Généralités sur les fonctions
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna chapitre jdid : généralités sur les fonctions. Bech net3allmou kifech nrasmou w na9raw la courbe mta3 fonction : les images, les antécédents, les équations w les inéquations. W mba3d nchoufou le maximum w le minimum, w le sens de variation : fonction croissante, décroissante walla constante. W nkamlou bel fonctions paires w impaires, w la symétrie mta3 les courbes mte3hom. Yalla, nabdew.
عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا chapitre جديد : généralités sur les fonctions . باش نتعلّمو كيفاش نرسمو w نقراو la courbe متاع fonction : les images ، les antécédents ، les équations w les inéquations . w مبعّد نشوفو le maximum w le minimum ، w le sens de variation : fonction croissante ، décroissante ولّا constante . w نكمّلو بالـ fonctions paires w impaires ، w la symétrie متاع les courbes متاعهم . يالله ، نبداو .
Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble un nouveau chapitre : généralités sur les fonctions. Nous allons apprendre à tracer et à lire la courbe d'une fonction : les images, les antécédents, les équations et les inéquations. Ensuite, nous verrons le maximum et le minimum, et le sens de variation : fonction croissante, décroissante ou constante. Et nous terminerons par les fonctions paires et impaires, et la symétrie de leurs courbes. Allez, on commence.
Une fonction associe à un réel au plus un réel Ce chapitre apprend à la voir : sa courbe représentative, et tout ce qu'on y lit — les images, les antécédents, les solutions d'une équation ou d'une inéquation.
On y nomme ensuite ce que la courbe montre : le maximum et le minimum, le sens de variation, et la parité, qui se traduit par une symétrie de la courbe.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Lire la courbe d'une fonction : images, antécédents, appartenance d'un pointLire la courbe d'une fonction : les images, les antécédents, et savoir si un point est sur la courbe.Lire la courbe d'une fonction : les images, les antécédents, et savoir si un point est sur la courbe.
- Résoudre graphiquement des équations et des inéquationsRésoudre graphiquement des équations et des inéquations.Résoudre graphiquement des équations et des inéquations.
- Reconnaître et démontrer un maximum ou un minimum sur un intervalleReconnaître et démontrer un maximum ou un minimum sur un intervalle.Reconnaître et démontrer un maximum ou un minimum sur un intervalle.
- Étudier le sens de variation, sur une courbe ou par le calculÉtudier le sens de variation, sur une courbe ou par le calcul.Étudier le sens de variation, sur une courbe ou par le calcul.
- Reconnaître une fonction paire ou impaire et la symétrie de sa courbeReconnaître une fonction paire ou impaire, et la symétrie de sa courbe.Reconnaître une fonction paire ou impaire, et la symétrie de sa courbe.
1. Activité
Pour comprendre : l'ensemble de définition
Ce qu’il dit
9bal ma nrasmou la courbe mta3 fonction, lezem na3rfou ana houma les réels x elli 3andhom image : hedha l'ensemble de définition. Trois 7ajet dima fi belek. Polynôme mo3arref 3la R el koll. Quotient : le dénominateur ma yelzemch ykoun nul, ya3ni nna77iw les valeurs elli ywalli fihom zéro. Racine carrée : elli ta7t la racine lezem ykoun positif walla nul. W rodd belek mel ensemble de départ : ken la fonction tabda men l'intervalle men zéro l cinq, nchoufou ken les réels elli fel intervalle hedha.
قْبَلْ ما نرسمو la courbe متاع fonction ، لازم نعرفو أنا هوما les réels x اللي عندهم image : هذا l'ensemble de définition . trois حاجات ديما في بالك . polynôme معرّف على R الكل . quotient : le dénominateur ما يلزمش يكون nul ، يعني ننحّيو les valeurs اللي يولّي فيهم zéro . racine carrée : اللي تحت الـ racine لازم يكون positif ولّا nul . w ردّ بالك مالـ ensemble de départ : كان الـ fonction تبدا من l'intervalle من zéro لـ cinq ، نشوفو كان les réels اللي في الـ intervalle هذا .
Avant de tracer la courbe d'une fonction, il faut savoir quels sont les réels x qui ont une image : c'est l'ensemble de définition. Trois réflexes à garder en tête. Un polynôme est défini sur R tout entier. Un quotient : le dénominateur ne doit pas être nul, donc on enlève les valeurs qui l'annulent. Une racine carrée : ce qui est sous la racine doit être positif ou nul. Et attention à l'ensemble de départ : si la fonction part de l'intervalle de zéro à cinq, on ne regarde que les réels de cet intervalle.
Avant de tracer une courbe, on doit savoir pour quels réels le nombre existe : c'est l'ensemble de définition de la fonction.
Détermine l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5.
Exemple traité
Détermine l'ensemble de définition de chacune des cinq fonctions.
- Un polynôme — se calcule pour tout réel
- Un quotient — Le dénominateur ne doit pas s'annuler : pour ou pour
- Une racine carrée — Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul :
- L'ensemble de départ compte — La fonction part de l'intervalle et il faut encore
- Deux conditions — Il faut et c'est-à-dire
À ne pas faire : — . s'annule deux fois : en et en
À ne pas faire : — . La fonction part de l'intervalle : on ne cherche ses images que pour les réels de cet intervalle.
2. Activité
Pour comprendre : le trajet d'un cycliste
Ce qu’il dit
Chouf le graphique : fi l'axe des abscisses el wa9t bel minutes, w fi l'axe des ordonnées la distance bel kilomètres. Koll instant t 3andou distance d wa7da berk : la distance hiya fonction mta3 el wa9t. La courbe toufa fi le point d'abscisse cent et d'ordonnée vingt : le trajet ydoum cent minutes, w bin ezzouz villes famma vingt kilomètres. Bin trente w cinquante minutes, la courbe horizontale : le cycliste we9ef. W l soixante minutes, natl3ou 7atta lel courbe, w na9raw 3la l'axe des ordonnées : douze kilomètres.
شوف الـ graphique : في l'axe des abscisses الوقت بالـ minutes ، w في l'axe des ordonnées la distance بالـ kilomètres . كل instant t عندو distance d وحدة برك : la distance هي fonction متاع الوقت . الـ courbe توفى في le point d'abscisse cent et d'ordonnée vingt : le trajet يدوم cent minutes ، w بين الزوز villes فمّا vingt kilomètres . بين trente w cinquante minutes ، الـ courbe horizontale : الـ cycliste واقف . w لـ soixante minutes ، نطلعو حتّى للـ courbe ، w نقراو على l'axe des ordonnées : douze kilomètres .
Regarde le graphique : sur l'axe des abscisses le temps en minutes, et sur l'axe des ordonnées la distance en kilomètres. À chaque instant t correspond une seule distance d : la distance est une fonction du temps. La courbe s'arrête au point d'abscisse cent et d'ordonnée vingt : le trajet dure cent minutes, et les deux villes sont à vingt kilomètres l'une de l'autre. Entre trente et cinquante minutes, la courbe est horizontale : le cycliste est à l'arrêt. Et pour soixante minutes, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit sur l'axe des ordonnées : douze kilomètres.
Un cycliste part d'une ville et se dirige vers une ville Le graphique donne, à chaque instant (en minutes), la distance parcourue (en kilomètres).
- 1.Détermine la distance qui sépare les deux villes, la durée totale du trajet, et la distance parcourue après minutes.
- 2.Décris le trajet de ce cycliste.
Un repère : en abscisse le temps t en minutes, gradué de 10 en 10 jusqu'à 100 ; en ordonnée la distance parcourue d en kilomètres, graduée de 2 en 2 jusqu'à 20. La courbe est faite de trois segments. Le premier monte de l'origine au point d'abscisse 30 et d'ordonnée 10. Le deuxième est horizontal, à la hauteur 10, de l'abscisse 30 à l'abscisse 50. Le troisième monte du point d'abscisse 50 et d'ordonnée 10 au point d'abscisse 100 et d'ordonnée 20. Au palier 2, des pointillés rouges lisent le point d'abscisse 60 : son ordonnée est 12.
Exemple traité
Lis le graphique, puis décris le trajet du cycliste.
- La distance entre les villes — Le dernier point de la courbe a pour ordonnée
- La durée du trajet — Ce même point a pour abscisse
- Après 60 minutes — Sur le dernier segment, le cycliste parcourt kilomètres en minutes, donc kilomètres en minutes.
- Le trajet — Il roule minutes et parcourt kilomètres, il s'arrête minutes, puis il parcourt les kilomètres restants en minutes : il roule moins vite qu'au départ.
À ne pas faire : Entre et minutes, le cycliste roule à vitesse constante — Entre et minutes, la distance reste égale à kilomètres : le cycliste est à l'arrêt. Un segment horizontal signifie que la distance parcourue ne change pas : le temps passe, mais le cycliste n'avance pas.
3. Activité
Pour comprendre : un rectangle de périmètre 10
Ce qu’il dit
3andna rectangle ABCD, le périmètre mte3ou dix, w AB égale x. Le demi-périmètre houwa cinq, idhan AD égale cinq moins x, w l'aire hiya f de x égale x fois (cinq moins x). W 5ater ezzouz côtés strictement positifs, x bin zéro w cinq, w ma youselhomch. L koll x, n7ottou le point d'abscisse x et d'ordonnée f de x : les points hedhom el koll yrasmou la courbe C. 3la la courbe hedhi, le point el a3la 3andou abscisse deux virgule cinq w ordonnée six virgule vingt-cinq : hedhi l'aire maximale. W l'aire quatre nal9awha ki x égale un w ki x égale quatre.
عندنا rectangle ABCD ، le périmètre متاعو dix ، w AB égale x . le demi-périmètre هو cinq ، إذن AD égale cinq moins x ، w l'aire هي f de x égale x fois (cinq moins x) . w خاطر الزوز côtés strictement positifs ، x بين zéro w cinq ، w ما يوصلهمش . لكل x ، نحطّو le point d'abscisse x et d'ordonnée f de x : les points هاذم الكل يرسمو la courbe C . على الـ courbe هاذي ، le point الأعلى عندو abscisse deux virgule cinq w ordonnée six virgule vingt-cinq : هاذي l'aire maximale . w l'aire quatre نلقاوها كي x égale un w كي x égale quatre .
On a un rectangle ABCD de périmètre dix, avec AB égale x. Le demi-périmètre vaut cinq, donc AD égale cinq moins x, et l'aire est f de x égale x fois (cinq moins x). Comme les deux côtés sont strictement positifs, x est entre zéro et cinq, sans les atteindre. Pour chaque x, on place le point d'abscisse x et d'ordonnée f de x : tous ces points dessinent la courbe C. Sur cette courbe, le point le plus haut a pour abscisse deux virgule cinq et pour ordonnée six virgule vingt-cinq : c'est l'aire maximale. Et l'aire quatre est atteinte quand x égale un et quand x égale quatre.
Soit un rectangle de périmètre et de côté variable
- 1.Exprime en fonction de
- 2.Soit la fonction telle que soit égale à l'aire du rectangle Donne l'ensemble de définition de et l'expression de
- 3.Le plan est muni d'un repère orthogonal La courbe est l'ensemble des points avec Place sur les points d'abscisses ; ; ; ; ; ; ; et
- 4.Par une lecture graphique, détermine la valeur maximale de
- 5.Détermine les dimensions des rectangles dont l'aire est égale à
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe C de la fonction f part du point d'abscisse 0 et d'ordonnée 0, monte jusqu'au point d'abscisse 2,5 et d'ordonnée 6,25, puis redescend jusqu'au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 0 ; les deux extrémités ne font pas partie de la courbe. Neuf points sont marqués, d'abscisses 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4 ; 4,5 et d'ordonnées 2,25 ; 4 ; 5,25 ; 6 ; 6,25 ; 6 ; 5,25 ; 4 ; 2,25. Au palier 2, des pointillés rouges montrent le point le plus haut. Au palier 3, une horizontale verte à la hauteur 4 coupe la courbe aux points d'abscisses 1 et 4.
Exemple traité
Réponds aux cinq questions.
- Le côté AD — Le demi-périmètre vaut :
- L'aire — Les deux côtés sont des longueurs strictement positives : et
- Les points — On calcule les images une à une, par exemple
- La valeur maximale — Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse et pour ordonnée : le rectangle est alors un carré.
- L'aire 4 — La droite horizontale de hauteur coupe la courbe aux points d'abscisses et : les côtés mesurent et
À ne pas faire : — . Le périmètre compte deux fois chaque côté : donc
À ne pas faire : Il y a deux rectangles différents d'aire — Pour ou pour c'est le même rectangle, de côtés et . Échanger la longueur et la largeur ne change pas le rectangle : les deux points de la courbe donnent les mêmes dimensions.
4. Définition
Représentation graphique d'une fonction
Ce qu’il dit
Hedhi la définition. Fi repère, la représentation graphique mta3 fonction f, w n9oulou zeda la courbe représentative, hiya l'ensemble des points M de coordonnées x et f de x, ki x yet3adda 3la l'ensemble de définition E el koll. W n9oulou la courbe C 3andha l'équation y égale f de x. Tfakker mli7 : le point de coordonnées x et y appartient à la courbe si et seulement si x est dans E et y égale f de x. Idhan bech na3rfou point 3la la courbe walla le, na7sbou l'image mta3 l'abscisse mte3ou, w nchoufouha tsewi l'ordonnée mte3ou walla le.
هاذي la définition . في repère ، la représentation graphique متاع fonction f ، w نقولو زادة la courbe représentative ، هي l'ensemble des points M de coordonnées x et f de x ، كي x يتعدّى على l'ensemble de définition E الكل . w نقولو la courbe C عندها l'équation y égale f de x . تفكّر مليح : le point de coordonnées x et y appartient à la courbe si et seulement si x est dans E et y égale f de x . إذن باش نعرفو point على الـ courbe ولّا لا ، نحسبو l'image متاع l'abscisse متاعو ، w نشوفوها تساوي l'ordonnée متاعو ولّا لا .
Voici la définition. Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction f, on dit aussi sa courbe représentative, c'est l'ensemble des points M de coordonnées x et f de x, quand x parcourt tout l'ensemble de définition E. Et on dit que la courbe C a pour équation y égale f de x. Retiens bien : le point de coordonnées x et y appartient à la courbe si et seulement si x est dans E et y égale f de x. Donc pour savoir si un point est sur la courbe ou non, on calcule l'image de son abscisse, et on regarde si elle est égale à son ordonnée.
Le plan est muni d'un repère Soit une fonction définie sur un ensemble
On appelle représentation graphique de ou courbe représentative de l'ensemble des points de coordonnées où appartient à
Vocabulaire. Si une fonction définie sur un ensemble a pour représentation graphique la courbe on dit que a pour équation avec
Un point appartient donc à si et seulement si et
Un repère d'origine O et une courbe C. Un point M est marqué sur la courbe. Au palier 2, des pointillés rouges descendent de M sur l'axe des abscisses, où l'on lit x, et vont de M à l'axe des ordonnées, où l'on lit f(x) : le point M a pour coordonnées x et f(x).
appartenir à la courbe
l'équation de la courbe
Exemple traité
On considère la fonction définie sur par et sa courbe représentative Parmi les points et lesquels appartiennent à ? Quels sont les points de d'ordonnée ?
- Le point A — On calcule l'image de l'abscisse, puis on la compare à l'ordonnée.
- Les points B et F — Même calcul : chaque ordonnée est bien l'image de l'abscisse.
- Le point D — L'image de n'est pas
- Le point E — n'est qu'une valeur approchée de l'image de
- L'ordonnée 5 — On cherche les abscisses telles que
À ne pas faire : donc est sur — qui n'est pas égal à : . Un point est sur la courbe quand son ordonnée est exactement l'image de son abscisse : une valeur approchée ne suffit pas.
À ne pas faire : car — donc . On calcule l'image de l'abscisse du point, ici et non celle de son ordonnée.
5. Activité
Pour comprendre : une courbe, une fonction ?
Ce qu’il dit
Za3ma ay courbe hiya courbe mta3 fonction ? Le. La fonction ta3ti l koll x, image wa7da 3al akthar. Idhan 3la la courbe mte3ha, ma nal9awch zouz points wa7ed fou9 le5er, 3andhom nafs l'abscisse. Le test sehel : nmachiw droite verticale ; ken t9oss la courbe fi zouz points walla akthar, mouch fonction. Chouf le cercle : la verticale elli tet3adda men un t9ossou fi zouz points, M w N. Idhan le cercle ma ymathelch fonction, w la parabole couchée zeda le.
زعما أي courbe هي courbe متاع fonction ؟ لا . الـ fonction تعطي لكل x ، image وحدة على الأكثر . إذن على الـ courbe متاعها ، ما نلقاوش زوز points واحد فوق الآخر ، عندهم نفس l'abscisse . الـ test ساهل : نمشّيو droite verticale ؛ كان تقصّ الـ courbe في زوز points ولّا أكثر ، موش fonction . شوف le cercle : الـ verticale اللي تتعدّى من un تقصّو في زوز points ، M w N . إذن le cercle ما يمثّلش fonction ، w la parabole couchée زادة لا .
Est-ce que n'importe quelle courbe est la courbe d'une fonction ? Non. Une fonction donne à chaque x une image au plus. Donc sur sa courbe, on ne trouve jamais deux points l'un au-dessus de l'autre, avec la même abscisse. Le test est simple : on promène une droite verticale ; si elle coupe la courbe en deux points ou plus, ce n'est pas une fonction. Regarde le cercle : la verticale qui passe par un le coupe en deux points, M et N. Donc le cercle ne représente pas une fonction, et la parabole couchée non plus.
On trace quatre courbes dans un repère : une courbe à deux bosses, qui monte puis redescend, un cercle de centre une courbe qui monte de gauche à droite par paliers, et une parabole couchée, ouverte vers la droite.
Parmi ces courbes, lesquelles représentent une fonction ?
Une fonction associe à chaque réel au plus une image. Sur sa courbe, deux points différents ne peuvent donc pas avoir la même abscisse : toute droite parallèle à l'axe des ordonnées coupe la courbe en un point au plus.
Un repère orthonormé d'origine O et le cercle de centre O et de rayon 2. Au palier 2, la droite verticale rouge qui passe par le point d'abscisse 1 de l'axe des abscisses coupe le cercle en deux points, M au-dessus de l'axe et N au-dessous : ces deux points ont la même abscisse 1 et deux ordonnées différentes.
Exemple traité
Le cercle de centre et de rayon est-il la courbe d'une fonction ?
- Une verticale — La droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par l'abscisse coupe le cercle en deux points et
- Deux ordonnées — Les deux points ont la même abscisse mais des ordonnées opposées.
- La conclusion — Le réel aurait deux images : c'est impossible pour une fonction.
- Les autres courbes — La courbe à deux bosses et la courbe qui monte par paliers passent ce test : elles représentent une fonction. La parabole couchée, comme le cercle, ne le passe pas.
À ne pas faire : Toute courbe tracée dans un repère est la courbe d'une fonction — Une courbe représente une fonction quand chaque verticale la coupe en un point au plus. Sur un cercle ou sur une parabole couchée, une même abscisse donne deux points : elle aurait deux images.
6. Méthode
Lire une courbe : images et antécédents
Ce qu’il dit
La courbe tet9ra men zouz jihet. Bech nal9aw image, nabdew men l'axe des abscisses : natl3ou walla nahbtou 7atta lel courbe, w na9raw l'ordonnée. Houni, f de deux virgule cinq égale un virgule vingt-cinq. Bech nal9aw les antécédents, nabdew men l'axe des ordonnées : nrasmou l'horizontale, w na9raw les abscisses mta3 les points el koll elli t9oss fihom la courbe. Les antécédents de zéro houma moins deux, zéro w deux. W ki n7ellou f de x égale k, nlawjou 3la les antécédents de k. W f de x strictement inférieur à zéro, houma les abscisses mta3 les points elli ta7t l'axe des abscisses.
الـ courbe تتقرا من زوز جهات . باش نلقاو image ، نبداو من l'axe des abscisses : نطلعو ولّا نهبطو حتّى للـ courbe ، w نقراو l'ordonnée . هنا ، f de deux virgule cinq égale un virgule vingt-cinq . باش نلقاو les antécédents ، نبداو من l'axe des ordonnées : نرسمو l'horizontale ، w نقراو les abscisses متاع les points الكل اللي تقصّ فيهم الـ courbe . les antécédents de zéro هوما moins deux ، zéro w deux . w كي نحلّو f de x égale k ، نلوّجو على les antécédents de k . w f de x strictement inférieur à zéro ، هوما les abscisses متاع les points اللي تحت l'axe des abscisses .
Une courbe se lit dans deux sens. Pour trouver une image, on part de l'axe des abscisses : on monte ou on descend jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. Ici, f de deux virgule cinq égale un virgule vingt-cinq. Pour trouver les antécédents, on part de l'axe des ordonnées : on trace l'horizontale, et on lit les abscisses de tous les points où elle coupe la courbe. Les antécédents de zéro sont moins deux, zéro et deux. Et quand on résout f de x égale k, on cherche les antécédents de k. Enfin, f de x strictement inférieur à zéro, ce sont les abscisses des points situés sous l'axe des abscisses.
La courbe de la figure est la représentation graphique d'une fonction
Lis sur ce graphique : 1. les images de de et de par ; 2. les antécédents de ; 3. la valeur minimale de ; 4. le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation ; 5. l'ensemble des solutions de l'inéquation
La méthode. L'image de est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse Les antécédents de sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée : ce sont les solutions de l'équation Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d'équation
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe a la forme d'un W. Elle descend du point d'abscisse moins 2,8 jusqu'au point d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1, remonte jusqu'à l'origine O où elle fait une pointe, redescend jusqu'au point d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1, puis remonte. Elle coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses moins 2, 0 et 2, et elle passe par le point d'abscisse 2,5 et d'ordonnée 1,25. Au palier 2, des pointillés rouges lisent ce dernier point. Au palier 3, la droite horizontale verte d'équation y égale moins 0,5 coupe la courbe en quatre points.
image et antécédent
Exemple traité
Réponds aux cinq questions par lecture graphique.
- Les images — On part de l'abscisse, on rejoint la courbe, puis on lit l'ordonnée.
- Les antécédents de 0 — La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points.
- La valeur minimale — Les deux points les plus bas ont pour ordonnée ; leurs abscisses sont et
- Une droite horizontale — La droite d'équation coupe la courbe en quatre points : l'équation a quatre solutions.
- L'inéquation — La courbe est au-dessous de l'axe des abscisses entre et sauf à l'origine, où
À ne pas faire : Les antécédents de : donc il n'y a que — Les antécédents de sont et . On ne calcule pas l'image de : on cherche toutes les abscisses des points de la courbe d'ordonnée
À ne pas faire : — . En la courbe touche l'axe des abscisses : n'est pas strictement négatif, il faut donc retirer
7. Application
Exemple : comparer deux fonctions sur un graphique
Ce qu’il dit
Zouz courbes fi nafs le repère : C f bel a7mer, w C g bel azra9. Bech n7ellou f de x égale g de x, nlawjou 3la les points win ezzouz courbes yetle9aw, w na9raw les abscisses mte3hom : houni moins trois w un. Bech ncompariw f de x w g de x, nchoufou ana courbe el fou9. Bin moins trois w un, la courbe ezzar9a fou9 el 7amra : g de x supérieur ou égal à f de x. W rodd belek : g de x égale trois ma 3andhech 7atta solution, 5ater la courbe mta3 g ma tatla3ch akthar men deux virgule cinq.
زوز courbes في نفس الـ repère : C f بالأحمر ، w C g بالأزرق . باش نحلّو f de x égale g de x ، نلوّجو على les points وين الزوز courbes يتلاقاو ، w نقراو les abscisses متاعهم : هنا moins trois w un . باش ncompariw f de x w g de x ، نشوفو أنا courbe الفوق . بين moins trois w un ، الـ courbe الزرقاء فوق الحمراء : g de x supérieur ou égal à f de x . w ردّ بالك : g de x égale trois ما عندهاش حتّى solution ، خاطر la courbe متاع g ما تطلعش أكثر من deux virgule cinq .
Deux courbes dans le même repère : C f en rouge, et C g en bleu. Pour résoudre f de x égale g de x, on cherche les points où les deux courbes se rencontrent, et on lit leurs abscisses : ici moins trois et un. Pour comparer f de x et g de x, on regarde quelle courbe est au-dessus. Entre moins trois et un, la courbe bleue est au-dessus de la rouge : g de x est supérieur ou égal à f de x. Et attention : g de x égale trois n'a aucune solution, parce que la courbe de g ne monte pas plus haut que deux virgule cinq.
Dans la figure, on a représenté deux fonctions et : en rouge et en bleu.
- 1.Lis l'image de par et par
- 2.Résous graphiquement : a) ; b) ; c) ; d)
- 3.Compare et lorsque est un réel de l'intervalle
Les solutions de l'équation sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Là où est au-dessus de on a
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes. La courbe rouge Cf, celle de f, est une parabole tournée vers le haut : son point le plus bas a pour abscisse 1 et pour ordonnée moins 2 ; elle passe par les points d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 2, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1, d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 1, d'abscisse 5 et d'ordonnée 2. La courbe bleue Cg, celle de g, est une parabole tournée vers le bas : son point le plus haut a pour abscisse moins 2 et pour ordonnée 2,5 ; elle passe par les points d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 2, d'abscisse moins 1 et d'ordonnée 2, d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 2. Les deux courbes se coupent en A, d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 2, et en B, d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 2. Entre A et B, la courbe bleue est au-dessus de la courbe rouge. Au palier 2, des pointillés joignent A et B à l'axe des abscisses, où l'on lit moins 3 et 1.
Exemple traité
Réponds aux trois questions par lecture graphique.
- Les images de −1 — On lit l'ordonnée du point d'abscisse sur chaque courbe.
- — La droite horizontale de hauteur coupe en deux points.
- — Le point le plus haut de a pour ordonnée : aucun point de cette courbe n'a pour ordonnée
- — Les deux courbes se coupent en et en : on lit leurs abscisses.
- — est au-dessous de la droite de hauteur entre les abscisses et
- Sur [−3 ; 1] — Entre et la courbe de est au-dessus de celle de
À ne pas faire : a pour solutions et — ou . Les solutions sont les abscisses des points d'intersection et pas leurs ordonnées.
À ne pas faire : : on lit sur l'axe des abscisses — L'équation n'a pas de solution. Le nombre est une ordonnée : on trace l'horizontale de hauteur et elle ne rencontre pas
8. Activité
Pour comprendre : la plus petite valeur
Ce qu’il dit
Chouf la courbe mta3 f de x égale x sur (x au carré plus un), bin moins quatre w quatre. Le point el awta fiha houwa le point A, l'abscisse mte3ou moins un w l'ordonnée mte3ou moins un demi. Idhan na9raw : asghar valeur mta3 f de x hiya moins un demi, w nal9awha ki x égale moins un. Ama le9raya wa7adha ma tekfich, lezem nthabbtouha bel calcul : f de x plus un demi égale (x plus un) au carré, sur deux fois (x au carré plus un). Hedha positif walla nul, idhan f de x dima supérieur ou égal à moins un demi.
شوف la courbe متاع f de x égale x sur (x au carré plus un) ، بين moins quatre w quatre . le point الأوطى فيها هو le point A ، l'abscisse متاعو moins un w l'ordonnée متاعو moins un demi . إذن نقراو : أصغر valeur متاع f de x هي moins un demi ، w نلقاوها كي x égale moins un . أما القراية وحدها ما تكفيش ، لازم نثبّتوها بالـ calcul : f de x plus un demi égale (x plus un) au carré ، sur deux fois (x au carré plus un) . هذا positif ولّا nul ، إذن f de x ديما supérieur ou égal à moins un demi .
Regarde la courbe de f de x égale x sur (x au carré plus un), entre moins quatre et quatre. Son point le plus bas est le point A, d'abscisse moins un et d'ordonnée moins un demi. On lit donc : la plus petite valeur de f de x est moins un demi, et elle est atteinte quand x égale moins un. Mais une lecture seule ne suffit pas, il faut la vérifier par le calcul : f de x plus un demi égale (x plus un) au carré, sur deux fois (x au carré plus un). C'est positif ou nul, donc f de x est toujours supérieur ou égal à moins un demi.
La figure montre la courbe représentative de la fonction définie sur par
- 1.Détermine graphiquement la valeur minimale de Pour quelle valeur de cette valeur minimale est-elle atteinte ?
- 2.Vérifie ce résultat par le calcul.
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 4. Elle part un peu au-dessous de l'axe des abscisses, descend doucement jusqu'au point A d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 0,5, son point le plus bas, remonte en passant par l'origine jusqu'au point B d'abscisse 1 et d'ordonnée 0,5, son point le plus haut, puis redescend doucement en restant au-dessus de l'axe. Au palier 2, des pointillés rouges lisent le point A ; au palier 3, des pointillés verts lisent le point B.
Exemple traité
Lis la valeur minimale sur la courbe, puis vérifie-la par le calcul.
- La lecture — Le point le plus bas de la courbe est d'abscisse et d'ordonnée
- Une différence — Pour vérifier, on calcule c'est-à-dire
- Le signe — Un carré est positif ou nul, et le dénominateur est strictement positif.
À ne pas faire : La valeur minimale de est — La valeur minimale est ; elle est atteinte pour . La valeur minimale se lit sur l'axe des ordonnées ; est seulement l'abscisse du point le plus bas.
9. Définition
Maximum et minimum
Ce qu’il dit
Hedhi la définition. f mo3arrfa 3la intervalle I, w a réel men I. N9oulou f admet un minimum en a sur I, ki l koll x men I, f de x supérieur ou égal à f de a. El minimum houwa le nombre f de a. W kif kif, f admet un maximum en a, ki l koll x men I, f de x inférieur ou égal à f de a. 3la la courbe, el minimum houwa l'ordonnée mta3 le point el awta, w el maximum houwa l'ordonnée mta3 le point el a3la. W bech nbayynouh, na7sbou f de x moins f de a, w nlawjou 3la le signe mte3ou.
هاذي la définition . f معرّفة على intervalle I ، w a réel من I . نقولو f admet un minimum en a sur I ، كي لكل x من I ، f de x supérieur ou égal à f de a . الـ minimum هو le nombre f de a . w كيف كيف ، f admet un maximum en a ، كي لكل x من I ، f de x inférieur ou égal à f de a . على الـ courbe ، الـ minimum هو l'ordonnée متاع le point الأوطى ، w الـ maximum هو l'ordonnée متاع le point الأعلى . w باش نبيّنوه ، نحسبو f de x moins f de a ، w نلوّجو على le signe متاعو .
Voici la définition. f est définie sur un intervalle I, et a est un réel de I. On dit que f admet un minimum en a sur I quand, pour tout x de I, f de x est supérieur ou égal à f de a. Le minimum, c'est le nombre f de a. De même, f admet un maximum en a quand, pour tout x de I, f de x est inférieur ou égal à f de a. Sur la courbe, le minimum est l'ordonnée du point le plus bas, et le maximum l'ordonnée du point le plus haut. Et pour le démontrer, on calcule f de x moins f de a, et on cherche son signe.
Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel appartenant à
La fonction admet un minimum en sur l'intervalle lorsque, pour tout réel de Le réel est le minimum de sur
La fonction admet un maximum en sur l'intervalle lorsque, pour tout réel de Le réel est le maximum de sur
Sur la courbe, le minimum est l'ordonnée du point le plus bas, le maximum celle du point le plus haut. Pour le prouver par le calcul, on étudie le signe de la différence
f(a) est le minimum de f sur I
f(a) est le maximum de f sur I
Exemple traité
On considère la fonction définie sur par Calcule puis Déduis-en que admet un minimum, que l'on précisera.
- L'image de −1 — On remplace par
- La différence — On reconnaît une identité remarquable.
- Le signe — Un carré est positif ou nul : pour tout réel
À ne pas faire : Le minimum de est — Le minimum de est ; il est atteint en . Le minimum est une valeur de la fonction, le nombre ; le réel est seulement l'endroit où elle est atteinte.
À ne pas faire : et donc est le minimum — pour tout réel . Quelques valeurs ne prouvent rien : l'inégalité doit être vraie pour tous les réels de l'intervalle.
10. Application
Exemple : un maximum sur un intervalle, pas sur R
Ce qu’il dit
Thabbet fel courbe hedhi : la fonction mo3arrfa 3la R, ama nekhdmou 3liha ken 3la l'intervalle men zéro l sept demis. 3la l'intervalle hedha, le point el a3la 3andou ordonnée deux : le maximum houwa grand M égale deux, w nal9awh en un. Les points el awta 3andhom ordonnée zéro : le minimum houwa petit m égale zéro, w nal9awh en zéro w en trois. Ama 3la R el koll, hedha ma 3adech s7i7 : 3la imin quatre, la courbe tatla3 akthar men deux, w 3la isar zéro, tahbet ta7t zéro. El maximum w el minimum dima na3tiwhom m3a l'intervalle mte3hom.
ثبّت في الـ courbe هاذي : الـ fonction معرّفة على R ، أما نخدمو عليها كان على l'intervalle من zéro لـ sept demis . على الـ intervalle هذا ، le point الأعلى عندو ordonnée deux : le maximum هو grand M égale deux ، w نلقاوه en un . les points الأوطى عندهم ordonnée zéro : le minimum هو petit m égale zéro ، w نلقاوه en zéro w en trois . أما على R الكل ، هذا ما عادش صحيح : على يمين quatre ، الـ courbe تطلع أكثر من deux ، w على يسار zéro ، تهبط تحت zéro . الـ maximum w الـ minimum ديما نعطيوهم مع الـ intervalle متاعهم .
Regarde bien cette courbe : la fonction est définie sur R, mais on ne l'étudie que sur l'intervalle de zéro à sept demis. Sur cet intervalle, le point le plus haut a pour ordonnée deux : le maximum est grand M égale deux, atteint en un. Les points les plus bas ont pour ordonnée zéro : le minimum est petit m égale zéro, atteint en zéro et en trois. Mais sur R tout entier, ce n'est plus vrai : à droite de quatre, la courbe monte plus haut que deux, et à gauche de zéro, elle descend sous zéro. Un maximum et un minimum se donnent toujours avec leur intervalle.
La figure montre la courbe représentative d'une fonction définie sur
- 1.Par une lecture graphique, détermine le maximum et le minimum de sur l'intervalle
- 2.A-t-on pour tout réel ? A-t-on pour tout réel ?
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe de f monte de la gauche, passe par l'origine, monte jusqu'au point S d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, redescend jusqu'au point T d'abscisse 3 et d'ordonnée 0 où elle touche l'axe des abscisses, puis remonte : elle repasse à la hauteur 2 pour l'abscisse 4 et continue de monter. À gauche de l'origine, la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses. Au palier 2, une verticale verte marque l'abscisse 3,5, la fin de l'intervalle étudié, et des pointillés rouges lisent le point S.
Exemple traité
Lis le maximum, noté grand et le minimum, noté petit sur l'intervalle, puis dis si ce sont encore le maximum et le minimum de sur
- Sur l'intervalle — Entre les abscisses et le point le plus haut est d'ordonnée ; les points les plus bas sont l'origine et d'ordonnée
- Plus haut que grand M — À droite de l'abscisse la courbe monte au-dessus de la hauteur : l'inégalité n'est pas vraie pour tout réel
- Plus bas que petit m — À gauche de l'origine, la courbe passe au-dessous de l'axe des abscisses : l'inégalité n'est pas vraie pour tout réel
À ne pas faire : est le maximum de — est le maximum de sur l'intervalle . Un maximum ou un minimum dépend de l'intervalle : sur n'est plus le maximum, puisque la courbe monte plus haut.
11. Activité
Pour comprendre : monter, descendre, rester constante
Ce qu’il dit
Netabb3ou la courbe hedhi men el isar lel imin. Men moins quatre l moins un, tal3a : ken a asghar men b, f de a asghar men f de b. Les images mrattbin kif les abscisses. Men moins un l quatre, habta : ken a asghar men b, f de a akber men f de b. L'ordre yetbaddel. W men quatre l sept, horizontale : les images el koll égales à moins deux. Tatla3, tahbet, to93od horizontale : hedhom les trois 7alet elli bech nsammiwhom.
نتبّعو الـ courbe هاذي من اليسار لليمين . من moins quatre لـ moins un ، طالعة : كان a أصغر من b ، f de a أصغر من f de b . les images مرتّبين كيف les abscisses . من moins un لـ quatre ، هابطة : كان a أصغر من b ، f de a أكبر من f de b . l'ordre يتبدّل . w من quatre لـ sept ، horizontale : les images الكل égales à moins deux . تطلع ، تهبط ، تقعد horizontale : هاذم les trois حالات اللي باش نسمّيوهم .
Suivons cette courbe de gauche à droite. De moins quatre à moins un, elle monte : si a est plus petit que b, f de a est plus petit que f de b. Les images sont rangées comme les abscisses. De moins un à quatre, elle descend : si a est plus petit que b, f de a est plus grand que f de b. L'ordre change. Et de quatre à sept, elle est horizontale : toutes les images sont égales à moins deux. Monter, descendre, rester horizontale : ce sont les trois cas que nous allons nommer.
La courbe de la figure est la représentation graphique d'une fonction définie sur
- 1.Soient et deux réels de l'intervalle tels que Compare et
- 2.Reprends la même question lorsque : a) et appartiennent à et ; b) et appartiennent à et
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 7. Elle monte du point d'abscisse moins 4 et d'ordonnée moins 4,5 jusqu'au point d'abscisse moins 1 et d'ordonnée 3, son point le plus haut. Elle descend ensuite jusqu'au point d'abscisse 4 et d'ordonnée moins 2. Enfin, de l'abscisse 4 à l'abscisse 7, elle est horizontale, à la hauteur moins 2. Au palier 2, des pointillés marquent les abscisses moins 1 et 4, où la courbe change d'allure.
Exemple traité
Compare et sur chacun des trois intervalles, avec
- Sur [−4 ; −1] — La courbe monte : quand l'abscisse augmente, l'ordonnée augmente aussi.
- Sur [−1 ; 4] — La courbe descend : quand l'abscisse augmente, l'ordonnée diminue.
- Sur [4 ; 7] — La courbe est horizontale : tous ses points ont la même ordonnée
À ne pas faire : Sur donc — Sur donne . Quand la courbe descend, les images sont rangées dans l'ordre contraire de celui des abscisses.
12. Définition
Sens de variation d'une fonction
Ce qu’il dit
Tawa el kelmet. f croissante sur intervalle I, ki l koll a w b men I, a inférieur ou égal à b ta3tina f de a inférieur ou égal à f de b : la fonction t5alli l'ordre kima houwa. f décroissante sur I, ki a inférieur ou égal à b ta3tina f de a supérieur ou égal à f de b : la fonction tbaddel l'ordre. W f constante sur I, ki les images el koll yetsewew. Fonction croissante sur I, walla décroissante sur I, n9oulou 3liha monotone sur I. W bech nbayynouha bel calcul, ne5dhou a inférieur ou égal à b, w nlawjou 3la le signe mta3 f de b moins f de a.
توّة الكلمات . f croissante sur intervalle I ، كي لكل a w b من I ، a inférieur ou égal à b تعطينا f de a inférieur ou égal à f de b : الـ fonction تخلّي l'ordre كيما هو . f décroissante sur I ، كي a inférieur ou égal à b تعطينا f de a supérieur ou égal à f de b : الـ fonction تبدّل l'ordre . w f constante sur I ، كي les images الكل يتساواو . fonction croissante sur I ، ولّا décroissante sur I ، نقولو عليها monotone sur I . w باش نبيّنوها بالـ calcul ، ناخذو a inférieur ou égal à b ، w نلوّجو على le signe متاع f de b moins f de a .
Maintenant, les mots. f est croissante sur un intervalle I quand, pour tous a et b de I, a inférieur ou égal à b entraîne f de a inférieur ou égal à f de b : la fonction garde l'ordre. f est décroissante sur I quand a inférieur ou égal à b entraîne f de a supérieur ou égal à f de b : la fonction change l'ordre. Et f est constante sur I quand toutes les images sont égales. Une fonction croissante sur I, ou décroissante sur I, est dite monotone sur I. Et pour le démontrer par le calcul, on prend a inférieur ou égal à b, et on cherche le signe de f de b moins f de a.
Soit une fonction définie sur un ensemble et un intervalle inclus dans
La fonction est croissante sur l'intervalle si, pour tous réels et de tels que
La fonction est décroissante sur l'intervalle si, pour tous réels et de tels que
La fonction est constante sur l'intervalle si, pour tous réels et de
Vocabulaire. Une fonction est dite monotone sur un intervalle si elle est croissante sur ou décroissante sur
Pour étudier le sens de variation par le calcul, on prend dans et on cherche le signe de
f croissante sur I
f décroissante sur I
f constante sur I
Exemple traité
Soit la fonction définie sur par Étudie le sens de variation de sur l'intervalle puis sur l'intervalle
- La différence — On prend deux réels et on factorise
- Sur ]−∞ ; 2] — et donnent : les deux facteurs sont positifs ou nuls.
- Sur [2 ; +∞[ — et donnent : le facteur est négatif ou nul.
À ne pas faire : et : donc est croissante sur — est croissante sur seulement : et . Comparer deux images ne suffit pas : l'inégalité doit être vraie pour tous les réels de l'intervalle.
À ne pas faire : est décroissante sur donc sur cet intervalle — : décroissante ne veut pas dire négative. Le sens de variation compare les images entre elles ; il ne dit rien de leur signe.
13. Méthode
Décrire les variations à partir d'une courbe
Ce qu’il dit
Bech nousfou les variations mta3 fonction men la courbe mte3ha, netabb3ouha men el isar lel imin, w n9ayydou les abscisses win tbaddel 7alha. Houni, la courbe tahbet men moins trois l moins un, tatla3 men moins un l zéro, w terja3 tahbet men zéro l trois. Idhan nektbou : f décroissante sur l'intervalle men moins trois l moins un, croissante sur l'intervalle men moins un l zéro, w décroissante sur l'intervalle men zéro l trois. Rodd belek, les intervalles hedhom dima na9rawhom 3la l'axe des abscisses, mouch 3la l'axe des ordonnées.
باش نوصفو les variations متاع fonction من la courbe متاعها ، نتبّعوها من اليسار لليمين ، w نقيّدو les abscisses وين تبدّل حالها . هنا ، الـ courbe تهبط من moins trois لـ moins un ، تطلع من moins un لـ zéro ، w ترجع تهبط من zéro لـ trois . إذن نكتبو : f décroissante sur l'intervalle من moins trois لـ moins un ، croissante sur l'intervalle من moins un لـ zéro ، w décroissante sur l'intervalle من zéro لـ trois . ردّ بالك ، les intervalles هاذم ديما نقراوهم على l'axe des abscisses ، موش على l'axe des ordonnées .
Pour décrire les variations d'une fonction à partir de sa courbe, on la suit de gauche à droite, et on note les abscisses où elle change d'allure. Ici, la courbe descend de moins trois à moins un, elle monte de moins un à zéro, puis elle redescend de zéro à trois. On écrit donc : f est décroissante sur l'intervalle de moins trois à moins un, croissante sur l'intervalle de moins un à zéro, et décroissante sur l'intervalle de zéro à trois. Attention, ces intervalles se lisent toujours sur l'axe des abscisses, pas sur l'axe des ordonnées.
Décris les variations de la fonction dont la courbe est tracée sur la figure.
La méthode. On parcourt la courbe de gauche à droite et on repère les abscisses où elle change d'allure. Sur chaque intervalle ainsi délimité, on dit si la fonction est croissante (la courbe monte), décroissante (la courbe descend) ou constante (la courbe est horizontale). On donne toujours des intervalles de l'axe des abscisses.
Deux cas simples : une courbe qui monte sur tout l'ensemble de définition est celle d'une fonction croissante ; une droite parallèle à l'axe des abscisses est la courbe d'une fonction constante.
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe est tracée de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 3. Elle descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 2 jusqu'au point d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas. Elle remonte ensuite en ligne droite jusqu'au point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, où elle fait une pointe. Puis elle redescend doucement jusqu'au point d'abscisse 3 et d'ordonnée 0,25, en restant au-dessus de l'axe des abscisses.
Exemple traité
Décris les variations de sur
- Les changements d'allure — La courbe change de sens aux points d'abscisses et : on découpe en trois intervalles.
- De −3 à −1 — La courbe descend de l'ordonnée à l'ordonnée : est décroissante sur
- De −1 à 0 — La courbe monte de l'ordonnée à l'ordonnée : est croissante sur
- De 0 à 3 — La courbe redescend : est décroissante sur
À ne pas faire : est décroissante sur — est décroissante sur . L'intervalle se lit sur l'axe des abscisses : de à ce sont les ordonnées parcourues, pas les abscisses.
À ne pas faire : est décroissante sur et sur donc est décroissante sur — n'est pas monotone sur : elle est croissante sur . Le sens de variation se donne intervalle par intervalle ; ici est plus petit que
14. Activité
Pour comprendre : des aires qui varient dans un triangle
Ce qu’il dit
3andna triangle isocèle ABC, w point M yet7arrek 3la le côté AB, men A l B. N7ottou AM égale x : x yzid men zéro l cinq. Nchoufou quatre aires. L'aire mta3 le triangle el kbir ABC ma tetbaddelch : hiya douze, fonction constante. L'aire mta3 le triangle es-sghir AMN tekber ki M yahbet : fonction croissante. L'aire mta3 le triangle NCQ tesgher : fonction décroissante. W l'aire mta3 le parallélogramme MNQB, nulle au début w nulle à la fin : tzid, w ba3d ton9os. Quatre aires, quatre fonctions de x, w koll wa7da 3andha 7alha.
عندنا triangle isocèle ABC ، w point M يتحرّك على le côté AB ، من A لـ B . نحطّو AM égale x : x يزيد من zéro لـ cinq . نشوفو quatre aires . l'aire متاع le triangle الكبير ABC ما تتبدّلش : هي douze ، fonction constante . l'aire متاع le triangle الصغير AMN تكبر كي M يهبط : fonction croissante . l'aire متاع le triangle NCQ تصغر : fonction décroissante . w l'aire متاع le parallélogramme MNQB ، nulle au début w nulle à la fin : تزيد ، w بعد تنقص . quatre aires ، quatre fonctions de x ، w كل وحدة عندها حالها .
On a un triangle isocèle ABC, et un point M qui se déplace sur le côté AB, de A vers B. On pose AM égale x : x augmente de zéro à cinq. Regardons quatre aires. L'aire du grand triangle ABC ne change pas : elle vaut douze, c'est une fonction constante. L'aire du petit triangle AMN grandit quand M descend : fonction croissante. L'aire du triangle NCQ diminue : fonction décroissante. Et l'aire du parallélogramme MNQB est nulle au début et nulle à la fin : elle augmente, puis elle diminue. Quatre aires, quatre fonctions de x, et chacune a son comportement.
est un triangle isocèle de sommet principal tel que et Le point se déplace sur le segment privé des deux points et et sont deux points, respectivement de et de tels que soit un parallélogramme. On pose
Lorsque se déplace de vers comment varient l'aire du triangle celle du triangle celle du triangle et celle du parallélogramme ?
Un triangle ABC isocèle de sommet principal A : la base [BC] est en bas, B à gauche et C à droite, A en haut. Au palier 2, le point M est sur le côté [AB], le point N sur le côté [AC] et le point Q sur le côté [BC] ; le segment [MN] est parallèle à (BC) et le segment [NQ] est parallèle à (AB). Le parallélogramme MNQB est coloré en bleu. La longueur AM est notée x. On voit trois morceaux : le petit triangle AMN en haut, le parallélogramme MNQB à gauche, et le triangle NCQ en bas à droite.
Exemple traité
Dis comment varie chacune des quatre aires quand augmente de à
- Le triangle ABC — Il ne dépend pas de Sa hauteur issue de vaut car : son aire est constante.
- Le triangle AMN — Quand s'éloigne de le triangle grandit : son aire est une fonction croissante de
- Le triangle NCQ — Dans le même temps, se rapproche de et le triangle rétrécit : son aire est une fonction décroissante de
- Le parallélogramme — Il est aplati quand est près de et aussi quand est près de : son aire augmente, puis diminue.
À ne pas faire : Quand augmente, toutes les aires augmentent — L'aire de augmente, celle de diminue, celle de reste égale à . Chaque aire est une fonction différente de : il faut regarder comment chaque figure se déforme quand descend vers
15. Application
Exemple : reconnaître la courbe de chaque aire
Ce qu’il dit
Hedhom el quatre aires marsoumin en fonction de x. Kifech na3rfou koll wa7da ? Le triangle ABC 3andou aire constante, douze : hedhi la courbe horizontale, C un. L'aire mta3 AMN croissante w tabda men zéro : hedhi C trois. L'aire mta3 NCQ décroissante w tabda men douze : hedhi C deux. To93od C quatre lel parallélogramme : tatla3, w ba3d tahbet. Le sommet mte3ha 3andou abscisse deux virgule cinq w ordonnée six. Idhan l'aire mta3 le parallélogramme maximale ki M fi le milieu de AB, w wa9tha tsewi six, ennoss mta3 l'aire du triangle ABC.
هاذم الـ quatre aires مرسومين en fonction de x . كيفاش نعرفو كل وحدة ؟ le triangle ABC عندو aire constante ، douze : هاذي الـ courbe الـ horizontale ، C un . l'aire متاع AMN croissante w تبدا من zéro : هاذي C trois . l'aire متاع NCQ décroissante w تبدا من douze : هاذي C deux . تقعد C quatre للـ parallélogramme : تطلع ، w بعد تهبط . le sommet متاعها عندو abscisse deux virgule cinq w ordonnée six . إذن l'aire متاع le parallélogramme maximale كي M في le milieu de AB ، w وقتها تساوي six ، النصّ متاع l'aire du triangle ABC .
Voici les quatre aires tracées en fonction de x. Comment reconnaître chacune ? Le triangle ABC a une aire constante, douze : c'est la courbe horizontale, C un. L'aire de AMN est croissante et part de zéro : c'est C trois. L'aire de NCQ est décroissante et part de douze : c'est C deux. Il reste C quatre pour le parallélogramme : elle monte, puis elle descend. Son sommet a pour abscisse deux virgule cinq et pour ordonnée six. Donc l'aire du parallélogramme est maximale quand M est au milieu de AB, et elle vaut alors six, la moitié de l'aire du triangle ABC.
On reprend le triangle isocèle ( ), le point de avec et le parallélogramme Sur le graphique, les courbes et représentent, en fonction de les aires des triangles et celle du parallélogramme lorsque se déplace de vers
- 1.Comment varie l'aire du triangle ? Quelle est la courbe associée à cette aire ? Reprends ces deux questions pour les triangles et
- 2.a) Détermine graphiquement la valeur de pour laquelle l'aire du parallélogramme est maximale.
- 3. b) Dans ce cas, que peut-on dire des aires des triangles et ? Compare alors l'aire du parallélogramme à celle du triangle
Un repère : en abscisse x, de 0 à 5 ; en ordonnée une aire, graduée de 2 en 2 jusqu'à 12. Quatre courbes. C1, noire, est un segment horizontal à la hauteur 12. C2, bleue, descend du point d'abscisse 0 et d'ordonnée 12 au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 0. C3, verte, monte de l'origine au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 12. C4, rouge, part de l'origine, monte jusqu'au point d'abscisse 2,5 et d'ordonnée 6, puis redescend au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 0. Les courbes C2 et C3 se coupent au point d'abscisse 2,5 et d'ordonnée 3. Au palier 2, des pointillés rouges lisent le sommet de C4 ; au palier 3, des pointillés verts lisent le point commun à C2 et C3.
Exemple traité
Associe chaque aire à sa courbe, puis étudie le parallélogramme d'aire maximale.
- Les trois triangles — L'aire de est constante : c'est L'aire de est croissante et part de : c'est L'aire de est décroissante et part de : c'est
- Le parallélogramme — Il reste qui monte puis descend. Son point le plus haut a pour abscisse et pour ordonnée
- Les deux triangles — Pour les courbes et se coupent : les triangles et ont la même aire,
- La moitié — L'aire du parallélogramme est alors la moitié de celle du triangle
À ne pas faire : L'aire du parallélogramme est maximale pour — Elle est maximale pour et ce maximum vaut . La valeur de se lit sur l'axe des abscisses ; est l'ordonnée du sommet de c'est-à-dire l'aire maximale.
16. Activité
Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
Ce qu’il dit
Ne5dhou f de x égale un sur (x au carré plus un), bin moins quatre w quatre. 9bal koll chay, ken x fel intervalle hedha, moins x zeda fih. W 5ater nombre w l'opposé mte3ou 3andhom nafs le carré, f de moins x égale f de x. Chouf tawa les points M w N men la courbe, les abscisses mte3hom x w moins x : 3andhom nafs l'ordonnée. Idhan houma symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. W 5ater hedha s7i7 l koll x, la courbe el koll symétrique par rapport à l'axe hedha : yekfi nrasmou ennoss, w nkamlou el be9i bel symétrie.
ناخذو f de x égale un sur (x au carré plus un) ، بين moins quatre w quatre . قْبَلْ كل شي ، كان x في الـ intervalle هذا ، moins x زادة فيه . w خاطر nombre w l'opposé متاعو عندهم نفس le carré ، f de moins x égale f de x . شوف توّة les points M w N من الـ courbe ، les abscisses متاعهم x w moins x : عندهم نفس l'ordonnée . إذن هوما symétriques par rapport à l'axe des ordonnées . w خاطر هذا صحيح لكل x ، الـ courbe الكل symétrique par rapport à l'axe هذا : يكفي نرسمو النصّ ، w نكمّلو الباقي بالـ symétrie .
Prenons f de x égale un sur (x au carré plus un), entre moins quatre et quatre. Avant tout, si x est dans cet intervalle, moins x y est aussi. Et comme un nombre et son opposé ont le même carré, f de moins x égale f de x. Regarde maintenant les points M et N de la courbe, d'abscisses x et moins x : ils ont la même ordonnée. Ils sont donc symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Et comme c'est vrai pour tout x, toute la courbe est symétrique par rapport à cet axe : il suffit d'en tracer la moitié, et de compléter le reste par symétrie.
Soit la fonction définie sur par
- 1.a) Vérifie que si alors
- 2. b) Compare et
- 3.On munit le plan d'un repère orthogonal et on désigne par la courbe représentative de dans ce repère. Soit le point de d'abscisse et le point de d'abscisse Montre que les points et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
- 4.On a représenté une partie de la courbe Complète la courbe
Un repère orthogonal d'origine O. Au palier 1, la partie de la courbe pour les abscisses de 0 à 4 est tracée en bleu : elle part du point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1 et descend vers l'axe des abscisses sans le toucher. Au palier 2, un point M d'abscisse x est marqué sur cette partie, et le point N d'abscisse moins x est placé à la même hauteur, de l'autre côté de l'axe des ordonnées : le segment [MN] est horizontal et l'axe des ordonnées le coupe en son milieu. Au palier 3, l'autre moitié de la courbe est tracée en rouge : c'est le symétrique de la partie bleue par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple traité
Réponds aux trois questions.
- L'intervalle — Si alors, en multipliant par on obtient
- Les images — Un réel et son opposé ont le même carré.
- Les points M et N — Ils ont des abscisses opposées et la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
- La courbe — On complète la partie connue par son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
À ne pas faire : — . On remplace par entre parenthèses : alors que est l'opposé de
17. Définition
Fonction paire
Ce qu’il dit
Hedhi la définition. f mo3arrfa 3la ensemble E. N9oulou f paire, ki l koll x men E, zouz 7ajet s7a7 : moins x zeda fi E, w f de moins x égale f de x. W la conséquence choftha tawa : fi repère orthogonal, la courbe mta3 fonction paire symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Ma tensech la première condition : ken l'ensemble de définition ma fihech l'opposé mta3 koll élément mennou, la fonction ma tnajjemch tkoun paire.
هاذي la définition . f معرّفة على ensemble E . نقولو f paire ، كي لكل x من E ، زوز حاجات صحاح : moins x زادة في E ، w f de moins x égale f de x . w la conséquence شفتها توّة : في repère orthogonal ، la courbe متاع fonction paire symétrique par rapport à l'axe des ordonnées . ما تنساش la première condition : كان l'ensemble de définition ما فيهش l'opposé متاع كل élément منّو ، الـ fonction ما تنجّمش تكون paire .
Voici la définition. f est définie sur un ensemble E. On dit que f est paire quand, pour tout x de E, deux choses sont vraies : moins x est aussi dans E, et f de moins x égale f de x. Et la conséquence, tu viens de la voir : dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. N'oublie pas la première condition : si l'ensemble de définition ne contient pas l'opposé de chacun de ses éléments, la fonction ne peut pas être paire.
Soit une fonction définie sur un ensemble
On dit que est paire si, pour tout réel de on a et
Conséquence. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La définition porte deux conditions : l'ensemble de définition doit contenir l'opposé de chacun de ses éléments, et les images de et de doivent être égales.
f est paire
Exemple traité
Soit la fonction définie par Détermine son ensemble de définition, puis montre que est paire.
- L'ensemble de définition — Il faut c'est-à-dire
- Première condition — Si alors
- Deuxième condition — On remplace par entre parenthèses.
À ne pas faire : La fonction définie sur par est paire, car — Elle n'est pas paire : est dans mais n'y est pas. La première condition porte sur l'ensemble de définition : il doit contenir chaque fois qu'il contient
À ne pas faire : donc est paire — Il faut pour tout réel de . Une seule égalité ne prouve rien ; en revanche, un seul réel tel que suffit à prouver que n'est pas paire.
18. Activité
Pour comprendre : la symétrie par rapport à l'origine
Ce qu’il dit
Nafs el 5edma m3a f de x égale x au cube, bin moins un w un. Ken x fel intervalle, moins x zeda fih. Ama el marra hedhi, f de moins x égale (moins x) au cube, ya3ni moins x au cube, ya3ni moins f de x : les images opposées. Les points M w N, elli les abscisses mte3hom x w moins x, 3andhom idhan abscisses opposées w ordonnées opposées. Le milieu du segment MN houwa l'origine O : M w N symétriques par rapport à O. Idhan la courbe el koll symétrique par rapport à l'origine du repère.
نفس الخدمة مع f de x égale x au cube ، بين moins un w un . كان x في الـ intervalle ، moins x زادة فيه . أما المرّة هاذي ، f de moins x égale (moins x) au cube ، يعني moins x au cube ، يعني moins f de x : les images opposées . les points M w N ، اللي les abscisses متاعهم x w moins x ، عندهم إذن abscisses opposées w ordonnées opposées . le milieu du segment MN هو l'origine O : M w N symétriques par rapport à O . إذن الـ courbe الكل symétrique par rapport à l'origine du repère .
Même travail avec f de x égale x au cube, entre moins un et un. Si x est dans l'intervalle, moins x y est aussi. Mais cette fois, f de moins x égale (moins x) au cube, donc moins x au cube, c'est-à-dire moins f de x : les images sont opposées. Les points M et N, d'abscisses x et moins x, ont donc des abscisses opposées et des ordonnées opposées. Le milieu du segment MN est l'origine O : M et N sont symétriques par rapport à O. Donc toute la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Soit la fonction définie sur par
- 1.a) Vérifie que si alors
- 2. b) Compare et
- 3.On munit le plan d'un repère orthogonal et on désigne par la courbe représentative de dans ce repère.
- 4. a) Soit le point de d'abscisse et le point de d'abscisse Montre que les points et sont symétriques par rapport à l'origine
- 5. b) On a représenté une partie de la courbe Complète cette courbe.
Un repère orthogonal d'origine O. Au palier 1, la partie de la courbe pour les abscisses de 0 à 1 est tracée en bleu : elle part de l'origine, d'abord presque à plat, puis monte jusqu'au point d'abscisse 1 et d'ordonnée 1. Au palier 2, un point M d'abscisse x est marqué sur cette partie, et le point N, d'abscisse moins x et d'ordonnée opposée, est placé de l'autre côté : le segment [MN] passe par l'origine O, qui est son milieu. Au palier 3, l'autre moitié de la courbe est tracée en rouge, du point d'abscisse moins 1 et d'ordonnée moins 1 jusqu'à l'origine : c'est le symétrique de la partie bleue par rapport à O.
Exemple traité
Réponds aux questions.
- L'intervalle — Si alors
- Les images — Le cube d'un opposé est l'opposé du cube.
- Les points M et N — Leurs abscisses sont opposées et leurs ordonnées aussi : le milieu du segment est l'origine
- La courbe — On complète la partie connue par son symétrique par rapport à
À ne pas faire : — . Un exposant impair garde le signe : C'est un exposant pair qui le fait disparaître.
19. Définition
Fonction impaire
Ce qu’il dit
W tawa la deuxième définition. f mo3arrfa 3la ensemble E. N9oulou f impaire, ki l koll x men E, moins x fi E, w f de moins x égale moins f de x. Ya3ni zouz réels opposés 3andhom images opposées. W la conséquence : la courbe mta3 fonction impaire symétrique par rapport à l'origine du repère. W rodd belek : fonction mouch paire, mouch bedharoura impaire. Barcha fonctions ma houma la paires la impaires.
w توّة la deuxième définition . f معرّفة على ensemble E . نقولو f impaire ، كي لكل x من E ، moins x في E ، w f de moins x égale moins f de x . يعني زوز réels opposés عندهم images opposées . w la conséquence : la courbe متاع fonction impaire symétrique par rapport à l'origine du repère . w ردّ بالك : fonction موش paire ، موش بالضرورة impaire . برشا fonctions ما هوما لا paires لا impaires .
Et maintenant la deuxième définition. f est définie sur un ensemble E. On dit que f est impaire quand, pour tout x de E, moins x est dans E, et f de moins x égale moins f de x. Autrement dit, deux réels opposés ont des images opposées. Et la conséquence : la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Et attention : une fonction qui n'est pas paire n'est pas forcément impaire. Beaucoup de fonctions ne sont ni paires ni impaires.
Soit une fonction définie sur un ensemble
On dit que est impaire si, pour tout réel de on a et
Conséquence. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
f est impaire
Exemple traité
Soit la fonction définie par : à on ajoute son inverse. Détermine son ensemble de définition, puis montre que est impaire.
- L'ensemble de définition — Le dénominateur ne doit pas être nul.
- Première condition — Si alors : l'opposé d'un élément de est dans
- Deuxième condition — On remplace par puis on met le signe moins en facteur.
À ne pas faire : n'est pas paire, donc est impaire — Une fonction peut n'être ni paire ni impaire, comme . Paire et impaire ne sont pas des contraires : chacune se démontre avec sa propre égalité, ou bien
À ne pas faire : signifie que les images sont négatives — signifie que et ont des images opposées. Avec où l'on ajoute à son inverse, on trouve et : l'une est positive, l'autre négative.
20. Méthode
Étudier la parité d'une fonction
Ce qu’il dit
Bech nedrsou la parité mta3 fonction, trois étapes. Un : nlawjou 3la l'ensemble de définition, w nthabbtou elli fih moins x koll ma fih x. Ken mouch hakka, wfet : la fonction ni paire ni impaire. Mathalan x sur (x moins deux) : moins deux 3andou image, ama deux le. Deux : na7sbou f de moins x. Ken l9ina f de x, la fonction paire ; ken l9ina moins f de x, hiya impaire. Trois : ken ma l9ina la hedhi la hedhika, na3tiw contre-exemple bel nombres.
باش ندرسو la parité متاع fonction ، trois étapes . un : نلوّجو على l'ensemble de définition ، w نثبّتو اللي فيه moins x كل ما فيه x . كان موش هكّا ، وفات : الـ fonction ni paire ni impaire . مثلا x sur (x moins deux) : moins deux عندو image ، أما deux لا . deux : نحسبو f de moins x . كان لقينا f de x ، الـ fonction paire ؛ كان لقينا moins f de x ، هي impaire . trois : كان ما لقينا لا هاذي لا هاذيكا ، نعطيو contre-exemple بالـ nombres .
Pour étudier la parité d'une fonction, trois étapes. Un : on cherche l'ensemble de définition, et on vérifie qu'il contient moins x chaque fois qu'il contient x. Si ce n'est pas le cas, c'est terminé : la fonction n'est ni paire ni impaire. Par exemple x sur (x moins deux) : moins deux a une image, mais pas deux. Deux : on calcule f de moins x. Si on trouve f de x, la fonction est paire ; si on trouve moins f de x, elle est impaire. Trois : si on ne trouve ni l'un ni l'autre, on donne un contre-exemple avec des nombres.
Soit une fonction de vers Dans chacun des cas suivants, détermine l'ensemble de définition de puis dis si la fonction est paire, impaire, ou ni paire ni impaire.
a) ; b) ; c) ; d) ; e)
Dans le cas d), on ajoute à son inverse ; dans le cas e), on ajoute à l'inverse de
La méthode. 1. On détermine l'ensemble de définition et on regarde s'il contient l'opposé de chacun de ses éléments. Sinon, n'est ni paire ni impaire. 2. On calcule et on le compare à et à 3. Pour montrer que n'est ni paire ni impaire, on donne un réel pour lequel et
Exemple traité
Étudie la parité dans les cas a), b) et e).
- a) L'ensemble de définition — : il contient mais pas son opposé
- b) L'ensemble de définition — Le dénominateur s'annule quand c'est-à-dire pour ou pour : est privé de et de et il contient l'opposé de chacun de ses éléments.
- b) Le calcul — Un réel et son opposé ont la même valeur absolue.
- e) Un contre-exemple — contient l'opposé de chacun de ses éléments, mais les images de et de ne sont ni égales ni opposées.
À ne pas faire : a) : on ne sait pas conclure — a) ne contient pas l'opposé de : n'est ni paire ni impaire. On commence toujours par l'ensemble de définition : s'il ne contient pas pour chaque la question est réglée sans calcul.
À ne pas faire : e) ne ressemble pas à : on ne peut rien dire — e) et : n'est ni paire ni impaire. Pour prouver qu'une fonction n'est ni paire ni impaire, un contre-exemple avec des nombres suffit, et il est indiscutable.
21. Application
Exemple : compléter une courbe par symétrie
Ce qu’il dit
Na3rfou la courbe ken 3al imin, l x bin zéro w cinq, w n7ebbou nkamlouha 3al isar. Ken f paire, nrasmou le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : kif elli natwiw el war9a 3la l'axe. Le point S, elli l'abscisse mte3ou deux w l'ordonnée mte3ou deux, ya3tina le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée deux. Ken f impaire, nrasmou le symétrique par rapport à l'origine : na3mlou demi-tour 7awl O. Wa9tha le point S ya3tina le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée moins deux.
نعرفو الـ courbe كان على اليمين ، لـ x بين zéro w cinq ، w نحبّو نكمّلوها على اليسار . كان f paire ، نرسمو le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : كيف اللي نطويو الورقة على l'axe . le point S ، اللي l'abscisse متاعو deux w l'ordonnée متاعو deux ، يعطينا le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée deux . كان f impaire ، نرسمو le symétrique par rapport à l'origine : نعملو demi-tour حول O . وقتها le point S يعطينا le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée moins deux .
On connaît la courbe seulement à droite, pour x entre zéro et cinq, et on veut la compléter à gauche. Si f est paire, on trace le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : comme si on pliait la feuille le long de l'axe. Le point S, d'abscisse deux et d'ordonnée deux, donne le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée deux. Si f est impaire, on trace le symétrique par rapport à l'origine : on fait un demi-tour autour de O. Alors le point S donne le point d'abscisse moins deux et d'ordonnée moins deux.
La courbe tracée en bleu est une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur : on la connaît pour les abscisses de à
Complète cette représentation graphique dans chacun des cas suivants : a) est paire ; b) est impaire.
Un repère orthonormé d'origine O. Au palier 1, la partie connue de la courbe, en bleu, pour les abscisses de 0 à 5 : elle part de l'origine, monte jusqu'au point S d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, puis redescend jusqu'au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 0. Au palier 2, en rouge, la courbe complétée quand f est paire : le symétrique de la partie bleue par rapport à l'axe des ordonnées, qui monte du point d'abscisse moins 5 et d'ordonnée 0 jusqu'au point d'abscisse moins 2 et d'ordonnée 2, puis redescend à l'origine. Au palier 3, en vert, la courbe complétée quand f est impaire : le symétrique de la partie bleue par rapport à l'origine, qui descend du point d'abscisse moins 5 et d'ordonnée 0 jusqu'au point d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2, puis remonte à l'origine.
Exemple traité
Complète la courbe dans les deux cas, en t'aidant du point
- Si f est paire — La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : le point donne le point d'abscisse et de même ordonnée.
- Si f est impaire — La courbe est symétrique par rapport à l'origine : le point donne le point d'abscisse et d'ordonnée opposée.
- Toute la courbe — On fait de même pour chaque point de la partie connue : on obtient la courbe rouge si est paire, la courbe verte si est impaire.
À ne pas faire : est impaire : on trace le symétrique par rapport à l'axe des abscisses — est impaire : on trace le symétrique par rapport à l'origine . Le symétrique par rapport à l'axe des abscisses garderait les mêmes abscisses que la partie connue : chaque aurait deux images.
22. Activité
Un problème pour aller plus loin : quatre récipients
Ce qu’il dit
Hedha problème. Quatre récipients 3andhom nafs la hauteur w nafs la capacité, vingt litres, w n3abbiwhom b nafs le robinet, b débit constant. L koll wa7ed, rsamna la hauteur mta3 el ma en fonction du temps. El quatre courbes yabdew men l'origine w youfew fi nafs le point, d'abscisse cinq et d'ordonnée quarante. Idhan na9raw elli les récipients toulhom quarante centimètres, w yelzemhom cinq minutes bech yet3abbew. Vingt litres fi cinq minutes : le débit mta3 le robinet houwa quatre litres par minute. Ama bin le début w la fin, el quatre courbes ma yatl3ouch b nafs ettari9a.
هاذا problème . quatre récipients عندهم نفس la hauteur w نفس la capacité ، vingt litres ، w نعبّيوهم بنفس الـ robinet ، بـ débit constant . لكل واحد ، رسمنا la hauteur متاع الماء en fonction du temps . الـ quatre courbes يبداو من l'origine w يوفاو في نفس le point ، d'abscisse cinq et d'ordonnée quarante . إذن نقراو اللي les récipients طولهم quarante centimètres ، w يلزمهم cinq minutes باش يتعبّاو . vingt litres في cinq minutes : le débit متاع الـ robinet هو quatre litres par minute . أما بين le début w la fin ، الـ quatre courbes ما يطلعوش بنفس الطريقة .
Voici un problème. Quatre récipients ont la même hauteur et la même capacité, vingt litres, et on les remplit avec le même robinet, à débit constant. Pour chacun, on a tracé la hauteur de l'eau en fonction du temps. Les quatre courbes partent de l'origine et finissent au même point, d'abscisse cinq et d'ordonnée quarante. On lit donc que les récipients mesurent quarante centimètres de haut, et qu'il leur faut cinq minutes pour se remplir. Vingt litres en cinq minutes : le débit du robinet est de quatre litres par minute. Mais entre le début et la fin, les quatre courbes ne montent pas de la même façon.
Quatre récipients et ont la même hauteur et la même capacité de litres. On les remplit un à un à l'aide d'un robinet à débit constant. On a représenté, pour chaque récipient, la hauteur de l'eau (en centimètres) dans le récipient en fonction du temps de remplissage écoulé (en minutes) : ce sont les courbes et
- 1.Détermine la hauteur de ces récipients.
- 2.Quel est le débit du robinet, en litres par minute ?
Un repère : en abscisse le temps t en minutes, gradué de 1 en 1 jusqu'à 5 ; en ordonnée la hauteur h de l'eau en centimètres, graduée de 10 en 10 jusqu'à 40. Quatre courbes partent de l'origine et arrivent toutes au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 40. C1, noire, est un segment de droite. C2, bleue, est faite de deux segments : elle monte lentement jusqu'au point d'abscisse 4 et d'ordonnée 20, puis très vite. C3, verte, monte vite au début puis de plus en plus lentement. C4, rouge, monte lentement au début puis de plus en plus vite. Au palier 2, des pointillés lisent le point d'arrivée commun.
Exemple traité
Lis sur le graphique la hauteur des récipients, puis calcule le débit du robinet.
- La hauteur — Les quatre courbes s'arrêtent au même point, d'ordonnée : quand un récipient est plein, l'eau est à centimètres.
- La durée — Ce point a pour abscisse : chaque récipient est rempli en minutes.
- Le débit — Le robinet verse litres en minutes, toujours à la même vitesse.
À ne pas faire : Le débit est litres par minute — Le débit est litres par minute. est une hauteur en centimètres, pas un volume : le débit compare le volume versé, litres, à la durée.
23. Application
Exemple : à chaque récipient sa courbe
Ce qu’il dit
Kifech nal9aw le récipient men la courbe mte3ou ? Fekra wa7da : le robinet ysobb dima nafs la quantité mta3 el ma fel minute. Win le récipient wese3, el ma yetfarrech, w le niveau yatla3 bechwaya. Win dhayya9, le niveau yatla3 fisa3. Le cylindre B 3andou nafs la largeur el koll : la courbe mte3ou droite, C un. Le récipient C wese3 louta w dhayya9 el fou9 : bechwaya w ba3d fisa3, hedhi C deux. Le récipient A yedhya9 chwaya chwaya : le niveau yatla3 asra3 w asra3, hedhi C quatre. W le récipient D yousa3 : le niveau yatla3 abta w abta, hedhi C trois.
كيفاش نلقاو الـ récipient من la courbe متاعو ؟ فكرة وحدة : الـ robinet يصبّ ديما نفس la quantité متاع الماء في الـ minute . وين الـ récipient واسع ، الماء يتفرّش ، w le niveau يطلع بالشويّة . وين ضيّق ، le niveau يطلع فيسع . le cylindre B عندو نفس la largeur الكل : la courbe متاعو droite ، C un . le récipient C واسع لوطة w ضيّق الفوق : بالشويّة w بعد فيسع ، هاذي C deux . le récipient A يضياق شويّة شويّة : le niveau يطلع أسرع w أسرع ، هاذي C quatre . w le récipient D يوساع : le niveau يطلع أبطى w أبطى ، هاذي C trois .
Comment retrouver le récipient à partir de sa courbe ? Une seule idée : le robinet verse toujours la même quantité d'eau par minute. Là où le récipient est large, l'eau s'étale, et le niveau monte lentement. Là où il est étroit, le niveau monte vite. Le cylindre B a la même largeur partout : sa courbe est une droite, C un. Le récipient C est large en bas et étroit en haut : lentement puis vite, c'est C deux. Le récipient A se resserre peu à peu : le niveau monte de plus en plus vite, c'est C quatre. Et le récipient D s'élargit : le niveau monte de plus en plus lentement, c'est C trois.
On reprend les quatre récipients de litres et les courbes à : est un segment de droite ; est faite de deux segments, le premier montant lentement, le second très vite ; monte vite au début, puis de plus en plus lentement ; monte lentement au début, puis de plus en plus vite.
Associe chaque récipient à la courbe qui lui correspond.
Le robinet verse toujours le même volume par minute. Là où le récipient est large, ce volume s'étale : le niveau monte lentement. Là où il est étroit, le niveau monte vite.
Quatre récipients de même hauteur, vus de face. Le récipient A est large en bas et se resserre vers le haut. Le récipient B est un cylindre : il a la même largeur partout. Le récipient C est fait de deux cylindres posés l'un sur l'autre : un cylindre large pour la moitié du bas, un cylindre étroit pour la moitié du haut. Le récipient D est étroit en bas et s'élargit vers le haut.
Exemple traité
Associe chacun des récipients et à sa courbe.
- Le récipient B — Il a la même largeur partout : le niveau monte toujours à la même vitesse, la hauteur est proportionnelle au temps.
- Le récipient C — Large en bas, étroit en haut : le niveau monte lentement pendant minutes, puis vite pendant la dernière minute.
- Le récipient A — Il se resserre vers le haut : le niveau monte de plus en plus vite.
- Le récipient D — Il s'élargit vers le haut : le niveau monte de plus en plus lentement.
À ne pas faire : Le récipient large en haut, va avec la courbe qui monte le plus vite à la fin — Le récipient va avec : en haut il est large, donc le niveau monte lentement à la fin. La courbe donne la hauteur de l'eau, pas la largeur du récipient : plus le récipient est large, plus la courbe est plate.
24. Application
Un problème pour aller plus loin : un maximum par le calcul
Ce qu’il dit
Problème bech nemchiw ab3ed, w el marra hedhi blech courbe : nlawjou 3la le maximum w le minimum mta3 f de x égale x sur (x au carré plus un), 3la R. Ettari9a : ne5dhou a w b positifs, a inférieur à b, w nfactorisiw f de b moins f de a. Nal9aw nafs le signe mta3 un moins a b. Bin zéro w un, le produit a b asghar men un : f croissante. Ba3d un, a b akber men un : f décroissante. Idhan le maximum houwa f de un, ya3ni un demi. W 5ater f impaire, le minimum houwa f de moins un, ya3ni moins un demi.
problème باش نمشيو أبعد ، w المرّة هاذي بلاش courbe : نلوّجو على le maximum w le minimum متاع f de x égale x sur (x au carré plus un) ، على R . الطريقة : ناخذو a w b positifs ، a inférieur à b ، w nfactorisiw f de b moins f de a . نلقاو نفس le signe متاع un moins a b . بين zéro w un ، le produit a b أصغر من un : f croissante . بعد un ، a b أكبر من un : f décroissante . إذن le maximum هو f de un ، يعني un demi . w خاطر f impaire ، le minimum هو f de moins un ، يعني moins un demi .
Un problème pour aller plus loin, et cette fois sans courbe : on cherche le maximum et le minimum de f de x égale x sur (x au carré plus un), sur R. La méthode : on prend a et b positifs, a inférieur à b, et on factorise f de b moins f de a. On trouve le même signe que un moins a b. Entre zéro et un, le produit a b est plus petit que un : f est croissante. Après un, a b est plus grand que un : f est décroissante. Donc le maximum est f de un, c'est-à-dire un demi. Et comme f est impaire, le minimum est f de moins un, c'est-à-dire moins un demi.
On considère la fonction définie sur par On se propose de déterminer, si elles existent, la valeur maximale et la valeur minimale de
- 1.Soient et deux réels positifs tels que
- 2. a) Montre que a le même signe que
- 3. b) Déduis-en le sens de variation de sur et sur
- 4. c) Détermine alors la valeur maximale de sur puis sur
- 5.Détermine la valeur minimale de sur
la différence, factorisée
Exemple traité
Résous le problème, question par question.
- Factoriser la différence — On réduit au même dénominateur, puis on met en facteur au numérateur.
- Le signe — et le dénominateur est strictement positif : a le signe de
- Sur [0 ; 1] — Si alors : la différence est positive, est croissante sur
- Sur [1 ; +∞[ — Si alors : la différence est négative, est décroissante sur
- Le maximum — Sur est croissante jusqu'à puis décroissante : son maximum est Et si alors : est aussi le maximum sur
- Le minimum — est impaire : Comme pour tout réel on a pour tout réel
À ne pas faire : est croissante sur et décroissante sur donc est le maximum sur — Il faut encore regarder les réels négatifs : si alors qui est plus petit que . Les variations sur ne disent rien de ce qui se passe sur : on traite cet intervalle à part.
À ne pas faire : a le signe de donc est croissante dès que — Il faut le signe de pour tous les réels de l'intervalle étudié. Le produit dépend des deux réels : avec et on a bien mais est plus grand que
25. Application
Un problème pour aller plus loin : une aire dans un trapèze
Ce qu’il dit
E5er problème. Trapèze rectangle ABCD, w point M yatla3 3la le côté BC. La parallèle à CD elli tet3adda men M t9oss AD fi N, w nchoufou l'aire mta3 le polygone MNDC. N7ottou CM égale x. La base ellouteniya fiha trois, la base el fou9aniya MN fiha trois moins x, w la hauteur hiya x. Idhan l'aire hiya g de x égale x fois (six moins x), le tout sur deux. Ki M yatla3 men C l B, x yzid men zéro l deux w l'aire tzid : g croissante. Le maximum mte3ha houwa g de deux, ya3ni quatre : l'aire mta3 le trapèze el koll.
آخر problème . trapèze rectangle ABCD ، w point M يطلع على le côté BC . la parallèle à CD اللي تتعدّى من M تقصّ AD في N ، w نشوفو l'aire متاع le polygone MNDC . نحطّو CM égale x . la base اللوطانية فيها trois ، la base الفوقانية MN فيها trois moins x ، w la hauteur هي x . إذن l'aire هي g de x égale x fois (six moins x) ، le tout sur deux . كي M يطلع من C لـ B ، x يزيد من zéro لـ deux w l'aire تزيد : g croissante . le maximum متاعها هو g de deux ، يعني quatre : l'aire متاع الـ trapèze الكل .
Dernier problème. Un trapèze rectangle ABCD, et un point M qui monte le long du côté BC. La parallèle à CD passant par M coupe AD en N, et on regarde l'aire du polygone MNDC. On pose CM égale x. La base du bas mesure trois, la base du haut, MN, mesure trois moins x, et la hauteur est x. Donc l'aire est g de x égale x fois (six moins x), le tout sur deux. Quand M monte de C vers B, x augmente de zéro à deux et l'aire augmente : g est croissante. Son maximum est g de deux, c'est-à-dire quatre : l'aire du trapèze tout entier.
est un trapèze rectangle de bases et tel que et ; le côté est perpendiculaire aux bases. est un point du segment La parallèle à passant par coupe en
On se propose d'étudier la variation de l'aire du polygone lorsque le point varie sur le segment On pose et on note cette aire.
- 1.Exprime en fonction de puis
- 2.Avec un logiciel de géométrie, on a mesuré et une aire de Vérifie cette mesure.
- 3.Comment varie sur ? Quelle est sa valeur maximale ?
Un trapèze rectangle ABCD. La grande base [DC] est en bas, D à gauche et C à droite ; la petite base [AB] est en haut ; le côté [BC], à droite, est perpendiculaire aux deux bases ; le côté [AD], à gauche, est oblique. Au palier 2, le point M est sur le côté [BC] et le point N sur le côté [AD], avec (MN) parallèle à (DC). Le polygone MNDC, la partie du bas, est coloré en bleu. La longueur CM est notée x.
Exemple traité
Réponds aux trois questions.
- La longueur MN — Soit le pied de la hauteur issue de : et Le triangle est rectangle et isocèle : à la hauteur le point est décalé de par rapport à
- L'aire — est un trapèze de bases et et de hauteur
- La mesure — Pour on retrouve bien l'aire mesurée, arrondie au centième.
- Les variations — Pour on a : la différence est positive, est croissante sur
- Le maximum — Il est atteint quand est en : c'est l'aire du trapèze tout entier.
À ne pas faire : l'aire d'un rectangle de côtés et — : est un trapèze, et sa petite base vaut . Le côté est oblique : quand monte, le segment raccourcit, et l'aire augmente de moins en moins vite.
26. Remarque
Pour la culture : le partage des onze chevaux
Ce qu’il dit
W fel e5er, 7keya. Rajel 5alla onze chevaux l trois wled : la moitié lel kbir, le quart lel wastani, w le sixième les-sghir. Ma tjich : el 7san ma yet9assech ! Wa7ed mel 3ayla sallefhom 7san. B douze chevaux, koll chay yji mrigel : six, trois w deux. El majmou3 onze : yo93od 7san, w moulah yrajj3ou. Esserr ? Un demi plus un quart plus un sixième égale onze douzièmes, mouch un. El wsiya ma farr9etch koll chay.
w في الآخر ، حكاية . راجل خلّى onze chevaux لـ trois أولاد : la moitié للكبير ، le quart للوسطاني ، w le sixième للصغير . ما تجيش : الحصان ما يتقصّش ! واحد من العايلة سلّفهم حصان . بـ douze chevaux ، كل شي يجي مريقل : six ، trois w deux . المجموع onze : يقعد حصان ، w مولاه يرجّعو . السرّ ؟ un demi plus un quart plus un sixième égale onze douzièmes ، موش un . الوصيّة ما فرّقتش كل شي .
Et pour finir, une histoire. Un homme laisse onze chevaux à ses trois fils : la moitié pour l'aîné, le quart pour le deuxième, et le sixième pour le plus jeune. Impossible : on ne coupe pas un cheval ! Un parent leur prête alors un cheval. Avec douze chevaux, tout tombe juste : six, trois et deux. Le total fait onze : il reste un cheval, et son propriétaire le reprend. Le secret ? Un demi plus un quart plus un sixième égale onze douzièmes, et non un. Le testament ne partageait pas tout.
Un casse-tête arabe très ancien. Un homme veut qu'à sa mort on partage ses chevaux entre ses trois héritiers : l'aîné en aura la moitié, le deuxième le quart, le cadet le sixième. Le notaire est bien embarrassé : un cheval ne se coupe pas en morceaux !
Un parent résout le problème en prêtant un de ses chevaux. Les chevaux sont alors répartis selon le testament : les trois fils reçoivent et chevaux. Il en reste un : le parent récupère le sien.
L'explication tient dans une addition de fractions de numérateur que l'on appelle des fractions égyptiennes : et non Le testament ne partageait pas tout l'héritage.
Avec trois héritiers et un cheval prêté, on démontre qu'il n'existe que sept partages de ce genre : ils correspondent à (de deux façons), et chevaux.
le testament ne partage que onze douzièmes
Exemple traité
Vérifie le partage des chevaux, puis fais de même avec chevaux à partager en une moitié, un tiers et un neuvième.
- Avec 12 chevaux — La moitié, le quart et le sixième de tombent juste.
- La somme des parts — On réduit au même dénominateur
- Avec 17 chevaux — On prête un cheval : la moitié, le tiers et le neuvième de sont et et il reste le cheval prêté.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- La courbe de est l'ensemble des points avec : si et seulement si et La courbe mta3 f hiya l'ensemble des points de coordonnées x et f de x. Le point de coordonnées x et y appartient à la courbe si et seulement si x est dans l'ensemble de définition et y égale f de x.La courbe de f est l'ensemble des points de coordonnées x et f de x. Le point de coordonnées x et y appartient à la courbe si et seulement si x est dans l'ensemble de définition et y égale f de x.
- L'image de est l'ordonnée du point de d'abscisse ; les antécédents de sont les abscisses des points de d'ordonnée L'image de a hiya l'ordonnée mta3 le point d'abscisse a, w les antécédents de k houma les abscisses mta3 les points d'ordonnée k.L'image de a est l'ordonnée du point d'abscisse a, et les antécédents de k sont les abscisses des points d'ordonnée k.
- Les solutions de sont les abscisses des points communs à et ; là où est au-dessous de la droite d'équation Les solutions mta3 f de x égale g de x houma les abscisses mta3 les points win ezzouz courbes yetle9aw, w f de x inférieur à k win la courbe ta7t la droite y égale k.Les solutions de f de x égale g de x sont les abscisses des points où les deux courbes se rencontrent, et f de x est inférieur à k là où la courbe est sous la droite y égale k.
- est le minimum de sur si pour tout de ; c'est le maximum si pour tout de f de a houwa le minimum sur I ki f de x supérieur ou égal à f de a l koll x men I, w houwa le maximum ki f de x inférieur ou égal à f de a l koll x men I.f de a est le minimum sur I quand f de x est supérieur ou égal à f de a pour tout x de I, et c'est le maximum quand f de x est inférieur ou égal à f de a pour tout x de I.
- est croissante sur si entraîne ; décroissante si entraîne ; monotone si elle est l'une ou l'autre.Croissante t5alli l'ordre, décroissante tbaddlou, w monotone ma3neha wa7da mel zouz 3la l'intervalle el koll.Croissante garde l'ordre, décroissante le change, et monotone veut dire l'une des deux sur tout l'intervalle.
- Par le calcul : le signe de pour un maximum ou un minimum, le signe de pour le sens de variation.Bel calcul : nlawjou 3la le signe mta3 f de x moins f de a lel maximum walla el minimum, w 3la le signe mta3 f de b moins f de a lel sens de variation.Par le calcul : on cherche le signe de f de x moins f de a pour un maximum ou un minimum, et le signe de f de b moins f de a pour le sens de variation.
- est paire si, pour tout de et : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.f paire ki moins x fi l'ensemble de définition w f de moins x égale f de x : la courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.f est paire quand moins x est dans l'ensemble de définition et que f de moins x égale f de x : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- est impaire si, pour tout de et : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.f impaire ki moins x fi l'ensemble de définition w f de moins x égale moins f de x : la courbe symétrique par rapport à l'origine du repère.f est impaire quand moins x est dans l'ensemble de définition et que f de moins x égale moins f de x : la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna généralités sur les fonctions. Tfakker : l'image na9rawha 3la l'axe des ordonnées, w l'antécédent 3la l'axe des abscisses. Le maximum w le minimum houma valeurs f de a, w dima 3la intervalle. Croissante t5alli l'ordre, w décroissante tbaddlou. W lel parité, nchoufou 9bal l'ensemble de définition, w ba3d f de moins x. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا généralités sur les fonctions . تفكّر : l'image نقراوها على l'axe des ordonnées ، w l'antécédent على l'axe des abscisses . le maximum w le minimum هوما valeurs f de a ، w ديما على intervalle . croissante تخلّي l'ordre ، w décroissante تبدّلو . w للـ parité ، نشوفو قْبَلْ l'ensemble de définition ، w بعد f de moins x . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé les généralités sur les fonctions. Retiens : une image se lit sur l'axe des ordonnées, et un antécédent sur l'axe des abscisses. Le maximum et le minimum sont des valeurs f de a, et toujours sur un intervalle. Croissante garde l'ordre, et décroissante le change. Et pour la parité, on regarde d'abord l'ensemble de définition, puis f de moins x. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Pour comprendre : l'ensemble de définition
- kifech nal9a l'ensemble de définition
- comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction
- chnowa l'ensemble de définition
- domaine de définition kifech nal9ah
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'ensemble de définition houwa les réels x el koll elli f de x mawjoud fihom. Zouz 7ajet nthabbtou fihom : le dénominateur ma yelzemch ykoun nul, w elli ta7t racine carrée lezem ykoun positif walla nul. Nabdew men l'ensemble de départ, w nna77iw les réels el koll elli fihom mochkel.
l'ensemble de définition هو les réels x الكل اللي f de x موجود فيهم . زوز حاجات نثبّتو فيهم : le dénominateur ما يلزمش يكون nul ، w اللي تحت racine carrée لازم يكون positif ولّا nul . نبداو من l'ensemble de départ ، w ننحّيو les réels الكل اللي فيهم مشكل .
L'ensemble de définition, ce sont tous les réels x pour lesquels f de x existe. Deux choses à surveiller : un dénominateur ne doit pas être nul, et ce qui est sous une racine carrée doit être positif ou nul. On part de l'ensemble de départ, et on retire tous les réels qui posent problème.
Question 2 · Pour comprendre : l'ensemble de définition
- 3lech le dénominateur ma ynajjemch ykoun zéro
- pourquoi le dénominateur ne doit pas être nul
- dénominateur nul chnowa na3mel
- valeur interdite c'est quoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ma najjmouch ndivisiw 3la zéro. Idhan win le dénominateur ysewi zéro, la fonction ma 3andhech image : hedhi valeur interdite, w nna77iwha men l'ensemble de définition. Mathalan, fi $\dfrac{x}{x - 3}$, n7ellou $x - 3 = 0$ : la valeur interdite hiya 3.
ما نجّموش ndivisiw على zéro . إذن وين le dénominateur يساوي zéro ، الـ fonction ما عندهاش image : هاذي valeur interdite ، w ننحّيوها من l'ensemble de définition . مثلا ، في x sur (x moins trois) ، نحلّو x moins trois égale zéro : la valeur interdite هي trois .
On ne peut pas diviser par zéro. Donc là où le dénominateur vaut zéro, la fonction n'a pas d'image : c'est une valeur interdite, et on la retire de l'ensemble de définition. Par exemple, dans x sur (x moins trois), on résout x moins trois égale zéro : la valeur interdite est trois.
Question 3 · Représentation graphique d'une fonction
- chnowa la courbe représentative mta3 fonction
- c'est quoi la représentation graphique d'une fonction
- courbe représentative c'est quoi
- définition de la représentation graphique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La courbe représentative mta3 fonction f, hiya l'ensemble mta3 les points el koll de coordonnées $(x ; f(x))$, ki x yet3adda 3la l'ensemble de définition. Koll point men la courbe ya3tina réel w l'image mte3ou : l'abscisse hiya x, w l'ordonnée hiya f(x). W nsammiwha zeda la représentation graphique de f.
la courbe représentative متاع fonction f ، هي l'ensemble متاع les points الكل de coordonnées x et f de x ، كي x يتعدّى على l'ensemble de définition . كل point من الـ courbe يعطينا réel w l'image متاعو : l'abscisse هي x ، w l'ordonnée هي f de x . w نسمّيوها زادة la représentation graphique de f .
La courbe représentative d'une fonction f, c'est l'ensemble de tous les points de coordonnées x et f de x, quand x parcourt l'ensemble de définition. Chaque point de la courbe donne un réel et son image : l'abscisse est x, et l'ordonnée est f de x. On l'appelle aussi la représentation graphique de f.
Question 4 · Représentation graphique d'une fonction
- kifech na3ref point 3la la courbe walla le
- comment savoir si un point appartient à la courbe
- point appartient à la courbe kifech nthabbet
- vérifier qu'un point est sur la courbe
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Na7sbou l'image mta3 l'abscisse mta3 le point, w nchoufouha m3a l'ordonnée mte3ou. Ken yetsewew, le point 3la la courbe ; ken le, mouch 3liha. Mathalan, m3a $f(x) = 2x^{2} - 3x$, le point $A(1 ; -1)$ 3la la courbe, 5ater $f(1) = -1$. W rodd belek : valeur approchée ma tekfich, lezem l'égalité tkoun exacte.
نحسبو l'image متاع l'abscisse متاع الـ point ، w نشوفوها مع l'ordonnée متاعو . كان يتساواو ، الـ point على الـ courbe ؛ كان لا ، موش عليها . مثلا ، مع f de x égale deux x au carré moins trois x ، le point de coordonnées un et moins un على الـ courbe ، خاطر f de un égale moins un . w ردّ بالك : valeur approchée ما تكفيش ، لازم l'égalité تكون exacte .
On calcule l'image de l'abscisse du point, et on la compare à son ordonnée. Si elles sont égales, le point est sur la courbe ; sinon, il n'y est pas. Par exemple, avec f de x égale deux x au carré moins trois x, le point de coordonnées un et moins un est sur la courbe, car f de un égale moins un. Et attention : une valeur approchée ne suffit pas, il faut que l'égalité soit exacte.
Question 5 · Pour comprendre : une courbe, une fonction ?
- 3lech le cercle mouch courbe mta3 fonction
- pourquoi un cercle ne représente pas une fonction
- est-ce que toute courbe représente une fonction
- le cercle courbe mta3 fonction walla le
Ce qu’il répond
Mouch koll courbe hiya courbe mta3 fonction, w le cercle mouch courbe mta3 fonction, 5ater la fonction ta3ti l koll x, image wa7da 3al akthar. 3la cercle, droite verticale t9oss la courbe fi zouz points : nafs l'abscisse ywalli 3andha zouz ordonnées, ya3ni zouz images. Hedha ma yjich. Le test : ken verticale t9oss la courbe fi akthar men point, mouch courbe mta3 fonction.
موش كل courbe هي courbe متاع fonction ، w le cercle موش courbe متاع fonction ، خاطر الـ fonction تعطي لكل x ، image وحدة على الأكثر . على cercle ، droite verticale تقصّ الـ courbe في زوز points : نفس l'abscisse يولّي عندها زوز ordonnées ، يعني زوز images . هذا ما يجيش . الـ test : كان verticale تقصّ الـ courbe في أكثر من point ، موش courbe متاع fonction .
Une courbe n'est pas toujours la courbe d'une fonction, et le cercle n'en est pas une, parce qu'une fonction donne à chaque x une image au plus. Sur un cercle, une droite verticale coupe la courbe en deux points : la même abscisse aurait deux ordonnées, donc deux images. C'est impossible. Le test : si une verticale coupe la courbe en plus d'un point, ce n'est pas la courbe d'une fonction.
Question 6 · Lire une courbe : images et antécédents
- chnowa el far9 bin image w antécédent
- quelle est la différence entre image et antécédent
- image w antécédent kifech nfar9 binethom
- image et antécédent c'est quoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'image hiya ennatija : nabdew men x w na7sbou f(x). L'antécédent houwa ettri9 bel 3aks : nabdew men nombre k, w nlawjou 3la les x elli $f(x) = k$. Koll réel men l'ensemble de définition 3andou image wa7da berk, ama nombre ynajjem ykoun 3andou barcha antécédents, walla 7atta wa7ed. 3la la courbe, l'image na9rawha 3la l'axe des ordonnées, w les antécédents 3la l'axe des abscisses.
l'image هي النتيجة : نبداو من x w نحسبو f de x . l'antécédent هو الطريق بالعكس : نبداو من nombre k ، w نلوّجو على les x اللي f de x متاعهم égale k . كل réel من l'ensemble de définition عندو image وحدة برك ، أما nombre ينجّم يكون عندو برشا antécédents ، ولّا حتّى واحد . على الـ courbe ، l'image نقراوها على l'axe des ordonnées ، w les antécédents على l'axe des abscisses .
L'image, c'est le résultat : on part de x et on calcule f de x. L'antécédent, c'est le chemin inverse : on part d'un nombre k, et on cherche les x tels que f de x égale k. Un réel de l'ensemble de définition a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Sur la courbe, l'image se lit sur l'axe des ordonnées, et les antécédents sur l'axe des abscisses.
Question 7 · Lire une courbe : images et antécédents
- kifech na9ra l'image 3la la courbe
- comment lire l'image d'un nombre sur le graphique
- lire une image graphiquement
- image mta3 nombre 3la la courbe kifech nal9aha
Ce qu’il répond
Nal9aw le nombre 3la l'axe des abscisses. Natl3ou, walla nahbtou, à la verticale 7atta lel courbe. W ba3d nemchiw à l'horizontale l l'axe des ordonnées, w na9raw l'image ghadi. Dima nabdew men l'axe des abscisses, w noufew 3la l'axe des ordonnées.
نلقاو الـ nombre على l'axe des abscisses . نطلعو ، ولّا نهبطو ، à la verticale حتّى للـ courbe . w بعد نمشيو à l'horizontale لـ l'axe des ordonnées ، w نقراو l'image غادي . ديما نبداو من l'axe des abscisses ، w نوفاو على l'axe des ordonnées .
On repère le nombre sur l'axe des abscisses. On monte, ou on descend, à la verticale jusqu'à la courbe. Puis on part à l'horizontale vers l'axe des ordonnées, et on y lit l'image. On part toujours de l'axe des abscisses, et on finit sur l'axe des ordonnées.
Question 8 · Lire une courbe : images et antécédents
- kifech nal9a les antécédents 3la la courbe
- comment lire les antécédents sur le graphique
- antécédents graphiquement kifech
- antécédent mta3 nombre 3la la courbe
Ce qu’il répond
Nal9aw le nombre k 3la l'axe des ordonnées, w nrasmou la droite horizontale elli tet3adda men k. Nchoufou les points el koll win t9oss la courbe, w na9raw les abscisses mte3hom : hedhom les antécédents de k. Ynajjem ykoun famma wa7ed, barcha, walla 7atta wa7ed ken l'horizontale ma tetle9ech m3a la courbe.
نلقاو الـ nombre k على l'axe des ordonnées ، w نرسمو la droite horizontale اللي تتعدّى من k . نشوفو les points الكل وين تقصّ الـ courbe ، w نقراو les abscisses متاعهم : هاذم les antécédents de k . ينجّم يكون فمّا واحد ، برشا ، ولّا حتّى واحد كان الـ horizontale ما تتلاقاش مع الـ courbe .
On repère le nombre k sur l'axe des ordonnées, et on trace la droite horizontale qui passe par k. On regarde tous les points où elle coupe la courbe, et on lit leurs abscisses : ce sont les antécédents de k. Il peut y en avoir un, plusieurs, ou aucun si l'horizontale ne rencontre pas la courbe.
Question 9 · Lire une courbe : images et antécédents
- kifech n7ell équation graphiquement
- comment résoudre graphiquement l'équation f(x) = k
- résoudre une équation avec la courbe
- résolution graphique d'une équation
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Bech n7ellou graphiquement $f(x) = k$, nlawjou 3la les antécédents de k. Nrasmou la droite horizontale de hauteur k, w na9raw les abscisses mta3 les points win t9oss la courbe. Ken ma fammech 7atta point commun, l'équation ma 3andhech solution. W rodd belek : les solutions houma abscisses, mouch ordonnées.
باش نحلّو graphiquement f de x égale k ، نلوّجو على les antécédents de k . نرسمو la droite horizontale de hauteur k ، w نقراو les abscisses متاع les points وين تقصّ الـ courbe . كان ما فمّاش حتّى point commun ، l'équation ما عندهاش solution . w ردّ بالك : les solutions هوما abscisses ، موش ordonnées .
Résoudre graphiquement f de x égale k, c'est chercher les antécédents de k. On trace la droite horizontale de hauteur k, et on lit les abscisses des points où elle coupe la courbe. S'il n'y a aucun point commun, l'équation n'a pas de solution. Et attention : les solutions sont des abscisses, pas des ordonnées.
Question 10 · Lire une courbe : images et antécédents
- kifech n7ell inéquation graphiquement
- comment résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < 0
- résoudre une inéquation avec la courbe
- résolution graphique d'une inéquation
Ce qu’il répond
Nchoufou la position mta3 la courbe par rapport à droite horizontale. L $f(x) < 0$, nlawjou 3la les parties mta3 la courbe elli ta7t l'axe des abscisses, w na9raw les abscisses mte3hom : ya3tina intervalle, walla réunion d'intervalles. W ken l'inégalité stricte, nna77iw les abscisses win la courbe tmess la droite.
نشوفو la position متاع الـ courbe par rapport à droite horizontale . لـ f de x strictement inférieur à zéro ، نلوّجو على les parties متاع الـ courbe اللي تحت l'axe des abscisses ، w نقراو les abscisses متاعهم : يعطينا intervalle ، ولّا réunion d'intervalles . w كان l'inégalité stricte ، ننحّيو les abscisses وين الـ courbe تمسّ الـ droite .
On regarde la position de la courbe par rapport à une droite horizontale. Pour f de x strictement inférieur à zéro, on cherche les parties de la courbe situées sous l'axe des abscisses, et on lit leurs abscisses : cela donne un intervalle, ou une réunion d'intervalles. Et si l'inégalité est stricte, on enlève les abscisses où la courbe touche la droite.
Question 11 · Exemple : comparer deux fonctions sur un graphique
- kifech n7ell f(x) = g(x) graphiquement
- comment résoudre f(x) égale g(x) avec les deux courbes
- les points d'intersection des courbes de f et g chnowa ma3nehom
- f(x) = g(x) 3la le graphique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les solutions mta3 $f(x) = g(x)$, houma les abscisses mta3 les points win ezzouz courbes yetle9aw. W bin les points hedhom, ncompariw : win la courbe mta3 f fou9 la courbe mta3 g, f(x) akber men g(x) ; w win hiya ta7tha, f(x) asghar men g(x).
les solutions متاع f de x égale g de x ، هوما les abscisses متاع les points وين الزوز courbes يتلاقاو . w بين les points هاذم ، ncompariw : وين la courbe متاع f فوق la courbe متاع g ، f de x أكبر من g de x ؛ w وين هي تحتها ، f de x أصغر من g de x .
Les solutions de f de x égale g de x sont les abscisses des points où les deux courbes se rencontrent. Et entre ces points, on compare : là où la courbe de f est au-dessus de la courbe de g, f de x est plus grand que g de x ; et là où elle est au-dessous, f de x est plus petit que g de x.
Question 12 · Maximum et minimum
- chnowa le maximum mta3 fonction
- c'est quoi le maximum d'une fonction
- définition du maximum
- maximum d'une fonction chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
f(a) houwa le maximum mta3 f 3la intervalle I, ki l koll x men I, $f(x) \le f(a)$. Hiya akber valeur te5edhha la fonction 3la l'intervalle hedha. 3la la courbe, hiya l'ordonnée mta3 le point el a3la.
f de a هو le maximum متاع f على intervalle I ، كي لكل x من I ، f de x inférieur ou égal à f de a . هي أكبر valeur تاخذها الـ fonction على الـ intervalle هذا . على الـ courbe ، هي l'ordonnée متاع le point الأعلى .
f de a est le maximum de f sur un intervalle I quand, pour tout x de I, f de x est inférieur ou égal à f de a. C'est la plus grande valeur que prend la fonction sur cet intervalle. Sur la courbe, c'est l'ordonnée du point le plus haut.
Question 13 · Maximum et minimum
- chnowa le minimum mta3 fonction
- c'est quoi le minimum d'une fonction
- définition du minimum
- minimum d'une fonction chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
f(a) houwa le minimum mta3 f 3la intervalle I, ki l koll x men I, $f(x) \ge f(a)$. Hiya asghar valeur te5edhha la fonction 3la l'intervalle hedha. 3la la courbe, hiya l'ordonnée mta3 le point el awta.
f de a هو le minimum متاع f على intervalle I ، كي لكل x من I ، f de x supérieur ou égal à f de a . هي أصغر valeur تاخذها الـ fonction على الـ intervalle هذا . على الـ courbe ، هي l'ordonnée متاع le point الأوطى .
f de a est le minimum de f sur un intervalle I quand, pour tout x de I, f de x est supérieur ou égal à f de a. C'est la plus petite valeur que prend la fonction sur cet intervalle. Sur la courbe, c'est l'ordonnée du point le plus bas.
Question 14 · Maximum et minimum
- le maximum houwa a walla f(a)
- le minimum est-ce a ou f(a)
- maximum : l'abscisse ou l'ordonnée
- le minimum yet9ra 3la l'axe des abscisses walla des ordonnées
Ce qu’il répond
Le maximum, walla le minimum, houwa dima valeur mta3 la fonction : houwa le nombre f(a), w na9rawh 3la l'axe des ordonnées. Ama le réel a, houwa el blasa win nal9aw la valeur hedhi : na9rawh 3la l'axe des abscisses. N9oulou : f admet un maximum en a, égal à f(a).
le maximum ، ولّا le minimum ، هو ديما valeur متاع الـ fonction : هو le nombre f de a ، w نقراوه على l'axe des ordonnées . أما le réel a ، هو البلاصة وين نلقاو الـ valeur هاذي : نقراوه على l'axe des abscisses . نقولو : f admet un maximum en a ، égal à f de a .
Le maximum, ou le minimum, est toujours une valeur de la fonction : c'est le nombre f de a, et on le lit sur l'axe des ordonnées. Le réel a, lui, est l'endroit où cette valeur est atteinte : on le lit sur l'axe des abscisses. On dit : f admet un maximum en a, égal à f de a.
Question 15 · Maximum et minimum
- kifech nbayyen elli f(a) minimum bel calcul
- comment démontrer qu'une fonction admet un minimum
- prouver un maximum par le calcul
- kifech nthabbet le maximum bel calcul
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Na7sbou la différence $f(x) - f(a)$, w nlawjou 3la le signe mte3ha. Ken positive walla nulle l koll x men l'intervalle, f(a) houwa le minimum. Ken négative walla nulle, f(a) houwa le maximum. Mathalan, l $f(x) = x^{2} + 2x - 3$, $f(x) - f(-1) = (x + 1)^{2}$, dima positif walla nul : le minimum houwa $f(-1) = -4$.
نحسبو la différence f de x moins f de a ، w نلوّجو على le signe متاعها . كان positive ولّا nulle لكل x من الـ intervalle ، f de a هو le minimum . كان négative ولّا nulle ، f de a هو le maximum . مثلا ، لـ f de x égale x au carré plus deux x moins trois ، f de x moins f de moins un égale (x plus un) au carré ، ديما positif ولّا nul : le minimum هو f de moins un ، يعني moins quatre .
On calcule la différence f de x moins f de a, et on cherche son signe. Si elle est positive ou nulle pour tout x de l'intervalle, f de a est le minimum. Si elle est négative ou nulle, f de a est le maximum. Par exemple, pour f de x égale x au carré plus deux x moins trois, f de x moins f de moins un égale (x plus un) au carré, toujours positif ou nul : le minimum est f de moins un, c'est-à-dire moins quatre.
Question 16 · Exemple : un maximum sur un intervalle, pas sur R
- le maximum sur un intervalle houwa le maximum sur R
- maximum 3la intervalle w maximum 3la R kif kif
- pourquoi préciser l'intervalle pour un maximum
- le minimum yetbaddel ki nbaddlou l'intervalle
Ce qu’il répond
Le maximum sur un intervalle mouch bedharoura le maximum sur R : le maximum walla le minimum yet3alle9 bel intervalle elli nchoufou fih la fonction. 3la intervalle sghir, le point el a3la ynajjem ykoun 3andou ordonnée deux, w ab3ed chwaya la courbe tatla3 akthar barcha. 3la hedheka dima n9oulou : le maximum de f sur l'intervalle I.
le maximum sur un intervalle موش بالضرورة le maximum sur R : le maximum ولّا le minimum يتعلّق بالـ intervalle اللي نشوفو فيه الـ fonction . على intervalle صغير ، le point الأعلى ينجّم يكون عندو ordonnée deux ، w أبعد شويّة الـ courbe تطلع أكثر برشا . على هذاكا ديما نقولو : le maximum de f sur l'intervalle I .
Le maximum sur un intervalle n'est pas forcément le maximum sur R : un maximum ou un minimum dépend de l'intervalle sur lequel on regarde la fonction. Sur un petit intervalle, le point le plus haut peut avoir pour ordonnée deux, alors qu'un peu plus loin la courbe monte beaucoup plus haut. C'est pour cela qu'on dit toujours : le maximum de f sur l'intervalle I.
Question 17 · Sens de variation d'une fonction
- chnowa fonction croissante
- c'est quoi une fonction croissante
- définition d'une fonction croissante
- fonction croissante chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
f croissante sur intervalle I, ki t5alli l'ordre kima houwa : l koll a w b men I, ken $a \le b$, $f(a) \le f(b)$. Koll ma x yekber, l'image mte3ou tekber. 3la la courbe nchoufouha : tatla3 ki nemchiw men el isar lel imin.
f croissante sur intervalle I ، كي تخلّي l'ordre كيما هو : لكل a w b من I ، كان a inférieur ou égal à b ، f de a inférieur ou égal à f de b . كل ما x يكبر ، l'image متاعو تكبر . على الـ courbe نشوفوها : تطلع كي نمشيو من اليسار لليمين .
f est croissante sur un intervalle I quand elle garde l'ordre : pour tous a et b de I, si a est inférieur ou égal à b, alors f de a est inférieur ou égal à f de b. Plus x est grand, plus son image est grande. Sur la courbe, on le voit : elle monte quand on va de gauche à droite.
Question 18 · Sens de variation d'une fonction
- chnowa fonction décroissante
- c'est quoi une fonction décroissante
- définition d'une fonction décroissante
- fonction décroissante chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
f décroissante sur intervalle I, ki tbaddel l'ordre : l koll a w b men I, ken $a \le b$, $f(a) \ge f(b)$. Koll ma x yekber, l'image mte3ou tesgher. 3la la courbe nchoufouha : tahbet ki nemchiw men el isar lel imin.
f décroissante sur intervalle I ، كي تبدّل l'ordre : لكل a w b من I ، كان a inférieur ou égal à b ، f de a supérieur ou égal à f de b . كل ما x يكبر ، l'image متاعو تصغر . على الـ courbe نشوفوها : تهبط كي نمشيو من اليسار لليمين .
f est décroissante sur un intervalle I quand elle change l'ordre : pour tous a et b de I, si a est inférieur ou égal à b, alors f de a est supérieur ou égal à f de b. Plus x est grand, plus son image est petite. Sur la courbe, on le voit : elle descend quand on va de gauche à droite.
Question 19 · Sens de variation d'une fonction
- chnowa fonction monotone
- c'est quoi une fonction monotone
- monotone chnowa ma3neha
- fonction monotone sur un intervalle
Ce qu’il répond
Fonction monotone sur intervalle, hiya fonction ma tbaddelch le sens mte3ha 3la l'intervalle hedha : ya croissante 3lih, ya décroissante 3lih. Fonction tatla3 w ba3d tahbet 3la l'intervalle, mouch monotone 3lih.
fonction monotone sur intervalle ، هي fonction ما تبدّلش le sens متاعها على الـ intervalle هذا : يا croissante عليه ، يا décroissante عليه . fonction تطلع w بعد تهبط على الـ intervalle ، موش monotone عليه .
Une fonction est monotone sur un intervalle quand elle ne change pas de sens sur cet intervalle : ou bien elle y est croissante, ou bien elle y est décroissante. Une fonction qui monte puis descend sur l'intervalle n'y est pas monotone.
Question 20 · Sens de variation d'une fonction
- chnowa fonction constante
- c'est quoi une fonction constante
- fonction constante kifech la courbe mte3ha
- constante chnowa ma3neha
Ce qu’il répond
Fonction constante sur intervalle, hiya fonction les réels el koll mta3 l'intervalle 3andhom fiha nafs l'image : $f(a) = f(b)$ l koll a w b. La courbe mte3ha horizontale, parallèle à l'axe des abscisses. Mathalan, fonction les images mte3ha el koll ysewiw moins deux.
fonction constante sur intervalle ، هي fonction les réels الكل متاع الـ intervalle عندهم فيها نفس l'image : f de a égale f de b لكل a w b . la courbe متاعها horizontale ، parallèle à l'axe des abscisses . مثلا ، fonction les images متاعها الكل يساويو moins deux .
Une fonction est constante sur un intervalle quand tous les réels de cet intervalle ont la même image : f de a égale f de b pour tous a et b. Sa courbe est alors horizontale, parallèle à l'axe des abscisses. Par exemple, une fonction dont toutes les images valent moins deux.
Question 21 · Sens de variation d'une fonction
- kifech nbayyen elli fonction croissante bel calcul
- comment démontrer qu'une fonction est décroissante
- étudier le sens de variation par le calcul
- kifech nal9a le signe de f(b) - f(a)
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ne5dhou zouz réels a w b men l'intervalle, $a \le b$, w nlawjou 3la le signe mta3 $f(b) - f(a)$. Ken la différence hedhi dima positive walla nulle, f croissante. Ken dima négative walla nulle, f décroissante. Fi aghlab el wa9t, nfactorisiw b $b - a$, elli houwa positif, w nlawjou 3la le signe mta3 le facteur le5er.
ناخذو زوز réels a w b من الـ intervalle ، a inférieur ou égal à b ، w نلوّجو على le signe متاع f de b moins f de a . كان la différence هاذي ديما positive ولّا nulle ، f croissante . كان ديما négative ولّا nulle ، f décroissante . في أغلب الوقت ، nfactorisiw بـ b moins a ، اللي هو positif ، w نلوّجو على le signe متاع le facteur الآخر .
On prend deux réels a et b de l'intervalle, avec a inférieur ou égal à b, et on cherche le signe de f de b moins f de a. Si cette différence est toujours positive ou nulle, f est croissante. Si elle est toujours négative ou nulle, f est décroissante. Le plus souvent, on factorise par b moins a, qui est positif, et on cherche le signe de l'autre facteur.
Question 22 · Sens de variation d'une fonction
- fonction croissante ma3neha positive
- est-ce qu'une fonction décroissante est négative
- croissante w positive kif kif
- décroissante ma3neha f(x) négatif
Ce qu’il répond
Le, hedhom zouz afkar mo5talfin. Croissante walla décroissante, tchouf les images m3a b3adhhom : yzidou walla yon9sou. Positive walla négative, tchouf les images m3a zéro. Fonction tnajjem tkoun décroissante w positive : mathalan, $-x^{2} + 4x + 1$, décroissante ba3d 2, w m3a hedha $f(2) = 5$.
لا ، هاذم زوز أفكار مختلفين . croissante ولّا décroissante ، تشوف les images مع بعضهم : يزيدو ولّا ينقصو . positive ولّا négative ، تشوف les images مع zéro . fonction تنجّم تكون décroissante w positive : مثلا ، moins x au carré plus quatre x plus un ، décroissante بعد deux ، w مع هذا f de deux égale cinq .
Non, ce sont deux idées différentes. Croissante ou décroissante, cela compare les images entre elles : est-ce qu'elles augmentent ou qu'elles diminuent. Positive ou négative, cela compare les images à zéro. Une fonction peut être décroissante et positive : par exemple, moins x au carré plus quatre x plus un est décroissante après deux, et pourtant f de deux égale cinq.
Question 23 · Décrire les variations à partir d'une courbe
- kifech na9ra les variations 3la la courbe
- comment décrire les variations d'une fonction à partir de sa courbe
- sens de variation graphiquement
- les variations mta3 fonction men le graphique
Ce qu’il répond
Netabb3ou la courbe men el isar lel imin. Ma demha tatla3, la fonction croissante ; ma demha tahbet, décroissante ; w ken horizontale, la fonction constante. N9ayydou les abscisses win la courbe tbaddel 7alha, w na3tiw el jaweb intervalle par intervalle, dima bel abscisses.
نتبّعو الـ courbe من اليسار لليمين . ما دامها تطلع ، الـ fonction croissante ؛ ما دامها تهبط ، décroissante ؛ w كان horizontale ، الـ fonction constante . نقيّدو les abscisses وين الـ courbe تبدّل حالها ، w نعطيو الجواب intervalle par intervalle ، ديما بالـ abscisses .
On suit la courbe de gauche à droite. Tant qu'elle monte, la fonction est croissante ; tant qu'elle descend, elle est décroissante ; et si elle est horizontale, la fonction est constante. On note les abscisses où la courbe change d'allure, et on donne la réponse intervalle par intervalle, toujours avec des abscisses.
Question 24 · Fonction paire
- chnowa fonction paire
- c'est quoi une fonction paire
- définition d'une fonction paire
- fonction paire chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fonction f paire, ki zouz conditions s7a7 l koll x men l'ensemble de définition mte3ha : moins x zeda fi l'ensemble de définition, w $f(-x) = f(x)$. Ya3ni zouz réels opposés 3andhom nafs l'image. W la courbe mte3ha symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Mathalan : $x^{2}$.
fonction f paire ، كي زوز conditions صحاح لكل x من l'ensemble de définition متاعها : moins x زادة في l'ensemble de définition ، w f de moins x égale f de x . يعني زوز réels opposés عندهم نفس l'image . w la courbe متاعها symétrique par rapport à l'axe des ordonnées . مثلا : x au carré .
Une fonction f est paire quand deux conditions sont vraies pour tout x de son ensemble de définition : moins x est aussi dans l'ensemble de définition, et f de moins x égale f de x. Autrement dit, deux réels opposés ont la même image. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemple : x au carré.
Question 25 · Fonction impaire
- chnowa fonction impaire
- c'est quoi une fonction impaire
- définition d'une fonction impaire
- fonction impaire chnowa ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fonction f impaire, ki zouz conditions s7a7 l koll x men l'ensemble de définition mte3ha : moins x zeda fi l'ensemble de définition, w $f(-x) = -f(x)$. Ya3ni zouz réels opposés 3andhom images opposées. W la courbe mte3ha symétrique par rapport à l'origine du repère. Mathalan : $x^{3}$.
fonction f impaire ، كي زوز conditions صحاح لكل x من l'ensemble de définition متاعها : moins x زادة في l'ensemble de définition ، w f de moins x égale moins f de x . يعني زوز réels opposés عندهم images opposées . w la courbe متاعها symétrique par rapport à l'origine du repère . مثلا : x au cube .
Une fonction f est impaire quand deux conditions sont vraies pour tout x de son ensemble de définition : moins x est aussi dans l'ensemble de définition, et f de moins x égale moins f de x. Autrement dit, deux réels opposés ont des images opposées. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine du repère. Exemple : x au cube.
Question 26 · Étudier la parité d'une fonction
- fonction tnajjem tkoun ni paire ni impaire
- est-ce que toute fonction est paire ou impaire
- fonction mouch paire lezem tkoun impaire
- ni paire ni impaire kifech nbayyenha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fonction tnajjem tkoun ni paire ni impaire, w hedha ysir barcha : paire w impaire mouch contraires. Mathalan, $f(x) = x^{2} + x$ : $f(1) = 2$ w $f(-1) = 0$. Ezzouz images hedhom la égales la opposées, idhan f ni paire ni impaire. Contre-exemple wa7ed yekfi bech nbayynouha.
fonction تنجّم تكون ni paire ni impaire ، w هذا يصير برشا : paire w impaire موش contraires . مثلا ، f de x égale x au carré plus x : f de un égale deux w f de moins un égale zéro . الزوز images هاذم لا égales لا opposées ، إذن f ni paire ni impaire . contre-exemple واحد يكفي باش نبيّنوها .
Une fonction peut n'être ni paire ni impaire, et cela arrive souvent : paire et impaire ne sont pas des contraires. Par exemple, f de x égale x au carré plus x : f de un égale deux et f de moins un égale zéro. Ces deux images ne sont ni égales ni opposées, donc f n'est ni paire ni impaire. Un seul contre-exemple suffit pour le montrer.
Question 27 · Étudier la parité d'une fonction
- kifech nedres la parité mta3 fonction
- comment étudier la parité d'une fonction
- méthode pour la parité
- parité kifech nal9aha
Ce qu’il répond
Trois étapes. 9bal, l'ensemble de définition : lezem ykoun fih moins x koll ma fih x ; ken le, la fonction ni paire ni impaire. Ba3d na7sbou $f(-x)$. Ken l9ina $f(x)$, la fonction paire ; ken l9ina $-f(x)$, hiya impaire. W ken la hedhi la hedhika, na3tiw contre-exemple bel nombres.
trois étapes . قْبَلْ ، l'ensemble de définition : لازم يكون فيه moins x كل ما فيه x ؛ كان لا ، الـ fonction ni paire ni impaire . بعد نحسبو f de moins x . كان لقينا f de x ، الـ fonction paire ؛ كان لقينا moins f de x ، هي impaire . w كان لا هاذي لا هاذيكا ، نعطيو contre-exemple بالـ nombres .
Trois étapes. D'abord l'ensemble de définition : il doit contenir moins x chaque fois qu'il contient x ; sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire. Ensuite on calcule f de moins x. Si on trouve f de x, la fonction est paire ; si on trouve moins f de x, elle est impaire. Et si ce n'est ni l'un ni l'autre, on donne un contre-exemple avec des nombres.
Question 28 · Fonction paire
- la courbe mta3 fonction paire symétrique par rapport à quoi
- fonction paire : quelle symétrie pour la courbe
- symétrie de la courbe d'une fonction paire
- courbe fonction paire kifech tji
Ce qu’il répond
Par rapport à l'axe des ordonnées. Ken f paire, les points elli les abscisses mte3hom x w moins x 3andhom nafs l'ordonnée : houma symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Idhan yekfi nrasmou la courbe l les x positifs, w nkamlouha bel symétrie, kif elli natwiw el war9a 3la l'axe.
par rapport à l'axe des ordonnées . كان f paire ، les points اللي les abscisses متاعهم x w moins x عندهم نفس l'ordonnée : هوما symétriques par rapport à l'axe des ordonnées . إذن يكفي نرسمو الـ courbe لـ les x positifs ، w نكمّلوها بالـ symétrie ، كيف اللي نطويو الورقة على l'axe .
Par rapport à l'axe des ordonnées. Si f est paire, les points d'abscisses x et moins x ont la même ordonnée : ils sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Il suffit donc de tracer la courbe pour les x positifs, puis de la compléter par symétrie, comme si on pliait la feuille le long de l'axe.
Question 29 · Fonction impaire
- la courbe mta3 fonction impaire symétrique par rapport à quoi
- fonction impaire : quelle symétrie pour la courbe
- symétrie de la courbe d'une fonction impaire
- courbe fonction impaire kifech tji
Ce qu’il répond
Par rapport à l'origine du repère. Ken f impaire, les points elli les abscisses mte3hom x w moins x 3andhom ordonnées opposées : l'origine hiya le milieu mta3 le segment elli yorbothom. Idhan yekfi nrasmou la courbe l les x positifs, w ba3d na3mloulha demi-tour 7awl l'origine.
par rapport à l'origine du repère . كان f impaire ، les points اللي les abscisses متاعهم x w moins x عندهم ordonnées opposées : l'origine هي le milieu متاع le segment اللي يربطهم . إذن يكفي نرسمو الـ courbe لـ les x positifs ، w بعد نعملولها demi-tour حول l'origine .
Par rapport à l'origine du repère. Si f est impaire, les points d'abscisses x et moins x ont des ordonnées opposées : l'origine est le milieu du segment qui les joint. Il suffit donc de tracer la courbe pour les x positifs, puis de lui faire faire un demi-tour autour de l'origine.
Question 30 · Exemple : compléter une courbe par symétrie
- kifech nkammel la courbe ki na3ref ennoss berk
- comment compléter une courbe par symétrie
- compléter la courbe à gauche
- nkammel la courbe kifech
Ce qu’il répond
Ken la fonction paire, nrasmou le symétrique mta3 la partie elli na3rfouha par rapport à l'axe des ordonnées : koll point d'abscisse x ya3tina le point d'abscisse moins x, fi nafs la hauteur. Ken hiya impaire, nrasmou le symétrique par rapport à l'origine : koll point ya3tina le point d'abscisse opposée et d'ordonnée opposée.
كان الـ fonction paire ، نرسمو le symétrique متاع la partie اللي نعرفوها par rapport à l'axe des ordonnées : كل point d'abscisse x يعطينا le point d'abscisse moins x ، في نفس la hauteur . كان هي impaire ، نرسمو le symétrique par rapport à l'origine : كل point يعطينا le point d'abscisse opposée et d'ordonnée opposée .
Si la fonction est paire, on trace le symétrique de la partie connue par rapport à l'axe des ordonnées : chaque point d'abscisse x donne le point d'abscisse moins x, à la même hauteur. Si elle est impaire, on trace le symétrique par rapport à l'origine : chaque point donne le point d'abscisse opposée et d'ordonnée opposée.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
L'ensemble de définition d'une racine
Détermine l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écris l'intervalle, par exemple « [1;+inf[ ».
Réponse attendue : [4;+inf[ — aussi acceptées : [4;+∞[ · D=[4;+inf[ · Dh=[4;+inf[ · D_h=[4;+inf[ · [4,+inf[ · [4;+oo[ · [4,+oo[ · D=[4;+oo[ · Dh=[4;+oo[ · D_h=[4;+oo[ · [4;oo[
Indices, dans l’ordre
- Une racine carrée n'existe que si ce qu'elle contient est positif ou nul.
- Résous l'inéquation :
- La borne convient-elle ? Calcule
Correction
- La condition — Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
- L'ensemble —
La borne est comprise : existe.
Pièges anticipés
]4;+inf[ / ]4,+inf[ / ]4;+oo[ / ]4,+oo[→ Le réel a une image : Le crochet doit être fermé en]-inf;4] / ]-inf,4] / ]-oo;4] / ]-oo,4]→ Pour le nombre est négatif : sa racine carrée n'existe pas.
Exercice 2 · base
Une valeur interdite
Soit la fonction définie sur l'intervalle par Quel réel de n'a pas d'image par ?
Donne ce réel.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Un quotient n'existe pas quand son dénominateur est nul.
- Résous l'équation :
Correction
- Le dénominateur — Il s'annule pour une seule valeur.
- L'ensemble de définition — est bien dans : on le retire.
On enlève de l'ensemble de départ les réels qui annulent le dénominateur.
Pièges anticipés
0→ En c'est le numérateur qui est nul : existe. Cherche plutôt où le dénominateur s'annule.
Exercice 3 · pratique
Deux conditions à la fois
On considère la fonction qui, à tout réel de associe Détermine son ensemble de définition.
Écris l'intervalle, par exemple « [2;5] ».
Réponse attendue : [0;1] — aussi acceptées : D=[0;1] · Dl=[0;1] · D_l=[0;1]
Indices, dans l’ordre
- Il y a deux conditions : doit être dans l'ensemble de départ, et la racine doit exister.
- La racine existe quand c'est-à-dire quand
- Garde les réels qui vérifient les deux conditions à la fois.
Correction
- La racine —
- L'ensemble de départ — Il faut aussi
L'ensemble de définition est toujours contenu dans l'ensemble de départ.
Pièges anticipés
[-1;1]→ Tu as bien résolu mais la fonction ne part que des réels positifs : il faut retirer les négatifs.
Exercice 4 · pratique
Une racine au numérateur, un dénominateur
Détermine l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écris la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : [2;3[U]3;+inf[ — aussi acceptées : [2;3[∪]3;+∞[ · [2;3[∪]3;+inf[ · [2;3[U]3;+∞[ · D=[2;3[U]3;+inf[ · Df=[2;3[U]3;+inf[ · [2,3[U]3,+inf[ · [2,3[∪]3,+inf[ · ]3;+inf[U[2;3[ · ]3;+inf[∪[2;3[ · ]3,+inf[U[2,3[ · ]3,+inf[∪[2,3[ · D=[2;3[∪]3;+inf[ · Df=[2;3[∪]3;+inf[ · D_f=[2;3[U]3;+inf[ · D_f=[2;3[∪]3;+inf[ · [2;+inf[\{3} · [2,+inf[\{3} · [2;+inf[ privé de 3 · [2,+inf[ privé de 3 · [2;3[U]3;+oo[ · ]3;+oo[U[2;3[ · [2,3[U]3,+oo[ · ]3,+oo[U[2,3[ · [2;3[∪]3;+oo[ · ]3;+oo[∪[2;3[ · [2,3[∪]3,+oo[ · ]3,+oo[∪[2,3[ · [2;3[ union ]3;+inf[ · ]3;+inf[ union [2;3[ · [2,3[ union ]3,+inf[ · ]3,+inf[ union [2,3[ · [2;3[ union ]3;+oo[ · ]3;+oo[ union [2;3[ · [2,3[ union ]3,+oo[ · ]3,+oo[ union [2,3[ · D=[2;3[U]3;+oo[ · D=[2;3[∪]3;+oo[ · D=[2;3[ union ]3;+inf[ · D=[2;3[ union ]3;+oo[ · Df=[2;3[U]3;+oo[ · Df=[2;3[∪]3;+oo[ · Df=[2;3[ union ]3;+inf[ · Df=[2;3[ union ]3;+oo[ · D_f=[2;3[U]3;+oo[ · D_f=[2;3[∪]3;+oo[ · D_f=[2;3[ union ]3;+inf[ · D_f=[2;3[ union ]3;+oo[ · [2;3[ ou ]3;+inf[ · [2,3[ ou ]3,+inf[ · [2;3[ ou ]3;+oo[ · [2,3[ ou ]3,+oo[ · [2;+inf[-{3} · [2;+oo[-{3} · [2,+inf[-{3} · [2,+oo[-{3} · [2;+oo[\{3} · [2,+oo[\{3} · [2;+oo[ privé de 3 · [2,+oo[ privé de 3 · [2;+inf[ sauf 3 · [2;+oo[ sauf 3
Indices, dans l’ordre
- Deux conditions : la racine doit exister, et le dénominateur ne doit pas être nul.
- La racine existe pour ; le dénominateur s'annule pour
- Retire de l'ensemble des réels supérieurs ou égaux à
Correction
- La racine —
- Le dénominateur —
- L'ensemble —
On garde les réels qui vérifient les deux conditions : supérieurs ou égaux à et différents de
Pièges anticipés
[2;+inf[ / [2,+inf[ / [2;+oo[ / [2,+oo[→ La racine existe bien pour mais en le dénominateur est nul : il faut retirer]-inf;3[U]3;+inf[ / ]-inf;3[∪]3;+inf[ / ]-inf,3[U]3,+inf[ / ]-inf,3[∪]3,+inf[ / R\{3} / R privé de 3 / ]3;+inf[U]-inf;3[ / ]3,+inf[U]-inf,3[ / ]-oo;3[U]3;+oo[ / ]3;+oo[U]-oo;3[ / ]-oo,3[U]3,+oo[ / ]3,+oo[U]-oo,3[ / ]3;+inf[∪]-inf;3[ / ]3,+inf[∪]-inf,3[ / ]-oo;3[∪]3;+oo[ / ]3;+oo[∪]-oo;3[ / ]-oo,3[∪]3,+oo[ / ]3,+oo[∪]-oo,3[ / ]-inf;3[ union ]3;+inf[ / ]3;+inf[ union ]-inf;3[ / ]-inf,3[ union ]3,+inf[ / ]3,+inf[ union ]-inf,3[ / ]-oo;3[ union ]3;+oo[ / ]3;+oo[ union ]-oo;3[ / ]-oo,3[ union ]3,+oo[ / ]3,+oo[ union ]-oo,3[ / ]-inf;3[ ou ]3;+inf[ / ]-inf,3[ ou ]3,+inf[ / ]-oo;3[ ou ]3;+oo[ / ]-oo,3[ ou ]3,+oo[→ Tu as retiré mais il faut aussi que existe :
Exercice 5 · pratique
Une valeur absolue sous la racine
Soit la fonction définie par : sous la racine, on retranche à la valeur absolue de Détermine l'ensemble de définition de
Écris la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : ]-inf;-1]U[1;+inf[ — aussi acceptées : ]-∞;-1]∪[1;+∞[ · ]-inf;-1]∪[1;+inf[ · ]-∞;-1]U[1;+∞[ · x<=-1 ou x>=1 · x≤-1 ou x≥1 · [1;+inf[U]-inf;-1] · [1;+inf[∪]-inf;-1] · D=]-inf;-1]U[1;+inf[ · Df=]-inf;-1]U[1;+inf[ · E=]-inf;-1]U[1;+inf[ · ]-inf,-1]U[1,+inf[ · ]-inf,-1]∪[1,+inf[ · [1,+inf[U]-inf,-1] · [1,+inf[∪]-inf,-1] · x>=1 ou x<=-1 · x≥1 ou x≤-1 · R\]-1;1[ · R\]-1,1[ · ]-oo;-1]U[1;+oo[ · [1;+oo[U]-oo;-1] · ]-oo,-1]U[1,+oo[ · [1,+oo[U]-oo,-1] · ]-oo;-1]∪[1;+oo[ · [1;+oo[∪]-oo;-1] · ]-oo,-1]∪[1,+oo[ · [1,+oo[∪]-oo,-1] · ]-inf;-1] union [1;+inf[ · [1;+inf[ union ]-inf;-1] · ]-inf,-1] union [1,+inf[ · [1,+inf[ union ]-inf,-1] · ]-oo;-1] union [1;+oo[ · [1;+oo[ union ]-oo;-1] · ]-oo,-1] union [1,+oo[ · [1,+oo[ union ]-oo,-1] · D=]-oo;-1]U[1;+oo[ · D=]-inf;-1]∪[1;+inf[ · D=]-oo;-1]∪[1;+oo[ · D=]-inf;-1] union [1;+inf[ · D=]-oo;-1] union [1;+oo[ · Df=]-oo;-1]U[1;+oo[ · Df=]-inf;-1]∪[1;+inf[ · Df=]-oo;-1]∪[1;+oo[ · Df=]-inf;-1] union [1;+inf[ · Df=]-oo;-1] union [1;+oo[ · E=]-oo;-1]U[1;+oo[ · E=]-inf;-1]∪[1;+inf[ · E=]-oo;-1]∪[1;+oo[ · E=]-inf;-1] union [1;+inf[ · E=]-oo;-1] union [1;+oo[ · ]-inf;-1] ou [1;+inf[ · ]-inf,-1] ou [1,+inf[ · ]-oo;-1] ou [1;+oo[ · ]-oo,-1] ou [1,+oo[ · |x|>=1 · |x|≥1 · x<=-1 ou 1<=x · x≤-1 ou 1≤x
Indices, dans l’ordre
- Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul : il faut
- signifie que la distance de à est au moins : il y a deux cas.
Correction
- La condition — Sous la racine, on retranche à la valeur absolue de : le résultat doit être positif ou nul.
- Deux cas —
- L'ensemble —
Cet ensemble contient l'opposé de chacun de ses éléments, et un réel et son opposé ont la même valeur absolue, donc : la fonction est paire.
Pièges anticipés
[1;+inf[ / [1,+inf[ / [1;+oo[ / [1,+oo[→ Tu as oublié les réels négatifs : pour et est positif.[-1;1]→ Strictement entre et est plus petite que : la racine n'existe pas. C'est l'extérieur qu'il faut garder, bornes comprises.
Exercice 6 · base
Le cycliste : lire un instant
Le graphique donne la distance (en kilomètres) parcourue par un cycliste en fonction du temps (en minutes). La courbe est faite de trois segments : elle relie l'origine aux points et Au bout de combien de minutes le cycliste a-t-il parcouru kilomètres ?
Un repère : en abscisse le temps t en minutes, gradué de 10 en 10 jusqu'à 100 ; en ordonnée la distance parcourue d en kilomètres, graduée de 2 en 2 jusqu'à 20. La courbe est faite de trois segments. Le premier monte de l'origine au point d'abscisse 30 et d'ordonnée 10. Le deuxième est horizontal, à la hauteur 10, de l'abscisse 30 à l'abscisse 50. Le troisième monte du point d'abscisse 50 et d'ordonnée 10 au point d'abscisse 100 et d'ordonnée 20. Les points A, d'abscisse 30 et d'ordonnée 10, B, d'abscisse 50 et d'ordonnée 10, et E, d'abscisse 100 et d'ordonnée 20, sont marqués.
Donne le temps en minutes, le nombre seul.
Réponse attendue : 80
Indices, dans l’ordre
- kilomètres, c'est plus que : le point cherché est sur le dernier segment.
- Sur ce segment, le cycliste parcourt kilomètres en minutes : combien de minutes pour kilomètre ?
- Après la minute, il lui reste kilomètres à parcourir.
Correction
- Le bon segment — De à minutes, la distance passe de à kilomètres : il faut minutes par kilomètre.
- Les 6 kilomètres —
- L'instant —
Chercher quand la distance vaut c'est chercher l'antécédent de : on part de l'axe des ordonnées.
Pièges anticipés
48→ Tu as gardé la vitesse du départ, kilomètres en minutes. Après son arrêt, le cycliste roule moins vite : kilomètres en minutes.30→ minutes, c'est le temps qu'il met pour les derniers kilomètres. Il faut l'ajouter aux minutes déjà écoulées.
Exercice 7 · base
La distance de freinage
Sur une route sèche, on a testé la distance de freinage d'une voiture, notée (en mètres), en fonction de sa vitesse (en kilomètres par heure). Sur le graphique, on lit qu'à kilomètres par heure la distance de freinage est d'environ mètres, et qu'à kilomètres par heure elle est d'environ mètres. La distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse ?
Un repère : en abscisse la vitesse v en kilomètres par heure, graduée de 10 en 10 jusqu'à 120 ; en ordonnée la distance de freinage d en mètres, graduée de 10 en 10 jusqu'à 100. La courbe part de l'origine, monte d'abord très doucement, puis de plus en plus vite : ce n'est pas une droite. Des pointillés rouges lisent deux points : à 50 kilomètres par heure, la distance est 17,5 mètres ; à 100 kilomètres par heure, elle est 70 mètres.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non, elle n'est pas proportionnelle · non elle n'est pas proportionnelle · elle n'est pas proportionnelle · pas proportionnelle · non proportionnelle · non, pas proportionnelle · non pas proportionnelle · non, ce n'est pas proportionnel · non ce n'est pas proportionnel · ce n'est pas proportionnel · pas proportionnel · non, elle n'est pas proportionnelle à la vitesse · non elle n'est pas proportionnelle à la vitesse · elle n'est pas proportionnelle à la vitesse · pas proportionnelle à la vitesse · non, la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse · la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse · non, la distance n'est pas proportionnelle à la vitesse · la distance n'est pas proportionnelle à la vitesse · ce n'est pas une situation de proportionnalité · non, ce n'est pas une situation de proportionnalité · non elle ne l'est pas · non, elle ne l'est pas · elle ne l'est pas · non, pas du tout · non pas du tout · non proportionnel · non, pas proportionnel · non pas proportionnel · non, pas proportionnelle à la vitesse · non proportionnelle à la vitesse · non, la distance n'est pas proportionnelle · la distance n'est pas proportionnelle · non la distance n'est pas proportionnelle à la vitesse · non, car 70 n'est pas le double de 17,5 · non car 70 n'est pas le double de 17,5 · non, 70 n'est pas le double de 17,5 · non, car 70 n'est pas égal à 35 · non car 70 n'est pas égal à 35 · non, car la distance ne double pas · non car la distance ne double pas · non, car la distance est multipliée par 4 · non car la distance est multipliée par 4 · non, car la courbe n'est pas une droite · non car la courbe n'est pas une droite · non, la courbe n'est pas une droite · non, car ce n'est pas une droite · non car ce n'est pas une droite · non, ce n'est pas une droite · non ce n'est pas une droite · ce n'est pas une droite · la courbe n'est pas une droite · non ce n'est pas une situation de proportionnalité · pas de proportionnalité · non, pas de proportionnalité · non, il n'y a pas proportionnalité · il n'y a pas proportionnalité
Indices, dans l’ordre
- Si deux grandeurs sont proportionnelles, doubler l'une double l'autre.
- Compare la distance lue à kilomètres par heure avec le double de la distance lue à kilomètres par heure.
Correction
- Le double — Si la distance était proportionnelle à la vitesse, elle doublerait quand la vitesse double.
- La lecture — À kilomètres par heure, on lit mètres, et non : la distance est multipliée par quand la vitesse est multipliée par
La courbe passe par l'origine, mais ce n'est pas une droite : la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse.
Pièges anticipés
oui / oui, elle est proportionnelle / oui elle est proportionnelle / elle est proportionnelle / oui, elle est proportionnelle à la vitesse / elle est proportionnelle à la vitesse / oui elle est proportionnelle à la vitesse / oui elle l'est / oui, elle l'est / elle l'est / proportionnelle / oui, proportionnelle / oui proportionnelle→ Vérifie avec les deux lectures : quand la vitesse double, de à la distance est-elle seulement doublée ?
Exercice 8 · pratique
L'ordonnée d'un point de la courbe
Soit la fonction définie par Le point est sur la courbe de Calcule son ordonnée
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Un point est sur la courbe quand son ordonnée est l'image de son abscisse.
- Remplace par :
Correction
- L'image de 4 —
Le point est sur la courbe. En revanche, le point ne peut pas y être : n'a pas d'image par
Pièges anticipés
1.41 / 1.414 / 1.4→ Garde la valeur exacte : n'est qu'une valeur approchée de2→ Au numérateur, il reste une racine : et non
Exercice 9 · base
L'image de racine de 3
Soit la fonction définie par Calcule l'image de par
Donne l'image, un nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Remplace par dans l'expression.
- Le carré de est
Correction
- Le calcul —
De même et : ces images existent car et sont dans l'ensemble de définition
Pièges anticipés
2-sqrt(3)→ La racine d'une différence n'est pas la différence des racines : calcule d'abord
Exercice 10 · pratique
Les antécédents de 2
Soit la fonction définie sur par Détermine le ou les antécédents de par
Donne le ou les antécédents.
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Un antécédent de est un réel tel que
- Élève les deux membres au carré :
Correction
- L'équation —
- La solution —
Le réel a un seul antécédent, ; est d'ailleurs la plus grande valeur que prend Ne confonds pas avec l'image de : Ici, on a résolu
Pièges anticipés
2 / -2→ pas Résous l'équation en élevant au carré.
Exercice 11 · pratique
Combien d'antécédents ?
Soit la fonction définie sur par Combien le réel a-t-il d'antécédents par ?
Donne le nombre d'antécédents.
Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : aucun · zéro · aucun antécédent · 0 antécédent · pas d'antécédent · il n'y en a pas · 0 antécédents · zéro antécédent · pas d'antécédents · il n'a pas d'antécédent · il n'a aucun antécédent · il n'y a pas d'antécédent · il n'y a aucun antécédent · 1 n'a pas d'antécédent · 1 n'a aucun antécédent · il n'en a pas · il n'en a aucun
Indices, dans l’ordre
- Un antécédent de est une solution de l'équation
- Ramène cette équation à une équation du second degré, puis calcule son discriminant.
Correction
- L'équation —
- Le discriminant — Il est négatif.
- La conclusion — L'équation n'a pas de solution.
Le réel n'a aucun antécédent par : la courbe ne monte jamais jusqu'à la hauteur son maximum est En revanche, a un seul antécédent, qui est
Pièges anticipés
1 / un / un seul→ et non Résous l'équation et regarde son discriminant.2 / deux→ Le discriminant de vaut : il est négatif, l'équation n'a aucune solution.
Exercice 12 · base
Lire une image
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; quatre de ses points sont marqués, et d'abscisses et Lis l'image de par
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 5 à l'abscisse 6. Elle part du point d'abscisse moins 5 et d'ordonnée 0,5, monte jusqu'au point d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, descend jusqu'au point d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, puis remonte sans s'arrêter : elle passe par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, par le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 3, et finit un peu au-dessus de la hauteur 3,5 pour l'abscisse 6. Quatre points sont marqués : A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, D d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, E d'abscisse 2 et d'ordonnée 3.
Donne l'image.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Pars de l'abscisse sur l'axe horizontal et monte jusqu'à la courbe.
- Lis ensuite l'ordonnée du point atteint, sur l'axe vertical.
Correction
- La lecture — Le point de la courbe d'abscisse a pour ordonnée
De la même façon, on lit et
Pièges anticipés
2→ est l'abscisse de départ. L'image est l'ordonnée du point de la courbe : lis-la sur l'axe vertical.
Exercice 13 · pratique
Lire des antécédents
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; elle passe par les points et Quels sont les antécédents de par c'est-à-dire les solutions de l'équation ?
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 5 à l'abscisse 6. Elle part du point d'abscisse moins 5 et d'ordonnée 0,5, monte jusqu'au point d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, descend jusqu'au point d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, puis remonte sans s'arrêter : elle passe par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, par le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 3, et finit un peu au-dessus de la hauteur 3,5 pour l'abscisse 6. Quatre points sont marqués : A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, D d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, E d'abscisse 2 et d'ordonnée 3.
Écris l'ensemble des antécédents, par exemple « {-1;5} ».
Réponse attendue : {-4;0}
Indices, dans l’ordre
- Trace la droite horizontale de hauteur
- Elle rencontre la courbe en deux points : lis leurs abscisses.
Correction
- L'horizontale — La droite d'équation touche la courbe au point d'abscisse et la coupe au point d'abscisse
- Les antécédents —
Un réel peut avoir plusieurs antécédents : ici en a deux, et
Pièges anticipés
{0}→ Il y en a un autre : au point d'abscisse la courbe touche aussi la hauteur{2.5} / {5/2}→ Tu as lu l'image de Ici on part de l'axe des ordonnées : on cherche les abscisses des points d'ordonnée
Exercice 14 · base
La valeur minimale sur un graphique
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; elle passe par les points et et son point le plus bas est Quelle est la valeur minimale de ?
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 5 à l'abscisse 6. Elle part du point d'abscisse moins 5 et d'ordonnée 0,5, monte jusqu'au point d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, descend jusqu'au point d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, puis remonte sans s'arrêter : elle passe par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, par le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 3, et finit un peu au-dessus de la hauteur 3,5 pour l'abscisse 6. Quatre points sont marqués : A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, D d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, E d'abscisse 2 et d'ordonnée 3.
Donne la valeur minimale.
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Repère le point le plus bas de la courbe.
- La valeur minimale est son ordonnée : lis-la sur l'axe vertical.
Correction
- Le point le plus bas — Il a pour abscisse et pour ordonnée
Le minimum de sur est ; il est atteint en
Pièges anticipés
-2→ est l'abscisse du point le plus bas. La valeur minimale est son ordonnée.
Exercice 15 · pratique
Résoudre une inéquation sur un graphique
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; elle passe par les points et Elle ne dépasse la hauteur qu'à droite de l'abscisse Résous graphiquement l'inéquation
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 5 à l'abscisse 6. Elle part du point d'abscisse moins 5 et d'ordonnée 0,5, monte jusqu'au point d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, descend jusqu'au point d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, puis remonte sans s'arrêter : elle passe par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, par le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 3, et finit un peu au-dessus de la hauteur 3,5 pour l'abscisse 6. Quatre points sont marqués : A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 1, B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, D d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, E d'abscisse 2 et d'ordonnée 3.
Écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, par exemple « ]1;4] ».
Réponse attendue : ]0;6]
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessus de la droite de hauteur
- Au point d'abscisse la courbe touche la hauteur sans la dépasser.
- Après l'abscisse la courbe reste au-dessus de la hauteur jusqu'à la fin de l'ensemble de définition.
Correction
- Au-dessus de la hauteur 1 — La courbe dépasse la hauteur seulement à droite de l'abscisse et jusqu'à l'abscisse
- Les bornes — En n'est pas strictement supérieur à : crochet ouvert. En la courbe existe encore : crochet fermé.
Une inégalité stricte exclut les abscisses où la courbe est exactement à la hauteur
Pièges anticipés
[0;6]→ et n'est pas strictement supérieur à : le crochet est ouvert en]0;6[→ La fonction est définie en et sa courbe y est au-dessus de la hauteur : est une solution.]0;+inf[ / ]0,+inf[ / ]0;+oo[ / ]0,+oo[→ La fonction n'est définie que jusqu'à : il n'y a pas de solution au-delà.
Exercice 16 · pratique
Une cloche : résoudre f(x) = 0
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur Elle passe par les points et et par l'origine Résous graphiquement l'équation
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 2 ; elle a la forme d'une cloche. Elle part un peu au-dessus de la hauteur moins 1, monte, coupe l'axe des abscisses au point P d'abscisse moins 1, atteint son point le plus haut S, d'abscisse moins 0,5 et d'ordonnée 1, redescend en passant par l'origine, puis continue de descendre vers la hauteur moins 1 sans l'atteindre. Un pointillé rouge descend de S jusqu'à l'axe des abscisses, où l'on lit moins 0,5. À gauche de l'abscisse moins 1 et à droite de l'origine, la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses.
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {2;5} ».
Réponse attendue : {-1;0}
Indices, dans l’ordre
- Les solutions de sont les abscisses des points de la courbe situés sur l'axe des abscisses.
- Parmi les points et lesquels ont pour ordonnée ?
Correction
- Sur l'axe des abscisses — La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, d'abscisses et
Résoudre c'est chercher les antécédents de
Pièges anticipés
{0} / {-1}→ La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points : donne les deux abscisses.{-0.5} / {-1/2}→ est l'abscisse du point le plus haut, où On cherche les points d'ordonnée
Exercice 17 · raisonnement
Une cloche : résoudre f(x) < 0
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur Elle passe par les points et et par l'origine ; à gauche de et à droite de elle est au-dessous de l'axe des abscisses. Résous graphiquement l'inéquation
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 2 ; elle a la forme d'une cloche. Elle part un peu au-dessus de la hauteur moins 1, monte, coupe l'axe des abscisses au point P d'abscisse moins 1, atteint son point le plus haut S, d'abscisse moins 0,5 et d'ordonnée 1, redescend en passant par l'origine, puis continue de descendre vers la hauteur moins 1 sans l'atteindre. Un pointillé rouge descend de S jusqu'à l'axe des abscisses, où l'on lit moins 0,5. À gauche de l'abscisse moins 1 et à droite de l'origine, la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses.
Écris la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : [-3;-1[U]0;2] — aussi acceptées : [-3;-1[∪]0;2] · ]0;2]U[-3;-1[ · ]0;2]∪[-3;-1[ · [-3,-1[U]0,2] · [-3,-1[∪]0,2] · ]0,2]U[-3,-1[ · ]0,2]∪[-3,-1[ · [-3;-1[ union ]0;2] · ]0;2] union [-3;-1[ · [-3,-1[ union ]0,2] · ]0,2] union [-3,-1[ · [-3;-1[ ou ]0;2] · [-3,-1[ ou ]0,2]
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessous de l'axe des abscisses.
- Il y a deux morceaux : un à gauche de un à droite de
- Aux abscisses et : ces deux réels sont exclus. Les extrémités de l'ensemble de définition sont-elles des solutions ?
Correction
- À gauche — De à la courbe est sous l'axe ; en : crochet ouvert.
- À droite — De à la courbe est sous l'axe ; en : crochet ouvert.
- L'ensemble des solutions —
Quand la courbe passe sous l'axe en deux endroits, l'ensemble des solutions est une réunion de deux intervalles.
Pièges anticipés
]-1;0[→ Entre et la courbe est au-dessus de l'axe : c'est là que[-3;-1]U[0;2] / [-3;-1]∪[0;2] / [-3,-1]U[0,2] / [-3,-1]∪[0,2] / [0;2]U[-3;-1] / [0,2]U[-3,-1] / [0;2]∪[-3;-1] / [0,2]∪[-3,-1] / [-3;-1] union [0;2] / [0;2] union [-3;-1] / [-3,-1] union [0,2] / [0,2] union [-3,-1] / [-3;-1] ou [0;2] / [-3,-1] ou [0,2]→ En et en qui n'est pas strictement négatif : ces deux crochets sont ouverts.
Exercice 18 · pratique
Deux courbes : résoudre f(x) = g(x)
Les courbes et de la figure sont celles de deux fonctions et définies sur Elles se coupent aux points et Résous graphiquement l'équation
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes tracées de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 7. La courbe bleue Cf, celle de f, descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 3, passe par le point A d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, atteint son point le plus bas d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1, puis remonte en ligne droite en passant par le point B d'abscisse 4 et d'ordonnée 1, jusqu'au point d'abscisse 7 et d'ordonnée 3. La courbe rouge Cg, celle de g, est une parabole tournée vers le bas : elle monte du point d'abscisse moins 3, passe par le point E d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2, par A, atteint son point le plus haut K d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, redescend en passant par B, par le point F d'abscisse 6 et d'ordonnée moins 2, et finit au point d'abscisse 7. Les deux courbes se coupent en A et en B ; entre A et B, la courbe rouge est au-dessus de la courbe bleue ; avant A et après B, c'est la courbe bleue qui est au-dessus.
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;3} ».
Réponse attendue : {0;4}
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points communs aux deux courbes.
- Lis l'abscisse de puis celle de
Correction
- Les points communs — Les deux courbes se coupent en et en
Les solutions de sont les abscisses des points d'intersection : et
Pièges anticipés
{1}→ est l'ordonnée commune de et de Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.
Exercice 19 · pratique
Deux courbes : résoudre g(x) = −2
La courbe rouge de la figure est celle d'une fonction définie sur Elle passe par les points et Résous graphiquement l'équation
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes tracées de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 7. La courbe bleue Cf, celle de f, descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 3, passe par le point A d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, atteint son point le plus bas d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1, puis remonte en ligne droite en passant par le point B d'abscisse 4 et d'ordonnée 1, jusqu'au point d'abscisse 7 et d'ordonnée 3. La courbe rouge Cg, celle de g, est une parabole tournée vers le bas : elle monte du point d'abscisse moins 3, passe par le point E d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2, par A, atteint son point le plus haut K d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, redescend en passant par B, par le point F d'abscisse 6 et d'ordonnée moins 2, et finit au point d'abscisse 7. Les deux courbes se coupent en A et en B ; entre A et B, la courbe rouge est au-dessus de la courbe bleue ; avant A et après B, c'est la courbe bleue qui est au-dessus.
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;3} ».
Réponse attendue : {-2;6}
Indices, dans l’ordre
- Trace l'horizontale de hauteur et cherche ses points communs avec
- Parmi les cinq points nommés, deux ont pour ordonnée : lis leurs abscisses.
Correction
- Les points d’ordonnée −2 —
L'équation a deux solutions, et : ce sont les antécédents de
Pièges anticipés
{-2} / {6}→ L'horizontale de hauteur coupe la courbe en deux points : il y a deux solutions.
Exercice 20 · raisonnement
Deux courbes : résoudre f(x) ≥ g(x)
Les courbes et de la figure sont celles de deux fonctions et définies sur Elles se coupent aux points et ; entre et c'est qui est au-dessus. Résous graphiquement l'inéquation
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes tracées de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 7. La courbe bleue Cf, celle de f, descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 3, passe par le point A d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, atteint son point le plus bas d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1, puis remonte en ligne droite en passant par le point B d'abscisse 4 et d'ordonnée 1, jusqu'au point d'abscisse 7 et d'ordonnée 3. La courbe rouge Cg, celle de g, est une parabole tournée vers le bas : elle monte du point d'abscisse moins 3, passe par le point E d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2, par A, atteint son point le plus haut K d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, redescend en passant par B, par le point F d'abscisse 6 et d'ordonnée moins 2, et finit au point d'abscisse 7. Les deux courbes se coupent en A et en B ; entre A et B, la courbe rouge est au-dessus de la courbe bleue ; avant A et après B, c'est la courbe bleue qui est au-dessus.
Écris la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : [-3;0]U[4;7] — aussi acceptées : [-3;0]∪[4;7] · [4;7]U[-3;0] · [4;7]∪[-3;0] · [-3,0]U[4,7] · [-3,0]∪[4,7] · [4,7]U[-3,0] · [4,7]∪[-3,0] · [-3;0] union [4;7] · [4;7] union [-3;0] · [-3,0] union [4,7] · [4,7] union [-3,0] · [-3;0] ou [4;7] · [-3,0] ou [4,7]
Indices, dans l’ordre
- là où la courbe de est au-dessus de celle de ou la touche.
- Avant et après c'est la courbe de qui est au-dessus.
- L'inégalité est large : les abscisses de et de sont des solutions. N'oublie pas les extrémités de l'ensemble de définition.
Correction
- Avant A — De à est au-dessus de et elles se rejoignent en
- Après B — De à est de nouveau au-dessus.
- L'ensemble des solutions —
Avec une inégalité large, les abscisses des points d'intersection font partie des solutions.
Pièges anticipés
[0;4]→ Entre et c'est la courbe de qui est au-dessus : sur on a[-3;0[U]4;7] / [-3;0[∪]4;7] / [-3,0[U]4,7] / [-3,0[∪]4,7] / ]4;7]U[-3;0[ / ]4,7]U[-3,0[ / ]4;7]∪[-3;0[ / ]4,7]∪[-3,0[ / [-3;0[ union ]4;7] / ]4;7] union [-3;0[ / [-3,0[ union ]4,7] / ]4,7] union [-3,0[ / [-3;0[ ou ]4;7] / [-3,0[ ou ]4,7]→ L'inégalité est large : en et en donc ces deux réels sont des solutions.
Exercice 21 · raisonnement
Deux courbes : un encadrement
La courbe rouge de la figure est celle d'une fonction définie sur Elle monte jusqu'à son sommet puis redescend ; elle passe par les points et Résous graphiquement la double inéquation
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes tracées de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 7. La courbe bleue Cf, celle de f, descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 3, passe par le point A d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, atteint son point le plus bas d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1, puis remonte en ligne droite en passant par le point B d'abscisse 4 et d'ordonnée 1, jusqu'au point d'abscisse 7 et d'ordonnée 3. La courbe rouge Cg, celle de g, est une parabole tournée vers le bas : elle monte du point d'abscisse moins 3, passe par le point E d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2, par A, atteint son point le plus haut K d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, redescend en passant par B, par le point F d'abscisse 6 et d'ordonnée moins 2, et finit au point d'abscisse 7. Les deux courbes se coupent en A et en B ; entre A et B, la courbe rouge est au-dessus de la courbe bleue ; avant A et après B, c'est la courbe bleue qui est au-dessus.
Écris la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : ]-2;0[U]4;6[ — aussi acceptées : ]-2;0[∪]4;6[ · ]4;6[U]-2;0[ · ]4;6[∪]-2;0[ · ]-2,0[U]4,6[ · ]-2,0[∪]4,6[ · ]4,6[U]-2,0[ · ]4,6[∪]-2,0[ · ]-2;0[ union ]4;6[ · ]4;6[ union ]-2;0[ · ]-2,0[ union ]4,6[ · ]4,6[ union ]-2,0[ · ]-2;0[ ou ]4;6[ · ]-2,0[ ou ]4,6[
Indices, dans l’ordre
- On cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement entre les hauteurs et
- Regarde d'abord la partie qui monte, puis la partie qui descend.
- Les inégalités sont strictes : les quatre bornes sont exclues.
Correction
- En montant — La courbe passe de la hauteur à la hauteur entre les abscisses et
- En descendant — Elle repasse de la hauteur à la hauteur entre les abscisses et
- L'ensemble des solutions —
Une double inégalité se lit entre deux droites horizontales : ici, la courbe traverse cette bande deux fois.
Pièges anticipés
]-2;0[→ C'est juste pour la partie qui monte. Mais la courbe redescend : elle repasse entre les hauteurs et]-2;6[→ Entre et la courbe est au-dessus de la hauteur : ces abscisses ne conviennent pas.
Exercice 22 · pratique
Le minimum d'une valeur absolue
Soit la fonction définie sur par : on prend la valeur absolue de puis on retranche Quelle est la valeur minimale de ?
Donne la valeur minimale.
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
- La plus petite valeur de est atteinte pour
Correction
- La valeur absolue — Une valeur absolue est positive ou nulle ; on retranche aux deux membres.
- Elle est atteinte —
est décroissante sur où et croissante sur où : le minimum est atteint en
Pièges anticipés
-7→ donc : une valeur absolue ne devient jamais négative.0→ est le réel où le minimum est atteint. La valeur minimale est
Exercice 23 · defi
La valeur maximale sur R
Soit la fonction définie sur par On sait que est croissante sur décroissante sur et que pour tout réel Quelle est la valeur maximale de sur ?
Donne la valeur maximale.
Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Sur les réels positifs, une fonction croissante puis décroissante atteint son maximum là où elle change de sens.
- Calcule puis compare-le aux images des réels négatifs.
Correction
- Sur [0 ; +∞[ — est croissante jusqu'à puis décroissante : son maximum est
- Les réels négatifs — Si alors donc
Pour tout réel : le maximum de sur est Comme est impaire, son minimum est atteint en
Pièges anticipés
1→ est le réel où le maximum est atteint. La valeur maximale est
Exercice 24 · pratique
Les variations sur une courbe
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; elle passe par les points et Sur quel intervalle la fonction est-elle décroissante ?
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de g est tracée de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 1. Elle monte du point P d'abscisse moins 3 et d'ordonnée moins 1 jusqu'au point Q d'abscisse moins 2 et d'ordonnée 1, descend jusqu'au point R d'abscisse 0 et d'ordonnée moins 1, puis remonte jusqu'au point T d'abscisse 1 et d'ordonnée 1.
Écris l'intervalle, par exemple « [1;3] ».
Réponse attendue : [-2;0] — aussi acceptées : sur [-2;0] · décroissante sur [-2;0] · g est décroissante sur [-2;0] · I=[-2;0] · l'intervalle [-2;0] · sur l'intervalle [-2;0] · g est décroissante sur l'intervalle [-2;0] · sur [-2,0] · décroissante sur [-2,0] · g est décroissante sur [-2,0] · I=[-2,0]
Indices, dans l’ordre
- Parcours la courbe de gauche à droite et cherche la partie qui descend.
- La courbe descend entre son point le plus haut et son point le plus bas : lis leurs abscisses.
Correction
- De gauche à droite — La courbe monte de l'abscisse à l'abscisse descend de à puis remonte de à
- L'intervalle —
est croissante sur décroissante sur et croissante sur
Pièges anticipés
[-1;1]→ De à ce sont les ordonnées parcourues. Le sens de variation se donne avec des abscisses.[-3;-2] / [0;1]→ Sur cet intervalle, la courbe monte : y est croissante. Cherche la partie qui descend.]-2;0[ / [-2;0[ / ]-2;0]→ est bien décroissante entre et mais les bornes en font partie : ferme les crochets en et en
Exercice 25 · base
Deux carrés, sans calcul
Deux carrés ont le même centre, et pour côtés et où est un réel de l'intervalle On désigne par l'aire de la région comprise entre les deux carrés. Sans effectuer de calcul, donne le sens de variation de la fonction sur
Un grand carré de côté 4 et, à l'intérieur, un petit carré de côté x qui a le même centre et des côtés parallèles à ceux du grand. Aucune région n'est colorée : A(x) est l'aire de la bande comprise entre les deux carrés.
Réponds par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : strictement décroissante · fonction décroissante · A est décroissante · la fonction A est décroissante · décroissante sur ]0;4[ · décroissante sur ]0,4[ · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · elle est décroissante · elle est décroissante sur ]0;4[ · elle est décroissante sur ]0,4[ · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · elle est décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · A est décroissante sur ]0;4[ · A est décroissante sur ]0,4[ · A est décroissante sur cet intervalle · A est décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · A est décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · la fonction A est décroissante sur ]0;4[ · la fonction A est décroissante sur ]0,4[ · la fonction A est décroissante sur cet intervalle · la fonction A est décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · la fonction A est décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur ]0;4[ · la fonction est décroissante sur ]0,4[ · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · c'est décroissante · c'est décroissante sur ]0;4[ · c'est décroissante sur ]0,4[ · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · c'est décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · fonction décroissante sur ]0;4[ · fonction décroissante sur ]0,4[ · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · fonction décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · est décroissante · est décroissante sur ]0;4[ · est décroissante sur ]0,4[ · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · est décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · strictement décroissante sur ]0;4[ · strictement décroissante sur ]0,4[ · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · strictement décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur ]0;4[ · elle est strictement décroissante sur ]0,4[ · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · A est strictement décroissante · A est strictement décroissante sur ]0;4[ · A est strictement décroissante sur ]0,4[ · A est strictement décroissante sur cet intervalle · A est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;4[ · A est strictement décroissante sur l'intervalle ]0,4[ · décroît · décroît sur ]0;4[ · décroît sur ]0,4[ · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur ]0;4[ · elle décroît sur ]0,4[ · elle décroît sur cet intervalle · A décroît · A décroît sur ]0;4[ · A décroît sur ]0,4[ · A décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur ]0;4[ · la fonction décroît sur ]0,4[ · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction A décroît · la fonction A décroît sur ]0;4[ · la fonction A décroît sur ]0,4[ · la fonction A décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · A est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Imagine que augmente : que devient le petit carré ?
- Si le petit carré grandit, la région qui reste entre les deux carrés devient-elle plus grande ou plus petite ?
Correction
- Quand x augmente — Le petit carré grandit, sans jamais sortir du grand.
- La région — Ce qui reste entre les deux carrés diminue : plus est grand, plus l'aire est petite.
est décroissante sur Au contraire, le périmètre du petit carré est une fonction croissante.
Pièges anticipés
croissante / strictement croissante / croissante sur ]0;4[ / croissante sur ]0,4[ / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle ]0;4[ / croissante sur l'intervalle ]0,4[ / elle est croissante / elle est croissante sur ]0;4[ / elle est croissante sur ]0,4[ / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle ]0;4[ / elle est croissante sur l'intervalle ]0,4[ / A est croissante / A est croissante sur ]0;4[ / A est croissante sur ]0,4[ / A est croissante sur cet intervalle / A est croissante sur l'intervalle ]0;4[ / A est croissante sur l'intervalle ]0,4[ / la fonction A est croissante / la fonction A est croissante sur ]0;4[ / la fonction A est croissante sur ]0,4[ / la fonction A est croissante sur cet intervalle / la fonction A est croissante sur l'intervalle ]0;4[ / la fonction A est croissante sur l'intervalle ]0,4[ / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur ]0;4[ / la fonction est croissante sur ]0,4[ / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle ]0;4[ / la fonction est croissante sur l'intervalle ]0,4[ / c'est croissante / c'est croissante sur ]0;4[ / c'est croissante sur ]0,4[ / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle ]0;4[ / c'est croissante sur l'intervalle ]0,4[ / fonction croissante / fonction croissante sur ]0;4[ / fonction croissante sur ]0,4[ / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle ]0;4[ / fonction croissante sur l'intervalle ]0,4[ / est croissante / est croissante sur ]0;4[ / est croissante sur ]0,4[ / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle ]0;4[ / est croissante sur l'intervalle ]0,4[ / strictement croissante sur ]0;4[ / strictement croissante sur ]0,4[ / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle ]0;4[ / strictement croissante sur l'intervalle ]0,4[ / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur ]0;4[ / elle est strictement croissante sur ]0,4[ / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]0;4[ / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]0,4[ / A est strictement croissante / A est strictement croissante sur ]0;4[ / A est strictement croissante sur ]0,4[ / A est strictement croissante sur cet intervalle / A est strictement croissante sur l'intervalle ]0;4[ / A est strictement croissante sur l'intervalle ]0,4[ / croît / croît sur ]0;4[ / croît sur ]0,4[ / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur ]0;4[ / elle croît sur ]0,4[ / elle croît sur cet intervalle / A croît / A croît sur ]0;4[ / A croît sur ]0,4[ / A croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur ]0;4[ / la fonction croît sur ]0,4[ / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction A croît / la fonction A croît sur ]0;4[ / la fonction A croît sur ]0,4[ / la fonction A croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / A est croissant→ Quand augmente, le petit carré grandit : la région entre les deux carrés rétrécit.
Exercice 26 · raisonnement
Enlever la valeur absolue
Soit la fonction définie sur par Quel est le sens de variation de sur l'intervalle ?
Réponds par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : strictement décroissante · fonction décroissante · f est décroissante · la fonction f est décroissante · décroissante sur [0;2] · décroissante sur [0,2] · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle [0;2] · décroissante sur l'intervalle [0,2] · elle est décroissante · elle est décroissante sur [0;2] · elle est décroissante sur [0,2] · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle [0;2] · elle est décroissante sur l'intervalle [0,2] · f est décroissante sur [0;2] · f est décroissante sur [0,2] · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle [0;2] · f est décroissante sur l'intervalle [0,2] · la fonction f est décroissante sur [0;2] · la fonction f est décroissante sur [0,2] · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0;2] · la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0,2] · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur [0;2] · la fonction est décroissante sur [0,2] · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle [0;2] · la fonction est décroissante sur l'intervalle [0,2] · c'est décroissante · c'est décroissante sur [0;2] · c'est décroissante sur [0,2] · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle [0;2] · c'est décroissante sur l'intervalle [0,2] · fonction décroissante sur [0;2] · fonction décroissante sur [0,2] · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle [0;2] · fonction décroissante sur l'intervalle [0,2] · est décroissante · est décroissante sur [0;2] · est décroissante sur [0,2] · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle [0;2] · est décroissante sur l'intervalle [0,2] · strictement décroissante sur [0;2] · strictement décroissante sur [0,2] · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle [0;2] · strictement décroissante sur l'intervalle [0,2] · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur [0;2] · elle est strictement décroissante sur [0,2] · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle [0;2] · elle est strictement décroissante sur l'intervalle [0,2] · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur [0;2] · f est strictement décroissante sur [0,2] · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle [0;2] · f est strictement décroissante sur l'intervalle [0,2] · décroît · décroît sur [0;2] · décroît sur [0,2] · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur [0;2] · elle décroît sur [0,2] · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur [0;2] · f décroît sur [0,2] · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur [0;2] · la fonction décroît sur [0,2] · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur [0;2] · la fonction f décroît sur [0,2] · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Sur le nombre est négatif ou nul : enlève la valeur absolue.
- Sur cet intervalle, Prends et compare et
Correction
- Sans valeur absolue — Pour on a
- Comparer — Si alors
est décroissante sur Sur et est croissante.
Pièges anticipés
croissante / strictement croissante / croissante sur [0;2] / croissante sur [0,2] / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle [0;2] / croissante sur l'intervalle [0,2] / elle est croissante / elle est croissante sur [0;2] / elle est croissante sur [0,2] / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle [0;2] / elle est croissante sur l'intervalle [0,2] / f est croissante / f est croissante sur [0;2] / f est croissante sur [0,2] / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle [0;2] / f est croissante sur l'intervalle [0,2] / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur [0;2] / la fonction f est croissante sur [0,2] / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;2] / la fonction f est croissante sur l'intervalle [0,2] / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur [0;2] / la fonction est croissante sur [0,2] / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle [0;2] / la fonction est croissante sur l'intervalle [0,2] / c'est croissante / c'est croissante sur [0;2] / c'est croissante sur [0,2] / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle [0;2] / c'est croissante sur l'intervalle [0,2] / fonction croissante / fonction croissante sur [0;2] / fonction croissante sur [0,2] / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle [0;2] / fonction croissante sur l'intervalle [0,2] / est croissante / est croissante sur [0;2] / est croissante sur [0,2] / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle [0;2] / est croissante sur l'intervalle [0,2] / strictement croissante sur [0;2] / strictement croissante sur [0,2] / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle [0;2] / strictement croissante sur l'intervalle [0,2] / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur [0;2] / elle est strictement croissante sur [0,2] / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle [0;2] / elle est strictement croissante sur l'intervalle [0,2] / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur [0;2] / f est strictement croissante sur [0,2] / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle [0;2] / f est strictement croissante sur l'intervalle [0,2] / croît / croît sur [0;2] / croît sur [0,2] / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur [0;2] / elle croît sur [0,2] / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur [0;2] / f croît sur [0,2] / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur [0;2] / la fonction croît sur [0,2] / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur [0;2] / la fonction f croît sur [0,2] / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant→ Sur : quand augmente, diminue.
Exercice 27 · base
L'opposé d'une fonction croissante
Soit une fonction croissante sur et la fonction définie sur par Quel est le sens de variation de sur ?
Réponds par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : strictement décroissante · fonction décroissante · h est décroissante · la fonction h est décroissante · décroissante sur [-1;5] · décroissante sur [-1,5] · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle [-1;5] · décroissante sur l'intervalle [-1,5] · elle est décroissante · elle est décroissante sur [-1;5] · elle est décroissante sur [-1,5] · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle [-1;5] · elle est décroissante sur l'intervalle [-1,5] · h est décroissante sur [-1;5] · h est décroissante sur [-1,5] · h est décroissante sur cet intervalle · h est décroissante sur l'intervalle [-1;5] · h est décroissante sur l'intervalle [-1,5] · la fonction h est décroissante sur [-1;5] · la fonction h est décroissante sur [-1,5] · la fonction h est décroissante sur cet intervalle · la fonction h est décroissante sur l'intervalle [-1;5] · la fonction h est décroissante sur l'intervalle [-1,5] · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur [-1;5] · la fonction est décroissante sur [-1,5] · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle [-1;5] · la fonction est décroissante sur l'intervalle [-1,5] · c'est décroissante · c'est décroissante sur [-1;5] · c'est décroissante sur [-1,5] · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle [-1;5] · c'est décroissante sur l'intervalle [-1,5] · fonction décroissante sur [-1;5] · fonction décroissante sur [-1,5] · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle [-1;5] · fonction décroissante sur l'intervalle [-1,5] · est décroissante · est décroissante sur [-1;5] · est décroissante sur [-1,5] · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle [-1;5] · est décroissante sur l'intervalle [-1,5] · strictement décroissante sur [-1;5] · strictement décroissante sur [-1,5] · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle [-1;5] · strictement décroissante sur l'intervalle [-1,5] · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur [-1;5] · elle est strictement décroissante sur [-1,5] · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle [-1;5] · elle est strictement décroissante sur l'intervalle [-1,5] · h est strictement décroissante · h est strictement décroissante sur [-1;5] · h est strictement décroissante sur [-1,5] · h est strictement décroissante sur cet intervalle · h est strictement décroissante sur l'intervalle [-1;5] · h est strictement décroissante sur l'intervalle [-1,5] · décroît · décroît sur [-1;5] · décroît sur [-1,5] · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur [-1;5] · elle décroît sur [-1,5] · elle décroît sur cet intervalle · h décroît · h décroît sur [-1;5] · h décroît sur [-1,5] · h décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur [-1;5] · la fonction décroît sur [-1,5] · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction h décroît · la fonction h décroît sur [-1;5] · la fonction h décroît sur [-1,5] · la fonction h décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · h est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Prends dans : que sais-tu de et de ?
- Multiplie l'inégalité par
Correction
- Pour f — est croissante : si alors
- Pour h — On multiplie par : le sens de l'inégalité change.
La fonction est décroissante sur En revanche, la fonction définie par reste croissante : ajouter garde l'ordre.
Pièges anticipés
croissante / strictement croissante / croissante sur [-1;5] / croissante sur [-1,5] / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle [-1;5] / croissante sur l'intervalle [-1,5] / elle est croissante / elle est croissante sur [-1;5] / elle est croissante sur [-1,5] / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle [-1;5] / elle est croissante sur l'intervalle [-1,5] / h est croissante / h est croissante sur [-1;5] / h est croissante sur [-1,5] / h est croissante sur cet intervalle / h est croissante sur l'intervalle [-1;5] / h est croissante sur l'intervalle [-1,5] / la fonction h est croissante / la fonction h est croissante sur [-1;5] / la fonction h est croissante sur [-1,5] / la fonction h est croissante sur cet intervalle / la fonction h est croissante sur l'intervalle [-1;5] / la fonction h est croissante sur l'intervalle [-1,5] / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur [-1;5] / la fonction est croissante sur [-1,5] / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle [-1;5] / la fonction est croissante sur l'intervalle [-1,5] / c'est croissante / c'est croissante sur [-1;5] / c'est croissante sur [-1,5] / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle [-1;5] / c'est croissante sur l'intervalle [-1,5] / fonction croissante / fonction croissante sur [-1;5] / fonction croissante sur [-1,5] / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle [-1;5] / fonction croissante sur l'intervalle [-1,5] / est croissante / est croissante sur [-1;5] / est croissante sur [-1,5] / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle [-1;5] / est croissante sur l'intervalle [-1,5] / strictement croissante sur [-1;5] / strictement croissante sur [-1,5] / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle [-1;5] / strictement croissante sur l'intervalle [-1,5] / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur [-1;5] / elle est strictement croissante sur [-1,5] / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle [-1;5] / elle est strictement croissante sur l'intervalle [-1,5] / h est strictement croissante / h est strictement croissante sur [-1;5] / h est strictement croissante sur [-1,5] / h est strictement croissante sur cet intervalle / h est strictement croissante sur l'intervalle [-1;5] / h est strictement croissante sur l'intervalle [-1,5] / croît / croît sur [-1;5] / croît sur [-1,5] / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur [-1;5] / elle croît sur [-1,5] / elle croît sur cet intervalle / h croît / h croît sur [-1;5] / h croît sur [-1,5] / h croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur [-1;5] / la fonction croît sur [-1,5] / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction h croît / la fonction h croît sur [-1;5] / la fonction h croît sur [-1,5] / la fonction h croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / h est croissant→ Multiplier par change le sens des inégalités : si alors
Exercice 28 · raisonnement
Comparer deux images sans les connaître
Soit une fonction croissante sur et décroissante sur telle que et Compare et : est-il supérieur ou inférieur à ?
Réponds par « supérieur » ou « inférieur ».
Réponse attendue : supérieur — aussi acceptées : plus grand · strictement supérieur · f(4) est supérieur · f(4) est supérieur à f(10) · supérieur à f(10) · f(4)>f(10) · f(4)≥f(10) · f(4)>=f(10) · f(4) est plus grand · f(4) est plus grand que f(10) · f(10)<f(4) · f(10) est inférieur à f(4) · f(10) inférieur à f(4) · f(10) est plus petit que f(4) · f(10) plus petit que f(4) · f(4) supérieur à f(10) · f(4) plus grand que f(10) · f(4) est strictement supérieur à f(10) · f(10)≤f(4) · f(10)<=f(4) · supérieure · plus grande · strictement supérieure · f(4) est supérieure · f(4) est supérieure à f(10) · supérieure à f(10) · f(4) est plus grande · f(4) est plus grande que f(10) · f(4) supérieure à f(10) · f(4) plus grande que f(10) · f(4) est strictement supérieure à f(10) · il est supérieur · il est supérieur à f(10) · elle est supérieure · elle est supérieure à f(10) · il est plus grand · elle est plus grande · plus grand que f(10) · plus grande que f(10) · c'est supérieur
Indices, dans l’ordre
- Utilise la croissance sur pour situer par rapport à
- Utilise la décroissance sur pour situer par rapport à
- Tu obtiens et : conclus.
Correction
- Avec la croissance — dans où est croissante.
- Avec la décroissance — dans où est décroissante.
- La comparaison —
est strictement supérieur à : le sens de variation permet de comparer des images sans les calculer.
Pièges anticipés
inférieur / plus petit / f(4) est inférieur / f(4) est inférieur à f(10) / f(4)<f(10) / f(4) est plus petit / f(4) est plus petit que f(10) / f(4) inférieur à f(10) / f(10) est supérieur à f(4) / f(10) est plus grand que f(4) / f(10)>f(4) / inférieure / plus petite / f(4) est inférieure / f(4) est inférieure à f(10) / f(4) est plus petite / f(4) est plus petite que f(10) / f(4) inférieure à f(10) / il est inférieur / elle est inférieure / inférieur à f(10) / inférieure à f(10) / f(4)≤f(10) / f(4)<=f(10)→ Reprends : car est croissante sur et car est décroissante sur
Exercice 29 · raisonnement
Le sens de variation par le calcul
Soit la fonction définie sur par Quel est le sens de variation de sur l'intervalle ?
Réponds par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : strictement décroissante · fonction décroissante · f est décroissante · la fonction f est décroissante · décroissante sur [0;3] · décroissante sur [0,3] · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle [0;3] · décroissante sur l'intervalle [0,3] · elle est décroissante · elle est décroissante sur [0;3] · elle est décroissante sur [0,3] · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle [0;3] · elle est décroissante sur l'intervalle [0,3] · f est décroissante sur [0;3] · f est décroissante sur [0,3] · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle [0;3] · f est décroissante sur l'intervalle [0,3] · la fonction f est décroissante sur [0;3] · la fonction f est décroissante sur [0,3] · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0;3] · la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0,3] · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur [0;3] · la fonction est décroissante sur [0,3] · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle [0;3] · la fonction est décroissante sur l'intervalle [0,3] · c'est décroissante · c'est décroissante sur [0;3] · c'est décroissante sur [0,3] · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle [0;3] · c'est décroissante sur l'intervalle [0,3] · fonction décroissante sur [0;3] · fonction décroissante sur [0,3] · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle [0;3] · fonction décroissante sur l'intervalle [0,3] · est décroissante · est décroissante sur [0;3] · est décroissante sur [0,3] · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle [0;3] · est décroissante sur l'intervalle [0,3] · strictement décroissante sur [0;3] · strictement décroissante sur [0,3] · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle [0;3] · strictement décroissante sur l'intervalle [0,3] · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur [0;3] · elle est strictement décroissante sur [0,3] · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle [0;3] · elle est strictement décroissante sur l'intervalle [0,3] · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur [0;3] · f est strictement décroissante sur [0,3] · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle [0;3] · f est strictement décroissante sur l'intervalle [0,3] · décroît · décroît sur [0;3] · décroît sur [0,3] · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur [0;3] · elle décroît sur [0,3] · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur [0;3] · f décroît sur [0,3] · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur [0;3] · la fonction décroît sur [0,3] · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur [0;3] · la fonction f décroît sur [0,3] · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Prends et compare d'abord et
- Passe ensuite à et : attention au signe moins.
- Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.
Correction
- Les carrés — Pour des réels positifs, donne
- Le signe moins — Il renverse l'ordre.
- Les racines — Elles gardent l'ordre.
est décroissante sur Comme elle est paire, sa courbe se complète par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Pièges anticipés
croissante / strictement croissante / croissante sur [0;3] / croissante sur [0,3] / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle [0;3] / croissante sur l'intervalle [0,3] / elle est croissante / elle est croissante sur [0;3] / elle est croissante sur [0,3] / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle [0;3] / elle est croissante sur l'intervalle [0,3] / f est croissante / f est croissante sur [0;3] / f est croissante sur [0,3] / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle [0;3] / f est croissante sur l'intervalle [0,3] / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur [0;3] / la fonction f est croissante sur [0,3] / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;3] / la fonction f est croissante sur l'intervalle [0,3] / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur [0;3] / la fonction est croissante sur [0,3] / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle [0;3] / la fonction est croissante sur l'intervalle [0,3] / c'est croissante / c'est croissante sur [0;3] / c'est croissante sur [0,3] / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle [0;3] / c'est croissante sur l'intervalle [0,3] / fonction croissante / fonction croissante sur [0;3] / fonction croissante sur [0,3] / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle [0;3] / fonction croissante sur l'intervalle [0,3] / est croissante / est croissante sur [0;3] / est croissante sur [0,3] / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle [0;3] / est croissante sur l'intervalle [0,3] / strictement croissante sur [0;3] / strictement croissante sur [0,3] / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle [0;3] / strictement croissante sur l'intervalle [0,3] / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur [0;3] / elle est strictement croissante sur [0,3] / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle [0;3] / elle est strictement croissante sur l'intervalle [0,3] / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur [0;3] / f est strictement croissante sur [0,3] / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle [0;3] / f est strictement croissante sur l'intervalle [0,3] / croît / croît sur [0;3] / croît sur [0,3] / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur [0;3] / elle croît sur [0,3] / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur [0;3] / f croît sur [0,3] / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur [0;3] / la fonction croît sur [0,3] / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur [0;3] / la fonction f croît sur [0,3] / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant→ Le signe moins devant renverse l'ordre : plus est grand, plus est petit.
Exercice 30 · pratique
Un demi-cercle caché
Soit la fonction définie sur par et sa courbe dans un repère orthonormé d'origine Soit un point de d'abscisse Calcule la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le point a pour abscisse et pour ordonnée Dans un repère orthonormé, est la somme des carrés des coordonnées de
- Calcule le carré de : c'est le carré d'une racine carrée.
Correction
- Les coordonnées de M —
- Le carré de la distance —
- La distance —
Tous les points de sont à la distance de et leurs ordonnées sont positives : est le demi-cercle de centre et de rayon situé au-dessus de l'axe des abscisses.
Pièges anticipés
9→ est le carré de la distance, La distance est sa racine carrée.
Exercice 31 · base
Vrai ou faux : une fonction paire ?
Vrai ou faux ? La fonction définie sur par est paire.
Réponds par « vrai » ou « faux ».
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : elle n'est pas paire · f n'est pas paire · fausse · non · pas paire · non paire · n'est pas paire · faux elle n'est pas paire · faux, elle n'est pas paire · faux car elle n'est pas paire · faux, car elle n'est pas paire · faux, f n'est pas paire · faux f n'est pas paire · faux car f n'est pas paire · faux, car f n'est pas paire · non, elle n'est pas paire · non elle n'est pas paire · non, f n'est pas paire · non f n'est pas paire · la fonction n'est pas paire · la fonction f n'est pas paire · faux, car -3 n'est pas dans l'ensemble · faux car -3 n'est pas dans l'ensemble · faux, -3 n'est pas dans l'ensemble · faux, car -3 n'est pas dans l'ensemble de définition · faux car -3 n'est pas dans l'ensemble de définition · faux, -3 n'est pas dans l'ensemble de définition · faux, car -3 n'appartient pas à l'ensemble de définition · faux car -3 n'appartient pas à l'ensemble de définition · faux, car -3 n'est pas dans [-2;3] · faux car -3 n'est pas dans [-2;3] · faux, car -3 n'appartient pas à [-2;3] · faux car -3 n'appartient pas à [-2;3] · faux, car l'ensemble de définition n'est pas symétrique · faux car l'ensemble de définition n'est pas symétrique · faux, l'ensemble de définition n'est pas symétrique · faux, car l'ensemble n'est pas symétrique · faux car l'ensemble n'est pas symétrique · c'est faux · elle est fausse · c'est fausse · la réponse est faux · la réponse est fausse · donc faux · donc c'est faux
Indices, dans l’ordre
- Une fonction paire vérifie deux conditions : la première porte sur l'ensemble de définition.
- Le réel est dans Son opposé y est-il ?
Correction
- L'ensemble de définition — Il ne contient pas l'opposé de chacun de ses éléments.
La fonction n'est pas paire, même si : c'est l'ensemble de définition qui l'en empêche. Définie sur elle le serait.
Pièges anticipés
vrai / vraie / oui / c'est vrai / elle est vraie / la réponse est vrai / la réponse est vraie / donc vrai / elle est paire / f est paire / vrai, elle est paire / vrai elle est paire / vrai car elle est paire / oui, elle est paire / oui elle est paire / paire→ Le calcul est juste, mais regarde l'ensemble de définition : y est, son opposé n'y est pas.
Exercice 32 · pratique
Vrai ou faux : ni paire ni impaire ?
Vrai ou faux ? La fonction définie sur par n'est ni paire ni impaire.
Réponds par « vrai » ou « faux ».
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : elle est impaire · f est impaire · fausse · non · faux elle est impaire · faux car elle est impaire · faux car f est impaire · faux f est impaire · faux car la fonction est impaire · faux la fonction f est impaire · non elle est impaire · non f est impaire · non car elle est impaire · non car f est impaire
Indices, dans l’ordre
- Calcule en te souvenant que
- Compare le résultat à puis à
Correction
- Le calcul — Un réel et son opposé ont la même valeur absolue.
La fonction est impaire : l'affirmation est fausse. Par exemple et
Pièges anticipés
vrai / vraie / oui→ Calcule : comme on trouve Compare avec
Exercice 33 · pratique
La parité d'un polynôme
Étudie la parité de la fonction définie sur par
Réponds par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : ni paire ni impaire — aussi acceptées : ni paire, ni impaire · ni impaire ni paire · ni l'une ni l'autre · ni l'un ni l'autre · aucune des deux · elle n'est ni paire ni impaire · f n'est ni paire ni impaire · ni pair ni impair · ni impair ni pair · ni impaire, ni paire · ni pair, ni impair · ni impair, ni pair · elle n'est ni impaire ni paire · f n'est ni impaire ni paire · elle n'est ni paire, ni impaire · f n'est ni paire, ni impaire · la fonction n'est ni paire ni impaire · la fonction f n'est ni paire ni impaire · ni l'une, ni l'autre · ni paire et ni impaire
Indices, dans l’ordre
- L'ensemble de définition est : la première condition est vérifiée. Calcule
- Est-ce ? Est-ce ? Teste avec
Correction
- Le calcul —
- Un contre-exemple — Les images de et de ne sont ni égales ni opposées.
La fonction n'est ni paire ni impaire : un seul contre-exemple suffit à le prouver.
Pièges anticipés
paire / pair→ et : les images de deux réels opposés ne sont pas égales.impaire / impair→ et : les images de deux réels opposés ne sont pas opposées.
Exercice 34 · pratique
La parité d'un quotient
Étudie la parité de la fonction définie par : au dénominateur, on retranche à la valeur absolue de
Réponds par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : impaire — aussi acceptées : fonction impaire · elle est impaire · g est impaire · la fonction g est impaire
Indices, dans l’ordre
- Cherche d'abord l'ensemble de définition : pour quels réels a-t-on ?
- Calcule en te souvenant que
- Compare à et à
Correction
- Le dénominateur — Il s'annule quand la valeur absolue de vaut
- L'ensemble de définition — est privé de et de : il contient l'opposé de chacun de ses éléments.
- Le calcul — Un réel et son opposé ont la même valeur absolue : le dénominateur ne change pas.
La fonction est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Pièges anticipés
paire→ Au numérateur, devient : on trouve et nonni paire ni impaire / ni pair ni impair→ L'ensemble de définition contient l'opposé de chacun de ses éléments : calcule avant de conclure.
Exercice 35 · pratique
La parité commence par l'ensemble de définition
Étudie la parité de la fonction définie par
Réponds par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : ni paire ni impaire — aussi acceptées : ni paire, ni impaire · ni impaire ni paire · ni l'une ni l'autre · ni l'un ni l'autre · aucune des deux · elle n'est ni paire ni impaire · h n'est ni paire ni impaire · ni pair ni impair · ni impair ni pair · ni impaire, ni paire · ni pair, ni impair · ni impair, ni pair · elle n'est ni impaire ni paire · h n'est ni impaire ni paire · elle n'est ni paire, ni impaire · h n'est ni paire, ni impaire · la fonction n'est ni paire ni impaire · la fonction h n'est ni paire ni impaire · ni l'une, ni l'autre · ni paire et ni impaire
Indices, dans l’ordre
- Avant tout calcul, détermine l'ensemble de définition.
- est définie pour Cet ensemble contient ; contient-il ?
Correction
- L'ensemble de définition —
- Les opposés —
L'ensemble de définition ne contient pas l'opposé de ses éléments : n'est ni paire ni impaire, sans aucun calcul d'image.
Pièges anticipés
paire / pair→ existe, mais n'existe pas : on ne peut même pas comparer etimpaire / impair→ existe, mais n'existe pas : n'est pas dans l'ensemble de définition.
Exercice 36 · pratique
Lire la parité sur une courbe
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; elle passe par l'origine et par les points et D'après sa courbe, la fonction est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe Ch a la forme d'un S couché : elle monte de la gauche vers la droite en passant par l'origine. Elle passe par le point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 2 et par le point A d'abscisse 2 et d'ordonnée 2. Toute la partie de gauche est au-dessous de l'axe des abscisses, toute la partie de droite au-dessus, et l'origine O est le milieu de tout segment qui joint deux points de la courbe d'abscisses opposées.
Réponds par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : impaire — aussi acceptées : fonction impaire · elle est impaire · h est impaire · la fonction h est impaire
Indices, dans l’ordre
- Cherche une symétrie de la courbe : par rapport à l'axe des ordonnées, ou par rapport à l'origine ?
- Les points et ont des abscisses opposées, et Compare leurs ordonnées.
Correction
- La symétrie — La courbe est symétrique par rapport à l'origine : deux points d'abscisses opposées ont des ordonnées opposées.
Une courbe symétrique par rapport à l'origine est celle d'une fonction impaire.
Pièges anticipés
paire→ Si était paire, les points d'abscisses et auraient la même ordonnée. Ici, ce sont etni paire ni impaire / ni pair ni impair→ Regarde la symétrie par rapport à l'origine : le point a pour symétrique le point qui est aussi sur la courbe.
Exercice 37 · raisonnement
Un axe de symétrie qui trompe
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur ; elle passe par les points et et elle coupe l'axe des abscisses à l'origine et au point d'abscisse La fonction est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?
Un repère orthogonal d'origine O. La courbe Cf est tracée de l'abscisse moins 1 à l'abscisse 3. Elle descend du point P d'abscisse moins 1 et d'ordonnée 3, passe par l'origine, atteint son point le plus bas S d'abscisse 1 et d'ordonnée moins 1, remonte en coupant l'axe des abscisses au point d'abscisse 2, et finit au point Q d'abscisse 3 et d'ordonnée 3. La courbe a un axe de symétrie : la droite verticale qui passe par l'abscisse 1, et non l'axe des ordonnées.
Réponds par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : ni paire ni impaire — aussi acceptées : ni paire, ni impaire · ni impaire ni paire · ni l'une ni l'autre · ni l'un ni l'autre · aucune des deux · elle n'est ni paire ni impaire · f n'est ni paire ni impaire · ni pair ni impair · ni impair ni pair · ni impaire, ni paire · ni pair, ni impair · ni impair, ni pair · elle n'est ni impaire ni paire · f n'est ni impaire ni paire · elle n'est ni paire, ni impaire · f n'est ni paire, ni impaire · la fonction n'est ni paire ni impaire · la fonction f n'est ni paire ni impaire · ni l'une, ni l'autre · ni paire et ni impaire
Indices, dans l’ordre
- Regarde d'abord l'ensemble de définition : contient-il l'opposé de ?
- Compare aussi et
Correction
- L'ensemble de définition —
- Les images — Elles ne sont ni égales ni opposées.
La courbe est symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par l'abscisse pas par rapport à l'axe des ordonnées : n'est ni paire ni impaire.
Pièges anticipés
paire / pair→ La courbe a bien un axe de symétrie, mais c'est la verticale qui passe par l'abscisse pas l'axe des ordonnées. Et est dans l'ensemble de définition, pasimpaire / impair→ et : ces deux images ne sont pas opposées.
Exercice 38 · base
Compléter grâce à la parité
Une fonction est impaire sur et sa courbe passe par le point Calcule
Donne cette image.
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Pour une fonction impaire, deux réels opposés ont des images opposées.
- Écris l'égalité de la définition avec :
Correction
- Le point S —
- L'imparité —
La courbe passe donc aussi par le point d'abscisse et d'ordonnée symétrique de par rapport à l'origine. Si était paire, on aurait
Pièges anticipés
2→ c'est la règle des fonctions paires. Pour une fonction impaire, les images sont opposées.
Exercice 39 · base
Le périmètre d'un rectangle d'aire 4
Un rectangle a pour aire centimètres carrés. On désigne par la longueur d'un de ses côtés, en centimètres, et par son périmètre. Calcule
Donne le périmètre en centimètres, le nombre seul.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Si un côté mesure l'autre mesure puisque l'aire vaut
- Le périmètre est deux fois la somme des deux côtés.
Correction
- L'autre côté — L'aire est le produit des deux côtés.
- Le périmètre —
- Pour —
Le rectangle de côtés et a pour périmètre centimètres.
Pièges anticipés
5→ est la somme des deux côtés, Le périmètre compte chaque côté deux fois.4→ est l'aire. Le périmètre est
Exercice 40 · raisonnement
Le signe de f(b) − f(a)
Soit la fonction définie sur par : à on ajoute le quotient de par Pour on a Quel est le sens de variation de sur l'intervalle ?
Réponds par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : strictement décroissante · fonction décroissante · f est décroissante · la fonction f est décroissante · décroissante sur ]0;2] · décroissante sur ]0,2] · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle ]0;2] · décroissante sur l'intervalle ]0,2] · elle est décroissante · elle est décroissante sur ]0;2] · elle est décroissante sur ]0,2] · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle ]0;2] · elle est décroissante sur l'intervalle ]0,2] · f est décroissante sur ]0;2] · f est décroissante sur ]0,2] · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle ]0;2] · f est décroissante sur l'intervalle ]0,2] · la fonction f est décroissante sur ]0;2] · la fonction f est décroissante sur ]0,2] · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0;2] · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0,2] · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur ]0;2] · la fonction est décroissante sur ]0,2] · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]0;2] · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]0,2] · c'est décroissante · c'est décroissante sur ]0;2] · c'est décroissante sur ]0,2] · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle ]0;2] · c'est décroissante sur l'intervalle ]0,2] · fonction décroissante sur ]0;2] · fonction décroissante sur ]0,2] · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle ]0;2] · fonction décroissante sur l'intervalle ]0,2] · est décroissante · est décroissante sur ]0;2] · est décroissante sur ]0,2] · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle ]0;2] · est décroissante sur l'intervalle ]0,2] · strictement décroissante sur ]0;2] · strictement décroissante sur ]0,2] · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle ]0;2] · strictement décroissante sur l'intervalle ]0,2] · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur ]0;2] · elle est strictement décroissante sur ]0,2] · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;2] · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]0,2] · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur ]0;2] · f est strictement décroissante sur ]0,2] · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;2] · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]0,2] · décroît · décroît sur ]0;2] · décroît sur ]0,2] · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur ]0;2] · elle décroît sur ]0,2] · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur ]0;2] · f décroît sur ]0,2] · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur ]0;2] · la fonction décroît sur ]0,2] · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur ]0;2] · la fonction f décroît sur ]0,2] · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Sur on a : compare le produit à
- et sont strictement positifs : le signe de est celui de
Correction
- Le produit — Si alors
- La différence — et sont strictement positifs.
La fonction est décroissante sur Sur on a : elle y est croissante.
Pièges anticipés
croissante / strictement croissante / croissante sur ]0;2] / croissante sur ]0,2] / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle ]0;2] / croissante sur l'intervalle ]0,2] / elle est croissante / elle est croissante sur ]0;2] / elle est croissante sur ]0,2] / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle ]0;2] / elle est croissante sur l'intervalle ]0,2] / f est croissante / f est croissante sur ]0;2] / f est croissante sur ]0,2] / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle ]0;2] / f est croissante sur l'intervalle ]0,2] / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur ]0;2] / la fonction f est croissante sur ]0,2] / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]0;2] / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]0,2] / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur ]0;2] / la fonction est croissante sur ]0,2] / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle ]0;2] / la fonction est croissante sur l'intervalle ]0,2] / c'est croissante / c'est croissante sur ]0;2] / c'est croissante sur ]0,2] / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle ]0;2] / c'est croissante sur l'intervalle ]0,2] / fonction croissante / fonction croissante sur ]0;2] / fonction croissante sur ]0,2] / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle ]0;2] / fonction croissante sur l'intervalle ]0,2] / est croissante / est croissante sur ]0;2] / est croissante sur ]0,2] / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle ]0;2] / est croissante sur l'intervalle ]0,2] / strictement croissante sur ]0;2] / strictement croissante sur ]0,2] / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle ]0;2] / strictement croissante sur l'intervalle ]0,2] / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur ]0;2] / elle est strictement croissante sur ]0,2] / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]0;2] / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]0,2] / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur ]0;2] / f est strictement croissante sur ]0,2] / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;2] / f est strictement croissante sur l'intervalle ]0,2] / croît / croît sur ]0;2] / croît sur ]0,2] / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur ]0;2] / elle croît sur ]0,2] / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur ]0;2] / f croît sur ]0,2] / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur ]0;2] / la fonction croît sur ]0,2] / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur ]0;2] / la fonction f croît sur ]0,2] / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant→ Sur : le facteur est négatif, donc
Exercice 41 · defi
Le rectangle de plus petit périmètre
Parmi tous les rectangles d'aire centimètres carrés, on cherche celui qui a le plus petit périmètre. Si est la longueur d'un côté, le périmètre est : à on ajoute le quotient de par La fonction est décroissante sur et croissante sur Quel est ce plus petit périmètre, en centimètres ?
Donne le périmètre minimal en centimètres, le nombre seul.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Une fonction décroissante puis croissante atteint son minimum là où elle change de sens.
- Calcule
Correction
- Le minimum — décroît jusqu'à puis croît : pour tout
- Le rectangle — Pour l'autre côté vaut aussi : c'est un carré.
Parmi les rectangles d'aire centimètres carrés, celui de plus petit périmètre est le carré de côté centimètres : son périmètre est centimètres.
Pièges anticipés
2→ est la longueur du côté pour laquelle le minimum est atteint. Le périmètre minimal est
Exercice 42 · pratique
Le volume après quatre minutes
Un robinet à débit constant remplit en minutes un récipient de litres. La hauteur de l'eau dans ce récipient est donnée par la courbe bleue : elle atteint centimètres au bout de minutes, puis centimètres au bout de minutes. Quel volume d'eau, en litres, le récipient contient-il au bout de minutes ?
Un repère : en abscisse le temps t en minutes, gradué de 1 en 1 jusqu'à 5 ; en ordonnée la hauteur h de l'eau en centimètres, graduée de 10 en 10 jusqu'à 40. Quatre courbes partent de l'origine et arrivent toutes au point d'abscisse 5 et d'ordonnée 40. C1, noire, est un segment de droite. C2, bleue, est faite de deux segments : elle monte lentement jusqu'au point d'abscisse 4 et d'ordonnée 20, puis très vite. C3, verte, monte vite au début puis de plus en plus lentement. C4, rouge, monte lentement au début puis de plus en plus vite. Au palier 2, des pointillés lisent le point d'arrivée commun.
Donne le volume en litres, le nombre seul.
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- Le débit est constant : calcule d'abord le nombre de litres versés par minute.
- litres en minutes, cela fait litres par minute.
Correction
- Le débit —
- Après 4 minutes —
Le volume versé est proportionnel au temps, même si la hauteur ne l'est pas : la moitié basse du récipient, large, contient litres ; la moitié haute, étroite, n'en contient que
Pièges anticipés
10→ Au bout de minutes, l'eau est à mi-hauteur, mais le récipient n'est pas à moitié plein : il est plus large en bas. Utilise le débit.20→ est la hauteur de l'eau, en centimètres. On demande un volume : utilise le débit du robinet.
Exercice 43 · pratique
L'aire dans le trapèze
est un trapèze rectangle de bases et avec et Pour un point de tel que la parallèle à passant par coupe en et l'aire du polygone est Calcule cette aire lorsque est le milieu de
Un trapèze rectangle ABCD. La grande base [DC] est en bas, D à gauche et C à droite ; la petite base [AB] est en haut ; le côté [BC], à droite, est perpendiculaire aux deux bases ; le côté [AD], à gauche, est oblique. Au palier 2, le point M est sur le côté [BC] et le point N sur le côté [AD], avec (MN) parallèle à (DC). Le polygone MNDC, la partie du bas, est coloré en bleu. La longueur CM est notée x.
Donne l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5
Indices, dans l’ordre
- Le milieu de est à la distance de puisque
- Remplace par dans l'expression de
Correction
- La valeur de x —
- L'aire —
Le trapèze entier a pour aire : quand est au milieu de le polygone en occupe plus de la moitié.
Pièges anticipés
2→ est la moitié de l'aire du trapèze. Mais la partie du bas est plus large que celle du haut : calcule4→ correspond à en Le milieu de donne
Exercice 44 · base
Un quotient et sa valeur interdite
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : ]-inf;-5[U]-5;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;-5[∪]-5;+inf[ · ]-inf;-5[ union ]-5;+inf[ · ]-inf;-5[ ou ]-5;+inf[ · ]-5;+inf[U]-inf;-5[ · ]-5;+inf[∪]-inf;-5[ · ]-5;+inf[ union ]-inf;-5[ · ]-5;+inf[ ou ]-inf;-5[ · ]-inf,-5[U]-5,+inf[ · ]-inf,-5[∪]-5,+inf[ · ]-inf,-5[ union ]-5,+inf[ · ]-inf,-5[ ou ]-5,+inf[ · ]-5,+inf[U]-inf,-5[ · ]-5,+inf[∪]-inf,-5[ · ]-5,+inf[ union ]-inf,-5[ · ]-5,+inf[ ou ]-inf,-5[ · D=]-inf;-5[U]-5;+inf[ · D=]-inf;-5[∪]-5;+inf[ · D=]-inf;-5[ union ]-5;+inf[ · D=]-inf;-5[ ou ]-5;+inf[ · D=]-5;+inf[U]-inf;-5[ · D=]-5;+inf[∪]-inf;-5[ · Df=]-inf;-5[U]-5;+inf[ · Df=]-inf;-5[∪]-5;+inf[ · Df=]-inf;-5[ union ]-5;+inf[ · Df=]-inf;-5[ ou ]-5;+inf[ · Df=]-5;+inf[U]-inf;-5[ · Df=]-5;+inf[∪]-inf;-5[ · D_f=]-inf;-5[U]-5;+inf[ · D_f=]-inf;-5[∪]-5;+inf[ · D_f=]-inf;-5[ union ]-5;+inf[ · D_f=]-inf;-5[ ou ]-5;+inf[ · D_f=]-5;+inf[U]-inf;-5[ · D_f=]-5;+inf[∪]-inf;-5[ · R\{-5} · IR\{-5} · R-{-5} · IR-{-5} · R privé de -5 · IR privé de -5 · R sauf -5 · IR sauf -5 · ℝ\{-5} · ℝ-{-5} · ℝ privé de -5 · ℝ sauf -5
Indices, dans l’ordre
- Un quotient n'existe que si son dénominateur n'est pas nul.
- Cherche la valeur de qui annule le dénominateur :
Correction
- Le dénominateur — Il s'annule pour une seule valeur.
- L'ensemble — Tous les réels sauf
Pour un quotient, on n'exclut que les valeurs qui annulent le dénominateur ; le numérateur peut s'annuler.
Pièges anticipés
]-inf;-1/2[U]-1/2;+inf[ / ]-inf;-1/2[∪]-1/2;+inf[ / ]-inf;-1/2[ union ]-1/2;+inf[ / ]-inf;-1/2[ ou ]-1/2;+inf[ / ]-1/2;+inf[U]-inf;-1/2[ / ]-1/2;+inf[∪]-inf;-1/2[ / ]-1/2;+inf[ union ]-inf;-1/2[ / ]-1/2;+inf[ ou ]-inf;-1/2[ / ]-inf,-1/2[U]-1/2,+inf[ / ]-inf,-1/2[∪]-1/2,+inf[ / ]-inf,-1/2[ union ]-1/2,+inf[ / ]-inf,-1/2[ ou ]-1/2,+inf[ / ]-1/2,+inf[U]-inf,-1/2[ / ]-1/2,+inf[∪]-inf,-1/2[ / ]-1/2,+inf[ union ]-inf,-1/2[ / ]-1/2,+inf[ ou ]-inf,-1/2[ / R\{-1/2} / IR\{-1/2} / ℝ\{-1/2}→ Tu as exclu la valeur qui annule le numérateur. Or existe : c'est le dénominateur qu'on regarde.]-inf;5[U]5;+inf[ / ]-inf;5[∪]5;+inf[ / ]-inf;5[ union ]5;+inf[ / ]-inf;5[ ou ]5;+inf[ / ]5;+inf[U]-inf;5[ / ]5;+inf[∪]-inf;5[ / ]5;+inf[ union ]-inf;5[ / ]5;+inf[ ou ]-inf;5[ / ]-inf,5[U]5,+inf[ / ]-inf,5[∪]5,+inf[ / ]-inf,5[ union ]5,+inf[ / ]-inf,5[ ou ]5,+inf[ / ]5,+inf[U]-inf,5[ / ]5,+inf[∪]-inf,5[ / ]5,+inf[ union ]-inf,5[ / ]5,+inf[ ou ]-inf,5[ / R\{5} / IR\{5} / ℝ\{5}→ donne pas
Exercice 45 · base
Une racine qui contient -2x
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire l'intervalle, par exemple « ]-inf;1] ».
Réponse attendue : ]-inf;3] — aussi acceptées : ]-inf,3] · D=]-inf;3] · D=]-inf,3] · Dg=]-inf;3] · Dg=]-inf,3] · D_g=]-inf;3] · D_g=]-inf,3]
Indices, dans l’ordre
- Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul.
- Résous l'inéquation suivante ; attention au sens si tu divises par un nombre négatif :
Correction
- La condition —
- Diviser par -2 — On divise par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change.
- L'ensemble —
La borne est comprise : Diviser par un négatif renverse l'inégalité.
Pièges anticipés
[3;+inf[ / [3,+inf[→ En divisant par le sens de l'inégalité change : on obtient Teste :]-inf;3[ / ]-inf,3[→ Le réel a une image : Le crochet doit être fermé en
Exercice 46 · pratique
Deux valeurs interdites
Soit la fonction définie par Déterminer l'ensemble des réels qui n'ont pas d'image par
Écrire l'ensemble, par exemple « {1;2} ».
Réponse attendue : {-3;3}
Indices, dans l’ordre
- Un réel n'a pas d'image quand il annule le dénominateur.
- Résous l'équation :
- Un carré égal à : combien de nombres ont ce carré ?
Correction
- Le dénominateur nul —
- Deux solutions — Deux nombres opposés ont pour carré
Les réels sans image sont les solutions de « dénominateur » : ici
Pièges anticipés
{3} / 3→ aussi : annule le dénominateur.{9} / 9 / {-9;9}→ ne donne pas : il faut prendre la racine carrée, ou
Exercice 47 · pratique
Un dénominateur qui ne s'annule jamais
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire l'ensemble, par exemple « IR » ou « [0;+inf[ ».
Réponse attendue : IR — aussi acceptées : R · ℝ · ]-inf;+inf[ · ]-inf,+inf[ · tout R · tout IR · l'ensemble des réels · tous les réels · D=R · D=IR · Df=R · Df=IR · D_f=R · D_f=IR · D=]-inf;+inf[ · Df=]-inf;+inf[ · tout ℝ · D=ℝ · Df=ℝ · D_f=ℝ
Indices, dans l’ordre
- Cherche les réels qui annulent le dénominateur
- Un carré est toujours positif ou nul. Que peut-on dire de ?
Correction
- Le dénominateur — Pour tout réel
- L'ensemble — Le dénominateur ne s'annule jamais.
L'équation n'a pas de solution : aucun réel n'est exclu.
Pièges anticipés
R\{-2;2} / IR\{-2;2} / ]-inf;-2[U]-2;2[U]2;+inf[ / ]-inf;-2[∪]-2;2[∪]2;+inf[ / ]-inf;-2[ union ]-2;2[ union ]2;+inf[ / ]-inf;-2[ ou ]-2;2[ ou ]2;+inf[ / ℝ\{-2;2}→ donnerait : impossible, un carré n'est jamais négatif. Rien n'est exclu.R\{0} / IR\{0} / R* / IR* / ℝ\{0} / ℝ*→ annule le numérateur, pas le dénominateur : existe.
Exercice 48 · raisonnement
Deux racines à la fois
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire l'intervalle, par exemple « [0;3] ».
Réponse attendue : [-2;5] — aussi acceptées : [-2,5] · D=[-2;5] · D=[-2,5] · Dh=[-2;5] · Dh=[-2,5] · D_h=[-2;5] · D_h=[-2,5]
Indices, dans l’ordre
- Chacune des deux racines impose sa condition : il faut les deux en même temps.
- Résous séparément :
- Les réels qui conviennent sont ceux qui vérifient les deux conditions : l'intersection.
Correction
- Première racine —
- Seconde racine —
- Les deux à la fois —
Quand une expression contient plusieurs racines, l'ensemble de définition est l'intersection des conditions.
Pièges anticipés
[-2;+inf[ / [-2,+inf[→ C'est la condition de la première racine seulement. Pour n'existe pas.]-inf;5] / ]-inf,5]→ C'est la condition de la seconde racine seulement. Pour n'existe pas.]-2;5[ / ]-2,5[→ Les bornes conviennent : et existent.
Exercice 49 · raisonnement
Une racine au dénominateur
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire l'intervalle, par exemple « [1;+inf[ ».
Réponse attendue : ]1;+inf[ — aussi acceptées : ]1,+inf[ · D=]1;+inf[ · D=]1,+inf[ · Df=]1;+inf[ · Df=]1,+inf[ · D_f=]1;+inf[ · D_f=]1,+inf[
Indices, dans l’ordre
- Deux conditions : la racine doit exister, et le dénominateur ne doit pas être nul.
- La racine existe si Pour quelle valeur vaut-elle ?
Correction
- La racine existe —
- Elle n'est pas nulle — Pour le dénominateur vaut
- L'ensemble — On garde
Sous une racine placée au dénominateur, l'expression doit être strictement positive.
Pièges anticipés
[1;+inf[ / [1,+inf[→ Pour le dénominateur vaut : on ne divise pas par zéro. Le crochet est ouvert en
Exercice 50 · raisonnement
Une racine qui cache un carré
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire l'ensemble, par exemple « IR » ou « [0;+inf[ ».
Réponse attendue : IR — aussi acceptées : R · ℝ · ]-inf;+inf[ · ]-inf,+inf[ · tout R · tout IR · l'ensemble des réels · tous les réels · D=R · D=IR · Df=R · Df=IR · D_f=R · D_f=IR · D=]-inf;+inf[ · Df=]-inf;+inf[ · tout ℝ · D=ℝ · Df=ℝ · D_f=ℝ
Indices, dans l’ordre
- Ce qui est sous la racine doit être positif ou nul. Reconnais-tu une identité remarquable ?
- Compare avec :
Correction
- Une identité remarquable —
- Toujours positif — Un carré est positif ou nul pour tout réel
- L'ensemble —
Avant de résoudre une inéquation sous une racine, factorise : un carré ne pose aucune condition.
Pièges anticipés
[3;+inf[ / [3,+inf[→ Pour : a une image. L'expression est le carré positif partout.R\{3} / IR\{3} / ℝ\{3}→ Pour on obtient : la racine existe. Aucun réel n'est exclu.
Exercice 51 · defi
Une racine sur un quotient
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : [0;2[U]2;+inf[ — aussi acceptées : [0;2[∪]2;+inf[ · [0;2[ union ]2;+inf[ · [0;2[ ou ]2;+inf[ · ]2;+inf[U[0;2[ · ]2;+inf[∪[0;2[ · ]2;+inf[ union [0;2[ · ]2;+inf[ ou [0;2[ · [0,2[U]2,+inf[ · [0,2[∪]2,+inf[ · [0,2[ union ]2,+inf[ · [0,2[ ou ]2,+inf[ · ]2,+inf[U[0,2[ · ]2,+inf[∪[0,2[ · ]2,+inf[ union [0,2[ · ]2,+inf[ ou [0,2[ · D=[0;2[U]2;+inf[ · D=[0;2[∪]2;+inf[ · D=[0;2[ union ]2;+inf[ · D=[0;2[ ou ]2;+inf[ · D=]2;+inf[U[0;2[ · D=]2;+inf[∪[0;2[ · Df=[0;2[U]2;+inf[ · Df=[0;2[∪]2;+inf[ · Df=[0;2[ union ]2;+inf[ · Df=[0;2[ ou ]2;+inf[ · Df=]2;+inf[U[0;2[ · Df=]2;+inf[∪[0;2[ · D_f=[0;2[U]2;+inf[ · D_f=[0;2[∪]2;+inf[ · D_f=[0;2[ union ]2;+inf[ · D_f=[0;2[ ou ]2;+inf[ · D_f=]2;+inf[U[0;2[ · D_f=]2;+inf[∪[0;2[ · [0;+inf[\{2} · [0,+inf[\{2} · [0;+inf[-{2} · [0;+inf[ privé de 2 · [0;+inf[ sauf 2 · R+\{2} · IR+\{2} · ℝ+\{2} · R+-{2} · IR+-{2}
Indices, dans l’ordre
- Deux conditions : la racine du numérateur doit exister, et le dénominateur ne doit pas s'annuler.
- Le dénominateur s'annule pour deux réels :
- Parmi ces deux réels, lequel appartient à l'intervalle permis par la racine ?
Correction
- La racine —
- Le dénominateur —
- Les deux conditions — est déjà exclu par la racine ; il reste à retirer
On écrit chaque condition, puis on les réunit : la valeur n'a pas à être retirée, elle n'était pas dans
Pièges anticipés
[0;+inf[ / [0,+inf[→ Pour le dénominateur vaut : n'a pas d'image.]0;2[U]2;+inf[ / ]0;2[∪]2;+inf[ / ]0;2[ union ]2;+inf[ / ]0;2[ ou ]2;+inf[ / ]2;+inf[U]0;2[ / ]2;+inf[∪]0;2[ / ]2;+inf[ union ]0;2[ / ]2;+inf[ ou ]0;2[ / ]0,2[U]2,+inf[ / ]0,2[∪]2,+inf[ / ]0,2[ union ]2,+inf[ / ]0,2[ ou ]2,+inf[ / ]2,+inf[U]0,2[ / ]2,+inf[∪]0,2[ / ]2,+inf[ union ]0,2[ / ]2,+inf[ ou ]0,2[→ Pour : existe. est dans l'ensemble.R\{-2;2} / IR\{-2;2} / ℝ\{-2;2}→ La racine de n'existe que pour : les réels négatifs sont exclus.
Exercice 52 · defi
Retrouver la seconde valeur interdite
Soit un réel et la fonction définie par On sait que n'a pas d'image par Déterminer l'autre réel qui n'a pas d'image par
Donner ce réel.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Si n'a pas d'image, il annule le dénominateur : remplace par et trouve
- Écris ensuite le dénominateur avec la valeur de trouvée, et factorise-le par
Correction
- Trouver m —
- Le dénominateur —
- L'autre valeur — Le produit est nul pour ou
Une valeur interdite connue fixe le paramètre ; la factorisation donne ensuite toutes les autres.
Pièges anticipés
-2→ est la valeur de On demande l'autre réel qui annule1 / -3→ Avec : donne pas Le dénominateur est
Exercice 53 · defi
La racine d'un quotient
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction définie par
Écrire la réunion d'intervalles, par exemple
Réponse attendue : ]-inf;-3[U[1;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;-3[∪[1;+inf[ · ]-inf;-3[ union [1;+inf[ · ]-inf;-3[ ou [1;+inf[ · [1;+inf[U]-inf;-3[ · [1;+inf[∪]-inf;-3[ · [1;+inf[ union ]-inf;-3[ · [1;+inf[ ou ]-inf;-3[ · ]-inf,-3[U[1,+inf[ · ]-inf,-3[∪[1,+inf[ · ]-inf,-3[ union [1,+inf[ · ]-inf,-3[ ou [1,+inf[ · [1,+inf[U]-inf,-3[ · [1,+inf[∪]-inf,-3[ · [1,+inf[ union ]-inf,-3[ · [1,+inf[ ou ]-inf,-3[ · D=]-inf;-3[U[1;+inf[ · D=]-inf;-3[∪[1;+inf[ · D=]-inf;-3[ union [1;+inf[ · D=]-inf;-3[ ou [1;+inf[ · D=[1;+inf[U]-inf;-3[ · D=[1;+inf[∪]-inf;-3[ · Df=]-inf;-3[U[1;+inf[ · Df=]-inf;-3[∪[1;+inf[ · Df=]-inf;-3[ union [1;+inf[ · Df=]-inf;-3[ ou [1;+inf[ · Df=[1;+inf[U]-inf;-3[ · Df=[1;+inf[∪]-inf;-3[ · D_f=]-inf;-3[U[1;+inf[ · D_f=]-inf;-3[∪[1;+inf[ · D_f=]-inf;-3[ union [1;+inf[ · D_f=]-inf;-3[ ou [1;+inf[ · D_f=[1;+inf[U]-inf;-3[ · D_f=[1;+inf[∪]-inf;-3[
Indices, dans l’ordre
- Deux conditions : le quotient doit exister, et il doit être positif ou nul.
- Fais un tableau de signes de et de puis du quotient.
- Que se passe-t-il pour ? Et pour ?
Correction
- Les valeurs clés —
- Le signe du quotient — Il est positif à l'extérieur des valeurs et négatif entre elles.
- Les bornes — En le quotient vaut : on garde En il n'existe pas : on exclut
La racine d'un quotient : un tableau de signes, puis on regarde chaque borne — celle du numérateur est permise, celle du dénominateur jamais.
Pièges anticipés
]-inf;-3]U[1;+inf[ / ]-inf;-3]∪[1;+inf[ / ]-inf;-3] union [1;+inf[ / ]-inf;-3] ou [1;+inf[ / [1;+inf[U]-inf;-3] / [1;+inf[∪]-inf;-3] / [1;+inf[ union ]-inf;-3] / [1;+inf[ ou ]-inf;-3] / ]-inf,-3]U[1,+inf[ / ]-inf,-3]∪[1,+inf[ / ]-inf,-3] union [1,+inf[ / ]-inf,-3] ou [1,+inf[ / [1,+inf[U]-inf,-3] / [1,+inf[∪]-inf,-3] / [1,+inf[ union ]-inf,-3] / [1,+inf[ ou ]-inf,-3]→ Pour le dénominateur est nul : le quotient n'existe pas. Le crochet est ouvert en[1;+inf[ / [1,+inf[→ Pour : Un quotient de deux négatifs est positif : les réels inférieurs à conviennent aussi.]-3;1] / ]-3,1]→ Entre et le numérateur est négatif et le dénominateur positif : le quotient est négatif. C'est l'inverse.
Exercice 54 · base
L'ordonnée d'un point de la courbe
Soit la fonction définie sur par Le point est sur la courbe de Calculer son ordonnée
Donner l'ordonnée
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Un point de la courbe a pour ordonnée l'image de son abscisse :
- Mets entre parenthèses : puis
Correction
- L'ordonnée est l'image —
- Calculer —
est sur la courbe de si et seulement si
Pièges anticipés
5→ pas : le carré d'un nombre négatif est positif.-3→ : moins par moins donne plus.
Exercice 55 · base
Un point sur la courbe ?
Soit la fonction définie par Le point appartient-il à la courbe de ?
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui B appartient à la courbe · B appartient à la courbe · oui il appartient à la courbe · il appartient à la courbe · oui la courbe passe par B · la courbe passe par B · oui il appartient · oui B est sur la courbe · B est sur la courbe · oui il est sur la courbe
Indices, dans l’ordre
- est sur la courbe si et seulement si son ordonnée est l'image de son abscisse.
- Calcule : attention aux signes au numérateur et au dénominateur.
Correction
- L'image de l'abscisse —
- Comparer — On trouve l'ordonnée de
Pour savoir si un point est sur la courbe, on calcule l'image de son abscisse et on la compare à son ordonnée.
Pièges anticipés
non→ : un quotient de deux négatifs est positif. On trouve bien l'ordonnée de
Exercice 56 · base
L'image par une valeur absolue
Soit la fonction définie sur par : on prend la valeur absolue de puis on retranche Calculer l'image de par
Donner l'image.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord puis sa valeur absolue.
- La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
Correction
- L'intérieur —
- La valeur absolue —
On calcule l'intérieur de la valeur absolue en entier, puis on prend sa valeur absolue.
Pièges anticipés
-9→ : une valeur absolue n'est jamais négative.3→ La valeur absolue porte sur tout entier : pas
Exercice 57 · pratique
Les antécédents par le calcul
Soit la fonction définie sur par Déterminer les antécédents de par
Écrire l'ensemble des antécédents, par exemple « {1;2} ».
Réponse attendue : {-3;3}
Indices, dans l’ordre
- Les antécédents de sont les solutions de l'équation
- Isole :
Correction
- L'équation —
- Deux solutions —
Chercher les antécédents de c'est résoudre ; un réel peut en avoir plusieurs.
Pièges anticipés
{3} / 3→ aussi : a deux antécédents.{9} / 9 / {-9;9}→ : il reste à prendre la racine, ou{447} / 447→ est l'image de On cherche les réels dont l'image est
Exercice 58 · pratique
L'antécédent par un quotient
Soit la fonction définie par Déterminer l'antécédent de par
Donner l'antécédent.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Résous pour
- Multiplie les deux membres par puis isole
Correction
- L'équation — Pour :
- Isoler x —
- Vérifier — et
On chasse le dénominateur, on résout, puis on vérifie que la solution n'est pas une valeur interdite.
Pièges anticipés
1/5 / 0.2→ est l'image de On cherche le réel dont l'image est1→ De on obtient : le passe de l'autre côté en
Exercice 59 · pratique
Un coefficient pour passer par un point
Soit un réel et la fonction définie sur par Sa courbe passe par le point Déterminer le réel
Donner la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- est sur la courbe : son ordonnée est l'image de son abscisse,
- Remplace par et résous l'équation d'inconnue
Correction
- Traduire —
- Résoudre —
« La courbe passe par » se traduit par l'équation
Pièges anticipés
4→ vaut en : l'équation est1→ vaut en pas : on obtient donc3/2 / 1.5→ Le terme a disparu : en il vaut et l'équation est
Exercice 60 · raisonnement
Une courbe et une droite qui se touchent
Soit la fonction définie sur par et la droite d'équation Déterminer l'ensemble des abscisses des points communs à la courbe de et à
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {2;5} ».
Réponse attendue : {2}
Indices, dans l’ordre
- Un point commun a une ordonnée égale à et à : résous
- Ramène tout dans un membre : reconnais-tu une identité remarquable ?
Correction
- L'équation —
- Factoriser —
Les points communs à deux courbes ont pour abscisses les solutions de l'équation obtenue en égalant leurs ordonnées.
Pièges anticipés
{-2;2}→ n'a qu'une solution : Un seul point commun.{-2}→ donne Vérifie :
Exercice 61 · raisonnement
Un antécédent impossible
Soit la fonction définie sur par Combien le réel a-t-il d'antécédents par ?
Donner le nombre d'antécédents.
Réponse attendue : 0 — aussi acceptées : aucun · zéro · aucun antécédent · 0 antécédent · pas d'antécédent · il n'y en a pas · 0 antécédents · zéro antécédent · pas d'antécédents · il n'a pas d'antécédent · il n'a aucun antécédent · il n'y a pas d'antécédent · il n'y a aucun antécédent · -1 n'a pas d'antécédent · -1 n'a aucun antécédent · il n'en a pas · il n'en a aucun
Indices, dans l’ordre
- Avant de résoudre, regarde le signe de
- Le numérateur et le dénominateur sont-ils positifs ? Que peut-on en dire de ?
Correction
- Le signe — Pour tout réel et
- Conclure — Un nombre positif ou nul ne vaut jamais
Le signe de suffit parfois à montrer qu'une équation n'a pas de solution.
Pièges anticipés
2 / deux→ est toujours positif ou nul : aucun réel n'a pour image1 / un / un seul→ est toujours positif ou nul : aucun réel n'a pour image
Exercice 62 · defi
Ne pas simplifier trop vite
Soit la fonction définie par et la droite d'équation Déterminer l'ensemble des abscisses des points communs à la courbe de et à
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {2;5} ».
Réponse attendue : {-3;2}
Indices, dans l’ordre
- Résous pour
- Ne divise pas par : il peut être nul. Multiplie par puis factorise par
- Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
Correction
- Chasser le dénominateur — Pour :
- Factoriser —
- Les solutions — Ni ni ne vaut
Diviser par une expression qui peut s'annuler fait perdre des solutions : on factorise plutôt.
Pièges anticipés
{2} / 2→ Tu as divisé par qui est nul pour Or et : est aussi solution.{-3;1} / {1}→ annule le dénominateur : ce n'est jamais une solution.
Exercice 63 · base
Lire une image sur une ligne brisée
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur : elle est formée de trois segments, qui joignent les points et Lire l'image de par
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 3 ; elle est formée de trois segments. Elle part du point A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 3, descend en ligne droite jusqu'au point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, remonte en ligne droite jusqu'au point C d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend en ligne droite jusqu'au point D d'abscisse 3 et d'ordonnée 0, sur l'axe des abscisses. Le segment de B à C coupe l'axe des abscisses en moins 1 et l'axe des ordonnées en 1.
Donner l'image.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- L'image de est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse
- Ce point est sur l'axe des ordonnées, sur le segment
Correction
- Le point d'abscisse 0 — La courbe coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées
L'image se lit sur l'axe des ordonnées, à la verticale de l'abscisse donnée.
Pièges anticipés
-1→ est l'abscisse où la courbe coupe l'axe des abscisses : c'est un antécédent de pas l'image de
Exercice 64 · base
Lire le maximum
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur : elle est formée de trois segments, qui joignent les points et Lire le maximum de sur
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 3 ; elle est formée de trois segments. Elle part du point A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 3, descend en ligne droite jusqu'au point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, remonte en ligne droite jusqu'au point C d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend en ligne droite jusqu'au point D d'abscisse 3 et d'ordonnée 0, sur l'axe des abscisses. Le segment de B à C coupe l'axe des abscisses en moins 1 et l'axe des ordonnées en 1.
Donner le maximum.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le maximum est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe.
- Compare les ordonnées des sommets et
Correction
- Le point le plus haut — C'est d'ordonnée ; n'est qu'à la hauteur
Le maximum est une ordonnée : atteint en Un sommet de la courbe n'est pas forcément le point le plus haut.
Pièges anticipés
2→ est un sommet, mais est plus haut :-4→ est l'abscisse où le maximum est atteint. Le maximum est la valeur
Exercice 65 · pratique
Résoudre f(x) = 1 sur la figure
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur : elle est formée de trois segments, qui joignent les points et Résoudre graphiquement l'équation
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 3 ; elle est formée de trois segments. Elle part du point A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 3, descend en ligne droite jusqu'au point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, remonte en ligne droite jusqu'au point C d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend en ligne droite jusqu'au point D d'abscisse 3 et d'ordonnée 0, sur l'axe des abscisses. Le segment de B à C coupe l'axe des abscisses en moins 1 et l'axe des ordonnées en 1.
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {2;5} ».
Réponse attendue : {-3;0;2}
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée
- Imagine la droite horizontale d'équation : combien de fois coupe-t-elle la courbe ?
- Chaque segment est traversé : cherche un point d'abscisse entière sur chacun.
Correction
- Sur [AB] — Le segment descend de à en deux unités : il passe par
- Sur [BC] et sur [CD] —
Résoudre : tracer la droite et lire les abscisses de tous les points d'intersection.
Pièges anticipés
{0} / {-3} / {2}→ La droite coupe la courbe en trois points : un sur chaque segment.{0;2} / {-3;0} / {-3;2}→ Il manque une solution : la droite coupe chacun des trois segments.
Exercice 66 · raisonnement
Résoudre f(x) < 0 sur la figure
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur : elle est formée de trois segments, qui joignent les points et Résoudre graphiquement l'inéquation
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 3 ; elle est formée de trois segments. Elle part du point A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 3, descend en ligne droite jusqu'au point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, remonte en ligne droite jusqu'au point C d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend en ligne droite jusqu'au point D d'abscisse 3 et d'ordonnée 0, sur l'axe des abscisses. Le segment de B à C coupe l'axe des abscisses en moins 1 et l'axe des ordonnées en 1.
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, par exemple « ]1;4] ».
Réponse attendue : ]-2.5;-1[ — aussi acceptées : ]-2,5;-1[ · ]-5/2;-1[ · S=]-2.5;-1[ · S=]-2,5;-1[
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessous de l'axe des abscisses.
- Le segment coupe l'axe des abscisses au milieu de deux graduations : lesquelles ?
- Et le point sur l'axe : convient-il pour une inégalité stricte ?
Correction
- Les points sur l'axe — descend de à entre et : il coupe l'axe en ; le coupe en
- Au-dessous de l'axe — Seule la partie de la courbe entre ces deux points est au-dessous ; en n'est pas strictement négatif.
Pour : la partie de la courbe sous l'axe des abscisses, bornes exclues puisque l'inégalité est stricte.
Pièges anticipés
[-2.5;-1] / [-2,5;-1]→ En et en : ce n'est pas strictement négatif. Les crochets sont ouverts.]-4;-2.5[U]-1;3] / [-4;-2.5[U]-1;3[ / [-4;-2,5[U]-1;3[→ C'est là que la courbe est au-dessus de l'axe : On cherche la partie au-dessous.[-1;0[ / ]-1;0[→ On répond par des abscisses : l'intervalle où la courbe est sous l'axe, pas les valeurs de
Exercice 67 · pratique
Où la courbe monte-t-elle ?
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur : elle est formée de trois segments, qui joignent les points et Déterminer le plus grand intervalle sur lequel est croissante.
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 3 ; elle est formée de trois segments. Elle part du point A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 3, descend en ligne droite jusqu'au point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, remonte en ligne droite jusqu'au point C d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend en ligne droite jusqu'au point D d'abscisse 3 et d'ordonnée 0, sur l'axe des abscisses. Le segment de B à C coupe l'axe des abscisses en moins 1 et l'axe des ordonnées en 1.
Écrire l'intervalle, par exemple « [1;3] ».
Réponse attendue : [-2;1] — aussi acceptées : sur [-2;1] · croissante sur [-2;1] · f est croissante sur [-2;1] · I=[-2;1] · l'intervalle [-2;1] · sur l'intervalle [-2;1] · f est croissante sur l'intervalle [-2;1] · [-2,1] · sur [-2,1] · croissante sur [-2,1] · f est croissante sur [-2,1] · I=[-2,1]
Indices, dans l’ordre
- Parcours la courbe de gauche à droite : sur quel segment monte-t-elle ?
- Donne les abscisses des extrémités de ce segment.
Correction
- Le segment qui monte — De à la courbe monte : les abscisses vont de à
Le sens de variation se décrit par des intervalles d'abscisses : décroît sur croît sur décroît sur
Pièges anticipés
[-1;2]→ est l'intervalle des ordonnées parcourues. Les variations se décrivent avec les abscisses.[-4;-2] / [1;3]→ Sur cet intervalle la courbe descend : y est décroissante.]-2;1[ / [-2;1[ / ]-2;1]→ Les extrémités et appartiennent au segment qui monte : les crochets sont fermés.
Exercice 68 · defi
Combien de solutions selon m ?
La courbe de la figure est celle d'une fonction définie sur : elle est formée de trois segments, qui joignent les points et Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels l'équation admet exactement trois solutions.
Un repère orthonormé d'origine O. La courbe de f est tracée de l'abscisse moins 4 à l'abscisse 3 ; elle est formée de trois segments. Elle part du point A d'abscisse moins 4 et d'ordonnée 3, descend en ligne droite jusqu'au point B d'abscisse moins 2 et d'ordonnée moins 1, son point le plus bas, remonte en ligne droite jusqu'au point C d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, puis redescend en ligne droite jusqu'au point D d'abscisse 3 et d'ordonnée 0, sur l'axe des abscisses. Le segment de B à C coupe l'axe des abscisses en moins 1 et l'axe des ordonnées en 1.
Écrire l'intervalle, par exemple « ]1;4] ».
Réponse attendue : [0;2[ — aussi acceptées : [0,2[ · m∈[0;2[ · m∈[0,2[ · 0<=m<2 · 0≤m<2
Indices, dans l’ordre
- Fais glisser une droite horizontale de bas en haut et compte ses points d'intersection avec la courbe.
- Le segment ne couvre que les hauteurs de à : hors de là, au plus deux points.
- Regarde à part les hauteurs et : combien de points pour chacune ?
Correction
- Les hauteurs de chaque segment —
- Trois points — Pour la droite coupe les trois segments. Pour aussi : en en et en
- La hauteur 2 — Pour la droite passe par le sommet commun à et : deux points seulement.
Le nombre de solutions de se lit en déplaçant la droite ; aux hauteurs des sommets, on compte à part.
Pièges anticipés
]0;2[ / ]0,2[→ Pour la droite passe par : avec et cela fait trois solutions.[0;2] / [0,2]→ Pour la droite touche qui ne compte qu'une fois : deux solutions seulement, et]-1;2[ / ]-1;3] / [-1;3]→ Pour le segment n'est pas atteint : deux solutions seulement.
Exercice 69 · pratique
Les points où les courbes se croisent
Les courbes et de la figure sont celles de deux fonctions et définies sur est formée de deux segments, qui joignent les points et ; est le segment qui joint les points et Résoudre graphiquement l'équation
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes tracées de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 3. La courbe bleue Cf, celle de f, est formée de deux segments : elle monte en ligne droite du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée moins 2 jusqu'au point S d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, puis redescend en ligne droite jusqu'au point d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 2. La courbe rouge Cg, celle de g, est un segment qui descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 1 jusqu'au point d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 2. Les deux courbes se croisent sur l'axe des abscisses au point d'abscisse moins 1, et se rejoignent à leur extrémité droite, au point d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 2. Entre ces deux points, la courbe bleue est au-dessus de la rouge ; à gauche du point d'abscisse moins 1, c'est la rouge qui est au-dessus.
Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {2;5} ».
Réponse attendue : {-1;3}
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points communs aux deux courbes.
- Les courbes se croisent en un point de l'axe des abscisses... et ont-elles un autre point commun ?
Correction
- Le croisement — Les deux courbes passent par le point
- L'extrémité commune — Elles se rejoignent en
Résoudre : lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes, extrémités comprises.
Pièges anticipés
{-1}→ Le point est sur les deux courbes : C'est aussi une solution.{0;-2} / {-2;0}→ et sont les ordonnées des points communs. On demande leurs abscisses.
Exercice 70 · raisonnement
Quand f dépasse g
Les courbes et de la figure sont celles de deux fonctions et définies sur est formée de deux segments, qui joignent les points et ; est le segment qui joint les points et Résoudre graphiquement l'inéquation
Un repère orthonormé d'origine O et deux courbes tracées de l'abscisse moins 3 à l'abscisse 3. La courbe bleue Cf, celle de f, est formée de deux segments : elle monte en ligne droite du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée moins 2 jusqu'au point S d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, puis redescend en ligne droite jusqu'au point d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 2. La courbe rouge Cg, celle de g, est un segment qui descend du point d'abscisse moins 3 et d'ordonnée 1 jusqu'au point d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 2. Les deux courbes se croisent sur l'axe des abscisses au point d'abscisse moins 1, et se rejoignent à leur extrémité droite, au point d'abscisse 3 et d'ordonnée moins 2. Entre ces deux points, la courbe bleue est au-dessus de la rouge ; à gauche du point d'abscisse moins 1, c'est la rouge qui est au-dessus.
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, par exemple « ]1;4] ».
Réponse attendue : ]-1;3[ — aussi acceptées : ]-1,3[ · S=]-1;3[ · S=]-1,3[
Indices, dans l’ordre
- Les solutions sont les abscisses des points où est strictement au-dessus de
- Repère d'abord les points communs : la courbe bleue passe-t-elle au-dessus ou au-dessous entre eux ?
Correction
- Les points communs —
- Au-dessus — Entre et la courbe bleue est au-dessus de la rouge ; avant elle est au-dessous.
: là où est au-dessus de sans les points communs puisque l'inégalité est stricte.
Pièges anticipés
[-1;3] / [-1,3] / [-1;3[ / ]-1;3]→ En et en : l'inégalité stricte n'y est pas vérifiée.[-3;-1[ / ]-3;-1[ / [-3,-1[→ Sur cet intervalle, c'est qui est au-dessus :
Exercice 71 · base
Le minimum d'un carré plus 3
Soit la fonction définie sur par Déterminer le minimum de sur
Donner le minimum.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Un carré est toujours positif ou nul. Que peut-on dire de ?
- Pour quelle valeur de le carré est-il nul ?
Correction
- Minorer — Pour tout réel
- Atteint —
Le minimum est la valeur ; il est atteint en Ne pas confondre la valeur et l'endroit.
Pièges anticipés
2→ est le réel où le minimum est atteint. Le minimum est la valeur-2→ Le carré s'annule pour soit ; le minimum vaut
Exercice 72 · base
Le maximum de 5 moins un carré
Soit la fonction définie sur par Déterminer le maximum de sur
Donner le maximum.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- On retranche un carré à : le résultat peut-il dépasser ?
- Pour quelle valeur de retranche-t-on ?
Correction
- Majorer — Pour tout réel
- Atteint —
Retrancher une quantité positive ou nulle donne un maximum, atteint quand cette quantité est nulle.
Pièges anticipés
-1→ est le réel où le maximum est atteint. Le maximum est la valeur1→ pour ; mais on demande la valeur du maximum,
Exercice 73 · base
Le minimum sur un intervalle fermé
Soit la fonction définie sur par On admet que est décroissante sur Déterminer le minimum de sur
Donner le minimum.
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Une fonction décroissante prend ses plus petites valeurs à droite de l'intervalle.
- Calcule l'image de la borne de droite.
Correction
- Décroissante — Pour tout de donne
Sur un intervalle fermé, une fonction décroissante atteint son minimum à la borne de droite, son maximum à celle de gauche.
Pièges anticipés
3→ est la plus grande valeur : c'est le maximum. Le minimum est à l'autre bout.4→ est le réel où le minimum est atteint ; le minimum est
Exercice 74 · pratique
Le minimum lu dans les variations
Une fonction est définie sur Elle est croissante sur et décroissante sur avec et Déterminer le minimum de sur
Donner le minimum.
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Sur chacun des deux intervalles, où se trouve la plus petite valeur ?
- Compare les deux candidates : et
Correction
- Sur [-2 ; 1] — croît : la plus petite valeur est au départ.
- Sur [1 ; 6] — décroît : la plus petite valeur est à l'arrivée.
- Comparer —
Le minimum se cherche parmi les valeurs aux endroits où la fonction cesse de descendre : ici les deux bornes.
Pièges anticipés
-1→ mais est plus petit.4→ est le maximum : monte jusqu'à puis redescend.
Exercice 75 · pratique
Un minimum par la différence
Soit la fonction définie sur par Calculer puis montrer que En déduire le minimum de sur
Donner le minimum.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Commence par calculer en remplaçant par
- Développe et compare avec
- Quel est le signe de ?
Correction
- La valeur en 3 —
- La différence —
- Le signe — Un carré est positif ou nul.
Pour montrer que est un minimum : étudier le signe de
Pièges anticipés
3→ est le réel où le minimum est atteint ; le minimum est11→ Or : ce n'est pas le minimum.
Exercice 76 · pratique
Un maximum par la différence
Soit la fonction définie sur par Vérifier que En déduire le maximum de sur
Donner le maximum.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Commence par calculer puis développe
- Quel est le signe de ?
Correction
- La valeur en 2 —
- La différence —
- Le signe — fois un carré est négatif ou nul.
pour tout : est le maximum.
Pièges anticipés
2→ est le réel où le maximum est atteint ; le maximum est-5→ Le maximum est
Exercice 77 · raisonnement
Le maximum d'une valeur absolue sur un intervalle
Soit la fonction définie sur par : on prend la valeur absolue de puis on ajoute Déterminer le maximum de sur
Donner le maximum.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- décroît tant que est négatif, puis croît. Où est le plus grand écart à ?
- Calcule et puis compare-les.
Correction
- Les variations — est décroissante sur et croissante sur
- Les candidates —
- Comparer — Pour tout de
Une fonction qui descend puis remonte a son maximum à l'une des deux bornes : on compare les deux images.
Pièges anticipés
4→ mais est plus grand : est plus loin de que2→ est le minimum de-1→ pas :
Exercice 78 · raisonnement
Le maximum d'un quotient
Soit la fonction définie sur par Déterminer le maximum de sur
Donner le maximum.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Le numérateur est fixe : le quotient est le plus grand quand le dénominateur est le plus petit.
- Quelle est la plus petite valeur de ?
Correction
- Le dénominateur — Pour tout réel
- Le quotient — Diviser par un nombre plus grand que donne moins que
Pour avec et : minimal donne le quotient maximal.
Pièges anticipés
4→ demanderait : impossible. Le dénominateur vaut au moins0→ est le réel où le maximum est atteint ; le maximum est
Exercice 79 · defi
Un minimum en dehors de l'intervalle
Soit la fonction définie sur par Montrer que puis déterminer le minimum de sur
Donner le minimum.
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Commence par calculer en mettant entre parenthèses.
- Développe et compare.
- Pour quel est le signe de chacun des deux facteurs ?
Correction
- La valeur en -1 —
- La différence —
- Le signe sur [-1 ; 3] — et
Le minimum dépend de l'intervalle : sur descend jusqu'à ; mais n'est pas dans
Pièges anticipés
-4→ mais n'appartient pas à : ce n'est pas une valeur prise sur l'intervalle.-1→ est le réel où le minimum est atteint ; le minimum est0→ mais est plus petit.
Exercice 80 · defi
Le plus grand enclos contre un mur
Un jardinier dispose de mètres de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté, le grillage les trois autres. On note la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur, et l'aire de l'enclos. Déterminer l'aire maximale de l'enclos, en mètres carrés, sans écrire l'unité.
Donner l'aire maximale.
Réponse attendue : 200
Indices, dans l’ordre
- Le côté parallèle au mur mesure ce qui reste du grillage : Exprime
- Développe et compare : quelle valeur annule le carré dans la forme suivante ?
- Quel est le signe de ?
Correction
- L'aire — Pour :
- La forme utile —
- Majorer —
Côtés de m perpendiculaires au mur, m le long du mur : le maximum se prouve par le signe de
Pièges anticipés
100→ Un carré de m de côté n'utiliserait que m de grillage ici. Avec le côté le long du mur mesure m.10→ m est la longueur qui donne le maximum. On demande l'aire
Exercice 81 · defi
Un maximum qui ne se voit pas
Soit la fonction définie sur par Montrer que puis déterminer le maximum de sur
Donner le maximum.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Réduis au même dénominateur
- Le numérateur obtenu est l'opposé d'un carré : quel est le signe de la différence ?
- Pour quelle valeur de la différence est-elle nulle ?
Correction
- Même dénominateur —
- Le signe — Un carré au numérateur, un dénominateur strictement positif.
- Atteint —
Majorer par ne suffit pas : il faut aussi un réel où la valeur est atteinte, ici
Pièges anticipés
2→ est le réel où le maximum est atteint ; le maximum est4→ : ne dépasse jamais
Exercice 82 · defi
Le minimum d'une somme et d'un quotient
Soit la fonction définie sur par : au carré de on ajoute le quotient de par Montrer que puis déterminer le minimum de sur
Donner le minimum.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Réduis au même dénominateur
- Au numérateur, reconnais une identité remarquable :
- Pour quel réel positif a-t-on ?
Correction
- Même dénominateur —
- Le signe — Un carré sur un nombre strictement positif.
- Atteint —
La différence écrite comme un carré sur un positif prouve le minimum ; reste à trouver où elle s'annule.
Pièges anticipés
2→ est le réel où le minimum est atteint ; le minimum est17→ Or est plus petit.
Exercice 83 · base
Le sens d'une fonction affine
Soit la fonction définie sur par Pour deux réels calculer puis déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : décroissante sur IR · décroissante sur R · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle IR · décroissante sur l'intervalle R · strictement décroissante · strictement décroissante sur IR · strictement décroissante sur R · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle IR · strictement décroissante sur l'intervalle R · elle est décroissante · elle est décroissante sur IR · elle est décroissante sur R · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle IR · elle est décroissante sur l'intervalle R · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur IR · elle est strictement décroissante sur R · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle IR · elle est strictement décroissante sur l'intervalle R · f est décroissante · f est décroissante sur IR · f est décroissante sur R · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle IR · f est décroissante sur l'intervalle R · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur IR · f est strictement décroissante sur R · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle IR · f est strictement décroissante sur l'intervalle R · la fonction f est décroissante · la fonction f est décroissante sur IR · la fonction f est décroissante sur R · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle IR · la fonction f est décroissante sur l'intervalle R · la fonction f est strictement décroissante · la fonction f est strictement décroissante sur IR · la fonction f est strictement décroissante sur R · la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle IR · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle R · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur IR · la fonction est décroissante sur R · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle IR · la fonction est décroissante sur l'intervalle R · la fonction est strictement décroissante · la fonction est strictement décroissante sur IR · la fonction est strictement décroissante sur R · la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle IR · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle R · c'est décroissante · c'est décroissante sur IR · c'est décroissante sur R · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle IR · c'est décroissante sur l'intervalle R · c'est strictement décroissante · c'est strictement décroissante sur IR · c'est strictement décroissante sur R · c'est strictement décroissante sur cet intervalle · c'est strictement décroissante sur l'intervalle IR · c'est strictement décroissante sur l'intervalle R · fonction décroissante · fonction décroissante sur IR · fonction décroissante sur R · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle IR · fonction décroissante sur l'intervalle R · fonction strictement décroissante · fonction strictement décroissante sur IR · fonction strictement décroissante sur R · fonction strictement décroissante sur cet intervalle · fonction strictement décroissante sur l'intervalle IR · fonction strictement décroissante sur l'intervalle R · est décroissante · est décroissante sur IR · est décroissante sur R · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle IR · est décroissante sur l'intervalle R · est strictement décroissante · est strictement décroissante sur IR · est strictement décroissante sur R · est strictement décroissante sur cet intervalle · est strictement décroissante sur l'intervalle IR · est strictement décroissante sur l'intervalle R · décroît · décroît sur IR · décroît sur R · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur IR · elle décroît sur R · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur IR · f décroît sur R · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur IR · la fonction décroît sur R · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur IR · la fonction f décroît sur R · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant · décroissante sur ℝ · décroissante sur l'intervalle ℝ · strictement décroissante sur ℝ · strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · elle est décroissante sur ℝ · elle est décroissante sur l'intervalle ℝ · elle est strictement décroissante sur ℝ · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · f est décroissante sur ℝ · f est décroissante sur l'intervalle ℝ · f est strictement décroissante sur ℝ · f est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · la fonction f est décroissante sur ℝ · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ℝ · la fonction f est strictement décroissante sur ℝ · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · la fonction est décroissante sur ℝ · la fonction est décroissante sur l'intervalle ℝ · la fonction est strictement décroissante sur ℝ · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · c'est décroissante sur ℝ · c'est décroissante sur l'intervalle ℝ · c'est strictement décroissante sur ℝ · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · fonction décroissante sur ℝ · fonction décroissante sur l'intervalle ℝ · fonction strictement décroissante sur ℝ · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · est décroissante sur ℝ · est décroissante sur l'intervalle ℝ · est strictement décroissante sur ℝ · est strictement décroissante sur l'intervalle ℝ · décroît sur ℝ · elle décroît sur ℝ · f décroît sur ℝ · la fonction décroît sur ℝ · la fonction f décroît sur ℝ
Indices, dans l’ordre
- Calcule et factorise :
- Si quel est le signe de ? Et celui de ?
Correction
- La différence —
- Le signe — multiplié par : négatif ou nul.
- Donc : est décroissante.
Étudier le sens de variation : prendre et chercher le signe de
Pièges anticipés
croissante / croissante sur IR / croissante sur R / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle IR / croissante sur l'intervalle R / strictement croissante / strictement croissante sur IR / strictement croissante sur R / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle IR / strictement croissante sur l'intervalle R / elle est croissante / elle est croissante sur IR / elle est croissante sur R / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle IR / elle est croissante sur l'intervalle R / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur IR / elle est strictement croissante sur R / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle IR / elle est strictement croissante sur l'intervalle R / f est croissante / f est croissante sur IR / f est croissante sur R / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle IR / f est croissante sur l'intervalle R / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur IR / f est strictement croissante sur R / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle IR / f est strictement croissante sur l'intervalle R / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur IR / la fonction f est croissante sur R / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle IR / la fonction f est croissante sur l'intervalle R / la fonction f est strictement croissante / la fonction f est strictement croissante sur IR / la fonction f est strictement croissante sur R / la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle IR / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle R / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur IR / la fonction est croissante sur R / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle IR / la fonction est croissante sur l'intervalle R / la fonction est strictement croissante / la fonction est strictement croissante sur IR / la fonction est strictement croissante sur R / la fonction est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle IR / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle R / c'est croissante / c'est croissante sur IR / c'est croissante sur R / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle IR / c'est croissante sur l'intervalle R / c'est strictement croissante / c'est strictement croissante sur IR / c'est strictement croissante sur R / c'est strictement croissante sur cet intervalle / c'est strictement croissante sur l'intervalle IR / c'est strictement croissante sur l'intervalle R / fonction croissante / fonction croissante sur IR / fonction croissante sur R / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle IR / fonction croissante sur l'intervalle R / fonction strictement croissante / fonction strictement croissante sur IR / fonction strictement croissante sur R / fonction strictement croissante sur cet intervalle / fonction strictement croissante sur l'intervalle IR / fonction strictement croissante sur l'intervalle R / est croissante / est croissante sur IR / est croissante sur R / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle IR / est croissante sur l'intervalle R / est strictement croissante / est strictement croissante sur IR / est strictement croissante sur R / est strictement croissante sur cet intervalle / est strictement croissante sur l'intervalle IR / est strictement croissante sur l'intervalle R / croît / croît sur IR / croît sur R / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur IR / elle croît sur R / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur IR / f croît sur R / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur IR / la fonction croît sur R / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur IR / la fonction f croît sur R / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant / croissante sur ℝ / croissante sur l'intervalle ℝ / strictement croissante sur ℝ / strictement croissante sur l'intervalle ℝ / elle est croissante sur ℝ / elle est croissante sur l'intervalle ℝ / elle est strictement croissante sur ℝ / elle est strictement croissante sur l'intervalle ℝ / f est croissante sur ℝ / f est croissante sur l'intervalle ℝ / f est strictement croissante sur ℝ / f est strictement croissante sur l'intervalle ℝ / la fonction f est croissante sur ℝ / la fonction f est croissante sur l'intervalle ℝ / la fonction f est strictement croissante sur ℝ / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ℝ / la fonction est croissante sur ℝ / la fonction est croissante sur l'intervalle ℝ / la fonction est strictement croissante sur ℝ / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ℝ / c'est croissante sur ℝ / c'est croissante sur l'intervalle ℝ / c'est strictement croissante sur ℝ / c'est strictement croissante sur l'intervalle ℝ / fonction croissante sur ℝ / fonction croissante sur l'intervalle ℝ / fonction strictement croissante sur ℝ / fonction strictement croissante sur l'intervalle ℝ / est croissante sur ℝ / est croissante sur l'intervalle ℝ / est strictement croissante sur ℝ / est strictement croissante sur l'intervalle ℝ / croît sur ℝ / elle croît sur ℝ / f croît sur ℝ / la fonction croît sur ℝ / la fonction f croît sur ℝ→ est négatif quand : les images vont dans le sens contraire.
Exercice 84 · pratique
Un carré à droite de son sommet
Soit la fonction définie sur par Pour deux réels et de tels que étudier le signe de Déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : croissante — aussi acceptées : croissante sur [1;+inf[ · croissante sur [1,+inf[ · croissante sur cet intervalle · croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · strictement croissante · strictement croissante sur [1;+inf[ · strictement croissante sur [1,+inf[ · strictement croissante sur cet intervalle · strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · elle est croissante · elle est croissante sur [1;+inf[ · elle est croissante sur [1,+inf[ · elle est croissante sur cet intervalle · elle est croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · elle est croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · elle est strictement croissante · elle est strictement croissante sur [1;+inf[ · elle est strictement croissante sur [1,+inf[ · elle est strictement croissante sur cet intervalle · elle est strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · elle est strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · f est croissante · f est croissante sur [1;+inf[ · f est croissante sur [1,+inf[ · f est croissante sur cet intervalle · f est croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · f est croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · f est strictement croissante · f est strictement croissante sur [1;+inf[ · f est strictement croissante sur [1,+inf[ · f est strictement croissante sur cet intervalle · f est strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · f est strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · la fonction f est croissante · la fonction f est croissante sur [1;+inf[ · la fonction f est croissante sur [1,+inf[ · la fonction f est croissante sur cet intervalle · la fonction f est croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · la fonction f est croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · la fonction f est strictement croissante · la fonction f est strictement croissante sur [1;+inf[ · la fonction f est strictement croissante sur [1,+inf[ · la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle · la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · la fonction est croissante · la fonction est croissante sur [1;+inf[ · la fonction est croissante sur [1,+inf[ · la fonction est croissante sur cet intervalle · la fonction est croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · la fonction est croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · la fonction est strictement croissante · la fonction est strictement croissante sur [1;+inf[ · la fonction est strictement croissante sur [1,+inf[ · la fonction est strictement croissante sur cet intervalle · la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · c'est croissante · c'est croissante sur [1;+inf[ · c'est croissante sur [1,+inf[ · c'est croissante sur cet intervalle · c'est croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · c'est croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · c'est strictement croissante · c'est strictement croissante sur [1;+inf[ · c'est strictement croissante sur [1,+inf[ · c'est strictement croissante sur cet intervalle · c'est strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · c'est strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · fonction croissante · fonction croissante sur [1;+inf[ · fonction croissante sur [1,+inf[ · fonction croissante sur cet intervalle · fonction croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · fonction croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · fonction strictement croissante · fonction strictement croissante sur [1;+inf[ · fonction strictement croissante sur [1,+inf[ · fonction strictement croissante sur cet intervalle · fonction strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · fonction strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · est croissante · est croissante sur [1;+inf[ · est croissante sur [1,+inf[ · est croissante sur cet intervalle · est croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · est croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · est strictement croissante · est strictement croissante sur [1;+inf[ · est strictement croissante sur [1,+inf[ · est strictement croissante sur cet intervalle · est strictement croissante sur l'intervalle [1;+inf[ · est strictement croissante sur l'intervalle [1,+inf[ · croît · croît sur [1;+inf[ · croît sur [1,+inf[ · croît sur cet intervalle · elle croît · elle croît sur [1;+inf[ · elle croît sur [1,+inf[ · elle croît sur cet intervalle · f croît · f croît sur [1;+inf[ · f croît sur [1,+inf[ · f croît sur cet intervalle · la fonction croît · la fonction croît sur [1;+inf[ · la fonction croît sur [1,+inf[ · la fonction croît sur cet intervalle · la fonction f croît · la fonction f croît sur [1;+inf[ · la fonction f croît sur [1,+inf[ · la fonction f croît sur cet intervalle · croissant · croissantes · elle est croissant · f est croissant
Indices, dans l’ordre
- Utilise une différence de deux carrés :
- Si et quel est le signe de ?
Correction
- La différence —
- Les signes — ; et puisque et
- Donc : est croissante.
Une différence de carrés se factorise : ; le signe de chaque facteur se lit sur l'intervalle.
Pièges anticipés
décroissante / décroissante sur [1;+inf[ / décroissante sur [1,+inf[ / décroissante sur cet intervalle / décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / strictement décroissante / strictement décroissante sur [1;+inf[ / strictement décroissante sur [1,+inf[ / strictement décroissante sur cet intervalle / strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / elle est décroissante / elle est décroissante sur [1;+inf[ / elle est décroissante sur [1,+inf[ / elle est décroissante sur cet intervalle / elle est décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / elle est décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / elle est strictement décroissante / elle est strictement décroissante sur [1;+inf[ / elle est strictement décroissante sur [1,+inf[ / elle est strictement décroissante sur cet intervalle / elle est strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / elle est strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / f est décroissante / f est décroissante sur [1;+inf[ / f est décroissante sur [1,+inf[ / f est décroissante sur cet intervalle / f est décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / f est décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / f est strictement décroissante / f est strictement décroissante sur [1;+inf[ / f est strictement décroissante sur [1,+inf[ / f est strictement décroissante sur cet intervalle / f est strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / f est strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / la fonction f est décroissante / la fonction f est décroissante sur [1;+inf[ / la fonction f est décroissante sur [1,+inf[ / la fonction f est décroissante sur cet intervalle / la fonction f est décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / la fonction f est décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / la fonction f est strictement décroissante / la fonction f est strictement décroissante sur [1;+inf[ / la fonction f est strictement décroissante sur [1,+inf[ / la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle / la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / la fonction est décroissante / la fonction est décroissante sur [1;+inf[ / la fonction est décroissante sur [1,+inf[ / la fonction est décroissante sur cet intervalle / la fonction est décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / la fonction est décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / la fonction est strictement décroissante / la fonction est strictement décroissante sur [1;+inf[ / la fonction est strictement décroissante sur [1,+inf[ / la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle / la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / c'est décroissante / c'est décroissante sur [1;+inf[ / c'est décroissante sur [1,+inf[ / c'est décroissante sur cet intervalle / c'est décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / c'est décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / c'est strictement décroissante / c'est strictement décroissante sur [1;+inf[ / c'est strictement décroissante sur [1,+inf[ / c'est strictement décroissante sur cet intervalle / c'est strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / c'est strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / fonction décroissante / fonction décroissante sur [1;+inf[ / fonction décroissante sur [1,+inf[ / fonction décroissante sur cet intervalle / fonction décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / fonction décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / fonction strictement décroissante / fonction strictement décroissante sur [1;+inf[ / fonction strictement décroissante sur [1,+inf[ / fonction strictement décroissante sur cet intervalle / fonction strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / fonction strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / est décroissante / est décroissante sur [1;+inf[ / est décroissante sur [1,+inf[ / est décroissante sur cet intervalle / est décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / est décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / est strictement décroissante / est strictement décroissante sur [1;+inf[ / est strictement décroissante sur [1,+inf[ / est strictement décroissante sur cet intervalle / est strictement décroissante sur l'intervalle [1;+inf[ / est strictement décroissante sur l'intervalle [1,+inf[ / décroît / décroît sur [1;+inf[ / décroît sur [1,+inf[ / décroît sur cet intervalle / elle décroît / elle décroît sur [1;+inf[ / elle décroît sur [1,+inf[ / elle décroît sur cet intervalle / f décroît / f décroît sur [1;+inf[ / f décroît sur [1,+inf[ / f décroît sur cet intervalle / la fonction décroît / la fonction décroît sur [1;+inf[ / la fonction décroît sur [1,+inf[ / la fonction décroît sur cet intervalle / la fonction f décroît / la fonction f décroît sur [1;+inf[ / la fonction f décroît sur [1,+inf[ / la fonction f décroît sur cet intervalle / décroissant / décroissantes / elle est décroissant / f est décroissant→ Teste : et Les images augmentent quand augmente.
Exercice 85 · pratique
Le sens d'un inverse décalé
Soit la fonction définie sur par Pour deux réels étudier le signe de Déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : décroissante sur ]-2;+inf[ · décroissante sur ]-2,+inf[ · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · strictement décroissante · strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · elle est décroissante · elle est décroissante sur ]-2;+inf[ · elle est décroissante sur ]-2,+inf[ · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · elle est décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · elle est strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · f est décroissante · f est décroissante sur ]-2;+inf[ · f est décroissante sur ]-2,+inf[ · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · f est décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · f est strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · la fonction f est décroissante · la fonction f est décroissante sur ]-2;+inf[ · la fonction f est décroissante sur ]-2,+inf[ · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · la fonction f est strictement décroissante · la fonction f est strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · la fonction f est strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur ]-2;+inf[ · la fonction est décroissante sur ]-2,+inf[ · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · la fonction est strictement décroissante · la fonction est strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · la fonction est strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · c'est décroissante · c'est décroissante sur ]-2;+inf[ · c'est décroissante sur ]-2,+inf[ · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · c'est décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · c'est strictement décroissante · c'est strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · c'est strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · c'est strictement décroissante sur cet intervalle · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · fonction décroissante · fonction décroissante sur ]-2;+inf[ · fonction décroissante sur ]-2,+inf[ · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · fonction décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · fonction strictement décroissante · fonction strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · fonction strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · fonction strictement décroissante sur cet intervalle · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · est décroissante · est décroissante sur ]-2;+inf[ · est décroissante sur ]-2,+inf[ · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · est décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · est strictement décroissante · est strictement décroissante sur ]-2;+inf[ · est strictement décroissante sur ]-2,+inf[ · est strictement décroissante sur cet intervalle · est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ · est strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ · décroît · décroît sur ]-2;+inf[ · décroît sur ]-2,+inf[ · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur ]-2;+inf[ · elle décroît sur ]-2,+inf[ · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur ]-2;+inf[ · f décroît sur ]-2,+inf[ · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur ]-2;+inf[ · la fonction décroît sur ]-2,+inf[ · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur ]-2;+inf[ · la fonction f décroît sur ]-2,+inf[ · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Réduis au même dénominateur.
- Sur quel est le signe de et de ? Et celui de ?
Correction
- Même dénominateur —
- Les signes — ; et
- Donc : est décroissante.
Pour un quotient, on réduit au même dénominateur, puis on lit le signe de chaque morceau.
Pièges anticipés
croissante / croissante sur ]-2;+inf[ / croissante sur ]-2,+inf[ / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / strictement croissante / strictement croissante sur ]-2;+inf[ / strictement croissante sur ]-2,+inf[ / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / elle est croissante / elle est croissante sur ]-2;+inf[ / elle est croissante sur ]-2,+inf[ / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / elle est croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur ]-2;+inf[ / elle est strictement croissante sur ]-2,+inf[ / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / f est croissante / f est croissante sur ]-2;+inf[ / f est croissante sur ]-2,+inf[ / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / f est croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur ]-2;+inf[ / f est strictement croissante sur ]-2,+inf[ / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / f est strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur ]-2;+inf[ / la fonction f est croissante sur ]-2,+inf[ / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / la fonction f est strictement croissante / la fonction f est strictement croissante sur ]-2;+inf[ / la fonction f est strictement croissante sur ]-2,+inf[ / la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur ]-2;+inf[ / la fonction est croissante sur ]-2,+inf[ / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / la fonction est croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / la fonction est strictement croissante / la fonction est strictement croissante sur ]-2;+inf[ / la fonction est strictement croissante sur ]-2,+inf[ / la fonction est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / c'est croissante / c'est croissante sur ]-2;+inf[ / c'est croissante sur ]-2,+inf[ / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / c'est croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / c'est strictement croissante / c'est strictement croissante sur ]-2;+inf[ / c'est strictement croissante sur ]-2,+inf[ / c'est strictement croissante sur cet intervalle / c'est strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / c'est strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / fonction croissante / fonction croissante sur ]-2;+inf[ / fonction croissante sur ]-2,+inf[ / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / fonction croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / fonction strictement croissante / fonction strictement croissante sur ]-2;+inf[ / fonction strictement croissante sur ]-2,+inf[ / fonction strictement croissante sur cet intervalle / fonction strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / fonction strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / est croissante / est croissante sur ]-2;+inf[ / est croissante sur ]-2,+inf[ / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / est croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / est strictement croissante / est strictement croissante sur ]-2;+inf[ / est strictement croissante sur ]-2,+inf[ / est strictement croissante sur cet intervalle / est strictement croissante sur l'intervalle ]-2;+inf[ / est strictement croissante sur l'intervalle ]-2,+inf[ / croît / croît sur ]-2;+inf[ / croît sur ]-2,+inf[ / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur ]-2;+inf[ / elle croît sur ]-2,+inf[ / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur ]-2;+inf[ / f croît sur ]-2,+inf[ / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur ]-2;+inf[ / la fonction croît sur ]-2,+inf[ / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur ]-2;+inf[ / la fonction f croît sur ]-2,+inf[ / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant→ Teste : et Quand augmente, le dénominateur grandit et le quotient diminue.
Exercice 86 · pratique
Où une valeur absolue décroît
Soit la fonction définie sur par : on prend la valeur absolue de puis on retranche Déterminer l'intervalle sur lequel est décroissante.
Écrire l'intervalle, par exemple « [1;3] ».
Réponse attendue : [-4;-1] — aussi acceptées : sur [-4;-1] · décroissante sur [-4;-1] · f est décroissante sur [-4;-1] · I=[-4;-1] · l'intervalle [-4;-1] · sur l'intervalle [-4;-1] · [-4,-1] · sur [-4,-1] · décroissante sur [-4,-1] · f est décroissante sur [-4,-1] · I=[-4,-1]
Indices, dans l’ordre
- Pour est négatif : écris sans valeur absolue.
- Sur Quand augmente, que fait ?
Correction
- Sans valeur absolue — Pour
- Le sens — Pour dans :
Une valeur absolue décroît jusqu'à puis croît : sur est croissante.
Pièges anticipés
[-1;2] / [-1,2]→ Sur : y est croissante.[-4;1] / [1;2]→ La valeur absolue change d'expression là où soit en[-3;0]→ On répond par un intervalle d'abscisses : là où la courbe descend.
Exercice 87 · raisonnement
Le sens d'une racine
Soit la fonction définie sur par Pour deux réels montrer que Déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : croissante — aussi acceptées : croissante sur [-4;+inf[ · croissante sur [-4,+inf[ · croissante sur cet intervalle · croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · strictement croissante · strictement croissante sur [-4;+inf[ · strictement croissante sur [-4,+inf[ · strictement croissante sur cet intervalle · strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · elle est croissante · elle est croissante sur [-4;+inf[ · elle est croissante sur [-4,+inf[ · elle est croissante sur cet intervalle · elle est croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · elle est croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · elle est strictement croissante · elle est strictement croissante sur [-4;+inf[ · elle est strictement croissante sur [-4,+inf[ · elle est strictement croissante sur cet intervalle · elle est strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · elle est strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · f est croissante · f est croissante sur [-4;+inf[ · f est croissante sur [-4,+inf[ · f est croissante sur cet intervalle · f est croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · f est croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · f est strictement croissante · f est strictement croissante sur [-4;+inf[ · f est strictement croissante sur [-4,+inf[ · f est strictement croissante sur cet intervalle · f est strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · f est strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · la fonction f est croissante · la fonction f est croissante sur [-4;+inf[ · la fonction f est croissante sur [-4,+inf[ · la fonction f est croissante sur cet intervalle · la fonction f est croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · la fonction f est croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · la fonction f est strictement croissante · la fonction f est strictement croissante sur [-4;+inf[ · la fonction f est strictement croissante sur [-4,+inf[ · la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle · la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · la fonction est croissante · la fonction est croissante sur [-4;+inf[ · la fonction est croissante sur [-4,+inf[ · la fonction est croissante sur cet intervalle · la fonction est croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · la fonction est croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · la fonction est strictement croissante · la fonction est strictement croissante sur [-4;+inf[ · la fonction est strictement croissante sur [-4,+inf[ · la fonction est strictement croissante sur cet intervalle · la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · c'est croissante · c'est croissante sur [-4;+inf[ · c'est croissante sur [-4,+inf[ · c'est croissante sur cet intervalle · c'est croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · c'est croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · c'est strictement croissante · c'est strictement croissante sur [-4;+inf[ · c'est strictement croissante sur [-4,+inf[ · c'est strictement croissante sur cet intervalle · c'est strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · c'est strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · fonction croissante · fonction croissante sur [-4;+inf[ · fonction croissante sur [-4,+inf[ · fonction croissante sur cet intervalle · fonction croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · fonction croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · fonction strictement croissante · fonction strictement croissante sur [-4;+inf[ · fonction strictement croissante sur [-4,+inf[ · fonction strictement croissante sur cet intervalle · fonction strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · fonction strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · est croissante · est croissante sur [-4;+inf[ · est croissante sur [-4,+inf[ · est croissante sur cet intervalle · est croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · est croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · est strictement croissante · est strictement croissante sur [-4;+inf[ · est strictement croissante sur [-4,+inf[ · est strictement croissante sur cet intervalle · est strictement croissante sur l'intervalle [-4;+inf[ · est strictement croissante sur l'intervalle [-4,+inf[ · croît · croît sur [-4;+inf[ · croît sur [-4,+inf[ · croît sur cet intervalle · elle croît · elle croît sur [-4;+inf[ · elle croît sur [-4,+inf[ · elle croît sur cet intervalle · f croît · f croît sur [-4;+inf[ · f croît sur [-4,+inf[ · f croît sur cet intervalle · la fonction croît · la fonction croît sur [-4;+inf[ · la fonction croît sur [-4,+inf[ · la fonction croît sur cet intervalle · la fonction f croît · la fonction f croît sur [-4;+inf[ · la fonction f croît sur [-4,+inf[ · la fonction f croît sur cet intervalle · croissant · croissantes · elle est croissant · f est croissant
Indices, dans l’ordre
- Multiplie par l'expression conjuguée
- Utilise l'identité :
- Quel est le signe du numérateur ? Du dénominateur ?
Correction
- L'expression conjuguée — Le dénominateur est strictement positif, car
- Le signe — et le dénominateur est positif.
- Donc : est croissante.
Pour une différence de racines, l'expression conjuguée fait apparaître dont le signe est connu.
Pièges anticipés
décroissante / décroissante sur [-4;+inf[ / décroissante sur [-4,+inf[ / décroissante sur cet intervalle / décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / strictement décroissante / strictement décroissante sur [-4;+inf[ / strictement décroissante sur [-4,+inf[ / strictement décroissante sur cet intervalle / strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / elle est décroissante / elle est décroissante sur [-4;+inf[ / elle est décroissante sur [-4,+inf[ / elle est décroissante sur cet intervalle / elle est décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / elle est décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / elle est strictement décroissante / elle est strictement décroissante sur [-4;+inf[ / elle est strictement décroissante sur [-4,+inf[ / elle est strictement décroissante sur cet intervalle / elle est strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / elle est strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / f est décroissante / f est décroissante sur [-4;+inf[ / f est décroissante sur [-4,+inf[ / f est décroissante sur cet intervalle / f est décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / f est décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / f est strictement décroissante / f est strictement décroissante sur [-4;+inf[ / f est strictement décroissante sur [-4,+inf[ / f est strictement décroissante sur cet intervalle / f est strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / f est strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / la fonction f est décroissante / la fonction f est décroissante sur [-4;+inf[ / la fonction f est décroissante sur [-4,+inf[ / la fonction f est décroissante sur cet intervalle / la fonction f est décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / la fonction f est décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / la fonction f est strictement décroissante / la fonction f est strictement décroissante sur [-4;+inf[ / la fonction f est strictement décroissante sur [-4,+inf[ / la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle / la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / la fonction est décroissante / la fonction est décroissante sur [-4;+inf[ / la fonction est décroissante sur [-4,+inf[ / la fonction est décroissante sur cet intervalle / la fonction est décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / la fonction est décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / la fonction est strictement décroissante / la fonction est strictement décroissante sur [-4;+inf[ / la fonction est strictement décroissante sur [-4,+inf[ / la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle / la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / c'est décroissante / c'est décroissante sur [-4;+inf[ / c'est décroissante sur [-4,+inf[ / c'est décroissante sur cet intervalle / c'est décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / c'est décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / c'est strictement décroissante / c'est strictement décroissante sur [-4;+inf[ / c'est strictement décroissante sur [-4,+inf[ / c'est strictement décroissante sur cet intervalle / c'est strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / c'est strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / fonction décroissante / fonction décroissante sur [-4;+inf[ / fonction décroissante sur [-4,+inf[ / fonction décroissante sur cet intervalle / fonction décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / fonction décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / fonction strictement décroissante / fonction strictement décroissante sur [-4;+inf[ / fonction strictement décroissante sur [-4,+inf[ / fonction strictement décroissante sur cet intervalle / fonction strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / fonction strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / est décroissante / est décroissante sur [-4;+inf[ / est décroissante sur [-4,+inf[ / est décroissante sur cet intervalle / est décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / est décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / est strictement décroissante / est strictement décroissante sur [-4;+inf[ / est strictement décroissante sur [-4,+inf[ / est strictement décroissante sur cet intervalle / est strictement décroissante sur l'intervalle [-4;+inf[ / est strictement décroissante sur l'intervalle [-4,+inf[ / décroît / décroît sur [-4;+inf[ / décroît sur [-4,+inf[ / décroît sur cet intervalle / elle décroît / elle décroît sur [-4;+inf[ / elle décroît sur [-4,+inf[ / elle décroît sur cet intervalle / f décroît / f décroît sur [-4;+inf[ / f décroît sur [-4,+inf[ / f décroît sur cet intervalle / la fonction décroît / la fonction décroît sur [-4;+inf[ / la fonction décroît sur [-4,+inf[ / la fonction décroît sur cet intervalle / la fonction f décroît / la fonction f décroît sur [-4;+inf[ / la fonction f décroît sur [-4,+inf[ / la fonction f décroît sur cet intervalle / décroissant / décroissantes / elle est décroissant / f est décroissant→ Teste : et La racine augmente quand ce qu'elle contient augmente.
Exercice 88 · raisonnement
Retourner et décaler une fonction
Une fonction est décroissante sur Soit la fonction définie sur par Déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : croissante — aussi acceptées : croissante sur [-2;3] · croissante sur [-2,3] · croissante sur cet intervalle · croissante sur l'intervalle [-2;3] · croissante sur l'intervalle [-2,3] · strictement croissante · strictement croissante sur [-2;3] · strictement croissante sur [-2,3] · strictement croissante sur cet intervalle · strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · elle est croissante · elle est croissante sur [-2;3] · elle est croissante sur [-2,3] · elle est croissante sur cet intervalle · elle est croissante sur l'intervalle [-2;3] · elle est croissante sur l'intervalle [-2,3] · elle est strictement croissante · elle est strictement croissante sur [-2;3] · elle est strictement croissante sur [-2,3] · elle est strictement croissante sur cet intervalle · elle est strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · elle est strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · g est croissante · g est croissante sur [-2;3] · g est croissante sur [-2,3] · g est croissante sur cet intervalle · g est croissante sur l'intervalle [-2;3] · g est croissante sur l'intervalle [-2,3] · g est strictement croissante · g est strictement croissante sur [-2;3] · g est strictement croissante sur [-2,3] · g est strictement croissante sur cet intervalle · g est strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · g est strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · la fonction g est croissante · la fonction g est croissante sur [-2;3] · la fonction g est croissante sur [-2,3] · la fonction g est croissante sur cet intervalle · la fonction g est croissante sur l'intervalle [-2;3] · la fonction g est croissante sur l'intervalle [-2,3] · la fonction g est strictement croissante · la fonction g est strictement croissante sur [-2;3] · la fonction g est strictement croissante sur [-2,3] · la fonction g est strictement croissante sur cet intervalle · la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · la fonction est croissante · la fonction est croissante sur [-2;3] · la fonction est croissante sur [-2,3] · la fonction est croissante sur cet intervalle · la fonction est croissante sur l'intervalle [-2;3] · la fonction est croissante sur l'intervalle [-2,3] · la fonction est strictement croissante · la fonction est strictement croissante sur [-2;3] · la fonction est strictement croissante sur [-2,3] · la fonction est strictement croissante sur cet intervalle · la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · c'est croissante · c'est croissante sur [-2;3] · c'est croissante sur [-2,3] · c'est croissante sur cet intervalle · c'est croissante sur l'intervalle [-2;3] · c'est croissante sur l'intervalle [-2,3] · c'est strictement croissante · c'est strictement croissante sur [-2;3] · c'est strictement croissante sur [-2,3] · c'est strictement croissante sur cet intervalle · c'est strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · c'est strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · fonction croissante · fonction croissante sur [-2;3] · fonction croissante sur [-2,3] · fonction croissante sur cet intervalle · fonction croissante sur l'intervalle [-2;3] · fonction croissante sur l'intervalle [-2,3] · fonction strictement croissante · fonction strictement croissante sur [-2;3] · fonction strictement croissante sur [-2,3] · fonction strictement croissante sur cet intervalle · fonction strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · fonction strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · est croissante · est croissante sur [-2;3] · est croissante sur [-2,3] · est croissante sur cet intervalle · est croissante sur l'intervalle [-2;3] · est croissante sur l'intervalle [-2,3] · est strictement croissante · est strictement croissante sur [-2;3] · est strictement croissante sur [-2,3] · est strictement croissante sur cet intervalle · est strictement croissante sur l'intervalle [-2;3] · est strictement croissante sur l'intervalle [-2,3] · croît · croît sur [-2;3] · croît sur [-2,3] · croît sur cet intervalle · elle croît · elle croît sur [-2;3] · elle croît sur [-2,3] · elle croît sur cet intervalle · g croît · g croît sur [-2;3] · g croît sur [-2,3] · g croît sur cet intervalle · la fonction croît · la fonction croît sur [-2;3] · la fonction croît sur [-2,3] · la fonction croît sur cet intervalle · la fonction g croît · la fonction g croît sur [-2;3] · la fonction g croît sur [-2,3] · la fonction g croît sur cet intervalle · croissant · croissantes · elle est croissant · g est croissant
Indices, dans l’ordre
- Prends dans Que sais-tu du signe de ?
- Exprime :
Correction
- L'hypothèse — décroissante et :
- La différence pour g — Le disparaît dans la différence.
- Un négatif multiplié par est positif : est croissante.
Ajouter une constante ne change pas le sens de variation ; multiplier par un nombre négatif l'inverse.
Pièges anticipés
décroissante / décroissante sur [-2;3] / décroissante sur [-2,3] / décroissante sur cet intervalle / décroissante sur l'intervalle [-2;3] / décroissante sur l'intervalle [-2,3] / strictement décroissante / strictement décroissante sur [-2;3] / strictement décroissante sur [-2,3] / strictement décroissante sur cet intervalle / strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / elle est décroissante / elle est décroissante sur [-2;3] / elle est décroissante sur [-2,3] / elle est décroissante sur cet intervalle / elle est décroissante sur l'intervalle [-2;3] / elle est décroissante sur l'intervalle [-2,3] / elle est strictement décroissante / elle est strictement décroissante sur [-2;3] / elle est strictement décroissante sur [-2,3] / elle est strictement décroissante sur cet intervalle / elle est strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / elle est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / g est décroissante / g est décroissante sur [-2;3] / g est décroissante sur [-2,3] / g est décroissante sur cet intervalle / g est décroissante sur l'intervalle [-2;3] / g est décroissante sur l'intervalle [-2,3] / g est strictement décroissante / g est strictement décroissante sur [-2;3] / g est strictement décroissante sur [-2,3] / g est strictement décroissante sur cet intervalle / g est strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / g est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / la fonction g est décroissante / la fonction g est décroissante sur [-2;3] / la fonction g est décroissante sur [-2,3] / la fonction g est décroissante sur cet intervalle / la fonction g est décroissante sur l'intervalle [-2;3] / la fonction g est décroissante sur l'intervalle [-2,3] / la fonction g est strictement décroissante / la fonction g est strictement décroissante sur [-2;3] / la fonction g est strictement décroissante sur [-2,3] / la fonction g est strictement décroissante sur cet intervalle / la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / la fonction est décroissante / la fonction est décroissante sur [-2;3] / la fonction est décroissante sur [-2,3] / la fonction est décroissante sur cet intervalle / la fonction est décroissante sur l'intervalle [-2;3] / la fonction est décroissante sur l'intervalle [-2,3] / la fonction est strictement décroissante / la fonction est strictement décroissante sur [-2;3] / la fonction est strictement décroissante sur [-2,3] / la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle / la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / c'est décroissante / c'est décroissante sur [-2;3] / c'est décroissante sur [-2,3] / c'est décroissante sur cet intervalle / c'est décroissante sur l'intervalle [-2;3] / c'est décroissante sur l'intervalle [-2,3] / c'est strictement décroissante / c'est strictement décroissante sur [-2;3] / c'est strictement décroissante sur [-2,3] / c'est strictement décroissante sur cet intervalle / c'est strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / c'est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / fonction décroissante / fonction décroissante sur [-2;3] / fonction décroissante sur [-2,3] / fonction décroissante sur cet intervalle / fonction décroissante sur l'intervalle [-2;3] / fonction décroissante sur l'intervalle [-2,3] / fonction strictement décroissante / fonction strictement décroissante sur [-2;3] / fonction strictement décroissante sur [-2,3] / fonction strictement décroissante sur cet intervalle / fonction strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / fonction strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / est décroissante / est décroissante sur [-2;3] / est décroissante sur [-2,3] / est décroissante sur cet intervalle / est décroissante sur l'intervalle [-2;3] / est décroissante sur l'intervalle [-2,3] / est strictement décroissante / est strictement décroissante sur [-2;3] / est strictement décroissante sur [-2,3] / est strictement décroissante sur cet intervalle / est strictement décroissante sur l'intervalle [-2;3] / est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,3] / décroît / décroît sur [-2;3] / décroît sur [-2,3] / décroît sur cet intervalle / elle décroît / elle décroît sur [-2;3] / elle décroît sur [-2,3] / elle décroît sur cet intervalle / g décroît / g décroît sur [-2;3] / g décroît sur [-2,3] / g décroît sur cet intervalle / la fonction décroît / la fonction décroît sur [-2;3] / la fonction décroît sur [-2,3] / la fonction décroît sur cet intervalle / la fonction g décroît / la fonction g décroît sur [-2;3] / la fonction g décroît sur [-2,3] / la fonction g décroît sur cet intervalle / décroissant / décroissantes / elle est décroissant / g est décroissant→ Multiplier par renverse l'ordre : si alors
Exercice 89 · raisonnement
Comparer sans calculatrice
Soit la fonction définie sur par On admet que est strictement décroissante sur Comparer et
Répondre par « supérieur » ou « inférieur » : est-il supérieur ou inférieur à ?
Réponse attendue : supérieur — aussi acceptées : plus grand · strictement supérieur · supérieure · plus grande · strictement supérieure · f(√3)>f(7/4) · f(√3)>=f(7/4) · f(√3)≥f(7/4) · f(7/4)<f(√3) · f(√3) est supérieur à f(7/4) · f(√3) est plus grand que f(7/4) · f(√3) est supérieur · f(√3) est plus grand · il est supérieur · il est plus grand · elle est supérieure · elle est plus grande · c'est supérieur · f(rac(3))>f(7/4) · f(racine(3))>f(7/4) · f(sqrt(3))>f(7/4) · f(sqrt3)>f(7/4) · f(√3)>f(1.75) · f(√3)>f(1,75)
Indices, dans l’ordre
- Inutile de calculer les images : compare d'abord et
- Deux nombres positifs se rangent comme leurs carrés :
- Une fonction décroissante renverse l'ordre.
Correction
- Comparer les antécédents — ; les deux nombres sont positifs.
- Appliquer f — est strictement décroissante : l'ordre est renversé.
Avec le sens de variation, on compare deux images en comparant seulement les antécédents.
Pièges anticipés
inférieur / plus petit / inférieure / plus petite / strictement inférieur / f(√3)<f(7/4) / f(√3)<=f(7/4) / f(√3)≤f(7/4) / f(√3) est inférieur à f(7/4) / f(√3) est plus petit que f(7/4) / il est inférieur / il est plus petit / f(sqrt(3))<f(7/4) / f(√3)<f(1.75)→ mais est décroissante : elle renverse l'ordre,
Exercice 90 · raisonnement
Le sens à gauche du sommet
Soit la fonction définie sur par Pour deux réels vérifier que Déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : décroissante sur ]-inf;2] · décroissante sur ]-inf,2] · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · strictement décroissante · strictement décroissante sur ]-inf;2] · strictement décroissante sur ]-inf,2] · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · elle est décroissante · elle est décroissante sur ]-inf;2] · elle est décroissante sur ]-inf,2] · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · elle est décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur ]-inf;2] · elle est strictement décroissante sur ]-inf,2] · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · f est décroissante · f est décroissante sur ]-inf;2] · f est décroissante sur ]-inf,2] · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · f est décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur ]-inf;2] · f est strictement décroissante sur ]-inf,2] · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · la fonction f est décroissante · la fonction f est décroissante sur ]-inf;2] · la fonction f est décroissante sur ]-inf,2] · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · la fonction f est strictement décroissante · la fonction f est strictement décroissante sur ]-inf;2] · la fonction f est strictement décroissante sur ]-inf,2] · la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur ]-inf;2] · la fonction est décroissante sur ]-inf,2] · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · la fonction est strictement décroissante · la fonction est strictement décroissante sur ]-inf;2] · la fonction est strictement décroissante sur ]-inf,2] · la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · c'est décroissante · c'est décroissante sur ]-inf;2] · c'est décroissante sur ]-inf,2] · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · c'est décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · c'est strictement décroissante · c'est strictement décroissante sur ]-inf;2] · c'est strictement décroissante sur ]-inf,2] · c'est strictement décroissante sur cet intervalle · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · fonction décroissante · fonction décroissante sur ]-inf;2] · fonction décroissante sur ]-inf,2] · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · fonction décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · fonction strictement décroissante · fonction strictement décroissante sur ]-inf;2] · fonction strictement décroissante sur ]-inf,2] · fonction strictement décroissante sur cet intervalle · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · est décroissante · est décroissante sur ]-inf;2] · est décroissante sur ]-inf,2] · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · est décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · est strictement décroissante · est strictement décroissante sur ]-inf;2] · est strictement décroissante sur ]-inf,2] · est strictement décroissante sur cet intervalle · est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;2] · est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,2] · décroît · décroît sur ]-inf;2] · décroît sur ]-inf,2] · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur ]-inf;2] · elle décroît sur ]-inf,2] · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur ]-inf;2] · f décroît sur ]-inf,2] · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur ]-inf;2] · la fonction décroît sur ]-inf,2] · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur ]-inf;2] · la fonction f décroît sur ]-inf,2] · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Développe et compare à
- Si que peut-on dire de ? Et du signe de ?
Correction
- La différence —
- Les signes — ; et donnent
- Donc : est décroissante.
Le facteur change de signe autour de : décroît sur et croît sur
Pièges anticipés
croissante / croissante sur ]-inf;2] / croissante sur ]-inf,2] / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / strictement croissante / strictement croissante sur ]-inf;2] / strictement croissante sur ]-inf,2] / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / elle est croissante / elle est croissante sur ]-inf;2] / elle est croissante sur ]-inf,2] / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / elle est croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur ]-inf;2] / elle est strictement croissante sur ]-inf,2] / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / f est croissante / f est croissante sur ]-inf;2] / f est croissante sur ]-inf,2] / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / f est croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur ]-inf;2] / f est strictement croissante sur ]-inf,2] / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur ]-inf;2] / la fonction f est croissante sur ]-inf,2] / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / la fonction f est strictement croissante / la fonction f est strictement croissante sur ]-inf;2] / la fonction f est strictement croissante sur ]-inf,2] / la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur ]-inf;2] / la fonction est croissante sur ]-inf,2] / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / la fonction est croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / la fonction est strictement croissante / la fonction est strictement croissante sur ]-inf;2] / la fonction est strictement croissante sur ]-inf,2] / la fonction est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / c'est croissante / c'est croissante sur ]-inf;2] / c'est croissante sur ]-inf,2] / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / c'est croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / c'est strictement croissante / c'est strictement croissante sur ]-inf;2] / c'est strictement croissante sur ]-inf,2] / c'est strictement croissante sur cet intervalle / c'est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / c'est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / fonction croissante / fonction croissante sur ]-inf;2] / fonction croissante sur ]-inf,2] / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / fonction croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / fonction strictement croissante / fonction strictement croissante sur ]-inf;2] / fonction strictement croissante sur ]-inf,2] / fonction strictement croissante sur cet intervalle / fonction strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / fonction strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / est croissante / est croissante sur ]-inf;2] / est croissante sur ]-inf,2] / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / est croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / est strictement croissante / est strictement croissante sur ]-inf;2] / est strictement croissante sur ]-inf,2] / est strictement croissante sur cet intervalle / est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;2] / est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,2] / croît / croît sur ]-inf;2] / croît sur ]-inf,2] / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur ]-inf;2] / elle croît sur ]-inf,2] / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur ]-inf;2] / f croît sur ]-inf,2] / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur ]-inf;2] / la fonction croît sur ]-inf,2] / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur ]-inf;2] / la fonction f croît sur ]-inf,2] / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant→ Teste : et Les images diminuent quand augmente vers
Exercice 91 · raisonnement
Une fonction paire et son sens
Soit la fonction définie sur par On admet que est croissante sur En utilisant la parité de déterminer le sens de variation de sur
Répondre par « croissante » ou « décroissante ».
Réponse attendue : décroissante — aussi acceptées : décroissante sur ]-inf;0] · décroissante sur ]-inf,0] · décroissante sur cet intervalle · décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · strictement décroissante · strictement décroissante sur ]-inf;0] · strictement décroissante sur ]-inf,0] · strictement décroissante sur cet intervalle · strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · elle est décroissante · elle est décroissante sur ]-inf;0] · elle est décroissante sur ]-inf,0] · elle est décroissante sur cet intervalle · elle est décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · elle est décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · elle est strictement décroissante · elle est strictement décroissante sur ]-inf;0] · elle est strictement décroissante sur ]-inf,0] · elle est strictement décroissante sur cet intervalle · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · f est décroissante · f est décroissante sur ]-inf;0] · f est décroissante sur ]-inf,0] · f est décroissante sur cet intervalle · f est décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · f est décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · f est strictement décroissante · f est strictement décroissante sur ]-inf;0] · f est strictement décroissante sur ]-inf,0] · f est strictement décroissante sur cet intervalle · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · la fonction f est décroissante · la fonction f est décroissante sur ]-inf;0] · la fonction f est décroissante sur ]-inf,0] · la fonction f est décroissante sur cet intervalle · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · la fonction f est strictement décroissante · la fonction f est strictement décroissante sur ]-inf;0] · la fonction f est strictement décroissante sur ]-inf,0] · la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · la fonction est décroissante · la fonction est décroissante sur ]-inf;0] · la fonction est décroissante sur ]-inf,0] · la fonction est décroissante sur cet intervalle · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · la fonction est strictement décroissante · la fonction est strictement décroissante sur ]-inf;0] · la fonction est strictement décroissante sur ]-inf,0] · la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · c'est décroissante · c'est décroissante sur ]-inf;0] · c'est décroissante sur ]-inf,0] · c'est décroissante sur cet intervalle · c'est décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · c'est décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · c'est strictement décroissante · c'est strictement décroissante sur ]-inf;0] · c'est strictement décroissante sur ]-inf,0] · c'est strictement décroissante sur cet intervalle · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · c'est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · fonction décroissante · fonction décroissante sur ]-inf;0] · fonction décroissante sur ]-inf,0] · fonction décroissante sur cet intervalle · fonction décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · fonction décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · fonction strictement décroissante · fonction strictement décroissante sur ]-inf;0] · fonction strictement décroissante sur ]-inf,0] · fonction strictement décroissante sur cet intervalle · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · fonction strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · est décroissante · est décroissante sur ]-inf;0] · est décroissante sur ]-inf,0] · est décroissante sur cet intervalle · est décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · est décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · est strictement décroissante · est strictement décroissante sur ]-inf;0] · est strictement décroissante sur ]-inf,0] · est strictement décroissante sur cet intervalle · est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf;0] · est strictement décroissante sur l'intervalle ]-inf,0] · décroît · décroît sur ]-inf;0] · décroît sur ]-inf,0] · décroît sur cet intervalle · elle décroît · elle décroît sur ]-inf;0] · elle décroît sur ]-inf,0] · elle décroît sur cet intervalle · f décroît · f décroît sur ]-inf;0] · f décroît sur ]-inf,0] · f décroît sur cet intervalle · la fonction décroît · la fonction décroît sur ]-inf;0] · la fonction décroît sur ]-inf,0] · la fonction décroît sur cet intervalle · la fonction f décroît · la fonction f décroît sur ]-inf;0] · la fonction f décroît sur ]-inf,0] · la fonction f décroît sur cet intervalle · décroissant · décroissantes · elle est décroissant · f est décroissant
Indices, dans l’ordre
- Vérifie d'abord que est paire :
- Si compare et : ils sont positifs.
- Applique la croissance de sur à et
Correction
- La parité —
- Passer aux opposés — Si alors
- Par parité, et : est décroissante.
Une fonction paire a des variations contraires de part et d'autre de : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Pièges anticipés
croissante / croissante sur ]-inf;0] / croissante sur ]-inf,0] / croissante sur cet intervalle / croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / strictement croissante / strictement croissante sur ]-inf;0] / strictement croissante sur ]-inf,0] / strictement croissante sur cet intervalle / strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / elle est croissante / elle est croissante sur ]-inf;0] / elle est croissante sur ]-inf,0] / elle est croissante sur cet intervalle / elle est croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / elle est croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / elle est strictement croissante / elle est strictement croissante sur ]-inf;0] / elle est strictement croissante sur ]-inf,0] / elle est strictement croissante sur cet intervalle / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / elle est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / f est croissante / f est croissante sur ]-inf;0] / f est croissante sur ]-inf,0] / f est croissante sur cet intervalle / f est croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / f est croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / f est strictement croissante / f est strictement croissante sur ]-inf;0] / f est strictement croissante sur ]-inf,0] / f est strictement croissante sur cet intervalle / f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / la fonction f est croissante / la fonction f est croissante sur ]-inf;0] / la fonction f est croissante sur ]-inf,0] / la fonction f est croissante sur cet intervalle / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / la fonction f est strictement croissante / la fonction f est strictement croissante sur ]-inf;0] / la fonction f est strictement croissante sur ]-inf,0] / la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / la fonction est croissante / la fonction est croissante sur ]-inf;0] / la fonction est croissante sur ]-inf,0] / la fonction est croissante sur cet intervalle / la fonction est croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / la fonction est croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / la fonction est strictement croissante / la fonction est strictement croissante sur ]-inf;0] / la fonction est strictement croissante sur ]-inf,0] / la fonction est strictement croissante sur cet intervalle / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / la fonction est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / c'est croissante / c'est croissante sur ]-inf;0] / c'est croissante sur ]-inf,0] / c'est croissante sur cet intervalle / c'est croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / c'est croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / c'est strictement croissante / c'est strictement croissante sur ]-inf;0] / c'est strictement croissante sur ]-inf,0] / c'est strictement croissante sur cet intervalle / c'est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / c'est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / fonction croissante / fonction croissante sur ]-inf;0] / fonction croissante sur ]-inf,0] / fonction croissante sur cet intervalle / fonction croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / fonction croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / fonction strictement croissante / fonction strictement croissante sur ]-inf;0] / fonction strictement croissante sur ]-inf,0] / fonction strictement croissante sur cet intervalle / fonction strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / fonction strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / est croissante / est croissante sur ]-inf;0] / est croissante sur ]-inf,0] / est croissante sur cet intervalle / est croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / est croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / est strictement croissante / est strictement croissante sur ]-inf;0] / est strictement croissante sur ]-inf,0] / est strictement croissante sur cet intervalle / est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf;0] / est strictement croissante sur l'intervalle ]-inf,0] / croît / croît sur ]-inf;0] / croît sur ]-inf,0] / croît sur cet intervalle / elle croît / elle croît sur ]-inf;0] / elle croît sur ]-inf,0] / elle croît sur cet intervalle / f croît / f croît sur ]-inf;0] / f croît sur ]-inf,0] / f croît sur cet intervalle / la fonction croît / la fonction croît sur ]-inf;0] / la fonction croît sur ]-inf,0] / la fonction croît sur cet intervalle / la fonction f croît / la fonction f croît sur ]-inf;0] / la fonction f croît sur ]-inf,0] / la fonction f croît sur cet intervalle / croissant / croissantes / elle est croissant / f est croissant→ Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, la montée à droite devient une descente à gauche :
Exercice 92 · defi
Placer le changement de sens
Soit un réel et la fonction définie sur par Pour on a Déterminer le réel pour que soit décroissante sur et croissante sur
Donner la valeur de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Sur il faut pour tous : prends et proches de
- Sur il faut pour tous
- Les deux conditions donnent une inégalité dans chaque sens sur
Correction
- À gauche de 3 — prend toutes les valeurs proches de par en dessous : il faut
- À droite de 3 — prend toutes les valeurs à partir de : il faut
- Vérifier — Pour : et le facteur est
Le changement de sens de a lieu en : le facteur change de signe quand et passent
Pièges anticipés
6→ C'est qui vaut ; donc3/2 / 1.5→ Le changement de sens a lieu en pas en : avec il faut soit-3→ Avec doit s'annuler :
Exercice 93 · base
La parité d'un polynôme de degré 4
Étudier la parité de la fonction définie sur par
Répondre par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : paire — aussi acceptées : fonction paire · elle est paire · f est paire · la fonction f est paire
Indices, dans l’ordre
- contient l'opposé de chacun de ses éléments. Calcule
- et : les exposants pairs effacent le signe.
Correction
- L'ensemble — Pour tout réel
- Le calcul —
Un polynôme qui ne contient que des puissances paires de définit une fonction paire.
Pièges anticipés
impaire / impair / f est impaire / la fonction f est impaire / elle est impaire→ pas : par exempleni paire ni impaire / ni pair ni impair / f n'est ni paire ni impaire / elle n'est ni paire ni impaire→ Calcule : chaque puissance est paire, on retrouve exactement
Exercice 94 · base
La parité d'un polynôme de degré 3
Étudier la parité de la fonction définie sur par
Répondre par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : impaire — aussi acceptées : fonction impaire · elle est impaire · f est impaire · la fonction f est impaire
Indices, dans l’ordre
- contient l'opposé de chacun de ses éléments. Calcule
- : compare à
Correction
- L'ensemble — Pour tout réel
- Le calcul —
Un polynôme qui ne contient que des puissances impaires de définit une fonction impaire.
Pièges anticipés
paire / pair / f est paire / la fonction f est paire / elle est paire→ et : les images sont opposées, pas égales.ni paire ni impaire / ni pair ni impair / f n'est ni paire ni impaire / elle n'est ni paire ni impaire→ qui est exactement
Exercice 95 · base
L'image de 0 par une fonction impaire
Une fonction est impaire et définie sur Calculer
Donner
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Écris la définition d'une fonction impaire avec
- : quel nombre est égal à son opposé ?
Correction
- La définition en 0 —
- Résoudre —
La courbe d'une fonction impaire définie en passe toujours par l'origine du repère.
Exercice 96 · raisonnement
La parité d'un quotient
Étudier la parité de la fonction définie par
Répondre par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : impaire — aussi acceptées : fonction impaire · elle est impaire · f est impaire · la fonction f est impaire
Indices, dans l’ordre
- Commence par l'ensemble de définition : quels réels annulent ? Cet ensemble contient-il l'opposé de chacun de ses éléments ?
- Calcule et compare-le à et à
Correction
- L'ensemble — Les valeurs exclues sont et opposées l'une de l'autre.
- Le calcul — Pour tout de et :
Avant de calculer on vérifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à
Pièges anticipés
paire / pair / f est paire / la fonction f est paire / elle est paire→ Le dénominateur ne change pas, mais le numérateur change de signe :ni paire ni impaire / ni pair ni impair / f n'est ni paire ni impaire / elle n'est ni paire ni impaire→ est symétrique : et sont exclus tous les deux. Et
Exercice 97 · pratique
La parité d'une somme
Étudier la parité de la fonction définie sur par
Répondre par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : paire — aussi acceptées : fonction paire · elle est paire · f est paire · la fonction f est paire
Indices, dans l’ordre
- Calcule : que deviennent et ?
Correction
- L'ensemble — Pour tout réel : qui contient
- Le calcul —
Le carré et la valeur absolue effacent le signe : une expression construite avec eux seuls est paire.
Pièges anticipés
impaire / impair / f est impaire / la fonction f est impaire / elle est impaire→ est toujours positif : ne peut pas valoir Etni paire ni impaire / ni pair ni impair / f n'est ni paire ni impaire / elle n'est ni paire ni impaire→ et : on retrouve
Exercice 98 · defi
Deux quotients qui s'échangent
Étudier la parité de la fonction définie par
Répondre par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : impaire — aussi acceptées : fonction impaire · elle est impaire · f est impaire · la fonction f est impaire
Indices, dans l’ordre
- L'ensemble de définition est : contient-il l'opposé de chacun de ses éléments ?
- Calcule et sors un signe moins de chaque dénominateur.
- Les deux termes s'échangent : compare avec
Correction
- L'ensemble — et sont exclus tous les deux.
- Le calcul —
- Conclure —
On peut aussi réduire : quotient d'un terme impair par un terme pair.
Pièges anticipés
paire / pair / f est paire / la fonction f est paire / elle est paire→ et : les images sont opposées.ni paire ni impaire / ni pair ni impair / f n'est ni paire ni impaire / elle n'est ni paire ni impaire→ En sortant le signe moins des dénominateurs, on retrouve les deux termes de changés de signe.
Exercice 99 · raisonnement
Un ensemble qui n'est pas symétrique
Étudier la parité de la fonction définie par
Répondre par « paire », « impaire » ou « ni paire ni impaire ».
Réponse attendue : ni paire ni impaire — aussi acceptées : ni paire, ni impaire · ni impaire ni paire · ni l'une ni l'autre · ni l'un ni l'autre · aucune des deux · elle n'est ni paire ni impaire · f n'est ni paire ni impaire · ni pair ni impair · ni impair ni pair · ni impaire, ni paire · ni pair, ni impair · ni impair, ni pair · elle n'est ni impaire ni paire · f n'est ni impaire ni paire · elle n'est ni paire, ni impaire · f n'est ni paire, ni impaire · la fonction n'est ni paire ni impaire · la fonction f n'est ni paire ni impaire · ni l'une, ni l'autre · ni paire et ni impaire
Indices, dans l’ordre
- Commence par l'ensemble de définition : quel réel est exclu ?
- Son opposé est-il exclu aussi ? Que peut-on en conclure ?
Correction
- L'ensemble —
- Pas symétrique — mais son opposé : la première condition n'est pas remplie.
Si l'ensemble de définition ne contient pas l'opposé de chacun de ses éléments, n'est ni paire ni impaire — inutile de calculer
Pièges anticipés
paire / pair / f est paire / la fonction f est paire / elle est paire→ Le numérateur est pair, mais n'existe pas alors que existe.impaire / impair / f est impaire / la fonction f est impaire / elle est impaire→ a une image, n'en a pas : l'ensemble de définition n'est pas symétrique.
Exercice 100 · raisonnement
Compléter grâce à la parité
Une fonction est paire et définie sur Pour tout réel on a Calculer
Donner
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- L'expression n'est donnée que pour : on ne peut pas y remplacer par
- est paire :
Correction
- La parité —
- Calculer — : l'expression s'applique.
Une expression valable pour suffit à connaître une fonction paire partout :
Pièges anticipés
5→ n'est valable que pour Pour on passe par la parité :3→ est paire : pas
Exercice 101 · defi
Choisir le paramètre pour une fonction impaire
Soit un réel et la fonction définie sur par Déterminer le réel pour que soit impaire.
Donner la valeur de
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Calcule et puis écris qu'ils sont égaux pour tout
- Le terme en est le seul qui ne change pas de signe. Que doit valoir son coefficient ?
Correction
- Calculer —
- Égaler pour tout x —
Pour qu'un polynôme définisse une fonction impaire, les coefficients des puissances paires doivent être nuls.
Pièges anticipés
0→ C'est qui doit être nul, pas : avec il reste et-1→ Avec le terme reste. Il faut
Exercice 102 · defi
Prolonger une fonction impaire
Une fonction est impaire et définie sur Pour tout réel on a Déterminer l'expression de pour sous forme développée.
Écrire seulement l'expression de pour sous forme développée.
Réponse attendue : -x^2-2x
Indices, dans l’ordre
- Si alors : l'expression donnée s'applique à
- Calcule d'abord :
- est impaire :
Correction
- En -x — Pour on a :
- L'imparité —
Pour prolonger une fonction impaire aux réels négatifs : calculer avec l'expression connue, puis prendre l'opposé.
Pièges anticipés
x^2+2x→ est Une fonction impaire vérifie : il manque le signe moins.x^2-2x→ L'expression n'est valable que pour Pour passe par-x^2+2x→ Tu as pris sans remplacer par : on calcule d'abord