Géométrie analytique
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna le chapitre : géométrie analytique. El fekra mte3ou sehla w 9wiya : n7ellou des problèmes de géométrie bel 7seb. La droite twalli équation, w le cercle zeda. Bech nchoufou les coordonnées du barycentre, l'équation cartésienne d'une droite, le vecteur directeur w le vecteur normal, les droites parallèles w perpendiculaires, la distance d'un point à une droite, w l'équation d'un cercle. Yalla, nabdew.
عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا le chapitre : géométrie analytique . الفكرة متاعو ساهلة w قويّة : نحلّو des problèmes de géométrie بالحساب . la droite تولّي équation ، w le cercle زادة . باش نشوفو les coordonnées du barycentre ، l'équation cartésienne d'une droite ، le vecteur directeur w le vecteur normal ، les droites parallèles w perpendiculaires ، la distance d'un point à une droite ، w l'équation d'un cercle . يالله ، نبداو .
Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble le chapitre : géométrie analytique. Son idée est simple et puissante : résoudre des problèmes de géométrie par le calcul. La droite devient une équation, et le cercle aussi. Nous allons voir les coordonnées du barycentre, l'équation cartésienne d'une droite, le vecteur directeur et le vecteur normal, les droites parallèles et perpendiculaires, la distance d'un point à une droite, et l'équation d'un cercle. Allez, on commence.
La géométrie analytique est l'art de résoudre les problèmes de géométrie par le calcul : une droite devient une équation, un cercle aussi, et un alignement, un parallélisme ou une perpendicularité se vérifient avec quelques multiplications.
On y apprend deux réflexes : traduire une figure en coordonnées et en équations, et choisir le repère qui rend les calculs simples.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Calculer les coordonnées d'un milieu ou d'un barycentreCalculer les coordonnées d'un milieu ou d'un barycentre.Calculer les coordonnées d'un milieu ou d'un barycentre.
- Écrire l'équation d'une droite et la tracerÉcrire l'équation d'une droite et la tracer.Écrire l'équation d'une droite et la tracer.
- Reconnaître des droites parallèles ou perpendiculairesReconnaître des droites parallèles ou perpendiculaires.Reconnaître des droites parallèles ou perpendiculaires.
- Calculer la distance d'un point à une droiteCalculer la distance d'un point à une droite.Calculer la distance d'un point à une droite.
- Écrire et reconnaître l'équation d'un cercleÉcrire et reconnaître l'équation d'un cercle.Écrire et reconnaître l'équation d'un cercle.
- Choisir un repère adapté à un problèmeChoisir un repère adapté à un problème.Choisir un repère adapté à un problème.
1. Activité
Rappels
Ce qu’il dit
9bal ma nabdew, netfakkrou chwaya 7ajet na3rfouhom. Les composantes du vecteur AB : l'extrémité moins l'origine, ya3ni x B moins x A, w y B moins y A. Zouz vecteurs colinéaires ki x y prime moins x prime y égale zéro, w tletha points alignés ki le vecteur AB w le vecteur AC colinéaires. W fi repère orthonormé berk : la distance AB hiya la racine carrée de la somme des carrés de x B moins x A w de y B moins y A, w zouz vecteurs orthogonaux ki x x prime plus y y prime égale zéro. Bel 7ajet hedhi, bech n7ellou des problèmes de géométrie bel 7seb.
قْبَلْ ما نبداو ، نتفكّرو شويّة حاجات نعرفوهم . les composantes du vecteur A B : l'extrémité moins l'origine ، يعني x B moins x A ، w y B moins y A . زوز vecteurs colinéaires كي x y prime moins x prime y égale zéro ، w ثلاثة points alignés كي le vecteur A B w le vecteur A C colinéaires . w في repère orthonormé برك : la distance A B هي la racine carrée de la somme des carrés de x B moins x A w de y B moins y A ، w زوز vecteurs orthogonaux كي x x prime plus y y prime égale zéro . بالحاجات هاذي ، باش نحلّو des problèmes de géométrie بالحساب .
Avant de commencer, rappelons quelques résultats connus. Les composantes du vecteur A B : l'extrémité moins l'origine, c'est-à-dire x B moins x A, et y B moins y A. Deux vecteurs sont colinéaires quand x y prime moins x prime y égale zéro, et trois points sont alignés quand le vecteur A B et le vecteur A C sont colinéaires. Et dans un repère orthonormé seulement : la distance A B est la racine carrée de la somme des carrés de x B moins x A et de y B moins y A, et deux vecteurs sont orthogonaux quand x x prime plus y y prime égale zéro. Avec ces outils, nous allons résoudre des problèmes de géométrie par le calcul.
Dans un repère cartésien pour deux points et :
- le vecteur a pour composantes ;
- deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si ;
- trois points et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Dans un repère orthonormé, on sait de plus que :
- ;
- les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si
La courbe d'une fonction affine est une droite de coefficient directeur
Un repère orthonormé d'origine O. Huit points y sont placés : A de coordonnées −3 et 1, B de coordonnées 2 et 3, C de coordonnées −2 et −2, D de coordonnées 3 et −1, E de coordonnées 1 et −3, F de coordonnées −1 et 3, K de coordonnées 0 et 2, L de coordonnées 4 et 0. Au palier 2, le vecteur AE est tracé en bleu et le vecteur FK en rouge : ils ont la même direction. Au palier 3, en pointillés, le segment [KD] prolonge le vecteur FK, et le segment [ED] lui est perpendiculaire.
composantes
vecteurs colinéaires
vecteurs orthogonaux (repère orthonormé)
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on donne les points et Les vecteurs et sont-ils colinéaires ? Les points et sont-ils alignés ? Les droites et sont-elles perpendiculaires ?
- Les composantes — Pour chaque vecteur, on retranche les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.
- Colinéaires ? — Le vecteur est égal à fois le vecteur : ces deux vecteurs sont colinéaires.
- F, K et D alignés ? — Le vecteur a pour composantes et : il est lui aussi égal à fois le vecteur Les points et sont donc alignés.
- Perpendiculaires ? — Le repère est orthonormé. Le vecteur a pour composantes et le vecteur a pour composantes et : on calcule et on trouve zéro. Les droites et sont perpendiculaires.
À ne pas faire : et : le vecteur a pour composantes et — Le vecteur a pour composantes et . On calcule toujours les coordonnées de l'extrémité moins celles de l'origine.
À ne pas faire : Dans un repère quelconque, prouve que deux vecteurs sont orthogonaux — Le test ne vaut que dans un repère orthonormé. La colinéarité se teste dans n'importe quel repère cartésien, mais l'orthogonalité et les distances demandent un repère orthonormé.
2. Activité
Pour comprendre : un repère dans la figure
Ce qu’il dit
Bech tefhem 9owwet el méthode, ne5dhou triangle ABC, I le milieu de BC, w M elli le vecteur AM égale deux cinquièmes du vecteur AI. La parallèle à AB elli tet3adda men M t9oss BC fi P, w la parallèle à AC t9ossha fi Q. N7ebbou nthabtou elli I houwa le milieu de PQ. El fekra : ma 3andnech repère, donc ne5tarou wa7ed mel figure rou7ha : A, le vecteur AB, le vecteur AC. Tawa B 3andou un, zéro, C 3andou zéro, un, I 3andou un demi, un demi, w M 3andou un cinquième, un cinquième. W ma yo93ed ken el 7seb.
باش تفهم قوّة الـ méthode ، ناخذو triangle A B C ، I le milieu de B C ، w M اللي le vecteur A M égale deux cinquièmes du vecteur A I . la parallèle à A B اللي تتعدّى من M تقصّ B C في P ، w la parallèle à A C تقصّها في Q . نحبّو نثبتو اللي I هو le milieu de P Q . الفكرة : ما عندناش repère ، donc نختارو واحد من الـ figure روحها : A ، le vecteur A B ، le vecteur A C . توّا B عندو un ، zéro ، C عندو zéro ، un ، I عندو un demi ، un demi ، w M عندو un cinquième ، un cinquième . w ما يقعد كان الحساب .
Pour comprendre la force de la méthode, prenons un triangle A B C, I le milieu de B C, et M tel que le vecteur A M égale deux cinquièmes du vecteur A I. La parallèle à A B passant par M coupe B C en P, et la parallèle à A C la coupe en Q. On veut prouver que I est le milieu de P Q. L'idée : nous n'avons pas de repère, donc nous en choisissons un dans la figure elle-même : A, le vecteur A B, le vecteur A C. Alors B a pour coordonnées un, zéro, C zéro, un, I un demi, un demi, et M un cinquième, un cinquième. Et il ne reste que le calcul.
est un triangle, est le milieu du côté et est le point défini par La parallèle à passant par coupe en et la parallèle à passant par coupe en On veut montrer que est le milieu de
L'idée. Aucun repère n'est donné : on en choisit un, porté par la figure elle-même. On prend le repère Alors :
- et ;
- est le milieu de donc ;
- donc
Dans ce repère, une parallèle à est l'ensemble des points qui ont une même ordonnée, et une parallèle à l'ensemble des points qui ont une même abscisse. Il ne reste qu'à calculer.
Un triangle ABC : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut. I est le milieu du côté [BC]. Le segment [AI] est tracé en rouge, et M est sur ce segment, aux deux cinquièmes à partir de A. Au palier 2, la parallèle à (AB) passant par M, en bleu, coupe le côté [BC] en P, près de B. Au palier 3, la parallèle à (AC) passant par M, en vert, coupe le côté [BC] en Q, près de C. Les points P et Q sont à égale distance de I.
Exemple traité
Dans le repère on a et Calculer les coordonnées de et de puis montrer que est le milieu de
- L'ordonnée de P — Le point est sur la parallèle à passant par : il a la même ordonnée que c'est-à-dire On note son abscisse.
- L'abscisse de P — Le point est sur la droite : les vecteurs et sont colinéaires. Le premier a pour composantes et le second et
- Le point Q — De même, a la même abscisse que c'est-à-dire et il est sur la droite : on trouve son ordonnée,
- Le milieu de — On calcule les coordonnées du milieu de : la demi-somme des abscisses, puis celle des ordonnées. On retrouve les coordonnées de
À ne pas faire : Dans le repère on calcule la distance avec la formule de la racine carrée — Ce repère n'est pas orthonormé en général : on n'y calcule que des milieux, des alignements et des parallélismes. Les formules de distance et d'orthogonalité demandent un repère orthonormé ; le milieu et la colinéarité, eux, marchent dans tout repère cartésien.
3. Propriété
Milieu et barycentre
Ce qu’il dit
Tawa na7sbou les coordonnées. Le milieu I de AB : l'abscisse hiya x A plus x B, le tout sur deux, w l'ordonnée hiya y A plus y B, le tout sur deux. W le barycentre G mta3 A coefficient alpha w B coefficient bêta, ki alpha plus bêta différent de zéro : x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta, w nafs echay l y G. Ya3ni koll coordonnée hiya moyenne pondérée. W ki yabdew tletha points, nzidou gamma fel fou9 w fel louta. Le milieu houwa le cas mta3 alpha égale bêta égale un, w le centre de gravité mta3 triangle : njam3ou etletha abscisses w ndiviser 3la trois.
توّا نحسبو les coordonnées . le milieu I de A B : l'abscisse هي x A plus x B, le tout sur deux ، w l'ordonnée هي y A plus y B, le tout sur deux . w le barycentre G متاع A coefficient alpha w B coefficient bêta ، كي alpha plus bêta différent de zéro : x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta ، w نفس الشي لـ y G . يعني كل coordonnée هي moyenne pondérée . w كي يبداو ثلاثة points ، نزيدو gamma في الفوق w في اللوطة . le milieu هو le cas متاع alpha égale bêta égale un ، w le centre de gravité متاع triangle : نجمعو الثلاثة abscisses w نـ diviser على trois .
Calculons maintenant les coordonnées. Le milieu I de A B : son abscisse est x A plus x B, le tout sur deux, et son ordonnée est y A plus y B, le tout sur deux. Et le barycentre G de A coefficient alpha et B coefficient bêta, quand alpha plus bêta est différent de zéro : x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta, et de même pour y G. Chaque coordonnée est donc une moyenne pondérée. Et avec trois points, on ajoute gamma en haut et en bas. Le milieu est le cas alpha égale bêta égale un, et pour le centre de gravité d'un triangle, on additionne les trois abscisses et on divise par trois.
Le plan est muni d'un repère cartésien
- Soient et deux points du plan et le milieu du segment On a - Soient et deux réels tels que Le barycentre des points et a pour coordonnées - Soient trois points du plan et trois réels tels que Le barycentre des points et a pour coordonnées
Le milieu est le cas ; le centre de gravité d'un triangle, le cas
milieu de $[AB]$
barycentre de (A, α) et (B, β)
centre de gravité de ABC
Démonstration
Pour l'origine on a On lit les composantes : de même pour puis on divise par qui n'est pas nul. Même calcul avec trois points.
Exemple traité
Soient les points et et le barycentre du point affecté du coefficient et du point affecté du coefficient Déterminer les coordonnées du point
- La somme des coefficients — On vérifie d'abord que la somme des coefficients n'est pas nulle : moins un plus trois égale deux.
- L'abscisse — On multiplie chaque abscisse par son coefficient, on additionne, puis on divise par la somme des coefficients.
- L'ordonnée — Même calcul avec les ordonnées, en faisant attention au signe : moins un fois moins quatre donne plus quatre.
À ne pas faire : Pour affecté du coefficient et affecté du coefficient : parce qu'il y a deux points — : on divise par la somme des coefficients, . Le dénominateur est la somme des coefficients, pas le nombre de points. Dans l'exemple du cours, la somme vaut : ce n'est qu'un hasard.
À ne pas faire : pour affecté du coefficient et affecté du coefficient — . Un coefficient négatif garde son signe partout : au numérateur comme dans la somme du dénominateur.
4. Activité
Pour comprendre : une droite, une équation
Ce qu’il dit
Ne5dhou A deux, un w B moins deux, trois, w narsmou la droite AB. Tawa M x, y : wa9tech M ykoun 3la la droite ? Ki le vecteur AB w le vecteur AM colinéaires. Le vecteur AB 3andou moins quatre w deux, le vecteur AM 3andou x moins deux w y moins un. Nektbou le déterminant égale zéro, w nbassatou : nal9aw x plus deux y moins quatre égale zéro. Ya3ni M 3la la droite AB, ki les coordonnées mte3ou y7a99ou l'équation hedhi, w ken hakka berk. La droite wallet équation : bech ta3ref point 3liha walla le, t3awwedh x w y w tchouf.
ناخذو A deux ، un w B moins deux ، trois ، w نرسمو la droite A B . توّا M x ، y : وقتاش M يكون على la droite ؟ كي le vecteur A B w le vecteur A M colinéaires . le vecteur A B عندو moins quatre w deux ، le vecteur A M عندو x moins deux w y moins un . نكتبو le déterminant égale zéro ، w نبسّطو : نلقاو x plus deux y moins quatre égale zéro . يعني M على la droite A B ، كي les coordonnées متاعو يحقّقو l'équation هاذي ، w كان هكّا برك . la droite ولاّت équation : باش تعرف point عليها ولّا لا ، تعوّض x w y w تشوف .
Prenons A deux, un et B moins deux, trois, et traçons la droite A B. Soit maintenant M x, y : quand M est-il sur la droite ? Quand le vecteur A B et le vecteur A M sont colinéaires. Le vecteur A B a pour composantes moins quatre et deux, le vecteur A M a pour composantes x moins deux et y moins un. On écrit que le déterminant égale zéro, et on simplifie : on trouve x plus deux y moins quatre égale zéro. Donc M est sur la droite A B quand ses coordonnées vérifient cette équation, et seulement dans ce cas. La droite est devenue une équation : pour savoir si un point est dessus, on remplace x et y et on regarde.
Le plan est muni d'un repère cartésien On place les points et et on trace la droite
Soit un point du plan. Dire que est sur la droite c'est dire que les vecteurs et sont colinéaires. Or et donc :
c'est-à-dire
Le point appartient à la droite si et seulement si les coordonnées et du point vérifient l'équation
La droite est ainsi remplacée par une équation : pour savoir si un point est sur la droite, on n'a plus besoin de la figure, il suffit de remplacer et par ses coordonnées.
Un repère d'origine O. La droite (AB), en bleu, passe par A de coordonnées 2 et 1 et par B de coordonnées −2 et 3 ; elle descend de la gauche vers la droite. Au palier 2, un point M de la droite, de coordonnées 0 et 2, et le vecteur AM en rouge, porté par la droite. Au palier 3, le point C de coordonnées 4 et 0 est sur la droite, alors que le point D de coordonnées −1 et 2 est juste à côté, un peu en dessous : il n'est pas sur la droite.
Exemple traité
La droite a pour équation Les points et sont-ils sur la droite ?
- Le point C — On remplace par et par dans l'expression : on trouve zéro, donc est sur la droite.
- Le point D — On remplace par et par : on trouve qui n'est pas nul. Le point n'est pas sur la droite.
À ne pas faire : Sur le dessin, a l'air d'être sur la droite, donc il y est — : n'est pas sur la droite. Un dessin peut tromper d'un demi-carreau ; l'équation, elle, tranche sans hésiter.
5. Théorème
Équation cartésienne
Ce qu’il dit
Elli 3malneh m3a la droite AB, yet3mal m3a koll droite. En-natija : koll droite 3andha équation cartésienne mel chakl a x plus b y plus c égale zéro, w a w b mouch nuls ezzouz m3a b3adhhom. W el 3aks sa7i7 : koll équation mel chakl hedha, hiya équation mta3 droite. Nektbou D, deux points, a x plus b y plus c égale zéro. El méthode dima hiya hiya : ne5dhou M x, y, w nektbou elli le vecteur AB w le vecteur AM colinéaires. W rodd belek : la droite ma 3andhech équation wa7da, ki todhrob l'équation fi réel non nul, to93ed nafs la droite.
اللي عملناه مع la droite A B ، يتعمل مع كل droite . النتيجة : كل droite عندها équation cartésienne من الشكل a x plus b y plus c égale zéro ، w a w b موش nuls الزوز مع بعضهم . w العكس صحيح : كل équation من الشكل هذا ، هي équation متاع droite . نكتبو D ، deux points ، a x plus b y plus c égale zéro . الـ méthode ديما هي هي : ناخذو M x ، y ، w نكتبو اللي le vecteur A B w le vecteur A M colinéaires . w رد بالك : la droite ما عندهاش équation وحدة ، كي تضرب l'équation في réel non nul ، تقعد نفس la droite .
Ce que nous avons fait avec la droite A B se fait avec toute droite. Le résultat : toute droite a une équation cartésienne de la forme a x plus b y plus c égale zéro, où a et b ne sont pas nuls tous les deux. Et la réciproque est vraie : toute équation de cette forme est l'équation d'une droite. On écrit D, deux points, a x plus b y plus c égale zéro. La méthode est toujours la même : on prend M x, y, et on écrit que le vecteur A B et le vecteur A M sont colinéaires. Et attention : une droite n'a pas une seule équation ; quand on multiplie l'équation par un réel non nul, on garde la même droite.
Le plan est muni d'un repère cartésien
- Toute droite admet une équation cartésienne de la forme où et sont trois réels avec - Soient et trois réels tels que L'équation est celle d'une droite.
Vocabulaire. L'équation avec est appelée équation cartésienne de la droite On écrit
La méthode. Pour trouver une équation de la droite on prend un point quelconque et on écrit que les vecteurs et sont colinéaires :
Une droite a plusieurs équations cartésiennes : en multipliant par ou par on obtient ou qui décrivent la même droite.
équation cartésienne
la droite $(AB)$
Démonstration
Toute droite a une équation. Soient et deux points distincts de la droite. Un point est sur si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires, c'est-à-dire En développant, on obtient avec et : comme et ne sont pas nuls tous les deux.
Toute équation est celle d'une droite. Si les points et vérifient l'équation, et on montre que l'ensemble cherché est la droite Si alors : les points et vérifient l'équation, et l'ensemble est la droite
Exemple traité
On considère le triangle où et Donner une équation cartésienne de la droite puis de la droite
- La droite — Le vecteur a pour composantes et Pour un point de coordonnées et le vecteur a pour composantes et On écrit que ces deux vecteurs sont colinéaires.
- On simplifie — On développe, on regroupe, puis on divise tout par moins deux pour obtenir l'équation la plus simple.
- La droite — Le vecteur a pour composantes et et le vecteur a pour composantes et
- On vérifie — Les coordonnées de doivent vérifier l'équation de : quatre plus huit moins douze égale zéro. C'est bon.
À ne pas faire : et sont les équations de deux droites différentes — C'est la même droite : la seconde équation est la première multipliée par . Multiplier une équation cartésienne par un réel non nul ne change pas l'ensemble de ses solutions : une droite a une infinité d'équations cartésiennes.
À ne pas faire : est l'équation d'une droite — Il faut : au moins l'un des deux coefficients et n'est pas nul. Si et sont nuls tous les deux, l'équation devient : elle n'est vérifiée par aucun point, ou par tous.
6. Méthode
Tracer une droite
Ce qu’il dit
Bech tarsem droite men l'équation mte3ha, yekfik zouz points. Te5tar valeur l x, w ta7seb y men l'équation. Mathalan D : deux x plus y moins trois égale zéro. Ki x égale zéro, y égale trois, w ki x égale un, y égale un. N7ottou ezzouz points w nwasslouhom. W famma tletha cas ta3refhom bel 3in : ki c égale zéro, la droite tet3adda men l'origine. Ki a égale zéro, l'équation twalli y égale k, w la droite parallèle à l'axe des abscisses. W ki b égale zéro, twalli x égale k, w la droite parallèle à l'axe des ordonnées.
باش ترسم droite من l'équation متاعها ، يكفيك زوز points . تختار valeur لـ x ، w تحسب y من l'équation . مثلا D : deux x plus y moins trois égale zéro . كي x égale zéro ، y égale trois ، w كي x égale un ، y égale un . نحطّو الزوز points w نوصلوهم . w فمّا ثلاثة cas تعرفهم بالعين : كي c égale zéro ، la droite تتعدّى من l'origine . كي a égale zéro ، l'équation تولّي y égale k ، w la droite parallèle à l'axe des abscisses . w كي b égale zéro ، تولّي x égale k ، w la droite parallèle à l'axe des ordonnées .
Pour tracer une droite à partir de son équation, deux points suffisent. On choisit une valeur de x, et on calcule y avec l'équation. Par exemple D : deux x plus y moins trois égale zéro. Quand x égale zéro, y égale trois, et quand x égale un, y égale un. On place les deux points et on les relie. Et il y a trois cas qu'on reconnaît d'un coup d'œil : quand c égale zéro, la droite passe par l'origine. Quand a égale zéro, l'équation devient y égale k, et la droite est parallèle à l'axe des abscisses. Et quand b égale zéro, elle devient x égale k, et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
Le plan est muni d'un repère cartésien Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, il suffit d'en connaître deux points : on choisit une valeur de (ou de ) et on calcule l'autre coordonnée avec l'équation.
Pour la droite : avec on trouve avec on trouve La droite passe par et
On trace de même, dans le même repère :
- qui passe par les points de coordonnées et ;
- qui passe par l'origine et par le point de coordonnées ;
- formée des points d'ordonnée : elle est parallèle à l'axe des abscisses.
On retient trois cas faciles à reconnaître : si la droite passe par l'origine ; si l'équation s'écrit et la droite est parallèle à l'axe des abscisses ; si elle s'écrit et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
Un repère d'origine O avec quatre droites. La droite D, en bleu, d'équation 2x + y − 3 = 0, passe par A de coordonnées 0 et 3 et par B de coordonnées 1 et 1 : elle descend vite vers la droite. Au palier 2, la droite D₁, en rouge, d'équation x − y + 1 = 0, monte vers la droite en passant par le point d'ordonnée 1 sur l'axe vertical. Au palier 3, la droite D₂, en vert, d'équation 3x + 4y = 0, passe par l'origine et descend doucement vers la droite. Au palier 4, la droite D₃, en orange, d'équation y − 3 = 0, est horizontale à la hauteur 3 : elle passe aussi par A.
parallèle à l'axe des abscisses
parallèle à l'axe des ordonnées
Exemple traité
Soit la droite d'équation Vérifier que les points et appartiennent à Le point appartient-il à ?
- Le point A — On remplace par et par : on trouve zéro, donc est sur
- Le point B — On remplace par et par : on trouve encore zéro, donc est sur La droite est la droite
- Le point C — On remplace par et par : on trouve qui n'est pas nul. Le point n'appartient pas à
À ne pas faire : est le seul point de coordonnées — est la droite formée de tous les points d'ordonnée quelle que soit leur abscisse. Quand n'apparaît pas dans l'équation, il est libre : il peut prendre toutes les valeurs.
À ne pas faire : est une droite parallèle à l'axe des abscisses — est parallèle à l'axe des ordonnées : tous ses points ont pour abscisse . L'équation fixe l'abscisse et laisse l'ordonnée libre : la droite est verticale.
7. Application
Exemple : la méthode analytique
Ce qu’il dit
Mithel ybayyen el méthode analytique. ABCD parallélogramme, w E elli le vecteur AE égale un tiers du vecteur AC. N7ebbou nthabtou elli la droite DE tet3adda men le milieu de AB. Ne5dhou le repère A, le vecteur AB, le vecteur AD. Tawa A zéro, zéro, B un, zéro, D zéro, un, C un, un, w E un tiers, un tiers. Nektbou équation mta3 la droite DE, w ba3d n3awwdhou fiha les coordonnées mta3 le milieu de AB. W tnajjem tal9aha bel géométrie zeda : E houwa le centre de gravité mta3 le triangle ABD, donc DE médiane.
مثال يبيّن الـ méthode analytique . A B C D parallélogramme ، w E اللي le vecteur A E égale un tiers du vecteur A C . نحبّو نثبتو اللي la droite D E تتعدّى من le milieu de A B . ناخذو le repère A ، le vecteur A B ، le vecteur A D . توّا A zéro ، zéro ، B un ، zéro ، D zéro ، un ، C un ، un ، w E un tiers ، un tiers . نكتبو équation متاع la droite D E ، و بعد نعوّضو فيها les coordonnées متاع le milieu de A B . w تنجّم تلقاها بالـ géométrie زادة : E هو le centre de gravité متاع le triangle A B D ، donc D E médiane .
Un exemple qui montre la méthode analytique. A B C D est un parallélogramme, et E est le point tel que le vecteur A E égale un tiers du vecteur A C. On veut prouver que la droite D E passe par le milieu de A B. On prend le repère A, le vecteur A B, le vecteur A D. Alors A a pour coordonnées zéro, zéro, B un, zéro, D zéro, un, C un, un, et E un tiers, un tiers. On écrit une équation de la droite D E, puis on y remplace les coordonnées du milieu de A B. Et on peut aussi le trouver par la géométrie : E est le centre de gravité du triangle A B D, donc D E est une médiane.
est un parallélogramme et est le point tel que On veut montrer que la droite passe par le milieu du segment
Méthode analytique. On considère le repère Dans ce repère :
On écrit une équation cartésienne de la droite puis on vérifie que les coordonnées du milieu de la satisfont.
Géométriquement. On retrouve le résultat sans calcul : les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu donc est une médiane du triangle et Le point est donc le centre de gravité du triangle : la droite est la médiane issue de elle passe par le milieu de
Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. La diagonale [AC] est tracée en bleu, et E est sur cette diagonale, au tiers à partir de A. Au palier 2, la droite (DE), en rouge, descend de D, passe par E et coupe le côté [AB] en son milieu, noté K.
Exemple traité
Dans le repère on a et Écrire une équation cartésienne de la droite puis conclure.
- Les vecteurs — Le vecteur a pour composantes et Pour un point de coordonnées et le vecteur a pour composantes et
- L'équation de — On écrit que ces deux vecteurs sont colinéaires, puis on multiplie par trois pour chasser les fractions.
- Le milieu de — Le milieu de a pour coordonnées et On les remplace dans l'équation : on trouve zéro.
8. Définition
Vecteur directeur
Ce qu’il dit
Tawa et-ta3rif. Ne5dhou point A w vecteur u non nul. Les points M elli le vecteur AM colinéaire m3a u, ykawnou droite : nsammiwha la droite elli tet3adda men A w le vecteur directeur mte3ha u. Ya3ni le vecteur directeur ya3ti la direction mta3 la droite. W koll vecteur non nul colinéaire m3a u, houwa zeda vecteur directeur. 7ajtin testa3melhom dima : ki A w B zouz points 3la la droite, le vecteur AB vecteur directeur. W ki la droite 3andha l'équation a x plus b y plus c égale zéro, le vecteur elli les composantes mte3ou moins b w a, vecteur directeur.
توّا التعريف . ناخذو point A w vecteur u non nul . les points M اللي le vecteur A M colinéaire مع u ، يكوّنو droite : نسمّيوها la droite اللي تتعدّى من A w le vecteur directeur متاعها u . يعني le vecteur directeur يعطي la direction متاع la droite . w كل vecteur non nul colinéaire مع u ، هو زادة vecteur directeur . حاجتين تستعملهم ديما : كي A w B زوز points على la droite ، le vecteur A B vecteur directeur . w كي la droite عندها l'équation a x plus b y plus c égale zéro ، le vecteur اللي les composantes متاعو moins b w a ، vecteur directeur .
Voici la définition. On prend un point A et un vecteur u non nul. Les points M tels que le vecteur A M est colinéaire à u forment une droite : on l'appelle la droite passant par A et de vecteur directeur u. Le vecteur directeur donne donc la direction de la droite. Et tout vecteur non nul colinéaire à u est aussi un vecteur directeur. Deux résultats servent tout le temps : quand A et B sont deux points de la droite, le vecteur A B est un vecteur directeur. Et quand la droite a pour équation a x plus b y plus c égale zéro, le vecteur de composantes moins b et a est un vecteur directeur.
Définition. Soit un point du plan et un vecteur non nul. L'ensemble des points du plan tels que les vecteurs et soient colinéaires est une droite, appelée la droite passant par et de vecteur directeur .
Remarque. Soit une droite de vecteur directeur Tout vecteur non nul colinéaire à est aussi un vecteur directeur de
Deux conséquences servent tout le temps.
- Soit une droite et deux points distincts de cette droite. Le vecteur est un vecteur directeur de la droite - Dans un repère cartésien, soit la droite d'équation Le vecteur est un vecteur directeur de
Une droite D qui monte doucement de la gauche vers la droite. Deux points A et B sont marqués sur D. Le vecteur AB, en rouge, est porté par la droite. Au palier 2, un vecteur u, en bleu, est dessiné à côté de la droite, au-dessus d'elle : il a la même direction que la droite, c'est un vecteur directeur de D.
un vecteur directeur
Démonstration
Soit et deux points distincts de En retranchant les deux égalités et on obtient C'est exactement dire que le déterminant des vecteurs et est nul : Le vecteur qui n'est pas nul, est colinéaire au vecteur directeur : c'est un vecteur directeur de
Exemple traité
On considère la droite d'équation Déterminer un vecteur directeur de à partir de deux de ses points, puis vérifier que le vecteur de composantes et est un vecteur directeur de
- Deux points de D — Avec on trouve ; avec on trouve On note et ces deux points.
- Un vecteur directeur — Le vecteur a pour composantes et : c'est un vecteur directeur de
- Le vecteur u — Le vecteur est l'opposé du vecteur : il lui est colinéaire et il n'est pas nul, c'est donc aussi un vecteur directeur de On le lit directement sur l'équation : moins puis
À ne pas faire : Pour un vecteur directeur a pour composantes et — Un vecteur directeur a pour composantes et c'est-à-dire et . Le vecteur de composantes et n'est pas directeur : dans un repère orthonormé, il est au contraire perpendiculaire à la droite.
À ne pas faire : Une droite a un seul vecteur directeur — Tout vecteur non nul colinéaire à est aussi directeur : …. Ce qui compte, c'est la direction du vecteur, pas sa longueur ni son sens.
9. Théorème
Droites parallèles
Ce qu’il dit
Zouz droites D w D prime, 3andhom vecteurs directeurs u w u prime. D w D prime parallèles, ki u w u prime colinéaires, w ken hakka berk. Tawa bel équations : D 3andha a x plus b y plus c égale zéro, w D prime 3andha a prime x plus b prime y plus c prime égale zéro. Les vecteurs directeurs houma moins b, a, w moins b prime, a prime. Na7sbou le déterminant, w nal9aw ech-chart : D parallèle à D prime, si et seulement si a b prime moins a prime b égale zéro. W ken mouch zéro, ezzouz droites sécantes : yet9ablou fi point wa7ed.
زوز droites D w D prime ، عندهم vecteurs directeurs u w u prime . D w D prime parallèles ، كي u w u prime colinéaires ، w كان هكّا برك . توّا بالـ équations : D عندها a x plus b y plus c égale zéro ، w D prime عندها a prime x plus b prime y plus c prime égale zéro . les vecteurs directeurs هوما moins b ، a ، w moins b prime ، a prime . نحسبو le déterminant ، w نلقاو الشرط : D parallèle à D prime ، si et seulement si a b prime moins a prime b égale zéro . w كان موش zéro ، الزوز droites sécantes : يتقابلو في point واحد .
Deux droites D et D prime ont pour vecteurs directeurs u et u prime. D et D prime sont parallèles quand u et u prime sont colinéaires, et seulement dans ce cas. Avec les équations maintenant : D a pour équation a x plus b y plus c égale zéro, et D prime a prime x plus b prime y plus c prime égale zéro. Leurs vecteurs directeurs sont moins b, a, et moins b prime, a prime. On calcule le déterminant, et on trouve la condition : D est parallèle à D prime si et seulement si a b prime moins a prime b égale zéro. Et si ce n'est pas zéro, les deux droites sont sécantes : elles se coupent en un seul point.
Le plan est muni d'un repère cartésien
- Soient et deux droites de vecteurs directeurs respectifs et Les droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. - Soient et deux droites d'équations respectives et si et seulement si
Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes : elles ont un seul point commun.
Un repère d'origine O avec trois droites. La droite D₁, en bleu, d'équation 2x − y + 5 = 0, monte fortement vers la droite. Au palier 2, la droite D₂, en rouge, d'équation 6x − 3y + 2 = 0, a exactement la même inclinaison : elle est parallèle à D₁, un peu plus à droite. Au palier 3, la droite D₃, en vert, d'équation −x + y − 1 = 0, monte moins vite : elle coupe D₁ et D₂.
condition analytique de parallélisme
Démonstration
Les vecteurs et dirigent et Ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : c'est-à-dire
Exemple traité
On considère les droites d'équation d'équation et d'équation Les droites et sont-elles parallèles ? Et les droites et ?
- et — Pour et ; pour et On calcule : on trouve zéro, donc les deux droites sont parallèles.
- et — Pour et Cette fois vaut qui n'est pas nul : les droites et ne sont pas parallèles, elles sont sécantes.
À ne pas faire : et : donc c'est la même droite — Elles sont parallèles, mais distinctes : serait la même droite que pas . La condition ne regarde que et : elle dit que les directions sont les mêmes, elle ne dit rien de
À ne pas faire : pour tester le parallélisme — . C'est un déterminant : un produit en croix, avec un signe moins entre les deux produits.
10. Méthode
Droites sécantes
Ce qu’il dit
Ki zouz droites mouch parallèles, yet9ablou fi point wa7ed. Kifech nal9aweh ? Le point d'intersection mawjoud 3la ezzouz droites, ya3ni les coordonnées mte3ou y7a99ou ezzouz équations m3a b3adhhom. Donc n7ellou système. Et-tari9a : ntall3ou y men équation, w n3awwdhouh fel o5ra. Nal9aw x, w ba3d narj3ou na7sbou y. W fel e5er, thabbet : 3awwedh les coordonnées fel zouz équations, lezem yotla3 zéro fel zouz.
كي زوز droites موش parallèles ، يتقابلو في point واحد . كيفاش نلقاوه ؟ le point d'intersection موجود على الزوز droites ، يعني les coordonnées متاعو يحقّقو الزوز équations مع بعضهم . donc نحلّو système . الطريقة : نطلّعو y من équation ، w نعوّضوه في الأخرى . نلقاو x ، و بعد نرجعو نحسبو y . w في الآخر ، ثبّت : عوّض les coordonnées في الزوز équations ، لازم يطلع zéro في الزوز .
Quand deux droites ne sont pas parallèles, elles se coupent en un seul point. Comment le trouver ? Le point d'intersection est sur les deux droites : ses coordonnées vérifient donc les deux équations à la fois. On résout alors un système. La méthode : on tire y d'une équation, et on le remplace dans l'autre. On trouve x, puis on revient calculer y. Et à la fin, on vérifie : on remplace les coordonnées dans les deux équations, on doit trouver zéro dans les deux.
Le plan est muni d'un repère cartésien Soient et
- 1.On calcule S'il n'est pas nul, les droites sont sécantes.
- 2.Leur point d'intersection est le point dont les coordonnées vérifient les deux équations à la fois : on résout le système formé par les deux équations.
Pour résoudre, on peut exprimer en fonction de dans une équation, puis remplacer dans l'autre (substitution).
le point d'intersection vérifie les deux équations
Exemple traité
On considère les droites et d'équations respectives et Montrer que et sont sécantes, puis déterminer leur point d'intersection.
- Sécantes — On calcule avec et : on trouve qui n'est pas nul.
- On exprime y — Dans la première équation, on isole y.
- On remplace — On remplace y par trois x plus cinq dans la seconde équation, et on résout.
- L'ordonnée — On revient à y égale trois x plus cinq.
À ne pas faire : On trouve et on s'arrête là — Un point a deux coordonnées : il faut encore calculer . Le point d'intersection est un point du plan : on donne son abscisse et son ordonnée, puis on vérifie dans l'équation qui n'a pas servi à la fin.
11. Application
Exemple : deux dépenses, deux droites
Ce qu’il dit
Mithel mel 7ayet. Entreprise tasna3 des objets A w des objets B. Objet A yetkallef trois dinars matière première w douze virgule cinq dinars main-d'œuvre, w objet B yetkallef sept dinars w sept virgule cinq dinars. Nsammiw x 3adad les objets A, w y 3adad les objets B fen-nhar. Ki el masarif bedhabt cinquante-six dinars w cent vingt-cinq dinars, nal9aw zouz équations, ya3ni zouz droites : trois x plus sept y égale cinquante-six, w cinq x plus trois y égale cinquante. Le point elli nlawjou 3lih houwa le point d'intersection mte3hom. W ki el masarif ma yelzemch tfout, el égalités ywalliw inégalités, w nal9aw région kemla, mouch point wa7ed.
مثال من الحياة . entreprise تصنع des objets A w des objets B . objet A يتكلّف trois dinars matière première w douze virgule cinq dinars main-d'œuvre ، w objet B يتكلّف sept dinars w sept virgule cinq dinars . نسمّيو x عدد les objets A ، w y عدد les objets B في النهار . كي المصاريف بالضبط cinquante-six dinars w cent vingt-cinq dinars ، نلقاو زوز équations ، يعني زوز droites : trois x plus sept y égale cinquante-six ، w cinq x plus trois y égale cinquante . le point اللي نلوّجو عليه هو le point d'intersection متاعهم . w كي المصاريف ما يلزمش تفوت ، الـ égalités يولّيو inégalités ، w نلقاو région كاملة ، موش point واحد .
Un exemple de la vie courante. Une entreprise fabrique des objets A et des objets B. Un objet A coûte trois dinars de matière première et douze virgule cinq dinars de main-d'œuvre, et un objet B coûte sept dinars et sept virgule cinq dinars. On note x le nombre d'objets A, et y le nombre d'objets B fabriqués dans la journée. Quand les dépenses sont exactement de cinquante-six dinars et de cent vingt-cinq dinars, on obtient deux équations, donc deux droites : trois x plus sept y égale cinquante-six, et cinq x plus trois y égale cinquante. Le point cherché est leur point d'intersection. Et quand les dépenses ne doivent pas être dépassées, les égalités deviennent des inégalités, et on obtient toute une région, pas un seul point.
Une entreprise fabrique des objets et des objets Un objet coûte dinars de matière première et dinars de main-d'œuvre ; un objet coûte dinars de matière première et dinars de main-d'œuvre. On note le nombre d'objets et le nombre d'objets fabriqués en une journée.
Deux égalités, deux droites. Si les dépenses de la journée sont exactement de dinars de matière première et de dinars de main-d'œuvre, alors :
et
Chaque égalité est l'équation d'une droite : et (on a divisé la seconde par ). Le point cherché est sur les deux droites : c'est leur point d'intersection.
Deux contraintes, une région. Pour une bonne gestion, les dépenses ne doivent pas dépasser et dinars : et Chaque droite partage le plan en deux demi-plans ; l'origine vérifie les deux inégalités, donc on garde, pour chaque droite, le côté qui contient Comme et sont des entiers naturels, les points qui conviennent sont les points à coordonnées entières du quadrilatère grisé de la figure.
Un repère d'origine O : le nombre x d'objets A en abscisse, le nombre y d'objets B en ordonnée. La droite D₁, en bleu, d'équation 3x + 7y = 56, descend doucement du point d'ordonnée 8 sur l'axe vertical jusqu'à l'axe horizontal, un peu avant 19. Au palier 2, la droite D₂, en rouge, d'équation 5x + 3y = 50, descend plus vite, depuis le haut de l'axe vertical jusqu'au point d'abscisse 10. Les deux droites se coupent au point M de coordonnées 7 et 5. Au palier 3, le quadrilatère de sommets O, le point d'abscisse 10 sur l'axe horizontal, M et le point d'ordonnée 8 sur l'axe vertical est grisé : c'est la région située sous les deux droites.
Exemple traité
On fabrique en une journée objets et objets avec et Déterminer et
- On exprime x — Dans la première égalité, on isole x.
- On remplace — On remplace x dans la seconde égalité, puis on multiplie tout par trois.
- On résout — On trouve y, puis on revient à x.
- On vérifie — Sept objets A et cinq objets B : trois fois sept plus sept fois cinq donne bien cinquante-six, et cinq fois sept plus trois fois cinq donne bien cinquante.
12. Définition
Vecteur normal
Ce qu’il dit
Tawa le vecteur normal. Et-ta3rif : vecteur normal à une droite, houwa koll vecteur non nul orthogonal m3a vecteur directeur mte3ha. Ya3ni le vecteur directeur yemchi m3a la droite, w le vecteur normal we9ef 3liha. W ki ne5dhou point A w vecteur n non nul, les points M elli le vecteur AM orthogonal m3a n, ykawnou droite tet3adda men A. Tawa fi repère orthonormé : la droite a x plus b y plus c égale zéro, le vecteur normal mte3ha houwa a, b. Ta9rah toul men l'équation. W bech tekteb équation mta3 droite tet3adda men A w 3andha vecteur normal a, b : a fois (x moins x A) plus b fois (y moins y A) égale zéro.
توّا le vecteur normal . التعريف : vecteur normal à une droite ، هو كل vecteur non nul orthogonal مع vecteur directeur متاعها . يعني le vecteur directeur يمشي مع la droite ، w le vecteur normal واقف عليها . w كي ناخذو point A w vecteur n non nul ، les points M اللي le vecteur A M orthogonal مع n ، يكوّنو droite تتعدّى من A . توّا في repère orthonormé : la droite a x plus b y plus c égale zéro ، le vecteur normal متاعها هو a ، b . تقراه طول من l'équation . w باش تكتب équation متاع droite تتعدّى من A w عندها vecteur normal a ، b : a fois (x moins x A) plus b fois (y moins y A) égale zéro .
Passons au vecteur normal. La définition : un vecteur normal à une droite est tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite. Le vecteur directeur suit donc la droite, et le vecteur normal lui est perpendiculaire. Et quand on prend un point A et un vecteur n non nul, les points M tels que le vecteur A M est orthogonal à n forment une droite passant par A. Maintenant, dans un repère orthonormé : pour la droite a x plus b y plus c égale zéro, le vecteur de composantes a et b est normal. On le lit directement sur l'équation. Et pour écrire une équation de la droite passant par A et de vecteur normal a, b : a fois (x moins x A) plus b fois (y moins y A) égale zéro.
Définition. On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
Soit un point du plan et un vecteur non nul. L'ensemble des points du plan tels que les vecteurs et soient orthogonaux est une droite passant par : est un vecteur normal à cette droite. Tout vecteur non nul colinéaire à est encore normal à la même droite.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
Soit une droite d'équation Le vecteur est un vecteur normal à
La méthode. La droite passant par et de vecteur normal est l'ensemble des points tels que
Une droite D qui monte doucement de la gauche vers la droite, et un point A sur cette droite. Un vecteur u, en bleu, part de A le long de la droite : c'est un vecteur directeur. Au palier 2, un vecteur n, en rouge, part de A et monte vers la gauche, perpendiculairement à la droite : un petit carré marque l'angle droit entre u et n. C'est un vecteur normal à D.
un vecteur normal (repère orthonormé)
droite passant par A, de vecteur normal n
Démonstration
Le vecteur est un vecteur directeur de Dans un repère orthonormé, et sont orthogonaux car Comme n'est pas nul, c'est un vecteur normal à
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, montrer que le vecteur de composantes et est normal à la droite d'équation Puis déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et de vecteur normal le vecteur de composantes et
- Un vecteur directeur — Pour la droite d'équation le vecteur directeur de composantes et a pour composantes et
- Orthogonaux — On calcule pour les vecteurs et : on trouve zéro. Le vecteur est bien normal à la droite.
- La droite — Un point de coordonnées et est sur quand le vecteur de composantes et est orthogonal au vecteur normal.
- On développe — On reconnaît les coefficients et du vecteur normal devant et
À ne pas faire : Pour le vecteur de composantes et est un vecteur directeur — Le vecteur de composantes et est normal à ; un vecteur directeur a pour composantes et . Les coefficients et se lisent tels quels pour le vecteur normal ; pour le vecteur directeur, on échange et on change un signe : et
À ne pas faire : Dans un repère cartésien quelconque, le vecteur de composantes et est normal à — Ce résultat demande un repère orthonormé. L'orthogonalité se teste avec une formule qui n'est vraie que dans un repère orthonormé.
13. Théorème
Droites perpendiculaires
Ce qu’il dit
Fi repère orthonormé, zouz droites D w D prime perpendiculaires, ki les vecteurs directeurs mte3hom orthogonaux, w ken hakka berk. Tawa bel équations : D 3andha a x plus b y plus c égale zéro, w D prime 3andha a prime x plus b prime y plus c prime égale zéro. Na7sbou x x prime plus y y prime lel vecteurs directeurs, w nal9aw ech-chart : D perpendiculaire à D prime, si et seulement si a a prime plus b b prime égale zéro. W ma t5alletch bin ezzouz : a b prime moins a prime b égale zéro lel parallèles, w a a prime plus b b prime égale zéro lel perpendiculaires.
في repère orthonormé ، زوز droites D w D prime perpendiculaires ، كي les vecteurs directeurs متاعهم orthogonaux ، w كان هكّا برك . توّا بالـ équations : D عندها a x plus b y plus c égale zéro ، w D prime عندها a prime x plus b prime y plus c prime égale zéro . نحسبو x x prime plus y y prime للـ vecteurs directeurs ، w نلقاو الشرط : D perpendiculaire à D prime ، si et seulement si a a prime plus b b prime égale zéro . w ما تخلّطش بين الزوز : a b prime moins a prime b égale zéro للـ parallèles ، w a a prime plus b b prime égale zéro للـ perpendiculaires .
Dans un repère orthonormé, deux droites D et D prime sont perpendiculaires quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, et seulement dans ce cas. Avec les équations maintenant : D a pour équation a x plus b y plus c égale zéro, et D prime a prime x plus b prime y plus c prime égale zéro. On calcule x x prime plus y y prime pour les vecteurs directeurs, et on trouve la condition : D est perpendiculaire à D prime si et seulement si a a prime plus b b prime égale zéro. Et ne confonds pas les deux : a b prime moins a prime b égale zéro pour les parallèles, et a a prime plus b b prime égale zéro pour les perpendiculaires.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
- Soient et deux droites de vecteurs directeurs respectifs et si et seulement si - Soient et deux droites d'équations respectives et si et seulement si
On retient les deux tests côte à côte : pour des droites parallèles, pour des droites perpendiculaires.
Un repère orthonormé d'origine O avec quatre points : A de coordonnées 2 et −1, B de coordonnées −1 et 1, C de coordonnées 0 et −1, E de coordonnées 2 et 2. La droite (AB), en bleu, descend vers la droite. Au palier 2, la droite (CE), en rouge, monte vers la droite et coupe (AB) à angle droit : un petit carré marque l'angle droit à leur point d'intersection.
condition analytique d'orthogonalité
Démonstration
Les vecteurs et dirigent et Dans un repère orthonormé, ils sont orthogonaux si et seulement si c'est-à-dire
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on considère les points et Montrer que les droites et sont perpendiculaires. Les droites d'équations et sont-elles perpendiculaires ?
- Les vecteurs directeurs — Le vecteur a pour composantes et ; le vecteur a pour composantes et
- et — On calcule : on trouve zéro. Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites et sont perpendiculaires.
- Avec les équations — Pour les deux droites données par leurs équations, on calcule avec et : on trouve zéro, elles sont perpendiculaires. Le terme constant ne joue aucun rôle.
À ne pas faire : si et seulement si — si et seulement si . est le test du parallélisme. Pour l'orthogonalité, on multiplie les coefficients de même rang et on additionne.
À ne pas faire : et sont perpendiculaires car les coefficients sont « inversés » — : elles ne sont pas perpendiculaires. On ne juge pas à l'œil : on calcule et seul le résultat zéro prouve l'orthogonalité.
14. Application
Exemple : choisir un bon repère
Ce qu’il dit
Mithel e5er 3la e5tiyar el repère. OBC triangle rectangle isocèle en O, w OB égale OC égale un. A 3la la demi-droite OB, w D 3la la demi-droite OC, w OA égale OD. I le milieu de AC. N7ebbou nthabtou elli la droite OI perpendiculaire à la droite BD. 5ater na7kiw 3la perpendicularité, yelzemna repère orthonormé. El figure ta3tihoulna : O, le vecteur OC, le vecteur OB. Nsammiw a la longueur OA. Tawa A zéro, a, D a, zéro, w I un demi, a sur deux. Na7sbou x x prime plus y y prime lel vecteurs OI w BD : a sur deux moins a sur deux, ya3ni zéro.
مثال آخر على اختيار الـ repère . O B C triangle rectangle isocèle en O ، w O B égale O C égale un . A على la demi-droite O B ، w D على la demi-droite O C ، w O A égale O D . I le milieu de A C . نحبّو نثبتو اللي la droite O I perpendiculaire à la droite B D . خاطر نحكيو على perpendicularité ، يلزمنا repère orthonormé . الـ figure تعطيهولنا : O ، le vecteur O C ، le vecteur O B . نسمّيو a la longueur O A . توّا A zéro ، a ، D a ، zéro ، w I un demi ، a sur deux . نحسبو x x prime plus y y prime للـ vecteurs O I w B D : a sur deux moins a sur deux ، يعني zéro .
Un autre exemple sur le choix du repère. O B C est un triangle rectangle isocèle en O, avec O B égale O C égale un. A est sur la demi-droite O B, D sur la demi-droite O C, et O A égale O D. I est le milieu de A C. On veut prouver que la droite O I est perpendiculaire à la droite B D. Comme il s'agit de perpendicularité, il nous faut un repère orthonormé. La figure nous le donne : O, le vecteur O C, le vecteur O B. On note a la longueur O A. Alors A a pour coordonnées zéro, a, D a, zéro, et I un demi, a sur deux. On calcule x x prime plus y y prime pour les vecteurs O I et B D : a sur deux moins a sur deux, c'est-à-dire zéro.
est un triangle rectangle isocèle en tel que est un point de la demi-droite et un point de la demi-droite tels que et est le milieu du segment On veut montrer que les droites et sont perpendiculaires.
Le choix du repère. Il s'agit de perpendicularité : il faut un repère orthonormé. La figure en offre un : les droites et sont perpendiculaires et donc est un repère orthonormé.
Dans ce repère, et On pose avec : alors et et le milieu de est
Un angle droit de sommet O, en bas à gauche : une demi-droite horizontale vers la droite, une demi-droite verticale vers le haut. Sur l'horizontale, C puis, plus loin, D. Sur la verticale, B à la même distance de O que C, puis, plus haut, A à la même distance de O que D. Le triangle OBC est tracé. Au palier 2, le segment [AC] et son milieu I. Au palier 3, la droite (OI), en rouge, et la droite (BD), en bleu : elles se coupent à angle droit.
Exemple traité
Dans le repère orthonormé on a et Montrer que les droites et sont perpendiculaires.
- Les vecteurs directeurs — Le vecteur a pour composantes et ; le vecteur a pour composantes et
- Le calcul — Le repère est orthonormé : on calcule Les deux termes s'annulent, quelle que soit la valeur de
À ne pas faire : On prend le repère et on teste — On prend qui est orthonormé car et . Dans le repère les deux vecteurs de base n'ont pas, en général, la même longueur ( et ) : il n'est pas orthonormé, et le test d'orthogonalité n'y est plus valable.
15. Application
Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler
Ce qu’il dit
Mas2la bech nemchiw ab3ed : la droite d'Euler. Ne5dhou A zéro, cinq, B trois, quatre, w C quatre, moins trois. Fi koll triangle, famma tletha points mach-hourin : G le centre de gravité, I le centre du cercle circonscrit, w H l'orthocentre, win yet9ablou les hauteurs. Na7sbouhom bel coordonnées. G sehel : sept tiers, deux. I : nle7dhou elli OA, OB w OC el koll ysewiw cinq, donc I houwa l'origine. W H : nektbou équations mta3 zouz hauteurs, w n7ellou système : nal9aw sept, six. W el mofej2a : le vecteur IH égale trois fois le vecteur IG. Etletha points alignés, w la droite elli tjma3hom esmha la droite d'Euler.
مسألة باش نمشيو أبعد : la droite d'Euler . ناخذو A zéro ، cinq ، B trois ، quatre ، w C quatre ، moins trois . في كل triangle ، فمّا ثلاثة points مشهورين : G le centre de gravité ، I le centre du cercle circonscrit ، w H l'orthocentre ، وين يتقابلو les hauteurs . نحسبوهم بالـ coordonnées . G ساهل : sept tiers ، deux . I : نلاحظو اللي O A ، O B w O C الكل يساويو cinq ، donc I هو l'origine . w H : نكتبو équations متاع زوز hauteurs ، w نحلّو système : نلقاو sept ، six . w المفاجأة : le vecteur I H égale trois fois le vecteur I G . الثلاثة points alignés ، w la droite اللي تجمعهم اسمها la droite d'Euler .
Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler. Prenons A zéro, cinq, B trois, quatre, et C quatre, moins trois. Dans tout triangle, il y a trois points célèbres : G le centre de gravité, I le centre du cercle circonscrit, et H l'orthocentre, où se coupent les hauteurs. Calculons-les avec les coordonnées. G est facile : sept tiers, deux. Pour I : on remarque que O A, O B et O C valent tous cinq, donc I est l'origine. Et pour H : on écrit les équations de deux hauteurs, et on résout le système : on trouve sept, six. Et la surprise : le vecteur I H égale trois fois le vecteur I G. Les trois points sont alignés, et la droite qui les contient s'appelle la droite d'Euler.
Le plan est muni d'un repère orthonormé On considère les points et On désigne par l'orthocentre du triangle par le centre de son cercle circonscrit et par son centre de gravité.
Le centre de gravité. soit
Le centre du cercle circonscrit. On remarque que et : l'origine est à la même distance des trois sommets. Donc et
L'orthocentre. C'est le point d'intersection des hauteurs. La hauteur issue de passe par et a pour vecteur normal ; la hauteur issue de passe par et a pour vecteur normal On écrit leurs équations et on résout le système :
On constate alors que : les points et sont alignés. La droite qui les contient est appelée la droite d'Euler du triangle
Un repère orthonormé. Le triangle ABC a pour sommets A de coordonnées 0 et 5, B de coordonnées 3 et 4, C de coordonnées 4 et −3. Au palier 2, le cercle circonscrit, en bleu, passe par A, B et C : son centre I est à l'origine du repère. Au palier 3, deux hauteurs du triangle sont prolongées en pointillés verts à partir de A et de B : elles se coupent en H, de coordonnées 7 et 6, à l'extérieur du triangle. Au palier 4, la droite d'Euler, en rouge, passe par I, par le centre de gravité G, de coordonnées sept tiers et 2, et par H.
la droite d'Euler
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on donne et On sait que et que est l'origine du repère. Déterminer les coordonnées de l'orthocentre montrer que le vecteur est égal à fois le vecteur puis donner une équation de la droite
- La hauteur issue de A — Elle passe par et elle est perpendiculaire à : le vecteur de composantes et lui est normal.
- La hauteur issue de B — Elle passe par et le vecteur de composantes et lui est normal. On divise par quatre.
- L'orthocentre — On retranche les deux équations : il reste moins cinq y plus trente égale zéro. On trouve y, puis x.
- Les trois points alignés — Le vecteur a pour composantes et ; le vecteur a pour composantes et Le premier est bien le triple du second.
- La droite — Elle passe par l'origine et le vecteur de composantes et la dirige : un point de coordonnées et est sur cette droite quand
16. Définition
Équation réduite
Ce qu’il dit
Ne5dhou droite a x plus b y plus c égale zéro, w b différent de zéro. Ntall3ou y wa7dou : y égale moins a sur b fois x, moins c sur b. Ya3ni l'équation tetekteb y égale m x plus p. Hedhi nsammiwha l'équation réduite. m houwa le coefficient directeur, walla la pente, w p hiya l'ordonnée à l'origine. W koll droite mouch parallèle à l'axe des ordonnées, 3andha équation réduite wa7da. Kifech na7sbou m ? Men l'équation cartésienne : moins a sur b. Walla men zouz points A w B : y B moins y A, sur x B moins x A. W zid tfakker : le vecteur un, m houwa vecteur directeur. Ki x yzid b un, y yzid b m.
ناخذو droite a x plus b y plus c égale zéro ، w b différent de zéro . نطلّعو y وحدو : y égale moins a sur b fois x ، moins c sur b . يعني l'équation تتكتب y égale m x plus p . هاذي نسمّيوها l'équation réduite . m هو le coefficient directeur ، ولّا la pente ، w p هي l'ordonnée à l'origine . w كل droite موش parallèle à l'axe des ordonnées ، عندها équation réduite وحدة . كيفاش نحسبو m ؟ من l'équation cartésienne : moins a sur b . ولّا من زوز points A w B : y B moins y A ، sur x B moins x A . w زيد تفكّر : le vecteur un ، m هو vecteur directeur . كي x يزيد بـ un ، y يزيد بـ m .
Prenons une droite a x plus b y plus c égale zéro, avec b différent de zéro. On isole y : y égale moins a sur b fois x, moins c sur b. L'équation s'écrit donc y égale m x plus p. C'est ce qu'on appelle l'équation réduite. m est le coefficient directeur, ou la pente, et p est l'ordonnée à l'origine. Et toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une seule équation réduite. Comment calculer m ? À partir de l'équation cartésienne : moins a sur b. Ou à partir de deux points A et B : y B moins y A, sur x B moins x A. Et retiens aussi : le vecteur de composantes un et m est un vecteur directeur. Quand x augmente de un, y augmente de m.
Le plan est muni d'un repère cartésien Soit une droite d'équation telle que En isolant on voit que cette équation est équivalente à c'est-à-dire à une équation de la forme
Vocabulaire. - L'équation est appelée l'équation réduite de la droite - est appelé le coefficient directeur de la droite ou la pente de la droite - est l'ordonnée à l'origine.
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet ainsi une équation réduite, et une seule.
- Si et sont deux points distincts de alors - Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation réduite
Quand augmente de augmente de : c'est ce que dit le vecteur directeur de composantes et
Un repère d'origine O. Une droite D, en rouge, d'équation y = mx + p, monte vers la droite. Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée p. Au palier 2, un petit triangle en bleu est posé sur la droite : on avance de 1 horizontalement, en pointillés, puis on monte de m verticalement pour retrouver la droite.
équation réduite
à partir de ax + by + c = 0, avec b ≠ 0
coefficient directeur par deux points
Exemple traité
Déterminer l'équation réduite et le coefficient directeur : de la droite d'équation ; de la droite où et ; de la droite passant par et dont un vecteur directeur a pour composantes et
- La droite D — On isole y : quatre y égale moins cinq x plus douze, puis on divise par quatre. Le coefficient directeur est moins cinq quarts.
- La pente de — On divise la différence des ordonnées par la différence des abscisses, dans le même ordre.
- L'équation de — Le point a pour abscisse zéro : son ordonnée, est l'ordonnée à l'origine.
- La troisième droite — On ramène le vecteur directeur à la forme de composantes et en divisant par : la pente est Puis on écrit que est sur la droite pour trouver
- Son équation réduite — On rassemble la pente et l'ordonnée à l'origine.
À ne pas faire : Pour le coefficient directeur est — Le coefficient directeur est : il faut d'abord isoler . Le coefficient directeur se lit devant seulement quand l'équation est sous la forme ; sinon
À ne pas faire : — . La pente compare la montée à l'avancée : la différence des ordonnées est en haut, celle des abscisses en bas.
À ne pas faire : La droite d'équation a pour coefficient directeur — Une droite parallèle à l'axe des ordonnées n'a ni équation réduite ni coefficient directeur. Dans le coefficient de est nul : on ne peut pas isoler
17. Propriété
Parallèles et pentes
Ce qu’il dit
Tawa nchoufou les droites parallèles bel équations réduites. Nabdew bel droite elli parallèle à l'axe des ordonnées : l'équation mte3ha mel chakl x égale k, w ma 3andhech pente. W zouz droites y égale m x plus p, w y égale m prime x plus p prime : parallèles, si et seulement si m égale m prime. Ya3ni nafs la pente. 3lech ? 5ater les vecteurs directeurs houma un, m, w un, m prime, w le déterminant mte3hom m prime moins m. W ken zeda p égale p prime, ezzouz droites houma nafs la droite.
توّا نشوفو les droites parallèles بالـ équations réduites . نبداو بالـ droite اللي parallèle à l'axe des ordonnées : l'équation متاعها من الشكل x égale k ، w ما عندهاش pente . w زوز droites y égale m x plus p ، w y égale m prime x plus p prime : parallèles ، si et seulement si m égale m prime . يعني نفس la pente . علاش ؟ خاطر les vecteurs directeurs هوما un ، m ، w un ، m prime ، w le déterminant متاعهم m prime moins m . w كان زادة p égale p prime ، الزوز droites هوما نفس la droite .
Voyons maintenant les droites parallèles avec les équations réduites. D'abord : une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme x égale k, et elle n'a pas de pente. Et deux droites y égale m x plus p, et y égale m prime x plus p prime, sont parallèles si et seulement si m égale m prime. Autrement dit, elles ont la même pente. Pourquoi ? Parce que leurs vecteurs directeurs sont un, m, et un, m prime, et leur déterminant vaut m prime moins m. Et si de plus p égale p prime, les deux droites sont une seule et même droite.
Le plan est muni d'un repère cartésien
- Une droite est parallèle à l'axe des ordonnées si et seulement si a une équation cartésienne de la forme où est un réel. - Soient et deux droites d'équations réduites respectives et si et seulement si
Deux droites parallèles ont donc la même pente. Si de plus les deux équations sont les mêmes : les droites sont confondues.
avec les équations réduites
Démonstration
Les vecteurs et dirigent et Ils sont colinéaires si et seulement si c'est-à-dire
Exemple traité
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par le point et parallèle à la droite d'équation
- La pente — est parallèle à : elle a la même pente, Son équation réduite est de la forme
- L'ordonnée à l'origine — Le point est sur : on remplace par et par
À ne pas faire : et ont la même pente, donc c'est la même droite — Elles sont parallèles et distinctes : les ordonnées à l'origine, et sont différentes. La pente donne la direction, l'ordonnée à l'origine donne la position. Il faut les deux pour que les droites soient confondues.
18. Propriété
La pente et l'angle
Ce qu’il dit
3lech nsammiw m la pente ? 5ater t9is 9addech la droite mayla. Fi repère orthonormé, ne5dhou la droite y égale m x plus p, w m différent de zéro. I houwa le point win la droite t9oss l'axe des abscisses, M point e5er 3la la droite, w H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. Le triangle MIH rectangle en H. W en-natija : tangente de l'angle MIH égale valeur absolue de m. Koll ma valeur absolue de m tekber, la droite twalli we9fa akther. W ki la pente un walla moins un, l'angle ysewi quarante-cinq degrés.
علاش نسمّيو m la pente ؟ خاطر تقيس قدّاش la droite مايلة . في repère orthonormé ، ناخذو la droite y égale m x plus p ، w m différent de zéro . I هو le point وين la droite تقصّ l'axe des abscisses ، M point آخر على la droite ، w H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses . le triangle M I H rectangle en H . w النتيجة : tangente de l'angle M I H égale valeur absolue de m . كل ما valeur absolue de m تكبر ، la droite تولّي واقفة أكثر . w كي la pente un ولّا moins un ، l'angle يساوي quarante-cinq degrés .
Pourquoi appelle-t-on m la pente ? Parce qu'elle mesure l'inclinaison de la droite. Dans un repère orthonormé, prenons la droite y égale m x plus p, avec m différent de zéro. I est le point où la droite coupe l'axe des abscisses, M un autre point de la droite, et H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. Le triangle M I H est rectangle en H. Et le résultat : tangente de l'angle M I H égale valeur absolue de m. Plus la valeur absolue de m est grande, plus la droite est raide. Et quand la pente vaut un ou moins un, l'angle mesure quarante-cinq degrés.
Le plan est muni d'un repère orthonormé Soit la droite d'équation avec et le point d'intersection de avec l'axe des abscisses. Soit un point de distinct de et son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
Dans le triangle rectangle en :
La pente mesure donc l'inclinaison de la droite : plus est grand, plus la droite est raide. Une pente ou correspond à un angle de avec l'axe des abscisses.
Un repère orthonormé d'origine O. La droite D, en rouge, d'équation y = 3x + 2, monte très vite vers la droite ; elle coupe l'axe des abscisses au point I, d'abscisse moins deux tiers. Au palier 2, un point M de la droite, de coordonnées 1 et 5, et son projeté H sur l'axe des abscisses, de coordonnées 1 et 0 : le segment [MH] est vertical, en pointillés bleus, et un petit carré marque l'angle droit en H. Au palier 3, l'angle MIH, en vert, entre l'axe des abscisses et la droite.
pente et angle (repère orthonormé)
Démonstration
Le point a pour coordonnées Si a pour abscisse alors et Donc et Dans le triangle rectangle en
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, soit la droite d'équation On note son point d'intersection avec l'axe des abscisses, un point de d'abscisse distinct de et le projeté orthogonal de sur l'axe des abscisses. Calculer la tangente de l'angle
- Le point I — Sur l'axe des abscisses, : on résout
- Les points M et H — est sur donc son ordonnée est ; a la même abscisse que et une ordonnée nulle.
- Les deux côtés — est la valeur absolue de l'ordonnée de et la distance entre les abscisses de et de On met en facteur dans
- La tangente — Dans le triangle rectangle en la tangente de l'angle en est le côté opposé sur le côté adjacent : on trouve la pente de la droite.
À ne pas faire : Pour la droite la tangente de l'angle vaut — Elle vaut . L'angle est un angle aigu d'un triangle rectangle : sa tangente est un quotient de longueurs, donc positive. D'où la valeur absolue.
19. Propriété
Perpendiculaires et pentes
Ce qu’il dit
W les droites perpendiculaires bel équations réduites ? Dima fi repère orthonormé. Zouz droites y égale m x plus p, w y égale m prime x plus p prime : perpendiculaires, si et seulement si m fois m prime égale moins un. 3lech ? Les vecteurs directeurs houma un, m, w un, m prime, w x x prime plus y y prime ya3ti un plus m m prime. Ya3ni ki droite 3andha pente m, la perpendiculaire mte3ha 3andha pente moins un sur m : l'opposé de l'inverse. Rodd belek, mouch moins m. W 7aja o5ra : le vecteur m, moins un, houwa vecteur normal lel droite y égale m x plus p.
w les droites perpendiculaires بالـ équations réduites ؟ ديما في repère orthonormé . زوز droites y égale m x plus p ، w y égale m prime x plus p prime : perpendiculaires ، si et seulement si m fois m prime égale moins un . علاش ؟ les vecteurs directeurs هوما un ، m ، w un ، m prime ، w x x prime plus y y prime يعطي un plus m m prime . يعني كي droite عندها pente m ، la perpendiculaire متاعها عندها pente moins un sur m : l'opposé de l'inverse . رد بالك ، موش moins m . w حاجة أخرى : le vecteur m ، moins un ، هو vecteur normal للـ droite y égale m x plus p .
Et les droites perpendiculaires avec les équations réduites ? Toujours dans un repère orthonormé. Deux droites y égale m x plus p, et y égale m prime x plus p prime, sont perpendiculaires si et seulement si m fois m prime égale moins un. Pourquoi ? Leurs vecteurs directeurs sont un, m, et un, m prime, et x x prime plus y y prime donne un plus m m prime. Donc quand une droite a pour pente m, sa perpendiculaire a pour pente moins un sur m : l'opposé de l'inverse. Attention, pas moins m. Et autre chose : le vecteur de composantes m et moins un est un vecteur normal à la droite y égale m x plus p.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
- Soient et deux droites d'équations réduites respectives et si et seulement si - Soit la droite d'équation réduite Le vecteur est un vecteur normal à
Si a pour pente toute droite perpendiculaire à a pour pente : l'opposé de l'inverse.
avec les équations réduites (repère orthonormé)
Démonstration
Les vecteurs et dirigent et Dans un repère orthonormé, ils sont orthogonaux si et seulement si c'est-à-dire De même, et sont orthogonaux car
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, déterminer l'équation réduite de la droite passant par le point et perpendiculaire à la droite d'équation Les droites d'équations et sont-elles perpendiculaires ?
- La pente de — La pente de est Celle de est le nombre tel que
- L'équation de — Le point a pour abscisse zéro : son ordonnée, est l'ordonnée à l'origine de
- Les deux autres droites — Leurs pentes sont un et moins un : le produit vaut moins un, elles sont perpendiculaires.
À ne pas faire : Une droite perpendiculaire à a pour pente — Elle a pour pente car . Changer le signe ne suffit pas : il faut l'opposé de l'inverse. Des droites de pentes et ont des directions symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ; elles ne sont pas perpendiculaires, car
À ne pas faire : et sont perpendiculaires car les pentes sont de signes contraires — : elles ne sont pas perpendiculaires. Des pentes de signes contraires sont nécessaires, mais c'est le produit égal à qui prouve l'orthogonalité.
20. Activité
Pour comprendre : la fonction x ↦ |ax + b|
Ce qu’il dit
Bech tefhem la courbe mta3 valeur absolue, ne5dhou f de x égale deux x plus trois, w la droite D mte3ha. W ne5dhou g de x égale moins deux x moins trois, w la droite D prime. g de x hiya moins f de x, donc D w D prime symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Tawa la fonction h : ki f de x positif, ya3ni x supérieur ou égal à moins trois demis, h de x hiya f de x. W ki f de x négatif, h de x hiya g de x. Ya3ni h de x égale valeur absolue de deux x plus trois. W la courbe mte3ha : ne5dhou men koll droite el joz2 elli fou9 l'axe des abscisses. Totla3 zouz demi-droites 3la chakl V, w le sommet fi le point elli l'abscisse mte3ou moins trois demis.
باش تفهم la courbe متاع valeur absolue ، ناخذو f de x égale deux x plus trois ، w la droite D متاعها . w ناخذو g de x égale moins deux x moins trois ، w la droite D prime . g de x هي moins f de x ، donc D w D prime symétriques par rapport à l'axe des abscisses . توّا la fonction h : كي f de x positif ، يعني x supérieur ou égal à moins trois demis ، h de x هي f de x . w كي f de x négatif ، h de x هي g de x . يعني h de x égale valeur absolue de deux x plus trois . w la courbe متاعها : ناخذو من كل droite الجزء اللي فوق l'axe des abscisses . تطلع زوز demi-droites على شكل V ، w le sommet في le point اللي l'abscisse متاعو moins trois demis .
Pour comprendre la courbe d'une valeur absolue, prenons f de x égale deux x plus trois, et sa droite D. Et prenons g de x égale moins deux x moins trois, et sa droite D prime. g de x est moins f de x, donc D et D prime sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Maintenant la fonction h : quand f de x est positif, c'est-à-dire x supérieur ou égal à moins trois demis, h de x vaut f de x. Et quand f de x est négatif, h de x vaut g de x. Donc h de x égale valeur absolue de deux x plus trois. Et sa courbe : on prend de chaque droite la partie située au-dessus de l'axe des abscisses. On obtient deux demi-droites en forme de V, dont le sommet est le point d'abscisse moins trois demis.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
Une courbe en forme de V. La courbe formée des demi-droites et avec et représente : ce n'est pas une droite, n'est pas affine.
Le cas général sur un exemple. Soit de courbe la droite et de courbe la droite
- si et seulement si : au-dessus de l'axe des abscisses, est une demi-droite d'origine
- Pour tout : les droites et sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
- La fonction qui vaut si et si est
La courbe de est formée des deux demi-droites situées au-dessus de l'axe des abscisses. De même, pour la courbe de la fonction est formée de deux demi-droites d'origine le point d'abscisse de l'axe des abscisses, portées par les droites d'équations et
Un repère orthonormé d'origine O. La droite D, en pointillés bleus, d'équation y = 2x + 3, monte vers la droite et coupe l'axe des abscisses au point S d'abscisse moins trois demis. Au palier 2, la droite D', en pointillés verts, d'équation y = −2x − 3, descend vers la droite en passant aussi par S : elle est la symétrique de D par rapport à l'axe des abscisses. Au palier 3, en rouge, la courbe de la fonction h : les deux demi-droites d'origine S situées au-dessus de l'axe des abscisses, qui forment un V.
deux expressions affines
Exemple traité
On considère les fonctions et définies par et et la fonction qui à tout réel associe si et si Écrire à l'aide d'une valeur absolue, puis décrire sa courbe.
- Le signe de f(x) — On résout : on trouve Donc est positif à droite de et strictement négatif à gauche.
- La fonction h — Quand est positif, vaut ; quand il est négatif, vaut son opposé. C'est exactement la définition de la valeur absolue.
- Le sommet — La courbe touche l'axe des abscisses quand c'est-à-dire au point d'abscisse
- Les deux demi-droites — À droite de on trace la demi-droite portée par : elle passe par le point de coordonnées et À gauche, la demi-droite portée par : elle passe par le point de coordonnées et
À ne pas faire : pour tout réel — seulement si ; sinon . Une valeur absolue n'est jamais négative : là où est négatif, il faut prendre son opposé.
À ne pas faire : La courbe de est une droite — C'est la réunion de deux demi-droites de même origine, en forme de V. La fonction n'est pas affine : elle est affine sur chacun des deux intervalles séparés par avec deux pentes opposées, et
21. Définition
Distance d'un point à une droite
Ce qu’il dit
9addech yeb3ed point 3la droite ? Ne5dhou la droite D : y égale moins deux x plus un, w le point A deux, un. Ne5dhou M 3la D, l'abscisse mte3ou x. Na7sbou AM au carré : nal9aw cinq x au carré moins quatre x plus quatre. Bel forme canonique, nchoufou elli asghar valeur tji ki x égale deux cinquièmes. Nsammiw H le point hedha. W nthabtou elli la droite AH perpendiculaire à D : ya3ni H houwa le projeté orthogonal de A sur D. Menha yji et-ta3rif : la distance du point A à la droite D, hiya la distance AH, w H le projeté orthogonal de A sur D. Hiya a9sar masefa bin A w ayy point men D.
قدّاش يبعد point على droite ؟ ناخذو la droite D : y égale moins deux x plus un ، w le point A deux ، un . ناخذو M على D ، l'abscisse متاعو x . نحسبو A M au carré : نلقاو cinq x au carré moins quatre x plus quatre . بالـ forme canonique ، نشوفو اللي أصغر valeur تجي كي x égale deux cinquièmes . نسمّيو H le point هذا . w نثبتو اللي la droite A H perpendiculaire à D : يعني H هو le projeté orthogonal de A sur D . منها يجي التعريف : la distance du point A à la droite D ، هي la distance A H ، w H le projeté orthogonal de A sur D . هي أقصر مسافة بين A w أيّ point من D .
À quelle distance un point est-il d'une droite ? Prenons la droite D : y égale moins deux x plus un, et le point A deux, un. Prenons M sur D, d'abscisse x. On calcule A M au carré : on trouve cinq x au carré moins quatre x plus quatre. Avec la forme canonique, on voit que la plus petite valeur est atteinte quand x égale deux cinquièmes. On appelle H ce point. Et on prouve que la droite A H est perpendiculaire à D : H est donc le projeté orthogonal de A sur D. D'où la définition : la distance du point A à la droite D est la distance A H, où H est le projeté orthogonal de A sur D. C'est la plus courte distance entre A et un point de D.
Le plan est muni d'un repère orthonormé On considère la droite d'équation et le point
Chercher le plus court chemin. Soit un point de d'abscisse : Alors
La distance est minimale pour c'est-à-dire au point et elle vaut alors On vérifie que la droite est perpendiculaire à : le point est le projeté orthogonal de sur
Définition. Soit une droite et un point du plan. On appelle distance du point à la droite , et on note la distance du point au point projeté orthogonal de sur la droite
C'est la plus courte distance entre et un point de
Un repère orthonormé d'origine O. La droite D, en bleu, d'équation y = −2x + 1, descend vers la droite. Le point A, de coordonnées 2 et 1, est à droite de la droite. Au palier 2, un point M quelconque de D, relié à A par un segment en pointillés. Au palier 3, le point H de D, de coordonnées deux cinquièmes et un cinquième, relié à A par un segment rouge plus court : un petit carré marque l'angle droit en H entre (AH) et D.
H projeté orthogonal de A sur D
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le point Soit un point de d'abscisse Exprimer en fonction de trouver le point de pour lequel la distance est minimale, puis montrer que la droite est perpendiculaire à
- Le carré de la distance — Le point a pour ordonnée Le vecteur a donc pour composantes et
- La forme canonique — On met le trinôme sous forme canonique : un carré, toujours positif ou nul, plus une constante.
- Le minimum — Le carré est nul pour : c'est là que la distance est la plus petite. L'ordonnée de est c'est-à-dire
- Perpendiculaires — Le vecteur a pour composantes et ; un vecteur directeur de a pour composantes et On calcule : on trouve zéro.
À ne pas faire : La distance de à est la distance de à n'importe quel point de — C'est la distance où est le projeté orthogonal de sur . Tous les autres points de la droite sont plus loin de : dans le triangle rectangle en l'hypoténuse est plus longue que le côté
22. Théorème
La formule de la distance
Ce qu’il dit
Ma no93douch koll marra nlawjou 3la H. Famma formule ta3tina la distance toul. Fi repère orthonormé, la droite D : a x plus b y plus c égale zéro, w le point A. La distance du point A à la droite D, hiya valeur absolue de (a fois l'abscisse de A, plus b fois l'ordonnée de A, plus c), sur racine carrée de la somme a au carré plus b au carré. Ya3ni fel fou9 : n3awwdhou les coordonnées mta3 A fi l'équation w ne5dhou la valeur absolue. W fel louta : la longueur mta3 le vecteur normal a, b. Rodd belek : l'équation lezem tkoun mel chakl a x plus b y plus c égale zéro 9bal ma tabda. W el formule hedhi ta3tik la hauteur mta3 triangle, w menha l'aire.
ما نقعدوش كل مرّة نلوّجو على H . فمّا formule تعطينا la distance طول . في repère orthonormé ، la droite D : a x plus b y plus c égale zéro ، w le point A . la distance du point A à la droite D ، هي valeur absolue de (a fois l'abscisse de A, plus b fois l'ordonnée de A, plus c) ، sur racine carrée de la somme a au carré plus b au carré . يعني في الفوق : نعوّضو les coordonnées متاع A في l'équation w ناخذو la valeur absolue . w في اللوطة : la longueur متاع le vecteur normal a ، b . رد بالك : l'équation لازم تكون من الشكل a x plus b y plus c égale zéro قْبَلْ ما تبدا . w الـ formule هاذي تعطيك la hauteur متاع triangle ، w منها l'aire .
On ne va pas chercher H à chaque fois. Il existe une formule qui donne directement la distance. Dans un repère orthonormé, soit la droite D : a x plus b y plus c égale zéro, et le point A. La distance du point A à la droite D est valeur absolue de (a fois l'abscisse de A, plus b fois l'ordonnée de A, plus c), sur racine carrée de la somme a au carré plus b au carré. Donc en haut : on remplace les coordonnées de A dans l'équation et on prend la valeur absolue. Et en bas : la longueur du vecteur normal a, b. Attention : l'équation doit être sous la forme a x plus b y plus c égale zéro avant de commencer. Et cette formule te donne la hauteur d'un triangle, et donc son aire.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
Soit la droite d'équation La distance d'un point à la droite est
Pour l'utiliser, on écrit d'abord la droite sous la forme Au numérateur, on remplace et par les coordonnées du point dans le premier membre de l'équation, et on prend la valeur absolue ; au dénominateur, on met la longueur du vecteur normal
Cette formule donne par exemple la hauteur d'un triangle, donc son aire, sans construire le pied de la hauteur.
distance du point A à la droite D (repère orthonormé)
Démonstration
Soit le projeté orthogonal de sur et qui est normal à Les vecteurs et sont tous deux orthogonaux à donc colinéaires : il existe un réel tel que Alors
Le point est sur : donc Or et d'où puis
Finalement
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on considère le triangle de sommets et Déterminer une équation cartésienne de la droite calculer la distance du point à la droite puis en déduire l'aire du triangle
- La droite — Le vecteur a pour composantes et On écrit qu'il est colinéaire au vecteur de composantes et
- La distance de C à — On remplace par et par dans on prend la valeur absolue, et on divise par la racine carrée de la somme au carré plus au carré, c'est-à-dire par
- La base AB — La longueur est la racine carrée de la somme au carré plus au carré.
- L'aire — La distance de à est la hauteur issue de : l'aire est la moitié du produit de la base par la hauteur.
À ne pas faire : Pour et on prend — On écrit d'abord donc et . La formule suppose l'équation sous la forme avec tout dans le même membre.
À ne pas faire : donc la distance vaut — La distance vaut . Une distance n'est jamais négative : c'est le rôle de la valeur absolue au numérateur.
À ne pas faire : Au dénominateur, on écrit — Au dénominateur, on écrit . On divise par la longueur du vecteur normal, pas par son carré.
23. Définition
Équation d'un cercle
Ce qu’il dit
Net3addew lel cercle. Fi repère orthonormé, ne5dhou cercle : le centre I a, b, w le rayon R. Point M x, y mawjoud 3la le cercle, ki la distance IM égale R, ya3ni IM au carré égale R au carré. W IM au carré hiya (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré. Donc l'équation mta3 le cercle hiya : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré. W bel 3aks, ki tal9a équation mel chakl hedha, ta9ra menha le centre w le rayon. Rodd belek 3la zouz 7ajet : le signe mta3 les coordonnées du centre yetbaddel, w elli fel imin houwa R au carré, mouch R.
نتعدّاو للـ cercle . في repère orthonormé ، ناخذو cercle : le centre I a ، b ، w le rayon R . point M x ، y موجود على le cercle ، كي la distance I M égale R ، يعني I M au carré égale R au carré . w I M au carré هي (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré . donc l'équation متاع le cercle هي : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré . w بالعكس ، كي تلقى équation من الشكل هذا ، تقرا منها le centre w le rayon . رد بالك على زوز حاجات : le signe متاع les coordonnées du centre يتبدّل ، w اللي في اليمين هو R au carré ، موش R .
Passons au cercle. Dans un repère orthonormé, prenons un cercle de centre I a, b, et de rayon R. Un point M x, y est sur le cercle quand la distance I M égale R, c'est-à-dire I M au carré égale R au carré. Et I M au carré vaut (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré. L'équation du cercle est donc : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré. Et inversement, quand tu rencontres une équation de cette forme, tu y lis le centre et le rayon. Attention à deux choses : le signe des coordonnées du centre s'inverse, et ce qui est à droite est R au carré, pas R.
Le plan est muni d'un repère orthonormé Soit un point du plan et un réel strictement positif. On considère le cercle de centre et de rayon
Un point appartient à si et seulement si c'est-à-dire (les deux nombres sont positifs). Or
Définition. L'équation est appelée équation cartésienne du cercle de centre et de rayon
Dans l'autre sens, sur une équation de cette forme, on lit le centre et le rayon : pour le centre est et le rayon est
Un repère orthonormé d'origine O. Le cercle de centre I, de coordonnées 3 et −1, et de rayon 2 est tracé en bleu. Le point B, de coordonnées 1 et −1, est sur le cercle, à gauche du centre ; le point E, de coordonnées 3 et 1, est sur le cercle, au-dessus du centre. Le point A, de coordonnées 1 et 2, et le point D, de coordonnées 0 et 4, sont à l'extérieur du cercle. Au palier 2, les rayons [IB] et [IE] en rouge, de longueur 2. Au palier 3, un troisième rayon, vertical, descend de I jusqu'au point du cercle de coordonnées 3 et −3.
cercle de centre I(a ; b) et de rayon R
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle de centre et de rayon Écrire son équation. Parmi les points et lesquels sont sur le cercle ? Déterminer les points du cercle d'abscisse Existe-t-il des points du cercle d'abscisse ?
- L'équation — On remplace par par et par : attention, s'écrit
- Les points A et B — Pour on trouve c'est-à-dire : n'est pas sur le cercle. Pour on trouve c'est-à-dire : est sur le cercle.
- Les points D et E — Pour on trouve c'est-à-dire : n'est pas sur le cercle. Pour on trouve : est sur le cercle.
- L'abscisse 3 — On remplace par : il reste donc vaut ou On trouve deux points, d'ordonnées et
- L'abscisse 0 — On remplace par : on obtient donc un carré égal à C'est impossible : aucun point du cercle n'a pour abscisse
À ne pas faire : : le centre est — Le centre est : on lit et et . Les coordonnées du centre sont les nombres qui annulent chaque parenthèse : elles ont le signe contraire de celui qu'on voit.
À ne pas faire : : le rayon est — Le rayon est . Le second membre est le carré du rayon, pas le rayon.
24. Méthode
Reconnaître un cercle
Ce qu’il dit
Ki ndévelopper l'équation mta3 cercle, nal9aw x au carré plus y au carré plus a x plus b y plus c égale zéro. Ama bel 3aks : équation mel chakl hedha, mouch dima cercle. Kifech na3rfou ? Bel forme canonique. x au carré plus a x, nektbouha (x plus a sur deux) au carré, moins a au carré sur quatre. W nafs echay l y. Ba3d n3addiw les constantes lel imin, w nchoufou le signe. Ken elli fel imin strictement positif, 3andna cercle, w le rayon houwa la racine carrée mte3ou. Ken nul, point wa7ed. W ken négatif, l'ensemble vide, 5ater somme mta3 zouz carrés 3omrha ma tkoun négative.
كي نـ développer l'équation متاع cercle ، نلقاو x au carré plus y au carré plus a x plus b y plus c égale zéro . أما بالعكس : équation من الشكل هذا ، موش ديما cercle . كيفاش نعرفو ؟ بالـ forme canonique . x au carré plus a x ، نكتبوها (x plus a sur deux) au carré ، moins a au carré sur quatre . w نفس الشي لـ y . بعد نعدّيو les constantes لليمين ، w نشوفو le signe . كان اللي في اليمين strictement positif ، عندنا cercle ، w le rayon هو la racine carrée متاعو . كان nul ، point واحد . w كان négatif ، l'ensemble vide ، خاطر somme متاع زوز carrés عمرها ما تكون négative .
Quand on développe l'équation d'un cercle, on obtient x au carré plus y au carré plus a x plus b y plus c égale zéro. Mais dans l'autre sens, une équation de cette forme n'est pas toujours un cercle. Comment le savoir ? Avec la forme canonique. x au carré plus a x s'écrit (x plus a sur deux) au carré, moins a au carré sur quatre. Et de même pour y. Ensuite on passe les constantes à droite, et on regarde le signe. Si le second membre est strictement positif, on a un cercle, dont le rayon est sa racine carrée. S'il est nul, un seul point. Et s'il est négatif, l'ensemble est vide, car une somme de deux carrés n'est jamais négative.
Le plan est muni d'un repère orthonormé En développant on obtient une équation de la forme Mais, dans l'autre sens, une telle équation n'est pas toujours celle d'un cercle.
La méthode. Soient et trois réels et l'ensemble des points vérifiant On utilise la forme canonique d'un trinôme, pour puis pour :
L'équation devient On discute suivant le signe du second membre :
- si est le cercle de centre et de rayon ;
- si est réduit à un seul point ;
- si est vide : une somme de deux carrés n'est jamais négative.
forme canonique
Exemple traité
Déterminer l'ensemble des points de coordonnées et vérifiant puis l'ensemble des points vérifiant
- Les carrés pour — On regroupe les termes en puis les termes en et on complète chaque carré : est le début de et le début de
- L'ensemble — On passe les constantes à droite : on trouve qui est strictement positif. est le cercle de centre le point de coordonnées et et de rayon
- Les carrés pour — De même, est le début de et le début de
- L'ensemble — Cette fois le second membre vaut : une somme de deux carrés ne peut pas être négative. Aucun point ne convient, l'ensemble est vide.
À ne pas faire : — . En développant on obtient : il faut retrancher le qu'on a ajouté.
À ne pas faire : Toute équation est l'équation d'un cercle — Seulement si ; sinon l'ensemble est un point ou il est vide. Le second membre de la forme canonique doit être le carré d'un rayon, donc strictement positif.
25. Application
Exemple : un cercle et deux tangentes
Ce qu’il dit
Mithel yjma3 barcha 7ajet mel chapitre. 3andna l'ensemble mta3 les points elli y7a99ou x au carré plus y au carré moins deux x plus quatre y égale trois. Première étape : bel forme canonique, nal9aw cercle, le centre mte3ou I un, moins deux, w le rayon deux racine de deux. Deuxième étape : bech nal9aw win y9oss l'axe des abscisses, n7ottou y égale zéro, w n7ellou équation du second degré : nal9aw A w B. Troisième étape : la tangente en A. La tangente perpendiculaire 3la le rayon, donc le vecteur IA houwa vecteur normal liha. W nektbou l'équation kima t3allemna m3a le vecteur normal.
مثال يجمع برشا حاجات من الـ chapitre . عندنا l'ensemble متاع les points اللي يحقّقو x au carré plus y au carré moins deux x plus quatre y égale trois . première étape : بالـ forme canonique ، نلقاو cercle ، le centre متاعو I un ، moins deux ، w le rayon deux racine de deux . deuxième étape : باش نلقاو وين يقصّ l'axe des abscisses ، نحطّو y égale zéro ، w نحلّو équation du second degré : نلقاو A w B . troisième étape : la tangente en A . la tangente perpendiculaire على le rayon ، donc le vecteur I A هو vecteur normal ليها . w نكتبو l'équation كيما تعلّمنا مع le vecteur normal .
Un exemple qui rassemble plusieurs idées du chapitre. On a l'ensemble des points qui vérifient x au carré plus y au carré moins deux x plus quatre y égale trois. Première étape : avec la forme canonique, on trouve un cercle de centre I un, moins deux, et de rayon deux racine de deux. Deuxième étape : pour trouver où il coupe l'axe des abscisses, on pose y égale zéro, et on résout une équation du second degré : on trouve A et B. Troisième étape : la tangente en A. La tangente est perpendiculaire au rayon, donc le vecteur I A lui est normal. Et on écrit l'équation comme on l'a appris avec le vecteur normal.
Le plan est muni d'un repère orthonormé On considère l'ensemble des points du plan vérifiant
On enchaîne ici trois gestes du chapitre :
- 1.reconnaître le cercle par la forme canonique : centre et rayon ;
- 2.couper le cercle par l'axe des abscisses, en faisant dans l'équation ;
- 3.écrire l'équation de la tangente en un point du cercle : c'est la droite passant par et perpendiculaire au rayon Le vecteur est donc un vecteur normal à la tangente.
Un repère orthonormé d'origine O. Le cercle, en bleu, a pour centre I, de coordonnées 1 et −2, situé sous l'axe des abscisses ; il coupe l'axe des abscisses en A, d'abscisse −1, et en B, d'abscisse 3. Au palier 2, le rayon [IA] en pointillés rouges et la tangente au cercle en A, en rouge, qui monte vers la droite : un petit carré marque l'angle droit en A. Au palier 3, le rayon [IB] en pointillés verts et la tangente en B, en vert, qui descend vers la droite, avec son angle droit en B. Les deux tangentes se coupent au-dessus de l'axe, à la verticale de I.
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on considère l'ensemble des points de coordonnées et vérifiant Montrer que c'est un cercle, déterminer ses points d'intersection et avec l'axe des abscisses, puis une équation de la tangente au cercle en chacun de ces points.
- Le cercle — On complète les carrés : donne et donne On obtient un cercle de centre de coordonnées et et de rayon
- L'axe des abscisses — On fait dans l'équation de départ : il reste une équation du second degré en dont les solutions sont et
- Les deux points — Le cercle coupe l'axe des abscisses en deux points, qu'on note et
- La tangente en A — Le vecteur de composantes et est normal à la tangente, qui passe par On simplifie par
- La tangente en B — Le vecteur de composantes et est normal à la tangente, qui passe par On simplifie par
À ne pas faire : Pour la tangente en on prend le vecteur comme vecteur directeur — Le vecteur est un vecteur normal à la tangente. La tangente est perpendiculaire au rayon : si on prenait le rayon comme direction, on obtiendrait la droite elle-même.
26. Théorème
Droite et cercle
Ce qu’il dit
Droite w cercle, kifech yjiw l b3adhhom ? Famma tletha cas, w el koll yet7all b la distance. Ne5dhou cercle : le centre I w le rayon R, w droite D. Na7sbou la distance du point I à la droite D. Ken asghar men R, la droite t9oss le cercle fi zouz points : sécants. Ken tsewi R bedhabt, la droite tmess le cercle fi point wa7ed : tangente. W ken akbar men R, ma yet9ablouch jemla : extérieurs. Ya3ni ma yelzemnech nlawjou 3la les points communs : na7sbou la distance, nchoufouha m3a le rayon, w njewbou.
droite w cercle ، كيفاش يجيو لبعضهم ؟ فمّا ثلاثة cas ، w الكل يتحلّ بـ la distance . ناخذو cercle : le centre I w le rayon R ، w droite D . نحسبو la distance du point I à la droite D . كان أصغر من R ، la droite تقصّ le cercle في زوز points : sécants . كان تساوي R بالضبط ، la droite تمسّ le cercle في point واحد : tangente . w كان أكبر من R ، ما يتقابلوش جملة : extérieurs . يعني ما يلزمناش نلوّجو على les points communs : نحسبو la distance ، نشوفوها مع le rayon ، w نجاوبو .
Une droite et un cercle : comment se placent-ils l'un par rapport à l'autre ? Il y a trois cas, et tout se décide avec la distance. Prenons un cercle de centre I et de rayon R, et une droite D. On calcule la distance du point I à la droite D. Si elle est plus petite que R, la droite coupe le cercle en deux points : ils sont sécants. Si elle est exactement égale à R, la droite touche le cercle en un seul point : elle est tangente. Et si elle est plus grande que R, ils ne se rencontrent pas du tout : ils sont extérieurs. On n'a donc pas besoin de chercher les points communs : on calcule la distance, on la confronte au rayon, et on répond.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
Soit un cercle de centre et de rayon et une droite. On a : - si et seulement si et sont sécants (deux points communs) ; - si et seulement si est tangente à (un seul point commun) ; - si et seulement si et sont extérieurs (aucun point commun).
Pour étudier la position d'une droite et d'un cercle, on n'a donc pas besoin de chercher leurs points communs : il suffit de comparer la distance du centre à la droite avec le rayon.
Trois cercles de même rayon, côte à côte, chacun avec son centre I et une droite D horizontale. À gauche, la droite traverse le cercle en deux points : la distance du centre à la droite, marquée par un segment rouge perpendiculaire à la droite, est plus petite que le rayon. Au palier 2, au milieu, la droite touche le cercle en un seul point, tout en haut : la distance est égale au rayon. Au palier 3, à droite, la droite passe au-dessus du cercle sans le toucher : la distance est plus grande que le rayon.
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, soit le cercle de centre et de rayon Montrer que la droite d'équation est tangente à ce cercle. Montrer ensuite que toute droite passant par l'origine coupe le cercle en deux points.
- La distance de I à D — On applique la formule de la distance avec et et les coordonnées et du centre.
- Tangente — La distance du centre à la droite est égale au rayon : la droite est tangente au cercle.
- Le point O — On calcule la distance : racine carrée de la somme Elle est plus petite que le rayon : le point est à l'intérieur du cercle.
- Une droite passant par O — La distance du centre à une droite passant par est la plus courte distance de à un point de cette droite : elle est inférieure ou égale à donc strictement inférieure au rayon. La droite et le cercle sont sécants.
À ne pas faire : et : la droite coupe le cercle en deux points — Quand la droite est tangente : un seul point commun. Deux points communs demandent une distance strictement plus petite que le rayon.
À ne pas faire : On compare avec le second membre de l'équation du cercle — On compare avec le rayon . Une distance se compare à une longueur : dans le rayon est pas
27. Application
Exemple : les points communs d'une droite et d'un cercle
Ce qu’il dit
W ken n7ebbou les points communs b rou7hom ? La distance t9ollek berk 9addech men point famma. Houni, l'ensemble x au carré plus y au carré moins x plus deux y égale zéro houwa cercle, le centre mte3ou I un demi, moins un, w le rayon mte3ou la moitié de racine de cinq. La distance de I à la droite y égale deux x moins un, tsewi un sur racine de cinq : asghar men le rayon, donc la droite t9oss le cercle fi zouz points. Bech nal9awhom, n3awwdhou y b deux x moins un fi l'équation mta3 le cercle. Nal9aw équation du second degré en x : cinq x au carré moins x moins un égale zéro. Ezzouz solutions mte3ha ya3tiw les abscisses mta3 A w B, w l koll wa7da, l'ordonnée hiya deux x moins un.
w كان نحبّو les points communs بروحهم ؟ la distance تقلّك برك قدّاش من point فمّا . هوني ، l'ensemble x au carré plus y au carré moins x plus deux y égale zéro هو cercle ، le centre متاعو I un demi ، moins un ، w le rayon متاعو la moitié de racine de cinq . la distance de I à la droite y égale deux x moins un ، تساوي un sur racine de cinq : أصغر من le rayon ، donc la droite تقصّ le cercle في زوز points . باش نلقاوهم ، نعوّضو y بـ deux x moins un في l'équation متاع le cercle . نلقاو équation du second degré en x : cinq x au carré moins x moins un égale zéro . الزوز solutions متاعها يعطيو les abscisses متاع A w B ، w لكل وحدة ، l'ordonnée هي deux x moins un .
Et si on veut les points communs eux-mêmes ? La distance dit seulement combien il y en a. Ici, l'ensemble x au carré plus y au carré moins x plus deux y égale zéro est un cercle de centre I un demi, moins un, et son rayon est la moitié de racine de cinq. La distance de I à la droite y égale deux x moins un vaut un sur racine de cinq : elle est plus petite que le rayon, donc la droite coupe le cercle en deux points. Pour les trouver, on remplace y par deux x moins un dans l'équation du cercle. On obtient une équation du second degré en x : cinq x au carré moins x moins un égale zéro. Ses deux solutions donnent les abscisses de A et de B, et pour chacune, l'ordonnée est deux x moins un.
Le plan est muni d'un repère orthonormé On considère la droite d'équation et l'ensemble des points du plan vérifiant
La distance du centre à la droite dit combien il y a de points communs. Pour les trouver, on revient aux équations :
- 1.un point commun est sur : ses coordonnées vérifient ;
- 2.il est aussi sur : on remplace par dans l'équation du cercle ;
- 3.on obtient une équation du second degré en : ses solutions sont les abscisses des points communs, et l'ordonnée de chacun se calcule avec
Le nombre de solutions confirme la position : deux solutions pour une droite sécante, une seule pour une tangente, aucune pour une droite extérieure.
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et l'ensemble des points vérifiant Montrer que est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon Calculer la distance du point à la droite en déduire que coupe en deux points et puis déterminer les coordonnées de et de
- Le cercle — On complète les carrés : donne et donne Le second membre devient cinq quarts, qui est positif : c'est un cercle de centre et son rayon est la moitié de racine de cinq.
- La distance de I à D — On écrit sous la forme puis on applique la formule de la distance avec les coordonnées du centre.
- Sécants — Le cinquième de racine de cinq est plus petit que sa moitié : la distance est plus petite que le rayon, donc la droite coupe le cercle en deux points et
- On remplace y — Les points communs vérifient les deux équations : on remplace par dans l'équation du cercle, partout où il apparaît, et on développe.
- Les abscisses — Le discriminant vaut un plus vingt, c'est-à-dire vingt et un : il est positif, l'équation a deux solutions.
- Les deux points — Pour chaque abscisse, on calcule l'ordonnée avec
À ne pas faire : On remplace par dans seulement — On remplace partout : dans et dans . Un point commun vérifie l'équation du cercle tout entière : si on oublie un terme, l'équation obtenue n'est plus celle des points communs.
28. Vocabulaire
Points cocycliques
Ce qu’il dit
Kelma jdida : cocycliques. Des points cocycliques, ma3neha el koll 3la nafs le cercle. Tletha points mouch alignés, dima cocycliques : famma le cercle circonscrit. Ama arb3a points, mouch dima, yelzem tthabbetha. Kifech ? Nlawjou 3la le centre mta3 le cercle elli yet3adda men tletha menhom : houwa win yet9ablou zouz médiatrices. Ba3d na7sbou le rayon au carré, w fel e5er nthabtou elli le quatrième point 3la nafs la distance men le centre. Fel mithel, les médiatrices sehlin barcha : wa7da y égale trois, w lo5ra x égale moins deux.
كلمة جديدة : cocycliques . des points cocycliques ، معناها الكل على نفس le cercle . ثلاثة points موش alignés ، ديما cocycliques : فمّا le cercle circonscrit . أما أربعة points ، موش ديما ، يلزم تثبتها . كيفاش ؟ نلوّجو على le centre متاع le cercle اللي يتعدّى من ثلاثة منهم : هو وين يتقابلو زوز médiatrices . بعد نحسبو le rayon au carré ، w في الآخر نثبتو اللي le quatrième point على نفس la distance من le centre . في المثال ، les médiatrices ساهلين برشا : وحدة y égale trois ، w الأخرى x égale moins deux .
Un mot nouveau : cocycliques. Des points cocycliques sont des points situés sur un même cercle. Trois points non alignés sont toujours cocycliques : il y a le cercle circonscrit. Mais quatre points ne le sont pas toujours, il faut le prouver. Comment ? On cherche le centre du cercle qui passe par trois d'entre eux : c'est le point où se coupent deux médiatrices. Ensuite on calcule le carré du rayon, et à la fin on vérifie que le quatrième point est à la même distance du centre. Dans l'exemple, les médiatrices sont très simples : l'une est y égale trois, et l'autre x égale moins deux.
Vocabulaire. Des points du plan sont dits cocycliques lorsqu'ils sont sur un même cercle.
Trois points non alignés sont toujours cocycliques : ils sont sur le cercle circonscrit au triangle qu'ils forment. Pour quatre points, ce n'est plus automatique : il faut le prouver.
La méthode. Dans un repère orthonormé, pour montrer que quatre points sont cocycliques :
- 1.on cherche le centre du cercle passant par trois d'entre eux — c'est le point d'intersection de deux médiatrices ;
- 2.on calcule le carré du rayon ;
- 3.on vérifie que le quatrième point est à la même distance de
Un repère orthonormé d'origine O avec quatre points : A de coordonnées 0 et 4, B de coordonnées −1 et 1, C de coordonnées −1 et 5, D de coordonnées −3 et 5. Le segment [BC] est vertical ; sa médiatrice, en pointillés verts, est la droite horizontale d'équation y = 3. Au palier 2, le segment [CD] est horizontal ; sa médiatrice, en pointillés verts, est la droite verticale d'équation x = −2. Les deux médiatrices se coupent en I, de coordonnées −2 et 3. Au palier 3, le cercle de centre I, en bleu, passe par les quatre points A, B, C et D.
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, montrer que les points et sont sur un même cercle.
- La médiatrice de — et ont la même abscisse : le segment est parallèle à l'axe des ordonnées, et son milieu a pour ordonnée Sa médiatrice est la droite d'équation
- La médiatrice de — et ont la même ordonnée : le segment est parallèle à l'axe des abscisses, et son milieu a pour abscisse Sa médiatrice est la droite d'équation
- Le centre et le rayon — Les deux médiatrices se coupent au point de coordonnées et : c'est le centre du cercle passant par et On calcule le carré du rayon avec le point
- Le point A — On calcule : on trouve aussi Le point est sur le même cercle.
À ne pas faire : Quatre points sont toujours sur un même cercle — Trois points non alignés le sont toujours ; pour le quatrième, il faut vérifier. Par trois points non alignés passe un seul cercle : le quatrième point y est, ou n'y est pas.
29. Propriété
Intérieur et extérieur
Ce qu’il dit
Le cercle y5alli le plan tletha parties : les points elli 3lih, elli fi dekhlou, w elli el barra. W l'équation t9oul lna koll point win. Ne5dhou cercle : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré, w point M x, y. Elli fel isar houwa IM au carré. Ken ysewi R au carré, M 3la le cercle. Ken asghar men R au carré, M à l'intérieur, 5ater a9rab lel centre men le rayon. W ken akbar men R au carré, M à l'extérieur. Rodd belek : nchoufou m3a R au carré, mouch m3a R.
le cercle يخلّي le plan ثلاثة parties : les points اللي عليه ، اللي في داخلو ، w اللي البرّا . w l'équation تقول لنا كل point وين . ناخذو cercle : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré ، w point M x ، y . اللي في اليسار هو I M au carré . كان يساوي R au carré ، M على le cercle . كان أصغر من R au carré ، M à l'intérieur ، خاطر أقرب للـ centre من le rayon . w كان أكبر من R au carré ، M à l'extérieur . رد بالك : نشوفو مع R au carré ، موش مع R .
Le cercle partage le plan en trois parties : les points qui sont dessus, ceux qui sont à l'intérieur, et ceux qui sont à l'extérieur. Et l'équation nous dit où se trouve chaque point. Prenons un cercle : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré, et un point M x, y. Le premier membre est I M au carré. S'il est égal à R au carré, M est sur le cercle. S'il est plus petit que R au carré, M est à l'intérieur, car il est plus près du centre que le rayon. Et s'il est plus grand que R au carré, M est à l'extérieur. Attention : on compare avec R au carré, pas avec R.
Le plan est muni d'un repère orthonormé
Soit un cercle d'équation et un point du plan. - si et seulement si est sur le cercle ; - si et seulement si est à l'intérieur du cercle ; - si et seulement si est à l'extérieur du cercle
Le premier membre est le carré de la distance du point au centre : on compare simplement au rayon.
Un repère orthonormé d'origine O. Le cercle de centre I, de coordonnées −1 et 3, et de rayon 2 est tracé en bleu. Le point C, de coordonnées −1 et 1, est sur le cercle, juste en dessous du centre : le rayon [IC] est en pointillés. Au palier 2, le point B, de coordonnées −2 et 3, est à l'intérieur du cercle : le segment [IB], en vert, est plus court que le rayon. Au palier 3, le point A, de coordonnées 2 et 4, est à l'extérieur du cercle : le segment [IA], en rouge, est plus long que le rayon.
Exemple traité
Dans un repère orthonormé, soit le cercle de centre et de rayon Écrire son équation, puis situer les points et par rapport à ce cercle.
- L'équation — Le centre a pour coordonnées et et le carré du rayon vaut
- Le point A — On remplace par et par : on trouve qui est plus grand que Le point est à l'extérieur du cercle.
- Le point B — On remplace par et par : on trouve qui est plus petit que Le point est à l'intérieur du cercle.
- Le point C — On remplace par et par : on trouve exactement Le point est sur le cercle.
À ne pas faire : et le rayon vaut : on compare et — On compare avec ou bien avec . Le premier membre est le carré de la distance au centre : on compare des carrés entre eux, ou des longueurs entre elles.
30. Application
Un problème pour aller plus loin : droites concourantes
Ce qu’il dit
Mas2la o5ra bech nemchiw ab3ed. 3andna zouz carrés : OABC el kbir, w ADEF es-sghir, lese9 fih, w OA égale trois, w AD égale un. N7ebbou nthabtou elli les droites OF, BD w CE concourantes, ya3ni etletha yet3addew men nafs le point. Ne5dhou le repère O, le vecteur OA, le vecteur OC. El méthode : nektbou équation l koll droite, nlawjou 3la le point d'intersection mta3 zouz menhom, w ba3d nthabtou elli houwa 3la la troisième. Nal9aw le point six cinquièmes, deux cinquièmes, w etletha équations yotl3ou zéro fih.
مسألة أخرى باش نمشيو أبعد . عندنا زوز carrés : O A B C الكبير ، w A D E F الصغير ، لاصق فيه ، w O A égale trois ، w A D égale un . نحبّو نثبتو اللي les droites O F ، B D w C E concourantes ، يعني الثلاثة يتعدّاو من نفس le point . ناخذو le repère O ، le vecteur O A ، le vecteur O C . الـ méthode : نكتبو équation لكل droite ، نلوّجو على le point d'intersection متاع زوز منهم ، و بعد نثبتو اللي هو على la troisième . نلقاو le point six cinquièmes ، deux cinquièmes ، w الثلاثة équations يطلعو zéro فيه .
Un autre problème pour aller plus loin. On a deux carrés : le grand, O A B C, et le petit, A D E F, collé contre lui, avec O A égale trois et A D égale un. On veut prouver que les droites O F, B D et C E sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles passent toutes les trois par le même point. On prend le repère O, le vecteur O A, le vecteur O C. La méthode : on écrit une équation de chaque droite, on cherche le point d'intersection de deux d'entre elles, puis on vérifie qu'il est sur la troisième. On trouve le point de coordonnées six cinquièmes et deux cinquièmes, et les trois équations y donnent zéro.
et sont deux carrés tels que et : est sur la demi-droite au-delà de et est sur le côté On veut montrer que les droites et sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles passent par un même point.
Le repère. On considère le repère cartésien Comme on lit :
La méthode. On détermine une équation cartésienne de chacune des trois droites, on calcule le point d'intersection de deux d'entre elles, puis on vérifie qu'il appartient à la troisième.
Un grand carré OABC : O en bas à gauche, A en bas à droite, B en haut à droite, C en haut à gauche. Collé à droite du côté [AB], en bas, un petit carré ADEF trois fois plus petit : D à droite de A sur le prolongement de [OA], E au-dessus de D, F sur le côté [AB] au-dessus de A. Au palier 2, la droite (OF) en rouge et la droite (BD) en bleu se coupent en un point K, à droite du grand carré, juste au-dessus du petit. Au palier 3, la droite (CE), en vert, passe elle aussi par K.
Exemple traité
Dans le repère on a et Montrer que les droites et sont concourantes.
- La droite — Elle passe par l'origine et le vecteur de composantes et la dirige.
- La droite — Le vecteur a pour composantes et On écrit qu'il est colinéaire au vecteur de composantes et puis on multiplie par
- La droite — Le vecteur a pour composantes et ; il est colinéaire au vecteur de composantes et
- Le point commun à et — Sur On remplace dans l'équation de :
- Il est sur — On remplace ces coordonnées dans l'équation de : on trouve zéro. Les trois droites passent par le même point.
31. Remarque
Pour la culture : se repérer autrement
Ce qu’il dit
Fel e5er, chwaya tha9afa. Les coordonnées elli 5demna bihom, x w y, mouch et-tari9a el wa7ida bech t7added blasset point. Men 9dim ez-zmen, en-nes 7abbou y7addedou el bleyes fes-sme w fel b7ar, w Ératosthène 3mal carte du monde fiha des coordonnées géographiques. Famma zeda les coordonnées polaires : ne5dhou demi-droite Ox, w koll point M na3rfouh b zouz nombres : la distance OM, w l'angle xOM. Hakka ye5dem le radar : ydour 3la rou7ou, yeb3ath des ondes, w ki yarj3ou, ya3ref la distance w l'angle mta3 el 7aja elli 9oddemou. W fi plan mta3 mdina, nal9aw el blasa b 7arf w ra9m.
في الآخر ، شويّة ثقافة . les coordonnées اللي خدمنا بيهم ، x w y ، موش الطريقة الوحيدة باش تحدّد بلاصة point . من قديم الزمان ، الناس حبّو يحدّدو البلايص في السماء w في البحر ، w Ératosthène عمل carte du monde فيها des coordonnées géographiques . فمّا زادة les coordonnées polaires : ناخذو demi-droite O x ، w كل point M نعرفوه بزوز nombres : la distance O M ، w l'angle x O M . هكّا يخدم le radar : يدور على روحو ، يبعث des ondes ، w كي يرجعو ، يعرف la distance w l'angle متاع الحاجة اللي قدّامو . w في plan متاع مدينة ، نلقاو البلاصة بحرف w رقم .
Pour finir, un peu de culture. Les coordonnées que nous avons utilisées, x et y, ne sont pas la seule façon de repérer la position d'un point. Depuis l'Antiquité, on a voulu repérer des positions dans le ciel et en mer, et Ératosthène a dressé une carte du monde qui portait déjà des coordonnées géographiques. Il existe aussi les coordonnées polaires : on fixe une demi-droite O x, et chaque point M est repéré par deux nombres : la distance O M, et l'angle x O M. C'est ainsi que fonctionne le radar : il tourne sur lui-même, envoie des ondes, et quand elles reviennent, il connaît la distance et l'angle de l'objet qui est devant lui. Et sur le plan d'une ville, on trouve un endroit avec une lettre et un numéro.
Dès l'Antiquité, les problèmes de repérage se sont posés dans les domaines de l'astronomie et de la navigation. Ératosthène (de à ) a confectionné une carte du monde qui contenait déjà un réseau de coordonnées géographiques.
Les coordonnées polaires. Une demi-droite étant fixée dans le plan, un point peut être repéré par un couple de deux nombres : la distance et l'angle mesuré en tournant toujours dans le sens direct. Ce couple est appelé couple de coordonnées polaires du point Par exemple, signifie que et que l'angle mesure
Le radar. C'est un instrument de détection et de repérage qui utilise les coordonnées polaires. Il tourne autour de lui-même en envoyant un rayon d'ondes : si ce rayon rencontre un obstacle, il est réfléchi vers sa source, ce qui signale l'existence d'un objet et donne sa position. Le temps mis par le rayon pour faire l'aller-retour renseigne sur la distance du radar à l'objet.
Le plan d'une ville. Sur un plan de ville, on se repère autrement encore : par des cases, une lettre pour la colonne et un numéro pour la ligne.
Un écran de radar : quatre cercles de même centre O, de rayons 1, 2, 3 et 4, et une demi-droite horizontale [Ox) qui part de O vers la droite. Au palier 2, un point A est placé sur le plus grand cercle : le segment [OA], en rouge, fait un angle de 65 degrés avec la demi-droite [Ox).
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Le barycentre de et : et ; le milieu est le cas Les coordonnées du barycentre : koll coordonnée hiya moyenne pondérée. x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta, w nafs echay l y G. W le milieu houwa le cas mta3 alpha égale bêta égale un.Les coordonnées du barycentre : chaque coordonnée est une moyenne pondérée. x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta, et de même pour y G. Et le milieu est le cas alpha égale bêta égale un.
- Toute droite a une équation cartésienne avec ; le vecteur la dirige.Koll droite 3andha équation cartésienne : a x plus b y plus c égale zéro, w a w b mouch nuls ezzouz. W le vecteur moins b, a houwa vecteur directeur mte3ha.Toute droite a une équation cartésienne : a x plus b y plus c égale zéro, où a et b ne sont pas nuls tous les deux. Et le vecteur de composantes moins b et a la dirige.
- si et seulement si ; sinon les droites sont sécantes, et leur point d'intersection vérifie les deux équations.D parallèle à D prime, si et seulement si a b prime moins a prime b égale zéro. W ken le, ezzouz droites sécantes, w le point d'intersection y7a99a9 ezzouz équations.D est parallèle à D prime si et seulement si a b prime moins a prime b égale zéro. Sinon, les deux droites sont sécantes, et leur point d'intersection vérifie les deux équations.
- Dans un repère orthonormé, est normal à et si et seulement si Fi repère orthonormé, le vecteur a, b houwa vecteur normal à D, w D perpendiculaire à D prime, si et seulement si a a prime plus b b prime égale zéro.Dans un repère orthonormé, le vecteur de composantes a et b est normal à D, et D est perpendiculaire à D prime si et seulement si a a prime plus b b prime égale zéro.
- Équation réduite : ; si et seulement si ; dans un repère orthonormé, si et seulement si L'équation réduite : y égale m x plus p, w m hiya la pente : y B moins y A, sur x B moins x A. Les parallèles : m égale m prime. Les perpendiculaires, fi repère orthonormé : m fois m prime égale moins un.L'équation réduite : y égale m x plus p, où m est la pente : y B moins y A, sur x B moins x A. Pour les parallèles : m égale m prime. Pour les perpendiculaires, dans un repère orthonormé : m fois m prime égale moins un.
- Distance d'un point à une droite : La distance du point A à la droite D : valeur absolue de (a fois l'abscisse de A, plus b fois l'ordonnée de A, plus c), sur racine carrée de la somme a au carré plus b au carré.La distance du point A à la droite D : valeur absolue de (a fois l'abscisse de A, plus b fois l'ordonnée de A, plus c), sur racine carrée de la somme a au carré plus b au carré.
- Le cercle de centre et de rayon a pour équation Le cercle elli le centre mte3ou I a, b w le rayon R, l'équation mte3ou : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré.Le cercle de centre I a, b et de rayon R a pour équation : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré.
- et sont sécants, tangents ou extérieurs selon que est inférieure, égale ou supérieure à Droite w cercle : na7sbou la distance du centre à la droite. Asghar men le rayon : sécants. Tsewi le rayon : tangente. Akbar men le rayon : extérieurs.Une droite et un cercle : on calcule la distance du centre à la droite. Plus petite que le rayon : sécants. Égale au rayon : tangente. Plus grande que le rayon : extérieurs.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna géométrie analytique. Tfakker : la droite hiya équation, a x plus b y plus c égale zéro ; moins b, a ya3tik le vecteur directeur, w a, b ya3tik le vecteur normal. Les parallèles : a b prime moins a prime b égale zéro ; les perpendiculaires : a a prime plus b b prime égale zéro. W 9bal ma ta7seb distance walla orthogonalité, thabbet elli le repère orthonormé. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا géométrie analytique . تفكّر : la droite هي équation ، a x plus b y plus c égale zéro ؛ moins b ، a يعطيك le vecteur directeur ، w a ، b يعطيك le vecteur normal . les parallèles : a b prime moins a prime b égale zéro ؛ les perpendiculaires : a a prime plus b b prime égale zéro . w قْبَلْ ما تحسب distance ولّا orthogonalité ، ثبّت اللي le repère orthonormé . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé la géométrie analytique. Retiens : une droite est une équation, a x plus b y plus c égale zéro ; moins b, a te donne le vecteur directeur, et a, b le vecteur normal. Les parallèles : a b prime moins a prime b égale zéro ; les perpendiculaires : a a prime plus b b prime égale zéro. Et avant de calculer une distance ou une orthogonalité, vérifie que le repère est orthonormé. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Rappels
- c'est quoi la géométrie analytique
- chnowa la géométrie analytique
- géométrie analytique ma3neha chnowa
- à quoi sert la géométrie analytique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La géométrie analytique hiya annek t7ell des problèmes de géométrie bel 7seb. T7ott repère, koll point ywalli 3andou coordonnées, w koll droite walla cercle ywalli 3andou équation. W ba3d, bech tethbet alignement walla parallélisme walla perpendicularité, ta7seb berk, ma 3adech tlawwej fel figure.
la géométrie analytique هي أنّك تحلّ des problèmes de géométrie بالحساب . تحطّ repère ، كل point يولّي عندو coordonnées ، w كل droite ولّا cercle يولّي عندو équation . و بعد ، باش تثبت alignement ولّا parallélisme ولّا perpendicularité ، تحسب برك ، ما عادش تلوّج في الـ figure .
La géométrie analytique consiste à résoudre des problèmes de géométrie par le calcul. On place un repère, chaque point reçoit des coordonnées, et chaque droite ou chaque cercle reçoit une équation. Ensuite, pour prouver un alignement, un parallélisme ou une perpendicularité, il suffit de calculer, sans chercher dans la figure.
Question 2 · Milieu et barycentre
- comment calculer les coordonnées du barycentre
- kifech na7seb les coordonnées du barycentre
- formule des coordonnées du barycentre
- coordonnées du barycentre de deux points
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Koll coordonnée mta3 le barycentre hiya moyenne pondérée. Lel abscisse : todhrob koll abscisse fi le coefficient mte3ha, tjma3, w tdiviser 3la la somme des coefficients. Ya3ni $x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}$. W nafs el 7seb lel ordonnée. Rodd belek : coefficient négatif yo93ed b le signe mte3ou fel fou9 w fel louta.
كل coordonnée متاع le barycentre هي moyenne pondérée . للـ abscisse : تضرب كل abscisse في le coefficient متاعها ، تجمع ، w تـ diviser على la somme des coefficients . يعني x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta . w نفس الحساب للـ ordonnée . رد بالك : coefficient négatif يقعد بـ le signe متاعو في الفوق w في اللوطة .
Chaque coordonnée du barycentre est une moyenne pondérée. Pour l'abscisse : on multiplie chaque abscisse par son coefficient, on additionne, et on divise par la somme des coefficients. Donc x G égale alpha x A plus bêta x B, le tout sur alpha plus bêta. Et le même calcul pour l'ordonnée. Attention : un coefficient négatif garde son signe en haut et en bas.
Question 3 · Équation cartésienne
- c'est quoi une équation cartésienne
- chnowa l'équation cartésienne d'une droite
- équation cartésienne ma3neha chnowa
- définition de l'équation cartésienne d'une droite
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'équation cartésienne mta3 droite hiya relation bin x w y, mel chakl $ax + by + c = 0$, w a w b mouch nuls ezzouz. Point mawjoud 3la la droite, ki les coordonnées mte3ou y7a99ou l'équation, w ken hakka berk. Ya3ni l'équation t3awwedh la droite : t3awwedh x w y, w ta3ref toul le point 3liha walla le.
l'équation cartésienne متاع droite هي relation بين x w y ، من الشكل a x plus b y plus c égale zéro ، w a w b موش nuls الزوز . point موجود على la droite ، كي les coordonnées متاعو يحقّقو l'équation ، w كان هكّا برك . يعني l'équation تعوّض la droite : تعوّض x w y ، w تعرف طول le point عليها ولّا لا .
L'équation cartésienne d'une droite est une relation entre x et y, de la forme a x plus b y plus c égale zéro, où a et b ne sont pas nuls tous les deux. Un point est sur la droite quand ses coordonnées vérifient l'équation, et seulement dans ce cas. L'équation remplace donc la droite : on remplace x et y, et on sait tout de suite si le point est dessus ou non.
Question 4 · Équation cartésienne
- une droite a une seule équation ?
- la droite 3andha équation wa7da walla barcha
- pourquoi une droite a plusieurs équations
- est-ce que l'équation d'une droite est unique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, la droite 3andha barcha équations cartésiennes. Ki todhrob l'équation el koll fi réel non nul, tal9a équation o5ra, ama nafs la droite. Mathalan $x - y + 3 = 0$ w $-2x + 2y - 6 = 0$ houma nafs la droite. Ama l'équation réduite, $y = mx + p$, ki tkoun mawjouda, ya3ni l droite mouch parallèle à l'axe des ordonnées, hiya wa7da berk.
لا ، la droite عندها برشا équations cartésiennes . كي تضرب l'équation الكل في réel non nul ، تلقى équation أخرى ، أما نفس la droite . مثلا x moins y plus trois égale zéro ، w moins deux x plus deux y moins six égale zéro ، هوما نفس la droite . أما l'équation réduite ، y égale m x plus p ، كي تكون موجودة ، يعني لـ droite موش parallèle à l'axe des ordonnées ، هي وحدة برك .
Non, une droite a une infinité d'équations cartésiennes. Quand on multiplie toute l'équation par un réel non nul, on obtient une autre équation, mais la même droite. Par exemple x moins y plus trois égale zéro, et moins deux x plus deux y moins six égale zéro, décrivent la même droite. En revanche l'équation réduite, y égale m x plus p, quand elle existe, c'est-à-dire pour une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, est unique.
Question 5 · Pour comprendre : une droite, une équation
- comment savoir si un point appartient à une droite
- kifech na3ref point 3la la droite walla le
- comment vérifier qu'un point est sur une droite
- le point appartient à la droite ou pas
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Sehla : t3awwedh les coordonnées mta3 le point fi l'équation mta3 la droite. Ken yotla3 zéro, le point 3la la droite. Ken yotla3 nombre e5er, mouch 3liha. Mathalan la droite $x + 2y - 4 = 0$ w le point $(4\,;0)$ : $4 + 0 - 4 = 0$, donc le point 3liha.
ساهلة : تعوّض les coordonnées متاع le point في l'équation متاع la droite . كان يطلع zéro ، le point على la droite . كان يطلع nombre آخر ، موش عليها . مثلا la droite x plus deux y moins quatre égale zéro ، w le point quatre ، zéro : quatre plus zéro moins quatre égale zéro ، donc le point عليها .
C'est simple : on remplace les coordonnées du point dans l'équation de la droite. Si on trouve zéro, le point est sur la droite. Si on trouve un autre nombre, il n'y est pas. Par exemple, pour la droite x plus deux y moins quatre égale zéro et le point de coordonnées quatre et zéro : quatre plus zéro moins quatre égale zéro, donc le point est dessus.
Question 6 · Équation cartésienne
- comment trouver l'équation d'une droite qui passe par deux points
- kifech nal9a l'équation mta3 droite men zouz points
- équation de la droite passant par deux points A et B
- comment déterminer l'équation d'une droite avec deux points
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Te5ou point $M(x\,;y)$, w tekteb elli le vecteur AB w le vecteur AM colinéaires, ya3ni le déterminant mte3hom égale zéro. Ta7seb les composantes du vecteur AB, w les composantes du vecteur AM houma $x - x_A$ w $y - y_A$. Tdévelopper w tbassat, tal9a $ax + by + c = 0$. W fel e5er thabbet b le point B.
تاخو point M x ، y ، w تكتب اللي le vecteur A B w le vecteur A M colinéaires ، يعني le déterminant متاعهم égale zéro . تحسب les composantes du vecteur A B ، w les composantes du vecteur A M هوما x moins x A w y moins y A . تـ développer w تبسّط ، تلقى a x plus b y plus c égale zéro . w في الآخر ثبّت بـ le point B .
On prend un point M de coordonnées x et y, et on écrit que le vecteur A B et le vecteur A M sont colinéaires, c'est-à-dire que leur déterminant est nul. On calcule les composantes du vecteur A B, et celles du vecteur A M sont x moins x A et y moins y A. On développe et on simplifie : on obtient a x plus b y plus c égale zéro. Et à la fin, on vérifie avec le point B.
Question 7 · Tracer une droite
- comment tracer une droite à partir de son équation
- kifech narsem droite men l'équation mte3ha
- comment représenter une droite donnée par son équation
- tracer une droite avec son équation cartésienne
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Yekfik zouz points. Te5tar valeur l x, mathalan zéro, w ta7seb y men l'équation : hedha point. T3awed b valeur o5ra, mathalan un : hedha point e5er. T7otthom fi le repère w twassel binethom. W ken t7eb tethbet, a7seb point theleth : lezem yji 3la nafs la droite.
يكفيك زوز points . تختار valeur لـ x ، مثلا zéro ، w تحسب y من l'équation : هذا point . تعاود بـ valeur أخرى ، مثلا un : هذا point آخر . تحطّهم في le repère w توصل بيناتهم . w كان تحبّ تثبت ، احسب point ثالث : لازم يجي على نفس la droite .
Deux points suffisent. On choisit une valeur de x, par exemple zéro, et on calcule y avec l'équation : cela donne un point. On recommence avec une autre valeur, par exemple un : cela donne un second point. On les place dans le repère et on les relie. Et pour vérifier, on calcule un troisième point : il doit tomber sur la même droite.
Question 8 · Vecteur directeur
- c'est quoi un vecteur directeur
- chnowa le vecteur directeur
- vecteur directeur ma3neha chnowa
- définition du vecteur directeur d'une droite
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le vecteur directeur mta3 droite houwa vecteur non nul ya3ti la direction mte3ha. Bedhabt : la droite elli tet3adda men A w le vecteur directeur mte3ha $\vec{u}$, hiya les points M elli le vecteur AM colinéaire m3a $\vec{u}$. W ki te5ou zouz points A w B 3la la droite, le vecteur AB houwa vecteur directeur.
le vecteur directeur متاع droite هو vecteur non nul يعطي la direction متاعها . بالضبط : la droite اللي تتعدّى من A w le vecteur directeur متاعها u ، هي les points M اللي le vecteur A M colinéaire مع u . w كي تاخو زوز points A w B على la droite ، le vecteur A B هو vecteur directeur .
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui donne sa direction. Précisément : la droite passant par A et de vecteur directeur u est l'ensemble des points M tels que le vecteur A M est colinéaire à u. Et quand on prend deux points A et B de la droite, le vecteur A B est un vecteur directeur.
Question 9 · Vecteur directeur
- comment trouver un vecteur directeur à partir de l'équation
- kifech nal9a le vecteur directeur men l'équation
- le vecteur directeur se lit comment sur l'équation cartésienne
- vecteur directeur d'une droite donnée par son équation
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ta9rah toul men l'équation. La droite $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur mte3ha 3andou les composantes $-b$ w $a$ : tbaddel blaset a w b, w tbaddel le signe mta3 b. Mathalan $x + 3y + 2 = 0$ ya3ti $-3$ w $1$. W rodd belek : le vecteur $(a\,;b)$ mouch directeur, houwa normal.
تقراه طول من l'équation . la droite a x plus b y plus c égale zéro ، le vecteur directeur متاعها عندو les composantes moins b w a : تبدّل بلاصة a w b ، w تبدّل le signe متاع b . مثلا x plus trois y plus deux égale zéro ، يعطي moins trois w un . w رد بالك : le vecteur a ، b موش directeur ، هو normal .
On le lit directement sur l'équation. Pour la droite a x plus b y plus c égale zéro, un vecteur directeur a pour composantes moins b et a : on échange les places de a et b, et on change le signe de b. Par exemple x plus trois y plus deux égale zéro donne moins trois et un. Et attention : le vecteur de composantes a et b n'est pas directeur, il est normal.
Question 10 · Droites parallèles
- comment savoir si deux droites sont parallèles
- kifech na3ref zouz droites parallèles
- condition de parallélisme de deux droites
- quelle est la condition pour que deux droites soient parallèles
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz droites parallèles ki les vecteurs directeurs mte3hom colinéaires. Bel équations cartésiennes : ta7seb $ab' - a'b$. Ken yotla3 zéro, parallèles. Ken le, sécantes. W bel équations réduites as-hel : parallèles ki 3andhom nafs la pente, $m = m'$.
زوز droites parallèles كي les vecteurs directeurs متاعهم colinéaires . بالـ équations cartésiennes : تحسب a b prime moins a prime b . كان يطلع zéro ، parallèles . كان لا ، sécantes . w بالـ équations réduites أسهل : parallèles كي عندهم نفس la pente ، m égale m prime .
Deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Avec les équations cartésiennes : on calcule a b prime moins a prime b. Si on trouve zéro, elles sont parallèles. Sinon, elles sont sécantes. Et avec les équations réduites, c'est encore plus simple : elles sont parallèles quand elles ont la même pente, m égale m prime.
Question 11 · Droites sécantes
- comment trouver le point d'intersection de deux droites
- kifech nal9a le point d'intersection mta3 zouz droites
- calculer l'intersection de deux droites
- point d'intersection de deux droites méthode
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le point d'intersection mawjoud 3la ezzouz droites, donc les coordonnées mte3ou y7a99ou ezzouz équations m3a b3adhhom. T7ell système : ttalla3 y men équation, t3awwdhou fel o5ra, tal9a x, w ba3d tarja3 ta7seb y. W 9bal koll chay, thabbet elli ezzouz droites mouch parallèles : $ab' - a'b \neq 0$.
le point d'intersection موجود على الزوز droites ، donc les coordonnées متاعو يحقّقو الزوز équations مع بعضهم . تحلّ système : تطلّع y من équation ، تعوّضو في الأخرى ، تلقى x ، و بعد ترجع تحسب y . w قْبَلْ كل شي ، ثبّت اللي الزوز droites موش parallèles : a b prime moins a prime b différent de zéro .
Le point d'intersection est sur les deux droites, donc ses coordonnées vérifient les deux équations à la fois. On résout un système : on tire y d'une équation, on le remplace dans l'autre, on trouve x, puis on revient calculer y. Et avant tout, on vérifie que les deux droites ne sont pas parallèles : a b prime moins a prime b différent de zéro.
Question 12 · Vecteur normal
- c'est quoi un vecteur normal
- chnowa le vecteur normal
- vecteur normal ma3neha chnowa
- définition du vecteur normal à une droite
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le vecteur normal à une droite houwa vecteur non nul orthogonal m3a vecteur directeur mte3ha. Ya3ni we9ef 3la la droite. W fi repère orthonormé, ta9rah toul men l'équation : la droite $ax + by + c = 0$, le vecteur normal mte3ha 3andou les composantes $a$ w $b$.
le vecteur normal à une droite هو vecteur non nul orthogonal مع vecteur directeur متاعها . يعني واقف على la droite . w في repère orthonormé ، تقراه طول من l'équation : la droite a x plus b y plus c égale zéro ، le vecteur normal متاعها عندو les composantes a w b .
Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite. Il est donc perpendiculaire à la droite. Et dans un repère orthonormé, on le lit directement sur l'équation : pour la droite a x plus b y plus c égale zéro, un vecteur normal a pour composantes a et b.
Question 13 · Vecteur normal
- quelle est la différence entre vecteur normal et vecteur directeur
- chnowa el far9 bin vecteur normal w vecteur directeur
- normal ou directeur comment ne pas confondre
- le vecteur de composantes a et b est normal ou directeur
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le vecteur directeur yemchi m3a la droite, w le vecteur normal we9ef 3liha : houma orthogonaux. Bech ma t5alletch, fi repère orthonormé : fi l'équation $ax + by + c = 0$, les coefficients kima houma, $a$ w $b$, ya3tiw le vecteur normal. W le vecteur directeur houwa $-b$ w $a$. Tnajjem tethbet : $-b \times a + a \times b = 0$.
le vecteur directeur يمشي مع la droite ، w le vecteur normal واقف عليها : هوما orthogonaux . باش ما تخلّطش ، في repère orthonormé : في l'équation a x plus b y plus c égale zéro ، les coefficients كيما هوما ، a w b ، يعطيو le vecteur normal . w le vecteur directeur هو moins b w a . تنجّم تثبت : moins b fois a ، plus a fois b ، égale zéro .
Le vecteur directeur suit la droite, et le vecteur normal lui est perpendiculaire : ils sont orthogonaux. Pour ne pas les confondre, dans un repère orthonormé : dans l'équation a x plus b y plus c égale zéro, les coefficients tels quels, a et b, donnent le vecteur normal. Et le vecteur directeur a pour composantes moins b et a. On peut vérifier : moins b fois a, plus a fois b, égale zéro.
Question 14 · Droites perpendiculaires
- comment savoir si deux droites sont perpendiculaires
- kifech na3ref zouz droites perpendiculaires
- condition d'orthogonalité de deux droites
- quelle est la condition pour que deux droites soient perpendiculaires
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi repère orthonormé, zouz droites perpendiculaires ki les vecteurs directeurs mte3hom orthogonaux. Bel équations cartésiennes : ta7seb $aa' + bb'$. Ken yotla3 zéro, perpendiculaires. W bel équations réduites : perpendiculaires ki $mm' = -1$.
في repère orthonormé ، زوز droites perpendiculaires كي les vecteurs directeurs متاعهم orthogonaux . بالـ équations cartésiennes : تحسب a a prime plus b b prime . كان يطلع zéro ، perpendiculaires . w بالـ équations réduites : perpendiculaires كي m fois m prime égale moins un .
Dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Avec les équations cartésiennes : on calcule a a prime plus b b prime. Si on trouve zéro, elles sont perpendiculaires. Et avec les équations réduites : elles sont perpendiculaires quand m fois m prime égale moins un.
Question 15 · Vecteur normal
- pourquoi il faut un repère orthonormé
- 3lech lezem repère orthonormé
- quand est-ce qu'on a besoin d'un repère orthonormé
- repère orthonormé ou repère cartésien quelle différence
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi repère cartésien 3adi, tnajjem ta7seb les milieux, les barycentres, l'alignement w le parallélisme. Ama koll ma y5oss les distances w la perpendicularité, yelzmou repère orthonormé : les axes perpendiculaires w nafs l'unité. 5ater el formules mta3 la distance w mta3 $xx' + yy' = 0$, ma ysa77ouch ken fih.
في repère cartésien عادي ، تنجّم تحسب les milieux ، les barycentres ، l'alignement w le parallélisme . أما كل ما يخصّ les distances w la perpendicularité ، يلزمو repère orthonormé : les axes perpendiculaires w نفس l'unité . خاطر الـ formules متاع la distance w متاع x x prime plus y y prime égale zéro ، ما يصحّوش كان فيه .
Dans un repère cartésien quelconque, on peut calculer les milieux, les barycentres, l'alignement et le parallélisme. Mais tout ce qui touche aux distances et à la perpendicularité demande un repère orthonormé : des axes perpendiculaires et la même unité. Car les formules de la distance et de x x prime plus y y prime égale zéro ne sont vraies que dans un tel repère.
Question 16 · Équation réduite
- c'est quoi l'équation réduite
- chnowa l'équation réduite d'une droite
- équation réduite ma3neha chnowa
- définition de l'équation réduite
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'équation réduite mta3 droite hiya $y = mx + p$. m houwa le coefficient directeur, walla la pente, w p hiya l'ordonnée à l'origine, ya3ni l'ordonnée mta3 le point elli l'abscisse mte3ou zéro. Koll droite mouch parallèle à l'axe des ordonnées 3andha équation réduite wa7da.
l'équation réduite متاع droite هي y égale m x plus p . m هو le coefficient directeur ، ولّا la pente ، w p هي l'ordonnée à l'origine ، يعني l'ordonnée متاع le point اللي l'abscisse متاعو zéro . كل droite موش parallèle à l'axe des ordonnées عندها équation réduite وحدة .
L'équation réduite d'une droite est y égale m x plus p. m est le coefficient directeur, ou la pente, et p est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'abscisse zéro. Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une seule équation réduite.
Question 17 · Équation réduite
- comment passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite
- kifech nal9a l'équation réduite men l'équation cartésienne
- comment isoler y pour avoir l'équation réduite
- comment trouver l'équation réduite d'une droite
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ttalla3 y wa7dou. Men $ax + by + c = 0$, t3addi $ax$ w $c$ lel jiha lo5ra : $by = -ax - c$. Ba3d tdiviser el koll 3la b : $y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$. Ya3ni $m = -\dfrac{a}{b}$. W hedha yet3mal ken ki $b \neq 0$.
تطلّع y وحدو . من a x plus b y plus c égale zéro ، تعدّي a x w c للجهة الأخرى : b y égale moins a x moins c . بعد تـ diviser الكل على b : y égale moins a sur b fois x ، moins c sur b . يعني m égale moins a sur b . w هذا يتعمل كان كي b différent de zéro .
On isole y. À partir de a x plus b y plus c égale zéro, on passe a x et c de l'autre côté : b y égale moins a x moins c. Puis on divise tout par b : y égale moins a sur b fois x, moins c sur b. Donc m égale moins a sur b. Et cela ne se fait que si b est différent de zéro.
Question 18 · Équation réduite
- comment calculer le coefficient directeur
- kifech na7seb le coefficient directeur
- c'est quoi la pente d'une droite
- formule du coefficient directeur
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le coefficient directeur, walla la pente, y9oul 9addech y yzid ki x yzid b un. Ta7sbou men zouz points A w B 3la la droite : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Walla men l'équation cartésienne : $m = -\dfrac{a}{b}$. Ken positif, la droite totla3, w ken négatif, tahbet.
le coefficient directeur ، ولّا la pente ، يقول قدّاش y يزيد كي x يزيد بـ un . تحسبو من زوز points A w B على la droite : y B moins y A ، sur x B moins x A . ولّا من l'équation cartésienne : moins a sur b . كان positif ، la droite تطلع ، w كان négatif ، تهبط .
Le coefficient directeur, ou la pente, dit de combien y augmente quand x augmente de un. On le calcule à partir de deux points A et B de la droite : y B moins y A, sur x B moins x A. Ou à partir de l'équation cartésienne : moins a sur b. S'il est positif, la droite monte, et s'il est négatif, elle descend.
Question 19 · Perpendiculaires et pentes
- pourquoi le produit des pentes vaut -1
- produit des pentes égal à moins un ça veut dire quoi
- comment trouver la pente d'une droite perpendiculaire
- 3lech la pente mta3 la perpendiculaire hiya moins un sur m
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La droite $y = mx + p$ 3andha vecteur directeur $(1\,;m)$. W la droite lo5ra 3andha $(1\,;m')$. Fi repère orthonormé, ezzouz vecteurs orthogonaux ki $1 + mm' = 0$, ya3ni $mm' = -1$. Donc, ki $m \neq 0$, la pente mta3 la perpendiculaire hiya $-\dfrac{1}{m}$ : l'opposé de l'inverse.
la droite y égale m x plus p عندها vecteur directeur un ، m . w la droite الأخرى عندها un ، m prime . في repère orthonormé ، الزوز vecteurs orthogonaux كي un fois un plus m fois m prime égale zéro ، يعني m m prime égale moins un . donc ، كي m différent de zéro ، la pente متاع la perpendiculaire هي moins un sur m : l'opposé de l'inverse .
La droite y égale m x plus p a pour vecteur directeur un, m. Et l'autre droite un, m prime. Dans un repère orthonormé, ces deux vecteurs sont orthogonaux quand un fois un plus m fois m prime égale zéro, c'est-à-dire m m prime égale moins un. Quand m est différent de zéro, la pente de la perpendiculaire est donc moins un sur m : l'opposé de l'inverse.
Question 20 · Pour comprendre : la fonction x ↦ |ax + b|
- pourquoi la courbe de la valeur absolue est en V
- comment tracer la courbe de |ax + b|
- 3lech la courbe mta3 valeur absolue 3la chakl V
- courbe de la fonction valeur absolue
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater $|ax + b|$ 3andha zouz expressions. Ki $ax + b$ positif, hiya $ax + b$ : joz2 men droite. W ki négatif, hiya $-ax - b$ : joz2 men droite o5ra, symétrique m3a la première par rapport à l'axe des abscisses. Ne5dhou men koll wa7da el joz2 elli fou9 l'axe : yotl3ou zouz demi-droites 3la chakl V, w le sommet houwa le point de l'axe des abscisses d'abscisse $-\dfrac{b}{a}$.
خاطر valeur absolue de (a x plus b) عندها زوز expressions . كي a x plus b positif ، هي a x plus b : جزء من droite . w كي négatif ، هي moins a x moins b : جزء من droite أخرى ، symétrique مع la première par rapport à l'axe des abscisses . ناخذو من كل وحدة الجزء اللي فوق l'axe : يطلعو زوز demi-droites على شكل V ، w le sommet هو le point de l'axe des abscisses d'abscisse moins b sur a .
Parce que valeur absolue de (a x plus b) a deux expressions. Quand a x plus b est positif, elle vaut a x plus b : un morceau de droite. Et quand il est négatif, elle vaut moins a x moins b : un morceau d'une autre droite, symétrique de la première par rapport à l'axe des abscisses. On garde de chacune la partie située au-dessus de l'axe : on obtient deux demi-droites en forme de V, dont le sommet est le point de l'axe des abscisses d'abscisse moins b sur a.
Question 21 · Distance d'un point à une droite
- c'est quoi la distance d'un point à une droite
- chnowa la distance mta3 point l droite
- définition de la distance d'un point à une droite
- la distance d'un point à une droite ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La distance du point A à la droite D hiya la distance AH, w H houwa le projeté orthogonal de A sur D. Ya3ni tahbbet perpendiculaire men A 3la la droite, w t9is. Hiya a9sar masefa bin A w ayy point men la droite : koll point e5er M ya3ti AM atwel, 5ater AM hiya l'hypoténuse fi le triangle AHM.
la distance du point A à la droite D هي la distance A H ، w H هو le projeté orthogonal de A sur D . يعني تهبّط perpendiculaire من A على la droite ، w تقيس . هي أقصر مسافة بين A w أيّ point من la droite : كل point آخر M يعطي A M أطول ، خاطر A M هي l'hypoténuse في le triangle A H M .
La distance du point A à la droite D est la distance A H, où H est le projeté orthogonal de A sur D. Autrement dit, on abaisse la perpendiculaire de A sur la droite, et on mesure. C'est la plus courte distance entre A et un point de la droite : tout autre point M donne une distance A M plus grande, car A M est l'hypoténuse du triangle A H M.
Question 22 · La formule de la distance
- comment calculer la distance d'un point à une droite
- kifech na7seb la distance bin point w droite
- formule de la distance d'un point à une droite
- pourquoi la valeur absolue dans la formule de la distance
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi repère orthonormé, tekteb la droite mel chakl $ax + by + c = 0$. Ba3d : fel fou9, t3awwedh les coordonnées mta3 le point fi $ax + by + c$, w te5ou la valeur absolue, 5ater distance 3omrha ma tkoun négative. W fel louta, $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. W tdiviser.
في repère orthonormé ، تكتب la droite من الشكل a x plus b y plus c égale zéro . بعد : في الفوق ، تعوّض les coordonnées متاع le point في a x plus b y plus c ، w تاخو la valeur absolue ، خاطر distance عمرها ما تكون négative . w في اللوطة ، racine carrée de la somme a au carré plus b au carré . w تـ diviser .
Dans un repère orthonormé, on écrit la droite sous la forme a x plus b y plus c égale zéro. Ensuite : en haut, on remplace les coordonnées du point dans a x plus b y plus c, et on prend la valeur absolue, car une distance n'est jamais négative. Et en bas, racine carrée de la somme a au carré plus b au carré. Puis on divise.
Question 23 · Équation d'un cercle
- c'est quoi l'équation d'un cercle
- chnowa l'équation mta3 cercle
- comment écrire l'équation d'un cercle
- équation d'un cercle de centre I et de rayon R
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi repère orthonormé, le cercle elli le centre mte3ou $I(a\,;b)$ w le rayon R, l'équation mte3ou : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$. 3lech ? 5ater M 3la le cercle ki $IM = R$, w elli fel isar houwa bedhabt $IM^{2}$.
في repère orthonormé ، le cercle اللي le centre متاعو I a ، b w le rayon R ، l'équation متاعو : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré . علاش ؟ خاطر M على le cercle كي I M égale R ، w اللي في اليسار هو بالضبط I M au carré .
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre I a, b et de rayon R a pour équation : (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré. Pourquoi ? Parce que M est sur le cercle quand I M égale R, et le premier membre est exactement I M au carré.
Question 24 · Reconnaître un cercle
- comment trouver le centre et le rayon d'un cercle
- kifech nal9a le centre w le rayon
- lire le centre et le rayon sur l'équation
- comment trouver le centre avec la forme canonique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken l'équation maktouba $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$, ta9ra toul : le centre $(a\,;b)$, w le rayon racine carrée de elli fel imin. W ken maktouba $x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0$, ta3mel la forme canonique : tkammel le carré l x, w le carré l y, w t3addi les constantes lel imin.
كان l'équation مكتوبة (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré ، تقرا طول : le centre a ، b ، w le rayon racine carrée de اللي في اليمين . w كان مكتوبة x au carré plus y au carré plus a x plus b y plus c égale zéro ، تعمل la forme canonique : تكمّل le carré لـ x ، w le carré لـ y ، w تعدّي les constantes لليمين .
Si l'équation est écrite (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré égale R au carré, on lit directement : le centre a, b, et le rayon est la racine carrée du second membre. Et si elle est écrite x au carré plus y au carré plus a x plus b y plus c égale zéro, on passe par la forme canonique : on complète le carré en x, puis le carré en y, et on passe les constantes à droite.
Question 25 · Reconnaître un cercle
- est-ce que l'équation x² + y² + ax + by + c = 0 est toujours un cercle
- pourquoi l'ensemble est vide
- l'équation dima cercle walla le
- quand est-ce que l'ensemble des points est vide
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, mouch dima. Ba3d la forme canonique, tal9a fel isar somme mta3 zouz carrés, w fel imin nombre. Ken strictement positif, cercle. Ken nul, point wa7ed. W ken négatif, 7atta point ma y7a99a9 l'équation, 5ater zouz carrés ma ynajjmouch ya3tiw somme négative : l'ensemble vide.
لا ، موش ديما . بعد la forme canonique ، تلقى في اليسار somme متاع زوز carrés ، w في اليمين nombre . كان strictement positif ، cercle . كان nul ، point واحد . w كان négatif ، حتّى point ما يحقّق l'équation ، خاطر زوز carrés ما ينجّموش يعطيو somme négative : l'ensemble vide .
Non, pas toujours. Après la forme canonique, on a à gauche une somme de deux carrés, et à droite un nombre. S'il est strictement positif, c'est un cercle. S'il est nul, un seul point. Et s'il est négatif, aucun point ne vérifie l'équation, car deux carrés ne peuvent pas avoir une somme négative : l'ensemble est vide.
Question 26 · Exemple : un cercle et deux tangentes
- comment trouver l'équation de la tangente à un cercle
- kifech nal9a l'équation mta3 la tangente
- c'est quoi une tangente à un cercle
- tangente en un point du cercle méthode
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La tangente à un cercle en A hiya la droite elli tet3adda men A w perpendiculaire 3la le rayon $[IA]$. Donc le vecteur IA houwa vecteur normal liha. Ta7seb les composantes mte3ou, nsammiwhom a w b, w tekteb : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$. W tbassat.
la tangente à un cercle en A هي la droite اللي تتعدّى من A w perpendiculaire على le rayon I A . donc le vecteur I A هو vecteur normal ليها . تحسب les composantes متاعو ، نسمّيوهم a w b ، w تكتب : a fois (x moins x A) plus b fois (y moins y A) égale zéro . w تبسّط .
La tangente à un cercle en A est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon I A. Le vecteur I A est donc un vecteur normal à cette tangente. On calcule ses composantes, qu'on note a et b, et on écrit : a fois (x moins x A) plus b fois (y moins y A) égale zéro. Puis on simplifie.
Question 27 · Droite et cercle
- comment savoir si une droite coupe un cercle
- position d'une droite et d'un cercle
- kifech na3ref la droite t9oss le cercle walla le
- droite sécante ou extérieure à un cercle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ta7seb la distance du centre I à la droite, w tchoufha m3a le rayon R. Ken asghar men R, la droite t9oss le cercle fi zouz points : sécants. Ken tsewi R, tmessou fi point wa7ed : tangente. W ken akbar men R, ma yet9ablouch : extérieurs. Ma yelzmekch t7ell système.
تحسب la distance du centre I à la droite ، w تشوفها مع le rayon R . كان أصغر من R ، la droite تقصّ le cercle في زوز points : sécants . كان تساوي R ، تمسّو في point واحد : tangente . w كان أكبر من R ، ما يتقابلوش : extérieurs . ما يلزمكش تحلّ système .
On calcule la distance du centre I à la droite, et on la confronte au rayon R. Si elle est plus petite que R, la droite coupe le cercle en deux points : ils sont sécants. Si elle est égale à R, elle le touche en un seul point : elle est tangente. Et si elle est plus grande que R, ils ne se rencontrent pas : ils sont extérieurs. On n'a pas besoin de résoudre un système.
Question 28 · Intérieur et extérieur
- comment savoir si un point est à l'intérieur d'un cercle
- kifech na3ref point dekhel le cercle walla el barra
- point à l'extérieur du cercle comment vérifier
- intérieur ou extérieur d'un cercle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ta7seb $IM^{2}$, ya3ni t3awwedh les coordonnées mta3 le point fi $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$, w tchoufou m3a $R^{2}$. Ken asghar, le point à l'intérieur. Ken ysewih, 3la le cercle. W ken akbar, à l'extérieur. Rodd belek : tchouf m3a $R^{2}$, mouch m3a $R$.
تحسب I M au carré ، يعني تعوّض les coordonnées متاع le point في (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré ، w تشوفو مع R au carré . كان أصغر ، le point à l'intérieur . كان يساويه ، على le cercle . w كان أكبر ، à l'extérieur . رد بالك : تشوف مع R au carré ، موش مع R .
On calcule I M au carré, c'est-à-dire qu'on remplace les coordonnées du point dans (x moins a) au carré plus (y moins b) au carré, et on confronte le résultat à R au carré. S'il est plus petit, le point est à l'intérieur. S'il lui est égal, il est sur le cercle. Et s'il est plus grand, il est à l'extérieur. Attention : on confronte à R au carré, pas à R.
Question 29 · Points cocycliques
- c'est quoi des points cocycliques
- chnowa points cocycliques
- comment montrer que quatre points sont cocycliques
- cocycliques ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Des points cocycliques houma points el koll 3la nafs le cercle. Bech tthabbetha l arb3a points : tlawwej 3la le centre mta3 le cercle elli yet3adda men tletha menhom, b zouz médiatrices. Ta7seb le rayon au carré, w ba3d tethbet elli le quatrième point 3la nafs la distance men le centre.
des points cocycliques هوما points الكل على نفس le cercle . باش تثبتها لأربعة points : تلوّج على le centre متاع le cercle اللي يتعدّى من ثلاثة منهم ، بزوز médiatrices . تحسب le rayon au carré ، و بعد تثبت اللي le quatrième point على نفس la distance من le centre .
Des points cocycliques sont des points situés sur un même cercle. Pour le prouver avec quatre points : on cherche le centre du cercle passant par trois d'entre eux, à l'aide de deux médiatrices. On calcule le carré du rayon, puis on vérifie que le quatrième point est à la même distance du centre.
Question 30 · Pour comprendre : un repère dans la figure
- comment choisir un repère dans une figure
- kifech ne5tar le repère
- quel repère choisir pour un parallélogramme
- pourquoi on choisit un repère porté par la figure
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Te5tar repère y5alli les coordonnées sehlin : l'origine fi sommet, w les vecteurs de base 3la zouz côtés. Mathalan fi parallélogramme ABCD : $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$. Hakka B 3andou $(1\,;0)$ w D 3andou $(0\,;1)$. W ken el mas2la fiha perpendicularité walla distance, lezem te5tar repère orthonormé.
تختار repère يخلّي les coordonnées ساهلين : l'origine في sommet ، w les vecteurs de base على زوز côtés . مثلا في parallélogramme A B C D : A ، le vecteur A B ، le vecteur A D . هكّا B عندو un ، zéro ، w D عندو zéro ، un . w كان المسألة فيها perpendicularité ولّا distance ، لازم تختار repère orthonormé .
On choisit un repère qui rend les coordonnées simples : l'origine en un sommet, et les vecteurs de base sur deux côtés. Par exemple dans un parallélogramme A B C D : A, le vecteur A B, le vecteur A D. Ainsi B a pour coordonnées un, zéro, et D zéro, un. Et si le problème parle de perpendicularité ou de distance, il faut choisir un repère orthonormé.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Le milieu d'un segment
Dans un repère cartésien, on donne les points et Calculer l'ordonnée du milieu du segment
Donne l'ordonnée du milieu I.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- L'ordonnée du milieu est la demi-somme des ordonnées des deux extrémités.
- Les ordonnées de et de sont et : additionne-les, puis divise.
- La formule du milieu, pour les ordonnées.
Correction
- La formule — L'ordonnée du milieu est la demi-somme des ordonnées des extrémités.
- Le calcul — On remplace par neuf et zéro.
De même, l'abscisse du milieu vaut c'est-à-dire zéro : le point est sur l'axe des ordonnées.
Pièges anticipés
9→ Tu as additionné les ordonnées, mais il faut encore diviser par0→ Zéro, c'est l'abscisse du milieu. On demande son ordonnée.-9/2→ On additionne les ordonnées, on ne les soustrait pas : la différence sert pour les composantes d'un vecteur, pas pour un milieu.
Exercice 2 · base
Barycentre de deux points
Dans un repère cartésien, on donne les points et Soit le barycentre du point affecté du coefficient et du point affecté du coefficient Calculer l'abscisse du point
Donne l'abscisse du point G, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- L'abscisse du barycentre est la moyenne pondérée des abscisses.
- Multiplie chaque abscisse par son coefficient, additionne, puis divise par la somme des coefficients.
- La somme des coefficients vaut moins un plus quatre.
Correction
- La somme des coefficients — Elle n'est pas nulle : le barycentre existe.
- L'abscisse — On multiplie chaque abscisse par son coefficient, on additionne, puis on divise par trois.
Avec les ordonnées, on trouverait c'est-à-dire
Pièges anticipés
2→ Tu as bien calculé le numérateur, Il reste à diviser par la somme des coefficients.2/5→ Le coefficient garde son signe dans la somme : vaut pas-9→ Moins neuf, c'est l'ordonnée de On demande son abscisse.
Exercice 3 · pratique
Barycentre de trois points
Dans un repère cartésien, on donne les points et Soit le barycentre des points et affectés des coefficients respectifs et Calculer l'abscisse du point
Donne l'abscisse du point G.
Réponse attendue : -15/2 — aussi acceptées : -7.5
Indices, dans l’ordre
- Commence par la somme des trois coefficients : est-elle différente de zéro ?
- Multiplie chaque abscisse par son coefficient : pour pour et pour
- Divise le résultat par la somme des coefficients, qui vaut deux.
Correction
- La somme des coefficients — Trois moins deux plus un.
- Le numérateur — On multiplie chaque abscisse par son coefficient.
- L'abscisse — On divise par la somme des coefficients.
Pour l'ordonnée, le même calcul donne
Pièges anticipés
-15→ C'est le numérateur. Il reste à diviser par la somme des coefficients, qui vaut-5/2→ On divise par c'est-à-dire par : le coefficient garde son signe.-5→ On ne divise pas par le nombre de points, mais par la somme des coefficients.
Exercice 4 · base
Centre de gravité
Dans un repère cartésien, on donne les points et Calculer l'abscisse du centre de gravité du triangle
Donne l'abscisse du point G, sous forme de fraction.
Réponse attendue : -2/3
Indices, dans l’ordre
- Le centre de gravité est le barycentre des trois sommets, tous avec le coefficient
- Additionne les trois abscisses.
- Divise la somme par trois.
Correction
- La formule — L'abscisse du centre de gravité est la moyenne des trois abscisses.
- Le calcul — Deux moins un moins trois donne moins deux.
Pour l'ordonnée : c'est-à-dire
Pièges anticipés
-2→ Tu as additionné les trois abscisses. Il reste à diviser par-1→ Il y a trois sommets : on divise par pas par2→ Deux, c'est l'ordonnée de On demande son abscisse.
Exercice 5 · base
Un point sur la droite ?
Soit la droite d'équation Le point appartient-il à la droite ?
Réponds par « oui » ou par « non ».
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non, il n'appartient pas à D · il n'appartient pas à D · C n'appartient pas à D · il n'appartient pas · n'appartient pas · non il n'appartient pas · il appartient pas · non, C n'appartient pas à D
Indices, dans l’ordre
- Un point est sur la droite quand ses coordonnées vérifient l'équation.
- Remplace par et par dans l'expression
- Le résultat est-il égal à zéro ?
Correction
- On remplace — On remplace x par quatre et y par deux.
- On conclut — Le résultat n'est pas nul : les coordonnées de ne vérifient pas l'équation.
Le point n'appartient pas à En revanche, le point de coordonnées et lui appartient, car vaut zéro.
Pièges anticipés
oui / oui il appartient / il appartient à D→ Refais le calcul : vaut pas zéro.
Exercice 6 · base
Trouver le coefficient c
Dans un repère cartésien, on donne les points et La droite a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Le point est sur la droite : ses coordonnées vérifient l'équation.
- Remplace par et par dans l'équation, et garde comme inconnue.
- Tu obtiens une équation du premier degré en Tu pourras vérifier ta réponse avec le point
Correction
- Avec le point A — Les coordonnées de A vérifient l'équation.
- On résout — Moins huit plus c égale zéro.
- On vérifie avec C — Les coordonnées de l'autre point doivent aussi convenir.
La droite a pour équation
Pièges anticipés
-8→ On a donc : est l'opposé de-4→ Attention au signe : vaut donc donne pas
Exercice 7 · pratique
L'équation d'une médiane
Dans un repère cartésien, on considère le triangle où et On désigne par le milieu du côté Déterminer l'équation réduite de la médiane
Donne l'expression de en fonction de x.
Réponse attendue : 3x/8+7/4 — aussi acceptées : (3x+14)/8 · 0.375x+1.75
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord les coordonnées du milieu de
- Le coefficient directeur de est la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses.
- Pour l'ordonnée à l'origine, écris que les coordonnées de vérifient
Correction
- Le milieu I — On prend la demi-somme des coordonnées de B et de C.
- La pente — On divise la différence des ordonnées par la différence des abscisses.
- L'ordonnée à l'origine — On écrit que A est sur la droite.
- L'équation réduite — On rassemble la pente et l'ordonnée à l'origine.
On vérifie avec : vaut bien
Pièges anticipés
8x/3+19/3→ La pente est la différence des ordonnées sur la différence des abscisses : divisé par et non l'inverse.3x/8+1→ L'ordonnée à l'origine n'est pas l'ordonnée de : c'est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse zéro.
Exercice 8 · base
À chaque droite son équation
Sur la figure, quatre droites et sont tracées dans un repère cartésien. L'une d'elles a pour équation Laquelle ?
Un repère d'origine O avec quatre droites. La droite D₁, en bleu, passe par l'origine et monte vers la droite. La droite D₂, en vert, est verticale et passe par le point d'abscisse 2 de l'axe horizontal. La droite D₃, en rouge, descend vers la droite : elle passe par le point d'ordonnée 2 de l'axe vertical et par le point d'abscisse 1 de l'axe horizontal. La droite D₄, en orange, monte fortement vers la droite : elle passe par le point d'abscisse −2 de l'axe horizontal et par le point d'ordonnée 6 de l'axe vertical.
Écris le nom de la droite, par exemple D1.
Réponse attendue : D3 — aussi acceptées : D_3 · D₃ · la droite D3 · c'est D3 · droite D3 · c'est la droite D3 · D 3 · D3 (rouge) · la droite rouge · rouge
Indices, dans l’ordre
- Cherche deux points faciles de la droite d'équation
- Fais : quelle ordonnée trouves-tu ? Puis fais
- La droite cherchée passe par le point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées et par le point d'abscisse sur l'axe des abscisses.
Correction
- Avec x égal à zéro — On trouve y égale deux : la droite passe par le point de coordonnées zéro et deux.
- Avec y égal à zéro — On trouve x égale un : la droite passe par le point de coordonnées un et zéro.
- On lit la figure — La seule droite qui passe par ces deux points est la droite rouge, D trois.
Les autres équations se reconnaissent de même : a pour équation a pour équation et a pour équation
Pièges anticipés
D4 / D_4 / la droite D4→ passe par le point de coordonnées et : or ne vaut pas zéro.D1 / D_1 / la droite D1→ passe par l'origine : or ne vaut pas zéro.D2 / D_2 / la droite D2→ est verticale : son équation ne contient pas Ici, apparaît dans l'équation.
Exercice 9 · base
Un vecteur directeur
Soit la droite d'équation Le vecteur de composantes et est un vecteur directeur de Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Pour la droite d'équation le vecteur de composantes et est un vecteur directeur.
- Ici, cela donne le vecteur de composantes et
- Le vecteur doit lui être colinéaire : par combien multiplie-t-on pour obtenir ?
Correction
- Un vecteur directeur — On lit moins b et a sur l'équation : moins quatre et cinq demis.
- Le vecteur u — Sa première composante est moins huit, le double de moins quatre : on double aussi la seconde.
Tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur est encore un vecteur directeur : on peut ainsi choisir des composantes entières.
Pièges anticipés
5/2→ Le vecteur de composantes et est bien directeur, mais ici la première composante est : il faut doubler aussi la seconde.-5→ Le vecteur directeur est de composantes et : seul change de signe.-64/5→ Tu as pris le vecteur de composantes et : celui-là est normal à la droite, pas directeur.
Exercice 10 · pratique
Deux droites parallèles
Dans un repère cartésien, on considère la droite d'équation et la droite d'équation où est un réel. Pour quelle valeur de les droites et sont-elles parallèles ?
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Deux droites sont parallèles quand
- Ici et
- Écris l'égalité et résous l'équation en
Correction
- La condition — On écrit que a b prime moins a prime b égale zéro.
- On résout — Deux k plus six égale zéro.
On retrouve la droite d'équation : ses coefficients et sont le triple de et
Pièges anticipés
3→ Attention au double signe moins : vaut donc12→ Tu as écrit : c'est la condition pour des droites perpendiculaires.
Exercice 11 · pratique
Le point d'intersection
Dans un repère cartésien, on considère la droite d'équation et la droite d'équation Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (6;7) — aussi acceptées : (6,7) · 6;7 · x=6;y=7 · x=6 et y=7 · (x;y)=(6;7) · I(6;7) · I(6,7) · 6 et 7 · x=6 y=7 · x=6, y=7 · K(6;7) · K(6,7) · M(6;7) · M(6,7) · A(6;7) · A(6,7) · P(6;7) · P(6,7) · J(6;7) · J(6,7) · N(6;7) · N(6,7) · E(6;7) · E(6,7) · H(6;7) · H(6,7) · S(6;7) · S(6,7) · Ω(6;7) · Ω(6,7)
Indices, dans l’ordre
- Le point d'intersection vérifie les deux équations à la fois.
- Remplace par dans l'équation de
- Tu obtiens une équation en seulement. N'oublie pas de calculer ensuite
Correction
- On remplace — On remplace y par deux x moins cinq dans la première équation.
- On résout — Moins x plus six égale zéro.
- L'ordonnée — On revient à la seconde équation.
On vérifie dans la première équation : vaut bien zéro.
Pièges anticipés
(7;6) / (7,6) / 7;6→ L'abscisse s'écrit en premier : et(-4;-13) / (-4,-13)→ Attention au signe devant la parenthèse : donne
Exercice 12 · pratique
Une parallèle passant par un point
Dans un repère cartésien, on considère la droite d'équation et le point Soit la droite passant par et parallèle à Calculer l'ordonnée à l'origine de
Donne l'ordonnée à l'origine
Réponse attendue : -11/2 — aussi acceptées : -5.5
Indices, dans l’ordre
- Mets d'abord sous forme réduite pour lire sa pente.
- Deux droites parallèles ont la même pente : a une équation de la forme
- Écris que les coordonnées de vérifient cette équation.
Correction
- La pente de D — On isole y : quatre y égale deux x.
- La forme de — Elle a la même pente, un demi.
- Avec le point A — On remplace x par cinq et y par moins trois.
La droite a pour équation réduite ou encore
Pièges anticipés
-1/2→ On a : les deux termes sont négatifs.11/2→ Le signe est faux : est négatif.-11→ Moins onze est le coefficient de l'équation cartésienne L'ordonnée à l'origine se lit sur l'équation réduite.
Exercice 13 · raisonnement
Deux intersections dans un parallélogramme
est un parallélogramme. Les points et sont tels que les vecteurs et sont tous deux égaux au tiers du vecteur Le point est l'intersection des droites et Dans le repère calculer l'ordonnée du point
Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Sur la droite (AB), le point E est au tiers de [AB] à partir de A, et le point F est au-delà de B, à un tiers de AB après B. La diagonale [AC] et la droite (DE) se coupent en R. La droite (DF) coupe le côté [BC] en S. Les points R et S semblent à la même hauteur.
Donne l'ordonnée du point S.
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- Dans ce repère, a pour coordonnées et a pour coordonnées et Quelles sont celles de ?
- La droite est l'ensemble des points d'abscisse : c'est l'abscisse de
- Écris une équation de la droite puis remplace par
Correction
- Les coordonnées — A est l'origine, B a pour coordonnées un et zéro, D zéro et un. Le point F est à un tiers au-delà de B.
- L'abscisse de S — S est sur la droite B C, formée des points d'abscisse un.
- La droite — Le vecteur D F a pour composantes quatre tiers et moins un. On écrit qu'il est colinéaire au vecteur de composantes x et y moins un, puis on multiplie par trois.
- L'ordonnée de S — On remplace x par un.
On montre de même que a pour coordonnées et : les points et ont la même ordonnée, donc la droite est parallèle à la droite
Pièges anticipés
1/3→ Un tiers, c'est le rapport donné dans l'énoncé, pas l'ordonnée de : il faut passer par l'équation de3/4→ Tu as trouvé : relis le calcul, donne
Exercice 14 · defi
Une homothétie dans un trapèze
Dans un repère cartésien, on donne les points et Le quadrilatère est un trapèze. Soit l'homothétie qui envoie en et en Déterminer le rapport de l'homothétie
Donne le rapport
Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5
Indices, dans l’ordre
- Une homothétie de rapport transforme le vecteur en fois ce vecteur.
- L'image de est et l'image de est : le vecteur est égal à fois le vecteur
- Calcule les composantes des vecteurs et et fais attention au sens.
Correction
- La propriété — L'image du vecteur A B est le vecteur C D, et il vaut k fois le vecteur A B.
- Les composantes — Le vecteur A B a pour composantes quatre et zéro ; le vecteur C D a pour composantes moins deux et zéro.
- Le rapport — Moins deux égale k fois quatre.
Le rapport est négatif : le centre de l'homothétie est entre et C'est le point de coordonnées et intersection des diagonales du trapèze.
Pièges anticipés
1/2→ Les vecteurs et sont de sens contraires : le rapport est négatif.-2→ Tu as divisé dans le mauvais sens : c'est le vecteur image qui vaut fois le vecteur2→ Le rapport est sur et les deux vecteurs sont de sens contraires.
Exercice 15 · base
Une droite donnée par un vecteur normal
Dans un repère orthonormé, soit la droite passant par le point et dont un vecteur normal a pour composantes et La droite a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : -7
Indices, dans l’ordre
- Les composantes du vecteur normal sont les coefficients de et de : c'est pour cela que l'équation commence par
- Le point est sur la droite : remplace par et par
- Résous l'équation en que tu obtiens.
Correction
- La forme de l’équation — Le vecteur normal donne les coefficients de x et de y : un et un.
- Avec le point A — On remplace x par sept et y par zéro.
La droite a pour équation
Pièges anticipés
7→ On a : est l'opposé de
Exercice 16 · pratique
Deux droites perpendiculaires
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et la droite d'équation où est un réel. Pour quelle valeur de les droites et sont-elles perpendiculaires ?
Donne la valeur de
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires quand
- Ici et
- Écris l'égalité et résous l'équation en
Correction
- La condition — On écrit que a a prime plus b b prime égale zéro.
- On résout — Trente moins cinq k égale zéro.
Les droites d'équations et sont perpendiculaires : on a échangé les coefficients et changé un signe.
Pièges anticipés
-6→ Le produit vaut : on a donc est positif.-25/6→ Tu as écrit : c'est la condition pour des droites parallèles.
Exercice 17 · pratique
Une perpendiculaire passant par un point
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le point Soit la droite passant par et perpendiculaire à Déterminer le coefficient directeur de
Donne le coefficient directeur de la perpendiculaire.
Réponse attendue : 1/3
Indices, dans l’ordre
- Mets sous forme réduite pour lire sa pente.
- Deux droites sont perpendiculaires quand le produit de leurs pentes vaut
- La pente de est : quel nombre, multiplié par donne ?
Correction
- La pente de D — On isole y.
- La condition — Le produit des deux pentes vaut moins un.
- La pente de — On divise moins un par moins trois.
Avec le point on trouve ensuite l'équation réduite de :
Pièges anticipés
-3→ Moins trois est la pente de Celle de est le nombre dont le produit avec vaut3→ Changer le signe ne suffit pas : il faut l'opposé de l'inverse.-1/3→ multiplié par donne pas
Exercice 18 · pratique
La médiatrice d'un segment
Dans un repère orthonormé, on donne les points et La médiatrice du segment coupe l'axe des ordonnées en un point Calculer l'ordonnée du point
Donne l'ordonnée du point K.
Réponse attendue : 29/8 — aussi acceptées : 3.625
Indices, dans l’ordre
- La médiatrice passe par le milieu de et elle est perpendiculaire à
- Le vecteur est donc un vecteur normal à la médiatrice.
- Écris l'équation de la médiatrice, puis remplace par zéro.
Correction
- Le milieu — On prend la demi-somme des coordonnées.
- Un vecteur normal — Le vecteur A B a pour composantes moins cinq et moins quatre ; on peut prendre son opposé, de composantes cinq et quatre.
- L'équation — On écrit que le vecteur qui va du milieu au point M est orthogonal au vecteur normal, on développe, puis on multiplie par deux.
- Sur l'axe des ordonnées — On remplace x par zéro.
On peut vérifier que est à la même distance de et de : c'est la propriété de la médiatrice.
Pièges anticipés
3→ Trois est l'ordonnée du milieu de qui n'est pas sur l'axe des ordonnées : son abscisse vaut29/10→ Tu as remplacé par zéro : c'est le point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Exercice 19 · base
Lire un coefficient directeur
Dans un repère cartésien, soit la droite d'équation Déterminer le coefficient directeur de
Donne le coefficient directeur
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient directeur se lit sur l'équation réduite, de la forme
- Isole : commence par écrire en fonction de
- Divise ensuite tous les termes par deux.
Correction
- On isole y — On passe moins deux y dans l'autre membre.
- L'équation réduite — On divise par deux.
Le coefficient directeur est et l'ordonnée à l'origine est On retrouve la formule
Pièges anticipés
-3/2→ Ici : vaut qui est positif.3→ Le coefficient se lit devant dans l'équation cartésienne, mais il faut d'abord isoler2/3→ La pente est pas1/2→ Un demi est l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie
Exercice 20 · base
La pente par deux points
Dans un repère cartésien, on donne les points et Calculer le coefficient directeur de la droite
Donne le coefficient directeur, sous forme de fraction.
Réponse attendue : -5/7
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient directeur est la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses.
- Garde le même ordre en haut et en bas : moins dans les deux cas.
- La formule de la pente.
Correction
- La formule — La différence des ordonnées sur la différence des abscisses.
- Le calcul — Cinq moins zéro en haut, moins quatre moins trois en bas.
La pente est négative : la droite descend quand on avance vers la droite.
Pièges anticipés
-7/5→ Les ordonnées vont au numérateur et les abscisses au dénominateur, pas l'inverse.5/7→ vaut : le dénominateur est négatif, donc la pente aussi.
Exercice 21 · pratique
Un point et une pente
Dans un repère cartésien, déterminer l'équation réduite de la droite passant par le point et de coefficient directeur
Écris seulement l'expression en sans « ».
Réponse attendue : -6x+3 — aussi acceptées : 3-6x
Indices, dans l’ordre
- L'équation réduite est de la forme
- Le point est sur la droite : remplace par et par
- Tu obtiens : isole
Correction
- La forme — La pente est moins six.
- Avec le point A — On remplace x par un et y par moins trois.
- L'équation réduite — On remplace p par trois.
On vérifie : pour on trouve c'est-à-dire l'ordonnée de
Pièges anticipés
-6x-3→ L'ordonnée à l'origine n'est pas l'ordonnée de : a pour abscisse pas zéro.-6x-9→ De on tire c'est-à-dire
Exercice 22 · pratique
Le sommet du V
Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction définie par est formée de deux demi-droites de même origine située sur l'axe des abscisses. Déterminer l'abscisse du point
Donne l'abscisse du point S.
Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5
Indices, dans l’ordre
- Le point est sur l'axe des abscisses : son ordonnée est nulle.
- Une valeur absolue est nulle seulement quand ce qu'elle contient est nul.
- Résous l'équation
Correction
- La condition — La courbe touche l'axe des abscisses quand f de x égale zéro, c'est-à-dire quand quatre x plus deux égale zéro.
- On résout — Quatre x égale moins deux.
À droite de la courbe est portée par la droite d'équation ; à gauche, par la droite d'équation
Pièges anticipés
1/2→ On résout : donc est négatif.-2→ donne pas2→ Deux est la valeur de en zéro, c'est-à-dire l'ordonnée du point de la courbe situé sur l'axe des ordonnées.
Exercice 23 · base
Distance d'un point à une droite
Dans un repère orthonormé, calculer la distance du point à la droite d'équation
Donne la valeur exacte de la distance.
Réponse attendue : 2*sqrt(2) — aussi acceptées : 4/sqrt(2) · sqrt(8)
Indices, dans l’ordre
- Écris d'abord l'équation de sous la forme
- On obtient : donc et
- Applique la formule : la valeur absolue de fois l'abscisse de plus fois son ordonnée, plus divisée par la racine carrée de la somme
Correction
- L'équation cartésienne — On ramène tout dans le même membre.
- Le numérateur — On remplace x par zéro et y par un, et on prend la valeur absolue.
- Le dénominateur — La racine carrée de la somme un au carré plus un au carré.
- La distance — On divise, puis on simplifie.
La distance vaut soit environ
Pièges anticipés
4→ Quatre est le numérateur. Il reste à diviser par c'est-à-dire par3*sqrt(2) / 6/sqrt(2)→ L'équation s'écrit : c'est et non qu'il faut mettre dans la formule.2→ On divise par la racine carrée de la somme pas par
Exercice 24 · pratique
L'aire d'un quadrilatère
Dans un repère orthonormé d'origine la droite d'équation coupe l'axe des abscisses en et l'axe des ordonnées en La droite d'équation coupe l'axe des abscisses en et l'axe des ordonnées en Calculer l'aire du quadrilatère
Donne l'aire, en unités d'aire.
Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5
Indices, dans l’ordre
- Trouve les quatre points : sur l'axe des abscisses sur l'axe des ordonnées
- Le quadrilatère est ce qui reste du triangle quand on lui enlève le triangle
- Ces deux triangles sont rectangles en : leur aire est la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit.
Correction
- Les points de D — Avec y égal à zéro on trouve A, avec x égal à zéro on trouve B.
- Les points de — De même pour la seconde droite.
- Le grand triangle — Le triangle O E C est rectangle en O.
- Le petit triangle — Le triangle O A B est rectangle en O.
- L'aire du quadrilatère — On retranche le petit triangle du grand.
Les axes du repère sont perpendiculaires et gradués avec la même unité : c'est ce qui permet de calculer ces aires.
Pièges anticipés
4→ Quatre est l'aire du triangle Il faut lui enlever le triangle9/2→ On retranche le petit triangle du grand, on ne l'ajoute pas.1/2→ Un demi est l'aire du triangle la partie qu'on enlève.
Exercice 25 · base
Lire le rayon
Dans un repère orthonormé, un cercle a pour équation Déterminer son rayon.
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : sqrt(3)/2
Indices, dans l’ordre
- L'équation est de la forme
- Le second membre est le carré du rayon.
- Prends la racine carrée du second membre : celle du numérateur, puis celle du dénominateur.
Correction
- Le carré du rayon — On le lit dans le second membre.
- Le rayon — On prend la racine carrée : le rayon est la moitié de racine de trois.
Le centre de ce cercle est le point de coordonnées et
Pièges anticipés
3/4→ Trois quarts est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.3/8→ On ne divise pas par deux : on prend la racine carrée.
Exercice 26 · pratique
Reconnaître un cercle
Dans un repère orthonormé, l'ensemble des points de coordonnées et vérifiant est un cercle. Déterminer les coordonnées de son centre.
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (4;-2) — aussi acceptées : (4,-2) · 4;-2 · I(4;-2) · I(4,-2) · x=4;y=-2 · x=4 et y=-2 · centre (4;-2) · le centre (4;-2) · centre I(4;-2) · x=4 y=-2 · x=4, y=-2 · 4 et -2 · Ω(4;-2) · Ω(4,-2) · O(4;-2) · O(4,-2) · C(4;-2) · C(4,-2) · K(4;-2) · K(4,-2) · M(4;-2) · M(4,-2) · A(4;-2) · A(4,-2) · J(4;-2) · J(4,-2) · S(4;-2) · S(4,-2) · E(4;-2) · E(4,-2) · H(4;-2) · H(4,-2) · 4,-2 · centre Ω(4;-2) · le centre est Ω(4;-2)
Indices, dans l’ordre
- Regroupe les termes en puis les termes en et complète les carrés.
- est le début de ; est le début de
- Dans le centre a pour coordonnées et : attention aux signes.
Correction
- Les termes en x — On complète le carré.
- Les termes en y — De même pour y.
- La forme canonique — On remplace, et on passe les constantes à droite : seize plus quatre moins cinq.
- Le centre — On lit les nombres qui annulent chaque parenthèse : quatre et moins deux.
C'est le cercle de centre le point de coordonnées et et de rayon
Pièges anticipés
(-4;2) / (-4,2) / -4;2→ Le centre annule les parenthèses : donne et donne(8;-4) / (8,-4) / 8;-4→ Il faut prendre la moitié des coefficients de et de : est le début de(-8;4) / (-8,4) / -8;4→ Ce sont les coefficients de et de dans l'équation. Le centre s'obtient avec leurs moitiés, changées de signe.
Exercice 27 · raisonnement
Un cercle, vraiment ?
Dans un repère orthonormé, déterminer l'ensemble des points de coordonnées et vérifiant
Décris l'ensemble E en un ou deux mots : un cercle, un point, vide…
Réponse attendue : vide — aussi acceptées : l'ensemble vide · ensemble vide · ∅ · E est vide · c'est l'ensemble vide · E = ∅ · aucun point · aucun · E={} · E = {} · il n'y a aucun point · pas de point · aucun point ne convient · E=Ø · E est l'ensemble vide · E = ensemble vide · E = l'ensemble vide · E=l'ensemble vide · E=ensemble vide · c'est vide
Indices, dans l’ordre
- Complète les carrés, pour puis pour
- On obtient et Que vaut le second membre ?
- Regarde le signe du second membre : une somme de deux carrés peut-elle être négative ?
Correction
- Les termes en x — On complète le carré.
- Les termes en y — De même pour y.
- Le second membre — On passe les constantes à droite : quatre neuvièmes plus un quart moins deux.
- On conclut — Le second membre est strictement négatif, alors qu'une somme de deux carrés est toujours positive ou nulle. Aucun point ne convient.
L'ensemble est vide : une équation de la forme n'est pas toujours celle d'un cercle.
Pièges anticipés
cercle / un cercle / c'est un cercle→ Pour que ce soit un cercle, le second membre de la forme canonique doit être strictement positif. Calcule-le.un point / point→ Ce serait un seul point si le second membre était nul. Ici, il est strictement négatif.
Exercice 28 · pratique
Un cercle tangent à une droite
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le point Calculer le rayon du cercle de centre et tangent à la droite
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : 3/sqrt(13) — aussi acceptées : 3*sqrt(13)/13
Indices, dans l’ordre
- Un cercle est tangent à une droite quand la distance de son centre à la droite est égale à son rayon.
- Calcule la distance du point à la droite avec la formule.
- Au numérateur : la valeur absolue de Au dénominateur : la racine carrée de la somme
Correction
- La condition — Le cercle est tangent à la droite : son rayon est la distance du centre A à la droite D.
- Le numérateur — On remplace x par moins un et y par deux.
- Le dénominateur — La racine carrée de la somme quatre plus neuf.
- Le rayon — On divise.
Le cercle a pour équation
Pièges anticipés
3→ Trois est le numérateur. Il reste à diviser par9/13→ Neuf treizièmes est le carré du rayon, celui qu'on écrit dans l'équation du cercle.3/13→ On divise par la racine carrée de la somme pas par
Exercice 29 · pratique
Sécante, tangente ou extérieure ?
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le cercle d'équation Quelle est la position de la droite par rapport au cercle : sécante, tangente ou extérieure ?
Réponds par un mot : sécante, tangente ou extérieure.
Réponse attendue : secante — aussi acceptées : sécante · elle est sécante · sécants · D est sécante au cercle · la droite est sécante au cercle · sécante au cercle · D est sécante · elle coupe le cercle en deux points · coupe le cercle en deux points · elle coupe le cercle en 2 points · deux points communs · la droite est sécante · sécant · secant · D est sécante au cercle · D et le cercle sont sécants · elle est sécante au cercle · la droite D est sécante
Indices, dans l’ordre
- Lis le centre et le rayon du cercle sur son équation.
- Écris la droite sous la forme puis calcule la distance du centre à la droite.
- Compare cette distance au rayon, qui vaut
Correction
- Le cercle — Son centre a pour coordonnées trois et quatre, et son rayon vaut cinq.
- La droite — On ramène tout dans le même membre.
- La distance — On applique la formule avec les coordonnées du centre.
- On compare — Racine de deux est plus petit que cinq : la distance du centre à la droite est inférieure au rayon.
La droite est sécante au cercle : elle le coupe en deux points.
Pièges anticipés
tangente / elle est tangente→ La droite serait tangente si la distance du centre à la droite était égale au rayon. Ici elle vaut et le rayon vautextérieure / exterieure / elle est extérieure→ La droite serait extérieure si la distance était plus grande que le rayon. Compare et
Exercice 30 · base
Intérieur ou extérieur ?
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle de centre et de rayon et le point Le point est-il à l'intérieur du cercle, sur le cercle ou à l'extérieur du cercle ?
Réponds par : à l'intérieur, sur le cercle ou à l'extérieur.
Réponse attendue : à l'extérieur — aussi acceptées : extérieur · exterieur · il est à l'extérieur · A est à l'extérieur · à l'extérieur du cercle · A est à l'extérieur du cercle · a l exterieur · il est à l'extérieur du cercle · A est extérieur au cercle · extérieur au cercle · A est extérieur · il est extérieur · il est extérieur au cercle · le point A est à l'extérieur du cercle · A est à l'extérieur du cercle C
Indices, dans l’ordre
- Calcule le carré de la distance
- Le vecteur a pour composantes et
- Compare avec le carré du rayon, qui vaut
Correction
- Le carré de la distance — On additionne les carrés des composantes du vecteur I A.
- Le carré du rayon — Racine de deux, au carré.
- On compare — Vingt est plus grand que deux : le point A est plus loin du centre que le rayon.
Le point est à l'extérieur du cercle.
Pièges anticipés
à l'intérieur / intérieur / interieur / il est à l'intérieur→ Le point serait à l'intérieur si était plus petit que Or est plus grand quesur le cercle / il est sur le cercle→ Le point serait sur le cercle si était égal à Or n'est pas égal à
Exercice 31 · raisonnement
Deux équations, une seule droite
Les équations et sont deux équations cartésiennes d'une même droite. Combien y a-t-il de couples de réels et qui conviennent ?
Donne le nombre de couples.
Réponse attendue : 2 — aussi acceptées : deux · 2 couples · deux couples · il y a 2 couples · il y a deux couples · il y en a 2 · il y en a deux
Indices, dans l’ordre
- Deux équations décrivent la même droite quand leurs coefficients sont proportionnels.
- Les coefficients et sont proportionnels à et
- Avec le premier et le dernier coefficient, tu obtiens Combien de valeurs pour ?
Correction
- La proportionnalité — Les coefficients trois, b, c sont proportionnels à c, moins deux, douze.
- Le coefficient c — On égale les produits en croix du premier et du dernier coefficient.
- Le coefficient b — On égale les produits en croix des deux premiers coefficients.
- Les couples — Si c vaut six, b vaut moins un. Si c vaut moins six, b vaut un.
Il y a exactement deux couples : et ou bien et
Pièges anticipés
1 / un / un seul / 1 couple / un couple→ L'équation a deux solutions : et Chacune donne un couple.0 / aucun / zéro→ Il y en a : essaie et cherche
Exercice 32 · defi
Un ensemble de points
Soit un triangle rectangle en tel que et On choisit un repère orthonormé d'origine dans lequel et L'ensemble des points du plan tels que est un cercle. Déterminer son rayon.
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : 3*sqrt(5)/2 — aussi acceptées : sqrt(45)/2 · sqrt(45/4)
Indices, dans l’ordre
- Note et les coordonnées de et écris et
- Développe et regroupe : tu obtiens Divise tout par
- Complète les carrés dans
Correction
- Les trois carrés — On écrit chaque carré de distance avec les coordonnées x et y de M.
- On développe — On additionne, en comptant deux fois le troisième.
- On simplifie — On passe soixante-six à gauche et on divise par quatre.
- La forme canonique — On complète les deux carrés : huit plus un plus neuf quarts.
- Le rayon — On prend la racine carrée de quarante-cinq quarts : la moitié de racine de quarante-cinq, et racine de quarante-cinq vaut trois racine de cinq.
C'est le cercle de centre le point de coordonnées et : ce centre est le barycentre des points et affectés des coefficients respectifs et
Pièges anticipés
45/4→ Quarante-cinq quarts est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.sqrt(66)→ Le second membre n'est pas le carré du rayon : il faut d'abord développer et mettre l'équation sous forme canonique.
Exercice 33 · base
La chasse aux entiers
Dans un repère orthonormé d'origine on considère le rectangle avec et Combien y a-t-il de points à coordonnées entières dans ce rectangle, bords compris ?
Donne le nombre de points.
Réponse attendue : 3131 — aussi acceptées : 3131 points · il y a 3131 points · 3 131
Indices, dans l’ordre
- Un point à coordonnées entières du rectangle a une abscisse entière entre et et une ordonnée entière entre et
- Combien y a-t-il d'entiers de à en comptant le zéro ?
- Chaque abscisse possible se combine avec chaque ordonnée possible : multiplie les deux nombres.
Correction
- Les abscisses — Les entiers de zéro à cent, bords compris.
- Les ordonnées — Les entiers de zéro à trente, bords compris.
- Le nombre de points — Chaque abscisse va avec chaque ordonnée.
Le piège est d'oublier le zéro : de à il y a entiers.
Pièges anticipés
3000→ De à il y a entiers, et de à il y en a : n'oublie pas le zéro.3100 / 3030→ Le zéro compte dans les deux directions : abscisses et ordonnées.2871→ Bords compris : on compte aussi les points situés sur les côtés du rectangle. Les abscisses vont de à et les ordonnées de à
Exercice 34 · base
Le symétrique d'un point
Dans un repère cartésien, on donne les points et Le point est le symétrique de par rapport à Soit l'abscisse du point Calculer
Donne l'abscisse du point B.
Réponse attendue : -5
Indices, dans l’ordre
- Dire que est le symétrique de par rapport à c'est dire que est le milieu du segment
- L'abscisse de est la demi-somme des abscisses de et de : écris l'égalité, l'inconnue est
- Multiplie par puis isole
Correction
- Le milieu — Le point est le milieu du segment
- On isole x_B — On multiplie par deux, puis on retranche l'abscisse de
- Le calcul — On remplace par moins un et trois.
De même, : le point a pour coordonnées et Pour un symétrique, on part toujours du milieu.
Pièges anticipés
1→ Tu as calculé l'abscisse du milieu de Ici, c'est qui est le milieu, et l'extrémité inconnue.-4→ donne la composante du vecteur Il faut encore l'ajouter à : est au-delà de9→ est l'ordonnée de On demande son abscisse.
Exercice 35 · pratique
Le quatrième sommet
Dans un repère cartésien, on donne les points et Soit le point tel que soit un parallélogramme, et soit l'ordonnée du point Calculer
Donne l'ordonnée du point D.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu.
- Les diagonales de sont et : calcule d'abord l'ordonnée du milieu de
- Ce milieu est aussi celui de : écris l'égalité et isole
Correction
- Les diagonales — Les diagonales et ont le même milieu.
- On isole y_D — On multiplie par deux et on retranche l'ordonnée de
- Le calcul — On remplace par deux, trois et moins un.
De même : Attention à l'ordre des lettres : dans les sommets opposés sont et puis et
Pièges anticipés
0→ Tu as pris et comme diagonales : c'est le parallélogramme Dans les diagonales sont et-2→ Tu as calculé : les diagonales seraient et c'est le parallélogramme Dans le sommet opposé à est4→ Attention au signe : on retranche qui vaut Moins moins un fait plus un.
Exercice 36 · raisonnement
Retrouver un coefficient
Dans un repère cartésien, on donne les points et On cherche un réel tel que soit le barycentre du point affecté du coefficient et du point affecté du coefficient Déterminer le réel
Donne la valeur de alpha, sous forme de fraction ou de nombre décimal.
Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Écris l'abscisse du barycentre avec la formule : la somme des abscisses pondérées, divisée par la somme des coefficients.
- Tu obtiens une équation en : Fais les produits en croix.
- Une fois trouvé, vérifie qu'il donne aussi la bonne ordonnée.
Correction
- L'abscisse — On écrit l'abscisse du barycentre, qui doit valoir cinq.
- On résout — On multiplie par alpha plus un.
- On vérifie l'ordonnée — Avec un demi, l'ordonnée vaut bien trois.
- La valeur —
La vérification sur l'ordonnée n'est pas une formalité : si elle avait échoué, n'aurait été le barycentre de et pour aucun coefficient. On peut aussi raisonner avec les vecteurs :
Pièges anticipés
2→ Tu as trouvé l'inverse. Reprends l'équation : donne-1/2 / -0.5→ Attention au signe : donne donc est positif.2/3→ est le rapport de à On demande le coefficient de
Exercice 37 · raisonnement
Un centre de gravité sur la diagonale
Dans un repère cartésien, on donne les points et et le point où est un réel. Déterminer le réel pour lequel le centre de gravité du triangle appartient à la droite d'équation
Donne la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Calcule les coordonnées de en fonction de : chacune est la moyenne des trois coordonnées correspondantes.
- Le point est sur la droite d'équation quand son ordonnée est égale à son abscisse.
- Écris cette égalité : c'est une équation du premier degré en
Correction
- Les coordonnées de G — On fait la moyenne des abscisses, puis celle des ordonnées.
- La condition — Le point est sur la droite quand son ordonnée égale son abscisse.
- La valeur —
Pour et : ses deux coordonnées sont bien égales. Traduire « un point est sur une droite » par une équation, c'est la méthode du chapitre.
Pièges anticipés
7→ Tu as oublié le point dans les sommes. L'abscisse de est l'ordonnée0→ Attention : l'ordonnée de est La somme des ordonnées vaut c'est-à-dire
Exercice 38 · base
Où la droite coupe l'axe des ordonnées
Dans un repère cartésien, la droite d'équation coupe l'axe des ordonnées en un point Soit l'ordonnée du point Calculer
Donne l'ordonnée du point B.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Un point de l'axe des ordonnées a pour abscisse zéro.
- Remplace par dans l'équation de : il reste une équation en
Correction
- Sur l'axe des ordonnées — Le point a pour abscisse zéro.
- On résout — Moins trois y plus douze égale zéro.
De même, avec on trouve le point de l'axe des abscisses : donc Deux points : de quoi tracer la droite.
Pièges anticipés
-3→ est l'abscisse du point où coupe l'axe des abscisses. Sur l'axe des ordonnées, c'est qui vaut zéro.-4→ Attention au signe : donne donc est positif.12→ Douze est le terme constant de l'équation. Il faut encore résoudre
Exercice 39 · pratique
Compléter les coordonnées
Dans un repère cartésien, soit la droite d'équation Le point d'abscisse appartient à la droite Soit l'ordonnée du point Calculer
Donne l'ordonnée du point E.
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Le point est sur la droite : ses coordonnées vérifient l'équation.
- Remplace par dans l'équation, puis résous l'équation en obtenue.
Correction
- On remplace — On remplace x par trois.
- On réduit — Quinze moins sept font huit.
- L'ordonnée —
On vérifie : Le point est bien sur
Pièges anticipés
-8→ Tu as trouvé : il reste à diviser par11→ Attention aux signes : donne pas4→ Attention au signe : donne
Exercice 40 · pratique
Une droite horizontale
Dans un repère cartésien, pour tout réel on considère la droite d'équation Déterminer le réel pour lequel la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
Donne la valeur de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Une droite parallèle à l'axe des abscisses a une équation de la forme constante : le coefficient de y est nul.
- Écris que le coefficient de est nul, et vérifie que celui de ne l'est pas.
Correction
- La condition — Le coefficient de doit être nul.
- La valeur — On résout.
- On vérifie — Le coefficient de vaut alors quatre, il n'est pas nul : on a bien une droite.
Pour est la droite d'équation Retenir : est parallèle à l'axe des abscisses quand et à l'axe des ordonnées quand
Pièges anticipés
-1→ Pour c'est le coefficient de qui s'annule : la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.-3→ Attention au signe : donne
Exercice 41 · pratique
Trois points alignés
Dans un repère cartésien, on donne les points et où est un réel. Déterminer le réel pour lequel les points et sont alignés.
Donne la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Les trois points sont alignés quand appartient à la droite
- Cherche une équation de : le vecteur a pour composantes et donc une équation est de la forme
- Calcule avec le point puis écris que les coordonnées de vérifient l'équation.
Correction
- Une équation de (AB) — Le vecteur a pour composantes deux et moins six ; il est colinéaire au vecteur de composantes moins un et trois.
- Le réel c — Le point est sur la droite.
- Le point C — On remplace x par m et y par moins sept.
On peut aussi écrire que et sont colinéaires : donne la même valeur.
Pièges anticipés
-4→ Attention au signe : donne2/3→ Le réel vaut : avec Tu as pris
Exercice 42 · raisonnement
La droite des milieux, par le calcul
Soit un triangle, le milieu du côté et le milieu du côté On travaille dans le repère Déterminer le réel tel que
Donne la valeur de
Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Dans ce repère, est l'origine, a pour coordonnées et et a pour coordonnées et
- Calcule les coordonnées des milieux et puis les composantes des vecteurs et
- Compare les composantes : par quel nombre faut-il multiplier celles de ?
Correction
- Les points — Dans le repère choisi, on lit les coordonnées des sommets.
- Les milieux — On fait les demi-sommes.
- Les vecteurs — On calcule les composantes.
- Le réel k —
: la droite est parallèle à et Ce repère n'est pas orthonormé, mais on n'y calcule aucune distance : la longueur se déduit de l'égalité de vecteurs. Un repère bien choisi transforme un théorème de géométrie en un calcul de coordonnées.
Pièges anticipés
2→ Tu as calculé le rapport de à On cherche tel que-1/2 / -0.5→ Compare composante par composante : donc est positif.
Exercice 43 · pratique
Deux achats, deux droites
Dans une librairie, Yasmine paie dinars pour stylos et cahiers. Son frère paie dinars pour stylos et cahier, aux mêmes prix. On note le prix d'un stylo et celui d'un cahier, en dinars. Le point de coordonnées et est le point d'intersection des droites et Calculer le prix d'un cahier, en dinars.
Donne le prix d'un cahier, en dinars.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Le point cherché est sur les deux droites : ses coordonnées vérifient les deux équations à la fois.
- De l'équation de tire en fonction de
- Remplace par dans l'équation de N'oublie pas qu'on demande le prix du cahier.
Correction
- On isole y — Dans la seconde équation.
- On remplace — Dans la première équation.
- Le prix du stylo —
- Le prix du cahier — On revient à l'expression de
Un stylo coûte dinars et un cahier dinars. On vérifie : et Deux contraintes, deux droites : la solution est leur point commun.
Pièges anticipés
5→ Cinq dinars, c'est le prix d'un stylo, l'abscisse du point. On demande le prix d'un cahier.
Exercice 44 · raisonnement
Deux contraintes à respecter
Un atelier fabrique en un jour tables et chaises, et étant des entiers naturels. Les contraintes de la journée s'écrivent et : le point de coordonnées et doit se trouver du côté de l'origine par rapport à chacune des deux droites et L'atelier fabrique tables aujourd'hui. Déterminer le plus grand nombre de chaises qu'il peut fabriquer.
Donne le nombre de chaises.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Remplace par dans chacune des deux inégalités.
- Tu obtiens deux conditions sur : doit les respecter toutes les deux.
- Le nombre de chaises est un entier : prends le plus grand entier qui vérifie les deux conditions.
Correction
- Première contrainte — On remplace x par dix.
- Seconde contrainte — On remplace x par dix.
- Les deux à la fois — Il faut et : c'est la plus forte qui compte.
Le point est sur la droite et du bon côté de l'autre. Une contrainte d'inégalité, c'est un demi-plan ; plusieurs contraintes, c'est l'intersection des demi-plans.
Pièges anticipés
13→ Treize respecte la première contrainte, mais pas la seconde : dépasse40/3→ On fabrique un nombre entier de chaises, et la seconde contrainte impose de plus
Exercice 45 · base
Compléter un vecteur directeur
Dans un repère cartésien, soit la droite d'équation Le vecteur de composantes et est un vecteur directeur de Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Pour la droite le vecteur de composantes et est un vecteur directeur.
- Ici, ce vecteur a pour composantes et Le vecteur doit lui être colinéaire.
- Par quel nombre faut-il multiplier pour obtenir ? Fais de même avec
Correction
- Un vecteur directeur — On lit moins b, puis a.
- La colinéarité — Pour passer de moins trois à six, on multiplie par moins deux.
- Le réel k —
On vérifie avec le déterminant : Tout vecteur non nul colinéaire à dirige
Pièges anticipés
-10→ Attention aux signes : le vecteur directeur lu sur l'équation est et on le multiplie par-18/5 / -3.6→ Tu as utilisé : c'est un vecteur normal. Le vecteur directeur est
Exercice 46 · pratique
Une droite, un point, une direction
Dans un repère cartésien, soit la droite passant par le point et de vecteur directeur de composantes et La droite a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : -11
Indices, dans l’ordre
- Vérifie d'abord que la forme proposée convient : le vecteur de composantes et ici et est bien
- Le point est sur la droite : remplace par et par
Correction
- La direction — Pour quatre x moins trois y, moins b vaut trois et a vaut quatre : c'est le vecteur
- Avec le point A — On remplace x par deux et y par moins un.
- Le réel c — Huit plus trois font onze.
Une équation de est Méthode : la direction donne et un point donne
Pièges anticipés
11→ On a : c'est-5→ Attention : vaut On obtient
Exercice 47 · pratique
Parallèles ou confondues ?
Dans un repère cartésien, on considère les droites et Les droites et sont-elles sécantes, strictement parallèles ou confondues ?
Réponds par : sécantes, strictement parallèles ou confondues.
Réponse attendue : confondues — aussi acceptées : confondue · elles sont confondues · D et D' sont confondues · les droites sont confondues · parallèles confondues · elles sont parallèles et confondues · parallèles et confondues · D = D' · D=D'
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord : s'il est nul, les droites sont parallèles.
- Pour trancher entre les deux cas de parallélisme, cherche un point de par exemple celui d'abscisse et regarde s'il est sur
- Tu peux aussi diviser chaque équation par un nombre bien choisi et comparer.
Correction
- Le déterminant — On calcule a b prime moins a prime b.
- Un point de D — Pour on trouve donc
- Le point dans D' — On remplace dans l'équation de
Les droites sont parallèles et ont un point commun : elles sont confondues. D'ailleurs, les deux équations s'écrivent et
Pièges anticipés
strictement parallèles / strictement parallèle→ Elles sont parallèles, mais elles ont un point commun : le point de coordonnées et est sur les deux.sécantes / secantes / sécante→ Calcule : est nul, donc elles sont parallèles.parallèles / parallele→ Elles sont bien parallèles, mais on peut en dire plus : ont-elles un point commun ?
Exercice 48 · pratique
La parallèle par un point
Dans un repère cartésien, on considère la droite d'équation et le point Soit la droite passant par et parallèle à La droite a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Deux droites parallèles ont le même vecteur directeur : on peut garder les mêmes et
- Le point est sur : remplace par et par dans
Correction
- La forme — La droite a les mêmes coefficients a et b que
- Avec le point A — On remplace x par moins trois et y par quatre.
- Le réel c —
Une équation de est Seul change entre deux droites parallèles écrites ainsi.
Pièges anticipés
-7→ On a : c'est-1→ Avec c'est la droite elle-même : elle ne passe pas par
Exercice 49 · raisonnement
Une famille de droites
Dans un repère cartésien, pour tout réel on considère la droite d'équation et la droite d'équation Déterminer le réel pour lequel la droite est parallèle à la droite
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Pour et ; pour et
- Les droites sont parallèles quand : écris cette condition, c'est une équation en
- Attention à la parenthèse quand tu multiplies par
Correction
- La condition — On écrit a b prime moins a prime b égale zéro.
- On résout — On développe.
- La valeur —
Pour a pour équation c'est-à-dire : elle est parallèle à et distincte. La condition transforme le parallélisme en équation.
Pièges anticipés
-3/2 / -1.5→ Le critère est une différence : et non-1→ Attention à la parenthèse : vaut et non
Exercice 50 · defi
Deux valeurs pour un parallélisme
Dans un repère cartésien, pour tout réel on considère les droites et Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels les droites et sont parallèles.
Écris l'ensemble des valeurs de entre accolades, par exemple « {1;5} ».
Réponse attendue : {-3;2} — aussi acceptées : m=-3 ou m=2 · m=2 ou m=-3
Indices, dans l’ordre
- Écris la condition de parallélisme avec et
- Tu obtiens une équation du second degré en
- Résous-la, par le discriminant ou en factorisant.
Correction
- La condition — On écrit a b prime moins a prime b égale zéro.
- L'équation — On développe.
- On factorise — Le produit des racines vaut moins six et leur somme moins un.
- L'ensemble —
Pour : et Pour : et Dans les deux cas, les droites sont strictement parallèles. Un paramètre dans les deux équations peut donner une équation du second degré.
Pièges anticipés
{2} / {-3}→ Il y a deux valeurs : l'équation a deux solutions.{-2;3}→ Vérifie en remplaçant : pour vaut pas zéro. La factorisation est
Exercice 51 · pratique
Le point commun de deux droites
Dans un repère cartésien, on considère les droites et Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (3;-4) — aussi acceptées : (3,-4) · 3;-4 · x=3;y=-4 · x=3 et y=-4 · (x;y)=(3;-4) · x=3 y=-4 · x=3, y=-4 · 3 et -4 · I(3;-4) · I(3,-4) · K(3;-4) · K(3,-4) · M(3;-4) · M(3,-4) · A(3;-4) · A(3,-4) · P(3;-4) · P(3,-4) · J(3;-4) · J(3,-4) · N(3;-4) · N(3,-4) · E(3;-4) · E(3,-4) · H(3;-4) · H(3,-4) · S(3;-4) · S(3,-4) · Ω(3;-4) · Ω(3,-4)
Indices, dans l’ordre
- Vérifie d'abord que les droites sont sécantes : n'est pas nul.
- De l'équation de tire en fonction de
- Remplace par dans l'équation de puis calcule l'autre coordonnée.
Correction
- Sécantes — a b prime moins a prime b vaut moins cinq, qui n'est pas nul.
- On isole x — Dans l'équation de
- On remplace — Dans l'équation de
- Les coordonnées — On trouve y égale moins quatre, puis x égale trois.
On vérifie dans : Pour deux droites sécantes, on résout le système formé par leurs équations, par substitution.
Pièges anticipés
(-4;3) / (-4,3) / -4;3→ L'abscisse s'écrit en premier : et(11;4) / (11,4)→ Attention : donne
Exercice 52 · raisonnement
Choisir le point de rencontre
Dans un repère cartésien, pour tout réel on considère la droite d'équation et la droite d'équation Déterminer le réel pour lequel les droites et se coupent en un point d'abscisse
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Le point d'intersection est sur : avec son abscisse, calcule son ordonnée.
- Ce même point doit être sur : remplace ses coordonnées dans l'équation de
- Tu obtiens une équation du premier degré en
Correction
- Le point sur D — Pour x égale un, l'équation de donne y égale quatre.
- Le point sur D_m — Le point de coordonnées un et quatre est sur
- La valeur —
Pour et se coupent bien au point de coordonnées et Le point commun est sur chacune des deux droites : on l'utilise dans les deux équations.
Pièges anticipés
4→ est l'ordonnée du point d'intersection. Il faut encore l'utiliser dans l'équation de-6→ Attention : avec donne On obtient
Exercice 53 · base
Compléter un vecteur normal
Dans un repère orthonormé, soit la droite d'équation Le vecteur de composantes et est un vecteur normal à Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : 21
Indices, dans l’ordre
- Pour la droite le vecteur de composantes et est un vecteur normal.
- Ici, ce vecteur a pour composantes et Le vecteur doit lui être colinéaire.
- Par quel nombre faut-il multiplier pour obtenir ?
Correction
- Un vecteur normal — On lit a, puis b.
- La colinéarité — Pour passer de moins deux à moins six, on multiplie par trois.
- Le réel k —
Tout vecteur non nul colinéaire à est normal à la droite Ne pas confondre avec le vecteur directeur
Pièges anticipés
-21→ Pour passer de à on multiplie par :-12/7→ Tu as utilisé le vecteur directeur Un vecteur normal a pour composantes et
Exercice 54 · pratique
Une droite par son vecteur normal
Dans un repère orthonormé, soit la droite passant par le point et dont un vecteur normal a pour composantes et La droite a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Avec un vecteur normal de composantes et une équation est de la forme : c'est la forme proposée.
- Le point est sur : remplace par et par
Correction
- La forme — Le vecteur normal donne a égale trois et b égale moins un.
- Avec le point A — On remplace x par moins deux et y par cinq.
- Le réel c —
Une équation de est Le vecteur normal donne et directement, sans échange ni changement de signe.
Pièges anticipés
-11→ On a : c'est1→ Attention : avec donne On obtient
Exercice 55 · raisonnement
Un point de la médiatrice
Dans un repère orthonormé, on donne les points et et le point où est un réel. Déterminer le réel pour lequel le point appartient à la médiatrice du segment
Donne la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- La médiatrice de passe par le milieu de et a pour vecteur normal
- Le vecteur a pour composantes et : on peut prendre comme vecteur normal celui de composantes et
- Écris une équation de la médiatrice avec le milieu, puis remplace par les coordonnées de
Correction
- Le milieu — Le milieu de
- Une équation — Vecteur normal de composantes quatre et moins trois, et passage par
- Le point P — On remplace x par m et y par trois.
- La valeur —
On vérifie : et Le point est bien à égale distance de et de
Pièges anticipés
-9/4→ Ta droite passe par pas par le milieu de La médiatrice passe par1/2→ Attention au signe de : avec donne
Exercice 56 · base
Perpendiculaires ?
Dans un repère orthonormé, on considère les droites et Les droites et sont-elles perpendiculaires ?
Réponds par « oui » ou par « non ».
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles sont perpendiculaires · elles sont perpendiculaires · perpendiculaires · oui, elles sont perpendiculaires · oui perpendiculaires
Indices, dans l’ordre
- Dans un repère orthonormé, et sont perpendiculaires quand
- Ici et
Correction
- Le calcul — On calcule a a prime plus b b prime.
- On conclut — La somme est nulle : les vecteurs normaux sont orthogonaux.
Les droites sont perpendiculaires. Attention : la condition demande un repère orthonormé.
Pièges anticipés
non / non elles ne sont pas perpendiculaires→ Refais le calcul : vaut zéro.
Exercice 57 · pratique
Une hauteur du triangle
Dans un repère orthonormé, on considère le triangle avec et La hauteur du triangle issue de a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- La hauteur issue de est perpendiculaire à : le vecteur lui est normal.
- a pour composantes et : il est colinéaire au vecteur de composantes et d'où la forme proposée.
- La hauteur passe par : remplace ses coordonnées.
Correction
- Le vecteur normal — On calcule les composantes de
- Avec le point A — La hauteur passe par
- Le réel c —
La hauteur issue de a pour équation Une hauteur : le sommet donne le point, le côté opposé donne le vecteur normal.
Pièges anticipés
3→ On a : c'est-32→ La hauteur issue de passe par pas par
Exercice 58 · pratique
La perpendiculaire par un point
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le point Soit la droite passant par et perpendiculaire à La droite a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : -7
Indices, dans l’ordre
- Un vecteur directeur de est normal à
- Le vecteur de composantes et dirige ; celui de composantes et aussi, d'où la forme proposée.
- Remplace par et par
Correction
- La direction de D — Moins b et a.
- Normal à D' — Le vecteur de composantes un et moins quatre, est normal à
- Avec le point A — On remplace.
Une équation de est On vérifie :
Pièges anticipés
7→ On a : c'est1→ Attention : vaut On obtient
Exercice 59 · raisonnement
Un angle droit à placer
Dans un repère orthonormé, on donne les points et où est un réel. Déterminer le réel pour lequel le triangle est rectangle en
Donne la valeur de
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en quand les droites et sont perpendiculaires.
- Le vecteur de composantes et est normal à toute droite perpendiculaire à : il doit être orthogonal à
- Deux vecteurs de composantes et sont orthogonaux, dans un repère orthonormé, quand
Correction
- Les vecteurs — On calcule les composantes.
- L'orthogonalité — On écrit que la somme des produits est nulle.
- On résout — Moins quatre m plus vingt-quatre moins huit égale zéro.
Pour : et On peut vérifier avec Pythagore :
Pièges anticipés
-8→ Attention à la parenthèse : vaut et non-1→ Tu as cherché un angle droit en Ici, c'est en : les vecteurs sont et
Exercice 60 · defi
Le pied de la perpendiculaire
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le point Soit le projeté orthogonal du point sur la droite Déterminer les coordonnées du point
Écris les coordonnées sous la forme « (x;y) », par exemple « (2;3) ».
Réponse attendue : (3;2) — aussi acceptées : (3,2) · 3;2 · x=3;y=2 · x=3 et y=2 · (x;y)=(3;2) · x=3 y=2 · x=3, y=2 · 3 et 2 · I(3;2) · I(3,2) · K(3;2) · K(3,2) · M(3;2) · M(3,2) · A(3;2) · A(3,2) · P(3;2) · P(3,2) · J(3;2) · J(3,2) · N(3;2) · N(3,2) · E(3;2) · E(3,2) · H(3;2) · H(3,2) · S(3;2) · S(3,2) · Ω(3;2) · Ω(3,2)
Indices, dans l’ordre
- Le point est l'intersection de et de la perpendiculaire à passant par
- Le vecteur de composantes et dirige : il est normal à la perpendiculaire. Écris son équation avec le point
- Résous ensuite le système formé par les deux équations.
Correction
- La perpendiculaire — Vecteur normal de composantes deux et moins un, passage par
- Le système — On tire y de la seconde équation : y égale deux x moins quatre.
- Les coordonnées — On trouve x égale trois, puis y égale deux.
Contrôle : et la formule de la distance donne Le projeté orthogonal : intersection de la droite et de sa perpendiculaire passant par le point.
Pièges anticipés
(2;3) / (2,3) / 2;3→ L'abscisse s'écrit en premier : et
Exercice 61 · raisonnement
Le bon point sur un côté
Soit un rectangle tel que et On choisit un repère orthonormé d'origine dans lequel et Le point du segment est tel que les droites et sont perpendiculaires. Calculer la longueur
Donne la longueur AF, sous forme de fraction.
Réponse attendue : 8/3
Indices, dans l’ordre
- Dans ce repère, a pour coordonnées et et sur a des coordonnées de la forme et
- Les droites sont perpendiculaires quand les vecteurs et sont orthogonaux.
- Écris avec et
Correction
- Les coordonnées — Le point et le point de l'axe des abscisses.
- Les vecteurs — On calcule les composantes.
- L'orthogonalité — Six t moins seize égale zéro.
- La longueur —
est bien compris entre et : est sur le segment. Un repère bien choisi a son origine en un sommet et ses axes sur les côtés.
Pièges anticipés
2.7 / 2.6 / 2.67 / 2.66 / 2.667 / 2.666→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte,3/8→ Tu as divisé dans le mauvais sens : donne-8/3→ Une longueur est positive : donne
Exercice 62 · defi
Deux droites dans un carré
Soit un carré. On note le milieu du côté et le milieu du côté Les droites et se coupent en un point Dans le repère calculer l'ordonnée du point
Donne l'ordonnée du point K.
Réponse attendue : 2/5 — aussi acceptées : 0.4
Indices, dans l’ordre
- Dans ce repère : et Calcule les coordonnées de et de
- La droite passe par l'origine : son équation réduite est simple. Cherche aussi une équation de
- a pour vecteur directeur : une équation est Résous le système.
Correction
- Les milieux — Les demi-sommes.
- Les deux droites — passe par l'origine ; passe par de vecteur directeur
- L'intersection — On remplace x par deux y dans la seconde équation.
En prenant le côté du carré pour unité, ce repère est orthonormé, et l'on voit de plus que et sont perpendiculaires :
Pièges anticipés
4/5 / 0.8→ est l'abscisse de On demande son ordonnée.1/2 / 0.5→ est l'ordonnée de pas celle de : est entre et
Exercice 63 · raisonnement
L'orthocentre
Dans un repère orthonormé, on considère le triangle avec et On note l'orthocentre du triangle Soit l'ordonnée du point Calculer
Donne l'ordonnée du point H.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- L'orthocentre est le point de concours des hauteurs : deux hauteurs suffisent.
- Le côté est sur l'axe des abscisses : la hauteur issue de est la droite d'équation
- Pour la hauteur issue de le vecteur de composantes et est normal.
Correction
- Hauteur issue de C — Elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses et passe par
- Hauteur issue de B — Vecteur normal de composantes un et deux, passage par
- L'intersection — On remplace x par un.
On vérifie avec la troisième hauteur : elle passe par de vecteur normal d'équation et
Pièges anticipés
4/3→ est l'ordonnée du centre de gravité, pas de l'orthocentre.3→ Attention : donne
Exercice 64 · defi
Le cercle circonscrit
Dans un repère orthonormé, on considère le triangle avec et Calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : sqrt(10)
Indices, dans l’ordre
- Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices.
- Le segment est parallèle à l'axe des abscisses : sa médiatrice a une équation très simple.
- La médiatrice de passe par le milieu de de vecteur normal Trouve puis calcule
Correction
- Médiatrice de [AB] — Le milieu de a pour abscisse un, et est horizontal.
- Médiatrice de [AC] — Milieu de coordonnées zéro et un, vecteur normal de composantes un et un.
- Le centre — On remplace x par un : y égale zéro.
- Le rayon — On calcule la distance de à
On vérifie : et Le cercle circonscrit a pour équation
Pièges anticipés
10→ Dix est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.3.2 / 3.1 / 3.16 / 3.162→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte,3→ Trois est la moitié de : le cercle de diamètre ne passe pas par
Exercice 65 · pratique
De la cartésienne à la réduite
Dans un repère cartésien, soit la droite d'équation Déterminer l'ordonnée à l'origine de la droite
Donne l'ordonnée à l'origine
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Isole : passe les autres termes dans le second membre, puis divise par
- L'équation réduite s'écrit : l'ordonnée à l'origine est le terme constant.
Correction
- On isole y — On passe quatre x et moins six dans l'autre membre.
- On divise — On divise tout par trois.
- L'ordonnée à l'origine —
L'équation réduite est : coefficient directeur ordonnée à l'origine La droite passe par le point
Pièges anticipés
6→ Six est le terme constant de Il faut encore diviser par-2→ Attention au signe : en passant dans le second membre, il devient-4/3→ est le coefficient directeur. On demande l'ordonnée à l'origine.
Exercice 66 · pratique
La réduite par deux points
Dans un repère cartésien, on donne les points et Déterminer l'équation réduite de la droite
Écris l'équation réduite, avec ou sans « y = ».
Réponse attendue : -3x/2+4 — aussi acceptées : -1.5x+4 · 4-3x/2 · (-3x+8)/2 · -(3/2)x+4
Indices, dans l’ordre
- Commence par le coefficient directeur : la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses.
- Tu trouves Simplifie.
- Pour l'ordonnée à l'origine, écris que est sur la droite.
Correction
- Le coefficient directeur — Moins neuf sur six.
- Avec le point A — On remplace x par moins deux et y par sept.
- L'équation réduite —
On vérifie avec : Deux points : la pente d'abord, puis l'ordonnée à l'origine.
Pièges anticipés
-2x/3+17/3→ Tu as divisé la variation des abscisses par celle des ordonnées. Le coefficient directeur est-3x/2+7→ L'ordonnée à l'origine n'est pas l'ordonnée de : n'est pas sur l'axe des ordonnées.-3x/2+10→ Attention : vaut donc
Exercice 67 · pratique
Une pente lue sur les axes
Dans un repère cartésien, une droite coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée et l'axe des abscisses au point d'abscisse Déterminer le coefficient directeur de la droite
Donne le coefficient directeur
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- La droite passe par deux points connus : et
- Le coefficient directeur est le quotient de la variation des ordonnées par celle des abscisses.
Correction
- Deux points — Les points d'intersection avec les axes.
- Le quotient — La variation des ordonnées, trois, sur celle des abscisses, deux.
L'équation réduite de est Quand augmente de augmente de : la droite monte.
Pièges anticipés
-3/2 / -1.5→ La droite passe de à quand passe de à : elle monte, sa pente est positive.2/3→ Tu as divisé la variation des abscisses par celle des ordonnées. C'est l'inverse.
Exercice 68 · pratique
Deux pentes égales
Dans un repère cartésien, pour tout réel on considère les droites et Déterminer le réel pour lequel les droites et sont parallèles.
Donne la valeur de
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur.
- Lis les deux coefficients directeurs, puis écris qu'ils sont égaux : c'est une équation du premier degré en
Correction
- Les coefficients directeurs — Le coefficient de x dans chaque équation réduite.
- L'égalité — Les droites sont parallèles quand leurs pentes sont égales.
- La valeur —
Pour les deux droites ont la pente : et Leurs ordonnées à l'origine sont différentes : elles sont strictement parallèles. Parallèles : mêmes pentes ; l'ordonnée à l'origine ne joue aucun rôle.
Pièges anticipés
1→ En passant dans l'autre membre, il devient :3/2 / 1.5→ On retranche des deux membres : et non
Exercice 69 · raisonnement
Compléter un trapèze
Dans un repère cartésien, on donne les points et où est un réel. Déterminer le réel pour lequel les droites et sont parallèles.
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur.
- Calcule le coefficient directeur de puis exprime celui de en fonction de
- Tu obtiens : fais les produits en croix.
Correction
- La pente de (AB) — Deux sur quatre.
- La pente de (CD) — En fonction de avec différent de quatre.
- L'égalité — Les produits en croix.
: et ont la même pente et est un trapèze de bases et Égaler deux pentes, c'est écrire un parallélisme.
Pièges anticipés
6→ Attention au signe : la variation des ordonnées de à vaut7/2 / 3.5→ La pente de est la variation des ordonnées sur celle des abscisses, et non l'inverse.
Exercice 70 · base
L'angle d'une droite
Dans un repère orthonormé, soit la droite d'équation Déterminer, en degrés, la mesure de l'angle aigu que fait la droite avec l'axe des abscisses.
Donne la mesure de l'angle, en degrés.
Réponse attendue : 60
Indices, dans l’ordre
- Dans un repère orthonormé, la tangente de l'angle aigu entre la droite et l'axe des abscisses est la valeur absolue de la pente.
- Ici la pente vaut Quel angle aigu a pour tangente ?
Correction
- La pente — Le coefficient de x.
- La tangente — La tangente de l'angle aigu est la valeur absolue de la pente.
- L'angle —
Retenir les valeurs : une pente donne une pente donne une pente donne
Pièges anticipés
30→ a pour tangente Ici la tangente vaut45→ correspond à une pente égale à
Exercice 71 · pratique
Une droite à 45 degrés
Dans un repère orthonormé, une droite passe par le point ; elle monte et fait avec l'axe des abscisses un angle aigu de Déterminer l'ordonnée à l'origine de la droite
Donne l'ordonnée à l'origine
Réponse attendue : -5
Indices, dans l’ordre
- La tangente de vaut : la pente vaut ou
- La droite monte : sa pente est positive. Son équation réduite est de la forme
- Utilise le point pour trouver
Correction
- La pente — La droite monte, et la tangente de quarante-cinq degrés vaut un.
- Avec le point A — On remplace x par deux et y par moins trois.
- La valeur —
Une droite qui monte a une pente positive, une droite qui descend une pente négative : l'angle seul ne donne que la valeur absolue.
Pièges anticipés
-1→ De on tire Et la pente vaut bien : la droite monte.-3→ est l'ordonnée de L'ordonnée à l'origine est celle du point d'abscisse zéro.
Exercice 72 · raisonnement
Une droite qui descend
Dans un repère orthonormé, une droite passe par le point ; elle descend et fait avec l'axe des abscisses un angle aigu de Calculer l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
Donne la valeur exacte de l'abscisse.
Réponse attendue : sqrt(3)/3 — aussi acceptées : 1/sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- La tangente de vaut et la droite descend : quelle est sa pente ?
- Le point est sur l'axe des ordonnées : il donne directement l'ordonnée à l'origine.
- Écris l'équation réduite, puis résous
Correction
- La pente — La droite descend : la pente est négative.
- L'équation réduite — Elle passe par le point de coordonnées zéro et un.
- Sur l'axe des abscisses — On résout y égale zéro.
Le point est soit environ Dans le triangle formé avec l'origine, : on retrouve le même résultat.
Pièges anticipés
-sqrt(3)/3 / -1/sqrt(3)→ La droite descend et passe par : elle coupe l'axe des abscisses à droite de l'origine.sqrt(3)→ Tu as utilisé une pente de valeur absolue celle de Pour c'est0.6 / 0.5 / 0.58 / 0.57 / 0.577→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 73 · base
Deux pentes, un angle droit ?
Dans un repère orthonormé, on considère les droites et Les droites et sont-elles perpendiculaires ?
Réponds par « oui » ou par « non ».
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles sont perpendiculaires · elles sont perpendiculaires · perpendiculaires · oui, elles sont perpendiculaires · oui perpendiculaires
Indices, dans l’ordre
- Dans un repère orthonormé, deux droites de pentes et sont perpendiculaires quand
- Calcule le produit des deux coefficients directeurs.
Correction
- Le produit — On multiplie les pentes.
- On conclut — Le produit vaut moins un : les droites sont perpendiculaires.
Les droites sont perpendiculaires : leurs pentes sont inverses l'une de l'autre et de signes contraires.
Pièges anticipés
non / non elles ne sont pas perpendiculaires→ Refais le calcul : le produit vaut
Exercice 74 · pratique
La perpendiculaire en équation réduite
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation et le point Déterminer l'équation réduite de la droite passant par et perpendiculaire à
Écris seulement l'expression en sans « ».
Réponse attendue : 2x+7 — aussi acceptées : 7+2x
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient directeur de vérifie
- Avec tu trouves Écris
- Utilise le point pour trouver
Correction
- La pente de D' — Le produit des pentes vaut moins un.
- Avec le point A — On remplace x par moins deux et y par trois.
- L'équation réduite —
On vérifie : Perpendiculaires : la pente de l'une est l'opposée de l'inverse de la pente de l'autre.
Pièges anticipés
2x-1→ Attention : vaut donc-2x-1→ La pente de la perpendiculaire est l'opposée de l'inverse : avec donne-x/2+2→ C'est la parallèle à passant par On demande la perpendiculaire.
Exercice 75 · raisonnement
Où est l'angle droit ?
Dans un repère orthonormé, on donne les points et Le triangle est rectangle : déterminer le sommet de son angle droit.
Donne le nom du sommet, par exemple « A ».
Réponse attendue : B — aussi acceptées : en B · rectangle en B · il est rectangle en B · le triangle est rectangle en B · ABC est rectangle en B · au point B · en B. · sommet B · le sommet B · le triangle ABC est rectangle en B · triangle ABC rectangle en B
Indices, dans l’ordre
- Calcule les coefficients directeurs des trois côtés.
- Deux côtés sont perpendiculaires quand le produit de leurs pentes vaut
- Le sommet de l'angle droit est le point commun des deux côtés perpendiculaires.
Correction
- Les trois pentes — Pour chaque côté, la variation des ordonnées sur celle des abscisses.
- Le produit — Celui de et de vaut moins un.
- Le sommet — Les côtés et se rencontrent en
Le triangle est rectangle en Contrôle par Pythagore :
Pièges anticipés
A / en A→ En se rencontrent et : le produit de leurs pentes vaut pasC / en C→ En se rencontrent et : le produit de leurs pentes vaut pas
Exercice 76 · base
Une image par une valeur absolue
Soit la fonction définie sur par Calculer
Donne la valeur de
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord puis prends sa valeur absolue.
- La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
Correction
- L'intérieur — On remplace x par moins un.
- La valeur absolue — Moins neuf est négatif : sa valeur absolue est neuf.
Une valeur absolue est toujours positive ou nulle. On calcule l'intérieur d'abord, entièrement.
Pièges anticipés
-9→ Une valeur absolue n'est jamais négative :-3→ La valeur absolue porte sur toute l'expression : calcule d'abord
Exercice 77 · pratique
Deux points à la même hauteur
Dans un repère orthonormé, soit la courbe de la fonction définie sur par Déterminer l'ensemble des réels tels que
Écris l'ensemble des solutions entre accolades, par exemple « {1;5} ».
Réponse attendue : {1;4} — aussi acceptées : x=1 ou x=4 · x=4 ou x=1
Indices, dans l’ordre
- Deux nombres ont pour valeur absolue : et
- Résous donc deux équations : et
Correction
- Deux cas — La valeur absolue vaut trois quand l'intérieur vaut trois ou moins trois.
- On résout — Deux équations du premier degré.
- L'ensemble —
La droite d'équation coupe la courbe en V en deux points, d'abscisses et symétriques par rapport à la droite
Pièges anticipés
{4}→ Il y a une deuxième solution : quand aussi.{-4;4} / {-1;4}→ Résous : on trouve
Exercice 78 · raisonnement
Sans les barres
Soit la fonction définie sur par Pour tout réel supérieur ou égal à écrire sans valeur absolue.
Écris seulement l'expression en x, sans « f(x) = ».
Réponse attendue : 2x-4 — aussi acceptées : -4+2x · -(-2x+4)
Indices, dans l’ordre
- Cherche le signe de quand
- Si alors : que dire de ?
- La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
Correction
- Le signe — Pour x supérieur ou égal à trois, moins deux x plus quatre est négatif.
- L'opposé — On prend l'opposé de l'intérieur.
- L'expression —
En fait dès que : sur la courbe de est la demi-droite portée par Pour enlever une valeur absolue, on étudie le signe de l'intérieur.
Pièges anticipés
-2x+4→ Pour est négatif : sa valeur absolue est son opposé.2x+4→ L'opposé de est : on change le signe de chaque terme.
Exercice 79 · base
La distance à une droite verticale
Dans un repère orthonormé, on considère le point et la droite d'équation Calculer la distance du point à la droite
Donne la distance.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- La droite est parallèle à l'axe des ordonnées : tous ses points ont pour abscisse
- Le projeté orthogonal de sur a la même ordonnée que : il ne reste qu'à comparer les abscisses.
- Tu peux aussi appliquer la formule avec et
Correction
- Le projeté — Le projeté orthogonal de sur a pour abscisse quatre et pour ordonnée deux.
- La distance — La distance entre les abscisses.
- Avec la formule — Le même résultat.
La distance d'un point à une droite est la distance de ce point à son projeté orthogonal sur la droite. Pour une droite verticale, c'est l'écart des abscisses.
Pièges anticipés
1→ Attention : l'abscisse de est L'écart entre et vaut2→ Deux est l'ordonnée de La droite est verticale : on compare les abscisses.
Exercice 80 · base
Appliquer la formule
Dans un repère orthonormé, calculer la distance du point à la droite d'équation
Donne la distance.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- La formule : la valeur absolue de divisée par la racine carrée de
- Ici et : la racine carrée tombe juste.
Correction
- Le numérateur — On remplace x par un et y par moins deux.
- Le dénominateur — Neuf plus seize font vingt-cinq.
- La distance —
La valeur absolue rend la distance positive : sans elle, on aurait trouvé
Pièges anticipés
-2→ Une distance est positive : n'oublie pas la valeur absolue au numérateur.10→ Dix est le numérateur. Il reste à diviser par2/5 / 0.4→ On divise par la racine carrée de c'est-à-dire par et non par
Exercice 81 · pratique
Une droite donnée par un vecteur directeur
Dans un repère orthonormé, soit la droite passant par le point et de vecteur directeur de composantes et Calculer la distance du point à la droite
Donne la distance.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Cherche d'abord une équation cartésienne de : le vecteur de composantes et doit être
- Avec et une équation est de la forme ; le point donne
- Applique ensuite la formule de la distance avec le point
Correction
- Une équation de D — On prend a égale trois et b égale moins quatre, puis on écrit que est sur
- Le numérateur — On remplace x par zéro et y par un.
- La distance — On divise par la racine carrée de neuf plus seize.
La distance vaut La formule de la distance demande une équation cartésienne : quand la droite est donnée par un point et un vecteur directeur, on commence par l'écrire.
Pièges anticipés
1→ Tu as pris comme vecteur normal. C'est un vecteur directeur : l'équation est de la forme15→ Quinze est le numérateur. Il reste à diviser par-3→ Une distance est positive : n'oublie pas la valeur absolue au numérateur.
Exercice 82 · raisonnement
L'écart entre deux parallèles
Dans un repère orthonormé, on considère les droites parallèles et Calculer la distance entre les droites et c'est-à-dire la distance d'un point quelconque de à la droite
Donne la valeur exacte de la distance.
Réponse attendue : 2*sqrt(5) — aussi acceptées : 10/sqrt(5) · sqrt(20)
Indices, dans l’ordre
- Choisis un point simple sur par exemple celui d'ordonnée
- Calcule la distance de ce point à la droite avec la formule.
- Le résultat ne dépend pas du point choisi : les droites sont parallèles.
Correction
- Un point de D — Avec y égale zéro, on trouve x égale trois.
- La distance à D' — On applique la formule.
- On simplifie — Dix sur racine de cinq.
Pour deux droites et la distance vaut : ici
Pièges anticipés
4/sqrt(5) / 4*sqrt(5)/5→ Tu as calculé : le point de a pour abscisse et10→ Dix est le numérateur. Il reste à diviser par4.5 / 4.4 / 4.47 / 4.472→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 83 · raisonnement
Régler la distance
Dans un repère orthonormé, on considère le point et, pour tout réel la droite d'équation Déterminer le réel strictement positif pour lequel la distance du point à la droite est égale à
Donne la valeur de
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- Écris la distance de à avec la formule, en fonction de
- Le dénominateur vaut : tu obtiens
- Une valeur absolue égale à : deux cas. Garde la valeur positive.
Correction
- La distance — On remplace x et y par un.
- L'équation — La distance doit valoir deux.
- Deux cas — c moins un vaut dix ou moins dix.
- La valeur positive —
Il y a deux droites de cette direction à la distance de une de chaque côté : et
Pièges anticipés
-9→ convient aussi pour la distance, mais on demande la valeur strictement positive.3→ N'oublie pas de diviser par : pas10→ Le numérateur est c'est-à-dire : il faut
Exercice 84 · defi
L'aire par la distance
Dans un repère orthonormé, on donne les points et En prenant pour base et la distance de à la droite pour hauteur, calculer l'aire du triangle
Donne l'aire, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Calcule la longueur puis cherche une équation de la droite
- Le vecteur a pour composantes et : une équation de est de la forme
- Calcule la distance de à puis l'aire : la moitié de la base fois la hauteur.
Correction
- La base — On calcule BC.
- La droite (BC) — Elle passe par : moins deux plus c égale zéro.
- La hauteur — La distance de à
- L'aire — La moitié de la base fois la hauteur.
Les racines se simplifient : l'aire vaut unités d'aire. La distance d'un point à une droite donne la hauteur d'un triangle sans tracer le pied de la hauteur.
Pièges anticipés
26→ Tu as oublié de diviser par : l'aire d'un triangle est la moitié de la base fois la hauteur.
Exercice 85 · defi
Sur l'axe, à distance donnée
Dans un repère orthonormé, on considère la droite d'équation Deux points de l'axe des abscisses sont à la distance de la droite Calculer l'abscisse de celui des deux qui a une abscisse positive.
Donne l'abscisse positive.
Réponse attendue : 13/4 — aussi acceptées : 3.25
Indices, dans l’ordre
- Un point de l'axe des abscisses a des coordonnées de la forme et
- Écris sa distance à avec la formule :
- Résous : deux cas, garde la solution positive.
Correction
- La distance — Pour le point M de coordonnées x et zéro.
- L'équation — La distance vaut trois.
- Deux cas — Quatre x plus deux vaut quinze ou moins quinze.
- La solution positive —
Les deux points sont et de part et d'autre du point où coupe l'axe, d'abscisse
Pièges anticipés
-17/4 / -4.25→ C'est l'autre point, d'abscisse négative. On demande celui d'abscisse positive.1/4 / 0.25→ N'oublie pas le dénominateur : pas
Exercice 86 · defi
Un cercle entre deux parallèles
Dans un repère orthonormé, on considère les droites et Un cercle est tangent à la fois à et à Calculer son rayon.
Donne le rayon.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Les droites sont parallèles. Un cercle tangent aux deux a son diamètre égal à la distance entre elles.
- Prends un point simple de par exemple celui d'ordonnée — son abscisse est — et calcule sa distance à
- Le rayon est la moitié de cette distance.
Correction
- Un point de D — Pour y égale deux, trois x plus trois égale zéro.
- La distance — La distance de à
- Le rayon — La moitié de l'écart entre les deux droites.
Le centre du cercle est sur la droite parallèle à mi-chemin, et son rayon vaut Le diamètre d'un cercle tangent à deux parallèles est l'écart entre elles.
Pièges anticipés
4→ Quatre est l'écart entre les deux droites : c'est le diamètre du cercle.20 / 10→ Il faut diviser par pour obtenir une distance.
Exercice 87 · pratique
Développer l'équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre et de rayon a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Écris l'équation du cercle sous la forme
- Développe les deux carrés et passe dans le premier membre.
- Le réel est la somme des termes constants.
Correction
- L'équation — Centre de coordonnées moins deux et trois, rayon quatre.
- On développe — Les deux identités remarquables.
- Le réel c — Quatre plus neuf moins seize.
L'équation développée est On vérifie avec le point du cercle :
Pièges anticipés
9→ C'est le carré du rayon, qu'il faut retrancher, et non le rayon29→ Le carré du rayon passe dans le premier membre avec un signe moins :3→ Quatre plus neuf moins seize vaut
Exercice 88 · pratique
Un cercle de diamètre donné
Dans un repère orthonormé, on donne les points et Calculer le rayon du cercle de diamètre
Donne le rayon.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le centre du cercle de diamètre est le milieu de et son rayon la moitié de
- Calcule : la racine carrée de la somme des carrés des écarts de coordonnées.
Correction
- La longueur AB — Huit au carré plus six au carré.
- Le rayon — La moitié du diamètre.
Le centre est le milieu et le cercle a pour équation
Pièges anticipés
10→ Dix est la longueur le diamètre. Le rayon en est la moitié.25→ Vingt-cinq est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.
Exercice 89 · pratique
Le rayon caché
Dans un repère orthonormé, l'ensemble des points de coordonnées et vérifiant est un cercle. Déterminer son rayon.
Donne le rayon.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Fais apparaître des carrés : est le début de
- De même, est le début de N'oublie pas de retrancher les carrés ajoutés.
- Mets l'équation sous la forme
Correction
- Les carrés — On complète chaque carré.
- La forme canonique — Moins neuf moins un moins six : on passe seize dans l'autre membre.
- Le rayon —
Le cercle a pour centre et pour rayon Pour reconnaître un cercle : forme canonique, puis second membre strictement positif.
Pièges anticipés
16→ Seize est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.sqrt(6)→ Le terme constant n'est pas le carré du rayon : il faut d'abord compléter les carrés.sqrt(15)→ Tu as oublié de retrancher un des carrés ajoutés :
Exercice 90 · raisonnement
Choisir le rayon
Dans un repère orthonormé, pour tout réel on considère l'ensemble des points de coordonnées et vérifiant Déterminer le réel pour lequel est un cercle de rayon
Donne la valeur de
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- Mets l'équation sous forme canonique :
- Le second membre doit être égal au carré du rayon, ici
- Tu obtiens
Correction
- La forme canonique — On complète les carrés : moins quatre et moins un.
- La condition — Le second membre est le carré du rayon.
- La valeur —
Pour : Et en général, est un cercle si un point si et vide si
Pièges anticipés
2→ Le second membre est le carré du rayon : il doit valoir pas14 / 4→ De on tire
Exercice 91 · defi
Deux fois plus loin
Dans un repère orthonormé d'origine on donne le point L'ensemble des points du plan tels que est un cercle. Déterminer son rayon.
Donne le rayon.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Deux distances positives sont égales quand leurs carrés le sont : écris
- Avec développe :
- Regroupe tout dans un membre, divise par puis mets sous forme canonique.
Correction
- Les carrés — On élève au carré.
- On regroupe — On passe tout à droite, et on divise par trois.
- La forme canonique — On complète le carré en x.
- Le rayon —
C'est le cercle de centre et de rayon Il passe par et : pour le premier, et On traduit la condition en coordonnées, puis on reconnaît un cercle.
Pièges anticipés
4→ Quatre est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.
Exercice 92 · raisonnement
La tangente en un point
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle de centre passant par le point La tangente à au point a une équation de la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de
Réponse attendue : -36
Indices, dans l’ordre
- La tangente au cercle en est perpendiculaire au rayon
- Le vecteur de composantes et est donc normal à la tangente : d'où la forme proposée.
- La tangente passe par : remplace ses coordonnées.
Correction
- Le vecteur normal — On calcule les composantes de
- Avec le point A — La tangente passe par
- Le réel c — Douze plus vingt-quatre.
La tangente en a pour équation Contrôle : la distance de à cette droite vaut
Pièges anticipés
-11→ Ta droite passe par le centre La tangente passe par le point de contact36→ On a : c'est
Exercice 93 · defi
Deux tangentes de même pente
Dans un repère orthonormé d'origine on considère le cercle d'équation et, pour tout réel la droite d'équation Déterminer le réel strictement positif pour lequel la droite est tangente au cercle
Donne la valeur de
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le cercle a pour centre et pour rayon
- La droite est tangente quand la distance de à est égale au rayon. Écris d'abord sous la forme
- Tu obtiens
Correction
- Le centre et le rayon — On lit l'équation.
- La distance — Avec l'équation cartésienne deux x moins y plus p égale zéro.
- La condition — La distance est égale au rayon.
- La valeur positive —
Les deux tangentes de pente sont et ; la première touche le cercle au point Tangente : distance du centre égale au rayon.
Pièges anticipés
sqrt(5)→ Il faut : on multiplie par et25→ De on tire pas-5→ donne aussi une tangente, mais on demande la valeur strictement positive.
Exercice 94 · base
La droite touche-t-elle le cercle ?
Dans un repère orthonormé d'origine on considère le cercle de centre et de rayon et la droite d'équation Quelle est la position de la droite par rapport au cercle : sécante, tangente ou extérieure ?
Réponds par un mot : sécante, tangente ou extérieure.
Réponse attendue : extérieure — aussi acceptées : exterieure · elle est extérieure · extérieure au cercle · D est extérieure au cercle · la droite est extérieure au cercle · D est extérieure · elle est extérieure au cercle · extérieur · exterieur · la droite D est extérieure · aucun point commun · pas de point commun · elle ne coupe pas le cercle
Indices, dans l’ordre
- Compare la distance du centre à la droite avec le rayon.
- La distance vaut Est-elle plus petite, égale ou plus grande que ?
Correction
- La distance — On applique la formule avec le centre
- On compare — Trois racine de deux vaut environ quatre virgule vingt-quatre, plus que le rayon.
La distance du centre à la droite dépasse le rayon : la droite et le cercle n'ont aucun point commun.
Pièges anticipés
sécante / secante / elle est sécante→ La droite serait sécante si la distance du centre était plus petite que le rayon. Or environ est plus grand quetangente / elle est tangente→ La droite serait tangente si la distance du centre était égale au rayon. Compare et : leurs carrés valent et
Exercice 95 · defi
La corde d'un cercle
Dans un repère orthonormé, la droite d'équation coupe le cercle d'équation en deux points et Calculer la longueur
Donne la valeur exacte de la longueur EF.
Réponse attendue : 4*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(32)
Indices, dans l’ordre
- Les points communs vérifient les deux équations : remplace par dans celle du cercle.
- Tu obtiens une équation du second degré en :
- Calcule les deux points, puis la distance entre eux.
Correction
- On remplace — Dans l'équation du cercle.
- On résout — On divise par deux : x carré plus deux x moins trois, de racines un et moins trois.
- Les points — On calcule y égale x plus deux.
- La longueur — Seize plus seize.
Contrôle : la distance du centre à vaut et
Pièges anticipés
32→ Trente-deux est le carré de la longueur. La longueur est sa racine carrée.5.7 / 5.6 / 5.66 / 5.65 / 5.657 / 5.656→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.2*sqrt(10)→ C'est le diamètre du cercle. La droite ne passe pas par le centre : la corde est plus courte.
Exercice 96 · defi
Une tangente par l'origine
Dans un repère orthonormé d'origine on considère le cercle d'équation et, pour tout réel la droite d'équation Déterminer le réel strictement positif pour lequel la droite est tangente au cercle
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : sqrt(3)/3 — aussi acceptées : 1/sqrt(3) · sqrt(1/3)
Indices, dans l’ordre
- Le cercle a pour centre et pour rayon Écris sous la forme
- La droite est tangente quand c'est-à-dire
- Élève au carré pour faire disparaître la racine et la valeur absolue.
Correction
- La distance — Avec mx moins y égale zéro et le centre de coordonnées quatre et zéro.
- La condition — On élève au carré l'égalité avec le rayon.
- La valeur positive —
La pente correspond à un angle de : dans le triangle formé par le centre et le point de contact,
Pièges anticipés
1/3→ Un tiers est le carré de Il reste à prendre la racine carrée.sqrt(3)→ Avec la distance vaut pas0.6 / 0.5 / 0.58 / 0.57 / 0.577→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 97 · pratique
Le cercle par trois points
Dans un repère orthonormé d'origine on donne les points et Calculer le rayon du cercle passant par les points et
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : sqrt(13) — aussi acceptées : sqrt(52)/2
Indices, dans l’ordre
- Le centre est à l'intersection des médiatrices de et de
- La médiatrice de est la droite ; celle de est la droite
- Calcule la distance du centre à
Correction
- Les médiatrices — Les segments sont sur les axes.
- Le centre — Leur point commun.
- Le rayon — La distance du centre à l'origine.
Le triangle est rectangle en : le centre est le milieu de l'hypoténuse et le rayon vaut
Pièges anticipés
13→ Treize est le carré du rayon. Le rayon est sa racine carrée.2*sqrt(13) / sqrt(52)→ C'est la longueur le diamètre. Le rayon en est la moitié.3.6 / 3.61 / 3.60 / 3.606 / 3.605→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 98 · raisonnement
Quatre points sur un cercle ?
Dans un repère orthonormé, on donne les points et Les points et sont-ils cocycliques ?
Réponds par « oui » ou par « non ».
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui ils sont cocycliques · ils sont cocycliques · cocycliques · oui, ils sont cocycliques · oui cocycliques
Indices, dans l’ordre
- Cherche le centre du cercle passant par trois des points : l'intersection de deux médiatrices.
- La médiatrice de est la droite celle de aussi : prends plutôt et ou cherche un point tel que
- Calcule enfin la distance du centre au quatrième point.
Correction
- Le centre — Il est sur la médiatrice x égale un : on cherche avec
- Le rayon — Le carré de la distance de à
- Le point D — On calcule
- On conclut — Les quatre points sont sur le cercle de centre et de rayon racine de cinq.
Les points sont cocycliques, sur le cercle On pouvait le prévoir : est un trapèze isocèle, symétrique par rapport à la droite
Pièges anticipés
non / non ils ne sont pas cocycliques→ Calcule avec : on trouve comme
Exercice 99 · defi
Le quatrième point
Dans un repère orthonormé, on donne les points et et le point où est un réel. Déterminer le réel strictement positif pour lequel les points et sont cocycliques.
Donne la valeur de
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Commence par le cercle passant par et : son centre est sur la médiatrice de la droite
- Cherche le centre tel que puis le carré du rayon.
- Écris enfin que est égal au carré du rayon : équation du second degré en
Correction
- Le centre — On écrit avec
- Le rayon — Le carré de la distance de à
- Le point D — On écrit
- La valeur positive — m plus un vaut trois ou moins trois.
Pour est sur le cercle L'autre valeur, donne le point symétrique de par rapport à la droite
Pièges anticipés
-4→ convient aussi, mais on demande la valeur strictement positive.8→ De on tire ou : il faut prendre la racine carrée.
Exercice 100 · base
Dedans ou dehors ?
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle d'équation et le point Le point est-il à l'intérieur du cercle, sur le cercle ou à l'extérieur du cercle ?
Réponds par : à l'intérieur, sur le cercle ou à l'extérieur.
Réponse attendue : à l'intérieur — aussi acceptées : intérieur · interieur · il est à l'intérieur · A est à l'intérieur · à l'intérieur du cercle · A est à l'intérieur du cercle · a l interieur · il est à l'intérieur du cercle · A est intérieur au cercle · intérieur au cercle · il est intérieur · le point A est à l'intérieur du cercle · dedans
Indices, dans l’ordre
- Mets l'équation sous forme canonique pour lire le centre et le carré du rayon.
- Compare ensuite le carré de la distance du centre à avec le carré du rayon.
Correction
- La forme canonique — On complète les carrés.
- Le point A — On remplace x par deux et y par zéro dans le premier membre.
- On compare — Cinq est plus petit que neuf.
Le point est à l'intérieur du cercle. Plus rapide : en remplaçant dans on trouve négatif : c'est l'intérieur.
Pièges anticipés
à l'extérieur / extérieur / exterieur / il est à l'extérieur→ Le point serait à l'extérieur si était plus grand que Or est plus petit quesur le cercle / il est sur le cercle→ Le point serait sur le cercle si était égal à Or n'est pas égal à
Exercice 101 · raisonnement
Des entiers à l'intérieur
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle de centre et de rayon et, pour tout entier le point Combien y a-t-il d'entiers pour lesquels le point est strictement à l'intérieur du cercle ?
Donne le nombre d'entiers.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le point est strictement à l'intérieur quand
- Calcule en fonction de :
- Tu obtiens c'est-à-dire Compte les entiers.
Correction
- La condition — Le carré de la distance au centre est plus petit que treize.
- On simplifie — On retranche quatre.
- L'encadrement — On ajoute deux.
- Les entiers — Zéro, un, deux, trois et quatre.
Pour et le point est sur le cercle : « Strictement à l'intérieur » exclut ces deux valeurs.
Pièges anticipés
7→ Pour et : le point est sur le cercle, pas strictement à l'intérieur.25→ Le rayon vaut pas : la condition est et non
Exercice 102 · raisonnement
Trois droites, un point
Dans un repère cartésien, on considère les droites et, pour tout réel la droite Déterminer le réel pour lequel les trois droites sont concourantes.
Donne la valeur de sous forme de fraction.
Réponse attendue : -2/3
Indices, dans l’ordre
- Trois droites sont concourantes quand elles passent par un même point.
- Calcule d'abord le point d'intersection de et de : additionne les deux équations.
- Écris ensuite que ce point appartient à
Correction
- D1 et D2 — En additionnant les équations, trois x moins neuf égale zéro.
- Le point dans D3 — On remplace x par trois et y par moins un.
- La valeur —
Pour les trois droites passent par le point Méthode : l'intersection de deux d'entre elles, puis l'appartenance à la troisième.
Pièges anticipés
-0.7 / -0.6 / -0.67 / -0.66 / -0.667 / -0.666→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.2/3→ De on tire-8/3→ Attention : avec vaut On obtient
Exercice 103 · defi
Le triangle de trois droites
Dans un repère orthonormé, les droites et forment un triangle. Calculer l'aire de ce triangle.
Donne l'aire, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 49
Indices, dans l’ordre
- Calcule les trois sommets : chacun est l'intersection de deux des droites.
- Deux des sommets sont sur la droite horizontale : la base est facile à mesurer.
- La hauteur est l'écart des ordonnées entre le troisième sommet et la droite
Correction
- Les sommets — Les intersections deux à deux.
- La base — Sur la droite horizontale
- La hauteur — De l'ordonnée moins deux à l'ordonnée cinq.
- L'aire — La moitié de la base fois la hauteur.
L'aire vaut unités d'aire. De plus, et ont pour pentes et : le triangle est rectangle en et isocèle.
Pièges anticipés
98→ Tu as oublié de diviser par : l'aire d'un triangle est la moitié de la base fois la hauteur.