Homothéties
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Le chapitre numéro huit : homothéties. Ba3d la translation elli tzalla9 el figure, lyoum bech nchoufou application tkabber el figure walla tsaghgharha, men ghir ma tbaddel ech-chakl mte3ha. Ne5tarou point I, houwa le centre, w réel k non nul, houwa le rapport : el point M yemchi l M prime, w le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM. Bech nchoufou la propriété caractéristique, l'image mta3 droite w mta3 cercle, w chnowa t7afedh 3lih l'homothétie : l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles w le parallélisme. W nkammlou b des problèmes de construction w des problèmes de lieu.
عسلامة ! الـ chapitre numéro huit : homothéties . بعد la translation اللي تزلّق الـ figure ، ليوم باش نشوفو application تكبّر الـ figure ولّا تصغّرها ، من غير ما تبدّل الشكل متاعها . نختارو point I ، هو le centre ، w réel k non nul ، هو le rapport : الـ point M يمشي لـ M prime ، w le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M . باش نشوفو la propriété caractéristique ، l'image متاع droite w متاع cercle ، w شنوّة تحافظ عليه l'homothétie : l'alignement ، le milieu ، le barycentre ، les angles w le parallélisme . w نكمّلو بـ des problèmes de construction w des problèmes de lieu .
Bonjour ! Le chapitre numéro huit : homothéties. Après la translation, qui fait glisser une figure, nous allons voir aujourd'hui une application qui agrandit la figure ou la réduit, sans changer sa forme. On choisit un point I, le centre, et un réel k non nul, le rapport : le point M va en M prime, et le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M. Nous verrons la propriété caractéristique, l'image d'une droite et d'un cercle, et ce que l'homothétie conserve : l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles et le parallélisme. Et nous terminerons par des problèmes de construction et des problèmes de lieu.
Agrandir ou réduire une figure sans la déformer, à partir d'un point fixe : c'est une homothétie. Chaque point s'éloigne ou se rapproche du centre dans le même rapport.
On définit l'homothétie de centre et de rapport par l'égalité puis on étudie sa propriété caractéristique, les images des figures usuelles et ce qu'elle conserve. Elle devient alors un outil pour prouver des alignements, construire des figures et chercher des lieux géométriques.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Construire l'image et l'antécédent d'un point par une homothétie de centre et de rapport Construire l'image et l'antécédent d'un point par une homothétie de centre I et de rapport k.Construire l'image et l'antécédent d'un point par une homothétie de centre I et de rapport k.
- Reconnaître une homothétie, trouver son centre et son rapportReconnaître une homothétie, trouver son centre et son rapport.Reconnaître une homothétie, trouver son centre et son rapport.
- Utiliser la propriété caractéristique et ses conséquencesUtiliser la propriété caractéristique, le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N, et ses conséquences.Utiliser la propriété caractéristique, le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N, et ses conséquences.
- Déterminer l'image d'une droite, d'un segment et d'un cercle, et utiliser ce que l'homothétie conserveDéterminer l'image d'une droite, d'un segment et d'un cercle, et utiliser ce que l'homothétie conserve.Déterminer l'image d'une droite, d'un segment et d'un cercle, et utiliser ce que l'homothétie conserve.
- Calculer des périmètres et des aires de figures homothétiques, résoudre des problèmes de construction et de lieuCalculer des périmètres et des aires de figures homothétiques, et résoudre des problèmes de construction et de lieu.Calculer des périmètres et des aires de figures homothétiques, et résoudre des problèmes de construction et de lieu.
1. Activité
Rappels
Ce qu’il dit
Nabdew b tadhkir. 3andna zouz points A w B, w réel k, w el point M elli y7a99e9 : le vecteur AM égale k fois le vecteur AB. M dima 3la la droite AB. Ken k négatif, M yji fej-jiha lo5ra mta3 A, mouch jihet B. Ken k bin zéro w un, M 3la le segment AB. W ken k akbar men un, M yfout B. W fel 7alet el koll, la distance AM égale la valeur absolue de k fois AB. Chedd es-soura hedhi fi belek : biha bech n3arrfou l'homothétie.
نبداو بتذكير . عندنا زوز points A w B ، w réel k ، w الـ point M اللي يحقّق : le vecteur A M égale k fois le vecteur A B . M ديما على la droite A B . كان k négatif ، M يجي في الجهة الأخرى متاع A ، موش جهة B . كان k بين zéro w un ، M على le segment A B . w كان k أكبر من un ، M يفوت B . w في الحالات الكل ، la distance A M égale la valeur absolue de k fois A B . شدّ الصورة هذي في بالك : بيها باش نعرّفو l'homothétie .
Commençons par un rappel. On a deux points A et B, un réel k, et le point M qui vérifie : le vecteur A M égale k fois le vecteur A B. M est toujours sur la droite A B. Si k est négatif, M est de l'autre côté de A, pas du côté de B. Si k est entre zéro et un, M est sur le segment A B. Et si k est plus grand que un, M dépasse B. Dans tous les cas, la distance A M égale la valeur absolue de k fois A B. Garde cette image en tête : c'est avec elle qu'on va définir l'homothétie.
Soient et deux points distincts d'une droite, un réel et le point défini par Le point est sur la droite et la valeur de dit où :
- si est sur la demi-droite d'origine qui ne contient pas ;
- si est sur le segment ;
- si est sur la demi-droite au-delà de
Dans tous les cas,
On rappelle aussi que trois points et sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.
Une droite sur laquelle sont placés, de gauche à droite, les points E, A, F, B et G. AB mesure 4 unités. E est à 2 unités à gauche de A (coefficient moins un demi), F est entre A et B à 1 unité de A (coefficient un quart), G est à 2 unités à droite de B (coefficient trois demis).
M est sur la droite (AB)
Exemple traité
Soient et deux points tels que On place les points et tels que le vecteur est égal à fois le vecteur le vecteur à fois le vecteur et le vecteur à fois le vecteur Situer ces trois points et calculer les distances et
- Le point E — Le coefficient est négatif : est de l'autre côté de par rapport à Sa distance à est la moitié de
- Le point F — Le coefficient est entre et : est sur le segment au quart à partir de
- Le point G — Le coefficient est plus grand que : est au-delà de
À ne pas faire : donc est entre et — est au-delà de sur la demi-droite . Le coefficient est plus grand que : la distance dépasse la distance
2. Activité
Pour comprendre : agrandir une figure
Ce qu’il dit
Bech nefhmou, ne5dhou trapèze ABCD fi quadrillage, w point I. L koll sommet, nadhrbou fi deux el vecteur elli yo5rej men I : le vecteur IA prime égale deux fois le vecteur IA, w kif kif l B w C w D. Chouf el trapèze ej-jdid A prime B prime C prime D prime. Les côtés mte3ou parallèles l les côtés mta3 ABCD. Koll longueur tetdhrab fi deux, donc le périmètre zeda. Ama l'aire, tetdhrab fi quatre. El figure kebret, men ghir ma yetbaddel ech-chakl mte3ha : hedha elli bech nsammiweh homothétie.
باش نفهمو ، ناخذو trapèze A B C D في quadrillage ، w point I . لكل sommet ، نضربو في deux الـ vecteur اللي يخرج من I : le vecteur I A prime égale deux fois le vecteur I A ، w كيف كيف لـ B w C w D . شوف الـ trapèze الجديد A prime B prime C prime D prime . les côtés متاعو parallèles لـ les côtés متاع A B C D . كل longueur تتضرب في deux ، donc le périmètre زادة . أما l'aire ، تتضرب في quatre . الـ figure كبرت ، من غير ما يتبدّل الشكل متاعها : هذا اللي باش نسمّيوه homothétie .
Pour comprendre, prenons un trapèze A B C D dans un quadrillage, et un point I. Pour chaque sommet, on multiplie par deux le vecteur qui part de I : le vecteur I A prime égale deux fois le vecteur I A, et de même pour B, C et D. Regarde le nouveau trapèze A prime B prime C prime D prime. Ses côtés sont parallèles aux côtés de A B C D. Chaque longueur est multipliée par deux, donc le périmètre aussi. Mais l'aire, elle, est multipliée par quatre. La figure a grandi, sans que sa forme change : c'est ce qu'on appellera une homothétie.
Dans un quadrillage, est un trapèze rectangle en : et l'unité étant le côté d'un carreau. est un point du plan. On construit les points et tels que
On compare alors et :
- chaque côté de est parallèle au côté correspondant de ;
- chaque longueur est multipliée par donc le périmètre aussi ;
- l'aire est multipliée par
Une translation aurait donné un trapèze de mêmes dimensions que Ici la figure est agrandie, sans être déformée.
Un point I en bas à gauche. Un petit trapèze rectangle ABCD : A est à 4 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de I, AB est horizontal et mesure 4, AD est vertical et mesure 2, DC est horizontal et mesure 2. Un grand trapèze A'B'C'D', deux fois plus loin de I dans chaque direction : A'B' mesure 8, A'D' mesure 4, D'C' mesure 4. Des demi-droites en pointillés partent de I et passent par chaque sommet et son image.
de même pour B, C et D
Exemple traité
Avec les données de la figure, montrer que le côté est parallèle au côté et deux fois plus long, puis comparer les périmètres et les aires des deux trapèzes.
- Un côté — Par la relation de Chasles, le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur : on trouve fois le vecteur Les deux côtés sont parallèles, et
- Les périmètres — Dans le côté mesure Chaque côté est doublé, donc le périmètre est doublé.
- Les aires — L'aire du trapèze vaut Dans les bases mesurent et et la hauteur : l'aire vaut
À ne pas faire : Les longueurs sont multipliées par donc l'aire est multipliée par — L'aire est multipliée par . Une aire est un produit de deux longueurs : chacune est multipliée par donc le produit est multiplié par
3. Activité
Pour comprendre : un coefficient négatif
Ce qu’il dit
Tawa nbaddlou le coefficient : ne5dhou moins un demi. 3andna point O, w triangle ABC. N7ottou A prime b7ith le vecteur OA prime égale moins un demi fois le vecteur OA, w kif kif l B w C. Chnowa nle7dhou ? O w A w A prime alignés, ama O yji bin A w A prime, 5ater le coefficient négatif. La droite BC w la droite B prime C prime parallèles. W koll longueur twalli ennoss. El triangle ej-jdid asghar marrtin, w ma9loub fej-jiha lo5ra mta3 O.
توّا نبدّلو le coefficient : ناخذو moins un demi . عندنا point O ، w triangle A B C . نحطّو A prime بحيث le vecteur O A prime égale moins un demi fois le vecteur O A ، w كيف كيف لـ B w C . شنوّة نلاحظو ؟ O w A w A prime alignés ، أما O يجي بين A w A prime ، خاطر le coefficient négatif . la droite B C w la droite B prime C prime parallèles . w كل longueur تولّي النصّ . الـ triangle الجديد أصغر مرّتين ، w مقلوب في الجهة الأخرى متاع O .
Changeons maintenant le coefficient : prenons moins un demi. On a un point O et un triangle A B C. On place A prime de sorte que le vecteur O A prime égale moins un demi fois le vecteur O A, et de même pour B et C. Qu'observe-t-on ? O, A et A prime sont alignés, mais O se trouve entre A et A prime, parce que le coefficient est négatif. La droite B C et la droite B prime C prime sont parallèles. Et chaque longueur est divisée par deux. Le nouveau triangle est deux fois plus petit, et retourné de l'autre côté de O.
Soient et quatre points distincts du plan. On construit les points et tels que
Cette fois le coefficient est négatif, et l'on observe que :
- les points et sont alignés, et est entre et ; de même pour et pour et ;
- les droites et sont parallèles ;
Le triangle est une réduction du triangle placée de l'autre côté de
Un point O au centre. À droite, un triangle ABC. À gauche de O, un triangle A'B'C' deux fois plus petit et retourné : chaque sommet est aligné avec O et le sommet correspondant de ABC, de l'autre côté de O et deux fois plus près. Les côtés de A'B'C' sont parallèles à ceux de ABC.
de même pour B et C
Exemple traité
Avec ces données, justifier que les points et sont alignés, que les droites et sont parallèles, et que
- L'alignement — Le vecteur est égal à fois le vecteur : ces deux vecteurs sont colinéaires et ont la même origine. Les points et sont alignés.
- Chasles — On décompose le vecteur en passant par puis on met en facteur.
- Conclure — Les vecteurs et sont colinéaires : les droites sont parallèles. Et la longueur est la moitié de la longueur
À ne pas faire : Le coefficient est négatif, donc n'est pas sur la droite — est sur la droite de l'autre côté de . Deux vecteurs colinéaires de même origine donnent des points alignés, quel que soit le signe du coefficient.
4. Définition
Homothétie de centre I et de rapport k
Ce qu’il dit
Tawa el définition. 3andna point I, w réel k non nul. L'application elli ta3ti l koll point M, el point el wa7id M prime elli y7a99e9 le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM, nsammiwha l'homothétie de centre I et de rapport k, w nektbouha h indice I k. M prime houwa l'image mta3 M, w M houwa l'antécédent mta3 M prime. Rodd belek : ez-zouz vecteurs yo5rjou men le centre I. Ken k positif, M w M prime fi nafs ej-jiha mta3 I. W ken k négatif, I yji binethom.
توّا الـ définition . عندنا point I ، w réel k non nul . l'application اللي تعطي لكل point M ، الـ point الوحيد M prime اللي يحقّق le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M ، نسمّيوها l'homothétie de centre I et de rapport k ، w نكتبوها h indice I k . M prime هو l'image متاع M ، w M هو l'antécédent متاع M prime . ردّ بالك : الزوز vecteurs يخرجو من le centre I . كان k positif ، M w M prime في نفس الجهة متاع I . w كان k négatif ، I يجي بيناتهم .
Voici la définition. On a un point I et un réel k non nul. L'application qui associe à chaque point M l'unique point M prime qui vérifie le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M s'appelle l'homothétie de centre I et de rapport k, et on la note h indice I k. M prime est l'image de M, et M est l'antécédent de M prime. Attention : les deux vecteurs partent du centre I. Si k est positif, M et M prime sont du même côté de I. Et si k est négatif, I se trouve entre eux.
Soit un point et un réel non nul. L'application qui à tout point du plan associe l'unique point tel que est appelée homothétie de centre et de rapport Elle est notée
On a ainsi :
équivaut à
est appelé l'image du point par l'homothétie et est appelé l'antécédent de par l'homothétie
Un point I à gauche. Deux points M et N, et leurs images M' et N' par l'homothétie de centre I et de rapport 2 : M' est sur la demi-droite d'origine I passant par M, deux fois plus loin de I que M ; de même N' est deux fois plus loin de I que N. Les segments IM et MM' portent la même marque, ainsi que IN et NN'.
la définition
Exemple traité
Traduire par une égalité vectorielle chacun des énoncés suivants. Premier énoncé : l'homothétie de centre et de rapport transforme en Deuxième énoncé : le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport Troisième énoncé : le point est l'antécédent du point par l'homothétie de centre et de rapport
- De A vers B — Le centre est le point de départ est son image est : le vecteur qui va du centre à l'image est égal à fois le vecteur qui va du centre au point.
- Le centre A — Ici le centre est et l'image est : les deux vecteurs partent toujours du centre.
- L'antécédent — est l'antécédent de : c'est qui est l'image de
À ne pas faire : équivaut à — équivaut à . Les deux vecteurs partent du centre : l'un va vers le point, l'autre vers son image.
À ne pas faire : On peut prendre comme rapport d'une homothétie — Le rapport d'une homothétie est un réel non nul. Avec un coefficient nul, tous les points auraient pour image le centre et un point autre que n'aurait aucun antécédent.
5. Propriété
Conséquences de la définition
Ce qu’il dit
Men el définition ntalla3ou trois conséquences. Numéro un : el point, w l'image mte3ou, w le centre, dima alignés, 5ater ez-zouz vecteurs colinéaires. Numéro deux : l'image mta3 le centre I hiya I : n9oulou I point invariant. Numéro trois : le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM, équivaut à le vecteur IM égale un sur k fois le vecteur IM prime. Ya3ni bech traja3 men M prime l M, testa3mel le rapport un sur k. W hakka koll point 3andou antécédent wa7ed bark.
من الـ définition نطلّعو trois conséquences . numéro un : الـ point ، w l'image متاعو ، w le centre ، ديما alignés ، خاطر الزوز vecteurs colinéaires . numéro deux : l'image متاع le centre I هي I : نقولو I point invariant . numéro trois : le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M ، équivaut à le vecteur I M égale un sur k fois le vecteur I M prime . يعني باش ترجع من M prime لـ M ، تستعمل le rapport un sur k . w هكّا كل point عندو antécédent واحد برك .
De la définition, on tire trois conséquences. Numéro un : un point, son image et le centre sont toujours alignés, parce que les deux vecteurs sont colinéaires. Numéro deux : l'image du centre I est I : on dit que I est un point invariant. Numéro trois : le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M, équivaut à le vecteur I M égale un sur k fois le vecteur I M prime. Autrement dit, pour revenir de M prime à M, on utilise le rapport un sur k. Et ainsi chaque point a un seul antécédent.
- Un point et son image sont alignés avec le centre de l'homothétie.
- : on dit que est un point invariant par
- équivaut à qui équivaut à
Tout point du plan admet donc un unique antécédent par une homothétie : l'antécédent de par est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
Trois points alignés I, M et M'. Le segment IM' est partagé en trois parts égales, et M est à la première : M' est trois fois plus loin de I que M.
le centre est invariant
l'antécédent
Exemple traité
Donner une interprétation de chacune des égalités suivantes au moyen d'une homothétie. Première égalité : le vecteur est égal à fois le vecteur Deuxième égalité : fois le vecteur est égal au vecteur
- Le centre M — Les deux vecteurs partent de : le centre est Le point est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
- Le centre P — Les deux vecteurs partent de : le centre est Le point est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
- Dans l'autre sens — On peut aussi lire chaque égalité à l'envers, avec le rapport inverse : est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
À ne pas faire : L'antécédent de par s'obtient avec le rapport — Il s'obtient avec le rapport : . Pour revenir en arrière, on divise par : on prend l'inverse du rapport, pas son opposé.
6. Méthode
Construire l'image d'un point
Ce qu’il dit
Kifech narsmou l'image mta3 point A ? Et-tari9a fiha trois étapes. Numéro un : arsem la droite IA, 5ater l'image dima 3liha. Numéro deux : a7seb la distance : IA prime égale la valeur absolue de k fois IA. Numéro trois : e5tar ej-jiha. Ken k positif, A prime fi nafs ej-jiha mta3 A. Ken k négatif, A prime fej-jiha lo5ra mta3 I. W zid tfakker : ken la valeur absolue de k akbar men un, l'image teb3ed 3la le centre, w ken asghar men un, ta9reb lih.
كيفاش نرسمو l'image متاع point A ؟ الطريقة فيها trois étapes . numéro un : ارسم la droite I A ، خاطر l'image ديما عليها . numéro deux : احسب la distance : I A prime égale la valeur absolue de k fois I A . numéro trois : اختار الجهة . كان k positif ، A prime في نفس الجهة متاع A . كان k négatif ، A prime في الجهة الأخرى متاع I . w زيد تفكّر : كان la valeur absolue de k أكبر من un ، l'image تبعد على le centre ، w كان أصغر من un ، تقرب ليه .
Comment construire l'image d'un point A ? La méthode tient en trois étapes. Numéro un : trace la droite I A, car l'image est toujours dessus. Numéro deux : calcule la distance : I A prime égale la valeur absolue de k fois I A. Numéro trois : choisis le côté. Si k est positif, A prime est du même côté que A. Si k est négatif, A prime est de l'autre côté de I. Et retiens encore : si la valeur absolue de k est plus grande que un, l'image s'éloigne du centre, et si elle est plus petite que un, elle s'en rapproche.
Pour construire l'image d'un point par l'homothétie de centre et de rapport :
- 1.on trace la droite : l'image est sur cette droite ;
- 2.on reporte à partir de la distance ;
- 3.on choisit le côté : du même côté que si de l'autre côté de si
Si l'image est plus loin du centre que le point ; si elle en est plus près.
Une droite sur laquelle sont placés, de gauche à droite, les points G, I, F, A et E. IA mesure 2 unités. E est du côté de A, à 6 unités de I. F est le milieu du segment IA. G est de l'autre côté de I, à 4 unités de I.
la distance au centre
Exemple traité
Soient et deux points tels que Construire l'image du point par l'homothétie de centre dans chacun des cas suivants : on note l'image quand le rapport est l'image quand le rapport est et l'image quand le rapport est
- Agrandir — Le rapport est positif et plus grand que : est du côté de trois fois plus loin de
- Réduire — Le rapport est positif et plus petit que : est le milieu du segment
- Rapport négatif — Le rapport est négatif : est de l'autre côté de à une distance double de
À ne pas faire : Pour le rapport on place du côté de à la distance — On place de l'autre côté de à la distance . Un rapport négatif change le sens du vecteur : le centre se retrouve entre le point et son image.
7. Méthode
Trouver le centre
Ce qu’il dit
W bel 3aks : na3rfou le rapport k, w point A, w l'image mte3ou B. Win le centre I ? Nektbou el définition : le vecteur IB égale k fois le vecteur IA. N7ottou el koll fi jiha wa7da : k fois le vecteur IA moins le vecteur IB égale le vecteur nul. Hedhi relation mta3 barycentre : I houwa le barycentre des points A et B, affectés des coefficients k et moins un. Mathalan, ken le rapport deux tiers, nal9aw I barycentre de A et B, affectés des coefficients moins deux et trois. W ma tensech : ken k positif, le centre 5arej le segment AB, w ken k négatif, le centre bin A w B.
w بالعكس : نعرفو le rapport k ، w point A ، w l'image متاعو B . وين le centre I ؟ نكتبو الـ définition : le vecteur I B égale k fois le vecteur I A . نحطّو الكل في جهة وحدة : k fois le vecteur I A moins le vecteur I B égale le vecteur nul . هذي relation متاع barycentre : I هو le barycentre des points A et B ، affectés des coefficients k et moins un . مثلا ، كان le rapport deux tiers ، نلقاو I barycentre de A et B ، affectés des coefficients moins deux et trois . w ما تنساش : كان k positif ، le centre خارج le segment A B ، w كان k négatif ، le centre بين A w B .
Et dans l'autre sens : on connaît le rapport k, un point A et son image B. Où est le centre I ? On écrit la définition : le vecteur I B égale k fois le vecteur I A. On met tout du même côté : k fois le vecteur I A moins le vecteur I B égale le vecteur nul. C'est une relation de barycentre : I est le barycentre des points A et B, affectés des coefficients k et moins un. Par exemple, si le rapport est deux tiers, on trouve que I est le barycentre de A et B, affectés des coefficients moins deux et trois. Et n'oublie pas : si k est positif, le centre est hors du segment A B, et si k est négatif, le centre est entre A et B.
On connaît le rapport d'une homothétie avec un point et son image Où est le centre ?
L'égalité s'écrit : le centre est le barycentre des points et affectés des coefficients et
Par exemple, si est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport alors donc : est le barycentre des points et affectés des coefficients et
Une droite sur laquelle sont placés, de gauche à droite : un premier centre I, le point A, un second centre J, puis le point B. AB mesure 5 unités. I est à gauche de A, à 5 unités : A est le milieu du segment IB. J est entre A et B, à 1 unité de A.
le centre est un barycentre
Exemple traité
Soient et deux points distincts. Construire le centre de l'homothétie qui transforme en : on note ce centre quand le rapport est et ce centre quand le rapport est
- Chasles — Dans les deux cas, on écrit le vecteur qui va du centre à comme une somme passant par pour ne garder qu'un vecteur d'origine
- Rapport positif — Le vecteur est égal à fois le vecteur : il reste que le vecteur est égal au vecteur Le point est le milieu du segment : est le symétrique de par rapport à
- Rapport négatif — Le vecteur est égal à fois le vecteur : le vecteur est égal à fois le vecteur Le point est sur le segment au cinquième à partir de
À ne pas faire : L'homothétie de rapport qui transforme en a pour centre le milieu de — Son centre est le symétrique de par rapport à . Avec un rapport positif, et sont du même côté du centre : le centre ne peut pas être entre eux.
8. Méthode
Reconnaître une homothétie
Ce qu’il dit
Kifech na3rfou elli application hiya homothétie ? Nlawwjou 3la point fixe I, w réel k non nul, b7ith l koll point M : le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM. Barcha marrat l'énoncé ya3tik le vecteur MM prime. Wa9tha esta3mel Chasles : le vecteur IM prime égale le vecteur IM plus le vecteur MM prime. W rodd belek : le rapport na9raweh 3la ez-zouz vecteurs elli yo5rjou men le centre, mouch 3la le vecteur MM prime.
كيفاش نعرفو اللي application هي homothétie ؟ نلوّجو على point fixe I ، w réel k non nul ، بحيث لكل point M : le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M . برشة مرّات l'énoncé يعطيك le vecteur M M prime . وقتها استعمل Chasles : le vecteur I M prime égale le vecteur I M plus le vecteur M M prime . w ردّ بالك : le rapport نقراوه على الزوز vecteurs اللي يخرجو من le centre ، موش على le vecteur M M prime .
Comment reconnaître qu'une application est une homothétie ? On cherche un point fixe I et un réel k non nul tels que, pour tout point M : le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M. Très souvent, l'énoncé te donne le vecteur M M prime. Utilise alors Chasles : le vecteur I M prime égale le vecteur I M plus le vecteur M M prime. Et attention : le rapport se lit sur les deux vecteurs qui partent du centre, pas sur le vecteur M M prime.
Pour montrer qu'une application qui à tout point associe un point est une homothétie, on cherche un point fixe et un réel non nul tels que, pour tout point :
Le plus souvent, l'énoncé donne le vecteur : on passe au vecteur par la relation de Chasles,
Un segment AB horizontal. Le point I est sur ce segment, aux quatre cinquièmes à partir de A. Un point M est placé un peu au-dessus et à droite de I. Son image M' est de l'autre côté de I, alignée avec I et M, quatre fois plus loin de I que M.
pour tout point M, avec I fixe
Exemple traité
Soient et deux points distincts et le barycentre des points et affectés des coefficients et À tout point du plan, on associe le point tel que le vecteur est égal à la somme du vecteur et de fois le vecteur Reconnaître l'application qui associe au point le point
- Réduire la somme — est le barycentre : pour tout point la somme se réduit à fois le vecteur
- Partir du centre — On écrit le vecteur avec la relation de Chasles, en passant par
- Conclure — Le vecteur est l'opposé du vecteur : il reste fois le vecteur Le point est fixe et le coefficient ne dépend pas de
À ne pas faire : donc est l'homothétie de centre et de rapport — : le rapport est . Le rapport se lit sur les deux vecteurs qui partent du centre, pas sur le vecteur qui va du point à son image.
9. Théorème
Propriété caractéristique
Ce qu’il dit
Hedhi la propriété caractéristique. Ne5dhou homothétie h de centre O et de rapport k, w zouz points M w N, w les images mte3hom M prime w N prime. Wa9tha le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur MN. 3lech ? B Chasles : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M prime O plus le vecteur ON prime, ya3ni moins k fois le vecteur OM, plus k fois le vecteur ON. N5arrjou k en facteur, w nal9aw k fois le vecteur MN. Tfakker : l'homothétie todhrob les vecteurs el koll fi k, mouch ken elli yo5rjou men le centre.
هذي la propriété caractéristique . ناخذو homothétie h de centre O et de rapport k ، w زوز points M w N ، w les images متاعهم M prime w N prime . وقتها le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N . علاش ؟ بـ Chasles : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M prime O plus le vecteur O N prime ، يعني moins k fois le vecteur O M ، plus k fois le vecteur O N . نخرّجو k en facteur ، w نلقاو k fois le vecteur M N . تفكّر : l'homothétie تضرب les vecteurs الكل في k ، موش كان اللي يخرجو من le centre .
Voici la propriété caractéristique. On prend une homothétie h de centre O et de rapport k, deux points M et N, et leurs images M prime et N prime. Alors le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N. Pourquoi ? Par Chasles : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M prime O plus le vecteur O N prime, c'est-à-dire moins k fois le vecteur O M, plus k fois le vecteur O N. On met k en facteur, et on trouve k fois le vecteur M N. Retiens : l'homothétie multiplie tous les vecteurs par k, pas seulement ceux qui partent du centre.
Soit une homothétie de centre et de rapport Soient et deux points du plan et et leurs images respectives par On a :
Une homothétie multiplie donc tous les vecteurs par son rapport, pas seulement ceux qui partent du centre.
Deux dessins côte à côte. À gauche, le rapport est positif : O est en haut, M et N sont sur deux demi-droites issues de O, et M' et N' sont plus loin sur ces mêmes demi-droites ; les vecteurs MN et M'N' sont parallèles et de même sens. À droite, le rapport est négatif : O est entre M et M', et entre N et N' ; les vecteurs MN et M'N' sont parallèles et de sens contraires.
pour tous points M et N
Démonstration
Par la relation de Chasles, Or et donc
Exemple traité
Soit un triangle. On désigne par l'homothétie de centre et de rapport On note l'image de par et le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur Montrer que les droites et sont parallèles et que
- L'image de J — Le vecteur est égal à un tiers du vecteur : le point est l'image de par
- La propriété — et sont les images de et de : le vecteur qui joint les images est égal à un tiers du vecteur qui joint les points.
- Conclure — Les deux vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles ; et la longueur est le tiers de la longueur
À ne pas faire : comme pour une translation — . Une translation ne change pas les vecteurs ; une homothétie les multiplie tous par son rapport.
10. Propriété
Conséquences : droites parallèles, longueurs multipliées
Ce qu’il dit
Men la propriété caractéristique ntalla3ou zouz conséquences. Ken A prime w B prime houma les images mta3 A w B par une homothétie de rapport k, wa9tha la droite AB parallèle à la droite A prime B prime, 5ater ez-zouz vecteurs colinéaires. W la distance A prime B prime égale la valeur absolue de k fois AB. Ya3ni l'homothétie todhrob les distances el koll fi la valeur absolue de k : tkabber ken hiya akbar men un, w tsaghghar ken hiya asghar men un.
من la propriété caractéristique نطلّعو زوز conséquences . كان A prime w B prime هوما les images متاع A w B par une homothétie de rapport k ، وقتها la droite A B parallèle à la droite A prime B prime ، خاطر الزوز vecteurs colinéaires . w la distance A prime B prime égale la valeur absolue de k fois A B . يعني l'homothétie تضرب les distances الكل في la valeur absolue de k : تكبّر كان هي أكبر من un ، w تصغّر كان هي أصغر من un .
De la propriété caractéristique, on tire deux conséquences. Si A prime et B prime sont les images de A et B par une homothétie de rapport k, alors la droite A B est parallèle à la droite A prime B prime, parce que les deux vecteurs sont colinéaires. Et la distance A prime B prime égale la valeur absolue de k fois A B. Autrement dit, l'homothétie multiplie toutes les distances par la valeur absolue de k : elle agrandit si celle-ci est plus grande que un, et elle réduit si elle est plus petite que un.
Si et sont les images respectives de deux points distincts et par une homothétie de rapport alors :
- la droite est parallèle à la droite ;
Une homothétie multiplie donc toutes les distances par : elle agrandit si elle réduit si
Un segment AB horizontal en haut, et un segment CD horizontal en bas, deux fois plus long, avec C à gauche et D à droite. Les segments AD et BC se croisent en un point I : I est entre A et D, et entre B et C, et ID vaut deux fois IA.
les distances
Exemple traité
Dans la figure, les droites et se coupent en et les droites et sont parallèles. Montrer que et sont les images respectives de et de par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
- Le point D — est entre et et : les deux vecteurs sont de sens contraires. L'homothétie de centre et de rapport transforme en
- L'image de B — On note l'image de par La droite est parallèle à la droite : est sur la droite Et est aligné avec et : c'est le point
- Conclure — L'homothétie de centre et de rapport transforme en et en On en déduit que la longueur est le double de la longueur
À ne pas faire : Les droites et sont parallèles, donc — donc . Deux droites parallèles ne portent pas forcément des vecteurs égaux. L'égalité des vecteurs, c'est la translation ; l'homothétie, elle, multiplie le vecteur par son rapport.
11. Propriété
Conservation de l'alignement
Ce qu’il dit
L'homothétie t7afedh 3la l'alignement. Ken trois points A w B w C alignés, les images mte3hom A prime w B prime w C prime zeda alignés. Es-sbab sehel : le vecteur AC égale réel t fois le vecteur AB. Nadhrbou ez-zouz fi k, nal9aw : le vecteur A prime C prime égale t fois le vecteur A prime B prime. Donc les images alignés. W hedhi tari9a behya bech tthabbet elli trois points alignés : twarri elli houma les images mta3 trois points alignés.
l'homothétie تحافظ على l'alignement . كان trois points A w B w C alignés ، les images متاعهم A prime w B prime w C prime زادة alignés . السبب ساهل : le vecteur A C égale réel t fois le vecteur A B . نضربو الزوز في k ، نلقاو : le vecteur A prime C prime égale t fois le vecteur A prime B prime . donc les images alignés . w هذي طريقة باهية باش تثبت اللي trois points alignés : تورّي اللي هوما les images متاع trois points alignés .
L'homothétie conserve l'alignement. Si trois points A, B et C sont alignés, leurs images A prime, B prime et C prime sont alignées aussi. La raison est simple : le vecteur A C égale un réel t fois le vecteur A B. On multiplie les deux par k, et on trouve : le vecteur A prime C prime égale t fois le vecteur A prime B prime. Donc les images sont alignées. Et c'est un bon moyen de prouver que trois points sont alignés : on montre qu'ils sont les images de trois points alignés.
Les images, par une homothétie, de trois points alignés sont trois points alignés.
Autrement dit : si et sont alignés et si et sont leurs images par une homothétie, alors et sont alignés.
Un segment MN horizontal en bas, de milieu I. Trois points A, B et C alignés sur une droite oblique au-dessus. Les triangles AMN, BMN et CMN ont le même côté MN. Les segments AI, BI et CI sont tracés en pointillés ; sur chacun, au tiers à partir de I, se trouve le centre de gravité : A' sur AI, B' sur BI, C' sur CI. Les trois points A', B' et C' sont alignés sur une droite parallèle à la droite (AC).
Démonstration
Les points et sont alignés, avec : il existe un réel tel que Par la propriété caractéristique, Les vecteurs et sont colinéaires : et sont alignés.
Exemple traité
Dans la figure, et sont des triangles tels que et soient alignés. On note le milieu du segment et et les centres de gravité respectifs de ces trois triangles. Montrer que et sont alignés.
- Le centre de gravité — Dans le triangle la droite est une médiane, et le centre de gravité est au tiers de la médiane à partir du milieu
- Une homothétie — est donc l'image de par l'homothétie de centre et de rapport Les trois triangles ont le même côté : de même, et sont les images de et de
- Conclure — et sont alignés, et une homothétie conserve l'alignement.
À ne pas faire : Le centre de gravité est au tiers de la médiane à partir du sommet : — c'est-à-dire . Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir du sommet, donc au tiers à partir du milieu du côté.
12. Théorème
Image d'une droite, image d'un segment
Ce qu’il dit
Chnowa l'image mta3 droite ? Hiya droite parallèle liha. Ken A w B zouz points 3la la droite, w les images mte3hom A prime w B prime, l'image de la droite AB hiya la droite A prime B prime. W l'image du segment AB hiya le segment A prime B prime. Pratiquement, yekfik l'image mta3 point wa7ed : arsem men l'image hedhi la parallèle à la droite elli bdit biha. W 7ala 5assa : la droite elli tet3adda men le centre mta3 l'homothétie, l'image mte3ha hiya bidha.
شنوّة l'image متاع droite ؟ هي droite parallèle ليها . كان A w B زوز points على la droite ، w les images متاعهم A prime w B prime ، l'image de la droite A B هي la droite A prime B prime . w l'image du segment A B هي le segment A prime B prime . Pratiquement ، يكفيك l'image متاع point واحد : ارسم من l'image هذي la parallèle à la droite اللي بديت بيها . w حالة خاصّة : la droite اللي تتعدّى من le centre متاع l'homothétie ، l'image متاعها هي بيدها .
Quelle est l'image d'une droite ? C'est une droite qui lui est parallèle. Si A et B sont deux points de la droite, d'images A prime et B prime, l'image de la droite A B est la droite A prime B prime. Et l'image du segment A B est le segment A prime B prime. En pratique, l'image d'un seul point te suffit : trace par cette image la parallèle à la droite de départ. Et un cas particulier : une droite qui passe par le centre de l'homothétie est sa propre image.
L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
Plus précisément : si et sont deux points distincts d'images et l'image de la droite est la droite
L'image d'un segment par une homothétie est un segment : l'image du segment est le segment
En pratique. Pour préciser l'image d'une droite par une homothétie :
- si l'on connaît les images et de deux points de l'image de est la droite ;
- si l'on connaît l'image d'un seul point de l'image de est la parallèle à passant par ;
- si passe par le centre de l'image de est elle-même.
Un point I en bas à gauche. Une droite D, en bleu, passe par deux points A et B. Les demi-droites d'origine I passant par A et par B sont tracées en pointillés ; A' est sur la première, deux fois plus loin de I que A, et B' sur la seconde, deux fois plus loin de I que B. La droite D', en rouge, passe par A' et B' : elle est parallèle à D.
une droite parallèle
un segment
Démonstration
Soit un point de la droite : il existe un réel tel que Alors donc est sur la droite Réciproquement, soit un point de et son antécédent : donne donc et est sur L'image de est exactement et elle est parallèle à car Pour le segment, on reprend le même calcul avec
Exemple traité
Soient une droite et un point qui n'est pas sur Construire l'image de la droite par l'homothétie de centre et de rapport
- Un point — On choisit un point sur et on construit son image : le vecteur est égal à fois le vecteur donc est le milieu du segment
- La parallèle — L'image de est une droite parallèle à et elle passe par : on trace la parallèle à passant par On la note
- Vérifier — Si on prend un autre point de son image est le point où la droite coupe
À ne pas faire : L'image de la droite est la droite qui passe par et par — C'est la parallèle à passant par . La droite qui joint le centre à l'image d'un point contient ce point et son image, mais ce n'est pas l'image de la droite de départ : l'image d'une droite lui est parallèle.
13. Méthode
Une homothétie donnée par son centre, un point et son image
Ce qu’il dit
L'homothétie na3rfouha el koll ki ykoun 3andna le centre O, w point A, w l'image mte3ou A prime : el trois points alignés, w le rapport houwa el réel k elli y7a99e9 le vecteur OA prime égale k fois le vecteur OA. Bech tarsem l'image mta3 point e5er M, ma test7a99ech ta7seb k. Ken M mouch 3la la droite OA, arsem la droite OM, w ba3d la parallèle à la droite AM elli tet3adda men A prime : yetla9aw fi M prime. W ken M 3la la droite OA, arsem 9bal l'image mta3 point N 5arej la droite hedhi, w 3awed nafs el 5edma b N w N prime.
l'homothétie نعرفوها الكل كي يكون عندنا le centre O ، w point A ، w l'image متاعو A prime : الـ trois points alignés ، w le rapport هو الـ réel k اللي يحقّق le vecteur O A prime égale k fois le vecteur O A . باش ترسم l'image متاع point آخر M ، ما تستحقّش تحسب k . كان M موش على la droite O A ، ارسم la droite O M ، w بعد la parallèle à la droite A M اللي تتعدّى من A prime : يتلاقاو في M prime . w كان M على la droite O A ، ارسم قْبَلْ l'image متاع point N خارج la droite هذي ، w عاود نفس الخدمة بـ N w N prime .
Une homothétie est entièrement connue dès qu'on a son centre O, un point A et son image A prime : les trois points sont alignés, et le rapport est le réel k qui vérifie le vecteur O A prime égale k fois le vecteur O A. Pour construire l'image d'un autre point M, tu n'as pas besoin de calculer k. Si M n'est pas sur la droite O A, trace la droite O M, puis la parallèle à la droite A M qui passe par A prime : elles se coupent en M prime. Et si M est sur la droite O A, construis d'abord l'image d'un point N hors de cette droite, et refais le même travail avec N et N prime.
Soient et trois points alignés, avec et distincts de Il existe une seule homothétie de centre qui transforme en : son rapport est le réel tel que
On construit alors l'image de n'importe quel point sans calculer :
- si n'est pas sur la droite : est le point d'intersection de la droite et de la parallèle à passant par ;
- si est sur la droite : on construit d'abord l'image d'un point hors de cette droite, puis est le point d'intersection de et de la parallèle à passant par
Inversement, le centre d'une homothétie est sur chaque droite qui joint un point à son image.
Sur une droite horizontale sont alignés, de gauche à droite, les points S, A, B, A' et B'. Au-dessus de AB, un petit triangle équilatéral ABC. Au-dessus de A'B', un triangle équilatéral A'B'C' deux fois plus grand. La droite qui passe par C et C' coupe la droite horizontale au point S.
le rapport est fixé par A et A'
Exemple traité
Dans la figure, et sont deux triangles équilatéraux, les points et sont alignés dans cet ordre, et et sont du même côté de la droite Une homothétie transforme en et en Montrer que puis construire le centre de
- Deux parallèles — L'angle et l'angle mesurent chacun et ils sont correspondants : la droite est parallèle à la droite De même, la droite est parallèle à la droite
- L'image de C — L'image de la droite est la parallèle à passant par : c'est De même, l'image de est Le point est sur les deux droites, donc son image est sur les deux images.
- Le centre — Un point, son image et le centre sont alignés : le centre est sur la droite et sur la droite On le note
À ne pas faire : Pour construire on trace par la parallèle à la droite — On trace par la parallèle à la droite ; elle coupe en . C'est la droite qui joint à qui a pour image la droite qui joint leurs images : ces deux droites sont parallèles.
14. Propriété
Conservation du milieu
Ce qu’il dit
L'homothétie t7afedh 3la le milieu. Ken P houwa le milieu du segment MN, l'image mte3ou P prime hiya le milieu du segment M prime N prime. 3lech ? Le vecteur MP égale le vecteur PN. Nadhrbou ez-zouz fi k : le vecteur M prime P prime égale le vecteur P prime N prime. Donc P prime houwa le milieu. W menha ntalla3ou : l'image mta3 parallélogramme hiya parallélogramme, 5ater les diagonales mte3ou yetla9aw dima fi le milieu mte3hom.
l'homothétie تحافظ على le milieu . كان P هو le milieu du segment M N ، l'image متاعو P prime هي le milieu du segment M prime N prime . علاش ؟ le vecteur M P égale le vecteur P N . نضربو الزوز في k : le vecteur M prime P prime égale le vecteur P prime N prime . donc P prime هو le milieu . w منها نطلّعو : l'image متاع parallélogramme هي parallélogramme ، خاطر les diagonales متاعو يتلاقاو ديما في le milieu متاعهم .
L'homothétie conserve le milieu. Si P est le milieu du segment M N, son image P prime est le milieu du segment M prime N prime. Pourquoi ? Le vecteur M P égale le vecteur P N. On multiplie les deux par k : le vecteur M prime P prime égale le vecteur P prime N prime. Donc P prime est le milieu. Et on en tire ceci : l'image d'un parallélogramme est un parallélogramme, parce que ses diagonales se coupent toujours en leur milieu.
Une homothétie conserve le milieu : si est le milieu d'un segment et si et sont les images de et par une homothétie, alors est le milieu du segment
À droite, un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent en O. À gauche, un point I. Deux segments en pointillés joignent I aux sommets A et C. Entre I et ABCD, un parallélogramme A'B'C'D' deux fois plus petit, image de ABCD par une homothétie de centre I : ses côtés sont parallèles à ceux de ABCD, et ses diagonales se coupent en O', aligné avec I et O.
Démonstration
est le milieu de : Par la propriété caractéristique, et donc : est le milieu de
Exemple traité
Soit un parallélogramme de centre On désigne par et les images respectives de et par une homothétie Quelle est la nature du quadrilatère ?
- Le centre O — Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : est le milieu du segment et du segment
- Les images — Une homothétie conserve le milieu : est le milieu du segment et du segment
- Conclure — Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu.
À ne pas faire : L'image du milieu de est le milieu de — L'image du milieu de est le milieu de . On prend le milieu du segment image, celui qui joint les images des deux extrémités.
15. Propriété
Conservation du barycentre
Ce qu’il dit
L'homothétie t7afedh zeda 3la le barycentre. Ken P houwa le barycentre des points M et N, affectés des coefficients alpha et bêta, wa9tha P prime houwa le barycentre de M prime et N prime, b nafs les coefficients. Yekfi nadhrbou la relation vectorielle fi k. W nafs el 7keya m3a trois points. W bel 5sous : l'image mta3 le centre de gravité mta3 triangle, hiya le centre de gravité mta3 el triangle image.
l'homothétie تحافظ زادة على le barycentre . كان P هو le barycentre des points M et N ، affectés des coefficients alpha et bêta ، وقتها P prime هو le barycentre de M prime et N prime ، بنفس les coefficients . يكفي نضربو la relation vectorielle في k . w نفس الحكاية مع trois points . w بالخصوص : l'image متاع le centre de gravité متاع triangle ، هي le centre de gravité متاع الـ triangle image .
L'homothétie conserve aussi le barycentre. Si P est le barycentre des points M et N, affectés des coefficients alpha et bêta, alors P prime est le barycentre de M prime et N prime, avec les mêmes coefficients. Il suffit de multiplier la relation vectorielle par k. Et c'est la même chose avec trois points. En particulier : l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.
Une homothétie conserve le barycentre : soient et deux réels tels que et le barycentre des points pondérés et Si et sont les images de et par une homothétie, alors est le barycentre des points pondérés et
Il en est de même pour le barycentre de trois points pondérés. En particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.
Un triangle ABC. I est le milieu du côté BC, J le milieu du côté CA et K le milieu du côté AB. Les trois médianes AI, BJ et CK, en pointillés verts, se coupent au centre de gravité G. Le triangle IJK, en rouge, relie les trois milieux : il est deux fois plus petit que ABC et retourné.
Démonstration
est le barycentre de et : En multipliant par : c'est-à-dire par la propriété caractéristique. Donc est le barycentre de et
Exemple traité
Soit un triangle et son centre de gravité. On note et les milieux respectifs des côtés et Montrer que les triangles et ont le même centre de gravité.
- Sur une médiane — Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir de : le vecteur est égal à fois le vecteur
- Les trois sommets — L'homothétie de centre et de rapport transforme donc en De même, elle transforme en et en : le triangle est l'image du triangle
- Le barycentre — L'image du centre de gravité de est le centre de gravité de Or est le centre de donc il est sa propre image.
À ne pas faire : L'homothétie de centre qui transforme en a pour rapport — Son rapport est . Le point est entre et : les deux vecteurs qui partent de sont de sens contraires.
16. Application
La configuration du trapèze
Ce qu’il dit
Mithel ma3rouf : la configuration du trapèze. Fi trapèze ABCD, les bases mte3ou AB w CD, nsammiw I le milieu de AB, w J le milieu de CD, w O el point elli yetla9aw fih la droite AD w la droite BC, w O prime el point elli yetla9aw fih les diagonales. Wa9tha el quatre points O w I w O prime w J alignés. Nthabtouha b zouz homothéties : h, de centre O, teb3ath A l D, w g, de centre O prime, teb3ath A l C. W koll wa7da teb3ath le milieu I l le milieu J.
مثال معروف : la configuration du trapèze . في trapèze A B C D ، les bases متاعو A B w C D ، نسمّيو I le milieu de A B ، w J le milieu de C D ، w O الـ point اللي يتلاقاو فيه la droite A D w la droite B C ، w O prime الـ point اللي يتلاقاو فيه les diagonales . وقتها الـ quatre points O w I w O prime w J alignés . نثبتوها بـ زوز homothéties : h ، de centre O ، تبعث A لـ D ، w g ، de centre O prime ، تبعث A لـ C . w كل وحدة تبعث le milieu I لـ le milieu J .
Un exemple classique : la configuration du trapèze. Dans un trapèze A B C D, de bases A B et C D, on note I le milieu de A B, J le milieu de C D, O le point où se coupent la droite A D et la droite B C, et O prime le point où se coupent les diagonales. Alors les quatre points O, I, O prime et J sont alignés. On le prouve avec deux homothéties : h, de centre O, envoie A sur D, et g, de centre O prime, envoie A sur C. Et chacune envoie le milieu I sur le milieu J.
Dans un trapèze de bases et on note le milieu de le milieu de le point d'intersection des droites et et le point d'intersection des diagonales et
Alors les quatre points et sont alignés.
On le prouve avec deux homothéties : de centre qui transforme en et de centre qui transforme en
Un trapèze ABCD : la petite base AB est en haut, la grande base DC en bas, avec D à gauche et C à droite. Les côtés AD et BC, prolongés en pointillés vers le haut, se coupent en O. Les diagonales AC et BD, en vert, se coupent en O' à l'intérieur du trapèze. I est le milieu de AB, J le milieu de DC. Une droite rouge passe par O, I, O' et J.
Exemple traité
Avec les notations de la figure, montrer que transforme en puis que les points et sont alignés.
- L'image de B — L'image de la droite par est la parallèle à passant par : c'est la droite L'image de est sur et sur la droite : c'est
- Le milieu — transforme le segment en le segment et une homothétie conserve le milieu : l'image de est
- Un alignement — Un point, son image et le centre sont alignés : et sont alignés.
- Avec les diagonales — De la même façon, transforme en et en donc en : les points et sont alignés. Les quatre points sont sur la droite
À ne pas faire : Les homothéties et ont le même rapport — Le rapport de est celui de est . Le centre est à l'extérieur du segment alors que est entre et : les deux rapports sont opposés.
17. Application
Un problème de construction
Ce qu’il dit
Tawa problème de construction. 3andna zouz droites sécantes D un w D deux, w point I mouch 3la 7atta wa7da fihom. N7ebbou point A 3la D un, w point B 3la D deux, b7ith le vecteur IB égale trois fois le vecteur IA. El fekra : B houwa l'image de A par l'homothétie h de centre I et de rapport trois. W 5ater A 3la D un, B lezem ykoun 3la l'image mta3 D un. Narsmou l'image hedhi, la droite D trois : t9oss D deux fi B. W ba3d A houwa l'antécédent mta3 B : el point elli la droite IB t9oss fih D un.
توّا problème de construction . عندنا زوز droites sécantes D un w D deux ، w point I موش على حتّى وحدة فيهم . نحبّو point A على D un ، w point B على D deux ، بحيث le vecteur I B égale trois fois le vecteur I A . الفكرة : B هو l'image de A par l'homothétie h de centre I et de rapport trois . w خاطر A على D un ، B لازم يكون على l'image متاع D un . نرسمو l'image هذي ، la droite D trois : تقصّ D deux في B . w بعد A هو l'antécédent متاع B : الـ point اللي la droite I B تقصّ فيه D un .
Passons à un problème de construction. On a deux droites sécantes D un et D deux, et un point I qui n'est sur aucune des deux. On veut un point A sur D un et un point B sur D deux, tels que le vecteur I B égale trois fois le vecteur I A. L'idée : B est l'image de A par l'homothétie h de centre I et de rapport trois. Et comme A est sur D un, B doit être sur l'image de D un. On trace cette image, la droite D trois : elle coupe D deux en B. Ensuite A est l'antécédent de B : le point où la droite I B coupe D un.
Le problème. Soient et deux droites sécantes et un point qui n'appartient ni à ni à Construire un point de et un point de tels que
L'idée. L'égalité dit que est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport Comme est sur son image est sur l'image de ; et doit aussi être sur
La construction. On construit la droite image de par : elle est parallèle à Elle coupe en Le point est l'antécédent de : c'est le point d'intersection de la droite et de
Deux droites sécantes : D₁, en bleu, très inclinée, et D₂, presque horizontale, en haut. Un point I à gauche, hors des deux droites. Un point E sur D₁, et son image F, trois fois plus loin de I sur la demi-droite d'origine I passant par E. La droite D₃, en rouge, passe par F et est parallèle à D₁ ; elle coupe D₂ au point B. Le segment IB, en pointillés, coupe D₁ au point A.
B est l'image de A
Exemple traité
Réaliser cette construction, et justifier que les points et obtenus conviennent.
- L'image de la droite — On choisit un point de et on construit son image : le vecteur est égal à fois le vecteur La droite est la parallèle à passant par
- Le point B — Les droites et sont sécantes, donc qui est parallèle à coupe : on note leur point d'intersection.
- Le point A — est sur image de : son antécédent est sur On l'obtient en coupant par la droite
À ne pas faire : On construit l'image de par et on la coupe avec — On construit l'image de par et on la coupe avec . C'est le point sur la première droite, qui a pour image : c'est donc l'image de la première droite qui contient
18. Application
Un problème d'alignement
Ce qu’il dit
Hedha problème d'alignement. ABCD trapèze, les bases mte3ou AB w DC, w la droite AD w la droite BC yetla9aw fi E. Ne5dhou point F de5el le triangle ABE. La parallèle à la droite AF elli tet3adda men D, w la parallèle à la droite BF elli tet3adda men C, yetla9aw fi G. N7ebbou nthabtou elli E w F w G alignés. El mefte7 : l'homothétie h de centre E elli teb3ath A l D. Ken nwarriw elli G houwa l'image mta3 F, kammelna, 5ater el point w l'image mte3ou w le centre dima alignés.
هذا problème d'alignement . A B C D trapèze ، les bases متاعو A B w D C ، w la droite A D w la droite B C يتلاقاو في E . ناخذو point F داخل le triangle A B E . la parallèle à la droite A F اللي تتعدّى من D ، w la parallèle à la droite B F اللي تتعدّى من C ، يتلاقاو في G . نحبّو نثبتو اللي E w F w G alignés . المفتاح : l'homothétie h de centre E اللي تبعث A لـ D . كان نورّيو اللي G هو l'image متاع F ، كمّلنا ، خاطر الـ point w l'image متاعو w le centre ديما alignés .
Voici un problème d'alignement. A B C D est un trapèze, de bases A B et D C, et la droite A D et la droite B C se coupent en E. On prend un point F à l'intérieur du triangle A B E. La parallèle à la droite A F qui passe par D, et la parallèle à la droite B F qui passe par C, se coupent en G. On veut prouver que E, F et G sont alignés. La clé : l'homothétie h de centre E qui envoie A sur D. Si on montre que G est l'image de F, c'est terminé, car un point, son image et le centre sont toujours alignés.
est un trapèze de bases et Les droites et se coupent en un point Soit un point intérieur au triangle La parallèle à passant par et la parallèle à passant par se coupent en un point
Alors les points et sont alignés.
L'idée. Pour prouver que trois points sont alignés, on cherche une homothétie dont l'un est le centre et qui transforme le deuxième en le troisième. Ici : l'homothétie de centre qui transforme en
Un trapèze ABCD : la petite base AB en haut, la grande base DC en bas, avec D à gauche et C à droite. Les côtés AD et BC, prolongés en pointillés vers le haut, se coupent en E. Un point F est à l'intérieur du triangle ABE ; les segments AF et BF sont tracés en bleu. Par D passe la parallèle à (AF), par C la parallèle à (BF), en rouge : elles se coupent en G, à l'intérieur du trapèze. Une droite verte passe par E, F et G.
Exemple traité
Avec les données de la figure, on considère l'homothétie de centre qui transforme en Déterminer l'image de la droite montrer que puis en déduire que et sont alignés.
- Une première droite — L'image de la droite est la parallèle à passant par l'image de c'est-à-dire par : c'est la droite
- L'image de B — L'image de la droite est la parallèle à passant par : c'est L'image de est sur et sur la droite : c'est L'image de la droite est donc la parallèle à passant par : la droite
- L'image de F — est sur les droites et : son image est sur leurs deux images, et C'est le point
- Conclure — Un point, son image et le centre d'une homothétie sont alignés.
À ne pas faire : La droite est parallèle à donc est l'image de — est l'image de parce qu'il est sur les images des deux droites et . Une seule droite ne suffit pas à repérer un point : il faut deux droites qui se coupent en ce point, et leurs deux images.
19. Définition
Figures homothétiques
Ce qu’il dit
Définition : zouz figures n9oulou 3lihom homothétiques, ken wa7da fihom hiya l'image mta3 lo5ra par une homothétie. Rodd belek : agrandissement walla réduction ma ya3tich dima zouz figures homothétiques. Lezem koll côté mta3 l'image ykoun parallèle lel côté elli y9ablou, w les droites elli torbot koll point b l'image mte3ou lezem yet3addew el koll men nafs el point, houwa le centre.
définition : زوز figures نقولو عليهم homothétiques ، كان وحدة فيهم هي l'image متاع الأخرى par une homothétie . ردّ بالك : agrandissement ولّا réduction ما يعطيش ديما زوز figures homothétiques . لازم كل côté متاع l'image يكون parallèle للـ côté اللي يقابلو ، w les droites اللي تربط كل point بـ l'image متاعو لازم يتعدّاو الكل من نفس الـ point ، هو le centre .
Une définition : deux figures sont dites homothétiques si l'une est l'image de l'autre par une homothétie. Attention : un agrandissement ou une réduction ne donne pas toujours deux figures homothétiques. Il faut que chaque côté de l'image soit parallèle au côté qui lui correspond, et que les droites qui joignent chaque point à son image passent toutes par le même point, le centre.
Deux figures sont dites homothétiques si l'une est l'image de l'autre par une homothétie.
Un agrandissement ou une réduction d'une figure n'en est pas toujours une image par une homothétie. Il faut en plus que chaque côté de l'image soit parallèle au côté correspondant, et que les droites qui joignent chaque point à son image passent toutes par un même point : le centre.
Trois demi-droites partent d'un point O, à gauche. Sur la première se trouvent A puis A', sur la deuxième B puis B', sur la troisième C puis C'. Le petit triangle ABC, en bleu, est près de O ; le grand triangle A'B'C', en rouge, est plus loin. Les côtés AB et A'B' sont parallèles, ainsi que BC et B'C', et AC et A'C'.
Exemple traité
Dans la figure, les points et sont alignés, ainsi que et et et Les droites et sont parallèles, et les droites et aussi. Quelle est la position relative des droites et ?
- Une homothétie — et sont alignés : on note l'homothétie de centre qui transforme en
- L'image de A — L'image de la droite est la parallèle à passant par : c'est L'image de est sur et sur la droite : c'est
- L'image de C — De même, l'image de la droite est et l'image de est
- Conclure — La droite a pour image la droite : elles sont parallèles. Les triangles et sont homothétiques.
À ne pas faire : Deux carrés sont toujours homothétiques — Deux carrés ne sont homothétiques que si leurs côtés sont parallèles. Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : si l'un des carrés est tourné par rapport à l'autre, aucune homothétie n'envoie l'un sur l'autre.
20. Propriété
Conservation des angles
Ce qu’il dit
L'homothétie t7afedh 3la les angles. Ken A prime w B prime w C prime houma les images mta3 A w B w C, wa9tha l'angle B prime A prime C prime égale l'angle BAC. El fekra mta3 la preuve : nzall9ou le triangle ABC b la translation elli teb3ath A l A prime. El triangle elli nal9aweh isométrique l ABC, w les côtés mte3ou elli yo5rjou men A prime 3la nafs les droites mta3 les côtés mta3 A prime B prime C prime. Tfakker : l'homothétie tbaddel el 9add mta3 el figure, mouch ech-chakl mte3ha.
l'homothétie تحافظ على les angles . كان A prime w B prime w C prime هوما les images متاع A w B w C ، وقتها l'angle B prime A prime C prime égale l'angle B A C . الفكرة متاع la preuve : نزلّقو le triangle A B C بـ la translation اللي تبعث A لـ A prime . الـ triangle اللي نلقاوه isométrique لـ A B C ، w les côtés متاعو اللي يخرجو من A prime على نفس les droites متاع les côtés متاع A prime B prime C prime . تفكّر : l'homothétie تبدّل القدّ متاع الـ figure ، موش الشكل متاعها .
L'homothétie conserve les angles. Si A prime, B prime et C prime sont les images de A, B et C, alors l'angle B prime A prime C prime égale l'angle B A C. L'idée de la preuve : on fait glisser le triangle A B C par la translation qui envoie A sur A prime. Le triangle obtenu est isométrique à A B C, et ses côtés qui partent de A prime sont sur les mêmes droites que les côtés de A prime B prime C prime. Retiens : l'homothétie change la taille de la figure, pas sa forme.
Une homothétie conserve les angles : si et sont les images de et par une homothétie, alors
L'image d'un triangle est donc un triangle qui a les mêmes angles : une homothétie change la taille d'une figure, pas sa forme.
Un point O en bas à gauche. Un petit triangle ABC, en bleu, et son image A'B'C', en rouge, deux fois plus grande et deux fois plus loin de O. En pointillés verts, le triangle A'B''C'' obtenu en faisant glisser ABC jusqu'à ce que A arrive en A' : il a les mêmes dimensions que ABC, et ses côtés issus de A' sont portés par les côtés de A'B'C'. Les angles en A et en A' portent la même marque.
Démonstration
On note l'image du triangle par la translation de vecteur : les triangles et sont isométriques, donc Or et donc ; de même Si les demi-droites et sont confondues, ainsi que et : les deux angles sont le même. Si les angles et sont opposés par le sommet, donc égaux. Dans les deux cas,
Exemple traité
Soit un triangle rectangle en tel que On note son image par une homothétie de rapport Donner la nature du triangle et la mesure de ses angles.
- L'angle droit — L'angle en est égal à l'angle en : le triangle image est rectangle en
- Les autres angles — L'angle en mesure comme l'angle en ; le troisième se calcule par la somme des angles d'un triangle.
À ne pas faire : Par une homothétie de rapport un angle de devient un angle de — Il reste un angle de . Le rapport multiplie les longueurs, pas les angles.
21. Propriété
Parallélisme et orthogonalité
Ce qu’il dit
L'homothétie t7afedh 3la le parallélisme w l'orthogonalité. Ken zouz droites parallèles, les images mte3hom parallèles. W ken zouz droites perpendiculaires, les images mte3hom perpendiculaires. Es-sbab : koll droite l'image mte3ha droite parallèle liha, donc ez-zouz images ya3mlou binethom nafs l'angle mta3 ez-zouz droites elli bdina bihom. W menha : l'image mta3 rectangle hiya rectangle, l'image mta3 carré hiya carré, w l'image mta3 hauteur fi triangle hiya hauteur fel triangle image.
l'homothétie تحافظ على le parallélisme w l'orthogonalité . كان زوز droites parallèles ، les images متاعهم parallèles . w كان زوز droites perpendiculaires ، les images متاعهم perpendiculaires . السبب : كل droite l'image متاعها droite parallèle ليها ، donc الزوز images يعملو بيناتهم نفس l'angle متاع الزوز droites اللي بدينا بيهم . w منها : l'image متاع rectangle هي rectangle ، l'image متاع carré هي carré ، w l'image متاع hauteur في triangle هي hauteur في الـ triangle image .
L'homothétie conserve le parallélisme et l'orthogonalité. Si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles. Et si deux droites sont perpendiculaires, leurs images sont perpendiculaires. La raison : chaque droite a pour image une droite qui lui est parallèle, donc les deux images forment entre elles le même angle que les deux droites de départ. On en tire : l'image d'un rectangle est un rectangle, l'image d'un carré est un carré, et l'image d'une hauteur d'un triangle est une hauteur du triangle image.
Soit une homothétie, et deux droites, et et leurs images respectives par
- Si et sont parallèles, alors et sont parallèles.
- Si et sont perpendiculaires, alors et sont perpendiculaires.
On dit qu'une homothétie conserve le parallélisme et l'orthogonalité.
À gauche, un triangle ABC, en bleu, avec sa hauteur AH en pointillés : H est sur le côté BC, et un angle droit est marqué en H. Au centre, un point O. À droite, le triangle A'B'C', en rouge, image de ABC par une homothétie de centre O et de rapport négatif : il est plus grand et retourné. Sa hauteur A'H' est tracée en pointillés, avec un angle droit marqué en H' sur le côté B'C'.
Démonstration
L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle : est parallèle à et est parallèle à Si est parallèle à alors et sont parallèles entre elles. Si est perpendiculaire à alors parallèle à est perpendiculaire à donc à qui est parallèle à
Exemple traité
Soit un triangle et son image par une homothétie On note le pied de la hauteur du triangle issue de et le pied de la hauteur du triangle issue de Montrer que est l'image de par cette homothétie.
- Sur le côté — est sur la droite : son image est sur la droite image,
- La perpendiculaire — La droite est perpendiculaire à : son image, qui passe par et par l'image de est perpendiculaire à
- Conclure — L'image de est le point de où arrive la perpendiculaire issue de : c'est le pied de la hauteur,
À ne pas faire : et sont perpendiculaires, donc est perpendiculaire à — est parallèle à et perpendiculaire à . Chaque droite a pour image une droite qui lui est parallèle ; c'est entre les deux images que l'angle droit se retrouve.
22. Théorème
Image d'un cercle
Ce qu’il dit
W le cercle ? L'image mta3 cercle de centre O et de rayon R par une homothétie de rapport k, hiya le cercle de centre O prime, l'image mta3 O, w le rayon mte3ou R prime égale la valeur absolue de k fois R. 3lech ? Ken M 3la le cercle, OM égale R, w l'homothétie todhrob les distances fi la valeur absolue de k : O prime M prime égale la valeur absolue de k fois R. Bech tarsem l'image mta3 cercle, arsem l'image mta3 le centre, w ba3d odhrob le rayon.
w le cercle ؟ l'image متاع cercle de centre O et de rayon R par une homothétie de rapport k ، هي le cercle de centre O prime ، l'image متاع O ، w le rayon متاعو R prime égale la valeur absolue de k fois R . علاش ؟ كان M على le cercle ، O M égale R ، w l'homothétie تضرب les distances في la valeur absolue de k : O prime M prime égale la valeur absolue de k fois R . باش ترسم l'image متاع cercle ، ارسم l'image متاع le centre ، w بعد اضرب le rayon .
Et le cercle ? L'image d'un cercle de centre O et de rayon R par une homothétie de rapport k est le cercle de centre O prime, image de O, et de rayon R prime égale la valeur absolue de k fois R. Pourquoi ? Si M est sur le cercle, O M égale R, et l'homothétie multiplie les distances par la valeur absolue de k : O prime M prime égale la valeur absolue de k fois R. Pour tracer l'image d'un cercle, construis l'image du centre, puis multiplie le rayon.
L'image d'un cercle de centre et de rayon par une homothétie de rapport est le cercle de centre et de rayon
En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre, puis on multiplie le rayon par — ou bien on construit l'image d'un point du cercle : le cercle image passe par ce point.
Un petit cercle (C), en bleu, de centre O et de diamètre AB, avec A à gauche et B à droite. Un grand cercle (C'), en rouge, de centre B, passe par A : son rayon est le double de celui de (C). Les deux cercles se touchent au point A, et le petit est à l'intérieur du grand.
centre h(O), rayon |k| R
Démonstration
Soit un point du cercle et son image : donc est sur le cercle de centre et de rayon Réciproquement, soit un point de et son antécédent : donc et est sur L'image de est exactement
Exemple traité
On considère un cercle de centre et de rayon et un diamètre de ce cercle. Construire l'image du cercle par l'homothétie de centre qui transforme en
- Le rapport — est le milieu du segment : le vecteur est égal à fois le vecteur Le rapport de est
- Le centre et le rayon — L'image du centre est et le rayon est multiplié par
- Le cercle image — est le cercle de centre et de rayon Il passe par car : le point est le centre de l'homothétie et il est sur donc il est aussi sur l'image.
À ne pas faire : Par une homothétie de rapport le rayon devient — Le rayon devient . Un rayon est une longueur : on le multiplie par la valeur absolue du rapport. Le signe ne joue que sur la position du centre.
23. Propriété
Conservation du contact
Ce qu’il dit
L'homothétie t7afedh 3la le contact. Ken droite D tangente l cercle fi point A, wa9tha l'image mta3 D tangente l l'image mta3 le cercle, fel point A prime, l'image mta3 A. Es-sbab : la tangente perpendiculaire 3la le rayon, w l'homothétie t7afedh 3la l'orthogonalité. W kif kif, zouz cercles tangents, les images mte3hom zouz cercles tangents. Dima n7awwlou la droite w le cercle m3a b3adhhom.
l'homothétie تحافظ على le contact . كان droite D tangente لـ cercle في point A ، وقتها l'image متاع D tangente لـ l'image متاع le cercle ، في الـ point A prime ، l'image متاع A . السبب : la tangente perpendiculaire على le rayon ، w l'homothétie تحافظ على l'orthogonalité . w كيف كيف ، زوز cercles tangents ، les images متاعهم زوز cercles tangents . ديما نحوّلو la droite w le cercle مع بعضهم .
L'homothétie conserve le contact. Si une droite D est tangente à un cercle en un point A, alors l'image de D est tangente à l'image du cercle, au point A prime, image de A. La raison : la tangente est perpendiculaire au rayon, et l'homothétie conserve l'orthogonalité. De même, deux cercles tangents ont pour images deux cercles tangents. On transforme toujours la droite et le cercle ensemble.
Une homothétie conserve le contact : soit un cercle et une droite tangente à ce cercle en un point On note et les images respectives de de et de par une homothétie. Alors la droite est tangente au cercle au point
De même, deux cercles tangents ont pour images deux cercles tangents.
Deux cercles tangents extérieurement en un point T : à gauche le cercle (C₁), en bleu, de centre I, et à droite le cercle (C₂), en rouge, plus grand, de centre J. Les points I, T et J sont alignés sur une droite horizontale. La tangente commune en T, en pointillés verts, est verticale.
Démonstration
est sur et sur donc est sur et sur La tangente est perpendiculaire au rayon ; une homothétie conserve l'orthogonalité, donc est perpendiculaire à la droite où est le centre de Une droite qui passe par un point du cercle et qui est perpendiculaire au rayon est la tangente en
Exemple traité
On considère deux cercles et de centres respectifs et tangents en un point Soit l'homothétie de centre qui transforme en Montrer que transforme en
- Le centre — L'image de est un cercle dont le centre est l'image de c'est-à-dire
- Un point — est le centre de donc il est sa propre image. Comme est sur le cercle image passe par
- Conclure — Le cercle de centre qui passe par est
- La tangente — La tangente à en passe par le centre de : elle est sa propre image. Par conservation du contact, elle est tangente à en : les deux cercles ont la même tangente en
À ne pas faire : L'image d'une tangente à est encore tangente à — L'image d'une tangente à est tangente au cercle image . On transforme la droite et le cercle en même temps : le contact se conserve entre les deux images, au point image.
24. Application
Deux cercles de rayons différents
Ce qu’il dit
Tawa ne5dhou zouz cercles 3andhom rayons mo5talfin, R w R prime. 9addech men homothétie teb3ath el cercle numéro un lel cercle numéro deux ? Zouz. Le rayon yetdhrab fi la valeur absolue de k, donc k égale R prime sur R, walla moins R prime sur R. B le rapport positif, le centre I 5arej le segment elli yorbot ez-zouz centres. W b le rapport négatif, le centre J bin ez-zouz centres. W ez-zouz points hedhouma nesta3mlouhom bech narsmou les tangentes communes lez-zouz cercles : yet3addew men I walla men J.
توّا ناخذو زوز cercles عندهم rayons مختلفين ، R w R prime . قدّاش من homothétie تبعث الـ cercle numéro un للـ cercle numéro deux ؟ زوز . le rayon يتضرب في la valeur absolue de k ، donc k égale R prime sur R ، ولّا moins R prime sur R . بـ le rapport positif ، le centre I خارج le segment اللي يربط الزوز centres . w بـ le rapport négatif ، le centre J بين الزوز centres . w الزوز points هاذوما نستعملوهم باش نرسمو les tangentes communes للزوز cercles : يتعدّاو من I ولّا من J .
Prenons maintenant deux cercles de rayons différents, R et R prime. Combien d'homothéties envoient le cercle numéro un sur le cercle numéro deux ? Deux. Le rayon est multiplié par la valeur absolue de k, donc k égale R prime sur R, ou bien moins R prime sur R. Avec le rapport positif, le centre I est hors du segment qui joint les deux centres. Et avec le rapport négatif, le centre J est entre les deux centres. Ces deux points servent à tracer les tangentes communes aux deux cercles : elles passent par I ou par J.
Soient et deux cercles de centres respectifs et et de rayons respectifs et tels que
- Il existe une seule homothétie de rapport positif qui transforme en : son rapport est et son centre vérifie
- Il existe une seule homothétie de rapport négatif qui transforme en : son rapport est et son centre vérifie
Tangentes communes. Quand les deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre, les tangentes à issues de et celles issues de sont tangentes aux deux cercles : ce sont leurs tangentes communes.
Sur une droite horizontale, de gauche à droite : le point I, le centre O d'un petit cercle, le point J, puis le centre O' d'un cercle deux fois plus grand. Les deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre. Deux droites bleues partent de I et touchent les deux cercles du même côté : les tangentes extérieures. Deux droites vertes passent par J, entre les deux cercles, et touchent chaque cercle : les tangentes intérieures.
deux homothéties
Exemple traité
On considère un cercle de centre et de rayon et un cercle de centre et de rayon avec Déterminer le rapport et la position du centre de chacune des deux homothéties qui transforment en
- Les rapports — Le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport : elle vaut Le rapport est ou
- Rapport positif — Le centre vérifie que le vecteur est égal à fois le vecteur : est le milieu du segment Le point est le symétrique de par rapport à
- Rapport négatif — Le centre vérifie que le vecteur est égal à fois le vecteur : est sur le segment au tiers à partir de
- Les tangentes — Une tangente à issue de passe par le centre de la première homothétie : elle est sa propre image, donc elle est tangente à Les deux tangentes issues de et les deux tangentes issues de sont les quatre tangentes communes.
À ne pas faire : Une seule homothétie transforme en — Il y en a deux quand : l'une de rapport l'autre de rapport . Le rayon ne donne que la valeur absolue du rapport : les deux signes sont possibles, avec deux centres différents.
25. Application
Cercles tangents
Ce qu’il dit
Hedha problème de construction b cercles tangents. 3andna cercle numéro un, w droite D un, w point A 3la D un, mouch 3la le cercle. N7ebbou narsmou cercle tangent l le cercle numéro un, w tangent l D un fel point A. Ne5dhou le diamètre BC mta3 le cercle, perpendiculaire 3la D un, w la tangente fi B : nsammiwha D deux, w hiya parallèle à D un. La droite AB t9oss le cercle marra o5ra fi I. El mefte7 : l'homothétie h de centre I elli teb3ath B l A. Teb3ath la tangente D deux l D un, w teb3ath le cercle numéro un l cercle numéro deux. W 5ater l'homothétie t7afedh 3la le contact, le cercle numéro deux tangent l D un fi A. W houwa zeda tangent l le cercle numéro un fi I, le centre mta3 l'homothétie.
هذا problème de construction بـ cercles tangents . عندنا cercle numéro un ، w droite D un ، w point A على D un ، موش على le cercle . نحبّو نرسمو cercle tangent لـ le cercle numéro un ، w tangent لـ D un في الـ point A . ناخذو le diamètre B C متاع le cercle ، perpendiculaire على D un ، w la tangente في B : نسمّيوها D deux ، w هي parallèle à D un . la droite A B تقصّ le cercle مرّة أخرى في I . المفتاح : l'homothétie h de centre I اللي تبعث B لـ A . تبعث la tangente D deux لـ D un ، w تبعث le cercle numéro un لـ cercle numéro deux . w خاطر l'homothétie تحافظ على le contact ، le cercle numéro deux tangent لـ D un في A . w هو زادة tangent لـ le cercle numéro un في I ، le centre متاع l'homothétie .
Voici un problème de construction avec des cercles tangents. On a un cercle numéro un, une droite D un, et un point A de D un qui n'est pas sur le cercle. On veut tracer un cercle tangent au cercle numéro un, et tangent à D un au point A. On prend le diamètre B C du cercle qui est perpendiculaire à D un, et la tangente en B : on l'appelle D deux, et elle est parallèle à D un. La droite A B recoupe le cercle en I. La clé : l'homothétie h de centre I qui envoie B sur A. Elle envoie la tangente D deux sur D un, et le cercle numéro un sur un cercle numéro deux. Comme l'homothétie conserve le contact, le cercle numéro deux est tangent à D un en A. Il est aussi tangent au cercle numéro un en I, le centre de l'homothétie.
Le problème. On donne un cercle une droite et un point de qui n'appartient pas à Construire un cercle tangent à et tangent à au point
La configuration. Soit un diamètre de tel que la droite soit perpendiculaire à et la tangente à en La droite recoupe le cercle en On note l'homothétie de centre qui transforme en et l'image de par
Alors le cercle est tangent à en et tangent à en
L'idée. Une homothétie conserve le contact : on transforme en même temps le cercle et sa tangente
Un cercle (C₁), en bleu, et en dessous une droite horizontale D₁ qui ne le coupe pas. Le diamètre [BC] du cercle est vertical, donc perpendiculaire à D₁ : B est le point le plus haut du cercle, C le point le plus bas. La tangente D₂ au cercle en B, en vert, est horizontale : elle est parallèle à D₁. Un point A est placé sur D₁, à droite. Le segment [AB], en orange, recoupe le cercle (C₁) en un point I, situé entre A et B. Le cercle (C₂), en rouge, plus grand, est tangent à (C₁) en I, à l'extérieur, et tangent à la droite D₁ en A.
Exemple traité
Avec ces notations, montrer que l'homothétie transforme la droite en la droite puis que le cercle est tangent à la droite en et tangent au cercle en
- Deux parallèles — La tangente est perpendiculaire au diamètre et la droite est perpendiculaire à la droite : les droites et sont parallèles.
- L'image de la tangente — L'image de la droite est la parallèle à passant par l'image de c'est-à-dire par : c'est la droite
- Le contact avec la droite — La droite est tangente au cercle en Par conservation du contact, son image est tangente au cercle image au point image de
- Le contact avec le cercle — Le point est le centre de l'homothétie : il est sa propre image, et comme il est sur le cercle il est aussi sur le cercle La tangente au cercle en passe par le centre de l'homothétie : elle est sa propre image. Par conservation du contact, elle est donc tangente au cercle en Les deux cercles ont la même tangente en : ils sont tangents en
- L'autre cercle — En recommençant avec l'autre extrémité du diamètre, le point on obtient de la même façon un second cercle, tangent lui aussi au cercle et à la droite en
26. Propriété
Périmètres et aires
Ce qu’il dit
Chnowa ysir l les périmètres w les aires ? Par une homothétie de rapport k, koll longueur tetdhrab fi la valeur absolue de k. Donc le périmètre mta3 polygone yetdhrab fi la valeur absolue de k. Ama l'aire tetdhrab fi k au carré, 5ater l'aire hiya produit mta3 zouz longueurs. W nafs el 7keya l le cercle : le périmètre mte3ou yetdhrab fi la valeur absolue de k, w l'aire mte3ou fi k au carré.
شنوّة يصير لـ les périmètres w les aires ؟ par une homothétie de rapport k ، كل longueur تتضرب في la valeur absolue de k . donc le périmètre متاع polygone يتضرب في la valeur absolue de k . أما l'aire تتضرب في k au carré ، خاطر l'aire هي produit متاع زوز longueurs . w نفس الحكاية لـ le cercle : le périmètre متاعو يتضرب في la valeur absolue de k ، w l'aire متاعو في k au carré .
Que deviennent les périmètres et les aires ? Par une homothétie de rapport k, chaque longueur est multipliée par la valeur absolue de k. Donc le périmètre d'un polygone est multiplié par la valeur absolue de k. Mais l'aire est multipliée par k au carré, parce qu'une aire est le produit de deux longueurs. Et c'est la même chose pour le cercle : son périmètre est multiplié par la valeur absolue de k, et son aire par k au carré.
L'image d'un polygone de périmètre et d'aire par une homothétie de rapport est un polygone de périmètre et d'aire
Il en est de même pour un cercle : l'image d'un cercle de rayon a pour périmètre et pour aire
En haut à droite, la figure F, en bleu : un trapèze ABCD, dont la grande base AD est en haut et la petite base BC en bas, surmonté d'un demi-disque de diamètre AD. Un point I est placé à gauche de F, à la hauteur du trapèze, un peu au-dessus de la petite base. En bas à gauche, la figure F', en rouge, image de F par l'homothétie de centre I et de rapport −1,5 : elle est une fois et demie plus grande, et retournée, le demi-disque vers le bas.
le périmètre
l'aire
Démonstration
Pour un triangle d'image : chaque côté est multiplié par donc le périmètre aussi. Si est le pied de la hauteur issue de son image est le pied de la hauteur issue de et L'aire de vaut donc Un polygone se découpe en triangles, et le résultat s'étend.
Exemple traité
La figure est formée d'un trapèze et d'un demi-disque de diamètre On donne la hauteur du trapèze vaut et l'unité étant le centimètre. On note l'image de par une homothétie de rapport puis et le périmètre et l'aire de et et ceux de Calculer et puis les quotients et
- Le périmètre de F — Le contour est fait du demi-cercle de rayon des côtés et qui mesurent chacun et du côté
- L'aire de F — On ajoute l'aire du demi-disque, qui vaut et l'aire du trapèze, qui vaut
- Les quotients — Inutile de recalculer pour : le périmètre est multiplié par la valeur absolue du rapport, et l'aire par son carré.
À ne pas faire : Le rapport est donc l'aire est multipliée par — L'aire est multipliée par . Une aire est positive, et elle dépend de deux dimensions : on multiplie par le carré du rapport.
27. Méthode
Problèmes de lieu
Ce qu’il dit
Tawa les problèmes de lieu. Point M yet7arrek 3la ligne, w point e5er M prime marbout bih. Ken M prime houwa l'image mta3 M par une homothétie, el centre mte3ha fixe w le rapport mte3ha constant, wa9tha M prime yet7arrek 3la l'image mta3 el ligne. Ken M yet7arrek 3la droite, M prime yet7arrek 3la droite parallèle. W ken M yet7arrek 3la cercle de rayon R, M prime yet7arrek 3la cercle, le rayon mte3ou la valeur absolue de k fois R. Et-tari9a : chouf chnowa fixe, lawwej 3la l'homothétie, w ba3d 5oudh l'image mta3 el ligne.
توّا les problèmes de lieu . point M يتحرّك على ligne ، w point آخر M prime مربوط بيه . كان M prime هو l'image متاع M par une homothétie ، الـ centre متاعها fixe w le rapport متاعها constant ، وقتها M prime يتحرّك على l'image متاع الـ ligne . كان M يتحرّك على droite ، M prime يتحرّك على droite parallèle . w كان M يتحرّك على cercle de rayon R ، M prime يتحرّك على cercle ، le rayon متاعو la valeur absolue de k fois R . الطريقة : شوف شنوّة fixe ، لوّج على l'homothétie ، w بعد خوذ l'image متاع الـ ligne .
Passons aux problèmes de lieu. Un point M se déplace sur une ligne, et un autre point M prime lui est lié. Si M prime est l'image de M par une homothétie dont le centre est fixe et le rapport constant, alors M prime se déplace sur l'image de la ligne. Si M se déplace sur une droite, M prime se déplace sur une droite parallèle. Et si M se déplace sur un cercle de rayon R, M prime se déplace sur un cercle dont le rayon est la valeur absolue de k fois R. La méthode : regarde ce qui est fixe, cherche l'homothétie, puis prends l'image de la ligne.
Quand un point décrit une ligne et que est son image par une homothétie le point décrit l'image de cette ligne par :
- si décrit une droite décrit la droite image, parallèle à ;
- si décrit un cercle de centre et de rayon décrit le cercle de centre et de rayon
Méthode. On repère les éléments fixes ; on cherche une homothétie de centre fixe et de rapport constant qui transforme le point variable connu en le point cherché ; puis on prend l'image de la ligne qu'il décrit.
Un grand cercle bleu de centre O. Un point A à l'extérieur, en bas à gauche. Un point M sur le cercle, relié à A par un segment ; sur ce segment, le point I est aux trois cinquièmes à partir de A. Le segment AO est tracé en pointillés, et le point O' y est aux trois cinquièmes à partir de A. Un cercle rouge de centre O', plus petit, passe par I.
Exemple traité
On considère un cercle de centre et de rayon et un point qui n'appartient pas à Soit un point du cercle et le barycentre des points et affectés des coefficients et Déterminer le lieu du point lorsque le point décrit le cercle
- Fixe ou variable — Le cercle son centre et le point sont fixes. Le point varie sur et varie avec lui.
- Le barycentre — est le barycentre des points et affectés des coefficients et : le vecteur est égal à trois cinquièmes du vecteur
- Une homothétie — est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport : le centre est fixe et le rapport est constant.
- Le lieu — Quand décrit décrit l'image de : le cercle de centre image de et de rayon trois cinquièmes de
À ne pas faire : décrit un cercle de rayon donc décrit un cercle de même rayon — décrit un cercle de rayon . Une homothétie multiplie le rayon par la valeur absolue de son rapport ; seule une translation le conserverait.
28. Application
Un lieu avec deux diamètres
Ce qu’il dit
Problème de lieu, b cercle de diamètre AB. Ne5dhou point S 3la la droite AB. L koll point M 3la le cercle, narsmou le diamètre PM, w ba3d el point M prime elli yetla9aw fih la droite SM w la droite AP. Win yet7arrek M prime ? Zouz diamètres ya3tiw rectangle : APBM. Donc la droite AP parallèle à la droite BM. L'homothétie h de centre S elli teb3ath B l A, teb3ath la droite BM l la droite AP, w teb3ath M l M prime. Donc le lieu mta3 M prime houwa l'image mta3 le cercle : cercle.
problème de lieu ، بـ cercle de diamètre A B . ناخذو point S على la droite A B . لكل point M على le cercle ، نرسمو le diamètre P M ، w بعد الـ point M prime اللي يتلاقاو فيه la droite S M w la droite A P . وين يتحرّك M prime ؟ زوز diamètres يعطيو rectangle : A P B M . donc la droite A P parallèle à la droite B M . l'homothétie h de centre S اللي تبعث B لـ A ، تبعث la droite B M لـ la droite A P ، w تبعث M لـ M prime . donc le lieu متاع M prime هو l'image متاع le cercle : cercle .
Un problème de lieu, avec un cercle de diamètre A B. On prend un point S sur la droite A B. Pour chaque point M du cercle, on trace le diamètre P M, puis le point M prime où se coupent la droite S M et la droite A P. Où se déplace M prime ? Deux diamètres donnent un rectangle : A P B M. Donc la droite A P est parallèle à la droite B M. L'homothétie h de centre S qui envoie B sur A envoie la droite B M sur la droite A P, et elle envoie M sur M prime. Donc le lieu de M prime est l'image du cercle : un cercle.
Soit un cercle de diamètre et un point de la droite distinct de et de Pour chaque point du cercle, distinct de et de on trace le diamètre puis on note le point d'intersection des droites et Quel est le lieu du point lorsque décrit le cercle ?
L'idée. et sont deux diamètres : est un rectangle, donc est parallèle à L'homothétie de centre qui transforme en transforme alors la droite en la droite et le point en le point
Le lieu de est donc l'image du cercle par privée des images des points et
Un cercle bleu de diamètre AB horizontal, de centre O. Un point S sur la droite (AB), à gauche de A. Un point M sur le cercle, en haut à droite, et le point P diamétralement opposé, en bas à gauche : le quadrilatère APBM est un rectangle, tracé en vert. La droite (SM), en pointillés, coupe la droite (AP) au point M', situé entre S et M. Un petit cercle rouge, qui passe par A et par M', a son centre O' sur la droite (AB), entre S et A.
h de centre S
Exemple traité
Avec ces données, on note le cercle et l'homothétie de centre qui transforme en Montrer que est l'image de par puis conclure.
- Un rectangle — Les segments et sont deux diamètres du cercle : ils ont le même milieu et la même longueur. Le quadrilatère est un rectangle, donc la droite est parallèle à la droite
- L'image d'une droite — L'image de la droite par est la parallèle à passant par l'image de c'est-à-dire par : c'est la droite
- L'image de M — L'image de est sur la droite et elle est alignée avec et : c'est le point
- Le lieu — Quand décrit le cercle son image décrit l'image de par : un cercle dont le centre est l'image de et qui passe par image de
29. Application
Un problème pour aller plus loin : un carré dans un triangle
Ce qu’il dit
Problème pour aller plus loin : narsmou carré de5el triangle ABC, zouz sommets 3la le côté AB, w wa7ed 3la AC, w wa7ed 3la BC. El fekra mezyena. Narsmou 9bal carré sghir MPQR, P w Q 3la AB, w M 3la AC : le quatrième sommet R yo93od de5el el triangle. W ba3d nkabbrou el carré hedha men A, b homothétie de centre A, 7atta yousel R lel côté BC, fel point R prime. L'image mta3 carré hiya carré, w les sommets mte3ou 3la el trois côtés.
problème pour aller plus loin : نرسمو carré داخل triangle A B C ، زوز sommets على le côté A B ، w واحد على A C ، w واحد على B C . الفكرة مزيانة . نرسمو قْبَلْ carré صغير M P Q R ، P w Q على A B ، w M على A C : le quatrième sommet R يقعد داخل الـ triangle . w بعد نكبّرو الـ carré هذا من A ، بـ homothétie de centre A ، حتّى يوصل R للـ côté B C ، في الـ point R prime . l'image متاع carré هي carré ، w les sommets متاعو على الـ trois côtés .
Un problème pour aller plus loin : construire un carré dans un triangle A B C, avec deux sommets sur le côté A B, un sur A C et un sur B C. L'idée est jolie. On trace d'abord un petit carré M P Q R, avec P et Q sur A B et M sur A C : le quatrième sommet R reste à l'intérieur du triangle. Puis on agrandit ce carré à partir de A, par une homothétie de centre A, jusqu'à ce que R arrive sur le côté B C, au point R prime. L'image d'un carré est un carré, et ses sommets sont sur les trois côtés.
Le problème. Construire un carré inscrit dans un triangle : deux sommets sur le côté un sommet sur le côté et un sommet sur le côté
L'idée. On commence par un carré plus petit, qui ne remplit que trois des quatre conditions : et sont sur est sur et est à l'intérieur du triangle. Puis on l'agrandit à partir du sommet jusqu'à ce que le quatrième sommet arrive sur le côté
La construction. La droite coupe en On note l'homothétie de centre qui transforme en et l'image de par Les points et sont sur le point est sur et est sur : est le carré cherché.
Un triangle ABC : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite. Un petit carré bleu MPQR, près de A : P et Q sont sur le côté AB, M est sur le côté AC au-dessus de P, et R est à l'intérieur du triangle, au-dessus de Q. La demi-droite d'origine A passant par R, en pointillés, coupe le côté BC au point R'. Un grand carré rouge M'P'Q'R' : P' et Q' sont sur AB, M' est sur AC, R' est sur BC.
h de centre A
Exemple traité
Justifier que est bien un carré dont les quatre sommets sont sur les côtés du triangle et dire comment le tracer.
- Sur les côtés — Les droites et passent par le centre : chacune est sa propre image. Les images et sont donc sur et l'image est sur Le point est sur par construction.
- Un carré — Une homothétie conserve l'orthogonalité et multiplie toutes les longueurs par le même nombre : l'image du carré a quatre angles droits et quatre côtés égaux.
- Tracer — On trace par la parallèle à qui coupe en et la parallèle à qui coupe en Puis est le point de tel que soit parallèle à
30. Application
Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler
Ce qu’il dit
Problème pour aller plus loin : la droite d'Euler. Fi triangle ABC, nsammiw O le centre du cercle circonscrit, w G le centre de gravité, w H l'orthocentre. Ne5dhou l'homothétie h de centre G et de rapport moins un demi : teb3ath koll sommet l le milieu mta3 le côté elli y9ablou. Donc teb3ath koll hauteur l médiatrice, w teb3ath l'orthocentre H lel point O. En-natija : O w G w H alignés, w le vecteur OH égale trois fois le vecteur OG. La droite hedhi nsammiwha la droite d'Euler. W le cercle elli yet3adda men el trois milieux nsammiweh le cercle d'Euler : le rayon mte3ou houwa ennoss mta3 le rayon du cercle circonscrit.
problème pour aller plus loin : la droite d'Euler . في triangle A B C ، نسمّيو O le centre du cercle circonscrit ، w G le centre de gravité ، w H l'orthocentre . ناخذو l'homothétie h de centre G et de rapport moins un demi : تبعث كل sommet لـ le milieu متاع le côté اللي يقابلو . donc تبعث كل hauteur لـ médiatrice ، w تبعث l'orthocentre H للـ point O . النتيجة : O w G w H alignés ، w le vecteur O H égale trois fois le vecteur O G . la droite هذي نسمّيوها la droite d'Euler . w le cercle اللي يتعدّى من الـ trois milieux نسمّيوه le cercle d'Euler : le rayon متاعو هو النصّ متاع le rayon du cercle circonscrit .
Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler. Dans un triangle A B C, on note O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre. On prend l'homothétie h de centre G et de rapport moins un demi : elle envoie chaque sommet sur le milieu du côté opposé. Donc elle envoie chaque hauteur sur une médiatrice, et elle envoie l'orthocentre H sur le point O. Résultat : O, G et H sont alignés, et le vecteur O H égale trois fois le vecteur O G. Cette droite s'appelle la droite d'Euler. Et le cercle qui passe par les trois milieux s'appelle le cercle d'Euler : son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit.
Soit un triangle. On désigne par le centre de son cercle circonscrit, par son centre de gravité et par son orthocentre. Soient et les milieux respectifs de et et l'homothétie de centre et de rapport
Alors les points et sont alignés, et La droite qui contient et s'appelle la droite d'Euler du triangle
Le cercle circonscrit au triangle est appelé cercle d'Euler du triangle : son centre est le milieu du segment et son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit à
Un triangle ABC, en bleu, et son cercle circonscrit, en pointillés, de centre O. A' est le milieu du côté BC, B' le milieu de AC et C' le milieu de AB ; le triangle A'B'C' est tracé en rouge. Trois points sont alignés sur une droite verte : l'orthocentre H, le centre de gravité G et le centre O, avec G entre H et O, deux fois plus près de O que de H. Le cercle d'Euler, en orange, passe par A', B' et C' ; son centre K est le milieu du segment OH.
la droite d'Euler
Exemple traité
Avec ces notations, montrer que l'image de la hauteur par cette homothétie est la médiatrice du segment puis que et sont alignés et que le vecteur est égal à fois le vecteur
- Les milieux — Le centre de gravité est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet : l'homothétie transforme en en et en
- Une hauteur — L'image de la hauteur est la parallèle à passant par Elle est perpendiculaire à et passe par le milieu de : c'est la médiatrice de De même pour les deux autres hauteurs.
- L'orthocentre — est sur les trois hauteurs : son image est sur les trois médiatrices. C'est le point
- La droite d'Euler — Le vecteur est égal à fois le vecteur : les points et sont alignés. Par Chasles, le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur qui vaut fois le vecteur
- Le cercle d'Euler — L'homothétie transforme le cercle circonscrit à en le cercle qui passe par et : son centre est l'image de et son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit. On vérifie que est le milieu du segment
31. Remarque
Le pantographe
Ce qu’il dit
Kelma 3al culture : le pantographe. Houwa instrument ma3moul men tiges articulées, ya3mlou parallélogramme, w nesta3mlouh bech n3awdou dessin w nkabbrouh walla nsaghgharouh. Famma point A fixe. Ki la pointe N ttabba3 el dessin, le crayon elli fi M yarsem nafs el dessin, ama asghar. W ken nbaddlou la pointe w le crayon, el dessin yekber. 3lech ? 5ater A w M w N yo93dou dima alignés, b nafs le rapport : hedhi homothétie de centre A. W nesta3mlou fih men akther men quatre siècles.
كلمة على الـ culture : le pantographe . هو instrument معمول من tiges articulées ، يعملو parallélogramme ، w نستعملوه باش نعاودو dessin w نكبّروه ولّا نصغّروه . فمّا point A fixe . كي la pointe N تتبّع الـ dessin ، le crayon اللي في M يرسم نفس الـ dessin ، أما أصغر . w كان نبدّلو la pointe w le crayon ، الـ dessin يكبر . علاش ؟ خاطر A w M w N يقعدو ديما alignés ، بنفس le rapport : هذي homothétie de centre A . w نستعملو فيه من أكثر من quatre siècles .
Un mot de culture : le pantographe. C'est un instrument fait de tiges articulées, qui forment un parallélogramme, et qui sert à recopier un dessin en l'agrandissant ou en le réduisant. Il y a un point A fixe. Quand la pointe N suit le dessin, le crayon placé en M trace le même dessin, mais plus petit. Et si on échange la pointe et le crayon, le dessin grandit. Pourquoi ? Parce que A, M et N restent toujours alignés, avec le même rapport : c'est une homothétie de centre A. Et on s'en sert depuis plus de quatre siècles.
Le pantographe est un instrument comportant un parallélogramme articulé et permettant de reproduire mécaniquement un dessin en agrandissant ou en réduisant les dimensions du modèle.
Il fut employé pour la première fois vers la fin du XVIᵉ siècle. En 1743, Langlois lui donna à peu près sa forme actuelle.
Sur l'instrument, quatre tiges forment un parallélogramme articulé : on a et de sorte que les points et restent alignés. Le point est fixe. Quand le point suit une courbe, le point en trace une réduction ; et si c'est qui suit une courbe, en trace un agrandissement.
Le rapport dépend de la position de sur : le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport
Deux grandes tiges de même longueur, AC et CN, forment un V renversé : A est en bas à gauche, C en haut, N en bas à droite. Le point B est sur la tige AC, le point D sur la tige CN. Deux petites tiges, BM et MD, en bleu, ferment le parallélogramme BCDM. Le point M est sur le segment AN, tracé en pointillés verts.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- équivaut à où est un réel non nul.H indice I k de M égale M prime, ma3neha le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM, w k réel non nul.H indice I k de M égale M prime, cela signifie que le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M, et k est un réel non nul.
- Un point, son image et le centre sont alignés ; le centre est invariant ; l'antécédent s'obtient avec le rapport El point w l'image mte3ou w le centre dima alignés. Le centre invariant. W bech nal9aw l'antécédent, nesta3mlou le rapport un sur k.Un point, son image et le centre sont toujours alignés. Le centre est invariant. Et pour trouver l'antécédent, on utilise le rapport un sur k.
- Propriété caractéristique : Conséquence : et La propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur MN. Donc la droite MN parallèle à la droite M prime N prime, w M prime N prime égale la valeur absolue de k fois MN.La propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N. Donc la droite M N est parallèle à la droite M prime N prime, et M prime N prime égale la valeur absolue de k fois M N.
- L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment.L'image mta3 droite hiya droite parallèle liha, w l'image mta3 segment hiya segment.L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle, et l'image d'un segment est un segment.
- L'image d'un cercle de centre et de rayon est le cercle de centre et de rayon L'image mta3 cercle de centre O et de rayon R, hiya le cercle elli centre mte3ou l'image mta3 O, w le rayon mte3ou la valeur absolue de k fois R.L'image d'un cercle de centre O et de rayon R est le cercle dont le centre est l'image de O, et dont le rayon est la valeur absolue de k fois R.
- L'image d'un polygone de périmètre et d'aire est un polygone de périmètre et d'aire Le périmètre mta3 polygone yetdhrab fi la valeur absolue de k, w l'aire mte3ou tetdhrab fi k au carré.Le périmètre d'un polygone est multiplié par la valeur absolue de k, et son aire est multipliée par k au carré.
- Une homothétie conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité et le contact.L'homothétie t7afedh 3la l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité w le contact.L'homothétie conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité et le contact.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : l'homothétie de centre I et de rapport k teb3ath M l M prime, ki le vecteur IM prime égale k fois le vecteur IM. W la propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur MN. Les longueurs tetdhrab fi la valeur absolue de k, w les aires fi k au carré. La droite twalli droite parallèle, w le cercle ywalli cercle. W l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité w le contact, el koll yo93dou kima houma. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : l'homothétie de centre I et de rapport k تبعث M لـ M prime ، كي le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M . w la propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N . les longueurs تتضرب في la valeur absolue de k ، w les aires في k au carré . la droite تولّي droite parallèle ، w le cercle يولّي cercle . w l'alignement ، le milieu ، le barycentre ، les angles ، le parallélisme ، l'orthogonalité w le contact ، الكل يقعدو كيما هوما . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : l'homothétie de centre I et de rapport k envoie M sur M prime quand le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M. Et la propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N. Les longueurs sont multipliées par la valeur absolue de k, et les aires par k au carré. Une droite devient une droite parallèle, et un cercle devient un cercle. Et l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité et le contact restent tous tels quels. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Homothétie de centre I et de rapport k
- c'est quoi une homothétie
- chnowa l'homothétie
- homothétie ma3neha chnowa
- définition de l'homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'homothétie de centre I et de rapport k, hiya l'application elli teb3ath koll point M lel point M', b7ith $\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}$. Le rapport k réel non nul. Hiya tkabber el figure walla tsaghgharha men le centre, men ghir ma yetbaddel ech-chakl mte3ha.
l'homothétie de centre I et de rapport k ، هي l'application اللي تبعث كل point M للـ point M prime ، بحيث le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M . le rapport k réel non nul . هي تكبّر الـ figure ولّا تصغّرها من le centre ، من غير ما يتبدّل الشكل متاعها .
Une homothétie de centre I et de rapport k, c'est l'application qui envoie chaque point M sur le point M prime tel que le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M. Le rapport k est un réel non nul. Elle agrandit ou réduit la figure à partir du centre, sans changer sa forme.
Question 2 · Homothétie de centre I et de rapport k
- pourquoi k doit être non nul
- 3lech le rapport mouch zéro
- ken k égale zéro chnowa ysir
- le rapport peut-il être nul
- pourquoi k différent de zéro
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater ken le rapport nul, les points el koll twalli 3andhom nafs l'image : le centre I. El figure el koll tetlamm fi point wa7ed, w point e5er ghir I ma yeb9ach 3andou antécédent. 3la hedha nochrtou le rapport non nul.
خاطر كان le rapport nul ، les points الكل تولّي عندهم نفس l'image : le centre I . الـ figure الكل تتلمّ في point واحد ، w point آخر غير I ما يبقاش عندو antécédent . على هذا نشرطو le rapport non nul .
Parce qu'avec un rapport nul, tous les points auraient la même image : le centre I. Toute la figure serait écrasée en un seul point, et un point autre que I n'aurait plus d'antécédent. C'est pour cela qu'on exige un rapport non nul.
Question 3 · Homothétie de centre I et de rapport k
- homothétie de rapport -1
- ken k égale -1 chnowa ysir
- homothétie et symétrie centrale
- est-ce que la symétrie centrale est une homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
B le rapport moins 1, $\overrightarrow{IM'} = -\overrightarrow{IM}$ : le centre I houwa le milieu du segment [MM']. Donc hedhi la symétrie centrale de centre I. Ya3ni la symétrie centrale hiya homothétie de rapport moins 1.
بـ le rapport moins un ، le vecteur I M prime هو l'opposé متاع le vecteur I M : le centre I هو le milieu du segment M M prime . donc هذي la symétrie centrale de centre I . يعني la symétrie centrale هي homothétie de rapport moins un .
Avec le rapport moins un, le vecteur I M prime est l'opposé du vecteur I M : le centre I est le milieu du segment M M prime. C'est donc la symétrie centrale de centre I. Autrement dit, une symétrie centrale est une homothétie de rapport moins un.
Question 4 · Construire l'image d'un point
- rapport négatif ma3neha chnowa
- ken k négatif win yji M prime
- que change un rapport négatif
- homothétie avec k negatif
- rapport positif ma3neha chnowa
- ken k < 0 chnowa ysir
- ken k > 0 chnowa ysir
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le signe mta3 le rapport ywarrik win tji l'image bennesba l le centre. Ken k positif, M w M' fi nafs ej-jiha mta3 I. Ken k négatif, I yji bin M w M', w el figure image tji ma9louba bennesba lel figure elli bdina biha. W fel 7alet ez-zouz, la distance tetdhrab fi $|k|$.
le signe متاع le rapport يورّيك وين تجي l'image بالنسبة لـ le centre . كان k positif ، M w M prime في نفس الجهة متاع I . كان k négatif ، I يجي بين M w M prime ، w الـ figure image تجي مقلوبة بالنسبة للـ figure اللي بدينا بيها . w في الحالات الزوز ، la distance تتضرب في la valeur absolue de k .
Le signe du rapport dit de quel côté du centre se trouve l'image. Si k est positif, M et M prime sont du même côté de I. Si k est négatif, I se trouve entre M et M prime, et la figure image est retournée par rapport à la figure de départ. Dans les deux cas, la distance est multipliée par la valeur absolue de k.
Question 5 · Construire l'image d'un point
- wa9tech l'homothétie tkabber el figure
- agrandissement ou réduction comment savoir
- quand est-ce que la figure est réduite
- l'homothétie tsaghghar wa9tech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Chouf la valeur absolue mta3 le rapport. Ken hiya akbar men un, les distances tetdhrab fi nombre akbar men un : el figure tekber. Ken hiya asghar men un, el figure tesghar. W ken hiya tsewi un, el figure to93od b nafs el 9add.
شوف la valeur absolue متاع le rapport . كان هي أكبر من un ، les distances تتضرب في nombre أكبر من un : الـ figure تكبر . كان هي أصغر من un ، الـ figure تصغار . w كان هي تساوي un ، الـ figure تقعد بنفس القدّ .
Regarde la valeur absolue du rapport. Si elle est plus grande que un, les distances sont multipliées par un nombre plus grand que un : la figure est agrandie. Si elle est plus petite que un, la figure est réduite. Et si elle vaut un, la figure garde sa taille.
Question 6 · Conséquences de la définition
- c'est quoi un antécédent
- kifech nal9a l'antécédent
- antécédent d'un point par une homothétie
- antecedent chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'antécédent mta3 M', houwa el point M elli l'image mte3ou M'. Bech tal9ah, esta3mel l'inverse mta3 le rapport : $\overrightarrow{IM} = \dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{IM'}$. W koll point 3andou antécédent wa7ed bark.
l'antécédent متاع M prime ، هو الـ point M اللي l'image متاعو M prime . باش تلقاه ، استعمل l'inverse متاع le rapport : le vecteur I M égale un sur k fois le vecteur I M prime . w كل point عندو antécédent واحد برك .
L'antécédent de M prime, c'est le point M dont l'image est M prime. Pour le trouver, utilise l'inverse du rapport : le vecteur I M égale un sur k fois le vecteur I M prime. Et chaque point a un seul antécédent.
Question 7 · Conséquences de la définition
- c'est quoi un point invariant
- point invariant chnowa
- quels sont les points invariants
- point fixe par une homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Point invariant houwa point l'image mte3ou hiya bidou. Fi homothétie 3andha rapport différent de un, famma wa7ed bark : le centre I. Les points lo5rin el koll yet7arrkou.
point invariant هو point l'image متاعو هي بيدو . في homothétie عندها rapport différent de un ، فمّا واحد برك : le centre I . les points الأخرين الكل يتحرّكو .
Un point invariant est un point qui est sa propre image. Dans une homothétie de rapport différent de un, il n'y en a qu'un seul : le centre I. Tous les autres points se déplacent.
Question 8 · Construire l'image d'un point
- comment construire l'image d'un point
- kifech narsem l'image mta3 point
- construire le point M' par une homothétie
- tracer l'image d'un point
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Arsem la droite elli tet3adda men le centre I w men el point M : l'image 3liha. Ba3d 7ott la distance $IM' = |k| \times IM$. Fi nafs ej-jiha mta3 M ken k positif, w fej-jiha lo5ra mta3 I ken k négatif.
ارسم la droite اللي تتعدّى من le centre I w من الـ point M : l'image عليها . بعد حطّ la distance I M prime ، اللي هي la valeur absolue de k fois I M . في نفس الجهة متاع M كان k positif ، w في الجهة الأخرى متاع I كان k négatif .
Trace la droite qui passe par le centre I et par le point M : l'image est dessus. Reporte ensuite la distance I M prime, qui vaut la valeur absolue de k fois I M. Du même côté que M si k est positif, et de l'autre côté de I si k est négatif.
Question 9 · Trouver le centre
- comment trouver le centre d'une homothétie
- kifech nal9a le centre
- déterminer le centre de l'homothétie
- win yji le centre
- kifech narsem le centre mta3 l'homothétie
- comment construire le centre d'une homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le centre dima aligné m3a koll point w l'image mte3ou. Ken ta3ref zouz points w les images mte3hom, arsem ez-zouz droites elli torbot koll point b l'image mte3ou : yetla9aw fi le centre. W ken ta3ref le rapport k, w point A, w l'image mte3ou B, le centre houwa le barycentre de A et B, affectés des coefficients k et moins un.
le centre ديما aligné مع كل point w l'image متاعو . كان تعرف زوز points w les images متاعهم ، ارسم الزوز droites اللي تربط كل point بـ l'image متاعو : يتلاقاو في le centre . w كان تعرف le rapport k ، w point A ، w l'image متاعو B ، le centre هو le barycentre de A et B ، affectés des coefficients k et moins un .
Le centre est toujours aligné avec chaque point et son image. Si tu connais deux points et leurs images, trace les deux droites qui joignent chaque point à son image : elles se coupent au centre. Et si tu connais le rapport k, un point A et son image B, le centre est le barycentre de A et B, affectés des coefficients k et moins un.
Question 10 · Conséquences : droites parallèles, longueurs multipliées
- comment trouver le rapport d'une homothétie
- kifech nal9a le rapport
- déterminer le rapport k
- calculer le rapport de l'homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
A3mel le quotient mta3 longueur image 3la la longueur elli bdit biha : ya3tik $|k|$. Ken ta3ref le centre I, w point A, w l'image mte3ou A prime, houwa le quotient de IA prime par IA. Ba3d chouf le signe : positif ken el point w l'image mte3ou fi nafs ej-jiha mta3 le centre, w négatif ken le centre binethom.
اعمل le quotient متاع longueur image على la longueur اللي بديت بيها : يعطيك la valeur absolue de k . كان تعرف le centre I ، w point A ، w l'image متاعو A prime ، هو le quotient de I A prime par I A . بعد شوف le signe : positif كان الـ point w l'image متاعو في نفس الجهة متاع le centre ، w négatif كان le centre بيناتهم .
Fais le quotient d'une longueur image par la longueur de départ : il te donne la valeur absolue de k. Si tu connais le centre I, un point A et son image A prime, c'est le quotient de I A prime par I A. Regarde ensuite le signe : positif si un point et son image sont du même côté du centre, et négatif si le centre est entre eux.
Question 11 · Reconnaître une homothétie
- comment montrer qu'une application est une homothétie
- kifech nthabbet elli f homothétie
- prouver que f est une homothétie
- reconnaître une homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Lawwej 3la point fixe I, w réel k non nul, b7ith l koll point M : $\overrightarrow{IM'} = k\,\overrightarrow{IM}$. W ken l'énoncé ya3tik le vecteur $\overrightarrow{MM'}$, t3adda men I b la relation de Chasles.
لوّج على point fixe I ، w réel k non nul ، بحيث لكل point M : le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M . w كان l'énoncé يعطيك le vecteur M M prime ، تعدّى من I بـ la relation de Chasles .
Cherche un point fixe I et un réel k non nul tels que, pour tout point M, le vecteur I M prime égale k fois le vecteur I M. Et si l'énoncé te donne le vecteur M M prime, passe par I avec la relation de Chasles.
Question 12 · Propriété caractéristique
- c'est quoi la propriété caractéristique
- propriete caracteristique mta3 l'homothétie
- la propriété caractéristique chnowa
- propriété caractéristique d'une homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken M' w N' houma les images mta3 M w N par une homothétie de rapport k, wa9tha $\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}$. L'homothétie todhrob les vecteurs el koll fi k. W menha ntalla3ou elli les droites parallèles, w les distances tetdhrab fi $|k|$.
كان M prime w N prime هوما les images متاع M w N par une homothétie de rapport k ، وقتها le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N . l'homothétie تضرب les vecteurs الكل في k . w منها نطلّعو اللي les droites parallèles ، w les distances تتضرب في la valeur absolue de k .
Si M prime et N prime sont les images de M et N par une homothétie de rapport k, alors le vecteur M prime N prime égale k fois le vecteur M N. L'homothétie multiplie tous les vecteurs par k. On en tire que les droites sont parallèles, et que les distances sont multipliées par la valeur absolue de k.
Question 13 · Propriété caractéristique
- différence entre homothétie et translation
- el far9 bin homothétie w translation
- homothétie ou translation comment savoir
- chnowa el far9 bin homothétie w translation
Ce qu’il répond
La translation ma tbaddelch les vecteurs : $\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}$, w el figure to93od b nafs el 9add. L'homothétie todhrobhom fi k : el figure tekber walla tesghar. W far9 e5er : l'homothétie 3andha point invariant, houwa le centre ; la translation ma 3andha 7atta wa7ed.
la translation ما تبدّلش les vecteurs : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N ، w الـ figure تقعد بنفس القدّ . l'homothétie تضربهم في k : الـ figure تكبر ولّا تصغار . w فرق آخر : l'homothétie عندها point invariant ، هو le centre ؛ la translation ما عندها حتّى واحد .
Une translation ne change pas les vecteurs : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, et la figure garde sa taille. Une homothétie les multiplie par k : la figure grandit ou rétrécit. Autre différence : l'homothétie a un point invariant, son centre ; la translation n'en a aucun.
Question 14 · Conséquences : droites parallèles, longueurs multipliées
- l'homothétie conserve-t-elle les distances
- les distances yetbaddlou walla le
- les longueurs ba3d l'homothétie
- est-ce que les longueurs restent les mêmes
- l'homothétie t7afedh 3la les distances
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'homothétie de rapport k todhrob les distances el koll fi $|k|$ : $A'B' = |k| \times AB$. Yo93dou kima houma ken ki le rapport ykoun un walla moins un bark. Elli t7afedh 3lih houwa les proportions w les angles.
l'homothétie de rapport k تضرب les distances الكل في la valeur absolue de k : A prime B prime égale la valeur absolue de k fois A B . يقعدو كيما هوما كان كي le rapport يكون un ولّا moins un برك . اللي تحافظ عليه هو les proportions w les angles .
Une homothétie de rapport k multiplie toutes les distances par la valeur absolue de k : A prime B prime égale la valeur absolue de k fois A B. Elles ne restent les mêmes que si le rapport vaut un ou moins un. Ce qu'elle conserve, ce sont les proportions et les angles.
Question 15 · Conservation de l'alignement
- quelles propriétés conserve une homothétie
- l'homothétie t7afedh 3la chnowa
- chnowa elli t7afedh 3lih l'homothétie
- qu'est-ce qui ne change pas dans la figure par une homothétie
Ce qu’il répond
L'homothétie t7afedh 3la l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité w le contact. Ya3ni el figure to93od b nafs ech-chakl : elli yetbaddel houwa el 9add mte3ha bark.
l'homothétie تحافظ على l'alignement ، le milieu ، le barycentre ، les angles ، le parallélisme ، l'orthogonalité w le contact . يعني الـ figure تقعد بنفس الشكل : اللي يتبدّل هو القدّ متاعها برك .
Une homothétie conserve l'alignement, le milieu, le barycentre, les angles, le parallélisme, l'orthogonalité et le contact. Autrement dit, la figure garde la même forme : seule sa taille change.
Question 16 · Conservation de l'alignement
- points alignés par une homothétie
- 3lech les images alignés
- comment montrer un alignement avec une homothétie
- trois points alignes w l'homothétie
- l'homothétie t7afedh 3la l'alignement
- l'homothétie conserve-t-elle l'alignement
Ce qu’il répond
Les images mta3 trois points alignés, houma trois points alignés. Bech tthabbet alignement, 3andek zouz tor9 : twarri elli el trois points houma les images mta3 trois points alignés, walla twarri elli wa7ed fihom houwa le centre mta3 homothétie teb3ath el point numéro deux lel point numéro trois.
les images متاع trois points alignés ، هوما trois points alignés . باش تثبت alignement ، عندك زوز طرق : تورّي اللي الـ trois points هوما les images متاع trois points alignés ، ولّا تورّي اللي واحد فيهم هو le centre متاع homothétie تبعث الـ point numéro deux للـ point numéro trois .
Les images de trois points alignés sont trois points alignés. Pour prouver un alignement, tu as deux moyens : montrer que les trois points sont les images de trois points alignés, ou montrer que l'un d'eux est le centre d'une homothétie qui envoie le point numéro deux sur le point numéro trois.
Question 17 · Image d'une droite, image d'un segment
- image d'une droite par une homothétie
- l'image mta3 droite chnowa
- kifech nal9a l'image d'une droite
- comment tracer l'image d'une droite
- l'image d'un segment par une homothétie
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'image mta3 droite hiya droite parallèle liha, w l'image mta3 segment hiya segment. Bech tarsemha, arsem l'image mta3 point wa7ed men la droite, w ba3d arsem men l'image hedhi la parallèle à la droite elli bdit biha. W ken la droite tet3adda men le centre, l'image mte3ha hiya bidha.
l'image متاع droite هي droite parallèle ليها ، w l'image متاع segment هي segment . باش ترسمها ، ارسم l'image متاع point واحد من la droite ، w بعد ارسم من l'image هذي la parallèle à la droite اللي بديت بيها . w كان la droite تتعدّى من le centre ، l'image متاعها هي بيدها .
L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle, et l'image d'un segment est un segment. Pour la tracer, construis l'image d'un seul point de la droite, puis trace par cette image la parallèle à la droite de départ. Et si la droite passe par le centre, elle est sa propre image.
Question 18 · Conservation du milieu
- l'homothétie et le milieu
- 3lech l'image du milieu hiya le milieu
- milieu ba3d l'homothétie
- l'image du milieu d'un segment
- l'homothétie t7afedh 3la le milieu
- l'homothétie conserve-t-elle le milieu
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'homothétie t7afedh 3la le milieu : l'image mta3 le milieu mta3 segment, hiya le milieu mta3 le segment image. Hedha yji men la propriété caractéristique : zouz vecteurs égaux yo93dou égaux ki nadhrbouhom ez-zouz fi k.
l'homothétie تحافظ على le milieu : l'image متاع le milieu متاع segment ، هي le milieu متاع le segment image . هذا يجي من la propriété caractéristique : زوز vecteurs égaux يقعدو égaux كي نضربوهم الزوز في k .
L'homothétie conserve le milieu : l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image. Cela vient de la propriété caractéristique : deux vecteurs égaux restent égaux quand on les multiplie tous les deux par k.
Question 19 · Conservation du barycentre
- l'homothétie et le barycentre
- l'image du barycentre chnowa
- barycentre ba3d l'homothétie
- l'image du centre de gravité
- l'homothétie t7afedh 3la le barycentre
- l'homothétie conserve-t-elle le barycentre
Ce qu’il répond
L'homothétie t7afedh 3la le barycentre : l'image mta3 le barycentre mta3 points pondérés, hiya le barycentre mta3 les images mte3hom, b nafs les coefficients. W bel 5sous : l'image mta3 le centre de gravité mta3 triangle, hiya le centre de gravité mta3 el triangle image.
l'homothétie تحافظ على le barycentre : l'image متاع le barycentre متاع points pondérés ، هي le barycentre متاع les images متاعهم ، بنفس les coefficients . w بالخصوص : l'image متاع le centre de gravité متاع triangle ، هي le centre de gravité متاع الـ triangle image .
L'homothétie conserve le barycentre : l'image du barycentre de points pondérés est le barycentre de leurs images, avec les mêmes coefficients. En particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.
Question 20 · Conservation du barycentre
- c'est quoi le centre de gravité
- chnowa le centre de gravité
- kifech nal9a le centre de gravité
- comment trouver le centre de gravité
- comment construire le centre de gravité
- win yji le centre de gravité
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le centre de gravité mta3 triangle houwa el point elli yetla9aw fih el trois médianes. Yji fi les deux tiers mta3 koll médiane, ki tebda men le sommet : ken I houwa le milieu de BC, le vecteur GI égale moins un demi fois le vecteur GA.
le centre de gravité متاع triangle هو الـ point اللي يتلاقاو فيه الـ trois médianes . يجي في les deux tiers متاع كل médiane ، كي تبدا من le sommet : كان I هو le milieu de B C ، le vecteur G I égale moins un demi fois le vecteur G A .
Le centre de gravité d'un triangle est le point où se coupent ses trois médianes. Il est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet : si I est le milieu de B C, le vecteur G I égale moins un demi fois le vecteur G A.
Question 21 · Conservation des angles
- l'homothétie change-t-elle les angles
- les angles ba3d l'homothétie
- est-ce que les angles restent pareils
- mesure de l'angle image
- l'homothétie t7afedh 3la les angles
- l'homothétie conserve-t-elle les angles
- 3lech les angles ma yetbaddlouch
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'homothétie t7afedh 3la les angles : l'image mta3 angle de quarante degrés hiya angle de quarante degrés, mahma ken le rapport. Le rapport ybaddel les longueurs, mouch les angles : el figure to93od b nafs ech-chakl.
l'homothétie تحافظ على les angles : l'image متاع angle de quarante degrés هي angle de quarante degrés ، مهما كان le rapport . le rapport يبدّل les longueurs ، موش les angles : الـ figure تقعد بنفس الشكل .
L'homothétie conserve les angles : l'image d'un angle de quarante degrés est un angle de quarante degrés, quel que soit le rapport. Le rapport change les longueurs, pas les angles : la figure garde la même forme.
Question 22 · Parallélisme et orthogonalité
- deux droites parallèles restent-elles parallèles
- les droites paralleles ba3d l'homothétie
- l'homothétie et le parallélisme
- deux droites perpendiculaires par une homothétie
- les droites perpendiculaires ba3d l'homothétie
- l'homothétie et l'orthogonalité
- l'homothétie t7afedh 3la le parallélisme
- l'homothétie conserve-t-elle l'orthogonalité
Ce qu’il répond
Koll droite l'image mte3ha droite parallèle liha. Donc zouz droites parallèles, les images mte3hom zouz droites parallèles, w zouz droites perpendiculaires, les images mte3hom zouz droites perpendiculaires. N9oulou l'homothétie t7afedh 3la le parallélisme w l'orthogonalité. 3la hedha l'image mta3 rectangle hiya rectangle, w l'image mta3 hauteur hiya hauteur.
كل droite l'image متاعها droite parallèle ليها . donc زوز droites parallèles ، les images متاعهم زوز droites parallèles ، w زوز droites perpendiculaires ، les images متاعهم زوز droites perpendiculaires . نقولو l'homothétie تحافظ على le parallélisme w l'orthogonalité . على هذا l'image متاع rectangle هي rectangle ، w l'image متاع hauteur هي hauteur .
Chaque droite a pour image une droite qui lui est parallèle. Donc deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles, et deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires. On dit que l'homothétie conserve le parallélisme et l'orthogonalité. C'est pour cela que l'image d'un rectangle est un rectangle, et que l'image d'une hauteur est une hauteur.
Question 23 · Image d'un cercle
- image d'un cercle par une homothétie
- l'image mta3 cercle chnowa
- le rayon du cercle image
- kifech narsem l'image d'un cercle
- kifech nal9a l'image mta3 cercle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'image mta3 cercle de centre O et de rayon R hiya cercle. Le centre mte3ou houwa l'image mta3 O, w le rayon mte3ou $|k| \times R$. Bech tarsmou, arsem l'image mta3 le centre, w ba3d odhrob le rayon.
l'image متاع cercle de centre O et de rayon R هي cercle . le centre متاعو هو l'image متاع O ، w le rayon متاعو la valeur absolue de k fois R . باش ترسمو ، ارسم l'image متاع le centre ، w بعد اضرب le rayon .
L'image d'un cercle de centre O et de rayon R est un cercle. Son centre est l'image de O, et son rayon est la valeur absolue de k fois R. Pour le tracer, construis l'image du centre, puis multiplie le rayon.
Question 24 · Conservation du contact
- c'est quoi la conservation du contact
- la tangente par une homothétie
- droite tangente au cercle ba3d l'homothétie
- le point de contact win yemchi
- l'homothétie t7afedh 3la le contact
- l'homothétie conserve-t-elle le contact
Ce qu’il répond
Ken droite tangente l cercle fi point A, wa9tha l'image mta3 la droite tangente l l'image mta3 le cercle, fel point image A'. N9oulou l'homothétie t7afedh 3la le contact. Es-sbab : la tangente perpendiculaire 3la le rayon, w l'orthogonalité to93od kima hiya.
كان droite tangente لـ cercle في point A ، وقتها l'image متاع la droite tangente لـ l'image متاع le cercle ، في الـ point image A prime . نقولو l'homothétie تحافظ على le contact . السبب : la tangente perpendiculaire على le rayon ، w l'orthogonalité تقعد كيما هي .
Si une droite est tangente à un cercle en un point A, alors l'image de la droite est tangente à l'image du cercle, au point image A prime. On dit que l'homothétie conserve le contact. La raison : la tangente est perpendiculaire au rayon, et l'orthogonalité est conservée.
Question 25 · Deux cercles de rayons différents
- combien d'homothéties entre deux cercles
- homothétie qui transforme deux cercles l'un en l'autre
- zouz cercles 9addech men homothétie
- deux cercles de rayons différents
- deux cercles de même rayon
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki ez-zouz rayons mo5talfin, famma zouz homothéties. Wa7da 3andha rapport positif, $\dfrac{R'}{R}$, w le centre mte3ha 5arej le segment elli yorbot ez-zouz centres. W lo5ra 3andha rapport négatif, $-\dfrac{R'}{R}$, w le centre mte3ha bin ez-zouz centres. W ken ez-zouz rayons égaux, to93od wa7da bark : la symétrie centrale par rapport au milieu mta3 ez-zouz centres, de rapport moins un.
كي الزوز rayons مختلفين ، فمّا زوز homothéties . وحدة عندها rapport positif ، R prime sur R ، w le centre متاعها خارج le segment اللي يربط الزوز centres . w الأخرى عندها rapport négatif ، moins R prime sur R ، w le centre متاعها بين الزوز centres . w كان الزوز rayons égaux ، تقعد وحدة برك : la symétrie centrale par rapport au milieu متاع الزوز centres ، de rapport moins un .
Quand les deux rayons sont différents, il y a deux homothéties. L'une a un rapport positif, R prime sur R, et son centre est hors du segment qui joint les deux centres. L'autre a un rapport négatif, moins R prime sur R, et son centre est entre les deux centres. Si les deux rayons sont égaux, il n'en reste qu'une : la symétrie centrale par rapport au milieu des deux centres, de rapport moins un.
Question 26 · Périmètres et aires
- 3lech l'aire tetdhrab fi k carré
- l'aire de la figure image
- pourquoi l'aire est multipliée par k au carré
- aire ba3d l'homothétie
- l'aire tetdhrab fi 9addech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater l'aire hiya produit mta3 zouz longueurs, w koll wa7da tetdhrab fi $|k|$. Donc l'aire tetdhrab fi $k^{2}$. Mathalan, b le rapport trois, l'aire tetdhrab fi neuf.
خاطر l'aire هي produit متاع زوز longueurs ، w كل وحدة تتضرب في la valeur absolue de k . donc l'aire تتضرب في k au carré . مثلا ، بـ le rapport trois ، l'aire تتضرب في neuf .
Parce qu'une aire est le produit de deux longueurs, et que chacune est multipliée par la valeur absolue de k. L'aire est donc multipliée par k au carré. Par exemple, avec le rapport trois, l'aire est multipliée par neuf.
Question 27 · Périmètres et aires
- le périmètre de la figure image
- périmètre ba3d l'homothétie
- le périmètre yetdhrab fi chnowa
- comment calculer le périmètre de l'image
- le périmètre yetdhrab fi 9addech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le périmètre yetdhrab fi $|k|$, kima les longueurs el koll. Rodd belek ma t5altouch m3a l'aire, elli tetdhrab fi $k^{2}$.
le périmètre يتضرب في la valeur absolue de k ، كيما les longueurs الكل . ردّ بالك ما تخلطوش مع l'aire ، اللي تتضرب في k au carré .
Le périmètre est multiplié par la valeur absolue de k, comme toutes les longueurs. Attention à ne pas le confondre avec l'aire, qui est multipliée par k au carré.
Question 28 · Figures homothétiques
- c'est quoi deux figures homothétiques
- figures homothétiques ma3neha
- triangles homothétiques chnowa
- comment savoir si deux figures sont homothétiques
Ce qu’il répond
Zouz figures homothétiques ki wa7da fihom hiya l'image mta3 lo5ra par une homothétie. Bech tet2akked, chouf ken les côtés elli y9ablou b3adhhom parallèles, w ken les droites elli torbot koll point b l'image mte3ou yet3addew el koll men nafs el point.
زوز figures homothétiques كي وحدة فيهم هي l'image متاع الأخرى par une homothétie . باش تتأكّد ، شوف كان les côtés اللي يقابلو بعضهم parallèles ، w كان les droites اللي تربط كل point بـ l'image متاعو يتعدّاو الكل من نفس الـ point .
Deux figures sont homothétiques quand l'une est l'image de l'autre par une homothétie. Pour le vérifier, regarde si les côtés qui se correspondent sont parallèles, et si les droites qui joignent chaque point à son image passent toutes par le même point.
Question 29 · Problèmes de lieu
- c'est quoi un lieu géométrique
- lieu des points chnowa
- kifech nal9a le lieu
- comment chercher un lieu avec une homothétie
Ce qu’il répond
Le lieu mta3 point, houwa el ligne elli yet7arrek 3liha ki point e5er yetbaddel. Ken el point elli nlawwjou 3lih houwa l'image mta3 el point el met7arrek par une homothétie, le centre mte3ha fixe w le rapport mte3ha constant, le lieu mte3ou houwa l'image mta3 el ligne elli yet7arrek 3liha el point el met7arrek : droite ta3ti droite, w cercle ya3ti cercle.
le lieu متاع point ، هو الـ ligne اللي يتحرّك عليها كي point آخر يتبدّل . كان الـ point اللي نلوّجو عليه هو l'image متاع الـ point المتحرّك par une homothétie ، le centre متاعها fixe w le rapport متاعها constant ، le lieu متاعو هو l'image متاع الـ ligne اللي يتحرّك عليها الـ point المتحرّك : droite تعطي droite ، w cercle يعطي cercle .
Le lieu d'un point, c'est la ligne sur laquelle il se déplace quand un autre point varie. Si le point cherché est l'image du point variable par une homothétie dont le centre est fixe et le rapport constant, son lieu est l'image de la ligne sur laquelle se déplace le point variable : une droite donne une droite, et un cercle donne un cercle.
Question 30 · Un problème pour aller plus loin : la droite d'Euler
- c'est quoi la droite d'Euler
- droite d'Euler chnowa
- le cercle d'Euler ma3neha
- la droite d'Euler tet3adda men chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi triangle, le centre du cercle circonscrit O, w le centre de gravité G, w l'orthocentre H, alignés : la droite elli thezzhom hiya la droite d'Euler, w $\overrightarrow{OH} = 3\,\overrightarrow{OG}$. W le cercle d'Euler houwa le cercle elli yet3adda men les milieux mta3 el trois côtés ; le rayon mte3ou ennoss mta3 le rayon du cercle circonscrit.
في triangle ، le centre du cercle circonscrit O ، w le centre de gravité G ، w l'orthocentre H ، alignés : la droite اللي تهزّهم هي la droite d'Euler ، w le vecteur O H égale trois fois le vecteur O G . w le cercle d'Euler هو le cercle اللي يتعدّى من les milieux متاع الـ trois côtés ؛ le rayon متاعو النصّ متاع le rayon du cercle circonscrit .
Dans un triangle, le centre du cercle circonscrit O, le centre de gravité G et l'orthocentre H sont alignés : la droite qui les porte est la droite d'Euler, et le vecteur O H égale trois fois le vecteur O G. Et le cercle d'Euler est le cercle qui passe par les milieux des trois côtés ; son rayon est la moitié du rayon du cercle circonscrit.
Question 31 · Le pantographe
- c'est quoi un pantographe
- pantographe chnowa
- à quoi sert le pantographe
- kifech ye5dem le pantographe
Ce qu’il répond
Le pantographe houwa instrument ma3moul men tiges articulées ya3mlou parallélogramme. Nesta3mlouh bech n3awdou dessin w nkabbrouh walla nsaghgharouh. W ye5dem b homothétie : el point fixe houwa le centre, w la pointe w le crayon yo93dou alignés m3ah, b rapport constant.
le pantographe هو instrument معمول من tiges articulées يعملو parallélogramme . نستعملوه باش نعاودو dessin w نكبّروه ولّا نصغّروه . w يخدم بـ homothétie : الـ point fixe هو le centre ، w la pointe w le crayon يقعدو alignés معاه ، بـ rapport constant .
Le pantographe est un instrument fait de tiges articulées qui forment un parallélogramme. On s'en sert pour recopier un dessin en l'agrandissant ou en le réduisant. Et il fonctionne par une homothétie : le point fixe est le centre, et la pointe et le crayon restent alignés avec lui, dans un rapport constant.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Un triangle trois fois plus grand
Dans la figure, est un point du côté et un point du côté du triangle Les droites et sont parallèles et Le périmètre du triangle vaut Calculer le périmètre du triangle
Un triangle ABC, avec A en haut. Le point M est sur le côté AB et le point N sur le côté AC, tous deux au tiers à partir de A. Le segment MN est parallèle au côté BC.
Donne le périmètre du triangle le nombre seul.
Réponse attendue : 21
Indices, dans l’ordre
- Les droites et sont parallèles : d'après le théorème de Thalès, les côtés du triangle sont proportionnels à ceux du triangle
- Chaque côté de est le triple du côté correspondant de : que devient la somme des trois côtés ?
Correction
- Thalès — Les droites et sont parallèles : les longueurs des côtés sont proportionnelles, avec le coefficient
- Le périmètre — Chaque côté est multiplié par donc la somme des trois côtés aussi.
Le périmètre de vaut : le triangle est l'image du triangle par l'homothétie de centre et de rapport
Pièges anticipés
10→ On n'ajoute pas : chaque côté est multiplié par donc le périmètre aussi.63→ serait : c'est l'aire qui est multipliée par le carré du rapport, pas le périmètre.7/3→ Le triangle est le plus grand des deux : on multiplie par on ne divise pas.
Exercice 2 · base
La distance au centre
Soit l'homothétie de centre et de rapport et un point tel que On note l'image de par Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Écris l'égalité vectorielle qui définit l'image de
- Les distances au centre vérifient :
Correction
- La définition — Le vecteur est égal à fois le vecteur La définition. Le vecteur est égal à fois le vecteur La définition. Le vecteur I E est égal à 3 fois le vecteur I A.
- La distance — La distance au centre est multipliée par
: l'image est trois fois plus loin du centre que le point.
Pièges anticipés
7→ On n'ajoute pas le rapport : la distance au centre est multipliée par4/3→ Tu as divisé par : c'est l'antécédent qui serait trois fois plus près du centre. L'image est trois fois plus loin.
Exercice 3 · base
De part et d'autre du centre
Soit l'homothétie de centre et de rapport et un point tel que On note l'image de par Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord la distance
- Le rapport est négatif : de quel côté de se trouve ?
Correction
- La distance au centre — La distance est multipliée par la valeur absolue du rapport.
- La position — Le rapport est négatif : est entre et donc les deux distances s'ajoutent.
: avec un rapport négatif, le centre est entre le point et son image.
Pièges anticipés
10→ est la distance On demande : le centre est entre et5→ Tu as calculé comme si et étaient du même côté de Le rapport est négatif : est entre les deux points.
Exercice 4 · base
Dans l'autre sens
On sait que le vecteur est égal à fois le vecteur : le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport Le point est donc l'image du point par une homothétie de centre Quel est son rapport ?
Donne le rapport
Réponse attendue : -2/5 — aussi acceptées : -0.4
Indices, dans l’ordre
- est l'antécédent de par la première homothétie.
- Pour revenir de l'image au point, on prend l'inverse du rapport.
Correction
- Isoler — On divise les deux membres par c'est-à-dire qu'on les multiplie par son inverse.Isoler. On divise les deux membres par c'est-à-dire qu'on les multiplie par son inverse : le vecteur est égal à fois le vecteur Isoler. On divise les deux membres par moins 5 sur 2, c'est-à-dire qu'on les multiplie par son inverse: le vecteur M N est égal à moins 2 sur 5 fois le vecteur M D.
- Lire — Les deux vecteurs partent de : le centre est et est l'image de
Le rapport est l'inverse de
Pièges anticipés
-5/2→ est le rapport de l'homothétie qui transforme en Ici on va de vers : il faut l'inverse.2/5→ L'inverse d'un nombre négatif est négatif : reste entre et5/2→ Pour revenir en arrière, on prend l'inverse du rapport, pas son opposé.
Exercice 5 · pratique
Où est le centre ?
Soient et deux points tels que On note le centre de l'homothétie de rapport qui transforme en Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le rapport est négatif : le centre est entre et
- La distance est le triple de la distance et les deux s'ajoutent pour donner
Correction
- Les distances — Le vecteur est égal à fois le vecteur : est entre et et la distance est le triple de la distance Les distances. Le vecteur est égal à fois le vecteur : est entre et et la distance est le triple de la distance Les distances. Le vecteur I B est égal à moins 3 fois le vecteur I A: I est entre A et B, et la distance I B est le triple de la distance I A.
- Le partage — Le segment est partagé en quatre parts égales, dont une pour
et
Pièges anticipés
4→ Tu as divisé par Mais la distance est la somme de et de qui vaut fois : elle vaut fois6→ Le centre n'est pas le milieu de : il est trois fois plus près de que de9→ est la distance On demande
Exercice 6 · pratique
Un barycentre qui cache une homothétie
Soit un point du plan. À tout point on associe le point barycentre des points et affectés des coefficients et Cette application est une homothétie de centre Quel est son rapport ?
Donne le rapport
Réponse attendue : 3/5 — aussi acceptées : 0.6
Indices, dans l’ordre
- Écris la relation vectorielle qui définit le barycentre puis fais apparaître le vecteur
- Par la relation de Chasles, le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur
Correction
- Le barycentre — est le barycentre des points et affectés des coefficients et Le barycentre. est le barycentre des points et affectés des coefficients et : fois le vecteur plus fois le vecteur égale le vecteur nul.Le barycentre. M prime est le barycentre des points A et M affectés des coefficients 2 et 3: 2 fois le vecteur M prime A plus 3 fois le vecteur M prime M égale le vecteur nul.
- Chasles — On décompose le vecteur en passant par Chasles. On décompose le vecteur en passant par : fois le vecteur plus fois le vecteur égale le vecteur nul.Chasles. On décompose le vecteur M prime M en passant par A: 5 fois le vecteur M prime A plus 3 fois le vecteur A M égale le vecteur nul.
- Le rapport — On isole le vecteur Le rapport. On isole le vecteur : il est égal à fois le vecteur Le rapport. On isole le vecteur A M prime: il est égal à 3 sur 5 fois le vecteur A M.
L'application est l'homothétie de centre et de rapport
Pièges anticipés
2/5→ utilise le coefficient de C'est le coefficient de qu'on divise par la somme des coefficients.3/2 / 2/3→ On divise par la somme des coefficients, pas par l'autre coefficient.
Exercice 7 · pratique
Passer par le centre
Soit un point du plan. À tout point on associe le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur Cette application est une homothétie de centre Quel est son rapport ?
Donne le rapport
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Le rapport se lit sur le vecteur qui part du centre
- Utilise la relation de Chasles :Utilise la relation de Chasles : le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur Utilise la relation de Chasles: le vecteur A M prime est la somme du vecteur A M et du vecteur M M prime.
Correction
- Chasles — On passe par pour faire apparaître le vecteur donné.Chasles. On passe par pour faire apparaître le vecteur donné : le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur Chasles. On passe par M pour faire apparaître le vecteur donné: le vecteur A M prime est la somme du vecteur A M et du vecteur M M prime.
- Remplacer — On remplace le vecteur puis on met le vecteur en facteur.Remplacer. On remplace le vecteur puis on met le vecteur en facteur : le vecteur est égal au vecteur moins un tiers du vecteur c'est-à-dire aux deux tiers du vecteur Remplacer. On remplace le vecteur M M prime, puis on met le vecteur A M en facteur: le vecteur A M prime est égal au vecteur A M moins un tiers du vecteur A M, c'est-à-dire aux deux tiers du vecteur A M.
L'application est l'homothétie de centre et de rapport
Pièges anticipés
-1/3→ donne le vecteur Le rapport se lit sur le vecteur qui part du centre.4/3→ Tu as ajouté un tiers au lieu de le retrancher : il reste
Exercice 8 · raisonnement
Avec le centre de gravité
Soit un triangle et son centre de gravité. À tout point on associe le point tel que fois le vecteur est égal à la somme des vecteurs et Cette application est une homothétie de centre Quel est son rapport ?
Donne le rapport
Réponse attendue : 1/4 — aussi acceptées : 0.25
Indices, dans l’ordre
- est le centre de gravité : pour tout point est le centre de gravité : pour tout point la somme des vecteurs et est égale à fois le vecteur G est le centre de gravité: pour tout point M, la somme des vecteurs M A, M B et M C est égale à 3 fois le vecteur M G.
- Écris ensuite le vecteur comme la somme du vecteur et du vecteur
Correction
- Réduire la somme — est le centre de gravité : la somme des trois vecteurs vaut fois le vecteur Réduire la somme. est le centre de gravité : la somme des trois vecteurs vaut fois le vecteur Donc fois le vecteur égale fois le vecteur Réduire la somme. G est le centre de gravité: la somme des trois vecteurs vaut 3 fois le vecteur M G. Donc 4 fois le vecteur M M prime égale 3 fois le vecteur M G.
- Partir du centre — On écrit le vecteur en passant par Partir du centre. On écrit le vecteur en passant par : il est égal au vecteur plus fois le vecteur Partir du centre. On écrit le vecteur G M prime en passant par M: il est égal au vecteur G M plus 3 sur 4 fois le vecteur M G.
- Conclure — Le vecteur est l'opposé du vecteur Conclure. Le vecteur est l'opposé du vecteur : le vecteur est égal à fois le vecteur Conclure. Le vecteur M G est l'opposé du vecteur G M: le vecteur G M prime est égal à 1 sur 4 fois le vecteur G M.
Le rapport vaut Le seul point invariant de cette application est son centre
Pièges anticipés
3/4→ relie le vecteur au vecteur Le rapport se lit sur le vecteur qui part du centre.-3/4 / -1/4→ Vérifie les signes : est entre et donc du même côté de que Le rapport est positif.
Exercice 9 · raisonnement
Trois points pondérés
Soit un triangle. À tout point on associe le point barycentre des points et affectés des coefficients et On note le barycentre des points et affectés des coefficients et Cette application est une homothétie de centre Quel est son rapport ?
Donne le rapport
Réponse attendue : 3/2 — aussi acceptées : 1.5
Indices, dans l’ordre
- Les points et peuvent être remplacés par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients.
- est alors le barycentre des points et affectés des coefficients et
Correction
- Barycentre partiel — On remplace les points et par leur barycentre affecté du coefficient : est le barycentre des points et affectés des coefficients et Barycentre partiel. On remplace les points et par leur barycentre affecté du coefficient : est le barycentre des points et affectés des coefficients et Donc moins le vecteur plus fois le vecteur égale le vecteur nul.Barycentre partiel. On remplace les points A et B par leur barycentre G, affecté du coefficient moins 1: M prime est le barycentre des points G et M affectés des coefficients moins 1 et 3. Donc moins le vecteur M prime G, plus 3 fois le vecteur M prime M, égale le vecteur nul.
- Chasles — On décompose le vecteur en passant par Chasles. On décompose le vecteur en passant par : fois le vecteur plus fois le vecteur égale le vecteur nul.Chasles. On décompose le vecteur M prime M en passant par G: 2 fois le vecteur M prime G plus 3 fois le vecteur G M égale le vecteur nul.
- Le rapport — On isole le vecteur Le rapport. On isole le vecteur : il est égal à fois le vecteur Le rapport. On isole le vecteur G M prime: il est égal à 3 sur 2 fois le vecteur G M.
L'application est l'homothétie de centre et de rapport
Pièges anticipés
3→ est le coefficient de Il faut encore le diviser par la somme des trois coefficients.2/3→ Tu as inversé le quotient : le coefficient de est au numérateur, la somme des coefficients au dénominateur.-3/2→ Le rapport est positif : le coefficient de et la somme des coefficients sont tous deux positifs.
Exercice 10 · pratique
Une translation, puis un barycentre
Soit un triangle. On note l'image de par la translation dont le vecteur est un quart du vecteur et le barycentre des points et affectés des coefficients et Le point est l'image de par une homothétie de centre Quel est son rapport ?
Donne le rapport
Réponse attendue : 4/5 — aussi acceptées : 0.8
Indices, dans l’ordre
- Écris les vecteurs et en fonction des vecteurs et
- Pour le barycentre :Pour le barycentre : le vecteur est égal à un cinquième du vecteur Pour le barycentre F: le vecteur A F est égal à un cinquième du vecteur A C.
Correction
- Le point E — Le vecteur est égal à un quart du vecteur : on part de et on passe par Le point E. Le vecteur est égal à un quart du vecteur : on part de et on passe par Le vecteur est égal au vecteur plus un quart du vecteur Le point E. Le vecteur A E est égal à un quart du vecteur B C: on part de B et on passe par A. Le vecteur B E est égal au vecteur B A plus un quart du vecteur B C.
- Le point F — Le vecteur est égal à un cinquième du vecteur et le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur Le point F. Le vecteur est égal à un cinquième du vecteur et le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur Le vecteur est donc égal au vecteur plus un cinquième du vecteur c'est-à-dire à quatre cinquièmes du vecteur plus un cinquième du vecteur Le point F. Le vecteur A F est égal à un cinquième du vecteur A C, et le vecteur A C est la somme du vecteur A B et du vecteur B C. Le vecteur B F est donc égal au vecteur B A plus un cinquième du vecteur A C, c'est-à-dire à quatre cinquièmes du vecteur B A plus un cinquième du vecteur B C.
- Comparer — On met quatre cinquièmes en facteur : on retrouve le vecteur Comparer. On met quatre cinquièmes en facteur : on retrouve le vecteur Le vecteur est égal à quatre cinquièmes du vecteur Comparer. On met quatre cinquièmes en facteur: on retrouve le vecteur B E. Le vecteur B F est égal à quatre cinquièmes du vecteur B E.
est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
Pièges anticipés
5/4→ Tu as exprimé le vecteur en fonction du vecteur On demande l'inverse.1/5→ Un cinquième relie le vecteur au vecteur Il faut partir du centre1/4→ Un quart est le coefficient qui place Compare plutôt les vecteurs et
Exercice 11 · base
Une longueur multipliée
Une homothétie de rapport transforme en et en On donne Calculer la distance
Donne la distance en écriture décimale.
Réponse attendue : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Par une homothétie de rapport :
- La valeur absolue de est
Correction
- La conséquence — Le vecteur est égal à fois le vecteur : la distance est multipliée par la valeur absolue du rapport.
- Le calcul — On remplace par sa valeur.
et la droite est parallèle à la droite
Pièges anticipés
-7.5→ Une distance n'est jamais négative : on multiplie par la valeur absolue du rapport.5.5→ On n'ajoute pas : la distance est multipliée par
Exercice 12 · pratique
Le rapport sur la figure
Dans la figure, les points et sont alignés, ainsi que les points et Les droites et sont parallèles et Quel est le rapport de l'homothétie de centre qui transforme en et en ?
Un point O en haut. Deux segments partent de O vers le bas : l'un passe par A et se termine en C, l'autre passe par B et se termine en D. Le segment AB est parallèle au segment CD, et CD est trois fois plus long que AB.
Donne le rapport
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- La valeur absolue du rapport se lit sur les longueurs : compare et
- Pour le signe, regarde si est entre et ou non.
Correction
- La valeur absolue — L'homothétie transforme le segment en le segment
- Le signe — et sont du même côté de : le rapport est positif.
Le rapport vaut : le vecteur est égal à fois le vecteur
Pièges anticipés
-3→ et sont du même côté de : le rapport est positif.1/3→ Un tiers est le rapport de l'homothétie qui transforme en Ici on va de vers : la figure est agrandie.
Exercice 13 · pratique
Le centre entre les deux
Dans la figure, les segments et se coupent en Les droites et sont parallèles et Quel est le rapport de l'homothétie de centre qui transforme en et en ?
Un segment AB horizontal en haut, et un segment CD horizontal en bas, trois fois plus long, avec C à gauche et D à droite. Les segments AD et BC se croisent en un point O, situé entre A et D et entre B et C.
Donne le rapport
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- La valeur absolue du rapport se lit sur les longueurs : compare et
- Pour le signe, regarde où se trouve par rapport à et
Correction
- La valeur absolue — L'homothétie transforme le segment en le segment
- Le signe — est entre et : le rapport est négatif.
Le rapport vaut : le vecteur est égal à fois le vecteur
Pièges anticipés
3→ est entre et : les deux vecteurs qui partent de sont de sens contraires, le rapport est négatif.-1/3 / 1/3→ De vers la figure est agrandie : la valeur absolue du rapport est pas un tiers.
Exercice 14 · pratique
Deux bases parallèles
Dans la figure, les droites et se coupent en les droites et sont parallèles et On donne Calculer la distance
Un segment AB horizontal en haut, et un segment CD horizontal en bas, deux fois plus long, avec C à gauche et D à droite. Les segments AD et BC se croisent en un point I : I est entre A et D, et entre B et C, et ID vaut deux fois IA.
Donne la distance
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- L'homothétie de centre et de rapport transforme en Quelle est l'image de ?
- Elle transforme en : le segment a pour image le segment
Correction
- L'homothétie — est entre et et est le double de : l'homothétie de centre et de rapport transforme en Comme la droite est parallèle à la droite elle transforme en L'homothétie. est entre et et est le double de : l'homothétie de centre et de rapport transforme en Comme la droite est parallèle à la droite elle transforme en Le vecteur est égal à fois le vecteur L'homothétie. I est entre A et D, et I D est le double de I A: l'homothétie de centre I et de rapport moins 2 transforme A en D. Comme la droite C D est parallèle à la droite A B, elle transforme B en C. Le vecteur D C est égal à moins 2 fois le vecteur A B.
- La distance — La distance est multipliée par la valeur absolue du rapport.
Pièges anticipés
1.75→ Le segment est l'image du segment par une homothétie qui agrandit : on multiplie par5.5→ On n'ajoute pas : les longueurs sont multipliées par
Exercice 15 · pratique
Un tiers de la distance
Soit un triangle. On note l'image de par l'homothétie de centre et de rapport et le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur On donne Calculer la distance
Un triangle ABC, avec le côté AB horizontal en bas. Le point I est sur le côté AB, au tiers à partir de A. Le point J est sur la demi-droite d'origine A passant par C, trois fois plus loin de A que C. Le segment IC, en rouge, est parallèle au segment BJ, en bleu, et trois fois plus court.
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Quelle est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport ?
- et sont les images de et de : utilise la propriété caractéristique.
Correction
- L'image de J — Le vecteur est égal à un tiers du vecteur : est l'image de L'image de J. Le vecteur est égal à un tiers du vecteur : est l'image de L'image de J. Le vecteur A C est égal à un tiers du vecteur A J: C est l'image de J.
- La propriété — et sont les images de et de La propriété. et sont les images de et de : le vecteur est égal à un tiers du vecteur La propriété. I et C sont les images de B et de J: le vecteur I C est égal à un tiers du vecteur B J.
- La distance — La distance est divisée par
et la droite est parallèle à la droite
Pièges anticipés
36→ et sont les images de et de par l'homothétie de rapport un tiers : la distance est divisée par pas multipliée.6→ Le rapport est un tiers, pas un demi.
Exercice 16 · pratique
L'image d'un sommet
Dans la figure, les points et sont alignés, ainsi que les points et Le triangle est rectangle et isocèle en et le triangle est rectangle et isocèle en On note l'homothétie de centre qui transforme en Quelle est l'image du point par ?
Quatre points alignés sur une droite horizontale, de gauche à droite : A, B, I et O. Le triangle ABC est rectangle en B, avec C au-dessus de B et BC égal à AB. Le triangle BIJ est rectangle en I, avec J au-dessus de I et IJ égal à IB. Les points C, J et O sont alignés sur un segment oblique qui descend vers O.
Écris le nom du point.
Réponse attendue : C — aussi acceptées : le point C · point C · c'est C · c'est le point C · = C · l'image est C · l'image est le point C · h(J) = C · h(J)=C · l'image de J est C · l'image de J est le point C · le sommet C · sommet C · c'est le sommet C
Indices, dans l’ordre
- L'image de est alignée avec et : sur quelle droite se trouve-t-elle ?
- L'image de la droite est la parallèle à passant par l'image de Les droites et sont toutes deux perpendiculaires à la droite
Correction
- Une droite — Les droites et sont perpendiculaires à la droite : elles sont parallèles. L'image de est la parallèle à passant par image de : c'est la droite
- Le point — L'image de est sur la droite et sur la droite : c'est leur point d'intersection.
L'image de est le point
Pièges anticipés
A / le point A / point A / le sommet A / sommet A→ L'image de est alignée avec et : le point n'est pas sur la droiteB / le point B / point B / le sommet B / sommet B→ est l'image de Pour cherche l'image de la droite
Exercice 17 · raisonnement
Un angle de 45 degrés
Dans la figure, les points et sont alignés, ainsi que les points et Le triangle est rectangle et isocèle en et le triangle est rectangle et isocèle en L'homothétie de centre qui transforme en transforme aussi en Quelle est l'image du point par ?
Quatre points alignés sur une droite horizontale, de gauche à droite : A, B, I et O. Le triangle ABC est rectangle en B, avec C au-dessus de B et BC égal à AB. Le triangle BIJ est rectangle en I, avec J au-dessus de I et IJ égal à IB. Les points C, J et O sont alignés sur un segment oblique qui descend vers O.
Écris le nom du point.
Réponse attendue : A — aussi acceptées : le point A · point A · c'est A · c'est le point A · = A · l'image est A · l'image est le point A · h(B) = A · h(B)=A · l'image de B est A · l'image de B est le point A · le sommet A · sommet A · c'est le sommet A
Indices, dans l’ordre
- L'image de est sur la droite Cherche aussi l'image de la droite
- Dans un triangle rectangle et isocèle, les deux angles aigus mesurent : compare les directions des droites et
Correction
- Deux parallèles — L'angle et l'angle mesurent chacun et ils sont correspondants : la droite est parallèle à la droite
- L'image d'une droite — L'image de la droite est la parallèle à passant par image de : c'est la droite
- Le point — L'image de est sur la droite et sur la droite : c'est leur point d'intersection.
L'image de est le point : le triangle est l'image du triangle
Pièges anticipés
C / le point C / point C / le sommet C / sommet C→ est l'image de L'image de est alignée avec etB / le point B / point B / le sommet B / sommet B→ Seul le centre est sa propre image : a une image différente de lui-même.
Exercice 18 · pratique
Deux droites, un point
Soit un parallélogramme et une homothétie qui transforme la droite en la droite et la droite en la droite Quelle est l'image du point par ?
Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Les droites (AB) et (AD), qui passent par A, sont en bleu ; les droites (CD) et (BC), qui passent par C, sont en rouge.
Écris le nom du point.
Réponse attendue : C — aussi acceptées : le point C · point C · c'est C · c'est le point C · = C · l'image est C · l'image est le point C · h(A) = C · h(A)=C · l'image de A est C · l'image de A est le point C · le sommet C · sommet C · c'est le sommet C
Indices, dans l’ordre
- Le point est sur deux droites dont on connaît les images.
- Son image est sur les deux droites images : cherche leur point d'intersection.
Correction
- Deux droites — est le point d'intersection des droites et
- Leurs images — L'image de est sur l'image de et sur l'image de : elle est sur la droite et sur la droite
L'image de est le point : le centre de est sur la droite
Pièges anticipés
D / le point D / point D / le sommet D / sommet D→ est bien sur la droite mais il n'est pas sur la droite image deB / le point B / point B / le sommet B / sommet B→ est sur la droite mais il n'est pas sur la droite image de
Exercice 19 · base
L'image d'un parallélogramme
Soit un parallélogramme. On note et les images respectives de et par une homothétie. Quelle est la nature du quadrilatère ?
Réponds par un mot : parallélogramme, losange, trapèze…
Réponse attendue : parallelogramme — aussi acceptées : un parallelogramme · c'est un parallelogramme · parallélogramme · un parallélogramme · efgk est un parallelogramme · efgk parallelogramme · le quadrilatere efgk est un parallelogramme
Indices, dans l’ordre
- Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : que devient ce milieu par l'homothétie ?
- Une homothétie conserve le milieu.
Correction
- Le centre — On note le centre de : c'est le milieu des diagonales et
- Son image — L'image de est le milieu du segment et du segment : les diagonales de se coupent en leur milieu.
est un parallélogramme.
Pièges anticipés
trapeze / un trapeze / trapèze / un trapèze / efgk est un trapeze→ Un trapèze n'a qu'une paire de côtés parallèles. Ici les deux paires de côtés opposés restent parallèles.rectangle / un rectangle / losange / un losange / carre / un carre / efgk est un rectangle / efgk est un losange / efgk est un carre→ Rien ne dit que a un angle droit ou des côtés égaux : son image est un parallélogramme, sans plus.
Exercice 20 · pratique
Du sommet au milieu du côté
Soit un triangle, son centre de gravité et le milieu du côté Quel est le rapport de l'homothétie de centre qui transforme en ?
Un triangle ABC. I est le milieu du côté BC. La médiane AI est tracée en pointillés ; le centre de gravité G est sur cette médiane, entre A et I, deux fois plus près de I que de A.
Donne le rapport
Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5
Indices, dans l’ordre
- Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir de
- Compare les distances et puis regarde de quel côté de se trouvent et
Correction
- Sur la médiane — est aux deux tiers de la médiane à partir de : vaut deux tiers de et en vaut un tiers.
- Le signe — est entre et : le rapport est négatif.Le signe. est entre et : le rapport est négatif. Le vecteur est égal à fois le vecteur Le signe. G est entre A et I: le rapport est négatif. Le vecteur G I est égal à moins 1 sur 2 fois le vecteur G A.
Le rapport vaut
Pièges anticipés
1/2→ est entre et : les deux vecteurs qui partent de sont de sens contraires.-2→ est le rapport de l'homothétie qui transforme en De vers la distance au centre est divisée par1/3 / -1/3→ Un tiers est la part de la médiane entre et Compare à pas à
Exercice 21 · raisonnement
Dans le trapèze
Dans la figure, est un trapèze de bases et tel que et Les diagonales et se coupent en Quel est le rapport de l'homothétie de centre qui transforme en ?
Un trapèze ABCD : la petite base AB est en haut, la grande base DC en bas, avec D à gauche et C à droite. Les diagonales AC et BD se coupent en un point O' situé à l'intérieur du trapèze.
Donne le rapport
Réponse attendue : -5/2 — aussi acceptées : -2.5
Indices, dans l’ordre
- Cette homothétie transforme en et en : elle transforme le segment en le segment
- La valeur absolue du rapport est le quotient des longueurs ; le signe dépend de la position de par rapport à et
Correction
- La valeur absolue — L'homothétie transforme le segment en le segment
- Le signe — Le point est à l'intérieur du trapèze, entre et : le rapport est négatif.
Le rapport vaut
Pièges anticipés
5/2→ est entre et : le rapport est négatif. Le rapport positif est celui de l'homothétie dont le centre est le point d'intersection des droites et-2/5 / 2/5→ De vers on passe de la petite base à la grande : la valeur absolue du rapport est plus grande que
Exercice 22 · raisonnement
Le milieu conservé
Soit un triangle tel que et le milieu du côté On note l'homothétie de centre et de rapport puis l'image de et l'image de par Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Le segment est l'image du segment
- Par une homothétie de rapport les distances sont multipliées par la valeur absolue de
Correction
- Le segment image — et sont les images de et de : le segment est l'image du segment et sa longueur est multipliée par deux tiers.
Le milieu de est le centre de : il est aussi le milieu de
Pièges anticipés
4→ est la distance : les deux tiers de On demande image du segment tout entier.18→ Le rapport deux tiers est plus petit que : le segment image est plus court que
Exercice 23 · raisonnement
Deux cercles sécants
On considère deux cercles et de centres respectifs et sécants en et La droite recoupe le cercle en et la droite recoupe le cercle en On donne Calculer la distance
Deux cercles sécants en deux points A et B : à gauche le cercle (C) de centre O, à droite le cercle (C'), un peu plus grand, de centre O'. A est le point d'intersection du haut, B celui du bas. Le diamètre [AE] du cercle (C) passe par O, et le diamètre [AF] du cercle (C') passe par O'. Le segment [OO'] est tracé en pointillés. Les points E, B et F sont sur une même droite horizontale, en bas de la figure.
Donne la distance
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- est un diamètre du cercle et un diamètre du cercle : où se trouvent et sur ces segments ?
- L'homothétie de centre et de rapport transforme en et en
Correction
- Deux diamètres — est le point diamétralement opposé à sur le cercle : est le milieu du segment De même, est le milieu du segment
- L'homothétie — L'homothétie de centre et de rapport transforme en et en
- La distance — Le segment est l'image du segment : sa longueur est multipliée par
La même homothétie transforme le milieu de la corde en : ce milieu est aligné avec et donc les points et sont alignés.
Pièges anticipés
5→ est la distance Le segment est son image par une homothétie de rapport : il est deux fois plus long.2.5→ Tu as divisé par L'homothétie de centre qui transforme en a pour rapport : le segment image est deux fois plus long.
Exercice 24 · base
Un angle conservé
Dans un triangle l'angle mesure On note et les images de et par une homothétie de rapport Combien mesure l'angle ?
Donne la mesure en degrés.
Réponse attendue : 35
Indices, dans l’ordre
- Que fait une homothétie à un angle ?
- Le signe et la valeur du rapport ne changent rien aux angles.
Correction
- La conservation — Une homothétie conserve les angles : l'angle image de l'angle a la même mesure.
L'angle mesure
Pièges anticipés
105 / -105→ Le rapport multiplie les longueurs, pas les angles : une homothétie conserve les angles.145→ Même avec un rapport négatif, un angle n'est pas changé en son supplémentaire : il est conservé.
Exercice 25 · base
Le rayon du cercle image
Un cercle a pour rayon On note le rayon de son image par une homothétie de rapport Calculer
Donne le rayon
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le rayon du cercle image est :
- La valeur absolue de est
Correction
- Le rayon — Le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport, c'est-à-dire par un demi.
: le signe du rapport ne joue que sur la position du centre.
Pièges anticipés
-3→ Un rayon est une longueur : on multiplie par la valeur absolue du rapport.12→ La valeur absolue du rapport est un demi : le cercle est réduit, son rayon est divisé par
Exercice 26 · pratique
Un cercle deux fois plus grand
On considère un cercle de centre et de rayon et un diamètre de ce cercle. On note le rayon de l'image de par l'homothétie de centre qui transforme en Calculer
Donne le rayon
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Cherche d'abord le rapport : compare les vecteurs et
- est le milieu du segment : le rapport vaut
Correction
- Le rapport — est le milieu du diamètre Le rapport. est le milieu du diamètre : le vecteur est égal à fois le vecteur Le rapport. O est le milieu du diamètre A B: le vecteur A B est égal à 2 fois le vecteur A O.
- Le rayon — Le rayon est multiplié par
: le cercle image a pour centre et passe par
Pièges anticipés
4→ Le rayon ne reste le même que pour une translation. Ici le rapport vaut16→ C'est l'aire qui est multipliée par le carré du rapport. Le rayon est multiplié par le rapport.
Exercice 27 · raisonnement
Le centre de rapport positif
On considère un cercle de centre et de rayon et un cercle de centre et de rayon avec On note le centre de l'homothétie de rapport positif qui transforme en Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le rapport est le quotient des rayons : il vaut
- Le vecteur est égal à fois le vecteur : les points et sont du même côté de
Correction
- Le rapport — Le rayon est multiplié par et le rapport est positif.
- Le centre — Le centre a pour image : les points et sont du même côté de et la distance est le triple de la distance Le centre. Le centre a pour image : les points et sont du même côté de et la distance est le triple de la distance Le vecteur est égal à fois le vecteur Le centre. Le centre O a pour image O prime: les points O et O prime sont du même côté de I, et la distance I O prime est le triple de la distance I O. Le vecteur I O prime est égal à 3 fois le vecteur I O.
- La distance — La distance est la différence des deux distances à : elle vaut fois
et : le point est hors du segment du côté du petit cercle.
Pièges anticipés
4→ Tu as divisé par Mais la distance est la différence entre et : elle vaut fois3→ est la distance de au centre de l'homothétie de rapport négatif, qui est entre et Ici le rapport est positif : est hors du segment
Exercice 28 · pratique
L'aire du triangle image
Un triangle a pour côtés et : il est rectangle, et son aire vaut On note l'aire de son image par une homothétie de rapport Calculer
Donne l'aire
Réponse attendue : 54
Indices, dans l’ordre
- Par une homothétie de rapport l'aire devient :
- Ici le carré du rapport vaut
Correction
- Le carré du rapport — On élève le rapport au carré.
- L'aire — L'aire est multipliée par le carré du rapport.
: les côtés du triangle image mesurent et
Pièges anticipés
18→ serait : c'est le périmètre qui est multiplié par le rapport. L'aire est multipliée par son carré.36→ est le périmètre du triangle image. On demande son aire.
Exercice 29 · pratique
Le quart de l'aire
Soit un triangle tel que La parallèle à la droite passant par un point du côté coupe le côté en On veut que l'aire du triangle soit le quart de l'aire du triangle Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est l'image du triangle par une homothétie de centre dont le rapport est le quotient de par
- L'aire est multipliée par le carré du rapport : il faut que ce carré soit égal à un quart.
Correction
- L'homothétie — Comme la droite est parallèle à la droite l'homothétie de centre qui transforme en transforme en Son rapport est positif.
- L'aire — L'aire est multipliée par le carré du rapport.
- La distance — On prend la moitié de
: le point est le milieu du côté
Pièges anticipés
2.5→ Si était le quart de l'aire serait divisée par L'aire est multipliée par le carré du rapport.
Exercice 30 · raisonnement
Du point à son image
On considère l'homothétie de centre et de rapport Soit un point du plan et son image par On sait que la distance entre et vaut Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Par la relation de Chasles :Par la relation de Chasles : le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur Par la relation de Chasles: le vecteur M M prime est la somme du vecteur M O et du vecteur O M prime.
- Le vecteur est égal à fois le vecteur : il reste fois le vecteur
Correction
- Le vecteur — On décompose en passant par : le vecteur est l'opposé du vecteur Le vecteur. On décompose en passant par : le vecteur est l'opposé du vecteur et le vecteur est égal à fois le vecteur Le vecteur est donc égal à fois le vecteur Le vecteur. On décompose en passant par O: le vecteur M O est l'opposé du vecteur O M, et le vecteur O M prime est égal à 3 fois le vecteur O M. Le vecteur M M prime est donc égal à 2 fois le vecteur O M.
- La distance — La distance entre et est le double de
: les points qui conviennent sont ceux du cercle de centre et de rayon
Pièges anticipés
8/3→ n'est pas la distance de à l'image : c'est la distance du point à son image. Exprime d'abord le vecteur en fonction du vecteur2→ La distance du point à son image est la différence entre fois et : elle vaut fois pas fois.
Exercice 31 · raisonnement
Entre deux droites parallèles
On considère deux droites parallèles et Une droite coupe en et en avec On note le centre de l'homothétie de rapport qui transforme en Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Le rapport est positif : et sont du même côté de et la distance vaut cinq tiers de
- La distance est la différence entre et : elle vaut deux tiers de
Correction
- La définition — Le rapport est positif et plus grand que : est au-delà de sur la demi-droite d'origine La définition. Le vecteur est égal à fois le vecteur Le rapport est positif et plus grand que : est au-delà de sur la demi-droite d'origine La définition. Le vecteur O E est égal à 5 sur 3 fois le vecteur O A. Le rapport est positif et plus grand que 1: E est au-delà de A sur la demi-droite d'origine O.
- La différence — La distance est la différence des deux distances au centre.
- La distance — On multiplie par trois demis.
et L'image de la droite par cette homothétie est la droite
Pièges anticipés
3.6 / 18/5→ Tu as multiplié par trois cinquièmes. Mais n'est pas la distance de à l'image : c'est la différence entre et15→ est la distance On demande
Exercice 32 · raisonnement
Le symétrique d'un point fixe
On considère une droite et un point qui n'appartient pas à Pour chaque point de on note le symétrique de par rapport à Sur quelle sorte de ligne le point se déplace-t-il lorsque décrit la droite ?
Réponds par un mot : droite, cercle, segment…
Réponse attendue : droite — aussi acceptées : une droite · la droite · c'est une droite · sur une droite · une ligne droite · ligne droite · sur une ligne droite · une droite parallele · droite parallele · sur une droite parallele · une parallele · une droite parallele a d1 · droite parallele a d1 · la droite parallele a d1 · c'est une droite parallele a d1 · sur une droite parallele a d1 · une droite parallele a la droite d1 · une parallele a d1 · la parallele a d1 · sur une parallele a d1 · sur la parallele a d1 · parallele a d1 · la droite parallele a la droite d1 · une parallele a la droite d1 · une droite parallele a (d1) · droite parallele a (d1) · la droite parallele a (d1) · c'est une droite parallele a (d1) · sur une droite parallele a (d1) · une droite parallele a la droite (d1) · une parallele a (d1) · la parallele a (d1) · sur une parallele a (d1) · parallele a (d1) · n decrit une droite · n decrit une droite parallele a d1 · n decrit une droite parallele a (d1) · n se deplace sur une droite · n se deplace sur une droite parallele a d1 · il se deplace sur une droite · il se deplace sur une droite parallele a d1 · une droite parallele a d · droite parallele a d · la droite parallele a d · sur une droite parallele a d · une parallele a d · la parallele a d · sur une parallele a d · parallele a d
Indices, dans l’ordre
- Quelle application envoie sur ? Compare les vecteurs et
- est le milieu du segment : est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
Correction
- L'homothétie — est le milieu du segment : est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport L'homothétie. est le milieu du segment : le vecteur est égal à fois le vecteur est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport L'homothétie. M est le milieu du segment A N: le vecteur A N est égal à 2 fois le vecteur A M. N est l'image de M par l'homothétie de centre A et de rapport 2.
- Le lieu — Quand décrit la droite son image décrit l'image de : une droite parallèle à
se déplace sur une droite : la parallèle à située deux fois plus loin de que
Pièges anticipés
cercle / un cercle / le cercle→ L'image d'une droite par une homothétie est une droite. Un cercle serait l'image d'un cercle.la droite d1 / sur la droite d1 / d1 / sur d1 / la droite (d1) / sur la droite (d1) / (d1) / la droite d / sur la droite d→ n'est pas sur : il est deux fois plus loin de que Il décrit une droite parallèle à
Exercice 33 · raisonnement
Le rayon d'un lieu
On considère un cercle de centre et de rayon et un point qui n'appartient pas à Pour chaque point de on note le barycentre des points et affectés des coefficients et Lorsque décrit le point décrit un cercle : on note son rayon. Calculer
Donne le rayon
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Pour ce barycentre :Pour ce barycentre : le vecteur est égal à fois le vecteur Pour ce barycentre: le vecteur A I est égal à 3 sur 5 fois le vecteur A M.
- est l'image de par une homothétie de centre : le rayon est multiplié par son rapport.
Correction
- Le barycentre — Le vecteur s'obtient avec le coefficient de divisé par la somme des coefficients.Le barycentre. Le vecteur s'obtient avec le coefficient de divisé par la somme des coefficients : il est égal à fois le vecteur Le barycentre. Le vecteur A I s'obtient avec le coefficient de M divisé par la somme des coefficients: il est égal à 3 sur 5 fois le vecteur A M.
- L'homothétie — est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport trois cinquièmes : il décrit l'image du cercle
- Le rayon — Le rayon est multiplié par trois cinquièmes.
: le lieu de est le cercle de rayon dont le centre est l'image de
Pièges anticipés
4→ Tu as pris deux cinquièmes, avec le coefficient de C'est le coefficient de qui donne le vecteur10→ Le rayon ne se conserve que par une translation. Ici est l'image de par une homothétie de rapport trois cinquièmes.
Exercice 34 · defi
Un lieu avec un barycentre
On considère un cercle de centre et de diamètre avec On note le barycentre des points et affectés des coefficients et Soit un point de distinct de et de et le point diamétralement opposé à Les droites et se coupent en un point Lorsque décrit le cercle, le point décrit un cercle privé de deux points : on note son rayon. Calculer
Donne le rayon
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Place : le vecteur est égal à fois le vecteur Compare alors les distances et
- Les segments et sont deux diamètres : est un rectangle, donc la droite est parallèle à la droite Pense à l'homothétie de centre qui transforme en
Correction
- Le point G — Le vecteur est égal à fois le vecteur : est sur la droite du côté de avec et Le point G. Le vecteur est égal à fois le vecteur : est sur la droite du côté de avec et Le vecteur est égal à fois le vecteur Le point G. Le vecteur A G est égal à moins 2 fois le vecteur A B: G est sur la droite A B, du côté de A, avec G A égale 24 et G B égale 36. Le vecteur G B est égal à 3 sur 2 fois le vecteur G A.
- Le rectangle — Les segments et sont deux diamètres : est un rectangle, et la droite est parallèle à la droite
- L'homothétie — L'homothétie de centre et de rapport trois demis transforme en donc la droite en la droite L'image de est sur et sur : c'est
- Le rayon — Le rayon de vaut ; il est multiplié par trois demis.
: décrit l'image du cercle par privée des images de et de
Pièges anticipés
6→ est le rayon de Le point est l'image de par une homothétie de centre : le rayon est multiplié par son rapport.18→ Tu as multiplié le diamètre. Le rayon de est4→ De vers on s'éloigne de : le rapport est plus grand que
Exercice 35 · defi
Une translation, puis une homothétie
On considère un cercle de centre et de rayon et une corde de ce cercle. Pour chaque point de on note le point tel que le vecteur est égal au vecteur et le milieu du segment Lorsque décrit le cercle, le point décrit un cercle : on note son rayon. Calculer
Donne le rayon
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- est l'image de par la translation de vecteur : sur quelle ligne se déplace-t-il ?
- est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
Correction
- La translation — est l'image de par la translation de vecteur : il décrit un cercle de même rayon,
- L'homothétie — est le milieu du segment : c'est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport un demi.L'homothétie. est le milieu du segment : le vecteur est la moitié du vecteur est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport un demi.L'homothétie. I est le milieu du segment A N: le vecteur A I est la moitié du vecteur A N. I est l'image de N par l'homothétie de centre A et de rapport un demi.
- Le rayon — Le rayon est divisé par
: la translation garde le rayon, l'homothétie le divise par
Pièges anticipés
6→ est le rayon du cercle décrit par : une translation conserve le rayon. Mais est le milieu de : il reste une homothétie de rapport un demi.12→ est le milieu de : le vecteur est la moitié du vecteur pas son double.
Exercice 36 · defi
Sur la droite d'Euler
Dans un triangle on note le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre. On donne Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Sur la droite d'Euler :Sur la droite d'Euler : le vecteur est égal à fois le vecteur Sur la droite d'Euler: le vecteur O H est égal à 3 fois le vecteur O G.
- Le point est entre et : retire de
Correction
- La droite d'Euler — Les points et sont alignés, et le vecteur est égal à fois le vecteur
- La distance — est entre et
: c'est le double de car l'homothétie de centre et de rapport transforme en
Pièges anticipés
12→ est la distance On demande : retire2→ C'est qui est la moitié de et non l'inverse.4→ n'est pas le milieu du segment : il est deux fois plus près de que de
Exercice 37 · defi
Trois points alignés
Soit un triangle inscrit dans un cercle de centre On note et les symétriques de par rapport à et à le milieu du segment le point diamétralement opposé à sur le cercle, et le projeté orthogonal de sur la droite On donne Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 11
Indices, dans l’ordre
- L'homothétie de centre et de rapport transforme en en et en
- La droite est la médiatrice de : son image est la perpendiculaire à passant par Quelle est alors l'image de ?
Correction
- Trois images — est le milieu de le milieu de et le milieu de : l'homothétie de centre et de rapport transforme en en et en
- Deux droites — L'image de la droite est la droite La droite est la médiatrice de : son image passe par et elle est perpendiculaire à
- Le point N — est sur et sur : son image est sur et sur la perpendiculaire à issue de C'est le point Le point N. est sur et sur : son image est sur et sur la perpendiculaire à issue de C'est le point : le vecteur est égal à fois le vecteur Le point N. M est sur I J et sur O M: son image est sur B C et sur la perpendiculaire à B C issue de D. C'est le point N: le vecteur A N est égal à 2 fois le vecteur A M.
- La distance — La distance à est doublée.
et les points et sont alignés.
Pièges anticipés
5.5→ n'est pas le point : c'est son image par une homothétie de rapport2.75→ est l'image de pas son antécédent : la distance à est doublée.
Exercice 38 · pratique
Le pantographe
Sur un pantographe, le point fixe est et les tiges vérifient et l'unité étant le centimètre. Le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport Calculer
Donne sous la forme d'une fraction irréductible.
Réponse attendue : 2/5
Indices, dans l’ordre
- Remplace et par leurs valeurs.
- Simplifie la fraction par
Correction
- Le quotient — On remplace les deux longueurs.
- Simplifier — On divise le numérateur et le dénominateur par
Le rapport est plus petit que : le dessin tracé par est une réduction du dessin suivi par
Pièges anticipés
5/2→ Tu as divisé par Le rapport est le quotient de par : il est plus petit que car trace une réduction.9→ On ne retranche pas les longueurs : le rapport est leur quotient.
Exercice 39 · base
Un coefficient négatif
Soient et deux points tels que et le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Une distance ne dépend que de la valeur absolue du coefficient.
- Le signe dit seulement de quel côté de se trouve
Correction
- La valeur absolue — La valeur absolue de est
- La distance — On multiplie la distance par cette valeur absolue.
: le coefficient est négatif, donc est de l'autre côté de par rapport à mais une distance reste positive.
Pièges anticipés
-4→ Une distance n'est jamais négative : on multiplie par la valeur absolue du coefficient. Le signe dit seulement de quel côté de est9→ Tu as divisé par On multiplie : est plus près de que
Exercice 40 · base
Retrouver le coefficient
Soient et deux points tels que Un point de la droite vérifie et il n'est pas sur la demi-droite On écrit Déterminer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- La valeur absolue de est le quotient des distances et
- n'est pas sur la demi-droite : il est de l'autre côté de Quel est alors le signe de ?
Correction
- La valeur absolue — La distance est fois la distance
- Le signe — est sur la demi-droite d'origine qui ne contient pas : le coefficient est négatif.
: la distance donne la valeur absolue du coefficient, la position du point donne son signe.
Pièges anticipés
3→ La valeur absolue est juste, mais est de l'autre côté de par rapport à : le coefficient est négatif.-1/3 / 1/3→ Tu as divisé par C'est qu'on compare à : est trois fois plus loin de que
Exercice 41 · pratique
Trois points alignés
Trois points et sont alignés, est entre et et On écrit Calculer le réel
Donne le réel
Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5
Indices, dans l’ordre
- Commence par calculer la distance
- est au-delà de en partant de : les vecteurs et ont le même sens.
Correction
- La distance AC — est entre et : les distances s'ajoutent.
- Le coefficient — Les deux vecteurs ont le même sens, donc est positif, et il vaut le quotient des distances.
: le coefficient se lit sur les distances depuis l'origine commune pas sur
Pièges anticipés
5/2 / 2.5→ Tu as divisé par Le vecteur part de : il faut la distance c'est-à-dire2/7→ Tu as divisé par Ici est plus loin de que : le coefficient est plus grand que
Exercice 42 · pratique
Retrouver la distance au point O
Soient et deux points, et le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur On mesure Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le coefficient est négatif : où se trouve par rapport à et à ?
- Exprime en fonction de puis écris que
Correction
- La position — Le coefficient est négatif : est entre et et vaut le tiers de
- L'équation — Les distances au point s'ajoutent.
- La distance — On multiplie par
Avec un coefficient négatif, le point est entre le point et son image : les deux distances au point s'ajoutent.
Pièges anticipés
12→ serait juste si était du même côté que Ici le coefficient est négatif : est entre les deux, les distances s'ajoutent.2→ est la distance ; on demande la distance24→ On ne multiplie pas par : écris d'abord que
Exercice 43 · pratique
Remonter à la figure de départ
Soient et trois points, et et les points tels que le vecteur est égal à fois le vecteur et le vecteur à fois le vecteur On mesure Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Exprime le vecteur en passant par avec la relation de Chasles.
- On trouve que la longueur est fois la longueur : il reste à revenir en arrière.
Correction
- Chasles — On passe par puis on met en facteur.
- Les longueurs — La longueur vaut de la longueur
- Revenir à BC — On divise par c'est-à-dire qu'on multiplie par
: pour retrouver une longueur de départ, on divise la longueur de l'image par la valeur absolue du coefficient.
Pièges anticipés
9→ : tu es allé de vers Ici on connaît l'image, on remonte à la figure de départ.-4→ Une longueur n'est pas négative : le signe du coefficient dit seulement que est de l'autre côté de
Exercice 44 · pratique
Un vecteur qui ne part pas du centre
Soit une homothétie de centre Pour un point distinct de son image vérifie : le vecteur est égal à fois le vecteur Déterminer le rapport de
Donne le rapport
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- La définition parle du vecteur : fais-le apparaître avec la relation de Chasles.
- Passe par le point
Correction
- Chasles — On passe par
- Remplacer — On remplace le vecteur et on regroupe.
Le rapport est : le rapport se lit toujours sur deux vecteurs qui partent du centre.
Pièges anticipés
2→ est le coefficient du vecteur qui ne part pas du centre. Le rapport se lit sur le vecteur1 / -1→ Relis la relation de Chasles : le vecteur est la somme du vecteur et du vecteur on ajoute les coefficients.
Exercice 45 · base
Le centre au milieu
Soient et deux points distincts et le milieu du segment Le point est l'image du point par une homothétie de centre Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Compare les vecteurs et : ont-ils la même longueur ? le même sens ?
- Le milieu est à égale distance de et de et il est entre les deux : pense au signe.
Correction
- Le milieu — est le milieu du segment : les vecteurs et sont opposés.
- Le rapport — On lit le coefficient.
Le rapport est : l'homothétie de rapport est la symétrie de centre
Pièges anticipés
1→ L'homothétie de rapport ne bouge aucun point. Ici et sont de part et d'autre de : le rapport est négatif.2 / -2→ est égal à pas au double : est au milieu.
Exercice 46 · pratique
Sur une droite graduée
Sur une droite graduée, le point a pour abscisse et le point a pour abscisse Soit l'image de par l'homothétie de centre et de rapport Calculer l'abscisse du point
Donne l'abscisse
Réponse attendue : -7
Indices, dans l’ordre
- Sur une droite graduée, le vecteur se lit par la différence des abscisses :
- Le vecteur est fois le vecteur et il part du point pas de l'origine.
Correction
- Le vecteur IA — La mesure algébrique de est la différence des abscisses.
- Le vecteur IA' — On multiplie par le rapport.
- L'abscisse — On ajoute l'abscisse du centre.
: on part du centre, pas de l'origine de la graduation.
Pièges anticipés
-15→ revient à prendre l'origine de la graduation pour centre. Le centre est d'abscisse : multiplie le vecteur11→ Avec un rapport négatif, est de l'autre côté de par rapport à : son abscisse est plus petite que
Exercice 47 · base
Trouver l'antécédent
Soit l'homothétie de centre et de rapport et un point tel que On note l'antécédent de par Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5
Indices, dans l’ordre
- est l'antécédent : c'est qui est l'image de
- L'antécédent est l'image par l'homothétie de même centre et de rapport inverse.
Correction
- La définition — est l'image de : la distance au centre est multipliée par
- Isoler — On divise par
: l'antécédent est quatre fois plus près du centre que son image.
Pièges anticipés
40→ serait la distance de l'image de On cherche son antécédent : on divise par le rapport.6→ On ne retranche pas le rapport : la distance au centre est divisée par
Exercice 48 · base
Combien de points fixes ?
Soit une homothétie de centre et de rapport avec Déterminer le nombre de points du plan qui vérifient
Donne le nombre de points.
Réponse attendue : 1 — aussi acceptées : un · un seul · un seul point · un point · 1 point · un seul point fixe · le centre · le centre i · seulement le centre · le point i · i · c'est le centre
Indices, dans l’ordre
- Écris l'égalité et regroupe tout dans un membre.
- Un produit est nul, avec : que dire du vecteur ?
Correction
- L'égalité — est sa propre image quand le vecteur est égal à fois lui-même.
- Conclure — Comme n'est pas nul, le vecteur est nul : est le centre.
Un seul point est invariant : le centre Seule l'homothétie de rapport laisse tous les points en place.
Pièges anticipés
0 / aucun / zéro / aucun point→ Le centre est toujours invariant : car le vecteur est nul.une infinité / infinité / tous les points / tous→ Tous les points sont fixes seulement si Ici
Exercice 49 · raisonnement
Deux fois la même homothétie
Soit une homothétie de centre et de rapport positif. On note et On sait que et Déterminer
Donne le rapport
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Exprime le vecteur en fonction du vecteur puis du vecteur
- On trouve une relation avec N'oublie pas que est positif.
Correction
- Deux fois la définition — est l'image de et l'image de
- Les distances — On passe aux distances.
- Le signe — Le rapport est positif.
: appliquer deux fois la même homothétie multiplie les distances au centre par
Pièges anticipés
9→ est : s'obtient en appliquant deux fois. Il reste à prendre la racine carrée.-3→ a bien pour carré mais l'énoncé dit que est positif.
Exercice 50 · base
Reporter la distance
Soient et deux points tels que et l'image de par l'homothétie de centre et de rapport Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- La distance au centre est multipliée par la valeur absolue du rapport.
- Le signe du rapport dit seulement de quel côté de se trouve
Correction
- La valeur absolue — Le signe du rapport ne change pas la distance.
- La distance — On multiplie la distance
et est de l'autre côté de par rapport à car le rapport est négatif.
Pièges anticipés
-5→ Une distance est positive : on multiplie par la valeur absolue du rapport. Le signe dit seulement de quel côté placer9/5→ Tu as divisé par On multiplie : donc est plus loin de que
Exercice 51 · pratique
Lire le rapport sur la construction
Sur une droite passant par on a placé un point et son image par une homothétie de centre : et et sont de part et d'autre de Déterminer le rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -1/3
Indices, dans l’ordre
- La valeur absolue du rapport est le quotient
- et sont de part et d'autre du centre : quel est le signe du rapport ?
Correction
- La valeur absolue — On compare la distance de l'image à celle du point.
- Le signe — Le point et son image sont de part et d'autre de : le rapport est négatif.
: car l'image est plus près du centre, et car elle est de l'autre côté.
Pièges anticipés
1/3→ La valeur absolue est juste, mais le point et son image sont de part et d'autre de : le rapport est négatif.-3 / 3→ Tu as divisé par Le rapport transforme en : c'est divisé par et l'image est plus près du centre.
Exercice 52 · base
Au-delà du point
Soient et deux points tels que et l'image de par l'homothétie de centre et de rapport Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord la distance
- Le rapport est positif et plus grand que : est sur la demi-droite au-delà de
Correction
- La distance IA' — On multiplie la distance au centre par le rapport.
- La position — est entre et : on retranche.
: avec un rapport plus grand que l'image est du même côté que le point, plus loin du centre.
Pièges anticipés
15→ placerait de l'autre côté de Le rapport est positif : est du même côté que9→ est la distance On demande la distance entre et son image.
Exercice 53 · pratique
Où est le centre ? (rapport positif)
Soient et deux points tels que Le point est l'image du point par une homothétie de rapport On note le centre de Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Écris le vecteur en passant par :
- Remplace le vecteur par fois le vecteur : tu obtiens d'abord la distance
Correction
- Chasles — On passe par et on utilise la définition.
- La distance IA — On passe aux longueurs.
- La distance IB — est l'image de : la distance au centre est multipliée par
Le rapport est positif et plus petit que : est entre et et
Pièges anticipés
12→ est la distance : on demande la distance du centre à l'image8/3→ On ne divise pas par : n'est pas une distance au centre.2→ Avec le centre serait entre et : c'est le cas d'un rapport négatif. Ici le rapport est positif.
Exercice 54 · base
Où est le centre ? (rapport négatif)
Soient et deux points tels que Le point est l'image du point par une homothétie de rapport On note le centre de Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le rapport est négatif : où est le centre par rapport à et à ?
- est entre et et est la moitié de Or
Correction
- La position — Le rapport est négatif : est entre et et est la moitié de
- L'équation — On remplace par
- La distance — On divise par
Rapport négatif : le centre est entre le point et son image, et les deux distances au centre s'ajoutent.
Pièges anticipés
6→ est la distance ; on demande la distance9/2 / 4.5→ Le centre n'est pas le milieu de : il faudrait un rapport9→ serait la distance pour le rapport avec entre et Ici le rapport est négatif : est entre et
Exercice 55 · raisonnement
Le centre est un barycentre
Le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport Le point est alors le barycentre des points et affectés des coefficients et Calculer
Donne le coefficient
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Écris la définition, puis multiplie les deux membres par pour faire apparaître le coefficient devant
- Fais tout passer dans un membre : on doit obtenir une somme égale au vecteur nul.
Correction
- La définition — On multiplie l'égalité par
- Le vecteur nul — On fait passer tout dans le même membre.
- Lire le coefficient — est le barycentre des points et affectés des coefficients et
: le centre d'une homothétie qui transforme en est un barycentre de et de
Pièges anticipés
-5→ Avec et on aurait ce qui n'est pas la définition. Vérifie le signe en passant dans un seul membre.5/2 / 2.5→ est le rapport. Avec le coefficient devant il faut multiplier l'égalité par
Exercice 56 · pratique
Un vecteur vers un point fixe
Soit un point fixe. À tout point du plan, on associe le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur Cette application est une homothétie de centre Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Il faut le vecteur en fonction du vecteur Passe par
- Le vecteur est l'opposé du vecteur
Correction
- Chasles — On passe par
- Les opposés — On remplace le vecteur par l'opposé du vecteur
Le rapport est : on s'est ramené à deux vecteurs qui partent du centre
Pièges anticipés
4 / -4→ est le coefficient du vecteur qui ne part pas du centre. Le rapport se lit sur le vecteur5→ Le vecteur est l'opposé du vecteur : on retranche fois le vecteur on ne l'ajoute pas.
Exercice 57 · raisonnement
Un barycentre avec un coefficient négatif
Soit un point fixe. À tout point du plan, on associe le point barycentre des points et affectés des coefficients et Cette application est une homothétie de centre Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5
Indices, dans l’ordre
- Écris la relation du barycentre, puis décompose le vecteur en passant par
- On doit arriver à un vecteur exprimé avec le seul vecteur
Correction
- Le barycentre — La somme des coefficients vaut qui n'est pas nul.
- Chasles — On décompose le vecteur en passant par
- Le rapport — On change le sens du vecteur et on divise par
Le rapport est : c'est le coefficient de divisé par la somme des coefficients.
Pièges anticipés
1/2 / 0.5→ Attention au sens : donne Le centre est entre et3/2 / 1.5→ Tu as divisé le coefficient de par la somme. Le rapport se lit sur le coefficient de :
Exercice 58 · defi
Trouver le centre soi-même
Soient et deux points distincts. À tout point du plan, on associe le point tel que le vecteur est égal à la somme de fois le vecteur et du vecteur Montrer que cette application est une homothétie, et déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Introduis le barycentre des points et affectés des coefficients et : il réduit la somme.
- La somme vaut fois le vecteur Exprime ensuite le vecteur en passant par
Correction
- Réduire la somme — Soit le barycentre des points et affectés des coefficients et Pour tout point la somme se réduit.
- Partir du centre — On passe par ; le vecteur est l'opposé du vecteur
- Conclure — est fixe et le coefficient ne dépend pas de : c'est l'homothétie de centre
C'est l'homothétie de centre barycentre des points et affectés des coefficients et et de rapport
Pièges anticipés
3→ est le coefficient du vecteur qui ne part pas du centre. Passe au vecteur avec la relation de Chasles.4→ Le vecteur est l'opposé du vecteur : et non2→ donne : le centre est entre et
Exercice 59 · base
Deux points quelconques
Soit une homothétie de rapport et et deux points tels que On note et leurs images par Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- La propriété caractéristique vaut pour tous les points, pas seulement le centre : le vecteur est égal à fois le vecteur
- Pour une distance, on prend la valeur absolue du rapport.
Correction
- La propriété — Le vecteur qui joint les images est fois le vecteur qui joint les points.
- La distance — On passe aux longueurs avec la valeur absolue.
: une homothétie multiplie toutes les distances par la valeur absolue de son rapport.
Pièges anticipés
-6→ Une distance est positive : on multiplie par la valeur absolue du rapport.27/2 / 13.5→ Tu as divisé par On multiplie : le rapport est plus petit que en valeur absolue, l'image est réduite.
Exercice 60 · pratique
Le rapport par deux longueurs
Une homothétie transforme deux points et en et On sait que et que les vecteurs et sont de sens contraires. Déterminer le rapport de
Donne le rapport
Réponse attendue : -3/2 — aussi acceptées : -1.5
Indices, dans l’ordre
- La valeur absolue du rapport est le quotient
- D'après la propriété caractéristique, le signe de se lit sur le sens des deux vecteurs.
Correction
- La valeur absolue — La distance est multipliée par
- Le signe — Le vecteur est égal à fois le vecteur et ils sont de sens contraires : est négatif.
: le rapport d'une homothétie se lit sur n'importe quel couple de points, sans connaître le centre.
Pièges anticipés
3/2 / 1.5→ La valeur absolue est juste, mais les deux vecteurs sont de sens contraires : le rapport est négatif.-2/3 / 2/3→ Tu as divisé par L'image est plus longue : la valeur absolue du rapport est plus grande que
Exercice 61 · raisonnement
Du vecteur des images au centre
Soit une homothétie de centre Elle transforme en et en et le vecteur est égal à fois le vecteur On sait que Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- La propriété caractéristique donne le rapport de
- Le rapport est positif : est sur la demi-droite Calcule d'abord
Correction
- Le rapport — Le vecteur qui joint les images est fois le vecteur qui joint les points.
- La distance OC — est l'image de
- La distance AC — Le rapport est positif : est entre et
: la propriété caractéristique donne le rapport, la définition place l'image.
Pièges anticipés
8→ placerait de l'autre côté de Le rapport est positif : est du même côté que6→ est la distance On demande la distance entre et son image
Exercice 62 · base
Le plus grand côté
Un triangle a pour côtés et On note son image par une homothétie de rapport Calculer la longueur du plus grand côté de
Donne la longueur, en fraction ou en écriture décimale.
Réponse attendue : 35/2 — aussi acceptées : 17.5
Indices, dans l’ordre
- Chaque longueur est multipliée par la valeur absolue du rapport.
- Le plus grand côté de l'image est l'image du plus grand côté.
Correction
- La valeur absolue — Le signe du rapport ne change pas les longueurs.
- Le plus grand côté — On multiplie le plus grand côté,
Le plus grand côté de mesure soit : une homothétie multiplie toutes les longueurs par le même nombre
Pièges anticipés
-35/2 / -17.5→ Une longueur est positive : on multiplie par la valeur absolue du rapport.14/5 / 2.8→ Tu as divisé par On multiplie : le rapport est plus grand que en valeur absolue, la figure est agrandie.
Exercice 63 · raisonnement
Le papillon
Les droites et se coupent en le point est entre et et entre et et les droites et sont parallèles. On donne et Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Cherche l'homothétie de centre qui transforme en : est entre les deux points.
- Cette homothétie transforme la droite en la parallèle à passant par : c'est Que devient ?
Correction
- L'homothétie — est entre et : le rapport est négatif, et sa valeur absolue est le quotient des distances.
- L'image de B — L'image de est la parallèle à passant par c'est-à-dire ; l'image de est aussi sur : c'est
- La longueur — La longueur est fois la longueur
: dans cette configuration, l'homothétie de centre envoie le segment sur le segment
Pièges anticipés
8/5 / 1.6→ Tu as divisé par est plus loin de que : le segment image est plus long.23/2 / 11.5→ Les longueurs ne s'ajoutent pas : l'homothétie les multiplie.
Exercice 64 · pratique
Le coefficient d'alignement conservé
Trois points et vérifient : le vecteur est égal à fois le vecteur On note et leurs images par une homothétie de rapport et on écrit Calculer
Donne le réel
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Exprime les vecteurs et avec la propriété caractéristique.
- Le rapport apparaît des deux côtés de l'égalité.
Correction
- Les deux vecteurs — Par la propriété caractéristique :
- Comparer — On remplace le vecteur
: une homothétie conserve l'alignement, et même la position relative des points sur la droite.
Pièges anticipés
-10→ compare au vecteur de départ. Entre les images, le rapport se simplifie.2→ est de l'autre côté de par rapport à et cela reste vrai pour les images : le coefficient reste négatif.
Exercice 65 · base
Trois images
Les points et sont alignés. On note et leurs images par une homothétie de rapport Dire si les points et sont alignés.
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui ils sont alignés · ils sont alignés · alignés · oui alignés · oui, alignés · oui, ils sont alignés · les points sont alignés · oui les points sont alignés · oui, les points sont alignés · oui ils le sont · oui, ils le sont · ouii · yes
Indices, dans l’ordre
- Que conserve une homothétie ?
- Le signe du rapport ne change rien à cette propriété.
Correction
- La propriété — Une homothétie conserve l'alignement, quel que soit le signe de son rapport.
Oui : les images de trois points alignés par une homothétie sont trois points alignés.
Pièges anticipés
non / non ils ne sont pas alignés / non, ils ne sont pas alignés / pas alignés / ils ne sont pas alignés / non alignés→ Un rapport négatif retourne la figure de l'autre côté du centre, mais une droite reste une droite : l'alignement est conservé.
Exercice 66 · base
Une droite qui passe par le centre
Soit une homothétie de centre et de rapport et une droite qui passe par Déterminer la droite image de par en donnant son nom.
Écris le nom de la droite.
Réponse attendue : D — aussi acceptées : la droite d · droite d · d elle-meme · elle-meme · elle meme · d elle meme · la droite d elle-meme · c'est d · c'est la droite d · c'est d elle-meme · elle-même · d elle-même · la droite d elle-même · c'est d elle-même · h(d)=d · h(d) = d · (d) · la droite (d) · c'est la droite (d)
Indices, dans l’ordre
- Pour un point de où est son image ? Elle est alignée avec et
- L'image de est une droite parallèle à qui passe par l'image de
Correction
- Un point de D — Pour un point de son image est sur la droite qui est
- Conclure — L'image de est une droite parallèle à passant par : c'est elle-même.
Une droite qui passe par le centre est sa propre image (ses points, eux, bougent).
Pièges anticipés
une parallele / une droite parallele / une parallele a d / une droite parallele a d / une autre droite→ Elle est bien parallèle à mais laquelle ? Elle passe par qui est sur : c'est elle-même.D' / (D') / la droite D' / la droite (D') / h(D)=D'→ On note souvent l'image d'une droite mais ici l'image est parallèle à et passe par : c'est elle-même.
Exercice 67 · pratique
L'écart entre une droite et son image
Soit une droite et un point situé à la distance de On note l'image de par l'homothétie de centre et de rapport Calculer la distance entre les droites parallèles et
Donne la distance entre et
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Soit le pied de la perpendiculaire à issue de Son image est sur et la droite est perpendiculaire à
- Le rapport est négatif : et sont de part et d'autre de
Correction
- Un point bien choisi — Soit le pied de la perpendiculaire à issue de : Son image est sur et la droite est aussi perpendiculaire à
- De part et d'autre — Le rapport est négatif : est entre et donc entre les deux droites.
La distance entre et vaut : une homothétie de rapport négatif place l'image d'une droite de l'autre côté du centre.
Pièges anticipés
3→ placerait du même côté de que Le rapport est négatif : les deux droites sont de part et d'autre de6→ est la distance de à On demande la distance entre les deux droites.
Exercice 68 · raisonnement
Une droite et son image se coupent-elles ?
Soit une homothétie de centre et de rapport avec et une droite qui ne passe pas par Déterminer le nombre de points communs à la droite et à son image
Donne le nombre de points communs, ou écris « aucun ».
Réponse attendue : aucun — aussi acceptées : 0 · zéro · zero · aucun point · aucun point commun · pas de point commun · aucun point en commun · elles n'ont aucun point commun · elles n'ont pas de point commun · il n'y a aucun point commun
Indices, dans l’ordre
- L'image d'une droite est une droite parallèle. Il reste à savoir si peut être
- Si était un point de et son image seraient sur et sur la droite Combien ces deux droites ont-elles de points communs ?
Correction
- Parallèles — L'image d'une droite par une homothétie lui est parallèle.
- Distinctes — Soit un point de Son image est sur la droite qui coupe seulement en Or n'est pas car le seul point fixe est qui n'est pas sur Donc n'est pas sur
Aucun point commun : et sont parallèles et distinctes, donc disjointes.
Pièges anticipés
1 / un / un point / un seul point→ Une droite et son image sont parallèles : elles ne peuvent pas se couper en un seul point.une infinité / infinité / une infinite→ Il faudrait que soit ce qui arrive seulement si passe par le centre.
Exercice 69 · pratique
Un point et son image suffisent
Les points et sont alignés, est sur la demi-droite et Soit l'homothétie de centre qui transforme en et un point tel que Calculer la distance où
Donne la distance
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Commence par le rapport : est sur la demi-droite il est donc positif.
- Le rapport est le quotient
Correction
- Le rapport — est du même côté que : le rapport est positif.
- L'image de M — La distance au centre est multipliée par le rapport.
: un point et son image fixent le rapport, donc l'image de tous les autres points.
Pièges anticipés
12→ On n'ajoute pas à chaque distance : l'homothétie les multiplie toutes par le même nombre.20/3→ Tu as utilisé Le rapport transforme en : c'est
Exercice 70 · raisonnement
Le rapport par une somme
Les points et sont alignés dans cet ordre, avec et Déterminer le rapport de l'homothétie de centre qui transforme en
Donne le rapport
Réponse attendue : 7/2 — aussi acceptées : 3.5
Indices, dans l’ordre
- Il faut la distance : le point est entre et
- est du même côté de que : quel est le signe du rapport ?
Correction
- La distance OA' — Les points sont dans l'ordre
- Le rapport — est sur la demi-droite : le rapport est positif.
: le rapport se lit sur les distances au centre, jamais sur la distance entre le point et son image.
Pièges anticipés
5/2 / 2.5→ utilise la distance Le rapport compare les distances au centre : et-7/2 / -3.5→ n'est pas entre et : les deux points sont du même côté du centre, le rapport est positif.2/7→ Tu as divisé par L'image est plus loin du centre : le rapport est plus grand que
Exercice 71 · pratique
L'image du milieu
Soit le milieu d'un segment de longueur On note et les images de et par une homothétie de rapport Calculer la distance
Donne la distance en fraction ou en écriture décimale.
Réponse attendue : 21/2 — aussi acceptées : 10.5
Indices, dans l’ordre
- Une homothétie conserve le milieu : où est sur le segment ?
- Calcule puis prends-en la moitié.
Correction
- Le segment image — Les longueurs sont multipliées par
- Le milieu — est le milieu du segment
soit : l'image du milieu est le milieu de l'image.
Pièges anticipés
7/2 / 3.5→ est la distance Les longueurs de l'image sont multipliées par21→ est la longueur est le milieu : on en prend la moitié.
Exercice 72 · raisonnement
L'image d'un losange
Soit un losange, et et les images de ses sommets par une homothétie de rapport Déterminer la nature du quadrilatère
Réponds par un mot : parallélogramme, losange, rectangle…
Réponse attendue : losange — aussi acceptées : un losange · c'est un losange · a'b'c'd' est un losange · le quadrilatere est un losange · le quadrilatere a'b'c'd' est un losange
Indices, dans l’ordre
- Une homothétie conserve le milieu : les diagonales de se coupent-elles en leur milieu ?
- Les quatre côtés de ont la même longueur : que deviennent-ils ?
Correction
- Un parallélogramme — Les diagonales de ont le même milieu ; l'homothétie conserve le milieu, donc celles de aussi.
- Les côtés — Chaque côté est multiplié par : les quatre côtés de l'image restent égaux.
- Conclure — Un parallélogramme à quatre côtés égaux est un losange.
est un losange : une homothétie conserve la nature d'un quadrilatère.
Pièges anticipés
carre / un carre / carré / un carré→ Rien ne dit que les angles de sont droits ; une homothétie conserve les angles, elle n'en crée pas.rectangle / un rectangle→ Rien ne dit que les angles de sont droits. En revanche, les quatre côtés restent égaux.
Exercice 73 · pratique
Un barycentre conservé
Soit le barycentre des points et affectés des coefficients et On note et les images de et par une homothétie, et l'on sait que Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Une homothétie conserve le barycentre : est le barycentre des points et affectés des mêmes coefficients.
- Pour le barycentre de et le vecteur est égal à fois le vecteur
Correction
- La conservation — est le barycentre des points et affectés des coefficients et
- Situer P' — On décompose le vecteur en passant par
- La distance — On passe aux longueurs.
: inutile de connaître le rapport, le barycentre se retrouve directement sur les images.
Pièges anticipés
4→ de donne la distance : le barycentre est plus près du point de plus grand coefficient, ici5→ n'est pas le milieu : les coefficients et sont différents.
Exercice 74 · raisonnement
La médiane de l'image
Soit un triangle de centre de gravité avec On note l'image de par une homothétie de rapport et le milieu du segment Calculer la longueur de la médiane
Donne la longueur
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir de Calcule
- L'image du milieu de est le milieu de : la médiane est l'image de la médiane
Correction
- La médiane de ABC — Soit le milieu de : vaut les deux tiers de
- L'image de la médiane — L'homothétie conserve le milieu : elle transforme en et le segment en le segment
- La longueur — Les longueurs sont multipliées par
: une homothétie transforme les médianes en médianes, et multiplie leur longueur par
Pièges anticipés
12→ est la distance La médiane va jusqu'au milieu : elle vaut les trois demis de9→ est la médiane du triangle de départ. Il reste à la multiplier par
Exercice 75 · defi
Un barycentre sur l'image
Soit un triangle, et le barycentre des points et affectés des coefficients et On note l'homothétie de centre et de rapport et On sait que où est le milieu de Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Barycentre partiel : remplace et par leur milieu affecté du coefficient Où est sur ?
- est l'image de par l'homothétie de centre : la distance au centre est multipliée par
Correction
- Barycentre partiel — Le barycentre de et est le milieu : est le barycentre de et c'est-à-dire le milieu de
- L'image — est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
: on peut aussi dire que est le barycentre de et puisque est sa propre image.
Pièges anticipés
12→ revient à prendre en Avec le coefficient sur est le milieu de2→ est la distance Il reste à appliquer l'homothétie de rapport
Exercice 76 · pratique
Le rapport du trapèze
Soit un trapèze de bases et avec et Les droites et se coupent en Soit l'homothétie de centre qui transforme en Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5
Indices, dans l’ordre
- transforme en donc le vecteur en le vecteur
- est à l'extérieur du trapèze : et sont du même côté de Quel est le signe du rapport ?
Correction
- L'image de B — L'image de la droite est la parallèle à passant par c'est-à-dire ; l'image de est aussi sur : c'est
- La valeur absolue — La longueur est fois la longueur
- Le signe — et sont du même côté de : le rapport est positif.
: le rapport de l'homothétie de centre est le quotient des bases.
Pièges anticipés
2/5 / 0.4→ Tu as divisé par transforme la petite base en la grande : le rapport est plus grand que-5/2 / -2.5→ Le rapport négatif est celui de l'homothétie centrée au point d'intersection des diagonales. Le point n'est pas entre et
Exercice 77 · raisonnement
Le centre sur les diagonales
Soit un trapèze de bases et avec et Les diagonales et se coupent en Soit l'homothétie de centre qui transforme en Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -2/3
Indices, dans l’ordre
- transforme la droite en la parallèle passant par : c'est Que devient ?
- est entre et : quel est le signe du rapport ?
Correction
- L'image de B — L'image de est sur et sur la droite qui est : c'est
- La valeur absolue — La longueur est fois la longueur
- Le signe — est entre et : le rapport est négatif.
: les deux homothéties du trapèze ont des rapports opposés.
Pièges anticipés
2/3→ La valeur absolue est juste, mais est entre et : le rapport est négatif.-3/2 / -1.5 / 3/2 / 1.5→ Tu as divisé par transforme en qui est plus court :
Exercice 78 · defi
Une construction à discuter
Soient et deux droites parallèles et un point situé entre elles, à la distance de et à la distance de Déterminer le nombre de couples de points avec sur et sur tels que le vecteur est égal à fois le vecteur
Donne le nombre de couples, ou écris « une infinité ».
Réponse attendue : une infinité — aussi acceptées : une infinite · infinité · infinite · une infinité de couples · une infinite de couples · il y en a une infinité · il y en a une infinite · infiniment · une infinité de solutions · une infinite de solutions · ∞ · infini
Indices, dans l’ordre
- est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport : doit être sur et sur l'image de
- Où est l'image de ? De quel côté de à quelle distance ?
Correction
- L'homothétie — La condition dit que avec de centre et de rapport Donc est sur l'image de
- L'image de D1 — est parallèle à de l'autre côté de à la distance de : c'est exactement
- Conclure — Pour tout point de son image est sur : chaque point de donne un couple.
Il existe une infinité de couples : l'image de est elle-même. Avec une autre distance, il n'y en aurait aucun.
Pièges anticipés
1 / un / un seul / un seul couple→ Quand et sont sécantes, il y a une seule solution. Ici elles sont parallèles : regarde où tombe l'image de0 / aucun / aucune / zéro→ Calcule la distance de à l'image de : elle vaut de l'autre côté de C'est
Exercice 79 · base
Combien de solutions ?
Soient et deux droites sécantes et un point qui n'appartient ni à ni à Déterminer le nombre de couples de points avec sur et sur tels que le vecteur est égal à fois le vecteur
Donne le nombre de couples.
Réponse attendue : 1 — aussi acceptées : un · un seul · un seul couple · un couple · une seule solution · une solution · il y en a un seul · il n'y en a qu'un
Indices, dans l’ordre
- est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport : il est sur l'image de
- L'image de est parallèle à donc sécante à : en combien de points ?
Correction
- L'homothétie — est l'image de par de centre et de rapport : il est sur la droite parallèle à
- Un seul point — est parallèle à qui coupe : coupe en un seul point Son antécédent est unique.
Il y a un seul couple : est le point d'intersection de et de l'image de et est son antécédent.
Pièges anticipés
une infinité / infinité / une infinite→ doit être à la fois sur et sur l'image de : deux droites sécantes n'ont qu'un point commun.0 / aucun→ L'image de est parallèle à donc elle coupe : il y a bien une solution.
Exercice 80 · raisonnement
Le point G du trapèze
Soit un trapèze de bases et dont les côtés et se coupent en avec et Soit un point intérieur au triangle tel que La parallèle à passant par et la parallèle à passant par se coupent en Calculer la distance
Donne la distance en fraction ou en écriture décimale.
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Considère l'homothétie de centre qui transforme en : quel est son rapport ?
- Le cours montre que
Correction
- Le rapport — et sont du même côté de
- L'image de F — transforme en et en ; est sur les deux, donc son image est
- La distance — La distance au centre est multipliée par le rapport.
: est l'image de donc et sont alignés, et est deux fois et demie plus loin de
Pièges anticipés
6/5 / 1.2→ Tu as utilisé transforme en qui est plus loin de : le rapport est6→ On n'ajoute pas : la distance est fois la distance
Exercice 81 · pratique
Deux carrés
Deux carrés et ont leurs côtés respectivement parallèles, les vecteurs et étant de sens contraires. Le premier a pour côté le second Une homothétie transforme en en en et en Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -4
Indices, dans l’ordre
- La propriété caractéristique s'applique aux points et : le vecteur est égal à fois le vecteur
- Les longueurs donnent le sens des vecteurs donne le signe.
Correction
- La valeur absolue — Les côtés sont multipliés par
- Le signe — Les vecteurs et sont de sens contraires : est négatif.
: le centre de est entre les deux carrés, et les droites y passent toutes.
Pièges anticipés
4→ La valeur absolue est juste, mais les vecteurs et sont de sens contraires : le rapport est négatif.-1/4 / 1/4→ Tu as divisé par transforme le petit carré en le grand :
Exercice 82 · raisonnement
Agrandi, mais homothétique ?
Un triangle a pour côtés et Un triangle a pour côtés et Dire si le triangle peut être l'image du triangle par une homothétie.
Répondre par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non il ne peut pas · non, il ne peut pas · il ne peut pas · ce n'est pas possible · non ce n'est pas possible · non, ce n'est pas possible · impossible · non impossible · non, impossible · ils ne sont pas homothétiques · non ils ne sont pas homothétiques · non, ils ne sont pas homothétiques · pas homothétiques
Indices, dans l’ordre
- Par une homothétie de rapport toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre
- Compare les trois quotients : le plus petit côté par le plus petit, le moyen par le moyen, le plus grand par le plus grand.
Correction
- Les quotients — On compare les côtés rangés dans le même ordre.
- Conclure — Les longueurs ne sont pas toutes multipliées par le même nombre.
Non : deux côtés sur trois ne suffisent pas, une homothétie multiplie toutes les longueurs par le même nombre.
Pièges anticipés
oui / oui il peut / oui, il peut / il peut→ Les deux premiers quotients valent mais le troisième vaut Il faudrait pour le troisième côté.
Exercice 83 · base
Le troisième angle
Dans un triangle l'angle mesure et l'angle mesure On note son image par une homothétie de rapport Calculer la mesure de l'angle
Donne la mesure en degrés.
Réponse attendue : 70
Indices, dans l’ordre
- Une homothétie conserve les angles : l'angle en est égal à l'angle en
- Calcule l'angle en avec la somme des angles d'un triangle.
Correction
- L'angle en C — La somme des angles d'un triangle vaut
- La conservation — L'homothétie conserve les angles.
: le rapport réduit les longueurs, il ne touche pas aux angles.
Pièges anticipés
35→ Le rapport divise les longueurs par pas les angles : une homothétie conserve les angles.140→ Le rapport ne s'applique pas aux angles : ils sont conservés.
Exercice 84 · pratique
Un angle du parallélogramme image
Soit un parallélogramme tel que On note son image par une homothétie de rapport Calculer la mesure de l'angle
Donne la mesure en degrés.
Réponse attendue : 70
Indices, dans l’ordre
- L'angle est l'image de l'angle : commence par calculer celui-ci.
- Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Correction
- Dans ABCD — Les angles en et en sont consécutifs : leur somme vaut
- La conservation — L'homothétie conserve les angles, même avec un rapport négatif.
: on calcule l'angle sur la figure de départ, et l'homothétie le conserve.
Pièges anticipés
110→ est l'angle en On demande l'angle en image de l'angle en qui lui est supplémentaire.140 / 220→ Le rapport multiplie les longueurs, pas les angles.
Exercice 85 · base
Deux perpendiculaires
Les droites et sont perpendiculaires. On note et leurs images par une homothétie de rapport Déterminer, en degrés, la mesure de l'angle formé par les droites et
Donne la mesure en degrés, sans le symbole.
Réponse attendue : 90
Indices, dans l’ordre
- est parallèle à et est parallèle à
- Que conserve une homothétie ?
Correction
- Les parallèles — L'image d'une droite par une homothétie lui est parallèle.
- L'orthogonalité — Des parallèles à deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires.
Les droites images forment un angle droit : une homothétie conserve l'orthogonalité.
Pièges anticipés
0 / 180→ Les images ne sont pas parallèles entre elles : chacune est parallèle à sa droite de départ, et ces deux droites sont perpendiculaires.
Exercice 86 · pratique
La diagonale du rectangle image
Soit un rectangle tel que et On note son image par une homothétie de rapport Calculer la longueur de la diagonale
Donne la longueur
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord la diagonale avec le théorème de Pythagore.
- est l'image de
Correction
- La diagonale AC — Le triangle est rectangle en
- L'image — La longueur est multipliée par la valeur absolue du rapport.
: est encore un rectangle, car une homothétie conserve l'orthogonalité.
Pièges anticipés
5→ est la diagonale Il reste à la multiplier par-15→ Une longueur est positive : on multiplie par la valeur absolue du rapport.
Exercice 87 · base
Le diamètre du cercle de départ
Le cercle de rayon est l'image d'un cercle par une homothétie de rapport Calculer le diamètre du cercle
Donne le diamètre
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Le rayon de est le rayon de multiplié par la valeur absolue du rapport.
- Trouve d'abord le rayon de : c'est le cercle de départ, il faut revenir en arrière.
Correction
- Le rayon de (C) — Le rayon de vaut fois le rayon de
- Le diamètre — Le diamètre est le double du rayon.
Pour revenir de l'image au cercle de départ, on divise le rayon par
Pièges anticipés
18→ est le diamètre de l'image d'un cercle de rayon Ici c'est l'image, qui a pour rayon : on revient en arrière.4→ est le rayon de ; on demande son diamètre.-8→ Un diamètre est une longueur : on prend la valeur absolue du rapport.
Exercice 88 · pratique
Un centre sur le cercle
Soit un cercle de centre et de rayon et un point de On note l'image de par l'homothétie de centre et de rapport et le centre de Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le centre de est l'image de : calcule la distance
- est sur la demi-droite au-delà de
Correction
- Le centre du cercle image — est l'image de et car est sur
- La distance — Le rapport est positif : est entre et
: le cercle de centre et de rayon passe lui aussi par qui est le centre de l'homothétie.
Pièges anticipés
9→ est la distance qui est aussi le rayon de On demande la distance entre les deux centres.12→ placerait de l'autre côté de Le rapport est positif.
Exercice 89 · defi
Retrouver le rapport par les rayons
Le cercle de centre et de rayon est l'image du cercle de centre et de rayon par une homothétie de centre et de rapport négatif. On sait que Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Les rayons donnent la valeur absolue du rapport, et l'énoncé donne son signe.
- est l'image de : calcule Le rapport est négatif, donc est entre et
Correction
- Le rapport — Le rayon est multiplié par et le rapport est négatif.
- Le centre image — est l'image de
- La distance — Le rapport est négatif : est entre et
: le centre d'une homothétie qui transforme un cercle en un autre est aligné avec les deux centres.
Pièges anticipés
3→ placerait et du même côté de Le rapport est négatif : est entre les deux centres.6→ est la distance On demande la distance entre les deux centres.45/2 / 22.5→ Tu as utilisé L'homothétie transforme en :
Exercice 90 · pratique
Une tangente et son image
Une droite est tangente en à un cercle de centre et de rayon On note et les images de et par une homothétie de rapport et le centre de Calculer la distance du point à la droite
Donne la distance de à
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Une homothétie conserve le contact : est tangente à en
- La distance du centre d'un cercle à une tangente est égale au rayon.
Correction
- Le contact — est tangente à en : son image est tangente à en
- Le rayon — La distance cherchée est le rayon de multiplié par
La distance vaut : la tangente image est tangente au cercle image, donc à la distance d'un rayon de son centre.
Pièges anticipés
-6→ Une distance est positive : on multiplie le rayon par la valeur absolue du rapport.4→ est le rayon de Le cercle image a un rayon multiplié par
Exercice 91 · raisonnement
Le rayon par le centre
On considère un cercle de centre et de rayon et un cercle de centre Le point est le centre de l'homothétie de rapport positif qui transforme en Les points et sont alignés dans cet ordre, avec et Calculer le rayon du cercle
Donne le rayon en fraction ou en écriture décimale.
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Le centre de est l'image de : calcule d'abord puis le rapport.
- Le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport.
Correction
- La distance IO' — Les points sont dans l'ordre
- Le rapport — est l'image de du même côté de : le rapport est positif.
- Le rayon — Le rayon est multiplié par le rapport.
Le centre de l'homothétie donne le rapport, et le rayon est multiplié par
Pièges anticipés
6/5 / 1.2→ Le rapport est pas : est l'image de9/2 / 4.5→ Le rapport se calcule avec pas avec
Exercice 92 · defi
Le centre de rapport négatif
On considère un cercle de centre et de rayon et un cercle de centre et de rayon avec Soit le centre de l'homothétie de rapport négatif qui transforme en Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Le rapport négatif est : est entre et
- On a et
Correction
- Le rapport — Le rapport est négatif et sa valeur absolue est le quotient des rayons.
- L'équation — est entre et et vaut de
- La distance — On en déduit l'autre distance.
: le centre de rapport négatif partage dans le rapport des rayons.
Pièges anticipés
6→ est la distance On demande la distance de au centre du grand cercle.45→ est la distance pour le centre de rapport positif, à l'extérieur du segment. Ici le rapport est négatif.15/2 / 7.5→ n'est pas le milieu de : les rayons sont différents, il est plus près du petit cercle.
Exercice 93 · raisonnement
Deux cercles tangents extérieurement
Deux cercles et de centres et et de rayons et sont tangents extérieurement en un point Soit l'homothétie de centre qui transforme en Déterminer son rapport
Donne le rapport
Réponse attendue : -3
Indices, dans l’ordre
- Les cercles sont tangents extérieurement : est sur le segment avec et
- est entre et : quel est le signe du rapport ?
Correction
- La position de T — Les cercles sont tangents extérieurement : est entre et à la distance d'un rayon de chaque centre.
- Le rapport — Les vecteurs et sont de sens contraires, et est le triple de
: cette homothétie transforme en et leur tangente commune en est sa propre image.
Pièges anticipés
3→ Pour des cercles tangents extérieurement, est entre les deux centres : le rapport est négatif.-1/3 / 1/3→ Tu as divisé par transforme en plus loin de :
Exercice 94 · base
Le périmètre de l'image
Un polygone a pour périmètre Calculer le périmètre de son image par une homothétie de rapport
Donne le périmètre
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Chaque côté du polygone est multiplié par la valeur absolue du rapport : que devient leur somme ?
- Le signe du rapport ne compte pas pour une longueur.
Correction
- Le périmètre — Chaque côté est multiplié par donc leur somme aussi.
: le périmètre suit les longueurs, il est multiplié par
Pièges anticipés
-12→ Un périmètre est positif : on multiplie par la valeur absolue du rapport.8→ : c'est l'aire qui est multipliée par le carré du rapport. Le périmètre est multiplié par
Exercice 95 · pratique
L'aire d'un disque image
Un disque a pour rayon Calculer l'aire de son image par une homothétie de rapport Donner la valeur exacte, en fonction de sans écrire l'unité.
Donne l'aire en valeur exacte.
Réponse attendue : 16*pi — aussi acceptées : 16pi
Indices, dans l’ordre
- L'aire du disque de départ vaut
- Par une homothétie de rapport l'aire est multipliée par
Correction
- L'aire de départ — On applique la formule de l'aire d'un disque.
- L'aire de l'image — L'aire est multipliée par le carré du rapport.
: on peut aussi calculer le nouveau rayon, puis l'aire
Pièges anticipés
12*pi→ : l'aire est multipliée par le carré du rapport, pas par le rapport.50.27 / 50.3 / 50.26 / 50→ La consigne demande la valeur exacte : garde dans la réponse.
Exercice 96 · raisonnement
Le rapport par les aires
Un triangle a pour aire et son image par une homothétie de rapport négatif a pour aire Déterminer le rapport de
Donne le rapport
Réponse attendue : -2/5 — aussi acceptées : -0.4
Indices, dans l’ordre
- L'aire est multipliée par : calcule
- Prends la racine carrée, puis tiens compte du signe donné.
Correction
- Le carré du rapport — On divise l'aire de l'image par l'aire de départ.
- Le rapport — est négatif.
: le quotient des aires donne le carré du rapport, pas le rapport.
Pièges anticipés
-4/25 / 4/25 / 0.16 / -0.16→ est : il reste à prendre la racine carrée.2/5 / 0.4→ a bien pour carré mais l'énoncé dit que le rapport est négatif.
Exercice 97 · defi
Couper un triangle par une parallèle
Soit un triangle d'aire avec La parallèle à passant par un point du segment coupe en et le trapèze a pour aire Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est l'image du triangle par une homothétie de centre : quelle est son aire ?
- Le quotient des aires est le carré du rapport.
Correction
- L'aire de AMN — On retranche l'aire du trapèze.
- L'homothétie — L'homothétie de centre qui transforme en transforme en la parallèle passant par donc en Son rapport est positif.
- La distance — est l'image de
: pour une aire, on passe toujours par le carré du rapport, puis par sa racine.
Pièges anticipés
27/5 / 5.4→ est le carré du rapport : il faut en prendre la racine avant de multiplier6→ est la distance On demande la distance48/5 / 9.6→ Le trapèze n'est pas l'image du triangle : c'est le triangle d'aire qui l'est.
Exercice 98 · pratique
Le lieu d'un point
Soit un cercle de rayon et un point fixe. Pour tout point de on note le point tel que le vecteur est égal à fois le vecteur Lorsque décrit le point décrit un cercle. Calculer son rayon
Donne le rayon
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- est l'image de par une homothétie : quels sont son centre et son rapport ?
- Le lieu de est l'image du cercle
Correction
- L'homothétie — Le centre est fixe et le rapport est constant.
- Le rayon — Le lieu est l'image de : son rayon est multiplié par
Le lieu de est un cercle de rayon : on reconnaît une homothétie, puis on prend l'image de la ligne décrite.
Pièges anticipés
-4→ Un rayon est positif : on multiplie par la valeur absolue du rapport.25→ Tu as divisé par On multiplie : le cercle est réduit.
Exercice 99 · defi
Le lieu du centre de gravité
Soient et deux points fixes, le milieu de et un cercle de centre qui ne coupe pas la droite avec Pour tout point de on note le centre de gravité du triangle Lorsque décrit le point décrit un cercle de centre Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Le centre de gravité est sur la médiane au tiers à partir de
- est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport : le centre du lieu est l'image de
Correction
- L'homothétie — est au tiers de la médiane à partir du milieu : le centre est fixe, le rapport constant.
- Le lieu — Quand décrit décrit l'image de dont le centre est l'image de
- La distance — On passe aux longueurs.
: le lieu du centre de gravité est l'image du cercle par l'homothétie de centre et de rapport
Pièges anticipés
8→ Le centre de gravité est aux deux tiers de la médiane à partir du sommet donc au tiers à partir du milieu : le rapport est12→ est la distance Le centre du lieu est l'image de pas lui-même.
Exercice 100 · defi
Le centre d'un lieu
Soit un cercle de centre et de diamètre avec et un point de la droite tel que soit entre et et Pour chaque point du cercle, distinct de et de on trace le diamètre puis on note le point d'intersection des droites et Le point décrit un cercle privé de deux points, de centre Calculer la distance
Donne la distance en fraction ou en écriture décimale.
Réponse attendue : 14/5 — aussi acceptées : 2.8
Indices, dans l’ordre
- Le cours montre que est l'image de par l'homothétie de centre qui transforme en Calcule son rapport.
- Le centre du cercle décrit est l'image du centre de : calcule d'abord
Correction
- Le rapport — est entre et : et le rapport est positif.
- Le lieu — est un rectangle, donc est parallèle à : transforme en et en Le lieu est l'image de
- Le centre — Le centre du lieu est l'image du centre de et
Le lieu est l'image du cercle : son centre est l'image du centre à la distance du point
Pièges anticipés
35/2 / 17.5→ Le rapport est : transforme en le plus loin en le plus proche.6/5 / 1.2→ C'est le rayon du cercle décrit ; on demande la distance de à son centre.4→ est la distance : est l'image de pas du centre
Exercice 101 · defi
Le carré dans le triangle
Soit un triangle tel que et dont la hauteur issue de mesure les angles en et en étant aigus. Un carré a deux sommets sur le côté un sur et un sur On note son côté. Calculer
Donne le côté
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Le côté supérieur du carré est parallèle à : il est l'image du segment par une homothétie de centre Son rapport vaut quotient des distances à
- Écris que l'image de mesure et résous l'équation.
Correction
- L'homothétie — Le côté supérieur du carré est à la distance de : il est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport
- L'équation — On simplifie, puis on résout.
- Le côté — On divise par
: le côté supérieur du carré est l'image de la base par une homothétie de centre de rapport
Pièges anticipés
3→ Le carré n'est pas à mi-hauteur : écris l'équation6→ Un carré de côté toucherait le sommet : son côté supérieur aurait une longueur nulle.
Exercice 102 · defi
Le centre du cercle d'Euler
Soit un triangle, le centre de son cercle circonscrit, son centre de gravité et son orthocentre, avec On note le centre du cercle d'Euler du triangle Calculer la distance
Donne la distance
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Sur la droite d'Euler, le vecteur est égal à fois le vecteur
- Le centre du cercle d'Euler est le milieu du segment
Correction
- La droite d'Euler — On applique la relation du cours.
- Le cercle d'Euler — Son centre est le milieu de
: est sur la droite d'Euler, au milieu de et
Pièges anticipés
6→ est la distance Le centre du cercle d'Euler est le milieu de1→ est le milieu de pas de : est la distance
Exercice 103 · defi
Agrandir avec le pantographe
Sur un pantographe de point fixe les tiges vérifient et l'unité étant le centimètre : le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport On fait suivre au point le contour d'un carré de côté Calculer l'aire de la figure tracée par le point sans écrire l'unité.
Donne l'aire, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 144
Indices, dans l’ordre
- est l'image de : c'est donc qui est l'image de par l'homothétie de rapport inverse.
- Le rapport vaut : la figure tracée par est un carré plus grand. L'aire est multipliée par le carré du rapport.
Correction
- Le rapport — On calcule le rapport du pantographe.
- Dans l'autre sens — est l'image de par l'homothétie de centre et de rapport : trace un carré de côté
- L'aire — On calcule l'aire du carré tracé par
L'aire vaut : trace un agrandissement de rapport donc d'aire fois plus grande.
Pièges anticipés
36→ : l'aire est multipliée par le carré du rapport, soit9/16→ Tu as réduit le carré. C'est qui trace la réduction ; lui, trace un agrandissement.48→ est le périmètre du carré tracé par On demande son aire.