Fonctions de références
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna chapitre jdid : les fonctions de référence. Bech net3arrfou 3la trois familles de fonctions, w koll wa7da 3andha la courbe mte3ha : les trinômes a x au carré plus b x plus c, w la courbe mte3hom la parabole ; la racine carrée de (x plus b) ; w les quotients (a x plus b) sur (c x plus d), w la courbe mte3hom l'hyperbole. W fi koll marra, nabdew men courbe bsita, w n7arrkouha b translation. Yalla, nabdew.
عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا chapitre جديد : les fonctions de référence . باش نتعرّفو على trois familles de fonctions ، w كل وحدة عندها la courbe متاعها : les trinômes a x au carré plus b x plus c ، w la courbe متاعهم la parabole ؛ la racine carrée de (x plus b) ؛ w les quotients (a x plus b) sur (c x plus d) ، w la courbe متاعهم l'hyperbole . w في كل مرّة ، نبداو من courbe بسيطة ، w نحرّكوها بـ translation . يالله ، نبداو .
Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble un nouveau chapitre : les fonctions de référence. Nous allons faire connaissance avec trois familles de fonctions, chacune avec sa courbe : les trinômes a x au carré plus b x plus c, dont la courbe est la parabole ; la racine carrée de (x plus b) ; et les quotients (a x plus b) sur (c x plus d), dont la courbe est l'hyperbole. Et à chaque fois, on part d'une courbe simple, et on la déplace par une translation. Allez, on commence.
Trois fonctions simples — et — servent de références : on apprend leur courbe une fois pour toutes.
Toutes les autres fonctions du chapitre s'en déduisent en déplaçant la courbe : les trinômes donnent des paraboles, les quotients des hyperboles.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Reconnaître une parabole : son sommet, son axe et son équationReconnaître une parabole : son sommet, son axe et son équation.Reconnaître une parabole : son sommet, son axe et son équation.
- Écrire un trinôme sous la forme Écrire un trinôme sous la forme a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta.Écrire un trinôme sous la forme a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta.
- Tracer la courbe de Tracer la courbe de racine carrée de (x plus b).Tracer la courbe de racine carrée de (x plus b).
- Reconnaître une hyperbole : son centre et ses asymptotesReconnaître une hyperbole : son centre et ses asymptotes.Reconnaître une hyperbole : son centre et ses asymptotes.
- Passer d'une courbe à une autre par une translationPasser d'une courbe à une autre par une translation.Passer d'une courbe à une autre par une translation.
- Résoudre graphiquement et par le calcul des équations et des inéquationsRésoudre graphiquement et par le calcul des équations et des inéquations.Résoudre graphiquement et par le calcul des équations et des inéquations.
1. Activité
Pour comprendre : la fonction carré
Ce qu’il dit
Nabdew bel fonction el absat : f de x égale x au carré. Chouf la courbe mte3ha : tahbet 7atta l O, w ba3d tatla3. W les points M w N, elli les abscisses mte3hom deux w moins deux, 3andhom nafs l'ordonnée : quatre. 5ater nombre w l'opposé mte3ou 3andhom nafs le carré, ya3ni f de moins x égale f de x : f paire, w la courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. W 7aja o5ra : ki x yekber, x au carré yekber barcha. Dix puissance quinze au carré ya3ti dix puissance trente. Mahma ykoun le nombre A, f de x yfoutou ki x yfout racine carrée de A.
نبداو بالـ fonction الأبسط : f de x égale x au carré . شوف la courbe متاعها : تهبط حتّى لـ O ، w بعد تطلع . w les points M w N ، اللي les abscisses متاعهم deux w moins deux ، عندهم نفس l'ordonnée : quatre . خاطر nombre w l'opposé متاعو عندهم نفس le carré ، يعني f de moins x égale f de x : f paire ، w la courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées . w حاجة أخرى : كي x يكبر ، x au carré يكبر برشا . dix puissance quinze au carré يعطي dix puissance trente . مهما يكون le nombre A ، f de x يفوتو كي x يفوت racine carrée de A .
Commençons par la fonction la plus simple : f de x égale x au carré. Regarde sa courbe : elle descend jusqu'à O, puis elle remonte. Et les points M et N, d'abscisses deux et moins deux, ont la même ordonnée : quatre. Comme un nombre et son opposé ont le même carré, f de moins x égale f de x : f est paire, et la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Autre chose : quand x grandit, x au carré grandit beaucoup. Dix puissance quinze au carré donne dix puissance trente. Quel que soit le nombre A, f de x le dépasse dès que x dépasse racine carrée de A.
Soit la fonction de vers définie par Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est la courbe de la figure.
- 1.À l'aide du graphique, émets une conjecture sur la parité de puis décris ses variations sur
- 2.Montre que la fonction est paire, puis qu'elle est croissante sur
- 3.Complète le tableau ci-dessous. Comment peut-on choisir positif pour que soit strictement supérieur à ? Et à un réel strictement positif ?
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe de la fonction carré descend depuis la gauche jusqu'à l'origine O, son point le plus bas, puis remonte vers la droite ; elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Au palier 2, les points M, d'abscisse 2, et N, d'abscisse moins 2, sont marqués sur la courbe : ils ont la même ordonnée, 4, et le segment [NM] est horizontal.
Exemple traité
Montre que est paire et croissante sur puis dis à partir de quelle valeur de positif on a
- La parité — Pour tout réel est aussi un réel, et son image est la même que celle de
- Les variations — Soit et deux réels tels que Les deux facteurs et sont positifs ou nuls.
- Le tableau — Pour élever une puissance de au carré, on double l'exposant.
- Dépasser A — Pour positif, équivaut à : pour dépasser il suffit de prendre
À ne pas faire : est croissante sur — est décroissante sur et croissante sur . Pour deux réels négatifs, le carré renverse l'ordre : est plus petit que mais son carré, est plus grand que
À ne pas faire : — . Le carré d'un nombre négatif est positif : c'est pour cela que est paire.
2. Vocabulaire
La parabole d'équation y = x²
Ce qu’il dit
Hedhi el asemi elli lezmek ta7fedhhom. La courbe P mta3 la fonction x au carré nsammiwha parabole. Le point O houwa le sommet mte3ha : houni houwa el point el awta fi la courbe. W la droite d'équation x égale zéro, ya3ni l'axe des ordonnées, hiya l'axe de la parabole : la courbe symétrique par rapport liha. W y égale x au carré hiya l'équation de la parabole P. W zid : ki f de x yfout ay nombre A, mahma ken kbir, n9oulou f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. W nafs echay quand x tend vers moins l'infini.
هاذي الأسامي اللي لازمك تحفظهم . la courbe P متاع la fonction x au carré نسمّيوها parabole . le point O هو le sommet متاعها : هنا هو الـ point الأوطى في la courbe . w la droite d'équation x égale zéro ، يعني l'axe des ordonnées ، هي l'axe de la parabole : la courbe symétrique par rapport ليها . w y égale x au carré هي l'équation de la parabole P . w زيد : كي f de x يفوت أيّ nombre A ، مهما كان كبير ، نقولو f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini . w نفس الشي quand x tend vers moins l'infini .
Voici les noms à retenir. La courbe P de la fonction x au carré s'appelle une parabole. Le point O est son sommet : ici, c'est le point le plus bas de la courbe. Et la droite d'équation x égale zéro, c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est l'axe de la parabole : la courbe est symétrique par rapport à elle. Et y égale x au carré est l'équation de la parabole P. Ajoutons : quand f de x dépasse n'importe quel nombre A, aussi grand soit-il, on dit que f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. Et de même quand x tend vers moins l'infini.
Le plan est muni d'un repère orthogonal
La courbe de la fonction définie sur par est appelée parabole. Le point est appelé le sommet de la parabole et la droite d'équation est appelée l'axe de la parabole
L'équation est appelée l'équation de la parabole
Remarques. Pour tout réel strictement positif, on peut trouver des valeurs positives de telles que soit supérieur à Autrement dit, est supérieur à n'importe quel réel positif, aussi grand que l'on veut, en choisissant des valeurs positives de On dit que tend vers quand tend vers .
On a aussi : tend vers quand tend vers
La parabole P d'équation y égale x au carré, dans un repère orthogonal. Au palier 2, son sommet, l'origine O, est nommé : c'est le point le plus bas de la courbe. Au palier 3, son axe est nommé : c'est la droite d'équation x égale 0, l'axe des ordonnées, par rapport auquel la parabole est symétrique.
équation de la parabole P
Exemple traité
Le point est-il sur la parabole ? Et le point ? Quel est le point de d'abscisse ?
- Le point A — Un point est sur quand son ordonnée est le carré de son abscisse. Ici, c'est le cas.
- Le point B — Le carré de est et non : le point n'est pas sur
- Une abscisse donnée — L'ordonnée est le carré de l'abscisse.
À ne pas faire : L'axe de la parabole est l'axe des abscisses — L'axe de est la droite d'équation c'est-à-dire l'axe des ordonnées. L'axe d'une parabole est son axe de symétrie : il passe par le sommet.
À ne pas faire : tend vers : finit par valoir — dépasse n'importe quel réel dès que est assez grand. Plus l'infini n'est pas un nombre : aucune valeur de ne lui est égale.
3. Activité
Pour comprendre : la courbe de 2x²
Ce qu’il dit
Kifech nemchiw men la parabole P lel courbe mta3 deux x au carré ? B homothétie. Ne5dhou h, l'homothétie de centre O et de rapport un demi. Koll point M de coordonnées x et y men P, l'image mte3ou M prime 3andou les coordonnées x sur deux et y sur deux. W 5ater y égale x au carré, nal9aw y prime égale deux fois x prime au carré : M prime 3la la courbe C mta3 g. W bel 3aks, koll point men C houwa image mta3 point men P. Idhan l'image de la parabole P par h hiya la courbe C.
كيفاش نمشيو من la parabole P للـ courbe متاع deux x au carré ؟ بـ homothétie . ناخذو h ، l'homothétie de centre O et de rapport un demi . كل point M de coordonnées x et y من P ، l'image متاعو M prime عندو les coordonnées x sur deux et y sur deux . w خاطر y égale x au carré ، نلقاو y prime égale deux fois x prime au carré : M prime على la courbe C متاع g . w بالعكس ، كل point من C هو image متاع point من P . إذن l'image de la parabole P par h هي la courbe C .
Comment passer de la parabole P à la courbe de deux x au carré ? Par une homothétie. Prenons h, l'homothétie de centre O et de rapport un demi. Pour tout point M de coordonnées x et y de P, son image M prime a pour coordonnées x sur deux et y sur deux. Et comme y égale x au carré, on trouve y prime égale deux fois x prime au carré : M prime est sur la courbe C de g. Inversement, tout point de C est l'image d'un point de P. Donc l'image de la parabole P par h est la courbe C.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé Soit la parabole d'équation et l'homothétie de centre et de rapport
- 1.Soit un point de la parabole et son image par l'homothétie Exprime et en fonction de et
- 2.Montre que le point est sur la courbe représentative de la fonction
- 3.Montre que tout point de est l'image par l'homothétie d'un point de Quelle est alors l'image de la parabole par ?
Un repère orthonormé d'origine O. En bleu, la parabole P d'équation y égale x au carré. Au palier 2, en rouge, la courbe C de la fonction qui à x associe 2 x au carré, plus resserrée autour de l'axe des ordonnées. Le point M, d'abscisse 2 et d'ordonnée 4, est sur P ; le point M prime, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, est sur C, au milieu du segment [OM] tracé en pointillés.
Exemple traité
Exprime les coordonnées de l'image d'un point de par puis trouve l'image de la parabole
- L'homothétie — Le vecteur est la moitié du vecteur : chaque coordonnée est divisée par
- L'image est sur C — Le point est sur donc On remplace par et par
- La réciproque — Si un point d'abscisse et d'ordonnée est sur alors Le point d'abscisse et d'ordonnée est alors sur et son image par est
À ne pas faire : L'homothétie de rapport transforme en — Elle transforme en . Les deux coordonnées sont divisées par pas seulement l'ordonnée : la moitié du carré de est
4. Propriété
Fonctions du type f(x) = ax²
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. a réel non nul. La courbe mta3 f de x égale a x au carré hiya parabole, le sommet mte3ha O, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale zéro. Ken a positif, la parabole ma7loula lel fou9, w O houwa el point el awta. Ken a négatif, ma7loula lel wta, w O houwa el point el a3la. Mithel : f de x égale moins trois x au carré. 3la les positifs, hiya décroissante, w f de x tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini.
هاذي la propriété . a réel non nul . la courbe متاع f de x égale a x au carré هي parabole ، le sommet متاعها O ، w l'axe de symétrie متاعها la droite d'équation x égale zéro . كان a positif ، la parabole محلولة للفوق ، w O هو الـ point الأوطى . كان a négatif ، محلولة للوطا ، w O هو الـ point الأعلى . مثال : f de x égale moins trois x au carré . على les positifs ، هي décroissante ، w f de x tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini .
Voici la propriété. a est un réel non nul. La courbe de f de x égale a x au carré est une parabole de sommet O, et d'axe de symétrie la droite d'équation x égale zéro. Si a est positif, la parabole est tournée vers le haut, et O est le point le plus bas. Si a est négatif, elle est tournée vers le bas, et O est le point le plus haut. Exemple : f de x égale moins trois x au carré. Sur les positifs, elle est décroissante, et f de x tend vers moins l'infini quand x tend vers plus l'infini.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit un réel non nul.
La courbe représentative de la fonction définie sur par est une parabole de sommet et d'axe de symétrie la droite d'équation .
Si la parabole est tournée vers le haut ; si elle est tournée vers le bas.
Un repère orthogonal d'origine O et deux paraboles de sommet O, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. La parabole bleue, notée a supérieur à 0, est tournée vers le haut : O est son point le plus bas. La parabole rouge, notée a inférieur à 0, est tournée vers le bas : O est son point le plus haut.
Exemple traité
Soit la fonction définie sur par Étudie ses variations. Puis, pour un réel strictement positif, montre que si alors
- Pour x positif — Si alors ; multiplier par renverse l'ordre. Donc est décroissante sur
- Pour x négatif — La fonction est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Donc est croissante sur
- Passer sous −A — Si alors On multiplie par qui est négatif :
- La conclusion — devient inférieur à n'importe quel réel négatif, pourvu que soit assez grand.
À ne pas faire : est croissante sur comme — Elle est décroissante sur et croissante sur . Multiplier par un nombre négatif renverse l'ordre : le sommet devient le point le plus haut de la parabole.
5. Application
Exemple : lire le coefficient
Ce qu’il dit
3andna quatre paraboles, w koll wa7da la courbe mta3 fonction m x au carré. Kifech nal9aw m ? El 7ila : f de un égale m. Ya3ni m houwa l'ordonnée mta3 le point d'abscisse un. C un tet3adda men le point A de coordonnées un et un : m égale un. C deux tet3adda men B de coordonnées un et deux : m égale deux. C trois tet3adda men D de coordonnées deux et moins deux : quatre m égale moins deux, idhan m égale moins un demi. W C quatre tet3adda men E de coordonnées un et moins deux : m égale moins deux.
عندنا quatre paraboles ، w كل وحدة la courbe متاع fonction m x au carré . كيفاش نلقاو m ؟ الحيلة : f de un égale m . يعني m هو l'ordonnée متاع le point d'abscisse un . C un تتعدّى من le point A de coordonnées un et un : m égale un . C deux تتعدّى من B de coordonnées un et deux : m égale deux . C trois تتعدّى من D de coordonnées deux et moins deux : quatre m égale moins deux ، إذن m égale moins un demi . w C quatre تتعدّى من E de coordonnées un et moins deux : m égale moins deux .
Nous avons quatre paraboles, chacune étant la courbe d'une fonction m x au carré. Comment trouver m ? L'astuce : f de un égale m. Donc m est l'ordonnée du point d'abscisse un. C un passe par le point A de coordonnées un et un : m égale un. C deux passe par B de coordonnées un et deux : m égale deux. C trois passe par D de coordonnées deux et moins deux : quatre m égale moins deux, donc m égale moins un demi. Et C quatre passe par E de coordonnées un et moins deux : m égale moins deux.
Chaque parabole de la figure représente une fonction du type où est une constante réelle. Détermine, pour chaque parabole, la valeur de correspondante.
On lit sur la figure que passe par par par et par
Un repère orthogonal d'origine O et quatre paraboles de sommet O. C1, en noir, est tournée vers le haut et passe par le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée 1. C2, en bleu, tournée vers le haut et plus resserrée, passe par le point B d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. C3, en rouge, est tournée vers le bas et large : elle passe par le point D d'abscisse 2 et d'ordonnée moins 2. C4, en vert, tournée vers le bas et resserrée, passe par le point E d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 2.
Exemple traité
Trouve la valeur de pour chacune des quatre paraboles.
- La méthode — Si alors : le coefficient est l'ordonnée du point d'abscisse
- Les deux premières — La première passe par et la deuxième par
- La troisième — Elle passe par : l'abscisse n'est pas on résout
- La quatrième — Elle passe par
À ne pas faire : passe par donc — donc . L'ordonnée ne donne directement qu'au point d'abscisse ; ailleurs, il faut diviser par le carré de l'abscisse.
6. Activité
Pour comprendre : la courbe de (x − 2)²
Ce qu’il dit
Tawa nbaddlou chwaya : f de x égale (x moins deux) au carré, w la courbe mte3ha C. Ne5dhou point M de coordonnées x et y. M 3la C ma3neha y égale (x moins deux) au carré. W hedha bedhabt ma3neh el point N, elli l'abscisse mte3ou x moins deux w l'ordonnée mte3ou y, 3la la parabole P. W men N l M, nzidou deux lel abscisse berk : M houwa l'image de N par la translation de vecteur deux i. Idhan C hiya l'image de P par la translation hedhi : nafs la parabole, m7arrka b deux lel imin. W b nafs ettari9a, la courbe mta3 la parenthèse x moins alpha, au carré hiya l'image de P par la translation de vecteur alpha i.
توّة نبدّلو شويّة : f de x égale (x moins deux) au carré ، w la courbe متاعها C . ناخذو point M de coordonnées x et y . M على C معناها y égale (x moins deux) au carré . w هذا بالضبط معناه الـ point N ، اللي l'abscisse متاعو x moins deux w l'ordonnée متاعو y ، على la parabole P . w من N لـ M ، نزيدو deux للـ abscisse برك : M هو l'image de N par la translation de vecteur deux i . إذن C هي l'image de P par la translation هاذي : نفس la parabole ، محرّكة بـ deux لليمين . w بنفس الطريقة ، la courbe متاع la parenthèse x moins alpha, au carré هي l'image de P par la translation de vecteur alpha i .
Changeons un peu : f de x égale (x moins deux) au carré, de courbe C. Prenons un point M de coordonnées x et y. M est sur C signifie y égale (x moins deux) au carré. Et c'est exactement dire que le point N, d'abscisse x moins deux et d'ordonnée y, est sur la parabole P. De N à M, on ajoute seulement deux à l'abscisse : M est l'image de N par la translation de vecteur deux i. Donc C est l'image de P par cette translation : la même parabole, déplacée de deux vers la droite. De la même façon, la courbe de la parenthèse x moins alpha, au carré est l'image de P par la translation de vecteur alpha i.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal On considère la fonction définie sur par On désigne par sa courbe représentative et par la parabole d'équation
- 1.Soit un point du plan. Montre que appartient à équivaut à appartient à
- 2.Déduis-en que est l'image de par une translation dont tu préciseras le vecteur.
- 3.Soit la fonction définie sur par où est un réel donné, et sa courbe. Montre que est l'image de la parabole par la translation de vecteur On admet que est une parabole : détermine son sommet et son axe.
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, la parabole P d'équation y égale x au carré, de sommet O. Au palier 2, en rouge, la courbe C de la fonction qui à x associe (x moins 2) au carré : c'est la même parabole, déplacée de 2 vers la droite, de sommet S d'abscisse 2 sur l'axe des abscisses. Deux flèches vertes égales, de O vers S et du point N de P, d'abscisse 2 et d'ordonnée 4, vers le point M de C, d'abscisse 4 et d'ordonnée 4, montrent la translation de vecteur 2 i.
Exemple traité
Montre que la courbe de est l'image de la parabole par une translation, et donne son vecteur.
- Un point de C — Le point appartient à quand son ordonnée est l'image de son abscisse
- Un point de P — Le point a pour abscisse et pour ordonnée : il est sur quand son ordonnée est le carré de son abscisse. C'est la même condition.
- La translation — De à l'abscisse augmente de et l'ordonnée ne change pas : le point est l'image de par la translation de vecteur
- Le cas général — Avec à la place de le même calcul donne la translation de vecteur : le sommet de est l'image de et son axe est la droite d'équation
À ne pas faire : La courbe de est la parabole décalée de vers la gauche — Elle est décalée de vers la droite : translation de vecteur . Le sommet est le point où s'annule, c'est-à-dire en et non en
7. Propriété
Fonctions du type f(x) = a(x − α)²
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. a réel non nul, w alpha réel. La courbe mta3 f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré hiya parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées alpha et zéro, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale alpha. Chouf el figure : quatre paraboles, el koll (x moins un) au carré madhrouba fi un, trois, moins deux, w un demi. 3andhom el koll nafs le sommet, de coordonnées un et zéro, w nafs l'axe, x égale un. a ybaddel el fat7a berk : lel fou9 walla lel wta, dhay9a walla wes3a.
هاذي la propriété . a réel non nul ، w alpha réel . la courbe متاع f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré هي parabole ، le sommet متاعها S de coordonnées alpha et zéro ، w l'axe de symétrie متاعها la droite d'équation x égale alpha . شوف الـ figure : quatre paraboles ، الكل (x moins un) au carré مضروبة في un ، trois ، moins deux ، w un demi . عندهم الكل نفس le sommet ، de coordonnées un et zéro ، w نفس l'axe ، x égale un . a يبدّل الفتحة برك : للفوق ولّا للوطا ، ضيّقة ولّا واسعة .
Voici la propriété. a est un réel non nul, et alpha un réel. La courbe de f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré est une parabole de sommet S de coordonnées alpha et zéro, et d'axe de symétrie la droite d'équation x égale alpha. Regarde la figure : quatre paraboles, toutes (x moins un) au carré multiplié par un, trois, moins deux et un demi. Elles ont toutes le même sommet, de coordonnées un et zéro, et le même axe, x égale un. a ne change que l'ouverture : vers le haut ou vers le bas, étroite ou large.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit un réel non nul et un réel.
La courbe représentative de la fonction définie sur par est une parabole de sommet et d'axe de symétrie la droite d'équation .
Un repère orthogonal d'origine O et quatre paraboles qui ont le même sommet S, d'abscisse 1 sur l'axe des abscisses, et le même axe, la droite verticale d'équation x égale 1 tracée en pointillés verts. P1, en bleu, P2, en rouge et plus resserrée, et P4, en orange et plus large, sont tournées vers le haut ; P3, en vert, est tournée vers le bas. Au point d'abscisse 2, leurs ordonnées sont 1 pour P1, 3 pour P2, moins 2 pour P3 et un demi pour P4.
Exemple traité
Détermine le sommet et l'axe de la parabole d'équation Puis fais de même pour et
- La première parabole — Ici et : le sommet est le point et l'axe est la droite d'équation
- Les trois autres — Seul change : les quatre paraboles ont le même sommet et le même axe. La troisième, où est négatif, est tournée vers le bas.
- Un point de chacune — Pour les tracer, on calcule l'ordonnée du point d'abscisse : elle vaut
À ne pas faire : : sommet — : sommet axe . On lit dans : c'est moins l'opposé de donc
À ne pas faire : n'est pas de ce type — : sommet axe . Une identité remarquable peut cacher la forme : on factorise avant de conclure.
8. Activité
Pour comprendre : la courbe de x² + 3/2
Ce qu’il dit
W ken nzidou nombre ? f de x égale x au carré plus trois demis, w la courbe mte3ha C. M de coordonnées x et y 3la C ma3neha y égale x au carré plus trois demis, ya3ni y moins trois demis égale x au carré. W hedha ma3neh el point N, elli l'abscisse mte3ou x w l'ordonnée mte3ou y moins trois demis, 3la la parabole P. Men N l M, nzidou trois demis lel ordonnée berk : C hiya l'image de P par la translation de vecteur trois demis j. Nafs la parabole, tal3a b trois demis. W b nafs ettari9a, la courbe mta3 x au carré plus bêta hiya l'image de P par la translation de vecteur bêta j.
w كان نزيدو nombre ؟ f de x égale x au carré plus trois demis ، w la courbe متاعها C . M de coordonnées x et y على C معناها y égale x au carré plus trois demis ، يعني y moins trois demis égale x au carré . w هذا معناه الـ point N ، اللي l'abscisse متاعو x w l'ordonnée متاعو y moins trois demis ، على la parabole P . من N لـ M ، نزيدو trois demis للـ ordonnée برك : C هي l'image de P par la translation de vecteur trois demis j . نفس la parabole ، طالعة بـ trois demis . w بنفس الطريقة ، la courbe متاع x au carré plus bêta هي l'image de P par la translation de vecteur bêta j .
Et si on ajoute un nombre ? f de x égale x au carré plus trois demis, de courbe C. M de coordonnées x et y est sur C signifie y égale x au carré plus trois demis, c'est-à-dire y moins trois demis égale x au carré. Cela veut dire que le point N, d'abscisse x et d'ordonnée y moins trois demis, est sur la parabole P. De N à M, on ajoute seulement trois demis à l'ordonnée : C est l'image de P par la translation de vecteur trois demis j. La même parabole, montée de trois demis. De la même façon, la courbe de x au carré plus bêta est l'image de P par la translation de vecteur bêta j.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal On considère la fonction définie sur par On désigne par sa courbe représentative et par la parabole d'équation
- 1.Soit un point du plan. Montre que appartient à équivaut à appartient à
- 2.Déduis-en que est l'image de par une translation dont tu préciseras le vecteur.
- 3.Soit la fonction définie sur par où est un réel donné, et sa courbe. Montre que est l'image de la parabole par la translation de vecteur On admet que est une parabole : détermine son sommet et son axe.
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, la parabole P d'équation y égale x au carré, de sommet O. Au palier 2, en rouge, la courbe C de la fonction qui à x associe x au carré plus trois demis : c'est la même parabole, montée de 1,5, de sommet S d'ordonnée 1,5 sur l'axe des ordonnées. Deux flèches vertes égales, verticales, de O vers S et du point N de P, d'abscisse 1 et d'ordonnée 1, vers le point M de C, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2,5, montrent la translation de vecteur trois demis j.
Exemple traité
Montre que la courbe de est l'image de la parabole par une translation, et donne son vecteur.
- Un point de C — Le point appartient à quand son ordonnée est l'image de son abscisse. On retranche aux deux membres.
- Un point de P — La dernière égalité dit que le point de même abscisse et d'ordonnée est sur
- La translation — De à l'abscisse ne change pas et l'ordonnée augmente de : le point est l'image de par la translation de vecteur
- Le cas général — Avec à la place de le même calcul donne la translation de vecteur : le sommet de est l'image de et son axe reste la droite d'équation
À ne pas faire : La courbe de est la parabole décalée vers la droite — Elle est décalée vers le haut : translation de vecteur . Ajouter un nombre à change l'ordonnée de chaque point, pas son abscisse.
9. Propriété
Fonctions du type f(x) = x² + β
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. bêta réel. La courbe mta3 f de x égale x au carré plus bêta hiya parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées zéro et bêta, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale zéro. Ya3ni le sommet yo93od 3la l'axe des ordonnées, w yatla3 walla yahbet b bêta. Mithel : y égale x au carré plus trois, le sommet mte3ha de coordonnées zéro et trois. W y égale x au carré moins deux, le sommet mte3ha de coordonnées zéro et moins deux.
هاذي la propriété . bêta réel . la courbe متاع f de x égale x au carré plus bêta هي parabole ، le sommet متاعها S de coordonnées zéro et bêta ، w l'axe de symétrie متاعها la droite d'équation x égale zéro . يعني le sommet يقعد على l'axe des ordonnées ، w يطلع ولّا يهبط بـ bêta . مثال : y égale x au carré plus trois ، le sommet متاعها de coordonnées zéro et trois . w y égale x au carré moins deux ، le sommet متاعها de coordonnées zéro et moins deux .
Voici la propriété. bêta est un réel. La courbe de f de x égale x au carré plus bêta est une parabole de sommet S de coordonnées zéro et bêta, et d'axe de symétrie la droite d'équation x égale zéro. Le sommet reste donc sur l'axe des ordonnées, et monte ou descend de bêta. Exemple : y égale x au carré plus trois a pour sommet le point de coordonnées zéro et trois. Et y égale x au carré moins deux a pour sommet le point de coordonnées zéro et moins deux.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit un réel.
La courbe représentative de la fonction définie sur par est une parabole de sommet et d'axe de symétrie la droite d'équation .
Un repère orthogonal d'origine O. En pointillés, la parabole P d'équation y égale x au carré, de sommet O. En bleu, la parabole d'équation y égale x au carré plus 3 : la même, montée de 3, de sommet le point d'abscisse 0 et d'ordonnée 3. En rouge, la parabole d'équation y égale x au carré moins 2 : la même, descendue de 2, de sommet le point d'abscisse 0 et d'ordonnée moins 2. Les trois ont pour axe l'axe des ordonnées.
Exemple traité
Dans chacun des cas, détermine le sommet et l'axe de la parabole : a) ; b) ; c)
- Premier cas — On lit : la parabole est celle de montée de Son sommet est le point
- Deuxième cas — On lit : la parabole est descendue de Son sommet est le point
- Troisième cas — On lit Cette parabole coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses et car le carré de est
- L'axe — Dans les trois cas, l'axe de symétrie est la droite d'équation c'est-à-dire l'axe des ordonnées.
À ne pas faire : : sommet — : sommet . s'ajoute à l'ordonnée : c'est qui change, et le sommet reste sur l'axe des ordonnées.
10. Activité
Pour comprendre : la courbe de 2x² + 4x − 1
Ce qu’il dit
Tawa trinôme kemel : g de x égale deux x au carré plus quatre x moins un. El 7ila : nektbouh b tari9a o5ra. Deux fois (x plus un) au carré moins trois : ken tdévelopper, tal9a nafs el trinôme. Idhan nabdew men la parabole P d'équation y égale deux fois (x plus un) au carré, w nna9sou trois men koll ordonnée : la courbe C hiya l'image de P par la translation de vecteur moins trois j. W hedha yemchi m3a koll trinôme : a x au carré plus b x plus c yetkteb a fois (x moins p) au carré plus q, b p égale moins b sur deux a.
توّة trinôme كامل : g de x égale deux x au carré plus quatre x moins un . الحيلة : نكتبوه بطريقة أخرى . deux fois (x plus un) au carré moins trois : كان تـ développer ، تلقى نفس الـ trinôme . إذن نبداو من la parabole P d'équation y égale deux fois (x plus un) au carré ، w ننقصو trois من كل ordonnée : la courbe C هي l'image de P par la translation de vecteur moins trois j . w هذا يمشي مع كل trinôme : a x au carré plus b x plus c يتكتب a fois (x moins p) au carré plus q ، بـ p égale moins b sur deux a .
Maintenant, un trinôme complet : g de x égale deux x au carré plus quatre x moins un. L'astuce : l'écrire autrement. Deux fois (x plus un) au carré moins trois : si tu développes, tu retrouves le même trinôme. On part donc de la parabole P d'équation y égale deux fois (x plus un) au carré, et on retranche trois à chaque ordonnée : la courbe C est l'image de P par la translation de vecteur moins trois j. Et cela marche pour tout trinôme : a x au carré plus b x plus c s'écrit a fois (x moins p) au carré plus q, avec p égale moins b sur deux a.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal On considère la fonction définie sur par On désigne par sa courbe représentative.
- 1.Vérifie que, pour tout réel
- 2.Construis la parabole d'équation puis la courbe
- 3.Soit la fonction définie sur par où et sont des réels avec Écris sous la forme où et sont deux réels que tu détermineras en fonction de et On admet que la courbe représentative de est une parabole : détermine son sommet et son axe.
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, la parabole P d'équation y égale 2 fois (x plus 1) au carré, de sommet A d'abscisse moins 1 sur l'axe des abscisses. Au palier 2, en rouge, la courbe C de la fonction g : la même parabole, descendue de 3, de sommet S d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 3. Une flèche verte verticale, de A vers S, montre la translation de vecteur moins 3 j. La courbe C coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée moins 1.
Exemple traité
Vérifie l'égalité, explique comment passer de à puis écris sous la forme
- Développer — On développe le second membre, et on retrouve le trinôme.
- Les deux courbes — La parabole a pour sommet le point On passe de à en retranchant à chaque ordonnée : c'est la translation de vecteur et le sommet de est le point
- Le cas général — On met en facteur dans les deux premiers termes, puis on complète le carré.
- Sommet et axe — La courbe de est une parabole dont le sommet a pour abscisse et pour ordonnée et dont l'axe est la droite d'équation On remarque que est l'image de
À ne pas faire : — . On met d'abord en facteur : est le double de et c'est qui est le début du carré de
11. Propriété
Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété el kbira mta3 el chapitre. a w b w c réels, w a non nul. f de x égale a x au carré plus b x plus c dima tetkteb a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta. W la courbe mte3ha parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées alpha et bêta, w l'axe de symétrie mte3ha la droite d'équation x égale alpha. Bech tal9ahom : alpha égale moins b sur deux a, w bêta égale f de alpha. W le signe de a y9ollek la parabole ma7loula lel fou9 walla lel wta.
هاذي la propriété الكبيرة متاع الـ chapitre . a w b w c réels ، w a non nul . f de x égale a x au carré plus b x plus c ديما تتكتب a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta . w la courbe متاعها parabole ، le sommet متاعها S de coordonnées alpha et bêta ، w l'axe de symétrie متاعها la droite d'équation x égale alpha . باش تلقاهم : alpha égale moins b sur deux a ، w bêta égale f de alpha . w le signe de a يقلّك la parabole محلولة للفوق ولّا للوطا .
Voici la grande propriété du chapitre. a, b et c sont des réels, avec a non nul. f de x égale a x au carré plus b x plus c s'écrit toujours a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta. Et sa courbe est une parabole de sommet S de coordonnées alpha et bêta, et d'axe de symétrie la droite d'équation x égale alpha. Pour les trouver : alpha égale moins b sur deux a, et bêta égale f de alpha. Et le signe de a te dit si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.
Soit et trois réels, avec
Soit la fonction définie sur par Alors peut s'écrire sous la forme où et sont deux réels.
Le plan est muni d'un repère orthogonal La courbe représentative de la fonction définie sur par est une parabole de sommet et d'axe de symétrie la droite d'équation .
En pratique, et L'écriture est la forme canonique du trinôme.
Un repère orthonormé d'origine O. La parabole d'équation y égale moins un demi de x au carré plus x plus 2 est tournée vers le bas. Son sommet est le point S d'abscisse 1 et d'ordonnée 2,5, et son axe est la droite verticale d'équation x égale 1, tracée en pointillés verts. Elle passe par les points A, d'abscisse moins 1, et B, d'abscisse 3, tous deux d'ordonnée 0,5, et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2.
Exemple traité
Construis la parabole d'équation
- L'abscisse du sommet — Ici et donc
- L'ordonnée du sommet — C'est l'image de
- La forme canonique — On peut vérifier en développant le second membre.
- Des points — Comme est négatif, la parabole est tournée vers le bas. Elle passe par les points et d'abscisses et et de même ordonnée symétriques par rapport à l'axe.
À ne pas faire : — . En développant le terme en a pour coefficient : il doit être égal à d'où le signe moins.
À ne pas faire : : l'ordonnée du sommet est — et : le sommet est . est l'ordonnée du point d'abscisse pas celle du sommet : se calcule, c'est l'image de
12. Application
Exemple : à chaque fonction sa parabole
Ce qu’il dit
Trois paraboles, w trois fonctions : f de x égale (x moins un) au carré plus deux, g de x égale x au carré plus deux, w h de x égale moins x au carré plus deux x plus trois. Kifech na3rfou ana courbe mta3 ana fonction ? Nlawjou 3la les sommets. f : le sommet de coordonnées un et deux. g : le sommet de coordonnées zéro et deux, 3la l'axe des ordonnées. W h tetkteb moins (x moins un) au carré plus quatre : le sommet de coordonnées un et quatre, w a négatif, idhan ma7loula lel wta. C un hiya el wa7ida el ma7loula lel wta : mta3 h. C trois le sommet mte3ha 3la l'axe des ordonnées : mta3 g. W teb9a C deux mta3 f.
trois paraboles ، w trois fonctions : f de x égale (x moins un) au carré plus deux ، g de x égale x au carré plus deux ، w h de x égale moins x au carré plus deux x plus trois . كيفاش نعرفو أنا courbe متاع أنا fonction ؟ نلوّجو على les sommets . f : le sommet de coordonnées un et deux . g : le sommet de coordonnées zéro et deux ، على l'axe des ordonnées . w h تتكتب moins (x moins un) au carré plus quatre : le sommet de coordonnées un et quatre ، w a négatif ، إذن محلولة للوطا . C un هي الوحيدة المحلولة للوطا : متاع h . C trois le sommet متاعها على l'axe des ordonnées : متاع g . w تبقى C deux متاع f .
Trois paraboles, et trois fonctions : f de x égale (x moins un) au carré plus deux, g de x égale x au carré plus deux, et h de x égale moins x au carré plus deux x plus trois. Comment savoir quelle courbe va avec quelle fonction ? On cherche les sommets. f : sommet de coordonnées un et deux. g : sommet de coordonnées zéro et deux, sur l'axe des ordonnées. Et h s'écrit moins (x moins un) au carré plus quatre : sommet de coordonnées un et quatre, et a négatif, donc tournée vers le bas. C un est la seule tournée vers le bas : c'est celle de h. C trois a son sommet sur l'axe des ordonnées : c'est celle de g. Il reste C deux pour f.
Les trois paraboles et de la figure sont les courbes représentatives de trois fonctions trinômes et telles que et
Associe chaque fonction à sa courbe représentative.
Un repère orthogonal d'origine O et trois paraboles. C1, en bleu, est tournée vers le bas : son sommet a pour abscisse 1 et pour ordonnée 4, et elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3. C2, en noir, est tournée vers le haut : son sommet a pour abscisse 1 et pour ordonnée 2. C3, en rouge, est tournée vers le haut : son sommet est sur l'axe des ordonnées, à l'ordonnée 2.
Exemple traité
Associe chacune des fonctions et à sa parabole.
- Deux sommets — La fonction est déjà sous forme canonique : sa parabole a pour sommet le point d'abscisse et d'ordonnée Celle de a pour sommet le point d'abscisse et d'ordonnée
- Le trinôme h — On complète le carré : le sommet a pour abscisse et pour ordonnée et est négatif.
- Les courbes — La seule parabole tournée vers le bas est celle de Celle dont le sommet est sur l'axe des ordonnées est celle de La dernière est celle de
À ne pas faire : : donc le sommet a pour ordonnée — : le sommet est le point d'abscisse et d'ordonnée . est l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des ordonnées, car l'image de est
13. Application
Exemple : lire sommet, axe et équation
Ce qu’il dit
Tawa bel 3aks : 3andna les paraboles, w nlawjou 3la les équations. Ettari9a dima hiya hiya : na9raw le sommet de coordonnées alpha et bêta, nektbou y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, w nal9aw a b point e5er men la parabole. Mithel : la première parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées moins deux et moins deux, w tet3adda men A de coordonnées zéro et deux. Quatre a moins deux égale deux, idhan a égale un. L'équation : y égale (x plus deux) au carré moins deux.
توّة بالعكس : عندنا les paraboles ، w نلوّجو على les équations . الطريقة ديما هي هي : نقراو le sommet de coordonnées alpha et bêta ، نكتبو y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta ، w نلقاو a بـ point آخر من la parabole . مثال : la première parabole ، le sommet متاعها S de coordonnées moins deux et moins deux ، w تتعدّى من A de coordonnées zéro et deux . quatre a moins deux égale deux ، إذن a égale un . l'équation : y égale (x plus deux) au carré moins deux .
Maintenant l'inverse : on a les paraboles, et on cherche les équations. La méthode est toujours la même : on lit le sommet de coordonnées alpha et bêta, on écrit y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, et on trouve a avec un autre point de la parabole. Exemple : la première parabole a pour sommet S de coordonnées moins deux et moins deux, et passe par A de coordonnées zéro et deux. Quatre a moins deux égale deux, donc a égale un. L'équation : y égale (x plus deux) au carré moins deux.
Dans la figure, et sont quatre paraboles. Pour chacune d'elles, précise le sommet, l'axe et l'équation.
On lit sur la figure : a pour sommet et passe par ; a pour sommet et passe par ; a pour sommet et passe aussi par ; a pour sommet et passe par
Un repère orthonormé d'origine O et quatre paraboles. P1, en noir, tournée vers le haut, a pour sommet S d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2, et passe par le point A d'abscisse 0 et d'ordonnée 2. P2, en rouge, tournée vers le haut, a pour sommet T d'abscisse 2 et d'ordonnée 1, et passe par le point B d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. P3, en bleu, tournée vers le bas, a pour sommet U d'abscisse 2 et d'ordonnée 3, et passe aussi par B. P4, en vert, tournée vers le bas, a pour sommet V d'abscisse 0 et d'ordonnée moins 0,5, et passe par le point D d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1,5.
Exemple traité
Donne le sommet, l'axe et l'équation de chacune des quatre paraboles.
- La méthode — On écrit avec les coordonnées du sommet, puis on trouve grâce à un autre point de la parabole.
- Première parabole — Sommet axe Avec le point : donc
- Deuxième parabole — Sommet axe Avec le point : donc
- Troisième parabole — Sommet axe Avec le point : donc
- Quatrième parabole — Sommet axe Avec le point : donc
À ne pas faire : Le sommet suffit pour écrire l'équation d'une parabole — Il faut aussi un autre point, pour trouver . Toutes les paraboles d'équation ont le même sommet : c'est le point qui fixe
14. Méthode
Trouver l'équation d'une parabole
Ce qu’il dit
Hedhi la méthode, 5oudhha m3ak. Bech tal9a l'équation mta3 parabole, yelzmek zouz 7ajet : le sommet S de coordonnées alpha et bêta, w point A men la parabole. Le sommet ya3tik la forme : y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, w l'axe : x égale alpha. W el point A ya3tik a : tbaddel x w y b les coordonnées mte3ou, w t7ell l'équation. Mithel : S de coordonnées moins un et un, w A de coordonnées moins trois et neuf. Neuf égale quatre a plus un, idhan a égale deux.
هاذي la méthode ، خوذها معاك . باش تلقى l'équation متاع parabole ، يلزمك زوز حاجات : le sommet S de coordonnées alpha et bêta ، w point A من la parabole . le sommet يعطيك la forme : y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta ، w l'axe : x égale alpha . w الـ point A يعطيك a : تبدّل x w y بـ les coordonnées متاعو ، w تحلّ l'équation . مثال : S de coordonnées moins un et un ، w A de coordonnées moins trois et neuf . neuf égale quatre a plus un ، إذن a égale deux .
Voici la méthode, garde-la. Pour trouver l'équation d'une parabole, il te faut deux choses : le sommet S de coordonnées alpha et bêta, et un point A de la parabole. Le sommet te donne la forme : y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, et l'axe : x égale alpha. Et le point A te donne a : tu remplaces x et y par ses coordonnées, et tu résous l'équation. Exemple : S de coordonnées moins un et un, et A de coordonnées moins trois et neuf. Neuf égale quatre a plus un, donc a égale deux.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit la parabole de sommet d'axe et passant par le point
Méthode. Si le sommet est l'axe est la droite d'équation et l'équation de est de la forme On trouve en écrivant que les coordonnées de vérifient cette équation.
Détermine l'équation de la parabole dans chacun des cas suivants :
- a) et ;
- b) et ;
- c) et ;
- d) et
Un repère orthogonal d'origine O. La parabole de sommet S, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée 1, est tournée vers le haut ; son axe est la droite verticale d'équation x égale moins 1, tracée en pointillés verts. Elle passe par le point A d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 9, et, par symétrie, par le point d'abscisse 1 et d'ordonnée 9.
parabole de sommet S(α ; β)
Exemple traité
Détermine l'équation de la parabole dans les quatre cas.
- Premier cas — La forme est et le point donne
- Deuxième cas — La forme est et le point donne
- Troisième cas — La forme est Pour on a dont le carré est
- Quatrième cas — La forme est Pour on a dont le carré est
À ne pas faire : Cas c) : — . Ici donc s'écrit : pour cela fait et non
15. Application
Exemple : la hauteur d'une balle
Ce qu’il dit
La parabole nal9awha fi la physique zeda. Koura narmiwha lel fou9 mel 9a3a, w la hauteur mte3ha d de t égale moins quatre virgule neuf t au carré plus quatorze virgule sept t. Nektbouha moins quatre virgule neuf fois la parenthèse t moins un virgule cinq, au carré plus onze virgule zéro vingt-cinq. a négatif : la parabole ma7loula lel wta, w le sommet houwa el point el a3la. Idhan ba3d un virgule cinq seconde, el koura tousel l la hauteur maximale : onze virgule zéro vingt-cinq mètres. W tarja3 lel 9a3a ki t égale trois : el hbout ydoum un virgule cinq seconde.
la parabole نلقاوها في la physique زادة . كورة نرميوها للفوق من القاعة ، w la hauteur متاعها d de t égale moins quatre virgule neuf t au carré plus quatorze virgule sept t . نكتبوها moins quatre virgule neuf fois la parenthèse t moins un virgule cinq, au carré plus onze virgule zéro vingt-cinq . a négatif : la parabole محلولة للوطا ، w le sommet هو الـ point الأعلى . إذن بعد un virgule cinq seconde ، الكورة توصل لـ la hauteur maximale : onze virgule zéro vingt-cinq mètres . w ترجع للقاعة كي t égale trois : الهبوط يدوم un virgule cinq seconde .
On retrouve la parabole en physique aussi. On lance une balle vers le haut depuis le sol, et sa hauteur est d de t égale moins quatre virgule neuf t au carré plus quatorze virgule sept t. On l'écrit moins quatre virgule neuf fois la parenthèse t moins un virgule cinq, au carré plus onze virgule zéro vingt-cinq. a est négatif : la parabole est tournée vers le bas, et le sommet est le point le plus haut. Donc au bout de un virgule cinq seconde, la balle atteint sa hauteur maximale : onze virgule zéro vingt-cinq mètres. Et elle revient au sol quand t égale trois : la descente dure un virgule cinq seconde.
Une balle est propulsée verticalement du sol. Elle est alors animée d'un mouvement rectiligne dont la loi horaire est donnée approximativement par jusqu'à ce qu'elle touche à nouveau le sol en retombant. Le temps est en secondes et la hauteur en mètres.
- 1.Montre qu'au bout de seconde après son lancement, la balle atteint une hauteur maximale. Quelle est cette hauteur ?
- 2.Combien de temps dure la descente ?
Un repère orthogonal : en abscisse le temps t, en secondes, de 0 à 3 ; en ordonnée la hauteur de la balle, en mètres. La courbe est un arc de parabole tourné vers le bas : elle part de l'origine, monte jusqu'au sommet S, d'abscisse 1,5 et d'ordonnée 11,025, puis redescend jusqu'au point d'abscisse 3 sur l'axe des abscisses. Au palier 2, des pointillés rouges lisent le sommet sur les deux axes.
Exemple traité
Trouve la hauteur maximale de la balle, puis la durée de sa descente.
- La forme canonique — On met en facteur, car est le triple de puis on complète le carré.
- Le maximum — Un carré est positif ou nul : la hauteur ne dépasse jamais mètres, et elle l'atteint pour
- Le retour au sol — La balle touche le sol quand sa hauteur est nulle, c'est-à-dire pour au départ, et pour
- La descente — La balle monte de l'instant à l'instant puis descend de l'instant à l'instant
À ne pas faire : La descente dure secondes — Elle dure seconde. secondes, c'est tout le vol : la montée et la descente durent chacune seconde, par symétrie de la parabole.
16. Application
Exemple : deux mobiles
Ce qu’il dit
Zouz mobiles A w B yemchiw 3la axe, trois heures. Les abscisses mte3hom trinômes fi t. Koll so2al ywalli équation walla inéquation du second degré. A fi O : n7ellou x A de t égale zéro, nal9aw t égale un virgule soixante-quinze, w la racine lo5ra négative n5alliwha : t bin zéro w trois. A w B fi nafs el blasa : n7ellou x A de t égale x B de t, ya3ni quatre t au carré moins huit t plus trois égale zéro, w nal9aw t égale zéro virgule cinq w t égale un virgule cinq.
زوز mobiles A w B يمشيو على axe ، trois heures . les abscisses متاعهم trinômes في t . كل سؤال يولّي équation ولّا inéquation du second degré . A في O : نحلّو x A de t égale zéro ، نلقاو t égale un virgule soixante-quinze ، w la racine الأخرى négative نخلّيوها : t بين zéro w trois . A w B في نفس البلاصة : نحلّو x A de t égale x B de t ، يعني quatre t au carré moins huit t plus trois égale zéro ، w نلقاو t égale zéro virgule cinq w t égale un virgule cinq .
Deux mobiles A et B se déplacent sur un axe pendant trois heures. Leurs abscisses sont des trinômes en t. Chaque question devient une équation ou une inéquation du second degré. A en O : on résout x A de t égale zéro, on trouve t égale un virgule soixante-quinze, et on écarte l'autre racine, négative : t est entre zéro et trois. A et B au même endroit : on résout x A de t égale x B de t, c'est-à-dire quatre t au carré moins huit t plus trois égale zéro, et on trouve t égale zéro virgule cinq et t égale un virgule cinq.
Deux mobiles et se déplacent durant trois heures sur un axe d'origine (unité : km). Les positions des deux mobiles sont données par les abscisses et des points et Les lois horaires des mouvements de et de sont données respectivement par et où est exprimé en heures et
- 1.Où se trouve le mobile à l'instant ? Pour quelles valeurs de le mobile se trouve-t-il en ? À gauche du point ? À droite du point ?
- 2.À quel instant les mobiles et sont-ils au même endroit ?
- 3.À quel instant le mobile se trouve-t-il en ? Où se trouve alors le mobile ?
Un axe horizontal orienté vers la droite, d'origine O. Une petite flèche partant de O donne le vecteur unité i. Plus à droite, un point M représente la position du mobile ; son abscisse est notée x(t).
Exemple traité
Réponds aux trois questions sur les mobiles et
- Au départ — À l'instant l'abscisse de est : le mobile est à km à gauche de
- Le mobile A en O — On résout c'est-à-dire Le discriminant vaut le carré de
- À gauche, à droite — Seule la racine est dans Le trinôme est négatif entre ses racines : le mobile est à gauche de avant l'instant et à droite après.
- Au même endroit — On écrit que les deux abscisses sont égales : l'équation se réduit à de discriminant
- Le mobile B en O — On résout c'est-à-dire de discriminant Seule la racine positive convient.
- Où est A alors — À cet instant, En remplaçant dans l'abscisse de on trouve : le mobile est à environ km à droite de
À ne pas faire : est aussi un instant où le mobile est en — Seul convient. Le temps varie dans : une racine négative n'a pas de sens ici.
17. Application
Exemple : deux paraboles
Ce qu’il dit
Zouz paraboles fi nafs le repère. Nabdew b les équations : P un, le sommet mte3ha S de coordonnées deux et quatre, w tet3adda men O : f de x égale moins x au carré plus quatre x. P deux, le sommet mte3ha T de coordonnées moins un et moins un, w tet3adda men A de coordonnées un et un : g de x égale un demi fois (x plus un) au carré moins un. Bech nal9aw les points d'intersection, n7ellou f de x égale g de x : trois x au carré moins six x moins un égale zéro. La lecture ta3ti valeurs approchées berk ; le calcul ya3ti les valeurs exactes.
زوز paraboles في نفس الـ repère . نبداو بـ les équations : P un ، le sommet متاعها S de coordonnées deux et quatre ، w تتعدّى من O : f de x égale moins x au carré plus quatre x . P deux ، le sommet متاعها T de coordonnées moins un et moins un ، w تتعدّى من A de coordonnées un et un : g de x égale un demi fois (x plus un) au carré moins un . باش نلقاو les points d'intersection ، نحلّو f de x égale g de x : trois x au carré moins six x moins un égale zéro . la lecture تعطي valeurs approchées برك ؛ le calcul يعطي les valeurs exactes .
Deux paraboles dans le même repère. On commence par les équations : P un a pour sommet S de coordonnées deux et quatre, et passe par O : f de x égale moins x au carré plus quatre x. P deux a pour sommet T de coordonnées moins un et moins un, et passe par A de coordonnées un et un : g de x égale un demi fois (x plus un) au carré moins un. Pour trouver les points d'intersection, on résout f de x égale g de x : trois x au carré moins six x moins un égale zéro. La lecture ne donne que des valeurs approchées ; le calcul donne les valeurs exactes.
Dans la figure, les paraboles et sont les courbes représentatives de deux fonctions trinômes et On lit : a pour sommet et passe par l'origine ; a pour sommet et passe par
- 1.À l'aide du graphique, donne l'expression de et de en fonction de
- 2.Calcule les coordonnées des points d'intersection des deux paraboles.
- 3.Résous l'inéquation
Un repère orthogonal d'origine O et deux paraboles. P1, en bleu, est tournée vers le bas : son sommet est S, d'abscisse 2 et d'ordonnée 4, et elle passe par l'origine O et par le point d'abscisse 4 de l'axe des abscisses. P2, en rouge, est tournée vers le haut : son sommet est T, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1, et elle passe par le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée 1. Au palier 2, leurs deux points d'intersection E et F sont marqués, d'abscisses voisines de moins 0,15 et de 2,15 : entre eux, P1 est au-dessus de P2.
Exemple traité
Trouve les expressions de et de les points d'intersection des deux paraboles, puis résous
- La fonction f — Sommet : la forme est La parabole passe par : donc
- La fonction g — Sommet : la forme est La parabole passe par : donc
- L'intersection — On écrit que les deux expressions sont égales. En multipliant par l'équation devient de discriminant
- Les ordonnées — On remplace dans : ce sont les ordonnées des points et
- L'inéquation — équivaut à : le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines. Sur la figure, c'est là où la première parabole est au-dessous de la seconde.
À ne pas faire : Les points d'intersection se lisent exactement sur la figure — On les calcule : leurs abscisses sont et . La lecture donne environ et : seule l'équation donne les valeurs exactes.
18. Méthode
Lire les signes de a, b et c
Ce qu’il dit
La parabole ta7kilek 3la a w b w c blech ma ta3rafhom. Le signe de a : ma7loula lel fou9, a positif ; lel wta, a négatif. Le nombre de racines : 9addech men marra la parabole t9oss l'axe des abscisses. Le signe de c : c houwa f de zéro, ya3ni win la parabole t9oss l'axe des ordonnées. W le signe de b : l'abscisse du sommet hiya moins b sur deux a. Fel figure : a positif, deux racines, c négatif, w le sommet 3al isar, idhan moins b sur deux a négatif, w b positif.
la parabole تحكيلك على a w b w c بلاش ما تعرفهم . le signe de a : محلولة للفوق ، a positif ؛ للوطا ، a négatif . le nombre de racines : قدّاش من مرّة la parabole تقصّ l'axe des abscisses . le signe de c : c هو f de zéro ، يعني وين la parabole تقصّ l'axe des ordonnées . w le signe de b : l'abscisse du sommet هي moins b sur deux a . في الـ figure : a positif ، deux racines ، c négatif ، w le sommet على اليسار ، إذن moins b sur deux a négatif ، w b positif .
La parabole te renseigne sur a, b et c sans que tu les connaisses. Le signe de a : tournée vers le haut, a est positif ; vers le bas, a est négatif. Le nombre de racines : le nombre de fois où la parabole coupe l'axe des abscisses. Le signe de c : c est f de zéro, c'est-à-dire l'endroit où la parabole coupe l'axe des ordonnées. Et le signe de b : l'abscisse du sommet est moins b sur deux a. Sur la figure : a positif, deux racines, c négatif, et le sommet est à gauche, donc moins b sur deux a est négatif, et b est positif.
Une parabole est la courbe représentative d'une fonction trinôme définie par Sans connaître et la figure donne leurs signes :
- le signe de : la parabole est tournée vers le haut si vers le bas si ;
- le nombre de racines du trinôme : c'est le nombre de points où la parabole rencontre l'axe des abscisses ;
- le signe de : est l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées ;
- le signe de : l'abscisse du sommet est ; son signe et celui de donnent celui de
La parabole de la figure est tournée vers le haut ; son sommet a une abscisse négative ; elle coupe l'axe des abscisses en deux points, et l'axe des ordonnées au-dessous de
Un repère orthogonal d'origine O. La parabole P est tournée vers le haut. Son sommet S a une abscisse négative, moins 0,5, et une ordonnée négative. Elle coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un d'abscisse négative et l'autre d'abscisse positive, et l'axe des ordonnées au point d'ordonnée c, situé au-dessous de O. Au palier 2, un pointillé vert relie le sommet à l'axe des abscisses, à gauche de O.
Exemple traité
Pour la parabole de la figure, indique le signe de le nombre de racines du trinôme, le signe de et le signe de
- Le signe de a — La parabole est tournée vers le haut : est positif.
- Les racines — Elle coupe l'axe des abscisses en deux points : le trinôme a deux racines.
- Le signe de c — Elle coupe l'axe des ordonnées au-dessous de : l'image de est négative.
- Le signe de b — Le sommet a une abscisse négative : est négatif, donc est positif. Comme est positif, l'est aussi.
À ne pas faire : Le sommet est à gauche de l'axe des ordonnées, donc — avec donne . C'est qui est négatif, pas : il y a un signe moins, et il faut tenir compte du signe de
19. Activité
Pour comprendre : la fonction racine carrée
Ce qu’il dit
Net3addew l la deuxième famille : la racine carrée. f de x égale racine carrée de x, w hiya définie ken 3la les positifs : l'intervalle de zéro à plus l'infini. Hiya croissante : ki x yekber, racine carrée de x tekber. Ama bechwaya : racine carrée de dix puissance seize hiya dix puissance huit berk. W m3a hedha, tfout ay nombre A : yekfi x yfout A au carré. Idhan f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. Chouf la courbe : tabda men O, w tatla3 bechwaya, dima.
نتعدّاو لـ la deuxième famille : la racine carrée . f de x égale racine carrée de x ، w هي définie كان على les positifs : l'intervalle de zéro à plus l'infini . هي croissante : كي x يكبر ، racine carrée de x تكبر . أما بالشويّة : racine carrée de dix puissance seize هي dix puissance huit برك . w مع هذا ، تفوت أيّ nombre A : يكفي x يفوت A au carré . إذن f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini . شوف la courbe : تبدا من O ، w تطلع بالشويّة ، ديما .
Passons à la deuxième famille : la racine carrée. f de x égale racine carrée de x, et elle n'est définie que sur les positifs : l'intervalle de zéro à plus l'infini. Elle est croissante : quand x grandit, racine carrée de x grandit. Mais lentement : racine carrée de dix puissance seize vaut seulement dix puissance huit. Et pourtant, elle dépasse n'importe quel nombre A : il suffit que x dépasse A au carré. Donc f de x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. Regarde la courbe : elle part de O, et elle monte lentement, toujours.
Soit la fonction définie sur par
- 1.Montre que est croissante sur
- 2.Complète le tableau ci-dessous. Soit un réel strictement positif : comment choisir dans pour que ? Que peut-on dire de quand tend vers ?
- 1.Le plan est rapporté à un repère orthonormé ; la courbe de la fonction est donnée par la figure. À l'aide du graphique, détermine un encadrement d'amplitude de et
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe C de la fonction racine carrée part de l'origine, monte d'abord vite puis de plus en plus lentement ; elle passe par les points d'abscisses 1, 4 et 9, d'ordonnées 1, 2 et 3. L'axe des ordonnées est gradué de 0,5 en 0,5. Au palier 2, des pointillés rouges partent du point d'abscisse 6 sur l'axe des abscisses, montent jusqu'à la courbe, puis rejoignent l'axe des ordonnées entre les graduations 2 et 2,5, un peu au-dessous de 2,5.
Exemple traité
Montre que est croissante, complète le tableau, puis encadre avec une amplitude de
- Croissante — Soit et deux réels tels que On multiplie et on divise par la somme des deux racines : le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs.
- Le tableau — Pour prendre la racine carrée d'une puissance de on divise l'exposant par
- Dépasser A — Pour positif, équivaut à : il suffit de choisir plus grand que Donc tend vers quand tend vers
- La lecture — Sur la courbe, le point d'abscisse a une ordonnée comprise entre et Le calcul le confirme : le carré de est et celui de est
À ne pas faire : est définie pour tout réel — n'existe que pour : est définie sur . Aucun réel n'a un carré négatif : un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée.
À ne pas faire : monte si lentement qu'elle ne dépasse jamais une certaine valeur — dépasse tout réel dès que . Elle monte lentement, mais sans s'arrêter : la racine carrée de vaut déjà
20. Application
Exemple : racine carrée et droite
Ce qu’il dit
Fi nafs le repère, nrasmou la courbe C mta3 la racine carrée, w la droite D d'équation y égale un quart de x plus un. Nchoufou : D tmess C fi point wa7ed berk, le point A de coordonnées quatre et deux, w fel b9iya el koll, D fou9 C. Idhan l'équation racine carrée de x égale un quart de x plus un 3andha solution wa7da : quatre. W l'inéquation racine carrée de x inférieur à un quart de x plus un s7i7a l koll les positifs, illa quatre. W bel calcul nthabbtou : n7ottou t égale racine carrée de x, w nal9aw (t moins deux) au carré égale zéro.
في نفس الـ repère ، نرسمو la courbe C متاع la racine carrée ، w la droite D d'équation y égale un quart de x plus un . نشوفو : D تمسّ C في point واحد برك ، le point A de coordonnées quatre et deux ، w في البقيّة الكل ، D فوق C . إذن l'équation racine carrée de x égale un quart de x plus un عندها solution وحدة : quatre . w l'inéquation racine carrée de x inférieur à un quart de x plus un صحيحة لكل les positifs ، إلّا quatre . w بالـ calcul نثبّتو : نحطّو t égale racine carrée de x ، w نلقاو (t moins deux) au carré égale zéro .
Dans le même repère, on trace la courbe C de la racine carrée, et la droite D d'équation y égale un quart de x plus un. On voit : D touche C en un seul point, le point A de coordonnées quatre et deux, et partout ailleurs, D est au-dessus de C. Donc l'équation racine carrée de x égale un quart de x plus un a une seule solution : quatre. Et l'inéquation racine carrée de x inférieur à un quart de x plus un est vraie pour tous les positifs, sauf quatre. Et par le calcul on vérifie : on pose t égale racine carrée de x, et on trouve (t moins deux) au carré égale zéro.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit la courbe de la fonction et la droite d'équation
- 1.Trace la droite dans le même repère que
- 2.Résous graphiquement l'équation puis l'inéquation
- 3.Retrouve, par le calcul, les résultats de la question précédente.
Un repère orthonormé d'origine O. En bleu, la courbe C de la fonction racine carrée. Au palier 2, en rouge, la droite D d'équation y égale un quart de x plus 1 : elle part du point d'ordonnée 1 sur l'axe des ordonnées et monte doucement. Elle touche la courbe C en un seul point, le point A d'abscisse 4 et d'ordonnée 2 ; partout ailleurs, la droite est au-dessus de la courbe.
Exemple traité
Résous l'équation et l'inéquation par lecture puis par le calcul.
- La lecture — La droite passe par les points d'abscisses et d'ordonnées et Elle touche la courbe en un seul point, et partout ailleurs elle est au-dessus de
- Le calcul — Pour on pose donc L'équation devient ; on multiplie par
- La solution — On revient à : si sa racine carrée vaut alors vaut
- L'inéquation — Elle équivaut à dire que le carré de est strictement positif, c'est-à-dire que est différent de : tous les réels positifs conviennent, sauf
À ne pas faire : L'inéquation a pour solutions tous les réels positifs — Tous les réels positifs sauf : . En la courbe et la droite se touchent : il y a égalité, et l'inégalité stricte est fausse.
21. Propriété
Fonctions du type f(x) = √(x + b)
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. La courbe mta3 f de x égale racine carrée de (x plus b) hiya l'image, par la translation de vecteur moins b i, mta3 la courbe mta3 la racine carrée. Mithel : racine carrée de (x plus deux). Hiya définie ki x plus deux positif, ya3ni 3la l'intervalle de moins deux à plus l'infini, w croissante 3lih. W la courbe mte3ha hiya mta3 la racine carrée, m7arrka b deux lel isar : tabda men le point d'abscisse moins deux. Rodd belek : plus deux dekhel la racine, w la courbe temchi lel isar, mouch lel imin.
هاذي la propriété . la courbe متاع f de x égale racine carrée de (x plus b) هي l'image ، par la translation de vecteur moins b i ، متاع la courbe متاع la racine carrée . مثال : racine carrée de (x plus deux) . هي définie كي x plus deux positif ، يعني على l'intervalle de moins deux à plus l'infini ، w croissante عليه . w la courbe متاعها هي متاع la racine carrée ، محرّكة بـ deux لليسار : تبدا من le point d'abscisse moins deux . ردّ بالك : plus deux داخل la racine ، w la courbe تمشي لليسار ، موش لليمين .
Voici la propriété. La courbe de f de x égale racine carrée de (x plus b) est l'image, par la translation de vecteur moins b i, de la courbe de la racine carrée. Exemple : racine carrée de (x plus deux). Elle est définie quand x plus deux est positif, c'est-à-dire sur l'intervalle de moins deux à plus l'infini, et elle y est croissante. Et sa courbe est celle de la racine carrée, déplacée de deux vers la gauche : elle part du point d'abscisse moins deux. Attention : plus deux sous la racine, et la courbe va vers la gauche, pas vers la droite.
Le plan est muni d'un repère orthogonal On note la fonction définie sur par
La courbe représentative de la fonction définie par est l'image, par la translation de vecteur , de la courbe de la fonction
La fonction est définie quand c'est-à-dire sur et elle est croissante sur cet intervalle.
Un repère orthonormé d'origine O. En bleu, la courbe C de la fonction racine carrée, qui part de O. Au palier 2, en rouge, la courbe C prime de la fonction qui à x associe racine carrée de (x plus 2) : c'est la même courbe, déplacée de 2 vers la gauche ; elle part du point A d'abscisse moins 2 sur l'axe des abscisses. Deux flèches vertes égales, horizontales, de O vers A et du point M de C, d'abscisse 4 et d'ordonnée 2, vers le point M prime de C prime, d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, montrent la translation de vecteur moins 2 i.
Exemple traité
Soit et les fonctions telles que et de courbes et Détermine l'ensemble de définition de étudie ses variations, puis montre que est l'image de par la translation de vecteur
- L'ensemble de définition — Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
- Les variations — Si alors et la racine carrée garde l'ordre : est croissante sur
- La translation — L'image d'un point par a pour abscisse et pour ordonnée
- L'équivalence — Le point est sur quand Comme et cela revient à dire que son image est sur la seconde courbe.
À ne pas faire : La courbe de est celle de décalée de vers la droite — Elle est décalée de vers la gauche : translation de vecteur . La courbe part du point où s'annule, c'est-à-dire du point d'abscisse
À ne pas faire : est définie sur — Elle est définie sur . La condition est c'est-à-dire
22. Activité
Pour comprendre : la fonction inverse
Ce qu’il dit
La troisième famille tabda b f de x égale un sur x. Hiya définie l koll x non nul : zéro ma 3andouch inverse. Chouf la courbe : zouz 9ta3, wa7da l x positif w wa7da l x négatif. f impaire : f de moins x égale moins f de x, w la courbe symétrique par rapport à l'origine. W f décroissante 3la koll intervalle wa7dou. Ki x yekber barcha, un sur x ya9reb l zéro : f de x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini. W ki x positif ya9reb l zéro, un sur x yekber barcha : f de x tend vers plus l'infini.
la troisième famille تبدا بـ f de x égale un sur x . هي définie لكل x non nul : zéro ما عندوش inverse . شوف la courbe : زوز قطع ، وحدة لـ x positif w وحدة لـ x négatif . f impaire : f de moins x égale moins f de x ، w la courbe symétrique par rapport à l'origine . w f décroissante على كل intervalle وحدو . كي x يكبر برشا ، un sur x يقرب لـ zéro : f de x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini . w كي x positif يقرب لـ zéro ، un sur x يكبر برشا : f de x tend vers plus l'infini .
La troisième famille commence par f de x égale un sur x. Elle est définie pour tout x non nul : zéro n'a pas d'inverse. Regarde la courbe : deux morceaux, un pour x positif et un pour x négatif. f est impaire : f de moins x égale moins f de x, et la courbe est symétrique par rapport à l'origine. Et f est décroissante sur chaque intervalle séparément. Quand x devient très grand, un sur x s'approche de zéro : f de x tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini. Et quand x positif s'approche de zéro, un sur x devient très grand : f de x tend vers plus l'infini.
Soit la fonction définie sur par Sa courbe dans un repère orthogonal est donnée par la figure.
- 1.À l'aide du graphique, émets une conjecture sur la parité de puis décris ses variations.
- 2.Complète le premier tableau. Si que peut-on dire de ? Comment choisir positif pour que ? Pour que où ? Que peut-on dire de quand tend vers ?
- 1.Complète le second tableau. Si que peut-on dire de ? Comment choisir positif pour que ? Pour que où ? Que peut-on dire de quand tend vers et plus grand que ?
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de la fonction inverse est faite de deux morceaux. Pour x positif, elle descend : très haute près de l'axe des ordonnées, elle passe par le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée 1, puis se rapproche de l'axe des abscisses sans le toucher. Pour x négatif, le morceau est le symétrique du premier par rapport à O : il passe par le point B d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1. Au palier 2, le segment [AB], en pointillés, passe par O, son milieu.
Exemple traité
Étudie la parité et les variations de puis ce que devient quand est très grand, et quand positif est proche de
- La parité — Pour tout réel non nul, est non nul, et l'image de est l'opposée de celle de : la fonction est impaire.
- Les variations — Si la différence des images est négative : est décroissante sur Par symétrie, elle l'est aussi sur
- Quand x est très grand — L'inverse de est : si alors est entre et Et est entre et dès que dépasse l'inverse de
- Quand x est très petit — L'inverse de est : si est entre et alors dépasse Et dépasse dès que est entre et l'inverse de
- La conclusion — tend vers quand tend vers et tend vers quand tend vers en restant positif.
À ne pas faire : est décroissante sur privé de — est décroissante sur et sur . L'image de est et celle de est : d'un négatif à un positif, l'ordre n'est pas renversé.
À ne pas faire : — n'a pas d'inverse : n'est pas définie en . Aucun nombre multiplié par ne donne
23. Vocabulaire
L'hyperbole d'équation y = 1/x
Ce qu’il dit
Hedhi el asemi. La courbe H mta3 la fonction un sur x nsammiwha hyperbole. Le point O houwa le centre mte3ha. W les droites d'équations x égale zéro w y égale zéro, ya3ni les deux axes, houma les asymptotes : la courbe ta9reb menhom barcha, w ma tmesshomch. y égale un sur x hiya équation de l'hyperbole H. W mola7dha : l'hyperbole fiha zouz 9ta3, nsammiwhom les branches de l'hyperbole.
هاذي الأسامي . la courbe H متاع la fonction un sur x نسمّيوها hyperbole . le point O هو le centre متاعها . w les droites d'équations x égale zéro w y égale zéro ، يعني les deux axes ، هوما les asymptotes : la courbe تقرب منهم برشا ، w ما تمسّهمش . y égale un sur x هي équation de l'hyperbole H . w ملاحظة : l'hyperbole فيها زوز قطع ، نسمّيوهم les branches de l'hyperbole .
Voici les noms. La courbe H de la fonction un sur x s'appelle une hyperbole. Le point O est son centre. Et les droites d'équations x égale zéro et y égale zéro, c'est-à-dire les deux axes, sont ses asymptotes : la courbe s'en approche beaucoup, sans les toucher. y égale un sur x est une équation de l'hyperbole H. Et une remarque : l'hyperbole a deux morceaux, qu'on appelle les branches de l'hyperbole.
Le plan est muni d'un repère orthogonal
La courbe de la fonction définie sur par est appelée hyperbole. Le point est appelé le centre de l'hyperbole, et les droites d'équations et sont appelées les asymptotes de l'hyperbole.
L'équation est une équation de l'hyperbole
Remarque. Une hyperbole est formée de deux branches, appelées branches de l'hyperbole.
L'hyperbole H d'équation y égale 1 sur x, dans un repère orthogonal : deux branches, l'une pour x positif, l'autre pour x négatif. Au palier 2, son centre est nommé : c'est l'origine O. Au palier 3, ses deux asymptotes sont nommées : la droite d'équation y égale 0, l'axe des abscisses, et la droite d'équation x égale 0, l'axe des ordonnées. Chaque branche s'approche des deux axes sans les toucher.
équation de l'hyperbole H
Exemple traité
Le point est-il sur l'hyperbole ? Et le point ? Quel est le point de d'ordonnée ?
- Le point A — Un point est sur quand son ordonnée est l'inverse de son abscisse. L'inverse de est bien
- Le point B — L'inverse de est et non : le point n'est pas sur
- Une ordonnée donnée — On cherche le nombre dont l'inverse est
À ne pas faire : L'hyperbole finit par toucher ses asymptotes — Elle s'en approche autant qu'on veut, sans jamais les toucher. L'inverse d'un nombre n'est jamais nul, et ne peut pas valoir : aucun point de n'est sur l'un des axes.
24. Application
Exemple : comparer x, x², 1/x et √x
Ce qu’il dit
Quatre courbes fi nafs le repère : la parabole P, l'hyperbole H, la courbe C mta3 la racine carrée, w la droite D d'équation y égale x. El koll yet3addew men le point A de coordonnées un et un. Bin zéro w un, men ta7t lel fou9 : P, D, C, H. Ya3ni x au carré asghar men x, asghar men racine carrée de x, asghar men un sur x. Ba3d un, l'ordre yetbaddel : un sur x asghar men racine carrée de x, asghar men x, asghar men x au carré. W l x négatif, ncompariw x w un sur x : D w H yetle9aw fi le point B de coordonnées moins un et moins un.
quatre courbes في نفس الـ repère : la parabole P ، l'hyperbole H ، la courbe C متاع la racine carrée ، w la droite D d'équation y égale x . الكل يتعدّاو من le point A de coordonnées un et un . بين zéro w un ، من تحت للفوق : P ، D ، C ، H . يعني x au carré أصغر من x ، أصغر من racine carrée de x ، أصغر من un sur x . بعد un ، l'ordre يتبدّل : un sur x أصغر من racine carrée de x ، أصغر من x ، أصغر من x au carré . w لـ x négatif ، ncompariw x w un sur x : D w H يتلاقاو في le point B de coordonnées moins un et moins un .
Quatre courbes dans le même repère : la parabole P, l'hyperbole H, la courbe C de la racine carrée, et la droite D d'équation y égale x. Toutes passent par le point A de coordonnées un et un. Entre zéro et un, de bas en haut : P, D, C, H. Donc x au carré est plus petit que x, plus petit que racine carrée de x, plus petit que un sur x. Après un, l'ordre change : un sur x est plus petit que racine carrée de x, plus petit que x, plus petit que x au carré. Et pour x négatif, on compare x et un sur x : D et H se coupent au point B de coordonnées moins un et moins un.
Dans la figure sont représentées la parabole d'équation l'hyperbole d'équation la courbe d'équation et la droite d'équation
Par une lecture graphique :
- 1.range dans l'ordre croissant et pour ;
- 2.compare et pour
Un repère orthonormé d'origine O et quatre courbes : en rouge la parabole P d'équation y égale x au carré, en bleu l'hyperbole H d'équation y égale 1 sur x, en vert la courbe C d'équation y égale racine carrée de x, et en noir la droite D d'équation y égale x. Les quatre passent par le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée 1. Entre les abscisses 0 et 1, on rencontre de bas en haut P, D, C puis H ; après l'abscisse 1, de bas en haut H, C, D puis P. Pour x négatif, la droite D et l'hyperbole H se coupent au point B d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1.
Exemple traité
Range dans l'ordre croissant et pour puis compare et pour
- Le point commun — Les quatre courbes passent par le point : pour les quatre nombres sont égaux à
- Entre 0 et 1 — De bas en haut, on rencontre la parabole, puis la droite, puis la courbe de la racine carrée, puis l'hyperbole.
- Après 1 — L'ordre se renverse : de bas en haut, l'hyperbole, puis la courbe de la racine carrée, puis la droite, puis la parabole.
- Pour x négatif — La droite et l'hyperbole se coupent au point Avant la droite est au-dessous de l'hyperbole ; entre et elle est au-dessus.
À ne pas faire : Un nombre positif est toujours plus petit que son carré — C'est vrai pour ; pour on a . Par exemple, le carré de est qui est plus petit que
25. Propriété
Fonctions du type f(x) = a/x
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. a réel non nul. La courbe mta3 f de x égale a sur x hiya hyperbole, le centre mte3ha O, w les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale zéro w y égale zéro. Ken a positif, les branches fel arba3 win x w y 3andhom nafs le signe. Ken a négatif, fel arba3 lo5rin. Mithel : la courbe mta3 moins un sur x hiya le symétrique mta3 H par rapport à l'axe des abscisses, 5ater les ordonnées yetbaddlou l l'opposé.
هاذي la propriété . a réel non nul . la courbe متاع f de x égale a sur x هي hyperbole ، le centre متاعها O ، w les asymptotes متاعها les droites d'équations x égale zéro w y égale zéro . كان a positif ، les branches في الأرباع وين x w y عندهم نفس le signe . كان a négatif ، في الأرباع الأخرين . مثال : la courbe متاع moins un sur x هي le symétrique متاع H par rapport à l'axe des abscisses ، خاطر les ordonnées يتبدّلو لـ l'opposé .
Voici la propriété. a est un réel non nul. La courbe de f de x égale a sur x est une hyperbole de centre O, dont les asymptotes sont les droites d'équations x égale zéro et y égale zéro. Si a est positif, les branches sont dans les quarts de plan où x et y ont le même signe. Si a est négatif, dans les deux autres. Exemple : la courbe de moins un sur x est le symétrique de H par rapport à l'axe des abscisses, car les ordonnées sont changées en leur opposé.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit un réel non nul.
La courbe représentative de la fonction définie sur par est une hyperbole de centre et d'asymptotes les droites d'équations et .
Si les branches sont dans les quarts de plan où et ont le même signe ; si elles sont dans les deux autres.
Un repère orthonormé d'origine O. En bleu, l'hyperbole H d'équation y égale 1 sur x : ses branches sont dans les quarts de plan où x et y ont le même signe. Au palier 2, en rouge, la courbe C d'équation y égale moins 1 sur x : ses branches sont dans les deux autres quarts de plan. Le point N de H, d'abscisse 0,5 et d'ordonnée 2, et le point M de C, d'abscisse 0,5 et d'ordonnée moins 2, sont reliés par un pointillé vertical : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, comme les deux courbes.
Exemple traité
Soit la fonction définie pour tout réel non nul par de courbe et l'hyperbole d'équation Montre que et sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Puis donne le centre et les asymptotes de la courbe de la fonction définie par
- Un point et son symétrique — Le point est sur quand c'est-à-dire quand : cela veut dire que le point est sur
- La symétrie — Les points et ont la même abscisse et des ordonnées opposées : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les deux courbes le sont donc aussi.
- La courbe de g — Quand tend vers ou vers tend vers La courbe est une hyperbole de centre dont les asymptotes sont les deux axes.
À ne pas faire : n'est pas du type — : c'est le type avec . On peut toujours ramener le coefficient de à en divisant le numérateur et le dénominateur par
26. Propriété
Fonctions du type f(x) = 1/x + β
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. bêta réel non nul. La courbe mta3 f de x égale un sur x, plus bêta, hiya hyperbole, le centre mte3ha I de coordonnées zéro et bêta, w les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale zéro w y égale bêta. 3lech ? 5ater hiya l'image de H par la translation de vecteur bêta j : koll chay yatla3 walla yahbet b bêta, le centre w l'asymptote horizontale m3ah. Mithel : un sur x, moins deux. Le centre de coordonnées zéro et moins deux, w les asymptotes x égale zéro w y égale moins deux.
هاذي la propriété . bêta réel non nul . la courbe متاع f de x égale un sur x, plus bêta ، هي hyperbole ، le centre متاعها I de coordonnées zéro et bêta ، w les asymptotes متاعها les droites d'équations x égale zéro w y égale bêta . علاش ؟ خاطر هي l'image de H par la translation de vecteur bêta j : كل شي يطلع ولّا يهبط بـ bêta ، le centre w l'asymptote horizontale معاه . مثال : un sur x, moins deux . le centre de coordonnées zéro et moins deux ، w les asymptotes x égale zéro w y égale moins deux .
Voici la propriété. bêta est un réel non nul. La courbe de f de x égale un sur x, plus bêta, est une hyperbole de centre I de coordonnées zéro et bêta, dont les asymptotes sont les droites d'équations x égale zéro et y égale bêta. Pourquoi ? Parce que c'est l'image de H par la translation de vecteur bêta j : tout monte ou descend de bêta, le centre et l'asymptote horizontale avec. Exemple : un sur x, moins deux. Centre de coordonnées zéro et moins deux, et asymptotes x égale zéro et y égale moins deux.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit un réel non nul.
La courbe représentative de la fonction définie sur par est une hyperbole de centre et d'asymptotes les droites d'équations et .
C'est l'image de l'hyperbole d'équation par la translation de vecteur
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, l'hyperbole H d'équation y égale 1 sur x. Au palier 2, en rouge, la courbe C de la fonction qui à x associe 1 sur x, moins 2 : c'est la même hyperbole, descendue de 2. Son centre est le point I d'abscisse 0 et d'ordonnée moins 2, vers lequel pointe une flèche partant de O. Ses asymptotes sont l'axe des ordonnées et la droite horizontale d'équation y égale moins 2, tracée en pointillés verts.
Exemple traité
On désigne par l'hyperbole d'équation Soit la fonction définie pour tout réel non nul par de courbe Montre que est l'image de par la translation de vecteur puis précise le centre et les asymptotes de
- Un point et son image — Un point est sur quand Son image par la translation a la même abscisse et pour ordonnée
- La conclusion — L'image de est donc sur et tout point de s'obtient ainsi : la courbe est l'image de par cette translation.
- Centre et asymptotes — La translation envoie sur le point l'axe des ordonnées sur lui-même, et l'axe des abscisses sur la droite d'équation
À ne pas faire : : asymptotes et — : asymptotes et . s'ajoute à l'ordonnée : c'est l'asymptote horizontale qui se déplace, pas la verticale.
27. Propriété
Fonctions du type f(x) = a/(x + α)
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété. a réel non nul, w alpha réel. La courbe mta3 f de x égale a sur la parenthèse x plus alpha, hiya hyperbole, le centre mte3ha I de coordonnées moins alpha et zéro, w les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale moins alpha w y égale zéro. f mouch définie fi moins alpha : le dénominateur ywalli zéro. Mithel : deux sur (x moins trois). La courbe hiya l'image mta3 l'hyperbole y égale deux sur x par la translation de vecteur trois i. Le centre de coordonnées trois et zéro, w l'asymptote verticale x égale trois.
هاذي la propriété . a réel non nul ، w alpha réel . la courbe متاع f de x égale a sur la parenthèse x plus alpha, هي hyperbole ، le centre متاعها I de coordonnées moins alpha et zéro ، w les asymptotes متاعها les droites d'équations x égale moins alpha w y égale zéro . f موش définie في moins alpha : le dénominateur يولّي zéro . مثال : deux sur (x moins trois) . la courbe هي l'image متاع l'hyperbole y égale deux sur x par la translation de vecteur trois i . le centre de coordonnées trois et zéro ، w l'asymptote verticale x égale trois .
Voici la propriété. a est un réel non nul, et alpha un réel. La courbe de f de x égale a sur la parenthèse x plus alpha, est une hyperbole de centre I de coordonnées moins alpha et zéro, dont les asymptotes sont les droites d'équations x égale moins alpha et y égale zéro. f n'est pas définie en moins alpha : le dénominateur s'annule. Exemple : deux sur (x moins trois). Sa courbe est l'image de l'hyperbole y égale deux sur x par la translation de vecteur trois i. Centre de coordonnées trois et zéro, et asymptote verticale x égale trois.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit un réel non nul et un réel.
La courbe représentative de la fonction définie sur privé de par est une hyperbole de centre et d'asymptotes les droites d'équations et .
C'est l'image de l'hyperbole d'équation par la translation de vecteur
Près des asymptotes. Pour on lit sur la courbe : tend vers quand tend vers et quand tend vers ; tend vers quand tend vers et est supérieur à ; tend vers quand tend vers et est inférieur à
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, l'hyperbole H d'équation y égale 2 sur x, de centre O. Au palier 2, en rouge, la courbe C de la fonction qui à x associe 2 sur (x moins 3) : c'est la même hyperbole, déplacée de 3 vers la droite. Son centre est le point I d'abscisse 3 sur l'axe des abscisses, vers lequel pointe une flèche partant de O. Ses asymptotes sont la droite verticale d'équation x égale 3, tracée en pointillés verts, et l'axe des abscisses.
Exemple traité
Soit la fonction définie par de courbe et l'hyperbole d'équation Détermine l'ensemble de définition de Montre que est l'image de par la translation de vecteur puis précise les asymptotes de
- L'ensemble de définition — Le dénominateur ne doit pas être nul.
- La translation — L'image d'un point par a pour abscisse et pour ordonnée
- L'équivalence — Le point est sur quand Comme et cela revient à dire que son image est sur
- Les asymptotes — La translation envoie sur le point : c'est le centre de L'asymptote verticale devient la droite d'équation et l'axe des abscisses reste asymptote.
À ne pas faire : : centre — : centre asymptotes et . L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule : donne
28. Activité
Pour comprendre : la courbe de (x + 3)/(x + 2)
Ce qu’il dit
W ken le numérateur fih x zeda ? f de x égale (x plus trois) sur (x plus deux). Hiya définie l koll x différent de moins deux. El 7ila : x plus trois houwa (x plus deux) plus un, idhan f de x égale un plus un sur (x plus deux). Tawa nbaddlou le repère : ne5dhou le point I de coordonnées moins deux et un k origine jdida. Fel repère ejdid, l'équation mta3 la courbe twalli grand Y égale un sur grand X : hiya l'hyperbole de référence ! Idhan C hyperbole, le centre mte3ha I, w les asymptotes mte3ha x égale moins deux w y égale un.
w كان le numérateur فيه x زادة ؟ f de x égale (x plus trois) sur (x plus deux) . هي définie لكل x différent de moins deux . الحيلة : x plus trois هو (x plus deux) plus un ، إذن f de x égale un plus un sur (x plus deux) . توّة نبدّلو le repère : ناخذو le point I de coordonnées moins deux et un كـ origine جديدة . في الـ repère الجديد ، l'équation متاع la courbe تولّي grand Y égale un sur grand X : هي l'hyperbole de référence ! إذن C hyperbole ، le centre متاعها I ، w les asymptotes متاعها x égale moins deux w y égale un .
Et si le numérateur contient x lui aussi ? f de x égale (x plus trois) sur (x plus deux). Elle est définie pour tout x différent de moins deux. L'astuce : x plus trois, c'est (x plus deux) plus un, donc f de x égale un plus un sur (x plus deux). Maintenant, changeons de repère : prenons le point I de coordonnées moins deux et un comme nouvelle origine. Dans le nouveau repère, l'équation de la courbe devient grand Y égale un sur grand X : c'est l'hyperbole de référence ! Donc C est une hyperbole de centre I, d'asymptotes x égale moins deux et y égale un.
Le plan est muni d'un repère orthonormé Soit la fonction définie par On note sa courbe représentative.
- 1.Détermine l'ensemble de définition de Vérifie que pour tout de Que peut-on dire de quand tend vers ? Quand tend vers ?
- 2.Soit On considère le repère Soit un point du plan : on note ses coordonnées dans le repère et ses coordonnées dans le repère Exprime et en fonction de et puis montre que appartient à si et seulement si
- 3.Déduis-en la nature de la courbe Donne son centre et ses asymptotes dans le repère
Un repère orthonormé d'origine O. En bleu, la courbe C de la fonction f, faite de deux branches. Au palier 2, deux droites en pointillés rouges : la droite verticale d'équation x égale moins 2 et la droite horizontale d'équation y égale 1 ; elles se coupent au point I d'abscisse moins 2 et d'ordonnée 1. Chaque branche de C s'approche de ces deux droites sans les toucher. Au palier 3, deux flèches vertes partent de I, l'une vers la droite et l'autre vers le haut : dans ce nouveau repère d'origine I, le point M de C, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée 2 dans l'ancien repère, a pour nouvelles coordonnées 1 et 1.
Exemple traité
Écris autrement, change de repère, puis donne la nature de la courbe son centre et ses asymptotes.
- L'ensemble de définition — Le dénominateur ne doit pas être nul : il faut différent de
- L'autre écriture — On réduit au même dénominateur, et on retrouve Quand tend vers ou vers la fraction tend vers donc tend vers
- Le nouveau repère — Pour aller de à on va de à puis de à : les anciennes coordonnées sont les nouvelles, augmentées de celles de
- L'équation — On remplace dans l'égalité qui dit que est sur et on simplifie.
- La nature de la courbe — Dans le nouveau repère, est l'hyperbole de référence : son centre est et ses asymptotes sont les deux nouveaux axes.
À ne pas faire : en simplifiant par — . On ne simplifie que des facteurs, jamais les termes d'une somme : on écrit le numérateur comme plus puis on sépare.
29. Propriété
Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété el 3amma. a w b w c w d réels, w c non nul. La courbe mta3 f de x égale (a x plus b) sur (c x plus d) hiya hyperbole. Le centre mte3ha I de coordonnées moins d sur c et a sur c. W les asymptotes mte3ha les droites d'équations x égale moins d sur c w y égale a sur c. Tfakkarhom hakka : l'asymptote verticale win le dénominateur égale zéro, w l'asymptote horizontale hiya le quotient mta3 les coefficients de x. Mithel : (quatre x moins sept) sur (deux x moins cinq). Les asymptotes : x égale cinq demis w y égale deux.
هاذي la propriété العامّة . a w b w c w d réels ، w c non nul . la courbe متاع f de x égale (a x plus b) sur (c x plus d) هي hyperbole . le centre متاعها I de coordonnées moins d sur c et a sur c . w les asymptotes متاعها les droites d'équations x égale moins d sur c w y égale a sur c . تفكّرهم هكّا : l'asymptote verticale وين le dénominateur égale zéro ، w l'asymptote horizontale هي le quotient متاع les coefficients de x . مثال : (quatre x moins sept) sur (deux x moins cinq) . les asymptotes : x égale cinq demis w y égale deux .
Voici la propriété générale. a, b, c et d sont des réels, avec c non nul. La courbe de f de x égale (a x plus b) sur (c x plus d) est une hyperbole. Son centre est I de coordonnées moins d sur c et a sur c. Et ses asymptotes sont les droites d'équations x égale moins d sur c et y égale a sur c. Retiens-les ainsi : l'asymptote verticale est là où le dénominateur égale zéro, et l'asymptote horizontale est le quotient des coefficients de x. Exemple : (quatre x moins sept) sur (deux x moins cinq). Asymptotes : x égale cinq demis et y égale deux.
Le plan est muni d'un repère orthogonal Soit et quatre réels, avec non nul.
La courbe représentative de la fonction définie sur privé de par est une hyperbole de centre et d'asymptotes les droites d'équations et .
L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule ; l'asymptote horizontale se lit avec les coefficients de
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe C de la fonction g est une hyperbole à deux branches. Ses asymptotes, tracées en pointillés rouges, sont la droite verticale d'équation x égale cinq demis et la droite horizontale d'équation y égale 2 ; elles se coupent au centre I. La branche de droite est au-dessus de l'asymptote horizontale et descend ; celle de gauche est au-dessous et descend aussi. Au palier 2, des pointillés verts lisent le point A de la courbe, d'abscisse 4 et d'ordonnée 3.
Exemple traité
Soit la fonction définie par de courbe Détermine son ensemble de définition vérifie que sur étudie ses variations, donne le centre et les asymptotes de puis résous et
- L'ensemble de définition — Le dénominateur s'annule pour
- L'autre écriture — On réduit au même dénominateur, et on retrouve Quand tend vers la fraction tend vers et tend vers
- Les variations — Après quand augmente, augmente en restant positif, donc son inverse diminue : est décroissante. Il en va de même avant : est décroissante sur chacun des deux intervalles où elle est définie.
- Centre et asymptotes — Ici et
- Deux équations — demande que la fraction vaille donc que : la solution est Et demanderait que la fraction soit nulle, ce qui est impossible.
À ne pas faire : a une solution, puisque la droite est une asymptote — n'a pas de solution. La courbe s'approche de son asymptote sans jamais la couper : la fraction qui s'ajoute à n'est jamais nulle.
À ne pas faire : L'asymptote horizontale de est — C'est . L'asymptote horizontale est : on divise le coefficient de du numérateur par celui du dénominateur.
30. Application
Exemple : parabole et hyperbole
Ce qu’il dit
Parabole w hyperbole fi nafs le repère : P d'équation y égale x au carré moins quatre, w H d'équation y égale la parenthèse moins x plus deux, sur x. Bech n7ellou f de x égale g de x, na9raw les abscisses mta3 les points communs : yetle9aw fi le point B de coordonnées deux et zéro, w yetmessou fi le point A de coordonnées moins un et moins trois. Idhan les solutions : moins un w deux. W f de x supérieur ou égal à g de x win P fou9 H : l koll les x strictement négatifs, w l x supérieur ou égal à deux. Rodd belek : zéro ma yed5elch, g mouch définie fih.
parabole w hyperbole في نفس الـ repère : P d'équation y égale x au carré moins quatre ، w H d'équation y égale la parenthèse moins x plus deux, sur x . باش نحلّو f de x égale g de x ، نقراو les abscisses متاع les points communs : يتلاقاو في le point B de coordonnées deux et zéro ، w يتماسّو في le point A de coordonnées moins un et moins trois . إذن les solutions : moins un w deux . w f de x supérieur ou égal à g de x وين P فوق H : لكل les x strictement négatifs ، w لـ x supérieur ou égal à deux . ردّ بالك : zéro ما يدخلش ، g موش définie فيه .
Une parabole et une hyperbole dans le même repère : P d'équation y égale x au carré moins quatre, et H d'équation y égale la parenthèse moins x plus deux, sur x. Pour résoudre f de x égale g de x, on lit les abscisses des points communs : elles se coupent au point B de coordonnées deux et zéro, et se touchent au point A de coordonnées moins un et moins trois. Donc les solutions : moins un et deux. Et f de x supérieur ou égal à g de x là où P est au-dessus de H : pour tous les x strictement négatifs, et pour x supérieur ou égal à deux. Attention : zéro n'en fait pas partie, g n'y est pas définie.
Dans la figure sont représentées la parabole et l'hyperbole courbes représentatives, respectivement, des fonctions et
- 1.Résous graphiquement : a) ; b) ; c)
- 2.Factorise puis retrouve les résultats de la première question par le calcul.
Un repère orthogonal d'origine O. En rouge, la parabole P d'équation y égale x au carré moins 4, de sommet le point d'abscisse 0 et d'ordonnée moins 4 ; elle coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses moins 2 et 2. En bleu, l'hyperbole H, à deux branches. Les deux courbes se touchent sans se traverser au point A, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 3, et se coupent au point B, d'abscisse 2 sur l'axe des abscisses. Pour x négatif, la parabole est au-dessus de l'hyperbole, sauf en A où elles se touchent ; pour x entre 0 et 2, elle est au-dessous ; pour x supérieur à 2, elle est au-dessus.
Exemple traité
Résous graphiquement puis puis et retrouve ces résultats par le calcul.
- La lecture — Les deux courbes se touchent au point et se coupent au point : les solutions de la première équation sont et
- La deuxième équation — Pour non nul, on divise les deux membres par et on retrouve la première équation. Et n'est pas solution : elle a donc les mêmes solutions, et
- L'inéquation — La parabole est au-dessus de l'hyperbole pour tous les strictement négatifs, et pour supérieur ou égal à
- La factorisation — On met en facteur, puis on reconnaît une différence de deux carrés.
- Par le calcul — On ramène tout dans le premier membre, et on met en facteur : on retrouve les solutions et
- Le signe — Pour non nul, la différence des deux fonctions a le signe du quotient de par sauf en où elle s'annule : elle est positive pour négatif et pour supérieur à
À ne pas faire : Les courbes se touchent en sans se traverser, donc n'est pas une solution de — est une solution : . Un point commun aux deux courbes donne une solution, que les courbes se croisent ou qu'elles se touchent seulement.
31. Application
Un problème pour aller plus loin : cordes parallèles
Ce qu’il dit
Problème bech nemchiw ab3ed. 3la l'hyperbole H d'équation y égale deux sur x, ne5dhou zouz points A w B, les abscisses mte3hom a w b. Le coefficient directeur mta3 la droite AB houwa moins deux sur a b. Idhan zouz cordes, AB w CD, parallèles si et seulement si a b égale c d. Tawa a égale un w b égale deux : le produit deux. Ken M 3andou l'abscisse x, la parallèle t9oss H fi N, elli l'abscisse mte3ou deux sur x. W le milieu I mta3 MN 3andou les deux coordonnées kif kif : I yet7arrek 3la la droite d'équation y égale x.
problème باش نمشيو أبعد . على l'hyperbole H d'équation y égale deux sur x ، ناخذو زوز points A w B ، les abscisses متاعهم a w b . le coefficient directeur متاع la droite A B هو moins deux sur a b . إذن زوز cordes ، A B w C D ، parallèles si et seulement si a b égale c d . توّة a égale un w b égale deux : le produit deux . كان M عندو l'abscisse x ، la parallèle تقصّ H في N ، اللي l'abscisse متاعو deux sur x . w le milieu I متاع M N عندو les deux coordonnées كيف كيف : I يتحرّك على la droite d'équation y égale x .
Un problème pour aller plus loin. Sur l'hyperbole H d'équation y égale deux sur x, prenons deux points A et B, d'abscisses a et b. Le coefficient directeur de la droite A B est moins deux sur a b. Donc deux cordes, A B et C D, sont parallèles si et seulement si a b égale c d. Maintenant a égale un et b égale deux : le produit vaut deux. Si M a pour abscisse x, la parallèle recoupe H en N, d'abscisse deux sur x. Et le milieu I de M N a ses deux coordonnées égales : I se déplace sur la droite d'équation y égale x.
Le plan est muni d'un repère orthogonal On désigne par l'hyperbole d'équation Soit et quatre points distincts de d'abscisses respectives et
- 1.Montre que les droites et sont parallèles si et seulement si
- 2.On prend et Soit un point de d'abscisse La parallèle à passant par recoupe l'hyperbole en un point On note le milieu du segment Montre que le point varie sur une droite, lorsque le point varie sur l'hyperbole
Un repère orthonormé d'origine O et l'hyperbole H d'équation y égale 2 sur x. En rouge, la droite (AB), qui coupe H aux points A, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, et B, d'abscisse 2 et d'ordonnée 1. Au palier 2, en vert, la parallèle à (AB) passant par le point M de H, d'abscisse 4 et d'ordonnée 0,5 : elle recoupe H au point N, d'abscisse 0,5 et d'ordonnée 4. Au palier 3, le milieu I du segment [MN], d'abscisse 2,25 et d'ordonnée 2,25, est marqué sur la droite d'équation y égale x, tracée en pointillés orange.
Exemple traité
Montre que deux cordes de sont parallèles si et seulement si puis trouve la droite sur laquelle varie le milieu
- Un coefficient directeur — Les points et ont pour ordonnées et On calcule le coefficient directeur de la droite
- Le parallélisme — De même, la droite a pour coefficient directeur Deux droites sont parallèles quand leurs coefficients directeurs sont égaux.
- Le point N — Avec et le produit vaut Si est l'abscisse de le parallélisme donne : l'abscisse de est et son ordonnée est
- Le milieu — Les coordonnées de sont les demi-sommes de celles de et de : elles sont égales.
À ne pas faire : Le coefficient directeur de est — Il vaut . En réduisant au même dénominateur, le numérateur est et est l'opposé de : il reste un signe moins.
32. Application
Un problème pour aller plus loin : parabole et droite
Ce qu’il dit
Problème e5er : parabole P w droite D, w nlawjou 3la les points d'intersection A w B. Les points hedhom mouch 3la les graduations, idhan ma na9rawhomch : na7sbouhom. Na9raw les points el wadh7in berk. P : le sommet mte3ha S de coordonnées deux et un, w tet3adda men E de coordonnées un et zéro : y égale moins (x moins deux) au carré plus un. D : tet3adda men F de coordonnées deux et moins trois, w t9oss l'axe des ordonnées fi moins un virgule cinq : y égale moins trois quarts de x moins trois demis. W ba3d n7ellou l'équation : quatre x au carré moins dix-neuf x plus six égale zéro.
problème آخر : parabole P w droite D ، w نلوّجو على les points d'intersection A w B . les points هاذم موش على les graduations ، إذن ما نقراوهمش : نحسبوهم . نقراو les points الواضحين برك . P : le sommet متاعها S de coordonnées deux et un ، w تتعدّى من E de coordonnées un et zéro : y égale moins (x moins deux) au carré plus un . D : تتعدّى من F de coordonnées deux et moins trois ، w تقصّ l'axe des ordonnées في moins un virgule cinq : y égale moins trois quarts de x moins trois demis . w بعد نحلّو l'équation : quatre x au carré moins dix-neuf x plus six égale zéro .
Un autre problème : une parabole P et une droite D, et on cherche leurs points d'intersection A et B. Ces points ne sont pas sur les graduations, donc on ne les lit pas : on les calcule. On ne lit que les points sûrs. P : sommet S de coordonnées deux et un, et elle passe par E de coordonnées un et zéro : y égale moins (x moins deux) au carré plus un. D : elle passe par F de coordonnées deux et moins trois, et coupe l'axe des ordonnées en moins un virgule cinq : y égale moins trois quarts de x moins trois demis. Ensuite on résout l'équation : quatre x au carré moins dix-neuf x plus six égale zéro.
Dans la figure, est une parabole et est une droite. Détermine les coordonnées des points et intersection de et
On lit sur la figure des points sûrs : a pour sommet et passe par ; passe par et coupe l'axe des ordonnées au point
Indications. Utilise ces points pour déterminer une équation de et une équation de puis calcule les coordonnées des points et
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, la parabole P, tournée vers le bas : son sommet est S, d'abscisse 2 et d'ordonnée 1, et elle passe par le point E, d'abscisse 1 sur l'axe des abscisses. En rouge, la droite D, qui descend : elle passe par le point G, d'abscisse 0 et d'ordonnée moins 1,5, et par le point F, d'abscisse 2 et d'ordonnée moins 3. Au palier 2, les deux points d'intersection sont marqués : A, d'abscisse voisine de 0,3, et B, d'abscisse voisine de 4,4 ; ils ne sont pas sur les graduations.
Exemple traité
Trouve une équation de et une équation de puis calcule les coordonnées de leurs points d'intersection et
- La parabole — Sommet : la forme est Elle passe par : donc
- La droite — De à l'abscisse augmente de et l'ordonnée diminue de : le coefficient directeur est et l'ordonnée à l'origine
- L'équation — On écrit que les deux ordonnées sont égales, on multiplie par puis on regroupe dans un seul membre.
- Les abscisses — Le discriminant vaut c'est-à-dire : l'équation a deux racines.
- Les ordonnées — On remplace dans l'équation de la droite.
À ne pas faire : On lit sur la figure que a pour abscisse : c'est la réponse — La lecture donne une valeur approchée ; le calcul donne . Les points et ne tombent pas sur les graduations : on lit des points sûrs pour trouver les équations, puis on calcule.
33. Application
Un problème pour aller plus loin : un lieu de points
Ce qu’il dit
Problème e5ir : lieu de points. 3andna la droite D d'équation y égale moins deux, w point M yet7arrek 3liha. Nrasmou la perpendiculaire à D fi M, w la perpendiculaire à la droite OM fi O : yetle9aw fi point N. Esso2al : ki M yet7arrek, N win yemchi ? N7ottou m l'abscisse mta3 M. N 3andou nafs l'abscisse m. W le triangle OMN rectangle en O : b Pythagore nal9aw l'ordonnée mta3 N : m au carré sur deux. Idhan N yet7arrek 3la la parabole d'équation y égale un demi de x au carré.
problème أخير : lieu de points . عندنا la droite D d'équation y égale moins deux ، w point M يتحرّك عليها . نرسمو la perpendiculaire à D في M ، w la perpendiculaire à la droite O M في O : يتلاقاو في point N . السؤال : كي M يتحرّك ، N وين يمشي ؟ نحطّو m l'abscisse متاع M . N عندو نفس l'abscisse m . w le triangle O M N rectangle en O : بـ Pythagore نلقاو l'ordonnée متاع N : m au carré sur deux . إذن N يتحرّك على la parabole d'équation y égale un demi de x au carré .
Un dernier problème : un lieu de points. On a la droite D d'équation y égale moins deux, et un point M qui se déplace dessus. On trace la perpendiculaire à D en M, et la perpendiculaire à la droite O M en O : elles se coupent en un point N. La question : quand M se déplace, où va N ? Notons m l'abscisse de M. N a la même abscisse m. Et le triangle O M N est rectangle en O : par Pythagore, on trouve l'ordonnée de N : m au carré sur deux. Donc N se déplace sur la parabole d'équation y égale un demi de x au carré.
Le plan est muni d'un repère orthonormé Soit la droite d'équation et un point variable de La perpendiculaire à en et la perpendiculaire à la droite en se coupent en un point
On se propose de déterminer le lieu du point c'est-à-dire la ligne qu'il décrit, lorsque le point varie sur la droite
Un repère orthonormé d'origine O. La droite D, horizontale, a pour équation y égale moins 2. Le point M est sur D, à l'abscisse 2. Une droite verte passe par O et M. Au palier 2, deux autres droites vertes : la perpendiculaire à D en M, verticale, et la perpendiculaire à la droite (OM) en O ; elles se coupent au point N, d'abscisse 2 et d'ordonnée 2. Au palier 3, en rouge, la parabole d'équation y égale un demi de x au carré, de sommet O : elle passe par N.
Exemple traité
Détermine le lieu du point lorsque le point varie sur la droite
- Les coordonnées — On note l'abscisse de : son ordonnée est La perpendiculaire à en est la droite verticale d'équation : le point a pour abscisse et on note son ordonnée.
- L'angle droit — Le triangle est rectangle en Le repère est orthonormé : on applique le théorème de Pythagore.
- Les trois carrés — On calcule chaque carré avec les coordonnées ; les points et sont sur la même verticale.
- Simplifier — On développe le second membre, et il ne reste que deux termes de chaque côté.
- Le lieu — Le point a pour abscisse et pour ordonnée la moitié du carré de : quand parcourt le point parcourt une parabole de sommet
À ne pas faire : — . Le point a pour ordonnée : sur la même verticale, la distance de à est l'écart entre et donc
34. Remarque
Pour la culture : phares et antennes
Ce qu’il dit
W fel e5er, la parabole fi 7yetna. El koura elli tarmiha tarsem parabole, ken nensew la résistance de l'air. W ken ndawrou parabole 7awl l'axe mte3ha, nal9aw miroir parabolique. Edhaw elli yo5rej men le foyer yet3akes w yo5rej fi rayons parallèles : hakka ye5dmou les phares mta3 el karhba. W bel 3aks, les rayons parallèles elli yjiw yetlammou el koll fi le foyer : hakka te5dem l'antenne parabolique, w les télescopes, w le four solaire elli yousel l trois mille cinq cents degrés.
w في الآخر ، la parabole في حياتنا . الكورة اللي ترميها ترسم parabole ، كان ننساو la résistance de l'air . w كان ندوّرو parabole حول l'axe متاعها ، نلقاو miroir parabolique . الضو اللي يخرج من le foyer يتعكس w يخرج في rayons parallèles : هكّا يخدمو les phares متاع الكرهبة . w بالعكس ، les rayons parallèles اللي يجيو يتلمّو الكل في le foyer : هكّا تخدم l'antenne parabolique ، w les télescopes ، w le four solaire اللي يوصل لـ trois mille cinq cents degrés .
Et pour finir, la parabole dans notre vie. La balle que tu lances dessine une parabole, si on néglige la résistance de l'air. Et si on fait tourner une parabole autour de son axe, on obtient un miroir parabolique. La lumière qui part du foyer se réfléchit et ressort en rayons parallèles : c'est ainsi que fonctionnent les phares d'une voiture. Inversement, les rayons parallèles qui arrivent se rassemblent tous au foyer : c'est ainsi que fonctionnent l'antenne parabolique, les télescopes, et le four solaire qui atteint trois mille cinq cents degrés.
La trajectoire d'un projectile, tel qu'une balle ou un ballon, est une parabole si l'on néglige la résistance de l'air.
En faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie, on obtient la forme des miroirs paraboliques. Ces miroirs réfléchissent, sous la forme de rayons parallèles, les rayons émis par une source lumineuse située au foyer de la parabole : on utilise ce genre de réflecteurs pour les phares des automobiles et pour les projecteurs.
À l'inverse, des rayons qui arrivent parallèlement à l'axe convergent tous, en se reflétant, en un même point, le foyer. C'est le principe des télescopes, des antennes paraboliques — le récepteur est placé au foyer — et du four solaire, qui permet d'atteindre des températures de l'ordre de degrés.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu’il faut retenir :
- La courbe de est la parabole de sommet et d'axe la droite d'équation La courbe mta3 x au carré hiya la parabole P : le sommet O, w l'axe la droite d'équation x égale zéro.La courbe de x au carré est la parabole P : sommet O, et axe la droite d'équation x égale zéro.
- avec : parabole de sommet tournée vers le haut si vers le bas si f de x égale a x au carré : parabole de sommet O, ma7loula lel fou9 ken a positif, w lel wta ken a négatif.f de x égale a x au carré : parabole de sommet O, tournée vers le haut si a est positif, vers le bas si a est négatif.
- : parabole de sommet et d'axe f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta : parabole, le sommet mte3ha S de coordonnées alpha et bêta, w l'axe x égale alpha.f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta : parabole de sommet S de coordonnées alpha et bêta, et d'axe x égale alpha.
- avec et Koll trinôme a x au carré plus b x plus c yetkteb hakka, b alpha égale moins b sur deux a, w bêta égale f de alpha.Tout trinôme a x au carré plus b x plus c s'écrit ainsi, avec alpha égale moins b sur deux a, et bêta égale f de alpha.
- La courbe de est l'image de celle de par la translation de vecteur La courbe mta3 racine carrée de (x plus b) hiya l'image mta3 la courbe mta3 la racine carrée par la translation de vecteur moins b i.La courbe de racine carrée de (x plus b) est l'image de la courbe de la racine carrée par la translation de vecteur moins b i.
- La courbe de est l'hyperbole de centre et d'asymptotes et La courbe mta3 un sur x hiya l'hyperbole H : le centre O, w les asymptotes x égale zéro w y égale zéro.La courbe de un sur x est l'hyperbole H : centre O, et asymptotes x égale zéro et y égale zéro.
- : hyperbole de centre : hyperbole de centre a sur la parenthèse x plus alpha : hyperbole de centre I de coordonnées moins alpha et zéro. W un sur x, plus bêta : hyperbole de centre I de coordonnées zéro et bêta.a sur la parenthèse x plus alpha : hyperbole de centre I de coordonnées moins alpha et zéro. Et un sur x, plus bêta : hyperbole de centre I de coordonnées zéro et bêta.
- avec : hyperbole de centre d'asymptotes et (a x plus b) sur (c x plus d) : hyperbole, le centre mte3ha I de coordonnées moins d sur c et a sur c, w les asymptotes x égale moins d sur c w y égale a sur c.(a x plus b) sur (c x plus d) : hyperbole de centre I de coordonnées moins d sur c et a sur c, et d’asymptotes x égale moins d sur c et y égale a sur c.
- Les solutions de sont les abscisses des points communs aux deux courbes ; là où la courbe de est au-dessous de celle de Les solutions mta3 f de x égale g de x houma les abscisses mta3 les points communs, w f de x inférieur à g de x win la courbe mta3 f ta7t la courbe mta3 g.Les solutions de f de x égale g de x sont les abscisses des points communs, et f de x est inférieur à g de x là où la courbe de f est au-dessous de celle de g.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna les fonctions de référence. Tfakker : la parabole 3andha sommet w axe de symétrie, w nal9awhom men la forme a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta. L'hyperbole 3andha centre w zouz asymptotes : la verticale win le dénominateur égale zéro, w l'horizontale y égale a sur c. W 9bal koll chay, chouf l'ensemble de définition. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا les fonctions de référence . تفكّر : la parabole عندها sommet w axe de symétrie ، w نلقاوهم من la forme a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta . l'hyperbole عندها centre w زوز asymptotes : la verticale وين le dénominateur égale zéro ، w l'horizontale y égale a sur c . w قْبَلْ كل شي ، شوف l'ensemble de définition . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé les fonctions de référence. Retiens : la parabole a un sommet et un axe de symétrie, qu'on trouve avec la forme a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta. L'hyperbole a un centre et deux asymptotes : la verticale là où le dénominateur égale zéro, et l'horizontale y égale a sur c. Et avant tout, regarde l'ensemble de définition. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Pour comprendre : la fonction carré
- chnowa fonction de référence
- c'est quoi une fonction de référence
- fonctions de référence chnowa ma3neha
- pourquoi on les appelle fonctions de référence
Ce qu’il répond
Houma les fonctions el asesiya elli na7fdhouhom : $x^{2}$, $\sqrt{x}$ w $\frac{1}{x}$. Koll wa7da nedrsouha marra, hiya w errasm mte3ha, w ba3d les fonctions lo5rin mta3 el chapitre nal9awhom menha, ki n7arrkou errasm.
هوما les fonctions الأساسيّة اللي نحفظوهم : x au carré ، racine carrée de x ، w un sur x . كل وحدة ندرسوها مرّة ، هي w الرسم متاعها ، w بعد les fonctions الأخرين متاع الـ chapitre نلقاوهم منها ، كي نحرّكو الرسم .
Ce sont les fonctions de base qu'on connaît par cœur : x au carré, racine carrée de x, et un sur x. On étudie chacune une fois, avec son dessin, puis les autres fonctions du chapitre s'en déduisent, en déplaçant ce dessin.
Question 2 · La parabole d'équation y = x²
- chnowa la parabole
- c'est quoi une parabole
- définition de la parabole
- parabole chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La parabole hiya el esm mta3 la courbe mta3 la fonction $x^{2}$, w zid mta3 koll fonction $ax^{2} + bx + c$, w a non nul. Ken a positif, tji kif el kes, w ken a négatif, kif el 9obba.
la parabole هي الاسم متاع la courbe متاع la fonction x au carré ، w زيد متاع كل fonction a x au carré plus b x plus c ، w a non nul . كان a positif ، تجي كيف الكاس ، w كان a négatif ، كيف القبّة .
La parabole, c'est le nom de la courbe de la fonction x au carré, et plus généralement de toute fonction a x au carré plus b x plus c, avec a non nul. Elle a la forme d'une coupe quand a est positif, et d'un dôme quand a est négatif.
Question 3 · Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c
- kifech nal9a le sommet mta3 la parabole
- comment trouver le sommet d'une parabole
- chnowa le sommet
- sommet de ax²+bx+c kifech na7sbou
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le sommet houwa el point win la parabole tbaddel ettri9 : el awta ken a positif, w el a3la ken a négatif. Ken $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$, le sommet houwa $S(\alpha ; \beta)$. W l trinôme $ax^{2} + bx + c$, a7seb $\alpha = -\frac{b}{2a}$, w ba3d $\beta = f(\alpha)$.
le sommet هو الـ point وين la parabole تبدّل الطريق : الأوطى كان a positif ، w الأعلى كان a négatif . كان f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta ، le sommet هو S de coordonnées alpha et bêta . w لـ trinôme a x au carré plus b x plus c ، احسب alpha égale moins b sur deux a ، w بعد bêta égale f de alpha .
Le sommet est le point où la parabole fait demi-tour : le plus bas si a est positif, le plus haut si a est négatif. Si f de x égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, le sommet est S de coordonnées alpha et bêta. Et pour un trinôme a x au carré plus b x plus c, calcule alpha égale moins b sur deux a, puis bêta égale f de alpha.
Question 4 · La parabole d'équation y = x²
- chnowa l'axe de symétrie mta3 la parabole
- c'est quoi l'axe d'une parabole
- l'axe de la parabole kifech nal9ah
- axe de symétrie de la parabole
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'axe mta3 parabole houwa l'axe de symétrie mte3ha : la droite verticale elli tet3adda men le sommet. Ken tatwi el war9a 3liha, ezzouz ansaf mta3 la parabole yjiw fou9 b3adhhom. L parabole le sommet mte3ha $S(\alpha ; \beta)$, hiya la droite d'équation $x = \alpha$.
l'axe متاع parabole هو l'axe de symétrie متاعها : la droite verticale اللي تتعدّى من le sommet . كان تطوي الورقة عليها ، الزوز أنصاف متاع la parabole يجيو فوق بعضهم . لـ parabole le sommet متاعها S de coordonnées alpha et bêta ، هي la droite d'équation x égale alpha .
L'axe d'une parabole est son axe de symétrie : la droite verticale qui passe par le sommet. Si tu plies la feuille le long de cette droite, les deux moitiés de la parabole se superposent. Pour une parabole de sommet S de coordonnées alpha et bêta, c'est la droite d'équation x égale alpha.
Question 5 · Fonctions du type f(x) = ax²
- kifech na3ref la parabole ma7loula lel fou9 walla lel wta
- comment savoir si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas
- parabole vers le haut ou vers le bas
- a négatif : la parabole vers le bas ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le signe de a houwa elli y9arrer. Ken a positif, la parabole ma7loula lel fou9, w le sommet mte3ha houwa el point el awta. Ken a négatif, ma7loula lel wta, w le sommet mte3ha houwa el point el a3la.
le signe de a هو اللي يقرّر . كان a positif ، la parabole محلولة للفوق ، w le sommet متاعها هو الـ point الأوطى . كان a négatif ، محلولة للوطا ، w le sommet متاعها هو الـ point الأعلى .
C'est le signe de a qui décide. Si a est positif, la parabole est tournée vers le haut, et son sommet est le point le plus bas. Si a est négatif, elle est tournée vers le bas, et son sommet est le point le plus haut.
Question 6 · Exemple : lire le coefficient
- 3lech parabole dhay9a w o5ra wes3a
- pourquoi une parabole est plus étroite qu’une autre
- parabole large ou étroite
- a kbir la parabole tedhya9
Ce qu’il répond
Hedha yetba3 el kobr mta3 a, blech le signe mte3ou. L $f(x) = ax^{2}$, le point d'abscisse 1 3andou l'ordonnée a. B $a = 2$, la courbe tatla3 asra3 men $x^{2}$ : twalli dhay9a akthar. B $a = \frac{1}{2}$, tatla3 bechwaya : twalli wes3a akthar.
هذا يتبع الكبر متاع a ، بلاش le signe متاعو . لـ f de x égale a x au carré ، le point d'abscisse un عندو l'ordonnée a . بـ a égale deux ، la courbe تطلع أسرع من x au carré : تولّي ضيّقة أكثر . بـ a égale un demi ، تطلع بالشويّة : تولّي واسعة أكثر .
Cela dépend de la grandeur de a, sans son signe. Pour f de x égale a x au carré, le point d'abscisse un a pour ordonnée a. Avec a égale deux, la courbe monte plus vite que x au carré : elle est plus étroite. Avec a égale un demi, elle monte moins vite : elle est plus large.
Question 7 · Pour comprendre : la courbe de (x − 2)²
- 3lech (x-2)² temchi lel imin mouch lel isar
- pourquoi x moins 2 décale la courbe vers la droite
- x plus 2 : la courbe va vers la gauche pourquoi
- décalage à droite ou à gauche kifech na3ref
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Chouf win la fonction twalli zéro. L $(x - 2)^{2}$, le sommet win $x - 2 = 0$, ya3ni fi $x = 2$ : la courbe temchi b 2 lel imin. L $(x + 2)^{2}$, fi $x = -2$ : lel isar. W nafs echay l $\sqrt{x + 2}$, elli tabda men $-2$.
شوف وين la fonction تولّي zéro . لـ (x moins deux) au carré ، le sommet وين x moins deux égale zéro ، يعني في x égale deux : la courbe تمشي بـ deux لليمين . لـ (x plus deux) au carré ، في x égale moins deux : لليسار . w نفس الشي لـ racine carrée de (x plus deux) ، اللي تبدا من moins deux .
Regarde où la fonction s'annule. Pour (x moins deux) au carré, le sommet est là où x moins deux égale zéro, donc en x égale deux : la courbe est décalée de deux vers la droite. Pour (x plus deux) au carré, c'est en x égale moins deux : vers la gauche. Et c'est pareil pour racine carrée de (x plus deux), qui part de moins deux.
Question 8 · Pour comprendre : la courbe de x² + 3/2
- chnowa el 3ala9a bin translation w parabole
- quel est le lien entre la translation et la courbe
- translation de vecteur 2i chnowa ta3mel lel courbe
- kifech n7arrek la courbe b translation
Ce qu’il répond
La translation t7arrek la courbe el koll blech ma tbaddel echakl mte3ha. Ki nbaddlou x b $x - \alpha$, la courbe tet7arrek b $\alpha$ fi la direction de $\vec{i}$ : horizontalement. W ki nzidou $\beta$ l $f(x)$, tet7arrek b $\beta$ fi la direction de $\vec{j}$ : verticalement. Hakka nemchiw men $ax^{2}$ l $a(x - \alpha)^{2} + \beta$, b 2 translations.
la translation تحرّك la courbe الكل بلاش ما تبدّل الشكل متاعها . كي نبدّلو x بـ x moins alpha ، la courbe تتحرّك بـ alpha في la direction de i : horizontalement . w كي نزيدو bêta لـ f de x ، تتحرّك بـ bêta في la direction de j : verticalement . هكّا نمشيو من a x au carré لـ a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta ، بـ زوز translations .
Une translation déplace toute la courbe sans changer sa forme. Remplacer x par x moins alpha déplace la courbe de alpha dans la direction de i : horizontalement. Et ajouter bêta à f de x la déplace de bêta dans la direction de j : verticalement. C'est ainsi qu'on passe de a x au carré à a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta, par deux translations.
Question 9 · Pour comprendre : la courbe de 2x² + 4x − 1
- chnowa la forme canonique
- c'est quoi la forme canonique d'un trinôme
- kifech nal9a la forme canonique
- forme canonique 3lech nesta3mlouha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Hiya el ktiba $a(x - \alpha)^{2} + \beta$ mta3 trinôme $ax^{2} + bx + c$. Nal9awha ki n5arrjou a k facteur, w ba3d nkamlou le carré. W hiya ta3tina toul le sommet mta3 la parabole, $S(\alpha ; \beta)$, w l'axe mte3ha, $x = \alpha$.
هي الكتيبة a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta متاع trinôme a x au carré plus b x plus c . نلقاوها كي نخرّجو a كـ facteur ، w بعد نكمّلو le carré . w هي تعطينا طول le sommet متاع la parabole ، de coordonnées alpha et bêta ، w l'axe متاعها ، x égale alpha .
C'est l'écriture a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta d'un trinôme a x au carré plus b x plus c. On l'obtient en mettant a en facteur, puis en complétant le carré. Elle donne tout de suite le sommet de la parabole, de coordonnées alpha et bêta, et son axe, x égale alpha.
Question 10 · Fonctions du type f(x) = ax² + bx + c
- kifech na7seb alpha w bêta
- comment calculer alpha et bêta
- alpha égale quoi
- 3lech alpha égale moins b sur 2a
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\alpha = -\frac{b}{2a}$. 5ater ki tdévelopper $a(x - \alpha)^{2}$, tal9a $-2a\alpha x$, w hedha lezem ysewi $bx$. W ba3d $\beta = f(\alpha)$ : tbaddel x b $\alpha$ fel trinôme. Mithel : l $x^{2} - 2x - 1$, $\alpha = 1$ w $\beta = -2$.
alpha égale moins b sur deux a . خاطر كي تـ développer a fois la parenthèse x moins alpha, au carré ، تلقى moins deux a alpha x ، w هذا لازم يساوي b x . w بعد bêta égale f de alpha : تبدّل x بـ alpha في الـ trinôme . مثال : لـ x au carré moins deux x moins un ، alpha égale un ، w bêta égale moins deux .
alpha égale moins b sur deux a. En effet, quand on développe a fois la parenthèse x moins alpha, au carré, on trouve moins deux a alpha x, qui doit être égal à b x. Ensuite bêta égale f de alpha : on remplace x par alpha dans le trinôme. Exemple : pour x au carré moins deux x moins un, alpha égale un, et bêta égale moins deux.
Question 11 · Lire les signes de a, b et c
- kifech na9ra le signe de b 3la la parabole
- comment lire les signes de a, b et c sur la courbe
- signe de c kifech nal9ah men la courbe
- le signe de b avec le sommet
Ce qu’il répond
Le signe de a : positif ken la parabole ma7loula lel fou9, w négatif ken ma7loula lel wta. Le signe de c : $c = f(0)$, ya3ni l'ordonnée mta3 el point win la parabole t9oss l'axe des ordonnées. W le signe de b : l'abscisse du sommet hiya $-\frac{b}{2a}$ ; ki ta3ref le signe mte3ha w mta3 a, tal9a mta3 b.
le signe de a : positif كان la parabole محلولة للفوق ، w négatif كان محلولة للوطا . le signe de c : c égale f de zéro ، يعني l'ordonnée متاع الـ point وين la parabole تقصّ l'axe des ordonnées . w le signe de b : l'abscisse du sommet هي moins b sur deux a ؛ كي تعرف le signe متاعها w متاع a ، تلقى متاع b .
Le signe de a : positif si la parabole est tournée vers le haut, négatif si elle est tournée vers le bas. Le signe de c : c égale f de zéro, l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées. Et le signe de b : l'abscisse du sommet est moins b sur deux a ; quand tu connais son signe et celui de a, tu en déduis celui de b.
Question 12 · Lire les signes de a, b et c
- kifech na3ref 9addech racines 3and el trinôme men la courbe
- comment lire le nombre de racines sur la parabole
- nombre de racines du trinôme graphiquement
- combien de racines quand la parabole ne rencontre pas l'axe
Ce qu’il répond
Les racines mta3 el trinôme houma les abscisses mta3 les points win la parabole tal9a l'axe des abscisses. Ken t9ossou fi zouz points, famma 2 racines. Ken tmessou fi le sommet berk, racine wa7da. W ken ma tal9ahech, el trinôme ma 3andouch racine.
les racines متاع الـ trinôme هوما les abscisses متاع les points وين la parabole تلقى l'axe des abscisses . كان تقصّو في زوز points ، فمّا deux racines . كان تمسّو في le sommet برك ، racine وحدة . w كان ما تلقاهش ، الـ trinôme ما عندوش racine .
Les racines du trinôme sont les abscisses des points où la parabole rencontre l'axe des abscisses. Si elle le coupe en deux points, il y a deux racines. Si elle le touche seulement en son sommet, une seule. Et si elle ne le rencontre pas, le trinôme n'a pas de racine.
Question 13 · Trouver l'équation d'une parabole
- kifech nal9a l'équation mta3 parabole men el figure
- comment trouver l'équation d'une parabole
- équation de la parabole avec le sommet et un point
- l'équation kifech nektebha ki na3ref le sommet w point
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
A9ra le sommet 9bal, $S(\alpha ; \beta)$ : l'équation hiya $y = a(x - \alpha)^{2} + \beta$. Yeb9a a : 5oudh point e5er men la parabole, baddel x w y b les coordonnées mte3ou, w 7ell. Mithel : le sommet $S(2 ; -3)$ w point $A(0 ; -1)$ : $4a - 3 = -1$, idhan $a = \frac{1}{2}$.
اقرا le sommet قْبَلْ ، de coordonnées alpha et bêta : l'équation هي y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta . يبقى a : خوذ point آخر من la parabole ، بدّل x w y بـ les coordonnées متاعو ، w حلّ . مثال : le sommet de coordonnées deux et moins trois ، w point de coordonnées zéro et moins un : quatre a moins trois égale moins un ، إذن a égale un demi .
Lis d'abord le sommet, de coordonnées alpha et bêta : l'équation est y égale a fois la parenthèse x moins alpha, au carré plus bêta. Il reste a : prends un autre point de la parabole, remplace x et y par ses coordonnées, et résous. Exemple : sommet de coordonnées deux et moins trois, et point de coordonnées zéro et moins un : quatre a moins trois égale moins un, donc a égale un demi.
Question 14 · Exemple : la hauteur d'une balle
- kifech nal9a le maximum mta3 trinôme
- comment trouver la valeur maximale d'un trinôme
- le minimum de ax²+bx+c kifech na7sbou
- maximum d'une fonction du second degré
Ce qu’il répond
Le maximum walla le minimum mta3 trinôme houwa l'ordonnée mta3 le sommet mta3 la parabole mte3ou. Ken a négatif, la parabole ma7loula lel wta : $\beta$ houwa maximum. Ken a positif, $\beta$ houwa minimum. W nal9awh ki $x = \alpha$, ya3ni $-\frac{b}{2a}$.
le maximum ولّا le minimum متاع trinôme هو l'ordonnée متاع le sommet متاع la parabole متاعو . كان a négatif ، la parabole محلولة للوطا : bêta هو maximum . كان a positif ، bêta هو minimum . w نلقاوه كي x égale alpha ، يعني moins b sur deux a .
Le maximum ou le minimum d'un trinôme, c'est l'ordonnée du sommet de sa parabole. Si a est négatif, la parabole est tournée vers le bas : bêta est un maximum. Si a est positif, bêta est un minimum. Il est atteint quand x égale alpha, c'est-à-dire moins b sur deux a.
Question 15 · Pour comprendre : la fonction racine carrée
- 3lech racine carrée de x mouch définie ki x négatif
- pourquoi la racine carrée n'existe pas pour un nombre négatif
- ensemble de définition de racine de x plus b
- racine carrée définie 3la chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater ma fammech réel 3andou carré négatif : la racine carrée mta3 nombre négatif ma fammech. Idhan $\sqrt{x}$ définie ken x positif ou nul. W l $\sqrt{x + b}$, lezem $x + b \ge 0$, ya3ni $x \ge -b$.
خاطر ما فمّاش réel عندو carré négatif : la racine carrée متاع nombre négatif ما فمّاش . إذن racine carrée de x définie كان x positif ou nul . w لـ racine carrée de (x plus b) ، لازم x plus b positif ou nul ، يعني x supérieur ou égal à moins b .
Parce qu'aucun réel n'a un carré négatif : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Donc racine carrée de x est définie seulement pour x positif ou nul. Et pour racine carrée de (x plus b), il faut x plus b positif ou nul, c'est-à-dire x supérieur ou égal à moins b.
Question 16 · Pour comprendre : la fonction racine carrée
- 3lech la racine carrée croissante
- pourquoi la fonction racine carrée est croissante
- racine carrée croissante walla décroissante
- sens de variation de la racine carrée
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5oudh zouz réels positifs a w b, w $a < b$. La différence $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ tetkteb $\frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$ : hedha positif. Idhan koll ma x yekber, la racine carrée mte3ou tekber : la fonction croissante 3la $[0 ; +\infty[$.
خوذ زوز réels positifs a w b ، w a inférieur à b . la différence racine de b moins racine de a تتكتب (b moins a) sur (racine de b plus racine de a) : هذا positif . إذن كل ما x يكبر ، la racine carrée متاعو تكبر : la fonction croissante على l'intervalle de zéro à plus l'infini .
Prends deux réels positifs a et b, avec a inférieur à b. La différence racine de b moins racine de a s'écrit (b moins a) sur (racine de b plus racine de a) : c'est positif. Donc plus x est grand, plus sa racine carrée est grande : la fonction est croissante sur l'intervalle de zéro à plus l'infini.
Question 17 · Fonctions du type f(x) = √(x + b)
- kifech nersem la courbe mta3 racine de x plus 2
- comment tracer la courbe de racine carrée de x plus b
- tracer racine de x+b à partir de racine de x
- la courbe de racine de x plus b kifech tji
Ce qu’il répond
Ersem 9bal la courbe mta3 $\sqrt{x}$ : tabda men O, w tet3adda men les points $(1 ; 1)$ w $(4 ; 2)$. W ba3d 7arrekha b la translation de vecteur $-b\vec{i}$. L $\sqrt{x + 2}$, koll chay yarja3 b 2 : la courbe tabda men le point d'abscisse $-2$.
ارسم قْبَلْ la courbe متاع racine carrée de x : تبدا من O ، w تتعدّى من les points de coordonnées un et un ، w quatre et deux . w بعد حرّكها بـ la translation de vecteur moins b i . لـ racine carrée de (x plus deux) ، كل شي يرجع بـ deux : la courbe تبدا من le point d'abscisse moins deux .
Trace d'abord la courbe de racine carrée de x : elle part de O, et passe par les points de coordonnées un et un, et quatre et deux. Puis déplace-la par la translation de vecteur moins b i. Pour racine carrée de (x plus deux), tout recule de deux : la courbe part du point d'abscisse moins deux.
Question 18 · L'hyperbole d'équation y = 1/x
- chnowa l'hyperbole
- c'est quoi une hyperbole
- définition de l'hyperbole
- hyperbole chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'hyperbole hiya el esm mta3 la courbe mta3 la fonction $\frac{1}{x}$, w zid mta3 koll fonction $\frac{ax + b}{cx + d}$ mta3 el chapitre. Fiha zouz 9ta3 mafrouzin, ma yetle9awch.
l'hyperbole هي الاسم متاع la courbe متاع la fonction un sur x ، w زيد متاع كل fonction (a x plus b) sur (c x plus d) متاع الـ chapitre . فيها زوز قطع مفروزين ، ما يتلاقاوش .
L'hyperbole, c'est le nom de la courbe de la fonction un sur x, et plus généralement de toute fonction (a x plus b) sur (c x plus d) du chapitre. Elle est faite de deux morceaux séparés, qui ne se rejoignent pas.
Question 19 · L'hyperbole d'équation y = 1/x
- chnowa l'asymptote
- c'est quoi une asymptote
- asymptote chnowa ma3neha
- définition d'une asymptote
Ce qu’il répond
L'asymptote hiya droite, la courbe ta9reb menha akthar w akthar, w ma tousalhech. L l'hyperbole $y = \frac{1}{x}$, famma 2 : l'axe des abscisses, 5ater $\frac{1}{x}$ ya9reb l 0 ki x yekber barcha, w l'axe des ordonnées, 5ater $\frac{1}{x}$ yekber barcha ki x ya9reb l 0.
l'asymptote هي droite ، la courbe تقرب منها أكثر w أكثر ، w ما توصلهاش . لـ l'hyperbole y égale un sur x ، فمّا زوز : l'axe des abscisses ، خاطر un sur x يقرب لـ zéro كي x يكبر برشا ، w l'axe des ordonnées ، خاطر un sur x يكبر برشا كي x يقرب لـ zéro .
Une asymptote est une droite dont la courbe s'approche de plus en plus, sans jamais l'atteindre. Pour l'hyperbole y égale un sur x, il y en a deux : l'axe des abscisses, car un sur x s'approche de zéro quand x devient très grand, et l'axe des ordonnées, car un sur x devient très grand quand x s'approche de zéro.
Question 20 · Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)
- kifech nal9a les asymptotes mta3 l'hyperbole
- comment trouver les asymptotes de ax+b sur cx+d
- asymptote verticale w asymptote horizontale kifech nal9ahom
- équations des asymptotes
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'asymptote verticale win le dénominateur ywalli zéro : $cx + d = 0$, idhan $x = -\frac{d}{c}$. L'asymptote horizontale hiya $y = \frac{a}{c}$, le quotient mta3 les coefficients de x. Mithel : l $\frac{3x + 1}{2x - 4}$, houma $x = 2$ w $y = \frac{3}{2}$. W yetle9aw fi le centre mta3 l'hyperbole.
l'asymptote verticale وين le dénominateur يولّي zéro : c x plus d égale zéro ، إذن x égale moins d sur c . l'asymptote horizontale هي y égale a sur c ، le quotient متاع les coefficients de x . مثال : لـ (trois x plus un) sur (deux x moins quatre) ، هوما x égale deux w y égale trois demis . w يتلاقاو في le centre متاع l'hyperbole .
L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule : c x plus d égale zéro, donc x égale moins d sur c. L'asymptote horizontale est y égale a sur c, le quotient des coefficients de x. Exemple : pour (trois x plus un) sur (deux x moins quatre), ce sont x égale deux et y égale trois demis. Elles se rencontrent au centre de l'hyperbole.
Question 21 · Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)
- l'hyperbole tnajjem t9oss l'asymptote
- est-ce que la courbe peut couper son asymptote
- l'hyperbole tmess les asymptotes walla le
- la courbe touche l'asymptote ?
Ce qu’il répond
Le, mouch fel chapitre hedha. 5oudh $g(x) = 2 + \frac{3}{2x - 5}$ : l'asymptote horizontale mte3ha $y = 2$. Bech la courbe t9ossha, lezem $\frac{3}{2x - 5} = 0$, w hedha impossible. La courbe ta9reb men l'asymptote 9add ma n7ebbou, ama ma tal9ahech.
لا ، موش في الـ chapitre هذا . خوذ g de x égale deux plus trois sur (deux x moins cinq) : l'asymptote horizontale متاعها y égale deux . باش la courbe تقصّها ، لازم trois sur (deux x moins cinq) égale zéro ، w هذا impossible . la courbe تقرب من l'asymptote قدّ ما نحبّو ، أما ما تلقاهاش .
Non, pas dans ce chapitre. Prends g de x égale deux plus trois sur (deux x moins cinq) : son asymptote horizontale est y égale deux. Pour que la courbe la coupe, il faudrait trois sur (deux x moins cinq) égale zéro, ce qui est impossible. La courbe s'approche de l'asymptote autant qu'on veut, mais ne la rencontre pas.
Question 22 · Fonctions du type f(x) = (ax + b)/(cx + d)
- kifech nal9a le centre mta3 l'hyperbole
- comment trouver le centre d'une hyperbole
- chnowa le centre de l'hyperbole
- centre de ax+b sur cx+d
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le centre houwa el point win ezzouz asymptotes yetle9aw, w l'hyperbole symétrique par rapport lih. L $\frac{ax + b}{cx + d}$, houwa le point $I\left(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$. Mithel : l $\frac{x - 1}{x + 3}$, le centre houwa $I(-3 ; 1)$.
le centre هو الـ point وين الزوز asymptotes يتلاقاو ، w l'hyperbole symétrique par rapport ليه . لـ (a x plus b) sur (c x plus d) ، هو le point I de coordonnées moins d sur c et a sur c . مثال : لـ (x moins un) sur (x plus trois) ، le centre هو I de coordonnées moins trois et un .
Le centre est le point où les deux asymptotes se rencontrent, et l'hyperbole est symétrique par rapport à lui. Pour (a x plus b) sur (c x plus d), c'est le point I de coordonnées moins d sur c et a sur c. Exemple : pour (x moins un) sur (x plus trois), le centre est I de coordonnées moins trois et un.
Question 23 · L'hyperbole d'équation y = 1/x
- chnowa les branches mta3 l'hyperbole
- c'est quoi les branches de l'hyperbole
- 3lech l'hyperbole fiha zouz branches
- pourquoi l'hyperbole a deux branches
Ce qu’il répond
Houma ezzouz 9ta3 mta3 l'hyperbole. Famma zouz 5ater la fonction mouch définie fi valeur wa7da : l $\frac{1}{x}$, hiya zéro. La courbe ma tnajjemch tet3adda men la droite d'équation $x = 0$ : 9at3a l x positif, w 9at3a l x négatif.
هوما الزوز قطع متاع l'hyperbole . فمّا زوز خاطر la fonction موش définie في valeur وحدة : لـ un sur x ، هي zéro . la courbe ما تنجّمش تتعدّى من la droite d'équation x égale zéro : قطعة لـ x positif ، w قطعة لـ x négatif .
Ce sont les deux morceaux de l'hyperbole. Il y en a deux parce que la fonction n'est pas définie en une valeur : pour un sur x, c'est zéro. La courbe ne peut pas traverser la droite d'équation x égale zéro : un morceau pour x positif, et un morceau pour x négatif.
Question 24 · Pour comprendre : la fonction inverse
- 3lech un sur x mouch définie fi zéro
- pourquoi on ne peut pas diviser par zéro
- 1/x pour x = 0 chnowa ya3ti
- zéro 3andou inverse walla le
Ce qu’il répond
5ater ma fammech nombre ki todhorbou fi zéro ya3tik 1 : zéro ma 3andouch inverse. 3la hedheka la fonction $\frac{1}{x}$ définie 3la les réels el koll illa 0. W 9rib men zéro, $\frac{1}{x}$ yekber barcha : la courbe tatla3 walla tahbet b7dha l'axe des ordonnées.
خاطر ما فمّاش nombre كي تضربو في zéro يعطيك un : zéro ما عندوش inverse . على هذاكا la fonction un sur x définie على les réels الكل إلّا zéro . w قريب من zéro ، un sur x يكبر برشا : la courbe تطلع ولّا تهبط بحذا l'axe des ordonnées .
Parce qu'aucun nombre multiplié par zéro ne donne un : zéro n'a pas d'inverse. C'est pour cela que la fonction un sur x est définie sur tous les réels sauf zéro. Et près de zéro, un sur x devient très grand : la courbe monte ou descend le long de l'axe des ordonnées.
Question 25 · La parabole d'équation y = x²
- chnowa ma3neha f(x) tend vers plus l'infini
- que veut dire tend vers +∞
- tend vers l'infini chnowa ma3neha
- x tend vers plus l'infini kifech nefhemha
Ce qu’il répond
Ma3neha $f(x)$ yfout ay nombre A, mahma ken kbir, ki x yekber bel behi. Mathalan, $x^{2}$ yfout $10^{30}$ ki x yfout $10^{15}$. W rodd belek : plus l'infini mouch nombre, $f(x)$ ma youselouch.
معناها f de x يفوت أيّ nombre A ، مهما كان كبير ، كي x يكبر بالباهي . مثلاً ، x au carré يفوت dix puissance trente كي x يفوت dix puissance quinze . w ردّ بالك : plus l'infini موش nombre ، f de x ما يوصلّوش .
Cela veut dire que f de x dépasse n'importe quel nombre A, aussi grand soit-il, pourvu que x soit assez grand. Par exemple, x au carré dépasse dix puissance trente dès que x dépasse dix puissance quinze. Et attention : plus l'infini n'est pas un nombre, f de x ne l'atteint pas.
Question 26 · Exemple : comparer x, x², 1/x et √x
- x au carré dima akbar men x
- est-ce que le carré d'un nombre est toujours plus grand que le nombre
- x² plus grand que x ?
- x w x au carré kifech ncompariwhom
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, mouch dima. L x akbar men 1, $x^{2}$ akbar men x : le carré de 3 houwa 9. Ama l x bin 0 w 1, bel 3aks : le carré de $\frac{1}{2}$ houwa $\frac{1}{4}$, asghar men $\frac{1}{2}$. W l $x = 0$ walla $x = 1$, ezzouz kif kif.
لا ، موش ديما . لـ x أكبر من un ، x au carré أكبر من x : le carré de trois هو neuf . أما لـ x بين zéro w un ، بالعكس : le carré de un demi هو un quart ، أصغر من un demi . w لـ x égale zéro ولّا un ، الزوز كيف كيف .
Non, pas toujours. Pour x plus grand que un, x au carré est plus grand que x : le carré de trois est neuf. Mais pour x entre zéro et un, c'est le contraire : le carré de un demi est un quart, plus petit que un demi. Et pour x égale zéro ou un, les deux sont égaux.
Question 27 · Pour la culture : phares et antennes
- 3lech el koura tarsem parabole
- pourquoi la trajectoire d'une balle est une parabole
- la trajectoire d'un projectile
- balle lancée chnowa la courbe mte3ha
Ce qu’il répond
5ater la hauteur mta3 el koura tetkteb trinôme fel wa9t t, w le coefficient mta3 $t^{2}$ négatif, ki nensew la résistance de l'air. Idhan la courbe mte3ha parabole ma7loula lel wta : el koura tatla3, tousel l le sommet, w ba3d tahbet b nafs ettari9a.
خاطر la hauteur متاع الكورة تتكتب trinôme في الوقت t ، w le coefficient متاع t au carré négatif ، كي ننساو la résistance de l'air . إذن la courbe متاعها parabole محلولة للوطا : الكورة تطلع ، توصل لـ le sommet ، w بعد تهبط بنفس الطريقة .
Parce que la hauteur de la balle s'écrit comme un trinôme du temps t, avec un coefficient négatif devant t au carré, quand on néglige la résistance de l'air. Sa courbe est donc une parabole tournée vers le bas : la balle monte, atteint le sommet, puis redescend de la même façon.
Question 28 · Pour la culture : phares et antennes
- 3lech l'antenne parabolique 3andha el forme hedhi
- pourquoi les antennes sont paraboliques
- à quoi sert la parabole dans la vie
- miroir parabolique kifech ye5dem
Ce qu’il répond
Le miroir parabolique yeb3ath l point wa7ed, le foyer, les rayons el koll elli yjiw parallèles à l'axe mte3ou. Hakka l'antenne parabolique tlemm el signal 3la le récepteur el ma7tout fi le foyer. W bel 3aks, dhaw ma7tout fi le foyer mta3 phare ya3ti rayons parallèles.
le miroir parabolique يبعث لـ point واحد ، le foyer ، les rayons الكل اللي يجيو parallèles à l'axe متاعو . هكّا l'antenne parabolique تلمّ الـ signal على le récepteur المحطوط في le foyer . w بالعكس ، ضو محطوط في le foyer متاع phare يعطي rayons parallèles .
Un miroir parabolique renvoie vers un même point, le foyer, tous les rayons qui arrivent parallèlement à son axe. C'est ainsi qu'une antenne parabolique rassemble le signal sur le récepteur placé au foyer. Et inversement, une lampe placée au foyer d'un phare donne des rayons parallèles.
Question 29 · Un problème pour aller plus loin : un lieu de points
- chnowa lieu de points
- c'est quoi un lieu géométrique
- lieu du point N chnowa ma3neha
- kifech nal9a le lieu mta3 point
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le lieu mta3 point houwa el 5att elli yarsmou ki point e5er yet7arrek. Bech nal9awh, nektbou les coordonnées mte3ou b nafs el nombre m, w ba3d nlawjou 3la el 3ala9a bin l'abscisse w l'ordonnée mte3ou. Houni, N 3andou l'abscisse m w l'ordonnée $\frac{m^{2}}{2}$ : yarsem la parabole $y = \frac{1}{2}x^{2}$.
le lieu متاع point هو الخطّ اللي يرسمو كي point آخر يتحرّك . باش نلقاوه ، نكتبو les coordonnées متاعو بنفس الـ nombre m ، w بعد نلوّجو على العلاقة بين l'abscisse w l'ordonnée متاعو . هنا ، N عندو l'abscisse m w l'ordonnée m au carré sur deux : يرسم la parabole y égale un demi de x au carré .
Le lieu d'un point, c'est la ligne qu'il décrit quand un autre point se déplace. Pour le trouver, on écrit ses coordonnées avec un même nombre m, puis on cherche la relation entre son abscisse et son ordonnée. Ici, N a pour abscisse m et pour ordonnée m au carré sur deux : il décrit la parabole y égale un demi de x au carré.
Question 30 · Exemple : parabole et hyperbole
- kifech n7ell inéquation b la parabole
- comment résoudre l'inéquation x² < 4 graphiquement
- résoudre une inéquation avec l'hyperbole
- inéquation 1/x > 2 kifech n7ellha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ersem la droite horizontale mta3 el nombre, w chouf win la courbe fou9ha walla ta7tha. L $x^{2} < 4$, la parabole ta7t la droite $y = 4$ bin $-2$ w 2. W l $\frac{1}{x} > 2$, ken la branche mta3 les x positifs tatla3 fou9 $y = 2$, bin 0 w $\frac{1}{2}$.
ارسم la droite horizontale متاع الـ nombre ، w شوف وين la courbe فوقها ولّا تحتها . لـ x au carré inférieur à quatre ، la parabole تحت la droite y égale quatre بين moins deux w deux . w لـ un sur x supérieur à deux ، كان la branche متاع les x positifs تطلع فوق y égale deux ، بين zéro w un demi .
Trace la droite horizontale qui correspond au nombre, puis regarde où la courbe est au-dessus ou au-dessous. Pour x au carré inférieur à quatre, la parabole est sous la droite y égale quatre entre moins deux et deux. Et pour un sur x supérieur à deux, seule la branche des x positifs monte au-dessus de y égale deux, entre zéro et un demi.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Paire ou impaire ?
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur Elle passe par les points et et par l'origine La fonction est-elle paire ou impaire ?
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de la fonction f est tracée de l'abscisse moins 2 à l'abscisse 2. Elle part du point A, d'abscisse moins 2 et d'ordonnée 2, descend jusqu'au point B, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 2, remonte en passant par l'origine O jusqu'au point E, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend jusqu'au point F, d'abscisse 2 et d'ordonnée moins 2.
Réponds par un seul mot.
Réponse attendue : impaire — aussi acceptées : elle est impaire · f est impaire · fonction impaire · f est une fonction impaire · une fonction impaire · c'est une fonction impaire
Indices, dans l’ordre
- Compare les images de deux nombres opposés, par exemple et
- Ces deux images sont-elles égales, ou opposées ?
- Regarde la symétrie de la courbe : par rapport à l'axe des ordonnées, ou par rapport à l'origine ?
Correction
- Deux opposés — Les images de et de sont opposées, comme celles de et de
- La symétrie — Chaque point de la courbe a son symétrique par rapport à sur la courbe : et et
Pour tout de : la fonction est impaire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Pièges anticipés
paire / elle est paire / f est paire→ Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Ici, les images de et de sont et : elles sont opposées, pas égales.
Exercice 2 · base
Dépasser dix puissance trente
Soit la fonction définie sur par Pour positif, on a dès que dépasse un certain nombre. Lequel ?
Donne seulement ce nombre, par exemple Au clavier, l'exposant se tape après l'accent circonflexe.
Réponse attendue : 10^15
Indices, dans l’ordre
- Pour positif, équivaut à
- Écris comme le carré d'une puissance de
- Pour élever une puissance de au carré, on double l'exposant.
Correction
- La racine carrée — Pour positif, équivaut à
- Le calcul —
Dès que : dépasse n'importe quel réel, pourvu que soit assez grand.
Pièges anticipés
10^60→ Tu as élevé au carré. Ici on cherche tel que dépasse : il faut la racine carrée.10^30→ Si alors : c'est bien plus qu'il n'en faut. Cherche le nombre dont le carré est exactement
Exercice 3 · base
Lire le coefficient
La parabole de la figure représente une fonction du type où est une constante réelle. Elle passe par le point Détermine
Un repère orthonormé d'origine O. Une parabole de sommet O, tournée vers le bas, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle passe par le point A, d'abscisse 2 et d'ordonnée moins 2.
Donne la valeur de
Réponse attendue : -1/2
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de vérifient l'équation
- Remplace par et par
- Tu obtiens
Correction
- Le point A —
- L'équation —
La parabole a pour équation : est négatif, et elle est bien tournée vers le bas.
Pièges anticipés
-2→ est l'ordonnée du point Comme a pour abscisse on a1/2→ La parabole est tournée vers le bas : est négatif.-1→ Il faut diviser par le carré de l'abscisse, qui vaut et non par
Exercice 4 · base
Une identité qui cache le sommet
Soit la parabole d'équation Quelle est l'abscisse de son sommet ?
Donne l'abscisse du sommet.
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Reconnais une identité remarquable.
- Une parabole d'équation a pour sommet
Correction
- Factoriser —
- Lire alpha — c'est moins l'opposé de : on lit
Le sommet est et l'axe est la droite d'équation
Pièges anticipés
3→ : le sommet est là où s'annule, donc à une abscisse négative.9→ est l'ordonnée du point d'abscisse Factorise d'abord : est une identité remarquable.6 / -6→ N'utilise pas tel quel : est le double produit de par
Exercice 5 · pratique
Le sommet d'un trinôme
Soit la parabole d'équation Détermine les coordonnées de son sommet
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (2;2) — aussi acceptées : (2,2) · S(2;2) · S(2,2) · 2;2
Indices, dans l’ordre
- L'abscisse du sommet est
- Ici et
- L'ordonnée du sommet est l'image de
Correction
- L'abscisse —
- L'ordonnée —
- La forme canonique —
Le sommet est et l'axe est la droite d'équation ; comme est négatif, la parabole est tournée vers le bas.
Pièges anticipés
(2;-2) / (2,-2) / S(2;-2)→ est l'image de pas l'ordonnée du sommet. Calcule l'image de(-2;2) / (-2,2) / (-2;-14) / (-2,-14)→ avec et : on divise par ce qui donne et non
Exercice 6 · pratique
L'ordonnée du sommet
Soit la parabole d'équation L'abscisse de son sommet est Calcule son ordonnée.
Donne l'ordonnée du sommet, en fraction irréductible.
Réponse attendue : 49/12
Indices, dans l’ordre
- L'ordonnée du sommet est l'image de son abscisse.
- Calcule d'abord le carré de : c'est
- Réduis les trois termes au dénominateur
Correction
- Remplacer —
- Réduire —
Le sommet est et l'axe est la droite d'équation
Pièges anticipés
5/6→ est l'abscisse du sommet. Son ordonnée est l'image de2→ est l'image de L'ordonnée du sommet est l'image de33/4→ Attention au signe : le premier terme vaut il se retranche.
Exercice 7 · pratique
Le minimum d'un trinôme
Soit la fonction définie sur par Elle est décroissante sur et croissante sur Quelle est sa valeur minimale ?
Donne la valeur minimale.
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Le minimum est atteint là où la fonction cesse de décroître pour se mettre à croître.
- Calcule l'image de
Correction
- Où ? — La fonction décroît jusqu'à puis croît : le minimum est atteint en
- La valeur —
- Une vérification —
La courbe de est une parabole de sommet et d'axe : le minimum de est l'ordonnée du sommet.
Pièges anticipés
1→ est le réel où le minimum est atteint. La valeur minimale est son image.-1→ est l'image de Le minimum est l'image de
Exercice 8 · pratique
Le coefficient d'une parabole
Une parabole a pour sommet et passe par le point Son équation est de la forme Détermine
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de vérifient l'équation de
- Remplace par et par
- Tu obtiens
Correction
- Remplacer —
- Résoudre —
La parabole a pour équation et son axe est la droite d'équation
Pièges anticipés
9/4→ Tu as oublié le : l'équation est et non1/2→ Pour vaut dont le carré est et non-2→ Le carré de est : un carré est positif, donc donne
Exercice 9 · pratique
L'équation développée
Une parabole a pour sommet et passe par le point Écris son équation sous la forme développée : donne l'expression de en fonction de
Écris l'expression développée, par exemple Au clavier, l'exposant se tape après l'accent circonflexe.
Réponse attendue : x^2/2-2x-1
Indices, dans l’ordre
- Pars de la forme
- Le point donne
- Une fois trouvé, développe
Correction
- La forme —
- Le coefficient —
- Développer —
On vérifie : pour on trouve bien
Pièges anticipés
x^2-4x+1→ Tu as pris Écris puis cherche avec le point2x^2-8x+5→ donne donc et non
Exercice 10 · pratique
La hauteur maximale de la balle
Une balle est lancée verticalement du sol. Sa hauteur, en mètres, à l'instant en secondes, est Elle atteint sa hauteur maximale à l'instant Quelle est cette hauteur ?
Donne la hauteur maximale, en mètres, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 11.025
Indices, dans l’ordre
- Remplace par
- Le carré de est
- Calcule puis
Correction
- Remplacer —
- Le résultat —
La hauteur s'écrit aussi : elle ne dépasse jamais mètres.
Pièges anticipés
1.5→ est l'instant où la hauteur est maximale. Remplace par dans l'expression.14.7→ Tu as multiplié par : n'oublie pas le carré, qui vaut33.075→ Le premier terme est négatif : il vaut et se retranche de
Exercice 11 · pratique
Le mobile passe par l'origine
Un mobile se déplace sur un axe d'origine pendant trois heures. À l'instant en heures, avec dans son abscisse, en kilomètres, est À quel instant le mobile passe-t-il par ?
Donne l'instant en heures, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 1.75
Indices, dans l’ordre
- Le mobile est en quand son abscisse est nulle.
- Multiplie l'équation par :
- Le discriminant vaut le carré de
Correction
- L'équation —
- Le discriminant —
- Les racines —
Seule la racine est dans : le mobile passe par au bout d'une heure et quarante-cinq minutes.
Pièges anticipés
-0.25 / -1/4→ est bien une racine du trinôme, mais est un temps, entre et : garde l'autre racine.0→ À l'instant l'abscisse vaut : le mobile n'est pas en-3.5 / 3.5→ C'est l'abscisse du mobile au départ. On cherche l'instant où son abscisse est nulle.
Exercice 12 · pratique
Deux mobiles au même endroit
Deux mobiles et se déplacent sur un même axe pendant trois heures. À l'instant en heures, l'abscisse de est et celle de est À quels instants les deux mobiles sont-ils au même endroit ?
Écris l'ensemble des instants, par exemple « {1;2,5} ».
Réponse attendue : {0.5;1.5} — aussi acceptées : {1/2;3/2} · {0.5;3/2} · {1/2;1.5}
Indices, dans l’ordre
- Écris que les deux abscisses sont égales.
- Regroupe tout dans un seul membre :
- Le discriminant vaut c'est-à-dire
Correction
- L'équation —
- Les racines —
Les mobiles se croisent au bout d'une demi-heure, puis d'une heure et demie ; à ces instants, leur abscisse commune vaut puis
Pièges anticipés
{0.5} / {1.5}→ Il y a deux instants : l'équation a deux racines dans{-0.25;1.75}→ Ce sont les instants où l'abscisse de est nulle. Ici, on veut que les deux abscisses soient égales.
Exercice 13 · raisonnement
Lire l'expression d'un trinôme
La parabole de la figure est la courbe d'une fonction trinôme Son sommet est et elle passe par l'origine Donne l'expression de
Un repère orthogonal d'origine O. Une parabole tournée vers le bas : elle passe par l'origine O, monte jusqu'à son sommet S, d'abscisse 2 et d'ordonnée 4, puis redescend en recoupant l'axe des abscisses au point d'abscisse 4.
Écris seulement l'expression, sans « f(x) = » : par exemple ou Au clavier, l'exposant se tape après l'accent circonflexe.
Réponse attendue : -x^2+4x
Indices, dans l’ordre
- Pars de la forme
- La parabole passe par : l'image de est
- Tu obtiens
Correction
- La forme —
- Le coefficient —
- L'expression —
La parabole est tournée vers le bas, ce qui confirme que est négatif ; elle recoupe l'axe des abscisses au point d'abscisse
Pièges anticipés
(x-2)^2+4→ Tu as pris : la parabole passerait par le point d'abscisse et d'ordonnée pas par Utilise le fait que l'image de est-(x+2)^2+4→ Le sommet a pour abscisse : on écrit et non
Exercice 14 · pratique
Le signe de b
La parabole de la figure est la courbe d'une fonction trinôme définie par Elle est tournée vers le haut, et son sommet d'abscisse positive, est sur l'axe des abscisses. Quel est le signe de ?
Un repère orthogonal d'origine O. Une parabole tournée vers le haut. Son sommet S est sur l'axe des abscisses, à droite de O, à l'abscisse 2,5 : la parabole touche l'axe des abscisses en ce seul point. Elle coupe l'axe des ordonnées au-dessus de O.
Réponds « positif » ou « négatif ».
Réponse attendue : négatif — aussi acceptées : négative · strictement négatif · b est négatif · b négatif · b est strictement négatif · b<0 · il est négatif
Indices, dans l’ordre
- L'abscisse du sommet est
- La parabole est tournée vers le haut : quel est le signe de ?
- est positif et est positif : conclus sur
Correction
- Le signe de a — La parabole est tournée vers le haut.
- Le sommet — Son abscisse est positive.
- Le signe de b — Donc est négatif, et comme est positif :
On lit aussi que le trinôme a une seule racine, puisque la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point, et que l'image de est positif.
Pièges anticipés
positif / positive / b est positif / b>0 / b positif→ Le sommet est à droite, mais c'est qui est positif : il y a un signe moins. Comme est positif, est de l'autre signe.
Exercice 15 · pratique
Une inéquation avec la parabole
Soit la parabole d'équation tracée sur la figure avec la droite d'équation À l'aide de résous l'inéquation
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, la parabole P d'équation y égale x au carré. En rouge, la droite horizontale d'équation y égale 4 : elle coupe la parabole en deux points, d'abscisses moins 2 et 2. Entre ces deux points, la parabole est au-dessous de la droite ; à l'extérieur, elle est au-dessus.
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « ]1;5[ ».
Réponse attendue : ]-2;2[ — aussi acceptées : -2<x<2 · x>-2 et x<2 · x<2 et x>-2
Indices, dans l’ordre
- Regarde la droite horizontale d'équation
- Elle coupe la parabole aux points d'abscisses et
- Garde les abscisses des points de la parabole situés sous cette droite.
Correction
- La droite — La droite d'équation coupe aux points d'abscisses et dont le carré vaut
- Sous la droite — La parabole est sous cette droite entre ces deux points.
Pour un réel strictement positif, équivaut à
Pièges anticipés
]-inf;2[ / [0;2[→ Un nombre très négatif a un grand carré : le carré de est Il faut aussi[-2;2]→ L'inégalité est stricte : pour ou le carré vaut exactement qui n'est pas strictement inférieur à]-inf;-2[U]2;+inf[ / ]-inf;-2[∪]2;+inf[→ C'est l'ensemble où On veut la partie de la parabole située sous la droite d'équation
Exercice 16 · pratique
Une parabole et une droite
On considère la parabole d'équation et la droite d'équation Calcule les abscisses de leurs points d'intersection.
Écris l'ensemble des deux abscisses, par exemple « {0;3} ».
Réponse attendue : {1;2}
Indices, dans l’ordre
- Écris que les deux ordonnées sont égales.
- Regroupe tout dans un seul membre :
- Cherche une racine évidente, ou factorise.
Correction
- L'équation —
- Factoriser —
- Les points — On remplace dans l'équation de
La lecture graphique donne les mêmes points : la droite coupe la parabole en et en
Pièges anticipés
{-2;-1}→ L'équation est : la somme des racines est et leur produit elles sont toutes deux positives.{1} / {2}→ La droite coupe la parabole en deux points : l'équation a deux racines.
Exercice 17 · raisonnement
Le rectangle dans le triangle
Dans la figure, est un triangle équilatéral de côté et sont deux points de avec et est un rectangle, étant sur et sur L'aire du rectangle est Pour quelle valeur de cette aire est-elle maximale ?
Un triangle équilatéral ABC de côté 6, posé sur sa base [AB], le sommet C en haut. Sur la base, de gauche à droite : A, puis M, puis N, puis B, avec AM égale NB égale x. Un rectangle MNPQ, grisé, est dressé sur [MN] : son sommet Q est sur le côté [AC] et son sommet P sur le côté [BC].
Donne la valeur de
Réponse attendue : 3/2
Indices, dans l’ordre
- est un trinôme dont le coefficient de est négatif : sa courbe est une parabole tournée vers le bas.
- Le maximum est atteint à l'abscisse du sommet,
- Ou bien factorise : s'annule pour et pour et le sommet est au milieu.
Correction
- L'abscisse du sommet —
- L'aire maximale —
L'aire est maximale pour ; le rectangle a alors pour côtés et
Pièges anticipés
9*sqrt(3)/2→ C'est l'aire maximale. On demande la valeur de pour laquelle elle est atteinte.3→ Pour les points et sont confondus au milieu de : l'aire est nulle. Le sommet de la parabole est au milieu des deux racines et
Exercice 18 · base
Un ensemble de définition
Soit la fonction définie par Détermine son ensemble de définition.
Écris l'intervalle, par exemple « [2;+inf[ ».
Réponse attendue : [-4;+inf[ — aussi acceptées : D=[-4;+inf[ · Df=[-4;+inf[ · D_f=[-4;+inf[ · [-4;+oo[ · x>=-4 · x≥-4
Indices, dans l’ordre
- Une racine carrée n'existe que si ce qu'elle contient est positif ou nul.
- Résous
Correction
- La condition —
- L'ensemble —
La courbe de est l'image de celle de la racine carrée par la translation de vecteur : elle part du point
Pièges anticipés
]-4;+inf[→ convient : la racine carrée de existe, elle vaut Le crochet est fermé en[4;+inf[→ La condition est c'est-à-dire et non[0;+inf[→ C'est l'ensemble de définition de Ici, c'est qui doit être positif ou nul.
Exercice 19 · pratique
Le vecteur de la translation
La courbe de la fonction est l'image de la courbe de la fonction par la translation de vecteur Détermine
Donne la valeur de
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- D'après le cours, la courbe de est l'image de celle de par la translation de vecteur
- Ici
Correction
- La propriété — Pour le vecteur de la translation est
- Ici —
La courbe de est celle de la racine carrée, décalée de vers la gauche : elle part du point
Pièges anticipés
2→ La courbe de part du point d'abscisse là où s'annule : elle est décalée vers la gauche.
Exercice 20 · pratique
La racine carrée et la droite
Résous dans l'équation
Donne la solution.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Pose avec : alors
- L'équation devient c'est-à-dire
- Reconnais une identité remarquable.
Correction
- Changer d'inconnue — On pose donc
- Résoudre —
- Revenir à x —
La droite d'équation touche la courbe de la racine carrée en un seul point,
Pièges anticipés
2→ est la valeur de Il reste à revenir à16→ Tu as élevé au carré une fois de trop : si alors est le carré de
Exercice 21 · raisonnement
Presque tous les réels positifs
On sait que, pour tout Résous dans l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions comme une réunion d'intervalles, par exemple « [1;2[U]2;5] ».
Réponse attendue : [0;4[U]4;+inf[ — aussi acceptées : [0;4[∪]4;+inf[ · [0;4[ ou ]4;+inf[ · [0;4[ et ]4;+inf[ · [0;+inf[\{4} · [0;+inf[ privé de 4 · ]4;+inf[U[0;4[ · ]4;+inf[∪[0;4[ · ]4;+inf[ ou [0;4[ · [0;+inf[-{4}
Indices, dans l’ordre
- Le carré de la différence est toujours positif ou nul.
- Il est nul seulement quand
- L'inégalité stricte est donc vraie partout, sauf en un seul réel.
Correction
- Une différence —
- Le cas d'égalité — La différence est nulle seulement quand c'est-à-dire pour
- Les solutions —
Graphiquement, la courbe de la racine carrée est au-dessous de la droite partout, sauf au point où elles se touchent.
Pièges anticipés
[0;+inf[→ En les deux membres sont égaux : l'inégalité stricte est fausse. Il faut retirer]4;+inf[→ L'inégalité est vraie aussi avant : par exemple pour où est plus petit que[0;4[→ L'inégalité est vraie aussi après : par exemple pour où est plus petit que
Exercice 22 · pratique
La courbe et la droite y = x
Soit la courbe de la fonction définie par et la droite d'équation Calcule l'abscisse du point d'intersection de et
Donne l'abscisse du point d'intersection.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- On résout : comme une racine carrée est positive, doit être positif.
- Élève les deux membres au carré :
- Résous puis garde la solution positive.
Correction
- La condition — L'égalité impose
- Au carré —
- Le tri — La racine est négative : on la rejette.
Le point d'intersection est et on vérifie : la racine carrée de vaut bien
Pièges anticipés
-1→ vérifie mais pas l'équation de départ : la racine carrée de vaut pas Une racine carrée est positive.
Exercice 23 · base
Un inverse très petit
Soit la fonction définie sur par On a dès que dépasse un certain nombre. Lequel ?
Donne seulement ce nombre, par exemple Au clavier, l'exposant se tape après l'accent circonflexe.
Réponse attendue : 10^25
Indices, dans l’ordre
- Pour positif, équivaut à
- L'inverse d'une puissance de s'obtient en changeant le signe de l'exposant.
Correction
- Passer à l'inverse — Les deux nombres sont strictement positifs, et l'inverse renverse l'ordre : équivaut à
- Le calcul —
Plus est grand, plus est proche de : on dit que tend vers quand tend vers
Pièges anticipés
10^-25 / 10^(-25)→ Si alors qui est énorme. Pour que l'inverse soit petit, il faut que soit grand.
Exercice 24 · base
Le plus petit des quatre
Soit un réel strictement supérieur à Parmi les quatre nombres et lequel est le plus petit ?
Écris-le au clavier : x, x², 1/x ou racine de x.
Réponse attendue : 1/x — aussi acceptées : l'inverse · l'inverse de x · inverse de x · inverse
Indices, dans l’ordre
- Essaie avec : calcule les quatre nombres.
- Sur le graphique des quatre courbes, regarde laquelle est la plus basse à droite du point d'abscisse
- Un seul des quatre nombres est plus petit que
Correction
- Un essai — Pour les quatre nombres valent et
- En général —
Pour l'inverse est le seul à être plus petit que : l'hyperbole passe sous les trois autres courbes.
Pièges anticipés
x^2 / x² / x2 / le carré→ Pour le carré est le plus grand des quatre : par exemple, pour il vautracine(x) / √x / sqrt(x) / racine de x / la racine→ Pour est plus grand que alors que est plus petit quex→ Pour est plus petit que donc plus petit que
Exercice 25 · pratique
Une inéquation avec l'hyperbole
Soit l'hyperbole d'équation tracée sur la figure avec la droite d'équation À l'aide de résous l'inéquation
Un repère orthogonal d'origine O. En bleu, l'hyperbole H d'équation y égale 1 sur x, avec ses deux branches. En rouge, la droite horizontale d'équation y égale 2 : elle coupe seulement la branche de droite, au point d'abscisse un demi. À gauche de ce point, tout près de l'axe des ordonnées, la branche de droite est au-dessus de la droite rouge ; la branche de gauche est tout entière au-dessous de l'axe des abscisses.
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « ]1;5[ ».
Réponse attendue : ]0;1/2[ — aussi acceptées : ]0;0.5[ · 0<x<1/2 · 0<x<0.5 · 0<x<0,5
Indices, dans l’ordre
- Regarde la droite horizontale d'équation
- Elle coupe l'hyperbole au point d'abscisse
- Seule la branche des positifs monte au-dessus de cette droite.
Correction
- Le signe — Un inverse plus grand que est positif : il faut
- L'inverse — Pour deux nombres strictement positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre.
Sur la figure, c'est la partie de la branche de droite située au-dessus de la droite d'équation
Pièges anticipés
]1/2;+inf[ / ]0.5;+inf[→ L'inverse renverse l'ordre : pour que dépasse il faut que soit plus petit que]-inf;1/2[ / ]-inf;0.5[→ Pour négatif, est négatif : il ne peut pas dépasser Il faut aussi]0;1/2] / ]0;0.5]→ Pour l'inverse vaut exactement : l'inégalité stricte est fausse.
Exercice 26 · raisonnement
Deux branches, deux réponses
Soit l'hyperbole d'équation À l'aide de résous l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions comme une réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;2[U]3;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;0[U]1;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;0[∪]1;+inf[ · ]-inf;0[ ou ]1;+inf[ · x<0 ou x>1 · x>1 ou x<0 · ]1;+inf[U]-inf;0[ · ]1;+inf[∪]-inf;0[ · ]1;+inf[ ou ]-inf;0[
Indices, dans l’ordre
- La droite horizontale d'équation coupe au point
- Regarde chaque branche séparément.
- La branche de gauche est tout entière sous l'axe des abscisses.
Correction
- Pour x négatif — L'inverse d'un nombre négatif est négatif, donc inférieur à : tous les réels strictement négatifs conviennent.
- Pour x positif —
- Les solutions —
Avec une hyperbole, on étudie chaque branche à part : on ne peut pas passer à l'inverse sans connaître le signe de
Pièges anticipés
]1;+inf[→ Pour négatif, est négatif, donc inférieur à : toute la branche de gauche convient.]-inf;1[ / ]0;1[→ Pour entre et l'inverse est plus grand que : par exemple l'inverse de est]-inf;0]U]1;+inf[ / ]-inf;0]∪]1;+inf[ / ]-inf;0[U[1;+inf[ / ]-inf;0[∪[1;+inf[→ n'a pas d'inverse, et pour l'inverse vaut exactement : ces deux réels sont exclus.
Exercice 27 · pratique
Le centre d'une hyperbole
Soit l'hyperbole d'équation Détermine les coordonnées de son centre
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (0;-1) — aussi acceptées : (0,-1) · I(0;-1) · I(0,-1) · 0;-1
Indices, dans l’ordre
- Écris l'équation sous la forme
- Le centre d'une telle hyperbole est
Correction
- La forme —
- Le centre — On lit
- Les asymptotes —
est l'image de l'hyperbole d'équation par la translation de vecteur
Pièges anticipés
(-1;0) / (-1,0)→ s'ajoute à l'ordonnée : le centre est sur l'axe des ordonnées, à la hauteur(0;1) / (0,1)→ L'équation est avec : le centre est(0;0) / (0,0)→ est le centre de l'hyperbole d'équation Ici, on lui a ajouté
Exercice 28 · pratique
L'asymptote verticale
Soit l'hyperbole d'équation Son asymptote verticale est la droite d'équation Détermine
Donne la valeur de k.
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Compare avec
- L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule : c'est la valeur interdite.
Correction
- La forme — L'équation est du type avec et
- La valeur interdite —
- Centre et asymptotes —
L'hyperbole a pour centre ; ses asymptotes sont les droites d'équations et
Pièges anticipés
3→ L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule : donne-2→ est le numérateur : il ne fixe pas la place de l'asymptote. Regarde le dénominateur.0→ est l'asymptote horizontale. On demande la verticale.
Exercice 29 · pratique
Près de l'asymptote verticale
Soit la fonction définie par Que peut-on dire de quand tend vers en restant inférieur à ?
Réponds « plus l'infini » ou « moins l'infini ».
Réponse attendue : -inf — aussi acceptées : moins l'infini · tend vers -inf · f(x) tend vers -inf · vers -inf · tend vers moins l'infini · f(x) tend vers moins l'infini · moins infini · vers moins l'infini · vers moins infini · tend vers moins infini · moins inf · -oo
Indices, dans l’ordre
- Prends : que vaut ?
- On divise par un nombre négatif très proche de
Correction
- Un essai —
- En général — Si s'approche de en restant plus petit, est négatif et s'approche de : le quotient est négatif, et aussi grand qu'on veut en valeur absolue.
De l'autre côté, pour supérieur à tend vers : la droite d'équation est asymptote à la courbe.
Pièges anticipés
+inf / inf / plus l'infini / tend vers +inf / f(x) tend vers +inf / plus infini / vers plus l'infini / plus inf / +oo→ Pour un peu plus petit que est négatif et très proche de : le quotient est négatif, et très grand en valeur absolue.0 / tend vers 0 / f(x) tend vers 0→ C'est quand devient très grand que s'approche de Près de le dénominateur est presque nul.
Exercice 30 · pratique
Centre et asymptotes
Soit l'hyperbole d'équation Détermine les coordonnées de son centre
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (-3;1) — aussi acceptées : (-3,1) · I(-3;1) · I(-3,1) · -3;1
Indices, dans l’ordre
- Le centre est
- Ici et
- On peut aussi écrire
Correction
- Les coefficients —
- Le centre —
- Les asymptotes —
En effet, : est une hyperbole de centre
Pièges anticipés
(3;1) / (3,1)→ L'abscisse du centre est la valeur interdite : donne(-3;-1/3) / (-3,-1/3)→ L'ordonnée du centre est le quotient des coefficients de : ici elle vaut(1;-3) / (1,-3)→ Tu as échangé l'abscisse et l'ordonnée : l'asymptote verticale est l'horizontale
Exercice 31 · pratique
L'asymptote horizontale
Soit l'hyperbole d'équation Son asymptote horizontale est la droite d'équation Détermine
Donne la valeur de k.
Réponse attendue : 3/2
Indices, dans l’ordre
- L'asymptote horizontale a pour équation
- et sont les coefficients de au numérateur et au dénominateur.
Correction
- Les coefficients —
- L'asymptote horizontale —
- Le centre —
L'autre asymptote est la droite d'équation où le dénominateur s'annule.
Pièges anticipés
2→ est l'asymptote verticale, la valeur interdite. L'horizontale est-1/4→ est l'image de L'asymptote horizontale se lit avec les coefficients de3→ Il faut diviser par le coefficient de du dénominateur, qui vaut
Exercice 32 · pratique
Décomposer le quotient
Pour tout réel différent de on a où est un réel. Détermine
Donne la valeur de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Réduis le second membre au même dénominateur.
- Son numérateur est c'est-à-dire
- Compare avec
Correction
- Même dénominateur —
- Comparer —
Donc : la courbe est une hyperbole d'asymptotes et
Pièges anticipés
-7→ est le terme constant du numérateur. Réduis le second membre au même dénominateur, puis compare les numérateurs.-17→ Le double de est donc : on ajoute aux deux membres.
Exercice 33 · pratique
Une équation avec une hyperbole
Soit la fonction définie par Résous l'équation
Donne la solution.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Pour différent de multiplie les deux membres par
- Tu obtiens
- Ou bien utilise : il faut que la fraction vaille
Correction
- Produit en croix —
- Résoudre —
- Vérifier —
est différent de la valeur interdite : c'est bien la solution. Graphiquement, c'est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée
Pièges anticipés
5/2→ est la valeur interdite : n'y est pas définie.-1→ : il faut multiplier par aussi.
Exercice 34 · raisonnement
Une équation sans solution
Soit la fonction définie par que l'on peut écrire Résous l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {3} » ou « ∅ ».
Réponse attendue : ∅ — aussi acceptées : pas de solution · aucune solution · {} · ensemble vide · aucune
Indices, dans l’ordre
- équivaut à
- Un quotient est nul seulement quand son numérateur est nul.
Correction
- Simplifier —
- Impossible — Le numérateur n'est jamais nul : le quotient n'est jamais nul.
La courbe de ne coupe jamais la droite d'équation : c'est son asymptote horizontale.
Pièges anticipés
{5/2} / {2.5}→ est la valeur interdite : n'y est pas définie, ce ne peut pas être une solution.{7/4} / {1.75}→ annule pas Ici, il faudrait que la fraction soit nulle.
Exercice 35 · raisonnement
L'ordonnée du point N
Dans un repère orthonormé, on considère le point et un point de l'axe des abscisses, d'abscisse différente de La droite coupe l'axe des ordonnées en un point dont l'ordonnée est Pour quelle valeur de le point a-t-il pour ordonnée ?
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- On résout
- Retranche aux deux membres :
- Deux divisé par un nombre donne deux : ce nombre vaut
Correction
- L'équation —
- Résoudre —
- Vérifier — Avec d'abscisse la droite descend de quand l'abscisse augmente de : au point d'abscisse son ordonnée est bien
La courbe de est une hyperbole de centre : ses asymptotes sont les droites d'équations et
Pièges anticipés
1→ Pour le point est juste sous : la droite est parallèle à l'axe des ordonnées et ne le coupe pas.8/3→ Tu as calculé l'image de Ici, c'est qui vaut : on résout une équation.3/2→ donne et non
Exercice 36 · pratique
Parabole et hyperbole : les points communs
Soit et les fonctions définies par et Pour non nul, l'équation équivaut à Donne l'ensemble des solutions de l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {0;3} ».
Réponse attendue : {-1;2}
Indices, dans l’ordre
- Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul.
- ou bien
Correction
- Produit nul —
- Vérifier —
Les deux courbes se coupent au point et se touchent au point
Pièges anticipés
{2}→ est aussi une solution : le carré de s'annule pour Les deux courbes se touchent en ce point.{-2;1}→ donne et donne : attention aux signes.{-2;2}→ Ce sont les solutions de Ici, on cherche les pour lesquels
Exercice 37 · raisonnement
La parabole au-dessus de l'hyperbole
Soit et les fonctions définies par et Pour tout non nul, Résous l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions comme une réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1]U]3;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;0[U[2;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;0[∪[2;+inf[ · ]-inf;0[ ou [2;+inf[ · x<0 ou x>=2 · x<0 ou x≥2 · [2;+inf[U]-inf;0[ · [2;+inf[∪]-inf;0[ · [2;+inf[ ou ]-inf;0[ · x>=2 ou x<0 · x≥2 ou x<0
Indices, dans l’ordre
- Le carré de est positif ou nul : le signe est celui du quotient de par sauf en où tout s'annule.
- Fais un tableau de signes avec et
- N'oublie pas que est interdit, et que donne l'égalité.
Correction
- Le signe — Le carré est positif ou nul : la différence a le signe du quotient de par et s'annule en et en
- Trois zones — Pour négatif, le quotient est positif ; pour entre et il est négatif ; pour supérieur ou égal à il est positif ou nul.
- Les solutions —
La parabole est au-dessus de l'hyperbole pour tous les strictement négatifs et pour ; en elles se touchent.
Pièges anticipés
[2;+inf[→ Pour négatif, et sont tous deux négatifs : leur quotient est positif. Les réels strictement négatifs conviennent aussi.]-inf;0]U[2;+inf[ / ]-inf;0]∪[2;+inf[→ est la valeur interdite de : il ne peut pas être solution.]0;2] / ]0;2[ / [0;2]→ Entre et est négatif et positif : le quotient est négatif. C'est là que la parabole est au-dessous.
Exercice 38 · defi
Encadrer une solution
Pour l'équation équivaut à On pose et : sur est croissante et est décroissante, et leurs courbes se coupent en un seul point. Compare et puis et : la solution est-elle avant entre et ou après ? Donne l'encadrement d'amplitude que ces deux comparaisons justifient.
Écris l'intervalle, par exemple « ]1;1,25[ ».
Réponse attendue : ]2;2.25[ — aussi acceptées : [2;2.25] · ]2;2.25] · [2;2.25[ · 2<x<2.25 · 2<x<2,25 · 2<=x<=2.25 · 2≤x≤2.25 · 2≤x≤2,25 · ]2;9/4[ · [2;9/4]
Indices, dans l’ordre
- qui vaut environ et
- et qui vaut environ
- Avant la solution, la courbe de est sous celle de ; après, elle est au-dessus.
Correction
- En 2 — La racine carrée de vaut environ et : la courbe de est au-dessous.
- En 2,25 — La racine carrée de vaut et vaut environ : la courbe de est au-dessus.
- L'encadrement — La courbe de passe de dessous à dessus entre et : le point d'intersection est entre les deux.
L'équation a une seule solution, comprise entre et : elle vaut environ
Pièges anticipés
]1.75;2[ / [1.75;2] / ]2.25;2.5[ / [2.25;2.5]→ Compare les deux fonctions : en la courbe de est au-dessous de celle de ; en elle est au-dessus. La solution est entre les deux.]2;3[ / [2;3]→ C'est un encadrement juste, mais d'amplitude On demande une amplitude de
Exercice 39 · defi
Cordes parallèles
Soit l'hyperbole d'équation Deux droites qui coupent chacune en deux points, d'abscisses et pour l'une, et pour l'autre, sont parallèles si et seulement si Les points et de ont pour abscisses et et est le point de d'abscisse La parallèle à passant par recoupe en un point Quelle est l'abscisse de ?
Donne l'abscisse du point N.
Réponse attendue : 1/2
Indices, dans l’ordre
- Pour la droite le produit des abscisses vaut
- Pour la parallèle, le produit des abscisses de et de doit aussi valoir
- Résous
Correction
- La condition — Les droites et sont parallèles : le produit des abscisses est le même.
- Résoudre —
- Le point N —
Le milieu de a pour abscisse et pour ordonnée : il est sur la droite d'équation comme tous les milieux de ces cordes.
Pièges anticipés
2→ est le produit des abscisses de et de Il faut que l'abscisse de multipliée par celle de donne aussi8→ Les abscisses se multiplient : donc on divise par4→ est l'abscisse de Le point est l'autre point où la droite recoupe
Exercice 40 · raisonnement
Un point du lieu
Dans un repère orthonormé d'origine soit la droite d'équation et le point de d'abscisse La perpendiculaire à en et la perpendiculaire à en se coupent en un point Calcule l'ordonnée de
Donne l'ordonnée du point N.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- est sur la verticale passant par : son abscisse est Note son ordonnée.
- Le triangle est rectangle en :
- et
Correction
- Les trois carrés —
- Pythagore —
- L'ordonnée —
est la moitié du carré de : le point est sur la parabole d'équation le lieu de quand varie sur
Pièges anticipés
16→ est le carré de l'abscisse. Le théorème de Pythagore donne : est la moitié de4→ est l'abscisse de la même que celle de On demande son ordonnée.-2 / 2→ C'est l'ordonnée de au signe près. Le point est sur la même verticale, mais plus haut.
Exercice 41 · pratique
Une parabole sous l'axe des abscisses
La parabole de la figure est la courbe d'une fonction trinôme définie par Elle est tournée vers le bas, et elle ne coupe pas l'axe des abscisses. Quel est le signe de ?
Un repère orthogonal d'origine O. Une parabole tournée vers le bas, tout entière au-dessous de l'axe des abscisses : elle ne le coupe pas. Son sommet S est à droite de O, à l'abscisse 2, juste sous l'axe des abscisses. La parabole coupe l'axe des ordonnées au-dessous de O.
Réponds « positif » ou « négatif ».
Réponse attendue : négatif — aussi acceptées : négative · strictement négatif · c est négatif · c négatif · c est strictement négatif · c<0 · il est négatif
Indices, dans l’ordre
- est l'image de :
- Le point de la parabole d'abscisse est celui où elle coupe l'axe des ordonnées.
- Toute la parabole est au-dessous de l'axe des abscisses : ce point aussi.
Correction
- Le signe de a — La parabole est tournée vers le bas.
- Le nombre de racines — La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses : le trinôme n'a pas de racine, et est négatif pour tout réel
- Le signe de c — est l'image de : c'est l'ordonnée du point où la parabole coupe l'axe des ordonnées, au-dessous de
Ici et sont négatifs tous les deux, et le trinôme n'a pas de racine. Le sommet a une abscisse positive : est positif, et comme est négatif, est positif.
Pièges anticipés
positif / positive / c est positif / c>0 / c positif→ est l'image de Regarde le point où la parabole coupe l'axe des ordonnées : il est au-dessous de l'axe des abscisses.
Exercice 42 · raisonnement
Une hyperbole et une droite
Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit l'hyperbole d'équation et la droite d'équation Elles se coupent en deux points. Quelle est l'abscisse de celui des deux dont l'abscisse est positive ?
Donne seulement la valeur exacte, avec une racine carrée : par exemple
Réponse attendue : (1+sqrt(5))/2
Indices, dans l’ordre
- L'abscisse d'un point commun vérifie les deux équations :
- Pour non nul, multiplie les deux membres par : tu obtiens
- Résous : son discriminant vaut
Correction
- L'équation — On cherche les réels non nuls tels que On multiplie les deux membres par
- Le discriminant — Il est positif : l'équation a deux solutions.
- Les solutions —
- Le choix — La racine carrée de est plus grande que : la première solution est négative, la seconde est positive.
Les deux points sont sur la droite : leur ordonnée est égale à leur abscisse. Celui d'abscisse positive a pour abscisse environ
Pièges anticipés
(1-sqrt(5))/2→ C'est l'abscisse de l'autre point d'intersection : elle est négative, car la racine carrée de dépasse1.62 / 1.6 / 1.618→ C'est une valeur approchée. On demande la valeur exacte, écrite avec la racine carrée de(-1+sqrt(5))/2→ Vérifie l'équation : donne où le coefficient de est Les solutions sont alors et
Exercice 43 · base
Un point de la parabole
Soit la parabole d'équation Calculer l'ordonnée du point de d'abscisse
Donne l'ordonnée du point.
Réponse attendue : 49
Indices, dans l’ordre
- Un point de a pour ordonnée le carré de son abscisse.
- Le carré d'un nombre négatif est positif.
Correction
- Le carré —
Le point est sur : un point de la parabole d'équation a pour ordonnée le carré de son abscisse.
Pièges anticipés
-49→ Le carré de est positif :-14→ est le double de pas son carré.
Exercice 44 · base
Vers le haut ou vers le bas ?
Soit la fonction définie sur par Sa courbe est une parabole de sommet Est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?
Réponds « vers le haut » ou « vers le bas ».
Réponse attendue : vers le bas — aussi acceptées : bas · tournée vers le bas · elle est tournée vers le bas · le bas · en bas
Indices, dans l’ordre
- Regarde le signe du coefficient de
- Pour tout réel quel est le signe de ?
Correction
- Le signe de a — Ici donc
- Les images — Pour tout réel donc : tous les points de la courbe sont sur l'axe des abscisses ou au-dessous, et seul est sur l'axe.
La parabole d'équation est tournée vers le haut si vers le bas si
Pièges anticipés
vers le haut / haut / tournée vers le haut / le haut / en haut→ Le coefficient est négatif : toutes les images sont négatives ou nulles, la courbe est sous l'axe des abscisses.
Exercice 45 · base
Retrouver l'abscisse
Soit la fonction définie sur par Déterminer le réel positif tel que
Donne la valeur de
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Divise d'abord les deux membres de par
- Cherche ensuite le nombre positif dont le carré vaut le résultat.
Correction
- Diviser par 3 —
- La racine positive — On garde la solution positive.
L'équation a deux solutions, et : la fonction est paire, et ses deux solutions sont opposées.
Pièges anticipés
25→ est la valeur de : il reste à prendre sa racine carrée.-5→ est bien solution de l'équation, mais on demande le réel positif.sqrt(75)→ Divise d'abord par : on obtient pas
Exercice 46 · raisonnement
Deux points de la même parabole
Une parabole de sommet a pour équation et elle passe par le point Calculer l'ordonnée de son point d'abscisse
Donne l'ordonnée du point.
Réponse attendue : 24
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de vérifient l'équation : écris
- Calcule puis remplace par dans
Correction
- Trouver a —
- L'ordonnée —
Quand l'abscisse est multipliée par l'ordonnée d'un point de la parabole est multipliée par :
Pièges anticipés
-12 / 12→ L'ordonnée n'est pas proportionnelle à l'abscisse, mais à son carré : l'abscisse est multipliée par l'ordonnée par-24→ Le carré de est positif, et est positif : l'ordonnée est positive.3/2→ est la valeur de ; il reste à calculer l'ordonnée du point d'abscisse
Exercice 47 · pratique
Le maximum sur un intervalle
Soit la fonction définie sur par Déterminer la valeur maximale de lorsque parcourt l'intervalle
Donne la valeur maximale.
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- est croissante sur et décroissante sur
- Le nombre appartient-il à l'intervalle ?
Correction
- Le signe — Pour tout réel donc
- Atteint en 0 — est dans et
Pour le maximum de est atteint au sommet dès que l'intervalle contient ; les bornes donnent les valeurs les plus basses.
Pièges anticipés
-9/2→ C'est la plus petite valeur sur l'intervalle. La parabole est tournée vers le bas : le maximum est au sommet.-2→ C'est Le sommet, d'abscisse est dans l'intervalle, et il donne une valeur plus grande.
Exercice 48 · raisonnement
L'image d'une parabole par une homothétie
Le plan est rapporté à un repère orthonormé Soit la parabole d'équation et l'homothétie de centre et de rapport L'image de par est la parabole d'équation Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 1/3
Indices, dans l’ordre
- Si a pour image alors et
- Exprime et en fonction de et puis remplace dans
Correction
- L'homothétie —
- Remplacer — Le point est sur :
- Conclure —
L'image de la parabole par l'homothétie de centre et de rapport est la parabole : plus le rapport est grand, plus la parabole s'ouvre.
Pièges anticipés
3→ Ce n'est pas : en multipliant les coordonnées par l'abscisse grandit aussi, et son carré est multiplié par9 / 1/9→ est multiplié par et par : le coefficient est
Exercice 49 · raisonnement
Aussi bas que l'on veut
Soit la fonction définie sur par Pour positif, on a dès que dépasse un certain nombre. Déterminer ce nombre.
Donne seulement ce nombre, par exemple « 3*10^6 ».
Réponse attendue : 50000 — aussi acceptées : 5*10^4
Indices, dans l’ordre
- Divise les deux membres de par : attention au sens de l'inégalité.
- dont la racine carrée se calcule de tête.
Correction
- Diviser par -4 — On divise par un nombre négatif : l'inégalité change de sens.
- La racine — Pour positif :
Pour devient inférieur à n'importe quel nombre négatif dès que est assez grand : tend vers quand tend vers
Pièges anticipés
10^5→ est la racine carrée de ; il faut d'abord diviser par25*10^8→ C'est la borne pour : prends sa racine carrée.
Exercice 50 · raisonnement
Le carré sur un intervalle
Soit la fonction carré, définie sur par Déterminer l'intervalle formé par les valeurs de lorsque parcourt l'intervalle
Écris l'intervalle, par exemple « [1;4] ».
Réponse attendue : [0;9] — aussi acceptées : 0<=x^2<=9 · 0≤x^2≤9 · 0<=x²<=9 · 0≤x²≤9 · f(x)∈[0;9] · 0<=f(x)<=9 · 0≤f(x)≤9
Indices, dans l’ordre
- est décroissante sur et croissante sur : coupe l'intervalle en
- est dans : quelle est la plus petite valeur de ?
Correction
- Entre -2 et 0 — est décroissante sur : elle renverse l'ordre.
- Entre 0 et 3 — est croissante sur : elle garde l'ordre.
- Réunir — Les deux morceaux donnent toutes les valeurs de à
On ne se contente pas d'élever les bornes au carré : quand l'intervalle contient le minimum de est atteint au sommet de la parabole, et le maximum est le carré de la borne la plus éloignée de
Pièges anticipés
[4;9]→ et mais pour qui est dans l'intervalle, : la fonction carré n'est pas croissante sur[0;4]→ est la plus grande valeur sur ; sur va jusqu'à
Exercice 51 · defi
Un carré entre deux bornes
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions comme une réunion d'intervalles, par exemple « [1;2[U]3;4] ».
Réponse attendue : [-5;-2[U]2;5] — aussi acceptées : [-5;-2[∪]2;5] · [-5;-2[ ou ]2;5] · ]2;5]U[-5;-2[ · ]2;5]∪[-5;-2[ · ]2;5] ou [-5;-2[
Indices, dans l’ordre
- Traite séparément et
- La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : l'ensemble des solutions l'est aussi.
- Attention aux crochets : l'une des inégalités est stricte, l'autre est large.
Correction
- Première condition —
- Seconde condition —
- Les deux à la fois — On garde les réels qui vérifient les deux conditions.
Sur la parabole on garde les points situés strictement au-dessus de la droite et sur ou sous la droite : deux morceaux symétriques par rapport à l'axe.
Pièges anticipés
]2;5]→ Les nombres négatifs comptent aussi : est entre et[-5;5]→ Il faut aussi : pour n'est pas supérieur à[-5;-2]U[2;5] / [-5;-2]∪[2;5] / ]-5;-2[U]2;5[ / ]-5;-2[∪]2;5[→ Regarde chaque borne : est solution, car ; ne l'est pas, car est faux.
Exercice 52 · base
Le sommet d'une parabole décalée
Soit la parabole d'équation Déterminer l'abscisse de son sommet.
Donne l'abscisse du sommet.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Compare avec la forme
- Le sommet est le point où vaut
Correction
- Lire alpha — L'équation est de la forme avec
La parabole a pour sommet et pour axe la droite d'équation : ici, l'axe est la droite
Pièges anticipés
-5→ s'annule pour : le sommet est à droite de l'axe des ordonnées.25→ est l'ordonnée du point d'abscisse Le sommet est là où s'annule.
Exercice 53 · base
Une parabole qui descend
Soit la parabole d'équation Déterminer l'ordonnée de son sommet.
Donne l'ordonnée du sommet.
Réponse attendue : -7
Indices, dans l’ordre
- Compare avec la forme
- Le sommet est sur l'axe des ordonnées : calcule l'image de
Correction
- Lire bêta — : on lit
La parabole est l'image de la parabole par la translation de vecteur : ici, elle descend de
Pièges anticipés
7→ Le terme fait descendre la parabole : son sommet est sous l'axe des abscisses.0→ C'est le sommet de la parabole Ici, chaque point est descendu de
Exercice 54 · base
Le vecteur de la translation
La courbe de la fonction est l'image de la parabole d'équation par la translation de vecteur Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Écris sous la forme
- Le sommet de la parabole va sur le sommet de la nouvelle courbe.
Correction
- La forme —
- Le vecteur — Le sommet va au point :
La courbe de est l'image de la parabole par la translation de vecteur : un « » dans la parenthèse décale la courbe vers la gauche.
Pièges anticipés
4→ La nouvelle courbe a son sommet en à gauche de : le vecteur est dirigé vers la gauche.
Exercice 55 · base
L'axe de symétrie
Soit la parabole d'équation Son axe de symétrie est la droite d'équation Déterminer
Donne la valeur de k.
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Compare avec la forme
- Le coefficient ne joue aucun rôle sur l'axe.
Correction
- La forme —
- L'axe — On lit : le sommet est
La parabole a pour axe la droite quel que soit : le coefficient ne change que l'ouverture et l'orientation.
Pièges anticipés
2→ s'annule pour pas pour-3→ est le coefficient : il dit que la parabole est tournée vers le bas, pas où est son axe.
Exercice 56 · pratique
L'équation d'une parabole translatée
Soit la parabole d'équation et son image par la translation de vecteur Déterminer une équation de : donner l'expression de en fonction de
Écris seulement l'expression de par exemple « (x+1)^2+5 ».
Réponse attendue : (x-3)^2-2 — aussi acceptées : x^2-6x+7
Indices, dans l’ordre
- Le sommet de a pour image le point
- Une parabole image de par une translation a pour équation où est son sommet.
Correction
- Le sommet — Le sommet de est l'image de
- L'équation —
Translater la parabole du vecteur donne : on lit le sommet sans calcul.
Pièges anticipés
(x+3)^2-2→ Le vecteur pousse la courbe vers la droite : le sommet est en et s'annulerait en(x-3)^2+2→ Le vecteur fait descendre la courbe de : on retranche(x+3)^2+2→ Les deux signes sont inversés : le sommet de est
Exercice 57 · pratique
Trouver le coefficient
La parabole d'équation passe par le point Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de vérifient l'équation de la parabole.
- Calcule d'abord
Correction
- Remplacer —
- Conclure —
Pour trouver on remplace et par les coordonnées d'un point de la parabole autre que son sommet.
Pièges anticipés
-3/4→ Tu as calculé : il faut-6→ est élevé au carré :
Exercice 58 · pratique
Le sens de variation
Soit la fonction définie sur par Déterminer le plus grand intervalle sur lequel est croissante.
Écris l'intervalle, par exemple « [2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;3] — aussi acceptées : x<=3 · x≤3
Indices, dans l’ordre
- Détermine le sommet et l'orientation de la parabole.
- Une parabole tournée vers le bas monte jusqu'à son sommet, puis descend.
Correction
- La parabole — La courbe est une parabole de sommet tournée vers le bas, car
- Les variations — Elle monte jusqu'au sommet, puis descend.
Pour est croissante sur et décroissante sur : le sommet est un maximum.
Pièges anticipés
[3;+inf[→ Sur la parabole tournée vers le bas descend : y est décroissante.]-inf;-3]→ Le sommet est en là où s'annule.]-inf;3[→ est croissante sur mais aussi sur qui est plus grand : le sommet peut être inclus.
Exercice 59 · pratique
Le décalage vertical
La parabole d'équation passe par le point Déterminer
Donne la valeur de eta.
Réponse attendue : -5
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de vérifient l'équation :
- Calcule puis isole
Correction
- Remplacer —
- Conclure —
Le sommet est donc : la parabole est celle de descendue de
Pièges anticipés
13→ On isole en retranchant :1→ L'abscisse est élevée au carré :
Exercice 60 · raisonnement
Où la parabole coupe l'axe des ordonnées
La parabole est l'image de la parabole d'équation par une translation, et son sommet est le point Calculer l'ordonnée du point où coupe l'axe des ordonnées.
Donne l'ordonnée du point.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Une translation ne change pas la forme : a pour équation où est son sommet.
- Remplace et par les coordonnées de puis par
Correction
- L'équation —
- En x = 0 —
Le point où une courbe coupe l'axe des ordonnées est le point d'abscisse : on remplace par dans l'équation.
Pièges anticipés
-2→ est l'ordonnée du sommet, qui n'est pas sur l'axe des ordonnées : son abscisse est11→ Le sommet a pour ordonnée : on retranche9→ : il reste à ajouter
Exercice 61 · raisonnement
Une équation avec un carré
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {1;5} ».
Réponse attendue : {-2;4} — aussi acceptées : {4;-2}
Indices, dans l’ordre
- Divise d'abord les deux membres par
- Un nombre dont le carré vaut est ou
Correction
- Diviser par 2 —
- Deux cas — Un nombre dont le carré vaut est ou
- Les solutions —
La droite coupe la parabole en deux points symétriques par rapport à son axe, la droite : les deux solutions ont pour moyenne
Pièges anticipés
{4} / 4→ peut aussi valoir : il y a une seconde solution.{-4;2}→ Résous et : on ajoute{-3;3}→ et sont les valeurs de ; il reste à ajouter
Exercice 62 · raisonnement
Deux paraboles qui se coupent
Soit la parabole d'équation et la parabole d'équation Elles se coupent en un seul point. Calculer l'abscisse de ce point.
Donne l'abscisse du point.
Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Développe
- Écris l'égalité des ordonnées : les termes en s'éliminent.
Correction
- Développer —
- Égaler —
- Conclure —
Pour trouver les points communs à deux courbes, on égale leurs ordonnées : ici, les termes en s'éliminent, et il reste une équation du premier degré.
Pièges anticipés
1→ Le double produit de est :-1/2→ donne un nombre positif.
Exercice 63 · defi
Deux points de l'axe des abscisses
La parabole est l'image de la parabole d'équation par la translation de vecteur Elle passe par l'origine et par le point Déterminer
Donne la valeur de eta.
Réponse attendue : -9
Indices, dans l’ordre
- a pour équation
- et ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l'axe de
- Trouve puis écris que est sur
Correction
- L'axe — et sont deux points de de même ordonnée : l'axe passe par le milieu de
- Le point O — est sur : s'annule pour
a pour équation et pour sommet : deux points d'une parabole de même ordonnée donnent son axe.
Pièges anticipés
9→ Le sommet est sous l'axe des abscisses, puisque la parabole, tournée vers le haut, le coupe en deux points : est négatif.3→ est la valeur de l'abscisse du sommet. On demande son ordonnée.-36→ L'axe passe par le milieu de : pas
Exercice 64 · base
Retrouver b avec l'axe
La parabole d'équation où est un réel, a pour axe de symétrie la droite d'équation Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -12
Indices, dans l’ordre
- L'axe de la parabole est la droite
- Ici : écris
Correction
- L'abscisse du sommet — Avec :
- Égaler —
On vérifie : pour La formule sert aussi à retrouver un coefficient quand on connaît l'axe.
Pièges anticipés
12→ Pour : l'axe serait la droite-6→ Le dénominateur est pas :
Exercice 65 · pratique
Un sommet sur l'axe des abscisses
Soit un réel et la parabole d'équation Déterminer pour que le sommet de soit sur l'axe des abscisses.
Donne la valeur de
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- est le début du carré : écris la forme canonique.
- Le sommet est sur l'axe des abscisses quand son ordonnée est nulle.
Correction
- Compléter le carré —
- L'ordonnée du sommet — Le sommet est ; il est sur l'axe des abscisses quand son ordonnée est nulle.
Pour : la parabole touche l'axe des abscisses en son sommet La forme canonique donne l'ordonnée du sommet en fonction du paramètre.
Pièges anticipés
4 / -4→ C'est l'abscisse du sommet, ou son opposé. On cherche pour que l'ordonnée du sommet, soit nulle.-16→ Pour le sommet est Le carré contient : il faut64→ mais : le terme constant est le carré de la moitié de
Exercice 66 · pratique
Combien de points sur l'axe ?
La courbe d'une fonction trinôme définie par est une parabole tournée vers le haut, qui coupe l'axe des ordonnées au-dessous de Déterminer le nombre de points communs à cette parabole et à l'axe des abscisses.
Donne le nombre de points.
Réponse attendue : 2 — aussi acceptées : deux · deux points · 2 points · deux points communs · 2 points communs
Indices, dans l’ordre
- Le point où la parabole coupe l'axe des ordonnées a pour ordonnée : il est sous l'axe des abscisses.
- La parabole est tournée vers le haut : où est son sommet par rapport à ce point ?
Correction
- Le signe de c — Le point d'abscisse est au-dessous de
- Le sommet — La parabole est tournée vers le haut : son sommet est son point le plus bas, donc son ordonnée est au plus négative. Le sommet est sous l'axe des abscisses.
- Les deux branches — De part et d'autre du sommet, la parabole remonte au-dessus de n'importe quel nombre : elle traverse l'axe des abscisses une fois à gauche du sommet et une fois à droite.
Quand et sont de signes contraires, donc le discriminant est strictement positif : le trinôme a deux racines, et la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.
Pièges anticipés
1 / un / un seul / un point / 1 point→ Un seul point commun, c'est un sommet posé sur l'axe des abscisses. Ici le sommet est au-dessous, et la parabole remonte des deux côtés.0 / aucun / aucun point→ La parabole passe au-dessous de l'axe des abscisses, au point d'abscisse et elle est tournée vers le haut : elle finit par remonter au-dessus de l'axe, des deux côtés.
Exercice 67 · raisonnement
Le meilleur bénéfice
Un artisan fabrique et vend objets par semaine, avec dans Son bénéfice, en dinars, est Calculer le bénéfice maximal, en dinars.
Donne le bénéfice maximal, en dinars.
Réponse attendue : 800
Indices, dans l’ordre
- La parabole est tournée vers le bas : le maximum est atteint au sommet.
- L'abscisse du sommet est
- Calcule ensuite en cette valeur.
Correction
- Le sommet —
- Le maximum —
Le bénéfice est maximal pour objets par semaine : le maximum d'un trinôme tourné vers le bas est l'ordonnée de son sommet.
Pièges anticipés
30→ est le nombre d'objets qui rend le bénéfice maximal ; on demande la valeur de ce bénéfice.4400→ : ce terme se retranche.-1000→ : c'est le bénéfice quand on ne vend rien.
Exercice 68 · raisonnement
L'autre point sur l'axe
Une parabole a pour sommet et coupe l'axe des abscisses au point Déterminer l'abscisse de l'autre point où coupe l'axe des abscisses.
Donne l'abscisse de l'autre point.
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- L'axe de est la droite d'équation
- Les deux points de situés sur l'axe des abscisses sont symétriques par rapport à l'axe de
Correction
- La symétrie — Le symétrique de par rapport à la droite est sur et aussi sur l'axe des abscisses.
- Le milieu — Son abscisse vérifie
- Vérifier — Avec on a et
Deux points d'une parabole qui ont la même ordonnée sont symétriques par rapport à son axe : l'abscisse du sommet est la moyenne de leurs abscisses.
Pièges anticipés
-3→ La parabole n'est pas symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, mais par rapport à la droite1→ est l'abscisse du sommet, qui est sous l'axe des abscisses.
Exercice 69 · defi
Un enclos contre un mur
Un jardinier dispose de m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté, le grillage les trois autres. On note la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Calculer l'aire maximale de l'enclos, en mètres carrés, sans écrire l'unité.
Donne l'aire maximale, sans unité.
Réponse attendue : 200
Indices, dans l’ordre
- Le côté parallèle au mur mesure
- Exprime l'aire : c'est un trinôme tourné vers le bas.
- Cherche l'abscisse de son sommet.
Correction
- L'aire —
- Le sommet —
- Le maximum —
L'aire est maximale avec deux côtés de m et un côté de m : on modélise par un trinôme, puis on cherche son sommet.
Pièges anticipés
10→ m est la longueur qui rend l'aire maximale ; il reste à calculer l'aire.100→ L'enclos n'est pas un carré : le côté parallèle au mur mesure m.400→ Le grillage forme trois côtés : deux de longueur et un de longueur
Exercice 70 · base
Où la racine est définie
Soit la fonction définie par Déterminer son ensemble de définition.
Écris l'intervalle, par exemple « ]-inf;2] ».
Réponse attendue : ]-inf;3] — aussi acceptées : D=]-inf;3] · Df=]-inf;3] · x<=3 · x≤3
Indices, dans l’ordre
- Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
- Résous l'inéquation : attention quand tu divises par un nombre négatif.
Correction
- La condition —
- L'ensemble — On divise par négatif : l'inégalité change de sens.
Une racine carrée n'existe que si ce qui est sous la racine est positif ou nul : on résout une inéquation du premier degré, sans oublier de changer le sens quand on divise par un nombre négatif.
Pièges anticipés
[3;+inf[→ En divisant par l'inégalité change de sens : Essaie : est négatif.]-inf;3[→ Pour existe : le crochet est fermé en]-inf;-3]→ s'annule pour :
Exercice 71 · base
Une image par la racine
Soit la fonction définie sur par Calculer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Remplace par sous la racine.
- Calcule la somme avant de prendre la racine.
Correction
- Remplacer —
On calcule d'abord ce qui est sous la racine, puis on prend la racine : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.
Pièges anticipés
7→ mais : on ne sépare pas la racine d'une somme.25→ est le nombre sous la racine ; il reste à prendre sa racine carrée.
Exercice 72 · base
Dépasser 30
Soit la fonction définie sur par On a dès que dépasse un certain nombre. Déterminer ce nombre.
Donne seulement ce nombre.
Réponse attendue : 900
Indices, dans l’ordre
- La fonction racine carrée est croissante sur
- Cherche le nombre dont la racine carrée vaut
Correction
- Le seuil — et la fonction racine carrée est croissante.
dépasse n'importe quel réel positif dès que : tend vers quand tend vers mais lentement.
Pièges anticipés
sqrt(30)→ Pour que la racine de dépasse c'est qui doit dépasser le carré de60→ est le double de ; la racine de ne vaut pas
Exercice 73 · pratique
La translation à l'envers
L'image de la courbe de la fonction par la translation de vecteur est la courbe de la fonction Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- La courbe de est l'image de celle de par la translation de vecteur
- Le point où commence la courbe de va au point
Correction
- Le point de départ — La nouvelle courbe commence au point : la fonction est définie sur
- Identifier — est définie sur donc
La courbe de commence au point : décaler la courbe vers la droite, c'est retrancher sous la racine.
Pièges anticipés
3→ est définie à partir de : sa courbe est décalée vers la gauche.
Exercice 74 · base
Une équation avec une racine
Résoudre dans l'équation
Donne la solution.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Les deux membres sont positifs : élève-les au carré.
- équivaut à
Correction
- Au carré —
- Conclure —
Pour un réel positif, équivaut à : on vérifie que
Pièges anticipés
2→ On n'enlève pas la racine en retranchant : on élève au carré,10→ donne
Exercice 75 · raisonnement
Une inéquation avec une racine
Résoudre l'inéquation
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « [1;4] ».
Réponse attendue : [2;11] — aussi acceptées : 2<=x<=11 · 2≤x≤11
Indices, dans l’ordre
- La racine n'existe que si
- Sur cet ensemble, les deux membres sont positifs : on peut les élever au carré.
Correction
- Le domaine —
- Élever au carré — Les deux membres sont positifs, et la fonction carré est croissante sur
- Les deux conditions —
Pour résoudre une inéquation avec une racine, on écrit d'abord la condition d'existence, puis on élève au carré deux membres positifs.
Pièges anticipés
]-inf;11]→ Pour n'existe pas : il faut[2;5]→ On élève au carré : pas[2;11[ / ]2;11]→ L'inégalité est large : donne et donne ; les deux sont solutions.
Exercice 76 · raisonnement
La racine et la moitié
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « [1;9] ».
Réponse attendue : [0;4] — aussi acceptées : 0<=x<=4 · 0≤x≤4
Indices, dans l’ordre
- Pose : alors avec
- L'inéquation devient soit
Correction
- Changer d'inconnue — On pose avec
- Le signe — Comme il faut
- Revenir à x — La fonction carré est croissante sur
La courbe de est au-dessus de la droite d'équation entre leurs deux points communs, d'abscisses et
Pièges anticipés
[4;+inf[→ Pour : et ; la racine est en dessous. C'est l'autre côté qu'il faut garder.]0;4]→ Pour les deux membres valent et : est solution.[0;2]→ : c'est la racine qui est au plus donc est au plus
Exercice 77 · raisonnement
Une distance à l'origine
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine Soit le point de la courbe de la fonction d'abscisse avec Déterminer pour que
Donne la valeur de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de sont
- Écris : le carré de est
- Tu obtiens une équation du second degré en
Correction
- Les coordonnées —
- La distance —
- L'équation — soit ; on garde
Le point cherché est : sur la courbe de le carré de l'ordonnée est égal à l'abscisse.
Pièges anticipés
-4→ est solution de mais est l'abscisse d'un point de la courbe :sqrt(6)→ Le carré de est pas :
Exercice 78 · defi
Une racine au-dessus d'une droite
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « [1;4[ ».
Réponse attendue : [-3;6[ — aussi acceptées : -3<=x<6 · -3≤x<6
Indices, dans l’ordre
- Pour le second membre est négatif : que dire de l'inégalité ?
- Pour les deux membres sont positifs : élève-les au carré.
Correction
- Si x < 3 — Pour : tous ces réels sont solutions.
- Si x ≥ 3 — Les deux membres sont positifs : on élève au carré.
- Avec x ≥ 3 — Le trinôme est négatif entre ses racines et ; on garde
- Réunir —
Avant d'élever au carré, on sépare les cas selon le signe du second membre : là où il est négatif, l'inégalité est vraie d'office. La droite est sous la courbe de jusqu'à leur point commun
Pièges anticipés
]1;6[→ Élever au carré n'est permis que si les deux membres sont positifs. Pour : est vrai, et n'est pas dans[3;6[→ Pour le second membre est négatif, et une racine est positive : ces réels sont aussi solutions.[-3;6]→ Pour les deux membres valent : l'inégalité stricte est fausse.]-inf;6[→ Pour n'existe pas : on résout dans
Exercice 79 · base
Un point de l'hyperbole
Soit l'hyperbole d'équation Déterminer l'abscisse du point de d'ordonnée
Donne l'abscisse du point.
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Résous l'équation
- Deux nombres dont le produit vaut sont inverses l'un de l'autre.
Correction
- L'équation —
Le point de d'ordonnée est : sur l'hyperbole l'abscisse et l'ordonnée sont inverses l'une de l'autre.
Pièges anticipés
4→ est l'ordonnée. L'abscisse est son inverse.-4 / -1/4→ Sur cette hyperbole, et ont le même signe : l'ordonnée est positive, l'abscisse aussi.
Exercice 80 · base
Le coefficient de l'hyperbole
L'hyperbole d'équation passe par le point Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -6
Indices, dans l’ordre
- Les coordonnées de vérifient l'équation :
- Multiplie les deux membres par
Correction
- Remplacer —
- Conclure —
Sur l'hyperbole le produit vaut toujours Ici : les branches sont dans les quarts de plan où et sont de signes contraires, comme le point
Pièges anticipés
-3/2→ On ne divise pas : donne6→ : le produit d'un positif et d'un négatif est négatif.
Exercice 81 · base
La plus petite valeur
Soit la fonction définie sur par Déterminer la plus petite valeur de lorsque parcourt l'intervalle
Donne la plus petite valeur.
Réponse attendue : 1/5 — aussi acceptées : 0.2
Indices, dans l’ordre
- La fonction inverse est décroissante sur
- Sur un intervalle où elle décroît, la plus petite valeur est atteinte à droite.
Correction
- Décroissante — La fonction inverse est décroissante sur qui contient
- Le minimum — Pour on a
Une fonction décroissante renverse l'ordre : la plus grande valeur de donne la plus petite image.
Pièges anticipés
1/2→ C'est la plus grande valeur : la fonction inverse est décroissante.5 / 2→ On demande une valeur de pas de : calcule l'image.
Exercice 82 · pratique
Au-dessus de la droite y = 3
Soit la fonction définie sur privé de par Résoudre l'inéquation
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « ]1;5] ».
Réponse attendue : ]2;4] — aussi acceptées : 2<x<=4 · 2<x≤4
Indices, dans l’ordre
- Si quel est le signe de ? Peut-il dépasser ?
- Si multiplie les deux membres par positif : le sens ne change pas.
Correction
- Si x < 2 — donc : aucune solution.
- Si x > 2 — On multiplie par positif.
- Conclure — On garde
La branche de droite de l'hyperbole est au-dessus de la droite jusqu'au point et la branche de gauche est sous l'axe des abscisses. On ne multiplie par qu'en connaissant son signe.
Pièges anticipés
]-inf;4]→ Pour est négatif : il ne dépasse pas Multiplier par sans connaître son signe fausse le résultat.[4;+inf[→ Pour : qui n'est pas supérieur à C'est entre et que]2;4[→ Pour et : est solution.[2;4]→ n'est pas définie en : le crochet est ouvert en
Exercice 83 · raisonnement
Le centre après une translation
Soit l'hyperbole d'équation et son image par la translation de vecteur Déterminer les coordonnées du centre de
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (-3;1) — aussi acceptées : (-3,1) · I(-3;1) · I(-3,1) · -3;1
Indices, dans l’ordre
- Le centre de est l'origine
- Une translation envoie le centre de sur le centre de
Correction
- Le centre de H — a pour centre et pour asymptotes les axes.
- L'image de O — Le centre de est l'image de par la translation :
a pour équation et pour asymptotes les droites et : une translation déplace le centre et les asymptotes.
Pièges anticipés
(3;1) / (3,1)→ Le vecteur a pour première coordonnée : le centre part vers la gauche.(1;-3) / (1,-3)→ On écrit l'abscisse en premier : le coefficient de(0;0) / (0,0)→ C'est le centre de Celui de est son image par la translation.
Exercice 84 · defi
L'inverse sous la droite y = x
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions comme une réunion d'intervalles, par exemple « [-2;0[U[3;+inf[ ».
Réponse attendue : [-1;0[U[1;+inf[ — aussi acceptées : [-1;0[∪[1;+inf[ · [-1;0[ ou [1;+inf[ · [1;+inf[U[-1;0[ · [1;+inf[∪[-1;0[ · [1;+inf[ ou [-1;0[ · -1<=x<0 ou x>=1 · x>=1 ou -1<=x<0
Indices, dans l’ordre
- Passe tout dans le second membre :
- Étudie le signe de dans un tableau.
- est une valeur interdite.
Correction
- Un seul membre —
- Le tableau de signes — Le quotient est négatif sur positif sur négatif sur positif sur ; il s'annule en et en
- Conclure — On garde où il est positif ou nul, sans
L'hyperbole est sous la droite ou la touche, pour dans et dans ; les points communs sont et On ne multiplie jamais par sans connaître son signe.
Pièges anticipés
[1;+inf[→ Il y a aussi des solutions négatives : pour qui est inférieur à]-inf;-1]U[1;+inf[ / ]-inf;-1]∪[1;+inf[→ Multiplier par ne garde le sens que si Pour : qui n'est pas inférieur à]-inf;-1]U]0;1] / ]-inf;-1]∪]0;1]→ C'est l'ensemble où Pour : donc est solution.[-1;0]U[1;+inf[ / [-1;0]∪[1;+inf[→ n'existe pas pour : le crochet est ouvert en
Exercice 85 · defi
Une seule rencontre
Soit un réel non nul. On cherche pour que l'hyperbole d'équation et la droite d'équation aient un seul point commun. Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Pour multiplie les deux membres de par
- Tu obtiens une équation du second degré : elle doit avoir une seule solution.
- Une équation du second degré a une seule solution quand son discriminant est nul.
Correction
- L'équation — Pour on multiplie par
- Une seule racine — Le discriminant doit être nul.
- Vérifier — La racine double est non nulle : le point commun est
Le nombre de points communs à deux courbes est le nombre de solutions de l'équation obtenue en égalant leurs ordonnées.
Pièges anticipés
-4→ Pour a un discriminant positif : deux points communs.16→ Le discriminant de est pas2→ est l'abscisse du point commun ; on demande la valeur de
Exercice 86 · base
La valeur interdite
Soit la fonction définie par Déterminer le réel pour lequel n'est pas définie.
Donne ce réel.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Un quotient n'existe pas quand son dénominateur est nul.
- Résous
Correction
- Le dénominateur —
est définie sur privé de et la droite d'équation est l'asymptote verticale de sa courbe.
Pièges anticipés
-4→ s'annule pour-1/2→ En c'est le numérateur qui s'annule : y vaut elle est bien définie.
Exercice 87 · base
L'asymptote verticale
Soit l'hyperbole d'équation Son asymptote verticale est la droite d'équation Déterminer
Donne la valeur de k.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- L'asymptote verticale est là où le dénominateur s'annule.
- Résous
Correction
- Le dénominateur —
Pour l'asymptote verticale est la droite : ici
Pièges anticipés
-2→ s'annule pour :-5→ annule le numérateur ; l'asymptote verticale vient du dénominateur.1/3→ donne l'asymptote horizontale, ; on demande la verticale.6→ Divise par : donne
Exercice 88 · base
Un coefficient par l'asymptote
Soit un réel et la courbe de la fonction définie par est une hyperbole d'asymptote horizontale la droite d'équation Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- L'asymptote horizontale de l'hyperbole est la droite
- Ici : écris
Correction
- Le quotient — Les coefficients de sont et
- Conclure —
a pour asymptotes les droites et : le quotient des coefficients de donne l'asymptote horizontale.
Pièges anticipés
2→ donne : on multiplie, on ne divise pas.4→ est le quotient pas lui-même.
Exercice 89 · pratique
Un centre sur la droite y = x
Soit un réel et la fonction définie sur privé de par dont la courbe est une hyperbole. Déterminer pour que le centre de cette hyperbole soit sur la droite d'équation
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Le centre de l'hyperbole est
- Un point est sur la droite quand son ordonnée est égale à son abscisse.
Correction
- Le centre — L'asymptote verticale est l'horizontale
- Sur la droite y = x —
Pour de centre : le centre se lit sur les coefficients, puis on traduit la condition sur ses coordonnées.
Pièges anticipés
3→ s'annule pour : l'abscisse du centre est pas-1→ L'ordonnée du centre est pas :
Exercice 90 · pratique
Où l'hyperbole coupe l'axe des abscisses
Soit l'hyperbole d'équation Calculer l'abscisse du point où coupe l'axe des abscisses.
Donne l'abscisse du point.
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est nulle.
- Un quotient est nul quand son numérateur est nul et son dénominateur ne l'est pas.
Correction
- Le numérateur —
- Le dénominateur — Pour : le point existe.
La courbe coupe l'axe des abscisses là où le numérateur s'annule, et l'axe des ordonnées au point d'abscisse
Pièges anticipés
-4→ En c'est le dénominateur qui s'annule : n'a pas de point d'abscisse-3/4→ est l'image de : c'est là que coupe l'axe des ordonnées.-3/2→ donne positif.
Exercice 91 · raisonnement
L'hyperbole et la droite y = x
Soit la fonction définie sur privé de par Résoudre l'équation
Donne la solution.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Pour multiplie les deux membres par
- Tu obtiens une équation du second degré : reconnais une identité remarquable.
Correction
- Multiplier — Pour :
- Ordonner —
- Conclure — est différent de : c'est la solution.
La droite ne rencontre la courbe de qu'au point et elle ne la traverse pas : c'est une racine double.
Pièges anticipés
1→ n'est pas définie en : ce ne peut pas être une solution.-2→ s'annule pour
Exercice 92 · raisonnement
Une inéquation avec une hyperbole
Résoudre dans privé de l'inéquation
Écris l'intervalle des solutions, par exemple « ]-inf;5[ ».
Réponse attendue : ]-inf;3[ — aussi acceptées : x<3
Indices, dans l’ordre
- Ne multiplie pas par sans connaître son signe : passe tout dans le premier membre.
- Réduis au même dénominateur.
Correction
- Tout à gauche —
- Le signe — est négatif exactement quand
- Conclure —
La courbe de est sous son asymptote horizontale à gauche de l'asymptote verticale, et au-dessus à droite.
Pièges anticipés
]3;+inf[→ Pour : qui n'est pas inférieur à C'est l'autre côté de∅ / {}→ Multiplier par sans connaître son signe fausse le sens de l'inégalité. Réduis plutôt au même dénominateur.
Exercice 93 · defi
Un changement de repère
Soit la fonction définie sur privé de par de courbe On note et, pour un point du plan, ses coordonnées dans le repère Une équation de dans ce repère est Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Écris sous la forme
- Dans le nouveau repère, et
- Remplace dans
Correction
- Décomposer —
- Changer de repère — donne et
- Conclure —
Dans le repère centré en a pour équation : c'est une hyperbole de centre image de l'hyperbole par une translation. Comme ses branches sont dans les quarts où et sont de signes contraires.
Pièges anticipés
5→ est le terme constant du numérateur ; il faut d'abord écrire4→ un nombre négatif.3→ est l'ordonnée du centre ; le reste de la division donne
Exercice 94 · defi
Retrouver un coefficient
La fonction est définie sur privé de par où et sont deux réels. Sa courbe est une hyperbole de centre qui passe par le point Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : -5
Indices, dans l’ordre
- L'ordonnée du centre est le quotient des coefficients de : elle donne
- Écris ensuite que
Correction
- Trouver a — Le centre de l'hyperbole a pour ordonnée
- Le point A —
- Conclure —
: le centre donne les coefficients de un point de la courbe donne ce qui reste.
Pièges anticipés
-1→ Le centre impose : tu as pris3→ est la valeur de Il reste à trouver avec le point5→ donne
Exercice 95 · defi
Un coût moyen
Une entreprise fabrique objets, avec entier, Le coût moyen de fabrication d'un objet, en dinars, est Déterminer le plus petit nombre d'objets pour lequel le coût moyen est strictement inférieur à dinars.
Donne le nombre d'objets.
Réponse attendue : 1201
Indices, dans l’ordre
- Écris
- Résous pour positif.
- L'inégalité est stricte, et est un entier.
Correction
- Décomposer —
- L'inéquation — Pour on multiplie par sans changer le sens.
- Le plus petit entier — Pour le coût moyen vaut exactement dinars.
Le coût moyen décroît et se rapproche de dinars, son asymptote horizontale, sans jamais l'atteindre : l'inégalité stricte exclut
Pièges anticipés
1200→ Pour objets, dinars : ce n'est pas strictement inférieur.240→ ne convient pas : retranche d'abord le il reste
Exercice 96 · pratique
L'autre point commun
Soit la parabole d'équation et la droite d'équation Le point est commun à et à Calculer l'abscisse de l'autre point commun à et à
Donne l'abscisse de l'autre point.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Écris l'égalité des ordonnées :
- est une solution de : factorise par
Correction
- Égaler —
- Factoriser — est racine, donc est un facteur.
- Conclure —
L'autre point commun est : connaître une racine d'un trinôme permet de le factoriser, et donne l'autre racine.
Pièges anticipés
2→ Le point est bien sur symétrique de par rapport à l'axe de mais il n'est pas sur :-3→ Vérifie : mais Le facteur est qui s'annule en9→ est l'ordonnée de l'autre point ; on demande son abscisse.
Exercice 97 · raisonnement
La parabole au-dessus de la droite
Soit et les fonctions définies sur par et Résoudre l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions comme une réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;2[U]3;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;-1[U]3;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;-1[∪]3;+inf[ · ]-inf;-1[ ou ]3;+inf[ · ]3;+inf[U]-inf;-1[ · ]3;+inf[∪]-inf;-1[ · ]3;+inf[ ou ]-inf;-1[ · x<-1 ou x>3 · x>3 ou x<-1
Indices, dans l’ordre
- Étudie le signe de
- Factorise : et sont racines.
Correction
- La différence —
- Le signe — Un trinôme de coefficient est positif à l'extérieur de ses racines.
- Conclure —
La parabole est au-dessus de la droite à l'extérieur de leurs points d'intersection, d'abscisses et
Pièges anticipés
]-1;3[→ Entre et la parabole est sous la droite : pour]-inf;-3[U]1;+inf[ / ]-inf;-3[∪]1;+inf[→ Les racines de sont et : vérifie,]-inf;-1]U[3;+inf[ / ]-inf;-1]∪[3;+inf[→ L'inégalité est stricte : en et en les deux fonctions sont égales.
Exercice 98 · raisonnement
Une corde de la parabole
Soit la parabole d'équation et et ses points d'abscisses respectives et La droite a pour équation Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord les ordonnées de et de
- est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses.
Correction
- Les points —
- Le coefficient —
Pour la parabole la droite qui joint les points d'abscisses et a pour coefficient : ici
Pièges anticipés
4→ est la différence des abscisses ; on divise la différence des ordonnées par ce nombre.8→ est la différence des ordonnées ; il reste à la diviser par-2→ Prends les différences dans le même ordre :
Exercice 99 · defi
Une droite qui évite la parabole
Soit la parabole d'équation et, pour un réel la droite d'équation Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels et n'ont aucun point commun.
Écris l'intervalle des valeurs de par exemple « ]2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;-1[ — aussi acceptées : m<-1
Indices, dans l’ordre
- Écris l'égalité des ordonnées :
- L'équation ne doit avoir aucune solution.
- Une équation du second degré n'a pas de solution quand son discriminant est strictement négatif.
Correction
- L'équation —
- Le discriminant —
- Aucune solution —
Pour la droite touche la parabole au seul point ; pour il y a deux points communs, et pour la droite passe sous la parabole sans la rencontrer.
Pièges anticipés
]-1;+inf[→ Pour la droite coupe la parabole en et en : il faut soit]-inf;-1]→ Pour le discriminant est nul : la droite touche la parabole en un point. Le crochet est ouvert en-1 / {-1}→ est la valeur pour laquelle il y a un seul point commun ; on demande toutes les valeurs pour lesquelles il n'y en a aucun.
Exercice 100 · defi
Le lieu des milieux
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine Soit Un point décrit la parabole d'équation et est le milieu du segment Lorsque décrit le point décrit la parabole d'équation Déterminer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Note et calcule les coordonnées de
- Exprime en fonction de puis remplace dans
Correction
- Le milieu —
- Éliminer t —
- Conclure —
Le lieu de est la parabole de sommet le milieu de : pour trouver un lieu, on exprime les coordonnées du point en fonction d'un paramètre, puis on élimine ce paramètre.
Pièges anticipés
1/2→ L'ordonnée de est la moitié de mais l'abscisse aussi est divisée par : et son carré vaut1→ Le carré de est pas
Exercice 101 · defi
Un ballon au-dessus d'une hauteur
Un ballon est lancé vers le haut. Sa hauteur, en mètres, à l'instant en secondes, est Calculer la durée pendant laquelle le ballon est à plus de m du sol, en secondes, sans écrire l'unité.
Donne la durée, sans unité.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Résous l'inéquation
- Elle s'écrit : divise par en changeant le sens.
- La durée est l'écart entre les deux instants où le ballon passe à m.
Correction
- L'inéquation —
- Les racines —
- La durée — Le trinôme est négatif entre ses racines : pour dans
Le ballon monte au-dessus de m à l'instant et redescend à l'instant ; son sommet, à l'instant est au milieu.
Pièges anticipés
1→ À l'instant le ballon passe à m en montant ; il y reste jusqu'à l'instant3→ est l'instant où il redescend sous m ; la durée est l'écart entre les deux instants.4→ est l'instant où le ballon revient à sa hauteur de départ, m.
Exercice 102 · defi
La plus petite somme
Pour tout réel strictement positif, on a Déterminer la plus petite valeur de lorsque parcourt
Donne la plus petite valeur.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Pour quel est le signe de ?
- Cette différence s'annule-t-elle pour une valeur de ?
Correction
- Le signe — Pour un carré divisé par un nombre positif est positif ou nul.
- Atteinte — La différence est nulle pour
La droite est sous la courbe de et la touche au point : pour un minimum, il faut une inégalité et une valeur où elle devient une égalité.
Pièges anticipés
2→ est la valeur de qui donne le minimum ; on demande la plus petite valeur de0→ est la plus petite valeur de la différence ; il reste à ajouter