Relecture — Notion de polynômes

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Le chapitre numéro trois : notion de polynômes. Bech na3rfou chnowa polynôme, le degré mte3ou, w kifech na3mlou 3lih des opérations. W ahamm 7aja : ki nal9aw racine alpha, najmou factoriser par x moins alpha. Biha bech n7ellou des équations w des inéquations de degré trois w quatre, w nkammlou b les fonctions rationnelles.

عسلامة ! الـ chapitre numéro trois : notion de polynômes . باش نعرفو شنوّة polynôme ، le degré متاعو ، w كيفاش نعملو عليه des opérations . w أهم حاجة : كي نلقاو racine alpha ، نجّمو factoriser par x moins alpha . بيها باش نحلّو des équations w des inéquations de degré trois w quatre ، w نكمّلو بـ les fonctions rationnelles .

Bonjour ! Le chapitre numéro trois : notion de polynômes. Nous allons voir ce qu'est un polynôme, son degré, et comment opérer sur les polynômes. Et surtout : quand on trouve une racine alpha, on factorise par x moins alpha. Cela nous permettra de résoudre des équations et des inéquations de degré trois et quatre, et nous finirons par les fonctions rationnelles.

Ce chapitre étudie les polynômes : des fonctions de la forme $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}.$ Après un retour sur la notion de fonction, il définit le degré, les opérations, l'égalité de deux polynômes, puis l'outil central : si $\alpha$ est une racine de $P,$ alors $P$ est factorisable par $(x - \alpha)$ .

On s'en sert pour résoudre des équations et des inéquations de degré $3$ ou $4,$ et termine par les fonctions rationnelles $\dfrac{f(x)}{g(x)}.$

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

Reconnaître un polynôme, lire ses coefficients et son degréReconnaître un polynôme, lire ses coefficients et son degré.Reconnaître un polynôme, lire ses coefficients et son degré.
Additionner, multiplier des polynômes et prévoir le degré d'un produitAdditionner et multiplier des polynômes, et prévoir le degré d'un produit.Additionner et multiplier des polynômes, et prévoir le degré d'un produit.
Utiliser l'égalité de deux polynômes pour identifier des coefficientsUtiliser l'égalité de deux polynômes pour trouver des coefficients.Utiliser l'égalité de deux polynômes pour trouver des coefficients.
Factoriser un polynôme par $(x - \alpha)$ quand $\alpha$ est une racineFactoriser un polynôme par x moins alpha quand alpha est racine.Factoriser un polynôme par x moins alpha quand alpha est racine.
Résoudre des équations et inéquations de degré $3$ ou $4,$ et étudier une fonction rationnelleRésoudre des équations et des inéquations de degré trois ou quatre, et étudier une fonction rationnelle.Résoudre des équations et des inéquations de degré trois ou quatre, et étudier une fonction rationnelle.

1. Définition

Notion de fonction

Ce qu’il dit

Nabdew b la notion de fonction. E partie non vide de IR, w koll réel x men E nrabtouh b au plus un réel y : hedhi fonction, w nektbou y égale f de x. Les réels x elli f de x mawjouda fihom, houma l'ensemble de définition D. W y nsammiwh l'image de x, w x nsammiwh un antécédent de y. Mathalan, le rectangle AMNP fi quart de cercle de rayon trois : AM égale x, w Pythagore ya3tina MN égale racine de, neuf moins x carré. Donc S de x égale x fois racine de, neuf moins x carré, w x lezem bin zéro w trois.

نبداو بـ la notion de fonction . E partie non vide de IR ، w كل réel x من E نربطوه بـ au plus un réel y : هاذي fonction ، w نكتبو y égale f de x . les réels x إلّي f de x موجودة فيهم ، هوما l'ensemble de définition D . w y نسمّيوه l'image de x ، w x نسمّيوه un antécédent de y . مثلا ، le rectangle AMNP في quart de cercle de rayon trois : AM égale x ، w Pythagore يعطينا MN égale racine de , neuf moins x carré . donc S de x égale x fois racine de , neuf moins x carré ، w x لازم بين zéro w trois .

Commençons par la notion de fonction. Soit E une partie non vide de IR : si à chaque réel x de E on associe au plus un réel y, on a défini une fonction, et on écrit y égale f de x. Les réels x pour lesquels f de x existe forment l'ensemble de définition D. On dit que y est l'image de x, et que x est un antécédent de y. Par exemple, le rectangle AMNP est dans un quart de cercle de rayon trois : AM égale x, et Pythagore donne MN égale racine de, neuf moins x carré. Donc S de x égale x fois racine de, neuf moins x carré, avec x compris entre zéro et trois.

Définition. Soit $E$ une partie non vide de $\mathbb{R}.$ Lorsqu'à tout réel $x$ de $E$ on associe au plus un réel $y,$ on dit qu'on a défini une fonction de $E$ vers $\mathbb{R}.$ Si on la note $f,$ on écrit $y = f(x)$ et $f : E \to \mathbb{R}, \$ $x \mapsto f(x)$ .

L'ensemble $D$ des réels $x$ de $E$ tels que $f(x)$ existe est l'ensemble de définition de $f$ : on dit que $f$ est définie sur $D.$

Vocabulaire. Pour $x \in D$ et $y = f(x)$ : le réel $y$ est l'image de $x$ par $f$ ; $x$ est un antécédent de $y$ par $f.$

Exemple : le rectangle $AMNP$ est inscrit dans le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $3,$ $AM = x$ avec $x \in \,]0 ; 3[,$ et Pythagore dans le triangle $AMN$ donne $MN = \sqrt{9 - x^{2}}.$ L'aire du rectangle est donc $S(x) = x\sqrt{9 - x^{2}}$ : $S\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{35}{4}} = \dfrac{\sqrt{35}}{4},$ $S(1) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ et $S(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{7} = \sqrt{14}.$

AMNP est un rectangle inscrit dans le quart de cercle de centre A et de rayon 3, et AM = x.

Un quart de cercle de centre A et de rayon 3, d'extrémités B (sur la demi-droite horizontale issue de A) et C (sur la demi-droite verticale issue de A). Le point M est sur le segment [AB], avec AM = x ; N est sur l'arc BC, à la verticale de M ; P est sur le segment [AC], à la hauteur de N. Le rectangle AMNP est grisé.

une fonction

f : E \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)

ensemble de définition

D = \{x \in E \,;\, f(x) \text{ existe}\}

Exemple traité

La distance de freinage $d$ (en mètres) d'une voiture qui roule à $v$ km/h est modélisée par $d = 0{,}2\,v + \dfrac{v^{2}}{150}.$ Quelle distance parcourt après le freinage une voiture qui roule à $90$ km/h ? Quelles vitesses permettent de s'arrêter en moins de $12$ mètres ?

À 90 km/h — On calcule l'image de $90.$ $d = 0{,}2 \times 90 + \frac{90^{2}}{150} = 18 + 54 = 72$
Moins de 12 m — On multiplie par $150$ et on regroupe tout dans un membre. $0{,}2\,v + \frac{v^{2}}{150} < 12 \iff v^{2} + 30v - 1800 < 0$
Factoriser — Le discriminant vaut $900 + 7200 = 8100 = 90^{2}$ : les racines sont $30$ et $-60.$ $v^{2} + 30v - 1800 = (v - 30)(v + 60)$
Conclure — $v + 60 > 0$ pour une vitesse : le produit est négatif si et seulement si $v < 30.$ $0 \le v < 30$

d = 72 \text{ m} \ ; \ v < 30 \text{ km/h}

À ne pas faire : $z \mapsto \sqrt{z - 2}$ est définie sur $\mathbb{R}$ — Elle est définie sur $[2 ; +\infty[$ . $\sqrt{z - 2}$ n'existe que si $z - 2 \ge 0.$

À ne pas faire : $-2$ a pour antécédent $f(-2)$ — $f(-2)$ est l'image de $-2$ ; $-2$ est un antécédent de $f(-2)$ . L'image se calcule à partir du réel de départ ; l'antécédent est le réel de départ.

2. Définition

Fonction polynôme

Ce qu’il dit

Fonction polynôme, hiya fonction mo3arrfa 3la IR kemel, b ech-chakl hedha : f de x égale a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un, w hakka, 7atta a un x plus a zéro. Les réels a n, ..., a zéro nsammiwhom les coefficients. W 3ada n9oulou le polynôme f bark. W ken el coefficients el kol nuls, hedha le polynôme nul. Mathalan, n9os carré de côté x men koll coin mta3 plaque de soixante : la base twalli soixante moins deux x, w le volume V de x égale x fois, soixante moins deux x, le tout au carré. Hedha polynôme, w yousel lel maximum ki x égale dix.

fonction polynôme ، هي fonction معرّفة على IR كامل ، بالشكل هذا : f de x égale a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un ، w هكّا ، حتى a un x plus a zéro . les réels a n ، ... ، a zéro نسمّيوهم les coefficients . w عادة نقولو le polynôme f برك . w كان الـ coefficients الكل nuls ، هذا le polynôme nul . مثلا ، نقصّو carré de côté x من كل coin متاع plaque de soixante : la base تولّي soixante moins deux x ، w le volume V de x égale x fois , soixante moins deux x , le tout au carré . هذا polynôme ، w يوصل للـ maximum كي x égale dix .

Une fonction polynôme est une fonction définie sur tout IR de la forme : f de x égale a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un, et ainsi de suite, jusqu'à a un x plus a zéro. Les réels a n, ..., a zéro sont ses coefficients. On dit souvent simplement le polynôme f. Si tous les coefficients sont nuls, c'est le polynôme nul. Par exemple, on découpe un carré de côté x à chaque coin d'une plaque de soixante : la base mesure soixante moins deux x, et le volume V de x égale x fois, soixante moins deux x, le tout au carré. C'est un polynôme, et il atteint son maximum pour x égale dix.

Définition. Soient $a_{0},$ $a_{1},$ $\dots,$ $a_{n-1}$ et $a_{n}$ des réels. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$

est appelée fonction polynôme. Les réels $a_{n},$ $a_{n-1},$ $\dots,$ $a_{1}$ et $a_{0}$ sont ses coefficients.

Remarque. Au lieu de dire « la fonction polynôme $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par… », on dit souvent « le polynôme $f$ défini par… ». Si $a_{0} = a_{1} = \dots = a_{n} = 0,$ le polynôme $f$ est appelé polynôme nul.

Exemple : dans une plaque carrée de $60$ cm de côté, on découpe à chaque coin un carré de côté $x,$ puis on replie les bords. La boîte a pour base un carré de côté $60 - 2x$ et pour hauteur $x,$ avec $x \in \,]0 ; 30[$ : son volume $V(x) = x(60 - 2x)^{2} = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x$ est un polynôme.

On découpe un carré de côté x à chaque coin de la plaque de 60 cm, puis on replie les bords.

Une plaque de carton carrée de 60 cm de côté. À chacun des quatre coins, un petit carré de côté x est grisé : c'est la partie découpée. Les quatre bords restants se replient le long d'un carré intérieur en pointillés, de côté 60 − 2x, pour former une boîte sans couvercle.

fonction polynôme

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}

Exemple traité

Avec $V(x) = x(60 - 2x)^{2}$ pour $x \in \,]0 ; 30[,$ calculer $V(10),$ vérifier que $V(x) - V(10) = 4(x - 10)(x^{2} - 50x + 400),$ puis trouver $x$ pour que le volume soit maximal.

Calculer — $V(10) = 10 \times 40^{2} = 16000$
Développer — On développe $V(x),$ puis le produit proposé. $V(x) = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x$
$4(x - 10)(x^{2} - 50x + 400) = 4x^{3} - 240x^{2} + 3600x - 16000 = V(x) - V(10)$
Signe — $x^{2} - 50x + 400 = (x - 10)(x - 40),$ et $x - 40 < 0$ sur $]0 ; 30[.$ $V(x) - V(10) = 4(x - 10)^{2}(x - 40) \le 0$
Conclure — Pour tout $x$ de $]0 ; 30[,$ $V(x) \le V(10)$ : le volume est maximal pour $x = 10.$ $V_{\max} = V(10) = 16000 \text{ cm}^{3}$

x = 10 \text{ cm}

À ne pas faire : $V(x) = x(60 - x)^{2}$ — $V(x) = x(60 - 2x)^{2}$ . On découpe un carré de côté $x$ à chaque coin : le côté de la base perd $2x.$

À ne pas faire : $f(x) = 0$ pour $x = 2$ et $x = 3,$ donc $f$ est le polynôme nul — Le polynôme nul s'annule pour tout réel $x$ . $x^{2} - 5x + 6$ s'annule en $2$ et en $3,$ mais vaut $6$ en $0.$

3. Application

Reconnaître un polynôme

Ce qu’il dit

Kifech na3rfou elli fonction hiya polynôme ? Lezem tetekteb somme mta3 termes a fois x puissance un entier naturel. El coefficients ynajmou ykounou ay réels : racine de deux, deux tiers, ma famma 7atta mochkla. Mathalan moins deux fois, x plus un, le tout au cube, plus cinq x carré moins quatre x, ki ndévelopper, nal9aw moins deux x cube moins x carré moins dix x moins deux : polynôme. W trois racine de deux, polynôme constant. Ama valeur absolue de x, walla un sur, x carré plus un, ma yetektbouch hakka : mouch polynômes.

كيفاش نعرفو إلّي fonction هي polynôme ؟ لازم تتكتب somme متاع termes a fois x puissance un entier naturel . الـ coefficients ينجّمو يكونو أي réels : racine de deux ، deux tiers ، ما فمّا حتى مشكل . مثلا moins deux fois , x plus un , le tout au cube , plus cinq x carré moins quatre x ، كي نـ développer ، نلقاو moins deux x cube moins x carré moins dix x moins deux : polynôme . w trois racine de deux ، polynôme constant . أما valeur absolue de x ، ولّا un sur , x carré plus un ، ما يتكتبوش هكّا : موش polynômes .

Comment reconnaître un polynôme ? Il doit s'écrire comme une somme de termes a fois x puissance un entier naturel. Les coefficients peuvent être n'importe quels réels : racine de deux, deux tiers, aucun problème. Par exemple moins deux fois, x plus un, le tout au cube, plus cinq x carré moins quatre x : en développant, on trouve moins deux x cube moins x carré moins dix x moins deux, c'est un polynôme. Trois racine de deux est un polynôme constant. En revanche valeur absolue de x, ou un sur, x carré plus un, ne s'écrivent pas ainsi : ce ne sont pas des polynômes.

Une fonction est un polynôme si, pour tout réel $x,$ elle s'écrit $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ : une somme de termes $a_{k}x^{k},$ avec des exposants entiers naturels et des coefficients réels — $\sqrt{2}$ ou $\dfrac{2}{3}$ sont des coefficients permis.

$F(x) = -2x^{3} - 5x^{2} - 1$ et $G(t) = 1 + 3t + \dfrac{2}{3}t^{2} - 6t^{3}$ sont des polynômes ; le nom de la variable ne compte pas.
$x \mapsto -2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x$ en est un : en développant, on trouve $-2x^{3} - x^{2} - 10x - 2.$
$x \mapsto 3\sqrt{2}$ est un polynôme constant : $a_{0} = 3\sqrt{2}.$
$x \mapsto |x|,$ $x \mapsto x^{2} + 5|x|$ ou $x \mapsto 3x^{5} - 2\sqrt{3}\,x + \dfrac{1}{x^{2} + 1}$ ne s'écrivent pas sous cette forme : ce ne sont pas des polynômes.

développer pour reconnaître

-2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x = -2x^{3} - x^{2} - 10x - 2

Exemple traité

$P(x) = 5x^{2} - \dfrac{1}{6}x$ est-il un polynôme ? Si oui, donner ses coefficients.

Forme — C'est une somme de termes $a_{k}x^{k}$ à exposants entiers : oui, c'est un polynôme.
Coefficients — Le terme constant manque : il vaut $0.$ $a_{2} = 5, \quad a_{1} = -\frac{1}{6}, \quad a_{0} = 0$

P \text{ est un polynôme de coefficients } 5, \ -\tfrac{1}{6}, \ 0

À ne pas faire : $x \mapsto 3\sqrt{2}$ n'est pas un polynôme, il n'y a pas de $x$ — C'est un polynôme constant, avec $a_{0} = 3\sqrt{2}$ . Tous les coefficients autres que $a_{0}$ sont nuls : c'est permis.

À ne pas faire : $x^{2} - \sqrt{2}\,x$ n'est pas un polynôme à cause de $\sqrt{2}$ — C'est un polynôme : $\sqrt{2}$ est un coefficient réel. La racine porte sur un nombre, pas sur $x$ ; avec $\sqrt{x},$ ce ne serait plus un polynôme.

4. Théorème

Égalité de deux polynômes

Ce qu’il dit

Polynôme nul pour tout réel x, ma3neha el coefficients el kol nuls. W zouz polynômes égaux, ken 3andhom nafs le degré w nafs les coefficients, terme par terme. Rodd belek : zouz polynômes ynajmou ye5dhou nafs la valeur fi no9ta walla zouz, w ma ykounouch égaux. Mathalan, f de x égale trois x carré moins x plus trois, w g de x égale deux x carré plus quatre x moins un : f de un égale g de un, w f de quatre égale g de quatre, ama f de zéro trois w g de zéro moins un. W men houni tji la méthode d'identification : ki zouz polynômes égaux, nsawiw les coefficients mta3 nafs le degré.

polynôme nul pour tout réel x ، معناها الـ coefficients الكل nuls . w زوز polynômes égaux ، كان عندهم نفس le degré w نفس les coefficients ، terme par terme . رد بالك : زوز polynômes ينجّمو ياخذو نفس la valeur في نقطة ولّا زوز ، w ما يكونوش égaux . مثلا ، f de x égale trois x carré moins x plus trois ، w g de x égale deux x carré plus quatre x moins un : f de un égale g de un ، w f de quatre égale g de quatre ، أما f de zéro trois w g de zéro moins un . w من هنا تجي la méthode d'identification : كي زوز polynômes égaux ، نساويو les coefficients متاع نفس le degré .

Un polynôme est nul pour tout réel x si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Et deux polynômes sont égaux s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients, terme par terme. Attention : deux polynômes peuvent prendre la même valeur en un ou deux points sans être égaux. Par exemple, avec f de x égale trois x carré moins x plus trois, et g de x égale deux x carré plus quatre x moins un : f de un égale g de un, et f de quatre égale g de quatre, mais f de zéro vaut trois et g de zéro vaut moins un. C'est la base de la méthode d'identification : quand deux polynômes sont égaux, on égale les coefficients de même degré.

Un polynôme est nul (pour tout réel $x$ ) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Deux polynômes sont égaux (pour tout réel $x$ ) si et seulement s'ils ont même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Attention : deux polynômes peuvent prendre la même valeur en quelques points sans être égaux. Par exemple, $f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ vérifient $f(1) = g(1) = 5$ et $f(4) = g(4) = 47,$ mais $f(0) = 3$ et $g(0) = -1$ : la phrase « $f(x) = g(x)$ pour tout réel $x$ » est fausse.

C'est ce résultat qui fonde la méthode d'identification : si, pour tout réel $x,$ $a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 2x^{2} - 10x + 11,$ alors $a_{2} = 2,$ $a_{1} = -10$ et $a_{0} = 11.$

polynôme nul

a_{n}x^{n} + \dots + a_{0} = 0 \ \text{pour tout } x \iff a_{n} = \dots = a_{0} = 0

polynômes égaux

\sum a_{k}x^{k} = \sum b_{k}x^{k} \ \text{pour tout } x \iff a_{k} = b_{k} \ \text{pour tout } k

Démonstration

Au degré $2$ : si $g(x) = a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$ est nul pour tout $x,$ alors $g(0) = a_{0} = 0,$ $g(1) = a_{2} + a_{1} + a_{0} = 0$ et $g(-1) = a_{2} - a_{1} + a_{0} = 0.$ En ajoutant et en retranchant les deux dernières égalités : $a_{2} = 0$ et $a_{1} = 0.$ Pour deux polynômes égaux, on applique ce résultat à leur différence $P - Q,$ qui est nulle.

Exemple traité

Existe-t-il un réel $a$ tel que, pour tout réel $x,$ $a^{2}x^{2} + (a^{2} + a)x + a = 9x^{2} + 6x - 3$ ?

Identifier — Les coefficients des termes de même degré doivent être égaux. $a^{2} = 9, \quad a^{2} + a = 6, \quad a = -3$
Vérifier — $a = -3$ donne $a^{2} = 9$ et $a^{2} + a = 9 - 3 = 6$ : les trois conditions sont satisfaites. $a = -3$

a = -3

À ne pas faire : $f(1) = g(1)$ et $f(4) = g(4),$ donc $f = g$ — Il faut l'égalité pour tout réel $x,$ c'est-à-dire des coefficients égaux. Avec $f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ : $f(0) = 3$ mais $g(0) = -1.$

À ne pas faire : $ax^{2} + bx + 4 = 0$ pour tout $x$ avec $a = b = 0$ — Impossible : le terme constant $4$ n'est pas nul. Un polynôme nul a tous ses coefficients nuls, y compris $a_{0}.$

5. Définition

Degré d'un polynôme

Ce qu’il dit

Koll polynôme non nul yetekteb b tari9a wa7da : a n x puissance n plus ... plus a zéro, avec a n différent de zéro. L'entier n houwa le degré mta3 P, w nektbou degré de P égale n. Le polynôme nul ma 3andouch degré, w polynôme constant non nul, le degré mte3ou zéro. Ama rodd belek : dima réduire 9bal ma te9ra le degré. Mathalan K de x égale, x moins un, le tout au cube, moins x cube : les x cube yemchiw, w yo93ed moins trois x carré plus trois x moins un, degré deux, mouch trois.

كل polynôme non nul يتكتب بطريقة وحدة : a n x puissance n plus ... plus a zéro ، avec a n différent de zéro . l'entier n هو le degré متاع P ، w نكتبو degré de P égale n . le polynôme nul ما عندوش degré ، w polynôme constant non nul ، le degré متاعو zéro . أما رد بالك : ديما réduire قْبَلْ ما تقرا le degré . مثلا K de x égale , x moins un , le tout au cube , moins x cube : les x cube يمشيو ، w يقعد moins trois x carré plus trois x moins un ، degré deux ، موش trois .

Tout polynôme non nul s'écrit de façon unique : a n x puissance n plus ... plus a zéro, avec a n différent de zéro. L'entier n est le degré de P, et on écrit degré de P égale n. Le polynôme nul n'a pas de degré, et un polynôme constant non nul est de degré zéro. Mais attention : réduis toujours avant de lire le degré. Par exemple K de x égale, x moins un, le tout au cube, moins x cube : les x cube s'annulent, il reste moins trois x carré plus trois x moins un, de degré deux, pas trois.

Définition. On admet que tout polynôme non nul $P$ a une écriture unique de la forme

$\displaystyle P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0},$ avec $\displaystyle a_{n} \ne 0.$

L'entier $n$ est appelé le degré du polynôme $P$ ; on écrit $d°(P) = n.$ On convient que le polynôme nul n'a pas de degré. Le degré d'un polynôme constant (non nul) est égal à zéro.

Exemples : $P(x) = 3x^{4} - 7x^{2} + x$ est de degré $4$ ; $Q(x) = 2 - x + x^{3} + x^{5} + x^{7}$ de degré $7$ ; $R(x) = (x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$ de degré $2$ ; $V(x) = (2x + 1)(2x^{3} + 8x - 1)$ de degré $4.$ Mais $K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3} = -3x^{2} + 3x - 1$ est de degré $2$ : les termes en $x^{3}$ se sont annulés.

degré

P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}, \ a_{n} \ne 0 \Rightarrow d°(P) = n

Exemple traité

Déterminer le degré et le coefficient du terme du plus haut degré de $P(x) = 6x^{3} - 5x^{2} + (2x^{2} + x - 1)(2 - 3x).$

Développer — On développe le produit. $(2x^{2} + x - 1)(2 - 3x) = -6x^{3} + x^{2} + 5x - 2$
Réduire — Les termes en $x^{3}$ s'annulent. $P(x) = 6x^{3} - 5x^{2} - 6x^{3} + x^{2} + 5x - 2 = -4x^{2} + 5x - 2$
Conclure — Le degré de $P$ est $2,$ et le coefficient de son terme du plus haut degré est $-4.$ $d°(P) = 2, \quad a_{2} = -4$

\text{degré } 2 \text{, coefficient du terme du plus haut degré : } -4

À ne pas faire : $K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3}$ est de degré $3$ — $K(x) = -3x^{2} + 3x - 1$ est de degré $2$ . On réduit avant de lire le degré : les termes de plus haut degré peuvent s'annuler.

À ne pas faire : Le polynôme nul est de degré $0$ — Le polynôme nul n'a pas de degré ; un polynôme constant non nul est de degré $0$ . C'est la convention : le degré exige $a_{n} \ne 0.$

6. Vocabulaire

Terme constant, monôme, binôme, trinôme

Ce qu’il dit

Chwaya vocabulaire. A zéro houwa le terme constant. A un x houwa le terme du premier degré, walla le terme en x. W a n x puissance n houwa le terme du plus haut degré. Koll terme wa7dou nsammiwh monôme. Polynôme du premier degré nsammiwh binôme, w polynôme du second degré nsammiwh trinôme. Rodd belek, le terme du plus haut degré mouch dima houwa elli mekteb loul fi l'écriture : ordonner, w chouf akbar puissance.

شويّة vocabulaire . a zéro هو le terme constant . a un x هو le terme du premier degré ، ولّا le terme en x . w a n x puissance n هو le terme du plus haut degré . كل terme وحدو نسمّيوه monôme . polynôme du premier degré نسمّيوه binôme ، w polynôme du second degré نسمّيوه trinôme . رد بالك ، le terme du plus haut degré موش ديما هو إلّي مكتوب اللوّل في l'écriture : ordonner ، w شوف أكبر puissance .

Un peu de vocabulaire. A zéro est le terme constant. A un x est le terme du premier degré, ou terme en x. Et a n x puissance n est le terme du plus haut degré. Chaque terme pris seul s'appelle un monôme. Un polynôme du premier degré s'appelle un binôme, et un polynôme du second degré un trinôme. Attention, le terme du plus haut degré n'est pas toujours écrit en premier : ordonne, puis regarde la plus grande puissance.

Vocabulaire. Pour $P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ avec $a_{n} \ne 0$ :

$a_{0}$ s'appelle le terme constant ;
$a_{1}x$ s'appelle le terme du premier degré, ou le terme en $x$ ;
$a_{n}x^{n}$ s'appelle le terme de degré $n$ , ou le terme en $x^{n}$ : c'est aussi le terme du plus haut degré ;
chacun des termes $a_{0},$ $a_{1}x,$ $\dots,$ $a_{n-1}x^{n-1}$ et $a_{n}x^{n}$ est appelé monôme ;
tout polynôme du premier degré est appelé binôme (du premier degré) ;
tout polynôme du second degré est appelé trinôme (du second degré).

Exemple : dans $T(x) = \dfrac{3}{4}x^{2} - x + x^{6} + 1,$ le terme du plus haut degré est $x^{6}$ — il n'est pas écrit en premier —, le terme en $x$ est $-x$ et le terme constant est $1.$

les termes

\underbrace{a_{n}x^{n}}_{\text{plus haut degré}} + \dots + \underbrace{a_{1}x}_{\text{terme en } x} + \underbrace{a_{0}}_{\text{terme constant}}

Exemple traité

Ordonner $T(x) = \dfrac{3}{4}x^{2} - x + x^{6} + 1$ et lire son degré, son terme du plus haut degré et son terme constant.

Ordonner — On écrit les termes par degrés décroissants. $T(x) = x^{6} + \frac{3}{4}x^{2} - x + 1$
Lire — Le degré est $6,$ le terme du plus haut degré est $x^{6}$ et le terme constant est $1.$ $d°(T) = 6, \quad \text{terme du plus haut degré : } x^{6}, \quad \text{terme constant : } 1$

T \text{ est de degré } 6

À ne pas faire : Le terme du plus haut degré de $2 - x + x^{3}$ est $2$ — C'est $x^{3}$ . On cherche le plus grand exposant, pas le premier terme écrit : on ordonne d'abord.

7. Définition

Opérations sur les polynômes

Ce qu’il dit

F w g zouz polynômes w alpha réel. La somme f plus g, hiya f de x plus g de x. Le produit alpha f, houwa alpha fois f de x. W le produit f g, houwa f de x fois g de x. W ki y9oulou lek réduire et ordonner : tjamma3 les termes mta3 nafs le degré, w tektebhom men akbar puissance l asghar wa7da. W ki tatra7 polynôme, 7ottou bin parenthèses : le moins ybaddel le signe mta3 les termes el kol.

f w g زوز polynômes w alpha réel . la somme f plus g ، هي f de x plus g de x . le produit alpha f ، هو alpha fois f de x . w le produit f g ، هو f de x fois g de x . w كي يقولولك réduire et ordonner : تجمع les termes متاع نفس le degré ، w تكتبهم من أكبر puissance لأصغر وحدة . w كي تطرح polynôme ، حطّو بين parenthèses : le moins يبدّل le signe متاع les termes الكل .

Soient f et g deux polynômes et alpha un réel. La somme f plus g, c'est f de x plus g de x. Le produit alpha f, c'est alpha fois f de x. Et le produit f g, c'est f de x fois g de x. Quand on te demande de réduire et ordonner : regroupe les termes de même degré, puis écris-les de la plus grande puissance à la plus petite. Et quand tu retranches un polynôme, mets-le entre parenthèses : le moins change le signe de tous ses termes.

Définition. Soient $f$ et $g$ deux polynômes et $\alpha$ un réel.

La somme de $f$ et $g$ est le polynôme $f + g$ défini pour tout réel $x$ par $(f + g)(x) = f(x) + g(x).$
Le produit du polynôme $f$ par le réel $\alpha$ est le polynôme $\alpha f$ défini par $(\alpha f)(x) = \alpha f(x).$
Le produit des polynômes $f$ et $g$ est le polynôme $fg$ défini par $(fg)(x) = f(x) \times g(x).$

« Réduire et ordonner », c'est regrouper les termes de même degré, puis les écrire par degrés décroissants. Par exemple, avec $f(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + x - 1$ et $q(x) = x - 2$ :

$f(x)\,q(x) = 2x^{4} - 4x^{3} - 5x^{3} + 10x^{2} + x^{2} - 2x - x + 2 = 2x^{4} - 9x^{3} + 11x^{2} - 3x + 2.$

les trois opérations

(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad (\alpha f)(x) = \alpha f(x), \quad (fg)(x) = f(x) \times g(x)

Exemple traité

$P(x) = 2x^{3} - x^{2} + 2x - 1$ et $Q(x) = 3x^{3} - x.$ Réduire et ordonner $P + Q$ et $3P - 2Q.$

La somme — On regroupe les termes de même degré. $(P + Q)(x) = 5x^{3} - x^{2} + x - 1$
La combinaison — $3P(x) - 2Q(x) = 6x^{3} - 3x^{2} + 6x - 3 - 6x^{3} + 2x$
Les termes en $x^{3}$ s'annulent. $(3P - 2Q)(x) = -3x^{2} + 8x - 3$

P + Q = 5x^{3} - x^{2} + x - 1 \text{ ; et } 3P - 2Q = -3x^{2} + 8x - 3

À ne pas faire : $g(x) - p(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5} - 3x^{2} - x - 1$ — $g(x) - p(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5} - 3x^{2} + x + 1$ . Le signe moins devant $p(x)$ change le signe de tous ses termes : on met des parenthèses.

À ne pas faire : $(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 1$ — $(2x + 1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1$ . Le double produit $2 \times 2x \times 1$ ne disparaît pas.

8. Propriété

Degré d'une somme, d'un produit

Ce qu’il dit

Le degré mta3 le produit f g, houwa la somme des degrés : x puissance n fois x puissance p ta3ti x puissance, n plus p. W alpha f, ki alpha non nul, 3andou nafs le degré mta3 f. Ama la somme, rodd belek : le degré ynajjem yahbet, ki les termes du plus haut degré yetna77aw. Mathalan moins trois x carré w trois x carré, ki njam3ouhom yemchiw, w yo93ed polynôme de degré un.

le degré متاع le produit f g ، هو la somme des degrés : x puissance n fois x puissance p تعطي x puissance , n plus p . w alpha f ، كي alpha non nul ، عندو نفس le degré متاع f . أما la somme ، رد بالك : le degré ينجّم يهبط ، كي les termes du plus haut degré يتنحّاو . مثلا moins trois x carré w trois x carré ، كي نجمعوهم يمشيو ، w يقعد polynôme de degré un .

Le degré du produit f g est la somme des degrés : x puissance n fois x puissance p donne x puissance, n plus p. Et alpha f, avec alpha non nul, a le même degré que f. Pour la somme, attention : le degré peut baisser, quand les termes de plus haut degré s'annulent. Par exemple moins trois x carré et trois x carré s'annulent dans la somme, et il reste un polynôme de degré un.

Remarque. Si $f$ et $g$ sont deux polynômes non nuls et $\alpha$ un réel non nul :

$f + g$ est un polynôme ;
$fg$ est un polynôme, et le degré de $fg$ est égal à la somme des degrés de $f$ et de $g$ ;
$\alpha f$ est un polynôme, de même degré que $f.$

Le degré d'une somme, lui, peut baisser : par exemple, $g(x) = -3x^{2} + 7x - \sqrt{5}$ et $p(x) = 3x^{2} - x - 1$ sont de degré $2,$ mais $g(x) + p(x) = 6x - \sqrt{5} - 1$ est de degré $1.$

Sans développer : $A(x) = (x^{2} + x - 5)(2x^{5} - 2x^{3} + 1)$ est de degré $2 + 5 = 7$ ; $B(x) = (x^{2} + 3)^{5}$ de degré $5 \times 2 = 10.$

degré d'un produit

d°(fg) = d°(f) + d°(g), \qquad d°(\alpha f) = d°(f) \ \ (\alpha \ne 0)

Exemple traité

Déterminer, sans développer complètement, le degré de $C(x) = (x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x - 7)(x - 1) - (x^{5} + 1).$

Le produit — Il est de degré $4 + 1 = 5,$ de terme du plus haut degré $x^{4} \times x = x^{5}.$ $x^{4} \times x = x^{5}$
La différence — Les termes en $x^{5}$ s'annulent : on cherche le coefficient de $x^{4}.$ $x^{4} \times (-1) + (-2x^{3}) \times x = -3x^{4}$
Conclure — Le coefficient de $x^{4}$ n'est pas nul : $C$ est de degré $4.$ $d°(C) = 4$

C \text{ est de degré } 4

À ne pas faire : $d°(fg) = d°(f) \times d°(g)$ — $d°(fg) = d°(f) + d°(g)$ . On multiplie les termes de plus haut degré : $x^{n} \times x^{p} = x^{n + p},$ les exposants s'ajoutent.

À ne pas faire : $d°(f + g)$ est toujours le plus grand des deux degrés — Il peut être plus petit, quand les termes de plus haut degré s'annulent. $(-3x^{2} + 7x - \sqrt{5}) + (3x^{2} - x - 1)$ est de degré $1.$

9. Définition

Racine d'un polynôme

Ce qu’il dit

Alpha réel, n9oulou alpha racine, walla zéro, mta3 polynôme f, ken f de alpha égale zéro. Bech tthabbet, 3awedh x b alpha w a7seb : lezem tal9a zéro. Mathalan f de x égale x carré plus deux x moins trois : f de un égale un plus deux moins trois, ya3ni zéro, donc un racine. W rodd belek lel puissances : moins deux puissance quatre égale seize, positive, 5ater l'exposant pair.

alpha réel ، نقولو alpha racine ، ولّا zéro ، متاع polynôme f ، كان f de alpha égale zéro . باش تثبّت ، عوّض x بـ alpha w احسب : لازم تلقى zéro . مثلا f de x égale x carré plus deux x moins trois : f de un égale un plus deux moins trois ، يعني zéro ، donc un racine . w رد بالك للـ puissances : moins deux puissance quatre égale seize ، positive ، خاطر l'exposant pair .

On dit qu'un réel alpha est une racine, ou un zéro, d'un polynôme f si f de alpha égale zéro. Pour le vérifier, remplace x par alpha et calcule : tu dois trouver zéro. Par exemple f de x égale x carré plus deux x moins trois : f de un égale un plus deux moins trois, soit zéro, donc un est racine. Et attention aux puissances : moins deux puissance quatre égale seize, positif, car l'exposant est pair.

Définition. On dit qu'un réel $\alpha$ est une racine ou un zéro d'un polynôme $f$ si $f(\alpha) = 0.$

Pour montrer que $\alpha$ est une racine, on calcule $f(\alpha)$ et on trouve $0.$ Par exemple, pour $f(x) = x^{2} + 2x - 3,$ $f(-1) = -4,$ $f(1) = 0$ et $f(-3) = 0$ : $1$ et $-3$ sont des racines de $f,$ $-1$ n'en est pas une. Pour $h(x) = 3x^{3} - x^{2} - 6x + 2,$ $h\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{9} - 2 + 2 = 0.$

Autre exemple : $g(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$ et $\alpha = -2$ :

$g(-2) = 64 - 40 - 56 + 18 + 14 = 0.$

racine (ou zéro)

\alpha \text{ racine de } f \iff f(\alpha) = 0

Exemple traité

Montrer que $\alpha = \dfrac{1}{2}$ est une racine de $h(x) = 8x^{5} + 3x^{2} - 1.$

Puissances — $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32}, \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$
Calculer — $h\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{8}{32} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = 0$

h\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 0

À ne pas faire : $(-2)^{4} = -16$ — $(-2)^{4} = 16$ . Une puissance paire d'un négatif est positive ; on garde les parenthèses autour de $-2.$

À ne pas faire : $1$ est racine de $f$ car $f(0) = 1$ — $\alpha$ est racine si $f(\alpha) = 0$ . La racine est le réel qu'on remplace, pas la valeur obtenue.

10. Application

Trouver des coefficients à partir de racines

Ce qu’il dit

Ki polynôme fih des paramètres a w b, koll racine na3rfouha ta3tina équation. Mathalan P de x égale a x puissance quatre plus, a plus un, x cube moins, b plus neuf, x carré moins, deux b moins un, x plus quatorze, w un racine, donc P de un égale zéro : deux a moins trois b plus sept égale zéro. W moins deux racine, donc P de moins deux égale zéro : huit a moins trente-deux égale zéro. Nal9aw a égale quatre, w ba3d b égale cinq. W ki na3rfou P, nal9aw Q bel identification.

كي polynôme فيه des paramètres a w b ، كل racine نعرفوها تعطينا équation . مثلا P de x égale a x puissance quatre plus , a plus un , x cube moins , b plus neuf , x carré moins , deux b moins un , x plus quatorze ، w un racine ، donc P de un égale zéro : deux a moins trois b plus sept égale zéro . w moins deux racine ، donc P de moins deux égale zéro : huit a moins trente-deux égale zéro . نلقاو a égale quatre ، w بعد b égale cinq . w كي نعرفو P ، نلقاو Q بالـ identification .

Quand un polynôme dépend de paramètres a et b, chaque racine connue donne une équation. Par exemple, P de x égale a x puissance quatre plus, a plus un, x cube moins, b plus neuf, x carré moins, deux b moins un, x plus quatorze, et un est racine, donc P de un égale zéro : deux a moins trois b plus sept égale zéro. Et moins deux est racine, donc P de moins deux égale zéro : huit a moins trente-deux égale zéro. On trouve a égale quatre, puis b égale cinq. Une fois P connu, on trouve Q par identification.

Quand un polynôme dépend de paramètres, chaque racine connue donne une équation sur ces paramètres.

$P(x) = ax^{4} + (a + 1)x^{3} - (b + 9)x^{2} - (2b - 1)x + 14,$ et l'on sait que $1$ et $-2$ sont des racines :

$P(1) = 2a - 3b + 7 = 0 \qquad P(-2) = 8a - 32 = 0.$

D'où $a = 4,$ puis $b = 5$ : $P(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$ — on retrouve le polynôme $g$ vu plus haut, dont $-2$ est bien une racine.

Ensuite, $P(x) = (x^{2} + x - 2)\,Q(x)$ avec $Q$ de degré $2$ : par identification, $Q(x) = 4x^{2} + x - 7.$

un système

P(1) = 0 \ \text{et} \ P(-2) = 0 \iff \begin{cases} 2a - 3b + 7 = 0 \\ 8a - 32 = 0 \end{cases}

Exemple traité

Avec $a = 4$ et $b = 5,$ déterminer $Q$ tel que $4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14 = (x^{2} + x - 2)\,Q(x)$ pour tout réel $x.$

Forme de Q — Le degré de $Q$ est $4 - 2 = 2,$ et le terme du plus haut degré de $Q$ est $4x^{2}.$ $Q(x) = 4x^{2} + bx + c$
Développer — $(x^{2} + x - 2)(4x^{2} + bx + c) = 4x^{4} + (b + 4)x^{3} + (c + b - 8)x^{2} + (c - 2b)x - 2c$
Identifier — $b + 4 = 5, \quad -2c = 14 \iff b = 1, \quad c = -7$
Contrôler — Les deux autres coefficients concordent. $c + b - 8 = -14, \quad c - 2b = -9$

Q(x) = 4x^{2} + x - 7

À ne pas faire : $P(-2)$ : $-(2b - 1) \times (-2) = -4b + 2$ — $-(2b - 1) \times (-2) = 4b - 2$ . Deux signes moins se multiplient : le produit est positif.

11. Définition

Polynôme factorisable

Ce qu’il dit

P factorisable par Q, ma3neha famma polynôme R b 7aythou P de x égale Q de x fois R de x, pour tout réel x. W bech tfactoriser, ebda dima bel 7wayej elli ta3refhom : facteur commun, regroupement, w les identités remarquables. Mathalan x puissance quatre moins trois x cube plus deux x carré : x carré facteur commun, w yo93ed x carré moins trois x plus deux, elli houwa, x moins un, fois, x moins deux.

P factorisable par Q ، معناها فمّا polynôme R بحيث P de x égale Q de x fois R de x ، pour tout réel x . w باش تـ factoriser ، ابدا ديما بالحاجات إلّي تعرفها : facteur commun ، regroupement ، w les identités remarquables . مثلا x puissance quatre moins trois x cube plus deux x carré : x carré facteur commun ، w يقعد x carré moins trois x plus deux ، إلّي هو , x moins un , fois , x moins deux .

P est factorisable par Q s'il existe un polynôme R tel que P de x égale Q de x fois R de x, pour tout réel x. Pour factoriser, commence toujours par les outils que tu connais : facteur commun, regroupement de termes, et identités remarquables. Par exemple x puissance quatre moins trois x cube plus deux x carré : x carré est en facteur, et il reste x carré moins trois x plus deux, qui vaut, x moins un, fois, x moins deux.

Définition. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. On dit que $P$ est factorisable par $Q$ s'il existe un polynôme $R$ tel que, pour tout réel $x,$

$P(x) = Q(x) \times R(x).$

Les outils de factorisation déjà connus restent les premiers à essayer — facteur commun, regroupement de termes, identités remarquables.

$A(x) = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} = x^{2}(x^{2} - 3x + 2) = x^{2}(x - 1)(x - 2)$ ;
$C(x) = 2x^{3} + 4x^{2} + 3x + 6 = 2x^{2}(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(2x^{2} + 3)$ ;
$D(x) = x^{4} + 3x^{3} - x - 3 = x^{3}(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(x^{3} - 1) = (x + 3)(x - 1)(x^{2} + x + 1).$

factorisable

P \text{ factorisable par } Q \iff P(x) = Q(x) \times R(x) \ \text{pour tout } x

différence de deux cubes

a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})

Exemple traité

Factoriser $G(x) = x^{4} - 64$ et $H(x) = 9(x + 1)^{2} - 4(2x - 1)^{2}.$

G — Une différence de deux carrés, puis encore une. $x^{4} - 64 = (x^{2} - 8)(x^{2} + 8) = (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})(x^{2} + 8)$
H — $9(x + 1)^{2} = \left(3(x + 1)\right)^{2}$ et $4(2x - 1)^{2} = \left(2(2x - 1)\right)^{2}.$ $H(x) = (3x + 3 - 4x + 2)(3x + 3 + 4x - 2)$
$H(x) = (5 - x)(7x + 1)$

G(x) = (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})(x^{2} + 8), \quad H(x) = (5 - x)(7x + 1)

À ne pas faire : $x^{2} + 8 = (x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8})$ — $x^{2} + 8$ ne se factorise pas : il est toujours strictement positif. L'identité $a^{2} - b^{2}$ demande une différence ; $x^{2} + 8$ n'a aucune racine.

À ne pas faire : $\left(3(x + 1)\right)^{2} - \left(2(2x - 1)\right)^{2} = (3x + 3 - 4x - 2)(\dots)$ — $3x + 3 - (4x - 2) = -x + 5$ . Le moins porte sur tout le second facteur : on garde les parenthèses.

12. Théorème

Racine α et facteur (x − α)

Ce qu’il dit

Hedhi ahamm 7aja fel chapitre. Ken alpha racine mta3 f, donc f factorisable par, x moins alpha : f de x égale, x moins alpha, fois g de x, w g de degré n moins un. W el 3aks zeda s7i7 : ken f factorisable par x moins alpha, alpha racine. Rodd belek lel signe : moins deux racine, le facteur houwa x plus deux, mouch x moins deux.

هاذي أهم حاجة في الـ chapitre . كان alpha racine متاع f ، donc f factorisable par , x moins alpha : f de x égale , x moins alpha , fois g de x ، w g de degré n moins un . w العكس زادة صحيح : كان f factorisable par x moins alpha ، alpha racine . رد بالك للـ signe : moins deux racine ، le facteur هو x plus deux ، موش x moins deux .

C'est le résultat le plus important du chapitre. Si alpha est une racine de f, alors f est factorisable par, x moins alpha : f de x égale, x moins alpha, fois g de x, avec g de degré n moins un. Et la réciproque est vraie : si f est factorisable par x moins alpha, alors alpha est racine. Attention au signe : si moins deux est racine, le facteur est x plus deux, pas x moins deux.

Soit $f$ un polynôme de degré $n \ge 1$ et $\alpha$ un réel.

Si $f$ est factorisable par $(x - \alpha),$ alors $\alpha$ est une racine de $f$ : $f(\alpha) = (\alpha - \alpha)\,g(\alpha) = 0.$
Réciproquement, si $\alpha$ est une racine de $f,$ alors $f$ est factorisable par $(x - \alpha)$ : il existe un polynôme $g$ de degré $n - 1$ tel que, pour tout réel $x,$

$f(x) = (x - \alpha)\,g(x).$

La preuve au degré $3$ (ci-dessous) donne même $g$ : pour $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d,$ $P(x) - P(\alpha) = (x - \alpha)\left[ax^{2} + (a\alpha + b)x + (a\alpha^{2} + b\alpha + c)\right].$ Si $P(\alpha) = 0,$ c'est la factorisation cherchée — et ce sont des formules qu'on peut mettre dans un tableur : $b' = a\alpha + b$ et $c' = a\alpha^{2} + b\alpha + c.$

racine et facteur

f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x), \quad d°(g) = n - 1

Démonstration

Au degré $3$ : $P(x) - P(\alpha) = a(x^{3} - \alpha^{3}) + b(x^{2} - \alpha^{2}) + c(x - \alpha).$ Or $x^{3} - \alpha^{3} = (x - \alpha)(x^{2} + \alpha x + \alpha^{2})$ et $x^{2} - \alpha^{2} = (x - \alpha)(x + \alpha).$ On met $(x - \alpha)$ en facteur : $P(x) - P(\alpha) = (x - \alpha)\left[a(x^{2} + \alpha x + \alpha^{2}) + b(x + \alpha) + c\right].$ Si $\alpha$ est racine, $P(\alpha) = 0,$ et le crochet est un polynôme $Q$ de degré $2.$

Exemple traité

$P(x) = 4x^{3} + 5x^{2} - 2x + 1$ et $\alpha = 1.$ Calculer $P(1),$ puis $b'$ et $c'$ tels que $P(x) - P(1) = (x - 1)(4x^{2} + b'x + c').$

Colonne F — $P(1) = 4 + 5 - 2 + 1 = 8$
Colonne G — $b' = a\alpha + b = 4 + 5 = 9$
Colonne H — $c' = a\alpha^{2} + b\alpha + c = 4 + 5 - 2 = 7$
Contrôler — $(x - 1)(4x^{2} + 9x + 7) = 4x^{3} + 5x^{2} - 2x - 7 = P(x) - 8$

P(1) = 8, \quad b' = 9, \quad c' = 7

À ne pas faire : $-2$ est racine, donc $f(x) = (x - 2)\,g(x)$ — $-2$ est racine, donc $f(x) = (x + 2)\,g(x)$ . Le facteur est $x - \alpha$ : avec $\alpha = -2,$ c'est $x - (-2) = x + 2.$

À ne pas faire : $f$ de degré $3$ et $f(x) = (x - \alpha)\,g(x)$ avec $g$ de degré $3$ — $g$ est de degré $3 - 1 = 2$ . Les degrés s'ajoutent dans un produit : le degré de $g$ vaut $3 - 1 = 2.$

13. Méthode

Trouver le quotient par identification

Ce qu’il dit

Kifech nal9aw Q ? Loul nthabtou elli P de alpha égale zéro. Ba3d nektbou la forme mta3 Q : le degré mte3ou yon9os b wa7ed, w le terme du plus haut degré ma3rouf. Ndévelopper, x moins alpha, fois Q de x, w nsawiw les coefficients mta3 nafs le degré m3a P. W fel e5er, el coefficient elli 93ed, nesta3mlouh bech nthabtou. Hedhi la méthode d'identification.

كيفاش نلقاو Q ؟ اللوّل نثبّتو إلّي P de alpha égale zéro . بعد نكتبو la forme متاع Q : le degré متاعو ينقص بواحد ، w le terme du plus haut degré معروف . نـ développer , x moins alpha , fois Q de x ، w نساويو les coefficients متاع نفس le degré مع P . w في الآخر ، الـ coefficient إلّي قعد ، نستعملوه باش نثبّتو . هاذي la méthode d'identification .

Comment trouver Q ? D'abord on vérifie que P de alpha égale zéro. Puis on écrit la forme de Q : son degré baisse de un, et son terme du plus haut degré est connu. On développe, x moins alpha, fois Q de x, et on égale les coefficients de même degré avec ceux de P. À la fin, le coefficient qui reste sert de contrôle. C'est la méthode d'identification.

Pour écrire $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ quand $\alpha$ est une racine :

1.vérifier que $P(\alpha) = 0$ ;
2.écrire la forme de $Q$ : son degré est $d°(P) - 1,$ et son terme du plus haut degré est connu ;
3.développer $(x - \alpha)\,Q(x)$ ;
4.identifier les coefficients des termes de même degré avec ceux de $P$ (égalité de deux polynômes) ;
5.contrôler avec le coefficient qui reste.

Exemple : $P(x) = 3x^{3} + x^{2} + 2x - 6,$ $P(1) = 3 + 1 + 2 - 6 = 0.$ On cherche $P(x) = (x - 1)(ax^{2} + bx + c)$ : en développant, $ax^{3} + (b - a)x^{2} + (c - b)x - c,$ d'où $a = 3,$ $b - a = 1,$ $c = 6$ : $b = 4,$ et le contrôle $c - b = 2$ concorde.

$3x^{3} + x^{2} + 2x - 6 = (x - 1)(3x^{2} + 4x + 6).$

le développement à identifier

(x - \alpha)(ax^{2} + bx + c) = ax^{3} + (b - a\alpha)x^{2} + (c - b\alpha)x - c\alpha

Exemple traité

Vérifier que $-2$ est une racine de $P(x) = 2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10$ et écrire $P(x) = (x + 2)\,Q(x).$

Vérifier — $P(-2) = -16 - 28 + 34 + 10 = 0$
Forme de Q — $Q(x) = 2x^{2} + bx + c$
Développer — $(x + 2)(2x^{2} + bx + c) = 2x^{3} + (b + 4)x^{2} + (c + 2b)x + 2c$
Identifier — $b + 4 = -7, \quad 2c = 10 \iff b = -11, \quad c = 5$
Contrôler — $c + 2b = 5 - 22 = -17$

P(x) = (x + 2)(2x^{2} - 11x + 5)

À ne pas faire : $Q(x) = x^{2} + bx + c$ pour $P(x) = 2x^{3} - \dots$ — $Q(x) = 2x^{2} + bx + c$ . Le terme du plus haut degré de $P$ est $x \times 2x^{2}$ : le coefficient $2$ passe dans $Q.$

À ne pas faire : S'arrêter sans contrôler le dernier coefficient — Le coefficient restant doit concorder. S'il ne concorde pas, il y a une erreur de calcul — ou $\alpha$ n'est pas racine.

14. Méthode

La division suivant les puissances décroissantes

Ce qu’il dit

Famma tari9a o5ra bech nal9aw Q : la division suivant les puissances décroissantes, kima division mta3 les nombres. Nchoufou ken les termes du plus haut degré : six x cube sur deux x, trois x carré. Natr7ou, deux x moins un, fois trois x carré, w n3awdou bel be9i : quatre x carré sur deux x, deux x. Ba3d dix x sur deux x, cinq. W ki yo93ed zéro, Q égale trois x carré plus deux x plus cinq.

فمّا طريقة أخرى باش نلقاو Q : la division suivant les puissances décroissantes ، كيما division متاع les nombres . نشوفو كان les termes du plus haut degré : six x cube sur deux x ، trois x carré . نطرحو , deux x moins un , fois trois x carré ، w نعاودو بالباقي : quatre x carré sur deux x ، deux x . بعد dix x sur deux x ، cinq . w كي يقعد zéro ، Q égale trois x carré plus deux x plus cinq .

Il existe une autre façon de trouver Q : la division suivant les puissances décroissantes, comme la division des nombres. On ne regarde que les termes de plus haut degré : six x cube sur deux x, trois x carré. On retranche, deux x moins un, fois trois x carré, et on recommence avec le reste : quatre x carré sur deux x, deux x. Puis dix x sur deux x, cinq. Quand il reste zéro, Q égale trois x carré plus deux x plus cinq.

Une deuxième méthode pour trouver $Q$ : la division suivant les puissances décroissantes, disposée comme la division des nombres.

Exemple : $P(x) = 6x^{3} + x^{2} + 8x - 5,$ chercher $Q$ tel que $P(x) = (2x - 1)\,Q(x).$

1.On ne s'occupe que des termes de plus haut degré : $6x^{3} \div 2x = 3x^{2}.$ On retranche $(2x - 1) \times 3x^{2} = 6x^{3} - 3x^{2}$ : il reste $4x^{2} + 8x - 5.$
2. $4x^{2} \div 2x = 2x.$ On retranche $(2x - 1) \times 2x = 4x^{2} - 2x$ : il reste $10x - 5.$
3. $10x \div 2x = 5.$ On retranche $(2x - 1) \times 5 = 10x - 5$ : il reste $0.$

$6x^{3} + x^{2} + 8x - 5 = (2x - 1)(3x^{2} + 2x + 5).$

La méthode vue plus haut s'appelle, elle, la méthode d'identification : les deux donnent le même $Q.$

un exemple de division

6x^{3} + x^{2} + 8x - 5 = (2x - 1)(3x^{2} + 2x + 5)

Exemple traité

Par la division suivant les puissances décroissantes, trouver $Q$ tel que $2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10 = (x + 2)\,Q(x).$

1er terme — $2x^{3} \div x = 2x^{2}$ ; on retranche $(x + 2) \times 2x^{2} = 2x^{3} + 4x^{2}.$ $2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10 - (2x^{3} + 4x^{2}) = -11x^{2} - 17x + 10$
2e terme — $-11x^{2} \div x = -11x$ ; on retranche $(x + 2) \times (-11x) = -11x^{2} - 22x.$ $-11x^{2} - 17x + 10 - (-11x^{2} - 22x) = 5x + 10$
3e terme — $5x \div x = 5$ ; on retranche $5x + 10$ : il reste $0.$ $5x + 10 - (5x + 10) = 0$

Q(x) = 2x^{2} - 11x + 5

À ne pas faire : $4x^{2} + 8x - 5 - (4x^{2} - 2x) = 6x - 5$ — $4x^{2} + 8x - 5 - (4x^{2} - 2x) = 10x - 5$ . On retranche chaque produit : tous ses signes changent.

15. Théorème

Deux racines, puis k racines

Ce qu’il dit

Ki ykounou 3andna zouz racines alpha w beta, f factorisable par, x moins alpha, fois, x moins beta, w g ywalli de degré n moins deux. W b sifa 3amma, k racines, g de degré n moins k. Mathalan P de x égale trois x cube moins treize x carré moins onze x plus cinq : moins un w cinq racines, donc P de x égale, x plus un, fois, x moins cinq, fois, trois x moins un.

كي يكونو عندنا زوز racines alpha w beta ، f factorisable par , x moins alpha , fois , x moins beta ، w g يولّي de degré n moins deux . w بصفة عامّة ، k racines ، g de degré n moins k . مثلا P de x égale trois x cube moins treize x carré moins onze x plus cinq : moins un w cinq racines ، donc P de x égale , x plus un , fois , x moins cinq , fois , trois x moins un .

Quand on a deux racines alpha et bêta, f est factorisable par, x moins alpha, fois, x moins bêta, et g est de degré n moins deux. Plus généralement, avec k racines, g est de degré n moins k. Par exemple, pour P de x égale trois x cube moins treize x carré moins onze x plus cinq, moins un et cinq sont racines, donc P de x égale, x plus un, fois, x moins cinq, fois, trois x moins un.

Soit $f$ un polynôme de degré $n.$

Pour $n \ge 2,$ si $\alpha$ et $\beta$ sont deux racines (distinctes) de $f,$ alors $f$ est factorisable par $(x - \alpha)(x - \beta)$ : il existe un polynôme $g$ de degré $n - 2$ tel que $f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\,g(x).$
Plus généralement, pour $n \ge 3,$ on admet que si $\alpha_{1},$ $\alpha_{2},$ $\dots,$ $\alpha_{k}$ (avec $k \le n$ ) sont des racines (distinctes) de $f,$ alors il existe un polynôme $g$ de degré $n - k$ tel que

$f(x) = (x - \alpha_{1})(x - \alpha_{2}) \cdots (x - \alpha_{k})\,g(x).$

Exemple : $P(x) = 3x^{3} - 13x^{2} - 11x + 5,$ avec $P(-1) = -3 - 13 + 11 + 5 = 0$ et $P(5) = 375 - 325 - 55 + 5 = 0.$ Comme $(x + 1)(x - 5) = x^{2} - 4x - 5,$ on cherche $P(x) = (x^{2} - 4x - 5)(3x + c)$ : le terme constant donne $-5c = 5,$ donc $c = -1,$ et $P(x) = (x + 1)(x - 5)(3x - 1).$

deux racines

f(\alpha) = f(\beta) = 0 \Rightarrow f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)\,g(x), \quad d°(g) = n - 2

Démonstration

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux racines distinctes de $F.$ $\alpha$ est racine, donc $F(x) = (x - \alpha)\,G_{1}(x).$ Alors $0 = F(\beta) = (\beta - \alpha)\,G_{1}(\beta),$ et $\beta - \alpha \ne 0$ : $\beta$ est une racine de $G_{1},$ donc $G_{1}(x) = (x - \beta)\,G(x).$

Exemple traité

Vérifier que $2$ et $-3$ sont des racines de $P(x) = x^{4} + 2x^{3} - 4x^{2} - 5x - 6,$ puis écrire $P(x) = (x - 2)(x + 3)\,Q(x).$

Vérifier — $P(2) = 16 + 16 - 16 - 10 - 6 = 0, \quad P(-3) = 81 - 54 - 36 + 15 - 6 = 0$
Le produit — $(x - 2)(x + 3) = x^{2} + x - 6$
Identifier — $Q(x) = x^{2} + bx + c$ ; le terme en $x^{3}$ donne $b + 1 = 2,$ le terme constant $-6c = -6.$ $b = 1, \quad c = 1$
Contrôler — $(x^{2} + x - 6)(x^{2} + x + 1) = x^{4} + 2x^{3} - 4x^{2} - 5x - 6$

P(x) = (x - 2)(x + 3)(x^{2} + x + 1)

À ne pas faire : $Q$ est de degré $3$ dans $x^{4} + \dots = (x - 2)(x + 3)\,Q(x)$ — $Q$ est de degré $4 - 2 = 2$ . Chaque racine connue fait baisser le degré de $1.$

16. Propriété

Au plus n racines

Ce qu’il dit

Polynôme de degré n, 3andou au plus n racines : degré trois, au plus trois, degré quatre, au plus quatre. Au plus, ya3ni ynajjem ykoun 3andou a9al, walla ma 3andou 7atta racine. W natija mohimma : ken polynôme de degré au plus n 3andou n plus un racines distinctes, ykoun le polynôme nul. Biha nthabtou égalité blech ma ndévelopper.

polynôme de degré n ، عندو au plus n racines : degré trois ، au plus trois ، degré quatre ، au plus quatre . au plus ، يعني ينجّم يكون عندو أقل ، ولّا ما عندو حتى racine . w نتيجة مهمّة : كان polynôme de degré au plus n عندو n plus un racines distinctes ، يكون le polynôme nul . بيها نثبّتو égalité بلاش ما نـ développer .

Un polynôme de degré n a au plus n racines : degré trois, au plus trois, degré quatre, au plus quatre. Au plus, cela veut dire qu'il peut en avoir moins, ou aucune. Et une conséquence importante : si un polynôme de degré au plus n a n plus un racines distinctes, c'est le polynôme nul. Cela permet de prouver une égalité sans développer.

Un polynôme de degré $3$ admet au plus trois racines ; un polynôme de degré $4,$ au plus quatre.
On admet qu'un polynôme de degré $n$ ( $n \ge 2$ ) admet au plus $n$ racines.

Conséquence : si $P(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}$ admet $n + 1$ racines distinctes, alors $P$ est le polynôme nul.

Cela permet de prouver une égalité sans développer : soient $a,$ $b$ et $c$ trois réels distincts et

$f(x) = \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)}.$

On a $f(a) = 1 + 0 + 0 = 1,$ et de même $f(b) = f(c) = 1.$ Le polynôme $f - 1,$ de degré au plus $2,$ a trois racines distinctes $a,$ $b,$ $c$ : il est nul, et $f(x) = 1$ pour tout réel $x.$

nombre de racines

d°(P) = n \Rightarrow P \text{ a au plus } n \text{ racines}

Démonstration

Au degré $3$ : si $\alpha$ est racine, $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ avec $d°(Q) = 2.$ Toute autre racine de $P$ annule $Q,$ et un polynôme de degré $2$ a au plus deux racines. $P$ en a donc au plus $1 + 2 = 3.$

Exemple traité

$Q(x) = x^{4} + 2x^{3} - x - 2.$ Vérifier que $1$ et $-2$ sont des racines, puis trouver toutes les racines de $Q.$

Vérifier — $Q(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0, \quad Q(-2) = 16 - 16 + 2 - 2 = 0$
Factoriser — $(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2,$ et l'identification donne le quotient. $Q(x) = (x - 1)(x + 2)(x^{2} + x + 1)$
Le reste — $x^{2} + x + 1$ a pour discriminant $1 - 4 = -3 < 0$ : pas de racine. $\Delta = -3 < 0$

\text{Les racines de } Q \text{ sont } -2 \text{ et } 1

À ne pas faire : Un polynôme de degré $4$ a toujours quatre racines — Il en a au plus quatre ; il peut en avoir moins, ou aucune. $x^{4} + 2x^{3} - x - 2$ n'en a que deux, et $x^{4} + 1$ aucune.

17. Méthode

Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

Ce qu’il dit

Bech t7ell P de x égale zéro, ki P de degré trois : lawwej 3la racine apparente. Jarreb zéro, un, moins un, deux, moins deux. Ki tal9a alpha, tfactoriser P b x moins alpha, w yo93edlek second degré, t7ellou b delta. Mathalan x cube plus x carré moins deux : un racine, w yo93ed x carré plus deux x plus deux, delta négatif. Donc solution wa7da : un.

باش تحلّ P de x égale zéro ، كي P de degré trois : لوّج على racine apparente . جرّب zéro ، un ، moins un ، deux ، moins deux . كي تلقى alpha ، تـ factoriser P بـ x moins alpha ، w يقعدلك second degré ، تحلّو بـ delta . مثلا x cube plus x carré moins deux : un racine ، w يقعد x carré plus deux x plus deux ، delta négatif . donc solution وحدة : un .

Pour résoudre P de x égale zéro quand P est de degré trois : cherche une racine apparente. Essaie zéro, un, moins un, deux, moins deux. Quand tu trouves alpha, factorise P par x moins alpha, et il reste un second degré, que tu résous avec delta. Par exemple x cube plus x carré moins deux : un est racine, et il reste x carré plus deux x plus deux, de delta négatif. Une seule solution : un.

Pour résoudre $P(x) = 0$ quand $P$ est de degré $3$ (ou plus) :

1.chercher une racine apparente : on essaie les petites valeurs simples, $0,$ $1,$ $-1,$ $2,$ $-2$ … ;
2.factoriser $P(x) = (x - \alpha)\,Q(x)$ par identification ;
3.résoudre $Q(x) = 0$ — au degré $2,$ avec le discriminant ;
4.réunir les solutions.

Exemple : $x^{3} + x^{2} - 2 = 0.$ On voit que $1 + 1 - 2 = 0$ : $1$ est racine, et $x^{3} + x^{2} - 2 = (x - 1)(x^{2} + 2x + 2).$ Le discriminant de $x^{2} + 2x + 2$ est $4 - 8 = -4 < 0$ : $S = \{1\}.$

Pour résoudre $f(x) = g(x),$ on étudie $h = f - g.$ Avec $f(x) = x^{3} - 5x^{2} + x + 6$ et $g(x) = x^{2} - 2x - 4,$ $f(2) = g(2) = -4,$ donc $2$ est racine de $h(x) = x^{3} - 6x^{2} + 3x + 10 = (x - 2)(x + 1)(x - 5),$ et $f(x) = g(x) \iff x \in \{-1 ; 2 ; 5\}.$

produit nul

P(x) = 0 \iff (x - \alpha)\,Q(x) = 0 \iff x = \alpha \ \text{ou} \ Q(x) = 0

Exemple traité

Résoudre $4x^{3} + x^{2} - 11x + 6 = 0,$ sachant que $1$ et $-2$ en sont des solutions.

Vérifier — $4 + 1 - 11 + 6 = 0, \quad -32 + 4 + 22 + 6 = 0$
Factoriser — $(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2$ ; le quotient est de degré $1,$ de la forme $4x + c,$ et le terme constant donne $-2c = 6.$ $4x^{3} + x^{2} - 11x + 6 = (x - 1)(x + 2)(4x - 3)$
Résoudre — $4x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{4}$

S = \left\{-2 ; \frac{3}{4} ; 1\right\}

À ne pas faire : $x^{3} + x^{2} - 2 = 0$ : $S = \{1 ; -1 \pm i\}$ — $S = \{1\}$ dans $\mathbb{R}$ . Quand son discriminant est négatif, le facteur du second degré n'a aucune racine réelle.

À ne pas faire : Résoudre $f(x) = g(x)$ en cherchant les racines de $f,$ puis celles de $g$ — On cherche les racines de $h = f - g$ . Une solution de $f(x) = g(x)$ n'annule ni $f$ ni $g$ en général : $f(2) = g(2) = -4.$

18. Méthode

Signe d'un polynôme et inéquations

Ce qu’il dit

Bech ta3ref le signe mta3 polynôme, walla t7ell inéquation : 7ott koll chay fi membre wa7ed, w ba3d factoriser el kol. A3mel tableau de signes, ligne l koll facteur, w el règle des signes. W facteur du second degré ma 3andouch racine, yo93ed dima b nafs le signe mta3 le coefficient de x carré. W fel e5er rodd belek lel crochets : inégalité stricte, les racines ma yod5louch.

باش تعرف le signe متاع polynôme ، ولّا تحلّ inéquation : حطّ كل شي في membre واحد ، w بعد factoriser الكل . اعمل tableau de signes ، ligne لكل facteur ، w الـ règle des signes . w facteur du second degré ما عندوش racine ، يقعد ديما بنفس le signe متاع le coefficient de x carré . w في الآخر رد بالك للـ crochets : inégalité stricte ، les racines ما يدخلوش .

Pour étudier le signe d'un polynôme, ou résoudre une inéquation : mets tout dans un membre, puis factorise complètement. Fais un tableau de signes, une ligne par facteur, et applique la règle des signes. Un facteur du second degré sans racine garde toujours le signe de son coefficient de x carré. Et à la fin, attention aux crochets : pour une inégalité stricte, les racines sont exclues.

Pour étudier le signe de $P(x),$ ou résoudre $P(x) > 0$ :

1.tout ramener dans un membre : $f(x) > g(x) \iff f(x) - g(x) > 0$ ;
2.factoriser complètement, à l'aide des racines ;
3.dresser le tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes ;
4.lire l'ensemble des solutions, avec les bons crochets.

Exemple : $P(x) = x^{3} - 4x^{2} - 2x + 8,$ $P(4) = 0,$ et $P(x) = (x - 4)(x^{2} - 2) = (x - 4)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}).$ Avec les racines rangées, $-\sqrt{2} < \sqrt{2} < 4$ :

$x$	$]-\infty ; -\sqrt{2}[$	$]-\sqrt{2} ; \sqrt{2}[$	$]\sqrt{2} ; 4[$	$]4 ; +\infty[$
$P(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

$x$	$P(x)$
$]-\infty ; -\sqrt{2}[$	$-$
$]-\sqrt{2} ; \sqrt{2}[$	$+$
$]\sqrt{2} ; 4[$	$-$
$]4 ; +\infty[$	$+$

Un facteur du second degré sans racine garde le signe de son coefficient de $x^{2}$ : il ne change pas le signe, il se « traverse ».

factorisation complète

x^{3} - 4x^{2} - 2x + 8 = (x - 4)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})

Exemple traité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^{3} - 3x < 2 - 3x^{2}.$

Un membre — $2x^{3} - 3x < 2 - 3x^{2} \iff 2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 < 0$
Racine — $1$ est une racine apparente : $2 + 3 - 3 - 2 = 0.$ $2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 = (x - 1)(2x^{2} + 5x + 2)$
Factoriser — $2x^{2} + 5x + 2$ a pour racines $-2$ et $-\dfrac{1}{2}.$ $2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 = (x - 1)(x + 2)(2x + 1)$
Signes — De gauche à droite, avec les racines $-2 < -\dfrac{1}{2} < 1$ : $-,$ $+,$ $-,$ $+.$ $S = \,]-\infty ; -2[ \,\cup\, \left]-\frac{1}{2} ; 1\right[$

S = \,]-\infty ; -2[ \,\cup\, \left]-\tfrac{1}{2} ; 1\right[

À ne pas faire : $x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 > 0 \iff x + 1 > 0,$ sans justifier — $x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 = (x + 1)(x^{2} + x + 3)$ et $x^{2} + x + 3 > 0$ car $\Delta = -11 < 0$ . On n'efface un facteur que si l'on sait qu'il est strictement positif.

À ne pas faire : $P(x) > 0$ sur $[4 ; +\infty[$ — $P(x) > 0$ sur $]4 ; +\infty[$ . En $4,$ $P(4) = 0$ : pour une inégalité stricte, le crochet est ouvert.

19. Activité

Somme et produit de trois racines

Ce qu’il dit

Ki a x cube plus b x carré plus c x plus d 3andou trois racines alpha, beta w gamma, nektbouh a fois, x moins alpha, fois, x moins beta, fois, x moins gamma. Ndévelopper w nidentifier : la somme alpha plus beta plus gamma égale moins b sur a, w le produit alpha beta gamma égale moins d sur a. Hakka na7sbou barcha 7wayej 3la les racines, blech ma nal9awhom.

كي a x cube plus b x carré plus c x plus d عندو trois racines alpha ، beta w gamma ، نكتبوه a fois , x moins alpha , fois , x moins beta , fois , x moins gamma . نـ développer w نـ identifier : la somme alpha plus beta plus gamma égale moins b sur a ، w le produit alpha beta gamma égale moins d sur a . هكّا نحسبو برشا حاجات على les racines ، بلاش ما نلقاوهم .

Quand a x cube plus b x carré plus c x plus d a trois racines alpha, bêta et gamma, on l'écrit a fois, x moins alpha, fois, x moins bêta, fois, x moins gamma. On développe et on identifie : la somme alpha plus bêta plus gamma vaut moins b sur a, et le produit alpha bêta gamma vaut moins d sur a. On calcule ainsi beaucoup de choses sur les racines sans les trouver.

Supposons que $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ ( $a \ne 0$ ) admette trois racines distinctes $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma.$ Alors $P(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma),$ et en développant puis en identifiant :

$\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \qquad$ $\displaystyle \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \qquad$ $\displaystyle \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$

On en tire, sans calculer les racines : $\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ et, si aucune n'est nulle, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}.$

Application : trois réels de somme $5,$ de produit $-1$ et tels que $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ seraient les racines de $x^{3} - 5x^{2} + 3x + 1.$ Or $1$ en est une racine apparente, et $x^{3} - 5x^{2} + 3x + 1 = (x - 1)(x^{2} - 4x - 1)$ : ils existent, ce sont $1,$ $2 - \sqrt{5}$ et $2 + \sqrt{5}.$

développer pour identifier

a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = a\left[x^{3} - (\alpha + \beta + \gamma)x^{2} + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\right]

Exemple traité

$P(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6$ admet trois racines distinctes : $\alpha,$ $\beta$ et une troisième $\gamma.$ Sans les calculer, donner leur somme, leur produit, et la somme de leurs produits deux à deux.

Coefficients — $a = 1, \quad b = 2, \quad c = -5, \quad d = -6$
Formules — La somme vaut $-\dfrac{b}{a} = -2,$ le produit $-\dfrac{d}{a} = 6,$ et la somme des produits deux à deux $\dfrac{c}{a} = -5.$ $\alpha + \beta + \gamma = -2, \quad \alpha\beta\gamma = 6, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -5$
Contrôle — $-1$ est racine apparente, et $P(x) = (x + 1)(x + 3)(x - 2)$ : les racines $-3,$ $-1,$ $2$ ont bien pour somme $-2$ et pour produit $6.$ $(-3) \times (-1) \times 2 = 6$

\text{somme } -2, \ \ \text{produit } 6, \ \ \text{somme des produits deux à deux } -5

À ne pas faire : $\alpha\beta\gamma = \dfrac{d}{a}$ — $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$ . Au degré $3,$ en développant, le terme constant vaut $-a$ fois le produit des trois racines : ce produit vaut donc $-\dfrac{d}{a}.$

20. Activité

Polynômes symétriques

Ce qu’il dit

Polynôme symétrique, les coefficients yet9rew kif kif men ezzouz jhet. Fi degré trois, a x cube plus b x carré plus b x plus a, moins un dima racine apparente : moins a plus b moins b plus a, zéro. W fi degré quatre, nediviser 3la x carré, w n7ottou X égale x plus un sur x : x carré plus un sur x carré twalli X carré moins deux, w yarja3lna second degré.

polynôme symétrique ، les coefficients يتقراو كيف كيف من الزوز جهات . في degré trois ، a x cube plus b x carré plus b x plus a ، moins un ديما racine apparente : moins a plus b moins b plus a ، zéro . w في degré quatre ، نـ diviser على x carré ، w نحطّو X égale x plus un sur x : x carré plus un sur x carré تولّي X carré moins deux ، w يرجعلنا second degré .

Dans un polynôme symétrique, les coefficients se lisent pareil dans les deux sens. Au degré trois, a x cube plus b x carré plus b x plus a, moins un est toujours racine apparente : moins a plus b moins b plus a, zéro. Au degré quatre, on divise par x carré, et on pose grand X égale x plus un sur x : x carré plus un sur x carré devient X carré moins deux, et on retombe sur un second degré.

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients — $a,$ $b,$ $b,$ $a$ au degré $3,$ $2,$ $-9,$ $14,$ $-9,$ $2$ au degré $4$ — se lisent de la même façon dans les deux sens.

Degré 3. $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + bx + a$ ( $a \ne 0$ ) : $f(-1) = -a + b - b + a = 0,$ donc $-1$ est une racine apparente, et

$ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right).$

Le nombre de solutions de $f(x) = 0$ : le trinôme $ax^{2} + (b - a)x + a$ a pour discriminant $(b - a)^{2} - 4a^{2} = (b - 3a)(b + a),$ et il n'admet $-1$ pour racine que si $b = 3a.$

si $(b - 3a)(b + a) < 0$ : une seule solution, $-1$ ;
si $b = 3a$ : $f(x) = a(x + 1)^{3},$ une seule solution, $-1$ ;
si $b = -a$ : le trinôme vaut $a(x - 1)^{2},$ deux solutions, $-1$ et $1$ ;
si $(b - 3a)(b + a) > 0$ : trois solutions distinctes.

Degré 4. Pour $2x^{4} - 9x^{3} + 14x^{2} - 9x + 2 = 0$ : $0$ n'est pas solution, on divise par $x^{2}$ et l'on regroupe :

$2\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 9\left(x + \frac{1}{x}\right) + 14 = 0.$

On pose $X = x + \dfrac{1}{x}$ ; comme $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2,$ l'équation devient $2X^{2} - 9X + 10 = 0,$ de solutions $X = 2$ et $X = \dfrac{5}{2}.$ Puis $x + \dfrac{1}{x} = 2$ donne $x = 1,$ et $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$ donne $x = 2$ ou $x = \dfrac{1}{2}$ : $S = \left\{\dfrac{1}{2} ; 1 ; 2\right\}.$

symétrique de degré 3

ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right)

symétrique de degré 4

X = x + \frac{1}{x} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2

Exemple traité

Résoudre $2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 2 = 0$ et préciser le signe de $f(x) = 2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 2.$

Factoriser — $a = 2,$ $b = 5$ : $b - a = 3.$ $f(x) = (x + 1)(2x^{2} + 3x + 2)$
Le trinôme — Son discriminant est négatif : il est toujours strictement positif. $\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$
Conclure — $f(x)$ a le signe de $x + 1$ : négatif avant $-1,$ positif après. $S = \{-1\}$

S = \{-1\}

À ne pas faire : $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2}$ — $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2$ . $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}$ : le double produit vaut $2.$

21. Définition

Fonctions rationnelles

Ce qu’il dit

F w g zouz polynômes : x yemchi l f de x sur g de x, hedhi fonction rationnelle. Mo3arrfa ki le dénominateur mouch zéro : D houwa les réels elli g de x différent de zéro fihom. Ba3d nfactoriser el fou9 w el louta, w nsimplifier. Rodd belek : D nal9awh 9bal la simplification, mouch ba3dha. W nsimplifier ken des facteurs, 3omrek ma tsimplifier des termes.

f w g زوز polynômes : x يمشي لـ f de x sur g de x ، هاذي fonction rationnelle . معرّفة كي le dénominateur موش zéro : D هو les réels إلّي g de x différent de zéro فيهم . بعد نـ factoriser الفوق w اللوطة ، w نـ simplifier . رد بالك : D نلقاوه قْبَلْ la simplification ، موش بعدها . w نـ simplifier كان des facteurs ، عمرك ما تـ simplifier des termes .

Soient f et g deux polynômes : la fonction qui à x associe f de x sur g de x est une fonction rationnelle. Elle est définie quand le dénominateur n'est pas nul : D est l'ensemble des réels x tels que g de x est différent de zéro. Ensuite, on factorise le numérateur et le dénominateur, et on simplifie. Attention : D se détermine avant la simplification, pas après. Et on ne simplifie que des facteurs, jamais des termes.

Définition. Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes. La fonction $h : x \mapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}$ est appelée fonction rationnelle.

Elle est définie là où le dénominateur ne s'annule pas : son ensemble de définition est $D = \{x \in \mathbb{R} \,;\, g(x) \ne 0\}.$ On factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie pour $x \in D.$

Exemple : $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - x + 2$ et $g(x) = x^{2} + x - 6.$ $f(2) = 0$ et $f(x) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)$ ; $g(x) = (x - 2)(x + 3).$ Donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 2\}$ et, pour $x \in D,$

$h(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 3}.$

Autre exemple, sur la figure : $ABC$ est rectangle en $B,$ $AB = h,$ $BC = x,$ et le demi-cercle de centre $O,$ de rayon $1,$ est tangent à $(AC)$ en $H.$ On a $CH = CB = x$ et $\tan\widehat{BAC} = \dfrac{x}{h} = \dfrac{OH}{AH} = \dfrac{1}{AH},$ d'où $AH = \dfrac{h}{x}$ ; Pythagore dans $ABC$ donne $\left(\dfrac{h}{x} + x\right)^{2} = h^{2} + x^{2},$ c'est-à-dire $h = \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - 1}$ — une fonction rationnelle de $x.$

Le demi-cercle de centre O et de rayon 1 est tangent à (AC) en H ; AB = h et BC = x.

Un triangle ABC rectangle en B : A à gauche, B en bas à droite, C au-dessus de B. Un demi-cercle de centre O, posé sur le segment [AB], a pour rayon 1 et passe par B ; il est tangent à la droite (AC) au point H, et le rayon [OH] est perpendiculaire à (AC). On note AB = h et BC = x.

fonction rationnelle

h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \qquad D = \{x \in \mathbb{R} \,;\, g(x) \ne 0\}

la hauteur h en fonction de x

h = \frac{2x^{2}}{x^{2} - 1}

Exemple traité

Dans la figure, avec $h = \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - 1},$ peut-on avoir $h = 2$ ? $h = 3$ ? $h = \dfrac{9}{4}$ ?

Premier cas — $\frac{2x^{2}}{x^{2} - 1} = 2 \iff 2x^{2} = 2x^{2} - 2 \iff 0 = -2$
Impossible : on ne peut pas avoir $h = 2.$
Deuxième cas — $2x^{2} = 3x^{2} - 3 \iff x^{2} = 3 \iff x = \sqrt{3}$
Troisième cas — $8x^{2} = 9x^{2} - 9 \iff x^{2} = 9 \iff x = 3$

h = 2 \text{ impossible} ; \ h = 3 \text{ pour } x = \sqrt{3} ; \ h = \tfrac{9}{4} \text{ pour } x = 3

À ne pas faire : $h(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x + 3},$ donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ — $D = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 2\}$ . L'ensemble de définition se lit sur le dénominateur avant simplification : $g(2) = 0.$

À ne pas faire : $\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x$ — $\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ pour $x \ne 1$ . On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes : on factorise d'abord.

22. Activité

Décomposer pour calculer une somme

Ce qu’il dit

Un sur, x fois, x plus un, nektbouha un sur x moins un sur, x plus un : réduis au même dénominateur w tal9aha. W biha na7sbou la somme un sur un fois deux, plus un sur deux fois trois, 7atta un sur n fois, n plus un : koll terme yetna77a m3a elli ba3dou, w ma yo93ed ken un moins un sur, n plus un, ya3ni n sur, n plus un.

un sur , x fois , x plus un ، نكتبوها un sur x moins un sur , x plus un : réduis au même dénominateur w تلقاها . w بيها نحسبو la somme un sur un fois deux ، plus un sur deux fois trois ، حتى un sur n fois , n plus un : كل terme يتنحّى مع اللي بعدو ، w ما يقعد كان un moins un sur , n plus un ، يعني n sur , n plus un .

Un sur, x fois, x plus un, s'écrit un sur x moins un sur, x plus un : réduis au même dénominateur pour le vérifier. Cela permet de calculer la somme un sur un fois deux, plus un sur deux fois trois, jusqu'à un sur n fois, n plus un : chaque terme s'annule avec le suivant, et il ne reste que un moins un sur, n plus un, soit n sur, n plus un.

Une fonction rationnelle se décompose parfois en somme de fractions plus simples, ce qui permet de calculer des sommes « en cascade ».

1) Pour tout réel $x$ différent de $0$ et de $-1$ :

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}.$

(On cherche $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 1} = \dfrac{(a + b)x + a}{x(x + 1)}$ : par identification $a + b = 0$ et $a = 1.$ )

Alors, en écrivant chaque terme ainsi, tout se simplifie sauf le premier et le dernier :

$S_{1} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}.$

2) De même $\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{2(x + 2)},$ ce qui conduit à $S_{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2(n + 1)(n + 2)}.$

3) Enfin $\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)} - \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}\right)$ : la somme se simplifie encore en cascade, et $S_{3} = \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \dots + \dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} = \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{3(n + 1)(n + 2)(n + 3)}.$

la décomposition

\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

la somme S₁

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Exemple traité

Calculer $\dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5}$ avec la décomposition vue ci-dessus.

Décomposer — $\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)$
Simplifier — Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux. $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

\frac{4}{5}

À ne pas faire : $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1}$ — $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$ . Avec le $+,$ on obtiendrait $\dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$ : on vérifie en réduisant au même dénominateur.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

Un polynôme : $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ ; avec $a_{n} \ne 0,$ son degré est $n.$ Le polynôme nul n'a pas de degré.Polynôme houwa a n x puissance n plus ... plus a zéro, w ki a n mouch zéro, le degré n. Le polynôme nul ma 3andouch degré.Un polynôme s'écrit a n x puissance n plus ... plus a zéro, et si a n n'est pas nul, son degré est n. Le polynôme nul n'a pas de degré.
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ; deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients.Polynôme nul, ya3ni les coefficients el kol nuls ; w zouz polynômes égaux, ya3ni nafs les coefficients.Un polynôme est nul si tous ses coefficients sont nuls ; deux polynômes sont égaux s'ils ont les mêmes coefficients.
$d°(fg) = d°(f) + d°(g)$ ; le degré d'une somme peut baisser.Le degré mta3 le produit houwa la somme des degrés, w le degré mta3 la somme ynajjem yahbet.Le degré d'un produit est la somme des degrés, et le degré d'une somme peut baisser.
$\alpha$ est racine de $f$ si $f(\alpha) = 0.$ Alpha racine, ken f de alpha égale zéro.Alpha est racine si f de alpha égale zéro.
$f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x),$ avec $d°(g) = n - 1$ ; $g$ s'obtient par identification ou par division.Alpha racine, ya3ni f de x égale, x moins alpha, fois g de x, w g de degré n moins un ; nal9awh bel identification walla bel division.Alpha est racine signifie f de x égale, x moins alpha, fois g de x, avec g de degré n moins un ; on le trouve par identification ou par division.
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.Polynôme de degré n 3andou au plus n racines.Un polynôme de degré n a au plus n racines.
Équation ou inéquation de degré $3$ : racine apparente, factorisation, puis discriminant et tableau de signes.Fi degré trois : racine apparente, factorisation, w ba3d delta w tableau de signes.Au degré trois : racine apparente, factorisation, puis delta et tableau de signes.
Fonction rationnelle $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ : définie si $g(x) \ne 0$ ; on factorise, puis on simplifie des facteurs.Fonction rationnelle f de x sur g de x, mo3arrfa ki g de x mouch zéro ; factoriser, w ba3d simplifier des facteurs.Une fonction rationnelle f de x sur g de x est définie quand g de x n'est pas nul ; on factorise, puis on simplifie des facteurs.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : 9bal ma te9ra le degré, réduire. Ki tal9a racine alpha, factoriser b x moins alpha, w Q tal9ah bel identification. W fi fonction rationnelle, D 9bal la simplification. Yalla lel exercices.

هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : قْبَلْ ما تقرا le degré ، réduire . كي تلقى racine alpha ، factoriser بـ x moins alpha ، w Q تلقاه بالـ identification . w في fonction rationnelle ، D قْبَلْ la simplification . يالله للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : avant de lire le degré, réduis. Quand tu trouves une racine alpha, factorise par x moins alpha, et trouve Q par identification. Et pour une fonction rationnelle, cherche D avant de simplifier. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Notion de fonction

kifech nal9a l'ensemble de définition
comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction
ensemble de definition chnowa
c'est quoi l'ensemble de définition

Ce qu’il répond

L'ensemble de définition houwa les réels x elli f de x mawjouda fihom. Polynôme mo3arref 3la IR kemel. Ki famma quotient, le dénominateur ma ykounech zéro ; w ki famma racine carrée, elli ta7tha lezem positive walla nulle.

l'ensemble de définition هو les réels x إلّي f de x موجودة فيهم . polynôme معرّف على IR كامل . كي فمّا quotient ، le dénominateur ما يكونش zéro ؛ w كي فمّا racine carrée ، اللي تحتها لازم positive ولّا nulle .

L'ensemble de définition est formé des réels x pour lesquels f de x existe. Un polynôme est défini sur tout IR. Avec un quotient, le dénominateur ne doit pas être nul ; avec une racine carrée, ce qui est dessous doit être positif ou nul.

Question 2 · Notion de fonction

chnowa el far9 bin image w antécédent
différence entre image et antécédent
c'est quoi un antécédent
antecedent ma fhemtech

Ce qu’il répond

Ki y égale f de x : y houwa l'image de x, w x houwa un antécédent de y. L'image ta7sebha : t3awedh x. Ama l'antécédent tlawwej 3lih : t7ell l'équation f de x égale y. W réel wa7ed ynajjem ykoun 3andou barcha antécédents.

كي y égale f de x : y هو l'image de x ، w x هو un antécédent de y . l'image تحسبها : تعوّض x . أما l'antécédent تلوّج عليه : تحلّ l'équation f de x égale y . w réel واحد ينجّم يكون عندو برشا antécédents .

Si y égale f de x : y est l'image de x, et x est un antécédent de y. L'image se calcule en remplaçant x. L'antécédent se cherche en résolvant l'équation f de x égale y. Et un même réel peut avoir plusieurs antécédents.

Question 3 · Fonction polynôme

chnowa polynome
c'est quoi un polynôme
définition d'un polynôme
polynome ma3neha chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$f(x) = a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}$

Ce qu’il répond

Polynôme hiya fonction mo3arrfa 3la IR, tetekteb a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un plus ... plus a un x plus a zéro. Les réels a n, ..., a zéro houma les coefficients. Ya3ni somme mta3 termes, koll terme réel fois x puissance entier naturel.

polynôme هي fonction معرّفة على IR ، تتكتب a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un plus ... plus a un x plus a zéro . les réels a n ، ... ، a zéro هوما les coefficients . يعني somme متاع termes ، كل terme réel fois x puissance entier naturel .

Un polynôme est une fonction définie sur IR qui s'écrit a n x puissance n plus a n moins un x puissance n moins un plus ... plus a un x plus a zéro. Les réels a n, ..., a zéro sont ses coefficients. C'est une somme de termes, chacun égal à un réel fois x puissance un entier naturel.

Question 4 · Reconnaître un polynôme

valeur absolue de x polynome walla le
est-ce que valeur absolue de x est un polynôme
racine de x c'est un polynôme
3lech racine de x mouch polynome

Ce qu’il répond

La. Valeur absolue de x, racine de x, walla un sur x, ma yetektbouch a n x puissance n plus ... plus a zéro : mouch polynômes. Ama x fois racine de deux, walla deux tiers x carré, polynômes : la racine walla la fraction 3la nombre, mouch 3la x.

لا . valeur absolue de x ، racine de x ، ولّا un sur x ، ما يتكتبوش a n x puissance n plus ... plus a zéro : موش polynômes . أما x fois racine de deux ، ولّا deux tiers x carré ، polynômes : la racine ولّا la fraction على nombre ، موش على x .

Non. Valeur absolue de x, racine de x, ou un sur x ne s'écrivent pas sous la forme a n x puissance n plus ... plus a zéro : ce ne sont pas des polynômes. En revanche x fois racine de deux, ou deux tiers x carré, sont des polynômes : la racine ou la fraction porte sur un nombre, pas sur x.

Question 5 · Fonction polynôme

c'est quoi le polynôme nul
polynome nul chnowa
quand est-ce qu'on dit polynôme nul
polynome nul ma3neha

Ce qu’il répond

Le polynôme nul houwa elli les coefficients mte3ou el kol nuls : ya3ti zéro pour tout réel x. W rodd belek, polynôme yetna77a fi no9ta walla zouz mouch dharouri nul : x carré moins cinq x plus six yetna77a fi deux w trois, ama ya3ti six fi zéro.

le polynôme nul هو إلّي les coefficients متاعو الكل nuls : يعطي zéro pour tout réel x . w رد بالك ، polynôme يتنحّى في نقطة ولّا زوز موش ضروري nul : x carré moins cinq x plus six يتنحّى في deux w trois ، أما يعطي six في zéro .

Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls : il vaut zéro pour tout réel x. Attention, un polynôme qui s'annule en un ou deux points n'est pas forcément nul : x carré moins cinq x plus six s'annule en deux et en trois, mais vaut six en zéro.

Question 6 · Égalité de deux polynômes

kifech na3ref zouz polynomes egaux
quand deux polynômes sont-ils égaux
deux polynômes égaux c'est quoi la condition
égalité de deux polynômes

Ce qu’il répond

Zouz polynômes égaux pour tout réel x, ken 3andhom nafs le degré, w les coefficients mta3 nafs le degré égaux. Mouch yekfi yetsewew fi no9ta walla zouz : lezem pour tout x. W hedha houwa asès la méthode d'identification.

زوز polynômes égaux pour tout réel x ، كان عندهم نفس le degré ، w les coefficients متاع نفس le degré égaux . موش يكفي يتساواو في نقطة ولّا زوز : لازم pour tout x . w هذا هو أساس la méthode d'identification .

Deux polynômes sont égaux pour tout réel x s'ils ont le même degré et si les coefficients des termes de même degré sont égaux. Il ne suffit pas qu'ils coïncident en un ou deux points : il faut l'égalité pour tout x. C'est la base de la méthode d'identification.

Question 7 · Trouver le quotient par identification

chnowa la méthode d'identification
comment faire une identification
kifech nidentifier les coefficients
méthode d'identification c'est quoi

Ce qu’il répond

Tekteb les deux membres kif kif : tdévelopper ejjiha elli fiha les inconnues a, b, c, w ba3d tsawi les coefficients mta3 nafs le degré : x cube m3a x cube, x carré m3a x carré, 7atta le terme constant. Yo5rojlek système bsit. W el coefficient elli yo93ed, esta3mlou bech tthabbet.

تكتب les deux membres كيف كيف : تـ développer الجهة إلّي فيها les inconnues a ، b ، c ، w بعد تساوي les coefficients متاع نفس le degré : x cube مع x cube ، x carré مع x carré ، حتى le terme constant . يخرجلك système بسيط . w الـ coefficient إلّي يقعد ، استعملو باش تثبّت .

Tu développes le membre qui contient les inconnues a, b, c, puis tu égales les coefficients de même degré : x cube avec x cube, x carré avec x carré, jusqu'au terme constant. Tu obtiens un système simple. Et le coefficient qui reste sert de contrôle.

Question 8 · Degré d'un polynôme

kifech na3ref le degré d'un polynôme
comment trouver le degré
c'est quoi le degré d'un polynôme
le degré chnowa

Ce qu’il répond

Le degré houwa akbar puissance mta3 x elli el coefficient mte3ha mouch zéro. Ama 9bal, réduire w ordonner : sa3at les termes el kbar yetna77aw. Mathalan, x moins un, au cube, moins x cube, degré deux mouch trois.

le degré هو أكبر puissance متاع x إلّي الـ coefficient متاعها موش zéro . أما قْبَلْ ، réduire w ordonner : ساعات les termes الكبار يتنحّاو . مثلا , x moins un , au cube , moins x cube ، degré deux موش trois .

Le degré est la plus grande puissance de x dont le coefficient n'est pas nul. Mais d'abord, réduis et ordonne : parfois les termes les plus hauts s'annulent. Par exemple, x moins un, au cube, moins x cube, est de degré deux, pas trois.

Question 9 · Degré d'un polynôme

le polynôme nul a quel degré
degre polynome nul chnowa
degré d'un polynôme constant
polynome constant degre zero

Ce qu’il répond

Polynôme constant non nul, kif cinq walla racine de deux, le degré mte3ou zéro. Ama le polynôme nul, ma 3andouch degré : hedhi convention, 5ater ma famma 7atta coefficient mouch zéro.

polynôme constant non nul ، كيف cinq ولّا racine de deux ، le degré متاعو zéro . أما le polynôme nul ، ما عندوش degré : هاذي convention ، خاطر ما فمّا حتى coefficient موش zéro .

Un polynôme constant non nul, comme cinq ou racine de deux, est de degré zéro. Le polynôme nul, lui, n'a pas de degré : c'est une convention, car il n'a aucun coefficient non nul.

Question 10 · Terme constant, monôme, binôme, trinôme

chnowa le terme du plus haut degré
c'est quoi le terme de plus haut degré
terme du plus haut degre kifech nal9ah
le coefficient dominant

Ce qu’il répond

Le terme du plus haut degré houwa a n x puissance n, elli fih akbar puissance. Mouch dima houwa el mekteb loul : ordonner loul. W le coefficient mte3ou a n, houwa elli y9arrer le degré.

le terme du plus haut degré هو a n x puissance n ، إلّي فيه أكبر puissance . موش ديما هو المكتوب اللوّل : ordonner اللوّل . w le coefficient متاعو a n ، هو إلّي يقرّر le degré .

Le terme du plus haut degré est a n x puissance n, celui qui porte la plus grande puissance. Il n'est pas toujours écrit en premier : ordonne d'abord. Et son coefficient a n est celui qui fixe le degré.

Question 11 · Terme constant, monôme, binôme, trinôme

chnowa el far9 bin monôme binôme w trinôme
différence entre monôme binôme et trinôme
c'est quoi un trinôme
binome ma3neha

Ce qu’il répond

Monôme houwa terme wa7ed, kif a k x puissance k. Binôme houwa polynôme du premier degré, a x plus b. W trinôme houwa polynôme du second degré, a x carré plus b x plus c.

monôme هو terme واحد ، كيف a k x puissance k . binôme هو polynôme du premier degré ، a x plus b . w trinôme هو polynôme du second degré ، a x carré plus b x plus c .

Un monôme est un seul terme, comme a k x puissance k. Un binôme est un polynôme du premier degré, a x plus b. Et un trinôme est un polynôme du second degré, a x carré plus b x plus c.

Question 12 · Degré d'une somme, d'un produit

le degré d'un produit de polynômes
degre mta3 produit kifech
degré de f fois g
degré quand on multiplie deux polynômes

Ce qu’il répond

Le degré mta3 le produit houwa la somme des degrés : 5ater x puissance n fois x puissance p ta3ti x puissance, n plus p. Mathalan polynôme de degré deux fois polynôme de degré cinq, degré sept. W mouch le produit des degrés.

le degré متاع le produit هو la somme des degrés : خاطر x puissance n fois x puissance p تعطي x puissance , n plus p . مثلا polynôme de degré deux fois polynôme de degré cinq ، degré sept . w موش le produit des degrés .

Le degré d'un produit est la somme des degrés : x puissance n fois x puissance p donne x puissance, n plus p. Par exemple un polynôme de degré deux fois un polynôme de degré cinq donne un degré sept. Ce n'est pas le produit des degrés.

Question 13 · Degré d'une somme, d'un produit

le degré d'une somme de polynômes
degre mta3 la somme
degré de la somme f plus g
pourquoi le degré de la somme baisse

Ce qu’il répond

Le degré mta3 la somme ma yfoutech akbar degré. Ama ynajjem yahbet : ki les termes du plus haut degré yetna77aw. Mathalan moins trois x carré plus sept x, w trois x carré moins x : la somme six x, degré un.

le degré متاع la somme ما يفوتش أكبر degré . أما ينجّم يهبط : كي les termes du plus haut degré يتنحّاو . مثلا moins trois x carré plus sept x ، w trois x carré moins x : la somme six x ، degré un .

Le degré d'une somme ne dépasse pas le plus grand des deux degrés. Mais il peut baisser, quand les termes de plus haut degré s'annulent. Par exemple moins trois x carré plus sept x, et trois x carré moins x : la somme vaut six x, de degré un.

Question 14 · Racine d'un polynôme

c'est quoi une racine d'un polynôme
racine mta3 polynome chnowa
définition racine d'un polynôme
racine ou zéro d'un polynôme c'est quoi

Ce qu’il écrit au tableau

$f(\alpha) = 0$

Ce qu’il répond

Alpha racine, walla zéro, mta3 polynôme f, ken f de alpha égale zéro. Ya3ni ki t3awedh x b alpha, tal9a zéro. Mouch la valeur elli tal9aha, houwa alpha elli 3awadhtou.

alpha racine ، ولّا zéro ، متاع polynôme f ، كان f de alpha égale zéro . يعني كي تعوّض x بـ alpha ، تلقى zéro . موش la valeur إلّي تلقاها ، هو alpha إلّي عوّضتو .

Alpha est une racine, ou un zéro, du polynôme f si f de alpha égale zéro. Autrement dit, en remplaçant x par alpha, on trouve zéro. La racine est le réel qu'on remplace, pas la valeur obtenue.

Question 15 · Racine d'un polynôme

kifech nthabbet elli alpha racine
comment montrer qu'un réel est une racine
vérifier qu'un nombre est racine d'un polynôme
montrer que alpha est une racine

Ce qu’il répond

3awedh x b alpha fi P de x, w a7seb bel behi : ken l9it zéro, alpha racine. Rodd belek lel puissances mta3 les nombres négatifs : moins deux puissance quatre égale seize, w moins deux au cube égale moins huit.

عوّض x بـ alpha في P de x ، w احسب بالباهي : كان لقيت zéro ، alpha racine . رد بالك للـ puissances متاع les nombres négatifs : moins deux puissance quatre égale seize ، w moins deux au cube égale moins huit .

Remplace x par alpha dans P de x, et calcule soigneusement : si tu trouves zéro, alpha est racine. Attention aux puissances des nombres négatifs : moins deux puissance quatre égale seize, et moins deux au cube égale moins huit.

Question 16 · Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

chnowa racine apparente
comment trouver une racine apparente
racine evidente kifech nal9aha
c'est quoi une racine évidente

Ce qu’il répond

Racine apparente hiya racine tben bel 3in : jarreb zéro, un, moins un, deux, moins deux. Mathalan ken la somme mta3 les coefficients zéro, un racine. W fi polynôme symétrique de degré trois, moins un dima racine.

racine apparente هي racine تبان بالعين : جرّب zéro ، un ، moins un ، deux ، moins deux . مثلا كان la somme متاع les coefficients zéro ، un racine . w في polynôme symétrique de degré trois ، moins un ديما racine .

Une racine apparente se voit à l'œil : essaie zéro, un, moins un, deux, moins deux. Par exemple, si la somme des coefficients est nulle, un est racine. Et pour un polynôme symétrique de degré trois, moins un est toujours racine.

Question 17 · Polynôme factorisable

chnowa factorisable par
c'est quoi un polynôme factorisable
P factorisable par Q ma3neha
que veut dire factorisable

Ce qu’il répond

P factorisable par Q, ma3neha famma polynôme R b 7aythou P de x égale Q de x fois R de x, pour tout réel x. Mathalan x carré moins un factorisable par x moins un, 5ater ysawi, x moins un, fois, x plus un.

P factorisable par Q ، معناها فمّا polynôme R بحيث P de x égale Q de x fois R de x ، pour tout réel x . مثلا x carré moins un factorisable par x moins un ، خاطر يساوي , x moins un , fois , x plus un .

P est factorisable par Q s'il existe un polynôme R tel que P de x égale Q de x fois R de x, pour tout réel x. Par exemple x carré moins un est factorisable par x moins un, car il vaut, x moins un, fois, x plus un.

Question 18 · Racine α et facteur (x − α)

3lech ki alpha racine nfactoriser b x moins alpha
pourquoi factoriser par x moins alpha
racine alpha et factorisation par x moins alpha
x moins alpha facteur kifech

Ce qu’il écrit au tableau

$f(\alpha) = 0 \iff f(x) = (x - \alpha)\,g(x)$

Ce qu’il répond

5ater P de x moins P de alpha dima factorisable par x moins alpha : x puissance k moins alpha puissance k fiha x moins alpha. W ken alpha racine, P de alpha égale zéro, donc P de x nafsha égale, x moins alpha, fois Q de x, w Q de degré n moins un.

خاطر P de x moins P de alpha ديما factorisable par x moins alpha : x puissance k moins alpha puissance k فيها x moins alpha . w كان alpha racine ، P de alpha égale zéro ، donc P de x نفسها égale , x moins alpha , fois Q de x ، w Q de degré n moins un .

Parce que P de x moins P de alpha est toujours factorisable par x moins alpha : chaque x puissance k moins alpha puissance k contient le facteur x moins alpha. Si alpha est racine, P de alpha égale zéro, donc P de x lui-même égale, x moins alpha, fois Q de x, avec Q de degré n moins un.

Question 19 · Racine α et facteur (x − α)

racine négative le facteur x plus deux walla x moins deux
racine négative quel facteur
si la racine est négative le facteur
racine negative nektbou x plus

Ce qu’il répond

Le facteur dima x moins alpha. Ken alpha égale moins deux, x moins, moins deux, ya3ni x plus deux. Donc racine négative ta3ti facteur b plus.

le facteur ديما x moins alpha . كان alpha égale moins deux ، x moins , moins deux ، يعني x plus deux . donc racine négative تعطي facteur بـ plus .

Le facteur est toujours x moins alpha. Si alpha égale moins deux, c'est x moins, moins deux, c'est-à-dire x plus deux. Une racine négative donne donc un facteur avec un plus.

Question 20 · La division suivant les puissances décroissantes

kifech na3mel la division des polynômes
comment faire la division suivant les puissances décroissantes
division euclidienne polynome
diviser un polynôme par un autre

Ce qu’il répond

Kif division mta3 les nombres : tchouf ken les termes du plus haut degré. Six x cube sur deux x, trois x carré : tektbou fi Q, tatra7 le produit, w t3awed bel be9i, 7atta yo93ed zéro. El résultat houwa nafsou elli tal9ah bel identification.

كيف division متاع les nombres : تشوف كان les termes du plus haut degré . six x cube sur deux x ، trois x carré : تكتبو في Q ، تطرح le produit ، w تعاود بالباقي ، حتى يقعد zéro . الـ résultat هو نفسو إلّي تلقاه بالـ identification .

Comme la division des nombres : tu ne regardes que les termes de plus haut degré. Six x cube sur deux x donne trois x carré : tu l'écris dans Q, tu retranches le produit, et tu recommences avec le reste, jusqu'à obtenir zéro. Le résultat est le même que par identification.

Question 21 · Deux racines, puis k racines

ki 3andi zouz racines kifech nfactoriser
factoriser avec deux racines
deux racines alpha et beta factorisation
zouz racines connues

Ce qu’il répond

Ken alpha w beta zouz racines, f factorisable par, x moins alpha, fois, x moins beta. Tdévelopper ezzouz facteurs, w ba3d tal9a g bel identification, w le degré mte3ou n moins deux.

كان alpha w beta زوز racines ، f factorisable par , x moins alpha , fois , x moins beta . تـ développer الزوز facteurs ، w بعد تلقى g بالـ identification ، w le degré متاعو n moins deux .

Si alpha et bêta sont deux racines, f est factorisable par, x moins alpha, fois, x moins bêta. Développe ces deux facteurs, puis trouve g par identification : il est de degré n moins deux.

Question 22 · Au plus n racines

9addech men racine 3and polynome
combien de racines a un polynôme
nombre maximum de racines
un polynôme de degré 3 a combien de racines

Ce qu’il répond

Polynôme de degré n 3andou au plus n racines. Degré trois, au plus trois. Ama au plus bark : ynajjem ykoun 3andou a9al, walla ma 3andou 7atta racine : x carré plus un, de degré deux, ma 3andou 7atta racine.

polynôme de degré n عندو au plus n racines . degré trois ، au plus trois . أما au plus برك : ينجّم يكون عندو أقل ، ولّا ما عندو حتى racine : x carré plus un ، de degré deux ، ما عندو حتى racine .

Un polynôme de degré n a au plus n racines. Au degré trois, au plus trois. Mais au plus seulement : il peut en avoir moins, ou même aucune : x carré plus un, de degré deux, n'en a pas.

Question 23 · Résoudre P(x) = 0 avec une racine apparente

kifech n7ell equation de degré trois
comment résoudre une équation de degré 3
résoudre x cube
equation du troisieme degre

Ce qu’il répond

Lawwej 3la racine apparente alpha, w factoriser : P de x égale, x moins alpha, fois Q de x. Q de degré deux, t7ellou b delta. W les solutions houma alpha w les racines mta3 Q.

لوّج على racine apparente alpha ، w factoriser : P de x égale , x moins alpha , fois Q de x . Q de degré deux ، تحلّو بـ delta . w les solutions هوما alpha w les racines متاع Q .

Cherche une racine apparente alpha, puis factorise : P de x égale, x moins alpha, fois Q de x. Q est de degré deux, tu le résous avec delta. Les solutions sont alpha et les racines de Q.

Question 24 · Signe d'un polynôme et inéquations

kifech na3ref le signe d'un polynôme
comment étudier le signe d'un polynôme
tableau de signes d'un polynôme
signe mta3 polynome de degre trois

Ce qu’il répond

Factoriser loul, w ba3d a3mel tableau de signes : ligne l koll facteur, w el règle des signes fel e5er. Facteur du second degré blech racine, ye5ou dima le signe mta3 le coefficient de x carré.

factoriser اللوّل ، w بعد اعمل tableau de signes : ligne لكل facteur ، w الـ règle des signes في الآخر . facteur du second degré بلاش racine ، ياخذ ديما le signe متاع le coefficient de x carré .

Factorise d'abord, puis fais un tableau de signes : une ligne par facteur, et la règle des signes à la fin. Un facteur du second degré sans racine a toujours le signe de son coefficient de x carré.

Question 25 · Signe d'un polynôme et inéquations

kifech n7ell inéquation de degré trois
comment résoudre une inéquation avec un polynôme
inequation f de x superieur a g de x
résoudre une inéquation polynôme

Ce qu’il répond

7ott koll chay fi membre wa7ed : f de x supérieur à g de x, ya3ni f de x moins g de x supérieur à zéro. Factoriser, tableau de signes, w ba3d e9ra les intervalles. Inégalité stricte, crochets ouverts 3and les racines.

حطّ كل شي في membre واحد : f de x supérieur à g de x ، يعني f de x moins g de x supérieur à zéro . factoriser ، tableau de signes ، w بعد اقرا les intervalles . inégalité stricte ، crochets ouverts عند les racines .

Mets tout dans un membre : f de x supérieur à g de x revient à f de x moins g de x supérieur à zéro. Factorise, fais le tableau de signes, puis lis les intervalles. Pour une inégalité stricte, les crochets sont ouverts aux racines.

Question 26 · Somme et produit de trois racines

la somme des racines alpha plus beta plus gamma
alpha beta gamma sans calculer les racines
somme et produit de trois racines
produit des trois racines alpha beta gamma

Ce qu’il écrit au tableau

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

Ce qu’il répond

Ki a x cube plus b x carré plus c x plus d 3andou trois racines alpha, beta, gamma : la somme moins b sur a, le produit moins d sur a, w alpha beta plus beta gamma plus gamma alpha égale c sur a. Nal9awhom bel identification m3a a fois, x moins alpha, fois, x moins beta, fois, x moins gamma.

كي a x cube plus b x carré plus c x plus d عندو trois racines alpha ، beta ، gamma : la somme moins b sur a ، le produit moins d sur a ، w alpha beta plus beta gamma plus gamma alpha égale c sur a . نلقاوهم بالـ identification مع a fois , x moins alpha , fois , x moins beta , fois , x moins gamma .

Quand a x cube plus b x carré plus c x plus d a trois racines alpha, bêta, gamma : la somme vaut moins b sur a, le produit moins d sur a, et alpha bêta plus bêta gamma plus gamma alpha vaut c sur a. On les obtient par identification avec a fois, x moins alpha, fois, x moins bêta, fois, x moins gamma.

Question 27 · Polynômes symétriques

chnowa polynome symetrique
c'est quoi un polynôme symétrique
comment résoudre un polynôme symétrique
symétrique de degré quatre kifech

Ce qu’il répond

Nsammiw hakka polynôme kima a x cube plus b x carré plus b x plus a : les coefficients a, b, b, a yet9rew kif kif men ezzouz jhet. Fi degré trois, moins un dima racine. W fi degré quatre, nediviser 3la x carré w n7ottou X égale x plus un sur x, yarja3 second degré.

نسمّيو هكّا polynôme كيما a x cube plus b x carré plus b x plus a : les coefficients a ، b ، b ، a يتقراو كيف كيف من الزوز جهات . في degré trois ، moins un ديما racine . w في degré quatre ، نـ diviser على x carré w نحطّو X égale x plus un sur x ، يرجع second degré .

On appelle ainsi un polynôme comme a x cube plus b x carré plus b x plus a : ses coefficients a, b, b, a se lisent pareil dans les deux sens. Au degré trois, moins un est toujours racine. Au degré quatre, on divise par x carré et on pose X égale x plus un sur x : on retombe sur un second degré.

Question 28 · Fonctions rationnelles

chnowa fonction rationnelle
c'est quoi une fonction rationnelle
définition fonction rationnelle
fonction rationnelle ensemble de définition

Ce qu’il répond

Fonction rationnelle hiya quotient mta3 zouz polynômes : f de x sur g de x. Mo3arrfa ki g de x mouch zéro : t7ell g de x égale zéro w tna77i les solutions men IR.

fonction rationnelle هي quotient متاع زوز polynômes : f de x sur g de x . معرّفة كي g de x موش zéro : تحلّ g de x égale zéro w تنحّي les solutions من IR .

Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes : f de x sur g de x. Elle est définie quand g de x n'est pas nul : on résout g de x égale zéro et on retire ces solutions de IR.

Question 29 · Fonctions rationnelles

kifech nsimplifi fonction rationnelle
comment simplifier une fraction de polynômes
simplifier f de x sur g de x
simplification quotient de polynomes

Ce qu’il répond

Factoriser el fou9 w el louta, w ba3d na77i les facteurs el mochtarkin. Ken des facteurs, 3omrek ma tna77i des termes. W rodd belek : l'ensemble de définition tal9ah 9bal la simplification, w les valeurs interdites yo93dou interdites.

factoriser الفوق w اللوطة ، w بعد نحّي les facteurs المشتركين . كان des facteurs ، عمرك ما تنحّي des termes . w رد بالك : l'ensemble de définition تلقاه قْبَلْ la simplification ، w les valeurs interdites يقعدو interdites .

Factorise le numérateur et le dénominateur, puis retire les facteurs communs. Seulement des facteurs, jamais des termes. Et attention : l'ensemble de définition se cherche avant la simplification, et les valeurs interdites le restent.

Question 30 · Décomposer pour calculer une somme

kifech na7seb la somme un sur n fois n plus un
comment calculer la somme 1 sur 1x2 plus 1 sur 2x3
somme télescopique
décomposer une fraction rationnelle

Ce qu’il écrit au tableau

$\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

Ce qu’il répond

Nektbou un sur, k fois, k plus un, un sur k moins un sur, k plus un. Ki njam3ou, koll terme yetna77a m3a elli ba3dou, w ma yo93ed ken le premier w le dernier : un moins un sur, n plus un, ya3ni n sur, n plus un.

نكتبو un sur , k fois , k plus un ، un sur k moins un sur , k plus un . كي نجمعو ، كل terme يتنحّى مع اللي بعدو ، w ما يقعد كان le premier w le dernier : un moins un sur , n plus un ، يعني n sur , n plus un .

On écrit un sur, k fois, k plus un, comme un sur k moins un sur, k plus un. En ajoutant, chaque terme s'annule avec le suivant, et il ne reste que le premier et le dernier : un moins un sur, n plus un, soit n sur, n plus un.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Distance de freinage

La distance de freinage $d$ (en mètres) d'une voiture qui roule à $v$ km/h est modélisée par $d = 0{,}2\,v + \dfrac{v^{2}}{150}.$ Quelle distance parcourt-elle après le freinage si elle roule à $120$ km/h ?

Donne la distance en mètres.

Réponse attendue : 120

Indices, dans l’ordre

Remplace $v$ par la vitesse donnée dans la formule.
Le carré de la vitesse vaut $14400,$ et $14400 \div 150 = 96.$

Correction

$d = 0{,}2 \times 120 + \frac{120^{2}}{150}$
$d = 24 + \frac{14400}{150} = 24 + 96 = 120$

La voiture parcourt $120$ mètres après le freinage.

Pièges anticipés

24.8 → Le second terme est $\dfrac{v^{2}}{150}$ : on élève $120$ au carré avant de diviser.

Exercice 2 · base

L'aire du rectangle

L'aire du rectangle $AMNP$ inscrit dans le quart de cercle de rayon $3$ est $S(x) = x\sqrt{9 - x^{2}},$ pour $x \in \,]0 ; 3[.$ Calculer $S(\sqrt{2}).$

Donne la valeur exacte.

Réponse attendue : sqrt(14)

Indices, dans l’ordre

Remplace $x$ par $\sqrt{2}$ : $(\sqrt{2})^{2} = 2.$
$\sqrt{2} \times \sqrt{7} = \sqrt{2 \times 7}.$

Correction

$S(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{9 - 2} = \sqrt{2} \times \sqrt{7}$
$S(\sqrt{2}) = \sqrt{14}$

$S(\sqrt{2}) = \sqrt{14} \approx 3{,}74.$

Pièges anticipés

sqrt(7) → Il manque le facteur $x = \sqrt{2}$ devant la racine.

Exercice 3 · base

Le volume de la boîte

On découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin d'une plaque carrée de $60$ cm de côté, puis on replie les bords. Le volume de la boîte est $V(x) = x(60 - 2x)^{2}.$ Calculer $V(10),$ en cm³.

Donne le volume en cm³.

Réponse attendue : 16000

Indices, dans l’ordre

$60 - 2 \times 10 = 40$ : la base est un carré de côté $40.$
Le volume est l'aire de la base fois la hauteur $10.$

Correction

$V(10) = 10 \times (60 - 20)^{2} = 10 \times 40^{2}$
$V(10) = 10 \times 1600 = 16000$

$V(10) = 16000$ cm³ : c'est le volume maximal de la boîte.

Pièges anticipés

25000 → On retire $x$ de chaque côté : le côté de la base vaut $60 - 2x,$ pas $60 - x.$

Exercice 4 · base

Développer pour reconnaître

La fonction $x \mapsto -2(x + 1)^{3} + 5x^{2} - 4x$ est un polynôme. Réduire et ordonner son expression.

Réponse attendue : -2x^3-x^2-10x-2

Indices, dans l’ordre

$(x + 1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1.$
Multiplie par $-2,$ puis ajoute $5x^{2} - 4x.$

Correction

$-2(x + 1)^{3} = -2x^{3} - 6x^{2} - 6x - 2$
$-2x^{3} - 6x^{2} - 6x - 2 + 5x^{2} - 4x = -2x^{3} - x^{2} - 10x - 2$

C'est un polynôme de degré $3$ : $-2x^{3} - x^{2} - 10x - 2.$

Pièges anticipés

-2x^3+5x^2-4x-2 → $(x + 1)^{3} \ne x^{3} + 1$ : il y a aussi $3x^{2}$ et $3x.$

Exercice 5 · pratique

Identifier un paramètre

Déterminer le réel $a$ tel que, pour tout réel $x,$ $a^{2}x^{2} + (a^{2} + a)x + a = 9x^{2} + 6x - 3.$

Donne la valeur de a.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : compare les termes constants.
Vérifie ensuite les deux autres coefficients.

Correction

Terme constant — $a = -3$
Contrôle — $a^{2} = 9 \quad \text{et} \quad a^{2} + a = 9 - 3 = 6$

$a = -3$ convient pour les trois coefficients.

Pièges anticipés

3 → $a = 3$ vérifie $a^{2} = 9,$ mais le terme constant exige $a = -3,$ et $a^{2} + a$ vaudrait $12.$

Exercice 6 · pratique

Égaux en deux points seulement

$f(x) = 3x^{2} - x + 3$ et $g(x) = 2x^{2} + 4x - 1$ vérifient $f(1) = g(1)$ et $f(4) = g(4).$ Factoriser $f(x) - g(x).$

Réponse attendue : (x-1)*(x-4)

Indices, dans l’ordre

Commence par réduire $f(x) - g(x).$
$1$ et $4$ sont des racines de $f - g.$

Correction

Réduire — $f(x) - g(x) = x^{2} - 5x + 4$
Factoriser — $x^{2} - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$

$f(x) - g(x) = (x - 1)(x - 4)$ ne s'annule qu'en $1$ et $4$ : $f$ et $g$ ne sont pas égaux.

Pièges anticipés

(x+1)*(x+4) → Les racines sont $1$ et $4$ : les facteurs sont $x - 1$ et $x - 4.$

Exercice 7 · base

Le degré après réduction

Déterminer le degré du polynôme $K(x) = (x - 1)^{3} - x^{3}.$

Donne le degré.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

Développe $(x - 1)^{3}$ avant de lire le degré.
$(x - 1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1.$

Correction

$K(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 - x^{3}$
$K(x) = -3x^{2} + 3x - 1$

Les termes en $x^{3}$ s'annulent : $K$ est de degré $2.$

Pièges anticipés

3 → Les termes en $x^{3}$ s'annulent : réduis avant de lire le degré.

Exercice 8 · pratique

Réduire avant de conclure

Réduire et ordonner $P(x) = 6x^{3} - 5x^{2} + (2x^{2} + x - 1)(2 - 3x).$

Réponse attendue : -4x^2+5x-2

Indices, dans l’ordre

Développe d'abord le produit $(2x^{2} + x - 1)(2 - 3x).$
Le produit commence par $-6x^{3}.$

Correction

$(2x^{2} + x - 1)(2 - 3x) = -6x^{3} + x^{2} + 5x - 2$
$P(x) = 6x^{3} - 5x^{2} - 6x^{3} + x^{2} + 5x - 2 = -4x^{2} + 5x - 2$

$P(x) = -4x^{2} + 5x - 2$ : $P$ est de degré $2,$ de terme du plus haut degré $-4x^{2}.$

Pièges anticipés

-4x^2+3x-2 → Revois le produit : $2x^{2} \times 2 = 4x^{2},$ $x \times (-3x) = -3x^{2},$ d'où $x^{2}$ en tout dans le produit.

Exercice 9 · pratique

Une combinaison de polynômes

$P(x) = 2x^{3} - x^{2} + 2x - 1$ et $Q(x) = 3x^{3} - x.$ Réduire et ordonner $3P(x) - 2Q(x).$

Réponse attendue : -3x^2+8x-3

Indices, dans l’ordre

$3P(x) = 6x^{3} - 3x^{2} + 6x - 3$ et $2Q(x) = 6x^{3} - 2x.$
Retranche tous les termes de $2Q(x).$

Correction

$3P(x) - 2Q(x) = 6x^{3} - 3x^{2} + 6x - 3 - 6x^{3} + 2x$
$3P(x) - 2Q(x) = -3x^{2} + 8x - 3$

$3P - 2Q$ est de degré $2$ : les termes en $x^{3}$ se sont annulés.

Pièges anticipés

-3x^2+4x-3 → Le moins devant $2Q(x)$ change aussi le signe de $-2x$ : on obtient $+2x.$

Exercice 10 · pratique

Un produit de polynômes

$Q(x) = -5x^{3} + 2x - 3$ et $R(x) = x^{3} - x + 5.$ Réduire et ordonner $Q(x)\,R(x).$

Réponse attendue : -5x^6+7x^4-28x^3-2x^2+13x-15

Indices, dans l’ordre

Multiplie chaque terme de $Q(x)$ par chaque terme de $R(x)$ : neuf produits.
Regroupe : en $x^{4},$ $5x^{4} + 2x^{4}$ ; en $x^{3},$ $-25x^{3} - 3x^{3}.$

Correction

$-5x^{3} \times R(x) = -5x^{6} + 5x^{4} - 25x^{3}$
$2x \times R(x) = 2x^{4} - 2x^{2} + 10x$
$-3 \times R(x) = -3x^{3} + 3x - 15$
Regrouper — $Q(x)\,R(x) = -5x^{6} + 7x^{4} - 28x^{3} - 2x^{2} + 13x - 15$

Le produit est de degré $3 + 3 = 6.$

Exercice 11 · base

Degré sans développer

Déterminer, sans développer, le degré de $B(x) = (x^{2} + 3)^{5}.$

Donne le degré.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

$B$ est le produit de cinq facteurs égaux à $x^{2} + 3.$
Le degré d'un produit est la somme des degrés.

Correction

$\text{degré de } B = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 \times 2 = 10$

$B$ est de degré $10$ : son terme du plus haut degré est $x^{10}.$

Pièges anticipés

5 → Le degré n'est pas l'exposant $5$ : chaque facteur est déjà de degré $2.$
32 → Les degrés s'ajoutent dans un produit : $2 + 2 + 2 + 2 + 2,$ pas $2^{5}.$

Exercice 12 · pratique

Un degré qui baisse

Déterminer le degré de $C(x) = (x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x - 7)(x - 1) - (x^{5} + 1).$

Donne le degré.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

Le produit commence par $x^{5}$ : que devient ce terme quand on retranche $x^{5} + 1$ ?
Cherche le coefficient de $x^{4}$ : il vient de $x^{4} \times (-1)$ et de $-2x^{3} \times x.$

Correction

Termes de degré 5 — $x^{4} \times x - x^{5} = 0$
Termes de degré 4 — $x^{4} \times (-1) + (-2x^{3}) \times x = -3x^{4}$

Le coefficient de $x^{4}$ est $-3 \ne 0$ : $C$ est de degré $4.$

Pièges anticipés

5 → Les termes en $x^{5}$ s'annulent : $x^{5} - x^{5} = 0.$

Exercice 13 · base

Une image avec une racine

$g(x) = x^{3} + 2x^{2} - 1.$ Calculer $g(\sqrt{2}).$

Donne la valeur exacte.

Réponse attendue : 3+2*sqrt(2)

Indices, dans l’ordre

$(\sqrt{2})^{2} = 2$ et $(\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}.$

Correction

$g(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 2 \times 2 - 1$
$g(\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2}$

$g(\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2} \ne 0$ : $\sqrt{2}$ n'est pas une racine de $g.$

Pièges anticipés

5 → $(\sqrt{2})^{3} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2},$ pas $2.$

Exercice 14 · raisonnement

Deux racines, deux paramètres

$P(x) = ax^{4} + (a + 1)x^{3} - (b + 9)x^{2} - (2b - 1)x + 14.$ Sachant que $1$ et $-2$ sont des racines de $P,$ déterminer $a$ et $b,$ puis le polynôme $Q$ tel que $P(x) = (x^{2} + x - 2)\,Q(x)$ pour tout réel $x.$ Donner $Q(x).$

Réponse attendue : 4x^2+x-7

Indices, dans l’ordre

$P(1) = 0$ donne $2a - 3b + 7 = 0$ ; $P(-2) = 0$ donne $8a - 32 = 0.$
Avec $a = 4$ et $b = 5,$ cherche $Q(x) = 4x^{2} + bx + c$ et identifie.

Correction

Paramètres — $a = 4, \quad b = 5$
$P(x) = 4x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 9x + 14$
Développer — $(x^{2} + x - 2)(4x^{2} + bx + c) = 4x^{4} + (b + 4)x^{3} + (c + b - 8)x^{2} + (c - 2b)x - 2c$
Identifier — $b + 4 = 5, \ \ -2c = 14 \iff b = 1, \ \ c = -7$

$Q(x) = 4x^{2} + x - 7,$ et l'on contrôle : $c + b - 8 = -14,$ $c - 2b = -9.$

Exercice 15 · pratique

Factoriser par regroupement

Factoriser au maximum $D(x) = x^{4} + 3x^{3} - x - 3.$

Réponse attendue : (x+3)*(x-1)*(x^2+x+1)

Indices, dans l’ordre

Regroupe : $x^{4} + 3x^{3} = x^{3} \times (x + 3).$
Puis $x^{3} - 1$ est une différence de deux cubes.

Correction

$D(x) = x^{3} \times (x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(x^{3} - 1)$
$x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1)$

$D(x) = (x + 3)(x - 1)(x^{2} + x + 1)$ ; $x^{2} + x + 1$ n'a pas de racine (son discriminant vaut $-3$ ).

Exercice 16 · pratique

Une différence de deux carrés

Factoriser $H(x) = 9(x + 1)^{2} - 4(2x - 1)^{2}.$

Réponse attendue : (5-x)*(7x+1) — aussi acceptées : -(x-5)*(7x+1)

Indices, dans l’ordre

$9(x + 1)^{2} = \left(3(x + 1)\right)^{2}$ et $4(2x - 1)^{2} = \left(2(2x - 1)\right)^{2}.$
Utilise $A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B),$ avec des parenthèses autour de $B.$

Correction

Le moins porte sur tout $4x - 2$ : $H(x) = (3x + 3 - 4x + 2)(3x + 3 + 4x - 2)$
$H(x) = (5 - x)(7x + 1)$

$H(x) = (5 - x)(7x + 1).$

Pièges anticipés

(1-x)*(7x+1) → Le moins porte sur tout $4x - 2$ : $3x + 3 - 4x + 2 = -x + 5.$

Exercice 17 · base

Le quotient par identification

$P(x) = 3x^{3} + x^{2} + 2x - 6.$ Vérifier que $1$ est une racine de $P,$ puis déterminer le polynôme $Q$ de degré $2$ tel que $P(x) = (x - 1)\,Q(x)$ pour tout réel $x.$

Réponse attendue : 3x^2+4x+6

Indices, dans l’ordre

$P(1) = 3 + 1 + 2 - 6.$
Écris $Q(x) = ax^{2} + bx + c$ et développe $(x - 1)(ax^{2} + bx + c) = ax^{3} + (b - a)x^{2} + (c - b)x - c.$

Correction

Vérifier — $P(1) = 3 + 1 + 2 - 6 = 0$
Identifier — $a = 3, \quad b - a = 1, \quad -c = -6$
$a = 3, \quad b = 4, \quad c = 6$

$P(x) = (x - 1)(3x^{2} + 4x + 6),$ et le contrôle $c - b = 2$ concorde.

Pièges anticipés

3x^2+4x-6 → Le terme constant de $(x - 1)(ax^{2} + bx + c)$ est $-c$ : $-c = -6$ donne $c = 6.$

Exercice 18 · pratique

Factoriser par x + 2

Vérifier que $-2$ est une racine de $P(x) = 2x^{3} - 7x^{2} - 17x + 10,$ puis déterminer $Q$ tel que $P(x) = (x + 2)\,Q(x).$

Réponse attendue : 2x^2-11x+5

Indices, dans l’ordre

$P(-2) = -16 - 28 + 34 + 10.$
Le facteur est $x - (-2) = x + 2$ ; écris $Q(x) = 2x^{2} + bx + c.$

Correction

Vérifier — $P(-2) = 0$
Développer — $(x + 2)(2x^{2} + bx + c) = 2x^{3} + (b + 4)x^{2} + (c + 2b)x + 2c$
Identifier — $b + 4 = -7, \quad 2c = 10 \iff b = -11, \quad c = 5$

$P(x) = (x + 2)(2x^{2} - 11x + 5)$ ; contrôle : $c + 2b = -17.$

Exercice 19 · pratique

Un quotient de degré 3

Vérifier que $3$ est une racine de $P(x) = x^{4} - 3x^{3} + x^{2} - 4x + 3,$ puis déterminer $Q$ tel que $P(x) = (x - 3)\,Q(x).$

Réponse attendue : x^3+x-1

Indices, dans l’ordre

$Q$ est de degré $3$ : $Q(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d.$
Identifie de proche en proche : $x^{3},$ puis $x^{2},$ puis $x.$

Correction

Vérifier — $P(3) = 81 - 81 + 9 - 12 + 3 = 0$
Développer — $(x - 3)(x^{3} + bx^{2} + cx + d) = x^{4} + (b - 3)x^{3} + (c - 3b)x^{2} + (d - 3c)x - 3d$
Identifier — $b - 3 = -3, \ \ c - 3b = 1, \ \ d - 3c = -4 \iff b = 0, \ \ c = 1, \ \ d = -1$

$Q(x) = x^{3} + x - 1$ ; contrôle : $-3d = 3.$

Exercice 20 · pratique

Deux racines connues

$Q(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12.$ Vérifier que $2$ et $-3$ sont des racines de $Q,$ puis déterminer le polynôme $R$ tel que $Q(x) = (x - 2)(x + 3)\,R(x).$

Réponse attendue : x+2

Indices, dans l’ordre

$(x - 2)(x + 3) = x^{2} + x - 6,$ et $R$ est de degré $1.$
Le terme constant : $-6 \times c = -12.$

Correction

Vérifier — $Q(2) = 8 + 12 - 8 - 12 = 0, \quad Q(-3) = -27 + 27 + 12 - 12 = 0$
Identifier — $Q(x) = (x^{2} + x - 6)(x + c), \quad -6c = -12 \iff c = 2$

$Q(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)$ : $R(x) = x + 2.$

Pièges anticipés

x-2 → $-6c = -12$ donne $c = 2,$ pas $-2.$

Exercice 21 · raisonnement

Le facteur sans racine

$P(x) = x^{4} + 2x^{3} - 4x^{2} - 5x - 6.$ Vérifier que $2$ et $-3$ sont des racines de $P,$ puis écrire $P(x) = (x - 2)(x + 3)\,Q(x).$ Donner $Q(x).$

Réponse attendue : x^2+x+1

Indices, dans l’ordre

$(x - 2)(x + 3) = x^{2} + x - 6$ et $Q(x) = x^{2} + bx + c.$
Le terme en $x^{3}$ donne $b + 1 = 2$ ; le terme constant, $-6c = -6.$

Correction

Vérifier — $P(2) = 0, \quad P(-3) = 81 - 54 - 36 + 15 - 6 = 0$
Développer — $(x^{2} + x - 6)(x^{2} + bx + c) = x^{4} + (b + 1)x^{3} + (c + b - 6)x^{2} + (c - 6b)x - 6c$
Identifier — $b = 1, \quad c = 1$

$P(x) = (x - 2)(x + 3)(x^{2} + x + 1)$ ; contrôle : $c + b - 6 = -4$ et $c - 6b = -5.$

Exercice 22 · pratique

Toutes les racines

$Q(x) = x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + 2x + 12.$ Vérifier que $-2$ et $3$ sont des racines, factoriser $Q(x)$ et résoudre l'équation $Q(x) = 0.$

Écris l'ensemble, par exemple « {-1;-√3;√3;2} ».

Réponse attendue : {-2;-√2;√2;3} — aussi acceptées : {-2;-sqrt(2);sqrt(2);3}

Indices, dans l’ordre

$(x + 2)(x - 3) = x^{2} - x - 6$ ; le quotient est de la forme $x^{2} + bx + c.$
Tu dois trouver $Q(x) = (x + 2)(x - 3)(x^{2} - 2).$

Correction

Vérifier — $Q(-2) = 16 + 8 - 32 - 4 + 12 = 0, \quad Q(3) = 81 - 27 - 72 + 6 + 12 = 0$
Identifier — $Q(x) = (x^{2} - x - 6)(x^{2} - 2)$
Factoriser — $Q(x) = (x + 2)(x - 3)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

$S = \{-2 ; -\sqrt{2} ; \sqrt{2} ; 3\}$ : quatre racines, le maximum pour un degré $4.$

Pièges anticipés

{-2;3} → Le facteur $x^{2} - 2$ s'annule aussi : en $\sqrt{2}$ et en $-\sqrt{2}.$

Exercice 23 · base

Une racine apparente

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{3} + x^{2} - 2 = 0,$ en cherchant une racine apparente.

Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {2} ».

Réponse attendue : {1} — aussi acceptées : 1

Indices, dans l’ordre

Essaie $x = 1.$
Factorise $x^{3} + x^{2} - 2 = (x - 1)(x^{2} + bx + c),$ puis calcule le discriminant du second facteur.

Correction

Racine apparente — $1 + 1 - 2 = 0$
Factoriser — $x^{3} + x^{2} - 2 = (x - 1)(x^{2} + 2x + 2)$
Le reste — $b^{2} - 4ac = 4 - 8 = -4 < 0$

$S = \{1\}.$

Exercice 24 · pratique

Une équation de degré 3

Résoudre l'équation $4x^{3} + x^{2} - 11x + 6 = 0,$ après avoir vérifié que $1$ et $-2$ en sont des solutions.

Écris l'ensemble, par exemple « {-1;1/2;3} ».

Réponse attendue : {-2;3/4;1} — aussi acceptées : {-2;0.75;1}

Indices, dans l’ordre

$(x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2,$ et le quotient est de la forme $4x + c.$
Le terme constant : $-2c = 6.$

Correction

Vérifier — $4 + 1 - 11 + 6 = 0, \quad -32 + 4 + 22 + 6 = 0$
Factoriser — $4x^{3} + x^{2} - 11x + 6 = (x - 1)(x + 2)(4x - 3)$
La troisième — $4x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{4}$

$S = \left\{-2 ; \dfrac{3}{4} ; 1\right\}.$

Pièges anticipés

{-2;1} → Il manque la troisième solution, celle du facteur $4x - 3.$

Exercice 25 · raisonnement

Comparer deux polynômes

$f(x) = x^{3} - 5x^{2} + x + 6$ et $g(x) = x^{2} - 2x - 4.$ Résoudre l'inéquation $f(x) > g(x).$

Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-2;1[U]3;+inf[ ».

Réponse attendue : ]-1;2[U]5;+inf[ — aussi acceptées : ]-1;2[∪]5;+∞[ · ]-1;2[ U ]5;+inf[ · ]5;+inf[U]-1;2[ · ]5;+∞[∪]-1;2[ · ]-1,2[U]5,+inf[ · ]-1,2[∪]5,+∞[ · ]5,+inf[U]-1,2[

Indices, dans l’ordre

Étudie $h(x) = f(x) - g(x) = x^{3} - 6x^{2} + 3x + 10$ : $f(2) = g(2),$ donc $2$ est racine de $h.$
$h(x) = (x - 2)(x^{2} - 4x - 5) = (x - 2)(x + 1)(x - 5)$ : fais le tableau de signes.

Correction

Un membre — $f(x) > g(x) \iff x^{3} - 6x^{2} + 3x + 10 > 0$
Factoriser — $x^{3} - 6x^{2} + 3x + 10 = (x + 1)(x - 2)(x - 5)$
Signes — $-, \ +, \ -, \ + \ \text{ sur } ]-\infty ; -1[, \ ]-1 ; 2[, \ ]2 ; 5[, \ ]5 ; +\infty[$

$S = \,]-1 ; 2[ \,\cup\, ]5 ; +\infty[.$

Pièges anticipés

]-inf;-1[U]2;5[ → Ce sont les intervalles où $h(x) < 0$ : relis le tableau de signes.

Exercice 26 · raisonnement

Une inéquation de degré 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^{3} - 3x < 2 - 3x^{2}.$

Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;-1[U]0;2[ ».

Réponse attendue : ]-inf;-2[U]-1/2;1[ — aussi acceptées : ]-∞;-2[∪]-1/2;1[ · ]-inf;-2[U]-0.5;1[ · ]-inf;-2[U]-0,5;1[ · ]-1/2;1[U]-inf;-2[ · ]-0.5;1[U]-inf;-2[ · ]-0,5;1[U]-inf;-2[ · ]-inf,-2[U]-1/2,1[ · ]-∞,-2[∪]-1/2,1[ · ]-inf,-2[U]-0.5,1[ · ]-inf,-2[U]-0,5,1[

Indices, dans l’ordre

Ramène tout dans un membre : $2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 < 0.$
$1$ est une racine apparente ; le quotient $2x^{2} + 5x + 2$ a pour racines $-2$ et $-\dfrac{1}{2}.$

Correction

Factoriser — $2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2 = (x - 1)(x + 2)(2x + 1)$
Signes — $-, \ +, \ -, \ + \ \text{ sur } ]-\infty ; -2[, \ \left]-2 ; -\tfrac{1}{2}\right[, \ \left]-\tfrac{1}{2} ; 1\right[, \ ]1 ; +\infty[$

$S = \,]-\infty ; -2[ \,\cup\, \left]-\dfrac{1}{2} ; 1\right[.$

Pièges anticipés

]-inf;-2]U[-1/2;1] → L'inégalité est stricte : les racines $-2,$ $-\dfrac{1}{2}$ et $1$ sont exclues.

Exercice 27 · pratique

Un facteur toujours positif

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^{3} + 4x^{2} > 2x^{2} - 4x - 3.$

Écris l'intervalle, par exemple « ]2;+inf[ ».

Réponse attendue : ]-1;+inf[ — aussi acceptées : ]-1;+∞[

Indices, dans l’ordre

Ramène tout dans un membre : $x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 > 0,$ et essaie $x = -1.$
Le quotient $x^{2} + x + 3$ a un discriminant négatif.

Correction

Factoriser — $x^{3} + 2x^{2} + 4x + 3 = (x + 1)(x^{2} + x + 3)$
Le trinôme — $b^{2} - 4ac = 1 - 12 = -11 < 0 \Rightarrow x^{2} + x + 3 > 0$
Conclure — $(x + 1)(x^{2} + x + 3) > 0 \iff x + 1 > 0$

$S = \,]-1 ; +\infty[.$

Pièges anticipés

[-1;+inf[ → En $-1$ le produit vaut $0,$ et $0 > 0$ est faux : le crochet est ouvert.

Exercice 28 · pratique

Un polynôme symétrique

Résoudre l'équation $7x^{3} - 43x^{2} - 43x + 7 = 0.$

Écris l'ensemble, par exemple « {-1;1/2;2} ».

Réponse attendue : {-1;1/7;7}

Indices, dans l’ordre

Le polynôme est symétrique : $-1$ est une racine apparente.
$ax^{3} + bx^{2} + bx + a = (x + 1)\left(ax^{2} + (b - a)x + a\right),$ ici avec $a = 7$ et $b = -43.$

Correction

Factoriser — $7x^{3} - 43x^{2} - 43x + 7 = (x + 1)(7x^{2} - 50x + 7)$
Discriminant — $(-50)^{2} - 4 \times 7 \times 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^{2}$
Racines — $x = \frac{50 - 48}{14} = \frac{1}{7} \quad \text{ou} \quad x = \frac{50 + 48}{14} = 7$

$S = \left\{-1 ; \dfrac{1}{7} ; 7\right\}$ : les racines $7$ et $\dfrac{1}{7}$ sont inverses l'une de l'autre.

Pièges anticipés

{1/7;7} → N'oublie pas la racine apparente $-1.$

Exercice 29 · raisonnement

Sans calculer les racines

$P(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6$ admet trois racines distinctes : $\alpha,$ $\beta$ et une troisième $\gamma.$ Sans les calculer, déterminer la somme de leurs inverses.

Donne la valeur exacte.

Réponse attendue : -5/6

Indices, dans l’ordre

Réduis au même dénominateur : la somme des inverses est la somme des produits deux à deux, divisée par le produit des trois racines.
La somme des produits deux à deux vaut $\dfrac{c}{a},$ et le produit des trois racines vaut $-\dfrac{d}{a}.$

Correction

Formules — La somme des produits deux à deux, puis le produit des trois racines : $\frac{c}{a} = -5, \quad -\frac{d}{a} = 6$
Conclure — La somme des inverses est leur quotient : $\frac{-5}{6} = -\frac{5}{6}$

La somme vaut $-\dfrac{5}{6}$ ; avec les racines $-3,$ $-1,$ $2$ : $-\dfrac{1}{3} - 1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{6}.$

Pièges anticipés

5/6 → Au degré $3,$ le produit des trois racines vaut $-\dfrac{d}{a} = 6,$ pas $-6.$

Exercice 30 · raisonnement

Une inéquation rationnelle

$f(x) = \dfrac{x^{3} - 8}{x^{2} + 2x - 8}.$ Déterminer l'ensemble de définition de $f,$ puis résoudre l'inéquation $f(x) > 0.$

Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-3;1[U]1;+inf[ ».

Réponse attendue : ]-4;2[U]2;+inf[ — aussi acceptées : ]-4;2[∪]2;+∞[ · ]-4;2[ U ]2;+inf[ · ]2;+inf[U]-4;2[ · ]2;+∞[∪]-4;2[ · ]-4,2[U]2,+inf[ · ]-4,2[∪]2,+∞[ · ]-4;+inf[\{2} · ]-4;+∞[\{2} · ]-4,+inf[\{2}

Indices, dans l’ordre

$x^{2} + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$ : $D = \mathbb{R} \setminus \{-4 ; 2\}.$
$x^{3} - 8 = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4),$ et $x^{2} + 2x + 4 > 0.$

Correction

Définition — $D = \mathbb{R} \setminus \{-4 ; 2\}$
Simplifier — $f(x) = \frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{x^{2} + 2x + 4}{x + 4} \quad (x \in D)$
Signe — $b^{2} - 4ac = 4 - 16 < 0 \Rightarrow x^{2} + 2x + 4 > 0, \quad f(x) > 0 \iff x + 4 > 0$

$S = \,]-4 ; 2[ \,\cup\, ]2 ; +\infty[$ : $2$ reste exclu, même après simplification.

Pièges anticipés

]-4;+inf[ → Après simplification, $2$ reste une valeur interdite : il faut l'exclure.

Exercice 31 · pratique

Le triangle et le demi-cercle

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B,$ avec $AB = h$ et $BC = x,$ un demi-cercle de rayon $1,$ de centre sur $[AB],$ passe par $B$ et est tangent à $(AC)$ ; on montre que $h = \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - 1}.$ Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $h = \dfrac{9}{4}$ ?

Donne la valeur de x.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Fais un produit en croix : $4 \times 2x^{2} = 9(x^{2} - 1).$
$x$ est une longueur : on garde la solution positive.

Correction

$8x^{2} = 9x^{2} - 9 \iff x^{2} = 9$
$x = 3 \quad (x > 0)$

$h = \dfrac{9}{4}$ pour $x = 3.$

Pièges anticipés

-3 → $x = BC$ est une longueur : $-3$ ne convient pas.

Exercice 32 · raisonnement

Une somme en cascade

Sachant que $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1},$ calculer $S = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dots + \dfrac{1}{99 \times 100}.$

Donne la valeur exacte.

Réponse attendue : 99/100

Indices, dans l’ordre

Écris chaque terme comme une différence : $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}.$
Tout s'annule sauf le premier et le dernier terme.

Correction

$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)$
$S = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

$S = \dfrac{99}{100},$ c'est la formule $\dfrac{n}{n + 1}$ avec $n = 99.$

Pièges anticipés

100/101 → Le dernier terme est $\dfrac{1}{99 \times 100}$ : il reste $-\dfrac{1}{100},$ pas $-\dfrac{1}{101}.$

Exercice 33 · defi

Le problème de Bhaskara

Exercice 16 : « Quel est, homme savant, le nombre qui multiplié par $12$ et ajouté au cube du nombre, est égal à $6$ fois le carré, augmenté de $35$ ? »

Donne le nombre.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Traduis : $x^{3} + 12x = 6x^{2} + 35,$ soit $x^{3} - 6x^{2} + 12x - 35 = 0.$
Essaie de petits entiers positifs, ou remarque que $x^{3} - 6x^{2} + 12x - 8 = (x - 2)^{3}.$

Correction

Équation — $x^{3} - 6x^{2} + 12x - 35 = 0 \iff (x - 2)^{3} = 27$
Résoudre — $x - 2 = 3 \iff x = 5$
Vérifier — $125 + 60 = 185 = 6 \times 25 + 35$

Le nombre cherché est $5.$

Exercice 34 · pratique

Une racine commune

Exercice 13 : $f(x) = x^{2} + x - 12$ et $g(x) = -x^{3} + 4x^{2} - 4x + 3.$ Vérifier que $3$ est une racine commune de $f$ et $g,$ factoriser $g(x)$ et résoudre l'inéquation $g(x) < 0.$

Écris l'intervalle, par exemple « ]1;+inf[ ».

Réponse attendue : ]3;+inf[ — aussi acceptées : ]3;+∞[

Indices, dans l’ordre

$g(3) = -27 + 36 - 12 + 3 = 0$ ; écris $g(x) = (x - 3)(-x^{2} + bx + c).$
$-x^{2} + x - 1$ a un discriminant négatif : il est toujours strictement négatif.

Correction

Racine commune — $f(3) = 9 + 3 - 12 = 0, \quad g(3) = 0$
Factoriser — $g(x) = (x - 3)(-x^{2} + x - 1)$
Le trinôme — $b^{2} - 4ac = 1 - 4 < 0 \Rightarrow -x^{2} + x - 1 < 0$
Conclure — $g(x) < 0 \iff x - 3 > 0$

$S = \,]3 ; +\infty[.$

Pièges anticipés

]-inf;3[ → Le facteur $-x^{2} + x - 1$ est négatif : il inverse le signe de $x - 3.$

Exercice 35 · defi

Le polynôme des sommes

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ tel que, pour tout réel $x,$ $P(x) - P(x - 1) = x$ et $P(0) = 0.$

Réponse attendue : x^2/2+x/2 — aussi acceptées : (x^2+x)/2 · 0.5x^2+0.5x

Indices, dans l’ordre

$P(0) = 0$ : écris $P(x) = ax^{2} + bx.$
$P(x) - P(x - 1) = a\left(x^{2} - (x - 1)^{2}\right) + b = 2ax - a + b$ : identifie avec $x.$

Correction

Calculer — $P(x) - P(x - 1) = a(2x - 1) + b = 2ax + (b - a)$
Identifier — $2a = 1, \quad b - a = 0 \iff a = b = \frac{1}{2}$

$P(x) = \dfrac{x^{2} + x}{2}$ ; en remplaçant $x$ par $1,$ $2,$ $\dots,$ $n$ et en ajoutant, $1 + 2 + \dots + n = P(n) = \dfrac{n(n + 1)}{2}.$

Exercice 36 · defi

La somme des carrés

Déterminer le polynôme $Q$ de degré $3$ tel que, pour tout réel $x,$ $Q(x) - Q(x - 1) = x^{2}$ et $Q(0) = 0.$

Réponse attendue : x^3/3+x^2/2+x/6

Indices, dans l’ordre

$Q(0) = 0$ : écris $Q(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx.$
$x^{3} - (x - 1)^{3} = 3x^{2} - 3x + 1$ et $x^{2} - (x - 1)^{2} = 2x - 1$ : développe, puis identifie avec $x^{2}.$

Correction

Calculer — $Q(x) - Q(x - 1) = a(3x^{2} - 3x + 1) + b(2x - 1) + c = 3ax^{2} + (2b - 3a)x + (a - b + c)$
Identifier — $3a = 1, \quad 2b - 3a = 0, \quad a - b + c = 0 \iff a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{1}{2}, \quad c = \frac{1}{6}$

$Q(x) = \dfrac{x(x + 1)(2x + 1)}{6}$ ; en remplaçant $x$ par $1,$ $2,$ $\dots,$ $n$ et en ajoutant, $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = Q(n) = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.$

Pièges anticipés

x^3/3+x^2/2 → Le terme constant $a - b + c$ doit aussi être nul : il donne $c = b - a = \dfrac{1}{6}.$

Exercice 37 · base

Un antécédent dans l'ensemble de définition

La fonction $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3x^{2} - 5.$ Déterminer l'antécédent de $22$ par $f.$

Donner la valeur de l'antécédent.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Un antécédent de $22$ est un réel $x$ de $[0 ; +\infty[$ tel que $f(x) = 22.$
L'équation $3x^{2} - 5 = 22$ donne $x^{2} = 9$ : garde la solution qui appartient à l'ensemble de définition.

Correction

L'équation — $3x^{2} - 5 = 22 \iff x^{2} = 9$
Deux candidats — $x = -3 \ \text{ou} \ x = 3$
L'ensemble de définition — Seul $3$ appartient à $[0 ; +\infty[.$ $x = 3$

Un antécédent se cherche en résolvant $f(x) = y,$ puis en ne gardant que les solutions qui appartiennent à l'ensemble de définition.

Pièges anticipés

-3 → $-3$ vérifie bien $3x^{2} - 5 = 22,$ mais il n'appartient pas à $[0 ; +\infty[$ : ce n'est pas un antécédent par $f.$
1447 → Tu as calculé l'image de $22$ ; on cherche le réel $x$ dont l'image est $22.$

Exercice 38 · pratique

Une racine et un quotient

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{\sqrt{x + 4}}{x - 1}.$

Écrire la réunion d'intervalles, par exemple « [-2;3[U]3;+inf[ ».

Réponse attendue : [-4;1[U]1;+inf[ — aussi acceptées : [-4,1[U]1,+inf[ · [-4;1[U]1;+∞[ · [-4,1[U]1,+∞[ · [-4;1[∪]1;+inf[ · [-4,1[∪]1,+inf[ · [-4;1[∪]1;+∞[ · [-4,1[∪]1,+∞[ · ]1;+inf[U[-4;1[ · ]1,+inf[U[-4,1[ · ]1;+∞[U[-4;1[ · ]1,+∞[U[-4,1[ · ]1;+inf[∪[-4;1[ · ]1,+inf[∪[-4,1[ · ]1;+∞[∪[-4;1[ · ]1,+∞[∪[-4,1[ · D=[-4;1[U]1;+inf[ · D=[-4;1[∪]1;+∞[

Indices, dans l’ordre

Deux conditions : ce qui est sous la racine doit être positif ou nul, et le dénominateur ne doit pas s'annuler.
$x + 4 \ge 0 \iff x \ge -4$ ; retire ensuite la valeur qui annule $x - 1.$

Correction

Sous la racine — $x + 4 \ge 0 \iff x \ge -4$
Le dénominateur — $x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1$
Réunir — $D = [-4 ; 1[ \,\cup\, ]1 ; +\infty[$

$f(x)$ existe si la racine est définie et si le dénominateur n'est pas nul : on écrit les deux conditions, puis on les réunit.

Pièges anticipés

[-4;+inf[ → Pour $x = 1,$ le dénominateur est nul : $1$ doit être retiré de l'ensemble.
]-4;1[U]1;+inf[ → Pour $x = -4,$ $\sqrt{0} = 0$ existe et le dénominateur vaut $-5$ : $-4$ appartient à l'ensemble, le crochet est fermé.

Exercice 39 · raisonnement

Le rectangle de périmètre 20

Un rectangle a pour périmètre $20$ cm ; on note $x$ sa largeur, en cm, avec $0 < x \le 5$ (la largeur ne dépasse pas la longueur). Exprimer son aire $A(x)$ en fonction de $x,$ puis déterminer la largeur $x$ pour laquelle l'aire vaut $21$ cm².

Donner la largeur x, en cm.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

La longueur vaut $10 - x$ : le demi-périmètre est $10$ cm.
Résous $x(10 - x) = 21,$ c'est-à-dire $x^{2} - 10x + 21 = 0,$ puis tiens compte de la condition sur $x.$

Correction

L'aire — $A(x) = x(10 - x)$
L'équation — $x(10 - x) = 21 \iff x^{2} - 10x + 21 = 0$
Les solutions — Le discriminant vaut $100 - 84 = 16.$ $x = 3 \ \text{ou} \ x = 7$
La condition — $7 > 5$ : ce serait la longueur. $x = 3$

On traduit l'énoncé par une fonction, et l'ensemble où vit $x$ trie les solutions : la largeur est $3$ cm, la longueur $7$ cm.

Pièges anticipés

7 → Avec $x = 7,$ l'autre côté mesure $3$ : $7$ est la longueur, et la condition $x \le 5$ l'exclut.

Exercice 40 · base

Les valeurs possibles de x

Dans une plaque rectangulaire de $30$ cm sur $20$ cm, on découpe à chaque coin un carré de côté $x$ cm, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle, de volume $V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x).$ Déterminer l'intervalle auquel doit appartenir $x$ pour que la boîte existe, c'est-à-dire pour que ses trois dimensions soient strictement positives.

Écrire l'intervalle, par exemple « ]0;4[ ».

Réponse attendue : ]0;10[

Indices, dans l’ordre

Les trois dimensions de la boîte sont $x,$ $30 - 2x$ et $20 - 2x$ : chacune doit être strictement positive.
Résous les trois inéquations, puis garde les réels qui vérifient les trois à la fois.

Correction

Les trois conditions — $x > 0, \quad 30 - 2x > 0, \quad 20 - 2x > 0$
Résoudre — $x > 0, \quad x < 15, \quad x < 10$
Réunir — Les trois conditions ensemble : $x < 10$ entraîne $x < 15.$ $x \in \,]0 ; 10[$

L'ensemble où vit $x$ vient de la situation : chaque dimension doit être strictement positive, et c'est la contrainte la plus forte, $20 - 2x > 0,$ qui l'emporte.

Pièges anticipés

]0;15[ → La largeur $20 - 2x$ doit aussi être positive : $x < 10,$ pas seulement $x < 15.$
[0;10] / ]0;10] / [0;10[ → Pour $x = 0$ ou $x = 10,$ une dimension est nulle : il n'y a pas de boîte, les crochets sont ouverts.
]0;20[ → On découpe un carré à chaque coin : la largeur devient $20 - 2x,$ pas $20 - x.$

Exercice 41 · pratique

Le volume d'un pavé

Un pavé droit a pour dimensions $x,$ $x + 1$ et $x + 3$ (en cm, avec $x > 0$ ). Exprimer son volume $V(x)$ comme un polynôme réduit et ordonné.

Réponse attendue : x^3+4x^2+3x

Indices, dans l’ordre

Le volume d'un pavé est le produit de ses trois dimensions.
Développe d'abord $(x + 1)(x + 3),$ puis multiplie par $x.$

Correction

Le produit — $V(x) = x(x + 1)(x + 3)$
Deux facteurs — $(x + 1)(x + 3) = x^{2} + 4x + 3$
Réduire et ordonner — $V(x) = x^{3} + 4x^{2} + 3x$

Un volume qui dépend d'une longueur $x$ est souvent un polynôme de degré $3$ : on développe facteur par facteur, puis on ordonne.

Pièges anticipés

x^3+3x → $(x + 1)(x + 3)$ ne vaut pas $x^{2} + 3$ : il y a aussi les termes $3x$ et $x,$ soit $4x.$

Exercice 42 · raisonnement

Un coefficient de la boîte

Dans une plaque carrée de $24$ cm de côté, on découpe à chaque coin un carré de côté $x$ cm et l'on replie les bords : la boîte a pour volume $V(x) = x(24 - 2x)^{2}.$ Développer $V(x)$ et déterminer le coefficient de son terme en $x^{2}.$

Donner le coefficient du terme en x².

Réponse attendue : -96

Indices, dans l’ordre

Développe d'abord le carré : $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.$
Le double produit de $24$ et de $2x$ donne le terme en $x$ du carré ; multiplié par $x,$ il devient le terme en $x^{2}.$

Correction

Le carré — $(24 - 2x)^{2} = 576 - 96x + 4x^{2}$
Multiplier par x — $V(x) = 4x^{3} - 96x^{2} + 576x$
Lire — $a_{2} = -96$

Pour lire un coefficient, on réduit et on ordonne d'abord : ici le terme en $x^{2}$ vient du double produit du carré.

Pièges anticipés

-48 → Le double produit vaut $2 \times 24 \times 2x = 96x$ : le facteur $2$ a été oublié.
96 → Dans $(24 - 2x)^{2},$ le double produit est retranché : le coefficient est négatif.

Exercice 43 · base

Combien de polynômes ?

Parmi les fonctions $f_{1} : x \mapsto \sqrt{3}\,x^{2} - x,$ $f_{2} : x \mapsto \dfrac{x^{2} + 1}{2},$ $f_{3} : x \mapsto \dfrac{2}{x} + 1,$ $f_{4} : x \mapsto |x - 1|$ et $f_{5} : x \mapsto -7,$ combien sont des polynômes ?

Donner le nombre de polynômes.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Un polynôme s'écrit comme une somme de termes $a_{k}x^{k},$ avec des exposants entiers naturels ; ses coefficients peuvent être des racines ou des fractions.
Une variable au dénominateur, ou dans une valeur absolue, empêche cette écriture ; une constante est un polynôme.

Correction

f₁ et f₂ — $\sqrt{3}$ et $\dfrac{1}{2}$ sont des coefficients réels permis. $f_{2}(x) = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}$
f₃ et f₄ — $\dfrac{2}{x}$ et $|x - 1|$ ne s'écrivent pas sous la forme $a_{n}x^{n} + \dots + a_{0}.$
f₅ — C'est un polynôme constant. $f_{1}, \ f_{2}, \ f_{5} : 3 \text{ polynômes}$

Un polynôme est une somme de termes $a_{k}x^{k}$ : les coefficients réels sont tous permis, mais pas une variable au dénominateur ni dans une valeur absolue.

Pièges anticipés

2 → Une fonction constante comme $x \mapsto -7$ est un polynôme (de degré $0$ ), et $\dfrac{x^{2} + 1}{2}$ en est un aussi.
4 → Ni $\dfrac{2}{x}$ ni $|x - 1|$ ne s'écrivent comme une somme de termes $a_{k}x^{k}.$

Exercice 44 · pratique

Un carré moins un produit

Montrer que $P(x) = (2x - 3)^{2} - 4(x - 1)(x + 2)$ est un polynôme : réduire et ordonner son expression.

Réponse attendue : -16x+17

Indices, dans l’ordre

Développe le carré avec $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2},$ puis le produit $(x - 1)(x + 2).$
Attention au signe : on retranche tout le produit $4(x^{2} + x - 2).$

Correction

Le carré — $(2x - 3)^{2} = 4x^{2} - 12x + 9$
Le produit — $4(x - 1)(x + 2) = 4x^{2} + 4x - 8$
Réduire — Les termes en $x^{2}$ s'annulent. $P(x) = 4x^{2} - 12x + 9 - 4x^{2} - 4x + 8 = -16x + 17$

Les termes de degré $2$ disparaissent : $P$ est un polynôme, et même un binôme du premier degré. On développe entièrement avant de conclure.

Pièges anticipés

-16x+1 → On retranche $4x^{2} + 4x - 8$ : le $-8$ devient $+8,$ et $9 + 8 = 17.$
-8x+17 → $-12x - 4x = -16x$ : les deux termes en $x$ sont négatifs.

Exercice 45 · raisonnement

Une fraction qui est un polynôme

Soit $g : x \mapsto \dfrac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1}.$ Justifier que $g$ est définie sur $\mathbb{R},$ puis montrer que c'est un polynôme : simplifier $g(x).$

Réponse attendue : x^2-1

Indices, dans l’ordre

Pour tout réel $x,$ $x^{2} + 1 \ge 1$ : le dénominateur ne s'annule jamais.
Le numérateur est une différence de deux carrés, celui de $x^{2}$ et celui de $1.$

Correction

Définie sur ℝ — $x^{2} + 1 \ge 1 > 0$
Factoriser — $x^{4} - 1 = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1)$
Simplifier — $g(x) = \frac{(x^{2} - 1)(x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = x^{2} - 1$

Une écriture en fraction ne prouve pas qu'une fonction n'est pas un polynôme : on simplifie d'abord. Ici $g$ est le trinôme $x^{2} - 1,$ défini sur $\mathbb{R}.$

Pièges anticipés

x^2+1 → $x^{4} - 1 = (x^{2} - 1)(x^{2} + 1)$ : après simplification par $x^{2} + 1,$ il reste $x^{2} - 1.$

Exercice 46 · base

Identifier deux coefficients

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x,$ $(a - 1)x^{2} + (a + b)x = 3x^{2} + 2x.$ Donner $b.$

Donner la valeur de b.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients pour les termes de même degré.
Le terme en $x^{2}$ donne $a - 1 = 3$ ; le terme en $x$ donne une deuxième équation.

Correction

Terme en x² — $a - 1 = 3 \iff a = 4$
Terme en x — $a + b = 2 \iff b = 2 - 4$
$b = -2$

On identifie les coefficients degré par degré, en commençant par l'équation qui ne contient qu'une inconnue.

Pièges anticipés

0 → $a - 1 = 3$ donne $a = 4,$ pas $a = 2$ : on ajoute $1$ aux deux membres.
6 → $4 + b = 2$ donne $b = 2 - 4$ : on retranche $4.$

Exercice 47 · pratique

Suivant les puissances de x + 2

Déterminer les réels $a,$ $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x,$ $x^{2} + 4x + 1 = a(x + 2)^{2} + b(x + 2) + c.$ Donner $c.$

Donner la valeur de c.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

Développe le membre de droite, puis ordonne-le suivant les puissances de $x.$
Identifie d'abord $a$ avec le terme en $x^{2},$ puis $b$ avec le terme en $x,$ enfin $c$ avec le terme constant.

Correction

Développer — $a(x + 2)^{2} + b(x + 2) + c = ax^{2} + (4a + b)x + 4a + 2b + c$
Identifier — $a = 1, \quad 4a + b = 4, \quad 4a + 2b + c = 1$
Résoudre — $a = 1, \quad b = 0, \quad c = 1 - 4$
$c = -3$

Écrire un polynôme suivant les puissances de $x + 2$ se fait par identification : $x^{2} + 4x + 1 = (x + 2)^{2} - 3.$

Pièges anticipés

1 → Le terme constant du membre de droite n'est pas $c$ seul : c'est $4a + 2b + c.$
3 → $4 + c = 1$ donne $c = 1 - 4.$

Exercice 48 · raisonnement

Le polynôme nul

Déterminer le réel $m$ tel que, pour tout réel $x,$ $(m^{2} - 4)x^{2} + (m + 2)x + m^{2} + m - 2 = 0.$

Donner la valeur de m.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

Un polynôme est nul pour tout $x$ si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Écris les trois conditions ; la première a deux solutions, une seule annule aussi le coefficient de $x.$

Correction

Terme en x² — $m^{2} - 4 = 0 \iff m = 2 \ \text{ou} \ m = -2$
Terme en x — $m + 2 = 0 \iff m = -2$
Terme constant — $(-2)^{2} + (-2) - 2 = 0$
$m = -2$

Les trois coefficients doivent s'annuler ensemble : une valeur qui n'annule que le premier ne suffit pas.

Pièges anticipés

2 → Pour $m = 2,$ le coefficient de $x$ vaut $4$ et le terme constant $4$ : le polynôme $4x + 4$ n'est pas nul.

Exercice 49 · defi

Un carré parfait

Déterminer les réels $a$ et $b,$ avec $b > 0,$ tels que $x^{4} + 4x^{3} + ax^{2} + bx + 1$ soit, pour tout réel $x,$ le carré d'un trinôme $x^{2} + px + q.$ Donner $a.$

Donner la valeur de a.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

Développe $(x^{2} + px + q)^{2}$ et ordonne-le.
Le terme en $x^{3}$ donne $p,$ le terme constant donne deux valeurs possibles de $q$ ; la condition $b > 0$ choisit.

Correction

Développer — $(x^{2} + px + q)^{2} = x^{4} + 2px^{3} + (p^{2} + 2q)x^{2} + 2pqx + q^{2}$
Identifier — $2p = 4, \quad q^{2} = 1 \iff p = 2, \quad q = 1 \ \text{ou} \ q = -1$
La condition b > 0 — $b = 2pq = 4q$ est positif pour $q = 1.$ $b = 4, \quad a = p^{2} + 2q = 4 + 2$
$a = 6$

L'identification donne un système ; quand il a plusieurs solutions, la condition de l'énoncé tranche : $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1 = (x^{2} + 2x + 1)^{2}.$

Pièges anticipés

2 → Avec $q = -1,$ on trouverait $a = 2,$ mais $b = -4 < 0$ : la condition $b > 0$ l'exclut.

Exercice 50 · base

Le terme du plus haut degré

Déterminer le degré et le coefficient du terme du plus haut degré de $P(x) = (3x^{2} - 1)(2 - x^{3}) + x.$

Donner le coefficient du terme du plus haut degré.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

Le terme du plus haut degré d'un produit est le produit des termes du plus haut degré de ses facteurs.
Ici, ce sont $3x^{2}$ et $-x^{3}$ ; le $+ x$ ne change rien au plus haut degré.

Correction

Le plus haut degré — $3x^{2} \times (-x^{3}) = -3x^{5}$
Conclure — $d°(P) = 5, \quad a_{5} = -3$

Pas besoin de tout développer : le terme du plus haut degré d'un produit se lit sur les facteurs.

Pièges anticipés

3 → Le terme du plus haut degré de $2 - x^{3}$ est $-x^{3}$ : le coefficient est négatif.
5 → $5$ est le degré ; on demande le coefficient du terme $-3x^{5}.$

Exercice 51 · pratique

Deux carrés qui se compensent

Déterminer le degré du polynôme $P(x) = (x^{2} + 2)^{2} - (x^{2} - 1)^{2}.$

Donner le degré.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

Les deux carrés ont le même terme en $x^{4}$ : il disparaît dans la différence.
Développe les deux carrés, ou utilise $A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B).$

Correction

Factoriser — $P(x) = \left[(x^{2} + 2) - (x^{2} - 1)\right]\left[(x^{2} + 2) + (x^{2} - 1)\right]$
$P(x) = 3(2x^{2} + 1) = 6x^{2} + 3$
Conclure — $d°(P) = 2$

Le degré d'une différence peut baisser : on réduit avant de lire le degré.

Pièges anticipés

4 → Les termes en $x^{4}$ s'annulent : $x^{4} - x^{4} = 0.$

Exercice 52 · defi

Le degré selon un paramètre

Soit $m$ un réel et $P(x) = (m - 2)x^{3} + (m^{2} - 4)x^{2} + (m + 1)x - 3.$ Déterminer $m$ pour que $P$ soit de degré $1.$

Donner la valeur de m.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

Degré $1$ : les coefficients de $x^{3}$ et de $x^{2}$ sont nuls, celui de $x$ ne l'est pas.
La condition sur $x^{3}$ ne laisse qu'une valeur ; vérifie qu'elle annule aussi le coefficient de $x^{2}.$

Correction

Terme en x³ — $m - 2 = 0 \iff m = 2$
Terme en x² — $2^{2} - 4 = 0$
Terme en x — $2 + 1 = 3 \ne 0$
$m = 2$

Pour imposer le degré $n,$ on annule tous les coefficients de degré supérieur à $n$ et l'on vérifie que celui de degré $n$ n'est pas nul.

Pièges anticipés

-2 → Pour $m = -2,$ le coefficient de $x^{3}$ vaut $-4$ : $P$ serait de degré $3.$

Exercice 53 · base

Ordonner avant de lire

Déterminer le coefficient du terme du plus haut degré de $T(x) = 5 - 2x^{3} + \dfrac{1}{2}x - x^{2}.$

Donner le coefficient.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

Ordonne $T(x)$ par degrés décroissants : le premier terme écrit n'est pas forcément celui du plus haut degré.
Le coefficient garde son signe.

Correction

Ordonner — $T(x) = -2x^{3} - x^{2} + \frac{1}{2}x + 5$
Lire — $a_{3} = -2$

Le terme du plus haut degré est celui du plus grand exposant, où qu'il soit écrit : ici $-2x^{3}.$

Pièges anticipés

5 → $5$ est le terme constant, même s'il est écrit en premier.
2 → Le terme est $-2x^{3}$ : son coefficient est négatif.

Exercice 54 · base

Le terme du premier degré

Développer $Q(x) = (x - 3)(2x + 1)$ et donner le coefficient de son terme du premier degré.

Donner le coefficient de $x.$

Réponse attendue : -5

Indices, dans l’ordre

Développe avec la double distributivité.
Les termes en $x$ viennent de $x \times 1$ et de $(-3) \times 2x.$

Correction

Développer — $Q(x) = 2x^{2} + x - 6x - 3$
Réduire — $Q(x) = 2x^{2} - 5x - 3$
Lire — $a_{1} = -5$

Le terme du premier degré, ou terme en $x,$ se lit après réduction : ici $-5x.$

Pièges anticipés

7 → $(-3) \times 2x = -6x,$ et $x - 6x = -5x.$
-3 → $-3$ est le terme constant ; on demande le coefficient de $x.$

Exercice 55 · pratique

Un trinôme caché

Réduire $R(x) = (x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}$ et donner le coefficient de son terme en $x^{2}.$

Donner le coefficient du terme en x².

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ ; pour $(x - 1)^{3},$ les signes alternent.
Les termes en $x^{3}$ et en $x$ disparaissent dans la différence.

Correction

Les cubes — $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1, \quad (x - 1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1$
La différence — $R(x) = 6x^{2} + 2$
Lire — $a_{2} = 6$

$R$ est un trinôme du second degré, sans terme en $x$ : on réduit avant de nommer un polynôme.

Pièges anticipés

0 → $3x^{2} - (-3x^{2}) = 6x^{2}$ : les termes en $x^{2}$ s'ajoutent, ils ne s'annulent pas.
3 → Chaque cube apporte un terme $3x^{2}$ ou $-3x^{2}$ : la différence donne $3x^{2} + 3x^{2} = 6x^{2}.$

Exercice 56 · raisonnement

Un binôme imposé

Soient $a$ et $b$ deux réels et $P(x) = (a - 1)x^{2} + (2a + b)x + b - 4.$ Déterminer $a$ et $b$ pour que $P$ soit un binôme du premier degré de terme constant nul, puis donner $P(x).$

Réponse attendue : 6x

Indices, dans l’ordre

Binôme du premier degré : le coefficient de $x^{2}$ est nul, celui de $x$ ne l'est pas.
Terme constant nul : $b - 4 = 0.$

Correction

Terme en x² — $a - 1 = 0 \iff a = 1$
Terme constant — $b - 4 = 0 \iff b = 4$
Contrôler — Le coefficient de $x$ vaut $2 \times 1 + 4 = 6 \ne 0.$ $P(x) = 6x$

Chaque mot du vocabulaire est une condition sur un coefficient : « premier degré » annule le terme en $x^{2}$ sans annuler celui en $x,$ « terme constant nul » annule $a_{0}.$

Pièges anticipés

-2x-8 → $b - 4 = 0$ donne $b = 4,$ pas $b = -4$ : avec $b = -4,$ le terme constant ne serait pas nul.

Exercice 57 · base

Une somme qui perd son degré

$f(x) = x^{3} - 2x + 4$ et $g(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 2x - 1.$ Réduire et ordonner $f(x) + g(x).$

Réponse attendue : 3x^2+3

Indices, dans l’ordre

Regroupe les termes de même degré : $x^{3}$ avec $-x^{3},$ $-2x$ avec $2x$ …
Deux couples de termes s'annulent.

Correction

Regrouper — $(x^{3} - x^{3}) + 3x^{2} + (-2x + 2x) + (4 - 1)$
Réduire — $f(x) + g(x) = 3x^{2} + 3$

On additionne les coefficients degré par degré ; le degré de la somme ( $2$ ) est ici plus petit que celui de $f$ et de $g$ ( $3$ ).

Pièges anticipés

3x^2-4x+3 → $-2x + 2x = 0$ : les termes en $x$ s'annulent.
3x^2+5 → $4 + (-1) = 3.$

Exercice 58 · pratique

Le produit par un binôme

$f(x) = 2x^{2} - x + 3$ et $g(x) = x - 2.$ Réduire et ordonner $f(x)\,g(x).$

Réponse attendue : 2x^3-5x^2+5x-6

Indices, dans l’ordre

Multiplie chaque terme de $f(x)$ par $x,$ puis par $-2.$
Regroupe ensuite les termes de même degré.

Correction

Distribuer — $f(x)\,g(x) = 2x^{3} - 4x^{2} - x^{2} + 2x + 3x - 6$
Réduire — $f(x)\,g(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + 5x - 6$

Le produit d'un trinôme par un binôme est de degré $2 + 1 = 3$ : on distribue, puis on réduit.

Pièges anticipés

2x^3-3x^2+5x-6 → $(-x) \times x = -x^{2}$ : le terme en $x^{2}$ vaut $-4x^{2} - x^{2} = -5x^{2}.$
2x^3-5x^2+5x+6 → $3 \times (-2) = -6.$

Exercice 59 · raisonnement

Retrouver un polynôme

$f(x) = x^{2} + 4x - 1$ et $h(x) = -x^{2} + 5x + 7.$ Déterminer le polynôme $g$ tel que, pour tout réel $x,$ $2f(x) - 3g(x) = h(x).$

Réponse attendue : x^2+x-3

Indices, dans l’ordre

Isole $g(x)$ : $3g(x) = 2f(x) - h(x).$
Calcule $2f(x) - h(x)$ en changeant tous les signes de $h(x),$ puis divise par $3.$

Correction

Isoler — $3g(x) = 2f(x) - h(x)$
Calculer — $2f(x) - h(x) = 2x^{2} + 8x - 2 + x^{2} - 5x - 7 = 3x^{2} + 3x - 9$
Diviser par 3 — $g(x) = x^{2} + x - 3$

Les opérations sur les polynômes se manipulent comme sur les nombres : on isole $g(x),$ puis on réduit.

Pièges anticipés

3x^2+3x-9 → C'est $3g(x)$ qui vaut $3x^{2} + 3x - 9$ : il reste à diviser par $3.$
(x^2+13x+5)/3 → $3g(x) = 2f(x) - h(x)$ : on retranche $h(x),$ on ne l'ajoute pas.

Exercice 60 · base

Le degré d'un triple produit

Déterminer, sans développer, le degré de $A(x) = (2x^{3} + 1)(x^{4} - x)(5 - x^{2}).$

Donner le degré.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

Le degré d'un produit est la somme des degrés des facteurs.
Les trois facteurs sont de degrés $3,$ $4$ et $2.$

Correction

Les facteurs — $d°(2x^{3} + 1) = 3, \quad d°(x^{4} - x) = 4, \quad d°(5 - x^{2}) = 2$
Additionner — $d°(A) = 3 + 4 + 2 = 9$

Le degré d'un produit se lit sans développer : c'est la somme des degrés des facteurs.

Pièges anticipés

24 → On additionne les degrés d'un produit : $x^{3} \times x^{4} \times x^{2} = x^{9}.$
4 → Le degré d'un produit n'est pas le plus grand des degrés : c'est leur somme.

Exercice 61 · pratique

Le coefficient dominant d'un produit

Sans développer, déterminer le degré et le coefficient du terme du plus haut degré de $B(x) = (2x - 1)^{3}(3 - x^{2}).$

Donner le coefficient du terme du plus haut degré.

Réponse attendue : -8

Indices, dans l’ordre

Le terme du plus haut degré de $(2x - 1)^{3}$ est $(2x)^{3}.$
Multiplie-le par le terme du plus haut degré de $3 - x^{2}.$

Correction

Le cube — $(2x)^{3} = 8x^{3}$
Le produit — $8x^{3} \times (-x^{2}) = -8x^{5}$
$d°(B) = 5, \quad a_{5} = -8$

Le terme du plus haut degré d'un produit, ou d'une puissance, est le produit des termes du plus haut degré.

Pièges anticipés

-2 → Le cube porte aussi sur le coefficient : $(2x)^{3} = 8x^{3},$ pas $2x^{3}.$
8 → Le terme du plus haut degré de $3 - x^{2}$ est $-x^{2}$ : le coefficient est négatif.
-6 → $(2x)^{3} = 2^{3}x^{3} = 8x^{3}$ : on élève $2$ au cube, on ne le multiplie pas par $3.$

Exercice 62 · raisonnement

Un produit moins une puissance

Déterminer le degré de $C(x) = (x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1) - x^{4}.$

Donner le degré.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

Le produit est de degré $4,$ de terme du plus haut degré $x^{4}$ : il s'annule avec $-x^{4}.$
Pour aller vite : $(x^{2} + 1 + x)(x^{2} + 1 - x) = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2}.$

Correction

Identité remarquable — $(x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1) = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = x^{4} + x^{2} + 1$
Réduire — $C(x) = x^{2} + 1$
$d°(C) = 2$

Quand les termes du plus haut degré se compensent, on cherche le premier coefficient non nul : le degré de $C$ est $2,$ pas $4.$

Pièges anticipés

4 → Les termes en $x^{4}$ s'annulent ; il faut chercher le terme suivant.
3 → Le coefficient de $x^{3}$ dans le produit est $-1 + 1 = 0$ : il s'annule aussi.

Exercice 63 · base

Trier les racines

$f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6.$ Parmi les réels $-2,$ $-1,$ $1,$ $2$ et $3,$ lesquels sont des racines de $f$ ?

Écrire l'ensemble des racines trouvées, par exemple « {-1;4} ».

Réponse attendue : {-2;1;3}

Indices, dans l’ordre

$\alpha$ est une racine de $f$ si $f(\alpha) = 0$ : calcule les cinq images.
Garde les parenthèses autour des nombres négatifs : $(-2)^{3} = -8.$

Correction

Calculer — $f(-2) = -8 - 8 + 10 + 6 = 0, \quad f(-1) = -1 - 2 + 5 + 6 = 8$
$f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, \quad f(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$
$f(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$
Conclure — $\{-2 ; 1 ; 3\}$

Pour savoir si un réel est une racine, on calcule son image : $-2,$ $1$ et $3$ annulent $f.$

Pièges anticipés

{1;3} → $f(-2) = -8 - 8 + 10 + 6 = 0$ : $-2$ est aussi une racine.

Exercice 64 · pratique

Une racine entière

$P(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3x + 18$ a une seule racine entière, comprise entre $-4$ et $4.$ Déterminer cette racine.

Donner la racine.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

Tous les coefficients sont positifs : pour $x \ge 0,$ $P(x) > 0.$ Cherche parmi les entiers négatifs.
Essaie $-1,$ $-2$ … en gardant les parenthèses.

Correction

Les positifs — Pour $x \ge 0,$ $P(x) \ge 18 > 0$ : aucune racine positive ou nulle.
Essayer — $P(-1) = 16, \quad P(-2) = 12, \quad P(-3) = -27 + 18 - 9 + 18 = 0$
$\alpha = -3$

Une racine se cherche par essais raisonnés : le signe des coefficients élimine déjà tous les entiers positifs.

Pièges anticipés

3 → $P(3) = 27 + 18 + 9 + 18 = 72 \ne 0$ : la racine est négative.

Exercice 65 · defi

Deux racines opposées

Soit $a$ un réel et $P(x) = x^{3} + ax^{2} - 4x - 8.$ Déterminer $a$ pour que $P$ admette deux racines opposées non nulles $\alpha$ et $-\alpha.$

Donner la valeur de a.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

Écris $P(\alpha) = 0$ et $P(-\alpha) = 0,$ puis fais la différence et la somme des deux égalités.
La différence donne $2\alpha^{3} - 8\alpha = 0$ : comme $\alpha \ne 0,$ tu obtiens $\alpha^{2}.$

Correction

Deux égalités — $\alpha^{3} + a\alpha^{2} - 4\alpha - 8 = 0, \quad -\alpha^{3} + a\alpha^{2} + 4\alpha - 8 = 0$
La différence — $2\alpha^{3} - 8\alpha = 0 \iff \alpha^{2} = 4$
La somme — $2a\alpha^{2} - 16 = 0 \iff 8a = 16$
Contrôler — $P(x) = x^{3} + 2x^{2} - 4x - 8 = (x - 2)(x + 2)^{2}$ : $2$ et $-2$ sont bien des racines. $a = 2$

Deux racines donnent deux équations ; les additionner et les soustraire sépare les termes de degré pair de ceux de degré impair.

Pièges anticipés

-2 → Pour $a = -2,$ $P(2) = 8 - 8 - 8 - 8 = -16 \ne 0$ : la somme des deux égalités donne $8a = 16.$

Exercice 66 · base

Un paramètre pour une racine

Déterminer le réel $m$ tel que $\dfrac{1}{2}$ soit une racine de $P(x) = 4x^{3} + mx^{2} - 3x + 2.$

Donner la valeur de m.

Réponse attendue : -4

Indices, dans l’ordre

Écris $P\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$ : c'est une équation d'inconnue $m.$
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}.$

Correction

Calculer — $P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{8} + \frac{m}{4} - \frac{3}{2} + 2 = 1 + \frac{m}{4}$
Résoudre — $1 + \frac{m}{4} = 0 \iff m = -4$

Une racine connue donne une équation sur le paramètre : on calcule $P(\alpha)$ et on l'égale à $0.$

Pièges anticipés

4 → $1 + \dfrac{m}{4} = 0$ donne $\dfrac{m}{4} = -1$ : $m$ est négatif.

Exercice 67 · raisonnement

La troisième racine

$P(x) = x^{3} + ax^{2} + bx - 6,$ où $a$ et $b$ sont des réels. Sachant que $1$ et $2$ sont des racines de $P,$ déterminer $a$ et $b,$ puis la troisième racine de $P.$

Donner la troisième racine.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

$P(1) = 0$ et $P(2) = 0$ donnent un système de deux équations en $a$ et $b.$
Ensuite, $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + c)$ : le terme constant suffit pour trouver $c.$

Correction

Le système — $\begin{cases} 1 + a + b - 6 = 0 \\ 8 + 4a + 2b - 6 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a + b = 5 \\ 2a + b = -1 \end{cases}$
Résoudre — $a = -6, \quad b = 11$
Le dernier facteur — $(x - 1)(x - 2) = x^{2} - 3x + 2,$ et le terme constant donne $2c = -6.$ $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$
$\gamma = 3$

Deux racines donnent deux équations, donc les deux paramètres ; la factorisation donne ensuite la dernière racine.

Pièges anticipés

-3 → Le dernier facteur est $x + c$ avec $c = -3$ : c'est $x - 3,$ qui s'annule en $3.$

Exercice 68 · raisonnement

Deux valeurs imposées

$P(x) = x^{3} + ax + b,$ où $a$ et $b$ sont des réels, vérifie $P(1) = 2$ et $P(-1) = 6.$ Déterminer $a$ et $b,$ puis calculer $P(2).$

Donner la valeur de P(2).

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

Chaque valeur connue donne une équation sur $a$ et $b.$
Additionne les deux équations pour trouver $b.$

Correction

Le système — $\begin{cases} a + b = 1 \\ -a + b = 7 \end{cases}$
Résoudre — $b = 4, \quad a = -3$
Calculer — $P(2) = 8 - 6 + 4 = 6$

Une valeur imposée $P(\alpha) = k$ se traite comme une racine : c'est une équation sur les coefficients.

Pièges anticipés

18 → $a = -3$ : le terme $2a$ vaut $-6,$ pas $+6.$

Exercice 69 · pratique

Un trinôme par trois valeurs

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(0) = 3,$ $P(1) = 0$ et $P(-1) = 8.$

Réponse attendue : x^2-4x+3

Indices, dans l’ordre

Pose $P(x) = ax^{2} + bx + c$ : $P(0)$ donne directement $c.$
$P(1)$ et $P(-1)$ donnent $a + b$ et $a - b.$

Correction

Le terme constant — $P(0) = c = 3$
Le système — $a + b + 3 = 0, \quad a - b + 3 = 8 \iff a + b = -3, \quad a - b = 5$
Résoudre — $a = 1, \quad b = -4$
$P(x) = x^{2} - 4x + 3$

Trois valeurs déterminent un trinôme : on pose ses trois coefficients inconnus, et chaque valeur donne une équation.

Pièges anticipés

-4x^2+x+3 → En additionnant les deux équations, $2a = 2,$ donc $a = 1$ ; c'est $b$ qui vaut $-4.$

Exercice 70 · base

Une différence de deux cubes

Factoriser $8x^{3} - 1$ à l'aide de $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}).$

Réponse attendue : (2x-1)*(4x^2+2x+1)

Indices, dans l’ordre

$8x^{3} = (2x)^{3}$ et $1 = 1^{3}$ : prends $a = 2x$ et $b = 1.$
Le second facteur est $a^{2} + ab + b^{2},$ pas $(a + b)^{2}.$

Correction

Reconnaître — $8x^{3} - 1 = (2x)^{3} - 1^{3}$
Appliquer — $8x^{3} - 1 = (2x - 1)\left((2x)^{2} + 2x \times 1 + 1^{2}\right)$
$8x^{3} - 1 = (2x - 1)(4x^{2} + 2x + 1)$

On reconnaît une différence de deux cubes, puis on applique la formule ; le trinôme obtenu, de discriminant $4 - 16 < 0,$ ne se factorise plus.

Pièges anticipés

(2x-1)*(4x^2+4x+1) → Le second facteur est $a^{2} + ab + b^{2} = 4x^{2} + 2x + 1$ : le terme du milieu est $ab,$ pas $2ab.$

Exercice 71 · pratique

Regrouper les termes

Factoriser au maximum $E(x) = 2x^{3} - x^{2} - 18x + 9.$

Réponse attendue : (2x-1)*(x-3)*(x+3)

Indices, dans l’ordre

Regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : un facteur commun apparaît.
Il reste une différence de deux carrés à factoriser.

Correction

Regrouper — $E(x) = x^{2}(2x - 1) - 9(2x - 1)$
Facteur commun — $E(x) = (2x - 1)(x^{2} - 9)$
Identité remarquable — $E(x) = (2x - 1)(x - 3)(x + 3)$

Le regroupement fait apparaître un facteur commun ; on continue tant qu'un facteur se factorise encore.

Pièges anticipés

(2x-1)*(x^2+9) → $-18x + 9 = -9(2x - 1)$ : le second facteur est $x^{2} - 9,$ pas $x^{2} + 9.$

Exercice 72 · raisonnement

Un facteur commun caché

Factoriser au maximum $F(x) = (x^{2} - 1)^{2} - (x + 1)^{2}.$

Réponse attendue : x*(x-2)*(x+1)^2

Indices, dans l’ordre

$x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$ : le facteur $(x + 1)^{2}$ est commun aux deux termes.
Après l'avoir mis en facteur, il reste $(x - 1)^{2} - 1,$ une différence de deux carrés.

Correction

Le facteur commun — $F(x) = (x - 1)^{2}(x + 1)^{2} - (x + 1)^{2} = (x + 1)^{2}\left[(x - 1)^{2} - 1\right]$
Le crochet — $(x - 1)^{2} - 1 = (x - 1 - 1)(x - 1 + 1) = (x - 2)\,x$
$F(x) = x(x - 2)(x + 1)^{2}$

Avant de développer, on cherche un facteur commun : ici $(x + 1)^{2},$ caché dans $(x^{2} - 1)^{2}.$

Exercice 73 · base

Factorisable par x + 1

Déterminer le réel $m$ tel que $P(x) = x^{3} - 2x^{2} + mx + 6$ soit factorisable par $(x + 1).$

Donner la valeur de m.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

$P$ est factorisable par $(x - \alpha)$ si et seulement si $\alpha$ est une racine de $P.$
Ici $x + 1 = x - (-1)$ : écris $P(-1) = 0.$

Correction

La racine — $x + 1 = x - (-1) : \ P(-1) = 0$
Calculer — $P(-1) = -1 - 2 - m + 6 = 3 - m$
$m = 3$

Être factorisable par $(x - \alpha)$ équivaut à $P(\alpha) = 0$ : attention au signe de $\alpha,$ ici $-1.$

Pièges anticipés

-5 → Le facteur $x + 1$ s'annule en $-1,$ pas en $1$ : c'est $P(-1)$ qu'il faut annuler.

Exercice 74 · raisonnement

Le terme constant du quotient

$f(x) = x^{4} + x^{3} - 3x^{2} - x + 2.$ Vérifier que $1$ est une racine de $f$ ; on écrit alors $f(x) = (x - 1)\,g(x).$ Sans calculer $g(x)$ en entier, déterminer $g(0).$

Donner la valeur de g(0).

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

L'égalité $f(x) = (x - 1)\,g(x)$ est vraie pour tout réel $x$ : choisis une valeur simple.
Remplace $x$ par $0$ des deux côtés.

Correction

Vérifier — $f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0$
En x = 0 — $f(0) = (0 - 1)\,g(0) \iff 2 = -g(0)$
$g(0) = -2$

Une égalité de polynômes vraie pour tout $x$ se spécialise : en $x = 0,$ elle relie directement les termes constants.

Pièges anticipés

2 → En $x = 0,$ le facteur $x - 1$ vaut $-1$ : $g(0) = -f(0).$

Exercice 75 · raisonnement

Factoriser P(x) − P(1)

$P(x) = x^{3} - 2x + 5.$ Calculer $P(1),$ puis déterminer le polynôme $Q$ tel que, pour tout réel $x,$ $P(x) - P(1) = (x - 1)\,Q(x).$

Réponse attendue : x^2+x-1

Indices, dans l’ordre

$1$ n'est pas une racine de $P,$ mais c'est une racine de $P(x) - P(1).$
Écris $x^{3} - 2x + 1 = (x - 1)(x^{2} + bx + c)$ et identifie.

Correction

P(1) — $P(1) = 1 - 2 + 5 = 4$
La différence — $P(x) - P(1) = x^{3} - 2x + 1$
Identifier — $(x - 1)(x^{2} + bx + c) = x^{3} + (b - 1)x^{2} + (c - b)x - c$
$b - 1 = 0, \quad -c = 1 \iff b = 1, \quad c = -1$
$Q(x) = x^{2} + x - 1$

$P(x) - P(\alpha)$ s'annule toujours en $\alpha$ : il est factorisable par $(x - \alpha),$ que $\alpha$ soit une racine de $P$ ou non.

Pièges anticipés

x^2+x+1 → Le terme constant de $(x - 1)(x^{2} + bx + c)$ est $-c$ ; il vaut $1,$ donc $c = -1.$

Exercice 76 · pratique

Factoriser par x + 3

Vérifier que $-3$ est une racine de $P(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - 4x - 3,$ puis déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(x) = (x + 3)\,Q(x).$

Réponse attendue : 2x^2-x-1

Indices, dans l’ordre

Calcule $P(-3)$ en gardant les parenthèses.
Pose $Q(x) = 2x^{2} + bx + c,$ développe $(x + 3)\,Q(x)$ et identifie.

Correction

Vérifier — $P(-3) = -54 + 45 + 12 - 3 = 0$
Développer — $(x + 3)(2x^{2} + bx + c) = 2x^{3} + (b + 6)x^{2} + (c + 3b)x + 3c$
Identifier — $b + 6 = 5, \quad 3c = -3 \iff b = -1, \quad c = -1$
Contrôler — $c + 3b = -1 - 3 = -4$
$Q(x) = 2x^{2} - x - 1$

On vérifie la racine, on pose la forme de $Q,$ on identifie, et le coefficient qui reste sert de contrôle.

Pièges anticipés

2x^2-x+1 → Le terme constant de $(x + 3)\,Q(x)$ est $3c,$ qui doit valoir $-3$ : $c = -1.$

Exercice 77 · raisonnement

Une factorisation complète

$P(x) = 6x^{3} - 7x^{2} - x + 2.$ Trouver une racine apparente de $P,$ puis factoriser $P(x)$ en un produit de trois facteurs du premier degré.

Réponse attendue : (x-1)*(2x+1)*(3x-2)

Indices, dans l’ordre

Essaie $x = 1$ : la somme des coefficients est-elle nulle ?
Après $P(x) = (x - 1)\,Q(x),$ factorise le trinôme $Q(x)$ à l'aide de ses racines.

Correction

Racine apparente — $P(1) = 6 - 7 - 1 + 2 = 0$
Identifier — $P(x) = (x - 1)(6x^{2} - x - 2)$
Le trinôme — Son discriminant vaut $1 + 48 = 49$ : ses racines sont $-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{3}.$ $6x^{2} - x - 2 = (2x + 1)(3x - 2)$
$P(x) = (x - 1)(2x + 1)(3x - 2)$

$1$ est une racine dès que la somme des coefficients est nulle ; le quotient du second degré se factorise ensuite avec son discriminant.

Exercice 78 · base

Une première division

Par la division suivant les puissances décroissantes, déterminer le polynôme $Q$ tel que $x^{3} - 4x^{2} + x + 6 = (x - 2)\,Q(x).$

Réponse attendue : x^2-2x-3

Indices, dans l’ordre

Premier terme du quotient : $x^{3} \div x = x^{2}$ ; retranche $(x - 2) \times x^{2}.$
Recommence avec le reste obtenu, jusqu'à un reste nul.

Correction

1er terme — $x^{3} \div x = x^{2}$ ; on retranche $x^{3} - 2x^{2}.$ $x^{3} - 4x^{2} + x + 6 - (x^{3} - 2x^{2}) = -2x^{2} + x + 6$
2e terme — $-2x^{2} \div x = -2x$ ; on retranche $-2x^{2} + 4x.$ $-2x^{2} + x + 6 - (-2x^{2} + 4x) = -3x + 6$
3e terme — $-3x \div x = -3$ ; on retranche $-3x + 6$ : le reste est nul. $-3x + 6 - (-3x + 6) = 0$
$Q(x) = x^{2} - 2x - 3$

À chaque étape, on divise le terme du plus haut degré du reste par $x$ ; un reste nul confirme que $2$ est une racine.

Pièges anticipés

x^2-6x-11 → $-4x^{2} - (-2x^{2}) = -2x^{2}$ : retrancher un terme négatif revient à l'ajouter.

Exercice 79 · pratique

Diviser par 2x + 1

Par la division suivant les puissances décroissantes, déterminer le polynôme $Q$ tel que $4x^{3} + 8x^{2} + x - 1 = (2x + 1)\,Q(x).$

Réponse attendue : 2x^2+3x-1

Indices, dans l’ordre

Premier terme : $4x^{3} \div 2x = 2x^{2}.$
Retranche à chaque étape le produit de $(2x + 1)$ par le terme trouvé.

Correction

1er terme — $4x^{3} \div 2x = 2x^{2}$ ; on retranche $4x^{3} + 2x^{2}.$ $6x^{2} + x - 1$
2e terme — $6x^{2} \div 2x = 3x$ ; on retranche $6x^{2} + 3x.$ $-2x - 1$
3e terme — $-2x \div 2x = -1$ ; on retranche $-2x - 1$ : le reste est nul. $0$
$Q(x) = 2x^{2} + 3x - 1$

La division marche aussi avec un diviseur comme $2x + 1$ : on divise toujours les termes du plus haut degré.

Exercice 80 · raisonnement

Diviser par x² + 1

Le polynôme $x^{2} + 1$ n'a pas de racine. Par la division suivant les puissances décroissantes, déterminer le polynôme $Q$ tel que $2x^{4} + 3x^{3} + 5x^{2} + 3x + 3 = (x^{2} + 1)\,Q(x).$

Réponse attendue : 2x^2+3x+3

Indices, dans l’ordre

Premier terme : $2x^{4} \div x^{2} = 2x^{2}$ ; retranche $(x^{2} + 1) \times 2x^{2}.$
Le quotient est de degré $2$ : trois étapes suffisent.

Correction

1er terme — On retranche $2x^{4} + 2x^{2}.$ $3x^{3} + 3x^{2} + 3x + 3$
2e terme — $3x^{3} \div x^{2} = 3x$ ; on retranche $3x^{3} + 3x.$ $3x^{2} + 3$
3e terme — $3x^{2} \div x^{2} = 3$ ; on retranche $3x^{2} + 3$ : le reste est nul. $0$
$Q(x) = 2x^{2} + 3x + 3$

Sans racine connue, on ne peut pas factoriser par $(x - \alpha)$ ; la division, elle, marche avec n'importe quel diviseur.

Exercice 81 · defi

Deux coefficients absents

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $x^{4} + ax^{2} + b$ soit factorisable par $x^{2} + x + 1,$ puis donner le polynôme $Q$ tel que $x^{4} + ax^{2} + b = (x^{2} + x + 1)\,Q(x).$

Réponse attendue : x^2-x+1

Indices, dans l’ordre

$Q$ est de degré $2$ et de terme du plus haut degré $x^{2}$ : pose $Q(x) = x^{2} + px + q.$
Développe $(x^{2} + x + 1)(x^{2} + px + q)$ : les coefficients de $x^{3}$ et de $x$ doivent être nuls.

Correction

Développer — $(x^{2} + x + 1)(x^{2} + px + q) = x^{4} + (p + 1)x^{3} + (q + p + 1)x^{2} + (q + p)x + q$
Identifier — $p + 1 = 0, \quad q + p = 0 \iff p = -1, \quad q = 1$
Les paramètres — $a = q + p + 1 = 1, \quad b = q = 1$
$Q(x) = x^{2} - x + 1$

Les termes absents ( $x^{3}$ et $x$ ) ont des coefficients nuls : ce sont eux qui donnent les équations. On peut contrôler par la division : $x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1).$

Pièges anticipés

x^2+x+1 → Le coefficient de $x^{3}$ est $p + 1$ ; il doit être nul : $p = -1.$

Exercice 82 · pratique

Deux racines, un facteur

$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 11x + 6.$ Vérifier que $3$ et $-2$ sont des racines de $P,$ puis déterminer le polynôme $R$ tel que $P(x) = (x - 3)(x + 2)\,R(x).$

Réponse attendue : 2x-1

Indices, dans l’ordre

$R$ est de degré $3 - 2 = 1$ et son terme en $x$ est $2x$ : $R(x) = 2x + c.$
$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6$ ; compare les termes constants.

Correction

Vérifier — $P(3) = 54 - 27 - 33 + 6 = 0, \quad P(-2) = -16 - 12 + 22 + 6 = 0$
Le produit — $(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6$
Terme constant — $-6c = 6 \iff c = -1$
$R(x) = 2x - 1$

Avec deux racines, le quotient perd deux degrés ; ici il est du premier degré et un seul coefficient suffit — on contrôle avec un autre terme.

Pièges anticipés

2x+1 → $-6c = 6$ donne $c = -1.$

Exercice 83 · raisonnement

La quatrième racine

$f(x) = x^{4} - 2x^{3} - 7x^{2} + 8x + 12$ admet $-1,$ $2$ et $-2$ pour racines. Déterminer sa quatrième racine.

Donner la quatrième racine.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Trois racines : $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)\,g(x)$ avec $g$ de degré $1,$ de la forme $x + c.$
Compare les termes constants des deux membres.

Correction

La forme — $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)(x + c)$
Terme constant — $1 \times (-2) \times 2 \times c = 12 \iff -4c = 12$
Conclure — $c = -3$
$\alpha_{4} = 3$

Avec $k$ racines connues, le quotient est de degré $n - k$ ; un seul coefficient à identifier donne ici la dernière racine.

Pièges anticipés

-3 → Le facteur est $x - 3$ ; il s'annule en $3,$ pas en $-3.$

Exercice 84 · defi

Trois racines imposées

$P(x) = x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx + 6,$ où $a,$ $b$ et $c$ sont des réels, admet $1,$ $2$ et $3$ pour racines. Déterminer $c.$

Donner la valeur de c.

Réponse attendue : -17

Indices, dans l’ordre

Trois racines : $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x + d),$ avec un dernier facteur du premier degré de coefficient $1.$
Le terme constant donne $d$ ; développe ensuite pour lire le coefficient de $x.$

Correction

La forme — $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x + d)$
Terme constant — $(-1)(-2)(-3)\,d = 6 \iff d = -1$
Développer — $P(x) = (x^{2} - 2x + 1)(x^{2} - 5x + 6) = x^{4} - 7x^{3} + 17x^{2} - 17x + 6$
$c = -17$

Le théorème des $k$ racines fixe la forme de $P$ ; le terme constant donne le dernier facteur — ici $1$ est racine double.

Pièges anticipés

11 → $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$ n'est que de degré $3$ : il manque un facteur pour atteindre le degré $4.$

Exercice 85 · base

Le nombre maximal de racines

Sans développer, déterminer le nombre maximal de racines que peut avoir $P(x) = (2x^{3} - x + 4)(x^{2} - 7),$ d'après son degré.

Donner le nombre maximal de racines.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.
Le degré d'un produit est la somme des degrés.

Correction

Le degré — $d°(P) = 3 + 2 = 5$
Conclure — $P \text{ a au plus } 5 \text{ racines}$

Le degré borne le nombre de racines : un polynôme de degré $5$ en a au plus $5.$

Pièges anticipés

6 → Le degré d'un produit est la somme des degrés : $3 + 2 = 5.$

Exercice 86 · pratique

Moins de racines que le degré

Déterminer le nombre de racines de $P(x) = (x^{2} + 1)(x^{3} - 2x).$

Donner le nombre de racines.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$x^{2} + 1$ ne s'annule jamais ; factorise $x^{3} - 2x.$

Correction

Premier facteur — $x^{2} + 1 \ge 1 > 0$
Second facteur — $x^{3} - 2x = x(x^{2} - 2) = x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$
Compter — $-\sqrt{2}, \ 0, \ \sqrt{2} : 3 \text{ racines}$

Le degré ( $5$ ) n'est qu'un maximum : un polynôme peut avoir moins de racines, ici $3.$

Pièges anticipés

5 → $5$ est le degré, donc le nombre maximal de racines ; le facteur $x^{2} + 1$ n'en apporte aucune.
2 → $x^{3} - 2x = x(x^{2} - 2)$ : $0$ est aussi une racine.

Exercice 87 · raisonnement

Égaux en trois points

$P(x) = ax^{2} + bx + c$ est un polynôme de degré au plus $2$ qui prend en $1,$ $2$ et $3$ les mêmes valeurs que $Q(x) = x^{2} + 1.$ Sans calculer $a,$ $b$ et $c,$ déterminer $P(10).$

Donner la valeur de P(10).

Réponse attendue : 101

Indices, dans l’ordre

Le polynôme $P - Q$ est de degré au plus $2.$ Combien de racines a-t-il ?
Un polynôme de degré au plus $2$ qui a trois racines distinctes est le polynôme nul.

Correction

La différence — $P - Q$ est de degré au plus $2$ et s'annule en $1,$ $2$ et $3.$
Le polynôme nul — $P(x) = x^{2} + 1 \ \text{pour tout réel } x$
$P(10) = 100 + 1 = 101$

Trois racines pour un polynôme de degré au plus $2,$ c'est une de trop : il est nul. Deux trinômes égaux en trois points sont égaux partout.

Pièges anticipés

11 → $Q(10) = 10^{2} + 1$ : on élève $10$ au carré.

Exercice 88 · defi

Une somme qui vaut x²

Soit $f(x) = \dfrac{(x - 2)(x - 4)}{3} - 2(x - 1)(x - 4) + \dfrac{8(x - 1)(x - 2)}{3}.$ Calculer $f(1),$ $f(2)$ et $f(4),$ en déduire $f(x)$ pour tout réel $x,$ puis calculer $f(\sqrt{7}).$

Donner la valeur de f(√7).

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

Chaque calcul ne garde qu'un seul des trois termes : par exemple $f(1) = \dfrac{(-1)(-3)}{3} = 1.$
Le polynôme $f(x) - x^{2}$ est de degré au plus $2$ et s'annule en $1,$ $2$ et $4.$

Correction

Trois valeurs — $f(1) = 1, \quad f(2) = 4, \quad f(4) = 16$
Le polynôme nul — $f(x) - x^{2}$ est de degré au plus $2$ et a trois racines distinctes, $1,$ $2$ et $4$ : il est nul. $f(x) = x^{2} \ \text{pour tout réel } x$
$f(\sqrt{7}) = 7$

Plutôt que de développer, on compte les racines : un polynôme de degré au plus $2$ qui s'annule trois fois est nul.

Exercice 89 · pratique

Trois solutions dont une fraction

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^{3} - x^{2} - 5x - 2 = 0,$ en cherchant une racine apparente.

Écrire l'ensemble, par exemple « {-2;1/3;1} ».

Réponse attendue : {-1;-1/2;2} — aussi acceptées : {-1;-0.5;2}

Indices, dans l’ordre

Essaie $x = -1,$ en gardant les parenthèses.
Factorise par $(x + 1),$ puis résous l'équation du second degré avec le discriminant.

Correction

Racine apparente — $2(-1)^{3} - (-1)^{2} + 5 - 2 = 0$
Factoriser — $2x^{3} - x^{2} - 5x - 2 = (x + 1)(2x^{2} - 3x - 2)$
Le trinôme — $\Delta = 9 + 16 = 25.$ $x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \ \text{ou} \ x = \frac{3 + 5}{4} = 2$
$S = \left\{-1 ; -\frac{1}{2} ; 2\right\}$

Racine apparente, factorisation, discriminant : au degré $3,$ la méthode ramène au second degré.

Pièges anticipés

{-1/2;2} → $-1,$ la racine apparente, est aussi une solution.

Exercice 90 · defi

Trois entiers consécutifs

Déterminer trois entiers naturels consécutifs dont le produit est égal à $8$ fois leur somme. Donner le plus petit des trois.

Donner le plus petit des trois entiers.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

Note $n,$ $n + 1$ et $n + 2$ les trois entiers : leur somme vaut $3(n + 1).$
L'équation $n(n + 1)(n + 2) = 24(n + 1)$ a un facteur commun, $n + 1.$

Correction

Mettre en équation — $n(n + 1)(n + 2) = 8 \times 3(n + 1)$
Factoriser — $(n + 1)(n^{2} + 2n - 24) = 0 \iff (n + 1)(n - 4)(n + 6) = 0$
Les entiers naturels — $-1$ et $-6$ ne sont pas des entiers naturels. $n = 4$

Un problème de degré $3$ se ramène à un produit nul ; l'énoncé (des entiers naturels) trie ensuite les solutions : $4,$ $5$ et $6.$

Pièges anticipés

-6 → $-6$ conduit à $-6,$ $-5,$ $-4$ : ce ne sont pas des entiers naturels.
120 → $120$ est le produit ; on demande le plus petit des trois entiers.

Exercice 91 · raisonnement

Une inéquation large

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^{3} - x^{2} - 4x + 4 \ge 0.$

Écrire la réunion d'intervalles, par exemple « [-3;0]U[1;+inf[ ».

Réponse attendue : [-2;1]U[2;+inf[ — aussi acceptées : [-2,1]U[2,+inf[ · [-2;1]U[2;+∞[ · [-2,1]U[2,+∞[ · [-2;1]∪[2;+inf[ · [-2,1]∪[2,+inf[ · [-2;1]∪[2;+∞[ · [-2,1]∪[2,+∞[ · [2;+inf[U[-2;1] · [2,+inf[U[-2,1] · [2;+∞[U[-2;1] · [2,+∞[U[-2,1] · [2;+inf[∪[-2;1] · [2,+inf[∪[-2,1] · [2;+∞[∪[-2;1] · [2,+∞[∪[-2,1]

Indices, dans l’ordre

Regroupe les termes deux par deux : $x^{2}(x - 1) - 4(x - 1).$
Avec les trois racines rangées, dresse le tableau de signes ; l'inégalité est large, les racines sont des solutions.

Correction

Factoriser — $x^{3} - x^{2} - 4x + 4 = (x - 1)(x^{2} - 4) = (x + 2)(x - 1)(x - 2)$
Signes — $-, \ +, \ -, \ + \ \text{ sur } ]-\infty ; -2[, \ ]-2 ; 1[, \ ]1 ; 2[, \ ]2 ; +\infty[$
Conclure — $S = [-2 ; 1] \,\cup\, [2 ; +\infty[$

On factorise complètement, on lit le tableau de signes, et l'inégalité large ( $\ge$ ) fait entrer les racines : crochets fermés.

Pièges anticipés

]-2;1[U]2;+inf[ → L'inégalité est large : en $-2,$ $1$ et $2,$ l'expression vaut $0,$ ces réels sont des solutions.
]-inf;-2]U[1;2] → Ce sont les intervalles où l'expression est négative : relis le tableau de signes.

Exercice 92 · raisonnement

Une inéquation de degré 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^{4} - 3x^{2} - 4 < 0.$

Écrire l'intervalle, par exemple « ]-1;3[ ».

Réponse attendue : ]-2;2[

Indices, dans l’ordre

Pose $X = x^{2}$ : le trinôme $X^{2} - 3X - 4$ se factorise.
$x^{2} + 1$ est toujours positif : seul le signe de $x^{2} - 4$ compte.

Correction

Factoriser — $x^{4} - 3x^{2} - 4 = (x^{2} - 4)(x^{2} + 1)$
Le facteur positif — $x^{2} + 1 > 0$
Le signe — $x^{2} - 4 < 0 \iff -2 < x < 2$
$S = \,]-2 ; 2[$

Un facteur du second degré sans racine garde un signe constant : on le « traverse », et l'inéquation se ramène au signe d'un seul facteur.

Pièges anticipés

]-inf;-2[U]2;+inf[ → Pour $x < -2$ ou $x > 2,$ $x^{2} - 4 > 0$ : l'expression y est positive.
[-2;2] → L'inégalité est stricte : $-2$ et $2$ annulent l'expression, ils ne sont pas solutions.

Exercice 93 · base

La somme des trois racines

$P(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + x + 5$ admet trois racines distinctes $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma.$ Sans les calculer, déterminer $\alpha + \beta + \gamma.$

Donner la valeur de la somme.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

Pour $ax^{3} + bx^{2} + cx + d,$ la somme des trois racines vaut $-\dfrac{b}{a}.$
Ici $a = 2$ et $b = -6$ : attention aux deux signes moins.

Correction

La formule — $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
Calculer — $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-6}{2} = 3$

La somme des racines se lit sur les deux premiers coefficients, sans résoudre l'équation.

Pièges anticipés

-3 → La somme vaut $-\dfrac{b}{a}$ : avec $b = -6,$ on obtient un nombre positif.
6 → On divise par le coefficient $a = 2$ du terme en $x^{3}.$

Exercice 94 · pratique

La somme des carrés des racines

$P(x) = x^{3} - 3x^{2} - x + 1$ admet trois racines distinctes $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma.$ Sans les calculer, déterminer $\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}.$

Donner la valeur de la somme.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha).$
Ici la somme des racines vaut $3,$ et $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \dfrac{c}{a} = -1.$

Correction

Les relations — $\alpha + \beta + \gamma = 3, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -1$
La somme des carrés — $\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = 3^{2} - 2 \times (-1) = 11$

On exprime la quantité demandée avec la somme et la somme des produits deux à deux, qui se lisent sur les coefficients.

Pièges anticipés

7 → $-2 \times (-1) = +2$ : on ajoute $2$ à $9.$
9 → $(\alpha + \beta + \gamma)^{2}$ contient aussi les doubles produits : il faut retrancher $2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha).$

Exercice 95 · defi

Un produit décalé

$P(x) = 3x^{3} - 5x^{2} - 7x + 2$ admet trois racines distinctes $\alpha,$ $\beta$ et $\gamma.$ Sans les calculer, déterminer la valeur exacte de $(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1).$

Donner la valeur exacte.

Réponse attendue : -1/3

Indices, dans l’ordre

$P(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ pour tout réel $x$ : choisis bien la valeur de $x.$
En $x = -1,$ chaque facteur $-1 - \alpha$ vaut $-(\alpha + 1).$

Correction

La factorisation — $P(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$
En x = −1 — $P(-1) = 3(-1 - \alpha)(-1 - \beta)(-1 - \gamma) = -3(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1)$
Calculer — $P(-1) = -3 - 5 + 7 + 2 = 1$
$(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1) = -\frac{1}{3}$

Évaluer la forme factorisée en un point bien choisi donne d'un coup un produit portant sur les racines ; contrôle : $1 + \dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{3}.$

Pièges anticipés

1/3 → Chacun des trois facteurs $-1 - \alpha$ change de signe : $(-1)^{3} = -1.$
-1 → $P(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ : on divise par le coefficient $3.$
-0.33 / -0.333 → On demande la valeur exacte : garde la fraction.

Exercice 96 · pratique

Un symétrique sans autre racine

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^{3} + 3x^{2} + 3x + 2 = 0.$

Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {2} ».

Réponse attendue : {-1} — aussi acceptées : -1

Indices, dans l’ordre

Les coefficients se lisent de la même façon dans les deux sens : $-1$ est une racine apparente.
Factorise par $(x + 1)$ et étudie le discriminant du trinôme qui reste.

Correction

Racine apparente — $2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} + 3(-1) + 2 = -2 + 3 - 3 + 2 = 0$
Factoriser — $2x^{3} + 3x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(2x^{2} + x + 2)$
Le trinôme — $\Delta = 1 - 16 = -15 < 0$
$S = \{-1\}$

Un polynôme symétrique de degré $3$ a toujours la racine $-1$ ; le trinôme quotient décide des autres solutions.

Pièges anticipés

{1} → $2 + 3 + 3 + 2 = 10 \ne 0$ : la racine apparente d'un symétrique de degré $3$ est $-1.$

Exercice 97 · pratique

Le paramètre d'un symétrique

Soit $b$ un réel et $f(x) = 2x^{3} + bx^{2} + bx + 2.$ Déterminer $b$ pour que l'équation $f(x) = 0$ ait exactement deux solutions, $-1$ et $1.$

Donner la valeur de b.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

$-1$ est toujours une racine ; il faut que $1$ en soit une aussi.
Écris $f(1) = 0.$

Correction

La racine 1 — $f(1) = 2 + b + b + 2 = 4 + 2b = 0 \iff b = -2$
Contrôler — $f(x) = (x + 1)(2x^{2} - 4x + 2) = 2(x + 1)(x - 1)^{2}$
$b = -2$

C'est le cas $b = -a$ : le trinôme quotient devient $a(x - 1)^{2},$ et les solutions sont exactement $-1$ et $1.$

Pièges anticipés

6 → Pour $b = 6,$ $f(x) = 2(x + 1)^{3}$ : une seule solution, $-1.$

Exercice 98 · defi

Un symétrique de degré 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^{4} - 5x^{3} + 8x^{2} - 5x + 1 = 0,$ en posant $X = x + \dfrac{1}{x}.$

Écrire l'ensemble, par exemple « {2;(1-√3)/2;(1+√3)/2} ».

Réponse attendue : {1;(3-√5)/2;(3+√5)/2} — aussi acceptées : {1;(3-sqrt(5))/2;(3+sqrt(5))/2} · {1;(3-sqrt5)/2;(3+sqrt5)/2} · {1;(3-√(5))/2;(3+√(5))/2} · {1;3/2-√5/2;3/2+√5/2} · {1;3/2-sqrt(5)/2;3/2+sqrt(5)/2} · {1;1,5-√5/2;1,5+√5/2}

Indices, dans l’ordre

$0$ n'est pas solution : divise par $x^{2}$ et regroupe $x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$ et $x + \dfrac{1}{x}.$
$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = X^{2} - 2$ : l'équation en $X$ est du second degré.

Correction

Diviser par x² — $\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 8 = 0$
Poser X — $X^{2} - 2 - 5X + 8 = 0 \iff X^{2} - 5X + 6 = 0 \iff X = 2 \ \text{ou} \ X = 3$
X = 2 — $x + \frac{1}{x} = 2 \iff (x - 1)^{2} = 0 \iff x = 1$
X = 3 — $x + \frac{1}{x} = 3 \iff x^{2} - 3x + 1 = 0 \iff x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
$S = \left\{\frac{3 - \sqrt{5}}{2} ; 1 ; \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right\}$

Un symétrique de degré $4$ se ramène, en posant $X = x + \dfrac{1}{x},$ à des équations du second degré.

Pièges anticipés

{2;3} → $2$ et $3$ sont les valeurs de $X$ ; il reste à résoudre $x + \dfrac{1}{x} = X$ pour chacune.
{(3-√5)/2;(3+√5)/2} → $X = 2$ donne aussi une solution : $x = 1.$

Exercice 99 · base

Les valeurs interdites

Déterminer les valeurs interdites de la fonction rationnelle $h : x \mapsto \dfrac{x + 1}{x^{2} - 5x + 6}.$

Écrire l'ensemble des valeurs interdites, par exemple « {-1;4} ».

Réponse attendue : {2;3}

Indices, dans l’ordre

Une valeur est interdite quand elle annule le dénominateur.
Résous $x^{2} - 5x + 6 = 0.$

Correction

Le dénominateur — $x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
Ses racines — $x = 2 \ \text{ou} \ x = 3$
$D = \mathbb{R} \setminus \{2 ; 3\}$

Une fonction rationnelle est définie partout sauf aux racines de son dénominateur ; le numérateur n'intervient pas.

Pièges anticipés

{-1} / {-1;2;3} → $-1$ annule le numérateur : en $-1,$ $h$ est définie et vaut $0.$ Seul le dénominateur donne des valeurs interdites.
{-3;-2} → $(x - 2)(x - 3)$ s'annule en $2$ et en $3.$

Exercice 100 · pratique

Simplifier une fonction rationnelle

Soit $h : x \mapsto \dfrac{x^{3} - 4x}{x^{2} - 4x + 4},$ définie pour $x \ne 2.$ Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier $h(x).$

Réponse attendue : (x^2+2x)/(x-2) — aussi acceptées : x*(x+2)/(x-2)

Indices, dans l’ordre

$x^{3} - 4x = x(x^{2} - 4),$ et le dénominateur est une identité remarquable.
Simplifie par le facteur commun $x - 2,$ qui n'est pas nul pour $x \ne 2.$

Correction

Numérateur — $x^{3} - 4x = x(x - 2)(x + 2)$
Dénominateur — $x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}$
Simplifier — $h(x) = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^{2}} = \frac{x(x + 2)}{x - 2}$

On factorise numérateur et dénominateur avant de simplifier ; la simplification n'est valable que là où $h$ est définie, pour $x \ne 2.$

Pièges anticipés

x*(x+2) → Le dénominateur est $(x - 2)^{2}$ : après simplification, il reste un facteur $x - 2$ en bas.

Exercice 101 · raisonnement

Le zéro qui n'en est pas un

Soit $h : x \mapsto \dfrac{x^{3} - 3x + 2}{x^{2} - 1}.$ Déterminer l'ensemble de définition de $h,$ puis résoudre l'équation $h(x) = 0.$

Écrire l'ensemble des solutions, par exemple « {3} ».

Réponse attendue : {-2} — aussi acceptées : -2

Indices, dans l’ordre

$1$ est une racine apparente du numérateur : factorise-le complètement.
Une solution de $h(x) = 0$ annule le numérateur et appartient à l'ensemble de définition.

Correction

Définition — $x^{2} - 1 \ne 0 \iff x \ne -1 \ \text{et} \ x \ne 1$
Le numérateur — $x^{3} - 3x + 2 = (x - 1)(x^{2} + x - 2) = (x - 1)^{2}(x + 2)$
Simplifier — $h(x) = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x + 1} \quad \text{pour } x \ne -1 \text{ et } x \ne 1$
Résoudre — $1$ annule le numérateur, mais c'est une valeur interdite. $S = \{-2\}$

On résout toujours dans l'ensemble de définition : une racine du numérateur qui annule aussi le dénominateur n'est pas une solution.

Pièges anticipés

{-2;1} → $1$ annule le dénominateur : $h(1)$ n'existe pas, ce n'est pas une solution.

Exercice 102 · raisonnement

Dépasser 0,95

Sachant que $\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1},$ on pose, pour tout entier naturel $n \ge 1,$ $S_{n} = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dots + \dfrac{1}{n(n + 1)}.$ Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n,$ puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 0{,}95.$

Donner la valeur de n.

Réponse attendue : 20

Indices, dans l’ordre

Écris chaque terme comme une différence : en additionnant, tout se simplifie sauf le premier et le dernier terme.
Résous ensuite l'inéquation $\dfrac{n}{n + 1} > 0{,}95,$ en multipliant par $n + 1 > 0.$

Correction

En cascade — $S_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$
L'inéquation — Comme $n + 1 > 0,$ on peut multiplier les deux membres par $n + 1.$ $\frac{n}{n + 1} > 0{,}95 \iff 0{,}05\,n > 0{,}95 \iff n > 19$
Le plus petit entier — $S_{19} = \dfrac{19}{20} = 0{,}95$ exactement : ce n'est pas plus grand. $n = 20$

La décomposition donne $S_{n} = \dfrac{n}{n + 1}$ ; l'inéquation se résout ensuite comme au premier degré, et l'inégalité stricte exclut $n = 19.$

Pièges anticipés

19 → $S_{19} = \dfrac{19}{20} = 0{,}95$ : l'inégalité est stricte, $S_{19}$ ne dépasse pas $0{,}95.$
21 → Le dernier terme qui reste est $-\dfrac{1}{n + 1},$ pas $-\dfrac{1}{n}$ : $S_{n} = 1 - \dfrac{1}{n + 1}.$

Exercice 103 · defi

Une cascade de pas 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ différent de $0$ et de $-2,$ $\dfrac{1}{x(x + 2)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 2},$ puis calculer la valeur exacte de $S = \dfrac{1}{1 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 5} + \dots + \dfrac{1}{19 \times 21}.$

Donner la valeur exacte.

Réponse attendue : 10/21

Indices, dans l’ordre

Réduis $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 2}$ au même dénominateur et identifie les numérateurs : $(a + b)x + 2a = 1.$
Avec $a = \dfrac{1}{2}$ et $b = -\dfrac{1}{2},$ chaque terme de $S$ est la moitié d'une différence.

Correction

Identifier — $\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} = \frac{(a + b)x + 2a}{x(x + 2)} \iff a + b = 0, \quad 2a = 1$
La décomposition — $\frac{1}{x(x + 2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}\right)$
En cascade — $S = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right)$
$S = \frac{1}{2} \times \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$

On décompose par identification, puis la somme se simplifie en cascade ; le facteur $\dfrac{1}{2}$ vient de l'écart $2$ entre les deux facteurs.

Pièges anticipés

20/21 → $\dfrac{1}{x(x + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 2}\right)$ : n'oublie pas le facteur $\dfrac{1}{2}.$
0.48 / 0.476 → On demande la valeur exacte : garde la fraction.

Exercice 104 · defi

Trois fractions simples

Déterminer les réels $a,$ $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ différent de $0,$ de $-1$ et de $-2,$ $\dfrac{4x + 2}{x(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x + 1} + \dfrac{c}{x + 2}.$ Donner $c.$

Donner la valeur de c.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

Réduis au même dénominateur : $4x + 2 = a(x + 1)(x + 2) + bx(x + 2) + cx(x + 1)$ pour tout $x.$
Cette égalité de polynômes est vraie pour tout $x$ : remplace $x$ par $0,$ $-1$ puis $-2.$

Correction

Les numérateurs — $4x + 2 = a(x + 1)(x + 2) + bx(x + 2) + cx(x + 1)$
En x = 0 et x = −1 — $2 = 2a \iff a = 1, \quad -2 = -b \iff b = 2$
En x = −2 — $-6 = 2c \iff c = -3$
Contrôler — Le coefficient de $x^{2}$ vaut $a + b + c = 0,$ comme à gauche. $c = -3$

Après réduction au même dénominateur, on obtient une égalité de polynômes : on la spécialise aux valeurs qui annulent tous les termes sauf un.

Pièges anticipés

3 → En $x = -2$ : $c \times (-2) \times (-1) = 2c$ et $4 \times (-2) + 2 = -6.$