogonalité ; pour la colinéarité, c'est xy′−x′y=0.xy' - x'y = 0.

Exercice 8 · pratique

Colinéarité avec un paramètre

u⃗\vec{u} a pour composantes mm et m−1,m - 1, et v⃗\vec{v} a pour composantes 66 et 1.1. Déterminer le réel mm pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient colinéaires.

Donne la valeur de m.m.

Réponse attendue : 6/5 — aussi acceptées : 1.2

Indices, dans l’ordre

  1. Le déterminant vaut m×1−6(m−1).m \times 1 - 6(m - 1).
  2. Développe : m−6m+6=0.m - 6m + 6 = 0.

Correction

  1. La condition — m×1−6(m−1)=0m \times 1 - 6(m - 1) = 0
  2. Résoudre — −5m+6=0  ⟺  m=65-5m + 6 = 0 \iff m = \dfrac{6}{5}

Les vecteurs sont colinéaires pour m=65.m = \dfrac{6}{5}.

Pièges anticipés

  • -1/5 / -0.2 → Le 66 multiplie toute la parenthèse (m−1)(m - 1) : 6(m−1)=6m−6.6(m - 1) = 6m - 6.

Exercice 9 · pratique

Colinéaires, avec une fraction

u⃗\vec{u} a pour composantes 2m2m et 43,\dfrac{4}{3}, et v⃗\vec{v} a pour composantes 66 et 10.10. Déterminer le réel mm pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient colinéaires.

Donne la valeur de m.m.

Réponse attendue : 2/5 — aussi acceptées : 0.4

Indices, dans l’ordre

  1. Le déterminant vaut 2m×10−6×43.2m \times 10 - 6 \times \dfrac{4}{3}.
  2. 6×43=86 \times \dfrac{4}{3} = 8 ; résous 20m−8=0.20m - 8 = 0.

Correction

  1. La condition — 2m×10−6×43=02m \times 10 - 6 \times \dfrac{4}{3} = 0
  2. Résoudre — 20m−8=0  ⟺  m=820=2520m - 8 = 0 \iff m = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}

Les vecteurs sont colinéaires pour m=25.m = \dfrac{2}{5}.

Pièges anticipés

  • 4/5 / 0.8 → La première composante est 2m,2m, pas mm : le produit en croix donne 20m.20m.

Exercice 10 · raisonnement

Quand cela est possible

u⃗\vec{u} a pour composantes m+1m + 1 et −1,-1, et v⃗\vec{v} a pour composantes −3-3 et 0.0. Déterminer, quand cela est possible, les réels mm pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient colinéaires.

Donne l'ensemble des valeurs de mm ; s'il n'y en a aucune, écris ∅\varnothing ou « impossible ».

Réponse attendue : ∅ — aussi acceptées : impossible · aucune solution · pas de solution · {} · S = ∅

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule le déterminant (m+1)×0−(−3)×(−1).(m + 1) \times 0 - (-3) \times (-1).
  2. Le terme en mm disparaît : le déterminant ne dépend pas de m.m.

Correction

  1. Le déterminant — (m+1)×0−(−3)×(−1)=0−3=−3(m + 1) \times 0 - (-3) \times (-1) = 0 - 3 = -3
  2. Conclure — Le déterminant vaut −3-3 pour tout réel mm : il n'est jamais nul.

Aucun réel mm ne convient : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont jamais colinéaires.

Pièges anticipés

  • {-1} / m=-1 / -1 → Pour m=−1,m = -1, u⃗\vec{u} a pour composantes 00 et −1-1 : le déterminant vaut encore −3.-3. Il ne s'annule jamais.

Exercice 11 · base

Le quatrième sommet

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on considère A(−2,34),A\left(-2, \dfrac{3}{4}\right), B(0,−1)B(0, -1) et C(3,4).C(3, 4). Déterminer l'ordonnée du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

Donne seulement l'ordonnée de D.D.

Réponse attendue : 23/4 — aussi acceptées : 5.75

Indices, dans l’ordre

  1. ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB→=DC→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.
  2. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes 22 et −74-\dfrac{7}{4} ; écris 4−y=−74.4 - y = -\dfrac{7}{4}.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→(0+2−1−34)=(2−74)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0 + 2 \\ -1 - \dfrac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -\dfrac{7}{4} \end{pmatrix}
  2. Égaler — Avec D(x,y),D(x, y), le vecteur DC→\overrightarrow{DC} a pour composantes 3−x3 - x et 4−y.4 - y.3−x=2;4−y=−743 - x = 2 \quad ; \quad 4 - y = -\dfrac{7}{4}
  3. Résoudre — x=1;y=4+74=234x = 1 \quad ; \quad y = 4 + \dfrac{7}{4} = \dfrac{23}{4}

D(1,234)D\left(1, \dfrac{23}{4}\right) : l'ordonnée de DD est 234.\dfrac{23}{4}.

Pièges anticipés

  • 9/4 / 2.25 → Dans ABCD,ABCD, c'est AB→=DC→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, pas AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

Exercice 12 · pratique

Trois points alignés

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(−4,2),A(-4, 2), B(−3,5)B(-3, 5) et C(0,a).C(0, a). Déterminer le réel aa pour que A,A, BB et CC soient alignés.

Donne la valeur de a.a.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. A,A, BB et CC sont alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  2. AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes 11 et 3,3, AC→\overrightarrow{AC} a pour composantes 44 et a−2a - 2 : écris que le déterminant est nul.

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(13)AC→(4a−2)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ a - 2 \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — 1×(a−2)−4×3=0  ⟺  a−14=01 \times (a - 2) - 4 \times 3 = 0 \iff a - 14 = 0

Les points sont alignés pour a=14.a = 14.

Pièges anticipés

  • 12 → La seconde composante de AC→\overrightarrow{AC} est a−2,a - 2, pas aa : extrémité moins origine.

Exercice 13 · raisonnement

Alignés, le paramètre dans A

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(2a+1,1),A(2a + 1, 1), B(1,6)B(1, 6) et C(−1,2).C(-1, 2). Déterminer le réel aa pour que A,A, BB et CC soient alignés.

Donne la valeur de a.a.

Réponse attendue : -5/4 — aussi acceptées : -1.25

Indices, dans l’ordre

  1. Le paramètre est dans AA : prends plutôt les vecteurs BA→\overrightarrow{BA} et BC→,\overrightarrow{BC}, de même origine B.B.
  2. BA→\overrightarrow{BA} a pour composantes 2a2a et −5,-5, BC→\overrightarrow{BC} a pour composantes −2-2 et −4.-4.

Correction

  1. Les vecteurs — BA→(2a−5)BC→(−2−4)\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} 2a \\ -5 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — 2a×(−4)−(−2)×(−5)=−8a−102a \times (-4) - (-2) \times (-5) = -8a - 10
  3. Résoudre — −8a−10=0  ⟺  a=−54-8a - 10 = 0 \iff a = -\dfrac{5}{4}

Les points A,A, BB et CC sont alignés pour a=−54.a = -\dfrac{5}{4}.

Pièges anticipés

  • 5/4 / 1.25 → (−2)×(−5)=10(-2) \times (-5) = 10 : le déterminant vaut −8a−10,-8a - 10, qui s'annule pour une valeur négative.

Exercice 14 · base

Une distance

Dans un repère orthonormé, calculer la distance ABAB pour A(2,34)A\left(2, \dfrac{3}{4}\right) et B(1,0).B(1, 0).

Donne la valeur exacte de AB.AB.

Réponse attendue : 5/4 — aussi acceptées : 1.25

Indices, dans l’ordre

  1. AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}.
  2. Les différences valent −1-1 et −34-\dfrac{3}{4} ; la somme des carrés vaut 2516.\dfrac{25}{16}.

Correction

  1. Les différences — xB−xA=1−2=−1;yB−yA=0−34=−34x_B - x_A = 1 - 2 = -1 \quad ; \quad y_B - y_A = 0 - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}
  2. La formule — AB=1+916=2516=54AB = \sqrt{1 + \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4}

AB=54.AB = \dfrac{5}{4}.

Pièges anticipés

  • 25/16 → 2516\dfrac{25}{16} est AB2AB^{2} ; il reste à prendre la racine carrée.

Exercice 15 · base

Une distance avec une racine

Dans un repère orthonormé, calculer la distance ABAB pour A(−3,2)A(-\sqrt{3}, 2) et B(0,6).B(0, 6).

Donne la valeur exacte de AB.AB.

Réponse attendue : sqrt(19)

Indices, dans l’ordre

  1. Les différences valent 0−(−3)=30 - (-\sqrt{3}) = \sqrt{3} et 6−2=4.6 - 2 = 4.
  2. Le carré de 3\sqrt{3} est 3.3.

Correction

  1. Les différences — xB−xA=3;yB−yA=4x_B - x_A = \sqrt{3} \quad ; \quad y_B - y_A = 4
  2. La formule — AB=3+16=19AB = \sqrt{3 + 16} = \sqrt{19}

AB=19.AB = \sqrt{19}.

Pièges anticipés

  • sqrt(3)+4 → La racine d'une somme n'est pas la somme des racines : on calcule 3+16.\sqrt{3 + 16}.

Exercice 16 · base

La norme d'un vecteur

Dans une base orthonormée, calculer la norme du vecteur u⃗\vec{u} de composantes −3-3 et 2.2.

Donne la valeur exacte de la norme.

Réponse attendue : sqrt(13)

Indices, dans l’ordre

  1. La norme d'un vecteur de composantes xx et yy est x2+y2.\sqrt{x^{2} + y^{2}}.
  2. (−3)2=9(-3)^{2} = 9 et 22=4.2^{2} = 4.

Correction

  1. La formule — La norme de u⃗\vec{u} :(−3)2+22=9+4=13\sqrt{(-3)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

La norme de u⃗\vec{u} est 13.\sqrt{13}.

Pièges anticipés

  • 13 → 1313 est le carré de la norme ; il reste à prendre la racine carrée.

Exercice 17 · base

Orthogonaux ou non ?

Dans une base orthonormée, les vecteurs u⃗\vec{u} de composantes 33 et −1,-1, et v⃗\vec{v} de composantes 22 et 6,6, sont-ils orthogonaux ?

Réponds par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : orthogonaux · ils sont orthogonaux · oui ils sont orthogonaux · oui orthogonaux

Indices, dans l’ordre

  1. En base orthonormée, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.
  2. Calcule 3×2+(−1)×6.3 \times 2 + (-1) \times 6.

Correction

  1. La condition — xx′+yy′=3×2+(−1)×6=6−6=0xx' + yy' = 3 \times 2 + (-1) \times 6 = 6 - 6 = 0

xx′+yy′=0xx' + yy' = 0 : les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux.

Pièges anticipés

  • non / pas orthogonaux / non orthogonaux → Tu as sans doute calculé le déterminant (2020), qui teste la colinéarité. Pour l'orthogonalité, calcule xx′+yy′.xx' + yy'.

Exercice 18 · pratique

Le test d’orthogonalité

Dans une base orthonormée, u⃗\vec{u} a pour composantes 23\dfrac{2}{3} et −2,-2, et v⃗\vec{v} a pour composantes −3-3 et 12.\dfrac{1}{2}. Calculer xx′+yy′.xx' + yy'. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Donne la valeur de xx′+yy′.xx' + yy'.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. xx′=23×(−3)xx' = \dfrac{2}{3} \times (-3) et yy′=−2×12.yy' = -2 \times \dfrac{1}{2}.
  2. 23×(−3)=−2\dfrac{2}{3} \times (-3) = -2 et −2×12=−1.-2 \times \dfrac{1}{2} = -1.

Correction

  1. Calculer — xx′+yy′=23×(−3)+(−2)×12=−2−1=−3xx' + yy' = \dfrac{2}{3} \times (-3) + (-2) \times \dfrac{1}{2} = -2 - 1 = -3

xx′+yy′=−3≠0xx' + yy' = -3 \ne 0 : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Pièges anticipés

  • -1 → (−2)×12=−1(-2) \times \dfrac{1}{2} = -1 : les deux produits sont négatifs, ils s'ajoutent.

Exercice 19 · pratique

Un réel pour l’orthogonalité

Dans une base orthonormée, u⃗\vec{u} a pour composantes mm et 9,9, et v⃗\vec{v} a pour composantes −6-6 et m+1.m + 1. Déterminer le réel mm pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient orthogonaux.

Donne la valeur de m.m.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Écris xx′+yy′=0xx' + yy' = 0 : m×(−6)+9(m+1)=0.m \times (-6) + 9(m + 1) = 0.
  2. Développe et réduis : 3m+9=0.3m + 9 = 0.

Correction

  1. La condition — −6m+9(m+1)=0-6m + 9(m + 1) = 0
  2. Résoudre — 3m+9=0  ⟺  m=−33m + 9 = 0 \iff m = -3

Les vecteurs sont orthogonaux pour m=−3.m = -3.

Pièges anticipés

  • -6/5 → Ce serait une condition de colinéarité. Pour l'orthogonalité : xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Exercice 20 · raisonnement

Deux valeurs possibles

Dans une base orthonormée, u⃗\vec{u} a pour composantes m+2m + 2 et m−2,m - 2, et v⃗\vec{v} a pour composantes mm et 3.3. Déterminer les réels mm pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient orthogonaux.

Donne l'ensemble des valeurs de m,m, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {-6;1} — aussi acceptées : m = -6 ou m = 1 · m = 1 ou m = -6 · -6 et 1 · {1;-6}

Indices, dans l’ordre

  1. Écris (m+2)m+3(m−2)=0(m + 2)m + 3(m - 2) = 0 et développe.
  2. On obtient m2+5m−6=0m^{2} + 5m - 6 = 0 ; cherche une racine évidente.

Correction

  1. La condition — (m+2)m+3(m−2)=m2+2m+3m−6=m2+5m−6(m + 2)m + 3(m - 2) = m^{2} + 2m + 3m - 6 = m^{2} + 5m - 6
  2. Factoriser — 11 est racine évidente (1+5−6=01 + 5 - 6 = 0).m2+5m−6=(m−1)(m+6)m^{2} + 5m - 6 = (m - 1)(m + 6)
  3. Résoudre — (m−1)(m+6)=0  ⟺  m=1 ou m=−6(m - 1)(m + 6) = 0 \iff m = 1 \text{ ou } m = -6

Les vecteurs sont orthogonaux pour m=−6m = -6 ou m=1.m = 1.

Pièges anticipés

  • {1} / m=1 → Une équation du second degré peut avoir deux solutions : (m−1)(m+6)=0(m - 1)(m + 6) = 0 donne aussi m=−6.m = -6.
  • {-1;6} / {6;-1} → (m−1)(m+6)=0(m - 1)(m + 6) = 0 donne m=1m = 1 ou m=−6m = -6 : vérifie avec 1+5−6=0.1 + 5 - 6 = 0.

Exercice 21 · defi

Un triangle rectangle dans un repère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗).(O, \vec{i}, \vec{j}). OABOAB est un triangle rectangle en AA tel que OA=3OA = 3 et AB=4AB = 4 ; le point BB est sur la demi-droite des ordonnées positives et AA a une abscisse positive. Déterminer l'abscisse du point A.A.

ijOBA
OA = 3, AB = 4, angle droit en A.

Un repère orthonormé d'origine O, avec ses vecteurs i et j. Le point B est sur l'axe des ordonnées, au-dessus de O. Le point A est à droite, plus bas que B. Le triangle OAB est rectangle en A, marqué d'une équerre.

Donne seulement l'abscisse de A.A.

Réponse attendue : 12/5 — aussi acceptées : 2.4

Indices, dans l’ordre

  1. Par Pythagore, OB=5,OB = 5, donc B(0,5).B(0, 5). Pose A(x,y).A(x, y).
  2. Écris OA2=9,OA^{2} = 9, c'est-à-dire x2+y2=9,x^{2} + y^{2} = 9, et l'orthogonalité des vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et AB→.\overrightarrow{AB}.
  3. AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes −x-x et 5−y5 - y ; l'orthogonalité donne x2+y2=5y,x^{2} + y^{2} = 5y, donc y=95.y = \dfrac{9}{5}.

Correction

  1. Le point B — Le triangle est rectangle en AA : OB2=9+16=25.OB^{2} = 9 + 16 = 25.OB=5;B(0,5)OB = 5 \quad ; \quad B(0, 5)
  2. Orthogonalité — Avec A(x,y),A(x, y), les vecteurs OA→\overrightarrow{OA} et AB→,\overrightarrow{AB}, de composantes (x,y)(x, y) et (−x,5−y),(-x, 5 - y), sont orthogonaux.x(−x)+y(5−y)=0  ⟺  x2+y2=5yx(-x) + y(5 - y) = 0 \iff x^{2} + y^{2} = 5y
  3. L'ordonnée — Or OA=3,OA = 3, donc x2+y2=9.x^{2} + y^{2} = 9.5y=9  ⟺  y=955y = 9 \iff y = \dfrac{9}{5}
  4. L'abscisse — On reporte dans x2+y2=9x^{2} + y^{2} = 9 et on garde l'abscisse positive.x2=9−8125=14425;x=125x^{2} = 9 - \dfrac{81}{25} = \dfrac{144}{25} \quad ; \quad x = \dfrac{12}{5}

A(125,95)A\left(\dfrac{12}{5}, \dfrac{9}{5}\right) : l'abscisse de AA est 125.\dfrac{12}{5}.

Pièges anticipés

  • 9/5 / 1.8 → 95\dfrac{9}{5} est l'ordonnée de AA ; on demande son abscisse.

Exercice 22 · pratique

Même milieu

AA et BB sont deux points, MM et NN les points tels que AM→=53AB→\overrightarrow{AM} = \dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB} et AN→=−23AB→.\overrightarrow{AN} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}. On note KK le milieu de [MN].[MN]. Trouver le réel kk tel que AK→=kAB→,\overrightarrow{AK} = k\overrightarrow{AB}, et conclure.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. KK est le milieu de [MN][MN] : AM→+AN→=2AK→.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AK}.
  2. 53−23=1.\dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3} = 1.

Correction

  1. Le milieu — 2AK→=AM→+AN→=53AB→−23AB→=AB→2\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}
  2. Diviser par deux — AK→=12AB→\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

k=12k = \dfrac{1}{2} : KK est aussi le milieu de [AB],[AB], donc [AB][AB] et [MN][MN] ont le même milieu.

Pièges anticipés

  • 1 → AM→+AN→\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} vaut 2AK→,2\overrightarrow{AK}, pas AK→\overrightarrow{AK} : il reste à diviser par deux.

Exercice 23 · pratique

Placer le point E

ABCABC est un triangle et EE le point défini par 3EA→+EB→=0⃗.3\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = \vec{0}. Trouver le réel kk tel que AE→=kAB→.\overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AB}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25

Indices, dans l’ordre

  1. Avec Chasles, écris EB→=EA→+AB→.\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}.
  2. On obtient 4EA→+AB→=0⃗4\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0} ; puis AE→=−EA→.\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{EA}.

Correction

  1. Chasles — 3EA→+EA→+AB→=0⃗  ⟺  4EA→=−AB→3\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0} \iff 4\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AB}
  2. Retourner — On change de sens : AE→=−EA→.\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{EA}.EA→=−14AB→  ⟺  AE→=14AB→\overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}

AE→=14AB→\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} : EE est sur [AB],[AB], au quart à partir de A.A.

Pièges anticipés

  • -1/4 / -0.25 → −14-\dfrac{1}{4} est le coefficient de EA→\overrightarrow{EA} ; pour AE→,\overrightarrow{AE}, le signe change.
  • 1/3 / -1/3 → 3EA→+EB→3\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} fait apparaître 4EA→4\overrightarrow{EA} après Chasles, pas 3EA→.3\overrightarrow{EA}.

Exercice 24 · pratique

B, C et D alignés

Quatre points A,A, B,B, CC et DD sont tels que 5AD→=3AB→+2AC→.5\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}. Trouver le réel kk tel que BD→=kBC→,\overrightarrow{BD} = k\overrightarrow{BC}, et conclure.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 2/5 — aussi acceptées : 0.4

Indices, dans l’ordre

  1. Fais passer tous les vecteurs par BB : AD→=AB→+BD→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} et AC→=AB→+BC→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.
  2. Les termes en AB→\overrightarrow{AB} s'annulent : il reste 5BD→=2BC→.5\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}.

Correction

  1. Chasles — 5(AB→+BD→)=3AB→+2(AB→+BC→)5(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) = 3\overrightarrow{AB} + 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})
  2. Simplifier — 5AB→+5BD→=5AB→+2BC→  ⟺  BD→=25BC→5\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{BD} = 5\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} \iff \overrightarrow{BD} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}

BD→=25BC→\overrightarrow{BD} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC} : les vecteurs sont colinéaires, donc B,B, CC et DD sont alignés.

Pièges anticipés

  • 3/5 / 0.6 → 35\dfrac{3}{5} est le coefficient de CD→\overrightarrow{CD} par rapport à CB→\overrightarrow{CB} ; on demande BD→\overrightarrow{BD} en fonction de BC→.\overrightarrow{BC}.

Exercice 25 · pratique

Deux droites parallèles

ABCABC est un triangle, EE et FF les points tels que AE→=3AB→+AC→\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} et AF→=AB→+3AC→.\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}. Trouver le réel kk tel que EF→=kBC→,\overrightarrow{EF} = k\overrightarrow{BC}, et conclure.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. EF→=AF→−AE→.\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE}.
  2. On obtient −2AB→+2AC→-2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} ; or AC→−AB→=BC→.\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}.

Correction

  1. Le vecteur EF — EF→=AF→−AE→=AB→+3AC→−3AB→−AC→=2AC→−2AB→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}
  2. Chasles — 2(AC→−AB→)=2(BA→+AC→)=2BC→2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 2(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{BC}

EF→=2BC→\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{BC} : les droites (BC)(BC) et (EF)(EF) sont parallèles.

Pièges anticipés

  • -2 → AC→−AB→=BC→,\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}, pas CB→\overrightarrow{CB} : vérifie le sens avec Chasles.

Exercice 26 · raisonnement

Un parallélogramme BCMN

ABCABC est un triangle ; à tout réel xx on associe les points MM et NN tels que AM→=AB→+xAC→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC} et AN→=xAB→+AC→.\overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}. On montre que MN→=(1−x)BC→.\overrightarrow{MN} = (1 - x)\overrightarrow{BC}. Déterminer la valeur de xx pour laquelle BCMNBCMN est un parallélogramme.

Donne la valeur de x.x.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. BCMNBCMN est un parallélogramme si et seulement si BC→=NM→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{NM}.
  2. NM→=−MN→=(x−1)BC→.\overrightarrow{NM} = -\overrightarrow{MN} = (x - 1)\overrightarrow{BC}.

Correction

  1. Le vecteur MN — MN→=AN→−AM→=(x−1)AB→+(1−x)AC→=(1−x)BC→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = (x - 1)\overrightarrow{AB} + (1 - x)\overrightarrow{AC} = (1 - x)\overrightarrow{BC}
  2. Le parallélogramme — BCMNBCMN est un parallélogramme si et seulement si BC→=NM→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{NM}.NM→=(x−1)BC→=BC→  ⟺  x−1=1\overrightarrow{NM} = (x - 1)\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \iff x - 1 = 1

BCMNBCMN est un parallélogramme pour x=2.x = 2.

Pièges anticipés

  • 0 → Dans BCMN,BCMN, BC→=NM→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{NM} : c'est (x−1)BC→,(x - 1)\overrightarrow{BC}, pas (1−x)BC→.(1 - x)\overrightarrow{BC}.
  • 1 → Pour x=1,x = 1, M=NM = N : le quadrilatère est aplati, ce n'est pas un parallélogramme.

Exercice 27 · base

Un milieu caché

ABCABC est un triangle, II le milieu de [AB][AB] et MM le point tel que MA→+MB→+2MC→=0⃗.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}. Trouver le réel kk tel que IM→=kIC→.\overrightarrow{IM} = k\overrightarrow{IC}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [AB][AB] : MA→+MB→=2MI→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}.
  2. On obtient MI→+MC→=0⃗\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0} : MM est le milieu de [IC].[IC].

Correction

  1. Le milieu I — 2MI→+2MC→=0⃗  ⟺  MI→+MC→=0⃗2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0} \iff \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}
  2. Conclure — MM est donc le milieu de [IC].[IC].IM→=12IC→\overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{IC}

k=12k = \dfrac{1}{2} : MM est le milieu de [IC].[IC].

Pièges anticipés

  • 2 → MM est entre II et CC : le vecteur IM→\overrightarrow{IM} est plus court que IC→.\overrightarrow{IC}.

Exercice 28 · pratique

Des vecteurs colinéaires

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(8,−5),A(8, -5), B(2,−1),B(2, -1), C(−19,8)C(-19, 8) et D(−1,−4).D(-1, -4). Trouver le réel kk tel que CD→=kAB→.\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les composantes de AB→\overrightarrow{AB} et de CD→\overrightarrow{CD} : extrémité moins origine.
  2. AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes −6-6 et 4,4, CD→\overrightarrow{CD} a pour composantes 1818 et −12.-12.

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(−64)CD→(−1+19−4−8)=(18−12)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -1 + 19 \\ -4 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ -12 \end{pmatrix}
  2. Comparer — 18=−3×(−6);−12=−3×418 = -3 \times (-6) \quad ; \quad -12 = -3 \times 4

CD→=−3AB→\overrightarrow{CD} = -3\overrightarrow{AB} : les vecteurs sont colinéaires, de sens contraires.

Pièges anticipés

  • -1/3 → −13-\dfrac{1}{3} donne AB→\overrightarrow{AB} en fonction de CD→\overrightarrow{CD} ; on demande l'inverse.

Exercice 29 · defi

Des normes qui s’ajoutent

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs tels que la norme de u⃗\vec{u} vaut 2,2, celle de v⃗\vec{v} vaut 33 et celle de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} vaut 5.5. Ces vecteurs sont colinéaires : trouver le réel kk tel que v⃗=ku⃗.\vec{v} = k\vec{u}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5

Indices, dans l’ordre

  1. Avec u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=BC→,\vec{v} = \overrightarrow{BC}, on a AB=2,AB = 2, BC=3BC = 3 et AC=5=AB+BC.AC = 5 = AB + BC.
  2. L'égalité AC=AB+BCAC = AB + BC place BB sur le segment [AC][AC] : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont de même sens.

Correction

  1. Les points — On pose u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et v⃗=BC→,\vec{v} = \overrightarrow{BC}, de sorte que u⃗+v⃗=AC→.\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}.AB=2;BC=3;AC=5=AB+BCAB = 2 \quad ; \quad BC = 3 \quad ; \quad AC = 5 = AB + BC
  2. Alignement — Comme AC=AB+BC,AC = AB + BC, le point BB est sur le segment [AC][AC] : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires et de même sens.
  3. Le coefficient — Le rapport des longueurs donne le réel, positif :k=BCAB=32k = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{2}

v⃗=32u⃗.\vec{v} = \dfrac{3}{2}\vec{u}.

Pièges anticipés

  • -3/2 / -1.5 → Si v⃗\vec{v} était de sens contraire, la norme de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} vaudrait 3−2=1,3 - 2 = 1, pas 5.5.

Exercice 30 · raisonnement

Deux à deux colinéaires

Trois vecteurs u⃗,\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont tels que 2u⃗+v⃗−w⃗=0⃗2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w} = \vec{0} et u⃗−v⃗+3w⃗=0⃗.\vec{u} - \vec{v} + 3\vec{w} = \vec{0}. Trouver le réel kk tel que v⃗=ku⃗.\vec{v} = k\vec{u}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -7/2 — aussi acceptées : -3.5

Indices, dans l’ordre

  1. Additionne les deux égalités membre à membre : v⃗\vec{v} disparaît.
  2. Tu obtiens 3u⃗+2w⃗=0⃗,3\vec{u} + 2\vec{w} = \vec{0}, donc w⃗=−32u⃗\vec{w} = -\dfrac{3}{2}\vec{u} ; reporte dans la première égalité.

Correction

  1. Additionner — (2u⃗+v⃗−w⃗)+(u⃗−v⃗+3w⃗)=3u⃗+2w⃗=0⃗(2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) + (\vec{u} - \vec{v} + 3\vec{w}) = 3\vec{u} + 2\vec{w} = \vec{0}
  2. Le vecteur w — w⃗=−32u⃗\vec{w} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}
  3. Le vecteur v — La première égalité donne v⃗=w⃗−2u⃗.\vec{v} = \vec{w} - 2\vec{u}.v⃗=−32u⃗−2u⃗=−72u⃗\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u} - 2\vec{u} = -\dfrac{7}{2}\vec{u}

v⃗=−72u⃗\vec{v} = -\dfrac{7}{2}\vec{u} et w⃗=−32u⃗\vec{w} = -\dfrac{3}{2}\vec{u} : les trois vecteurs sont deux à deux colinéaires.

Pièges anticipés

  • -3/2 / -1.5 → −32-\dfrac{3}{2} est le coefficient de w⃗\vec{w} ; reporte-le dans v⃗=w⃗−2u⃗.\vec{v} = \vec{w} - 2\vec{u}.

Exercice 31 · pratique

Une combinaison de deux vecteurs

Soient a⃗=u⃗−2v⃗\vec{a} = \vec{u} - 2\vec{v} et b⃗=45u⃗+v⃗.\vec{b} = \dfrac{4}{5}\vec{u} + \vec{v}. Exprimer le vecteur 2a⃗+5b⃗2\vec{a} + 5\vec{b} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗.\vec{v}.

Écris le résultat en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, par exemple 3u−2v.3u - 2v.

Réponse attendue : 6u+v — aussi acceptées : v+6u · 6*u+v · 2a+5b=6u+v · 6\vec{u}+\vec{v} · 6u+1v · 6 vecteur u + vecteur v

Indices, dans l’ordre

  1. 2a⃗=2u⃗−4v⃗2\vec{a} = 2\vec{u} - 4\vec{v} et 5b⃗=4u⃗+5v⃗.5\vec{b} = 4\vec{u} + 5\vec{v}.
  2. Additionne les termes en u⃗,\vec{u}, puis les termes en v⃗.\vec{v}.

Correction

  1. Les produits — 2a⃗=2u⃗−4v⃗;5b⃗=4u⃗+5v⃗2\vec{a} = 2\vec{u} - 4\vec{v} \quad ; \quad 5\vec{b} = 4\vec{u} + 5\vec{v}
  2. La somme — 2a⃗+5b⃗=(2+4)u⃗+(−4+5)v⃗=6u⃗+v⃗2\vec{a} + 5\vec{b} = (2 + 4)\vec{u} + (-4 + 5)\vec{v} = 6\vec{u} + \vec{v}

2a⃗+5b⃗=6u⃗+v⃗.2\vec{a} + 5\vec{b} = 6\vec{u} + \vec{v}.

Pièges anticipés

  • 2u+v / 2u + v → 5×45u⃗=4u⃗5 \times \dfrac{4}{5}\vec{u} = 4\vec{u} : le 55 multiplie aussi le premier terme de b⃗.\vec{b}.

Exercice 32 · raisonnement

Une nouvelle base

ABCABC est un triangle, u⃗=2AB→+AC→\vec{u} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} et v⃗=−AB→+3AC→.\vec{v} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}. Dans la base (AB→,AC→),(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), calculer le déterminant de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, puis conclure.

Donne la valeur du déterminant.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. A,A, B,B, CC non alignés : (AB→,AC→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) est une base. u⃗\vec{u} a pour composantes 22 et 1,1, v⃗\vec{v} a pour composantes −1-1 et 3.3.
  2. Calcule 2×3−(−1)×1.2 \times 3 - (-1) \times 1.

Correction

  1. Les composantes — u⃗(21)v⃗(−13)\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — 2×3−(−1)×1=6+1=72 \times 3 - (-1) \times 1 = 6 + 1 = 7

Le déterminant vaut 7,7, il n'est pas nul : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ne sont pas colinéaires, donc (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}) est une base.

Pièges anticipés

  • 5 → −(−1)×1=+1-(-1) \times 1 = +1 : le déterminant vaut 6+1.6 + 1.

Exercice 33 · base

Le milieu, en vecteurs

II est le milieu du segment [AB].[AB]. Trouver le réel kk tel que IA→=kAB→.\overrightarrow{IA} = k\overrightarrow{AB}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur IA→\overrightarrow{IA} va de II vers AA : est-il de même sens que AB→\overrightarrow{AB} ou de sens contraire ?
  2. Sa longueur IAIA est la moitié de AB.AB.

Correction

  1. Le milieu — II est le milieu de [AB].[AB].AI→=12AB→\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
  2. L'opposé — IA→\overrightarrow{IA} est l'opposé de AI→.\overrightarrow{AI}.IA→=−AI→=−12AB→\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{AI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

k=−12k = -\dfrac{1}{2} : pour écrire un vecteur en fonction d'un autre, on regarde le sens, puis la longueur.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → Les vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et AB→\overrightarrow{AB} sont de sens contraires : le réel est négatif.
  • -2 → C'est AB→\overrightarrow{AB} qui vaut −2-2 fois IA→,\overrightarrow{IA}, pas l'inverse : IAIA est la moitié de AB.AB.

Exercice 34 · pratique

Une somme autour du milieu

II est le milieu de [AB].[AB]. Trouver le réel kk tel que IA→+IB→+AB→=kAI→.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AI}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut IA→+IB→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} quand II est le milieu de [AB][AB] ?
  2. Il reste AB→\overrightarrow{AB} : écris-le à l'aide de AI→.\overrightarrow{AI}.

Correction

  1. Le milieu — Les vecteurs IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés.IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}
  2. Il reste AB — IA→+IB→+AB→=AB→=2AI→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}

k=2.k = 2. Le milieu II de [AB][AB] se traduit par IA→+IB→=0⃗,\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}, ou par AB→=2AI→.\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}.

Pièges anticipés

  • 4 → IA→+IB→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} n'est pas AB→\overrightarrow{AB} : les deux vecteurs sont opposés, leur somme est le vecteur nul.
  • 1/2 / 0.5 → C'est AI→\overrightarrow{AI} qui est la moitié de AB→\overrightarrow{AB} : AB→\overrightarrow{AB} est le double de AI→.\overrightarrow{AI}.

Exercice 35 · base

La règle du parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme. Écrire le vecteur DA→+DC→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} à l'aide de deux des points A,A, B,B, CC et D.D.

Écris le vecteur par ses deux lettres, par exemple EFEF pour EF→\overrightarrow{EF} ; écris 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : DB — aussi acceptées : \overrightarrow{DB} · vecteur DB · le vecteur DB · DB→ · →DB · vec DB · c'est le vecteur DB · DA+DC=DB

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux vecteurs ont la même origine DD : leur somme est une diagonale du parallélogramme construit sur eux.
  2. Dans ABCD,ABCD, quel sommet est opposé à DD ?

Correction

  1. Même origine — Les vecteurs DA→\overrightarrow{DA} et DC→\overrightarrow{DC} partent de DD ; la somme est la diagonale issue de D.D.DA→+DC→=DB→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}
  2. Vérifier par Chasles — Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, DC→=AB→.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.DA→+DC→=DA→+AB→=DB→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}

DA→+DC→=DB→\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} : la somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale issue de cette origine.

Pièges anticipés

  • BD / \overrightarrow{BD} / vecteur BD → Le vecteur somme part du point commun DD : c'est DB→,\overrightarrow{DB}, pas BD→.\overrightarrow{BD}.
  • AC / CA → La somme de deux vecteurs d'origine DD est la diagonale issue de D,D, pas l'autre diagonale.

Exercice 36 · base

Réordonner pour Chasles

A,A, B,B, CC et DD sont quatre points. Simplifier l'écriture du vecteur AB→+CA→+BD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD}.

Écris le vecteur par ses deux lettres, par exemple EFEF pour EF→\overrightarrow{EF} ; écris 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : CD — aussi acceptées : \overrightarrow{CD} · vecteur CD · le vecteur CD · CD→ · →CD · vec CD · c'est le vecteur CD

Indices, dans l’ordre

  1. L'addition est commutative : place les vecteurs pour que l'extrémité de l'un soit l'origine du suivant.
  2. Commence par CA→\overrightarrow{CA} : il arrive en A,A, origine de AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Réordonner — AB→+CA→+BD→=CA→+AB→+BD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}
  2. Chasles deux fois — CA→+AB→+BD→=CB→+BD→=CD→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD}

La somme vaut CD→\overrightarrow{CD} : on réordonne la somme en une chaîne, puis la relation de Chasles la réduit.

Pièges anticipés

  • DC / \overrightarrow{DC} / vecteur DC → Le vecteur obtenu part de l'origine du premier maillon de la chaîne, C,C, et arrive à l'extrémité du dernier, D.D.

Exercice 37 · pratique

Une chaîne qui se referme

A,A, BB et CC sont trois points. Trouver le réel kk tel que AB→+2BC→+CA→=kBC→.\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = k\overrightarrow{BC}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1

Indices, dans l’ordre

  1. Écris 2BC→2\overrightarrow{BC} sous la forme BC→+BC→.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}.
  2. Que vaut AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ?

Correction

  1. Découper — AB→+2BC→+CA→=(AB→+BC→+CA→)+BC→\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{BC}
  2. Chasles — La chaîne part de AA et revient en A.A.AB→+BC→+CA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}
  3. Conclure — AB→+2BC→+CA→=BC→\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC}

k=1k = 1 : une chaîne de Chasles qui revient à son point de départ donne le vecteur nul.

Pièges anticipés

  • 3 → AB→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} n'est pas BC→\overrightarrow{BC} : c'est CA→+AB→=CB→=−BC→.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}.
  • 2 → Une partie de 2BC→2\overrightarrow{BC} est absorbée par la chaîne AB→+BC→+CA→=0⃗.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}.

Exercice 38 · pratique

Une différence qui s'annule

M,M, NN et PP sont trois points. Simplifier l'écriture du vecteur MN→−MP→+NP→.\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NP}.

Écris le vecteur par ses deux lettres, par exemple EFEF pour EF→\overrightarrow{EF} ; écris 00 pour le vecteur nul.

Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : \vec{0} · vecteur nul · le vecteur nul · 0→ · nul · c'est le vecteur nul · →0 · vecteur 0 · le vecteur 0 · MM · NN · PP

Indices, dans l’ordre

  1. Retrancher MP→,\overrightarrow{MP}, c'est ajouter son opposé PM→.\overrightarrow{PM}.
  2. Réordonne : PM→+MN→\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} est une chaîne de Chasles.

Correction

  1. Retrancher — MN→−MP→=PM→+MN→=PN→\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PN}
  2. Conclure — PN→\overrightarrow{PN} et NP→\overrightarrow{NP} sont opposés.PN→+NP→=PP→=0⃗\overrightarrow{PN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{PP} = \vec{0}

Le vecteur est nul. Retrancher un vecteur, c'est ajouter son opposé : −MP→=PM→.-\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{PM}.

Pièges anticipés

  • 2NP / 2\overrightarrow{NP} → MN→−MP→\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP} n'est pas NP→\overrightarrow{NP} : c'est PM→+MN→=PN→,\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PN}, l'opposé de NP→.\overrightarrow{NP}.

Exercice 39 · base

Opposé et Chasles

A,A, BB et CC sont trois points. Trouver le réel kk tel que BA→+CB→=kAC→.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} = k\overrightarrow{AC}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par CB→\overrightarrow{CB} : il arrive en B,B, origine de BA→.\overrightarrow{BA}.
  2. Compare le vecteur obtenu à AC→\overrightarrow{AC} : même sens ou sens contraire ?

Correction

  1. Chasles — BA→+CB→=CB→+BA→=CA→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}
  2. L'opposé — CA→=−AC→\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}

k=−1k = -1 : on obtient CA→,\overrightarrow{CA}, l'opposé de AC→\overrightarrow{AC} ; changer l'ordre des lettres change le signe.

Pièges anticipés

  • 1 → On trouve CA→,\overrightarrow{CA}, qui est l'opposé de AC→\overrightarrow{AC} : le réel est −1.-1.

Exercice 40 · pratique

Enlever des parenthèses

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs. Écrire sans parenthèses et réduire le vecteur a⃗=u⃗−(2v⃗−u⃗)−(u⃗+v⃗).\vec{a} = \vec{u} - (2\vec{v} - \vec{u}) - (\vec{u} + \vec{v}).

Écris a⃗\vec{a} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, par exemple 2u−v.2u - v.

Réponse attendue : u-3v — aussi acceptées : a=u-3v · -3v+u · u-3*v · a=u-3*v · \vec{u}-3\vec{v} · \vec{a}=\vec{u}-3\vec{v} · 1u-3v · a=-3v+u · -3*v+u · u+(-3v)

Indices, dans l’ordre

  1. Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes.
  2. Regroupe ensuite les termes en u⃗,\vec{u}, puis les termes en v⃗.\vec{v}.

Correction

  1. Enlever les parenthèses — a⃗=u⃗−2v⃗+u⃗−u⃗−v⃗\vec{a} = \vec{u} - 2\vec{v} + \vec{u} - \vec{u} - \vec{v}
  2. Regrouper — a⃗=(1+1−1)u⃗+(−2−1)v⃗=u⃗−3v⃗\vec{a} = (1 + 1 - 1)\vec{u} + (-2 - 1)\vec{v} = \vec{u} - 3\vec{v}

a⃗=u⃗−3v⃗\vec{a} = \vec{u} - 3\vec{v} : l'opposé d'une somme est la somme des opposés.

Pièges anticipés

  • -u-3v / a=-u-3v → L'opposé de 2v⃗−u⃗2\vec{v} - \vec{u} est −2v⃗+u⃗-2\vec{v} + \vec{u} : le signe de u⃗\vec{u} change aussi.
  • u-v / a=u-v → L'opposé de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} est −u⃗−v⃗-\vec{u} - \vec{v} : le signe de v⃗\vec{v} change aussi.

Exercice 41 · base

Abscisse et vecteur

AA et BB sont deux points distincts, et MM est le point de la droite (AB)(AB) d'abscisse −32-\dfrac{3}{2} dans le repère (A,B).(A, B). Trouver le réel kk tel que MA→=kAB→.\overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{AB}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse de MM dans le repère (A,B)(A, B) donne AM→\overrightarrow{AM} en fonction de AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. MA→\overrightarrow{MA} est l'opposé de AM→.\overrightarrow{AM}.

Correction

  1. L'abscisse — AM→=−32AB→\overrightarrow{AM} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}
  2. L'opposé — MA→=−AM→=32AB→\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}

k=32k = \dfrac{3}{2} : l'abscisse de MM dans le repère (A,B)(A, B) est le réel xx tel que AM→=xAB→\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} ; changer le sens du vecteur change le signe.

Pièges anticipés

  • -3/2 / -1.5 → Ce réel est celui de AM→\overrightarrow{AM} ; on demande MA→,\overrightarrow{MA}, son opposé.

Exercice 42 · pratique

Une longueur sur un segment

AA et BB sont deux points tels que AB=8AB = 8 cm, et CC est le point tel que AC→=34AB→.\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}. Calculer la longueur BCBC en cm.

Donne BCBC en cm.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Le réel 34\dfrac{3}{4} est positif et inférieur à 11 : où se trouve CC ?
  2. Calcule d'abord AC,AC, puis retire-la de AB.AB.

Correction

  1. La longueur AC — AC=34×8=6 cmAC = \dfrac{3}{4} \times 8 = 6 \text{ cm}
  2. La longueur BC — CC est sur le segment [AB].[AB].BC=AB−AC=8−6=2 cmBC = AB - AC = 8 - 6 = 2 \text{ cm}

BC=2BC = 2 cm : si AC→=xAB→\overrightarrow{AC} = x\overrightarrow{AB} avec 0<x<1,0 < x < 1, le point CC est sur le segment [AB][AB] et AC=x⋅AB.AC = x \cdot AB.

Pièges anticipés

  • 6 → 66 cm, c'est AC.AC. Le point CC est entre AA et BB : BC=AB−AC.BC = AB - AC.

Exercice 43 · raisonnement

Retrouver une abscisse

AA et BB sont deux points distincts, et NN est le point tel que BN→=−2AB→.\overrightarrow{BN} = -2\overrightarrow{AB}. Déterminer l'abscisse de NN dans le repère (A,B).(A, B).

Donne l'abscisse du point N.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. L'abscisse de NN dans le repère (A,B)(A, B) est le réel xx tel que AN→=xAB→.\overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AB}.
  2. Passe par BB : AN→=AB→+BN→.\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}.

Correction

  1. Chasles — AN→=AB→+BN→=AB→−2AB→\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AB}
  2. Réduire — AN→=−AB→\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AB}

L'abscisse de NN est −1-1 : NN est le symétrique de BB par rapport à A.A. On ramène le vecteur à l'origine AA du repère par la relation de Chasles.

Pièges anticipés

  • -2 → −2-2 est le réel de BN→,\overrightarrow{BN}, pas celui de AN→\overrightarrow{AN} : l'abscisse se lit à partir de l'origine A.A.
  • 3 → Avec Chasles, AN→=AB→+BN→\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} : on ajoute BN→,\overrightarrow{BN}, on ne le retranche pas.

Exercice 44 · pratique

Développer et réduire

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs. Simplifier l'écriture du vecteur w⃗=3(2u⃗−v⃗)−2(u⃗−4v⃗).\vec{w} = 3(2\vec{u} - \vec{v}) - 2(\vec{u} - 4\vec{v}).

Écris w⃗\vec{w} en fonction de u⃗\vec{u} et v⃗,\vec{v}, par exemple 2u−v.2u - v.

Réponse attendue : 4u+5v — aussi acceptées : w=4u+5v · 5v+4u · 4*u+5*v · w=4*u+5*v · \vec{w}=4\vec{u}+5\vec{v} · 4\vec{u}+5\vec{v} · w=5v+4u · 5*v+4*u

Indices, dans l’ordre

  1. Développe chaque produit : le réel multiplie chacun des deux vecteurs de la parenthèse.
  2. Attention au produit −2×(−4v⃗).-2 \times (-4\vec{v}).

Correction

  1. Développer — w⃗=6u⃗−3v⃗−2u⃗+8v⃗\vec{w} = 6\vec{u} - 3\vec{v} - 2\vec{u} + 8\vec{v}
  2. Regrouper — w⃗=(6−2)u⃗+(−3+8)v⃗=4u⃗+5v⃗\vec{w} = (6 - 2)\vec{u} + (-3 + 8)\vec{v} = 4\vec{u} + 5\vec{v}

w⃗=4u⃗+5v⃗\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v} : on développe avec a(u⃗+v⃗)=au⃗+av⃗,a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}, puis on regroupe avec au⃗+bu⃗=(a+b)u⃗.a\vec{u} + b\vec{u} = (a + b)\vec{u}.

Pièges anticipés

  • 4u-11v / w=4u-11v → −2×(−4v⃗)=+8v⃗-2 \times (-4\vec{v}) = +8\vec{v} : deux signes moins donnent un plus.
  • 4u+7v / w=4u+7v → Le 33 multiplie aussi −v⃗-\vec{v} : 3(2u⃗−v⃗)=6u⃗−3v⃗.3(2\vec{u} - \vec{v}) = 6\vec{u} - 3\vec{v}.

Exercice 45 · base

Un produit nul

u⃗\vec{u} est un vecteur non nul et xx un réel tel que (3x+7)u⃗=0⃗.(3x + 7)\vec{u} = \vec{0}. Déterminer la valeur exacte de x.x.

Donne la valeur exacte de x.x.

Réponse attendue : -7/3

Indices, dans l’ordre

  1. Un produit αu⃗\alpha\vec{u} est nul si et seulement si α=0\alpha = 0 ou u⃗=0⃗.\vec{u} = \vec{0}.
  2. Ici u⃗\vec{u} n'est pas nul : que dire du réel 3x+73x + 7 ?

Correction

  1. La propriété — Le vecteur u⃗\vec{u} n'est pas nul, donc c'est le réel qui est nul.3x+7=03x + 7 = 0
  2. Résoudre — x=−73x = -\dfrac{7}{3}

x=−73x = -\dfrac{7}{3} : si αu⃗=0⃗\alpha\vec{u} = \vec{0} avec u⃗≠0⃗,\vec{u} \ne \vec{0}, alors α=0.\alpha = 0.

Pièges anticipés

  • 7/3 → On isole xx : 3x=−7,3x = -7, le signe moins reste.
  • -3/7 → 3x=−73x = -7 donne x=−73x = \dfrac{-7}{3} : on divise par 3.3.
  • -2.33 / -2.3 / -2.333 → On demande la valeur exacte : garde la fraction.

Exercice 46 · pratique

Deux valeurs possibles

u⃗\vec{u} est un vecteur non nul et xx un réel tel que (x2−5x)u⃗=0⃗.(x^{2} - 5x)\vec{u} = \vec{0}. Déterminer les valeurs possibles de x.x.

Donne l'ensemble des valeurs de x,x, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {0;5} — aussi acceptées : x = 0 ou x = 5 · x = 5 ou x = 0 · 0 et 5 · {5;0} · S = {0;5} · 0 ou 5

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur u⃗\vec{u} n'est pas nul : c'est le réel x2−5xx^{2} - 5x qui est nul.
  2. Factorise x2−5x,x^{2} - 5x, puis applique la règle du produit nul.

Correction

  1. La propriété — x2−5x=0x^{2} - 5x = 0
  2. Factoriser — x(x−5)=0  ⟺  x=0 ou x=5x(x - 5) = 0 \iff x = 0 \text{ ou } x = 5

x=0x = 0 ou x=5x = 5 : le produit nul ramène à une équation entre réels, qu'on résout en factorisant.

Pièges anticipés

  • {5} / x = 5 → Diviser par xx fait perdre une solution : factorise plutôt x2−5x=x(x−5).x^{2} - 5x = x(x - 5).

Exercice 47 · raisonnement

Un réel au carré

u⃗\vec{u} est un vecteur non nul et kk un réel tel que k(ku⃗)=9u⃗.k(k\vec{u}) = 9\vec{u}. Déterminer les valeurs possibles de k.k.

Donne l'ensemble des valeurs de k,k, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {-3;3} — aussi acceptées : k = -3 ou k = 3 · k = 3 ou k = -3 · -3 et 3 · {3;-3} · S = {-3;3} · ±3 · k=±3 · 3 et -3

Indices, dans l’ordre

  1. La propriété a(bu⃗)=(ab)u⃗a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u} transforme k(ku⃗).k(k\vec{u}).
  2. Regroupe tout dans un membre : tu obtiens un produit d'un réel par u⃗,\vec{u}, égal au vecteur nul.

Correction

  1. Associativité — k(ku⃗)=k2u⃗k(k\vec{u}) = k^{2}\vec{u}
  2. Produit nul — Le vecteur u⃗\vec{u} n'est pas nul.(k2−9)u⃗=0⃗  ⟺  k2=9(k^{2} - 9)\vec{u} = \vec{0} \iff k^{2} = 9
  3. Résoudre — k=−3 ou k=3k = -3 \text{ ou } k = 3

k=−3k = -3 ou k=3k = 3 : on regroupe en un seul produit αu⃗=0⃗,\alpha\vec{u} = \vec{0}, puis on écrit α=0.\alpha = 0.

Pièges anticipés

  • {3} / k = 3 → (−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9 aussi : l'équation k2=9k^{2} = 9 a deux solutions.
  • {9} / k = 9 / {-9;9} → k(ku⃗)=(k×k)u⃗k(k\vec{u}) = (k \times k)\vec{u} : c'est k2k^{2} qui vaut 9,9, pas k.k.

Exercice 48 · base

Colinéaires : trouver le réel

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs, a⃗=3u⃗−6v⃗\vec{a} = 3\vec{u} - 6\vec{v} et b⃗=−u⃗+2v⃗.\vec{b} = -\vec{u} + 2\vec{v}. Trouver le réel kk tel que a⃗=kb⃗.\vec{a} = k\vec{b}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Compare les coefficients de u⃗\vec{u} dans a⃗\vec{a} et dans b⃗.\vec{b}.
  2. Vérifie que le même réel convient pour les coefficients de v⃗.\vec{v}.

Correction

  1. Factoriser — a⃗=3u⃗−6v⃗=−3(−u⃗+2v⃗)\vec{a} = 3\vec{u} - 6\vec{v} = -3(-\vec{u} + 2\vec{v})
  2. Conclure — a⃗=−3b⃗\vec{a} = -3\vec{b}

k=−3k = -3 : a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} sont colinéaires, l'un est le produit de l'autre par un réel.

Pièges anticipés

  • 3 → 3×(−u⃗)=−3u⃗,3 \times (-\vec{u}) = -3\vec{u}, pas 3u⃗3\vec{u} : le réel est négatif.
  • -1/3 → −13-\dfrac{1}{3} donne b⃗\vec{b} en fonction de a⃗\vec{a} ; on demande a⃗=kb⃗.\vec{a} = k\vec{b}.

Exercice 49 · raisonnement

Trois points alignés

A,A, BB et CC sont trois points, et DD est le point tel que AD→=3AB→−2AC→.\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}. Trouver le réel kk tel que CD→=kCB→.\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{CB}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Passe par AA : CD→=CA→+AD→.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD}.
  2. Mets 33 en facteur, puis reconnais AB→−AC→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}.

Correction

  1. Chasles — CD→=CA→+AD→=−AC→+3AB→−2AC→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}
  2. Réduire — CD→=3AB→−3AC→=3(AB→−AC→)\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = 3(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})
  3. Reconnaître CB — AB→−AC→=CA→+AB→=CB→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}.CD→=3CB→\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{CB}

k=3k = 3 : CD→\overrightarrow{CD} et CB→\overrightarrow{CB} sont colinéaires, donc B,B, CC et DD sont alignés.

Pièges anticipés

  • -3 → AB→−AC→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} est CB→,\overrightarrow{CB}, pas BC→\overrightarrow{BC} : AB→−AC→=CA→+AB→.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}.

Exercice 50 · base

Lire des composantes

(i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) est une base de l'ensemble des vecteurs du plan. Donner les composantes du vecteur u⃗=23j⃗−5i⃗.\vec{u} = \dfrac{2}{3}\vec{j} - 5\vec{i}.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-5;2/3) — aussi acceptées : (-5,2/3) · u(-5;2/3) · u(-5,2/3) · u=(-5;2/3) · u=(-5,2/3) · -5;2/3 · x=-5;y=2/3 · x=-5 et y=2/3 · x=-5,y=2/3 · (x;y)=(-5;2/3) · (x,y)=(-5,2/3)

Indices, dans l’ordre

  1. La première composante est le coefficient de i⃗,\vec{i}, la seconde celui de j⃗.\vec{j}.
  2. Ici le terme en i⃗\vec{i} est écrit en dernier : ne te fie pas à l'ordre d'écriture.

Correction

  1. Réordonner — u⃗=−5i⃗+23j⃗\vec{u} = -5\vec{i} + \dfrac{2}{3}\vec{j}
  2. Lire — u⃗(−523)\vec{u}\begin{pmatrix} -5 \\ \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}

Les composantes de u⃗\vec{u} sont −5-5 et 23\dfrac{2}{3} : dans xi⃗+yj⃗,x\vec{i} + y\vec{j}, on lit xx puis y,y, quel que soit l'ordre d'écriture.

Pièges anticipés

  • (2/3;-5) / (2/3,-5) → La première composante est le coefficient de i⃗,\vec{i}, même s'il est écrit en second.

Exercice 51 · pratique

Composantes d'une combinaison

(i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) est une base, u⃗=2i⃗−j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} et v⃗=i⃗+3j⃗.\vec{v} = \vec{i} + 3\vec{j}. Déterminer les composantes du vecteur w⃗=3u⃗−2v⃗\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v} dans la base (i⃗,j⃗).(\vec{i}, \vec{j}).

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (4;-9) — aussi acceptées : (4,-9) · w(4;-9) · w(4,-9) · w=(4;-9) · w=(4,-9) · 4;-9 · x=4;y=-9 · x=4 et y=-9 · x=4,y=-9 · (x;y)=(4;-9) · (x,y)=(4,-9)

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} par leurs expressions, puis développe.
  2. Regroupe les termes en i⃗\vec{i} et les termes en j⃗.\vec{j}.

Correction

  1. Développer — w⃗=6i⃗−3j⃗−2i⃗−6j⃗\vec{w} = 6\vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{i} - 6\vec{j}
  2. Regrouper — w⃗=4i⃗−9j⃗\vec{w} = 4\vec{i} - 9\vec{j}
  3. Lire — w⃗(4−9)\vec{w}\begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix}

Les composantes de w⃗\vec{w} sont 44 et −9-9 : on calcule dans la base comme en algèbre, puis on lit les coefficients de i⃗\vec{i} et de j⃗.\vec{j}.

Pièges anticipés

  • (4;3) / (4,3) → −2×3j⃗=−6j⃗-2 \times 3\vec{j} = -6\vec{j} : on retranche 2v⃗2\vec{v} en entier.
  • (8;3) / (8,3) → On retranche 2v⃗,2\vec{v}, on ne l'ajoute pas.

Exercice 52 · raisonnement

Changer de base

(i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) est une base, u⃗=i⃗+j⃗\vec{u} = \vec{i} + \vec{j} et v⃗=i⃗−j⃗\vec{v} = \vec{i} - \vec{j} ; on admet que (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}) est aussi une base. Déterminer les composantes du vecteur w⃗=5i⃗+j⃗\vec{w} = 5\vec{i} + \vec{j} dans la base (u⃗,v⃗).(\vec{u}, \vec{v}).

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (3;2) — aussi acceptées : (3,2) · 3;2 · a=3;b=2 · a=3 et b=2 · a=3,b=2 · (a;b)=(3;2) · (a,b)=(3,2)

Indices, dans l’ordre

  1. Cherche deux réels aa et bb tels que w⃗=au⃗+bv⃗.\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.
  2. Développe au⃗+bv⃗a\vec{u} + b\vec{v} dans la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) et identifie les coefficients.
  3. Tu obtiens un système de deux équations : additionne-les.

Correction

  1. Développer — au⃗+bv⃗=(a+b)i⃗+(a−b)j⃗a\vec{u} + b\vec{v} = (a + b)\vec{i} + (a - b)\vec{j}
  2. Identifier — Les composantes dans une base sont uniques.a+b=5;a−b=1a + b = 5 \quad ; \quad a - b = 1
  3. Résoudre — a=3;b=2a = 3 \quad ; \quad b = 2
  4. Conclure — w⃗=3u⃗+2v⃗\vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}

Dans la base (u⃗,v⃗),(\vec{u}, \vec{v}), w⃗\vec{w} a pour composantes 33 et 22 : on identifie les coefficients, car les composantes dans une base sont uniques.

Pièges anticipés

  • (5;1) / (5,1) → Ce sont les composantes de w⃗\vec{w} dans la base (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}) ; on les demande dans la base (u⃗,v⃗).(\vec{u}, \vec{v}).
  • (2;3) / (2,3) → La première composante est le coefficient de u⃗\vec{u} : a+b=5a + b = 5 et a−b=1.a - b = 1.

Exercice 53 · pratique

Isoler un vecteur

Dans une base (i⃗,j⃗),(\vec{i}, \vec{j}), u⃗\vec{u} a pour composantes 11 et −5,-5, et v⃗\vec{v} a pour composantes 33 et 1.1. Déterminer les composantes du vecteur w⃗\vec{w} tel que 2w⃗−u⃗=3v⃗.2\vec{w} - \vec{u} = 3\vec{v}.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (5;-1) — aussi acceptées : (5,-1) · w(5;-1) · w(5,-1) · w=(5;-1) · w=(5,-1) · 5;-1 · x=5;y=-1 · x=5 et y=-1 · x=5,y=-1 · (x;y)=(5;-1) · (x,y)=(5,-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Isole w⃗\vec{w} comme dans une équation : 2w⃗=3v⃗+u⃗.2\vec{w} = 3\vec{v} + \vec{u}.
  2. Calcule les composantes de 3v⃗+u⃗,3\vec{v} + \vec{u}, puis multiplie-les par 12.\dfrac{1}{2}.

Correction

  1. Isoler — 2w⃗=u⃗+3v⃗  ⟺  w⃗=12(u⃗+3v⃗)2\vec{w} = \vec{u} + 3\vec{v} \iff \vec{w} = \dfrac{1}{2}(\vec{u} + 3\vec{v})
  2. Composantes — u⃗+3v⃗(1+9−5+3)=(10−2)\vec{u} + 3\vec{v}\begin{pmatrix} 1 + 9 \\ -5 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -2 \end{pmatrix}
  3. Diviser par deux — w⃗(5−1)\vec{w}\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}

Les composantes de w⃗\vec{w} sont 55 et −1-1 : on isole le vecteur inconnu, puis on calcule composante par composante.

Pièges anticipés

  • (4;4) / (4,4) → On ajoute u⃗\vec{u} aux deux membres : 2w⃗=3v⃗+u⃗,2\vec{w} = 3\vec{v} + \vec{u}, pas 3v⃗−u⃗.3\vec{v} - \vec{u}.
  • (10;-2) / (10,-2) → Ce sont les composantes de 2w⃗2\vec{w} : il reste à diviser par 2.2.

Exercice 54 · raisonnement

Décomposer sur deux vecteurs

Dans une base (i⃗,j⃗),(\vec{i}, \vec{j}), on donne u⃗\vec{u} de composantes 11 et 2,2, v⃗\vec{v} de composantes 33 et −1,-1, et w⃗\vec{w} de composantes −1-1 et 5.5. Déterminer les réels aa et bb tels que w⃗=au⃗+bv⃗.\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}.

Donne le couple (a;b),(a;b), par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (2;-1) — aussi acceptées : (2,-1) · 2;-1 · a=2;b=-1 · a=2 et b=-1 · a=2,b=-1 · (a;b)=(2;-1) · (a,b)=(2,-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Écris les composantes de au⃗+bv⃗a\vec{u} + b\vec{v} en fonction de aa et b.b.
  2. Égale-les à celles de w⃗\vec{w} : tu obtiens un système de deux équations.
  3. Tire bb de la seconde équation, puis remplace dans la première.

Correction

  1. Composantes — au⃗+bv⃗(a+3b2a−b)a\vec{u} + b\vec{v}\begin{pmatrix} a + 3b \\ 2a - b \end{pmatrix}
  2. Le système — a+3b=−1;2a−b=5a + 3b = -1 \quad ; \quad 2a - b = 5
  3. Résoudre — La seconde équation donne b=2a−5b = 2a - 5 ; dans la première, 7a−15=−1.7a - 15 = -1.a=2;b=−1a = 2 \quad ; \quad b = -1

w⃗=2u⃗−v⃗\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v} : on égale les composantes, puis on résout le système obtenu.

Pièges anticipés

  • (-1;2) / (-1,2) → Le couple demandé est (a;b)(a;b) : aa est le coefficient de u⃗.\vec{u}.

Exercice 55 · raisonnement

Colinéaires dans une base quelconque

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs non colinéaires, a⃗=(m−1)u⃗+2v⃗\vec{a} = (m - 1)\vec{u} + 2\vec{v} et b⃗=3u⃗+mv⃗,\vec{b} = 3\vec{u} + m\vec{v}, où mm est un réel. Déterminer les réels mm pour que a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} soient colinéaires.

Donne l'ensemble des valeurs de m,m, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {-2;3} — aussi acceptées : m = -2 ou m = 3 · m = 3 ou m = -2 · -2 et 3 · {3;-2} · S = {-2;3}

Indices, dans l’ordre

  1. (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}) est une base : a⃗\vec{a} et b⃗\vec{b} ont des composantes dans cette base.
  2. Écris que leur déterminant xy′−x′yxy' - x'y est nul.
  3. Tu obtiens une équation du second degré : calcule son discriminant.

Correction

  1. Composantes — a⃗(m−12)b⃗(3m)\vec{a}\begin{pmatrix} m - 1 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{b}\begin{pmatrix} 3 \\ m \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — (m−1)×m−3×2=m2−m−6(m - 1) \times m - 3 \times 2 = m^{2} - m - 6
  3. Résoudre — Le discriminant vaut 1+24=25.1 + 24 = 25.m2−m−6=0  ⟺  m=−2 ou m=3m^{2} - m - 6 = 0 \iff m = -2 \text{ ou } m = 3

m=−2m = -2 ou m=3m = 3 : deux vecteurs non colinéaires forment une base, et la condition du déterminant nul s'applique dans n'importe quelle base.

Pièges anticipés

  • {-3;2} / {2;-3} → Vérifie en remplaçant : pour m=2,m = 2, m2−m−6=−4,m^{2} - m - 6 = -4, qui n'est pas nul.

Exercice 56 · base

Coordonnées d'un point

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), MM est le point tel que OM→=3(i⃗−2j⃗)+4j⃗.\overrightarrow{OM} = 3(\vec{i} - 2\vec{j}) + 4\vec{j}. Donner l'ordonnée de M.M.

Donne l'ordonnée du point M.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Développe 3(i⃗−2j⃗),3(\vec{i} - 2\vec{j}), puis regroupe les termes en j⃗.\vec{j}.
  2. Les coordonnées de MM sont les composantes de OM→.\overrightarrow{OM}.

Correction

  1. Développer — OM→=3i⃗−6j⃗+4j⃗=3i⃗−2j⃗\overrightarrow{OM} = 3\vec{i} - 6\vec{j} + 4\vec{j} = 3\vec{i} - 2\vec{j}
  2. Lire — M(3,−2)M(3, -2)

L'ordonnée de MM est −2-2 : on réduit OM→\overrightarrow{OM} sous la forme xi⃗+yj⃗,x\vec{i} + y\vec{j}, et yy est l'ordonnée.

Pièges anticipés

  • -6 → Tu as oublié le terme +4j⃗+4\vec{j} : regroupe tous les termes en j⃗.\vec{j}.
  • 3 → 33 est l'abscisse : l'ordonnée est le coefficient de j⃗.\vec{j}.

Exercice 57 · pratique

De proche en proche

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), AA est le point tel que OA→=2i⃗+j⃗,\overrightarrow{OA} = 2\vec{i} + \vec{j}, et BB le point tel que AB→=−3i⃗+4j⃗.\overrightarrow{AB} = -3\vec{i} + 4\vec{j}. Déterminer les coordonnées du point B.B.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-1;5) — aussi acceptées : (-1,5) · B(-1;5) · B(-1,5) · B=(-1;5) · B=(-1,5) · -1;5 · x=-1;y=5 · x=-1 et y=5 · x=-1,y=5 · (x;y)=(-1;5) · (x,y)=(-1,5)

Indices, dans l’ordre

  1. Les coordonnées de BB sont les composantes de OB→.\overrightarrow{OB}.
  2. Relation de Chasles : OB→=OA→+AB→.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Chasles — OB→=OA→+AB→=2i⃗+j⃗−3i⃗+4j⃗\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = 2\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{i} + 4\vec{j}
  2. Réduire — OB→=−i⃗+5j⃗\overrightarrow{OB} = -\vec{i} + 5\vec{j}
  3. Lire — B(−1,5)B(-1, 5)

B(−1,5)B(-1, 5) : on obtient OB→\overrightarrow{OB} par Chasles, puis on lit ses composantes.

Pièges anticipés

  • (5;-3) / (5,-3) → Par Chasles, OB→=OA→+AB→\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} : on additionne.
  • (-3;4) / (-3,4) → Ce sont les composantes de AB→\overrightarrow{AB} : il faut partir de l'origine O.O.

Exercice 58 · base

Composantes de AB

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(3,−1)A(3, -1) et B(−2,4).B(-2, 4). Déterminer les composantes du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-5;5) — aussi acceptées : (-5,5) · AB(-5;5) · AB(-5,5) · AB=(-5;5) · AB=(-5,5) · -5;5 · x=-5;y=5 · x=-5 et y=5 · x=-5,y=5 · (x;y)=(-5;5) · (x,y)=(-5,5)

Indices, dans l’ordre

  1. Les composantes de AB→\overrightarrow{AB} sont xB−xAx_B - x_A et yB−yA.y_B - y_A.
  2. Soustrais les coordonnées de l'origine AA à celles de l'extrémité B.B.

Correction

  1. La formule — AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}
  2. Calculer — AB→(−2−34−(−1))=(−55)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 - 3 \\ 4 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \end{pmatrix}

AB→\overrightarrow{AB} a pour composantes −5-5 et 55 : extrémité moins origine.

Pièges anticipés

  • (5;-5) / (5,-5) → Extrémité moins origine : xB−xA,x_B - x_A, pas xA−xB.x_A - x_B.

Exercice 59 · pratique

Le milieu d'un segment

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(4,−3)A(4, -3) et B(−2,5).B(-2, 5). Déterminer les coordonnées du milieu II de [AB].[AB].

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (1;1) — aussi acceptées : (1,1) · I(1;1) · I(1,1) · I=(1;1) · I=(1,1) · 1;1 · x=1;y=1 · x=1 et y=1 · x=1,y=1 · (x;y)=(1;1) · (x,y)=(1,1)

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [AB][AB] : AI→=12AB→.\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
  2. Calcule AB→,\overrightarrow{AB}, prends-en la moitié, puis ajoute le résultat aux coordonnées de A.A.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→(−68)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix}
  2. Le vecteur AI — AI→=12AB→(−34)\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}
  3. Le point I — xI=4−3=1;yI=−3+4=1x_I = 4 - 3 = 1 \quad ; \quad y_I = -3 + 4 = 1

I(1,1)I(1, 1) : les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités, ce que redonne AI→=12AB→.\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Pièges anticipés

  • (-3;4) / (-3,4) → Ce sont les composantes de AI→\overrightarrow{AI} : ajoute-les aux coordonnées de A.A.
  • (2;2) / (2,2) → La somme des coordonnées doit encore être divisée par 2.2.

Exercice 60 · raisonnement

Partager un segment

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(1,3)A(1, 3) et B(4,−3).B(4, -3). Déterminer les coordonnées du point MM tel que AM→=2MB→.\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (3;-1) — aussi acceptées : (3,-1) · M(3;-1) · M(3,-1) · M=(3;-1) · M=(3,-1) · 3;-1 · x=3;y=-1 · x=3 et y=-1 · x=3,y=-1 · (x;y)=(3;-1) · (x,y)=(3,-1)

Indices, dans l’ordre

  1. Écris MB→=MA→+AB→=AB→−AM→.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM}.
  2. Regroupe les termes en AM→\overrightarrow{AM} : tu obtiens AM→\overrightarrow{AM} en fonction de AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Chasles — AM→=2(AB→−AM→)  ⟺  3AM→=2AB→\overrightarrow{AM} = 2(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM}) \iff 3\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB}
  2. Composantes — AM→=23AB→(23×323×(−6))=(2−4)\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} \times 3 \\ \dfrac{2}{3} \times (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}
  3. Le point M — M(1+2,3−4)=M(3,−1)M(1 + 2, 3 - 4) = M(3, -1)

M(3,−1)M(3, -1) : on exprime AM→\overrightarrow{AM} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} par Chasles, puis on ajoute ses composantes aux coordonnées de A.A.

Pièges anticipés

  • (2;-4) / (2,-4) → Ce sont les composantes de AM→\overrightarrow{AM} : ajoute-les aux coordonnées de A.A.
  • (7;-9) / (7,-9) → MB→\overrightarrow{MB} n'est pas AB→\overrightarrow{AB} : passe par A,A, MB→=AB→−AM→.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM}.

Exercice 61 · base

Trois points alignés ?

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), les points A(2,1),A(2, 1), B(4,5)B(4, 5) et C(−1,−5)C(-1, -5) sont-ils alignés ?

Réponds par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui alignés · alignés · ils sont alignés · oui ils sont alignés

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les composantes de AB→\overrightarrow{AB} et de AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. Calcule leur déterminant xy′−x′yxy' - x'y : est-il nul ?

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(24)AC→(−3−6)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — 2×(−6)−(−3)×4=−12+12=02 \times (-6) - (-3) \times 4 = -12 + 12 = 0

Oui : le déterminant est nul, donc AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et A,A, B,B, CC sont alignés.

Pièges anticipés

  • non / pas alignés / non alignés / ils ne sont pas alignés → Calcule le déterminant de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} : 2×(−6)−(−3)×42 \times (-6) - (-3) \times 4 est nul.

Exercice 62 · pratique

Rendre deux droites parallèles

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(−2,3),A(-2, 3), B(1,−3),B(1, -3), C(0,5)C(0, 5) et D(3,y).D(3, y). Déterminer le réel yy pour que les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) soient parallèles.

Donne la valeur de y.y.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  2. Exprime les composantes de CD→\overrightarrow{CD} en fonction de y,y, puis écris que le déterminant est nul.

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(3−6)CD→(3y−5)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 3 \\ y - 5 \end{pmatrix}
  2. Déterminant nul — 3(y−5)−3×(−6)=0  ⟺  3y+3=03(y - 5) - 3 \times (-6) = 0 \iff 3y + 3 = 0
  3. Résoudre — y=−1y = -1

y=−1y = -1 : deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles quand le déterminant de AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} est nul.

Pièges anticipés

  • 11 → Le déterminant est xy′−x′yxy' - x'y : on retranche le produit 3×(−6),3 \times (-6), on ne l'ajoute pas.

Exercice 63 · pratique

Un point de la droite (AB)

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(−2,1)A(-2, 1) et B(2,4).B(2, 4). Déterminer le réel aa pour que le point C(a,a)C(a, a) appartienne à la droite (AB).(AB).

Donne la valeur de a.a.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. CC est sur la droite (AB)(AB) si et seulement si AC→\overrightarrow{AC} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires.
  2. Exprime les composantes de AC→\overrightarrow{AC} en fonction de a,a, puis écris que le déterminant xy′−x′yxy' - x'y est nul.

Correction

  1. Les vecteurs — AC→(a+2a−1)AB→(43)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} a + 2 \\ a - 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
  2. Déterminant nul — 3(a+2)−4(a−1)=0  ⟺  10−a=03(a + 2) - 4(a - 1) = 0 \iff 10 - a = 0
  3. Résoudre — a=10a = 10

a=10a = 10 : le point C(10,10)C(10, 10) est sur (AB).(AB). Un point CC est sur la droite (AB)(AB) quand AC→\overrightarrow{AC} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires.

Pièges anticipés

  • -2/7 → Le déterminant est xy′−x′yxy' - x'y : on retranche le produit 4(a−1),4(a - 1), on ne l'ajoute pas.

Exercice 64 · raisonnement

Alignés avec l'origine

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(m,3)A(m, 3) et B(2,m+1),B(2, m + 1), où mm est un réel. Déterminer les réels mm pour que les points O,O, AA et BB soient alignés.

Donne l'ensemble des valeurs de m,m, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {-3;2} — aussi acceptées : m = -3 ou m = 2 · m = 2 ou m = -3 · -3 et 2 · {2;-3} · S = {-3;2}

Indices, dans l’ordre

  1. O,O, AA et BB sont alignés si et seulement si OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} sont colinéaires.
  2. Les composantes de OA→\overrightarrow{OA} sont les coordonnées de A.A.
  3. Le déterminant donne une équation du second degré.

Correction

  1. Les vecteurs — OA→(m3)OB→(2m+1)\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 2 \\ m + 1 \end{pmatrix}
  2. Le déterminant — m(m+1)−2×3=m2+m−6m(m + 1) - 2 \times 3 = m^{2} + m - 6
  3. Résoudre — Le discriminant vaut 1+24=25.1 + 24 = 25.m2+m−6=0  ⟺  m=−3 ou m=2m^{2} + m - 6 = 0 \iff m = -3 \text{ ou } m = 2

m=−3m = -3 ou m=2m = 2 : l'alignement de trois points se traduit par un déterminant nul, ici une équation du second degré.

Pièges anticipés

  • {-2;3} / {3;-2} → Vérifie en remplaçant : pour m=3,m = 3, m2+m−6=6,m^{2} + m - 6 = 6, qui n'est pas nul.
  • {2} / m = 2 → L'équation du second degré a deux solutions : cherche l'autre.

Exercice 65 · raisonnement

Un trapèze dans un repère

ABCDABCD est un trapèze tel que DC→=2AB→.\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB}. On se place dans le repère (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), et l'on note EE le point d'intersection des droites (AD)(AD) et (BC).(BC). Déterminer l'ordonnée de EE dans ce repère.

Donne l'ordonnée du point E.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère, A(0,0),A(0, 0), B(1,0)B(1, 0) et D(0,1)D(0, 1) ; trouve CC à l'aide de DC→=2AB→.\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB}.
  2. EE est sur (AD),(AD), l'axe des ordonnées : note E(0,y)E(0, y) et écris que B,B, CC et EE sont alignés.

Correction

  1. Le point C — DC→=2AB→⇒C(0+2,1+0)=C(2,1)\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB} \Rightarrow C(0 + 2, 1 + 0) = C(2, 1)
  2. Alignement — BE→(−1y)BC→(11)(−1)×1−1×y=0\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -1 \\ y \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (-1) \times 1 - 1 \times y = 0
  3. Résoudre — y=−1y = -1

E(0,−1)E(0, -1) : AE→=−AD→,\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD}, le point EE est le symétrique de DD par rapport à A.A. Un repère bien choisi ramène la figure à un calcul de déterminant.

Pièges anticipés

  • 1 → Le déterminant de BE→\overrightarrow{BE} et BC→\overrightarrow{BC} est (−1)×1−1×y(-1) \times 1 - 1 \times y : il s'annule pour une ordonnée négative.

Exercice 66 · pratique

Un parallélogramme comme repère

ABCDABCD est un parallélogramme. Dans le repère (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), déterminer les coordonnées du point EE tel que AE→=AC→+2BD→.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{BD}.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-1;3) — aussi acceptées : (-1,3) · E(-1;3) · E(-1,3) · E=(-1;3) · E=(-1,3) · -1;3 · x=-1;y=3 · x=-1 et y=3 · x=-1,y=3 · (x;y)=(-1;3) · (x,y)=(-1,3)

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère, A(0,0),A(0, 0), B(1,0)B(1, 0) et D(0,1)D(0, 1) ; CC s'obtient par AC→=AB→+AD→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
  2. Calcule les composantes de AC→\overrightarrow{AC} et de BD→,\overrightarrow{BD}, puis celles de AC→+2BD→.\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{BD}.

Correction

  1. Les points — A(0,0)B(1,0)C(1,1)D(0,1)A(0, 0) \quad B(1, 0) \quad C(1, 1) \quad D(0, 1)
  2. Les vecteurs — AC→(11)BD→(−11)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
  3. La somme — AE→(1−21+2)=(−13)\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}
  4. Le point E — E(−1,3)E(-1, 3)

E(−1,3)E(-1, 3) : l'origine du repère étant A,A, les coordonnées de EE sont les composantes de AE→.\overrightarrow{AE}.

Pièges anticipés

  • (3;-1) / (3,-1) → BD→\overrightarrow{BD} va de BB à DD : ses composantes sont xD−xBx_D - x_B et yD−yB.y_D - y_B.

Exercice 67 · base

Norme d'un produit

u⃗\vec{u} est un vecteur de norme 4.4. Calculer la norme du vecteur −52u⃗.-\dfrac{5}{2}\vec{u}.

Donne la norme de ce vecteur.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. La norme de αu⃗\alpha\vec{u} est ∣α∣|\alpha| fois la norme de u⃗.\vec{u}.
  2. Quelle est la valeur absolue de −52-\dfrac{5}{2} ?

Correction

  1. La règle — ∥αu⃗∥=∣α∣⋅∥u⃗∥\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{u}\|
  2. Calculer — ∥−52u⃗∥=52×4=10\left\|-\dfrac{5}{2}\vec{u}\right\| = \dfrac{5}{2} \times 4 = 10

La norme vaut 1010 : le réel passe en valeur absolue, une norme n'est jamais négative.

Pièges anticipés

  • -10 → Une norme est une longueur : elle n'est jamais négative. On multiplie par ∣−52∣=52.\left|-\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{5}{2}.

Exercice 68 · pratique

Un vecteur unitaire

u⃗\vec{u} est un vecteur unitaire et v⃗=−3u⃗.\vec{v} = -3\vec{u}. Calculer la norme du vecteur 2u⃗−v⃗.2\vec{u} - \vec{v}.

Donne la norme de ce vecteur.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace v⃗\vec{v} par −3u⃗-3\vec{u} et réduis.
  2. Un vecteur unitaire a pour norme 1.1.

Correction

  1. Réduire — 2u⃗−v⃗=2u⃗+3u⃗=5u⃗2\vec{u} - \vec{v} = 2\vec{u} + 3\vec{u} = 5\vec{u}
  2. La norme — ∥5u⃗∥=5×1=5\|5\vec{u}\| = 5 \times 1 = 5

La norme vaut 55 : on réduit d'abord le vecteur sous la forme αu⃗,\alpha\vec{u}, puis on applique ∥αu⃗∥=∣α∣⋅∥u⃗∥.\|\alpha\vec{u}\| = |\alpha| \cdot \|\vec{u}\|.

Pièges anticipés

  • 1 → −v⃗=−(−3u⃗)=3u⃗-\vec{v} = -(-3\vec{u}) = 3\vec{u} : 2u⃗−v⃗=2u⃗+3u⃗.2\vec{u} - \vec{v} = 2\vec{u} + 3\vec{u}.

Exercice 69 · raisonnement

Retrouver le réel

u⃗\vec{u} est un vecteur de norme 6.6. Déterminer les réels kk tels que le vecteur ku⃗k\vec{u} ait pour norme 15.15.

Donne l'ensemble des valeurs de k,k, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {-5/2;5/2} — aussi acceptées : k = -5/2 ou k = 5/2 · k = 5/2 ou k = -5/2 · -5/2 et 5/2 · {5/2;-5/2} · S = {-5/2;5/2} · ±5/2 · ±2.5 · {-2.5;2.5}

Indices, dans l’ordre

  1. La norme de ku⃗k\vec{u} est ∣k∣×6.|k| \times 6.
  2. Résous l'équation 6∣k∣=156|k| = 15 : combien de réels ont une valeur absolue donnée ?

Correction

  1. La règle — ∥ku⃗∥=∣k∣×6\|k\vec{u}\| = |k| \times 6
  2. L'équation — 6∣k∣=15  ⟺  ∣k∣=526|k| = 15 \iff |k| = \dfrac{5}{2}
  3. Résoudre — k=−52 ou k=52k = -\dfrac{5}{2} \text{ ou } k = \dfrac{5}{2}

k=−52k = -\dfrac{5}{2} ou k=52k = \dfrac{5}{2} : la norme ne voit pas le signe du réel, donc deux réels opposés conviennent.

Pièges anticipés

  • {5/2} / {2.5} / k = 5/2 → Le réel kk peut être négatif : ∣k∣=52|k| = \dfrac{5}{2} a deux solutions.

Exercice 70 · pratique

Diagonales d'un parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme tel que AB=5AB = 5 cm et AD=3AD = 3 cm. Les vecteurs AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} et AB→−AD→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} sont-ils orthogonaux ?

Réponds par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas orthogonaux · non orthogonaux · non pas orthogonaux · ils ne sont pas orthogonaux · non ils ne sont pas orthogonaux · ne sont pas orthogonaux · non, ils ne sont pas orthogonaux · non, pas orthogonaux

Indices, dans l’ordre

  1. Écris chacun des deux vecteurs comme une diagonale du parallélogramme.
  2. Quand les diagonales d'un parallélogramme sont-elles perpendiculaires ?

Correction

  1. La somme — AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}
  2. La différence — AB→−AD→=DA→+AB→=DB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}
  3. Conclure — Les diagonales d'un parallélogramme ne sont perpendiculaires que si c'est un losange ; or AB≠AD.AB \ne AD.AC→ et DB→ ne sont pas orthogonaux\overrightarrow{AC} \text{ et } \overrightarrow{DB} \text{ ne sont pas orthogonaux}

Non : AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} et AB→−AD→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} sont les diagonales AC→\overrightarrow{AC} et DB→\overrightarrow{DB} ; elles ne sont orthogonales que si AB=AD.AB = AD.

Pièges anticipés

  • oui / orthogonaux / ils sont orthogonaux / oui orthogonaux → Ces vecteurs sont les diagonales du parallélogramme ; elles ne sont perpendiculaires que pour un losange, et ici AB≠AD.AB \ne AD.

Exercice 71 · pratique

Orthogonalité et Pythagore

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs orthogonaux ; la norme de u⃗\vec{u} vaut 55 et celle de v⃗\vec{v} vaut 12.12. Calculer la norme du vecteur u⃗+v⃗.\vec{u} + \vec{v}.

Donne la norme de u⃗+v⃗.\vec{u} + \vec{v}.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. Place A,A, BB et DD tels que AB→=u⃗\overrightarrow{AB} = \vec{u} et BD→=v⃗\overrightarrow{BD} = \vec{v} : alors AD→=u⃗+v⃗.\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}.
  2. Le triangle ABDABD est rectangle en BB : applique le théorème de Pythagore.

Correction

  1. La figure — u⃗+v⃗=AB→+BD→=AD→\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}
  2. Pythagore — Le triangle ABDABD est rectangle en B.B.AD2=52+122=25+144=169AD^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169
  3. Conclure — AD=13AD = 13

La norme de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} vaut 1313 : pour deux vecteurs orthogonaux, le théorème de Pythagore donne la norme de leur somme.

Pièges anticipés

  • 17 → Les normes ne s'additionnent pas : u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} forment un angle droit, on applique Pythagore.
  • 169 → 169169 est le carré de la norme : prends la racine carrée.

Exercice 72 · pratique

Un rectangle dans un repère

ABCDABCD est un rectangle ; MM est le milieu de [CD][CD] et NN le point tel que BN→=14BC→.\overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}. Dans le repère (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), déterminer les composantes du vecteur MN→.\overrightarrow{MN}.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (1/2;-3/4) — aussi acceptées : (1/2,-3/4) · MN(1/2;-3/4) · MN(1/2,-3/4) · MN=(1/2;-3/4) · MN=(1/2,-3/4) · 1/2;-3/4 · x=1/2;y=-3/4 · x=1/2 et y=-3/4 · x=1/2,y=-3/4 · (x;y)=(1/2;-3/4) · (x,y)=(1/2,-3/4) · (0.5;-0.75) · (0,5;-0,75) · MN(0.5;-0.75) · (0.5,-0.75) · MN(0,5;-0,75)

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère, B(1,0),B(1, 0), C(1,1)C(1, 1) et D(0,1).D(0, 1).
  2. Calcule les coordonnées de MM et de N,N, puis extrémité moins origine.

Correction

  1. Le point M — MM est le milieu de [CD].[CD].M(12,1)M\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)
  2. Le point N — BN→=14BC→(014)⇒N(1,14)\overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \Rightarrow N\left(1, \dfrac{1}{4}\right)
  3. Le vecteur MN — MN→(1−1214−1)=(12−34)\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 1 - \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{4} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{3}{4} \end{pmatrix}

MN→\overrightarrow{MN} a pour composantes 12\dfrac{1}{2} et −34-\dfrac{3}{4} : dans un repère attaché à la figure, on lit les coordonnées des sommets, puis on calcule.

Pièges anticipés

  • (-1/2;3/4) / (-1/2,3/4) / (-0.5;0.75) → Ce sont les composantes de NM→\overrightarrow{NM} : extrémité NN moins origine M.M.

Exercice 73 · defi

Intersection dans un rectangle

ABCDABCD est un rectangle, EE le milieu de [BC][BC] et FF le point de [DC][DC] tel que DF→=13DC→.\overrightarrow{DF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}. Les droites (AE)(AE) et (BF)(BF) se coupent en G.G. Trouver le réel kk tel que AG→=kAE→.\overrightarrow{AG} = k\overrightarrow{AE}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75

Indices, dans l’ordre

  1. Place-toi dans le repère (A,AB→,AD→)(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) et calcule les coordonnées de EE et de F.F.
  2. GG est sur (AE)(AE) : AG→=kAE→\overrightarrow{AG} = k\overrightarrow{AE} donne les coordonnées de GG en fonction de k.k.
  3. GG est aussi sur (BF)(BF) : écris que BG→\overrightarrow{BG} et BF→\overrightarrow{BF} sont colinéaires.

Correction

  1. Les points — E(1,12)F(13,1)E\left(1, \dfrac{1}{2}\right) \qquad F\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)
  2. Le point G — AG→=kAE→⇒G(k,k2)\overrightarrow{AG} = k\overrightarrow{AE} \Rightarrow G\left(k, \dfrac{k}{2}\right)
  3. Alignement — BG→(k−1k2)BF→(−231)(k−1)×1−(−23)×k2=0\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix} k - 1 \\ \dfrac{k}{2} \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \qquad (k - 1) \times 1 - \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{k}{2} = 0
  4. Résoudre — 4k3−1=0  ⟺  k=34\dfrac{4k}{3} - 1 = 0 \iff k = \dfrac{3}{4}

k=34k = \dfrac{3}{4} : on paramètre le point cherché sur une droite, puis on écrit qu'il est sur l'autre par un déterminant nul.

Pièges anticipés

  • 3/8 / 0.375 → 38\dfrac{3}{8} est l'ordonnée de GG ; on demande le réel kk tel que AG→=kAE→.\overrightarrow{AG} = k\overrightarrow{AE}.
  • 3/2 / 1.5 → Attention au signe : −x′y=−(−23)×k2=+k3.-x'y = -\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{k}{2} = +\dfrac{k}{3}.

Exercice 74 · pratique

Un périmètre exact

Dans un repère orthonormé, on donne A(2,−1),A(2, -1), B(5,3)B(5, 3) et C(−2,2).C(-2, 2). Calculer la valeur exacte du périmètre du triangle ABC.ABC.

Donne le périmètre en valeur exacte, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 10+5*sqrt(2)

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les trois longueurs avec AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}.
  2. Simplifie 50\sqrt{50} : 50=25×2.50 = 25 \times 2.

Correction

  1. La longueur AB — AB=32+42=25=5AB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5
  2. La longueur AC — AC=(−4)2+32=5AC = \sqrt{(-4)^{2} + 3^{2}} = 5
  3. La longueur BC — BC=(−7)2+(−1)2=50=52BC = \sqrt{(-7)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
  4. Le périmètre — AB+AC+BC=10+52AB + AC + BC = 10 + 5\sqrt{2}

Le périmètre vaut 10+5210 + 5\sqrt{2} : on applique la formule de la distance à chaque côté, puis on simplifie les racines.

Pièges anticipés

  • 18 → 49+1\sqrt{49 + 1} n'est pas 7+17 + 1 : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.
  • 17.07 / 17.1 / 17.071 → On demande la valeur exacte : garde 52.5\sqrt{2}.

Exercice 75 · defi

Norme d'une combinaison

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont deux vecteurs orthogonaux ; la norme de u⃗\vec{u} vaut 33 et celle de u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} vaut 5.5. Calculer la valeur exacte de la norme du vecteur 2u⃗−v⃗.2\vec{u} - \vec{v}.

Donne la norme en valeur exacte.

Réponse attendue : 2*sqrt(13)

Indices, dans l’ordre

  1. Avec Pythagore, trouve d'abord la norme de v⃗.\vec{v}.
  2. 2u⃗2\vec{u} et −v⃗-\vec{v} sont encore orthogonaux : quelles sont leurs normes ?
  3. Applique de nouveau Pythagore, à 2u⃗2\vec{u} et −v⃗.-\vec{v}.

Correction

  1. La norme de v — ∥v⃗∥2=52−32=16⇒∥v⃗∥=4\|\vec{v}\|^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 \Rightarrow \|\vec{v}\| = 4
  2. Les normes — ∥2u⃗∥=6;∥−v⃗∥=4\|2\vec{u}\| = 6 \quad ; \quad \|-\vec{v}\| = 4
  3. Pythagore — 2u⃗2\vec{u} et −v⃗-\vec{v} sont orthogonaux.∥2u⃗−v⃗∥=62+42=52=213\|2\vec{u} - \vec{v}\| = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

La norme vaut 2132\sqrt{13} : des vecteurs colinéaires à deux vecteurs orthogonaux restent orthogonaux, et Pythagore s'applique encore.

Pièges anticipés

  • 2 → 2u⃗2\vec{u} et −v⃗-\vec{v} sont orthogonaux : on applique Pythagore, on ne retranche pas les normes.
  • sqrt(10) → Dans Pythagore, on additionne les carrés des normes : 62+42.6^{2} + 4^{2}.
  • 7.21 / 7.2 / 7.211 → On demande la valeur exacte : garde la racine.

Exercice 76 · raisonnement

Un vecteur de norme donnée

Dans une base orthonormée, u⃗\vec{u} a pour composantes 33 et 4.4. Déterminer les composantes du vecteur v⃗\vec{v} colinéaire à u⃗,\vec{u}, de sens contraire à u⃗\vec{u} et de norme 15.15.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-9;-12) — aussi acceptées : (-9,-12) · v(-9;-12) · v(-9,-12) · v=(-9;-12) · v=(-9,-12) · -9;-12 · x=-9;y=-12 · x=-9 et y=-12 · x=-9,y=-12 · (x;y)=(-9;-12) · (x,y)=(-9,-12)

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule la norme de u⃗.\vec{u}.
  2. Cherche v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u} avec k<0k < 0 : la norme de v⃗\vec{v} est ∣k∣|k| fois celle de u⃗.\vec{u}.

Correction

  1. La norme de u — ∥u⃗∥=32+42=5\|\vec{u}\| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5
  2. Le réel — v⃗=ku⃗,∣k∣×5=15,k<0⇒k=−3\vec{v} = k\vec{u}, \quad |k| \times 5 = 15, \quad k < 0 \Rightarrow k = -3
  3. Les composantes — v⃗(−9−12)\vec{v}\begin{pmatrix} -9 \\ -12 \end{pmatrix}

v⃗=−3u⃗\vec{v} = -3\vec{u} : un vecteur colinéaire s'écrit ku⃗k\vec{u} ; la norme fixe ∣k∣,|k|, le sens fixe le signe.

Pièges anticipés

  • (9;12) / (9,12) → Le vecteur est de sens contraire à u⃗\vec{u} : le réel est négatif.
  • (-45;-60) / (-45,-60) → La norme de u⃗\vec{u} est 5,5, pas 11 : on multiplie u⃗\vec{u} par −3,-3, pas par −15.-15.

Exercice 77 · defi

Une distance qui donne une équation

Dans un repère orthonormé, on donne A(x,2)A(x, 2) et B(3,x),B(3, x), où xx est un réel. Déterminer les réels xx pour lesquels AB=5.AB = \sqrt{5}.

Donne l'ensemble des valeurs de x,x, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {1;4} — aussi acceptées : x = 1 ou x = 4 · x = 4 ou x = 1 · 1 et 4 · {4;1} · S = {1;4}

Indices, dans l’ordre

  1. Écris AB2=5AB^{2} = 5 avec la formule de la distance.
  2. Développe les deux carrés : tu obtiens une équation du second degré.
  3. Divise par 22 avant de chercher les solutions.

Correction

  1. Le carré — AB2=(3−x)2+(x−2)2=5AB^{2} = (3 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = 5
  2. Développer — 9−6x+x2+x2−4x+4=5  ⟺  2x2−10x+8=09 - 6x + x^{2} + x^{2} - 4x + 4 = 5 \iff 2x^{2} - 10x + 8 = 0
  3. Résoudre — x2−5x+4=0  ⟺  x=1 ou x=4x^{2} - 5x + 4 = 0 \iff x = 1 \text{ ou } x = 4

x=1x = 1 ou x=4x = 4 : on travaille avec le carré de la distance, ce qui supprime la racine.

Pièges anticipés

  • {-4;-1} / {-1;-4} → Vérifie en remplaçant : pour x=−1,x = -1, AB2=16+9=25.AB^{2} = 16 + 9 = 25.

Exercice 78 · base

Trouver la composante manquante

Dans une base orthonormée, u⃗\vec{u} a pour composantes −3-3 et 5,5, et v⃗\vec{v} a pour composantes 1010 et y.y. Déterminer le réel yy pour que u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} soient orthogonaux.

Donne la valeur de y.y.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Dans une base orthonormée, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.
  2. Remplace, puis résous l'équation du premier degré en y.y.

Correction

  1. La condition — (−3)×10+5×y=0(-3) \times 10 + 5 \times y = 0
  2. Résoudre — −30+5y=0  ⟺  y=6-30 + 5y = 0 \iff y = 6

y=6y = 6 : l'orthogonalité dans une base orthonormée s'écrit xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Pièges anticipés

  • -6 → (−3)×10+5×y=0(-3) \times 10 + 5 \times y = 0 donne 5y=305y = 30 : le réel est positif.
  • -50/3 → Tu as écrit la condition de colinéarité ; l'orthogonalité s'écrit xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Exercice 79 · pratique

Un angle droit en A

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,1),A(1, 1), B(4,3)B(4, 3) et C(x,5).C(x, 5). Déterminer la valeur exacte du réel xx pour que les droites (AB)(AB) et (AC)(AC) soient perpendiculaires.

Donne la valeur exacte de x.x.

Réponse attendue : -5/3

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les composantes de AB→\overrightarrow{AB} et de AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. Le repère est orthonormé : écris xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(32)AC→(x−14)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x - 1 \\ 4 \end{pmatrix}
  2. La condition — 3(x−1)+2×4=0  ⟺  3x+5=03(x - 1) + 2 \times 4 = 0 \iff 3x + 5 = 0
  3. Résoudre — x=−53x = -\dfrac{5}{3}

x=−53x = -\dfrac{5}{3} : deux droites sont perpendiculaires quand les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont orthogonaux.

Pièges anticipés

  • 11/3 → Le produit 2×42 \times 4 s'ajoute : 3(x−1)+8=0.3(x - 1) + 8 = 0.
  • -1.67 / -1.7 / -1.66 / -1.667 → On demande la valeur exacte : garde la fraction.

Exercice 80 · raisonnement

Rectangle en C

Dans un repère orthonormé, on donne A(2,1),A(2, 1), B(6,3)B(6, 3) et C(3,y),C(3, y), où yy est un réel. Déterminer les réels yy pour que le triangle ABCABC soit rectangle en C.C.

Donne l'ensemble des valeurs de y,y, par exemple {−2 ;5}.\{-2\,;5\}.

Réponse attendue : {0;4} — aussi acceptées : y = 0 ou y = 4 · y = 4 ou y = 0 · 0 et 4 · {4;0} · S = {0;4}

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle est rectangle en CC si et seulement si CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB} sont orthogonaux.
  2. Développe xx′+yy′xx' + yy' : tu obtiens une équation du second degré en y.y.

Correction

  1. Les vecteurs — CA→(−11−y)CB→(33−y)\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 - y \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 - y \end{pmatrix}
  2. La condition — −3+(1−y)(3−y)=0  ⟺  y2−4y=0-3 + (1 - y)(3 - y) = 0 \iff y^{2} - 4y = 0
  3. Factoriser — y(y−4)=0  ⟺  y=0 ou y=4y(y - 4) = 0 \iff y = 0 \text{ ou } y = 4

y=0y = 0 ou y=4y = 4 : l'angle droit en CC se traduit par l'orthogonalité de CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB} ; pour ces deux valeurs, les trois points ne sont pas alignés.

Pièges anticipés

  • {4} / y = 4 → En divisant par y,y, tu perds une solution : factorise y2−4y.y^{2} - 4y.

Exercice 81 · raisonnement

Quel angle est droit ?

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,1),A(1, 1), B(5,3)B(5, 3) et C(3,7).C(3, 7). Le triangle ABCABC est rectangle : en quel sommet ?

Donne le nom du sommet de l'angle droit.

Réponse attendue : B — aussi acceptées : en B · rectangle en B · il est rectangle en B · le point B · sommet B · au point B · le triangle est rectangle en B · ABC est rectangle en B · le triangle ABC est rectangle en B

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les composantes des vecteurs AB→,\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et BC→.\overrightarrow{BC}.
  2. Teste xx′+yy′=0xx' + yy' = 0 pour les deux côtés issus de chaque sommet.

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(42)AC→(26)BC→(−24)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}
  2. Au sommet A — 4×2+2×6=20≠04 \times 2 + 2 \times 6 = 20 \ne 0
  3. Au sommet B — On utilise BA→,\overrightarrow{BA}, opposé de AB→,\overrightarrow{AB}, et BC→.\overrightarrow{BC}.(−4)×(−2)+(−2)×4=8−8=0(-4) \times (-2) + (-2) \times 4 = 8 - 8 = 0

Le triangle est rectangle en BB : on cherche le sommet où les deux côtés donnent xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Pièges anticipés

  • A / en A → En AA : 4×2+2×6=20,4 \times 2 + 2 \times 6 = 20, les côtés ne sont pas perpendiculaires.
  • C / en C → En CC : CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB} donnent (−2)×2+(−6)×(−4)=20,(-2) \times 2 + (-6) \times (-4) = 20, pas 0.0.

Exercice 82 · defi

Un sommet à coordonnées égales

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,−4)A(1, -4) et B(0,1).B(0, 1). Déterminer les réels xx pour lesquels le triangle ABC,ABC, avec C(x,x),C(x, x), est rectangle en C.C.

Donne l'ensemble des valeurs de x,x, par exemple {−3 ;4}.\{-3\,;4\}.

Réponse attendue : {-2;1} — aussi acceptées : x = -2 ou x = 1 · x = 1 ou x = -2 · -2 et 1 · {1;-2} · S = {-2;1}

Indices, dans l’ordre

  1. Le triangle est rectangle en CC si CA→\overrightarrow{CA} et CB→\overrightarrow{CB} sont orthogonaux.
  2. Les deux coordonnées de CC valent xx : exprime les composantes de CA→\overrightarrow{CA} et de CB→\overrightarrow{CB} en fonction de x.x.
  3. Développe la condition xx′+yy′=0,xx' + yy' = 0, puis calcule le discriminant.

Correction

  1. Les vecteurs — CA→(1−x−4−x)CB→(−x1−x)\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} 1 - x \\ -4 - x \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} -x \\ 1 - x \end{pmatrix}
  2. La condition — (1−x)(−x)+(−4−x)(1−x)=0  ⟺  2x2+2x−4=0(1 - x)(-x) + (-4 - x)(1 - x) = 0 \iff 2x^{2} + 2x - 4 = 0
  3. Résoudre — On divise par 22 ; le discriminant de x2+x−2x^{2} + x - 2 vaut 1+8=9.1 + 8 = 9.x=−2 ou x=1x = -2 \text{ ou } x = 1

x=−2x = -2 ou x=1x = 1 : les points C(−2,−2)C(-2, -2) et C(1,1)C(1, 1) conviennent. L'angle droit en CC se traduit par l'orthogonalité de CA→\overrightarrow{CA} et CB→,\overrightarrow{CB}, ici une équation du second degré.

Pièges anticipés

  • {-1;2} / {2;-1} → Vérifie en remplaçant : pour x=2,x = 2, CA→(−1,−6)\overrightarrow{CA}(-1, -6) et CB→(−2,−1)\overrightarrow{CB}(-2, -1) donnent 2+6=8,2 + 6 = 8, qui n'est pas nul.
  • {1} / x = 1 → L'équation du second degré a deux solutions : cherche l'autre.

Exercice 83 · raisonnement

Perpendiculaires dans un carré

ABCDABCD est un carré de côté 11 ; EE est le milieu de [BC][BC] et FF le point de [DC][DC] tel que DF=x.DF = x. Dans le repère orthonormé (A,AB→,AD→),(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}), déterminer xx pour que les droites (AE)(AE) et (BF)(BF) soient perpendiculaires.

Donne la valeur de x.x.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Dans ce repère, B(1,0),B(1, 0), C(1,1)C(1, 1) et D(0,1)D(0, 1) ; donne les coordonnées de EE et de F.F.
  2. Écris xx′+yy′=0xx' + yy' = 0 pour les vecteurs AE→\overrightarrow{AE} et BF→.\overrightarrow{BF}.

Correction

  1. Les points — E(1,12)F(x,1)E\left(1, \dfrac{1}{2}\right) \qquad F(x, 1)
  2. Les vecteurs — AE→(112)BF→(x−11)\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 1 \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} x - 1 \\ 1 \end{pmatrix}
  3. La condition — (x−1)×1+12×1=0  ⟺  x=12(x - 1) \times 1 + \dfrac{1}{2} \times 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}

x=12x = \dfrac{1}{2} : FF est le milieu de [DC].[DC]. Le repère orthonormé lié au carré ramène la perpendicularité à xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → Attention au signe : 12×1\dfrac{1}{2} \times 1 s'ajoute à x−1.x - 1.

Exercice 84 · defi

Un triangle rectangle dans un carré

ABCDABCD est un carré de côté 66 cm. MM est le point de [AB][AB] tel que AM=2AM = 2 cm, et NN le point de [BC][BC] tel que BN=tBN = t cm. Déterminer la valeur exacte de tt pour que le triangle DMNDMN soit rectangle en M.M.

Donne la valeur exacte de t.t.

Réponse attendue : 4/3

Indices, dans l’ordre

  1. Choisis un repère orthonormé d'origine A,A, d'unité le centimètre, avec BB sur l'axe des abscisses et DD sur l'axe des ordonnées.
  2. Écris les coordonnées de D,D, MM et N.N.
  3. Le triangle est rectangle en MM si MD→\overrightarrow{MD} et MN→\overrightarrow{MN} sont orthogonaux.

Correction

  1. Les points — D(0,6)M(2,0)N(6,t)D(0, 6) \qquad M(2, 0) \qquad N(6, t)
  2. Les vecteurs — MD→(−26)MN→(4t)\overrightarrow{MD}\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 4 \\ t \end{pmatrix}
  3. La condition — (−2)×4+6t=0  ⟺  t=43(-2) \times 4 + 6t = 0 \iff t = \dfrac{4}{3}

t=43t = \dfrac{4}{3} : on choisit un repère orthonormé lié au carré, et l'angle droit devient l'équation xx′+yy′=0.xx' + yy' = 0.

Pièges anticipés

  • 3/4 / 0.75 → 6t=86t = 8 donne t=86t = \dfrac{8}{6} : on divise par 6.6.
  • 1.33 / 1.3 / 1.333 → On demande la valeur exacte : garde la fraction.

Exercice 85 · defi

Construire un carré

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,2)A(1, 2) et B(4,3).B(4, 3). ABCDABCD est un carré, et son sommet DD a une abscisse inférieure à celle de A.A. Déterminer les coordonnées du point C.C.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (3;6) — aussi acceptées : (3,6) · C(3;6) · C(3,6) · C=(3;6) · C=(3,6) · 3;6 · x=3;y=6 · x=3 et y=6 · x=3,y=6 · (x;y)=(3;6) · (x,y)=(3,6)

Indices, dans l’ordre

  1. AD→\overrightarrow{AD} est orthogonal à AB→\overrightarrow{AB} et de même norme : cherche ses composantes.
  2. Deux vecteurs conviennent ; la condition sur l'abscisse de DD en élimine un.
  3. Dans un carré ABCD,ABCD, BC→=AD→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→(31),AB=10\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad AB = \sqrt{10}
  2. Le vecteur AD — Les vecteurs de composantes (−1,3)(-1, 3) et (1,−3)(1, -3) sont orthogonaux à AB→\overrightarrow{AB} et de norme 10\sqrt{10} ; l'abscisse de DD doit être inférieure à 1.1.AD→(−13)⇒D(0,5)\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow D(0, 5)
  3. Le point C — BC→=AD→⇒C(4−1,3+3)=C(3,6)\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \Rightarrow C(4 - 1, 3 + 3) = C(3, 6)

C(3,6)C(3, 6) : le côté AD→\overrightarrow{AD} est orthogonal à AB→\overrightarrow{AB} et de même norme, puis BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} donne C.C.

Pièges anticipés

  • (5;0) / (5,0) → C'est le carré construit de l'autre côté de (AB)(AB) : son sommet DD aurait une abscisse supérieure à celle de A.A.
  • (0;5) / (0,5) → Ce sont les coordonnées de DD ; CC s'obtient par BC→=AD→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

Exercice 86 · pratique

Quatre vecteurs, un centre

ABCDABCD est un parallélogramme de centre O,O, et MM un point quelconque du plan. Trouver le réel kk tel que MA→+MB→+MC→+MD→=kMO→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = k\overrightarrow{MO}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. OO est le milieu de [AC][AC] et de [BD].[BD].
  2. Si II est le milieu de [PQ],[PQ], alors MP→+MQ→=2MI→.\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} = 2\overrightarrow{MI}.

Correction

  1. Diagonale AC — MA→+MC→=2MO→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}
  2. Diagonale BD — MB→+MD→=2MO→\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}
  3. La somme — MA→+MB→+MC→+MD→=4MO→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO}

k=4k = 4 : on regroupe les vecteurs deux à deux autour des milieux, avec MP→+MQ→=2MI→.\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} = 2\overrightarrow{MI}.

Pièges anticipés

  • 2 → Chaque diagonale donne 2MO→2\overrightarrow{MO} : il y en a deux.
  • 0 → C'est OA→+OC→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} qui est nul, pas MA→+MC→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}.

Exercice 87 · raisonnement

Un point sur une diagonale

ABCDABCD est un parallélogramme, EE le milieu de [CD][CD] et FF le point tel que AF→=23AE→.\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE}. Trouver le réel kk tel que BF→=kBD→.\overrightarrow{BF} = k\overrightarrow{BD}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Exprime AE→\overrightarrow{AE} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} : DE→=12DC→=12AB→.\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
  2. Calcule BF→=BA→+AF→\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→.\overrightarrow{AD}.
  3. Reconnais AD→−AB→.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Le vecteur AE — AE→=AD→+12AB→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
  2. Le vecteur AF — AF→=23AD→+13AB→\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}
  3. Le vecteur BF — BF→=AF→−AB→=23AD→−23AB→=23BD→\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BD}

k=23k = \dfrac{2}{3} : B,B, FF et DD sont alignés. On exprime tout en fonction de deux vecteurs non colinéaires, puis on compare.

Pièges anticipés

  • 1/3 → Calcule BF→=AF→−AB→\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} en entier : le coefficient de AB→\overrightarrow{AB} devient 13−1.\dfrac{1}{3} - 1.
  • -2/3 → AD→−AB→=BA→+AD→=BD→,\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}, pas DB→.\overrightarrow{DB}.

Exercice 88 · defi

Trois points alignés dans un parallélogramme

ABCDABCD est un parallélogramme, EE le point tel que AE→=32AB→\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} et FF le point tel que AF→=3AD→.\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AD}. Trouver le réel kk tel que CE→=kCF→.\overrightarrow{CE} = k\overrightarrow{CF}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5

Indices, dans l’ordre

  1. Dans un parallélogramme, AC→=AB→+AD→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
  2. Exprime CE→\overrightarrow{CE} et CF→\overrightarrow{CF} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→.\overrightarrow{AD}.
  3. Compare les deux expressions.

Correction

  1. Le vecteur CE — CE→=AE→−AC→=12AB→−AD→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}
  2. Le vecteur CF — CF→=AF→−AC→=−AB→+2AD→=−2CE→\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = -2\overrightarrow{CE}
  3. Conclure — CE→=−12CF→\overrightarrow{CE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CF}

k=−12k = -\dfrac{1}{2} : C,C, EE et FF sont alignés, et CC est entre EE et F.F.

Pièges anticipés

  • -2 → CF→=−2CE→\overrightarrow{CF} = -2\overrightarrow{CE} : on demande CE→\overrightarrow{CE} en fonction de CF→.\overrightarrow{CF}.
  • 1/2 / 0.5 → CE→\overrightarrow{CE} et CF→\overrightarrow{CF} sont de sens contraires : CC est entre EE et F.F.

Exercice 89 · base

Une propriété du centre de gravité

GG est le centre de gravité d'un triangle ABC.ABC. Trouver le réel kk tel que GA→+GB→=kGC→.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = k\overrightarrow{GC}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut GA→+GB→+GC→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ?
  2. Isole GA→+GB→.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}.

Correction

  1. La propriété — GA→+GB→+GC→=0⃗\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}
  2. Isoler — GA→+GB→=−GC→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = -\overrightarrow{GC}

k=−1k = -1 : le centre de gravité est caractérisé par GA→+GB→+GC→=0⃗.\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}.

Pièges anticipés

  • 1 → On fait passer GC→\overrightarrow{GC} dans l'autre membre : il change de signe.

Exercice 90 · pratique

Coordonnées du centre de gravité

Dans un repère (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(−1,4),A(-1, 4), B(5,2)B(5, 2) et C(2,−3).C(2, -3). Déterminer les coordonnées du centre de gravité GG du triangle ABC.ABC.

Écris le couple entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (2;1) — aussi acceptées : (2,1) · G(2;1) · G(2,1) · G=(2;1) · G=(2,1) · 2;1 · x=2;y=1 · x=2 et y=1 · x=2,y=1 · (x;y)=(2;1) · (x,y)=(2,1)

Indices, dans l’ordre

  1. Dans GA→+GB→+GC→=0⃗,\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}, passe par l'origine OO : GA→=GO→+OA→.\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA}.
  2. Tu obtiens 3OG→=OA→+OB→+OC→.3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.

Correction

  1. Chasles — 3GO→+OA→+OB→+OC→=0⃗  ⟺  3OG→=OA→+OB→+OC→3\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} \iff 3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}
  2. Les coordonnées — xG=−1+5+23=2;yG=4+2−33=1x_G = \dfrac{-1 + 5 + 2}{3} = 2 \quad ; \quad y_G = \dfrac{4 + 2 - 3}{3} = 1
  3. Conclure — G(2,1)G(2, 1)

G(2,1)G(2, 1) : les coordonnées du centre de gravité sont les moyennes des coordonnées des trois sommets.

Pièges anticipés

  • (3;3/2) / (3,3/2) / (3;1.5) → On divise par 3,3, le nombre de sommets, pas par 2.2.
  • (6;3) / (6,3) → Ce sont les sommes des coordonnées : il reste à diviser par 3.3.

Exercice 91 · raisonnement

Le symétrique par rapport à G

ABCABC est un triangle, GG son centre de gravité, A′A' le milieu de [BC][BC] et DD le symétrique de AA par rapport à G.G. Trouver le réel kk tel que AD→=kAA′→.\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AA'}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 4/3

Indices, dans l’ordre

  1. GG est aux deux tiers de la médiane : AG→=23AA′→.\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}.
  2. GG est le milieu de [AD][AD] : AD→=2AG→.\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AG}.

Correction

  1. La médiane — AG→=23AA′→\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}
  2. Le symétrique — AD→=2AG→=43AA′→\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AG} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{AA'}

k=43k = \dfrac{4}{3} : le point DD est au-delà de A′A' sur la médiane. On enchaîne AG→=23AA′→\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'} et la symétrie.

Pièges anticipés

  • 2/3 → C'est le réel de AG→\overrightarrow{AG} ; DD est le symétrique de AA par rapport à G,G, donc AD→=2AG→.\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AG}.
  • 2 → DD est le symétrique de AA par rapport à G,G, pas par rapport à A′.A'.

Exercice 92 · defi

Deux centres de gravité

ABCABC est un triangle de centre de gravité G,G, et EE le point tel que AE→=AB→+AC→.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}. On note G′G' le centre de gravité du triangle BCE.BCE. Trouver le réel kk tel que GG′→=kAE→.\overrightarrow{GG'} = k\overrightarrow{AE}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1/3

Indices, dans l’ordre

  1. Pour tout point M,M, 3MG→=MA→+MB→+MC→3\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} : prends M=A.M = A.
  2. Fais de même pour G′,G', centre de gravité de BCE.BCE.
  3. GG′→=AG′→−AG→.\overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{AG'} - \overrightarrow{AG}.

Correction

  1. Le point G — 3AG→=AA→+AB→+AC→=AE→3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE}
  2. Le point G' — 3AG′→=AB→+AC→+AE→=2AE→3\overrightarrow{AG'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AE}
  3. Le vecteur GG' — GG′→=AG′→−AG→=23AE→−13AE→=13AE→\overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{AG'} - \overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AE}

k=13k = \dfrac{1}{3} : la relation 3MG→=MA→+MB→+MC→,3\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}, vraie pour tout point M,M, permet de comparer deux centres de gravité depuis un même point.

Pièges anticipés

  • 2/3 → C'est le réel de AG′→\overrightarrow{AG'} : il faut encore retrancher AG→.\overrightarrow{AG}.
  • -1/3 → GG′→=AG′→−AG→\overrightarrow{GG'} = \overrightarrow{AG'} - \overrightarrow{AG} : l'extrémité moins l'origine, dans cet ordre.

Exercice 93 · defi

La distance au centre de gravité

Dans un repère orthonormé, on donne A(−1,0),A(-1, 0), B(3,2)B(3, 2) et C(1,6).C(1, 6). Calculer la valeur exacte de la distance AG,AG, où GG est le centre de gravité du triangle ABC.ABC.

Donne AGAG en valeur exacte.

Réponse attendue : 10/3

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les coordonnées du milieu A′A' de [BC],[BC], puis la longueur de la médiane AA′.AA'.
  2. AG→=23AA′→.\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}.

Correction

  1. Le milieu A' — A′(3+12,2+62)=A′(2,4)A'\left(\dfrac{3 + 1}{2}, \dfrac{2 + 6}{2}\right) = A'(2, 4)
  2. La médiane — AA′=32+42=5AA' = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5
  3. La distance AG — AG=23×5=103AG = \dfrac{2}{3} \times 5 = \dfrac{10}{3}

AG=103AG = \dfrac{10}{3} : GG est aux deux tiers de la médiane à partir du sommet.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 est la longueur de la médiane AA′AA' ; GG est aux deux tiers de cette médiane.
  • 5/3 → AGAG vaut les deux tiers de la médiane ; c'est GA′GA' qui en vaut le tiers.
  • 3.33 / 3.3 / 3.333 → On demande la valeur exacte : garde la fraction.

Exercice 94 · base

Thalès vectoriel

ABCABC est un triangle tel que AC=14AC = 14 cm, et MM le point de [AB][AB] tel que AM→=37AB→.\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{AB}. La parallèle à (BC)(BC) passant par MM coupe (AC)(AC) en N.N. Calculer ANAN en cm.

Donne ANAN en cm.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Le théorème de Thalès vectoriel transporte le réel : AN→=37AC→.\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{AC}.
  2. Passe aux longueurs.

Correction

  1. Thalès vectoriel — AN→=37AC→\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{AC}
  2. La longueur — AN=37×14=6 cmAN = \dfrac{3}{7} \times 14 = 6 \text{ cm}

AN=6AN = 6 cm : si AM→=xAB→,\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}, alors AN→=xAC→.\overrightarrow{AN} = x\overrightarrow{AC}.

Pièges anticipés

  • 8 → 88 cm, c'est NCNC : AN=37AC.AN = \dfrac{3}{7}AC.

Exercice 95 · raisonnement

Deux parallèles

ABCABC est un triangle et MM le point de [AB][AB] tel que MB=2AM.MB = 2AM. La parallèle à (BC)(BC) passant par MM coupe (AC)(AC) en N,N, et la parallèle à (AB)(AB) passant par NN coupe (BC)(BC) en P.P. Trouver le réel kk tel que BP→=kBC→.\overrightarrow{BP} = k\overrightarrow{BC}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1/3

Indices, dans l’ordre

  1. MB=2AMMB = 2AM et M∈[AB]M \in [AB] : écris AM→\overrightarrow{AM} en fonction de AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. Thalès dans ABCABC donne AN→\overrightarrow{AN} ; puis Thalès vu depuis le sommet C,C, avec la parallèle (NP)(NP) à (AB).(AB).
  3. BP→=BC→+CP→.\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP}.

Correction

  1. Le point M — AM→=13AB→\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}
  2. Le point N — AN→=13AC→⇒CN→=23CA→\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{CN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}
  3. Le point P — (NP)∥(AB)(NP) \parallel (AB) : Thalès vectoriel depuis le sommet C.C.CP→=23CB→\overrightarrow{CP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}
  4. Le vecteur BP — BP→=BC→+CP→=BC→−23BC→=13BC→\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{BC} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}

k=13k = \dfrac{1}{3} : on applique Thalès vectoriel deux fois, depuis AA puis depuis C,C, et Chasles relie les résultats.

Pièges anticipés

  • 2/3 → C'est le réel de CP→\overrightarrow{CP} en fonction de CB→\overrightarrow{CB} ; passe à BP→\overrightarrow{BP} par Chasles.

Exercice 96 · defi

Un losange dans un triangle

ABCABC est un triangle tel que AB=6AB = 6 cm et BC=4BC = 4 cm. MM est le point de [AB][AB] tel que AM→=xAB→,\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}, avec 0<x<10 < x < 1 ; la parallèle à (BC)(BC) passant par MM coupe (AC)(AC) en N,N, et la parallèle à (AB)(AB) passant par NN coupe (BC)(BC) en P.P. Déterminer xx pour que MN=NP.MN = NP.

Donne la valeur de x.x.

Réponse attendue : 3/5 — aussi acceptées : 0.6

Indices, dans l’ordre

  1. Thalès vectoriel donne MN→=xBC→.\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC}.
  2. Depuis CC : CN→=(1−x)CA→,\overrightarrow{CN} = (1 - x)\overrightarrow{CA}, donc NP→=(1−x)AB→.\overrightarrow{NP} = (1 - x)\overrightarrow{AB}.
  3. Écris MN=NPMN = NP avec les longueurs.

Correction

  1. La longueur MN — MN→=xBC→⇒MN=4x\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{BC} \Rightarrow MN = 4x
  2. La longueur NP — NP→=(1−x)AB→⇒NP=6(1−x)\overrightarrow{NP} = (1 - x)\overrightarrow{AB} \Rightarrow NP = 6(1 - x)
  3. L'équation — 4x=6−6x  ⟺  x=354x = 6 - 6x \iff x = \dfrac{3}{5}

x=35x = \dfrac{3}{5} : BMNPBMNP est alors un losange. Thalès vectoriel, appliqué depuis deux sommets, donne les deux longueurs en fonction de x.x.

Pièges anticipés

  • 2/5 / 0.4 → Tu as échangé les rôles : MN=x⋅BCMN = x \cdot BC et NP=(1−x)⋅AB.NP = (1 - x) \cdot AB.

Exercice 97 · pratique

Projeter une longueur

Les points A,A, MM et BB sont alignés, avec AM→=25AB→.\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}. On les projette parallèlement à une même direction sur une droite Δ,\Delta, en A′,A', M′M' et B′,B', et l'on a A′B′=15A'B' = 15 cm. Calculer A′M′A'M' en cm.

Donne A′M′A'M' en cm.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Le réel se conserve par projection : A′M′→=25A′B′→.\overrightarrow{A'M'} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{A'B'}.
  2. Passe aux longueurs.

Correction

  1. La projection — A′M′→=25A′B′→\overrightarrow{A'M'} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{A'B'}
  2. La longueur — A′M′=25×15=6 cmA'M' = \dfrac{2}{5} \times 15 = 6 \text{ cm}

A′M′=6A'M' = 6 cm : si AM→=xAB→,\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}, alors A′M′→=xA′B′→.\overrightarrow{A'M'} = x\overrightarrow{A'B'}.

Pièges anticipés

  • 9 → 99 cm, c'est M′B′M'B' ; on demande A′M′.A'M'.
  • 37.5 → Le réel se conserve : on multiplie A′B′A'B' par 25,\dfrac{2}{5}, on ne divise pas.

Exercice 98 · raisonnement

Un réel à retrouver

Les points A,A, BB et CC sont alignés, avec AB→=3BC→.\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{BC}. On les projette parallèlement à une direction donnée sur une droite Δ,\Delta, en A′,A', B′B' et C′.C'. Trouver le réel kk tel que A′B′→=kA′C′→.\overrightarrow{A'B'} = k\overrightarrow{A'C'}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75

Indices, dans l’ordre

  1. Exprime d'abord AB→\overrightarrow{AB} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} : BC→=AC→−AB→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.
  2. Le réel se conserve par projection.

Correction

  1. Chasles — AB→=3(AC→−AB→)  ⟺  4AB→=3AC→\overrightarrow{AB} = 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \iff 4\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC}
  2. Le réel — AB→=34AC→\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}
  3. Projeter — A′B′→=34A′C′→\overrightarrow{A'B'} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{A'C'}

k=34k = \dfrac{3}{4} : on exprime d'abord la relation entre les points de départ sous la forme demandée, puis la projection la conserve.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 relie AB→\overrightarrow{AB} à BC→\overrightarrow{BC} ; on demande A′B′→\overrightarrow{A'B'} en fonction de A′C′→.\overrightarrow{A'C'}.
  • 1/3 → Exprime AB→\overrightarrow{AB} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} par Chasles : BC→=AC→−AB→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.

Exercice 99 · defi

Projection et sens

Les points A,A, BB et CC sont alignés et distincts, avec 2AB→+3AC→=0⃗.2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = \vec{0}. On les projette parallèlement à une direction donnée sur une droite Δ,\Delta, en A′,A', B′B' et C′.C'. Trouver le réel kk tel que A′B′→=kB′C′→.\overrightarrow{A'B'} = k\overrightarrow{B'C'}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : -3/5 — aussi acceptées : -0.6

Indices, dans l’ordre

  1. Tire AB→\overrightarrow{AB} en fonction de AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. Exprime BC→\overrightarrow{BC} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} avec BC→=AC→−AB→.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.
  3. La projection conserve le réel.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→=−32AC→\overrightarrow{AB} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}
  2. Le vecteur BC — BC→=AC→−AB→=52AC→  ⟺  AC→=25BC→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC} \iff \overrightarrow{AC} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}
  3. Combiner — AB→=−32×25BC→=−35BC→\overrightarrow{AB} = -\dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC} = -\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}
  4. Projeter — A′B′→=−35B′C′→\overrightarrow{A'B'} = -\dfrac{3}{5}\overrightarrow{B'C'}

k=−35k = -\dfrac{3}{5} : AA est entre BB et C,C, et la projection conserve le réel, signe compris.

Pièges anticipés

  • 3/5 / 0.6 → AA est entre BB et CC : AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} sont de sens contraires.
  • -3/2 / -1.5 → C'est le réel de AB→\overrightarrow{AB} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} ; on demande A′B′→\overrightarrow{A'B'} en fonction de B′C′→.\overrightarrow{B'C'}.

Exercice 100 · defi

Trouver le point aligné

ABCABC est un triangle, II le milieu de [AB],[AB], JJ le point tel que AJ→=23AC→,\overrightarrow{AJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}, et KK le point de la droite (BC)(BC) tel que BK→=xBC→.\overrightarrow{BK} = x\overrightarrow{BC}. Déterminer le réel xx pour que I,I, JJ et KK soient alignés.

Donne la valeur de x.x.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Choisis le repère (A,AB→,AC→)(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) et calcule les coordonnées de I,I, JJ et K.K.
  2. AK→=AB→+xBC→=(1−x)AB→+xAC→.\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{BC} = (1 - x)\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC}.
  3. Écris que le déterminant de IJ→\overrightarrow{IJ} et IK→\overrightarrow{IK} est nul.

Correction

  1. Les points — I(12,0)J(0,23)K(1−x,x)I\left(\dfrac{1}{2}, 0\right) \qquad J\left(0, \dfrac{2}{3}\right) \qquad K(1 - x, x)
  2. Les vecteurs — IJ→(−1223)IK→(12−xx)\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{IK}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} - x \\ x \end{pmatrix}
  3. Déterminant nul — −12x−23(12−x)=x6−13=0  ⟺  x=2-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} - x\right) = \dfrac{x}{6} - \dfrac{1}{3} = 0 \iff x = 2

x=2x = 2 : CC est le milieu de [BK].[BK]. La méthode analytique : un repère lié au triangle, des coordonnées, un déterminant nul.

Pièges anticipés

  • 2/7 → Le déterminant est xy′−x′yxy' - x'y : on retranche le second produit, 23(12−x).\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2} - x\right).

Exercice 101 · defi

Une droite qui coupe un côté

ABCABC est un triangle, DD le point tel que BD→=13BC→\overrightarrow{BD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} et EE le milieu de [AD].[AD]. La droite (BE)(BE) coupe (AC)(AC) en F.F. Trouver le réel kk tel que AF→=kAC→.\overrightarrow{AF} = k\overrightarrow{AC}.

Donne le réel k.k.

Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25

Indices, dans l’ordre

  1. Choisis le repère (A,AB→,AC→)(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) : calcule les coordonnées de D,D, puis de E.E.
  2. FF est sur (AC)(AC) : F(0,k).F(0, k).
  3. B,B, EE et FF sont alignés : écris que le déterminant de BE→\overrightarrow{BE} et BF→\overrightarrow{BF} est nul.

Correction

  1. Le point D — AD→=AB→+13BC→=23AB→+13AC→⇒D(23,13)\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} \Rightarrow D\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}\right)
  2. Le point E — E(13,16)E\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{6}\right)
  3. Déterminant nul — BE→(−2316)BF→(−1k)−23k+16=0  ⟺  k=14\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{6} \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} -1 \\ k \end{pmatrix} \qquad -\dfrac{2}{3}k + \dfrac{1}{6} = 0 \iff k = \dfrac{1}{4}

k=14k = \dfrac{1}{4} : le point d'intersection se trouve en écrivant qu'il est sur une droite (coordonnées) et aligné avec deux points de l'autre (déterminant).

Pièges anticipés

  • -1/4 / -0.25 → Attention au signe : −x′y=−(−1)×16=+16.-x'y = -(-1) \times \dfrac{1}{6} = +\dfrac{1}{6}.